Đề Toán - Tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2010 - 2014 (Có đáp án)

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25 tháng 6 năm 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

ĐỀ CHÍNH THỨC

U Y

B

A = 36 x − 5y .

10 00

Câu 4: (3,0 điểm) Cho ∆ABC cân tại C có CD là đường trung tuyến. Gọi (O1 ; R1 ) là đường tròn đường

Ó

A

kính AD và (O2 ; R2 ) là đường tròn đi qua A, tiếp xúc với CD tại C. Gọi E là giao điểm thứ

H

hai (khác A) của (O1 ; R1 ) với (O2 ; R2 ) .

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

1. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp được.

2. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm A, E, I thẳng hàng. Tính số đo biết CD = 2 AD . góc BCE ID OO 3. Gọi H là giao điểm của O1O2 với AE. Chứng minh rằng: = 1 2 , từ đó suy IH R1 + R2

D

IỄ N

Đ

ra: E là trọng tâm của ∆ACD khi và chỉ khi O1O2 =

3 ( R1 + R2 ) .

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

Câu 3: (2,0 điểm) Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ G N H Ư

1 1 1 x + y + z =3  2. Giải hệ phương trình:   2 − 1 =9  xy z 2

ẠO

1. Giải phương trình: ( x − 2)( x 2 + 6 x − 11)2 = (5x 2 − 10 x + 1)2 .

TP

.Q

Cho (a − 1) và (1 − b) thỏa mãn phương trình: x 3 + 2 x − 2013 = 0 . Tính a + b .

Câu 2: (2,0 điểm)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Câu 1: (2,0 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

Đề thi gồm 01 trang

N

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

Câu 5: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng, cho tập hợp P gồm hữu hạn điểm bất kì không cùng nằm trên một đường thẳng. Xét tất cả các đường thẳng đi qua hai điểm bất kì của P. Chứng minh rằng luôn có ít nhất một đường thẳng chỉ đi qua đúng hai điểm của P. --------------------------- Hết ----------------------------------

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 25 tháng 6 năm 2013 Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang

Ơ

N

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2013 - 2014

⇔ ( a + b − 2) ( a − 1)2 − ( a − 1)(b − 1) + ( b − 1)2  + 2( a + b − 2) = 0 ⇔ ( a + b − 2) ( a − 1)2 − ( a − 1)(b − 1) + ( b − 1)2 + 2  = 0 2

(1)

0,5

2

10 00

B

Mặt khác: (a − 1) − (a − 1)(b − 1) + (b − 1) + 2 =

A

2

y ( y + 2)2 + 6( y + 2) − 11 =  5( y + 2)2 − 10( y + 2) + 1 ⇔ y( y 2 + 10 y + 5)2 = (5 y 2 + 10 y + 1)2 ⇔ y 5 − 5 y 4 + 10 y 3 − 10 y 2 + 5y − 1 = 0

-L ÁN

5

Đ

ÀN

TO

⇔ ( y − 1) = 0 ⇔ y = 1

2 (1,0đ)

0,5 0,25

Ó

H

1 (1,0đ)

Í-

2 (2,0đ)

2

1   3 = (a − 1) − (b − 1) + (b − 1)2 + 2 > 0, ∀a, b .

2   4 Do đó: (1) ⇔ a + b − 2 = 0 ⇔ a + b = 2 . Đặt y = x − 2 , phương trình đã cho trở thành:

Với y = 1 , ta có x − 2 = 1 ⇔ x = 3 . Điều kiện xác định: x, y, z ≠ 0 1 1 1 x + y = 3− z Hệ phương trình tương đương với hệ:   1 =9+ 1 2  xy 2 2 z 1 1 Suy ra , là các nghiệm của phương trình: x y  1  9 1  t 2 −  3 −  t +  + 2  = 0 (2) z   2 2z  

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,25 0,5

TR ẦN

3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇒ (a − 1) + (b − 1) + 2(a + b − 2) = 0 3

H Ư

N

(a − 1)3 + 2(a − 1) − 2013 = 0 3 (1 − b) + 2(1 − b) − 2013 = 0

Từ giả thiết ta có: 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

1 (2,0đ)

IỄ N D

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Hướng dẫn chung: - Lời giải nêu trong HDC này là lời giải vắn tắt. Khi làm bài, học sinh phải nêu đầy đủ và chính xác các suy luận thì mới được điểm tối đa.

- Nếu học sinh thừa nhận kết quả của ý trước để giải ý sau thì không chấm điểm ý sau đó.

- Câu hình học (Câu 4) nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm - Học sinh giải cách khác với cách nêu trong HDC này, mà đúng, thì vẫn được điểm tối đa của phần (câu) tương ứng. Điể Câu Ý Nội dung m

0,25

0,25 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA 2

Hệ có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm ⇔ ∆ = −  + 3  ≥ 0 ⇔ z = − .

3 z 1

Ơ H N U Y

.Q

0,5

C

10 00 A

I

A

-L

Í-

H

Ó

E

H D

B

ÁN

O1

= CAE (cùng chắn cung CE ) Ta có: DCE = DAE = BAE (cùng chắn cung DE ) CDE 0,25 0 = DCE + CDE = CAE + BAE = BAC

Trong ∆CDE có: 180 − CED (3) 0,25 = ABC = DBC

(4) Lại do ∆ABC cân tại C nên BAC 0

Từ (3) và (4) suy ra: CED + DBC = 180 ⇒ Tứ giác BCED nội tiếp được.

0,5 2 2 2 Kéo dài AE cắt CD tại I’ ⇒ I ′C = I ′A.I ′E = I ′D (dùng tam giác đồng (1,25đ) dạng) ⇒ I’ là trung điểm CD. Vậy I ≡ I’, hay A, E, I thẳng hàng.

0,5

Đ

ÀN

TO

1 (1,0đ)

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

G

N

H Ư

0,5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

0,5

Đ

ẠO

0,5

B

O2

TR ẦN

4 (3,0đ)

IỄ N D

0,25

Với x, y ∈ N* thì 36 x có chữ số tận cùng là 6, 5y có chữ số tận cùng

là 5 nên A có chữ số tận cùng là 1 (nếu 36 x > 5y ) hoặc 9 (nếu 36 x < 5y ).

TH 1: A = 1. Khi đó: 36 x − 5y = 1 ⇔ 36 x − 1 = 5y : Điều này không xảy ra do (36 x − 1) ⋮ 35 nên (36 x − 1) ⋮ 7 , còn 5y không chia hết cho 7.

TH 2: A = 9. Khi đó: 5y − 36 x = 9 ⇔ 5y = 36 x + 9 : Điều này không xảy ra do (36 x + 9) ⋮ 9 , còn 5y không chia hết cho 9.

TH 3: A = 11. Khi đó: 36 x − 5y = 11 . Dễ thấy x = 1, y = 2 thỏa mãn.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 11.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3 (2,0đ)

N

  1 1 1 Với z = − , (2) có nghiệm t1 = t2 = 3 ⇒ = = 3 .

3 x y 1   x = y = 3 Vậy hệ có nghiệm  z = − 1  3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1

2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

3 3 ID IE.IA 3 = ( R1 + R2 ) ⇔ 2 = ⇔ (5) 2 IH 4 IH 2 4 Lại có: IE. IA = ( IH − EH )( IH + AH ) = IH 2 − EH 2 (do H là trung điểm

AE).

1 IH 2 − EH 2 3 EH 2 1 EH 1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ IE = IA 2 2 IH 4 IH 4 IH 2 3

A

Nên: (5) ⇔

10 00

B

Khi đó O1O2 =

Ó

⇒ E là trọng tâm ∆ACD. 0,25 Do P có hữu hạn điểm nên tập hợp Q gồm các đường thẳng đi qua 2 điểm bất kì của P cũng chỉ có hữu hạn phần tử.

Xét tập hợp S gồm tất cả các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc P đến một đường thẳng bất kì (không chứa điểm đó) thuộc Q. 0,25 Vì P và Q có hữu hạn phần tử nên S cũng có hữu hạn phần tử. Do đó, trong S có phần tử nhỏ nhất. Giả sử đó là khoảng cách từ điểm M (thuộc P) tới đường thẳng AB (thuộc Q).

Khi đó, đường thẳng AB chính là đường thẳng chỉ đi qua đúng hai điểm A, B thuộc P. 0,25

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

5 (1,0đ)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

H Ư

TR ẦN

0,25

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25

G

Đ

ẠO

1 1 1 SO1 DI + SO2 CI = (O1 D + O2 C). ID = ( R1 + R2 ). ID = SO1O2 CD 2 2 2 1 ⇒ SO1O2 I = SO1O2 CD .

2 Vì H là giao điểm của O1O2 với AE; AE ⊥ O1O2 ; A, E, I nên IH ⊥ O1O2 1 ⇒ SO1O2 I = IH.O1O2 .

2 OO ID Từ các kết quả trên suy ra: IH.O1O2 = ( R1 + R2 ) ID ⇔ 1 2 = .

R1 + R2 IH

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Ta có: CD = 2AD ⇒ ID = AD ⇒ ∆ADI vuông cân tại D ⇒ = DAI = 450 .

0,25 CDE = CDE = 450 ; CEB = CDB = 900 Mà tứ giác BCED nội tiếp nên: CBE = 450 . ⇒ ∆BCE vuông cân tại E ⇒ BCE 0,5 Chú ý Nếu học sinh tính góc trực tiếp bằng cách sau thì cho 0,75đ: = ABE (tứ giác BCED nội tiếp); CDE = BAE (cùng chắn Ta có: DCE ); CD = 2 AD = AB ⇒ ∆CED = ∆BEA ⇒ BE = CE .

DE 0,5 0 0 = CDB = 90 ⇒ ∆BEC vuông cân tại E ⇒ BCE = 45 .

Hơn nữa: CEB 0,25 3 Theo trên ta có I là trung điểm CD. Xét các tam giác O1 DI và O2 CI (0,75đ) ta có:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA M

N

N

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn TOÁN (Môn chung cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2013

-L

Í-

H

Ó

A

ĐỀ CHÍNH THỨC

10 00

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

ÁN

Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức :  2 +  x

P = 

x  2 x : x + 2  x + 2 x

( với x > 0 ).

ÀN

1. Rút gọn biểu thức P.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

--------------------------- Hết ----------------------------------

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

Thật vậy, giả sử ngược lại rằng đường thẳng AB còn đi qua một điểm C khác nữa. Khi đó đường thẳng MC thuộc Q. Xảy ra 2 khả năng sau: 1/ C nằm giữa A và B. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Không mất tổng quát, giả sử H nằm trong đoạn BC. Gọi P và N lần lượt là hình chiếu của C và H trên AM ⇒ CP ∈ S. Dễ thấy: MH > HN ≥ CP: Trái với giả sử MH bé nhất trong S. 0,25 2/ C nằm ngoài đoạn AB: Làm tương tự cũng suy ra điều vô lý.

Vậy bài toán được chứng minh.

0,25

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

B

H

U Y

C

A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

P

D

IỄ N

Đ

2. Tìm giá trị của x để P = 3.

Câu 2: (2,0 điểm)  x + my = 3m Cho hệ phương trình:  2 mx − y = m − 2 1. Giải hệ phương trình với m = 3 .

2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x 2 − x − y > 0 .

Câu 3: (2,0 điểm) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA 2

2

 x2 − 1   x + 1   x −1  Giải phương trình:   + 3  − 4 2  =0  x+2  x −4  x−2

Ơ

N

Câu 4: (3.0 điểm) Cho ba điểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng và theo thứ tự đó sao cho AB ≠ BC .

x x+2 ).

2 x+2

=(

2 + x

=

x+2 x + 2 x

=

2 x + +1 2 x

0.25

0.25 0.25

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0.25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00 A Ó

-L

TO Đ

Điểm

Í-

H

Ý Đáp án (Vắn tắt) 1 Với điều kiện x > 0 thì: (1,0đ)  2 x  2 x P =  + :  x + 2  ( x + 2) x  x

ÁN

Câu 1 (2,0đ)

Môn: TOÁN (Môn chung cho tất cả các thí sinh) Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2013 – 2014

B

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TR ẦN

----------------- Hết -----------------

IỄ N D

x3 y3 z3 + + x 2 + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2

H Ư

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Đ

ẠO

TP

.Q

thẳng BD và AB lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác AEIN và EMDI là các tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

2. Ba điểm A, I, D thẳng hàng và năm điểm B, N, E, M, F cùng nằm trên một đường tròn .

3. Các đường thẳng AK, EF, CD đồng quy.

Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 9.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC dựng các hình vuông ABDE và BCFK. Gọi I là trung điểm EF, đường thẳng đi qua I vuông góc với EF cắt các đường

5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA P=3⇔

2

+

x

0.25

x −2=0 2

0.25

⇔ x−4 x +4=0 ⇔ x =2

N

0.25 0.25

H

1 x + 3y = 9 (1,0đ) Với m = 3 , hệ trở thành: 

U Y ẠO

2 Biến đổi hệ đã cho (1,0đ)

G

Đ

2  x + my = 3m x = m  y = mx − m + 2 ⇔ ⇔ ⇔ 2 2  y = mx − m + 2  x + m ( mx − m + 2 ) = 3m  y = 2

0.5

0,5

3 (2đ)

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

x = m Vậy ∀m , hệ luôn có nghiệm duy nhất  y = 2 Do đó, nghiệm duy nhất của hệ thỏa mãn yêu cầu bài toán thì m > 2 m 2 − m − 2 > 0 ⇔ ( m + 1)( m − 2 ) > 0 ⇔   m < −1 x −1 x +1 ,b = x+2 x−2 Phương trình đã cho trở thành: 2 a − 4ab + 3b 2 = 0 ⇔ ( a − b )( a − 3b ) = 0 a=

0.25

H

Ó

A

Đặt

Í-

a = b ⇔  a = 3b

-L

0.75

x −1 x +1 = ⇔ x=0 x+2 x−2  x = −3 − 7 x −1 x +1 Với a = 3b , ta có =3 ⇔ x+2 x−2  x = −3 + 7

TO

ÁN

Với a = b , ta có

0.5

D

IỄ N

Đ

0.5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.Q TP

0.75

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

0.25

3x − y = 7  y = 3x − 7 x = 3 ⇔ ⇔  x + 3(3 x − 7) = 9  y = 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2 (2,0đ)

Ơ

⇔ x=4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2 (1,0đ)

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

6

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

4 (3 đ)

N

M

D

Ơ

E

H

I

U Y 0,5

10 00

Đ

ÀN

TO

ÁN

3 (1,0 đ)

0,25

-L

Í-

H

Ó

A

0,25

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

H Ư

0,5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q 0,5

G

Đ

Từ giả thiết ta có ∠EAN = ∠EIN = 90 0 , suy ra tứ giác AEIN nội tiếp trong đường tròn đường kính EN. Lại có ∠EIM = ∠EDM = 90 0 , suy ra tứ giác EIDM nội tiếp trong đường tròn đường kính EM. Nối EB, FB do tính chất đường chéo của hình vuông, suy ra ∠EBF = 90 0 . Vì I là trung điểm EF nên trong tam giác vuông EBF ta có BI là trung tuyến thuộc cạnh huyền nên: BI = IE. Suy ra I nằm trên đường trung trực đoạn BE, hay I thuộc AD, tức A, I, D thẳng hàng Xét tứ giác nội tiếp AEIN, ta có ∠ENI = ∠EAI = ∠EAD = 450 (do A,I,D thẳng hàng) Tương tự, trong tứ giác nội tiếp EIDM, ta có 0 ∠EMI = ∠EDI = ∠EDA = 45 (do A,I,D thẳng hàng) Suy ra tam giác EMN vuông cân tại E. Lại do ME = MF, NE = NF, nên suy ra tứ giác EMFN là hình thoi và như vậy nó là hình vuông. Khi đó IE = IF = IM = IN = IB, hay E, M, F, B , N cùng thuộc đường tròn đường kính EF. Xét hai tam giác vuông ABK và DBC, ta thấy các cạnh góc vuông bằng nhau: AB = DB; BK = BC Suy ra hai tam giác bằng nhau và ∠BAK = ∠BDC ⇒ AK ⊥ DC Gọi H là giao điểm của AK và DC. Xét ngũ giác ABHDE, ta thấy: ∠ABD = ∠AHD = ∠AED = 90 0 . Vậy ngũ giác này nội tiếp. Suy ra ∠EHD = ∠EBD = 45 0 (1) Chứng minh tương tự ta cũng có ngũ giác BCFHK nội tiếp và ∠FHC = ∠FKC = 450 (2) Từ (1) và (2) suy ra ∠EHD = ∠FHC = 45 0 , mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh nên E, H, F thẳng hàng.

Vậy EF, AK, CD đồng quy.

B

2 (1,0 đ)

C

B

TR ẦN

1 (1,0 đ)

N

ẠO

A

IỄ N D

F

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

K

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

0,25 0,25 0,25

7

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

5 (1,0đ)

x3 − y 3 y3 − z3 z 3 − x3 + + = x− y+ y−z+ z−x =0 x 2 + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2

Do

x3 y3 z3 y3 x3 x3 + + = + + x 2 + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2 x 2 + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2

1  x3 + y3 y3 + z3 z 3 + x3  + +   2  x 2 + xy + y 2 y 2 + yz + z 2 z 2 + zx + x 2 

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

* Ghi chú: - Nếu học sinh làm cách khác với cách nêu trong đáp án mà đúng thì vẫn được điểm tối đa cho phần (câu) tương ứng.

- Nếu học sinh sử dụng kết quả câu trước chưa chứng minh để làm câu sau thì không cho điểm, trường hợp không làm câu trước mà làm độc lập câu sau đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó.

- Bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm.

- Điểm của toán bài là tổng điểm của các câu không làm tròn.

----------------- Hết -----------------

-L

Í-

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

ÁN

Đề thi chính thức

TO

Đề thi gồm có 01 trang.

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn Toán (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2012

D

IỄ N

Đ

Câu 1: (2.0 điểm)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

H Ư

0.25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q TP

ẠO Đ

0.25

G

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Lại có

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x 2 − xy + y 2 1 x3 + y 3 x+ y ≥ ⇒ ≥ 2 2 2 2 3 3 x + xy + y x + xy + y 3 3 3 3 y +z y+z z +x z+x Tương tự: 2 ≥ ; 2 ≥ 2 2 3 3 y + yz + z z + zx + x x+ y+ z Suy ra P ≥ =3 3

0.25

U Y

Suy ra P =

H

Ơ

N

⇒

0,25

1 x

1 1 , với các số thực x, y thỏa mãn xy ≠ 0. y xy Chứng minh A = a 2 + b 2 + c 2 − abc không phụ thuộc vào x, y.

Cho a = x + , b = y + , c = xy +

Câu 2: (2.0 điểm) Cho phương trình ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 6) = mx 2 ( m là tham số).

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

8

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

Môn thi: TOÁN (Môn Toán chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2012

-L

Đề thi chính thức

D

IỄ N

Đ

ÀN

Đáp án có 04 trang

Câu

Câu1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2012 - 2013

Í-

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

ÁN

H

Ó

A

................. Hết ....................

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

10 00

B

TR ẦN

 x > 1, y > 1 Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn:   x + y ≤ 4. x4 y4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . + ( y − 1)3 ( x − 1)3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

Câu 5: (1.0 điểm)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Giả sử m nhận các giá trị sao cho phương trình có 4 nghiệm x1, x2 , x3 , x4 đều khác 0.

1 1 1 1 Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc m. + + + x1 x2 x3 x4 Câu 3: (2.0 điểm) n(2n − 1) Tìm số nguyên dương n sao cho là số chính phương.

26 Câu 4: (3.0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Gọi ( I ), ( K ) lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác ABH , ACH . Đường thẳng KI cắt cạnh AB tại M và cạnh AC tại N .

IH BH a) Chứng minh . = KH AH b) Chứng minh rằng AM = AN .

2) Cho tam giác nhọn ABC , D là điểm trên cạnh AB ( D ≠ A, B), trung tuyến AM + DEM = 1800 thì BC < AC 2. cắt CD tại E. Chứng minh rằng nếu DBM

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Ý a=x+

Đáp án

Điểm

1 1 1 1 ⇒ a 2 = x2 + 2 + 2 ; b = y + ⇒ b2 = y 2 + 2 + 2 ; y y x x

0,50 đ

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

1 1 ⇒ c2 = x2 y 2 + 2 2 + 2 xy x y 1 1 1 1 x y 1 abc = ( x + )( y + )( xy + ) = ( xy + + + )( xy + ) x y xy xy y x xy

c = xy +

N H N

TP

N

H Ư

TR ẦN

phương trình: x 2 − t1 x + 6 = 0 ( tức là 2 nghiệm của phương 6 trình: x + = t1 ). x3 , x4 là 2 nghiệm của phương trình x2 −t2x +6 =0 x

10 00

B

Câu2

0,50 đ

0,25 đ

-L

Í-

H

Ó

A

 x1 + x2 = t1  x .x = x .x = 6  1 2 3 4 Theo Viet ta có :   x3 + x4 = t2 t1 + t2 = 12 1 1 1 1 x1 + x2 x3 + x4 t1 + t2 =2 = + + + = + x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 6 1 1 1 1 + + + Tức là: không phụ thuộc vào m x1 x2 x3 x4 n(2n − 1) Giả sử tồn tại n nguyên dương sao cho là số chính 26 phương, suy ra n(2n − 1) = 26k 2 ( k ∈ ℕ*) ⇒ n chẵn. Đặt n = 2m ( m ∈ ℕ*). Suy ra m(4m − 1) = 13k 2 (3), Ta có m và 4m − 1 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên từ (3) có thể m = 13q 2 m2 = q2 xảy ra các trường hợp:  hoặc  2 2  4m − 1 = p 4m −1 = 13 p .

Đ

ÀN

TO

ÁN

⇒

Câu3

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,50 đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,50 đ

G

Đ

ẠO

6 6    ⇔  x + − 7  x + − 5  = m ( Vì x = 0 không phải là nghiệm). x x    6 Đặt t = x + , phương trình trở thành t 2 − 12t + 35 − m = 0 (2) x Giả sử (1) có 4 nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 ≠ 0 thì (2) phải có 2 nghiệm t1 , t2 . Không mất tính tổng quát, giả sử x1 , x2 là 2 nghiệm của

0,25 đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(1)

0,25 đ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

⇔ ( x 2 − 7 x + 6 )( x 2 − 5 x + 6 ) = mx 2

IỄ N D

0,50 đ

.Q

( x − 1)( x − 2 )( x − 3)( x − 6 ) = mx Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ơ

1 1 1 + 2 + x2 + y 2 + 2 + 2 = c2 + a 2 + b2 − 4 2 x y x y 2

Vậy A = a 2 + b 2 + c 2 − abc = 4 không phụ thuộc vào x, y.

http://daykemquynhon.ucoz.com

0,50 đ

U Y

= x2 y 2 +

0,25 đ

0,25 đ

0,50 đ

10

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

N

H

Ơ

N

0,50 đ

(7)

0,50 đ 0,50 đ

ÁN

-L

Í-

H

Ó

= BHA = 900 và từ (7) suy ra ∆IHK đồng dạng với Ta có IHK = HBA ⇒ BHIM nội tiếp, suy ra 0,50 đ ∆BHA, suy ra HIK = IHB = 45 0 , AMI mà tam giác AMN vuông tại A, nên tam giác AMN vuông cân tại A, do đó AM = AN (đpcm).

Câu4

A

ÀN

b)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

IH BH . = KH AH

0,25 đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

∆BIH ®ång d¹ng víi ∆AKH, suy ra

0,25 đ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

0,25 đ

Đ

ẠO

TP

.Q

0,25 đ

A

a)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Nhận xét: Ta có bình phương một số nguyên khi chia cho 4 sẽ có dư là 0 hoặc 1. Thật vây, nếu số nguyên a = 2b chẵn thì a 2 = 4b 2 chia hết cho 4.

Nếu số nguyên a = 2b + 1 lẻ thì a 2 = 4(b 2 + b) + 1 , suy ra a 2 chia cho 4 dư 1. m = 13q 2 (4) Trường hợp 1:  2 4m − 1 = p (5) Từ (5) suy ra p 2 chia cho 4 dư 3, điều này mâu thuẫn. Vậy trường hợp 1 không xảy ra.

(6) m 2 = q 2 Trường hợp 2:  2 4m − 1 = 13 p (7) Từ (7) suy ra p là số nguyên lẻ, do đó p = 2a + 1 (a ∈ ℕ), suy ra 2(m − 13a 2 + 13a ) = 7 điều này mâu thuẫn. Vậy trường hợp 2 cũng không xảy ra n(2n − 1) Vậy không tồn tại số n nguyên dương sao cho là số 26 chính phương. a) Ta có AH ⊥ BC và I, K là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác = AHK (= 45 0 ) 1) ABH, ACH, nên suy ra BHI (2,0đ) = CAH ) IBH = KAH (v× ABH

Đ

0,25 đ

IỄ N

M K

N

D

I

B

H

Theo giả thiết ta có tứ giác BMED nội tiếp đường tròn, 2) = 1800 − + BCA > BAC .

AEC = DEM ABC = BAC (1,0đ) suy ra https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C

0,25 đ 0,25 đ 11

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

H

Ơ

N

0,25 đ

TR ẦN

E

B

M

C

10 00

B

Đặt a = x − 1 > 0, b = y − 1 > 0. Theo giả thiết ta có a + b ≤ 2. (a + 1)4 ( b + 1)4 . + b3 a3 Ta có a + 1 ≥ 2 a ⇒ (a + 1) 4 ≥ 16a 2 , tương tự (b + 1) 4 ≥ 16b 2 .

0,50 đ

Ó

A

Suy ra P =

16a 2 16b 2 16a 2 16b 2 1 + ≥ 2 . 3 = 32 3 3 3 b a b a ab

H

câu 5

-L

Í-

Suy ra P ≥

TO

ÁN

Ta có 2 ≥ a + b ≥ 2 ab ⇒ ab ≤ 1, suy ra P ≥ 32.

Với a = b = 1 ⇔ x = y = 2 thì P = 32.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 32, khi x = y = 1.

0,50 đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

I

H Ư

N

G

D

0,25 đ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

ẠO

A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

TP

.Q

BC 2 < 2.CA2 ⇒ BC < AC 2.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Trên nửa mặt phẳng bờ AM chứa điểm C, kẻ tia Ex cắt AC tại I và = BAC , suy ra tứ giác ADEI nội tiếp tạo với tia EC một góc xEC đường tròn. = xEC , nên điểm I thuộc đoạn AC ( I ≠ A, C ).

Vì AEC > BAC Từ các tứ giác BMED, ADEI nội tiếp suy ra CM .CB = CE.CD BC 2 ⇒ = CI .CA, vì M là trung điểm BC.  CE .

CD CI .

CA = 2  Mà I thuộc đoạn AC và ( I ≠ A, C ) , suy ra

D

IỄ N

Đ

Lưu ý: - Bài hình nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm bài hình.

- Nếu thí sinh có lời giải khác đáp án nhưng đúng vẫn chấm điểm tối đa ................. Hết ....................

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

12

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN (Môn chung cho tất cả thí sinh)

(Đề thi gồm có 01 trang)

N

NĂM HỌC 2012 - 2013

H

10 00

B

Câu 3: (2,0 điểm) Cho phương trình: x 2 + 2mx + m 2 − 2m + 4 = 0 .

1. Giải phương trình khi m = 4 .

2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) có đường kính AB cố định, M là điểm thuộc ( O ) ( M khác các điểm A, B). Các tiếp tuyến với ( O ) tại A và M cắt nhau ở C . Đường tròn ( I ) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C; CD là đường kính của ( I ) .

Chứng minh rằng: 1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng.

2. Tam giác COD là tam giác cân.

3. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn ( O ) .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

1. Chứng minh rằng ( d ) và ( P ) có hai điểm chung phân biệt.

2. Gọi A , B là các điểm chung của ( d ) và ( P ) . Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

G

Câu 2: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho Parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng ( d ) : y = 2 x + 3 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

Đ

ẠO

TP

Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:  a +1  1 a −1 P= − +4 a , (với a > 0, a ≠ 1 ) a a a a 1 1 2 − +   2 1. Chứng minh rằng: P = . a −1 2. Tìm giá trị của a để P = a .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ngày thi: 17 tháng 6 năm 2012

Ơ

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

D

IỄ N

Đ

Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 3 .

1 a b c + 2 + 2 ≤ .

Chứng minh rằng: 2 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2 .................................... Hết ....................................

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

13

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

NĂM HỌC 2012-2013

B

10 00

A

0,25 đ  a = −1

H

Ó

2 =a a −1

-L

Đối chiếu với điều kiện đã cho ta được a = 2

0,25 đ

Giả sử M ( x 0 ; y0 ) là điểm chung của ( d ) và ( P ) , khi đó: M ( x0 ; y0 ) ∈ ( P ) ⇒ y 0 = x02 M ( x 0 ; y0 ) ∈ ( d ) ⇒ y0 = 2 x 0 + 3

0,5 đ

ÁN TO Đ

IỄ N

0,5 đ

Í-

Tương đương với: a 2 − a − 2 = 0 (do a ≠ 1 ) ⇔  a = 2

Do đó x 02 − 2 x0 − 3 = 0 . Vậy x0 = −1 hoặc x0 = 3 .

Vậy hai điểm chung của ( d ) và ( P ) có toạ độ là A(-1;1), B(3;9)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,25 đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 4a a  1 2 2 suy ra đpcm. = . Vậy P =  a − 1 a − 1 a − 1 2 a a  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

0,25 đ

0,25 đ

Khi P = a ta có:

Câu 2

0,25 đ

 4 a + 4 a ( a − 1)  1  a −1   2a a

=

1 (1đ)

ĐIỂM

N H Ư

4 a  1 +4 a  a −1  2a a

Câu 1

U Y

.Q TP

 1 + 4 a  2a a 

=

= 

2 (1đ)

2

Đ

2

) ( a − 1) ( a − 1)( a + 1) a +1 −

TR ẦN

1 (1đ)

(

ẠO

ĐÁP ÁN

G

Ý

 Ta có: P =   

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

N

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 17 tháng 6 năm 2012

CÂU

Ơ H

(Đáp án có 03 trang)

N

Môn thi: TOÁN (Môn chung cho tất cả thí sinh)

ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC

0,5 đ

D

Chứng tỏ ( d ) và ( P ) có hai điểm chung.

2 (1đ) Câu 3

1 (1đ)

Kẻ AH và BK vuông góc với Ox

0,5 đ

Ta có: S ∆OAB = S AHKB − ( S ∆AHO + S ∆BOK ) = 6 (đvdt)

0,5 đ

Khi m = 4 ta có phương trình: x 2 + 8 x + 12 = 0

0,5 đ

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

14

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

 x = −2

Vậy với m > 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

0,25 đ

)

G A K

A

2 (1đ)

H

Ó

Câu 4

10 00

B

Vì CM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O và M ∈ ( I ) nên 1.0 đ = CMO = 900 . Do đó D, M, O thẳng hàng (1) CMD Vì CA, CM là các tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên 0,25 đ = MOC AOC (2) = AOC Do AB / / CD nên DCO (3) 0,25 đ = DCO hay tam giác DOC cân tại D 0,5 đ Từ (1), (2), (3) suy ra DOC

TO

ÁN

-L

Í-

Gọi F là trung điểm của AO, gọi E là giao điểm của DF và BC. Ta sẽ chứng minh DF ⊥ BC .

Gọi J là trung điểm của CO có DJ ⊥ CO (do ∆DOC cân tại D) suy ra J ∈ ( I ) .

Lại có JF ⊥ AO (do CA ⊥ AO và JF là đường trung bình của 0,25 đ ∆OAC ).

Kéo dài DJ , OA cắt nhau tại K , trong tam giác KJF có + JKF = 90 0 (i), trong tam giác KJO có JOK + JKO = 90 0 KJF = JOK .

(2i). Từ (i) và (2i) suy ra KJF = COB

Từ đó ta được DJF (4) Mặt khác ∆DJO đồng dạng với ∆JFO (g.g), suy ra: DJ JO CO CO DJ CO 0,25 đ ⇒ = = = = (5) JF FO AO OB JF OB

Đ

3 (1đ)

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

N

J

Đ

F

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q ẠO

I

C

IỄ N D

O

TP

E

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

M

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

D

1 (1đ)

Ơ

(

2

N

⇔ m − m − 2m + 4 > 0 ⇔ 2m − 4 > 0 ⇔ m > 2

0,25 đ 0,5 đ

2

B

http://daykemquynhon.ucoz.com

0,5 đ

H

2 (1đ)

Giải ra ta được các nghiệm:   x = −6 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt điều kiện là: ∆ ' > 0

15

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

1 ( a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ) + 2.(a + b + c).3 + 2 1 1 + ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 3 = ( a + b + c) 2 + 2( a + b + c).3 + 9  = 2 2 1 = ( a + b + c + 3) 2 , (do a 2 + b 2 + c 2 = 3 ) 2 1 1 ⇒ T ≥ 2 . Vậy VT ≤ ( 3 − T ) ≤ (đpcm).

2 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

0,25 đ

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

=

0,25 đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

Mặt khác ta có: (b + 1)(a + b + 1) + (c + 1)(b + c + 1) + (a + 1)(c + a + 1) = = 3( a + b + c) + ab + bc + ca + a 2 + b 2 + c 2 + 3 =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1đ

0,25 đ

B

Câu 5

TR ẦN

H Ư

N

b +1 c +1 a +1 + + = a + b +1 b + c +1 c + a +1 (b + 1) 2 (c + 1) 2 (a + 1) 2 = + + ≥ (b + 1)( a + b + 1) (c + 1)(b + c + 1) ( a + 1)(c + a + 1) (a + b + c + 3) 2 ≥ (b + 1)(a + b + 1) + (c + 1)(b + c + 1) + ( a + 1)(c + a + 1)

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: T =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

1   b +1 c +1 a + 1  3− + +   2   a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1 

Đ

=

+ + = 2  a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1

G

VT ≤

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

= JCE suy Kết hợp (4) và (5) ta có ∆DJF ∼ ∆COB . Từ đó JDE = 900 hay 0,25 đ ra tứ giác CDEJ nội tiếp đường tròn tâm I nên CED DF ⊥ BC Vậy khi M di động trên đường tròn ( O ) , đường thẳng qua D vuông góc với BC luôn đi qua điểm F cố định.

0,25 đ AB thì D ≡ M , ta Đặc biệt khi M là điểm chính giữa của cung cũng có các kết quả tương tự. a b c + 2 + 2 Đặt VT = 2 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2 Ta có: a + 1 ≥ 2a; b 2 + 1 ≥ 2b; c 2 + 1 ≥ 2c nên 1 a b c  0,25 đ

D

IỄ N

Đ

Lưu ý: - Bài hình nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm bài hình.

- Nếu thí sinh có lời giải khác đáp án nhưng đúng vẫn chấm điểm tối đa .................................... Hết ....................................

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

16

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: Toán (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2011

THANH HÓA

H

Ơ

Đề chính thức

N

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

10 00

B

TR ẦN

4 3 2 2  x − x y + x y = 1 Giải hệ phương trình  3 2  x y − x + xy = −1.

Câu 3: (2,0 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 .

A

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hai đường tròn ω1 , ω2 cắt nhau tại hai điểm A, B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M

H

Ó

và qua M kẻ các tiếp tuyến MD, MC với đường tròn ω2 (D, C là tiếp điểm, D nằm trong đường tròn ω1 ). Đường thẳng CA cắt đường tròn ω1 tại điểm thứ hai là P; đường thẳng

-L

Í-

AD cắt đường tròn ω1 tại điểm thứ hai là Q; tiếp tuyến của đường tròn ω2 tại A cắt đường

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

tròn ω1 tại điểm thứ hai là K; giao điểm của các đường thẳng CD, BP là E; giao điểm của các đường thẳng BK, AD là F. 1. Chứng minh bốn điểm B, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

CP BC CA 2. Chứng minh . = = DQ BD DA 3. Chứng minh rằng đường thẳng CD đi qua trung điểm đoạn thẳng PQ.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

Câu 2: (2,0 điểm)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

và a ≥ 1, b ≥ 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y 1 1 b +  2 b

N

1 1 với x =  a +  , y = a 2

,

ẠO

xy + x 2 − 1. y 2 − 1

Đ

xy − x 2 − 1. y 2 − 1

G

Rút gọn biểu thức P =

TP

.Q

Câu 1: (2,0 điểm)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(Đề thi gồm có: 01 trang)

Câu 5: (1,0 điểm) Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} . Chứng minh rằng với mỗi tập con B gồm 5 phần tử

của tập A, thì trong các tổng x + y với x, y ∈ B và x ≠ y luôn tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số hàng đơn vị như nhau.

------Hết----https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

17

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ẠO Đ N

TR ẦN

Câu 1 2,0đ

0.5

1 1  1 1 1  1  a +  b +  −  a −  b −  a  b  4 a  b 4 Do dã: P =  1 1  1 1 1  1  a +  b +  +  a −  b −  a  b  4 a  b 4

10 00

B

0.5

+ 1)( b 2 + 1) − ( a 2 − 1)( b 2 − 1)

0.5

A

2

H

Ó

a 2 + b2 = .

2 2 2 + 1)( b 2 + 1) + ( a 2 − 1)( b 2 − 1) a b + 1

Í-

(a = (a

1,0

x = 0 Khi xy = x2 −1 thì (2) ⇒ x3y = 0 ⇒ , kết hợp (1) được ( x; y ) = (±1;0) là y = 0 nghiệm của hệ.

Khi xy = x 2 + 2 thì (2) ⇒ x 4 + 2 x 2 + 3 = 0 vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( x; y ) = ( ±1;0).

0,5

Câu 2 2,0đ

TO

ÁN

-L

 x 4 − x3 y + x 2 y 2 = 1 (1)  3 2  x y − x + xy = −1 (2) Trừ từng vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta được ( x 2 − xy ) 2 + ( x 2 − xy ) − 2 = 0 ⇔ x 2 − xy = 1 hoặc x 2 − xy = −2.

Đ IỄ N D

2

Câu

Ta có: x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 ⇔ ( x + y ) = xy ( xy + 1) .

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 1 y2 −1 =  b −  .

2 b

Tương tự ta có

G

1 1 x 2 − 1 =  a −  ( do a ≥ 1 ). a 2

H Ư

Suy ra

0.5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

1 1 1 1 Ta có x − 1 =  a +  − 1 =  a −  . a a 4 4 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

2

TP

Câu

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: Toán (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2011 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Ý Nội dung Điểm

0,5 0.5

18

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3 (2,0đ)

 xy = 0  xy = −1.

0,5

Với xy = 0 , kết hợp x + y = 0 suy ra x = y = 0.

0.25

x = 1  x = −1 Với xy = −1 , Kết hợp với x + y = 0 suy ra  hoặc   y = −1  y = 1.

0.25

U Y

.Q

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

G

N H Ư

( x; y) = (0;0) là nghiệm.

Trường hợp: x = 1.

Với x = 1, ta được phương trình y + 1 = 0 ⇒ y = −1. Suy ra

( x; y ) = (1; −1) là nghiệm.

0,25

Với x = −1, ta được phương trình 1 − y = 0 ⇒ y = 1. Suy ra ( x; y ) = (−1;1)

B

-

TR ẦN

-

10 00

là nghiệm.

0,25

Trường hợp: x ≥ 2. Khi đó x 2 y 2 ≥ 4 y 2 ≥ x 2 + y 2 + ( x 2 + y 2 ) ≥ x 2 + y 2 + 2 xy

0,5

Ó

A

> x 2 + y 2 + xy. Vậy trường hợp này phương trình không có nghiệm nguyên.

H

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là ( x; y ) = ( 0;0 ) , (1; −1) , ( −1;1) .

1,0

ÁN

-L

Í-

Trường hợp: BFED là tứ giác lồi. = = PAK = PBK = EBF , suy ra BFED là tứ giác 1.

ADC = MCA Ta có EDF 1,25đ nội tiếp. + FDE = 1800 , suy Trường hợp: BFDE là tứ giác lồi. Chứng minh được FBE

ÀN

Đ IỄ N

0,25

ra BFDE nội tiếp.

Ghi chú : Nếu học sinh chỉ chứng minh một trong hai trường hợp thì cho 1,0 điểm.

Chứng minh

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

0,5

Trường hợp: x = 0 . Ta được phương trình y 2 = 0 ⇒ y = 0. Suy ra

Câu 4 3,0đ

D

ẠO

Ghi chú. Câu 3) có thể giải theo cách sau: Không mất tổng quát giả sử x ≤ y , x, y ∈ ℤ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là ( x; y ) = ( 0;0 ) , (1; −1) , ( −1;1) .

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

số nguyên liên tiếp khác 0, nên nguyên tố cùng nhau. Do đó không thể cùng 0.5 là số chính phương.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

Nếu x + y ≠ 0 , từ đẳng thức ( x + y ) = xy ( xy + 1) suy ra xy và xy + 1 là hai

N

H

Ơ

Nếu x + y = 0 thì xy ( xy + 1) = 0 ⇔ 

N

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

CP BC . = DQ BD

= CPB ( = 1 sđ AB của ω1 ) Xét hai tam giác DBQ và CBP, có DQB 2 ), suy ra ∆BDQ đồng dạng với ∆CBP , = PCB (cùng bù với BDA và QDB https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5

19

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

CP CB (1). = DQ BQ

Ơ H

H Ư

N

G

Đ

0,25

TR ẦN

3.

CA DA Gọi N = CD ∩ PQ. Từ (5) suy ra = 0,75 CP DQ

(6).

B

Từ A kẻ AI song song với CD ( I ∈ PQ). Suy ra

0,25

CA NI DA NI = và , = CP NP DQ NQ

0,5

10 00

kết hợp với (6), suy ra NP = NQ.

Ó

A

M

-L

Í-

H

M

Đ

ÀN

TO

ÁN

P

A C

I

D

ω1

P

E

N

ω2

A

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP ẠO

2

CA DA CA BC  CA   DA  (4).

Từ (2) và (3) suy ra  = ⇒ =  =  ⇒ CB DB DA BD  CB   DB  CP BC CA Từ (1) và (4) suy ra (5). = = DQ BD DA

IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

MA  DA  (3).

Chứng minh tương tự :   = MB  DB 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25

U Y

chung và MCA = MBC , vì MC là Xét hai tam giác MAC và MCB, có BMC 2. tiếp tuyến của ω2 , suy ra ∆MAC đồng dạng với tam giác ∆MCB, suy ra 1,0đ 2 CA MA MC MA MC MA  CA  .

(2) . = = ⇒ =  = CB MC MB MC MB MB  CB 

N

BC CA . = DC DA

Chứng minh

N

suy ra

I F K Q

B K

N

ω1

D

E

C

F

ω2 Q

B

Với mỗi tập con B = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } ⊂ A. Ta có tất cả 10 tổng ai + a j , với https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25 20

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

i ≠ j , i, j = 1,5.

Nếu tất cả các tổng trên đều có chữ số hàng đơn vị khác nhau đôi một thì tổng của tất cả các chữ số hàng đơn vị của 10 tổng trên sẽ là: (1) 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 là số lẻ

N Ơ 0,25

10 00

B

tổng có chữ số hàng đơn vị như nhau.

Nếu B có 3 phần tử cùng tính lẻ và 2 phần tử còn lại cùng tính chẵn thì chứng minh tương tự.

Trường hợp 2: Tập B có ít nhất 4 phần tử cùng tính chẵn (hoặc cùng tính lẻ), gọi 4 phần tử đó là a, b, c, d thì 6 tổng: a + b, a + c, a + d , b + c, b + d , c + d 0,25

Í-

H

Ó

A

luôn cùng tính chẵn, nên có 2 tổng có chữ số hàng đơn vị như nhau.

Vậy yêu cầu bài toán được chứng minh.

ÀN

TO

ÁN

-L

Lưu ý:- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.

.................................... Hết ....................................

Đ

IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(2).

C ∩ D = ∅.

Như vậy với mỗi tập con B gồm 5 phần tử của tập A, luôn tồn tại ít nhất 3 phần tử có cùng tính chẵn lẻ.

Trường hợp 1: Tập B có 3 phần tử cùng tính chẵn (lẻ) và 2 phần tử còn lại cùng tính lẻ (chẵn).

Nếu 3 phần tử của B cùng tính chẵn là a, b, c và 2 phần tử cùng tính lẻ là d, e thì 6 tổng: d + a, d + b, d + c, e + a, e + b, e + c cùng tính lẻ, nên phải có hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

D

i =1

đó tổng của tất cả các chữ số hàng đơn vị của 10 tổng trên là số chẵn Ta có (1) và (2) mâu thuẫn. Vậy yêu cầu bài toán được chứng minh.

Ghi chú. Có thể giải câu 5) theo cách sau: Ta có A = C ∪ D, trong đó C = {0;2;4;6;8} , D = {1;3;5;7;9} và

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1≤i < j ≤5

H

∑

5

(ai + a j ) = 4∑ ai , do

N

Mặt khác, ta lại có tổng của tất cả 10 tổng trên là

0,5

U Y

Câu 5 1,0đ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2011 – 2012

Đề chính thức Đề thi gồm có 01 trang

Môn: TOÁN (Dùng chung cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2011

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

21

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3 . + − x + 2 x − 3 1− x x +3 1. Rút gọn biểu thức A (với x ≥ 0, x ≠ 1).

2 2. Chứng minh rằng: A ≤ .

3 Câu 2: (2,0 điểm) 1 Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = mx – m + 2 (với m là tham số).

2 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4.

2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Câu 3: (2,0 điểm) 2 3  x + y = 12  1. Giải hệ phương trình:   5 + 2 = 19  x y

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

H

Í-

-L

ÁN ÀN

TO

----------------- Hết -----------------

THANH HOÁ

IỄ N

Đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2011 – 2012

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(x ∈R) =6 2 x2 − 9 Câu 4: (3,0 điểm) Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, C ≠ B). Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I (I ≠ A). Đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K; đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. 1. Chứng minh rằng: a/ Tứ giác CPKB nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. b/ Tam giác ABP là tam giác vuông.

2. Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất.

Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương tuỳ ý thoả mãn: a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn ab bc ca nhất của biểu thức: P = + + . ab + 2c bc + 2a ca + 2b

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

3x

2. Giải phương trình: x +

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: A =

D

Môn: TOÁN (Dùng chung cho tất cả các thí sinh) Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang

Câu

Ý

Đáp án (Vắn tắt)

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Điểm

22

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

) (

x +3 − 2 x +3

)(

) = −5 x + 7

x −1

x+2 x −3

)( x − 1)(

x −2 = x+2 x −3

) = 2−5 x . x +3 x + 3)

0,5

2−5 x 2 − = x +3 3

0,25

−17 x ≤0 3( x + 3) 2 Do đó: A ≤ .

3

.Q TP (1)

G

N

H Ư

TR ẦN

0,25 0,5 0,25 0,5 0,5

4 6 11  x + y = 24  x = 33  Hệ phương trình tương đương với:  ⇔ 15 6  + = 57  5 + 2 = 19  x y  x y

0,5

1  1   x = 3  x = 3 ⇔ ⇔ 15 + 2 = 19 y = 1  y 2  

0,5

B

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 2 2 x ⇔ x – 2mx + 2m – 4 = 0 2

(d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4 thì x = 4 là nghiệm của (1) ⇔ 12 – 6m = 0 ⇔ m = 2.

Vì ∆’ = m2 – 2m + 4 = (m – 1)2 + 3 > 0 nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Hay (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

A

Ó

Í-

H

TO

-L

x2 +

Đặt t =

Đ

ÀN

x > 3

ĐK: x2 – 9 > 0 ⇔   x < −3 + Nếu x > 3: Bình phương hai vế của phương trình ta được:

ÁN

2 (1,0 đ)

IỄ N D

ẠO

mx − m + 2 =

10 00

3 (2,0 đ)

2 (1,0 đ) 1 (1,0 đ)

0,25

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P):

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 (1,0 đ)

0,5

Khi đó:

x

9 x2 6 x2 x4 x2 + = 72 ⇔ + 6. − 72 = 0 x2 − 9 x2 − 9 x2 − 9 x2 − 9

0,25

0,25

2

(t > 0) , được phương trình: t 2 + 6t − 72 = 0 ⇔ t = 6 .

2

x −9 x2 2

x −9

4

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 3

Ta có: A − =

N

x −1 2 − 5 x

=

2 (2,0 đ)

0,5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2 (1,0 đ)

( (

)(

Ơ

=

(

15 x − 11 − 3 x − 2

H

A=

N

1 (1,0 đ)

U Y

1 (2,0 đ)

2

= 6 ⇔ x – 36x + 324 = 0 ⇔ x = 18.

0,25

Trong trường hợp này tìm được: x = 3 2 + Nếu x < –3: Khi đó: x +

3x x2 − 9

< 0 < 6 2 : PT vô nghiệm.

0,25

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 3 2 . https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

23

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

4 (3,0 đ)

y

x

K

Ơ

P

H

2

U Y

O2

B

ẠO

C

G

Đ

= 900 P nằm trên đường tròn đường kính IC tâm O1 ⇒ IPC + CPK = 1800 ⇒ CPK = 900 .

Mà IPC + CBK = 1800 Do đó: CPK ⇒ Tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn đường kính CK có tâm O2 là trung điểm của CK. A1 = I 2 Trong (O1) có

H Ư

TR ẦN

Trong (O2) có B 1 = K 1

= 900 ⇒ = 900 .

Mà I 2 + K A1 + B 1 1 ⇒ ∆ APB vuông tại P. Ta có: AI // BK ⇒ ABKI là hình thang vuông.

1 2

⇒ S ABKI = . AB.( AI + BK ) .

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

A

0,25

Ó

2 (1,0 đ)

10 00

B

1b (1,0 đ)

0,25 0,25 0,25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1

N

1a (1,0 đ)

.Q

1

1

A

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

-L

Í-

H

Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi. Do đó: SABKI lớn nhất khi BK lớn nhất. = CBK = 900 nên ∆ AIC ∼ ∆ BCK (g.g) Vì C 1 = I 1 và IAC

TO

ÁN

⇒

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

O1

5

AI AC AC . BC ⇒ AI.BK = AC.BC ⇒ BK = . = BC BK AI

0,25

Do đó: BK lớn nhất ⇔ AC.BC lớn nhất.

Ta có:

(

AC − BC

)

2

≥ 0 ⇒ AC + BC ≥ 2 AC.BC

AB AB 2 ⇔ AC.BC ≤ ⇔ AC.BC ≤ 2 4 2 AB Vậy AC.BC lớn nhất khi AC.BC = .

4 AB Mà AC + BC = AB không đổi ⇒ AC = BC = ⇔ C là trung 2 AC + BC AC.BC ≤ ⇔ 2

điểm AB. Vậy SABKI lớn nhất khi C là trung điểm của AB. Từ giả thiết ta có: a, b, c ∈ (0; 2)

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

I

N

1

0,25

0,25

0,25 24

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

và: ab + 2c = ab + (a + b + c)c = (a + c)(b + c) Do đó, áp dụng BĐT Cô-si ta có: ab ab ab  1  ab = ≤  +  2c + ab ( a + c)(b + c) 2  b + c c + a 

N

bc 1  bc bc  ≤  +  bc + 2a 2  a + b c + a  ca ca  1  ca ≤  +  ca + 2b 2  b + a c + b 

(3)

0,25

.Q

1  ab ca   bc ab   bc ca   1 + + +  + +  = (a + b + c) = 1  2  b + c b + c   c + a c + a   a + b a + b   2

ẠO

2 3

Đ

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = .

0,25

- Nếu học sinh làm cách khác với cách nêu trong đáp án mà đúng thì vẫn được điểm tối đa cho phần (câu) tương ứng.

- Điểm của toán bài là tổng điểm của các câu không làm tròn.

TR ẦN

* Ghi chú:

H Ư

N

G

2 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi a = b = c = .

3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

H

Í-

Đề chính thức

Ó

A

THANH HÓA

10 00

B

.................................... Hết ....................................

ÁN

-L

(Đề thi gồm có: 01 trang)

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: Toán (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2010

TO

Câu 1: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: x 3 + 3x − 140 = 0 .

Đ

2. Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: P = 3 70 + 4901 + 3 70 − 4901 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

P≤

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Từ (1), (2), (3) ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

(2)

U Y

Tương tự:

0,25

(1)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(1,0 đ)

D

IỄ N

Câu 2: (2,5 điểm) 1 2 x và đường thẳng (d): y = -1. Gọi M là một điểm bất k ỳ 4 thuộc (P). Tìm trên trục tung tất cả các điểm sao cho khoảng cách từ M đến điểm đó bằng khoảng cách từ M đến đường thẳng (d).

2. Cho ba số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: b + c ≥ 16abc.

Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

1. Cho parabol (P): y =

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

Câu 3: (1,5 điểm)

H

Ơ

N

 1 10 10 1 −x+ y = + y+ x+ +  y y 3 3 Giải hệ phương trình sau (với x > 0, y < 0):   x 2 + y 2 = 82  9

TO

ÁN

-L

Í-

Hướng dẫn chung: * Lời giải nêu trong đáp án, nói chung, là lời giải vắn tắt. Khi làm bài, học sinh phải nêu đầy đủ và chính xác các suy luận thì mới được điểm. * Các câu hình học: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm. Nếu học sinh thừa nhận kết quả của ý trên để giải ý dưới thì không chấm điểm ý dưới. * Các cách giải khác với cách nêu trong đáp án này mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần (câu) tương ứng. * Điểm của toàn bài không làm tròn.

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H

Ó

A

(Đáp án này gồm có 04 trang)

10 00

B

THANH HÓA

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2010

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

Câu 5: (1,0 điểm) Ký hiệu [x] là phần nguyên của số thực x. Tìm các số thực x thoả mãn:  8 x + 1   4 x − 1  16 x − 7  6  +  3  = 9 .

------------------------------- Hết -------------------------------

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

Câu4: (3,0 điểm) = 1050 , đường trung tuyến BM và đường phân giác trong Tam giác ABC có BAC CD cắt nhau tại K sao cho KB = KC. Gọi H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. 1. Chứng minh rằng: HA = HB. 2. Tính số đo các góc ABC và ACB .

Câu ý Nội dung 3 1 I ( x − 5)( x 2 + 5 x + 28) = 0 x + 3 x − 140 = 0 ⇔ (2,0đ) (1,0đ) 2 5  87  2 ⇔ x − 5 = 0 (Vì x + 5 x + 28 =  x +  + ≥ 0, ∀x ).

2 4  https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Điểm 0,5 0,25 26

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

⇔ x=5 Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất: x = 5.

0,25

2 Với P = 3 70 + 4901 + 3 70 − 4901 ta có: (1,0đ) P 3 = 140 − 3P ⇔ P 3 + 3P − 140 = 0 Do đó P là nghiệm của phương trình: x 3 + 3 x − 140 = 0 .

Theo ý 1, phương trình trên có nghiệm duy nhất: x0 = 5

N

0,5

.Q

2

0,25

0,5

0,25

0,5

G

N

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

0,25

0,25

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

1  1  Từ đó: x +  x 2 − y0  =  x 2 + 1 với ∀x. 4  4  1 1 ⇔ x 2 − x 2 y0 + y02 = x 2 + 1 với ∀x.

2 2 1 1  ⇔ x 2  − y0  + y02 − 1 = 0 với ∀x. 2 2  Yêu cầu bài toán được thoả mãn khi: 1 1  − y0 = 0 ⇔ y0 = 1 2 2  y02 − 1 = 0 Vậy có duy nhất một điểm E thoả mãn bài toán: E(0; 1).

2 Trước hết chứng minh: (x + y)2 ≥ 4xy với mọi x, y.

(1,0đ) Đẳng thức xảy ra khi: x = y áp dụng ta có: (a + b + c)2 = [a +(b + c)]2 ≥ 4a(b + c). Đẳng thức 1 xảy ra khi: a = b + c ⇔ a = (*) 2 Do a + b + c = 1 nên bất đẳng thức trên suy ra: 1 ≥ 4a(b + c) ⇔ b + c ≥ 4a(b + c)2 (do b + c không âm) Nhưng lại có (b + c)2 ≥ 4bc. Đẳng thức xảy ra khi: b = c (**) Suy ra: b + c ≥ 16abc.

1 1 Từ (*) và (**) có: đẳng thức xảy ra khi a = ; b = c = .

2 4 3 10 10 1 1 −x+ y ≥ −x+ y Ta có: x + ≥ x + và (1,5đ) y y 3 3 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

ẠO

1 2 1  x + 1 ; độ dài ME = x 2 +  x 2 − y0  (dùng pitago để tính).

4 4 

Đ

h=

0,5

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25

U Y

Vậy P = 3 70 + 4901 + 3 70 − 4901 = 5 .

Giả sử E(0; y0) là một điểm trên trục tung.

1 2 (2,5đ) (1,5đ)  1  Do M ∈ (P) nên M  x ; x 2  và khoảng cách từ M đến (d) là:  4 

N

H

Ơ

0,25

1 10 10 1 −x+ y ≥ + y+ .

Suy ra: x + + y y 3 3 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

27

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ

(1)

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

 y = −3  ⇔ 1. y = − 3  1  và  3; −  .

3 

0,25

0,25

A

H Í-L

0,25

(**)

1  Từ đó, hệ đã cho có 2 nghiệm:  ; −3  3  1 4 (3,0đ) (2,0đ)

2

82  y  + y2 ≥ x2 + y 2 = 9 

N

 10 ⇔  +  3

10 Từ (*) và (**) suy ra: y + y + 1 = 0 3 2

0,25

D

M

TO

ÁN

K

B

H

C

Đ IỄ N D

Nối HM khi đó MH = MA = MC suy ra: = MCH = 2 BCK .

MHC = KCB .

Theo giả thiết: KB = KC ⇒ KBC = 2 KBC

Do vậy: MHC (1).

Mặt khác: MHC = KBC + HMB (2). = HMB ⇒ ∆HBM cân tại H ⇒ MH = HB. Từ (1) và (2) có: KBC

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

2

 10  Từ (2) có:  + y  ≥ x 2  3  10 ⇔ y2 + y + 1 ≥ 0 3

(*)

G

Đ

(4)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(3)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

(2)

U Y

N

H

0,25

TP

1  x + ≥0  y Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:  10 − x + y ≥ 0  3 1  x + y ≥ 0  10  −x+ y≥0 Do đó, hệ đã cho tương đương với:  3  2 82 x + y2 = 9   x > 0, y < 0 10 1 10 + y≥− ⇔ y2 + y + 1 ≤ 0 Từ (1) và (2) ta có: 3 y 3

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

0,25 0,25 0,5 28

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

0,5

Ơ

N

0,25 0,25

0,25

H Ư

t = −1 4 y − 1  3t + 1  3t + 1 . ⇒ =t⇒t ≤ < t +1⇒   3 2  2  t = 0

TR ẦN

Đặt t =

0,25

Ó

A

10 00

B

1  x = − 8 Từ đó ta có:  x = 7  16 .................................... Hết ....................................

0,25

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: Toán

Đề chính thức

(Dành cho tất cả thí sinh thi vào THPT chuyên Lam Sơn)

ÁN

-L

Í-

THANH HÓA

H

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2010

TO

(Đề thi gồm có: 01 trang)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ

0,25

N

G

0,25

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

U Y

.Q TP

1 4 y −1 4x − 1  . , ta có:  y +  + [ y ] = 2 3 3  1 4 y −1  Mặt khác:  y +  = [ 2 y ] − [ y ] ⇒ [ 2 y ] = 2 3 

Đặt y =

ẠO

5 (1,0đ)

= 600 ⇒

ACB = 300 . ⇒ HAC Vậy: ABC = 450 , ACB = 300 .

0,5

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2 (1,0đ)

N

H

⇒ BAH < 450 và ABH > BAH ABH > 450 .

Giả sử HA > HB, khi đó + CAH = 1050 nên CAH > 600 .

Vì BAH > 600 ⇒ AHM = HAM AMH < 600 .

Tam giác AMH cân tại M nên Do đó HA < MH = HB (mâu thuẫn).

Tương tự, nếu HA < HB ta cũng gặp điều mâu thuẫn.

Vậy: HA = HB. = ABH = 450 .

Từ kết quả ý 1 suy ra ∆AHB vuông cân tại H ⇒ BAH

D

IỄ N

Đ

Câu 1:(2.0 điểm) 

x 6 − +  x x −4 x 3 x −6

Cho biểu thức: A = 

1   10 − x  : x −2+  x +2  x + 2

1. Rút gọn biểu thức A .

2. Tìm x sao cho A < 2 .

Câu 2:(2.0 điểm) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 − 7 x + 3 = 0 .

1. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 x1 − x2 và 2 x2 − x1 . https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

2. Tính giá trị của biểu thức: B = 2 x1 − x2 + 2 x2 − x1 .

Ơ

Câu 3:(1.5 điểm) Giải hệ phương trình:

N

1  4  x + 2y − x − 2y =1    20 + 3 = 1  x + 2 y x − 2 y

G

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi

TR ẦN

H Ư

N

p p p + + ≥9 p−a p−b p −c

bằng 2p.Chứng minh rằng:

……………...Hết..........................

Câu

ÁN

ý

1

A

(Dành cho tất cả thí sinh thi vào THPT chuyên Lam Sơn)

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2010

-L

Í-

H

Ó

(Đề thi gồm có: 01 trang)

10 00

THANH HÓA

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán

B

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Nội dung

Điểm

Cho biểu thức: 

TO

x 6 − +  x x −4 x 3 x −6

Đ 1

A=

1   10 − x  : x −2+  x +2  x + 2

(2.0đ)

1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm x sao cho A < 2 x > 0 Điều kiện:  x ≠ 4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Câu 5:(1.0 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

Chứng minh rằng: DF.DA = EH.EB.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2. Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ≠ A).

IỄ N D

.Q TP

1. Chứng minh rằng: AE = ID

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Câu 4 :(3.5 điểm) Cho hình vuông ABCD,trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA.Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H.

0.25



x 6 1   10 − x  − + : x −2+  x +2  x + 2  x x −4 x 3 x −6  x 6 1  x − 4 + 10 − x =  − + : x + 2 x +2  x x −2 x +2 3 x −2

A= 

(

)(

) (

)

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0.25 30

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

(

)(

)

0.25

Ơ N

H

1 <2 2− x

1 2 x −3 −2 < 0 ⇔ <0 2− x 2− x

0.25

.Q

 2 x − 3 > 0 x > + Trường hợp 1:  ⇔ 4⇔x>4

Đ

0.25

G

 x > 4 9  2 x − 3 < 0 9 x < + Trường hợp 2:  ⇔ 4⇔x< 4 2 − x > 0  x < 4

ẠO

2 − x < 0

TR ẦN

H Ư

N

9  < < 0 x Kết hợp với điều kiện (*), ta có giá trị x cần tìm là:  4  x > 4

2

0.25

0.25

Đặt y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 ta có y1 + y2 = x1 + x2 = 7;

0.25

A

Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 7; x1.x2 = 3

Í-

H

Ó

1

10 00

B

Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 − 7 x + 3 = 0 .

1. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 x1 − x2 và (2.0đ) 2 x2 − x1 .

2. Tính giá trị của biểu thức: B = 2 x1 − x2 + 2 x2 − x1 .

-L

y1.y2 = (2x1 – x2)( 2x2 - x1) = 5x1.x2 - 2(x12 +x22)

ÁN

= 5x1x2 - 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] = 9x1x2 - 2(x1 + x2)2 = 9.3 - 2.72 = -71

TO

Vậy,phương trình cần lập là: y2 - 7y -71 = 0 Phương trình y2 - 7y -71 = 0 có hai nghiệm là:

0.25 0.25

IỄ N

Đ

ÀN

2

7 + 3 37 7 − 3 37 ; y2 = 2 2 Ta có B = 2 x1 − x2 + 2 x2 − x1 = y1 + y2

y1 =

=

7 + 3 37 7 − 3 37 + 2 2

=

7 + 3 37 3 37 − 7 + = 3 37 2 2

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0.25 0.25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

9

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

0.5

x > 0 Với điều kiện:  (*) ≠ 4 x 

⇔

D

)

−6 x +2 1 . = 6 x −2 x +2 2− x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)(

6 = x +2

N

(

Ta có A < 2 ⇔

http://daykemquynhon.ucoz.com

)

U Y

2

(

x −2 x +2 + x −2 : x −2 x +2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

=

0.5

31

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

3

(1.5đ)

N

Giải hệ phương trình:

1  4  x + 2y − x − 2y =1    20 + 3 = 1  x + 2 y x − 2 y

0.5

10 00

B

Cho hình vuông ABCD,trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA.Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H. 1. Chứng minh rằng: AE = ID

(3.5đ)

Tam giác ABI cân tại B nên

-L

1

Í-

H

Ó

A

2. Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ≠ A).

Chứng minh rằng: DF.DA = EH.EB.

ÁN

= BIA

BAI

TO

= EIA

suy ra EAI

ÀN Đ IỄ N

0,5

(1)

Xét tam giác vuông

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

Đ

x = 3   5 (Thoả mãn đ/k) = y  2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q ẠO

TP

0,5 MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

4

hay EA=EI

D

0,5

TR ẦN

x = 3  Vậy hệ phương trình có nghiệm:  5  y = 2

H

u − v = 1 4 1 , v= ta được hệ:  x + 2y x − 2y 5u + 3v = 1

1  u = 2 ⇔ v = − 1  2 1  4  x + 2y = 2 x + 2 y = 8  Suy ra :  ⇔  ⇔ − 2 = − 2 x y 1 1   =−  x − 2 y 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đặt u =

Ơ

Đ/k: x ≠ ±2 y .

= 450 DIE có: EDI

nên tam giác DIE vuông 0,5

cân đỉnh I,do đó IE = ID

(2) 0,5

Từ (1) và (2) suy ra AE = ID (đpcm). https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

32

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

Do EA = EI và EI ⊥ BD nên đường tròn (E) đi qua I và nhận BD làm 0,5

Xét hai tam giác đồng dạng AID và IFD có:

DA ID 2 = ⇔ DA.DF = ID , DI FD

Ơ

mặt khác ID = IE nên DA.DF = IE2 (1)

H

0,5

U Y

5

0,5 0,25

AB = c và chu vi bằng 2p.

(1.0đ)

N

p p p + + ≥9 p − a p −b p −c

G

Đ

Cho tam giác ABCcó độ dài ba cạnh lần lượt là:BC = a, CA = b,

TR ẦN

H Ư

Chứng minh rằng:

Trước tiên,ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

1 1 4 + ≥ x y x+ y

(với x > 0; y > 0 )

B

Thật vậy,bất đẳng thức trên tương đương với: 2

≥ 4 xy ⇔ ( x − y ) 2 ≥ 0 (đúng)

10 00

( x + y)

0,25

Vì p − a > 0; p − b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

1 1 + ≥ p −a p−b 1 1 tương tự: + ≥ p −b p −c 1 1 + ≥ p−c p−a 1 1 1 + + do đó: p −a p −b p −c

4 4 = 2 p − (a + b) c 4 a 4 b 1 1 1 ≥ 2( + + ) a b c

p p p 1 1 1 + + ≥  + + (a + b + c) Suy ra: p −a p −b p−c  a b c a b c a b c = 3 + + + + + + ≥ 9 (Đpcm) b a a c c b

0,5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Từ (1) và (2) suy ra: DF.DA = EH.EB (đpcm)

IỄ N D

(2)

.Q

2

IE EH = EB IE

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Xét hai tam giác vuông đồng dạng IHE và BIE có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Do tam giác ABI cân tại B nên EB ⊥ AI.

⇔ EH.EB = IE

0.25

N

= DIF . tiếp tuyến,từ đó có: DAI

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

0,25

Lưu ý: * Các cách giải khác với cách nêu trong đáp án này mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần (câu) tương ứng. * Điểm của toàn bài không làm tròn. .................................... Hết .................................... https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

33

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HOÁ

mãn điều kiện: 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

10 00

B

2a 2 − 3ab + b 2 Q= 2a 2 − ab + ac

Câu 3: (2,0 điểm)

A

x−2 +

y + 2009 +

z − 2010 =

Ó

1. Giải phương trình:

1 ( x + y + z) 2

Í-

-L

Câu 4: (3,0 điểm)

H

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Một đường thẳng qua A , cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N . Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN . Chứng minh rằng: CK ⊥ BN .

2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA= 2 .Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có số đo bằng 45 0 , có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng: 2 2 − 2 ≤ DE < 1 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1 , x2 thoả

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

1 =7 x2 1 1 Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + 3 và B = x5 + 5 x x  1 1 + 2− = 2  y  x 2. Giải hệ phương trình:   1 + 2− 1 = 2  y x 

1. Cho số x (x ∈ R; x > 0) thoả mãn điều kiện: x2 +

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Câu 1: (2,0 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

N

Đề chính thức

KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 MÔN: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009

Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd , trong đó ad − bc = 1 .

Chứng minh rằng: P ≥ 3 . ………………....Hết ……………...

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

34

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2009 - 2010

N

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ơ H N U Y

0.25

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0.25

Nế u

1

x

1

>

x

y

+ 2−

thì 2 −

1 1 1 = + 2− y x y

(2)

0.25 0.5

1 1 > 2 − nên (2) xảy ra khi và chỉ khi x = y y x

thế vào hệ ta giải được x = 1, y = 1

A

2

0.25

B

1

Từ hệ suy ra

10 00

2

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

x x 1 1 1 1 1 2 3 ⇒ 21 = (x + )(x + 2 ) = (x + 3 ) + (x + ) ⇒ A = x3 + 3 =18 x x x x x 1 1 1 1 ⇒ 7.18 = (x2 + 2 )(x3 + 3 ) = (x5 + 5 ) + (x + ) x x x x 1 ⇒ B = x5+ 5 = 7.18 - 3 = 123 x

Điểm

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

1 Từ giả thiết suy ra: (x + 1 )2 = 9 ⇒ x + 1 = 3 (do x > 0)

b c , x1.x2 = . a a 2 b b 2 − 3. +   2a 2 − 3ab + b 2 a a Khi đó Q = = ( Vì a ≠ 0) 2 b c 2a − ab + ac 2− + a a 2 2 + 3( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) = 2 + ( x1 + x2 ) + x1 x2 Vì 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 2 nên x12 ≤ x1 x2 và x2 2 ≤ 4

0.5

0.25

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Theo Viét, ta có: x1 + x2 = −

TO Đ

IỄ N D

Nội dung

ý

TP

Câu 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

THANH HOÁ

0.25 0.25 0.25

2

⇒ x12 + x2 2 ≤ x1 x2 + 4 ⇒ ( x1 + x2 ) ≤ 3 x1 x2 + 4 2 + 3( x1 + x2 ) + 3x1 x2 + 4 Do đó Q ≤ =3 2 + ( x1 + x2 ) + x1 x2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = 2 hoặc x1 = 0, x2 = 2

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0.25 0.25

0.25

35

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

N Ơ H

x=3

y + 2009 - 1 = 0

y = - 2008

0.25 0.25

0.25

z = 2011

B

z − 2010 - 1 = 0

⇔

TR ẦN

x−2 - 1 = 0

H Ư

⇔ ( x − 2 - 1)2 + ( y + 2009 - 1)2 + ( z − 2010 - 1)2 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

+2 z − 2010

Đ

Phương trình đã cho tương đương với: x + y + z = 2 x − 2 +2 y + 2009

0.25

ẠO

1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

3

10 00

2 Nhận xét: p là số nguyên tố ⇒ 4p2 + 1 > 5 và 6p2 + 1 > 5

A

Đặt x = 4p2 + 1 = 5p2- (p - 1)(p + 1)

Í-

Khi đó:

0.25

H

Ó

y = 6p2 + 1 ⇒ 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2)

-L

- Nếu p chia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5 0.25

TO

ÁN

⇒ x chia hết cho 5 mà x > 5 ⇒ x không là số nguyên tố

Đ

ÀN

- Nếu p chia cho 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5

IỄ N

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

0.25

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 b   − a = 4   c = 4 c = −b = 4a   a  Tức là  ⇔  b = −2a Vậy max Q = 3 b   − =2  c = 0   a  c  = 0   a

⇒ 4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1 ⇒ y chia hết cho 5 mà

y > 5 ⇒ y không là số nguyên tố

0.25

D

Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố ⇒ p = 5 Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố 0.25

Đáp số: p =5 4 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

36

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

1.

A

I

B

E

N

K

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

x x

O

B D M A y

E

C

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

2.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

∠BCE = ∠EMI = ∠BKE ⇒ tứ giác BECK nội tiếp ∠BEC + ∠BKC = 180 0 ∠BEC = 90 0 ⇒ ∠BKC = 90 0 . Vậy CK ⊥ BN Lại có:

0.25

Vì AO = 2 , OB = OC = 1 và ∠ABO=∠ACO=900 suy ra OBAC là hình vuông Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho ∠DOM = ∠DOB ⇒ ∠MOE =∠COE Suy ra ∆ MOD = ∆ BOD ⇒ ∠DME = 900 ∆ MOE = ∆ COE ⇒∠EMO = 900 suy ra D, M, E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O).

Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM = DB, EM = EC Ta có DE < AE + AD ⇒ 2DE < AD + AE + BD + CE = 2 suy ra

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q H Ư

N

IB CM MN ⇒ IM // BN = = AB CB AN

Mặt khác:

G

Đ

ẠO

Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IB = CM Ta có ∆ IBE = ∆ MCE (c.g.c).

Suy ra EI = EM , ∠MEC = ∠BEI ⇒ ∆ MEI vuông cân tại E Suy ra ∠EMI = 450 = ∠BCE

IỄ N D

N

C

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

U Y

N

H

Ơ

M

0.25 0.25 0.25

0.25 37

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA

DE < 1 Đặt DM = x, EM = y ta có AD2 + AE2 = DE2 ⇔ (1 - x)2 + (1 - y)2 = (x + y)2

0.25

(x + y ) suy ra DE2 + 4.DE – 4 2

4

≥0

N Ơ

⇔ DE ≥ 2 2 − 2 Vậy 2 2 − 2 ≤ DE < 1

U Y

N

H

0.25

.Q

Ta có: ( ac + bd ) 2 + (ad − bc) 2 = a 2 c 2 + 2abcd + b 2 d 2 + a 2 d 2 − 2abcd + b 2 c 2 0.25

H Ư

N

G

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Vì ad − bc = 1 nên 1 + (ac + bd ) = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) (1) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm (a 2 + b 2 ) ; (c 2 + d 2 ) có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

= a 2 (c 2 + d 2 ) + b 2 (d 2 + c 2 ) = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 )

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TR ẦN

P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd ≥ 2 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) + ac + bd 0.25 0.25

10 00

B

2 ⇒ P ≥ 2 1 + (ac + bd ) + ac + bd (theo (1)) 2 Rõ ràng P > 0 vì: 2 1 + (ac + bd )2 > ac + bd

2

)

2

+ 2x + 3 ≥ 3

Í-

( 1+ x

Vậy P ≥ 3 0.25

.................................... Hết ....................................

TO

ÁN

-L

=

H

Ó

A

Đặt x = ac + bd ,ta có: P ≥ 2 1 + x2 + x ⇔ P 2 ≥ 4(1 + x 2 ) + 4 x 1 + x 2 + x 2 = (1 + x 2 ) + 4 x 1 + x 2 + 4 x 2 + 3

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

5.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔ 1- (x + y) = xy ≤

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

38

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial