PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔN TOÁN

vectorstock.com/30416001

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 12 QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT (TNU) WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 12 QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT 2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp 2.1.1. Định hướng 1: Đảm bảo mục tiêu, chuẩn kiến thức, kĩ năng của nội dung chủ đề trong Chương trình Theo tài liệu về chuẩn kiến thức lớp 12 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit cần đảm bảo đáp ứng đúng và đầy đủ từ mục tiêu đến chuẩn kiến thức và kĩ năng. GV khi hướng dẫn HS tìm hiểu nội dung chủ đề này thì tài liệu chính thống đó là sách giáo khoa hiện hành.

2.1.2. Định hướng 2: Các biện pháp phải đảm bảo sự kích thích hứng thú học tập, nhằm phát huy tính tích cực và năng lực trí tuệ của học sinh Dựa trên quan điểm đổi mới căn bản giáo dục, có nhiều phương pháp mới lạ được đề xuất. Tuy nhiên các biện pháp cần đảm bảo tạo được sự hứng thú cho HS trong quá trình học tập. Sự hứng thú học tập cũng như sự hợp tác của HS là yếu tố quan trọng góp phần vào sự thành công trong mỗi tiết dạy của GV. Không chỉ góp phần vào thành công của GV mà còn ảnh hưởng đến kết quả học tập của HS. Các biện pháp được đề xuất cũng phải phát huy tính tích cực, phát triển năng lực trí tuệ của HS. Cần đẩy mạnh tổ chức các hoạt động trong và ngoài giờ nhằm khai thác tối đa các năng lực tiềm ẩn của HS để từ đó có thể phát triển một cách toàn diện 2.1.3. Định hướng 3: Đảm bảo sự kết hợp thực hiện qua khai thác nội dung các bài toán có gắn với thực tiễn Hiện nay, ứng dụng của các kiến thức Toán học vào khai thác các bài toán thực tiễn ngày càng được nâng cao. Cụ thể, HS có thể sử dụng kiến thức 39

Hàm số Mũ, Hàm số Logarit để giải một số bài toán liên môn. Ví dụ áp dụng trong toán kinh tế để tính số lãi suất, bài toán trả góp, bài toán tăng trưởng dân số, bài toán cường độ âm thanh... Trong đó những nội dung thực tiễn thuộc chủ đề Hàm số Mũ, Hàm số Logarit rất quan trọng, nó không chỉ phục vụ để giải quyết các bài toán của môn học khác mà chủ đề này còn có ứng dụng rất lớn trong đời sống hàng ngày.

2.1.4. Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm được đề xuất phải đảm bảo tính khả thi và thông qua các biện pháp học sinh có thể phát triển được năng lực giải quyết vấn đề của bản thân Theo từ điển tiếng Việt, ”Khả thi” có nghĩa là khả năng thực hiện. Một biện pháp sư phạm có tính khả thi điều đó đi đôi với việc phải khả thi với hai nhóm đối tượng đó là GV và HS. Nếu một trong hai đối tượng đó không thể đáp ứng được tính khả thi thì coi như thất bại. Nếu không khả thi với GV thì mục đích của việc đề xuất biện pháp sư phạm không đạt được. Ngược lại nếu đối với HS thì biện pháp đưa ra không có ý nghĩa và không đem lại giá trị thực tiễn.

Dựa trên quan điểm chỉ đạo đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục phổ thông là chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Do đó, phương pháp dạy và học cần được đổi mới khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, tập trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học, theo phương châm ”giảng ít, tự học là chủ yếu”. Trong quá trình giảng dạy, GV cần sắp xếp lại nội dung, cấu trúc bài giảng sao cho phù hợp với các đối tượng, vùng miền khác nhau. Để từ đó HS có thể thấy được vai trò của nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit.

40

2.2. Các biện pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit 2.2.1. Biện pháp 1: Trang bị tri thức phương pháp cho học sinh qua việc giải các dạng toán thuộc nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit a) Mục đích của biện pháp Các kiến thức cơ bản của nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit có vai trò rất quan trọng đối với HS lớp 12. Nhất là HS chuẩn bị bước vào kì thi Trung học phổ thông Quốc gia. HS muốn học tốt môn Toán, muốn tính toán nhanh ngoài kĩ năng rèn luyện khả năng tính toán thì HS còn phải nắm được các kiến thức cơ bản để từ đó có thể dễ dàng nhận biết và phát hiện được vấn đề cần giải quyết tiếp theo là vận dụng những tri thức đó vào giải bài tập. Ngoài ra, những chú ý do HS tự đề ra cũng có thể tác động vào thành tố cuối đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát được cho vấn đề tương tự. Do vậy, việc trang bị, hệ thống hóa những tri thức cơ bản liên quan đến bài học cho HS là vô cùng quan trọng và thực sự cần thiết.

Biện pháp này giúp HS có thêm tri thức phương pháp thông qua việc giải các bài toán vì vậy các em sẽ có kiến thức nền tảng để đi sâu vào tìm hiểu phần mới. Đồng thời biện pháp này tác động đến thành tố đầu tiên đó là tìm hiểu vấn đề, việc khơi gợi lại các kiến thức cũ cũng là cách để giúp HS tìm hiểu vấn đề mới một cách hứng thú hơn, tốt hơn. b) Nội dung và cách thực hiện Như chúng ta đã biết, tiền đề để nhận biết, phát hiện giải quyết được vấn đề là HS phải có kiến thức và kĩ năng. Có thể trang bị vững chắc kiến thức cơ bản và một số tri thức phương pháp giải toán nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit từ đó tạo cơ sở GQVĐ thực tiễn cho HS trong dạy học chủ đề này bằng nhiều con đường tiếp cận.

- Đầu tiên GV cần trang bị cho HS những tri thức phương pháp để giải bài toán Hàm số Mũ, Hàm số Logarit. Phương pháp dạy học mà GV có thể sử

41

dụng đó là “dạy học tường minh tri thức phương pháp” hoặc “thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động” để trang bị cho HS tri thức phương pháp.

Dạy học tường minh tri thức phương pháp được qui định trong chương trình: Dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát là một trong những cách làm đối với những tri thức phương pháp được qui định tường mình trong chương trình và sách giáo khoa hoặc cũng có khi được GV tự quyết định đối với điều kiện cụ thể của lớp học. Đối với cấp độ này, GV cần rèn luyện cho HS những hoạt động dựa trên tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát, không chỉ dừng ở mức độ thực hành theo trình tự mẫu có sẵn ăn khớp với tri thức phương pháp này. Tuy nhiên, từng bước làm GV phải dẫn dắt HS hiểu dựa trên phương tiện ngôn ngữ đó.

Trong nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit, hầu như tri thức phương pháp chưa được quy định trong chương trình, do đó GV có thể truyền thụ tri thức phương pháp nếu những tiêu chuẩn sau đây được thõa mãn: + Tri thức phương pháp này giúp HS dễ dàng thực hiện một số hoạt động quan trọng nào đó được quy định trong chương trình. + Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và không tốn nhiều thời gian.

- Sau đó với mỗi dạng toán GV có thể trang bị tri thức phương pháp kèm theo một vài bài toán chữa chậm để HS có thể bước đầu nắm chắc tri thức phương pháp vừa lĩnh hội. GV nên chú trọng chọn lọc ở trong các nội dung dạy học thuộc chủ đề trên để rút ra: + Có những tri thức phương pháp nào ở đó. + Lựa chọn phối hợp ba cách dạy học: Dạy học truyền thụ tường minh tri thức phương pháp; Thông báo tri thức phương pháp: Tập luyện các hoạt động ăn khớp.

42

Chẳng hạn, đối với nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit GV có thể xây dựng các tri thức phương pháp sau: Các bước tìm điều kiện xác định của Hàm số Mũ, Hàm số Logarit; Các bước tính đạo hàm của Hàm số Mũ, Hàm số Logarit; Các bước khảo sát Hàm số Mũ, Hàm số Logarit. c) Ví dụ minh họa Ví dụ 2.1 : Tìm tập xác định D của các hàm số a) y  log 2 (5  2 x)

b) y   a  2

x

 3x  2  c) y  log 1  2   x 1   3

Đối với bài toán trên, GV có thể sử dụng cách thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động: - Đầu tiên là nêu đầy đủ quy trình các bước để tìm tập xác định của Hàm số Mũ, Hàm số Logarit: + Bước 1: Xác định dạng, tên gọi của hàm số: là Hàm số Mũ hay Hàm số Logarit + Bước 2: Xác định cơ số của hàm số, xác định số mũ của Hàm số Mũ và biểu thức được lấy logarit đối với Hàm số Logarit. + Bước 3: Xác định điều kiện của số mũ và biểu thức được lấy logarit.: Về kiến thức cơ bản đó là điều kiện để Hàm số Mũ, Hàm số Logarit xác định: + Hàm số y  a x cần điều kiện là a là số thực dương và a  1. + Hàm số y  log a x cần điều kiện: • Số thực a dương và khác 1.

•x>0 Sau khi HS đã biết tri thức phương pháp trên, GV tổ chức cho HS vận dụng để tìm tập xác định của hàm số.

Lời giải: a) - GV: Bước đầu tiên, ta cần làm đó là?

- HS: Trước tiên, cần xác định dạng và tên gọi của hàm số đã cho.

43

- GV: Ở bài toán này, dạng của hàm số là?

- HS: Một Hàm số Logarit, dạng y  log a x - GV: Hãy xác định cơ số của hàm số, xác định biểu thức được lấy logarit?

- HS: Cơ số của hàm số là 2, biểu thức được lấy logarit là  5  2x  - GV: Hàm số y  log a x cần điều kiện gì?

-HS: Điều kiện là: • Số thực a dương và khác 1.

•x>0 - GV: Vậy đối với hàm số y  log 2 (5  2x) có điều kiện là gì?

- HS: Xác định cơ số: a = 2 > 0, vậy để hàm số xác định thì x > 0 Biểu thức lấy logarit:  5  2 x   0  2 x  5  x 

5 2

- GV: Vậy tập xác định của hàm số sẽ là?

5  - HS: Vậy tập xác định của hàm số y  log 2 (5  2x) là D   ;  2 

b) - GV: Bước đầu tiên, ta cần làm đó là?

- HS: Trước tiên, cần xác định dạng và tên gọi của hàm số đã cho.

- GV: Ở bài toán này, dạng của hàm số là?

- HS: Hàm số là Hàm số Mũ, có dạng y  a x - GV: Hãy xác định cơ số của hàm số, xác định số mũ?

- HS: Cơ số của hàm số là  a  2  ; số mũ là x - GV: Hàm số y  a x cần điều kiện gì?

- HS: Điều kiện là: • Số thực a dương và khác 1.

- GV: Vậy đối với hàm số y   a  2 có điều kiện là gì? x

44

- HS: Đây là Hàm số Mũ, trước hết để hàm số có nghĩa thì biểu thức cơ số phải thỏa mãn điều kiện (a  2)  0;(a  2)  1  a  2   0 a  2 Hay     a  2  1 a  3

- GV: Vậy tập xác định của hàm số sẽ là?

- HS: Vậy tập xác định là: D   2;   \ 3 c) –GV: Bước đầu tiên, ta cần làm đó là?

- HS: Trước tiên, cần xác định dạng và tên gọi của hàm số đã cho.

- GV: Ở bài toán này, dạng của hàm số là?

- HS: Một Hàm số Logarit, dạng y  log a x - GV: Hãy xác định cơ số của hàm số, xác định biểu thức được lấy logarit?

- HS: Cơ số a 

1 3x  2 , biểu thức lấy logarit 3 1  x2

- GV: Hàm số y  log a x cần điều kiện gì?

- HS: Điều kiện là: • Số thực a dương và khác 1.

•x>0

 3x  2  - GV: Vậy đối với hàm số y  log 1  có điều kiện là gì?

2  1  x   3 - HS: a 

1  0, a  1 3

3x  2  0 3x  2  0  3x  2  (1) hoặc  (2)  0  1  x  0 1  x  0  1 x    2   3 x  2 2 x    Giải (1) ta có  3    x 1 3 1  x   0  x  1 

45

2   3 x  2 x    Giải (2) ta có  3 (Vô lý) 1  x  0     x  1

- GV: Vậy tập xác định của hàm số sẽ là?  2  - HS: Vậy tập xác định của hàm số D    ;1  3 

Trong ví dụ trên, GV thông báo các bước tìm tập xác định của hàm số, bài toán trở nên rất đơn giản, HS có thể vận dụng từng bước để giải quyết bài toán một cách dễ dàng, nhanh chóng.

Rèn luyện những hoạt động tương tự với những tri thức phương pháp.

Cách làm này tùy theo yêu cầu có thể sử dụng được cả trong hai trường hợp: Tri thức được quy định hoặc không được quy định trong chương trình. Đôi khi, đối với HS ở trình độ thấp, GV chỉ yêu cầu HS biết cách thực hành quy tắc, phương pháp đó nhờ quá trình làm việc theo mẫu.

Ví dụ 2.2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y   4

x

Tri thức phương pháp: Bước 1: Xác định dạng của hàm số.

Bước 2: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 3: Xét sự biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm y ' + Tìm giới hạn đặc biệt. + Tìm tiệm cận.

Bước 4: Xét bảng biến thiên của hàm số + Xét dấu đạo hàm y ' và suy ra chiều biến thiên của hàm số Bước 5: Đồ thị của hàm số Lời giải: - GV: Đây là bài toán rất quen thuộc đối với bài toán hàm số nói chung, vậy để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số thì bước đầu tiên cần tìm?

46

- HS: Cần tìm tập xác định của hàm số.

- GV: Bài toán này, tập xác định sẽ là ?

- HS: Tập xác định: D  - GV: Sau khi tìm được tập xác định rồi, thì các tiếp theo sẽ là?

- HS: Bước 2: Tìm sự biến thiên. y '  (4 x )'  4 x.ln 4  0, x 

- GV: Sau khi tìm được sự biến thiên rồi, ta sẽ tìm các đường tiệm cận của hàm số. Vậy hàm số này có tiệm cận và giới hạn đặc biệt là gì?

- HS: Tiệm cận: Trục 0x là tiệm cận ngang Giới hạn đặc biệt: lim y  lim 4 x  0; lim y  lim 4 x   x

x

x

x

- GV: Sau đó ta đi xét bảng biến thiên. + Bước 3: Bảng biến thiên: 

x y’

0 +



1 +

+ 

y 1

4

0 - GV: Bước cuối cùng đó là vẽ đồ thị. Để vẽ đồ thị ta cần?

- HS: Cần xác định các điểm để đồ thị hàm số đi qua?

- GV: Vậy đó là những điểm nào?

- HS: Bảng giá trị: x y



1 2

1 2

47

-1

1 2

1 4

2

Đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành, cắt trục tung tại các điểm (0;1) và 1   1 1   1   (1;5). Ngoài ra, đồ thị đi qua các điểm  1;  ,  ;  ,  ;2  4  2 2 2  

Hình 2.1 Ví dụ 2.3: Giải các phương trình sau: a) 3x1  3x1  3x  39 b) 3x

2

5 x  4

 81

c) log x  log x 2  log 4 x Tri thức phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện của ẩn để phương trình có nghĩa.

- Bước 2: Dùng các phép biến đổi ví dụ đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa hoặc logarit hóa để đưa phương trình về dạng phương trình đơn giản - Bước 3: Giải phương trình đơn giản đó.

- Bước 4: Xét sự thỏa mãn của ẩn theo điều kiện (nếu có) và kết luận.

Lời giải: a) GV hướng dẫn chậm dãi từng bước giải cho HS. - GV: Đối với bài toán dạng giải phương trình này, bước đầu tiên chúng ta cần làm là?

- HS: Đó là xem bài toán đã cho có điều kiện gì của ẩn hay không?

- GV: Vậy đối với bài toán này, thiều điều kiện của ẩn là gì?

48

- HS: bài toán này không cần đặt điều kiện của ẩn, chỉ có cơ số

3  0;3  1 - GV: Không có điều kiện của ẩn, vậy theo các bạn chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nào để biến đổi bài toán?

- HS: Sử dụng phép biến đổi phương trình 3x1  3x1  3x  27 về phương trình có hai vế có cùng cơ số là 3. x 1

3

x 1

3

1  3x   3  39  3 .3   3x  39  3x  3   1  39 3  3  x

x

 13   3x    39  3x  9  3x  32 3

Ta được: x  2 - GV: Vậy sau khi tìm được nghiệm x ta có cần kết hợp điều kiện ở bài toán này ko?

- HS: Không cần vì bài toán không có điều kiện, ta chỉ cần kết luận vậy

x  2 là nghiệm của phương trình. b) –GV: Tương tự ở bài toán này cũng không có điều kiện của ẩn. Vậy theo các bạn nên biến đổi phương trình theo phương pháp nào?

- HS: biến đổi tương đương 2 vế về cùng cơ số 3.

Biến đổi phương trình 3x 3x

2

5 x  4

2

5 x  4

 81 về dạng. Ta có:

 81  3x

2

5 x  4

 34  x2  5x  4  4

- GV: Sau khi ta có phương trình tương đương rồi, ta sẽ làm gì tiếp theo?

- HS: Giải phương trình:

x  0 x2  5x  4  4   x2  5x  0   x  5 - GV: Vì phương trình này không có điều kiện của ẩn do dó ta kết luận: Kết luận tập nghiệm của phương trình là: S  0;5 c) –GV: Đối với bài toán dạng giải phương trình này, bước đầu tiên chúng ta cần làm là?

49

- HS: Đó là xem bài toán đã cho có điều kiện gì của ẩn hay không?

- GV: Vậy đối với bài toán này, thiều điều kiện của ẩn là gì?

- HS: Điều kiện xác định: x  0 - GV: Tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp nào để giải bài toán?

- HS: Đưa phương trình đã cho về dạng log a f ( x)  log a g ( x) với cơ số

a  10 .

- GV: Khi ta đưa phương trình về dạng cùng cơ số 10. Ta sẽ có phương trình mới là?

- HS: Ta có: log x  log x 2  log 4 x  log x  2log | x | log 4  log x  2log | x | log 4  2log | x | log 2 2

 2log | x | 2log 2 log | x | log 2

- GV: Bước tiếp theo ta giải phương trình nào để tìm ra nghiệm x?  x2 - HS: Giải phương trình | x | 2    x  2

- GV: Ở bài toán này có cần kết hợp điều kiện hay không?

- HS: Bắt buộc phải kết hợp điều kiện, do đó nghiệm x  2 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 2.4: Giải các bất phương trình sau: a) log x  3x  1  log x  x2  1



b) 9 3  11 2



x



2 52 6



x

2



3 2



x

1

Tri thức phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định của ẩn.

- Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi để đưa bất phương trình về dạng đơn giản: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, mũ hóa, logarit hóa,...

- Bước 3: Giải bất phương trình dạng đơn giản + Bất phương trình mũ Dạng 1: Với bất phương trình: 50

a f ( x)  a g ( x)

 a  1  a0   f ( x)  g ( x) hoặc    0  a  1  a  1 f ( x)  g ( x)  0    f ( x)  g ( x)

Dạng 2: Với bất phương trình: a f ( x )  a g ( x )  a  1    f ( x)  g ( x) a0  hoặc  a f ( x)  a g ( x)   a 1   a  1 f ( x)  g ( x)  0 0  a  1     f ( x)  g ( x) 

Chú ý: Cần đặc biệt lưu ý tới giá trị của cơ số a đối với bất phương trình mũ.

+ Bất phương trình logarit: Dạng 1: Với bất phương trình: log a f ( x)  log a g ( x)

a 1  0  a 1    f ( x)  0 0  f ( x )  g ( x )      0  a 1 g ( x)  0     a  1  f ( x)  g ( x)  0   f ( x)  g ( x) Dạng 2: Với bất phương trình:

a 1   b 0  f ( x )  a  log a f ( x)  b    0  a 1   b   f ( x)  a Dạng 3: Với bất phương trình:

51

  a 1   b  f ( x)  a  log a f ( x)  b   0  a  1  b  0  f ( x)  a - Bước 4: Đối chiếu điều kiện của ẩn và kết luận.

Lời giải: a) GV hướng dẫn chậm dãi từng bước giải cho HS. - GV: Đối với bài toán dạng này, bước đầu tiên chúng ta cần làm là?

- HS: Đó là xem bài toán đã cho có điều kiện gì của ẩn hay không?

- GV: Vậy đối với bài toán này, thiều điều kiện của ẩn là gì?

- HS: Điều kiện của ẩn là x  0; x  1.

- GV: Sau khi đã tìm được điều kiện của ẩn, theo các bạn chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nào để biến đổi bài toán?

- HS: Sử dụng phép biến đổi tương đương để giải bài toán vì cả 2 vế của bất phương trình đã có dạng log a f ( x)  log a g ( x) - GV: Nếu bất phương trình có dạng log a f ( x)  log a g ( x) khi đó ta sẽ suy ra được điều gì?

x 1     2 3x  1  x  1 2  - HS: Ta có: log x  3x  1  log x  x  1   0  x 1  2  0  3x  1  x  1 - GV: Bước tiếp theo ta giải bất phương trình tương đương  x  1   1  x  2 x 1   x 1    2 x  3 x  2  0     1  x  2 2  3 x  1  x  1  0 1  x     1   0  x  1       x 1  0  x 1  1  3 3 x  1  0 x      2 3   0  3x  1  x  1   x 2  3x  2  0    x  2      x  1

52

- GV: Sau khi giải bất phương trình tương đương ta có thể kết luận nghiệm ngay được hay không?

- HS: Không, ta phải kết hợp với điều kiện của ẩn từ bước đầu tiên. 1  Khi đó, nghiệm của bất phương trình là: x   ;2  \ 1 3 

b) GV hướng dẫn cho HS. - GV: Đối với bài toán giải bất phương trình mũ này, bước đầu tiên chúng ta cần làm là?

- HS: Đó là xem bài toán đã cho có điều kiện gì của cơ số hay không?

- GV: Vậy đối với bài toán này, thiều điều kiện của ẩn là gì?

- HS: Ta thấy các cơ số đều lớn hơn 0 và khác 1.

- GV: Sau đó chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nào để biến đổi bài toán?

- HS: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải bài toán.

- GV: Bài toán này có điều gì đặc biệt khi ta đặt ẩn phụ?

- HS: Ta nhận xét rằng:



9 3  11 2

5  2 6  

3 2

 x

x



x

 

 





3 2



x

3 3 2    





3 2    







x

 



2

x

3 2 .



x 3 2  



3 2   x



3

2

x

3  2  1 

- GV: Vậy sẽ đặt ẩn phụ như thế nào?

- HS: Đặt t 



3 2



x

, điều kiện t  0 thì khi đó



3 2

- GV: Khi đó bất phương trình với ẩn phụ sẽ có dạng?

1 - HS: Bất phương trình tương đương với: t 3  2t 2  2  1 t

- GV: Bước tiếp theo ta sẽ làm gì?

- HS: Đó là đi giải bất phương trình mới.

53



x



1 t

1 t 3  2t 2  2  1  t 4  2t 3  t  2  1 t

  t  1 t  2 t 2  t  1  0  2  t  1 - GV: Có cần kết hợp với điều kiện của ẩn phụ hay không?

- HS: Có cần kết hợp, khi đó kết hợp điều kiện ta được: 0  t  1 - GV: Sau khi giải bất phương trình mới, ta đã tìm được giá trị của ẩn phụ. Vậy làm thế nào để tìm ra nghiệm?

- HS: Thay ẩn phụ: Vì 0  t  1 



3 2



x

1 x  0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  ;0  Lưu ý: GV lưu ý với HS phải kết hợp với điều kiện của ẩn phụ, tránh xét thiếu điều kiện dẫn đến sai lầm của bài toán.

2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích, tìm tòi lời giải cho bài toán Hàm số Mũ, Hàm số Logarit a) Mục đích của biện pháp Phân tích một bài toán là tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, khái quát để hiểu được bài toán. Phân tích bài toán còn mang ý nghĩa khám phá như: đề bài đã cho chúng ta dữ kiện gì, đề bài yêu cầu chúng ta làm gì, chúng ta cần làm gì, có thể liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết không... từ đó có thể lựa chọn, đề xuất được cách thức và GQVĐ và có thể sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích đây cũng chính là thành tố thứ hai và thành tố thứ ba của năng lực GQVĐ.

Tìm tòi lời giải cho bài toán là quá trình phân tích các dữ kiện của bài toán, sự liên hệ và phát huy khả năng tư duy, huy động các kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm của bản thân để tìm tòi lời giải cho bài toán. Sự linh hoạt, linh động của mỗi HS được thể hiện rõ nét trong khâu này.

54

b) Nội dung và cách tiến hành biện pháp Khi đứng trước một bài toán, việc phân tích và tìm hướng giải quyết cho bài toán là rất quan trọng, nó quyết định đến đích của bài toán hay không. Có nhiều bài hướng đi sai lệch cũng chỉ do khâu phân tích chưa kĩ càng. Đối với biện pháp này, cần tách rõ hai pha hoạt động, đó là phân tích và hoạt động tiếp đó là tìm tòi lời giải cho bài toán. Đôi khi HS không thể tìm được lời giải do không phân tích được đề bài, không biết đề bài cho điều gì và cần điều gì. Để tăng cường cho HS khả năng phân tích, tìm lời giải cho bài toán trong khi thực hiện dạy học theo hướng phát triển năng lực GQVĐ, GV cần bổ sung thêm những bài tập tương tự để HS có thể trau dồi. Hệ thống câu hỏi nêu vấn đề của GV đưa ra sẽ giúp HS rèn luyện tư duy, kích thích sự sáng tạo, năng lực phán đoán, nhận biết.

Do đó GV nên trang bị cho HS thủ pháp cần thiết giúp ích cho HS phân tích được đề bài cũng như khắc sâu được kiến thức thậm chí vận dụng một cách linh hoạt. Việc vận dụng khéo léo thủ pháp đưa các yếu tố phức tạp về yếu tố đơn giản đã biết để từ đó vận dụng một cách tối đa triệt để những tri thức đã được học. Muốn giải được một bài toán trước hết HS cần biết dạng toán đó là gì, có thể sử dụng công thức nào hay thuật giải nào.

- Tổ chức thực hiện biện pháp: + Giải phương trình mũ, phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp đặt ẩn phụ là một phương pháp khá quen thuộc và rất phù hợp đối với các bài toán giải phương trình, hệ phương trình thậm chí bất phương trình. Đối với phương pháp này, ta có thể có các hướng như sau: Hướng 1: Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với 1 ẩn phụ, một số dạng thường gặp như sau: *Phương trình mũ: Khi thực hiện giải 1 phương trình mũ, ta có thể quan sát và nhận xét hạng tử chứa ẩn, nếu các hạng tử chứa ẩn có cùng cơ số thì ta sử dụng dạng toán đặt ẩn phụ số 1.

55

k 1 x Dạng 1: Phương trình  k a kx   k 1a   ......1a x   0  0 k 1 Khi đó: Đặt t  a x , t  0 , ta được:  k t k   k 1t   ......1t   0  0

Mở rộng: Nếu đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp t  0 . Khi đó: a 2 f ( x )  t 2 ; a3 f ( x )  t 3 ;....; a kf ( x )  t k và a  f ( x ) 

1 t

Nếu phương trình có các hạng tử cùng số mũ còn khác nhau về cơ số, trong đó giữa hai cơ số có tích bằng 1. Khi đó ta sẽ sử dụng dạng toán 2: đó là đặt một ẩn phụ và biểu diễn ẩn còn lại theo mối liên hệ giữa chúng.

Dạng 2: Phương trình 1a x   2b x   3  0 với a.b  1 Khi đó: Đặt t  a x , t  0  b x 

1 ta được: t

1 t

1t   2  3  0  1t 2   2  3t  0  1t 2  3t   2  0 Mở rộng: Với a.b  1 thì khi đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp là t  0 , suy ra 1 b f ( x)  . t

Một phương trình có một trong các hạng tử chứa ẩn mà khác không, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình cho hạng tử đó, để từ đó phương trình chỉ còn 1 ẩn là thương giữa hai hạng tử.

Dạng 3: Phương trình 1a2 x  2  ab   3b2 x  0 khi đó ta chia cả 2 vế x

của phương trình cho b2 x  0 (hoặc a2 x ,  ab  ) ta được: x

2x

x

a a 1     2    3  0 b b x

a Đặt t    , t  0 ta được: 1t 2   2t   3  0 b Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử: a2 f , b2 f ,  ab  (trong f

đó f là đa thức chứa biến), ta thực hiện theo các bước sau

56

- Chia 2 vế của phương trình cho b2 f  0 (hoặc a2 f ,  ab  ) f

f

a - Đặt t    , điều kiện hẹp t  0 . b Trong nhiều bài toán ta sẽ gặp các bài toán có thể sử dụng giá trị lượng giác khi đó ta sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác thường dùng đó là: sin 2 x  cos 2 x  1;tan x.cot x  1

Ta gọi một trong hai ẩn theo giá trị lượng giác và biểu diễn theo mối liên hệ đã cho.

Dạng 4: Lượng giác hóa Lưu ý: Sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t  0 cho các trường hợp đặt

t  a f ( x ) vì: - Nếu đặt t  a x thì t  0 là điều kiện đúng.

- Nếu đặt t  2 x

2

1

thì t  0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện

cho t phải là t  2 . Điều kiện này đặc việt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số.



Ví dụ 2.5: Giải phương trình: 7  4 3



x



3 2 3



x

20

Áp dụng dạng toán 2: Bởi vì ta thấy ở phương trình này, các hạng tử có số mũ giống nhau và cơ số khác nhau, trong đó ta có thể nhận thấy khi biến đổi cơ số thì được tích hai cơ số bằng 1.

Lời giải:



 



2



Nhận xét 7  4 3  2  3 ; 2  3 . 2  3  1





x



Do đó: Đặt t  2  3 , t  0  2  3 Khi đó phương trình tương đương với: 1 t 2  3  2  0  t 3  2t  3  0 t

57



x





1 và 7  4 3 t



x

 t2

t 1    t  1  t 2  t  3  0   2 ta thấy  t  t  3  0

t

2

 t  3  0 vô

nghiệm.



Với t  1  2  3



x

1 x  0

Vậy nghiệm của phương trình là: t  1 Nhận xét: Như vậy trong ví dụ trên bằng việc đánh giá:



74 3  2 3



2







và 2  3 2  3  1



Ta đã lựa chọn được ẩn phụ t  2  3



x

cho phương trình

Ví dụ tiếp theo sẽ đưa ra việc lựa chọn ẩn thông qua đánh giá mở rộng a b của a.b  1 đó là: a.b  c  .  1 tức là với các phương trình có dạng: c c

A.a x  B.b x  c x  0

Khi đó ta thực hiện phép chia cả 2 vế của phương trình cho c x  0 , để x

x

x

a b a nhận được: A.   B.   1  0 từ đó thiết lập ẩn phụ t    , t  0 suy c c c x

b 1 ra    c t Ví dụ 2.6. Giải phương trình: 22 x

2

1

 9.2 x

2

x

 22 x  2  0

Ta nhận thấy rằng cơ số của các hạng tử chứa ẩn là giống nhau và các hạng tử đều khác 0, do đó ta sử dụng dạng toán 3 chia cả 2 vế của phương trình cho hạng tử khác 0 đó.

Lời giải: Chia cả 2 vế của phương trình cho 22 x2  0 ta được: 22 x

2

12 x 2

 9.2 x

2

 x 2 x 2

 1  0  22 x

2

2 x 1

 9.2 x

2

 x 2

1  0

2 2 2 x2  x  1 2 1  22 x 2 x  9.2 x  x  1  0  2.2  9.2x x  4  0 2 4

58

Đặt t  2 x

2

x

, t  0 , khi đó phương trình tương đương với:

t  4 2 2t  9t  4  0   1 khi đó thay t  2 x  x ta được: t   2 2

 2x x  4  x2  x  2  x  1    2   2  2 x  x  21  x  x  1  x  2 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm x  1, x  2 .

Chú ý: Trong ví dụ trên, vì bài toán không có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ chỉ là t  0 và chúng ta đã thấy với t 

1 vô nghiệm. Do 2

vậy nếu bài toán có chứa tham số chúng ta cần xác định điều kiện đúng cho ẩn phụ như sau: 2

1 1 1 1 1  x2  x 4 x  xx    2  2  t  24 2 4 4   2





Ví dụ 2.7: 1  1  22 x  1  2 1  22 x .2 x Lời giải: Điều kiện 1  22 x  0  22 x  1  x  0   Như 0  2 x  1, đặt 2 x  sin t , t   0;   2

Khi đó phương trình có dạng:



1  1  sin 2 t  sin t 1  2 1  sin 2 t



 1  cos t  1  2cos t  sin t t t 3t t  2.cos  sin t  sin 2t  2.cos  2sin cos 2 2 2 2 t 3t   2 cos 1  2.sin   0 2 2

59

t     x 1  cos 2  0(1) t  6 2   x  1    2  x 2  3t  x0 t   2 1  sin    2 2 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x  1; x  0 * Phương trình logarit Tương tự như bài toán giải phương trình mũ, thì giải phương trình logarit cũng có những cách nhận biết để sử dụng dạng toán nào thì đúng. Đối với phương trình logarit có cùng các hạng tử logarit và khác nhau về lũy thừa, ta sẽ áp dụng dạng toán 1: Đặt một ẩn và biểu diễn các ẩn còn lại theo ẩn đã đặt, thông thường ta sẽ chọn ẩn có số mũ nhỏ nhất là ẩn phụ.

Dạng 1: Nếu đặt t  log a x, x  0 thì log a k x  t k ;log a x 

1 với 0  x  1 t

Nhiều bài toán trong đó các hạng tử có mũ là biểu thức logarit chứa ẩn, khi đó ta nên đặt mũ của các hạng tử là ẩn phụ.

Dạng 2: Ta biết rằng: alogb c  cloga b do đó nếu đặt t  alogb x thì t  xlogb a .

Tuy nhiên nhiều bài toán có chứa alogb x , ta thường đặt ẩn phụ với t  logb x Ví dụ 2.8: Giải phương trình: log 2  5x  1.log 4  2.5x  2   1 Ta áp dụng dạng toán 1 vì có thể biến đổi về cùng một ẩn là hàm logarit.

Lời giải: Biến đổi phương trình về dạng:

1 log 2  5x  1.log 2 2. 5x  1  1  log 2  5x  1 1  log 2  5x  1  2 2 Điều kiện: 5x  1  0  5x  1  x  0 Đặt t  log2 5x  1 , khi đó phương trình có dạng: t 1  t   2

 t 1 t 1  t   2  t 2  t  2  0   t  2

60

 log 2  5x  1  1  5x  1  2    log 2  5x  1  2 5x  1  22 

 5x  3  x  log5 3  x 5 5 5   x  log5   4 4 Vậy nghiệm của phương trình là: x  log5 3; x  log5

5 4

Hướng 2: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng này, là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn chứa x.

Dấu hiệu: Phương pháp này thường sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp.

Khi đó thường ta được một phương trình bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số  là một số chính phương.

Ví dụ 2.9: Giải phương trình: 32 x   2x  9.3x  9.2x  0 Lời giải: Đặt t  3x , t  0 . Khi đó phương trình tương đương với:

t 2   2x  9 .t  9.2 x  0 Ta có    2 x  9   4.9.2 x   2 x  9  2

2

 t1  9; t2  2 x

Khi đó: + Với t1  9  3x  9  x  2 x

3 + Với t2  2  3  2     1  x  0 2 x

x

x

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  0; x  2

61

Ví dụ 2.10: Giải phương trình: log 2 x  log x.log 2  4 x   2log 2 x  0 Lời giải: Điều kiện x  0 .

Biến đổi phương trình về dạng: log 2 x  log x.log 2  4 x   2log 2 x  0 Đặt t  log x , khi đó phương trình tương đương với:

t 2   2  log2 x  log x  2log2 x  0 Ta có:    2  log2 x   8log2 x   2  log 2 x  2

2

Suy ra ta có   log x  2 t  2 log x  2  x  100     log x t  log 2 x log x  log x  0  x 1  log 2  

Vậy phương trình có 2 nghiệm x  100; x  1 Hướng 3: Phương pháp dùng ẩn phụ hướng 3 sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong phương trình và khéo léo biến đổi phương trình thành phương trình tích.

Dấu hiệu nhận biết đối với hướng giải này, thường các bài toán sẽ có cùng cơ số, và số mũ khác nhau. Khi đó, ta đặt 2 ẩn và đưa chúng về phương trình tích.

Ví dụ 2.11 : Giải phương trình 4x

2

3 x  2

 4x

2

 6 x 5

 42 x

3 x  7

2

1

Lời giải: Viết lại phương trình dưới dạng: 4x

2

3 x  2

 4x

2

 6 x 5

 4x

2

3 x  2

.4 x

2

 6 x 5

1

u  4 x 3 x  2 , u, v  0 Đặt:  x 2  6 x 5 v  4  2

Khi đó phương trình tương đương với: u  v  u.v  1   u  11  v   0

62

    x 1 2    u  1  4 x 3 x  2  1  x 2  3 x  2  0  x  2       v  1  4 x2 6 x5  1  x 2  6 x  5  0  x  1        x  5  Vậy phương trình có 4 nghiệm: x  5; x  1; x  1; x  2 Ví dụ 2.12 : Giải phương trình: 2 log 2  x  x  1   log 2 x.log 2  x 2  x   2  0  

Lời giải:  x( x  1) 2  0  x0  x 1 Điều kiện:  2  x x0 

Biến đổi phương trình về dạng:

log 2

x

2

 x x

2

 log 2 x.log 2  x 2  x   2  0

 2.log2  x2  x   log2 x.log2  x2  x   0 u  log 2  x 2  x  Đặt:  khi đó phương trình tương đương với:  v  log 2 x

u  1 2u  v  u.v  2  0   u  1. v  2   0   v  2  x  1( L) log 2  x 2  x   1  x 2  x  2  0     x2  x4  log 2 x  2   x  4

Vậy phương trình có hai nghiệm x  2; x  4 Hướng 4: Phương pháp này sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình với k ẩn phụ.

Trong hệ mới thì k  1 phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng.

63

Dấu hiệu: Bài toán dạng này thường có sử dụng sự liên hệ về phép toán giữa các ẩn phụ, khi ta đặt k ẩn thì ta cũng sẽ suy ra được k phương trình kéo theo.

Trường hợp đặc biệt là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x , khi đó ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu tượng trong phương trình. + Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng: f  x, g ( x)   0 + Bước 3: Đặt y  g ( x) ta biến đổi phương trình thành hệ:

 y  g ( x)   f  x; y   0 Ví dụ 2.13 : Giải phương trình:

2x 18  x1 1 x x 1 x 2 1 2  2 2  2  2 8



Lời giải: Viết lại phương trình như sau:

8 2

x 1



1 2

1 x 1

1



2

x 1

18  21 x  2

u  2 x1  1 Đặt:  , u, v  1 1 x v  2  1 Nhận xét rằng: u.v   2x1  1. 21 x  1  2x1  21 x  2  u  v Phương trình tương đương với hệ phương trình là: 8 1 18   uv2    u  18v  18   u v u  v   9 u  9; v  u v u . v    u  v  u.v  8   

+ Với u  v  2 , ta được:

2 x1  1  2  x 1  1 x 2  1  2 

64

u  9  + Với  9 , ta được: v  8

 2 x1  1  9   1 x 9x4 2  1   8  Vậy phương trình có hai nghiệm: x  1; x  4 Ví dụ 2.14 : Giải phương trình:

log22 x  log2 x  1  1 (1) Lời giải: Đặt u  log 2 x . Khi đó phương trình thành: u 2  u  1  1 (2)

 u 1 0 Điều kiện:   1  u  1 2 1  u  0  Đặt v  u  1,0  v  2  v 2  u  1 Khi đó phương trình được chuyển thành hệ phương trình:

u 2  1  v  u 2  v2   u  v   2 v  1  v

 uv0   u  v  u  v  1  0   u  v  1  0 Khi đó: + Với v  u. Ta được:

 1 5 1 5  u 1 5 2 2 u  u 1  0    log 2 x  x2 2 2  1 5 (L) u   2 + Với u  v  1  0 . Ta được:

65

 x 1 u0  log 2 x  0  u u 0    1 x  log x   1 u   1  2   2 2

Vậy phương trình có 3 nghiệm. + Giải bất phương trình mũ, bất phương trình logarit bằng phương pháp logarit hóa, mũ hóa và đưa về cùng cơ số.

Có thể nói, phương pháp mũ hóa, logarit hóa là phương pháp nhận thấy sự tinh tế của người học trong quá trình giải toán. Nhờ phương pháp này, một số bài toán phức tạp đã được giải quyết một cách nhanh chóng. Để chuyển ẩn số khỏi số mũ lũy thừa người ta có thể logarit hóa theo cùng một cơ số cả hai vế của bất phương trình mũ. Cần lưu ý một số trường hợp cơ bản sau cho các bất phương trình: *Bất phương trình mũ: Khi hạng tử chứa ẩn không cùng cơ số vậy ta không thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ được, ta chỉ có thể làm thế nào để hạ bậc lũy thừa chứa ẩn.

Với bất phương trình: a f ( x )  b g ( x )  log a f ( x )  log b g ( x )  f ( x).log a  g ( x).log b

hoặc có thể sử dụng logarit theo cơ số a hay b .

Ví dụ 2.15: Giải bất phương trình 49.2 x  16.7 x 2

Lời giải: Biến đổi tương đương phương trình về dạng: 2 x

2

4

 7 x 2

Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được:

 log2 2x 4  log2 7 x2  x2  4   x  2.log2 7 2

 f ( x)  x 2  x.log 2 7  2.log 2 7  4  0

Ta có:   log22 7  8.log2 7  16   log2 7  4   4  log2 7  2

2

Suy ra f ( x)  0 có nghiệm: x1 

log 2 7   4  log 2 7  log 2 7   4  log 2 7   2 ; x2   log 2 7  2  x1 2 2

66

Vậy bất phương trình có nghiệm: x  2 hoặc x  log 2 7  2 *Bất phương trình logarit: Ta đã biết hàm logarit có tính chất: a loga b  b(a, b  0; a  1) . Khi đó để triệt tiêu hàm logarit ta sử dụng phương

pháp mũ hóa.

- Dạng 1: log a f ( x)  g ( x) + Nếu 0  a  1. Khi đó mũ hóa 2 vế của bất phương trình theo cơ số a, ta được: log a f ( x)  g ( x)  a loga f ( x )  a g ( x )  f ( x)  a g ( x )

+ Nếu a  1. Khi đó mũ hóa ta được: log a f ( x)  g ( x)  a loga f ( x )  a g ( x )  0  f ( x)  a g ( x )

- Dạng 2: log a f ( x)  g ( x) + Nếu 0  a  1. Khi đó mũ hóa 2 vế của bất phương trình theo cơ số a, ta được: log a f ( x)  g ( x)  a loga f ( x )  a g ( x )  0  f ( x)  a g ( x ) + Nếu a  1. Khi đó mũ hóa ta được: log a f ( x)  g ( x)  a loga f ( x )  a g ( x )  f ( x)  a g ( x )

Ví dụ 2.16: Giải bất phương trình sau:

log2  4x  3   x  2 Lời giải: Vì 2 > 1 nên ta lấy mũ hóa với cơ số là 2. Khi đó, ta được: 2



log 2 4 x 3



 2 x2   4 x  3  2 x.22

 22 x  4.2x  3  0   2x  3 2x  1  0  2 x  3  x  log 2 3  x  2  1  x0  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:  ;0    log 2 3;  

67

2.2.3. Biện pháp 3: Tạo cơ hội để học sinh tiếp xúc với những bài toán chứa sai lầm từ đó kích thích phát triển năng lực giải quyết vấn đề của học sinh a) Mục đích của biện pháp Trong chương trình Toán phổ thông, nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit chứa nhiều công thức, quy tắc nên HS dễ gây nhầm lẫn trong quá trình giải toán. Chính vì sự dễ nhầm lẫn đó mà việc giúp HS phát hiện và sửa chữa những sai lầm trong quá trình giải toán là một việc rất quan trọng của GV trong quá trình giảng dạy nội dung này. Tư tưởng này hoàn toàn phù hợp với quan điểm của J.Piaget: “Chỉ có sự hoạt động được GV thường xuyên định hướng và khích lệ, nhưng vẫn luôn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đưa đến sự độc lập về mặt trí tuệ”[11]. Nhờ việc này giúp HS hiểu sâu hơn kiến thức cũng như hạn chế được các sai lầm thường gặp trong quá trình giải toán.

Biện pháp này nhằm giúp HS thấy được những sai lầm thường mắc phải khi giải toán, nguyên nhân các sai lầm đó từ đó hạn chế và khắc phục những sai lầm mà HS thường xuyên mắc phải trong giải dạng toán về Hàm số Mũ, Hàm số Logarit.

Cho HS làm quen với các bài toán chứa sai lầm là một cách tốt nhất để HS rèn luyện được khả năng tự kiểm tra đánh giá mức độ tiếp thu những kiến thức đã được học. Bên cạnh đó, HS sẽ được trau dồi thêm khả năng nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết phát triển được nhiều năng lực cần thiết tác động, mặt khác còn tác động đến thành tố thứ hai đó là lựa chọn, đề xuất được cách thức và giải pháp GQVĐ. Tự học, tự đánh giá, tự tìm hiểu và GQVĐ sẽ giúp HS chủ động hơn, độc lập, linh hoạt hơn. Không những vậy, HS còn khắc sâu hơn nội dung kiến thức và hạn chế được những sai lầm đáng tiếc. b) Nội dung và cách tiến hành Hoạt động sửa chữa sai lầm cho HS là hoạt động quan trọng, G.Polya cho rằng: “Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình”. Khi HS

68

được yêu cầu tìm sai lầm trong một lời giải do thầy đưa ra thì tức là tình huống bao hàm một vấn đề, vì tất nhiên là không có thuật giải chung nào để phát hiện sai lầm. Tình huống này gợi nhu cầu GQVĐ cho HS vì bản thân HS cũng rất muốn tìm ra sai lầm của lời giải, không thể chấp nhận một lời giải sai. Việc cho HS tiếp cận với các bài toán có chứa sai lầm cũng là một trong những cách giúp HS huy động được những kiến thức mà mình đã được học, những kĩ năng sẵn có của bản thân để hoàn thành yêu cầu của thầy cô giáo.

Sau khi phát hiện thấy một sai lầm khi giải một bài toán nào đó, HS đứng trước một nhiệm vụ nhận thức đó là tìm ra nguyên nhân và sửa chữa sai lầm. c) Ví dụ minh họa Ví dụ 2.18: Tính đạo hàm của hàm số y  (2 x  1) x Một HS trình bày như sau: Ta có: y '  x(2 x  1) x1 (2 x  1)'  2 x(2 x  1) x1 GV: Theo em, bài toán trên đúng hay sai? Bài toán trên đã sai ở đâu?

HS: Bài toán trên đã làm sai ở phần tính đạo hàm.

GV: Nếu sai thì nguyên nhân sai lầm là gì?

HS: Nguyên nhân sai lầm: Lời giải trên đã vận dụng công thức: (u )'   u 1u ' . Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số

mũ  là một hằng số.

- GV: Các em hay mắc sai lầm ở dạng này là áp dụng sai công thức (u )'   u 1u ' ,   , nhưng quên rằng nếu như  không nguyên thì công

thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.

- GV: Nếu đã tìm ra nguyên nhân sai lầm, theo em sửa bài toán trên bằng cách nào?

Biện pháp khắc phục: -Yêu cầu HS nghiên cứu kĩ lại công thức:

69

+ Công thức (u )'   u 1u ' chỉ dùng khi và chỉ khi  là hằng số và

u  u ( x) + Chú ý công thức (a x )'  a x ln a và công thức (a u )'  au .ln a.u ' , hai công thức này về bản chất giống nhau, tuy nhiên nên ghi chú cho HS hàm sơ cấp và đâu là hàm hợp để HS có thể vận dụng một cách nhanh chóng, tránh dài dòng sai lầm.

Lời giải đúng:

1 Điều kiện: x   , x  0 (khi đó y > 0) 2 x Từ y  (2 x  1) x  y '   2 x  1   

'

 y '   2 x  1 .ln  2 x  1 x

HS phải nắm được đầy đủ các công thức tính đạo hàm của các hàm số y  a x ; y  log a x ; y  x a ; y  n x và đạo hàm của các hàm số hợp của các

hàm số này.

GV: Chú ý cần phân biệt cho HS hai công thức dễ mắc sai lầm: (a x )'  a x .ln a và (x )'   .x 1 vì HS hay hiểu và sử dụng sai như:

(2 x )'  x.2 x1

Ví dụ 2.19: Tìm tập xác định của hàm số sau:



y  f ( x)  x 2  4 x  3.log 2 25  4 x 2



Một số HS trình bày lời giải như sau: Hàm số y  f ( x) xác định  x 2  4 x  3  0  x 2  x  3x  3  0  x. x  1  3. x  1  0   x  1 . x  3  0

 x 1  x  3 Vậy tập xác định của hàm số y  f ( x) là: D   ;1   3;  

70

- GV: Theo các bạn, bài toán trên đúng hay sai. Nếu sai thì sai ở đâu?

- HS: Bài toán trên đã sai vì chưa xét hết điều kiện để hàm số xác định.

- GV: Nguyên nhân dẫn đến sai lầm của bài toán là gì?

- HS: Nguyên nhân sai lầm:Vì khi nhắc đến điều kiện xác định nhiều HS chỉ nghĩ đến điều kiện để tồn tại căn thức mà không xét hết đến điều kiện của Hàm số Logarit có nghĩa.

- GV: Đã phát hiện ra nguyên nhân sai lầm, vậy biện pháp khắc phục cho bài toán này là gì?

- HS: Biện pháp khắc phục: Yêu cầu HS bổ sung thêm điều kiện để hàm số có nghĩa, chú ý cho HS xét đúng và đủ các điều kiện, hàm số log a b xác định khi a, b là số dương và a  1.

Lời giải đúng là:



Xét hàm số y  f ( x)  x 2  4 x  3.log 2 25  4 x 2



 x 2  4 x  3  0   x  1 . x  3  0 Hàm số xác định    2  25  4 x  0  5  2 x  . 5  2 x   0

  x 1    x  3     x  5 2   5  x  2  

5  x   2   x3

5   Vậy tập xác định của hàm số y  f (x) là: D   ;    3;   2  

GV: Lưu ý cho HS cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn, cách lấy hợp và giao của các tập nghiệm, nhiều HS vẫn còn rất lúng túng trong phần này.

Ví dụ 2.20: Giải phương trình: log 3 x 2  2.log 3  3 x  4  (*) Một số HS trình bày lời giải như sau:

71

 x0  x0   Điều kiện:  4 3x  4  0  x  3

Ta có (*)  2log 3 x  2log 3  3 x  4  (**)  log 3 x  log 3  3x  4 

 x  3x  4  x  2 So sánh với điều kiện, x  2 không thỏa mãn nên phương trình vô nghiệm.

- GV: Theo các bạn, bài toán trên đúng hay sai. Nếu sai thì sai ở đâu?

- HS: Bài toán trên đã sai vì biến đổi phương trình (*) về phương trình (**) thì điều kiện xác định của hai phương trình là khác nhau.

- GV: Nguyên nhân dẫn đến sai lầm của bài toán là gì?

- HS: Nguyên nhân sai lầm: Vì HS quên quy tắc biến đổi với số mũ dương: log a b   .log a | b | với a, b  0; a  1.

- GV: Đã phát hiện ra nguyên nhân sai lầm, vậy biện pháp khắc phục cho bài toán này là gì?

- HS: Biện pháp khắc phục: Khi biến đổi với số mũ dương thì cần phải có dấu giá trị tuyệt đối sau đó đi giải phương trình tương đương theo dấu giá trị tuyệt đối đó.  x0  x0   Lời giải đúng là: Điều kiện:  4 3x  4  0  x  3

Viết lại phương trình dưới dạng: 2log3 | x | 2log 3  3x  4  (**)  log 3 | x | log 3  3 x  4 

 3x  4  x  x  2  x  3x  4    3x  4   x  x  1 So sánh với điều kiện, phương trình có nghiệm x  1

72

GV: Lưu ý với HS điều kiện khi biến đổi các công thức logarit của một lũy thừa, định lý đổi cơ số…

2.2.4. Biện pháp 4: Giúp học sinh thấy được vai trò và ứng dụng của Hàm số Mũ, Hàm số Logarit trong các bài toán thực tế liên môn nhằm tạo hứng thú cho người học trong quá trình dạy học chủ đề này a) Mục đích của biện pháp Mỗi nội dung kiến thức toán học đều có ứng dụng để giải các bài toán thực tế. Quan trọng là phải khai thác được những hoạt động trong mỗi nội dung cụ thể để thực hiện nhiệm vụ dạy học.

Nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit có thể được đánh giá khá trừu tượng nhưng chúng ta lại không thể phủ nhận ứng dụng của chủ đề này trong các bài toán thực tế. Do đó, để tạo hứng thú cho người học thì GV cần tạo cơ hội cho HS tiếp cận các bài toán thực tế. Trong chương 1 Cơ sở lý luận cũng đã trình bày đến định hướng khai thác các bài toán thực tiễn liên môn nhằm tăng cường năng lực GQVĐ cụ thể là thành tố sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích. b) Nội dung và cách thực hiện biện pháp Từ những tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng, kiến thức đã học con người sử dụng để giải quyết những nhu cầu mới hơn, cao hơn nhằm giải quyết một số bài toán thực tiễn với mục đích cao nhất là chinh phục thế giới từ đó hình thành năng lực GQVĐ của cá nhân. Như vậy, có thể coi bài toán thực tế là cơ sở, là khởi nguồn để hình thành năng lực GQVĐ. Những bài toán thực tế chính là động cơ, là nhu cầu thiết thực để HS tìm ra những giải pháp giải quyết trên cơ sở kiến thức, kĩ năng vốn có của mình. Thông qua các bài toán thực tế, có thể khơi gợi sự hứng thú của HS trong quá trình học tập, khơi gợi sự tò mò, trải nghiệm, khám phá tìm hiểu thế giới xung quanh. Từ sự chủ động dung nạp kiến thức, sẽ tự kiến tạo được kiến thức, do đó kiến thức mang tính bền vững là điều kiện hình thành năng lực cho mình giúp HS thấy được vai trò và ứng dụng thực tiễn của

73

Hàm số Mũ, Hàm số Logarit nhằm tạo sự hứng thú, cũng như phát triển được nhiều năng lực thành tố trong đó có năng lực GQVĐ của HS. Cách thực hiện biện pháp này như sau: - Đưa ra các dạng toán thực tế liên môn.

- Xây dựng cho HS các công thức có thể sử dụng trong dạng toán đó.

- Cho HS tiếp xúc với các dạng toán cụ thể.

- Hướng dẫn phân tích bài toán.

- Đưa ra phương pháp và lời giải bài toán. c) Ví dụ minh họa Dạng 1: Bài toán thuộc lĩnh vực kinh tế Ví dụ 2.21: Hãy tưởng tượng nếu cầm một khoản tiền 10.000.000 đồng đến gửi ngân hàng, sau mỗi tháng ta sẽ nhận được 0,5% của số tiền vốn 10.000.000 đồng đó.

- Xây dựng công thức cho dạng toán này: Quá trình tích vốn và sinh lãi có thể quan sát trong bảng sau: Tháng

Tổng số vốn (đồng)

Tổng lãi (nếu không rút)(đồng)

1

10.000.000

0,5%.10.000.000 = 50.000

2

10.000.000

50.000 + 0,5%.10.000.000 = 100.000

3

10.000.000

100.000 + 0,5%.10.000.000= 150.000

Ta quan sát thấy rõ ràng trong suốt quá trình trên tiền lãi ta có thêm hàng tháng là một hằng số, ngoài ra tiền vốn từ đầu đến cuối không hề thay đổi.

Nếu ta xét bài toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng số vốn gốc ban đầu là P0 với mong muốn đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi đơn trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính tổng

74

giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. Chú ý, đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày. Ta theo dõi bảng thống kê sau: Ở cuối kì

Vốn gốc

Tiền lãi

Tổng vốn và lãi cộng dồn ở cuối kì

1

P0

P0 .r

P0  P0 .r  P0 (r  1)

2

P0

P0 .r

P0  P0 .r  P0 .r  P0 (2r  1)

3

P0

P0 .r

P0  P0 .r  2P0 .r  P0 (3r  1)

4

P0

P0 .r

P0  P0 .r  3P0 .r  P0 (4r  1)

…

N

….

P0

P0  P0 .r  (n  1) P0 .r  P0 (nr  1)

P0 .r

Do đó, ta có thể tóm tắt lại công thức tính tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì như sau: Pn  P0 (1  nr ) (1)

Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì

P0 là vốn gốc

r là lãi suất mỗi kì Đó là lãi đơn, còn đối với bài toán lãi kép, các khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động đầu tư mỗi kì được tính gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lãi trong suốt thời gian đầu tư. Bài toán tổng quát như sau: Nếu ta đưa vào sử dụng số vốn ban đầu là P0 với mong muốn đạt lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi kép trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính Pn tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. Chú ý, đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày.

- Ở cuối kì thứ nhất ta có: + Tiền lãi nhận được: P0 .r + Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ nhất:

75

P1  P0  P0r  P0 (1  r )

- Đo lãi nhập vào vốn đến cuối kì thứ hai ta có: + Tiền lãi nhận được: Pr 1 + Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ 2 là: 2 P2  P1  Pr 1  P1 ( r  1)  P0 (r  1)(r  1)  P0 (r  1)

- Một cách tổng quát thì sau n kì, tổng giá trị đạt được là Pn  P0 (1  r ) n (2)

Trong đó, Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì P0 là vốn gốc

r là lãi suất mỗi kì Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là: Pn  P0 Ví dụ 2.22: Anh N gửi ngân hàng 10 triệu đồng theo hình thức lãi kép. a) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm người đó thu được số tiền là bao nhiêu? b) Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% một quý thì sau 2 năm người đó thu được số tiền là bao nhiêu?

Hướng dẫn phân tích bài toán - GV: Sau khi đọc đề bài, bạn nào có thể xác định tiền lãi thu được thuộc hình thức nào? (Lãi đơn hay lãi kép). Vì sao?

- HS: Bài toán trên là bài toán lãi kép. Vì các khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động đầu tư mỗi kì được tính gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lãi trong suốt thời gian đầu tư.

- GV: Vậy nếu là bài toán lãi kép, thì sẽ áp dụng công thức nào? Xác định các thành phần đã có trong bài toán, bài toán yêu cầu chúng ta tính cái gì?

- HS: Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền anh N rút ra được từ ngân hàng sau 2 năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức: Pn  P0 (1  r ) n (2).

76

- GV: Muốn tìm được lãi suất trước hết ta phải xác định rõ các yếu tố nào?

- HS: Ta phải xác định rõ: P0  ...; r  ...; n  ... ?, từ đó thay vào công thức (2) tìm được Pn Hướng dẫn giải a) Ta có P0  10000000 đồng, n  2 năm, lãi suất trong một năm là

r  7,56% một năm. Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là: P2  10000000(1  7,56%)2  11569000 đồng b) Ta có: P0  10000000 đồng, n  2 năm = 8 quý, lãi suất trong 1 quý là r  1,65% một quý. Áp dụng công thức (2), ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là: P2  10000000(1  1,65%)8  11399000 đồng.

Lưu ý: Qua bài toán này cần chú ý cho HS: - Thứ nhất, khi tính toán các yếu tố trong bài toán gửi tiền vào ngân hàng này các em cần lưu ý dữ kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào: lãi đơn hay lãi kép... để từ đó xác định đúng công thức tính toán cho từng trường hợp.

- Thứ hai, nếu lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức (2). Đây là một trong những bài toán rất phổ biến về tính lãi suất, tuy nhiên nhiều HS chưa thực sự biết cách tính lãi suất, chưa biết áp dụng công thức gì và tại sao lại áp dụng công thức đó để tính. Thậm chí khi học môn Công nghệ 12 yêu cầu HS tính tiền lãi suất phải trả góp mua bán xe nhiều HS không thể hoàn thành được bài toán này.

Ví dụ 2.23: Chị B gửi tiết kiệm 500.000.000 đồng vào ngân hàng A theo kì hạn 3 tháng và lãi suất 0,62% một tháng theo hình thức lãi kép.

77

a) Hỏi sau 5 năm chị B nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó. b) Nếu với số tiền trên chị gửi tiết kiệm theo mức kì hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng thì 5 năm chị B nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó.

Hướng dẫn giải a) - GV: Để tính số tiền chị B nhận về được sau 5 năm vậy bài toán này có thể áp dụng công thức lãi suất nào để tính và công thức tính là gì?

- HS: Bài toán này sử dụng hình thức lãi kép. Công thức số (2): Pn  P0 (1  r ) n

- GV: Muốn tính được số tiền trước hết ta phải xác định được các yếu tố liên quan trong bài, vậy đề bài cho chúng ta biết những yếu tố nào?

- HS: Từ đề bài chúng ta có thể tìm ra kì hạn, lãi suất mỗi kì hạn, số tiền ban đầu.

- GV: Thời gian gửi là 5 năm và mỗi kì hạn là 3 tháng do đó có bao nhiêu kì hạn và lãi suất mỗi kì hạn là bao nhiêu?

- HS: Do mỗi kì hạn là 3 tháng nên 5 năm ta có n  20 kì hạn. Lãi suất mỗi kì hạn là r  3.0,62%  1,86% - GV: Khi đó ta thay vào công thức vậy số tiền chị B nhận được sau 5 năm là?

- HS: Áp dụng công thức (2) sau 5 năm chị B nhận được số tiền là: Pn  500000000(1  1,86%)20  722842104 đồng

b) - GV: Bài toán này tương tự như phần (a). Đề bài chỉ thay đổi yếu tố nào?

- HS: Đề bài thay đổi kì hạn từ 3 lên 6 tháng, khi đó số kì hạn và lãi suất mỗi kì hạn là hay đổi. + Do mỗi kì hạn là 6 tháng nên 5 năm có n  10 kì hạn. + Lãi suất mỗi kì hạn là r  6.0,65%  3,9% 78

+ Số tiền nhận được là: Pn  500000000(1  3,9%)10  733036297,4 đồng.

Hình thức lãi suất vẫn là lãi kép, tuy nhiên bài toán này chị B lại không rút lãi ở các kì hạn trước.

Ví dụ 2.24: Một người gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)?

Phân tích bài toán - GV: Ta xác định giả thiết đề bài cho biết những yếu tố nào?

- HS: Số tiền ban đầu P0  60000000 đồng, theo hình thức lãi kép với lãi suất r  7,56% một năm và giá trị đạt được sau n năm gửi là 280.000.000 đồng. + Để tìm thời gian gửi trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2) Hướng dẫn giải - Ta có Pn  120.000.000 đồng, P0  60.000.000 đồng, r  7,56% một năm.

- Áp dụng công thức (2): sau n năm gửi, người gửi thu được tổng số tiền là: Pn  P0 (1  r ) n  (1  r ) n 

 n  log17,56%

Pn P  n  log1r n P0 P0

120.000.000  9,51 năm.

60.000.000

Vậy sau khoảng 10 năm người đo sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số vốn 60 triệu đồng ban đầu.

Phương pháp giải chung của dạng toán lãi suất như sau: - Trước hết phải xác định bài toán sẽ thuộc hình thức lãi suất nào, lãi đơn hay lãi kép để từ đó sử dụng công thức tính cho đúng.

- Xác định các yếu tố cần có: số tiền ban đầu, số kì hạn, lãi suất mỗi kì hạn...

- Áp dụng công thức để tính.

79

Dạng 2: Tăng trưởng mũ – Ứng dụng trong đời sống xã hội Như bài toán ở Dạng 1: Nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là P0 với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép thì sau n năm gửi số tiền thu

về cả vốn lẫn lãi sẽ là P0 (1  r ) n Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là

r r và số tiền thu được n năm là (hay sau nm kì) là: P0 (1  ) m.n m m

Hiến nhiên khi tăng số kì m trong một năm thì số tiền thu được sau n năm cũng tăng theo. Tuy nhiên như ta thấy sau đây, nó không thể tăng lên vô cực được.

Thế thức tính lãi khi m → +∞ gọi là thể thức lãi kép liên tục.

Như vậy với số vốn ban đầu là P0 với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép liên tục thì ta chứng minh được rằng sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: Pn  P0 .e n.r (3) Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục.

Ví dụ 2.25: Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% trên năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là?

- GV: Để xác định được số tiền thu về vậy trước hết ta cần xác định hình thức lãi suất của bài toán là hình thức nào?

- HS: Hình thức lãi kép liên tục.

- GV: Vậy trước hết cần xác định những yếu tố nào?

- HS: Cần xác định số tiền gửi ban đầu, số năm gửi, lãi suất gửi.

- GV: Bài toán này khác bài toán lãi suất kép như thế nào?

- HS: Khác nhau là ta có lãi suất gửi theo năm.

- GV: Vậy khi đó sẽ thu được số tiền sau 2 năm là bao nhiêu?

- HS: Sau 2 năm số tiền thu được là:

80

P2  1000000000.e2.8%  117,351087 triệu đồng.

Không chỉ toán học hay bài toán kinh tế, mà ứng dụng của Hàm số Mũ, Hàm số Logarit cũng được áp dụng để tìm hiểu hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giảm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng trường dân số, cũng được tính theo công thức (3).

Dạng 3: Bài toán về dân số.

Gọi: - P0 là dân số của năm lấy làm mốc tính.

- Pn là dân số sau n năm.

- r là tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng năm.

• Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau: - Công thức Pn  P0 .e n.r (3) dùng công thức tăng trưởng (suy giảm) mũ.

- Công thức Pn  P0 (1  r ) n (2) dùng công thức tính lãi kép.

Ví dụ 2.26: Năm 2001, dân số nước ta khoảng 78690000 người. Theo công thức tăng trưởng mũ, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm luôn là 1,7% thì ước tính dân số Việt Nam năm sau sẽ là 78690000.e0,017.r  7,869.e0,017.r (chục triệu người). Để phần nào thấy được mức độ tăng nhanh của dân số; ta xét hàm số f ( x)  7,869.e0,017.r • Đồ thị của hàm số y  f ( x) cho thấy khoảng 30 năm sau (tức là khoảng năm 2031), dân số nước ta sẽ vào khoảng 131 triệu người, tức là tăng gấp rưỡi. Chính vì vậy, các em hiểu bùng nổi dân số là khái niệm dùng rất phổ biến hiện nay, để thể hiện việc dân số tăng quá nhanh, có cơ cấu dân số trẻ, thời gian tăng gấp đôi rút ngắn. Những vấn đề đặt ra cho các nhà hoạch định chính sách như kế hoạch hóa dân số, việc làm, phân bố dân cư, nhập cư, di dân... sao cho hợp lí.

81

Ví dụ 2.27: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức Pn  P0 (1  r ) n , trong đó P0 là dân số của năm lấy làm mốc tính, Pn là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thế giới là không đổi trong giai đoạn 1990 - 2001. Biết rằng năm 1990 dân số thế giới là 5,30 tỉ người, năm 2000 dân số thế giới là 6,12 tỉ người. Tính dân số thế giới vào năm 2020? (Kết quả làm tròn đến hai chữ số) Hướng dẫn giải Phân tích: - GV: Đây là bài toán dân số, đề bài đã cho hình thức tính sự tăng dân số theo công thức nào?

- HS: Đề bài cho biết sự tăng dân số ước tính theo công thức Pn  P0 (1  r ) n .

- GV: Vậy ta sẽ cần xác định được các yếu tố nào?

- HS: Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau: P0  5,30; P10  6,12 .

- GV: Vậy đề bài yêu cầu ta tính gì?

- HS: Tính r = ? P30 =?

- GV: Trước hết ta cần xác định được tỉ lệ tăng giảm r? Vậy để tính được r ta có thể tính như thế nào?

- HS: Áp dụng công thức: Pn  P0 (1  r ) n Ta có:

P10  P0 (1  r )10  6,12  5,30.(1  r )10  1  r  10

6,12  r  1,45% 5,30

- HS: sau khi tính được r. Dân số thế giới vào năm 2020 là: P30  P0 (1  r )30  5,30.(1  1,45%)30  8,16 tỉ người

Dạng 4: Ứng dụng trong lĩnh vực khoa học – kĩ thuật.

Dạng 4.1: Đo dư chấn động đất

82

Việc xác định mức độ của một trận động đất là cần thiết vì nó nói lên được sức mạnh của việc Trái đất cựa mình và lường được thiệt hại do động đất gây ra. Mức độ tàn phá của một cuộc động đất phụ thuộc vào nhiều yếu tố: chấn tâm,chấn tiêu, chấn cấp.

Các trận động đất xảy ra trong lịch sử: Mỗi năm có hàng ngàn trận động đất xảy ra trên trái đất, tuy nhiên chỉ một ít trong số đó gây ra những thiệt hại nghiêm trọng. Mỗi trận động đất được đo theo cường độ, theo các quy mô từ nhỏ đến lớn. Một trận động đất có cường độ 6,0 độ Richter và cao hơn được xếp là động đất mạnh và có thể gây ra những thiệt hại nghiêm trọng, giống như trận động đất Christchurch ở New Zealand. Trận động đất mạnh nhất được ghi lại trong nhũng năm gần đây là trận động đất ở Sumatra vào năm 2004, với cường độ 9,3 độ Richter và gây ra sóng thần tàn phá châu Á. Những con số trên nhằm đo lường cường độ một trận động đất cũng như năng lượng mà nó phát ra. Những thông số dùng để phân chia và đo các trận động đất cũng rất khác nhau. Ví dụ, sự khác biệt về cường độ giữa một trận động đất mạnh 5 độ với trận động đất 6 độ là rất rõ rệt chứ không chỉ đơn thuần là như là sự khác biệt về một con số.

Trên thực tế, theo kết quả mà các nhà địa chấn học do những thảm họa thiên nhiên này, một trận động đất mạnh 6 độ sẽ sở hữu năng lượng nhiều hơn 32 lần so với một trận động đất 5 độ Richter. Điều đó có nghĩa là một khoảng cách từ 5 đến 7 độ có thể tương ứng với một trận động đất mạnh hơn gần 1.000 lần. Những trận động đất gây ra những phá hủy nghiêm trọng thường có cường độ 7,0 độ Richter và cao hơn. Trận động đất năm 2004 gây ra sóng thần tại châu Á là trận động đất lớn thứ 3 kể từ năm 1900, với cường độ 9,3 độ Richter.

Mỗi năm có khoảng 20 trận động đất lớn trên thế giới được ghi lại theo khảo sát của Cơ quan Theo dõi địa chấn của Mỹ. Trận động đất năm 2010 ở Haiti được đo lại với cường độ 7,0 độ Richter, và bởi tâm chấn rất gần với thủ đô Port-au-Price, nên gây ra thiệt hại rất nghiêm trọng, và khiến cho hơn 200.000

83

người chết. Số người chết ở Haiti trái ngược với số người chết trong trận động đất mạnh 8,8 độ Richter ở Chile vào tháng 2/2010, khi chỉ có gần 1.000 người chết. Bởi Chile là đất nước đã từng diễn ra những trận động đất mạnh trong lịch sử. Trận động đất lớn nhất được ghi lại tại đây diễn ra vào năm 1960, với cường độ 9,5 độ Richter, và gây ra sóng thần. Nhưng chỉ có khoảng 1.655 người đã chết - con số thương vong này là tương đối thấp, nhờ có những cảnh báo khiến mọi người chạy ra khỏi nhà của họ trước khi động đất điễn ra. Độ chấn động M của một địa chấn biên độ I được đo trong thang đo Richte xác định bởi công thức: M  ln

I hoặc M  logI logI0 , trong đó I0 là I0

biên độ của đao động bé hơn 1μm trên máy đo địa chấn, đặt cách tâm địa chấn 100 km. I0 được lấy làm chuẩn.

• Ở M = 3 độ Richte, địa chấn chỉ có ảnh hưởng trong một vùng diện tích nhỏ, ở 4 đến 5 độ Richte, địa chấn gây một thiệt hại nhỏ, ở 6 đến 8 độ Richte, địa chấn gây một số thiệt hại lớn, ở 9 độ Richte, địa chấn gây thiệt hại lớn cực lớn.

• Năng lượng giải tỏa E tại tâm địa chấn ở M độ Richte được xác định xấp xỉ bởi công thức log E  11,4  1,5M Ví dụ 2.28: Cường độ một trận động đất M Richte được cho bởi công thức M  log A  log A0 với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu?

Phân tích bài toán - GV: Để tính cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ ta sử dụng công thức đề bài cho M  log A  log A0 . Trong đó A0 là hằng số, vậy muốn tính M thì phải tính được biên độ A .

Hướng dẫn giải

84

- GV: Bài toán đã cho biết công thức để tính cường độ của trận động đất.

Vậy để tính được ta phải biết được biên độ A. Vậy làm sao để tính được A? - HS: Ta biết cường độ trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức M1  log A  log A0  8  log A  log A0 - GV: Đến đây ta chưa thể tính được cường độ vậy đề bài còn cho chúng ta biết điều gì?

- HS: Đề bài còn cho biết trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là: 4A, khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là: M 2  log(4 A)  log A0  M 2  log 4  log A  log A0

 M 2  log 4  8  8,6 độ Richte

• Qua bài toán này chúng ta thấy được những ứng dụng của hàm logarit trong các bài toán khoa học kĩ thuật, nhờ sử dụng công thức hàm logarit mà chúng ta tính được cường độ của một trận động đất.

Dạng 4.2: Đo cường độ âm thanh • Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB).

Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: L(db)  10log

I , trong đó I là cường độ của âm tại thời điểm đang xét (cường I0

độ của âm tức là năng lượng truyền đi bởi sóng âm trong một đơn vị thời gian và qua một đơn vị điện tích bề mặt vuông góc với phương sóng truyền (đơn vị đo là w / m2 ). I0 cường độ âm ở ngưỡng nghe ( I 0  1012 w / m 2 ) Trên đây là 1 số ứng dụng hay gặp qua đó thấy thêm được các ứng dụng khác của Hàm số Mũ, Hàm số Logarit.

Ví dụ 2.29: Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là đB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo 85

công thức: L(db)  10log

I , trong đó, I là cường độ của âm tại thời điểm đang I0

xét, I0 cường độ âm ở ngưỡng nghe ( I 0  1012 w / m 2 ). Một cuộc trò chuyện bình thường trong lớp học có mức cường độ âm trung bình là 68dB. Hãy tính cường độ âm tương ứng ra đơn vị w / m2 Phân tích bài toán - GV: Để tính được cường độ âm thanh I ta cần biết điều gì?

- HS: Ta cần xác định mức cường độ âm ở thời điểm xét, cường độ âm ở ngưỡng nghe.

- GV: Vậy đề bài đã cho biết những yếu tố nào và cần tính yếu tố nào?

- HS: Đề bài cho biết mức cường độ âm một cuộc nói chuyện trong lớp là L(dB) = 68dB yêu cầu ta tính cường độ âm I? - GV: Ở đây các em biết rằng cường độ âm ở ngưỡng nghe bình thường là I 0  1012 w / m 2 . Từ những phân tích trên ta chỉ cần áp dụng công thức: L(db)  10log

I I0

Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có L(db)  68db, I 0  1012 w / m 2 .Tính I. Áp dụng công thức ta có: L(db)  10.log 

I I I  68  10.log  log  6,8 I0 I0 I0

I I  106,8   6,3.106  I  6,3.106.1012  6,3.106 w / m2 I0 I0

Qua trên ta thấy, nhờ vào ứng dụng của hàm logarit ta đã tính được cường độ âm thanh một cách dễ dàng, qua đó có thể tính được ngưỡng nghe, ngưỡng đau, để biết được độ to của âm thanh khi nào là phù hợp, từ đó ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống ví dụ để lắp đặt hệ thống âm thanh của các

86

phòng karaoke cho phù hợp hay đưa ra các biện pháp để giảm thiểu sự khuếch tán âm thanh...

2.3. Kết luận chương 2 Với mục đích có thể hướng HS phát triển năng lực GQVĐ thông qua học nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit, trong chương 2 này chúng tôi xin đề ra 4 biện pháp” - Biện pháp 1: Trang bị tri thức phương pháp cho học sinh qua việc giải các dạng toán thuộc nội dung Hàm số Mũ, Hàm số Logarit - Biện pháp 2: Rèn luyện cho HS kỹ năng phân tích, tìm tòi lời giải cho bài toán Hàm số Mũ, Hàm số Logarit - Biện pháp 3: Tạo cơ hội để HS tiếp xúc với những bài toán chứa sai lầm từ đó kích thích phát triển năng lực tự GQVĐ của HS - Biện pháp 4: Giúp HS thấy được vai trò và ứng dụng của Hàm số Mũ, Hàm số Logarit trong các bài toán thực tế liên môn nhằm tạo hứng thú cho người học trong quá trình dạy học chủ đề này.

Với mỗi thành tố của năng lực GQVĐ chúng tôi đã xây dựng được các biện pháp tương ứng, đưa ra các ví dụ minh họa và hệ thống các phương pháp cách giải mỗi dạng bài tập. Để thực hiện các biện pháp khả thi và hiệu quả, GV cần phải chú trọng khai thác các năng lực chuyên biệt của HS nhằm bổ sung và phát triển năng lực GQVĐ.

87

PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 HÀM SỐ MŨ I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức: - Biết khái niệm và tính chất của hàm mũ.

- Biết công thức tính đạo hàm các Hàm số Mũ.

- Biết dạng đồ thị của hàm mũ.

2. Kĩ năng : - Biết vận dụng tính chất các hàm mũ, vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ.

- Biết vẽ đồ thị các Hàm số Mũ.

- Tính được đạo hàm các hàm số y = ex.

3. Thái độ : - Tích cực, hợp tác tham gia hoạt động học.

4. Năng lực đạt được : + Năng lực tự học, tự nghiên cứu: HS tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống. + Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm HS hợp tác thực hiện các hoạt động. + Năng lực GQVĐ: HS biết cách huy động các kiến thức đã học, các kiến thức liên môn để giải quyết các câu hỏi, các bài tập và tình huống trong giờ học. + Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: HS sử dụng máy tính, mạng internet, các phần mềm hỗ trợ học tập để xử lý các yêu cầu bài học. + Năng lực giao tiếp: HS tự tin giao tiếp, trao đổi vấn đề với các bạn và thầy cô. + Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. + Năng lực tính toán.

II. Thiết bị dạy học 1. GV: - SGK, thước thảng có chia khoảng, bảng phụ, phấn màu.

2. HS: - SGK, thước thẳng có chia khoảng.

III. CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: 1. Ổn định tổ chức lớp: (1’)kiểm tra sĩ số lớp 2. Bài mới: * ĐVĐ: Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Nội dung bài học

Hoạt động 1: Hoạt động khởi động (14') - GV:Sử dụng các hình HS thực hiện theo yêu ảnh cụ thể kèm theo cầu của GV câu hỏi đặt vấn đề?

Hoạt động 2: Hình thành kiến thức: Hàm số Mũ(14') Phương pháp tổ chức: Chia lớp thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm 2 bạn HS để giải quyết các bài toán(Có thể cho HS chuẩn bị trước ở nhà) - GV: Giới thiệu một

- HS

Nhóm 1:

số bài toán thực tế để

+ Một HS lên bảng

Bài toán 1: Ông A gửi số

dẫn dắt HS vào bài mới trình bày

tiền P triệu đồng vào một

+ GV hướng dẫn HS

+ HS làm theo hướng

ngân hàng với lãi suất

cách biểu diễn để tính

dẫn của GV trình bày

r/năm. Biết rằng nếu

số tiền lãi thông qua

vào vở.

không rút tiền ra khỏi

tiền vốn và lãi suất. Để

ngân hàng thì cứ sau mỗi

từ đó giới thiệu công

năm, số tiền lãi sẽ được

thức tính lãi kép.

nhập vào vốn ban đầu

+GV: Gợi ý công thức

(người ta gọi đó là lãi

kép). Sau n năm, số tiền

Pn  P.(1  r ) n

được lĩnh (còn gọi là vốn tích lũy) của ông A là Pn +GV: Sau thời gian 2’

Hãy điền vào bảng :

để chuẩn bị, yêu cầu

Nhóm 2:

các nhóm cử đại diện

Bài toán 2: Dân số Ninh

lên thuyết trình

Bình năm 2017 là A

+GV đánh giá chung

người và tỉ lệ tăng dân số

và giải thích các vấn đề

là i. Hỏi sau n năm thì

chưa được giải quyết.

+HS: các nhóm trình

Ninh Bình có bao nhiêu

+ Sản phẩm: Là 3 bài bày trước lớp, các tập của 3 nhóm và nắm nhóm khác qua việc

người, nếu tỉ lệ tăng dân

được các công thức có tìm hiểu trước phản biện và góp ý kiến. dạng hàm lũy thừa.

Nhóm 3:

- GV tổng hợp, nhận

gọi mo là khối lượng chất

xét và chốt kiến thức.

phóng xạ ban đầu (tại thời

Từ đó, hình thành khái

điểm t = 0), m(t) là khối

niệm

Mũ

lượng chất phóng xạ tại

+GV: Cho HS làm các

thời điểm t, T là chu kì

ví dụ nhận biết khái

bán rã (tức là khoảng thời

niệm:

gian để một nửa số

Hàm

số

số hàng năm không đổi ?

Bài toán 3: Trong vật lí,

nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác).

1.Hàm số mũ Định nghĩa: Cho số thực dương

a  1.

Hàm

số

y  a x được gọi là Hàm số

Mũ cơ số a.

VD1: Lấy ví dụ về Hàm số Mũ và chỉ ra cơ số a ?

(Cho hs lấy vd) VD2 (NB): Trong các hàm số sau, hàm số nào là Hàm số Mũ?

A. y = x3.

B. y = 3x.

C. y = xx .

D. y = (-2)x.

VD3 (NB): Trong các hàm số sau, hàm số nào là Hàm số Mũ? Cơ số là bao nhiêu?

A. y   3  .

B. y  5 3.

C. y = x-4.

D. y = 4-x.

x

x

Hoạt động 3: Đạo hàm của Hàm số Mũ (12') - GV giới thiệu HS

- HS thực hiện theo yêu 2. Đạo hàm của Hàm số

thừa nhận kết quả:

cầu của GV

lim t 0

thừa nhận kết quả:

et  1  1. và cho HS t

lim

lĩnh hội + Các nhóm trình bày trước lớp, các nhóm khác qua việc tìm hiểu trước phản biện và góp ý kiến. GV đánh giá chung và giải thích các vấn đề chưa được giải

Mũ

t 0

et  1  1. t

+ HS lắng nghe và ghi

Định lí 1. Hàm số y  e x

bài

có đạo hàm tại mọi x và

e   e . x

'

Định

x

lí

2.

y  a x (0  a  1)

hàm

tại

Hàm

số

có

đạo

mọi

và

a   a

quyết.

x

+ Sản phẩm: Là bài tập

'

x

ln a.

Nhóm 1: Hãy đưa ra công

của các nhóm

thức hàm hợp của hàm

- GV tổng hợp, nhận

y  ex ?

xét và chốt kiến thức

Tính đạo hàm của hàm y  e2 x 1 ?

Nhóm 2: Hãy đưa ra công thức hàm hợp của hàm y  ax ?

Tính đạo hàm của hàm y  2x

2

 x 1

Nhóm 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a/ y  e3x

b) y  8x x1.

2

Hoạt động 4: Khảo sát Hàm số Mũ (12') Em hãy nhắc lại các

3. Khảo sát Hàm số Mũ

bước khảo sát và vẽ đồ

y  a x (a  0, a  1)

thị hàm số y=f(x)?

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y  a x Tập xác định

 ;  

Đạo hàm

y'  a x.ln a

Chiều biến thiên

a  1 hàm số luôn đồng biến;

(0  a  1) .

0  a  1 hàm số luôn nghịch biến.

Tiệm cận

trục Ox là tiệm cận ngang.

Đồ thị

Đi qua các điểm (0;1) và (1;a), nằm phía trên trục hoành ( y  a x  0, x  )

4. Luyện tập - củng cố: (3’) Từ công thức Hàm số Mũ đã học, yêu cầu HS vận dụng để giải bài tập thực tế phần đặt vấn đề.

5. Hướng dẫn học bài ở nhà: (1’) IV. RÚT KINH NGHIỆM

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT (tiết 2) I.MỤC TIÊU 1. Kiến thức -Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ và phương trình logarit.

2. Kỹ năng -Giải được một số phương trình mũ và phương trình logarit đơn giản bằng các phương pháp đưa về cùng cơ số, logarit hoá, mũ hoá, đặt ẩn phụ, tính chất của hàm số.

3. Tư duy và thái độ -Biết quan sát và phán đoán chính xác.

-Nghiêm túc, hứng thú trong học tập.

4. Năng lực HS phát triển được các năng lực sau: + Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí + Năng lực tư duy, sáng tạo, tính toán, GQVĐ + Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Toán học II. THIẾT BỊ DẠY - HỌC 1.Chuẩn bị của GV : -Giáo án, tài liệu học tập.

2. Chuẩn bị của HS: -Kiến thức cũ.

III. TIẾN TRÌNH TỔ CHỨC DẠY - HỌC 1. Ổn định tổ chức lớp 2. Kiểm tra bài cũ Nhắc lại các phương pháp giải phương trĩnh mũ đã được học ở tiết trước.

3.Bài mới

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Nội dung

Hoạt động 1: Tìm hiểu cách giải một số phương trình mũ đơn giản 2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

c) Logarit hoá a f ( x)  a g ( x)

Lấy logarit hai vế với cơ số bất kì.

H5. Lấy logarit hai Đ5. vế theo cơ số nào ?

a) chọn cơ số 3

VD5: Giải các phương

b) chọn cơ số 2.

trình: a) 3x.2 x  1 2

b 2x

2

1

 2x

2

2

 Gv nêu định nghĩa

II.

phương trình logarit.

LOGARIT

 3x  3x 2

PHƯƠNG

2

1

TRÌNH

Phương trình logarit là H1. Cho VD phương Đ1. log 1 x  4 trình logarit?

2

log 4 x  2log 4 x  1  0 2

phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

1.Phương trình logarit cơ bản log a x  b  x  a b

 Hướng dẫn HS

nhận xét số giao điểm

Minh hoạ bằng đồ thị:

của 2 đồ thị.

Đường thẳng y = b luôn cắt

đồ

thị

hàm

số

y  log a x tại một điểm với

Đ2. a)

b  R. 4

x 3

b) x = –1; x = 2 b) x = –1; x = 9 H2.

Giải

phương

Phương trình log a x  b (a > 0, a  1) luôn có duy nhất một nghiệm x  ab .

trình?

VD1: Giải các phương trình: a) log3 x 

1 4

b) log2  x  x  1  1 c) log3  x2  8x   2 2. Cách giải một số phương trình logarit đơn  Lưu ý điều kiện của

giản

biểu thức dưới dấu

a) Đưa về cùng cơ số

logarit.

log a f ( x)  log a g ( x)

 f ( x)  g ( x)     f ( x)  0   g ( x)  0  

VD2: Giải các phương H1. Đưa về cơ số Đ1. thích hợp ?

a.Đưa về cơ số 3:

trình: a) log3 x  log9 x  6

x = 81

b)

b) Đưa về cơ số 2:

log 2 x  log 4 x  log8 x  11

x = 32

c)

c) Đưa về cơ số 2:

log 4 x  log 1 x  log8 x  7 16

x  212 d) Đưa về cơ số 3: x = 27

d) log 3 x  log

3

x  log 1 x  6 3

Nhấn mạnh: – Cách giải các dạng phương trình logarit.

– Chú ý điều kiện của các phép biến đổi logarit.

4. Luyện tập - củng cố: (3’) Từ công thức Hàm số Mũ đã học, yêu cầu HS vận dụng để giải bài tập thực tế phần đặt vấn đề.

5. Hướng dẫn học bài ở nhà: (1’) IV. RÚT KINH NGHIỆM

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT (Tiết 1) I.MỤC TIÊU 1. Kiến thức Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.

2. Kỹ năng Giải được một số bất phương trình mũ và bất phương trình logarit đơn giản bằng các phương pháp đưa về cùng cơ số, logarit hoá, mũ hoá, đặt ẩn phụ, tính chất của hàm số..

3. Tư duy và thái độ Biết quan sát và phán đoán chính xác.

Nghiêm túc, hứng thú trong học tập.

4. Hình thành năng lực - Thông qua bài học, HS phát triển được các năng lực sau: + Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí + Năng lực tư duy, sáng tạo, tính toán, GQVĐ + Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Toán học.

II. THIẾT BỊ DẠY - HỌC 1.Chuẩn bị của GV : Giáo án, tài liệu học tập.

2. Chuẩn bị của HS: Kiến thức cũ.

III.TIẾN TRÌNH TỔ CHỨC DẠY - HỌC 1.Ổn định tổ chức lớp 2.Kiểm tra bài cũ 3.Bài mới

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

Nội dung

Hoạt động 1: Tìm hiểu cách giải bất phương trình mũ  GV nêu dạng bất  Các nhóm thảo I. BẤT PH.TRÌNH MŨ phương trình mũ và luận và trình bày.

1. Bất ph.trình mũ cơ bản

hướng dẫn HS biện

a x  b với a > 0, a  1.

luận.

a trình

 b; a x  b; a x  b 

Minh hoạ bằng đồ thị:

H1. Khi nào bất phương

x

có

a x  b Tập nghiệm a>1 0<a<1

nghiệm, vô nghiệm?

b0 b>0

 log a b;  

 ;log a b 

Đ2. Đưa về cơ số 3.

3

x2  x

2. Bất phương trình mũ đơn 3

2

giản

x x2

VD1: Giải bất phương trình:

 –1 < x < 2

3x

2

H2. Nêu cách giải?

2

x

9

Đ3. Chia 2 vế cho

10 x

VD2: Giải bất phương trình: x

x 2x x 2 Đặt t    , t > 0 4  2.5  10 5

H3. Nêu cách biến S =  log 2;    2  5   đổi?

II. BPT LOGARIT  GV nêu dạng bất

1.BPT logarit cơ bản

phương trình mũ và

log a x  b với a > 0, a  1

hướng dẫn HS biện

Hoặc

luận.

 log a x  b;log a x  b;log a x  b 

H1. Khi nào bất phương

trình

có

Minh hoạ bằng đồ thị:

nghiệm, vô nghiệm? log a x  b

Nghiệm

Tập nghiệm a>1

0<a<1

x  ab

0  x  ab

2. Bất phương trình mũ đơn giản H2. Biến đổi bất phương trình?

Đ2.

VD1: Giải bất phương trình:

2 5 x  10  x 2  6 x  8 log 1  5x  10   log 1  x  6 x  8  2 2 2  x  6x  8  0  Chú ý điều kiện  –2 < x < 1 của các phép biến

đổi.

H3. Nêu cách giải?

Đ3. Đặt t  log 2 x  t 2  6t  8  0

 4  x  16 Nhấn mạnh: –

Cách

giải

bất

phương trình mũ và

VD2: log 2 2 x  6log 2 x  8  0

logarit.

– Cách vận dụng tính đơn điệu của Hàm

số

Mũ

và

ax  b

Tập nghiệm a>1

0<a<1

b0

logarit.

– Chú ý điều kiện của các phép biến

b>0

 log a b;  

 ;log a b 

đổi.

 Câu hỏi: Lập bảng biện luận đối với các

bất

phương

log a x  b

trình tương tự: log a x  b;log a x  b

log a x  b ;

a x  b; a x  b; a x  b

4. Luyện tập - củng cố: (3’) 5. Hướng dẫn học bài ở nhà: (1’) IV. RÚT KINH NGHIỆM

Nghiệm

Tập nghiệm

a 1 0  x  ab

0<a<1 x  ab

PHỤ LỤC 2 Hoạt động 1: Hoạt động khởi động Hình ảnh 1:

Người dân, HS, sinh viên Trung Quốc đang tìm kiếm việc làm tại thành phố Trùng Khánh. Thất nghiệp là 1 vấn nạn vô cùng cấp bách tại các thành phố đông dân.

Hình ảnh 2:

Thí sinh xếp hàng để chờ đợi tham dự kỳ thi sau đại học tại tỉnh Hồ Bắc, Trung Quốc. Mỗi năm, có tới 12,5 triệu thí sinh tham dự kỳ thi này

Hình ảnh 3: Ảnh người dân chen chúc đi làm vào 1 buổi sáng ở Dhaka, Bangladesh

Hình ảnh 4. Các hành khách đứng chờ tàu tại 1 ga tàu điện ngầm ở Sao Paulo, Brazil.

Hình ảnh 5: Hình ảnh 1 tuyến đường chật cứng người tham gia giao thông ở Indonesia

Anh Ba muốn mua xe Ford Fiesta trị giá 584 triệu theo phương thức trả trước 150 triệu, còn lại 434 triệu sẽ vay ngân hàng theo hình thức trả góp hàng tháng 10 triệu với lãi suất 8%/năm không đổi. Hỏi sau bao nhiêu năm thì anh Ba trả hết nợ ? Để tính được dân số của Việt Nam cũng như dân số thế giới, giải quyết được bài toán về mua xe trả góp, biết được diện tích rừng giảm bao nhiêu... bài học hôm nay sẽ giúp chúng ta trả lời được các câu hỏi đó.