Giải toán tích phân bằng nhiều cách - Nguyễn Thành Long - Có lời giải chi tiết

GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH (Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: 3

Bài 1: Tính tích phân sau: I =

x2 dx x2  1

 0

Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt x  tan t  dx  (1  tan 2 t )dt

 x  3  Đổi cận   x  0

  t  3   t  0

Khi đó I=









3

3

3

3

0

0

0

0

3 2 2  tan tdt   tan t (tan t  1  1)dt   tan t (tan t  1dt )   tan tdt







 d (cos t )  tan 2 t 3   tan td (tan t )     ln cos t  3  ln 2 cos t  2 0 2 0 0 3

3



Nhận xét: Đối với tích phân dạng I   R(u, u 2  a 2 )du, u  u ( x) thì ta có thể đặt u  a tan t 

Cách 2: Phương pháp tích phân toàn phần  u  x2  Đặt  xdx  dv  2 x 1 

 du  2 xdx   ln( x 2  1) v   2 

1 3  Khi đó I  x 2 ln( x 2  1) 2 0

3

 0

x ln( x 2  1)dx  3ln 2 

1 2

3

 ln( x

2

 1) d ( x 2  1)

0 J

3

Tính J =

 ln( x

2

 1) d ( x 2  1)

0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 1

 d ( x 2  1) 2  u  ln( x  1)  du  Đặt   x2  1 2 dv  d ( x  1)   v  x 2  1 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 2

3  3 1 3 Khi đó I = 3ln 2   x 2  1 ln  x 2  1   d ( x 2  1)    ln 2 2  0  2 0

Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I =

P( x)

 Q ( x) dx   n

f ( x)Q '( x) dx thì Q n ( x)

u  f ( x) du  Đặt  Q '( x)   dv  Q n ( x) dx v 

Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số Nhận xét: Ta có x3  x 2 .x và ( x 2  1)  2 x từ đó ta định hướng giải như sau 3

Phân tích I =  0

x3 dx  x2  1

3

 0

x2 x dx x2  1

 x2  t 1  Đặt t  x 2  1   dt  xdx   2  x  3 t  4  Đổi cận  t  1  x  0 Khi đó I =

4 4 4 3 1 (t  1) 1  1 1 dt  1   dt   t  ln t  1   ln 2   21 t 2 1 t 2 2

Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân 3

1 I= 2 1  2

 0

x2 1 d  x 2  1  2 x 1 2

3

 d x

2

 1 

0

3

 0

3

 0

x

2

 1  1

x 1 2

d  x 2  1 

3



 1  x

1  2  d  x  1  1 

2

0

d ( x 2  1) x 2 3 3 3   ln  x 2  1   2ln 2 2 x 1 2 0 2 0

Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn 3

I=

 0

x3 dx  x2  1

x  x2 3 1  x  dx   0  x 2  1  2 0 2 3

3

 0

d  x 2  1 x 1 2



3 1 3 3  ln  x 2  1   ln 2 2 2 2 0

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 3

Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức) Ta có x3  x  x2  1  x 3

Khi đó I =

 0

x3 dx  x2  1

x  x2 3 1  0  x  x 2  1  dx  2 0  2 3

3

 0

d  x 2  1 x 1 2



3 1 3 3  ln  x 2  1   ln 2 2 2 2 0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 4

Bài 2: Tính tích phân bất định: I =

3x3 3x3 dx   x2  3x  2  ( x  1)( x  2) dx

Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức Phân tích x3  x  x2  3x  2   3  x 2  3x  2   7  x  1  1 Khi đó

x  x 2  3x  2   3  x 2  3x  2   7  x  1  1 3x3 dx   dx I = 2 x  3x  2 x 2  3x  2

  7 1 x2 1    x  3   dx   3x  7 ln x  2   dx  x  2 x  1 x  2 2 x  1 x  2        

x2 x2   3x  7 ln x  2  ln x  2  ln x  1  C   3x  8ln x  2  ln x  1  C 2 2 Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích x3  x  x2  3x  2  3  x  1 x  1   2 x  3  x  x2  3x  2  3  x  1  x  2   3   2 x  3  x  x 2  3x  2   3  x  1 x  2   9  x  1   2 x  3 Khi đó

x  x 2  3x  2    x  1  x  2   3   2 x  3 3x3 dx   dx I = 2 x  3x  2 x 2  3x  2 9  2x  3 x2    x 3 dx  dx   3x  9ln x  2  ln x 2  3x  2  C  2  x2 x  3x  2 2  Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích x3  x  x2  3x  2   3  x 2  3x  2   7 x  6

x  x 2  3x  2   3  x 2  3x  2   7 x  6 3x3 dx   dx Khi đó I =  2 x  3x  2 x 2  3x  2

   x  3 dx  

7x  6 x2 dx   3 x  I1 . x 2  3x  2 2

Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức….

Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 5

3x3 9x  8  9x  8  I = 2 dx    x  3  2 dx  dx    x  3 dx   2 x  3x  2 x  3x  2  x  3x  2  I1

Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức…. x3 x3 Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I =  2 dx   dx 2 x  2x 1  x  1

Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 6

du  dx Đặt u  x  1   x  u 1 Khi đó I =



 u  1 u2

3

du  

u 3  3u 2  3u  1 3 1  u2 1  du  u  3   du   3u  3ln u   C  2 2   u u u  2 u 

với u  x 1 Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức Phân tích x3  x  x2  2 x  1  2  x2  2 x  1  3  x  1  1

x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3  x  1  1 x3 dx   dx Khi đó I =  2 x  2x 1 x2  2x  1  3 1  x2 1   x  2   dx   2 x  3ln x  1  C  2 x  1  x  1  2 x 1 

Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tần lầu Phân tích x3  x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  1  x3 Khi đó I =  2 dx   x  2x 1

3  2x  2 2

x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  1  x2  2x  1

3  2x  2 2 dx

1  3 2x  2 x2 3    x  2 dx   ln x  1  ln x 2  2 x  1  C  dx   2 x 1  2 x  2x  1 2 2  Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích x3  x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3x  2

x  x 2  2 x  1  2  x 2  2 x  1  3x  2 x3 dx   dx Khi đó I =  2 x  2x 1 x2  2x  1

3x  2 x2    x  2  dx   2 dx   2 x  I1. x  2x 1 2 Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 7

I =

 x3 x3 3 1  dx  dx    x  2    dx 2 2  x  2x 1 x  1  x  12   x  1 

x2 1   2 x  3ln x  1  C 2 x 1 Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

u  x 3 du  3x 2 dx   dx   Đặt  1 dv   x  12 v   x 1   Khi đó

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 8

x3 x2 x3 x2 1  1  3 dx    3 dx x 1 x 1 x 1 x 1

I =



 x2  x3 1  x3   3  x  1  dx    3   x   ln x  1  C  x 1 x 1  x 1  2  

Bài 4: Tìm nguyên hàm: I = 

x 2 dx

1  x 

39

Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Phân tích x 2  1  x   1  1  x   2 1  x   1 2

2

1  x   2 1  x   1  1  2  1   39 39 37 38 39 1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  2

x2

I =

1

1  x 

37

dx  2

1

1  x 

38

dx  

1

1  x 

39

dx 

1 1 2 1 1 1   C 36 37 36 1  x  37 1  x  38 1  x 38

Cách 2: Đặt t  1  x  x  1 t  dx  dt

 I = 

1  t  t

39

2

dt

 

1 1 1 1 1 2 1 1 1 dt  2 38 dt   37 dt    C 39 38 37 t t t 38 t 37 t 36 t 36

Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

u  x 2 du  2 xdx   1 dx   Đặt  v 38 dv  1  x 39  38  x  1   Khi đó I = x 2

1 38  x  1

38



1 x dx.... đến đây các bạn có thể tự làm rồi  19  x  138

Bài 5: Tìm nguyên thức: I = 

x 3 dx

 x  1

10

Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 9

Sử dụng đồng nhất thức: x 3   x  1  1   x  1  3  x  1  3  x  1  1 3



x3

 x  1

10



1

 x  1

7

3



 x  1

8



3

 x  1

9



3

2

1

 x  1

10

Khi đó I = 

dx

 x  1

7

 3

dx

 x  1

8

 3

dx

 x  1

9



dx

 x  1

10



1 1 3 1 3 1 1 1    C 6 7 8 6  x  1 7  x  1 8  x  1 9  x  19

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 10

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t  x 1 ta có: x  t  1 nên dx  dt A=



= 

 t  1

3

t10

dt



t

3

 3t 2  3t  1 dt t10

  t 7 dt  3 t 9 dt   t 10 dt

1 1 3 1 3 1 1 1    C 6 7 8 6  x  1 7  x  1 8  x  1 9  x  19

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

u  x 3 du  3x 2 dx   dx   1 Đặt  dv   x  110 v   9  x  19   Khi đó

1 x2   dx ...

I = x 9 9 9  x  1 3  x  1 1

3

I1

đến đây rùi ta có thể tính I1 bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích x2   x2  1  1   x  1 x  1  1

Nhận xét : - Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I =

P( x)

  x  a

n

dx thì đặt t  x  a là một phương pháp hiệu quả

nhất - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I =

P( x)

 Q ( x) dx  

f ( x)Q '  x 

n

Qn  x 

dx thì ta sử

dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của ( x  a ) là n  1, 2 u  f ( x) du  Đặt  Q '( x)   dv  Q n ( x) dx v 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 11

3

Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I =

 0

dx  x  x3

3

dx

 x 1  x  2

0

HD: Cách 1: Biến đổi số Nhân cả tử và mẫu cho x 2 3

I=

dx  x  x3

 0

3

 0

dx  x 1  x 2 

3

xdx

 x 1  x  2

2

0

 x2  t 1  Đặt t  1  x   dt  xdx   2 2

Cách 3: Biến đổi số Đặt x  tan u … Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử 1  1  x 2   x 2 3

Khi đó I =

 0

3

dx x  dx  x 0 1  x2

3

 0

dx 1  x 2

2

Bài 12: Tính tích phân sau: I =

x 1

5

3



d 1  x 2 

0

1 x

2

 ln x

1 6 3  ln x 2  1  ln 2 2 0 0 3

dx  x3

Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích: 1  x 2  1  x 2 

1 x2  1  x2 1 1 1 x2  1  x2 1 1 x       3  2 3 3 3 2 3 2 2 2 x x 1 x  x  1 x  x  1 x x  x  1 x x  x  1 x

Khi đó 2

I = 1

2 2 1 1 x 1 1 5  1 1 2 3 dx  dx  dx     ln x  ln x 2  1    ln 2  ln 3 3 2 2   x x x 1 2 2 2  2x 1 8 1 1

Cách 1.2: Phân tích 1  x4  1  x4  x4  1  x 2 1  x 2 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 12



4 2 2 1 x 4  1  x 4 x  1  x 1  x  x 1  x2 x 1 3       x  2 3 2 x 1 x x 1 x x3  x 2  1 x3  x 2  1 x3  x 2  1

… tự làm nhé Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số 2

Phân tích I =  1

2

1 1 1 dx   dx 3 2 2 x x  x 2  1 x  x  1 1

1  x  1  t Đặt t    x dx   1 dt  t2

 1  x  2 t   2 Đổi cận   x  1 t  1  1 1 2 t3 t Khi đó I =   t dt   2 dx... đến đây lại trở thành Bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé 11  1 t 1 1   1 2 t2  t2  1 2

Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biến số 2

2

1 1 I=  3 2 dx   4 2 dx 1 x  x  1 1 x  x  1

Đặt t  x 2  1 

dt  xdx 2

 x  2 t  5  Đổi cận   x  1 t  2 5

Khi đó I =  2

dt t  t  1

2



5 1  1 1 1 1 1 t 5 3 1 5   dt    ln   ln 2  ln     2  2 2   t  1 t  1 t  2  t 1 t 1  2 8 2 2

Hoặc các bạn có thể đặt u  t 1 hoặc phân tích 1  t   t  1 hoặc đồng nhất thức Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân 2

I = 1

2

2

1 1 1 1 dx   4 2 dx   4 2 d  x 2  1  3 2 2 1 x  x  1 x  x  1 1 x  x  1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 13



2 2 2 2 2 1  x  1  x 1 1 1 1 2 2 d x  1  d x  1  d  x 2  1      4    4 2 2 2 2 1 x  x  1 21 x 2 1 x  x  1 2

2

1 1   3 dx   dx... ôi đến đây lại thành Cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui…

2 x x x  1   1 1

Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức 1 A B C Dx  E đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm I = A,B,C,D,E tuy nhiên  3 2  2 2 x x 1 x  x  1 x x 3

việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả nhất Cách 6: Đặt x  tan u  dx   tan 2  1 dt... bạn đọc tự làm 1

Bài 14: Tính tích phân sau: I =  0

dx x 1 3

Giải: Nhận xét: x3  1   x  1  x 2  x  1 Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức: 1  x 2   x 2  1  x 2   x  1 x  1 1

Khi đó I =  0

x2 x 1 dx   2 dx  I1  I 2 3 x 1 x  x  1 0 1

3 1 1 d  x  1 Tính I1 bằng cách đặt t  x  1 hoặc I1   3 0 x3  1 3

Tính I 2 phân tích x  1 

1 1  2 x  1  (kĩ thuật nhảy tầng lầu) 2 2

x 1 1 2x 1 1 dx dx   2 dx   Ta có I 2   2 2 x  x 1 2 0 x  x 1 20 1 3 0 x     2 4  1

1

1

Cách 2: Đồng nhất thức Xét

1 A Bx  C   2  1  A  x 2  x  1   Bx  C  x  1 x 1 x 1 x  x 1 3

Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 14

1 2 1 x  1  A  ; x  0  C  ; x  1  B   ... Bạn tự giải tiếp nhé 3 3 3

1  Kết quả ta được I = ln 2  3 3 3 Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu” 1 1 d  x  1 dx dx   I=  3 x  1 0  x  1  x 2  x  1 0  x  1  x  12  3  x  1  3 0   1

Đặt x 1  t  dx  dt

 x  0 t  1  Đổi cận   x  1 t  2 2 2 2 2 2  dt 1  t  3t  3   t  3t  1  dt t 3  2     dt   2  2 31 3  1 t 1 t  3t  3  t  t  3t  3 1 t  t  3t  3 2

  2 2  2 2 1  dt 1 d  t  3t  3 3 dt      2   3  1 2 2 1 t  3t  3 2 1  3 2 3   t      2 4  

11 t2 2t  3  2 1    ln 2  3 arctan   ln 2  3  2 t  3t  3 3 1 3 3 3 Bài 15: Tính tích phân bất định: I =



3x 4  5 x3  7 x  8

 x  2

50

dx .

Giải: Cách 1: Biến đổi số

x  t  2 Đặt x  2  t   dx  dt Khi đó I = 

3x 4  5 x3  7 x  8

 x  2

50

3t  2  5 t  2  7 t  2  8 4

dx  

3

t 50

dt

Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức Phân tích 3x4  5x3  7 x  8  a  x  2   b  x  2   c  x  2   d  x  2   e... đồng nhất để tìm a, b, c, d, e 4

3

2

…

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 15

Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo) Đặt P4 ( x)  3x4  5x3  7 x  8 Áp dụng khai triển Taylor ta có

P4' (2) P4" (2) P4(3) (2) P4(4) (2) 2 3 P4 ( x)  P4 (2)  ( x  2)  ( x  2)  ( x  2) 4  x  2  1!

2!

3!

4!  P4 ( x)  66  149  x  2   48  x  2   29  x  2   3  x  2  2

3

66  149  x  2   48  x  2   29  x  2   3  x  2  2

I 

 x  2

  66  x  2  



66 49  x  2 

49

50



 149  x  2 

149 48  x  2 

48



3

4

50

 48  x  2 

49

48 47  x  2 

47



48

 29  x  2 

29 46  x  2 

Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I 

1 5 2

 1

46



4

47

dx  3 x  2

3 45  x  2 

45

46

 dx 

C

x2  1 dx x4  x2  1

Giải: 1 5 2

Ta có

 1

x 1 dx  x  x2  1

Đặt t  x 

2

4

1 x2

1 5 2

1

1

x2 1 



1 x2

dx 

1 5 2

 1

1   1  2   x  dx 2 1   x   1 x 

1 1    dt   1  2  dx. x  x 

x  1 t  0  Đổi cận  1  5  t  1  x   2 1

dt . Đặt t  tan u  dt  1  tan 2 u  du 2 1 t 0

Khi đó I  

u  0 t  0   Đổi cận   t  1 u   4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 16







4 dt 1  tan u   du  du  u 4  Khi đó I   2 2   1 t 1  tan u 4 0 0 0 0 1

4

2

Cách khác: Ta có thể gộp hai lần đặt là x 

1 1    tan u  1  2  dx  1  tan 2 u  du... bạn đọc tự giải x  x 

x2 1 dx Bài 17: Tính tích phân: I   4 x 1 1 2

Giải: Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho x 2  0 ta được

1 1 1 2 2 2 x dx  x dx Biến đổi I   2  1 2 1   1 x  1 x  2 x2 x  2

Đặt u  x 

1

1 1    du   1  2  dx x  x 



5 2



52 2 2 2 du 1 u  2 5/ 2 1  ln  ln u2  2 2 2 u  2 2 2 2 6 2 2

Khi đó I  





 

Cách 2: Phân tích x 4  1   x 2  1  2 x 2  x 2  2 x  1 x 2  2 x  1 và sử dụng đồng nhất thức 2

x2 1 Ax  B Cx  D  2  2 ... đồng nhất hệ số tìm A, B, C và D nhưng cách này dài và rất phức tạp 4 x 1 x  2x 1 x  2x 1 nên không đưa ra Nhận xét: - Qua các ví dụ ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích phân đơn giản hơn - Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai P( x)  x 2  1 còn mẫu là một đa thức bậc 4: Q( x)  ax 4  bx3  cx 2  dx  e sao cho hệ số a  e  1 1 1  1  1    - Tích phân trên đưa về dạng I   f  x    1 2  dx đặt t  x   dt  1 2  dx x x  x  x   

Tương tự ta có thể giải bài toán này

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 17

x2  1 dx 1. Tính tích phân sau I   4 x 1 1 2

1 1 1 2 2 2 1 1   x dx  x I  dx . Đặt u  x   du   1  2  dx 2  1 x x   1 1 x2  1  x   2 2   x x  2

1

2. (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau:

I 

x2 1 1 x2  5x  1 dx   ln C 8 x 2  3x  1  x2  5x  1 x2  3x  1 1

Bài 18: Tính tích phân sau: I   x3  x 4  1 dx 4

0

Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t  x 4  1  dt  4 x 3dx  x 3dx 

dt 4

 x  1 t  2  Đổi cận   x  0 t  1 1

Khi đó I   x3  x 4  1 dx  4

0

2 1 4  1  2 31 t dt   t 5    41  20  1 20

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t  x 4 

dt  x3dx 4

 x  1 t  1  Đổi cận   x  0 t  0 Khi đó I 

1 1 1 1 1 t 5  1 31 4 2 3 4 2 3 4 1  t dt  1  4 t  6 t  4 t  t dt  t  2 t  2 t  t         4 0 4 0 4 5  0 20

Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân 4 1 4 1 1  x  1 1 31 4 4 I   x  x  1 dx    x  1 d  x  1  .  0 20 40 4 5 0 5

1

3

4

4

Cách 4: Sử dụng phương pháp phân tích

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 18

Phân tích x 3  x 4  1  x 3  x16  4 x12  6 x8  4 x 4  1   x19  4 x15  6 x11  4 x 7  x 3  4

 x 20 x16 x12 x8 x 4  1 31       Khi đó I   x  x  1 dx    x  4 x  6 x  4 x  x  dx   2 2 2  0 20  20 4 0 0 1

3

1

4

4

19

15

11

7

3

Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất.

1

Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx  6

0

1 168

Giải: 1

1

Ta có I   x5 1  x3  dx   x3 1  x3  x 2 dx 6

0

6

0

Cách 1: Đổi biến số

 dt 2   x dx Đặt t  1  x   3  x3  1  t  3

 x  1 t  0  Đổi cận   x  0 t  1 I 

0 1 1 1 6 1 6 1 6 7 1  t 7 t8  1 t 1  t dt  t 1  t dt  t  t dt           3 1 3 0 3 0 3  7 8  168

Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phân 1

1

1

1

I   x5 1  x3  dx   x 2 1  1  x3  1  x3  dx   x 2 1  x3  dx   x 2 1  x3  dx 6

0

6

0

0

6 7 1 1 1  x    1  x3  d 1  x3    1  x3  d 1  x3    .

30 3 7 0 1

6

1

7

0



3 7

1 1 1  x  .

0 3 8



3 8

1

1 0 168 

Cách 3: Khai triển 1  x 3  thành tổng các đa thức  x 5 1  x 3  .. cách này không khó nhưng khai triển 6

6

phức tạp… chỉ tham khảo thôi Chú ý: Nếu ta đặt t  x 3 cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo 2

Bài 20: Tính tích phân sau I   x  x  1 dx 2

0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 19

Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân Ta có x  x  1  x  x 2  2 x  1  x3  2 x3  x 2

 x 4 2 x3 x 2  2 34    Khi đó I    x  2 x  x  dx    3 2 0 3  4 0 2

3

3

Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Ta có x  x  1   x  1  1  x  1   x  1   x  1 2

2

2

2

3

2

2

Khi đó I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 d  x  1 3

0

2

0

3

0

 x  1  4

4

 x  1  3

3



34 3

Cách 3: Đổi biến số

x  t 1 Đặt t  x  1    dx  dt

 x  2 t  3  Đổi cận   x  0 t  1 3 3  t 4 t 3  3 34 Khi đó I    t  1 t 2 dt    t 3  t 2  dt       4 3 1 3 1 1

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần  du  2  x  1 dx 2  u   x  1  Đặt   x2 dv  xdx v      2 2 2  x 4 x3  2 34 x2 2 2   x  x  1 dx  6    x 3  x 2  dx  6      Khi đó I   x  1 2 0 0  4 3 0 3 0 2

0

Bài 21: Tính tích phân sau: I   x 2  x  1 dx 9

1

Giải: Cách 1: Biến đổi số Đặt t  x 1  dt  dx

 x   1 t  0  Đổi cận  x  0 t  1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 20

Khi đó 0

0

1

1

I   x  x  1 dx    t  1 t dt    t  2t  1 t dt    t11  2t10  t 9  dt 9

2

1

2 9

2

1

9

0

0

 t12 t11 t10  1 1 2 1 1  2       11 10  0 12 11 10 660  12 Cách 2: Phương pháp phân tích Phân tích x 2   x  1  2  x  1  1 2

Khi đó 0

0

0

1

1

2 9 11 10 9 I   x  x  1 dx    x  1  2  x  1  1  x  1 dx    x  1  2  x  1   x  1  dx     9

2

1

11 10   x  112 x  1 x  1  0   1  2    11 10  1 660  12

Hoặc phân tích x 2 theo  x  1 như sau 9 9 x 2  x  1   x 2  1  1  x  1 

 x  1  x  1  2  1   x  1

11

 2  x  1   x  1 10

9

Nhận xét: - Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển  x  1 hay phương pháp tích phân từng 9

phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của  x  1 là lớn Bài 22: Tính tích phân: I   1  3x  1  2 x  3 x 2  dx 1

10

0

Giải: Cách 1: Đổi biến số Đặt t  1  2 x  3x 2  dt   2  6 x  dx  dt  2 1  3x  dx 

dt  1  3x  dx 2

 x  0 t  1  Đổi cận:   x  1 t  6 6

I   t10 1

10 6t dt t11 6 611 111 611  dt     1 1 2 2 22 1 22 22 22

Cách 2: Đưa vào vi phân

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 21

I   1  3x  1  2 x  3x 2  dx  1

10 ' 1 1 1  2 x  3 x 2  1  2 x  3 x 2  dx   2 0

10

0

10 1  2 x  3x 1   1  2 x  3x 2  d 1  2 x  3x 2   20 22 1



2 11

1 0



611 1 22

Bài tập tự giải có hướng dẫn: 2

Bài 1: (ĐHV – D 2010) Tính tích phân sau: I   0

3x3 dx x2  2 x  1

Đs: I  9ln3  8 x2  1 Bài 2: Tính tích phân sau: I   2 dx 2 1  x  3 x  1 x  x  1 2

HD: Chia cả tử và mẫu cho x 2 ta được 1 x2 I  dx 1 1   1 x  3  x   1  x x    1

2

Cách 1: Biến đổi số đặt t  x 

1 1    dt  1  2  dx x  x 

Cách 2: Biến đổi vi phân 1  dx  x 1 1  1  1 x   2  I  2 dx   2 dx  ln  x   1  ln  x   3   2 2 2  x  x   1 1  x  3 x  1 x  x  1 1  x  3 x  1 x  x  1 2

2

2

1 7  ln 2 10 Cách 3: Đồng nhất thức 1

Bài 3: Tính tích phân sau: I   0

x5 dx x2  1

HD: Đồng nhất thức: x5  x3  x 2  1  x  x 2  1  x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 22

x  1 1 1  1 1 1  I    x3  x  2  dx   x 4  x 2  ln  x 2  1  ln 2  . x 1  2 2 4 4 0 2 0 1

Hoặc chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tích phân đơn giản Hoặc đặt x  tan t 1

Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau: I   0

x

1  2 x 

3

dx

HD: Phân tích x 

 1 1 x 1 1 1 ta được I     1  2 x  1  3 2 3 18 2 1  2 x  2  1  2 x  1  2 x  

Hoặc đặt t  1  2x hoặc tích phân từng phần 1

Bài 10: Tính tích phân: I   1 2

x2  3 21 13 dx   ln 2  ln 3 4 2 4 4 x  x  3x  2 

HD: Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt t  x 2 Cách 2: Phân tích mẫu x  x4  3x2  2  x  x2  1 x2  2 và sử dụng đồng nhất thức 2x  5 1 5 dx  ln 2 2 4 0  x  3 x  2  x  7 x  12 

1

Bài 5: Tính tích phân: I  

2

HD: Phân tích  x2  3x  2  x2  7 x  12    x  1 x  2  x  3 x  4    x 2  5x  4  x 2  5x  6  Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức khi mẫu số là 4 nghiệm đơn Cách 2: Sử dụng đổi biến số đặt t  x 2  5 x Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích

2x  5 

1  2 x  5  x 2  5 x  6    x 2  5 x  4  2

x2  2 3 Bài 6: Tính tích phân: I   4 dx   3 2 44 1 x  2 x  5x  4 x  4 1

2

HD: Phân tích x 4  2 x 3  5 x 2  4 x  4   x 2  x  2 

2

Cách 1: Đồng nhất thức

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 23

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho x 2 và đặt t  x  0

Bài 7: Tính tích phân sau: I  

1

x

2 Hoặc đưa vào vi phân x

xdx 2

 1

3

HD: Cách 1: Đặt x  tan t Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

u  x  Đặt dv  xdx 3 2  x  1    Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn giản Phân tích x2   x2  1  1 0

Khi đó I  

1

0

x 2 dx

x

2

 1

3



1

x

0

dx 2

 1

2



1

x

dx 2

 1

3

II. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ Bài tập giải mẫu: 7 3

Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân: I   0

x 1 dx 3 3x  1

Giải: Cách 1: Biến đối số  u2 1 x   Đặt u  3 3 x  1   3 dx  u 2 du 

7  u  2 x  Đổi cận  3 u  1  x  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 24

u2 1 2 2  2 46 1 1 1  u5 Khi đó I   3 u 2 du    u 3  2  udu    u 4  2u  du    u 2   u 3 31 3 5  1 15 1 Cách 2: Biến đối số u 1   x  3 Đặt u  3 x  1   dx  du  3

7  u  8 x  Đổi cận  3 u  1  x  0 u 1  53 1 8 8 8 2 1 2    8 46  1 1 u  2 1 1 3u  3 3 3 Khi đó I   du   1 du    u  2u  du   3u 3   1  1 15 31 91 3 9 1 9  5   u3 u   Cách 3: Đưa vào vi phân Phân tích x  1 

1 2  3x  1  3 3

Khi đó 7 7 7 7 1 2  3x  1  3 3 3 2 1 dx 1 23  3 dx  1 3 x  1 dx  2 3 d  3 x  1  3 d  3 x  1 I 3 3  3 x  1 3 x  1     3 0 3 3 x  1 3 0 3 3 x  1 9 0 9 0 3x  1 0 7 3

7 7 5 2 1 1 46   3x  1 3 3   3x  1 3 3  15 3 15 0 0 Cách 4: Tính phân từng phần u  x  1  du  dx   2  Đặt  1 1 3 dv  dx v  3 x  1    3 3x  1  2 

Khi đó

I

7 3

2 3

1 1  3x  1 1 dx   x  1 3x  1  x  1 3x  1   3 2 2 0 3x  1 2 2 3

7

2 3

7 2 13 3    3x  1 3 d  3x  1 ... bạn đọc tự giải 60 0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 25

1

Bài 2: Tính tích phân: I 



1

x3 x2  1

dx  0

HD: C1: Đặt x  tan t C2: Phân tích x3  x  x2  1  x

u  x 2  C3: Đặt  x dx dv  x2  1  C4: Đặt x  t C5: Phân tích x 3 dx  x 2 xdx   x 2  1  1 d  x 2  1 2

Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân sau: I 

x 2

dx x2 1

Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số

1 sin tdt 1    dx  với t   0;  hoặc x  2 cos t cos t sin t  2

Đặt x 

  t  3  x  2  Đổi cận   x  2 t    4  3

Khi đó I   

4

  sin t 3 3 cos 2 t dt  sin t dt  dt t   1  cos 2 t  sin t  4 4 cos 2 t

 3







   (vì t   ;   sin t  0 ) 12 4 3

4

Cách 2: Phương pháp biến đổi số Nhân cả tử và mẫu cho x ta được 2

I

dx

x

x2 1

2

Đặt

2



x 2

xdx 2

x2 1

 x2  t 2  1 x 1  t    xdx  tdt 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 26

 x  2 t  3  Đổi cận   x  2 t  1 3

Khi đó I 

 1

tdt  t  t 2  1

3

t



1



1 dt du  tan 2 u  1 du . Đặt t  tan u  dt  2 cos u 1

2

  u  t  3  3  Đổi cận   t  1 u   4 





4 tan 2 u  1 4  du  du  u  Khi đó I   2   12  tan u  1  3 3 3 4

Cách 3: Phương pháp biến đổi số

 x2  t  1  Đặt x 2  1  t   1 ... tương tự như cách 2 xdx  dt   2 Cách 4: Phương pháp biến đổi số

1 1 dx Đặt x    t  2  dt t x x 1  t   x  2  2  Đổi cận   x  2 t  1  2 1 2

Khi đó I    1 2

dt 1 t2



 4

Khi đó I   

6

1 2

1 2

dt 1 t2

. Đặt t  sin x  dt  cos xdx



cos u 1  sin 2 u

4

dx   du  u 

6

 4





 4



 6



 12

6

Cách 5: Phân tích 1    x 2  1  x 2 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 27

2

dx

x

Khi đó I 

x2 1

2

x2 1 dx  x

2



 2

2

x



x2 1

2

I1

dx ... bạn đọc tự giải

I2

2 3

Bài 3: (ĐH – A 2003) Tính tích phân: I 



5

dx x x2  4

Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số

 x2  t 2  4 Đặt t  x  4    xdx  tdt 2

 x  2 3 t  4 Đổi cận   t  3  x  5 4 4 dt 1  dt dt  1 t  2 4 1 5    ln    ln 2  3 t  4 4 t  2 t  2 4 t  2 4 3 3 3 3  4

Khi đó I  

Cách 2: Phương pháp biến đổi số

1 1 Đặt x   dx   2 dt t t 1/2 3

Khi đó I 

dt

1/2 3

1   2 2 1/ 5 4t  1



1/ 5

1/ 2 3 1 5 1   ln 2t  4t 2  1  ln 2 4 3 (2t )  1 1/ 5 d (2t ) 2

Cách 3 : Phương pháp biến đổi số Đặt x  2 tan t  dx  2 1  tan 2 t  dt với 0  t 

 2

và

x2  4 

2 . cos t

  t  x  2 3  3  Đổi cận:   x  5  tan   5  2 

1 Khi đó: I  2

3







 1  cos  1 dt t 1 5  )  ln tan 3  ln (trong đó tan  2 1  cos  5 sin t 2 4 3



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 28

1

Bài 4: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: I   x3 1  x 2 dx 0

Giải: 1

1

0

0

Phân tích I   x3 1  x 2 dx   x 2 1  x 2 .xdx Cách 1: Phương pháp biến đổi số

 x2  1  t 2 Đặt t  1  x 2    xdx  tdt x  1 t  1  Đổi cận   x  0 t  0 0 1 1 1 1 2 1 Khi đó I    t 2 1  t 2  dt   t 2 1  t 2  dt    t 2  t 4  dt   t 3  t 5   5  0 15 3 1 0 0

Cách 2: Phương pháp biến đổi số

 x2  1  t  Đặt t  1  x 2   dt  xdx    2 x  1 t  0  Đổi cận   x  0 t  1

Khi đó I  

0 1 1 1 12 1 12 1  12 32  1  2 32 2 12  1 2 t 1  t dt  t 1  t dt  t  t dt         t  t   2 1 2 0 2 0  23 3  0 15 

Cách 3: Đặt t  x 2 

dt  xdx... tự giải 2

Cách 4: Lượng giác hóa Đặt x  cos t  dx   sin tdt 



2

2

0

0

Khi đó I   sin 2 t cos3 tdt   sin 2 t 1  sin 2 t  cos tdt Cách 4.1. Đặt sin t  u  cos tdt  du 1  u3 u5  Khi đó I   u 2 1  u 2  du    u 2  u 4  du      3 5 0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 29

Cách 4.2. 





 sin 3 t sin 5 t  2 I   sin t 1  sin t  d  sin t     sin t  sin t  d  sin t      2 .

5  15  3 0 0 0 2

2

2

2

2

4

Cách 4.3. 







12 1 2 1  cos 4t 12 12 I   sin 2 2t cos tdt   cos tdt   cos tdt   cos 4t cos tdt....

40 40 2 80 80 Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 1

I 

1

1 2 1 x 1  x 2 d 1  x 2    1  x 2  1 1  x 2 d 1  x 2   20 20

1



1

3 1 1 2 2 1  x d 1  x 2    1  x 2 d 1  x 2  .... bạn đọc tự giải    20 20

Cách 6: Phương pháp tích phân từng phần

du  2 xdx u  x 2  2  1 2 Đặt  2 3 v  x  1   dv  x x  1  3 Khi đó I  x 2 .

1 2 2 2 1 21 1 2 1 2 2 3 3  3 d x 2  1 ... bạn đọc giải tiếp x  1  x x  1 x x  1           0 3 30 30 2

x dx x 1 1 1

Bài 5: (ĐH – A 2004) Tính tích phân: I   Giải: Cách 1:

Đặt t  x  1  t 2  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt  x  2 t  1  Đổi cận  x  1 t  0

Khi đó t 2 1 t3  t 2   I  2tdt  2 dt  2  t 2  t  2   dt 1 t t 1 t 1  0 0 0 1

1

1

t3 t2 1 1 1  11  2    2t  2 ln t  1   2    2  2 ln 2    4 ln 2 3 2  3 3 2 0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 30

 dx  2  t  1 dt Cách 2: t  1  x  1   2  x   t  1  1  x  2 t  2  Đổi cận  x  1 t  1 2

Khi đó I  2

 t  1  t  1 t

1

 t3 t2  2   3  4t  ln 2 3 b



Tổng quát:

a

2

2 3 2 2  1  .dt 2 t  3t  4t  1 .dt 2  t 2  3t  4  1  .dt  1 1  t t

2 5 t    2 ln 2 1 3

p ( x) với p( x) là một đa thức chưa x, m, n ,c là các hằng số ta đặt t  ax  b  c hoặc ax  b  c

t  ax  b 3

Bài 6: Tính tích phân sau: I   2

8  3x dx 2 4 x

Giải: Cách 1: Dựa vào đạo hàm Đặt f ( x)  f ( x) 

8  3x . Ta biến đổi f ( x ) về dạng 2 4 x

8  3x 1  4 x   ( x)' 4  x  2 4 x 2 4 x



Xét hàm số F ( x)  x 4  x vì F ' ( x)  ( x)' 4  x 



'

4 x x





'

4  x x  f ( x)

Vậy F ( x )  x 4  x  C là một họ nguyên hàm của hàm số đã cho 3 3 8  3x dx  F ( x)  x 4  x  3 2 2 2 2 4 x 3

Khi đó I  

Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số

x  4  t2 Đặt t  4  x   dx  2tdt

 x  3 t  1  Đổi cận   x  2 t  2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 31

8  34  t 2  Khi đó I    tdt  t 2 1

2

  3t

2

 4  dt   t 3  4t 

1

2 1

3

Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số Đặt t  4  x... bạn đọc tự giải Cách 4: Sử dụng hương pháp tích phân từng phần u  8  3 x  du  3dx Đặt  dx   v  2 4  x dv  4  x 

Khi đó I  2  8  3 x  4  x

3 2

Bài 7: Tính tích phân sau: I  

3

 6  4  xdx  ....3 2

x 2 dx



 4  2 x  x2  2  2 x  x2

x 2 dx 3   x  12  3   x  12  

.

Giải: Cách 1:

dx   3 sin tdt  Đặt x  1  3 cos t   2 2   x  3cos t  2 3 cos t  1 Khi đó I  





 3 sin t 3cos 2 t  2 3 cos t  1 dt

3  3cos t  2

3 sin t

   (1 

2 3 cos t 2  )dt.

2 3  3cos t 3  3cos 2 t

Cách 2: I 

dx 2  2x  x

Tính I 2  

2



 2 x  4  dx 3   x  12  3   x  12  

 I1  I 2

 2 x  4  dx 2tdt  2 2 2 3   x  1  3   x  1 3  t  3  t2   

Tính J1 bằng cách đặt

 2

3  t 2  u , tính J 2 bằng cách đặt

dt

3  t  2

3  t2  u

3  t2



 J1  J 2

3 t



Bài tập tự giải có hướng dẫn: 7

Bài 1: (ĐHĐN – 1997) Tính tích phân: I   2

1 dx  2  4 ln 2  2 ln 3 2  x 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 32

HD: Sử dụng phương pháp đổi biến số Đặt t  2  x  1 Hoặc t  2  x 2

Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân: I   0

x 1 1  28  3 3 4 3 3x  2 10



x  2 231  x  1 10

7

Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân: I  

3

0

3

Bài 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính tích phân: I 

 



3

1 2

x 12 dx  5 2x  2

2x 1 dx  2  ln 2 1  2 x  1 0 4

Bài 15: (DBĐH 1 – A 2007) Tính tích phân: I   3

Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân: I 

3

1

x 3 dx x 1  x  3

III. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Bài tập giải mẫu:

ln x. 3 2  ln 2 x dx x 1 e

Bài 1: (PVBCTT – 1995) Tính tích phân sau: I   Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Đặt ln x  u Cách 2: Phương pháp biến đổi số Đặt

3

3 ln x 2  ln 2 x  t  t 3  2  ln 2 x  t 2 dt  dx 2 x

3 x  e  t  3 Đổi cận   3 x  1  t  2 3

3

3

3

3 3 3 t4 Khi đó I   t.t 2 dt   t 3dt  .

2 32 2 32 2 4

3 3

3 2





3 3 3 3  23 2 8



Cách 3: Phương pháp biến đổi số

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 33

Đặt 2  ln 2 x  t 

dt ln x  dx 2 x

 x  e t  3  Đổi cận   x  1 t  2

Khi đó I 



3 1 13 1 3 34 2 3 3 t dt  . t  3 3  23 2 2 2 2 4 1 8



Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e

e

1 1 ' 1 1 I    2  ln 2 x  3  2  ln 2 x  dx    2  ln 2 x  3 d  2  ln 2 x  21 21



4 e 3 1 3 2  .  2  ln x  3  3 3 3  2 3 2 1 8 2 4

 e

Bài 2: (ĐH – B 2004) Tính tích phân sau: I   1

1  3ln x .ln x dx x

Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số  t 2 1 ln x   3 Đặt t  1  3ln x    dx  2 tdt  x 3  x  e t  2  Đổi cận   x  1 t  1

Khi đó I 

2 2 2 t 2 1 2 2 2  t 5 t 3  2 116 4 2 t dt  t  t dt        3 1 3 9 1 9  5 3  1 135

Cách 2: Phương pháp biến đổi số t 1  ln x  3 Đặt t  1  3ln x    dx  dt  x 3  x  e t  4  ... tương tự cách 1 Đổi cận   x  1 t  1

Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 34

e

I  1

1  3ln x .ln x 1 1  3ln x .ln x 1 dx   d 1  3ln x    1  3ln x 1  3ln x   1 d 1  3ln x  x 31 x 91 e

e

e

e

3 1 1 1   1  3ln x  2 d 1  3ln x    1  3ln x  2 d 1  3ln x  91 91



5 3 1 2 2  e 116 2  2 1  3ln x 1  3ln x       1  135 9 5 3

Cách 4: t  ln x 

dx  dt x

1

Khi đó I   1  3t .tdt... đến đây rùi ta có thể làm bằng nhiều cách như biến đổi số đặt u  1  3t hoặc 0

u  1  3t hoặc đưa vào vi phân bằng cách phân tích t  e

Bài 3: Tính tích phân sau: I   1

1 1  t  3t   3 3

1  ln x dx x

Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Đặt t  1  ln x  t 2  1  ln x  2tdt 

dx x

 x  1 t  1  Đổi cận   x  e t  2 1  ln x dx  x

e

Khi đó I   1





t3 2 2 2 2 1 . 1 t.2tdt  2 1 t dt  2 3 1  3 2

2

2

Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e

Biến đổi I   1

1  ln x 2 dx   1  ln xd 1  ln x   x 3 1 e

1  ln x 

3

e 1





.

2 2 2 1 3

Cách 3: Phương pháp biến đổi số Đặt t  1 ln x hoặc t  ln x e

Bài 4: (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau: I   1

ln x x  2  ln x 

2

dx

Giải:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 35

Cách 1: Phương pháp biến đổi số Đặt t  ln x 

dx  dt x

 x  e t  1  Đổi cận   x  1 t  0 1

Khi đó I   0

2  u

1 1  1 d 2  u d 2  u  2  2 1 3 1     2   ln 2  u   ln   du    2 2  2  u 2  u  2u 2u  0 2 3  0 0 0 2  u  1

udu 2

Cách 2: Phương pháp biến đổi số

ln x  t  2  Đặt t  2  ln x   dx  x  dt 3

Khi đó I  

 t  2  dt  3  1  2  dt   ln t  2  3  ln 3  1

2

  t

t2

2

 t2 

 

 t2

2

3

Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e

I  1

ln x x  2  ln x 

e

dx   2

ln xd  2  ln x 

1

 2  ln x 

2

 2  ln x   2d 2  ln x  e d  2  ln x   2 e d  2  ln x     2 1  2  ln x 2 2  ln x  1  2  ln x  1  e



2 e 3 1    ln  2  ln x    1  ln  2  ln x  2 3 

Cách 4: Phương pháp tích phân từng phần 1  u  ln x du     x 1  Đặt  dv  dx 2  x   1 x  2  ln x   2  ln x  3 e e e d  2  ln x  1 1 1 1 1 3  dx        ln  2  ln x     ln Khi đó I   ln x.

2 1 2  ln x 1 1 x  2  ln x  3 1 2  ln x 3 3 2

e

Bài 4: Tính tích phân sau: I   1

1 dx x 1  ln x 

Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Đặt t  1  ln x  dt 

dx x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 36

 x  1 t  1  Đổi cận   x  e t  2 e

Khi đó I   1

2 2 1 dt dx    ln t  ln 2.

1 x 1  ln x  t 1

Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e

Biến đổi I   1

e e d 1  ln x  1 dx    ln 1  ln x  ln 2 1 x 1  ln x  1  ln x 1

Cách 3: Phương pháp biến đổi số Đặt: t  ln x e

Bài 5: Tính tích phân sau: I  

sin  ln x  x

1

dx

Giải: Cách 1: Đặt t  ln x  dt 

dx x

 x  1 t  0  Đổi cận   x  e t  1 1

Khi đó I   sin tdt   cos t 0

1 0

  cos1  cos 0  1  cos1

Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e

Biến đổi I   1

sin  ln x  x

e

e dx   sin  ln x  d  ln x    cos  ln x   1  cos1 1 1 e2

Bài 6: Tính tích phân sau: I 

dx

 x ln e

5

x

Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Đặt t  ln x  dt 

dx x

x  e t  1  Đổi cận  2 t  2 x  e

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 37

e2

Khi đó I 

 e

dx dt  1  2 15   5   4   .

5 x ln x 1 t  4t  1 64 2

Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân e2

Biến đổi I 

 e

2

e dx 1 e 2 15 5  ln xd  ln x     x ln 5 x e 4 ln 4 x e 64

2

ln x ln 2 1 dx    2 x 2 2 1

Bài 7: Tính tích phân sau: I   Giải:

Cách 1: Đổi biến và sử dụng tích phân từng phần Đặt t  ln x  e'  x  dt 

dx x

 x  2 t  ln 2  Đổi cận  x  1 t  0 ln 2

Khi đó I 

 0

ln 2

1 dt   et tdt t e 0

u  t du  dt  Đặt   t t dt  e dt v  e Khi đó I  te

t

ln 2 0

ln 2





et dt  

0

ln 2 t ln 2 ln 2 1 e   0 2 2 2

Cách 2: Tích phân từng phần 1 1   du   u    x x  Đặt  2 dv  ln x dx v  ln x x   2 1 ln 2 x 1 ln 2 x Khi đó I  .   2 dx x x 2 x

Cách 3: Tích phân từng phần dx  du  u  ln x    x Đặt  dx   dv  x 2 v   1  x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 38

2 2 2  1  dx 1 1 ln 2 1  Khi đó I   ln x     .   ln 2   x 2 dx   1 1 1 x 2 2 2  x x

1

ex dx x x e  e 0

Bài 8: Tính tích phân sau: I   Giải:

Cách 1: Sử dụng tích phân liên kết e x dx e x  e x 0

1

Liên kết của I là J   Ta có

ex e x dx  0 ex  e x dx  0 dx  1 e x  e x 0

1

1

IJ 

1

1 d  e x  e x  e x  e x e2  1 x x 1 1 I  J   x  x dx   x  x  ln e  e  ln  e  e   ln 2  ln 0 e e e e 2e 0 0 1

Cộng lại ta được 2 I  1  ln

e2  1 1 e2  1 1 e2  1  I  1  ln  ln 2e 2 2e  2 2

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t  e x  dt  e x x  1 t  e  Đổi cận   x  0 t  1 2 e e e 1 e2  1 dt t 1 d  t  1 1  2 dt   2  ln  t 2  1  ln Khi đó I   1 1 t 1 1 2 2 1 t 1 2 2 1 t t e

Cách 3: Phương pháp biến đổi số e

I  1

e

ex ex 

1 ex

e x .e x dx e2 x  1 1

dx  

Đặt e x  tan t  e x dx  e

dt   tan 2  1 dt 2 cos t 



tan x 1 Khi đó I   tan 2  1 dt   tan xdx   ln cos x   ln 2  ln cos  (với   arctan e )  2 tan  1 2  1 4 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 39

ln 5

Bài 9: (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau: I 

e2 x



ex 1

ln 2

dx

Giải: Cách 1: Tách thành tích để sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt

e x  t 2  1 e 1  t   x e dx  2tdt x

 x  ln 5 t  2  Đổi cận   x  ln 2 t  1 2

Khi đó I  2 

t

2

 1 tdt t

1

2 2 20 2 2  2   t 2  1 dt  t 3  2t  1 3 3 1 1

Cách 2: Tách thành tích để sử dụng phương pháp biến đổi số

e x  t  1 Đặt e  1  t   x e dx  tdt x

 x  ln 5 t  4  Đổi cận   x  ln 2 t  1 4

Khi đó I  

 t  1 tdt  4 1

1

1

4



1



3

1



  t  1t 2 dt    t 2  t 2  dt  1

t2



2 52 4 2 23 4 20 t  t  5 1 3 1 3

Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ln 5

Phân tích I 



ln 2

ln 5

e2 x ex 1

dx 



ln 2

e x .e x ex 1

dx

u  e x x  du  e dx x Đặt   e dx v  2 e x  1 dv  x e 1 

Khi đó I  e x .2 e x  1

ln 5 ln 2

ln 5

ln 5

2

e x  1.e x dx  16  2 

ln 2

e x  1d  e x  1  16 

ln 2

ln 5 20 4 x e  1 e x  1   ln 2 3 3

Hoặc có thể tính nhanh như sau ln 5

I  2  exd ln 2 ln 5

 16  2 

ln 2





e x  1  2e x e x  1

e x  1d  e x  1  16 

ln 5 ln 2

ln 5

 2  e x e x  1dx ln 2

ln 5 20 4 x e  1 e x  1   ln 2 3 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 40

Cách 4: Đưa vào biểu thức vi phân ln 5

I



ln 2

ln 5

e2 x ex 1

dx 



ln 2

ex ex 1

d  e  1  x

ln 5



e

ln 2

x

 1  1 ex 1

 x 1  x e  1    d  e  1 ln 2  x e 1  ln 5

dx 

3 1 2  ln 5 20    e x  1 2  2  e x  1 2   3  ln 2 3 3

dx e 1 1

Bài 10: (ĐH – D 2009) Tính tích phân sau: I  

x

Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức 1   e x  1  e x 3 3 3 d  e x  1 3 3  dx ex     1  x dx    dx   x   x  ln e x  1 Khi đó I   x 1 1 e 1 1  e 1  e 1 1 1 1 3

 2  ln

e3  1  2  ln  e2  e  1 e 1

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t  e x  1  dt  e x dx   t  1 dx 

dt  dx  t  1

 x  3 t  e3  1  Đổi cận   x  1 t  e  1 e3 1

Khi đó I 

dt

  t  1 t ... Bạn đọc tự giải tiếp

e 1

Chú ý: Có thể đặt t  e x Cách 3: Dựa vào đạo hàm Đặt f ( x) 

1 ta có e 1 x

  e x  1  e x e x  1 ' '  1 ex ' ' x x        1    x    x  ln e  1   x  ln e  1             ex 1 ex 1 ex 1 ex 1 '

 F ( x)   x  ln  e x  1 3

3 3 dx  F  x     x  ln  e x  1   2  ln  e 2  e  1 1 1 e 1 1

Khi đó I  

x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 41

1

Bài 11: (ĐH – A 2010) Tính tích phân sau: I   0

x 2  e x  2 x 2 .e x dx 1  2.e x

Giải: 2 x x x 2  e x  2 x 2 .e x x 1  2e   e ex 2  x  1  2.e x 1  2.e x 1  2.e x

Khi đó 1

I  0

1 1 1  2 x 2  e x  2 x 2 .e x ex  ex 2 dx  x  dx  x dx  0  1  2e x  0 0 1  2e x dx 1  2e x I1

Tính I1 bằng các cách như sau đặt t  1  2e x hoặc t  e x hoặc x 1 1 d 1  2e  1 1  1  2e  x 1 I1    ln 1  2 e  ln    x 0 2  3  2 0 1  2e 2

1 1  1  2e  Vậy I   ln   3 2  3  3

Bài 12: (ĐHK D –2004) Tính tích phân sau: I   ln  x 2  x  dx 2

Giải: 2x 1  2  dx u  ln  x  x  du  2 Đặt:   x x   dv  dx v  x 3 2x 1  I  x ln  x  x    dx  3ln 6  2 ln 2   2 x  ln  x  1   ln 216  ln 4  2  ln 2  ln 27  2.

2 2 x 1 2 2

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

Hoặc I   ln  x 2  x  dx   ln x  x  1 dx   ln xdx   ln  x  1 dx  I1  I 2 Áp dụng TPTP là xong ln 3

Bài 10: (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau: I 

 0

e x dx

e

x

 1

3

Giải: Cách 1: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 42

ln 3



Ta có I 

d  e x  1

e

0

x

 1

3

ln 3



3

x x x   e  1 2 d  e  1  2  e  1 



1 2

ln 3 0

0

 2 1

Cách 2: Phương pháp biến đổi số Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx  dx   I  2

2tdt ex

tdt 12   2.  2 1 2 t3 t 2

2

Hoặc đặt t  e x  1 Bài tập tự giải có hướng dẫn: e

ln 2 x 76 dx  Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau: I   15 1 x ln x  1

HD: e

Đặt t  ln x  1 hoặc t  ln x hoặc biến đổi vi phân I   1

e

ln 2 x ln 2 x dx   d  ln x  x ln x  1 ln x  1 1

Hoặc tích phân từng phần ln 2

Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau: I 

 0

Đs: I 

e2 x ex 1

dx

2 2 3 e

Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân sau: I   1

ln x dx x. 1  ln x

HD: Đặt t  1  ln x Đs: I 

42 2 .

3 3

Bài 4: I 

e

x 2 1

0

x x 1 2

dx  e 2  e

HD: Đặt t  x 2  1 

dt  2

x x 1 2

dx

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 43



Tổng quát: I   e

f  x

g  x  dx mà f '  x   kg  x  ; k  R* đặt t  f  x 



IV. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Bài tập giải mẫu:  4

Bài 1: Tính tích phân sau: I   cos 2 x.cos xdx 0

Giải: Cách 1: Tích phân từng phần

du  2 cos x sin xdx   sin 2 xdx u  cos 2 x   Đặt  1 dv  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 Khi đó









4

4

4



1 1 1 1  cos 4 x  1 14 I  cos 2 x.sin 2 x 4   sin 2 2 xdx   dx   dx   cos 4 xdx 2 20 20 2 40 40 0



1 1 1    x  sin 4 x  4   4    16 4  0 16 Cách 2: Sử dụng tích phân liên kết  4

Liên kết với I là J   sin 2 x.cos 2 xdx 0







sin 2 x 1 Ta có I  J    cos x  sin x  .cos 2 xdx   cos 2 xdx  4  (1) 2 2 0 0 0 4

4

2

2









1  cos 4 x   x sin 4 x  I  J    cos x  sin x  .cos 2 xdx   cos 2 xdx   dx     4  (2) 2 8  8 2 0 0 0 0 4

4

2

2

Cộng (1) và (2) theo từng vế ta được I 

4

2

1 4    16

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 44

Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích 







1  cos 2 x 1 1 14 .cos 2 xdx    cos 2 x  cos 2 2 x  dx   cos 2 xdx   1  cos 4 x  dx 2 20 20 40 0 4

4

I

4



1 1 1 1    sin 2 x  x  sin 4 x  4    4  4 16 4  0 16  2

Bài 2: (ĐHTM – 2000) Tính tích phân sau: I   0

4sin x

 sin x  cos x 

3

dx

Giải: Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức 4sin x

 sin x  cos x 

3

2  sin x  cos x    cos x  sin x   2  cos x  sin x  2     3 2 3  sin x  cos x   sin x  cos x   sin x  cos x 





2

2

I  0

4sin x

 sin x  cos x 

dx   3 0

 2

2

 sin x  cos x 

2

dx   0

2  cos x  sin x 

 sin x  cos x 

3

dx

I1

 2  Tính I1 bằng cách biến đổi  sin x  cos x   2 cos2  x   hoặc bằng cách đặt t  tan x 4  Cách 2: Sử dụng tích phân liên kết  2

4 cos x

Xét J  

0  sin x  cos x 

3

dx.

Khi đó I  J  4 và J  I  0 nên I  2 Cách 3: Đổi biến số theo cận 

Phân tích I 

Đặt x 

 4

1 2

2

4sin x dx  0 cos 3  x    4 

 2

 t  dx  dt

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 45

    t  4 x    Đổi cận  2   x  0 t     4

Khi đó 

I

4

1 2 2





  4sin  x   4  dt  3 cos t

4

 4





4





4

4



d  cos t  4sin t  cos t dt  1  4 dt       tan t  2 3 3 2 2  cos t 2 cos t    cos t  cos t    4 4 4

Cách 4: Đổi biến số theo cận



Đặt x 

2

 t  dx   dt

x  0    t  Đổi cận    2  x  2 t  0   4sin   t  2 

0

Khi đó I    

2





2

     sin  2  t   cos  2  t       

dt   3 0

2

4 cos t

dt   3

cos t  sin t 







2

2

2

 I  I  2I   0

4sin x

 sin x  cos x 

dx   3 0

4 cos x

 sin x  cos x 

dx   3 0

0

4 cos x

cos x  sin x 

3

dx

 2

4

 sin x  cos x 

2

dx   0

4 dx  2 2 cos  x   4 



   2 tan  x   2  4  I  2 4  0 Cách 5: Ta có

sin x

 sin x  cos x 

3



sin x sin 3 x 1  cot x 

3

 2

Khi đó I   0



1 sin 2 x 1  cot x 

3



4sin x

 sin x  cos x 

2

dx  4  3 0

1 sin x 1  cot x  2

3

dx

Đặt t  cot x... bạn đọc tự giải Cách 6:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 46

Ta có sin x

 sin x  cos x 

3



sin x cos3 x  tan x  1



0

tan x cos 2 x  tan x  1

3



2

Khi đó I  



3

4sin x

 sin x  cos x 

2

dx   3 0

tan x cos x  tan x  1 2

3

Đặt t  tan x …bạn đọc tự giải Cách 7:

t  tan x …bạn đọc tự giải  3

Bài 3: Tính tích phân sau: I   tan 3 xdx 

4

Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích kết hợp với phương pháp đưa vào vi phân 1  1   1   tan x  tan x Phân tích tan 3 x  tan x.tan 2 x  tan x  2 cos 2 x  cos x 

Khi đó 







3 1 1   I   tan xdx    tan x.  tan x  dx   tan xd  tan x    d  cos x  2 cos x       cos x 3

3

3

4

4

3

4

4

  tan 2 x  3 1   ln cos x   1  ln 2 2  2  4

Cách 2: Sử dụng phương pháp phân tích kết hợp với phương pháp đưa vào vi phân Phân tích tan 3 x   tan 3 x  tan x   tan x  tan x.

1  tan x... trở lại cách 1 cos 2 x

Cách 3: Phương pháp đổi biến số

t  tan x  dt  1  tan 2 x  dx  1  t 2  dt  dx 

dt t 1 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 47

   x  3 t  3  Đổi cận  t  1 x    4 Khi đó  3

3

I   tan xdx 



3



1

t3 t  1  dt    t  2  dt   tdt  2 t 1 t 1  2 1  1 3

3

3

 1

3

2t t2 3 1 dt   t2 1 21 2

 1

d  t 2  1 t2 1

4



1 1 1 3 1 1  n  t 2  1   ln 2  1  ln 2  2 2 2 2 2 1

Cách 4: Phương pháp đổi biến số 



3

3

Ta có I   tan xdx   3





4

4

1  cos x  sin x dx 2

cos3 x

Đặt t  cos x  dt  sin xdx

 1   t  2  x  3  Đổi cận  x   t  2   4 2 Khi đó 1 2

I 

1  t  dt  2

t3

2 2

2 2

 1 2

1 1  1 1  1 2  1  ln 2  3   dt    2  ln t  2 t t   2t  2 2

Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 



3

3





4

4

I   tan 3 xdx  

  ln cos x

3

 4

1  cos2 x  sin xdx cos3 x

 3

 

4

 cos 2 x  1 d  cos3 x  cos3 x

 3

d  cos x 



cos x

 4

 3

  cos  xd  cos x  

4

 

1 3 1  1  ln 2  2 2 cos x  2 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 48

 2

Bài 4: Tính tích phân sau: I   sin 3 xdx 0

Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành tích Ta có sin 3 x  sin 2 x.sin x 

1  cos 2 x sin x cos 2 x.sin x .sin x   ... bạn đọc tự giải tiếp 2 2 2

Cách 1.2: Sử dụng công thức nhân 3

sin 3x  3sin x  4sin 3 x  sin 3 x 

3sin x  sin 3 x 4

Khi đó 









1 3 1 2 1 2  3  I   sin xdx    3sin x  sin 3x  dx   sin xdx   sin xd  3x     cos x  cos 3x  2  40 40 12 0 12  4 0 3 0 2

2

2

3

Cách 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

u  sin 2 x du  2sin x cos xdx  Đặt  dv  sin dx v   cos x Khi đó







2



2

2 2 I   sin x cos x 2   2sin x cos xdx  2  cos xd  cos x    cos3 x 2  3 3 0 0 0 0 2

2

Chú ý: Có thể đặt t  sin x Cách 3: Dùng phương pháp đưa vào vi phân 







 cos3 x  2 I   1  cos x  sin xdx   sin xdx   cos xd  cos x     cos x   2 3  3  0 0 0 0 2

2

2

2

2

Chú ý: Có thể đặt t  sin x Cách 4: dt  dx  2  x 1 x   1 t2 ... Bạn đọc tự giải Đặt t  tan  dt   tan 2  1 dx   2 2 2  sin x  2t 1 t2 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 49

 2

Bài 5: Tính tích phân sau: I   

dx sin 3 x

3

Giải: Cách 1: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử 



2

2

3

3



dx sin xdx 2 sin x I  3   dx 2 4 2  sin x  sin x  1  cos x  3

Cách 1.1: Đổi biến số đưa về tích phân hàm phân thức Đặt t  cos x  dt  sin xdx

   x  2 t  0  Đổi cận  t  1 x    3 1 2

1 2

1 2

1

2  1  t   1  t   dt dt 12 1 1  I  dx       dt     dt 2 2 1  t 1  t   4 0 1 t 1 t   1  t 1  t     0 1  t  0  0    1 2

2

1

1  1 1 2  1 2 1 1 1 1      dt        dt 4 0  1  t 2 1  t 2 1  t 2  4 0  1  t 2 1  t 2 1  t 1  t 

1 1 1 1 1 t  1 1     ln 2   ln 3  4  1 t 1 t 1 t  3 4 0 Cách 1.2: Đưa trực tiếp vào biểu thức vi phân 





2

2

2



2 d  cos x  dx sin xdx sin x   dx   2 2 3 4    2  sin x  sin x  1  cos x   1  cos x 1  cos x     3 3 3 3

I 



2  1  cos x   1  cos x   12 1 1      d  cos x      d  cos x  4   1  cos x cos x    1  cos x 1  cos x   2

3

2

3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 50





 12 1 1 2 cos x 2 1 1       ln 3  d  cos x    2 2 2 4   1  cos x  1  cos x  1  cos x  2sin 2 x  3 4 3 3

Cách 2: Đổi biến số dt  dx  2  x 1 x   1 t2 Đặt t  tan  dt   tan 2  1 dx   2 2 2  sin x  2t 1 t2 

  t  1  x  2   Đổi cận  1 x   t  3   3 Khi đó 1

I



1 3

2dt

t

2

 1 .

8t

1  t 

2 3

1 1 1 1 2  1 1 t2  1 1    3   t  dt    2  2 ln t   1   ln 3 4 1 t t 4  2t 2 3 4  3 3

Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích và phương pháp tích phân từng phần 







2 2 2 dx sin 2 x  cos 2 x dx cos 2 x I  3  dx     3 dx (1) sin 3 x  sin x   sin x  sin x 2

3

3

3

3 J



cos 2 x dx Tính J   3  sin x 2

3

u  cos x du   sin xdx   Đặt   cos x 1 dv  dx v    3 sin x 2sin 2 x  

 Khi đó J 



cos x 2 1 2 dx  2sin 2 x  2  sin x 3 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 51



1 1 2 dx Thay vào (1) ta được I    3 2  sin x 3 K

Chú ý: 

 2

- Để tính J   







2 cos x 1  1 1 1 cos x  dx J  dx   1 dx  dx  dx ta có thể làm như sau   3 3 2 3     sin x   sin x  sin x  sin x  sin x  sin x 2

2

2

3

3

2

2

3

3

3 I

 2

- Để tính K   

1 dx ta có thể làm như sau sin x

3

Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được Đặt t  cos x  dt   sin xdx

  t  0  x  2   1 Đổi cận  x   t  2   3 Khi đó 1 2

1 2

1 2

1 2

1  dt dt 1  1 1  1 dt 1 dt 1 1 K           ln t  1  ln t  1  2  ln 3  dt    2 2 1 t 2 0  1 t 1 t  2 0 t 1 2 0 t 1 2 2 1 1 t 0 0 2 0









2

2

2

2



d  tan x  dx dx dx x 2 1     ln tan  ln 3 x x  x x  2 2 2 x  sin x  2sin  cos 2 tan cos tan 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3

Hoặc K  

dt  dx  2 1  t 2 x    Hoặc đặt tan  t   2 2t  sin x   1 t2 Cách 4: Tách thành tích ở dưới mẫu và Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 52

K

1  cos x  u  sin x du   2 dx  Đặt  sin x 1 dv   v   cot x dx   sin 2 x

Khi đó







2 cos 2 x cot x 2 cos x dx áp dụng (cách 3) I   dx . Đến đây ta tích phân J =  3 sin x   sin 3 x  sin x 3 3 3

2

2

J

Hoặc có thể tính nhanh như sau 





2 dx 1 cot x 2  1  I   3   d  cot x      cot xd   sin x   sin x   sin x  sin x 2

3

3

3









cot x cos x cot x 2 2 cos 2 x   cot x 2 dx    dx sin x  sin x sin x   sin 3 x 3 3 3 2

J

Cách 5: Đưa vào biểu thức vi phân 2

 2 x  2 2 2 2  1  tan dx dx dx 1  x 2  I  3     d  tan  (*) 3 3 6 3 4  2  x x   x  x x  sin x   cos    cos   tan  3 3  2sin 3 8  tan 3 2 2 2  2 2    







  x x  1  2 tan  tan 4  2   1 x 1 1 x 1 x 2 2    d  tan      2 ln tan   tan   3 2 4 2 4  2 2 2   x x  tan 2 tan       3 2 2     

2

 1 1   ln 3  3 4 3 2

 2

sin x dx sin x  cos x 0

Bài 6: Tính tích phân sau: I   Giải: Cách 1:

sin x tan x tan x  1  1 1    1 sin x  cos x tan x  1 tan x  1 tan x  1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 53









2 sin x 1 1   dx   1  dx  dx  dx    sin x  cos x tan x  1  tan x  1 0 0 0 0 2

2

Khi đó I  

2

J

Từ đó đặt t  tan x Cách 2:

2dt  dx  1  t 2  x  2t ... bạn đọc tự giải Đặt t  tan  sin x  2  1 t2  1 t2 cos x   1 t2  Cách 3: Đặt x 

 2

 t  dx   dt

  t  0 x   Đổi cận  2    x  0 t  2 



2

2



2 sin x cos t cos x dx   dt   dx sin x  cos x sin t  cos t sin x  cos x 0 0 0

Khi đó I   





2 sin x cos x   dx   dx   dx   I  sin x  cos x sin x  cos x 2 4 0 0 0 2

2

 2I   Chú ý:

b

b

a

a

 f  x  dx   f t  dt

Cách 4: Sử dụng tích phân liên kết 



2

2 cos x sin x dx là tích phân liên kết của I   dx Chọn J   sin x  cos x sin x  cos x 0 0

Khi đó ta có hệ

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 54

      2 2 2 2 cos x sin x sin x  cos x   I  J  dx  dx  dx  dx  x  2      sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x 2 0 0 0 0 0         2 2 2 2 d  sin x  cos x  cos x sin x cos x  sin x I  J  0 sin x  cos x dx  0 sin x  cos x dx  0 sin x  cos x dx  0 sin x  cos x  ln sin x  cos x 2  0  0 

cộng theo từng vế ta được 2 I 

 2

I

 4

Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức Phân tích sin x 

1  sin x  cos x  sin x  cos x  2





2 sin x  1 1 cos x  sin x  dx     .  dx sin x  cos x 2 2 sin x  cos x  0 0 2

Khi đó I  

Chú ý: Có thể dựa vào đồng nhất thức sau

sin x sin x  cos x cos x  sin x A B sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x 1   A  2  sin x   A  B  sin x   A  B  sin x   B   1  2

… quay trở lại cách 5 Cách 6: Sử dụng kĩ thuật nhân

1  1  cos 2 x  sin 2 x    1 sin x  cos x  sin x  2 2     tan 2 x  1  1 Ta có    2 2 cos x  sin x cos 2 x 2 cos 2 x  Cách 7: Sử dụng phương pháp phân tích

   sin  x    sin x   4 4 1     1  cot  x      2 sin x  cos x 4    2 sin  x   4  Cách 8: Biến đổi số theo cận

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 55





2

2 sin x dx   sin x  cos x 0 0

I 

Đặt t  x 

 4

sin x dx   2 cos  x   4 

 dx  dt... bạn đọc tự giải

Bài 7: Tìm nguyên hàm: I  

1 sin x dx  2 ln C     sin x.sin  x   cos  x   4 4  

Giải: Cách 1: Ta có

   cos  x    x  4            4  1  2 cos  x    x   2 cos  x   cos x  sin  x   sin x   4  4 4 2      cos 4 2 cos



   sin  x     1 cos x 4    2     sin x cos  x     sin x cos  x      4 4          d cos  x    d  sin x  4   sin x    I  2  2   2 ln sin x  2 ln cos  x    2 ln C   sin x 4    cos  x   cos  x   4 4  

Cách 2: Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có : I  2

d  cot x  1 dx dx  2 2  2   2 ln cot x  1  C sin x  cos x  sin x  sin x  cot x  1 cot x  1  3

dx    sin x .sin x    6 6 

Tương tự : (ĐHMĐC – 2000) Tính tích phân: I  

HD:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 56

       2sin  x    x  dx cos  x     6  dx cos x 6    dx   2      sin x     sin x.sin  x   sin x.sin  x   sin  x    6 6 6     

  Bài 8: Tìm nguyên hàm: I   tan x tan  x   dx 4  Giải: Cách 1: Ta có:

        sin x sin  x   cos x cos  x    sin x sin  x   cos  x    4 4 4 4      tan x tan  x     1  1    4       cos x cos  x   cos x cos  x   cos x cos  x   4 4 4    

2 2

1 1   cos x cos  x   4 

Khi đó xét: J  

dx   cos x cos  x   4 

Sử dụng đồng nhất thức: 1 



sin



4  2 sin  x     x   2 sin  x    cos x  cos  x    sin x          4   4 4      sin 4



1    2 tan  x    2 tan x  4   cos x cos  x   4 

    J  2  tan  x   dx  2  tan xdx   2 ln cos  x    2 ln cos x  C 4 4  

 I  2 ln

cos x  xC   cos  x   4 

Cách 2:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 57

J 

dx dx dx  2  2 2  cos x  cos  sin x  cos x 1  tan x   cos x cos  x   4  

  2

d 1  tan x    2 ln 1  tan x  C  I   2 ln 1  tan x  x  C 1  tan x 

1  2sin 2 x dx 1  sin 2 x 0 4

Bài 9: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau: I   Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số 



4 1  2sin x cos 2 x dx   dx 1  sin 2 x 1  sin 2 x 0 0 2

4

Ta có I  

Đặt 1  sin 2 x  t  cos 2 xdx 

dt hoặc sin 2x  t 2

  t  2 x  Đổi cận  4  t  1  x  0 2 2 1 1 dt 1 Khi đó I    ln t  ln 2 1 2 21 t 2

Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 



4

4





cos 2 x 1 1  sin 2 x  1 4 d 1  sin 2 x  1 1 I  dx   dx    ln 1  sin 2 x  4  ln 2 1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x  2 0 1  sin 2 x 2 2 0 0 '

Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân Biến đổi 1  2sin 2 x   cos x  sin x  cos x  sin x  và 1  sin 2 x   cos x  sin x  



2



4 1  2sin x cos x  sin x 1 I  dx   dx  ln cos x  sin x 4  ln 2 1  sin 2 x cos x  sin x 2 0 0 0 4

2

Hoặc đặt t  sin x  cos x 

sin 2 x  sin x dx 1  3cos x 0 2

Bài 10: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau: I  

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 58

Giải: Cách 1: Phương pháp biến đổi số Ta có: sin 2 x  sin x  sin x  2cos x  1 . Đặt t  1  3cos x ta được dt 

3sin x sin x 2 dt dx  dx   ; 3 2 1  3cos x 1  3cos x

t 2 1 2t 2  1 cos x   2 cos x  1  3 3

x  0 t  2  Đổi cận    t  1  x  2 2  4t 2 2  2  2 34  4   dt   t 3  t   Khi đó I    9 9 9  1 27  27 1

Cách 2: Phương pháp biến đổi số Đặt t  1  3cos x... bạn đọc tự giải Cách 3: Phương pháp tích phân từng phần u  2 cos x  1 du  2sin x   Đặt  d 1  3cos x    2 sin x dx   dv  v   3 1  3cos x 1  3cos x 3 1  3cos x 

Khi đó







2 4 2 42 I    2cos x  1 1  3cos x 2   sin x 1  3cos xdx    1  3cos xd 1  3cos x  3 30 3 90 0

2 8   3 27

1  3cos x 

2



3

34 2 27 0

Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân Phân tích

2 1 1  3cos x    sin 2 x  sin x 1 2cos x  1 1 3 d 1  3cos x   dx   . d 1  3cos x    . 3 3 1  3cos x 3 1  3cos x 1  3cos x 

2 1 1  3cos xd 1  3cos x   d 1  3cos x  9 9 1  3cos x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 59



a.sin 2 x  b sin x dx hoặc Tổng quát:  c  d cos x 



 

a.sin 2 x  b cos x dx ta đặt c  d sin x

c  d cos x  t.

 2

Bài 11: (ĐH – A 2009) Tính tích phân sau: I    cos3 x  1 cos 2 xdx  0

8   15 4

HD: 



2

2

Cách 1: I   cos5 xdx   cos 2 xdx 0

0 I1

I2

Đặt t  sin x  dt  cos xdx

  t  1 x  Đổi cận  0  t  0  x  0 Khi đó 



2

2

1

I1   cos xdx   1  sin x  cos xdx   1  t 5

2

0

0





2

0





2 2

4 1 8  2 dt   1  2t 2  t 4  dt   t  t 3  t 5   5  0 15  3 0 1





1  cos 2 x 12 12 1 1   I 2   cos 2 xdx   dx   dx   cos 2 xdx   x  sin 2 x  2  2 20 20 2 2 0 4 0 0 2

2

Vậy I  I1  I 2 

8   15 4

Chú ý: Có thể tính I1 như sau 



2

2

0

0

 2

I1   cos5 xdx   1  sin 2 x  cos xdx   1  sin 2 x  d  sin x   2

2

0



2 4 8     1  2sin x  sin x  d  sin x    sin x  sin 3 x  sin 5 x  2  3 5   0 15 0 1

2

4



 cos 3 x  3cos x  1  cos 2 x   1 Cách 2: I     dx...

4 2   0 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 60

 2

Bài 12: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I   0

sin 2 x cos 2 x  4sin 2 x

dx 

2 3

HD: Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số 



2

I  0

2

sin 2 x 1  sin 2 x  4sin 2 x

Đặt t  1  3sin 2 x 

dx   0

sin 2 x 1  3sin 2 x

dx

dt  sin 2 xdx 3

  t  4 x  Đổi cận  2  t  1  x  0 4 4 4 2 1 dt 1  12 2   t dt  t  Khi đó I   31 t 31 3 1 3

Hoặc đặt t  1  3sin 2 x Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 



2

2

I  0

sin 2 x 1  sin 2 x  4sin 2 x

dx   0



sin 2 x 1  3sin 2 x

dx 

1  12 2 2 d 1  3sin 2 x 1  3sin x      30



2 2  1  3sin 2 x  2  3 3 0 Cách 3: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số  2

I  0

 2 sin 2 x sin 2 x dx   dx 1  cos 2 x 1  cos 2 x 5  3cos 2 x 0 4 2 2 2

Và đặt t 

5  3cos 2 x 5  3cos 2 x hoặc t  hoặc đưa vào vi phân 2 2  2

Tổng quát: Để tính I   0

sin x cos xdx a 2 cos 2 x  b 2 sin 2 x

với a, b  0

Ta đặt: u  a 2 cos2 x  b2 sin 2 x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 61



4sin 3 x dx 1  cos x 0 2

Bài 13: (Đề 68 Iva) Tính tích phân sau: I   Giải: Cách 1: Phân tích

4sin 3 x 1  cos x  4sin 3 x 1  cos x  4sin 3 x    4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin 2 x 1  cos x 1  cos x 1  cos x  sin 2 x Khi đó

I 



2 0



 4sin 3 x dx   2  4sin x  2sin 2 x  dx   cos 2 x  4cos x  2  2 0 1  cos x 0

Cách 2:  

I  2 0



3



2 4sin x dx   2  4sin x  4sin x cos x  dx  4  sin xdx  4  cos xd  cos x  0 1  cos x 0 0



2



 4 cos x 2  2 cos x 2  2 0 0 2

Cách 3: 



2 4 1  cos 2 x sin x   dx 4sin x I  dx   1  cos x 1  cos x 0 0 3

2

dt  sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1

  t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 2 2 4 1   t  1    dt  4t  8 dt  2t 2  8t 2  2 Khi đó I      1 1  t 2 1

Chú ý: Có thể đặt t  cos x Cách 4:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 62



x x 32sin 3 cos3 4sin x 2 2  16sin 3 x cos x ... Quá hay phải không, bạn tự giải tiếp nhé 0 1  cos x dx  x 2 2 2 cos 2 2 3

2

Cách 5:

2dt  dx  1  t 2  x  2t ... Chắc chắn sẽ ra cứ yên tâm làm tiếp đi Đặt t  tan  sin x  2  1 t2  1 t2 cos x   1 t2  Chú ý: 4sin x 1  cos x 1  cos x  4sin 3 x dx   4sin x  2sin 2 x... Phân tích đến đây rùi thì có những cách nào, bạn 1  cos x 1  cos x

đọc tự khám phá nhé! 

4sin 3 x dx  2 1  cos x 0 2

Tương tự I  

 2

Bài 14: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau: I   

sin 3 x  sin x cot xdx sin 3 x

3

Giải: Cách 1: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân  2 3

I 

 2 3 sin 3 x  sin x sin 3 x  sin x cot x cot xdx   sin x sin 2 x dx sin 3 x 

3

3







2

2

2

  3 1 

3

 5 3

8 3

1 3 1 2 cot xd  cot x    3  cot 2 x cot xd  cot x     cot xd  cot x    cot  3 2  sin x 8 8 3   3 3 3

Cách 2: Phương pháp biến đổi số  2 3

I  

3

 2 sin x  sin x 1 cot x 3 1 cot xdx  . 2 dx 3 2  sin x sin x sin x  3

3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 63

Đặt t  cot x  dt  

1 dx sin 2 x

  t  0  x  2   Đổi cận  1 x   t  3   3 Khi đó 0

I 

1 3

0 3 83 1 t tdt   t dt  t 1   3 8 8 3 1 3 3 0

3

2

5 3

Cách 3: Phương pháp biến đổi số 





2 sin x  sin x cos x 3 sin 3 x  sin x cot xdx  dx  sin 3 x sin 4 x 

3

3

2 3

3

Ta có I  

Nhận xét: Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cos Đặt t  sin x  dt  cos xdx

  t  1  x  2   Đổi cận  3 x   t   2  3

Khi đó I 

1 3



3 2

Đặt u  3 1 

t t dt  t4 3

1 3



1 t 2 dt 3

1

3 2

t

1 1 3 dt  u 3  1  2  u 2 du  3 2 t t 2 t

t  1 u  0   Đổi cận  3  u   1 t   3 3   2

3 Khi đó I  2

0 3 u4 1 1 u du  2 4  1   8 3 3 3 3 3 3 0

3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 64

Bài 15: ( Đề 104. Iva) Tính tích phân sau: I 

3 8

  sin

2

dx x cos 2 x

8

Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhờ đồng nhất thức sin 2 x  cos 2 x  1 Khi đó

I

3 8

  sin

2

dx  x cos 2 x

8

3 8

 

sin x  cos x dx  sin 2 x cos 2 x 2

2

8

3 8



1

   cos 8

2

x



3 8

1  dx   tan x  cot x  4  sin 2 x  8

Cách 2: Sử dụng công thức nhân đôi

I

3 8

  sin 8

3 8

2

3 8

3 8

d  2x dx dx 4 2  2 cot 2 2 x 4 2 2 2  x cos x  sin 2 x  sin 2 x 8 8 8

Cách 3: Phương pháp biến đổi số Đặt t  tan x  dt 

dx 1 1  tan 2 x 1  t 2   2 .... và cos 2 x sin 2 x tan 2 x t 

cos 2 xdx 0 sin x  3 cos x 3

Bài 16: Tính tích phân sau: I   Giải: Cách 1: Đồng nhất thức

Ta phân tích: cos2 x  ( A sin x  B cos x)  sin x  cos x   C  sin 2 x  cos2 x 







1  A   4  3B  C  1   3  3B  C cos 2 x  B  3 A sin x cos x   A  C  sin 2 x   B  3 A  0   B  4 A  C  0  1   C  4 







cos 2 xdx 1 3 1   sin x  cos x  4 4 sin x  3 cos x 4 sin x  3 cos x





http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 65





1  3 13 dx Khi đó I   cos x  sin x  3   4 4  0 4 0 sin x  3 cos x I1

 3

dx 0 sin x  3 cos x

Tính: J   

13 I1   20



1 x   ln tan    3  2  2 6 0 sin  x   3  dx



1 3 1 3ln 3  2 x  I   cos x  sin x  ln tan     3  4 8 8 2 60 4

Cách 2: Tích phân liên kết 

cos 2 xdx Sử dụng tích phân liên kết J   0 sin x  3 cos x 3

 I  3J  1 3ln 3  2  Giải hệ  ln 3  I  8  I  J  2 

Tổng quát: I   



cos 2 xdx sin 2 xdx tích phân liên kết thường là J   A sin x  B cos x  A sin x  B cos x 

cos 6 x dx Bài 17: Tính tích phân sau: I   4  sin x 2

4

Giải: Cách 1: Đưa vào vi phân Phân tích

cos6 x cos 2 x.cos 4 x 1  4  4 2 dx  dx  1   tan x  tan x  tan x 4 4 2 sin x sin x tan x  

Khi đó

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 66

 2

I  

 6





2 cos x 4 2 4 2 dx  tan x  tan x dx  tan xdx       tan xdx sin 4 x

4

2

2

4

4

4 I1

I2

Tính 









2

2

2

2

2











4

4

4

4

4

I1   tan 4 xdx    tan 4 x  tan 2 x    tan 2 x  1  1 dx   tan 2  tan 2  1 dx    tan 2 x  1   dx



 2

  tan 2 xd  tan x   tan x 

4

2



4

 x

2





4







2

2

2







4

4

4



2 Tính I 2    tan 2 x  1  1 dx    tan 2 x  1 dx   dx   tan x  x  ... tự giải nhé  4

Cách 2: 2 cos6 x cos x 1  sin x   cos 2 x  2 cos 2 x sin 2 x  cos 2 x sin 4 x 1 Phân tích    cot 2 x. 2  2 cot 2 x  cos 2 x 4 4 4 sin x sin x sin x sin x 2

Khi đó 



2

2

I   cot 2 x. 

2 1 2 dx  2 cot xdx  cos 2 xdx 2   sin x  

4

4







4



12  1     cot 2 xd  cot x   2   2  1 dx   1  cos 2 x  dx 2     sin x 2

2

4

4

4



 cot 3 x 1 sin 2 x   2 5 23    2   cot x  1   x      3 2 2 8 12     4

Cách 3: Nhận xét: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sin và cos nên ta có thể đặt t  tan x nhưng cách đó khá dài và phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé!

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 67

 2

Bài 18: Tính tích phân sau: I   6 1  cos3 x .sin x.cos 5 xdx 0

Giải:  2

I   6 1  cos3 x .cos3 x.sin x.cos 2 xdx 0 3 6  cos x  1  t Đặt 6 1  cos3 x  t  1  cos3 x  t 6   2 5  sin x.cos xdx  2t dt

  t  1 x  Đổi cận  2  t  0  x  0 1 1  t 7 t13  1 12 Khi đó I  2 t 1  t 6  t 5 dt    t 6  t12  dt  2      7 13  0 91 0 0

Hoặc : Đặt 1  cos3 x  t Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 



2

2

0

0

I   6 1  cos3 x .cos3 x.sin x.cos 2 xdx  I   6 1  cos3 x .cos3 xd 1  cos 3 x    2

   6 1  cos3 x 1  cos3 x   1 d 1  cos3 x  0





2

2

0

0

   6 1  cos3 x 1  cos3 x  d 1  cos3 x    6 1  cos3 xd 1  cos3 x   2

sin 2 x.cos x dx 1  cos x 0

Bài 19: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Giải: Cách 1: Đổi biến số Phân tích 



2 sin 2 x.cos x sin x.cos 2 x I  dx  2  dx 1  cos x 1  cos x 0 0 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 68

dt   sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1

  t  1 x  Đổi cận  2  t  2  x  0 1

Khi đó I  2

 t  1 t

2

2

2  t2 2 1  dt  2  t  2   dt  2   2t  ln t   2 ln 2  1 t 2 1 1

Cách 2: 



2

2



2 2 1  cos x   1 sin 2 x.cos x sin x.cos x   d cos x I  dx  2  dx  2    1  cos x 1  cos x 1  cos x 0 0 0 2





  1 cos 2 x    2  1  cos x  d cos x  sin x   ln 1  cos x  2  2ln 2  1     1  cos x  2  0 0 2

Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  và ta có thể đặt t  cos x 

Tổng quát: I   

a sin 2 x.cos x dx ta đặt t  b  c.cos x hoặc t  cos x b  c.cos x

Bài tập tự giải có hướng dẫn: 





tan 4 x 1 10 dx  ln 2  3  cos 2 x 2 9 3 0 6

Bài 1: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau: I   HD:

Cách 1: Biến đổi cos 2 x  cos2 x  sin 2 x  1  tan 2 x  cos2 x Đặt t  tan x 1  tan 2 x Hoặc sử dụng công thức cos 2 x  1  tan 2 x

Tổng quát: 

a tan 4 x với a, b   b cos 2 x

1. I  

*

Biến đổi b cos 2 x  b  cos2 x  sin 2 x   b 1  tan2 x  cos2 x đặt t  tan x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 69

2. Mở rộng hơn 

a tan 4 x dx với a, b, c, d  2 2  b sin x  c sin x cos x  d cos x

I 

*

Biến đổi b sin 2 x  c sin x cos x  d cos2 x   b tan 2 x  c tan x  d  cos2 x đặt t  tan x  4

dx cos 4 x 0

Bài 2: (ĐH AN – 1998): Tính tích phân sau: I   Cách 1: 







4 dx 1 dx 4 I   .  1  tan 2 x  d  tan x    tan x  tan 3 x  4   4 2 2   cos x 0 cos x cos x 0 3 0 0 4

4

Cách 2: Biến đổi số 



4

4



4 dx 1 dx dx  .  1  tan 2 x   4 2 2   cos x 0 cos x cos x 0 cos 2 x 0

I 

Đặt t  tan x Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 1  u  cos 2 x   dv  dx  cos 2 x  2

Bài 3: (Đề 84.Iva) Tính tích phân sau: I   

dx sin 4 x

4





d  cot x 





 dx cot x  2 4      1  cot 2 x d  cot x     cot x    4 2 3  3  sin x  sin x   4 4 4 4 2

I 

2

3

2

 2

Bài 4: Tính tích phân sau: I   cos 2 x.cos 2 2 xdx  0

 4

HD: C1: Hạ bậc biến đổi tích thành tổng

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 70

C2: Tích phân liên kết  4

Bài 5: Tính tích phân sau: I   0

1  2sin 2 x

 sin x  cos x 

4

dx

 4 2  HD: 1  2sin 2 x  cos 2 x   cos x  sin x  cos x  sin x  và  sin x  cos x   1  sin 2 x   4 cos 4  x   4  Từ đây ta có các cách sau Cách 1:  4

Biến đổi I  



1  2sin 2 x

0  sin x  cos x 

4

4

cos 2 x

dx  

0 1  sin 2 x 

2

dx

đặt t  1  sin 2x hoặc t  sin 2 x hoặc biến đổi vi phân trực tiếp 



1  2sin 2 x

4

I 

0  sin x  cos x 



4

4

4

cos 2 x

dx  

0 1  sin 2 x 

2

dx   0

d 1  sin 2 x 

1  sin 2 x 

2

dx hoặc đặt t  tan x

cách 2: 

Biến đổi





 cos x  sin x  cos x  sin x  dx  4  cos x  sin x  dx I  dx  4 4 0 0  sin x  cos x 4  sin x  cos x  0  sin x  cos x  4

1  2sin 2 x

4

Đặt t  sin x  cos x hoặc hoặc biến đổi vi phân trực tiếp Cách 3:  4

Biến đổi I   0

Đặt t  x 



1  2sin x 2

 sin x  cos x 

4

4

dx   0

cos 2 x dx  4 4 cos  x   4 

 4 

sin 2 x dx Bài 6: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính tích phân: I   6  cos x 3

6

HD: Ta có

sin 2 x 1 1 dx  tan 2 x. . dx  tan 2 x 1  tan 2 x  d  tan x  6 2 cos x cos x cos 2 x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 71

Đs:

42 3  8 15  2

Bài 7: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân: I   

sin x  cos x dx sin x  cos x

4

HD:  2

I  

4

       d cos  x    2 sin  x   2 4      4   dx     dx   ln cos  x      4       2 cos  x   cos  x   4 4 4  

 1  ln 2  2 4 2

 4

Bài 8: Tính tích phân sau: I   tan 6 xdx 0

HD: Đặt t  tan x  dt   tan 2 x  1 dx

x  0  t  0  Đổi cận:    x  4  t  1 



1  t5 t3  1 4 t 6 dt 1  13      t 4  t 2  1  2  dt     t    du   Vậy I   tan 6 xdx   2 t 1 0  t 1 15 4 5 3 0 0 0 0 4

1

 2

Bài 9: Tính tích phân sau: I   cos5 xdx  0

8 15



sin x cos3 x dx 1  cos 2 x 0 2

Bài 10: Tính tích phân sau: I   HD: 

2 2 1  ln 2 1 2 cos 2 x 1 t 1 1 2 I   d 1  cos x  dt  t  ln t      1 2 0 1  cos 2 x 2 1 t 2 2

Bài 11: Tính tích phân sau: I   tan 4 xdx HD:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 72

 1  I   tan 4 xdx   tan 2 x sin 2 xd  tan x    tan 2 x 1  cos 2 x  d  tan x    tan 2 x 1  d tan x  2    1  tg x 

  tan 2 xd  tan x   

tan 2 x  1  1 1 d  tan x   tan 3 x  tan x  x  C 2 1  tan x 3 

3sin x  4 cos x dx 3sin 2 x  4 cos 2 x 0 2

Bài 12: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân sau: I  

 3

Đs: I 

6

 ln 3

V. BÀI TẬP HỖN HỢP CỦA NHIỀU HÀM SỐ Bài tập giải mẫu:  4

Bài 1: (ĐH TL2001) Tính tích phân sau: I   ln 1  tan x  dx 0

Giải: Cách 1: dx  dt  Đặt x   t   1  tan t 2   4 1  tan x  1  tan  4  t   1  1  tan t  1  tan t   



   x  0  t  4 Đổi cận  x    t  0  4 





4

4

4

0

0

0

Khi đó I   ln 1  tan x  dx   ln 2dt   ln 1  tan t  dt   ln 2  .

 4

I  I 

 8

ln 2

Cách 2: Ta có 







 sin x  cos x  I   ln 1  tan x  dx   ln   dx   ln  sin x  cos x  dx   ln  cos x  dx  cos x   0 0 0 0 4

4

4

4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 73





    ln 2 cos   x  dx   ln  cos x  dx 4  0 0 4

4

J











4 1 1        Tính J   ln 2 cos   x  dx  ln 2  dx   ln cos   x  dx  ln 2 x 4   ln cos   x  dx  ln 2  K 2 2 8 4  4  4  0 0 0 0 0 4

4

4

K

Đặt t 

 4

 x   dt  dx 



4

4

0

0

Khi đó K   ln  cos t  dt   ln  cos x  dx Khi đó I 

 8

ln 2

Cách 3: Tích phân từng phần  u  ln 1  tan x  Đặt  ... Bạn đọc tự giải  dv  dx 1

Bài 2: Tính tích phân: I   0

ln 1  x  1  x2

dx.

HD: 

Đặt x  tan t ta được I 

4

 ln 1  tan t  dt; 0







4

4 2 đặt t   x ta được I   ln du  ln 2  du  I 4 1  tan u 0 0 5

Bài 3: Tính tích phân sau: I   2

ln



 dx

x 1 1

x 1  x 1

Giải: Cách 1: 1  dt  2 x  1 dx  2  t  1 dt  dx Đặt t  x  1  1    x   t  12  1 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 74

 x  5 t  3  Đổi cận   x  2 t  2 Khi đó 3 3 3 t  1 ln t  ln t I  2 dt  2  dt  2  ln td  ln t   ln 2 t  ln 2 3  ln 2 2 2 2 t 2  t  1  t  1 2 2 3

Cách 2: Đặt t  x  1... bạn đọc tự giải  2

xdx 1  sin 2 x 0

Bài 4: Tính tích phân sau: I   Giải: Cách 1: Đặt t 

 2

x

    Cách 2: Biến đổi 1  sin 2 x  1  cos  2 x    2 cos 2  x   , tích phân từng phần 2 4   

I   x.sin x.cos 2 xdx   0



 3



    1 1 3 3 xd cos x   x cos x   cos3 xdx      0 0 30 3 

 1  1 sin 3 x    2 1  sin x d sin x   sin x      3 3   3 0 3 0 3 

Bài 5: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau:  2

I  0

1  sin x  e 1  cos x

 x

2

dx   0



e

x

2cos 2

 e x sin x dx  e 2 1  cos x 0 2

x 2

dx  

Giải: Cách 1: 









2 2 1  sin x x e x dx sin x 1 2 e x dx 2 sin x .e dx    .e x dx    .e x dx Ta có: I   x 1  cos x 1  cos x 0 1  cos x 2 0 cos 2 1  cos x 0 0 0 2 I2 2

I1



e x dx x 0 cos 2 2 2

Tính: I1  

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 75

u  e x du  e x dx    Đặt: dv  dx   x v  tan 2 x   cos  2   2

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 

I1 





2

 

2

2 1 dx x x x x x 2  e tan  tan . e dx  e  tan .e x dx 2    2 0 cos 2 x 2 2 2 0 0 0 2





2

2

 x x 2sin cos 2 sin x 2 2 .e x dx  tan x .e x dx Tính: I 2   .e x dx   0 2 x 1  cos x 0 0 2 cos 2 2 

Vậy I  e 2 Cách 2: 







2 e x sin x x 2 x  Ta có: I   .dx   .dx   e x d  tan    e x tan .dx x 1  cos x 2 0 2  0 2 cos 2 0 0 2 2



ex

2







 2 2 x x x x  e x tan 2   e x tan .dx   e x tan .dx  e x tan 2  e 2 2 2 2 2 0 0 0 0

Sử dụng định nghĩa: Ta có

1  sin x  e x 1  cos x

x x ' ' e x .2sin cos ex x x  x x x x x  x 2 2     tan e   tan  e  tan  e  '   e tan  2 2 2 2 2 x 2 x 2 x   2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 ex

Hoặc ta biến đổi

x x  sin  cos   1 x x 2 2 1    1  2 tan  tan 2  x 1  cos x 2 2 2 2 cos 2

1  sin x 





1  12 x 2 x Vậy I   1  tan  dx   tan e x dx 2 0 2 20 2 2

I1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 76

 2

x Tính I1   tan e x dx 2 0 e2

1   1 Bài 6: (ĐH GTVT – 1998) Tính tích phân sau: I    2   dx ln x ln x  e 

Cách 1: Đặt f  x  

1 1  2 ln x ln x

1 1 1  ln x   x  ln x    x  ln x  x  2   F  x  Ta có f  x   2  2 ln x ln x ln x ln x ln x '

'

Khi đó e2

1   x e2 e2  1 I   2  dx   e   ln x ln x  ln x e 2 e 

Cách 2: e2

2

2

2

2

e e e e 1  dx x e2 dx dx  1  1  I   2      dx   xd    ln x ln x  ln x e e ln x e ln x  ln x  e ln x e  e



Bài 7: Tính tích phân sau I   x.sin x cos 2 xdx 0

Giải: 

I



1 1 x.sin 2 x cos xdx   x.  sin 3x  sin x  dx  20 40

du  dx u  x   Đặt:   1  dv   sin 3x  sin x  dx v   3  cos 3x  cos x   1  1   1  Khi đó I  x  cos 3x  cos x     cos 3x  cos x  dx  4  3 3  0 03  





x  1 1 1 1 5     cos 3x  cos x  2   sin 3x  sin x  2   2 3 2 9.  0 2  18 0

Cách 2: Đặt x    t... bạn đọc tự giải Chú ý: Qua mấy bài toán trên ta có nhận xét

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 77

Dựa vào đạo hàm ta có thể tính Nguyên hàm của một các dạng đặc biệt Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích thương Dạng

Cấu trúc hàm số

Nguyên hàm

Tổng

f  x   u '  v'  u  v 

Hiệu

f  x   u '  v'   u  v 

Tích

f  x   u 'v  v'u   uv 

Thương

u ' v  v 'u  u  f  x    v2 v

'

F  x  u  v

'

F  x  u  v

'

F  x   uv

'

F  x 

u v

Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa ex Đặc trưng

Nguyên hàm

Hàm số (đạo hàm)

ex

F  x   u  x  ex

F '  x   u '  x   u  x  e x  f  x 

e x

F  x   u  x  e x

F '  x   u '  x   u  x  e x  f  x 

e ax  b

F  x   u  x  eax b

F '  x   u '  x   au  x  e ax b  f  x 

e

F  x  u  x e

v v

1

Ví dụ: Tính tích phân sau: I  

x 2e x

0  x  2

2

v v 

F '  x   u '  x   v'  x  u  x  e    f  x  v x

dx

Giải: Cách 1: Tích phân từng phần u  x 2 e x du  xe x  x  e  dx   Đặt  dx   1 du   x  2 2 v   x2   1

Khi đó I  

x 2e x 1   xe x dx x2 0 0 I1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 78

u  x du  dx Tính I1   xe x dx. Đặt    x x dv  e dx v  e 0 1

Khi đó I1  xe

x

1 0

1

  e x dx   xe x  e x  0

1 0

1 x 2e x 1   xe x  e x   1 Vậy I   0 x2 0 Cách 2: Phân tích x 2   x 2  4 x  4   4  x  2   4   x  2   4  x  2   4 2

1

Khi đó I   0

1

x2

 x  2

e dx   x

2

 x  2

2

 4  x  2  4

 x  2

0

2

1

1

1

ex 1 e dx   e dx  4 dx  4 dx x2 x2 0 0 0 x

x

J

Tính J làm xuất hiện tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân Bài tập tự giải có hướng dẫn: 1

Bài 1: Tính tích phân sau: I   0

x 2e2 x

 x  1

2

dx

HD: Sử dụng tích phân từng phần  1  dx    x 2 e 2 x d    x 1 0  x  1 0

1

I 

 

1

x 2e2 x

2

1 1 1 x 2e2 x 1 1 e2 e2  d  x 2e2 x      2 xe2 x dx     xd  e2 x  x 1 0 0 x 1 2 0 2 0

e2 e2 x 1 e2  e2 1  1       2 2 0 2  2 2 2 

 x 2  2 2 x  tan Bài 2: Tính tích phân sau: I    4 x tan  x 1  tan    2 2  8 8  0  2

1

Bài 3: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I   0

x

2

 1 e x

 x  1

2

dx  1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 79

 2

Bài 4: Tính tích phân sau: I   esin x 1  x cos x  dx  0

 2

e

e2

1   2 Bài 5: (ĐHTN – 1996) Tính tích phân sau: I    2 ln x    2 2e  2e ln x  e 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 80