Giáo trình phương trình vi phân BM Khoa học cơ bản

Ph

ng trình vi phân

M CL C

ng 1 ..................................................................................................................... 5 NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 ................................................. 5

LÝ THUY T PH

U .......................................................................................................... 5

1.1.

nh ngh a ..................................................................................................... 5

1.4. Ý ngh a hình h c c a ph

Y

.Q

ng trình vi phân ....................................................................... 6 ng trình vi phân c p 1 ........................................ 7

TP

1.3. C p c a ph

ng trình vi phân ...................................... 5

U

1.2. Ý ngh a c h c và v t lý c a ph

N

H

Ơ

§1. M

Đ

ẠO

§2. NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M I V I PH NG TRÌNH VI PHÂN C P I ...................................................................................................... 8 nh ngh a ..................................................................................................... 8

G

2.1.

NG TRÌNH VI PHÂN.............................. 9

H

§3. CÁC LO I NGHI M C A PH

Ư N

2.2. nh lý ............................................................................................................ 8

ẦN

3.1.Nghi m t ng quát ........................................................................................... 9

TR

3.2.Tích phân t ng quát ........................................................................................ 9

10 00 B

3.3.Nghi m riêng .................................................................................................. 9 3.4.Nghi m kì d ................................................................................................. 10 ng pháp tìm nghi m kì d .................................................................... 11

A

3.5. Ph

Ó

ng 2 ................................................................................................................... 14

H

Ch

NG PHÁP ...................................................................................... 14

-L

NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 .............................................................. 14

NG TRÌNH VI PHÂN V I BI N S PHÂN LY ............................... 14

ÁN

§1. PH

Í-

M T S PH GI I PH

TO

1.1.D ng M ( x) dx + N ( y ) dy = 0

ÀN

1.2.Ph

D

IỄ N

Đ

§2. PH

ng trình đ a v ph

............................................................. 14

ng trình tách bi n................................................ 15

NG TRÌNH THU N NH T ................................................................ 15

2.1. nh ngh a .................................................................................................... 15 2.2. Ph §3. PH

N

Ch

ng trình đ a đ

c v ph

ng trình thu n nh t ................................... 17

NG TRÌNH TUY N TÍNH .................................................................. 18

3.1. nh ngh a .................................................................................................... 18 3.2.Cách gi i ....................................................................................................... 18 3.3.H qu .......................................................................................................... 19 B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình đ a đ

3.4.Ph

c v ph

ng trình vi phân

ng trình tuy n tính ..................................... 20

NG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CH NH - TH A S TÍCH PHÂN..... 23

§4. PH

4.1.Cách đoán nh n ph

ng trình vi phân hoàn ch nh ............. 23

ng trình là ph

ng 3 ................................................................................................................... 30

PH

NG TRÌNH VI PHÂN C P 1........................................................................ 30

N

U

Y

F ( x, y ') = 0 HAY F ( y, y ') = 0 .................................. 30

1.1.Ph

ng trình F ( x, y ') = 0 .

1.2.Ph

ng trình F ( y , y ') = 0

.Q

NG TRÌNH

............. 30

TP

§1. PH

O HÀM ................................................................... 30

IV I

ẠO

CH A GI I RA

H

Ơ

Ch

................ 31

G

Đ

§2. PH NG TRÌNH F ( x, y, y ') = 0 - PH NG TRÌNH LAGR NG-KLERÔ ............................................................................................................................... 32 ng trình F ( x, y, y ') = 0 ........................................................................ 32

2.2.Ph

ng trình Lagr ng .................................................................................. 33

2.3.Ph

ng trình Klerô: Khi φ ( y ') ≡ y ' ............................................................ 34

TR

ẦN

H

Ư N

2.1.Ph

ng 4 ................................................................................................................... 35

PH

NG TRÌNH VI PHÂN C P CAO ................................................................. 35

10 00 B

Ch

§1.

NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M .......................................... 36 ng trình vi phân c p cao ....................................... 36

Ó

A

1.1.D ng t ng quát c a ph

H

1.2. nh lý t n t i và duy nh t nghi m .............................................................. 37

Í-

ng trình c p n ...................................................................................... 38

-L

1.3. Ph

§2. CÁC PH

NG TRÌNH GI I

C B NG C U PH

NG .................... 39

TO

ÁN

(n) 2.1.D ng F ( x, y ) = 0 ...................................................................................... 39

IỄ N

Đ

ÀN

( n −1) (n) 2.2.D ng F ( y , y ) = 0 ................................................................................ 42

D

N

4.2.Th a s tích phân ......................................................................................... 26

( n − 2) , y ( n ) ) = 0 ............................................................................... 43 2.3. D ng F ( y

§3. TÍCH PHÂN TRUNG GIAN - PH

NG TRÌNH H C P

C ........... 44

3.1. Tích phân trung gian ................................................................................... 44 3.2. Các tr

ng h p ph

ng trình h c p đ

c nh tích phân trung gian ......... 44

3.3. Ph

ng trình thu n nh t đ i v i hàm và đ o hàm ...................................... 46

3.4. Ph

ng trình mà v trái là đ o hàm đúng ................................................... 47

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

ng 5 ................................................................................................................... 48

Ch

LÝ THUY T T NG QUÁT .................................................................................... 48 NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH .................................................... 48

V PH 1.1.

nh ngh a ................................................................................................... 48

H

Ơ

1.2. Tính ch t ...................................................................................................... 48

N

NH NGH A VÀ TÍNH CH T T NG QUÁT ........................................... 48

§1.

N

1.3. S t n t i và duy nh t nghi m..................................................................... 48 NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T.................... 49

U

Y

§2. PH

TP

.Q

2.1. Tính ch t c a toán t Ln ............................................................................. 49 2.2. Khái ni m v s ph thu c tuy n tính ........................................................ 49 nh th c Wrônxki...................................................................................... 50

ẠO

2.3.

G

Đ

2.4. H nghi m c b n ....................................................................................... 52 NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH KHÔNG THU N NH T ... 54

Ư N

§3. PH

H

3.1. Tính ch t:..................................................................................................... 54 ng pháp bi n thiên h ng s ................................................................. 55

ẦN

3.2. Ph

TR

NG TRÌNH TUY N TÍNH CÓ H S H NG S . ................................ 57

§ 4. PH

ng trình tuy n tính thu n nh t h s h ng s . ..................................... 57

4.2. Ph

ng trình tuy n tính không thu n nh t h s h ng s . .......................... 60

10 00 B

4.1. Ph

ng 6 ................................................................................................................... 65 NG TRÌNH VI PHÂN ............................................................................. 65

Ó

H PH

A

Ch

NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M ................. 65

nh ngh a ................................................................................................... 65

1.2.

Í-

1.1.

-L

H

§ 1. KHÁI NI M,

ÁN

nh lý t n t i và duy nh t nghi m ............................................................. 65

TO

1.3. Các lo i nghi m c a h chu n t c ............................................................... 66

D

IỄ N

Đ

ÀN

§2.

A H PH

NG TRÌNH VI PHÂN V PTVP C P CAO. .................... 66

2.1. M t s ví d ................................................................................................. 66

§3. PH

NG PHÁP L P T H P GI I TÍCH ................................................ 68

§ 4. H PH 4.1.

NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T .............. 70

nh ngh a ................................................................................................... 70

4.2. Toán t vi phân tuy n tính .......................................................................... 71 4.3. Khái ni m v s ph thu c tuy n tính ........................................................ 72 4.4. H nghi m c b n ....................................................................................... 74 B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH KHÔNG THU N NH T 75

§5. H PH

5.1. M t s đ nh lý v nghi m c a h ph

ng trình. ......................................... 75

ng pháp bi n thiên h ng s ................................................................. 77

5.2. Ph

CÓ H S H NG S ........................................................................................... 79 ng trình vi phân c p 1 .......................................................................... 85

Ph n 2: Ph

ng trình vi phân c p cao ...................................................................... 91

N

H

Ơ

Ph n 1: Ph

N

NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T .............. 79

§6. H PH

Y

ng trình vi phân .............................................................................. 95

U

Ph n 3: H ph

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00 B

TR

ẦN

H

Ư N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

TÀI LI U THAM KH O ................................................................................. 97

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Ch LÝ THUY T PH §1. M

ng trình vi phân

ng 1

NG TRÌNH VI PHÂN C P 1

U ng trình đ i s hay ph

Ơ

ng

H

bao gi c ng tìm hàm c n xác đ nh thông qua các ph

N

Khi dùng toán h c đ nghiên c u các bài toán t nhiên, k thu t không ph i

N

trình siêu vi t mà nhi u khi ta ph i tìm hàm thông qua các m i liên h gi a bi n s

.Q

U

Y

đ c l p, hàm ph i tìm và các đ o hàm hay vi phân c a nó.

ng trình vi phân.

1.1.

nh ngh a: Ph

Đ

ng trình mà trong đó ch a các bi n s đ c l p, hàm ph i

tìm và các đ o hàm ( hay vi phân ) c a nó đ

Ta phân bi t ph

G

Ư N

ng trình vi phân.

ẦN TR

10 00 B

y '''+ 5 yy '' = 0

c g i là m t ph

H

dy + 5 x sin x = 0 dx

Ví d :

cg i

ẠO

là ph

ng trình m i đ

TP

T đó đòi h i toán h c ph i nghiên c u m t l p ph

ng trình vi phân th

ng là ph

ng trình mà trong đó hàm

Ó

ng trình đ o hàm riêng là ph

-L

Í-

nh t hai bi n s :

ng trình mà hàm ph i tìm ph thu c ít

H

Ph

A

ph i tìm ch ph thu c m t bi n s đ c l p.

∂ 2u ∂u + = sin x.sin t ∂x 2 ∂t

u = u ( x, t )

TO

ÁN

Ví d :

D

IỄ N

Đ

ÀN

1.2. Ý ngh a c h c và v t lý c a ph

l

ng trình vi phân

Bài toán: Xét chuy n đ ng r i t do trong chân không c a m t v t có kh i

ng m. Hãy tìm quy lu t chuy n đ ng.

Ch n h

ng oy nh hình v .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Theo c h c n u g i quãng đ khác ta bi t r ng v t r i t

ng trình vi phân

ng là y thì gia t c c a v t là w =

d2y .M t dt 2

do trong chân không có gia t c không đ i là

d2y g = 9,8( m / s ) . Do cách ch n tr c oy ta có: = −g . dt 2

H

gt 2 ⎛ dy ⎞ ng trình ta có: y = − + C1t + C2 . Trong đó: C1 = ⎜ ⎟ = v0 (v n t c 2 ⎝ dt ⎠t =0

Y

N

Gi i ph

Ơ

N

2

TP

.Q

U

ban đ u), C2 = ( y )t =0 = y0 (đ cao ban đ u).

ng trình).

ng trình.

1.3. C p c a ph

H

ph

ng trình vi phân

dy ) = 0 có ch a đ o hàm c p 1 là ph dx

ng trình F ( x, y ,

(ph

ng trình nh t thi t ph i ch a đ o hàm c p 1).

ng trình vi phân c p 1

A

10 00 B

Ph

Ó

ng trình F ( x, y ,

H

Ph

c các đi u ki n ban đ u c a

Ư N

Mu n xác đ nh các h ng s thì ta ph i bi t đ

ẦN

-

ng tu theo

Đ

c p c a ph

ng trình vi phân ch a các h ng s tu ý (s l

G

Nghi m c a ph

TR

-

ẠO

Qua ví d trên ta th y:

dy d 2 y , ) có ch a đ o hàm c p 2 là ph dx dx 2

ng trình vi

-L

Í-

phân c p 2 ( Nh t thi t ph i ch a đ o hàm c p 2).

ÁN

M t cách t ng quát: C p c a ph ng trình.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

có m t trong ph

ng trình vi phân là c p cao nh t c a đ o hàm

dy dny Ch ng h n F ( x, y , ,..., n ) = 0 là ph dx dx

thi t ph i có m t

ng trình vi phân c p n,

đây nh t

dny . dx n

i v i ph

ng trình vi phân c p n thông th

y = φ ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) ch a n h ng s

B môn Khoa h c c b n

tu ý đ

ng ta tìm nghi m d

i d ng

c g i là nghi m t ng quát c a

Trang

Ph

ph

ng trình. N u cho C1 , C2 ,..., Cn nh ng giá tr c th ta s đ

ph

ng trình.

1.4. Ý ngh a hình h c c a ph

c nghi m riêng c a

ng trình vi phân c p 1

dy = f ( x, y ) dx

H

Ơ

N

ng trình: (1.4)

U

Y

N

Xét ph

ng trình vi phân

y = φ ( x) là nghi m c a (1.4) thì đ

ng cong tích phân c a ph

ng trình y = φ ( x) g i là

ng cong có ph

ng trình vi phân (1.4) . Ta xét xem đ

ẠO

đ

TP

.Q

V i gi thi t hàm f ( x, y ) xác đ nh và liên t c trong mi n G ⊂ R 2 . N u

Ư N

G

Đ

phân đó có tính ch t gì ?.

ng cong tích

ẦN

tr c ox m t góc α sao cho tgα = f ( x, y ) .

H

Trên m t ph ng R 2 qua m i đi m M ( x, y ) ∈ G v m t đo n th ng làm v i

c g i là m t H

NG TR

NG. Khi đó trong G đ

10 00 B

trên đ

TR

Khi đó t p h p m i đi m c a G mà t i m i đi m có xác đ nh đo n th ng nh tính ch t là nó ph i ti p xúc v i H

NG TR

NG t i m i đi m c a nó.

H

ng cong y = φ ( x) sao cho h

ng c a ti p tuy n t i m i đi m c a nó trùng v i

ng t i đi m y.

Íng tr

-L

ng c a h

ng trình (1.4) là hãy

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

h

Ó

A

Nh v y: Ý ngh a hình h c c a vi c l y tích phân ph v đ

ng cong tích phân có

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

§2.

NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M

ng trình vi phân

I V I PH

NG

TRÌNH VI PHÂN C P I

dy = f ( x, y ) dx

(2.1)

N

ng trình

c

cđ

2. Nghi m c a bài toán là duy nh t.

Đ

G

ng trình có nghi m.

Ư N

1. Bài toán Côsi c a ph

ẠO

M t v n đ đ t ra là ta hãy xét xem v i đi u ki n nào thì:

TP

.Q

ban đ u (đi u ki n đ u).

c g i là giá tr

U

đây ( x0 , y0 ) là các giá tr tu ý cho tr

g i là bài toán Côsi,

Y

N

Khi đó bài toán tìm nghi m y = y ( x) c a (2.1) sao cho khi x = x0 thì y = y0 đ

H

Ơ

Xét ph

nh ngh a: Ta nói hàm f ( x, y ) tho mãn trong mi n G ⊂ R 2 đi u ki n

TR

2.1.

ẦN

H

Gi i quy t các v n đ nêu trên là n i dung c a đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m.

10 00 B

Lipsit đ i v i y n u ∃ N > 0 sao cho v i b t k x, y, y mà ( x, y ) ∈ G,( x, y ) ∈ G thì (2.2) .

A

f ( x, y ) − f ( x, y ) ≤ N y − y

H

Ó

Chú ý: B t đ ng th c (2.2) s tho mãn n u f ( x, y ), ∃ f y' ( x, y ) gi i n i trong G t c

-L

Í-

là f y' ( x, y ) ≤ N ∀ ( x, y ) ∈ G . Vì theo Lagr ng

ÁN

f ( x, y ) − f ( x, y ) = f y' ( x, y + t ( y − y ) y − y ≤ N y − y c l i không đúng vì có th (2.2) tho mãn nh ng f y' ( x, y )

ÀN

TO

Nh ng đi u ng

D

IỄ N

Đ

không t n t i.

Ví d : f ( x, y ) = y

y − y ≤ y − y nh ng f y' không t n t i t i y = 0

2.2. nh lý: Xét ph ng trình (2.1) v i giá tr ban đ u ( x0 , y0 ) . Gi s 1. f ( x, y ) là hàm liên t c hai bi n trong mi n kín gi i n i G

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

⎧ x0 − a ≤ x ≤ x0 + a ⎨ ⎩ y0 − b ≤ y ≤ y0 + b

ng trình vi phân

a, b > 0

(vì f liên t c trong G kín, gi i n i nên ∃ M đ

f ( x, y ) ≤ M ∀( x, y ) ∈ G )

Ơ H

ng trình (2.1) xác

N

Khi đó t n t i duy nh t m t nghi m y = φ ( x) c a ph

N

2. f ( x, y ) tho mãn trong G đi u ki n lipsit đ i v i y .

ng trình

ẠO (3.1)

ẦN

3.1.Nghi m t ng quát

G ⊂ R 2 là mi n mà t i m i đi m c a nó có m t và ch m t đ

TR

Gi s

Đ

dy = f ( x, y ) dx

H

Xét ph

NG TRÌNH VI PHÂN

G

§3. CÁC LO I NGHI M C A PH

TP

b ) sao cho khi x = x0 thì φ ( x0 ) = y0 .

M

Ư N

h = min( a,

.Q

U

Y

đ nh và liên t c đ i v i các giá tr c a x thu c đo n x0 − h ≤ x ≤ x0 + h trong đó

ng trình (3.1) đi qua. Khi đó hàm y = φ ( x, c)

10 00 B

cong tích phân c a ph

đ nh và có đ o hàm liên t c theo x đ

(3.2) xác

c g i là nghi m t ng quát c a ph

ng trình

Ó

A

(3.1) trong G n u:

ng

Í-

H

a) ∀M ( x, y ) ∈ G t

y = φ ( x, c ) có th gi i ra đ

-L

b) y = φ ( x, c) là nghi m c a ph

c c = ψ ( x, y ) .

ng trình (3.1) v i ∀c thu c mi n đang xét

TO

ÁN

khi M ( x, y ) ch y kh p G .

H

th c: ϕ ( x, y , c) = 0 hay ψ ( x, y ) = c g i là tích phân t ng quát c a

(3.1) trong G n u nó xác đ nh nghi m t ng quát y = φ ( x, c) c a ph

ng trình trong

mi n đó.

D

IỄ N

Đ

ÀN

3.2.Tích phân t ng quát

3.3.Nghi m riêng Nghi m y = y ( x) đ

c g i là nghi m riêng c a ph

ng trình (3.1) n u t i

m i đi m c a nó đi u ki n duy nh t nghi m c a bài toán Côsi đ B môn Khoa h c c b n

c tho mãn.

Trang

Ph

Nghi m nh n đ

ng trình vi phân

c t nghi m t ng quát v i h ng s c xác đ nh luôn luôn là nghi m

riêng.

3.4.Nghi m kì d Nghi m y = y ( x) đ

c g i là nghi m kì d c a ph

ng trình (3.1) n u t i m i

Ơ H U

Y

N

( y ≥ 0)

ng trình y ' = 2 y

Ví d : Xét ph

N

đi m c a nó tính ch t duy nh t nghi m c a bài toán Côsi b phá v .

⇒

dy = dx 2 y

⇒

y = x+c

( x > −c)

⇒ y = ( x + c) 2

( x > −c)

.Q TP ẠO Đ

G

ng trình trên.

Ư N

Ta xét các lo i nghi m c a ph

( y ≠ 0)

ng trình đã cho trong mi n G : −∞ < x < +∞

0 < y < +∞ . V y ta c n ch ng

TR

ph

ẦN

H

a) Ta ch ng minh r ng y = ( x + c) 2 v i x > −c là nghi m t ng quát c a

10 00 B

minh.

+) Trong G đi u ki n t n t i và duy nh t nghi m c a bài toán Côsi đ c lân c n kín

H

Ó

A

tho mãn cho M ( x0 , y0 ) b t kì thu c G . Ta có th l p đ

c

∈G . Và trong lân c n đó

y − y0 ≤ b

-L

Í-

x − x0 ≤ a,

ÁN

⇒ đi u ki n Lipsit đ

c tho mãn.

y = ( x + c)2 ⇒ c =

y−x

+) H th c y = ( x + c) 2 v i x > −c tho mãn ph

ng trình.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

+) T

∂f 1 = gi i n i ∂y y

Do đó y = ( x + c) 2 v i x > −c là nghi m t ng quát c a ph

ng trình đã cho trong

mi n G . b) D th y

y − x = c là tích phân t ng quát c a ph

c) Nghi n riêng: T

ng trình.

y = ( x + c) 2 v i c = 0 ⇒ y = x 2 v i x > 0 là nghi m riêng.

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

d) Nghi m kì d : Xét y = 0 d th y y = 0 là nghi m c a ph đi m c a nó còn có m t nghi m riêng d n đ n đ

ng trình vi phân

ng trình nh ng t i m i

c xác đ nh t nghi m t ng quát

nên y = 0 là nghi m kì d .

+)

H

Ơ

c. o n x ' MN c ng là nghi m nh n đ

c b ng cách dán nghi m riêng và

N

đ

N

Chú ý: +) Nghi m kì d không th n m trong mi n t n t i G c a nghi m t ng quát

ng pháp tìm nghi m kì d

TP

3.5. Ph

.Q

U

Y

nghi m kì d , đây không ph i là nghi m riêng và không ph i là nghi m kì d .

ẠO

ng trình: y ' = f ( x, y )

a) Ph

Ư N

c tho mãn. Do đó nghi m kì d có th xu t hi n t i nh ng n i mà

∂f không ∂y

H

đ

G

Đ

Nghi m kì d ch có th xu t hi n t i nh ng n i mà đi u ki n Lipsit không

TR

ẦN

gi i n i. T đó ta có th rút ra quy t c tìm nghi m kì d : +) Tìm nh ng đ

10 00 B

ng cong mà d c theo nó

cong đó là y = φ * ( x ) .

Ó

A

ng cong đó có ph i là nghi m c a ph

H

+) Th xem đ

∂f không gi i n i. Gi s g i đ ∂y

Í-

+) N u có ph i thì th xem t i m i đi m c a đ

ng

ng trình vi phân không.

ng cong tính ch t duy nh t nghi m

ÁN

-L

có b phá v hay không. N u tính duy nh t b phá v thì y = φ * ( x ) là nghi m kì d .

∂f = ∞ khi y = 0 . ∂y

Ta th y: +) y = 0 là nghi m.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

∂f 2 −21 = y Ví d : y ' = y . Ta có ∂y 3 2 3

+) Nghi m t ng quát c a ph là h đ

ng trình vi phân trên là 27 y = ( x + c)3

đây

ng Parabol b c 3, ta th y t i m i đi m c a y = 0 tính ch t duy nh t

nghi m b phá v do đó y = 0 là nghi m kì d . b) Ph

ng trình F ( x, y , y ') = 0

B môn Khoa h c c b n

(3.2) .

Trang

Ph

ng trình vi phân

ng trình (3.2) xác đ nh m t s các giá tr th c y ' (hay vô h n)

Gi s ph

y ' = f i ( x, y )

(i = 1, 2,...)

(3.3)

gi s

f i ( x, y ) liên t c và có đ o hàm riêng theo y khi đó lý lu n nh trên ta có th

tìm đ

c nghi m kì d c a ph

H

Y U .Q TP

ng trình (3.2) theo y ta đ

c

∂F ∂F ∂y ' + =0 ∂y ∂y ' ∂y

Đ

−

∂F ∂y ' ∂F =0⇔ ≠ 0) . Ta th y r ng không gi i n i. ∂y ' ∂y ∂y '

ẦN

H

( gt

G

∂F ∂y ' ∂y ⇒ = ∂F ∂y ∂y '

∂fi ∂y ' = vi phân ph ∂y ∂y

Ư N

Ta có:

∂fi nh sau: ∂y

ẠO

th tính tr c ti p

ng trình (3.2) ta có

N

Tuy nhiên trong th c hành đ tìm nghi m kì d c a ph

Ơ

N

ng trình (3.2) .

kh

y ' ta đ

ng trình (3.2) nh sau:

c h th c R ( x, y ) = 0

(3.4)

Ó

A

⎧ F ( x, y, y ') = 0 ⎪ * T h ⎨ ∂F ⎪ ∂y ' = 0 ⎩

10 00 B

TR

T đó ta đi đ n quy t c tìm nghi m kì d c a ph

ng trình (3.2) .

-L

Í-

H

H th c (3.4) g i là y '− bi t tuy n (hay p bi t tuy n) c a ph

ng trình (3.2) hay không.

ÁN

* Th xem p bi t tuy n có ph i là nghi m c a ph

TO

* N u ph i thì xem tính ch t duy nh t có b phá v hay không. N u có thì

D

IỄ N

Đ

ÀN

p-bi t tuy n là nghi m kì d .

Ví d : Tìm nghi m kì d c a ph

∂F = 2 y ' = 0 kh Ta có ∂y ' Thay y = ±1 vào ph

ng trình F ( x, y , y ') = y '2 + y 2 − 1 = 0 .

⎧ y '2 + y 2 − 1 = 0 y' t h ⎨ ⇒ y = ±1 . ⎩2 y ' = 0

ng trình ta th y nó là nghi m.

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

y ' = ± 1 − y2

T

ta

có

ng trình vi phân

arcsin y = ± x + c ⇒ y = sin(± x + c )

nghi m

hay

y = sin( x + c) (vì sin( − x + c) = sin( x + π − c) ).

N

Ta th y trên y = ±1 tính ch t duy nh t nghi m b phá v ⇒ y = ±1 là nghi m kì d .

H

Ơ

c) Tìm nghi m kì d t nghi m t ng quát:

U

c h t ta tìm c -bi t tuy n t h

.Q

nghi m t ng quát. Mu n v y tr

Y

N

Gi s tích phân t ng quát có d ng Φ ( x, y , c ) = 0 ta tìm bao hình c a h

Đ

ẠO

TP

⎧Φ ( x, y , c ) = 0 ⎪ ⎨∂Φ ( x, y, c) =0 ⎪⎩ ∂c

ng trình.

H

thì nó là nghi m kì d c a ph

Ư N

G

Ta ch ng minh r ng n u c -bi t tuy n là bao hình c a h nghi m t ng quát

TR

ẦN

Th t v y

Bao hình là nghi m: T i m i đi m c a bao hình luôn có m t đ

ng cong tích

10 00 B

phân ti p xúc suy ra bao hình là nghi m.

Bao hình là nghi m kì d : Hi n nhiên.

Ó

A

Quy t c tìm nghi m kì d :

TO

ÁN

-L

Í-

H

+ Tìm c -bi t tuy n c a h đ

ng cong Φ ( x, y, c) = 0

⎧Φ ( x , y , c ) = 0 ⎪ ⇒ R ( x, y ) = 0 ⎨∂Φ ( x, y, c) = 0 ⎪⎩ ∂c

nghi m kì d .

D

IỄ N

Đ

ÀN

+ Th xem c -bi t tuy n có ph i là bao hình không. N u ph i thì R ( x, y ) = 0 là

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Ch M TS

ng 2

PH

NG PHÁP

NG TRÌNH VI PHÂN C P 1

N

H

NG TRÌNH VI PHÂN V I BI N S PHÂN LY

1.1.D ng M ( x) dx + N ( y ) dy = 0

(1.1)

ng trình tách bi n)

ẠO

M ( x ), N ( y ) liên t c trong mi n nào đó c a R 2 , khi đó tích phân t ng quát

∫ M ( x)dx + ∫ N ( y)dy = C . ng trình

H

T ng quát h n ta xét ph

Ư N

G

c a (1.1) có d ng

Đ

gi s

ng trình vi phân v i bi n s phân ly (ph

TP

(1.1) g i là ph

.Q

U

Y

§1. PH

Ơ

N

GI I PH

ng trình vi phân

(1.2)

TR

ẦN

M ( x) N ( y ) dx + P ( x )Q ( y ) dy = 0

N ( y ) P ( x ) ≠ 0 khi đó t

M ( x)

Q( y )

M ( x) Q( y ) dx + dy = 0 do đó tích phân P ( x) N ( y)

A

∫ P( x) dx + ∫ N ( y) dy = C .

Ngoài ra ta ph i xét tr

ng h p

H

t ng quát có d ng

(1.2) ⇒

Ó

Gi s

10 00 B

Trong đó M , N , P, Q là các hàm liên t c theo đ i s c a chúng trong mi n đang xét.

-L

Í-

N ( y ) P ( x) = 0 .

ÁN

Nh ng tr

ng h p y = y0 làm cho N ( y ) = 0 c ng là nghi m c a ph

i d ng x = x( y ) thì nh ng giá tr x = x0

làm cho P( x) = 0 c ng là nghi m c a ph

ng trình.

TO

trình (1.2) . N u mu n tìm c nghi m d

ÀN Đ IỄ N D

ng

Ví d : Xét ph

ng trình x( y 2 − 1) dx + y ( x 2 − 1) dy = 0 .

Gi s ( y 2 − 1)( x 2 − 1) ≠ 0 ⇒

B môn Khoa h c c b n

x y dx + 2 dy = 0 x −1 y −1 2

Trang

Ph

⇔ ln x 2 − 1 + ln y 2 − 1 = ln C1

ng trình vi phân

(C1 ≠ 0)

⇔ ( x 2 − 1)( y 2 − 1) = C1

hay ( x 2 − 1)( y 2 − 1) = C

Ơ H

ng trình tách bi n

dy = f (ax + by + c) . dx

.Q

ng trình d ng

TP

Xét ph

U

Y

N

ng trình đ a v ph

1.2.Ph

N

Ngoài ra còn có các nghi m y = ±1, x = ±1 .

ng trình tách

G

Đ

ẠO

dz −a dy dx dz t z = ax + by + c ⇒ hay = − a = bf ( z ) đây là ph dx b dx

dy = x− y+5 dx

ẦN

TR

⇒

t z = x− y+5

dz = dx ⇒ ln 1 − z = − x + C1 do đó 1 − z = e − x eC1 ⇒ 1 − z = Ce − x .

1− z

10 00 B

Ví d :

H

Ư N

bi n.

z = 1 − Ce − x hay y = Ce − x + x + 4 là nghi m c a ph

ng trình.

Í-

H

Ó

A

V y

NG TRÌNH THU N NH T

ÁN

-L

§2. PH

f ( x, y ) g i là hàm thu n nh t b c n n u

TO

2.1. nh ngh a: Hàm s

Xét ph

ng trình :

D

IỄ N

Đ

ÀN

f (tx, ty ) = t n f ( x, y ) .

dy = f ( x, y ) dx

(2.1)

v i f ( x, y ) liên t c và là hàm thu n nh t b c không. tt=

1 y y dy y ⇒ f ( x, y ) = f (1, ) = φ ( ) ta có: = φ( ) dx x x x x

B môn Khoa h c c b n

(2.2)

Trang

Ph

y dy dz th vào ph ⇒ = z+x x dx dx

N

ng trình tách bi n

dz dx = v i gi thi t φ ( z ) − z ≠ 0 φ ( z) − z x

N

ây là ph

dz dz = φ ( z ) hay φ ( z ) − z = x . dx dx

Ơ

z+x

ng trình (2.2) ta có

H

t z=

ng trình vi phân

dz

TP

.Q

U

Y

1 dz x x ∫ φ ( z )− z y = eϕ ( z ) hay x = Ceϕ ( z ) thay z = ∫ φ ( z ) − z = ln x + ln C1 = ln C1 ⇔ C1 = e x y x

(2.3)

Đ

c x = Ce

vào ta đ

ẠO

ϕ( )

(1 − z 2 ) dx dx dz 2 zdz −∫ dz = ∫ − ∫ + ∫ = ln C1 2 x z (1 + z ) x z 1 + z2

Ó

A

⇒∫

dx (1 − z 2 ) dz 2z z3 + z = dz hay = − z = x z ( z 2 + 1) 1− z2 dx 1 − z 2

10 00 B

t y = zx ⇒ x

ẦN

H

dy 2 xy = 2 dx x − y 2

TR

Ví d :

Ư N

G

ây là nghi m t ng quát c a (2.1) .

-L

Í-

H

x (1 + z 2 ) x (1 + z 2 ) y = C1 hay hay ln x − ln z + ln 1 + z = ln C1 ⇔ = C thay z = z x z 2

2

2

C⎞ ⎛C⎞ ⎛ vào ⇒ y + x − Cy = 0 hay x + ⎜ y − ⎟ = ⎜ ⎟ .

2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 2

2

TO

ÁN

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

Chú ý: - Khi gi i ph

ng trình vi phân thu n nh t ta không nh t thi t ph i đ a v

y d ng φ ( ) mà đ t luôn y = zx sau đó bi n đ i. x

-

N u φ ( z ) − z = 0 v i z = z0 thì ngoài nghi m t ng quát còn nghi m z = z0

hay y = z0 x c ng là nghi m.

Trong ví d trên đ

B môn Khoa h c c b n

ng th ng y = 0 c ng là nghi m c a ph

ng trình.

Trang

Ph

ng trình d ng

⎛ a x + b1 y + c1 ⎞ dy = f⎜ 1 ⎟. dx ⎝ a2 x + b2 y + c2 ⎠

⎧x = ξ + h ≠ 0 dùng phép đ i bi n ⎨ b2 ⎩y =η + k

a1

∆=

b1

a2

(h, k = const ) , khi đó

H

* Gi s

ng trình thu n nh t

N

Xét ph

c v ph

Ơ

ng trình đ a đ

2.2. Ph

ng trình vi phân

⎛ a ξ + b1η + a1h + b1k + c1 ⎞ dη = f⎜ 1 ⎟ . N u ch n h, k tho mãn dξ ⎝ a2ξ + b2η + a2 h + b2 k + c2 ⎠

N

ng trình có d ng

b2

.Q

TP

ẠO

a2

=0 ⇔

a1 b1 = =λ a2 b2

Đ

b1

⎛ a ξ + b1η ⎞ dη = f⎜ 1 ⎟ dξ ⎝ a2ξ + b2η ⎠

H

⎛ a x + b1 y + c1 ⎞ ⎛ λ (a2 x + b2 y ) + c1 ⎞ dy = f⎜ 1 ⎟= f ⎜ ⎟ dx ⎝ a2 x + b2 y + c2 ⎠ ⎝ a2 x + b2 y + c2 ⎠

ng trình theo z ta có

10 00 B

t z = a2 x + b2 y và l p ph

TR

ẦN

do đó

a1

ng trình thu n nh t

Ư N

*N u ∆=

c ph

G

⎧a1h + b1k + c1 = 0 thì ta đ ⎨ ⎩a2 h + b2 k + c2 = 0

U

Y

ph

trình tách bi n.

dz = φ ( z ) đây là ph dx

ng

Ó

A

1 1 ⎧x = ξ + h dy x + y − 3 = = −2 ≠ 0 đ i bi n ⎨ ta có ∆ = ch n h, k tho 1 −1 dx x − y − 1 ⎩y =η + k

Í-

H

Ví d :

c ph

ng trình thu n nh t

ÁN

-L

⎧h + k − 3 = 0 ⎧h = 2 ⇔⎨ mãn ⎨ Ta đ ⎩h − k − 1 = 0 ⎩k = 1

du 1 + u 2 = ph dξ 1 − u

t

ng trình tách bi n.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

η = uξ ⇒ ξ

dη ξ + η = dξ ξ − η

1 arctgu − ln (1 + u 2 ) = ln ξ + ln C1 ⇔ Cξ 1 + u 2 = e arctgu 2

tr v bi n c ta đ

c C ( x − 2) + ( y − 1) = e

B môn Khoa h c c b n

2

2

arctg

y −1 x −2

.

Trang

Ph

§3. PH

ng trình vi phân

NG TRÌNH TUY N TÍNH

3.1. nh ngh a Ph

ng trình vi phân tuy n tính là ph

ng trình vi phân tuy n tính đ i v i hàm và

N

dy + B ( x) y = C ( x) dx

Y

(3.1)

.Q

U

D ng t ng quát: A( x )

H

Ơ

N

đ o hàm c a nó.

ng trình đ

tuy n tính thu n nh t ng v i ph

G Ư N

ng trình này đ

H

dy + P ( x ) y = 0 ph dx

c g i là ph

ng trình

ẦN

ng trình

(3.2)

ng trình đã cho.

TR

Xét ph

Đ

dy + P ( x) y = Q( x) dx

c đ a v d ng.

ẠO

kho ng đang xét A( x ) ≠ 0 ∀x thì ph

TP

Trong đó A( x), B ( x), C ( x) là các hàm liên t c trong kho ng nào đó. N u trong

c 1: Xét ph

ng trình

dy + P( x) y = 0 dx

(3.3)

H

Ó

A

a) B

10 00 B

3.2.Cách gi i: Ph ng pháp bi n thiên h ng s .

y ≠ 0 khi đó ph

ng trình (3.3) đ a v d ng

-L

Í-

Gi s

(C1 ≠ 0)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

do đó ln y = − ∫ P( x)dx + ln C1

dy = − P( x)dx y

− P ( x ) dx − P ( x ) dx ⇒ y = C1 e ∫ hay y = Ce ∫

(3.4)

M t khác y = 0 c ng là nghi m nh ng có th g p vào (3.4)

ng v i tr

ng h p

C = 0.

V y nghi m t ng quát c a ph

− P ( x ) dx trong đó C là h ng ng trình (3.3) là y = Ce ∫

s tu ý.

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

b) B đó

ng trình vi phân

i d ng (3.4) trong đó coi C = C ( x ) khi

c 2: Ta th tìm nghi m c a (3.2) d

− P ( x ) dx dy dC − ∫ P ( x ) dx thay h th c này vào ph e = − p ( x)Ce ∫ dx dx

ng trình (3.2) ta có

Ơ

N

− P ( x ) dx − P ( x ) dx dC − ∫ P ( x ) dx e − P ( x)Ce ∫ + P ( x)Ce ∫ = Q ( x) dx

N

H

P ( x ) dx P ( x ) dx dC hay C = C ( x) = ∫ Q( x)e ∫ + C1 . Trong đó C1 là h ng s = Q ( x )e ∫ dx

U

Y

do đó

− P ( x ) dx − P ( x ) dx ∫ P ( x ) dx +e ∫ V y y = Ce ∫ ∫ Q ( x )e

ẠO

(3.5)

TP

.Q

tu ý.

G

Đ

Chú ý: 1. V ph i c a (3.5) ta th y s h ng đ u là nghi m t ng quát c a ph

Ư N

trình vi phân tuy n tính thu n nh t, s h ng th hai là nghi m riêng c a ph

ng tình vi phân tuy n tính thu n nh t v i m t

ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t.

10 00 B

nghi m riêng c a ph

2. Nghi m t ng quát c a ph tìm đ

c l p nên b i t ng

TR

c a nghi m t ng quát c a ph

ẦN

ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t đ

quát c a ph

ng

c khi C = 0 . V y nghi m t ng

H

trình vi phân tuy n tính không thu n nh t nh n đ

ng

ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t ng nói là b ng hai l n c u ph

ng).

Ó

A

c b ng hai l n l y tích phân (mà ta th

H

3. Nghi m c a ph

ng trình (3.2) có d ng tuy n tính đ i v i h ng s C

-L

Í-

y = Cφ ( x) + ψ ( x)

ÁN

dy y − = x 2 xét trong kho ng ( −∞,0) ∪ (0, +∞ ) dx x

TO

Ví d :

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ph

ng trình thu n nh t có nghi m t ng quát y = Cx v i C là h ng s tu ý. Xem

C = C ( x) ⇒

dC 1 x3 = x hay C = x 2 + C1 . V y y = + Cx . dx 2 2

3.3.H qu a) N u bi t đ

c m t nghi m riêng c a ph

nh t thì vi c gi i ph

ng trình vi phân tuy n tính không thu n

ng trình s quy v vi c gi i ph

B môn Khoa h c c b n

ng trình thu n nh t.

Trang

Ph

ng trình vi phân

Th t v y: đ t y = Y ( x ) + z trong đó Y ( x ) là m t nghi m riêng c a ph

ng trình vi phân đ i v i z

trình không thu n nh t. Còn z là hàm ph i tìm, l p ph

c b ng m t phép c u ph

ng trình đó có th tìm mà không c n

dy + P ( x ) y = 0 . Gi s dx

Đ

ng trình sau:

Ư N

nghi m riêng đã bi t.

H

− P ( x ) dx ng trình đang xét có d ng y = Ce ∫

ẦN

Nghi m t ng quát c a ph

s

TR

Nghi m này ch a m i nghi m riêng, gi

c y = C1φ ( x ) .

ng trình không thu n nh t thì

Ó

A

c hai nghi m riêng khác nhau c a ph

ng v i C0 ta có

H

c nghi m t ng quát c a nó mà không c n c u ph

Í-

có th tìm đ

y C C = = C1 ta đ ký hi u φ ( x) C0 C0

10 00 B

− P ( x ) dx φ ( x) = C0e ∫ do đó

c) N u bi t đ

-L

Th t v y: Gi s

ÁN

TO

ng c a ph

ng.

y1 ( x), y2 ( x) là hai nghi m khác nhau c a ph

thu n nh t thì ta có th d dàng ch ng minh đ t m th

y = φ ( x ) ≠ 0 là

G

Th t v y xét ph

ẠO

TP

ng b ng cách nhân nghi m riêng đã bi t v i m t h ng s tu ý.

c u ph

ng trình không

c y1 ( x ) − y2 ( x ) là nghi m không

ng trình thu n nh t.

Suy ra nghi m t ng quát y = C ( y1 ( x ) − y2 ( x)) + y1 ( x) .

Đ

ÀN

ng

.Q

trình thu n nh t thì nghi m t ng quát c a ph

ng (khác không) c a ph

U

c m t nghi m riêng không t m th

Y

b) N u bi t đ

IỄ N

ng.

N

không thu n nh t thì nghi m t ng quát tìm đ

ng trình vi phân tuy n tính

Ơ

c m t nghi m riêng c a ph

H

Nh v y n u bi t đ

3.4.Ph a) Xét ph

ng trình đ a đ ng trình f '( y )

c v ph

B môn Khoa h c c b n

ng trình tuy n tính

dy + P( x) f ( y ) = Q( x) dx

B ng phép th z = f ( y ) đ a v

N

dz + P ( x) z = 0 . dx

ta có

D

ng

dz + P( x) z = Q( x) . dx Trang

Ph

Ví d : y

(z = y2 ) .

ng trình Becnuli

α ∈R

Ơ

c ph

ng trình tuy n tính.

N u α = 1 ta đ

c ph

ng trình tuy n tính thu n nh t.

N

N u α = 0 ta đ

.Q c

Đ

( y ≠ 0) ta đ

G

ng trình cho yα

ẠO

TP

Gi thi t α ≠ 0,α ≠ 1 Chia hai v c a ph

N

(3.6)

H

dy + P ( x) y = Q ( x) yα dx

ng trình

Y

D ng ph

U

b) Ph

1 dz dy + xy 2 = x 2 → + xz = x 2 dx 2 dx

ng trình vi phân

Ư N

1 dy 1 + P( x) α −1 = Q( x) α y dx y

TR

dy dz và do đó = dx dx

10 00 B

i bi n z = y1−α ta có (1 − α ) y −α

ẦN

H

(3.7)

Ó

dz + (1 − α ) P ( x ) z = (1 − α )Q ( x ) đây là ph dx

ng trình tuy n tính không thu n

Í-

H

hay

A

1 dz + P( x) z = Q( x) 1 − α dx

ng h p α > 0 thì y = 0 c ng là nghi m. Ta có th ch ng minh r ng v i

ÁN

Chú ý: Tr

-L

nh t.

0 < α < 1 thì y = 0 là nghi m kì d c a ph

ng trình.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

α > 1 thì y = 0 là nghi m riêng

Ví d :

y dy y dy −4 = x y ⇒ −4 =x dx x x ydx

( y ≠ 0) .

dz 2 z x dy dz Thay vào ta có = 2z − = gi i ph dx x 2 dx dx

B môn Khoa h c c b n

t z=

ng trình ta đ

y do đó y = z 2 và

c nghi m

Trang

Ph

ng trình vi phân

2

⎛1 ⎞ y = x ⎜ ln x + C ⎟ ngoài ra y = 0 là nghi m kì d . ⎝2 ⎠

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00 B

TR

ẦN

H

Ư N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

U

Y

N

H

Ơ

N

4

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

§4. PH

ng trình vi phân

NG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CH NH - TH A S TÍCH PHÂN

Xét ph

ng trình M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0

(4.1)

N u v trái c a (4.1) là vi phân toàn ph n c a m t hàm u ( x, y ) nào đó.

M ( x, y )dx + N ( x, y ) dy = du ( x, y )

N

(4.2)

Ơ

t c là

H

Y

ng trình là u ( x, y ) = C .

.Q

U

ph

ng trình vi phân hoàn ch nh, khi đó tích phân t ng quát c a

N

thì ta nói (4.1) là ph

TP

Ví d : xdx + ydy = 0

(

ng trình là ph

ng trình vi phân hoàn ch nh

Ư N

4.1.Cách đoán nh n ph

G

Đ

)

ẠO

⎡1 ⎤ Ta có xdx + ydy = d ⎢ x 2 + y 2 ⎥ vì v y tích phân t ng quát là x 2 + y 2 = C . ⎣2 ⎦

ẦN

H

nh lý: i u ki n c n và đ đ bi u th c vi phân

(4.3)

TR

M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy

10 00 B

Trong đó M , N xác đ nh, liên t c và không đ ng th i tri t tiêu t i b t c đi m nào

∂M và ∂y

A

trong m t mi n đ n liên G ∈ R 2 và có trong mi n y các đ o hàm liên t c

Í-

H

Ó

∂M ∂N ∂N = , là m t vi phân toàn ph n c a hàm u ( x, y ) là đ ng th c ph i tho ∂y ∂x ∂x (4.4)

ÁN

-L

mãn ∀( x, y ) ∈ G

du = Mdx + Ndy =

∂u ∂u dx + dy ∂x ∂y

∀( x, y ) ∈ G

IỄ N

Đ

ÀN

TO

i u ki n c n: Gi s (4.3) là vi phân toàn ph n t c là ∃ u ( x, y ) sao cho

D

∂u ∂u ∂M ∂ 2u ∂N ∂ 2u ⇒ M ( x, y ) = ; N ( x , y ) = ⇒ = ; = ∂x ∂y ∂y ∂x∂y ∂x ∂y∂x

do gi thi t

∂M ∂N ∂ 2u ∂ 2u ; = t n t i và liên t c nên chúng b ng nhau ⇒ ∂x∂y ∂y∂x ∂y ∂x

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

∂M ∂N = ∂y ∂x

i u ki n đ : Gi s

∀( x, y ) ∈ G ta c n ch ng minh ph

ng trình

ng trình vi phân hoàn ch nh t c là ∃ u ( x, y ) đ

∂u ; ∂x

N ( x, y ) =

∂u ∂y

(4.5)

ng đ

N i d ng

ẠO

x

Y

∂u = M ( x, y ) nghi m c a nó vi t d ∂x

U

ng trình

.Q

Xét ph

ng ch ng minh (4.5) có nghi m.

TP

đi u này t

H

Ơ

M ( x, y ) =

N

là ph

ng trình vi phân

u ( x, y ) = ∫ M ( x, y )dx + φ ( y )

(4.6)

G

Đ

x0

H

∂u c ng đ ∂y

Ư N

Trong đó φ ( y ) là m t hàm tu ý theo y (tích phân này có ngh a vì G đ n liên). Ta c tho mãn.

TR

ẦN

s ch n hàm φ ( y ) đ đ ng th c N =

10 00 B

Gi s φ ( y ) là hàm kh vi. L y đ o hàm (4.6) theo y ta có: ∂u ∂ ∂φ ∂M M ( x, y )dx + dx + φ '( y ) = N ( x, y ) = =∫ ∫ ∂y ∂y x0 ∂y x0 ∂y x

H

Ó

A

x

∂M dx ∂y x0 x

∂M ∂N ∂N = ⇒ φ '( y ) = N ( x, y ) − ∫ dx ∂y ∂x ∂x x0 x

Đ

ÀN

TO

Vì

(4.7)

ÁN

-L

Í-

⇒ φ '( y ) = N ( x, y ) − ∫

D

IỄ N

= N ( x, y ) − N ( x, y ) + N ( x0 , y ) = N ( x0 , y )

V y y

φ ( y ) = ∫ N ( x0 , y )dy + C1

(4.8)

y0

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

Trong đó ( x0 , y0 ) ∈ G x

y

x0

y0

⇒ u ( x, y ) = ∫ M ( x, y )dx + ∫ N ( x0 , y )dy + C1

(4.9)

∫ M ( x, y)dx + ∫ N ( x , y)dy = C

ẠO

TP

y0

.Q

(4.10)

0

x0

U

y

x

N

ng trình (4.2) là:

Y

Chú ý: 1, T (4.9) ta có tích phân t ng quát c a ph

H

Ơ

N

T c là t n t i hàm u ( x, y ) tho mãn (4.5) .

s đ

ng trình (4.5) thì ta

Đ

2, N u khi tìm hàm u ( x, y ) mà không xu t phát t ph

y

x

Ư N

G

c tích phân t ng quát d ng:

0

∂M =3 ∂y ∂N =3 N = 3x − 5 y ⇒ ∂x

M = 7x + 3y ⇒

-L

Í-

H

Ó

A

Ta có

ây là ph

ÁN

⇒

TR

10 00 B

Ví d : (7 x + 3 y ) dx + (3 x − 5 y ) dy = 0

(4.11)

ẦN

y0

H

∫ M ( x, y )dx + ∫ N ( x, y)dy = C

x0

ng trình vi phân hoàn ch nh.

ÀN

TO

Ta xác đ nh hàm u

Đ

Ta có

D

IỄ N

∂u = 7x + 3y ∂x ∂u = 3x − 5 y ∂y

(*) (**)

t (*) ⇒ u ( x, y ) = ∫ (7 x + 3 y )dx + φ ( y ) B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

∂u 5 = 3x + φ '( y ) = 3x − 5 y v y φ ( y ) = − y 2 + C ∂y 2 7 2 5 x + 3 xy − y 2 + C .

2 2

Cu i cùng u ( x, y ) =

N

⇒

Ơ

ng trình có tích phân t ng quát là: 7 x 2 + 6 xy − 5 y 2 = C .

N

H

Ph

ng trình vi phân

U

M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0

ng trình

Gi s ph

TP

.Q

Xét ph

Y

4.2.Th a s tích phân

ng trình không ph i là ph

ng trình vi phân hoàn ch nh nh ng

10 00 B

Nh v y s n y ra hai v n đ :

ẦN

ng trình.

TR

ph

ng trình vi phân hoàn ch nh thì hàm µ ( x, y ) g i là th a s tích phân c a

H

là ph

(4.12)

Ư N

G

µ ( x, y ) M ( x, y )dx + µ ( x, y ) N ( x, y ) dy = 0

Đ

ẠO

n u t n t i hàm µ ( x, y ) sao cho

Có t n t i th a s tích phân hay không?

-

N u t n t i thì cách tìm hàm µ ( x, y ) nh th nào?

H

Ó

Ta có kh ng đ nh sau:

A

-

ng trình vi phân c p 1 tho mãn đi u ki n t n t i duy nh t nghi m

Í-

A. M i ph

ng trình

M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0

TO

ÁN

♦ Xét ph

-L

luôn luôn t n t i vô s th a s tích phân.

T đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m suy ra ph

(4.13)

ng trình th a nh n tích

D

IỄ N

Đ

ÀN

phân t ng quát u ( x, y ) = C .

L y vi phân hai v ta đ

c

∂u ∂u ∂u dy dx + dy = 0 hay = − ∂x ∂u dx ∂x ∂y ∂y

B môn Khoa h c c b n

(4.14)

Trang

Ph

ng trình vi phân

M t khác t (4.13)

⇒

dy M ( x, y ) =− dx N ( x, y )

(4.15)

Ơ

N

Do đó t (4.14) (4.15)

N Y

U .Q TP

Đ

∂u ∂u = µ ( x, y ) M ( x, y ); = µ ( x , y ) N ( x, y ) ∂x ∂y

ng trình (4.13) t

Ta ch ng minh r ng ph

H

10 00 B

TR

V y µ ( x, y ) là th a s tích phân.

∂u ∂u dx + dy = du ∂x ∂y

ẦN

hay µ ( x, y ) M ( x, y )dx + µ ( x, y ) N ( x, y )dy =

Ư N

G

(4.16) ta suy ra

(4.16)

ẠO

Ta ch ng minh µ ( x, y ) là th a s tích phân c a ph

H

∂u ∂u ∂u M ( x, y ) ∂x = ∂y = µ ( x, y ) ⇒ ∂x = hay ∂u N ( x, y ) M ( x, y ) N ( x, y ) ∂y

ng trình có vô s th a s tích phân.

A

Ta s ch ng minh r ng µ1 = Φ (u ) µ ( x, y ) c ng là th a s tích phân. Trong đó

H

Ó

Φ (u ) là hàm kh vi tu ý.

-L

Í-

Th c v y: t µ Mdx + µ Ndy = du ây là ph

ng rình vi phân

TO

ÁN

⇒ µ Φ(u ) Mdx + µ Φ(u ) Ndy = Φ(u )du = d ∫ Φ(u )du .

ÀN

hoàn ch nh hay µ1 ( x, y ) = Φ (u ) µ ( x, y ) là th a s tích phân. Vì Φ (u ) là tu ý suy ra

D

IỄ N

Đ

ph

ng trình có vô s th a s tích phân.

H qu 1: M i th a s tích phân c a ph

ng trình đ u có d ng µ1 = µ Φ (u ) .

Gi s µ1 , µ 2 đ u là th a s tích phân c a ph

B môn Khoa h c c b n

ng trình

Trang

Ph

∂u ∂u ⎧ µ + µ Ndy = du = dx + dy = 0 Mdx 1 1 ⎪ ∂x ∂y ⎪ ⎨ ⎪ µ Mdx + µ Ndy = dv = ∂v dx + ∂v dy = 0 2 ⎪⎩ 2 ∂x ∂y

ng trình vi phân

(4.17)

.Q

U

Y

N

H

∂u ∂y = 0. ∂v ∂y

TP

∂u ∂u ∂u ∂x = ∂y hay ∂x ∂v ∂v ∂v ∂x ∂y ∂x

Ơ

N

Do đó

ẠO

∂v ≠ 0 Nên gi a u và v có s ph thu c, do đó v = φ (u ) . T (4.17) suy ra ∂y

G

Đ

Vì

H qu 2: N u bi t đ

H ẦN

⇒ µ 2 = φ '(u ) µ1 = Φ (u ) µ1

Ư N

µ 2 Mdx + µ 2 Ndy = dv = φ '(u )du = φ '(u ) ( µ1Mdx + µ1 Ndy )

TR

c hai th a s tích phân khác nhau c a ph

10 00 B

µ1 , µ2 thì tích phân t ng quát c a ph

µ1 ( x, y ) = C . Theo ch ng minh µ 2 ( x, y )

Ó

A

trên ta có

ng trình là

ng trình là

-L

Í-

H

µ1 = Φ1 (u ) µ µ Φ (u ) ⇒ 1 = 1 = Φ (u ) = C µ2 = Φ 2 (u ) µ µ2 Φ 2 (u )

TO

ÁN

B.Cách tìm th a s tích phân:

Nói chung không có ph

D

IỄ N

Đ

ÀN

đ

ng pháp tìm th a s tích phân mà ta ch có th tìm

ng h p đ c bi t:

c trong m t s tr

G i µ ( x, y ) là th a s tích phân c a ph

ng trình khi đó ta có:

⎛ ∂M ∂N ⎞ ∂ ∂ ∂µ ∂µ ( µ M ) = ( µ N ) hay N −M = µ⎜ − ⎟. ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ y ∂ x ⎝ ⎠

⇒

∂M ∂N ∂ ln µ ∂ ln µ − =N −M ∂y ∂x ∂x ∂y

B môn Khoa h c c b n

(4.18) Trang

Ph

a) Th a s tích phân ch ph thu c x µ = µ ( x) . Khi đó

ng trình vi phân

∂µ = 0. ∂y

(4.19)

N

∂M ∂N ∂M ∂N − − ∂ ln µ ∂y ∂x ∂y ∂x = dx + C hay ln µ ( x) = ∫ T (4.18) ⇒ ∂x N N

U

Y

N

H

Ơ

∂M ∂N − ∂y ∂x Chú ý: µ = µ ( x) ⇔ ch là hàm c a x .

N

TP

.Q

b) Th a s tích phân ch ph thu c y : µ = µ ( y ) .

ẠO

ng t

(4.20)

)

(

)

TR

(

ẦN

H

Ư N

∂M ∂N − ∂y ∂x Chú ý: µ = µ ( y ) ⇔ ch là hàm c a y .

M

G

Đ

T

∂M ∂N ∂M ∂N − − ∂ ln µ ∂y ∂x ∂y ∂x dy + C ⇒ =− hay ln µ ( y ) = − ∫ M ∂y M

M = x2 − y

∂M ∂N − = −1 − 2 xy 2 − 1 = −2 ( xy 2 + 1) ∂y ∂x

Í-

H

Ó

A

N = x2 y 2 + x

⇒

10 00 B

Ví d : x 2 − y dx + x 2 y 2 + x dy = 0

ÀN

TO

ÁN

-L

∂M ∂N − dx 2 ( xy 2 + 1) −2 ∫ 2 1 ∂y ∂x x .

Vì ( ) =− = − ⇒ µ = µ x = e = N x x2 x ( xy 2 + 1)

ng trình v i

D

IỄ N

Đ

Nhân hai v c a ph

1 ta có: x2

y⎞ xdy − ydx ⎛ ⎛ 2 1⎞ 2 =0 ⎜1 − 2 ⎟ dx + ⎜ y + ⎟ dy = 0 hay dx + y dy + x⎠ x2 ⎝ x ⎠ ⎝ ⎡ 1 d ⎢ x + y3 + ⎣ 3

y⎤ 1 y = 0 ⇒ x + y3 + = C . ⎥ x⎦ 3 x

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Ch

ng 3

NG TRÌNH VI PHÂN C P 1 IV I

O HÀM

N

H

Ơ

CH A GI I RA

N

PH

ng trình vi phân

Y

ng trình F ( x, y, y ') = 0 t ng quát.

U

ng này ta xét d ng ph

G ẦN

H

ng trình đang xét xác đ nh y ' nh là hàm n c a x và có th gi i ra

y ' = f ( x) . Khi đó nghi m nghi m tìm đ

10 00 B

y = ∫ f ( x)dx + C .

ng h p 2: T (1.1) ta gi i ra đ

ng

c x theo y ' x = φ ( y ') .

A

b) Tr

c b ng m t l n c u ph

TR

c

(1.1)

Ư N

ng h p 1: Ph

đ

Đ

ng trình F ( x, y ') = 0 .

1.1.Ph a) Tr

ẠO

NG TRÌNH F ( x, y ') = 0 HAY F ( y , y ') = 0

§1. PH

TP

.Q

Trong ch

c x = φ ( P ) , vì

dy = P ⇒ dy = Pdx . dx

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Khi đó đ t y ' = P xem P là tham s ta đ

TO

Do x = φ ( P ) ⇒ dx = φ '( P )dP .

dy = Pφ '( P)dP ⇒ y = ∫ Pφ ′( P)dP + C .

Nghi m thu đ

cd

D

IỄ N

Đ

ÀN

V y

Ví d : e y ' + y ' = x

⎧⎪ x = φ ( P ) i d ng tham s ⎨ ⎪⎩ y = ∫ Pφ ′( P )dP + C

t y ' = P ⇒ x = P + eP

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ta có y = ∫ P (1 + e P ) dP + C = e P ( P + 1) +

ng trình vi phân

P2 +C. 2

Ơ

N

⎧ x = P + eP ⎪ V y nghi m t ng quát: ⎨ P2 P = + + +C y e (1 P ) ⎪ 2 ⎩ (1.1) x, y ' đ u bi u di n b ng m t hàm đ n tr theo tham s

H

ng h p 3: T

N

c)Tr

TP

.Q

U

Y

⎧ x = φ (t ) ⎨ ⎩ y ' = ψ (t )

Đ

TR

ẦN

x 3 + y '3 − 3 xy ' = 0

Ví d :

G

Ư N

cd

⎧⎪ x = φ (t ) i d ng ⎨ ⎪⎩ y = ∫ψ (t )φ ′(t )dt + C

H

Nghi m tìm đ

ẠO

Khi đó y = ∫ y ' dx + C = ∫ψ (t )φ '(t )dt + C .

t y ' = tx thay vào ph

10 00 B

ng trình tìm x theo t .

3t 3t 2 ; ' y = 1+ t3 1+ t3

A

Ta có: x 3 (1 + t 3 ) = 3tx 2 v y x =

3t 2 3(1 + t 3 ) − 3t.3t 2 3t 2 (1 − 2t 3 ) dt + C = 3 ∫ (1 + t 3 )3 dt + C .

1+ t3 (1 + t 3 )2

Ó

-L

Í-

H

Khi đó y = ∫ y ' dx + C = ∫

3 − 2u 9 6 du + C = − 2 + + C .

3 2u u u

TO

ÁN

t u = t 3 + 1 ⇒ y = 3∫

D

IỄ N

Đ

ÀN

3t ⎧ ⎪⎪ x = 1 + t 3 V y ta có nghi m ⎨ 9 6 ⎪y = − + +C 3 2 2(1 + t ) 1 + t 3 ⎪⎩

1.2.Ph a)Tr

ng trình F ( y , y ') = 0

ng h p 1: Gi i đ

B môn Khoa h c c b n

(1.2)

c y ' theo y : y ' = f ( y )

Trang

Ph

khi đó dy = f ( y )dx ⇒ ∫

b)Tr

dy = x + C . Ngoài ra giá tr y = y0 mà f ( y ) = 0 c ng là f ( y)

ng trình. c y theo y ' : y = φ ( y ')

ng h p 2: Gi i đ

N

nghi m c a ph

ng trình vi phân

N

H

Ơ

Gi s φ là hàm kh vi liên t c.

TP

Đ G

ẦN

⎧ y = φ (t ) ng h p 3: ⎨ ⎩ y ' = ψ (t )

TR

c)Tr

H

Ư N

1 ⎧ ⎪ x = ∫ φ ′( p )dp + C p V y nghi m t ng quát có d ng ⎨ ⎪ y = φ ( p) ⎩

ẠO

dy 1 1 1 = p ⇒ dx = dy = φ '( p)dp ⇒ x = ∫ φ ′( p)dp + C dx p p p

T

.Q

U

Y

t y ' = p ta có y = φ ( p) .

dy 1 φ ′(t ) dt + C = y ' = ψ (t ) ⇒ dx = φ ′(t )dt ⇒ x = ∫ dx ψ (t ) ψ (t )

H

Ó

A

T

10 00 B

Gi thi t φ là hàm kh vi liên t c và ψ (t ) ≠ 0 ta tìm x theo t .

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

⎧ y = φ (t ) ⎪ V y nghi m t ng quát có d ng ⎨ φ ′(t ) x = dt + C ∫ ⎪ ψ (t ) ⎩

D

IỄ N

Đ

§2. PH

NG TRÌNH F ( x, y, y ') = 0 - PH

NG TRÌNH LAGR NG-

KLERÔ 2.1.Ph

ng trình F ( x, y, y ') = 0

Gi s cho ph Gi s ph

ng trình F ( x, y, y ') = 0

ng trình có th bi u di n d

B môn Khoa h c c b n

(2.1)

i d ng tham s

Trang

Ph

x = φ (u , v); y = ψ (u , v); y ' = λ (u , v)

ng trình vi phân

(2.2)

Nh cách bi u di n tham s này ta có th đ a vi c gi i ph

ng trình (2.1) v vi c

ng trình đã gi i ra đ i v i đ o hàm. ∂φ ∂φ ∂ψ ∂ψ du + dv ; dy = du + dv ; y ' = λ (u , v) . T ∂u ∂v ∂u ∂v

N

dy = y ' dx ⇒

H

Ta có dx =

Ơ

gi i ph

∂φ ∂ψ − dv u ∂ ∂u = f (u , v) = du ∂ψ − λ ∂φ ∂v ∂v

λ

Đ

ẠO

(2.3)

TP

.Q

U

Y

N

∂ψ ∂ψ ∂φ ⎤ ⎡ ∂φ du + dv = λ (u, v) ⎢ du + dv hay n u coi u là bi n và v là hàm thì: ∂u ∂v ∂v ⎥⎦ ⎣ ∂u

G

ng trình đã gi i ra đ i v i đ o hàm, gi s nghi m t ng quát là

Ư N

(2.3) chính là ph

i d ng tham s là

ẦN

H

v = Ω(u , C ) . Khi đó nghi m t ng quát c a (2.1) d

ng trình.

10 00 B

Sau đây ta s xét hai d ng ph

TR

x = φ [ u , Ω (u , C ) ] ; y = ψ [ u , Ω (u , C ) ] .

ng trình Lagr ng

ng trình tuy n tính đ i v i x và y có d ng y = φ ( y ') x + ψ ( y ')

(2.4)

H

Ó

Ph

A

2.2.Ph

ng pháp nh trên v i tham bi n: u = x ; v = p = y ' . Khi đó (2.4) có d ng

ÁN

Dùng ph

ng trình Klero).

-L

Í-

Trong đó gi thi t φ ( y ') ≠ y ' (n u ≡ là ph

y = φ ( p) x + ψ ( p)

ÀN

TO

(2.5)

N u coi x là hàm, p là bi n. ⇒

D

IỄ N

Đ

Ta c n tìm x theo p . T (2.5) ⇒

ây là ph

dy dp = φ ( p ) + [φ '( p ) x + ψ '( p ) ] = p. dx dx

dx φ '( p) ψ '( p) + x= dp φ ( p) − p p − φ ( p)

(2.6)

ng trình tuy n tính không thu n nh t. Gi s nghi m t ng quát có

d ng: x = A( p )C + B ( p ) thay vào (2.5) ta có y = A1 ( p )C + B1 ( p ) .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ây là nghi m t ng quát c a ph Chú ý: Khi bi n đ i ph

ng trình vi phân

ng trình Lagr ng d ng tham s .

ng trình ta ph i gi thi t φ ( p ) − p ≠ 0 . D th y r ng các

giá tr nghi m p = pi c ng là nh ng nghi m c a ph

ng trình. Tu t ng tr

ng h p

N

nghi m đó có th là nghi m riêng hay nghi m kì d .

H

ng trình Lagr ng nghi m kì d n u có ch có th là các

N

ng th ng y = pi x + ψ ( pi ) .

TP

.Q

U

Y

đ

Ơ

Vì v y đ i v i ph

Đ G

dy dp dp = 2 p + 2x + cos p =p dx dx dx

Ư N

t y' = p ⇒

ẠO

Ví d : y = 2 xy '+ sin y '

dp dx x cos p (2 x + cos p) = − p ⇒ = −2 − dx dp p p

hay

dx x − cos p +2 = dp p p

Xét

2x dx C = − ⇒ ln x = −2ln p + ln C1 ⇒ x = 2 . Coi C = C ( p ) thay vào ph dp p p

ng

H

1 dC cos p =− 2 p dp p

-L

Í-

trình đ u ⇒

Ó

A

10 00 B

( p ≠ 0) .

TR

ẦN

H

Hay

TO

ÁN

hay C = − ∫ p cos pdp + C1 = − p sin p − cos p + C1 .

Ngoài ra ph

ng trình có nghi m p = 0 t c là y = 0 .

D

IỄ N

Đ

ÀN

V y ph

1 ⎧ ⎪ x = ( − p sin p − cos p + C1 ) 2 p ng trình có nghi m ⎨ ⎪ y = 2 px + sin p ⎩

2.3.Ph Ph

ng trình Klerô: Khi φ ( y ') ≡ y ' ng trình có d ng y = y ' x + ψ ( y ')

B môn Khoa h c c b n

(2.7)

Trang

Ph

t y ' = p ⇒ y = px + ψ ( p ) ⇒ ⇒ ( x + ψ '( p ) )

ng trình vi phân

dy dp = p + [ x + ψ '( p ) ] =p dx dx

dp =0 dx

(2.8)

Ơ H

ng th ng.

U

Y

N

p = C ⇒ y = Cx + ψ (C ) . ây là m t h đ

T

N

T đó ta có nghi m p = C và x + ψ '( p ) = 0

TP

⎧ x = −ψ '( p) ⎨ ⎩ y = − pψ '( p) + ψ ( p)

ẠO

(2.9)

Đ

V y ta có nghi m d ng tham s

.Q

T x = −ψ '( p ) ⇒ y = − pψ '( p ) + ψ ( p ) .

ng trình. Nó chính là bao hình c a h đ

ng th ng

H

(2.9) là nghi m kì d c a ph

c r ng n u ψ ''( p ) t n t i và liên t c, ψ ''( p ) ≠ 0 thì

G

i ta ch ng minh đ

Ư N

Chú ý: Ng

⎞ dp p⎟ =0. ⎠ dx

H

Ó

1 ⎛ t y' = p ⇒ ⎜ x − 2 ⎝

10 00 B

1 2 y' .

4

A

Ví d : y = y ' x −

TR

ẦN

trên.

-L

Í-

1 * p = C ⇒ y = Cx − C 2 4

ÁN

1 1 1 1 p ⇒ y = p 2 − p 2 = p 2 = x 2 là nghi m kì d .

2 2 4 4

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

* x=

Ch PH

ng 4

NG TRÌNH VI PHÂN C P CAO

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

§1.

ng trình vi phân

NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M

1.1.D ng t ng quát c a ph

ng trình vi phân c p cao

N u x là bi n đ c l p, y là hàm thì ph

ng trình vi phân c p cao có d ng

F ( x, y , y ',..., y ( n ) ) = 0

(1.1)

N

t ng quát là

N

H

Ơ

Trong đó nh t thi t y ( n ) ph i có m t.

U

Y

Gi s : Hàm F liên t c theo t t c các bi n và t i đi m x = x0 , y ( k ) ( x0 ) = y0( k ) tho

TP

.Q

mãn đi u ki n F ( x0 , y0 , y0' ,...., y0( n ) ) = 0

2

∂F ≠ 0 và liên t c t i đi m M ( x0 , y0 , y0' ,..., y0( n ) ) ( n) ∂y

Ư N

G

Đ

ẠO

1

H

khi đó theo đ nh lý t n t i hàm n, t (1.1) ta có th gi i ra trong lân c n đi m M (1.2)

TR

ẦN

y ( n ) = f ( x, y , y ',..., y ( n −1) )

(1.2) b ng m t h n ph

c thu n l i, ta chuy n

10 00 B

phát bi u đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m đ

ng trình vi phân tuy n tính c p m t nh sau:

Thay các giá tr yi vào (1.2) ta đ a (1.2) v m t h

n ph

ng trình

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

⎧ y = y1 ⎪ ⎪ y1' = dy = y2 dx ⎪ ⎪⎪ d2y ' ⎨ y 2 = 2 = y2 dx ⎪ ⎪....................... ⎪ ' ⎪ yn−1 = .... = yn ⎪⎩

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

⎧ dy1 ⎪ dx = y2 ⎪ ⎪⎪ dy2 = y 3 ⎨ dx ⎪.............. ⎪ ⎪ dyn = f ( x, y , y ,...., y ) 1 2 n ⎪⎩ dx

ng trình vi phân

U

Y

N

H

Ơ

N

(1.3)

TP ẠO Đ G ẦN

H

Ư N

(1.4)

10 00 B

TR

⎧ dy1 ⎪ dx = f1 ( x, y1 ,...., yn ) ⎪ ⎪⎪ dy2 = f ( x, y ,..., y ) 2 1 n ⎨ dx ⎪.................................. ⎪ ⎪ dyn = f ( x, y ,...., y ) n 1 n ⎪⎩ dx

.Q

H (1.3) là d ng đ c bi t c a h sau:

Trong (1.4) v ph i ch ph thu c vào bi n và hàm, không ph thu c vào đ o c g i là h CHU N T C.

A

hàm. H nh v y đ

Í-

H

Ó

i v i (1.4) bài toán côsi đ tìm

-L

Hãy

nghi m

c đ t ra nh sau:

{ y1 ( x), y2 ( x),....., yn ( x)} .

Sao

cho

khi

x = x0 thì

ÁN

yi ( x0 ) = yi 0 (i = 1, 2,....., n) trong đó yi 0 là các giá tr đ u t đó suy ra bài toán côsi

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

đ i v i ph

ng trình c p n .

Hãy

tìm

nghi m

y ( x)

sao

cho

khi

x = x0

thì

y ( x0 ) = y0 , y '( x0 ) = y0' ,..., y ( n −1) ( x0 ) = y0( n −1)

T t nhiên n y ra v n đ là v i đi u ki n nào thì bài toán côsi t n t i và duy nh t nghi m?

1.2. nh lý t n t i và duy nh t nghi m B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

Xét h chu n t c (1.4) v i các giá tr đ u x0 , yi 0 tu ý.

Gi s r ng: Các hàm f i ( x, y1 , y2 ,..., yn ) liên t c theo các bi n c a nó trong mi n kín

Ơ

(i = 1..n)

H

yi 0 − b ≤ yi ≤ yi 0 + b

N

x0 − a ≤ x ≤ x0 + a

gi i n i G

N

1,

.Q

U

Y

Trong đó a, b ∈ R + (Khi đó t s liên t c c a các f i trong G đóng ⇒ f i ≤ M

TP

Trong mi n G các hàm f i tho mãn đi u ki n Lipsit đ i v i các bi n

ẠO

2

(i = 1..n) )

G

Đ

yi t c là ∃ N > 0 đ

H

Ư N

fi ( x, y1 , y2 ,..., yn ) − f ( x, y1 , y2 ,..., yn ) ≤ N ( y1 − y1 + ... + yn − yn ) .

x0 − h ≤ x ≤ x0 + h

yi ( x0 ) = yi 0 .

(i = 1..n) .

v i h = min ( a , b / M ) . Sao cho khi

trong

x = x0

thì

10 00 B

kho ng

TR

ẦN

Khi đó t n t i duy nh t m t nghi m { y1 ( x ),...., yn ( x )} c a h (1.4) xác đ nh

A

Chú ý: N u các hàm f i có đ o hàm gi i n i theo yi trong G thì nó s tho mãn

ng trình c p n

-L

1.3. Ph

Í-

H

Ó

đi u ki n Lipsit đ i v i các yi trong G .

ng trình y ( n ) = f ( x, y , y ',...., y ( n −1) )

(1.5)

TO

ÁN

Xét ph

ÀN

T đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m c a h chu n t c ta suy ra đ nh lý t n

nh lý: Gi s cho h đi u ki n đ u

y ( x0 ) = y0

D

IỄ N

Đ

t i và duy nh t nghi m c a h chu n t c c a (1.5) nh sau:

y '( x0 ) = y0′ ,......., y ( n −1) ( x0 ) = y0( n−1) và gi s : 1. Hàm f ( x, y , y′,..., y ( n −1) ) liên t c trong mi n kín gi i n i G B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

x − x0 ≤ a, y − y0 ≤ b, y′ − y0′ ≤ b,...., y ( n−1) − y0( n−1) ≤ b .

T đó ∃ M sao cho f ≤ M trong G .

2. Hàm f tho mãn trong G đi u ki n Lipsit đ i v i y , y′,...., y ( n −1) t c

N

)

N

H

Ơ

(

là ∃ N sao cho f ( x, y ,..., y ( n −1) ) − f ( x, y ,..., y ( n−1) ) ≤ N y − y + ... + y ( n−1) − y ( n−1)

.Q

)

TP

(

⎞ ⎟ và tho mãn đi u ki n ban đ u đã cho. ⎟ ⎠

ẠO

⎛ b h = min ⎜ a, ⎜ max M , y , y′ ,..., y ( n−1) ⎝

U

Y

Khi đó t n t i duy nh t nghi m y ( x) xác đ nh liên t c trong x − x0 ≤ h v i

ng trình vi phân (1.5) trong mi n G tho mãn

Ư N

Nghi m t ng quát c a ph

G

Đ

* nh ngh a nghi m t ng quát:

ẦN

H

đi u ki n t n t i duy nh t nghi m là hàm φ ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) có đ o hàm riêng liên

TR

t c theo x đ n c p n và ph thu c vào các h ng s C1 , C2 ,..., Cn sao cho

10 00 B

1. T h

y = φ ( x, C1 , C2 ,..., Cn )

.................................. y ( n −1) = φx( n −1) ( x, C1 ,...., Cn )

Í-

H

Ó

A

y ' = φ '( x, C1 ,...., Cn )

ÁN

-L

có th gi i ra các h ng s Ci = ψ i ( x, y , y ',..., y ( n −1) ) .

TO

2. Tho mãn ph

ng t nh ph

ng trình vi phân c p 1 ta có th đ a ra đ nh ngh a nghi m riêng,

tích phân t ng quát và nghi m kì d c a ph

ng trình vi phân c p cao.

D

IỄ N

Đ

ÀN

T

ng trình đang xét v i ∀Ci trong mi n đang xét.

§2. CÁC PH

NG TRÌNH GI I

( n) 2.1.D ng F ( x, y ) = 0

B môn Khoa h c c b n

C B NG C U PH

NG

(2.1)

Trang

Ph

Ta xét hai tr

ng h p:

ng trình (2.1) vi t đ

a) Ph

ng trình vi phân

cd

y ( n ) = f ( x)

i d ng

d ( n −1) y = f ( x) dx

x

∫ f ( x)dx + C

H

=

1

N

y

( n −1)

Ơ

N

Trong đó hàm f ( x ) liên t c trong đo n [ a, b ] . Khi đó

(2.2)

x

y ( n −2) = ∫ dx ∫ f ( x)dx + C1 x + C2

.Q

x0

(2.3)

x0

TP

⇒

x

x0

x0

x0

C1 ( x − x0 )( n−1) + ... + Cn (n − 1)!

Đ

x

Ư N

G

x

ẠO

............................................... y = ∫ dx ∫ dx.... ∫ f ( x) dx +

U

x

Y

x0

H

Công th c cu i cùng cho ta nghi m t ng quát c a ph

ng trình (2.2) trong mi n

x

x

x

(2.3) đ

A

1 f (t )( x − t )( n−1) dt , khi đó nghi m t ng quát c ∫ dx ∫ dx.... ∫ f ( x)dx = ∫ (n − 1)! x0 x0 x0 x0

c vi t d

i d ng

-L

Í-

H

Ó

đ

x

iriclê (đ i v i tích phân hai l p) ta

10 00 B

B ng cách áp d ng công th c

TR

ẦN

a ≤ x ≤ b ; − ∞ < y < +∞ ; − ∞ < y ' < +∞,............

x

(2.4)

TO

ÁN

1 C1 ( x − x0 )( n −1) + ... + Cn y= f (t )( x − t )( n−1) dt + ∫ (n − 1)! x0 (n − 1)!

ng trình v i

Ci = 0 (i = 1, 2,..., n) .

Ví d : Tìm nghi m c a ph

D

IỄ N

Đ

ÀN

Chú ý: S h ng đ u tiên trong (2.4) c ng là nghi m riêng c a ph

ng trình y′′′ = ln x khi x = 1, y = y0 , y′ = y0′ , y′′ = y0′′ .

Áp d ng (2.4) ta có:

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

x y′′ y′ 1 y = ∫ ( x − t ) 2 ln tdt + 0 ( x − 1) 2 + 0 ( x − 1) + y0 2! 1 2 1

ng trình (2.1) có th bi u di n x, y ( n ) m t cách đ n tr theo

Ơ

ng h p t ph

y ( n ) = ψ (t ) . Trong đó φ (t ) có đ o hàm liên t c, ψ (t ) liên t c. Ta s

H

t : x = φ (t )

N

b.Tr

1 3 11 1 1 1 y′′ x ln x − x3 + x 2 − x + + 0 ( x − 1) 2 + y0′ ( x − 1) + y0 6 36 2 4 18 2

U

Y

bi u di n y theo t .

Đ

G

dy ( n −2) = y ( n−1) dx = ψ 1 (t , C1 )φ '(t ) dt

ẠO

⇒ y ( n −1) = ∫ψ (t )φ '(t )dt + C1 = ψ 1 (t , C1 )

TP

.Q

Vì : dy ( n −1) = y ( n ) dx = ψ (t )φ '(t ) dt

ẦN

H

Ư N

⇒ y ( n−2) = ∫ψ 1 '(t , C1 )φ '(t )dt + C2 = ψ 2 (t , C1 , C2 )

TR

........................................................................

10 00 B

y = ψ n (t , C1 , C2 ,...., Cn ) .

H

-L

Í-

Ví d : e y′′ + y′′ = x

Ó

A

⎧ x = φ (t ) V y nghi m t ng quát có d ng ⎨ ⎩ y = ψ n (t , C1 , C2 ,..., Cn )

ng trình vi t d

TO

ÁN

Ph

Đ

ÀN

Do đó

x = et + t i d ng tham s là: y′′ = t

dy′ = y′′dx = t (et + 1) dt

t2 ⇒ y′ = (t − 1)e + + C1 2 ....................................... t

D

IỄ N

N

=

⎡ ⎤ t2 t ′ dy = y dx = ⎢(t − 1)e + + C1 ⎥ (et + 1)dt 2 ⎣ ⎦

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

⎡ ⎤ t2 t ⇒ y = ∫ ⎢(t − 1)e + + C1 ⎥ (et + 1) dt + C2 .

2 ⎣ ⎦

( n −1) (n) 2.2.D ng F ( y , y ) = 0

.Q

TP ẠO Đ G

ng h p ph

ng trình (2.2) trong ph n (1,a).

Ư N

Ta tr v tr

z = ω ( x, C1 ) .

c

c z′ = f ( z ) đó

t z = y ( n −1) ta đ

ng trình tách bi n.

Gi i ra ta đ

U

Y

(2.5)

a) Gi s t (2.5) có th gi i ra y ( n ) = f ( y ( n −1) ) . là ph

N

H

Ơ

N

⎧ x = et +1 ⎪ 2 Hay ⎨ ⎞ t t2 ⎛ t 3 ⎞ 2t ⎛ t ⎪ y = ⎜ 2 − 4 ⎟ e + ⎜ 2 − 1 + C1 ⎟ e + 6 + C1t + C2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩

c ra z = ω ( x, C1 ) nh ng bi u di n đ

ẦN

H

N u không gi i đ

ng h p (1,b) ph

ng trình đã bi t cách

10 00 B

TR

⎧ x = φ (t ) ⎧ x = φ (t ) ⇒ ⎨ ( n−1) và ta tr v tr ⎨ = ψ (t ) ⎩ z = ψ (t ) ⎩y

c d ng tham s

gi i.

ng trình (2.5) bi u di n m t cách đ n tr theo tham s t .

Ó

A

b) N u ph

dy ( n−1) = y ( n ) dx ⇒ φ '(t )dt = ψ (t )dx ⇒ dx =

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

thì t

ÁN

-L

Í-

H

⎧⎪ y ( n −1) = φ (t ) ⎨ (n) ⎪⎩ y = ψ (t )

do đó x = ∫

φ '(t )dt ψ (t )

φ '(t )dt + C1 ⇒ x = φ1 (t , C1 ) . ψ (t )

Khi đó y ( n−2) = ∫ y ( n−1) dx = ∫

φ (t )φ '(t ) dt + C2 = ψ 1 (t , C2 ) ψ (t )

............................................................................

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

y = ψ n −1 (t , C2 ,..., Cn ) .

Ta nh n đ

c nghi m t ng quát c a ph

ng trình d ng tham s :

H

Ơ

N

⎧ x = φ1 (t , C1 ) ⎨ ⎩ y = ψ ( n−1) (t , C2 ,..., Cn ) 3

N

ng trình ay′′ = − (1 + y′2 ) 2 .

.Q ẠO

+ C1 .

Đ

3 2 2

t z = tgφ ⇒ ∫

Ư N

G

(1 + z )

dz (1 + z ) 1 + z 2

2

= sin φ .

TR

Ta có:

dz

(1 + z )

1 = − dx a

H

x = a ∫

3 2 2

ẦN

⇒−

dz

TP

3

t z = y′ ⇒ az′ = − (1 + z 2 ) 2 hay

U

Y

Ví d : Xét ph

10 00 B

⎧ x = − a sin φ + C1 V y ta có nghi m t ng quát là: ⎨ ⎩ y = a cos φ + C2

H

Ó

A

Hay ( x − C1 ) 2 + ( y − C2 ) 2 = a 2 ( n − 2) (n) 2.3. D ng F ( y , y ) = 0

-L

Í-

(2.6)

ÁN

a) N u t (2.6) ⇒ y ( n ) = f ( y ( n − 2) ) .

TO

Ta đ t z = y ( n − 2) ⇒ z ′′ = f ( z ) . Nhân c

hai v

v i 2 z′ ( z′ ≠ 0) ta đ

c

V y z′ = ± 2∫ f ( z )dz + C1 hay dz = ± 2∫ f ( z )dz + C1 dx .

D

IỄ N

Đ

ÀN

2 z′z′′ = 2 z′f ( z ) hay d ( z′2 ) = 2 f ( z )dz ⇒ z′2 = ∫ 2 f ( z )dz + C1 .

⇒ dx =

dz ± 2 ∫ f ( z )dz + C1

B môn Khoa h c c b n

⇒ x + C2 = ∫

dz ± 2 ∫ f ( z )dz + C1

.

Trang

Ph

Hay Φ ( x, y ( n − 2) , C1 , C2 ) = 0 . ây là ph

ng trình d ng (1).

ng trình không gi i ra đ

c y ( n ) nh ng có th bi u di n m t

cách đ n tr theo tham s t

N

⎧⎪ y ( n−2) = φ (t ) ⎨ ( n) ⎪⎩ y = ψ (t )

Ơ

b) Gi s r ng ph

ng trình vi phân

Y

N

H

Khi đó dy ( n −1) = y ( n ) dx = ψ (t ) dx , dy ( n − 2) = y ( n −1) dx = φ '(t ) dt

(

.Q TP

)

) = ∫ψ (t )φ '(t )dt + C 2

1

Đ

(

ẠO

2⎤ 1 ⎡1 Hay d ⎢ y ( n−1) ⎥ = ψ (t )φ '(t )dt ⇒ y ( n−1) 2 ⎣2 ⎦

U

⇒ y ( n −1) dy ( n −1) = y ( n ) y ( n −1) dx = ψ (t )φ '(t ) dt

ng h p (2,b)

TR

ẦN

H

đ a v tr

Ư N

G

⇒ y ( n −1) = ± 2∫ψ (t )φ '(t )dt + C1 = ψ 1 (t , C1 ) . K t h p v i y ( n − 2) = φ (t ) ta

NG TRÌNH H C P

10 00 B

§3. TÍCH PHÂN TRUNG GIAN - PH

C

3.1. Tích phân trung gian

ng trình F ( x, y , y ',...., y ( n ) ) = 0

(3.1)

Ó

A

Xét ph

ng đi đ n các h th c tr

Í-

H

B ng cách tích phân ta th

ÁN

-L

Φ ( x, y , y′,...., y ( n − k ) , C1 ,..., Ck ) = 0 (k ≤ n)

TO

H th c đó g i là tích phân trung gian c a ph

ÀN

trình c p ( n − k ) . Nh v y n u tìm đ

(3.2)

ng trình (3.1) , nó là ph

c tích phân trung gian ⇒ ta đã h đ

ng

cc p

ng trình.

D

IỄ N

Đ

c a ph

c:

N u tích phân trung gian ch a y ( n −1) : Φ1 ( x, y , y′,..., y ( n −1) , C1 ) = 0 thì nó đ g i là TÍCH PHÂN

3.2. Các tr a) Ph

c

U.

ng h p ph

ng trình h c p đ

c nh tích phân trung gian

ng trình không ch a rõ hàm ph i tìm.

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

F ( x, y ( k ) ,..., y ( n ) ) = 0

ta tìm đ

(3.4)

Φ ( x, y ( k ) , C1 ,..., Cn − k ) = 0 .

ng trình c p k đã đ

ây là ph

c xét và c ng là tích

dy dx dp dp dy dp y′′ = = =p dx dy dx dy .....................................

U

TP

ẠO

Xem y là bi n đ c l p và đ t y′ = p là hàm ph i tìm theo y .

(3.5)

.Q

ng trình không ch a rõ bi n đ c l p F ( y , y′,..., y ( n ) ) = 0

Y

N

H

phân trung gian c a (3.3) . c) Ph

H

Ư N

G

Đ

y′ = p =

dp d ( n−1) p = ω ( p, ,...., ( n−1) ) dy dy

ẦN

(n)

TR

y

10 00 B

⎡ dp dp d n −1 p ⎤ V y (3.5) tr thành F ⎢ y, p, p ,..., ω ( p, ,..., n −1 ) ⎥ = 0 . dy dy dy ⎣ ⎦

Ó

ng trình lo i F ( y , p) = 0 đã bi t cách gi i.

H

c ph

(

)

ng trình (1 + y 2 ) yy′′ = 3 y 2 − 1 y′2 .

ÀN

TO

ÁN

-L

Ví d : Xét ph

t y′ = p và xem y là bi n đ c l p.

(

)

ph

ng trình có d ng 1 + y 2 yp

hay

dp 3y2 −1 = dy p (1 + y 2 ) y

IỄ N

Đ

ng trình

c tích phân t ng quát là: Φ ( y, p, C1 , C2 ,..., Cn −1 ) = 0 . Ta

Í-

nh n đ

D

ây là ph

A

c p (n − 1) , gi s tìm đ

y′′ = p

dp dy

dp = ( 3 y 2 − 1) p 2 dy

( p ≠ 0)

⇒ ln p = 2ln (1 + y 2 ) − ln y + ln C1 B môn Khoa h c c b n

N

c tích phân t ng quát: Φ ( x, z , C1 ,..., Cn −k ) = 0 hay

Ơ

s

(3.3)

ng trình tr thành F ( x, z ,..., z ( n − k ) ) = 0

t y ( k ) = z khi đó ph Gi

( k ≥ 1)

ng trình vi phân

Trang

Ph

hay

ng trình vi phân

py yy′ = C1 ⇒ = C1 .

2 2 2 2 (1 + y ) (1 + y )

ây là tích phân đ u c a ph

ng trình. L y tích phân l n n a ta đ

c

N

H

Ơ

N

1 = −2C1 x + C2 . Khi p = 0 ⇒ y = C c ng là nghi m.

1 + y2

)

(

)

(

U

(

Y

ng trình thu n nh t đ i v i hàm và đ o hàm

3.3. Ph

TP

c g i là b c thu n nh t. t y′ = yz xem z là hàm ph i tìm khi đó ta có

Đ

Cách gi i:

)

ẠO

mđ

.Q

Xét F x, y, y′,..., y ( n ) = 0 trong đó F x, ty, ty′,..., ty ( n ) = t m F x, y, y′,..., y ( n )

Ư N

G

y′ = yz

TR

10 00 B

y ( n ) = yω ( z , z′,..., z ( n−1) )

ẦN

........................................

H

y′′ = y′z + yz′ = y ( z 2 + z′ )

thay vào ta có:

F ( x, y, yz , y ( z 2 + z′),..., yω ( z, z′,..., z ( n−1) ) ) = y m F ( x,1, z, z 2 + z′,..., ω ( z, z′,..., z ( n−1) ) ) = 0

A

(

)

Í-

H

Ó

Do đó: F x,1, z, z 2 + z′,..., ω ( z , z′,..., z ( n−1) ) = 0 .

-L

Gi s ta tìm đ

ng trình c p n − 1 là

c tích phân t ng quát c a ph

⇒ z = z ( x, C1 ,..., Cn −1 ) . Tr v bi n c ta đ

c

z ( x ,C1 ,...,Cn −1 ) dx y′ = z ( x, C1 ,..., Cn−1 ) ⇒ y = Cne ∫ . y

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

Φ ( x, z , C1 , C2 ,..., Cn −1 ) = 0 .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

(

2

ng trình tuy n tính ta đ

c z=

1 2 1 − xz ) ⇒ x 2 z′ + 2 xz − 1 = 0 . Tích phân 2 ( x − C1 y′ C1 1 C1 1 x = + do đó y = C xe hay + 2 2 2 y x x x x

N

F ( x, y , y′,..., y ( n ) ) = 0

t

ta

bi u

TP ẠO

c tích phân đ u Φ ( x, y , y′,..., y ( n −1) ) = C1 . Nh v y ta đã h đ

c

Đ

Khi đó ta nh n đ

Ư N

G

ng trình.

H

y′′′ 3 y′y′′ − = 0. y′′ 1 + y′2

ẦN

Ví d :

thành

.Q

d Φ ( x, y , y′,..., y ( n −1) ) = 0 . dx

m t c p c a ph

di n

Y

s

U

Gi

H

ng trình mà v trái là đ o hàm đúng

3.4. Ph

N

x 2 yy ( z 2 + z′ ) = ( y − xyz ) ⇒ z 2 + z′ =

ph

)

t y′ = yz ⇒ y′′ = yz′ + y′z = y z 2 + z′ Thay vào ta có

2

Ơ

Ví d : x 2 yy′′ = ( y − xy′ )

ng trình vi phân

ng trình ⇒

d ⎡ 3 ⎤ ln y′′ − ln (1 + y′2 ) ⎥ = 0 . Ta đ ⎢ dx ⎣ 2 ⎦

c tích phân đ u:

3 2 2

ÁN

(1 + y′ )

− C1 = 0 ⇔

3 ln y′′ − ln (1 + y′2 ) = ln C1 2

⎤ d ⎡ y′ C x − ⎢ 1 ⎥ =0 dx ⎢⎣ 1 + y′2 ⎥⎦

TO

hay

y′′

-L

Í-

H

Ó

A

T ph

10 00 B

TR

Gi i:

y′

1 + y ′2

− C1 x = C2 . ây là ph

ng trình vi phân c p m t có th tích phân đ

c.

D

IỄ N

Đ

ÀN

⇒

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Ch

ng trình vi phân

ng 5

LÝ THUY T T NG QUÁT NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH

1.1.

nh ngh a: Ph

H

NH NGH A VÀ TÍNH CH T T NG QUÁT ng trình vi phân tuy n tính c p n là ph

ng ta xét d ng:

U

.Q

TP

Th

ng trình thu n nh t.

Đ

c g i là ph

ẠO

ng trình đ

ng trình có d ng

a0 ( x ) ≠ 0 . N u φ ( x) ≡ 0 thì

a0 ( x) y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + .... + an ( x) y = φ ( x)

ph

Y

N

§1.

Ơ

N

V PH

y ( n ) + p1 ( x ) y ( n −1) + .... + pn ( x ) y = f ( x )

Ư N

G

(1.1)

H

y ( n ) + p1 ( x ) y ( n −1) + .... + pn ( x) y = 0

ẦN

(1.2)

và (1.2) đ

c vi t d

10 00 B

TR

dn d n −1 N u đ a vào toán t vi phân: Ln = n + p1 ( x) n −1 + ... + pn ( x ) . Thì (1.1) dx dx

i d ng Ln [ y ] = f ( x ), Ln [ y ] = 0 .

Ó

ng trình Ln [ y ] = f ( x ) v n còn là ph

ng trình tuy n tính c p n n u ta dùng

TO

b) Ph

ÁN

x = φ (ξ )

Í-

H

ng trình Ln [ y ] = f ( x ) v n còn là tuy n tính c p n n u ta dùng phép th bi n

-L

a) Ph

A

1.2. Tính ch t

ÀN

phép th y = V ( x) Z + η ( x) . Trong đó V , Z ,η là các hàm kh vi liên t c n l n theo

D

IỄ N

Đ

x, Z − hàm m i ph i tìm và V ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( a, b ) .

1.3. S t n t i và duy nh t nghi m Ta vi t ph

(

)

ng trình (1.1) d ng y ( n ) = F x, y, y′,..., y ( n−1) .

Gi s : ∀x ∈ ( a, b ) thì các h s

B môn Khoa h c c b n

pi ( x ), f ( x) là các hàm s liên t c.

Trang

Ph

(

ng trình vi phân

)

Do F x, y, y′,..., y ( n−1) = − p1 y ( n−1) − p2 y ( n−2) − ... − pn y + f ( x)

∂F ≤N ∂y ( n − k )

Ơ

(theo tính ch t liên t c c a

H

Vì v y ∀x ∈ [α , β ] ∈ ( a, b ) thì

N

∂F = − pk ( x) . ∂y ( n − k )

N

do đó

n −1

U

Y

pk ( x) ). ⇒ F ( x, y , y′,..., y ( n −1) ) − F ( x, y ,..., y ( n−1) ) ≤ N ∑ y ( i ) − y ( i ) . T c là đi u

.Q

i =0

TP

ki n Lipsit tho mãn trên đo n [α , β ] ∈ ( a, b ) ⇒ ∃ duy nh t nghi m y ( x ) c a bài toán Côsi đ i v i ph

H

ẦN

NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T

TR

§2. PH

Ư N

kho ng ( a, b ) .

c xác đ nh nh v y s t n t i trong

Đ

c r ng nghi m đ

G

Tuy nhiên ta ch ng minh đ

ẠO

ng trình (1.1) trong kho ng x0 − h ≤ x ≤ x0 + h .

ng trình thu n nh t Ln [ y ] = 0

(2.1)

10 00 B

Xét ph

Ln

A

2.1. Tính ch t c a toán t

H

Ó

* Ln [ y1 + y2 ] = Ln [ y1 ] + Ln [ y2 ]

-L

Í-

* Ln [Cy ] = CLn [ y ]

TO

ÁN

(ch ng minh các tính ch t này đ n gi n)

D

IỄ N

Đ

ÀN

T ng quát: Ln ⎡⎣∑ Ck yk ⎦⎤ = ∑ Ck Ln [ yk ]

T (2.2) ⇒ n u yk ( x) là nghi m c a (2.1) thì

(2.2) n

∑C y k =1

k

k

c ng là nghi m c a (2.1) .

2.2. Khái ni m v s ph thu c tuy n tính Xét h hàm {φk ( x )} xác đ nh trong kho ng ( a, b ) .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

nh ngh a: H hàm {φk ( x )} đ

ng trình vi phân

c g i là ph thu c tuy n tính trong kho ng ( a, b )

α1 ,α 2 ,...,α n không đ ng th i b ng không sao cho ∀x ∈ ( a , b )

α1φ1 ( x ) + α 2φ2 ( x ) + ... + α nφn ( x ) ≡ 0

(2.3)

N u không t n t i các α i nh v y đ đ ng nh t th c (2.3) tho mãn thì ta

TP

b) Các hàm 1, x, x 2 là đ c l p tuy n tính trong ( −∞, +∞ ) .

.Q

U

Y

Ví d : a) Các hàm 1,sin 2 ( x),cos 2 ( x) là ph thu c tuy n tính trong ( −∞, +∞ )

N

H

Ơ

nói {φk ( x )} là đ c l p tuy n tính.

ẠO Đ

đ nh th c

y1 ( x), y1′( x),

Ư N

G

nh ngh a: Cho h hàm {φk ( x )} ( k = 1..n ) có đ o hàm đ n c p (n − 1) . Khi đó y2 ( x),.........., yn ( x) y2′ ( x),.........., yn′ ( x)

H

a)

nh th c Wrônxki

ẦN

2.3.

...................................

10 00 B

TR

y1( n−1) ( x), y2( n−1) ( x)......, yn( n −1) ( x)

c g i là đ nh th c Wrônxki c a các hàm {φk ( x )} .

H

Ó

A

Ký hi u W [ y1 ( x ), y2 ( x ),..., yn ( x) ] .

Í-

nh lý 1: N u các hàm {φk ( x )} ph thu c tuy n tính thì đ nh th c Wrônxki đ ng

-L

b)

ÁN

nh t b ng không.

TO

Theo gi thi t ta có

D

IỄ N

Đ

ÀN

α1φ1 ( x) + α 2φ2 ( x ) + ... + α nφn ( x ) ≡ 0

Vi phân (2.4) theo x (n − 1) l n ta đ

∀x

∑α

2

i

≠ 0 (2.4) .

c

⎧α1 y1 + α 2 y2 + ... + α n yn = 0 ⎪ ⎪α1 y1′ + α 2 y2′ + ... + α n yn′ = 0 ⎨ ⎪........................................... ⎪α y ( n−1) + α y ( n−1) + ... + α y ( n−1) = 0 n n 2 2 ⎩ 1 1 B môn Khoa h c c b n

N

n u t n t i các h ng s

(2.5)

Trang

Ph

T i ∀x ∈ ( a, b ) h (2.5) là h ph n

∑α

h có nghi m tho mãn

i =1

ng trình đ i s thu n nh t v i các nghi m α i .

≠ 0 . Thì det ≡ 0 t c là W [ y1 ( x ), y2 ( x ),..., yn ( x ) ] ≡ 0 .

c l i nói chung không đúng, t c là n u W ( x ) ≡ 0 ch a đ đ m b o ng trình Ln [ y ] thì

H

Ơ

cho y1 ( x), y2 ( x ),..., yn ( x) ph thu c tuy n tính (đ i v i ph

U

pi ( x) c a ph

ng trình thì

TP

l p tuy n tính trong (a, b) liên t c c a các h s

ng trình (2.1) và đ c

.Q

nh lý 2: N u các hàm y1 , y2 ,..., yn là các nghi m c a ph

Y

N

đúng). c)

Đ

ẠO

W [ y1 , y2 ,..., yn ] ≠ 0 ∀x ∈ ( a, b ) .

Ư N

G

Chú ý m đ u: Nghi m tho mãn bài toán Côsi x = x0 thì y ( x0 ) = 0,..., y ( n −1) ( x0 ) = 0 ng trình (2.1) ph i là nghi m y ≡ 0 do tính duy nh t nghi m.

H

c a ph

ẦN

Ta ch ng minh đ nh lý b ng ph n ch ng.

TR

t i x = x0 thì W [ y1 ( x0 ), y2 ( x0 ),..., yn ( x0 ) ] = 0

10 00 B

Gi s

các h ng s α i không đ ng th i b ng không sao cho h ph

x0 ∈ ( a, b ) . Ta ch n

ng trình sau đ

c tho

Ó

A

⎧α1 y1 ( x0 ) + α 2 y2 ( x0 ) + ... + α n yn ( x0 ) = 0 ⎪ ⎪.................................................................. ⎨ ⎪.................................................................. ⎪α y ( n −1) ( x ) + ................ + α y ( n−1) ( x ) = 0 0 n n 0 ⎩ 1 1

-L

Í-

H

mãn

TO

ÁN

Vi c ch n có th làm đ

ÀN

Xét hàm

D

IỄ N

Đ

trình

N

Chú ý: i u ng

2

i

ng trình vi phân

y ( x ) = α1 y1 ( x) + α 2 y2 ( x ) + ... + α n yn ( x) đây là nghi m c a ph

tho

(2.1)

y ( k ) ( x0 ) = 0

c vì W ( x0 ) = 0 .

mãn

bài

toán

Côsi.

x = x0

ng thì

( k = 0..n − 1) ⇒ y ( x) ≡ 0 theo tính ch t duy nh t nghi m. T c là

α1 y1 ( x) + α 2 y2 ( x) + ... + α n yn ( x ) = 0

∀x ∈ ( a, b ) ⇒ { yk ( x )} là ph

thu c tuy n

tính đi u này vô lý.

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

Chú ý: Do các đ nh lý 1,2 suy ra W l p nên b i n nghi m c a ph

ng trình (2.1)

ho c đ ng nh t b ng không ho c khác không t i ∀x ∈ ( a, b ) .

đ c l p tuy n tính đ

ng trình Ln [ y ] = 0 xác đ nh và ng trình trong

H

c g i là m t h nghi m c b n c a ph

Ơ

nh ngh a: M t h g m n nghi m riêng c a ph

Y

N

kho ng đang xét.

U

ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t đ u có m t h nghi m c

.Q

nh lý 3: M i ph

TP

b n.

ẠO

ng trình Ln [ y ] = 0 . Ta ch n m t đ nh th c c p n sao cho

Xét ph

G

Đ

∆ = det ( aij ) ≠ 0 trong đó aij = const và l p n nghi m riêng yk ( x) k = 1..n sao cho

H

Ư N

khi x = x0 ∈ ( a, b ) thì yk ( x0 ) = ak 1 , yk′ ( x0 ) = ak 2 ,..., yk( n −1) ( x0 ) = akn .

TR

ẦN

Rõ ràng W [ y1 ( x0 ),..., yn ( x0 )] = det ( aij ) ≠ 0 .

10 00 B

Nh v y { yk ( x )} là đ c l p tuy n tính, hay { yk ( x )} l p thành m t h nghi m c b n ng trình Ln [ y ] = 0 .

A

c a ph

Ó

1 0 ...............0 0 1................0 .......................

0 0................1

H

ÁN

-L

Í-

Chú ý: + N u ch n ∆ =

TO

thì h nghi m c b n đ

c l p b ng cách trên đ

c g i là h nghi m c b n chu n

IỄ N

Đ

ÀN

t c.

D

N

2.4. H nghi m c b n

+ M i ph

ng trình thu n nh t c p hai đ u luôn luôn t n t i n nghi m đ c

l p tuy n tính. nh lý 4: N u

{ yk ( x)} k = 1..n

là m t h nghi m c

Ln ( y ) = 0 thì nghi m t ng quát c a ph

B môn Khoa h c c b n

b n c a ph

ng trình

ng trình có d ng

Trang

Ph

ng trình vi phân

n

y ( x ) = ∑ Ck y k ( x )

(2.6)

k =1

N

Trong đó Ck = const .

H

Ơ

Ta ph i ch ng minh hai đi u:

Y

N

(2.6) tho mãn Ln ( y ) = 0 đi u này hi n nhiên theo

U

Hàm y ( x ) xác đ nh t

TP ẠO Đ

H

W [ y1 , y2 ,..., yn ] ≠ 0 ∀x ∈ ( a , b ) .

Ck k = 1..n nh ng đi u này c ng đúng vì

ẦN

Ta có th gi i ra các h ng s

Ư N

G

⎧ y ( x) = C1 y1 + C2 y2 + .... + Cn yn ⎪ y′( x) = C y′ + C y′ + .... + C y′ ⎪ n n 1 1 2 2 T h ⎨ ⎪................................................................... ⎪ y ( n−1) ( x) = C y ( n−1) + C y ( n −1) + .... + C y ( n−1) n n 1 1 2 2 ⎩

.Q

tính ch t c a toán t Ln .

ng trình Ln ( y ) = 0 .

10 00 B

TR

Chú ý: Công th c ( 2.6 ) cho ∀ nghi m riêng c a ph

Th t v y ta tìm nghi m riêng y ( x ) sao cho y ( x0 ) = y0 ,..., y ( n −1) ( x0 ) = y0( n −1) , t c là n

Ó

H

k =1

A

ph i ∃Ck đ y = ∑ Ck yk .

TO

ÁN

-L

Í-

⎧ y0 = C1 y1 ( x0 ) + C2 y2 ( x0 ) + ... + Cn yn ( x0 ) ⎪ Xét h : ⎨.................................................................. ⎪ ( n −1) ( n −1) ( n −1) ( n −1) ⎩ y0 = C1 y1 ( x0 ) + C2 y2 ( x0 ) + ... + Cn yn ( x0 ) n

y = ∑ Ck yk . k =1

D

IỄ N

Đ

ÀN

Vì W ≠ 0 do tính ch t đ c l p tuy n tính ⇒ ∃Ck đ

N u y1 ( x ),...., yn ( x ) là h nghi m c b n chu n t c thì nghi m c a bài toán Côsi là y = y0 y1 ( x ) + y0′ y2 ( x ) + ... + y0( n −1) yn ( x ) .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình y′′ − y = 0 . D

Ví d : Xét ph

y1 = e x , y2 = e − x và

⎛ ex W [ y1 , y2 ] = det ⎜⎜ x ⎝e

th y ph

ng trình vi phân

ng trình có hai nghi m

e− x ⎞ ⎟ = −2 ≠ 0 ⇒ y1 , y2 là đ c l p tuy n − e − x ⎟⎠

N

tính. ây là h nghi m c b n vì n = 2 ⇒ nghi m t ng quát là y ( x) = C1e x + C2 e − x

H

Ơ

nh lý 5: N u ta có (n + 1) nghi m riêng y1 , y2 ,..., yn , yn +1 thì các nghi m đó s ph

U

Y

N

thu c tuy n tính.

TP

.Q

Ch ng minh.

y1 , y2 ,..., yn là ph thu c tuy n tính thì hi n nhiên đ nh lý đúng.

y1 , y2 ,..., yn là đ c l p tuy n tính, khi đó y1 , y2 ,..., yn l p nên m t h nghi m

Đ

Gi s

ẠO

Gi s

Ư N

G

c b n. Do đó theo đ nh lý 3 thì yn +1 = α1 y1 + α 2 y2 + ... + α n yn ⇒ y1 , y2 ,..., yn , yn +1

H

ph thu c tuy n tính (đpcm).

ẦN

ng trình Ln [ y ] = 0 đ u có đúng n nghi m đ c

TR

Chú ý: T đ nh lý 3 và 5 ⇒ ∀ ph

10 00 B

l p tuy n tính.

NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH KHÔNG THU N NH T

A

§3. PH

Í-

H

Ó

3.1. Tính ch t: Xét ph ng trình Ln [ y ] = f ( x ) ng trình thu n nh t t

ÁN

-L

Ph

( 3.2 )

c m t nghi m riêng c a ( 3.1) thì nghi m t ng quát c a ( 3.1)

TO

nh lý: N u bi t đ

ng ng là Ln [ y ] = 0

( 3.1)

D

IỄ N

Đ

ÀN

là tông c a nghi m riêng đó v i nghi m t ng quát c a (3.2) .

Ch ng minh.

Gi s

y * là nghi m riêng c a ( 3.1) , { yk } là h nghi m c b n c a ( 3.2 ) khi

đó ta c n ph i ch ng minh y = ∑ Ck yk + y * là nghi m t ng quát c a ( 3.1) . * Hi n nhiên Ln [ y ] = Ln ⎡⎣ ∑ Ck yk ⎤⎦ + Ln ⎡⎣ y* ⎦⎤ = f ( x) đúng v i ∀Ck .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

⎧C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn = y − y * ⎪ * T h ⎨.................................................. ⎪C y ( n −1) + ........... + C y ( n −1) = y ( n−1) − y *( n−1) n n ⎩ 1 1

gi i ra đ

Ln [ y ] = 0 Khi đó y ( x) = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn

TP

(3.3)

ẠO

(Trong đó Ck ( k = 1..n) là các h ng s tu ý) là nghi m t ng quát c a ph

Y

G

cho bi u th c c a y′( x) đ n gi n

dC dC1 y1 + ... + n yn = 0 . dx dx

TR

ta ch n C1 , C2 ,..., Cn sao cho

Ư N

dC dC1 y1 + ... + n yn . dx dx

Đ

Ln [ y ] = f ( x ) ta coi Ck = Ck ( x) ta có

ẦN

y′( x) = C1 y1′ + ... + Cn yn′ +

ng trình

ng trình.

H

tìm nghi m c a ph

ng trình

U

y1 , y2 ,..., yn là nghi m riêng đ c l p tuy n tính c a ph

Gi s

N

H

ng pháp bi n thiên h ng s

.Q

3.2. Ph

Ơ

N

c Ck vì W ≠ 0 . (đpcm)

y′′( x) = C1 y1′′ + ... + Cn yn′′ +

sao cho

-L

Í-

………………

H

Ó

A

dC dC1 y1′ + ... + n yn′ = 0 . dx dx

dC dC1 y1′ + ... + n yn′ . Ta ch n Ck dx dx

10 00 B

Khi đó

TO

ÁN

Cu i cùng y ( n ) ( x ) = C1 y1( n ) + ... + Cn yn( n ) +

ÀN

Thay các đ o hàm v a tìm đ

D

IỄ N

Đ

n

∑C L i =1

Hay

i

n

dC dC1 ( n −1) y1 + ... + n yn( n −1) . dx dx

c vào ph

ng trình Ln [ y ] = f ( x ) ta có

dC dC ⎡⎣ yi ( x ) ⎤⎦ + 1 y1( n−1) + ... + n yn( n−1) = f ( x) . dx dx

dC dC1 ( n −1) y1 + ... + n yn( n −1) = f ( x ) . dx dx

V y ta có h

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

dCn ⎧ dC1 y ... yn = 0 + + 1 ⎪ dx dx ⎪ ⎪⎪ dC1 y′ + ... + dCn y′ = 0 1 n dx ⎨ dx ⎪...................................... ⎪ ⎪ dC1 y ( n−1) + ... + dCn y ( n−1) = f ( x) n ⎪⎩ dx 1 dx

ng trình vi phân

là nghi m t ng quát c a Ln [ y ] = 0 .

10 00 B i

i

∑ y ∫ φ ( x)dx i

i

là m t nghi m riêng c a

H

Ó

A

+ Thành ph n th hai

U .Q

Ư N

H

ẦN TR

Chú ý: (3.5) g m hai thành ph n

∑α y

(3.5)

ng trình Ln [ y ] = f ( x ) .

(3.5) là nghi m t ng quát c a ph

+ Thành ph n đ u

ẠO

i =1

Đ

i =1

y ( x ) = ∑α i yi + ∑ yi ∫ φi ( x)dx

G

n

TP

dCi = φi ( x) ⇒ Ci = ∫ φi ( x ) dx + α i v y dx n

Y

dCi . dx

Do W [ y1 ,..., yn ] ≠ 0 nên t (3.4) ⇒ gi i ra duy nh t các

Gi s

N

H

Ơ

N

(3.4)

Í-

ng trình Ln [ y ] = f ( x ) .

ÁN

-L

ph

ng trình y′′ −

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Ví d : Tìm nghi m c a ph

Xét ph

ng trình y′′ −

y′ =x x

y′′ 1 y′ 1 = Do đó y′ = Ax và y = Ax 2 + B ⇒ =0 ⇒ y′ x x 2

⎧ y1 = x 2 ch n h nghi m c b n là ⎨ ⎩ y2 = 1

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Nghi m t ng quát c a ph

ng trình vi phân

ng trình thu n nh t là y = C1 x 2 + C2 coi

Ơ

N

⎧ dC1 1 ⎧ dC1 2 dC2 x + = 0 ⎪⎪ dx = 2 ⎪⎪ dx dx ⇒⎨ C1 = C1 ( x ) và C2 = C2 ( x ) ta có h ⎨ 2 ⎪2 x dC1 + 0 = x ⎪ dC2 = − x ⎪⎩ dx ⎪⎩ dx 2

N Y

.Q

U

ng trình không thu n nh t là y = α1 x 2 + α 2 + x 3 / 3

TP

⇒ Nghi m t ng quát c a ph

H

x x3 V y C1 = + α1 ; C2 = − + α 2 .

2 6

Đ

(4.1)

Ư N

D ng L*n [ y ] = y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an y = f ( x )

ẠO

NG TRÌNH TUY N TÍNH CÓ H S H NG S .

G

§ 4. PH

ẦN

H

Trong đó ai (i = 1.. n) là các h ng s ∈ R , f ( x) là hàm liên t c trong ( a, b ) .

ng trình tuy n tính thu n nh t h s h ng s . ng trình

ng trình (4.2) có th gi i đ

Ph

L*n [ y ] = 0

(4.2)

10 00 B

Xét ph

TR

4.1. Ph

c b ng phép tính đ i s : ng trình.

Í-

L*n ⎡⎣ekx ⎤⎦ = e kx ⎡⎣ k n + a1k n−1 + ... + an ⎤⎦ = 0 .

-L

Ta có

H

Ó

A

t y = e kx và ta ch n k đ tho mãn ph

ÁN

Ký hi u F ( k ) = k n + a1k n −1 + ... + an = 0 và g i là ph

ng trình đ c tr ng c a

TO

(4.2) . Khi đó đ y = e kx là nghi m c a (4.2) thì k ph i là nghi m c a ph

ng trình

D

IỄ N

Đ

ÀN

đ c tr ng F (k ) = 0 .

Ta xét các tr a) Ph

ng h p sau: ng trình F (k ) = 0 có nghi m đ n k1 , k2 ,..., kn khác nhau.

Khi đó rõ ràng yi = e ki x (i = 1.. n) là các nghi m riêng c a ph

B môn Khoa h c c b n

ng trình (4.2) .

Trang

Ph

Chú ý: Trong tr

ng h p ph

ng trình đ c tr ng có nghi m ph c k = α ± iβ thì

thay cho nghi m e(α ± i β ) x c a ph

ng trình (4.2) ta s có hai nghi m th c là

y = eα x cos β x và y = eα x sin β x . i u này đ

c kh ng đ nh t b đ .

Ơ

ng trình (đ i v i

H

là các hàm th c thì các hàm u ( x ), v( x) c ng là nghi m c a ph

Y U

.Q

= eα x ( cos β x ± i sin β x ) nên theo b đ ta có đi u kh ng đ nh

TP

α ± i β )x

N

ng trình Ln [ y ] = 0 c ng đúng).

Do e(

N

ng trình L*n [ y ] = 0 có nghi m y = u ( x ) + iv( x) , trong đó u ( x ), v( x)

B đ : N u ph

ph

ng trình vi phân

ẠO

trên.

e ki x , eα x cos β x, eα x sin β x đ c l p tuy n tính trong kho ng

ng trình đ c tr ng t

Ư N

ẦN

Ph

ng trình y′′′ − 3 y′′ + 2 y′ = 0 .

ng ng k 3 − 3k 2 + 2k = 0

TR

Ví d 1: Xét ph

p nên m t h nghi m c b n.

H

( −∞, +∞ ) do đó chúng l

G

Đ

T p các hàm

10 00 B

⇒ k1 = 0, k2 = 1, k3 = 2 do đó y1 = 1; y2 = e x ; y3 = e 2 x .

Ó

A

Nghi m t ng quát y = C1 + C2 e x + C3e 2 x .

Í-

H

Ví d 2: y′′′ − 3 y′′ + 9 y′ + 13 y = 0 .

-L

ng trình đ c tr ng k 3 − 3k 2 + 9k + 13 = 0

ÁN

Ph

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

k1 = −1; k 2 = 2 + 3i ; k3 = 2 − 3i

⇒ y1 = e − x ; y2 = e 2 x cos 3 x ; y3 = e 2 x sin 3 x

Nghi m t ng quát y ( x) = C1e − x + C2 e 2 x cos 3 x + C3e 2 x sin 3 x . b) Ph

ng trình đ c tr ng có nghi m th c k = ki b i m .

Trong tr

ng h p này ta ch ng minh r ng ph

riêng y1 = e ki x ; y2 = xe ki x ;...; ym = x m −1e ki x B môn Khoa h c c b n

ng trình (4.2) có các nghi m (4.3) Trang

Ph

ng trình vi phân

Ta chú ý r ng: N u u = u ( x, k ) thì j ∂j * * ⎡ ∂ u ( x, k ) ⎤ L u x k L ( , ) = ] n⎢ n[ ⎥ (t ch ng minh đ n gi n). j k ∂k j ∂ ⎣ ⎦

Ơ H N

j l n theo k .

.Q

ẠO

TP

j ( j) ∂ j ⎡ * kx ⎤ kx ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ L e ⎦ ⎦ = ⎣e F (k ) ⎦ = ∑ C lj F ( l ) (k ) x j −l ekx j ⎣ n⎣ ∂k l =0

U

Y

Vi phân đ ng nh t th c L*n ⎡⎣e kx ⎦⎤ = F (k )e kx

N

Ta ch ng minh L*n ⎡⎣ x j e ki x ⎤⎦ = 0 v i j = 0.. m − 1.

Đ

m t khác theo chú ý ta có

H

Ư N

G

j ∂ j ⎡ * kx ⎤ * ⎡ ∂ kx ⎤ ⎡ ⎤ L e L e = = L*n ⎡⎣ x j e kx ⎤⎦ . n n ⎢ ⎥ j ⎣ j ⎣ ⎦ ⎦ ∂k ⎣ ∂k ⎦

TR

ẦN

Do đó j

L ⎡⎣ x e ⎤⎦ = ∑ C lj F (l ) (k ) x j −l ekx , j kx

10 00 B

* n

l =0

j

đ t k = ki ⇒ L ⎣⎡ x j e ki x ⎤⎦ = ∑ C lj F (l ) (ki ) x j −l eki x .

A

* n

H

Ó

l =0

ng trình

-L

Í-

Nh ng vì ki là nghi m b i m c a ph

TO

ÁN

F ( k ) = 0 ⇒ F ( ki ) = 0, F ′( ki ) = 0,..., F ( m −1) ( ki ) = 0, F ( m ) ( ki ) ≠ 0 .

Ta chú ý h nghi m (4.3) là đ c l p tuy n tính trong ( −∞, +∞ ) . c) Ph

ng trình đ c tr ng có nghi m ph c liên h p α j ± i β j b i m .

D

IỄ N

Đ

ÀN

Do đó L*n ⎡⎣ x j eki x ⎤⎦ = 0 ∀ j = 1, 2,..., m − 1 (đpcm).

Ta ch ng minh r ng trong tr α jx

y1 = e

ng h p này ph α x

ng trình có 2m nghi m th c α jx

cos β j x , y2 = e j x cos β j x,..., ym = x m−1e

B môn Khoa h c c b n

cos β j x Trang

Ph

α jx

ym+1 = e

α x

α jx

sin β j x , ym+ 2 = e j x sin β j x,..., y2 m = x m−1e

ng trình vi phân

sin β j x .

m −1 ....... ym = x e

(α j ± i β j ) x

. D a vào b đ và công th c le ta nh n đ

Ơ

(α j ± i β j ) x

c

H

y1 = e

N

Th t v y theo b) thì (4.2) có các nghi m

U

Y

N

2m nghi m trên, các nghi m này đ c l p tuy n tính trong ( −∞, +∞ ) .

ẠO

F ( k ) = k 5 − k 4 + 8k 3 − 8k 2 + 16 k − 16 = 0

TP

.Q

Ví d : y (5) − y (4) + 8 y′′′ − 8 y′′ + 16 y′ − 16 y = 0 .

Ư N

G

Đ

có nghi m k1 = 1, k2 = k3 = 2i, k4 = k5 = −2i

H

(nghi m 2i b i 2 ; nghi m −2i b i 2 ).

TR

ẦN

Do đó các hàm

y1 = e x , y2 = cos 2 x, y3 = sin 2 x , y4 = x cos 2 x , y5 = x sin 2 x l p thành h nghi m c

10 00 B

b n ⇒ nghi m t ng quát là :

H

ng trình tuy n tính không thu n nh t h s h ng s .

Í-

4.2. Ph

Ó

A

y ( x ) = C1e x + C2 cos 2 x + C3 sin 2 x + x ( C4 cos 2 x + C5 sin 2 x )

-L

Trong ph n này ta xét d ng ph

ng trình L*n [ y ] = f ( x ) . Tr

c h t ta ch ng

ÁN

minh m t b đ quan tr ng g i là NGUYÊN LÝ CH NG CH T NGHI M.

ÀN

TO

B đ : xét ph

D

IỄ N

Đ

t c, gi s

ng trình L*n [ y ] = v1 ( x ) + v2 ( x ) . Trong đó v1 ( x), v2 ( x ) là các hàm liên

y1 ( x) là nghi m c a L*n [ y ] = v1 ( x ) y2 ( x) là nghi m c a L*n [ y ] = v2 ( x ) .

Khi đó y1 ( x ) + y2 ( x) là nghi m c a L*n [ y ] = v1 ( x ) + v2 ( x) . ( L*n [ y1 + y2 ] = L*n [ y1 ] + L*n [ y2 ] = v1 + v2 ).

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Ý ngh a c a b đ là n u v ph i f ( x ) c a ph

ng trình vi phân

ng trình không thu n nh t là

m t hàm ph c t p thì ta có th phân tích hàm đó thành t ng c a nhi u hàm đ n gi n

Ta xét ba tr

L*n = f ( x )

(4.4)

N

ng trình

ng h p.

Ơ

ph

ng trình có v ph i là các hàm đ n gi n đó. Sau đây ta xét

t gi i các ph

H

và l n l

U

Y

N

a) f ( x) = A0 x S + A1 x S −1 + ... + AS

TP

.Q

b) f ( x ) = e px ( A0 x S + A1 x S −1 + ... + AS )

ẠO

c) f ( x ) = e px ( PS ( x ) cos qx + QS ( x ) sin qx ) .

ng trình f ( x) = A0 x S + A1 x S −1 + ... + AS

H

a) Xét ph

Ư N

G

Đ

Trong đó PS ( x ), QS ( x ) là đa th c b c S , Ai , p là các h ng s .

ng trình có nghi m riêng là m t

TR

ẦN

Gi s h s an ≠ 0 ta ch ng minh r ng ph

Thay vào ph

10 00 B

đa th c b c S . Ta tìm nghi m riêng d ng y * ( x) = B0 x S + B1 x S −1 + ... + BS . ng trình (4.4) và so sánh các lu th a x k ta s xác đ nh đ

c

các h ng s Bk ( k = 1.. S ) theo Ak .

A

an = an −1 = ... = an −α +1 = 0 còn an −α ≠ 0 (đi u này có ngh a k = 0 là

Ó

Gi s

Í-

H

nghi m b i α c a F (k ) = 0 ).

-L

Ta ch ng minh r ng ph

ng trình (4.4)

có nghi m riêng d ng

ÁN

y* ( x) = xα ( B0 x S + B1 x S −1 + ... + BS ) . Th t v y đ t y (α ) = z ph

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

(4.4) có d ng z ( n −α ) + a1 z ( n −α −1) + .... + an −α z = f ( x ) ⇒ ph

ng trình

ng trình có

nghi m riêng z * = B0 x S + .... + BS , do đó tích phân α l n ta thu đ

c

y* = xα ( B0 x S + .... + BS ) .

Ví d : y′′ + y′ = x − 2 ( an ≠ 0, an −1 ≠ 0) .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Ta tìm nghi m y * ( x ) = x ( Ax + B ) , thay vào ph

ng trình vi phân

ng trình vi phân ta nh n

1 x2 c A = ; B = −3 . Nghi m t ng quát y ( x ) = C1 + C2 e − x + − 3 x .

2 2

đ

ng h p f ( x ) = e px ( A0 x S + A1 x S −1 + ... + AS ) . ng trình ta đ

H

c

N

t y = e px z ( z là hàm c n tìm). Thay vào ph

Ơ

N

b) Tr

.Q

U

Y

e px ⎣⎡ z ( n ) + b1 z ( n−1) + ... + bn z ⎦⎤ = e px ⎡⎣ A0 x S + A1 x S −1 + ... + AS ⎤⎦ (4.5)

(i = 1.. n) , ta l i tr v tr

Ư N

ng trình đ c tr ng c a (4.5)

Chú ý r ng n u xét ph

ẦN

H

k n + b1k n −1 + ... + bn = 0

(4.6)

TR

(4.7)

10 00 B

và k n + a1k n −1 + ... + an = 0

G

Đ

ng h p a).

ẠO

Trong đó bi = const

TP

hay z ( n ) + b1 z ( n −1) + ... + bn z = A0 x S + .... + AS .

Thì ta th y n u (4.6) có nghi m k = a thì (4.7) có nghi m k = a + p .

Ó

A

Vì : n u z = e ax là nghi m c a (4.5) thì y = e( a + p ) x là nghi m c a (4.4) .

Í-

H

Vì v y ta có nh n xét:

-L

1. N u bn ≠ 0 thì ph

ng trình không có nghi m k = 0 hay ph

ng trình

N u p không ph i là nghi m c a ph ph

ng trình đ c tr ng F (k ) = 0 thì

ng trình (4.4) có nghi m riêng y* ( x) = e px ⎡⎣ B0 x S + ... + BS ⎤⎦ .

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

(4.7) không có nghi m k = p . Do đó ta đi đ n quy t c:

2. N u ph

ng trình ( 4.6 ) có nghi m k = 0 b i α thì ph

ng trình ( 4.7 ) có

nghi m k = p b i α . Do đó ta có quy t c: N u p là nghi m b i α c a ph

ng trình đ c tr ng F (k ) = 0 thì ph

ng

trình (4.4) có nghi m riêng y* ( x) = e px xα ⎡⎣ B0 x S + ... + BS ⎤⎦ B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

Ví d 1: y′′ + y = e3 x ( x + 1) nghi m riêng y * = e3 x ( Ax + B ) .

(

)

(

)

Ví d 2: y′′ − y = e x x 2 − 1 nghi m riêng y* = xe x Ax 2 + Bx + C .

Ví d 3: y′′′ + 3 y′′ + 3 y′ + y = e − x ( x − 5)

N

p = −1 là nghi m b i 3

N

H

1 iqx 1 e + e − iqx ) ; sin qx = ( eiqx − e − iqx ) ( 2 2i

G

Bi n đ i: cos qx =

U .Q

ng h p b).

TP

ng h p này v tr

ẠO

Ta đ a tr

Y

ng h p f ( x ) = e px ( PS ( x ) cos qx + QS ( x ) sin qx ) .

Đ

c) Tr

Ơ

⇒ y * = x 3e − x ( Ax + B ) .

⎛ PS ( x) QS ( x) ⎞ ( p −iq ) x ⎛ PS ( x) QS ( x) ⎞ + − ⎜ ⎟+e ⎜ ⎟ 2i ⎠ 2i ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2

Ư N

p + iq ) x

⎛ PS ( x) QS ( x) ⎞ + ⎜ ⎟ 2i ⎠ ⎝ 2

V2 ( x) = e(

TR

p +iq ) x

p −iq ) x

⎛ PS ( x) QS ( x) ⎞ − ⎜ ⎟ 2i ⎠ ⎝ 2

10 00 B

V1 ( x) = e(

ẦN

H

⇒ f ( x ) = e(

(chú ý V1 ( x),V2 ( x) là liên h p), áp d ng nguyên lý ch ng ch t nghi m ta có:

y1* ( x ) = e(

p + iq ) x

RS ( x ) . Vì p + iq không là nghi m c a F ( k ) = 0 ⇒ p − iq

Í-

H

V1 ( x )

Ó

A

(*) p + iq không là nghi m c a F (k ) = 0 ⇒ ta tìm nghi m riêng ng v i v ph i là

p −iq ) x

RS ( x) = PS ( x) + iQS ( x) TS ( x) = PS ( x) − iQS ( x)

ÀN Đ IỄ N D

Do

đó

ng v i V2 ( x) là

TS ( x ) . Vì y1* , y2* là liên h p suy ra RS ( x ), TS ( x ) c ng liên h p, t c là

TO

ÁN

y2* ( x ) = e(

-L

c ng không là nghi m c a F (k ) = 0 do đó ta tìm nghi m

ta

y* = y1* + y2* = e(

có p + iq ) x

ngi m

riêng

c a

ph

.

ng

trình

( 4.4 )

có

d ng

( PS + iQS ) + e( p−iq ) x ( PS − iQS )

= e px ( 2 PS cos qx − 2QS sin qx )

(

)

= e px PS ( x)cos qx + QS ( x)sin qx .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

Ta có quy t c: N u p + iq không ph i là nghi m c a F (k ) = 0 thì ph

(

ng trình

)

(4.4) có nghi m riêng d ng y* ( x) = e px PS ( x) cos qx + QS ( x)sin qx . Trong đó

ng trình F (k ) = 0 thì (4.4) có

H

có quy t c: N u p ± iq là nghi m b i α c a ph

ng t nh trên ta

Ơ

ng trình F (k ) = 0 thì t

(

N

(*) N u p ± iq là nghi m b i α c a ph

)

.Q

U

Y

nghi m riêng d ng y* ( x) = e px xα PS ( x) cos qx + QS ( x)sin qx .

ẠO

TP

Ví d 1: y′′ + 2 y′ + 2 y = e − x ( x cos x + 3sin x ) .

ng trình k 2 + 2k + 2 = 0 có nghi m −1 ± i ; p ± iq = −1 ± i .

G

Đ

Ph

Ư N

V y nghi m riêng có d ng

ẦN

H

y* ( x) = xe− x ⎡⎣( A1 x + B1 ) cos x + ( A2 x + B2 ) sin x ⎤⎦ .

10 00 B

TR

Ví d 2: y′′ − y = e x x cos x ⇒ y* ( x) = e x ⎡⎣( A1 x + B1 ) cos x + ( A2 x + B2 ) sin x ⎤⎦ .

Chú ý: N u m t trong các đa th c PS , QS có b c th p h n S (đ c bi t ≡ 0 ) thì nói

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

chung c hai đa th c PS , QS v n có b c S .

B môn Khoa h c c b n

N

PS , QS là đa th c b c S c a x .

Trang

Ph

Ch H PH

ng 6

NG TRÌNH VI PHÂN

N

NH LÝ T N T I VÀ DUY NH T NGHI M

N

H

Ơ

§ 1. KHÁI NI M,

ng trình vi phân

(1.1)

H

Ư N

G

⎧ ⎛ dyn ⎞ dy1 dy2 ⎪ F1 ⎜ x, y1 , y2 ,..., yn , dx , dx ,..., dx ⎟ = 0 ⎠ ⎪⎪ ⎝ ⎨.............................................................. ⎪ dy dy dy ⎪ Fn ⎛⎜ x, y1 , y2 ,..., yn , 1 , 2 ,..., n ⎞⎟ = 0 dx dx dx ⎠ ⎩⎪ ⎝

TP

.Q

ng trình vi phân d ng

ẠO

Cho h ph

U

Y

nh ngh a

Đ

1.1.

c g i là h ph

ng trình vi phân c p m t. Trong tr

ẦN

H đ

10 00 B

TR

(1.1) ta gi i ra các đ o hàm

ng h p n u t h

(1.2)

Í-

H

Ó

A

⎧ dy1 ⎪ dx = f1 ( x, y1 ,..., yn ) ⎪ ⎨................................ ⎪ dy ⎪ n = f n ( x, y1 ,..., yn ) ⎩ dx

-L

Trong đó các hàm

TO

ÁN

đ o hàm thì h nh v y đ

1.2.

c g i là h chu n t c. ng trình chúng ta ch xét h chu n t c.

nh lý t n t i và duy nh t nghi m (Xem ph n ph ng trình vi phân c p

cao).

D

IỄ N

Đ

ÀN

Gi i h n trong ch

v ph i ch ph thu c x, y1 ,...., yn , không ph thu c các

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

1.3. Các lo i nghi m c a h chu n t c a) Nghi m t ng quát: Ta xem x, y1 ,...., yn nh là to đ c a m t đi m trong không gian En +1

ng v i m t

N

ng cong trong không gian En +1 và nghi m t ng quát c a h (1.2) là h hàm

H TP

.Q

U

Y

(1.3)

ng cong ph thu c n tham s .

ẠO

l p thành m t h đ

Ơ

⎧ y1 = y1 ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) ⎪ ⎪ y2 = y2 ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) ⎨ ⎪..................................... ⎪⎩ yn = yn ( x, C1 , C2 ,..., Cn )

N

đ

(n + 1) chi u ( x, y1 ,...., yn ) , khi đó m i nghi m c a (1.2) s

Đ

N u h (1.2) tho mãn trong mi n D nào đó ∈ En +1 đi u ki n t n t i duy

Ư N

G

nh t nghi m thì t i m i đi m c a D ch có m t và ch m t đ

H

qua.

ng cong tích phân đi

TR

i ta g i nghi m riêng c a h (1.2) là nghi m mà có đ

10 00 B

Ng

ẦN

b) Nghi m riêng.

c b ng cách cho

C1 , C2 ,..., Cn trong nghi m t ng quát các giá tr xác đ nh C1 = C10 , C2 = C20 ,..., Cn = Cn0

A

c) Nghi m kì d : Nghi m yi = yi ( x ) i = 1.. n đ

c g i là nghi m kì d n u t i m i

-L

Í-

H

Ó

đi m c a nó tính ch t duy nh t nghi m b phá v .

ÁN

A H PH

NG TRÌNH VI PHÂN V PTVP C P CAO.

ÀN

TO

§2.

Ví d 1: Gi i h ph

ng trình:

IỄ N

Đ

2.1. M t s ví d

D

⎧ dx ⎪⎪ dt = y ⎨ ⎪ dy = x ⎪⎩ dt

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

T ph

ng trình 2 ⇒

ng trình vi phân

d 2 x dy d 2x = = x ⇒ −x=0 dt 2 dt dt 2

ng trình

N

H

Ví d 2: Gi i h ph

Ơ

N

t −t ⎪⎧ x = C1e + C2e ⇒⎨ t −t ⎪⎩ y = C1e − C2e

U .Q TP ẠO Đ

d 2x dx dy dx dx ng trình đ u ⇒ 2 = 3 − 2 = 3 − x − dt dt dt dt dt

Ư N

G

T ph

Y

⎧ dx ⎪⎪ dt = 3x − 2 y ⎨ ⎪ dy = 2 x − y ⎪⎩ dt

TR

ẦN

H

d 2x dx hay 2 − 2 + x = 0 ⇒ x = C1et + C2tet dt dt

10 00 B

1⎛ dx ⎞ 1 y = ⎜ 3x − ⎟ = ( 3C1et + 3C2tet − C1et − C2et − C2tet ) 2⎝ dt ⎠ 2

Í-

H

Ó

A

C ⎛ ⎞ = et ⎜ C1 − 2 + C2t ⎟ .

2 ⎝ ⎠

ÁN

V ph

Vi phân m t ph

ng trình vi phân ta có th ti n hành nh

ng trình c a h đã cho đ l p m t ph

ng trình vi phân

c p cao.

Gi i ph

ng trình vi phân c p cao đó ta tìm đ

c nghi m.

ng di n lý thuy t ta ph i ch ng minh hai đi u:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

sau:

-L

T hai ví d trên ⇒ đ gi i m t h ph

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

dxi = fi ( t , x1 , x2 ,..., xn ) ta có th l p đ dt

a) V i đi u ki n nào thì t h trình

vi

phân

n

c p

ng trình vi phân

đ i

v i

m t

hàm

đ y,

nào

c m t ph

ch ng

⎛ d n x1 dx1 d n−1 x1 ⎞ t , x , ,..., = Φ ⎟ 1⎜ dt n dt dt n−1 ⎠ ⎝

h n

x1

Ơ

N

(2.1) .

H

ng v i m t nghi m

N

b) Ti p đó ta ph i ch ng minh ∀ nghi m c a (2.1) đ u

Y

c a h (1.2) . ng di n lý thuy t ng

i ta đã ch ng minh r ng n u các hàm

TP

V ph

.Q

U

{ x1 , x2 ,..., xn }

ng

ẠO

f i (i = 1.. n) liên t c và có đ o hàm riêng liên t c đ n c p n − 1 theo t t c các bi n

H

NG PHÁP L P T H P GI I TÍCH

ẦN

§3. PH

Ư N

G

Đ

thì c a) và b) đ u tho mãn.

TR

Ví d m đ u.

-L

Í-

H

Ó

A

10 00 B

Xét h

ng trình ⇒

d ( x + y) = x+ y dt

TO

ÁN

C ng hai v c a ph

⎧ dx ⎪⎪ dt = y ⎨ ⎪ dy = x ⎪⎩ dt

d ( x + y) = dt ⇒ ln x + y = t + ln C1 ⇒ x + y = C1et . x+ y

T

ng t tr hai ph

ng trình cho nhau ⇒

D

IỄ N

Đ

ÀN

hay

d ( x − y) = − dt ⇒ x − y = C2e − t x− y

t −t t ⎪⎧ x + y = C1e ⎪⎧ x = C1e + C2e ⇒⎨ ⇒⎨ −t −t t x y C e − = ⎪⎩ ⎪⎩ y = C1e − C2e 2

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

dxi = fi ( t , x1 , x2 ,..., xn ) dt

T ng quát: T h Có tr

ng h p có th gi i đ

nên nh ng ph

(3.1)

c b ng cách l p các t h p gi i tích t c là l p

ng trình vi phân m i là h qu c a ph

ng trình ban đ u t đó thu

Φ ( t , x1 , x2 ,..., xn ) = C

H

Ơ

N

c các h th c d n (3.2)

Y

N

đ

ng trình vi phân

H th c (3.2) g i là tích phân đ u c a (3.1) . N u tìm đ

.Q

U

c k t h p gi i tích thì ta

TP

s có k tích phân đ u.

ẠO

⎧Φ1 ( t , x1 , x2 ,...., xn ) = C1 ⎪ ⎨................................... ⎪Φ t , x , x ,..., x = C n) k ⎩ k( 1 2

Ư N

G

Đ

(3.3)

≠0

TR

D ( Φ1 ,...., Φ k )

ẦN

H

N u t t c các tích phân đ u này đ c l p tuy n tính t c là có ít nh t m t đ nh th c (3.4)

10 00 B

D ( xi1 , xi 2 ,..., xik )

Trong đó xi1 , xi 2 ,..., xik là k hàm nào đ y trong ( x1 , x2 ,..., xn ) thì t h (3.3)

H

c k c p h đó. T c là đ a đ

c v n − k ph

Í-

s h đ

Ó

A

ta có th bi u di n k hàm ch a bi t theo các hàm còn l i r i thay vào h ban đ u ta ng trình. ct

TO

ÁN

h (3.3) .

-L

N u k = n và các tích phân đ u đ c l p thì các hàm ch a bi t đ u xác đ nh đ

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ví d 2: Xét h :

B môn Khoa h c c b n

⎧ dx ⎪ dt = y − z ⎪ ⎪ dy ⎨ = z−x ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = x − y ⎩

Trang

Ph

C ng 3 ph

ng trình l i ⇒

đ u v i x , ph

d ( x + y + z) = 0 ⇒ x + y + z = C1 . Nhân ph dt

ng trình

ng trình 3 v i z , sau đó c ng 3 ph

ng trình

ng trình 2 v i y , ph

dx dy dz + y + z = 0 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = C2 . dt dt dt

i ta th

ng vi t ( 3.1) d

i d ng sau đây g i

H

tìm các t h p gi i tích ng

N

Chú ý:

Ơ

N

l i⇒x

ng trình vi phân

.Q

U

Y

là d ng đ i x ng:

G

Đ

φi = fi . φ0

H

Ư N

Trong đó

ẠO

TP

dxn dx1 dx2 dt = = ... = = φ1 (t , x1 ,..., xn ) φ2 (t , x1 ,..., xn ) φn (t , x1 ,..., xn ) φ0 (t , x1 ,..., xn )

NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T

4.1.

10 00 B

TR

ẦN

§ 4. H PH

nh ngh a

A

Ta g i h thu n nh t tuy n tính là h có d ng:

(4.1)

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

⎧ dx1 ⎪ dt = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + ... + a1n (t ) xn ⎪ ⎨............................................................ ⎪ dx ⎪ n = an1 (t ) x1 + an 2 (t ) x2 + ... + ann (t ) xn ⎩ dt

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ký hi u

⎛ dx1 ⎞ ⎜ dt ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ dX ⎜ dx2 ⎟ = ⎜ dt ⎟ ; A(t ) = ( aij (t ) ) X = ⎜ .. ⎟ ; n×n ⎟ ⎜ ⎟ dt ⎜ .... .. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ dxn ⎟ ⎝ n⎠ ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Khi đó (4.1) có d ng

dX = A(t ) X dt

T

ng trình vi phân

(4.1)′

ng t ta có h

dX = A(t ) X + F (t ) dt

Ơ

N

(4.2)

Y

N

H

⎛ f1 (t ) ⎞ ⎜ ⎟ f 2 (t ) ⎟ ⎜ Trong đó F (t ) = ⎜ .. ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ f n (t ) ⎠

ng trình vi phân tuy n tính không

TP

.Q

U

(4.2) g i là h ph

ẠO

thu n nh t.

G

Đ

Sau đây ta gi s các aij (t ), f i (t ) là các hàm liên t c trong ( a, b ) khi đó trong

Ư N

∀ [α , β ] ∈ ( a, b ) h (4.2) tho mãn đi u ki n đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m.

ẦN

H

Sau này ta s th y đ i v i (4.2) nghi m xác đ nh b i h đi u ki n đ u v i t0 ∈ ( a, b )

L[ X ] =

dX − A(t ) X , dt

khi

đó

( 4.1)

có

L( X ) = 0

d ng

A

t

10 00 B

4.2. Toán t vi phân tuy n tính

TR

s t n t i duy nh t trên toàn kho ng ( a, b ) .

H

Ó

(4.2) có d ng L ( X ) = F (t ) .

-L

Í-

a) Tính ch t c a toán t L .

TO

ÁN

L [C1 X 1 + C2 X 2 ] = C1 L [ X 1 ] + C2 L [ X 2 ] .

ÀN

b) M t s đ nh lý v nghi m c a h ph

IỄ N

Đ

*

ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t.

nh lý 1: N u X i (i = 1.. n) là các nghi m c a h L ( X ) = 0 thì

k

k

ng trình.

D

(v i Ck = const ) c ng là nghi m c a h ph

∑C X

*

nh lý 2: N u L ( X ) = 0 v i ma tr n A ( t ) th c có nghi m ph c X = U + iV

thì U ,V c ng là nghi m c a h ph B môn Khoa h c c b n

ng trình đó.

Trang

Ph

ng trình vi phân

4.3. Khái ni m v s ph thu c tuy n tính Gi s các vector X 1 , X 2 ,..., X n xác đ nh trên ( a, b ) .

H

Ơ

N

(i = 1.. n)

N

⎛ x1i (t ) ⎞ ⎜ ⎟ x2i (t ) ⎟ ⎜ Xi = ⎜ ... ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ xni (t ) ⎠

.Q

U

Y

Khi đó ta nói r ng { X i } là ph thu c tuy n tính trên ( a, b ) n u t n t i các h ng s

ẠO

Đ

{X i}

( 4.3)

g i là đ c l p tuy n tính trên

Ư N

N u ( 4.3) ch nghi m đúng v i ∀α i ≡ 0 thì

∀t ∈ ( a , b )

G

α1 X 1 + α 2 X 2 + ... + α n X n ≡ 0

TP

α1 ,α 2 ,...,α n không đ ng th i b ng không sao cho

ng đ

ng v i h

TR

Chú ý r ng ( 4.3) t

ẦN

H

( a, b ) .

A

10 00 B

⎧α1 x11 + α 2 x12 + ... + α n x1n ≡ 0 ⎪ ⎨............................................ ⎪α x + α x + ... + α x ≡ 0 n nn 2 n2 ⎩ 1 n1

Ó

ng trình đ i s thu n nh t đ i v i α i .

H

ây là h ph

⎛ x11 x12 ......... x1n ⎞ ⎜ ⎟ ⇒ W [ X 1 , X 2 ,..., X n ] = det ⎜ ........................... ⎟ ≡ 0 ⎜ x x .......... x ⎟ nn ⎠ ⎝ n1 n 2

W [ X 1 , X 2 ,..., X n ] g i là đ nh th c Wronski c a { X i } .

*

nh lý 1: N u n vector { X i } ph thu c tuy n tính trên ( a, b ) thì

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

không

α i không đ ng th i b ng

W [ X 1 , X 2 ,..., X n ] ≡ 0 trên kho ng đó.

Nh ng đi u ng B môn Khoa h c c b n

c l i không đúng.

Trang

Ph

⎛t ⎞ X1 = ⎜ ⎟ ⎝t ⎠

Ch ng h n

ng trình vi phân

⎛t2 ⎞ X 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ta có th ch ng minh theo đ nh ngh a ⎝t ⎠

Tuy nhiên ta có th ch ng minh r ng n u

là các nghi m c a ph

ng trình

H

Ơ

c l i là đúng.

N

L ( X ) = 0 thì đi u ng

{X i}

Y

nh lý 2: N u W [ X 1 , X 2 ,..., X n ] c a các nghi m { X i } c a h L ( X ) = 0 tri t tiêu

U

*

TP

Đ

∀t ∈ ( a , b ) .

Ư N

G

( a, b ) và W [ X 1 , X 2 ,..., X n ] ≡ 0

h

ẠO

ng trình thì { X i } s ph thu c tuy n tính trong kho ng

.Q

dù ch t i m t đi m t = t0 ∈ ( a, b ) liên t c c a các h s c a ph

H

Ch ng minh:

ẦN

Chú ý m đ u: N u X (t ) là nghi m c a L ( X ) = 0 sao cho X (t0 ) = 0 v i

TR

t0 ∈ ( a, b ) thì X (t ) ≡ 0 do tính ch t duy nh t nghi m (vì ph

ng trình t n t i

10 00 B

nghi m X 0 ≡ 0 ∀t ).

Theo gi thi t W [ X 1 , X 2 ,..., X n ]t =t = det ( xij (t0 ) ) = 0 .

Ó

A

0

ng trình C1 X 1 (t0 ) + C2 X 2 (t0 ) + ... + Cn X n (t0 ) = 0

ÁN

ng trình t

ng đ

TO

Ph

-L

Í-

H

Xét ph

⎧C1 x11 (t0 ) + C2 x12 (t0 ) + ... + Cn x1n (t0 ) = 0 ⎪ ng v i h ⎨............................................................. ⎪C x (t ) + C x (t ) + ... + C x (t ) = 0 n nn 0 2 n2 0 ⎩ 1 n1 0

D

IỄ N

Đ

ÀN

Do det ( xij (t0 ) ) = 0 ⇒ ∃ các nghi m Ci không đ ng th i b ng không .

Xét bi u th c X ( t ) = ∑ Ci X i (t ) đây c ng là nghi m c a ph L ( X ) = 0 (tính ch t c a toán t

ng trình

L ) và vì X ( t0 ) = 0 ⇒ theo tính ch t duy nh t

nghi m ⇒ X ( t ) ≡ 0 ∀t ∈ ( a, b ) hay

∑ C X (t ) ≡ 0 i

i

⇒ { X i } ph thu c tuy n tính

⇒ W [ X 1 , X 2 ,..., X n ] ≡ 0 ∀t ∈ ( a, b ) (đpcm).

B môn Khoa h c c b n

N

X 1 , X 2 đ c l p tuy n tính nh ng W [ X 1 , X 2 ] ≡ 0 .

Trang

Ph

ng trình vi phân

đ nh lý 1 và đ nh lý 2 ⇒ W c a n nghi m c a h ph

Chú ý: T

ng trình

L ( X ) = 0 ho c đ ng nh t b ng không ho c khác không ∀t ∈ ( a, b ) .

4.4. H nghi m c b n

ng trình.

ng trình L ( X ) = 0 luôn luôn ∃ h ngh êm c b n. Vì ta ch c n

Y

i v i h ph

N

H

c g i là h nghi m c b n c a ph

Ơ

ng trình L ( X ) = 0 đ

ph

N

nh ngh a: H n nghi m riêng đ c l p tuy n tính X 1 (t ), X 2 (t ),..., X n (t ) c a h

.Q

U

ch n n nghi m riêng { X i } sao cho W ≠ 0 t i m t đi m t0 ∈ ( a, b ) khi đó ⇒ { X i }

ẠO

TP

s là m t h nghi m c b n.

Ư N

ký hi u Krôneke ) g i là h nghi m CHU N T C.

G

Đ

⎧0 i ≠ j ( δ ij H nghi m c b n { X i } mà sao cho xij (t0 ) = δ ij trong đó δ ij = ⎨ ⎩1 i = j

ẦN

H

nh lý 3: N u { X i } là h nghi m c b n c a h L ( X ) = 0 thì nghi m t ng quát

*

n

10 00 B

i =1

TR

ng trình là X = ∑ Ci X i .

c a h ph

n

a) Bi u th c X = ∑ Ci X i là nghi m th c trên ta có th

Ó

h

gi i ra các Ci đi u này đ

c suy t

H

b) T

A

i =1

Í-

W [ X 1 , X 2 ,..., X n ] ≠ 0

-L

∑C X i

i

cho ta m i nghi m c a ph

ng trình . Gi s tìm nghi m

ÁN

Chú ý: Công th c

Khi đó xét h

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

⎛ x10 ⎞ ⎜ ⎟ x20 X (t ) sao cho X ( t0 ) = X 0 = ⎜ ⎟ . ⎜ .. ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ xn 0 ⎠

⎧C1 x11 (t0 ) + C2 x12 (t0 ) + ... + Cn x1n (t0 ) = x10 ⎪ ⎨............................................................. ⎪C x (t ) + C x (t ) + ... + C x (t ) = x 2 n2 0 n nn 0 n0 ⎩ 1 n1 0 B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Do det ( xij (t0 ) ) ≠ 0 ⇒ tìm đ

ng trình vi phân

c Ci theo X 0 .

NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH KHÔNG THU N

§5. H PH

n dxi = ∑ aij (t ) x j + fi dt j =1

nh lý 1: N u X là nghi m c a h ph

*

U .Q

TP Đ

ng trình tuy n tính không thu n nh t ng ng thì t ng X + X 1 là nghi m c a

ẦN

(5.1) còn X 1 là nghi m c a h L ( X ) = 0 t

ng trình (5.1) .

G

5.1. M t s đ nh lý v nghi m c a h ph

ẠO

dX = A(t ) X + F (t ) . dt

i d ng ma tr n

Ư N

Hay vi t d

(5.1)

H

Xét h d ng

Y

N

H

Ơ

N

NH T

TR

(5.1) .

10 00 B

Ch ng minh: (D a vào tính ch t c a toán t L ). nh lý 2: Nghi m t ng quát X c a h ph

*

ng trình tuy n tính không thu n nh t

H

Ó

A

trên kho ng ( a, b ) (là kho ng liên t c c a các h s aij (t ) và f i (t ) ) b ng t ng c a n

∑C X

Í-

nghi m t ng quát

i

c a h ph

i

ng trình tuy n tính thu n nh t t

ng ng và

-L

i =1

Đ IỄ N D

n

X = ∑ Ci X i + X

ÀN

TO

ÁN

nghi m riêng X c a h không thu n nh t.

i =1

Ch ng minh: Ta ph i ch ng minh hai đi u: a) Tho mãn (5.1) ∀Ci tu ý đi u này suy ra t tính ch t c a L .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

⎡ n ⎤ n L [ X ] = L ⎢ ∑ Ci X i + X ⎥ = ∑ Ci L [ X i ] + L ⎡⎣ X ⎤⎦ = F ( t ) ⎣ i =1 ⎦ i =1 n

b) T bi u th c X = ∑ Ci X i + X ta có th gi i ra các h ng s Ci .

∑C X i =1

i

i

= X − X khai tri n ra đây là m t h ph

ng trình đ i s

H

Th t v y ta có

N

n

Ơ

N

i =1

.Q

U

Y

tuy n tính đ i v i Ci và Krame c a h là W [ X 1 , X 2 ,..., X n ] ≠ 0 . n

TP

Ta chú ý r ng công th c X = ∑ Ci X i + X cho ta m i nghi m c a ph

n

i

i =1

ây

là

i

h

0

0

ph

0

ng

trình

0

− X (t0 ) .

TR

∑ C X (t ) = X (t ) − X (t ) = X

Ư N

G

c, ta ph i ch n Ci sao cho

H

trong đó X 0 là vector tu ý cho tr

Đ

gi i bài toán Côsi tìm nghi m X ( t ) sao cho t i t = t0 thì X ( t0 ) = X 0

.

ẦN

( 5.1)

ng trình

ẠO

i =1

đ i

s

10 00 B

Krame = W [ X 1 , X 2 ,..., X n ] ≠ 0 . Do đó tìm đ

tuy n

tính

đ i

v i

Ci

và

c duy nh t Ci tho mãn bài toán Côsi.

nh lý 3: (Nguyên lý ch ng ch t nghi m).

Ó

A

*

∑X

i

c a các nghi m X i c a các h ph

ng trình L [ X ] = Fi là

-L

i =1

Í-

T ng

H

n

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

⎛ f1i (t ) ⎞ ⎜ ⎟ m f ( t ) 2 i ⎟ nghi m c a h L [ X ] = ∑ Fi trong đó Fi = ⎜ ⎜ ⎟ ... i =1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ f ni (t ) ⎠

(Theo tính ch t c a toán t L ). *

nh lý 4: N u h L [ X ] = U + iV v i các h s th c aij (t ), ui (t ), vi (t ) có nghi m

X = U + iV trong đó

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng ng c a h

⎛ v1 (t ) ⎞ ⎜ ⎟ v2 (t ) ⎟ ⎜ V = ⎜ .... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ vn (t ) ⎠

L [ X ] = U và L [ X ] = V

N

Thì U và V s là nghi m t

⎛ v1 (t ) ⎞ ⎜ ⎟ v2 (t ) ⎟ ⎜ V= ⎜ .... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ vn (t ) ⎠

Ơ

⎛ u1 (t ) ⎞ ⎜ ⎟ u2 (t ) ⎟ ⎜ U= ⎜ .... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ un (t ) ⎠

H

⎛ u1 (t ) ⎞ ⎜ ⎟ u2 (t ) ⎟ ⎜ U= ⎜ .... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ un (t ) ⎠

ng trình vi phân

.Q

c

n

nghi m t ng quát X = ∑ Ci X i

G

( 5.2 )

H

Ư N

i =1

c 2: Xem Ci = Ci (t ) và ch n Ci (t ) sao cho bi u th c

ẦN

*B

ng ng ⇒

c 1: Tìm h nghi m c b n X 1 , X 2 ,..., X n c a h thu n nh t t

Đ

* B

ng pháp g m hai b

ẠO

Ph

ng pháp bi n thiên h ng s

TP

5.2. Ph

U

Y

N

(Theo tính ch t c a toán t L và so sánh các ph n th c , o).

∑ C (t ) X i =1

i

i

tho mãn

c

n n dC (t ) dX dX = ∑ i X i + ∑ Ci (t ) i = dt dt dt i =1 i =1

Í-

H

Ó

A

Vi phân ( 5.2 ) theo t ta đ

10 00 B

TR

L [ X ] = F (t ) .

n

n n n dCi (t ) dCi (t ) dX =∑ X i + A(t )∑ Ci (t ) X i ⇒ ∑ Xi = − A(t )∑ Ci (t ) X i = F (t ) dt dt dt i =1 i =1 i =1 i =1

TO

ÁN

-L

n

D

IỄ N

Đ

ÀN

(5.3) là ph

(5.3)

ng trình vector t

ng đ

⎧ n dCi (t ) ⎪∑ dt x1i = f1 (t ) ⎪⎪ i =1 ⎨................................. ⎪ n dC (t ) ⎪∑ i xni = f n (t ) ⎪⎩ i =1 dt

B môn Khoa h c c b n

ng v i h

(5.4)

Trang

Krame

W [ X 1 , X 2 ,..., X n ] ≠ 0

=

⇒

gi i

ra

duy

⇒ Ci = ∫ φi (t )dt + Ci . Thay giá tr c a các Ci vào ( 5.2 ) ta đ n

(

)

n

n

i =1

i =1

Ph

ng trình vi phân

nh t

dCi (t ) = φi (t ) dt

c

(

)

Ơ U

Y

N

T công th c trên ta th y X là t ng c a nghi m t ng quát và m t nghi m riêng.

H

i =1

N

X = ∑ ∫ φi (t )dt + Ci X i hay X = ∑ Ci X i + ∑ ∫ φi (t )dt X i .

⎧ dx ⎪⎪ dt = y ⎨ ⎪ dy = − x + 1 ⎪⎩ dt cos t

ẠO

Đ

G Ư N

c 1:

TR

ẦN

H

B

⎛0 ⎞ ⎜ F= 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ cos t ⎠

TP

.Q

Ví d : Gi i h

d 2x +x=0 dt 2

10 00 B

⎧ dx ⎪⎪ dt = y ⎨ ⎪ dy = − x ⎪⎩ dt

⇒

x = C1 cos t + C2 sin t y = −C1 sin t + C2 cos t

H

c 2:

Í-

B

Ó

A

⇒

-L

Xem Ci = Ci (t ) thay vào h ta đ

c (thay tr c ti p)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

dC2 (t ) ⎧ dC1 (t ) ⎪⎪ dt cos t + dt sin t = 0 ⎨ ⎪− dC1 (t ) sin t + dC2 (t ) cos t = 1 ⎪⎩ cos t dt dt ⇒ C1 (t ) = ln cos t + C1 ; C2 (t ) = t + C2

⎧⎪ x = C1 cos t + C2 sin t + cos t ln cos t + t sin t ⇒⎨ ⎪⎩ y = −C1 sin t + C2 cos t − sin t ln cos t + t cos t

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

§6. H PH

ng trình vi phân

NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH THU N NH T

CÓ H S H NG S

N

ng trình vi phân có d ng

( 6.1)

U .Q TP Đ

G

( 6.1)

d

ng trình vi phân c p

i d ng sau

H

cao. Ta s tìm nghi m c a h

mà không c n đ a nó v ph

Ư N

( 6.1)

ẠO

Trong đó aij là các h ng s .

Ta có th gi i h

N

H

Ơ

⎧ dx1 ⎪ dt = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ⎪ ⎨............................................... ⎪ dx ⎪ n = an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn ⎩ dt

Y

ó là h ph

ẦN

x1 = p1e λ t , x2 = p2e λ t ,..., xn = pn e λ t

TR

(6.2)

10 00 B

Trong đó p1 , p2 ,..., pn , λ là nh ng h ng s mà ta s xác đ nh.

Th các bi u th c (6.2) vào ( 6.1) , ta đ

ng trình đ i s tuy n tính sau

H

Ó

A

đây đ i v i p1 , p2 ,..., pn :

c h ph

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

⎧( a11 − λ ) p1 + a12 p2 + ... + a1n pn = 0 ⎪ ⎪a21 p1 + ( a22 − λ ) p2 + ... + a2 n pn = 0 ⎨ ⎪..................................................... ⎪a p + a p + ... + ( a − λ ) p = 0 nn n ⎩ n1 1 n 2 2

ó là m t h ph

( 6.3)

ng trình đ i s tuy n tính thu n nh t, nó ph i có nghi m

khác không, do đó đ nh th c c a ma tr n các h s c a nó ph i b ng không. a11 − λ a21

a12 ....... a1n a22 − λ ....... a2 n

........................................... an1

B môn Khoa h c c b n

=0

( 6.4 )

an 2 ....... ann − λ

Trang

Ph

Ph

ng trình ( 6.4 ) đ

c g i là ph

ng trình đ c tr ng c a h

ng trình đ i s b c n đ i v i λ . Nghi m c a nó đ

m t ph

ng trình vi phân

( 6.1) , nó là

c g i là giá tr riêng

c ah .

ng ng

U

c m t vector riêng t

Y

ng v i m i giá tr riêng λ i ta xác đ nh đ

G

Đ

ẠO

TP

.Q

⎛ p1i ⎞ ⎜ ⎟ p Pi = ⎜ 2i ⎟ . ⎜ ... ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ pni ⎠

Ư N

ng trình vi phân ( 6.1) có n nghi m X 1 , X 2 ,..., X n

H

Khi y h ph

Ơ

N

ng trình đ c tr ng ( 6.4 ) có n nghi m th c đ n λ 1, λ 2,..., λ n khác nhau.

a)Ph

N

ng h p sau:

H

Ta xét các tr

c g i là h nghi m c b n. Khi đó nghi m t ng quát c a h

A

y đ n

hay có th vi t

-L

Í-

i =1

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

⎧ x1 = C1 x11 + C2 x12 + ... + Cn x1n ⎪ ⎪ x2 = C1 x21 + C2 x22 + ... + Cn x2 n ⎨ ⎪.............................................. ⎪⎩ xn = C1 xn1 + C2 xn 2 + ... + Cn xnn

ng trình đ c tr ng ( 6.4 ) có các nghi m th c λ 1, λ 2,..., λ s l n l

l1 , l2 ,..., ls

là

H

X = ∑ Ci X i

b) Ph

( 6.1)

Ó

H

(i = 1.. n)

10 00 B

TR

ẦN

λ it ⎛ x1i ⎞ ⎛ p1i e ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λi t x ⎜ ⎟ p e 2 i X i = ⎜ ⎟ = ⎜ 2i ⎟ ⎜ ... ⎟ .... ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ λi t ⎟ ⎜ x ⎝ ni ⎠ ⎝ pni e ⎠

t b i

(l1 + l2 + ... + ls = n) .

Ta tìm nghi m c a h

( 6.1)

B môn Khoa h c c b n

d

i d ng

Trang

Ph

ng trình vi phân

H

Y U

ẠO

ng trình ( 6.1) d

c nghi m t ng quát c a h ph

i d ng th c thì

ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t c p cao có h s không đ i

G

ng t nh ph

.Q

ng trình đ c tr ng ( 6.4 ) có các nghi m ph c liên h p.

Mu n đ

t

ng pháp h s b t đ nh.

Đ

c) Ph

c các h s đó b ng ph

TP

có th tìm đ

ng trình ( 6.1)

N

đa th c này ph thu c n h ng s tu ý C1 , C2 ,..., Cn . D a vào h ph

Ơ

Trong đó pij (t ) là các đa th c b c l j − 1 ( j = 1, 2,...., s ; i = 1, 2,...., n ) các h s c a

Ư N

ta dùng công th c Euler và l y các nghi m riêng là ph n th c và ph n o c a

H

ng ng.

ẦN

nghi m riêng ph c t

TR

d) Các ví d :

A

H

Ó

⎧ x′ = x + 2 y ⎨ ⎩ y′ = 4 x + 3 y

10 00 B

Ví d 1: Gi i h

Í-

ng trình đ c tr ng là

-L

Ph

1− λ 4

2 = 0 hay λ 2 − 4 λ − 5 = 0 có hai nghi m 3−λ

TO

ÁN

λ 1= 5; λ 2 = −1 .

D

IỄ N

Đ

ÀN

ng v i λ 1= 5 h ph

ng trình đ xác đ nh vect riêng là ⎪⎧(1 − 5 ) p1 + 2 p2 = 0 ⇔ 4 p1 − 2 p2 = 0 . ⎨ ⎪⎩4 p1 + (3 − 5) p2 = 0

Có th l y p1 = 1, p2 = 2 . V y vect riêng ng v i λ 1= 5 là (1, 2) . T

ng t ta tìm đ

c vector riêng ng v i λ 2 = −1 là

(1, −1) . Do đó nghi m c b n c a h là B môn Khoa h c c b n

N

⎧ x1 = p11 (t )eλ 1 t + p12 (t )eλ 2 t + ... + p1s (t )eλ s t ⎪ λ t λt λ t ⎪ x2 = p21 (t )e 1 + p22 (t )e 2 + ... + p2 s (t )e s ⎨ ⎪.................................................................. ⎪ x = p (t )eλ 1 t + p (t )eλ2t + ... + p (t )eλ s t n1 n2 ns ⎩ n

Trang

Ph

x1 = e5t

y1 = 2e5t

x2 = e − t

y2 = − e − t

ng trình vi phân

ng trình đã cho là

V y nghi m t ng quát c a h ph

N

x = C1e5t + C2e − t

N

H

Ơ

y = 2C1e5t − C2e − t

U

Y

Ví d 2: Gi i h

TP ẠO

Đ

−5 = 0 hay λ 2 + 9 = 0 có nghi m −1 − λ

λ 2 = −3i . Véc t riêng ng v i λ 1= 3i là (5,1 − 3i ) . Do đó ta có nghi m là

H

λ 1= 3i

1−λ 2

G

ng trình đ c tr ng là

Ư N

ph

.Q

⎧ x′ = x − 5 y ⎨ ⎩ y′ = 2 x − y

ẦN

x1 = 5e3it = 5cos3t + i5sin 3t

10 00 B

TR

y1 = (1 − 3i )e3it = ( cos3t + 3sin 3t ) + i (sin 3t − 3cos3t ) V y nghi m t ng quát c a h đã cho là

A

x = 5C1 cos3t + 5C2 sin 3t

-L

Ví d 3: Gi i h

Í-

H

Ó

y = C1 ( cos3t + 3sin 3t ) + C2 ( sin 3t − 3cos3t )

ph

ng trình đ c tr ng là

1−λ 1

−1 = 0 hay λ 2 − 4λ + 4 = 0 có nghi m kép 3−λ

λ 1= λ 2 = 2 . Do đó ta tìm nghi m c a h có d ng

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

⎧ x′ = x − y ⎨ ⎩ y′ = x + 3 y

x = ( at + b ) e 2t y = ( ct + d ) e 2t

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

th vào h ph

ng trình ta đ

ng trình vi phân

c

⎧ 2at + 2b + a = ( a − c)t + b − d ⎨ ⎩ 2ct + 2d + c = (a + 3c)t + (b + 3d )

N

c

Ơ

đ ng nh t h s c a các s h ng cùng b c ta đ

Đ

c c = −C1 , d = −(C1 + C2 ) .

Ư N

G

Cho a = C1 , b = C2 , C1 , C2 tu ý ta đ

ẠO

TP

.Q

U

Y

N

H

⎧ 2a = a − c ⎪ ⎪ 2b + a = b − d ⎨ ⎪ 2c = a + 3c ⎪⎩ 2d + c = b + 3d

H

V y nghi m t ng quát là

TR

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00 B

y = −(C1t + C1 + C2 )e2t

ẦN

x = (C1t + C2 )e 2t

B môn Khoa h c c b n

Trang

ng trình vi phân

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00 B

TR

ẦN

H

Ư N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

U

Y

N

H

Ơ

N

Ph

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Ph n 1: Ph Ph

ng trình vi phân

ng trình vi phân c p 1

ng trình vi phân có bi n s phân ly

1. y′ cos 2 y − sin y = 0

Ơ

N

cos y − sin y − 1 cos x − sin x + 1

H

2. y′ =

Y .Q TP

1 y2

ẠO

5. y ′ = 1 +

U

1 +1 x− y

Đ

4. y′ =

N

3. y′ = x 2 + 2 xy − 1 + y 2

Ư N

G

6. y ′ = (4 x + y − 1)2 y′ = x 2 − y + 2x

H

t z = x 2 − y ⇒ y′ = 2x − z′

ẦN

7.

TR

z′ = − z

9.

(xy

2

)

(

10 00 B

8. (1 + y 2 )[ e 2 x dx − e y dy ] − (1 + y )dy = 0

)

− y 2 + x − 1 dx + x 2 y − 2 xy + x 2 + 2 y − 2 x + 2 dy = 0

(

)

(

)

Ó

A

⇔ y 2 + 1 (x − 1)dx + ( y + 1) x 2 − 2 x + 2 dy = 0

H

x −1 y +1 dx + 2 dy = 0 x − 2x + 2 y +1

Í-

⇔

-L

2

t z = x+ y.

TO

ÁN

m ( x + y) 10. y ′ + 1 = ( x + y )n + ( x + y ) p

D

IỄ N

Đ

ÀN

11. a (xy ′ + 2 y ) = xyy ′ (bi n đ i v x (a − y )y ′ = −2ay )

12. y ′ = y 2 − 13. Gi i ph

2 ( x2

t z = xy)

ng trình vi phân ( y ′ 2 − 1)x 2 y 2 + y ′(x 4 − y 4 ) = 0 (coi là ph

ng trình c p

2 đ i v i y’)

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Ph

ng trình vi phân

ng trình vi phân thu n nh t

14. xdy − ydx =

x 2 + y 2 dx

y

x

⎝

x⎠

Ơ

x⎠

y x

N

⎝

z=

H

y y y 16. xy ′ = y cos⎛⎜ ln ⎞⎟ ⇒ y ′ = cos⎛⎜ ln ⎞⎟

N

15. xy ′ = y − xe x

Ư N

G

18. x 2 y ′ 2 − 3 xyy ′ + 2 y 2 = 0

A

22. xyy ′ + x 2 − 2 y 2 = 0

10 00 B

y y π + sin , v i y(1) = x x 2

TR

ẦN

20. (xy ′ + y )2 = y 2 y ′ .

H

19. (2 x + y + 1)dx − (4 x + 2 y − 3)dy = 0

21. y ′ =

.Q

Đ

ẠO

17. ax 2 + 2bxy + cy 2 + y ′(bx 2 + 2cxy + f y 2 ) = 0

TP

dz dx d (ln z ) dx = ⇔ = z (cos(ln z ) −1) x cos(ln z ) − 1 x

U

Y

⇒ z ′.x + z = z cos(ln z )

H

Ó

23. (3 x 2 + y 2 ) y + ( y 2 − x 2 ) xy′ = 0

-L

Í-

24. xy ′ = y(1 + ln y − ln x ) , y(1) = e

ÁN

25. y 2 + x 2 y ′ = xyy ′ ⎛ ⎝

y⎞ x⎠

y x

ÀN

TO

26. ⎜ x − y cos ⎟dx + x cos dy = 0 ng trình vi phân tuy n tính

D

IỄ N

Đ

Ph

2 27. xy′ − y = x arctgx

28. (1 + x 2 ) y′ − 2 xy = (1 + x 2 ) 2 29. y ′ + 2 xy = xe − x

2

30. x(1 + x 2 )y ′ − (x 2 − 1)y + 2 x = 0 B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

31. y ′ sin x − y = 1 − cos x 32. (sin 2 y + x cot g y )y ′ = 1 x cos y

34. (2e y − x )y ′ = 1

H

Ơ

N

t z = sin y

Y

x − hàm, y − bi n

U

35. (1 − 2 xy ) y ′ = y ( y − 1)

N

x − hàm, y − bi n

.Q

33. y ′ + tgy =

x − hàm, y − bi n

ẠO

TP

36. y ′ + xy = x 3

G Ư N H

1 = 0 (coi x là hàm c a y) 2x − y 2

ẦN

38. y ′ +

Đ

2 3 ⎧ ⎪y′ − y = 2 37. ⎨ x x ⎪⎩ y(1) = 1

ng trình vi phân 2 xy ′ + y =

1 1− x

Ó

A

41. Gi i ph

10 00 B

40. (x 2 − y )dx + xdy = 0

TR

39. ye y = y ′(y 3 + 2 xe y ), v i y(0) = -1 (coi x là hàm c a y)

Í-

H

42. 2 x (1 + x )y ′ − (3x + 4 )y + 2 x 1 + x = 0

ÁN

-L

43. xy ′ − y = x 2 sin x

TO

44. Tìm nghi m riêng c a ph

ng trình y ′ cos 2 x + y = tgy th a mãn đi u ki n

D

IỄ N

Đ

ÀN

y(0)=0. Tìm nghi m riêng c a ph

Ph

ng trình vi phân y ′ 1 − x 2 + y = arcsin x

th a mãn đi u ki n y(0) =0. ng trình Becnuli

45. xy ′ + y = y 2 ln x 46. 3 y 2 y ′ − ay 3 = x + 1 47. (xy + x 2 y 3 )y ′ = 1 B môn Khoa h c c b n

x − hàm, y − bi n Trang

Ph

48. y ′x 3 sin y = x ′y − 2 y

ng trình vi phân

x − hàm, y − bi n

49. (x 2 + y 2 + 1)dx + xydy = 0 50. (x 2 − 1)y ′ sin y + 2 x cos y = 2 x − 2 x 3 51. x(e y − y ′) = 2

t z = cos y

Ơ

N

t z = ey

N

H

52. y ′ − 1 = e x + 2 y 53. (x 2 + y 2 + 2 x − 2 y )dx + 2( y − 1)dy = 0

Y U

G

Đ

2y x dy th a mãn đi u cos 2 y

Ư N

ki n y(0 ) = π .

ẦN

H

56. (x + 1)(y ′ + y 2 ) = − y

10 00 B

)

58. y + xy dx = xdy

TR

57. xydy = (y 2 + x )dx

ng trình vi phân xy ′ − 2 x 2 y = 4 y

A

59. Gi i ph

.Q

ng trình vi phân ydx + 2xdy =

55. Tìm nghi m c a ph

(

TP

1 1 y = 2 y2 ) x x

ẠO

54. x 2 y ′ = y(x + y ) (bi n đ i v d ng y ′ −

t z = y −1

H

Ó

60. 2 x 2 y ′ = y 2 (2 xy ′ − y ) (coi x = x(y))

TO

ÁN

-L

Í-

61. xyy ′ − y 2 = x α (α là tham s )

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ph

ng trình vi phân toàn ph n ⎛1 ⎝y

62. ⎜⎜ sin

⎛1 x y y ⎞ y x x 1 ⎞ − 2 cos + 1⎟⎟dx + ⎜⎜ cos − 2 sin + 2 ⎟⎟dy = 0 . y x x ⎠ x y y y ⎠ ⎝x

x x ⎛ ⎞ ⎛ x⎞ y ⎟ ⎜ 63. x + e dx + e y ⎜⎜1 − ⎟⎟dy = 0 . ⎜ ⎟ y⎠ ⎝ ⎝ ⎠

(

)

64. 2 x 1 + x 2 − y dx − x 2 − y dy = 0 .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

65. (x 2 + y 2 )(xdy − ydx ) = (a + x )x 4 dx .

ng trình vi phân

66. (x cos y − y sin y )dy + (x sin y + y cos y )dx = 0 .

67. (x 4 ln x − 2 xy 3 )dx + 3 x 2 y 2 dy = 0 .

Ơ

N

68. y 2 dx + (2 xy + 3)dy = 0

N

H

69. e x (2 + 2 x − y 2 )dx − 2e x ydy = 0

Y

ng trình

)

(

)

10 00 B

TR

⎛ x ⎞ x 2 + 1 cos y =0 + 2 ⎟⎟dx − 2 sin y 2 sin y ⎝ ⎠

74. ⎜⎜

G

ẦN

(

H

73. (2 x + 3x 2 y )dx = (3y 2 − x 3 )dy

Ư N

72. (y cos 2 x − sin x )dy = y cos x (y sin x + 1)dx

Đ

71. (y 2 + 1) 2 dx + y 2 + 3xy 1 + y 2 dy = 0 3

TP

ẠO

x x ⎞ ⎛ ⎜ x + e y ⎟dx + e y ⎛⎜1 − x ⎞⎟dy = 0 th a mãn đi u ki n y(0) = 2. ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

.Q

U

70. Tìm nghi m riêng c a ph

ng trình vi phân (y + e x sin y )dx + (x + e x cos y )dy = 0

76. Gi i ph

ng trình vi phân (x + sin y )dx + (x cos x + sin y )dy = 0

77. Gi i ph

ng trình vi phân 3x 2 (1 + ln y )dx = ⎜⎜ 2 y −

H

Ó

A

75. Gi i ph

-L

Í-

⎛

ÁN

78. Tìm h ng s a đ

⎝

(1 + y

2

TO ÀN Đ IỄ N D

Ph

)

sin 2 x dx + ay cos 2 xdy là vi phân toàn ph n c a hàm

u(x,y) nào đó và gi i ph

v i a tìm đ

x3 ⎞ ⎟dy y ⎟⎠

ng trình vi phân (1 + y 2 sin 2 x )dx + ay cos 2 xdy = 0

c.

ng trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0,

79. x ′y 3 = 1 + y ′ .

80. y = e y′ . y ′ 2 .

1

81. y ′ 2 x = e y .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

82. y = y ′(1 + y ′ cos y ′) .

Ph

ng trình Lagrange- Klero

83. y = 2 xy ′ + sin y ′ .

N U

1 y + 2 y′ y′

( x − hàm, y − bi n).

TP

86. x =

t z = y 2 ).

Y

85. y = 2 y ′x + y 2 y ′ 3 ( Nhân hai v v i y ,

H

Ơ

N

3 xy ′ + e y′ .

2

.Q

84. y =

ẠO

87. xy ′ − y = ln y ′ .

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00 B

TR

ẦN

H

Ư N

G

Đ

88. 2 y ′ 2 ( y − xy ′) = 1 .

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

Ph n 2: Ph

ng trình vi phân

ng trình vi phân c p cao

ng trình: y ′′ 2 = 4( y ′ − 1) tho mãn các đi u ki n ban

Ơ

90. Tìm nghi m c a ph

N

H

đ u:

U .Q

b) y = 0 , y ′ = 1 khi

Y

a) y = 0 , y ′ = 2 khi x = 0 .

TP

x = 0.

91. (1 + x 2 )y ′′ + y ′ 2 + 1 = 0

Ư N

3 y ′′′ 3 y ′y ′′ = ⇒ d ln y ′′ = d ln (1 + y ′ 2 ) 2 y ′′ 1 + y ′ 2

yy ′

A

dx

1+ x

2

(

)

= ln x + 1 + x 2 .

-L

Í-

95. yy ′′ = y ′ 2 .

H

Ó

∫

+ C1 ⇒ .....

d ng thu n nh t, đ t y ′ = yz .

1+ x2

Chú ý:

3 2

10 00 B

94. yy ′′ − y ′ 2 =

)

TR

(

⇒ y ′′ = 1 + y ′ 2

ẦN

H

93. y ′′′(1 + y ′ 2 ) − 3 y ′y ′′ 2 = 0 ⇒

G

Đ

ẠO

t y ′ = p tìm p = p (x) .

92. y ′(1 + y ′ 2 ) = ay ′′ .

ÁN

96. yy ′′′ = y ′y ′′ .

1 1 ⎛ y⎞ y′ + 2 y = 1 ⇒ d (y′ − x) − d ⎜ ⎟ = 0 x x ⎝ x⎠

ÀN

TO

97. y ′′ −

IỄ N

Đ

98. y ′′y + 2 y 2 y ′ 2 + y ′ 2 =

[

2 yy ′ chia hai v cho yy ′ . x

]

D

⇔ d ln y ′ + y 2 + ln y = d ln x 2 .....

99.

N

t y ′′′ = cos ϕ ; x = sin ϕ .

89. y ′′′ 2 + x 2 = 1

y ′′ = y ′e y

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

100.

y ′′(1 + y ) = y ′ 2 + y ′ (

101.

yy ′′ + y ′ 2 = 1 (

ng trình vi phân

t y’ = p(y) )

t y’ = p(y) ) ng trình vi phân y ′′ = e 2 y th a mãn y(0 ) = y ′(0 ) = 0

102. Tìm nghi m c a ph 2 xy ′y ′′ = y ′ 2 − 1

104.

(x + 1)y ′′ + x (y ′)2 = y ′

105.

y ′′ cos y + (y ′) sin y = y ′

.Q TP

y y ′′ = y ′

107.

xy ′′ = y ′ + x 2 (

108.

y ′ 2 + yy ′′ = yy ′

109.

xy ′′ = y ′ + x

110.

xy ′′ = 2 yy ′ − y ′ (

111.

Gi i ph

H

Ư N

G

Đ

ẠO

t y’ = p)

ẦN

t z = xy’)

10 00 B

TR

⎧y ′′ = 2 yy ′ ⎩y(0) = 2; y ′(0) = 0

ng trình vi phân ⎨

ng trình vi phân tuy n tính

A

x 2 y ′′ − 2 y = x 3 cos x , bi t m t nghi m riêng c a ph

ng ng là y1 = x2

Í-

nh t t

ng trình y ′′ +

-L

Gi i ph

ÁN

113.

TO

trình vi phân thu n nh t t

ÀN

ng trình vi phân thu n

Ó

112.

H

Ph

cot gx 2 bi t m t nghi m riêng c a ph y′ + y = x x

ng ng y 1 =

ng

sin x x 1 x

114.

Gi i ph

ng trình vi phân: x 2 (x + 1)y ′′ = 2 y bi t m t nghi m y 1 = 1 +

115.

Gi i ph

ng trình vi phân (x 2 + 1)y ′′ − 2 y = 0 n u bi t m t nghi m c a nó có

Đ IỄ N

U

2

106.

D

Y

N

H

Ơ

N

103.

d ng đa th c.

116.

Gi i ph

ng trình vi phân (2 x + 1)y ′′ + (2 x − 1)y ′ − 2 y = x 2 + x bi t nó có hai

nghi m riêng y 1 =

x 2 + 4x − 1 2

B môn Khoa h c c b n

y2 =

x2 +1 2

Trang

Ph

Xác đ nh h ng s α sao cho y = e

117.

αx 2

là nghi m riêng c a ph

ng trình vi phân

ng trình vi

phân y ′′ + 4 xy ′ + (4 x 2 + 2 )y = 0 . Tìm nghi m t ng quát c a ph

+ 1)xy ′′ + 2 y ′ − 6 xy = 4 − 12 x 2 bi t r ng nó có hai nghi m riêng y 2 = ( x + 1)

2

ẠO

ng trình vi phân tuy n tính h s h ng s y ′′′ − 13 y ′ − 12 y = 0 .

120.

y ′′′ − 2 y ′′ + 9 y ′ − 18 y = 0 .

121.

y (4 ) + y = 0 .

122.

y (4 ) + 2 y ′′′ + 3 y ′′ + 2 y ′ + y = 0 .

123.

y ( 7 ) + 3 y ( 6 ) + 3 y (5 ) + y ( 4 ) = 0 .

124.

y ′′ + y = 4e x .

125.

y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 3e 2 x + 2 x 2 .

126.

y ′′ − y = 2 sin x − 4 cos x .

127.

y ′′′ − 2 y ′ + 4 y = e − x cos x .

128.

y ′′ + n 2 y = sin 3 nx .

ẦN

H

Ư N

G

Đ

119.

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00 B

TR

Ph

TP

.Q

U

Y

y1 = 2 x ,

Ơ

2

H

(3x

ng trình vi phân

N

tìm nghi m t ng quát c a ph

N

118.

ng trình.

ÀN

129.

y ′′ − 2 y = 4 x 2 e x

131.

V i nh ng giá tr nào c a p và q thì t t c các nghi m c a ph

Đ

130.

D

IỄ N

y ′′ + y = sin x sin 2 x .

2

có nghi m riêng y * = e x .

2

y ′′ = py ′ + q gi i n i ∀ x ≥ 0

132.

( p ≥ 0 , q > 0) .

p, q = ? thì t t c các nghi m c a ph

tu n hoàn c a x B môn Khoa h c c b n

ng trình.

ng trình y ′′ + py ′ + q = 0 là nh ng hàm

( p ≥ 0 , q > 0) .

Trang

Ph

133.

x 2 y ′′ − xy ′ + 2 y = x ln x

134.

(2 x + 1)2 y ′′ − 4(2 x + 1) y ′ + 8 y = −8 x − 4

135.

y ′′ +

136.

(1 + x )2 y ′′ + (1 + x ) y ′ + y = 4 cos ln(1 + x )

137.

y ′′ + 9 y = ln 2 sin

138.

Dùng phép bi n đ i hàm y =

t = ln x . t = ln (2 x + 1) .

N

t = ln x .

Ơ

t = ln (1 + x ) .

N

H

1 1 y ′ + 2 y = 2 sin (ln x ) x x

ng trình vi phân

ng trình vi phân:

TP

z đ gi i ph x2

.Q

U

Y

x 2

Đ

ẠO

x 2 y ′′ + 4 xy ′ + (x 2 + 2 )y = e x

139.

y ′′ + y ′ = e − x (sin x − cos x ) (

140.

Gi i ph

141.

y ′′ + y ′ = x + e − x

142.

y ′′ − 2 y ′ + 2 y = x (e x + 1)

143.

y ′′ cos x + y ′ sin x − y cos 3 x = 0 đ t t = sinx

144.

2 y ′′ + 5 y ′ = 29 x sin x

145.

y ′′ + y =

146.

y ′′ − 4 y = (2 − 4 x )e 2 x

G

t y = e-xz)

ÁN

y ′′ − 2 y ′ + y =

ÀN

TO

147.

-L

Í-

H

1 sin x

Ó

A

10 00 B

TR

ẦN

H

Ư N

ng trình y ′′ − (2e x + 1)y ′ + e 2 x y = e 3 x b ng đ i bi n t = e x

ng trình vi phân xy ′′ + 2 y ′ − xy = e x b ng phép đ i hàm z = xy.

148.

Gi i ph

149.

y ′′ + y ′tgx − y cos 2 x = 0 dùng t = sinx

150.

y ′′ − 2 y ′ + 5 y = x sin 3x

151.

gi i ph

Đ IỄ N D

ex + cos x x

ng trình vi phân xy ′′ + 2(1 − x) y ′ + ( x − 2) y = e − x b ng phép đ i hàm

z=xy B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

152.

y ′′ − 2 y ′ − 3y = xe 4 x + x 2

153.

x 2 y ′′ + 2 xy ′ +

154.

y ′′ − 2 y ′ + y = 1 +

155.

Gi i ph

156.

y ′′ + y ′ = xe − x

157.

y ′′ − 4 y ′ + 5 y = e 2 x + cos x

158.

Gi i ph

159.

y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 1 + e −2 x ln x

160.

Tìm nghi m t ng quát c a ph

ng trình vi phân: y ′′ − 4 y ′ + 8 y = e 2 x + sin 2 x

161.

Tìm nghi m t ng quát c a ph

ng trình vi phân:

y = 0 b ng phép bi n đ i x = 1/t x2

Ơ

N

ex x

x 2

10 00 B

TR

y ′′ − 3y ′ + 2 y = 2 x 2 x − 5 + e x cos

ẦN

H

Ư N

G

Đ

ẠO

ng trình x 2 y ′′ − 4 xy ′ + 6 y = 0 b ng bi n đ i x = e t

TP

.Q

U

Y

N

H

ng trình x 2 y ′′ + xy ′ + y = x b ng bi n đ i x = e t

e −x x

162.

y ′′ + 2 y ′ + y = sin x +

163.

Gi i ph

164.

y ′′ + y = xe x + 2e − x

165.

y ′′ + y ′ − 2 y = cos x − 3 sin x

1 sin x

-L

ÁN

y ′′ − 2 y ′ = 2 cos 2 x

TO

166.

Í-

H

Ó

A

ng trình vi phân y ′′ + y =

Đ

ÀN

167.

y ′′ + y = sin x + cos 2 x

D

IỄ N

Ph n 3: H ph 168.

⎧ dx ⎪ dt = y − 5 cos t ⎨ dy ⎪ = 2x + y ⎩ dt

B môn Khoa h c c b n

ng trình vi phân 169.

⎧ dx ⎪ dt = 3x − y ⎨ dy ⎪ = 4y − x ⎩ dt

Trang

N Ơ H

172.

⎧ dx ⎪ dt = 2 x + y ⎨ dy ⎪ = 4y − x ⎩ dt

174.

⎧ dx ⎪ dt = x − 2 y − z ⎪⎪ dy ⎨ = y−x+z ⎪ dt ⎪ dz = x − z ⎩⎪ dt

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00 B

TR

ẦN

H

Ư N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

U

171.

⎧ dx ⎪ dt − 5 x − 3 y = 0 ⎨ dy ⎪ + 3x + y = 0 ⎩ dt

173.

⎧ dx ⎪ dt = 3x − y ⎨ dy ⎪ = 4y − x ⎩ dt

N

170.

⎧ dx ⎪ dt = 2 x − y + z ⎪⎪ dy ⎨ = x + 2y − z ⎪ dt ⎪ dz = x − y + 2 z ⎪⎩ dt

ng trình vi phân

Y

Ph

B môn Khoa h c c b n

Trang

Ph

ng trình vi phân

TÀI LI U THAM KH O

c Tôn, Nguy n Th Hoàn, Ph

ng trình vi phân, T p

ng trình vi phân, NXB H và

Y

[2] Nguy n Th Hoàn, Tr n V n Nhung, Bài t p Ph

N

H

1, 2, Hà n i, NXB H và THCN, 1970.

ng trình vi phân và lý thuy t n đ nh,

TP

[3] Nguy n Th Hoàn, Ph m Phu, C s Ph

.Q

U

THCN, 1979.

nh, Nguy n H Qu nh, Toán h c cao c p, T p 3,

Đ

ình Trí, T V n

ẠO

NXB Giáo d c, 2003.

[4] Nguy n

N

ng, V

Ơ

[1] Hoàng H u

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00 B

TR

ẦN

H

Ư N

G

NXB Giáo d c, 2002.

B môn Khoa h c c b n

Trang

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00 B

TR

ẦN

H

Ư N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

U

N Ơ H

Y

N

Filename: Giao trinh PTVP 2010_moi Directory: C:\Documents and Settings\nhung\My Documents Template: C:\Documents and Settings\nhung\Application Data\Microsoft\Templates\Normal.dotm Title: Subject: Author: THEGIOITINHYEU Keywords: Comments: Creation Date: 3/9/2010 9:54:00 AM Change Number: 4 Last Saved On: 3/9/2010 9:59:00 AM Last Saved By: THEGIOITINHYEU Total Editing Time: 4 Minutes Last Printed On: 3/9/2010 10:03:00 AM As of Last Complete Printing Number of Pages: 97 Number of Words: 16,387 (approx.)

Number of Characters: 93,407 (approx.)