GIÁO ÁN PP MỚI 5 BƯỚC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 NĂM 2020 CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN (1-3) CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM (1-5)

GIÁO ÁN THEO PHƯƠNG PHÁP MỚI MÔN TOÁN

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN LESSON PLAN PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

GIÁO ÁN PP MỚI 5 BƯỚC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 NĂM 2020 CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN (1-3) CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM (1-5) WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

1 Tiết:49 Lớp: 11

Chủ đề:

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. Mục tiêu: 1. Về kiến thức: Qua bài học này, học sinh cần biết được: - Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.

- Các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số.

2. Về kỹ năng: Học sinh cần rèn luyện các kỉ năng sau: - Rèn luyện tính cẩn thận chính xác trong tính toán, lập luận.

- Biết vận dụng định lí vào bài tập .

- Xây dựng tư duy logic, linh hoạt, biết quy lạ thành quen, phát triển tư duy logic toán học.

- Biết sử dụng máy tính.

3. Về thái độ: - Chủ động tích cực tiếp thu kiến thức mới.

- Tích cực và tương tác tốt trong hoạt động nhóm.

- Thái độ hứng thú trong học tập.

4.Định hướng phát triển năng lực: - Rèn luyện năng lực tự học, năng lực hợp tác, năng lực giao tiếp, năng lực quan sát, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tính toán, năng lực vận dụng kiến thức vào cuộc sống,…

B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Giáo viên: - Giáo án, đồ dùng dạy học.

- Các bảng phụ (hoặc trình chiếu) và các phiếu học tập.

2. Học sinh: - Đồ dùng học tập :sgk,máy tính...

- Đọc bài trước ở nhà.

C. Phương pháp: - Gợi mở, vấn đáp.

- Phát hiện và giải quyết vấn đề.

- Tổ chức hoạt động nhóm.

D.Chuổi các hoạt động học: Tiết: 49 I. HOẠT ĐỘNG 1:KHỞI ĐỘNG- GIỚI THIỆU(5 phút): 1.Mục tiêu: Giúp HS hình dung được khái niệm giới hạn của dãy số.

2. Phương thức: Vấn đáp, giải quyết tình huống.

3. Năng lực cần đạt: - Giải quyết vấn đề.

- Năng lực quan sát.

- Năng lực vận dụng kiến thức vào cuộc sống.

4. Cách tiến hành: a.Chuyển giao nhiệm vụ-Hình thành khái niệm.

(Trình chiếu) Câu hỏi:Em hãy quan sát các hình dưới đây và nêu những hiểu biết của em về các hình

2

x2

x3

x4

x1

Hình 1

Hình 2

b.Thực hiện nhiệm vụ: - HS quan sát hình vẽ, hình dung , tưởng tượng.

- HS làm việc cá nhân, trao đổi với bạn bên cạnh về kết quả thực hiện.

- GV gợi ý khi cần thiết. c.Báo cáo thảo luận: - Kết quả của HS - HS nhận xét tại chỗ. d.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: Trả lời câu hỏi: Hình 1 nói về một nghịch lí của Zê- Nông.

Nghịch lí này nói về câu chuyện: A-sin chạy đua cùng rùa.

Một ngày nọ, thần A-sin chạy thi với một con rùa. Do được mệnh danh là thần về tốc độ nên A-sin nhường x1 rùa một đoạn, A-sin ở tại x1 , rùa ở tại x2 . Cả hai xuất phát cùng một lúc, theo cùng một hướng và nhiệm vụ của thần A-sin là phải đuổi kịp con rùa.

Chỉ trong nháy mắt, không mấy khó khăn, A-sin đến được x2 . Thế nhưng dù rùa chạy chậm thì vận tốc của nó vẫn lớn hơn 0 và nó đi đến được x3 . Tiếp tục, Asin đuổi đến x3 thì rùa đến x4 , A-sin đuổi đến x4 thì rùa đến x5 ,…

Cứ tiếp tục như thế, các điểm này luôn luôn tồn tại và như thế thì A-sin, một vị thần về tốc độ lại không đuổi kịp một con rùa. Điều này là vô lý theo lẽ thường tình, nhưng hoàn toàn không có gì mâu thuẫn trong lập luận trên, vậy điều gì đang diễn ra?

x2

x3

x4

Hình 1

3 Hình 2 nói về một nghịch lí có tên là nghịch lí đường tròn.

Nghịch lí này: Xét một đường tròn và một đa giác đều nội tiếp đường tròn ấy (Hình bên). Số cạnh đa giác tăng từ 3 Bạn có nhận xét gì về đa giác n cạnh ấy nếu như số cạnh cứ không ngừng tăng lên, tăng mãi mãi đến vô tận?

Rõ ràng, khi số cạnh không ngừng tăng lên thì đa giác sẽ càng ngày càng trở thành hình tròn mà nó nội tiếp. Điều này cũng không quá khó để tưởng tượng. Khi ấy ta nói giới hạn của đa giác khi n tiến tới vô tận sẽ là đường tròn.

Hình 2

Học sinh tự nghiên cứu ở nhà: Bằng những hiểu biết của mình, em hãy tìm xem những lập luận ở trên đúng hay sai? Vì sao? * GV giới thiệu bài học: Các nội dung trên liên quan bài toán giới hạn mở đầu về Giải tích.Nội dung của chương này xoay quanh hai khái niệm cơ bản là giới hạn và liên tục, là cơ sở cho việc nghiên cứu các nội dung khác của giải tích(Đạo hàm, Tích phân,…).Đặc biệt cho phép giải quyết các bài toán của khoa học và thực tiễn, mà ta không thể giải quyết được nếu chỉ dùng các kiến thức của Đại số.Đó chính là những bài toán liên quan tới sự vô hạn.Giới hạn của dãy số là nội dung mà chúng ta nghiên cứu trong tiết học hôm nay.

Chủ đề:

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ(tiết 49) (Nội dung ghi bảng- trình chiếu)

II. HOẠT ĐỘNG 2: NỘI DUNG BÀI HỌC (HÌNH THÀNH KIẾN THỨC) 1. Mục tiêu: Học sinh biết được khái niệm giới hạn của dãy số.

- Nắm vững khái niệm dãy số có giới hạn 0; giới hạn hữu hạn của dãy số.

2. Phương thức: Hỏi đáp, gợi mở, giao bài tập.

3. Năng lực cần đạt: - Năng lực tự học - hợp tác - giao tiếp – vận dụng kiến thức vào cuộc sống.

4.Cách tiến hành: 4.1.Nội dung 1:Dãy số có giới hạn 0:(10 phút) a.Tiếp cận: a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm: Em hãy thử tưởng tượng tình huống sau: Có một cái bánh. Nếu chia đều cho hai người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả lớp 40 người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả trường 1500 học sinh thì mỗi HS được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả huyện 1 triệu người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả thế giới 7,5 tỉ người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần?

Khi số người được chia tăng lên càng lớn thì số bánh mỗi người nhận được như thế nào?

1 ? Ta hình thành dãy số ( un ) với un = . n

- Em hãy biểu diễn vài giá trị của dãy số trên trục số?

- Nhận xét xem khoảng cách từ un đến 0 thay đổi như thế nào khi n càng lớn ?

- Bắt đầu từ số hạng un thứ mấy thì khoảng cách từ un tới 0 nhỏ hơn 0,01 ? 0,001? a.2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi của GV. a.3.Báo cáo thảo luận: - GV biểu diễn dãy (Un) trên trục số cho HS quan sát.

4

- HS trả lời tại chỗ - Kết quả của HS - GV: dãy số ( un ) với un =

1 là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi số 0, khi n càng tăng thì dãy số n

càng dần về 0. a.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất.

- HS tiếp thu khái niệm mới. b.Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn 0:(Nội dung ghi bảng- trình chiếu) I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ: 1.Định nghĩa: a.Định nghĩa 1:Ta nói rằng dãy số ( un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô

cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó ta viết: lim un = 0 hoặc un → 0 khi n → +∞. n →+∞

Quy ước thay cho lim un ta viết tắt lim un và hiểu ngầm n → +∞. n→+∞

c.Cũng cố:(Nội dung ghi bảng - trình chiếu - bảng phụ) 1 Ví dụ 1: Dãy số ( un ) với un = ta xét ở trên thỏa được định nghĩa trên nên nó có giới hạn là n 0. n −1) ( 1 .

Ví dụ 2: Cho dãy số ( un ) với un = 2 . Kể từ số hạng thứ n0 trở đi thì ta có un < Hãy n 100 chọn số n0 nhỏ nhất.

A. n0 = 10.

B. n0 = 101.

C. n0 = 100.

D. n0 = 11.

4.2.Nội dung 2:Dãy số có giới hạn hữu hạn:(10 phút) a.Tiếp cận: a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm: 3n + 1 Ví dụ 3:: Cho dãy số (vn), với vn = .Chứng minh rằng, dãy số un = vn − 3 có giới hạn là 0. n a..2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS suy nghĩ trao đôi với bạn bên cạnh về kết quả thực hiện

5 a..3.Báo cáo thảo luận: - Gọi 1 HS lên bảng trình bày LG. - Kết quả của HS a.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhât.

Ví dụ 3:: Cho dãy số (vn), với vn =

3n + 1 .Chứng minh rằng, dãy số un = vn − 3 có giới n

hạn là 0.

Giải: Ta có : lim (v n − 3) = lim ( n→+∞

n →+∞

3n + 1 1 − 3) = lim = 0 n →+∞ n n

Vậy lim un = 0 (đpcm) n →+∞

(Nội dung ghi bảng)

- GV: Trong ví dụ trên ta nói dãy số (vn) có giới hạn là 3.

- GV: HD HS bấm máy tính: 3X + 1 +Nhập X + CALC 106 = 9 = + CALC 10 + Kết quả 3 - HS: Khái quát hóa định nghĩa.

- HS tiếp thu khái niệm mới. b.Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn:(Nội dung ghi bảng) b.Định nghĩa 2:Ta nói rằng dãy số ( vn ) có giới hạn là số L khi n → +∞ nếu

lim ( vn − L ) = 0. Kí hiệu: lim vn = L hoặc lim vn = L hoặc vn → L khi n → +∞ . n →+∞

c. Cũng cố: c.1.Chuyển giao nhiệm vụ: Phiếu HT1:(Nội dung ghi bảng – trình chiếu – bảng phụ) Câu hỏi 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau: 2n − 1 −5n + 3 −3n + 2 a/ un = . b/ vn = c/ w n = n n n Câu hỏi 2: Chọn mệnh đề sai. n n n +1 1  1  = 1.

A. lim   = 0.

B. lim  10 − 3  = −3.

C. lim 2 = 0.

D. lim n  3 n  Bài tập tương tự: ( HS làm ở nhà )Tìm các giới hạn sau: n−5 −5n + 3 −3n + 2 a/ un = . b/ vn = c/ w n = n n +1 2n + 1 c..2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS thảo luận nhóm.

- GV: Hỗ trợ HS

( )

+ Các em có thể bấm máy tính để dự đoán kết quả, sau đó sử dụng định nghĩa 2 để tìm giới hạn. c.3.Báo cáo thảo luận: - Đại diện HS lên bảng trình bày kết quả thực hiện.

- Kết quả của HS c.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất.

Lời giải- Phiếu HT1:(Nội dung ghi bảng) Đáp số-Câu hỏi 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau: −1  2n − 1  a/ lim ( un − 2 ) = lim  − 2  = lim = 0 ⇒ lim un = 2 . n  n  3  −5n + 3  b/ lim ( vn + 5 ) = lim  + 5  = lim = 0 ⇒ lim vn = −5 n  n  2  −3n + 2  c/ lim ( w n + 3) = lim  + 3  = lim = 0 ⇒ lim wn = −3 n  n  Câu hỏi 2: Chọn mệnh đề sai. n 1  1  A. lim   = 0.

B. lim  10 − 3  = −3.

C. lim 2  3 n 

( )

n

= 0.

D. lim

6

n +1 = 1. n

4.3. Nội dung 3: Một vài giới hạn đặc biệt :(3 phút) a.Tiếp cận: - Từ kết quả câu hỏi 2, GV cho HS tiếp thu kiến thức mới. b.Hình thành giới hạn đặc biệt :(Nội dung ghi bảng – trình chiếu – bảng phụ) 2. Một vài giới hạn đặc biệt :

1 = 0 với k nguyên dương; nk c) lim q n = 0 nếu q < 1 ; lim un = c . a) lim

b) lim

1

1 = 0 và lim 3 = 0 ;

n n d) Nếu un = c (c là hằng số) thì

4.4. Nội dung 4:Định lí về giới hạn hữu hạn :(7 phút) a.Tiếp cận: a.1.Chuyển giao nhiệm vụ- Hình thành khái niệm: - GV: Từ kết quả của câu hỏi 1 trong phiếu HT1, em hãy tìm lim ( un + vn ) rồi so sánh với lim un + lim vn . a..2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS thảo luận với bạn bên cạnh để tìm câu trả lời. a..3.Báo cáo thảo luận: Ta có lim un = 2 ; lim vn = −5 ; lim(u n + v n ) = lim wn = −3

- Ghi nhận kết quả: lim ( un + vn ) = lim un + lim vn .

GV: Việc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá phức tạp nên người ta thường áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt nêu trên và định lí sau đây. a.4.Kết luận: - GV: Nhấn mạnh, dãy un ; vn đều phải có giới hạn hữu hạn.Phát biểu tương tự các nội dung còn lại trong định lí.

- HS tiếp thu khái niệm mới. b.Hình thành định lí về giới hạn hữu hạn :(Nội dung ghi bảng – trình chiếu) II. Định lí về giới hạn hữu hạn : Định lí 1: a. Nếu lim un = a và lim vn = b thì + lim ( un + vn ) = a + b

+ lim ( un − vn ) = a − b

+ lim ( un .vn ) = a.b

+ lim

un a = (b ≠ 0) vn b

b. Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a ≥ 0 và lim un = a . c.Cũng cố: c.1.Chuyển giao nhiệm vụ: Phiếu HT2:(Nội dung ghi bảng) Câu hỏi 3: Tìm các giới hạn sau:

A = lim

5n 2 − n 1 − n2

B = lim

1 + 9n 2 3 − 2n

Bài tập tương tự: ( HS làm ở nhà )Tìm các giới hạn sau:

4n 2 − n 2n 2 − n 1 + 3n 2 2n + 3 D = lim lim E = F = lim 2 3 3 − 2n 1− n 1− n 1 + 2n 2 c..2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS thảo luận nhóm.

- GV: Hỗ trợ HS khi cần. + Các em bấm máy tính để kiểm tra kết quả c.3.Báo cáo thảo luận: - Đại diện HS lên bảng trình bày kết quả thực hiện.

- Kết quả của HS c.4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất.

Lời giải- Phiếu HT2:(Nội dung ghi bảng- trình chiếu) C = lim

Đáp số-Câu hỏi 3: Giải :

1 1   1 n2  5 −  lim  5 −  lim5 − lim 1 5− n n  n = n = 5 − 0 = −5 A = lim  = lim = 1 1 1  1  − 1 lim  2 − 1 lim 2 − lim1 0 − 1 n 2  2 − 1 2 n n n  n   1  1 1 n2  2 + 9  n 2 +9 +9 2 n  n n = - 3/2 B = lim = lim = lim 3 3  3  −2 n − 2 n − 2 n n  n 

7

8

III. LUYỆN TẬP:(7 phút) 1.Chuyển giao nhiệm vụ: Phiếu HT3:(Nội dung ghi bảng – bảng phụ - trình chiếu) 3n − 2 Câu hỏi 4:Tìm lim ?

2n + 1 3 A. -2 B. C. 1 2 −3n 2 + n − 3 ?

Câu hỏi 5:Tìm lim 2n 4 + 1 3 A. − B. -3 C. 0 2

D. 0

D. 1

2n 2 − 3n ?

Câu hỏi 6:Tìm: lim 1 − 5n 2 A.

B. 0

2

Câu hỏi 7: Tìm lim

A.

1 4

C. −

2 n + 5n ?

3.2n + 4.5n 1 B. 3

2 5

D.

3 5

C. 1

D. 2 Câu hỏi 8: Tìm lim

n 2 + 1 − 2n ?

2n + 1

1 B. -∞ 2 Câu hỏi 9 :Tính các giới hạn sau:(Bài tập về nhà) A. −

2n − 1 n +1

2. lim

6n 3 + 2n + 1 2n 3 + 4n − 9

6. lim

1. lim 5. lim

C. 0

2n 2 + 1 n3 − 4n + 9

3. lim

n3 + n 2 2n + 1

7. lim

3

(2n n + 1)( n + 3) n2 − n +1 9. lim 10. lim ( n + 1)( n + 2) − 2n 2 − 3

D. n +1 n +1 n +1 n2 +1

3n 2 + n + 1 11. lim 2 n 3 −1

4. lim 8. lim

1 2

2n n + 3 n2 + n + 1

(2n −1) 2 (5n + 1)3 ( n 2 + 1) 2 (3n + 5)

12. lim

n n +1 n2 + n

3n 2 + n − 5 3n + 5.4n 9n 2 − n + 1 6n − 1 lim lim 14. lim 16.

15.

4n − 2 3n + 2 2n 2 + 1 4n + 2n 2.Thực hiện nhiệm vụ: - HS thảo luận nhóm.

- GV: Hỗ trợ HS khi cần. + Các em bấm máy tính để kiểm tra kết quả 3.Báo cáo thảo luận: - Đại diện HS lên bảng trình bày kết quả thực hiện.

- Kết quả của HS 4.Kết luận-Đánh giá-Cho điểm: - GV:Gọi HS nhận xét, đính chính trả lời của HS và đưa ra kết quả chính xác nhất.

Lời giải- Phiếu HT3:(Nội dung ghi bảng) 4B; 5C;6C;7A;8A 13. lim

9 IV.VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG:(3 phút) 1.Vận dụng vào thực tế:(Bài tập HS nghiên cứu ở nhà tiết sau nộp bài, ghi điểm cộng) Bài toán: Để trang hoàng cho căn hộ của mình chú chuột Mickey tô màu cho một bức tường 1 hình vuông có cạnh là 1m, các bức tô như sau: tô hình vuông cạnh nhỏ là m , tô tiếp hình 2 vuông có cạnh bằng một nữa cạnh hình vuông vừa tô...và cứ tô tiếp mãi. Hỏi diện tích mà chú chuột tô được là bao nhiêu?

Lời giải: Gọi un là hình vuông được tô màu thứ n 1 1 1 Khi đó u1 = ; u2 = ;...; un = n . Tổng diện tích tô đến hình vuông thứ n là: 4 16 4 n 1 1 1 u1 (1 − q ) u u 1 1 S n = u1 + u2 + ... + un = + 2 + ... + n = = 1 − 1 .q n với u1 = ; q = .

4 4 4 1− q 1− q 1− q 4 4 Vì quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn nên phần diện tích được tô là: 1  1  n  4  1 1   S = lim S n = lim  − 4 .   = 1 1 1 − 1−  4   3 4  4  2. Mở rộng, tìm tòi:(Học sinh nghiên cứu một tuần) a.Sử dụng các kiến thức đã học, em hãy giải thích các nghịch lí đã nêu trong phần giới thiệu. b.Trong tiết học hôm nay ta đề cập đến giới hạn hữu hạn của dãy số, thế thì dãy số như thế nào gọi là có giới hạn không hữu hạn(vô hạn; vô cực)? c.Trong định lí về giới hạn hữu hạn, nếu có ít nhất một trong hai dãy số un hay vn dần ra vô cực ( ±∞ ) thì ta làm thế nào?Chẳng hạn, tìm các giới hạn sau:

1. lim( n 2 + 1 − n) 4. lim( n 2 + n + 1 − n)

2. lim(1 + n 2 − n 4 + 3n + 1)

3. lim( n n 2 + 1 − n n 2 − 2)

5. lim n( n 2 + 1 − n 2 − 2 )

6. lim( 3 n3 − 2n 2 − n − n )

NỘI DUNG PHÁT CHO HỌC SINH: Phiếu HT1: Câu hỏi 1: Tìm giới hạn của các dãy số sau: 2n − 1 −5n + 3 a/ un = . b/ vn = n n

c/ w n =

−3n + 2 n

10 1 − 2n 2 Câu hỏi 2: Gọi l = lim . Tìm l. n2 A. l = 2.

B. l = −2.

C. l = 0.

D. l = 1.

Bài tập tương tự: ( HS làm ở nhà )Tìm các giới hạn sau: n−5 −5n + 3 −3n + 2 a/ un = . b/ vn = c/ w n = n n +1 2n + 1 Phiếu HT2: Câu hỏi 3: Tìm các giới hạn sau: 1 + 9n 2 B = lim 3 − 2n

5n 2 − n A = lim 1 − n2

Bài tập tương tự: ( HS làm ở nhà )Tìm các giới hạn sau:

C = lim

4n 2 − n 1 − n2

D = lim

2n 2 − n 1 − n3

1 + 3n 2 3 − 2n

E = lim

F = lim

2n + 3 1 + 2n 2

Phiếu HT3: Câu hỏi 4:Tìm lim

3n − 2 ?

2n + 1 B.

A. -2

3 2

C. 1

−3n 2 + n − 3 ?

Câu hỏi 5:Tìm lim 2n 4 + 1 3 A. − B. -3 2

D. 0

C. 0

D. 1

2n 2 − 3n Câu hỏi 6:Tìm: lim ?

1 − 5n 2 A.

B. 0

2

Câu hỏi 7: Tìm lim A.

1 4

Câu hỏi 8: Tìm lim

C. −

2 n + 5n ?

3.2n + 4.5n 1 B. 3

1 B. -∞ 2 Câu hỏi 9 :Tính các giới hạn sau:(Bài tập về nhà) 2n − 1 n +1

6n 3 + 2n + 1 5. lim 3 2n + 4n − 9

D.

C. 1

3 5

D. 2

n 2 + 1 − 2n ?

2n + 1

A. −

1. lim

2 5

2. lim

2n 2 + 1 n3 − 4n + 9

n3 + n 2 6. lim 2n + 1 3

C. 0

3. lim 7. lim

D. n +1 n +1 n +1 n2 +1

4. lim

1 2

2n n + 3 n2 + n + 1

(2n −1) 2 (5n + 1)3 8. lim 2 ( n + 1) 2 (3n + 5)

11 2

9. lim lim

(2n n + 1)( n + 3) n − n +1 10. lim ( n + 1)( n + 2) − 2n 2 − 3

2

11. lim

3n + n + 1 2 n 3 −1

12.

n n +1 n2 + n

13. lim

6n − 1 3n + 2

14. lim

3n 2 + n − 5 2n 2 + 1

15. lim

3n + 5.4n 4n + 2n

16. lim

9n 2 − n + 1 4n − 2

Bài tập HS nghiên cứu ở nhà tiết sau nộp bài, ghi điểm cộng: Bài toán: Để trang hoàng cho căn hộ của mình chú chuột Mickey tô màu cho một bức tường 1 hình vuông có cạnh là 1m, các bức tô như sau: tô hình vuông cạnh nhỏ là m , tô tiếp hình 2 vuông có cạnh bằng một nữa cạnh hình vuông vừa tô...và cứ tô tiếp mãi. Hỏi diện tích mà chú chuột tô được là bao nhiêu?

Học sinh nghiên cứu một tuần: a.Sử dụng các kiến thức đã học, em hãy giải thích các nghịch lí đã nêu trong phần giới thiệu. b.Trong tiết học hôm nay ta đề cập đến giới hạn hữu hạn của dãy số, thế thì dãy số như thế nào gọi là có giới hạn không hữu hạn(vô hạn; vô cực)? c.Trong định lí về giới hạn hữu hạn, nếu có ít nhất một trong hai dãy số un hay vn dần ra vô cực ( ±∞ ) thì ta làm thế nào?Chẳng hạn, tìm các giới hạn sau: 1. lim( n 2 + 1 − n) 4. lim( n 2 + n + 1 − n)

2. lim(1 + n 2 − n 4 + 3n + 1) 5. lim n( n 2 + 1 − n 2 − 2 )

3. lim( n n 2 + 1 − n n 2 − 2) 6. lim( 3 n3 − 2n 2 − n − n )

12

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (4 tiết) I. Mục tiêu của bài (chủ đề) 1. Kiến thức: - Học sinh biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số.

- Học sinh hiểu được định lí về giới hạn hữu hạn, định lí về giới hạn một bên, một vài giới hạn đặc biệt và các quy tắc về giới hạn vô cực.

2. Kỹ năng: - Học sinh biết cách tính giới hạn hàm số tại một điểm, tính giới hạn hàm số tại vô cực - Học sinh phân biệt được các dạng vô định của giới hạn hàm số.

3. Thái độ: - Tích cực, chủ động và hợp tác trong hoạt động nhóm.

- Say mê hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn.

4. Đinh hướng phát triển năng lực: - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên: - Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học.

- Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề.

2. Học sinh: - Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập. Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm sau khi đã thảo luận và thống nhất.

- Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn.

- Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập.

III. Chuỗi các hoạt động học 1. GIỚI THIỆU (HOẠT ĐỘNG TIẾP CẬN BÀI HỌC) (thời gian)

13

Quan sát các hình ảnh (máy chiếu) Lớp chia thành các nhóm (nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực học) và tìm câu trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ.

H1. . Em có nhận xét gì về hình ảnh sau?

H2.Quan sát hình ảnh dưới đây, em có nhận xét gì về giá trị hàm số y = f ( x) khi x dần đến 2?

H 3. Quan sát hình ảnh dưới đây, em có nhận xét gì về giá trị hàm số y = f ( x ) khi x dần đến 2?

14

An rõ ràng không thể bắt Bình nhảy ngay tới B vì Bình sẽ chết, không lẽ An muốn Bình chết, đúng không? Tuy nhiên, để chứng minh khả năng của mình mà không bị chết, Bình có thể nhảy tới điểm gần B bao nhiêu cũng được, miễn sao không chạm vào B. Gần bao nhiêu thì tùy An chọn!” + Thực hiện - Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Viết kết quả vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi.

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn.

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.

- GV quan sát, lắng nghe, ghi chép. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

Qua các hoạt động giáo viên dẫn dắt vào bài:

Giới hạn cho ta một dự đoán chắc chắn về giá trị hàm số khi biến tiếp cận một đại lượng nào đó: “Giới hạn của hàm số”

2. NỘI DUNG BÀI HỌC (HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC) 2.1 Đơn vị kiến thức 1 (thời gian ) a) Tiếp cận (khởi động) HTKT 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Định nghĩa 1. * Mục tiêu: - Học sinh biết được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.

- Áp dụng để tính được giới hạn hàm số tại một điểm. * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L. Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành câu hỏi số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành câu hỏi số 2. Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ.

Xét hàm số f ( x) =

2 x2 − 2 x . x −1

15 1. Cho biến x những giá trị khác nhau lập thành dãy số ( xn ) , xn → 1 như trong bảng sau.

Tính các giá trị của f ( x ) x

x1 = 2

f ( x)

f ( x1 ) = ?

3 2 f ( x2 ) = ? x2 =

4 3 f ( x3 ) = ? x3 =

5 4 f ( x4 ) = ? x4 =

…. ….

n +1 n f ( xn ) = ?

xn =

….. …..

1 ?

Ta thấy rằng tương ứng với các giá trị của dãy ( xn ) là các giá trị f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ), f ( x4 ),..., f ( xn ),... cũng lập thành dãy ký hiệu là ( f ( xn ) )

+ Tìm giới hạn dãy số ( f ( xn ) ) .

2. Với mọi dãy số ( xn ) sao cho xn ≠ 1 , xn → 1 thì dãy số tương ứng ( f ( xn ) ) có giới hạn bằng bao nhiêu ? + Thực hiện - Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập.

Viết kết quả vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi. + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi.

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn.

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và dẫn dắt học sinh hình thành khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. b) Hình thành Định nghĩa 1: SGK

+ Củng cố, luyện tập - Yêu cầu học sinh làm Ví dụ 1 x2 − 1 . Chứng minh rằng lim f ( x ) = −2 x →−1 x +1 Giải :Hàm số xác định trên R \ { − 1}

- Ví dụ 1 . Cho hàm số f ( x) =

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kỳ, thảo mãn xn ≠ −1 và xn → −1 khi n → +∞ Ta có lim f ( xn ) = lim

( x − 1)( xn + 1) = lim x − 1 = −2 xn2 − 1 = lim n ( n ) xn + 1 ( xn + 1)

Do đó lim f ( x ) = −2 x →−1

Nhận xét: lim x = xo , lim c = c x → xo

x → xo

c) Củng cố : Tính các giới hạn sau a. I = lim ( 4 x − 3) x →2

b. J = lim ( x 2 + 5 − 4) x→2

6x −1 x →3 x + 5

c. lim

x 2 − 3x + 2 x →−2 x−2

d. lim

2.2 Đơn vị kiến thức 2 (thời gian ) HTKT 2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Định lí về giới hạn hữu hạn * Mục tiêu: Học sinh biết được nội dung định lí 1. Thông quá đó biết áp dụng nội dung định lí vào để tính giới hạn tại một điểm. * Nội dung, phương thức tổ chức:

16 + Chuyển giao: Câu hỏi 1. Tính M = lim (4 x + x 2 + 5 − 7) . x→2

Câu hỏi 2. Tính I+J. Biết I = lim ( 4 x − 3) , J = lim ( x 2 + 5 − 4) x →2

x →2

So sánh giá trị của M và I+J? Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu hỏi + Thực hiện - Các nhóm thảo luận đưa ra các đáp án trả lời cho các câu hỏi H1, H2. Viết kết quả vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi. + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. Đại diện các nhóm trình bày.

-

Dự

kiến

câu

trả

lời:

M = lim (4 x + x 2 + 5 − 7) = 4 x →2

I = lim ( 4 x − 3) = 5 x →2

2

J = lim ( x + 5 − 4) = −1 x→2

Vậy M = I+J + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, Giáo viên đưa ra nội dung định lí 1. Định lí 1: a) Nếu lim f ( x) = L và lim g ( x) = M thì: x → x0

x → x0

lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M

x → x0

lim [ f ( x) − g ( x) ] = L − M

x → x0

lim [ f ( x).g ( x) ] = L.M

x → x0

lim

x → x0

f ( x) L (nếu M ≠ 0) = g ( x) M

b) Nếu f(x) ≥ 0 và lim f ( x) = L thì L ≥ 0 và lim x → x0

x → x0

f ( x) = L

c) Nếu lim f ( x) = L thì lim f ( x) = L x → x0

x → x0

+ Củng cố, luyện tập 1. lim(4x 2 - 2x+ 5) x →1

8x +1 x →1 4x 2 - 6

4. lim

2. lim(3x - 2 x +10) x →1

x 3 +7x - 5 x →-1 2x 4 +1

5. lim

3. lim ( 3x - 4x + 5 )

3

x →3

6. lim(3x +1)(-4x 2 + 8) . x →1

Yêu cầu học sinh: tính giới hạn trên 2.3 Đơn vị kiến thức 3 (thời gian) HTKT 3. Giới hạn một bên * Mục tiêu: Học sinh hiểu được định nghĩa giới hạn một bên và nội dung định lí 2 * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L. Học sinh nhận phiếu học tập. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau

17

Em nhận xét gì về hai hình ảnh trên? (Hình ảnh hàng người chạy (theo 1 hướng) về đích) 5 x + 2 khi x ≥ 1

Cho hàm số f ( x ) = 

x

x

x1 = 2

f ( x)

f ( x1 ) = ?

2

khi x < 1 3 4 x2 = x3 = 2 3 f ( x2 ) = ? f ( x3 ) = ?

5 4 f ( x4 ) = ?

….

x4 =

….

n +1 n f ( xn ) = ?

…..

xn =

…..

Câu hỏi? Em có nhận xét gì về giá trị của dãy f ( xn ) khi xn → 1 và xn ≥ 1 ? + Thực hiện - Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi.

- Các nhóm viết kết quả dự đoán của nhóm mình lên bảng phụ. + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi.

- Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu Định nghĩa 2, Định lí 2 b) Định nghĩa 2(SGK) Định lí 2: lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = L c) Củng cố. x → x0

x → x0 −

x → x0+

Ví dụ. Trả lời các câu hỏi trắc nghiệm sau .  x 2 − 3x + 1

Câu 1. Cho hàm số: f ( x ) = 

khi x < 2 , tìm lim− f ( x ) . x →2 khi x ≥ 2

5 x − 3 A. 11 B. 7 C. −1 3  2 x − 2 x khi x ≥ 1 Câu 2. Cho hàm số f ( x ) =  3 , tìm lim− f ( x ) . x →1  x − 3 x khi x < 1

A. −4

B. −3

C. −2

D.

−13

D.

2

D.

+∞

D.

+∞

 x +1 khi x < 1  Câu 3. Cho hàm số: f ( x ) =  1 − x , tìm lim− f ( x ) . x →1  2 x − 2 khi x ≥ 1  2

A. −1

B. 0  x + 2 x − 1 2

Câu 4. Cho hàm số f ( x ) =  A. −∞

2  3 x + 1 B. 2

C. 1 khi x < 1 khi x ≥ 1

, tìm lim f ( x ) . x →1

C. 4

2.4 Đơn vị kiến thức 4 (thời gian) HTKT 4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. * Mục tiêu: - Học sinh biết định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.

1 ?

18

-Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số. .* Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L1. Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành Phiếu học tập số 2. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

Câu hỏi :Cho hàm số f ( x) =

1 có đồ thị như hvẽ x−2 6

4

2

-5

5

-2

-4

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong bảng

x=3

f ( 3) = ?

x=4

f ( 4) = ?

x=5

f ( 5) = ?

......

x → +∞

.........

f ( +∞ ) = ?

PHIỂU HỌC TẬP SỐ 2 Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong bảng

x=0

f ( 0) = ?

x = −3

f ( −3) = ?

x = −7

f ( −7 ) = ?

......

x → −∞

.........

f ( −∞ ) = ?

+ Thực hiện - Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập.

Viết kết quả vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi. + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi.

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn.

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực Hoạt động của GV Hoạt động của HS Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô HS: Ghi nhận kiến thức. cự c

19 a. Định nghĩa 3 : SGK/T 128 Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) =

3x + 2 . x −1

Tìm lim f ( x) và lim f ( x) . x →−∞

x →+∞

a. Định nghĩa 3 : SGK/T 128 Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) =

Tìm lim f ( x) và lim f ( x) . x → −∞

H: Tìm tập xác định của hàm số trên ?

H: Học sinh giải thích ntn?

3x + 2 . x −1

x →+∞

Giải: Hàm số đã cho xác định trên (- ∞ ; 1) và trên (1; + ∞ ).

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kỳ, thoả mãn xn < 1 và x n → − ∞ .

3x + 2 Ta có lim f ( x n ) = lim n = lim xn − 1

2 xn =3 1 1− xn 3+

3x + 2 =3 x → −∞ x − 1

Vậy lim f ( x) = lim x → −∞

Giả sử ( xn ) là một dãy số bất kỳ, thoả mãn xn > 1 và x n → + ∞ .

Ta có: 2 3x + 2 xn lim f ( x n ) = lim n = lim =3 1 xn − 1 1− xn 3+

3x + 2 =3 x → +∞ x − 1

Vậy lim f ( x) = lim x → +∞

b. Chú ý:

b. Chú ý: +) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có : lim c = c

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, lim c = ? x → ±∞

lim

x → ±∞

c = ? xk

x → ±∞

;

lim

x → ±∞

c = 0. xk

+) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x 0 vẫn còn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞

5 x 2 − 3x Ví dụ 2: Tìm lim 2 x → +∞ x + 2

H: Khi x → +∞ hoặc x → −∞ thì có nhận xét gì về định lý 1 ?

Giải: Chia cả tử và mẫu cho x 2 , ta có: HS: Định lý 1 vẫn còn đúng.

3 3 + Củng cố, luyện tập: 5− lim (5 − ) 2 x = x → +∞ x = - Từ định nghĩa, hãy nêu phương pháp tìm giới lim 5 x − 3 x = lim x → +∞ x 2 + 2 x → +∞ 2 2 hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực?

1+ lim (1 + ) x2

Học sinh làm các ví dụ 2,3,4,5.

3 x =5−0 =5 2 1+ 0 lim 1 + lim 2 x → +∞ x → +∞ x lim 5 − lim

x → +∞

H: Giải như thế nào?

H: Chia cả tử và mẫu cho x 2 , ta được gì?

Ví dụ 3:

x → +∞

5 x 2 + 3x + 1 5 = x →−∞ 2 x2 − 2 2 lim

x → +∞

x2

20 Kết quả ?

Ví dụ 4:

Gọi HS lên bảng làm

Ví dụ 5: lim

x →+∞

(

)

x2 + x − x =

1 2

- Quy tắc tìm :

f ( x)  ∞   . x →±∞ g ( x )  ∞  lim

2.5 Đơn vị kiến thức 5 (thời gian) HTKT 5. Giới hạn vô cực của hàm số .Một vài giới hạn đặc biệt . * Mục tiêu: Học sinh biết, hiểu định nghĩa giới hạn vô cực. Từ đó áp dụng làm các bài tập tìm giới hạn vô cực đặc biệt * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao:

1 x−2

L1: Tính giới hạn: lim

x→2

L2. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu hỏi sau.

H1. Khi x → 2 thì

x−2 →?

1 →? x−2 1 H3. lim =? x→2 x − 2 H2.

+ Thực hiện - Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Nhóm nào xong trước được quyền trả lời trước, các nhóm khác nghe nhận xét, bổ sung nếu thiếu.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi. + Báo cáo, thảo luận - Đại diện nhóm trình bày.

- Dự kiến câu trả lời: TL1. . Khi x → 2 thì

x−2 →0

1 → +∞ x−2 1 TL3. lim = +∞ x→2 x − 2 TL2.

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận hàm số có giới hạn vô cực khi x → x0 .

21

- GV kết luận hàm số có giới hạn vô cực khi x → ∞ .

Hoạt động của GV Hoạt động của HS III. Giới hạn vô cực của hàm số : III. Giới hạn vô cực của hàm số : 1. Giới hạn vô cực: 1. Giới hạn vô cực: Định nghĩa 4: Định nghĩa 4: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng - Giáo viên : gọi học sinh đứng tại chỗ đọc (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là - ∞ khi định nghĩa 4 SGK x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và - Giáo viên hướng dẫn học sinh ghi định xn → +∞ , ta có f ( xn ) → −∞ . nghĩa bằng kí hiệu.

Kí hiệu: lim f ( x) = −∞ hay f ( x) → −∞ khi x → +∞

- lim f ( x) = +∞ thì lim (− f ( x)) = ? x → +∞

x → +∞

- Giáo viên đưa đến nhận xét.

x → +∞ .

Nhận xét : lim f ( x) = +∞ ⇔ lim (− f ( x)) = −∞

x → +∞

x → +∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt: a) lim x k = +∞ với k nguyên dương. x → +∞

- Giáo viên gọi học sinh tính các gới hạn sau: * lim x 5 , lim x 5 , lim x 6 c → +∞

c → −∞

c → −∞

- Giáo viên đưa đến một vài gới hạn đặc biệt.

b) lim x k = −∞ nếu k là số lẻ x → −∞

c) lim x k = +∞ nếu k là số chẵn. x → −∞

+ Củng cố, luyện tập 2.6 Đơn vị kiến thức 6 (thời gian) HTKT 6. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực. * Mục tiêu: Học sinh biết được quy tắc về giới hạn vô cực: giới hạn của tích, thương . * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: 1. Học sinh nhận phiếu học tập. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau trong phiếu học tập số 3.

PHIẾU HỌC TẬP SÔ 3 - Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x).

- Tìm giới hạn lim ( x 3 − 2 x) x → +∞

Yêu cầu học sinh: - Dưới sự hướng dẫn của Giáo viên học sinh phát biểu quy tắc tìm giới hạn của tích .

- Vận dụng tìm giới hạn ở phiếu học tập số 03 + Thực hiện - Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi.

- Các nhóm viết kết quả dự đoán của nhóm mình lên bảng phụ. + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi.

- Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x).

Hoạt động của GV Hoạt động của HS HS: Ghi nhận kiến thức.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực.

22 a. Qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x).

a. Qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x).

Nếu lim f ( x) = L ≠ 0 và lim g ( x) = +∞ ( hoặc x → x0

x → x0

- ∞ ) thì lim f ( x).g ( x) được tính theo quy tắc x → x0

cho trong bảng sau: lim f ( x)

x→ x 0

L>0 L<0

lim g ( x)

x → x0

lim f ( x).g ( x)

x → x0

+∞ -∞ +∞ - ∞

+∞ -∞ - ∞ +∞

x3 − 3 x ) ( x →±∞

Ví dụ : Tìm lim

2. Học sinh nhận phiếu học tập. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau trong phiếu học tập số 4.

PHIẾU HỌC TẬP SÔ 4 -

Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn thương

-

Tìm giới hạn lim

x → −2

f ( x) . g ( x)

2x + 1 ( x + 2) 2

Yêu cầu học sinh: - Dưới sự hướng dẫn của Giáo viên học sinh phát biểu quy tắc tìm giới hạn của thương .

- Vận dụng tìm giới hạn ở phiếu học tập số 04

+ Thực hiện - Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi.

- Các nhóm viết kết quả dự đoán của nhóm mình lên bảng phụ. + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi.

- Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu qui tắc tìm giới hạn thương

Hoạt động của GV 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực. a. Qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x). b. Quy tắc tìm giới hạn của thương

f ( x) g ( x)

f ( x) . g ( x)

Hoạt động của HS HS: Ghi nhận kiến thức.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực. a. Qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x). b. Quy tắc tìm giới hạn của thương

lim f ( x)

x→ x 0

L L>0 L<0

lim g ( x)

x → x0

±∞ 0

Dấu của g(x) Tuỳ ý + +

lim

x → x0

f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x)

0 +∞ -∞ -∞

23 +∞ Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → x0 + , x → x0 − , x → +∞, x → −∞ Ví dụ : Tìm a) lim

−

x →1

2x − 4 x −1

2x − 4 x →1+ x − 1

b) lim

3. LUYỆN TẬP (thời gian) * Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi và tính toán. * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: 1. HS nhận phiếu học tập gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận 2. Học sinh hoạt động cá nhân, trả lời các câu hỏi trắc nghiệm và hoạt động nhóm làm các câu hỏi tự luận.

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 5 2

(

)

Câu 1. lim 3 x − 3 x − 8 bằng x →−2

B. 7

A.5

x 2 − 3x + 2 x →1 x −1

Câu 2: lim

C. 9

D. +∞

bằng

A. -1

B. 1

C. 2

 x − 3x + 1 5 x − 3

Câu 3. Cho hàm số: f ( x ) =  A. 11

2

D. +∞

khi x < 2 , tìm lim− f ( x ) . x →2 khi x ≥ 2

B. 7

C. −1

D.

−13

 2 x − 2 x khi x ≥ 1 , tìm lim− f ( x ) .

3 x →1  x − 3 x khi x < 1 3

Câu 4. Cho hàm số f ( x ) =  A. −4 Câu 5. lim

x →1+ A. +∞

B. −3

C. −2

D.

2

B. 2

C. 1

D.

−∞

D.

+∞

x2 + 1 bằng x −1  x + 2 x − 1 2

Câu 6. Cho hàm số f ( x ) = 

2  3 x + 1 B. 2

A. −∞

khi x < 1 khi x ≥ 1

, tìm lim f ( x ) .

C. 4

x →1

2

Câu 8. lim

2 x − 3x + 1

x →1

A.1/2

1 − x2

bằng B. 1/4

C. -1/4

D.-1/2

2

x − 12 x + 35 bằng x →5 5 x − 25

Câu 9. lim A.

1 5

B.

2 5

C. −

2 5

D.

+∞

24 Câu 10. lim x →+∞

(

)

x + 1 − x − 3 bằng

A. −∞

B. 2

C. 0

D.

+∞

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 6 ( có thể BTVN) Bài tập 1. Tính các giới hạn sau: x 2 − 3x + 2 x →1 x −1 3x3 − 2 x 2 + 2 4. lim x →−1 x−2

1. lim ( x 2 − x + 7 )

2. lim

x →−1

x+5 −3 4− x

3. lim x →4

5. lim

x →2

4x + 1 − 3

1 + x2 − 1 x

6. lim

x2 − 4

x →0

Bài tập 2. Tính các giới hạn sau: 1. lim

x 2 − 3x + 2

x →2

4. lim

( x − 2)

2. lim

2

x →1

4 x 6 − 5x 5 + x

(1 − x )

x →1

2

2 x 2 − 3x + 1 x3 − x2 − x + 1

1− 3 x −1 5. lim x →0 3x

3. lim x →3

x2 − 4x + 3 x −3 3

6. lim

x +1

x2 + 3 − 2

x →−1

Bài tập 3. Tính các giới hạn sau: 2

( x − 1) .( 7 x + 2 ) 2. lim 4 x →∞ ( 2 x + 1)

3x 2 − 5x + 1 1. lim x →∞ x2 − 2 4. lim x →∞

(

x2 − 4x − x

2

( 2 x + 1) ( 5x + 3) 3. lim ( 2 x − 1) ( x + 1) 2

3

x →∞

)

Bài tập 4. Tính các giới hạn sau: 1. lim  x x →+∞



(

x2 + 5 − x  

)

2. lim

x →±∞

(

x2 − x + 3 + x

)

+ Thực hiện - Học sinh làm việc cá nhân và khoanh đáp án vào phiếu trả lời trắc nghiệm và làm việc nhóm vào bảng phụ với câu hỏi tự luận.

- Giáo viên theo dõi, đảm bảo tất cả học sinh đều tự giác làm việc.

+ Báo cáo, thảo luận - GV đưa ra đáp án cho từng câu hỏi, các nhóm thống kê số học sinh làm đúng từng câu.

- GV yêu cầu học sinh trình bày cách làm cụ thể cho từng câu hỏi.

- GV nhận xét và lựa chọn cách làm nhanh nhất cho từng câu trắc nghiệm.

4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG ( 4.1 Vận dụng vào thực tế (thời gian) 4.2 Mở rộng, tìm tòi (mở rộng, đào sâu, nâng cao,…) (thời gian)

25

Học sinh nghiên cứu và là các bài tập sau? *Bài toán 1: Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ con người của một nước đang phát triển, sau x năm kể từ bây giờ là: T(x) =

138 x + 236 năm . Hỏi tuổi thọ của con người sẽ đạt được tới mức Giới hạn 2x + 5

là bao nhiêu?

Bài tập thêm: Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm và kỹ năng biến đổi toán học, yêu cầu học sinh tính các giới hạn sau.

1. lim x →1

x 2018 + x − 2 x 2016 + x − 2

(1 + 5 x)(1 + 9 x) − 1 x →0 x

3. lim

2. lim

xm −1

xn −1 (1 + x )(1 + 2 x )(1 + 3 x ) − 1 4. lim x →0 x x →1

x + x 2 + ... + x n − n x n − nx + n − 1 6. lim x →1 x →1 x −1 ( x − 1) 2  m − 2 x khi x ≥ 1 7. Cho hàm số f ( x ) =  2 . Tìm m đề tồn tại giới hạn lim f ( x ) . x →1 khi x < 1 x − 3

5. lim

2 x +1 − 3 8 − x x →0 x

8. lim

8 x3 + x 2 + 6 x + 9 − 3 9 x 2 + 27 x + 27 10. lim x →0 x3

9. lim x →0

11.

x2 1 + x sin 3 x − cos 2 x

(x lim

2

+ 1998 ) 7 1 − 2 x − 1998

x →0

x

+ Thực hiện - Học sinh làm việc cá nhân giải bài vào vở bài tập.

- Giáo viên theo dõi, đảm bảo tất cả học sinh đều tự giác làm việc.

+ Báo cáo, thảo luận - GV yêu cầu học sinh trình bày cách làm cụ thể cho từng bài.

- GV nhận xét và bổ sung lựa chọn cách làm hay, nhanh nhất cho từng bài.

TÊN BÀI : HÀM SỐ LIÊN TỤC I. Mục tiêu của bài: 1. Kiến thức: - Biết được định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.

- Biết được định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn, khoảng cũng như các định lí cơ bản.

2. Kỹ năng: - Vận dụng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số tại một điểm.

- Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, đoạn. Vận dụng định lí chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.

3. Thái độ: - Tích cực hoạt động, phát huy sự sáng tạo, tìm tòi.

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong tính toán, trình bày.

4. Đinh hướng phát triển năng lực:

26 (Năng lực tự học, năng lực hợp tác, năng lực giao tiếp, năng lực quan sát, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tính toán, năng lực vận dụng kiến thức vào cuộc sống ...)

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên: - Giáo án, phiếu học tập,bảng phụ.

- Máy chiếu, bảng phụ trình bày nhóm 2. Học sinh: - Chuẩn bị trước bài học, sách giáo khoa, máy tính cầm tay.

III. Chuỗi các hoạt động học 1. GIỚI THIỆU (3 phút) Giáo viên trình chiếu hai hình ảnh cho học sinh quan sát.

Hình 1

Hình 2

Hình 1 cho ta thấy cây cầu thông suốt, các phương tiện giao thông qua lại liên tục.

Hình 2 cho ta thấy cây cầu bị gãy, giao thông bị gián đoạn hay không liên tục.

Trong cuộc sống thì cụm từ “liên tục” được sử dụng rất nhiều, vậy trong toán học khái niệm liên tục được hiểu như thế nào, ta đi vào bài học: “ Hàm số liên tục”.

2. NỘI DUNG BÀI HỌC 2.1 Hàm số liên tục tại một điểm( 30 phút) a) Tiếp cận Gợi ý y Bài toán 1: Cho hàm số y = f (x) = x 2 + Tìm TXĐ. + Tính f (1) ; tính lim f (x) và so sánh chúng. x →1

+ Nhận xét về đồ thị của hàm số tại điểm x =1.

1

+ TXĐ: D = R .

O 1

x

27 + f (1) = lim f (x) = 1. x →1

+ Đồ thị hàm số là đường liền nét tại x =1.

Bài toán 2: Cho hàm số x2 + 2 khi x ≤1  y = g(x) =  .  khi x >1 4 + Tìm TXĐ. + Tính g(1) ; tính lim g(x) (nếu có) và so sánh

y

x →1

4

chúng. + Nhận xét về đồ thị của hàm số tại điểm x =1.

2 + TXĐ: D = R . + g(1) = 3; lim g(x)O= 3 ≠1 lim g(x) = 4 x →1−

x

x →1+

⇒ không tồn tại lim g(x) . x →1

+ Đồ thị hàm số không liền nét tại x = 1. + Dẫn dắt hình thành kiến thức: Qua hai bài toán trên nhận thấy hàm số y = f ( x ) liên tục tại x = 1; hàm số y = g ( x ) không liên tục tại x = 1 hay gián đoạn tại x = 1. Hãy phát biểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. b) Hình thành kiến thức Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x 0 ∈ K .Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục tại x 0 nếu lim f (x) = f (x 0 ). x→x0

Hàm số y = f (x) không liên tục tại x 0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

c) Củng cố Câu 1. Nêu các bước xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 0 ?

Gợi ý - Tìm tập xác định, xét xem x 0 có thuộc TXĐ hay không.

- Tính f (x 0 ) và lim f (x). x→x0

- So sánh f (x 0 ) và lim f (x). x→x0

+ Nếu f (x 0 ) = lim f (x) ⇒ Hàm số x→x0

liên tục tại x 0 . + Nếu f (x 0 ) ≠ lim f (x) ⇒ Hàm

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số x +1 f (x) = tại x 0 = 2. x

x→x0

số gián đoạn tại x 0 .

TXĐ: D = R \ {0}; 2 ∈ D.

28

Câu 3: Xét tính liên tục của hàm số  2  x − x − 6 khi x ≠ 3 f (x) =  x − 3  khi x = 3. 2x + 1

tại x 0 = 3.

3 Ta có f (2) = = lim f (x) x→2 2 Do đó hàm số liên tục tại x 0 = 2.

TXĐ: D = R. Ta có f (3) = 7 ≠ lim f (x) = 5 x →3

Do đó hàm số gián đoạn tại x 0 = 3.

2.2 Hàm số liên trên một khoảng (15 phút) a) Tiếp cận 1. Cho hàm số y = f (x) = x 2 + Ta đã biết hàm số y = f (x) = x 2 liên tục tại x = 1. + Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm x = 0, x = 2.

Gợi ý + Hàm số liên tục tại x = 0, x = 2. + Đồ thị hàm số là một đường liền nét. + Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (−∞; +∞)

+ Đồ thị hàm số y = f (x) có không liền nét tại điểm nào trên (−∞; +∞) không? + Đoán xem y = f (x) có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (−∞; +∞) ?

2. Cho hàm số Đồ thị hàm số không liền nét tại x = 1 . x2 + 2 khi x ≤1 Vì hàm số không liên tục tại x = 1 nên  nói nó liên tục tại mọi điểm thuộc y = g(x) =  . khoảng (−∞; +∞) là sai.  khi x >1 4 + Ta đã biết hàm số g(x) không liên tục tại x = 1. + Đồ thị hàm số có không liền nét tại điểm nào thuộc khoảng (−∞; +∞) không? + Ta nói hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (−∞; +∞) đúng hay sai?

Hàm số y = f (x) liên tục tại mọi điểm thuộc (−∞; +∞) , đồ thị là một đường liền nét nên y = f (x) là hàm số liên tục trên khoảng (−∞; +∞) .

Hàm số y = g(x) không liên tục tại x = 1 , đồ thị không liền nét tại x = 1 nên y = g(x) không liên tục trên khoảng (−∞; +∞) . b) Hình thành kiến thức: Định nghĩa 2: Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim f (x) = f (a), lim f (x) = f (b). x→a+

x → b−

Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên khoảng

y

a

b

29 x

a

b

Hàm số không liên tục trên khoảng ( )

O

c) củng cố Đồ thị hàm số nào dưới đây không liên tục trên khoảng (a; b) ?.

Gợi ý Đáp án C: Đồ thị hàm số không liền nét tại một điểm thuộc khoảng (a; b) .

Tiết 2: 2.3 Một số định lí cơ bản 2.3.1: Định lí 1(10 phút) a)Định lí 1: a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b) Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. b) Củng cố: 1: Hàm số nào dưới đây liên tục trên toàn Đáp án B: vì x 2 + 3 ≥ 3; ∀x ∈ R bộ tập số thực R ? x +1 có tập xác định R. ⇒ f (x) = 2 x +1 2 A. f (x) = t anx + x − 3.

B. f (x) = 2 . x +3 x + 3 Do đó nó liên tục trên toàn R. 2x+1 khi x ≠ 2 . D. 10 khi x=2 1

C. f (x) =  f (x) =

2

cot x + 3

2.Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập  x2 − 4  khi x > 2 xác định của nó f (x) =  x − 2 . 2x + 1 khi x ≤ 2 

TXĐ: D = R. + Với x > 2 : f (x) là phân thức hữu tỉ nên liên tục (2; +∞). + Với x < 2 : f (x) là đa thức bậc nhất nên liên tục (−∞; 2). + Với x = 2 : lim f (x) = lim (2x + 1) = 5

x → 2−

x → 2−

 x 2 − 4  lim f (x) = lim   = 4 + + x − 2   x→2 x→2 

30 ⇒ không tồn tại lim f (x) . x→2

Do đó hàm số không liên tục tại x = 2.

Vậy f (x) liên tục trên khoảng

(−∞; 2) và (2; +∞).

2.3.2: Định lí 2(10 phút) a) Tiếp cận Cho hai hàm số f (x) = x 2 − x + 1 và g(x) = x + 1 . a) Xét tính liên tục của hàm số f (x) và g(x) tại x 0 = 1 . b) Xét tính liên tục các hàm số f (x) + g(x) ; f (x) − g(x) ; f (x).g(x) ; f (x).g(x) ;

Gợi ý a) Hàm số f (x) và g(x) là các hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục tại x =1. b) các hàm số f (x) + g(x) ; f (x) − g(x) ; f (x).g(x) ; f (x).g(x) ;

f (x) tại x 0 = 1 . g(x)

f (x) t ại g(x)

x0 = 1 .

Hãy phát biểu định lý 2. b) Hình thành kiến thức Định lí 2: Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x 0 . Khi đó a) Các hàm số y = f (x) + g(x) , y = f (x) − g(x) và y = f (x).g(x) liên tục tại x 0 ; b) Hàm số y =

f (x) liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0 . g(x)

c) củng cố 2

Cho hàm số y = f (x) = x − x và y = g(x) = x −1 .

Xét tính liên tục của các hàm số y = f (x) , y = g(x) , y = f (x) + g(x) , y = f (x) − g(x) ; y = f (x).g(x) ; y =

Gợi ý Các hàm số đều liên tục tại x = 2.

f (x) tại x 0 = 2. g(x)

2.3.3 Định lí 3(10 phút) a) Tiếp cận: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên dưới.

y

f(b a

b

x

O

f(a

a) Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . b) f (a) < 0; f(b) > 0 ⇒ f(a).f(b) < 0 c) Đồ thị cắt trục hoành.

31 a) Hàm số y = f (x) có liên tục trên đoạn [a; b] không? b) Nhận xét dấu của f (a) và f(b). c) Đồ thị hàm số có cắt trục hoành không?

Nhận thấy khi hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] , f (a) và f(b) khi đó đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm thuộc khoảng (a; b) .

Số giao điểm của đồ thị y = f (x) và trục hoành là số nghiệm của phươngtrình f (x) = 0. b) Hình thành định lí 3 Định lí 3: Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a).f (b) < 0 , thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b) . c) củng cố: Chứng minh rằng phương trình *) Tập xác định: R 3 2 x − 2 x − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong *) Hàm số f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 1 liên tục trên R khoảng ( 2;3) . nên nó liên tục trên [2;3] . *) f ( 2 ) = −1; f ( 3) = 8 ⇒ f ( 2 ) . f ( 3) < 0 Suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng ( 2;3) 3. LUYỆN TẬP (15 phút)) Trắc nghiệm khách quan: TNKQ: Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên dưới không liên tục tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu ? y

3

A. x = 1.

1

B. x = 3.

C. x = 0.

x

D. x = 2.

 x + 2x − 3 khi x ≠ 1  1 Câu 2. Cho hàm số2 f ( x) =  x − 1 . Tìm m để hàm số liên tục tại điểm 2 khi x = 1  2

O

x0 = 1 .

A. m = 3 .

B. m = 5 .

C. m = 4 .

D. m = 6 .

 3x + 4 − 1  khi x ≠ −1 Câu 3. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f ( x) =  x + 1 liên tục tại m khi x = −1  x = −1.

3 1 A. m = .

B. m = .

C. m = −1.

D. m = 3.

2 2

32 x −3 Câu 4: Cho hàm số y = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x +1 A. Hàm số đã cho gián đoạn tại x = 1.

B. Hàm số đã cho liên tục trên toàn R. C. Hàm số đã cho liên tục trên khoảng (−∞; −1) và ( −1; +∞).

D. Hàm số đã cho gián đoạn tại x = 3.  3  x −1 khi x ≠ 1 Câu 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) =  x −1 liên tục trên R.  2m + 1 khi x = 1 3 A. m = 1.

B. m = 0.

C. m = .

D. m = 3.

2 2x Câu 6: Cho f ( x) = 2 và g ( x) = sin x . Xét tính liên tục của hai hàm số y = f (x) x − x+3 và y = g (x) trên toàn trục số.

A. Hàm số y = f (x) không liên tục trên toàn trục số, hàm số y = g (x) liên tục trên toàn

trục số.

B. Cả hai hàm số y = f (x) và y = g (x) đều liên tục trên toàn trục số.

C. y = f (x ) liên tục trên toàn trục số, y = g (x ) chỉ liên tục trên đoạn [− 1;1] .

D. Cả hai hàm số y = f (x) và y = g (x) đều không liên tục trên toàn trục số.

Câu 7: Cho phương trình 2x 4 − 5x 2 + x + 1 = 0.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( 0;2 ) .

B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng ( −1;1) .

C. Phương trình không có nghiệm trong khoảng ( −2;0 ) .

D. Phương trình chỉ có 1 nghiệm trong khoảng ( −2;1) .

Tự luận:  3  x − 8 khi x ≠ 2 Câu 1: Xét tính liên tục của hàm số f (x) =  x − 2 .  khi x = 2 5

Cần thay số 5 bởi số nào để hàm số f (x) liên tục tại x 0 = 2.

5 − ax2 nêu x > 2 Câu 2: Định a để hàm số liên tục: f ( x) =  trên R. x +1 nêu x ≤ 2 Câu 3: Chứng minh rằng phương trình 2x 3 − 5x 2 + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG: Câu 1: Chứng minh phương trình x 2 sin x + x cos x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ ( 0; π ) .

33  x2 −1 khi x < 3 và x ≠ 1   x − 1 khi x = 1 Câu 2: Xét tính liên tục của hàm f (x) = 4 trên tập xác định của    x + 1 khi x ≥ 3.

nó.

TÊN BÀI (CHỦ ĐỀ):ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM (3 Tiết) A/ KẾ HOẠCH CHUNG: Phân phối thời gian

Tiến trình dạy học HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG KT1: Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Tiết 1 HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

KT2:Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa KT3:Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm KT4: Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Tiết 2

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

KT5: Ý nghĩa vật lí của đạo hàm KT6: Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Tiết 3

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG

B/KẾ HOẠCH DẠY HỌC: I. Mục tiêu của bài (chủ đề) Kiến thức: − Hiểu rõ định nghĩa đạo hàm tại một điểm. − Hiểu rõ đạo hàm của một hàm số tại một điểm là một số xác định. − Nắm vững ý nghĩa hình học và vật lí của đạo hàm. − Hiểu rõ mối quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm.

1. Kỹ năng: − Biết cách tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa của các hàm số thường gặp. − Vận dụng tốt vào viết phương trình tiếp tuyến.

2. Thái độ:

− Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống.

3. Đinh hướng phát triển năng lực: - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên: - Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học.

- Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề.

2. Học sinh: - Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập. Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm sau khi đã thảo luận và thống nhất.

- Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn.

- Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập.

III. Chuỗi các hoạt động học: TIẾT 1.

1. GIỚI THIỆU (HOẠT ĐỘNG TIẾP CẬN BÀI HỌC) (10’) * Mục tiêu: + Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới. + Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái niệm “đạo hàm”. * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L1. Quan sát các hình ảnh (máy chiếu) L2. Lớp chia thành các nhóm (nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực học) và tìm câu trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ.

H1. Theo em ở bức ảnh dưới đây chú công an giao thông đang làm gì?

H2. Vận tốc của vận động viên tại các thời điểm khác nhau có bằng nhau không? Có tính được vận tốc tại thời điểm t0 cụ thể được không?

H3. Một dòng điện chạy trong dây dẫn. Tính thời gian và cường độ dòng điện chạy qua dây dẫn tại thời điểm t0 đến t? Tính cường độ trung bình của dòng điện?

Hình 1

Hình 2

+ Thực hiện - Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Viết kết quả vào bảng phụ. + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi.

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn.

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.

- GV quan sát, lắng nghe, ghi chép. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

- Dự kiến các câu trả lời: TL1. Hình 1 chú công an đang bắn tốc độ các loại xe.

TL2 Vận động viên trong hình 1 chạy trên quãng đường được tính theo công thức S = f (t ) s S1

N

S0

O

M

t0

t1

t

Giả sử tại thời điểm t0 , vận động viên ở vị trí M có S0 = f (t0 ) ; tại thời điểm t1 (t1 > t0 ) , vận động viên ở vị trí N có S1 = f (t1 ) . Khi đó, trong khoảng thời gian từ t0 đến t1 , quãng đường vận động viên chạy được là MN = f (t1 ) − f (t0 ) . Vậy vận tốc trung bình của vận động viên trong khoảng thời f (t1 ) − f (t0 ) gian đó là . (1)Nếu t1 − t0 càng nhỏ thì tỉ số (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh t1 − t0 f (t1 ) − f (t0 ) khi t1 dần đến chậm của VĐV tại thời điểm t0 . Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số t1 − t0 t0 là vận tốc tức thời tại thời điểm t0 của VĐV, kí hiệu là v(t0 ).

f (t1 ) − f (t0 ) . t1 →t0 t1 − t0 Bài toán tìm vận tốc tức thời Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t s = s(t) s(t ) − s(t0 ) đgl vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0.

Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim t →t0 t − t0 TL 3. Đ1. Thời gian: t – t0. Cường độ: Q(t) – Q(t0) Q(t ) − Q(t0 ) Đ 2. Cường độ trung bình của dòng điện: Itb = t − t0 Nói cách khác, v(t0 ) = lim

• GV dẫn dắt tương tự như bài toán tìm vận tốc tức thời.

Bài toán tìm cường độ tức thời Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t Q = Q(t) Q(t ) − Q(t0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim đgl cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0. t →t0 t − t0

* Sản phẩm: + Các phương án giải quyết được ba câu hỏi đặt ra ban đầu. + Đưa ra được dự đoán: “Định nghĩa đạo hàm”.

- Tùy vào chất lượng câu trả lời của HS, GV có thể đặt vấn đề: Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, f ( x) − f ( x0 ) hóa học, sinh học, ... dẫn đến bài toán tìm giới hạn: lim Trong toán học người ta gọi x → x0 x − x0 giới hạn trên là đạo hàm của hàm số tại điểm x0 (nếu giới hạn này là hữu hạn). Đó chính là nội dung bài học “Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm”.

2. NỘI DUNG BÀI HỌC (HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC) *Mục tiêu: Học sinh nắm được 4 đơn vị kiến thức của bài. *Nội dung: Đưa ra các phần lý thuyết và có ví dụ ở mức độ NB, TH. *Kỹ thuật tổ chức: Thuyết trình, Tổ chức hoạt động nhóm. *Sản phẩm: HS nắm được định lý, các hệ quả và giải các bài tập mức độ NB,TH. I.Đạo hàm của hàm số tại một điểm: I.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm: * Mục tiêu: - Học sinh biết được khái niệm của hàm số liên tục tại một điểm.

- Áp dụng để xét tính liên tục của một số hàm số tại một điểm cho trước.

- Hình thành cách tính đạo hàm bằng định nghĩa. * Nội dung, phương thức tổ chức: a) Tiếp cận (khởi động)(10’) Vận tốc tức thời

v(t0 ) = lim t →t0

s (t ) − s (t0 ) t − t0

Cường độ dòng điện tức thời

I (t0 ) = lim t →t0

Q(t ) − Q(t0 ) t − t0

Tốc độ phản ứng hóa học tức thời C (t ) − C (t0 ) v(t0 ) = lim t →t0 t − t0

ĐẠO HÀM f ( x) − f ( x0 ) f '( x0 ) = lim x → x0 x − x0

+ Chuyển giao: NV: * Học sinh đọc định nghĩa SGK. * Học sinh giải quyết 2 hoạt động: HÐI.1.1; HÐI.1.2. * Từ việc so sánh kết quả của 2 hoạt động, đưa ra cách tính đạo hàm ∆y bằng định nghĩa ( dùng trực tiếp định nghĩa hoặc dùng lim ). ∆x → 0 ∆x Hoạt động Gợi ý

HÐI.1.1 f ( x) − f (x 0 ) Cho hàm số y = f ( x) = x 2 . Tính lim ? x → x0 x − x0 HÐI.1.2 Đặt ∆x = x − x0 là số gia của đối số tại x0 . ∆y = f ( x) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) : số gia

lim

x → x0

f ( x) − f (x 0 ) x − x0

= lim

x → x0

x 2 − x02 x − x0

= lim( x + x0 ) = 2 x0 x → x0

tương ứng của hàm số. △y a.Tính lim ? ∆x → 0 △ x b.So sánh kết quả lim

x → x0

f ( x) − f (x 0 ) △y và lim ∆x → 0 △ x x − x0

c. Nêu các buớc tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số y = f ( x) ?

△y = 2 x0 ∆x → 0 △ x

lim

lim

x → x0

f ( x) − f (x 0 ) △y = lim ∆ x → 0 △x x − x0

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm ví dụ vào giấy nháp. + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải, từ đó nêu cách tính đạo hàm bằng định nghĩa và đạo hàm trên một khoảng. HS viết bài vào vở. b) Hình thành kiến thức(5’) Từ kết quả bài toán 1, ta suy ra cách tính đạo hàm bằng định nghĩa: I.2. Các bước tính đạo hàm bằng Định nghĩa : Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 , tính ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ).

Bước 2: Lập tỉ số

∆y . ∆x

Bước 3: Tìm lim

∆y . ∆x

∆x → 0

c) Củng cố(7’) Củng cố.

Gợi ý

Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa a) y = f ( x) = 2 x − 3 tại điểm x0 =1

a) Gọi ∆x là số gia tại điểm x0 = 1, ta có: ∆y = f (∆x + 1) − f (1) = 2(∆x + 1) − 3 + 1 = 2∆x ∆y = lim 2 = 2 ∆x → 0 ∆x ∆x → 0

Suy ra: lim

Vậy, y’(1) = 2. b) Gọi ∆x là số gia tại điểm x0 = 0, ta có:

x +1 b) y = tại x0 = 0 x −1

∆y = f ( ∆x ) − f ( 0 ) =

Suy ra: lim

∆x → 0

∆x + 1 2 ∆x +1 = ∆x − 1 ∆x − 1

∆y 2 = lim = −2 ∆ x → 0 ∆x ∆x − 1

Vậy, y’(0) = -2.

I.3.QUAN HỆ GIỮA SỰ TỒN TẠI CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ. + Mục tiêu: Học sinh biết được mối liên hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số + Nội dung, phương thức tổ chức: a)Tiếp cận (khởi động)(5’) +) HĐ1: Khởi động.

• Xét hàm số  2 f ( x ) =  x + 1 neáu x ≥ 0 neáu x < 0 x

H1. Tính lim f ( x ) ? x →0

H2. Nếu hàm số y = f ( x ) gián đoạn tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó không?

H3. Nếu một hàm số liên tục tại 1 điểm có thể khẳng định được hàm số đó có đạo hàm tại điểm đó hay không? + Chuyển giao: NV: * Học sinh đọc định nghĩa SGK. * Học sinh giải quyết 3 câu hỏi:H1, H2, H3. + Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và trả lời vào giấy nháp. Đ1. lim+ f ( x ) = 1, lim− f ( x ) = 0 x →0

x →0

⇒ không tồn tại lim f ( x ) x →0

Đ 2. ⇒ không có f′(0). Đ 3. Nếu hàm số y = f ( x ) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

Nếu một hàm số liên tục tại 1 điểm chưa thể khẳng định được hàm số đó có đạo hàm tại điểm đó hay không. + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải, từ đó nêu định lí về quan hệ giữa đạo hàm và liên tục. HS viết bài vào vở. b)Hình thành kiến thức(3’) Định lí. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý: a) Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0. b) Nếu y = f(x) liên tục tại x0 thì có thể không có đạo hàm tại x0. c) Củng cố:(5’)

GỢI Ý

+) HĐ3: Củng cố.

 x, x ≥ 0 . Xét  − x, x < 0

Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) = 

tính liên tục của hàm số đã cho, tính đạo hàm tại x=0.

TIẾT 2: I.4.Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM.(20’) * Mục tiêu: - Học sinh biết được ý nghĩa hình học của đạo hàm.

- Biết vận dụng công thức để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. * Nội dung, phương thức tổ chức: +) HĐ1: Khởi động.

HĐ1.1.

GỢI Ý

Cho hàm số f(x) có đồ thị (C), một điểm M0(x0; f(x0)) cố định thuộc (C).

Với mọi điểm M(xM;f(xM)) di động trên (C), khác M0. Đường thẳng M0M gọi là một cát tuyến của (C).

HĐ1.2. Khi x x0 thì M di chuyển trên (C) tại điểm M0.

Ta coi đường thẳng M0T đi qua M0 là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi M chuyển dọc theo (C) đến M0. Đường thẳng M0T gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0 và M0 gọi là tiếp điểm

HĐ1.3. Gọi kMlà hệ số góc của cát tuyến M0M, k0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T. Thì

kM =

f ( xM ) − f ( x0 ) xM − x0

Giả sử f(x) có đạo hàm tại x0. Khi đó

f ( xM ) − f ( x0 ) x M →x0 xM − x0 = lim k M = k 0

f ' ( x 0 ) = lim x M →x 0

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Cho đường cong (C) và M0 ∈ (C). M là điểm di động trên (C). Vị trí giới hạn M0T (nếu có) của cát tuyến M0M đgl tiếp tuyến của (C) tại M0. Điểm M0 đgl tiếp điểm.

Chỳ ý: Không xét tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy. b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lí 2: Đạo hàm của y = f(x) (C) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0(x0; f(x0)).

c) Phương trình tiếp tuyến Định lý 3: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là y – y0 = f′(x0).(x – x0) trong đó y0 = f(x0).

GỢI ớ

+) HĐ3: Củng cố.

HĐ3.1. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của HĐ 3.1 : Gọi ∆x là số gia tại điểm x0 = -2, ta có: đồ thị hàm số y = − x 2 + 3x − 2 tại điểm có ∆y = f (∆x − 2) − f (−2) = −(∆x − 2) 2 + 3(∆x − 2) − 2 + 12 hoành độ -2. = −∆ 2 x + 7 ∆x ∆y −∆ 2 x + 7 ∆x = lim = lim ( −∆x + 7 ) = 7 ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x

Suy ra: lim

Vậy, y’(-2) = 7.

HĐ3.2: Cho hàm số y = − x 2 + 3 x - 2 . Viết HĐ3.2: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm pttt của đồ thị hàm số trên tại điểm có Ta có x0 = −2 ⇒ y0 = −12 Hệ số góc tiếp tuyến k=7. hoành độ -2.

Vậy phương trình tiếp tuyến y=7(x+2)-12=7x+2.

I.5. Ý NGHĨA VẬT LÍ CỦA ĐẠO HÀM.(10’) * Mục tiêu: - Học sinh biết được ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

- Biết vận dụng công thức để tính vận tốc tức thời, cường độ tức thời tại thời điểm t0. * Nội dung, phương thức tổ chức: +) HĐ1: Khởi động.

GỢI Ý

HĐ1.1. Theo định nghĩa

V (t0 ) = lim t →t0

f (t ) − f (t0 ) = s '(t0 ) t − t0

()

HĐ1.2. Điện lượng Q = Q t

cường độ dòng

điện I (t 0 ) = ?

I (t0 ) = Q '(t0 )

+) HĐ2: Hình thành kiến thức. Đạo hàm là một khái niệm Toán học có xuất xứ từ những bài toán thực tiễn, kĩ thuật khác nhau như Cơ học, Vật lí, Hình học, Hóa học, Sinh học...

+) HĐ3: Củng cố.

Ví dụ 1:Lúc 10 giờ khởi hành, công tơ mét chỉ quãng đường xe đã đi trước đó là 30025 km, lúc 10 giờ 6 phút, công tơ mét chỉ 30029 km, kim tốc độ sẽ chỉ ở vạch bao nhiêu?

GỢI Ý

A. 20.

B. 30.

C. 40. D. 50.

Ví dụ 2. Một chất điểm chuyển động có phương 2

trình s = t (t: tính bằng giây; s tính bằng mét).

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 2 (giây) là: A. 2m/s. B. 3m/s. C. 4m/s. D. 5m/s.

II: ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG.(15’) - Mục tiêu: Tiếp cận định nghĩa đạo hàm trên một khoảng. Hình thành định nghĩa đạo hàm trên một khoảng.

- Nội dung, phương thức tổ chức:Tổ chức cho học sinh hoạt động nhóm. + Chuyển giao: NV: * Học sinh làm ví dụ. * Từ đó HS đọc đạo hàm bằng định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng HÐ1.2.1: Khởi động (Tiếp cận).

Gợi ý Cho các hàm số sau a. y '( x0 ) = 2 x0 a. y = f ( x) = x 2 tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm x0 b. y = c tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm x0 , với c là hằng số c.

b. y '( x0 ) = 0

y = x tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm x0 > 0 ,

c. y '( x0 ) =

1 2 x0

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm ví dụ vào giấy nháp. + Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải, từ đó nêu định nghĩa và đạo hàm trên một khoảng , quy tắc tính đạo hàm của 4 hàm số thường gặp. HS viết bài vào vở.

II.1.Định nghĩa: Đạo hàm trên một khoảng Hàm số y = f ( x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.Khi đó, ta gọi hàm số f ' : (a; b) → ℝ x ֏ f '( x)

là đạo hàm của hàm số y = f ( x) trên khoảng (a; b) , kí hiệu là y ' hay f '( x).

TIẾT 3 3. LUYỆN TẬP (25’) Câu 1: Số gia của hàm số f ( x ) = 2 x − 1 ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 = 5 là: A.

Câu 2: Tỉ số A.

B.

9 + 2 ∆x − 4

C.

9 + 2 ∆x − 3

D.

9 + 2 ∆x − 5

9 + 2∆x − 1

∆y x2 + x của hàm số f ( x ) = ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 = 1 là: ∆x x−2

5 + ∆x ∆x − 1

B.

6 + ∆x ∆x − 1

C.

5 + ∆x ∆x − 2

D.

4 + ∆x ∆x − 1

Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = − x 2 + 3x − 2 tại điểm có hoành độ x0 = 2 là:

A. y = − x + 3

B. y = − x + 1

C. y = − x + 2

Câu 4: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f ( x ) = A.

9 36

B.

5 36

C.

D. y = − x − 2

2x + 1 tại điểm có hoành độ x0 = 2 là: x+4

1 36

D.

7 36

Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = x 2 , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M 0; −1) là: A. y = 3 x − 1 và y = −3 x − 1

B. y = 4 x − 1 và y = −4 x − 1

C. y = 2 x − 1 và y = −2 x − 1

D. y = x − 1 và y = − x − 1

4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG 4.1 Vận dụng vào thực tế (10’) Bài toán: Một bình nuôi cấy vi sinh vật được giữ ở nhiệt độ 00C. Tại thời điểm t=0 người ta cung cấp nhiệt cho nó. Nhiệt độ tăng lên và được ước tính bởi hàm số f (t ) = (t − 1)3 + 1( 0C ) ( f (t ) là nhiệt độ của bình nuôi cấy ở thời điểm t) a) Tính tốc độ tăng nhiệt trung bình của bình nuôi cấy trên trong khoảng thời gian từ lúc t0 = 0,5s

đến thời điểm t ' sau đó 1 giây. b) Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuôi cấy trên trong khoảng thời gian từ lúc t0 = 1, 25s đến thời điểm t ' sau đó 1 giây.

c) Trong 2 thời điểm trên, thời điểm nào nhiệt độ bình nuôi cấy tăng nhanh hơn.

3.2 Mở rộng, tìm tòi (mở rộng, đào sâu, nâng cao,…) (10’) * Mục tiêu: Nắm đượcquan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số. Học sinh biết được một số chuyển động có vận tốc lớn . * Nội dung: - ND1: Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số. .

- ND2: Giới thiệu một số chuyển động có vận tốc lớn. * Kỹ thuật tổ chức: Hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm.HS viết báo cáo. * Sản phẩm: Kiến thức về quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục, một số chuyển động có vận tốc lớn . * Tiến trình HÐ củng cố, tìm tòi Gợi ý 1.NC Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm 1. Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên và tính liên tục của hàm số? tục tại điểm đó 2. Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điẻm đó 3. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó. +Vận tốc âm thanh: khoảng 343m/s. + Vận tốc chuyển động của vệ tinh cách trái đất 200km:22km/s + Vận tốc chuyển động của trái đất quanh mặt trời : 30km/s + vận tốc của ánh sáng : 300000km/s + Vận tốc của máy bay Airbus: 270m/s + Vận tốc tên lửa đưa người lên vũ trụ: khoảng 11km/s

Hình ảnh phóng vệ tinh vinasat 1

§2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (3t) I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức: Học sinh nắm được quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích , thương các hàm số; hàm hợp và đạo hàm của hàm hợp; nắm được các công thức đạo hàm của các hàm số thường gặp. Phải xác định được hàm số đã cho thuộc dạng công thức nào?

2. Kĩ năng: Tìm được đạo hàm của các hàm số thường gặp 3. Thái độ: Nghiêm túc trong học tập, coi trọng môn học.

4. Định hướng phát triển năng lực: + Năng lực chung: Tự học; giải quyết vấn đề; sáng tạo; tự quản lý; giao tiếp; hợp tác; sử dụng CNTT; sử dụng ngôn ngữ; tính toán. + Năng lực chuyên biệt: Vận dụng các tri thức Toán; giải một số bài toán có tính thực tiễn điển hình; vận dụng tri thức Toán, phương pháp tư duy Toán vào thực tiễn. Giao tiếp, sử dụng ngôn ngữ toán.

II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH: 1. Giáo viên: - Thiết bị dạy học: thước , phấn.

- Phiếu học tập của học sinh.

2. Học sinh: - Ôn lại kiến thức về định nghĩa đạo hàm.

- Bảng phụ.

3. Bảng tham chiếu các mức yêu cầu cần đạt của câu hỏi, bài tập, kiểm tra, đánh giá.

Nội dung

Đạo hàm của hàm số thường gặp

Nhận biết

Đạ o hàm c ủ a các hàm s ố th ườ ng g ặ p

Thông hiểu

Vận dụng

Tìm đạ o hàm c ủ a các hàm s ố th ườ ng g ặ p t ạ i m ộ t đ i ể m xác đị nh

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Tìm đượ c đạ o hàm c ủ a t ổ ng, hi ệ u

Tìm đượ c đạ o hàm c ủ a tích, th ươ ng

Đạo hàm của hàm hợp

Tìm đượ c đạ o hàm c ủ a các hàm h ợ p đơ n gi ả n

Tìm đượ c đạ o hàm c ủ a các hàm h ợ p

Hàm h ợ p

Vận dụng cao

Giải bài toán liên qua đến đạo hàm.

III. CHUỖI CÁC HOẠT ĐỘNG: 1. GIỚI THIỆU:

(1p)

Chào các em, về tính đạo hàm bằng định nghĩa nhìn chung là phức tạp. Đối với một số hàm thường gặp ta có các qui tắc và các công thức cho phép ta tính đạo hàm của chúng nhanh hơn. Như vậy các qui tắc và công thức đó là gì? Đó chính là nội dung bài học của chúng ta ngày hôm nay:“Qui tắc tính đạo hàm”

2. NỘI DUNG BÀI HỌC: Hoạt động 1: Tiếp cận đạo hàm của các hàm số thường gặp.

(7p)

1. Mục tiêu: Nắm bắt được các hàm số thường gặp, cách tính đạo hàm của các hàm số thường gặp.

2. Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Phát vấn.

3. Hình thức tổ chức hoạt động: Nêu vấn đề.

4. Phương tiện dạy học: 5. Sản phẩm: Bài toán 1:Hãy tính đạo hàm của hàm số y = f (x) = x 2 tại x0 bằng 2. => Bài toán này học sinh có thể dự đoán được đạo hàm của hàm số y = f (x) = x10

Từ những bài toán đó, hình thành nên công thức tính đạo hàm của hàm số y = f (x) = x n Hoạt động 2: Tìm hiểu đạo hàm của các hàm số thường gặp.

(15p)

1. Mục tiêu: Học sinh nắm bắt được công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp 2. Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Giải quyết vấn đề. Vấn đáp.

3. Hình thức tổ chức hoạt động: Nhiệm vụ được giao cho cả lớp. HS thực hiện công việc theo nhóm.

4. Phương tiện dạy học: bảng, phấn, thước.

5. Sản phẩm: Thực hiện yêu cầu.

Nội dung kiến thức Vd 1: a) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = f (x) = x 2

Hoạt động của giáo viên +Nêu quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa. + Gv nhận xét câu trả lời của

Hoạt động của học sinh + Hs trả lời.

hs.

tại x0 tùy ý. b) Hãy tính đạo hàm của hàm 2

số y = f (x) = x tại x0 bằng 2. c) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = f (x) = x 3 tại x0 tùy ý.

Định lí 1: Hàm số y = x n ( n ∈ ℕ, n > 1 ) có đạo hàm tại mọi x ∈ ℝ và

( x ) ' = n.x n

n −1

+ Gv nêu vd 1a. yêu cầu hs làm nhanh (thảo luận 2 bạn cùng bàn) + Gv phân lớp thành hai nhóm lớn. một nhóm làm ví dụ 1b, 1 nhóm làm ví dụ 1c. (vẫn hoạt động theo nhóm nhỏ là hai bạn cùng bàn)

+ Hs thực hiện.

+ Gv yêu cầu học sinh có thể + Hs dự đoán : dự đoán được đạo hàm của y ' = ( x10 ) ' = 10.x9 hàm số y = f (x) = x10 tại điểm x0 tùyý.

→ ta có công thức : (xn)’=nxn-1

.

+ Học sinh thảo luận và tính toán, đưa ra kết quả.

(kxn)’=k.nxn-1

+ Hs lắng nghe và ghi nhận công thức.

Nhận xét: + Đạo hàm của hàm hằng bằng + Gv yêu cầu hs tính đạo hàm 0. của hàm hằng và hàm số + Đạo hàm của hàm số y = x y = x . bằng 1 n

+ Gv đưa ra nhận xét.

+ Hs thực hiện.

+ Hs ghi nhận.

n-1

+ (kx )’=k.nx (k là hằng số)

Vd 2: Tính đạo hàm của hàm số

y= x

tại điểm tại x0

dương.

Định lí : Hàm số y = x có đạo hàm dương và y’ = 0)

( x )′ = 2 1 x

+ Gv yêu cầu hs (nhóm) tính

đạo hàm của hàm số y = x tại điểm tại x0 tùyý.

+ Hs thực hiện.

, (x > + Gv yêu cầu ba nhóm trình bày kết quả và đưa ra nhận xét. + Hs ghi nhận.

Hoạt động 3: Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương.

1. Mục tiêu: Nắm chắc đạo hàm của tổng ,hiệu, tích, thương.

(22p)

2. Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: dạy học nhóm.

3. Hình thức tổ chức hoạt động: Nhiệm vụ được giao cho cả lớp. HS thực hiện công việc theo nhóm.

4. Phương tiện dạy học: bẳng, phấn, thước.

5. Sản phẩm: Bài báo cáo kết quả hoạt động nhóm.

Nội dung kiến thức

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Vd4: Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Chứng minh : (u + v)’ = u’ + v’(đọc SGK)

+ Gv gợi ý cho hs sử dụng định nghĩa để làm vd4. Sau đó học sinh làm việc theo nhóm và giải vd 4.

+ Hs thực hiện theo nhóm.

Định lí : Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

+ Gv yêu cầu 2 nhóm bất kì + Hs trình bày. lên trình bày. Sau đó nhận xét + hs lắng nghe và ghi nhận. .

(u + v)’ = u’ + v’

(1)

+ Gv nêu định lý và chú ý.

(u - v)’ = u’ - v’

(2)

(u.v)’ = u’v + v’u

(3)

+ Hs lắng nghe và nghi nhận.

'

 u  u 'v − v 'u (v = v( x) ≠ 0) (4)   = v2 v v'  1 ′ + Chú ý :   = − 2 v v + Có thể mở rộng thêm đạo hàm của tổng, hiệu, tích cho u1.u2,..., un

VD 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 5x3 – 2x5- 3x +4 b) y = -x3 x . c) y =

1 − 3x 2x + 5

+ Hs làm bài tập theo nhóm. + Gv ghi ví dụ 5. yêu cầu hs sử dụng kiến thức đã học về đạo hàm để giải.( hs giải theo nhóm hai người) + Gv yêu cầu 4 nhóm bất lỳ lên giải, trình bày cụ thể đã sử dụng công thức gì để giải sau đó nhận xét bài giải của học sinh

Hoạt động 4: Đạo hàm của hàm hợp (T2-3)

+ Hs thực hiện

(20p)

1. Mục tiêu: Nắm chắc cách tính đạo hàm của hàm hợp.

2. Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: dạy học nhóm.

3. Hình thức tổ chức hoạt động: Nhiệm vụ được giao cho cả lớp. HS thực hiện công việc theo nhóm.

4. Phương tiện dạy học: bảng, phấn, thước.

5. Sản phẩm: Bài báo cáo kết quả hoạt động nhóm

Nội dung kiến thức

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

+ Khái niệm hàm hợp.

+ Giáo viên giới thiệu khái

+ Hs lắng nghe và ghi nhận.

+ Định lí: Nếu hàm số u = g (x)

niệm hàm hợp. Hướng dẫn hs

có đạo hàm tại x là u 'x và hàm số

giải ví dụ.

y = f (u) có đạo hàm tại u là y 'u

Đặt u = 1 – 2x thì y = u3, y’u =

thì hàm hợp y = f ( g (x) ) có đạo

2

+ Hs theo dõi.

3u , u’x = - 2.

hàm tại x là y 'x = y 'u .u 'x Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = (1 – 2x)3

Bài 3 trang 162 SGK Tính đạo hàm của các hàm số sau: 7

a) y = ( x − 5 x

2 3

);

b) y = ( x 2 + 1)( 5 − 3 x 2 ) ; c) y =

2x 3 − 5x ; d) 2 ; x −1 x − x +1 2

n   e) y =  m + 2  x  

3

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp tính được y’x = 6(1 – 2x)2. + Gv nêu định nghĩa. + Gv yêu cầu các nhóm làm bài tập 3 vào bảng phụ và lần lượt hai nhóm một lên treo

+ Hs thực hiện.

bảng, một nhóm trình bày, sau

đó so sánh kết quả. + Gv nhận xét.

3. LUYỆN TẬP Hoạt động 5: Luyện tập 1. Mục tiêu: vận dụng kiến thức đạo hàm vào làm bài tập 2. Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: dạy học nhóm

+ Hs ghi nhận.

(55p)

3. Hình thức tổ chức hoạt động: Nhiệm vụ được giao cho cả lớp. HS thực hiện công việc theo nhóm.

4. Phương tiện dạy học: phiếu học tập, máy chiếu.

5. Sản phẩm: Bài báo cáo kết quả hoạt động nhóm.

Nội dung kiến thức

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Câu 1: Bằng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = 7 + x − x 2 tại

+ GV yêu cầu hs nhắc lại các bước tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa.

- Thực hiện nhiệm vụ học tập

x0 = 1

- Chuyển giao nhiệm vụ học tập: - Nhận xét, đánh giá.

- Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ - Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm cụ của HS

Câu 2: Tìm đạo hàm của các hàm s ố:

b) y =

1 2 x

+ a 3 (a là hằng số)

2

c) y =

x − 2x +1 x +1

d) y = (x2 + 1)(3 – 2x2) + Gv phát phiếu học tập 3:

- Các nhóm thảo luận. Đại diện nhóm trả lời.

- Các nhóm khác nhận xét.

- Chuyển giao nhiệm vụ học tập: phát phiếu học tập - Nhận xét, đánh giá.

a) y = 3x5 ( 8 − 3 x 2 )

- Trao đổi thảo luận.

- Thực hiện nhiệm vụ học tập

- Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ - Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ của HS

- Trao đổi thảo luận.

- Chuyển giao nhiệm vụ học tập: phát phiếu học tập

- Các nhóm thảo luận. Đại diện nhóm trả lời.

- Nhận xét, đánh giá.

- Các nhóm khác nhận xét.

- Theo dõi, hướng dẫn, giúp đỡ HS thực hiện nhiệm vụ

- Thực hiện nhiệm vụ học tập

- Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ của HS

- Trao đổi thảo luận.

- Các nhóm thảo luận. Đại diện nhóm trả lời.

- Các nhóm khác nhận xét.

4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG: 4.1 . VẬN DỤNG VÀO THỰC TẾ:

(15p)

1. Các em đều biết, khi ngồi trên xe máy mà nhìn đồng hồ công-tơ-mét thì sẽ biết rằng xe đang di chuyển với vận tốc bao nhiêu. Nhưng, các chú công an giao thông không … ngồi trên xe chúng ta mà tại thời điểm bóp cò, cái súng tốc độ ấy lại biết xe chúng ta đang chạy với tốc độ bao nhiêu. Cái súng ấy đã hoạt động như thế nào? Cơ sở toán học của nó là gì?

- Đạo hàm cho ta biết tốc độ thay đổi của một đại lượng so với đại lượng khác ở vài vị trí hay điểm riêng biệt (nên ta gọi là "tốc độ thay đổi tức thời").

- Như ta đã biết, vận tốc chính là thương số giữa quãng đường và thời gian vật đi hết quãng đường đó, nhưng điều này chỉ đúng khi vận tốc là hằng số cố định (hay vật chuyển động đều). Ta cần một công thức khác khi vận tốc thay đổi theo thời gian.

- Nếu ta có biểu thức cho s (quãng đường) theo t (thời gian) thì vận tốc ở bất kỳ thời điểm nhỏ t nào ∆s được tính bởi: v = lim ∆t →0 ∆t f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y Mà ta đã học: f '( x0 ) = lim = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x 2. Số lượng vi khuẩn sau t giờ trong 1 thí nghiệm ở phòng thí nghiệm đã được kiểm soát là: n = f (t ). Ý nghĩa của đạo hàm f '(5) là gì? Đơn vị của nó là gì?

- Ý nghĩa của đạo hàm f '(5) là sự thay đổi số lượng vi khuẩn theo thời gian tại thời điểm t = 5 .

- Đơn vị là con/giờ.

4.2. PHỤ LỤC PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 Câu 1: Bằng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = 7 + x − x 2 tại x0 = 1

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 Câu 2: Tìm đạo hàm của các hàm số: 5

2

a ) y = 3 x ( 8 − 3 x ) b) y = 2

2x )

1 2 x

3

+ a (a là hằng số)

x2 − 2x +1 c) y = x +1

d) y = (x2 + 1)(3 –

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 (Câu hỏi trắc nghiệm) Câu 1: Cho hàm số f(x) = -2x2 + 3x. Hàm số có đạo hàm f’(x) bằng: A. 4x - 3

B. -4x + 3

C. 4x + 3

D. -4x - 3

Câu 2: Cho hàm số f(x) = 2x3 + 1. Giá trị f’(-1) bằng: A. 6

B. 3 1

Câu 3: Cho hàm số y =

A.

x2 + 1

x

B. −

( x 2 + 1) x 2 + 1

Câu 4: Cho hàm số y =

. Đạo hàm y’ của hàm số là x ( x 2 + 1) x 2 + 1

B. 3

Câu 5: Cho hàm số f(x) = 1 2

C.

x 2( x 2 + 1) x 2 + 1

C. ∅

C. 0

x2 + 1

D. ℝ

D. Không tồn tại

x . Tập nghiệm của bất phương trình f ′( x) ≤ 0 là x +1  1  B.  ; +∞   2 

 1 C.  −∞; 3  2 

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (3 tiết) I. Mục tiêu của bài 4. Kiến thức: Học sinh cần nắm được:

sinx = 1. x→0 x lim

- Các công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác .

5. Kỹ năng:

x( x 2 + 1)

3

............HẾT............

-

D. −

x − 1 . Đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:

B. 1

Câu 6: Cho hàm số f ( x) =  1 A.  −∞;  2 

D. -6

3 . Để y′ < 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

1− x

A. 1

A.

C. -2

 1  D.  3 ; +∞   2 

- Học sinh biết vận dụng thành thạo các công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác vào việc giải các bài tập liên quan.

6. Thái độ: - Rèn luyện cho học sinh thái độ tích cực và hăng say trong học tập.

7. Định hướng phát triển năng lực: - Thông qua bài học nhằm giúp học sinh phát triển năng lực hợp tác làm việc nhóm, năng lực tư duy logic, tìm tòi sáng tạo, và năng lực vận dụng vốn kiến thức đã có vào việc giải quyết các vấn đề mới phát sinh.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên: - Giáo án, đồ dùng dạy học, phiếu học tập.

- Chia lớp học thành 6 nhóm và giao nhiệm vụ cho các nhóm.

2. Học sinh: - Sách giáo khoa, dụng cụ học tập.

- Học bài cũ và chuẩn bị bài mới.

- Hoàn thành các nhiệm vụ được giao.

III. Chuỗi các hoạt động dạy học

1. GIỚI THIỆU (2’) HĐ1: Tiếp cận Quan sát

HĐ1.1:

Gợi mở

Một con lắc đơn có phương trình giao động

π  S = 2 2cos  7t +  . Tính vận tốc của 4  con lắc tại thời điểm t = 60s . là

HĐ1.2:

Làm thế nào để tính được chiều dài ngắn nhất của thang để thang có thể tựa và tường, mặt đất và đỉnh của trụ đỡ? Biết trụ

Tường

đỡ có chiều cao 3 3 m và được đặt cách tường 1m.

Trụ Thang

HĐ1.3: Cho hàm số y = sin 2 x − 2cos x

Giải phương trình y ' = 0 ?

Giao nhiệm vụ cho các nhóm chuẩn bị ở trước ở nhà.

HĐ1.1: Nhóm 1, 2.

HĐ1.2: Nhóm 3,4.

HĐ1.3: Nhóm 5,6.

2. NỘI DUNG BÀI HỌC Tiết 1

sinx . (13’) x→0 x

1. Giới hạn lim

+) HĐ1: Tiếp cận Tất cả các nhóm cùng thực hiện.

HĐ1.1. Dùng MTBT tính giá trị bảng sau: x 0.1

0.01

0.001

Gợi ý

sinx theo x 0.0001

sinx x HĐ1.2. Từ bảng tính trên hãy nhận xét giá trị của

sinx thay đổi như thế nào khi x dần về 0? x

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Từ nhận xét trên ta suy ra định lí sau:

sinx =0 x→0 x

Định lí 1: lim

sinu ( x ) = 0 , trong đó u ( x ) ≠ 0 với mọi x ≠ x0 và lim u ( x ) = 0 . x → x0 u ( x ) x→ x0

Chú ý: lim

Ví dụ Nhóm 1,2: Thực hiện VD1.

Nhóm 3,4: Thực hiện VD2.

Nhóm 5,6: Thực hiện VD3.

Gợi ý

sinx . x→0 2x

VD1: Tính giới hạn: lim

sinx 1 sinx = lim =? x →0 2x 2 x →0 x

lim

Biến đổi hàm số?

tanx x→0 x

tanx sinx sinx 1 = lim = lim( . )=? x →0 x →0 x.cosx x →0 x x cosx

VD2: Tính giới hạn: lim

sin( VD3: Tính giới hạn: lim x→

π

4

lim

π

π 4

4

− x) Khi x →

−x

π 4

thì

π 4

+) HĐ3: Củng cố.

Nhóm 5,6: Thực hiện HĐ3.1.

Nhóm 3,4: Thực hiện HĐ3.2.

Nhóm 1,2: Thực hiện HĐ3.3.

sin2x HĐ3.1. Tính lim . x→0 x

− x→?

Gợi ý

1/ u(x) = ?

2/

sin2x sin2x sin2x = lim 2. = 2lim =? x →0 x →0 x →0 x 2.x 2x

lim

1/ Hãy biến đổi 1-cosx về sin ?

2/

1- cos3x . x→0 x2

HĐ3.2. Tính lim

tan2x x→0 x

HĐ3.3. Tính lim

1-cos3x = lim x →0 x →0 x2

lim

2sin 2 x2

3x 2 2

3x 2 3x   2 2(sin ) sin 3 2 = 9 lim  2  =? = lim     x →0 2 2 x →0  3 x    ( 3 x)2 2  2  tan2x sin2x = lim = ... x →0 x →0 x.cos2x x

lim

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx . (30’) +) HĐ1: Tiếp cận Tất cả các nhóm cùng chuẩn bị.

Gợi ý

HĐ1.1. Nhắc lại các bước tìm đạo hàm của hàm số y = f ( x ) bằng định nghĩa?

Bước 1 HĐ1.2. Hãy áp dụng định nghĩa để tìm đạo hàm của hàm số y = sinx .

2 3 4

y = f(x)

y = sinx

Tính ∆y

∆y ∆x ∆y Tính lim ∆x →0 ∆x Lập tỉ số

KL

HĐ1.3. Nêu quy tắc đạo hàm của hàm hợp? Áp dụng tìm đạo hàm của hàm số y = sin u , với u = u (x) ?

+) HĐ2: Hình thành kiến thức. Định lý 2: Hàm số y = sin u có đạo hàm tại mọi x ∈ R và

(sinx)′ = cos x Chú ý: (sinu)′ = u′.cosu , với u = u (x) .

Ví dụ Nhóm 1,2: Thực hiện VD1.a,c.

Nhóm 3,4: Thực hiện VD.b,d.

Nhóm 5,6: Thực hiện VD2.

Gợi ý

VD 1: Tìm đạo hàm của các hàm số: a/ y = 2sinx-5 ; b/ y = x sin x ;

π  − x. 2 

c/ y = 2sin5xcos2x ; d/ y = sin 

VD 2: Hàm số y =

sin x có đạo hàm là: x

1/ Nhắc lại quy tắc tìm đạo hàm của tích hai hàm số?

2/ Nhắc lại công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng?

3/ Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng để biến đổi hàm số ở câu c/ ?

4/ Xác định hàm số u ở câu d/?

Chú ý: Đối với các hàm số LG phức tạp ta nên biến đổi hoặc rút gọn trước khi đạo hàm.

Nhắc lại quy tắc tìm đạo hàm của tích hai hàm số?

x sin x − cos x x cos x − sin x . B. y ′ = .

2 x x2 x cos x + sin x x sin x + cos x C. y ′ = . D. y ′ = .

2 x x2 +) HĐ3: Củng cố.

Nhóm 1,3,5: Thực hiện HĐ3.1.

Nhóm 2,4,6: Thực hiện HĐ3.2.

A. y ′ =

HĐ3.1. Đạo hàm của hàm số y = sin

Gợi ý

x

là:

A. y = cos x ; B. y = C. y =

cos x x

1/ Xác định hàm số u = ?

2/ ( x ) ' = ?

cos x 1 ; D. cos 2 x 2 x

HĐ3.2. Tìm đạo hàm của hàm số

y = tan x.cos 2 x

Rút gọn hàm số?

Kiểm tra sản phẩm hoạt động nhóm được giao về nhà ở tiết trước. Hướng dẫn HS tiếp tục hoàn thiện sản phẩm.

Tiết 2 3. Đạo hàm của hàm số y = cosx . (15’) +) HĐ1: Tiếp cận Tất cả các nhóm cùng thực hiện.

Gợi ý 1/ Nhắc lại mối liên hệ giữa GTLG của hai cung phụ nhau?

HĐ1.1. Tính đạo hàm của hàm số y = cosx .

π  − x = ? 2 

⇒ sin 

3/ Dựa vào kết quả câu d/ VD1 mục 2 để suy ra kết quả.

HĐ1.2. Tìm đạo hàm của hàm số y = cosu , với

u = u (x) ? +) HĐ2: Hình thành kiến thức. Định lý 3: Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi x ∈ R và

(cos x)′ = − sin x Chú ý: (cos u)′ = −u′.sinu , với u = u (x) .

Ví dụ Nhóm 1,2: Thực hiện VD1.a,c.

Nhóm 3,4: Thực hiện VD.b,d.

Nhóm 5,6: Thực hiện VD2.

Gợi ý

VD 1: Tính đạo hàm các hàm số: a/ y = −3sinx-5cosx-3 ; b/ y = cos(3x-

sinx c/ y = ; cosx

π 6

) ; Nhắc lại quy tắc tìm đạo hàm của thương hai

cosx d/ y = sinx

hàm số?

VD 2: Đạo hàm của hàm số y = cos 4 x là: A. y′ = − sin 4 x .

B. y′ = 4sin 4 x .

C. y′ = −4sin 4 x .

D. y′ = − sin 4 x .

1 4

+) HĐ3: Củng cố.

Nhóm 3,4,: Thực hiện HĐ3.1.

Nhóm 1,2,:Thực hiện HĐ3.2. (Đã chuẩn bị trước) Nhóm 5,6: Thực hiện HĐ3.3. (Đã chuẩn bị trước) 2

Gợi ý

A. y ' = sin x .

B. y ' = − sin x

1/ Nhắc lại quy tắc tìm đạo hàm của hàm hợp?

2/ Đặt u = cosx

C. y ' = sin 2 x .

D. y ' = − sin 2 x

Ta có: y ' = (u ) ' = ...

HĐ3.1. Tìm đạo hàm của hàm số y = cos x .

2

2

2

HĐ3.1. Một con lắc đơn có phương trình giao động

π  S = 2 2cos  7t +  . Tính vận tốc của con Mối liên hệ giữa vận tốc tức thời và quảng 4  đường tại thời điểm đó của vật? lắc tại thời điểm t = 60s . là

HĐ3.3. Giải phương trình y ' = 0 biết

y = sin 2 x − 2cos x .

1/ Tìm y’?

2/ Giải pt: y’ = 0?

4. Đạo hàm của hàm số y = tan x . (15’) +) HĐ1: Tiếp cận

Gợi ý

HĐ1.1. Tìm đạo hàm của hàm số y = tan x

Dựa vào kết quả câu c/ VD1 mục 3 để suy ra kết quả.

HĐ1.2. Tìm đạo hàm của hàm số y = tan u , với u = u (x) ?

+) HĐ2: Hình thành kiến thức. Định lý 4: Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi

Chú ý:

(tan x)′ =

1 cos 2 x

(tan u)′ =

u′ , với u = u (x) cos 2 u

x ∈ R \  + kπ  và π

2



VD: Tính đạo hàm của các hàm số: 5

3 a/ y = tan 2 x − 1 ; b/ y = tan (x) ; c/ y = tan(

(

)

π 2

− x)

Cả lớp cùng thực hiện. +) HĐ3: Củng cố.

Nhóm 2,3: Thực hiện HĐ3.1.

Nhóm 4,5: Thực hiện HĐ3.2.

Nhóm 1,6: Thực hiện HĐ3.3.

Gợi ý

HĐ3.1. Tính đạo hàm của các hàm số

x+2 y = tan 3

Đặt u =

x+2 3

HĐ3.2. Tính đạo hàm của các hàm số Đặt u = tan 2 x

y = tan 2 x

y ' = ( u ) ' = ...

HĐ3.3.

1 − 2sin 2 x = ?

y=

Tính đạo hàm của các hàm số

sin 2 x 1-2sin 2 x

Rút gọn hàm số?

5. Đạo hàm của hàm số y = cot x . (15’) +) HĐ1: Tiếp cận

Gợi ý

HĐ1.1. Tìm đạo hàm của hàm số y = cot x

Dựa vào kết quả câu d/ VD1 mục 3 hoặc câu c/ VD1 mục 4 để suy ra kết quả.

HĐ1.2. Tìm đạo hàm của hàm số y = cot u , với u = u (x) ?

+) HĐ2: Hình thành kiến thức. Định lý 5: Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi

Chú ý:

(cot x)′ = −

1 sin 2 x

(cot u)′ = −

u' , với u = u (x) . sin 2 u

x ∈ R \ {kπ } và

VD: Tính đạo hàm của các hàm số:

(

3

)

3

a/ y = cot 2 x − 1 ; b/ y = cot (2 x) ; c/ y = cot(

π 3

− 2 x) .

Cả lớp cùng thực hiện. +) HĐ3: Củng cố.

Nhóm 3,4: Thực hiện HĐ3.1.

Nhóm 5,6: Thực hiện HĐ3.2.

Nhóm 1,2: Thực hiện HĐ3.3.

HĐ3.1. Tính đạo hàm của các hàm số

y = cot(sin 5 x) HĐ3.2.

Gợi ý

Đặt u = sin 5 x

Tính đạo hàm của các hàm số 2

cos x − sin 2 x y= sinxcosx

Rút gọn hàm số?

HĐ3.3.

Giải

phương

trình

y' = 0

y = tan 2 x + cot 2 x

biết 1/ Tìm y’?

2/ Giải pt: y’ = 0?

Kiểm tra sản phẩm hoạt động nhóm được giao về nhà của nhóm 3,4. Hướng dẫn HS tiếp tục hoàn thiện.

Tiết 3 III. LUYỆN TẬP. HĐ1: Hệ thống lí thuyết (5’) Tổ chức cho học sinh chơi trò chơi thiết kế trên giáo án điện tử powerpoint sau đó GV hệ thống lí thuyết thành bảng sau: Công thức đạo hàm:

( sin x ) ' = cos x ( cos x ) ' = − sin x

( sin u ) ' = u '.cos u ( cos u ) ' = −u '.sin u

1 = 1 + tan 2 x 2 cos x 1 ( cot x ) ' = − 2 = − (1 + cot 2 x ) sin x

( tan x ) ' =

1 .u ' = (1 + tan 2 u ) u ' 2 cos u 1 ( cot u ) ' = − 2 .u ' = − (1 + cot 2 u ) u ' sin u

( tan u ) ' =

HĐ2: Bài tập trắc nghiệm (30’) Tất cả các nhóm chuẩn bị trước ở nhà Câu 1. Tìm đạo hàm của hàm số y = 3sin x − 5cos x .

A. y ' = −3cos x + 5sin x .

B. y ' = 3cos x − 5sin x .

C. y ' = −3cos x − 5sin x .

D. y ' = 3cos x + 5sin x .

π  − 2x  . 2  B. y ' = −2sin 2 x .

Câu 2. Tìm đạo hàm của hàm số y = sin  A. y ' = 2sin 2 x .

π  − 2x  . 2 

C. y ' = cos 

Câu 3. Tìm đạo hàm của hàm số A. y ' = C. y ' =

− sinx sin 2 ( cosx ) −1 sin 2 ( cosx )

. .

π  − 2x  . 2 

D. y ' = 2cos 

y = cot ( cosx ) .

B. y ' = D. y ' =

sinx sin 2 ( cosx ) 1 sin 2 ( cosx )

. .

Câu 4. Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = t anx tại điểm có hoành độ

x0 =

π 4

.

A. 2 .

B. 3.

Câu 5. Cho hàm số A. 2.

C. 1.

D. 0.

π  f ( x ) = sin 4 x cos 4 x . Tính f '   . 3 B. -2.

C. 1.

Câu 6. Tìm đạo hàm của hàm số y =

D. -1.

sinx + cos x . sinx-cos x

2 . (sinx+cos x) 2 2 C. y = . (sinx-cos x) 2

−2 . (sinx+cos x) 2 −2 D. y = . (cosx - sinx)2

A. y =

B. y =

2

2

Câu 7. Tìm đạo hàm của hàm số y = t an x - cot x .

A. y ' = 2 t anx - 2cotx .

B. y ' =

2 t anx 2cot x + . cos 2 x sin 2 x

2 t anx 2cot x 2 t anx 2cot x − .

D. y ' = − − .

2 2 cos x sin x cos 2 x sin 2 x Câu 8. Cho y = sin 3 x − cos3x - 3x + 2018 . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình y ' = 0 . k2π π k2π k2π π k2π + + A. và .

B. và .

3 6 3 3 3 3 C. y ' =

C. k2π và

π 2

+ k2π .

D. k2π và

π 6

+ k2π .

Câu 9. Cho hàm số y = t anx + cotx . Họ nghiệm của phương trình y ' = 0 là: A. Câu

π 2

+ kπ . B.

10.

Cho

π 2

+ k 2π .

hàm

số

C.

π 4

+ kπ .

f ( x ) = sinx - msin2x -

f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ .

A. m ≤ 1 .

B. m ≤ −1 .

D.

π 4

+

kπ .

2

1 sin 3x + 2mx . Xác định m để 3

C. m ≥ 1 .

D. m ≥ −1 .

HS trình bày, GV nhận xét, bổ sung.

Hướng dẫn HS sử dụng máy tính Casio và một số phương pháp trả lời nhanh câu hỏi trắc nghiệm.. Đáp số Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ĐA

D

B

B

A

B

D

B

A

IV. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG. 1. Vận dụng vào thực tế (5’) Bài toán

Gợi ý

Bài toán 1: Điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q ( t ) = Q0 sin ωt .

Biết

Q0 = 10−8 C ,

ω = 10 6 π rad/s. Hãy tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6s.

I ( t ) = q '( t )

Bài toán 2: Một con lắc đơn có phương trình

π  S = 2 2cos  7t +  . Tính 4  vận tốc của con lắc tại thời điểm t = 60s . giao động là

v ( t ) = S '(t )

2. Mở rộng (5’) Bài toán

Gợi ý

D

C

A Tường

N

M Trụ

3 3m Thang

α

Bài toán 1: Xác định chiều dài ngắn nhất của thang để thang có thể tựa và tường, mặt đất và đỉnh của trụ đỡ. Biết trụ đỡ có chiều cao

3 3 m và được đặt cách tường 1m.

A.

7 .

2

B. 4 2 .

C.

1m

D

1/ Tính chiều dài AC theo α ?

2/ Chú ý: f ' ( x ) >0 trên

Bài toán 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số sau, với u = u (x) và

n ∈ ℕ, n ≥ 2 . a/

y = sin n u

b/ y = cos

c/

y = tan n u

d/ y = cot

n

u

n

u

C

( a; b ) thì f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) ; f ' ( x ) <0 trên ( a; b ) thì f ( x ) nghịch biến trên ( a; b ) .

(HS có thể làm cách khác) 3/ Đáp án: C

D. 8 2 .

5.

B

TÊN BÀI (CHỦ ĐỀ):ĐẠO HÀM CẤP HAI I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: - Hiểu rõ định nghĩa và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

- Cách tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp cao.

2. Kĩ năng: - Tính thành thạo đạo hàm cấp một, cấp hai.

- Biết cách tính gia tốc của chuyển động trong các bài toán vật lí.

3. Thái độ: - Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tư duy có hệ thống.

4. Định hướng phát triển năng lực: - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình.

II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH: 1. Giáo viên - Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học.

- Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề.

2. Học sinh - Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập. Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm sau khi đã thảo luận và thống nhất.

- Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn.

- Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập.

III. HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC: 1.Tiếp cận bài học. (7’) * Chuyển giao nhiệm vụ học tập Cho học sinh nhắc lại câu chuyện dân gian Rùa và Thỏ chạy đua. Rút ra ý nghĩa của câu chuyện.

Bây giờ ta chuyển thành bài toán vật lí lớp 10 đã học. Giã sử trong cuộc thi chạy đua của Rùa và Thỏ, hai con cùng xuất phát tại vị trí A. Sau 30 giây Thỏ chạy đến điểm B và đạt vận tốc 3(m/s).

Sau 40 giây Thỏ chạy đến điểm C và đạt vận tốc 5(m/s). Tính gia tốc của Thỏ chạy là bao nhiêu? * Thực hiện nhiệm vụ học tập Cho học sinh thảo luận và trình bày lời giải của mình * Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận Gọi học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm. * Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập

Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Cho học sinh nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai.

- Giáo viên chính xác hóa bài giải: Theo vật lí 10 ta đã học ta chọn mốc thời gian là lúc xuất phát

t0 = 30( s ); v0 = 3(m / s ) Theo đề:  . Ta có công thức gia tốc là: t = 40( s ); v = 5(m / s ) a=

v − v0 5−3 2 = = = 0, 2(m / s 2 ) t − t0 40 − 30 10

Vậy gia tốc trong toán học sẽ được tính như thế nào. Đó là ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai ta sẽ học trong bài này.

2.Nội dung bài học: *Hoạt động 2: (8’) Định nghĩa đạo hàm cấp hai. a)Tiếp cận kiến thức: Tính đạo hàm của các hàm số: 1. a) f ( x) = x 3 − 3 x 2 + x − 2018

b) g ( x) = 3 x 2 − 6 x + 1

2. a) f ( x) = s inx

b) g ( x) = cosx

- Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào giấy (nhóm I, II làm bài 1); nhóm III,IV làm bài 2)) - Gọi 2 học sinh nhóm I,III lên trình bày lời giải và giải thích bài làm.

- Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được.

- Cho 2 học sinh nhóm II,IV nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai. b)Hình thành kiến thức: Từ bài 1. ta có: f '( x) = 3 x 2 − 6 x + 1 và g '( x) = 6 x − 6 Từ bài 2. ta có: f ( x) ' = cos x và 4) g '( x) = − s inx - Cho học sinh nhận xét mối quan hệ giữa các hàm số g '( x) ; f '( x) và f ( x) trong mỗi bài trên. * Nhận xét thấy f '( x) = g ( x) ; từ đó suy ra [ f '( x)] ' = g '( x) Vậy ta thấy [ f '( x) ] ' là đạo hàm 2 lần của f ( x) .

*Định nghĩa: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f và kí hiệu là f '' , tức là: f '' = ( f ') ' c)Cũng cố: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 1 4 x − 2 x 2 + 2018 2) y = cos 2019 x 3) y = x 4) y = x.s inx 4 - Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày kết quả. Nhóm khác nhận xét. Giáo viên nhận xét và kết luận.

1) y =

Lời giải: 1) y ' = x 3 − 4 x ⇒ y '' = 3 x 2 − 4 2) y ' = −2019.sin 2019 x ⇒ y '' = −4076361.cos 2019 x

3) y ' =

1 2 x

⇒ y '' = −

1 4x x

4) y ' = sinx + x.cosx ⇒ y '' = cosx + cosx − x.sinx = 2cosx − x.sinx

*Hoạt động 3: (5’) Đạo hàm cấp cao. a)Tiếp cận kiến thức: Từ kết quả đạo hàm cấp hai của hàm số: 1) y =

1 4 x − 2 x 2 + 2018 cho học 4

sinh tính đạo hàm lần 3, lần 4.

- Gọi học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm.

- Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Cho học sinh nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai. b)Hình thành kiến thức: Từ bài trên ta có: n −1 *Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp n − 1(n ∈ N , n ≥ 4) . Kí hiệu f ( ) ( x ) . Nếu

f(

n −1)

có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f ( x ) .

( x)

Kí hiệu: f (

n)

( x ) hoặc

y ( n ) . Viết: f (

n)

( x ) =  f ( n−1) ( x ) ′ .

3 *Chú ý: Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f ( x ) là f ′′′ ( x ) hoặc f ( ) ( x ) hay y′′′ .

c)Cũng cố: Tính đạo hàm cấp ba của các hàm số sau: 1) y = x5 − 5 x 3 + 2018 x 2 + x − 2

2) y = sin 2 x

- Cho học sinh thảo luận và trình bày kết quả. Học sinh khác nhận xét. Giáo viên nhận xét và kết luận.

Lời giải: 1) y ' = 5 x 4 − 15 x 2 + 4036 x + 1 ⇒ y '' = 20 x3 − 30 x + 4036 ⇒ y ''' = 60 x 2 − 30 2) y ' = 2co s 2 x ⇒ y '' = −4sin 2 x ⇒ y ''' = −8cos 2 x

*Hoạt động 4: (10’) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. a)Tiếp cận kiến thức: Cho học sinh nhắc lại định nghĩa của đạo hàm và ghi lại công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa.

-Học sinh khác nhận xét bài bạn -Giáo viên chính xác hóa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b) .

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 ) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số x − x0

y = f ( x) tại điểm x0 Kí hiệu:

f′(x0) = lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

Đặt ∆x = x − x0 là số gia của đối số tại x0 và ∆y = f ( x) − f ( x0 ) là số gia của hàm số tại x0 .

∆y = f '( x0 ) = y '( x0 ) ∆x →0 ∆x

Khi đó : lim

b)Hình thành kiến thức: Từ ví dụ ban đầu ta có a =

v − v0 là gia tốc. Vậy nếu một chất điểm t − t0

chuyển động với pt: s = s (t ) thì vận tốc tại thời điểm t0 của chất điểm đó là v(t0 ) = s '(t0 ) - Nếu t0 nhận một số gia ∆t = t − t0 thì v(t0 ) nhận số gia là ∆v = v(t0 + ∆t ) − v(t0 )

∆v = v '(t0 ) = a(t0 ) là gia tốc tức thời của chuyển động. ∆t → 0 ∆t

Vậy theo định nghĩa đạo hàm ta có: lim

*Ý nghĩa: Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s = s (t ) với s (t ) là hàm số có đạo hàm cấp hai.

Khi đó gia tốc tức thời a (t0 ) của chuyển động tại thời điểm t0 bằng đạo hàm cấp hai của hàm số s (t ) tại thời điểm t0 kí hiệu là: a (t0 ) = s ''(t0 ) . Vậy a (t0 ) = v '(t0 ) = s ''(t0 ) *Chú ý: Gia tốc tại thời điểm t0 đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm

đó. c)Cũng cố: 1) Phương trình chuyển động của một chất điểm là: s (t ) = 5t − 3t 2 ( với s tính bằng mét(m); t > 0 tính bằng giây (s)). Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 4( s ) .

2) Phương trình chuyển động của một chất điểm là: s (t ) = t 3 + 4t 2 − 2018 ( với s tính bằng mét(m); t > 0 tính bằng giây (s)). a)Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 4( s ) . b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11(m/s).

- Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào giấy (nhóm I, II làm bài 1); nhóm III,IV làm bài 2)) - Gọi 2 học sinh nhóm I,III lên trình bày lời giải và giải thích bài làm.

- Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được.

- Cho 2 học sinh nhóm II,IV nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai.

Lời giải: 1) s '(t ) = 5 − 6t ⇒ a (t ) = s ''(t ) = −6 2.a) s '(t ) = 3t 2 + 8t ⇒ a (t ) = s ''(t ) = 6t + 8 ⇒ a (4) = 32(m / s 2 )

t = 1(nh) 2.b) v(t ) = s '(t ) = 3t + 8t = 11 ⇔ 3t + 8t − 11 = 0 ⇔  . Vậy 11 t = − (l ) 3  2

a (1) = 6.1 + 8 = 14(m / s 2 )

3.Luyện tập, cũng cố: (10’)

2

Cho học sinh nhắc lại định nghĩa đạo hàm cấp hai, cấp 3,…và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cáp hai.

Bài tập rèn luyện: - Cho 4 nhóm thảo luận và trình bày lời giải của mình vào giấy (nhóm I bài 1-2); nhóm II làm bài 3-4); nhóm III làm bài 5-6); nhóm IV làm bài 7-8)) - Gọi mỗi nhóm đại diện 1 học sinh lên trình bày lời giải và giải thích bài làm.

- Giáo viên và học sinh còn lại quan sát theo dõi bài làm của bạn. Nếu học sinh làm chưa chính xác giáo viên hướng dẫn để học sinh giải được.

-Cho học sinh trong nhóm bổ sung nhận xét và điều chỉnh bài làm của bạn nếu sai.

5

Câu 1: Cho f ( x ) = ( 2 x − 3) . Tính f ′′′ ( 3) .

A. 4230 .

B. 4320 .

Câu 2: Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = sin x là: 5π  A. y (3) = sin  x + 2  3π   y (3) = sin  x + .

2  

C. 4204 .

π   (3) (3)  . B. y = sin  x +  . C. y = sin ( x + π ) .

2  

D. 4132 .

D.

Câu 3: Cho hàm số y = 2 x − x 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. y 3 . y′′ + 1 = 0 .

B. y 2 . y′′ − 1 = 0 .

C. 3 y 2 . y′′ + 1 = 0.

D.

2 y 3 . y′′ + 3 = 0.

Câu 4: Phương trình chuyển động của một chất điểm s = t 3 − 3t 2 − 9t + 2 (s tính bằng mét, t >0 tính bằng giây). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0.

A. 10 m / s 2 .

B. 12 m / s 2 .

C. 8 m / s 2 .

D. 16 m / s 2 .

Câu 5: Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp hai là 6x ?

A. y = 3x2 .

B. y = 2 x3 .

C. y = x3 .

D. y = x2 .

Câu 6: Cho hàm số y = sin 2 x . Đẳng thức nào sau đây là đúng với mọi x ?

2

A. y 2 + ( y ′ ) = 4 .

B. 4 y + y ′′ = 0 .

C. 4 y − y ′′ = 0 .

D. y = y ′. tan 2 x .

Câu 7: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t 3 − 2t 2 + 4t + 1 trong đó t là giây, s là mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 2 là: A. 12 m / s .

B. 8 m / s .

C. 7 m / s .

D. 6 m / s .

3 2 Câu 8: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = −t + 9t + t + 10 trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét. Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là: A. t = 5 s .

B. t = 6 s .

C. t = 2 s .

D. t = 3 s .

Hướng dẫn giải: Câu 1: Đáp án B. Ta 4 3 2 có: f ′ ( x ) = 10 ( 2 x − 3) , f ′′ ( x ) = 80 ( 2 x − 3) , f ′′′ ( x ) = 480 ( 2 x − 3) ⇒ f ′′′ ( 3) = 4320 Câu

2:

Đáp

án

D.

π π   y′′ = cos  x +  = sin ( x + π ) = sin  x + 2  2 2  

Ta

có:

π  y ′ = cos x = sin  x +  2 

nên :

3π   y ′′′ = cos ( x + π ) = sin  x +  2  

Câu 3: Đáp án A. Ta có: y′ =

Thay vào: y 3 . y′′ + 1 =

1− x 2 x − x2

1

, y′′ = −

2 3

( 2x − x ) 2

( −1)

3

(2x − x ) .

2

(2x − x )

3

+ 1 = −1 + 1 = 0.

 t = −1( l ) Câu 4: Đáp án B. Ta có: v ( t ) = s′ ( t ) = 0 ⇔ 3t 2 − 6t − 9 = 0 ⇔  t = 3

⇒ γ (3) = 12m / s 2 .

Câu 5: Đáp án C. Ta có: y = x3 , y′ = 3x 2 , y′′ = 6 x Câu 6: Đáp án B. Ta có: y′ = 2 cos 2 x, y′′ = −4 sin 2 x ⇒ 4 y + y ′′ = 0 Câu 7: Đáp án B. Ta có: s′ ( t ) = 3t 2 − 4t + 4, s′′ ( t ) = 6t − 4 .Vậy gia tốc γ ( 2 ) = s′′ ( 2 ) = 8 ( m / s 2 ) 2

Câu 8: Đáp án D. Ta có: v ( t ) = s′ ( t ) = −3t 2 + 18t + 1 = −3 ( t 2 − 6t + 9 ) + 28 = 28 − 3 ( t − 3) ≥ 28 Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 3s .

4.Vận dụng và mở rộng: (5’) a) Vận dụng vào thực tế: Vận dụng đạo hàm cấp 2 vào tính gia tốc của một chuyển động. b) Mở rộng, đào sâu:

Câu 1. Tính tổng S = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − ... + ( −1)

n −1

.n.Cnn .

A. 0 .

B. 1 .

C. 10 .

D. 100 .

1 2 3 n Câu 2. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 1.Cn + 2.Cn + 3.Cn + ... + n.Cn = 11264 .

A. n = 9 .

B. n = 10 .

C. n = 11 .

D. n = 12 .

Hướng dẫn giải: n

Câu 1. Đáp án A. Từ nhị thức (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x1 + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n (*) lấy đạo hàm hai vế: n (1 + x )

n −1

= Cn1 + 2 xCn2 + 3 x 2Cn3 + ... + nx n −1Cnn ( **) .

Thay x = −1 ta được S = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − ... − ( −1)

n −1

Cnn = 0 .

n

Câu 2. Đáp án C. Xét khai triển nhị thức (1 + x ) . Lấy đạo hàm bậc nhất hai vế ta được n (1 + x )

n −1

= Cn1 + 2 xCn2 + 3 x 2Cn3 + ... + nx n −1Cnn

Cho x = 1 ta được 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = n.2n−1 = 11264 ⇒ n = 11