CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN II: NỘI DUNG

3

A: KIẾN THỨC CƠ BẢN

3

Ơ

2

Y

N

H

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

N

MỤC LỤC

N

11

Bài tập luyện tập

18

TR ẦN

H Ư

DẠNG 2 : BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC.

DẠNG 3: QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN CÁC SỐ PHỨC THỎA

B

24 26

Ó

A

Bài tập luyện tập PHẦN III: KẾT LUẬN

19

10 00

MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

27

-H

PHỤ LỤC

Số phức trong đề thi đại học các năm

-L

Ý

28

Số phức trong đề thi cao đẳng các năm

ÁN

30 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO

32

TO

Số phức trong đề thi tốt nghiệp các năm

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10

G

Bài tập luyện tập.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN.

5 MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

U .Q

TP

DẠNG 1 : BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC, SỐ

5

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H

Ơ

Trong quá trình dạy học, phương pháp dạy của thầy, việc tiếp thu kiến thức

N

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

N

của học trò là vấn đề chúng ta đặc biệt quan tâm. Chuyên đề này tôi đặc biệt dành

N

G

đại học các năm gần đây, luôn có 01 điểm dành cho nội dung này. So với các phần

H Ư

khác, thì 1,0 điểm này dễ lấy hơn nhiều, như nội dung khảo sát sự biến thiên và vẽ

TR ẦN

đồ thị hàm số. Dễ cho cả người dạy và người học.

Trong nhiều năm gần đây, các bài toán số phức thường có trong đề thi Đại

10 00

B

học, Cao đẳng. Chuyên đề này sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng giải toán liên quan tới số phức, lấy được 01 điểm thuộc về số phức trong các bài thi, để các em tiến

Ó

A

gần hơn đến ngưỡng của ĐH – CĐ.

-H

Thực hiện SKKN này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho

-L

Ý

quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các

ÁN

bạn đồng nghiệp. Trong SKKN này tôi đề cập đến một số phương pháp giải một số

TO

dạng toán liên quan đến số phức, qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán. Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập,

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Kể từ khi chương trình toán THPT bổ sung nội dung số phức, trong ki` thi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

vào ngưỡng của Đại học.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

cuộc sống, quyết tâm thay đổi số phận của mình trên con đường học tập, bước chân

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

tặng các em học sinh có lực học trung bình nhưng lại có khát vọng vươn lên trong

D

IỄ N

Đ

do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn.

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN II: NỘI DUNG

N

H

Ơ

N

A: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa số phức: + Dạng đại số: z = a + bi ( a, b ∈ R, i2 = - 1)

Y

TR ẦN

H Ư

+ Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau

10 00

nhân các số thực với chú ý i2 = - 1.

B

3. Các phép toán đối với số phức Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ và

Ó

A

• Phép cộng và phép trừ các số phức.

-H

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

ÁN

-L

Ý

z + z ' = (a + a') + (b + b')i  z − z ' = (a − a') + (b −b')i

• Phép nhân số phức.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

+ Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ Oxy là : M(a ; b).

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

+ Số phức liên hợp : z = a − bi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP Đ ẠO

+ Môđun của số phức : | z |= a 2 + b 2

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2. Các kết quả: Cho số phức z = a + bi, ta có: + Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

zz ' = aa'−bb'+ (ab'− a'b)i

* Phép chia hai số phức Phép chia số phức z1 cho số phức z2 được thực hiện theo quy tắc sau : Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

z2

=

z1 .z 2 z 2 .z 2

=

z1 .z 2 | z 2 |2

Ơ

Chú ý : Tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng

N

z1

N

H

đúng trên các số phức.

Y

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

B

Khi b chẵn có b’ = b/2 ; ∆' =b’2 – ac.

− b'± ∆ ' a

-H

Ó

A

+ Nếu ∆' > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x1, 2 =

-L

Ý

+ Nếu ∆' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =

ÁN

+ Nếu ∆' < 0, PT có 2 nghiệm phức x1, 2 =

− b' a

− b'±i | ∆ ' | a

TO

5. Một số kết quả cần nhớ :

Đ IỄ N

2) i1 = i ⇒ i4n + 1 = i

3) i2 = - 1 ⇒ i4n + 2 = - 1

4) i3 = - i ⇒ i4n + 3 = - i

5) (1 – i)2 = - 2i

6) (1 + i)2 = 2i

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

Đ ẠO

N

* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0.

1) i0 = 1 ⇒ i4n = 1

D

−b±i |∆| 2a

TR ẦN

+ Nếu ∆ < 0, PT có 2 nghiệm phức x1, 2 =

−b 2a

H Ư

+ Nếu ∆ = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =

−b± ∆ 2a

G

+ Nếu ∆ > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x1, 2 =

.Q

* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có ∆ =b2 – 4ac.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

4. Phương trình bậc hai với hệ số thực.

4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

DẠNG 1 : BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC, SỐ PHỨC

N

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Y

N

H

VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3−i 3−i = 5+i + (3 + i )(3 − i ) 10

53 9 − i 10 10

10 00

B

Suy ra số phức liên hợp của z là: z =

TR ẦN

Ta có : z = 5 + i +

H Ư

N

Giải:

Ý

5 − 5i = 1− i 5

ÁN

-L

Giải: Ta có : z =

(1 + i )(2 − i ) 1 + 2i

-H

Ó

A

Ví dụ 2: Tìm mô đun của số phức z =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 3+i

G

Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của: z = (1 + i)(3 − 2i ) +

Đ ẠO

còn giúp HS ghi nhớ các khái niệm cơ bản liên quan tới số phức.

Vậy, mô đun của z bằng: z = 1 + ( −1)2 = 2

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Với dạng bài tập này bên cạnh việc kiểm tra được kĩ năng làm phép toán số phức

ÀN

*Trong tính toán số phức, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ

Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1…

D

IỄ N

Đ

thừa của đơn vị ảo i như sau:

Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N* Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy in∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N. −n

1 Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n =   = ( −i )− n . i

H

Ơ

N

 

N

Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được các phép toán lũy thừa của

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

z = i105 + i23 + i20 – i34

N

= i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2

H Ư

Z

TR ẦN

Vậy phần thực của z bằng 2; phần ảo bằng 0.

Ví dụ 4: Tính số phức sau:

10 00

B

z = (1+i)15

Ó

A

Giải:

Ý

-H

Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i

ÁN

-L

⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

16

8

IỄ N

Đ

ÀN

1+ i   1− i  Ví dụ 5: Tính số phức sau: z =   +   1− i   1+ i 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết:

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

số phức với số mũ lớn, như các ví dụ dưới đây:

D

Giải: Ta có:

1 + i (1 + i )(1 + i ) 2i = = =i 1− i 2 2 Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

6

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

16

8

1− i 1+ i   1 − i  16 8 = −i . Vậy   +  =i +(-i) = 2 1+ i  1− i   1+ i 

Ơ

Hay chính trong đề thi khối A -2010 thực chất cũng là bài toán khai thác kiểm tra

N

⇒

N

H

làm tính với số phức và khái niệm số phức liên hợp, phần ảo của số phức

Y

= 1 − 2i + 2 2i − 4i 2 = 5 + 2i

10 00

B

⇒ z = 5 − 2i

TR ẦN

H Ư

2

Vậy phần ảo của z là b = − 2 .

Ó

A

Ví dụ 7: Cho z1 = 1+i; z2 = -1-i. Tìm z3∈ C sao cho các điểm biểu diễn của z1,

-H

z2, z3 tạo thành tam giác đều.

-L

Ý

Giải: Giả sử z3 = x+yi (x,y là các số thực)

TO

ÁN

Để các điểm biểu diễn của z1, z2 , z3 tạo thành một tam giác đều thì   z1 − z2 = z1 − z3  4+4 = ⇔   z1 − z2 = z2 − z3   4+4 =

2

2

2

2

( x − 1) + ( y − 1)

Đ

( x + 1) + ( y + 1)

2 2 ( x − 1) + ( y − 1) = 8 ⇔  x + y = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G N

2 +i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

) (1 − 2i ) = ( 2 + 2 2i + i )(1 − 2i ) = (1 + 2 2i )(1 − 2i )

z=

(

Đ ẠO

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

z = ( 2 + i ) 2 (1 − 2i )

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ví dụ 6( A-2010): Tìm phần ảo của số phức z, biết

D

IỄ N

⇒ 2y2 = 6 ⇒ y = ± 3 ⇒ x = ∓ 3

Vậy có hai số phức thoả mãn là yêu cầu bài toán: z3 = 3 (1+i) và z3 = - 3 (1-i)

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

7

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H

Ơ

Từ năm 2014, nội dung số phức được cho điểm khiêm tốn hơn trong đề thi đại học, chỉ còn 0,5 điểm. Tuy vậy, trong một kì thi quan trọng như kì thi THPT Quốc gia thì 0,5 điểm “ăn chắc” là đáng quý lắm rồi. Hay nói cách khác, nội dung số phức vẫn chỉ là phần cho điểm thí sinh.

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

-L

Ý

Trong đề thi cao đẳng năm 2014, Bộ Giáo dục vẫn giữ nguyên 1,0 điểm cho phần số phức.

TO

ÁN

Ví dụ 9(Cao đẳng năm 2014): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

. Tìm phần thực và phần

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-H

Ó

A

Vậy modun của số phức z là

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ ẠO

Giải: Giả sử z = x+yi (x,y là các số thực)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

.Q

Tìm modun của z.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Y

N

Ví dụ 8 (B-2014): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Đ

ảo của z.

D

IỄ N

Giải: Giả sử z = x + yi (x, y là các số thực)

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

8

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

N

Tìm phần thực và phần ảo của z.

Giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.

G

Cho số phức z thỏa mãn

Đ ẠO

Ví dụ 10 (Kì thi THPT Quốc Gia năm 2015):

-H

Ó

A

10 00

B

Ta có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

.Q

Vậy số phức z có phần thực bằng 3, phần ảo bằng 4.

TO

ÁN

-L

Ý

Vậy số phức z có phần thực bằng 3, phần ảo bằng -2

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Y

N

H

Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài tập luyện tập :

Ơ

N

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

N

H

1) (3 – 5i) + (2 + 4i)

Y

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

3i (1 + 2i ) + 4 – 3i.

12i

6)

(2 + i)(1 – 2i) (2 – i)(1 + 2i) + 2–i 2+i

TR ẦN

10 00

B

7) (1 + i) 2

H Ư

N

5)

8) (1 + i) 2009

A -H

9) (1 – i)

(1 + i)3 (1 – i)4

Ó

2006

Ý

Bài 2. Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau.

ÁN

-L

1) z = (4 – i)(3 + 2i) + (1 – i)2

TO

3) z = (1 – i)(2 – i)(3 + i) 5) z =

1 + i 1 + 2i − 1 − 2i 1 − i

Đ IỄ N

(4 − i) 2 (1 + i ) 3

9) z2 – 2z + 4i

2) z = (2 + 3i)2 – (3 + 4i)3 4) z = ( 1+ i)2008 – (1 + i)2009 + (1 + i)2010 6) z = 8)

(1 + i )(1 − 2i ) 2 − (3 − 2i ) 2 4 + 2i

z+i iz + 1

10) z = (1 – i)10 – (4 + i)(1 – 2i)

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q Đ ẠO

1 + 2i 1 – 2i 4) 1 – 2i + 1 + 2i

7) z = 2 + 3i −

D

2

TP

2

3) ( 2 + 3 i ) + ( 2 − 3 i )

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i)

10

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài 3: Cho z =

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 + 2i − (1 − i )3 1+ i

Tính |z| và tìm z .

Ơ

N

DẠNG 2 : BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC

N

H

Trong dạng này tôi chia nhỏ thành 2 dạng :

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Ví dụ 1: Tìm số phức sau:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

+ Giải tìm số phức z thông qua đặt z = a+bi (thường gặp trong các đề thi).

TR ẦN

Giải :

10 00

B

a. (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i 1+ i 2 + 3i 5−i ⇔ 1+ z = 13 8 1 ⇔ z=− − i 13 13

− 1 + 3i 2+i z= 1− i 2+i

N b.

H Ư

a. (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

Ý

-H

Ó

A

⇔ 1+ z =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

.Q

hai, phương trình trùng phương ….với ẩn là số phức z,

ÁN

-L

− 1 + 3i 2+i z= 2 + i Ta có : b. 1 − i

TO

2+i −1 + 3i (−1 + 3i )(1 − i ) z= ⇔z= 1− i 2+i (2 + i ) 2 2 + 4i (2 + 4i )(3 − 4i ) ⇔z= ⇔z= 3 + 4i 25 22 4 ⇔z= + i 25 25

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Y

+ Giải các phương trình mẫu mực như phương trình bậc nhất, phương trình bậc

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

11

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên trường số phức: a. z2 + 2z + 5 = 0

b.. z3 – 27 = 0

Ơ

N

Giải

N

H

a. Xét phương trình: z2 + 2z + 5 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

G

z = 3 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:  −3 ± 3 3i z2,3 =  2

Đ ẠO

2

Ví dụ 3: (TN năm 2014) Giải phương trình

B

trên tập số phức.

Ó

A

10 00

Giải

-H

Phương trình có hai nghiệm z =1+4i; z = 1- i.

-L

Ý

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau trên trường số phức:

TO

Giải

b. z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (*)

ÁN

a. z4 + 2z2 -3 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

z = 3 z = 3 b. z – 27 = 0 ⇔ (z – 3) (z + 3z + 9) = 0 ⇔  2 ⇔  z = −3 ± 3 3i  z + 3z + 9 = 0 2,3  2 3

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

Ta có: ∆ = -4 = 4i2⇒ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i.

 z = ±1 ⇔  2  z = −3  z = ±i 3

 z2 = 1

D

IỄ N

Đ

a. z4 + 2z2 -3 = ⇔ 

 z = ±1

Vậy phương trình có 4 nghiệm 

 z = ±i 3

b. Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm z = 1.

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

12

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(1) ⇔ (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) = 0

N

⇔ (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = 0

Ơ H N Y

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

Ví dụ 5: Giải phương trình:

H Ư

(z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = 0

TR ẦN

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q Đ ẠO

TP

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:

10 00

B

Đặt t = z2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

-L

Ý

-H

Ó

A

 −1 + 23i z = 2  2  = − 6 + − 6 = 0 t z z   −1 − 23i t2 + 4t – 12 = 0 ⇔  ⇔ 2 ⇔ z = 2 t = 2 z + z − 2 = 0  z = 1   z = −2

ÁN

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

TO

Ví dụ 6: Giải phương trình: (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2= 0

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

z =1 z = 1 z = 3 ⇔  z = 3 ⇔  z = 2i z2 + 4 = 0    z = −2i

D

IỄ N

Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

13

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

t = z  t = −3 z

t2 +2zt – 3z2 = 0 ⇔ (t – z)(t+3z) = 0 ⇔ 

N

 z = −1 + 5i

Ơ

+ Với t = z ⇔ z2 + 3z +6 –z = 0 ⇔ z2 + 2z + 6 = 0 ⇔ 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

10 00

B

Giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

G

Nhưng trước hết ta nên bắt đầu từ bài toán so sánh hai số phức

Ví dụ 7: Tìm các số thực x, y thoả mãn:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

TP

Đ ẠO

Trong đề thi đại học, ta thường gặp hơn bài toán tìm số phức z, đưa về tìm a, b với z = a+bi

Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

Ó

A

⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

ÁN

-L

Ý

-H

1  x=−  3 x + y = 2 y − 1 7 ⇔ Giải hệ này ta được:  5 x = x − y y = 4  7

TO

Ở ví dụ trên, ta sử dụng tính chất rất quen thuộc của số phức: hai số phức bằng nhau, phần thực, phần ảo tương ứng bằng nhau. Ta sử dụng điều đó vào bài toán tìm số phức z, đưa về tìm a, b với z = a+bi.

Ví dụ 8:(A-2011) Tìm tất cả các số phức z biết

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 z = −3 − 3

.Q

 z = −3 + 3

+ Với t = -3z ⇔ z2 + 3z +6 +3z = 0 ⇔ z2 + 6z + 6 = 0 ⇔ 

Y

N

H

 z = −1 − 5i

2

z2 = z + z

Giải Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

14

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đặt z =a+bi (a, b là các số thực), ta có: 2

z2 = z + z

Ơ

N

⇔ (a + bi ) 2 = a 2 + b 2 + a − bi

H

⇔ a 2 − b 2 + 2abi = a 2 + b 2 + a − bi

N Y 1 2

H Ư

N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

1  1  a=− a=−  a = 0  2∨ 2 ⇔ ∨  b = 0 b = 1 b = − 1  2 2  1 2

1 2

1 2

TR ẦN

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn ycbt: z = 0 ∨ z = − + i ∨ z = − − i

Ví dụ 9:(D-2010)

10 00

B

Tìm số phức z, biết z − (2 + 3i ) z = 1 − 9i.

A

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

.Q

a − 2b 2 = 0 ⇔ b(2a + 1) = 0

-H

Ó

Đặt z = a+bi (a, b là các số thực)

-L

Ý

z − (2 + 3i ) z = 1 − 9i ⇔ (a + bi ) − (2 + 3i )(a − bi ) = 1 − 9i

ÁN

⇔ (a + bi ) − [2a + 3b − (3a − 2b)i ]=1- 9i

TO

⇔ −(a + 3b) + (3a − b)i =1- 9i a + 3b = −1 ⇔ 3a − b = −9

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a 2 − b 2 = a 2 + b 2 + a ⇔ 2ab = −b

D

IỄ N

Đ

4  a = − 5 ⇔ b = 3  5 4 5

3 5

Vậy số phức z cần tìm là: z = − + i Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

15

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 10 (B -2009) Tìm số phức z thỏa mãn

N

và z.z = 25 .

H

Ơ

Giải

.Q TP

⇔ a − 2 + (b − 1)i = 10

H Ư

N

G

Lại có z.z = 25 ⇔ a 2 + b 2 = 25(**)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔ a 2 + b 2 − 4a − 2b − 5 = 0(*)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

⇔ (a − 2)2 + (b − 1) 2 = 10

TR ẦN

Từ (*)(**) ta có

10 00

B

b = 10 − 2a  2 2 a + b = 25 ⇔ a 2 + (10 − 2a)2 = 25 ⇔ a 2 − 8a + 15 = 0

-H

Ó

A

a = 3 a = 5 ⇔ ∨ b = 4 b = 0

-L

Ý

Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán : z= 3+4i ; z =5.

TO

ÁN

  Ví dụ 11: Tìm số phức z thoả mãn hệ:   

z −1 =1 z −i z − 3i =1 z +i

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

z − (2 + i ) = 10

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

Đặt z = a+bi (a, b là các số thực)

D

IỄ N

Đ

Giải: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℜ) Khi đó

z −1 = 1 ⇔ |z-1| = |z-i| ⇔ |x+yi-1|=|x+yi-i| z −i

⇔ (x-1)2 + y2 = x2 + (y-1)2⇔ x=y.

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

16

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ta lại có:

Ơ N

H

⇔ y = 1 ⇒ x = 1.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

(−3 + 4i ) z + z = 4i − 20

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Giải: Giả sử z = a + bi (a, b ∈ ℜ)

10 00

B

TR ẦN

a + 2b = 10 ⇔ a − b = 1 a = 4 ⇔ b = 3

H Ư

⇔ (−3 + 4i )(a + bi ) + (a − bi ) = 4i − 20

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

TP

Ví dụ 12 (CĐ -2011): Tìm modun của số phức z biết (−3 + 4i ) z + z = 4i − 20

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Vậy modun của số phức z cần tính là: z = 42 + 33 = 5

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Y

Vậy số phức phải tìm là z =1+i Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

z − 3i 2 2 2 2 = 1 ⇔ |z-3i| = |z+i| ⇔ |x+yi-3i| = |x+yi+i| ⇔ x + (y – 3) = x + (y+1) z +i

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

17

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài tập luyện tập:

d)

N

c) (1 + i ) z + 3 = 2i − 4 z

Ơ

b) (1 − 3i ) z + ( 4 + 3i ) = 7 − 5i

H

a) 2 z + 3i = 7 + 8i

Y

d) 4 z 2 + 9 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

N

H Ư

b) z 3 + 4 z 2 + 6 z + 3 = 0

c) z 4 − z 3 + 6 z 2 − 8 z − 16 = 0

d) z 4 − z 2 − 12 = 0

TR ẦN

a) z 3 − 8 = 0

B

Bài 4. Giải ptrình sau trên tập số phức: z4 – z2 – 6 = 0

10 00

Bài 5. Giải ptrình: 3 z 4 + 4 z 2 − 7 = 0 trên tập số phức.

A

Bài 6 : Tìm các số thực x, y trong mỗi trường hợp sau ( z là số phức).

-H

Ó

1). 2(x + i) + 1 – 5yi = 3 – 8i

2). x(1 + 3i) + y(i – 2) = 5 + i 4). x(3 + 5i)+ y(1 – 2i)2 = 9 + 14i

Ý

3). x(1 + 4i) + (y2 – 5)I = 3y + 3

-L

5). x(1 + i) + 4y – 6 – (3y + 5)I = 0

TO

ÁN

Bài 7 : Tìm các số phức thỏa điều kiện sau.

4

z +i 1).   =1  z −i z −1 z − 3i 3). = 1 và =1 z −i z +i

2). z = z.

1 − 3i 1 + 2i

z −1 z − 2i = 1 và =1 z −3 z+i

IỄ N

Đ

4).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

c) −3 z 2 + z − 5 = 0

TP

b) z 2 − 4 z + 20 = 0

Đ ẠO

a) z 2 + 2 z + 5 = 0

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

N

z − (1 + 2i ) = 5 − 6i 2 + 3i

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

D

Bài 8: Tìm số phức z biết z2+ |z| = 0 Bài 9: Tìm số phức z= x+yi biết x, y thỏa mãn đẳng thức : x(3+5i) + y(1-2i)3 = 9 + 14i Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

18

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

DẠNG 3: QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN CÁC SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐK CHO TRƯỚC

Ơ

N

Phương pháp:

N

H

Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi

H Ư

N

Với z = x+yi (x, y là các số thực) khi đó nếu:

TR ẦN

* x= a : Quỹ tích z là đường thẳng x = a (song song với Oy). * y= b: Quỹ tích z là đường thẳng y = b (song song với Ox). * (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z là đường tròn tâm I(a.b) bán kính R.

10 00

B

* (x-a)2 +(y-b)2 ≤ R2 Quỹ tích z là hình tròn tâm I(a.b) bán kính R ( kể cả biên). * (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z là các điểm nằm ngoài đường tròn tâm I(a.b) bán

-H

Ó

A

kính R.

Ý

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

Giải:

3 2

ÁN

-L

z thoả mãn: |z – 2+3i| =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Một số quỹ tích thường gặp:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

điểm M.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

điểm M(x;y).

D

IỄ N

Đ

ÀN

Giả sử z = x + yi, khi đó : |z – 2+3i| =

3 3 ⇔ |(x-2) +(y+3)i|= 2 2

⇔ (x-2)2 + (y+3)2 =

9 4

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

19

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(2;-3) và bán

N

H

Ơ

Ví dụ 2 : Trên mặt phẳng phức (Oxy).tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:

N

kính 3/2.

1) Xét hệ thức: z − 1 + i =2 (1)

TR ẦN

H Ư

Giải:

10 00

B

Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) ⇒ z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i.

Khi đó (1) ⇔ ( x − 1) 2 + ( y + 1)2 = 2

-H

Ó

A

⇔ (x-1)2 + (y + 1)2 = 4

Ý

⇒ Tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) là

-L

đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2.

TO

ÁN

2) Xét hệ thức 2 + z = z − i (2) Giả sử z = x + yi, khi đó:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

4. 1≤ z + 1 − i ≤ 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

3. 2 + z > z − 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

2. 2 + z = 1 − i

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

1. z − 1 + i =2

IỄ N

Đ

(2) ⇔ |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| ⇔ (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2⇔ 4x + 2y + 3 = 0.

D

vậy tập hợp các điểm cần tìm là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.

3) Xét: 2 + z > z − 2 (3)

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

20

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giả sử z = x + yi, khi đó:

N

(3) ⇔ |2+x+yi| > |x+yi-2|

N

H

Ơ

⇔ (x+2)2 +y2> (x-2)2 +y2⇔ x > 0.

Y

⇒ Tập hợp các điểm cần tìm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung, tức là các

TR ẦN

nhỏ lần lượt là 2 và 1

10 00

B

Ví dụ 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau đây: 1. |z + z +3|=4

Ó

-H

3. 2|z-i|=|z- z +2i|

A

2. |z + z + 1 - i| = 2

-L

Ý

Giải:

ÁN

1) Xét hệ thức: z + z +3|=4 (1)

TO

Đặt x = x + yi ⇒ z = x – yi, do đó

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇒ Quỹ tích cần tìm là hình vành khăn có tâm tại A(-1;1) và các bán kính lớn và

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

(5) ⇔ 1 ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ 2 ⇔ 1 ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ 4

G

Giả sử z = x +yi khi đó

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q Đ ẠO

TP

4) Xét hệ thức 1≤ z + 1 − i ≤ 2 ⇔ 1≤ z − (−1 + i) ≤ 2 .

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

điểm (x;y) mà x > 0.

D

IỄ N

Đ

(1) ⇔ |(x+yi)+(x-yi)+3|=4 1  x = 2 ⇔ |2x+3|=4 ⇔  x = − 7  2

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

21

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là hai đường thẳng song song với trục tung x 1 7 và x = − 2 2

N

=

N

H

Ơ

2) Xét hệ thức: |z + z + 1 - i| = 2.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đặt z = x + yi ⇒ z = x – yi. Khi đó: (3) ⇔ |x+(y-1)i| = |(x+y)i| 2

2

10 00

2

B

x2 ⇔ x +(y-1) = (x+y) ⇔ x – 4y = 0 ⇔ y = .

4 2

-L

Ý

-H

Ó

A

x2 Vậy tập hợp các điểm M là parabol y = .

4

Ví dụ 4 (D-2009):

Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

ÁN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1± 3 .

2

TR ẦN

3) Xét hệ thức 2|z-i|=|z- z +2i|.

H Ư

N

Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng song song với trục hoành y =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y G

Đ ẠO

TP

.Q

 1+ 3 y = 2 (2) ⇔ |1+(2y-1)i| = 2 ⇔ 1 + (2y-1)2 = 4 ⇔ 2y2 -2y-1 = 0 ⇔   1− 3 y =  2

z − (3 − 4i ) = 2

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đặt z = x + yi ⇒ z = x – yi. Khi đó:

ÀN

Giải:

D

IỄ N

Đ

Giả sử z = x + yi, khi đó : z − (3 − 4i ) = 2

⇔ ( x − 3) + ( y + 4)i = 2 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 4

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

22

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy quỹ tích cần tìm là đường tròn tâm I(3;-4) bán kính R=2.

N

x2 .

4

Ơ

Vậy tập hợp các điểm M là parabol y =

N

H

Ví dụ 5 (B-2010):

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Giả sử z = x + yi, khi đó :

N

z − i = (1 + i ) z

H Ư

⇔ x + ( y − 1)i = (1 + i )( x + yi ) ⇔ x 2 + ( y − 1)2 = ( x − y ) 2 + ( x + y ) 2 ⇔ x2 + y 2 + 2 y = 1 2

10 00

B

⇔ x 2 + ( y + 1) = 2

TR ẦN

⇔ x + ( y − 1)i = ( x − y ) + ( x + y )i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP Đ ẠO

Giải:

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Vậy quỹ tích cần tìm là đường tròn tâm I(0; -1) bán kính R= 2 .

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = (1 + i) z

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

23

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

Bài 1. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa

N

Bài tập luyện tập :

N

H

điều kiện:

Y b) z ≤ 3 .

TR ẦN

a) z = 2 . c) 1 < z ≤ 3 .

d) z > 4

10 00

B

Bài 3. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi, thỏa

A

mãn điều kiện sau :

2). |z + 3i + 4| < 2 4). |z + z + 3 – i| > 3 6). 2|z – i| = |z - z + 2i|

7). |2i - 2 z | = | 2z – 1|

8). |2iz – 1| = 2|z + 3|

9). |z2 - z 2 | = 4

10). |z + 2| + |z – 2| = 6

11). |z + 3|2 + | z – 3|2 = 20

12). |z – 2| = x + 3

13). | z – 2| - | z + 2| = 6

14). | z + 4| = y – 5

15). (2 – z)(i + z ) là 1 số thực tùy ý

16). (2 – z)(i + z ) là 1 số ảo tùy ý

TO

ÁN

-L

5). |z - z + 1 + i| = 2

ÀN

Ý

3). | z - 2 z + i| = 2

-H

Ó

1). |z – 1 – i| = 1

17).

z +i là 1 số thực . z +i

18).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

điều kiện:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Bài 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q Đ ẠO

c) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [ −2;2] .

IỄ N D

TP

b) Phần ảo của z thuộc khoảng ( −1;3) .

Đ

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a) Phần thực của z bằng 2.

z = k , k là 1 số thực dương ? z −i

Bài 4 .Tìm các số phức thỏa điều kiện sau : Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

24

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2). z = z.

 z −i

4).

z −1 z − 2i = 1 và =1 z −3 z+i

N

z −1 z − 3i = 1 và =1 z −i z +i

H

3).

1 − 3i 1 + 2i

Ơ

4

z +i 1).   =1

N

Bài 5: Tìm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn một

Y TR ẦN

Bài 6. Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ thoả mãn các điều kiện sau 2

b) z + 3 z + 3z = 0

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

a) z + 1 = z − i

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

1 =2 z

1+ z ∈R z

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

f)

c) |z-1+2i| > 3

Đ ẠO

b) |z+i|<1

d) z +

z−2 bằng 0 z −1

TP

e) Phần thực của

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

a) |z-2| = 3

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

trong các điều kiện sau:

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN III: KẾT LUẬN

Ơ

tài liệu phục vụ trong quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời cũng là cuốn tài

N

Mục đích quan trọng nhất của đề tài này là tôi muốn lấy đây làm một cuốn

N

H

liệu để các trò của tôi có thể tự tin lấy trọn điểm phần số phức.

N

G

Bản thân tôi khi soạn chuyên đề này, nhận thấy rằng vẫn còn nhiều nội dung

H Ư

liên quan đến số phức tôi chưa khai thác hết. Với thời gian và năng lực có hạn tôi

TR ẦN

chỉ xin trình bày ở đây những bài toán đơn giản nhất, bám sát nội dung thi trung học phổ thông quốc gia. Hi vọng chuyên đề sẽ là cuốn tài liệu hữu ích cho các em

10 00

B

học sinh.

Rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các em học sinh để

Ó

A

chuyên đề của tôi được hoàn thiện hơn.

Bình Xuyên ngày 22 tháng 10 năm 2015

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Tôi xin chân thành cảm ơn !

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

thú trong học Toán.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

triển tư duy linh hoạt cho học sinh. Từ đó mang lại cho các em sự say mê và hứng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

.Q

qua việc hệ thống phân dạng, phương pháp giải các dạng toán số phức nhằm phát

Đào thị Tươi

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

Chuyên đề giúp học sinh định hướng giải quyết tốt bài toán số phức. Thông

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

26

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHỤ LỤC

H

Ơ

đến nội dung thi của chương trình cơ bản. So với chương trình học nâng cao, HS

N

Trong chuyên đề nhỏ này, tôi chỉ xin trình bày nội dung số phức liên quan

Y

N

học theo phân ban cơ bản sẽ không phải học nội dung dạng lượng giác của số

N

G

có định hướng đúng nhất trong giảng dạy bám sát nội dung thi.

Khối Năm

CT nâng cao

2009 Gọi z1, z2 là nghiệm của PT z2 Không có

B

A

CT cơ bản

TR ẦN

H Ư

Phụ lục 1: Số phức trong đề thi đại học các năm

2

2

A

A = z1 + z2

10 00

+2z +10 =0. Tính GT của BT:

2010 Tìm phần ảo của số phức z, biết Cho

-H

Ó

số

z = ( 2 + i ) 2 (1 − 2i )

ÁN

-L

Ý

mãn z =

TO

2

Đ D

IỄ N

2012 Không có

z

(1 − i 3)3 .Tìm modun của số 1− i

Tính modun của số phức z, biết (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i ) = 2 − 2i

Cho

số

phức

z

thỏa

mãn

5( z − 1) = 2−i z −1

Tính modun của số phức 1+ z + z2

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

thỏa

phức z + iz .

2011 Tìm tất cả các số phức z biết z2 = z + z

phức

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D ở cả hai chương trình cơ bản và và nâng cao, để chúng ta cùng trao đổi. Từ đó

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

đại học , đề thi cao đẳng , đề thi tốt nghiệp các năm từ 2009 đến nay các khối A, B,

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

tìm quỹ tích các điểm biểu diễn các số phức cũng không có. Tôi xin trích dẫn đề thi

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

phức, phương trình bậc hai với hệ số phức. Theo PPCT mới, ở ban cơ bản bài tập

27

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2013 Không có

Cho số phức

2014 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Y

N  1+ i 3  phức z =    1+ i 

3

Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của

A

2012 Không có

biết Tìm phần thực và phần ảo của số

-H

Ó

phương trình z 2 − 2 3z − 4 = 0 .

Ý

Viết dạng lượng giác của z1, z2.

Không có

-L

2013 Không có

TO

ÁN

2014 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

2009 Trong (Oxy) tìm tập hợp điểm Không có

ÀN Đ IỄ N

Tìm modun của z.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

5+i 3 z− −i = 0 z

z,

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

phức

B

số

10 00

2011 Tìm

TR ẦN

mãn z − i = (1 + i) z

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

điểm biểu diễn các số phức thỏa

G

2010 Trong mp(Oxy) tìm tập hợp Không có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2009 Tìm số phức z thỏa mãn Không có và z.z = 25 .

D

D

.

Tìm phần thực và phần ảo của z.

B

N

H

Ơ

phần thực và phần ảo của số phức

N

Viết dạng lượng giác của z. Tìm

biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z − (3 − 4i ) = 2

2010 Tìm

số

phức

z,

biết Không có Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

28

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

z − (2 + 3i ) z = 1 − 9i.

2011 Tìm số phức z thỏa mãn Không có 2

Ơ

N

z = 2 và z là số thuần ảo.

Y

G N

http://daykemquynhon.ucoz.com

kiện: (1+i)(z-i) + 2z = 2i.

TR ẦN

H Ư

Tính modun của số phức

2014 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

B

10 00

Tìm modun của z.

.

Cho số phức z thỏa mãn (1-i)z-1+5i. Tìm phần thực, phần ảo của z.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

2015

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2013 Cho số phức z thỏa mãn điều Không có

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP Đ ẠO

w = z+1+i.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

trên tập số phức.

Tính modun của số phức

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

z2 +3(1+i)z +5i = 0

2(1 + 2i ) = 7 + 8i .

1+ i

.Q

(2 + i ) z +

H

2012 Cho số phức z thỏa mãn Giải phương trình

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H

Giải phương trình sau trên tập số

G N

2011

Tìm modun của số phức z biết Tìm phần thực, phần ảo của số

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tìm phần thực và phần ảo của z

phức 1/z biết z là nghiệm của

TR ẦN

( −3 + 4i ) z + z = 4i − 20

phương trình z2 -2(1+i)z +2i =0

Cho số phức z thỏa mãn Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của (1 − 2i ) z −

10 00

B

2012

phương trình z 2 − 2 z + 1 + 2i = 0 .

2−i = (3 − i ) z .

1+ i

Ó

A

Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z

Tính z1 + z2

-H

trong mặt phẳng Oxy. Cho số phức z thỏa mãn điều Giải phương trình

-L

Ý

2013

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

kiện

2014

trên tập C của các số phức.

Tìm phần thực, phần ảo của số phức

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

= 0 trên tập số phức.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

kiện (2 − 3i ) z + (4 + i ) z = −(1 + 3i ) 2

Đ ẠO

Cho số phức z thỏa mãn điều Giải phương trình z2–(1+i)z + 6+3i

2010

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

.Q

(1+i)2(2-i)z =i+I +(1+2i)z. Tìm phức: 4 z − 3 − 7i = 7 − 2i z −i phần thực, phần ảo của z

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

Cho số phức z thỏa mãn

Y

2009

CT nâng cao

N

CT cơ bản

U

Năm

Ơ

N

Phụ lục 2: Số phức trong đề thi cao đẳng các năm

.

Cho số phức thỏa mãn điều kiện

. Tìm phần thực và

phần ảo của số phức z.

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

30

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải phương trình 8z2 -4z + 1 = Giải phương trình 2z2 -iz + 1 = 0 Cho hai số phức z1= 1+2i và z2 Cho hai số phức z1= 2+5i và z2 = 3-

Giải phương trình

Giải phương trình

(1- i)z+(2-i)=4-5i trên tập số C.

H Ư

N

G

của số phức z1.z2.

Tìm các số phức 2 z + z ,

25i biết Tìm các căn bậc hai của số phức z 1 + 9i z= − 5i 1− i

10 00

B

z = 3-4i 2013

(z-i)2+4 =0 trên tập số

Cho số phức z thỏa mãn

Giải phương trình

A

(1+i)z – 2 – 4i = 0.

trên tập số phức.

-H

Ó

Tìm số phức liên hợp của z.

Không có

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

2014

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2012

phần ảo của số phức z1 -2z2.

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

2011

Đ ẠO

= 2-3i. Xác định phần thực, 4i. Xác định phần thực, phần ảo

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2010

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

trên tập số phức.

TP

0 trên tập số phức.

U

Y

2009 Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ơ

CT nâng cao

H

CT cơ bản

N

Năm

N

Phụ lục 3: Số phức trong đề thi tốt nghiệp các năm

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

31

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

TÀI LIỆU THAM KHẢO

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

H

1. Lê Hồng Đức (chủ biên), “ Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn toán 12”, NXB đại học quốc gia Hà Nội,2009.

2. Trần Văn Cơ, “Các đề thi theo hình thức tự luận môn Toán”, NXB đại học sư phạm, 2009 3. Nguyễn Đức Huyên (chủ biên) “Giải toán 12 hàm số mũ, logarit và số phức”, NXB giáo dục Việt Nam, 2010.

4. Lê Hồng Đức, “Tuyển tập các đề thi đại học cao đẳng từ năm 2006 đến năm 2011”,NXB Tuổi trẻ, 2011.

5. Trần Phương, “ Số phức ”, NXB đại học sư phạm, 2009.

Số PHứC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

32

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial