Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (2017)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------------------------------

PHẠM HỒNG CẨM

KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------------------------------

PHẠM HỒNG CẨM

KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP Chuyên ngành

: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số

: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

THÁI NGUYÊN - 2017

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỤC LỤC Mở đầu Chương 1: Phân loại phương pháp và kĩ thuật tổng hợp giải

4

N

H

phương trình, hệ phương trình hỗn hợp.

1.1. Kĩ thuật biến đổi tương đương

TP ẠO

1.2. Kĩ thuật đặt ẩn phụ

7 9 10

1.2.2 Một số phương trình và hệ phương trình giải được nhờ đặt ẩn phụ

11

N

G

Đ

1.2.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình dạng tổng và tích các ẩn

H Ư

1.3. Phương pháp điều kiện cần và đủ

TR ẦN

1.4. Phương pháp hàm số

15 19 19

1.4.1.1. Sử dụng tính đồng biến của các hàm cơ bản

19

1.4.1.2. Kĩ thuật chủ đạo 2

22

10 00

B

1.4.1. Kĩ thuật sử dụng tính đồng biến ngặt của hàm số

30

1.4.2. Phương pháp giá trị lớn nhất nhỏ nhất và đánh giá

33

Ó

A

1.4.1.3. Kĩ thuật chủ đạo 3

36

H

1.5. Bài tập tương tự

-L

Í-

Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp

40

2.2. Các kĩ thuật giải phương trình và hệ phương trình

48

2.3. Bài tập tương tự

71

Kết luận

75

Tài liệu tham khảo

76

Đ

ÀN

TO

ÁN

2.1. Phương trình với nhiều cách giải

D

IỄ N

40

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1.1.2. Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp

5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

4

1.1.1. Kĩ thuật biến đổi tương đương

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

N

1

i Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài

N

Phương trình và hệ phương trình hỗn hợp được hiểu là phương trình và

H

Ơ

hệ phương trình phức tạp, chứa nhiều loại hàm khác nhau (đa thức, căn thức,

.Q

nhiên, cũng có nhiều phương trình, hệ phương trình hỗn hợp đòi hỏi sử dụng

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

dụng tổng hợp một vài hoặc đồng thời nhiều kĩ thuật để giải được những

G

phương trình, hệ phương trình loại này.

H Ư

N

Đã có một số sách (xem, thí dụ, [1], [2], [5]–[9], [11]) và một số luận

TR ẦN

văn cao học (xem, thí dụ, [3], [4]) viết về phương pháp giải phương trình và hệ phương trình, tuy nhiên, theo quan sát của chúng tôi, vẫn cần đi sâu phân

B

tích cụ thể và chi tiết hơn các phương pháp và các kĩ thuật tổng hợp giải

10 00

phương trình, hệ phương trình hỗn hợp.

Trong các đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia những năm gần đây

Ó

A

(trước 2017), hai câu khó (câu 9 và câu 10) thường là các bài toán về hoặc

Í-

H

liên quan tới phương trình và hệ phương trình hỗn hợp. Để giải các bài toán

-L

này, cần sử dụng thành thạo và nhuần nhuyễn các kĩ thuật tổng hợp. Phương

ÁN

trình và hệ phương trình hỗn hợp cũng hay gặp trong các kì thi học sinh giỏi (Olympic 30–4, vô địch Quốc gia, Quốc tế).

ÀN

Với những lí do trên, tác giả đã lựa chọn đề tài Kĩ thuật tổng hợp giải

D

IỄ N

Đ

phương trình, hệ phương trình hỗn hợp làm đề tài luận văn cao học của mình.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

kĩ thuật giải tổng hợp, nói chung không thể dùng một kĩ thuật, mà phải sử

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

phải “bóc từng lớp” để đưa về phương trình và hệ phương trình đơn giản. Tuy

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

mũ, logarithm,...). Để giải những phương trình chứa nhiều loại hàm, ta thường

2. Lịch sử nghiên cứu Chủ đề phương trình, hệ phương trình có vị trí và vai trò quan trọng trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông. Kiến thức và kĩ năng của chủ đề này có mặt xuyên suốt từ cuối Trung học Cơ sở, tới đầu cấp

1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

và đến cuối cấp Trung học phổ thông. Nó đóng vai trò như là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán trong thực tế.

Ơ

N

Đã có khá nhiều tài liệu viết về chủ đề phương trình, hệ phương trình.

H

Tuy nhiên, theo quan sát của chúng tôi, ngoại trừ [4], chưa có nhiều tài liệu

.Q TP

3. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

hệ phương trình hỗn hợp thường gặp trong các kì thi Olympic, thi học sinh

N

G

giỏi Quốc gia và Quốc tế. Tất cả các bài toán, ví dụ minh họa và bài toán

H Ư

tương tự trong luận văn đều được chọn lựa từ các đề thi vào đại học hoặc các

TR ẦN

bài thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế trong và ngoài nước, chủ yếu là các đề thi trong các năm gần đây, dựa trên nhiều tài liệu trong và ngoài nước, thí

B

dụ, [10], [12]. Bên cạnh việc hệ thống hóa các đề thi, luận văn còn cố gắng

10 00

phân tích, tổng hợp các phương pháp thông qua các ví dụ cụ thể.

A

4. Mục tiêu của luận văn

H

Ó

Luận văn có mục tiêu trình bày các phương pháp và kĩ thuật tổng hợp

Í-

giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp. Các phương pháp và kĩ thuật

-L

tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp hoàn toàn có thể áp

ÁN

dụng cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ bất phương trình, và các bài toán cực trị. Hi vọng luận văn sẽ góp phần làm sáng

D

IỄ N

Đ

ÀN

tỏ thêm các kĩ thuật và phương pháp giải phương trình, hệ phương trình và

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Luận văn hệ thống hóa và trình bày một số kĩ thuật giải phương trình,

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

phương trình hỗn hợp.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

hay đề tài luận văn cao học phân tích sâu về kĩ thuật giải phương trình, hệ

được áp dụng vào thực tế học tập và giảng dạy.

5. Phương pháp nghiên cứu - Phân tích lí thuyết, phân dạng các loại bài tập.

- Đưa ra các ví dụ minh họa phù hợp với từng nội dung.

2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

- Tổng hợp tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, các sách liên quan đến đề tài.

Ơ

N

6. Cấu trúc của luận văn

N

H

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm 2 Chương.

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

trình hỗn hợp.

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải phương trình và hệ phương

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

và hệ phương trình hỗn hợp.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Chương 1: Phân loại một số phương pháp và kĩ thuật giải phương trình

3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chương 1 PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT TỔNG HỢP

H

Ơ

N

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP

.Q

mỗi bài toán thường có một kĩ thuật chủ đạo. Nhằm dễ dàng phân tích lời

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

G

dưới đây.

H Ư

1.1 . Kĩ thuật biến đổi tương đương

TR ẦN

Nói chung, quá trình giải phương trình, hệ phương trình là một quá trình biến đổi tương đương từ phương trình, hệ phương trình phức tạp về

A

 g ( x) ≥ 0 f ( x ) = g ( x) ⇔  2  f ( x) = g ( x ).

Ó

Tính chất 1:

10 00

tỉ, mũ, logarithm, thí dụ:

B

phương trình, hệ phương trình đơn giản nhờ một số tính chất của các hàm vô

Í-

H

Nhận xét: Không cần đòi hỏi và giải điều kiện thừa f ( x) ≥ 0.

-L

 f ( x) > 0, f ( x) ≠ 1  g1 ( x) = g 2 ( x ).

ÁN

Tính chất 2: f ( x) g1 ( x ) = f ( x) g2 ( x ) ⇔ f ( x ) = 1 hoặc 

TO

Nhận xét: Nhiều học sinh thường quên trường hợp f ( x) = 1.

Đ IỄ N D

Đ

theo phương pháp giải. Các phương pháp và kĩ thuật giải được phân loại như

Tính chất 3:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

giải, các phương trình và hệ phương trình trong luận văn này được phân loại

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

thường cần phải đồng thời kết hợp sử dụng một vài kĩ thuật. Tuy vậy, trong

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Để giải một phương trình, một hệ phương trình hỗn hợp loại khó,

 f ( x) > 0, f ( x) ≠ 1  f ( x) > 0, f ( x) ≠ 1   ⇔  g1 ( x) = g 2 ( x ) log f ( x ) g1 ( x) = log f ( x ) g 2 ( x) ⇔  g1 ( x ) = g 2 ( x)  g ( x) > 0  g ( x) > 0.  1  2

Nhận xét: Chỉ cần giải một trong hai hệ trên, chọn trong hai điều kiện g1 ( x) > 0 hoặc g 2 ( x ) > 0 điều kiện nào dễ giải hơn.

4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Kĩ thuật biến đổi tương đương là một kĩ thuật cơ bản, tuy nhiên, đối với phương trình, hệ phương trình hỗn hợp, kĩ thuật này không phải lúc nào cũng

Ơ

N

áp dụng được một cách hợp lí, mà phải kết hợp thêm với các kĩ thuật khác.

N

TR ẦN

H Ư

 10 10 − 3 x ≥ 0 10 x ≤ ⇔ 3 ⇔ 2 ≤ x ≤ . (*)  3 x − 2 ≥ 0  x ≥ 2

G

Đ

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là

Với điều kiện (*) ta có: (1) ⇔ 4 − 3 10 − 3 x = x 2 − 4 x + 4 ⇔ 9 (10 − 3 x ) = x 2 ( 4 − x ) ⇔ x 4 − 8 x 3 + 16 x 2 + 27 x − 29 = 0

10 00

B

2

⇔ ( x − 3)( x + 2 ) ( x 2 − 7 x + 15 ) = 0

H Í-

kiện (*)).

Ó

A

⇔ x = 3 (vì x 2 − 7 x + 15 = 0 vô nghiệm và x = −2 không thỏa mãn điều

-L

Đáp số: Phương trình có duy nhất một nghiệm x = 3.

Đ

ÀN

TO

ÁN

Bài 2 (Thi Olympic Trung Quốc CMO, 1998) Giải phương trình x = x−

1 1 + 1 − . (1) x x

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x > 1. (*)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

4 − 3 10 − 3 x = x − 2. (1)

IỄ N D

TP

Bài 1 (Thi học sinh giỏi Việt Nam VMO 2002, Bảng A) Giải phương trình

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

1.1.1. Kĩ thuật biến đổi tương đương

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

U Y

đây và trong Chương 2 sẽ trình bày và phân tích sâu hơn nhận xét này.

H

Các ví dụ cụ thể (các bài toán thi Olympic và các bài thi vào đại học), dưới

Với điều kiện (*) thì 2

 1 1 1  1 (1) ⇔ x − x − = 1 − ⇔  x − x −  =  1 −  x x x  x 

2

5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

⇔ x 2 − 1 − 2 x ( x 2 − 1) + x = 0 ⇔

)

2

= 0 ⇔ x2 −1 = x

1+ 5 1− 5 (x = không thỏa mãn điều kiện (*)).

2 2

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H Ư

N

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là −2 ≤ x ≤ 5. (*)

TR ẦN

Với điều kiện trên thì

( x + 2 )( 5 − x )  +  2

(1) ⇔  x + 2 − 

5 − x − 2 x + 2  = 0

(

x+2 −2

)(

)

x+ 2 − 5− x = 0

A

⇔

10 00

B

⇔ x + 2  x + 2 − 5 − x  − 2 x + 2 − 5 − x  = 0    

-L

Í-

H

Ó

x = 2  x+2 −2=0  x+2 =2 ⇔ ⇔ ⇔ x = 3 .  x + 2 = 5 − x  x + 2 − 5 − x 2 

ÁN

Thử lại điều kiện (*) ta đi đến kết luận cả hai giá trị trên đều là nghiệm

TO

của phương trình.

Đ IỄ N D

Đ

G

x + 2 5 − x = 2 x + 2 + 10 − 3 x − x 2 − 2. (1)

ẠO

Bài 3 (Thi học sinh giỏi Kiên Giang 2014–2015) Giải phương trình

3 2

Đáp số: x = 2; x = .

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

tương đương với kĩ thuật cơ bản là bình phương hai vế không âm của phương trình.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nhận xét: Trong hai bài toán trên, ta đã sử dụng phương pháp biến đổi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

1+ 5 .

2

U Y

Đáp số: Phương trình có duy nhất một nghiệm x =

H

Ơ

⇔ x2 − x −1 = 0 ⇔ x =

(

x2 −1 − x

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Nhận xét: Trước khi biến đổi tương đương, phải quan sát thấy và phân tích được

10 − 3x − x 2 =

( x + 2)( 5 − x ) . Đây là mấu chốt để giải quyết bài toán.

Việc biến đổi tương đương và giải các phương trình vô tỉ cơ bản x + 2 − 2 = 0 và x + 2 − 5 − x là không khó, ngay cả với học sinh trung bình.

6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1.1.2 . Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp

(

a+ b

)(

)

a − b ,... để biến

N

Sử dụng biểu thức liên hợp dạng a − b =

Ơ

đổi tương đương phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn.

U Y

học sinh giỏi những năm gần đây.

.Q

phương trình

Đ

ẠO

2( x − 6) = 3 x − 5 − x + 3. (1)

G

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là:

TR ẦN

H Ư

N

x − 5 ≥ 0 x ≥ 5 ⇔ ⇔ x ≥ 5. (*)  + 3 ≥ 0 ≥ − 3 x x  

Với điều kiện (*), nhân hai vế với biểu thức liên hợp của

B

3 x − 5 − x + 3 là 3 x − 5 + x + 3, ta được

10 00

(1) ⇔ 2( x − 6)(3 x − 5 + x + 3) = 9( x − 5) − ( x + 3)

A

⇔ 2( x − 6)(3 x − 5 + x + 3) = 8 x − 48

H

Ó

⇔ ( x − 6 ) (3 x − 5 + x + 3) = 4( x − 6).

-L

Í-

Trường hợp 1: x = 6 thỏa mãn điều kiện (*) nên nó là nghiệm của (1).

ÁN

Cũng có thể thay x = 6 vào phương trình (1) để tin chắc x = 6 là nghiệm của (1).

TO

Trường hợp 2: x ≠ 6. Chia hai vế của phương trình (2) cho x − 6 ta được

Đ

ÀN

(2) ⇔ 3 x − 5 + x + 3 = 4 ⇔ 9 ( x − 5 ) + ( x + 3) + 6 x − 5 x + 3 = 16

IỄ N D

( 2)

⇔ 3 x − 5 x + 3 = 29 − 5 x 29  x≤  29 − 5 x ≥ 0 17 − 3 5 5  . ⇔ 2 ⇔ ⇔ x= 2  x − 17 x + 61 = 0  x = 17 ± 3 5  2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 4 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, năm học 2010–2011, lớp 12) Giải

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Kĩ thuật này được sử dụng phổ biến trong các bài thi vào đại học và thi

7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét: Cũng có thể giải đơn giản hơn như sau: Từ hai phương trình 3 x − 5 + x + 3 = 4 và 2( x − 6) = 3 x − 5 − x + 3

Ơ

N

ta suy ra

H

H Ư

N

G

7 x 3 + y 3 + 3 xy ( x – y ) = 12 x 2 – 6 x + 1 Giải hệ phương trình  2 2 2 x + 3 – 9 – y + y = 1.

TR ẦN

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là Với điều kiện (*) thì

= (1 – 2 x ) ⇔ y – x = 1 – 2 x ⇔ x + y = 1 ⇔ x = 1 – y.

3

B

3

–3 ≤ y ≤ 3. (*)

10 00

(1) ⇔ ( y – x )

(1) ( 2)

A

Thế vào ( 2 ) rồi nhân với biểu thức liên hợp, ta được

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

1 2   2 (1 – y ) + 3 – 9 – y 2 + y = 1 ⇔ 2  y 2 – 2 y + 4 + y – 2  + 3 – 9 – y 2 = 0 2   2 3y y2 2 ⇔ + =0 2 1 y2 – 2y + 4 + 2 – y 3 + 9 – y 2     3 1  = 0 ⇔ y = 0 ⇔ x = 1. ⇔ y2  +  2  y 2 – 2 x + 4 + 2 – 1 y  3 + 9 – y2      2    

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

lớp 10)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

TP

ẠO

Bài 5 (Thi HSG khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc bộ 2015–2016,

IỄ N D

17 − 3 5 .

2

.Q

Đáp số: Nghiệm của phương trình đã cho là x = 6 và x =

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x ≤ 8 17 − 3 5 . x+3 =8− x ⇔  2 ⇔x= 2 − 17 + 61 = 0 x x 

1 2

(do y ≤ 3 nên 2 – y > 0 ). Đáp số: Hệ có duy nhất nghiệm ( x, y ) = (1,0 ) .

8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 6 (Thi HSG khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc bộ 2014- 2015,

Ơ

Đ

⇔ y 2 = x + 1 hoặc y 2 = x – 8.

H Ư

N

G

Trường hợp 1: y 2 = x + 1. Thay y 2 = x + 1 vào ( 2 ) ta được:

2– x x–2 + = ( x – 2 )( x + 1)( x + 2 ) 3 – x +1 x+2 +2

TR ẦN

3 – x + x + 2 = x3 + x 2 – 4 x – 1 ⇔

10 00

B

1 1   ⇔ (2 – x)  − + ( x + 1)( x + 2 )  = 0 ⇔ x = 2 (vì x ≥ –1 ) x+2 +2  3 – x +1 

A

⇒ y = ± 3.

H

Ó

Trường hợp 2: y 2 = x – 8.

-L

Í-

Từ điều kiện (*) ta có x ≤ 3 ⇒ x – 8 ≤ –5 ⇒ y 2 ≤ –5. Vô nghiệm.

(

)

( 2, – 3 ).

ÁN

Đáp số: Hệ có hai cặp nghiệm 2, 3 và

TO

1.2 . Kĩ thuật đặt ẩn phụ

ÀN

Một trong những kĩ thuật giải phương trình hỗn hợp (phức tạp, gồm

D

IỄ N

Đ

nhiều hàm) là phương pháp (kĩ thuật) đặt ẩn phụ, để đưa phương trình đã cho

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

(1) ⇔ y 4 – 2 xy 2 + 7 y 2 + x 2 – 7 x – 8 = 0 ⇔ ( y 2 – x + 8)( y 2 – x –1) = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

.Q

Với điều kiện (*) ta có:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là x ≤ 3 (*) .

H

(1) ( 2)

N

 y 4 – 2 xy 2 + 7 y 2 = – x 2 + 7 x + 8 Giải hệ phương trình  2 3 2 2  3 – x + y + 1 = x + x – 4 y + 3.

N

lớp10)

về dạng đơn giản (phương trình đa thức bậc nhất, bậc hai, phương trình lượng giác cơ bản,...). Nhiều khi đặt ẩn phụ chuyển phương trình đã cho thành một hệ phương trình gồm hai ẩn (ẩn ban đầu và ẩn phụ), nhưng hệ này dễ giải hơn phương trình ban đầu.

9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1.2.1. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình dạng tổng và tích các ẩn Một trong những kĩ thuật đặt ẩn phụ là đặt ẩn phụ để đưa phương trình

Ơ

N

đã cho về hệ phương trình dạng tổng và tích các ẩn. Áp dụng định lí Viét hoặc

H

tính nhẩm để tìm hai nghiệm của hệ phương trình trung gian. Suy ra nghiệm

.Q Đ

2014, lớp 10)

N

G

Giải phương trình

H Ư

(6 x − 3) 7 − 3x + (15 − 6 x ) 3 x − 2 = 2 −9 x 2 + 27 x − 14 + 11.

TR ẦN

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là:

2 7 ≤x≤ 3 3

10 00

B

Với điều kiện trên, đặt X = 7 − 3x , Y = 3 x − 2 với X,Y ≥ 0, ta có

A

2 2  X 2 + Y 2 = 5  X + Y = 5 ⇔  2 2 (2Y + 1)X + (2X + 1)Y = 2XY + 11  2 ( X + Y ) XY + X + Y = 2 XY + 11.

Í-

H

Ó

Đặt S = X + Y , P = XY ( S 2 ≥ 4 P ) , ta có hệ

TO

ÁN

-L

2 P = S 2 − 5 S 2 − 2P = 5 ⇔ ⇔  2 2 2 PS + S = 2 P + 11  S ( S − 5) + S = S − 5 + 11

S = 3 P = 2

Đ

ÀN

⇔

 2 P = S 2 −5   2 ( S −3)( S + 2 S + 2) =0

(vì S 2 + 2 S + 2 > 0 ).

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Bài 7 (Thi HSG khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ năm 2013-

IỄ N D

TP

Dưới đây là một số ví dụ minh họa.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

phương trình dạng tổng và tích các ẩn chỉ là một khâu trong quá trình giải.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

của phương trình ban đầu. Tuy nhiên, trong các bài tập khó, đặt ẩn phụ để đưa

S = X + Y = 3 X = 2 X =1 ⇒ hoặc   P = XY = 3. Y = 1 Y = 2

Từ đó suy ra 

Thay vào X = 7 − 3 x ta được x = 1 hoặc x = 2.

Thử lại, ta thấy nghiệm này thỏa mãn. Đáp số: Phương trình có hai nghiệm x = 1 ; x = 2 .

10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 8 (Thi học sinh giỏi Long An, bảng B, năm học 2012–2013, lớp 12)  x + y − x − y = 2 Giải hệ phương trình với x, y ∈ : 

Ơ

N

2 2 2 2  x + y + 1 − x − y = 3.

2

⇔ uv = 0 ⇔ uv = 0.

H Ư

N

uv + 8 uv + 9 − uv = 3 ⇔ uv + 8 uv + 9 = 3 + uv

Kết hợp với (1) ta đi đến:

TR ẦN

uv = 0 u = 4 u = 0 u = 4 (vì u > v ). ⇔ ∨ ⇒  u + v = 4 v = 0 v = 4 v = 0

B

u = 4 x + y = u = 4 x = 2 thỏa mãn điều kiện (*). ⇔ ⇔ v = 0 x − y = v = 0  y = 2.

10 00

Ta có 

A

Đáp số: Nghiệm của hệ là ( x; y ) = ( 2; 2 ) .

H

Ó

Nhận xét: Hai bài toán( bài 7 và bài 8) đã sử dụng kĩ thuật đặt ẩn phụ

-L

Í-

để đưa phương trình ( hệ phương trình) về dạng đơn giản hơn để giải.

ÁN

1.2.2. Một số phương trình và hệ phương trình giải được nhờ đặt ẩn phụ

TO

Bài 9 (Thi học sinh giỏi Long An 2012– 2013, bảng A, lớp 12)

Đ

ÀN

Giải phương trình sau trên tập số thực: x + 1 = ( 2 x + 1)

x +1 + 2

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ −1. (*)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

)

G

(

Đ

Thế (1) vào (2) ta được:

IỄ N D

U Y

.Q

u + v = 2 uv + 4 (1)  u− v =2 u + v = 2 uv + 4    2 ⇔  u 2 + v2 + 2 ⇔  u 2 + v2 + 2 u + v ) − 2uv + 2 ( − uv = 3  − uv = 3   − uv = 3. ( 2) 2 2    2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đặt u = x + y, v = x − y. Điều kiện u ≥ 0, v ≥ 0, ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là: x + y ≥ 0, x − y ≥ 0 .

Từ phương trình đã cho ta suy ra x > −1. Đặt y =

 x + 1 = (2 x + 1) y x + 1 + 2, ( y ≥ 2 > 0), ta có hệ phương trình  2  y − x + 1 = 2.

11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Từ phương trình đầu, kết hợp với phương trình thứ hai của hệ trên, ta có x + 1 = (2 x + 1) y ⇔ x + 1 + y = 2( x + 1) y 2

( x + 1 ) + ( x + 1 ) y = y  y ( x + 1 ) − 1 ⇔ ( x + 1 ) (1 + y x + 1 ) = y (1 + y x + 1 )( y x + 1 − 1) ⇔ ( y x + 1 + 1)( y + x + 1 − y x + 1 ) = 0 ⇔ y x + 1 ( y x + 1 + 1)( y − 2 x + 1 ) = 0 ⇔ y = 2 x + 1 2

2

U Y .Q

ẠO

H Ư

N

 1 33 2 x +1 − =  1  33  4 4 ⇔ x = −15 + 33 . ⇔  2 x +1 −  = ⇔ 4  16 32   1 − 33 2 x + 1 − =  4 4

TR ẦN

2

10 00

B

Đáp số: Nghiệm của phương trình đã cho là x =

−15 + 33 .

32

Bài 10 (Thi học sinh giỏi Long An 2012–2013, bảng B, lớp 12)

Ó

A

Giải phương trình sau trên tập số thực: x 4 + x 2 + 1 + 3( x 2 + 1) = 3 3 x. (1)

Í-

H

Giải: Từ phương trình ta suy ra x ≥ 0. Hơn nữa x = 0 không là nghiệm

-L

của phương trình đã cho. Chia hai vế của (1) cho x > 0 ta có:

(

)

TO

ÁN

(1) ⇔ x 2 ( x 2 + 1) + 1 + 3 x 2 + 1 = 3 3 x

IỄ N

Đ

ÀN

⇔ x2 + 1 +

D

Đ

G

x + 1 + 2 = 2 x + 1 ⇔ x + 1 + 2 = 4 ( x + 1)

TP

2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

Vậy

3

H

3

)

x +1 y

N

2

⇔

(

1 1  + 3  x +  = 3 3.

2 x x 

1 x

Đặt t = x + , t ≥ 2 thì t 2 = x 2 +

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

x + 1 + y = y 3 ( x + 1) −

N

(

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

Ơ

(

⇔ x + 1 + y = y 2 − x + 1 ( x + 1) y ⇔

1 + 2, phương trình trở thành: x2

t ≤ 3 t ≤ 3 ⇔ ⇔ t = 2. t2 −1 = 3 (3 − t ) ⇔  2 2 2 t − 1 = 27 − 18 t + 3 t t − 9 t + 14 = 0  

12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 = 2 ⇒ x = 1( tm ) . x

Ơ

N

trong khoảng

ẠO

Đ .

H Ư

3sin x − 2 2sin x −1

3sin x −2 2sin x −1

3 , t > 0, thì phương trình đã cho trở thành t − 2 = , hay t

TR ẦN

Đặt t = 3

1−

3 2sin x−1 − 2 = 3

viết dưới dạng

G

3sin x −2

3sin x − 2 1 − sin x + = 1, nên phương trình có thể 2sin x − 1 2sin x − 1

Với t = 3 ta có: =3⇔

3sin x − 2 π = 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π .

2sin x − 1 2

A

3sin x − 2 2sin x −1

H

Ó

3

10 00

B

t = 3( tm ) t 2 − 2t − 3 = 0 ⇔  t = −1( ktm )

-L

Í-

 π  Đáp số: Phương trình đã cho có đúng 7 nghiệm trong khoảng  − ,13π  .  2 

ÁN

Bài 12 (Olympic Chinh phục đỉnh núi Vorobiev, Nga, 2014, Vòng

Đ

ÀN

TO

Chung kết)

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

U Y

−2=3

1−sin x 2sin x −1

N

Giải: Nhận xét rằng

IỄ N D

3

 π   − 2 ,13π  .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tìm số nghiệm của phương trình

3sin x −2 2sin x −1

H

Bài 11 (Olympic Chinh phục đỉnh núi Vorobiev, Nga, tháng 1-2013)

N

Đáp số: Nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Với t = 2 ⇒ x +

 2x   x  log 22  + 2 ( m − 1) log 2  + m 2 − m − 2 = 0.

2  2  1+ x   1+ x 

Giải: Phương trình đã cho có dạng  2x   2x  log 22  + 2 ( m − 1) log 2  + m 2 − 3m = 0.

2  2  1+ x   1+ x 

13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x > 0.  2x  , phương trình đã cho trở thành 2  1+ x 

f (t ) = t 2 + 2 ( m − 1) t + m 2 − 3m = 0.

H

.Q

TP

H Ư

Trường hợp 1: t1 ≤ 0 ≤ t2 ⇔ af (0) = m 2 − 3m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 3.

TR ẦN

Trường hợp 2:

Ó

A

10 00

B

 ∆′ = ( m − 1) 2 − ( m 2 − 3m) = m + 1 ≥ 0,  m ≥ −1,   2 ⇔  m ≤ 0, m ≥ 3, t1 ≤ t2 ≤ 0 ⇔ af (0) = (m − 3m) ≥ 0, S m ≥ 1   = − ( m − 1) ≤ 0 2 ⇔ m ≥ 3.

Í-

H

Kết hợp hai trường hợp, ta đi đến đáp số m ≥ 0.

-L

Bài 13 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh 2012– 2013, lớp 12) Giải hệ phương trình

(I )

Đ

ÀN

TO

ÁN

 x 3 + xy 2 + 2 y 3 = 0 (1) 3 4 2 2  x − x + 4 = 4 y + 3 y. (2)

Giải: Để y là nghiệm của hệ (I) thì y ≠ 0. Chia hai vế của (1) cho y ta được:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

G N

thỏa mãn điều kiện t1 ≤ 0 ≤ t2 , hoặc t1 ≤ t2 ≤ 0.

Đ

đương với: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (2) có hai nghiệm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y

2x có miền xác định là ( 0,1] nên t ∈ ( −∞, 0]. Bài toán trở thành: 1 + x2

khoảng t ∈ ( −∞, 0] , tức là có ít nhất một nghiệm không dương. Điều này tương

IỄ N D

(2)

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (2) có nghiệm trong

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vì hàm số u =

Ơ

N

Đặt t = log 2 

3

x x x x + xy + 2 y = 0 ⇔   + + 2 = 0 ⇔ = −1 ⇔ y = − x. y  y y 3

2

3

Thay y = − x vào phương trình sau ta được: ⇔ 3 x4 − x2 = 4 x 2 − 3x − 4 ⇔ 3 x −

3

x4 − x2 + 4 = 4 x2 − 3x

1 1 = 4( x − ) − 3 (chia cả hai vế cho x ≠ 0 ). x x

14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đặt t = 3 x − , phương trình trở thành 4t3 −t −3=0 ⇔( t −1) ( 4t2 +4t +3) =0 ⇔t =1.

1 x

U Y

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

biện luận phương trình và hệ phương trình. Điều kiện cần lọc ra các giá trị của

N

G

tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Điều kiện đủ kiểm tra và lọc ra các tham

H Ư

số thật sự thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TR ẦN

Bài 14 (Olympic Học viện mật mã, thông tin liên lạc, Viện Hàn lâm Nga, 2015)

m

để phương trình

B

Tìm tất cả các giá trị của tham số

10 00

x 2 − 8m x 2 + 1 = −12m 2 − 1 (1) có đúng ba nghiệm.

A

Giải: Điều kiện cần: Vì phương trình đã cho không thay đổi khi thay x

H

Ó

bằng − x nên để phương trình có đúng ba nghiệm thì nó phải có nghiệm x = 0.

1 2

1 6

-L

Í-

Suy ra −8m = −12m 2 − 1 ⇔ 12m 2 − 8m + 1 = 0 ⇔ m1 = , m2 = .

TO

ÁN

Điều kiện đủ: Với m1 =

Đ

x 2 − 4 x 2 + 1 = −4 ⇔ x 2 − 4 x 2 + 1 + 4 = 0

⇔

(

x2 + 1 − 2

) =1⇔ 2

x 2 + 1 − 2 = ±1 ⇔ x1 = 0, x2,3 = ±2 2.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm với m1 =

D

IỄ N

1 phương trình đã cho trở thành 2

Với m2 =

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Phương pháp điều kiện cần và đủ đặc biệt hữu hiệu trong các bài toán

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

1.3 Phương pháp điều kiện cần và đủ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 1+ 5 1+ 5   1− 5 1− 5  ;− ;− , .

2  2 2   2

Đáp số: Hệ có hai nghiệm 

H

Ơ

N

1± 5 .

2

N

1 x

Với t = 1 ta có: x − = 1 ⇔ x =

1 2

1 phương trình đã cho trở thành 6

15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2

4 2 4 2 1 2 1  x − x + 1 = − ⇔  x 2 + 1 −  = ⇔ x 2 + 1 − = ± ⇔ x = 0.

3 3 3 9 3 3  2

U Y

.Q

Đ

)

( x − 3)

2

H Ư

N

G

(

 y − m 2 + 5( m − 1) = m 2 − 5m + 6 ( x − 3)6 +    x 2 + y 2 = 2(3 x − 4)

ẠO

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình

Giải: Điều kiện cần:

Phương trình (2) có thể đưa về dạng

+ y 2 = 1. Do đó nếu ( x0 , y0 ) = ( 3 + t0 , y0 ) là nghiệm thì ( 3 − t0 , y0 ) cũng

B

2

(2)

10 00

( x − 3)

(I )

TR ẦN

có đúng một nghiệm.

(1)

là nghiệm. Để phương trình có duy nhất nghiệm thì 3 + t0 = 3 − t0 hay t0 = 0.

Ó

A

Suy ra nghiệm chỉ có thể là ( 3,1) hay ( 3, −1). Thay x = 3, y = −1 vào phương

H

trình (1), ta được m 2 − 5m + 6 = 0 hay m = 2 hoặc m = 3. Thay x = 3, y = 1 vào

-L

Í-

phương trình (1), ta được m = 1 hoặc m = 4.

ÁN

Điều kiện đủ: Với m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) trở thành

Đ

ÀN

TO

 y − 1 = 2 ( x − 3 )6 + x − 3  2 2 ( x − 3) + y = 1

(II.1) (II.2)

( II )

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

chung kết)

IỄ N D

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 15 (Olympic Chinh phục đỉnh núi Vorobiev, Nga, 2014, Vòng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 2

Kết luận: Để phương trình đã cho có đúng ba nghiệm thì m = .

H

Ơ

N

1 phương trình đã cho chỉ có một nghiệm.

6

N

Vậy với m2 =

Hệ (II) có duy nhất nghiệm x = 3, y = 1 vì với x ≠ 3 thì từ phương trình

(II.1) suy ra y > 1, trong khi đó từ phương trình (II.2) suy ra y ≤ 1.

Với m = 2 hoặc m = 3 thì hệ (I) trở thành  y + 1 = x − 3 2 ⇔ y + = 1 − y 2 ⇔ y = −1, y = 0.

1 ( )  2 2 ( x − 3) + y = 1

16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy hệ (I) có ba nghiệm ( 3, −1) ; ( 4,0 ) ; ( 2,0 ) .

Kết luận: Hệ (I) có duy nhất nghiệm ( 3,1) khi m = 1 hoặc m = 4.

Ơ

N

Bài 16 (Khoa Toán, ĐH Tổng hợp Moscow, 1966)

(1)

TP

(2)

Đ

Giải Điều kiện cần: Vì hệ có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của b

)

(2′)

H Ư

(1′)

TR ẦN

(

a  2  x +1 = 1  2 a + x y = 1

N

G

nên nó phải có ít nhất một nghiệm với b = 0. Với b = 0 ta có hệ

Phương trình (1) có nghiệm x = 0 khi a ≠ 0 và mọi x là nghiệm của

B

(1’) khi a = 0. Nếu x = 0 thì từ phương trình (2’) ta có a = 1. Như vậy, chỉ có

10 00

thể hai giá trị a = 0 hoặc a = 1 là các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện

A

đầu bài.

(

)

H

Ó

Điều kiện đủ: Với a = 0 hệ (I) trở thành

ÁN

-L

Í-

 b 2 + 1 y = 1 (1′′)   bxy + x 2 y = 1 (2′′)

TO

Hệ (1’’) có nghiệm y = 0 với mọi b. Nhưng y = 0 không thỏa mãn phương

D

IỄ N

Đ

ÀN

trình (2’’). Như vậy, chỉ còn trường hợp a = 1. Với a = 1 hệ (I) trở thành

(

)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của b ( a, b, x, y là các số thực).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

)

.Q

) (

 x 2 + 1 a + b2 + 1 y = 2   a + bxy + x 2 y = 1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(

H

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ phương trình

 x 2 + b 2 + 1 y = 1,   bxy + x 2 y = 0.

Hệ này có nghiệm x = 0, y = 0 với mọi b. Đáp số: a = 1.

17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 17 (Khoa Toán, Đại học Tổng hợp Moscow, 1966)

H

Ơ

(1)

U Y

N

(2)

.Q

Giải: Điều kiện cần: Giả sử ( x0 , y0 ) là nghiệm của (I). Khi ấy (I) cũng

ẠO

Đ

( x0 , − y0 ) vì

và

G

nghiệm

x0 − y0 x0 − y0

−1

x02 + ( − y0 ) = x02 + y0 2 = b.

H Ư

N

có

TR ẦN

2

Vậy để hệ có duy nhất nghiệm thì điều kiện cần là y0 = 0.

10 00

B

Từ phương trình (1) suy ra a = 0.

(1) (2)

H

Ó

A

 x y −1 =0  Điều kiện đủ: Với a = 0 hệ (I) trở thành  x y + 1  2 2  x + y = b.

-L

Í-

Suy ra x y − 1 = 0 hay y = 0, x > 0 bất kì hoặc x = 1, y bất kì.

ÁN

Nếu y = 0, x > 0 thì phương trình (2) có duy nhất nghiệm x = b với

TO

mọi b > 0.

Đ

ÀN

Nếu x = 1 thì phương trình (2) có dạng 1 + y 2 = b.

IỄ N D

1 − x0 y0 −1 x0 y0 x0 y0 x0 y0 − 1 = = = y0 =a y0 1 +1 1 + x x + 1 0 0 +1 x0 y0 x0 y0 1

Nếu b > 1 thì phương trình này có hai nghiệm y = ± b − 1.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

có duy nhất nghiệm ( a, b, x, y là các số thực và x > 0 ).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 x y −1 =a  y x + 1   2 2 x + y = b

N

Tìm tất cả các giá trị của các tham số a và b để hệ phương trình

Nếu b = 1 thì phương trình có duy nhất nghiệm y = 0.

Nếu b < 1 thì phương trình không có nghiệm.

Vậy với a = 0, b > 1 hệ (I) có ba nghiệm x = b , y = 0; x = 1, y = ± y 2 − 1; Với a = 0,0 < b ≤ 1 hệ (I) có một nghiệm x = 1, y = 0.

18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Kết luận: Hệ có duy nhất nghiệm x = 1, y = 0 khi a = 0,0 < b ≤ 1.

1.4 Phương pháp hàm số

Ơ

N

1.4.1 Kĩ thuật sử dụng tính đồng biến ngặt của hàm số

N

H

1.4.1.1 Sử dụng tính đồng biến của các hàm cơ bản

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

Bài 18 (Thi học sinh giỏi Ninh Bình 2012–2013, lớp 12) Giải phương trình

G

Đ

3x + 3 − 5 − 2 x − x 3 + 3 x 2 + 10 x − 26 = 0, x ∈ . (1)



5

H Ư

N

Giải: Tập xác định của phương trình đã cho là  −1;  .  2

(1) ⇔

(

) (

3x + 3 − 3 −

TR ẦN

Phương trình đã cho tương đương với:

)

5 − 2 x − 1 − x 3 + 3 x 2 + 10 x − 24 = 0

3( x − 2) 2( x − 2) + − ( x − 2 ) x 2 − x − 12 = 0 3x + 3 + 3 5 − 2x +1

B

(

10 00

⇔

)

H

Ó

A

3 2   ⇔ ( x − 2)  + − x 2 + x + 12  = 0 5 − 2x +1  3x + 3 + 3 

ÁN

-L

Í-

x − 2 = 0 ⇔ 3 2  + − x 2 + x + 12 = 0 5 − 2x + 1  3x + 3 + 3

TO

5 Hàm số f ( x) = − x2 + x + 12, x ∈  −1;  là hàm bậc hai có hệ số a = −1 < 0, 

2

Đ IỄ N D

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

khoảng để giải phương trình mà không sử dụng công cụ đạo hàm.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Có thể sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm bậc hai trên từng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Sử dụng tính đồng biến của các hàm bậc hai trên từng khoảng

5 1 có hoành độ đỉnh là x0 = , liên tục trên  −1;  nên 2



2

  5   33  33 min f ( x ) = min  f ( −1) ; f    = min 10,  = > 0.  5 2 4 4     − 1;    2 



Suy ra

3 2  5 + − x 2 + x + 12 > 0 ∀x ∈  −1;  .

3x + 3 + 3 5 − 2x +1  2

19 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 .

Sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm căn thức

Ơ

N

Có thể sử dụng tính đồng biến của hàm căn thức y = x trên [ 0, +∞ ) để

N

H

giải phương trình mà không sử dụng công cụ đạo hàm.

.Q

duy nhất

Đ

ẠO

a −b = 0. (1) x−c

x−a − x−b +

N

G

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x > a.

H Ư

Nhân với biểu thức liên hợp, phương trình (1) tương đương với:

x−a là đồng biến chặt trên [ a, +∞ ) và y = x là đồng biến chặt x −c

Ó

A

Vì y =

x−b − 1 = 0. x−c

B

x−a + x−c

10 00

⇔

TR ẦN

b−a a−b + = 0 ⇔ x −a + x −b − x −c = 0 x −a + x −b x−c

H

x−a là hợp của hai hàm đồng biến chặt sẽ đồng biến chặt x−c

-L

Í-

khi x ≥ 0 nên y =

ÁN

trên [ a, +∞ ) .

Do đó hàm số y =

[ a, +∞ )

x −b là đồng biến chặt trên [ a, +∞ ) . x−c

x−a + x−c

x −b − 1 là liên tục và đồng biến chặt trên x−c

vì là tổng của hai hàm đồng biến chặt.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Tương tự, hàm số y =

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

mãn điều kiện a > b > c > 0. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Bài 19 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, 2009) Cho các số thực a, b, c thỏa

20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

f (a) =

Do a > b > c > 0 và

a −b − 1 < 0 và a −c

lim f ( x) = 1 > 0 nên

x →+∞

Ơ

N

phương trình f ( x ) = 0 có duy nhất một nghiệm trên khoảng [ a, +∞ ) .

x −b x −c

> 0, ∀a > b > c > 0

N

G

c ∈ ( a, b ) sao cho f ( c ) = 0. Từ tính chất đồng biến chặt của hàm số y = x ta

H Ư

suy ra f ( x ) = 0 có duy nhất nghiệm.

TR ẦN

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm lũy thừa Có thể sử dụng tính đồng biến ngặt của hàm lũy thừa y = a x , khi a > 1

10 00

B

và nghịch biến ngặt khi 0 < a < 1 để giải phương trình mà không sử dụng công cụ đạo hàm.

H

Vòng Chung kết)

Ó

A

Bài 20 (Olympic Chinh phục đỉnh núi Vorobiev, CHLB Nga, 2015,

-L

Í-

Tìm tích các nghiệm của phương trình log5+ 15 ( x2 − 2x − 2) = log5− 15 (12 + 2x − x2 ) .

ÁN

Giải: Đặt t = log 5+

( (

(x

2

)

− 2 x − 2 = log 5−

(12 + 2 x − x ).

2

15

) )

 5 + 15 t = x 2 − 2 x − 2,  Khi ấy ta có  t  5 − 15 = 12 + 2 x − x 2 . 

TO ÀN Đ

15

(

) (

)

t

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

Nếu hàm f ( x ) liên tục trên [ a, b ] và f ( a ) f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2( x − c)

2

U Y

b−c

.Q

2( x − c)

x−a x −c

2

+

khá vất vả và không cần thiết. Ta chỉ cần sử dụng định lí Balzano-Cauchy:

IỄ N D

a−c

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tuy nhiên tính đạo hàm f ′( x) =

N

H

Nhận xét: Có thể tính đạo hàm để suy ra f ( x) là hàm số đồng biến:

t

Suy ra 5 + 15 + 5 − 15 = 10 (2)

(

) ( t

Vì hàm số y = 5 + 15 + 5 − 15

)

t

là hàm tăng chặt nên phương trình

có duy nhất nghiệm t = 1.

21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Suy ra x 2 − 2 x − 2 = 5 + 15 ⇔ x 2 − 2 x − 7 − 15 = 0. Đáp số: x1x2 = −7 − 15.

Ơ

N

1.4.1.2 Kĩ thuật chủ đạo 2: Sử dụng đạo hàm bậc nhất

U Y

TP

N

G

x +1 − 2 1 ( x ∈ ). = 2x + 1 − 3 x + 2

H Ư

3

Đ

phương trình

TR ẦN

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ −1, x ≠ 13.

Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với

( x + 2)(

B

10 00

( x + 1)

)

x + 1 − 2 = 3 2x + 1 − 3 ⇔

x + 1 + x + 1 = 2 x + 1 + 3 2 x + 1.

(1)

Ó

A

Xét hàm số f (t ) = t 3 + t. Ta có f ′(t ) = 3t 2 + 1 > 0 với mọi t ∈ .

H

Suy ra hàm số f ( t ) liên tục và đồng biến trên . Ta có:

Í-

(

-L

(1) ⇔ f

) (

x +1 = f

3

)

2x + 1 ⇔ x + 1 = 3 2 x + 1

Đ

ÀN

TO

ÁN

1  x≥−  1  2 1 x = 0  x ≥ − 2 x ≥ −  x = 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔  ⇔  1+ 5 x = . ( x + 1)3 = ( 2 x + 1) 2  x3 − x 2 − x = 0   1 ± 5  2     x=   2

Đối chiếu điều kiện ta được x = 0 và x =

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Bài 21 (Thi học sinh giỏi Nghệ An 2012–2013, bảng A, lớp 12) Giải

IỄ N D

.Q

ra t1 = t2 . Giải tiếp phương trình đã cho.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

bậc nhất f ′(t ) > 0 để chứng minh f (t ) đồng biến chặt trên khoảng ( a, b ) . Suy

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Kĩ thuật 1: Đưa phương trình về dạng f (t1 ) = f (t2 ). Sử dụng đạo hàm

1+ 5 .

2

Đáp số: Nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 và x =

1+ 5 .

2

22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 22 (Thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh 2011–2012, lớp 12)

(1)

N

Giải phương trình: x 3 − x 2 − 10 x − 2 = 3 7 x 2 + 23x + 12

.Q )

G

N

3± 5 .

2

TR ẦN

H Ư

3± 5 .

2

Đáp số: x = 4, x =

Đ

⇔ x 3 − x 2 − 11x − 4 = 0 ⇔ ( x − 4 ) x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔ x = 4, x =

Bài 23 (Thi Đại học Khối D, 2010) Giải phương trình x+ 2

3

+ 2 x = 4 2+

x +2

B

42 x +

+ 2x

3 + 4 x −4

.

10 00

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ −2. (*)

(2

4 x −4

H

Ó

x +2

)

3

(

)

-L

⇔ 24 x −4 − 1 = 0 hoặc 42+

x+2

− 2x

3

)=0

3

ÁN TO ÀN Đ

x +2

x+ 2

− 2 x = 0.

Với 24 x −4 − 1 = 0 ⇔ x = 1 là nghiệm. Với 42+ 4 2+

)(

(

− 1 − 2 x 2 4 x − 4 − 1 = 0 ⇔ 2 4 x − 4 − 1 4 2+

Í-

4 2+

A

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với

x+2

3

− 2 x = 0 thì

3

− 2 x = 0 ⇔ 2 x + 2 = x3 − 4 ⇔ 2 x + 2 − x3 + 4 = 0.

(1)

Phương trình (1) chỉ có thể có nghiệm khi x ≥ 3 4.

Hàm số f ( x ) = 2 x + 2 − x3 + 4 có f ′ ( x ) =

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

ẠO

f ( x + 2 ) = f ( 3 7 x 2 + 23x + 12) ⇔ x + 2 = 3 7 x 2 + 23 x + 12

IỄ N D

. Từ (2) ta có

TP

hàm số đồng biến chặt trên

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Đặt f ( t ) = t 3 + t , t ∈ . Ta có f ′(t ) = 3t 2 + 1 > 0 ∀t ∈ . Suy ra f ( t ) là

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

3

H

(1) ⇔ ( x + 2 ) + ( x + 2 ) = 3 7 x 2 + 23 x + 12 + 7 x 2 + 23 x + 12. ( 2 )

Ơ

Giải: Ta có:

)

1 − 3x2 ≤ 0, ∀x ∈  3 4; +∞ nên x+2

)

là hàm nghịch biến chặt trên  3 4; +∞ .

23 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Mặt khác ta có f ( 2 ) = 0 , do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2 (thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

Ơ

N

x = 1; x = 2.

U Y

phương trình

.Q

(

)

2

1  1 1   x + 2 + x + 2 − 2 x + 2 = log 2  2 +  +  2 +  − 2  2 +  . x  x x  

B

log 2

TR ẦN

Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với

Hàm số f ( t ) = log 2 t + t − 2t có f ′( t ) =

10 00

2

(1)

1 1 2t 2 − 2t +1 + 2t − 2 > + 2t − 2 = >0 t ln2 t t

(

Ó

A

với mọi t > 0 nên là hàm đồng biến chặt trên ( 0; +∞ ) . Suy ra

)

TO

ÁN

-L

Í-

f

H

1 1  x + 2 = f  2 +  ⇔ x + 2 = 2 + ⇔ x3 − 2 x 2 − 4 x − 1 = 0 x x  3 ± 13 ⇔ x = −1; x = ( tm ).

2

(1) ⇔

Đ

ÀN

Đáp số: Nghiệm của phương trình là x = −1; x =

3 + 13 .

2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

H Ư

N

G

Đ

1 x + 2 > 0    −2 < x < − ⇔ 2  2x +1 0 >  x  x > 0.

IỄ N D

Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là:

Giải:

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

1 2x +1  1  log 2 ( x + 2 ) + x + 3 = log 2 +  1 +  + 2 x + 2.

2 x  x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Bài 24 (Chọn đội tuyển Đại học Vinh thi HSG Quốc gia 2010) Giải

Bài 25 (Thi học sinh giỏi Nam Định 2012–2013, lớp 12)  xy + 2 = y x 2 + 2  Giải hệ phương trình  (với x, y ∈ ).

2 2 2  y + 2 ( x + 1) x + 2 x + 3 = 2 x − 4 x

24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: Hệ phương trình đã cho có nghĩa với mọi x, y ∈ . Ta có:

N Ơ

(

U Y .Q

Đ

( 2)

N



(− x )2 + 2  

G

( x + 1)2 + 2  = (− x) 1 +

)

H Ư

⇔ ( x + 1) 1 + 

ẠO

⇔ 1 + x x 2 + 2 + 2 x + ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 0

Hàm số f (t ) = t 1 + t + 2 có f ′(t ) = 1 + t + 2 + 2

TR ẦN

2

Suy ra f (t ) đồng biến chặt trên

t2 t2 + 2

> 0 ∀t ∈ .

. Phương trình (2) có dạng

10 00

B

f ( x + 1) = f (− x ) ⇔ x + 1 = − x ⇔ x =

−1 .

2

−1 vào (1) ta tìm được y = 1.

2

H

Ó

A

Thay x =

−1 , y = 1.

2

-L

Í-

Vậy hệ đã cho có nghiệm là x =

ÁN

Bài 26 (Thi học sinh giỏi Nghệ An 2010–2011, lớp 12) Giải hệ phương trình

Đ

ÀN

TO

 y 3 + y = x 3 + 3 x 2 + 4 x + 2  2  1 − x − y = 2 − y − 1

IỄ N D

)

2

x 2 + 2 + x + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x

TP

(

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x +2−x

⇔ y = x 2 + 2 + x (1)

H

2 2

)

x2 + 2 − x = 2

N

⇔y=

(

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

xy + 2 = y x 2 + 2 ⇔ y

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là: −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2.

Với điều kiện trên, hệ phương trình đã cho tương đương với  y 3 + y = ( x + 1)3 + ( x + 1) (1)   1 − x 2 + 1 = y + 2 − y (2)

Từ điều kiện (*) ta có x + 1∈ [ 0,2]; y ∈ [ 0,2].

25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Hàm số f ( t ) = t 3 + t có f ′(t ) = 3t 2 + 1> 0 ∀t ∈

nên đồng biến chặt trên

Ơ

f ( y ) = f ( x + 1) ⇔ y = x + 1.

H N

Thế vào phương trình (2) ta được:

.Q

Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 0;1) .

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TR ẦN

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là: −4 ≤ x ≤ 1, y ∈ .

Với điều kiện trên thì

B

1 − x − 2x 1 − x + 1 − x

10 00

(1) ⇔ 2 y 3 + y = 2

⇔ 2 y 3 + y = 2(1 − x ) 1 − x + 1 − x .

( 3)

.

Í-

chặt trên

nên là hàm đồng biến

H

Ó

A

Hàm số f ( t ) = 2t 3 + t có f ′(t ) = 6t 2 + 1 > 0, t ∈

(

1− x

)

nên y = 1 − x là nghiệm duy nhất của

ÁN

-L

Vì (3) ⇔ f ( y ) = f

TO

phương trình (3).

Thay vào (2) ta được

Đ

3 − 2 x + 1 − x = 4 + x + 4 ⇔ 3 − 2 x + 1 − x − x + 4 = 4.

( 4)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

( x, y ∈ ) .

H Ư

2 y 3 + y + 2 x 1 − x = 3 1 − x , (1) (I)  2 (2)  2 y + 1 + y = 4 + x + 4,

Đ

phương trình

IỄ N D

ẠO

Bài 27 (Thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc 2012–2013, lớp 12) Giải hệ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

1 − x 2 + 1 = 1 + x + 1 − x ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 (thỏa mãn (*)).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(1) ⇔

Vậy

N

đoạn [ 0;2].

Hàm số g ( x) = 3 − 2 x + 1 − x − x + 4 có g ′( x ) =

−1 1 1 − − < 0 ∀x ∈ ( −4;1) 3 − 2x 2 1 − x 2 x + 4

nên là hàm nghịch biến chặt trên [ −4;1].

26 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vì g ( −3) = 4 nên x = −3 là nghiệm duy nhất của phương trình (4).

Với x = −3 thì y = 2.

Ơ

N

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = −3, y = 2.

của

y = ax + b

hàm

a<0

với

để

chứng

tỏ

.Q

TP

G N H Ư

(1) ( I) ( 2)

 x 3 − 3 x = ( y − 1)3 − 9( y − 1)  1 + x − 1 = y − 1

Đ

phương trình

TR ẦN

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là: x ≥ 1, y ≥ 1. y − 1 = 1 + x − 1 ≥ 1 ⇒ y ≥ 2.

Từ (2) ta có

Viết lại (1) dưới dạng x3 − 3 x = ( y − 1 ) − 3. y − 1. ( 3)

10 00

B

3

Hàm số f ( x ) = x3 − 3x có f ′ ( x ) = 3x 2 − 3 ≥ 0 ∀x ≥ 1 nên f ( x ) đồng biến

y − 1.

Í-

⇔x=

f ( x ) = f ( y − 1). nên (3)

H

Ó

A

chặt trên [1; +∞ ) . Phương trình (3) có dạng

ÁN

-L

Thay x = y − 1 thay vào (2) ta được 1 + x − 1 = x ⇔ x − 1 = x − 1 ⇔ x = 1

TO

hoặc x = 2.

Bài 29 (Tuyển sinh đại học Khối A, 2010) Giải hệ phương trình

(

)

 4 x 2 + 1 x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0  4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7

( x, y ∈ ) .

D

IỄ N

Đ

ÀN

Đáp số: x = 1, y = 2 hoặc x = 2, y = 5.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Bài 28(Thi học sinh giỏi Hải Dương 2012 – 2013, lớp 12) Giải hệ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

biến

U Y

nghịch

g ( x ) = 3 − 2 x + 1 − x − x + 4 nghịch biến mà không cần tính đạo hàm.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

chất

N

H

Nhận xét: Có thể sử dụng tính chất đồng biến của hàm y = x và tính

3 4

5 2

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là x ≤ ; y ≤ .

27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( 4x2 +1) 2x−(5−2y+1) 5−2y =0. (1)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 5−4x2  Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 4x +  +2 3−4x −7 =0. ( 2)  2 

N

H Ư

 5 − 4x2  4 4  3 ′ = 4x 4x2 − 3 − < 0 với mọi x ∈  0;  g ( x ) = 8x − 8x  − 3 − 4x 3 − 4x  4  2 

)

TR ẦN

(

B

3 nên nghịch biến chặt trên khoảng  0;  .

10 00



4

1 2

Ó

A

Do đó (2) có nghiệm duy nhất là x = . Suy ra y = 2.

1





-L

Í-

H

Đáp số: Nghiệm của hệ là ( x, y ) =  , 2  .

2

ÁN

Bài 30 (Thi học sinh giỏi Thanh Hóa 2011–2012, lớp 12) Giải hệ phương trình

Đ

ÀN

TO

22 x− y − 2 x+ y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) 2 x − y (1)  3 (2)  3 y − 2( x − 1) + 1 = 0.

Giải:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

2

 5 − 4x2   3 Hàm số g ( x ) = 4 x +   + 2 3 − 4 x − 7, x ∈  0;  có  4  2  2

IỄ N D

3 không là nghiệm của (2).

4

Đ

Nhận thấy x = 0 và x =

ẠO

TP

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

U Y

N

5 − 4x2 .

2

.Q

Do đó (1) ⇔ 2 x = 5 − 2 y ⇔ x ≥ 0, y =

.

H

f ′ ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ . Suy ra hàm số f ( t ) đồng biến chặt trên

N

Phương trình (1) có dạng f ( 2 x ) = f ( 5 − 2 y ) với f ( t ) = ( t 2 + 1) t . Ta có

Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là

x + y ≥ 0, 2 x − y ≥ 0.

Với điều kiện trên thì (1) ⇔ 22 x − y + ( 2 x − y ) 2 x − y = 2 x + y + ( x + y ) x + y .

Hàm số f (t ) = 2t + t t có f ′(t ) = 2t ln 2 +

3 t > 0 ∀t ≥ 0 2

28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

nên là hàm đồng biến chặt trên [ 0; +∞ ) .

Vậy (1) ⇔ f ( 2 x − y ) = f ( x + y ) ⇔ x = 2 y.

2

Do 2 (2 y − 1) 2 + ( 2 y − 1)( 2t − 1) + ( 2t − 1)2  + 1 > 0, ∀y , t nên t = y.

Đ



Thế vào phương trình t = ( 2 y − 1) ta được

H Ư

N

3

G



(

)

y = ( 2 y − 1) ⇔ 8 y 3 − 12 y 2 + 5 y − 1 = 0 ⇔ ( y − 1) 8 y 2 − 4 y + 1 = 0.

TR ẦN

3

⇒ y = 1 ⇒ x = 2 thỏa mãn (*).

10 00

B

Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2;1) .

Bài 31 (Thi học sinh giỏi Quảng Nam 2014 –2015) Giải hệ phương trình

Ó

H

)

(1) ( 2)

Í-

(

A

 y 3 ( 4 x 2 + 1) + 2 ( y 2 + 1) y = 6   2 2 2  y x 2 + 2 4 x + 1 = y + y + 1. 

-L

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là y ≥ 0.

ÁN

Do y = 0 không là nghiệm hệ nên y > 0.

Đ

ÀN

TO

Từ (2), để hệ phương trình có nghiệm thì x > 0. Ta có

( 2 ) ⇔ 2 x + 2 x. ( 2 x )

2

2

1 1 1 + 1 = + .   + 1 ⇔ f ( 2x ) = y y  y

Hàm số f ( t ) = t + t t + 1 có f ′ ( t ) = 1 + t + 1 + 2

2

t2 t2 +1

1 f  .  y

2

)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

ẠO

3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

TP

(

.Q

t = ( 2 y − 1)3 y = 2t − 1 , phương trình (3) trở thành hệ:  3  y = ( 2t − 1)

H

Ơ

N

( 3)

t − y = ( 2 y − 1) − ( 2t − 1) ⇔ ( t − y ) = ( 2 y − 2t ) ( 2 y − 1) + ( 2 y − 1)( 2t − 1) + ( 2t − 1)

IỄ N D

y + 1 = 2(2 y − 1)3 .

Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ trên, ta được

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đặt

3

3

U Y

Thế vào (2) ta được

> 0 ∀t > 0.

1 1 Do đó hàm số f ( t ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) . Suy ra f ( 2x) = f   ⇔2x = . y  y

29 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Thế vào (1) ta được: (1) ⇔ y3 + y + 2 ( y 2 + 1) y − 6 = 0. y2 +1 Hàm s ố f ( y) = y + y + 2 y +1 y − 6 có f ′( y) = 3y + y + 4 y + > 0 ∀y > 0 y

)

2

Ơ

2

N

(

3

 1  

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO G

Đ

)

N

(

H Ư

Giải: Điều kiện để hệ phương trình có nghĩa là y 2 + 2 x > 0. Đặt t = 2 x − y thì (1) trở thành (1 + 4 ) 5 = 2

TR ẦN

t

1−t

t +1

1 + 4t 1 + 2t +1 . + 1 ( 3) ⇔ t = 5 5

B

Vế trái là hàm số nghịch biến còn vế phải là hàm số đồng biến nên t = 1

10 00

là nghiệ m duy nhất của (3) . Từ đó suy ra 2 x − y = 1 ⇔ x =

y +1 , thế vào (2) ta 2

H

Ó

A

được y3 + 2 y + 3 + ln ( y 2 + y + 1) = 0 ( 4 ) .

-L

Í-

Xét hàm số g( y) = y3 + 2y +3+ ln( y2 + y +1) trên , g′( y) = 3y2 + 2+

2y +1 > 0 ∀y y + y +1 2

ÁN

⇒ g ( y ) đồng biến và y = −1 là nghiệ m duy nhất của (4).

TO

Với y = −1 thì x = 0.

Đ IỄ N D

)

2 x− y  5 y −2 x+1 = 22 x− y +1 + 1 (1)  1+ 4  3 2  y + 4 x + ln y + 2 x + 1 = 0 ( 2 )

Đáp số: Hệ có nghiệ m duy nhất ( x; y ) = ( 0; −1) .

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

TP

Bài 32 (VMO 1999, Bảng A ) Giải hệ phương trình hỗn hợp

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Vì f (1) = 0 ⇔ y = 1 nên tập nghiệm hệ phương trình là S =  ;1 .  2  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

nên f ( y ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) . Do đó phương trình f ( y ) = 0 có tối đa một nghiệm.

1.4.1.3. Kĩ thuật chủ đạo 3: Sử dụng đạo hàm bậc hai Nhiều khi đạo hàm bậc nhất không đủ để chứng minh f ′(t ) ≥ 0. Sử

dụng đạo hàm bậc hai để chứng minh f ′(t ) ≥ 0, do đó f (t ) đồng biến trên khoảng ( a, b ) . Suy ra t1 = t2 . Giải tiếp phương trình đã cho.

30 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2 3 (1)  x + y = 29 (I) log 3 x log 2 y = 1 (2)

Bài 33 (VMO 2008) Tìm số nghiệ m của hệ 

9 X + 8Y = 29 (I) ⇔   XY = 1

ẠO

Ta có 1 (3) Y Y ⇒ 9 + 8 = 29 (4)

G

Đ

( 5 ).

N

1 t

1

1 t

f ′ ( t ) = 9 ln 9 − 8 . t

1 ln8. t2

TR ẦN

1

f ′′ ( t ) = 9t ln 2 9 + 8 t .

H Ư

f (t ) = 9 + 8 − 29 có đạo hàm

Hàm số

t

1 2 2 ln 8 + 8 t . 3 .ln8 > 0 với mọi t > 0 . Do đó hàm số f ′ ( t ) 4 t t

10 00

B

đồng biến trên ( 0; +∞ ) và tồn tại duy nhất t0 > 0 sao cho f ′ ( t0 ) = 0.

Mặt khác lim+ f (t ) = +∞ = lim f (t ). Vì f (1) < 0 nên f ( t0 ) < 0, ta có bảng t →+∞

A

t →0

H

Ó

biến thiên

0

-L

f ′(t )

−

+

0

+∞

+∞

TO

ÁN

f (t )

+∞

t0

Í-

t

D

IỄ N

Đ

ÀN

f ( t0 )

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

Đặt X = log3 x, Y = log 2 y. Do x, y > 1 nên X , Y > 0 và x = 3X và y = 2Y .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Tương tự, nếu 0 < x < 1 thì 0 < y < 1. Kết hợp với (1) ta có x, y > 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Từ (2) ta suy ra nếu x > 1, tức là log3 x > 0 thì log 2 y > 0, tức là y > 1.

Ơ

N

Giải: Điều kiện để hệ phương trình trên có nghĩa là x, y > 0.

Do tính liên tục của f ( t ) nên (5) có hai nghiệm dương.

Đáp số: Hệ đã cho có hai nghiệm.

31 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 34 (Thi học sinh giỏi lớp 12, Quảng Ngãi, nă m học 2011–2012) (1)

( I)

Ơ

3 3 2 2 2 2 x − y + x y = 2 xy − 3 x + 3 y (2)

N

 y − x + 1 + 2 = x + 1 + 2 − x

Giải hệ phương trình 

.Q

H Ư

vì vậy ta cần tính đạo hàm bậc hai.

1 1 + > 0 ∀x ∈ ( −1;2 ) .

4( x + 1) x + 1 4 ( 2 − x ) 2 − x

TR ẦN

Ta có f ′′( x) = 2 +

1 1 , + 2 x +1 2 2 − x

N

G

Đ

Chưa thể xét dấu của đạo hàm bậc nhất f ′( x) = 2x −1−

10 00

B

Do đó hàm số f ′ ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;2 ) . Chứng tỏ phương

A

1 trình f ′ ( x ) = 0 có duy nhất một nghiệm x = . Ta có bảng biến thiên: 2 1 2

−1

H

Ó

x f ′( x )

0

f ( −1)

+ f ( 2)

f ( x)

1 f   2

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

−

2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Xét hàm số f ( x ) = x 2 − x − x + 1 − 2 − x + 1 + 2 với x ∈ [ −1;2].

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y

2 x + y 2 + 3 > 0, ∀x ∈ [ −1; 2] )

Thay y = x 2 vào (1) ta được x 2 − x + 1 + 2 = x + 1 + 2 − x . ( 3)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( 2 ) ⇔ ( 2 x + y 2 + 3) ( x2 − y) = 0 ⇔ y = x2 (vì

H

Giải: Điều kiện để hệ (I) có nghĩa là x ∈ [ −1;2]

1 3 Vì f   = + 2 − 6 < 0, nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình  2 4 f ( x ) = 0 có nhiều nhất hai nghiệ m, hơn nữa f ( 0 ) = f (1) = 0 , do đó phương

trình (3) có hai nghiệ m x = 0; x = 1.

32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đáp số: Hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) = {( 0;0 ) ; (1;1)}.

1.4.2.Phương pháp giá trị lớn nhất nhỏ nhất và đánh giá

Ơ

N

Kĩ thuật chủ đạo Đưa phương trình về dạng f ( x) = g ( y), có thể

ẠO Đ

G

Giải hệ này suy ra nghiệ m của hệ phương trình đã cho.

H Ư

N

Bài 35 (Chọn đội tuyển Chuyên Đại học Vinh thi học sinh giỏi Quốc

( ( (

) ) )

( x, y, z ∈ )

10 00

B

TR ẦN

ln x2 + x +1 = x + 3y   gia 2013–2014) Giải hệ phương trình ln y2 + y +1 = y + 3z  2 ln z + z +1 = z + 3x

Giải: Hệ phương trình đã cho tương đương với

( ( (

) ) )

-L

Í-

H

Ó

A

ln x 2 + x + 1 + 2 x = 3 x + 3 y   2 ln y + y + 1 + 2 y = 3 y + 3 z  2 ln z + z + 1 + 2 z = 3 z + 3 x

TO

ÁN

Xét hàm số f ( t ) = ln ( t 2 + t + 1) + 2t trên

Đ

ÀN

Ta có f ′ ( t ) =

Suy ra

.

2t + 1 2t 2 + 4t + 3 + 2 = > 0, ∀t ∈ . t2 + t +1 t2 + t +1

f (t )

đồng biến chặt trên

.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 f ( x) = A;  g ( y ) = A.

tương đương với hệ 

IỄ N D

TP

.Q

g ( y ), tức là chứng minh f ( x) ≤ A ≤ g ( y ). Suy ra phương trình f ( x) = g ( y )

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

bậc nhất (và bậc hai nếu cần) để tìm giá trị lớn nhất của f ( x ), và nhỏ nhất của

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

x = y , hoặc x ≠ y. Sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá, sử dụng đạo hàm

Hệ phương trình có

 f ( x ) = 3x + 3 y  dạng  f ( y ) = 3 y + 3 z   f ( z ) = 3z + 3 x

33 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Không

mất

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

tính

tổng

quát,

giả

x = max { x, y , z}. Khi

sử

đó

x ≥ z ⇒ f ( x ) ≥ f ( z ) tức là 3 x + 3 y ≥ 3z + 3 x ⇔ y ≥ z. Suy ra

Ơ

N

f ( y ) ≥ f ( z ) ⇔ 3 y + 3z ≥ 3 z + 3 x ⇔ y ≥ x.

. Vì g ( 0 ) = 0 nên phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm

TR ẦN

g ( x ) nghịch biến trên

duy nhất x = 0. Từ đó ta có hệ có nghiệm duy nhất x = y = z = 0.

10 00

B

Bài 36 (Thi học sinh giỏi lớp 12 Chuyên Vĩnh Phúc, 2012–2013)

( x, y, z ∈ ) .

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

8  2  x + 3x + 2 = y − 5 y − 1  8  Giải hệ phương trình  y 2 + 3 y + 2 = − 5 z − 1 z  8  2  z + 3z + 2 = x − 5x − 1 

1 5

Đ

ÀN

TO

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là: x, y , z ≥ .

8

1



Các hàm số f ( t ) = t 2 + 3t + 2, g (u ) = − 5u − 1, liên tục trên  ; +∞  . u 5 

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

2x + 1 −4 x 2 − 2 x − 3 −4= < 0 ∀x ∈ . Suy ra hàm số Ta có g ′ ( x ) = 2 x + x +1 x2 + x + 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q G

.

ẠO

Xét hàm số g ( x ) = ln ( x 2 + x + 1) − 4 x trên

IỄ N D

)

Đ

(

TP

 x = y = z ,  2 ln x + x + 1 = 4 x.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Từ đó kết hợp với x = max { x, y, z} suy ra x = y = z. Hệ trở thành

N

H

⇒ f ( y ) ≥ f ( x ) ⇔ 3 y + 3z ≥ 3 x + 3 y ⇔ z ≥ x.

Ta có f ′ ( t ) = 2t + 3 > 0, g ′(u ) =

1 −8 5 − < 0 ∀t > .

2 5 u 2 5u − 1

34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1



Suy ra f ( t ) đồng biến chặt, g ( u ) nghịch biến chặt trên  ; +∞  . 5  một

là

nghiệm

của

hệ

(I),

tức

là

N

( x0 , y0 , z0 )

sử

Ơ

Giả

U Y

Đ

Nếu x0 = y0 < z0 thì g ( z0 ) > g ( y0 ) = f ( x0 ) = f ( y0 ) = g ( z0 ). Vô lí.

G

Vậy nếu x0 = y0 ≤ z0 thì x0 = y0 = z0 . Tương tự, nếu x0 < z0 ≤ y0 thì

8 − 5 x − 1. (1) x

thì

x0

B

x 2 + 3x + 2 =

( x0 , y0 , z0 )

là nghiệm của phương trình

TR ẦN

Vậy nếu

H Ư

N

x0 = y0 = z0 .

1



10 00

Do f ( t ) đồng biến chặt, g ( t ) nghịch biến chặt trên  ; +∞  nên hàm số 5 

H

Ó

A

1  h(t ) = f ( t ) − g (t ) đồng biến chặt trên  ; +∞  và phương trình 5 

-L

Í-

h(t ) = f ( t ) − g (t ) = 0 có nghiệm duy nhất t0 = 1. Suy ra phương trình (1) có

ÁN

nghiệm duy nhất x0 = 1.

Đ

ÀN

TO

Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệ m duy nhất là x = y = z = 1.

Bài 37 (Thi học sinh giỏi Nghệ An năm học 2010–2011, lớp 12) Giải

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

x0 = y0 ≤ z0 .

IỄ N D

TP

.Q

Nếu x0 < y0 ≤ z0 thì g ( z0 ) ≤ g ( y0 ) = f ( x0 ) < f ( y0 ) = g ( z0 ). Vô lí. Vậy

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x0 = min { x0 , y0 , z0 }.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

f ( x0 ) = g ( y0 ), f ( y0 ) = g ( z0 ) và f ( z0 ) = g ( x0 ). Không mất tính tổng quát, giả s ử

phương trình x − 1 + x + 1 + 2 − x = x 2 + 2.

Giải Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là −1 ≤ x ≤ 2.

Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với x 2 − x − x + 1 − 2 − x = −1 − 2.

(1)

35 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

)

.Q

2− 3

2− 3

m = −1 − 2 >

TR ẦN

H Ư

N

G

−1 − 6 4

−1 − 6 nên phương trình f ( x) = m có đúng hai nghiệ m.

4

10 00

B

Dễ thấy x1 = 0, x2 = 1 là hai nghiệm của phương trình (1).

A

Đáp số: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = 0, x2 = 1.

Ó

1.5 Bài tập tương tự

Í-

H

Bài 1.1 (Chọn đội tuyển dự VMO Đồng Nai, 2015) Giải phương trình 2 x − 3 − ( 4 x − 5) 3x − 2 = 2.

-L

( 5x − 4)

Đ

ÀN

TO

ÁN

Bài 1.2 (Thi học sinh giỏi Kiên Giang năm, 2014–2015) Giải phương trình: x + 2 5 − x = 2 x + 2 + 10 − 3x − x2 − 2.

Bài 1.3 (Thi học sinh giỏi các trường chuyên khu vực Duyên Hải và

Đồng

Bằng

Bắc

Bộ

năm

2010)

Giải

phương

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

f ( x)

+

0

TP

−

2

ẠO

f ′( x )

IỄ N D

1 2

−1

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x

U Y

Bảng biến thiên:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

(

  , f ′( x) = 0 ⇔ x = 1 .  2 

H

 1 ′ f ( x) = (2 x − 1) 1 +  2 x +1 2 − x x +1 + 2 − x 

1 1 . + 2 x +1 2 2 − x

N

Hàm số f ( x) = x2 − x − x + 1 − 2 − x có f ′( x) = 2 x −1 −

Ơ

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

trình

5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1.

Bài 1.4 (Thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam 2014–2015) Giải phương trình 3

7 − 16 x + 2 2 x + 8 = 5.

36 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 1.5 (Thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội, 2013) Giải phương trình x − 9 + 2 x 2 + 3 x = 5 x −1 +1.

Ơ N

H

1 = 3x + 1. x

U Y

x2 + 2x x −

N

Bài 1.6 (Thi học sinh giỏi Đồng Tháp 2011) Giải phương trình

.Q

1 = 2. x

N

2 − x2

−

H Ư

1

Giải phương trình

G

Đ

Bài 1.8 (Thi chọn đội tuyển dự VMO Bình Thuận 2014 – 2015)

TR ẦN

Bài 1.9 (Thi học sinh giỏi Quảng Bình 2014) Giải phương trình x = 3 − x 4 − x + 4 − x 5 − x + 5 − x 3 − x.

) (

)

3

10 00

(

3

x2 + 1 − x +

B

Bài 1.10 (Thi học sinh giỏi Phú Yên năm 2014 – 2015) Giải phương trình x 2 + 1 + x + 4 x 2 − 2 = 0.

Ó

A

Bài 1.11 (Thi học sinh giỏi các trường chuyên khu vực Duyên Hải &

Í-

H

Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2010) Giải phương trình

-L

2 x 3 − x 2 + 3 2 x 3 − 3 x + 1 = 3 x + 1 + 3 x 2 + 2.

ÁN

Bài 1.12 (Thi học sinh giỏi Quảng Ninh 2011) Giải phương trình

Đ

ÀN

TO

24 x 2 − 60 x + 36 −

1 1 + = 0.

5x − 7 x −1

Bài 1.14 (Thi học sinh giỏi Thái Bình 2013) Tìm m để phương trình

( 2m − 1)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Chí Minh. ngày 13/4/2013) Giải phương trình 3 x 2 + 6 x − 3 =

IỄ N D

x+7 .

3

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 1.7 (Thi học sinh giỏi Toán 10, Huyện Hóc Môn, Thành phố Hồ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

x + 2 + ( m − 2 ) 2 − x + m − 1 = 0 có nghiệm.

Bài 1.15 (Thi học sinh giỏi Quốc Gia 2001, Bảng B) Giải hệ phương trình  7 x + y + 2 x + y = 5   2 x + y + x − y = 2

37 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 1.16 (Thi học sinh giỏi Đồng Nai 2013) Giải hệ phương trình

(1)

Ơ

N

( x; y ∈ )

( 2)

TR ẦN

 5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 = 3( x + y )   2 x + y + 1 + 2 3 7 x + 12 y + 8 = 2 xy + y + 5.

10 00

B

Bài 1.20 (Thi chọn đội tuyển thành phố Hồ Chí Minh dự VMO 2015)

H

Ó

A

 xy + 6 y x − 1 + 12 y = 4  Giải hệ phương trình  xy 1 2 x . 1 + y + xy + y = x y + 

-L

Í-

Bài 1.21 (Học sinh giỏi Hải Phòng 2011) Giải hệ phương trình

Đ

ÀN

TO

ÁN

 1  x + + x + y −3 = 3 y   2 x + y + 1 = 8.  y

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

Bài 1.19 (Thi Olympic 30/04/2014 lần thứ XX) Giải hệ phương trình

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

Đ G N

3 2  x + 2 x = 5 − 2 y  (15 − 2 x ) 6 − x − ( 4 y + 9 ) 2 y + 3 = 0.

ẠO

Bài 1.18 (Thi học sinh giỏi Long An năm 2014) Giải hệ phương trình

IỄ N D

U Y

 x 3 − y 3 + 3x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0  2 2 2 4 − x − 3 3 + 2 y − y − 3 x + 2 = 0.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 1.17 (T7hi học sinh giỏi Hà Nội 2014) Giải hệ phương trình

H

) )

N

( (

( x + y ) 3 xy − 4 x = −2   ( x + y ) 3 xy + 4 y = 2 

Bài 1.22 (Thi học sinh giỏi Bình Định 2014) Giải hệ phương trình  2 xy + y x 2 − y 2 x+ y x− y = +  14 2 2   3 3   x+ y  x− y   2  +  2  = 9.     

38 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu kết Chương 1 Chương 1 trình bày một số kĩ thuật giải phương trình, hệ phương trình

Ơ

N

như: kĩ thuật biến đổi tương đương, kĩ thuật nhân liên hợp, phương pháp hàm

H

số và áp dụng các kĩ thuật và phương pháp đó vào giải các bài giải phương

.Q

Bên cạnh đó, Chương 1 cũng giới thiệu một số bài tương tự minh họa

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

Qua một lượng khá lớn các bài toán (59 bài) thi học sinh giỏi và thi vào

N

G

đại học trong và ngoài nước, trong đó có 37 bài với lời giải chi tiết, và 22 bài

H Ư

tương tự, ta cũng thấy được sự phong phú của các bài toán giải phương trình

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

và hệ phương trình hỗn hợp cũng như độ khó khi giải dạng toán này.

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

phong phú hơn về các phương pháp và kĩ thuật đã nói ở trên.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

olympic,….

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

trình và hệ phương trình trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh, đề thi

39 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chương 2 MỘT SỐ KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI

Ơ

N

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP

U Y

ẠO

Bài 1 (Thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc, 2012, lớp 10) Giải phương trình

N

G

Đ

x+7 . (1) 3

3x2 + 6 x − 3 =

TR ẦN

H Ư

Cách 1 (Đặt ẩn phụ) Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa là x ≥ −7. (*) x+7 ≥ 0. Ta được hệ phương trình 3

Đặt t =

3 x 2 + 6 x − 3 = t (I )  2 3t − 7 = x.

10 00

B

Đặt y = x + 1, hệ (I) trở thành

Ó

A

2 2 2 (1) 3 y − 6 = t 3 y − 6 = t 3 y − 6 = t ⇔ 2 ⇔  2  2 3t − 6 = y 3 y − 3t = t − y ( y − t )( 3 y + 3t + 1) = 0. (2)

H

( 2 ) ⇔ t = y hoặc

3 y + 3t + 1 = 0.

-L

Í-

Ta có:

vào (1) ta được 3 y 2 − 6 = y ⇔ y =

ÁN

Thay t = y

Đ

ÀN

TO

x = y −1 =

1 ± 73 .

6

−5 ± 73 −5 + 73 . Kết hợp với điều kiện (*) ta được x = .

6 6

Thay 3 y + 3t + 1 = 0 hay t = 3y2 − 6 =

−3 y − 1 vào (1) ta được 3

Suy ra

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

2.1. Phương trình với nhiều cách giải

IỄ N D

.Q

hoặc những bài toán khó với lời giải phức tạp.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

hợp có nhiều cách giải hoặc phải kết hợp nhiều kĩ thuật trong một cách giải,

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Phần này tổng hợp các bài toán giải phương trình, hệ phương trình hỗ n

−3 y − 1 −3 ± 3 69 −1 ± 69 . ⇔ 9 y 2 + 3 y − 17 = 0 ⇔ y = = 3 18 6

40 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Suy ra x = y − 1 =

Ơ

N

−7 − 69 .

6

H U Y .Q

Đ

ẠO

2

(1) (2)

TR ẦN

H Ư

N

G

7 1  3 x + 2 = 3 x + 21 + 2 ,  3 x + 21 = 3 x + 3, ⇔ ⇔ 3 x + 7 = −  3 x + 21 + 1   3 x + 21 = −3 x − 4    2 2  

10 00

B

 x ≥ −1 −5 + 73 (1) ⇔  2 ⇔x= thỏa mãn điều kiện (*).

6 3 x + 5 x − 4 = 0

H

Ó

A

4  −7 − 69 x ≤ − (2) ⇔  3 ⇔x= thỏa mãn điều kiện (*).

6 2 9 x + 21x − 5 = 0 

-L

Í-

Đáp số: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x =

ÁN

−7 − 69 .

6

Đ

ÀN

TO

x=

−5 + 73 và 6

Bài 2 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh 2012–2013, lớp 12) Giải phương trình

(

)

3 2 + x − 2 = 2 x + x + 6.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

49 1 7  1  ⇔ 9 x + 21x + = 3 x + 21 + 3x + 21 + ⇔  3x +  =  3 x + 21 +  4 4 2  2  2

IỄ N D

3 x + 21 ⇔ 9 x 2 + 18 x − 9 = 3 x + 21 9

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(1) ⇔ 3 x 2 + 6 x − 3 =

N

Cách 2 (Biến đổi tương đương)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x=

−7 ± 69 . Kết hợp với điều kiện (*) ta được 6

(1)

Cách 1 (Nhân với biểu thức liên hợp+biến đổi tương đương) Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là: x ≥ 2. (*) Với điều kiện (*) ta có: (1) ⇔ 3 x − 2 − x + 6 = 2 x − 6.

( 2)

41 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Nhân hai vế của (2) với biểu thức liên hợp ta được:

Trừ vế với vế của phương trình (3) và phương trình (1) ta được

10 00

B

x ≤ 5 11 − 3 5 . x+6 =5− x ⇔  2 ⇔x= 2  x − 11x + 19 = 0

11 − 3 5 .

2

Ó

A

Đáp số: x1 = 3, x2 =

Í-

H

Bài 3 (Đề đề nghị Olympic 30/4/2013, THPT Chuyên Nguyễn Thị

ÁN

-L

Minh Khai, Sóc Trăng) Giải phương trình

x − 2 + 4 − x + 2x − 5 = 2x2 − 5x. (1)

TO

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là:

Cách 1 (Biến đổi tương đương)

D

IỄ N

Đ

ÀN

Với điều kiện (*) ta có

5 ≤ x ≤ 4. (*) 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

Cách 2 (Biến đổi đơn giản hơn)

H Ư

N

G

Đ

 14 x≤  14  11 − 3 5 5 x ≤  ⇔ 5 ⇔ ⇔x= thỏa mãn điều kiện (*).

2 11 3 5 ± 2 x −11x +19 = 0 x =   2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

14 − 5 x ≥ 0 x − 2 x + 6 = 14 − 5 x ⇔ ( )( )  2 9 ( x − 2 )( x + 6 ) = (14 − 5 x )

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( 3) ⇔ 10 x − 12 + 6 ( x − 2 )( x + 6 ) = 16

U Y

N

H

Bình phương hai vế của phương trình (3) ta được:

⇔3

N

x = 3 8 x − 24 = 2 ( x − 3) ⇔  3 x−2 + x+6 3 x − 2 + x + 6 = 4. (3)

Ơ

(2) ⇔

42 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(1) ⇔ 2x 2 − 5x − x − 2 − 4 − x − 2x − 5 = 0

x − 2 +1

+

)

2x − 5 − 1 + 2x 2 − 8x+6=0

2 ( x − 3) 2x − 5 x−3 + + 2 ( x − 3)( x − 1) = 0 1+ 4 − x 2x − 5 + 1

H Ư

N

Vậy phương trình đã cho có nghiệ m duy nhất x = 3.

Cách 2 (Biến đổi tương đương và đánh giá số hạng)

) (

x − 2 −1 +

) (

4 − x −1 +

)

2x − 5 − 1 = 2x 2 − 5x − 3

B

x −3 3− x 2( x − 3) + + = ( x − 3)( 2x + 1). x − 2 +1 4 − x +1 2x − 5 + 1

10 00

⇔

(

TR ẦN

(1) ⇔

Ó

A

1 1 2   ⇔ ( x − 3)  − + − ( 2x + 1)  = 0 4 − x +1 2x − 5 + 1  x − 2 +1 

ÁN

-L

Í-

H

x = 3 ⇔ 1 2 1  . (3) + = ( 2x + 1) +  x − 2 + 1 2x − 5 + 1 4 − x +1

Phương trình (3) vô nghiệm do với mọi x ∈  ;4  ta có: 2 

Đ

ÀN

TO

5

1 2  VT = + ≤ 1 + 2 = 3; 2 2x − 5 + 1  x − 2 +1  1 5 VP = ( 2 x + 1) + > 2 x + 1 ≥ 2. + 1 = 6.

2 2 4 − x +1 

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Phương trình (2) vô nghiệm do điều kiện (*).

IỄ N D

.Q Đ

ẠO

1 2 2x − 5 x−2 + + + 2 ( x − 1) = 0. ( 2 ) x − 2 +1 1+ 4 − x 2x − 5 + 1

TP

⇔ x = 3 hoặc

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x−2  1 2 2x − 5 ⇔ ( x − 3)  + + + 2 ( x − 1) = 0 2x − 5 + 1  x − 2 +1 1+ 4 − x 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x−2

(

N

)

Ơ

( x − 3)

) (

x − 2 − 1 + 1 − 4 − x + 2x − 5

N

⇔

(

U Y

⇔ x−2

H

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đáp số: Phương trình có nghiệ m duy nhất x = 3.

43 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 4 (Đạị học An Ninh, Khối A, 2000) Giải hệ phương trình

Ơ

N

 x 2 + x + y + 1 + x + y 2 + x + y + 1 + y = 18 ( I)  2 2  x + x + y + 1 − x + y + x + y + 1 − y = 2.

U Y TP

x 2 + 9 + y 2 + 9 = 10. ( 3)

Đ

Thay (2) vào (1) ta được

H Ư

N

G

Đặt t = x − 4 thì x = 4 + t và y = 4 − t. Thay vào phương trình (3) ta được

TR ẦN

t 2 + 8t + 25 + t 2 − 8t + 25 = 10. ( 4 )

Bình phương hai vế ta được

(t

2

+ 25 ) − 64t 2 = 25 − t 2 2

10 00

B

(4) ⇔

A

t 2 ≤ 25 ⇔ 4 ⇔ 36t 2 = 0 ⇔ t = 0.

2 2 2 4 t + 50t + 625 − 64t = 625 − 50t + t

H

Ó

Suy ra x = y = 4 là nghiệm duy nhất của hệ đã cho.

-L

Í-

Cách 2 (Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ) Ta có

Đ

ÀN

TO

ÁN

 x 2 + x + y + 1 + y 2 + x + y + 1 = 10  x 2 + 9 + y 2 + 9 = 10 (I) ⇔  ⇔ x + y = 8   x + y = 8. r r Đặt u = ( x,3); v = ( y,3). Khi ấy

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Thế vào phương trình đầu ta đi đến phương trình x + y = 8. ( 2 )

IỄ N D

.Q

x 2 + x + y + 1 + y 2 + x + y + 1 = 10. (1)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ta được

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Cách 1 (Đặt ẩn phụ và biến đổi tương đương) Cộng hai vế của hệ trên

r r r r r r u + v = (8,6); u = x 2 + 9; v = y 2 + 9; u + v = 82 + 62 = 10. r r r r r r Ta đã biết rằng u + v ≥ u + v với mọi u và v . Dấu bằng xảy ra khi và

r r r r r r chỉ khi u và v cùng phương. Từ đây ta có 10 = x2 + 9 + y 2 + 9 = u + v ≥ u + v = 10.

44 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

r r Suy ra u = ( x,3) = kv = k ( y ,3). Do đó k = 1 và x = y. Từ x + y = 8 suy ra x = y = 4.

Ơ

N

Lời bình: Cách giải 2 sáng tạo hơn.

xy ≥ 0, x ≥ −1, y ≥ −1.

G

Đ

(*)

H Ư

N

Đặt t = xy , t ≥ 0. Phương trình (1) trở thành x + y = 3 + xy = 3 + t.

TR ẦN

Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được x + y + 2 + 2 xy + x + y + 1 = 16.

B

Thay x + y = 3 + t vào (2’) ta được

10 00

3 + t + 2 + 2 t 2 + t + 4 = 16 ⇔ 2 t 2 + t + 4 = 11 − t

H

Ó

A

0 ≤ t ≤ 11 11 − t ≥ 0 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ t = 3.

2 3t + 26t − 105 = 0  4 ( t + t + 4 ) = 121 − 22t + t

Í-

Suy ra x + y = 6, xy = 9 ⇔ x = y = 3.

ÁN

-L

Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Cauchy) Vì xy ≥ 0 nên x và y cùng dấu.

TO

Từ phương trình (1) suy ra x + y = 3 + xy ≥ 0. Do đó x ≥ 0, y ≥ 0.

Đ

ÀN

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x + y = 3 + xy ≤ 3 +

x+ y ⇒ x + y ≤ 6.

2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

nghĩa là:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(I )

U Y

(2)

Cách 1 (Đặt ẩn phụ và biến đổi tương đương) Điều kiện để hệ (I) có

IỄ N D

(1)

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x + y − xy = 3   x + 1 + y + 1 = 4.

N

H

Bài 5 (Thi vào Đại học, Cao đẳng, Khối A, 2006) Giải hệ phương trình

Kết hợp với phương trình (2) ta được 4 = x + 1 + y + 1 ≤ 2 ( ( x + 1) + ( y + 1) ) = 2 ( x + y + 2 ) ≤ 2 ( 6 + 2 ) = 4.

45 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 x + y = 6,  x + y = 6, ⇔ ⇔ x = y = 3.  x + 1 = y + 1  x = y

Suy ra 

Ơ

N

Đáp số: Hệ có nghiệ m duy nhất là ( x, y ) = ( 3,3) .

U Y .Q

Đ

ẠO

( 2)

G

N

Phương trình này có ∆′y =

144 .

25

B

7 17 hoặc y = −3x − .

5 5

10 00

Suy ra: y = −3x +

119 = 0.

25

TR ẦN

H Ư

rồi cộng với (1) ta được y 2 + 2 ( 3x + 1) y + 9 x 2 + 6 x −

-L

Í-

H

Ó

A

2 1  x= ⇒ y=  7 42 44 5 5 Với y = −3x + thì (2) ⇔ 10 x 2 − x + = 0 ⇔  5 5 25  x = 11 ⇒ y = 2 .  25 25

17 102 284 = 0. Phương trình vô nghiệm. x+ thì (2) ⇔ 10 x 2 + 5 5 25  2 1   11 2  

Đ

ÀN

TO

ÁN

Với y = −3x −

Kết luận: Tập nghiệm hệ phương trình là S =  ;  ;  ;  .  5 5   25 25  

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(I)

Cách 1 (Biến đổi tương đương+Phương trình bậc hai) Nhân (2) với 2

IỄ N D

(1)

TP

1  2 2  x + y = 5   4 x 2 + 3 x − 57 = − y ( 3 x + 1) .  25

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( x; y ∈ ) :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Bài 6 (Thi học sinh giỏi Nghệ An nă m 2011) Giải hệ phương trình vớ i

Cách 2 (Biến đổi tương đương) Hệ (I) tương đương với 5 x 2 + 5 y 2 = 1  (I) ⇔  47 ( 2 x − y )( x + 2 y ) + ( x + 2 y ) + ( 2 x − y ) = .

25 

( II )

Đặt a = 2 x − y, b = x + 2 y , khi ấy:

46 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

a 2 = 4 x 2 − 4 xy + y 2 ⇒ a 2 + b2 = 5x 2 + 5 y 2.  2 2 2 b = x + 4 xy + 4 y

H

N

H Ư

TR ẦN

Bài 7 (Thi Đại học, Khối A, 2014) Giải hệ phương trình

(

(1)

10 00

B

(2)

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là:

(I )

Í-

H

Ó

A

−2 3 ≤ x ≤ 2 3  2 ≤ y ≤ 12.

-L

Cách 1 (phương pháp véc tơ) r

(

) (

)

r

Đ

ÀN

TO

ÁN

Đặt a = x; 12 − x2 , b =

IỄ N D

)

 x 12 − y + y 12 − x 2 = 12    x 3 − 8 x − 1 = 2 y − 2.

12 − y ; y . Ta có

(

r r a = b = 12 và (1) ⇔ 2 x 12 − y + y 12 − x 2

(

rr r r2 r r ⇔ 2ab = a 2 + b ⇔ a − b

(

)

2

) ) = 2.12

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

G

 2 1   11 2  

Đáp số: Tập nghiệm hệ phương trình là S =  ;  ;  ;  .  5 5   25 25  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

7  17 3  4  2  11   a + b = a + b = − a = a = x = x =    5  5 5  5 5  25 ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇒ ∨ ab = 12  ab = 132 b = 4 b = 3 y = 1 y = 2 .   25  25 5  5 5  25 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

( a + b ) 2 − 2ab = 1 2ab = ( a + b )2 − 1 a 2 + b 2 = 1   ⇔ ( II ) ⇔   47 ⇔  94 144 2 . ab + a + b = 25 2ab + 2 ( a + b ) = ( a + b + 1) =  25 25  

Ơ

N

Ta có:

x ≥ 0 r r = 0 ⇔ a = b ⇒ x = 12 − y ⇔  2  y = 12 − x .

Thay y = 12 − x 2 vào phương trình ( 2 ) ta được x 3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2 ⇔ x 3 − 8 x − 3 = 2

(

)

10 − x 2 − 1

47 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(

)

)

N

H

Ơ

N

10 − x 2 + 1  2 ( x + 3)  ⇔ ( x − 3)  x 2 + 3x + 1 + =0 10 − x 2 + 1  ⇔ x = 3⇒ y = 3

.Q

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopxkii cho hai cặp số

Đ

a1 = x, a2 = 12 − x 2 , b1 = 12 − y , b2 = y ta được

) ) ≤ ( x + (12 − x )) ( y + (12 − y ) ) = 12 .

G

(

2

2

2

2

H Ư

N

(

(1) ⇔ x 12 − y + y 12 − x 2

TR ẦN

12 − x 2 x = ⇔ x 2 y = (12 − y )(12 − x ) ⇔ y = 12 − x 2 .

Vậy (1) ⇔ 12 − y y

10 00

B

Tiếp tục giải như Cách giải 1 ta cũng đi đến đáp số ( x; y ) = ( 3;3) .

Lời bình: Có thể coi hai cách giải thực chất là tương đương.

A

2.2 . Các kĩ thuật tổng hợp giải phương trình và hệ phương trình

H

Ó

Bài 8 (Thi Đại học, khối A, 2013) Giải phương trình

(

)

-L

Í-

1 2log 2 x + log 1 1 − x = log 2 2

(x − 2

2

x +2

)

(1) .

ÁN

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là 0 < x < 1. (*)

TO

(

)

(

Đ

ÀN

Với điều kiện trên thì (1) ⇔ 2log 2 x − log 2 1 − x = log 2 x − 2 x + 2

IỄ N D

TP

Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxkii)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Thử lại ta được nghiệ m của hệ phương trình là ( x; y ) = ( 3;3) .

(

)

(

)

(

)(

)

)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

2 9 − x2

⇔ ( x − 3 ) x + 3x + 1 = 2

⇔ log2 x2 = log2 x − 2 x + 2 + log2 1− x ⇔ log2 x2 = log2  x − 2 x + 2 1− x   

(

)(

⇔ x2 = x − 2 x + 2 1 − x

)

(

) (

⇔ x2 = x 1 − x + 2 1 − x

)

2

( 3)

Đặt t = 1 − x > 0, phương trình (3) trở thành: x 2 = tx + 2t 2 ⇔ ( x − 2t )( x + t ) = 0

48 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(

) (

⇔ x = 2t ⇔ x = 2 1 − x ⇔

)

2

x + 1 = 3 ⇔ x = 4 − 2 3.

N

So sánh với điều kiện (*) ta kết luận phương trình có nghiệ m

H

Ơ

x = 4−2 3.

U Y

TP

G

Đ

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là −1 ≤ x ≤ 1. (*)

H Ư

N

Với điều kiện trên thì (1) ⇔ log 2 (8 − x 2 ) − log 2 ( 1 + x + 1 − x ) − log 2 4 = 0

TR ẦN

⇔ log 2 (8 − x 2 ) = log 2  4  ⇔ 8 − x2 = 4

(

(

1+ x + 1− x

(

)

1− x + 1+ x  

)

)

10 00

B

⇔ (8 − x 2 ) 2 = 32 1 + 1 − x 2 . ( 2 )

A

Đặt t = 1 − x 2 (t ≥ 0) ⇒ 1 − x 2 = t 2 . Phương trình (2) trở thành:

H

Ó

(7 + t 2 ) 2 = 32(1 + t ) ⇔ t 4 + 14t 2 − 32t + 17 = 0

-L

Í-

⇔ (t − 1) 2 (t 2 + 2t + 17) = 0 ⇔ t = 1, (t 2 + 2t + 17 > 0, ∀t ∈ ).

ÁN

Với t = 1 ta có 1 − x 2 = 1 ⇔ x = 0 thỏa mãn điều kiện (*).

TO

Đáp số: Phương trình đã cho có duy nhất nghiệ m x = 0.

Đ

ÀN

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với đặt ẩn phụ.

IỄ N D

)

1 + x + 1 − x − 2 = 0. (1)

Bài 10 (Thi học sinh giỏi Quảng Nam năm 2014) Giải phương trình

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

(

ẠO

log 2 (8 − x 2 ) + log 1

.Q

Bài 9 (Thi Đại học, khối D, 2011) Giải phương trình:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

mà còn phải kết hợp thêm với đặt ẩn phụ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Nhận xét: Ở đây, biến đổi tương đương chưa đủ để giải quyết bài toán,

3x − 2 − x + 1 = 2 x 2 − x − 3. (*) 2 3

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ .

Với điều kiện trên thì:

49 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

)(

3x − 2 − x +1

3x − 2 + x +1

3x − 2 + x +1

) = 2x − x − 3 2

H

.Q

N

1 1 2 = nghịch biến trên  ; +∞  . g ( x) 3x − 2 + x + 1 3 

B

Do đó h( x ) =



TR ẦN

3

H Ư

2 nên g ( x ) đồng biến trên  ; +∞  .

2

15

3

10 00

Suy ra max h ( x ) = h   = < 1 hay h ( x ) < 1. ( 3) 2  3 5   +∞ ;   

H

Ó

A

Từ (1), (2), (3), suy ra phương trình f ( x ) = g ( x ) vô nghiệm hay (1) vô nghiệm.

-L

Í-

3 Đáp số: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = .

2

ÁN

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm.

TO

Bài 11 (Olympic Chinh phục đỉnh núi Vôrobiev 2015) Tìm tất cả các

ÀN Đ IỄ N

25− x−m .log 5

7

(x

2

)

− 2 x + 3 + 5− x

2 +2 x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

3 1 2 + > 0, ∀x > 3 2 3x − 2 2 x + 1

G

Hàm số g ( x) = 3 x − 2 + x + 1 có g ′( x ) =

giá trị của m để phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

D

(1)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

 3 x = 2 1   ⇔ ( 2x − 3)  − ( x +1)  = 0 ⇔  1  3x − 2 + x +1   = ( x +1)  3x − 2 + x +1 2 2 5 Với mọi x ≥ thì f ( x) = x + 1 ≥ + 1 = > 1. ( 2 ) 3 3 3

Ơ

N

2x − 3 − ( 2x − 3)( x +1) = 0 3x − 2 + x + 1

N

⇔

(

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(*) ⇔

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

log 1 ( 2 x − m + 2 ) = 0. (1) 7

Giải: Ta có

(1) ⇔ 5−2 x−m .5.log7 ( ( x − 1)

2

)

+ 2 − 5− x

2 +2 x

log 7 ( 2 x − m + 2 ) = 0

50 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔ 5( x −1) .log

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2

(( x − 1) + 2) = 5

7

log 7 ( 2 x − m + 2 ) .

2 x −m

2

( 2)

2

Ơ

2

=2 x−m.

H

( ( x − 1) ) = f ( 2 x − m ) ⇔ ( x − 1)

N

(2) ⇔ f

N

Vì hàm f (t ) = 5t + log 7 (t + 2) là hàm tăng chặt nên

y = ( x − 1) và y = 2 x − m cắt nhau tại đúng ba điể m, tức là khi và chỉ khi

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

parabol y = ( x − 1) , hoặc đỉnh của parabol và đỉnh của đường gấp khúc trùng

2

= −2 ( x − m ) có nghiệ m kép ( m =

G

= 2( x − m)

hoặc phương trình

3 1 hoặc m = ) hoặc m = 1.

2 2

3 1 hoặc m = hoặc m = 1.

2 2

B

Đáp số: m =

2

N

( x − 1)

TR ẦN

( x − 1)

phương trình

H Ư

nhau, tức là

Đ

2

10 00

Nhận xét: Để giải được bài này, cần phải biết kết hợp biến đổi tương đương với tính chất đồng biến của hàm số. Ngoài ra còn phải sử dụng hình vẽ

Ó

A

trực quan để đưa về biện luận nghiệm của phương trình bậc hai.

Í-

H

Bài 12 (Thi học sinh giỏi Cao Bằng 2014 –2015 ) Giải phương trình

-L

( x + 2)( 2x − 1) − 3

x+6 = 4−

( x + 6)( 2x − 1) + 3

x + 2 (1)

ÁN

1 2

TO

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ . (*)

Đ

(1) ⇔  ( x + 2 )( 2 x − 1) − 3 ⇔ x+2

D

IỄ N

Ta có:

⇔

(

(

)

x + 2 +   

2x −1 − 3 + x + 6

2x −1 − 3

)(

(

( x + 6 )( 2 x − 1) − 3

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

đường thẳng y = 2 ( x − m ) hoặc đường thẳng y = −2 ( x − m ) tiếp xúc vớ i

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Phương trình này có đúng ba nghiệm khi và chỉ khi đồ thị các hàm số

x + 6 = 4 

)

2x −1 − 3 = 4

)

x + 2 + x + 6 = 4.

( 2)

51 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 và vế phải dương nên để phương trình 2

2 x − 1 − 3 > 0 ⇔ 2 x − 1 > 3 ⇔ x > 5.

H

U Y

.Q

- Hàm số dương g ( x ) = x + 2 + x + 6 trên nửa khoảng ( 5; +∞ ) có

)(

G

(

2x −1 − 3

x+2 + x+6

)

là hàm

H Ư

Từ đây suy ra h ( x ) = f ( x ) .g ( x ) =

Đ

ẠO

1 1 + > 0, ∀x > 5 nên g ( x ) đồng biến chặt trên ( 5; +∞ ) .

2 x+2 2 x+6

N

g′( x ) =

TR ẦN

số đồng biến trên ( 5; +∞ ) . Vì h ( 7 ) = 4 nên x = 7 là nghiệ m duy nhất của ( 2 ) .

So sánh với điều kiện (*), ta đi đến x = 7.

B

Đáp số: phương trình có nghiệ m duy nhất x = 7.

10 00

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm.

Bài 13 (Đề đề nghị, Olympic 30/4/2013, THPT Chuyên Bắc Quảng Quảng

Ó

)

(

Giải

Nam)

phương

trình

)

Í-

H

2 x − 1 − 4 x 2 + 7 − 4 2 x − 1 x + 2 x − 1 − 3 = 0. (1)

-L

(2

A

Nam,

1 2

ÁN

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ . (*)

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Với điều kiện trên thì: (1) ⇔( 2x2 − 4x +1) 2x −1 = 4x2 − 7x + 3 ⇔( 2x2 − 4x +1) 2x −1 = ( 4x − 3)( x −1). (1’)

Đặt

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

N

1 > 0, ∀x > 5 nên f ( x ) đồng biến chặt trên ( 5; +∞ ) .

2x −1

f ′( x ) =

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

- Hàm số dương f ( x ) = 2 x − 1 − 3 trên nửa khoảng ( 5; +∞ ) có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( 2 ) có nghiệm thì điều kiện kéo theo là

N

x + 2 + x + 6 > 0, ∀x ≥

Do

2 2 2 2 a = x − 1  a = x − 2 x + 1 2a − 1 = 2 x − 4 x + 1 ⇒ 2 ⇒ 2  b = 2 x − 1 ≥ 0 b = 2 x − 1 2b − 1 = 4 x − 3.

Khi ấy ′ ⇔ ( 2a2b − 2b2a ) + ( a − b ) = 0 ⇔ 2ab ( a − b) + ( a − b ) = 0 ⇔ ( a − b )( 2ab + 1) = 0 (1)

⇔ a = b hoặc 2ab + 1 = 0.

52 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

)

Ơ

H

( 2)

3

N

U Y

TP

.Q

1 với 3

ẠO

Đ

0

f ’(t )

H Ư

−

+

0

+∞

TR ẦN

f (t )

+∞

G

1

1 3

N

−∞

t

1

10 00

B

9−2 3 9

Ó

A

 1  9−2 3 > 0. nên ( 2 ) vô nghiệm.

Từ bảng biến thiên ta có f (t ) ≥ f   = 9  3

Í-

H

So sánh với điều kiện (*), ta đi đến

-L

Đáp số: phương trình có nghiệ m là x = 2 + 2.

ÁN

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm.

Đ

ÀN

TO

Bài 14 (Thi học sinh giỏi Long An 2014) Tìm tham số m để phương trình 3 21 + 4 x − x 2 − x + 3 = m 4

(

x+3+2 7−x

)

(1) có nghiệm thực.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

2 x − 1 − 2 x − 1 + 1 = 0 ⇔ t 3 − t + 1 = 0 với t = 2 x − 1 ≥ 0.

t ≥ 0.

IỄ N D

(

Hàm số f ( t ) = t 3 − t + 1 trên [ 0; +∞ ) có f ′ ( t ) = 3t 2 − 1 = 0 ⇔ t =

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

Nếu 2ab + 1 = 0 thì 2 ( x − 1) 2 x − 1 + 1 = 0 ⇔  2 x − 1 − 1 2 x − 1 + 1 = 0.  

N

 x ≥ 1 2x −1 = x −1 ⇔  2.

2 ⇔ x = 2+ 2 x − 1 = ( x − 1)

Nếu a = b thì

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là −3 ≤ x ≤ 7. (*)

(

)

Với điều kiện (*) thì (1) ⇔ 4 21+ 4x − x2 − 3x +12 = 4m x + 3 + 2 7 − x . ( 2)

Đặt t = x + 3 + 2 7 − x , khi ấy t 2 − 19 = 4 21 + 4 x − x 2 − 3x + 12.

53 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta có t ′ =

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 ; t′ = 0 ⇔ 2 x + 3 = 7 − x ⇔ x = −1. − 2 x+3 7−x

TP ẠO

2 10

Đ

t

N

G

10

TR ẦN

H Ư

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra, tập giá trị của t là t ∈  10;5 2  . t 2 − 19 , ∀t ∈  10;5 2  .

Do đó: (1) ⇔ t − 19 = 4mt ⇔ 4m = t 2

A

t 2 + 19 > 0, ∀t ∈  10;5 2  . t2

Ó

f ′(t ) =

10 00

B

t 2 − 19 Hàm số f ( t ) = trên đoạn  10;5 2  có t

-L

Í-

H

Suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên đoạn  10;5 2  .

 10 ;5 2   

( 10 ) = − 91010

(

)

và maxf ( t ) = f 5 2 =  10 ;5 2   

31 2 .

10

TO

ÁN

Do đó: min f ( t ) = f

Đ

ÀN

Để (1) có nghiệ m thì min f ( t ) ≤ 4m ≤ max f ( t ) ⇔ −  10 ;5 2   

 10 ;5 2   

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

−

0

5 2

IỄ N D

+

7

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

t'

+∞

N

−1

−3

.Q

−∞

x

H

Ơ

N

Bảng biến thiên:

9 10 31 2 . ≤m≤ 40 40

 9 10 31 2  ;  thì phương trình đã cho có nghiệm thực.

40   40

Đáp số: Với m ∈  −

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm.

54 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 15 (Tuyển sinh đại học Khối A, 2013) Giải hệ phương trình

4 y = ( x + y − 1) ⇒ y ≥ 0.

Xét hàm số f ( t ) = t + 2 + t ( t ≥ 0 ) . Ta có f ′( t ) =

H Ư

N

4

2t3 t4 + 2

(1)

+1> 0 với mọi t ≥ 0.

TR ẦN

Suy ra phương trình (1) tương đương với

f (u ) = f ( y ) ⇔ u = y ⇔ x = y4 + 1 .

( 2)

10 00

B

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có y ( y 7 + 2 y 4 + y − 4 ) = 0.

Xét hàm số g( y) = y7 + 2y4 + y − 4, ( y ≥ 0). Ta có g′( y) = 7 y6 + 8y3 +1 > 0,∀y ≥ 0.

Ó

A

Do đó hàm số g ( y ) đồng biến trên [ 0; +∞ ) .

Í-

H

Ta có g (1) = 0 nên phương trình (2) tương đương với y = 0 ∨ y = 1. .

-L

Với y = 0 thì x = 1; Với y = 1 thì x = 2.

TO

ÁN

Đáp số: Nghiệ m của hệ là (1,0 ) ; ( 2,1) .

Đ

ÀN

Nhận xét: Kết hợp đặt ẩn phụ với phương pháp đạo hàm.

Bài 16 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2011–2012, lớp 12)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

y 4 + 2 + y.

G

u4 + 2 + u =

ẠO

Đặt u = 4 x − 1. Khi đó u ≥ 0, x = 1 + u 4 . Phương trình thứ nhất trở thành

IỄ N D

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Từ phương trình thứ hai ta có

H

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ 1 .

Ơ

N

( x, y ∈ ) .

N

 x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y  2 2  x + 2 x ( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0

Tìm tất cả những giá trị của để hệ phương trình sau có nghiệm:  x 3 − 12 x − y 3 + 6 y 2 − 16 = 0 (1) ( I)  2 2 2 4 x + 2 4 − x − 5 4 y − y + m = 0 (2)

( x, y ∈ ) .

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là −2 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 4. (*)

55 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Với điều kiện trên thì

(1) ⇔ x3 − 12 x = ( y − 2 )

3

− 12 ( y − 2 ) .

Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 12t , t ∈ [ −2;2].

H

Ơ

N

Ta có f ′(t ) = 3t 2 − 12 = 3 ( t 2 − 4 ) < 0 với mọi t ∈ ( −2;2 ) . Suy ra hàm số

G

N

TR ẦN

g ′( x) = 0 ⇔ x = 0 và

g ′( x) > 0 ⇔ −2 < x < 0, g ′( x ) < 0 ⇔ 0 < x < 2; g ( 0 ) = 6; g ( −2 ) = g ( 2 ) = −16

nên min g ( x) = g (2) = g (−2) = −16; max g ( x) = g (0) = 6. [ −2;2]

10 00

B

[−2;2 ]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệ m khi và chỉ khi −16 ≤ m ≤ 6.

Ó

A

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm.

-L

(

Í-

phương trình

H

Bài 17 (Thi học sinh giỏi Lâm Đồng 2013–2014, lớp 12) Giải hệ

)(

)

( x, y ∈ ) .

Giải: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( 3x )2 + 1 = − y + ( − y ) 2 + 1 (1)

3x +

Đ

ÀN

TO

ÁN

 3x + 9 x 2 + 1 y + y 2 + 1 = 1   8 x3 + 2 y = 5 x + y + 2.

IỄ N D

  3 − 8x = − x  + 8 .

2 4 − x2  4−x  −3 x

H Ư

g ′( x) =

Ta có

Đ

ẠO

có nghiệ m x thuộc đoạn [ −2;2]. Đặt g ( x ) = 3 4 − x 2 − 4 x 2 , x ∈ [ −2;2].

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (4)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thay vào phương trình (2) ta được 3 4 − x 2 − 4 x 2 = m. ( 4 )

U Y

N

f ( t ) nghịch biến trên [ −2;2]. Vậy f ( x ) = f ( y − 2 ) ⇔ x = y − 2.

Xét hàm số f ( t ) = t + t 2 + 1 Vì f ′ ( t ) =

t + t2 +1 t +1 2

> 0 với mọi t ∈

nên hàm số f ( t ) đồng biến trên .

56 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Suy ra (1) ⇔ f ( 3 x ) = f ( − y ) ⇔ 3 x = − y.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 8 x3 − 6 x = 2 x + 2

( 2)

Ơ

N

Điều kiện để phương trình này có nghĩa là x ≥ −1.

4π 4π ; −3cos 5 5

TR ẦN



Đ

G

N

 

Vậy nghiệ m của hệ là (1; −3) ;  cos

4π 4π     ;  cos ; −3cos  .

7 7  

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm.

10 00

B

Bài 18 (Thi học sinh giỏi Bắc Ninh 2013– 2014, lớp 12) Giải hệ phương trình

(

)

(1)

( x, y ∈ ) .

(2)

Í-

H

Ó

A

( 2 x − 1) x + y = ( 6 − x − y ) 2 − x   2 3 3 2 12 x + 3 xy − 18 x = x − 6 x − y + 5

-L

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là: x + y ≥ 0, x ≤ 2.

ÁN

Đặt u = 2 − x ≥ 0, v = x + y ≥ 0. Suy ra x = 2 − u 2 , x + y = v 2 .

Đ

ÀN

TO

Phương trình (1) trở thành ( 3 − 2u 2 ) v = ( 6 − v 2 ) u. ( 3) Rõ ràng u = 0 hoặc v = 0 không thỏa mãn phương trình.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/



4π 4π , t= .

5 7

H Ư

Với t ∈ [ 0;π ] thì ta có t = 0, t =

IỄ N D

)

ẠO

(

t 2 4cos3 t − 3cos t = 2cos t + 2 ⇔ cos3t = cos .

2

TP

.Q

Với x ∈ [ −1;1], đặt x = cos t , t ∈ [ 0;π ], phương trình (2) trở thành

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Suy ra phương trình (2) vô nghiệm.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Nếu x > 1 thì 8 x3 − 6 x = 2 x + 8 x ( x 2 − 1) > 2 x > 2 x + 2.

Với u , v > 0, phương trình (1) tương đương với 6 − ( 2u ) 3 − 2u 2 6 − v 2 6 − v2 . = ⇔ = u v 2u v 2

57 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

−6 6 − t2 với t > 0. Ta có f ′ ( t ) = 2 − 1 < 0, ∀t > 0 . Do đó t t

Ơ

hàm số f ( t ) nghịch biến trên ( 0; +∞ ) . Suy ra (1) ⇔ f ( 2u ) = f ( v ) ⇔ 2u = v hay

(5)

TR ẦN

1 8cos 3 α − 6cos α = 1 ⇔ cos3α = .

2 9

5π 7π ,α = 9 9

B

π

,α=

10 00

Vì α ∈ [ 0;π ] nên α =

A

π 5π 7π suy ra x = 2cos , x = 2cos hoặc x = 2cos .

9

9

H

Ó

9

Í-

Vì (5) là phương trình bậc ba có không quá ba nghiệ m nên đây là ba

-L

nghiệm của phương trình.

ÁN

Đáp số: Nghiệ m của hệ là

Đ

ÀN

TO

π π  5π 5π   7π 7π    2cos ;8 − 10cos  ,  2cos ;8 − 10cos  ,  2cos ;8 − 10cos .

9 9  9 9   9 9  

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

)

−3x 2 + 6 x ⇔ x − 1 = 3 −3x 2 + 6 x ⇔ x3 − 3x − 1 = 0.

N

3

Với x ∈ [ −2;2] , đặt x = 2cos α , α ∈ [ 0; π ], phương trình (5) trở thành

IỄ N D

(

H Ư

( 4) ⇔ g ( x − 1) = g

. Suy ra

Đ

Do đó hàm g ( z ) đồng biến trên

ẠO

Xét hàm số g ( z ) = z 3 + 2 z , z ∈ . Ta có g ′ ( z ) = 3 z 2 + 2 > 0, ∀z ∈ .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

)

U Y

(

⇔ ( x − 1) + 2 ( x − 1) = −3x 2 + 6 x + 2 3 −3x 2 + 6 x . ( 4 )

.Q

Thế vào phương trình (2) ta được 2 3 −3 x 2 + 6 x = x 3 − x − 3

N

H

2 2 − x = x + y ⇔ y = 8 − 5 x.

3

N

Xét hàm số f ( t ) =

Nhận xét: Kết hợp đặt ẩn phụ với phương pháp đạo hàm.

Bài 20 (Thi học sinh giỏi Thanh Hóa 2012–2013, lớp 12) Giải hệ

phương trình

58 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

)

 1 + 4 2 x− y .51−2 x+ y = 1 + 22 x − y +1 (1)  (I) x− y = ln ( x + 3) − ln( y + 3) (2)   4

t

t

H Ư

1  4 khi a > 1 nên hàm số y =   +   nghịch biến chặt và hàm số 5 5

TR ẦN

chặt trên

khi 0 < a < 1 và đồng biế n

N

Hàm số mũ y = a t nghịch biến chặt trên

1 2 g ( t ) = + .2t đồng biến chặt trên 5 5

. Vậy t = 1 là nghiệm duy nhất của

10 00

B

phương trình (3). Suy ra 2 x − y = 1.

Ta có ( 2 ) ⇔ x − 4ln( x + 3) = y − 4ln( y + 3).

A

số z = f (t ) = t − 4ln(t + 3)

t > −3.

với

Ta

Í-

H

t −1 , f ′ ( t ) = 0 ⇒ t = 1. t +3

-L

f ′(t ) =

hàm

Ó

Xét

t

−3

f ′(t )

+∞

1 −

0

f (t )

+

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

Bảng biến thiên:

có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

( 3)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

t

TP

t

.Q

1 + 4t 1 + 2t +1 ⇔ t = 5 5

1 4 1 2 ⇔   +   = + .2t 5 5 5 5

thành:

ẠO

=1+ 2

trở

(1)

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

t +1

trình

G

(1 + 4 ).5

1−t

t

Phương

N

t = 2 x − y.

Đặt

H

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là x > −3; y > −3.

N

( x, y ∈ ) .

Ơ

(

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 − 4 ln 4

59 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Trên khoảng ( −3,1) hàm số z = f (t ) = t − 4ln(t + 3) nghịch biến chặt.

Với x = 1 thì do 2 x − y = 1 nên y = 1 và x = y = 1 thỏa mãn hệ phương

Ơ

N

trình đã cho.

TP

Đ

ẠO

trên ( −3,1) nên f ( y ) > f ( x ) . Suy ra với y = 2 x − 1, x ∈ ( −3; +∞ ) \ {1} ta luôn có

N

G

f ( y) > f ( x ).

H Ư

Đáp số: Hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = 1, y = 1.

TR ẦN

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm.

Bài 21 (Thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh, 2010) Giải hệ

B

phương trình

( x, y ∈ ).

A

10 00

 x11 + xy10 = y 22 + y12  4 4 2 2 7 y + 13 x + 8 = 2 y 3 x(3 x + 3 y − 1)

Ó

Nếu y = 0 thì thay vào phương trình (1) ta được x = 0 không

H

Giải:

-L

Í-

thỏa mãn phương trình thứ hai.

ÁN

Nếu x = 0 thì từ phương trình thứ nhất ta có y = 0, không thỏa mãn

TO

phương trình thứ hai.

Đ

ÀN

Với xy ≠ 0, phương trình thứ nhất tương đương với

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Với x < 1 thì y < x < 1. Do z = f (t ) = t − 4ln(t + 3) là hàm đồng biến chặt

IỄ N D

U Y

.Q

trên (1, +∞ ) nên f ( y ) > f ( x ) hay (3) không có nghiệ m trên (1, +∞ ) .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Với x > 1 thì y > x > 1. Do z = f (t ) = t − 4ln(t + 3) là hàm đồng biến chặt

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Từ 2 x − y = 1 suy ra y − x = x − 1.

11

 x x 11  y  + y = y + y. (1)  

Xét hàm số f (t ) = t11 + t trên

.

Ta có f ′(t ) = 11t10 + 1 > 0 với mọi t ∈ . Suy ra f (t ) đồng biến chặt trên . Do đó

60 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 x x (1) ⇔ f   = f ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y 2 > 0. y  y

Ơ

ẠO Đ

G

7t + 13t 2 + 8t 3 = 2 3 3 + 3t − t 2

⇔ ( 2t + 1) + 2 ( 2t + 1) = 3 + 3t − t 2 + 2 3 3 + 3t − t 2 .

H Ư

N

3

( 2)

TR ẦN

Hàm số g ( t ) = u 3 + 2u có g ′ ( t ) = 3u 2 + 2 > 0.

Vậy hàm số g ( t ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) .

10 00

B

( 2 ) ⇔ g ( 2t + 1) = g

(

3

)

3 + 3t − t 2 ⇔ 2t + 1 = 3 3 + 3t − t 2

⇔ ( 2t + 1) = 3 + 3t − t 2 ⇔ 8t 3 + 13t 2 + 3t − 2 = 0

(

)

⇔ ( t + 1) 8t 2 + 5t − 2 = 0 ⇔ t = −1, t =

-L

Í-

H

Ó

A

3

16 −5 + 89 , y=± .

16 −5 + 89 

16 −5 + 89 ;±  −5 + 89 16 

TO

ÁN

Suy ra x =

ÀN Đ IỄ N

−5 ± 89 .

16

 .  

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 x

Đặt t = , phương trình này trở thành

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q

7 13 8 3 1 + 2 + 3 = 23 3 + − 2 . x x x x x

Đáp số: Nghiệ m của hệ là 

D

3 1 − x x2

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔

⇔ 7 x 2 + 13 x + 8 = 2 x 3 3 3 +

H

)

N

(

7 x 2 + 13 x + 8 = 2 x 2 3 x 3 x 2 + 3x − 1

N

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Nhận xét: Kết hợp đặt ẩn phụ với phương pháp đạo hàm.

Bài 22 (Thi học sinh giỏi Nam Định 2013) Giải hệ phương trình

(

)(

)

 x2 + 1 + x y2 + 1 + y = 1   2 4 x + 2 + 22 − 3 x = y + 8

(1) ( 2)

( I)

61 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là:

1+ t2

.Q

U Y

N

H

có

TP

+ 1 − y ⇔ f ( x ) = f ( − y ).

ẠO

trên

2

f ′( t ) =

1+ t2 + t 1+ t

2

>0

vì

G

t +t

(− y)

≥ 0.

TR ẦN

.

10 00

Thế vào (2) ta được:

B

Suy ra f ( x ) = f ( − y ) ⇔ x = − y.

A

(2) ⇔ 4 x + 2 + 22 − 3x = x 2 + 8

Í-

H

Ó

 4   14   1  1 ⇔ 4  x + 2 −  x +   +  22 − 3 x −  − x +   = x 2 − x − 2 3   3  3  3 

-L

⇔ 4 3 x + 2 − ( x + 4 )  + 3 22 − 3 x − (14 − x )  = 3 ( x 2 − x − 2 )

ÁN

4 ( − x2 + x + 2 )

Đ

ÀN

TO

⇔

3 x+2 +x+4

+

− x2 + x + 2 + 3( − x2 + x + 2 ) = 0 3 22 − 3x + 14 − x

4 1   ⇔ ( − x 2 + x + 2 ). + + 3 = 0  3 x + 2 + x + 4 3 22 − 3x + 14 − x 

Do

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1+ t2

=

+ 1 + ( − y ) , ta được:

N

>

t2 + t

2

⇔ x2 + 1 + x =

Do đó hàm số f ( t ) đồng biến chặt trên

IỄ N D

y +1 + y 2

(− y)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1+ t 2

1

x2 + 1 + x =

f (t ) = t + 1+ t 2

số

y2 +1 − y =

H Ư

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(1) ⇔

1 + y 2 − y > 0. nên nhân (1) với biể u

Đ

y 2 + 1 + y là

thức liên hợp của

1+ t 2 + t

Ơ

1 + y 2 > y 2 = y ≥ y nên

Do

Hàm

N

x + 2 ≥ 0 22 ⇔ −2 ≤ x ≤ . (*)  3 22 − 3x ≥ 0

4 1  22  + + 3 > 0, ∀x ∈  −2;  3 3 x + 2 + x + 4 3 22 − 3x + 14 − x 

 x = −1 nên phương trình trên tương đương với − x 2 + x + 2 = 0 ⇔  ( tm ) x = 2

62 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 x = −1 x = 2   y = 1 hoặc  y = −2

So với điều kiện (*), ta đi đến 

Ơ

N

Đáp số: Tập nghiệm của hệ là S = {( −1;1) ; ( 2; −2 )}.

U Y

Ngoài ra, cần có những lí luận đặc biệt.

.Q

G

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là:

H Ư

N

x + y ≥ 0, x ≤ 2. (*)

TR ẦN

Đặt a = 2 − x ≥ 0 ⇒ x = 2 − a2; b = x + y ≥ 0. Khi ấy (1) ⇔( 3−2a2 ) b =( 6−b2 ) a. ( 3) Do a = b = 0 ⇔ x = 2, y = −2 không thỏa mãn hệ nên xét a > 0, b > 0.

3− 2a2 6 − b2 6 − ( 2a) 6 − b2 = ⇔ = ⇔ f ( 2a) = f ( b).

Với a > 0, b > 0 thì ( 3) ⇔ a b b ( 2a)

10 00

B

2

H

Ó

A

6 6 Hàm số f ( t ) = − t có f ′ ( t ) = − 2 − 1 < 0, ∀t > 0 nên f ( t ) đồng biế n t t

Í-

chặt trên ( 0, +∞ ) . Suy ra f ( 2a ) = f ( b ) ⇔ b = 2a.

-L

x + y = 2 2 − x ⇔ x + y = 4 ( 2 − x ) ⇔ y = 8 − 5x.

ÁN

Hay

⇔

(

3

6 x − 3x 2

) +2 3

3

6 x − 3 x 2 = ( x − 1) + 2 ( x − 1) ⇔ f 3

(

3

)

6 x − 3x 2 = f ( x − 1) .

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Thế vào (2) ta được: ( 2 ) ⇔ 2 3 −3x 2 + 6 x = x3 − x − 3.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

(1) ( 2)

Đ

( 2 x − 1) x + y = ( 6 − x − y ) 2 − x  2 3 2 3 12 x + 3 xy − 18 x = x − 6 x − y + 5

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 23 (Thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh năm 2014) Giải hệ phương trình

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm.

Hàm số f ( z ) = z 3 + 2 z có f ′( z ) = 3z2 + 2 > 0 ∀z ∈ chặt trên

. Suy ra f

(

3

nên f ( z ) đồng biế n

)

6x − 3x2 = f ( x −1) ⇔ 3 6x − 3x2 = x −1 ⇔ x3 − 3x −1 = 0. ( 4)

Xét x ∈ [ −2;2] và đặt x = 2cos u, ( u ∈ [0; π ]) thì

63 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

( 4 ) ⇔ 8cos3 u − 6cos u = 1 ⇔ 4cos3 u − 3cos u =

Suy ra: x = 2cos

π 9

hoặc x = 2cos

5π 7π hoặc x = 2cos .

9 9

Ơ

N

k 2π  π 5π 7π  và do k ∈ ; u ∈ [ 0; π ] nên u ∈  ; ; .

3 9 9 9 

H

9

+

N

π

U Y

⇔u =±

π 1 ⇔ cos3u = cos 2 3

Đ

7π 7π   ;  2cos ;8 − 10cos 9 9 

 . 

N

G

π π 5π 5π   2cos ;8 − 10cos  ;  2cos ;8 − 10cos 9 9  9 9 

ẠO

Đáp số: Các cặp nghiệm cần tìm của hệ phương trình là

H Ư

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ và phương pháp

TR ẦN

đạo hàm.

Bài 24 (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Cần Thơ năm 2015) Giải hệ

10 00

B

phương trình

 x 2 + xy + 2 y 2 + y 2 + xy + 2 x 2 = 2 ( x + y )   ( 8 y − 6 ) x − 1 = 2 + x − 2 y + 4 y − 2 + 3

)(

)

Ó

A

(

(1) ( 2)

Í-

H

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là: x ≥ 2, y ≥ 2.

2

2

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

2 2  y   7   x  7  Với điều kiện này ta có (1) ⇔  x+  + y +  y+  + x =2( x+ y) . ( 3)  2  2   2  2 

r  y 7  r  x 7  y ; v =  y + ; x .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , chọn u =  x + ; 2 2  2 2   

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

nghiệm của (4).

IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Do phương trình bậc ba không có quá ba nghiệm nên đây chính là ba

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 r r 3 3 7 Khi ấy ta có u + v =  x + y; ( x + y )  . Suy ra: 2 2 2  r r 9 7 2 2 u +v = ( x + y) + ( x + y) = 2( x + y) 4 4

và 64 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2

N Ơ H

2

N

.Q

(

)(

(

) (

⇔ f

B

(

2

)(

(

)

3

(

) + (2 +

10 00

4x − 4

+ 4x − 4 = 2 + x − 2

A

(

)

) (

Ó

⇔

(

)

2 4 x − 4 + 1 . 4 x − 4 = 2 + x − 2    3

 + 4 x − 2 + 4  + 1  

)

2 x − 2 + 2 + 1 

x−2

Í-

-L

ÁN

.

ÀN

TO

Suy ra f

Đ

)

)

Hàm s ố f ( t ) = t 3 + t có f ′ ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 ∀t ∈ trên

)

4x − 4 = f 2 + x − 2 .

H

⇔ 

x−2

TR ẦN

 ⇔ ( 4 x − 3) 4 x − 4 = 2 + x − 2  

H Ư

N

Thế vào ta được: (2) ⇔ (8 x − 6 ) x − 1 = 2 + x − 2 . x + 4 x − 2 + 3

(

) (

nên f ( t ) đồng biến

)

4x − 4 = f 2 + x − 2 ⇔ 4 x − 4 = 2 + x − 2

x = 2 ⇒ y = 2 ⇔ x + 2 + 4 x − 2 = 4 x − 4 ⇔ 4 x − 2 = 3x − 6 ⇔   x = 34 ⇒ y = 34 .

9 9 

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

y 7  x y  y +  ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x = y do x ≥ 1, y ≥ 2. = 2 2  2

Đ

 x x + 

G

7 2

ẠO

nghĩa là:

IỄ N D

2

2  x  7   y +  y +  + x  ≥ 2 ( x + y ).

2 2     

r r Dấu bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véctơ u và v cùng hướng,

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

U Y

 7 y ( 3) ⇔ 2 ( x + y ) =  x +  +  2  2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

2 2 r y  7  r x  7    u = x+  + y ; v =  y +  + x .

2  2  2  2    r r r r Áp dụng bất đẳng thức véctơ u + v ≥ u + v , kết hợp với (3), ta có:

 34 34  ; .  9 9 

Đáp số: Nghiệ m của hệ là ( x; y ) = ( 2;2 ) ; 

65 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 25 (Đề đề nghị Olympic 30/04/2014, THPT Chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk)

H

.Q

⇔

3

( x + 2)( y + 3 + 2

)

Đ

TR ẦN

( x + 2) (

y + 2 + 1 = 1 + 3 ( y + 2 )( x + 1).

2

B

3

)

y + 2 − 3 ( y + 2 )( x + 1) = 1

( 3)

10 00

⇔

y + 2 − 3 ( y + 2 )( x + 1) = 1

A

3 Đặt u = x + 1 ≥ , v = y + 2 ≥ 0 . Khi đó 2

Í-

H

Ó

( 3) ⇔ 3 (1 + u )(1 + v ) 3

-L

Chia hai vế cho

2

( )

= 1 + 3 uv 2 . 3'

2 (1 + u )(1 + v ) và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho

TO

ÁN

ba số dương 3 3 abc ≤ a + b + c rồi cộng lại, ta được:

⇔1=

3

3

1 uv 2 + 3 2 2 (1 + u )(1 + v ) (1 + u )(1 + v )

u v v 1 1 1 1 1 2  1 u 2v  . . +3 . . ≤  + + +   1+ u 1+ v 1+ v 3  1+ u 1+ v  3  1+ u 1+ v  1+ u 1+ v 1+ v

D

IỄ N

Đ

ÀN

(3") ⇔ 1 =

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

( y + 3)( x + 2 ) + 2 ( x + 2 )

N

3

H Ư

⇔

y + 2 − 3 x ( y + 2) + ( y + 2) = 1

G

(1) ⇔ 3 x ( y + 3) + 2 ( y + 3) + 2 ( x + 2 )

ẠO

Với điều kiện trên thì:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y

(1) ( 2)

1 Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là: x ≥ ; y ≥ −2.

2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 3 xy + 3x + 2 y + 6 + 2 ( x + 2) y + 2 − 3 xy + 2 x + y + 2 = 1    2 x − 1 + 3 y − 3x + 2 + 2 x2 y − 7 x3 + 7 x2 − 6 x = 0.

Ơ

N

Giải hệ phương trình

66 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

1  1 1 + u = 1 + v u = v ⇔ ⇔ u = v.

Dấu đẳng thức xảy ra khi  u (1 + v ) = v (1 + u )  u = v 1 + u 1 + v

(x

2

− x + 1) + 3 x 2 − x + 1 + 1 2

+ ( x − 1)( 2 x − 1) ( x 2 + 2 ) = 0

(

)

B

)

10 00

(

TR ẦN

H Ư

N

  2 x  2 ⇔ ( x − 1) .  + + ( 2 x − 1) ( x + 2 )  = 0.

2 2 x − 1 + 1 3 x2 − x + 1 + 3 x2 − x + 1 + 1 ( )   2 1 x + + ( 2x − 1) x 2 + 2 > 0, ∀x ≥ Do 2 2x −1 + 1 3 x2 − x + 1 2 + 3 x2 − x + 1 + 1

nên phương trình trên chỉ có nghiệm là x = 1. Suy ra y = 2.

( x; y ) = (1;2 ).

Ó

A

Đáp số: Hệ có duy nhất nghiệm

Í-

H

Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với đặt ẩn phụ.

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Bài 26 (Thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2009) Giải hệ phương trình 1 1 2  + =  2 2 1 + 2 xy  1 + 2x 1+ 2y  2   x (1 − 2 x ) + y (1 − 2 y ) = 9

(1) ( 2)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

U Y .Q

x ( x − 1)

+

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2x − 1 + 1

)

x 2 − x + 1 − 1 + 2 x 4 − 3x3 + 5 x2 − 6 x + 2 = 0

TP

2 ( x − 1)

3

ẠO

) (

2x − 1 −1 +

G

⇔

IỄ N D

(

2 x − 1 + 3 x 2 − x + 1 + 2 x 4 − 3x3 + 5 x 2 − 6 x = 0

Đ

⇔

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( 2) ⇔

N

H

Suy ra: x + 1 = y + 2 ⇔ y = x 2 + 2 x − 1 . Thế vào phương trình (2), ta được:

1 Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là: 0 ≤ x; y ≤ .

2 

Đặt u = x 2; v = y 2, u; v ∈ 0; 

2 1 1 2 . ( 3) + =  ta có: (1) ⇔ 2 1+u2 1+ v2 1+uv

67 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:

N

( 4)

1 1 2 + ≤ ∀u , v ∈ [ 0;1]. ( 5 ) 2 2 1 + u 1 + v 1 + uv

1   1 1   1 − − + ≤0 2 2  1 + u 1 + uv   1 + v 1 + uv 

.Q

Đ

2

H Ư

N

G

u , v ≥ 0; uv ≤ 1.

( 3) ⇔

TR ẦN

Từ (3), (4), (5) suy ra, với mọi u , v ≥ 0; uv ≤ 1 ta có: 2 1 1 2 . = + ≤ 1 + uv 1 + uv 1+ u2 1 + v2

10 00

B

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u = v ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x = y.

A

1 1 9 ± 73 .

V ậy ( 2 ) ⇔ x − 2 x 2 = ⇔ 2 x 2 − x + = 0 ⇔ x = y = 9 81 36

Í-

H

Ó

So sánh với điều kiện, ta đi đến

-L

Đáp số: So với điều kiện, nghiệm cần tìm của hệ là x = y =

9 ± 73 .

36

ÁN

Nhận xét: Đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương và đánh giá bất đẳng thức.

Đ

ÀN

TO

Bài 27 (Thi học sinh giỏi Lâm Đồng 2014) Giải hệ phương trình 8 x 3 + 2 y = y + 5x + 2   2 2  3x + 1 + 9 x . y + 1 + y = 1

(

)(

)

(1)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( v − u ) ( uv − 1) ≤ 0 luôn đúng với mọi ⇔ (1 + u 2 )(1 + v 2 ) (1 + uv )

IỄ N D

u (v − u ) v (u − v ) uv − u 2 uv − v 2 + ≤ 0 ⇔ + ≤0 2 2 2 2 1 + u 1 + uv 1 + v 1 + uv 1 + u 1 + uv 1 + v 1 + uv ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

TP

⇔

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thật vậy: ( 5) ⇔ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Mặt khác, ta luôn có:

1 1 . + 2 1 + u 1 + v2

Ơ

1+ v2

≤ 12 + 12 .

H

1

N

1+ u2

+ 1.

U Y

1

1.

( 2)

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là y + 5x + 2 ≥ 0.

Do 1 + y 2 > y 2 = y ≥ y nên

1 + y 2 − y > 0.

68 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Nhân ( 2 ) với biểu thức liên hợp ta được: 1

= 1 ⇔ 3x + 1 + ( 3 x ) = 1 + ( − y ) + ( − y ) 2

1+ y2 − y

2

N

)

1 + 9 x2 .

1+ t2

≥ 0 nên hàm số f ( t ) đồng biến trên .

Suy ra f ( 3 x ) = f ( − y ) ⇔ 3 x = − y ⇔ y = −3 x.

 π x = cos t , t ∈  0;  . Khi đó:  2

( 3) ⇔ 2 ( 4cos3 t − 3cos t ) =

2cos t + 2 ⇔ 2cos3t = 2 (1 + cos t )

B

 t t  t  π = cos3t ⇔ cos3t = cos ,  do : t ∈ 0;  ⇒ cos > 0  .

2 2  2  2 

10 00

⇔ cos 2

TR ẦN

Đặt

H Ư

N

G

Thế vào (1) ta được: (1) ⇔ 8 x3 − 6 x = 2 x + 2. ( 3)

-L

Í-

H

Ó

A

t   4kπ t = 5 3t = 2 + k 2π ⇔ ⇔ ,k ∈ . π 4 t k t = 3t = − + k 2π   2 7

ÁN

 π Vì t ∈ 0;  nên t = 0.  2

Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = (1; −3) .

Nhận xét: Đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương và phương pháp hàm số.

Bài 28 (Thi học sinh giỏi lớp 12 Chuyên Vĩnh Phúc, năm học 2012– 2013)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Với t = 0 ta có x = 1 ⇒ y = −3.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

t +t

TP

1+ t2

=

ẠO

1+ t2

>

t2 + t

> 0, ∀t ∈ .

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vì

1+ t2 + t

1+ t2

U Y

Hàm số f ( t ) = t + 1 + t có f ′ ( t ) =

.Q

1+ t2 + t

2

N

H

Ơ

⇔ f ( 3x ) = f ( − y ).

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( 2 ) ⇔ (3x +

69 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

8  2  x + 3x + 2 = y − 5 y − 1  8  Giải hệ phương trình  y 2 + 3 y + 2 = − 5 z − 1 z  8  2  z + 3z + 2 = x − 5x − 1 

( x, y, z ∈ ) .

1 5

.Q

G

1 8 5 − < 0 ∀t > .

2 5 u 2 5u − 1

H Ư

N

Ta có f ′ ( t ) = 2t + 3 > 0, g ′(u ) =

Đ

ẠO

8 1  Xét các hàm số f ( t ) = t 2 + 3t + 2, g (u) = − 5u −1, liên tục trên  ; +∞  . u 5 

TR ẦN

1  Suy ra f ( t ) đồng biến, g ( t ) nghịch biến trên  ; +∞  . 5 

Giả sử ( x0 , y0 , z0 ) là nghiệ m của hệ (I), tức là f ( x0 ) = g( y0 ), f ( y0 ) = g( z0 ) và

10 00

B

f ( z0 ) = g ( x0 ).

Không mất tính tổng quát, giả sử x0 = min { x0 , y0 , z0 }.

H Í-

x0 = y0 ≤ z0 .

Ó

A

Nếu x0 < y0 ≤ z0 thì g ( z0 ) ≤ g ( y0 ) = f ( x0 ) < f ( y0 ) = g ( z0 ). Vô lí. Vậy

-L

Nếu x0 = y0 < z0 thì g ( z0 ) > g ( y0 ) = f ( x0 ) = f ( y0 ) = g ( z0 ). Vô lí. Vậy nếu

ÁN

x0 = y0 ≤ z0 thì x0 = y0 = z0 .

V ậy

x 2 + 3x + 2 =

nếu

( x0 , y0 , z0 ) thì

x0

là

nghiệm

của

phương

trình

8 − 5 x − 1. (1) x

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Tương tự, nếu x0 < z0 ≤ y0 thì x0 = y0 = z0 .

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là: x, y , z ≥ .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

70 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1  Do f ( t ) đồng biến chặt, g ( t ) nghịch biến chặt trên  ; +∞  nên hàm số 5 

H

Ơ

N

1  h(t ) = f ( t ) − g (t ) đồng biến chặt trên  ; +∞  và phương trình 5 

.Q

Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệ m duy nhất là x = y = z = 1.

Đ

2.3 Bài tập tương tự

)

H Ư

(

phương trình 3 2 + x − 2 = 2 x + x + 6.

N

G

Bài 2.1 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, năm học 2012–2013, lớp 12) Giả i

log 2 (8 − x 2 ) + log 1

(

)

1+ x + 1− x − 2 = 0 .

10 00

B

2

TR ẦN

Bài 2.2 (Thi Đại học, khối D, 2011) Giải phương trình

Bài 2.3 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2010– 2011, lớp 12) Giải

(

3

)

x + 5 + 2 2 x − 5 = 3 x − 1.

Ó

A

phương trình 2 ( x − 2 )

Í-

H

Bài 2.4 (Thi học sinh giỏi Hải Dương, 2011–2012, lớp 12) 1 1005

2

Giả i

.

ÁN

-L

phương trình sin 2012 x + cos2012 x =

TO

Bài 2.5 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2012– 2013, lớp 12) Giải

IỄ N

Đ

ÀN

phương trình

D

ẠO

Nhận xét: Sử dụng phương pháp hàm số kết hợp với một số lí luận đặc biệt.

x +1 − 2 1 ( x ∈ ). = 3 2x + 1 − 3 x + 2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

nghiệm duy nhất x0 = 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

h(t ) = f ( t ) − g (t ) = 0 có nghiệm duy nhất t0 = 1. Suy ra phương trình (1) có

Bài 2.6 (Thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh, năm học 2011–

2012, lớp 12) Giải hệ phương trình x3 − x 2 − 10 x − 2 = 3 7 x 2 + 23x + 12.

71 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2.7 (Thi Đại học Khối D, 2010) Giải phương trình 42 x +

x+ 2

3

+ 2 x = 42 +

x+ 2

3

+ 2x

+ 4 x −4

.

Ơ

N

Bài 2.8 (Chọn đội tuyển Đại học Vinh thi HSG Quốc gia 2010) Giả i

2.9.1 (Bảng A) Giải phương trình x + 1 = ( 2 x + 1)

x 4 + x 2 + 1 + 3.( x 2 + 1) = 3 3x .

N

G

 x + y − x − y = 2

2.9.3 (Bảng B) Giải hệ phương trình 

H Ư

2 2 2 2  x + y + 1 − x − y = 3.

TR ẦN

Bài 2.10 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, 2012– 2013, lớp 12) Giải hệ

10 00

B

 x3 + xy 2 + 2 y 3 = 0, phương trình  3 4 2 2  x − x + 4 = 4 y + 3 y.

Bài 2.11 (Olympic Chinh phục đỉnh Vorobiev, Nga, Vòng chung kết, 2014)

Ó

A

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có đúng

(

)

( x − 3)

2

,

-L

Í-

H

 y − m 2 + 5(m − 1) = m 2 − 5m + 6 x − 3 6 + ( )  một nghiệm:   x 2 + y 2 = 2(3x − 4).

TO

ÁN

Bài 2.12 (Thi học sinh giỏi Nam Định, 2012–2013, lớp 12) Giải hệ  xy + 2 = y x 2 + 2,

Đ

ÀN

phương trình 

 y 2 + 2 ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

x + 1 + 2.

Đ

2.9.2 (Bảng B) Giải phương trình

IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 2.9 (Thi học sinh giỏi Long An, năm học 2012– 2013, lớp 12)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

2

1 2x +1  1  phương trình log 2 ( x + 2 ) + x + 3 = log 2 + 1 +  + 2 x + 2.

2 x  x

Bài 2.13 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, 2010–2011, lớp 12) Giải hệ

2 3 2  y + y = x + 3 x + 4 x + 2, phương trình  2  1 − x − y = 2 − y − 1.

72 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2.14 (Thi học sinh giỏi Thanh Hóa, 2011–2012, lớp 12) Giải hệ

Ơ

N

22 x− y − 2 x+ y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) 2 x − y , phương trình  3  3 y − 2( x − 1) + 1 = 0.

)

TR ẦN

2  4 x + 1 x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0,  2 2 4 x + y + 2 3 x = 4 = 7.

10 00

B

Bài 2.18 (Thi đại học Khối A, 2013) Giải hệ phương trình ( x, y ∈

):

):

H

Ó

A

 x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y ,  2 2  x + 2 x ( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0.

Í-

Bài 2.19 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2011–2012, lớp 12)

):

ÁN

-L

Tìm tất cả những giá trị của để hệ phương trình sau có nghiệm ( x, y ∈

Đ

ÀN

TO

 x 3 − 12 x − y 3 + 6 y 2 − 16 = 0,  2 2 2 4 x + 2 4 − x − 5 4 y − y + m = 0.

Bài 2.20 (Thi học sinh giỏi Lâm Đồng, 2013–2014, lớp 12) Giải hệ

(

)(

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

H Ư

Bài 2.17 (Thi đại học Khối A, 2010) Giải hệ phương trình ( x, y ∈

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q TP

Đ G N

 x 3 − 3 x = ( y − 1)3 − 9( y − 1), phương trình  1 + x − 1 = y − 1.

ẠO

Bài 2.16 (Thi học sinh giỏi Hải Dương, 2012–2013, lớp 12) Giải hệ

IỄ N D

U Y

3 2 y + y + 2 x 1 − x = 3 1 − x , phương trình  2  2 y + 1 + y = 4 + x + 4.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

Bài 2.15 (Thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc, 2012–2013, lớp 12) Giải hệ

)

 3 x + 9 x 2 + 1 y + y 2 + 1 = 1,  phương trình  8 x3 + 2 y = 5 x + y + 2.

73 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2.21 (Thi học sinh giỏi Bắc Ninh 2013–2014, lớp 12) Giải hệ

)

N Ơ H U Y

giới thiệu hệ thống các bài tập về phương trình và hệ

.Q

phương trình hồn hợp (trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh trong những

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

kĩ thuật giải.

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

năm gần đây) có nhiều cách giải hoặc áp dụng kết hợp hai phương pháp hoặc

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Chương 2

N

Tiểu kết chương 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

( 2 x − 1) x + y = ( 6 − x − y ) 2 − x ,  phương trình  2 3 12 x 2 + 3xy − 18 x = x3 − 6 x − y + 5.

74 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

KẾT LUẬN

N

Sau một thời gian tìm tòi, nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn tận tình

Ơ

của PGS. TS Tạ Duy Phượng, tôi đã hoàn thành luận văn Thạc sĩ theo kế

.Q

phương trình hỗn hợp như một số kĩ thuật giải, một số phương pháp giải.

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

phương trình hỗn hợp trong các đề thi học sinh giỏi, thi olympic.

G

Đ

3. Tổng hợp và trình bày lời giải một số bài thi học sinh giỏi về phương

H Ư

N

trình và hệ phương trình hỗn hợp, chọn lọc qua các đề thi chọn học sinh giỏ i của các tỉnh, thành phố, nhằm hiểu biết sâu hơn về các phương pháp và k ĩ

TR ẦN

thuật giải phương trình và hệ phương trình hỗn hợp.

Ngoài các đề thi trong nước, chúng tôi cũng cố gắng sưu tầ m thêm một

10 00

B

số đề thi của nước ngoài. Chúng tôi cũng cố gắng tìm và ghi lại địa chỉ gốc của các đề thi, với hi vọng qua đó ta có một bức tranh tương đối rõ nét hơn về

Ó

A

các khả năng ra đề thi (trắc nghiệ m, tự luận, kết hợp), mức độ yêu cầu của các

H

kì thi (đề thi học sinh giỏi của nhiều tỉnh, thành phố, là các bài cùng dạng),

-L

Í-

đặc thù của mỗi kì thi mỗi nước. Hy vọng điều này sẽ trợ giúp các giáo viên

ÁN

thiết kế các đề thi, các bạn học sinh có thể tham khảo chuẩn bị tốt hơn cho các

TO

kì thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp phổ thông trung học và thi vào đại học.

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2. Trình bày chi tiết lời giải một số bài toán khó về phương trình, hệ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

1. Trình bày chi tiết một số kiến thức liên quan đến phương trình và hệ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

hoạch đề ra. Luận văn đã thu được một số kết quả sau:

75 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Ơ

số, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội (Trong bộ sách Gia đình Love Book).

N

[1] Hồ Văn Diên (2015), Chinh phục phương trình, bất phương trình đại

U Y

bất phương trình, hệ phương trình đại số vô tỉ, Nhà xuất bản Đại học Quốc

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

trình và hệ phương trình, Luận văn thạc sĩ toán học – Trường Đại học Khoa

Đ

học – Đại học Thái Nguyên.

G

[4] Nguyễn Thị Thanh Hương (2014), Hệ phương trình và hệ bất

H Ư

N

phương trình chứa căn thức, Luận văn thạc sĩ toán học– Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên.

TR ẦN

[5] Nguyễn Thái Hòe (2005), Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất bả n Giáo dục.

10 00

B

[6] Nguyễn Văn Lộc, Nguyễn Hoa C ương (2005), Tìm hiểu thêm về toán học chuyên đề Bất đẳng thức và phương trình, Nhà xuất bản Đại học

A

Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.

Ó

[7] Nguyễn Văn Mậu (1993), Phương pháp giải phương trình và bất

Í-

H

phương trình, Nhà xuất bản Giáo dục.

-L

[8] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến (2010), Một số chuyên đề đại

ÁN

số bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông, Nhà xuất bản Giáo dục.

TO

[9] Đàm Văn Nhỉ, Trần Trung Tình, Phạm Thị Vị, Phạm Đăng Hả i

(2013), Bất đẳng thức, cực trị, hệ phương trình, Nhà xuất bản Thông tin và

D

IỄ N

Đ

truyền thông.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

[3] Đinh Thị Thu Hà (2014), Phương pháp bất đẳng thức trong phương

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

gia Hà Nội.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

[2] Lê Văn Đoàn (2015), Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải phương trình,

[10] Tổng tập các đề thi Olympic 30-4, Nhà xuất bản Giáo dục.

[11] Nguyễn Thanh Tuyên (2016), Thần tốc luyện đề thi Trung học phổ

thông Quốc gia 2016, Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

[12] Các tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, Kvant, Crux,...

76 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial