DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH THUỘC CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Ở LỚP 12

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TOÁN LỚP 12

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH THUỘC CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Ở LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (VNU - UED) WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHƢƠNG 2 DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH THUỘC CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Ở LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Thực hiện chủ trƣơng tiếp tục đẩy mạnh đổi mới dạy học theo hƣớng phát triển năng lực, phẩm chất ngƣời học, dựa trên những phân tích ở chƣơng trƣớc về cơ sở lí luận và thực tiễn của DHGQVĐ, chúng tôi quyết định lựa chọn DHGQVĐ để vận dụng vào dạy học chủ đề Nguyên hàm – Tích phân ở lớp 12 THPT. Trên cơ sở các nội dung chính của chủ đề này, chúng tôi tiến hành xây dựng các tình huống dạy học điển hình để áp dụng vào dạy học theo hƣớng GQVĐ.

2.1. Dạy học giải quyết vấn đề nội dung khái niệm toán học thuộc chủ đề Nguyên hàm – Tích phân 2.1.1. Những yêu cầu khi dạy học nội dung khái niệm toán học Điều cốt lõi của dạy học Toán ở trƣờng phổ thông là giúp HS hình thành một hệ thống khái niệm vững chắc. Hệ thống đó chính là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học mà HS cần chiếm lĩnh, đó cũng là tiền đề quan trọng để HS hình thành và phát triển khả năng vận dụng các kiến thức đã học. Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng quan trọng tới sự phát triển trí tuệ của HS. Hệ thống khái niệm toán học ở trƣờng phổ thông nói chung và đặc biệt là các khái niệm của chủ đề Nguyên hàm – Tích phân nói riêng đều có mức độ trừu tƣợng rất cao. Tuy nhiên, việc dạy học các khái niệm phải đảm bảo chúng đến với HS một cách tự nhiên chứ không phải là sự xuất hiện mang tính áp đặt đối với HS. HS phải đƣợc tạo tình huống để tự mình tìm ra các đặc điểm đặc trƣng của mỗi khái niệm đó và GV chỉ là ngƣời giúp HS đặt tên cho các đặc điểm đặc trƣng đó để hình thành khái niệm.

Việc dạy học nội dung khái niệm toán học ở trƣờng phổ thông phải giúp HS đạt đƣợc các yêu cầu sau: +) Phát biểu đƣợc chính xác, rõ ràng định nghĩa của các khái niệm. +) Nắm vững những đặc điểm đặc trƣng của mỗi khái niệm.

27

+) Biết nhận dạng khái niệm, tức là phát hiện đƣợc một đối tƣợng nào đó có thuộc phạm vi của khái niệm đó không. +) Biết thể hiện khái niệm, tức là biết tạo ra các đối tƣợng thuộc phạm vi của khái niệm đó. +) Biết vận dụng khái niệm trong một số tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán. +) Biết sắp xếp, phân loại các khái niệm theo từng lĩnh vực, khía cạnh, đặc điểm. +) Nắm đƣợc mối quan hệ giữa các khái niệm và xây dựng đƣợc hệ thống các khái niệm cùng các mối quan hệ giữa chúng.

Các yêu cầu trên có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, việc đạt đƣợc yêu cầu này sẽ hỗ trợ, thúc đẩy hoặc thậm chí là điều kiện tiên quyết để đạt đƣợc yêu cầu kia. Tuy nhiên, khi dạy học từng khái niệm cụ thể, không phải lúc nào tất cả các yêu cầu trên cũng đều đạt đƣợc với mức độ nhƣ nhau. Vì vậy khi dạy học mỗi khái niệm cụ thể, phải căn cứ vào nhiều yếu tố nhƣ vị trí, vai trò của khái niệm, độ trừu tƣợng của khái niệm, trình độ của HS, … mà đặt ra từng mức độ cần đạt đƣợc khác nhau cho mỗi yêu cầu đó.

2.1.2. Quy trình thực hiện dạy học giải quyết vấn đề khái niệm toán học Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV đƣa ra những ví dụ cụ thể, trực quan để HS tự mình tìm ra và thấy đƣợc sự tồn tại một đặc điểm đặc trƣng nào đó ở một bộ phận trong hệ thống các đối tƣợng đang xét mà các bộ phận khác không có hoặc HS tìm ra một loạt đối tƣợng nào đó có liên quan đến khái niệm cần định nghĩa.

- GV có thể đƣa ra các khái niệm đã biết có liên quan đến khái niệm cần định nghĩa để định hƣớng HS phân tích, so sánh, tổng hợp trên cơ sở khái niệm cần định nghĩa là trƣờng hợp đặc biệt, cụ thể của một khái niệm tổng quát khác, hoặc là sự tổng quát của một số khái niệm cụ thể khác, hoặc có mối liên quan mật thiết đến một vài khái niệm đã biết.

- Xuất phát từ nội bộ toán học hoặc thực tiễn, GV có thể định hƣớng cho HS xây dựng một hay nhiều đối tƣợng đại diện cho khái niệm cần định nghĩa.

28

Bước 2: Tìm giải pháp - GV dẫn dắt, định hƣớng HS phân tích, so sánh, tổng hợp các ví dụ và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tƣợng đang đƣợc xem xét.

- Thêm vào nội hàm của các khái niệm đã có những đặc điểm mà ta đang xét để hình thành trƣờng hợp đặc biệt của nó hoặc bớt đi một số đặc điểm nào đó trong các khái niệm đã có để hình thành khái niệm cho trƣờng hợp tổng quát hơn, mở rộng hơn.

- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tƣợng đại diện cụ thể đã làm, để tìm ra đặc điểm đặc trƣng cho khái niệm cần hình thành.

Bước 3: Trình bày giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phát biểu định nghĩa khái niệm bằng việc chỉ ra các đặc điểm đặc trƣng của khái niệm hoặc định nghĩa khái niệm thông qua một khái niệm tổng quát hơn cùng với các đặc điểm riêng hay thông qua một vài khái niệm cụ thể cùng một đặc điểm chung.

- GV chính xác hóa việc trình bày của HS bằng hệ thống thuật ngữ toán học và các kí hiệu toán học phù hợp.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - Phát biểu lại định nghĩa bằng các cách khác nhau hoặc bằng những dạng ngôn ngữ khác nhau và phân tích, nêu bật những ý quan trọng bao hàm trong định nghĩa.

- Thực hiện củng cố khái niệm bằng việc rèn luyện nhận dạng và thể hiện khái niệm.

- Khái quát hóa, đặc biệt hóa những khái niệm đã học thành những khái niệm tƣơng tự. Hệ thống hóa khái niệm đã học cùng các khái niệm đã có bằng những liên kết theo dạng bản đồ tƣ duy.

2.1.3. Dạy học giải quyết vấn đề các khái niệm điển hình thuộc chủ đề Nguyên hàm – Tích phân ở lớp 12 2.1.3.1. Hoạt động dạy học khái niệm nguyên hàm Các kiến thức liên quan đã biết: - Khái niệm và các quy tắc tìm tập xác định của hàm số.

29

- Khái niệm đạo hàm của hàm số trên một khoảng, đoạn, nửa khoảng.

- Đạo hàm của một số hàm số cơ bản.

- Các tính chất và các quy tắc tính đạo hàm thông dụng.

Mục tiêu của hoạt động: HS tự hình thành khái niệm nguyên hàm và định nghĩa đƣợc khái niệm nguyên hàm thông qua những kiến thức liên quan đã biết.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề GV đƣa ra tình huống thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 2.1. Nếu một chất điểm chuyển động có phƣơng trình s  t   2t 2  t thì có công thức vận tốc là gì?

Ví dụ 2.2. Nếu biết một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời cho bởi hàm số v  t   3t 2 và phƣơng trình của chuyển động đó là một trong 3 phƣơng án sau đây thì phƣơng án nào đúng?

A. s  t   3t 2

B. s  t   t 3

C. s  t   2t 3

Ví dụ 2.3. Nếu biết một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời cho bởi hàm số v  t   t 2  t  2 và phƣơng trình của chuyển động đó là một trong 3 phƣơng án sau đây thì phƣơng án nào đúng?

A. s  t   2t 3  t 2  2t

B. s  t   t 3  3t 2  t  2 .

1 1 C. s  t   t 3  t 2  2t  2 .

3 2

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.1. Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm thì vận tốc tức thời của chuyển động có phƣơng trình s  t   2t 2  t là v  t   s '  t   4t  1.

Ví dụ 2.2. Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm thì phƣơng án B là đúng vì chỉ có phƣơng án B thỏa mãn s '  t   v  t  t .

Ví dụ 2.3. Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm thì phƣơng án C là đúng vì chỉ có phƣơng án C thỏa mãn s '  t   v  t  t .

30

GV đƣa ra nhiệm vụ: Hãy dùng lời mô tả mối quan hệ giữa hàm phƣơng trình chuyển động và hàm vận tốc của chuyển động đó theo hai cách khác nhau. Đến đây, HS đã tìm ra đƣợc vấn đề là cần thêm một cách mô tả quan hệ đạo hàm nhƣng theo chiều ngƣợc lại.

Bước 2: Tìm giải pháp HS trả lời câu hỏi: Phát biểu cách 1: Hàm vận tốc của chuyển động là đạo hàm của hàm phƣơng trình chuyển động.

Phát biểu cách 2: HS sẽ cảm nhận, mƣờng tƣợng ra cách phát biểu thứ hai là phát biểu ngƣợc lại: “Hàm phƣơng trình chuyển động là … của hàm vận tốc của chuyển động” và trong dấu “…” sẽ là một từ khóa cũng thể hiện quan hệ “đạo hàm” nhƣng theo chiều ngƣợc lại.

GV sẽ trả lời giúp HS từ khóa còn thiếu đó là “nguyên hàm” và yêu cầu HS thử dự đoán nội dung của định nghĩa khái niệm nguyên hàm.

Bước 3: Trình bày giải pháp - HS trình bày định nghĩa khái niệm nguyên hàm bằng lời văn theo cảm nhận thông qua ví dụ trên: Một hàm F  x  gọi là nguyên hàm của hàm f  x  nếu đạo hàm của hàm

F  x  bằng hàm f  x  với mọi x .

- GV giúp đỡ HS hoàn chỉnh định nghĩa khái niệm nguyên hàm bằng ngôn ngữ toán học.

Cho hàm số f  x  xác định trên tập K . Hàm số F  x  đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K .

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp GV yêu cầu HS thực hiện hoạt động củng cố khái niệm sau: Ví dụ 2.4. Cho các hàm số sau, hãy nêu tất cả các quan hệ: “Hàm… là một nguyên hàm của hàm … trên R ”.

f1  x   2 x  sin x .

f 2  x   cos x  2 .

31

f3  x   x 2  cos x .

f 4  x    x  1  2 x  cos x .

  f5  x   x 2  sin  x   .

2 

f 6  x    cos x .

2

HS trả lời: Hàm f1  x  là một nguyên hàm của hàm f 2  x  trên R .

Hàm f 2  x  là một nguyên hàm của hàm f 6  x  trên R .

Hàm f3  x  , f 4  x  , f5  x  đều là nguyên hàm của hàm f1  x  trên R .

2.1.3.2. Hoạt động dạy học khái niệm tính phân Các kiến thức liên quan đã biết: - Công thức tính diện tích của hình thang, hình tròn.

- Khái niệm và các quy tắc tìm tập xác định của hàm số - Khái niệm, các tính chất, các phƣơng pháp tìm nguyên hàm của hàm số.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành khái niệm tích phân và định nghĩa đƣợc khái niệm tích phân thông qua khái niệm nguyên hàm đã biết.

- HS thể hiện đƣợc công thức tính tích phân.

- HS tự tìm ra đƣợc tính chất của tích phân là không phụ thuộc vào biến số mà chỉ phụ thuộc vào hàm số trong dấu tích phân và hai cận.

- HS tự xây dựng đƣợc ý nghĩa hình học của tích phân.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV đƣa ra tình huống thực tiễn để dẫn dắt đến ý tƣởng về hình thang cong và tam giác cong: Trong hình học, ta thƣờng chỉ làm việc với các hình “đẹp” là các đa giác, tuy nhiên trong thực tế, đa phần các hình đều không có hình dạng nhƣ thế: một cái hồ, một mảnh đất, …(GV đƣa ra hình ví dụ trên giấy in sẵn). Vậy làm thế nào để có thể tính đƣợc diện tích của một hình nhƣ thế? GV đƣa ra nhiệm vụ học tập tính một cách chính xác nhất diện tích hình vẽ đã đƣa ra làm ví dụ ở trên.

32

HS sẽ tự tƣ duy, suy nghĩ tìm các phƣơng án xử lý. Một số cách xử lý của HS sẽ lựa chọn: Làm gần đúng coi hình cần tính nhƣ hình bình hành, cắt, ghép thành mô hình đa giác, …. HS có thể tìm ra hoặc GV đƣa ra phƣơng án: Trong thực tế ngƣời ta thƣờng chia nhỏ hình cần tính diện tích bằng lƣới ô vuông. Từ đó, diện tích cần tính sẽ đƣợc chia nhỏ thành các hình vuông và các hình có hình dạng gần giống hình thang vuông hay tam giác vuông nhƣng có cạnh bên hoặc cạnh huyền là đƣờng cong và chúng đƣợc tạm gọi là các hình thang cong hay tam giác cong. Và nhƣ vậy bài toán sẽ quy về việc tính diện tích các hình thang cong hay tam giác cong đó.

Hình 2.1. Hình thang cong và tam giác cong Hình 2.1a. Minh họa hình cần tính diện tích

Hình 2.1b. Minh họa lưới ô vuông để tính diện tích

Hình 2.1c.

Hình thang cong

Hình 2.1d.

Tam giác cong

Tuy nhiên, HS sẽ cảm thấy mặc dù về mặt hình dạng khá giống hình thang và tam giác nhƣng HS chƣa có công thức nào có thể tính đƣợc chính xác diện tích của hình thang cong hay tam giác cong.

- GV bàn giao nhiệm vụ học tập tính diện tích những mô hình đơn giản hơn: Hình 2.2. Một số hình phẳng trên mặt phẳng tọa độ

33

GV chia HS làm nhiều nhóm thực hiện các nhiệm vụ độc lập theo các phiếu học tập (mỗi nhiệm vụ nên có ít nhất hai nhóm thực hiện).

Nội dung phiếu học tập 1: Hãy tìm hai nguyên hàm F1  x  và F2  x  của hàm số y  f  x  đƣợc nêu trong từng trong hình vẽ và tính F1  b   F1  a  và

F2  b   F2  a  .

Nội dung phiếu học tập 2: Hãy tính diện tích của ba hình đƣợc đánh dấu trong các hình vẽ.

Bước 2: Tìm giải pháp - GV yêu cầu HS thực hiện các nhiệm vụ học tập sau đó trình bày báo cáo kết quả thực hiện nhiệm vụ và so sánh của các kết quả thu đƣợc của các nhóm. HS sẽ tự phát hiện ra hai vấn đề sau: i) Ở kết quả của các nhóm thực hiện nhiệm vụ phiếu học tập 1: Dù việc chọn các nguyên hàm F1  x  ; F2  x  khác nhau nhƣng kết quả cuối cùng của phép toán

F1  b   F1  a  và F2  b   F2  a  đều luôn nhƣ nhau. ii) Kết quả của việc thực hiện hai nhiệm vụ học tập ứng với mỗi hình vẽ là bằng nhau.

- GV định hƣớng giúp HS hình thành giả thiết về việc có thể sử dụng công cụ nguyên hàm vào việc tính diện tích của hình thang cong bằng cách tƣơng tự nhƣ nhiệm vụ học tập trong phiếu học tập. Tức là giúp HS hình thành dự đoán: nếu đặt hình thang cong vào hệ trục tọa độ Oxy tƣơng tự hình vẽ ở các phiếu học tập và cạnh “cong” của hình thang cong là một phần của đồ thị hàm số f  x  (nằm phía trên trục hoành) thì việc đi tìm F  x  là một nguyên hàm của hàm f  x  và tính hiệu S  F  b   F  a  sẽ cho kết quả chính là diện tích của hình thang cong đó.

- GV giới thiệu cho HS về thuật ngữ tích phân: “Việc tìm một nguyên hàm

F  x  của hàm số f  x  rồi tính hiệu S  F  b   F  a  sẽ cho kết quả là một số và kết quả đó gọi là tích phân của hàm số f  x  từ a đến b ”.

34

Bước 3: Trình bày giải pháp GV hƣớng dẫn HS trình bày định nghĩa khái niệm tích phân: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Nếu F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên đoạn  a; b thì hiệu số F  b   F  a  đƣợc gọi là tích phân của

f  x  từ a đến b (hay tích phân của f  x  trên đoạn  a; b ) và kí hiệu là: b

 f  x  dx  F ( x)

b a

 F (b)  F (a) .

a

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - GV bàn giao nhiệm vụ học tập cho HS củng cố khái niệm tích phân: Ví dụ 2.5. Tính các tích phân sau: 1

1

a) I    2 x  1 dx

b) J   e x dx .

0

0

Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập: 1

1

Đáp số: a) I    2 x  1 dx  2.

b) J   e x dx  e  1 .

0

0

- GV hƣớng dẫn HS tự tìm ra tính chất không phụ thuộc vào biến số của tích phân thông qua ví dụ: Ví dụ 2.6. Tính các tích phân sau: 1

1

a) I    2t  1 dt

b) J   et dt .

0

0

Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập: 1

1

Đáp số: a) I    2t  1 dt  2 .

b) J   et dt  e  1 .

0

0

GV hƣớng dẫn HS trình bày tính chất: b

Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là

 f ( x)dx a

b

 a

f  t  dt , tức là

b

 a

b

f ( x)dx   f  t  dt . a

35

hay

- GV hƣớng dẫn HS tự tìm ra ý nghĩa hình học của tích phân bằng cách kết nối khái niệm tích phân với bài toán mở đầu HS đã thực hiện: Nếu hàm số f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f  x  , trục Ox và hai đƣờng thẳng b

x  a; x  b là S   f  x  dx . a

2.2. Dạy học giải quyết vấn đề nội dung định lí toán học thuộc chủ đề Nguyên hàm – Tích phân 2.2.1. Những yêu cầu khi dạy học định lí toán học Các định lí cùng với các khái niệm toán học chính là hai nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện các kĩ năng bộ môn, phát triển năng lực trí tuệ, đặc biệt là khả năng suy luận, dự đoán và chứng minh, rèn luyện phẩm chất và đạo đức, tiêu biểu là tính kiên trì, cẩn thận.

Việc dạy học các định lí toán học phải đạt đƣợc các yêu cầu sau đây: - HS xây dựng đƣợc hệ thống các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán và cao hơn là giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.

- HS hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày đƣợc chứng minh, đến mức độ biết suy nghĩ, tƣ duy để tìm ra phép chứng minh tính đúng đắn của một giả thuyết để hình thành định lý và cao nhất là phân tích, tổng hợp, dự đoán rồi đi đến chứng minh hoặc bác bỏ một giả thuyết nào đó.

- HS không những cần hiểu đƣợc kết quả về mặt toán học của định lí mà còn cần hiểu sâu sắc các định lí toán học: định lí đƣợc xây dựng trên nền kiến thức nào, đƣợc hình thành và chứng minh dựa trên kết quả của các định lí nào, định lí đó là đúng với những điều kiện giả thiết nào, nếu thay đổi các điều kiện giả thiết thì sẽ ra sao, định lí đó sẽ dùng để giải quyết các bài toán nào,… Trong đó, HS phải thấy đƣợc việc dự đoán và chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phƣơng pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học.

36

- Thông qua việc dạy học các định lí toán học, HS phải đƣợc rèn luyện phƣơng pháp tƣ duy toán học bằng con đƣờng phát hiện và GQVĐ: nghiên cứu, phân tích, tổng hợp các trƣờng hợp cụ thể, dự đoán tính chất tổng quát, đƣa ra giả thuyết toán học tổng quát, bác bỏ giả thuyết sai, chứng minh giả thuyết đúng, hình thành định lí, ứng dụng, phát triển định lí.

- Hệ thống các định lí toán học chính là các công cụ đƣợc Toán học sinh ra để giải quyết các vấn đề của chính Toán học. Do đó, việc dạy học định lí toán học ở trƣờng phổ thông còn phải rèn luyện cho HS khả năng phát hiện và GQVĐ ở mức độ phù hợp. Cụ thể đó là việc tìm kiếm các công cụ phù hợp, mức độ cao hơn là phối hợp một cách khoa học các công cụ đã có và cao hơn nữa là cải tiến các công cụ đã có để sáng tạo ra công cụ mới phù hợp cho việc GQVĐ đƣợc đặt ra.

2.2.2. Quy trình thực hiện dạy học giải quyết vấn đề định lí toán học Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV giới thiệu tới HS THCVĐ chứa đựng nội dung của định lí xuất phát từ nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học thông qua các nhiệm vụ học tập phù hợp.

- GV hƣớng dẫn HS thực hiện các nhiệm vụ học tập, từ đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, lật ngƣợc vấn đề… để hình thành các giả thuyết toán học, từ đó phát hiện nội dung định lí.

Bước 2: Tìm giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phát biểu giả thuyết toán học rồi định hƣớng HS thực hiện các thao tác tƣ duy: suy luận, phân tích, so sánh, đối chiếu, đặc biệt hóa, qui lạ về quen, … để tìm ra giải pháp bác bỏ các giả thuyết sai, chứng minh các giả thuyết đúng, hình thành định lí.

- Với một số định lí có mức độ trừu tƣợng cao, việc chứng minh nằm ngoài yêu cầu của chƣơng trình Toán phổ thông thì thay vì việc tìm giải pháp chứng minh định lí, GV phải định hƣớng HS kiểm chứng định lí thông qua một số tình huống cụ thể để hình thành niềm tin vào sự đúng đắn của định lí.

37

Bước 3: Trình bày giải pháp - GV giúp đỡ HS trình bày hoàn chỉnh nội dung định lí, giới thiệu các kí hiệu toán học mới, từ đó hƣớng dẫn HS chuyển hóa nội dung định lí thành công thức toán học.

- GV hƣớng dẫn HS trình bày hoàn chỉnh giải pháp chứng minh định lí.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phát biểu định lí bằng lời lẽ của mình và diễn đạt nội dung định lí dƣới những dạng trình bày khác nhau: Bằng lời văn, bằng công thức, bằng giả thiết – kết luận,….

- GV hƣớng dẫn HS nhận dạng, thể hiện và vận dụng định lí thông qua các nhiệm vụ học tập phù hợp.

- GV hƣớng dẫn HS khái quát hóa, đặc biệt hóa… để tìm ra các tính chất mới và các ứng dụng khác của định lí.

- GV hƣớng dẫn HS nghiên cứu mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận của định lí, tìm ra sự cần thiết, ràng buộc lẫn nhau giữa các yếu tố đó, sự thay đổi của chúng sẽ làm cho định lí trở nên sai lầm hoặc có thể dẫn đến một định lí khác.

- GV hƣớng dẫn HS phân tích nội dung định lí để HS nhận ra những cách áp dụng không chính xác nội dung định lí, từ đó tránh mắc phải những sai lầm trong giải toán.

2.2.3. Dạy học giải quyết vấn đề các định lí điển hình thuộc chủ đề Nguyên hàm – Tích phân ở lớp 12 2.2.3.1. Hoạt động dạy học định lí: Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số

f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K . Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f  x  trên

K đều có dạng F  x   C với C là một hằng số.

Các kiến thức liên quan đã biết: - Định nghĩa, các tính chất và quy tắc tìm đạo hàm của hàm số trên các khoảng xác định.

- Khái niệm nguyên hàm của hàm số.

38

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành nội dung định lí, phát biểu đƣợc định lí, làm quen và sử dụng thành thạo kí hiệu toán học thể hiện họ các nguyên hàm của một hàm số.

- HS tự hình thành lời chứng minh của định lí.

- HS vận dụng nội dung định lí để tìm đƣợc các nguyên hàm khác nhau của hàm số theo yêu cầu của đề bài.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề GV hƣớng dẫn HS phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.7. Trong các hàm số sau, hãy chọn các hàm số là nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  1 trên R : b) F2  x    x 2  1  x  1 .

a) F1  x   x3  x 2  x .

c) F3  x    x  1  2  x  1  2 x .

3

2

Ví dụ 2.8. a) Hãy nêu ít nhất bốn hàm số khác nhau cùng là nguyên hàm của hàm số f  x   4 x3 trên R . b) So sánh bốn hàm số thu đƣợc ở câu a), nêu dạng tổng quát của các nguyên hàm của hàm số f  x   4 x3 . Ngoài dạng tổng quát đó, liệu có hàm số dạng nào khác cũng là nguyên hàm của hàm số f  x   4 x3 hay không?

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.7. Biến đổi F2  x   x3  x 2  x  1 ; F2  x   x3  x 2  x  1.

Tìm đạo hàm của các hàm F1  x  ; F2  x  ; F3  x  ta đƣợc: F1 '  x   F2 '  x   F3 '  x   3x 2  2 x  1 x  R .

Vậy F1  x  ; F2  x  ; F3  x  đều là nguyên hàm của hàm số f  x  trên R .

Ví dụ 2.8. a) Rõ ràng F  x   x 4 là một nguyên hàm của hàm f  x   4 x3 và việc cộng thêm các hằng số tự do vào F  x  cũng không làm thay đổi đạo hàm của

39

nó (do đạo hàm của hàm hằng là 0) nên có thể lấy một số nguyên hàm khác là F1  x   x 4  1; F2  x   x 4  2; F3  x   x 4  3; …

b) Các hàm số tìm đƣợc ở câu a) có dạng F  x   x 4  C (với C là hằng số) có đều là nguyên hàm của hàm số f  x   4 x3 .

HS hình thành dự đoán: Ngƣợc lại, ngoài các hàm số có dạng F  x   x 4  C (với C là hằng số) thì dƣờng nhƣ không có hàm số dạng nào khác cũng là nguyên hàm của hàm số f  x   4 x3 vì nếu không phải thêm vào hằng số mà lại thêm vào các biểu thức có ẩn x thì chắc chắn sẽ làm thay đổi đạo hàm của nó.

Bước 2: Tìm giải pháp - GV hƣớng dẫn HS trình bày định lí: Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  thì các hàm số G  x   F  x   C với C là hằng số cũng là nguyên hàm của hàm số f  x  và mọi nguyên hàm của hàm số f  x  cũng đều có dạng đó.

- GV hƣớng dẫn HS tìm cách chứng minh định lí. +) Chứng minh các hàm số G  x   F  x   C cũng là nguyên hàm của hàm số f  x  : Dễ dàng chỉ ra đạo hàm của chúng vẫn là f  x  . +) Chứng minh mọi nguyên hàm của f  x  đều có dạng F  x   C : Trƣớc hết, định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đã khẳng định nếu hàm u  x  có u '  x   0 x  R thì u  x   C là hàm hằng trên R .

Giả sử nếu có một nguyên hàm của f  x  dạng F  x   u  x  thì theo quy tắc về đạo hàm ta sẽ có u '  x   0 với mọi x . Do đó u  x  phải là hàm hằng:

u  x   C x  R . Tức là nguyên hàm đó có dạng F  x   C với C là hằng số.

Bước 3: Trình bày giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phát biểu hoàn chỉnh nội dung định lí: Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số

C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K .

40

Ngƣợc lại, mọi nguyên hàm của hàm số f  x  trên K đều có dạng F  x   C với

C là một hằng số.

- GV giới thiệu kí hiệu toán học: Theo kết quả của định lí trên thì

F  x   C , C  R gọi là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  trên K . Kí hiệu:

 f  x  dx  F  x   C .

- GV hƣớng dẫn HS trình bày lời chứng minh định lí: +) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K và hàm số

G  x   F  x   C với C là hằng số thì ta có G '  x    F  x   C  '  F '  x   f  x  nên G  x  cũng là một nguyên hàm của f  x  . +) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K và G  x  cũng là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K . Gọi u  x   G  x   F  x  x ta có

u '  x   G '  x   F '  x   0 x nên u  x  là hàm hằng trên K , tức là u  x   C với

C là hằng số, do đó G  x   F  x   C x .

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS củng cố, khắc sâu kiến thức thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.9. Tìm các nguyên hàm

   sin x  dx .

a)  3x 2 dx .

b)

Đáp số: a) x3  C

b) cos x  C.

c)

dx 2 x .

c)

x  C.

Ví dụ 2.10. Trong các nguyên hàm của hàm số f  x   5x 4 , tìm nguyên hàm

F  x  thỏa mãn F 1  10 . Đáp số: F  x   x5  9 .

41

2.2.3.2. Hoạt động dạy học định lí: Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K thì: a)   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . b) Với mọi số thực k  0 ta có  k f ( x)dx  k  f ( x)dx .

Các kiến thức liên quan đã biết: - Khái niệm, các tính chất và các quy tắc tính đạo hàm của hàm số trên các khoảng, đoạn, nửa khoảng.

- Khái niệm nguyên hàm, kí hiệu và ý nghĩa họ nguyên hàm của một hàm số.

- Một số nguyên hàm cơ bản thƣờng gặp.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành nội dung định lí, phát biểu đƣợc định lí, sử dụng thành thạo công thức toán học của định lí.

- HS tự hình thành lời chứng minh của định lí.

- HS vận dụng nội dung định lí và các nguyên hàm cơ bản để tìm đƣợc các nguyên hàm phức tạp hơn.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV đƣa ra tình huống thông qua các ví dụ: Ví dụ 2.11. Hãy hoàn thành các khẳng định sau: Đạo hàm của hàm số F  x   x5 là hàm số f  x   ……………… Đạo hàm của hàm số G  x   x10 là hàm số g  x   ……………… Đạo hàm của hàm số H1  x   x5  x10 là hàm số h1  x   ……….. Đạo hàm của hàm số H 2  x   x5  x10 là hàm số h2  x   ………. Đạo hàm của hàm số H 3  x   100 x5 là hàm số h3  x   …………

Sau đó hãy dùng thuật ngữ “nguyên hàm” để nêu các mối quan hệ trên.

Ví dụ 2.12. Nếu F '  x   f  x  x và G '  x   g  x  x thì Đạo hàm của hàm số H1  x   F  x   G  x  là hàm số h1  x   ………. Đạo hàm của hàm số H 2  x   F  x   G  x  là hàm số h2  x   ……….

42

Đạo hàm của hàm số H 3  x   k.F  x  là hàm số h3  x   ……………..

Sau đó hãy dùng thuật ngữ “nguyên hàm” để nêu các mối quan hệ trên.

- Từ việc thực hiện các nhiệm vụ học tập trên, HS sẽ tự hình thành nhận xét: Nếu cộng, trừ hai hàm số thì nguyên hàm của chúng là tổng, hiệu hai nguyên hàm hai hàm ban đầu, nếu nhân một hằng số vào một hàm thì nguyên hàm của nó cũng là tích của hằng số đó với nguyên hàm ban đầu.

Bước 2: Tìm giải pháp Từ các ví dụ trên, GV dẫn dắt, hƣớng dẫn HS tìm cách chứng minh định lí từ các tính chất của đạo hàm đã học. HS sẽ tự tìm ra cách chứng minh là thay đổi cách mô tả quan hệ nguyên hàm thành quan hệ đạo hàm và sử dụng các tính chất đã có của đạo hàm.

Bước 3: Trình bày giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phát biểu hoàn chỉnh định lí và trình bày bằng các kí hiệu toán học: Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K thì a)   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . b) Với mọi số thực k  0 ta có  k f ( x)dx  k  f ( x)dx .

- GV hƣớng dẫn HS trình bày chứng minh: Giả sử

 f  x   F  x   C và  g  x   G  x   C

và một số thực k  0 tùy ý.

 F ' x   f  x  x nên Khi đó ta có  G ' x  g x        F  x   G  x   '  F '  x   G '  x   f  x   g  x    F  x   G  x   '  F '  x   G '  x   f  x   g  x  với x .   k .F  x   '  k .F '  x   kf  x 

  f  x   g  x   dx  F  x   G  x   C.   Hay    f  x   g  x   dx  F  x   G  x   C.     kf  x   dx  kF  x   C.

43

Tức là   f  x   g  x   dx  f  x  dx  g  x  dx.          k f ( x)dx  k  f ( x)dx.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS củng cố kiến thức bằng việc vận dụng nội dung định lí để thực hiện các nhiệm vụ học tập sau: Ví dụ 2.13. Tính các nguyên hàm sau: 1   a)   6 x5  5 x 4   cos x  dx .

2 x  

c)

b)

n  x dx với n là số nguyên dƣơng bất kì.

Đáp số: a) x6  x5  x  sin x  C

c)

1 n1 x  C. n 1

d)

b)

 x dx .

3

x

2

 1 dx .

2

1 4 x  C. 4

d)

1 5 2 3 x  x  x  C. 5 3

- GV hƣớng dẫn HS phân tích nội dung định lí và từ đó hình thành các giả thuyết thay đổi điều kiện của định lí hay tìm kiếm tính chất tƣơng tự nhƣ định lí: +) Tại sao phải có điều kiện k  0 ? Nếu bỏ điều kiện đó đi có đƣợc không?

HS sẽ tự mình kiểm chứng đƣợc nếu k  0 thì sẽ thu đƣợc một đẳng thức không chính xác là  0.dx  0 trong khi đẳng thức đúng phải là  0dx  C . +) Liệu có tính chất “nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm” hay không?

GV hƣớng dẫn học sinh lật ngƣợc khái niệm để chuyển thành việc nghiên cứu giả thuyết: “Đạo hàm của một tích bằng tích các đạo hàm”. HS dễ dàng khẳng định đƣợc giả thuyết này sai, dẫn đến giả thuyết trên cũng sai. Ngoài ra, HS cũng sẽ dễ dàng tự tìm đƣợc ví dụ kiểm chứng để bác bỏ giả thuyết. Từ đó, HS sẽ hình thành lƣu ý về phép toán dễ mắc sai lầm khi sử dụng giả thuyết trên.

44

2.2.3.3. Hoạt động dạy học định lí: Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên  a; b thì: b

b

b

a

a

a

a)   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . b

b

a

a

b) Với mọi số thực k ta có  kf ( x)dx  k  f ( x)dx .

Các kiến thức liên quan đã biết: - Định nghĩa khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, một số nguyên hàm thƣờng gặp.

- Khái niệm tích phân.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành nội dung định lí, phát biểu đƣợc định lí, sử dụng thành thạo công thức toán học của định lí.

- HS tự hình thành lời chứng minh của định lí.

- HS vận dụng nội dung định lí và các nguyên hàm cơ bản để tính đƣợc các tích phân phức tạp hơn.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề GV chia lớp thành các nhóm (tối thiểu 3 nhóm) và hƣớng dẫn HS phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua các nhiệm vụ học tập: 1

1

1

0

0

0

Phiếu 1. Tính I1   e x dx ; I 2   x3dx và I 3   x 4 dx .

Phiếu 2. Tìm nguyên hàm

x

1

3









 x  dx , từ đó tính J1   x3  x 4 dx .

4

0

Tìm nguyên hàm

 e

1

x

 x  dx , từ đó tính J 2   e x  x 4 dx .

4

0

1

1

1

Phiếu 3. Tính K1   2e dx ; K 2   4 x dx và K3   5 x 4 dx . x

0

3

0

HS thực hiện các nhiệm vụ học tập:

45

0

Phiếu 1: I1  e  1 ; I 2  Phiếu 2:

3 4   x  x  dx 

1 1 và I 3  .

4 5 1 x 4 x5 9 .   C nên J1    x3  x 4  dx  4 5 20 0

1 x5 4 x 4   e  x  dx  e  5  C nên J 2  0  e  x  dx  e  5 .

x

4

x

Phiếu 3. K1  2e  2 ; K 2  1 ; K3  1.

GV hƣớng dẫn HS đối chiếu kết quả của các nhiệm vụ học tập của các nhóm để tìm ra rằng: 1

1

1

1

1

1

J1    x  x  dx   x dx   x dx ; J 2    x  x  dx   x dx   x 4 dx .

3

4

3

0

0

1

1

4

3

0

4

3

0

1

0

1

1

0

1

K1   2e dx  2 e dx ; K 2   4e dx  4 e dx ; K3   5e dx  5 e x dx . x

0

x

0

x

0

x

0

x

0

0

Từ đó, HS sẽ tự hình thành đƣợc nội dung định lí: Có thể khai triển tích phân của một tổng, hiệu thành tổng, hiệu các tích phân; có thể đƣa một nhân tử là hằng số ra ngoài dấu tích phân.

Bước 2: Tìm giải pháp - GV hƣớng dẫn HS liên hệ tới tính chất tƣơng tự của nguyên hàm. HS sẽ tự nêu ra đƣợc hai tính chất tƣơng tự của nguyên hàm: a)   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . b) Với mọi số thực k  0 ta có  k f ( x)dx  k  f ( x)dx .

- GV hƣớng dẫn HS phân tích các bƣớc tính tích phân theo định nghĩa. HS tự hình dung lại việc tính tích phân theo định nghĩa gồm hai bƣớc chính: Tìm nguyên hàm và thay hai cận vào nguyên hàm rồi tính hiệu.

- GV hƣớng dẫn HS vận dụng hai kiến thức trên để hình thành chứng minh: Khi xét hai nguyên hàm ở hai vế thì các nguyên hàm thu đƣợc là giống nhau, các giá trị cận trên và dƣới là nhƣ nhau thì khi thay vào nguyên hàm dĩ nhiên đƣợc các kết quả tƣơng ứng là bằng nhau. Do đó tích phân phải bằng nhau.

46

Bước 3: Trình bày giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phát biểu hoàn chỉnh định lý: Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên  a; b thì b

b

b

a

a

a

a)   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . b

b

a

a

b) Với mọi số thực k ta có  kf ( x)dx  k  f ( x)dx .

- GV hƣớng dẫn HS chứng minh định lí.

Giả sử

 f  x  dx  F  x   C và  g  x  dx  G  x   C .

a)   f  x   g  x  dx  F  x   G  x   C nên: b

b  f x  g x  dx   F x  G x             a   F  b   G  b    F  a   G  a  a  b b b b  F  x   G  x    f  x  dx   g  x  dx. a a a a

Tƣơng tự,   f  x   g  x  dx  F  x   G  x   C nên: b

b

  f  x   g  x  dx   F  x   G  x  a   F b   G b    F  a   G  a  a

  F  b   F  a    G  b   G  a  . b b b b  F  x   G  x    f  x  dx   g  x  dx . a a a a b

b

b

b

a

a

a

a

b) Nếu k  0 thì  k . f  x  dx   0dx  0  0. f  x  dx  k . f  x  dx .

Nếu k  0 thì  k f ( x)dx  k  f ( x)dx  kF ( x)  C . b

Do đó  kf ( x)dx  kF  x  a

b  kF (b)  kF (a)  k  F  b   F  a   . a

b  b  k  F  x    k  f  x  dx. a a 

47

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS ghi nhớ nội dung cốt lõi của định lí bằng cách yêu cầu HS trình bày lại định lí bằng lời: Có thể biến đổi tích phân của tổng, hiệu thành tổng, hiệu các tích phân và ngƣợc lại, có thể đƣa một thừa số là hằng số vào hoặc ra khỏi dấu tích phân.

- GV hƣớng dẫn HS củng cố nội dung định lí bằng ví dụ: Ví dụ 2.14. Tính các tích phân sau:  e2

a) I1 

2

5 1 2 x dx .

b) I 2   3sin xdx .

0



1

c) I 3    2 x  1 dx .

d) I 4    2sin x  3cos x  dx .

2

0

Đáp số: a) I1  5

0

b) I 2  3

2.2.3.4. Hoạt động dạy học định lí:

c) I 3 

13 .

3

d) I 4  4 .

b

c

b

a

a

c

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx

Các kiến thức liên quan đã biết: - Định nghĩa khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, một số nguyên hàm cơ bản thƣờng gặp.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành nội dung định lí, phát biểu đƣợc định lí, sử dụng thành thạo công thức toán học của định lí.

- HS tự hình thành lời chứng minh của định lí.

- HS hình thành đƣợc các dạng tích phân thƣờng vận dụng nội dung định lí và thành thạo vận dụng định lí để giải quyết các bài toán đó.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV chia lớp thành các nhóm (ít nhất 3 nhóm) thực hiện các nhiệm vụ học tập tƣơng ứng nhƣ sau:

48

 f  x  dx  F  x   C . Hãy nêu công thức tính

Phiếu học tập 1: Với giả thiết c

tích phân M 1   f  x  dx . Áp dụng tính các tích phân sau: a

 1

I1    x3  2 x 2  dx

2

J1    sin x  cos x  dx

0

ln 2

K1 

 e

x

 1 dx .

0

0

 f  x  dx  F  x   C . Hãy nêu công thức tính

Phiếu học tập 2: Với giả thiết b

tích phân M 2   f  x  dx . Áp dụng tính các tích phân sau: c

4

I 2    x  2 x  dx 3

J2 

2

1

3 2

  sin x  cos x  dx 

ln 5

K2 

 e

x

 1 dx .

ln 2

2

Phiếu học tập 3: Với giả thiết

 f  x  dx  F  x   C . Hãy nêu công thức tính

b

tích phân M 3   f  x  dx . Áp dụng tính các tích phân sau: a

4

I 3    x3  2 x 2  dx

J3 

0

3 2

  sin x  cos x  dx

ln 5

K3 

0

HS thực hiện các nhiệm vụ học tập: c

Phiếu học tập 1: M1   f  x  dx  F  x  a

Áp dụng: I1 

c  F c   F  a  . a

11 ; J1  2 và K1  1  ln 2 .

12

b b Phiếu học tập 2: M 2   f  x  dx  F  x   F  b   F  c  . c c

Áp dụng: I 2 

423 2 ; J 2  2 và K 2  3  ln .

4 5 b

Phiếu học tập 3: M 3   f  x  dx  F  x  a

49

b  F b   F  a  . a

 e 0

x

 1 dx .

Áp dụng: I 3 

320 ; J 3  0 và K3  4  ln5 .

3

- GV hƣớng dẫn HS phân tích, so sánh đề bài và đáp số các nhiệm vụ học tập theo các bộ ba tích phân: I1 , I 2 , I 3 ; J1 , J 2 , J 3 ; K1 , K 2 , K3 .

Bước 2: Tìm giải pháp - HS sẽ tự nhận ra đƣợc I1  I 2  I3 ; J1  J 2  J 3 ; K1  K2  K3 và từ đó hình thành nội dung của định lý là một tích phân “từ a đến b ” có thể tách thành tổng của hai tích phân: “từ a đến c ” và “từ c đến b ”.

- GV hƣớng dẫn HS phân tích, so sánh các tích phân M1; M 2 ; M 3 trong các nhiệm vụ học tập, từ đó hình thành lên lời chứng minh cho định lí.

Bước 3: Trình bày giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phát biểu hoàn chỉnh định lí: b

c

b

a

a

c

 f  x dx   f  x dx   f  x dx .

- GV hƣớng dẫn HS trình bày hoàn chỉnh lời chứng minh cho định lí: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên đoạn  a; b thì F  x  cũng là một nguyên hàm của f  x  trên mỗi đoạn  a; c  và  c; b . Khi đó theo định nghĩa tích phân ta có: c

b

a

c

 f  x  dx   f  x  dx  F  c   F  a   F b   F  c   F b   F  a  .

Mà

b

b

c

b

a

a

a

c

 f  x  dx  F (b)  F (a) nên  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp GV hƣớng dẫn HS củng cố nội dung định lý đồng thời nhận ra dạng bài đặc trƣng cần vận dụng nội dung định lí bằng các ví dụ: Ví dụ 2.15. Tính các tích phân sau: 2

a) I1   x  1 dx

2

b) I 2 

x

2

0

50

2

 1 dx .

GV hƣớng dẫn: Trong các quy tắc tính tích phân mà ta đã biết không có quy tắc nào đề cập đến biểu thức trong dấu tích phân có giá trị tuyệt đối, vậy mục tiêu là phải phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chia trƣờng hợp theo x .

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: 2

1

2

1

2

0

0

1

0

1

I1   x  1 dx   x  1 dx   x  1 dx   1  x  dx    x  1 dx  1

2

I2 

x

2

 1 dx 

2

1



x

2

2

x

2

1

2

1 1   1.

2 2

2

 1 dx   x  1 dx   x 2  1 dx 2

1

1

2

1

1

1

 1dx   1  x 2  dx    x 2  1 dx 

4 4 4    4.

3 3 3

2.2.3.5. Hoạt động dạy học công thức về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

Các kiến thức liên quan đã biết: - Định nghĩa tích phân, các tính chất và ý nghĩa hình học của tích phân.

- Tính tích phân theo phƣơng pháp đổi biến và phƣơng pháp tích phân từng phần.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành mô tả về phần hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong, trục hoành và hai đƣờng thẳng x  a; x  b .

- HS tự hình thành công thức áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong và trục hoành.

- HS áp dụng đƣợc công thức để giải quyết các bài toán liên quan.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV đƣa ra một số hình vẽ mô tả về hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong, trục hoành và hai đƣờng thẳng x  a; x  b và hƣớng dẫn HS phân tích để chỉ ra ý niệm về hình phẳng đó: là phần hình phẳng bị kẹp giữa đƣờng cong với trục hoành (theo chiều trên dƣới) và kẹp giữa x  a với x  b (theo chiều trái phải). Từ đó GV hƣớng HS vào bài toán tính diện tích một hình phẳng có dạng nhƣ thế.

51

Hình 2.3. Một số trường hợp hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục Ox

(1)

(2)

(3)

+) Đối với trƣờng hợp thứ nhất: phần hình phẳng đó hoàn toàn nằm phía trên trục hoành và có dạng hình thang cong. HS nhớ lại kiến thức về ý nghĩa hình học của tích phân và trả lời đƣợc: Nếu hàm số f  x  liên tục và không âm trên đoạn

 a; b

thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f  x  , trục Ox b

và hai đƣờng thẳng x  a; x  b là S   f  x  dx . a

+) GV đề cập đến trƣờng hợp thứ hai: phần hình thang cong đó hoàn toàn nằm phía dƣới trục hoành (tức là f  x   0 trên đoạn  a; b  ) và đặt vấn đề gợi ý về việc tìm cách chuyển phần hình phẳng đó thành nằm phía trên trục hoành mà không làm thay đổi diện tích của nó đồng thời áp dụng đƣợc công thức trên để tính toán.

HS sẽ suy nghĩ và liên tƣởng đến một số phép dời hình đã học ở lớp 11: phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục,… Tuy nhiên, để áp dụng đƣợc công thức trên thì cần phải có phƣơng trình của đƣờng cong sau khi biến đổi lên trên trục hoành. Từ đó, HS sẽ phân tích và lựa chọn việc lấy đối xứng qua trục hoành vì vừa đảm bảo đƣa đƣợc phần hình phẳng bên dƣới trục hoành lên trên trục hoành mà không làm thay đổi diện tích của nó, vừa đảm bảo việc phƣơng trình đƣờng cong khi đó rất dễ dàng tìm ra chính là y  f  x  . Khi đó, HS sẽ thấy rằng bài toán sẽ trở thành trƣờng hợp áp dụng đƣợc ngay ý nghĩa hình học của tích phân để tính diện tích.

- GV hƣớng HS đến trƣờng hợp thứ ba: Phần hình phẳng cần tính diện tích có cả phần nằm trên trục hoành, phần nằm dƣới trục hoành và đƣa ra gợi ý về việc áp dụng trƣờng hợp trên để xử lý. HS sẽ tự tƣ duy và nhận ra rằng việc thay thế hàm

52

y  f  x  thành hàm y  f  x  nhƣ trƣờng hợp hai vẫn phát huy tác dụng: giữ nguyên phần hình phẳng ở phía trên trục hoành đồng thời lấy đối xứng phần nằm dƣới trục hoành lên trên, do đó cũng vẫn đƣa đƣợc về trƣờng hợp đầu.

Bước 2: Tìm giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phân tích tác dụng đặc biệt của việc biến đổi đồ thị: từ hàm số y  f  x  thành hàm số y  f  x  . HS sẽ tự hình dung lại đƣợc rằng việc biến đổi nhƣ thế sẽ giữ nguyên phần đồ thị ở trên trục Ox và lấy đối xứng phần ở dƣới Ox lên trên trục Ox nên sẽ giúp chuyển đƣợc phần hình phẳng ở dƣới trục

Ox lên trên mà không làm ảnh hƣởng đến diện tích của nó, tức là khi đó có thể áp dụng ý nghĩa hình học của tích phân để giải quyết đƣợc bài toán trong mọi trƣờng hợp.

Bước 3. Trình bày giải pháp GV hƣớng dẫn HS nêu công thức tính diện tích hình phẳng mà HS đã xây dựng ra: Nếu hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f  x  , trục Ox và hai đƣờng thẳng x  a; x  b là b

S   f  x  dx . a

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS củng cố công thức đã học thông qua các ví dụ: Ví dụ 2.16. Tính diện tích các hình phẳng sau: a) Giới hạn bởi đồ thị y  x 2 ; trục Ox ; trục Oy và đƣờng thẳng x  2 . b) Giới hạn bởi đồ thị y  x 2  3x  2 ; trục Ox và hai đƣờng thẳng x  1;

x  1. c) Giới hạn bởi đồ thị y  4  x 2 ; trục Ox và hai đƣờng thẳng x  0; x  3 .

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: 2

a) S   x 2 dx  0

x3 2 8  (đơn vị diện tích).

3 0 3

53

1

b) S 



1

x 2  3x  2 dx 

1

 x

2

 3x  2  dx 

1

3

2

10 (đơn vị diện tích).

3

3

c) S   4  x dx    4  x  dx    x 2  4  dx  2

0

2

0

2

23 (đơn vị diện tích).

3

- GV đƣa ra định hƣớng bằng hình vẽ ví dụ về một số hình phẳng có một bên hoặc cả hai bên đều tự giới hạn bởi đƣờng cong và trục hoành cắt nhau (hình 2.4 và 2.5) và đặt vấn đề yêu cầu học sinh tính diện tích các hình đó.

Hình 2.4. Hình phẳng tự giới hạn một bên

Hình 2.5. Hình phẳng tự giới hạn hai bên

HS sẽ tự thấy rằng nếu không có đủ hai cận thì không thể tính đƣợc tích phân nên bắt buộc phải tìm các bổ sung thêm một hoặc hai cận, và cận đó chính là hoành độ giao điểm của đƣờng cong với trục hoành. Từ đó học sinh đã hình thành phƣơng pháp xử lý trƣờng hợp trên.

- GV hƣớng dẫn HS thực hiện các nhiệm vụ học tập củng cố kiến thức: Ví dụ 2.17. Tính diện tích các hình phẳng sau: a) Giới hạn bởi đồ thị y  1  x ; trục Ox và đƣờng thẳng x  2 . b) Giới hạn bởi đồ thị y  x 2  3x  2 và trục Ox . c) Giới hạn bởi đồ thị y  x 2  9 và trục Ox .

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: a) Hoành độ giao điểm đồ thị y  1  x với trục Ox là x  1 nên diện tích 3

3

1

1

hình phẳng cần tìm là: S   1  x dx    x  1 dx  2. b) Hoành độ giao điểm đồ thị y  x 2  3x  2 với trục Ox là x  1; x  2.

2

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S2   x 2  3x  2 dx  2 .

1

54

c) Hoành độ giao điểm đồ thị y  x 2  9 với trục Ox là x  3 nên diện tích 3

hình phẳng cần tìm là: S3 

x

3

2

 9 dx 

3

  9  x  dx  36 .

2

3

2.2.3.6. Hoạt động dạy học công thức về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Các kiến thức liên quan đã biết: - Định nghĩa tích phân, các tính chất và ý nghĩa hình học của tích phân.

- Tính tích phân theo phƣơng pháp đổi biến và phƣơng pháp tích phân từng phần.

- Công thức áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong và trục hoành.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành công thức áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đƣờng cong.

- HS áp dụng đƣợc công thức để giải quyết một số bài toán liên quan.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV giới thiệu các hình vẽ để HS hình thành ý tƣởng về hình phẳng giới hạn bởi hai đƣờng cong y  f1  x  ; y  f 2  x  và hai đƣờng thẳng x  a; x  b nhƣ mỗi hình vẽ và đặt vấn đề hƣớng học sinh vào bài toán tính diện tích các hình đó.

Hình 2.6. Hình phẳng ở phía trên Ox

Hình 2.7. Hình phẳng ở phía dưới Ox

Hình 2.8. Hình phẳng ở hai phía Ox

- GV chia lớp ra thành các nhóm thực hiện các nhiệm vụ học tập: Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  f1  x  , trục Ox , hai đƣờng thẳng x  a; x  b ; S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  f 2  x  ,

55

trục Ox , hai đƣờng thẳng x  a; x  b . Hãy nêu quan hệ giữa diện tích hình phẳng ở trên với S1; S2 trong từng trƣờng hợp từ đó suy ra công thức tính diện tích hình phẳng đó.

HS thực hiện các nhiệm vụ học tập: b

b

a

a

S1   f1  x  dx ; S2   f 2  x  dx . b

b

a

a

Hình vẽ 2.6: S  S1  S2   f1  x  dx   f 2  x  dx b

b

b

a

a

a

  f1  x  dx   f 2  x  dx    f1  x   f 2  x   dx . b

b

a

a

Hình vẽ 2.7: S  S2  S1   f 2  x  dx   f1  x  dx b

b

b

a

a

a

   f 2  x  dx    f1  x  dx    f1  x   f 2  x   dx . b

b

a

a

Hình vẽ 2.8: S  S1  S2   f1  x  dx   f 2  x  dx b

b

b

a

a

a

  f1  x  dx    f 2  x  dx    f1  x   f 2  x   dx .

GV hƣớng dẫn HS phân tích để nhận ra rằng trong các trƣờng hợp trên đều là đồ thị hàm y  f1  x  ở bên trên đồ thị hàm y  f 2  x  tức là f1  x   f 2  x  trên đoạn  a; b . Và trong cả ba trƣờng hợp đó ta đều có diện tích là: b

S    f1  x   f 2  x   dx . a

Bước 2. Tìm giải pháp - GV hƣớng dẫn HS nêu công thức tính diện tích trong trƣờng hợp đồ thị hàm y  f 2  x  ở bên trên đồ thị hàm y  f1  x  tức là f 2  x   f1  x  trên đoạn

 a; b . HS sẽ tƣ duy và nhận ra so với trƣờng hợp đã xét cụ thể ở trên chỉ cần đổi

56

vai trò của f1  x  và f 2  x  cho nhau ta sẽ đƣợc trƣờng hợp này. Tức là công thức b

tính diện tích lúc đó là: S    f 2  x   f1  x   dx . a

- GV yêu cầu HS tìm ra một công thức chung duy nhất cho tất cả các trƣờng hợp. HS sẽ tƣ duy phân tích hai trƣờng hợp và nhận ra rằng cả hai trƣờng hợp đều là lấy “hàm lớn” trừ “hàm bé” và dùng công thức giá trị tuyệt đối sẽ viết đƣợc về một b

công thức chung: S   f 2  x   f1  x  dx . a

Bước 3. Trình bày giải pháp GV hƣớng dẫn HS nêu công thức tính diện tích hình phẳng mà HS đã xây dựng ra: Nếu hai hàm số f1  x  , f 2  x  liên tục trên đoạn  a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của f1  x  , f 2  x  và hai đƣờng thẳng x  a; x  b b

là S   f1  x   f 2  x  dx . a

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS làm các ví dụ để củng cố công thức đã học Ví dụ 2.18. Tính diện tích các hình phẳng sau: a) Giới hạn bởi hai đồ thị y  x 2 ; y  2 x , đƣờng thẳng x  1; x  3 . b) Giới hạn bởi hai đồ thị y  x 2  x  1; y  x , đƣờng thẳng x  1; x  4 .

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: 3

a) Diện tích hình phẳng là S1   x 2  2 x dx  2.

1

4

b) Diện tích hình phẳng là S2 

x

2

 2 x  1 dx 

1

7 .

3

- GV đƣa ra hình vẽ ví dụ về một số hình phẳng có một hoặc cả hai bên đều tự giới hạn bởi hai đƣờng cong cắt nhau, sau đó định hƣớng học sinh tƣ duy thiết lập công thức tính diện tích cho các hình phẳng đó.

57

Hình 2.9. Hình phẳng giữa hai đường cong tự giới hạn một bên

Hình 2.10. Hình phẳng giữa hai đường cong tự giới hạn hai bên

HS tƣ duy liên hệ đến bài toán tƣơng tự là hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong và trục Ox và tìm ra cách bổ sung cận còn thiếu là lấy hoành độ giao điểm của hai đƣờng cong.

- GV yêu cầu HS thực hiện các nhiệm vụ học tập sau để củng cố kiến thức: Ví dụ 2.19. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị sau: b) y  2  x 2 và y   x .

a) y  x 2 và y  2 x .

2

Học sinh thực hiện: a) S   x 2  2 x dx  0

4 3

2

b) S 



2  x 2  x dx 

1

9 .

2

- GV đƣa ra hình vẽ ví dụ về một số hình phẳng giới hạn bởi nhiều đƣờng cong và định hƣớng học sinh thực hiện bài toán tính diện tích của hình phẳng đó.

Hình 2.11. Hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường cong

- GV hƣớng dẫn HS nêu các đƣờng giới hạn tạo lên hình phẳng nhƣ trong hình vẽ: y  x ; y 

2 2 x  và trục Ox. Từ đó, HS sẽ thấy là trong các kiến thức 3 3

đã học chƣa có công thức nào tính đƣợc diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị nhƣ hình phẳng trên. HS hình thành suy nghĩ tìm cách tính diện tích hình

58

phẳng trên một cách gián tiếp thông qua các hình phẳng giới hạn chỉ bởi hai đồ thị.

HS tƣ duy tìm ra phƣơng pháp phân chia hoặc lắp ghép hình: Cách 1: Diện tích hình phẳng cần tính đƣợc phân chia thành hai phần: Phần 1 là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  x , trục hoành, hai đƣờng thẳng x  0; x  1.

Phần 2 là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  x , y 

2 2 x  , hai đƣờng 3 3

thẳng x  1; x  4 .

Hình 2.12. Phân chia hình phẳng cần tính diện tích

Cách 2: Hình phẳng cần tính diện tích nếu lắp ghép với tam giác ABC thì sẽ đƣợc tam giác cong OAC. Hình 2.13. Lắp ghép hình phẳng cần tính diện tích

Từ đó HS sẽ tự hình thành thuật giải để tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đồ thị. Đó là phân chia, lắp ghép để tính thông qua các hình phẳng chỉ giới hạn bởi hai đồ thị.

59

2.2.3.7. Hoạt động dạy học công thức về ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể.

Các kiến thức liên quan đã biết: - Định nghĩa tích phân, các tính chất và ý nghĩa hình học của tích phân.

- Tính tích phân theo phƣơng pháp đổi biến và phƣơng pháp tích phân từng phần.

- Thể tích khối chóp, khối nón, khối cầu.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình dung công thức áp dụng tích phân để tính thể tích vật thể và kiểm chứng trong một số trƣờng hợp cụ thể.

- HS tự hình thành công thức áp dụng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  f  x  , trục hoành, hai đƣờng thẳng x  a; x  b quay xung quanh Ox .

- HS áp dụng đƣợc công thức đã xây dựng để giải quyết một số bài toán liên quan.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề GV hƣớng dẫn HS phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua việc chia HS thành các nhóm thực hiện các nhiệm vụ học tập là các ví dụ sau: Ví dụ 2.20. Đặt một khối chóp có diện tích đáy là B và độ dài đƣờng cao là

h trong không gian Oxyz với đáy của hình chóp nằm trên mặt phẳng Oyz và đƣờng cao của hình chóp song song với trục Ox , đỉnh khối chóp có hoành độ dƣơng.

Với một giá trị x bất kì trong đoạn  0;h  , mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x cắt hình chóp theo một thiết diện. Hãy tính diện tích S  x  của h

thiết diện theo x và từ đó tính tích phân V   S  x  dx .

0

Ví dụ 2.21. Đặt một khối nón có diện tích đáy là B và độ dài đƣờng cao là

h trong không gian Oxyz với đáy của hình nón nằm trên mặt phẳng Oyz và đƣờng cao của hình nón song song với trục Ox , đỉnh khối nón có hoành độ dƣơng. Với

60

một giá trị x bất kì trong đoạn  0;h  , mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x cắt hình nón theo một thiết diện. Hãy tính diện tích S  x  của thiết diện h

theo x và từ đó tính tích phân V   S  x  dx .

0

Ví dụ 2.22. Đặt một khối cầu có bán kính R trong không gian Oxyz tiếp xúc với mặt phẳng Oyz và tâm khối cầu nằm trên tia Ox . Với một giá trị x bất kì trong đoạn 0;2R  , mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x cắt hình cầu theo một thiết diện. Hãy tính diện tích S  x  của thiết diện theo x và từ đó tính 2R

tích phân V 

 S  x  dx .

0

HS thực hiện các nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.20. Thiết diện là một hình đồng dạng với đáy và tỉ số đồng dạng theo hx hx định lý Thales là k  , do đó thiết diện có diện tích là S  x   B.   . h  h  2

2 B  x  h h 1 hx Từ đó V   S  x  dx   B.  Bh .  dx  2 .

0 3 h 3  h  0 0 h

bán

3

h

Ví dụ 2.21. Thiết diện là một hình tròn và bán kính là r  R.

hx , với R là h

kính

diện

đáy

của

hình

nón.

Do

đó

thiết

diện

có

tích

là

hx hx S  x    .R .    B.  .  h   h  2

2

2

2 B  x  h h 1 hx Vậy V   S  x  dx   B.  Bh .  dx  2 .

0 h h 3 3   0 0 h

3

h

Ví dụ 2.22. Thiết diện là một hình tròn có bán kính là r  R 2   R  x  .

2



Do đó thiết diện có diện tích là S  x    . R 2   R  x 

2

    2Rx  x  .

2

 2 x3  2 R 4 Vậy V   S  x  dx     2Rx  x  dx    Rx     R3 .

3 0 3  0 0 2R

2R

2

61

Bước 2. Tìm giải pháp GV hƣớng dẫn HS phân tích để tự thấy đƣợc kết quả các tích phân đều trùng hợp chính là công thức tính thể tích các khối hình tƣơng ứng mà HS đã đƣợc học trong hình học. Hơn nữa khi học các công thức thể tích đó trong nội dung hình học thì thấy chúng hoàn toàn không liên quan tới nhau, nhƣng qua các ví dụ này HS sẽ h

thấy đƣợc dƣờng nhƣ chúng đều xuất phát từ chung một cách tính là V   S  x  dx .

0

Từ đó HS sẽ tự hình thành công thức tính thể tích một vật thể.

Bước 3. Trình bày giải pháp GV tổng khái quát hóa các ví dụ học sinh vừa thực hiện thành nội dung định lý: Cho một vật thể trong không gian tọa độ Oxyz , xét phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b . Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x bất kì trong đoạn  a; b cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích là S  x  và S  x  là một hàm số liên tục trên  a; b thì b

thể tích phần vật thể đang xét là V   S  x  dx . a

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS củng cố công thức qua các nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.23. Cho T  là vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 , x  1 . Tính thể tích V của T  biết rằng khi cắt T  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x , 0  x  1 , ta đều đƣợc thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng 1  x .

Ví dụ 2.24. Cho vật thể T  giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0; x  2 . Biết rằng khi cắt vật thể T  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x; 0  x  2 ta đƣợc thiết diện là một hình vuông có cạnh là  x  1 e x . Tính thể tích vật thể T  .

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.23. Diện tích tam giác đều cạnh bằng 1  x là S  x  

62

3 1  x   4

1

1

0

0

Thể tích của vật thể T  là V   S  x  dx  

3 1  x  3 3 . dx  8 4

Ví dụ 2.24. Diện tích thiết diện là S  x    x  1 e2 x .

2

2

2

Thể tích của vật thể T  là V   S  x dx    x  1 e 2 x dx  2

0

0

13e4  1 .

4

- GV hƣớng dẫn HS hình thành công thức áp dụng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  f  x  , trục hoành, hai đƣờng thẳng x  a; x  b quay xung quanh Ox .

HS áp dụng công thức trên và thực hiện từng bƣớc: Tính S  x  rồi tính thể

tích: Thiết diện là hình tròn có bán kính là f  x  nên S  x    . f 2  x  . b

b

a

a

Do đó: V   S  x  dx    f 2  x  dx .

Nhƣ vậy HS đã tự hình thành công thức tính thể tích khối tròn xoay trên.

2.3. Dạy học giải quyết vấn đề nội dung quy tắc, phƣơng pháp giải toán thuộc chủ đề Nguyên hàm – Tích phân 2.3.1. Những lưu ý khi dạy học nội dung quy tắc, phương pháp giải toán Trong dạy học bộ môn Toán những quy tắc, phƣơng pháp giải toán thƣờng không hoàn toàn độc lập với định nghĩa và định lí. Hầu hết các quy tắc, phƣơng pháp giải toán đều đƣợc xây dựng trên một định nghĩa hay định lí nào đó, hoặc có thể chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay định lí. Tuy nhiên, việc dạy học loại tri thức này có những nét riêng và cần lƣu ý một số điều nhƣ sau: - Cần hƣớng dẫn HS tìm ra nhiều hình thức thể hiện khác nhau cho mỗi quy tắc, giúp cho HS nắm vững nội dung từng bƣớc và trình tự thực hiện các bƣớc của quy tắc đó.

- Cần trình bày rõ từng bƣớc thực hiện quy tắc trong một số ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán trong một thời gian phù hợp. Điều này giúp cho quy tắc đọng lại cách trình bày của HS khi luyện tập và áp dụng trong một thời gian đủ dài để họ nắm vững và vận dụng tốt quy tắc đó.

63

- Cần hƣớng dẫn cho HS tập luyện thực hiện theo những chỉ dẫn từng bƣớc nêu trong quy tắc để hình thành những thuật giải tƣơng ứng với quy tắc. Nếu HS không biến đƣợc quy tắc và những chỉ dẫn trong đó thành các thuật giải hoặc quy tắc tựa thuật giải thì dù có học thuộc và hiểu đƣợc quy tắc tổng quát cũng không thể áp dụng nó vào các trƣờng hợp cụ thể.

- Dạy học quy tắc, phƣơng pháp giải toán cần hƣớng dẫn HS nắm đƣợc một cách vững chắc vùng khả dụng của quy tắc, phƣơng pháp đó. HS cần nắm rõ các điều kiện tiên quyết cần có để sử dụng mỗi quy tắc, phƣơng pháp nhất định, xác định một cách thành thạo việc lựa chọn áp dụng quy tắc nào, phƣơng pháp nào vào từng bài toán cụ thể.

- Thông qua dạy học quy tắc, phƣơng pháp, GV cần giúp HS hình thành thói quen và rèn luyện, phát triển tƣ duy thuật giải. Bởi vì tƣ duy thuật giải giúp HS hình dung đƣợc tiến trình thực hiện theo từng quy tắc, phƣơng pháp, giúp HS hiểu đƣợc sâu sắc quá trình giải toán, đặc biệt là những bài toán phức tạp, đồ sộ mà việc thực hiện một quy tắc một lần không thể giải quyết trọn vẹn đƣợc mà phải cần thực hiện lặp lại nhiều lần hoặc phối hợp nhiều quy tắc, phƣơng pháp theo một trình tự nhất định.

2.3.2. Quy trình dạy học giải quyết vấn đề nội dung quy tắc, phương pháp giải toán Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - Thông qua các ví dụ cụ thể, GV hƣớng dẫn HS khám phá, phân tích, tổng hợp để phát hiện các vấn đề cụ thể trong tình huống và định hƣớng giúp HS tìm cách để GQVĐ cụ thể đó.

- Dƣới sự hƣớng dẫn, giúp đỡ của GV, HS giải quyết từng vấn đề cụ thể trong các ví dụ đƣợc đƣa ra.

Bước 2: Tìm giải pháp - GV hƣớng dẫn HS GQVĐ cụ thể đã đặt ra thông qua các hoạt động theo một trình tự nhất định.

- GV hƣớng dẫn HS phân tích, so sánh các vấn đề cụ thể đó để tìm ra đặc điểm đặc trƣng chung nhất, từ đó xây dựng một lớp đối tƣợng chung cho các vấn đề cụ thể đó.

64

- GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh… các lời giải cụ thể về mặt trình tự, bản chất toán học từng bƣớc mà HS đã tiến hành ở trên để tìm ra quy tắc, phƣơng pháp chung cho lớp đối tƣợng đã xét.

Bước 3: Trình bày giải pháp - GV hƣớng dẫn HS mô tả chính xác lớp đối tƣợng đang xét với các đặc điểm đặc trƣng đã chỉ ra.

- GV hƣớng dẫn HS phát biểu chi tiết trình tự và bản chất toán học của từng bƣớc HS đã thực hiện, từ đó tổng quát hóa thành quy tắc, phƣơng pháp dƣới dạng tƣờng minh.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - Tổ chức cho HS hoạt động củng cố kiến thức quy tắc, phƣơng pháp bằng cách xây dựng và giải quyết một số tình huống phù hợp với quy tắc, phƣơng pháp đã hình thành.

- Hƣớng dẫn HS xây dựng các hình thức khác nhau khi thực hiện quy tắc, phƣơng pháp để phù hợp với từng trƣờng hợp cụ thể.

- Hƣớng dẫn HS phân tích, so sánh, đặc biệt hóa, tổng quát hóa…dựa trên quy tắc, phƣơng pháp đã có cùng những tình huống cụ thể để tìm ra quy tắc, phƣơng pháp mang tính chất tổng quát hơn cho một lớp đối tƣợng rộng hơn hoặc cụ thể hơn với các lớp đối tƣợng cụ thể phù hợp.

2.3.3. Dạy học giải quyết vấn đề một số quy tắc, phương pháp giải toán thuộc phần Nguyên hàm – Tích phân lớp ở 12 2.3.3.1. Hoạt động dạy học phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm Các kiến thức liên quan đã biết: - Khái niệm, các tính chất và các quy tắc tính đạo hàm của hàm số trên các khoảng, đoạn, nửa khoảng.

- Khái niệm nguyên hàm, kí hiệu và ý nghĩa họ nguyên hàm của một hàm số, các tính chất của nguyên hàm, một số nguyên hàm cơ bản thƣờng gặp.

- Khái niệm vi phân, công thức vi phân của một hàm số Mục tiêu của hoạt động:

65

- HS tự hình thành nội dung định lí, phát biểu đƣợc hoàn chỉnh định lí, chứng minh đƣợc định lí.

- HS sử dụng nội dung định lí để tự xây dựng phƣơng pháp đổi biến khi tìm nguyên hàm, hình thành sơ đồ thuật giải cho việc tìm nguyên hàm theo phƣơng pháp đổi biến.

- HS vận dụng phƣơng pháp đổi biến để giải quyết bài toán tìm nguyên hàm của hàm số trong một số trƣờng hợp cụ thể.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV giúp HS củng cố cố kiến thức đạo hàm của hàm hợp thông qua nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.25. Hãy tính đạo hàm của các hàm số sau:



a) F  x   x 2  x



10

b) G  x   sin 3 x .

.

c) H  x   x3  x 2 .

HS thực hiện nhiệm vụ học tập:





a) F '  x   10 x 2  x . 2 x  1 . c) H '  x  

b) G '  x   3sin 2 x.cos x .

9

1 2 x x 3

2

.  3x 2  2 x  .

Qua việc thực hiện nhiệm vụ này, HS đƣợc củng cố lại kiến thức về đạo hàm của hàm hợp. Việc tính đạo hàm của hàm hợp thƣờng đƣợc thực hiện qua các bƣớc: Bƣớc 1: Hình dung ra cách đặt một hàm ẩn phụ u theo ẩn độc lập x để đƣa hàm số đã cho theo ẩn x chuyển thành theo ẩn u (mục tiêu là đƣa về các dạng hàm đã có công thức tính đạo hàm).

Bƣớc 2: Tính đạo hàm theo ẩn u coi nhƣ u là ẩn độc lập và chuyển kết quả quay lại ẩn x .

Bƣớc 3: Nhân thêm đạo hàm của hàm u theo ẩn x vào kết quả vừa tính.

- GV hƣớng dẫn HS thâm nhập vấn đề bằng cách đảo ngƣợc quá trình tìm đạo hàm hàm hợp thành quá trình tìm nguyên hàm thông qua nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.26. Hãy thể hiện các bƣớc tính đạo hàm vừa thực hiện theo chiều ngƣợc lại bằng cách sử dụng kí hiệu nguyên hàm.

66







 





a) 10 x 2  x . 2 x  1 dx  10. x 2  x . x 2  x ' dx  x 2  x 9

9



10

C.

b)  3sin 2 x.cos xdx   3sin 2 x. sin x  ' dx  sin 3 x  C . c)

2

1 x x 3

2

. 3x 2  2 x  dx  

1 2 x x 3

2

. x3  x 2  ' dx  x3  x 2  C .

Ví dụ 2.27. Thực hiện nhiệm vụ tƣơng tự ví dụ 1, ví dụ 2 cho một hàm hợp tổng

quát

y  F u  x 

nếu

biết

F '  x   f  x  x

cũng

tức

là

 f  x  dx  F  x   C .

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Sử dụng đạo hàm:  F  u  x   '  F '  u  .u '  x   f  u  .u '  x  .

Sử dụng nguyên hàm:  f  u  u '  x  dx   F '  u  .u '  x  dx  F  u  x    C .

Bước 2: Tìm giải pháp GV hƣớng dẫn HS tổng quát quá trình thực hiện các nhiệm vụ học tập ở trên để hình thành nội dung của định lý và con đƣờng chứng minh định lý: - Đối với đạo hàm: Khi thay thế ẩn tự do x bằng một hàm ẩn phụ u  x  thì sau khi tính đạo hàm theo các quy tắc thông thƣờng thì sẽ “phát sinh” thêm nhân tử là đạo hàm u '  x  của hàm ẩn phụ đó.

- Đối với nguyên hàm: Khi thay thế ẩn tự do x bằng một hàm ẩn phụ u  x  thì để thực hiện nguyên hàm theo các quy tắc thông thƣờng thì phải “bổ sung” thêm nhân tử là đạo hàm u '  x  của hàm ẩn phụ đó. Tức là nếu

 f  x  dx  F  x   C

thì

 f (u( x))u ( x)dx  F (u( x))  C . 

Bước 3: Trình bày giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phát biểu hoàn chỉnh nội dung định lý:

 f ( x)dx  F ( x)  C

Nếu

và u  u ( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 f (u( x)).u ( x)dx  F (u( x))  C . 

- GV hƣớng dẫn HS thực hiện chứng minh định lí:

67

Giả thiết

 f ( x)dx  F ( x)  C  F '  x   f  x  x .

Theo công thức của hàm hợp ta có: ( F (u( x)))  F  (u)  u ( x) .

Vì F  (u)  f (u)  f (u( x)) nên ( F (u( x)))  f (u( x))  u ( x) .

Vậy

 f (u( x))u ( x)dx  F (u( x))  C . 

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - HS củng cố nội dung định lí bằng việc thực hiện nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.28. Tính các nguyên hàm sau: a) I1    x  2  dx .

b) I 2   sin  2 x  1 dx .

d) I 4   xe x dx .

e) I 5  

5

2

tan x dx . cos 2 x

c) I 3  

x x 1 2

dx .

f) I 6   sin x cos xdx .

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: a) I1

 x  2 

6

6

C

1 2 d) I 4  e x  C .

2

1 b) I 2   cos  2 x  1  C 2

e) I 5 

tan 2 x C .

2

c) I 3  x 2  1  C . f) I 6 

sin 2 x C .

2

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng công thức tổng quát cho trƣờng hợp hàm ẩn phụ là u  x   ax  b .

HS thay vào u  x   ax  b công thức tổng quát trong định lý: Nếu

1

 f  x  dx  F  x   C thì  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C .

- GV hƣớng dẫn HS sử dụng biến đổi vi phân vào định lí: HS nhớ lại kiến thức về vi phân: Với u  u  x  là hàm ẩn phụ theo ẩn tự do x thì vi phân của hàm u là du  u '  x  dx .Từ đó, HS thay thế vào định lí thì đƣợc:

 f (u( x))du  F (u( x))  C .

GV hƣớng dẫn để HS nhìn ra: Việc phải có nhân tử u '  x  khi đổi ẩn tự do x sang ẩn phụ u  x  chính là để biến vi phân của x thành vi phân của hàm ẩn phụ.

68

Tức là việc đặt ẩn phụ trong quá trình tìm nguyên hàm phải kèm theo việc biến đổi vi phân từ vi phân của ẩn ban đầu ( dx ) thành vi phân của ẩn mới ( du ).

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng sơ đồ thuật giải tìm nguyên hàm bằng phƣơng pháp đặt ẩn phụ u  u  x  .

Bƣớc 1. Đặt ẩn phụ u  u  x  , đồng thời biến đổi biểu thức dƣới dấu tích phân (gồm hàm ban đầu ẩn x và vi phân của x ) hoàn toàn theo ẩn phụ và vi phân của ẩn phụ.

Bƣớc 2. Tìm nguyên hàm theo ẩn phụ u bằng các tính chất, quy tắc đã có.

Bƣớc 3. Chuyển kết quả nguyên hàm trở lại ẩn x ban đầu.

- GV hƣớng dẫn HS củng cố kiến thức thông qua các nhiệm vụ học tập: Ví dụ. 2.29. Tính các nguyên hàm sau: a) I1   sin 2 x cos xdx .

b) I 2    2  3x  dx .

c) I 3   tan xdx .

d) I 4  

5

ex dx . e2 x  2e x  1

HS thực hiện nhiệm vụ học tập:

1 a) Đặt u  sin x , I1  sin 3 x  C .

3 b) Đặt u  2  3x , I 2 c) I 3  

sin x dx . cos x

d) I 4  

ex

e

x

 1

2

 2  3x   18

6

C.

Đặt u  cos x , I3   ln cos x  C .

dx . Đặt u  e x  1 , I 4  

1 C. e 1 x

2.3.3.2. Hoạt động dạy học phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm Các kiến thức liên quan đã biết: - Khái niệm, các tính chất và các quy tắc tính đạo hàm của hàm số trên các khoảng, đoạn, nửa khoảng.

- Khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, một số nguyên hàm thƣờng gặp, phƣơng pháp đổi biến số khi tìm nguyên hàm.

69

- Khái niệm vi phân, công thức vi phân của một hàm.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành nội dung định lí, phát biểu đƣợc hoàn chỉnh định lí, chứng minh đƣợc định lí.

- HS sử dụng nội dung định lí để tự xây dựng phƣơng pháp nguyên hàm từng phần khi tìm nguyên hàm, hình thành sơ đồ thuật giải cho việc tìm nguyên hàm theo phƣơng pháp nguyên hàm từng phần.

- HS vận dụng phƣơng pháp nguyên hàm từng phần để giải quyết bài toán tìm nguyên hàm của hàm số trong một số trƣờng hợp cụ thể.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV đƣa ra tình huống học tập thông qua các ví dụ: Ví dụ 2.30. a) Chứng minh rằng

  x sin x  cos x  dx  x cos x  C .

b) Tính  cos xdx . Từ đó suy ra Ví dụ 2.31. a) Chứng minh

 x sin xdx .

  ln x  1 dx  x ln x  C .

b) Áp dụng kết quả câu a) hãy tính  ln xdx .

Ví dụ 2.32. a) Chứng minh rằng

  x  1 e dx  x.e x

b) Tính  e x dx . Từ đó suy ra

x

C .

 xe dx . x

GV hƣớng dẫn học sinh chứng minh F  x  là nguyên hàm của f  x  bằng việc tính đạo hàm của F  x  , đồng thời định hƣớng để học sinh thấy rằng nguyên hàm cần tính ở ý thứ hai thực ra chỉ là một số hạng trong nguyên hàm tổng ở ý đầu.

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.30. a) Vì  x cos x  '  cos x  sin x nên

  cos x  x sin x  dx  x cos x  C . b) Ta có  cos xdx  sin x  C nên

 x sin xdx   cos xdx    cos x  x sin x  dx  sin x  x cos x  C .

70

Ví dụ 2.31. a) Vì  x ln x  '  ln x  1 x  0 nên

  ln x  1 dx  x ln x  C .

b) Áp dụng kết quả câu a) ta có  ln xdx    ln x  1 dx   dx  x ln x  x  C .

Ví dụ 2.32. a) Ta có  xe x  '  1  x  e x x nên   x  1 e x dx  x.e x  C . b) Ta có  e x dx  e x  C . Vậy  xe x dx    x  1 e x dx   e x dx  x.e x  e x  C .

- GV hƣớng dẫn HS phân tích các ví dụ để nhận ra các đặc điểm sau: Trong mỗi ví dụ, ý đầu tiên đều là việc sử dụng đạo hàm của một tích dạng u  x  .v  x  để chứng minh tích đó là nguyên hàm của một hàm dạng tổng hai số hạng: u '  x  .v  x  và u  x  .v '  x  . Từ đó, ta chỉ cần tính nguyên hàm của một trong hai số hạng ở trên (dễ tính hơn), ta sẽ suy ra nguyên hàm thành phần còn lại (khó tính hơn) bằng lấy tích u  x  .v  x  trừ đi nguyên hàm của số hạng đầu tiên.

Bước 2: Tìm giải pháp - GV hƣớng dẫn HS xây dựng công thức tổng quát từ các ví dụ ở trên: Ta luôn có u  x  .v  x  là nguyên hàm của tổng u '  x  v  x   v '  x  u  x  . Từ việc tính đƣợc một nguyên hàm

 u  x  v '  x  dx

ta sẽ suy ra nguyên hàm của số

hạng còn lại:  u  x  v '  x  dx  u  x  v  x    u '  x  v  x  dx .

Bước 3: Trình bày giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phát biểu hoàn chỉnh nội dung định lí. Định lí: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì  u( x)v ( x)dx  u ( x)v( x)   u  ( x)v( x)dx .

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng chứng minh định lí: Vì (u( x)v( x))  u ( x)v( x)  u( x)v ( x) nên

 u( x)v ( x)dx   u '( x)v( x)dx   u( x)v ( x)  u ( x)v( x)  dx 



 u ( x )v ( x )  C .

Vậy  u( x)v  ( x)dx  u (x )v (x )  u (x )v (x )dx .

71



Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS sử dụng kiến thức vi phân để viết lại công thức định lí.

HS thay thế v '  x  dx bằng dv và u '  x  dx bằng du và thu đƣợc công thức thu gọn của định lí:  udv  uv   vdu .

- Từ nội dung định lí, GV hƣớng dẫn HS xây dựng phƣơng pháp tìm nguyên hàm theo kiểu “nguyên hàm từng phần”: Bƣớc 1. Định hƣớng biểu thức trong dấu nguyên hàm về dạng tích

u  x  .v '  x  trong đó đảm bảo tìm đƣợc u '  x  và v  x  đồng thời việc tìm nguyên hàm của u '  x  v  x  dễ dàng hơn nguyên hàm ban đầu.

Bƣớc 2. Sử dụng công thức định lí:  u( x)v ( x)dx  u ( x)v( x)   u  ( x)v( x)dx .

Bƣớc 3. Tính nguyên hàm  u '  x  v  x  dx và từ đó kết luận bài toán.

- GV hƣớng dẫn HS củng cố nội dung kiến thức bằng nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.33. Tính các nguyên hàm sau:

a) I1   x ln xdx

b) I 2    2 x  3 e x dx

c) I3    3x  1 cos xdx .

Trong từng nguyên hàm trên, GV cho HS thử sắp xếp vai trò của hai nhân tử

u  x  và v '  x  rồi trả lời lần lƣợt các câu hỏi: Câu hỏi 1. Sắp xếp vai trò nhƣ thế thì tìm đƣợc u '  x  và v  x  không?

Câu hỏi 2. Khi tìm đƣợc u '  x  và v  x  thì việc tính nguyên hàm

 u '  x  v  x  dx

có dễ dàng hơn nguyên hàm ban đầu hay không?

a) I1   x ln xdx .

Bảng 2.1. Sắp xếp vai trò các nhân tử trong nguyên hàm I1 ví dụ 2.33 Cách sắp xếp vai trò Trả lời câu hỏi 1 u '  x   1 . Chƣa có công  u  x   x  thức tìm v  x  .  v '  x   ln x 1 u  x   ln x  u '  x   x  v '  x   x  2 v  x   x  2

72

Trả lời câu hỏi 2

Nguyên hàm mới cần tìm là x  2 dx dễ dàng giải quyết đƣợc.

1  u ' x    u  x   ln x  x HS hình thành lời giải: Đặt  , chọn  thì 2 v '  x   x v  x   x  2

I1   x ln xdx  ln x.

x2 1 x2 x2 x x2 x2   . dx  ln x.   dx  ln x.   C .

2 x 2 2 2 2 4

b) I 2    2 x  3 e x dx .

Bảng 2.2. Sắp xếp vai trò các nhân tử trong nguyên hàm I2 ví dụ 2.33 Cách sắp xếp vai trò x  u  x   e   v '  x   2 x  3

Trả lời câu hỏi 1 x  u '  x   e  2  v  x   x  3 x

Trả lời câu hỏi 2 Nguyên hàm mới cần tìm là

x

2

 3x  e x dx phức tạp hơn

nguyên hàm ban đầu.  u  x   2 x  3  x  v '  x   e

u '  x   2  x v  x   e

Nguyên hàm mới cần tìm là

 2e dx dễ dàng giải quyết đƣợc. x

HS hình thành lời giải:  u  x   2 x  3 Đặt  , chọn x v ' x  e    

u '  x   2 nên  x v  x   e

I 2   2 x  3 e x   2e x dx   2 x  3 e x  2e x  C  2 xe x  e x  C.

c) I3    3x  1 cos xdx .

Bảng 2.3. Sắp xếp vai trò các nhân tử trong nguyên hàm I3 ví dụ 2.33 Cách sắp xếp vai trò

Trả lời câu hỏi 1

Trả lời câu hỏi 2

 u  x   cos x   v '  x   3 x  1

u '  x    sin x   3 2 v  x   x  x 2 

Nguyên hàm mới cần tìm là

 u  x   3x  1   v '  x   cos x

 u '  x   3   v  x   sin x

Nguyên hàm mới cần tìm là

3 2  x     2 x  sin xdx phức tạp hơn.

 3sin xdx dễ dàng giải quyết đƣợc.

73

HS hình thành lời giải:

 u  x   3x  1 Đặt  , chọn  v '  x   cos x

 u '  x   3 nên   v  x   sin x

I 3   3x  1 sin x   3sin xdx   3x  1 sin x  3cos x  C.

2.3.3.3. Hoạt động dạy học phương pháp đổi biến số để tính tích phân Các kiến thức liên quan đã biết: - Phƣơng pháp đổi biến để tìm nguyên hàm.

- Định nghĩa, các tính chất của tích phân.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành nội dung định lí, phát biểu đƣợc hoàn chỉnh định lí, chứng minh đƣợc định lí.

- HS sử dụng nội dung định lí để tự xây dựng phƣơng pháp đổi biến khi tính tích phân, hình thành sơ đồ thuật giải cho việc tính tích phân theo phƣơng pháp đổi biến u  u  x  .

- HS áp dụng nội dung định lí, tự xây dựng sơ đồ thuật giải cho hƣớng áp dụng phƣớng pháp đổi biến thứ hai: Đổi biến x  x  t  .

- HS vận dụng phƣơng pháp đổi biến để giải quyết bài toán tính tích phân trong một số trƣờng hợp cụ thể.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV dẫn dắt HS đến tình huống thông qua các nhiệm vụ học tập:





1

Ví dụ 2.34. Tìm I1   3x 2  1 .xdx . Từ đó tính J1    3x 2  1 xdx .

3

3

0

e ln 2 x  ln x ln 2 x dx . Từ đó tính J 2   Ví dụ 2.35. Tìm I 2   dx . x x 1

HS thực hiện nhiệm vụ học tập:





Ví dụ 2.34. Xét I1   3x 2  1 .xdx .

3

74

3x 2  1  1 3 u4 Đặt u  3x  1 , ta có I1   u du  C  C .

6 24 24 4

2

1

Do đó J1    3x 2  1

3

 3x xdx 

0

2

 1 1 4

0

24



255 .

24

ln 2 x  ln x Ví dụ 2.35. Xét I 2   dx . x Đặt ln x  u , ta có I 2    u 2  u  du 

u3 u 2 ln 3 x ln 2 x  C   C .

3 2 3 2

 ln 3 x ln 2 x  e 5 ln 2 x dx      . x 2 1 6  3 1 e

Do đó J 2  

- GV hƣớng dẫn HS phân tích quy trình thực hiện các bài toán trên đều là: Đặt ẩn phụ, tìm nguyên hàm theo ẩn phụ, chuyển ngƣợc lại nguyên hàm về ẩn ban đầu và thay hai cận vào để tính hiệu ra kết quả tích phân.

Bước 2: Tìm giải pháp Từ quy trình tính tích phân ở trên, GV hƣớng dẫn để HS thấy rằng công đoạn chuyển nguyên hàm theo ẩn phụ về ẩn ban đầu rồi sau đó thay giá trị cận vào để tính tích phân hoàn toàn có thể đơn giản hóa bằng cách tính giá trị của ẩn phụ tại hai cận trƣớc rồi đem hai giá trị thu đƣợc thay luôn vào nguyên hàm theo ẩn phụ. Tức là nếu



f  u  x   u '  x  dx  F  u   C thì

b



f  u  x   .u '  x  dx  F  u 

a

u b u a

.

Bước 3: Trình bày giải pháp - GV hƣớng dẫn HS trình bày hoàn chỉnh công thức tính tích phân theo phƣơng pháp đổi biến:

b

ub

a

u a 

 f  u  x  .u '  x  dx   f  u  du .

Bước 4: Nguyên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS tổng kết quy trình, hình thành sơ đồ thuật giải cho bài toán tính tích phân theo phƣơng pháp đổi biến: Bƣớc 1. Đặt ẩn phụ u  u  x  , đổi vi phân, đổi cận.

Bƣớc 2. Tính tích phân mới.

75

- GV hƣớng dẫn HS củng cố kiến thức bằng việc thực hiện các nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.36. Tính các tích phân sau: 



2

4

a) I1   sin x cos xdx .

b) I 2   tan xdx .

2

0

0

HS thực hiện nhiệm vụ học tập:  1

2

u3 1 1 a) I1   sin x cos xdx . Đặt u  sin x , ta có I1   u du   .

3 0 3 0 0 2

2

 4

sin x b) I 2   dx . Đặt u  cos x , ta có I 2  cos x 0

2 2

 1

2 du 1    ln u 2  ln 2 . u 2 1

- GV hƣớng dẫn HS đọc công thức theo chiều ngƣợc lại, tức là ub



u a 

b

f  u  du   f  u  x   .u '  x  dx để HS thấy đƣợc từ tích phân ban đầu ẩn u ta đặt a

ngƣợc u  u  x  ta đƣợc một tích phân mới ẩn x , cũng với các bƣớc đổi vi phân và đổi cận tƣơng tự. Từ đó GV giúp HS xây dựng đƣợc quy trình đổi biến: b

Khi xét tích phân

 f  x  dx ta có thể đặt

x thành một hàm ẩn x  x  t  , chọn

a

hai cận mới  ;  sao cho x    a; x     b và hàm x  t  có đạo hàm liên tục trên

 ;   thì



b

 f  x  dx   f  x t   x ' t  dt . a

- GV hƣớng dẫn HS củng cố kiến thức bằng các nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.37. Tính các tích phân sau: 8

a) I1   x  4dx.

5

1

b) I 2   1  x 2 dx .

0

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: 2

a) Đặt x  4  t 2 , t   0;   , ta có I1   2t 2 dt  1

76

2t 3 2 14  .

3 1 3





 12    b) Đặt x  sin t , t    ;  , ta có I 2   cos 2 tdt    cos 2t  1 dt  .

20 4  2 2 0 2

2.3.3.4. Hoạt động dạy học phương pháp tích phân từng phần khi tính tích phân.

Các kiến thức liên quan đã biết: - Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm.

- Định nghĩa, các tính chất của tích phân.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành nội dung định lí, phát biểu đƣợc hoàn chỉnh định lí, chứng minh đƣợc định lí.

- HS sử dụng nội dung định lí để tự xây dựng phƣơng pháp tích phân từng phần khi tính tích phân, hình thành sơ đồ thuật giải cho việc tính tích phân theo phƣơng pháp tích phân từng phần.

- HS vận dụng phƣơng pháp tích phân từng phần để giải quyết bài toán tính tích phân trong một số trƣờng hợp cụ thể.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV dẫn dắt HS vào tình huống thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.38. Tìm nguyên hàm

x  xe dx rồi từ đó tính tích phân

ln 2

 xe dx . x

0

HS thực hiện ví dụ: Áp dụng phƣơng pháp nguyên hàm từng phần: u  x u '  1 Với  và ta có  x x v '  e v  e ln 2

Do đó

 0

xe x dx  xe x

 xe dx  xe   e dx  xe x

x

x

x

 ex  C .

ln 2 x ln 2 e  2ln 2  1 .

0 0

Bước 2. Tìm giải pháp - GV phân tích để HS thấy việc tính xe x hai cận của tích phân vào u.v và vào

ln 2 ln 2 và e x tƣơng ứng là thay 0 0

 u ' vdx . Từ đó, GV định hƣớng yêu cầu HS 77

lồng ghép luôn việc đó vào trong quá trình tính nguyên hàm từng phân để kết hợp chung lời giải hai ý vào một quá trình nhƣ sau: ln 2

 0

ln 2 ln 2 x ln 2 xe dx  xe   e dx  2ln 2  e x  2ln 2  1 .

0 0 0 x

x

Nhƣ vậy HS đã hình thành đƣợc công thức tính tích phân theo phƣơng pháp tích phân từng phần.

Bước 3. Trình bày giải pháp GV hƣớng dẫn HS trình bày công thức tích phân từng phần: Nếu u  u  x  và v  v  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  b b b b b b thì  u  x  v '  x  dx  u  x  .v  x    u '  x  v  x  dx . Hay  udv  uv   vdu . a a a a a a

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - HS củng cố kiến thức qua việc thực hiện các ví dụ sau: Ví dụ: Tính các tích phân:  e

3

b) I 2   x.sin xdx .

a) I1   x.ln xdx 1

0

HS thực hiện nhiệm vụ học tập:

1  u'   e ex u  ln x  x x2 e2  1 a) Đặt  , ta có  nên .

I  ln x  dx  1 2 1 2 1 2 4 x v '  x v   2 u  x b) Đặt  , ta có v '  sin x

u '  1 nên  v   cos x





3  I 2   x cos x 3   cos xdx   .

2 6 0 0

78

3

2.4. Dạy học giải bài tập toán học theo phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề 2.4.1. Những yêu cầu khi dạy học giải bài tập toán học theo phương pháp dạy học giải quyết vấn đề Trong việc dạy học Toán ở trƣờng phổ thông điều quan trọng nhất là rèn luyện cho HS khả năng tƣ duy, phân tích, tổng hợp, kết nối, vận dụng các kiến thức vào giải quyết các vấn đề, trƣớc hết là các vấn đề nội bộ của toán học, hay còn gọi là các bài tập toán học. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện một loạt những hoạt động tƣ duy bao gồm nhận dạng và thể hiện định nghĩa, so sánh, đối chiếu, áp dụng định lí, quy tắc, phƣơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Các hoạt động của HS trong quá trình giải bài tập liên hệ chặt chẽ với mục đích, nội dung và PPDH, vì vậy vai trò của dạy học giải bài tập toán học đƣợc thể hiện cả trên ba mặt này.

- Xét về mục đích dạy học, bài tập toán học là nội dung quan trọng trong các nội dung hàm chứa các hoạt động thể hiện mức độ đạt mục đích của quá trình dạy học. Mặt khác, hệ thống bài tập cũng thể hiện nhiều chức năng khác nhau hƣớng đến việc thực hiện các mục đích dạy học nhƣ: hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở từng giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. Trong đó, việc giải bài tập toán học đặc biệt hƣớng đến mục đích cuối cùng của dạy học toán là phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện các thao tác tƣ duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ; rèn luyện kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn; bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành và bồi dƣỡng phẩm chất đạo đức cho HS. - Về nội dung dạy học, việc thiết kế và sử dụng những bài tập toán học mang những hoạt động phù hợp sẽ tạo sự liên hệ với những nội dung dạy học nhất định, làm cho những bài tập đó trở thành một phƣơng tiện để cài đặt nội dung dƣới dạng những tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố gợi mở, định hƣớng hoặc củng cố, bổ sung cho những tri thức nào đó.

- Đối với PPDH, theo đặc thù bộ môn toán là bộ môn khoa học trừu tƣợng nên hoạt động dạy học bài tập toán học thƣờng là hoạt động chính để giúp ngƣời học kiến tạo những nội dung kiến thức và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy

79

học khác. Khai thác tốt hoạt động dạy học bài tập sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động một cách tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau về mặt PPDH: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ học tập, gợi mở vấn đề làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra… Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phƣơng tiện rất tốt để đánh giá kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của HS… Hoạt động dạy học các bài tập cụ thể có thể nhằm vào một trong các dụng ý trên nhƣng cũng có thể hàm chứa nhiều dụng ý ở nhiều mặt khác nhau, vì vậy khi dạy học giải bài tập toán học cần lƣu ý một số yêu cầu sau: - Dạy học bài tập phải theo từng bậc phát triển tƣ duy cho HS từ thấp đến cao, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp vừa để đảm bảo tính vừa sức cho HS trong quá trình DHGQVĐ, vừa để đảm bảo sự phát triển của HS có tính vững chắc, trọn vẹn, theo tuần tự, tránh trƣờng hợp học tủ, học lệch.

- Dạy học bài tập phải hƣớng tới việc giúp HS phát triển khả năng tƣ duy sáng tạo. Một bài tập có thể có nhiều thuật giải khác nhau, có thể sử dụng nhiều công cụ khác nhau, HS không đƣợc tự hài lòng chính mình chỉ với một thuật giải, một công cụ duy nhất vì mỗi thuật giải, mỗi công cụ đều có điểm mạnh điểm yếu riêng, đều có tính tối ƣu trong những trƣờng hợp khác nhau. Một thuật giải, một công cụ cũng không phải luôn chỉ dùng cho một dạng bài tập mà có thể sử dụng cho nhiều trƣờng hợp khác nhau. Và quan trọng nhất đó là khi gặp các vấn đề mới, các bài toán mới, việc tìm kiếm, so sánh, đối chiếu, thử nghiệm rồi vận dụng, cải tiến các thuật giải cũ, các công cụ cũ cho phù hợp với vấn đề mới chính là con đƣờng của tƣ duy sáng tạo mà mức độ cao nhất là sáng tạo ra thuật giải mới, công cụ mới.

- Dạy học bài tập toán học phải đảm bảo sự liên hệ và phát triển. Thông thƣờng công cụ mới, thuật giải mới đƣợc sinh ra thƣờng dựa trên sự kế thừa, cải tiến, và phát triển từ công cụ cũ, thuật giải cũ. Hơn nữa một bài tập cụ thể có thể đƣợc hình thành dựa trên sự kết hợp của nhiều dạng bài tập khác nhau, do đó đòi hỏi sự vận dụng kết hợp nhiều thuật giải tƣơng ứng một cách phù hợp. Vì vậy, việc dạy học giải các dạng bài tập khác nhau không thể đƣợc tiến hành một cách riêng rẽ

80

mà cần xây dựng thành một mạng lƣới liên kết các dạng bài, các thuật giải trong các mối quan hệ tƣơng ứng.

- Dạy học giải bài tập toán học có ý nghĩa tƣơng tự nhƣ dạy học thực hành nên kết quả thực tế HS tạo ra trong các lời giải bài tập chính là nội dung trực quan nhất. Việc hƣớng dẫn HS xây dựng các lời giải cho các bài toán phải đáp ứng các yêu cầu sau: + Kết quả bài toán phải chính xác, từ kết quả các bƣớc trung gian đến kết quả cuối cùng. Trong lời giải bài toán không đƣợc có bất kì sai lầm nào. + Hệ thống lập luận phải chặt chẽ đi từ giả thiết đến kết luận: các luận đề phải nhất quán, hệ thống luận cứ, luận chứng phải đúng. + Lời giải mỗi bài toán luôn phải tính hoàn chỉnh, không đƣợc bỏ sót bất kì một trƣờng hợp, một khả năng nào. + Ngôn ngữ trình bày phải khoa học, chính xác. + Trình bày logic, rõ ràng, đảm bảo tính khoa học. + Cố gắng tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.

2.4.2. Quy trình dạy học giải bài tập toán học theo phương pháp dạy học giải quyết vấn đề Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV hƣớng dẫn HS phát biểu lại đề bài theo các cách khác nhau để nắm chắc nội dung bài toán, lọc ra đƣợc bản chất vấn đề toán học ẩn dƣới các câu chữ của đề bài.

- GV hƣớng dẫn HS phân biệt rõ giả thiết (cái đã cho) và kết luận (cái phải tìm, phải chứng minh) của bài toán.

- GV tạo tình huống đi từ những ví dụ đơn giản đã có thuật giải đến những ví dụ phức tạp hơn chƣa thể áp dụng đƣợc thuật giải đã có, từ đó hƣớng dẫn HS phân tích bài toán để làm rõ khó khăn mà đề bài đƣa ra mà các thuật giải đã có chƣa thể vƣợt qua.

Bước 2: Tìm giải pháp - GV hƣớng dẫn HS tìm tòi, xây dựng sơ đồ thuật giải cho bài toán bằng cách liên hệ bài toán cần giải với những bài toán tƣơng tự đã có thuật giải, liên hệ khó

81

khăn hiện đang vấp phải với các cách khắc phục khó khăn cùng loại ở các bài toán thuộc vùng kiến thức khác đã đƣợc xử lý, đặc biệt hóa bài toán, tổng quát hóa bài toán, chia bài toán thành những bài toán con rời nhau,…

- GV hƣớng dẫn HS vận dụng thuật giải đã tìm ra để thực hiện quá trình giải bài toán, kiểm tra kĩ từng bƣớc thực hiện thuật giải để đảm bảo tính đúng đắn về khoa học. Thực hiện liên hệ kiểm chứng, đối chiếu các kết quả trung gian, kết quả cuối cùng với các kiến thức có liên quan.

- GV hƣớng dẫn HS nghiên cứu tìm tòi các cách cải tiến thuật giải hoặc tìm kiếm các thuật giải khác để tối ƣu hóa lời giải, lựa chọn ra thuật giải phù hợp nhất.

Bước 3: Trình bày giải pháp GV hƣớng dẫn HS xuất phát từ thuật giải đã đƣợc phát hiện, tiến hành sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng trình từng bƣớc theo một trình tự thích hợp và lần lƣợt thực hiện cụ thể các bƣớc đó để hình thành lời giải hoàn chỉnh của bài toán.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

- Nghiên cứu sự gắn kết giữa giả thiết và giải pháp đã thực hiện, hình thành thuật giải và đặc điểm nhận dạng của bài toán phù hợp với thuật giải đó.

- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng, tổng quát hóa hay lật ngƣợc vấn đề hình thành những thuật giải ngắn gọn hơn cho các bài toán đặc biệt hơn hoặc những thuật giải tổng quát hơn cho các bài toán tổng quát theo một khía cạnh nào đó.

2.4.3. Dạy học giải quyết vấn đề một số bài tập toán học điển hình thuộc chủ đề Nguyên hàm – Tích phân ở lớp 12 2.4.3.1. Hoạt động dạy học bài tập tìm nguyên hàm, tích phân dạng đa thức sử dụng phương pháp đổi biến Các kiến thức liên quan đã biết: - Khái niệm, các tính chất của nguyên hàm, tích phân.

- Một số nguyên hàm cơ bản.

82

- Nguyên lý và các bƣớc thực hiện phƣơng pháp đổi biến để tìm nguyên hàm, tích phân.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành một thuật giải sử dụng phƣơng pháp đổi biến để xử lý nguyên hàm, tích phân dạng



f  x  .  g  x  dx có tính chất phù hợp. n

- HS thành thạo trong việc nhận biết nguyên hàm, tích phân dạng

 f  x .  g  x 

n

dx có giải quyết đƣợc bằng thuật giải đã hình thành hay không.

- HS áp dụng thành thạo thuật giải đó để giải quyết các bài toán tƣơng ứng.

- HS mở rộng đƣợc thuật giải cho các dạng nguyên hàm, tích phân có tính chất tƣơng tự:

f  x  g  x  dx và  f  x . g  x dx . n

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1. Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV giúp HS phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ học tập sau: Ví dụ 2.39. Tìm nguyên hàm a) I1    x  1 dx

b) I 2    x  2  x5dx

5

Ví dụ 2.40. Tìm nguyên hàm





b) I 4    2 x  1 . x 2  x  1 dx .

a) I 3   x. x  2  dx 5

5

HS thực hiện nhiệm vụ học tập ví dụ 2.39: a) I1    x  1

5

 x  1 dx  6

6

b) I 2    x6  2 x5  dx 

C.

x7 x6  C .

7 3

Ở ví dụ 2.40, HS sẽ nhận thấy mặc dù đề bài khá giống với I 2 ở ví dụ 2.39, có thể khai triển lũy thừa ra để xử lý, tuy nhiên nếu thực hiện theo cách đó thì biểu thức khá cồng kềnh, phức tạp.

Bước 2. Tìm giải pháp

83

- GV hƣớng dẫn HS phân tích, biến đổi I 3   x. x  2  dx về dạng giống I1 5

hoặc I 2 . (GV có thể chia lớp thành các nhóm với nhiệm vụ biến đổi I 3 đƣa về tƣơng tự I1 và tƣơng tự I 2 ).

HS biến đổi I 3 đƣa về giống I1 :

I 3   x.  x  2  dx    x  2  2  .  x  2  dx 5

5

6 5 6 5    x  2   2  x  2   dx    x  2  dx  2  x  2  dx.  

Và biến đổi I 3 đƣa về giống I 2 : Thực hiện đặt ẩn phụ u   x  2  thì

du  dx và do đó I 3    u  2  u 5du .

- GV tổng kết cho bài toán I 3 và đặt vấn đề cho I 4 : Nhƣ vậy ta đã có hai hƣớng để giải quyết bài toán I 3 , liệu có thể giải quyết I 4 theo hai hƣớng tƣơng tự đƣợc không? (GV có thể chia lớp thành các nhóm với nhiệm vụ biến đổi I 4 theo hai hƣớng tƣơng tự trên).

Với hƣớng thứ nhất, HS sẽ nhận thấy đƣợc khó khăn không vƣợt qua đƣợc đó là việc biến đổi  2 x  1 theo  x 2  x  1 là không khả thi vì không thể biến đa thức bậc nhất thành đa thức bậc hai đƣợc.

Với hƣớng thứ hai, HS sẽ nhận thấy có thể thực hiện đƣợc việc đặt ẩn phụ tƣơng tự: Đặt u  x2  x  1 thì du   2 x  1 dx và do đó I 4   u 5du . Đến đây, HS đã sơ bộ hình thành giải pháp để giải các bài toán trong ví dụ, đồng thời cũng bƣớc đầu hình thành thuật giải cũng nhƣ những đặc điểm của đề bài làm cho nó phù hợp hoặc không phù hợp với thuật giải.

Bước 3. Trình bày giải pháp - GV hƣớng dẫn HS trình bày hoàn chỉnh lời giải ví dụ 2.40 : a) I 3   x. x  2  dx 5

Cách 1: I 3   x. x  2  dx    x  2  2  . x  2  dx 5

5

84

   x  2  dx  2  x  2  6

5

 x  2 dx  7

7

 x  2 

6

 C.

3

Cách 2: Đặt ẩn phụ u   x  2  thì du  dx và do đó

 x  2    x  2   C. . u7 u6 I 3    u  2  u du    u  2u  dx   2  C  7 6 7 3 7

5

6

6

5





b) I 4    2 x  1 . x 2  x  1 dx 5

Đặt u  x2  x  1 thì du   2 x  1 dx và do đó

x 2  x  1  u6 I 4   u du   C  C. 6 6 6

5

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS phân tích trở lại hai cách làm của I 3 để HS thấy đƣợc về bản chất đó là cùng một con đƣờng, chỉ khác nhau về mặt hình thức trình bày là cách thứ nhất thì không đặt ẩn phụ nhƣng thực ra là đã ngầm định ẩn phụ khi xử lý

  x  2

6

dx và

  x  2

5

dx còn cách thứ hai là đặt ẩn phụ ngay từ đầu. Cách thứ

nhất sẽ ngắn gọn hơn trong tình huống biểu thức trong lũy thừa đơn giản, còn trong trƣờng hợp biểu thức đó phức tạp hoặc là bài toán tính tích phân thì cách thứ hai sẽ mạch lạc, rõ ràng hơn.

- GV hƣớng dẫn HS hình thành bài toán tổng quát và thuật giải tƣơng ứng: Với dạng

 f  x .  g  x 

n

dx thì có thể nghiên cứu phƣơng án đặt ẩn phụ

u  g  x  xử lý. Tuy nhiên chỉ có thể thực hiện đƣợc khi f  x  là g '  x  hoặc tách đƣợc thành tích của g '  x  và một biểu thức của ẩn phụ u  g  x  .

- GV hƣớng dẫn HS củng cố kiến thức thuật giải thông qua thực hiện nhiệm vụ học tập: Ví dụ 2.41. Tính các tích phân









b) I 2    x  1 x 2  2 x  3 dx .

a) I1   x6  3x dx 4

HS thực hiện học tập:

85

5









a) I1   x6  3x dx   x 4 x5  3 dx .

4

Đặt u  x  3 ta có I1 5



x 

 3

5

4

5

C .

25



b) I 2    x  1 x 2  2 x  3 dx .

5

Đặt u  x  2 x  3 ta có I 2 2

x 

2

 2 x  3

6

C .

12

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng thuật giải tƣơng tự cho những bài toán có đặc điểm về giả thiết giống bài toán trên: GV đặt câu hỏi về lí do tại sao lại cần đặt ẩn phụ trong thuật giải các bài toán trên. HS sẽ trả lời đƣợc nguyên nhân là do lũy thừa bậc khá cao nên việc khai triển là khó khăn, do đó phải đặt biểu thức trong lũy thừa là ẩn phụ.

- GV có thể yêu cầu HS đƣa ra hoặc tự đƣa ra một số tình huống có đặc điểm tƣơng tự: thay vì g  x  ở trong lũy thừa bậc cao thì g  x  có thể nằm trong căn thức hoặc nằm ở dƣới mẫu.

HS hình thành thuật giải tƣơng tự: Với dạng

 f  x . g  x dx n

thì có thể nghiên cứu đặt ẩn phụ u  g  x  . GV

có thể hƣớng dẫn HS phân tích để thấy rằng nếu đặt ẩn phụ nhƣ thế thì vẫn còn căn thức, để triệt tiêu dấu căn thức luôn thì ta có thể đặt u  n g  x  .

Với dạng



f  x dx thì có thể nghiên cứu đặt ẩn phụ u  g  x  . g  x

- GV hƣớng dẫn HS củng cố các thuật giải mới hình thành: Ví dụ 2.42. Tính các nguyên hàm, tích phân sau: a) I1  

2x 1 dx .

2 x x2

1

c) I 3   x x  1dx .

2

0

x2  x  1 1 x2  3x  2 dx .

0

b) I 2 

1

d) I 4    x 2  1 x3  3xdx .

0

HS thực hiện nhiệm vụ học tập:

86

d  x2  x  2 2x 1 a) I1   2 dx   dx  ln x 2  x  2  C .

2 x x2 x x2 0 x2  x  1 2x  3   2   b) I 2   2 dx   1  2 dx  x  ln x  3 x  2    1 x  3x  2 x  3x  2  1 1  0

0

 ln 2  1  ln 6  1  ln3 .

1  x  0  u  1 c) I 3   x x 2  1dx Đặt u  x 2  1 ;  ; xét trên 1; 2  thì x  1  u  2  0 

3

u  x  1 nên 2udu  2xdx  xdx  udu . Do đó I 3   u 2 du  2

2

1

1 u3 3  3 .

3 1 3

x  0  u  0 x3  3x  u ;   x  1  u  2.

1

d) I 4    x 2  1 x3  3xdx . Đặt 0

2 Xét trên  0;2 thì u 2  x3  3x  2udu   3x 2  3 dx   x 2  1 dx  udu .

3 2

2 2 2 16 Do đó I 4   u 2 du  u 3  .

3 9 0 9 0

2.4.3.2. Hoạt động dạy học bài tập tìm nguyên hàm, tích phân dạng phân thức có mẫu là tích các nhị thức bậc nhất Các kiến thức liên quan đã biết: - Khái niệm, các tính chất của nguyên hàm, tích phân.

- Một số nguyên hàm cơ bản.

- Nguyên lý và các bƣớc thực hiện phƣơng pháp đổi biến để tìm nguyên hàm, tích phân.

- Thuật giải dùng phƣơng pháp đổi biến để tìm nguyên hàm dạng

g ' x  g  x  dx .

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành một thuật giải xử lý các nguyên hàm dạng dx

  ax  b 

n

với n  N;; n  2 và

dx

  x  a  x  b  .

87

dx  ax  b ;

- HS áp dụng thành thạo thuật giải đã xây dựng để giải quyết các bài tập nguyên hàm, tích phân dạng đó.

- HS lần lƣợt mở rộng thuật giải thành các thuật giải cho các dạng nguyên hàm theo thứ tự tổng quát dần: +) Nguyên hàm của phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm. +) Nguyên hàm của phân thức có tử là đa thức, mẫu là nhị thức bậc nhất hoặc lũy thừa của nhị thức bậc nhất. +) Nguyên hàm của phân thức có tử là nhị thức bậc nhất, mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm. +) Nguyên hàm của phân thức có tử là đa thức, mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm. +) Nguyên hàm của phân thức có tử là đa thức, mẫu là tích của nhiều nhị thức bậc nhất.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1. Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV giúp HS phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ học tập sau: Ví dụ 2.43. Tìm nguyên hàm a) I1  

1 dx x 1

1   1  b) I 2     dx  x 1 x  3 

c) I 3  

dx

 x  3

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: a) I1  

1 dx  ln x  1  C . x 1

1  x 1  1  C. b) I 2     dx  ln x  1  ln x  3  C  ln x 3  x 1 x  3  c) I 3  

dx

 x  3

3

   x  3

3

 x  3 dx  2

Ví dụ 2.44. Tìm nguyên hàm

88

2

C 

1 2  x  3

2

C.

3

.

a) I 4  

dx  x  1 x  3

b) I 5  

dx . x  x  4

- GV hƣớng dẫn HS nhận xét: Các nguyên hàm I1; I 2 ; I 3 dạng phân thức mà mẫu chỉ chứa một nhị thức bậc nhất, còn I 4 ; I 5 thì mẫu là tích của hai nhị thức bậc nhất. Nhƣ vậy nếu ta biến đổi đƣợc biểu thức trong I 4 ; I 5 về các phân thức mà mẫu cũng chỉ chứa một nhị thức bậc nhất thì sẽ xử lý đƣợc tƣơng tự nhƣ I1; I 2 .

Bước 2. Tìm giải pháp GV hƣớng dẫn HS biến đổi biểu thức trong I 4 ; I 5 về các phân thức mà mẫu cũng chỉ chứa một nhị thức bậc nhất: Với I 4 :

1  x  1   x  3 1  1 1  .  .     x  1 x  3 2  x  1 x  3 2  x  3 x  1 

Với I 5 :

1 1 x   x  4 1  1 1     . x  x  4 4 x  x  4 4 x4 x

1

Khi đó, HS sẽ nhận ra hƣớng xử lý các nguyên hàm I 4 ; I 5 :

1 1 1  1 1 1 I4       dx .  dx và I 5    2  x  3 x 1  4 x4 x Bước 3. Trình bày giải pháp GV hƣớng dẫn HS trình bày hoàn chỉnh lời giải a) I 4  

1 dx 1 1 1      dx  2  ln x  3  ln x  1   C .  x  1 x  3 2  x  3 x  1 

b) I 5  

dx 1 1 1 1     dx   ln x  4  ln x   C . x  x  4 4 x4 x  4

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS nghiên cứu các ví dụ đã làm, xây dựng bài toán tổng quát và hình thành thuật giải cho các bài toán tổng quát. +) Bài toán 1:

dx

1

 ax  b  a ln ax  b  C .

89

+) Bài toán 2:

dx

  ax  b 

+) Bài toán 3: I  

n



1 a  n  1 ax  b 

n 1

 C với n  N;; n  2 .

dx .  x  a  x  b 

Thuật giải: Tách I  

1  1 1  1 x b .  ln C .  dx  ba  x b x a  ba xa

- GV hƣớng dẫn HS củng cố thuật giải thông qua các ví dụ: Ví dụ 2.45. Tính các tích phân sau: 1

a) I1 

1

dx

  x  2

b) I 2 

4

1

dx

  x  4  x  1 .

1

HS thực hiện nhiệm vụ học tập: a) I1 

1

1 x4 0 1 8 b) I 2  ln  ln .

3 x  1 1 3 5

1 26  .

3  x  2  1 81 3

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng bài toán tổng quát mở rộng cho tình huống nguyên hàm của phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm thông qua ví dụ: Ví dụ 2.46. Tìm các nguyên hàm: a) I 3  

dx x  6x  9

b) I 4  

2

dx . x  2x  3 2

Với sự hƣớng dẫn của GV, HS nhận ra rằng nếu đƣa đƣợc mẫu thức thành tích các nhân tử bậc nhất thì sẽ áp dụng đƣợc thuật giải trên. Từ đó HS sẽ phân tích đƣợc x 2  6 x  9   x  3 và x 2  2 x  3   x  1 x  3 và giải quyết đƣợc bài 2

toán: a) I 3  

dx

 x  3

2



1 C x 3

b) I 4  

dx 1 x 3  ln C.  x  1 x  3 4 x  1

GV hƣớng dẫn HS xây dựng trƣờng hợp tổng quát của hai ví dụ trên bằng cầu hỏi gợi ý: Khi nào một tam thức bậc hai phân tích đƣợc thành tích các nhị thức bậc nhất? HS sẽ tìm ra câu trả lời là khi tam thức bậc hai có nghiệm kép hoặc hai nghiệm phân biệt x1; x2 thì có thể phân tích thành ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2  .

90

Nhƣ vậy thuật toán trên có thể mở rộng cho trƣờng hợp mẫu thức là tam thức bậc hai có nghiệm.

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng bài toán tổng quát mở rộng cho tình huống nguyên hàm của phân thức có tử là đa thức, mẫu là nhị thức bậc nhất hoặc lũy thừa của nhị thức bậc nhất thông qua ví dụ: Ví dụ 2.47. Tìm các nguyên hàm sau: 2x  1 a) I 5   dx x 1

x2  2x b) I 6   dx 3x  1

c) I 7  

2 x2  x

 x  2

2

dx .

GV hƣớng dẫn HS phân tích để thấy rằng thuật giải đã có chƣa thể vận dụng ngay đƣợc, từ đó định hƣớng tƣ duy biến đổi biểu thức về dạng tử chỉ còn hằng số bằng cách chia tử thức cho mẫu thức thì sẽ áp dụng đƣợc thuật giải trên: a) I 5  

2x  1 3   dx    2   dx . x 1 x 1  

b) I 6  

x2  2 x 1 7  dx    3x  7   dx .

3x  1 9 3x  1 

c) I 7  

 7 10  dx 2     2   x  2  x  22  dx .  x  2   2 x2  x

GV hƣớng dẫn HS liên hệ tới thuật giải đã học về phƣơng pháp đổi biến ở trên để HS phát hiện ra cách làm thứ hai đó là có thể đặt mẫu thức là ẩn phụ. GV yêu cầu HS trình bày lời giải theo cả hai cách để HS củng cố thuật giải và hình thành sự lựa chọn phƣơng pháp mà bản thân thấy thích thú hơn.

Qua ví dụ trên, dƣới sự hƣớng dẫn của GV, HS tổng quát hóa và đã hình thành thuật giải đủ để xử lý mọi nguyên hàm phân thức đại số với mẫu là nhị thức bậc nhất hoặc lũy thừa của nhị thức bậc nhất.

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng bài toán tổng quát mở rộng cho tình huống nguyên hàm của phân thức có tử là nhị thức bậc nhất, mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm thông qua ví dụ: Ví dụ 2.48. Tìm các nguyên hàm sau:

91

a) I8  

2x  1 dx . x  x2 2

b) I 9  

2x  2 dx . x  x2

c) I10  

2

4x  1 dx . x  3x  2 2

GV hƣớng dẫn HS phân tích phân thức trong dấu nguyên hàm các ví dụ trên để thấy rằng thuật giải ở trên chƣa thể vận dụng ngay đƣợc vì tuy mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm nhƣng tử không phải là hằng số.

GV hƣớng dẫn HS xét mối quan hệ giữa tử và mẫu của I 8 để thấy tử chính là đạo hàm của mẫu nên có thể dùng phƣơng pháp đổi biến để xử lý: Đặt u  x2  x  2 thì I8  

du  ln u  C  ln x 2  x  2  C . u

Từ phƣơng pháp xử lý I 8 , GV hƣớng dẫn HS tổng hợp hai dạng phân thức với mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm mà HS đã có thuật giải để tìm nguyên hàm đó là dạng tử thức chính là đạo hàm của mẫu và dạng tử thức là hằng số. Từ đó GV hƣớng dẫn HS áp dụng tìm cách xử lý I 9 ; I10 là biến đổi chúng về hai thành phần tƣơng ứng thuộc hai dạng trên.

I9  

2x  2 2x  1 1 dx   2 dx   2 dx x  x2 x  x2 x  x2 2

1 1  ln x 2  x  2  ln x  1  ln x  2  C 3 3

1 1  ln x  1  ln x  2  ln x  1  ln x  2  C 3 3 4 2  ln x  1  ln x  2  C. 3 3 I10  

4x  1 2x  3 dx dx  2 2 dx  5 2 x  3x  2 x  3x  2 x  3x  2 2

 2ln x 2  3x  2  5ln x  1  5ln x  2  C

 2ln x  1  2ln x  2  5ln x  1  5ln x  2  C

 3ln x  1  7ln x  2  C. GV hƣớng dẫn HS tổng quát hóa thành bài toán

f  x

 g  x  dx

với g  x  là một

tam thức bậc hai có nghiệm, f  x  là nhị thức bậc nhất thì ta có thể tách tử ra theo

92

đạo hàm của mẫu: f  x   a.g '  x   b với a, b là hằng số. Từ đó sẽ biến đổi đƣợc nguyên hàm cần tìm về tổng hai nguyên hàm đã có thuật giải. Nhƣ vậy ta đã hình thành một thuật giải có tính tổng quát hơn cho dạng này:



f  x a.g '  x   b g ' x  1 dx   dx  a. dx  b. dx . g  x g  x g  x g  x

GV phân tích trở lại ví dụ ở trên để HS thấy đƣợc rằng khi làm theo thuật giải trên thì kết quả nguyên hàm thành phần thứ nhất cũng quy về dạng giống kết quả của nguyên hàm thành phần thứ hai. Từ đó HS sẽ hình thành giả thiết: liệu có thể không cần tách nguyên hàm cần tìm thành hai nguyên hàm thành phần mà sử dụng chung một thuật giải cải tiến từ thuật giải gốc để giải quyết trực tiếp đƣợc bài toán hay không?

GV giúp HS phân tích thuật giải ban đầu để thấy rằng bản chất thuật giải là biểu diễn tử là hằng số thành hiệu của hai nhân tử ở mẫu. Và từ đó GV hƣớng dẫn HS thử vận dụng tƣơng tự là biểu diễn tử là nhị thức bậc nhất theo hai nhân tử ở mẫu, nếu thành công thì ta sẽ xử lý đƣợc tƣơng tự thuật giải đã xây dựng ở trên: Xét I 9  

2x  2 2x  2 dx   dx . x  x2  x  1 x  2  2

Hai hƣớng biến đổi chính của HS: 4 3

Hƣớng 1: 2 x  2  2  x  1  4  2  x  1   x  2    x  1 

2 4  x  1   x  2  .

3 3

Hƣớng 2: Giả sử 2 x  2  A  x  1  B  x  2    A  B  x   2B  A . A  B  2 2 4 Chọn A, B sao cho  tức là A  ; B  .

3 3  A  2 B  2

2 4  x  1   x  2  .

2 dx 4 dx 3 Từ đó: I 9   3 dx     3 x  2 3 x 1  x  1 x  2  2 4  ln x  2  ln x  1  C. 3 3

93

Tƣơng tự, I10  

7  x  1  3  x  2  dx  7 ln x  2  3ln x  1  C .  x  1 x  2

Qua ví dụ trên, GV hƣớng dẫn HS tổng quát hóa và thấy đƣợc bản thân đã nắm trong tay thuật giải hoàn chỉnh cho bài toán tìm nguyên hàm của phân thức đại số có tử là nhị thức bậc nhất và mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm.

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng bài toán tổng quát mở rộng cho tình huống nguyên hàm của phân thức có tử là đa thức, mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm thông qua ví dụ: Ví dụ 2.49. Tìm các nguyên hàm sau: a) I11  

2x2 dx x 2  3x  2

b) I12  

x3  3x 2  x  1 dx . x2  4x  3

GV hƣớng dẫn HS phân tích phân thức trong dấu nguyên hàm các ví dụ trên để thấy rằng thuật giải ở trên chƣa thể vận dụng ngay đƣợc mà cần biến đổi để tử chỉ còn là nhị thức bậc nhất. Từ đó HS sẽ hình thành ý tƣởng về việc tìm cách biến đổi là phép chia đa thức tử cho mẫu. a) I11  

2 x2 6x  4   dx    2  2  dx .

2 x  3x  2 x  3x  2  

b) I12  

x3  3x 2  x  1 24 x  20   dx  x  7    dx .  x2  4x  3 x2  4x  3 

Nhƣ vậy HS đã hình thành thuật giải xử lý trọn vẹn các bài toán tìm nguyên hàm của phân thức có tử là đa thức, mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm.

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng bài toán tổng quát mở rộng cho tình huống nguyên hàm của phân thức có tử là đa thức, mẫu là tích của nhiều nhị thức bậc nhất thông qua ví dụ: Ví dụ 2.50. Tìm các nguyên hàm: a) I13  

x2  1 dx x2  x  2

b) I14  

x2  2 x  3 dx . x  x  2  x  3

GV hƣớng dẫn HS phân tích để thấy rằng bản chất của thuật giải ban đầu chính là việc biến đổi một phân thức có mẫu là tích hai nhị thức bậc nhất thành tổng hai phân thức mà mỗi phân thức đều có mẫu đơn giản hơn (chỉ là một nhị thức bậc

94

nhất). Bằng cách tách dần, cũng có thể biến đổi phân thức có mẫu là tích nhiều nhị thức bậc nhất thành tổng các phân thức mà mẫu đơn giản hơn (là tích ít nhân tử hơn). GV hƣớng dẫn HS thực hành:

 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1  .  . .        x 2  x  2  x x  x  2  x 2  x x  2  2  x 2 x  x  2   1  x2  1 x2  1  nên I13    2   dx .

2  x x  x  2    1 1 1 1 1 1  .     x  x  2  x  3 x  x  2  x  3 2   x  2  x  3 x  x  3  nên I14 

1  x2  2x  3 x2  2x  3     dx .

2    x  2  x  3 x  x  3 

HS sẽ đi đến kết luận rằng chỉ cần mẫu là tích các nhân tử là nhị thức bậc nhất thì luôn có thể tách dần về các phân thức đơn giản hơn và sử dụng đƣợc thuật giải ở trên để xử lý. Nhƣ vậy HS đã hình thành thuật giải xử lý trọn vẹn các bài toán tìm nguyên hàm của phân thức có tử là hằng số, mẫu là tích các nhân tử là nhị thức bậc nhất.

2.4.3.3. Hoạt động dạy học bài tập tìm nguyên hàm, tích phân dạng phân thức có mẫu là tam thức bậc hai vô nghiệm sử dụng phương pháp đổi biến.

Các kiến thức liên quan đã biết: - Khái niệm, các tính chất của nguyên hàm, tích phân.

- Đạo hàm của hàm số lƣợng giác: tan'  x  

1 cos 2 x

- Một số nguyên hàm cơ bản.

- Nguyên lý và các bƣớc thực hiện phƣơng pháp đổi biến để tìm nguyên hàm, tích phân.

- Thuật giải dùng phƣơng pháp đổi biến để tìm nguyên hàm dạng Mục tiêu của hoạt động:

95

g ' x

 g  x  dx

- HS tự hình thành thuật giải sử dụng phƣơng pháp đổi biến để xử lý nguyên hàm, tích phân dạng

x

dx . 1

2

- HS lần lƣợt mở rộng đƣợc thuật giải cho các dạng nguyên hàm, tích phân có tính chất tƣơng tự sau đây:

và

1  x2  a dx với số thực a  0 ;

1  g  x  dx ;

ax  b  g  x  dx

f  x  g  x  dx với f  x  là đa thức, g  x  là tam thức bậc hai vô nghiệm.

- HS áp dụng thành thạo thuật giải đó để giải quyết các bài toán tƣơng ứng.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1. Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV giúp HS phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ học tập sau: Ví dụ 2.51. Tìm nguyên hàm a) I1  

dx x 1 2

b) I 2 

dx . x 1 2

HS trình bày lời giải cho I1 :

I1  

dx 1  1 1  1 x 1    C .  dx  ln x 1 2  x 1 x 1  2 x 1 2

- GV hƣớng dẫn HS phân tích khó khăn làm cho HS không thể tìm nguyên hàm I 2 theo thuật giải của nguyên hàm I1 là không thể phân tích mẫu x 2  1 thành tích hai nhân tử bậc nhất giống nhƣ mẫu x 2  1 của I1 . Từ đó HS sẽ tự hình thành nhu cầu cần xây dựng một thuật giải mới để xử lý.

Bước 2. Tìm giải pháp - GV đặt vấn đề hƣớng HS tìm kiếm một công thức trong các kiến thức đã có mà có thể biến đổi một biểu thức dạng

1 về một biểu thức gọn gàng, đơn giản x2  1

hơn. GV có thể gợi ý HS tìm kiếm theo các nhóm kiến thức về đại số, về mũ, lũy thừa, logarit, lƣợng giác.

96

- HS tìm kiếm trong các kiến thức đã học và tìm ra công thức: 1 1  sin 2 x . Và từ đó hình thành ý tƣởng xử lý nguyên  cos 2 x và 2 cot x  1 tan x  1 2

hàm I 2 bằng cách đặt x  tan t hoặc x  cot t để áp dụng công thức trên.

Bước 3. Trình bày giải pháp

    ;  tức là t  arctan x Giải pháp 1. Đặt x  tan t; t    2 2 dx 

1 1 1 . dt   dt  t  C  arctan x  C . dt nên I 2   2 2 tan t  1 cos 2 t cos t

Giải pháp 2. Đặt dx 

ta có

x  cot t; t    ;   tức là t  arccot x

ta có

1 1 1 . 2 dt    dt  t  C   arccot x  C . dt nên I 2   2 2 cot t  1 sin t sin t

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - GV yêu cầu HS so sánh hai giải pháp đã trình bày ở trên để thấy hai giải pháp là tƣơng tự nhau và việc chọn giải pháp 1 hay giải pháp 2 là tùy sở thích của HS, tuy nhiên việc chọn giải pháp 1 có lợi thế hơn chút ít vì không phát sinh thêm dấu.

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng bài toán tổng quát mở rộng cho tình huống

x

dx ; a  0 thông qua ví dụ: a

2

Ví dụ 2.52. Tìm nguyên hàm: I 3  

dx . x 4 2

GV hƣớng dẫn HS tìm cách để phần hằng số ở dƣới mẫu biến thành 1:

I3 

1 dx , khi đó có thể áp dụng thuật giải ở trên bằng cách đặt  4  x 2   1 2

x     tan t ; t    ;  hay x  2tan t .

2  2 2 2    HS thực hiện: Đặt x  2 tan t; t    ;  ta có dx  dt nên cos 2 t  2 2

97

I3  

t x 1 2 1 1 . dt   dt   C  arctan  C .

2 2 4 tan t  4 cos t 2 2 2 2

GV hƣớng dẫn HS tổng quát hóa thành bài toán tìm nguyên hàm

x

dx ; a  0 và đƣa ra thuật giải tƣơng ứng là sử dụng phƣơng pháp đổi biến đặt a

2

   x  a tan t ; t    ;  .  2 2 - GV hƣớng dẫn HS xây dựng bài toán tổng quát mở rộng cho tình huống

dx

 g  x  với g  x  là tam thức bậc hai vô nghiệm thông qua ví dụ: Ví dụ 2.53. Tìm nguyên hàm: I 4  

dx . x  2x  4 2

GV hƣớng dẫn HS phân tích sự giống và khác nhau của I 3 và I 4 : Cả hai mẫu thức đều là tam thức bậc hai vô nghiệm nhƣng ở I 4 thì mẫu thức có đầy đủ các bậc còn ở I 3 thì mẫu thức khuyết bậc nhất. Đồng thời thuật giải đã áp dụng ở I 3 thì phải khuyết bậc nhất đó nên HS sẽ hình thành ý tƣởng làm cho bậc nhất ở mẫu thức

I 4 biến mất bằng cách nhóm lại I 4  

dx

 x  1

2

3

. Khi đó HS đã có thể áp dụng

thuật giải ở trên: I4  

I4  

3    dt nên Đặt x  1  3 tan t; t    ;  ta có dx  cos 2 t  2 2  x  1  3 dx

2

1 3 1 t 1 x 1 . dt  dt   C  arctan C. 3tan 2 t  3 cos 2 t 3 3 3 3

GV hƣớng dẫn HS tổng quát hóa thành bài toán thức

bậc

hai

vô

nghiệm

g  x    mx  n   p; p  0 2

mx  n 

rồi

và

hình sử

thành

dụng

   p tan t; t    ;  .  2 2

98

dx  g  x  với g  x  là tam

thuật

phƣơng

giải pháp

là đổi

biểu biến

diễn đặt

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng bài toán tổng quát mở rộng cho tình huống

ax  b

 g  x  dx với g  x  là tam thức bậc hai vô nghiệm thông qua ví dụ: Ví dụ 2.54. Tìm các nguyên hàm sau: a) I 5  

2x  1 dx x x2

b) I 6  

2

4x  1 dx . x  2x  2 2

GV hƣớng dẫn HS phân tích phân thức trong dấu nguyên hàm các ví dụ trên để thấy rằng thuật giải ở trên chƣa thể vận dụng ngay đƣợc vì tuy mẫu là tam thức bậc hai vô nghiệm nhƣng tử không phải là hằng số.

GV hƣớng dẫn HS xét mối quan hệ giữa tử và mẫu của I 5 để thấy tử chính là đạo hàm của mẫu nên có thể dùng phƣơng pháp đổi biến để xử lý: Đặt u  x2  x  2 thì I 5  

du  ln u  C  ln  x 2  x  2   C . u

Từ phƣơng pháp xử lý I 5 , GV hƣớng dẫn HS tổng hợp hai dạng phân thức với mẫu là tam thức bậc hai vô nghiệm mà HS đã có thuật giải để tìm nguyên hàm đó là dạng tử thức chính là đạo hàm của mẫu và dạng tử thức là hằng số. Từ đó GV hƣớng dẫn HS áp dụng tìm cách xử lý I 6 là biến đổi chúng về hai thành phần tƣơng ứng thuộc hai dạng trên.

I6  

4x  1 2x  2 3 dx  2 2 dx   2 dx . x  2x  2 x  2x  2 x  2x  2 2

I6a  

2x  2 dx  ln  x 2  2 x  2   C . x  2x  2

I 6b  

3 3 dx   dx .

2 x  2x  2 x  1  1  

2

2

1    Đặt x  1  tan t; t    ;  ta có dx  dt nên cos 2 t  2 2 I 6b  

3 1 . dt  3 dt  3t  C  3arctan  x  1  C . tan t  1 cos 2 t 2

Vậy I 6  2ln  x 2  2 x  2   3arctan  x 1   C .

99

GV hƣớng dẫn HS tổng quát hóa thành bài toán

ax  b  g  x  dx với g  x  là tam

thức bậc hai vô nghiệm và xây dựng thuật giải tƣơng ứng: tách tử ra theo đạo hàm của mẫu: ax  b  m.g '  x   n với m, n là hằng số. Từ đó sẽ biến đổi đƣợc nguyên hàm cần tìm về tổng hai nguyên hàm đã có thuật giải: ax  b

 g  x  dx  

m.g '  x   n g ' x 1 dx  m. dx  n. dx . g  x g  x g  x

- GV hƣớng dẫn HS xây dựng bài toán tổng quát mở rộng cho tình huống nguyên hàm

f  x

 g  x  dx

với f  x  là đa thức, g  x  là tam thức bậc hai vô nghiệm

thông qua ví dụ: Ví dụ 2.55. Tìm nguyên hàm: I 7  

2 x2  x  3 dx . x2  x  2

GV hƣớng dẫn HS phân tích phân thức trong dấu nguyên hàm trên để thấy rằng thuật giải ở trên chƣa thể vận dụng ngay đƣợc vì tuy mẫu là tam thức bậc hai vô nghiệm nhƣng tử là tam thức bậc hai. Từ đó HS sẽ hình thành ý tƣởng về việc tìm cách biến đổi để làm cho tử chỉ còn thành phần bậc nhất thì sẽ áp dụng thuật giải trên để xử lý đƣợc, đó là phép chia đa thức tử cho mẫu.

2 x2  x  3 3x  7   I7   2 dx    2  2  dx . x x2 x  x2  Nhƣ vậy bằng việc chia tử cho mẫu thì luôn có thể rút gọn phân thức về dạng tử chỉ còn là bậc nhất hoặc hằng số. Nhƣ vậy HS đã hình thành thuật giải xử lý trọn vẹn các bài toán tìm nguyên hàm của phân thức có tử là đa thức, mẫu là tam thức bậc hai vô nghiệm.

2.4.3.4. Hoạt động dạy học bài tập tìm nguyên hàm, tích phân biểu thức lượng giác dạng đa thức của các hàm bậc nhất sin  ax  b  ;cos  ax  b  .

Các kiến thức liên quan đã biết: - Khái niệm, các tính chất của nguyên hàm, tích phân.

- Một số nguyên hàm cơ bản.

100

- Nguyên lý và các bƣớc thực hiện phƣơng pháp đổi biến để tìm nguyên hàm, tích phân.

- Các công thức lƣợng giác: Công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng.

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành thuật giải tổng quát sử dụng các công thức lƣợng giác để biến đổi nguyên hàm, tích phân biểu thức lƣợng giác dạng đa thức của các hàm bậc nhất sin  ax  b  ;cos  ax  b  thành tổng các nguyên hàm cơ bản.

- HS áp dụng thành thạo thuật giải đó để giải quyết các bài toán tƣơng ứng.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1. Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV giúp HS phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ học tập sau: Ví dụ 2.56. Tìm nguyên hàm I1    sin x  sin 2 x  sin 3x  dx .

Ví dụ 2.57. Tìm các nguyên hàm b) I 3   sin 2 xdx

a)  sin x sin 3xdx

c) I 4   sin 2 2 x.cos3xdx .

1 1 HS sẽ dễ dàng tính: I1   cos x  cos 2 x  cos3x  C .

2 3

- Từ lời giải trên GV hƣớng dẫn HS tổng quát hóa thành nguyên hàm của tổng, hiệu các hàm lƣợng giác sin  ax  b  ;cos  ax  b  luôn có thể xử lý đƣợc bằng việc tách thành tổng, hiệu các nguyên hàm cơ bản.

HS sẽ thấy đƣợc rằng chƣa thể xử lý các nguyên hàm I 2 ; I 3 ; I 4 nhƣ I1 đƣợc vì nó chƣa có dạng tổng.

Bước 2. Tìm giải pháp.

Với I 2 , HS có thể kết nối từ cái đang có: “tích” đến cái đích cần biến đổi thành: “tổng” để liên hệ đến các công thức lƣợng giác có tính liên quan và tìm ra công thức cần sử dụng đó là công thức biến đổi tích thành tổng: sin x sin 3x 

1  cos 2 x  cos 4 x  .

2

101

Với I 3 , HS có thể kết nối từ cái đang có: “lũy thừa” đến cái đích cần biến đổi thành: “tổng bậc nhất” để liên hệ đến các công thức lƣợng giác có tính liên quan và tìm ra công thức cần sử dụng đó là công thức hạ bậc. sin 2 x 

1  cos 2 x .

2

Với I 4 , HS sẽ nhận ra nó là sự kết hợp của I 2 và I 3 , từ đó HS sẽ nghĩ đến việc vận dụng liên tiếp công thức hạ bậc rồi công thức tích thành tổng hoặc biến đổi hai lần liên tục tích thành tổng:

sin 2 2 x cos3x 

1  cos 4 x 1 1  cos3x  cos3x   cos7 x  cos x  .

2 2 2 

Hoặc sin 2 2 x cos3x  sin 2 x. 

1 1 sin 5 x  sin x   sin 2 x sin 5 x  sin 2 x sin x  2 2

1 1  cos3x  cos 7 x  cos3x  cos x    2cos3x  cos 7 x  cos x  .

4 4

Bước 3. Trình bày giải pháp a)  sin x sin 3xdx 

1 1 1  cos 2 x  cos 4 x  dx  sin 2 x  sin 4 x  C .  2 4 8

b) I 3   sin 2 xdx  

1  cos 2 x x sin 2 x dx   C. 2 2 4

c) I 4   sin 2 2 x.cos3xdx  

1  cos 4 x cos3xdx .

2

1 1 1 1 1    cos3x   cos7 x  cos x  dx  sin 3 x  sin 7 x  sin x  C .

2 2 6 28 4  Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - GV hƣớng dẫn HS củng cố thuật giải thông qua các ví dụ: Ví dụ 2.58. Tính các tích phân  0

a) I 5 

2

 sin x cos 2 x sin 3xdx



b) I 6   cos 4 xdx .

0

2

- GV hƣớng dẫn HS tìm ra các trƣờng hợp đặc biệt cho phép sử dụng phƣơng pháp đổi biến để xử lý nguyên hàm, tích phân dạng này thông qua các ví dụ sau:

102

Ví dụ 2.59. Tìm các nguyên hàm a) I 7   sin 2 x cos xdx .

b) I8   sin 2 x cos3 xdx .

c) I9   sin 3 x cos5 xdx .

GV hƣớng dẫn HS vận dụng phƣơng pháp đổi biến để xử lý các nguyên hàm trên: Biểu thức dƣới dấu nguyên hàm là tích của hai loại nhân tử là sin x và cos x đồng thời giữa chúng có quan hệ về đạo hàm sin'  x   cos x; cos'  x    sin x nên nếu đặt ẩn phụ u  sin x thì cos x sẽ đóng vai trong là u ' hoặc ngƣợc lại.

Với I 7 , HS sẽ dễ dàng nhận ra đặt ẩn phụ u  sin x thì xử lý đƣợc ngay: Đặt

u3 1 u  sin x thì du  cos xdx nên I 7   u du   C  sin 3 x  C .

3 3 2

Với I8 ; I 9 , HS sẽ thấy phát sinh một vấn đề là nếu đặt ẩn phụ u  sin x thì một nhân tử cos x sẽ đóng vai trò là u ' , trong biểu thức vẫn còn lại các nhân tử

cos x khác, ngƣợc lại, nếu đặt ẩn phụ u  cos x thì một nhân tử sin x sẽ đóng vai trong là u ' (sau khi đổi dấu), trong biểu thức vẫn còn lại các nhân tử sin x khác.

Kết hợp với nguyên lý của phƣơng pháp đổi biến: Ngoài thành phần đóng vai trò u ' thì phần còn lại phải đƣa hết về ẩn phụ u. Từ đó GV đặt vấn đề với HS về công thức biến đổi sin x thành cos x và ngƣợc lại. HS sẽ tìm ra công thức liên hệ là

sin 2 x  1  cos2 x  cos2 x  1  sin 2 x và rút ra kết luận là sin n x với n chẵn thì có thể biểu diễn về cos x và ngƣợc lại cosn x với n chẵn thì có thể biểu diễn về sin x .

HS tiến hành thử áp dụng với I8 ; I 9 .

I8   sin 2 x cos3 xdx .

Nếu đặt sin x  u thì cos xdx  du nên I8   u 2 1  u 2  du .

Nếu đặt cos x  u thì sin xdx  du phần biểu thức còn lại: sin x cos3 x không đƣa đƣợc hết về u nên không xử lý đƣợc.

I 9   sin 3 x cos5 xdx .



Nếu đặt sin x  u thì cos xdx  du nên I 9   u 2 1  u 2

103



2

du .

Nếu đặt cos x  u thì sin xdx  du nên I 9   1  u 2  u 5du .

Từ đó HS sẽ rút ra kết luận tổng quát cho phƣơng pháp đổi biến để giải dạng nguyên hàm  sin n x.cosm xdx : Đặt ẩn phụ u  sin x nếu m là số lẻ hoặc đặt ẩn phụ

u  cos x nếu n là số lẻ.

- GV hƣớng dẫn mở rộng trƣờng hợp tổng quát cho phép đặt ẩn phụ trên thông qua các ví dụ: Ví dụ 2.60. Tính các tích phân: 



2

b) I11  

sin 2 x  sin x dx .

1  3cos x 0 2

a) I10   tan 5 xdx . 

6

GV hƣớng dẫn HS phân tích: 2 sin 5 x 1  cos x  5 .sin x .  +) Ở tích phân I10 : tan x  cos5 x cos5 x 2

+) Ở tích phân I11 :

sin 2 x  sin x 2cos x  1  .sin x .

1  3cos x 1  3cos x

Do đó ta có thể dùng phƣơng pháp đổi biến u  cos x để xử lý hai tích phân trên. Từ đó HS có thể tổng quát hóa thành các trƣờng hợp: Nguyên hàm:

 f  cos x .sin

n

x với n là số tự nhiên lẻ thì có thể dùng

phƣơng pháp đổi biến u  cos x .

Nguyên hàm:

 f  sin x .cos

n

x với n là số tự nhiên lẻ thì có thể dùng

phƣơng pháp đổi biến u  sin x .

2.4.3.5. Hoạt động dạy học bài tập tìm nguyên hàm, tích phân biểu thức lượng giác dạng đa thức, phân thức của tan x , cot x .

Các kiến thức liên quan đã biết: - Khái niệm, các tính chất của nguyên hàm, tích phân.

- Một số nguyên hàm cơ bản.

- Nguyên lý và các bƣớc thực hiện phƣơng pháp đổi biến để tìm nguyên hàm, tích phân.

104

Mục tiêu của hoạt động: - HS tự hình thành thuật giải tổng quát tìm nguyên hàm, tích phân biểu thức lƣợng giác dạng đa thức, phân thức của tan x , cot x .

- HS áp dụng thành thạo thuật giải đó để giải quyết các bài toán tƣơng ứng.

- HS áp dụng thuật giải trên để hình thành thuật giải cho các bài toán dạng

 a sin

2

dx . x  b sin x cos x  c cos 2 x

- HS hình thành thuật giải tổng quát mở rộng cho các bài toán dạng dx  a sin x  b cos x  c và sau đó là dạng



 m sin x  n cos x  p  dx a sin x  b cos x  c

.

Triển khai hoạt động dạy học: Bước 1. Phát hiện, thâm nhập vấn đề - GV hƣớng dẫn HS phát hiện, thâm nhập vấn đề thông qua ví dụ sau: Ví dụ 2.61. Tìm các nguyên hàm a) I1   tan xdx

b) I 2   tan 2 xdx

c) I 3    tan 3 x  tan x  dx

d) I 4    tan 4 x  tan 3 x  dx .

Với ví dụ I1   tan xdx HS sẽ dễ dàng áp dụng thuật giải đã học về nguyên hàm, tích phân biểu thức của sin x;cos x để giải quyết: I1   tan xdx  

sin x d cos x dx     2ln cos x  C . cos x cos x

Với ví dụ I 2   tan 2 xdx . GV có thể gợi ý HS thực hiện bài toán biểu diễn đạo hàm của tan x theo tan x rồi suy ngƣợc lại nguyên hàm: tan'  x  

1   tan 2 x  1 . cos 2 x

Từ đó I 2   tan 2 xdx    tan 2 x  1 dx   dx  tan x  x  C .

105

Với

ví

dụ

I3 ,

HS

sẽ

dễ

dàng

thấy

đƣợc

I 3    tan 3 x  tan x  dx   tan x  tan 2 x  1 dx và hình thành ý tƣởng coi tan x là ẩn

tan 2 x phụ: I 3   tan x  tan x  1 dx   tan xd tan x  C. 2 2

- GV hƣớng dẫn HS phân tích từ kết quả của I 3 để thấy rằng nguyên hàm có dạng

 f  tan x   tan

2

x  1 dx thì luôn có thể xử lý đƣợc bằng phƣơng pháp đổi

biến u  tan x .

Bước 2. Tìm giải pháp GV yêu cầu HS xử lý tƣơng tự với I 4 ; HS sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích thành nhân tử tan 2 x  1 . GV yêu cầu HS chứng minh rằng không thể tách đƣợc nhân tử tan 2 x  1 để hƣớng HS nghĩ đến việc chia biểu thức dƣới dấu nguyên hàm cho tan 2 x  1 theo kiểu chia đa thức, phát sinh phần dƣ sẽ có nghĩa là không tách đƣợc nhân tử tan 2 x  1 : tan 4 x  tan 3 x   tan 2 x  tan x  1 tan 2 x  1  tan x  1 .

Từ đó GV đặt vấn đề giúp HS phân tích là biểu thức ban đầu đã tách thành tổng hai số hạng f  x  . tan 2 x  1 và một phần dƣ. HS sẽ tự thấy rằng phần dƣ sẽ chỉ có dạng a.tan x  b đƣa đƣợc về nguyên hàm I1 ở trên ta đã xử lý đƣợc. Từ đó HS đã hình thành giải pháp để xử lý nguyên hàm I 4 .

Bước 3. Trình bày giải pháp Ta có tan 4 x  tan 3 x   tan 2 x  tan x  1 tan 2 x  1  tan x  1 nên I 4    tan 4 x  tan 3 x  dx    tan 2 x  tan x  1 tan 2 x  1 dx   tan xdx   dx    tan 2 x  tan x  1 d tan x  ln cos x  x  C



tan 3 x tan 2 x   tan x  ln cos x  x  C .

3 2

Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp

106

- GV giúp HS củng cố kiến thức thuật giải thông qua các ví dụ: Ví dụ 2.62. Tính các tích phân: 



a) I 5    4 tan 5 x  5 tan 3 x  2 tan 2 x  dx 4

0

3

b) I 6    tan x  1 dx .

3



4

- GV hƣớng dẫn HS phân tích hình thành thuật giải tƣơng tự cho nguyên hàm, tích phân của biểu thức dạng đa thức của cot x thông qua ví dụ: Ví dụ 2.63. Tìm các nguyên hàm: b) I8    cot x  2   cot 2 x  1 dx .

a) I 7   cot xdx HS thực hiện tính: I 7  

cos x d sin x dx    ln sin x  C . sin x sin x

I8    cot x  2   cot 2 x  1 dx    2  cot x  d cot x  2cot x 

cot 2 x  C. 2

Qua ví dụ trên HS sẽ thấy rằng nguyên hàm dạng

 f  cot x . cot

2

  a cot x  b  dx và nguyên hàm

x  1 dx có thể xử lý tƣơng tự đƣợc nên các dạng nguyên hàm

của biểu thức dạng đa thức của cot x đều có thể xử lý theo thuật giải tƣơng tự thuật giải trên.

- GV hƣớng dẫn HS hình thành thuật giải tƣơng tự cho nguyên hàm dạng

 a sin

2

dx thông qua ví dụ: x  b sin x cos x  c cos 2 x

Ví dụ 2.64. a) Chứng minh rằng

1 tan 2 x  1  . sin 2 x  4sin x cos x  3cos 2 x tan 2 x  4 tan x  3

b) Tìm nguyên hàm I 9  

dx . sin x  4sin x cos x  3cos 2 x 2

HS dễ dàng chứng minh đƣợc đẳng thức trên và từ đó thực hiện bài toán tìm nguyên hàm:

107

I9  

dx tan 2 x  1  dx . sin 2 x  4sin x cos x  3cos 2 x  tan 2 x  4 tan x  3

Đặt u  tan x thì  tan 2 x  1 dx  du nên I 9  

du . u  4u  3 2

HS sẽ nhận ra dạng nguyên hàm này đã có thuật giải để xử lý và từ đó hình thành thuật giải tổng quát cho

 a sin

2

dx là: x  b sin x cos x  c cos 2 x

dx tan 2 x  1  a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x   a.tan 2 x  b tan x  c dx Đặt u  tan x thì

 tan

2

x  1 dx  du nên ta đƣợc

 au

2

du và dạng  bu  c

nguyên hàm này đã có thuật giải xử lý.

- GV hƣớng dẫn HS hình thành thuật giải tƣơng tự cho nguyên hàm dạng dx  a sin x  b cos x  c thông qua ví dụ:

Ví dụ 2.65. a) Chứng minh rằng

1 1  . 3sin x  cos x  3 4sin 2 x  6sin x cos x  2cos 2 x 2 2 2 2

b) Tìm nguyên hàm I10  

dx . 3sin x  cos x  3

HS dễ dàng chứng minh đƣợc đẳng thức trên và từ đó tìm nguyên hàm: I10  

dx dx .  x x 3sin x  cos x  3 2 x 2 x 4sin  6sin cos  2cos 2 2 2 2

Từ đó HS sẽ nhận thấy chỉ cần đặt u 

x thì sẽ đƣa đƣợc nguyên hàm I10 về 2

dạng nhƣ I 9 và đã có thuật giải. Nhƣ vậy HS đã hình thành thuật giải cho dạng nguyên hàm

 a sin

2

dx

 a sin x  b cos x  c

là: Đặt u 

dx đã có thuật giải. x  b sin x cos x  c cos 2 x

108

x để đƣa về nguyên hàm dạng 2

- GV hƣớng dẫn HS hình thành thuật giải mở rộng cho nguyên hàm dạng



 m sin x  n cos x  p  dx a sin x  b cos x  c

thông qua ví dụ:

Ví dụ 2.66. Tìm các nguyên hàm a) I11  

sin x  cos x dx sin x  cos x  1

b) I12  

2sin x  2cos x  3 dx . sin x  cos x  1

c) Tìm các số thực a; b sao cho

3sin x  4cos x  a  sin x  cos x   b  sin x  cos x  x .

Từ đó tìm nguyên hàm I13  

3sin x  4cos x  2 . sin x  cos x  1

HS dễ dàng nhận dạng và xử lý I11 bằng cách sử dụng phƣơng pháp đổi biến

u  sin x  cos x  1.

HS dễ dàng nhận dạng và xử lý I12 bằng cách biến đổi thành dạng nguyên hàm đã có thuật giải:

I12  

2sin x  2cos x  3 1   dx    2   dx . sin x  cos x  1 sin x  cos x  1  

1  a  a  b  3   2  Với ý c), HS dễ dàng đồng nhất hai vế và rút ra  . b  a  4 b  7  2 Từ đó biến đổi: I13   

3sin x  4cos x  2 sin x  cos x  1

1 sin x  cos x 7 dx dx   dx   .  2 sin x  cos x  1 2 sin x  cos x  1

Tức là đã đƣa I13 về các nguyên hàm cơ bản hoặc nguyên hàm dạng đã có thuật giải. GV yêu cầu HS tổng quát hóa và nghiên cứu về khả năng áp dụng thuật giải giống cách đã xử lý I13 vào trƣờng hợp tổng quát.

HS xây dựng bài toán dạng tổng quát I  

 m sin x  n cos x  p  dx a sin x  b cos x  c

Tách m sin x  n cos x  A  a sin x  b cos x   B  a cos x  b sin x  .

109

:

Từ đó biến đổi: I  A dx  B 

a cos x  b sin x dx dx  D  . a sin x  b cos x  c a sin x  b cos x  c

GV phân tích để giúp HS thấy rằng việc thực hiện đƣợc thuật giải trên sẽ phụ thuộc vào việc tìm đƣợc các hệ số A, B hay không. HS sẽ phân tích rằng việc tìm a. A  b.B  m và hệ này luôn có b. A  a.B  n

A, B phụ thuộc vào việc giải hệ phƣơng trình: 

một nghiệm duy nhất do có định thức D  a 2  b2 luôn khác không. Nhƣ vậy thuật giải tổng quát trên luôn thực hiện đƣợc tức là ta đã có thuật giải tổng quát cho bài toán



 m sin x  n cos x  p  dx a sin x  b cos x  c

.

110

Tiểu kết chƣơng 2 Căn cứ vào việc nghiên cứu tài liệu và kinh nghiệm giảng dạy bộ môn Toán ở trƣờng phổ thông của bản thân, trong chƣơng 2 luận văn này tác giả đã: - Xây dựng đƣợc quy trình DHGQVĐ chung của một số tình huống dạy học điển hình trong môn Toán nhƣ dạy học khái niệm toán học, dạy học định lí toán học, dạy học quy tắc, phƣơng pháp,…

- Thiết kế một cách cụ thể một số hoạt động DHGQVĐ cho các nội dung điển hình tƣơng ứng của chủ đề Nguyên hàm – Tích phân ở lớp 12 THPT. Với các lý luận thu thập đƣợc từ các tài liệu cùng với những lập luận, giải thích của mình và các ví dụ đƣợc xây dựng trong quá trình dạy học chủ đề Nguyên hàm – Tích phân ở lớp 12 THPT, tác giả cho rằng giả thuyết khoa học của luận văn về mặt lý thuyết là có thể chấp nhận đƣợc.

111

PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1. PHIẾU HỎI Ý KIẾN (Dành cho giáo viên dạy bộ môn Toán ở trƣờng THPT) Để phục vụ cho đề tài nghiên cứu về việc tổ chức dạy học môn Toán ở trƣờng THPT theo phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề, chúng tôi mong nhận đƣợc ý kiến của quý thầy cô về một số nội dung dƣới đây. Chúng tôi xin cam kết các thông tin quý thầy cô cung cấp sẽ chỉ đƣợc sử dụng vào mục đích nghiên cứu đề tài trên. Kính mong quý thầy cô cho ý kiến theo đúng suy nghĩ của bản thân.

Xin quý thầy cô vui lòng cho biết ý kiến của mình về các vấn đề dưới đây bằng cách đánh dấu (X) hoặc xếp thứ tự 1,2,… vào ô tương ứng với phương án hoặc các phương án mà các thầy cô nghĩ là phù hợp nhất: Câu 1: Thầy cô đã đƣợc tìm hiểu về phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề từ các nguồn thông tin chính nào sau đây (Chọn 2 nguồn chính theo thứ tự 1,2)?

Từ trƣờng đại học khi học ở hệ đào tạo đại học Từ trƣờng đại học khi học ở hệ đạo tạo thạc sĩ.

Từ các báo cáo viên trong các đợt tập huấn chuyên môn.

Tự tìm hiểu qua các tài liệu, các nguồn thông tin đại chúng.

Nguồn thông tin khác Câu 2: Thầy cô cho rằng thuật ngữ “vấn đề” trong dạy học đƣợc hiểu nhƣ thế nào?

Vấn đề là bài toán mà học sinh chƣa làm đƣợc Vấn đề là bài toán mà học sinh chƣa làm đƣợc mặc dù đã đƣợc học đầy đủ kiến thức.

Vấn đề là bài toán mà học sinh chƣa làm đƣợc vì chƣa đƣợc học các kiến thức tƣơng ứng.

Vấn đề là bài toán mà học sinh cần tích cực suy nghĩ, tƣ duy thì mới có thể làm đƣợc.

Câu 3: Thầy cô cho rằng những điều kiện nào sau đây để một tình huống dạy học có thể coi là tình huống gợi vấn đề?

Trong tình huống phải chứa đựng vấn đề.

Phải tạo đƣợc sự quan tâm, thích thú ở học sinh.

Phải khiến học sinh thấy hoàn toàn mới lạ, chƣa biết làm nhƣ thế nào, kể cả các học sinh giỏi nhất lớp.

Phải khiến học sinh nghĩ rằng mình sẽ làm đƣợc, chỉ cần cố gắng thêm một chút thôi Câu 4: Thầy cô đánh giá lợi ích của việc sử dụng phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề trong dạy học bộ môn Toán nhƣ thế nào?

Có hại cho việc học và làm toán của học sinh.

Không có lợi cho việc học và làm toán của học sinh.

Có lợi vừa phải cho việc học và làm toán của học sinh.

Rất có lợi cho việc học và làm toán của học sinh.

Câu 5: Thầy cô đánh giá mức độ thƣờng xuyên sử dụng phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề của bản thân nhƣ thế nào?

Rất ít khi sử dụng.

Thỉnh thoảng sử dụng

Thƣờng xuyên sử dụng

Luôn luôn sử dụng

Câu 6: Thầy cô nghĩ rằng nên sử dụng phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề vài những nội dung nào?

Không nên sử dụng vì Toán là môn khoa học trừu tƣợng.

Một số ít nội dung mà cảm thấy “dễ” đối với học sinh.

Hầu hết các nội dung trong chƣơng trình.

Tất cả các nội dung trong chƣơng trình.

Câu 7: Thầy cô nghĩ rằng những điều nào sau đây gây khó khăn cho bản thân khi sử dụng phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề (thầy cô đánh số phƣơng án phù hợp nhất theo thứ tự 1,2,…)?

Kiến thức quá trừu tƣợng, khó thiết kế tình huống gợi vấn đề phù hợp.

Việc thiết kế tình huống gợi vấn đề tốn nhiều thời gian.

Việc triển khai hoạt động trên lớp dễ vƣợt quá thời lƣợng quy định.

Nhiều học sinh không hào hứng tham gia.

Những học sinh có lực học chƣa tốt khó nắm đƣợc nội dung bài học.

Khó theo sát quá trình hoạt động của từng học sinh để có những can thiệp, định hƣớng phù hợp.

Học sinh mất thời gian nhiều hơn để học lý thuyết, không còn đủ thời gian để luyện tập.

Học sinh không cần hiểu rõ, chỉ cần xem giáo viên làm mẫu và bắt chƣớc theo nhiều lần.

Câu 8: Thầy cô thƣờng thiết kế quá trình dạy học nhƣ thế nào khi dạy học khái niệm Toán học?

Học sinh đọc định nghĩa khái niệm trong sách giáo khoa rồi giáo viên tóm tắt, mô tả lên bảng.

Giáo viên tóm tắt, mô tả lên bảng rồi học sinh đọc định nghĩa khái niệm trong sách giáo khoa.

Giáo viên đƣa ra một số ví dụ cụ thể, rồi đặt tên cho chúng, sau đó yêu cầu học sinh đọc định nghĩa khái niệm trong sách giáo khoa rồi tóm tắt, mô tả trên bảng.

Giáo viên đƣa ra một số ví dụ cụ thể, yêu cầu học sinh tìm ra đặc điểm chung của chúng, sau đó giáo viên đƣa ra khái niệm và yêu cầu học sinh mô tả rồi đọc định nghĩa khái niệm trong sách giáo khoa.

Phƣơng án khác.

Câu 9: Thầy cô thƣờng thiết kế quá trình dạy học nhƣ thế nào khi dạy học định lý Toán học?

Giáo viên trình bày nội dung định lý, bỏ qua chứng minh định lý rồi áp dụng mẫu cho một vài ví dụ sau đó học sinh luyện tập một số ví dụ khác.

Giáo viên trình bày nội dung định lý, chứng minh định lý, hƣớng dẫn học sinh làm một số ví dụ rồi cho học sinh luyện tập một số ví dụ khác.

Giáo viên trình bày nội dung định lý, hƣớng dẫn học sinh chứng minh định lý,hƣớng dẫn thực hiện một số ví dụ rồi cho học sinh luyện tập một số ví dụ khác.

Giáo viên định hƣớng học sinh dự đoán nội dung định lý, hƣớng dẫn học sinh chứng minh định lý rồi hƣớng dẫn học sinh áp dụng vào ví dụ.

Câu 10: Thầy cô thƣờng thiết kế quá trình dạy học nhƣ thế nào khi dạy học phƣơng pháp giải bài tập toán?

Giáo viên đƣa ra thuật giải tổng quát sau đó làm mẫu một số ví dụ rồi yêu cầu học sinh thực hành một số ví dụ khác.

Giáo viên giải mẫu một số ví dụ, từ đó khái quát lên thuật giải tổng quát rồi yêu cầu học sinh thực hành một số ví dụ khác.

Giáo viên hƣớng dẫn học sinh làm một số ví dụ cụ thể theo hƣớng từ dễ đến khó, từ thành phần đến toàn bộ,… sau đó giáo viên nêu cách làm tổng quát rồi yêu cầu học sinh luyện tập một số ví dụ khác.

Giáo viên hƣớng dẫn học sinh làm một số ví dụ cụ thể theo hƣớng từ dễ đến khó, từ thành phần đến toàn bộ,… sau đó giáo viên hƣớng dẫn học sinh xây dựng bài toán tổng quát, hƣớng dẫn học sinh giải bài toán tổng quát.

Xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ của quý thầy cô!

PHỤ LỤC 2. PHIẾU HỎI Ý KIẾN (Dành cho học sinh ở trƣờng THPT) Để phục vụ cho đề tài nghiên cứu về việc tổ chức dạy học môn Toán ở trƣờng THPT theo phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề, chúng tôi mong nhận đƣợc ý kiến của các em về một số nội dung dƣới đây. Chúng tôi xin cam kết các thông tin các em cung cấp sẽ chỉ đƣợc sử dụng vào mục đích nghiên cứu đề tài trên.

Rất mong các em cho ý kiến theo đúng suy nghĩ của bản thân. Đề nghị các em vui lòng cho biết ý kiến của mình về các vấn đề dưới đây bằng cách đánh dấu (X) hoặc xếp thứ tự 1,2,… vào ô tương ứng với phương án hoặc các phương án mà các em nghĩ là phù hợp nhất: Câu 1: Theo các em thì mục tiêu cuối cùng của các em khi học bộ môn Toán là gì?

Ghi nhớ đƣợc các khái niệm, tính chất và các định lý toán học.

Giải đƣợc các bài toán, đạt đƣợc kết quả cao trong các kì thi.

Ghi nhớ và vận dụng các kiến thức, các công cụ toán học vào các tình huống thực tế.

Phát triển các năng lực, phẩm chất liên quan, đặc biệt là năng lực tƣ duy.

Câu 2: Theo các em, một tiết học toán đƣợc coi là hiểu bài khi các em đạt đƣợc điều gì sau đây?

Hiểu và ghi nhớ đƣợc các khái niệm, tính chất, định lý trong tiết học.

Hiểu và ghi nhớ đƣợc các thuật giải các dạng bài toán.

Hiểu và ghi nhớ đƣợc các ví dụ mà giáo viên đã hoàn chỉnh lời giải làm mẫu.

Hiểu và thực hành các cách phân tích, cách tƣ duy mà giáo viên và cả học sinh đã thực hiện.

Câu 3: Tiến trình dạy học thƣờng diễn ra nhƣ thế nào khi học về khái niệm Toán học?

Học sinh đọc định nghĩa khái niệm trong sách giáo khoa rồi giáo viên tóm tắt, mô tả lên bảng.

Giáo viên tóm tắt, mô tả lên bảng rồi học sinh đọc định nghĩa khái niệm trong sách giáo khoa.

Giáo viên đƣa ra một số ví dụ cụ thể, rồi đặt tên cho chúng, sau đó yêu cầu học sinh đọc định nghĩa khái niệm trong sách giáo khoa rồi tóm tắt, mô tả trên bảng.

Giáo viên đƣa ra một số ví dụ cụ thể, yêu cầu học sinh tìm ra đặc điểm chung của chúng, sau đó giáo viên đƣa ra khái niệm và yêu cầu học sinh mô tả rồi đọc định nghĩa khái niệm trong sách giáo khoa.

Phƣơng án khác.

Câu 4: Tiến trình dạy học thƣờng diễn ra nhƣ thế nào khi học về định lý Toán học?

Giáo viên trình bày nội dung định lý, bỏ qua chứng minh định lý rồi áp dụng mẫu cho một vài ví dụ sau đó học sinh luyện tập một số ví dụ khác.

Giáo viên trình bày nội dung định lý, chứng minh định lý, hƣớng dẫn học sinh làm một số ví dụ rồi cho học sinh luyện tập một số ví dụ khác.

Giáo viên trình bày nội dung định lý, hƣớng dẫn học sinh chứng minh định lý,hƣớng dẫn thực hiện một số ví dụ rồi cho học sinh luyện tập một số ví dụ khác.

Giáo viên định hƣớng học sinh dự đoán nội dung định lý, hƣớng dẫn học sinh chứng minh định lý rồi hƣớng dẫn học sinh áp dụng vào ví dụ.

Câu 5: Tiến trình dạy học thƣờng diễn ra nhƣ thế nào khi học phƣơng pháp giải bài tập toán?

Giáo viên đƣa ra thuật giải tổng quát, làm mẫu một số ví dụ rồi yêu cầu học sinh thực hành một số ví dụ khác.

Giáo viên giải mẫu một số ví dụ, từ đó khái quát lên thuật giải tổng quát rồi yêu cầu học sinh thực hành một số ví dụ khác.

Giáo viên hƣớng dẫn học sinh làm một số ví dụ cụ thể theo hƣớng từ dễ đến khó, từ thành phần đến toàn bộ,… sau đó giáo viên nêu cách làm tổng quát rồi yêu cầu học sinh luyện tập một số ví dụ khác.

Giáo viên hƣớng dẫn học sinh làm một số ví dụ cụ thể theo hƣớng từ dễ đến khó, từ thành phần đến toàn bộ,… sau đó giáo viên hƣớng dẫn học sinh xây dựng bài toán tổng quát, hƣớng dẫn học sinh giải bài toán tổng quát.

Xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ của các em!

PHỤ LỤC 3 GIÁO ÁN BÀI DẠY: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM (TIẾT THỨ 4) I. Mục tiêu 1.Về kiến thức - Trình bày đƣợc nội dung định lý về phƣơng pháp nguyên hàm từng phần.

- Xây dựng và trình bày đƣợc quy trình tìm nguyên hàm theo phƣơng pháp nguyên hàm từng phần.

2. Về kĩ năng - Vận dụng thành thạo phƣơng pháp nguyên hàm từng phần để tìm các nguyên hàm phù hợp.

3. Năng lực, phẩm chất cần phát triển - Năng lực: lƣu ý phát triển năng lực tính toán (trong việc tính các kết quả trong bài), năng lực giải quyết vấn đề (trong giai đoạn thâm nhập, phát hiện vấn đề và tìm giải pháp), năng lực sử dụng ngôn ngữ toán (trong giai đoạn trình bày giải pháp, khi phát biểu, khi giải các bài tập...).

- Phẩm chất: Có trách nhiệm với bản thân, bạn bè, nhà trƣờng; Trung thực, tự lập, tự tin, tự chủ và có tinh thần vƣợt khó (thể hiện trong ý thức thực hiện các nhiệm vụ học tập).

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên - Kế hoạch tổ chức hoạt động học tập (Giáo án, phiếu học tập, bài trình chiếu, bảng phụ).

- Các phƣơng tiện, thiết bị dạy học cần thiết.

2. Học sinh - Ôn tập các kiến thức về khái niệm, các tính chất của nguyên hàm, vi phân.

- Ôn tập các kiến thức về phƣơng pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

- Ôn tập các kiến thức về đạo hàm của một tích hai hàm số.

III. Tiến trình bài học 1. Ổn định tổ chức lớp 2. Kiểm tra bài cũ Câu hỏi: Hãy nêu định nghĩa và hoàn thành bảng các nguyên hàm cơ bản.

3. Bài mới Hoạt động 1: Tìm hiểu định lý về nguyên hàm từng phần.

Hoạt động của học sinh

Hoạt động của giáo viên Bước 1. Phát hiện, thâm nhập

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ học vấn đề - Giáo viên đƣa ra tình huống

tập: Ví dụ 1.

học tập thông qua các ví dụ:

a) Vì  x cos x  '  x '.cos x  x. cos x  '

Ví dụ 1. a) Chứng minh rằng

  x sin x  cos x  dx  x cos x  C .  cos x  x sin x x . nên

b) Tính ta

có ra

  cos x  x sin x  dx  x cos x  C .

  ln x  1 dx  x ln x  C .

 x sin xdx   cos xdx    cos x  x sin x  dx  sin x  x cos x  C. dụ

2.

 x ln x  '  x '.ln x  x. ln x  '

a)

 x sin xdx .

Ví dụ 2. a) Chứng minh rằng

b) Ta có  cos xdx  sin x  C nên

Ví

b) Áp dụng kết quả câu a) hãy

tính  ln xdx .

Vì

Ví dụ 3. a) Chứng minh rằng

  x  1 e dx  x.e x

b) Tính

 ln x  1 x  0

 cos xdx . Từ đó suy

x

C .

 e dx . Từ đó suy ra x

nên ta có

  ln x  1 dx  x ln x  C .

b) Áp dụng kết quả câu a) ta có

 ln xdx    ln x  1 dx   dx

 xe dx . x

Giáo viên có thể gợi ý: -

Chứng

minh

F  x

là

nguyên hàm của f  x  bằng việc tính

 x ln x  x  C.

đạo hàm của F  x 

Ví dụ 3.

 

 

a) Ta có xe x '  x '.e x  x. e x '

- Nguyên hàm cần tính ở ý thứ hai thực ra chỉ là một số hạng trong

 e x  x.e x  1  x  e x x

nên

nguyên hàm tổng ở ý đầu.

  x  1 e dx  x.e x

C .

x

b) Ta có  e x dx  e x  C . đó

Từ

Bước 2. Tìm giải pháp

suy

ra

sinh phân tích các ví dụ để nhận ra

 xe dx    x  1 e dx   e dx x

x

x

các đặc điểm sau: Trong mỗi ví dụ, ý

 x.e  e  C . x

- Giáo viên hƣớng dẫn học

x

đầu tiên đều là việc sử dụng đạo hàm của một tích dạng u  x  .v  x  để chứng minh tích đó bằng nguyên hàm của một hàm dạng tổng hai số

- Học sinh xây dựng công thức tổng quát cho các ví dụ trên:

 u( x)v ( x)dx  u( x)v( x)   u ( x)v( x)dx 

.



hạng và hai số hạng đó chính là: u '  x  .v  x  và u  x  .v '  x  ; ý thứ hai

của mỗi ví dụ là dựa vào kết quả của ý đầu tiên, ta chỉ cần tính nguyên hàm của một trong hai số hạng ở trên (dễ tính hơn), ta sẽ suy ra nguyên hàm thành phần còn lại (khó tính hơn) bằng lấy tích u  x  .v  x  trừ đi nguyên hàm của số hạng đầu tiên.

- Giáo viên hƣớng dẫn học

sinh xây dựng công thức tổng quát từ - Học sinh phát biểu hoàn chỉnh nội các ví dụ ở trên. dung định lí.

Bước 3. Tìm giải pháp

Định lí: Nếu hai hàm số u  u  x  và

- Giáo viên hƣớng dẫn học

v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì sinh hình thành và hoàn chỉnh định lý.   u ( x ) v ( x ) dx  u ( x ) v ( x )  u ( x ) v ( x ) dx .   - Giáo viên hƣớng dẫn học - Học sinh hình thành chứng minh sinh xây dựng chứng minh định lí:

định lí: Từ công thức đạo hàm của một tích ta có (u( x)v( x))  u ( x)v( x)  u( x)v ( x)

Nên

ta

có

 u( x)v ( x)  u ( x)v( x) dx  u( x)v( x)  C 



,

vậy

 u( x)v ( x)dx  u( x)v( x)   u ( x)v( x)dx . 



Hoạt động 2: Xây dựng phƣơng pháp nguyên hàm từng phần.

Hoạt động của học sinh

Hoạt động của giáo viên Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - Từ nội dung định lí, giáo viên hƣớng dẫn học sinh xây dựng phƣơng pháp tìm nguyên hàm theo kiểu “nguyên hàm từng phần”: Bƣớc 1. Định hƣớng biểu thức trong dấu nguyên hàm về dạng tích u  x  .v '  x  trong đó đảm bảo tìm đƣợc u '  x  và v  x  đồng thời việc tìm

nguyên hàm của u '  x  v  x  dễ dàng hơn

nguyên hàm ban đầu.

Bƣớc 2. Sử dụng công thức định lí thiết lập công thức:

 u( x)v ( x)dx  u( x)v( x)   u ( x)v( x)dx 

Bƣớc - Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập:



3.

 u '  x  v  x  dx

Tính

nguyên

hàm

và từ đó kết luận bài

toán.

Học sinh thử nêu các cách sắp xếp vai trò u  x  và v '  x  tƣơng ứng hai

- Giáo viên hƣớng dẫn học sinh củng cố nội dung phƣơng pháp nguyên

nhân tử trong nguyên hàm cần tìm rồi trả hàm từng phần thông qua việc thực hiện lời hai câu hỏi trên. Từ đó hình thành lời các ví dụ sau: giải:

Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm a) I1   x ln xdx Đặt

sau:

u  x   ln x ,  v '  x   x

1  u '  x   x  2 v  x   x  2

a) I1   x ln xdx

chọn

b) I 2    2 x  3 e x dx c) I3    3x  1 cos xdx Trong từng nguyên hàm trên, giáo viên cho học sinh thử sắp xếp vai trò của

Từ đó áp dụng định lí nguyên hai nhân tử u x và v ' x trong nguyên     hàm từng phần ta có hàm cần tính rồi tập trả lời lần lƣợt các 2 2 x 1 x I1   x ln xdx  ln x.   . dx câu hỏi: 2 x 2 Câu hỏi 1. Sắp xếp vai trò nhƣ thế 2 x x x2 x2  ln x.   dx  ln x.   C. 2 2 2 4 thì tìm đƣợc u '  x  và v  x  không?

Câu hỏi 2. Khi tìm đƣợc u '  x  và +) I 2    2 x  3 e dx x

v  x

thì

việc

 u '  x  v  x  dx

có

tính thực

nguyên

hàm

hiện

đƣợc

Đặt

u  x   2 x  3 ,  x v ' x  e   

không? (Có dễ dàng hơn nguyên hàm chọn

ban đầu hay không?)

u '  x   2 .  x v  x   e Từ đó áp dụng định lí nguyên hàm từng phần ta có

I 2    2 x  3 e x dx   2 x  3 e x   2e x dx   2 x  3 e x  2e x  C  2 xe x  e x  C.

+) I3    3x  1 cos xdx Đặt

 u  x   3x  1 ,   v '  x   cos x

chọn

 u '  x   3 .  v x  sin x     Từ đó áp dụng định lí nguyên hàm từng phần ta có

I 3    2 x  3 e x dx   3x  1 sin x   3sin xdx

  3x  1 sin x  3cos x  C. Hoạt động 3: Củng cố phƣơng pháp nguyên hàm từng phần.

Hoạt động của học sinh

Hoạt động của giáo viên

- Học sinh vận dụng phƣơng pháp

- Giao nhiệm vụ học tập củng cố phƣơng

nguyên hàm từng phần để hoàn thành

pháp bằng ví dụ:

các bài tập trong ví dụ 5.

Ví dụ 5. Tìm các nguyên hàm sau: a) I 4   x 2e x dx

b) I 5   sin xdx

c) I 6   x.e x dx

d) I 7   e x dx

- Giáo viên hƣớng dẫn học sinh hoàn chỉnh lời giải, chỉnh sửa các sai lầm phát sinh.

Hoạt động 4: Hƣớng dẫn học bài ở nhà.

Giáo viên hƣớng dẫn học sinh ôn tập kiến thức thông qua các nhiệm vụ học tập ở nhà: Nhiệm vụ 1. Tìm quy luật về cách chọn vai trò của hai nhân tử u  x  và v '  x  trong nguyên hàm cần tính trong từng trƣờng hợp về loại nhân tử trong

nguyên hàm: đa thức, logarit, mũ, lƣợng giác.

Nhiệm vụ 2. Thực hiện các bài tập trong sách giáo khoa.

PHỤ LỤC 4 GIÁO ÁN BÀI DẠY: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (TIẾT THỨ 8) I. Mục tiêu 1.Về kiến thức - Trình bày đƣợc nội dung định lý về phƣơng pháp tích phân từng phần.

- Xây dựng và trình bày đƣợc quy trình tính tích phân theo phƣơng pháp tích phân từng phần.

2. Về kĩ năng - Vận dụng thành thạo phƣơng pháp tích phân từng phần để tính các tích phân phù hợp.

3. Năng lực, phẩm chất cần phát triển - Năng lực: lƣu ý phát triển năng lực tính toán (trong việc tính các kết quả trong bài), năng lực giải quyết vấn đề (trong giai đoạn thâm nhập, phát hiện vấn đề và tìm giải pháp), năng lực sử dụng ngôn ngữ toán (trong giai đoạn trình bày giải pháp, khi phát biểu, khi giải các bài tập...).

- Phẩm chất: Có trách nhiệm với bản thân, bạn bè, nhà trƣờng; Trung thực, tự lập, tự tin, tự chủ và có tinh thần vƣợt khó (thể hiện trong ý thức thực hiện các nhiệm vụ học tập).

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên - Kế hoạch tổ chức hoạt động học tập (Giáo án, phiếu học tập, bài trình chiếu, bảng phụ).

- Các phƣơng tiện, thiết bị dạy học cần thiết.

2. Học sinh Thực hiện các nhiệm vụ học tập chuẩn bị cho tiết học: - Ôn tập các kiến thức về khái niệm, các tính chất của nguyên hàm, vi phân.

- Ôn tập các kiến thức về phƣơng pháp đổi biến, phƣơng pháp nguyên hàm từng phần tìm nguyên hàm.

III. Tiến trình bài học

1. Ổn định tổ chức lớp 2. Kiểm tra bài cũ Câu hỏi: Nêu định lý và quy trình tìm nguyên hàm theo phƣơng pháp nguyên hàm từng phần.

3. Bài mới Hoạt động 1: Tìm hiểu công thức đổi biến khi tính tích phân.

Hoạt động của học sinh

Hoạt động của giáo viên Bước 1. Phát hiện, thâm nhập

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ học vấn đề tập:

- Giáo viên dẫn dắt học sinh Ví dụ 1. Xét I1    3x 2  1 .xdx .

đến tình huống thông qua việc giải

3

u  3x 2  1 ,

Đặt

ta

quyết các nhiệm vụ học tập: có

1 du  6 xdx  xdx  du .

6

I1    3x 2  1 .xdx . Từ đó tính tích 3

Vậy

1

phân J1    3x 2  1 xdx .

3x 2  1  1 3 u4 I1   u du  C  C .

6 24 24 4

Do 1

3

 3x xdx 

0



2

 1 1

24

4

0

32 1 255 .   3 24 24

ln 2 x  ln x Ví dụ 2. Xét I 2   dx . x

1 Đặt ln x  u , ta có dx  du . x

Vậy I2  

ln 2 x  ln x dx    u 2  u  du x

3

0

Ví dụ 2. Tính nguyên hàm đó

J1    3x  1 2

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm

I2  

ln 2 x  ln x dx . Từ đó tính tích x e

ln 2 x dx . x 1

phân J 2  

Ví dụ 3. Tính nguyên hàm I 3   e x  2e x  1 dx . Từ đó tính tích 3

ln 2

phân J 3 

 e  2e x

0

x

 1 dx .

3

u3 u 2 ln 3 x ln 2 x   C   C .

3 2 3 2 e

ln 2 x dx Do đó J 2   x 1  ln 3 x ln 2 x  e 1 1 5       .

2 1 3 2 6  3 Ví

dụ

3.

3 I 3   e x  2e x  1  2e x  1 dx  

2e x  1  u ,

Đặt

2e x dx  du  e x dx 

ta

có

1 du .

2

Vậy I 3   e x  2e x  1 dx   3



1 3 u  u  du 2

u4 u2  C 8 4

 2e 

 1

x

8

4

 2e 

x

 1

4

2

C

Do

đó

ln 2

J3 

 e  2e x

- Giáo viên hƣớng dẫn học

x

 1 dx

sinh phân tích quy trình thực hiện các bài toán trên đều là: Đặt ẩn phụ,

3

tìm nguyên hàm theo ẩn phụ, chuyển

0

  2e x  14  2e x  12  ln 2     72.  0 8 4  

ngƣợc lại nguyên hàm về ẩn ban đầu và thay hai cận vào để tính hiệu ra kết quả tích phân.

Bước 2. Tìm giải pháp Từ quy trình tính tích phân ở trên, giáo viên hƣớng dẫn để học

sinh thấy rằng việc thay ẩn từ ẩn phụ về ẩn ban đầu rồi sau đó thay giá trị cận vào để tính tích phân hoàn toàn có thể thay thế đƣợc bằng cách tính giá trị của ẩn phụ tại hai cận trƣớc rồi đem hai giá trị thu đƣợc thay trực tiếp vào ẩn phụ ngay sau khi tính nguyên hàm.

Bước 3. Trinh bày giải pháp - Giáo viên hƣớng dẫn học sinh hình thành và hoàn chỉnh công thức.

- Học sinh hoàn chỉnh công thức: Công thức đổi biến: b

ub

a

u a 

 f  u  x  .u '  x  dx   f  u  du Hoạt động 2: Củng cố phƣơng pháp đổi biến khi tính tích phân.

Hoạt động của học sinh

Hoạt động của giáo viên Bước 4. Nghiên cứu sâu giải

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ học pháp - Giáo viên hƣớng dẫn học

tập:  2

sinh củng cố kiến thức bằng việc

a) I1   sin 2 x cos xdx . Đặt u  sin x thực hiện các nhiệm vụ học tập: 0

  ta có cos xdx  du và u  0   0; u    1 . sau: 2

Ví dụ 4. Tính các tích phân



1

u3 1 1 Vậy I1   u du   .

3 0 3 0 2

b)





4

4

ta

có

I2 

2 2

 1



Đặt

sin xdx  du

và

2   u  0   1; u    . 4 2

b)

0

sin x dx . cos x 0

I 2   tan xdx   0

u  cos x

2

a) I1   sin 2 x cos xdx 4

I 2   tan xdx .

0

Vậy

2 du 1    ln u 2  ln 2 . u 2 1 - Học sinh xây dựng quy trình tính

tích phân theo phƣơng pháp đổi biến: Bƣớc 1. Đặt ẩn phụ u  u  x  , đổi vi phân, đổi cận.

Bƣớc 2. Tính tích phân mới.

- Giáo viên hƣớng dẫn học sinh tổng kết quy trình, hình thành sơ đồ thuật giải cho bài toán tính tích phân theo phƣơng pháp đổi biến.

- Giáo viên hƣớng dẫn học sinh lật ngƣợc công thức để xây dựng hƣớng đặt ẩn phụ theo kiểu ngƣợc ub



u a 

lại: b

f  u  du   f  u  x   .u '  x  dx a

hiểu theo nghĩa là từ tích phân ban đầu ẩn u ta đặt ngƣợc u  u  x  ta đƣợc một tích phân mới ẩn x , cũng với các bƣớc đổi vi phân và đổi cận - Học sinh xây dựng quy trình tính tƣơng tự.

- Giáo viên hƣớng dẫn học tích phân theo phƣơng pháp đổi biến: sinh củng cố công thức tính tích

Bƣớc 1. Đặt ẩn phụ x  x  t  , đổi vi phân theo phƣơng pháp đổi biến phân, đổi cận.

loại 2 thông qua ví dụ: Ví dụ 5. Tính các tích phân

Bƣớc 2. Tính tích phân mới.

1

a)



1  x 2 dx

b)

0

2



4  x 2 dx

1

Hoạt động 3: Hƣớng dẫn học bài ở nhà.

Giáo viên hƣớng dẫn học sinh ôn tập kiến thức thông qua các nhiệm vụ học tập ở nhà:

Nhiệm vụ 1. Ghi nhớ các bƣớc thực hành tính tích phân theo phƣơng

pháp đổi biến loại 1 và loại 2.

Nhiệm vụ 2. Thực hiện các bài tập trong sách giáo khoa.

PHỤ LỤC 5 GIÁO ÁN BÀI DẠY: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (TIẾT THỨ 11) I. Mục tiêu 1.Về kiến thức - Trình bày đƣợc công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong và trục hoành.

2. Về kĩ năng - Vận dụng thành thạo công thức sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong và trục hoành cũng nhƣ một số hình phẳng trong các bài toán phù hợp.

3. Năng lực, phẩm chất cần phát triển - Năng lực: lƣu ý phát triển năng lực tính toán (trong việc tính các kết quả trong bài), năng lực giải quyết vấn đề (trong giai đoạn thâm nhập, phát hiện vấn đề và tìm giải pháp), năng lực sử dụng ngôn ngữ toán (trong giai đoạn trình bày giải pháp, khi phát biểu, khi giải các bài tập...).

- Phẩm chất: Có trách nhiệm với bản thân, bạn bè, nhà trƣờng; Trung thực, tự lập, tự tin, tự chủ và có tinh thần vƣợt khó (thể hiện trong ý thức thực hiện các nhiệm vụ học tập).

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên - Kế hoạch tổ chức hoạt động học tập (Giáo án, phiếu học tập, bài trình chiếu, bảng phụ).

- Các phƣơng tiện, thiết bị dạy học cần thiết.

2. Học sinh - Ôn tập các kiến thức về khái niệm, các tính chất và ý nghĩa hình học của tích phân.

- Ôn tập các kiến thức về phƣơng pháp đổi biến, phƣơng pháp tích phân từng phần để tính tích phân.

III. Tiến trình bài học

1. Ổn định tổ chức lớp 2. Kiểm tra bài cũ Câu hỏi: Nêu định nghĩa và ý nghĩa hình học của khái niệm tích phân.

3. Bài mới Hoạt động 1: Tìm hiểu công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  f  x  , trục Ox , hai đƣờng thẳng x  a; x  b .

Hoạt động của học sinh

Hoạt động của giáo viên Bước 1. Phát hiện, thâm nhập vấn đề - Giáo viên đƣa ra một số hình vẽ mô tả về hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong, trục hoành và hai đƣờng thẳng x  a; x  b và hƣớng dẫn học sinh phân tích để chỉ ra ý niệm về hình phẳng đó: là phần hình phẳng bị kẹp giữa đƣờng cong với trục hoành (theo chiều trên dƣới) và kẹp giữa x  a với x  b (theo chiều trái phải).

Hình 1

(1)

(2)

(3) - Giáo viên hƣớng học sinh vào bài - Học sinh nhớ lại kiến thức về toán tính diện tích một hình phẳng có ý nghĩa hình học của tích phân và trả dạng trên, tức là hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong, trục hoành và hai đƣờng

lời:

Nếu hàm số f  x  liên tục và thẳng x  a; x  b đồng thời yêu cầu học không âm trên đoạn  a; b thì diện sinh nhắc lại công thức tính cho trƣờng tích S của hình thang cong giới hạn hợp thứ nhất: phần hình phẳng đó hoàn bởi đồ thị của f x , trục Ox và hai toàn nằm phía trên trục hoành và có dạng

 

đƣờng

thẳng

x  a; x  b

là

hình thang cong.

- Giáo viên đề cập đến trƣờng hợp

b

S   f  x  dx . a

thứ hai: phần hình thang cong đó hoàn toàn nằm phía dƣới trục hoành (tức là

- Học sinh suy nghĩ, liên tƣởng đến một số phép dời hình đã học ở lớp 11: phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục,… và lựa chọn việc lấy đối xứng qua trục hoành để vừa đảm bảo đƣa đƣợc phần hình phẳng bên dƣới trục hoành lên trên trục hoành mà không làm thay đổi diện tích của nó, vừa đảm bảo việc phƣơng trình đƣờng cong khi đó rất dễ dàng tìm ra chính là y  f  x  . Nên diện tích cần tìm

f  x   0 trên đoạn  a; b ) và đặt vấn đề

gợi ý về việc tìm cách chuyển phần hình phẳng đó thành nằm phía trên trục hoành mà không làm thay đổi diện tích của nó, sau đó áp dụng công thức trên để tích phân để tính toán.

b

là: S   f  x  dx . a

- Học sinh tƣ duy để nhận ra rằng có thể phân chia hình phẳng cần tính diện tích thành các phần riêng,

- Giáo viên hƣớng học sinh đến

phần ở trên và phần ở dƣới trục trƣờng hợp thứ ba: Phần hình phẳng cần hoành, từ đó sẽ áp dụng hai trƣờng tính diện tích có cả phần nằm trên trục hợp trên để xử lý.

hoành, phần nằm dƣới trục hoành và đƣa

- Học sinh chỉ ra đƣợc rằng ra gợi ý về việc áp dụng hai trƣờng hợp việc biến đổi nhƣ thế sẽ giữ nguyên trên để xử lý. phần đồ thị ở trên trục Ox và lấy đối xứng phần ở dƣới Ox lên trên trục Ox .

- Học sinh nhận ra rằng: trong mọi trƣờng hợp thì việc thay thế hàm Bước 2. Tìm giải pháp - Giáo viên hƣớng dẫn học sinh f  x  thành hàm f  x  luôn đƣa đƣợc phần hình phẳng cần tính diện tích về dạng hình phẳng áp dụng đƣợc

phân tích việc biến đổi đồ thị: từ hàm số y  f  x  thành hàm số y  f  x  . Từ đó

ý nghĩa hình học của tích phân để tính giáo viên phân tích để học sinh nhận ra rằng phép biến đổi nhƣ thế không làm ảnh diện tích. hƣởng đến trƣờng hợp 1, xử lý đƣợc trƣờng hợp 2 nên sẽ giải quyết đƣợc trƣờng hợp tổng quát thứ 3.

Bước 3. Tìm giải pháp - Giáo viên hƣớng dẫn học sinh nêu - Học sinh trình bày công thức: công thức tính diện tích hình phẳng cho Nếu hàm số f  x  liên tục trên trƣờng hợp tổng quát. đoạn  a; b thì diện tích S của hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị của f  x  , trục

Ox

và

hai

đƣờng

thẳng

b

x  a; x  b là S   f  x  dx . a

Hoạt động 2: Xây dựng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đƣờng cong.

Hoạt động của học sinh

Hoạt động của giáo viên Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề - Giáo viên hƣớng dẫn học sinh phát hiện, thâm nhập vấn đề từ việc giới thiệu các hình vẽ để học sinh hình thành ý niệm về hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đƣờng thẳng x  a; x  b : Với hai đƣờng cong y  f1  x  ; y  f 2  x  và hai đƣờng thẳng x  a; x  b

nhƣ mỗi hình vẽ.

Hình 2

Hình 3

Hình 4 - Học sinh thực hiện các nhiệm vụ học tập: b

S1   f1  x  dx

;

a

b

S2   f 2  x  dx a

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới

Hình 2: b

b

a

a

S  S1  S2   f1  x  dx  

hạn bởi đồ thị y  f1  x  , trục Ox , hai f 2  x  dx đƣờng thẳng x  a; x  b ; S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  f 2  x  , trục Ox , hai đƣờng thẳng x  a; x  b .

b

b

a

a

  f1  x  dx   f 2  x  dx

- Giáo viên chia lớp ra thành các

.

b

   f1  x   f 2  x   dx

nhóm thực hiện các nhiệm vụ học tập:

a

Hãy nêu công thức tính S1; S2 từ đó

Hình 3: b

b

a

a

suy ra công thức tính diện tích phần hình

S  S2  S1   f 2  x  dx   f1  x phẳng dx giới hạn bởi hai đƣờng cong y  f1  x  ; y  f 2  x  và hai đƣờng thẳng

x  a; x  b .

b

b

a

a

   f 2  x  dx    f1  x  dx

.

b

   f1  x   f 2  x   dx

Bước 2. Tìm giải pháp

a

- Giáo viên hƣớng dẫn học sinh

Hình 4:

phân tích để nhận ra rằng trong các trƣờng S  S1  S2   f1  x  dx   f 2  x  dx hợp trên đều là đồ thị hàm y  f1  x  ở a a b

b

bên trên đồ thị hàm y  f 2  x  tức là f1  x   f 2  x  trên đoạn  a; b . Và trong

b

b

a

a

  f1  x  dx    f 2  x  dx

cả ba trƣờng hợp đã xét ứng với các tình .

b

   f1  x   f 2  x   dx a

huống hai đồ thị y  f1  x  ; y  f 2  x  cùng nằm ở trên, ở dƣới hoặc mỗi đƣờng ở một phía so với Ox thì ta đều có diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  f1  x  ; y  f 2  x  , hai đƣờng thẳng x  a; x  b là: b

S    f1  x   f 2  x   dx . a

- Học sinh tƣ duy và nhận ra so với trƣờng hợp đã xét cụ thể ở trên chỉ cần đổi vai trò của f1  x  và f 2  x  cho nhau ta sẽ đƣợc trƣờng

hợp này. Tức là công thức tính diện

- Giáo viên hƣớng dẫn học sinh nêu công thức tính diện tích trong trƣờng hợp đồ thị hàm y  f 2  x  ở bên trên đồ thị hàm y  f1  x  tức là f 2  x   f1  x  trên đoạn  a; b .

- Giáo viên hƣớng dẫn học sinh tìm

tích lúc đó là: b

S    f 2  x   f1  x   dx a

ra một công thức chung duy nhất cho tất cả các trƣờng hợp.

- Học sinh tƣ duy phân tích hai trƣờng hợp và nhận ra rằng cả hai trƣờng hợp đều là lấy “hàm lớn” trừ “hàm bé” và dùng công thức giá trị tuyệt đối sẽ viết chung đƣợc về một công thức chung: b

S   f 2  x   f1  x  dx . a

Bước 3. Trình bày giải pháp

- Học sinh nêu công thức tính

- Giáo viên hƣớng dẫn học sinh nêu

diện tích hình phẳng mà học sinh đã

công thức tính diện tích hình phẳng mà

xây dựng ra.

Nếu hai hàm số f1  x  , f 2  x  học sinh đã xây dựng ra. liên tục trên đoạn  a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ

thị của f1  x  , f 2  x  và hai đƣờng

x  a; x  b

thẳng

là

b

S   f1  x   f 2  x  dx . a

Hoạt động 3: Củng cố công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong với trục hoành hoặc hai đƣờng cong.

Hoạt động của học sinh

Hoạt động của giáo viên Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - Giáo viên hƣớng dẫn học sinh

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ

củng cố công thức đã học thông qua các ví

học tập:

a) Diện tích hình phẳng giới dụ: hạn bởi đồ thị y  x 2 ; trục Ox ; trục Oy

và

đƣờng

thẳng

x2

Ví dụ 1. Tính diện tích các hình

là phẳng sau:

a) Giới hạn bởi đồ thị y  x 2 ; trục x3 2 8 (đơn vị diện S   x dx   3 0 3 0 Ox ; trục Oy và đƣờng thẳng x  2 .

2

2

tích).

b) b) Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị y  x 2  3x  2 ; trục

1



1

x 2  3x  2 dx 

1

 x

2

hạn

bởi

đồ

thị

y  x 2  3x  2 ; trục Ox ; hai đƣờng thẳng x  1; x  1 .

Ox ; đƣờng thẳng x  1; x  1 là:

S

Giới

c) Giới hạn bởi đồ thị y  4  x 2 ; 2  dxOx; đƣờng thẳng x  0; x  3 .  3x trục

1

x 3 1    x2  2 x   3 2  1 1 3   1 1  10     2      2  3 2   3 6  3 3

(đơn vị diện tích). c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  4  x 2 ; trục Ox; đƣờng thẳng x  0; x  3 là: 3

2

3

S   4  x dx   4  x dx   4  x 2 dx 2

2

0

0

2

2

3

   4  x 2  dx    x 2  4  dx 0

2

  3 23 x 2 x   4x      4x   3 0  3  2 3 3

3

(đơn vị diện tích).

Ví dụ 2. a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  x2 ; y  2 x , x  1; x  3

đƣờng

thẳng

Ví dụ 2. Tính diện tích các hình

là phẳng sau: a) Giới hạn bởi hai đồ thị y  x 2 ; y  2 x , đƣờng thẳng x  1; x  3 .

b) Giới hạn bởi hai đồ thị

y  x 2  x  1; y  x ,

3

S   x  2 x dx 2

đƣờng

thẳng

x  1; x  4 .

1

2

3

1

2

  x 2  2 x dx   x 2  2 x dx

2

3

   2 x  x 2  dx    x 2  2 x  dx 1

2

 2 x  2  x3 3   x      x 2   2.

3 1  3  2 3

(đơn vị diện tích). b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  x 2  x  1; y  x , đƣờng thẳng x  1; x  4 là:

- Giáo viên đƣa ra gợi ý bằng hình vẽ ví dụ về một số hình phẳng chỉ cần giới

4

S

x

1

2

2

 2 x  1 dx    x  1 dx 2

1

 x  1  3

diện tích).

3

3 7  2 3

hạn về một bên trong hai bên (bên trái, bên phải); bên còn lại sẽ tự giới hạn bởi đƣờng cong và trục hoành cắt nhau hoặc

(đơn

vị thậm chí là cả hai bên đều tự giới hạn bởi đƣờng cong và trục hoành cắt nhau.

Hình 3

- Học sinh tƣ duy đƣợc rằng thấy rằng nếu không có đủ hai cận thì không thể tính đƣợc tích phân nên bắt buộc phải tìm đầy đủ hai cận trƣớc khi lập công thức tích phân, và cận còn thiếu chính là hoành độ giao điểm của đƣờng cong với trục hoành.

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập: a) Hoành độ giao điểm đồ thị

- Giáo viên hƣớng dẫn học sinh suy nghĩ tìm cách giải quyết các trƣờng hợp mà giả thiết trong đề bài khuyết mất một hoặc cả hai đƣờng bên trái và bên phải.

- Giáo viên hƣớng dẫn học sinh thực hiện các nhiệm vụ học tập sau để củng cố kiến thức: Ví dụ 3. Tính diện tích các hình phẳng sau: a) Giới hạn bởi đồ thị y  1  x ;

y  1  x với trục Ox là x  1 . Vậy trục Ox và đƣờng thẳng x  2 . b) Giới hạn bởi diện tích hình phẳng cần tìm là: y  x 2  3x  2 ; trục Ox .

đồ

thị

c) Giới hạn bởi đồ thị y  x 2  9 ;

3 Ox .  x2 trục  x dx  x  dx   x 1 1     1 1 Ví dụ 4. Tính diện tích các hình  2 1 9  1     3     1  2 phẳng sau: 2  2  a) Giới hạn bởi hai đồ thị y  x 2 ; 3

3

y  2x .

b) Giới hạn hai đồ thị y  2  x 2 ; (đơn vị diện tích). b) Hoành độ giao điểm đồ thị

y  x .

y  x 2  3x  2 với trục Ox là nghiệm

phƣơng

của

trình

x  1 . x 2  3x  2  0   x  2 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: 2

x

3

2

1

 3x  2 dx     x 2  3x  2  dx 1

 x3 3 3     x2  2 x   3 2 1 27    1 3    9   6      2  2 2    3 2 

(đơn vị diện tích). c) Hoành độ giao điểm đồ thị y  x 2  9 với trục Ox là nghiệm của

 x  3 phƣơng trình x 2  9  0   . x  3 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: 3



3

 x3  3 x  9 dx    9  x  dx   9 x   3  3  3 - Giáo viên đƣa ra gợi ý bằng hình 3

2

2

vẽ ví dụ về một số hình phẳng giới hạn   27  9    27  9   36

bởi ba đồ thị.

(đơn vị diện tích).

Hình 4

Ví dụ 4. Đáp số: 2

a) S   x 2  2 x dx  0

4 3

2

b) S 

 2 x

2

 x dx 

1

9 .

2 Sau đó giáo viên hƣớng dẫn học sinh nêu các đƣờng giới hạn tạo nên hình

- Học sinh tìm ra hình phẳng phẳng nhƣ trong hình vẽ. đƣợc giới hạn bởi ba đƣờng là các đồ - Giáo viên hƣớng dẫn học sinh suy thị y  x ; y 

2 2 x  và trục Ox. 3 3

nghĩ tìm cách tính diện tích hình phẳng trên một cách gián tiếp bằng cách cộng trừ diện tích thông qua hình vẽ:

- Học sinh tƣ duy và thấy rằng có thể tính đƣợc bằng phƣơng pháp phân chia hoặc lắp ghép hình theo hai cách: Hình 5

Cách 1: Diện tích hình phẳng cần tính đƣợc phân chia thành hai phần: Phần 1 là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  x , trục hoành, hai đƣờng thẳng x  0; x  1.

Phần 2 là hình phẳng giới hạn

Hình 6

bởi đồ thị y  x , y 

2 2 x  , hai 3 3

đƣờng thẳng x  1; x  4 .

Cách 2: Hình phẳng cần tính diện tích nếu lắp ghép với tam giác ABC thì sẽ đƣợc tam giác cong OAC. Hoạt động 3: Hƣớng dẫn học bài ở nhà.

Giáo viên hƣớng dẫn học sinh ôn tập kiến thức thông qua các nhiệm vụ học tập ở nhà: Nhiệm vụ 1. Ghi nhớ các công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng trong từng trƣờng hợp.

Nhiệm vụ 2. Thực hiện các bài tập trong sách giáo khoa.

PHỤ LỤC 6. PHIẾU HỎI Ý KIẾN (Dành cho học sinh ở các lớp tiến hành thực nghiệm sƣ phạm) Để phục vụ cho đề tài nghiên cứu về việc tổ chức dạy học môn Toán ở trƣờng THPT theo phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề, chúng tôi mong nhận đƣợc ý kiến của các em về một số nội dung dƣới đây. Chúng tôi xin cam kết các thông tin các em cung cấp sẽ chỉ đƣợc sử dụng vào mục đích nghiên cứu đề tài trên.

Rất mong các em cho ý kiến theo đúng suy nghĩ của bản thân. Đề nghị các em vui lòng cho biết ý kiến của mình về các vấn đề dưới đây bằng cách đánh dấu (X) hoặc xếp thứ tự 1,2,… vào ô tương ứng với phương án hoặc các phương án mà các em nghĩ là phù hợp nhất: Thông tin cá nhân: +) Em là học sinh lớp…………; Trƣờng THPT …………………………….. +) Tên bài học của tiết vừa học là:……………………………………………

Câu 1: Cảm xúc của các em về tiết Toán các em vừa đƣợc học nhƣ thế nào ?

Rất hứng thú.

Hứng thú.

Bình thƣờng, không hứng thú.

Buồn chán.

Câu 2: Qua tiết học, cảm giác của em về các kiến thức đƣợc học giống với phƣơng án nào sau đây nhất?

Quá khó, không thể hiểu đƣợc.

Hiểu đƣợc nhƣng chắc là chỉ có các thầy mới nghĩ đƣợc nhƣ thế.

Không khó, chƣa cần thầy nói mình cũng lờ mờ đoán đƣợc rồi.

Bình thƣờng, không có gì phức tạp.

Câu 3: Nếu đƣợc giao nhiệm vụ vẽ bản đồ tƣ duy các kiến thức vừa học trong tiết học và các kiến thức đã học có liên quan trong vòng 15 phút, em nghĩ nhiệm vụ đó đối với em là: Quá khó, chắc chắn không thể làm đƣợc.

Khó.

Không khó, có thể hoàn thành đƣợc.

Dễ dàng làm đƣợc.

Câu 4: Nếu đƣợc giao nhiệm vụ sáng tác ra một ví dụ về định lý, hay tính chất vừa học (tƣơng tự nhƣ ví dụ thầy cô đã đƣa ra nhƣng không đƣợc trùng lặp và ở mức độ khó hơn hoặc dễ hơn) thì em nghĩ nhiệm vụ đó đối với em là: Quá khó, chỉ thầy cô mới ra đƣợc đề thôi.

Khó, chắc là không làm đƣợc.

Không dễ, nhƣng nhiều khả năng là sẽ làm đƣợc.

Chắc chắn mình làm đƣợc.

Xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ của các em!

PHỤ LỤC 7 BÀI KIỂM TRA THỰC NGHIỆM SỐ 1 (THỰC HIỆN SAU KHI HỌC TIẾT SỐ 4 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM) Câu 1.

Công thức nào sau đây sai?

A.  ln xdx  C.

Câu 2.

1

 cos

2

x

1 C . x

B.

1  x dx  ln x  C .

1 D.  sin 2 xdx   cos 2 x  C 2

dx  tan x  C .

Biết F ( x) là một nguyên hàm của của hàm số f ( x) 

1 và F (3) 1. x2

Tính F (0) .

A. F (0)  ln 2  1 .

B.

F (0)  ln 2  3 .

C. F (0)  ln 2 .

Câu 3.

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x .

A. C.

Câu 4.

Câu 5.

D. F (0)  ln 2  1.

1



f  x dx 

2

x C.

B.

 f  x dx  3

3 x x C .

2

D.



f  x dx 

C .

B.

 f  x  dx   2 e

C .

D.

 f  x  dx  e

 f  x dx   2

x C .

2 x x C .

3

Nguyên hàm của hàm số f  x   e2 x là: 1

A.

 f  x  dx  2 e

C.

 f  x  dx  2e

2 x

2 x

1

2 x

2 x

C .

C .

Tìm giá trị của m để hàm số F  x   m2 x3   3m  2  x 2  4 x  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  10 x  4. .

A. m  2 . B. m  1.

Câu 6.

C. m  1 .

Tìm nguyên hàm I    2  e3 x  dx .

2

D. m  1 .

4 1 A. I  4 x  e3 x  e6 x  C 3 6 .

4 5 B. I  4 x  e3 x  e6 x  C .

3 6

4 1 C. I  4 x  e3 x  e6 x  C .

3 6

4 1 D. I  3x  e3 x  e6 x  C .

3 6

Câu 7.

 e x  Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e  2  ? cos 2 x   x

A. F  x   2e x  tan x .

B. F  x   2e x  tan x  C .

C. F  x   2e x  cot x  C .

D. F  x   2e x  tan x  C .

Câu 8.

A.

Chỉ ra công thức sai trong các công thức nguyên hàm sau: 1

 sin

2

x

dx  cot x  C .

B.

C.  sinxdx   cos x  C .

Câu 9.

1

 cos

2

x

dx  tan x  C .

D.  cos xdx  sin x  C .

Hàm số F  x   e x là một nguyên hàm của hàm số: 2

2

A. f  x   x e  1 .

ex f x  B.   .

2x

C. f  x   e2 x .

D. f  x   2 xe x .

2 x2

2

Câu 10. Biết một nguyên hàm của hàm số y  f  x  là F  x   x 2  4 x  1 . Khi đó, giá trị của hàm số y  f  x  tại x  3 là.

A. f  3  30 . B. f  3  22 .

C. f  3  10 .

D. f  3  6 .

Câu 11. Cho hàm số h  x   15  12 x  . Tìm  h  x  dx .

8

A.  h  x  dx 

1 9 12 x  15  C .

108

C.  h  x  dx  96 15  12 x   C .

7

Câu 12. Tìm nguyên hàm A.

 x( x

2

B.  h  x  dx  8 15  12 x   C .

7

D.  h  x  dx  

1 9 15  12 x   C .

96

 7)15 dx .

16 1 2 x  7  c .  32

B. 

16 1 2 x  7  c .  32

C.

16 1 2 x  7  c .  2

 x  1

Câu 13. Nếu F  x    A. F  x  

x2  2x  3

D.

dx thì.

1 2 x  2x  3  C .

2

B. F  x   ln

1 C. F  x   ln  x 2  2 x  3  C .

2

Câu 14. Tính A.

16 1 2 x  7  c .  16

x 1 x2  2x  3

C.

D. F  x   x 2  2 x  3  C

.

dx , kết quả là.

1 x



2 C. 1 x

B. 2 1  x  C .

C.

C .

1 x

D. 1  x  C .

Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số y  x 1  x 2 là: A.

x2 2



1  x2



3

. B.

1 3



1  x2



6

.

C.

1 3



1  x2



3

.

D.

x2 2



Câu 16. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f  x  

1  x2

.

1 ?

2x  1

1 A. F  x   ln 4 x  2  3 .

2

1 B. F  x   ln  4 x 2  4 x  1  3 .

4

1 C. F  x   ln 2 x  1  2 .

2

D. F  x   ln 2 x  1  1 .

x2  x  1 Câu 17. Nguyên hàm :  dx  ? . x 1

A. x 2  ln x  1  C .

C. 1 

1

 x  1

Câu 18. Biết

2

C.

B.

x2  ln x  1  C .

2

D. x 

1 C . x 1

x 1   x  1 2  x dx  a.ln x  1  b.ln x  2  C . Tính giá trị của biểu

thức a  b .

2

A. a  b  1 .

B. a  b  5 .

Câu 19. Nguyên hàm

x

2

C. a  b  5 .

D. a  b  1 .

dx .  4x  5

A.

1 x 1 ln C .

6 x 5

B.

1 x 1 ln C .

6 x5

C.

1 x5 ln C. 6 x 1

D.

1 x 1 ln C .

6 x5

Câu 20. Nguyên hàm của hàm số

A.

4

 2 x  1

3

C.

B.

1

 2 x  1

2

là.

1 C. 2x 1

C.

1 C 4x  2 .

D. ln  2 x  1  C .

2

  Câu 21. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   cot x và F    1. 2   Tính F   . . 6   A. F    1  ln 2 . 6

3   B. F    1  ln .

2 6

  C. F    1  ln 2 . 6

3   D. F    1  ln .

2 6

Câu 22. Cho hàm số

f  x  thỏa mãn các điều kiện

f   x   2  cos 2 x và

  f    2 . Mệnh đề nào dƣới đây sai? 2   A. f     0 .  2

B. f  x   2 x 

sin 2 x  .

2

C. f  0    .

D. f  x   2 x 

sin 2 x  .

2

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.



1 f  x  dx  ln 2 x  C .

2

ln x .. x

B.

 f  x  dx  ln x  C .

C.

 f  x  dx e

x

C .

D.

 f  x  dx  ln

2

xC .

Câu 24. Kết quả của  ln xdx là.

B. x ln x  x .

A. x ln x  x  C .

Câu 25. Biết

  x  3.e

2 x

C. x ln x  x  C .

D. x ln x  C .

1 dx   e2 x  2 x  n   C . Khi đó tổng S  m2  n2 có m

giá trị bằng.

A. 41 .

B. 10 .

C. 65 .

D. 5 .

PHỤ LỤC 8: BÀI KIỂM TRA THỰC NGHIỆM SỐ 2 (THỰC HIỆN SAU KHI HỌC TIẾT SỐ 9 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN) 1

Câu 1: Tính tích phân I   xe x dx .

0

A. I  1.

B. I  1 .

C. I  2e  1.

Câu 2: Tính tích phân I  

3

0

8 A. I  .

3

D. I  2e  1 .

x dx .

1 x

3 B. I  .

8

3 .

2

D. I 

2 .

3

1 C. I   4 .

4

D. I 

1 .

4

C. I  

Câu 3: Tính tích phân I   cos3 x sin xdx .

0

B. I 

A. I  0 .

2 25 e

ln 2 x dx . x 1

Câu 4: Tính tích phân I   1 A. I  .

3

B. I  1.

3

Câu 5: Cho

 1

A. 4 .

C. I  1 .

1 D. I   .

3

3

f  x dx  4 . Tính   x  2 f  x dx .

1

B. 8 .

C. 6 .

Câu 6: Nếu f  4   12 , f '  x  liên tục và

D. 8 .

4

 f '  x dx  17 . Tính f 1 .

1

A. f 1  5 .

B. f 1  29 .

C. f 1  19 .

Câu 7: Cho f  x  là hàm số chẵn và A. I  a .

B. I  a .

D. f 1  5 .

0

3

3

0

 f  x dx  a . Tính I   f  x dx .

C. I  0 .

D. I  2a .





1

Câu 8: Cho tích phân I   x ax  b 3x 2  1 dx  3 , biết 3b  2a  5 . Tính 0

M  a 2  b2 .

A. M  5 .

C. M 

B. M  15 .

2565 .

729 5

Câu 9: Giả sử a, b là hai số nguyên thỏa mãn

x 1

D. M  15 .

dx  a ln 3  bln 5 .

3x  1

Tính giá trị của biểu thức P  a 2  ab  3b2 .

A. P  5 .

B. P  11.

C. P  2 .

D. P  2 .

1

Câu 10: Biết rằng tích phân

  2 x  1 e dx  a  b.e , tích ab bằng x

0

A. 15.

C. 1 .

B. 2.

D. 1.

 2

Câu 11: Tính tích phân I   0

4 A.  .

3

2 B. I   .

3

sin 2 xdx cos x  4sin x 2

2

.

4 C. I  .

3

2 D. I  .

3

1

Câu 12: Cho I    ax  e x  dx . Xác định a để I  1  e.

0

A. a  4e.

B. a  3e.

C. a  3e.

D. a  4e.

 2

Câu 13: Tính tích phân I   sin 2 x.cos3 xdx.

0

A. I 

2 .

15

B. I 

1 .

15

C. I 

4 .

15

D. I 

8 .

15

Câu 14: Kết quả  cos x.sin 3 xdx bằng cos 4 x A.  C. 4

sin 4 x B.  C. 4

C. sin 4 x  C.

D. cos4 x  C.

ln 3

Câu 15: Tính tích phân I 

 0

 A. I  ln

2 1



2 1

C. I  ln



ex  1

.

2

B. I  ln

.

3



dx

2

2

D. I  ln

.



.

2 1 3





2 1 3

2

.

m

Câu 16: Tìm m , biết

  2 x  5dx  6 .

0

A. m  1, m  6.

B. m  1, m  6.

C. m  1, m  6.

D. m  1, m  6.

1

Câu 17: Giả sử

 0

4

4

1

0

f  x  dx  2;  f  x  dx  3;  g  x  dx  4 . Khẳng định nào

sau đây là sai?

4

A.   f  x   g  x  dx  1.

B.

0

C.

4

4

0

0

D.

Câu 18: Tính tích phân I   1

2 1 .

1 C. I   ln 2 3



2 1 .

0

0

 f  x  dx   g  x dx.  f  x dx  5 0

2



4

4

 f  x  dx   g  x dx.

1 A. I   ln 2 3

4

dx x 1  x3

.



1 B. I   ln 2 3



1 D. I  ln 2 3







2

2 1 .



2

2 1 .

x   4 e  2  2  dx  K  2e thì giá trị của K là 0

Câu 19. Nếu A. 9.

B. 10.

1

Câu 20. Tích phân I   0

dx có giá trị bằng x x2 2

C. 11.

D. 12,5.

A. 2ln 2 .

B.

2ln 2 .

3

C. 

2ln 2 .

3

D. ln 2  2

Câu 21. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn 1;5 sao cho

5

 f  x  dx  2

và

1

5

5

1

1

 g  x  dx  4 . Giá trị của   g  x   f  x   dx là A. 2 .

B. 6 .

D. 6 .

C. 2 .

Câu 22. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  0;2 thỏa mãn

2

 f  x  dx  6 . Giá trị 0

 2

của

 f  2sin x  cos xdx là 0

A. 3.

C. 3 .

B. 6.

D. 6 .

 3

sin 2 x dx . Thực hiện phép đổi biến t  cos x thì 1  cos x 0

Câu 23. Xét tích phân I  

 1

4

2t dt 1  t 0

2t dt 1 1 t

B. I  

A. I  

 1

2t dt 1 1 t

C. I   

2

2t dt 1  t 0

2

1

Câu 24. Cho

4

D. I   

xdx

  x  2

2

 a  b ln 2  c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của

0

3a  b  c bằng A. 2

B. 1 4

Câu 25. Biết



f  x  dx  5 và

1

A. I 

15 .

4

5



f  x  dx  20 . Tính

4

B. I  15 .

D. 1

C. 2 2

 1

C. I 

5 .

2

f  4 x  3 dx 

ln 2

 f e  e 2x

0

D. I  25 .

2x

dx

PHỤ LỤC 9 BÀI KIỂM TRA THỰC NGHIỆM SỐ 3 (THỰC HIỆN SAU KHI HỌC TIẾT SỐ 11 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG) Câu 1.

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y  f  x  , trục hoành và hai đƣờng thẳng x  a, x  b nhƣ trong hình vẽ

bên. Khẳng định nào đúng? a

b

A. S   f  x dx .

B. S    f  x dx .

b

a

b

b

C. S   f  x  dx .

D. S 

a

a

Câu 2.

A. Câu 3.

A. Câu 4.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  x 2  2 x ; y  x  2 là: 5 2

3  ln 2 4

7 2

C.

9 2

D.

B.

1 25

C. ln 2 

3 4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  2 x ; y 

11 2

B. 5  8ln

2 3

D.

1 24

8 ; x  3 là: x

C. 26

D.

14 3

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  e x  e x ; Ox; x  1 là:

A. 1.

Câu 6.

B.

1 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  ; d : y  2 x  3 là: x

A. 5  8ln 6 Câu 5.

 f  x dx .

1 B. e   1 . e

1 C. e  . e

1 D. e   2 . e

Diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi đƣờng cong (C ) : y  sin 2 x , trục Ox và các đƣờng thẳng x  0, x   bằng :

A.  .

B.

 .

2

C.

 .

3

D.

 .

4

Câu 7.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  sin x, y  cosx và x  0, x 

 4

là

A. 1.

2 1.

B.

Câu 8.

C.

D.  2 .

2.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y 

1 , trục hoành và 2 x2

đƣờng thẳng x  1, x  2 bằng A. Câu 9.

1 .

2

B. 4 .

C.

1 .

6

D. 2 .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng  C  : y  x  3  x  , y  0 và 2

các đƣờng thẳng x  2, x  4 bằng: A. 2.

B.

3 .

2

C. 3.

D. 1.

x 2  2 x  15 Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng (C ) : y  và hai x 3

trục toạ độ bằng: 3 A. 12ln 2  .

2

B.

256 .

3

C. 17  12ln 3 .

D. 16  12ln 3 .

Câu 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y  x 2  2 x, y   x 2  x là

A. 12 .

B.

9 .

8

C. 9 .

D. 6 .

Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x 2 , y  2 x bằng A.

4 .

3

B.

3 .

2

C.

5 .

3

D.

23 .

15

Câu 13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x3 , y  2  x 2 , x  0 bằng: A.

17 .

12

B. 

5 .

12

C. 0 .

D.

12 .

17

Diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi đƣờng cong

Câu 14.

(C ) : y  x3 , trục Ox và đƣờng thẳng x 

A.

65 .

64

Câu 15. Diện

B. tích

hình

3 là: 2

81 .

64

C.

phẳng

giới

81 .

4

hạn

D. 4. bởi

các

đƣờng

y   x 2  5x  6, y  0, x  0, x  2 bằng

A.

58 .

3

B.

56 .

3

C.

55 .

3

D.

52 .

3

Câu 16. Diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi parabol ( P) : y  x 2  2 x , trục Ox và các đƣờng thẳng x  1, x  3 là: A.

2 .

3

B.

4 .

3

C. 2.

D.

8 .

3

Câu 17. Nếu gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  0, y  16  x 2 thì khẳng định nào sau đây là đúng?

A. S  128 .

B. S 

128 .

3

C. S 

256 .

3

D. S 

512 .

3

Câu 18. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 và đƣờng thẳng y   x  2 là

A.

13 (đvdt) 2

B.11 (đvdt)

C.

9 (đvdt) 2

D. 7 (đvdt)

Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng  C  : y  x  3  x  , y  0 và 2

các đƣờng thẳng x  2, x  4 bằng: A. 2.

B.

3 .

2

C. 3.

D. 1.

Câu 20. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng  C  : y  x3  3x, y  2 bằng: A. 

27 .

4

B.

27 .

4

C.

21 .

4

D.

22 .

4

Câu 21. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng  C  : y  2 x 2 – x 4 , trục hoành bằng: A.

16 2 .

15

B. 0.

C.

16 .

15

D.

8 2 .

5

Câu 22. Tính diện tích giới hạn bởi y  2 x3 ; y  0; x  1; x  2 . Một học sinh tính theo các bƣớc sau 2

(I) S 

x4 (II) S  2

 2 x dx 3

1

2

(III) S  8  1

1 15  2 2

Cách làm trên sai từ bƣớc nào ?

A. (I).

B. (II).

C. (III).

D. Không có bƣớc nào sai.

Câu 23. Gọi S1 , S2 lần lƣợt là diện tích hình vuông cạnh bằng 1 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x 2  1, y  0, x  1, x  2 . Chọn khẳng định đúng.

A. S1  S2 .

B. S1  S2 .

C. S1 

1 S2 .

2

D.

S2  6.

S1

Câu 24. Hình phẳng H có diện tích S gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y 2  2 x , x  2 y  2  0 , y  0 . Tính S. A. S  20 .

B. S  30 .

C. S  40 .

D. S  50 .

Câu 25. Gọi S là số đo của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đƣờng y  x.sin x , trục hoành và hai đƣờng thẳng x  0, x   . Khẳng định nào sai?.

A. sin

S  1.

2

B. cos 2S  1.

C. tan

S  1.

4

D. sin S  1 .