GIẢI TÍCH B2 (Vi Tích Phân của Hàm Số Nhiều Biến) JAMES STEWART (2016) (Vietsub)

GIẢI TÍCH B2 Vi Tích Phân của Hàm Số Nhiều Biến JAMES STEWART

Trích Dịch và Soạn Slides: L. K. Hà

O. T. Hải

N. V. Huy

B. L. T. Thanh

ĐH KHTN, Khoa Toán Tin-Học, Bộ Môn Giải Tích Ngày 25 tháng 4 năm 2016

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

1

Đường & Mặt Trong Không Gian Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Mặt trụ và mặt bậc hai Hàm vectơ một biến và đường cong

2

Đạo hàm riêng và sự khả vi của hàm nhiều biến Hàm số nhiều biến Giới hạn và Sự liên tục của hàm nhiều biến Đạo hàm riêng Sự khả vi Quy tắc mắt xích và Đạo hàm của hàm ẩn Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Cực trị (không điều kiện) của hàm số nhiều biến Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện

3

Tích phân bội Tích phân kép trên một hình chữ nhật Tích phân lặp Tích phân kép trên một miền tổng quát GIẢI TÍCH B2

Làm quen phương trình vi phân

2/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

Tích phân kép trong tọa độ cực Tích phân bội ba Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Tích phân bội ba trong tọa độ cầu 4

Giải tích vectơ Trường vectơ Tích phân đường Định lý cơ bản của tích phân đường Định lý Green Curl và Divergence Mặt tham số và Diện tích mặt Tích phân mặt Định lý Stocks Định lý Divergence

5

Làm quen phương trình vi phân Lập mô hình toán học với phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp 1 GIẢI TÍCH B2

3/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

Phương trình vi phân tuyến cấp 2

GIẢI TÍCH B2

4/??

ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Không gian có ba trục số vuông góc từng cặp tại gốc O, gồm trục Ox, Oy, Oz được sắp theo qui tắc bàn tay phải như hình dưới được gọi là không gian tọa độ Descartes.

GIẢI TÍCH B2

6/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Trong hình trên, ba trục tạo nên ba mặt phẳng: mặt-xz (bức tường trái), mặt-yz (bức tường phải), mặt-xy (nền nhà); đồng thời chia không gian thành tám phần đều nhau được gọi các octants (khối tam diện vuông).

Octant thứ nhất là khoảng không trong căn phòng ở trên, định bởi phần dương của các trục.

GIẢI TÍCH B2

7/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Cách định vị một điểm P trong không gian như sau: gọi a là khoảng cách (có hướng) từ mặt-yz đến P; b là khoảng cách từ mặt-xz đến P và c là khoảng cách từ mặt-xy đến P. Khi đó, P được đại diện bởi bộ ba số thực .a; b; c/, sẽ được gọi là tọa độ của P. Các số a, b, c lần lượt được gọi là tọa-độ-x, tọa-độ-y , tọa-độ-z của P. Để định vị điểm P, ta bắt đầu từ gốc O đi a đơn vị dọc theo trục-x, tiếp tục đi b đơn vị song song với trục-y , sau cùng đi c đơn vị song song với trục-z.

GIẢI TÍCH B2

8/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Từ điểm P.a; b; c/ đi theo phương vuông góc với mặt-xy sẽ gặp điểm Q.a; b; 0/, được gọi là hình chiếu của P lên mặt-xy.

Tương tự, R.0; b; c/ và S.a; 0; c/ là hình chiếu của P lên mặt-yz và mặt-xz tương ứng.

Vậy điểm P.a; b; c/ xác định một hình hộp chữ nhật như trên, nên tọa độ .a; b; c/ được gọi là tọa-độ-hộp, nhưng ta quen gọi là tọa-độ-Descartes.

GIẢI TÍCH B2

9/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Sau đây là hình ví dụ minh họa cho trường hợp điểm . 4; 3; 5/ và điểm .3; 2; 6/.

GIẢI TÍCH B2

10/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Không gian Euclide Người ta ký hiệu R3 là tích Descartes ˚ R R R D .x; y ; z/jx; y ; z 2 R ; là tập hợp tất cả các bộ ba số thực có thứ tự. Tập hợp R3 được gọi là không gian Eulide, được đồng nhất với không gian vật lý ba chiều, vì mỗi điểm P trong không gian vật lý được đại diện bởi một bộ ba .a; b; c/ 2 R3 như đã nói trên.

Theo thuật ngữ tọa độ, octant thứ nhất của R3 bao gồm các điểm có các thành phần tọa độ dương.

Tổng quát, với n 2, n 2 N, ta định nghĩa ˚ Rn D .x1 ; : : : ; xn / j 8k D 1; n; xk 2 R :

GIẢI TÍCH B2

11/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Đường và mặt Trong hình học tọa độ hai chiều, đồ thị của một phương trình theo x và y là một đường cong trong R2 . Trong hình học tọa độ ba chiều, một phương trình theo x, y , z sẽ biểu diễn một mặt trong R3 .

Chú ý Một phương trình theo x và y biểu diễn một đường trong mặt phẳng, nhưng cũng phương trình đó, lại biểu diễn một mặt trong không gian (xem ví dụ trang sau).

GIẢI TÍCH B2

12/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Ví dụ Phương trình y D 5 biểu diễn mặt phẳng trong R3 , nhưng lại biểu diễn đường thẳng trong R2 như minh họa sau

GIẢI TÍCH B2

13/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Công thức khoảng cách Khoảng cách giữa hai điểm P1 .x1 ; y1 ; z1 / và P2 .x2 ; y2 ; z2 / được cho bởi p P1 P2 D .x2 x1 /2 C .y2 y1 /2 C .z2 z1 /2 GIẢI TÍCH B2

14/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Phương trình mặt cầu Mặt cầu tâm C .h; k; l/ với bán kính r được biểu diễn bởi phương trình .x

h/2 C .y

k/2 C .z GIẢI TÍCH B2

l/2 D r 2 : 15/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Vectơ-hình-học là đoạn thẳng có một đầu là “mũi tên”, (thường gọi là ngọn) được dùng để biểu thị vài đại lượng trong khoa học (ví dụ, độ dời hay chuyển dịch, vận tốc, lực v.v..), vì nó thể hiện đủ hai thuộc tính là độ lớn và hướng.

Hình vẽ bên trình bày vectơ-hình-học, được ký hiệu bởi !

AB, hoặc ngắn gọn hơn là ! v.

GIẢI TÍCH B2

16/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Cộng vectơ: qui tắc nối tiếp Nếu ! u và ! v là hai vectơ sao cho ngọn của ! u trùng với gốc của ! v, ! ! ! thì vectơ tổng u C v là vectơ có gốc của u và có ngọn của ! v . Biểu thị hình học cho phép cộng là qui tắc tam giác: ! ! !

AB C BC D AC : GIẢI TÍCH B2

17/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Phép cộng có tính giao hoán Nhìn vào hình bình hành ở trên, ta thấy phép cộng vectơ có tính giao hoán ! u C! v D! v C! u GIẢI TÍCH B2

18/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Tích-theo-hệ-số Nếu k là một số thực và ! v là một vectơ, thì tích-theo-hệ-số k! v là một vectơ có độ dài bằng jkj nhân với độ dài của ! v , cùng hướng với ! v nếu k > 0, ngược hướng với ! v nếu k < 0. Nếu k D 0 hoặc ! v D! 0 ! ! thì k v D 0 .

GIẢI TÍCH B2

19/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Biểu diễn vectơ bởi tọa độ Mỗi vectơ-hình-học, là đoạn thẳng có hướng, nếu được tịnh tiến sao cho điểm đầu của nó đặt vào gốc tọa độ, thì điểm ngọn có tọa độ là .a1 ; a2 / hay .a1 ; a2 ; a3 / tùy thuộc vào không gian R2 hay R3 . Lúc đó ta viết ! a D ha ; a i hay ! a D ha ; a ; a i 1

2

1

2

3

Các số a1 ; a2 ; a3 được gọi là các thành phần của ! a , và ! a là vectơ-đại-số.

GIẢI TÍCH B2

20/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Ví dụ: Hình vẽ bên có nhiều vectơ-hình-học. Vectơ-đại-số ! a D h3; 2i đại diện cho tất cả vectơ-hình-học này. Chúng có chung một đặc điểm là, từ điểm đầu đến điểm cuối, có thể đi qua phải 3 đơn vị, lên trên 2 đơn vị.

Vectơ-vị-trí

!

Với mỗi điểm P.a1 ; a2 / 2 R2 (hoặc P.a1 ; a2 ; a3 / 2 R3 ), vectơ OP được gọi là vectơ-vị-trí của điểm P. Như vậy ta có thể đồng nhất không gian Euclide với không gian các vectơ-đại-số, vì mỗi điểm P.a1 ; : : : ; an / 2 Rn tương ứng 1-1 với vectơ! vị-trí OP, được đại diện bởi vectơ-đại-số ! a D ha1 ; : : : ; an i.

GIẢI TÍCH B2

21/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Hình bên trình bày ! ! a D OP D ha1 ; a2 ; a3 i là vectơ vị trí của điểm P.a1 ; a2 ; a3 / trong ! không gian. Nếu ! a D AB, với A.x; y ; z/ và B.x1 ; y1 ; z1 /, thì ta có x1 D x C a1 , y1 D x C a2 , z1 D z C a3 .

Công thức tính tọa độ cho vectơ-hình-học Với hai điểm A.x1 ; y1 ; z1 / và B.x2 ; y2 ; z2 /, ta có vectơ-đại-số ! a đại diện ! cho vectơ-hình-học AB như sau !

AB D ! a D hx2

x1 ; y2

GIẢI TÍCH B2

y1 ; z2

z1 i: 22/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Các công thức khác về vectơ Nếu ! a D ha1 ; a2 i và ! b D hb1 ; b2 i (hai chiều), k 2 R thì ! a C! b D ha C b ; a C b i 1

! a

1

2

2

!

b D ha1 b1 ; a2 b2 i q ! ! k a D hka1 ; ka2 i và j a j D a12 C a22

Tương tự trong trường hợp ba chiều, ta có ! a C! b D ha C b ; a C b ; a C b i 1

! a

1

2

2

3

3

!

b D ha1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 i q k! a D hka1 ; ka2 ; ka3 i và j! a j D a12 C a22 C a32 GIẢI TÍCH B2

23/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Vectơ cơ sở đơn vị

! !

Trường hợp hai chiều, i D h1; 0i và j D h0; 1i được gọi là hai vectơ ! cơ sở (chuẩn tắc). Trường ba chiều, ba vectơ cơ sở gồm i D h1; 0; 0i, ! j D h0; 1; 0i và ! k D h0; 0; 1i. Nếu ! a D ha ; a i (hoặc ha ; a ; a i) thì 1

2

1

2

3

! a D a !i C a !j hoặc ! a D a !i C a !j C a ! k: 1

2

1

GIẢI TÍCH B2

2

3

24/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Các tính chất về vectơ Nếu ! a; ! b và ! c là các vectơ trong Rn và s, t là hai số thực, thì 1 2 3 4

! a C! b D! b C! a ! ! ! ! ! ! . a C b /C c D a C. b C c / ! a C! 0 D! a ! ! a C. a/D! 0

5 6 7 8

GIẢI TÍCH B2

s.! a C! b / D s! a C s! b .s C t/! a D s! a C t! a .st/! a D s.t! a/ ! !

1a D a

25/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Định nghĩa tích vô hướng Nếu ! a D ha1 ; : : : ; an i và ! b D hb1 ; : : : ; bn i thì tích vô hướng của ! a và ! ! ! b là số thực a b được định bởi ! a ! b D a b C C a b 1 1

n n

Tính chất của tích vô hướng Nếu ! a,! b và ! c là các vectơ trong Rn và t là một số thực thì 1 2 3 4 5

! a ! a D j! a j2

! a ! b D! b ! a ! ! ! a .b C c / D! a ! b C! a ! c ! ! ! .t! a / b D t.! a b/D! a .t b / ! !

0 a D0

GIẢI TÍCH B2

26/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Định lý

Nếu là số đo góc giữa hai vectơ ! a và ! b thì ! a ! b D j! a j:j! b j: cos I

hay cos D

! a ! b

j! a j:j! bj

Do đó: ! a ?! b ,! a ! b D 0: GIẢI TÍCH B2

27/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Chứng minh. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC trong hình trên, ta được AB 2 D OA2 C OB 2 2:OA:OB: cos (1.1) !

Nhưng AB D j b ! a j, OA D j! a j và OB D j! b j, do đó (1.1) trở thành ! jb

! a j2 D j! a j2 C j! b j2

2j! a jj! b j cos

(1.2)

Nhưng theo tính chất 1, 2, 3 của tích vô hướng thì vế trái của (1.2) được viết lại như sau ! jb

! a j2 D .! b D j! a j2

! a / .! b

! a/

2j! a jj! b j C j! b j2

(1.3)

Từ (1.2) và (1.3), ta có điều phải chứng minh.

GIẢI TÍCH B2

28/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Hình chiếu của một vectơ trên một vectơ khác ! ! ! !

Xét ! a D PQ và b D PR như hình trên. Vectơ PS, với ký hiệu là ! ! proj! b , được gọi là vectơ hình chiếu của b lên ! a. a

GIẢI TÍCH B2

29/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ !

Thành phần của b trên ! a là độ dài đại ! ! số (độ dài có dấu) của proj! a b trên a , ! được tính bởi j b j cos , trong đó là góc tạo bởi ! a và ! b . Thành phần này được ký ! hiệu bởi comp! a b . Khi là góc tù thì ! comp! a b 0.

Công thức !

comp! a b D !

proj! a b D

! a ! b

j! aj ! a ! b ! a j! aj

! a ! b

!

D a j! a j j! a j2 GIẢI TÍCH B2

30/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

CÔNG CỦA LỰC

!

Trong hình trên bên trái, thành phần của lực F có công tham gia vào việc ! ! dịch chuyển vật từ P đến Q được biểu thị bởi PS. Do đó công của lực F ! tham gia việc dịch chuyển vật theo độ dời D là ! ! ! !

W D .j F j cos /jPQj D F D : !

Nếu là góc tù thì công sẽ âm, nghĩa là lực F có công cản trở vật dịch ! chuyển theo hướng D .

GIẢI TÍCH B2

31/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Các góc và cosine chỉ hướng của vectơ Mỗi vectơ ! a ¤!

0 sẽ hợp với hướng dương của ba trục Ox, Oy, Oz các góc ˛, ˇ và (trong khoảng Œ0; ), được gọi là các góc chỉ hướng; và cos ˛, cos ˇ và cos được gọi là các cosine chỉ hướng của ! a. Định lý 1 ! a là vectơ đơn vị Nếu ! a D ha1 ; a2 ; a3 i thì hcos ˛; cos ˇ; cos i D ! jaj a , vì cùng hướng với ! cos ˛ D

! a !i

a1 a2 D ! I tương tự cos ˇ D ! I cos ! jaj j! a jj i j j a j GIẢI TÍCH B2

a3 D ! jaj 32/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Định nghĩa tích hữu hướng Nếu ! a D ha1 ; a2 ; a3 i và ! b D hb1 ; b2 ; b3 i là hai vectơ thì tích hữu ! ! hướng của a và b là vectơ mới được định bởi ! a ! b D ha2 b3 a3 b2 ; a3 b1 a1 b3 ; a1 b2 a2 b1 i ˇ ˇ ˇ! ! !ˇ ˇi ˇ j k ˇ ˇ D ˇ a1 a2 a3 ˇ (về hình thức, tính như định thức) ˇ ˇ ˇb1 b2 b3 ˇ Định lý Vectơ ! a ! b vuông góc với cả hai vectơ ! a và ! b , nghĩa là ! a .! a ! b/D0

và

! ! ! b . a b / D 0:

GIẢI TÍCH B2

33/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Định lý 1

Nếu là góc giữa ! a và ! b (0 ) thì j! a ! b j D j! a jj! b j sin :

Hướng của vectơ ! a ! b được xác định theo qui tắc bàn tay phải như hình vẽ trên.

2

Suy ra, j! a ! b j bằng diện tích hình bình hành sinh bởi ! a và ! b. ! a và ! b cùng phương khi và chỉ khi ! a ! b D! 0.

GIẢI TÍCH B2

34/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Định lý Nếu ! a,! b và ! c là các vectơ, t là số thực thì ! !

1 a bD ! b ! a ! ! ! ! ! !

2 .t a / b D t. a b / D a .t b / 3 4 5 6

! a .! b C! c /D! a ! b C! a ! c .! a C! b / ! c D! a ! c C! b ! c ! ! ! a .b ! c / D .! a b / ! c ! a .! b ! c / D .! a ! c /! b

.! a ! b /! c

Tích hỗn hợp

Trong mục 5 của định lý trên, số ! a .! b ! c / được gọi tích hỗn hợp ! ! ! của ba vectơ a , b và c .

GIẢI TÍCH B2

35/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Công thức thể tích hình hộp Ba vectơ ! a D ha1 ; a2 ; a3 i, ! b D hb ; b ; b i và ! c D hc ; c ; c i sinh ra 1

Trong hình trên, thể tích hình hộp bằng diện tích hình bình ! hành đáy S D j b ! c j nhân độ cao h D j! a j cos .

2

3

1

2

3

hình hộp có thể tích cho bởi ˇ ˇ ˇa1 a2 a3 ˇ ˇ ˇ V D j! a .! b ! c /j D ˇˇb1 b2 b3 ˇˇ ˇ c1 c2 c3 ˇ

GIẢI TÍCH B2

36/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Mô-men xoắn

Ý tưởng cho khái niệm tích hữu hướng bắt nguồn từ vật lý. Cụ thể, chúng ta xét một ! lực F tác động lên vật thể cứng tại một điểm đặt có vectơ vị trí ! r , chẳng hạn như chúng ta xiết bu-loong bằng cách áp một lực lên chìa khóa vặn như hình bên, khi đó sẽ xuất hiện hiệu ứng quay. Mô-men quay quanh gốc O được định nghĩa là vectơ

!

Hướng của vectơ ! tiến D! r !

F; theo trục quay. Với cùng độ ! nó nói lên xu hướng quay của vật thể quanh lớn của lực F , số đo là tâm O mạnh hay yếu. bao nhiêu thì cường độ mô-men quay lớn nhất?

GIẢI TÍCH B2

37/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Phương trình đường thẳng Nếu P thuộc đường thẳng L đi qua P0 với vectơ chỉ phương ! v D ha; b; ci, thì ! r thỏa phương trình ! r D! r C t! v; 0

Trong hình trên, điểm P0 .x0 ; y0 ; z0 / và P.x; y ; z/ lần lượt có vectơ-vị-trí là ! r0 và ! r.

t2R

(1.4)

nghĩa là x; y ; z thỏa x D x0 C at

y D y0 C bt

z D z0 C ct (1.5)

Phương trình (1.4) và (1.5) được gọi là phương trình vectơ và phương trình tham số của đường thẳng L. GIẢI TÍCH B2

38/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Phương trình vectơ biểu diễn đoạn thẳng nối P0 và P là ! r D! r C t! v; 0

0 t 1

Khử t trong phương trình (1.5), ta có dạng chính tắc của đường thẳng x x0 y y0 z z0 D D a b c GIẢI TÍCH B2

39/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.1. Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ

Phương trình mặt phẳng Trong không gian tọa độ Oxyz, nếu mặt phẳng .˛/ đi qua điểm P.x0 ; y0 ; z0 / và vuông góc với ! n D ha; b; ci thì phương trình của mặt phẳng .˛/ là một trong các dạng sau a.x

x0 / C b.y

ax C by C cz

y0 / C c.z

z0 / D 0

.ax0 C by0 C cz0 / D 0

ax C by C cz C d D 0, trong đó d D

.ax0 C by0 C cz0 /

ax C by C cz D ax0 C by0 C cz0

GIẢI TÍCH B2

40/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Mặt trụ & Mặt bậc hai Ở bậc phổ thông, sinh viên đã biết mặt phẳng và mặt cầu. Sau đây, chúng ta sẽ tìm hiểu mặt trụ (cylinder) và mặt bậc hai (quadric surface) Định nghĩa Mặt trụ là mặt bao gồm các đường thẳng song song (ta gọi là các đường kẻ, rulings) với một đường thẳng cho trước và các đường kẻ này tựa lên một đường cong phẳng cho trước.

Mặt bậc hai là mặt chứa các điểm có tọa độ thỏa một phương trình bậc hai và chứa đủ ba biến x, y và z.

GIẢI TÍCH B2

41/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Chú ý Cách hữu dụng để hiển thị hay phác họa một mặt cong là xác định phần giao của nó với các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ. Các đường giao tuyến cong này được gọi là vết (trace) và tạo nên hình ảnh của lưới (gridlines) Tiếp theo là các ví dụ.

GIẢI TÍCH B2

42/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Ví dụ Mô tả và phác họa mặt (S) có phương trình z D x 2 .

Lưu ý phương trình này không chứa biến y , có nghĩa rằng mọi điểm P.x; y ; z/ thuộc mặt cong (S) có hình chiếu lên mặt-xz sẽ thuộc parabol “z D x 2 ”.

Nói cách khác, vết (cắt) của mặt phẳng y D k với mặt (S) là một parabol (mặt y D k song song với mặt-xz). Vết của mặt x D k hay z D k với (S) là các đường thẳng song song với trục Oy (ta gọi là các đường kẻ, rulings). Vậy (S) có dạng một lòng máng parabol, và là mặt trụ.

GIẢI TÍCH B2

43/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai Ví dụ Phác họa mặt cong z D y 2

Các vết trong mặt x D k

x 2.

Hình chiếu của các vết trong mặt x D k lên mặt-yz là các parabol z D y2 k2 GIẢI TÍCH B2

44/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Các vết trong mặt y D k

Hình chiếu của các vết trong mặt y D k lên mặt-xz là các parabol z D k2 x2

GIẢI TÍCH B2

45/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Các vết trong mặt z D k

Hình chiếu của các vết trong mặt z D k lên mặt-xy là các hyperbol k D y2 x2

GIẢI TÍCH B2

46/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Hình phác họa của mặt z D y 2 GIẢI TÍCH B2

x2 47/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Phân loại mặt bậc hai

Ellipsoid Ellipsoid có phương trình y2 z2 x2 C C D1 a2 b2 c2 Các vết đều là đường ê-lip.

Trường hợp a D b D c thì Ellipsoid là mặt cầu.

GIẢI TÍCH B2

48/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Cone (Nón) Phương trình mặt nón là z2 x2 y2 D C c2 a2 b2 Các vết ngang đều là đường ê-lip.

Vết đứng trong các mặt phẳng x D k, y D k, với k 6D 0, là các đường hyperbola.

Nếu k D 0 thì vết là các cặp đường thẳng.

GIẢI TÍCH B2

49/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Elliptic Parboloid Mặt Elliptic Paraboloid có phương trình z x2 y2 D 2 C 2 c a b Các vết ngang là các đường ê-lip.

Vết đứng là các parabola.

Biến bậc nhất của phương trình xác định trục của mặt Elliptic Paraboloid.

GIẢI TÍCH B2

50/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Hyperbolic Paraboloid Mặt Hyperbolic Paraboloid có phương trình x2 y2 z D 2 c a b2 Các vết ngang là các đường hyperbola.

Vết đứng là các parabola.

Biến bậc nhất của phương trình xác định trục của mặt Elliptic Paraboloid.

Hình bên minh họa cho trường hợp c < 0.

GIẢI TÍCH B2

51/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Hyperboloid Of One Sheet Mặt Hyperboloid-một-mảnh có phương trình y2 z2 x2 C D1 a2 b2 c 2 Các vết ngang là các đường ê-lip.

Vết đứng là các hyperbola.

Trục đối xứng tương ứng với biến mang hệ số âm.

GIẢI TÍCH B2

52/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Hyperboloid Of Two Sheets Mặt Hyperboloid-hai-mảnh có phương trình x2 y2 z2 C D1 a2 b 2 c2 Các vết ngang trong mặt z D k là các đường ê-lip khi jkj > jcj.

Các vết đứng là các hyperbola.

Hai dấu trừ trong phương trình cho biết mặt có hai mảnh.

GIẢI TÍCH B2

53/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.2. Mặt trụ và mặt bậc hai

Bộ truyền động của hộp số trong động cơ xe có hình dạng Hyperboloid một mảnh.

GIẢI TÍCH B2

54/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong

Hàm vectơ một biến & Đường cong Hàm vectơ một biến Cho n hàm số một biến f1 ; : : : ; fn . Với mỗi giá trị của biến t (thuộc một khoảng-đoạn nào đó), ta có vectơ trong Rn như sau ˝ ˛ ! r .t/ D f1 .t/; f2 .t/; : : : ; fn .t/ Vậy ta có hàm vectơ một biến ! r.

Nếu các hàm số fk có giới hạn tại a, ta định nghĩa ˝ ˛ lim ! r .t/ D lim f1 .t/; : : : ; lim fn .t/ t!a

t!a

GIẢI TÍCH B2

t!a

55/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong

Hàm vectơ liên tục Hàm vectơ ! r D hf ; : : : ; f i liên tục tại a có 1

nghĩa là

n

lim ! r .t/ D ! r .a/;

t!a

cũng có nghĩa là các hàm thành phần fk liên Nếu ! r là vectơ vị trí của

tục tại a. điểm P f .t/; g .t/; h.t/ thì khi t thay đổi, P sẽ vạch ra một đường cong Có một sự liên hệ gần giữa hàm vectơ liên tục C trong không gian (với và đường cong phẳng hoặc đường cong không giả thiết rằng hàm vectơ gian (xem hình bên). ! r liên tục).

GIẢI TÍCH B2

56/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong

Nếu f ; g ; h là ba hàm số một biến liên tục trên một đoạn-khoảng I nào đó, thì tập hợp C gồm các điểm .x; y ; z/ sao cho x D f .t/;

y D g .t/;

z D h.t/

(1.6)

và t thay đổi trên khoảng-đoạn I, là một đường cong trong không gian.

Phương trình (1.6) được gọi là hệ phương trình tham số của C , và t là tham số.

GIẢI TÍCH B2

57/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong Ví dụ

Phác họa đường cong có phương trình vectơ ! r .t/ D cos t!i C sin t!j C ! tk.

Phương trình tham số của đường cong là x D cos t;

y D sin t;

z Dt

Vì x 2 C y 2 D 1 nên đường cong nằm trên mặt trụ tròn có phương trình x 2 C y 2 D 1. Điểm .x; y ; z/ của đường cong có hình chiếu lên mặt-xy là .x; y ; 0/. Khi t tăng thì điểm .x; y ; 0/ chạy ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn x 2 C y 2 D 1.

Vì z D t nên đường cong xoắn ốc quanh mặt trụ, hướng lên trên khi t tăng, nó có hình lò xo.

GIẢI TÍCH B2

58/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong Ví dụ Tìm phương trình vectơ biểu diễn đường cong giao tuyến của mặt trụ x 2 C y 2 D 1 và mặt phẳng y C z D 2.

GIẢI TÍCH B2

59/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong Hình chiếu của đường cong lên mặt-xy là đường tròn x 2 C y 2 D 1, z D 0, do đó ta có thể đặt x D cos t;

y D sin t;

0 t 2

Từ phương trình y C z D 2, ta suy ra z D 2 tham số của đường cong là x D cos t;

y D sin t;

z D2

sin t. Ta có phương trình

sin t;

0 t 2

! sin t/ k ;

0 t 2

Và phương trình vectơ tương ứng là ! r .t/ D cos t!i C sin t!j C .2

GIẢI TÍCH B2

60/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong

Sự khả vi và Vectơ tiếp tuyến Với hàm vectơ ! r , ta định nghĩa ! d! r D! r .t C h/ 0 r .t/ D lim h!0 dt h

! r .t/

nếu giới hạn trên tồn tại. Ý nghĩa hình học được trình bày trong hình bên. Nếu hai điểm P và Q có vectơ vị trí là ! ! r .t/ và ! r .t C h/ tương ứng thì PQ là biểu ! ! diễn hình học của r .t C h/ r .t/, xem như là vectơ cát tuyến của đường cong.

GIẢI TÍCH B2

61/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong Nếu h > 0 thì Œ! r .t C h/ ! r .t/ =h có cùng hướng với ! r .t C h/ ! r .t/.

Khi h ! 0, có vẻ như vectơ này tiếp cận với một vectơ nằm trên đường tiếp tuyến. Vì lý do này mà ! r 0 .t/ được gọi vectơ tiếp tuyến với đường ! cong định bởi r tại điểm P, miễn là tồn tại ! r 0 .t/ và ! r 0 .t/ ¤ 0. Tiếp tuyến với đường cong tại P là đường thẳng qua P có vectơ chỉ phương là ! r 0 .t/. Đôi khi, ta cũng xét vectơ tiếp tuyến đơn vị định bởi ! r 0 .t/ˇ : !

T .t/ D ˇˇ! r 0 .t/ˇ Định lý Nếu ! r .t/ D hf .t/; g .t/; h.t/i, với f ; g ; h là các hàm số khả vi, thì ! r 0 .t/ D hf 0 .t/; g 0 .t/; h0 .t/i D f 0 .t/!i C g 0 .t/!j C h0 .t/! k GIẢI TÍCH B2

62/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong Qui tắc đạo hàm Nếu ! u và ! v là hai hàm vectơ khả vi, c là hằng số thực, f là hàm số thực một biến khả vi, thì d !

1 Πu .t/ C ! v .t/ D ! u 0 .t/ C ! v 0 .t/ dt d !

2 Œc u .t/ D c! u 0 .t/ dt d 0 3 Œf .t/! u .t/ D f 0 .t/! u .t/ C f .t/! u .t/ dt d !

4 Πu .t/ ! v .t/ D ! u 0 .t/ ! v .t/ C ! u .t/ ! v 0 .t/ dt d !

5 Πu .t/ ! v .t/ D ! u 0 .t/ ! v .t/ C ! u .t/ ! v 0 .t/ dt d !

6 Œ u .f .t// D f 0 .t/! u 0 .f .t// dt GIẢI TÍCH B2

63/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong

Hệ quả ˇ ˇ r .t/ˇ D c (là hằng số độc lập với t) Nếu ! r là hàm vectơ khả vi và ˇ! thì ! r 0 .t/ là vectơ vuông góc với ! r .t/, với mọi t. ˇ ˇ Chứng minh. Từ giả thiết, ta suy ra ˇ! r .t/ˇ2 D ! r .t/ ! r .t/ D c 2 . Lấy đạo hàm theo t ở hai vế, ta được ! r 0 .t/ ! r .t/ C ! r .t/ ! r 0 .t/ D 0;

8t:

Suy ra 2! r 0 .t/ ! r .t/ D 0, nghĩa là ! r 0 .t/ vuông góc với ! r .t/.

GIẢI TÍCH B2

64/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong Tại một điểm trên một đường cong không gian ! r .t/ trơn (khả vi), có ! nhiều vectơ cùng vuông góc với vectơ tiếp tuyến đơn vị T .t/, mà ta đơn ˇ! ˇ ! cử hai hai trường hợp: Vì ˇ T .t/ˇ D 1 (hằng số độc lập với t) nên T 0 .t/ ! vuông góc với T .t/. Do đó ta có định nghĩa sau Vectơ pháp tuyến & Vectơ phó pháp tuyến (tạm dịch) Cho đường cong không gian ! r .t/ khả vi. Các vectơ sau !0 T .t/ ; !

N .t/ D ˇ!

B .t/ D !

T .t/ !

N .t/ ˇ ˇ T 0 .t/ˇ

!

lần lượt được gọi là vectơ pháp tuyến (đơn vị) vectơ phó pháp tuyến. ! r 0 .t/ !

Nhắc lại rằng T .t/ D ˇ! ˇ là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường ˇ r 0 .t/ˇ cong.

GIẢI TÍCH B2

65/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong

Hình minh họa cho vectơ tiếp tuyến, pháp tuyến và phó pháp tuyến của đường cong

GIẢI TÍCH B2

66/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong Độ dài đường cong.

Giả sử một đường cong (trong không gian hoặc trong mặt phẳng) có phương trình vectơ là ! r .t/ D hf .t/; g .t/; h.t/i hoặc ! r .t/ D hf .t/; g .t/i; với a t b; trong đó các đạo hàm f 0 ; g 0 ; h0 liên tục trên Œa; b . Hơn nữa, khi t tăng từ a đến b, điểm P f .t/; g .t/; h.t/ (hoặc là P f .t/; g .t/ ) không đi qua khoảng nào của đường cong nhiều hơn một lần. Khi đó, độ dài của đường cong được định nghĩa bởi công thức sau Z b LD a

hoặc là L D

ˇ!0 ˇ ˇ r .t/ˇdt D

Z bp

Z bp

Œf 0 .t/ 2 C Œg 0 .t/ 2 dt

(1.7)

a

Œf 0 .t/ 2 C Œg 0 .t/ 2 C Œh0 .t/ 2 dt:

(1.8)

a GIẢI TÍCH B2

67/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong

Ý tưởng để thiết lập công thức tính độ dài đường cong ở (1.7)-(1.8) là lấy giới hạn tổng độ dài các đoạn thẳng gấp khúc nối các điểm liên tiếp trên đường cong, khi số điểm dần đến vô hạn.

GIẢI TÍCH B2

68/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong Công thức độ dài độc lập với cách tham số hóa Một đường cong được biểu diễn bởi phương trình vectơ, hay tham số theo nhiều cách. Ví dụ, một đường cong đơn C có hai cách biểu diễn sau ! r 1 .t/ D ht; t 2 ; t 3 i 1 t 2 ! r .u/ D he u ; e 2u ; e 3u i 0 u ln 2 2

Nếu ta dùng công thức tính độ dài đường cong ở (1.8) theo hai cách tham số hóa trên thì ta có cùng kết quả.

Nói một cách tổng quát, sau đây ta sẽ thấy khi công thức (1.7)-(1.8) được dùng để tính độ dài đường cong, thì kết quả sẽ độc lập với cách tham số hóa đường cong.

GIẢI TÍCH B2

69/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong Xét đường cong C cho bởi hàm vectơ ! r .t/ D f .t/!i C g .t/!j C h.t/! k a t b trong đó ! r 0 liên tục và khi t tăng từ a đến b thì đường cong được vẽ đúng 1 lần (1 nét, không trùng lại). Ta định nghĩa hàm số độ dài cung s bởi Z t Z tr ˇ!0 ˇ dx 2 dy 2 dz 2 ˇ r .u/ˇdu D s.t/ D C C du (1.9) du du du a a Nghĩa là s.t/ là độ dài một phần của C từ ! r .a/ đến ! r .t/ như hình bên.

Theo định lý cơ bản của giải tích (giáo trình giải tích B1) thì ˇ 0 ˇ ds D ˇ! r .t/ˇ dt GIẢI TÍCH B2

70/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong

Người ta thường tham số hóa đường cong theo độ dài cung, bởi vì một cách tự nhiên thì độ dài cung là do hình dạng đường cong quyết định và không phụ thuộc vào hệ thống tọa độ nào cả. Nếu đường cong ! r .t/ cho trước theo tham số t và s.t/ là độ dài cung cho bởi (1.9), thì ta có thể giải t như là một hàm biến s: t D t.s/. Vậy ta tham số hóa lại đường cong (tham số s)

C W! v .s/ D ! r t.s/

GIẢI TÍCH B2

71/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

1.3. Hàm vectơ một biến và đường cong Ví dụ

Hãy tham số hóa lại đường lò xo ! r .t/ D cos t!i C sin t!j C t! k theo độ dài cung được đo từ .1; 0; 0/ theo hướng tăng của t.

Giải. Điểm đầu .1; 0; 0/ tương ứng với t D 0. Ta có p ˇ 0 ˇ p ds D ˇ! r .t/ˇ D . sin t/2 C cos2 t C 12 D 2 dt Z tp Z t p p ˇ!0 ˇ ˇ ˇ do đó s D s.t/ D r .u/ du D 2du D t 2. Thay t D s= 2, ta 0

0

có tham số hóa của lò xo theo độ dài cung như sau

! r t.s/ D cos ps !i C sin ps !j C ps ! k 2 2 2 GIẢI TÍCH B2

s 0

2

72/??

ĐẠO HÀM RIÊNG & SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến

Hàm số hai biến Hàm số hai biến f là một qui tắc gán mỗi cặp số thực có thứ tự .x; y /, thuộc một tập hợp D, với duy nhất một số thực f .x; y /.

Tập hợp D được gọi là miền xác định của f˚. Miền giá trị của f là tập hợp các giá trị mà f có, nghĩa là tập f .x; y /j.x; y / 2 D .

Ta thường viết z D f .x; y / để hiển thị giá trị của f tại một điểm .x; y / nói chung của miền xác định.

Nếu f được biểu diễn bởi một biểu thức mà không được chỉ rõ miền xác định, thì ta hiểu ngầm miền xác định của f là tập hợp các cặp số .x; y / làm cho biểu thức hàm có nghĩa.

GIẢI TÍCH B2

74/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến

Hàm số hai biến có miền xác định là tập con của R2 , miền giá trị trong R. Do đó, ta có thể dùng sơ đồ mũi tên sau đây để diễn tả hàm số f có miền xác định D là một phần của mặt phẳng xy.

GIẢI TÍCH B2

75/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến

Có bốn cách biểu diễn một hàm số hai biến Diễn đạt bằng lời Trưng bảng giá trị Diễn đạt bằng công thức đại số Biểu diễn bằng đồ thị hoặc các đường đồng mức.

GIẢI TÍCH B2

76/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến Ví dụ Hàm số trong mỗi câu sau được biểu diễn bởi công thức đại số. Hãy tính f .3; 2/ và tìm miền xác định của nó. p x Cy C1 2 (a) f .x; y / D x ln.y x/ (b) f .x; y / D x 1 Giải (a) f .3; 2/ D 3 ln.22 3/ D 3 ln 1 D 0.

Vì ln.y 2 x/ chỉ xác định khi y 2 x > 0, ˚nghĩa là x < y 2 . Do đó miền xác định là .x; y /jx < y 2 . Đây là tập hợp các điểm nằm bên trái parabola x D y 2 như hình bên.

GIẢI TÍCH B2

77/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến p 3C2C1 6 (b) f .3; 2/ D D .

3 1 2 Biểu thức của hàm f có nghĩa khi mẫu khác 0, biểu thức trong căn không âm. Do đó miền xác định của f là ˚ .x; y /jx C y C 1 0; x 6D 1 : p

Bất đẳng thức x C y C 1 0, hay y x 1, mô tả các điểm .x; y / nằm trên hoặc phía trên đường thẳng y D x 1, trong khi x 6D 1 nói lên rằng đường thẳng x D 1 bị loại khỏi miền xác định.

GIẢI TÍCH B2

78/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến Ví dụ. Chỉ-số-lạnh-cảm-tính là đại lượng W phụ thuộc vào nhiệt độ T và vận tốc gió v , ta viết W D f .T ; v /. Hàm số f được diễn tả bằng bảng giá trị sau (ví dụ, f . 5; 50/ D 15)

GIẢI TÍCH B2

79/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến

Đồ thị hàm số hai biến Nếu hàm số hai biến f có miền xác định D thì đồ thị của f là tập hợp các điểm .x; y ; z/ trong R3 sao cho z D f .x; y / và .x; y / thuộc D. Nói chung, đồ thị này có dạng mặt cong.

GIẢI TÍCH B2

80/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến Ví dụ. Hàm số f định bởi f .x; y / D sin x C sin y có đồ thị như hình sau

GIẢI TÍCH B2

81/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến

Các đường đồng mức Các đường đồng mức của một hàm số f , có hai biến, là những đường cong (trong mặt phẳng xy) có phương trình f .x; y / D k, với k là hằng số thuộc miền giá trị của f .

Nói cách khác, vết của đồ thị hàm f với mặt ngang z D k Tập hợp các đường đồng mức trong có hình chiếu lên mặt-xy là mặt-xy được gọi là contour map, một đường đồng mức. thuật ngữ của ngành địa lý, dùng để mô tả địa hình trên bản đồ.

GIẢI TÍCH B2

82/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến Hình bên trình bày các đường đồng mức trong bản đồ địa hình của núi Lonesome, mô tả độ cao của các vị trí khác nhau so với mặt nước biển. Bề mặt địa hình xem như đồ thị của hàm số hai biến.

Tương tự, trong ngành địa lý cũng có bản đồ các đường đẳng áp (isobars), đường đẳng nhiệt (isothermals).

GIẢI TÍCH B2

83/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến

Bản đồ trên trình bày các đường đẳng nhiệt, mô tả nhiệt độ trung bình của mặt nước biển trên thế giới (độ Celcius) vào tháng Giêng, 1989.

GIẢI TÍCH B2

84/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến

Ví dụ Hình bên là contour map của hàm số hai biến f . Dựa vào đó, hãy ước đoán giá trị của f .1; 3/ và f .4; 5/.

Giải. Điểm .1; 3/ nằm ở phần giữa hai đường đồng mức có giá trị z là 70 và 80.

Chúng ta ước đoán f .1; 3/ 73 Tương tự, chúng ta ước đoán f .4; 5/ 56: GIẢI TÍCH B2

85/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến

Ví dụ Hãy phác họa vài đường đồng mức và đồ thị của hàm số h.x; y / D 4x 2 C y 2 .

Giải. Các đường đồng mức là 4x 2 C y 2 D k hay

x2 y2 C D 1; k=4 k

với k > 0, mô tả họ các p đường ê-lip p với độ dài các trục là k=2 và k.

Hình bên là các đường ê-lip với k D 0; 25I 0; 5I 0; 75I : : : I 4.

GIẢI TÍCH B2

Nâng các đường đồng mức lên độ cao k tương ứng thì ta được các vết của đồ thị với mặt z D k.

86/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến

Hàm số ba biến Hàm số ba biến, f , là một qui tắc gán mỗi bộ ba số thực có thứ tự .x; y ; z/, trong miền xác định D R3 , với duy nhất số thực được ký hiệu là f .x; y ; z/.

Ta không thể biểu diễn đồ thị của hàm số ba biến bởi hình vẽ.

Tuy nhiên ta có thể biểu diễn các mặt đồng mức của f , là các mặt cong có phương trình f .x; y ; z/ D k, với k thuộc miền giá trị của f .

Ví dụ, nhiệt độ T tại mỗi điểm trên mặt đất phụ thuộc vào kinh độ x, vĩ độ y và thời điểm t. Vì thế, ta có thể viết T D f .x; y ; t/.

GIẢI TÍCH B2

87/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến

Ví dụ Tìm các mặt đồng mức của hàm số ba biến f .x; y ; z/ D x 2 C y 2 C z 2 .

Giải. Các mặt đồng mức là x 2 C y 2 C z 2 D k, k 0. Các phương trình này mô tả họ các mặt cầu đồng tâm tại gốc 0, bán kính p k. Khi điểm .x; y ; z/ chạy khắp mặt cầu bất kỳ tâm tại gốc 0 thì giá f .x; y ; z/ không đổi.

GIẢI TÍCH B2

88/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.1. Hàm số nhiều biến Hàm số n biến Hàm số n biến, f , là một qui tắc gán mỗi bộ-thứ-tự-n-số (n-tuple) thực .x1 ; x2 ; : : : ; xn /, với duy nhất một số thực z D f .x1 ; x2 ; : : : ; xn /. Chúng ta ký hiệu không gian Euclide Rn là tập hợp các n-tuple.

Mỗi phần tử trong không gian Euclide Rn có thể được ký hiệu ngắn gọn là điểm P, có tọa độ .x1 ; x2 ; : : : ; xn /, hoặc tương ứng !

1-1 với một vectơ vị trí ! x D OP D hx1 ; x2 ; : : : ; xn i. Do đó, ta có ba cách nhìn về một hàm số f xác định trên một tập con của Rn như sau: Đó là hàm số phụ thuộc n biến thực x1 ; x2 ; : : : ; xn Đó là hàm số một biến là điểm, z D f .P/ Đó là hàm số một biến là vectơ, z D f .! x /.

Cả ba cách nhìn trên đều hữu dụng theo từng ngữ cảnh.

GIẢI TÍCH B2

89/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục Định nghĩa giới hạn Cho f là hàm số hai biến xác định trên D và .a; b/ là điểm tụ của D, nghĩa là, D luôn chứa những điểm có thể gần .a; b/ tùy ý. Ta nói rằng Giới hạn của f .x ; y / khi .x ; y / tiến về .a ; b / bằng L, và ta viết lim

.x;y /!.a;b/

f .x; y / D L;

(2.1)

có nghĩa là với mọi số " > 0 cho trước, theo đó có một số ı > 0 sao cho p ˇ ˇ nếu .x; y / 2 D và 0 < .x a/2 C .y b/2 < ı thì ˇf .x; y / Lˇ < " Những cách viết khác của (2.1) là lim f .x; y / D L hoặc f .x; y / ! L khi .x; y / ! .a; b/

x!a y !b

GIẢI TÍCH B2

90/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục ˇ ˇ Lưu ý rằng ˇf .x; y / Lˇ là độ lớn sai số giữa f .x; y / và L, p .x a/2 C .y b/2 là khoảng cách giữa hai điểm .x; y / và .a; b/. Do đó, định nghĩa trên được hiểu đại khái rằng sai số giữa f .x; y / và L có thể nhỏ tùy ý, miễn là điểm .x; y / đủ gần (và không trùng) điểm .a; b/. Hình dưới minh họa ý đó

Với " > 0 cho trước, theo đó ta tìm được đĩa tròn Dı tâm .a; b/, bán kính ı sao cho mọi điểm trong đĩa tròn được f ánh xạ vào khoảng .L "; L C "/.

GIẢI TÍCH B2

91/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục

Một cách khác minh họa định nghĩa giới hạn là với số " > 0 cho trước, theo đó ta tìm được đĩa tròn Dı sao cho khi .x; y / nằm trong đĩa Dı thì phần tương ứng của đồ thị nằm giữa hai mặt phẳng ngang z D L " và z D L C ".

GIẢI TÍCH B2

92/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục Đối với giới hạn hàm số một biến, lim f .x/, thì x tiến về a theo hai x!a

hướng, trái và phải. Nhắc lại rằng giới hạn lim f .x/ tồn tại khi và chỉ khi x!a

tồn tại lim f .x/ D lim f .x/. x!a

x!aC

Đối với giới hạn hàm hai biến,

lim

.x;y /!.a;b/

f .x; y /, thì .x; y / có thể tiến

về .a; b/ theo vô số hướng, miễn là .x; y / vẫn trong miền xác định của f .

Do đó Hệ quả của định nghĩa giới hạn Nếu f .x; y / ! L1 khi .x; y / ! .a; b/ dọc theo đường cong C1 ; f .x; y / ! L2 khi .x; y / ! .a; b/ dọc theo đường cong C2 , trong đó L1 ¤ L2 , thì không tồn tại lim f .x/. .x;y /!.a;b/

GIẢI TÍCH B2

93/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục Ví dụ Chứng minh rằng giới hạn

x2 y2 không tồn tại. .x;y /!.0;0/ x 2 C y 2 lim

x2 y2 . Trước hết, cho .x; y / tiến về (nhưng không x2 C y2 trùng) .0; 0/ dọc theo trục Ox. Khi đó y D 0 dẫn đến f .x; 0/ D x 2 =x 2 D 1, do đó Giải. Đặt f .x; y / D

f .x; y / ! 1

khi .x; y / ! .0; 0/ dọc theo Ox:

Tiếp theo, cho .x; y / tiến về (không trùng) .0; 0/ dọc theo trục Oy bằng cách lấy x D 0. Khi đó f .0; y / D y 2 =y 2 D 1, suy ra f .x; y / !

1

khi .x; y / ! .0; 0/ dọc theo Oy:

Vì f có hai giới hạn khác nhau dọc theo hai hướng khác nhau nên giới hạn đã cho không tồn tại.

GIẢI TÍCH B2

94/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục

Ví dụ Cho hàm số f .x; y / D Khảo sát

lim

.x;y /!.0;0/

xy x2 C y2

.

f .x; y /.

Hình bên là đồ thị hàm số f , không xác định tại .0; 0/. Có vẻ như khi .x; y / tiến dần về .0; 0/ thì điểm P x; y ; f .x; y / trên đồ thị không tiến dần về một độ cao nhất định nào. Sinh viên tự chứng minh không tồn tại giới hạn trên.

Tương tự, hãy khảo sát xy 2 lim . .x;y /!.0;0/ x 2 C y 4

GIẢI TÍCH B2

95/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục Ví dụ Khảo sát giới hạn

lim

.x;y /!.0;0/

f .x; y / với f .x; y / D

3x 2 y . x2 C y2

Giải. Với mọi .x; y / ¤ .0; 0/, ta có ˇ 2 2 p ˇ ˇ ˇ ˇf .x; y / 0ˇ D ˇˇ 3x y ˇˇ D 3jy j x 3jy j 3 x 2 C y 2 2 2 2 2 x Cy x Cy Từ đó, ta dễ đoán rằng tồn tại giới hạn

lim

.x;y /!.0;0/

(2.2)

f .x; y / D 0. Thật vậy,

cho trước số " > 0 tùy ý, ta thấy số dương ı D "=3 thỏa điều sau, dựa vào (2.2), p ˇ ˇ nếu 0 < .x 0/2 C .y 0/2 < ı thì ˇf .x; y / 0ˇ 3ı D "; nghĩa là ta dựa vào định nghĩa giới hạn để chứng minh lim f .x; y / D 0. .x;y /!.0;0/

GIẢI TÍCH B2

96/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục Các tính chất bảo toàn phép tính của giới hạn (ví dụ như giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn, nếu tồn tại, v.v. . . ) trong hàm số một biến cũng đúng cho hàm số hai biến. Định lý giới hạn kẹp cũng vậy: Định lý giới hạn kẹp Giả sử tồn tại các giới hạn

lim

.x;y /!.a;b/

g .x; y / D

lim

.x;y /!.a;b/

h.x; y / D L

g .x; y / f .x; y / h.x; y /, đúng với mọi .x; y / trong một đĩa tròn nào đó có tâm .a; b/.

Khi đó,

lim

.x;y /!.a;b/

f .x; y / D L.

GIẢI TÍCH B2

97/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục

Định nghĩa sự liên tục Hàm số f hai biến, xác định trên D, được gọi là liên tục tại điểm .a; b/ có nghĩa là lim

.x;y /!.a;b/

f .x; y / D f .a; b/ (đương nhiên .a; b/ 2 D)

Ta nói f liên tục trên D (hoặc nói vắn tắt là liên tục) nghĩa là f liên tục tại mọi điểm thuộc D.

GIẢI TÍCH B2

98/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục

Định lý 1 1

2

Nếu các hàm số (hai biến) liên tục thì tổng, hiệu, tích và thương (nếu thương có nghĩa) của chúng cũng là một hàm số liên tục.

Nếu f là hàm số hai biến liên tục (hoặc liên tục tại .a; b/) và g là số một biến liên tục (hoặc liên tục tại f .a; b/) thì hàm hợp g B f là hàm hai biến liên tục (hoặc liên tục tại .a; b/).

Ví dụ. Hàm sin là hàm số một biến liên tục, và hàm f định bởi f .x; y / D x C y cũng liên tục (sẽ nói sau). Khi đó hàm hợp sin Bf .x; y / D sin.x C y / cũng liên tục.

GIẢI TÍCH B2

99/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục Đối với hàm số hai biến f liên tục tại .a; b/ thì việc tính giới hạn của f .x; y / khi .x; y / tiến đến .a; b/ rất đơn giản, bằng cách thế .x; y / bởi .a; b/. Vấn đề đặt ra là những dạng hàm nào là liên tục. Ta bắt đầu với ba hàm đơn giản nhất Định lý 2 Hàm hằng cùng với hai hàm hình chiếu p1 và p2 định bởi p1 .x; y / D xI

p2 .x; y / D y ;

là các hàm liên tục.

Sinh viên tự kiểm chứng điều trên, dựa vào định nghĩa giới hạn và hai bất đẳng thức sau p p jxj x 2 C y 2 ; jy j x 2 C y 2 : GIẢI TÍCH B2

100/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục

Hàm sơ cấp hai biến Các hàm sơ cấp một biến, các hàm trong định lý 2, kết hợp với định lý 1 sẽ tạo ra các hàm hai biến mới liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định, mà ta tạm gọi là các hàm hai biến sơ cấp.

Ví dụ. Các hàm số f , g sau đây là các hàm sơ cấp, được thành lập theo cách nói trên x y ; f liên tục tại .x; y / ¤ .0; 0/ 2x 2 C y 2 x y g .x; y / D ln ; liên tục tại .x; y / ¤ .0; 0/ sao cho x > y 2x 2 C y 2 f .x; y / D

GIẢI TÍCH B2

101/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục Ví dụ Khảo sát sự liên tục của hàm f và g định bởi 8 2 < 3x y nếu .x; y / ¤ .0; 0/ a/ f .x; y / D x 2 C y 2 : 0 nếu .x; y / D .0; 0/ 8 2 < 3x y nếu .x; y / ¤ .0; 0/ b/ g .x; y / D x 2 C y 2 : 2 nếu .x; y / D .0; 0/ Giải. Tại điểm .a; b/ ¤ .0; 0/ thì cả f và g đều liên tục, vì chúng là hàm sơ cấp trên tập R2 n f.0; 0/g. Sau đây, ta khảo sát tính liên tục tại (0,0).

Trong ví dụ trước, ta đã chứng minh rằng khi .x; y / ! .0; 0/ thì f .x; y / ! 0 D f .0; 0/ và g .x; y / ! 0 ¤ 2 D g .0; 0/. Vậy f liên tục tại .0; 0/ và g không liên tục tại .0; 0/.

GIẢI TÍCH B2

102/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục

Giới hạn và Sự liên tục của hàm n biến Mỗi phần tử .x1 ; : : : ; xn / của Rn có thể đồng nhất với điểm P (có tọa độ .x1 ; : : : ; xn /) hoặc đồng nhất với vectơ ! x D hx1 ; : : : ; xn i. Nếu xét thêm phần tử khác là A.a1 ; : : : ; an / hoặc ! a D ha1 ; : : : ; an i, ta ký hiệu ˇ ˇ p AP D ˇ! x ! a ˇ D .x1 a1 /2 C C .xn an /2 ˇ ˇ P ! A, hoặc ! x !! a , có nghĩa là AP D ˇ! x ! a ˇ ! 0.

GIẢI TÍCH B2

103/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.2. Giới hạn và Sự liên tục Định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm n biến Cho f là một hàm số xác định trên tập hợp Df , con của Rn . !

1 Cho điểm A, được đồng nhất với vectơ vị trí a , là điểm tụ của Df , theo nghĩa Df luôn chứa những điểm P (đồng nhất với ! x) ! gần với điểm A một cách tùy ý. Khi đó, ký hiệu lim f . x / D L, ! x !! a

hoặc lim f .P/ D L, có nghĩa là với mọi số " > 0 cho trước, theo P!A

đó tồn tại số ı > 0 sao cho nếu ! x 2 Df 2

và

ˇ 0 < ˇ! x

ˇ ! aˇ<ı

ˇ thì ˇf .! x/

ˇ Lˇ < "

Giả sử A 2 Df . Ta nói f liên tục tại A có nghĩa là lim f .! x / D f .! a /, hoặc lim f .P/ D f .A/. ! x !! a

P!A

GIẢI TÍCH B2

104/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng Định nghĩa đạo hàm riêng Cho f là hàm số hai biến x và y . Nếu ta xem y như hằng số và lấy đạo hàm theo x, ta được đạo hàm riêng của f theo x, ký hiệu bởi fx . Tương tự, ta được đạo hàm riêng của f theo y , ký hiệu bởi fy . Nói cách khác, fx và fy là các hàm số được định bởi f .x C h; y / h!0 h f .x; y C h/ fy .x; y / D lim h!0 h

fx .x; y / D lim

f .x; y / f .x; y /

;

miễn là các giới hạn trên tồn tại.

Tuy nhiên, các công thức đạo hàm một biến vẫn áp dụng được nếu có thể.

GIẢI TÍCH B2

105/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng Các ký hiệu của đạo hàm riêng Nếu viết z D f .x; y /, người ta cũng có nhiều ký hiệu khác cho đạo hàm riêng như sau @f @z D D f1 D D1 f D Dx f @x @x @f @z fy D D D f2 D D2 f D Dy f @y @y

fx D

Ví dụ. Với f .x; y / D x 3 C x 2 y 3 2y 2 , tìm fx .2; 1/ và fy .2; 1/ như sau: Xem y là hằng số, lấy đạo hàm theo x, ta được fx .x; y / D 3x 2 C 2xy 3 ;

suy ra

fx .2; 1/ D 3.22 / C 2.2/.13 / D 16

suy ra

fy .2; 1/ D 3.22 /.12 /

Tương tự, ta có fy .x; y / D 3x 2 y 2

4y ;

GIẢI TÍCH B2

4.1/ D 8: 106/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng

Ví dụ Tìm fx và fy với f định bởi 8 xy < f .x; y / D x 2 C y 2 :0

nếu .x; y / ¤ .0; 0/ nếu .x; y / D .0; 0/

Giải. Để tính fx .0; 0/, ta dùng định nghĩa fx .0; 0/ D lim

h!0

f .h; 0/

f .0; 0/ h

h:0=.h2 C 02 / h!0 h

D lim

0

D 0:

Tại điểm .x; y / ¤ .0; 0/, ta có thể xem y như hằng số và tính đạo hàm theo x như hàm một biến và ta được GIẢI TÍCH B2

107/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng

8 3 x 2y < y fx .x; y / D .x 2 C y 2 /2 : 0

nếu .x; y / ¤ .0; 0/ nếu .x; y / D .0; 0/

Vai trò của x và y giống nhau trong biểu thức f , ta đổi vai trò của x và y trong biểu thức fx sẽ được 8 3 y 2x < x nếu .x; y / ¤ .0; 0/ fy .x; y / D .y 2 C x 2 /2 : 0 nếu .x; y / D .0; 0/ Ghi chú. Thay y D 0, x tùy ý, ta có f .x; 0/ D 0; 8x 2 R. Do đó fx .x; 0/ D 0, suy ra fx .0; 0/ D 0 thay vì dùng định nghĩa đạo hàm như trên. Tương tự fy .0; y / D 0.

GIẢI TÍCH B2

108/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng Ví dụ: đạo hàm riêng của hàm ẩn Phương trình x 3 C y 3 C z 3 C 6xyz D 1 là phương trình của một mặt cong trong không gian Oxyz. Nếu một mảnh nhỏ nào đó của mặt cong là đồ thị của một hàm số z D f .x; y /, f là ẩn hàm, hãy tìm @z=@x và @z=@y .

Giải. Xem y như hằng số, lấy đạo hàm hai vế của phương trình theo x, và lưu ý z vẫn phụ thuộc x như là hàm số, ta có

@z @z D0 C 6y z C x 3x 2 C 3z 2 @x @x Giải phương trình trên để tìm @z=@x, ta được @z D @x

x 2 C 2yz I tương tự ta cũng có z 2 C 2xy GIẢI TÍCH B2

@z D @y

y 2 C 2xz : z 2 C 2xy 109/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG Ta bắt đầu với ví dụ sau: nếu f .x; y / D 4 mang ý nghĩa gì? Ta có

x2

fx .x; y / D

fx .1; 1/ D

2x; fy .x; y / D

4y ;

suy ra

2y 2 thì fx .1; 1/ và fy .1; 1/ 2; fy .1; 1/ D

4:

Đồ thị của f là mặt paraboloid. Vết của đồ thị với mặt y D 1 là đường parabola z D 2 x 2 ; với mặt x D 1 là đường parabola z D 3 2y 2 .

GIẢI TÍCH B2

110/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng Trong mặt phẳng y D 1, đường parabola C1 W z D 2 x 2 ) có tiếp tuyến tại điểm .1; 1; 1/ với độ dốc (hệ số góc) là fx .1; 1/ D 2; vết parabola C2 W z D 3 2y 2 trên mặt x D 1 có tiếp tuyến tại điểm .1; 1; 1/ với độ dốc là fy .1; 1/ D 4

GIẢI TÍCH B2

111/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng Cho S là đồ thị của z D f .x; y / và điểm P.a; b; c/ 2 S, với c D f .a; b/.

Gọi C1 D S \ fy D bg, xem như là đồ thị hàm một biến g .x/ D f .x; b/; Gọi C2 D S \ fx D ag, là đồ thị hàm một biến G .y / D f .a; y /. Vậy g 0 .a/ D fx .a; b/ và G 0 .b/ D fy .a; b/ là độ dốc của các tiếp tuyến T1 và T2 đối với C1 và C2 tương ứng, tại điểm P.a; b; c/, bên trong các mặt phẳng y D b và x D a.

GIẢI TÍCH B2

112/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng của hàm n biến Đối với hàm nhiều hơn 2 biến, u D f .x1 ; x2 ; : : : ; xn /, ta cũng định nghĩa đạo hàm riêng theo biến xi theo cách tương tự trên @u f .x1 ; : : : ; xi 1 ; xi C h; xiC1 ; : : : ; xn / D lim h!0 @xi h

f .x1 ; : : : ; xi ; : : : ; xn /

Ngoài ra ta cũng có các ký hiệu khác @u @f D D fxi D fi D Di f : @xi @xi

GIẢI TÍCH B2

113/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng bậc cao Nếu f là hàm số hai biến, fx và fy cũng là các hàm số hai biến, vì thế các đạo hàm riêng của chúng là .fx /x , .fx /y , .fy /x và .fy /y được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai. Nếu viết z D f .x; y / thì ta có các ký hiệu sau @2 f @ @f D 2 @x @x @x @ @f @2 f .fx /y D fxy D f12 D D @y @x @y @x

@ @f @2 f D .fy /x D fyx D f21 D @x @y @x@y @ @f @2 f .fy /y D fyy D f22 D D 2 @y @y @y

.fx /x D fxx D f11 D

GIẢI TÍCH B2

114/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.3. Đạo hàm riêng Định lý Clairaut (cũng gọi là định lý Schwartz) Nếu f xác định trên một đĩa D tâm .a; b/ sao cho tồn tại hai đạo hàm fxy và fyx cùng liên tục trên D. Khi đó fxy .x; y / D fyx .x; y /

8.x; y / 2 D;

nghĩa là đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp không phụ thuộc thứ tự lấy đạo hàm theo các biến, miễn là chúng liên tục.

Ghi chú. Ta cũng có thể định nghĩa các đạo hàm riêng cấp 3 hoặc cao hơn, ví dụ @ @2 f @3 f fxyy D .fxy /y D D 2 : @y @y @x @y @x Sử dụng định lý Clairaut, nếu các đạo hàm riêng fxyy , fyxy và fyyx cùng liên tục thì chúng bằng nhau (định lý Clairaut mở rộng cho đạo hàm bậc cao hơn).

GIẢI TÍCH B2

115/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi

Như đã biết ở mục 2.3, hai đạo hàm riêng fx .x0 ; y0 / và fy .x0 ; y0 / xem như là độ dốc của hai tiếp tuyến T1 và T2 , tương ứng với vết C1 D S \ fy D y0 g và C2 D S \ fx D x0 g, tại điểm P.x0 ; y0 ; z0 / trên đồ thị S của hàm số z D f .x; y /. Trong hình bên, ta “có cảm giác” mặt phẳng chứa T1 và T2 tiếp xúc với mặt cong đồ thị S.

GIẢI TÍCH B2

116/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi

Tuy nhiên, nếu ta xét ví dụ sau thì hình ảnh khác hẳn: Với hàm số f định bởi 8 xy < nếu .x; y / ¤ .0; 0/ f .x; y / D x 2 C y 2 :0 nếu .x; y / D .0; 0/ Ví dụ trước đây đã chứng minh fx .0; 0/ D fy .0; 0/ D 0. Vết của hai mặt phẳng đứng Oxz và Oyz với đồ thị hàm f chính là hai trục Oy và Ox. Tuy nhiên, hình bên cho thấy mặt phẳng chứa hai trục này là Oxy chẳng có vẻ gì tiếp xúc với đồ thị tại điểm O.0; 0; 0/.

GIẢI TÍCH B2

117/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi Vậy sự tồn tại hai đạo hàm riêng không đủ để ta nói mặt cong đồ thị của hàm hai biến có mặt phẳng tiếp xúc với nó. Do đó, người ta đưa ra khái niệm khả vi sau đây Định nghĩa sự khả vi Cho hàm số hai biến z D f .x; y / và điểm .a; b/ là điểm trong của miền xác định, theo nghĩa có một đĩa tròn tâm .a; b/ nằm lọt trong miền xác định. Ta ký hiệu x D x a, y D y b và z D f .x; y / f .a; b/.

Ta nói f khả vi tại .a; b/ có nghĩa là tồn tại fx .a; b/ và fy .a; b/ sao cho z có thể biểu diễn dưới dạng z D fx .a; b/ x C fy .a; b/ y C "1 x C "2 y

(2.3)

trong đó "1 và "2 cùng tiến về 0 khi .x; y / ! .a; b/ (cũng có nghĩa là . x; y / ! .0; 0/).

GIẢI TÍCH B2

118/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi Ý nghĩa của sự khả vi.

1

Nếu viết lại đẳng thức (2.3) dưới dạng f .x; y / D f .a; b/Cfx .a; b/.x a/Cfy .a; b/.y b/C"1 .x a/C"2 .y b/ thì hàm tuyến tính (bậc nhất) hai biến L.x; y / D f .a; b/ C fx .a; b/.x a/ C fy .a; b/.y b/ là xấp xỉ “tốt” cho f .x; y / khi .x; y / gần với .a; b/. Hàm L.x; y / còn gọi là tuyến tính hóa của f tại .a; b/.

2

Theo nghĩa xấp xỉ tốt ở trên thì đồ thị của L được gọi là mặt phẳng tiếp xúc với đồ thị của f (nói chung là mặt cong) tại điểm P a; b; f .a; b/ . Nói cách khác, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với đồ thị của f tại điểm P là L.x; y /

z D 0:

GIẢI TÍCH B2

119/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi Từ định nghĩa khả vi và đẳng thức (2.3), ta dễ dàng suy ra Định lý Nếu hàm số f khả vi tại .a; b/ thì f liên tục tại .a; b/.

Trong phạm vi của giải tích B1, chúng ta thừa nhận định lý sau Định lý (điều kiện đủ để khả vi) Nếu các đạo hàm riêng fx và fy tồn tại trong một lân cận của .a; b/ và liên tục tại .a; b/, thì f khả vi tại .a; b/ Chú ý. Vẫn tồn tại hàm số có các đạo hàm riêng và các đạo hàm riêng này không liên tục tại .a; b/, nhưng hàm đã cho vẫn khả vi tại .a; b/.

Chúng ta sẽ có một ví dụ về hàm như vậy trong các trang sau.

GIẢI TÍCH B2

120/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi

Ví dụ. Hàm số f .x; y / D 2x 2 C y 2 có các đạo hàm riêng fx .x; y / D 4x và fy .x; y / D 2y là các hàm sơ cấp, liên tục tại mọi điểm .a; b/ 2 R2 , do đó f khả vi mọi nơi.

Ta xét điểm .1; 1; 3/ thuộc đồ thị của f , fx .1; 1/ D 4, fy .1; 1/ D 2 và ta có phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại .1; 1; 3/ là z D 3 C 4.x

1/ C 2.y

1/:

Hình ở trang sau trình bày đồ thị của f cùng với mặt phẳng tiếp xúc tại .1; 1; 3/.

GIẢI TÍCH B2

121/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi

Chúng ta thấy rằng khi càng nhìn gần điểm .1; 1; 3/, mặt cong đồ thị của f và mặt phẳng tiếp xúc (đồ thị của L) dường như gần sát nhau hơn, do đó mới nói L.x; y / D 3 C 4.x 1/ C 2.y 1/ là xấp xỉ tốt cho f khi .x; y / gần .1; 1/.

GIẢI TÍCH B2

122/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi Ví dụ Cho hàm f định bởi 8

<.x 2 C y 2 / sin p 1 nếu .x; y / ¤ .0; 0/ x2 C y2 f .x; y / D : 0 nếu .x; y / D .0; 0/ Chứng minh fx không liên tục tại .0; 0/, tuy nhiên f vẫn khả tại .0; 0/.

Giải. Giới hạn sau tồn tại fx .0; 0/ D lim

f .h; 0/

f .0; 0/

h 1 D lim h sin D 0; h!0 jhj h!0

1 2 1 h sin p h!0 h h2 C 02

D lim

GIẢI TÍCH B2

123/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi ˇ 1 ˇˇ ˇ là do bất đẳng thức 0 ˇh sin ˇ jhj và định lý giới hạn kẹp. Tương tự jhj fy .0; 0/ D 0. Nếu đặt x D x 0, y D y 0, z D f .x; y / f .0; 0/, 1 1 "1 D x sin p và "2 D y sin p thì đẳng thức (2.3) thỏa, 2 2 2 x Cy x C y2 đồng thời "1 và "2 cùng tiến về 0 khi .x; y / ! .0; 0/. Vậy f khả vi tại .0; 0/. Ngoài ra 8 <2x sin p 1 x2 C y2 fx .x; y / D : 0

1 cos p x2 C y2 x2 C y2 x

p

; .x; y / ¤ .0; 0/ ; .x; y / D .0; 0/:

1 Với dãy điểm Mn . ; 0/ hội tụ về .0; 0/ khi n ! 1, ta thay vào fx n2N 2n thì fx .Mn / D 1 6! fx .0; 0/ khi n ! 1. Vậy fx không liên tục tại .0; 0/.

GIẢI TÍCH B2

124/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi Vi phân của hàm hai biến Giả sử f khả vi tại điểm .x; y / nào đó. Ta ký hiệu dx và dy là hai số tùy ý (thường là nhỏ) và đặt z D f .x C dx; y C dy / f .x; y /. Theo định nghĩa của sự khả vi, ta có z D fx .x; y /dx C fy .x; y /dy C "1 dx C "2 dy trong đó "1 và "2 ! 0 khi .dx; dy / ! .0; 0/.

Biểu thức df D dz D fx .x; y /dx C fy .x; y /dy D

@f @f dx C dy @x @y

(2.4)

được gọi là vi phân của f . Nếu dx và dy mang giá trị rất nhỏ thì z dz GIẢI TÍCH B2

(2.5) 125/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi

Nhận xét.

Nếu f khả vi tại .a; b/ và với .x; y / gần .a; b/, ta đặt dx D x dy D y b, z D f .x; y / f .a; b/ thì (2.4)-(2.5) cho f .x; y /

f .a; b/ D z dz D fx .a; b/.x

a/ C fy .a; b/.y

a,

b/

hay cách viết khác là phép xấp xỉ tuyến tính f .x; y / f .a; b/ C dz; nghĩa là f .x; y / L.x; y / trong đó L.x; y / là tuyến tính hóa của f đã được đề cập ở sau định nghĩa của sự khả vi.

GIẢI TÍCH B2

126/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi Minh họa cho z dz

GIẢI TÍCH B2

127/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi

Ví dụ Một hình nón có bán kính đáy 10cm, độ cao 25cm. Giả sử sai số của phép đo độ dài không quá 0,1cm. Dùng vi phân, hãy ước tính sai số khi tính thể tích hình nón theo bán kính và chiều cao nói trên.

GIẢI TÍCH B2

128/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi Giải. Ký hiệu r và h là bán kính đáy và chiều cao của hình nón, thì thể tích hình nón là V D f .r ; h/ D r 2 h=3, fr D 2 rh=3 và fh D r 2 =3. Bán kính và chiều cao đo được là 10cm và 25cm, bán kính và chiều cao chính xác (không thể biết) là 10 C dr và 25 C dh. Khi đó, sai số thể tích là ˇ ˇ j V j D ˇf .10 C dr ; 25 C dh/ f .10; 25/ˇ jdV j ˇ ˇ ˇˇ 500 100 ˇˇ dr C dhˇ jdV j D ˇfr .10; 25/dr C fh .10; 25/dhˇ D ˇ 3 3 500 100

jdr j C jdhj 3 3 Giả thiết cho jdr j 0; 1 và jdhj 0; 1. Do đó j V j jdV j

500 100 .0; 1/ C .0; 1/ D 20 3 3

Vậy sai số thể tích (được ước tính) không quá 20 cm3 63 cm3 .

GIẢI TÍCH B2

129/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.4. Sự khả vi Một cách tương tự, ta cũng có định nghĩa sự khả vi cho hàm n biến. Định nghĩa Cho hàm số n biến z D f .x1 ; : : : ; xn / xác định trên D con của Rn .

Xét .a1 ; : : : ; an / là điểm trong của D, theo nghĩa có số ı > 0 sao cho 8jr j < ı; .a1 C r ; : : : ; an C r / 2 D. Với i D 1; n, đặt xi D xi ai , z D f .x1 ; : : : ; xn / f .a1 ; : : : ; an /. Ta nói hàm f khả vi tại .a1 ; : : : ; an / có nghĩa là tồn tại các đạo hàm riêng fxi .a1 ; : : : ; an / với i D 1; n sao cho z có dạng z D

n X

fxi .a1 ; : : : ; an / xi C

iD1

n X

"i xi ;

iD1

trong đó ."1 ; : : : ; "n / ! .0; : : : ; 0/ khi . x1 ; : : : ; xn / ! .0; : : : ; 0/, hay .x1 ; : : : ; xn / ! .a1 ; : : : ; an /.

GIẢI TÍCH B2

130/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.5. Quy tắc mắt xích và Đạo hàm của hàm ẩn Quy tắc mắt xích (The chain rule), hay đạo hàm hàm hợp Giả sử z D f .x1 ; : : : ; xn / là hàm số nhiều biến khả vi. Khi đó 1

Nếu i D 1; n; xi D gi .t/, nghĩa là các biến cũ xi phụ thuộc một biến mới t, và nếu các hàm gi cũng khả vi thì @z dx1 @z dx2 @z dxn dz D C C C dt @x1 dt @x2 dt @xn dt

2

Nếu i D 1; n; xi D gi .t1 ; : : : ; tm /, nghĩa là n biến cũ xi phụ thuộc vào m biến mới tk , k D 1; m, và nếu các hàm gi (m biến) cũng khả vi thì @z @z @x1 @z @x2 @z @xn D C C C @tk @x1 @tk @x2 @tk @xn @tk với k D 1; m.

GIẢI TÍCH B2

131/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.5. Quy tắc mắt xích và Đạo hàm của hàm ẩn Ví dụ Nếu z D x 2 y C 3xy 4 , trong đó x D sin 2t và y D cos t, tìm dz=dt khi t D 0.

Giải. Quy tắc mắt xích cho dz @z dx @z dy D C dt @x dt @y dt D .2xy C 3y 4 /.2 cos 2t/ C .x 2 C 12xy 3 /. sin t/: Không cần thiết phải thay x và y theo t, chỉ cần biết rằng khi t D 0 thì x D 0 và y D 1. Do đó dz ˇˇ D .0 C 3/.2 cos 0/ C .0 C 0/. sin 0/ D 6: ˇ dt tD0 GIẢI TÍCH B2

132/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.5. Quy tắc mắt xích và Đạo hàm của hàm ẩn Ví dụ Nếu g .s; t/ D f .s 2

t 2; t 2

s 2 /, trong đó f là hàm số hai biến khả vi, @g @g hãy chứng minh g thỏa phương trình t Cs D 0. @s @t Giải. Đặt x D s 2 t 2 và y D t 2 s 2 thì g .s; t/ D f .x; y / và quy tắc mắt xích cho @g @f @x @f @y @f @f D C D .2s/ C . 2s/ @s @x @s @y @s @x @y @f @x @f @y @f @f @g D C D . 2t/ C .2t/ @t @x @t @y @t @x @y Do đó t

@f @g @g Cs D 2st @s @t @x

2st

@f C @y

GIẢI TÍCH B2

2st

@f @f C 2st D 0: @x @y 133/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.5. Quy tắc mắt xích và Đạo hàm của hàm ẩn

ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN Vấn đề tính đạo hàm của hàm ẩn đã được biết qua ví dụ ở sau định nghĩa sự khả vi, cũng như ở phần giải tích B1. Ta sẽ nhắc lại nó theo cách nhìn của quy tắc mắt xích (đạo hàm hàm hợp) để đi đến hai công thức (2.6) và (2.7) được đề cập ở trang sau.

Ghi chú.

Khi thực hành, ta có thể tính toán trực tiếp như trong ví dụ trước đây, nếu không muốn nhớ hai công thức (2.6) và (2.7).

GIẢI TÍCH B2

134/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.5. Quy tắc mắt xích và Đạo hàm của hàm ẩn Nếu F là hàm số hai biến khả vi, thì phương trình F .x; y / D 0 biểu diễn một đường cong phẳng nói chung. Giả sử một phần của đường cong này là đồ thị của hàm số y D f .x/, f là ẩn hàm chưa biết (điều này xảy ra với một giả thiết của định lý hàm ẩn, không nêu ở đây). Ta sẽ tìm f 0 .x/, tức dy . Lấy đạo hàm theo biến x ở hai vế của phương trình F .x; y / D 0 là dx theo quy tắc mắt xích, ta được @F dx @F dy C D0 @x dx @y dx Vì dx=dx D 1 và giả sử @F =@y ¤ 0, giải tìm dy =dx, ta được

f 0 .x/ D

dy D dx

GIẢI TÍCH B2

@F @x @F @y

(2.6)

135/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.5. Quy tắc mắt xích và Đạo hàm của hàm ẩn Tương tự, nếu F là hàm số ba biến khả vi. Phương trình F .x; y ; z/ D 0 biểu diễn một mặt cong nói chung. Giả sử rằng một phần của mặt cong là đồ thị của một hàm z D f .x; y /, f là ẩn hàm chưa biết (điều này xảy ra với giả thiết của định lý hàm ẩn, không đề cập ở đây). Ta tìm @f =@x và @f =@y . Dùng quy tắc mắt xích, lấy đạo hàm theo x ở hai vế phương trình F .x; y ; z/ D 0 (xem y là hằng), ta được @F @z @F @x @F @y C C D 0I @x @x @y @x @z @x

lưu ý

@x @y D 1 và D 0 (xem y là hằng) @x @x

Giả sử @F =@z ¤ 0, giải tìm @z=@x, đồng thời công thức @z=@y cũng đạt được theo cách tương tự @f @z D D @x @x

@F @x ; @F @z

@z @f D D @y @y

GIẢI TÍCH B2

@F @y @F @z

(2.7)

136/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Xét điểm .x0 ; y0 / là điểm trong của miền xác định của hàm z D f .x; y /, tại đó ta đặt một vectơ đơn vị (có độ dài 1) ! u D ha; bi. Vectơ đơn vị ! u cũng được viết dưới dạng ! u D hcos ; sin i, với là góc quay từ tia Ox đến tia có hướng của ! u , còn gọi là góc chỉ hướng ! của u

Nhắc lại 1 !

Với vectơ ! v ¤!

0 thì vectơ đơn vị cùng hướng với ! v là ! uD ! v. jv j

GIẢI TÍCH B2

137/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

Trong mặt phẳng Oxy, điểm Q 0 .x; y / D .x0 C ah; y0 C bh/, với h > 0 thay đổi, sẽ chạy trên tia có gốc tại P 0 .x0 ; y0 / và có hướng của ! u D ha; bi. !

0 0 Khoảng cách giữa Q .x; y / và P .x0 ; y0 / là h (vì độ dài u là 1). Đặt z0 D f .x0 ; y0 / và z D f .x; y / Khi đó giá trị hàm có lượng biến thiên là z D z z0 . Xét hai điểm P.x0 ; y0 ; z0 / và Q.x; y ; z/ trên đồ thị của f , đường thẳng PQ có độ dốc là z z0 f .x0 C ah; y0 C bh/ z D D h h h

f .x0 ; y0 /

Nếu h ! 0 (nghĩa là Q 0 chạy đến P 0 ) thì giới hạn của độ dốc PQ (nếu có) sẽ được lấy làm độ dốc của tiếp tuyến tại P theo hướng ! u (xem hình trang sau).

GIẢI TÍCH B2

138/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

GIẢI TÍCH B2

139/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Các hình ảnh trước nói lên ý nghĩa trực quan của khái niệm sau đây Định nghĩa đạo hàm theo hướng Đạo hàm theo hướng của f tại điểm .x0 ; y0 / theo hướng của vectơ đơn vị ! u D ha; bi là D! u f .x0 ; y0 / D lim

h!0

f .x0 C ah; y0 C bh/ h

f .x0 ; y0 /

miễn là giới hạn trên tồn tại.

Trường hợp riêng, với ! u D !i D h1; 0i thì D!u f trở thành đạo hàm riêng fx ; với ! u D !j D h0; 1i thì D!u f trở thành đạo hàm riêng fy . Ý nghĩa. Từ một điểm trên mặt cong đồ thị (giống như bề mặt đồi núi), đi về mỗi hướng sẽ có độ dốc riêng, chính là đạo hàm theo hướng đó tại điểm đang xét.

GIẢI TÍCH B2

140/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

Ghi chú Định nghĩa trên cũng áp dụng cho hàm nhiều biến với hình thức sau f .! a C h! u/ !

D! f .P/ D D f . a / D lim ! u u h!0 h

f .! a/

trong đó ! a D ha1 ; : : : ; an i P.a1 ; : : : ; an / 2 Rn .

GIẢI TÍCH B2

141/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

Ví dụ, bản đồ các đường đẳng nhiệt kế bên mô tả nhiệt độ T .x; y / của bang California và Neveda lúc 3:00PM vào một ngày tháng 10, 1997. Hãy ước tính tốc độ biến thiên nhiệt độ theo khoảng cách tại địa điểm Reno, khi đi về hướng Đông-Nam.

GIẢI TÍCH B2

142/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Giải. Vectơ đơn vị chỉ hướng Đông-Nam là ! u D p1 h1; 1i, tuy nhiên ta 2 không cần quan tâm đến biểu thức này. Thay vào đó, ta vẽ đường thẳng qua Reno, hướng về Đông-Nam như trong bản đồ. Tốc độ biến thiên nhiệt theo khoảng cách, khi hướng về Đông-Nam, tại Reno, tức là D! u T .Reno/, được xấp xỉ bởi tốc độ biến thiên trung bình của nhiệt độ giữa hai điểm bị cắt bởi đường thẳng nói trên với hai đường đẳng nhiệt T D 50 và T D 60.

Khoảng cách giữa hai điểm này khoảng 75 dặm (dựa vào tỉ xích số trên bản đồ). Khi đi về hướng Đông-Nam, T biến thiên từ 500 F đến 600 F, cho thấy D! u T .Reno/ > 0, là tốc độ tăng nhiệt. Vậy D! u T .Reno/

60

50 75

D

10 0; 13 0 F =dặm: 75

GIẢI TÍCH B2

143/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Định lý Nếu hàm số f khả vi tại .x; y / thì f có đạo hàm theo mọi hướng của vectơ đơn vị ! u D ha; bi, và được tính theo công thức D! u f .x; y / D fx .x; y /a C fy .x; y /b

(2.8)

Người ta đưa vào ký hiệu sau ˝ ˛ grad f .x; y / D rf .x; y / D fx .x; y /; fy .x; y /

(2.9)

được gọi là vectơ gradient của f , cũng được gọi là nabla của f hoặc đọc là “del f ”. Khi đó công thức (2.8) được viết dưới hình thức khác ! !

D! u f .x; y / D grad f .x; y / u D rf .x; y / u

(2.10)

Chú ý. Các hình thức (2.8)-(2.10) cũng được mở rộng cho hàm f có n D @f @f E biến, với rf D ;:::; . @x1 @xn GIẢI TÍCH B2

144/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Ví dụ 3 Tính D! u f .1; 2/ nếu f .x; y / D x u f .x; y / và D! vectơ đơn vị có góc chỉ hướng D =6.

3xy C 4y 2 và ! u là

Giải. Công thức (2.8) cho

D! u f .x; y / D fx .x; y / cos 6 C fy .x; y / sin 6 p 1 3 2 D .3x 3y / C . 3x C 8y / 2 2 p i 1 h 2p D 3x 3 3x C .8 3 3/y 2 Vì vậy 1h 2 p D! f .1; 2/ D 3.1 / 3 u 2

3.1/ C .8 GIẢI TÍCH B2

i p 13 3 3/.2/ D

p 3 3 2

2 145/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

Đạo hàm D! u f .1; 2/ trong ví dụ trước đại diện cho tốc độ biến thiên của z theo hướng của ! u. Đó là độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong giao tuyến của mặt z D x 3 3xy C 4y 2 với mặt phẳng đứng đi qua .1; 2; 0/ theo hướng của ! u như hình bên.

GIẢI TÍCH B2

146/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient CỰC ĐẠI HÓA ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG Xét hàm n biến f và điểm ! x D hx1 ; : : : ; xn i thuộc miền xác định. Giả ! ! sử tồn tại D! u f . x / theo mọi hướng u . Câu hỏi đặt ra là đi theo hướng x/ nào, giá trị của f .! x / sẽ thay đổi nhanh nhất, tức là giá trị của D!u f .! lớn nhất? Câu trả lời được cho trong định lý sau Định lý !

Giả sử f là hàm số n biến khả vi. Giá trị lớn nhất của D! u f . x / là ˇ ˇ ˇrf .! x /ˇ, đạt được khi ! u cùng hướng với vectơ rf .! x /, nghĩa là khi 1 ! u D ˇˇ ! ˇˇ rf .! x /. rf . x /

GIẢI TÍCH B2

147/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

Chứng minh. Gọi là góc hợp bởi ! u và rf .! x /. Từ công thức (2.10), ta có ! ˇˇˇˇ!ˇˇ ! ! ! ˇˇ D! u f . x / D rf . x / u D rf . x / u cos ˇ ˇ u j D 1) x /ˇ cos (vì j!

D ˇrf .! ˇ ˇ ! ˇrf . x /ˇ Dấu bằng xảy ra khi cos D 1 hay D 0, nghĩa làˇ! u cùngˇ hướng với rf .! x /, lúc đó D!u f .! x / đạt giá trị lớn nhất bằng ˇrf .! x /ˇ.

GIẢI TÍCH B2

2

148/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

Ví dụ Cho hàm số f .x; y / D xe y . Tính đạo hàm của f tại P.2; 0/ theo hướng từ P đến Q.1=2; 2/. Xác định hướng làm cho đạo hàm tại P lớn nhất.

Giải. Ta có rf .x; y / D hfx ; fy i D he y ; xe y i; rf .P/ D h1; 2i; 3 3 4 ! !

PQ D h ; 2i; vectơ đơn vị theo hướng PQ là ! u D h ; i. Đạo hàm 2 5 5 ! của f tại P theo hướng PQ là

!

D! f .P/ D rf .P/

u D 1 u

4 3 C2 D1 5 5

Đạo hàm p P theo hướng rf .P/ D h1; 2i sẽ đạt giá trị lớn nhất ˇ củaˇ f tại bằng ˇrf .P/ˇ D 5 2 GIẢI TÍCH B2

149/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Hình dưới là contour map và đồ thị của hàm f . Hình bên phải cho thấy, nếu tại P đi theo hướng rf .P/ D h1; 2i, đồ thị có độ dốc lớn nhất.

Nhận xét. Hình bên trái cho “cảm giác” rằng, vectơ rf .P/ D h1; 2i, theo hướng đó hàm số có tốc độ biến thiên lớn nhất, là vectơ vuông góc với tiếp tuyến tại P của đường đồng mức qua P. Tại sao? . . .

GIẢI TÍCH B2

150/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient

MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT ĐỒNG MỨC Định nghĩa của sự khả vi tại .a; b/ của hàm z D f .x; y / cũng cho khái

niệm mặt phẳng tiếp với đồ thị .S/ của f tại P a; b; f .a; b/ , đó là mặt phẳng đồ thị của hàm L.x; y / D fx .a; b/.x a/ C fy .a; b/.x b/ C f .a; b/.

Sau đây, ta thiết lập khái niệm mặt phẳng tiếp xúc với mặt đồng mức của hàm 3 biến, có phương trình dạng F .x; y ; z/ D k, cũng được gọi là phương trình dạng chính tắc của mặt cong. Đồ thị .S/ của hàm số z D f .x; y / là một trường hợp riêng, đó mặt đồng mức của hàm số ba biến F .x; y ; z/ D f .x; y / z, nghĩa là .S/ W F .x; y ; z/ D 0.

GIẢI TÍCH B2

151/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Mặt phẳng tiếp xúc 1

Cho hàm số 3 biến F .x; y ; z/ khả vi tại điểm P.x0 ; y0 ; z0 /. Với hằng số k D F .x0 ; y0 ; z0 /, phương trình F .x; y ; z/ D k biểu diễn một mặt đồng mức (level surface) (S) đi qua điểm P. Giả sử ˝ ˛ ! rF .P/ D fx .P/; fy .P/; fz .P/ ¤ 0 . Khi đó, mặt phẳng qua P nhận rF .P/ làm vectơ pháp tuyến, có phương trình fx .P/.x

x0 / C fy .P/.y

y0 / C fz .P/.z

z0 / D 0

(2.11)

được gọi là mặt phẳng tiếp xúc của (S) tại P. 2

Giả sử hàm 2 biến f .x; y / khả vi tại điểm P.x0 ; y0 / và ! rf .P/ ¤ 0 . Khi đó, đường đồng mức .C / W f .x; y / D k, với k D f .P/, có tiếp tuyến tại P được định nghĩa là đường thẳng qua P, nhận rf .P/ làm vectơ pháp tuyến, và có phương trình fx .x0 ; y0 /.x x0 / C fy .x0 ; y0 /.y y0 / D 0.

GIẢI TÍCH B2

152/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Giải thích. Sở dĩ người ta gọi mặt phẳng có phương trình (2.11) là mặt phẳng tiếp xúc với .S/ W F .x; y ; z/ D ˝k tại P.x0 ; y0 ; z˛ 0 /, k D F .P/, là vì lý do sau: với mọi đường cong ! r .t/ D x.t/; y .t/; z.t/ nằm trong (S), và đi qua P (nghĩa là có t0 sao cho x.t0 / D x0 , y .t0 / D y0 , z.t0 / D z0 ), nếu đường cong này có tiếp tuyến tại P thì tiếp tuyến đó luôn vuông góc với rF .P/. Thật vậy, vì đường cong nằm trong (S) nên F x.t/; y .t/; z.t/ D 0 với mọi t. Lấy đạo hàm theo t ở hai vế của phương trình này, dùng quy tắc mắt xích, ta có @F dy @F dz @F dx C C D0 @x dt @y dt @z dt

hay

rF ! r 0 .t/ D 0

Thay t D t0 , ta được rF .P/ ! r 0 .t0 / D 0, nghĩa là vectơ rF .P/ vuông góc với vectơ chỉ phương tiếp tuyến của đường cong tại P. Giải thích tương tự cho định nghĩa tiếp tuyến của đường đồng mức f .x; y / D k.

GIẢI TÍCH B2

2 153/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Người cũng gọi đường thẳng qua P.x0 ; y0 ; z0 /, có vectơ chỉ phương là rF .P/, là đường pháp tuyến của mặt cong .S/ W F .x; y ; z/ D k, k D F .P/, tại điểm P. Phương trình chính tắc của đường pháp tuyến này là y y0 z z0 x x0 D D Fx .P/ Fy .P/ Fz .P/ với giả thiết các mẫu số ở trên khác 0.

Tương tự đối với hàm 2 biến f .x; y /, đường thẳng qua P.x0 ; y0 / với vectơ chỉ phương rf .P/ sẽ vuông góc với tiếp tuyến tại P của đường đồng mức f .x; y / D f .P/.

GIẢI TÍCH B2

154/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến với mặt ellipsoid x2 z2 C y2 C D 3, tại điểm P. 2; 1; 3/.

4 9 Giải. Mặt ellipsoid là mặt đồng mức với k D 3 x2 z2 của hàm 3 biến F .x; y ; z/ D C y 2 C . Ta 4 9 có rF D hx=2; 2y ; 2z=9i, suy ra rF .P/ D h 1; 2; 2=3i. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến tại P là 1.x C 2/ C 2.y

1/

y 1 z C3 x C2 D D 2 1 2 3

2 .z C 3/ D 0 3 2 GIẢI TÍCH B2

155/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Ý NGHĨA CỦA VECTƠ GRADIENT Như đã biết ở trước, vectơ gradient tại một điểm P.x0 ; y0 / của hàm số hai biến f , chỉ một hướng mà theo hướng đó giá trị hàm số có tốc độ tăng lớn nhất. Hướng này vuông góc với tiếp tuyến tại P của đường đồng mức f .x; y / D f .P/. Tại điểm x0 ; y0 ; f .P/ trên một đường viền của ruộng bậc thang, ta đi theo hướng vuông góc với các đường viền ruộng bậc thang (tượng trưng cho đồ thị của f ), ta sẽ lên đỉnh đồi với độ dốc cao nhất.

GIẢI TÍCH B2

156/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện

Trên đồ thị của một hàm số như hình bên, có hai đỉnh đồi và hai thung lũng. Nếu điểm a; b; f .a; b/ là đỉnh ngọn đồi thì f .a; b/ lớn mọi giá trị f .x; y / gần đó, ta nói f có cực đại địa phương tại .a; b/. Có một đỉnh đồi cao nhất, tại đó f đạt cực đại tuyệt đối, hay giá trị lớn nhất. Ta cũng có khái niệm tương tự cho điểm đáy thung lũng.

GIẢI TÍCH B2

157/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện Định nghĩa Một hàm số 2 biến f có cực đại địa phương (gọi tắt là cực đại) tại điểm .a; b/ có nghĩa là tồn tại một đĩa tròn T tâm .a; b/ bên trong miền xác định sao cho: 8.x; y / 2 T ; f .a; b/ f .x; y /. Số f .a; b/ được gọi là giá trị cực đại (địa phương) của f . Nếu bất đẳng thức đúng với mọi .x; y / thuộc miền xác định của f thì ta nói f có cực đại tuyệt đối (hay là giá trị lớn nhất) tại điểm .a; b/.

Nếu dấu bất đẳng thức ở trên đổi chiều, ta có khái niệm cực tiểu địa phương, cực tiểu tuyệt đối. Định lý: điều kiện cần của cực trị Nếu f đạt cực trị địa phương tại .a; b/, và tồn tại các đạo hàm riêng tại đó, thì .a; b/ là điểm dừng (stationary point) của f , nghĩa là fx .a; b/ D fy .a; b/ D 0.

GIẢI TÍCH B2

158/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện

Nếu thay fx .a; b/ D fy .a; b/ D 0 vào phương trình của mặt phẳng tiếp xúc, ta thấy mặt phẳng này nằm ngang, song song với mặt Oxy. Chiều đảo của định lý trên không đúng. Ví dụ, xét hàm số f .x; y / D y 2 x 2 có đồ thị như hình bên, thì fx .0; 0/ D fy .0; 0/ D 0, nghĩa là .0; 0/ là điểm dừng của f , nhưng tại đó f không có cực trị. Ta gọi điểm dừng này là điểm yên ngựa (saddle point) của f .

GIẢI TÍCH B2

159/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện Định lý: điều kiện đủ của cực trị Giả sử f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên một đĩa tròn tâm .a; b/, đồng thời .a; b/ là điểm dừng của f . Đặt

2 fxx .a; b/ fxy .a; b/ D.a; b/ D det D fxx .a; b/fyy .a; b/ fxy .a; b/ fyx .a; b/ fyy .a; b/ (a) Nếu D.a; b/ > 0 và fxx .a; b/ > 0 thì f .a; b/ là cực tiểu địa phương. (b) Nếu D.a; b/ > 0 và fxx .a; b/ < 0 thì f .a; b/ là cực đại địa phương. (c) Nếu D.a; b/ < 0 thì .a; b/ là điểm yên ngựa, nghĩa là f không có cực trị tại .a; b/. (d) Nếu D.a; b/ D 0 thì ta không có kết luận tổng quát, tùy bài toán cụ thể mà ta xét.

GIẢI TÍCH B2

160/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện Ví dụ Khảo sát cực trị của f .x; y / D x 4 C y 4

4xy C 1.

Giải. Sinh viên tự kiểm chứng: Các điểm dừng của f là .0; 0/, .1; 1/ và . 1; 1/.

D.x; y / D fxx fyy fxy2 D 144x 2 y 2 16. (a) Vì D.0; 0/ < 0 nên .0; 0/ là điểm yên ngựa. (b) Vì D.1; 1/ D 128 và fxx .1; 1/ D 12 > 0 nên .1; 1/ là điểm cực tiểu. (c) Vì D. 1; 1/ D 128 và fxx . 1; 1/ D 12 > 0 nên .1; 1/ cũng là điểm cực tiểu.

2 GIẢI TÍCH B2

161/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện Ví dụ Một hộp chữ nhật không có nắp, được làm từ 12 m2 bìa cứng. Hãy tìm thể tích lớn nhất của hộp này.

Giải. Với kích thước như hình bên thì thể tích hộp là V D xyz với điều kiện 2xz C 2yz C xy D 12. Từ điều kiện này thì z D .12 xy /=Œ2.x C y / , do đó thể tích là 12xy x 2 y 2 12 xy D 2.x C y / 2.x C y / Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ V D xy

@V y 2 .12 2xy x 2 / D D0 @x 2.x C y /2

@V x 2 .12 2xy y 2 / D D0 @y 2.x C y /2

GIẢI TÍCH B2

162/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện

Vì x > 0 và y > 0 nên ta suy ra được x D y . Thay y D x vào phương trình trên ta được 12 3x 2 D 0, điều này cho x D y D 2 và z D .12 2:2/=Œ2.2 C 2/ D 1. Vậy .2; 2; 1/ là điểm dừng duy nhất. Hơn nữa, vật liệu hữu hạn sẽ cho thể tích hộp lớn nhất có thể, đạt được tại điểm dừng .2; 2; 1/ mà thôi Vmax D 2:2:1 D 4 .m3 /

2

GIẢI TÍCH B2

163/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện CỰC TRỊ TUYỆT ĐỐI Ta đã biết các bước tìm cực trị tuyệt đối của hàm một biến trên đoạn đóng Œa; b . Đối với hàm hai biến, ta đưa ra khái niệm tương tự đoạn đóng, đó là khái niệm tập hợp đóng trong R2 , là tập hợp chứa mọi điểm biên của nó. Điểm .a; b/ được gọi là điểm biên của một tập hợp D trong R2 có nghĩa là mọi đĩa tròn tâm .a; b/ luôn có điểm chung với cả hai phần: D và phần bù R2 n D.

Hình ảnh minh họa hai tập đóng

Hình minh họa ba tập hợp không đóng

GIẢI TÍCH B2

164/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện Tập hợp D được gọi là bị chặn nghĩa là có một đĩa tròn chứa D. Nói cách khác, tập bị chặn không trải dài vô tận, nó bị bao quanh bởi một đường tròn. Ta thừa nhận định lý sau Định lý Nếu f là hàm số liên tục trên một tập D đóng và bị chặn trong R2 , thì f đạt một cực đại tuyệt đối tại .x1 ; y1 / 2 D và đạt một cực tiểu tuyệt đối tại .x2 ; y2 / 2 D. Trong định lý trên, nếu .x1 ; y1 / không nằm trên biên của D (không là điểm biên của D) mà nằm ở miền trong (là điểm trong của D) thì .x1 ; y1 / phải là điểm dừng của f (nếu tồn tại các đạo hàm riêng của f ). Tương tự cho điểm .x2 ; y2 /. Do đó ta có các bước tìm cực trị tuyệt đối như sau

GIẢI TÍCH B2

165/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện

Cách tìm cực trị tuyệt đối Để tìm cực trị tuyệt đối của một hàm số f liên tục trên một tập D đóng và bị chặn trong R2 : 1

Tính các giá trị của f tại các điểm dừng bên trong D.

2

Tìm cực trị tuyệt đối của f ở trên biên của D.

3

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong số các giá trị ở các bước 1 & 2 là cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối của f trên toàn D.

GIẢI TÍCH B2

166/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện Ví dụ Tìm cực đại tuyệt đối và ˚cực tiểu tuyệt đối của f .x; y / D x 2 trên hình chữ nhật D D .x; y / j 0 x 3; 0 y 2 .

2xy C 2y

Giải. Vì f là đa thức, hàm sơ cấp hai biến, nên liên tục trên D. Hơn nữa hình chữ nhật D bị chặn và đóng, do đó f có max và min trên D. Bước 1: sinh viên tự kiểm chứng f có một điểm dừng duy nhất bên trong D là .1; 1/ và f .1; 1/ D 1.

Bước 2: trên cạnh L1 ta có f .x; 0/ D x 2 , suy ra max f .x; 0/ D 32 D 9 min f .x; 0/ D 02 D 0.

L1

L1

GIẢI TÍCH B2

167/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.7. Cực trị không điều kiện Trên cạnh L2 thì f .3; y / D 9 4y , suy ra max f .3; y / D 9 4.0/ D 9 L2

min f .3; y / D 9 L2

4.2/ D 1.

Trên cạnh L3 thì f .x; 2/ D x 2 4x C 4 D .x 2/2 , suy ra max f .x; 2/ D .0 2/2 D 4 L3

min f .x; 2/ D .3 L3

2/2 D 1.

Trên cạnh L4 thì f .0; y / D 2y , suy ra max f .0; y / D 2.2/ D 4 L4

min f .0; y / D 2.0/ D 0.

L4

Bước 3: so sánh các giá trị ở bước 1 & 2 thì max f .x; y / D f .3; 0/ D 9 và min f .x; y / D f .0; 0/ D f .2; 2/ D 0.

D

GIẢI TÍCH B2

D

2 168/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện

CỰC TRỊ CÓ MỘT ĐIỀU KIỆN Trong một ví dụ trước đây, ta tìm thể tích lớn nhất, V D xyz, của hộp chữ nhật không có nắp với một điều kiện 2xy C 2xz C yz D 12. Điều kiện này nói rằng vật liệu làm hộp chỉ có 12 m2 bìa cứng. Trong mục này, ta xét bài toán dạng đó 1

2

Tìm cực trị của hàm 3 biến f .x; y ; z/ với một điều kiện g .x; y ; z/ D k, k là hằng số.

Tìm cực trị của hàm 2 biến f .x; y / với một điều kiện g .x; y / D k.

Lagrange đưa ra một phương pháp giải quyết bài toán trên, được gọi là phương pháp nhân tử Lagrange.

GIẢI TÍCH B2

169/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Cơ sở hình học của phương pháp nhân tử Lagrange được giải thích dễ hơn trong trường hợp hai biến: tìm cực trị của f .x; y / với một điều kiện g .x; y / D k, nghĩa là điểm .x; y / bị hạn chế trên đường cong g .x; y / D k, .x; y / không chạy tự do trong mặt phẳng. Hình bên trình bày các đường đồng mức f .x; y / D c, với c D 7; 11, và đường cong màu xanh g .x; y / D k.

Khi .x; y / chạy trên đường xanh, giá trị c D f .x; y / thay đổi. Có vẻ như khi .x; y / D .x0 ; y0 / làm cho c0 D f .x0 ; y0 / là cực đại, thì tại đó đường xanh và đường đồng mức tiếp xúc nhau. Nói cách khác, tại điểm .x0 ; y0 /, vectơ pháp tuyến của đường xanh và đường đỏ cùng phương, nghĩa là có số sao cho rf .x0 ; y0 / D rg .x0 ; y0 /. Số được gọi là nhân tử Lagrange.

GIẢI TÍCH B2

170/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Cơ sở hình học của phương pháp nhân tử Lagrange ở trên chỉ có tính trực quan. Lập luận chính xác ở trong phần chứng minh của định lý sau Định lý: Điều kiện cần của cực trị có điều kiện Nếu hàm số 3 biến f .x; y ; z/ khả vi và đạt cực trị tại P.x0 ; y0 ; z0 / với một ! điều kiện g .x; y ; z/ D k, trong đó hàm g cũng khả vi và rg .P/ ¤ 0 , thì tồn tại nhân tử Lagrange sao cho rf .x0 ; y0 ; z0 / D rg .x0 ; y0 ; z0 /: Đối bài toán hai biến, kết quả cũng tương tự.

Chứng minh. Gọi (S) là mặt ˝ cong g .x; y ˛; z/ D k thì P 2 .S/. Với đường cong bất kỳ .C / W ! r .t/ D x.t/; y .t/; z.t/ nằm trong (S) và đi qua P khi t D t0 , nghĩa là ! r .t0 / D hx0 ; y0 ; z0 i, thì hàm hợp h.t/ D f x.t/; y .t/; z.t/ đạt cực trị tại t0 . Theo định lý Fermat của hàm một biến thì GIẢI TÍCH B2

171/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện

0 D h0 .t0 / D fx .x0 ; y0 ; z0 /x 0 .t0 / C fy .x0 ; y0 ; z0 /y 0 .t0 / C fz .x0 ; y0 ; z0 /z 0 .t0 / D rf .x ; y ; z / ! r 0 .t / 0

0

0

0

Điều này cho thấy vectơ rf .x0 ; y0 ; z0 / vuông góc với tiếp tuyến tại P của mọi đường cong (C) nằm trong mặt (S), nghĩa là rf .x0 ; y0 ; z0 / cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại P, tức là rg .x0 ; y0 ; z0 /. Vậy có số sao cho rf .x0 ; y0 ; z0 / D rg .x0 ; y0 ; z0 /

2

Căn cứ vào định lý trên, ta có cách để tìm cực trị tuyệt đối (được giả sử rằng tồn tại) trên mặt cong của hàm số 3 biến, hoặc trên đường cong của hàm số 2 biến GIẢI TÍCH B2

172/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện

Phương pháp nhân tử Lagrange Cho hai hàm số 3 biến f và g khả vi. Giả sử tồn tại cực trị tuyệt đối ! của f trên mặt cong .S/ W g .x; y ; z/ D k, và rg ¤ 0 tại mọi điểm trên mặt cong .S/. Khi đó, ta tìm cực trị nói trên theo các bước sau (a) Tìm tất cả các giá trị của x; y ; z và sao cho rf .x; y ; z/ D rg .x; y ; z/ và g .x; y ; z/ D k (b) Tính các giá trị của f tại các điểm .x; y ; z/ tìm được ở bước (a).

Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong số các giá trị này chính là cực đại (cực tiểu) tuyệt đối của f trên mặt cong (S).

Trong trường hợp hai biến, cách làm tương tự.

GIẢI TÍCH B2

173/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Ví dụ Một hộp chữ nhật không có nắp, được làm từ 12 m2 bìa cứng. Tìm thể tích lớn nhất của một hộp như vậy.

Giải. Sự tồn tại của giá trị lớn nhất của thể tích V D xyz với điều kiện g .x; y ; z/ D 2xz C 2yz C xy D 12 là điều tự nhiên, vì với vật liệu bìa cứng hữu hạn, không thể nào làm thể tích lớn tùy ý, mà chỉ đạt một thể tích tối đa cần tìm.

Trước hết ta giải hệ Vx D gx I

Vy D gy I

Vz D gz I

g D 12

hay là

yz D .2z C y /

(1)

xz D .2z C x/

(2)

xy D .2x C 2y /

(3)

2xz C 2yz C xy D 12

(4)

GIẢI TÍCH B2

174/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện

Không có phương pháp tổng quát để giải hệ trên, mà đôi khi phải dùng trực giác. Nhân (1) với x; (2) với y ; (3) với z ta được xyz D .2xz C xy / D .2yz C xy / D .2xz C 2yz/

(5)

Nếu D 0 thì từ (1)-(3) sẽ cho xy D yz D zx D 0, điều này mâu thuẫn với (4). Do đó ¤ 0, và từ (5) ta suy ra xz D yz, xy D 2xz. Hơn nữa x; y ; z > 0 nên ta suy ra x D y D 2z, thay tất cả vào (4) ta được 4z 2 C 4z 2 C 4z 2 D 12 ) z D 1 và x D y D 2 Thể tích lớn nhất cần tìm là Vmax D 2:2:1 D 4 m3 .

GIẢI TÍCH B2

2

175/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện CỰC TRỊ CÓ HAI ĐIỀU KIỆN Ta xét bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số 3 biến f với hai điều kiện g .x; y ; z/ D k và h.x; y ; z/ D c. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là khi điểm .x; y ; z/ chạy trên đường cong giao tuyến C của hai mặt cong g .x; y ; z/ D k và h.x; y ; z/ D c (hình bên), vị trí nào của .x; y ; z/ làm cho f .x; y ; z/ đạt giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)?

Giả sử vị trí đó là P.x0 ; y0 ; z0 /, thì theo chứng minh của điều kiện cần cực trị có điều kiện ở trước,rf .P/ vuông góc với (tiếp tuyến của) C tại P, đồng thời rg .P/ và rh.P/ cũng vậy. Điều này cho thấy ba vectơ đồng phẳng. Do đó tồn tại hai nhân tử Lagrange và sao cho rf .P/ D rg .P/ C rh.P/ GIẢI TÍCH B2

176/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f .x; y ; z/ D x C2y C3z trên đường cong giao tuyến của mặt phẳng x y C z D 1 và mặt trụ x 2 C y 2 D 1.

Giải. Đường cong giao tuyến (xem hình bên) là tập hợp đóng (vì mỗi điểm thuộc đường cong đều là điểm biên của nó), đồng thời bị chặn trong R3 .

Hơn nữa hàm số f liên tục nên f có max và min trên đường cong này. Điều kiện Lagrange là rf D rg C rh, do đó ta giải hệ

GIẢI TÍCH B2

177/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện 1 D C 2x

(6)

C 2y

(7)

2D x 2

3D

(8)

y Cz D1

(9)

2

(10)

x Cy D1

Thay D 3 ở (8) vào (6)-(7), ta được x D 1 và 2y D 5, suy ra x D 1= và y D 5=.2 /. Thay tất cả vào (10), ta được p 25 29 29 1 2 C D1) D ) D˙ 2 2

4 4 2 ˙2 5 7 Do đó .x; y / D p ; p . Từ (9) ta suy ra z D 1 x C y D 1 p .

29 29 29 p Tính f tại các giá trị này, ta có max f và min f là 3 ˙ 29.

2 GIẢI TÍCH B2

178/??

TÍCH PHÂN BỘI

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật THỂ TÍCH VÀ TÍCH PHÂN KÉP Hình bên là đồ thị của một hàm số f không âm, xác định trên hình chữ nhật R R D Œa; b Œc; d ˇ ˚ D .x; y / 2 R2 ˇ a x b và c y d Đồ thị là mặt cong có phương trình z D f .x; y /.

Gọi S là khối nằm dưới đồ thị của f và nằm trên hình chữ nhật R ˇ ˚ S D .x; y ; z/ 2 R3 ˇ 0 z f .x; y /; .x; y / 2 R Mục này của chương muốn đưa ra định nghĩa thể tích của khối S. GIẢI TÍCH B2

180/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Chia đoạn Œa; b thành m đoạn con Œxi 1 ; xi đều nhau với độ dài x D .b a/=m; chia đoạn Œc; d thành n đoạn con Œyj 1 ; yj đều nhau với độ dài y D .d c/=n. Như vậy ta có mn hình chữ nhật con có dạng ˇ ˚ Rij D Œxi 1 ; xi Œyj 1 ; yj D .x; y / ˇ xi 1 x xi ; yj 1 y yj với diện tích A D x y .

GIẢI TÍCH B2

181/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Trên mỗi ô con Rij , chọn một điểm mẫu .xij ; yij / ngẫu nhiên. Ta có thể xấp xỉ một phần thể tích của khối S nằm phía trên ô con Rij bằng thể tích cột dạng hộp có đáy Rij và chiều cao bằng f .xij ; yij /. Thể tích này bằng f .xij ; yij / A

GIẢI TÍCH B2

182/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Và thể tích toàn khối S được xấp xỉ bởi V

m X n X

f .xij ; yij / A

iD1 jD1

GIẢI TÍCH B2

183/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Định nghĩa tích phân kép Tích phân kép (The double integral) của hàm f trên một hình chữ nhật R là “

f .x; y /dA D

R

lim

m;n!1

m X n X

f .xij ; yij / A;

iD1 jD1

miễn là giới hạn trên tồn tại theo nghĩa: với mọi số " > 0 cho trước, luôn có một số tự nhiên N sao cho ˇ“ ˇ m X n X ˇ ˇ

ˇ ˇ<" f .x; y /dA f .x ; y / A ij ij ˇ ˇ R

iD1 jD1

đúng với mọi số m; n lớn hơn N và với mọi cách chọn điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij . Một hàm f như trên được gọi là khả tích trên R. GIẢI TÍCH B2

184/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ta thừa nhận định lý sau đây Điều kiện đủ để khả tích Nếu 1

hàm số f bị chặn trên hình chữ nhật R, nghĩa là có hằng số dương M sao cho ˇ ˇ 8.x; y / 2 R; ˇf .x; y /ˇ M

2

f liên tục trên R, ngoại trừ, có thể gián đoạn trên vài đường cong trơn bên trong R (Đường cong trơn là đường cong được biểu diễn bởi hàm vectơ có đạo hàm liên tục.)

thì f khả tích trên R.

GIẢI TÍCH B2

185/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ghi chú.

1

Tổng

m X n X

f .xij ; yij / A được gọi là tổng Riemann và được dùng

iD1 jD1

để xấp xỉ giá trị của tích phân kép.

2

3

Vì điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij được chọn tùy ý, nên ta có thể chọn theo nhiều cách cho các mục đích khác nhau.

Nếu f .x; y / 0; 8.x; y / 2 R, thì thể tích khối S nằm dưới đồ thị của f và nằm trên hình chữ nhật R được định nghĩa bởi công thức “ V D f .x; y /dA R

miễn là f khả tích trên R.

GIẢI TÍCH B2

186/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ví dụ Hãy ước tính thể tích khối nằm trên hình vuông R D Œ0; 2 Œ0; 2 và nằm dưới mặt z D 16 x 2 2y 2 , bằng cách chia thành bốn hình vuông nhỏ và chọn điểm mẫu là góc trên bên phải của mỗi hình vuông con Rij . Phác họa khối đó và các hộp chữ nhật để tính xấp xỉ.

Giải. Yêu cầu của phép xấp xỉ ứng với m D n D 2, A D 1, và ta có V

2 X 2 X

f .xi ; yj / A

iD1 jD1

D f .1; 1/ A C f .1; 2/ A C f .2; 1/ A C f .2; 2/ A D 13.1/ C 7.1/ C 10.1/ C 4.1/ D 34

2

GIẢI TÍCH B2

187/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật

Ta thấy nếu m; n càng lớn thì phép xấp xỉ càng chính xác.

GIẢI TÍCH B2

188/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật QUY TẮC TRUNG ĐIỂM: XẤP XỈ TÍCH PHÂN Tổng Riemann dùng để xấp xỉ tích phân với điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij tùy ý.

Có nhiều cách chọn điểm mẫu cho thuận tiện, trong đó có quy tắc sau đây Quy tắc trung điểm của tích phân kép “

f .x; y /dA R

m X n X

f .x i ; yj / A

iD1 jD1

trong đó x i là trung điểm của đoạn Œxi 1 ; xi và yj là trung điểm của đoạn Œyj 1 ; yj . Nói cách khác, .x i ; yj / là tâm của hình chữ nhật con Rij .

Ví dụ Dùng quy tắc trung điểm với m D n D 2, hãy xấp xỉ giá trị của “ .x 3y 2 /dA, trong đó R D Œ0; 2 Œ1; 2 .

R GIẢI TÍCH B2

189/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật 1 Giải. Diện tích của mỗi hình chữ nhật con là A D . Theo quy tắc 2 trung điểm thì “

.x

3y 2 /dA

R

2 X 2 X iD1 jD1

f .x i ; yj /

1 2

1 f .x 1 ; y 1 / C f .x 1 ; y 2 / C f .x 2 ; y 1 / C f .x 2 ; y 2 / 2

i 1h D f 12 ; 54 C f 21 ; 74 C f 23 ; 54 C f 32 ; 74 2

i 1h 67 139 51 123 D C C C 16 16 16 16 2 95 D D 11:875 8 3y 2 /dA 11:875 2 D

“ Vì vậy

.x

R GIẢI TÍCH B2

190/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Giá trị trung bình Giá trị trung bình (the average value) của hàm f hai biến được định nghĩa là “ 1 fave D f .x; y /dA A.R/ R trong đó A.R/ là diện tích của R. Định lý Nếu hàm số f liên tục trên R thì tồn tại . ; / 2 R sao cho f . ; / D fave .

Hình trên nói rằng nếu z D f .x; y / 0 mô tả bề mặt địa hình, thì ta có thể cắt bỏ các chỏm đồi tại độ cao fave và dùng đất dư để lấp các thung lũng thì ta được một vùng hoàn toàn bằng phẳng có cao độ fave .

GIẢI TÍCH B2

191/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật

GIẢI TÍCH B2

192/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ví dụ Ở trang trước là một contour map biểu thị độ dày (đơn vị inch) của tuyết phủ ở bang Colorado trong hai ngày 20 và 21, tháng 12, 2006.

Bang này có hình chữ nhật, từ Tây sang Đông là 388 dặm, từ Nam lên Bắc là 276 dặm. Hãy ước tính độ dày trung bình của tuyết phủ trên toàn bang.

Giải. Lấy góc Tây Nam của bang làm gốc tọa độ thì bang Colorado được biểu thị bởi hình chữ nhật R D Œ0; 388 Œ0; 276 . Đặt f .x; y / là độ dày tuyết phủ tại vị trí sang Đông x dặm và lên Bắc y dặm tính từ gốc. Khi đó độ dày trung bình của tuyết phủ toàn bang là “ 1 fave D f .x; y /dA A.R/ trong đó A.R/ D 388:276 dặm vuông.

GIẢI TÍCH B2

193/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Để ước tính giá trị của tích phân kép ở trước, ta dùng quy tắc trung điểm với m D n D 4, nghĩa là chia bang Colorado thành 16 hình chữ nhật đều nhau, với diện tích mỗi hình là 1 .388:276/ D 6693 dặm vuông A D 16

Contour map cho ta ước đoán giá trị của f tại mỗi tâm hình chữ nhật con, do đó “ 4 4 1 XX 1 f .x; y /dA f .x i ; yj / A fave D A.R/ R A.R/ iD1 jD1

A .0 C 15 C 8 C 7 C 2 C 25 C 18; 5 C 11 C 4; 5 A.R/ C 28 C 17 C 13; 5 C 12 C 15 C 17; 5 C 13/ 6693 D .207/ 12; 9 inches 388:276

GIẢI TÍCH B2

2 194/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật

TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP Giả sử các tích phân sau tồn tại. Khi đó “ “ “

1 f .x; y / C g .x; y / dA D f .x; y /dA C g .x; y /dA R

“ 2

R 3

R

cf .x; y /dA D c

“

R

f .x; y /dA

R

Nếu f .x; y / g .x; y / với mọi .x; y / 2 R thì “ “ f .x; y /dA g .x; y /dA R

R

Tính chất 1, 2 được gọi tính chất tuyến tính của tích phân kép.

GIẢI TÍCH B2

195/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.2. Tích phân lặp

Các tích phân dưới đây Z bZ d

f .x; y /dydx D

Z b Z d

f .x; y /dy dx

Z dZ b Z d Z b f .x; y /dxdy D f .x; y /dx dy a

c

a

c

c

a

c

a

được gọi là các tích phân lặp (iterated integral), vì chúng là kết quả lấy tích phân theo từng biến x và y riêng lẻ. Hai tích phân lặp ở trên có thứ tự lấy tích phân theo các biến khác nhau.

GIẢI TÍCH B2

196/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.2. Tích phân lặp

Định lý Fubini Giả sử f là hàm số liên tục trên hình chữ nhật R D Œa; b Œc; d . Khi đó “ Z bZ d Z dZ b f .x; y /dA D f .x; y /dydx D f .x; y /dxdy : R

a

c

c

a

Tổng quát hơn, có thể lấy giả thiết f bị chặn trên R, chỉ bị gián đoạn trên vài đường cong trơn bên trong R, và tồn tại các tích phân lặp.

Ta không chứng minh định lý trên, thay vào đó, ta nêu ý tưởng hình thành định lý này theo cách trực quan

GIẢI TÍCH B2

197/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.2. Tích phân lặp Trong hình bên, gọi S là khối nằm trên R và dưới mặt z D f .x; y /; V là thể tích khối S; C là đường cong vết trong mặt phẳng Z d x D hằng số; A.x/ D f .x; y /dy là diện c

tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng trên cắt khối S. Nếu khối S bị cắt thành nhiều lát có độ dày x đều nhau và ta cộng thể Nếu cho số lát ngày càng tích các lát thì ta có xấp xỉ nhiều ( x ! 0), ta thấy m X “ V A.xi / x. f .x; y /dA D V iD1 R

Z b Z b Z d m X D lim A.xi / x D A.x/dx D f .x; y /dy dx: m!1

iD1

a

a

GIẢI TÍCH B2

c

198/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.2. Tích phân lặp Lập luận tương tự như trên với n lát cắt vuông góc với trục Oy, có độ dày y D .d c/=n, diện tích mỗi lát là A.yj / D

Z b

f .x; yj /dx

a

như hình bên, ta cũng có “

f .x; y /dA D V D lim

n!1

R

Z d D

n X

A.yj / y

jD1

A.y /dy D

Z d Z b

c

c

GIẢI TÍCH B2

f .x; y /dx dy :

a

199/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.2. Tích phân lặp Ví dụ “ Tính tích phân kép

.x

ˇ ˚ 3y 2 /dA với R D .x; y / ˇ 0 x 2; 1

R

y 2 .

Lời giải 1. Định lý Fubini cho “ Z 2Z 2 Z 2 ˇy D2 .x 3y 2 /dydx D .xy y 3 /ˇy D1 dx .x 3y 2 /dA D R 0 1 0 Z 2 x2 ˇ2 ˇ .x 7/dx D D 7x ˇ D 12 0 2 0 “ Z 2Z 2 .x 3y 2 /dxdy D Lời giải 2. .x 3y 2 /dA D R Z 2 2 Z 2 1 0 xD2 ˇ2 x 2 3xy dy D .2 6y 2 /dy D .2y 3y 3 /ˇ1 D 12 xD0 2 1 1 GIẢI TÍCH B2

2 200/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.2. Tích phân lặp

Ví dụ“ Tính

y sin.xy /dA với R D Œ1; 2 Œ0; .

R

Lời giải 1. Dùng định lý Fubini, lấy tích phân lặp theo biến x trước “ Z Z 2 Z

xD2 y sin.xy /dA D y sin.xy /dxdy D cos.xy / xD1 dy 0 R Z0 1 1

. cos 2y C cos y /dy D D sin 2y C sin y D0 0 2 0 Lời giải 2. Nếu tính theo tích phân lặp với thứ tự ngược lại, ta phải tích phân từng phần, lời giải dài hơn, nhưng cho cùng kết quả.

2 GIẢI TÍCH B2

201/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.2. Tích phân lặp

Trường hợp đặc biệt, hàm số f .x; y / có dạng tách biến, f .x; y / D g .x/h.y /, trong đó g và h là hai hàm số 1 biến, thì định lý Fubini có dạng “ R

f .x; y /dA D

Z b a

g .x/dx

Z d

h.y /dy

với R D Œa; b Œc; d :

c

GIẢI TÍCH B2

202/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Mục 3.2 trình bày tích phân kép trên một hình chữ nhật. Mục này bàn đến tích phân kép trên một miền D có hình dạng tổng quát hơn, bị chặn, như hình bên. Ta chọn một hình chữ nhật R bao quanh miền D và đưa ra hàm mới F xác định trên R, ( f .x; y / nếu .x; y / 2 D F .x; y / D 0 nếu .x; y / 2 R n D Tích phân của F trên hình chữ nhật R, nếu tồn tại, không bị ảnh hưởng bởi miền bên ngoài D, nghĩa là ta có thể lấy hình chữ nhật R tùy ý bao quanh D.

GIẢI TÍCH B2

203/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Đồ thị của f và của F được minh họa như sau

Nếu F khả tích trên R thì ta định nghĩa tích phân kép của f trên D như sau “ “ f .x; y /dA D

D

F .x; y /dA

R

GIẢI TÍCH B2

204/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Định lý Giả sử hàm f chỉ gián đoạn ở những điểm trên vài đường cong trơn bên trong D. Hơn nữa, biên của tập D được ghép“ bởi vài đường cong trơn. f .x; y /dA.

Khi đó f sẽ khả tích trên D, nghĩa là tồn tại D

Định lý Fubini có thể áp dụng cho tích phân kép trên miền D tổng quát theo cách phân biệt miền D thành hai loại: 1 Miền D được gọi là lồi theo phương Oy, hoặc là đơn giản theo phương Oy, nếu D nằm giữa hai đồ thị của hai hàm số theo biến x, ˇ ˚ D D .x; y / ˇ x 2 Œa; b ; g1 .x/ y g2 .x/ 2

Miền D được gọi là lồi theo phương Ox, hoặc là đơn giản theo phương Ox, nếu D nằm giữa hai đồ thị của hai hàm số theo biến y , ˇ ˚ D D .x; y / ˇ y 2 Œc; d ; h1 .y / x h2 .y / GIẢI TÍCH B2

205/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Sau đây là vài hình ảnh cho miền lồi theo Oy:

Và minh họa cho miền lồi theo Ox:

GIẢI TÍCH B2

206/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Định lý Fubini Cho hàm số f khả tích trên miền D. ˇ ˚ 1 Nếu D D .x; y / ˇ x 2 Œa; b ; g .x/ y g .x/ (D lồi theo 1 2 phương Oy), thì “

f .x; y /dA D

a

D

2

Z b Z g2 .x/ g1 .x/

f .x; y /dy dx;

miễn là tích phân lặp ở trên tồn tại. ˇ ˚ Nếu D D .x; y / ˇ y 2 Œc; d ; h1 .y / x h2 .y / (D lồi theo phương Ox), thì (miễn là tích phân lặp ở dưới tồn tại) “ D

f .x; y /dA D

Z d Z h2 .y / c

h1 .y /

GIẢI TÍCH B2

f .x; y /dx dy ;

207/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Ví dụ“ Tính

.x C 2y /dA, D bị bao bởi hai parabola: y D 2x 2 và y D 1 C x 2 .

D

Giải. Giao điểm hai parabola là . 1; 2/ và .1; 2/. Do đó D có dạng ˇ ˚ D D .x; y / ˇ x 2 Œ 1; 1 ; 2x 2 y 1 C x 2 “ Z 1 Z 1Cx 2 .x C 2y /dA D .x C 2y /dydx D 1 2x 2 Z 1 ˇy D1Cx 2 ˇ dx D .xy C y 2 /ˇ 2 1

y D2x

32 D D 15

2 GIẢI TÍCH B2

208/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Lưu ý. Khi tính tích phân kép thông qua tích phân lặp, điều chủ yếu là vẽ sơ đồ mũi tên để biểu diễn miền lấy tích phân dưới dạng lồi theo một phương, giống như trong hình của ví dụ trước. Nó giúp ta xác định cận dưới và trên của tích phân lặp.

Ví dụ Tìm thể tích của miền nằm dưới paraboloid z D x 2 C y 2 và nằm trên miền D trong mặt phẳng xy bị bao bởi hai đường y D 2x và y D x 2 .

GIẢI TÍCH B2

209/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Với hai sơ đồ mũi tên trong miền D dưới đây:

thì ta có hai cách biểu diễn D lồi theo phương Oy hoặc Ox: ˇ ˚ D D .x; y / ˇ x 2 Œ0; 2 ; x 2 y 2x ˇ ˚ p D D .x; y / ˇ y 2 Œ0; 4 ; 12 y x y GIẢI TÍCH B2

210/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Do đó, thể tích V của khối nằm dưới mặt z D x 2 C y 2 và nằm trên D được tính theo hai cách “ Z 2 Z 2x .x 2 C y 2 /dy dx Cách 1: V D .x 2 C y 2 /dA D 2 0 x D Z 2 ˇy D2x 1 216 ˇ D .x 2 y C y 3 /ˇ 2 dx D D y Dx 3 35 0 “ Z 4 Z py Cách 2: V D .x 2 C y 2 /dA D .x 2 C y 2 /dx dy 0

D

1 2y

ˇxDpy 216 1 ˇ D . x 3 C xy 2 /ˇ 1 dy D D xD 2 y 35 0 3 Z 4

GIẢI TÍCH B2

2

211/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Ví dụ Z 1Z 1 Tính tích phân lặp 0

sin.y 2 /dydx.

x

Giải. Nếu tính tích phân theo biến y trước thì bất khả thi, vì ta không tìm được nguyên hàm. Do đó, ta dùng định lý Fubini cho tích phân kép trên miền D như hình dưới

GIẢI TÍCH B2

212/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát

và ta có Z 1Z 1 0

x

“

Z 1Z y

sin.y /dy dx D sin.y /dA D sin.y 2 /dx dy D 0 0 Z 1 Z 1 1 2 y sin.y /dy D D sin tdt (đổi biến t D y 2 ) 2 0 0 ˇ1 1 1 1 ˇ cos t ˇ D cos 1 D 0 2 2 2 2

2

GIẢI TÍCH B2

2

213/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP TRÊN MIỀN TỔNG QUÁT Giả sử các tích phân dưới đây tồn tại, khi đó “ “ “

f .x; y / C g .x; y / dA D f .x; y /dA C g .x; y /dA D D D “ “ cf .x; y /dA D c f .x; y /dA D

(3.1) (3.2)

D

Nếu f .x; y / g .x; y / với mọi .x; y / 2 D thì “ “ f .x; y /dA g .x; y /dA D

(3.3)

D

Nếu D1 và D2 không “giẫm đè” lên nhau, ngoại trừ có thể dính nhau trên biên, thì “ “ “ (3.4) f .x; y /dA D f .x; y /dA C f .x; y /dA D1 [D2

D1 GIẢI TÍCH B2

D2 214/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Tính chất (3.4) được dùng khi D không có dạng lồi theo phương nào.

Trong trường hợp đó ta có thể chia D thành nhiều miền, mỗi miền lồi theo một phương Ox hoặc Oy

Miền D trong hình trên không lồi theo phương nào, khi chia ra thì miền D1 lồi theo Oy, miền D2 lồi theo Ox. GIẢI TÍCH B2

215/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát

Nếu ta lấy tích phân của một hàm hằng f .x; y / 1 trên miền D, thì ta được trị số của diện tích miền D “ 1dA D A.D/

(3.5)

D

Nếu m f .x; y / M với mọi .x; y / 2 D thì “ mA.D/

f .x; y /dA MA.D/

(3.6)

D

GIẢI TÍCH B2

216/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát

Ví dụ “ Dùng tính chất (3.6), hãy đánh giá trị số của

e sin x cos y dA, với D là

D

đĩa tròn có tâm ở gốc, bán kính 2.

Giải. Vì

1 sin x cos y 1 nên e 1 e sin x cos y e 1 D e

Dùng tính chất (3.6) với m D e 1 , M D e, và A.D/ D .2/2 , ta có “ 4

e sin x cos y dA 4 e e D 2 GIẢI TÍCH B2

217/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực TỌA ĐỘ CỰC Với mỗi điểm P.x; y / trong mặt phẳng tọa độ Descartes Oxy, ta đặt r D OP D

p

x 2 C y 2I

D]

! ! i ; OP

thì x D r cos và y D r sin . Cặp số .r ; / được gọi là tọa độ cực của điểm P. Quy ước. Trong tọa độ cực, điểm . r ; / đối xứng với điểm .r ; / qua gốc O.0; 0/ Vậy một tập hợp D trong mặt phẳng Descartes có dạng ˇ ˚ D D .x; y / ˇ x và y thỏa tính chất (T) nào đó có thể được viết dưới dạng tọa độ cực như sau ˇ ˚ D D .r ; / ˇ r và thỏa tính chất “tương đồng” với (T) GIẢI TÍCH B2

218/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Miền R trong hình (a) ở bên có thể viết theo ba dạng sau ˇ ˚ R D .x; y / ˇ x 2 C y 2 1 ˇ ˚ R D .x; y / ˇ x D r cos ; y D r sin ;

Hình (a):

.r ; / 2 Œ0; 1 Œ0; 2 ˇ ˚ R D .r ; / ˇ 0 r 1; 0 2 Trong hình (b) thì miền R được viết dưới dạng ˇ ˚ R D .x; y / ˇ 1 x 2 C y 2 4; y 0 ˇ ˚ R D .x; y / ˇ x D r cos ; y D r sin ;

Hình (b):

.r ; / 2 Œ1; 2 Œ0; ˇ ˚ R D .r ; / ˇ 1 r 2; 0 GIẢI TÍCH B2

219/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Người ta chứng minh được rằng

Công thức đổi biến tích phân theo tọa độ cực Nếu hàm số hai biến f liên tục trên một miền D được biểu diễn theo dạng tọa độ cực sau đây ˇ ˚ D D .r ; / ˇ 2 Œ˛; ˇ ; h1 . / r h2 . / thì “ D

f .x; y /dA D

Z ˇ Z h2 . / ˛

h1 . /

Hình minh họa cho miền D có dạng tọa độ cực đơn giản theo r.

f .r cos ; r sin / r dr d

GIẢI TÍCH B2

220/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Ví dụ Tìm thể tích của khối bị bao bởi mặt z D 0 và paraboloid z D 1 x 2 y 2 .

Giải. Mặt z D 0 cắt paraboloid tạo thành hình tròn D W x 2 C y 2 1, có biểu diễn tọa độ cực là .r ; / 2 Œ0; 1 Œ0; 2 . Do đó, thể tích khối là “ V D .1 x 2 y 2 /dA D Z 2 Z 1 D .1 r 2 /rdrd 0

0

D 2

r2 2

r 4 ˇˇ1

ˇ D 4 0 2 GIẢI TÍCH B2

2 221/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Ví dụ Tìm diện tích một cánh tạo bởi đường cong hình hoa 4 cánh có phương trình r D cos 2 . (Xem hình.)

Giải. Ta thấy miền D có dạng tọa độ cực ˇ ˚

; ; 0 r cos 2 D D .r ; / ˇ 2 Œ 4 4 Do đó diện tích một cánh hoa là Z =4 Z cos 2

“ A.D/ D D

dA D D Z =4 h =4

rdrd =4

0

1 2 icos 2

r d D D 0 2 8 GIẢI TÍCH B2

2 222/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Ví dụ Tính thể tích khối nằm trên mặt phẳng xy, nằm dưới mặt paraboloid z D x 2 C y 2 và nằm trong mặt trụ x 2 C y 2 D 2x.

Giải. Khối cần tìm nằm trên hình tròn D với biên có phương trình x 2 C y 2 D 2x , .x

1/2 C y 2 D 1

Dạng tọa độ cực của D là

h ˇ ˚ D D .r ; / ˇ 2

i ; ; 0 r 2 cos 2 2

(Xem hình trang kế.)

GIẢI TÍCH B2

223/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực

Do đó thể tích cần tính là “ V D .x 2 C y 2 /dA D

Z =2 Z cos 2 D

.r 2 /rdrd

=2 0 Z =2 h 4 i2 cos

Z =2 r d D 4 cos4 d D 0 4 =2 =2 Z =2

2 1 C cos 2 3 d D D D4 2 2 =2 2

GIẢI TÍCH B2

224/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.5. Tích phân bội ba TÍCH PHÂN BỘI BA TRÊN MỘT HỘP (BOX) Xét một hàm số f , có 3 biến, xác định trên một hộp chữ nhật B ˇ ˚ B D .x; y ; z/ ˇ a x b; c y d; r z s Định nghĩa tích phân bội ba của f trên B cũng giống như trường hợp hàm hai biến, nghĩa là chia B thành nhiều hộp con Bijk . Trong đó ta chia Œa; b thành l đoạn con đều nhau có độ dài x D .b a/=l, chia Œc; d thành m đoạn con có độ dài y D .d c/=m, chia Œr ; s thành n đoạn con có độ dài z D .s r /=n, và ta có lmn hộp con dạng Bijk D Œxi 1 ; xi Œyj 1 ; yj Œzk 1 ; zk , thể tích mỗi hộp con là V D x y z.

GIẢI TÍCH B2

225/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.5. Tích phân bội ba

Trong mỗi hộp con Bijk , chọn một điểm mẫu .xijk ; yijk ; zijk / tùy ý và lập tổng Riemann như sau l X m X n X

f .xijk ; yijk ; zijk / V

iD1 jD1 kD1

Định nghĩa tích phân bội ba trên một hộp Tích phân bội ba (triple integral) của f trên hộp B được định nghĩa là • B

f .x; y ; z/dV D

lim

l;m;n!1

l X m X n X

f .xijk ; yijk ; zijk / V

iD1 jD1 kD1

miễn là giới hạn trên tồn tại. Khi đó ta nói f khả tích trên B. GIẢI TÍCH B2

226/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.5. Tích phân bội ba

Điều kiện đủ để khả tích Nếu f liên tục trên hộp B thì f khả tích trên B. Định lý Fubini Nếu f liên tục trên hộp B D Œa; b Œc; d Œr ; s thì • B

f .x; y ; z/dV D

Z sZ dZ b r

c

f .x; y ; z/dxdydz

a

Tổng quát hơn, nếu f khả tích trên B và tích phân lặp ở trên tồn tại thì đẳng thức trên đúng.

GIẢI TÍCH B2

227/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.5. Tích phân bội ba TÍCH PHÂN BỘI BA TRÊN MỘT KHỐI TỔNG QUÁT Nếu hàm ba biến f xác định trên một khối E bị chặn trong không gian (bị bao quanh bởi một mặt cầu), thì ta chọn một hộp chữ nhật B chứa E và định nghĩa hàm F xác định trên B sao cho: F trùng với f bên trong E ; F triệt tiêu bên ngoài E . Khi đó ta định nghĩa • • f .x; y ; z/dV D F .x; y ; z/dV E

B

Tích phân trên sẽ tồn tại nếu f liên tục trên E và biên của E là hợp của vài mặt cong trơn, nghĩa là mặt cong có phương trình dạng G .x; y ; z/ D k, k là hằng số, các đạo hàm riêng của G liên tục.

Chú ý Tích phân bội ba của f trên E không mang • ý nghĩa hình học, nhưng

nếu f 1 thì thể tích của E là V .E / D

1dV .

E

GIẢI TÍCH B2

228/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.5. Tích phân bội ba KHỐI ĐƠN GIẢN (LỒI) THEO MỘT PHƯƠNG & ĐỊNH LÝ FUBINI Định lý Fubini được áp dụng cho tích phân bội ba trên một khối E thuộc các kiểu sau đây: Loại lồi theo phương Oz, có dạng ˇ ˚ E D .x; y ; z/ ˇ .x; y / 2 D; u1 .x; y / z u2 .x; y / trong đó D là hình chiếu của khối E lên mặt phẳng xy. Khi đó

• E

f .x; y ; z/dV D

“ h Z u2 .x;y / D

u1 .x;y /

GIẢI TÍCH B2

i f .x; y ; z/dz dA

229/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.5. Tích phân bội ba Loại lồi theo phương Oy, có dạng ˇ ˚ E D .x; y ; z/ ˇ .x; z/ 2 D; u1 .x; z/ y u2 .x; z/ trong đó D là hình chiếu của khối E lên mặt phẳng xz.

•

f .x; y ; z/dV D

Khi đó E

“ h Z u2 .x;z/ D

u1 .x;z/

GIẢI TÍCH B2

i f .x; y ; z/dy dA 230/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.5. Tích phân bội ba Loại lồi theo phương Ox, có dạng ˇ ˚ E D .x; y ; z/ ˇ .y ; z/ 2 D; u1 .y ; z/ x u2 .y ; z/ trong đó D là hình chiếu của khối E lên mặt phẳng yz.

•

f .x; y ; z/dV D

Khi đó E

“ h Z u2 .y ;z/ D

u1 .y ;z/

GIẢI TÍCH B2

i f .x; y ; z/dx dA 231/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.5. Tích phân bội ba Ví dụ• Tính

p

x 2 C y 2 dV , trong đó E là miền bị bao quanh bởi mặt

E

y D x 2 C z 2 và mặt y D 4.

Giải. Nếu chúng ta xem E là miền lồi theo phương Oz, thì hình chiếu của E lên mặt xy là D1 như hình dưới

GIẢI TÍCH B2

232/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.5. Tích phân bội ba p Phương trình y D x 2 C z 2 cho z D ˙ y x 2 , mặt xy: z D 0, cắt mặt y D x 2 C z 2 thành parabola y D x 2 . Do đó p p ˇ ˚ E D .x; y ; z/ ˇ .x; y / 2 D1 ; y x2 z y x2 ˇ ˚ D1 D .x; y / ˇ x 2 Œ 2; 2 ; x 2 y 4 • p Z 2 Z 4 Z py x 2 p x 2 C z 2 dV D x 2 C z 2 dz dy dx p 2

E

x2

y x2

Theo cách trên thì tích phân lặp rất khó tính toán. Do đó, ta xem khối E như là khối đơn giản theo phương Oy, với hình chiếu lên mặt xz là hình tròn D3 W x 2 C z 2 4, và ta viết ˇ ˚ E D .x; y ; z/ ˇ .x; z/ 2 D3 ; x 2 C z 2 y 4 • p “ Z 4 p x 2 C z 2 dV D x 2 C z 2 dy dA E

D3

x 2 Cz 2

GIẢI TÍCH B2

233/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.5. Tích phân bội ba

“

.4

D

x2

p z 2 / x 2 C z 2 dA

.4

p r 2 / r 2 :r dr d (đổi biến x D r cos , z D r sin )

D3

Z 2 Z 2 D 0

0

Z 2 D 2 0

.4r 2

r 4 / dr D 2

4r 3 3

r 5 ˇˇ2 ˇ 5 0

128 D 15

2

GIẢI TÍCH B2

234/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ TỌA ĐỘ TRỤ Mỗi điểm P.x; y ; z/ trong hệ tọa độ Descartes, có hình chiếu Q.x; y ; 0/ lên mặt phẳng xy, thì điểm Q trong mặt phẳng xy có tọa độ cực là .r ; ; 0/. Khi đó, bộ ba số .r ; ; z/ được gọi là tọa độ trụ (cylindrical coordinate system) của điểm P. Hai hệ phương trình chuyển đổi giữa tọa độ Descartes và tọa độ trụ như sau r 2 D x 2 C y 2;

tan D

y ; x

z Dz

(3.7)

x D r cos ;

y D r sin ;

z Dz

(3.8)

r được gọi là bán kính trục, khoảng cách từ P đến trục Oz. GIẢI TÍCH B2

235/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Ví dụ a) Vẽ điểm có tọa độ trụ .2; 2 =3; 1/ và tìm tọa độ Descartes của nó. b) Tìm tọa độ trụ của điểm có tọa độ Descartes .3; 3; 7/. a) Điểm có tọa độ trụ .2; 2 =3; 1/ được vẽ ở hình bên phải. Tọa độ Descartes được tính bởi 2 D 1 3 p 2 y D 2 sin D 3 3 z D1 x D 2 cos

Vậy điểm đã cho là . 1; độ Descartes

p

3; 1/ trong tọa GIẢI TÍCH B2

236/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ p p 3 b) Ta có r D 32 C . 3/2 D 3 2; tan D D 1, do đó 3

D C 2n ; z D 7. Vậy tọa độ trụ của điểm đã cho là p 4 .3 2; =4; 7/.

2

Ghi chú. Tọa độ trụ thường dùng trong bài toán có hình đối xứng quanh một trục, và ta đồng nhất trục này với trục Oz. Ví dụ, mặt trụ có phương trình Descartes là x 2 C y 2 D c 2 , trục đối xứng là Oz. Trong tọa độ trụ, phương trình của nó đơn giản hơn, r D c.

GIẢI TÍCH B2

237/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Ví dụ Hãy mô tả mặt có phương trình z D r trong tọa độ trụ.

Giải. Phương trình này cho biết mỗi điểm trên mặt có giá trị z, cũng là độ cao, bằng với giá trị r , là khoảng cách từ điểm đó đến trục Oz. Vì không xuất hiện, có nghĩa là giá trị của nó thay đổi tùy ý. Vì vậy, mỗi vết ngang trong mặt phẳng z D k (k > 0) là đường tròn bán kính k. Những vết này tạo nên mặt nón. Phán đoán ở trên có thể được kiểm chứng bằng cách đổi phương trình mặt trong tọa độ trụ thành phương trình trong tọa độ Descartes, z 2 D r 2 D x 2 C y 2 . Rõ ràng z 2 D x 2 C y 2 là phương trình mặt nón.

2 GIẢI TÍCH B2

238/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ

TÍNH TOÁN TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG TỌA ĐỘ TRỤ Giả sử E là miền lồi theo phương Oz, ˇ ˚ E D .x; y ; z/ ˇ .x; y / 2 D; u1 .x; y / z u2 .x; y / trong đó D là miền trong R2 có biểu diễn tọa độ cực là ˇ ˚ D D .r ; / ˇ 2 Œ˛; ˇ ; h1 . / r h2 . /

GIẢI TÍCH B2

239/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ thì tích phân bội ba của hàm số f .x; y ; z/ trên khối E được tính theo công thức •

f .x; y ; z/dV D

“ Z u2 .x;y /

f .x; y ; z/ dz dA

D u1 .x;y / Z ˇ Z h2 . / Z u2 .r cos ;r sin /

E

D

˛

h1 . /

u1 .r cos ;r sin /

f .r cos ; r sin ; z/ r dzdrd

Tích phân trong tọa độ trụ chia khối E thành những phân tố thể tích (volume element) dV , được tính như là thể tích của khối vô cùng nhỏ bên trong E , có hình dạng ở bên, dV D .rd /drdz D r dzdrd .

GIẢI TÍCH B2

240/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Ví dụ Khối E bên trong mặt trụ x 2 C y 2 D 1, nằm dưới mặt phẳng z D 4 và trên mặt paraboloid z D 1 x 2 y 2 như hình bên. Mật độ khối lượng tại mỗi điểm của khối, tỷ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến trục của mặt trụ. Hãy tính khối lượng của khối E .

Chú thích. Gọi m và V lần lượt là khối lượng và thể tích của một khối nhỏ bất kỳ, chứa điểm .x; y ; z/ bên trong khối E . Người ta định nghĩa m V !0 V

.x; y ; z/ D lim

là mật độ khối lượng của E tại điểm .x; y ; z/. Tỉ m số V được xem như là khối lượng riêng quanh khu vực điểm .x; y ; z/.

GIẢI TÍCH B2

241/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Giải. Hàm mật độ khối .x; yp ; z/ tỉ lệ với khoảng cách từ .x; y ; z/ đến trục Oz, do đó .x; y ; z/ D K x 2 C y 2 D Kr , K > 0 là hằng số tỉ lệ. Hơn nữa, khối E được biểu diễn dưới dạng tọa độ trụ như sau ˇ ˚ E D .r ; ; z/ ˇ 2 Œ0; 2 ; r 2 Œ0; 1 ; 1 r 2 z 4 Khối lượng của khối E được tính như sau • • p mD .x; y ; z/dV D K x 2 C y 2 dV E E Z 2 Z 1 Z 4 DK r :r dzdrd 0 0 1 r2 Z 2 Z 1 D D K d .3r 2 C r 4 /dr 0

0

12 K D D 5 GIẢI TÍCH B2

242/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ

Ví dụ Z 2 Z p4 x 2 Z 2 Tính p p 2

4

x2

x 2 Cy 2

.x 2 C y 2 / dz dy dx.

Giải.Z Tích phân lặp ở trên bằng “ 2 .x 2 C y 2 /dz dA, trong đó p D

x 2 Cy 2

ˇ ˚ D D .x; y / ˇ x 2 Œ 2; 2 ; p p 4 x2 y 4 ˇ ˚ D .x; y / ˇ x 2 C y 2 4 ˇ ˚ D .r ; / ˇ r 2 Œ0; 2 ; 2 Œ0; 2

x2

GIẢI TÍCH B2

243/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Vậy tích phân nói trên là tích phân bội ba trên khối E ˇ ˚ E D .r ; ; z/ ˇ .r ; / 2 Œ0; 2 Œ0; 2 ; r z 2 Do đó Z 2 Z p4 x 2 Z 2 2

p

4

x2

p

x 2 Cy 2

.x 2 C y 2 / dz dy dx D

•

.x 2 C y 2 /dV

E

Z 2 Z 2 Z 2 D 0

0

Z 2 D

d

D 2

r 2 r dz dr d

.2r 3

r 4 /dr

0

0

GIẢI TÍCH B2

r Z 2

1 2

r4

16 1 5 ˇˇ2 r ˇ D 0 5 5

244/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu TỌA ĐỘ CẦU Xét điểm P có tọa độ Descartes .x; y ; z/, hình chiếu của P lên mặt xy là P 0 .x; y ; 0/.

Ta đặt D OP;

! ! ! !

D ]. i ; OP 0 /; D ]. k ; OP/

Bộ ba số . ; ; / được gọi là tọa độ cầu của điểm P. Lưu ý, 2 Œ0; . Nếu đặt r D sin thì .r ; / là tọa độ cực của điểm hình chiếu P 0 trong mặt xy.

Ghi chú. Không có sự thống nhất cho ký hiệu tọa độ cầu. Hầu hết các sách Vật lý đều đảo ngược ý nghĩa của và , sử dụng r thay cho .

GIẢI TÍCH B2

245/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Chú giải. Trên mặt địa cầu, . ; / 2 Œ 1 ; 2 Œ 1 ; 2 biểu diễn các điểm giữa hai kinh tuyến 1ı và 2ı từ Tây sang Đông; giữa hai vĩ tuyến 1ı và 2ı (với vĩ tuyến gốc là Bắc cực, không phải xích đạo). Những điểm này cách tâm địa cầu một khoảng . ; /.

Phương trình chuyển đổi tọa độ cầu và tọa độ Descartes là x D sin cos ;

y D sin sin ;

z D cos

và 2 D x 2 C y 2 C z 2

GIẢI TÍCH B2

246/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu

Ví dụ Điểm .2; =4; =3/ được cho trong tọa độ cầu. Hãy vẽ điểm này và tìm tọa độ Descartes của nó.

Giải. Điểm được định vị như hình bên. Ta có r

3

x D sin cos D 2 sin cos D 3 4 2 r

3 y D sin sin D 2 sin sin D 3 4 2

z D cos D 2 cos D 1 3 p p Vậy tọa độ Descartes của điểm đã cho là . 3=2; 3=2; 1/.

GIẢI TÍCH B2

247/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Ví dụ

p Điểm .0; 2 3; 2/ được cho trong tọa độ Descartes. Hãy tìm tọa độ cầu cho điểm này.

Giải. Ta có D

p

x2 C y2 C z2 D

p

0 C 12 C 4 D 4

Ngoài ra 2 1 2 z D D D

4 2 3 x

cos D D0 D sin 2 p (Lưu ý rằng ¤ =2, vì y D 2 3 > 0.) Vậy điểm đã cho có tọa độ cầu là .4; =2; 2 =3/. cos D

GIẢI TÍCH B2

248/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Sau đây là vài mặt được biểu diễn bởi phương trình theo tọa độ cầu

Mặt cầu có phương trình D c, c là hằng số.

Nửa mặt phẳng có phương trình D c, c là hằng số.

GIẢI TÍCH B2

249/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu

Nửa mặt nón D c, c là hằng số, =2 < c < .

Nửa mặt nón D c, c là hằng số, 0 < c < =2.

GIẢI TÍCH B2

250/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG TỌA ĐỘ CẦU Ta thừa nhận công thức sau Nếu một khối E có biểu diễn tọa độ cầu là ˇ ˚ E D . ; ; / ˇ . ; / 2 Œ 1 ; 2 Œ 1 ; 2 ; 1 . ; / 2 . ; / thì •

f .x; y ; z/dV

E

Z 2Z 2Z 2 . ; / D

1

1

1 . ; /

f . sin cos ; sin sin ; cos / 2 sin d d d

Chú ý. Trong không gian, ta có thể gặp những khối E có biểu diễn theo tọa độ cầu với dạng khác với dạng trong công thức trên, thứ tự tích phân lặp sẽ khác đi, nhưng hàm trong tích phân vẫn vậy.

GIẢI TÍCH B2

251/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Ví dụ Dùng tọa độ cầu, hãy tính thể tích của khối nằm trên mặt nón z D p x 2 C y 2 và dưới mặt cầu x 2 C y 2 C z 2 D z.

Giải. Lưu ý tâm mặt cầu là .0; 0; 12 /, đường kính bằng 1.

Với cố định thì “chạy” từ 0 đến =4.

GIẢI TÍCH B2

252/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu

Những điểm trong khối có “chạy” từ 0 đến 2 .

Với và cố định thì điểm trong khối có “chạy” từ 0 đến cos .

Do đó khối đã cho có biểu diễn theo tọa độ cầu là ˇ ˚

E D . ; ; / ˇ . ; / 2 Œ0; 2 Œ0; ; 0 cos 4 GIẢI TÍCH B2

253/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu

Vậy thể tích khối cần tính là V .E / D

Z 2 Z =4Z cos

• dV D

0 Z =4

E Z 2

D

d 0

0

2 D 3

Z =4

0

sin

2 sin d d d

0 3 ˇ Dcos

3

ˇ ˇ

D0

sin cos3 d D

0

GIẢI TÍCH B2

d

2 3

cos4 ˇˇ =4

D ˇ 0 4 8

254/??

GIẢI TÍCH VECTƠ

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ

Trường vectơ vận tốc, biểu thị hướng và độ lớn của gió ở San Francisco Bay, 2:00, Feb, 21, 2007.

GIẢI TÍCH B2

256/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ

Trường vectơ vận tốc, biểu thị các dòng hải lưu quanh bờ biển Nova Scotia.

GIẢI TÍCH B2

257/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ

Trường vectơ vận tốc, biểu thị các dòng khí thổi qua cánh máy bay ở thế nghiêng.

GIẢI TÍCH B2

258/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ

Định nghĩa 1

2

D là một tập trong R2 (miền phẳng). Một trường vectơ trên D ! là một hàm vectơ F gán mỗi điểm .x; y / 2 D với một vectơ hai ! chiều F .x; y /.

E là một tập trong R3 . Một trường vectơ trên E là một hàm ! vectơ F gán mỗi điểm .x; y ; z/ 2 E với một vectơ 3 chiều !

F .x; y ; z/.

GIẢI TÍCH B2

259/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ Ví dụ

!

Phác họa trường vectơ F .x; y / D

! ! y i Cx j .

Giải. Ta lập bảng giá trị và vẽ vài vectơ

GIẢI TÍCH B2

260/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ Sau đây thêm vài ví dụ về trường vectơ:

!

Trường F .x; y / D hy ; sin xi

!

Trường F .x; y / D h y ; xi GIẢI TÍCH B2

261/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ

Trường !

F .x; y ; z/ D y !i C z!j C z! x

!

Trường F .x; y ; z/ D hy ; 2; xi

GIẢI TÍCH B2

262/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ Trường hấp dẫn. Theo định luật hấp dẫn của Newton, cường độ lực hút ˇ!ˇ lẫn nhau giữa hai vật có khối lượng m và M là ˇ F ˇ D mMG =r 2 , trong đó G là hằng số hấp dẫn và r là khoảng cách giữa hai vật.

Giả sử vật có khối lượng M đặt tại gốc tọa độ O trong R3 (ví dụ M là khối lượng trái đất và O là tâm trái đất), vectơ vị trí của vật có khối lượng m là ! x D hx; y ; zi (các nhà Vật lý thường dùng ký hiệu ! r thay cho ! x ).

Lực hút tác động lên vật m hướng về tâm với vectơ đơn vị chỉ hướng là ! x =j! x j. Do đó trường lực hấp dẫn là

!!

F.x / D

!!

F.x / D

mMG ! x j! x j3

mMGx

!

.x 2 C y 2 C z 2 /3=2

i

mMGz .x 2 C y 2 C z 2 /3=2 GIẢI TÍCH B2

!

mMGy .x 2 C y 2 C z 2 /3=2

j

!

k

263/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ

Trường tĩnh điện. Tương tự trường hấp dẫn, ta có trường tĩnh điện xung quanh một điện tích Q được cho bởi công thức "Q ! !!

E . x / D ˇˇ! ˇ x x ˇ3

Trường lực hấp dẫn.

" là hằng số, tùy thuộc vào các đơn vị điện tích được dùng. Nếu Q dương thì trường tĩnh điện hướng ra ngoài gốc tọa độ.

GIẢI TÍCH B2

264/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ

TRƯỜNG GRADIENT VÀ TRƯỜNG BẢO TOÀN 1

2

Một hàm số (còn gọi hàm vô hướng, scalar function) theo biến ! x D hx; y i hoặc ! x D hx; y ; zi, sẽ cho một trường rf .! x /, được gọi là trường gradient. !

Một trường vectơ F được gọi là trường bảo toàn (conservative vector field) nếu nó là gradient của một hàm vô hướng f , nghĩa là tồn ! tại hàm số f sao cho F D rf . Khi đó f được gọi là hàm thế ! (potential function) của trường F .

GIẢI TÍCH B2

265/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.1. Trường vectơ Ví dụ. Trường vectơ gradient của hàm số f .x; y / D x 2 y y 3 được vẽ chung với contour map của f như hình bên. Lưu ý các vectơ gradient có hướng vuông góc với các đường đồng mức. Ở những chỗ các đường đồng mức càng sát nhau, độ dốc theo hướng gradient càng lớn, do đó vectơ được vẽ càng dài.

Ví dụ. Trường lực hấp dẫn ˇ ˇ3 ! !!

F . x / D . mMG =ˇ! x ˇ / x là một trường bảo toàn, vì nó là gradient Ghi chú. Không phải trường vectơ của hàm vô hướng nào cũng là trường bảo toàn. Các trường bảo toàn thường gặp trong mMG ˇ!ˇ D p f .! x / D mMG Vật lý. ˇx ˇ x2 C y2 C z2 GIẢI TÍCH B2

266/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM SỐ (Tích Phân Đường Loại I) Cho đường cong C có phương trình tham số x D x.t/; y D y .t/; a t b

(4.1)

hoặc phương trình vectơ ! r .t/ D x.t/!i C y .t/!j , và giả sử C là trơn 0 ). Nếu (nghĩa là ! r 0 liên tục và ! r 0 .t/ ¤ ! ta chia đoạn tham số Œa; b thành n đoạn con Œti 1 ; ti có độ dài bằng nhau và đặt xi D x.ti /, yi D y .ti / thì các điểm P.xi ; yi / n chia C thành n cung có độ dài s1 ,. . . , X

tổng f .xi ; yi / si tương sn . Chọn điểm tùy ý Pi .xi ; yi / (tương iD1 ứng với tham số ti 2 Œti 1 ; ti ). Giả sử một tự tổng Riemann của hàm số hàm số hai biến f xác định trên C thì một biến.

GIẢI TÍCH B2

267/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường Định nghĩa Giả sử f là hàm số hai biến, xác định trên đường cong C cho bởi (4.1).

Ta định nghĩa tích phân đường của f dọc theo C là Z

f .x; y / ds D lim

C

n!1

n X

f .xi ; yi / si

iD1

miễn là giới hạn tồn tại. Điều kiện đủ để giới hạn tồn tại là hàm f liên tục. Khi đó, tích phân đường được tính theo công thức Z Z b ˇ 0 ˇ f .x; y / ds D f ! r .t/ ˇ! r .t/ˇ dt C a r Z b dx 2 dy 2 f x.t/; y .t/ C dt D dt dt a GIẢI TÍCH B2

268/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường

Nếu f là hàm số 3 biến xác định trên đường cong C -3-chiều, trơn từng khúc, biểu diễn bởi ! r .t/ D x.t/!i C y .t/!j C z.t/! k , a t b, thì tích phân đường của f dọc theo C cũng được định nghĩa tương tự.

Hơn nữa, nếu f liên tục thì ta cũng có công thức Z C

Z b

ˇ 0 ˇ f ! r .t/ ˇ! r .t/ˇ dt a r Z b dx 2 dy 2 dz 2 D f x.t/; y .t/; z.t/ C C dt dt dt dt a

f .x; y ; z/ ds D

GIẢI TÍCH B2

269/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường

Nếu C là đường cong trơn từng khúc, nghĩa là C là hợp của hữu hạn đường cong trơn, C1 ; C2 ; : : : ; Cn , trong đó điểm cuối của Ci 1 là điểm đầu của Ci , thì ta định nghĩa Z n Z X f ds D f ds C

iD1 GIẢI TÍCH B2

Ci 270/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường Ví dụZ Tính

2x ds, trong đó C bao gồm cung C1 của parabola y D x 2 từ

C

.0; 0/ đến .1; 1/, được nối tiếp sau đó đoạn thẳng C2 từ .1; 1/ đến .1; 2/.

Giải. Ta có C1 W x D x; y D x 2 ; 0 x 1.

Do đó Z Z 1 r 2 2 dx dy 2x C dx 2x ds D dx dx 0 C1 Z 1 p Z 1 5p 2 D 2x 1 C 4x dx D t dt 4 1 0 p 1 3 ˇˇ5 5 5 1 2 D t ˇ D 6 1 6 GIẢI TÍCH B2

271/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường

Tương tự, C2 W x D 1; y D y ; 1 y 2 và s Z Z 2 dx 2 dy 2 2x ds D 2.1/ C dy dy dy C2 1 Z 2 D 2 dy D 2 1

Vậy p 5 5 2x ds D 6 C

Z

1

p 11 C 5 5 C2D 6

GIẢI TÍCH B2

272/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA TRƯỜNG VECTƠ (Tích Phân Đường Loại II) !

Nhắc lại, lực F tác động vào vật dịch chuyển từ A đến B thì công của ! ! lực trên đoạn đường đó là W D F AB. ! ! ! !

Giả sử, F D P i C Q j C R k là một trường vectơ lực 3 chiều, ví dụ như trường lực hấp dẫn. (2 chiều ứng với R D 0). Để tính công của trường lực này tác động vào một chất điểm dịch chuyển trên đường cong trơn C , 3-chiều, ta chia C thành nhiều cung nhỏ Pi 1 Pi có độ dài si , bằng cách chia đều đoạn tham số Œa; b thành nhiều đoạn con. Trên cung nhỏ thứ i, ta chọn điểm Pi .xi ; yi ; zi / tương ứng với giá trị ti của tham số. Lộ trình trên cung từ Pi 1 đến Pi xấp xỉ với đoạn thẳng dài ! si , theo hướng của T .ti /, vectơ tiếp tuyến đơn vị của C tại điểm Pi .

GIẢI TÍCH B2

273/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường !

Do đó công của lực F tác động vào chất điểm di chuyển trên cung Pi 1 Pi được tính xấp xỉ bằng !

F .xi ; yi ; zi / si !

T .ti / D !

F .xi ; yi ; zi / !

T .ti / si

và công dịch chuyển trên toàn C được xấp xỉ bởi n X !

F .xi ; yi ; zi / !

T .ti / si

(4.2)

iD1

!

Công của trường lực F được định nghĩa là giới hạn của tổng Riemann (4.2), khi n ! 1, nghĩa là Z Z ! !

W D F .x; y ; z/ T .x; y ; z/ ds D !

F !

T ds (4.3) C

C

GIẢI TÍCH B2

274/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường ˇ 0 ˇ r .t/ˇ dt, Trong công thức tính Tích Phân Đường Loại I, ta thay ds D ˇ! ˇ ˇ ! r 0 .t/ˇ, nên ta có thể viết ngoài ra T .t/ D ! r 0 .t/=ˇ! h ˇ !

0 r 0 .t/ˇ iˇˇ! !! !

0 F T ds D !

F ! r .t/ ˇˇ! r .t/ˇ dt D F ! r .t/ ! r .t/ dt D !

F d! r 0 ˇ r .t/ Z ! !

Và công thức (4.3) có thể được viết lại dưới dạng W D F d r .

C

Định nghĩa Tích Phân Đường Loại II !

Cho trường vectơ F liên tục, xác định trên đường cong trơn C định bởi hàm vectơ ! r .t/, a t b. Khi đó, Tích Phân Đường của !

F dọc theo C được ký hiệu và định nghĩa như sau Z C

!

F d! r D

Z C

! !

F T ds D

Z b a

GIẢI TÍCH B2

!!

F r .t/ ! r 0 .t/ dt

275/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường Ghi chú 1. Giả sử đường cong C có phương trình vectơ ! r .t/ D x.t/!i C y .t/!j C z.t/! k;

a t b

! và trường F , xác định trên C , được cho bởi

r .t/ !i C Q ! r .t/ !j C R ! r .t/ ! k F r .t/ D P !

!!

(hoặc ! r .t/ D x.t/!i C y .t/!j , !

F D P!i C Q!j , nếu xét 2 chiều). Khi đó ta còn có ký hiệu khác cho tích phân đường loại II Z C

!!

F

Z bh i P:x 0 .t/ C Q:y 0 .t/ C R:z 0 .t/ dt Za D P dx C Q dy C R dz

r .t/ ! r 0 .t/ dt D

C GIẢI TÍCH B2

276/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường Ghi chú 2. Vì Tích Phân Đường Loại II gắn liền với khái niệm công của trường lực tác động lên chất điểm di chuyển trên đường cong C , do đó hướng di chuyển của C ảnh hưởng đến giá trị của tích phân.

Cụ thể, nếu C W ! r .t/, a t b là đường cong định hướng từ điểm A đến điểm B khi t tăng, thì đường cong C cho bởi ! r .a C b t/, a t b định hướng từ B đến A khi t tăng. Khi đó Z

!

C

F d! r D

Z C

!

F d! r

Ngoài ! r .a C b t/, a t b, có thể có hàm vectơ khác nữa biểu diễn đường cong C , ví dụ ! r ta C .1 t/b , 0 t 1.

GIẢI TÍCH B2

277/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.2. Tích phân đường Ví dụ

! ! !

Tính công của trường lực F D x 2 i xy j trong dịch một chất điểm dọc theo một phần tư đường tròn ! r .t/ D cos t!i C sin t!j , 0 t =2.

Giải. Trên 14 đường tròn, x D cos t, y D sin t. Do dó

F r .t/ D cos2 t!i

!!

! cos t sin t j và ! r 0 .t/ D

! ! sin t i C cos t j

Vì vậy, công được thực hiện là Z Z =2 Z =2 ! ! !0 ! !

F d r D F r .t/ r .t/ dt D . 2 cos2 t sin t/ dt C

0

ˇ =2 2 ˇ D cos3 t ˇ D 0 3

0

2 3 GIẢI TÍCH B2

278/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường Trong Giải Tích Một Biến, ta nhớ lại Định Lý Cơ Bản Của Giải Tích phát biểu rằng Z b F 0 .x/ dx D F .b/ F .a/ a

trong đó đạo hàm F 0 liên tục trên Œa; b . Trong Tích Phân Đường, ta cũng có một phát biểu tương tự. Hãy xem rf của một hàm số f , 2 hoặc 3 biến, như là đạo hàm của f . Khi đó ta có Định lý Cơ Bản Của Tích Phân Đường Cho C là đường cong trơn cho bởi hàm vectơ ! r .t/, a t b. Nếu f là một hàm số nhiều biến khả vi sao cho vectơ gradient của nó, rf , liên tục trên C , thì Z

rf d ! r Df ! r .b/ f ! r .a/ C

Chứng minh của định lý trên đơn giản, xem như là bài tập.

GIẢI TÍCH B2

279/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA TRƯỜNG VECTƠ BẢO TOÀN Định nghĩa Một lộ trình (path) là một đường cong trơn từng khúc, nghĩa là được nối tiếp bởi hữu hạn đường cong cho bởi hàm vectơ ! r .t/ ! ! !

0 0 với r liên tục và r .t/ ¤ 0 ; 8t. !

Xét trường vectơ F liên tục trên miền D, ta nói tích phân đường Z ! !

F d r độc lập với lộ trình (independent of path) có nghĩa CZ Z ! ! là F d r D !

F d! r , với C1 và C2 là hai lộ trình bất kỳ C1

C2

trong D, có chung điểm đầu và chung điểm cuối.

Một đường cong được gọi là kín (closed) nếu điểm đầu và điểm cuối của nó trùng nhau, nghĩa là ! r .a/ D ! r .b/.

GIẢI TÍCH B2

280/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường Định lý Z ! !

Tích phân F d r độc lập với lộ trình trong miền D khi và chỉ khi C Z ! !

F d r D 0 với mọi đường cong C kín bên trong D. C

Z Chứng minh. Giả sử C

!

F d! r độc lập với

lộ trình trong miền D. Xét đường cong C kín, trên đó lấy 2 điểm A và B, xem C được ghép bởi C1 nối từ A đến B, tiếp đó là C2 nối từ B đến A, thì Z Z Z Z ! ! ! ! ! !

F d r D F d r C F d r D !

F d! r C

C1

C2

C1

Z

!

C2

F d! r D0

trong đó C1 và C2 là hai lộ trình có chung điểm đầu và cuối.

GIẢI TÍCH B2

281/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường Z

!

Đảo lại, giả sử C

F d! r D 0 với mọi đường cong C kín bên trong D.

Lấy hai lộ trình C1 và C2 bất kỳ trong D, có chung điểm đầu A và chung điểm cuối B. Khi đó đường cong C gồm C1 nối với C2 sẽ là đường cong kín, và Z Z Z ! ! ! !

0D F d r D !

F d! r C F d r C C1 C2 Z Z ! ! ! !

D F d r F d r C1

Z vì vậy C1

!

F d! r D

C2

Z C2

!

F d! r , và định lý được chứng minh.

GIẢI TÍCH B2

282/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường

Định nghĩa Tập hợp D R2 được gọi là mở (open) có nghĩa là mỗi điểm P trong D, luôn có một đĩa tròn tâm P nằm hoàn toàn trong D. Định nghĩa khái niệm mở cho D R3 tương tự trên, với đĩa tròn được thay bởi khối cầu.

Tập hợp D được gọi là liên thông (connected) có nghĩa là hai điểm bất kỳ thuộc D luôn được nối bởi một lộ trình trong D.

GIẢI TÍCH B2

283/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường Đặc Trưng I của Trường Bảo Toàn ! Định lý. Cho F là trường vectơ liên tục trên miền D. !

1 Nếu F là trường bảo toàn trên D, nghĩa là có hàm số f xác định Z ! ! ! trên D sao cho F D rf , thì F d r độc lập với lộ trình trong D. C

Z 2

Nếu C

!

F d! r độc lập với lộ trình trong D, hơn nữa nếu D là tập

! mở và liên thông, thì F là trường bảo toàn trên D. Chứng minh. Phần 1 là hệ quả trực tiếp từ định lý cơ bản của tích phân đường. Chứng minh phần 2 được trình bày tại lớp, nếu thấy cần thiết.

GIẢI TÍCH B2

284/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường

Định nghĩa Đường cong đơn (simple curve) cho bởi ! r .t/, a t b, là đường cong không tự cắt nó tại điểm nào giữa điểm đầu và điểm cuối, nghĩa là, nếu a < t1 < t2 < b thì ! r .t1 / ¤ ! r .t2 /. (Có thể ! ! xảy ra r .a/ D r .b/ nếu đường cong là kín.)

Tập hợp D trong R2 (miền phẳng) được gọi là miền đơn liên khi nó là tập hợp liên thông sao cho mọi đường cong đơn-kín bên trong D sẽ bao quanh một miền hoàn toàn nằm trong D.

GIẢI TÍCH B2

285/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường

Đường cong đơn, Đường cong đơn, Đường cong kín, Đường cong kín không đơn, không không kín không đơn kín

GIẢI TÍCH B2

286/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường Đặc Trưng II của Trường Bảo Toàn 2 chiều ! ! ! Định lý. Cho F D P i C Q j là trường vectơ 2 chiều sao cho các hàm số P và Q có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên tập xác định D, viết là P; Q 2 C 1 .D/. Khi đó, !

1 Nếu F là trường bảo toàn trên D thì @P @Q D @y @x 2

Nếu D là miền đơn liên, mở và

trên tập D @P @Q !

D trên tập D thì F là @y @x

trường bảo toàn trên D. Chứng minh. Phần 1 được suy từ định lý Clairaut. Phần 2 được suy từ định lý Green, sẽ bàn trong mục 4.4.

GIẢI TÍCH B2

287/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường Ví dụ

!

Trường F .x; y / D .x

! y / i C .x

!

2/ j có bảo toàn hay không?

Giải. P D x y , Q D x 2 và hiển nhiên P; Q 2 C 1 .R2 /. Tuy nhiên @P D @y

1¤1D

@Q @x

!

Vậy F D hP; Qi không phải trường bảo toàn. !

Trường vectơ F được minh họa ở hình bên.

Những vectơ có điểm đặt trên đường congZkín C có khuynh hướng xuôi ! ! theo chiều của C , cho ta phán đoán rằng F d r > 0, nghĩa là !

F C

không thể là trường bảo toàn.

GIẢI TÍCH B2

288/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường Ví dụ

! !

Trường F .x; y / D .3 C 2xy / i C .x 2

!

3y 2 / j có bảo toàn hay không?

Giải. P D 3 C 2xy , Q D x 2 3y 2 và hiển nhiên P; Q 2 C 1 .R2 /, R2 là miền mở đơn liên. Hơn nữa @P @Q D 2x D trên R2 @y @x !

Vậy F D hP; Qi là trường bảo toàn. Trường ! vectơ F được minh họa ở hình bên.

Vài vectơ có điểm đặt trên đường cong kín C có khuynh hướng xuôi theo chiều của C , trong khi đó những vectơ khác Zlại ngả theo hướng ngược với ! ! !

C . Điều này hợp lý vì F bảo toàn, làm cho F d r D 0.

GIẢI TÍCH B2

C

289/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường Ví dụ

!

Trường F D hP; Qi D h3 C 2xy ; x 2 3y 2 i trong ví dụ trước là trường ! bảo toàn trên R2 . Vậy hãy tìm hàm thế f thỏa F D rf .

Giải. Ta có rf D hfx ; fy i D hP; Qi, suy ra fx D P D 3 C 2xy . Nói cách khác, f là nguyên hàm theo biến x của P, Z f D .3 C 2xy / dx D 3x C x 2 y C g .y / (4.4) Hơn nữa fy D Q, do đó x 2 C g 0 .y / D x 2

@ 3x C x 2 y C g .y / D Q D x 2 @y 3y 2 ) g .y / D

3y 2 , suy ra

y 3 C C (C là hằng số)

Thay (4.5) vào (4.4), ta được f .x; y / D 3x C x 2 y GIẢI TÍCH B2

(4.5)

y3 C C. 290/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường Đọc thêm: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG !

Xét một trường lực F là trường bảo toàn, liên tục, có hàm thế f , ! rf D F . Trong vật lý, người ta gọi P D f là thế năng (the potential energy). Xét đường cong C cho bởi ! r .t/, a t b, trong đó A D ! r .a/ ! là điểm đầu và B D r .b/ là điểm cuối. Khi đó công của trường lực tác động chất điểm di chuyển trên C từ A đến B là Z ! !

W D F d r D f .B/ f .A/ D P.A/

P.B/

(4.6)

C

Mặt khác, khi t tăng, chất điểm chuyển động trên C với gia tốc ! r 00 .t/, và ! theo Định Luật Newton thứ II, lực F tác động lên chất điểm là !!

F r .t/ D m! r 00 .t/

trong đó là m là khối lượng chất điểm và ! r 00 .t/ là gia tốc của chất điểm tại thời điểm t.

GIẢI TÍCH B2

291/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.3. Định lý cơ bản của tích phân đường !

Như vậy công của F cũng có thể được tính bởi Z b Z b ! ! !0 F r .t/ r .t/ dt D m !

W D r 00 .t/! r 0 .t/ dt a a Z ˇ2 1 ˇ! ˇ2 1 ˇˇ!0 ˇˇ2 ˇˇb 1 ˇ m b d ˇˇ!0 ˇˇ2 v .b/ˇ r .t/ dt D r .t/ ˇ D mˇ! mˇ v .a/ˇ D a 2 a dt m 2 2 trong đó ! v ˇD ! r 0ˇ là vectơ vận tốc của chất điểm. Đại lượng K .t/ D 1 mˇ! v .t/ˇ2 được gọi là động năng (the kinetic energy) của chất 2

điểm tại thời điểm t. Do đó W D K .B/ Từ (4.6) và (4.7), ta suy ra P.A/

K .A/

P.B/ D K .B/

(4.7) K .A/, hay

P.A/ C K .A/ D P.B/ C K .B/ nghĩa là năng lượng được bảo toàn từ đầu đến cuối. Đây là lý do trường ! gradient F D rf được gọi là trường bảo toàn.

GIẢI TÍCH B2

292/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.4. Định lý Green

Cho D là miền phẳng bị chặn sao cho biên @D của D là hữu hạn các đường cong đơn kín, được định hướng dương, nghĩa là khi đi theo hướng đó, miền trong của D luôn nằm bên tay trái. Hình bên cho thấy @D D C1 [ C2 được định hướng dương. !

Tích phân đường của trường F D hP; Qi dọc theo @D theo hướng dương được ký hiệu bởi I I ! !

F d r D P dx C Q dy @D

@D

GIẢI TÍCH B2

293/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.4. Định lý Green Định lý Green sau đây cho mối liên hệ giữa tích phân kép trên miền phẳng D với tích phân đường trên biên @D, do đó định lý Green cũng được xem như là Định Lý Cơ Bản Của Tích Phân Kép. Định lý Green Giả sử D là miền phẳng bị chặn sao cho biên @D là hữu hạn các đường cong đơn kín, trơn từng khúc. Giả sử P; Q là các hàm số có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên một tập mở chứa D, viết là P; Q 2 C 1 .D [@D/.

Khi đó I “ @Q @P dA D P dx C Q dy @y D @x @D Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh định lý Green trong trường hợp D là miền đơn giản (simple region), nghĩa là D lồi theo cả hai phương Ox và Oy. Định lý sẽ được chứng minh nếu ta kiểm chứng được hai đẳng thức sau GIẢI TÍCH B2

294/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

4.4. Định lý Green

Tích phân bội

I @Q dA D Q dy @D D @x “ I @P dA D P dx D @y @D

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

“

và

(4.8) (4.9)

Ta chứng minh (4.9) bằng cách biểu diễn D lồi theo phương Oy ˇ ˚ D D .x; y /ˇx 2 Œa; b ; g1 .x/ y g2 .x/ Và @D là nối tiếp của C1 , C2 , C3 , C4 như hình bên. Ta có Z b Z g2 .x/

@P dy dx a g1 .x/ @y Z b

D P x; g1 .x/ P x; g2 .x/ dx

@P dA D D @y

“

(4.10)

a GIẢI TÍCH B2

295/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.4. Định lý Green Z

Z

Trên đường C2 và C4 , x là hằng số, do đó

P dx D 0 và C2

P dx D 0.

C4

Ngoài ra, tham số hóa của C1 và C3 là C1 W x D x; y D g1 .x/; C3 W x D x; y D g2 .x/ với a x b. Vậy Z Z Z Z Z P dx D P dx C P dx C P dx C P dx @D C1 C2 C3 C4 Z Z D P dx P dx C1

Z b D

C3

P x; g1 .x/ dx

a

Z b D

Z b

P x; g2 .x/ dx

a

P x; g1 .x/ dx

P x; g2 .x/ dx

(4.11)

a

Từ (4.10) và (4.11) ta suy ra đẳng thức (4.9). Đẳng thức (4.8) được chứng minh theo cách tương tự.

GIẢI TÍCH B2

296/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.4. Định lý Green Nếu D đơn liên nhưng không lồi theo một phương, như hình bên, thì người ta chia D thành nhiều miền đơn Ví dụ, D D D1 [ D2 giản. @D1 D C1 [ C3 và @D2 D C2 [ . C3 /. Áp dụng định lý Green trên hai miền đơn giản riêng biệt “ I @Q @P Pdx C Qdy dA D @x @y D C1 [C3 “ 1 I @Q @P dA D Pdx C Qdy @y D2 @x C2 [. C3 / Cộng vế theo vế, ta chứng minh được định lý Green cho D là miền đơn liên bị chặn, không cần lồi theo phương nào.

GIẢI TÍCH B2

297/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.4. Định lý Green Trường hợp cuối cùng, nếu D là miền đa liên bị chặn (có nhiều lỗ thủng), ví dụ, hình dưới là miền nhị liên (2 thành phần biên kín),

thì người ta cũng chia D thành nhiều miền đơn liên. Hình trên minh họa D D D 0 [ D 00 , được tách thành hai miền đơn liên. Áp dụng định lý Green trên từng miền, cộng vế theo vế ta sẽ chứng minh được định lý Green trong trường hợp tổng quát.

GIẢI TÍCH B2

298/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.4. Định lý Green DIỆN TÍCH CỦA MIỀN PHẲNG & ĐỊNH LÝ GREEN Như đã biết, diện tích của miền phẳng D cho bởi “ “ @Q @P A.D/ D 1 dA D dA @y D D @x với trường hP; Qi D h0; xi, hoặc hP; Qi D h y ; 0i, hoặc 1 1 hP; Qi D h y ; xi. Nếu ta áp dụng định lý Green cho trường hợp trên 2 2 thì ta có công thức diện tích của D như sau I I I 1 x dy y dx A.D/ D x dy D y dx D 2 @D @D @D

GIẢI TÍCH B2

299/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.4. Định lý Green Ví dụ Hãy tính diện tích của hình ê-lip

x2 y2 C 1. a2 b2

Giải. Miền ê-lip D được bao quanh bởi đường ê-lip @D có phương trình tham số x D a cos t; y D b sin t; 0 t 2 Do đó, diện tích ê-lip D được cho bởi I Z 2 A.D/ D x dy D .a cos t/y 0 .t/ dt @D 0 Z 2 Z 2 1 .1 C cos 2t/ dt .a cos t/.b cos t/ dt D ab D 2 0 0 ˇ2 1 D ab C ab sin 2t ˇ0 D ab 4 GIẢI TÍCH B2

300/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence CURL Định nghĩa. curl là một toán tử (operator) biến một trường vectơ 3 ! ! chiều, F D hP; Q; Ri, thành một trường vectơ mới, curl F , cũng 3 chiều, được cho bởi ! @R curl F D @y

@Q ! @P i C @z @z

@R ! @Q j C @x @x

@P ! k @y

Ghi chú. Nếu ta xem toán tử gradient, r, như là một “vectơ hình thức” rD

@ @E ; @x @y @z

D@

;

thì ta có thể viết ngắn gọn ! ! curl F D r F GIẢI TÍCH B2

301/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence Đặc Trưng Của Trường Bảo Toàn 3 Chiều Định lý 1

2

!

Nếu F D hP; Q; Ri là trường bảo toàn sao cho P; Q; R 2 C 1 .E /, ! ! ! nghĩa là có hàm thế f 2 C 2 .E / sao cho F D rf , thì curl F D 0 . ! ! !

Nếu F D hP; Q; Ri, với P; Q; R 2 C 1 .E /, thỏa curl F D 0 ; hơn ! nữa E là một miền mở, đơn liên trong R3 , thì F là một trường bảo toàn.

Chú thích. C k .E / là lớp các hàm số có các đạo hàm riêng cấp k liên tục trên E . Tập hợp E trong R3 được gọi là đơn liên nếu mọi mặt cong kín ở bên trong E , không tự cắt (hình dung như lớp vỏ củ khoai), sẽ bao quanh một khối nằm hoàn toàn trong E . Nói nôm na là khối E đặc kín và không có “rỗ bọt”, không có khoảng rỗng bên trong.

GIẢI TÍCH B2

302/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence

Phần 1 của định lý được suy ra từ định lý Clairaut, sinh viên tự kiểm tra chi tiết.

Phần 2 của định lý được suy ra từ định lý Stocks, sẽ bàn đến trong mục 4.8.

GIẢI TÍCH B2

303/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence Đọc thêm: Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA CURL Thuật ngữ “curl”, như tên gọi của nó, có nghĩa là sự xoáy, quay vòng. Các sách Vật Lý thường viết tên toán tử “rot” thay cho curl, viết tắt của chữ “rotation”. Trong môi ! trường chất lỏng có trường vectơ vận tốc F của mọi chất điểm. Những “hạt” gần điểm .x; y ; z/ trong chất lỏng có khuynh hướng ! xoay quanh trục chỉ theo hướng của curl F .x; y ; z/, và độ dài của vectơ này đo mức độ chuyển động của các hạt nhanh hay chậm quanh trục nói trên. Hãy hình dung một cánh quạt chân vịt cực nhỏ trong chất lỏng đang ! ! lưu chuyển, có curl F D 0 . Khi đó chân vịt không quay, ta nói trường chất lỏng không xoáy ở mọi nơi.

Bài toán ở trang kế tiếp sẽ chỉ rõ ý nghĩa này.

GIẢI TÍCH B2

304/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence Hình bên là vật thể rắn B, quay quanh trục Oz. Sự quay được mô tả bởi vectơ ! w D !! k ! (hướng w là hướng tiến của nút chai khi quay), ! là vận tốc góc của B, bằng vận tốc dài theo phương tiếp tuyến của một điểm P 2 B chia cho bán kính trục, tức là khoảng cách d từ P đến trục Oz. Đặt ! r D hx; y ; zi là vectơ vị trí của P. (a) Xét góc trong hình, chứng minh trường vectơ vận tốc của B là ! v D! w ! r. ! (b) Chứng minh v D h !y ; !x; 0i. (c) Chứng minh curl ! v D 2! w.

Giải. Thực hiện tại lớp.

GIẢI TÍCH B2

305/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence DIVERGENCE

! Định nghĩa. Cho F D hP; Q; Ri là trường vectơ 3 chiều, sao cho tồn tại @P=@x, @Q=@y và @R=@z. Toán tử div (viết tắt của “divergence”) biến ! ! trường vectơ F thành trường vô hướng (tức là hàm số) div F cho bởi @P @Q @R ! div F D C C @x @y @z Ghi chú. Nếu xem toán tử gradient, r, như là vectơ hình thức D@ @ @E rD ; ; @x @y @z thì ta có thể viết ngắn gọn ! ! div F D r F (phép nhân vô hướng hình thức) GIẢI TÍCH B2

306/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence Định lý sau đây có chứng minh đơn giản, xem như bài tập. Định lý !

Nếu F D hP; Q; Ri là trường vectơ sao cho P; Q; R 2 C 2 .R3 /, thì ! div curl F D 0 Ví dụ

!

Chứng minh trường F D hxz; xyz; y 2 i không thể là curl của một trường vectơ khác. ! ! ! !

Giải. Vì div F D z C xz 6 0 nên F không thể có dạng F D curl G .

GIẢI TÍCH B2

307/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence

Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA DIVERGENCE Divergence (sự phân tán) là thuật ngữ trong Vật Lý Lưu Chất (lỏng ! ! hoặc khí). Nếu F là trường vận tốc trong lưu chất, thì div F .x; y ; z/ là đại lượng nói lên tốc độ biến thiên của khối lượng lưu chất theo thời gian, thoát ra hay hút vào ở điểm .x; y ; z/, trên mỗi đơn vị thể tích (tham khảo ! thêm các sách Vật Lý thuộc lĩnh vực này). Nói cách khác, div F .x; y ; z/ ! đo khuynh hướng lưu chất phân tán từ điểm .x; y ; z/. Nếu div F D 0 thì ! trường F được gọi là không nén được (incompressible).

Luận cứ cho ý nghĩa của toán tử div ở trên sẽ được bàn ở cuối mục 4.9, như là hệ quả của Định Lý Divergence.

GIẢI TÍCH B2

308/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence

VÀI TOÁN TỬ KHÁC TRONG VẬT LÝ TOÁN Toán tử Laplace, D r 2 D r r, tác động vào hàm số f được định bởi @2 f @2 f @2 f f D r 2 f D r .rf / D div.rf / D 2 C 2 C 2 @x @y @z Nếu f .x; y ; z/ là nhiệt độ tại điểm .x; y ; z/ của một vật thể E ở trạng thái dừng (quá trình truyền nhiệt đã dừng) thì f D 0 trên E. Phương trình này có tên Phương trình Laplace. !

Toán tử Laplace r 2 cũng được áp dụng cho trường vectơ F D hP; Q; Ri với cách hiểu sau ˛ ! ˝ r 2 F D r 2 P; r 2 Q; r 2 R

GIẢI TÍCH B2

309/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence Đọc thêm: HÌNH THỨC KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ GREEN: DẠNG VECTƠ Xét miền phẳng D nằm trong mặt xy của không gian xyz, và !

F D hP; Q; 0i là trường vectơ trên D, ta dễ kiểm chứng rằng ! @Q curl F D @x

@P ! k @y I “ @Q @P P dx C Q dy trong định lý Khi đó đẳng thức dA D @y @D D @x Green có thể được viết dưới hình thức sau “ I ! ! ! ! .curl F / k dA D F d r @D

D

GIẢI TÍCH B2

310/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.5. Curl và Divergence

Từ định lý Green, ta cũng có thể viết I “ @Q @P C dA D P dy Q dx @y @D D @x và đẳng thức trên tương đương với hình thức (sinh viên tự kiểm chứng) sau “ D

!

div F .x; y / dA D

Z @D

! !

F n ds

!

trong đó F D hP; Qi và ! n là vectơ pháp tuyến của @D hướng ra ngoài miền D như hình bên. Hình thức này của định lý Green có dạng tương tự định lý Divergence ở mục 4.9.

GIẢI TÍCH B2

311/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt

MẶT THAM SỐ Xét

! r .u; v / D x.u; v /!i C y .u; v /!j C z.u; v /! k

(4.12)

là hàm vectơ 3 chiều, theo hai biến tham số .u; v / trong tập xác định D R2 , thì tập hợp các điểm .x; y ; z/ có vectơ vị trí ! r .u; v /, với .u; v / 2 D được gọi là mặt tham số S, được biểu diễn bởi hàm vectơ cho bởi (4.12). Các phương trình x D x.u; v /I

y D y .u; v /I

z D z.u; v /

.u; v / 2 D

(4.13)

được gọi là các phương trình tham số của S.

GIẢI TÍCH B2

312/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt

Khi .u; v / thay đổi trong miền D thì điểm ngọn của vectơ vị trí ! r .u; v / sẽ trỏ điểm .x; y ; z/ chạy trong mặt cong S.

GIẢI TÍCH B2

313/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt Ví dụ Hãy nhận diện và phác họa mặt cong cho bởi ! r .u; v / D h2 cos u; v ; 2 sin ui, 0 u =2, 0 v 3 Giải. Ta thấy x D 2 cos u, z D 2 sin u, x 2 C z 2 D 4, nghĩa là .x; y ; z/ có hình chiếu lên mặt xz là hình tròn bán kính 2, tâm tại gốc, u đại diện cho góc quay quanh trục Oy; y D v có giá trị thay đổi, biểu thị chiều dài mặt trụ. Do đó mặt cong cho bởi ! r .u; v / là mặt trụ, nhưng 0 u =2 và 0 v 3 nên mặt trụ chỉ có 1/4 góc tròn, dài 3 đơn vị.

GIẢI TÍCH B2

314/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt Ví dụ Viết phương trình vectơ và tham số của một mặt phẳng .˛/ qua điểm P0 , có vectơ vị trí ! r 0 , và .˛/ chứa hai vectơ khác phương ! a và ! b (được gọi là 2 vectơ chỉ phương của mặt phẳng).

Giải. Với điểm P bất kỳ trong .˛/, có vectơ chỉ phương ! r , ta có hai tham số u, v thỏa ! ! !

P0 P D u a C v b (xem hình bên). Mặt ! khác P P D ! r ! r . Vậy phương trình 0

0

vectơ biểu diễn mặt phẳng .˛/ là

! r .u; v / D ! r C u! a C v! b 0

Nếu .x; y ; z/, .x0 ; y0 ; z0 /, .a1 ; a2 ; a3 / và .b1 ; b2 ; b3 / là tọa độ của P, P0 , ! a ! và b thì .˛/ có phương trình tham số là x D x0 C ua1 C vb1 ;

y D y0 C ua2 C vb2 ; GIẢI TÍCH B2

z D z0 C ua3 C vb3 315/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt Ví dụ p Tìm biểu diễn tham số cho nửa trên của mặt nón z D 2 x 2 C y 2 .

Giải. Ta có thể lấy x và y làm tham số để biểu diễn p x D x; y D y ; z D 2 x 2 C y 2 Ngoài ra, ta sử dụng tọa độ trụ để biểu diễn mặt này x D r cos ;

y D r sin ;

z D 2r

r 0; 0 2

Ghi chú. Biểu diễn tham số theo hai cách trên đều tốt như nhau trong vài mục đích. Tuy nhiên, ta chú ý đến cách sau nếu ta chỉ muốn biểu diễn một phần của mặt nón ở phía trên hoặc dưới của mặt phẳng ngang z D k.

GIẢI TÍCH B2

316/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt MẶT TRÒN XOAY (Surface of Revolution) Ta xét mặt cong S có được bằng cách xoay đường cong y D f .x/, a x b, quanh trục Ox. Ví dụ như hình bên, đường y D f .x/ là đường thẳng, quay quanh trục Ox tạo thành ống có đầu lớn, đầu nhỏ. Nếu .x; y ; z/ thuộc mặt S thì ta lấy x và làm tham số để biểu diễn S như sau (mặt tròn xoay quanh trục Oy hoặc Oz được biểu diễn tham số theo cách tương tự) x D x;

y D f .x/ cos ;

z D f .x/ sin

với a x b, 0 2 .

GIẢI TÍCH B2

317/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt Ví dụ Tìm phương trình tham số của mặt cong sinh bởi đường y D sin x quanh quanh trục Ox, với 0 x 2 .

Giải. Phương trình tham số của mặt tròn xoay là 8 ˆ <x D x y D sin x cos ˆ : z D sin x sin .x; / 2 Œ0; 2 Œ0; 2 Nhận xét. Phương trình của y và z ở trên giống tọa độ cực trong mặt yz, với r D sin x.

GIẢI TÍCH B2

318/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt ĐƯỜNG CONG LƯỚI (Grid Curves) Nếu mặt tham số S cho bởi ! r .u; v / thì có hai họ đường cong hữu dụng nằm trên S, được gọi là các đường cong lưới (grid curves): Một họ đường cong với u là hằng số, họ còn lại với v là hằng số.

Trên S có đường cong C1 cho bởi ! r .u0 ; v / với u0 là hằng; đường cong C2 ! cho bởi r .u; v0 / với v0 là hằng.

GIẢI TÍCH B2

319/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt Ví dụ Hình bên là mặt cong cho bởi phương trình tham số: 8 ˆ <x D .2 C sin v / cos u S W y D .2 C sin v / sin u ˆ : z D u C cos v Đường cong lưới nào có u là hằng? Cái nào có v là hằng?

Giải. Nếu v là hằng số thì r D 2 C sin v và cos v là hằng số. Khi tham số u thay đổi, phương trình trên biểu diễn đường lò xo. Do đó, nhìn hình bên ta dễ nhận ra các đường cong lưới dạng xoắn ốc ứng với v là hằng. Các vòng khoang ứng với u là hằng.

GIẢI TÍCH B2

320/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt Ví dụ Tìm một phương trình tham số cho mặt cầu .S/ W x 2 C y 2 C z 2 D R 2 .

Giải. Đối với mặt cầu, ta thường sử dụng tọa độ cầu . ; ; / làm phương trình tham số, trong đó D R là hằng số. Vậy phương trình tham số và phương trình vectơ của mặt cầu .S/ là 8 ˆ <x D R sin cos .S/ W y D R sin sin ˆ : z D R cos ! r . ; phi/ D R sin cos !i C R sin sin !j C R cos ! k Đường cong lưới là các đường kinh tuyến & vĩ tuyến.

GIẢI TÍCH B2

321/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CONG THAM SỐ Xét mặt cong S cho bởi ! r .u; v / D x.u; v /!i C y .u; v /!j C z.u; v /! k

và điểm P0 có vectơ vị trí ! r .u0 ; v0 /. Hai đường grid curve C1 W ! r .u; v0 / ! và C2 W r .u0 ; v / nằm trên S cùng đi qua P0 .

GIẢI TÍCH B2

322/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt

Nếu tồn tại D @x E ! @y @z @! ! .u0 ; v0 /; .u0 ; v0 /; .u0 ; v0 / ¤ 0 r u .u0 ; v0 / D @ur .u0 ; v0 / D @u @u @u !

D @x E ! @ r @y @z ! r v .u0 ; v0 / D @v .u0 ; v0 / D @v .u0 ; v0 /; @v .u0 ; v0 /; @v .u0 ; v0 / ¤ 0 thì ! r u .u0 ; v0 / là vectơ chỉ phương tiếp tuyến của C1 tại P0 ; ! r v .u0 ; v0 / là vectơ chỉ phương tiếp tuyến của C2 tại P0 .

GIẢI TÍCH B2

323/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt

Định nghĩa Mặt cong S cho bởi hàm vectơ ! r .u; v / được gọi là trơn có nghĩa là ! ! tồn tại các hàm vectơ r u và r v liên tục, đồng thời ! ru ! rv ¤ !

0.

Mặt phẳng tiếp xúc Với mặt cong S trơn cho bởi ! r .u; v /, và điểm P0 thuộc S có vectơ vị trí ! r .u0 ; v0 /, thì mặt phẳng tiếp xúc với S tại P0 là mặt phẳng đi qua P0 và có vectơ pháp tuyến là ! n D! r .u ; v / ! r .u ; v / u

0

0

GIẢI TÍCH B2

v

0

0

324/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt Ví dụ Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong x D u 2 , y D v 2 , z D u C 2v tại điểm .1; 1; 3/.

Giải. Các vectơ chỉ phương tiếp tuyến là @x ! @y ! @z ! ! ru D @u i C @u j C @u j D 2u!i C ! k @x ! @y ! @z ! ! i C @v j C @v j D 2v !j C 2! k rv D @v Do đó vectơ pháp tuyến của mặt cong là 0 1 ! ! ! i j k C ! n D! ru ! rv D det B @2u 0 1 A D 0 2v 2 GIẢI TÍCH B2

!

2v i

! !

4u j C 4uv k

325/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt

Điểm .1; 1; 3/ tương ứng với giá trị tham số u D 1 và v D 1, do đó vectơ pháp tuyến tại .1; 1; 3/ là ! n D h 2; 4; 4i, và phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại .1; 1; 3/ là 2.x

1/

4.y

1/ C 4.z

GIẢI TÍCH B2

3/

326/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt DIỆN TÍCH MẶT CONG THAM SỐ Xét trường hợp đơn giản, mặt cong tham số S cho bởi ! r .u; v / với miền xác định của tham số là hình chữ nhật D, được chia thành nhiều hình chữ nhật con Rij . Ta gọi .ui ; vj / là góc dưới bên trái của Rij . Phần Sij trên S tương ứng với Rij được gọi là mảnh (patch) và điểm Pij , có vectơ vị trí ! r .ui ; vj /, xem như là một trong các góc của mảnh.

GIẢI TÍCH B2

327/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt

Hai cạnh của mảnh cắt nhau ở Pij có thể được xấp xỉ bởi hai vectơ, những vectơ có thể được xấp xỉ bởi u! ru và v ! rv (xem lại định nghĩa đạo hàm riêng). Vậy diện tích của mảnh Sij được xấp xỉ bởi diện tích hình bình hành có hai cạnh u! ru và v ! rv , đó là ˇ ! ˇ ˇ u r v ! r ˇ D j! r ! r j u v u

v

u

v

và diện tích mặt cong được xấp xỉ bởi m X n X rv j u v j! ru ! iD1 jD1 GIẢI TÍCH B2

328/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt Từ ý tưởng trên, người ta đưa ra định nghĩa Định nghĩa Nếu một mặt cong trơn cho bởi ! r .u; v / D x.u; v /!i C y .u; v /!j C z.u; v /! k

.u; v / 2 D

và mặt S chỉ được “phủ” đúng một lần khi .u; v / chạy khắp miền D của tham số (không nhất thiết D là hình chữ nhật), thì diện tích mặt S là “ A.S/ D j! ru ! rv j dA D

@x ! @y ! @z ! trong đó ! ru D @u i C @u j C @ k

GIẢI TÍCH B2

@x ! @y ! @z ! ! rv D @v i C @v j C @v k

329/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt

Chú ý. Vì j! ru ! rv j bằng diện tích hình bình hành sinh bởi ! ru và ! rv nên qˇ ˇ ˇ ˇ

ru ! rv 2 rv ˇ2 ! ru ˇ2 ˇ! j! ru ! rv j D ˇ!

Do đó

“ q ˇ! ˇ2 ˇ! ˇ2 ˇ ru ˇ ˇ rv ˇ A.S/ D D

GIẢI TÍCH B2

! r ! r 2 dA u

v

330/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt Ví dụ Tính diện tích mặt cầu bán kính R. Giải. Phương trình mặt cầu cầu và các đại lượng liên quan là x D R sin cos ; y D R sin sin ; z D R cos ˝ ˛ ˝ ˛ ! r D x ; y ; z D R sin sin ; sin cos ; 0 ˝ ˛ ˝ ˛ ! r D x ; y ; z D R cos cos ; cos sin ; sin ˝ ˛ ! r ! r D R 2 sin2 cos ; sin2 sin ; sin cos j! r ! r j D R 2 p D R 2 sin Do đó diện tích mặt cầu là, với . ; / 2 D D Œ0; 2 Œ0; , “ Z 2 Z ! !

AD j r r j dA D R 2 sin d d D D 4 R 2 D

0

0

GIẢI TÍCH B2

331/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt DIỆN TÍCH CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2 BIẾN & CỦA MẶT TRÒN XOAY Dựa vào định nghĩa diện tích mặt cong ở trước, sau đây là hai trường hợp đặc biệt Diện tích của đồ thị hàm 2 biến Với mặt S là đồ thị của hàm số z D f .x; y /, .x; y / 2 D, thì ta lấy x và y là tham số, ta được công thức diện tích của S là “ s @z 2 @z 2 A.S/ D 1C C dA @x @y D

GIẢI TÍCH B2

332/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.6. Mặt tham số và Diện tích mặt

Diện tích của mặt tròn xoay Nếu mặt S sinh bởi đường cong y D f .x/, a x b, xoay quanh trục Ox, được tham số hóa theo công thức đã biết, x D x;

y D f .x/ cos ;

z D f .x/ sin ;

a x b

thì diện tích của S được cho bởi Z b A.S/ D 2

p f .x/ 1 C Œf 0 .x/ 2 dx

a

GIẢI TÍCH B2

333/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt TÍCH PHÂN MẶT CỦA HÀM SỐ (Tích Phân Mặt Loại I) Xét S là mặt cong trơn cho bởi ! r .u; v / D x.u; v /!i C y .u; v /!j C z.u; v /! k;

.u; v / 2 D

Để dễ dẫn nhập, ta xét D là hình chữ nhật, được chia thành nhiều ô con Rij có diện tích A D u v . Tương ứng với điều này, mặt S được chia thành nhiều “mảnh” (patches) Sij , trên đó điểm mẫu Pij được chọn ứng với tham số .ui ; vj / 2 Rij . Diện tích mảnh Sij là Sij .

GIẢI TÍCH B2

334/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt Nếu một hàm số 3 biến f , xác định trên mặt S thì ta lập tổng Riemann m X n X

f .Pij / Sij

iD1 jD1

Định nghĩa Tích phân mặt của f trên S được ký hiệu và định nghĩa bởi “

f .x; y ; z/ dS D S

lim

m X n X

m;n!1

f .Pij / Sij

iD1 jD1

miễn là tích phân trên tồn tại.

GIẢI TÍCH B2

335/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt

Điều kiện cần để giới hạn trên tồn tại là f liên tục trên S, khi đó “ “ ˇ ˇ ru ! rv ˇ dA f .x; y ; z/ dS D f ! r .u; v / ˇ!

S

D

ˇ ˇ Công thức trên bắt nguồn từ Sij ˇ! ru ! rv ˇ u v , đã biết trong mục trước.

Ghi chú. Công thức trên cũng được xem như là định nghĩa của tích phân mặt của hàm số f liên tục trên mặt trơn S, trong đó miền xác định D của tham số mặt không nhất thiết phải là hình chữ nhật.

GIẢI TÍCH B2

336/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt

Trường hợp riêng, S là đồ thị của hàm số z D g .x; y / Nếu S là đồ thị của hàm số z D g .x; y /, có các đạo hàm riêng liên tục trên miền xác định D, thì ta lấy x và y làm tham số thay cho u, v , ta sẽ được công thức sau “ S

f .x; y ; z/ dS D

s @z 2 @z 2

C dA f x; y ; g .x; y / 1 C @x @y D

“

GIẢI TÍCH B2

337/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt MẶT CONG CÓ HƯỚNG (Oriented Surface) Mặt cong định hướng được (orientable), hay là mặt cong 2-phía, có nghĩa là trên đó (không xét đường biên) có thể lập được một trường vectơ pháp tuyến đơn vị ! n liên tục.

Mặt cong định hướng được.

Dải băng Möbius không định hướng được. Trên dải Möbius này, không thể có một trường vectơ pháp tuyến liên tục.

Vectơ pháp tuyến đơn vị ! n chạy trên dải này một vòng, về vị trí cũ bị đổi hướng.

GIẢI TÍCH B2

338/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt Định nghĩa 1

2

Một mặt cong S được gọi là có hướng khi trên đó được trang bị một hướng cho bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị ! n liên tục. !

Nếu S cho bởi hàm vectơ r .u; v /, .u; v / 2 D, và là mặt cong trơn, theo nghĩa tồn tại các hàm vectơ ! ru và ! rv liên tục thỏa ! ! ! r r ¤ 0 , thì S là mặt định hướng được, với một hướng cho u

bởi

3

v

! nD

! r ! r u

v

j! ru ! rv j

hoặc ! nD

! r ! r u

v

j! ru ! rv j

Nếu S là mặt cho bởi phương trình chính tắc F .x; y ; z/ D k, k là ! hằng, F là hàm số 3 biến khả vi và rF .P/ ¤ 0 với mọi điểm P 2 S, thì S cũng định hướng được, với hướng cho bởi trường ! nD

1 rF jrF j

hoặc ! nD

GIẢI TÍCH B2

1 rF jrF j 339/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt

Một mặt định hướng được sẽ có hai hướng định bởi hai trường vectơ pháp tuyến đơn vị đối nhau.

GIẢI TÍCH B2

340/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt Định nghĩa: Hướng dương của mặt cong kín Mặt cong kín (closed surface) là biên của một khối E rắn đặc (không có khoảng hổng bên trong).

Mặt cong kín được định hướng dương khi nó được trang bị trường vectơ pháp tuyến đơn vị ! n hướng ra ngoài khối E . Nếu trường ! n hướng vào trong khối E thì ta nói mặt cong kín đó được định hướng âm.

GIẢI TÍCH B2

341/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt TÍCH PHÂN MẶT CỦA TRƯỜNG VECTƠ (Tích Phân Mặt Loại II) Định nghĩa !

Cho F là một trường vectơ liên tục, xác định trên một mặt cong S có hướng, với trường vectơ pháp tuyến đơn vị ! n . Khi đó, tích phân mặt ! của F trên S được ký hiệu và định nghĩa là “ “ ! !

F dS D !

F ! n dS S

S

!

Tích phân này cũng được gọi là thông lượng của F xuyên qua S.

GIẢI TÍCH B2

342/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt

Ghi chú. Giả sử ! n D hcos ˛; cos ˇ; cos i (tọa độ là các cô-sin chỉ hướng) ! và F D hP; Q; Ri thì ta cũng có một ký hiệu khác cho tích phân trên “ “ ! !

F n dS D .P cos ˛ C Q cos ˇ C R cos / dS S “S D P dydz C Q dzdx C R dxdy S

Ký hiệu cos ˛ dS được thay bởi dydz là muốn hàm ý rằng phân tố diện tích cos ˛ Sij , trong tổng Riemann, xấp xỉ bằng diện tích hình chiếu của Sij lên mặt phẳng yz. Tương tự cho các ký hiệu dzdx và dxdy .

GIẢI TÍCH B2

343/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt !

Nói riêng, nếu F D hP; 0; 0i, hoặc h0; Q; 0i, hoặc h0; 0; Ri, thì ta có từng ký hiệu riêng “ “ P dydz D P cos ˛ dS S S “ “ Q dzdx D Q cos ˇ dS “S “S R dxdy D R cos dS S

S

trong đó ! n D hcos ˛; cos ˇ; cos i là trường vectơ pháp tuyến đơn vị định hướng cho mặt S.

GIẢI TÍCH B2

344/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt Cách Tính Tích Phân Mặt Loại II Phần trước là định nghĩa và ký hiệu của tích phân mặt loại II. Dựa vào định nghĩa này, ta suy ra công thức tính sau !

Nếu S là mặt cong trơn cho ˇ!bởi!r ˇ.u; v /, .u; v / 2 D, và S được định ! ! ! hướng bởi n D ru rv =ˇ ru rv ˇ thì “ “ “

! ! ! !

F dS D F n dS D !

F ! ru ! rv dA S

S

D

Nếu S là đồ thị của hàm số z D g .x; y /, .x; y / 2 D, thì ta đặt ˇ ˇ G .x; y ; z/ D g .x; y / z và ta có S được định hướng bởi ! n D rG =ˇrG ˇ; ˇ ˇ hoặc ! n D rG =ˇrG ˇ. Hơn nữa, nếu !

F D hP; Q; Ri thì “ S

! !

F dS D ˙

“ @g @g F rG dA D ˙ P CQ @x @y D D

“

!

R dA (4.14)

GIẢI TÍCH B2

345/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt Nếu S là đồ thị của hàm số z D g .x; y /, .x; y / 2 D, ! n được chọn hướng “lên trên” đồ thị của z D g .x; y /, nghĩa là thuận cheo hướng dương ! của trục Oz, và F D hP; Q; Ri, thì công thức (4.14) có thể được tách riêng theo ký hiệu đã nói ở trước @g P x; y ; g .x; y / dA @x “S “D @g Q dzdx D Q x; y ; g .x; y / dA @y “S “ D

R dxdy D R x; y ; g .x; y / dA “

“

P dydz D

S

(4.15) (4.16) (4.17)

D

Trường hợp S là đồ thị của hàm theo hai biến .y ; z/ hoặc .x; z/ thì ta cũng có các công thức tương tự trên.

GIẢI TÍCH B2

346/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.7. Tích phân mặt Ý Nghĩa Vật Lý Của Tích Phân Mặt Loại II “ ! ! !

Nếu F là từ trường thì F dS là từ thông xuyên qua S. S

Nếu .x; y ; x/ là mật độ khối lượng tại điểm .x; y ; z/ trong môi trường lưu chất, đại khái là khối lượng riêng của một hạt lưu chất vô cùng nhỏ bao“ quanh điểm .x; y ; z/, và ! v .x; y ; z/ là trường vận tốc trong lưu chất, ! thì . ! v / dS là Thông Suất (rate of flux) của lưu chất xuyên qua S

mặt S, đại khái là khối lượng lưu chất xuyên qua mặt S trong một đơn vị thời gian. “ ! ! !

Nếu E là trường tĩnh điện tạo bởi điện tích Q thì E dS được gọi là S ! điện thông (electric flux) của E xuyên qua mặt S, và theo định luật Gauss thì “ ! !

Q D "0 E dS ( với "0 là hằng số điện môi) S

GIẢI TÍCH B2

347/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.8. Định lý Stocks Định lý Stocks là một phiên bản của định lý Green trong không gian.

Trước tiên, ta xét một mặt cong S được định hướng bởi ! n , với đường biên C D @S là đường cong kín.

Biên C được gọi là có hướng dương nghĩa là nếu ta bước đi vòng quanh theo hướng đó trên C , với đầu chỉ theo hướng của ! n thì miền trong của S nằm bên tay trái của ta.

GIẢI TÍCH B2

348/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.8. Định lý Stocks

Tích phân đường trên @S theo hướng dương được ký hiệu bởi

I . @S

Định lý Stocks. Cho S là mặt cong trơn từng mảnh, bị bao quanh bởi ! một đường cong @S kín, trơn từng khúc, có hướng dương. Cho F là trường vectơ sao cho các hàm thành phần P; Q; R có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên một tập mở chứa S trong R3 . Khi đó “ I ! ! ! ! curl F dS D F d r S

@S

GIẢI TÍCH B2

349/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.8. Định lý Stocks Ghi chú.

Vì “ S

! ! curl F dS D

“ S

! curl F ! n dS

I và @S

!

F d! r D

Z @S

! !

F T ds

nên định lý Stocks có thể phát biểu rằng tích phân mặt (loại I) của thành ! phần pháp tuyến của trường F trên mặt S bằng tích phân đường (loại I) ! của thành phần tiếp tuyến của trường F dọc theo biên @S. Nếu S là mặt nằm trong mặt phẳng xy, với ! n D! k thì định lý Stocks trở thành định lý Green ở dạng vectơ “ “ I ! ! ! ! curl F dS D curl F k dA D S

S

GIẢI TÍCH B2

@S

!

F d! r 350/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.8. Định lý Stocks

Đọc thêm: Ý NGHĨA CỦA CURL QUA ĐỊNH LÝ STOCKS Xét C là đường cong kín có hướng và trường vectơ ! v đại diện cho vận ! ! tốc trong môi trường lưu chất. Vì v T là thành phần (component) của ! v theo hướng của vectơ tiếp tuyến đơn vị !

T của C , có nghĩa là nếu hướng của ! v càng gần với hướng của !

T thì giá trị của ! v !

T càng lớn, nên đại lượng Z Z ! v d! r D ! v !

T ds C

C

là số đo khuynh hướng chạy vòng quanh C của lưu chất, và được gọi là lưu số (circulation) của ! v quanh C .

GIẢI TÍCH B2

351/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.8. Định lý Stocks

Lưu số của ! v dương.

Lưu số của ! v âm.

GIẢI TÍCH B2

352/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.8. Định lý Stocks Xét P0 là một điểm trong lưu chất và Sa là đĩa tròn có tâm là P0 , bán kính a rất nhỏ. Vì bán kính rất nhỏ nên curl ! v .P/ curl ! v .P0 / với mỗi !

P 2 Sa , do v là trường liên tục trên Sa . Theo định lý Stokes, ta có phép xấp xỉ sau “ “ I ! ! ! ! v d r D curl v dS D curl ! v ! n dS Sa Sa @Sa “

curl ! v .P0 / ! n .P0 / dS D a2 curl ! v .P0 / ! n .P0 / Sa

Phép xấp xỉ trở nên chính xác khi ta lấy giới hạn với a ! 0, I 1 ! ! ! v d! r curl v .P0 / n .P0 / D lim a!0 a2 @Sa

(4.18)

Phương trình (4.18) cho mối liên hệ giữa curl và lưu số. Nó cho thấy curl ! v ! n là số đo hiệu ứng quay của lưu chất quanh trục ! n . Quanh trục song song với curl ! v sẽ có hiệu ứng xoáy mạnh nhất.

GIẢI TÍCH B2

353/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.8. Định lý Stocks

Trong môi trường lưu chất với trường vectơ vận tốc ! v , thì quanh trục ! curl v sẽ có hiệu ứng xoáy mạnh nhất.

GIẢI TÍCH B2

354/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.9. Định lý Divergence Qui ước.

Nếu một khối rắn đặc E (không có khoảng hổng, rỗ bọt bên trong) có biên ngoài S D @E là mặt cong kín. Ta qui ước hướng dương của S định bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị ! n hướng ra ngoài E .

Nếu khối E có hữu hạn khoảng rỗng bên trong, ví dụ như hình bên, khối E có một khoảng hổng bên trong, nghĩa là phần rắn đặc của khối E nằm trong mặt cong kín S2 và nằm ngoài mặt cong kín S1 . Hợp biên là S D @E D S1 [ S2 được định hướng dương với trường ! n bằng ! n2 trên S2 , bằng ! n1 trên S1 . Nghĩa là ! n trên @E hướng ra ngoài phần rắn đặc của E . !

—Tích phân của trường F trên @E với định hướng dương được ký hiệu bởi ! !

F dS . @E

GIẢI TÍCH B2

355/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.9. Định lý Divergence

Định lý divergence. Cho E là khối rắn có biên ngoài là mặt cong kín, bên trong E có hữu hạn khoảng rỗng với biên cũng là mặt cong kín. Biên @E của E có hướng dương định bởi ! n (hướng ra ngoài phần rắn đặc của !

E ). Cho F là trường vectơ với các hàm số thành phần P; Q; R có các đạo hàm riêng liên tục trên một tập mở chứa E . Khi đó • — “ ! ! ! ! ! div F dV D F dS D F n dS E

@E

@E

Định lý divergence có chứng minh tương tự như chứng minh của định lý Green.

GIẢI TÍCH B2

356/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.9. Định lý Divergence

Đọc thêm: Ý NGHĨA CỦA TOÁN TỬ DIVERGENCE QUA ĐỊNH LÝ DIVERGENCE Giả sử ! v là trường vận tốc trong môi trường lưu chất với hàm mật độ ! khối lượng .x; y ; z/ thì F D ! v là thông suất (rate of flux) của lưu chất xuyên qua một đơn vị diện tích, nghĩa là khối lượng lưu chất chảy qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian. Xét điểm P0 .x0 ; y0 ; z0 / trong môi trường lưu chất, là tâm của quả cầu Ba với bán kính a rất nhỏ, thì do ! ! div F liên tục nên div F .P/ div F .P0 / với mọi điểm P 2 Ba . Biên của B —a là mặt cầu Sa định hướng dương (ra ngoài quả cầu). Giá trị của ! !

F dS là khối lượng lưu chất thoát ra ngoài quả cầu Ba trong một Sa

đơn vị thời gian.

GIẢI TÍCH B2

357/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.9. Định lý Divergence Theo định lý divergence thì — • • ! ! !

F dS D div F dV Sa

Ba

Ba

! ! div F .P0 / dV D V .Ba / div F .P0 /

với V .Ba / là thể tích quả cầu Ba . Phép xấp xỉ sẽ chính xác khi lấy giới hạn với a ! 0, — 1 ! ! ! div F .P0 / D lim F dS (4.19) a!0 V .Ba / Sa !

Phương trình trên nói rằng div F .P0 / là thông suất mà lưu chất thoát ra từ P0 , nghĩa là khối lượng lưu chất thoát ra khỏi P0 trong một đơn vị thời gian, tính trên một đơn vị thể tích. Vì thế mới có tên divergence, sự phân tán.

GIẢI TÍCH B2

358/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

4.9. Định lý Divergence !

Nếu div F .P/ > 0 thì xung quanh gần P, lưu chất có khuynh hướng thoát ! ra, ta gọi P là nguồn (source). Nếu div F .P/ < 0 thì xung quanh gần P, lưu chất có khuynh hướng hút vào, ta gọi P là sink (điểm hút vào, thẩm thấu).

Trong hình bên, các vectơ có điểm ngọn gần P1 thì ngắn hơn các vectơ có điểm gốc gần P1 , vì vậy lưu chất có khuynh hướng thoát ra ở vùng ! lân cận P1 , do đó div F .P1 / > 0, P1 là nguồn. Phán đoán tương tự, ! div F .P2 / < 0, P2 là điểm hút. Ta có thể kiểm chứng lại điều này một cách chính xác khi biết hình bên là hình ảnh của !

F D x 2!i C y 2!j C 0! k.

GIẢI TÍCH B2

359/??

LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ Giả sử ở thời điểm t, dân số của một quần thể (người, động vật, vi khuẩn v.v..) là P.t/. Tốc độ tăng dân số được đo bởi đại lượng P 0 .t/, là tốc độ biến thiên dân số theo thời gian. Nếu ta nghĩ tốc độ tăng dân số tương tự như năng suất lao động, nghĩa là công nhân càng đông thì năng suất lao động của xưởng càng lớn, thì đại lượng P 0 .t/ tỉ lệ thuận với P.t/. Do đó P 0 .t/ D kP.t/ hay

dP D kP dt

(5.1)

trong đó k là hằng số. Nếu k > 0 thì dân số tăng theo thời gian, nếu k < 0 thì dân số giảm theo thời gian. Mô hình (5.1) được gọi là luật tăng trưởng tự nhiên. Nếu tính đến yếu tố di trú, giả sử tốc độ di trú là một hằng số m, thì mô hình trên được hiệu chỉnh thành dP D kP dt GIẢI TÍCH B2

m 361/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân

Thực tế, nguồn tài nguyên môi trường sống có hạn, nghĩa là giả sử môi trường sống chỉ đủ khả năng nuôi dưỡng được một quần thể có số dân tối đa là K , gọi là số bão hòa (carrying capacity). Khi dân số P.t/ rất ít, nguồn tài nguyên dư sức phát triển dân số thì ta xem tốc độ tăng dân P 0 .t/ gần như tỉ lệ với P.t/. Khi P.t/ càng gần tới K thì tốc độ tăng trưởng giảm dần, và khi P.t/ vượt qua K thì tốc độ P 0 .t/ sẽ âm, dân số giảm. Theo đó, người ta lập mô hình sau

dP D kP 1 dt

P K

(5.2)

Phương trình (5.2) được gọi là phương trình vi phân logistic, hay mô hình logistic.

GIẢI TÍCH B2

362/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân Nếu xét thêm yếu tố di trú, hoặc bị đánh bắt (ví dụ như cá) với tốc độ hằng c thì mô hình logistic được hiệu chỉnh thành

dP D kP 1 dt

P K

c

Đối với một số loài, có một mức dân tối thiểu m để duy trì nòi giống.

Nếu tụt xuống mức này thì giống loài đó sẽ đến bờ diệt chủng, vì các cá thể trưởng thành không tìm được bạn phối giống phù hợp. Do đó ta có mô hình sau

dP D kP 1 dt

P 1 K

GIẢI TÍCH B2

m P

363/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân

MÔ HÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LÒ XO Xét một lò xo treo đứng, một đầu buộc cố định, đầu kia treo một vật khối lượng m, và đang ở vị trí cân bằng. Với giả thiết không có lực cản nào (của không khí hay lực ma sát), nếu ta kéo xuống hay nâng vật làm cho lò xo bị giãn hay nén vào một khoảng dịch chuyển x đơn vị, x > 0 hoặc x 0, so với vị trí cân bằng, thì theo định luật Hook, vật m chịu một lực đàn hồi có cường độ tỉ lệ với x, bằng kx, với k > 0 là hằng số đàn hồi.

GIẢI TÍCH B2

364/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân Theo định luật Newton II, ta có phương trình m

d 2x D dt 2

kx hay

d 2x D dt 2

k x m

(5.3)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỔNG QUÁT Cho F là hàm số n C 2 biến. Giả sử y là hàm số theo biến x, chưa biết, có đạo hàm đến bậc n và thỏa phương trình F .x; y ; y 0 ; y 00 ; : : : ; y .n/ / D k (hằng số)

(5.4)

thì (5.4) được gọi là phương trình vi phân cấp n.

Hai phương trình (5.1) và (5.2) là phương trình vi phân cấp 1. Phương trình (5.3) là phương trình vi phân cấp 2.

GIẢI TÍCH B2

365/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.1. Lập mô hình toán học với phương trình vi phân Ghi chú 1. Không có phương pháp tổng quát để giải một phương trình vi phân. Thay vào đó, người ta chỉ nghiên cứu cách giải một phương trình vi phân là mô hình cho một hiện tượng thực tiễn nào đó đang được quan tâm. Các mục còn lại của chương sẽ bàn đến phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2 tuyến tính.

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng sau y .n/ .x/ C a1 .x/y .n 1/ .x/ C C an 1 .x/y 0 .x/ C an y .x/ D f .x/

(5.5)

Ghi chú 2. Khi tìm hàm số y thỏa phương trình vi phân, người ta xét đến điều kiện y .t0 / D y0 (đối với phương trình vi phân cấp 1), hoặc có thêm điều kiện y 0 .t0 / D y1 (đối với phương trình vi phân cấp 2). Các bài toán này được gọi là bài toán điều kiện đầu (the initial-value problem).

GIẢI TÍCH B2

366/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG TÁCH BIẾN Phương trình vi phân dạng tách biến (seperable equation) là phương trình vi phân cấp 1 có hình thức như sau y 0 D g .x/f .y / (y là hàm số chưa biết, ẩn x) Sở dĩ gọi là tách biến vì phương trình trên có thể đưa về dạng có x và y ở từng vế riêng biệt, rồi lấy nguyên hàm hai vế y0 D g .x/ (giả sử f .y / ¤ 0) f .y / Z Z dy D g .x/dx suy ra f .y / Từ đó ta có phương trình để có thể tính y theo x một cách tường minh (explicit function); hoặc phương trình xác định một ẩn hàm (implicit function) y theo x.

GIẢI TÍCH B2

367/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Ví dụ: giải mô hình tăng trưởng dân số tự nhiên Tìm hàm P.t/ là nghiệm của bài toán giá trị đầu: P 0 .t/ D kP.t/ và P.0/ D P0 Giải. Ta có phương trình dạng tách biến như sau Z 0 Z P0 P .t/ 0 Dk ) dt D k dt P D kP ) P P.t/ Z dP D kt C C (C là hằng số độc lập với t) P ln jPj D kt C C ) jPj D Ae kt D P (A D e C là hằng số) Do điều kiện đầu P.0/ D P0 nên A D P0 . Vậy với dân số ban đầu là P0 , thì dân số ở thời điểm t > 0 là P.t/ D P0 e kt .

GIẢI TÍCH B2

368/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Ví dụ: mô hình logistic Tìm dân số P.t/, là nghiệm của bài toán giá trị đầu theo mô hình logistic: P 0 D kP.1 P=K / và P.0/ D P0 , trong đó K là dân số bão hòa.

Giải. Ta cũng có phương trình dạng tách biến Z Z

P KP 0 K 0 P D kP 1 ) Dk ) dP D k dt K P.P K / P.P K / Z ˇP K ˇ 1 1 ˇ ˇ dP D kt C C ) ln ˇ ˇ D kt C C (lưu ý P < K ) P K P P K P K ) D Ae kt ) P D P 1 C Ae kt Từ điều kiện đầu P.0/ D P0 , ta suy ra A D .K P0 /=P0 . Vậy K K P0 P.t/ D với A D kt 1 C Ae P0 GIẢI TÍCH B2

369/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1

BIẾN THỂ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG TÁCH BIẾN Sau đây là phương trình vi phân cấp 1, có thể đưa về dạng tách biến được y y0 D f (f là hàm số một biến) (5.6) x Cách giải phương trình (5.6): Đặt u D y =x thì y D xu và y 0 D u C xu 0 , thay vào (5.6), ta được u0 D

f .u/ x

u

GIẢI TÍCH B2

(5.7)

370/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Nếu f .u/ u, nghĩa là phương trình (5.6) có dạng y 0 D y =x, là dạng tách biến.

Nếu phương trình f .a/ a D 0 có nghiệm thực a0 thì hàm số y D a0 x là một nghiệm riêng của (5.6).

Nếu ngoài hai trường hợp trên, thì (5.7) được đưa về dạng tách biến Z Z 1 du dx u0 D ) D f .u/ u x f .u/ u x Sinh viên tự giải bài toán sau Ví dụ Tìm họ nghiệm của phương trình x 2 y 0 D y 2 Đáp số: y D x hay y D x

xy C x 2 .

x , với C là hằng số.

C C ln jxj GIẢI TÍCH B2

371/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng y 0 C q.x/y D p.x/

(5.8)

trong đó p.x/ và q.x/ là hai hàm số cho trước.

Cách giải phương trình (5.8) Z 1

Tìm một nguyên hàm của q.x/ là Q.x/ D

2

Nhân cả hai vế của (5.8) với e Q.x/ , đưa về dạng y 0 e Q.x/ C Q 0 .x/e Q.x/ y D p.x/Q.x/ , suy ra ye Q.x/ D

q.x/ dx.

d Q.x/ ye D p.x/Q.x/ dx

Z p.x/Q.x/ dx. Từ đó tìm được y .

GIẢI TÍCH B2

372/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Ví dụ Giải bài toán giá trị đầu: x 2 y 0 C xy D 1, với x > 0 và y .1/ D 2.

Giải. Phương trình được đưa về dạng y 0 C x 1y D x 2

(*)

Nguyên hàm của q.x/ D x 1 là ln x. Nhân cả hai vế của (*) với e ln x D x, ta được Z 0 1 dx ln x C C 1 D ln x C C ) y D xy 0 C y D ) xy D ) xy D x x x x Do y .1/ D 2 nên C D 2. Vậy nghiệm bài toán là y D GIẢI TÍCH B2

2 C ln x . x 373/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1 ỨNG DỤNG TRONG MẠCH ĐIỆN Xét mạch điện đơn giản như hình bên. Suất điện động sinh bởi một nguồn là E .t/ volts (V) và sinh ra dòng điện I .t/ ampères (A) tại thời điểm t. Mạch có chứa một điện trở có trở kháng R ohms ( ) và một cuộn cảm có độ tự cảm L henries (H). Định luật Ohm cho biết hiệu điện thế do điện trở tạo ra là RI . Hiệu điện thế do cuộn cảm tạo ra là L.d I =dt/. Một trong các định luật Kirchhoff cho chúng ta phương trình L

dI C RI .t/ D E .t/ dt

GIẢI TÍCH B2

(5.9)

374/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Ví dụ Giả sử R D 12 , L D 4 H, máy phát điện xoay chiều sinh ra suất điện động biến thiên theo qui luật E .t/ D 60 sin 30t. Thời điểm đóng mạch là t D 0, do đó I .0/ D 0. Hãy tìm I .t/.

Giải. Dựa vào phương trình (5.9), ta có 4I 0 .t/ C 12I .t/ D 60 sin 30t

hay là I 0 .t/ C 3I .t/ D 15 sin 30t

với điều kiện đầu I .0/ D 0. Ở trên là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, nếu giải theo phương pháp đã nói trên thì ta được 50 3t 5 .sin 30t 10 cos 30t/ C e I .t/ D 101 101

Đồ thị cường độ dòng điện biến đổi theo thời gian.

GIẢI TÍCH B2

375/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1 Ví dụ Với bài toán trong ví dụ trước, nếu thay máy phát xoay chiều bởi ắc-qui có E .t/ D 60 V, không đổi. Tìm I .t/ và giới hạn cường độ dòng điện.

Giải. Trường hợp này là bài toán tìm I .t/ thỏa I 0 .t/ C 3I .t/ D 60 và I .0/ D 0. Theo cách giải bài toán giá trị đầu đã biết thì ta được I .t/ D 5.1 e 3t /. Giới hạn cường độ dòng điện là lim I .t/ D lim 5.1

t!1

t!1

e 3t / D 5 A

GIẢI TÍCH B2

376/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.2. Phương trình vi phân cấp 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BERNOULI Phương trình vi phân Bernouli có dạng y 0 C q.x/y D p.x/y n , với n ¤ 0 và ¤ 1

(5.10)

trong đó p.x/ và q.x/ là hai hàm số cho trước.

Cách giải (5.10) Đặt u D y 1 n , thay vào (5.10), ta đưa về phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 u 0 C .1 n/q.x/u D .1 n/p.x/

GIẢI TÍCH B2

377/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng có dạng ay 00 C by 0 C cy D G .x/

(A)

trong đó a; b; c là các hằng số, a ¤ 0, G .x/ là hàm số cho trước. Phương trình (A) được gọi là phương trình (vi phân tuyến cấp 2, hệ số hằng) không thuần nhất (nonhomogeneous equation). Phương trình đặc trưng (characteristic equation) của (A) là ar 2 C br C c D 0

(B)

Phương trình thuần nhất (complementary equation) tương ứng với (A) là ay 00 C by 0 C cy D 0

(C)

Nếu không xét điều kiện đầu (initial condition) thì cả phương trình (A) và (C) có một họ (vô số) nghiệm có dạng tổng quát (general solution) lần lượt được ký hiệu là y và yc (chỉ số c ám chỉ chữ complementary).

GIẢI TÍCH B2

378/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Cách giải phương trình thuần nhất (C) 1

Nếu phương trình đặt trưng (B) có nghiệm kép r0 thì phương trình thuần nhất (C) có nghiệm tổng quát là yc D .c1 C c2 x/e r0 x

2

3

với c1 ; c2 là hằng số tùy ý

Nếu (B) có hai nghiệm thực phân biệt là r1 và r2 thì nghiệm tổng quát của (C) là yc D c1 e r1 x C c2 e r2 x Nếu (B) có hai nghiệm phức liên hợp là r1 D ˛ C iˇ và r2 D ˛ iˇ thì nghiệm tổng quát của (C) là yc D .c1 cos ˇx C c2 sin ˇx/e ˛x

GIẢI TÍCH B2

379/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.3. Giải phương trình không thuần nhất (A) I

Cách giải phương trình không thuần nhất (A) Nếu yc là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (C) và yp là một nghiệm riêng (particular solution) của phương trình không thuần nhất (A), thì (A) có nghiệm tổng quát là y .x/ D yp .x/ C yc .x/ Sau đây là cách tìm một nghiệm riêng yp cho phương trình không thuần nhất (A).

GIẢI TÍCH B2

380/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.3. Giải phương trình không thuần nhất (A) II 1

Nếu G .x/ D Pn .x/e rx , trong đó Pn là đa thức bậc n thì ta có ba trường hợp phụ Trường hợp r là nghiệm kép của (B) thì yp D x 2 Qn .x/e rx , Qn là đa thức bậc n được tìm theo phương pháp hệ số bất định (the method of undetermined coefficients) khi thay y D yp vào (A) Trường hợp r là một nghiệm đơn, thực, của (B) thì yp D x Qn .x/e rx .

2

Trường hợp r không phải là nghiệm của (B) thì yp D Qn .x/e rx .

Nếu G .x/ D e ˛x Pn .x/ cos ˇx C Qm .x/ sin ˇx thì ta đặt s D maxfm; ng và ta có hai trường hợp phụ Trường hợp ˛ ˙ iˇ là nghiệm phức của (B) thì ˛x yp D x e Rs .x/ cos ˇx C Ts .x/ sin ˇx , trong đó Rs và Ts là hai đa thức bậc s, được tìm theo phương pháp hệ số bất định.

Trường hợp ˛ ˙ iˇ không là nghiệm phức của (B) thì yp D e ˛x Rs .x/ cos ˇx C Ts .x/ sin ˇx .

GIẢI TÍCH B2

381/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.3. Giải phương trình không thuần nhất (A) III 3

Nếu hàm số cho trước G .x/ không có dạng đã xét ở trên, thì ta dùng phương pháp biến thiên hằng số (the method of variation of parameters) như sau: Giả sử nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng yc .x/ D c1 y1 .x/ C c2 y2 .x/, thì ta có yp D u1 .x/y1 .x/ C u2 .x/y2 .x/, trong đó hai hàm số u1 và u2 tìm được bằng cách giải hệ ( u10 y1 C u20 y2 D 0 a.u10 y10 C u20 y20 / D G

Nguyên lý chồng chất nghiệm (the principle of superposition).

Giả sử yp1 và yp2 lần lượt là nghiệm của hai phương trình ay 00 C by 0 C cy D G1 .x/ và ay 00 C by 0 C cy D G2 .x/ thì yp D yp1 C yp2 là nghiệm của phương trình ay 00 C by 0 C cy D G1 .x/ C G2 .x/.

GIẢI TÍCH B2

382/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Ví dụ Mô hình chuyển động của lò xo là mx 00 .t/ D

kx.t/. Tìm x.t/

k Giải. Phương trình đặc trưng mr 2 C k D 0 có hai nghiệm phức r D ˙i m nên nghiệm tổng quát là

x.t/ D c1 cos

k k t C c2 sin t m m

Ghi chú. Nếu ở thời điểm đầu t D 0, ta giữ cho lò xo giãn ra một đoạn x.0/ D 1 đơn vị, rồi bất ngờ thả ra, thì vận tốc đầu x 0 .0/ D 0, nghĩa là ta có điều kiện đầu. Khi đó c1 D 1, c2 D 0, và nghiệm bài toán giá trị đầu là k x.t/ D cos t . Hàm này cho thấy chuyển động tự do của lò xo là dao m động điều hòa.

GIẢI TÍCH B2

383/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Ví dụ Giải phương trình y 00

4y D xe x C cos 2x

Giải. Phương trình đặc trưng r 2 4 D 0 có hai nghiệm thực r D ˙2 nên phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là yc D c1 e 2x C c2 e 2x . Với phương trình y 00 4y D G1 .x/, trong đó G1 .x/ D xe x , thì ta tìm nghiệm riêng có dạng yp1 D .Ax C B/e x . Ta có yp01 D .Ax C B C A/e x thế vào y 00

và yp002 D .Ax C B C 2A/e x ;

4y D G1 .x/ ta có

.Ax C B C 2A/e x

4.Ax C B/e x D xe x ) .3A C 1/x

2A C 3B D 0; 8x

suy ra A D 1=3, B D 2=9 và yp1 D . 31 x C 92 /e x . Với phương trình y 00 4y D G2 .x/, trong đó G2 .x/ D cos 2x D e 0x .1 cos 2x C 0 sin 2x/, thì nghiệm riêng có dạng yp2 D C cos 2x C D sin 2x.

GIẢI TÍCH B2

384/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Ta có yp02 D

2C sin 2x C 2D cos 2x

thay vào phương trình y 00 4C cos 2x

và yp002 D

4C cos 2x

4D sin 2x;

4y D cos 2x, ta có

4D sin 2x

4.C cos 2x C D sin 2x/ D cos 2x

) .8C C 1/ cos 2x C 8D sin 2x D 0; 8x suy ra C D 1=8, D D 0 và yp2 D 18 cos 2x. Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, phương trình y 00 4y D G1 .x/ C G2 .x/ có nghiệm tổng quát là y D yc C yp1 C yp2 D c1 e 2x C c2 e 2x

GIẢI TÍCH B2

1 3

xC

2 x e 9

1 cos 2x 8

385/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Ví dụ Giải phương trình y 00 C y D tan x, với 0 < x < =2 Giải. Phương trình đặc trưng r 2 C 1 D 0 có nghiệm phức r D ˙i, do đó phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là yc D c1 cos x C c2 sin x.

Theo phương pháp biến thiên hằng số thì phương trình y 00 C y D tan x có nghiệm riêng là yp D u1 .x/ cos x C u2 .x/ sin x, trong đó ( ( u10 cos x C u20 sin x D 0 u10 D sin x tan x , u10 . sin x/ C u20 cos x D tan x u20 D sin x Z Z 8 8 1 dt <u D .cos x <u D sin x 2 / dx 1 1 cos x 1 t2 , , : : u2 D cos x u2 D cos x (đặt t D tan x2 ).

GIẢI TÍCH B2

386/??

Đường & Mặt

Đạo hàm riêng & Sự khả vi

Tích phân bội

Giải tích vectơ

Làm quen phương trình vi phân

5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

Do 0 < x < =2 nên ta tính được u1 D sin x sec x D 1=cosx. Vậy yp D sin x cos x D

ln.sec x C tan x/, với

cos x ln.sec x C tan x/

cos x sin x

cos x ln.sec x C tan x/

và nghiệm tổng quát là y D c1 cos x C c2 sin x

cos x ln.sec x C tan x/

GIẢI TÍCH B2

387/??