CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC . CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO MỨC ĐỘ CÓ LỜI GIẢI . KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC . CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO MỨC ĐỘ CÓ LỜI GIẢI . KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO (FX 570 ES) HỖ TRỢ VIỆC GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM (TÀI LIỆU BẢN QUYỀN) WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC

1

Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

2

Dạng 2: Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác của số phức

I. Tác giả: - Họ và tên: ………………

IV. Mô tả chuyên đề:

- Chức vụ công tác: ……………….

SỐ PHỨC

- Đơn vị công tác: …………………..

II. Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 12 III. Dự kiến số tiết thực hiện: 10 tiết CỤ THỂ ( Lưu ý: Chủ đề 3 nằm trong phần giảm tải nên linh động có thể bỏ tùy đối tượng giảng dạy và chuyển thời lượng giảng dạy lên chủ đề 1 và 2) Nội dung Chủ đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

Số tiết

Kiến thức cần nhớ

B

Các dạng bài tập

1

Dạng 1: Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức

2

Dạng 2: Biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ

1

3

Dạng 3: Quỹ tích các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

1

4

Dạng 4: Một số dạng toán thường gặp về sử dụng kiến thức hình học để giải toán cực trị số phức

3

Chủ đề 2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

2

A B

Các dạng bài tập

1

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất

2

Dạng 2: Tính căn bậc hai và giải phương trình bậc hai, phương trình quy về phương trình bậc 2

2

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

CÁC DẠNG BÀI TẬP

PHƯƠNG PHÁP

VÍ DỤ MINH HỌA ( Theo thứ tự về mức độ nhận thức)

KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ( Hỗ trợ giải toán )

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( Chia mức độ nhận thức)

0,5

1,5

V. Nội dung chi tiết:

A

Chủ đề 3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Kiến thức cần nhớ

1

B

Các dạng bài tập

1

1

DẠNG LƯỢNG

CĂN BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

7

A

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC Kiến thức cần nhớ

DẠNG ĐẠI SỐ

2

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

 Định nghĩa1.5: Tích của hai số phức z  a  bi  a, b    và

Chủ đề 1

z '  a ' b ' i  a ', b '    là số phức zz '  aa  bb '  ab ' a ' b  i .

DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

 Tính chất của phép nhân số phức Với mọi z, z ', z ''  

A. Kiến thức cần nhớ 1. Số phức

 Tính chất giao hoán: zz '  z ' z .  Tính chất kết hợp:  zz '  z ''  z  z ' z ''  .

 Định nghĩa 1.1: Một số phức là một biểu thức dạng a  bi , trong đó a và b là

 Tính chất nhân với 1: z.1  1. z  z .

những số thực và i thỏa mãn i 2  1 . Kí hiệu số phức đó là: z  a  bi .

 Tính chất phân phối giữa phép nhân và phép cộng: z  z ' z ''   zz ' zz '' .

Khi đó: a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo và i được gọi là đơn vị

5. Số phức liên hợp và môđun của số phức

ảo của số phức z  a  bi .

 Định nghĩa1.6: Số phức liên hợp của z  a  bi  a , b    là a  bi và được kí

- Tập các số phức được kí hiệu là .

hiệu bởi z .

- Số phức z  a  0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là: a  0i  a     .

-

 Định nghĩa1.7: Môđun của số phức z  a  bi  a , b    là số thực không âm a 2  b2 và được kí hiệu là z .

Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):

z  0  bi  bi  b    ; i  0  1i  1i .

 Chú ý: Nếu z  a  bi  a, b    thì z  z z  a 2  b 2 .

- Số 0  0  0i  0i vừa là số thực vừa là số ảo.

6. Phép chia cho số phức khác 0

2. Hai số phức bằng nhau

 Định nghĩa1.8:

 Định nghĩa 1.2: Hai số z  a  bi  a , b    , z '  a ' b ' i  a ', b '    gọi là bằng

 Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số phức z 1 

nhau nếu a  a ', b  b ' . Khi đó viết z  z ' .

3. Phép cộng và phép trừ số phức

 Thương

 Định nghĩa1.3: Tổng của hai số phức z  a  bi  a , b    , z '  a ' b ' i  a ', b '    là số phức z  z '  a  a '  b  b ' i .

 Chú ý:

 Tính chất kết hợp:  z  z '  z ''  z   z ' z '' .

z.

z'  z ' z 1 . z

z ' z'z z'z z'  2  nên để tính ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với z . z z zz z

7. Biểu diễn hình học của số phức

 Tính chất giao hoán: z  z '  z ' z .

 Cộng với 0 : z  0  0  z  z .  Với mỗi số phức z  a  bi  a , b    , nếu kí hiệu số phức a  bi là  z thì

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi số phức z  a  bi  a , b    được biểu diễn

bởi điểm M  a ; b  . Ngược lại mỗi điểm M  a ; b  biểu diễn số phức z  a  bi . Ta viết M  a  ib  hay M  z  .

ta có z  ( z )  ( z )  z  0 . Số  z được gọi là số đối của số phức z .  Định nghĩa1.4: Hiệu của hai số phức z  a  bi  a , b    và

B. Các dạng bài tập

z '  a ' b ' i  a ', b '    là tổng của của z với  z ' , tức là:

1. Dạng 1. Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức

1.1) Phương pháp giải - Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.

z  z '  z    z '  a  a '  b  b '  i .

4. Phép nhân số phức

3

2

z' của phép chia số phức z ' cho số phức z khác 0 là tích của z ' z

với số phức nghịch đảo của z , tức là

 Tính chất của phép cộng số phức Với mọi z , z ', z ''   và a, b  

1 z

4

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

- Một số kết quả cần nhớ :

1 3 Ví dụ 5. [Mức độ 1] Cho số phức z    i .

2 2 1 Hãy chứng minh rằng: z 2  z  1  0; z  z 2  ; z 3  1. z

Với mọi số nguyên dương n ta có: 1) i 0  1  i 4 n  1 .

2

3) i  1  i

4n2

2) i1  i  i 4 n1  i .

4) i3  i  i 4 n 3  i .

 1 .

2

Bài giải

2

6) 1  i   2i .

7) 1  i   2i .

1 3 1 3 1 3 Do z 2    i . Nên z 2  z  1  (   i )  (   i )  1  0 .

2 2 2 2 2 2

1.2) Các ví dụ Ví dụ 1. [Mức độ 1] Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i).

Lại có 1 

b) (1  i) 3  (2i) 3

z

Bài giải

1 1 3   i 2 2



1 3   i 2 2 2   1  3 i . Suy ra z 1 2 2

1  z  . z

a) Ta có: i   2  4i    3  2i     0  2   1  4  i    3  2i    2  3   3  2  i  1  i

Hơn nữa ta có z 3  1.

Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1. b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có

Ví dụ 6. [Mức độ 2] Tìm số phức z, nếu z 2  z  0 .

 1  i 

3

3

2

Bài giải

3

2

Đặt z  x  yi  x , y    , khi đó

  1  3 1 i  3  1 i   i   2  2i .

3

3



3

(2i)   2   i   8i  (1  i)3  (2i)3  2  2i  8i  2  10i .

  x  0  2  x 2  y 2  x 2  y 2  0    y  y  0  

2 xy  0   y  0  2   x  x  0

Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10.

Ví dụ 2. [Mức độ 1] Tính

1

1 3  i 2 2

Bài giải

 x  0   x  0    x  0, y  0   y  0  x  0, y  1   y (1  y )  0       y  1      y 0   x  0, y  1    x  0 (do x  1  0)    x (1  x )  0    y  0, x  0     y  0

1 3 1 3  i  i 1 3 2 2 2 2 Ta có :    i 1 2 2 1 3  1 3  i   i    2 2  2 2 

Ví dụ 3. [Mức độ 2] Tính 1  i  i 2  i 3  ...  i 2009 Bài giải Ta có: 1  i

2010

2

3

 (1  i )(1  i  i  i  ...  i

2009

Mà 1  i 2010  2 . Nên 1  i  i 2  i3  ...  i 2009 

Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z  0; z  i; z  i .

)

Ví dụ 7. [Mức độ 2] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  3(1  i ) z  1  9i Tìm modun của z.

2 , hay là 1 i

Bài giải:

1  i  i 2  i 3  ...  i 2009  1  i .

Ví dụ 4. [Mức độ 2] Tính (1  i )100

Giả sử z  x  yi  x , y    , ta có: 2( x  yi)  3(1  i )( x  yi)  1  9i  2 x  2 yi  3x  3 yi  3xi  3 y  1  9i

Bài giải Nhận thấy (1  i )  (1  i )(1  i )  2i .

5 x  3 y  1  x  2  5 x  3 y  (3 x  y)i  9i    3x  y  9 y  3

Suy ra (1  i )100  ((1  i) 2 )50  (2i )50  ( 2)50 (i)50  250 .

Vậy modun của số phức z là: z  13

2

5



z 2  z  0  ( x  yi)2  x2  y 2  0  x 2  y 2  x 2  y 2  2 xyi  0

6

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

1.3) Kỹ thuật sử dụng máy tính Casio ( fx 570 ES) hỗ trợ việc giải toán trắc nghiệm  Lệnh Casio trong giải toán số phức

- Để giải toán trên tập số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE2.

- Lệnh tính Môđun của số phức là SHIFT HYP.

 z  9  10i .

- Lệnh tính số phức liên hợp z là SHIFT 2 2.

Số phức liên hợp của z  a  bi là z  a  bi .

- Lệnh tính Acgument của số phức là SHIFT 2 1.

Vậy z  9  10i  Đáp án B là chính xác.  Việc tìm số phức liên hợp của số phức z rất đơn giản nên không nhất thiết phải dùng lệnh SHIFT 2 2. Tuy nhiên nếu muốn ta sẽ làm như sau: shift 22 rồi nhập

Ví dụ 1. [Mức độ 1] (Đề minh họa THPT Quốc gia lần 1 năm 2017) Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tính Môđun của số phức z1  z2 A. z1  z2  13 . B. z1  z2  5 .

C. z1  z 2  1 .

biểu thức sẽ cho kết quả

D. z1  z 2  5 .

Bài giải: - Đăng nhập lệnh số phức MODE2.

Ví dụ 3. ([Mức độ 2] Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần Thơ lần 1 năm 2017)

(Khi nào máy tính hiển thị chữ CMPLX thì bắt đầu tính toán số phức được) - Để tính Môđun của số phức ta nhập biểu thức vào máy tính rồi sử dụng lệnh SHIFT

Cho số phức z  a  bi . Số phức z 2 có phần ảo là: A. a 2b2 .

HYP

B. 2a 2b2 .

C. 2ab .

D. ab .

Bài giải:  Vì đề bài cho ở dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” bài toán bằng cách chọn giá trị cho a,b (lưu ý nên chọn các giá trị lẻ để tránh xảy ra trường hợp đặc biệt).

Chọn a  1, 25 và b  2,1 ta có z  1, 25  2,1i .

Sử dụng máy tính Casio tính z 2

Vậy z1  z 2  13  Đáp số chính xác là A Ví dụ 2. [Mức độ 1] (Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 3 năm 2017) 2

2

Số phức liên hợp với số phức z  1  i   3 1  2i  là: A. 9  10i .

B. 9  10i .

C. 9  10i .

21 Vậy phần ảo là .

4

D. 9  10i .

Bài giải:

Xem đáp số nào có giá trị là

Nhập biểu thức vào máy tính

7

21 thì đáp án đó chính xác. Ta có 4

8

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

1 A. .

2

1 B.  .

2

C. 2.

D. Một giá trị khác.

Bài giải: Đặt số phức z = a + bi thì Môđun của số phức z là z  a 2  b 2  1

Chọn a = 0.5  0.52  b2  1. Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE để tìm b

21  Đáp án C là chính xác.

4 Ví dụ 4. [Mức độ 2] (Thi thử báo toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017)

Vậy 2.1, 25.2,1 

Để số phức z = a + (a – 1) i , (a là số thực) có z  1 thì: A. a 

1 .

2

B. a 

3 .

2

a  0 C.  . a  1

D. a  1 .

Lưu giá trị này vào b

Bài giải:  Để xử lý bài này ta sử dụng phép thử, tuy nhiên ta chọn a sao cho khéo léo nhất để phép thử tìm đáp số nhanh nhất. Ta chọn a =1 trước, nếu a = 1 đúng thì đáp án đúng chỉ có thể là C hoặc D, nếu a = 1 sai thì C và D đều sai.

Với a = 1 sử dụng máy tính Casio tính z

1 : Trở lại chế độ CMPLX để tính giá trị 1 z

Vậy z  1  Đáp án đúng chỉ có thể là C hoặc D

1 Vậy phần thực của z là  Đáp án chính xác là A. 2

Thử với a = 0 Sử dụng máy tính Casio tính z:

Ví dụ 6. [Mức độ 2] Tìm số phức z biết rằng: 1  i  z  2 z  5  11i A. z = 5 – 7i.

B. 2 + 3i.

C. z = 1 + 3i.

D. z = 2 - 4i.

Bài giải: Với z = 5 – 7i thì số phức liên hợp z  5  7i . Nếu đáp án A đúng thì phương trình

1  i 5  7i   2 5  7i   5  11i (1) Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái của (1)

Vậy z  1  Đáp án chính xác là C. Ví dụ 5. [Mức độ 2] (Thi thử chuyên KHTN lần 1 năm 2017) Nếu số phức z thoản mãn z  1 thì phần thực của

1 bằng: 1 z

9

10

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Vì 2 – 16i  -5 +11i nên đáp án A sai.

Tương tự như vậy với đáp án B

a) Bài tập tự luận Bài 1. [Mức độ 1-3] Thực hiện các phép tính sau: 1) (3 – 5i) + (2 + 4i).

2) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i).

2



 



2

3) 2  3 i  2  3 i .

 Đáp số chính xác là B. Ví dụ 7. [Mức độ 2] (Đề minh họa của bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017)

4)

1  2i 1  2i .  1  2i 1  2i

5)

3i(1  2i) + 4 – 3i.

12i

6)

(2  i)(1  2i) (2  i)(1  2i) .  2i 2i

Cho số phức z = a + bi thỏa mãn 1  i  z  2 z  3  2i . Tính P = a + b

1 A. P = .

2

B. P = 1.

C. P = -1.

1 D. P =  .

2

7) (1  i ) 2 .

Bài giải:

8) (1  i )

Phương trình  1  i  z  2 z  3  2i  0 (2). Khi nhập số phức liên hơp ta nhấn lệnh

2009

9) 1  i 

Shift 22.

2006

.

3

(1  i ) .

(1  i ) 4

Bài 2. [Mức độ 1-3] Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau.

1) z = (4 – i)(3 + 2i) + (1 – i)2.

2) z = (2 + 3i)2 – (3 + 4i)3.

3) z = (1 – i)(2 – i)(3 + i).

4) z = ( 1+ i)2008 – (1 + i)2009 + (1 + i)2010

Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái của (2).

5) z =

1  i 1  2i .  1  2i 1  i (4  i) 2 .

(1  i )3

X là số phức nên có dạng X = a + bi. Nhập X = 1000 + 100i ( có thể thay a, b là số

7) z  2  3i 

khác).

9) z2 – 2z + 4i.

6) z  8)

(1  i)(1  2i) 2  (3  2i ) 2 .

4  2i

zi . iz  1

10) z = (1 – i)10 – (4 + i)(1 – 2i).

1  2i  (1  i )3 Bài 3. [Mức độ 2] Cho z = Tính |z| và tìm z .

1 i Bài 4. [Mức độ 2] ( A-2010). Tìm phần ảo của số phức z, biết: z  ( 2  i ) 2 (1  2i ) .

Bài 5. [Mức độ 1] (Kì thi THPT Quốc Gia năm 2015).

2897  3.1000  100  3  3a  b  3 .

Vậy vế trái của (1) bằng 2897 + 898i. Ta có:  898  1000  100  2  a  b  2

Cho số phức z thỏa mãn (1  i ) z  1  5i  0 . Tìm phần thực và phần ảo của z.

b) Bài tập trắc nghiệm khách quan Câu 1. [Mức độ 1] Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

3a  b  3  0 3 1  a  ;b  Mặt khác đang muốn vế trái = 0   .

2 2 a  b  2  0

A. Môđun của số phức z là một số âm.

B. Môđun của số phức z là một số thực.

Vậy a + b = -1.  Đáp số chính xác là B.

C. Môđun của số phức z  a  bi là z  a 2  b 2 .

D. Môđun của số phức z là một số thực không âm.

1.4) Bài tập tự luyện

11

12

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Câu 2.

[Mức độ 1] Cho số phức z  5  4i . Môđun của số phức z là

A. Điểm biểu diễn của z là M  4;3 .

C. 1.

D. 9.

A. 3.

B. 41 .

[Mức độ 1] Cho số phức z  5  4i . Số phức đối của z có tọa độ điểm biểu diễn

B. Môđun của số phức z là 5.

Câu 3.

C. Số phức đối của z là 3  4i .

là

D. Số phức liên hợp của z là 3  4i .

Câu 4.

A.  5; 4  .

B.  5; 4  .

C.  5; 4  .

[Mức độ 1] Cho số phức z  6  7i . Số phức liên hợp của z là

Câu 5.

B. z  6  7i .

C. z  6  7i .

D. z  6  7i .

A. z  6  7i .

[Mức độ 2] Các số thực x, y thỏa mãn: 3x  y  5 xi  2 y  1   x  y  i là

Câu 6.

 2 4    1 4 D.  x; y     ;   .  7 7 [Mức độ 2] Cho hai số phức z1  1  2i và z2  2  3i . Khẳng định nào sau đây

 1 4   1 4 C.  x; y    ;  . 7 7

A.  x; y     ;  .

7 7

D.  5; 4  .

Câu 13. [Mức độ 2] Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?

B.  x; y     ;  .

7 7

 7  i    7  i  .

C.  5  i 7    5  i 7  .

A.

Câu 7.

z2 4 7    i . z1 5 5

A. 3 .

B. 1.

Câu 15. [Mức độ 2] Phần thực của z   2  3i  i là

A.  3 .

B. 2.

C. 3.

D. 2 .

Câu 16. [Mức độ 2] Cho hai số phức z1  1  i và z2  5  2i . Tính môđun của số phức

z i

A.  1  i .

là A. 1; 2 .

B. 1; 2 .

C. 2;1.

D. – 2;1.

C. z  2i .

B. 2  i .

C. 3  i .

D. 2  i A. 2  i .

Câu 20. [Mức độ 3] Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức z   2  i   10 và z.z  25 .

D. z  2 .

A. z  3  4i; z  5 .

B. z  3  4i; z  5 .

C. z  3  4i; z  5 .

D. z  3  4i; z  5 .

Câu 21. [Mức độ 2] Cho số phức z   2  i 1  i   1  3i . Tính môđun của z .

9 4 ;  .  11 11   9 4 D.  x; y     ;  .  11 11  Câu 11. [Mức độ 2] Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 x  1  1  2 y  i  2  2  i   yi  x khi

B.  x; y   

A. 4 2 .

B. 13 .

C. 2 2 .

D. 2 5 .

Câu 22. [Mức độ 2] Cho z  1  2i và w  2  i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? w  1 . z z z C.   1 . w w

A.

đó giá trị của x 2  3 xy  y bằng: A. 1 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 12. [Mức độ 1] Cho số phức z  3  4i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

13

D. z 2  2i .

D. 4; 3 .

 2 x  3 y  1    x  2 y  i   3 x  2 y  2    4 x  y  3 i là 4  9 ;   .  11 11  4 9 C.  x; y    ;   .  11 11 

C. z  2 .

Câu 19. [Mức độ 2] Số phức z thỏa mãn: z   2  3i  z  1  9i là

A. 4; 3 .

B. 4;3 .

C. 4;3 .

[Mức độ 1] Điểm M  1;3 là điểm biểu diễn của số phức

A.  x; y    

B. z 1.z  0 .

Câu 18. [Mức độ 2] Cho số phức z  1  6i    2  4i  . Phần thực, phần ảo của z lần lượt

A. 12.

B. 11.

C. 1.

D. 12i .

[Mức độ 1] Cho số phức z  4  3i . Phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt

A. z  1  3i .

B. z  1  3i .

Câu 10. [Mức độ 2] Các số thực x, y thỏa mãn:

D. 2 .

C. 7 .

D.  7 .

A. 5.

B.  5 .

Câu 17. [Mức độ 2] Cho số phức z  1  i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

C. z1  z1.z 2  9  i .

D. z1.z2  65 .

[Mức độ 2] Cho hai số phức z1  1  2i và z2  2  3i . Phần ảo của số phức

là Câu 9.

C. 2.

z1  z2 .

B. 5 z11  z2  1  i .

w  3 z1  2 z 2 là

Câu 8.

D.  3  i    3  i  .

Câu 14. [Mức độ 1] Môđun của số phức z  3  i là

là khẳng định Sai ?

A.

B. 10  i   10  i  .

B. z.w  z . w  5 .

D. z.w  z.w  4  3i .

14

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Câu 23. [Mức độ 2] Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức

z 

x  3  5i   y 1  2i   35  23i .

A.  x; y    3; 4  .

C.  x; y    3; 4  .

A. Phần thực là 21990 và phần ảo là 2 .

B. Phần thực là 21990 và phần ảo là 2 .

C. Phần thực là 21989 và phần ảo là 1 .

D. Phần thực là 21989 và phần ảo là 1 .

Câu 35. [Mức độ 3] Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Số

B.  x; y    3; 4  .

D.  x; y    3; 4  .

Câu 24. [Mức độ 3] Giá trị của i105  i 23  i 20  i 34 là ?

A. 2 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 4 .

Câu 25. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2 và z 2 là số thuần ảo ?

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

 1 i  Câu 26. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa z    1 i 

2016

. Viết z dưới dạng

z  a  bi, a , b   . Khi đó tổng a  b có giá trị bằng bao nhiêu?

B. 1 .

A. 0.

C. 1.

D. 2.

3

22  i z 5 Câu 27. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn z    4  i   422  1088i .

1 i

phức z có môđun nhỏ nhất là?

A. z  2  2i .

B. z  2  2i .

C. z  2  2i .

D. z  2  2i .

Câu 36. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa z  1  i  i 2  i3  ...  i 2016 . Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là A. 0 và 1 .

B. 0 và 1.

C. 1 và 1.

D. 1 và 0.

Câu 37. [Mức độ 3] Giá trị của biểu thức 1  i 2  i 4  ...  i 4 k , k  * là D. ik .

A. 1.

B. 0.

C. 2ik .

Câu 38. [Mức độ 2] Cho các số phức z1 , z2 . Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

I :

A. z  5 .

B. z 2  5 .

C. Phần ảo của z bằng 0.

D. Không tồn tại số phức z thỏa mãn đẳng thức đã cho.

Câu 28. [Mức độ 3] Cho số phức z có phần thực và phần ảo là các số dương thỏa mãn 5

z  1  i  .z 

2  i i6

3

 3  20i . Khi đó môđun của số phức w  1  z  z 2  z 3 có

giá trị bằng bao nhiêu?

D. 1.

C. 5 . z i z 1 Câu 29. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức z thỏa  1 và  1 iz 2 z A. 25.

B. 5.

z z1  1 . z2 z2

 II  : z1.z 2

 z1 . z 2 .

 III  : z1 2  z12 .

A. (I) và (II) đúng.

B. (I) và (III) đúng.

C. (II) và (III) đúng.

D. Tất cả (I), (II), (III) đều đúng.

2 3 20 Câu 39. [Mức độ 3] Số phức z  1  i  1  i   1  i   ...  1  i  là số phức nào sau đây?

A. 1025  1025i .

B. 1025  1025i .

C. 1025  1025i .

D. 1025  1025i .

Câu 40. [Mức độ 3] Cho số phức z  1  i 2  i 4  ...  i 2 n  ...  i 2016 , n   . Môđun của z bằng?

A. 2.

B. 1.

C. 1008.

D. 2016.

Câu 41. [Mức độ 3] Cho số phức z  i  i 3  i 5  i 7  ...  i 2 n 1  ...  i 2017 , n   . Số phức 1  z là số phức nào sau đây?

A. 1  i .

B. 1  i .

C. i .

D. i .

Câu 42. [Mức độ 4] Cho hai số phức z1 , z2 khác 0 thỏa mãn z12  z1 z2  z22  0. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 . Khi đó tam giác OAB là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 30. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2 và z 2 là số thuần ảo.

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 31. [Mức độ 3] Cho số phức z  (1  i) 2019 . Dạng đại số của số phức z là:

A. Tam giác đều.

B. Tam giác vuông tại O .

C. Tam giác tù.

D. Tam giác có một góc bằng 450 .

2 26 Câu 43. [Mức độ 3] Cho số phức z  1  1  i   1  i   ...  1  i  . Phần thực của số

A. 21009  21009 i .

B. 21009  21009 i .

C. 22019  22019 i .

D. 22019  22019 i .

Câu 32. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa z  2i  2 . Môđun của số phức z 2016 là: A. 22016 .

B. 23024 .

C. 24032 .

D. 26048 2

 

Câu 34. [Mức độ 3] Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa   i  1  i   (1  i )3979 2

3

phức z là A. 213 .

B. (1  213 ) .

C. 213 .

D. (1  213 ) .

2

Câu 33. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: z  z  26 và z  z  6 A. 2.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

15

16

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

  Mỗi số phức z  x  yi được biểu diễn một điểm M  x; y  hay véc tơ u   x; y 

m

4i   , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị  i 1

Câu 44. [Mức độ 4] Cho số phức z  

trên mặt phẳng phức.Ta viết: M  x  yi  hoặc M  z  .

m  1;100  để z là số thực?

A. 27.



 Gọi M  z  , M 1 z , M 2   z  . Khi đó: M 1 đối xứng với M qua Ox ; M 2 đối xứng

B. 26.

C. 25.

D. 28.

với M qua O .      Gọi u, v lần lượt là biểu diễn của hai số phức z1 , z2 . Khi đó: u  v là biểu diễn của z1  z2 .   Cho A  z1  , B  z2  , khi đó: AB là biểu diễn của z2  z1 và AB  z1  z2 .  Ta có thể xem số phức như một véc tơ, từ đó các pháp toán cộng, trừ các số phức giống như cộng trừ các véc tơ.

m

 2  6i   , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị  3i 

Câu 45. [Mức độ 4] Cho số phức z  

m  1;50 để z là số thuần ảo?

A. 26.

B. 25.

C. 24.

3

6

Câu 46. [Mức độ 3] Cho biểu thức L  1  z  z  ...  z

2016

D. 50.

1 3 với z   i . Biểu thức 2 2

2.2) Các ví dụ.

L có giá tri là

A. 2017.

B. 673.

C. -1.

2

3

Câu 47. [Mức độ 3] Cho biểu thức L  1  z  z  z  ...  z

D. 1.

2016

z

2017

với z 

1  2i . Biểu 2i

thức L có giá tri là A. 1  i .

1 2

B. 1  i .

Câu 48. [Mức độ 4] Cho số phức z  1 A. .

2

1 2

1 2

C.   i .

1 2

D.   i .

m  i , m   . Tìm z max 1  m(m  2i)

B. 0.

Ví dụ 1. [Mức độ 1] Trong mặt phẳng Oxy , tìm tọa độ điểm M biểu diễn các số phức sau a. z  2  5i .

1 . b. z  2 i Bài giải a. M  2;5 .

C. 1.

D. 2.

b. Biến đổi z về dạng z  x  yi : z 

Câu 49. [Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn: z  i  1  z  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 2i 2 1 2 1    i , vậy M  ;  .

2  i  2  i  2  i  5 5  5 5

Ví dụ 2. [Mức độ 1] Các điểm A, B, C , D, E trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn những

z .

số phức nào?

2 2 1 .

C. .

D. .

2 2 2 0 2 4 6 2014 2016 Câu 50. [Mức độ 4] Tính tổng L  C2016  C2016  C2016  C2016  ...  C2016  C2016 1 2

A.  .

B. 

A. 21008 .

B. 21008 .

C. 22016 .

D. 22016 .

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

1 A 21 D 41 A

2 B 22 A 42 A

3 A 23 B 43 A

4 D 24 A 44 A

5 A 25 A 45 B

6 C 26 C 46 D

7 A 27 A 47 A

8 C 28 B 48 C

9 A 29 A 49 D

10 B 30 A 50 A

11 D 31 A

12 A 32 D

13 C 33 A

14 C 34 B

15 A 35 C

16 A 36 D

17 D 37 A

18 A 38 A

19 D 39 C

20 A 40 B

2. Dạng 2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ 2.1) Phương pháp giải

Bài giải Các điểm có tọa độ tương ứng là: A  0;4 , B  4;0  , C  2;  4  , D  0; 4  , E  2;0 nên

A, B, C , D, E lần lượt biểu diễn các số phức: z1  4i, z2  4, z3  2  4i, z4  4i, z5  2 Ví dụ 3. [Mức độ 2] Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có z  w  z  w . Đẳng

Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau:

thức xảy ra khi nào?

17

18

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Điểm biểu diễn số phức z = 7 + bi là điểm M có tọa độ M (7;b)

Bài giải Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w.

Ta biết điểm M thuộc đường thẳng d nếu tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường

Ta có z  OA, w  OB, z  w  OC . Từ OC  OA + AC suy ra z  w  z  w .

thẳng d.

Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng

Thử đáp án A ta có x  7  1. x  0. y  7  0 . Thế tọa độ điểm M vào ta được:





OC. Khi O khác A (hay z  0) điều đó có nghĩa là có số k  0 để AC  kOA tức là w = kz. (Còn khi z = 0, rõ ràng z  w  z  w ).

1.7  0.b  7  0 (đúng).

Vậy điểm M thuộc đường thẳng x = 7  Đáp án A là chính xác.

Vậy z  w  z  w khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z  0 thì tồn tại k    để

Ví dụ 3. [Mức độ 2] (Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 4 năm 2017)

w = kz.

Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức

2.3) Kỹ thuật sử dụng máy tính Casio hỗ trợ việc giải toán trắc nghiệm  Về cơ bản thì trong dạng toán này vẫn sử dụng các kỹ thuật như ở dạng đại số

z1  1  i; z2  3  2i . Gọi G là trọng tâm tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là

đã trình bày ở trên để đưa số phức về dạng z  a  bi  a, b    , từ đó suy ra

điểm biểu diễn của số phức nào sau đây.

điểm biểu diễn số phức z là M  a; b  .

A. 5 – i.

B. 4 + i.

Ví dụ 1. [Mức độ 2] (Câu 31 Đề minh họa THPT Quốc gia lần 1

4 1 C.  i .

3 3

1 D. 2  i .

2

Bài giải

năm 2017)

Điểm M biểu diễn số phức z1  1  i  tọa độ M (1; -1).

Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  3 – i . Hỏi điểm biểu diễn số

Điểm N biểu diễn số phức z2  3  2i  tọa độ N (3; 2).

phức z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q A. điểm P.

C. điểm M.

B. điểm Q.

Gốc tọa độ O (0; 0).

 x  x N  xO y M  y N  yO   4 1  Tọa độ điểm G  M ;   ;  3 3    3 3

D. điểm N. Bài giải

4 1 Vậy G là điểm biểu diễn của số phức  i  C là đáp án chính xác.

3 3

3i .

Tìm z được : z  1 i

Ví dụ 4. [Mức độ 3] (Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần 1 năm 2017)

Sử dụng máy tính Casio trong môi trường CMPLX để tìm z

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z = 3 – 4i, điểm M’ là điểm biểu diễn số phức z   A. S OMM  

25 .

4

1 i z . Tính diện tích OMM  .

2

B. S OMM  

25 .

2

C. S OMM  

15 .

4

D. S OMM  

15 .

2

Bài giải Điểm M biểu diễn số phức z = 3 – 4i  tọa độ M (3;-4).

 z  1  2i và điểm biểu diễn z là điểm Q(1;-2)  Đáp án chính xác là B.

Dùng máy tính Casio để tính z’:

Ví dụ 2. [Mức độ 2] (Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần Thơ lân 1 năm 2017) Điểm biểu diễn số phức z = 7 + bi với b  R , nằm trên đương thẳng có phương trình là: A. x = 7.

B. y = x.

C. y = x +7.

D. y = 7.

Bài giải

19

20

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Điểm M’ biểu diễn số phức z  

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Câu 1.

1 i 7 1 z  tọa độ M’  ;   .

2 2 2

[Mức độ 1] Trong mặt phẳng Oxy , số phức z  2  5i được biểu diễn bởi điểm nào sau đây?

A. M 2; 5 .

Gốc tọa độ O (0;0) Để tính diện tích tam giác OMM’ ta ứng dụng tích có hướng của 2 vecto trong không

Câu 2.

B. N 5; 2  .

C. P 2;5 .

D. Q 5;2 .

[Mức độ 1] (Đề thử nghiệm -2017). Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z ?

A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 .

gian. Ta thêm cao độ 0 cho tọa độ mỗi điểm O, M, M’ là xong

   7 1  1   OM  3; 4;0  , OM   ;  ;0   S   OM ; OM   2 2 2    Tính OM ; OM  :

B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i .

C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 .

D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i .

Câu 3.

sau đây? 2 1  A. M  ;   .  5 5 

  25 1   25  SOMM '  OM ; OM     A là đáp án chính xác.

Vậy OM ; OM    12.5  2 2 4

2.4) Bài tập tự luyện a) Bài tập tự luận

[Mức độ 1] Trong mặt phẳng Oxy , số phức z 

Câu 4.

của tam giác ABC là.

bằng xảy ra khi nào?

Bài 2. [Mức độ 2] Cho số phức z = m + (m - 3)i, m  R a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x;

A. z  1  2i .

2 x

b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol y   ; c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.

Bài 3. [Mức độ 3] Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các 4i 2  6i ; (1  i)(1  2i); . số phức i 1 3 i a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân;

 z i   1  z i

1).  3).

z 1 z  3i  1 và  1 z i z i

Câu 6.

C. z 

3  3i .

2

D. z  3  6i ..

D. Điểm N .

[Mức độ 1] Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và M  là điểm biểu diễn số phức z .

Khẳng định nào đúng?

A. M và M  đối xứng nhau qua trục tung.

B. M và M  đối xứng nhau qua trục hoành.

C. M và M  đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. D. M và M  đối xứng nhau qua đường thẳng y  x .

z 1 z  2i  1 và  1 z 3 z i

Câu 7.

b) Bài tập trắc nghiệm khách quan

[Mức độ 1] Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và N là điểm biểu diễn số phức z . Khẳng định nào đúng?

A. M và N đối xứng nhau qua trục tung.

21

B. z  1  2i .

[Mức độ 1] ( Đề minh họa – 2017). Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  3  i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm

C. Điểm M .

1  3i 2). z  z.

1  2i

4).

D. Q 2;1 .

M , N , P , Q ở hình bên.

A. Điểm P .

B. Điểm Q .

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông Bài 4. [Mức độ 3] Tìm các số phức thỏa điều kiện sau : 4

C. P 2; 1 .

[Mức độ 2] Trong mặt phẳng tọa độ phức Oxy . Gọi A, B, C lần lượt là ba điểm biểu diễn các số phức z1  1  2i; z2  2  3i và z3  4  5i . Điểm biểu diễn trọng tâm G

Bài 1. [Mức độ 2] Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có z  w  z  w . Dấu

Câu 5.

 2 1 B. N  ;  .  5 5 

1 được biểu diễn bởi điểm nào 2i

22

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

B. đường tròn tâm I  2;0  và bán kính R  2 .

B. M và N đối xứng nhau qua trục hoành.

C. đường thẳng 5 x  y  3  0 .

C. M và N đối xứng nhau qua đường thẳng y  x .

D. đường thẳng 5 x  y  3  0 .

D. M và N đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

Câu 15. [Mức độ 3] Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z Câu 8.

[Mức độ 1] Cho điểm M  2;5 và điểm N đối xứng với M qua trục tung. Khi đó N biểu diễn số phức nào?

A. z  2  5i .

B. z  2  5i .

Câu 9.

C. z  2  5i .

D. z  2  5i .

thỏa mãn phần thực bằng 3 lần phần ảo của nó là một A. đường thẳng.

B. đường tròn.

C. Elip.

Câu 16. [Mức độ 3] Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z

[Mức độ 2] Gọi M , N là hai điểm biểu diễn các số phức là nghiệm của phương trình B. MN  10 .

C. MN  3 2 .

1 là số thuần ảo là z i A. trục hoành, bỏ đi điểm  1;0  .

B. trục tung, bỏ đi điểm  0;1 .

C. đường thẳng y  1 , bỏ điểm  0;1 .

D. đường thẳng x  1 , bỏ điểm

thỏa mãn

z 2  2 z  3  0 . Độ dài MN bằng bao nhiêu?

A. MN  2 . .

D. Parabol.

D. MN  2 2

Câu 10. [Mức độ 2] ( Đề thử nghiệm  2017). Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương

 1;0 .

2

của phương trình 4 z  16 z  17  0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w  iz0 ?

1 2

 

A. M 1  ;2  .

 1   4 

C. M 3   ;1 .

A. đường tròn tâm I  2; 1 và bán kính R  3 .

 1   2  1  D. M 4  ;1 . 4 

B. M 2   ;2 .

B. đường tròn tâm I  2;1 và bán kính R 

D. hình tròn tâm I  2; 1 và bán kính R  3 .

z  2z  1 trong mặt phẳng z2 Oxy , trong đó z là số phức thỏa mãn điều kiện 1  i  z  2i   4  2i  3 z . Hỏi điểm M nằm trong góc phần tư nào?

Câu 18. [Mức độ 2] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức có môđun bằng 1 là đường tròn đơn vị (có tâm là gốc tọa độ và có bán kính bằng 1).

B. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 là phần mặt

B. Góc phần tư thứ (II).

D. Góc phần tư thứ (IV).

phẳng phía trong (kể cả biên) của đường tròn đơn vị.

C. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức có phần thực bằng 1 là một đường thẳng song song với trục hoành.

Câu 12. [Mức độ 2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

D. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức có phần thực và phần ảo thuộc khoảng  1;1

thỏa mãn z  (3  4i )  2 là một đường tròn có tâm I . Khi đó tọa độ điểm I là A. I (3; 4). .

B. I ( 3; 4). .

C. I ( 3; 4). .

thỏa mãn z  i  (1  i ) z là một đường tròn có bán kính R bằng bao nhiêu?

B. R  1. .

C.

R  2. .

là miền trong của một hình vuông.

D. I (3;4). .

Câu 13. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

A. R  2. .

D.

R  3. .

2

Câu 19. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn z là số ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là A. một đường thẳng. B. một đường tròn.

C. một Elip.

D. một Parabol.

Câu 20. [Mức độ 3] Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

Câu 14. [Mức độ 3] Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z

2 z  1  3i  2 z  2  i là đường thẳng có phương trình nào sau đây?

thỏa mãn z  3  i  z  2 là

A. 12 x  8 y  5  0 .

B. 12 x  8 y  5  0 .

A. đường tròn tâm I  3; 1 và bán kính R  4 .

C. 12 x  8 y  5  0 .

D. 12 x  8 y  5  0 .

23

3 .

C. hình tròn tâm I  2;1 và bán kính R  3 .

Câu 11. [Mức độ 3] Gọi M là điểm biểu diễn số phức w 

A. Góc phần tư thứ (I).

C. Góc phần tư thứ (III).

Câu 17. [Mức độ 2] Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  2  i  3 là

24

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Câu 21. [Mức độ 3] Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

3 2

z  2 z  2 z  0 là đường tròn có phương trình là 2

2

2

D. đường tròn tâm I   ;  và bán kính R  1 .

2

2

D. x   y  2   4 .

Câu 22. [Mức độ 3] Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z



Câu 28. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z  2i  m 2  0 (với m là tham số thực). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

2

thỏa mãn điều kiện z 2  z là

A. một Parabol có phương trình y  2 x 2  2 .

A. Trục hoành.

B. Trục tung.

C. Gồm hai trục tọa độ. D. đường thẳng y  x .

B. một Parabol có phương trình y  x 2  6 .

C. đường thẳng x  y  2  0 .

D. đường thẳng x  y  2  0 .

Câu 23. [Mức độ 3] Điểm biểu diễn số phức z  a   3a  2  i thuộc đường thẳng

: x  y  4  0 (với a là tham số thực). Khi đó môđun của z là A. z  5 .

B. z  10 .

3 2 .

2

 3 3  2 2

2

A.  x  2   y  4 . B.  x  2   y  4 .

C. x 2  y 2  4 .

3 2

C. đường tròn tâm I  ;   và bán kính R 

2

Câu 29. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  2 . Tập hợp các điểm biểu diễn số

C. z  26 .

D. z  13 .

phức w  z  2  3i là một đường tròn có tâm I . Tọa độ điểm I là A. I  1;2  .

B. I  1; 4  .

C. I 1; 2  .

2

Câu 24. [Mức độ 3] Gọi z1, z2 là các nghiệm của phương trình z  4 z  9  0 . Gọi

M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 và số phức w  x  yi trên

D. I 1; 4  .

Câu 30. [Mức độ 3] (Đề minh họa – 2017). Cho số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập

mặt phẳng phức. Khi đó tập hợp các điểm P để tam giác MNP vuông tại P là

hợp các điểm biểu diễn số phức w   3  4i  z  i là một đường tròn. Tính bán kính

A. đường thẳng có phương trình y  x  5 .

r của đường tròn đó.

A. r  4 .

B. đường tròn có phương trình x 2  y 2  4 x  1  0 .

2

2

C. đường tròn có phương trình x  y  4 x  9  0 , trừ hai điểm M , N .

C. r  20 .

D. r  22 .

Câu 31. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn 2  iz  z  3i .

D. đường tròn có phương trình x 2  y 2  4 x  1  0 , trừ hai điểm M , N .

Câu 25. [Mức độ 3] Cho số phức z  x  yi

B. r  5 .

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  1  i  z  3 là một đường thẳng có phương

 x, y    . Tập hợp các điểm biểu diễn số

trình A. x  y  8  0 .

C. x  y  8  0 .

zi phức z sao cho là một số thực âm là z i A. các điểm thuộc trục hoành với 1  x  1 .

B. các điểm thuộc trục tung với 1  y  1 .

B. x  y  5  0 .

D. x  y  4  0 .

Câu 32. [Mức độ 3] Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  1  i  z  1 với z là số phức thỏa mãn

C. các điểm thuộc trục hoành với x   ; 1  1;   .

z  1  1 là hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu?

D. các điểm thuộc trục hoành với y   ; 1  1;   .

để khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất.

A. m  1 .

B. m  0 .

C. m  2 .

D. m  1.

B. 2 .

A.  .

Câu 26. [Mức độ 3] Cho số phức z  m   m  2  i với m   . Giá trị của tham số thực m

C. 3 .

D. 4

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

1 C 21 B

Câu 27. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  3i  m  0 (với m là tham số thực).

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là A. đường thẳng x  y  3  0 .

2 C 22 C

3 B 23 C

4 A 24 D

5 B 25 B

6 B 26 D

7 D 27 B

8 A 28 D

9 D 29 B

10 B 30 C

11 D 31 A

12 13 14 15 16 17 18 19 20 A C C A B D C A A 32

B

B. đường thẳng x  y  3  0 .

3. Dạng 3. Quỹ tích các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện cho trước 3.1) Phương pháp:

25

26

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Gọi I 1;  1 là điểm biểu diễn số phức: z '  1  i , M  z  ta có:

Cách 1.

  z  1  i  2  z  z '  2  OM  OI  2  IM  2 . Vậy tập hợp các điểm M  z  là

- Giả sử z  a  bi  a , b    . Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M  x ; y  .

đường tròn tâm I 1;  1 bán kính R  2 .

- Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M .

b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1) và M  z  . Khi đó 2  z  i  z  z  (2)  z  i  MA  MB

Cách 2. Sử dụng biểu diễn hình học của số phức.

Vậy tập hợp các điểm M  z  là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Một số quỹ tích thường gặp: Với z  x  yi  x, y    , khi đó nếu a ; b   cho trước và M  z    x ; y  thảo mãn:  x  a : Quỹ tích M  z  là đường thẳng x  a (song song hoặc trùng với trục tung). 

y  b : Quỹ tích M  z  là đường thẳng y  b (song song hoặc trùng với trục hoành).

 

 x  a

2

 x  a

2

 Nhận xét: -Với phần b ta có thể thức hiện cách giải như đã làm ở phần a. Tuy nhiên để thể thực  hiện cách giải như vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau:Nếu véctơ u biểu diễn số phức z thì   độ dài của vectơ u là u  z , và từ đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số  phức z, z' thì AB  z  z ' .

2

  y  b   R 2 : Quỹ tích M  z  là đường tròn tâm I  a ; b  , bán kính R .

2

2

2

2

  y  b   R : Quỹ tích M  z  là hình tròn tâm I  a ; b  , bán kính R

2

Ví dụ 2: [Mức độ 2-3] Trên mặt phẳng phức (Oxy).tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau đây. a) z  1  i =2

(kể cả biên) 

 x  a   y  b  R I  a ; b  , bán kính R .

: Quỹ tích M  z  là những điểm nằm ngoài hình tròn tâm

b) 2  z  1  i c) 2  z  z  2 d) 1≤ z  1  i  2

3.2) Các ví dụ Ví dụ 1: [Mức độ 2] Giả sử M  z  là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z .

Tìm tập hợp những điểm M  z  thỏa mãn điều kiện sau

a) z  1  i  2 .

Bài giải a) Xét hệ thức: z  1  i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y  R)  z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i.

b) 2  z  i  z .

Khi đó (1)  ( x  1)2  ( y  1)2  2

Bài giải

 (x-1)2 + (y + 1)2 = 4

a)

Cách 1.

 Tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) là

Đặt z  x  yi  x, y    suy ra z  1  i   x  1   y  1 i , nên hệ thức

đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2.

z  1  i  2  ( x  1)2  ( y  1) 2  2  ( x  1)2  ( y  1) 2  4.

b) Xét hệ thức 2  z  z  i (2)

Giả sử z = x + yi (x, y  R), khi đó:

Vậy tập hợp các điểm M  z  trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn

(2)  |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y) 2 4x + 2y + 3 = 0. vậy tập hợp các điểm cần tìm là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.

giả thiết là đường tròn tâm I 1;  1 bán kính R  2 .

Cách 2.

c) Xét: 2  z  z  2 (3)

Giả sử z = x + yi (x, y  R), khi đó:

(3)  |2+x+yi| > |x+yi-2|

27

28

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

 (x+2)2 +y2> (x-2)2 +y2 x > 0.

 Tập hợp các điểm cần tìm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung, tức là các điểm (x;y) mà x > 0.

điểm M nằm trên đường tròn (C) và gần O nhất. Do đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn.

Cách 1 : Ta có OI = 4  9  13 . Kẻ MH  Ox. Theo định lí Ta-lét có

d) Xét hệ thức 1≤ z  1  i  2  1≤ z  (1  i )  2 .

MH OM   OI 3

 MH 

Ví dụ 3: [Mức độ 3] Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  2  3i  . Tìm số phức

Lại có

OH  2

z có modul nhỏ nhất.

Vậy số phức cần tìm là

Giả sử z = x +yi (x, y  R), khi đó 2

2

(5)  1 ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ 2  1 ≤ (x+1) + (y-1) ≤ 4  Quỹ tích cần tìm là hình vành khăn có tâm tại A(-1;1) và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2 và 1

3 2  13MH  3 13  9  6 13  9 2 2 13

13 

3 2

Bài giải

3 2

Xét biểu thức z  2  3i  (1). Đặt z  x  yi  x, y    , khi đó (1) trở thành

6 13  9 78  9 13  .

26 2 13

3 2  OH  2 13  3  26  3 13 .

13 13 13

13 

z

26  3 13 78  9 13  i .

13 26

Cách 2 : Tìm tọa độ điểm M bằng cách tìm tọa độ giao điểm của đường tròn (C) và

3 9 2 2   x  2    y  3  .

2 4 Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; -3)

đường thẳng OI ( trong hai giao điểm lấy điểm có khoảng cách đến O nhỏ hơn ).

 x  2    y  3 i 

3.3) Kỹ thuật sử dụng máy tính casio hỗ trợ giải toán trắc nghiệm.  Khi giải toán trắc nghiệm ngoài việc tìm đáp án theo phương pháp tự luận đã

3 2

và bán kính R = .

trình bày ở trên ta có thể tìm đáp án bằng cách như sau : Lấy điểm đại diện thuộc quỹ tích cho ở đáp án rồi thế ngược vào đề bài, nếu thỏa mãn thì là đúng.  Lưu ý : Chưa hẳn cách dùng máy tính Casio đã nhanh hơn làm theo kiểu tự luận.

Ví dụ 1: [Mức độ 2] (Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 3 năm 2017) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  2  i  z  2i là đường thẳng có phương trình A. 4x – 2y + 1 = 0 B. 4x – 2y – 1 = 0 C. 4x + 2y – 1 =0 D. 4x – 6y -1 = 0 Bài giải Gọi số phức z có dạng z  a  bi  a, b    . Gọi M  a ; b  biểu diễn số phức z .

Giả sử đáp án A đúng tức M thuộc đường thẳng 4x – 2y + 1 = 0 thì 4a – 2b + 1 = 0 Chọn a =1 thì b 

5  z  1  2.5i . Số phức z thỏa mãn z  2  i  z  2i thì 2

z  2  i  z  2i  0

Sử dụng máy tính Casio để kiểm tra

Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

29

30

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Ta thấy ra một kết quả khác 0 vậy z  2  i  z  2i  0 là sai và đáp án A sai.

Điểm biễu diễn của w1 là M (12;17).

Tương tự với đáp số B chọn a = 1 thì b = 1.5 và z = 1+ 1.5i

Chọn z = 4i (thỏa mãn z  4 ). Tính w 2   3  4i  4i   i :

Sử dụng máy tính Casio để kiểm tra

Ta có điểm biểu diễn của w 2 là N (-16;13).

Ta thấy kết quả ra 0 vậy z  2  i  z  2i  0 là đúng và đáp án chính xác là B.

Chọn z = -4i (thỏa mãn z  4 ) . Tính w3   3  4i  4i   i :

 Cách giải theo kiểu tự luận bài toán này cũng rất nhanh Đặt z = x + yi  x; y    , ta có :

z  2  i  z  2i   x  2    y  1 i  x    y  2  i



 x  2

2

2

2

2

2

2

  y  1  x2    y  2   x  2   y  1  x 2    y  2 

Ta có điểm biểu diễn của w 3 là P(16;-11).

 x 2  4x  4  y 2  2 y  1  x 2  y 2  4 y  4  4x  2 y  1  0

Vậy ta có 3 điểm M, N, P thuộc đường tròn biểu diễn số phức w.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 4x – 2y – 1 = 0

Đường tròn này sẽ có dạng tổng quát : x 2  y 2  ax  by  c  0 . Để tìm a, b, c ta sử dụng

 Đáp án B là chính xác.

máy tính Casio với chức năng MODE 5 3

Ví dụ 2: [Mức độ 3] (Đề thi minh họa của bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017) Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3 + 4i) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. r = 4

B. r = 5

C. r = 20

D. r = 22

Bài giải Để xây dựng 1 đường tròn ta cần 3 điểm biểu diễn của w, vì z sẽ sinh ra w nên đầu tiên ta sẽ chọn 3 giá trị đại diện của thỏa mãn z  4

2

2

2

2

Vậy phương trình đường tròn có dạng x  y  2 y  399  0  x   y  1  202 Bán kính đường tròn tập hợp điểm biểu diễn số phức w là 20.

Chọn z = 4 + 0i (thỏa mãn z  4 ). Tính w1   3  4i  4  0i   i

 Đáp án chính xác là C.  Cách giải theo kiểu tự luận bài này cũng không quá phức tạp nhưng độ chính xác không cao như dùng máy tính.

31

32

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Đề bài yêu cầu tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w vậy ta đặt w = x + yi  x; y    Khi đó : w  (3  4i ) z  i  z 

w  i x  ( y  1)i  . Tiếp tục rút gọn ta được 3  4i 3  4i

 x   y  1 i   3  4i  3x  4 y  4   4x  3 y  3 i  z

25  3  4i  3  4i  2

C. M (3; 2) .

Câu 2.

[Mức độ 1] Cho số phức z  2i  1 . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt phẳng phức là: A. M (1; 2) .

B. M ( 1; 2) .

C. M (2;1) .

D. M (2; 1) .

Câu 3.

[Mức độ 1] Cho z là một số thực có z  đường thẳng có phương trình 1 1 A. x  hoặc x   .

2 2 1 C. x   .

2

2

2  3x  4 y  4   4x  3 y  3  z  4  z  16       16 25 25     2



2

25x  25 y  25  50 y 2  16  x 2  y 2  2 y  399  x 2   y  1  202 252

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn bán kính r = 20.

Câu 6.

[Mức độ 2] Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho | z  2 | 1 là.

A. Một hình tròn.

B. Một đường tròn.

C. Một hình vuông.

D. Một parabol

Câu 7.

[Mức độ 2] Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các

b) Phần ảo của z thuộc khoảng  1;3 .

Bài 2. [Mức độ 2] Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:

b) z  3 .

c) 1  z  3 .

d) z  4

số phức z thỏa mãn điều kiện: z  z  3  4 7 A. Đường thẳng x   .

2 13 B. Đường thẳng x  .

2

Bài 3: [Mức độ 2] Tìm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a) |z-2| = 3 b) |z+i|<1

e) Phần thực của

c) |z-1+2i| > 3

f)

d) z 

1  2 z

z2 bằng 0 z 1

3 3 7 1   C. Hai đường thẳng x   với  x    , đường thẳng x  với  x    .

2 2 2 2  

1 D. Đường thẳng x  .

2

1 z  R z

b) Bài tập trắc nghiệm khách quan Câu 1.

[Mức độ 1] Điểm M biểu diễn số phức z  3  2i trong mặt phẳng tọa độ phức là: A. M (3; 2) .

B. M (2;3) .

Câu 8.

33

[Mức độ 2] Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho z 2 là số thực âm là A. Trục Ox. B. Trục Ox trừ gốc tọa dộ.

C. Trục Oy. D. Trục Oy trừ gốc tọa độ.

Bài 1. [Mức độ 2] Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

Câu 5.

a) Bài tập tự luận

a) z  2 .

1 .

2 1 D. x  .

2

B. y 

[Mức độ 1] Số phức z thỏa mãn điều nào thì có biểu diễn là phần gạch chéo như trên hình ( bao gồm cả biên ) A. Số phức z có phần ảo lớn hơn -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.

B. Số phức z có phần ảo lớn hơn -1 và nhỏ hơn 2.

C. Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.

D. Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn 2.

3.4) Bài tập tự luyện

c) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn  2;2 .

1 . Điểm biểu diễn số phức z là 2

Câu 4.

 đáp án C là chính xác.

thỏa điều kiện. a) Phần thực của z bằng 2.

D. M ( 3; 2) .

[Mức độ 2] Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: | z  i || z  i | .

A.Trục Oy. B. Trục Ox. C. y  x .

D. y   x .

34

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Câu 9.

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

[Mức độ 2] Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các

Câu 15. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy . tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn

số phức z thỏa mãn điều kiện: | z  1  i | 1 .

A. Đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính R = 1.

B. Hình tròn tâm I(1;-1), bán kính R = 1.

C. Hình tròn tâm I(-1;-1), bán kính R = 1 (kể cả những điểm nằm trên đường tròn).

D. Đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R = 1.

Câu 10. [Mức độ 2] Cho số phức z thỏa mãn

2

z i là số thuần ảo. Tập hợp các điểm M z i



thỏa mãn z 2  z

kiện

3 5 .

5

B. d  O, d  

5 D. d  O, d   .

10

I : z  z

 2 ;

 II  : z.z  5 ;

B.  I  ,  II  .

C.  I  ,  IV  .

2

 2 z  16 là hai đường thẳng d1 , d 2 . Khoảng cách giữa 2

A. d  d1 , d 2   2 .

B. d  d1 , d 2   4 .

C. d  d1 , d 2   1 .

D. d  d1 , d 2   6 .

Câu 18. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn 2

z  z  z  0 là đường tròn  C  . Diện tích S của đường tròn  C  bằng bao nhiêu ?

A. S  4 .

 III  : z  2i

 4 ,

B. S  2 .

B. P   .

x2 y2   1 .

16 12

C. T  :  x  2    y  2  64 .

2

D.   300 .

2

2

2

D.  T  :  x  2    y  2   8 .

2

A. Là hai đường hyperbol (H1): y 

D.  1,0  .

B. Là đường hyperbol (H 1): y 

35

x2 y 2   1 .

12 16

số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2   z   4 .

thoả mãn 2 z  i  z  z  2i là parabol  P  . Đỉnh của  P  có tọa độ là ?

C.  0,1 .

B.  E  :

Câu 21. [Mức độ 3] Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các

Câu 14. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z

B.  1,3 .

D. P  3 .

z thỏa mãn z  2  z  2  8 . Tập hợp những điểm M là ?

d1 , d2 là bao nhiêu ?

A.  0,0 .

B. P  2 .

Câu 20. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy , giả sử M là điểm biểu diễn số phức

D.  I  .

A.  E  :

C.   900 .

D. S   .

1  z  1  i  2 là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu ?

A. P  4 .

sao cho z 2 là số thuần ảo là hai đường thẳng d1 , d 2 . Góc  giữa 2 đường thẳng B.   600 .

C. S  3 .

Câu 19. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức z thỏa

Câu 13. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy , tâp hợp các điểm biểu diễn số phức z

A. .

giác ABC có đặc điểm gì ?

A. ABC cân. B. ABC vuông. C. ABC có góc 120 0 D. ABC đều.

 IV  : i  z  4i   3 . Hỏi điều kiện nào để số phức z có tập hợp biểu diễn là đường thẳng.

A.  II  ,  III  ,  IV  .

2

phức phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3 . Nếu z1  z2  z3  0 thì tam

Câu 12. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy , cho số phức z thỏa lần lượt một trong

điều

D. d  I , Oy   2 .

Câu 17. [Mức độ 3] Xét 3 điểm A, B , C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn 3 số

bằng bao nhiêu ?

bốn

Câu 16. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z

z  2  i  z là đường thẳng d . Khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d

3 5 C. d  O, d   .

20

B. d  I , Oy   2 .

đường thẳng d1 , d 2 là bao nhiêu ?

Câu 11. [Mức độ 2] Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn

3 5 .

10



 C  đến trục tung bằng bao nhiêu ?

A. d  I , Oy   1 .

C. d  I , Oy   0 .

biểu diễn số phức z là: A. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 .

B. Hình tròn tâm O , bán kính R  1 (kể cả biên).

C. Hình tròn tâm O , bán kính R  1 (không kể biên).

D. Đường tròn tâm O , bán kính R  1 bỏ đi một điểm  0,1 .

A. d  O, d  



z  z z  i  i  3 là đường tròn  C  . Khoảng cách từ tâm I của đường tròn

1 1 và (H2) y   . x x

1 . x

36

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

1 C. Là đường hyperbol (H 2): y   . x D. Là đường tròn tâm O(0;0) bán kính R = 4.

B

A

M

M

B A

Câu 22. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  5i  3 . Nếu số

phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu ?

A. 0 .

B. 3.

C. 2 .

D. 4.

I

Câu 23. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z  2i  1  z  i .

Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1,3 .

A. 3  i .

B. 1  3i .

C. 2  3i .

D. 2  3i .

Câu 24. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng phức Oxy , trong các số phức z thỏa z  1  i  1 .

Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu ?

A.

 2 2 .

2

B.

2 2 .

2

C.

2 2 .

2

D.

2 2 .

2

I

Bài toán 3: Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R và điểm I cố định. Một điểm M thay đổi trên (C). Khi đó - Nếu I nằm ngoài (C) thì MImin = OI – R, MImax = OI + R .

- Nếu I nằm trong (C) thì MImin = R – OI, MImax = OI + R .

- Nếu I nằm trên (C) thì MImin = 0, MImax = 2R. Vậy MI min  OI  R , M max  OI+R .

M2

Câu 25. [Mức độ 3] Tìm nghiệm phức z thỏa mãn hệ phương trình phức.

 z 1  z  i 

 z  3i  z  i 1  A. z  2  i .

O B. z  1  i .

C. z  2  i .

D. z  1  i .

3 A 23 A

4 C 24 A

M1 M2

I=M1

O

I

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 2 B 22 C

I

M1

1 A 21 A

O

M2

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D B C B C D A D C A A B D D B A 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D

Bài toán 4: Cho hai điểm A, B cố định. Gọi O là trung điểm AB. Một điểm M thay đổi trên elip (E) cố định có tiêu điểm là A và B. Giả sử (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục nhỏ là 2b. Khi đó, độ dài đoạn OM lớn nhất bằng a và nhỏ nhất bằng b

M b

a A

O

B

4. Dạng 4. Một số dạng toán thường gặp về sử dụng kiến thức hình học để giải toán cực trị số phức  Các bài toán hình học cơ bản Bài toán 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB và điểm I cố định, điểm M thay đổi trên đoạn AB. Khi đó:  tù hoặc  ABI tù thì MImin = Min {IA; IB} + Nếu tam giác ABI có IAB MImax = Max {IA; IB}

Bài toán 5: Cho đường thẳng d cố định và 2 điểm A, B cố định không nằm trên d. Một điểm M thay đổi trên d. Khi đó: + Nếu A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng d thì (MA + MB)min = AB khi M  M '  AB  d . + Nếu A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d thì (MA + MB)min = A’B khi M  M '  AB  d với A’là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d.

B B

 và IBA  đều không tù thì MImin = d(I; AB) + Nếu tam giác ABI có IAB MImax = Max {IA; IB}

A

d M'

M

d H

37

M'

M

38

A

A'

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

b) Các ví dụ Dạng 4.1. Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z  z ' .

Bài toán 6: Cho đường tròn (C) tâm I bán kính R và đường thẳng d cố định. Một điểm M thay đổi trên (C) và một điểm N thay đổi trên d. Khi đó: + Nếu đường tròn (C) và đường thẳng d có điểm chung thì MN min  0 khi M  N   C   d . + Nếu đường tròn (C) và đường thẳng d không có điểm chung, gọi d’ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng d thì: MN min  R  d ( I ; d ) khi M  H và N  K (Hình vẽ).

Ví dụ 1. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn: z  i  1  z  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

Bài giải Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y   ) thì z  OM

O

Ta có: z  i  1  z  2i  x  1  ( y  1)i  x  ( y  2)i

2 2 2   x  1   y  1  x2   y  2   x  3 y  1  0  M thuộc đường thẳng (d): x  3 y  1  0 d 1 H M  z nhỏ nhất  OM nhỏ nhất  OM  d (O; d )  10 1  z min  OM min  .

10 Ví dụ 2. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn: z  2  3i  z  1  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z  3  i .

Bài giải Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y   ) Gọi I(3; -1) thì z  3  i  IM Ta có: z  2  3i  z  1  2i  x  2  ( y  3)i  x  1  (2  y )i

2 2 2 2   x  2    y  3   x  1   2  y   3x  5 y  4  0  M thuộc đường thẳng (d): 3x  5 y  8  0 .

Bài toán 7: Cho đường tròn (C 1) có tâm I1 bán kính R1 và (C2) ) có tâm I 2 bán kính R2 cố định. Điểm M chạy trên đường tròn (C1) và điểm N chạy trên đường tròn (C2 ) . Ta có: + Nếu (C1) và (C2) cắt nhau thì MNmin = 0, MNmax = R1 + R2 + I1I2 + Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau thì MNmin = I1I2 – (R1 + R2 ), MNmax = R1 + R2 + I1I2 + Nếu (C1) và (C2) đựng nhau thì MNmin = R1  R2  I1 I 2 , MNmax = R1 + R2 + I1I2

C

của iz  1 .

M

A

I1

3 34 .

17 Ví dụ 3. [Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  z  4i . Tìm giá trị nhỏ nhất

N

N

I2

D

C

B

B I1

A

I2

D

C

I1

I2

A

B

a) Phương pháp chung giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học - Bước 1: Từ điều kiện số phức z cho trước đưa ra biểu diễn hình học của số phức z.

- Bước 2: Chuyển yêu cầu tìm cực trị số phức sang tìm cực trị hình học của điểm biểu diễn hình học của z .

- Bước 3: Sử dụng kiến thức hình học để giải quyết bài toán.

Bài giải Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y   ) Ta có: z  2  2i  z  4i  x  2  ( y  2)i  x  ( y  4)i

2 2 2   x  2    y  2   x 2   y  4  x  y  2  0  M thuộc đường thẳng (d): x  y  2  0 .

Ta lại có: iz  1   y  1  xi  ( y  1) 2  x 2  MI với I  0;1 .  iz  1 nhỏ nhất  MI nhỏ nhất  MI  d ( I ; d ) 

39

3 34 .

17

 z  3  i min  IM min 

M

N M

 z  3  i nhỏ nhất  IM nhỏ nhất  IM  d ( I ; d ) 

2 .

2 40

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Vậy iz  1 min  IN min 

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

 Min z  OM min  OI  R  5  4  1

2 .

2

Max z  OM max  OI  R  5  4  9

Dạng 4.2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đoạn thẳng, z’ cho trước. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z  z ' .

Ví dụ 2. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn: z  2  3i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

z 1 i

Ví dụ 1. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5 . Gọi M, m lần

Bài giải Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi.

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M + m.

2

Bài giải Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi  z  OM . Đặt A(1; 1), B(3; 2). Khi đó z  1  i  z  3  2i  5  MA  MB  5  AB

B

Mặt khác: z  1  i   x  1  1  y  i 

M

 z 1 i

A

z 1 i

 x  1 2   y  1 2

min

 AM min  AI  R  13  1

m ax

 AM m ax  AI  R  13  1

O

 MA với A(-1; 1)

Ví dụ 3. [Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn

z 2i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn z 1 i

nhất của z .

M  m  13  2 .

Bài giải Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì z  OM .

Ví dụ 2. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  1  i .

Bài giải Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi.

Gọi A(-2; 1), B(4; 7), I(1; -1)  z  1  i  MI Ta có: z  2  i  z  4  7i  6 2  MA  MB  AB  M thuộc đoạn thẳng AB.      và IBA  nhọn Ta lại có: AI . AB  6; BI .BA  66  IAB

B M A

Min z  1  i  d ( I ; AB)

Phương trình đường thẳng AB: x – y + 3 = 0  I 5 Min z  1  i  d ( I ; AB) 

2 Dạng 4.3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn, z’ cho trước. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z  z ' .

Ví dụ 1. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z .

Bài giải Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z. Đặt A(-4; 0), B(4; 0).

Khi đó z  4  z  4  10  MA  MB  10 và z  OM .

Ví dụ 1. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn: z  3  4i  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

Bài giải Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì z  OM . Ta có: 2

z  2i  2  x  2   y  1 i  2 x  1   y  1 i z 1 i 2 2 2 2 2   x  2    y  1  2   x  1   y  1   x 2   y  3  10    M thuộc đường tròn (C) tâm I(0;-3) bán kính R  10  Min z  OM min  OI  R  10  3

Max z  OM max  OI  R  10  3 Dạng 4.4: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một elip, z’ cho trước. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z  z ' .

Ta có:

 Max z  1  i  Max{IA;IB}  IB  73

2

z  3  4i  4   x  3   y  4   16

Do MA + MB = 10  M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A(-4; 0), B(4; 0) và độ dài trục lớn là 2a = 10.

(E) có tiêu cự 2c = AB = 8  c = 4  b2  a 2  c 2  32  (E) có độ dài trục nhỏ 2b = 6 Khi đó Max z  MaxOM  a  5 ,

M b

a A

O

B

Min z  Min OM  b  3 .

Nhận xét: GV cần lưu ý phân biệt cho học sinh điều kiện: MA + MB = 2a với 2a = AB và 2a > AB để tránh nhầm lẫn dạng 4.2 và dạng 4.4

 M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; -4) bán kính R  4

41

2

Ta có: z  2  3i  1   x  2   y  3  1  M thuộc đường tròn (C) tâm I(2; 3) bán kính R = 1.

 MA  MB  AB  M thuộc đoạn thẳng AB.    tù nên OA  OM  OB Ta có: AO. AB  3  OAB

 M  Max z  OB  13 , m  Min z  OA  2 

42

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Ví dụ 2. [Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn iz 

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Giả sử M (a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1  a  bi , N (c; d ) là điểm biểu diễn của

2 2  iz   4 Tìm giá trị lớn .

1 i i 1

số phức z2  c  di

nhất và giá trị nhỏ nhất của z .

 z1  5  5 ( a  5) 2  b 2  25  Ta có 

8c  6 d  35  z2  1  3i  z 2  3  6i

Bài giải Giả sử z = x +yi  iz 

2 2 2 2  iz   4  xi  y   xi  y   4 1 i i 1 1 i i 1

  y  1  ( x  1)i   y  1  ( x  1)i  4 

2

 y  1   x  1

2



Gọi M(x; y) biểu diễn z, A(-1; 1), B(1; -1)  (1)  MA + MB = 4  M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A, B, độ dài trục lớn 2a = 4, tiêu cự 2c = AB = 2 2 , có tâm O(0; 0) là trung điểm AB. Ta có: b2 = a2 – c2 = 2  b  2  độ dài trục nhỏ 2b  2 2 2

2

 y  1   x  1

2

 M thuộc đường tròn (C ) :( x  5) 2  y 2  25 và N thuộc đường thẳng d : 8x  6 y  35 .

 4 (1)

Ta thấy đường thẳng d không cắt (C ) và z1  z 2  MN . a b

M

A O

2

Ta lại có OM = y  x  z

B

 Max z  MaxOM  a  2 , Min z  MinOM  b  2 .

Dạng 4.5: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng, z1 , z2 cho trước.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z  z1  z  z 2 .

Ví dụ. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  2  i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  i  z  4  i .

Bài giải Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y   ).

2

2

Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn (C ) :( x  5) 2  y 2  25 và N chạy trên

2

Ta có: z  1  z  2  i   x  1  y 2   x  2    y  1  x  y  2  0  M thuộc đường thẳng (d): x + y – 2 = 0 Gọi A(3; 1), B(4; -1) thì P  z  3  i  z  4  i  MA  MB Bài toán trở về: Tìm điểm M  (d): x + y – 2 = 0 sao cho P = MA + MB nhỏ nhất B Ta thấy A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d.

A  P = MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B. Dấu “=” xảy ra khi M  M’ = A’B  d Gọi H = AA’  d  H  d và H là trung điểm AA’.

M' H M  Do H  d  H(x; -x + 2)  AH  ( x  3;  x  1)   A'  AH .ud  2 x  4  0  x  2  H (2;0)  A ' 1; 1

đường thẳng d : 8 x  6 y  35 . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN. Đường tròn (C) có tâm I(-5; 0), bán kính R = 5.

Gọi d’ là đường thẳng qua I, vuông góc với d, cắt đường tròn (C) tại 2 điểm. Ta có: MN nhỏ nhất khi M  H, N  K. Khi đó: MNmin = d(I, d) – R = 7,5 – 5 = 2,5. c) Bài tập tự luyện d

BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn u   z  3  i  z  1  3i là một số thực. Tìm

giá trị nhỏ nhất của z





Bài 2. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn: z 2  4  z ( z  2i) . Tìm giá trị nhỏ nhất của

 Pmin = A’B = 3.

z i

Dạng 4.6: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z1 , z2 lần lượt là các đường (C1), (C2).

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z1  z2

Bài 3. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn

Ví dụ. [Mức độ 4] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  5  5, z2  1  3i  z 2  3  6i .

z  2 i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn z 1 i

nhất của z

Tìm giá trị nhỏ nhất của z1  z 2 .

Hướng dẫn

43

44

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

 z  3  4i  1  Bài 4. [Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn log 1    1 . Tìm giá trị nhỏ 3  2 z  3  4i  8  nhất và lớn nhất của z .

Bài 5. [Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn: z 2  6 z  25  2 z  3  4i . Tìm giá trị nhỏ

Câu 4. [Mức độ 3] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

nhất và giá trị lớn nhất của z  3  5i

Câu 5.

Bài 6. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn

z  1  34, z  1  mi  z  m  2i (trong đó m là số thực) và sao cho z1  z2 là

lớn nhất. Khi đó giá trị của z1  z2 bằng A.

3  3 2i z  1  2i  3 . Tìm giá trị nhỏ 1  2 2i

A. 10.

Câu 6.

biểu thức P  z  2i  z  1  2i .

Bài 9. [Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  z  2i . Tìm giá trị lớn nhất của

B. 2 10 .

2 ).

2

C. 2 

2 .

2

D. 3 .

[Mức độ 4] Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau z  1  34; z  1  mi  z  m  2i (trong đó m là số thực) và sao cho z1  z2 là

lớn nhất. Khi đó giá trị của z1  z2 bằng

[Mức độ 3] Xét các số phức z thỏa mãn z 3  4  3i  5 tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P  z .

A. Câu 9.

A. Pmax  3 5  5 .

B. Pmax  25  5 .

C. Pmax  3 30 .

D. Pmax  10 .

2 .

B. 10.

C. 2.

D. 130

[Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn z  z  2 z  z  8 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M  m .

Câu 2. [Mức độ 3] Giả sử z1 ; z2 là hai trong số các số phức z thoả mãn z  3  4i  2

A. 10  34 .

B. 2 10 .

C. 10  58 .

D. 5  58 .

Câu 10. [Mức độ 4] Cho hai số phức z và   a  bi thỏa mãn z  5  z  5  6 ; 5a  4b  20  0 . Giá trị nhỏ nhất của z   là 3 5 4 A. .

B. .

C. .

41 41 41

và z1  z2  4 . Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng C. 41 .

B. (2 

A. 5.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

D. 2 41 .

[Mức độ 3] Gọi z  a  bi  a, b    là số phức thỏa mãn điều kiện z  1  2i  z  2  3i  10 và

D.

3 .

41

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

C. 5 .

1 A

D. 12 .

45

D. 2 10 .

[Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn z  z  2 z  z  8 . Gọi M , m lần lượt

Câu 8.

trị nhỏ nhất của z1  z 2 .

có mô đun nhỏ nhất. Tính S  7a  b ?

B. 0 .

A. 7 .

C. 10 .

ảo của số phức z2 có môđun lớn nhất bằng

Bài 10. [Mức độ 4] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  i  5, z2  5  z2  7i . Tìm giá

Câu 3.

D. 130 .

C. 10  58 .

D. 5  58 .

Câu 7. [Mức độ 4] Xét các số phức z1  x  2  ( y  2)i ; z2  x  yi ( x, y  , z1  1. Phần

biểu thức P  z  2i  z  1  2i .

B. 29 .

B. 5.

A. 10  34 .

Bài 8. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  z  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của

A. 2 29 .

C. 2 .

là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M  m .

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  2  4i .

Câu 1.

B. 10 .

của z  2i bằng:

nhất và lớn nhất của z  3  2i .

Bài 7. [Mức độ 3] Cho số phức z thỏa mãn z  4  3i  z  8  5i  2 38 . Tìm giá trị

2 .

[Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5 . Giá trị lớn nhất

2 A

3 A

4 C

5 B

6 C

7 B

8 C

9 D

10 A

46

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

1. Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất 1.1) Phương pháp giải Biến đổi phương trình về dạng Az  B  0 , A, B  , A  0 : Phương trình có nghiệm

B

A 1.2) Các ví dụ Ví dụ 1. [Mức độ 1] Giải phương trình 2iz  1  i  0 z

Bài giải

Chủ đề 2

Nghiệm của phương trình là z  (1  i)  1  1  1  1 i .

CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

2i

2i

2

2

2

2. Dạng 2. Tính căn bậc hai và giải phương trình bậc hai, phương trình quy về phương trình bậc hai

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z 2  w được gọi là một căn bậc hai của số phức w.

2.1) Phương pháp giải Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai.

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình

a) Nếu w là số thực

với chú ý phải đưa về đúng dạng của phương trình.

+ w < 0 thì có hai căn bậc hai:  wi &   wi

2.2) Các ví dụ Ví dụ 1. [Mức độ 1] Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a )  5  12i b) 8  6i

c ) 33  56i d )  3  4i

A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa căn bậc hai của số phức

+ w  0 thì có hai căn bậc hai: w &  w . b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước: + Giả sử w  a  ib , đặt z  x  yi là một căn bậc hai của w tức là: z 2  w khi đó ta có 2  2 hệ:  x  y  a (1) (2)  2 xy  b

Bài giải a) Gọi z  x  yi là một căn bậc hai của 5  12i tức là

2

2

2

Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được x  y  a  b  x 2  y 2  a (1) Do vậy ta được hệ:  2 2 2 2  x  y  a  b

 x  iy 

2

 5  12i  x 2  y 2  2ixy  5  12i

2

 x 2  y 2  5  x 2  4  x 2  y 2  5  x  2

  2  2  2  x  y  13  y  9  y  3 2 xy  12

(2')

Giải hệ tìm được x và y suy ra x và y để tìm z.

x2 x  2 Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có  hoặc 

y  3  y  3

Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu.

Vậy 5  12i có 2 căn bậc hai là z1  2  3i và z2  2  3i .

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số phức

b) Tương tự ta gọi z  x  yi là một căn bậc hai của 8  6i tức là

2

2

Cho phương trình: ax 2  bx  c  0; (1)

(a, b, c  , a  0) và có   b2  4ac

b   b  

; x2  2a 2a Trong đó  là một căn bậc hai của  .

 8  6i  x 2  y 2  2ixy  8  6i

x3 Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có  hoặc  x  3 y 1  y  1

b .

2a

Vậy 8  6i có 2 căn bậc hai là 3  i và 3  i .

B. Các dạng bài tập

47

2

2  x 2  y 2  8  x2  y 2  8  x  9  x  3   2    2 2  xy 2 6  x  y  10  y  1  y  1 

+ Nếu   0 pt có hai nghiệm là x1 

+ Nếu   0 thì pt có nghiệm kép: x1  x2  

 x  iy 

48

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Mặt khác 3  4i có hai căn bậc hai là: 2  i và 2  i còn 3  4i có hai căn bậc hai là:

c) Gọi z  x  yi là một căn bậc hai của 33  56i tức là

 x  iy 

2

2

2  i và 2  i nên pt (1) có 4 nghiệm là:

2

 33  56i  x  y  2ixy  33  56i

z1  2  i; z2  2  i;

2 2 2  x 2  y 2  33  x  7  x  y  33  x  49

  2  2  2 2 56 xy   65 16 x y y       y  4   

z4  2z3  z2  2z 1  0  z2 

1 z

Đặt w = z+  z 2 

d) Gọi z  x  yi là một căn bậc hai của 3  4i tức là

 x  iy 

2

z 4  2  i

Bài giải

 x  7 Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có  x  7 hoặc 

y   4 y  4  Vậy 2 căn bậc hai của 33  56i là 7  4i và 7  4i .

z3  2  i ;

Ví dụ 4. [Mức độ 3] Giải phương trình sau trên  (ẩn z): z 4  2 z 3  z 2  2 z  1  0 1 1   2  z    1  0 (do z  0) z2 z 

1  w 2  2 , ta được: z2

 w=1

w 2  2  2w 1  0  w 2  2w  3  0    w=-3

 3  4i  x 2  y 2  2ixy  3  4i

 x2  y 2  3  x2  1  x 2  y 2  3  x  1   2    2 2 2 4 xy   x  y  5  y  4  y  2 

1 z

1 z

Do đó: z   1 (1) hay z   3 (2) + Giải (1)  z 2  z  1  0

x  1 hoặc  x  1 Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có   y  2 y  2 Vậy 2 căn bậc hai của 3  4i là 1  2i và 1  2i .

Ta có:   1  4  3 

Ví dụ 2. [Mức độ 2] Giải các phương trình sau trên  (ẩn x):

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: z1 

a) b)

x 2   3  4i  x  5i  1  0; (1) 2

x  1  i  x  2  i  0;

2

 3i 

+ Giải (2)  z 2  3z  1  0 . Ta có:   9  4  5

(2)

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: z3 

Bài giải

a) Ta có    3  4i   4  5i  1  3  4i

Tóm lại phương trình đã cho có bốn nghiệm:

Theo kết quả ví dụ 1d) thì  có hai căn bậc hai là 1  2i và 1  2i . Do đó pt (1) có hai

z1 

2

nghiệm là: x1 

3  4i  1  2i  2  3i; 2

x2 

3  4i  1  2i 1 i 2

2

1  3i 1  3i 3  5 3  5 ; z3 

; z2  ; z4  2 2 2 2

Bài giải

Theo kết quả ví dụ 1b) thì  có hai căn bậc hai là 3  i và 3  i . Do đó pt (2) có hai nghiệm là: 1  i  3  i 1  i  3  i  1; x2   2 i 2 2 Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a  b  c  0

3  5 3  5

; z4  2 2

Ví dụ 5. [Mức độ 2] Tìm số thực m để phương trình: x 2  mx  3i  0 có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8.

b) Tương tự ta có   1  i   4  i  2   8  6i

x1 

1  3i 1  3i

; z2  2 2

2 1

2 2

2

Theo bài ra ta có: x  x  8   x1  x2   2 x1 x2  8 (1). Theo Vi-et ta có

 x1  x2   m Thay vào (1) ta được m 2  6i  8  m2  8  6i . Tức m là một căn bậc  x1 x2  3i



hai của 8+6i. Theo kết quả VD1b/ ta có 2 giá trị của m là: 3  i và 3  i .

Ví dụ 3. [Mức độ 2] Giải pt: z 4  6 z 2  25  0 (1)

 z 2  z 22  5  2i (1) Ví dụ 6. [Mức độ 3] Giải hệ phương trình  1

(2)  z1  z 2  4  i

Bài giải Đặt z 2  t. Khi đó (1) có dạng: t 2  6t  25  0 (2).

Ta có:  '  16 có hai căn bậc hai là 4i và 4i nên pt (2) có hai nghiệm là t1  3  4i

Bài giải

và t 2  3  4i .

49

50

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Từ (2) ta có z12  z22  2 z1 z2  15  8i. Kết hợp với (1) ta có z1z2  5  5i vậy ta có hệ z  z  4  i phương trình:  1 2  z1z 2  5  5i

Do đó z1, z2 là nghiệm của phương trình

z   4  i  z  5  5i  0 . Ta có   5  12i theo VD1a/ ta biết  có hai căn bậc hai là:

- Vậy ta sẽ có 4 nghiệm z  1, z   3i .

2  3i và 2  3i .

- Tính T ta lại sử dụng chức năng tính modun SHIFT HYP được kết quả

2

4  i  2  3i 3i  z  1  2i 2 Hoặc  1

 4 2 3 i i     z2  3  i z   1  2i  2 2 

Vậy ta có 

z1 

2.3) Kỹ thuật sử dụng máy tính Casio hỗ trợ giải toán trắc nghiệm

- Đáp án chính xác là C.

 Lệnh Casio trong giải phương trình, hệ phương trình trên tập số phức

Ví dụ 2: [Mức độ 3] Giải phương trình sau trên tập số phức: z 3  (i  1) z 2  (i  1) z  i  0

- Thao tác các lệnh giải phương trình bậc 2 và bậc 3 với hệ số thực trên số phức giống A. z  i .

như trên tập số thực. Cụ thể:

1 2

B. z   

3 1 3 i . C. z    i .

2 2 2

D. CảA,B,C đều đúng.

 Lệnh giải phương trình bậc 2 là: MODE 53.

Bài giải

 Lệnh giải phương trình bậc 3 là: MODE 54.

Ví dụ 1: [Mức độ 3] [ Đề minh họa bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]

Cách 1 : Thử đáp án - Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC thử với X  i ta

Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4  z 2  12  0 . Tính tổng:

có :

T  z1  z 2  z3  z 4

A. T  4

B. T  2 3

C. T  4  2 3

D. T  2  2 3

Bài giải Để tìm nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ

Vậy z  i là nghiệm.

tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương 1 2

z 4  z 2  12  0 thì ta đặt z 2  t khi đó phương trình trở thành t 2  t  12  0

- Tiếp tục kiểm tra z   

- Nhập lệnh MODE 53 giải phương trình ta có nghiệm :

3 i nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng 2

nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất

t4  z2  4 Vậy 

hay  2 t  3 z  3

2

- Với z  4  z  2

1 2

Vậy z   

- Với z 2  3 ta có thể đưa về z 2  3i 2  z   3i với i 2  1 . Hoặc ta có thể tiếp tục sử

3 i tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng.

2

 Đáp án chính xác là D

dụng chức năng MODE 53 giải phương trình z 2  3  z 2  3  0 ta được

Cách 2 : Giải phương trình tìm đáp án

51

52

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

- Để giải phương trình số phức xuất hiện số i trong đó ta không sử dụng chức năng

Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

MODE 5 được mà phải tiến hành nhóm phân tử chung.

a ) A  z12  z22 z  i

2 z  z 1  0

b) B  z12 z 2  z1z22

c) C 



Phương trình  z 3  z 2  z  ( z 2  z  1)i  0  ( z  i)( z 2  z  1)  0  

3 1

d) D  z  z

3 2

3 1

3 1 2

e) E  z 2 z  z z

- Phương trình z 2  z  1  0 không chứa số i nên ta có thể sử dụng máy tính Casio với

 z  2i  z b)   z  i  z  1

u 2  v 2  4uv  0 a)  u  v  2i

1 2

Vậy, phương trình có 3 nghiệm z  i; z   

Câu 1.

3 1 3 i; z    i .

2 2 2

Câu 2.

 D là đáp án chính xác.

2.4) Bài tập tự luyện a) Bài tập tự luận Bài 1: [Mức độ 1-2] Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: a) 8  6i b) 3  4i c)

Câu 4.

B. 

C.  D.  A.  z  3  i  z  3  i z  3  i  z  3  i [Mức độ 1] Trong  , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:  z  3i

Câu 5.

z  2  i

Bài 3: [Mức độ 1-3] Giải các phương trình sau:

Câu 6.

2

a ) z  2iz  2i  1  0A

c ) z 2  80 z  4099  100i  0

Câu 7.

 z  3  i 2  6  z  3  i   13  0

Bài 4: [Mức độ 2] Tìm các căn bậc ba của 8 và -8.

Bài 5: [Mức độ 2] Giải các phương trình trùng phương:

Câu 8.

Câu 9.

z  3  i

 z  1 i

 z  2  3i

C. 

 z  3i

z  i  2

B.  1  z 2  i

z  2  i

C.  1

 z2  2  i

 z1  2  i

 z 2  i

D. 

[Mức độ 2] Hai giá trị x1  a  bi ; x2  a  bi là hai nghiệm của phương trình: B. x 2  2ax  a 2  b 2  0 A. x 2  2ax  a 2  b 2  0 2 2 2 C. x  2ax  a  b  0 D. x 2  2ax  a 2  b 2  0 2 [Mức độ 2] Phương trình z  az  b  0 có một nghiệm phức là z  1  2i . Tổng 2 số a và b bằng: A. 0 B.  3 C. 3 D. 4 [Mức độ 2] Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4z  5  0 . Khi A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 [Mức độ 2] Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  4  0 . Khi đó A | z1 |2  | z2 |2 có giá trị là A.  7



z 2  1  i 2 z  2  3i  0 .

53

z  i

B. 

 z  4i

 z  3  i

đó phần thực của z12  z22 là:

Bài 6: [Mức độ 2-3] Cho z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình:



z  3  i

D.   z  1 i [Mức độ 1] Trong  , nghiệm của phương trình z 2  2z  1  2i  0 là

A.  1

 z 2  i

hai của z2  3  4i . Tính u1  u2 v1  v2 ?

b) z 4  24 1  i  z 2  308  144i  0

D. z1  1  2i; z2  1  2i .

[Mức độ 1] Tính căn bậc hai của số phức z  8  6i ra kết quả:

A.   z  4i

Bài 2: [Mức độ 2] Gọi u1 ; u2 là hai căn bậc hai của z1  3  4i và v1; v2 là hai căn bậc

D.  3

[Mức độ 1] Khai căn bậc hai số phức z   3  4i có kết quả: A. z1  1  2i; z2  1  2i B. z1  1  2i; z2  1  2i

z  3  i

3 i

1 i 3

C. 3i

Câu 3.

2

a) z 4  8 1  i  z 2  63  16i  0

b) Bài tập trắc nghiệm khách quan [Mức độ 1] Tìm các căn bậc hai của 9 .

A. 3i B. 3

C. z1  1  2i; z2  1  2i

2 1 i 3  1 1  1 i   e)  d)   f)  1  i 1 i  1 i   3 i 

d)

1 2 1 2 f ) F  z1     z2     z2 z1   z1 z2 

Bài 7: [Mức độ 3] Giải các hệ phương trình

chức năng giải phương trình MODE 53 :

b ) z 2   5  14i  z  2 12  5i   0

z1 z2  z2 z1

B. – 8

C. 4

D. 8

54

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Câu 10. [Mức độ 2] Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm   4  3i;   2  i là:

A. Số thực âm B. Số 0 C. Số thực dương D. Số ảo khác 0 Câu 22. [Mức độ 3] Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z  x  yi thỏa mãn

A. z 2   2  4i  z  11  2i   0 C. z 2   2  4i  z  11  2i   0

B. z 2   2  4i  z  11  2i   0

D. z 2   2  4i  z  11  2i   0

z 3  18  26i x  3 A. 

 y  1

Câu 11. [Mức độ 2] Phương trình  2  i  z 2  az  b  0  a, b    có hai nghiệm là 3  i và 1  2i . Khi đó a  ?

A. 9  2i B. 15  5i C. 9  2i D. 15  5i Câu 12. [Mức độ 3] Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z 2  mz  i  0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i là: A.  1  i  B. 1  i  C.  1  i  D. 1  i

Câu 13. [Mức độ 3] Cho phương trình z 2  mz  2m  1  0 trong đó m là tham số phức.

Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12  z22  10 là: A. m  2  2 2i B. m  2  2 2i C. m  2  2 2i D. m  2  2 2i Câu 14. [Mức độ 3] Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2z  5  0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1 , z2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A. I 1;1

B. I  1; 0 

C. I  0;1

4

nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau?

1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực  .

2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức  .

3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực.

4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức.

5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức.

6. Phương trình có hai nghiệm là số thực A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 24. [Mức độ 3] Phương trình z 6  9 z 3  8  0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức?

A. 3 B. 4 C. 2 D. 6

Giá trị của P   z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 là:

B. 1  i ; 1  i ; 2i

17 8

B.

17

9

C.

9

17

D.

17i

9

BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

1 A 21 B

2 A 22 C

3 B 23 D

4 B 24 D

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D C C B D B A A A D B A A D D A 25

B

2 1  i  2 A. , D. 1  2i ; 15i ; 3i  1  i  , i 2 2 Câu 18. [Mức độ 3] Trong  , phương trình z 4  6 z 2  25  0 có nghiệm là:

B. 3;  4i

A. 8;  5i

C. 5;  2i

A.

D. z1  2; z 2  1  3i; z3  1  3i

A. z  3  4i B. z  2  4i C. z  4  4i D. z  5  4i 2 Câu 17. [Mức độ 3] Trong  , phương trình  z  i  z 2  2iz  1  0 có nghiệm là: 3 3 1  2i  ;  2  i  ; 4i 2 2

4

z 1    1 .  2z  i 

Câu 15. [Mức độ 3] Trong  , nghiệm của phương trình z  8  0 là: A. z1  2; z 2  1  3i; z3  1  3i B. z1  2; z2  1  3i; z3  1  3i

C.

 x  3

 y  1

D. 

Câu 25. [Mức độ 4] Gọi z1 , z2 , z2 , z4 là các nghiệm phức của phương trình 

D. I 1;0 

Câu 16. [Mức độ 3] Trong  , phương trình z  z  2  4i có nghiệm là:

x  3

y  1

C. 

Câu 23. [Mức độ 3] Trên tập số phức, cho phương trình sau:  z  i   4 z 2  0 . Có bao

3

C. z1  2; z2  1  3i; z3  1  3i

x  3

 y  1

B. 

D.   2  i  ;   2  i 

Câu 19. [Mức độ 3] Tập nghiệm trong  của phương trình z 3  z 2  z  1  0 là: A. i;i;1; 1 B. i; i;1 C. i; 1 D. i; i; 1 Câu 20. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện z 2 | z |2  z ?

A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Câu 21. [Mức độ 3] Với mọi số ảo z, số z 2  | z |2 là:

55

56

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

 Chú ý:

 Nếu  là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z đều có dạng:  + k2  , k   .

 Acgumen của z  0 xác định sai khác k2  , k   .

2. Dạng lượng giác của số phức

 Định nghĩa: Cho số phức z = a + bi (a, b R), với r = a 2  b 2 là modun của số phức z và  là Acgumen của số phức z.

Dạng z = r (cos  +isin  ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0, còn dạng

z = a + bi (a, b  R) được gọi là dạng đại số của số phức z.

Chủ đề 3

II. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác  Định lí : Nếu z = r(cos  + isin ), z' = r' (cos  ' + isin ') (r  0 và r'  0 ) thì

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC  Dạng lượng giác của số phức chỉ được trình bày trong chương trình Giải Tích 12 Nâng cao chứ không có trong chương trình Cơ bản nên nó là phần giảm tải trong đề thi THPT Quốc Gia. Tuy nhiên, nếu học sinh nắm được kiến thức về dạng lượng giác của số phức sẽ giúp cho việc giải quyết một số dạng toán, bài toán số phức một cách nhanh gọn hơn rất nhiều so với dạng đại số.

zz' = rr’ ( cos (    ' )  i sin(   ' ))

III. Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng 1. Công thức Moa- Vrơ

A. Kiến thức cần nhớ I. Số phức dưới dạng lượng giác.

1. Acgumen của số phức z  0

z r  cos(   ')  i sin(   ')  (khi r' > 0). z' r'

 r (cos   i sin  )n  r n (cos n  i sin n ) cos  i sin  n  cos n  i sin n , n  N * .

2. Căn bậc n của một số phức   Với z = r(cos  +isin  ), r > 0, có hai căn bậc hai của z là: r (cos  i sin ) ; 2

 r (cos

 2





2



 i sin )  r (cos(   )  i sin(   )) .

2 2 2

B. Các dạng Bài tập 1. Dạng1. Viết số phức dưới dạng lượng giác 1.1) Phương pháp giải  Với mỗi số phức z = a + bi:  Tính r = a 2 b 2 a r

b r

 Tính cos  = ,sin   từ đó suy ra acgumen của z  Sử dụng công thức lượng giác của số phức cho ta z = r (cos   i sin  ) .

1.2) Các ví dụ Ví dụ 1. [Mức độ 2] Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

a) (1  i 3)(1  i )  Định nghĩa: Cho số phức z  0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một Acgumen của z.

57

b)

1 i 3

1 i

c) z  sin   i cos 

Bài giải

58

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

Bài giải

  a) Ta có 1  i 3  2 cos( )  i sin(  )  ; còn 1  i  2  cos   i sin   . Do đó 3



3 



4

a) Xét số phức

4

10

    (1  i 3)(1  i)  2 2  cos(  )  i sin(  )  .

12 12  

    5 5 25 (cos   i sin  ) 1  2(cos 4  i sin 4 )  (1  i ) 2 2  (cos   i sin)   1   9 4 3 3 9 16 ( 3  i )9    2 (cos   i sin  ) 2  2(cos 6  i sin 6  2 2 10

b) Từ phần trên ta có ngay kết quả 1 i 3   7   7   .  2  cos     i sin    1 i  12     12 

Vậy phần thực bằng 

  c) Ta có z  sin   i cos   cos(   )  i sin(   ) . Vậy z  cos(    )  i sin(    ) .

2 2 2 2

b) Xét số phức

1 , phần ảo bằng 0.

16 7

  5          7  cos  i sin  i (1  3i )  cos(  )  i sin( )  i  2(cos  i sin )  3 3 3 3 3 3      

    7 7    27 cos( )  i sin( )  (cos  i sin )i  27 cos 2  i sin 2  i  27 i.

3 3  3 3 

1.3. Kỹ thuật sử dụng máy tính Casio hỗ trợ việc giải toán trắc nghiệm  Lệnh Casio trong giải toán số phức Lệnh chuyển số phức z = a + bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3.  Bước 1: Nhập số phức z = a + bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3.

Vậy phần thực của số phức bằng 0, phần ảo bằng 27  128 .

 Bước 2: Từ bảng kết quả ta có mô đun và acgumen của số phức z .

Ví dụ 2. [Mức độ 3] Tính tổng sau S  (1  i) 2008  (1  i) 2008

Ví dụ. [Mức độ 2] Viết số phức z  1  3i dưới dạng lượng giác.

Bài giải

Bài giải

Ta có

- Chuyển máy tính về: MODE 2.

1  i  2(cos

- Nhập số phức z  1  3i rồi dung lệnh: SHIFT 2 3.

 4



 i sin )  (1  i) 2008  21004 (cos502  i sin 502 ) 4

1  i  2(cos   i sin  )  2(cos(  )  i sin(  )) 4 4 4 4  (1  i )2008  21004 (cos(502 )  i sin( 502 )).

- Kết quả hiển thị trên màn hình là:

Do đó S  21005 cos(502 )  21005 .

1.3. Kỹ thuật sử dụng máy tính Casio hỗ trợ việc giải toán trắc nghiệm Ví dụ 1. [Mức độ 3] [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 2 năm 2017] Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  2  0 .Tính giá trị của biểu thức

- Vậy: mô đun r = 2 và Acgumen  



   , viết dạng lượng giác là: z  2  cos  i sin  .

3 3 3 

2. Dạng 2. Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác của số phức 2.1) Phương pháp giải Đưa số phức về dạng lượng giác rồi sử dụng các công thức Moivre để tính toán các đại lượng theo yêu cầu của bài tập.

( 3  i)

A. 2

2019

B. 0

C. 2

2017

D. 2

2018

Bài giải - Chuyển máy tính về: MODE 2.

- Nhập số phức z1  1  i rồi dung lệnh: SHIFT 2 3.

- Kết quả hiển thị trên màn hình là:

2.2) Các ví dụ Ví dụ 1. [Mức độ 3] Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau 10 a) (1  i) 9

P  z12016  z 2 2016 :

b)  cos   i sin   i 5 (1  3i )7 

3

3

59

60

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

2 và góc  

- Ta nhận được r 

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

3

4

 

- Tương tự z25  25  cos 5.

3 3   3 3    z1  2  cos  i sin   z12016  ( 2)2016 cos (2016. )  i.sin  2016.

4 4 4 4      

- Tính cos  2016.

3 4

3     i.sin  2016.

4  

  

  3 1   isin5.   25    i  6 6  2 2 



2 2 10  z10  i sin10.

3  2  cos10.

3 3 

 1  3   10   2   2  2 i    

  

Vậy z  1  Đáp số chính xác là B.

z1

2016

 ( 2)

2016

1008

2

Ví dụ 3. [Mức độ 3] Biết z là nghiệm của phương trình z 

Tương tự z 2 2016  21008  T  21009 .

P  z 2009 

(1  i)10 ( 3  i)5

Ví dụ 2. [Mức độ 3] Phần thực của số phức x là bao nhiêu biết z  (1  i 3)10 A. 1  i

B. 1

C. 3  2i

1

z 2009

A. P  1 .

B. P  0 .

5 2

C. P   .

D. P 

7 .

4

Bài giải

Bài giải - Để xử lý số phức bậc cao (bậc lớn hơn 3) ta đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moa – vơ. Và để dễ nhìn ta đặt z 

D. 25 i

1  1 .Tính giá trị biểu thức z

10 5 1 2 10 3

z .z . z

- Quy đồng phương trình z 

1  1 ta được phương trình bậc hai z 2  z  1  0 . Tính nghiệm z

phương trình này với chức năng MODE 53

- Tính z1  1  i  r (cos  isin ) . Để tính r và  ta lại sử dụng chức năng SHIFT 2 3

- Ta thu được hai nghiệm z nhưng hai nghiệm này có vai trò như nhau nên chỉ cần lấy một

      Vậy z1  2  cos    i sin   4   4     4

- Tính cos10. 

     i sin10.   4

nghiệm z đại diện là được.

      10 10    z1  ( 2) cos10.   i sin10.   4   4 

  

- Với z 

1 3     i ta chuyển về dạng lượng giác  z  1 cos  isin  2 2 3 3 

  

 

- Vậy: z 2009   cos 2009.

10 1

10

5

Vậy z  ( 2) .i  2 .i

3



+i sin 2009  3

- Tính z 2009 và lưu và biến A

61



62

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia: Số phức

- Tổng kết P  A 

1  1 A

- Đáp số chính xác là A.

3.4) Bài tập tự luyện Bài 1. [Mức độ 2] Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: b. ( 1 - i 3 )(1  i )

a. 1 - i 3

c. 1  i 3 1 i



5  i f. 1-cos   i sin  (   R,   k 2 , k  Z ) d. 1 - itan e. tan 5 8

Bài 2. [Mức độ 2] Cho 2 số phức: 4 – 4i và 1+ i 3 . Tìm Modun và Acgumen của các số phức là đối liên hợp của 2 số phức trên và viết chúng dưới dạng lượng giác.

 Bài 3. [Mức độ 3] Viết số phức sau dưới dạng đại số: z 

9

3 i



1  i 5

Bài 4. [Mức độ 3] Dùng công thức Moivre để tính 12

5

  a)  cos   i sin   b)  1  i 3  c) (1 + i)16. ĐS: a) 1  i 3 b) 1 2  15 15  2 2 2   

c) 256 Bài 5. [Mức độ 3] Tính 10 7 1 1 a)  cos   i sin   i 5 1  3i  b) 1  i  9 c) z 2000  2000 biết rằng z   1



3

3



3 1



z

z

63