Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân (2020) WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

MỤC LỤC

Trang

1. Lời giới thiệu

3

2. Tên sáng kiến

3

3. Tên sáng kiến

3

4. Chủ đầu tư sáng kiến

3

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

3

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

4

7. Mô tả bản chất sáng kiến

4

7.1. Nội dung sáng kiến

4

Chương 1. Hệ thống kiến thức cơ bản

4

1.1. Bảng công thức đạo hàm

4

1.2. Quy tắc tính đạo hàm

4

1.3. Bảng công thức tính nguyên hàm

4

1.4. Định nghĩa tích phân

5

1.5. Tính chất của tích phân

5

1.6. Phương pháp tính tích phân

6

1.7. Ứng dụng tích phân

6

Chương 2. Nội dung 2.1. Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất

8 9

2.1.1. Phương pháp giải

9

2.1.2. Bài tập áp dụng

9

2.1.2. Bài tập tự luyện

12

2.2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

13

2.2.1. Phương pháp giải

13

2.2.2. Bài tập áp dụng

14

2.2.2. Bài tập tự luyện

18

2.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 2.3.1. Phương pháp giải

20 20

1

2.3.2. Bài tập áp dụng

20

2.3.2. Bài tập tự luyện

23

2.4. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

25

2.4.1. Phương pháp giải

25

2.4.2. Bài tập áp dụng

25

2.4.2. Bài tập tự luyện

27

2.5. Ứng dụng tích phân tính thể tích

30

2.5.1. Phương pháp giải

30

2.5.2. Bài tập áp dụng

30

2.5.2. Bài tập tự luyện

33

2.6. Ứng dụng tích phân giải một số bài toán khác

35

2.6.1. Phương pháp giải

35

2.6.2. Bài tập áp dụng

35

2.6.2. Bài tập tự luyện

40

2.7. Bài kiểm tra đánh giá năng lực học sinh

43

2.7.1. Ma trận đề kiểm tra

43

2.7.2. Nội dung đề kiểm tra

43

2.7.3. Đáp án đề kiểm tra

46

Chương 3. Kết quả đạt được và kết luận

47

3.1. Bài học kinh nghiệm

47

3.2. Kết quả và kết luận

47

7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến

49

8. Những thông tin cần được bảo mật

49

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

49

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến

49

theo ý kiến của tác giả 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu

50

2

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU Bài toán tích phân là một trong những bài toán khá phong phú và đa dạng. Các em học sinh thường lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ.

Qua thống kê các kỳ thi THPT Quốc gia các năm gần đây. Số câu hỏi có nội dung liên quan tới bài toán tích phân như sau: Năm

2017

2018

2019

Mã đề

101

102

103

101

102

103

101

102

103

Số câu hỏi

3

3

3

5

5

5

5

5

5

- Hệ thống câu hỏi trong các mã đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần - Các câu liên quan tới tích phân trong đề thi thường hỏi ở dạng hàm số dưới dấu tích phân là hàm số ẩn và ứng dụng của tích phân.

Thực tế qua giảng dạy tôi nhận thấy đối với những bài toán tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân cho cụ thể thì đa số học sinh có thể vận dụng kiến thức cơ bản để giải quyết tốt bài toán đó. Tuy nhiên khi gặp bài toán tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân cho dưới dạng hàm số ẩn thì nhiều học sinh gặp lúng túng không biết giải quyết bài toán đó như thế nào. Chính vì lí do đó tôi đã nghiên cứu và viết đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân” Hy vọng sẽ hướng dẫn học sinh có cách nhìn tốt để chuyển một bài toán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Việc làm này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán. Ngoài ra, các em học sinh còn phải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải một cách khoa học.

2. TÊN SÁNG KIẾN - Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tích phân hàm ẩn.

3. TÁC GIẢ VIẾT SÁNG KIẾN - Họ và tên: Nguyễn Trung Thành - Địa chỉ : Trường THPT Yên Lạc - Số điện thoại: 0988346588

3

- Email: nguyentrungthanh.c3yenlac@vinhphuc.edu.vn 4. CHỦ ĐẦU TƯ SÁNG KIẾN: Nguyễn Trung Thành 5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN - Dành cho học sinh lớp 12 ôn tập thi THPT Quốc Gia. 6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ - Ngày 18 tháng 01 năm 2019.

7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 7.1. Nội dung của sáng kiến - Chương 1: Hệ thống kiến thức cơ bản 1.1. Bảng công thức đạo hàm 1.2. Quy tắc tính đạo hàm 1.3. Bảng công thức tính nguyên hàm 1.4. Định nghĩa tích phân 1.5. Tính chất của tích phân 1.6. Phương pháp tính tích phân 1.7. Ứng dụng tích phân - Chương 2: Nội dung 2.1. Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất 2.2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 2.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 2.4. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 2.5. Ứng dụng tích phân tính thể tích 2.6. Ứng dụng tích phân giải một số bài toán khác 2.7. Bài kiểm tra đánh giá năng lực học sinh 2.7.1. Ma trận đề kiểm tra 2.7.2. Nội dung đề kiểm tra 2.7.3. Đáp án đề kiểm tra - Chương 3: Kết quả đạt được và kết luận 3.1. Bài học kinh nghiệm 3.2. Kết quả và kết luận

4

Chương 1: HỆ THỐNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN STT

HÀM THÔNG THƯỜNG ( x ) = nxn−1 , ( n ∈ ℕ, n > 1)

HÀM SỐ HỢP

n '

(uα )' = α.uα−1.u'

'

Nhóm 1

1 1   = − 2 ,( x ≠ 0) x x

'

u' 1   =− 2 u u

( x ) = 2 1 x , ( x > 0) '

( )

( sin u ) = u' .cos u ' ( cos u ) = −u ' .sin u

1 π ( tan x ) = 2 ,  x ≠ + kπ  cos x  2  1 ' ( cot x ) = − 2 , ( x ≠ kπ ) sin x

u' ( tan u ) = 2 cos u u' ' ( cot u ) = − 2 sin u ' ' u ( ln u ) = u ' u' log u = ( a ) u ln a

'

'

( ln x ) = 1x , ( x ≠ 0) ( loga x )

Nhóm 4

2 u

( sin x ) = cos x ' ( cos x ) = − sin x

'

Nhóm 3

u'

'

'

Nhóm 2

'

u =

'

=

1 , ( 0 < a ≠ 1, x > 0) x ln a

(ex )' = ex

(eu )' = u' .eu (au )' = u' .au .ln a

(a x )' = a x ln a, ( a > 0, a ≠ 1)

1.2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ' 1.2.1. Đạo hàm của tổng: ( u ± v ) = u ' ± v ' '

1.2.2. Đạo hàm của tích: ( uv ) = u 'v + uv ' '

' ' 1.2.3. Đạo hàm của thương:  u  = u v −2 uv , ( v ≠ 0 ) v v

1.3. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP 1)

∫ dx = x + C

∫

6) cos x.dx = sin x + C

5

xα +1 + C , (α ≠ −1) 2) ∫ x dx = α +1 1 3) ∫ dx = ln x + C x

∫

. = −cos x + C 7) sin xdx

α

4)

x x ∫ e dx = e + C

1

8)

∫ cos

9)

∫ sin

2

1 2

x

ax + C , ( a > 0, a ≠ 1) ln a 1.4. ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 5)

x

.dx = tan x + C

.dx = − cot x + C

x ∫ a dx =

[a ; b ].

Giả sử F ( x) là một nguyên

hàm của f ( x) trên [a ; b ]. Hiệu số F (b ) − F ( a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân b

xác định trên đoạn [ a ; b ] của hàm số f ( x ), kí hiệu là

∫ f ( x)dx. a

1.5. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN a

1.

∫ a b

3.

∫

b

2.

f ( x)dx = 0 c

c

f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c )

a

b

∫

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

a b

b b

4. ∫ k . f ( x)dx = k .∫ f ( x)dx (k ∈ ℝ )

a

a

b

b

b

a

a

a

5. ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .

a

b

b

b

a

a

a

6. ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .

1.6. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.6.1. Phương pháp đổi biến số Định lí: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọi t ∈ [α ; β ]. b

Khi đó:

∫

β

f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt. α

a

1.6.2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí : Nếu u = u( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì b

b

b

b

b

a

a

a

b ∫ u ( x)v '( x)dx = ( u ( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx , hay viết gọn là ∫ udv = uv |a −∫ vdu . a

1.7. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1.7.1. Tính diện tích hình phẳng Bài toán 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng

x = a,

x = b thì diện tích miền phẳng

b

H được tính theo công thức S =ò f ( x) dx a

6

y y = f (x)

O

a c1

c2

c3

y = f (x)  y = 0 (H )  x = a  x = b

b x

b

S = ∫ f ( x ) dx a

Bài toán 2: Cho hàm số y = f1(x) và y = f2 (x) liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó hai đường thẳng

x = a,

x = b thì diện tích miền phẳng H

b

được tính theo công thức S =ò f1 ( x) - f2 ( x) dx a

y

(C1 ) : y = f1 ( x )  (C ) : y = f2 ( x ) (H )  2 x = a x = b 

(C1 ) (C 2 )

b

c2

a c1

O

S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx

x

b

a

1.7.2. Thể tích vật thể 1.7.2.1. Thể tích của vật thể Bài toán: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S ( x ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

x ( a ≤ x ≤ b) Giả sử

S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a ; b ] . Khi đó, thể tích của b

vật thể B được tính theo công thức V =òS ( x)dx a

(V ) O

b

x

a

b

x

V = ∫ S ( x )dx a

S(x)

1.7.2.2. Thể tích khối tròn xoay Bài toán: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng

x = a,

x=b

(a < b)

quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay. b

∫

2

Khi đó thể tích của nó được tính theo công thức V = π  f ( x )  dx a

7

y y = f (x)

O

a

b

(C ) : y = f ( x )  b 2 (Ox ) : y = 0 Vx = π ∫ [ f ( x )] dx  x x = a a  x = b

Chương 2: NỘI DUNG

Để học sinh có thể làm tốt các dạng bài tập tích phân trong đề thi THPT QG thì cần phải hướng học sinh suy nghĩ tìm lời giải cho bài toán tích phân dựa vào kiến thức cơ bản như sau: Thứ nhất: Học sinh phải nhớ được bảng công thức đạo hàm cơ bản Thứ hai: Học sinh biết các công thức nguyên hàm của hàm số thường gặp

Thứ ba: Học sinh phải luyện cho mình cách nhận dạng (loại) tích phân nhanh, vì biết được dạng tích thì sẽ dễ dàng biết cách tính. Để nhận dạng tích phân cần tính, có thể nên tạo thành thói quen tự đặt cho mình những câu hỏi về hàm số dưới dấu tích phân theo thứ tự như sau: STT Câu hỏi Phương pháp đúng như câu hỏi đặt ra Chỉ việc áp dụng công thức cơ bản 1. Có phải dạng cơ bản không Có phân tích, biến đổi đại số, biến đổi Chỉ việc phân tích, biến đổi, rồi áp dụng 2. lượng giác,… đưa về dạng cơ bản được công thức không?

Có tương tự dạng cơ bản, chỉ sai khác 3. hằng số hoặc chỉ sai khác hệ số của biến Dùng phương pháp đổi biến số số không?

4. Có thừa số nào hoặc biểu thức nào là đạo Dùng phương pháp đổi biến số 8

hàm đúng hoặc gần đúng (chỉ sai khác hệ số) của biểu thức khác trong hàm số dưới dấu tích phân không?

5.

6.

7.

8.

Dùng phương pháp tích phân các hàm hữu tỷ đã học Có thuộc loại tích phân hàm số lượng Dùng phương pháp tích phân các hàm giác không? lượng giác đã học Có thuộc loại tích phân các hàm vô tỷ Dùng phương pháp tích phân các hàm không? vô tỷ đã học Suy nghĩ tìm thêm cách biến đổi biến số, Ngoài các loại trên? nếu không được, nên nghĩ đến việc dùng phương pháp tích phân từng phần Có thuộc loại tích phân hữu tỷ không?

2.1. TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 2.1.1. Phương pháp giải Sử dụng tính chất và công thức nguyên hàm cơ bản b

1.

∫

a

b

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

a b

2.

b b

3. ∫ k . f ( x)dx = k .∫ f ( x)dx (k ∈ ℝ ) a

∫

c

c

f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c )

a b

b

a b

b

a

a

4. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .

a

a

Chú ý: 1) Định lí dấu nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc 2  f ( x ) , f ( x ) ≥ 0 2) Biểu thức chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối f ( x ) =   − f ( x ) , f ( x ) < 0 3) Định nghĩa vi phân df ( x ) = f ' ( x ) dx

4) Hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và tuần hoàn với chu kì T thì a+T

T

a

0

∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx '

5) Quy tắc đạo hàm của tích  f ( x) .g ( x)  = f '( x) .g ( x) + f ( x) .g '( x) 2.1.2. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho

0

2

2

−2

0

−2

∫ f ( x)dx = 2, ∫ f ( x)dx = 1. Tích phân ∫ f ( x)dx bằng

A. 4 Lời giải:

Ta có

B. 3

2

0

2

−2

−2

0

C. 6

D. 1

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 2 + 1 = 3. Chọn B. 9

Câu 2: Cho

3

3

3

1

1

1

∫ f ( x ) dx = −5, ∫  f ( x) − 2g ( x) dx = 9. Tính I = ∫ g ( x) dx.

A. I = 14.

Lời giải:

B. I = −14.

3

C. I = 7.

3

3

3

∫

∫

∫

∫

1

1

1

1 5

Ta có  f ( x ) − 2g ( x )  dx = f ( x ) dx − 2. g ( x ) dx = 9 ⇒ g ( x ) dx = Câu 3: Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên ℝ có

D. I = − 7.

−5 − 9 = −7. Chọn D. 2

∫ 2 f ( x ) + 3g ( x ) dx = −5 ; −1

5

5

−1

−1

∫ 3 f ( x ) − 5g ( x ) dx = 21 . Tính ∫  f ( x ) + g ( x ) dx A. −5 Lời giải: Ta có:

B. 1

D. −1

C. 5

5 5  5 5  ∫ 2 f ( x ) + 3g ( x ) dx = −5 2 ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = −5  ∫ f ( x ) dx = 2 −1  −1 −1 −1 ⇔ 5 ⇔ 5  5 5  3 f x − 5g x  dx = 21 3 f x dx − 5 g x dx = 21  g x dx = −3 ( ) ∫ ( ) ∫  ( )  ∫ ( ) ∫ ( ) −1  −1 −1 −1

5

5

5

−1

−1

−1

⇒ ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx = −1 ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = −1 . Chọn D. 2019π

Câu 4: Tính tích phân I =

∫

1 − cos2xdx.

0

B. I = 2 2.

A. I = 0.

C. I = 2019 2.

D.

I = 4038 2.

Lời giải: π

2π

2019π

π

2018

I = 2 ∫ sin x dx + 2 ∫ sin x dx + ... + 2 0

∫ π sin x dx

π

= 2019 2 ∫ sin xdx = 4038 2. Chọn D. 0

Câu 5: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ −6;5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa 5

∫

đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị I =  f ( x) + 2 dx −6

10

A. 3π − 12

B. 2π + 32

C. 2π + 8

D. 3π + 12

Lời giải::

Nhận xét: Ở bài toán này có thể dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả nhanh gọn.

Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp tôi hướng dẫn học sinh giải bài toán theo hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân để giải quyết bài toán. x+4  2  2 1 + 4 − x  2x −1   3

Ta có: f ( x ) =

khi − 6 ≤ x ≤ − 2 k hi − 2 ≤ x ≤ 2 k hi 2 ≤ x ≤ 5

5

−2

2

5

5

−6

−6

−2

2

−6

I = ∫  f ( x ) + 2 dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ 2dx . Chọn B.

Câu 6: Cho các hàm số y = f ( x) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;2] và thỏa mãn 2

∫

2

∫

f ' ( x ) g ( x ) d x = − 1,

0

2

/

f ( x ) g ' ( x ) d x = 2020. Tính tích phân I = ∫  f ( x ) g ( x )  dx.

0

0

A. I = −1.

B. I = 2020.

2

C. I = 2019.

D. I = 2018.

2

/

Lời giải:: Ta có I = ∫  f ( x ) g ( x )  dx = ∫  f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )  dx 0

0

2

2

0

0

= ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx + ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = 2019. Chọn C.

Câu 7: Cho các hàm số y = f ( x ) > 0 xác định và có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn x

g

(x ) = 1 +

2018∫ f

(t ) d t , g ( x ) =

f

2

( x ) . Tính

0

A. 1011 2

1

∫ g ( x ) dx 0

B. 1009 2

C. 2019 2

D. 505

x

Lời giải:: Ta có g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt ⇒ g ' ( x ) = 2018 f ( x ) = 2018. g ( x ) 0

⇒

g '( x ) g (x)

t

= 2018 ⇒

∫ 0

g '( x ) g (x)

t

dx = 2018 ∫ dx ⇒ 2 0

(

)

g ( t ) − 1 = 2018t (do

g ( 0) = 1)

11

1

 1009 2  1 1011 . Chọn A. ⇒ g ( t ) = 1009t + 1 ⇒ ∫ g ( t ) dt =  t + t  |0 = 2  2  0 ' Câu 8: Cho các hàm số f ( x) có đạo hàm và liên tục trên [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ( 0) = 9 2 và 9 f '' ( x ) +  f ' ( x ) − x  = 9 . Tính T = f (1) − f ( 0)

A. T = 2 + 9ln 2

C. T = 1 + 9 ln 2

B. T = 9

Lời giải:: Ta có 9 f

''

( x ) +  f ( x ) − x  '

D. T = 2 − 9ln 2

2

2

=9⇒ −

f '' ( x ) − 1  f ' ( x ) − x 

2

=

1 9

f '' ( x ) − 1

1 1 x dx = ∫ dx ⇒ ' = +C 9 f ( x) − x 9  f ' ( x ) − x  1 1 1 9  9  Do f ' ( 0 ) = 9 ⇒ C = ⇒ f ' ( x ) = + x ⇒ ∫ f ' ( x ) dx = ∫  + x  dx 9 x +1 x +1  0 0

Lấy nguyên hàm hai vế − ∫

2

Vậy T = f (1) − f ( 0 ) = 9 ln 2 + 1 . Chọn C. 2

2.1.3. Bài tập tự luyện Câu 1: Cho

3

3

2

0

2

0

∫ f ( x) dx = a,∫ f ( x) dx = b . Khi đó ∫ f ( x) dx bằng:

A. − a − b

B. b − a

Câu 2: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn A. I = 32.

Câu 3: Cho

B. I = 34.

C. a + b

D. a − b

5

2

2

5

∫ f ( x) dx = 10. Tính I = ∫ 2 − 4 f ( x ) dx.

C. I = 36.

D. I = 40.

2019

2019

2019

1

1

1

∫ f ( x) dx = 2, ∫ g ( x) dx = −5 . Tìm J = ∫ 2 f ( x) + g ( x) dx

A. J = 1 B. J = −1 C. J = 0 Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường gấp

khúc như hình vẽ bên. Tính

D. J = 2

9

∫ f ( x ) dx .

0

A. 18 B. 2 C. 0 D. 16 Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ −3;5] và có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần 2 của ( P) : y = ax + bx + c ). Tích phân

A. 53 .

2 95 C. .

7

3

∫ f ( x) dx bằng −2

B. 6 1 .

3 97 D. .

6

12

1

Câu 6: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn

∫ f ( x) dx = 9 . Tính −5

2

∫  f (1− 3x) + 9 dx .

0

B. 21

A. 27

C. 15

D. 75 3

0

0

∫ f ( x) dx = 4, ∫ f ( x) dx = 6 .

Câu 7: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ và thỏa mãn điều kiện

Tính I =

1

1

∫ f ( 2 x + 1 )dx −1

A. I = 6 B. I = 3 C. I = 4 D. I = 5 Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số xác định và có nguyên hàm liên tục trên R, tuần

hoàn có chu kì là T = 6. Biết A. 336 Câu Đáp án

1

2

2018

0

−2

0

∫ f ( 2x ) dx = −1; ∫ f ( x + 4)dx = 3. Giá trị I = ∫ f ( x) dx bằng

B. 334 1 D

2 B

3 B

C. 332 4 B

5 D

D. 338 6 B

7 A

8 B

2.2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Ở phần này tôi hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân so với dạng cơ bản thấy chỉ sai khác ở chỗ: biến số có nhân thêm hệ số hoặc sai khác hằng số hoặc đạo hàm một biểu thức sai khác với biểu thức còn lại một hệ số thì dùng phương pháp đổi biến số đặt ngay biểu thức đó bằng t để đưa tích phân đó về dạng cơ bản.

2.2.1. Phương pháp giải b

Định lí :

β

∫ f ( x) dx = α∫ f (ϕ ( t ) ).ϕ '( t ) dt a

a) Đổi biến số loại 1 Bước 1: Đổi biến số đặt x = ϕ ( t ) ⇒ dx = ϕ ' ( t ) dt Bước 2: Đổi cận x = a ⇒ t = α x=b⇒t=β b

β

∫

∫ (

a

α

)

Bước 3: Đổi biểu thức dưới dấu tích phân I = f ( x ) dx = f ϕ ( t ) .ϕ ' ( t ) dt b) Đổi biến số loại 2 Bước 1: Đổi biến số đặt u = ϕ ( t ) ⇒ du = ϕ ' ( t ) dt

13

Bước 2: Đổi cận :

t = α ⇒ u = ϕ (α ) = a t = β ⇒ u = ϕ(β ) = b β

b

∫α (

∫

)

Bước 3: Đổi biểu thức dưới dấu tích phân I = f ϕ ( t ) .ϕ ' ( t ) dt = f ( u ) du a

Chú ý : Một số dạng đặc biệt của tích phân

1)

∫

f '( x) dx = ln f ( x ) + C f ( x)

2) Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau b

b

a

a

∫ f ( x) dx = ∫ f ( a + b − x) dx 3) Nếu f ( x) là hàm chẵn và liên tục trên [ −a; a] thì

a

a

−a

0

∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx

a

4) Nếu f ( x) là hàm lẻ và liên tục trên [ −a; a] thì

∫ f ( x) dx = 0 −a

a f ( x) dx = ∫ f ( x ) dx , ( f ( x) là hàm số chẵn, liên tục trên [ −a; a] ) 5) ∫ x m + 1 −a 0 a

2.2.2. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho

5

∫

f ( x ) dx = 4 . Tính I =

−1

2

∫ f ( 2 x + 1) dx −1

B. I = 5

A. I = 2

C. I = 4

2

D. I = 3 2

Lời giải:

Đặt 2x + 1 = u ⇒ 2dx = du ⇒ I =

5

1 1 f ( u ) du = .4 = 2 ∫ 2 −1 2 π

1

Câu 2: Cho

∫ f ( x) dx = 2020. Tích phân 0

A. 2019

4

∫ f ( sin 2 x ) cos 2 xdx bằng: 0

B. −1009

C. −2018

D. 1010

Lời giải:

x = 0 ⇒ t = 0  Đặt t = sin 2 x ⇒ dt = 2 cos 2 xdx , đổi cận  π x = ⇒ t =1  4

14

π 4

⇒ ∫ f ( sin 2 x ) .cos 2 xdx = 0

1

1 1 .2020 = 1010 . Chọn D. f x dx = ( ) 2 2 ∫0

Câu 3: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và

2019

∫ f ( x ) dx = 2 .

Tính tích phân sau

0

e2019 −1

∫

I=

x . f ln ( x 2 + 1)  dx. x +1 2

0

A. I = 1.

B. I = 2.

C. I = 4.

D. I = 5.

Lời giải: x = 0 ⇒ t = 0 Đặt t = ln ( x 2 + 1) , suy ra d t = 22xd x ⇒ x2d x = d t . Đổi cận:  2019 x +1

Khi đó I =

1 2

2019

∫

f ( t ) dt =

0

1 2

x +1

x = e

2

− 1 ⇒ t = 2019

2019

1 ∫ f ( x ) dx = 2 .2 = 1. Chọn A. 0

Câu 4: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và

9

∫

f

( x ) dx = 4,

1

x

π 2

∫ f ( sin x ) cos xdx = 2.

Tính tích

0

3

phân I = ∫ f ( x ) dx.

0

A. I = 2.

B. I = 6.

C. I = 4.

D. I = 10.

Lời giải: 9 f x dx = 4. Đặt t = x ⇒t 2 = x, suy ra 2tdt = dx.

Xét ∫ x 1

( )

{

Đổi cận xx = 1 ⇒ tt = 1 . Suy ra =9⇒ =3

9

∫

f

( x ) dx = 2 x

1

3

3

1

1

∫ f (t ) dt ⇒ ∫ f (t ) dt = 2.

π

Xét

2

∫ f ( sin x ) cos xdx = 2. Đặt u = sin x,

suy ra du = cos xdx.

0

x = 0 ⇒ u = 0 Đổi cận  π . Suy ra 2 = x = ⇒ u =1  2 3

1

3

0

0

1

π 2

1

0

0

∫ f ( sin x ) cos xdx = ∫ f ( t ) dt .

Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 4. Chọn C. Câu 5: Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn m. f ( x ) + n. f (1 − x ) = g ( x )

với m, n là số thực khác 0và

1

∫ 0

A. m + n = 0.

1

f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = 1. Tính

m+n.

0

B. m + n = 1 .

2

C. m + n = 1.

D. m + n = 2.

Lời giải:

15

Áp dụng tính chất

b

b

a

a

∫ f ( x) dx = ∫ f ( a + b − x) dx

Từ giả thiết m. f ( x ) + n. f (1 − x ) = g ( x ) , lấy tích phân hai vế ta được 1

1

∫  m. f ( x ) + n. f (1 − x )dx = ∫ g ( x)dx 0

0 1

Suy ra m + n ∫ f (1 − x ) dx = 1 (do 0

1

1

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = 1 ). (1)

1

Xét tích phân

∫ f (1 − x ) dx. Đặt t = 1 − x , suy ra dt = −dx. Đổi cận: {x = 1 ⇒ t = 0 . x = 0 ⇒ t =1

0

1

Khi đó

∫

0

1

1

1

0

0

f (1 − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 1.

0

(2)

Từ (1) và ( 2) , suy ra m + n = 1. Chọn C. π

Câu 6: Cho hàm số

4

f ( x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn

∫ tan x. f ( cos x ) dx = 1, 2

0

e2

∫ e

f ( ln x) 2

x ln x

2 dx = 1. Tính tích phân I = ∫ f ( 2 x ) d x.

1 4

A. I = 1.

x

B. I = 2.

C. I = 3.

D. I = 4.

Lời giải: π 4

Xét A = ∫ tan x. f ( cos 2 x ) dx = 1 . Đặt t = cos 2 x.

0

Suy ra d t = − 2 sin x cos x d x = − 2 cos 2 x tan x d x = − 2 t . tan x d x ⇒ tan x d x = − d t .

2t

x = 0 ⇒ t = 1 Đổi cận:  π 1. 

x=

4

⇒t=

2

1 2

1 1 1 f ( x) 1 f (t ) 1 f (t ) 1 f ( x) dt = ∫ dt = ∫ dx ⇒ ∫ dx = 2.

Khi đó A = − ∫ 21 t 21 t 21 x x 1 2

e

2

Xét B = ∫

f ( ln x )

2

2

2

x ln x

e

dx = 1. Đặt u = ln 2 x.

2ln x 2ln2 x 2u dx du dx = dx = dx ⇒ = .

Suy ra du = x x ln x x ln x x ln x 2u Đổi cận: x = e 2⇒ u = 1 .

{

x=e ⇒u=4

Khi đó B =

4 4 4 f ( x) 1 f (u ) 1 f ( x) d = d ⇒ u x ∫1 x dx = 2.

2 ∫1 u 2 ∫1 x

16

2

Xét tích phân cần tính I = ∫ 1 2

f (2x ) x

d x.

1  1 1  dx = 2 dv Đặt v = 2 x , suy ra  . Đổi cận:  x = 4 ⇒ v = 2 . v  x = 2 ⇒ v = 4 x = 2  4 4 1 4 f (v) f ( x) f ( x) f ( x) Khi đó I = ∫ dv = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = 2 + 2 = 4. Chọn D. v x x x 1 1 1 1 2

2

2

Câu 7: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và thỏa f ( x ) + f ( − x ) = 2 + 2cos 2x với mọi x ∈ ℝ .

3π 2

Tính I = −

∫π f ( x ) d x .

3 2

A. I = −6 .

B. I = 0 .

C. I = −2 .

D. I = 6 .

Lời giải: 3π 3π  x = − 2 ⇒ t = 2 Đặt t = − x ⇒ dx = −dt. Đổi cận:  .

3π 3π x = ⇒t =− 2 2  −

Khi đó I = −

3π 2

3π 2

∫ f ( −t ) dt = ∫π f ( −t ) dt = ∫π f ( −x ) dx.

3π 2 3π 2

Suy ra 2I = −

3π 2

−

3 2

−

3π 2

∫π  f ( x ) + f ( −x ) dx = ∫π 3 2

−

3 2

3 2

3π 2

2 + 2cos 2xdx = 4 ∫ cosx dx = 12 ⇒ I = 6. Chọn D. 0

f ( 2 x ) dx ∫−1 1 + 2019 x = 8. Tính A. 2.

B. 4.

C. 8.

D. 16.

Phương pháp: Đổi biến số và sử dụng tính chất của hàm số chẵn.

Lời giải: Đặt t = − x ⇒ dx = − dt . Đổi cận: x = − 1 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = − 1 Câu 8: Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục trên R và

1

2

∫ f ( x )dx 0

1

f ( 2x) dx 1 f ( −2)( −dt ) 1 2t f ( 2t ) dt I=∫ =∫ =∫ x t (Vì y = f ( x ) là hàm số chẵn) −t 1 2019 1 2019 1 2019 + + + −1 −1 −1 1 1 f ( 2 x ) dx 1 2 x f ( 2 x ) dx ⇒ 2I = ∫ + = 2 ⇒ f x dx ( ) ∫−1 1 + 2019x ∫−1 ∫−1 f ( 2 x ) dx = 2.8 = 16 −1 1 + 2019 x 1

0

1

−1 0

0

⇒ ∫ f ( 2 x ) dx + ∫ f ( 2 x ) dx = 16 . Do y = f ( x ) là hàm số chẵn 1

1

1

0

0

0

⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = ∫ f ( 2 x ) dx ⇒ 2 ∫ f ( 2 x ) dx = 16 ⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = 8 −1

17

Đặt 2 x = m ⇒ dx =

⇒∫

1

0

1 dm. Đổi cận 2

x = 0 ⇒ m = 0, x = 1 ⇒ m = 2

2

2 1 f ( 2x)dx = ∫ f ( m) dm = 8 ⇒ ∫ f ( x) dx = 16 . Chọn D. 0 20

Câu 9: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] , f ( x) và f ' ( x ) đều nhận giá trị 1

1

2 dương trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0) = 2, ∫  f ' ( x ) .  f ( x )  + 1dx = 2∫ f ' ( x ) . f ( x ) dx.   0 0 1

Tính

3

∫  f ( x ) dx.

0

A.

15 .

4

B.

Phương pháp:

∫

15 .

2

C.

f n ( x ) . f ' ( x ) dx =

17 .

2

D.

19 .

2

f n+1 ( x ) + C , ( n ≠ −1) n +1

Lời giải: 1

1

1

 f ' ( x ) .  f ( x )2 + 1 dx = 2 f ' ( x ) . f ( x ) dx ⇔  f ' ( x ) .  f ( x )2 − 2 f ' ( x ) . f ( x ) + 1 dx = 0     ∫0  ∫0 ∫0    1

2

⇔ ∫  f ' ( x ) . f ( x ) − 1 dx = 0 ⇒ f ' ( x ) . f ( x ) − 1 = 0 ⇒ f 2 ( x ) . f ' ( x ) = 1, ∀x ∈[0;1]   0

x

f 3 ( x) 3

x

⇒ ∫ f 2 ( x ) . f ' ( x ) dx = ∫ 1dx ⇒ 0

0

x

=x⇒ 0

1

f 3 ( x ) f 3 ( 0) − =x 3 3 1

1 ( 3x + 8 ) Mà f ( 0 ) = 2 ⇒ f ( x ) = 3x + 8 ⇒ ∫  f ( x )  dx = ∫ ( 3 x + 8 ) dx = .

3 2 0 0 3

3

2 1

= 0

19 . Chọn D. 2

2.2.3. Bài tập tự luyện Câu 1: Cho

2

∫

f ( x + 1) dx = 2 . Khi đó I = 2

1

5

∫ f ( x ) dx

bằng

2

A. 2.

B. 1.

C. -1.

D. 4.

Câu 2: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn 2f ( x ) + 3f (1 − x ) = 1 − x 2 . Tính 1

I = ∫ f ( x ) dx.

0

A. π .

B. π .

4

C. π .

6

4

D. π .

20

5

16

2

Câu 3 : Biết ∫ f ( x ) dx = 6 và ∫ f ( x ) dx = 10 , khi đó ∫ f ( 4x − 3 ) dx − 1

4

1

ln 2

∫ f (e ) e 2x

2x

dx bằng

0

18

A. 3 .

B. 13 .

2

C. 4.

2

D. 1.

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ℝ, thỏa f ( x 5 + 4 x + 3 ) = 2 x + 1 với mọi 8

x ∈ℝ. Tích phân

∫ f ( x ) dx bằng −2

A. 2.

C. 32 .

B. 10.

D. 72.

3

π

Câu 5: Biết f ( x) là hàm số liên tục trên ℝ và

2

∫

π

f ( x ) dx = 4 . Khi đó

0

2 .

2

A. 2 +

B. 3 −

4

∫  f ( 2 x ) − sin x dx

bằng

0

2 .

2

C. 1+

2 .

2

D. 2 −

π 2

Câu 6: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn

(

)

16

2 ∫ cot x. f sin x dx = ∫

π

f

1

2 .

2

( x ) dx = 1. x

4 1 Tính tích phân I = ∫ f ( 4 x ) dx.

1 8

x

B. I = 3 .

A. I = 3.

D. I = 5 .

C. I = 2.

2

ln2

Câu 7: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ . Biết

∫

2

f ( e x + 1) dx = 5 và

0

3

∫

( 2x − 3) f ( x ) dx = 3

2

x −1

.

3

∫

Tính I = f ( x ) dx 2

Câu

A. 3 8 : Cho

f ( x) =

B. 4 số y = f ( x )

hàm

(

C. 5 liên tục

D. 6 trên

đo ạ n

[1; 4]

và

thỏa

mãn

) + ln x . Tính tích phân của I = f ( x)dx . ∫ x 4

f 2 x −1 x

3

A. I = 2 ln 2.

B. I = 2ln 2.

2

C. I = 3 + 2 ln 2 2.

D. I = ln 2 2.

1  Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  ;2 , thỏa f ( x ) + 2  2

Tính tích phân I = ∫ 1 2

A. I = 3 .

2

f ( x) x2 + 1

1 1 f   = x2 + 2 + 2. x  x

dx.

B. I = 2.

C. I = 5 .

2

D. I = 3.

19

Câu 10: Cho số thực a > 0 . Giả sử hàm số f ( x ) liên tục và luôn dương trên đoạn [ 0;a ] thỏa a

1 dx.

1+ f ( x) 0

mãn f ( x ) .f ( a − x ) = 1, ∀x ∈[ 0;a ]. Tính tích phân I = ∫ A. I = a

C. I = 2a

B. I = a

2

D. I = a

3

3

ĐÁP ÁN Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

D

C

D

B

A

D

B

A

A

A

2.3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 2.3.1. Phương pháp giải

Định lí : Nếu u = u ( x ) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ a; b] thì

20

b

b

∫ u ( x) .v '( x) dx =u ( x) .v ( x) | −∫ u '( x) .v ( x) dx b a

a

a

Chú ý: - Nhận dạng: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số khác nhau

- Ý nghĩa: Đưa một tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn '

'

- Tích phân hàm ẩn hay xuất hiện biểu thức dạng  f ( u)  = f ( u) .u ' Bước 1: Quan sát xem hàm số dưới dấu tích phân là tích của 2 hàm số nào Bước 2: Đặt một hàm số bằng

u và còn lại bằng dv thông thường dựa vào sơ đồ sau Mũ

Lượng giác

Đa thức Lôgarit nê-pe

Lôgarit

(Để ý hàm số dưới dấu tích phân có thể chứa tích f ' ( x ) .g ( x ) với g ( x) có thể là hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, loga nê pe thì đặt dv = f '( x) và u = g ( x ) ).

Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần đưa tích phân về dạng đơn giản.

2.3.2. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho

2

1

0

0

∫ (1 − 2x) f '( x) dx = 3 f ( 2) + f ( 0) = 2020. Tích phân ∫ f ( 2x)dx bằng:

A. 4032 Lời giải: 2

B. 1010

C. 0

2

∫ (1− 2x) f '( x) dx = ∫ (1 − 2x) d ( f ( x) ) = (1− 2x) f ( x) 0

0

D. 2020 2 0

2

+ 2∫ f ( x ) dx 0

2

2

1

0

0

0

⇔ 2020 = −3 f ( 2) − f ( 0) + 2∫ f ( x ) dx ⇔ ∫ f ( x ) dx = 2020 ⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = 1010

21

π

 π Câu 2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên 0;  , thỏa mãn  2

2

∫ f ' ( x ) cos

2

xdx = 10 và

0

π

f ( 0) = 3. Tích phân

2

bằng

∫ f ( x ) sin 2 xdx 0

A. I = −13.

B. I = −7.

C. I = 7.

D. I = 13.

Lời giải: π 2

Xét

∫ 0

π 2

∫

10 =

{

u = cos 2 x

du = − sin 2 xdx

⇒ v= f x f ' ( x ) cos 2 xdx = 10 , đặt  2 ( ) dv = f ' ( x ) cos xdx π

f ' ( x ) cos 2 xdx = cos 2 xf ( x )

0

2 0

π

π

2

2

+ ∫ f ( x ) sin 2 xd x ⇒ 0

Câu 3: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn

.

∫ f ( x ) sin 2 xdx = 10 + f ( 0 ) = 13. Chọn D. 0

3

∫ x. f ′ ( x ) .e

f ( x)

3

f x dx = 8 và f ( 3) = ln 3 . Tính I = ∫ e ( ) d x.

0

A. I = 1.

0

B. I = 11.

C. I = 8 − ln 3.

D. I = 8 + ln 3.

Lời giải: u = x

3

du = dx

3

3

f ( x) f x f x ⇒ Đặt  dx = x.e ( ) − ∫ e ( ) dx. f ( x) f ( x ) . Khi đó ∫ x. f ′ ( x ) .e ′ = d v f x . e d x = v e ( ) 0   0 0 3

3

0

0

Suy ra 8 = 3.e f (3) − ∫ e f ( x ) dx ⇒ ∫ e f ( x ) dx = 9 − 8 = 1. Chọn A. Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [0;1] , thỏa mãn

2

∫ f ( x − 1) dx = 3

và

1 1

f (1) = 4. Tích phân ∫ x3 f ' ( x 2 ) dx bằng 0

B. − 1 .

A. − 1.

C. 1 .

2

D. 1 .

2

Lời giải: 2

Ta có

∫

1

t = x −1 f ( x − 1) dx = 3  → ∫ f ( t ) dt = 3 hay

1

0

1

2

t=x Xét ∫ x 3 f ' ( x 2 ) dx  → 0

1

0

Cho

0

{

2

5:

∫ f ( x ) dx = 3.

{

1 1 u=x du = dx 1 1 tf ' t d t xf ' ( x ) dx. Đặt dv = f ' x dx ⇒ v = f x . = ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) 20 20

t=x → Khi đó ∫ x3 f ' ( x2 ) dx 

Câu

1

1 1 1  1 1 1 1 ' d = −∫ f ( x ) dx  = [ 4 − 3] = . Chọn tf t t xf x ( ) ( )  ∫ 20 2  2 0 0  2

hàm

số

y = f ( x)

với

f ( 0) = f (1) = 1.

Biết

C.

rằng:

1

∫e

x

 f ( x ) + f ' ( x ) dx = ae + b.

0

2019

Tính Q = a

+ b2019.

22

2019

2019

A. Q = 2 + 1.

B. Q = 2.

C. Q = 0.

D. Q = 2 Lời giải: 1 u = e x du = e x dx 1 x Đặt  ⇔ ⇒ ∫ e . f ' ( x ) dx = e x . f ( x ) 10 − ∫ e x . f ( x ) dx 0 0  dv = f ' ( x ) dx v = f ( x ) 1

−1.

1

a = 1 . Vậy Q = 0. ⇔ ∫ e . f ' ( x ) dx + ∫ ex . f ( x ) dx = e. f (1) − f ( 0) ⇔ ae + b = e − 1 ⇒  = − 1 b  0 0 x

Câu 6: Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0;2]. Biết f ( 0) = 1 và 2

f ( x) f (2 − x) = e

với mọi x ∈ [ 0;2] . Tính tích phân I = ∫

2 x2 − 4 x

( x − 3x ) f ' ( x) dx.

3

f ( x)

0

A. I = − 14 .

B. I = − 32 .

3

2

C. I = − 16 .

5

3

D. I = − 16 .

5

Lời giải: 2

Ta có I = ∫

( x − 3x ) f ' ( x) dx.

3

0

2

f ( x)

I = ( x 3 − 3 x 2 ) ln f ( x )

2 0

u = x3 − 3x2 2  du = ( 3x − 6x ) dx f ' x ( ) . ⇒ Đặt dv = dx v = ln f ( x )   f ( x) 

2

2

f ( 2 ) =1

− ∫ ( 3 x 2 − 6 x ) ln f ( x ) dx = − 3∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx = −3 J .

0

2

0

x = 2 −t

J = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx = 0

0

∫ ( 2 − t ) 2

2

− 2 ( 2 − t )  ln f ( 2 − t ) d ( 2 − t ) 

0

2

2 = ∫ ( 2 − x ) − 2 ( 2 − x )  ln f ( 2 − x ) d ( 2 − x ) = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( 2 − x ) dx.   2

0

2

2

2

0

0

⇒ 2 J = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx + ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( 2 − x ) dx = ∫ ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) f ( 2 − x ) dx 0 2

= ∫ ( x 2 − 2 x ) ln e 2 x

2

2

−4 x

dx = ∫ ( x 2 − 2 x )( 2 x 2 − 4 x ) dx =

0

0

Câu 7: Cho hàm số 1

f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1

f (1) = 0 , ∫  f ′ ( x )  dx = 7 và ∫ x 2 f ( x ) dx = 1 . Tính 2

0

32 16 16 ⇒ J = . Vậy I = − . Chọn D. 15 15 5

3

0

A. 7 .

5

[ 0;1]

thỏa mãn

1

∫ f ( x )dx .

0

C. 7 .

B. 1.

D. 4.

4

Lời giải: 1

1 Xét ∫ x 2 f ( x ) dx = . Đặt 3 0 1

⇒

2 ∫ x f ( x ) dx = 0

du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒  x3  2 dv = x dx v = 3  1

1

1

1 3 1 3 1 x f ′ ( x ) dx ⇒ x 3 f ′ ( x ) dx = − 1 x f ( x ) − ∫ x 3 f ′ ( x ) dx = − 3 3 30 0 0 0 1

∫

∫

23

1

1

2

1

1

Ta lại có ∫  f ′ ( x )  dx = 7 , ∫ 14 x 3 f ′ ( x ) dx = −14 , ∫ 49 x 6 dx = 7 x 7 0 = 7 0

0

1

2

0

1

1

1

0

0

0

2

⇒ ∫  f ′ ( x )  dx + ∫ 14 x 3 f ′ ( x ) dx + ∫ 49 x 6 dx = 0 ⇔ ∫  f ′ ( x ) + 7 x 3  dx = 0 0

⇔ f ′ ( x) + 7x3 = 0, ∀x ∈[ 0;1] ⇔ f ′ ( x) = −7x3 , ∀x ∈[0;1] ⇒ f ( x) = −

7 x4 +C 4

Ta có f (1 ) = 0 ⇔ C = 7 ⇒ f ( x ) = 7 (1 − x 4 ) 4

1

4

1

1

7 7 7 1 7 x5  ⇒ ∫ f ( x )dx = ∫ (1 − x4 )dx =  x −  = 1 −  = Chọn A. 40 4 5 0 4 5 5 0

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R và 1

∫

có đồ thị như hình bên. Đặt K = x. f ( x ) . f ′ ( x ) dx, khi đó K 0

thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( −3; − 2) .

3  B.  −2; −  .

2 

 3 2 C.  − ; −  .  2 3

 2  D.  − ;0  .  3 

Lời giải:

du = dx u = x  ⇒ Đặt  f 2 ( x) . ′ d v = f x . f x d x ( ) ( )  v =  2 1

1 1 x f 2 (x) 1 1 1 2 Khi đó K = ∫ x. f ( x ) . f ′ ( x ) dx = − ∫ f ( x ) d x = − ∫ f 2 ( x ) d x.

2 20 2 20 0 0 1

Từ đồ thị, ta thấy: 2

1 1 f 2 ( x) 2 − x) f 2 ( x) ( 7 1 2 dx > ∫ dx = ⇒ K = − ∫ dx < − .

• f ( x ) > 2 − x, ∀x ∈ [0;1] ⇒ ∫ 2 2 6 2 0 2 3 0 0 1

1 1 f 2 ( x) f 2 ( x) 1 3 dx > ∫ 2dx = 2 ⇒ K = − ∫ dx > − . Chọn C. • f ( x ) < 2, ∀x ∈[ 0;1] ⇒ ∫ 2 2 0 2 2 0 0 1

2.3.3. Bài tập tự luyện Câu 1: Biết F ( x) là nguyên hàm của f ( x) trên ℝ thỏa mãn

Tích phân

e

∫ F ( x) d ( ln x) = 3 và F ( e) = 5.

1

e

∫ ln x. f ( x) dx bằng 1

A. 3.

B. -3.

C. 2.

D. -2.

24

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn f (3) = 7 , 3

∫

f ( x ) dx = 3. Giá trị

0

1

∫

xf ′ (3 x ) dx bằng

0

A. 8 .

3

B. 6.

C. 8.

D. 2.

2

4

0

0

x Câu 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và f (2) = 16, ∫ f ( x) dx = 4. Tính I = ∫ xf '   dx.

2

A. I = 12.

B. I = 112. π

Câu 4: Cho

∫

f ( x ) dx = 2 và

0

C. I = 28.

π

π

0

0

D. I = 144.

∫ g ( x ) dx = −1 . Tính I = ∫  2 f ( x ) + x sin x − 3g ( x )dx

B. 7 + 4π

A. 7 + π

 

Câu 5: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn

C. π − 1

D. I = 7 + π 4

2

∫ ( 2x + 3) . f ' ( x) dx = 15 và 7. f ( 2) − 5. f (1) = 8. Tính 1

2

I = ∫ f ( x ) dx.

1

A. I = 7 .

B. I = − 2 .

2

C. I = 2 .

7

D. I = − 7 .

7

2

Câu 6: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn

f ( 0) = 3 và

2

f ( x ) + f ( 2 − x ) = x − 2 x + 2 ∀x ∈ ℝ . Tích phân ∫ xf ' ( x) dx bằng: 2

0

4 3

A. −

B.

2 3

C.

5 3

D. −

10 3

Câu 7: Cho hàm số f ( x) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn 1

1

1

 2 2 2 f x 2ln dx = 2∫  f ( x ) ln ( x + 1) dx. Tích phân I = ∫ f ( x ) dx. + ( ) ∫0  e  0 0 e 4 e 2 A. I = ln .

B. I = ln .

C. I = ln .

D. I = ln .

4 e 2 e  π π  y= f x

Câu 8: Cho hàm số π

π

4

4

π

( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn

 0; 4  và f  4  = 0. Biết rằng

π 8

π

∫ f ( x ) dx = 8 ; ∫ f ' ( x ) sin 2xdx = − 4 . Tính tích phân I = ∫ f ( 2 x )dx .

2

0

0

1 2

A. I = .

0

1 4

B. I = .

C. I = 2 .

D. I = 1 .

25

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] và f ( 0) + f (1) = 0 . Biết 1

1

π 1 ∫0 f ( x ) dx = 2 , ∫0 f ' ( x ) cosπxdx = 2 . Tính 2

A. 3π 2

1

∫ f ( x ) dx 0

B. 2 π

C.

π

ĐÁP ÁN Câu 1 2 3 4 5 6 7 Đáp án C D B A D D B 2.4. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

D. 1

π

8 B

9 B

2.4.1. Phương pháp giải Bước 1: Xác định miền phẳng D cần tính (có thể vẽ hình để dễ xác định miền phẳng) Bước 2: Áp dụng công thức b

+ S =ò f ( x) dx a b

+ S =ò f ( x) - g ( x) dx a

Chú ý: 1) Bài toán 2 đường cong hoặc 3 đường cong tự cắt phải xác định giao điểm của đồ thị 2) Tiếp tuyến của (C) y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) là y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) 3) Cách xác định hàm số dựa vào số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

4) Cách khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối của 1 biểu thức bằng phương pháp lập bảng xét dấu.

2.4.2. Bài tập áp dụng Câu 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn 0; 4 như hình vẽ.

4

Biết diện tích S1 = A. I = − C. I =

11 9 , S2 = . Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx .

6 2 0

8 3

19 3 19 D. I = − 3

B. I =

8 3

Lời giải: 4

1

4

1

4

8 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫  − f ( x )  dx = S1 − S 2 = − . Chọn A 3 0 0 1 0 1

26

Câu 2: Biết rằng đường Parabol ( P ) : y 2 = 2 x chia đường tròn ( C ) : x2 + y 2 = 8 thành hai phần lần lượt có diện tích là

S1 , S2 (hình bên). Khi đó S2 − S1 = aπ −

b với c

a , b, c

b là phân số tối giản. Tổng a + b + c c

nguyên dương và

bằng A. 13.

B. 14.

C. 15.

Lời giải: Diện tích hình tròn S = 8π .

Phương trình hoành độ giao điểm của ( P) và ( C) là

D. 16.

2 x ≥ 0  y = 2 x ⇒ ⇔ x = 2.  2  2 2  x + y = 8  x + 2 x = 8 2 2 2  4 Suy ra S1 = 2.  ∫ 2 x dx + ∫ 8 − x 2 dx  = + 2π . 0  2   3

a=4

 4 8  Suy ra S2 = S − S1 = 6π − ⇒ S 2 − S1 = 4π − ⇒ b = 8 . Chọn C. 3 3 

c = 3 Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0;4] và có đồ 4

thị như hình bên. Tích phân

∫ f ( x) dx bằng 0

A. 0.

Lời giải:

B. 1.

4

Ta có:

2

C. 5.

D. 8.

4

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = S 0

0

ABCO

− SCDE .

2

Diện tích hình thang ABCO là: S ABCO =

2. (1 + 2 ) = 3.

2

Diện tích hình tam giác CDE là: SCDE =

2.2 =2 2

4

Vậ y

∫ f ( x) dx = S

ABCO

− SCDE = 3 − 2 = 1. Chọn B.

0

27

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh trên một

(

đường chéo là A( −1;0) và C a; a

) với

a > 0. Biết

rằng đồ thị hàm số y = x chia hình chữ nhật thành hai phần có diện tích bằng nhau tìm a.

1 2

A. a = .

B. a = 3.

C. a = 4.

D. a = 9.

Lời giải: Từ hình vẽ ta suy ra B ( a;0) .

Hình chữ nhật ACBD có AB = a + 1 và AD = a nên có diện tích S = a ( a + 1) . a

Diện tích miền gạch sọc: S ′ = ∫ xdx = 0

2a a .

3

a ( a + 1) a >0 S 2a a ⇔ = → a = 3. Chọn B. 2 3 2 Câu 5: Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị ( C ) , biết rằng

Theo giả thiết, ta có S ′ =

( C)

đi qua điểm A ( −1;0) tiếp tuyến d tại A của ( C) cắt ( C) tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị ( C) và 2 đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng 28 (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn 5

bởi d, đồ thị ( C) và 2 đường thẳng x = − 1; x = 0 có diện tích bằng A. 2

B. 1

5

C. 2

9

9

D. 1

5

Lời giải:

Điểm A ( −1;0) thuộc đồ thị hàm số ( C) ⇒ a + b + c = 0 Phương trình tiếp tuyến tại A ( −1;0) là ( d ) : y = y' (1)( x +1) = ( −4a − 2b)( x +1) 4 2 Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra ( −4a − 2b)( x +1) = ax + bx + c (*)

−4a − 2b = c (1) −12a − 6b = 16a + 4b + c

Mà x = 0, x = 2 là nghiệm của (*) suy ra  2

Và

28 32 8 28 = ∫ ( −4a − 2b )( x + 1) − ax 4 − bx 2 − c dx = 4 ( −4a − 2b ) − a − b − 2c = ( 2 ) 5 0 3 3 5 2

1 Từ (1) , ( 2) suy ra a =1,b =−3,c = 2 ⇒ y = x − 3x + 2 . Vậy S = ∫ 2x + 2 − x 4 + 3x 2 − 2dx = 4

2

0

5

28

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn

[ −3;3]

và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích hình

phẳng S1, S2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = − x − 1 lần lượt là M ; m . Tích phân 3

∫ f ( x ) dx bằng −3

A. 6 + m − M . B. 6 − m − M .

C. M − m + 6. D. m − M − 6.

Lời giải: 1

1

1

1

∫

∫ ( −x − 1) dx − ∫ f ( x ) dx = 0 − ∫ f ( x ) dx;

−3 3

−3

Ta có: M = − x − 1 − f ( x )  dx =

−3 3

−3

3

3

m = ∫  f ( x ) − ( − x − 1) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ ( x + 1) dx = ∫ f ( x ) dx + 6.

1 3

1

1 3

1 3

1

1

−3

−3

−3

m − M = ∫ f ( x ) dx + 6 + ∫ f ( x ) dx = 6 + ∫ f ( x ) dx. ⇒ ∫ f ( x ) dx = m − M − 6. Chọn D. 2

Câu 7: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = x , y = 0, x = 0, x = 4. Đường thẳng y = k

D thành hai phần có diện tích

( 0 < k < 16)

chia hình

S1 , S2 (hình vẽ). Tìm

k

để

S1 = S2.

A. k = 3 .

C. k = 5.

Lời giải:

B. k = 4 .

D. k = 8 . x>0

2

Phương trình hoành độ giao điểm: x = k → x = k . Ta có: 4

x3 ● S1 + S2 = ∫ x dx = 3 0

4

2

= 0

64 . ● S1 = 3

Theo giả thiết S1 = S2 ⇒ S1 =

4

 x3  ∫ ( x − k ) dx =  3 − kx  k

4

2

= −4k + k

2 k k 64 . + 3 3

1 2k k 64 32 + = ⇒ k = 4. Chọn B. ( S1 + S2 ) ⇔ −4k + 2 3 3 3

2.4.3. Bài tập tự luyện

Câu 1: Tính diện tích hình phẳng được tô đậm ở hình bên.

A. S =

10 .

3

B. S =

20 .

3

29

C. S =

25 .

6

D. S = 9.

x2 Câu 2: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y = và đường tròn có tâm 2

b c

tại gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 . Biết S = aπ + , trong đó a, b, c ∈ ℕ* , ( b, c ) = 1 . Tính tổng a+b+c.

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f ( x ), trục hoành và hai đường thẳng x = − 1; x = 1 được tính bởi công thức nào dưới đây?

A.

1

∫

f ( x ) dx .

B.

−1

1

∫

1

C. π ∫ f 2 ( x ) dx.

f ( x ) dx.

−1

−1

D.

1

∫

f 2 ( x ) dx.

−1

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

[ −1;2]. Đồ thị của hàm số

y = f ′ ( x ) được cho như hình 5 bên. Diện tích các hình phẳng ( K ) , ( H ) lần lượt là 12 8 19 và . Biết f ( −1) = , tính f ( 2 ) .

3 12 2 2 11 A. f ( 2) = − . B. f ( 2 ) = . C. f ( 2) = .

D. f ( 2 ) = 3.

3 3 6 Câu 5: Cho ( H) là hình phẳng giới hạn bởi 2

parabol y = 3x , cung tròn có phương trình y = 4 − x2 (với 0 ≤ x ≤ 2 ) và trục hoành (phần tô đậm hình vẽ). Diện tích của ( H) bằng 4π + 3 12 4π + 2 3 − 3 C. 6

4π − 3 6 5 3 − 2π D. 3

A.

B.

7 − 4 x 3 khi 0 ≤ x ≤ 1 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  4 − x 2 khi x > 1

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) = 

hàm số f ( x) và các đường thẳng x = 0, x = 3, y = 0 .

A. 16 .

3

B. 2 0 .

3

C. 10 .

D. 9.

30

Câu 7: Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau: A. 10 .

C. 13 .

B. 4 .

3

D. 11 .

3

3

3 x và parabol y = x2 + a ( a là tham số thực dương). Gọi 2 S1 , S 2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1 = S2 thì

Câu 8: Cho đường thẳng y =

a thuộc khoảng nào dưới đây?

2 A.  0;   5

Câu Đáp án

1 B

1 9 B.  ;   2 16 

2 D

3 B

4 A

2 9  C.  ;   5 20 

ĐÁP ÁN 5 6 B C

9 1 D.  ;   20 2 

7 A

8 C

2.5. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH THỂ TÍCH 2.5.1. Phương pháp giải Bước 1: Xác định miền phẳng D cần tính (có thể vẽ hình để dễ xác định miền phẳng) Bước 2: Áp dụng công thức b

∫

+ Áp dụng công thức V = S ( x) dx a b

∫

2 + Thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox là V = π f ( x) dx a

Chú ý: 1) Thể tích khối nón VN = 1 h.S 3

31

2) Thể tích khối cầu VC = 4 π R 3 3

b

3) VOx = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx a

2.5.2. Bài tập áp dụng Câu 1: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có 2 kích thước là A. 18π B. 18 Lời giải: 3

x và

2 9 − x2 D. 16π

C. 16

3

∫

∫

0

0

2 Ta có: V = S ( x ) dx = 2x 9 − x dx = 19 Chọn B..

Câu 2: Cho vật thể (T ) giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 ; x = 2 . Cắt vật thể (T ) bởi mặt phẳng vuông góc với trục O x tại x ( 0 ≤ x ≤ 2 ) ta thu được thiết diện là một hình vuông có x cạnh bằng ( x +1) e . Thể tích vật thể (T ) bằng

A.

π (13e4 − 1) 4

Lời giải: Diện tích

13e4 − 1 B. .

4

. thiết

diện

2

2

0

0

C. 2 e 2 .

2

là

S ( x ) = ( x + 1) e 2 x .

Thể

tích

D. 2π e 2 . c ủa

v ật

thể

(T )

là

2

V = ∫ S ( x )dx = ∫ ( x + 1) e 2 x dx .

2 2 2 2 1 9e4 −1  x +1 2 x 1 2x  2 2x 2x V = ( x +1) e − ∫ ( x +1) e dx = e − ∫ e dx  −   2 2 2 20 0 0 0   2

=

9e 4 − 1 3e 4 − 1 1 2 x 1 1 13e 4 − 1 . Chọn B. − + e = 3e 4 + e 4 − = 2 2 4 4 4 4 0

Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

4e3 +1 A. π.

9

4e3 −1 B. π.

9

y = x . ln x , y = 0 , x = e

quay xung quanh trục

2e3 +1 C. π.

9

2e3 −1 D. π.

9

Lời giải: Tọa độ giao điểm của đường

x = e

với y = x ln x là điểm C (3; 3) .

Tọa độ giao điểm của đường y = x ln x với y = 0 là A (1; 0) .

32

e 3 Vậy V = ∫ π .x 2 ln xdx = π . 2e + 1 .

9

1

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 4 − x 2 , y = 1 x 2 quay xung quanh trục Ox. 3

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. V =

24π 3 5

B. V =

28π 3 5

C. V =

28π 2 5

D. V =

24π 2 5

Lời giải:

1 2 Tọa độ giao điểm của hai đường y = 4 − x 2 và y = x là các điểm A(− 3;1) và B( 3;1) .

3 3

∫

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V =

3

π .(4 − x 2 )dx −

− 3

1

∫ π . 9 x dx = π .

4

− 3

28 3 .

5

2

Câu 5: Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x và đường thẳng y = 2 x . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục hoành.

A. V =

64π .

15

B. V =

16π .

15

C. V =

20π .

3

D. V =

4π .

3

Phương pháp: Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên [ a; b ]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số y = f ( x ) , y = g ( x ) và hai đường thẳng

x = a; y = b khi quay

b

quanh trục Ox là: V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx a

Lời giải:

x = 0 x = 2

2 Phương trình hoành độ giao điểm: x = 2x ⇔  2

Thể tích cần tìm : V = π

2

2

0

4  1 = π  x5 − x3  3  5

2

= 0

2

2

0

0

2 4 2 4 2 ∫ ( x ) − ( 2x) dx = π ∫ x − 4x dx = π ∫ ( x − 4x ) dx

64π . Chọn A. 15

Câu 6: Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong ( P) có phương trình y =

1 2 x . Gọi S là hình 4

phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi cho phần S qua quanh trục Ox. A. V =

64π .

5

B. V =

128π .

3

C. V =

128π .

5

D. V =

256π .

5

Lời giải: 33

Thể tích vật thể khi quay hình vuông OABC quanh trục Ox là π .4 2 .4 = 64π .

2

4

64π 1 2 .

Thể tích vật thể khi quay phần gạch sọc quanh Ox là π .∫  x  dx = 4 5   0 64π 256π . Chọn D. = Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tính bằng 64π − 5 5 1 Câu 7: Cho hình phẳng Hgiới hạn bởi đường tròn có 4 bán kính R = 2, đường cong y = 4 − x và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình Hquay quanh trục Ox. 40π 53π 67π 77π ⋅ B. V = ⋅ ⋅ ⋅ A. V = C. V = D. V = 3 6 6 6 Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: • Thể tích vật thể khi quay phần thể tích bằng

4 − x = 0 ⇔ x = 4.

S1 quanh trục hoành là nửa khối cầu bán kính R= 2 nên có 16π

1 4 3 2 3 . × π R = π .2 = 2 3 3 3

4

• Thể tích vật thể khi quay phần

S2 quanh trục hoành là π ∫ ( 4 − x ) dx = 8π .

0

Vậy thể tích cần tính

16π 40π . Chọn A. + 8π = 3 3

3 2 Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0) có đồ thị ( C ) . Biết rằng

đồ thị ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số

y = f ' ( x) cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị ( C ) và trục hoành khi quay xung quanh trục O x .

A. 7 2 5 π .

35

B.

1 π.

35

C. 6π .

D. 18π .

Lời giải:

34

∫

3 Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x) ⇒ f ' ( x ) = 3 ( x 2 − 1) . Khi đó f ( x ) = f ' ( x)dx = x − 3x + C .

Điều kiện đồ thị hàm số f ( x) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 là: 3  f ( x ) = 4  x − 3 x + C = 4  x = −1 3 2 suy ra f ( x ) = x − 3x + 2 ( C ) . ⇔ 2 ⇔  C = 2  f ' ( x ) = 0 3 ( x − 1) = 0

1

+ ( C ) ∩ Ox ⇒ hoành độ giao điểm là x = −2; x = 1 . Khi đó V = π

∫(x

3

2

− 3x2 + 2) dx =

−2

729 π.

35

2.5.3. Bài tập tự luyện Câu 1: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi 2

2

hai đồ thị y = x − 4x + 6 và y =−x − 2x + 6 .

A. 3π B. π − 1 C. π D. 2π Câu 2: Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x , x = 0, x = π và trục hoành bằng 3

π  A. π  3 −  .

3 

B.

3−

π 3

C.

.

3+

π 3

C. π 3 − π .

.

3

Câu 3: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục O x tại điểm có hoành độ x ( 1 ≤ x ≤ 3 ) thì

được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x2 − 2 .

A. V =

124 3

B. V = (32 + 2 15)π

C. V = 32 + 2 15

D. V =

124π 3

x Câu 4: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = xe và các đường thẳng x = 1 , x = 2 , y = 0. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình D xung quanh trục Ox

bằng 2 A. π e

B. 2πe

C.

( 2 − e) π

2 D. 2 π e

Câu 5: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e x , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? π ( e 2 + 1) π ( e 2 − 1) πe2 e2 −1 V = V = A. V = B. C. D. V = 2 3 2 2 Câu 6: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x 2 + 1 , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

35

B. V =

A. V = 2

4π 3

D. V =

C. V = 2π

4 3

Câu 7: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành và các đường

π 2

thẳng x = 0, x = . Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. V = ( π + 1) π

B. V = π−1

C. V = π+1

Câu 8 : Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng y=

( H)

D. V = ( π − 1) π xác định bởi các đường

1 3 x − x 2 , y = 0 , x = 0 và x = 3 quanh trục O x là 3 A. 81π .

B. 81 .

C. 71π .

35 35 35

D. 71 .

35

Câu 9 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình ( H ) quanh Ox với ( H ) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 x − x 2 và trục hoành.

A. 3 1π .

B. 3 2 π .

3

Câu Đáp án

1 A

3

2 A

3 A

ĐÁP ÁN 4 5 A A

C. 3 4 π .

D. 3 5 π .

3

6 B

3

7 A

8 A

9 B

2.6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Trong mục này ngoài các bài toán ứng dụng tích phân cơ bản đã học. Tôi hướng dẫn học sinh giải một số bài toán ứng dụng của tích phân liên quan đến thực tế khác như: bài toán liên quan đến tính chất vật lý, bài toán liên quan đến chuyển động của một vật, bài toán liên quan đến hình học, bài toán liên quan đến hàm số và một số bài toán liên quan khác.

2.6.1. Phương pháp giải

36

Bước 1: Căn cứ vào giả thiết bài toán để xác định hàm số Bước 2: Tìm cách tính theo yêu cầu đưa ra + Áp dụng công thức diện tính diện tích tam giác, hình chữ nhật, hình vuông (nếu cần) b

b

+ Áp dụng S =ò f ( x) dx hoặc S =ò f ( x) - g ( x) dx a

a

b

b

∫

∫

a

a

2 + Áp dụng công thức V = S ( x) dx hoặc V = π f ( x) dx

+ L = S ( b) − S ( a)

∫

∫

+ v ( t ) = S ' ( t ) , a( t ) = S ''( t ) ⇒ v( t ) = a( t ) dt, S ( t ) = v( t ) dt 2.6.2. Bài tập áp dụng Câu 1: Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần

đều với vận tốc v ( t ) = 30 − 2t ( m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét?

A. 100m.

B. 125m.

C. 150m.

D. 175m.

Lời giải: Ta có 72km/h = 20m/s .

Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ta có phương trình 30 − 2t = 20 ⇔ t = 5.

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi ô tô đạt tốc độ 72km/h, ô tô đi được quãng đường là 5

L = ∫ ( 30 − 2t ) dt = 125m. Chọn B. 0

Câu 2: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v ( km/h ) phụ thuộc thời gian t ( h ) có đồ thị của vận tốc như hình bên.

Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường Parabol có đỉnh I ( 2;9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đuờng s mà vật chuyển động trong 4 giờ đó.

A. s = 24km. B. s = 26, 5km .

C. s = 27km.

D. s = 28, 5km .

Lời giải:

37

 9 2  − 4 t + 9t ( m/s ) khi 0 ≤ t ≤ 3 .

Dựa vào đồ thị suy ra v ( t ) =  27  khi 3 ≤ t ≤ 4 ( m/s )  4 Quãng đường người đó đi được trong khoảng thời gian 4 giờ là: 3

4

27  9  s = ∫  − t 2 + 9t  dt + ∫ dt =27km. Chọn C. 4 4  0 3 Câu 3: Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 3 giây khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét?

B. 60 m.

C. 90 m.

D. A. 0 m.

270 m.

Lời giải:  v A ( t ) = − 20t 2 + 80t ( m/s ) Dựa vào đồ thị suy ra  .  v B ( t ) = 20t ( m/s ) 3

Quãng đường đi được sau 3 giây của xe A là: sA =

∫ ( − 20t

2

+ 80t ) dt = 180m.

0 3

∫

Quãng đường đi được sau 3 giây của xe B là: sB = 20t dt = 90m.

0

Vậy khoảng cách giữa hai xe sau 3 giây sẽ bằng: sA − sB = 90m. Chọn C. Câu 4: Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40 (cm) như hình bên. Biết rằng người 2

2

thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình 2x = y và 3

4 ( x − 1) = y2 để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?

B. 747(cm2) A. 506 (cm2) C. 507(cm2) D. 746(cm2) Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , đường thẳng b

x = a, x = b ( a < b) là S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a 1

 Lời giải: S = 4  ∫ 0

(

)

2

2 x − 0 dx + ∫ 1

( dm ) ≈ 747 ( cm ) ( 2x − 2 ( x − 1) ) dx = 112 15 3

2

2

. Chọn B.

38

Câu 5: Bạn Linh cần mua một chiếc gương hình dạng đường Parabol bậc 2 (xem hình vẽ).

Biết rằng khoảng cách đoạn AB = 60 cm , OH = 30 cm . Diện tích của chiếc gương bạn Linh mua là A. 1000 ( cm 2 ) B. 1200 ( cm 2 ) C. 1400 ( cm 2 ) D. 900 ( cm 2 ) Lời giải:

Đặt hệ trục tọa độ với Oxy với tia Ox là tia OH, tia Oy là tia OB Giả sử phương trình parabol y = f ( x ) = ax 2 + bx + c.

Dựa vào AB = 60 cm , OH = 30 cm  f ( ±30 ) = 0 1 1 Ta có  ⇒ a == − , b = 0, c = 30 ⇒ y = f ( x ) = − x 2 + 30 30 30  f ( 0 ) = 30 30

Diện tích chiếc gương là S =

∫

−30

30

30

 x3   1 2  f ( x )dx = ∫  − x + 30 dx=  − + 30x  = 1200 cm 2 30   30  −30 −30 

Câu 5: Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng hình Elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường Parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục của Elip như hình vẽ bên. Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của Elip lần lượt là 8 m và 4 m; F1, F2 là hai tiêu điểm của Elip. Phần A , B dùng để trồng hoa; phần C , D dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông trồng hoa và trồng cỏ lần lượt là 250 000 đồng và 1 5 0 0 0 0 đồng. Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn).

C. 5 4 55 0 00 đồng.

A. 4 656 000 đồng. B. 4 766 000 đồng.

Lời giải: 2 Diện tích Elip: S = π .4.2 = 8π m .

Chọn hệ trục tọa độ và gọi các điểm như hình. x2 y2 = 1. Suy ra đường Phương trình Elip là: ( E ) : + 16 4 16 − x 2 Elip nằm trên trục Ox là: y = .

2

D. 5 67 6 000 đồng.

39

Giao điểm của đường thẳng d : x = 2 3 đi qua tiêu điểm

(

F2 và nửa Elip nằm bên trên trục

)

( ) x Parabol đi qua các điểm M ( 2 3;1) , O ( 0;0) , N ( −2 3;1) có phương trình ( P ) : y = .

12 → N −2 3;1 .

Ox là M 2 3;1 

2

 16 − x 2 x 2  8π + 2 3 ∫  2 − 12  dx = 3 . −2 3   Vậy số tiền cần chi phí: T = 2SA × 250000 + ( S − 2SA ) ×150000 ≈ 5676000 đồng. Chọn D. 2 3

Khi đó diện tích S A =

Câu 6: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2 , B1, B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/ m 2 và phần còn lại là 100.000 đồng/ m 2 . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết AA 1 2 = 8m, B1B2 = 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3m?

A. 7.322.000 đồng.

B. 7.213.000 đồng.

C. 5.526.000 đồng.

D. 5.782.000 đồng.

Lời giải:

x2 y2 + = 1.

Phương trình elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục bé bằng 6 là 16 9 2 Rút ra phần đường cong nằm trên trục hoành là y = 3 1 − x ; phần đường cong nằm dưới

16

trục

hoành

2

là

y = −3 1 −

x .

16

Diện

tích

c ủa

cả

hình

elip

là

x2  x2  S0 = ∫ 3 1 − −  −3 1 −  dx = 12π .

16  16  −4 4

2 Với MQ = 3 ⇒ y M = MQ = 3 ⇒ x M = − 4 1 − y M = − 2 3

2

2

9

x2  x2  3 1 − − −   dx = 6 3 + 8π . ∫   16 16 −2 3   Số tiền cần dùng là S1 × 200.000 + ( S0 − S1 ) × 100.000 ≈ 7.322.000 đồng. Chọn A. 2 3

Do đó diện tích phần tô đậm là S1 =

3 1−

40

Câu 7: Một thùng đựng bia hơi (có dạng khối tròn xoay như hình vẽ) có đường kính đáy là 30 cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40 cm, chiều cao thùng là 60 cm, các cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng bia hơi gần nhất với kết quả nào dưới đây? (giả sử độ dày thùng bia không đáng kể) A. 70 (lít).

B. 62 (lít).

C. 60 (lít).

D. 64 (lít).

Lời giải:

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Ta có phương trình parabol phía trên trục hoành đi qua các x2 y = − + 20. điểm ( − 3 0;1 5); (3 0;1 5); (0; 2 0 ) là 180 Thể tích thùng bằng thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng x2 + 20; y = 0; x = −30; x = 30. giới hạn bởi các đường y = − 180 2

30

 x2  + 20  dx = 20300π ( cm 3 ) ≈ 63,8(l ). Chọn D. Vì vậy V = π ∫  − 180  −30  Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Đặt 2

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. g (1) > g ( −3) > g ( 3)

B. g (1) > g ( 3) > g ( −3)

C. g ( 3) > g ( −3) > g (1)

D. g ( −3) > g ( 3) > g (1)

Lời giải: x =1 .  x = ±3

Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( x + 1) , g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x + 1 ⇔  Bảng biến thiên

41

Suy ra g ( −3) < g (1) và g ( 3) < g (1) . (1)

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f '( x ), y = x + 1, x = − 3, x = 1 Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x + 1, y = f '( x ), x = 1, x = 3 Dựa vào hình vẽ, ta thấy: S1 > S2 > 0 .

Suy ra: S1 −S2 > 0 ⇒ ⇒ ⇒

1

3

−3 1

1 3

−3 3

1

∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx − ∫ ( x + 1) − f ′ ( x ) dx > 0 ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx + ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx > 0 ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx > 0 .

−3 3

3

−3

−3

Khi đó: g ( 3 ) − g ( −3 ) = ∫ g ′ ( x ) dx = 2 ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx > 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra: g (1) > g ( 3) > g ( −3) . Chọn B. 2.6.3. Bài tập tự luyện Câu 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −5t + 10 ( m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 0, 2 m .

B. 2m.

C. 10m.

D. 20m.

42

Câu 2: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t 2 ( m/s 2 ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét?

4300 m.

3 2 Câu 3: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số y = 6x − x và trục hoành.

Hai đường thẳng y = m, y = n chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính A.

1900 m.

3

B.

3

P = (9 − m ) + (9 − n )

2200 m.

3

C.

4000 m.

3

D.

3

A. P = 405 C. P = 407

B. P = 409 D. P = 403

Câu 4: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong Parabol có hình bên. Biết rằng sau 10s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?

A.

1000 m.

3

B.

1100 m.

3

C.

1400 m.

3

D. 300m.

Câu 5: Hai viên đạn cùng rời khỏi nòng súng tại thời điểm t = 0 với những vận tốc khác 2

nhau: viên thứ nhất có vận tốc v = 3t (m / s); viên thứ 2 có vận tốc v = 2t + 6 (m/s). Hỏi bắt đầu từ giây thứ mấy trở đi thì viên đạn thứ nhất xa điểm xuất phát hơn viên đạn thứ 2?

A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 Câu 6 : Trong sân vườn của một trường học, người ta dự định làm một vườn hoa hình elip và được chia ra làm 4 phần bởi 2 đường parabol có chung đỉnh, đối xứng nhau qua trục của elip (hình vẽ). Biết độ dài trục lớn trục nhỏ của elip lần lượt là 8m và 4m, F,F 1 2 là hai tiêu điểm. Phần A, B để trồng hoa, phần C, D sẽ trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là 250.000 đồng và 150.000 đồng. tổng số tiền để hoàn thành vường hoa (làm tròn đến hàng nghìn) gần nhất với số tiền nào dưới đây ?

A. 4.656.000 đồng

B. 5.455.000 đồng

C. 5.676.000 đồng

D. 4.766.000 đồng

Câu 7: Cho hàm số f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) trên [ −3; 2] như hình vẽ (phần cong 2

của đồ thị là một phần của parabol y = ax + bx + c. ).

43

Biết f ( −3) = 0, giá trị của f ( −1) + f (1) bằng A. 23 6

B. 31 6

C. 35

D. 9

3

2

Câu 8: Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục O x tại điểm có hoành độ x ( −1 ≤ x ≤ 1) thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích V của vật thể đó là

A. V = 3 .

B. V = 3 3 .

C. V =

4 3 .

3

D. V = π .

Câu 9: Có một cốc nước thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6 cm , chiều cao lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

A.

24 0 cm 3 .

B.

2 4 0π c m 3 .

C. 120 cm 3 .

D. 120π cm 3 .

44

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Đáp án

C

D

A

A

C

C

B

C

B

2.7. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC 2.7.1. Ma trận đề TT

Nội dung

NB, TH

Vận dụng

Vận dụng

Tổng

cao 1

Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất

2

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

3

C1, C2, C3 C13

Tính tích phân bằng phương

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

5

Ứng dụng tích phân tính thể tích

C14, C15,

4 câu

C16 C17, C18

C19

3 câu

C4, C5, C9

C7, C12

C11, C20

8 câu

C6

C8, C10

pháp tích phân từng phần 4

3 câu

2 câu

2.7.2. Đề kiểm tra Câu 1: Cho

2

∫

2

f ( x ) dx = 3 và

0

A. 5.

∫

2

g ( x ) dx = − 2 , khi đó

0

B. 4.

∫  2 f ( x )− g ( x ) dx

bằng

0

C. 8.

D. 1 .

45

Câu2: Biết f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ và

6

∫

6

f ( x )dx = 4, ∫ f ( t ) dt = −3 . Khi đó

0

2

2

∫  f ( v ) − 3 dv 0

bằng A. 1 .

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4 ] , f (1) = 1 và

4

∫ f '( x)dx = 2 . Giá trị 1

f (4) là

A. 2.

B. 3.

C. 1 .

D. 4.

Câu 4: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục O x và hai đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) , xung quanh trục O x . b

b

A. V = ∫ f ( x ) dx

B. V = π ∫ f 2 ( x )dx

a

b

b

a

a

C. V = ∫ f 2 ( x )dx D. V = π ∫ f ( x )dx

a

Câu 5: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

2

A.

∫ ( −2 x + 2 ) dx −1

2

B.

2

∫ ( 2 x − 2 ) dx

C.

−1

∫ ( −2 x

2

+ 2 x + 4 ) dx D.

−1

2

∫ (2x

2

− 2 x − 4 ) dx

−1

Câu 6: Gọi S là diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , trục hoành và hai 0

đường thẳng x = −1 , x = 2 . Đặt a =

∫ −1

2

f ( x ) d x , b = ∫ f ( x ) dx , mệnh đề nào sau đây đúng?

0

46

A. S = b − a B. S = b + a C. S = −b + a D. S = −b − a Câu 7: Một vật chuyển động với vận tốc 1 0 ( m / s ) thì tăng tốc với gia tốc 3t + t 2 , ( m / s 2 ) .

Quãng đường vật di chuyển trong thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A. 3600 m

B.

4300 m 3

C.

1750 m 3

D.

1450 m 3

3

Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − x và đồ thị hàm số

y = x − x2.

A. 37

B. 9

12

C. 81

4

D. 13

12

Câu 9: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln 2x , y = 0 , x = 1 , x

x =e. Mệnh đề nào dưới đây đúng? e

A. S = π ∫ ln 2x d x .

1

x

B. S =

e

∫ 1

ln x dx . x2

e

   x 

2

C. S = ∫  ln 2x  d x .   1

e

D. S = π ∫ 1

2

 ln x   2  d x x

Câu 10: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x =π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. V = 2π (π + 1) B. V = 2π C. V = 2 (π + 1) D. V = 2π 2

Câu 11: Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là A B = 8 m . Người ra treo một tâm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M , N nằm trên Parabol và hai đỉnh P , Q nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí với chi 2 phí cho 1 m cần số tiền mua hoa là 200.000 đồng, biết M N = 4 m , M Q = 6 m . Hỏi số tiền dùng để mua hoa trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây?

A. 3 37 3 40 0 đồng.

B. 3 434 300 đồng.

C. 3 437 300 đồng. D. 3 73 3 300 đồng.

Câu 12: Ba bác bảo vệ trường Yên Lạc (bác Giao, bác Hương, bác Giảng) có trồng cây đinh lăng vào phần đất được tô chấm giới hạn bởi cạnh AD , BC , đường trung bình EF của mảnh vườn hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (hình vẽ)

Biết AB = 2 (m) , AD = 2π (m) . Tính diện tích đất còn lại của mảnh vườn (đơn vị tính m2 ) bằng

47

B. 4(π−1) .

A. 4π−1.

D. 4π− 2 .

C. 4π − 3 .

2

4

0

0

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ. Biết ∫ x.f ( x 2 ) dx = 2, hãy tính I = ∫ f ( x ) dx.

A. I = 2.

C. I = 1 .

2

B. I = 1.

3

Câu 14: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [1; +∞) và ∫ f 0

bằng: A. I = 8

B. I = 4

D. I = 4.

(

)

x + 1 dx = 8. Tích phân I = ∫ xf ( x ) dx

5

1

2

1

D. I = 2

C. I = 16

2

2

Câu 15: Cho ∫ xf ( x 2 + 1) dx = 2. Khi đó I = ∫ f ( x ) dx bằng A. 2

B. 1

C. −1

D. 4

Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và là hàm số chẵn, biết

1

f (x) ∫−1 1 + e x dx = 1.

1

Tính ∫ f ( x )dx −1

A. 1

B. 2

D. 1

C. 4

2

π 2

π 2

0

0

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn ∫ s inx.f ( x ) = f ( 0 ) = 1. Tính I = ∫ cos x.f ' ( x ) dx A. I = 2

B. I = −1

C. I =1

D. I = 0

Câu 18: Cho hàm số f ( x ) liên tục trong đoạn [1; e ] , biết

e

∫ 1

f (x) dx = 1, f ( e ) = 2. Tích phân x

e

∫ f ' ( x ) ln xdx = ?

1

A. 1

C. 2

B. 0

f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn

Câu 19: Cho hàm số 1

2

f (1) = 1; ∫  f ' ( x )  dx = 9 và 0

A. 5 2

D. 3

1

1 3 ∫0 x f ( x ) dx = 2 . Tích phân

B. 7 4

C. 2 3

[ 0;1] thỏa

mãn

1

∫ f ( x ) dx bằng : 0

D. 6 5

Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị của hàm số f ′( x) như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?

48

A. f ( 0) > f ( 2) > f ( −1) .

B. f ( 0) > f ( −1) > f ( 2) .

C. f ( 2) > f ( 0) > f ( −1) .

D. f ( −1) > f ( 0) > f ( 2) .

2.7.3. Đáp án đề kiểm tra 1C

2A

3B

4B

5C

6A

7B

8A

9B

10A

11D

12B

13D

14B

15B

16B

17D

18A

19C

20B

Chương 3: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KẾT LUẬN 3.1. Bài học kinh nghiệm - Qua nhiều lần sử dụng phương pháp, kĩ thuật mới trong hoạt động dạy học hàng ngày, tôi nhận thấy có nhiều ưu điểm và nhược điểm, vì thế tôi đã rút ra cho mình một số bài học kinh nghiệm sau: - Mỗi phương pháp, kĩ thuật dạy học đều có những ưu điểm, nhược điểm riêng nên khi sử dụng GV nên linh động sáng tạo áp dụng với điều kiện thực tế của trường và đối tượng học sinh. Cần kết hợp nhuần nhuyễn với các phương pháp, kĩ thuật trong qúa trình dạy học.

- Thiết kế bài giảng theo hướng phát huy tính tích cực chủ động của học sinh là rất tốt và có tính mới mẻ, song GV hướng dẫn là người quan trọng, không nên bỏ qua vai trò của người giáo viên trong quá trình hình thành kiến thức cho học sinh.

- Nên xây dựng theo hướng tích hợp nội dung của nhiều môn hay của một môn nhưng nhiều bài khác nhau, nhiều khối lớp tạo nên tính lôgic cao.

- Người giáo viên phải tâm huyết với nghề, nhiệt tình với học sinh, phải thực sự nắm vững các phương pháp, kĩ thuật sử dụng trong giảng dạy nếu không sẽ đi đến kết quả trái ngược với mong muốn.

49

- Cần chuẩn bị đồ dùng dạy học (phiếu, bảng phụ, bìa ....) một cách chu đáo để phục vụ cho hoạt động dạy học.

3.2. Kết quả và kết luận * Một số kết quả đạt được - Biết phương pháp và cách giải một số dạng bài toán tích phân thường gặp.

- Học sinh có cái nhìn tổng quát, sâu sắc và mới hơn về bài toán tích phân.

- Học sinh có hứng thú và bớt khó khăn khi gặp một số bài toán tích phân hàm ẩn.

- Học sinh tích cực tìm tòi kiến thức trên các kênh thông tin.

- Có hứng thú tìm bài tập trắc nghiệm trên internet và thích được làm bài kiểm tra.

- Tài liệu này có thể hữu ích cho giáo viên khi giảng dạy lớp chuyên đề và bồi dưỡng thi THPT Quốc Gia đạt kết quả tốt.

Cụ thể tôi thu được kết quả như sau:

L ớp 12G 12K

Số HS, chiếm (%) HS % HS %

Bảng 1: Kết quả trước khi tiến hành nghiên cứu Làn điểm <5 5 đến < 6.5 6.5 đến < 8 8 đến < 9 9 đến ≤ 10 4 12 16 7 0 10.3 30.8 41.0 17.9 0 7 13 15 6 0 17.5 32.5 37.5 15.0 0

Cộng 39 100 41 100

Bảng 2: Kết quả sau khi nghiên cứu và thực hiện giải pháp mới L ớp 12G 12K

Số HS, chiếm (%) HS % HS %

Làn điểm <5

5 đến < 6.5

6.5 đến < 8

8 đến < 9

9 đến ≤ 10

0 0.0 0 0.0

6 15.4 9 22.5

16 41.0 17 42.5

13 33.3 13 32.5

4 10.3 2 5.0

Cộng 39 100 40 100

* Đánh giá chung Từ bảng số liệu trên cho thấy việc hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tích phân hàm ẩn và ứng dụng tích phân đã đem lại kết quả tốt lên rất nhiều. Học sinh đã không còn

50

lúng túng, bỡ ngỡ trước một số dạng bài toán tích phân hàm ẩn đó nữa. Các em đã tích cực, chủ động hơn trong việc làm bài tập và có ý thức tự học ở nhà.

Trong phạm vi bài viết đã tập trung đề cập đến việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán tích phân hàm ẩn và ứng dụng tích phân thường gặp trong các kỳ thi THPT QG. Với cách thức triển khai ý tưởng về mặt phương pháp thông qua một số ví dụ và hướng dẫn học sinh giải.

Sau một thời gian cho học sinh áp dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng tích phân”. Tôi đã thu được một số kết quả như sau: Một là: Giúp học sinh hiểu và nắm được chắc cơ sở lý thuyết về tích phân vì đó là chìa khóa để học sinh giải bài toán tích phân hàm ẩn và ứng dụng của nó.

Hai là: Học sinh hiểu và làm tốt bài toán tính tích phân hàm ẩn thì đòi hỏi cả giáo viên và học sinh đều phải có sự cố gắng, nỗ lực, luôn tìm tòi, sáng tạo.

Ba là: Hầu hết học sinh đã nhận biết được một số dạng toán tích phân hàm ẩn thường gặp và có hướng giải quyết bài toán đó. Các em đã nâng cao được cách lập luận và trình bày, kỹ năng làm việc theo nhóm dẫn đến kết quả học tập tốt lên. Tỉ lệ học sinh khá, giỏi tăng lên và tỉ lệ học sinh yếu giảm đi rõ rệt.

Hi vọng với nội dung và cách thực hiện nêu trên học sinh có thể giải quyết tốt những bài toán tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân cơ bản thường gặp và tư duy để làm

được những bài toán tích phân phức tạp hơn. Biết rằng trong bài viết không thể tránh khỏi những thiếu sót, mong bạn đọc và đồng nghiệp chia sẻ những ý kiến đóng góp, chỉnh sửa để

đề tài được hoàn chỉnh hơn, góp phần phục vụ việc giảng dạy và học tập của học sinh đạt kết quả cao.

7.2. VỀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN - Khả năng áp dụng chủ đề rất cao, trực tiếp, hiệu quả cao cho giáo viên giảng dạy và các em học sinh thi học sinh giỏi cũng như các em thi THPTQG. 8. Những thông tin cần được bảo mật: Không

51

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Đối với giáo viên: Cần chú ý tìm tòi nghiên cứu kiến thức, học hỏi cách thức xây dựng đề thi trắc nghiệm và các kĩ thuật trộn đề bằng máy.

- Đối với nhà trường, tổ chuyên môn: Tăng cường trao đổi chuyên môn trong nhóm, tổ và cần thiết sự ủng hộc cả về vật chất và tinh thần của Nhà trường.

- Đối với học sinh + Học sinh học xong chương III SGK giải tích 12. + Có MTCT Casio fx570vn plus + Học sinh làm việc độc lập hoặc theo nhóm, nghiên cứu kỹ bài học trong SGK Giải tích 12.

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Sau khi hướng dẫn học sinh giải bài toán tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân thông qua một số bài tập trong đề thi trắc nghiệm đã thu được một số kết quả của học sinh là: + Hứng thú và hăng say hơn với bài học. + Tích cực tìm tòi kiến thức trên các kênh thông tin. + Có hứng thú tìm bài tập trắc nghiệm trên mạng và thích được làm bài kiểm tra.

11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu: Số TT

Tên tổ chức/cá nhân

1

Nhóm giáo viên môn Toán

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

Trường THPT

Giảng dạy môn Toán 12

52

2

Học sinh lớp 12G, 12K

Yên Lạc

cấp THPT

Trường THPT

Ôn luyện và kiểm tra trong

Yên Lạc

ôn thi THPT

3

Nhóm giáo viên môn Toán

Các trường THPT trong huyện Yên Lạc

Báo cáo chuyên đề cấp cụm Yên Lạc

4

Nhóm giáo viên môn Toán

Các trường THPT trong tỉnh Vĩnh Phúc

Báo cáo chuyên đề cấp tỉnh Vĩnh Phúc.

Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu)

Yên Lạc, ngày 20 tháng 02 năm 2020 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên)

Nguyễn Trung Thành

53