MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG” NHẰM TĂNG CƯỜNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TỰ HỌC

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ MÔN TOÁN THCS

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG” NHẰM TĂNG CƯỜNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TỰ HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ (2019) WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG” NHẰM TĂNG CƯỜNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TỰ HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

2.1. Định hướng và căn cứ xây dựng các biện pháp dạy học Trên cơ sở lý luận về dạy tự học, điều kiện thực tế và mục tiêu DH “hệ thức Vi-ét và ứng dụng”; với mục đích tăng cường rèn luyện KNTH, các BP cần tập trung tác động tới sáu KNTH đã xác định ở chương 1; hướng đến yêu cầu khắc phục những nguyên nhân của hiện tượng HS THCS tự học nội dung “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” chưa tốt. Vì vậy, các BP một mặt cần đảm bảo thực hiện những yêu cầu DH được quy định trong chương trình môn Toán 9, mặt khác cần các BP cần chú trọng: - Giúp GV xác định được khả năng và vốn kiến thức của HS để tiến hành tự học. Từ đó trang bị, củng cố, chuẩn bị cho họ những kiến thức, KN cần thiết. Đồng thời hướng dẫn cho các em cách tự học, tập luyện KNTH (trên lớp và ở nhà) - Giúp GV thiết kế, chọn lọc và xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập theo định hướng tăng cường các HĐ tự học của HS. - Giúp GV phối hợp các hình thức và PPDH ở trên lớp; sắp xếp được thời gian để hướng dẫn HS tự học trên lớp cũng như ở nhà.

- Giúp HS có động cơ, mục đích đúng đắn và quyết tâm cao trong học và tự học; có lòng tin vào khả năng tự học của mình, nhưng cũng cần tránh tâm lý tự thỏa mãn; - Giúp HS có thói quen, biết lập kế hoạch và thực hiện các HĐ tự học; đồng thời cũng cần biết tự kiểm tra kết quả tự học; - Tạo điều kiện cho HS về tài liệu, SGK, về mặt thời gian cần thiết cho việc tự học ngay khi ở trên lớp, ... trong đó nếu có thể thì sử dụng máy tính có nối mạng internet để hỗ trợ việc tự học cho HS. Ngoài những yếu tố đã nêu, để việc học cũng như tự học của HS có hiệu quả, cần có sự theo dõi, giám sát, phối hợp với GV chủ nhiệm lớp, với Ban Giám hiệu nhà trường, với gia đình để động viên, khuyến khích thường xuyên việc học tập của HS.

34

2.2. Một số biện pháp dạy học chủ đề “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” nhằm rèn luyện KNTH toán cho HS THCS Trên cơ sở các vấn đề có tính lí luận và thực tiễn như đã đề cập ở Chương 1, để xây dựng giải pháp giải quyết vấn đề đặt ra, chúng tôi đề xuất các biện pháp dạy học nội dung “Hệ thức Viet và ứng dụng” nhằm mục tiêu “kép”: Bên cạnh những yêu cầu về kiến thức, KN và phẩm chất - NL được quy định đối với chủ đề này, các BP để cho GV chủ động tác động đến, rèn luyện sáu KNTH cho HS. 2.2.1. Biện pháp 1: GV gợi động cơ, tạo hứng thú tự học cho học sinh khi dạy học chủ đề “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”. a) Cơ sở và mục đích của biện pháp BP 1 dựa trên cơ sở khoa học được đề cập ở Chương 1, mà tư tưởng cơ bản là: Học tập nói chung, đặc biệt là HĐ tự học luôn luôn dựa trên nhu cầu tự thân của chính bản thân người học. Vì vậy, để HS tự học toán có hiệu quả, việc đầu tiên GV phải làm cho các em hứng thú với việc tự học bằng cách khai thác những cách thức gợi động cơ ([23]). Đối với chủ đề nội dung hệ thức Viet và ứng dụng, GV còn có thể dựa vào những tình huống thực tiễn (trong và ngoài môn Toán) để gây hứng thú, kích thích nhu cầu tìm hiểu ứng dụng của hệ thức Viet.

BP này giúp HS ý thức được cần phải tự học, thấy được rằng bản thân đang thiếu hiểu biết để trả lời được câu hỏi, băn khoăn của chính mình trong học toán. Như vậy, BP 1 tạo ra động lực để HS tiến hành toàn bộ quá trình tự học - tức là gián tiếp tác động đến cả 6 KNTH đã chọn trong phạm vi đề tài này (và rộng hơn nữa là 8 KNTH môn Toán ở mục 1.2.3.3).

Tuy nhiên, có thể thấy BP 1 tập trung hướng đến rèn luyện trực tiếp các KN 5 (lập kế hoạch và thực hiện tự học), KN 6 (Tự kiểm tra đánh giá quá trình học toán) bởi lẽ chỉ khi các em có ý thức, động lực tự học mới chủ động vạch ra kế hoạch và thực hiện tích cực, mới có nhu cầu và thói quen tự kiểm tra, đánh giá kết quả học của bản thân.

GV phải tạo ra và hiện thực hóa nhu cầu này để HS đứng trước những mâu thuẫn, khó khăn vừa sức, đủ để các em thấy tò mò, hứng thú, mong muốn trả lời, giải

35

quyết được ... HS cảm nhận thiếu hụt sẽ là một yếu tố kích thích các em tìm kiếm một sự giải pháp mới nhằm thỏa mãn nhu cầu tri thức của mình. b) Cách thức thực hiện biện pháp GV gợi động cơ (mở đầu, trung gian, kết thúc) để hướng đích cho HĐTH “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”.  Gợi động cơ mở đầu: HĐ này gây hứng thú tạo nhu cầu TH, thông qua tìm hiểu tính chất các nghiệm của PT bậc hai + GV: Ta đã biết công thức nghiệm của PT bậc hai. Vậy giữa 2 nghiệm có quan hệ gì với nhau? Hãy cho biết khi   0 thì 2 nghiệm được tính theo công thức nào? khi   0 thì công thức trên có đúng không?

- HS: nhớ lại, viết công thức nghiệm của PT bậc hai, nhận xét về sự giống và khác nhau giữa 2 nghiệm? (Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được các KNTH 2, 3 đã nêu ở Chương 1) b   b   ; x2  2a 2a b   0    0  x1  x 2  2a

  0  x1 

+ GV: Cho 2 phương trình:

a) 2x2 - 9x + 2 = 0

b) -3x2 + 6x - 1 = 0

Phân chia lớp thành 2 nhóm và giao nhiệm vụ: - Nhiệm vụ nhóm 1: Giải cụ thể tìm 2 nghiệm PT đã cho. Sau đó cộng và nhân các nghiệm lại. Thông báo kết quả tổng và tích của các nghiệm.

- Nhiệm vụ nhóm 2: Không giải PT, chỉ tính hai tỷ số (-

b c ) và ( ). Thông a a

báo kết quả.

- HS: Làm việc theo nhóm, thu được kết quả: a) Nhóm 1: x1+x2= 4,5 ; x1.x2= 1 và nhóm 2: -

b c = 4,5 ; = 1. a a

b) Nhóm 1: x1+x2= 2 ; x1.x2= 1/3 và nhóm 2: -

1 b c =2 ; = a a 3

+ GV tổ chức thảo luận so sánh kết quả?

- HS hai nhóm so sánh đối chiếu các kết quả và rút ra nhận xét: Mặc dù 2 công việc và cách làm khác nhau, nhưng kết quả lại thống nhất?!

36

a) x1+x2= -

b c = 4,5; x1.x2= = 1. a a

b) x1+x2= -

1 b c = 2 ; x1.x2= = a a 3

Với cách này, GV có thể giúp HS rèn luyện được các KNTH 5 và 6: Khi các em đứng trước những câu hỏi băn khoăn, thắc mắc kể trên, HS sẽ hình thành thói quen và cách thức suy nghĩ đặt ra những nhiệm vụ cần làm, những câu hỏi cần trả lời, ... và tự mình tìm cách giải quyết, đối chiếu với nhiệm vụ xem đã được hay chưa? + GV đặt ra yêu cầu tìm hiểu nguyên nhân và đặt vấn đề: Như vậy, "hiện tượng" giống nhau này vẫn đúng khi chúng ta thay đổi những PT bậc hai khác nhau.

Tại sao vậy? Hay là tổng và tích các nghiệm luôn luôn trùng với các tỷ số ...? Ta có thể chứng minh tổng quát được hay không? + GV: Hướng dẫn, gợi ý: Ngay từ công thức nghiệm tổng quát: b  b 2  4ac ta có thể tính tổng và tích của 2 nghiệm được không? Yêu cầu HS 2a

làm ?1 Tính tổng và tích 2 nghiệm từ công thức nghiệm tổng quát?

- Một HS lên bảng làm:  b    b   2b  b    2a 2a 2a a 2 b   b   b   4ac c x1 .x 2  ( )( )  2  2a 2a 4a 2 4a a x1  x 2 

- HS: Ta cũng có kết quả x1+x2= -

b c ; x1.x2= a a

(Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 3 đã nêu ở Chương 1) + GV tổ chức HS tự rút ra kết luận và diễn đạt: Một PT bậc hai có   0 thì ta luôn có x1+x2= -

b c ; x1.x2= . a a

(Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 2 đã nêu ở Chương 1) + GV: Đó chính là hệ thức Vi-ét. Gọi HS phát biểu hệ thức Vi-ét b   x1  x 2  a - HS: Nếu PT có 2 nghiệm x1, x2 thì:   x .x  c  1 2 a

+ GV yêu cầu HS diễn đạt lại hệ thức Vi-ét theo cách hiểu của bản thân:

37

- HS: “Giữa 2 nghiệm của một PT bậc hai có mối quan hệ với các hệ số của b a

PT là: Tổng 2 nghiệm luôn bằng tỷ số - ; còn tích 2 nghiệm luôn bằng

c ” a

(Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 3 đã nêu ở Chương 1)  Gợi động cơ kết thúc: - GV: Hệ thức Vi-ét vừa học có tác dụng như thế nào? + Gợi ý: Nếu không nắm được hệ thức Vi-ét, ta sẽ không biết đến một tính chất quan trọng đối với các nghiệm của PT bậc hai. Nhờ đó, ta có thể tìm được tổng và tích của hai nghiệm mà không cần phải giải cụ thể để tìm từng nghiệm ... + Nhờ định lý ta trả lời được những câu hỏi nào sau đây? Cách vận dụng như thế nào?

Biết một nghiệm, tìm được nghiệm còn lại của PT bậc hai?

Tìm 2 số biết tổng và tích?

Lập được PT bậc hai nếu biết 2 nghiệm của nó? ...

- HS: Nhờ hệ thức Vi-ét, ta có thể: + Không cần tốn công giải cụ thể một PT bậc hai, nhưng ta vẫn biết được tổng và tích 2 nghiệm (nếu có) bằng bao nhiêu; + Nhẩm được một nghiệm, ta có thể tính được nghiệm kia của PT bậc hai. + Chỉ cần biết 2 nghiệm là ta có thể lập được dạng của PT bậc hai đó. + ...

(Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 2 đã nêu ở Chương 1) - GV tổ chức luyện tập vận dụng: + Không giải PT, hãy tính tổng và tích các nghiệm của PT a) 2x2- 9x + 2 = 0 b) -3x2 + 6x - 1 = 0 (Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 3,4 đã nêu ở Chương 1) + Yêu cầu HS làm ?2, ?3 theo nhóm nửa lớp và gọi đại diện 2 nhóm lên trình bày: ?2: Cho PT 2x2 - 5x +3 = 0. Không giải PT, hãy nhẩm nghiệm của PT? - Ta có a = 2 , b = -5 , c = 3 ; a+b+c = 0.

- Theo tính chất đã biết (KNTH 2) PT có nghiệm x1=1 (thử lại: 2.12- 5.1+3 = 0)

38

c a

- Theo hệ thức Vi-ét x1.x2= , nên x2=

c = 3/2 a

(Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 4 đã nêu ở Chương 1) ?3: Cho PT: 3x2+ 7x + 4 = 0. Không giải PT, hãy nhẩm nghiệm của PT? - Xét tương tự, ta có a - b + c = 0 và x1= -1 là nghiệm.

- Theo hệ thức Vi-ét thì x1.x2=

4 c c nên x2= - = a a 3

+ Yêu cầu HS làm ?4: a) Nhẩm nghiệm của PT: 5x2 - 3x - 2 = 0 a+b+c = 0 nên tìm được 2 nghiệm x1=1, x2= -

2 5

b) Nhẩm nghiệm của PT: 2019x2 + 2018x - 1 = 0 a-b+c = 0 tìm được 2 nghiệm x1= - 1 , x2=

1 2019

+ GV hướng dẫn HS: nửa lớp làm câu a) và c); nửa lớp kia làm câu b) và d) áp dụng cách tương tự như trên để tự làm bài tập 26 trong SGK. a) Gợi ý và kết quả để HS tự đối chiếu, kiểm tra a+b+c = 0 nên x1 = 1, x2= b) Gợi ý và kết quả để HS tự đối chiếu, kiểm tra a+b+c = 0 nên x1= 1, x2= -

2 35

507 7

c) Gợi ý và kết quả để HS tự đối chiếu, kiểm tra a-b+c = 0 nên x1= -1 , x2 = 49 d) Gợi ý và kết quả để HS tự đối chiếu, kiểm tra a-b+c = 0 nên x1= -1, x2=

4300 4321

(Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 3 đã nêu ở Chương 1)  Làm cho HS thấy được ý nghĩa của HĐ tự học đối với việc tạo cho mình một tiền đề xuất phát trong quá trình tiếp thu kiến thức mới, củng cố được cho mình một nền tảng kiến thức “cơ bản” vững vàng.

Ví dụ 2.1: Nhờ học nội dung hệ thức Vi-ét và một số ứng dụng của nó, chúng ta có thể vận dụng để học một số bài tiếp theo “PT quy về bậc hai”, “Xét dấu của tam thức bậc hai”, ...

(Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 3, 4 đã nêu ở Chương 1)

39

 Làm cho HS thấy được tầm quan trọng của việc hệ thống hóa lại các kiến thức, KN đã được học đối với việc tiếp thu các kiến thức mới bằng tự học.

Ví dụ 2.2: Nhờ việc chúng ta hệ thống hóa lại những dạng bài toán ứng dụng hệ thức Viét mà khi gặp ta có thể nhận ra, biết cách giải chúng. Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 4 đã nêu ở Chương 1.  Tạo động cơ tự học thông HĐ kiểm tra và đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức của HS. Ví dụ 2.3: GV kiểm tra kết quả của nhiệm vụ tự học đã giao về nhà cho HS. Nội dung: - Phát biểu hệ thức Vi-ét.

- Viết công thức của hệ thức Vi-ét.

- Làm bài tập 25 trang 52 SGK Toán 9.

- Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 7 và tích của chúng bằng 10?

Cách thức: Cho các nhóm chấm chéo nhau, GV phân tích đúng - sai và đánh giá điểm. Với cách này ta có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 6.  Làm cho HS quan tâm đến ý nghĩa, tác dụng của tự học: Muốn tự học Toán có kết quả thì trước hết phải thấy lợi ích và tin vào kết quả của HĐ tự học. Đồng thời cũng phải tự giác, mà muốn tự giác thì phải có động cơ, mục đích học phải rõ ràng.

Ví dụ 2.4: GV gây hứng thú tự học chủ đề Hệ thức Viet và ứng dụng thông qua những tình huống gợi vấn đề “Làm như thế nào để không cần phải giải PT bậc hai mà vẫn biết được tổng và tích của các nghiệm?”; “Làm như thế nào biết được dấu của 2 nghiệm mà không cần tính cụ thể?”; ... Bằng cách này, GV có thể giúp HS rèn luyện được KNTH 6.

2.2.2. Biện pháp 2: GV tập luyện cho học sinh những KNTH cụ thể đối với nội dung “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”. a) Cơ sở và mục đích của biện pháp Cũng như mọi HĐ khác, HĐ tự học cần đến phương pháp, cách thức tiến hành. Khi cần tự học, mỗi HS thường chưa thể có những PP và KNTH cần thiết. Nếu

40

để cho HS tự mày mò thì các em có thể lúng túng, thực hiện không hiệu quả, thậm chí không biết cách tự học ra sao? ... Vì vậy, GV cần chủ động dạy cho HS cách thức tự học. Mặt khác, đối với từng nội dung môn toán cần có những điều chỉnh phù hợp về mục tiêu, yêu cầu và cách học. Đồng thời những gợi ý hướng dẫn cách tự học của GV còn căn cứ vào đặc điểm từng loại HS cũng như những trường hợp HS cá biệt, có hoàn cảnh đặc biệt.

Không những vậy, hiểu biết cách tự học mới là điều kiện cần chứ chưa đủ để HS tự học được, muốn các em tự học hiệu quả, HS còn cần có những KNTH cần thiết. Mà KN chỉ có được trên cơ sở được HS được thực hành nhiều lần các HĐ tự học. Vì vậy, GV cần chủ động dạy cách tự học cũng như tập luyện cho HS thực hành các HĐ tự học ứng với 6 KNTH đã xác định ở trên.

BP này giúp HS có được những “kỹ thuật” cụ thể để thực hiện tự học. Như vậy, BP 1 hướng đến rèn luyện cho HS toàn bộ 6 KN, đặc biệt là những KN “cơ sở” để tiến hành quá trình tự học như KN 1 (đọc - hiểu); KN 2 (biểu đạt); KN 3 (ghi nhớ - tái hiện); KN 4 (liên kết và hệ thống hóa).

Khi giao nhiệm vụ và hướng dẫn HS tự học ở nhà, GV cũng cần sử dụng BP này để hướng dẫn các em biết cách thiết lập kế hoạch tự học và tự kiểm tra kết quả ở nhà, biết thực hiện quá trình tự học theo tiến trình; đồng thời làm mẫu, mô tả các HĐ để HS thấy được cách thức tự học - tự kiểm tra ở nhà ra sao? Điều đó tác động đến các KN 5 (lập kế hoạch và thực hiện tự học) và KN 6. (tự kiểm tra đánh giá kết quả tự học). b) Cách thức thực hiện biện pháp Để HS có KNTH, sau khi HS đã có hiểu biết sơ bộ về tự học, GV nhất thiết phải tổ chức các em tập luyện vận dụng từng kỹ thuật tự học cụ thể. Ở đây, GV tổ chức HS thực hành các HĐ tự học tương ứng với những KN: KN 1 - đọc hiểu, nhận dạng; KN 2 - sử dụng ngôn ngữ và ký hiệu toán học; KN 3 ghi nhớ, tái hiện; vận dụng kiến thức và bài tập; KN 4 - xác định mối quan hệ, hệ thống hóa; KN 5 - lập kế hoạch và thực hiện tự học; KN 6 - tự kiểm tra và sửa chữa sai sót đối với nội dung hệ thức Vi-ét và ứng dụng.

Trên lớp: HĐ tự học của mỗi HS được thực hiện cùng với HĐ dạy của thầy cô giáo và đồng bộ với HĐ học tập theo nhóm, cùng với HĐ học tập chung của cả lớp.

41

- Cách thức tự học trên lớp (có GV giảng dạy, tổ chức hướng dẫn HĐ học tập): - Cách thức tự học ở nhà (dựa trên chỉ dẫn từ trên lớp của GV): Với hình thức đó, GV chủ động hướng dẫn cho HS biết cách thực hiện một số HĐ tự học (ứng với các KNTH) như sau:  (KN 1) - HĐ đọc hiểu, nhận dạng những kiến thức lý thuyết về hệ thức Viét và ứng dụng: Trong các tiết dạy hệ thức Vi-ét và ứng dụng, GV lồng ghép việc hướng dẫn HS sử dụng SGK và tài liệu trên lớp (khâu dạy bài mới) và ở nhà (khâu giao nhiệm vụ, hướng dẫn tự học), cụ thể: + GV hướng dẫn HS tự đọc và ghi lại: HS thực hiện đọc nội dung đó trong SGK và tài liệu, chuyển thành cách hiểu của bản thân và ghi lại. + GV hướng dẫn cách nhận ra khái niệm, tính chất, quy tắc, dạng bài toán, HS đối chiếu với hiểu biết của mình (nếu cần thì xem lại trong vở ghi, SGK, tài liệu) để phát hiện sự có mặt của kiến thức đó trong tình huống (bài tập) đã cho.

Cụ thể: - Ở nhà - trước khi nghe giảng: Theo chỉ dẫn của GV, ở nhà HS tự đọc trước bài học; đánh dấu những phần khó, chưa hiểu để tập trung nghe giảng để trao đổi với thầy hay với bạn về những phần đó. Xác định những kiến thức phục vụ cho bài học.

- Trên lớp - trong và sau khi nghe giảng: HS tập trung chú ý nghe giảng (chỉ sử dụng SGK khi GV yêu cầu). GV hướng dẫn HS đọc lại SGK kết hợp đối chiếu với ghi chép trong vở ghi để hiểu rõ hơn kiến thức.  (KN 2) - HĐ sử dụng ngôn ngữ và ký hiệu trong tự học chủ đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng: Một trong những HĐ cần thiết của HS trên lớp là ghi chép bài nhằm nắm vững nội dung bài học. Chú ý là trong khi ghi chép, HS vừa phải tự mình hồi tưởng lại, nhớ lại đúng và đủ những kiến thức có liên quan dùng để hiểu bài, lại vừa phải tập trung sự chú ý nghe giảng, lựa chọn những điều cốt yếu để ghi lại những thông tin một cách khoa học. Bởi vậy, kĩ năng ghi chép bài có ý nghĩa rất quan trọng nhằm nâng cao chất lượng HĐ tự học của HS. Bởi vì chỉ khi hiểu được bài giảng trên lớp, ghi chép được đầy đủ và chính xác nội dung của bài học thì HS mới có “vốn” tư liệu để thực hiện HĐ tự học.

42

Khi dạy trên lớp, GV hướng dẫn HS cách sử dụng ngôn ngữ và ký hiệu toán học, sơ đồ ... để ghi chép bài. Cụ thể: - Thực hiện nguyên tắc: Ghi chép theo cách hiểu của mình là cách ghi tốt nhất tránh trường hợp bắt buộc phải "sao chép" lại toàn bộ lời giảng của thầy (vừa mất thời gian lại vừa không tập trung được vào những "cái" bản chất).

- Đọc SGK kết hợp với vở ghi, tái hiện lại lời giảng của thầy cô để hiểu rõ hơn những phần còn chưa hiểu khi nghe giảng.

- Củng cố lại các kiến thức đã thu nhận được. Ghi lại những phần còn chưa hiểu hay hiểu chưa rõ để học lại hay trao đổi với thầy, với bạn để có thể hiểu thấu đáo vấn đề.

- Trên lớp, GV hướng dẫn HS cách dùng ngôn ngữ toán học (bao gồm ngôn ngữ thông thường, ký hiệu toán học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, đồ thị ...) một cách hợp lý để ghi chép nội dung bài học về hệ thức Vi-ét và ứng dụng; đồng thời biểu đạt đúng, ngắn gọn, chính xác khi trình bày lời giải bài toán (trên lớp cũng như ở nhà): + Ghi bài theo hướng dẫn của thầy cô giáo, tập trung vào những điều cốt yếu; + Triệt để sử dụng các kí hiệu toán học, kí hiệu viết tắt (không quá đặc biệt) của bản thân để tăng tốc độ ghi bài. Chẳng hạn: các ký hiệu toán học (  ,  , , //, ...); viết tắt (phương trình bậc hai - ptbh; phương trình - pt; ...). + “Cấu trúc hóa” những điểm cốt yếu của bài học dưới dạng bảng tổng hợp hoặc sơ đồ: Ví dụ 2.5: GV hướng dẫn HS lập bảng tổng hợp các trường hợp xét dấu các nghiệm của PT bậc hai để dễ dàng ghi nhớ, phân biệt các trường hợp về dấu của các nghiệm.

Dấu của nghiệm

x1

x2

trái dấu



cùng dấu





cùng dương

+

+

cùng âm





S  x1  x2

P  x1 x2



Điều kiện chung

P<0

  0   0 ; P < 0.

P>0

0 0 ;P>0

S>0

P>0

  0   0 ; P > 0;S > 0

S<0

P>0

  0   0 ; P > 0;S < 0

43

 (KN 3) - HĐ ghi nhớ, tái hiện và vận dụng những kiến thức lý thuyết về hệ thức Vi-ét và ứng dụng: Trong từng tình huống DH: khái niệm, định lý, quy tắc, giải bài tập, GV nhấn mạnh đến những điểm cốt yếu cần nhớ, hướng dẫn HS biểu đạt và ghi nhớ dưới dạng cô đọng bằng cách: - Tập trung chú ý, lọc ra những điểm cốt yếu, bản chất của kiến thức toán (nội dung và phạm vi của khái niệm, giả thiết và kết luận của định lý, các bước của quy tắc, dạng bài toán) và ghi nhớ thông qua đọc nhẩm, viết ra giấy nhiều lần, sau đó nhớ lại - đối chiếu những điểm còn thiếu, sai để sửa.

- GV hướng dẫn HS tái hiện kiến thức (trong lý luận dạy học môn toán gọi đó là HĐ "thể hiện") bằng cách: Căn cứ vào hiểu biết về kiến thức (khái niệm, định lý, quy tắc, dạng bài toán) đó, HS xây dựng đối tượng phù hợp, ăn khớp với yêu cầu nêu trong kiến thức: + Đưa ra (lấy ví dụ minh họa) được đối tượng thỏa mãn yêu cầu khái niệm đó; + Xây dựng được một tình huống trong đó có mặt của giả thiết - kết luận của định lý đã biết; + Vận dụng được quy tắc đã biết vào giải quyết một bài toán cụ thể; + Tạo ra một bài toán tương tự với bài toán đã biết.

Ví dụ 2.6: GV cho các PT bậc hai: a) 4x2 - 4x +1 = 0 b) -3x2 + x +2 = 0 c) x2 + 4x + 5 = 0 d) -5x2 + 3x + 2 = 0 Trước câu hỏi “Trong các PT sau đây, PT nào áp dụng được hệ thức Vi-ét?”, HS tìm cách nhận dạng giả thiết của định lý Vi-ét bằng cách kiểm tra xem biệt thức  của từng PT có thỏa mãn điều kiện không âm hay không?

Ví dụ 2.7: a) Từ bài tập - ví dụ mẫu về dạng toán “Tìm 2 số biết tổng và tích” trên lớp, HS áp dụng PP giải tương tự đối với bài tập về nhà: “Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 12 và tích bằng 35”.

44

b) Yêu cầu HS xây dựng 3 bài tập có nội dung và cách giải tương tự với bài toán đã cho.  (KN 4) - HĐ xác định mối quan hệ, hệ thống hóa những kiến thức lý thuyết về hệ thức Vi-ét và ứng dụng: Trong từng tình huống nội dung, GV hướng dẫn HS cách thức (khái quát hóa, đặc biệt hóa, xét tương tự) và tập luyện HĐ mở rộng, thu hẹp khái niệm, tính chất, công thức, dạng toán; giúp các em biết hệ thống hóa kiến thức trong bài, chương, ... bằng cách tìm các mối quan hệ, lập bảng, vẽ sơ đồ, ... để cấu trúc hóa bài học, hệ thống những kiến thức, dạng toán trong bài học (hoặc loạt bài ở những tiết ôn tập, tổng kết).

Ví dụ 2.8: Ở dạng bài toán giải và biện luận PT bậc hai chứa tham số (trong đó có sử dụng hệ thức Vi-ét), GV gợi ý xét các trường hợp có thể xảy ra, tổ chức HS phân tích nhận ra, phân loại và hệ thống được khả năng ... Điều kiện thỏa mãn của PT bậc hai ax 2  bx  c = 0 chứa tham số Xét trường hợp 1: Nếu a = 0 thì xét tiếp PT bậc nhất Có nghiệm 

bx+c = 0 (theo điều kiện có nghiệm của PT bậc nhất) Xét trường hợp 2: Nếu a  0 thì xét tiếp  (  ') 0 Xét trường hợp 1: Nếu a = 0 thì xét tiếp PT bậc nhất

Vô nghiệm 

bx+c = 0 (theo điều kiện vô nghiệm của PT bậc nhất) Xét trường hợp 2: Nếu a  0 thì xét tiếp  (  ') < 0

Có nghiệm kép 

Xét hai điều kiện: a  0 và  (  ') = 0

Hai nghiệm phân biệt 

Xét hai điều kiện: a  0 và  (  ') > 0

 (KN 5) - Cách lập kế hoạch và thực hiện tự học chủ đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng: GV hướng dẫn cách thức lập kế hoạch tự học: - Chọn những vấn đề cần tự học, xác định thời lượng và mức độ đạt được; - Sắp xếp, cân đối giữa thời gian tự học với lượng kiến thức cần học; - Thực hiện xen kẽ giữa các hình thức tự học, các môn học khác nhau để tránh nhàm chán và lâu mệt mỏi.

45

- Đảm bảo xen kẽ hợp lý giữa học tập và nghỉ ngơi (không học liền một mạch liên tục quá lâu).

Ví dụ 2.9: Hướng dẫn HS lập kế hoạch tự học dạng bài toán "Vận dụng hệ thức Vi-ét giải bài toán bằng cách lập PT".

Bước 1: Liệt kê những nhiệm vụ, những kiến thức cần học: giải các bài tập.

- Dạng toán tìm hai đại lượng khi biết tích và tổng (46, 48, 49 trang 59 SGK).

- Dạng toán tìm hai đại lượng khi biết tích và hiệu (41, 43, 44 trang 58 SGK).

Bước 2: Phân phối thời gian cho các môn học, các kiến thức cần học.

Thời gian tối thiểu 60 phút để giải và mở rộng các bài toán trên. Mỗi dạng toán dành 30 phút, trong đó một nửa dành cho việc giải, còn lại để mở rộng bài toán.

Bước 3: Tập trung chú ý để thực hiện kế hoạch tự học đã đề ra.

Bước 4: Hệ thống các kiến thức đã tiếp thu được sau khi học.

- Dạng toán tìm hai đại lượng khi biết tích và hiệu: Các cách giải dạng toán này. Với các đại lượng được cho cụ thể như trong bài toán 46, 48 nên dựa vào tích để lập PT (PT lập được sẽ đơn giản hơn).

- Dạng toán tìm hai đại lượng khi biết tích và tổng, các cách giải dạng toán này.  (KN 6) - HĐ tự kiểm tra và sửa chữa kết quả tự học chủ đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng (chi tiết trong BP 3).

Ví dụ 2.10: Cho PT x2  2 x  m  0 (1) (x là ẩn, m R là tham số). a) Giải phương trình với m =  1. b) Tìm tất cả các giá trị của m để PT (1) có nghiệm. c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm (có thể bằng nhau) của PT (1). Tính biểu thức P = x14 + x24 theo m. Tìm m để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải mong đợi: GV gợi ý hướng dẫn HS áp dụng ví dụ đã học trong lý thuyết để tự vận dụng giải bài tập. a) HS thay m = - 1 và giải PT bậc hai x2+2x+1 = 0, tìm được nghiệm x=-1. b) Điều kiện có nghiệm của PT (1) là:  '  1 m  0  m  1.

46

 x1  x2  2 , suy ra:  x1 x2  m

c) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

2

2 2 P  x14  x24   x1  x2   2 x1 x2   2 x12 x22   4  2m   2m2  2m2  16m  16  

 2  m  1  12m  14  0  12  14  2 2

.

m  1  0  m  1 . m  1

Dấu “=” xảy ra  

Vậy minP  2  m  1. *) Sai lầm thường mắc phải GV gợi ý hướng dẫn HS chú ý đến điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức.

2

2 2 2 P  x14  x24   x1  x2   2 x1 x2   2 x12 x22   4  2m   2m2  2m2  16m  16  2  m  4   16  16  

Từ đó suy ra minP = 16  m  4 . Tuy nhiên với m  4 thì PT (1) trở thành x2+2x+4 = 0 lại vô nghiệm (không thỏa mãn điều kiện có hai nghiệm để xét theo yêu cầu của bài toán).

2.2.3. Biện pháp 3: GV tổ chức hướng dẫn học sinh tự kiểm tra đánh giá HĐ tự học và kết quả khi dạy học chủ đề “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”. a) Cơ sở và mục đích của biện pháp Người xưa từng nói "Biết là mình không biết, ấy là biết - biết tự kiểm tra, tự đánh giá".

Tự kiểm tra, tự đánh giá HĐ tự học có vai trò hết sức quan trọng giúp cho HS nắm được các mối liên hệ ngược trong quá trình tự học, giúp các em luôn thực hiện HĐ tự học đúng hướng, đạt được mục đích đề ra, kích thích tính tích cực tự học của người học. Thông qua tự kiểm tra, tự đánh giá giúp cho HS nhận ra những yếu kém để tự điều chỉnh HĐ tự học của mình. Đối với môn Toán ngoài các hình thức như ôn luyện, ứng dụng, đào sâu, hệ thống hoá các kiến thức đã học. Người học toán cần thường xuyên tự kiểm tra, tự đánh giá về mức độ nắm bắt kiến thức của mình. Có như vậy người học mới biết được mình hiểu "đúng", hiểu "chính xác", hiểu "sâu" hay mình còn hiểu "lơ mơ" hoặc hiểu “sai”. Từ đó mới có thể tự điều chỉnh về cách học và các kiến thức cần bổ sung.

47

Như vậy, một trong những KNTH toán cần thiết là tự kiểm tra, đánh giá để phát hiện ra những điều mà mình còn chưa hiểu, hoặc đã hiểu sai, ... Chỉ khi HS biết tự kiểm tra và đánh giá vốn hiểu biết và KN toán học của mình thì mới nắm vững và vận dụng được kiến thức và phương pháp toán học.

BP này tập trung vào việc giúp HS hình thành thói quen và khả năng kiểm tra và đánh giá hiệu quả của quá trình tự học. Nhờ tự kiểm tra và đánh giá được kết quả đã đạt được (gồm cả những điểm tốt và chưa tốt) của bản thân mà HS mới tự tin, hứng thú với những thành quả của mình. Đồng thời các em cũng mới thấy được mình còn thiếu và yếu cái gì, đặc biệt là nguyên nhân tại sao ... Điều đó đặc biệt quan trọng để HS có động lực và biết cách phải học những gì, học như thế nào tiếp theo.

Như vậy, BP 3 sẽ trực tiếp rèn luyện cho HS KNTH 6 - một KN quan trọng trong tự học, bởi lẽ HS không chỉ cần đến KN này trong quá trình học tập ở trường phổ thông mà còn dùng đến suốt đời trong bất kì tình huống tự học nào (trong khi việc học của mỗi người thực chất là tự học)! b) Cách thức thực hiện biện pháp Một trong những xu hướng đổi mới kiểm tra đánh giá theo cách tiếp cận NL là tập trung vào chuyển từ đánh giá một chiều (GV đánh giá), sang đánh giá đa chiều (không chỉ GV đánh giá mà HS cùng tham đánh giá - tự đánh giá, đánh giá đồng đẳng).

Bởi lẽ, cần xem đánh giá như là một HĐ học tập (assessment as learning): GV cần nhận thức rằng đánh giá là một quá trình học tập, đánh giá diễn ra trong suốt quá trình dạy và học. Đánh giá phải tạo ra sự phát triển, phải nâng cao NL của người học, tức là giúp các em hình thành khả năng tự đánh giá, đánh giá lẫn nhau… để phát triển NL tự học.

Không chỉ GV biết cách thức, các kỹ thuật đánh giá HS mà quan trọng không kém là HS phải học được cách đánh giá của GV, phải biết đánh giá lẫn nhau và biết tự đánh giá kết quả học tập rèn luyện của chính mình. Có như vậy, HS mới tự phản hồi với bản thân xem kết quả học tập, rèn luyện của mình đạt mức nào/đến đâu so với yêu cầu, tốt hay chưa tốt ở chỗ nào.

GV phải tổ chức, hướng dẫn để HS biết cách tự đánh giá, HS được đánh giá lẫn nhau, mọi sự đổi mới kiểm tra đánh giá phải làm cho HS tích cực hơn, nỗ lực hơn

48

và phải dẫn đến sự biến đổi ở người học (không chỉ là làm chủ kiến thức, KN… mà quan trọng hơn thay đổi cả thái độ, niềm tin).

GV phải hình thành ở HS khả năng tự kiểm tra, tự đánh giá. GV giúp HS hiểu rõ nhiệm vụ và có thể tự mình tổ chức các HĐ học của bản thân dưới sự hướng dẫn của thầy cô giáo. Trong đó KN tự đánh giá trong tự học môn toán thể hiện ở: khả năng quan sát, thu thập thông tin, kiểm tra kết quả, phát hiện sai lầm và sửa chữa.

Với nội dung hệ thức Vi-ét và ứng dụng, căn cứ vào nguồn gốc của thông tin GV có thể phân ra các hình thức tự kiểm tra của HS như sau: - HS độc lập tự kiểm tra, đánh giá kết quả tự học của bản thân (trên lớp và ở nhà); - Tự kiểm tra, đánh giá kết quả học toán của mình thông qua các ý kiến có được khi trao đổi về lời giải một bài toán, thảo luận với bạn bè trong quá trình học tập trên lớp hay ở nhà (dưới hình thức học nhóm; hoặc trao đổi thông tin qua mạng).  Hình thức HS độc lập tự kiểm tra kết quả tự học của bản thân: Để tự kiểm tra vốn kiến thức của mình HS phải biết hỏi và trả lời. Hỏi ở đây không phải là hỏi thầy, hỏi bạn mà là tự hỏi chính mình. Đối tượng được hỏi chính là bản thân người hỏi thì hình thức hỏi đó mang tính chất độc lập tự kiểm tra vốn kiến thức của mình.

Trong nội dung hệ thức Vi-ét và ứng dụng, trong quá trình tự học (trên lớp và ở nhà), HS có thể tự đặt các câu hỏi dưới các hình thức: "Tại sao", "Như thế nào", "để làm gì", “đã đúng và đầy đủ hay chưa”? … để độc lập tự kiểm tra kết quả tự học.

Ví dụ 2.11: GV gợi ý hướng dẫn HS tự đặt ra những câu hỏi để trả lời như sau: - Để tính được tổng và tích của 2 nghiệm đối với một PT bậc hai, ta có cần phải giải cụ thể ra từng nghiệm hay không?

- Các bước giải bài toán tìm hai số biết tổng và tích là gì?

- Tại sao phải đặt điều kiện cho các hệ số của PT bậc hai chứa tham số khi giải các bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét?

- Khi tính giá trị của các biểu thức nghiệm, ta dùng biểu thức tổng và tích các nghiệm vào việc gì?

- Trong trường hợp PT bậc hai chứa tham số, có cần xét các trường hợp của b và c hay không? Nếu chỉ xét điều kiện của hệ số a đã đúng và đủ chưa?

49

Hoặc các câu hỏi khi cần tìm mối quan hệ và hệ thống hóa: - Có bao nhiêu dạng bài tập ứng dụng hệ thức Vi-ét?

- Cách giải dạng bài tập tìm hai số khi biết tổng và tích như thế nào? Có bao nhiêu cách giải dạng toán này.

- Khi nào thì vận dụng được quy tắc nhẩm nghiệm của PT bậc hai?

- Một PT bậc hai có tối đa bao nhiêu nghiệm? Khi nào (điều kiện của các hệ số a, b, c như thế nào?) xảy ra tính chất về tổng và tích các nghiệm của PT bậc hai?

Căn cứ vào câu trả lời của mình và đối chiếu với SGK hay các tài liệu khác, HS biết mình đã nắm chắc được những kiến thức về nội dung giải bài toán bằng cách lập PT hay chưa? Cần học hay bổ sung kiến thức gì ... còn thiếu?  Hình thức học sinh tự kiểm tra qua thông tin phản hồi Trong nội dung hệ thức Vi-ét và ứng dụng, thông tin phản hồi thu được (từ ý kiến của thầy giáo và bạn bè) có thể là ý kiến khi trao đổi về cách giải một dạng bài toán cụ thể, lời nhận xét, đánh giá, kết luận về kết quả, tính đầy đủ, chặt chẽ, cách thức các bước giải toán, ... Dựa trên các thông tin phản hồi thu được. HS có thể tự kiểm tra đánh giá và điều chỉnh mình theo quy trình sau: - So sánh, đối chiếu với kết luận của thầy hay ý kiến của bạn về câu trả lời, lời giải với vốn hiểu biết, KN của bản thân  Kiểm tra tính đúng - sai, thừa - thiếu, tối ưu …  Tìm nguyên nhân  Tìm cách sửa chữa, bổ sung, hoàn thiện. Cụ thể: + Cách nhận dạng loại bài toán; liên hệ với PP giải để kiểm tra sự phù hợp, tính tối ưu, ... + Đối chiếu với các bước giải từng dạng bài toán về hệ thức Vi-ét và ứng dụng để kiểm tra lời giải của mình có đầy đủ các bước không. + Kiểm tra có tính chính xác, đầy đủ của các đại lượng tính toán trung gian và thử lại kết quả cuối cùng có đúng không? + Có cách giải ngắn gọn hơn không? + Đại lượng tìm được đã đúng với yêu cầu của bài toán chưa? Đã kiểm tra đối chiếu với mọi điều kiện đã cho của bài toán hay chưa? + Nếu cảm thấy nghi ngờ, băn khoăn ... thì có thể đưa ra một trường hợp, phản ví dụ cụ thể hay không?

50

+ So sánh, đối chiếu với lý thuyết và ví dụ đã học về hệ thức Vi-ét và ứng dụng xem có gì mâu thuẫn, vô lý, ... Xác định nguyên nhân sai lầm và tìm cách khắc phục.

Ví dụ 2.12: Đối với bài tập “Chứng minh rằng biểu thức A  3  x1  x2   2 x1 x2  8 không phụ thuộc giá trị của m, với x1 ; x2 là nghiệm của PT:  m  1 x 2  2mx  m  4  0 ”.

GV lưu ý HS thường mắc lỗi chỉ xét điều kiện  0 mà quên không xét đến điều kiện hệ số a = m -1 phải khác 0, dẫn đến kết luận: Giá trị của A = 0 và không phụ thuộc vào m.

2.2.4. Biện pháp 4: Xây dựng dụng hệ thống bài tập phân bậc về hệ thức Vi-ét và ứng dụng để sử dụng cho HĐ tự học giải toán. a) Cơ sở và mục đích của biện pháp Học toán thông qua giải bài tập là một tình huống điển hình, mang tính tổng hợp cả về kiến thức lý thuyết (gồm cả khái niệm, định lý, quy tắc và phương pháp toán học) và là môi trường tốt để luyện tập các thao tác tư duy, suy luận toán học.

Tuy nhiên các bài tập trong chương trình SGK thường chỉ đáp ứng được nhu cầu chung của đa số HS và cũng không thể thỏa mãn mọi điều kiện DH Toán trong thực tế ... Vì vậy trong DH Toán nói chung và nhất là trong dạy HS tự học, cần thiết phải sử dụng một hệ thống câu hỏi bài tập chọn lọc nhằm giúp HS có thể tự học tốt.

Muốn vậy, GV phải chọn lọc, sưu tầm, sắp xếp để tạo ra một hệ thống các câu hỏi, bài tập về hệ thức Vi ét và ứng dụng phù hợp với mục đích sử dụng cho HĐ tự học của HS (gồm có tự học trên lớp và tự học ở nhà).

Việc xây dựng được một hệ thống bài tập như vậy sẽ giúp cho GV có được vốn tư liệu phong phú các bài tập sát hợp hơn với nhu cầu, điều kiện và PP tự học Toán của HS. Từ đó, khi dạy trên lớp cũng như hướng dẫn HS tự học ở nhà, GV có “vật liệu” để “chế biến” nội dung dạy giải bài tập theo hướng tăng cường HĐ tự học của HS. Mặt khác, trên cơ sở hệ thống bài tập này, GV có những gợi ý, hướng dẫn yêu cầu và tổ chức HS thực hiện những HĐ tham gia vào quá trình giải bài tập trên lớp. Điều đó tác động đến và rèn luyện những KNTH ở trên lớp của HS như: KN 2; KN 3; KN 4.

51

Đối với HĐ tự học ở nhà, GV chọn lọc những câu hỏi, bài tập phù hợp để giao nhiệm vụ cho từng loại HS (có thể phân ra 3 mức độ yêu cầu cả về số lượng và độ khó) kèm theo với những hướng dẫn, gợi ý cách tự học để giải được các bài tập đó. Điều đó tác động đến cả 6 KNTH, trong đó trực tiếp rèn luyện những KN giúp các em học ở nhà như: KN 1; KN 5; KN 6 và củng cố những KN 2, 3, 4. Ý nghĩa của BP 4 ở chỗ: Cùng với việc sử dụng các BP 1, 2, 3, BP 4 tác động một cách tổng hợp đến toàn bộ các KNTH của HS. Bởi lẽ ở tình huống giải bài tập toán, các em cần thiết và có thể thể hiện được mọi KN học toán của bản thân, đồng thời cũng là tình huống mà GV có thể “đo lường” được mức độ thành thạo các KNTH môn toán của HS. b) Cách thức thực hiện biện pháp Để chọn lọc, xây dựng và phân loại hệ thống bài tập về “hệ thức Vi-ét và ứng dụng” dành cho HS tự học, GV thực hiện như sau:  Hệ thống bài tập được chọn ra từ SGK, sách bài tập, sách tham khảo thuộc nội dung quy định ở chương trình Toán 9 để đảm bảo vừa sức, phù hợp với từng loại đối tượng, đảm bảo cho HS thấy cần và có khả năng giải được bài tập đó. Đối với chủ đề này, có 8 dạng bài tập như sau: Dạng 1: Nhẩm nghiệm của PT bậc hai; Dạng 2: Lập PT bậc hai; Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích; Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức nghiệm; Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của PT bậc hai chứa tham số; Dạng 6: Tìm giá trị của tham số để thỏa mãn một hệ thức các nghiệm của PT bậc hai; Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của PT bậc hai; Dạng 8: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức các nghiệm của PT bậc hai;  Đảm bảo có tính phân bậc: Để HS tự học và giải được bài tập, các bài tập cần được sắp xếp và sử dụng theo những mức độ khác nhau (cả về số lượng và độ khó). Ở chủ đề này, GV có thể xây dựng 8 dạng bài tập kể trên theo 3 mức độ phân bậc sau:

52

Loại 1 - Bài tập dễ giải: Lựa chọn những bài tập chỉ cần trực tiếp vận dụng đúng lí thuyết như: Dùng hệ thức Vi ét tìm tổng và tích các nghiệm theo các hệ số a,b,c mang không cần phải giải PT theo công thức nghiệm; Nhẩm nghiệm PT bậc hai cho trước; .... Loại bài tập này ít bước giải, không đòi hỏi suy luận phức tạp, chủ yếu để củng cố lý thuyết và kiểm tra KN cơ bản (nhận diện - thể hiện quy tắc - PP có sẵn đối với một vài dạng bài tập đơn giản, quen thuộc) phù hợp với HS trung bình và yếu. Ý đồ rèn luyện KNTH: Thiết kế và sử dụng loại bài tập này, GV giúp cho HS mặc dù học toán còn yếu nhưng vẫn có thể tham gia tập luyện (ở mức độ thấp, số lượng ít, yêu cầu đơn giản) một vài KNTH như KN 1; KN 2; một phần KN 3.

Loại 2 - Bài tập trung bình: Lựa chọn những bài tập đòi hỏi có thêm một vài bước vận dụng trung gian, đòi hỏi cần đến một vài thao tác tư duy lôgic và những kiến thức toán học khác (không chỉ thuần tuý áp dụng hệ thức Vi ét, công thức nghiệm, …). Loại bài tập này phù hợp với những HS trung bình và khá. Ý đồ rèn luyện KNTH: Thiết kế và sử dụng loại bài tập này, GV giúp cho HS học toán ở mức trung bình và khá có thể tham gia tập luyện những KNTH (với yêu cầu trung bình khá về số lượng, về tư duy) như KN 1; KN 2; KN 3; một phần KN 4 (đối với HS khá).

Loại 3 - Các dạng bài tập khó: Lựa chọn những bài tập có tính chất phức tạp, yêu cầu các kết quả khái quát hơn hơn, đòi hỏi phải áp dụng lí thuyết một cách tổng hợp và sáng tạo, cần đến những thao tác tư duy bậc cao, thường phải dùng đến nhiều kiến thức, áp dụng những kỹ thuật biến đổi nhất định để chuyển đổi, đưa về các dạng bài toán đã biết (quy lạ về quen). Loại bài tập này phù hợp với HS khá giỏi. Ý đồ rèn luyện KNTH: Thiết kế và sử dụng loại bài tập này, GV giúp cho HS học toán ở mức khá giỏi được tập luyện (với số lượng tương đối nhiều và yêu cầu cao) toàn bộ 6 KNTH, trong đó tập trung vào một số KN tương đối phức tạp về thao tác tư duy, ở mức tổng hợp cao như KN 4; KN 5; KN 6.  Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính cân đối cả về lượng kiến thức và thời gian sử dụng, theo quy định của chương trình và tạo cơ hội rèn KNTH, tuy nhiên,

53

mỗi loại HS cũng cần phải có những nỗ lực nhất định thì mới giải được các bài tập (số lượng, mức độ hoàn thiện). Đồng thời có thể giao cho HS một số bài tập gắn với tình huống thực tiễn (góp phần phát triển NL giải quyết vấn đề thực tiễn), được phân bậc cho phù hợp với ba loại đối tượng HS. ii) Hệ thống bài tập sử dụng trong tự học “hệ thức Viet và ứng dụng” Loại I - NHẨM NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI 1. Dạng đặc biệt: Xét PT ax2  bx  c  0 (a  0) (*) ta thấy: a) Nếu a + b + c = 0 PT có một nghiệm x1  1 và nghiệm còn lại là x2 

c . a

b) Nếu a  b + c = 0 PT có một nghiệm là x1  1 và nghiệm còn lại là x2 

c . a

Ví dụ 2.13: Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các PT sau: 1) 2x2  5x  3  0

(1)

2) 3x2  8x 11  0

(2)

- HĐ nhận diện và thể hiện khi vận dụng hệ thức Vi-ét (KNTH 3): PT (1) có dạng a  b + c = 0 nên có nghiệm x1  1 và x2  PT (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1  1 và x2 

3 2

11 .

3

- HĐ kiểm tra lời giải và trả lời kết quả (KNTH 6) Bài tập áp dụng: Không dùng quy tắc giải, hãy tìm nhanh nghiệm của các PT bậc hai sau: 1. 35x2  37 x  2  0

2. 7 x2  500x  507  0

3. x2  49x  50  0

4. 4321x2  21x  4300  0

Ở đây HS áp dụng tương tự các ví dụ, bài tập trên (KNTH 3) 2. Cho PT, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của PT: Ví dụ 2.14:

54



Bài tập: a) PT x 2  2 px  5  0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai. b) PT x2  5x  q  0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. c) Cho PT: x2  7 x  q  0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm

của PT. d) Tìm q và hai nghiệm của PT: x2  qx  50  0 , biết PT có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 

Các KNTH rèn luyện cho HS thể hiện trong quá trình giải bài toán: a) HĐ nghiên cứu đề bài, nhận diện, nhớ lại và tóm tắt những tri thức có liên

quan (KNTH 1,2, 3) - HĐ thể hiện hệ thức Vi ét để giải bài toán (KNTH 4) Thay x1  2 vào PT ban đầu ta được: 44p 5  0  p 

9 5 5 ; Từ x1 x2  5 suy ra x2   4 x1 2

- HĐ thử lại nghiệm và xem xét tính chặt chẽ, đầy đủ của lời giải (KNTH 6) Tương tự như vậy đối với các ý b) c) d) của bài tập.

Loại II - LẬP PT BẬC HAI THEO ĐIỀU KIỆN 1. Lập PT bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2 Đặt S  x1  x2 ; P  x1 x2 , khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của PT có dạng x2  Sx  P  0 .

Ví dụ 2.15: HĐ 1: Nghiên cứu bài toán (KNTH 1) Cho x1  3 ; x2  2 lập một PT bậc hai chứa hai nghiệm trên.

HĐ 2: Nhận diện và thể hiện hệ thức Vi-ét (KNTH 3) trong quá trình giải bài toán.  S  x1  x2  5 vậy x1 ; x2 là nghiệm của PT có dạng:  P  x1 x2  6

Theo hệ thức Vi-ét ta có  x2  Sx  P  0  x2  5x  6  0

HĐ 3: Thử lại nghiệm và xem xét tính chặt chẽ, đầy đủ của lời giải (KNTH 6)

55

Bài tập áp dụng: 1.

x1 = 8

vµ

x2 =  3

2.

x1 = 3a

vµ

x2 = a

3.

x1 = 36

vµ

x2 =  104

4.

x1 = 1  2

vµ

x2 = 1  2

2. Lập PT bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một PT cho trước: Ví dụ 2.16: Cho PT: x2  3x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải PT trên, hãy lập PT bậc 2 có ẩn là y thoả mãn: y1  x2 

1 1 và y2  x1  x1 x2

HĐ 1: Nghiên cứu bài toán, xác định giả thiết - kết luận (KNTH 1) HĐ 2: Nhận diện và thể hiện hệ thức Vi-ét (KNTH 3) trong quá trình giải bài toán.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: S  y1  y2  x2 

P  y1 y2  ( x2 

1 1 x x 1 1 3 9  x1   ( x1  x2 )      ( x1  x2 )  1 2  3   x1 x2 x1 x2 2 2  x1 x2 

1 1 1 1 9 )( x1  )  x1 x2  1  1   2 11  x1 x2 x1 x2 2 2 9 2

9 2

Vậy PT cần lập có dạng: y 2  Sy  P  0 hay y 2  y   0  2 y 2  9 y  9  0 .

HĐ 3: Thử lại nghiệm và xem xét tính chặt chẽ, đầy đủ của lời giải (KNTH 6) Bài tập áp dụng: 1. Cho PT 3x2  5x  6  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải PT, Hãy lập PT bậc hai có các nghiệm y1  x1  5 6

1 1 và y2  x2  x2 x1

1 2

(Đáp số: y 2  y   0 hay 6 y 2  5 y  3  0 ) 2. Cho PT: x2  5x 1  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập PT bậc 2 có ẩn y thoả mãn y1  x14 và y2  x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của PT đã cho). (Đáp số: y 2  727 y  1  0 )

56

3. Cho PT bậc hai: x2  2x  m2  0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập PT bậc hai có các nghiệm y1; y2 sao cho: a) y1  x1  3 và y2  x2  3

b) y1  2 x1  1 và y2  2 x2  1

Đáp số: a) y 2  4 y  3  m2  0

b) y 2  2 y   4m 2  3  0

Loại III - TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2  Sx  P  0 (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0).

Ví dụ 2.17: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  3 và tích P = ab =  4.

Vì a + b =  3 và ab =  4 nên a, b là nghiệm của PT: x2  3x  4  0 Giải PT trên ta được x  1 và x2  4 .

1

Vậy

nếu a = 1 thì b =  4. nếu a =  4 thì b = 1.

Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P: 1. S = 3

và

P=2

2. S =  3

và

P=6

3. S = 9

và

P = 20

4. S = 2x

và

P = x2  y2

Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết: 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41; 2. a  b = 5 và ab = 36; 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30.

Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a và b.

Từ a  b  9   a  b   81  a 2  2ab  b2  81  ab  2

81   a 2  b2  2  x1  4  x2  5

Suy ra: a, b là nghiệm của PT có dạng: x 2  9 x  20  0   Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5; nếu a = 5 thì b = 4.

57

 20

2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b Cách 1: Đặt c =  b ta có: a + c = 5 và a.c =  36  x1  4  x2  9

Suy ra a, c là nghiệm của PT: x 2  5 x  36  0   Do đó nếu a =  4 thì c = 9 nên b =  9 nếu a = 9 thì c =

 4 nên b = 4

Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab   a  b    a  b   4ab  169 2

2

2

2

 a  b  13 2   a  b   132    a  b  13

*) Với a  b  13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của PT:  x  4 x 2  13x  36  0   1  x2  9

Vậy a =  4 thì b = 9 *) Với a  b  13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của PT: x  4 x 2  13 x  36  0   1  x2  9

Vậy a = 9 thì b = 4 3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:  a  b  11  a  b  11

Từ: a2 + b2 = 61   a  b   a 2  b 2  2ab  61  2.30  121  112   2

*) Nếu a  b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của PT:  x  5 x 2  11x  30  0   1  x2  6

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5 *) Nếu a  b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của PT: x  5 x 2  11x  30  0   1  x2  6

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.

58

Loại IV - TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối với các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức.

1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: ( x1  x2 ) và x1 x2 .

Ví dụ 2.18: Biến đổi các biểu thức sau, đưa về dạng tổng và tích. a) x12  x22  ( x12  2 x1 x2  x22 )  2 x1 x2  ( x1  x2 )2  2 x1 x2 b) x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   3x1x2  2





c) x14  x24  ( x12 )2  ( x22 )2   x12  x22   2x12 x22  ( x1  x2 )2  2x1x2   2x12 x22 2

d)

2

1 1 x1  x2   x1 x2 x1 x2

Ví dụ 2.19: a) Biểu thức x1  x2  ? Có thể đưa về dạng tổng và tích ... hay không?

Ta biết  x1  x2    x1  x2   4 x1 x2  x1  x2   2

2

 x1  x2 

2

 4x1 x2

b) Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 1. x12  x22

(   x1  x2  x1  x2  =…….)

2. x13  x23

(=  x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   x1x2  =…….)

3. x14  x24

(=  x12  x22  x12  x22  =……)

4. x16  x26

(= ( x12 )3  ( x22 )3   x12  x22  x14  x12 x22  x24  = ……..)

2





Bài tập áp dụng: 5. x16  x26

7. x17  x27

6. x15  x25

8.

1 1  x1  1 x2  1

2. Không giải PT, tính giá trị của biểu thức nghiệm: Ví dụ 2.20: a) Cho PT: x2  8x 15  0 . Không giải PT, hãy tính: 1. x12  x22

(kết quả: 34)

2.

59

1 1  x1 x2

8   15 

kết quả: 

3.

kết quả: 

34    15 

x1 x2  x2 x1

5. x13  x23

4.  x1  x2 

2

(kết quả: 46)

(kết quả: 152)

b) Cho PT: 8x2  72 x  64  0 . Không giải PT, hãy tính: 1.

9   8

1 1  x1 x2

2. x12  x22

(65)

c) Cho PT: x2 14x  29  0 . Không giải PT, hãy tính: 1.

 14     29 

1 1  x1 x2

2. x12  x22

(138)

d) Cho PT: 2x2  3x 1  0 . Không giải PT, hãy tính: 1.

1 1  x1 x2

3. x12  x22

(3)

2.

1  x1 1  x2  x1 x2

(1)

5   4

4.

x1 x  2 x2  1 x1  1

5   6

e) Cho PT x2  4 3x  8  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải PT, hãy tính: Q

Hướng dẫn: Q 

6 x12  10 x1 x2  6 x22 5 x1 x23  5 x13 x2

6 x12  10 x1 x2  6 x22 6( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 6.(4 3) 2  2.8 17    3 3 2 2 5 x1 x2  5 x1 x2 5 x1 x2  x1  x2   2 x1 x2  5.8 (4 3)  2.8 80  

g) Cho PT x2  x  3  0 . Không giải PT hãy tính giá trị của biểu thức: a)

A  x13  4 x22  19 .

b)

B  4 x12  x23  19

Hướng dẫn: Từ PT: x2  x  3  0  x12  3  x1 .  x1  x2  1 . Khi đó ta có:  x1 x2  3

Theo hệ thức Vi-ét thì 

 x1  x2   x12  4 x2   x13  4 x22  4 x1 x2  x12 x2  x13  4 x22  12  3x1   x13  4 x22  19   7  3x1  A  x13  4 x22  19   x1  x2   x12  4 x2   7  3x1    3  x1  4 x2   7  3x1

 4  x1  x2   4  4.  1  4  0 .

*) Tương tự: Ta biến đổi biểu thức B  4 x12  x23  19 đưa về dạng chứa tổng và tích 2 nghiệm của PT đã cho, sau đó thay thế giá trị của chúng ở hệ thức Viet.

60

Loại V - TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PT SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này, ta thường làm theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để PT đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a  0 và   0).

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số.

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.

Ví dụ 2.21: Cho PT:  m  1 x 2  2mx  m  4  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 .

Lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Để PT trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì: m  1 m  1 m  1  0 m  1   2   4  m  '  0 5m  4  0 m  (m  1)(m  4)  0  5  2m 2    x1  x2  m  1  x1  x2  2  m  1 (1)  Theo hệ thức VI- ÉT ta có:   x .x  m  4  x .x  1  3 (2) 1 2   1 2 m 1 m 1

Rút m từ (1) ta có:

2 2  x1  x2  2  m  1  m 1 x1  x2  2

(3)

Rút m từ (2) ta có:

3 3  1  x1 x2  m  1  m 1 1  x1 x2

(4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: 2 3   2 1  x1 x2   3  x1  x2  2   3  x1  x2   2 x1 x2  8  0 x1  x2  2 1  x1 x2

Ví dụ 2.22: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của PT:  m  1 x 2  2mx  m  4  0 . Chứng minh rằng biểu thức A  3  x1  x2   2 x1 x2  8 không phụ thuộc giá trị của m.

Hướng dẫn: Để PT trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:

61

m  1 m  1 m  1  0 m  1   2   4  m  '  0 5m  4  0 m  (m  1)(m  4)  0  5  2m   x1  x2  m  1 Theo hệ thức VI- ÉT ta có:   x .x  m  4  1 2 m  1 A  3  x1  x2   2 x1 x2  8  3.

thay vào A ta có:

2m 6m  2m  8  8(m  1) 0 m4  2. 8   0 m 1 m 1 m 1 m 1 4 5

Vậy A = 0 với mọi m  1 và m  . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m.

Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để PT đã cho có 2 nghiệm.

- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm rồi đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Bài tập áp dụng: 1. Cho PT: x 2   m  2  x   2m  1  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập đối với m.

Hướng dẫn: Dễ thấy    m  2   4  2m  1  m 2  4m  8   m  2   4  0 2

2

do đó PT đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 .

Theo hệ thức VI- ÉT ta có m  x1  x2  2(1)  x1  x2  m  2    x x 1 x . x  2 m  1 m  1 2 (2)  1 2   2

Từ (1) và (2) ta có: x1  x2  2 

x1 x2  1  2  x1  x2   x1 x2  5  0 2

2. Cho PT: x 2   4m  1 x  2  m  4   0 .

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy   (4m  1)2  4.2(m  4)  16m2  33  0 do đó PT đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 .

62

 x1  x2  (4m  1) 4m  ( x1  x2 )  1(1)   x1.x2  2(m  4) 4m  2 x1 x2  16(2)

Theo hệ thức VI- ÉT ta có: 

Từ (1) và (2) ta có: ( x1  x2 )  1  2 x1 x2  16  2 x1 x2  ( x1  x2 )  17  0 Loại VI - TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PT THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để PT đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a  0 và   0).

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải PT (có ẩn là tham số).

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

1. Dạng cơ bản: Ví dụ 2.23: Cho PT: mx 2  6  m  1 x  9  m  3  0 . Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1  x2  x1.x2 .

Hướng dẫn: Điều kiện để PT có 2 nghiệm x1 và x2 là: m  0 m  0 m  0    2 2 2  '  9  m  2m  1  9m  27m  0  '  9  m  1  0  '  3  m  1  9(m  3)m  0 

6(m  1)  x1  x2   m  0  m . Theo hệ thức VI- ÉT ta có:   9( m  3) m   1  x x  1 2  m

và từ giả thiết: x1  x2  x1 x2  6(m  1) 9(m  3)   6(m  1)  9(m  3)  6m  6  9m  27  3m  21  m  7 m m

(thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy với m = 7 thì PT đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1  x2  x1.x2 Ví dụ 2.24: Cho PT: x 2   2m  1 x  m2  2  0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 3x1 x2  5  x1  x2   7  0

63

Hướng dẫn: Điều kiện để PT có 2 nghiệm x1 & x2 là:  '  (2m  1)2  4(m2  2)  0

 4m2  4m  1  4m2  8  0  4m  7  0  m   x1  x2  2m  1

Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 

2  x1 x2  m  2

7 4

và từ giả thiết

3x1 x2  5  x1  x2   7  0 , ta suy ra:

3(m 2  2)  5(2m  1)  7  0  3m2  6  10m  5  7  0  m  2(TM )  3m  10m  8  0    m  4 ( KTM ) 3  2

Vậy với m = 2 thì PT có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức 3x1 x2  5  x1  x2   7  0 .

Bài tập áp dụng Bài 1: Cho PT bậc hai với ẩn x, tham số m R là x 2  2mx  2m  1  0 a) Tìm m để PT luôn có một nghiệm x =  2. Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại. b) Tìm m sao cho PT luôn có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:





2 x12  x22  5x1 x2  27

Bài 2: Cho PT bậc hai: x 2  2  m  1 x  m2  m  1  0 (1)

a) Giải PT (1) khi m =  2. b) Tìm giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: x12  x22  18

Bài 3: Cho PT bậc hai: x 2  m  1x  m 2  1  0 (1) a) Giải PT (1) với m =  1. b) Tìm các giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm phân biệt a, b thoả mãn a  2b 2 2 ( mxm  1 ) 5  0 Bài 4: Cho PT: x , (x là ẩn, m là tham số).

a) Chứng minh rằng PT đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

64

b) Tìm tất cả các giá trị của m để PT đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều 2 2 kiện x1 x2 10.

Bài 5. Cho PT x2  2(m  1) x  3  m  0 . Tìm m sao cho nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x12  x22  10 .

2. Dạng nâng cao: Ví dụ 2.25: 1. Cho PT: mx 2  2  m  4  x  m  7  0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1  2 x2  0 2. Cho PT: x 2   m  1 x  5m  6  0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1  3x2  1 3. Cho PT: 3x 2   3m  2  x   3m  1  0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 3x1  5x2  6 Hướng dẫn giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập trong ví dụ 2.23 ở chỗ: + Trong ví dụ 2.23 thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở ví dụ 2.23 hoặc cũng có thể tính x1 và x2 theo tham số từ x1  x2 và hệ thức bài cho rồi thế vào x1 x2 . Do đó có một số hướng làm như sau: Bài 1: - Điều kiện xác định: m  0 & m 

16 15

2(m  4)  x  x  1 2  m -Theo VI-ÉT:  m  7 x x   1 2 m

(1)

65

*) Cách 1: Sử dụng kỹ thuật thêm bớt vào hai vế của hệ thức đã cho:  x1  x2  3x2  2( x1  x2 ) 2  9 x1 x2 (2) 2( x1  x2 )  3x1

- Từ x1  2 x2  0 Suy ra: 

- Thế (1) vào (2) ta đưa được về PT sau: m2  127m  128  0  m1  1; m2  128 .

*) Cách 2: Giải hệ PT tính x1 & x2 theo tham số sau đó thế vào tích x1 x2 . 4(m  4)  2(m  4) 2(m  4) x1     x  x  2 x  2 x2   3m  1  Ta có:  1 2 m m  x1  2 x2  0  x1  2 x2  0  x  2(m  4)  2 3m

Thay vào x1 x2 

m7 4(m  4)   2(m  4)  m  7 , ta được:  .  m m  3m   3m 

m  1 2  8  m  4   9m  m  7   m2  127m  128  0    m  128

Bài 2: - Điều kiện xác định:   m2  22m  25  0  m  11  96; m  11  96 .  x1  x2  1  m (1)  x1 x2  5m  6

- Theo VI-ÉT:  *) Cách 1:

 x1  1  3( x1  x2 )  x1 x2  1  3( x1  x2 ). 4( x1  x2 )  1  x2  4( x1  x2 )  1

- Từ: 4 x1  3x2  1 . Suy ra: 

 x1 x2  7( x1  x2 )  12( x1  x2 )2  1 (2)

m  0 (thoả mãn) m  1

- Thế (1) vào (2) ta có PT: 12m(m  1)  0  

 x1  x2  1  m 3x  3x2  3  3m  x  3m  2  1  1 4 x1  3x2  1 4 x1  3x2  1  x2  3  4m

*) Cách 2: Ta có hệ PT 

m  0 m  1

Thay vào: x1 x2  5m  6  12m  m  1  0  

66

Bài 3: - Vì   (3m  2)2  4.3(3m  1)  9m2  24m  16  (3m  4)2  0 với mọi số thực m nên PT luôn có 2 nghiệm phân biệt.

3m  2    x x 1 2  3 (1) - Theo VI-ÉT:   (3 m  1) x x   1 2 3

*) Cách 1: Từ giả thiết: 3x1  5x2  6 . Suy ra: 8 x1  5( x1  x2 )  6  64 x1 x2  5( x1  x2 )  6.3( x1  x2 )  6  8 x  3( x  x )  6 1 2  2  64 x1 x2  15( x1  x2 )2  12( x1  x2 )  36 (2)

m  0 Thay thế (1) vào (2) ta được PT: m(45m  96)  0    m   32 15 

(thoả mãn)

*) Cách 2: Ta có hệ PT: 15m  8  3m  2 3m  2 x1     3 x 3 x 3 m 2    x  x  x  x    1 2   24 1 2  1 2 3  3   3x1  5 x2  6 8 x2  3m  8  x  3m  8 3x1  5 x2  6 2 8 

Thay vào x1 x2 

  3m  1 15m  8 3m  8   3m  1  .  3 24 8 3

 15m  8  3m  8   64  3m  1  45m2  120m  24m  64  192m  64  0 m  0  45m  96m  0  3m 15m  32   0    m   32 15  2

Bài tập áp dụng a) Tìm m để PT mx 2  2  m  1 x  3  m  2   0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1  2 x2  1 . b) Tìm m để PT 5x2  mx  28  0 có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức: 5 x1  2 x2  1 .

c) Tìm m để PT mx 2  2  m  1 x   m  4   0 có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức: x1  4 x2  3 .

67

3. Dạng khác: 1. Cho PT x 2  2  m  1 x  m2  4  0 . Tìm m để PT có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x12  2  m  1 x2  3m2  16 .

2. Cho PT x2  2mx  m2  m 1  0 . Tìm m để PT có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x12  2mx2  9 .

3. Cho PT x2  4x  m2  3m  0 (1). Tìm m để PT có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x12  x2  6 .

Nhận xét: Với các bài toán dạng này sẽ gây trở ngại không nhỏ cho người giải, bởi dữ kiện bài cho không giống như ở dạng VI.2 vì lúc này hai nghiệm bị lệch bậc, không những thế còn chứa cả tham số. Để giải đòi hỏi sự quan sát tinh tế, tư duy toán học linh hoạt và khả năng tổng hợp kiến thức tốt.

Hướng dẫn giải: Bài 1: Để PT đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thì:  '     m  1    m 2  4   0  m 2  2m  1  m 2  4  0  m  2

3 2

 x1  x2  2  m  1 2  x1 x2  m  4

Theo VI-ÉT ta có: 

Từ PT đã cho ta có: x22  2  m  1 x2  m2  4  0  2  m  1 x2  x22  m2  4 (1) Thay (1) vào x12  2  m  1 x2  3m2  16 , ta được: x12  x22  m 2  4  3m 2  16   x1  x2   2 x1 x2  m 2  4  3m 2  16 2









 2  m  1  2 m2  4  m2  4  3m2  16  4 m2  2m  1  m2  4  3m2 16  0 2

 8m  16  m  2

Kết hợp với điều kiện có nghiệm của PT ta thấy với hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x12  2  m  1 x2  3m2  16 .

Bài 2: Để PT đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thì:

68

3  m  2 thì PT đã cho có 2

 '  m 2   m 2  m  1  0  m  1 (*)

 x1  x2  2m

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

2  x1 x2  m  m  1

Từ PT đã cho ta có: x22  2mx2  m2  m  1  0  2mx2  x22  m2  m  1 (1) Thay (1) vào x12  2mx2  9 , ta được: x12  x22  m 2  m  1  9   x1  x2   2 x1 x2  m 2  m  1  9  0 2



 



  2m  2 m2  m  1  m2  m  1  9  0  3m2  m 10  0   m  23m  5  0 2

 m  2  KTM  5 . Với m  thì PT có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x12  2mx2  9 .  5  m  TM  3  3

Bài 3: Để PT (1) có hai nghiệm x1 và x2 thì:  '(1)  4   m 2  3m   0  1  m  m  4   0  4  m  1  x1  x2  4

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

2  x1 x2  m  3m

Kết hợp với giả thiết ta có:  x1  x2  4  x  1  x12  x1  2  0   x1  1 x1  2   0   1  2  x1  2  x1  x2  6

*) Với x1  1  x2  5 . Từ x1 x2  m2  3m  m2  3m  5  0 Dễ thấy PT trên vô nghiệm do có   9  4.5  0 *) Với x1  2  x2  2 . m  1  m  4

Từ x1 x2  m2  3m  m2  3m  4  0   m  1 m  4   0  

Đối chiếu điều kiện có nghiệm của PT (1) là -4 m  1, ta thấy cả 2 giá trị trên đều thỏa mãn. Vậy với m = 1; m  4 thì PT (1) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức x12  x2  6 .

Loại VII - XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI Cho PT: ax2  bx  c  0 (a  0). Hãy tìm điều kiện để PT có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

69

Ta lập bảng xét dấu sau: x1

Dấu nghiệm

x2

S = x1+x2

P  x1 x2



Điều kiện chung

P<0

0

  0 ; P < 0.

P>0

0

0 ;P>0

trái dấu



cùng dấu,





cùng dương,

+

+

S>0

P>0

0

  0 ; P > 0;S > 0

cùng âm





S<0

P>0

0

  0 ; P > 0;S < 0

Ví dụ 2.26: Xác định tham số m sao cho PT 2 x 2   3m  1 x  m2  m  6  0 có 2 nghiệm trái dấu. Để PT có 2 nghiệm trái dấu thì   (3m  1)2  4.2.(m2  m  6)  0   (m  7)2  0m   0  2    2  m  3    m m6 0 P  0  P  (m  3)(m  2)  0 P   2

Vậy với 2  m  3 thì PT có 2 nghiệm trái dấu.

Ví dụ 2.27: 2 2 Cho PT 2 x  (m  2) x  7  m  0 . Tìm giá trị dương của m để PT có 2

nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia.

Giải: Ta có a = 2 > 0. PT có 2 nghiệm trái dấu  7  m2  0   7  m  7 Với điều kiện này giả sử x 1 < 0, x 2 > 0, theo đề ra ta có: 1 7  m2 x1    x1 x2  1  ( )  1  7  m2  2  m2  5  m   5 x2 2

Vì m > 0 nên ta chọn Kết luận: Vậy với m =

m=

5 (thoả mãn điều kiện  7  m  7 )

5 thì PT đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm

có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia.

Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm m để PT: a) mx 2  2  m  2  x  3  m  2   0 có 2 nghiệm cùng dấu. b) 3mx 2  2  2m  1 x  m  0 có 2 nghiệm âm. c)  m  1 x 2  2 x  m  0 có ít nhất một nghiệm không âm.

70

Bài 2: Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , PT. a)

7 x 2 + kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu .

b)

12 x 2 +70x + k 2 +1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu .

Bài 3: Cho PT x 2 - 2m + m - 4 = 0 a)

Tìm m để PT có 2 nghiệm đối nhau . Tính 2 nghiệm đó.

b)

Tìm m để PT có 2 nghiệm thực dương

Loại VIII - TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta phân tích A m

được: C   (trong đó A, B là các biểu thức không âm; m, k là hằng số) (*) k  B thì ta thấy:

C  m (vì A  0 )  min C  m  A  0 C  k (vì B  0 )

 max C  k  B  0

Ví dụ 2.28: Cho PT: x 2   2m  1 x  m  0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của PT. Tìm m để: biểu thức A  x12  x22  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.

Bài giải: Dễ thấy    2m  1  4m  4m 2  1  1  0 nên PT đã cho luôn có hai nghiệm 2

 x1  x2  (2m  1)  x1 x2  m

x1 và x2 với mọi giá trị của m. Theo tính chất VI-ÉT: 

Theo đề bài: A  x12  x22  6 x1 x2   x1  x2   8 x1 x2 2

  2m  1  8m 2

 4m 2  12m  1  (2m  3) 2  8  8

Suy ra: min A  8  2m  3  0 hay m 

3 2

Ví dụ 2.29: Cho PT: x2  mx  m 1  0 . Gọi x1 và x2 là các nghiệm của PT. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức B 

71

2 x1 x2  3 . x  x22  2  x1 x2  1 2 1

 x1  x2  m  x1 x2  m  1

Hướng dẫn: Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì:  B

2 x1 x2  3 2 x1 x2  3 2(m  1)  3 2m  1    2 2 2 x  x2  2  x1 x2  1 ( x1  x2 )  2 m2  2 m 2 2 1

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: B  Vì  m  1

 m  1 0

2

m2  2   m2  2m  1 m2  2

 m  1  1

2

m2  2

2

m2  2

 0  B  1 . Vậy max B = 1 m = 1

Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 1 1 2 1 m  2m  1  m 2 m  4m  4    m2  2   m  2 2  1 2 2 B 2 2   2 2 m 2 m 2 2  m2  2  2

Vì  m  2   0  2

 m  2

2

2  m  2 2

0 B

1 2

1 2

Vậy min B    m  2 Cách 2: Đưa về giải PT bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để PT đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Ta có B 

2m  1  Bm 2  2m  2 B  1  0 2 m 2

(**)

Ta có thể coi (**) là một PT bậc hai với m là ẩn, B là tham số . Khi đó: Ta có:  'm  1  B(2B  1)  1  2B 2  B . Để PT (**) luôn có nghiệm với mọi m thì ’  0 hay 2 B 2  B  1  0  2 B 2  B  1  0   2 B  1 B  1  0  1 B    2 B  1  0 2       B 1 0 B 1 1        B 1  2 B  1  0 2   B   1  2    B  1  0  B  1 

Vậy: max B  1  m = 1 min B  

1  m  2 .

2

72

Bài tập áp dụng 1. Cho PT x 2   4m  1 x  2  m  4   0 , có hai nghiệm x1; x2 . Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ nhất.

2

2. Cho PT: x2  2(m  4) x  m2  8  0 xác định m để PT có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn a) A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất. b) B  x12  x22  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

3. Cho PT: x2  (m 1) x  m2  m  2  0 có hai nghiệm x1; x2 . Với giá trị nào của m, biểu thức C  x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

4. Cho PT x2  (m  1) x  m  0 , có hai nghiệm x1; x2 . Xác định m để biểu thức D  x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

5. Cho PT x2  (2m  1) x  m2  m  2  0 . Xác định m để PT có hai nghiệm x1, x2 sao cho E  x1  x2  5  đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn: Ta có    2m  1  4  m2  m  2  9  0, m nên PT (1) luôn 2

có hai nghiệm phân biệt x  m  2 và x  m 1.

Ta xét hai trường hợp: 2 1)  x1  m  2 , ta có: E   m  2  m  1  5    m  2  m  4   m 2  6m  8   m  3  1  1

 x2  m  1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m  3  0  m  3 2)

 x1  m  1   x2  m  2

, ta có:

E   m  1 m  2  5    m  1 m  7   m 2  6m  7   m  3  16  16 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m  3  0  m  3 Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 16 , đạt được khi m  3 .

BÀI TẬP VẬN DỤNG HỆ THỨC VI ÉT CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN Ví dụ 2.30: GV có thể sưu tầm, thiết kế một số bài tập có nội dung thực tiễn có phân bậc dành cho 3 loại HS: Yếu - Trung bình - Khá giỏi để các em tập luyện vận dụng hệ thức Vi ét giải quyết một số tình huống thực tế.

73

HS yếu: Thường chỉ là những bài tập ngắn, có “vỏ” ngôn ngữ thực tế nhưng bản chất hoàn toàn tương tự với ví dụ, bài tập đã học - thậm chí được gợi ý rõ về định hướng sử dụng lý thuyết; hoặc câu hỏi mở - chỉ cần quan sát thực tế xung quanh ... để trả lời mà không yêu cầu định lượng chính xác và chi tiết, không đòi hỏi lập luận phức tạp. Chẳng hạn: Mảnh vườn nhỏ trồng hoa hình chữ nhật có chiều dài 3m và chiều rộng 2m. Tính chu vi và diện tích của vườn. Từ đó hãy dùng hệ thức Vi ét để giải bài toán “Mảnh vườn nhỏ trồng hoa hình chữ nhật có chu vi là 10m và diện tích là 6m2. Tính chiều dài và chiều rộng của vườn”.

HS trung bình: Bài tập gắn với nội dung có tính thực tế không quá phức tạp, có thể mô hình hóa chuyển về bài toán áp dụng được hệ thức Vi ét để giải. Chẳng hạn: Mảnh vườn nhỏ trồng hoa hình chữ nhật có chu vi là 10m và diện tích là 6m2.

Tính chiều dài và chiều rộng của vườn.

HS khá giỏi: Mức độ phức tạp cao hơn cả về hình thức biểu đạt ở dạng thực tiễn cũng như yêu cầu tư duy lập luận để chuyển được về dạng bài tập toán học thuần túy, có thể nâng cao hơn bằng cách cần phải giải dạng toán trung gian trước khi áp dụng hệ thức Vi ét. Chẳng hạn: Giải bài toán “Mảnh vườn nhỏ trồng hoa hình chữ nhật có chu vi là 16m. Nếu tăng chiều rộng thêm 1m và giảm chiều dài đi 1m thì trở thành hình vuông. Tính chiều dài và chiều rộng của vườn”. Sau đó hãy lập một đề bài tập tương tự ở tình huống giao thông khi thay đổi vận tốc và thời gian của chuyển động.

2.2.5. Biện pháp 5: Sử dụng hệ thống câu hỏi bài tập có phân bậc giúp HS tự học a) Cơ sở và mục đích của biện pháp Việc chọn lọc xây dựng một hệ thống câu hỏi bài tập như trên xuất phát từ nhu cầu thực tế và để sử dụng trong DH hệ thức Vi-ét và ứng dụng, nhằm củng cố tri thức, rèn luyện KN vận dụng hệ thức Vi ét. Vì vậy, GV cần biết cách khai thác sử dụng hợp lý những bài tập này trong quá trình DH, một mặt đạt được những mục tiêu DH của chủ đề, mặt khác tác động đến những KNTH của HS. b) Cách thức thực hiện biện pháp Theo phân phối chương trình, GV thực hiện DH chủ đề “hệ thức Vi-ét và ứng dụng”, trong đó tăng cường tập luyện KNTH cho HS thông qua việc khai thác sử dụng hệ thống bài tập đã xây dựng nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện KN vận dụng hệ thức Vi-ét, phát triển những NL cần thiết trong học toán.

74

Để sử dụng phù hợp với từng loại đối tượng HS cũng như các hình thức tổ chức DH trên lớp và ở nhà, GV có thể thiết lập dạng ma trận như sau: Bảng 2.1. Lựa chọn câu hỏi bài tập tự học dành cho HS yếu Loại bài tập

Số lượng Trên lớp Ở nhà

Loại 1 (dễ) Loại 2 (trung bình) Loại 3 (khó) Loại 1 - Bài tập dễ: ở Loại 2 - Bài tập trung Loại 3 - Bài tập khó: dạng biểu đạt đơn bình: giả thiết và dữ Dạng biểu đạt cô giản, vận dụng trực kiện ở dạng ẩn hơn, đọng - ẩn giấu các dữ tiếp lý thuyết cần nhiều bước giải kiện, nhiều bước hơn, tư duy tương phức tạp, cần đến tư đối tổng hợp. duy sáng tạo 1-2 1-2 0 2-3 1 0

Bảng 2.2. Lựa chọn bài tập tự học dành cho HS trung bình Loại bài tập

Số lượng Trên lớp Ở nhà

Loại 2 - Bài tập trung Loại 3 - Bài tập khó: Loại 1 - Bài tập dễ: ở bình: giả thiết và dữ Dạng biểu đạt cô dạng biểu đạt đơn kiện ở dạng ẩn hơn, đọng - ẩn giấu các dữ giản, vận dụng trực cần nhiều bước giải kiện, nhiều bước tiếp lý thuyết hơn, tư duy tương phức tạp, cần đến tư đối tổng hợp. duy sáng tạo 1 1-2 1 1 2-3 0-1

Bảng 2.3. Lựa chọn bài tập tự học dành cho HS khá giỏi Loại bài tập Loại 1 - Bài tập dễ: ở dạng biểu đạt đơn giản, vận dụng trực tiếp lý thuyết Số lượng Trên lớp Ở nhà

0 0

Loại 2 - Bài tập trung Loại 3 - Bài tập khó: bình: giả thiết và dữ Dạng biểu đạt cô kiện ở dạng ẩn hơn, đọng - ẩn giấu các dữ cần nhiều bước giải kiện, nhiều bước hơn, tư duy tương phức tạp, cần đến tư đối tổng hợp. duy sáng tạo 1-2 1-2 2 2-3

Sau đây là một số gợi ý sử dụng hệ thống bài tập giúp HS tự học: i) Tổ chức HS học trên lớp 

Giờ học lý thuyết: Trong điều kiện thời gian hạn hẹp của một số tiết lý thuyết về “hệ thức Viet và

ứng dụng” , chủ yếu GV tập trung vào những câu hỏi, bài tập với yêu cầu cơ bản (các dạng bài tập 1,2,3,4 ở trên), vừa sức bằng cách chọn lọc sử dụng và đối chiếu với hệ thống ví dụ bài tập trong SGK, sách bài tập, tài liệu tham khảo để dùng có mục đích rõ ràng, phân bậc cho phù hợp với điều kiện thời gian và từng loại đối tượng HS.

75



Giờ học luyện tập: Khi HS đã học lý thuyết, GV có thể chọn lọc sử dụng những dạng bài tập chủ

yếu để củng cố vận dụng lý thuyết, trong đó có chú ý đến 2 loại đối tượng HS khá giỏi và HS yếu kém. Bên cạnh các dạng bài tập 1,2,3,4 (dành cho HS trung bình trở xuống), GV chọn và hướng dẫn thêm cho HS khá giỏi giải những dạng bài tập 5,6,7,8 (kể trên). 

Giờ học ôn tập chương: Khi HS đã có thời gian nhất định để học và làm bài tập, GV cần hệ thống hóa

các kiến thức lý thuyết và dạng bài tập trong chủ đề nội dung “hệ thức Viet và ứng dụng” để HS nắm được phương pháp giải và hiểu cách vận dụng như thế nào ... Từ đó tổ chức hướng dẫn các em tự giải một số bài tập điển hình (trong số những dạng bài tập 18) tuỳ theo sức học của bản thân, trong đó đảm bảo những dạng cơ bản (dạng bài tập 1,2,3,4) chung cho các HS. 

Sử dụng câu hỏi bài tập trong phiếu học tập giúp HS tự học trên lớp: GV có thể sử dụng hệ thống câu hỏi bài tập để thiết kế và sử dụng 3 loại phiếu

giúp HS tự học vào các thời điểm tương ứng trong bài học trên lớp: Phiếu loại 1 - Củng cố lí thuyết Ví dụ 2.31: (Phiếu học tập dành cho HS yếu và trung bình yếu) a) Phát biểu và viết công thức định lý Viet. b) Cho các PT bậc hai: 2x2  5x  3  0 (1) 3x2  8x 11  0 (2) - Giải từng phương trình, tính tổng và tích các nghiệm; - Đối với từng PT, hãy xác định các hệ số a,b,c và tính các tỷ số 

b c và ; a a

- So sánh giữa tổng và tích các nghiệm của từng PT với các tỷ số 

b c và để kiểm a a

nghiệm lại hệ thức Vi ét (ở câu hỏi a).

Ví dụ 2.32: (Phiếu học tập dành cho HS trung bình) a) Nêu tính chất giữa các nghiệm của một PT bậc hai trong trường hợp có 2 nghiệm? b) Xem lại bài học và điền vào bảng tổng hợp các trường hợp xét dấu các nghiệm của PT bậc hai.

76

x1

Dấu của nghiệm

x2

P  x1 x2

S  x1  x2



Điều kiện chung

trái dấu cùng dấu cùng dương cùng âm

Ví dụ 2.33: (Phiếu học tập dành cho HS khá giỏi) Nếu cho một PT bậc hai, ta có thể biết được các nghiệm của nó cùng dấu hay là khác dấu hay không? Tại sao? Khi nào ta có thể biết được điều đó? Giải thích để chứng tỏ cách lập luận đó là đúng đắn.

Phiếu loại 2 - Luyện tập thực hành vận dụng giải bài tập Ví dụ 2.34: (Phiếu học tập dành cho HS yếu và trung bình yếu) Cho các PT bậc hai sau, hãy tính tổng và tích của các nghiệm đối với từng PT mà không phải giải cụ thể các nghiệm: a) x2 + x - 2 = 0

và

b) x2 - 5x + 6 = 0

Ví dụ 2.35: (Phiếu học tập dành cho HS trung bình và trung bình khá) Câu hỏi 1: Cho các PT bậc hai sau, hãy tính tổng và tích của các nghiệm đối với từng PT mà không phải giải cụ thể các nghiệm: a) 15x2 + 11x - 4 = 0 c)

2 1 2 3 x - x=0 2 4 3

b)

- 5x2 + 7x + 31 = 0

d)

-0,5x2 + 71x + 23,4 = 0

Câu hỏi 2: Không dùng quy tắc giải, hãy tìm nhanh nghiệm của các PT bậc hai sau: 1. 35x2  37 x  2  0

2. 7 x2  500x  507  0

3. x2  49x  50  0

4. 4321x2  21x  4300  0

Câu hỏi 3: Cho PT: x2  5x 1  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập PT bậc 2 có ẩn y thoả mãn y1  x14 và y2  x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của PT đã cho).

Ví dụ 2.36: (Phiếu học tập dành cho HS khá giỏi) Câu hỏi 1:

Cho PT: x2  3x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải

PT trên, hãy lập PT bậc 2 có ẩn là y thoả mãn: y1  x2 

77

1 1 và y2  x1  x1 x2

Câu hỏi 2: Tìm 2 số a và b biết: 1)

a + b = 9 và a2 + b2 = 41;

2)

a  b = 5 và ab = 36;

3)

a2 + b2 = 61 v à ab = 30.

Câu hỏi 3:

Cho PT:  m  1 x 2  2mx  m  4  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 .

Lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Phiếu loại 3 - Kiểm tra Ví dụ 2.37: (Phiếu kiểm tra dành cho HS yếu và trung bình yếu) Câu hỏi 1: Nêu hệ thức Vi ét và các bước để tính tổng và tích các nghiệm của một PT bậc hai (khi có 2 nghiệm) Câu hỏi 2: Vận dụng công thức Vi et để tính tổng và tích các nghiệm của các PT bậc hai a) 11x2 - 5x - 6 = 0

b)

- 5x2 + 7x + 31 = 0

Ví dụ 2.38: (Phiếu kiểm tra dành cho HS trung bình) Câu hỏi 1: Cho các PT bậc hai a)

-21x2 + 7x + 29 = 0

b)

0,7x2 + x - 5,9 = 0

Hãy tính tổng và tích các nghiệm của từng PT. Từ đó tính giá trị của các biểu thức A = (x1)2 + (x2)2 và B =

1 1  x1` x2

Câu hỏi 2: Lập PT bậc hai biết 2 nghiệm của nó là 5 và 7?

Ví dụ 2.39: (Phiếu kiểm tra dành cho HS khá giỏi) Câu hỏi 1: Biết PT x 2  2 px  5  0 có một nghiệm bằng 2. Hãy tìm p và nghiệm thứ hai?

Câu hỏi 2: Hãy biến đổi các biểu thức sau đây về dạng chỉ chứa tổng và tích các nghiệm x1 và x2 của một PT bậc hai: A = x12  x22 ; B = x13  x23 ; C = x14  x24 ; D = x16  x26 .

Câu hỏi 3: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của PT bậc hai  m  1 x 2  2mx  m  4  0 .

Chứng minh rằng biểu thức A  3  x1  x2   2 x1 x2  8 không phụ thuộc giá trị của m.

78

ii) Hướng dẫn HS tự học ở nhà (phân thành 3 bậc - mức độ yêu cầu các dạng toán ứng với 3 loại đối tượng HS tương tự như khi hướng dẫn tự học trên lớp) 

Khi học lý thuyết: Hướng dẫn HS xem vở ghi và đối chiếu với SGK để nắm được những kiến

thức chủ yếu của bài học, xem các ví dụ, bài tập mẫu để hiểu lý thuyết và biết cách nhận dạng, thể hiện lý thuyết khi làm bài tập. 

Khi giải bài tập về nhà: Hướng dẫn HS xem các ví dụ, bài tập mẫu và chọn lọc những bài tập phù hợp

với HĐ tự học - để các em vận dụng tương tự khi giải bài tập ở nhà. Chú ý phân bậc 3 loại đối tượng HS (khá giỏi, trung bình và yếu kém). 

Khi ôn tập chương, học kỳ: Yêu cầu và hướng dẫn HS cách thức hệ thống hóa lý thuyết, xem các dạng bài

tập và cách giải ở ví dụ mẫu. Sau đó tự vận dụng vào một số bài tập tương tự trong từng dạng toán điển hình và nâng cao trong chủ đề “hệ thức Viet và ứng dụng”. Đối với HS khá giỏi, có thể yêu cầu thêm tìm mối liên hệ giữa lý thuyết và các dạng bài tập của chủ đề “hệ thức Viet và ứng dụng” với những chủ đề kiến thức Toán 9 khác.

Ví dụ 2.40: Đối với nội dung luyện tập vận dụng hệ thức Vi-ét, GV hướng dẫn HS chọn những câu hỏi, bài tập phù hợp với từng yêu cầu luyện tập như sau: 

Trên lớp: Với yêu cầu chỉ cần vận dụng hệ thức Vi-ét một cách trực tiếp, đơn giản theo kiến thức lý thuyết vừa học GV cho HS dùng các bài tập dạng:

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của PT bậc hai; Dạng 2: Lập PT bậc hai; Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích. 

Ở nhà: Khi tự học ở nhà, sau khi đã bước đầu biết vận dụng định lý giải một số

dạng bài tập đơn giản, các em làm thêm dạng bài tập mức độ trung bình khá, có phần sáng tạo.

Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức nghiệm; Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của PT bậc hai chứa tham số;

79



Khi ôn tập chủ đề trên lớp và tự ôn tập ở nhà : Sau khi đã được luyện tập một số KN giải một số dạng bài tập về hệ thức Vi-

ét, GV bổ sung thêm các dạng bài tập khó, vận dụng tổng hợp, sáng tạo: Dạng 6: Tìm giá trị của tham số để thỏa mãn một hệ thức các nghiệm của PT bậc hai; Dạng 7: Xác định dấu các nghiệm của PT bậc hai; Dạng 8: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức các nghiệm của PT bậc hai; 2.2.6. Biện pháp 6: Sử dụng công nghệ thông tin hỗ trợ HĐ tự học “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” a) Cơ sở và mục đích của biện pháp Khai thác thế mạnh của công nghệ thông tin mà GV có thể trợ giúp HS tự học mọi lúc, mọi nơi trong những điều kiện hoàn cảnh khác nhau: trên lớp, ở nhà, cùng với một số phương tiện công nghệ hỗ trợ như computer, máy tính bảng, mạng internet, smartphone và khai thác thông qua mạng internet.

Nhờ vậy, HĐ tự học của HS được thuận lợi, thường xuyên, chủ động và hiệu quả hơn. Đồng thời với khả năng tương tác cao, các phương tiện kỹ thuật không chỉ tạo điều kiện trình bày nội dung tự học, mà còn hướng dẫn cả cách thức tự học, thu thập thông tin về HĐ tự học của HS, trợ giúp kiểm tra và đánh giá kết quả tự học ... b) Cách thức thực hiện biện pháp Với những học liệu tự học đã nêu (tài liệu, hệ thống câu hỏi bài tập dành cho tự học), GV có thể hướng dẫn HS cả về cách thức tự học; nội dung tự học; câu hỏi bài tập luyện tập và bài kiểm tra, ... qua mạng, trên một số website, hoặc thậm chí có thể thiết lập các nhóm trong mạng xã hội như Facebook, Zalo, ...

HS dùng một số phương tiện kỹ thuật trợ giúp như máy tính để bàn, laptop, máy tính bảng, smartphone, máy tính cầm tay, ... để tiến hành các HĐ tự học theo một số hình thức như sau: Hình thức 1: Tổ chức HS tự học với phương tiện có hướng dẫn trực tiếp của GV Khi có điều kiện, ngay ở trên lớp, GV cũng có thể tổ chức HS dùng phương tiện kỹ thuật (máy tính, máy tính bảng, smartphone, máy tính cầm tay) để tham gia HĐ tự học một số nội dung theo học liệu tự học. Cụ thể là: GV giao nhiệm vụ, hướng dẫn HS tự học và nhận phản hồi của HS thông qua tin nhắn SMS, Email trên smartphone, máy tính (khi có phòng học đa năng);

80

GV và HS cùng trực tuyến, sử dụng chức năng “chat” hoặc “chat video” để trao đổi thông tin (qua smartphone hoặc mạng internet với máy tính kết nối); Khi đó, GV có thể cùng một lúc hướng dẫn, hỗ trợ cho nhiều HS tự học bằng cách sử dụng chức năng nhóm … Hơn nữa, mọi khó khăn của từng HS nảy sinh trong quá trình tự học đều nhận được sự hướng dẫn trực tiếp của GV một cách kịp thời, trợ giúp các em hoàn thành nhiệm vụ tự học của mình. Trong hình thức này, HS sử dụng máy tính, máy tính bảng, smartphone như một công cụ hỗ trợ khả năng tính toán, tra cứu thông tin và tương tác với thầy cô giáo và bạn học cùng nhóm.

Hình thức 2: Hướng dẫn HS tự học ở nhà với phương tiện kỹ thuật GV thiết kế, biên tập tài liệu hướng dẫn tự học đưa lên hệ thống và cài đặt nhiệm vụ và các hướng dẫn để HS hoàn thành nhiệm vụ tự học cũng như các câu hỏi dạng trắc nghiệm để HS tự kiểm tra kết quả tự học của bản thân.

Nội dung tự học được thiết kế thành các nhiệm vụ cụ thể - dưới dạng các yêu cầu HĐ, các câu hỏi và bài tập (tương tự như trong phiếu học tập ở BP 5). Chỉ khi HS hoàn thành một nhiệm vụ thì mới được giao nhiệm vụ mới (do chức năng quản lý của phần mềm). Khi HS gặp khó khăn sai lầm, nhờ khai thác chức năng phân nhánh, tài liệu sẽ đưa ra các thông tin tương ứng để kịp thời cung cấp cho HS những hỗ trợ, khuyến khích một cách kịp thời để hoàn thành nhiệm vụ. Thông qua các phương tiện (máy tính, máy tính bảng, smartphone) và mạng internet, GV thu nhận thông tin phản hồi về kết quả học tập của HS sau quá trình tự học và có thể có những giúp đỡ điều chỉnh nhịp độ học tập của HS một cách phù hợp.

HS dùng phương tiện cá nhân để đăng nhập vào hệ thống (website, nhóm Facebook, Zalo, ...) để tham gia chương trình tự học: xem phần tóm tắt lý thuyết và đối chiếu với các ví dụ minh họa việc vận dụng kèm theo. Tiếp theo, HS sẽ trả lời các câu hỏi, làm các bài tập thực hành (có gợi ý hướng dẫn cần thiết). Cuối cùng tham gia bài tập kiểm tra và đối chiếu kết quả tự học.

Như vậy, mặc dù không cần có mặt trực tiếp, nhưng GV vẫn có thể “trợ giúp, dẫn dắt” HS hoàn thành nhiệm vụ tự học ở nhà phù hợp với khả năng của từng HS. Trong trường hợp này, phương tiện kỹ thuật và phần mềm đóng vai trò một GV “ảo” cung cấp kịp thời, đúng lúc, đúng chỗ cho HS những tri thức cần thiết đồng thời cũng

81

là công cụ để HS tiếp cận với kiến thức, bài tập mà GV đã định hướng cũng như giúp HS thực hiện nhiệm vụ tự học, thể hiện và tự kiểm tra kết quả tự học của bản thân.

Hình thức 3: Tổ chức hoạt động tự học theo nhóm Dưới hình thức này, khái niệm nhóm HS cùng nhau tự học nhờ khai thác phương tiện kỹ thuật và công nghệ thông tin được mở rộng: Các HS này không nhất thiết phải cùng một lớp, một trường THCS mà sẽ là tập hợp các HS đang có cùng một quan tâm và động cơ muốn tìm hiểu một vấn đề, cùng tìm cách giải một bài tập ...

Các HS này không nhất thiết phải có mặt ở cùng một địa điểm cố định mà mỗi HS ở một địa điểm khác nhau, thậm chí cũng không nhất thiết phải truy cập mạng cùng một thời điểm. Nhiệm vụ tự học của nhóm có thể là do một hoặc nhiều GV gợi ý, cũng có thể do một HS trong quá trình tự học đưa lên diễn đàn để tìm bạn chia sẻ, trao đổi.

Hình thức tự học theo nhóm nhờ sự hỗ trợ của phương tiện như vậy cũng có thể tiến hành trên lớp và ở nhà: GV cũng có thể chia lớp thành nhiều nhóm và giao (hoặc cho HS tự chọn) cho mỗi nhóm một nhiệm vụ học tập - chẳng hạn một dạng bài tập về hệ thức Vi-ét và ứng dụng.

GV hướng dẫn các nhóm HS truy cập nhóm Facebook, Zalo, ... hoặc website, các em sẽ nhận được danh mục các chủ đề, nội dung bài giảng, câu hỏi và bài tập ...

Sau đó HS tiến hành HĐ tự học theo nhóm (trên lớp hoặc ở nhà).

Hình thức 4: Học sinh tự học độc lập Hình thức tự học hoàn toàn không có hướng dẫn của GV thường dành cho những HS có động cơ học toán tốt. HS có nhu cầu tự học, tự tìm hiểu môn toán, từ đó các em tự xác định mục tiêu tự học, nội dung muốn tìm hiểu khám phá để thỏa mãn nhu cầu của bản thân.

Khi đó, GV chỉ cần gợi ý chỉ dẫn sơ bộ trên lớp để ở nhà HS tự lên kế hoạch, chọn nội dung và đặt ra mục đích cụ thể và sử dụng phương tiện kỹ thuật cá nhân (máy tính, máy tính bảng, smartphone, máy tính cầm tay, ...) tiếp cận với các nguồn tư liệu học tập: cùng với những tài liệu giấy như SGK, sách bài tập, sách tham khảo ... HS tìm hiểu và đối chiếu mở rộng thêm các thông tin trên các website, hoặc tự trao đổi với bạn bằng nhiều cách (chat, SMS, phone, ...). Ngoài ra, HS còn có thể sử dụng phương tiện và phần mềm như một công cụ để tạo dựng mô hình, nghiên cứu các hiện tượng và rút

82

ra dự đoán, nhận định của bản thân. Một tác dụng khác là HS chia sẻ, kiểm chứng kết quả tự học với nhau bằng cách đưa vấn đề, câu hỏi, kết quả nghiên cứu lên các diễn đàn để chia sẻ, nhận thông tin hỗ trợ, kiểm chứng từ các HS khác.

Nội dung tự học “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” dùng cho BP 6: Mô đun 1: Tóm tắt lý thuyết.

Nội dung của mô đun trình bày những kiến thức cơ bản về hệ thức Vi-ét và ứng dụng, kèm theo hệ thống các ví dụ minh họa những dạng bài tập ứng dụng hệ thức Vi ét. (nội dung các câu hỏi, bài tập tương tự như các ví dụ 2.31; 2.32; 2.33 đã trình bày trong các phiếu học tập ở BP 5).

Mô đun 2: Bài tập có hướng dẫn.

Nội dung của mô đun này bao gồm 8 dạng bài tập ứng dụng hệ thức Vi ét được thiết kế theo cấu trúc phân nhánh. Mỗi dạng bài tập được chia thành các ý nhỏ (mỗi ý nhỏ là một loại câu hỏi về kiến thức, KN trong 8 dạng bài tập) và có ví dụ minh họa. Để học theo mô đun này, HS dựa trên các ví dụ ở mô đun 1, nếu gặp khó khăn ở bước nào thì có thể kích chuột để xem lại lý thuyết, tham khảo các gợi ý, hướng dẫn.

Các bài tập ở mô đun này không có lời giải trọn vẹn, đầy đủ như các ví dụ ở mô đun 1.

Nhờ vậy, HS tập luyện KN thực hiện làm theo các gợi ý, hướng dẫn chi tiết để hoàn thiện lời giải.

(Nội dung các bài tập của mô đun 2 được chọn ra từ hệ thống bài tập ở BP 4 tương tự như các ví dụ 2.34; 2.35; 2.36 trong các phiếu học tập ở BP 5) Mô đun 3: Bài tập để HS tự rèn luyện (sử dụng 3 loại bài tập dành cho 3 loại đối tượng HS tương tự như trong phiếu học tập ở BP 5).

Nội dung của mô đun này được thiết kế theo định hướng phân bậc HĐ để phù hợp với sự đa dạng về nhận thức của HS. Các bài tập này thường chỉ có gợi ý ngắn, đáp số để HS đối chiếu kết quả.

(Nội dung các bài tập ở mô đun 3 được chọn ra từ hệ thống bài tập ở BP 4 tương tự như các ví dụ 2.34; 2.35; 2.36 trong các phiếu học tập ở BP 5) Mô đun 4: Tự kiểm tra (nội dung tương tự như trong phiếu kiểm tra ở BP 5) Để các câu hỏi, bài tập kiểm tra đánh giá năng lực vận dụng kiến thức vào giải bài tập đảm bảo tính phân hóa và mức độ khó (dành cho 3 loại đối tượng HS như ở

83

BP 5), GV lựa chọn nội dung từ hệ thống câu hỏi bài tập ở BP 4 - tương tự như các ví dụ 2.11; 2.12 ở BP 3; các ví dụ 2.37; 2.38; 2.39 trong các phiếu kiểm tra ở BP 5) Về việc sử dụng linh hoạt các mô đun: Cần chú ý với những HS trung bình và yếu thì ta có thể sử dụng tất cả các mô đun mà GV đã chuẩn bị. Với HS khá, giỏi thì ta có thể bỏ qua một vài bước trung gian và khi HS đã hiểu, làm được những câu hỏi bài tập dễ (chẳng hạn với một số câu hỏi lý thuyết ở mô đun 1; một vài bài tập có hướng dẫn ở mô đun 2), ta có kết thúc để chuyển sang tự học với những bài tập khó hơn ở mô đun 3 và 4 tiếp theo.

2.3. Kết luận chương 2 Trong chương này chúng tôi đã xây dựng được sáu BP nhằm rèn luyện KNTH cho HS THCS thông qua nội dung “hệ thức Vi-ét và ứng dụng”, tác động của hệ thống các BP này đến quá trình tự học của HS như sau: - BP 1 (có tác dụng khởi động) nhằm tạo động cơ, gây hứng thú tự học cho HS: GV gợi động cơ, tạo hứng thú tự học cho HS khi dạy học chủ đề “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”; - Các BP 2 và 6 tập trung vào việc hướng dẫn và tập luyện những kỹ thuật tự học cụ thể cho HS trong DH “hệ thức Vi-ét và ứng dụng” ở trường THCS: GV tập luyện cho HS những KNTH cụ thể đối với nội dung “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”.

Trong đó tác động đến 4 KN cơ bản để thực hiện tự học là KN 1 (đọc - hiểu); KN 2 (biểu đạt); KN 3 (ghi nhớ - tái hiện); KN 4 (liên kết và hệ thống hóa). Đồng thời BP này bước đầu tập luyện cho các em biết lập kế hoạch tự học cho bản thân (KN 5) và tự kiểm tra kết quả học Toán (KN 6).

- BP 3 tập trung vào tập luyện KN 6 (tự kiểm tra - đánh giá tự học toán): GV tổ chức hướng dẫn HS tự kiểm tra đánh giá HĐ tự học “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” trên lớp và ở nhà.

- Các BP 4, 5 để GV xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập phân bậc về hệ thức Vi-ét và ứng dụng, nhằm hướng dẫn tổ chức HS tập luyện tự học giải bài tập trên lớp và ở nhà.

Giữa các BP trên có mối liên hệ hữu cơ, gắn bó với nhau khi rèn luyện KNTH “hệ thức Vi ét và ứng dụng”. Có thể nói: Với các BP 1, 2, 3, 6 GV giúp cho HS không

84

những có động lực và thói quen tự học, mà còn có những hiểu biết cần thiết và tập luyện được những KNTH (trên lớp cũng như ở nhà) cơ bản. Từ đó, khi HS đã có KNTH cơ bản, nhờ BP 4, 5 các em được tổ chức tập luyện vận dụng một cách tổng hợp vào tự học giải các dạng bài tập (phân bậc nhiều mức độ phù hợp với đối tượng HS).

Những gợi ý sư phạm cho GV khi áp dụng các BP cùng với việc xây dựng một số tình huống DH cụ thể đối với nội dung “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” đã minh họa cho việc sử dụng đồng bộ các BP nhằm tác động đến KNTH của HS lớp 9; tạo điều kiện để GV & HS vận dụng trong dạy và học môn Toán THCS.

85

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của một số biện pháp DH đã đề xuất.

3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm - Lựa chọn đối tượng GV & HS và phạm vi thực nghiệm; - Thiết kế tài liệu TN (giáo án dạy học) và trao đổi chuyên môn với nhóm tham gia thực nghiệm; - Tiến hành giảng dạy thực nghiệm và rút kinh nghiệm.

- Đánh giá kết quả thực nghiệm và kết luận.

3.2. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm - Thực nghiệm được tiến hành một đợt tại hai trường THCS của Huyện Giao Thuỷ, tỉnh Nam Định là: THCS Giao Tân và THCS Bình Hòa.

- Thời gian học kì II năm học 2018 - 2019: Từ 18/3/2019 đến 23/3/2019 - GV dạy thực nghiệm và GV dạy đối chứng: Trường THCS Giao Tân: - Lớp thực nghiệm 9A gồm có 27 HS do cô giáo Vũ Thị Thuý Hằng giảng dạy.

- Lớp đối chứng 9B gồm có 27 HS do cô giáo Đỗ Thị Thu giảng dạy.

Trường THCS Bình Hòa: - Lớp thực nghiệm 9C gồm có 28 HS do cô giáo Trần Thị Lan giảng dạy.

- Lớp đối chứng 9B gồm có 28 HS do cô giáo Trần Thị Nhiễn giảng dạy.

Các lớp này theo nhận xét của GV chủ nhiệm có trình độ HS là tương đương nhau (dựa vào kết quả kiểm tra chất lượng đầu năm học do GV chủ nhiệm cung cấp).

Ngoài ra tại lớp thực nghiệm chúng tôi tiến hành thực nghiệm nghiên cứu trường hợp trên các đối tượng HS: Khá giỏi và trung bình (mỗi nhóm đối tượng chúng tôi nghiên cứu 2 HS) để thấy được mức độ phát triển KNTH của từng đối tượng HS thay đổi như thế nào trước và sau thực nghiệm.

86

3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm  Nội dung thực nghiệm bao gồm 4 tiết ở Chương IV - Hàm số y = ax2 (a  0). PT bậc hai một ẩn (SGK Toán 9) được thực hiện với sự vận dụng các biện pháp DH đã đề xuất. Cụ thể các bài dạy: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng (gồm 2 tiết lý thuyết và 2 tiết luyện tập).

 Giáo án thực nghiệm: Bài 1 - “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” Phần minh họa sử dụng các BP DH thể hiện ở tình huống DH đã trình bày trong các ví dụ minh họa ở chương 2.

Bài 2 - Luyện tập “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” Phần minh họa sử dụng các BP thể hiện ở giáo án DH đã trình bày ở mục 2.2.2. trong các ví dụ minh họa cho BP 4. Ở đây, chúng tôi xin minh họa cụ thể đối với tiết dạy Luyện tập dành cho bài dạy “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”.

Tiết 58 - LUYỆN TẬP I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: Củng cố hệ thức Vi-ét.

2. Kỹ năng: Rèn các KN khi vận dụng hệ thức Vi - ét để giải một số dạng bài tập: - Tính tổng, tích các nghiệm của PT. - Nhẩm nghiệm của PT trong các trường hợp có a + b + c = 0, a - b +c = 0 hoặc qua tổng, tích của hai nghiệm (nếu hai nghiệm là những số nguyên có giá trị tuyệt đối không quá lớn) - Tìm hai số biết tổng và tích của nó.

- Lập PT biết hai nghiệm của nó.

- Phân tích đa thức thành nhân tử nhờ nghiệm của đa thức.

Thông qua đó, HS được củng cố, tập luyện những KNTH 1, 2, 3, 4 và 7.

3. Phẩm chất và NL: - Tích cực tham gia các HĐ học; thói quen và khả năng hợp tác với các bạn trong nhóm; - NL tính toán, biến đổi; NL giải quyết vấn đề; NL tự học.

87

II. CHUẨN BỊ CỦA GV- HS 1. GV: máy tính, máy chiếu, màn hình tivi, giáo án.

2. HS: ôn tập hệ thức Vi ét và ứng dụng.

III. TIẾN TRÌNH TIẾT HỌC: 1. Ổn định lớp: a. Kiểm tra sĩ số b. Kiểm tra bài cũ: (Tập luyện KNTH 1,2,3) HS1: - Phát biểu hệ thức Vi - ét.

HS2: - Nêu cách tính nhẩm nghiệm trường hợp: a + b + c = 0 và a - b + c = 0.

2. Tổ chức các HĐ dạy học 2.1. Khởi động: (Lựa chọn sử dụng bài tập dạng 1) Thông qua HĐ này, HS được tập luyện củng cố những KN: KNTH 1 và 2: HĐ tìm hiểu, nhận diện và tóm tắt bài tập.

KNTH 3: HĐ giải bài tập tương tự với bài tập đã biết.

- HS1: Chữa bài tập 27: Dùng hệ thức Vi - ét để nhẩm các nghiệm của PT a) x2 - 7x + 12 = 0 -HS2: Chữa bài tập 26c, d. a) 35x2 - 37x + 2 = 0;

c, x2 - 49x - 50 = 0

Đáp án: HS1: - Bài tập 27:

a)

x2 - 7x + 12 = 0

HS2: Kết quả:

a)

x1 = 1; x2 =

(Kết quả: x1 = 3; x2 = 4)

2 .

35

c)

x1 = - 1; x2 = 50.

2.2. HĐ luyện tập HĐ của GV và HS

Mục đích

* Phương pháp: Vấn đáp, luyện tập và thực hành, HĐ nhóm, nêu và giải quyết vấn đề * Kĩ thuật dạy học: Kĩ thuật chia nhóm, kĩ thuật đặt câu hỏi, hỏi đáp, động não Bài tập dạng 1 vận dụng trực tiếp (do GV: Gợi ý hướng dẫn HS vận dụng trực GV đưa ra):

tiếp hệ thức Vi-ét để tính S và P đối với

- Hãy tính tổng và tích 2 nghiệm của mỗi từng PT. PT bậc hai sau:

Khi đó:

88

HĐ của GV và HS

Mục đích

a) 2x2+ 5x - 7 = 0

KNTH 1,2,3 ứng với HĐ tìm hiểu bài tập,

b) x2 = 8x - 15

nhận diện đúng PT bậc hai, xác định đúng

c) 11x + 19 = 17x2

các hệ số, nhớ lại quy tắc giải, vận dụng đúng hệ thức Vi ét để tính được, kết luận

Bài tập dạng 2: Lập PT bậc hai có

giá trị tổng, tích hai nghiệm.

a) Hai nghiệm là x1 = 36 vµ x2 =  104

GV: Hướng dẫn HS viết dưới dạng

b) Hai nghiệm là x1 = 3a vµ x2 = a

x2 - Sx + P = 0 trong đó S là tổng của 2

c) Hai nghiệm là x1 = 1  2 vµ x2 = nghiệm còn P là tích của 2 nghiệm.

1 2

Khi đó:

Tính giá trị của m để PT có nghiệm, rồi KNTH 4 ứng với HĐ đối chiếu với bài tập đã biết  hệ thống được dạng toán  lập tính tổng và tích các nghiệm theo PT. PT bậc hai theo đúng PP giải KNTH 6 ứng với HĐ kiểm tra quá trình giải, thử lại nghiệm, ... a, x2 - 2x + m = 0

Bài 30 (SGK) - Bài tập dạng 5, 6

GV: PT có nghiệm khi nào?

Giải.

GV: Tính tổng và tích các nghiệm theo ’ = (-1)2 - m = 1 - m m?

PT có nghiệm  ’  0  1 - m  0

 m  1.

- Theo hệ thức Vi- ét, ta có: Gọi 1 HS lên bảng làm câu b.

b a

x1 + x2 = - = 2 ; x1 . x2 =

c =m a

b, x2 + 2(m - 1)x +m2= 0 ’ = (m - 1)2 - m2 = -2m+1 PT có nghiệm  ’  0  - 2m + 1  0  m 

1 2

- Theo hệ thức Vi- ét, ta có: b a

x1 + x2 = - = -2(m - 1) ; x1.x2 =

89

c = m2 a

HĐ của GV và HS

Mục đích Khi đó: KNTH 1,2,3 ứng với HĐ tìm hiểu bài tập, nhận diện đúng PT bậc hai chứa tham số, xác định đúng các hệ số, nhớ lại và vận dụng đúng quy tắc giải dạng toán tìm tổng và tích 2 nghiệm, trả lời.

HS tự làm bài tập 31 (Tập luyện KNTH Bài 31 (SGK) Tính nhẩm nghiệm của các 4). GV gợi ý hướng dẫn (đối với những PT: (Bài tập dạng 1 - 5 - 6) HS cần trợ giúp)

b,

GV: Bài toán yêu cầu làm gì?

d, (m - 1) x2 - (2m + 3) x + m + 4 = 0 với

3 x2 - (1 -

3) x - 1 = 0

(Dạng 1)

m  1.

(Dạng 1, 5, 6) (rèn luyện KNTH 1,2,3,4) GV:

Muốn nhẩm nghiệm ta áp dụng Giải. kiến thức nào? b, Ta có: a - b + c = 3 +1 GV lưu ý: nhận xét xem với mỗi trường PT có hai nghiệm hợp bài áp dụng được trường hợp c 1 3 x1 = -1; x2 = =  a + b + c = 0 hay a - b + c = 0. a

3

3-1= 0

3

d, Ta có: a + b + c = m - 1 - 2m - 3 + m + 4 = 0 PT có hai nghiệm x1 = 1; x2 =

m4 c = a m 1

HS tự làm bài tập 31 (Tập luyện KNTH Bài 32 (SGK) Tìm hai số u và v trong mỗi 4). GV gợi ý hướng dẫn (đối với những trường hợp sau: (Dạng 3) HS cần trợ giúp)

Khi đó:

GV hướng dẫn và gợi ý cho HS thực KNTH 1 và 2 ứng với HĐ tìm hiểu, nhận hành giải

diện và tóm tắt đề bài;

GV hoàn chỉnh từng bước và ghi lại lời KNTH 3 ứng với HĐ giải bài tập tương tự giải.

với bài tập đã biết.

90

HĐ của GV và HS

Mục đích KNTH 4 ứng với HĐ khái quát hóa dạng bài toán 3. b, u + v = - 42; u.v = - 400 c, u - v = 5; uv = 24 Giải. b, Ta có: S = u + v = - 42 P = u. v = - 400  u và v là nghiệm của PT x2 + 42x - 400 = 0 ’ = 212 - (- 400) = 841 

  =29

x1 = -21 + 29 = 8 x2 = -21 - 29 = -50 Vậy u = 8; v = -50 hoặc v = 8; u = -50. c, Có S = u + (-v) = 5, P = u. (-v) = -24  u và (-v) là nghiệm của PT x2 - 5x - 24 = 0  =25 + 96 = 121  x1 =

 = 11

5  11 5  11  8 ; x2 =  3 2 2

Vậy u = 8; -v = -3  u = 8; v = 3 hoặc u = -3; - v = 8  u = -3, v = -8 3. HĐ vận dụng - Cho HS nhắc lại các kiến thức trọng tâm, các dạng bài tập cơ bản của bài.

Bài tập: Không giải PT, tính giá trị của biểu thức nghiệm (Bài tập dạng 4) Ở đây các bài tập đều cùng một dạng 4, tác động đến KNTH và rèn luyện cho HS những KN 1,2,3,4,6: + KNTH 1 và 2: HĐ tìm hiểu, nhận diện và tóm tắt đề bài; + KNTH 3: HĐ giải bài tập tương tự với bài tập đã biết;

91

+ KNTH 4: HĐ khái quát hóa các bài tập dạng 4; rút ra quy trình chung và hơn nữa là một vài kỹ thuật biến đổi riêng dành cho những ý sau (khó) của bài toán; + KNTH 6: HĐ tự kiểm tra quá trình giải bài tập, đối chiếu với kết quả đã cho.

Tuy nhiên, các bài tập được phân bậc từ thấp đến cao - theo mức độ phức tạp của các biểu thức cần tính giá trị (yêu cầu biến đổi nâng cao dần độ khó khăn để đưa được về việc tính theo tổng và tích các nghiệm của PT bậc hai). a) Cho PT: x2  8x 15  0 . Không giải PT, hãy tính: 1. x12  x22

(Kết quả: 34)

x1 x2  x2 x1

Kết quả    15 

3.

2.

 34 

5. x13  x23

8

1 1  x1 x2

4.  x1  x2 

Kết quả    15  2

(Kết quả: 46)

(Kết quả: 152)

b) Cho PT: 8x2  72 x  64  0 . Không giải PT, hãy tính: 1.

1 1  x1 x2

9  

2. x12  x22

Kết quả:   8

Kết quả: (65)

c) Cho PT: x2 14x  29  0 . Không giải PT, hãy tính: 1.

1 1  x1 x2

 14    29 

2. x12  x22

Kết quả: 

(Kết quả: 138)

d) Cho PT: 2x2  3x 1  0 . Không giải PT, hãy tính: 1.

1 1  x1 x2

3. x12  x22

(Kết quả: 3) 5

Kết quả:   4

2.

1  x1 1  x2  x1 x2

(Kết quả: 1)

4.

x1 x  2 x2  1 x1  1

Kết quả:   6

5

Trong đó tập trung nhiều hơn vào KNTH 4 (khái quát hóa và đặc biệt hóa), khi ở các ý 2 và 4, HS cần nhận diện tổng và tích trong các biểu thức có dạng tương đối khác biệt cần tính để tìm cách biến đổi quy lạ về quen, chuyển về những dạng biểu thức đã biết ở những bài tập phía trên. e) Cho PT x2  4 3x  8  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải PT, hãy tính: Q

6 x12  10 x1 x2  6 x22 5 x1 x23  5 x13 x2

92

Hướng dẫn: Q 

6 x12  10 x1 x2  6 x22 6( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 6.(4 3)2  2.8 17    3 3 2 2 5 x1 x2  5 x1 x2 5 x1 x2  x1  x2   2 x1 x2  5.8 (4 3)  2.8 80  

Ở đây, do đối chiếu với những dạng đã biết, HS gặp khó khăn đối với HĐ nhận diện (chẳng hạn có thể nghĩ đến việc rút gọn tử và mẫu của biểu thức Q!) nên đòi hỏi các em vận dụng KNTH 3 cùng với KNTH 4 (khái quát hóa và đặc biệt hóa), khi HS cần nhận diện tổng và tích trong biểu thức Q có dạng ban đầu chưa quen thuộc, cần tìm cách biến đổi quy lạ về quen, gồm cả những kỹ thuật biến đổi đã làm (như sử dụng hằng đẳng thức để đưa về dạng bình phương của tổng 2 nghiệm, ...), và cả kỹ thuật mới (đặt thừa số chung, thêm và bớt, ...) chuyển về những dạng biểu thức đối với tổng và tích (tương tự ở những bài tập phía trên). g) Cho PT x2  x  3  0 . Không giải PT hãy tính giá trị của A  x13  4 x22  19 .

Với bài tập này, yêu cầu biến đổi khó khăn hơn nữa (biểu thức có dạng bậc 3).

Khi đó HS cần phải sử dụng tổng hợp các KNTH để nhận diện, tìm ra mối liên hệ giữa biểu thức A với tổng và tích các nghiệm ... Từ đó mới phối hợp được nhiều cách biến đổi đưa A về có dạng một biểu thức với “hai biến mới” là u = (x1+x2) và v = (x1x2). Đây cũng là đường lối tổng quát nhất dành cho dạng bài toán tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của PT bậc hai, đòi hỏi HS phải phối hợp nhiều KN toán học cũng như KNTH. 4. HĐ tìm tòi mở rộng Bài 33. (Bài tập dạng 6) Chứng tỏ rằng nếu PT ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử như sau: ax2 + bx + c = a(x - x1) (x - x2).

Chứng minh: Ta có: ax2 + bx + c = a(x2 +

b c b c x + ) = a  x2 - (- ) x +  = a x2 - (x1+ x2) a a a a

x + x1x2) = a  (x2 - x1x) - (x2x - x1x2) = a (x- x1) (x - x2) Vậy ax2 + bx + c = a(x - x1) (x - x2) Áp dụng: Đối với PT 2x2 - 5x + 3 = 0, ta có a + b + c = 0. Do đó PT có 2 nghiệm là x1 = 1; x2 = 2(x - 1) (x -

3 c = . Theo công thức trên, ta phân tích được: x2 - 5x + 3 = 2 a

3 ) = (x - 1) (2x - 3).

2

93

Với bài tập này, yêu cầu không chỉ là biến đổi mà mục đích lại là chứng minh (thực chất là một hằng đẳng thức đối với tam thức bậc hai liên quan đến các nghiệm của nó). Khi đó HS cần phải sử dụng tổng hợp các KNTH (1,2,3,4,6) để nhận diện, tìm ra mối liên hệ giữa hai vế ... với tổng và tích các nghiệm ... Từ đó mới phối hợp được nhiều cách biến đổi đưa vế trái về có dạng một biểu thức chứa các tỷ số b/a và c/a. Sau đó lợi dụng hệ thức Vi ét để đưa về dạng biểu thức chứa (x1+x2), (x1x2). Cuối cùng cần biến đổi để đưa về có dạng ở vế phải. Trong quá trình tìm đường lối giải, biến đổi các biểu thức, HS cần huy động phối hợp nhiều KN toán học cũng như KNTH, đặc biệt là các KNTH 4 và 6. *. Hướng dẫn tự học ở nhà: Nhiệm vụ 1 - Xem kỹ lại bài tập đã chữa trên lớp.

Nhiệm vụ 2 - Bài tập: + Trong SGK: 30a, 31 (a, c); 32 a, 33b. + Tự luyện tập: Sử dụng các bài tập các dạng 3,4,5 trong hệ thống bài tập: Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích.

Bài tập: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là: a) Tổng là 9 và tích là (-112); b) Tổng là 1/21 và tích là (-10/21); c) Tổng là -5 3 và tích là (-42); Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức nghiệm; Bài tập: Không giải PT, tính giá trị của biểu thức nghiệm Cho PT: x2  8x 15  0 . Không giải PT, hãy tính: 1. x12  x22 3.

x1 x2  x2 x1

8    15 

1 1  x1 x2

(34)

2.

 34     15 

4.  x1  x2 

2

GV hướng dẫn HS tự học: Đầu tiên cần tính theo S và P các biểu thức sau: a) Biểu thức x1  x2  ? b) Biểu thức (x1)2+(x2)2 = ?

94

(46)

5. x13  x23

(152)

c) Biểu thức (x1)2-(x2)2 = ? d) Biểu thức

1 1  =? x1 x2

... sau đó thay thế giá trị của S và P tìm được từ PT đã cho vào.

Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của PT bậc hai chứa tham số; Bài tập có hướng dẫn: Cho PT: x 2   m  2  x   2m  1  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 .

Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập đối với m.

Hướng dẫn: Dễ thấy    m  2   4  2m  1  m 2  4m  8   m  2   4  0 do 2

2

đó PT đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 .

Theo hệ thức VI- ÉT ta có m  x1  x2  2(1)  x1  x2  m  2    x x 1 m  1 2 (2)  x1.x2  2m  1   2

Từ (1) và (2) ta có: x1  x2  2 

x1 x2  1  2  x1  x2   x1 x2  5  0 2

Ta thấy: Ở đẳng thức cuối cùng thu được, ta có 2S-P-5=0, chứng tỏ đây là một hệ thức không còn có mặt của tham số m nữa!

Bài tập vận dụng tương tự: (Bài tập dạng 5, 6) Bài tập: Cho PT bậc hai: x 2  2  m  1 x  m2  m  1  0 (1) a) Giải PT (1) khi m =  2. b) Tìm giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện: x12  x22  18 .

- Nhiệm vụ 3 (Chuẩn bị học bài mới): Đọc SGK Bài 7. PT quy về PT bậc hai. Ở đây, do nhiệm vụ chính là hướng dẫn HS tự học, nên cũng là khi GV nhắc lại, củng cố những HĐ ứng với KNTH 1,2,3,4,6. Đặc biệt là, lúc này GV tập trung vào việc giao nhiệm vụ tự học và hướng dẫn các em lập kế hoạch và thực hiện tự học ở nhà (KNTH 5).

3.4. Kết quả thực nghiệm và đánh giá 3.4.1. Nội dung và cách thức kiểm tra đánh giá Sau khi triển khai dạy thực nghiệm theo kế hoạch đề ra, chúng tôi tiến hành đo lường kết quả và nhận xét đánh giá tính hiệu quả và tính khả thi của các biện pháp đề xuất. Cụ thể là:

95

Cuối đợt thực nghiệm chúng tôi đã đánh giá kết quả thực nghiệm ở cả các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng; trong đó có 4 HS (nghiên cứu trường hợp kể trên) thông qua 01 bài kiểm tra 45 phút. Ngoài ra còn có một bài kiểm tra ngắn 20 phút để kiểm tra nhanh khả năng tự học trên lớp, tập trung vào các KNTH 2,3,6. 

Nội dung bài kiểm tra: 45 phút Câu 1: (kiểm tra KNTH 1, 2) Em hãy phát biểu (bằng lời) hệ thức Vi-ét theo cách hiểu của mình? Sử dụng

ký hiệu toán học để ghi tóm tắt công thức? Tính chất này giúp chúng ta làm được những việc gì khi giải bài tập về PT bậc hai?

Câu 2: (kiểm tra KNTH 3) Em hãy vận dụng quy tắc giải và dạy toán đã học để giải các bài tập sau: 1 2

a) Lập PT bậc hai biết 2 nghiệm của nó là (- ) và

2 .

3

b) Tìm tất cả các giá trị của m để PT 3mx 2  2  2m  1 x  m  0 có 2 nghiệm âm?

Câu 3: (kiểm tra KNTH 4) a) Em hãy lập bảng các dạng bài tập ứng dụng hệ thức Vi-ét và phương pháp giải? b) Xây dựng một bài tập tương tự với dạng bài tập ở ý b) câu 2. 

Ý đồ kiểm tra và đánh giá:

- Tiêu chí đánh giá: - Để đánh giá kết quả tác động của các biện pháp DH đối với những KNTH của HS tham gia thực nghiệm, chúng tôi tiến hành: Đồng loạt: + Quan sát dự giờ đối với các lớp thực nghiệm và đối chứng; + Trao đổi, phỏng vấn đối với GV & HS tham gia thực nghiệm; + Kiểm tra HS với nội dung “hệ thức Vi-ét và ứng dụng”và tìm hiểu những biểu hiện KNTH của các em. 

Nghiên cứu trường hợp: Chúng tôi tiến hành đối với 4 HS đã chọn về HĐ tự học trên lớp cũng như ở

nhà bằng cách quan sát và yêu cầu viết báo cáo: a) Quan sát những HS này tự học trên lớp trước và sau khi tác động thực nghiệm;

96

b) Cho các nhóm đối tượng làm bài kiểm tra trước và sau thực nghiệm. Trước và sau thực nghiệm chúng tôi cho các đối tượng HS trong 20 phút tự viết một báo cáo ngắn với nội dung sau: Em hãy mô tả chi tiết các công việc trong một buổi tự học môn toán ở nhà gần đây nhất của bản thân? Nêu những khó khăn và những điểm em đã vượt qua được?

3.4.2. Đánh giá định lượng Sau khi đánh giá kết quả qua bài kiểm tra, chúng tôi nhận thấy: - Đối tượng HS giỏi ở lớp TN đã làm khá tốt cả 3 câu hỏi, bài tập yêu cầu. Hơn nữa, một số HS đã biết tự kiểm tra lại quá trình giải và thử lại kết quả đối với câu hỏi 2.

Tuy nhiên với những em ở lớp đối chứng thì đã gặp khó khăn lúng túng nên còn có một số sai sót nhỏ ở các câu hỏi 1, 2 và một số em không làm được câu cuối. Điều đó cho thấy: HS lớp thực nghiệm đã thể hiện được các KNTH 1,2,3,4 một cách tương đối tốt, trong khi ở lớp đối chứng, ngay cả HS giỏi vẫn còn lúng túng đối với các KNTH 4, 6.

- Đối tượng HS khá, đa số HS lớp thực nghiệm đã làm được các câu hỏi, bài tập 1,2, một phần câu hỏi 3. Còn với lớp đối chứng thì hầu hết không làm được câu hỏi 3, một số em gặp khó khăn khi giải ý b) của bài tập ở câu hỏi 2. Điều đó cho thấy: Các KNTH 1,2,3,4,6 tương đối tốt ở lớp thực nghiệm, với lớp đối chứng thì mức độ đạt được thấp hơn. KNTH 4 và 6 ở lớp đối chứng chưa đều đối với HS khá.

- Đối tượng HS trung bình, HS lớp thực nghiệm làm được ở mức độ chấp nhận được các câu hỏi bài tập 1,2a, một phần câu hỏi 2b. Còn câu hỏi 3 thì hệ thống chưa đầy đủ ở ý a), hầu như các em không làm được ý b. Còn HS lớp đối chứng thì chỉ làm được không trọn vẹn các câu hỏi 1,2a, sơ sài đối với ý a) của câu hỏi 3. Các em đều không làm được ý b) của câu hỏi 2 và ý b) của câu hỏi 3. Điều đó cho thấy: Các KNTH 1,2,3 của HS lớp thực nghiệm đã có tiến bộ hơn hẳn so với HS ở lớp đối chứng.

- Đặc biệt có một số HS yếu kém ở lớp thực nghiệm gần như chỉ trả lời được câu hỏi 1, 2a một cách không đầy đủ trọn vẹn hoặc giải có sai sót; trong khi đó ở lớp đối chứng đối tượng này không làm được đúng và đủ một câu hỏi nào! Điều đó cho thấy: Các KNTH 1,2 bước đầu đã hình thành ở đối tượng HS yếu kém trong lớp thực nghiệm; KNTH 3 còn yếu, KNTH 4 và 6 gần như không thấy biểu hiện. Trong khi đó, HS yếu kém ở lớp đối chứng thì hầu hết chưa có các KNTH.

97

- Ngoài ra, tính chung lại, hầu hết HS lớp thực nghiệm (khoảng 95%) đã làm đúng các yêu cầu trong các câu hỏi 1, 2a (thể hiện các KNTH 1,2,3). Những em HS khá và giỏi (khoảng 20%) đã thống kê đúng và đủ những dạng bài tập có ứng dụng hệ thức Vi-ét ở câu hỏi 3 (thể hiện KNTH 4).

Bảng 3.1. Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) Lớp

Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng (tần số)

Số HS

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Điểm 9

10

TB

TN

35 0/35 0/35 0/35 0/35 2/35 5/35 7/35 9/35 5/35 5/35 2/35

6,94

ĐC

35 0/35 1/35 3/35 3/35 4/35 5/35 6/35 8/35 5/35 0/35 0/35

5,4

Tần số xuất hiện các mức điểm số thống kê ở bảng 3.1. cho thấy: Ở lớp thực nghiệm: Các KNTH đã bước đầu phát huy tác dụng, thể hiện ở chỗ điểm trung bình cộng bài kiểm tra (6,94) cao hơn so với (5,4) ở lớp đối chứng.

Bảng 3.2. Bảng phân bố về tần suất điểm kiểm tra 45 phút Lớp

Tỷ lệ bài kiểm tra đạt điểm tương ứng (tần suất)

Số HS

0

1

2

3

4

TN

35

0%

0%

0%

0%

6%

ĐC

35

0% 2,8% 8,5% 8,5% 11,4% 14% 17% 22,8% 14%

5

6

14% 20%

7 26%

8

9

10

14% 14% 6% 0%

0%

Tần suất xuất hiện các mức điểm số thống kê ở bảng 3.2. cho thấy phân bố điểm kiểm tra từ 5 trở lên ở lớp thực nghiệm là 94%, trong khi lớp đối chứng chỉ là 67,8%. Điều đó cho thấy: HS lớp thực nghiệm đã hình thành phát triển một số KNTH (đặc biệt là KNTH 1,2,3) và phát huy tác dụng, thể hiện ở chỗ tỷ lệ điểm dưới trung bình (6%) thấp hơn khá nhiều so với (32,2%) ở lớp đối chứng.

Mặt khác, tỷ lệ số HS có điểm khá giỏi (từ điểm 7 trở lên) ở lớp TN (60%) cao hơn so với ở lớp ĐC (36,8%) phản ánh các KNTH 3,4,6 đã được rèn luyện tốt và phát huy tác dụng ở lớp thực nghiệm.

98

30 25 20 Thực nghiệm

15

Đối chứng 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút của lớp TN và lớp ĐC Phân bố các mức điểm số thể hiện ở biểu đồ 3.1. cũng như phân bố tần số và tần suất ở các bảng 3.1. và 3.2. cho thấy: Nhận xét của chúng tôi khi chấm bài kiểm tra là phù hợp với thống kê điểm số, phản ánh đúng tình hình và hiệu quả rèn luyện KNTH cho HS. Bảng 3.3. Kết quả của nhóm 4 HS trước và sau TN Học sinh Giỏi

Khá

Kết quả kiểm tra 20 phút

Kết quả kiểm tra 45 phút

An

8,0

9,0

Bình

8,0

9,5

Công

7,0

8,5

Hương

7,0

8,0

Kết quả thống kê kết quả nghiên cứu trường hợp ở bảng 3.3. cho thấy: Kết quả theo dõi quá trình học tập cũng như chấm các bài kiểm tra dành cho nhóm HS này thể hiện việc rèn luyện KNTH đã phát huy hiệu quả rõ rệt. Cả 4 HS đều tiến bộ trông thấy về mức độ thành thạo các HĐ tự học, kết quả điểm kiểm tra vượt từ mức khá lên mức khá giỏi.

3.4.3. Nhận xét định tính a) Đánh giá HS Thông qua dự giờ quan sát quá trình học tập trên lớp, phỏng vấn, trao đổi với GV và HS tham gia thực nghiệm, với gia đình của một số HS (trong đó có nhóm 4

99

HS tham gia nghiên cứu trường hợp) phân tích kết quả làm bài kiểm tra của HS cùng với những nhận xét rút ra được từ kết quả định lượng nêu trên, chúng tôi thấy: - Ở lớp thực nghiệm, HS có sự thay đổi tích cực về những KNTH 1, 2, 3, 4 và 6, thể hiện ở: + Mỗi loại HS (yếu kém - thời gian biểu - khá giỏi) đều có sự tiến bộ khá rõ về động cơ tự học (ảnh hưởng của BP 1); + Khả năng và hiệu quả tự học (ảnh hưởng của BP 2, 4 đến KNTH 1,2,3,4): biểu hiện ở cách HS tham gia các HĐ học, cách thức trả lời các câu hỏi, giải bài tập cũng như biểu hiện về tư duy, NL ... trên lớp; sản phẩm tự học ở nhà; nhất là những dấu hiệu chúng tôi phát hiện được trong quá trình chấm bài kiểm tra. Cụ thể là: đa số (95%) HS lớp thực nghiệm đã biết làm được một cách chủ động các HĐ đọc hiểu bài tập - ghi chép tóm tắt (KNTH 1,2)- nhận dạng và thể hiện kiến thức khi giải bài tập (KNTH 3). + Thói quen tự kiểm tra kết quả học tập (ảnh hưởng của BP 3 đến KNTH 6) - Về KNTH 5, từ chỗ hầu hết HS ở lớp thực nghiệm không có thói quen và không biết cách lập kế hoạch cho việc tự học, nay một số em đã biết tự lập cho mình một kế hoạch học tập ở nhà, và thực hiện một cách chủ động, đồng bộ các HĐ tự học ở trên lớp dưới sự hướng dẫn tổ chức của GV. - Riêng về KNTH 5, quan sát HS trên lớp (ở cuối các tiết dạy thực nghiệm) khi GV giao nhiệm vụ, hướng dẫn các em tự học ở nhà; và kiểm tra gián tiếp một số HS tự học ở nhà (thông qua việc phối hợp với gia đình HS), chúng tôi thấy: Bước đầu HS ở lớp thực nghiệm đã hình thành thói quen và khả năng lập kế hoạch tự học ở nhà cho mình. Tuy nhiên việc này với một số em còn những khó khăn nhất định, hiệu quả chưa được như mong muốn, cần được tiếp tục rèn luyện thêm.

- Trên nhóm đối tượng bốn HS tham gia thực nghiệm theo phương pháp nghiên cứu trường hợp, chúng tôi thấy cả về ý thức thái độ và KN học Toán của các em đều có sự tiến bộ thể hiện ở khả năng và hiệu quả của HĐ tự học: Hình thành thói quen tự học; biết cách thực hiện tự học trên lớp và nhất là thực hiện việc tự học ở nhà; mức độ nắm vững lý thuyết và KN giải bài tập về hệ thức Vi-ét và ứng dụng có nhiều thay đổi tốt. Điều đó phản ánh phần nào sự thay đổi các KNTH của HS (nhất là những em HS có động cơ và lực học tương đối tốt).

100

b) Đối với nhận xét, đóng góp của GV thông qua dự giờ góp ý đã được tổng hợp lại như sau: - Đa số các GV được tham khảo ý kiến đều thống nhất với ý kiến cho rằng cần thiết có những biện pháp đầu tư nhiều hơn cho HĐ tự học của HS, rèn luyện cho các em thói quen và KNTH môn toán. Đồng thời các GV đều đánh giá tốt hiệu quả và tính khả thi của các biện pháp DH, đề nghị cần được thực hiện thường xuyên và áp dụng đối với nhiều nội dung khác của môn toán THCS. - Một số GV cũng cho rằng: Hiệu quả của các biện pháp DH đã đề ra còn phụ thuộc vào trình độ chuyên môn, NL sư phạm của người GV và vốn tri thức, trình độ nhận thức của từng HS. Kết luận chung về kết quả thực nghiệm - Nhìn chung HS ở lớp TN học tập hứng thú và biết cách tự học, điều đó thể hiện tính tích cực học tập cũng như kết quả HĐ tự học chủ đề “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”.

- Bên cạnh động cơ hứng thú học tập thì HS ở lớp TN cũng đã bước đầu biết lập kế hoạch tự học (KNTH 5), thực hiện các bước tiến hành những HĐ tự học trên lớp cũng như ở nhà, thể hiện qua những HĐ tương ứng với các KNTH 1,2,3,4,6.

- Như vậy, nếu áp dụng những biện pháp đã được đề xuất thì sẽ làm cho HS không chỉ biết cách tự học, mà còn tạo ra thói quen, hứng thú tự học, giúp các em chủ động tự học với sự hướng dẫn giúp đỡ phù hợp của thầy cô giáo. Từ đó kết quả học chủ đề “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” được nâng lên, hình thành phát triển KNTH toán.

Những khó khăn, hạn chế rút ra qua thực nghiệm: Bên cạnh những kết quả tích cực đã nêu ở trên. Trong quá trình thực nghiệm cũng bộc lộ một số khó khăn, hạn chế của phương án đề xuất: - Việc thiết kế giáo án và chuẩn bị lên lớp của GV khá công phu, tốn nhiều thời gian hơn; thậm chí nhiều khi xử lý vấn đề thời gian dành cho HS tiến hành các HĐ học tập trên lớp gặp khó khăn.

- HS trong một lớp không đều về nhiều mặt, dẫn đến GV gặp khó khăn khi hướng dẫn tự học cho phù hợp với từng loại HS, thậm chí từng cá nhân HS. - Điều kiện về SGK và tài liệu cũng như phương tiện hỗ trợ dạy học toán cũng còn có những hạn chế, bất cập khiến cho việc tổ chức HĐ tự học cho HS khó thực hiện.

101

3.5. Kết luận chương 3 Kết quả dạy thực nghiệm đã cho thấy các biện pháp đề xuất đã bước đầu phát huy tác dụng, tác động đến từng KNTH của HS trong DH chủ đề “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” như sau: KNTH 5 - Lập kế hoạch tự học được HS thực hiện mỗi bài một lần; KNTH 1 - Đọc hiểu SGK, tìm hiểu bài toán được HS thực hiện mỗi kiến thức, mỗi bài tập một lần; KNTH 2 - Sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu toán học để ghi chép và diễn đạt khi học lý thuyết và giải bài tập được HS thực hiện nhiều lần, thường xuyên; KNTH 3 - Ghi nhớ, tái hiện, nhận diện và thể hiện được HS thực hiện thường xuyên nhiều lần ở mỗi kiến thức, mỗi khi vận dụng vào giải bài tập.

KNTH 4 - Xác định các mối quan hệ, phân loại và hệ thống hóa được HS thực hiện một số lần khi luyện tập, ôn tập và tổng kết; KNTH 6 - Tự kiểm tra đánh giá HĐ tự học được HS thực hiện sau nhiệm vụ tự học (trên lớp và ở nhà) Giải pháp đề ra đã bước đầu kích thích HS THCS tích cực học tập, đặc biệt là hình thành được thói quen, ý thức được sự cần thiết tự học và nhất là tập luyện được các KNTH môn toán cho các em. Từ đó HS hứng thú và chủ động hơn trong học môn toán, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này ở trường THCS. Kết quả thực nghiệm sư phạm bước đầu đã cho thấy giải pháp đã đề ra trong luận văn là khả thi, có tính hiệu quả tốt, phù hợp với mục tiêu rèn luyện KNTH cho HS THCS qua chủ đề “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”.

102