ĐỀ TÀI DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ TOÁN THCS VÀ THPT SINH VIÊN THỰC HIỆN NGUYỄN VĂN NHÂN SP TOÁN K39

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP SƯ PHẠM TOÁN HỌC

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

ĐỀ TÀI DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ TOÁN THCS VÀ THPT SINH VIÊN THỰC HIỆN NGUYỄN VĂN NHÂN SP TOÁN K39 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

DẠY HỌC HÀM SỐ MŨ

Giảng viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

PGS TS. Nguyễn Phú Lộc

Nguyễn Văn Nhân Mssv: B1300407 Lớp: Sư phạm Toán K39

Cần Thơ - 2017

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này ngoài sự nỗ lực của bản thân em cần phải trang bị đầy đủ những kiến thức cần thiết và sự giúp đỡ của thầy cô trong quá trình nghiên cứu. Đầu tiên em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy Nguyễn Phú Lộc, người đã tận tình chỉ dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn này. Và cũng chính thầy là người cho em thêm động lực hoàn thành luận văn.

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Khoa Sư phạm, thầy cô Bộ môn Sư phạm Toán học đã tận tình dạy dỗ, trang bị cho em những kiến thức cần thiết trong suốt bốn năm đại học. Cuối cùng, em xin gửi đến quý thầy cô Khoa Sư phạm nói chung và quý thầy cô Bộ môn Sư phạm Toán học nói riêng lời chúc sức khỏe, thành công trong sự nghiệp cũng như trong cuộc sống.

Cần Thơ, ngày tháng năm 2017 Sinh viên thực hiện

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................... 2 4. Đối tượng nghiên cứu .............................................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................................... 3 PHẦN NỘI DUNG .....................................................................................................4 Chương 1 ....................................................................................................................4 KIẾN THỨC LIÊN QUAN .........................................................................................4 1.1

Mũ – lũy thừa................................................................................................... 4

1.1.1

Định nghĩa, tính chất mũ – lũy thừa trong chương trình Toán THCS ........... 4

1.1.2

Các dạng toán mũ – lũy thừa trong chương trình Toán THCS ...................... 5

1.1.3

Định nghĩa, tính chất mũ – lũy thừa trong chương trình Toán THPT.......... 10

1.1.4

Các dạng toán mũ – lũy thừa trong chương trình Toán THPT .................... 16

1.1.5 Sơ đồ phát triển mũ – lũy thừa ...................................................................... 19 1.2 Hàm số mũ........................................................................................................... 20 1.2.1 Định nghĩa .................................................................................................... 20 1.2.2 Các tính chất ................................................................................................. 20 Chương 2 .................................................................................................................. 21 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ................................................ 21 2.1 Phương trình và bất phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT........... 21 2.1.1 Phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT ................................... 21 2.1.2 Bất phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT ............................. 34 2.2 So sánh phương trình và bất phương trình mũ trong chương trình Toán – cơ bản và Toán – nâng cao ở trường THPT................................................................................ 41 2.3 Các dạng toán thường gặp về phương trình và bất phương trình mũ trong những đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây ......................................................... 43 2.3.1 Các dạng phương trình mũ thường gặp trong những đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây....................................................................................... 43 2.3.2 Các dạng bất phương trình mũ thường gặp trong những đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây .............................................................................. 47

Chương 3 .................................................................................................................. 51 THIẾT KẾ MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .................................................... 51 3.1 Nhận – biết .......................................................................................................... 51 3.1.1 Phương trình mũ ........................................................................................... 51 3.1.2 Bất phương trình mũ ..................................................................................... 53 3.2 Thông – hiểu ........................................................................................................ 55 3.2.1 Phương trình mũ ........................................................................................... 55 3.2.2 Bất phương trình ........................................................................................... 57 3.3 Vận dụng thấp...................................................................................................... 60 3.3.1 Phương trình mũ ........................................................................................... 60 3.3.2 Bất phương trình ........................................................................................... 62 3.4 Vận dụng cao ....................................................................................................... 63 3.4.1 Phương trình mũ ........................................................................................... 63 3.4.2 Bất phương trình ........................................................................................... 65 Chương 4 .................................................................................................................. 68 KHẢO SÁT THỰC TIỄN ......................................................................................... 68 4.1 Mục đích khảo sát ................................................................................................ 68 4.2 Nội dung khảo sát ................................................................................................ 68 4.3 Tổ chức khảo sát .................................................................................................. 68 4.3.1 Chọn lớp khảo sát ......................................................................................... 68 4.3.2 Hình thức tổ chức khảo sát ............................................................................ 68 4.5 Kết quả khảo sát................................................................................................... 72 4.6 Thảo luận ............................................................................................................. 77 4.6.1 Hệ số tương quan .......................................................................................... 77 4.6.2 Kết luận ........................................................................................................ 77 Chương 5 .................................................................................................................. 79 GIÁO ÁN ĐỀ NGHỊ ................................................................................................. 79 Giáo án 1 ( Ban cơ bản) ............................................................................................. 79 Giáo án 2 (Ban nâng cao)........................................................................................... 84 PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................... 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 91

PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đứng trước sự phát triển và đi lên của đất nước đòi hỏi ngành giáo dục phải đổi mới và nâng cao chất lượng dạy và học . Giáo dục phải tạo nên những con người năng động, sáng tạo có năng lực làm chủ vấn đề và giải quyết vấn đề. Trong đó toán học có vai trò rất quan trọng trong ngành giáo dục. “Dù các bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho các bạn” (Phạm Văn Đồng). Hơn thế khi học giỏi toán sẽ giúp cho tư duy học sinh trở nên nhạy bén và cách hệ thống kiến thức của học sinh logic, chặt chẽ và mạch lạc hơn. Giúp học sinh thu nhận tri thức một cách khoa học biến nó trở thành của bản thân và có thể vận dụng chúng một cách linh hoạt và hiệu quả hơn trong đời sống.

Bài tập toán cũng là một phần rất quan trọng trong việc giảng dạy môn toán.

Trong quá trình giải bài tập bắt buộc học sinh phải vận dụng các định nghĩa, tính chất, khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp,… đã được học để có thể phân tích, nhận dạng và vận dụng các kiến thực và kĩ năng một cách hợp lý bằng hoạt động tri thức phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến, các thao tác tư duy cơ bản, … để hoàn thành việc giải bài tập toán.

Song thực trạng dạy học hiện nay, còn tồn tại nhiều vấn đề dẫn đến việc không ít học sinh tỏ ra chán nản và không có hứng thú trong việc học toán dẫn đến học lực toán yếu kém mất căn bản, ngồi nhằm lớp, không có khả năng vận dụng kiến thức kĩ năng vào việc giải các dạng bài tập toán cơ bản, yếu kĩ năng tính toán…. Đây là mối lo ngại cho nhiều Trường Trung học cơ sở (THCS) và Trường Trung học phổ thông (THPT) nói chung, làm ảnh hưởng đến chất lượng giáo dục và đào tạo của nhà trường. Ở chương trình Toán trung học phổ thông, ngoài các dạng toán về khảo sát hàm số, đồ thị, giới hạn, đạo hàm, tích phân, lượng giác, phương trình vô tỉ,…. Thì các bài tập về phương trình mũ và bất phương trình mũ sẽ theo học sinh trong suốt các kì thi từ học kì, kì thi tốt nghiệp và kì thi tuyển siunh đại học, cao đẳng,… Tuy nhiên việc giải toán các bài toán về phương trình mũ và bất phương trình mũ yêu cầu học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức cơ bản về mũ lũy thừa và hàm số mũ,… Và vận 1

dụng chúng một cách linh hoạt. Vì vậy người giáo viên cần xây dựng những biện pháp phù hợp có thể giúp hợp sinh nắm vững các kiến thức cơ bản, các dạng phương trình mũ và bất phương trình mũ cơ bản, dưa ra nhiều ví dụ và phương pháp giải phù hợp giúp học sinh giải quyết bài toán một cahs dễ dàng. Từ đó, học sinh có lòng say mê, yêu thích và học toán tốt hơn.

Do đó chúng tôi quyết định chọn đề tài “Dạy học hàm số mũ” để làm luận văn tốt nghiệp. Thông qua đề tài tôi muốn xây đựng một hệ thống nội dung phương trình và bất phương trình mũ một cách tổng quát , tổng hợp các dạng toán cũng như đưa ra các dạng toán cụ thể. Mặt khác, việc nghiên cứu đề tài giúp tôi nắm vững kiến thức và rút ra kinh nghiệm quý báu khi giảng dạy về sau.

2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nhằm hệ thống hóa lại kiến thức và cách giải các dạng toán có liên quan cũng như các dạng bài tập áp dụng kiến thức hàm số mũ từ đó đề xuất một số biện pháo giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và có kĩ năng giải toán phương trình mũ và bất phương trình mũ, rèn luyện khả năng lập luận và tư duy logic.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trên cơ sở mục đích nghiên cứu, đề tài có các nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể sau: - Tìm hiểu nội dung chương trình Toán Trung học phổ thông về hàm số mũ - Tìm hiểu các dạng toán, cách giải về phương trình và bất phương trình mũvà hệ thống chúng một cách hợp lý logic.

- Đề xuất một số biện pháp dạy học hiệu quả nội dung hàm số mũ, phương trình và bất phương trình mũ ở trường phổ thông.

- Soạn một số giáo án giảng dạy kiến thức hàm số mũ, phương trình và bất phương trình mũ.

- Khảo sát thực tiễn.

4. Đối tượng nghiên cứu Hàm số mũ, phương trình, bất phương trình mũ trong chương trình Toán THCS và Toán THPT. 2

5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu thuộc các lĩnh vực : Toán học, phương pháp dạy học toán, giáo dục học, tâm lí học, các tài liệu và bài viết có liên quan đến đề tài luận văn.

- Phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa đại số lớp 6, lớp 7, giải tích lớp 12 liên quan đến kiến thức mũ – lũy thừa dựa trên cơ sở Chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán.

- Phân loại và hệ thống hóa các dạng toán áp dụng kiến thức mũ – lũy thừa,hàm số mũ dựa trên cơ sở Chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán.

- Khảo sát thực tiễn: Tổ chức khảo sát ở trường trung học phổ thông để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu.

3

PHẦN NỘI DUNG Chương 1 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Mũ – lũy thừa Trong phần này, chúng tôi trình bày nội dung định nghĩa, tính chất mũ – lũy thừa trong chương trình Toán THCS và chương trình Toán THPT và tổng hợp một số dạng toán và phương pháp thường gặp.

1.1.1 Định nghĩa, tính chất mũ – lũy thừa trong chương trình Toán THCS a) Lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ tự nhiên ( Toán lớp 6 tập 1) • Định nghĩa Theo ([1], trang 26) Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a :

.a24 ..... a n = a1 4 3a

n ≠0

n

Trong đó a là cơ số n là số mũ Quy ước:

a1 = a a0 = 1

( a ≠ 0)

• Tính chất Theo ([1], trang 27,29) Cho a là số tự nhiên và m,n là số tự nhiên lơn hơn 1 ta có: m n m+ n o a ⋅a = a

o a m : a n = a m −n

( a ≠ 0, m ≥ n )

b) Lũy thừa của số hữu tỉ với số mũ tự nhiên ( Toán lớp 7 tập 1)

• Định nghĩa

4

Theo ([2], trang 17) Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu x n , là tích của n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1).

.x24 .x... xn = 1 x4 3x ( x ∈ , n ∈ , n > 1) n

x1 = x

Quy ước:

x0 = 1

( x ≠ 0)

Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng

a ( a, b ∈ , b =/ 0 ) ta có: b

n } a a a a.a...a a n a = ⋅ ⋅⋅⋅ = = n   b4b24 b b b b . ... b 1 3 { b n

b

n

• Tính chất Theo ([2], trang 18)Cho x là số hữu tỉ và m,n là số tự nhiên lơn hơn 1 ta có: o

x m ⋅ x n = x m+ n

m n m−n o x :x = x

( x ≠ 0, m ≥ n )

m n

o

(x )

1.1.2 Các dạng toán mũ – lũy thừa trong chương trình Toán THCS a) Các dạng toán ở lớp 6 Dạng 1: Biểu diễn kết quả dưới dạng lũy thừa

• Phương pháp n .a24 .....

Sử dụng định nghĩa a = a1 4 3a

n ≠ 0 , tính chất a m ⋅ a n = a m+n ,

n

a m ⋅ a n = a m+ n • Ví dụ Bài toán 1:Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lũy thừa

a) 5.5.5.5.5.5.5

b) 6.6.6.2.3

c) 2.2.2.3.3.4

d) 100.10.10 5

f) a.a.b.b.b

e) a.a.a.a Giải :

a) 5.5.5.5.5.5.5 = 57

b) 6.6.6.2.3 = 2.3.2.3.2.3.2.3 = 24.34

c) 2.2.2.3.3.4 = 2.2.2.3.3.2.2 = 25.32

d) 100.10.10 = 10.10.10.10 = 104

4 e) a.a.a.a = a

2 3 f) a.a.b.b.b = a .b

Bài toán 2: Viết mỗi số sau về dạng bình phương của một số tự nhiên

a) 64

b) 169

c) 144

d) 25

Giải :

a) 64 = 82

b) 169 = 132

c) 144 = 12 2

d) 25 = 52

Bài toán 3: Viết kết quả dưới dạng lũy thừa

a) 23.24.27

b) x.x5

c) 22.42

d) a3 .a 2 .a5

e) 712 : 74

f) x 6 : x 3 ( x ≠ 0 )

g) 210 : 27

h) a 6 : a ( a ≠ 0 )

Giải :

a) 23.24.27 = 23+ 4+7 = 214

b) x.x5 = x1+5 = x6

c) 42.46 = 42+6 = 48

d) a3 .a 2 .a5 = a3+ 2+5 = a10

e) 712 : 74 = 712−4 = 78

f) x6 : x3 = x6−3 = x3

g) 210 : 27 = 210−7 = 23

h) a 6 : a = a6−1 = a5

Dạng 2. Tính giá trị các lũy thừa

• Phương pháp n .a24 .....

Sử dụng định nghĩa a = a1 4 3a

n ≠0

n

• Ví dụ Tính giá trị các lũy thừa sau 3 5 6 8 a) 2 , 2 , 2 , 2

b) 34 ,37 , 45 , 46

c) 52 ,54 ,55

d) 102 ,113 ,122

Giải

a) 23 = 2.2.2 = 8; 25 = 2.2.2.2.2 = 32;

26 = 2.2.2.2.2.2 = 64;28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256

6

b) 34 = 3.3.3.3 = 81; 37 = 3.3.3.3.3.3.3 = 2187

45 = 4.4.4.4.4 = 1024;46 = 4.4.4.4.4.4 = 4096 c) 52 = 5.5 = 25; 54 = 5.5.5.5 = 625; 55 = 5.5.5.5.5 = 625 d) 102 = 10.10 = 100;113 = 11.11.11 = 1331;122 = 12.12 = 144 Dạng 3: So sánh

• Phương pháp Thực hiện các phép tính rồi so sánh đáp án • Ví dụ: So sánh hai số sau a) 23 và 32

b) 2 4 và 4 2

c) 25 và 52

d) 210 và 100

Giải

a) Ta có 2 3 = 8 và 32 = 9 mà 9 > 8 ⇒ 32 > 23 b) Ta có 2 4 = 16 và 4 2 = 16 suy ra 2 4 = 4 2 c) Ta có 2 5 = 32 và 52 = 25 mà 32 > 25 ⇒ 25 > 52 d) 210 = 1024 và 100 suy ra 210 > 100 Dạng 4: Biểu diễn một số tự nhiên dưới dạng tổng các lũy thừa của 10

• Ví dụ: Viết các số tự nhiên sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10 2475; 64; 9; 987; abcd Giải

2475 = 2000 + 400 + 70 + 5 = 2.103 + 4.102 + 7.101 + 5.100 7

64 = 60 + 4 = 6.101 + 4.100 9 = 9.100 abcd = a.1000 + b.100 + c.10 + d = a.103 + b.102 + c.101 + d .100 b) Các dạng toán ở lớp 7 Dạng 1: Thực hiên các phép tính lũy thừa thông thường

• Phương pháp Sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy lũy thừa để thực hiện phép tính.

• Ví dụ Bài toán 1: Thực hiện các phép tính sau 3 1)  −   4

2

2 2)  −   5

3

2

2 8 2)  −  = − 5 125  

1 3)  −2   4

3

Giải : 3 9 1)  −  = 4 16  

3

3

1 729 3)  −2  = 

4

64

Bài toán 2: Thực hiện các phép tính sau

1) 10 .2 8

4)

8

4 2 .4 3 210

2) 10 : 2 8

5)

8

5

4

4

10

 −10   −6  3)   ⋅   3   5 

63 + 3.62 + 33 −13

Giải : 5

 −10   −6 

1) 108.28 = 208

8 2) 108 : 28 = 58 3)   ⋅   = −2 . = 3 5 3    

4 2 .4 3 4) =1 210

63 + 3.62 + 33 = −33 = −27 5) −13

−2560 3

8

Bài toán 3: Thực hiện các phép tính sau 3 1 1)  +  7 2 

2

3 5 2)  −  4 6





2

7 1 4 3 3)  1 + −  .  −  4 4 5 4 

 

3

5



1

2

4) 2 :  −  2 3



3

Giải : 2

5

3 1 169 1)  +  =  7 2  196

7



2

1 4

5

3 5 1 1 2)  −  =  −  = − 5 12  4 6   12 

3

3

2

5  1 

3

1

1

3)  1 + −  .  −  =   .   =  4 4   5 4   2   20  1280

2

3

4) 2 :  −  = −432 2 3

Dạng 2: So sánh

• Phương pháp o Bước 1: Thực hiện đưa về cùng cơ số (đưa về cùng số mũ a > 0, b > 0 ) o Bước 2: Nếu m > n ⇒ a m > a n ( a > b ⇒ a m > b n ) o Bước 3: Kết luận

• Ví dụ Tính và so sánh: 3

2) 37 và 92

3) 2 27 và 318

3

2) 37 > 92

3) 2 27 < 318

1) ( 2 2 ) và 2 6 Giải :

1) ( 2 2 ) = 2 6 Dạng 3: Tìm số chưa biết

• Phương pháp o Bước 1: Nếu giá trị cần tìm là số mũ thực hiện đưa về cùng cơ số

9

Nếu giá trị cần tìm là cơ số thực hiện đưa về cùng số mũ Nếu giá trị cần tìm không là cơ số và không là số mũ thực hiện giải như những bài tìm x bình thường o Bước 2: Tìm giá giá trị cần tìm a m = a n ⇒ m = n

Tìm giá giá trị cần tìm a m = b m ⇒ a = b Tìm giá giá trị cần tìm (giải tìm x bình thường) o Bước 3: Kết luận giá trị cần tìm

• Ví dụ Bài toán 1: Tìm số n trong các biểu thức sau 1)

16 =2 2n

2)

( −3)

n

81

3) n10 = 45

= −27

Giải :

1) n = 3

2) n = 7

3) n = 2

Bài toán 2: Tìm x, biết: 3

−1 −1 1) x :   = 2  2 

5

3 3 2)   .x =   4 4

7

Giải :

1) x =

1 16

2) x =

9 16

1.1.3 Định nghĩa, tính chất mũ – lũy thừa trong chương trình Toán THPT Trong chương trình Toán THPT, mũ – lũy thừa được giảng dạy qua “Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit” trong Giải tích 12.

Trong phần này chúng tôi trình những định nghĩa tính chất của mũ lũy thừa trong Giải tích 12 – cơ bản và trong Giải tích 12 – nâng cao. a) Lũy thừa với số mũ nguyên ( Giải tích 12)

• Định nghĩa 10

Trong sách giáo khoa Giải tích 12 – cơ bản lũy thừa với số mũ nguyên được định nghĩa như sau:

Theo ([3], trang 49) Cho n là một số nguyên dương.

Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a a n = a1 .a24 .....

4 3a n

V ới a ≠ 0

a0 = 1 a−n =

1 an

Trong biểu thức a n , ta gọi a là cơ số, số nguyên n là số mũ.

1 Ví dụ:    3

−10

=

1 10

1    3

= 310 ; 2−5 =

1 .

25

Trong sách giáo khoa Giải tích 12 – nâng cao lũy thừa với số mũ nguyên được

định nghĩa từ hai định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương và lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm như sau: • Lũy thừa với số mũ nguyên dương

o Định nghĩa Theo ([4], trang 69) Nhắc lại rằng với mỗi số nguyên dương n, lũy thừa bậc n của một số a (còn gọi là lũy thừa của a với số mũ n) là số a n xác định bởi

a n = a1 .a24 .....

4 3a

n >1

n

a1 = a

ađược gọi là cơ số,n là được gọi làsố mũ của lũy thừa a n .

11

3

8 2 Ví dụ   = , 34 = 81 .

27 3

• Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm

o Định ngĩa Theo ([4], trang 69) Với a ≠ 0, n = 0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc

n của a là an được xác định bởi

a 0 = 1, a n =

Ví dụ: ( −3)

−3

=

1

( −3)

3

=−

1 a−n 1 ; − 2 27

(

)

0

= 1 ([4], trang 69).

o Chú ý Các kí hiệu 00 , 0n (n nguyên âm) không có nghĩa.

Với a ≠ 0 và n nguyên, ta có a n =

1 . a−n

Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị các số rất lớn và những số rất bé.

• Tính chấtcủa lũy thừa với số mũ nguyên

o Theo ([4], trang 70) Với a ≠ 0, b ≠ 0 và các số nguyên m, n, ta có

a m .a n = a m+n ;

am = a m−n ; an

(a )

( ab )n = a n .bn

an a . =   bn b

m n

= a mn ; ;

n

o

Theo ([4], trang 71) cho m, n là những số nguyên. Khi đó

Với a > 1 thì a m > a n khi và chỉ khi m > n ; 12

Với 0 < a < 1 thì a m > a n khi và chỉ khi m < n . o Theo ([4], trang 71) Với 0 < a < b và m là số nguyên thì

a m < b m khi và chỉ khi m > 0 ;

a m > bm khi và chỉ khi m < 0 .

o Theo ([4], trang 72) Với a < b, n là số tự nhiên lẻ thì

a n < bn o Theo ([4], trang 72) Với a,b là những số dương, n là những số nguyên khác 0 thì

a n = b n khi và chỉ khi a = b b) Căn bậc n • Định nghĩa Theo ([3], trang 51) Cho số thực b và số nguyên dương n ( n ≥ 2 ) . Số a được gọi là căn bậc ncủa b nếu a n = b Ví dụ: 2 và -2 là các căn bậc 4 của 16;

−1 1 là căn bậc 5 của − ([3], trang 3 243

51) Theo ([4], trang 72) Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho

bn = a .

Ví dụ : số 32 chỉ có một căn bậc năm là 6

5

32 = 2 ; số 64 có hai căn bậc sáu là

64 = 2 và − 6 64 = −2 ([4], trang 72) • Nhận xét ([4], trang 73)

o Căn bậc 1 của số a chính là số a o Căn bậc n của số 0 là 0 o Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của một số thực bất kì là số không âm.

13

o Với n nguyên dương lẻ ta có n

a > 0 khi a > 0;

n

a < 0 khi a < 0.

a an =   a

n

o • Tính chất

Theo ([3], trang 51) ta có:

o

n

a . n b = n ab ;

n

a na = ; b b

o n

o

o

o

( a) n

n

m

= n am ;

 a an =   a

n k

a = nk a

Theo ([4], trang 73) Cho hai số không âm a,b, hai số nguyên dương m,n và hai số nguyên p,q tùy ý, ta có:

o

n

ab = n a . n b ;

o

n

a na = (b > 0) ; b nb

n

ap =

o o

m n

( a) n

p

( a > 0);

a = mn a ;

o N ếu

p q = thì m n

o Đặt biệt

n

n

a p = m aq

( a > 0) .

a = mn a m .

c) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

14

Theo ([3], trang 52)Cho số thực a dương và số hữu tỉ r =

m , trong đó m ∈ , n

n ∈ , n ≥ 2. Lũy thừa của a với số mũ r là số a r xác định bởi m

ar = a n = n am 1

−3

1 1 1 1  1 3 Ví dụ:   = 3 = ; 4 2 = 4 −3 = = ; 8 2 4 2 8 1 n a

=na

( a > 0, n ≥ 2 ) . ([3], trang 52)

Theo ([4], trang 74) Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ. Giả sử

r=

m , trong đó m là một số nguyên còn n là một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa n

của a với số mũ r được xác định bởi m n

a = a = n am . r

Ví dụ:

−1 27 3

2 83

= 8 = 64 = 4;

1 an

= n a (a dương, n nguyên dương). ([4], trang 75)

3

2

3

= 3 27 −1 =

3

1 1 = .

27 3

d) Lũy thừa với số mũ vô tỉ Theo ([3], trang 54)Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận

( ) có

rằng luôn có một dãy số hữu tỉ ( rn ) có giới hạn là α và dãy số thương ứng a rn giơi hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số ( rn )

( ) là lũy thừa của a với số mũ α , kí hiệu là a

Ta gọi giới hạn của dãy số a rn

α

.

aα = lim a rn với α = lim rn x →∞

x →+∞

e) Lũy thừa với số mũ thực

15

• Định nghĩa Bao gồm định nghĩa của lũy thừa với số mũ hữu tỉ và định nghĩa của lũy thừa với số mũ vô tỉ.

• Tính chất Theo ([3], trang 54) Lũy thừa với mũ số thực có các tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương

1.1.4 Các dạng toán mũ – lũy thừa trong chương trình Toán THPT a) Dạng 1: Thực hiên các phép tính lũy thừa với số mũ thực • Phương pháp Sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy lũy thừa để thực hiện phép tính.

• Ví dụ Thực hiện phép tính sau 1)

2 2 5 5 9 .27

 1 3)    16 

2)

−0,75

3 4 144

3 4 :9

−5

4) ( 0,04 )

+ 0, 25 2

−1,5

−2

− ( 0,125 ) 3

Giải 1)

2 2 5 5 9 .27

 1 3)    16 

=

−0,75

4) ( 0,04 )

−1,5

4 6 5 3 .35

3 2) 144 4

2

=3 =9

−5 + 0, 25 2

−3

1 1 =  +  2 2 −2

−3

3 : 94

= ( 3.4 )

6 4

6 : 34

=

6 4 4

−5

= 8 + 32 = 40

− ( 0,125 ) 3 = ( 0, 2 ) − ( 0,5 )

−2

= 121

b) Dạng 2: Rút gọn biểu thức • Phương pháp 16

Sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép lấy lũy thừa để thực hiện rút gọn biểu thức.

• Ví dụ Rút gọn biểu thức 5

1)

( 1.

4. 5 −8

4

)

a3b2

3

4

4)

a b 1

(b−b ) b ( b− b ) 5

5)

2 3

3 3

1

12 6

b5

3

2)

5

4

−1

3

3

6)

7

a3 − a3 1 a3 1 a3

−

−

1 3

2 3 a

5

− a3

+a

−

1 3

1 + b3

6

−2

4 − a3

a

b a 6 a+ b

Giải 1) 2)

3)

4)

4. 5 −8 = 5 −22.23 = 5 −25 = −2

5

(

3

3 3 = 3.2 32.3 = 6 33 = 3

4

a 3b 2

)

4

3

a12b6

1 a3

7 − a3

1 a3

4 3 −a

1 b5

=

−

a

a3b 2 = ab a 2b

−

2 3 a

1 3

5 − a3

+a

−

1 3

( b − b )= 5) b ( b− b ) 2 3

1

5

5

4

3

3

−1

−2

1

a3 b + b3 a 6) 6 = a+6b

3

1

(

a 3 1 − a2

=

1 a3

(1 − a )

5

b5 − 5 b 0

3

b3 − 3 b 0

ab 6

(

6

)−

a+6b 6

a+ b

a

−

a

1 3

−

(1 − a ) = 2a

1 3

2

(1 + a )

=1

)=

3

ab

17

c) Dạng 3: So sánh • Phương pháp

o Bước 1: Thực hiện đưa về cùng cơ số(cùng số mũ) o Bước 2: Nếu a > 1 thì m > n ⇒ a m > a n Nếu 0 < a < 1 thì m > n ⇒ a m < a n N ếu a > b > 0 ⇒ a m > b m Nếu a < b < 0, m M/ 2 ⇒ a m < b m o Bước 3: Kết luận • Ví dụ So sánh các số sau

1 1)    3 3)

2 5

2 và

1 và    3 3

3 2

3

2) 7 6 4)

3

và 73

3 + 3 30 và

3

6

63

Giải

1 1)    3 3)

2 5

1 >  3

2<33

3 2

2) 7 6

3

> 73

4)

6

3 + 3 30 > 3 63

18

1.1.5 Sơ đồ phát triển mũ – lũy thừa

Lớp 12 Cơ số: Số thực Số mũ: Số thực

Lớp 12 Cơ số: Số thực Số mũ: Số vô tỉ Trung học phổ thông

Lớp 12 Cơ số: Số thực Số mũ: số hữu tỉ

Lớp 12 Cơ số: Số thực Số mũ: Số nguyên

Lớp 7 Cơ số: Số hữu tỉ Trung học cơ s ở

Số mũ: Số tự nhiên

Lớp 6 Cơ số: số tự nhiên Số mũ: số tự nhiên 19

1.2 Hàm số mũ 1.2.1 Định nghĩa Theo ([4], trang 71)Giả sử a là một số thực dương khác 1.

Hàm số y = a x được gọi là hàm số mũ 2  

x

Ví dụ: y = 5 x ; y =   ; y = 9

( 3)

x

1.2.2 Các tính chất x Hàm số mũ y = a (0 < a ≠ 1) có các tính chất sau •Tập xác định là R và tập giá trị là (0; +∞) •Liên tục trênR. x x • a > 1 ⇒ hàm đồng biến, tức là a 1 > a 2 ⇔ x 1 > x 2 . x x • 0 < a < 1 ⇒ hàm nghịch biến, tức là a 1 > a 2 ⇔ x 1 < x 2 .

1

1 ex − 1 =1 •Giới hạn : lim (1 + )x = lim (1 + x ) x = e và lim x x →±∞ x →0 x →0 x

( )

( )

u u x x x x •Đạo hàm: (a ) ' = a ln a ⇒ e ' = e và a ' = a .u ' ln a

•Tập xác định : D = R

T = R+ ax > 0

•Tập giá trị :

∀x ∈ R

• Tính đơn điệu:

* a> 1

: y = a x đồng biến trên

* 0 <a< 1 : y = a x nghịch biến trên Đồ thị hàm số mũ : y = a

y

1

x

y

1

x

x

y = ax

a >1

0 < a <1

20

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 2.1 Phương trình và bất phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT Trong phần này, chúng tôi trình bày nội dung phương trình và bất phương trình mũ trong chương trình Toán THPT và tổng hợp một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT. Trong chương trình toán THPT, phương trình mũ và bất phương trình mũ được giảng dạy qua “Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit” trong sách giáo khoa Giải tích 12. Mục tiêu của chương này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về mũ lũy thừa và thành thạo các kỹ năng về giải các phương trình và bất phương trình mũ đơn giản trên cơ sở các phương pháp mà sách giáo khoa đã cung cấp.

2.1.1 Phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT Trong mục này, chúng tôi trình bày nội dung phương trình mũ trong dạy học toán ở trường THPT và tổng hợp một số phương pháp giải phương trình mũ thường gặp.

a) Nội dung phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT Trong Giải tích 12– cơ bản, phương trình chứa ẩn ở mũ được trình bày trong mục 1, “Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit”. Nội dung dựa trên bài toán thực tế về lãi xuất ngân hàng để đưa đến sự yêu cầu trong thực tiễn là giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu (phương trình mũ) giới thiệu phương trình mũ cơ bản và cách giải phương trình mũ cơ bản thông qua ví dụ cụ thể và biện luận số nghiệm của phương trình.

Theo Giải tích 12– cơ bản, phương trình mũ cơ bản định nghĩa như sau: Phương trình mũcơ bảncó dạng ax = b

( a > 0, a ≠ 0 ) 21

Với b > 0 , ta có a x = b ⇔ x = log a b Với b ≤ 0 , phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình 22 x −1 + 4 x +1 = 5 .

Giải.Đưa vế trái về cùng cơ số 4, ta được 10 1 x 4 + 4.4 x = 5 hay 4 x = 2 9 Vậy x = log 4

10 .

9

Trong Giải tích 12 – nâng cao, phương trình chứa ẩn ở mũ được trình bày trong mục 1, “Bài 7: Phương trình mũ và lôgarit”.Nội dung giới thiệu về phương trình mũ cơ bản, cách giải phương trình mũ cơ bản thông qua ví dụ cụ thể và biện luận số nghiệm của phương trình.

Theo Giải tích 12– cơ bản, phương trình mũ cơ bản định nghĩa như sau: Phương trình mũ cơ bản có dạng a x = m , trong đó m là số đã cho. Phương

trình này xác định với mọi x.

Nếu m ≤ 0 thì phương trình a x = m vô nghiệm; Nếu m > 0 thì phương trình a x = m có nghiệm duy nhất x = log a m . Nói cách khác, ∀m ∈ ( 0, +∞ ) , a x = m ⇔ x = log a m

Ví dụ 2: a) 3 x = 9 ⇔ x = log 3 9 ⇔ x = 2 b) 10 x = 1 ⇔ x = log1 ⇔ x = 0

22

b) Một số phương pháp giải phương trình mũ thường gặp trong sách giáo khoa Giải tích 12 Dạng 1: Đưa về cùng cơ số 1) Phương pháp

Đưa các cơ số trong phương trình về cùng cơ số và sử dụng tính chất aα = a β ⇔ α = β để giải phương trình.

2) Ví dụ Bài toán 1: Giải phương trình (1,5 )

5 x −7

2 =  3

x +1

. ([3], trang 80)

Giải.

Đưa hai vế về cùng cơ số

(1,5 )

5 x −7

3 ⇔  2

2 =  3

5 x −7

3 , ta được: 2

x +1

3 =  2

− x −1

⇔ 5x − 7 = − x − 1 ⇔ 6 x = 6 ⇔ x = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .

Bài toán 2: Giải phương trình 9 x +1 = 27 2 x +1

(1) Theo ([4], trang 120) .

Giải.

Nhận xét rằng ta có thể đưa 2 số của phương trình về lũy thừa của cùng cơ số 3 2 x +1 3 2 x +1 Ta có 9 x +1 = 3 ( ) và 27 2 x+1 = 3 ( ) 2 x +1 3 2 x +1 Do đó (1) ⇔ 3 ( ) = 3 ( )

⇔ 32 x+2 = 36 x+3 23

⇔ 2 x + 2 = 6 x + 3 ⇔ 4 x = −1 ⇔ x =

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

−1 4

−1 .

4

Bài toán 3: Giải phương trình 2.3x+1 − 6.3x−1 − 3x = 9 .Theo ([4], trang 123) Giải.

Ta có: 2.3x+1 − 6.3x−1 − 3x = 9

⇔ 6.3x − 2.3x − 3x = 9 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .

3) Bài tập rèn luyện Giải các phương trình mũ sau 1) ( 0,3)

3) 2

x

= 1 ([3], trang 84).

1 2)   = 25 ([3], trang 84). 5

= 4 ([3], trang 84).

1 4)    3

3 x −2

x 2 −3 x + 2

x+7

1− 2 x

1 .   3

= 3.

Hướng dẫn giải 1) ( 0,3)

3 x− 2

= 1.

Giải

Ta có ( 0,3)

3 x−2

= 1 ⇔ ( 0.3)

3 x −2

= ( 0,3)

0

⇔ 3x − 2 = 0 ⇔ x =

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

2 3

2 .

3 24

x

1 2)   = 25 . 5

Giải. x

x

1 1 1 Ta có   = 25 ⇔   =   5 5 5

−2

⇔ x = −2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2 .

3) 2 x

2

−3 x + 2

= 4.

Giải.

Ta có 2 x

2

−3 x + 2

= 4 ⇔ 2x

2

−3 x + 2

= 22

⇔ x 2 − 3x + 2 = 2 x = 3 ⇔ x = 0

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 3 1 4)    3

x+7

1− 2 x

1 .   3

= 3.

Giải. 1 Ta có    3

x+7

1− 2 x

1 .   3

1 =3⇔   3

x + 7 +1− 2 x

=3

⇔ 3x−8 = 31 ⇔ x − 8 = 1 ⇔ x = 9 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 9 .

Dạng 2: Đặt ẩn phụ 1) Phương pháp • Bước 1: Đưa phương trình về dạng m.a 2 f ( x ) + n.a f ( x ) + p = 0 f x • Bước 2: Đặt t = a ( ) với t > 0

25

• Bước 3: Giải phương trình m.t 2 + n.t + p = 0 (1) f x • Bước 4: Giải phương trình t = a ( ) với t là nghiệm của phương trình (1)

• Bước 5: Kết luận.

• Chú ý: có thể biến đổi phương trình về dạng 3f x 2f x f x m.a ( ) + n.a ( ) + p.a ( ) + k = 0

2) Ví dụ

Bài toán 1: Giải phương trình 9 x − 4.3x − 45 = 0 ([3], trang 80).

Giải.

Ta có 9 x − 4.3x − 45 = 0 ⇔ 32 x − 4.3x − 45 = 0 Đặt t = 3x , t > 0 ta được phương trình

t 2 − 4t − 45 = 0 Giải phương trình bậc hai này ta được t1 = 9, t2 = −5 .

Chỉ có nghiệm t1 = 9 thỏa mãn điều kiện t > 0 .

Do đó 3x = 9 ⇔ x = 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 .

Bài toán 2: Giải phương trình 32 x+5 = 3x+ 2 + 2 ([4], trang 121).

Giải.

(

2 x+ 2 Ta có thể viết 32 x+5 = 3.32 x + 4 = 3.3 ( ) = 3. 3x + 2

)

2

Vì vậy, nếu đặt y = 3x + 2 , y > 0 thì phương trình đã cho có dạng 3 y 2 = y + 2 hay 3 y 2 − y − 2 = 0 . Phương trình này có hai nghiệm y = 1 và y =

−2 , nhưng chỉ có y = 1 3

là thích hợp. Do đó

32 x+5 = 3x + 2 + 2 ⇔ 3x+ 2 = 1 26

⇔ x+2=0 ⇔ x = −2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2 .

Bài toán 3: Giải phương trình 3.4 x − 2.6 x = 9 x ([3], trang 84).

Giải. x

x

4 2 Ta có 3.4 − 2.6 = 9 ⇔ 3   − 2   = 1 9 3 x

x

x

2 ⇔ 3.   3

2x

x

2 − 2  = 1 3

x

2 Đặt t =   , t > 0 3

Khi đó, ta có: 3t 2 − 2t − 1 = 0 t = 1 ⇔ t = − 1 3 

( nhận ) ( loại )

x

2 Vì t = 1 ⇒   = 1 ⇔ x = 0 3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 .

3) Bài tập rèn luyện

Giải các phương trình sau 1) 64 x − 8 x − 56 = 0 ([3], trang 84)

2) 27 x + 12 x = 2.8 x ([4], trang 124)

3) 54 x +7 − 6.52 x+ 4 = −25

4) 4 x + 64.4− x = 20

Hướng dẫn giải

1) 64 x − 8 x − 56 = 0 27

Giải.

Ta có 64 x − 8 x − 56 = 0 ⇔ 82 x − 8 x − 56 = 0 Đặt t = 8 x , t > 0

Khi đó, ta có: t 2 − t − 56 = 0 t = 8 ⇔  t = −7

( nhận ) ( loại )

x

2 Vì t = 1 ⇒   = 1 ⇔ x = 0 3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 .

2) 27 x + 12 x = 2.8 x Giải. x

x

 27   3  Ta có 27 + 12 = 2.8 ⇔   +   = 2  8  2 x

x

x

3x

x

3 3 ⇔   +  = 2 2 2 x

3 Đặt t =   , t > 0 2

Khi đó, ta có: t 3 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ( nhận ) x

3 Vì t = 1 ⇒   = 1 ⇔ x = 0 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 .

3) 54 x +7 − 6.52 x+ 4 = −25

28

Giài.

1 Ta có 54 x+ 7 − 6.52 x+ 4 = −25 ⇔ .54 x+8 − 6.52 x + 4 = −25 5

1 2 2 x+ 4) ⇔ .5 ( − 6.52 x+ 4 = −25 5 Đặt t = 52 x + 4 , t > 0

Khi đó, ta có:

1 2 t − 6t + 25 = 0 5 t = 25 ( nhận ) ⇔ t = 5

Vì t = 25 ⇒ 52 x + 4 = 25 ⇔ 2 x + 4 = 2

⇔ x = −1 Vì t = 5 ⇒ 52 x + 4 = 5 ⇔ 2 x + 4 = 1

⇔x=−

3 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = −

3 và x = −1 .

2

4) 4 x + 64.4− x = 20 Giải.

Ta có 4 x + 64.4− x = 20 ⇔ 4 x +

64 = 20 ⇔ 42 x − 20.4 x + 64 = 0 4x

Đặt t = 4 x , t > 0

Khi đó, ta có: t 2 − 20t + 64 = 0 t = 4 ⇔ t = 16

( nhận ) 29

Vì t = 4 ⇒ 4 x = 4 ⇔ x = 1 Vì t = 4 ⇒ 4 x = 16 ⇔ x = 2 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2 .

Dạng 3: Lôgarit hóa 1) Phương pháp

Lấy lôgarit hai vế phương trình cùng cơ số f x • Dạng a ( ) = b nếu 0 < a ≠ 1 và b > 0

Ta thực hiện lấy lôgarit cơ số a của của hai vế phương trình ta được f x a ( ) = b ⇔ f ( x ) = log a b

f x g x • Dạng a ( ) = b ( )

o Ta thực hiện lấy lôgarit cơ số a ( 0 < a ≠ 1 )của của hai vế phương f x g x trình ta được a ( ) = b ( ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) .log a b

o Ta thực hiện lấy lôgarit cơ số b( 0 < b ≠ 1 )của của hai vế phương f x g x trình ta được a ( ) = b ( ) ⇔ f ( x ) log b a = g ( x ) f x g x • Dạng a ( ) .b ( ) = c

Ta thực hiện lấy lôgarit cơ số a của của hai vế phương trình ta được f x g x a ( ) .b ( ) = c ⇔ f ( x ) + g ( x ) log a b = log a c

2) Ví dụ

Bài toán 1 : Giải phương trình 5x+ 2 = 2 .

Giải.

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 5, ta được log 5 5 x+ 2 = log 5 2 ⇔ x + 2 = log5 2

⇔ x = log5 2 − 2

30

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = log5 2 − 2 2

Bài toán 2: Giải phương trình 3 x.2 x = 1 ([3], trang 81).

Giải.

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3 (còn gọi là lôgarit hóa) , ta được

(

log 3 3x.2 x

2

) = log 1 ⇔ log 3 + log 2 3

x

3

3

x2

=0

⇔ x + x 2 log 3 2 = 0 ⇔ x (1 + x log 3 2 ) = 0

x = 0 x = 0 ⇔ ⇔  x = − 1 = − log 2 3 1 + x log 3 2 = 0 log 3 2  Vậy phương trình có nghiệm x = − log 2 3 và x = 0 .

2

Bài toán 3: Giải phương trình 3x−1.2 x = 8.4 x− 2 ([4], trang 122).

Giải.

Dễ thấy hai vế của phương trình luôn xác định với mọi x và luôn nhận giá trị dương. Do đó có thể lôgarit hóa hai vế với cơ số 2.Ta có 2

3x−1.2 x = 8.4 x− 2 ⇔ ( x − 1) log 2 3 + x 2 = log 2 8 + ( x − 2 ) log 2 4

⇔ x 2 − ( 2 − log 2 3) x + 1 − log 2 3 = 0 x = 1 ⇔  x = 1 − log 2 3

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 − log 2 3 và x = 1 .

3) Bài tập rèn luyện

Giải các phương trình sau

31

2

1) 11x +1 = 3

2) 7 x .5 x = 1 2

3) 3x + 4 = 6 x .34 5) 5 x

2

−5 x + 6

4) 2 x

= 2 x −3

6) 2 x

2

2

−4

= 3x − 2

−4

.5x −2 = 1

Hướng dẫn giải

1) 11x +1 = 3 Giải.

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 11, ta được log11 11x +1 = log11 3 ⇔ x + 1 = log11 3

⇔ x = log11 3 − 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = log11 3 − 1 .

2

2) 7 x .5 x = 1 Giải.

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 5, ta được

(

2

)

2

log 5 7 x .5 x = log 5 1 ⇔ log 5 7 x + log 5 5 x = log 5 1 ⇔ log 5 7 x 2 + x = 0 ⇔ x ( x log 5 7 + 1) = 0

x = 0 ⇔  x = − log 7 5

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = − log 7 5 .

2

3) 3x + 4 = 6 x .34 Giải.

32

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta được

(

2

)

(

2

log 3 3x+ 4 = log 3 6 x .34 ⇔ x + 4 = log 3 2 x .3x

2

+4

)

2

⇔ x + 4 = log3 2 x + log3 3x

2

+4

⇔ x + 4 = x 2 log 3 2 + x 2 + 4 ⇔ x 2 log 3 2 + x 2 − x = 0 ⇔ x ( x log 3 2 + x − 1) = 0

x = 0 ⇔ 1 x = 1 + log3 2  Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x =

4) 2 x

2

−4

1 .

1 + log 3 2

= 3x − 2

Giải.

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 2, ta được

log 2 2 x

2

−4

= log 2 3x −2 ⇔ x 2 − 4 = ( x − 2 ) log 2 3 ⇔ ( x − 2 ) [ x + 2 − log 2 3] = 0

x = 2 ⇔  x = log 2 3 − 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 và x = log 2 3 − 2 .

5) 5 x

2

−5 x + 6

= 2 x −3

Giải.

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 5, ta được 33

log 5 5 x

2

−5 x + 6

= log 5 2 x−3 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = ( x − 3) log 5 2 ⇔ x 2 − ( 5 + log 5 2 ) x + 6 + 3log 5 2 = 0 x = 3 ⇔  x = 2 + log 5 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3 và x = 2 + log 5 2 .

6) 2 x

2

−4

.5x −2 = 1

Giải.

Lấy lôgarit hai vế với cơ số 2, ta được

(

log 2 2 x

2

−4

)

(

)

.5 x−2 = log 2 1 ⇔ x 2 − 4 log 2 + ( x − 2 ) log 2 5 = 0 ⇔ x 2 − 4 + x log 2 5 − 2 log 2 5 = 0 ⇔ x 2 + x log 2 5 − 2 log 2 5 − 4 = 0

x = 2 ⇔  x = − log 2 5 − 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 và x = −2 − log 2 5 .

2.1.2 Bất phương trình mũtrong dạy học Toán ở trường THPT Trong mục này, chúng tôi trình bày nội dung bất phương trình mũ trong dạy học toán ở trường THPT và tổng hợp một số phương pháp giải bất phương trình mũ thường gặp. a) Nội dung phương trình mũ trong dạy học Toán ở trường THPT

Trong Giải tích 12– cơ bản, bất phương trình chứa ẩn ở mũ được trình bày trong mục 1, “Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit”. Trong mục này trình bày bất phương trình mũ cơ bản, cách giải và biện luận bất phương trình mũ thông qua ví dụ cụ thể.

34

Theo Giải tích 12– cơ bản, bất phương trình mũ cơ bản định nghĩa như sau: Bất phương trình mũcơ bảncó dạng a x > b (hoặc a x ≥ b , a x < b , a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ 1 .

Ta xét bất phương trình có dạng a x > b .

• Nếu b ≤ 0 , tập nghiệm của bất phương trình là

vì a x > 0 ≥ b, ∀x ∈ .

• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a x > a log a b .

o Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log a b . o Với 0 < a < 1 , nghiệm của bất phương trình là x < log a b .

Ví dụ 1: •

3 x > 81 ⇔ x > log 3 81 ⇔ x > 4;

•

1   > 32 ⇔ x < log 1 32 ⇔ x < −5 ; 2 2

x

Trong Giải tích 12– nâng cao, bất phương trình chứa ẩn ở mũ được trình bày trong “Bài 9: Bất phương trình mũ và lôgarit”. Trình bày phương pháp giải chung giải các bất phương trình mũ, và những điều lưu ý khi biến đổi bất phương trình và đưa ra một số các ví dụ minh họa. Trong mỗi ví dụ, tác giả phân tích rõ ràng các bước biến đổi giúp học sinh dễ hiểu và nắm được phương pháp giải. bên cạnh đó là những bài

tập áp dụng tương tự giúp học sinh rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình mũ và làm quen vói khuôn mẫu trình bày lời giải.

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau

a) 2 x +2 − 2 x +3 − 2 x +4 > 5x +1 − 5x + 2 ;

b) 9 x < 2.3x + 3 .

Giải a) Ta biến đổi bất phương trình đã cho như sau: 2 x + 2 − 2 x+3 − 2 x + 4 > 5 x +1 − 5 x+ 2 ⇔ 2 x+ 2 (1 − 2 − 22 ) > 5 x+1 (1 − 5 )

35

x

2 ⇔ −5.2 x+ 2 > −4.5 x +1 ⇔ 2 x < 5 x ⇔   < 1 5 x

2 ⇔ x > 0 ( do tính nghịch biến của hàm số y =   ). 5

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 0; +∞ ) .

( )

b) do 9 x = 3x

2

nên khi đặt t = 3x , ta được bất phương trình t 2 − 2t − 3 < 0 .

Bất phương trình này có nghiệm là −1 < t < 3 nên x 3 > −1 9 x < 2.3x + 3 ⇔ −1 < t < 3 ⇔  ⇔ 3x < 3 ⇔ x < 1 x 3 < 3

( do 3x > 0 > −1 với mọi x và tính đồng biến của hàm số y = 3x ).

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là ( −∞;1) . b) Một số phương pháp giải bất phương trình mũ thường gặp trong sách giáo khoa Giải tích 12 Dạng 1: Đưa về cung cơ số 1) Phương pháp

Đưa các cơ số trong phương trình về cùng cơ số và sử dụng tính chất •

a >1

ta có

aα > a β ⇔ α > β ; aα < a β ⇔ α < β ; aα ≥ a β ⇔ α ≥ β ;

aα ≤ a β ⇔ α ≤ β ;

•

0 < a ≠ 1 ta có aα > a β ⇔ α < β ; aα < a β ⇔ α > β ; aα ≥ a β ⇔ α ≤ β ; aα ≤ a β ⇔ α ≥ β ;

để giải phương trình.

2) Ví dụ

Bài toán 1: Giải bất phương trình 3x > 81 .

Giải.

36

Ta có 3x > 81 ⇔ 3x > 34

⇔x>4 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( 4, +∞ ) .

Bài toán 2: Giải bất phương trình 3x

2

−x

< 9 ([3], trang 86).

Giải.

Ta có 3x

2

−x

< 9 ⇔ 3x

2

−x

< 32

⇔ x2 − x < 2 ⇔ x2 − x − 2 < 0 x < 2 ⇔  x > −1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( −1, 2 ) .

7 Bài toán 3: Giải bất phương trình   9

2 x 2 −3 x

≥

9 ([3], trang 89) 7

Giải.

7 Ta có   9

2 x 2 −3 x

1 −( 2 x 2 −3 x ) 9 9 9 ≥ ⇔  ≥  7 7 7

(

)

⇔ − 2 x2 − 3x ≥ 1

⇔ −2 x2 + 3x − 1 ≥ 0 1  x ≥ ⇔ 2  x ≤ 1

1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là  ,1 . 2 

37

3) Bài tập rèn luyện

Giải các bất phương trình sau 1) 2 − x

2

+3 x

2) 3x+ 2 + 3x−1 ≤ 28 ([3], trang 89)

< 4 ([3], trang 89)

Hướng dẫn giải

1) 2− x

2

+3 x

<4 Giải.

Ta có: 2 − x

2

+3 x

< 4 ⇔ 2− x

2

+3 x

< 22

⇔ − x 2 + 3x < 2 x < 1 ⇔ x 2 − 3x + 2 > 0 ⇔  x > 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( −∞,1) ∪ ( 2, +∞ ) .

2) 3x+ 2 + 3x−1 ≤ 28 Giải.

1  Ta có: 3x+ 2 + 3x −1 ≤ 28 ⇔ 3x  9 +  ≤ 28 3 

⇔ 3x ≤ 3 ⇔ x ≤1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( −∞ ,1] .

Dạng 2: Đặt ẩn phụ 1) Phương pháp 2f x f x • Bước 1: Đưa bất phương trình về dạng m.a ( ) + n.a ( ) + p > 0 ( <; ≥; ≤ ) f x • Bước 2: Đặt t = a ( ) với t > 0

• Bước 3: Giải bất phương trình m.t 2 + n.t + p > 0 (1) ( <; ≥; ≤ )

38

• Bước 4: Giải bất phương trình a f ( x ) > t ( <; ≥; ≤ ) với t là nghiệm của

bất phương trình (1) • Bước 5: Kết luận.

2) Ví dụ

Bài toán 1: Giải bất phương trình 4 x − 2.52 x < 10 x ([3], trang 87).

Giải.

Chia hai vế bất phương trình cho 10 x , ta được x

x

2 5   − 2   < 1. 5 2  2 Đặt t =   5

x

( t > 0 ) , ta có bất phương trình t−

2 t2 − t − 2 <1⇔ < 0 (1) t t

Vì t > 0 nên ta có (1) ⇔ t 2 − t − 2 < 0 t > − 1 ⇔ t < 2

Do t > 0 nên bất phương trình (1) có nghiệm trong ( 0, 2 ) x

2 Ta có 0 < t < 2 nên 0 <   < 2 ⇔ x > log 2 2 5 5   Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là  log 2 2, +∞  .   5  

Bài toán 2: Giải bất phương trình 2 x + 2− x +1 − 3 < 0 ([4], trang 130).

Giải.

39

Ta có 2 x + 2 − x+1 − 3 < 0 ⇔ 2 x + Đặt t = 2 x

2 −3< 0 2x

(t > 0)

Khi đó, ta có t +

2 − 3 < 0 ⇔ t 2 − 3t + 2 < 0 t t > 1 ⇔ t < 2

Ta có 1 < t < 2 nên 1 < 2 x < 2 ⇔ 0 < x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( 0,1) .

3) Bài tập rèn luyện

Giải các bất phương trình sau 1) 25x − 6.5 x + 5 > 0

2) 4.9 x + 12 x − 3.16 x ≥ 0

Hướng dẫn giải

1) 25x − 6.5 x + 5 > 0 Giải.

Ta có 25 x − 6.5 x + 5 > 0 ⇔ 52 x − 6.5x + 5 > 0 Đặt t = 5 x

(t > 0)

Khi đó bất phương trình trở thành t 2 − 6t + 5 > 0 t < 1 ⇔ t > 5

Khi t < 1 mà t > 0 suy ra 0 < t < 1 ⇒ 0 < 5x < 1

⇔ x<0 Khi t > 5 ⇒ 5 x > 5 40

⇔ x >1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( −∞, 0 ) ∪ (1, +∞ ) .

2) 4.9 x + 12 x − 3.16 x ≥ 0 Giải.

Chia hai bất phương trình cho 16 x , ta được 3 4  4  3 Đặt t =    4

2x

x

3 +  −3≥ 0 4

x

(t > 0)

Khi đó bất phương trình trở thành 4t 2 + t − 3 ≥ 0  t ≤ −1 ⇔ 3 t ≥  4 x

3 3  3 Vì t > 0 ⇒ t ≥ ⇒   ≥ 4 4  4

⇔ x ≥1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [1, +∞ ) .

2.2 So sánh phương trình và bất phương trình mũ trong chương trình Toán – cơ bản và Toán – nâng cao ở trường THPT Trong chương trình Toán phổ thông, chương trình Toán – nâng cao dựa trên nền tảng kiến thức của Toán – cơ bản và nâng cao một số bài toán ở dạng phức tạp hơn.

Sau đây, chúng tôi trình bày những điểm khác nhau cơ bản về nội dung phương trình và bất phương trình mũ trong chương trình Giải tích 12 cơ bản và Giải tích 12 nâng cao.

41

Giải tích 12 – cơ bản

Giải tích 12 – nâng cao

Phương trình và bất phương Phương trình và bất phương trình trình mũ được giảng dạy qua mũ được giảng dạy qua “Chương “Chương II: Hàm số lũy thừa, II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số mũ và hàm số lôgarit” • Phương trình mũ được Phân phối chương trình

và hàm số lôgarit” • Phương trình mũ được

giảng dạy qua “Bài 5: Phương giảng dạy qua “Bài 7: phương trình mũ và phương trình trình mũ và lôgarit” lôgarit”

• Bất phương trình mũ được

• Bất phương trình mũ giảng dạy qua “Bài 9: Bất phương được giảng dạy qua “Bài 6: Bất trình mũ và lôgarit”

phương

trình

mũ

và

bất

phương trình lôgarit” Hình thành phương pháp thông Hình thành phương pháp thông Nội dung

qua ví dụ cụ thể, có lời giải qua các ví dụ, phân tích rõ ràng minh họa.

các bước biến đổi tương đương, có lời giải minh họa.

Các dạng cơ bản

Các dạng cơ bản

A x • Phương trình: a ( ) = b

Dạng toán thường gặp

A x • Phương trình: a ( ) = b ,

A x B x A x B x a ( ) = a ( ),a ( ) = b ( ),

A x B x a ( ) = b ( ),

2f x f x m.a ( ) + n.a ( ) + p = 0 ,

2f x f x m.a ( ) + n.a ( ) + p = 0 ,

A x B x a ( ) .b ( ) = c

A x B x C x a ( ) .b ( ) = c.d ( ) ,

• Bất

phương

trình

• Bất phương trình

f x a ( ) > b ( <, ≤, ≥ ) ,

f x a ( ) > b ( <, ≤, ≥ ) ,

2f x f x m.a ( ) + n.a ( ) + p > 0 ( <, ≤, ≥ )

2f x f x m.a ( ) + n.a ( ) + p > 0 ( <, ≤, ≥ )

a, b, c, m, n, p : là hằng số

a, b, c, m, n, p : là hằng số

A( x ) , B ( x ) ,

A ( x ) , B ( x ) , f ( x ) là các biểu

f ( x ) : là các

42

biểu thức bậc nhất hoặc bậc hai thức bậc nhất hoặc bậc hai một một ẩn.

ẩn.

Phương

Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ,

Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ,

pháp giải

lôgarit hóa.

lôgarit hóa.

( Tổng hợp từ các tài liệu [3], [4])

2.3 Các dạng toán thường gặp về phương trình và bất phương trình mũ trong những đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây Trong mục này, chúng tôi tổng hợp các dạng toán về phương trình và bất phương trình mũ trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trong những năm gần đây. Qua mỗi bài toán, chúng tôi hướng dẫn cách giải và đưa ra đáp án cụ thể.

Tổng hợp từ các tài liệu [5], [6], [7] và trên trang wed https://booktoan.com/, https://tailieu.vn/ .

2.3.1 Các dạng phương trình mũ thường gặp trong những đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây a) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1:Giải phương trình: 2 x −

x 2 −5

− 12.2 x −1−

x 2 −5

+ 8 = 0 (Đề thi tuyển sinh

vào Cao Đẳng Sư Phạm TP. HCM, năm 2002) Hướng dẫn Điều kiện −5 ≤ x ≤ 5 Đặt t = 2 x − Đáp án x =

x 2 −5

, t > 0 , ta thu dược phương trình t − 6t + 8 = 0

9 và x = 3 .

4

Ví dụ 2: Giải phương trình 2 x

2

−x

2

− 22+ x − x = 3 (Đề thi tuyển sinh vào Đại Học

khối D, năm 2003) Hướng dẫn Đặt t = 2 x

2

−x

, t > 0 , ta thu được phương trình t − 4t −1 = 3 43

Đáp án x = −1 và x = 2 .

(

)

(

)

Ví dụ 3: Giải phương trình log 2 25 x +3 − 1 = 2 + log 2 5 x +3 + 1 (Đề thi tuyển

sinh vào Cao Đẳng Cơ Khí Luyện Kim, năm 2004) Hướng dẫn

log 2 25x +3 − 1 = 2 + log 2 5 x+3 + 1 ⇔ log 2 25x +3 − 1 = log 2  4. 5 x+3 + 1   

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

⇔ 25 x+3 − 1 = 4 5 x +3 + 1

Đặt t = 5 x +3 , t > 0 ta thu được phương trình t 2 − 1 = 4 ( t + 1) Đáp án x = −2 .

Ví dụ 4: Giải phương trình 32 x +5 − 36.3x +1 + 9 = 0 (Đề thi tuyển sinh vào CĐ

KT KTCN khối A,năm2004) Hướng dẫn Đặt t = 3x+ 2 , t > 0 ,ta thu được phương trình 3t 2 − 12t + 9 = 0 Đáp án x = −2 và x = −1 .

Ví dụ 5: Giải phương trình 8 x + 18x = 2.27 x (Đề thi tuyển sinh vào CĐ Sư

Phạm Quãng Ngãi, năm2006) Hướng dẫn Chia hai vế cho 27 x hoặc 8 x x

x

2 3 Đặt t =   hoặc t =   với t > 0 ta thu được phương trình t 3 + t − 2 = 0 3 2

hoặc 2t 3 − t − 1 = 0 Đáp án x = 0 .

44

Ví dụ 6: Giải phương trình 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0 ( Đề thi tuyển sinh

vào Đại học khối A, năm2006) Hướng dẫn Chia hai vế cho 27 x hoặc 8 x x

x

2 3 Đặt t =   hoặc t =   với t > 0 ta thu được phương trình 3 2

3t 3 + 4t 2 − t − 2 = 0 hoặc −2t 3 − t 2 + 4t + 3 = 0 Đáp án x = 1 .

Ví dụ 7: Giải phương trình 9 x

2

+ x −1

− 10.3x

2

+ x−2

+ 1 = 0 (Đề thi tuyển sinh dự bị

vào Đại học khối B, năm 2006).

Hướng dẫn Đặt t = 3x

2

+x

, t > 0 , ta thu được phương trình

t 2 10 − t +1 = 0 9 9

Đáp án x = −2, x = −1, x = 0 và x = 1

(

Ví dụ 8: Giải phương trình

x

) (

2 −1 +

)

x

2 + 1 − 2 2 = 0 (Đề thi tuyển sinh

vào Đại học khối B, năm 2007).

Hướng dẫn Nhân cả hai vế cho

(

)

2 −1

2x

−2 2

Đặt t =

(

(

)

(

)

2 −1

x

ta thu được phương trình

x

2 −1 +1 = 0 .

)

x

2 − 1 , t > 0 , ta thu được phương trình t 2 − 2 2t + 1 = 0

Đáp án x = ±1 .

45

(

)

Ví dụ 9: Giải phương trình log 2 4 x + 15.2 x + 27 + 2log 2

1

4.2 x − 3

= 0 (Đề thi

tuyển sinh vào Đại học khối D, năm 2007).

Hướng dẫn Biến đổi tương đương phương trình ta thu được

(

4 x + 15.2 x + 27 = 4.2 x − 3

)

2

⇔ 15.22 x − 39.2 x − 18 = 0

Đặt t = 2 x , t > 0 , ta thu được phương trình 15t 2 − 39t − 18 = 0 Đáp án x = log2 3 .

Ví dụ 10: Giải phương trình 32 x +1 − 4.3x + 1 = 0 ( x ∈

) (Đề thi tuyển sinhvào

Cao đẳng khối A,A1,B và D, năm 2008).

Hướng dẫn Đặt t = 3x , t > 0 , ta thu được phương trình 3t 2 − 4t + 1 = 0 Đáp án x = −1 và x = 0 .

Ví dụ 11: Giải phương trình 9 x − 8.3x − 9 = 0 (Đề thi tuyển sinhTHPT dự bị,

năm 2015).

Hướng dẫn Đặt t = 3x , t > 0 , ta thu được phương trình 3t 2 − 4t + 1 = 0 Đáp án x = 2 . b) Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ 12: Giải phương trình 2 x

2

+x

− 4.2 x

2

−x

− 22 x + 4 = 0 (Đề thi tuyển sinh vào

Đại học khối D, năm 2006).

Hướng dẫn

(

Biến đổi phương trình về dạng tích 2 x

2

−x

)(

)

− 1 22 x − 4 = 0 46

Đáp án x = 0 và x = 1 .

Ví dụ 13: Giải phương trình 42 x +

x+2

3

+ 2 x = 4 2+

x+2

+ 2x

3

+ 4 x −4

(Đề thi tuyển

sinh vào Đại học khối D, năm 2010).

Hướng dẫn

)(

(

Biến đổi phương trình về dạng tích 24 x −4 − 1 2 2 x − 4

x+2 +2

)=0

Đáp án x = 1 và x = 2 . c) Phương pháp lôgarit hóa Ví dụ 14: Giải phương trình x log x = 10 2log

2

x −3log x + 2

(Đề thi tuyển sinh vào Cao

đẳng sư phạm Cà Mau khối B, năm 2005).

Hướng dẫn Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế ta thu được phương trình: log 2 x − 3log x + 2 = 0 Đáp án x = 10 và x = 100

2.3.2 Các dạng bất phương trình mũ thường gặp trong những đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây a) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải bất phương trình

8 + 21+ x − 4 x + 21+ x > 5 (Đề thi tuyển sinh vào

Cao đẳng Giao Thông, năm 2004).

Hướng dẫn Điều kiện x < 2 Đặt t = 2 x , t > 0 ta thu được bất phương trình 5t 2 − 22t + 17 < 0 Đáp án x ∈ ( 0, 2 ] .

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 32 x + 4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 ≤ 0 (Đề thi tuyển sinh

vào Cao đẳng Cộng Đồng Hà Tây, năm 2005).

47

Hướng dẫn x

3 Đặt t =   , t > 0 ta thu được bất phương trình 9t 2 + 5t − 4 ≤ 0 2

Đáp án x ∈ ( −∞, −2 ) .

Ví dụ 3: Giải bất phương trình 3x +2 + 9 x+1 − 4 > 0 (Đề thi tuyển sinh vào Cao

đẳng Sư Phạm Hà Nam khối M, năm 2006).

Hướng dẫn Đặt t = 3x , t > 0 ta thu được bất phương trình 9t 2 + 9t − 4 > 0 Đáp án x ∈ ( −1, +∞ ) .

Ví dụ 4: Giải bất phương trình 32 x+1 − 22 x+1 − 5.6 x ≤ 0 (Đề thi dự bị 2 tuyển

sinh vào Đại học khối B, năm 2008).

Hướng dẫn 3 Chia cả hai vế cho 2 , ta thu được bất phương trình 3.   2 x

2x

x

 3 − 5.   − 2 ≤ 0  2

x

3 Đặt t =   , t > 0 ta thu được bất phương trình 3t 2 − 5t − 2 ≤ 0 2

Đáp án x ≤ log 3 2 .

2

Ví dụ 5: Giải bất phương trình 22 x

2

−4 x−2

− 16.22 x− x

2

−1

− 2 ≤ 0 (Đề thi dự bị 1

tuyển sinh vào Đại học khối D, năm 2008).

Hướng dẫn 2

Đặt t = 2 2 x − x , t > 0 , ta thu được bất phương trình 16t 3 + 4t 2 − 1 ≥ 0 Đáp án 1 − 3 ≤ x ≤ 1 + 3 .

48

b) Phương pháp đưa về bất phương trình tích Ví dụ 6: Giải bất phương trình 32 x − 8.3 x+

x+4

x+ 4

− 9.9

> 0 (Đề thi tuyển sinh

vào Đại họcSư Phạm Hà Nội khối B,D năm 2000).

Hướng dẫn

(

Biến đổi bất phương trình về dạng tích 3

x +4 − x

)(

+ 1 32 x − 9.3

x+ 2 + x

)>0

Đáp án S ∈ ( 5; +∞ ) .

Ví

dụ

7:

Giải

b ất

phương

trính

2

−3 x 2 − 5 x + 2 + 2 x > 3x.2 x −3 x 2 − 5 x + 2 + ( 2 x ) .3x (Đề thi tuyển sinh vào Đại học Y Thái

Bình, năm 2001) Hướng dẫn Biến đổi bất phương trình về dạng tích

(

)(

)

−3x 2 − 5 x + 2 + 2 x 1 − 3x.2 x > 0

 1 Đáp án S ∈  −1,  .  3 Ví dụ 8: Giải bất phương trình 4 x 2 + x.2 x

2

+1

2

2

+ 3.2 x > x 2 .2 x + 8 x + 12 (Đề thi

tuyển sinh vào Cao đẳng kinh tế Hải Dương, năm 2002).

Hướng dẫn

(

2

)

Biến đổi bất phương trình về dạng tích 4 ( x − 3)( x + 1) 2 x − 4 > 0

(

) (

Đáp án S ∈ − 2; −1 ∪

)

2;3 .

Ví dụ 9: Giải bất phương trình 4 x − 3.2 x +

x 2 − 2 x −3

− 41+

x 2 − 2 x −3

> 0 (Đề thi tuyển

sinh vào Cao đẳng khối A B D, năm 2011).

Hướng dẫn

49

(

Biến đổi bất phương trình về dạng tích 2 x + 2

x 2 − 2 x −3

)( 2 − 4.2 x

x 2 − 2 x −3

)>0

 7 Đáp án S = 3,  .  2

50

Chương 3 THIẾT KẾ MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 3.1 Nhận – biết Những câu hỏi trắc nghiệm nhận – biết chủ yếu là những câu hỏi cơ bản về phương trình mũ như nhận biết, đối chiếu, phân loại, tìm nghiệm một cách máy móc dựa vào công thức nghiệm của phương trình mũ cơ bản và kiến thức đã được học.

3.1.1 Phương trình mũ Câu 1: Nghiệm của phương trình 2 x = 32 là?

A. x = −5

B. x = 16

C. x = 5

D. x = −16

Hướng dẫn: A. Học sinh dễ nhầm lẫn vì 2−5 =

1 .

32

B. Do nắm không vững kiến thức nên lấy số mũ nhân với cơ số

a n = b ⇔ a.n = b nên 2.16 = 32 .

C. Đáp án đúng.

D. Tương tự câu B Câu 2:Cho phương trình 7 x = −8 khẳng định nào sau đây đúng?

A. Có nghiệm x = log 7 ( −8 ) .

B. Phương trình vô nghiệm C. Là phương trình bậc nhất một ẩn D. câu B và C đúng.

Hướng dẫn:  a = log a b A.Nhằm công thức a x = b ⇔ a = log a b công thức đúng a x = b ⇔  b > 0

51

B. Đấp án đúng C. Nhìn thấy 1 ẩn x và bậc nhất.

D. Do câu B đúng nên chọn Câu 3: Hãy tìm nghiệm của phương trình 5 x = 6 ?

A. x = log 6 5 B. x = log5 6

C. x = 1

D. x =

6 5

Hướng dẫn A. Một số học sinh nhớ nhầm công thức

a x = b ⇔ log a b

thành

a x = b ⇔ log b a

B. Đáp án đúng.

C. Lấy 5 + 1 = 6 .

D. Một số học sinh nắm không vững kiến thức đôi khi lấy số mũ nhân với cơ số 6 a n = b ⇔ a.n = b nên 5. = 6 .

5 Câu 4: Cho phương trình ( 2,5 )

5 x −7

2 =  5

x −1

khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 5 x − 7 = x − 1

B. 5 x − 7 = − x − 1

C. 5 x − 7 = − x + 1

D. −5 x − 7 = x − 1

Hướng dẫn A. Cho hai số mũ bằng nhau.

B. Đặt dấu trừ trước một biểu thức mà không cho biểu thức vào ngoặc.

C. Đáp án đúng.

D. Đặt dấu trừ trước một biểu thức mà không cho biểu thức vào ngoặc.

52

Câu 5:Tập nghiệm của phương trình 32 x = A. S = {1}

1 là?

9

B. S = {−1}

C. S = {1, −1}

D. x = −1

Hướng dẫn A. Nhầm lẫn

1 = 32 .

9

B. Đáp án đúng C. Vội vàng chọn khi thấy −1 là nghiệm.

D. Học sinh không đọc kĩ đề ( yêu cầu tập nghiệm) khi thấy x = −1 là nghiệm nên chọn ngay.

3.1.2 Bất phương trình mũ Câu 6: Nghiệm của bất phương trình mũ 2 x < 8 .

A. x < 3

B. x > 3

C. x ≤ 3

D. x ≥ 3 .

Hướng dẫn A.Đáp án đúng.

B. Chuyển vế sai.

C. Thêm dấu bằng vào đáp án D.Kết hợp câu B và C

1 Câu 7:Nghiệm của bất phương trình mũ 3x < .

9 A. x < 2

B. x > 2

C. x < −2

D. x > −2 .

Hướng dẫn 53

A. Sai công thức

1 1 = a n Công thức đúng n = a − n . n a a

B. Đáp án đúng.

C.Chuyển vế sai.

D.Chuyển vế sai. x

1 1 Câu 8: Nghiệm của bất phương trình mũ   < .

4 2

A. x < 2

B. x > 2

C. x < −2

D. x > −2 .

Hướng dẫn x

1 1 A.Do cơ số 0 < a < 1 nên   < ⇔ x > 2 4 2

B. Đáp án đúng.

C. Chuyển vế sai.

D.Chuyển vế sai.

Câu 9:Bất phương trình mũ 5x+1 ≤ 52 x−3 tương đương với bất phương trình nào sau đây?

A. x + 1 ≤ 2 x − 3

B. x + 1 ≥ 2 x − 3

C. x + 1 < 2 x − 3

D. x + 1 ≤ 2 x + 3 .

Hướng dẫn A.Đáp án đúng B. Ngược chiều bất phương trình đúng.

C.Thiếu dâu bằng.

D.Đổi dấu 1 hạng tử trong bất phương trình đúng.

54

1 Câu 10: Bất phương trình mũ   3

x −1

≥ 32 x +1 tương đương với bất phương trình nào sau

đây?

A. x + 1 ≥ 2 x + 1

B. x − 1 ≥ 2 x + 1

C. x − 1 ≥ −2 x + 1

D. − x + 1 ≥ 2 x + 3 .

Hướng dẫn A.Đổi dấu sai (chỉ đổi dấu 1 hạng tử) B.Sai công thức.

C. Sai công thức..

D.Đáp án đúng.

3.2 Thông –hiểu Những câu hỏi trắc nghiệm thông hiểu chủ yếu là những câu hỏi cơ bản về phương trình mũ như hiểu, diễn giải, suy diễn, so sánh, phân biệt chứng tỏ và tìm nghiệm một cách máy móc những phương trình mũ đơn giản .

3.2.1 Phương trình mũ 1

Câu 11: Phương trình 2 4 .23 x =

1 có bao nhiêu nghiệm?

16

A. Vô nghiệm

B. Nghiệm duy nhất

C. Hai nghiệm phân biệt

D. Vô số nghiệm

Hướng dẫn Đáp án B 1

Câu 12: Phương trình 5 2 .53 x =

A.

1 .3 x = −2 2

1 khẳng định nào sau đây đúng?

25

B.

1 + 3x = 2 2 55

C.

1 .3 x = 2 2

D.

1 + 3x = −2 2

Hướng dẫn A.Lấy 2 số mũ nhân với nhau B. Nhận định sai

1 = 52 25

C. Cả câu a và câu b.

D.Đáp án đúng 2

Câu 13:Ta có 5 x.7 x = 1

(1) 2

⇔ log 5 5 x + log 5 7 x = 0

( 2)

Từ (1) sang (2) người ta đã thực hiện A. Lấy lôgarit vế trái với cơ số 5 B. Lấy lôgarit hai vế với cơ số 5 C. Nhân log5 vào hai vế D. Nhân log5 vào vế trái.

Hướng dẫn A. Thấy lôgarit chỉ ở vế trái.

B. Đáp án đúng C. Nhận định sai lấy logarit thành nhân logarit vào.

D.tương tự câu C

(

Câu 14: Có thể giải phương trình 3 − 2 2

(

A. Đặt t = 3 − 2 2

)

3x

3x

) = (3 + 2 2 )

3x

+ 2 bằng cách

,t < 0

56

3x

(

)

(

)

(

)

B. Đặt t = 3 − 2 2

C. Đặt t = 3 − 2 2 D. Đặt t = 3 − 2 2

,t ≥ 0

3x

3x

,t ≤ 0 ,t > 0

Hướng dẫn A. Thường đặt t sẽ cho t > 0 .

B. Thường đặt t là nguyên cụm chứa xvà quên rằng t = 0 thì hàm số mũ vô nghĩa C. Tương tự câu A. D.Đáp án đúng. x

4 7 Câu 15: Cho phương trình     7 4

3 x−1

−

16 = 0 khẳng định nào đúng?

49

A. x + 3x − 1 = −2 B. x + 3x − 1 = 2 C. x − 3x − 1 = 2 D. x − ( 3 x − 1) = 2 Hướng dẫn A. Quên rằng 2 cơ số là nghịch đảo của nhau vội lấy 2 số mũ cộng lại.

B. Tương tự câu a C. Trừ một biểu thức mà không cho vào ngoặc hoặc đổi dấu.

D. Đáp án đúng.

3.2.2 Bất phương trình Câu 16: Bất phương trình 23−6 x > 1 tương đương với bất phương trình nào sau đây?

A. 3 − 6 x > 1

B. 3 − 6 x > −1 57

C. 3 − 6 x > 0

D. 3 + 6 x > 0

Hướng dẫn A. Cho số mũ lớn hơn vế phải.

B. Tương tự câu A C.Đáp án đúng.

D. Đổi dấu hạng tử trong biểu thức đúng.

Câu 17: Nghiệm của bất phương trình 16

3−

x 4

> 0,125 là :

A. x < 16

B. x > 16

C. x > −16

D. x < −16 .

Hướng dẫn A.Đáp án đúng.

B. khi nhân cho trừ −1 không đổi chiều bất đẳng thức C.Chuyển vế sai.

D.Tương tự câu C. Câu 18: Bất phương trình

1 2− x .5 > 0, 2 tương đương với bất phương trình nào sau 125

đây?

A. 53.52− x > 5−2 B. 5−3−2− x > 5−2 C. 53+2− x > 52 D. 5−3+2− x > 5−2 .

Hướng dẫn

58

A. Sai công thức

1 1 = a n ( công thức đúng n = a − n ). n a a

B. Sai công thức a m .a n = a m−n ( công thức đúng a m .a n = a m+n ).

C.Tương tư câu A. D. Đáp án đúng.

Câu 19: Cho bất phương trình 2 x + 2− x − 3 < 0 đặt t = 2 x điều kiện của t là?

A. t > 0

B. t ≥ 0

C. t < 0

D. t ≤ 0 .

Hướng dẫn A.Đáp án đúng.

B. Nhầm điều kiện khi đặt t = x 2 ở giải phương trình đưa về phương trình bậc hai.

C.Ngược với điều kiện đúng.

D. Ngược với điều kiện đúng và thêm dấu bằng.

Câu 20: Cho bất phương trình 4 x − 2.52 x < 10 x có thể giải bất phương trình trên bằng cách?

A.Đặt t = 2 x , t > 0 .

5 B. Chia hai vế bất phương trình cho 4x và đặt t = , t > 0 2 5 C.Chia hai vế bất phương trình cho 4x và đặt t = , t ≥ 0 .

2 2 D.Chia hai vế bất phương trình cho 10 x và đặt t = , t > 0 .

5 Hướng dẫn

59

A.Thói quen đặt t theo cảm tính.

B. Đáp án đúng.

C.Điều kiện sai.

D.Chia cho thằng bìa.

3.3 Vận dụng thấp Vận dụng thấp là vận dụng kĩ năng, kiến thức, công thức liên quan đến mũ để giải phương trình bất phương trình đơn giản, không qua khó.

3.3.1 Phương trình mũ Câu 21: Nghiệm là phương trình 2 x

2

−3 x + 2

= 4 là

A. x = 0, x = 3

B. x = 1, x = 2

C. x = 0, x = −3

D. x = −1, x = 2

Hướng dẫn A. Đáp án đúng.

B. Lấy nghiệm của phương trình bậc hai ở mũ.

C. Số đối của hai nghiệm.

D.Tương tự câu B. Câu 22 : Tổng các nghiệm của phương trình 49 x + 7 x − 56 = 0 A.7

B.1

C. −1

D. 15

Hướng dẫn A.Nghiệm của phương trình ẩn phụ.

B. Đáp án đúng.

C. Tổng các nghiệm của phương trình ẩn phụ.

D.Tương tự câu C. 60

Câu 23 : Nghiệm của phương trình sau là 2 x

2

−4

.5 x− 2 = 1

A. x = 2, x = −2 − log5 2

B. x = 2, x = −2 − log 2 5

C. x = −2, x = 2 + log 2 5

D. x = 2, x = 2 + log 2 5

Hướng dẫn A. Số đối của nghiệm.

B. Đáp án đúng.

C.Tương tự câu A. D.Tương tự câu A. Câu 24 : Tổng các nghiệm của phương trình 3.4 x − 2.6 x = 9 x A.0

B. −1

C.

2 3

D.

−4 3

Hướng dẫn A.Đáp án đúng.

B. Nghiệm của phương trình ẩn phụ.

C.Tổng các nghiệm của phương trình ẩn phụ.

D.Tương tự câu C. Câu 25 : Tích các nghiệm của phương trình 25x − 30.5x + 125 = 0 là A. 20

B.15

C. −15

D. 125

Hướng dẫn A.Tổng các nghiệm của phương trình.

B. Hiệu các nghiệm của phương trình.

C.Hiệu các nghiệm của phương trình.

D. Đáp án đúng.

61

3.3.2 Bất phương trình Câu 26: Nghiệm của bất phương trình 2 x > 43 x−1 là : A. x <

2 5

B. x ≤

2 5

C. x >

2 5

D. x ≥

2 5

Hướng dẫn A.Đáp án đúng.

B.Thêm dấu bằng.

C. Chuyển vế sai.

D.Tương tự câu C. Câu 27: Tập nghiệm của bất phương trình 9 x − 2.3x < 3 là: A. ( −∞,1)

B. (1, +∞ )

C. ( −∞ ,1]

D. ∅

Hướng dẫn A.Xét dấu sai ở bất phương trình ẩn phụ.

B.Đáp án đúng.

C.Thêm dấu bằng vào đáp án.

D.Giải sai bất phương trình ẩn phụ.

7 Câu 29: Giá trị thỏa bất phương trình   9 A. 0

B.1

2 x 2 −3 x

C. −1

≥

9 là 7 D. 2

Hướng dẫn

62

A. Nghệm của bất phương trình ngược chiều với bất phương trình đã cho.

B.Đáp án đúng.

C.Tương tự câu A. D.Tương tự câu A. Câu 30: Tập nghiệm của bất phương trình 4 x − 2.52 x < 10 x là A. x < 2

B. x < log 2 2 5

D. x > 2

C. x > log 2 2 5

Hướng dẫn A. Nghệm của bất phương trình ẩn phụ.

B. Đối của nghiệm đúng.

C.Đáp án đúng.

D. Tương tự câu A.

3.4 Vận dụng cao Vận dụng cao là vận dụng kĩ năng, kiến thức, công thức liên quan đến mũ để giải phương trình bất phương trình phức tạp, đặc biệt khó.

3.4.1 Phương trình mũ Câu 31: Nghiệm của phương trình 2 x +1.4 x −1.

A. (1;3)

B. ( 2;10 )

1 1− x

8

= 16 x là thuộc ?

C. ( −10;2 )

D. ( 2;10]

Hướng dẫn A.Đáp án đúng.

B.Nghiệm nằm ở đầu mút nhưng không lấy.

C. Tương tự B. 63

D. Tương tự B. Câu 34: Tích các nghiệm của phương trình A. −6

(

10 + 3

B. 6

)

x −3 x −1

=

(

10 − 3

)

x +3 x +1

là

D. −3

C. 3

Hướng dẫn A.Đáp án đúng.

B. Số đối của tích các nghiệm.

C. Tích các nghiệm của số mũ.

D. Tương tự C. Câu 33: Tổng các nghiệm của phương trình ( x − 3) A. −1

B.1

3 x 2 −5 x + 2

(

)

= x 2 + x − 4 là D. 9

C. 20

Hướng dẫn A. Hiệu 2 nghiệm của phương trình.

B.Hiệu 2 nghiệm của phương trình.

C. Tích các nghiệm của phương trình.

D.Đáp án đúng.

Câu 34: Tập nghiệm của phương trình 4 2 x +

x+2

3

+ 2 x = 4 2+

x+2

+ 2x

3

+ 4 x −4

con tập nào

sau đây(Đề thi tuyển sinh vào Đại học khối D, năm 2010).

A. {1;3;4}

B. ( 0;5 )

C. {0;1}

D. ( −3;2 )

Hướng dẫn A. Chứa 1 nghiệm của phương trình.

B.Đáp án đúng.

C.Chứa 1 nghiệm của phương trình.

64

D. Chứa 1 nghiệm của phương trình. x

 Câu 35: Nghiệm của phương trình  

 28  A. 1;   3 

(

5

27

)

x x − 4 3

B. ( 5;10 )

4  

+

x 3

= 5 37 thuộc ?

C. ( −10;2 )

 28  D.  − ;9  3 

Hướng dẫn A.Nghiệm nằm ở đầu mút nhưng không lấy.

B.Đáp án đúng.

C. Chứa nghiệm bị loại.

DSố đối của nghiệm

3.4.2 Bất phương trình Câu 36: Nghiệm của bất phương trình 25

5

+5<5

A. ( −∞,1)

B. ( 0,1)

C. ( 0,1]

D. ∅

x +1

+ 5 x là

Hướng dẫn A.Chứa khoảng nghiệm của bất phương trình và có 1 đầu mút là đầu mút của khoảng nghiệm.

B.Đáp án đúng.

C. Nhầm dấu ngoặc.

D.Giải phương trình không ra.

Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x + 23− x ≤ 9 là A. ( 0,3)

B. (1,8 )

65

C. [ 0,3]

D. ( 3, +∞ ) .

Hướng dẫn A. Nhầm dấu ngoặc.

B.Nghiệm của bất phương trình ẩn phụ.

C.Đáp án đúng.

D.Xét dấu sai bất phương trình mũ ẩn phụ.

Câu 38: Tập nghiệm của bất phương trình 32 x − 8.3 x+ A. ( −∞,5)

B. [5, +∞ )

C. ( 0,5 )

D. ( 5, +∞ ) .

x+4

− 9.9

x+ 4

>0

Hướng dẫn A.Ngược chiều với nghiệm của bất phương.

B.Sai dấu ngoặc.

C.Chuyển vế sai.

D.Đáp án đúng.

Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình

(

)

5 +1

A.

B. ( 0,3)

C. ( −∞,3)

D. ∅

− x2 + x

+ 2− x

2

+ x +1

< 3.

(

)

5 −1

− x2 + x

là

Hướng dẫn A.Đối lập với nghiệm của bất phương trình.

B.Một nghiệm của bất phương trình ẩn phụ.

C.Tương tự câu B.

66

D.Đáp án đúng.

1  Câu 40: Tập nghiệm của bất phương trình  x 2 +  2 

2 x 2 + x +1

1− x

1  ≤  x2 +  2 

là

 1  , +∞  A. ( −∞, −1] ∪   2   1  ,0 B.  − 2  

 1   1  C. ( −∞, −1] ∪  − ,0  ∪  , +∞   2   2   1   1  ,0  ∪  , +∞  .

D. ( −∞, −1] ∪  − 2   2   Hướng dẫn A.Nghiệm của trường hợp 1.

B. Nghiệm của trường hợp 2.

C.Đáp án đúng.

D.Thiếu nghiệm trường hợp x 2 +

1 =1 2

67

Chương 4 KHẢO SÁT THỰC TIỄN 4.1 Mục đích khảo sát Khảo sát thực tiễn được tiến hành nhằm mục đích khảo sát mức độ hiểu biết của học sinh đối với việc học chủ đề “Hàm số mũ” dựa trên cơ sở Chuẩn kiến thức, kĩ năng.

4.2 Nội dung khảo sát Khảo sát thực tiễn chủ đề “Hàm số mũ” dựa trên cơ sở chuẩn kiến thức, kĩ năng: Chương II: Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit. Bài 3: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Lôgarit.

Theo chương trình Hình học 12 hiện hành của Bộ Giáo dục và Đào tạo.

4.3 Tổ chức khảo sát 4.3.1 Chọn lớp khảo sát - Địa điểm: Trường THPT Phan Văn Trị, Cần Thơ.

- Lớp khảo sát: + Lớp 12A1 có 30 học sinh. + Lớp 12A2 có 30 học sinh. + Lớp 12C8 có 30 học sinh.

4.3.2 Hình thức tổ chức khảo sát - Thời gian: tiến hành trong đợt thực tập sư phạm (từ ngày 13/02/2016 đến ngày 08/04/2016).

- Việc khảo sát được tiến hành dưới hình thức trả lời 20 câu hỏi trắc nghiệm sau khi các lớp đã học xong bài “Phương Trình Mũ Và Phương Trình Lôgarit” trong thời gian là 20 phút.

Bài khảo sát:

KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 68

Câu 1: Nghiệm của phương trình 2 x = 32 là?

A. x = −5

B. x = 16

C. x = 5

D. x = −16

Câu 2: Cho phương trình 7 x = −8 khẳng định nào sau đây đúng?

A. Có nghiệm x = log 7 ( −8 ) .

B. Phương trình vô nghiệm C. Là phương trình bậc nhất một ẩn D. câu B và C đúng.

Câu 3: Hãy tìm nghiệm của phương trình 5 x = 6 ?

A. x = log 6 5 B. x = log5 6 Câu 4: Cho phương trình ( 2,5 )

5 x −7

C. x = 1 2 =  5

D. x =

x −1

khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 5 x − 7 = x − 1

B. 5 x − 7 = − x − 1

C. 5 x − 7 = − x + 1

D. −5 x − 7 = x − 1

Câu 5: Tập nghiệm của phương trình 32 x = A. S = {1}

B. S = {−1} 1

Câu 6: Phương trình 2 4 .23 x =

1 là?

9 C. S = {1, −1}

B. Nghiệm duy nhất

C. Hai nghiệm phân biệt

D. Vô số nghiệm

1

1 khẳng định nào sau đây đúng?

25

A.

1 .3 x = −2 2

B.

1 + 3x = 2 2

C.

1 .3 x = 2 2

D.

1 + 3x = −2 2

2

Câu 8: Ta có 5 x.7 x = 1

D. x = −1

1 có bao nhiêu nghiệm?

16

A. Vô nghiệm

Câu 7: Phương trình 5 2 .53 x =

6 5

(1) 69

2

( 2)

⇔ log 5 5 x + log 5 7 x = 0

Từ (1) sang (2) người ta đã thực hiện A. Lấy lôgarit vế trái với cơ số 5

B. Lấy lôgarit hai vế với cơ số 5

C. Nhân log5 vào hai vế

D. Nhân log5 vào vế trái.

(

Câu 9: Có thể giải phương trình 3 − 2 2

(

)

(

)

(

)

(

)

A. Đặt t = 3 − 2 2 B. Đặt t = 3 − 2 2

C. Đặt t = 3 − 2 2 D. Đặt t = 3 − 2 2

3x

3x

3x

) = (3 + 2 2 )

3x

+ 2 bằng cách

,t < 0

,t ≥ 0

3x

3x

,t ≤ 0 ,t > 0 x

4 7 Câu 10: Cho phương trình     7 4

3 x −1

−

16 = 0 khẳng định nào đúng?

49

A. x + 3x − 1 = −2 B. x + 3x − 1 = 2 C. x − 3x − 1 = 2 D. x − ( 3 x − 1) = 2 Câu 11: Nghiệm là phương trình 2 x

2

−3 x + 2

= 4 là

A. x = 0, x = 3

B. x = 1, x = 2

C. x = 0, x = −3

D. x = −1, x = 2

Câu 12 : Tổng các nghiệm của phương trình 49 x + 7 x − 56 = 0 A.7

B.1

D. 15

C. −1

Câu 13 : Nghiệm của phương trình sau là 2 x

2

−4

.5 x− 2 = 1

A. x = 2, x = log 2 5

B. x = 2, x = −2 − log 2 5

C. x = −2, x = 2 + log 2 5

D. x = 2, x = 2 + log 2 5 70

Câu 14 : Tổng các nghiệm của phương trình 3.4 x − 2.6 x = 9 x A.0

B. −1

C.

2 3

D.

−4 3

Câu 15 : Tích các nghiệm của phương trình 25x − 30.5x + 125 = 0 là A. 28

B. 3

D. 125

C. 2

Câu 16: Nghiệm của phương trình 2 x +1.4 x −1.

A. (1;3)

1 1− x

8

B. ( 2;10 )

(

10 + 3

B. 6

)

x −3 x −1

=

(

B.1

3 x2 −5 x +2

B. ( 0;5 )

(

)

D. 9

 Câu 20: Nghiệm của phương trình  

x+2

+ 2x

C. {0;1}

(

5

27

)

x x − 4 3

x x + 4 3 

 

B. ( 5;10 )

là

= x 2 + x − 4 là

C. 20 3

 28  A. 1;   3 

)

D. −3

Câu 19: Tập nghiệm của phương trình 4 2 x + x + 2 + 2 x = 4 2+ sau đây (Đề thi tuyển sinh vào Đại học khối D, năm 2010).

A. {1;3;4}

10 − 3

x +3 x +1

C. 3

Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình ( x − 3) A. −1

D. ( 2;10]

C. ( −10;2 )

Câu 17: Tích các nghiệm của phương trình A. −6

= 16 x là thuộc ?

3

+ 4 x −4

con tập nào

D. ( −3;2 )

= 5 37 thuộc ?

 28  D.  − ;9  3 

C. ( −10;2 )

Đáp án bài khảo sát

1C 11A

2B 12B

3B 13B

4C 14A

5B 15C

6B 16A

7D 17A

8C 18D

9D 19B

10D 20B

Cấu trúc của đề bài: Mỗi câu tương ứng với 0,5 điểm. Nội dung chủ yếu là

muốn học sinh nhớ lại những kiến thức cơ bản đã học. Câu hỏi cuối mang tính chất hỏi ý kiến về khả năng tiếp thu của học sinh đối với hàm số mũ, phương trình mũ. Các 71

câu hỏi có độ khó tăng dần theo 4 bậc nhận – biết, thông – hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao. yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức, các kĩ năng giải phương trình mũ.

4.5 Kết quả khảo sát Kết quả khảo sát: Xem bảng 4.5.1, 4.5.2 Bảng 4.5.1: Số học sinh trả lời đúng.

Lớp Câu

12A1

12A2

12C8

Kết quả chung

1

30/30 (100%)

30/30 (100%)

28/30 (93,3%)

88/90 (97,8%)

2

17/30 (56,7%)

18/30 (60,0%)

15/30 (50%)

50/90 (55,6%)

3

28/30 (93,3%)

27/30 (90,0%)

27/30 (90,0%)

82/90 (91,1%)

4

25/30 (83,3%)

27/30 (90,0%)

26/30 (86,7%)

78/90 (86,7%)

5

24/30 (80,0%)

21/30 (70,0%)

27/30 (90,0%)

72/90 (80,0%)

6

27/30 (90,0%)

28/30 (93,3%)

26/30 (86,7%)

81/90 (90,0%)

7

28/30 (93,3%)

26/30 (86,7%)

28/30 (93,3%)

82/90 (91,1%)

8

19/30 (63,3%)

21/30 (70,0%)

27/30 (90,0%)

67/90 (74,4%)

9

19/30 (63,3%)

16/30 (53,3%)

20/30 (66,7%)

55/90 (61,1%)

10

23/30 (76,7%)

24/30 (80,0%)

24/30 (80,0%)

71/90 (78.9%)

11

28/30 (93,3%)

30/30 (100%)

19/30 (63,3%)

77/90 (85,6%)

12

18/30 (60,0%)

23/30 (76,7%)

18/30 (60,0%)

59/90 (65,6%)

13

25/30 (83,3%)

20/30 (66,7%)

14/30 (46,7%)

59/90 (65,6%)

14

20/30 (66,7%)

20/30 (66,7%)

20/30 (66,7%)

60/90 (66,7%)

15

16/30 (53,3%)

10/30 (33,3%)

23/30 (76,7%)

49/90 (54,4%)

16

17/30 (56,7%)

23/30 (76,7%)

4/30 ( 13,3%)

44/90 (48,9%)

17

12/30 (40%)

14/30 (46,7%)

3/30 (10%)

29/90 (32,2%)

18

10/30 (33,3%)

18/30 (60,0%)

7/30 (23,3%)

35/90 (38,9%)

19

10/30 (33,3%)

11/30 (36,7%)

3/30 (10%)

24/90 (26,7%)

20

14/30 (46,7%)

10/30 (33,3%)

5/30 (16,7%)

29/90 (32,2%)

72

4.5.2 Độ khó độ, độ phân biệt Ghi chú Nhóm cao là 50% sinh viên đạt điểm cao nhất (45 học sinh) Nhóm thấp là 50% sinh viên đạt điểm thấp nhất (45 học sinh)

Câu 1

Nhóm

A

B

C[Đ]

D

Cao

0

0

45

0

Thấp

0

2

43

0

Độ khó: K = 97,8% Độ phân biệt: P = 0, 04 Đánh giá: Câu hỏi quá dễ độ phân biệt rất thấp

Câu 2

Nhóm

A

B[Đ]

C

D

Cao

2

28

0

15

Thấp

1

22

0

22

Độ khó: K = 55, 6% Độ phân biệt P = 0,13 Đánh giá: Tương đối khó những có độ phân rất thấp

Câu 3

Nhóm

A

B[Đ]

C

D

Cao

2

40

0

3

Thấp

1

42

0

2

Độ khó: K = 91,1% Độ phân biệt: P = 0, 04 Đánh giá: Câu hỏidễ độ phân biệt rất thấp

Câu 4

Nhóm

A

B

C[Đ]

D

Cao

3

0

39

3

Thấp

2

1

39

3

Độ khó: K = 86, 7% Độ phân biệt: P = 0 Đánh giá: : Câu hỏi dễ độ phân biệt như nhau

73

Câu 5

Nhóm

A

B[Đ]

C

D

Cao

2

34

1

8

Thấp

2

38

1

4

Độ khó: K = 80% Độ phân biệt P = −0, 09 Đánh giá: Câu hỏi dễ, độ phân biệt rất kém do học sinh ở nhóm cao

tự tin quá giải ra đáp án đúng mà không chịu đọc kĩ câu hỏi. (Hỏi tập nghiệmtrả lời nghiệm).

Câu 6

Nhóm

A

B[Đ]

C

D

Cao

2

41

1

1

Thấp

3

40

1

1

Độ khó: K = 90% Độ phân biệt: P = 0, 02 Đánh giá: Câu hỏidễ độ phân biệt rất thấp

Câu 7

Nhóm

A

B

C

D[Đ]

Cao

2

1

1

41

Thấp

1

2

1

41

Độ khó: K = 91,1% Độ phân biệt: P = 0 Đánh giá: Câu hỏidễ độ phân biệt như nhau

Nhóm

A

B[Đ]

C

D

Cao

7

30

6

2

Thấp

5

37

2

1

Độ khó: K = 74, 4%

Câu 8

Độ phân biệt: P = −0,16 Đánh giá: Câu hỏi trung bình, độ phân biệt rất kém dường như học

sinh ở nhóm cao không đọc kĩ câu hỏi và không nắm kĩ lý thuyết chỉ chú trọng làm bài tập dẫn đến nhầm lẫn đa số chọn A.(Lấy lôgarit vế trái với cơ số 5). Đáp án đúng B.(Lấy lôgarit hai vế với cơ số 5) Câu 9

Nhóm

A

B

C

D[Đ] 74

Cao

2

19

1

23

Thấp

1

12

0

32

Độ khó: K = 61,1% Độ phân biệt: P = −0, 2 Đánh giá: Câu hỏi trung bình, độ phân biệt rất kém đa số học sinh

nhóm cao chọn B do nhầm lẫn điều kiện t ≥ 0 do thói quen đặt t ở phương trình bậc hai. Còn đây đặt t là hàm lũy thừa nên điều kiện

t > 0.

Câu 10

Nhóm

A

B

C

D[Đ]

Cao

4

5

0

36

Thấp

5

4

1

35

Độ khó: K = 78,9% Độ phân biệt: P = 0, 02 Đánh giá: Câu hỏi trung bình, độ phân biệtrất thấp

Câu 11

Nhóm

A[Đ]

B

C

D

Cao

44

1

0

0

Thấp

33

8

3

1

Độ khó: K = 85, 6% Độ phân biệt: P = 0, 24 Đánh giá: câu hỏi dễ, độ phân biệt thấp

Câu 12

Nhóm

A

B[Đ]

C

D

Cao

2

31

12

0

Thấp

2

28

14

1

Độ khó: K = 65, 6% Độ phân biệt: P = 0, 07 Đánh giá: Câu hỏi trung bình, độ phân biệt rất thấp.

Câu 13

Nhóm

A

B[Đ]

C

D

Cao

7

34

1

3

Thấp

12

25

3

5

75

Độ khó: K = 65, 6% Độ phân biệt: P = 0, 2 Đánh giá: Câu hỏi trung bình, độ phân biệt rất thấp.

Câu 14

Nhóm

A[Đ]

B

C

D

Cao

30

13

0

2

Thấp

30

14

0

1

Độ khó: K = 66, 7% Độ phân biệt: P = 0 Đánh giá: Câu hỏi trung bình, độ phân biệt như nhau

Câu 15

Nhóm

A

B

C[Đ]

D

Cao

0

4

34

7

Thấp

2

10

15

18

Độ khó: K = 54, 4% Độ phân biệt: P = 0, 42 Đánh giá: Câu hỏi tương đối khó, độ phân biệt trung bình

Câu 16

Nhóm

A[Đ]

B

C

D

Cao

30

8

1

6

Thấp

14

18

4

8

Độ khó: K = 48,9% Độ phân biệt: P = 0,36 Đánh giá: Câu hỏi tương đối khó, độ phân biệt thấp

Câu 17

Nhóm

A[Đ]

B

C

D

Cao

24

5

5

11

Thấp

5

24

7

9

Độ khó: K = 32, 2% Độ phân biệt: K = 0, 42 Đánh giá: Câu hỏi khó, độ phân biệt trung bình.

Câu 18

Nhóm

A

B

C

D[Đ]

Cao

7

10

3

25

76

Thấp

17

12

6

10

Độ khó: K = 38,9% Độ phân biệt: P = 0,33 Đánh giá: Câu hỏi khó, độ phân biệt thấp.

Câu 19

Nhóm

A

B[Đ]

C

D

Cao

9

21

5

10

Thấp

15

3

6

21

Độ khó: K = 26, 7% Độ phân biệt: P = 0, 4 Đánh giá: Câu hỏi khó, độ phân biệt trung bình.

Câu 20

Nhóm

A

B[Đ]

C

D

Cao

4

24

5

12

Thấp

6

5

13

21

Độ khó: K = 32, 2% Độ phân biệt: P = 0, 42 Đánh giá: Câu hỏi khó, độ phân biệt trung bình.

4.6 Thảo luận 4.6.1 Hệ số tương quan Sử dụng phần mềm excel (hàm CORREL) ta tính được hệ số tương quan giữa độ khó K và độ phân biệt P là: ≈ −0, 73

Cho thấy mức độ tương quan giữa độ khó K và độ phân P khá mạnh.

Hệ số tương quan âm cho ta thấy nếu như độ khó K giảm thì độ phân biệt sẽ tăng và ngược lại độ khó K tăng thì độ phân biệt giảm. Nếu như câu hỏi có độ khó K càng nhỏ (càng khó) thì độ phân biệt càng lớn.

4.6.2 Kết luận Thông qua bảng 4.5.1 và bảng 4.5.2 ta nhận thấy đa số học sinh nắm được kiến thức cơ bản về hàm số mũ và phương trình mũ. Làm được đa số câu hỏi dạng nhận – biết, thông – hiểu, vận dụng thấp. Vận dụng cao các em còn sai nhiều. Một số câu hỏi chuyên về lý thuyết các em cũng dễ sai do nắm không kĩ như câu 2, câu 8, câu 9.

77

Từ kết quả trên cho thấy đối với học sinh, việc học hàm số mũ, phương trình mũ và bất phương trình mũ không còn quá khó. Dựa theo Chuẩn kiến thức, kĩ năng và các phương pháp dạy học khái niệm, dạy học định lí, phân dạng bài tập… việc học tập hàm số mũ đã gợi lên được sự hứng thú, ham học của nhiều học sinh.

78

Chương 5 GIÁO ÁN ĐỀ NGHỊ Dựa vào các nguồn tài liệu, trong chương này đưa ra giáo án để giảng dạy chủ đề phương trình mũ trong chương trình giải tích 12.

Giáo án 1 ( Ban cơ bản) I. Mục tiêu 1. Kiến thức cơ bản

Giúp học sinh nắm vững: Dạng phương trình mũ cơ bản.

Một số phương trình mũ đơn giản.

2. Kỹ năng

Giải được phương trình mũ cơ bản, vận dụng được tính chất hàm số mũ các phương pháp đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, logarit hóa giải các phương trình mũ đơn giản.

3. Thái độ

Tập trung vào bài giảng.

Tích cực, chủ động, tự giác trong học tập.

Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc khoa học trong việc giải các bài toán.

II. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC 1. Phương pháp: nêu vấn đề, đàm thoại gợi mở, phương pháp diễn giảng.

2. Phương tiện: Máy chiếu, phấn màu, phấn trắng, thước kẻ, …

III. NỘI DUNG VÀ TÍNH TRÌNH LÊN LỚP 1. Kiểm tra bài cũ 2. Giới thiệu bài mới

79

Giáo viên đặt vấn đề: Xét bài toán thực tế sau Một người gửi tiết kiệm với với lãi suất 8,4% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi ban đầu?

Hướng dẫn giải Công thức tính số tiền sau n năm n

Pn = P (1 + 0,084 ) = P (1,084 )

n

Với Pn là số tiền sau n năm. P là số tiền ban đầu. n

n

Để Pn = 2 P ⇔ P (1,084 ) = 2 P ⇔ (1,084 ) = 2 Đặt vấn đề gợi tò mò. n

Muốn giải bài toán ta phải giải phương trình (1,084 ) = 2 (với ẩn là n). n

Vậy phương trình (1,084 ) = 2 được gọi là phương trình gì?

Cách giải như thế nào?

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu trong bài học hôm nay “PHƯƠNG TRÌNH MŨ” Nội dung

Hđ giáo viên

1. Phương trình mũ cơ bản

-Từ vấn đề đầu bài - HS chú ý lắng

Phương trình mũ cơ bản có

GV

định

Hđ học sinh

nghĩa nghe

dạng

phương trình mũ cho

a x = b ( a > 0, a ≠ 0 )

học sinh

-

Được

gọi

là

- YC học sinh nhắc phương trình mũ lại định nghĩa và trả cơ bản lời câu hỏi đầu bài phương

trình

(1,084 )n = 2

được

gọi là phương trình gì?

Ví dụ 1: Phương trình nào là phương trình mũ cơ bản trong các

HS chú lắng nghe

phương trình sau?

80

GV làm mẫu câu a)

x

1 a) 3x = 7 , b)   = 6 2

c)

( 2)

x

=

HS lên làm

YC học sinh làm

1 , d) 1x = 10 8

những câu còn lại

x

e) ( −3) = −9 .

Giải a = 3 > 0 a)  ⇒ pt a) là phương a = 3 ≠ 1

trình mũ cơ bản   a = b)  a = 

1 >0 2 ⇒ pt b) là phương 1 ≠1 2

trình mũ cơ bản.  a = 2 > 0 c)  ⇒ pt c) là phương 2 1 a = ≠ 

trình mũ cơ bản d) a = 1 ⇒ pt c) là không phương trình mũ cơ bản

HS nhắc lại định

e) a = −3 < 0 ⇒ pt c) là không

logarit.

phương trình mũ cơ bản

Hs chú lắng nghe

Để giải phương trình mũ cơ Cho hs nhắc lại định nghĩa logarit. bản, ta sử dụng định nghĩa logarit.

• V ới

b > 0,

ta

a x = b ⇔ x = log a b.

có Từ đó dẫn đến cách giải phương trình

• Với b ≤ 0 , phương trình vô nghiệm

mũ cơ bản.

Chú ý lắng nghe lên bảng thực hiện

Minh họa bằng đồ thị (*) Ví dụ 2:Giải phương trình sau:

22 x−1 + 4 x+1 = 5 81

Giải. Đưa vế trái về cùng cơ số 4, ta

GV hướng dẫn

được

Gọi hs lên làm

1 x 10 4 + 4.4 x = 5 ⇔ 4 x = 2 9 Vậy x = log 4

10 9

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản a) Đưa vể cùng cơ số

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau a) 62 x −3 = b) (1,5 )

1 6

5 x −7

2 =  3

x +1

Giải. a) Đưa hai vế về cùng cơ số 6, ta được 62 x−3 = 6−1

GV làm mẫu câu a)

Hs chú ý lắng nghe

do đó 2 x − 3 = −1 ⇔ x = 1 vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình b) Đưa hai vế về cùng cơ số 3 được   2

5 x −7

3 =  2

3 , ta 2

− x −1

Hs lên bảng thực YC học sinh làm câu hiện b)

do đó 5 x − 7 = − x − 1 ⇔ x = 1 vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình b)Đặt ẩn phụ

Ví dụ 4: Giải phương trình sau

9 x − 4.3x − 45 = 0 82

Giải.

Hs lên bảng thực

Đặt t = 3x , t > 0 , ta có phương trình

GV hướng dẫn

t 2 − 4t − 45 = 0

hiện

Gọi hs lên làm

t = 9 ⇔  t = −5

t = 9 > 0 thỏa t = −5 < 0 loại

⇒ 3x = 9 ⇔ x = 2 c)Lôgarit hóa

Ví dụ 5: Giải phương trình sau 2

3 x.2 x = 1

Hs lên bảng thực

Giải Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3 (còn

GV hướng dẫn

hiện

Gọi hs lên làm

gọi là lôgarit hóa) , ta được

(

log 3 3x.2 x

2

) = log 1 3

2

⇔ log 3 3x + log 3 2 x = 0 ⇔ x + x 2 log 3 2 = 0 ⇔ x (1 + x log 3 2 ) = 0

Vậy phương trình có nghiệm

x = − log 2 3 và x = 0 . (*) Minh họa bằng đồ thị

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = a x và y = b là nghiệm của phương trình a x = b .

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị.

Nếu b ≤ 0 hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm

83

Nếu b > 0 ta có hai đồ thị trên các hình 1 và 2

Hình 1 Hình 2

y = ax

y

( a > 0) b

b

y =b

y =b 1

1

y = a x ( 0 < a < 1)

O

log a b

x

log a b

O

x

IV. Củng cố - Cho học sinh nhắc lại khái niệm phương trình mũ, phương pháp giải các dạng phương trình mũ cơ bản.

V. Dặn dò

Làm bài tập 1, 2 sách giáo khoa trang 84.

Giáo án 2 (Ban nâng cao) I. Mục tiêu 1. Kiến thức cơ bản

Giúp học sinh nắm vững: Dạng phương trình mũ cơ bản.

Một số dạng phương trình mũ đơn giản.

2. Kỹ năng

Giải được phương trình mũ cơ bản, vận dụng được tính chất hàm số mũ các phương pháp đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, logarit hóa giải các phương trình mũ đơn giản.

3. Thái độ

Tập trung vào bài giảng.

84

Tích cực, chủ động, tự giác trong học tập.

Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc khoa học trong việc giải các bài toán.

II. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC 1. Phương pháp: nêu vấn đề, đàm thoại gợi mở, phương pháp diễn giảng.

2. Phương tiện: Máy chiếu, phấn màu, phấn trắng, thước kẻ, …

III. NỘI DUNG VÀ TÍNH TRÌNH LÊN LỚP 1. Kiểm tra bài cũ 2. Giới thiệu bài mới

Gợi tò mò: Từ các lớp học dưới chúng ta đã học về các phương trình bậc 2, phương trình vô tỷ (căn thức) … Vậy phương trình 3x = 5 được gọi là phương trình gì? Cách giải như thế nào? Hôm nay chúng ta sẽ cùng tim hiểu.

Nội dung

Hđ giáo viên

Hđ học sinh

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có GV: dạng a x = m ( a > 0, a ≠ 0 ) Trong đó m là số đã cho. Phương

phương

trình - Được gọi là

được gọi là phương trình mũ c ơ b ản phương trình gì

3x = 5

trình xác định với mọi x

Ví dụ 1: Phương trình nào là phương trình mũ cơ bản trong các phương trình sau? x

1 a) 3 = 7 , b)   = 6 2 x

c)

( 2)

x

1 = , d) 1x = 10 8

GV làm mẫu câu a), HS chú lắng nghe cho hs làm câu b), c), d), e)

HS lên làm

x

e) ( −3) = −9 .

85

Giải a = 3 > 0 a)  ⇒ pt a) là phương trình a = 3 ≠ 1

mũ cơ bản   a = b)  a = 

1 >0 2 ⇒ pt b) là phương trình 1 ≠1 2

mũ cơ bản.  a = 2 > 0 c)  ⇒ pt c) là phương 2 1 a = ≠ 

trình mũ cơ bản d) a = 1 ⇒ pt c) là không phương trình mũ cơ bản e)

a = −3 < 0 ⇒

pt c) là không

phương trình mũ cơ bản Minh họa bằng đồ thị

Hs chú lắng nghe Vẽ đồ thị và giải thích

y

ý nghĩa y=m

y = ax a 1

x O

1

log a m

Kết luận • Nếu m > 0, thì

phương

trình

a x = m có nghiệm duy nhất x = log a m .

• Nếu m ≤ 0 , thì phương trình vô nghiệm 86

∀m ∈ ( 0, +∞ ) , a x = m ⇔ x = log a m

Chú ý lắng nghe

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

GV làm mẫu câu a), lên

a) 3x = 9 b) 10 x = 1

bảng

cho hs làm câu b)

hiện

GV làm mẫu câu a)

Hs chú ý lắng

thực

Giải. a) 3 x = 9 ⇔ x = log 3 9 ⇔ x = 2 vậy x = 2 là nghiệm của phương trình b) 10 x = 1 ⇔ x = log10 1 ⇔ x = 0 Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình 2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản a) Đưa vể cùng cơ số

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau a) 9 x+1 = 27 2 x+1 b) ( 2,5 )

5 x −7

2 =  5

x +1

Giải. a) Đưa hai vế về cùng cơ số 3, ta được

32 x+2 = 36 x+3

2x + 2 = 6x + 3 ⇔ 4x + 1 = 0 do đó −1 ⇔x= 4 V ậy x =

nghe

−1 là nghiệm duy nhất của 4

phương trình b) Đưa hai vế về cùng cơ số 3 được   2

5 x −7

3 =  2

5 , ta 2

YC học sinh làm câu b) Hs lên bảng thực hiện

− x −1

87

do đó 5 x − 7 = − x − 1 ⇔ x = 1 vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình b)Đặt ẩn phụ

Ví dụ 4: Giải phương trình sau

32 x+5 = 3x+2 + 2 Giải. Đặt t = 3x+ 2 , t > 0 , ta có phương trình

GV hướng dẫn Gọi hs lên làm

3t 2 − t − 2 = 0

Hs lên bảng thực hiện

t = 1 ⇔ t = − 2 3 

t = 1 > 0 thỏa

2 t = − < 0 loại 3 ⇒ 3x+2 = 1 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = −2 c)Lôgarit hóa

Ví dụ 5: Giải phương trình sau GV hướng dẫn

2

3x−1.2 x = 8.4 x− 2

Gọi hs lên làm

Giải Lấy lôgarit hai vế với cơ số 2 (còn gọi lôgarit

là

(

2

)

hóa)

(

log2 3x−1.2x = log2 8.4x−2

,

ta

Hs lên bảng thực hiện

được

)

⇔( x −1) log2 3+ x2 = log2 8+( x −2) log2 4 ⇔x2 −( 2−log2 3) x +1−log2 3 = 0 x = 1 ⇔  x = 1 − log 2 3

Vậy phương trình có nghiệm

x = − log 2 3 và x = 0 .

88

d) Phương pháp sử dụng tính đồng biến hay nghịch biến

Ví dụ 6 : Giải phương trình 2 x = 2 − log 3 x .

Giải.

Ta có 2x đồng biến, 2 − log 3 x nghịch trong ( 0, +∞ ) .

Ta thấy x = 1 là nghiệm của phương GV hướng dẫn trình, ta sẽ chứng minh 1 là nghiệm Gọi hs lên làm

Hs lên bảng thực hiện

duy nhất Nếu x > 1 ta có 2 − log 3 x < 2 < 2 x suy ra phương trình vô nghiệm với x > 1 Nếu 0 < x < 1 ta có 2 − log 3 x > 2 > 2 x suy ra phương trình vô nghiệm với

0 < x <1 Tóm lại phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 IV. Củng cố

Cho học sinh nhắc lại khái niệm phương trình mũ, phương pháp giải các dạng phương trình mũ cơ bản.

V. Dặn dò

Làm bài tập 63, 65 sách giáo khoa trang 124.

89

PHẦN KẾT LUẬN Luận văn đã thu được một số kết quả chính sau đây:

Đã phân tích, so sánh, đối chiếu về nội dung và cách thức trình bày chủ đề

“Hàm số mũ” trong SGK cơ bản và nâng cao, và với Chuẩn kiến thức, kĩ năng; từ đó trình bày một số dạng toán ở trong và ngoài SGK. Thiết kế một số câu hỏi trắc nghiệm có phân bậc kiến thức.

Thiết kế giáo án. Đã tổ chức khảo sát thực tiễn để kiểm tra độ khó độ phân biệt các câu hỏi trắc

nghiệm.

90

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính (Tổng biên tập) – Tôn Thân (Chủ biên) – Vũ Hữu Bình – Phạm Gia Đức – Trần Luận, Toán 6 – Tập một, NXB Giáo dục.

[2] Phan Đức Chính (Tổng biên tập) – Tôn Thân (Chủ biên) – Vũ Hữu Bình – Phạm Gia Đức – Trần Luận, Toán 7 – Tập một, NXB Giáo dục.

[3] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục.

[4] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Dặng Hùng Thắng, Giải tích 12 – Nâng cao, NXB Giáo dục.

[5] Trần Bá Hà (2016), Phương pháp giải các câu khó trong đề thi Đại học môn Toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

[6] Nguyễn Phú Lộc, Giáo trình Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, Đại học Cần Thơ, 2008.

[7] Nguyễn Phú Lộc, Giáo trình Hoạt động dạy và học môn toán, Đại học Cần Thơ, 2013.

[8] Nguyễn Phú Lộc, Giáo trình Lý luận dạy học môn Toán, Đại học Cần Thơ, 2010.

[9] Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy, Phương pháp dạy học môn toán, NxB Giáo dục, 1992.

[10] Nguyễn Phú Lộc, Giáo trình Những xu hướng dạy học không truyền thống, Đại học Cần Thơ, 2008.

Wedsite:

[11] 5 Dạng toán bài tập phương trình mũ bạn cần phải biết Truy cập từ wedsite:http://thaygiaongheo.net/5-dang-toan-bai-tap-phuong-trinh-muban-can-phai-biet/, ngày 03/02/2017.

[12] Bộ đề thi đáp thi đại học môn toán từ 2002 đến 2016 91

Truy cập từ wedsite:https://booktoan.com/bo-de-thi-dap-dai-hoc-mon-toan-tu-20022016.html/2, ngày 01/02/2017.

[13] 60 câu trắc nghiệm chương mũ và lôgarit Truy cập từ wedsite:http://tracnghiem.math.vn/2016/09/60-cau-trac-nghiem-chuongmu-va-logarit.html,ngày 27/01/2017.

[14] Câu hỏi trắc nghiệm về phương trình bất phương trình mũ lôgarit Truy cập từ wedsite:http://toanhoc247.com/cau-hoi-trac-nghiem-ve-phuong-trinh-batphuong-trinh-mu-logarit-a4990.html,ngày 28/01/2017.

[15] Truy cập từ wedsite:http://d.violet.vn//uploads/resources/present/4/13/4/preview.swf, ngày 03/02/2017.

[16] Truy cập từ wedsite: http://dethi.violet.vn/present/show/entry_id/11779740, ngày 03/02/2017.

92