Chủ đề: Phương trình đường tròn Phương trình đường elip (có lời giải chi tiết)

CHUYÊN ĐỀ LỚP 10 MÔN TOÁN

vectorstock.com/4952954

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Chủ đề: Phương trình đường tròn Phương trình đường elip (có lời giải chi tiết) WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TOAN 10: Phương trình đường tròn& Phương trình đường elip Chủ đề: Phương trình đường tròn Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng Chủ đề: Phương trình đường elip Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip Viết phương trình chính tắc của Elip Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip Các dạng bài tập khác về đường Elip Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính A. Phương pháp giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu:

ương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(a;b) và a2 + b2 - c > 0. Khi đó; phươ bán kính R = + Phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = R2 là đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R. B. Ví dụ minh họa

ki để (1) là Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (1) . Điều kiện phương trình của đường tròn là A. a2 + b2 - 4c > 0. B. a2+ b2 - c > 0. C. a2+ b2 - c2 > 0. D. a2+ b2 - 2c > 0.

Lời giải Ta có: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 Tương đương: (x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 - c

ương trình đường tròn: a2 + b2 - c > 0.

Vậy điều kiện để (1) là phươ Chọn B.

phương trình đường tròn, điều ề kiện cần và Ví dụ 2. Để x2+ y2- ax - by + c = 0 là ph đủ là A. 2a2 + 2b2 - c > 0. B. a2 + b2 - 2c > 0. C. a2 + b2 - 4c > 0. D. a2 + b2 + c > 0.

Lời giải Ta có: x2 + y2 - ax - by + c = 0 (1)

ương trình đường tròn: Vậy điều kiện để (1) là phươ

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

- c > 0 hay a2 + b2 - 4c > 0 Chọn C. Ví dụ 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

12 = 0.

(I) x2 + y2 – 4x + 15y 2 2 3x + 4y + 20 = 0.

(II) x + y – 2 2 (III) 2x + 2y - 4x + 6y + 1 = 0 .

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III). D. Chỉ (I) và (III).

Lời giải Ta xét các phương án: (I) có: a2 + b2 - c = 4 + (II) có: a2 + b2 - c =

+ 12 =

+

>0

- 20 = -

<0

(III) tương đương : x2+ y2 – 2x - 3y + 0,5 = 0. phương trình này có: a2 + b2 - c = 1 +

-

=

>0

ương trình đường tròn.

Vậy chỉ (I) và (III) là phương Chọn D. Ví dụ 4. Mệnh đề nào sau đđây đúng? (1) Đường tròn (C1) : x2+ y2 – 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3. (2) Đường tròn (C2) x2+ y2 – 5x + 3y – 0,5 = 0 có tâm I(

;-

) bán kính R = 3.

A. Chỉ (1). B. Chỉ (2). C. cả hai D. Không có.

Lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =

=3

Vậy (1) đúng

Đường tròn ( C2): a =

,b=-

⇒ I(

;-

); R =

=3

Vậy (2) đúng.

Chọn C. Ví dụ 5. Đường tròn 3x2 + 3y2 - 6x + 9y – 9 = 0 có bán kính bằng ng bao nhiêu ?

A. 2,5 B. 3 C. 2 D. 4 Lời giải

ờng tròn: x2 + y2 - 2x + 3y - 3 = 0 Ta viết lại phương trình đườ Suy ra a = 1; b = -1,5 và c = -3 và bán kính R = Chọn A. Ví dụ 6. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 4x + 3 = 0 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. tâm I( 2; 0) B. bán kính R = 1

đ ểm. D. (C) cắt trục Oy tại 2 điểm.

C. (C) cắt trục 0x tại 2 điểm.

Lời giải

phương trình vô nghiệm.

Cho x= 0 ta được : y2 + 3 = 0 ph m chung nào với trục tung.

Vậy (C) không có điểm Chọn D. Ví dụ 7. Cho đường tròn (C) : x2+ y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. (C) không đi qua điểm O. B. tâm I( -4 ; -3).

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C. bán kính R = 4. D. (C) đđi qua điểm M(-1 ; 0) .

Lời giải +Ta có a = -4; b = -3 ; c = 9 và a2 + b2 - c = 16 + 9 - 9 = 16 > 0 Suy ra (C) là đường tròn tâm I( -4; -3) và R = 4 Vậy B; C đúng. + Thay O vào (C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 vô lí . Vậy A đúng. + Thay M( -1; 0) vào (C) ta có: (-1)2 + 02 + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ( vô lý). Vậy D sai.

Chọn D. Ví dụ 8. Đường tròn x2 + y2 - 10x - 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?

A. 6 B. 2 C. 4

D. √6

Lời giải Ta có hệ số a = 5; b = 0 và c = -11 nên bán kính là R =

=6

Chọn A. Ví dụ 9: Cho phương trình: x2 + y2 - 2mx + 4y + 4 = 0. Tìm điều kiện ki của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?

A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2 Lời giải Phương trình x2+ y2 - 2mx + 4y + 4 = 0 có a = m; b = -2 và c = 4. Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu: a2 + b2 - c > 0 hay m2 + (-2)2 - 4 > 0 ⇔ m2 > 0 ⇔ m ≠ 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn C. Ví dụ 10: Cho phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(2; 4)?

A. m = 1; n = -2 B. m = 2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2 Lời giải Phương trình x2 + y2 - 2mx + 4ny - 4 = 0 có: a = m; b = -2n và c = -4 Ta có: a2+ b2 - c = m2 + 4n2 + 4 > 0 với mọi m và n. ⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(m; -2n). Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:

Chọn B. Ví dụ 11. Cho phương trình x2 + y2 + 2x – my + 1 = 0. Tìm m để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính R = 2?

A. m = ± 8 B. m = 6 C. m = 10 D. m = ± 4 Lời giải Phương trình x2 + y2 + 2x - my + 1 = 0 có: a = -1; b =

và c = 1

Để phương trình trên là phươ ương trình đường tròn nếu: a2+ b2- c > 0 ⇔1+

-1>0⇔

> 0 ⇔ m ≠ 0.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ương trình trên là phương trình đường tròn có bán kính Với điều kiện m ≠ 0 thì phươ là: R= Theo đề bài ta có: R = 2 nên

=2

( thỏa mãn điềều kiện )

⇔ Chọn A.

ương trình sau, phương trình nào là phương trình của một Ví dụ 12. Trong các phương đường tròn?

A. 4x2 + y2 – 10x - 6y - 22 = 0 B. x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0 C. x2 + 2y2 - 4y - 8y + 1 = 0 D. x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 Lời giải

h số a ; b ; c.

Xét phương trình dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 lần lượtt tính các hệ 2 2 ương trình đường tròn điều kiện là a + b - c > 0 . Để phương trình trên là phươ + Xét phương ng án D : có a = 2 ;b = 3 và c = -12 ⇒ a2 + b2 - c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0 ⇒ Phương trình x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 là phương trình đường tròn. + Các phương trình 4x2 + y2 - 10x - 6y - 2 = 0 và x2 + 2y2- 4x - 8y + 1 = 0 không có dạng đã nêu loại các đáp án A và C. + Phương án x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0 không thỏa mãn điều kiện a2 + b2 - c > 0.

Chọn D. Ví dụ 13. Cho phương trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0 (1) . Tìm điều ương trình đường tròn. kiện của m để (1) là phương

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

A. m <

B. m ≤

C. m > 1

D. m = 1

Lời giải Ta có: trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0 ⇒ a = -m; b = 1 - m; c = 2m2

ương trình đường tròn thì: Để phương trình trên là phươ a2 + b2 - c > 0 ⇔ m2 + ( 1 - m)2 - 2m2 > 0 ⇔ m2 + 1 - 2m + m2 - 2m2 > 0 ⇔ 1 - 2m > 0 ⇔ m < Chọn A. Ví dụ 14. Cho phương trình x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 (1). Tìm điều ương trình đường tròn. kiện của m để (1) là phương A. đúng mọi m B. m ∈( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞) C. m ∈ ( -∞; 1] ∪ [2; +∞)

D. Đáp án khác

Lời giải Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 có: a = m; b = 2m - 4; c = 6 - m

ương trình đường tròn ⇔ a2 + b2 - c > 0. Để phương trình trên là phươ ⇔ m2 + ( 2m - 4)2 - (6 - m) > 0 ⇔ m2 + 4m2 – 16m + 16 – 6 + m > 0 ⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0 ⇔ m ∈ ( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞) Chọn B.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C. Bài tập vận dụng Câu 1: Đường tròn 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 4 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?

A. (8; -4) B. ( 4; -2) C. ( -4; 2) D. (2; -1 ) Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Ta viết lại phương trình đườ ờng tròn: x2 + y2 - 4x + 2y- 4 = 0 Ta có:

nên tâm I( 2; -1) .

ương trình sau, phương trình nào là phương trình của một Câu 2: Trong các phương đường tròn?

A. x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0 B. x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0 C. 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 D. 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Ta xét các phương án: +Phương án D loại vì không có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 +Phương án A : có a = -1 ; b = 2 và c = 9 ⇒ a2 + b2 - c = 1 + 4 - 9 = - 4 < 0

ng án A không là phươ phương trình đường tròn. ⇒ Phương + Phương ng án B : có a = 3; b = -2 ; c = 13

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ a2 + b2 - c = 9 + 4 - 13 = 0 ⇒ loại B. + Phương án C: 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0 Có a = 2; b = 1; c = -3 ⇒a2 + b2 - c = 4 + 1 + 3 = 8 > 0 ⇒ Đây là phương trình đường tròn

ng cong (C) : x2 + y2 - 8x + 10y + m = 0. Vớii giá trị nào của m thì Câu 3: Cho đường (C) là đường tròn có bán kính bằng 7 ?

A. m = 4 B. m = 8 C. m = -8

D. m = -2

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Ta có a = 4; b = - 5 và c = m.

Bán kính đường tròn là: R = Để bán kính đường tròn là 7 thì:

=7⇔

= 7.

⇔ 41 - m = 49 ⇔ m = -8

ph trình Câu 4: Phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0 là phương đường tròn khi và chỉ khi A. m < 0 B. m < 1 C. m > 1

D. m < - 1 hoặc m > 1.

Hiển thị lời giải Đáp án: D

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Trả lời: Ta có: x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0(1) ⇔ x2 - 2(m + 1)x + (m + 1)2 + y2 - 2(m + 2)y + (m + 2)2 - (m + 1)2 - (m + 2)2 + 6m + 7 = 0 ⇔ [x - (m + 1)]2 + [y - (m + 2)]2 = 2m2 - 2)

ương trình đường tròn: 2m2 - 2 > 0 ⇔ Vậy điều kiện để (1) là phươ ng trình x2 + y2 - 2mx + 4y + 8 = 0 không phải là phương Câu 5: Tìm m để phương trình đường tròn.

A. m < - 2 hoặc m > 2. B. m > 2 C. -2 ≤ m ≤ 2

D. m < - 2

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Ta có: x2 + y2 - 2mx - 4y + 8 = 0(1) ⇔ x2 - 2mx + m2 + y2 - 2.2.y + 22 - m2 - 22 + 8 = 0 ⇔ (x - m)2 + (y - 2)2 = m2 - 4

phải là phương trình đường tròn: Vậy điều kiện để (1) không ph m2 - 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2

hai m mệnh đề Câu 6: Cho 2 2 2 phương trình đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R. (I) (x - a) + (y - b) = R là ph 2 2 phương trình đường tròn tâm I(a; b).

(II) x + y - 2ax - 2by + c = 0 là ph Hỏi mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả (I) và (II) đều sai. D. Cả (I) và (II).

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời:

điều kiện a2 + b2 - c > 0.

(I) đúng, (II) sai vì thiếu điề đề nào Câu 7: Mệnh (I) Đường tròn (C1) có tâm I( (II) Đường tròn (C2) có tâm bán kính R = 3.

1;

sau -2) bán

đây kính

R

đúng? = 3.

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. (I) và (II). D. Không có.

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =

=3

Vậy (1) đúng

Đường tròn ( C2): a =

,b=-

⇒ I(

;-

); R =

=3

Vậy (2) đúng.

Câu 8: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ( C) không đi qua điểm O(0 ; 0) . B. ( C) có tâm I( -4 ; -3) .

C. ( C) có bán kính R = 4. D. ( C ) đi qua điểm M( -1 ; 0) .

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đường tròn ( C)có:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

= 4. Vậy B; C đúng.

a = -4, b = -3 ⇒ I(-4; -3); R =

Thay O(0; 0) vào ( C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 ( vô lý). ⇒ đường tròn ( C) không đi qua điểm O . Vậy A đúng.

Thay M( -1; 0) vào ( C) ta có: (-1)2 + 02 + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 ( vô lý). ⇒ Đường tròn ( C) không đi qua điểm M( -1; 0) . Vậy D sai.

nh đề nào sau đây Câu 9: Cho đường tròn (C)2x2 + 2y2 - 4x + 8y + 1 = 0 . Mệnh đúng?

A. ( C) không cắt trục Oy. B. ( C) cắt trục Ox tại hai điểm.

C. ( C) có tâm I (2 ; -4) . D. ( C) có bán kính R = √19 .

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: + Ta viết lại phương trình đường tròn(C) ⇔ x2 + y2 - 2x + 4y +

=0

⇒ a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R = Vậy C; D sai. + Cho x = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y =

hoặc y =

ại hai điểm phân biệt. Vậy A sai Do đó ( C) cắt trục Oy tại + Cho y = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y =

hoặc y =

ại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng Do đó ( C) cắt trục Ox tại

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Câu 10: Đường tròn x2 + y2 – 6x - 8y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?

A. 10 B. 25 C. 5 D. √10.

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Đường tròn x2 + y2 - 6x - 8y = 0 có a = 3; b = 4 và c = 0 ⇒ a2 + b2 – c = 9 + 16 - 0 = 25 > 0 ⇒ Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính là: R=

=5.

Câu 11: Đường tròn x2 + y2 – 5y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?

A. √5 B. 25 C.

D.

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Đường tròn có a = 0; b =

và c = 0.

⇒ Bán kính đường tròn là : R = Câu 12: Đường tròn x2 + y2 + A. (0;

) B. (-

; 0)

=

đ ểm sau đây ?

- √3 có tâm là điểm nào trong các đi

C. (√2; √3) D. (

; 0)

Hiển thị lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Đáp án: B Trả lời:

Ta có:

nên tâm I(-

; 0) .

Câu 13: Đường tròn 2x2 + 2y2 – 8x + 4y - 1 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?

A. (-2; 1) B. (8; -4) C. (-8; 4) D. (2; -1) Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Ta có ( C) : 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - 1 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x + 2y -

=0

⇒ a = 2; b = - 1 nên tâm đường tròn là I ( 2; -1) .

ki của m để Câu 14: Cho phương trình: x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0. Tìm điều kiện phương trình trên là phương trình đường tròn?

A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2 Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Phương trình x2 + y2 - 8mx + 6y + 9 = 0 có a = 4m; b = -3 và c = 9. Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu: a2 + b2 - c > 0 hay (4m)2 + (-3)2 - 9 > 0 ⇔ 16m2 > 0 ⇔ m ≠ 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Câu 15: Cho phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(-6; 8)?

A. m = 1; n = -2 B. m = -2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Phương trình x2 + y2 - 6mx + 8ny - 1 = 0 có: a = 3m; b = -4n và c = -1 Ta có: a2 + b2 - c = 9m2 + 16n2 + 1 > 0 với mọi m và n. ⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(3m; -4n). Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:

Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?

A. x2 + y2 - x - y + 9 = 0. B. x2 + y2 - x = 0 C. x2 + y2 - 2xy – 1 = 0 D. x2 - y2 - 2x + 3y - 1 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Loại C vì có số hạng -2xy.

Phương án A: a = b = đường tròn.

, c = 9 ⇒ a2 + b2 - c < 0 nên không phải phương trình

Phương án D: loại vì có – y2 .

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Phương án B: a =

,b = 0, c = 0 ⇒ a2 + b2 - c > 0 nên là phương trình đường tròn.

Câu 17: Cho phương trình x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 (1). Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn?

A. Không có. B. 6 C. 7

D. Vô số

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Phương trình : x2 + y2 - 2x + 2my + 10 = 0 có : a = 1;b = -m và c = 10

ương trình đường tròn khi và chỉ khi: Để phương trình trên là phươ a2 + b2 - c > 0 ⇔ 1 + m2 - 10 > 0 ⇔ m2 - 9 > 0 ⇔

dương không vượt quá 10 để (1) là phương phươ trình của ⇒Các giá trị m nguyên dươ đường tròn là : m ∈ { 4; 5; 6; 7; … ; 10} Câu 18: Cho phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4y - 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

A. m = 2 B. m = -1 C. m = 1 D. m = -2 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Phương trình x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4y - 1 = 0 có hệ số: a = m + 1; b = - 2 và c = -1 Để (1) là phương trình đường tròn thì: a2 + b2 - c > 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔ (m + 1)2 + 4 + 1 > 0 ⇔(m + 1)2 + 5 > 0 luôn đúng với mọi m vì (m + 1)3 ≥0

phương trình đường tròn có bán kính : Vậy với mọi m ( 1) luôn là ph R= ⇒ Rmin khi và chỉ khi (m + 1)2 + 5 min ⇔ m + 1 = 0 hay m = -1 Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính A. Phương pháp giải + Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình : (x - a)2 + (y - b)2 = R2 + Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau: - Bước 1: Tìm trung điểm I ccủa AB. - Bước 2: Tính IA. - Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA. + Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A ⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA. B. Ví dụ minh họa

m A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có Ví dụ 1. Cho hai điểm phương trình là A. x2 + y2 + 2x - 6y - 22 = 0. B. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0.

C. x2 + y2 - 2x - y + 1 = 0. D. Tất cả sai Lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I( 1; 3) .

Bán kính R =

= 4√2

AB =

Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 Hay x2 + y2 - 2x- 6y - 22 = 0.

Chọn B. Ví dụ 2. Cho hai điểm A( -4; 2) và B(2; -3). Tập hợp điểm M thỏa ỏa mãn có phương trình là A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1= 0. B. x2 + y2 - 6x - y + 1 = 0.

C. x2 + y2 - 2x - 6y – 10 = 0. D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0.

Lời giải Ta có: MA→ (x + 4;y - 2); MB→ (x - 2; y + 3) Theo giả thiết: MA2 + MB2 = 31 Tương đương : ( x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31 Hay x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0 Chọn D. Ví dụ 3. Đường tròn tâm I( 3; -2) và bán kính R= 2 có phương trình là A. ( x + 3)2 + (y + 2)2 = 2

B. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4

C. ( x + 3)2 + (y - 2)2 = 4 D. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 Lời giải Phương trình đường tròn có tâm (3; -2) , bán kính R = 2 là: (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4 Chọn B.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ví dụ 4. Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2;1) có phương trình là A. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0. B. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.

C. x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0. D. x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0.

Hướng dẫn giải Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì có bán kính là: = √10

R = IM =

Khi đó có phương trình là: (x + 1)2 + ( y - 2)2 = 10 Hay x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0.

Chọn B. Ví dụ 5. Cho hai điểm m A( 5; -1) và B( -3; 7). Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 + y2 - 2x + 6y - 3 = 0. B. x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0 C. x2 +y2 + 2x + 6y - 3 = 0

D. x2 +y2 + 2x + 6y - 15 = 0

Hướng dẫn giải Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I( 1;3) .

Bán kính

AB =

= 4√2

Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 hay x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0 Chọn B.

m A(3; 1); B(5; 5) và tâm I nằm Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm trên trục hoành?

A.(x - 1)2 + y2 = 16 B. (x - 10)2 + y2 = 50

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C. (x + 1)2 + y2 = 17 D. (x - 10)2 + y2 = 50 Lời giải + Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I(a; 0). ⇒ Phương trình đường tròn ( C): (x - a)2 + y2 = R2. + Điểm A( 3; 1) thuộc (C) nên (3 - a)2 + 12 = R2 (1). + Điểm B( 5; 5) thuộc ( C) nên ( 5 - a)2 + 52 = R2 ( 2).

Lấy (1) trừ (2); vế trừ vế ta được : 4a - 40 = 0 ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10 Thay a = 10 vào (1) ta được: R2 = 50.

Vậy phương trình đường tròn ( C): (x - 10)2 + y2 = 50 Chọn D. Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0?

A. x2 + y2 - 2x + 2y - 1 = 0 B. x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0 C. x2 + y2 + 4x - 3 = 0 D. Tất cả sai Lời giải Giả sử phương trình đường tròn ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( với a2 + b2 - c > 0) Là đường tròn có tâm I(a; b). + Do điểm A(0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 - 2b + c = 0 hay – 2b + c = - 1 (1) + Do điểm B(1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 - 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2) + Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3).

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Từ ( 1); (2) và (3) ta có hệ phương trình :

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0 Chọn B. C. Bài tập vận dụng Câu 1: Đường tròn tâm I ( 3; -1) và bán kính R = 2 có phương trình là A. (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4. B. (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4.

C. (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4. D. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4.

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Phương trình đường tròn có tâm I( 3; -1) , bán kính R = 2 là: (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4 Câu 2: Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2; 1) có phương trình là A. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0

B. x2 + y2 + 2x - 4y - 3 = 0

C. x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0

D. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M(2; 1) thì có bán kính là:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

R = IM =

= √10

ương trình là: + Khi đó đường tròn có phươ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 10 ⇔ x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0 Câu 3: Đường tròn tâm I( 1; 4) và đi qua điểm B( 2; 6) có phương trình là A. (x + 1)2 + (y + 4)2 = 5 B. (x - 1)2 + (y - 4)2 = √5 C. (x + 1)2 + (y + 4)2 = √5

D. (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đường tròn có tâm I( 1; 4) và đi qua B( 2; 6) thì có bán kính là: R = IB =

= √5

Khi đó đường tròn có phương trình là: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5

m M( x ; y) có Câu 4: Cho điểm

m M là . Tập hợp điểm

A. Đường tròn tâm I (-1 ;2) và R = 3. B. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 2.

C. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 4. D. Đường tròn tâm I(1; -2) và R = 4.

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

Ta có: M ⇒ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4cos2t + 4sin2t ⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4(sin2t + cos2t)

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4 Vậy tập hợp điểm M là phươ phương trình đường tròn có tâm I ( -1; 2) , bán kính R = 2.

m A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có Câu 5: Cho hai điểm phương trình là A. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 B. x2 + y2 - 2x - 6y + 22 = 0 C. x2 + y2 - 2x - y - 1 = 0 D. x2 + y2 + 6x + 5y + 1 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời:

ng kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB Đường tròn ( C) có đường

⇒ Tọa độ điểm I : Bán kính R =

AB =

⇒ I( 1; 3) = 4√2

Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 ⇔ x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0

m M(x; y) thỏa th mãn : Câu 6: Cho hai điểm A( - 4; 2) và B( 2; -3) . Tập hợp điểm 2 2 ương trình là MA + MB = 31 có phương A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 B. x2 + y2 - 6x - 5y + 1 = 0 C. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ta có: MA2 = ( x + 4)2 + (y - 2)2 và MB2 = ( x - 2)2 + (y + 3)2 Để MA2 + MB2 = 31 ⇔ (x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31 ⇔ x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0

m A(1; 2); B(2; 1) và tâm nằm Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm ng (d): 3x + 4y + 7 = 0? trên đường thẳng A. x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0

B. x2 + y2 – 2x + 2y - 11 = 0

C. x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0 D. x2 + y2 – 2x - 2y – 11 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Gọi phương trình đường tròn cần tìm ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0). Đường tròn này có tâm I(a;b).

thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên ên 3a + 4b + 7 = 0 (1). + Do tâm I nằm trên đường th + Do điểm A(1;2) nằm trên đường tròn nên: 1 + 4 - 2a - 4b + c = 0 hay -2a - 4b + c = - 5 (2) + Do điểm B(2;1) nằm trên đường tròn nên : 4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 hay – 4a - 2b + c = -5 (3) Từ (1); (2) và (3) ta có hệ:

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Câu 8: Biết đường tròn ( C) đi qua A(1; 2); B(3; 1) và tâm I nằm trên trục tung.

Tìm tâm đường tròn?

A. I(0; -2) B. I( 0; 1) C. I(0;

) D. I(0;

)

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: + Do tâm I đường tròn nằm trên trục tung nên I(0; a). ⇒ Phương trình đường tròn có dạng: x2 + (y - a)2 = R2 + Điểm A( 1; 2) thuộc đường tròn ( C) nên : 12 + (2 - a)2 = R2 hay a2 - 4a - R2 = - 5 (1) + Điểm B(3; 1) thuộc đường tròn (C) nên : 32 + (1 - a)2 = R2 hay a2 – 2a – R2 = - 10 (2) + Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được: - 2a = 5 ⇔ a = ⇒ Tâm đường tròn là I(0;

)

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng A. Phương pháp giải + Cho đường tròn ( C) tâm I( a;b) bán kính R và đường thẳng d.

ới đường tròn ( C) khi và chỉ khi : d(I, d)= R Đường thẳng d tiếp xúc với ới trục trụ tung khi và + Trục tung có phương trình x= 0 nên để đường tròn tiếp xúc với chỉ khi:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

= R hay R = |a| + Trục hoành có phương ng trình y= 0 để đường tròn tiếp xúc với trục ục hoành khi và chỉ khi: = R hay R = |b|.

ới hai tr trục tọa độ khi và chỉ khi: + Đường tròn tiếp xúc với R = |a| = |b|.

ng d: ax + by + c= 0 và điểm m M(x0; y0) . Khoảng Kho cách từ Chú ý: Cho đường thẳng ng d là: d(M; d) = điểm M đến đường thẳng B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Đường tròn (C) tâm I( -4; 3) và tiếp xúc với trục tung có phương ươ trình là A. x2 + y2 - 4x + 3y + 1 = 0. B. (x + 4)2 + (y - 3)2 = 16.

C. (x - 4)2 + (y + 3)2 = 9. D. x2 + y2 + 8x - 6y + 1 = 0.

Lời giải Do đường tròn (C) tiếpp xúc vvới trục tung Oy và có tâm I( -4; 3) nên: a = - 4; b = 3 và R = |a| =4.

Do đó, (C) có phương trình: (x + 4)2 + (y - 3)2 = 16.

Chọn B. Ví dụ 2: Đường tròn (C) tâm I( 4;3) và tiếp xúc với đườngthẳng ∆: 3x - 4y + 5 = 0 có phương trình là A. (x - 4)2 + (y - 3) 2 = 2. B. (x - 4)2 + (y - 3)2 = 1.

C. (x - 4)2 + (y - 3)2 = 4. D. (x - 4)2 + (y - 3)2 = 3

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Lời giải Do đường tròn ( C) tiếp xúc vvới đường thẳng ∆ nên khoảng ng cách từ t tâm I đến ng bán kính đường tròn . đường thẳng ∆ bằng

⇒ (C) có bán kính R = d(I, ∆ ∆) =

= 1.

Do đó, (C) có phương trình : (x - 4)2 + (y - 3)2 = 1.

Chọn B. Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0) . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. ( C) có bán kính R = B. ( C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi b2 = R2.

C. ( C) tiếp xúc với trụcc tung khi và chỉ khi a = R. D. ( C) tiếp xúc với trụcc tung khi và chỉ khi b2 = c.

Hướng dẫn giải Xét phương án C: ( C) tiếp xúc với trụcc tung Oy khi và chỉ khi: d(I, y'oy) = R ⇔ |a| = R. Do đó đáp án sai vì nếuu a = - 9 ⇒ R = -9 < 0 (vô lý) Chọn C.

đề nào sau Ví dụ 4: Mệnh 2 2 Đường tròn (x + 2) + (y - 3) = 9 tiếp xúc Đường tròn (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 tiếp xúc với các trục tọa độ.

đây đúng? với ới trục tr tung.

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả (I) và (II). D. Không có.

Hướng dẫn giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Xét đường tròn : (x + 2)2 + ( y - 3)2 = 9 có a = -2; b = 3 và R = 3 Vì |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với trục hoành Ox nên ( I) sai. + Xét đường tròn: ( x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 có a = 3; b = -3 và R = 3 Vì |a| = |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên (II) đúng.

Chọn B. Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì đường thẳng ng (d): 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với 2 2 đường tròn x + y - 9 = 0 ?

A. m = ±15 B. m = ±√3

C. m = - 3 D. m = 3

Hướng dẫn giải Đường tròn x2 + y2 - 9 = 0 có tâm I (0; 0) và bán kính R = 3.

đến đường thẳng (d) là Khoảng cách từ tâm I(0; 0) đế d(I; d) = Để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi: d(I;d)= R ⇔

= 3 ⇔ |m| = 15 nên m = ± 15

Chọn A.

ng d : x + y - 4√2 = 0 .

Ví dụ 6: Đường tròn có tâm O và tiếp xúc với đường thẳng Hỏi bán kính của đường tròn bằng bao nhiêu?

A. 4√2 B. 4 C. 2 D. 8 Hướng dẫn giải

đến đường thẳng (d) là Khoảng cách từ tâm O(0; 0) đế d(O; d) =

=4

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ng cách từ tâm O đến Để đường tròn tâm O tiếp xúc vvới đường thẳng d thì khoảng ng bán kính R. đường thẳng d bằng ⇒ Bán kính đường tròn ( C): R = 4.

Chọn B.

ới đường thẳng d: Ví dụ 7: Nếu đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 3)2 = R2 tiếp xúc với của R là: 5x + 12y - 60 = 0 thì giá trị củ A. 2√2 B.

C. √5

D. √2

Hướng dẫn giải Đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 3)2 = R2 có tâm I (1; 3) bán kính R. Đường thẳng d: 5x + 12y - 60 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) khi R = d( I; d) =

=

Chọn B.

nh đề nào sau đây Ví dụ 8: Cho phương trình x2 + y2 - 4x + 2my + m2 = 0 (1). Mệnh sai?

A. Phương trình ( 1) là phươ ương trình đường tròn, với mọi giá trị của ủa m.

B. Đường tròn (1) luôn tiếp xúc vvới trục tung.

C. Đường tròn ( 1) tiếpp xúc vvới các trục tọa độ khi và chỉ khi m = 2.

D. Đường tròn (1) có bán kính R = 2.

Hướng dẫn giải + Xét x2 + y2 - 4x + 2my + m2 = 0 có a = 2; b = -m và c = m2 ⇒ a2 + b2 - c = 4 + m2 - m2 = 4 > 0 với mọi m nên A và D đúng. + Vì a = R = 2 nên B đúng.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ờng tròn tiếp xúc với trục hoành Ox khi và chỉ khi + Từ đó suy ra C sai, vì đườ |b| = |m| = 2 ⇔ m = ±2 Chọn C .

ẳng nào trong các Ví dụ 9 . Đường tròn x2 + y2 + 4y = 0 không tiếp xúc đường thẳng đường thẳng dưới đây?

A. x - 2 = 0 B. x + y - 3 = 0 C. x + 2 = 0 D. Trục hoành.

Hướng dẫn giải Đường tròn có tâm I( 0; -2) , bán kính R = 2.

– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (∆1) : x - 2 = 0 d(I, ∆1) =

= 2 = R ⇒ (C) tiếp xúc (∆1)

– Tương tự: ( C) tiếp xúc (∆2): x + 2 = 0; ( C) tiếp xúc trục hoành Ox: y= 0 – Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (∆3) : d(I,∆3)=

≠R

⇒ ( C ) không tiếp xúc (∆3) Chọn B.

trụ tọa độ Ox; Ví dụ 10. Đường tròn (C) đi qua điểm M(2; -1) và tiếp xúc vớii hai trục Oy có phương trình là: A. (x + 1)2 + (y - 1)2 = 1 hoặặc (x + 5)2 + (y - 5)2 = 25 B. (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1 C. ( x - 5)2 + (y + 5)2 = 25 D. (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1 hoặặc ( x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Lời giải Gọi tâm đường tròn là I = ( a; b)

ới hai tr trục tọa độ nên ên R = d(I; Ox) = d(I; Oy) Do đường tròn tiếp xúc với ⇔ R = |a| = |b|.

Vì đường tròn đi qua điểm M(2; -1) thuộc góc phần tư thứ tư (IV) nên a = - b và a >0 ⇒ I( a; -a) Ta có: R = IM ⇔ R2 = IM2 ⇔ a2 = ( a - 2)2 + (-a + 1)2 ⇔ a2 = a2 - 4a + 4 + a2 - 2a + 1 ⇔ a2 - 6a + 5 = 0 ⇔ a = 1 hoặc a = 5

ng tròn là I (1; -1) và bán kính R = 1 + Với a = 1 thì tâm đường ⇒ Phương trình ( C): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 1.

ng tròn là I (5; -5) và bán kính R = 5 + Với a = 5 thì tâm đường ⇒ Phương trình đường tròn là ( x - 5)2 + (y + 5)2 = 25 Chọn D.

ng giá trị nào của m thì đường thẳng ∆ : 4x + 3y + m = 0 tiếp ti Ví dụ 11 : Với những 2 2 xúc với đường tròn ( C): x + y - 9 = 0.

A. m = -3 B. m = 3 và m = -3 . C. m = 3 D. m = 15 và m = -15 Hướng dẫn giải Đường tròn (C) có tâm I(0; 0) và bán kính R = 3. Để ∆ tiếp xúc ( C) khi và chỉ khi : d(I, ∆) = R ⇔

=3⇔

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn D. Ví dụ 12. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox? A. x2 + y2 - 2x - 10y = 0 B. x2 + y2 + 6x + 5y + 9 = 0 C. x2 + y2 - 10y + 1= 0 D. x2 + y2 - 5 = 0 Hướng dẫn giải Đường tròn: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Ox khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn I( a; b) đến trục Ox: y = 0 là bằng R. ⇔ |b|=R

ng tr tròn òn có a = 1; b = 5 và c = 0 nên bán kính đường tròn là + Phương án A: là đường R= = √26 ⇒ |b| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với trục Ox. + Phương án B là đường tròn có a = -3; b =

và c = 9

⇒R= ⇒ |b| = R nên đường tròn này tiếp xúc với trục Ox.

ới trục trụ Ox + Tương tự các đường tròn ở phương án C và D không tiếp xúc với Chọn B. Ví dụ 13. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy? A. x2 + y2 - 10y + 1= 0 B. x2 + y2 + 6x + 5y - 1 = 0 C. x2 + y2 - 2x = 0 D. x2 + y2 - 5 = 0 Hướng dẫn giải Đường tròn: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Oy khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn I( a; b) đến trục Oy: x= 0 là bằng R.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔ |a| = R. + Phương án A: Là đường ng tròn có a = 0; b = 5 và c = 1 nên bán kính = √26

R=

⇒|a| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với Oy. + Phương án B: là đường tròn có a = -3; b = -

và c = - 1 nên

R= ⇒ |a| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với Oy. + Phương án C: là đường tròn có a = 1; b = 0; c = 0 nên R = 1 ⇒ |a| = R nên đường tròn này tiếp xúc với Oy. Chọn C.

ng trình tiếp tuyến Ví dụ 14: Cho đường tròn (C); x2 + y2 + 2x – 6y + 5 = 0 . Phương thẳng (a) : x + 2y - 15 = 0 là của (C) song song với đường th A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0 B. x + 2y = 2 và x + 2y + 8 = 0 C. x + 2y + 2 = 0 và x + 2y - 8 = 0 D. tất cả sai Hướng dẫn giải Đường tròn (C) có tâm I( -1;3) và bán kính R =

= √5.

với đường thẳng a nên d có dạng: x + 2y - m = 0 Do tiếp tuyếnn d song song vớ d là tiếp tuyến củaa (C) khi và chỉ khi: d(I, d) = R ⇔

= √5 ⇔ |m-5|=5

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn A. Ví dụ 15. Đường tròn ( C) có tâm I( -2; - 3) và tiếp xúc với ới đường thẳng ương trình là: (d): 3x - 4y - 1 = 0 có phương A. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1 B. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4 C. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9 D. ( x + 2)2 + ( y + 3)2 = 4 Lời giải Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là :

=1

d(I; d) =

Mà đường tròn ( C) tiếpp xúc vvới đường thẳng d nên R = 1 ⇒ Phương trình đường tròn( C): (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1 Chọn A.

tiếp xúc với ới đường thẳng Ví du 16. Đường tròn (C) có tâm I( 2; 3) và ti phương trình là: (d): 6x - 8y + 22 = 0 có phươ A. ( x + 2)2 + (y - 3)2 = 4 B. (x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1 C. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 9 D. Tất cả sai Lời giải Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là : d(I; d) =

=1

Mà đường tròn ( C) tiếpp xúc vvới đường thẳng d nên R= 1 ⇒ Phương trình đường tròn( C): (x - 2)2 + (y - 3)2 = 1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn B. C. Bài tập vận dụng Câu 1: Đường tròn x2 + y2 = 1 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây A. x + y = 0 B. 3x + 4y - 1 = 0. C. 3x - 4y + 5 = 0. D. x + y - 1 = 0.

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Đường tròn ( C) có tâm O( 0; 0) , bán kính R= 1.

– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (∆1): x + y = 0 d(O, ∆1) =

= 0 ≠ R nên ( C) không tiếp xúc (∆1)

ếp xúc (∆2): 3x + 4y - 1 = 0; (∆3): x + y - 1 = 0 ; – Tương tự, ( C) không tiếp – Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (∆4): 3x - 4y + 5 = 0 d(O, ∆4) =

= 1 = R nên ( C) tiếp xúc (∆4)

Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C) : ( x - 3)2 + (y + 1)2 = 5, với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0. biết tiếp tuyếnn song song vớ A. 2x + y + 1 = 0 hoặcc 2x + y - 1 = 0 B. 2x + y = 0 hoặc 2x + y - 10 = 0 C. 2x + y + 10 = 0 hoặcc 2x + y - 10 = 0 D. 2x + y = 0 hoặcc 2x + y + 10 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I(3; -1) và bán kính R = √5.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Do tiếp tuyến ∆ // d: 2x + y + 7 = 0 nên đường thẳng ∆ có dạng:

∆: 2x + y + c = 0 ( với c ≠ 7) . ếp xúc vvới đường tròn nên khoảng cách từ ừ tâm I đến đường + Do đường thẳng ∆ tiếp thẳng ∆ bằng bán kính R: R = d( I; ∆) . = √5 ⇔|5 + c| = 5

⇔ ⇔

ng thỏa mãn là 2x + y = 0 và 2x + y - 10 = 0 Vậy có hai đường thẳng ình tiếp tuyến của đường tròn ( C): x2 + y2 + 4x + 4y - 17 = Câu 3: Viết phương trình 0, biết tiếp tuyếnn song song vvới đường thẳng d: 3x - 4y - 2000 = 0.

A. 3x - 4y + 23 = 0 hoặcc 3x - 4y - 27 = 0 B. 3x - 4y + 23 = 0 hoặcc 3x - 4y + 27 = 0 C. 3x - 4y - 23 = 0 hoặcc 3x - 4y + 27 = 0 D. 3x - 4y - 23 = 0 hoặcc 3x - 4y - 27 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I( -2; -2) và bán kính R =

= 5.

+ Do tiếp tuyến ∆ của đường tròn song song với đường thẳng d: 3x - 4y - 2000 = 0 ạng: ∆ 3x - 4y + c = 0 ( với c ≠ -2000) nên đường thẳng ∆ có dạng:

ng cách từ tâm I đến ∆ + Đường thẳng ∆ tiếpp xúc vvới đường tròn ( C) nên khoảng bằng bán kính R: d( I; ∆) = R ⇔

= 5 ⇔ |2 + c| = 25

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa ỏa mãn là : 3x - 4y + 23 = 0 và 3x - 4y - 27 = 0 Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25, với đường thẳng d: 3x - 4y + 3 = 0. biết tiếp tuyếnn vuông góc vớ A. 4x + 3y + 14 = 0 hoặc 4x + 3y - 36 =0 B. 4x + 3y + 14 = 0 C. 4x + 3y - 36 = 0 D. 4x + 3y -14 = 0 hoặcc 4x + 3y + 36 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính R= 5. + Đường thẳng d có VTPT nd→ ( 3; -4)

n nhận nhậ nd→ + Do tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng d nên tiếp tuyến ( 3; -4) làm VTCP. Suy ra mộtt VTPT ccủa ∆ là: n→ ( 4; 3) . ng: 4x + 3y + c = 0 ⇒ Tiếp tuyến ∆ có dạng: với đường tròn nên: d(I; ∆) = R + Đường thẳng ∆ tiếpp xúc vớ ⇔

= 5 ⇔ |11 + c| = 25

⇔ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : 4x + 3y + 14 = 0 và 4x + 3y - 36 = 0 Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): (x - 2)2 + (y + 4)2 = 25, với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0. biết tiếp tuyếnn vuông góc vớ

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

A. 4x - 3y + 5 = 0 hoặc 4x - 3y - 45 = 0 B. 4x + 3y + 5 = 0 hoặc 4x + 3y + 3 = 0 C. 4x + 3y + 29 = 0 D. 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y- 21 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I( 2; -4) và bán kính R= 5. + Do tiếp tuyến ∆ vuông góc vvới đường thẳng d nên ∆ nhận nd→ (3; - 4) làm VTCP. Suy ra một VTPT của ∆ là n→ ( 4; 3) .

ạng: 4x + 3y + c = 0 ⇒ Phương trình ∆ có dạng: với đường tròn nên d( I; ∆) = R + Đường thẳng ∆ tiếpp xúc vớ = 5 ⇔ |c - 4| = 25

⇔ ⇔

ỏa mãn là: 4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y - 21 = 0 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa Câu 6: Viết phương trình tiếếp tuyến của đường tròn ( C): x2 + y2 + 4x - 2y - 8 = 0, với đường thẳng d: 2x - 3y + 2018 = 0. biết tiếp tuyếnn vuông góc vớ A. 3x + 2y - 17 = 0 hoặcc 3x + 2y - 9 = 0 0

B. 3x + 2y + 17 = 0 hoặc 3x + 2y + 9 =

C. 3x + 2y + 17 = 0 hoặc 3x + 2y - 9 = 0 0

D. 3x + 2y - 17 = 0 hoặc 3x + 2y + 9 =

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Đường tròn (C) có tâm I( -2; 1) và bán kính R=

= √13

+ Do tiếp tuyến ∆ vuông góc vvới đường thẳng d nên ∆ nhận nd→ (2; -3) làm VTCP. Suy ra một VTPT của ∆ là n→ ( 3; 2) .

ạng: 3x + 2y + c = 0 ⇒ Phương trình ∆ có dạng: với đường tròn nên d( I; ∆) = R + Đường thẳng ∆ tiếpp xúc vớ = √13 ⇔

⇔

= √13

⇔|c - 4| = 13 ⇔

ỏa mãn là 3x + 2y + 17 = 0 và 3x + 2y - 9 = 0 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa Câu 7: Viết phương trình tiếếp tuyến của đường tròn ( C): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, với trục hoành. biết tiếp tuyếnn vuông góc vớ A. x = 0 B. y = 0 hoặc y - 4 = 0.

C. x = 0 hoặc x - 4 = 0 D. y = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R =

=2.

+ Trục hoành có phương trình là ∆: y = 0 .

(0; 1) làm VTCP. + Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc với trục hoành nên nhận n∆→ thẳng d là: n→ Suy ra một VTPT của đường th ( 1; 0). ng: x + c = 0 ⇒ đường thẳng d có dạng: với đường tròn nên d(I; d) = R + Đường thẳng d tiếpp xúc vớ

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

= 2 ⇔ |2 + c| = 2

⇔ ⇔

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa ỏa mãn là : x = 0 và x - 4 = 0

tr tọa độ có Câu 8: Đường tròn ( C) đi qua điểm A( 2; 4) và tiếp xúc vớii các trục phương trình là A. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 hoặặc (x - 10)2 + (y - 10)2 = 100 B. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4 hoặc (x - 10)2 + (y - 10)2 = 100 C. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4 hoặc (x + 10)2 + (y + 10)2 = 100 D. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 hoặặc (x + 10)2 + (y + 10)2 = 100 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Gọi phương trình đường tròn ( C) : ( x-a)2 + (y-b)2 = R2 Do đường tròn (C) tiếpp xúc vvới hai trục tọa độ nên |a| = |b| = R Lại có điểm A( 2; 4)∈( C) và A nằm trong góc phần tư thứ nhất nên tâm I cũng ở góc phần tư thứ nhất.

Suy ra a = b = R. Vậy phương trình đường tròn có dạng : (x - a)2 + (y - a)2 = a2 (C) .

Do A ( 2; 4)∈( C)nên ( 2 - a)2 + (4 - a)2 = a2 ⇔ 4 - 4a + a2 + 16 - 8a + a2 = a2 ⇔ a2 - 12a + 20 = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ẳng d: 3x - 4y + 5 Câu 9: Đường tròn ( C) có tâm I(-1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng = 0 có phương trình là A. (x + 1)2 + (y - 3)2 = 4 B. (x + 1)2 + (y - 3)2 = 2 C. (x + 1)2 - (y - 3)2 = 10 D. (x - 1)2 + (y - 3)2 = 2 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Do đường tròn ( C) tiếp xúc vvới đường thẳng d nên khoảng ng cách từ t tâm I đến ng bán kính R. đường thẳng d bằng ⇒ Đường tròn có bán kính R = d(I, d) =

=2

Vậy phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + (y - 3)2 = 4 Câu 10: Có một đường tròn đi qua hai điểm A( 1; 3), B( -2; 5) và tiếp xúc với đường thẳng d: 2x - y + 4 = 0. Khi đó A. phương trình đường tròn là x2 + y2 - 3x + 2y - 8 = 0 .

B. phương trình đường tròn là x2 + y2 + 3x - 4y + 6 = 0.

C. phương trình đường tròn là x2 + y2 - 5x + 7y + 9 = 0 .

D. Không có đường tròn nào thỏa mãn bài toán.

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đặt f(x; y) = 2x - y + 4.

Ta có: f( 1; 3) = 2.1 - 3 + 4 = 3 > 0 và f( -2; 5) = 2.(-2) - 5 + 4 = - 5 < 0 .

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ f( 1; 3).f(- 2; 5) < 0 ⇒ A và B nằm m khác phía đố đối với đường thẳng d; do đó ó không có đường tròn nào thỏa điều kiện đề bài.

ẳng d: 3x – 4y + Câu 11: Đường tròn (C) có tâm I( -1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là A. (-

;-

) B. ( ;

)

C. ( ; -

) D. (-

;

)

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

ới đường thẳng d tại H nên IH và d vuông góc với nhau.

Do đường tròn tiếp xúc với Đường thẳng IH: qua I( -1; 3) và nhận VTCP ( 3; -4) nên có VTPT n→ ( 4; 3) nên có phương trình là : 4( x + 1) + 3( y - 3) = 0 hay 4x + 3y – 5 = 0.

ại H nên tọa độ của H là nghiệm hệ: Ta có: IH và d cắt nhau tại

đề nào sau đây đúng?

Câu 12: Mệnh 2 2 p xúc với trục tr tung.

(1) Đường tròn (x + 2) + (y - 3) = 9 tiếp 2 2 (2) Đường tròn (x - 3) + (y + 3) = 9 tiếp xúc với các trục tọa độ.

A. Chỉ (1). B. Chỉ (2). C. Cả (1) và (2). D. Không có.

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9 có tâm I( -2; 3) và R = 3 Vì |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với trục Ox nên (1) sai. + Đường tròn (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 tâm J( 3; -3) và R = 3.

Vì |a| = |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên (2) đúng.

trụ tọa độ Ox; Câu 13: Đường tròn (C) đi qua điểm M (2;1) và tiếp xúc vớii hai trục Oy có phương trình là: A. (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 hoặặc (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25 B. (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1 hoặc (x + 5)2 + (y + 5)2 = 25 C. (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25 D. (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời:

trục tọa độ và đi qua điểm M(2; 1) thuộc ộ góc phần tư Do đường tròn tiếpp xúc hai tr thứ (I) nên tọa độ tâm I( a; a) vvới a > 0 và bán kính đường tròn là R = a.

Vì đường tròn đi qua điểm M nên R= IM ⇔ R2 = IM2 ⇔ a2 = ( a - 2)2 + (a - 1)2 ⇔ a2 = a2 - 4a + 4 + a2 - 2a + 1 ⇔ a2 - 6a + 5 = 0 ⇔ + Với a = 1 thì tâm đường ng tròn là I( 1; 1) và bán kính R = a = 1 ⇒ Phương trình đường tròn: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1

ng tròn là I(5; 5) và bán kính R = a = 5 + Với a = 5 thì tâm đường

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ Phương trình đường tròn: (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25 Câu 14: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy? A. x2 + y2 - 10x + 2y + 1 = 0 B. x2 + y2 - 4y - 5 = 0 C. x2 + y2 - 1 = 0 D. x2 + y2 + x + y - 3 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Phương trình trục Oy là x = 0.

ng cách từ tâm đường Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d khi và chỉ khi khoảng tròn đến đường thẳng đóó bằng R. – Tâm và bán kính của x2 + y2 - 10x + 2y + 1 = 0 là I1( 5; -1) và R1 = 5.

Khoảng cách d( I1; Oy) = 5 = R1 ⇒ đường tròn này tiếpp xúc Oy. – Tâm và bán kính của x2 + y2 - 4y - 5 = 0 là I2( 0; 2) và R2 = 3 Khoảng cách d( I2; Oy) = 0 < 3 ⇒ đường tròn này không tiếếp xúc Oy. – Tâm và bán kính của x2 + y2 - 1 = 0 là I3 (0; 0) và R3 = 1 Khoảng cách d( I3; Oy) = 0 ≠ R3 ⇒ đường tròn này không tiếếp xúc Oy. – Tâm và bán kính của x2 + y2 + x + y - 3 = 0 là I4( Khoảng cách d(I4 =

;-

) , R4 =

p xúc Oy. ≠ R4, Oy) ⇒ đường tròn này không tiếp

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ti xúc Câu 15: Với những giá trịị nào của m thì đường thẳng ∆:: 3x + 4y + 3 = 0 tiếp 2 2 với đường tròn ( C): (x - m) + y = 9 A. m = 0 và m = 1. B. m = 4 và m = -6

C. m = 2 D. m = 6

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

Ta có ( C) có tâm I( m; 0) và bán kính R = 3. ảng cách từ t tâm Để đường thẳng ∆ tiếpp xúc vvới đường tròn ( C) khi và chỉ khi khoảng ng bán kính R: I đến đường thẳng ∆ bằng d(I; ∆) = 3 ⇔

= 3 ⇔ |3m + 3| = 15

⇔ Vậy để đường thẳng tiếpp xúc vvới đường tròn thì m = 4 hoặc m = -6.

ẳng nào trong các Câu 16: Đường tròn x2 + y2 - 4x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc đường thẳng đường thẳng dưới đây?

A. Trục tung. B. 4x + 2y - 1 = 0. C. Trục hoành. D. 2x + y - 4 = 0.

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn có tâm I(2;1) và bán kính R = 2. Ta tính kho khoảng ng cách từ t tâm I đến từng đường thẳng và so sánh R.

tr tung * Xét trụcc tung Oy : x = 0 có d(I; Oy) = 2 = R nên đường tròn tiếp xúc trục Oy.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

* Xét đường thẳng ∆:: 4x + 2y - 1 = 0 có d(I, ∆) = đường tròn không tiếpp xúc .

≠ R nên

* Xét trục hoành Ox : y = 0 có d(I, Ox) = 1 ≠ R ⇒ đường tròn không tiếp xúc với trục hoành.

ng d: 2x + y - 4 = 0 có d(I, D) = * Xét đường thẳng xúc d.

ng tròn không tiếp ≠ R ⇒ đường

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) A. Phương pháp giải Cho đường tròn ( C) đii qua ba điểm A; B và C. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm : + Bước 1: Gọi phương trình đường tròn là ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (*) ( với điều kiện a2 + b2 - c > 0).

điể A; B và C +Bước 2: Do điểm A; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm vào (*) ta được phương trình ba phương trình ẩn a; b; c. ng trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình đường tròn. + Bước 3: giải hệ phương B. Ví dụ minh họa

ng tròn qua ba điểm A( 2; 1) ; B( 2; 5) và C( -2; 1) thuộc Ví dụ 1: Tâm của đường đường thẳng có phương trình A. x - y + 3 = 0. B. x + y - 3 = 0 C. x - y - 3 = 0 D. x + y + 3 = 0 Hướng dẫn giải Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ I( 0; 3) Vậy tâm đường tròn là I( 0; 3) .

phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng Lần lượt thay tọa độ I vào các ph x - y + 3 = 0 thỏa mãn.

Chọn A. Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đườ ờng tròn đi qua 3 điểm m A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0) A. (0; 0) B. (1; 0) C. (3; 2) D. (1; 1) Hướng dẫn giải Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 –c > 0)

ộc (C) nên Do 3 điểm A; B; C thuộc Vậy tâm I( 1; 1) Chọn D.

m A(0; 4); B(3; 4); C(3; 0).

Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A. 5 B. 3 C. √6,25 D. √8 Hướng dẫn giải Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Do 3 điểm A; B; C thuộc ộc (C) nên = √6,25.

Vậy bán kính R = Chọn C.

ờ tròn ngoại Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2). Đường tiếp tam giác ABC có phương trình là: A. x2 + y2 - 2x - y + 20 = 0

B. (x - 2)2 + (y - 1)2 = 20

C. x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0 D. x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 Lời giải Gọi đường tròn ngoại tiếp ếp tam giác là ( C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 - c >0) Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:

Vậy đường tròn ( C) cần tìm: x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 Chọn D. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2) . Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C). Tính bán kính đường tròn đó?

A. 5 B. 6 C.

D. √37

Lời giải Gọi tam giác nội tiếp đường tròn ( C) có phương trình là x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0 )

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:

⇒ Bán kính đường tròn ( C) là R = Chọn C. Ví dụ 6: Tâm của đường ng tròn qua ba điểm m A( 2; 1); B( 2; 5) ; C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình A. x - y + 3 = 0 B. x - y - 3 = 0 C. x + 2y - 3 = 0 D. x + y + 3 = 0 Hướng dẫn giải Gọi phương trình ( C) có dạạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 + c > 0 ) . Tâm I (a; b)

⇒ I(0; 3)

phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc thu đường Lần lượt thế tọa độ I vào các ph thẳng x-y-3=0 Chọn B. Ví du 7: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 3; 4) và C(-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếpp tam giác ABC. Tính OI? B. 2√2 C. √10 D.

A. Lời giải

Ta có: AB→ ( 1; 3)và AC→ (-3; 1 )

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ AB→ . AC→= 1.(-3) + 3.1 = 0 ⇒ AB vuông góc AC nên tam giác ABC vuông tại A.

tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh ạnh huyền huy BC. ⇒ Tâm đường tròn ngoại tiế của BC là: + Tọa độ tâm I- trung điểm củ

= √10

⇒ Khoảng cách OI = Chọn C.

ưới đây đi qua 2 điểm m A(1 ; 0) ; B( 3 ; 4) ?

Ví dụ 8 : Đường tròn nào dư A. x2 + y2 + 8x - 2y - 9 = 0 C. x2 + y2 - x + y = 0

B. x2 + y2 - 3x - 16 = 0

D. x2 + y2 - 4x - 4y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

phương án: Thay tọa độ hai điểm A và B vào các ph ộc đường tròn A. Điểm B( 3; 4) không thuộc ộc đường tròn B. Điểm A(1; 0) không thuộc ộc đường tròn C. Điểm B(3; 4) không thuộc Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D. Chọn D. C. Bài tập vận dụng Câu 1: Gọi I( a; b) tâm đườ ờng tròn đi qua 3 điểm m A(1; 2) ;B( 0;4) và C(- 2; -1).

Tính a + b A. -2 B. 0 C. 2

D. 4

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Gọi phương trình đường tròn ( C) cần tìm có dạng: x2 + y2 - 2ax – 2by + c= 0 (a2 + b2 - c > 0) Do A, B , C thuộc đường tròn nên:

Vậy tâm đường tròn là I( 1 ; 1) và a + b = 0 Câu 2: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A( -2; 4); B( 1; 0) và C ( 2;- 3) A.

B.

C. √10

D.

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Gọi phương trình đường tròn ( C) đi qua 3 điểm A; B và C là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( a2 + b2 - c > 0 ) Do A; B và C thuộc đường tròn ( C) nên :

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Vậy bán kính đường tròn ( C): =

=

Câu 3: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 5) ;B( 3; 4) và C( -4; 3).

A. (-6; -2) B. (-1; -1) C. (3; 1) D. (0; 0) Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( a2 + b2 - c > 0)

Do ba điểm A, B và C thuộc ( C) nên Vậy tâm của đường tròn ( C) là I(0; 0).

m A(0 ; 0) ; B(0 ; 6) ; C( 8 ;0) .

Câu 4: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A. 6 B. 5 C. 10 D. √5 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là : ( C): x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 - c > 0 )

Do 3 điểm đó thuộc ( C) nên ⇒ bán kính R =

=5

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ương trình là Câu 5: Đường tròn đii qua 3 đđiểm O(0; 0) ;A(a; 0) và B(0; b) có phươ A. x2 + y2 - 2ax - by = 0 B. x2 + y2 - ax - by + xy = 0 C. x2 + y2 - ax - by = 0 D. x2 + y2 - ay + by = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Ta có : OA→ ( 0; b) ⇒ OA→ ( a; 0); OB→ .OB→= a.0 + 0.b = 0 ⇒ Hai đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau.

ể O; A; B là ⇒ tam giác OAB vuông tại O nên tâm I của đường tròn đi qua 3 điểm trung điểm I(

;

) và bán kính R =

Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là

⇔ x2 + y2 - ax - by = 0 m A(11; 8) ; B(13; 8); C(14; 7) có bán kính R bằng b Câu 6: Đường tròn đii qua 3 đđiểm A. 2 B. 1 C. √5

D. √2

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( với a2 + b2 - c > 0). Đường tròn đi qua 3 điểm A(11; 8); B(13; 8) và C( 14; 7) nên ta có:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

= √5

Ta có R =

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A: B và C có bán kính là R = √5 .

Câu 7: Đường tròn đii qua 3 đđiểm A(1;2) ; B(-2; 3); C(4; 1) có tâm I có tọa độ là A. (0; -1) B. (0; 0) C. Không có đường tròn đi qua 3 điểm đã cho. D. (3;

)

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Ta có: AB→(3; -1), BC→(6; -2) ⇒ BC→= 2AB→ ⇒ 3 điểm A, B và C thẳng hàng.

Vậy không có đường tròn qua 3 điểm A, B và C. Câu 8: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 5; 5) và C(1; 8). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếpp tam giác ABC. Tính OI? A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Ta có: AB→ ( 3; 4) và BC→ ( -4; 3) ⇒ AB→ .BC→= 3.(-4) + 4.3 = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ AB vuông góc BC nên tam giác ABC vuông tại B.

tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh ạnh huyền huy AC. ⇒ Tâm đường tròn ngoại tiế của AC là: + Tọa độ tâm I- trung điểm củ

⇒ Khoảng cách OI = Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn A. Phương pháp giải + Vị trí tương đối của hai đường tròn : Cho hai đường tròn (C1): tâm I1; bán kính R1 và đường tròn (C2): Tâm I2 bán kính R2 .

- Nếu I1I2 > R1 + R2 thì hai đường tròn không có điểm chung .

- Nếu I1I2 = R1 + R2 thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài - Nếu I1I2 = |R1 - R2 | thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

- Nếu R1 - R2 < I1I2 < R1 + R2 thì hai đường tròn cắt nhau ( với R1 > R2) .

thẳng và đường tròn : + Vị trí tương đối của đường th Cho đường thẳng d và đường tròn ( C): tâm I; bán kính R:

thẳng tiếp xúc với đường tròn.

- Nếu d( I; d) = R thì đường th thẳng và đường tròn không có điểm m chung.

- Nếu d( I; d) > R thì đường th thẳng và đường tròn cắt nhau tại hai đđiểm ểm phân biệt. bi - Nếu d(I; d) < R thì đường th B. Ví dụ minh họa

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ví dụ 1. Tìm giao điểm 2 đường tròn ( C1) : x2 + y2 - 4 = 0 và (C2) : x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 A. (√2; √2) và (√2; - √2) B. (0 ; 2) và (0 ; - 2) C. (2 ; 0) và (0 ;2) D. Đáp án khác Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm của 2đường tròn đã cho thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy giao điểm A(0; 2) và B( 2; 0).

Chọn C.

ương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x2 + y2= 4 và đường Ví dụ 2 : Xác định vị trí tươ tròn (C2) : (x + 10)2 + (y - 16)2 = 1. p xúc trong.

A. Cắt nhau. B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp Hướng dẫn giải + Đường tròn C1 có tâm và bán kính: I1 ( 0; 0) và R1 = 2 + Đường tròn ( C2) có tâm và bán kính: I2( - 10; 16) và R2 = 1.

Khoảng cách giữaa hai tâm I1I2 =

= 2√89 > R1 + R2 .

Vậy ( C1) và ( C2) không có đđiểm chung.

Chọn B.

m 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 - 2 = 0 và (C2) : x2 + y2 - 2x = Ví dụ 3: Tìm giao điểm 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

A. (2 ; 0) và (0 ; 2) . B. (√2; 1) và (1; -√2) .

C. (1; - 1) và (1; 1) D. ( - 1 ; 0) và (0 ; - 1) .

Hướng dẫn giải

ng trình: Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương

Vậy hai giao điểm là A( 1; 1) và B( 1; - 1) .

Chọn C. Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : y = x và đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x = 0 .

A. ( 0; 0) B. (0; 0) và (1;1) . C. (2; 0) D. (1;1) Hướng dẫn giải

thẳng ∆ và đường tròn ( C) là nghiệm ệ hệ phương Giao điểm nếu có của đường th trình:

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là A( 0; 0) và B (1; 1).

Chọn B Ví dụ 5 : Tọa độ giao điểm ểm củ của đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng ∆: A. (1 ; 2) và ( 2 ;1) B. (1 ;2) và ( ;

).

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C. ( 2 ;5) D. (1 ; 0) và (0 ;1) Hướng dẫn giải

vào (C) ta có:

Thế

( 1 + t)2 + ( 2 + 2t)2 - 2( 1 + t) - 2( 2 + 2t) + 1 = 0 ⇔ 1 + 2t + t2 + 4 + 8t + 4t2 - 2 - 2t - 4 – 4t + 1 = 0 ⇔ 5t2 + 4t = 0

⇔ Chọn B Ví dụ 6 : Xác định vị trí tươ ương đối giữa 2 đường tròn ( C1) : x2 + y2 = 4 và đường tròn ( C2) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 25.

p xúc trong.

A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp Hướng dẫn giải Đường tròn ( C1) có tâm I1( 0; 0) và bán kính R1 = 2 Đường tròn ( C2) có tâm I2(3; 4) và bán kính R2 = 5 Khoảng cách hai tâm I1I2 =

= 5.

Ta có: R2 - R1 = 3 < I1I2 = 5 < R2 + R1 = 7 nên 2 đường tròn trên cắt nhau.

Chọn B.

ng d : x + y - 2 = 0 Ví dụ 7 : Đường tròn x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = 0 cắt đường thẳng theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 10 B. 8 C. 6 D. 3√2.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Hướng dẫn giải + Đường tròn ( C) có tâm I( 1; 1) và bán kính R= 5. + Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là: d(I,d) =

=0

ẳng d nên đường thẳng ( d) cắt đường tròn ( C) tại hai ⇒ điểm I thuộc đườngthẳng điểm M và N trong đó MN là đường kính của đường tròn. ⇒ MN = 2R = 10 Vậy đường thẳng d cắt đường tròn( C) theo một dây cung có độ dài là 10.

Chọn A. Ví dụ 8: Cho đương tròn C1) có tâm I1(1; 0); bán kính R1 = 1 và đường tròn (C2) ủa hai đường tròn có tâm I2( - 5; 8), bán kính R2 = 11. Xác định vị trí tương đối của (C1) và ( C2)?

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong C. Cắt nhau D. Không cắt nhau Lời giải + Khoảng cách hai tâm là: I1I2 =

= 10

⇒ I1I2 = R2 - R1 = 10 ⇒ Hai đương thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Chọn B. Ví dụ 9: Cho đương tròn C1) có tâm I1(2; - 3); bán kính R1 = 3 và đường tròn (C2) có tâm I2(4; 7), bán kính R2 = 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và ( C2)?

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C. Cắt nhau D. Không cắt nhau Lời giải + Khoảng cách hai tâm là: I1I2 =

= √104

⇒ I1I2 > R2 + R1 = 9 ⇒ Hai đường tròn đã cho không cắt nhau.

Chọn D.

ẳng d: 2x - y + m = Ví dụ 10. Cho đường tròn ( C): x2 + y2 – 2x + 4y = 0. Đường thẳng ng d ccắt đường tròn ?

0. Tìm m để đường thẳng A. – 7 < m < 1 B. - 9 ≤ m ≤ 1 C. - 9 < m < 1 D. - 9 < m ≤ 1 Lời giải + Đường tròn ( C) có tâm I ( 1; - 2) và bán kính R =

= √5

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d: d(I; d) = + Để đường thẳng cắt đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau hoặc cắt nhau nên: d(I; d) ≤ R ⇔

≤ √5

⇔ |4 + m| ≤ 5 ⇔-5≤4+m≤5⇔-9≤m≤1

ắt đường tròn khi - 9 ≤ m ≤ 1 Vậy để đường thẳng d cắt Chọn B. C. Bài tập vận dụng

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Câu 1: Tìm giao điểm 2 đường tròn (C1): x2 + y2 - 4 = 0 và (C2): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 A. (√2; √2) và (√2; - √2) . B. (0 ; 2) và (0 ; - 2) C. (2 ; 0) và ( 0 ; 2) D. (2 ; 0) và ( - 2 ;0) Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Giao điểm của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình :

Vậy giao điểm A( 0; 2) và B( 2; 0) Câu 2: Tìm toạ độ giao điểm hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 5 và (C2): x2 + y2 - 4x - 8y + 15 = 0 A. (1 ; 2) và (√2; √3) . B. (1; 2) và ( - 2 ; 1) C. (1 ; 2) và (√3; √2) . D. (1;2).

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương ng trình:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Vậy toạ độ giao điểm là ( 1; 2) .

ng thẳng thẳ nào trong Câu 3: Đường tròn ( C) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 25 không cắt đường các đường thẳng sau đây? đ ểm (2 ;6) và điểm ( - 1 ; 2) A. Đường thẳng đi qua điểm B. Đường thẳng có phương trình y - 4 = 0.

đ ểm ( 3 ; - 2) và điểm ( 19; 33) .

C. Đường thẳng đi qua điểm D. Đường thẳng có phương trình x - 8 = 0.

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đường tròn có tâm và bán kính là I( 2; 1) và bán kính R= 5.

đến từng đường thẳng và so sánh vớii R. Nếu N d > R thì Xét khoảng cách d từ tâm I đế thẳng đường tròn không cắt đường th điểm (2 ; 6) và điểm ( - 1 ;2) nhận u→ ( 3 ; 4) làm VTCP * Đường thẳng (a) đii qua điể nên nhận n→ ( 4 ; - 3) làm VTPT ⇒ Phương trình ( a) : 4( x - 2) – 3( y - 6) = 0 hay 4x - 3y + 10 = 0 ⇒ d( I ; a) =

=3<R

thẳng này . ⇒ Đường tròn ( C) cắt đường th ng cách d(I, ∆2) = 3 < R ⇒ (C) cắt ∆1 * ∆2: y - 4 = 0 ⇒ khoảng ể (3 ; - 2) và điểm ( 19 ; 30) nhận n VTCP u→ * Đường thẳng ( b) đii qua đđiểm (16 ; 32) nên nhận vTPT là n→ ( 2 ; - 1) ⇒ Phương trình ( b) : 2( x - 3) – 1(y + 2) = 0 hay 2x - y - 8 = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ d( I ;b) =

= √5 < R

⇒ Đường tròn ( C) có căt đường thẳng (b).

ng cách d(I, ∆4) = 6 < R ⇒ (C) không cắt ∆4. *∆4: x - 8 = 0 ⇒ khoảng Câu 4: Tìm tọa độ giao điểm ccủa đường thẳng ∆ : x - 2y + 3 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 4y = 0 A. (3; 3) và ( - 1; 1).

(2 ; - 1).

B. ( - 1; 1) và ( - 3; 3).

C. (3; 3) và (1; 2) .

D. (2 ; 1) và

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Tọa độ giao điểm là nghiệm ccủa hệ phương trình sau

Vậy tọa độ giao điểm là (3; 3) và ( - 1 ; 1).

Câu 5: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 - 4x = 0 và (C2) : x2 + y2 + 8y = 0.

p xúc ngoài.

A. Tiếp xúc trong. B. Không cắt nhau. C. Cắt nhau. D. Tiếp Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x = 0 có tâm I1( 2; 0) và bán kính R1 = 2. Đường tròn (C2) : x2 + y2 + 8y = 0 có tâm I2( 0; - 4) , bán kính R2 = 4.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Khoảng cách hai tâm : I1I2 =

= 2√5

Ta có R2 - R1 < I1I2 = 2√5 < R2 + R1 nên hai đường tròn cắt nhau.

điểm của đường thẳng ∆: x + y - 7 = 0 và đường tròn Câu 6: Tìm tọa độ giao điể 2 2 (C): x + y - 25 = 0 .

A. (3 ;4) và ( - 4 ; 3). B. (4 ; 3) C. (3 ; 4) D. (3; 4) và (4; 3).

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời:

thẳng và đường tròn là nghiệm của hệệ phương trình: Giao điểm nếu có của đường th

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là ( 4; 3) và ( 3; 4)

ng (d) : x - y - 3 = 0 Câu 7: Đường tròn x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 cắt đường thẳng theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 5 B. 2√23 C. 10 D. 5√2 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: + Đường tròn ( C) có tâm I( 2; - 3) và bán kính R = 5. + Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là: d(I, d) =

= √2 < R

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ đường thẳng ( d) cắt đường tròn ( C) tại hai điểm M và N.

ủa I lên MN. Khi đó; H là trung điểm của ủa MN ( quan hệ h + Gọi H là hình chiếu của ới dây) . đường kính vuông góc với + Ta có IH = d(I, d) = √2 Áp dụng định lí Pytago vào tam giác MIH ta có MI2 = IH2 + HM2 ⇒ 52 = 2 + HM2 ⇒ HM2 = 23 nên HM= √23 Do H là trung điểm củaa MN nên MN = 2HM = 2√23

ng thẳng thẳ nào trong Câu 8: Đường tròn (C) : (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25 không cắt đường các đường thẳng sau đây? đ ểm (2 ; 6) và điểm (45 ; 50) .

A. Đường thẳng đi qua điểm B. Đường thẳng có phương trình y - 4 = 0 .

đ ểm (3 ; - 2) và điểm (19 ; 33) C. Đường thẳng đi qua điểm D. Đường thẳng có phương trình x - 8 = 0.

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đường tròn có tâm và bán kính là: I(2; 1) và R = 5.

đến từng đường thẳng và so sánh với R: Xét khoảng cách d từ tâm I đế ểm (2 ;6) và điểm (45 ; 50) : ∆1: 44x - 43y + 170 = 0 * Đường thẳng đi qua điểm ⇒ khoảng cách d(I; ∆1) =

< R nên (C) cắt ∆1

ng cách d(I; ∆2) = 3 < R nên (C) cắt ∆2 * ∆2 : y - 4 = 0 ⇒ khoảng ểm (3 ; - 2) và điểm (19 ; 33): ∆3 : 35x - 16y - 137 = 0 * Đường thẳng đi qua điểm

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ khoảng cách d(I; ∆1) =

< R ⇒ (C) cắt ∆3

* ∆4 : x - 8 = 0 ⇒ khoảng ng cách d(I; ∆4) = 6 > R nên (C) không cắt ∆4

ương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 = 4 và Câu 9: Xác định vị trí tươ (C2) : (x + 10)2 + (y - 16)2 = 1. p xúc trong.

A. Cắt nhau. B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Đường tròn (C1) có tâm và bán kính: I1 = (0; 0) , và R1 = 2; (C2) có tâm I2 ( - 10; = 2√89 > R1 + 16) và bán kính R2 = 1; khoảng cách giữa hai tâm I1I2 = R2 .

Vậy 2 đường tròn đã cho không có điểm chung.

ưới đây đi qua điểm A( 4; - 2) Câu 10: Đường tròn nào dư A. x2 + y2 - 2x + 6y = 0. B. x2 + y2 - 4x + 7y - 8 = 0.

C. x2 + y2 - 6x – 2y + 9 = 0. D. x2 + y2 + 2x - 20 = 0.

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời:

phương trình đường tròn x2 + y2 - 2x + 6y = 0. ta có: Thế tọa độ của điểm A vào ph 42 + ( - 2)2 - 2.4 + 6.( - 2) = 0 ⇒ điểm A thuộc đường tròn.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Câu 11: Cho đương tròn C1) có tâm I1(3; 4); bán kính R1 = 5 và đường tròn (C2) ủa hai đường tròn có tâm I2(7; 1), bán kính R2 = 10. Xác định vị trí tương đối của (C1) và ( C2)?

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong C. Cắt nhau D. Không cắt nhau Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: + Khoảng cách hai tâm là: I1I2 =

=5

⇒ I1I2 = R2 - R1 = 5 ⇒ Hai đường thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm A. Phương pháp giải Cho đường tròn ( C) có tâm I( a; b); bán kính R và điểm M( x0; y0) :

tuyến (d) của ( C ) tại điểm M: + Lập phương trình tiếpp tuyế ờng tròn tại M nên d vuông góc IM Do (d) là tiếp tuyến của đườ ⇒ Đường thẳng ( d) :

ẳng d. ⇒ Phương trình đường thẳng tuyến (d) của ( C) đi qua M : + Lập phương trình tiếpp tuyế - Đường thẳng ( d) : ⇒ (d): A(x - x0) + B( y - y0) = 0.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

- Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d( I; d) = R ⇒ Một phương trình hai ẩn A; B. Giải phương trình ta được A = kB. - Chọn A= ... ⇒ B=...⇒ Phương trình đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) : (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là A. x - 3y + 8 = 0. B. x + 3y – 16 = 0. C. 2x - 3y + 5 = 0 . D. x + 3y - 16 = 0.

Hướng dẫn giải Đường tròn (C) có tâm I( 3;1). Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau. ⇒ IA→= (1; 3) là vectơ pháp tuyến của d.

Suy ra phương trình d: 1( x - 4) + 3( y - 4 ) = 0 Hay x + 3y - 16 = 0.

Chọn D. Ví dụ 2 : Cho đường tròn (x - 3)2 + (y + 1)2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là A. 2x + y = 0; 2x + y - 10 = 0 B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y - 1 = 0 C. 2x - y + 1 = 0; 2x + y - 10 = 0 D. 2x + y = 0; x + 2y - 10 = 0 Hướng dẫn: Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 . Đường tròn ( C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = √5 Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) khi :

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

d( I , ∆) = R ⇔

= √5 ⇔ |5 + m| = 5

⇔ Vậy ∆1 : 2x + y = 0 , ∆2 : 2x + y - 10 = 0 Chọn A. Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 điểm B( 4; 6) . = 0, biết tiếp tuyến đii qua điể A. x - 4 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 B. x - 4 = 0 hoặc y - 6 = 0.

C. y - 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 D. x - 4 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0 Lời giải + Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R =

=2

+ Tiếp tuyến ∆: ⇒ Phương trình ∆: a(x - 4) + b(y - 6) = 0 hay ax + by - 4a - 6b = 0 (*) + Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R = 2 ⇔|- 2a - 4b| = 2

⇔ ⇔ |a + 2b| =

⇔ a2 + 4ab + 4b2 = a2 + b2

⇔ 4ab + 3b2 = 0 ⇔ + Nếu b = 0; chọnn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x - 4 = 0. + Nếu 4a = - 3b ta chọnn a = 3 thì b = -4 thay vào ( *) ta được: 3x - 4y + 12 = 0

ỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0 .

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa Chọn D.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuy điểm M(2; 1) là: A. d: -y + 1 = 0 B. d: 4x + 3y + 14 = 0 C. d: 3x - 4y - 2 = 0 D. d: 4x + 3y - 11 = 0 Lời giải + Đường tròn ( C) có tâm I(-2; -2) và bán kính R= 5.

ờ thẳng d và + Do đường thẳng d tiếpp xúc vvới đường tròn taị điểm M nên hai đường IM vuông góc với nhau. + Đường thẳng d: ⇒Phương trình (d) : 4( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay 4x + 3y - 11 = 0 Chọn D. Ví dụ 5. Cho đường tròn ( C): (x-1)2 + (y + 2)2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3; -4) .

A. d: x + y + 1 = 0 B. d: x - 2y - 11 = 0 C. d: x - y - 7 = 0 D. d: x - y + 7 = 0 Lời giải + Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -2) .

ếp xúc vvới đường tròn tại điểm A(3; -4) nên đường thẳng d + Do đường thẳng d tiếp ẳng IA. vuông góc với đường thẳng ẳng (d): + Phương trình đường thẳng ⇒ phương trình (d) là: 2( x - 3) – 2( y + 4) = 0 ⇔ (d) : 2x - 2y - 14 = 0 hay x - y - 7 = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn C. Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 1)2 = 25 và điểm m M(9; -4) . Gọi ∆ là ế ∆ đđi qua M và không song song vớii các trục trụ tọa độ. Khi tiếp tuyến của ( C) , biết m P(6; 5) đến ∆ bằng: đó khoảng cách từ điểm A. 2 B. 3 C. 4

D. 5

Lời giải + Đường tròn (C) có tâm I(-1; 1)và bán kính R= 5. + Tiếp tuyến ∆: ⇒ Phương trình ∆: a(x - 9) + b(y + 4) = 0 hay ax + by – 9a + 4b = 0 (*) + Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R = 5 ⇔ |-10a + 5b| = 5

⇔ ⇔ |-2a + b| =

⇔ 4a2 - 4ab + b2 = a2 + b2 ⇔ 3a2 - 4ab = 0 ⇔

tuy không + Nếu a = 0 chọnn b = 1 thay vào (*) ta được: y + 4 = 0 ( loại) vì tiếp tuyến ọa độ độ. song song với các trục tọa + Nếu 3a = 4b, chọnn a = 4 thì b = 3 ta được ∆: 4x + 3y - 24 = 0

đến đường thẳng ∆ là: ⇒ Khoảng cách từ P(6;5) đế d(P, ∆) =

=3

Chọn B.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ờng thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với v đường Ví dụ 7. Có bao nhiêu đườ tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0?

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = Độ dài OI =

= 4.

= √5

⇒ Điểm O nằm trong đường tròn nên không có tiếp tuyến nào của đường tròn kẻ từ O. Chọn A.

m M(4; -3) có thể kẻ Ví dụ 8. Cho đường tròn (C): (x-3)2 + (y + 3)2 = 1. Qua điểm ẳng ti tiếp xúc với đường tròn ( C) ? được bao nhiêu đường thẳng A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Lời giải

phương trình đường tròn( C) ta được : Thay tọa độ điểm M vào phươ ( 4 - 3)2 + (-3 + 3)2 = 1 ⇒ Điểm M thuộc (C).

ủa đường tròn kẻ từ M. ⇒ có đúng 1 tiếp tuyến của Chọn B. Ví dụ 9. Có bao nhiêu đường th thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp p xúc với vớ đường tròn 2 2 (C): (x - 2) + (y + 3) = 4?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Đường tròn ( C) có tâm I(2; -3) và bán kính R = 2. Độ dài IN =

=5>R

ti tuyến đến ⇒ Điểm N nằm ngoài đường tròn ( C) nên qua điểm N kẻ đượcc hai tiếp đường tròn (C).

Chọn C. Ví dụ 10. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 5; -2).

A. x - 5 = 0 . B. x + y - 3 = 0 hoặc x - y 7 = 0.

C. x- 5= 0 hoặc x + y - 3 = 0 . D. y + 2 = 0 hoặc x - y - 7 = 0 .

Lời giải + Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 2√2 + Tiếp tuyến ∆: ⇒ Phương trình ∆: a( x - 5) + b(y + 2) = 0 hay ax + by - 5a + 2b = 0. + Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R ⇔

= 2√2 ⇔ |- 4a| = 2√2.

⇔ 16a2 = 8( a2 + b2 ) ⇔ 8a2 = 8b2 ⇔ + Nếu a = b; ta chọn a = 1 ⇒ b = 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ến ∆: ∆ x+y-3= 0

∆ x-y-7= + Nếu a = - b; chọnn a = 1 thì b = - 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: 0. ỏa mãn là x + y - 3 = 0 và x - y - 7 = 0 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn B. Ví dụ 11: Cho đường tròn ( C) có tâm I(1; 3), bán kính R= √52. Lập phương trình ộc đường thẳng tiếp tuyến của đường tròn ttại điểm M biết điểm M thuộc và tọa độ M nguyên?

d:

A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0 C. 2x - 3y - 19 = 0 D. Đáp án khác Lời giải

thẳng d nên tọa độ M(3 + 2t; 1 - 4t). + Do điểm M thuộc đường th + Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R ⇔ IM2 = R2 ⇔ ( 2 + 2t)2 + ( 2 + 4t)2 = 52 ⇔ 4t2 + 8t + 4 + 16t2 + 16t + 4 = 52 ⇔ 20t2 + 24t – 44 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t =

( loại) .

+ Với t = 1 thì tọa độ M(5; -3) .

ến củ của đường tròn tại điểm M (5; -3): ⇒ Phương trình tiếp tuyến

(∆) :

ến : 2( x - 5) – 3(y + 3) = 0 hay 2x - 3y - 19 = 0 ⇒ Phương trình tiếp tuyến Chọn C. C. Bài tập vận dụng Câu 1: Phương trình tiếp tuy tuyến d của đường tròn (C): x2 + y2 - 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là: A. d: x + 3y - 2 = 0 B. d: x - 3y + 4 = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C. d: x - 3y - 4 = 0 D. d: x + 3y + 2 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I(

;

).

ếp xúc vvới đường tròn ( C) tại điểm N nên đường thẳng d + Do đường thẳng d tiếp ẳng IN. vuông góc với đường thẳng

ẳng (d) : + Phương trình đường thẳng ⇒(d): 1(x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay ( d): x + 3y + 2 = 0

m M( 8; -3) . Độ dài Câu 2: Cho đường tròn( C): x2 + y2 - 2x + 8y - 23 = 0 và điểm xuất phát từ M là : đoạn tiếp tuyến củaa ( C) xuấ A. 10 B. 2√10 C.

D. √10

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -4) bán kính R = √40 . Độ dài IM =

= √50 > R

⇒ Điểm M nằm ngoài đường tròn. Khi đó từ M sẽ kẻ đượcc hai tiếp tuyến tuy là MA và MB- trong đóó A và B là hai tiếp điểm .

Theo tính chất hai tiếpp tuyến ccắt nhau ta có: MA = MB =

= √10

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Vậy độ dài tiếp tuyến là : √10.

tuy của ( C) Câu 3: Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 - 3x - y = 0. Phương trình tiếp tuyến tại M(1 ; -1) là: A. x + 3y - 1 = 0 B. 2x - 3y + 1 = 0 C. 2x - y + 4 = 0 D. x + 3y + 2 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đường tròn ( C) có tâm I(

;

).

Điểm M(1; -1) thuộc đường tròn ( C).

ủa đường tròn ( C) tại điểm M là đường ng thẳng thẳ đi qua M Phương trình tiếp tuyến của và nhận vec tơ IM→= (-

;-

)=-

(1; 3) nên có phương trình:

1( x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay x + 3y + 2 = 0

tuy của ( C) Câu 4: Cho đường tròn (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm A( 4; 4) là A. x - 3y + 5 = 0 B. x + 3y - 4 = 0 C. x - 3y + 16 = 0 D. x + 3y - 16 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đường tròn ( C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = √10.

n vecto IA→ Tiếp tuyến của ( C) tại A là đường thẳng qua A( 4; 4) và nhận ( 1; 3) là ếp tuy tuyến d. vectơ pháp tuyến của tiếp Suy ra (d) : 1( x - 4) + 3( y - 4) = 0 hay x + 3y - 16 = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

p tuyến tuyế của (C) đi Câu 5: Cho đường tròn (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 . Phương trình tiếp qua điểm A( 5; -1) là A. x + y - 4 = 0 và x - y - 2 = 0 . B. x = 5 và y = -1.

C. 2x - y - 3 = 0 và 3x + 2y - 3 = 0. D. 3x - 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 3. + ∆ là tiếp tuyến cần tìm : đi qua A(5, -1) và nhận VTPT n→ ( A; B) ⇒ (∆ ) : A( x - 5) + B( y + 1) = 0 (*) + Do ∆ là tiếp tuyến củaa ( C) nên : d( I ; ∆) = R ⇔ ⇔ |-3A + 3B| = 3

=3 ⇔ 9A2 - 18AB + 9B2 = 9A2 + 9B2

⇔ 18AB = 0 ⇔ + Với A =0 ; chọnn B = 1 thay vào (*) ta được : y + 1 = 0 + Với B = 0 ; chọnn A = 1 thay vào ( *) ta được :x - 5 = 0

ỏa mãn là y + 1 = 0 và x - 5 = 0 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa Câu 6: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của ng thẳ thẳng d: x + 2y - 15 = 0 là (C) song song với đường A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0. B. x - 2y = 0 và x - 2y + 10 = 0.

C. x + 2y - 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0 D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0 Hiển thị lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn ( C) có tâm I( -1;3) và bán kính R =

= √5

+ Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: x + 2y- 15= 0 nên tiếp ng : x + 2y + m= 0 ( m m≠-15) . tuyến ∆ có dạng + ∆ là tiếp tuyến củaa ( C) khi và chỉ khi: = √5 ⇔ |m + 5| = 5

d(I ;∆) = R ⇔ ⇔

⇒ Có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0

ẳng d: 3x - 4y + Câu 7: Đường tròn ( C) có tâm I ( -1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là A. ( -

;-

) B. (

;

) C. ( ; -

) D. ( -

;

)

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

tuyến của đường tròn ( C) tại điểm H nên IH vuông góc Do đường thẳng d là tiếp tuy với đường thẳng d. ⇒ Đường thẳng IH: ⇒ Phương trình IH: 4( x + 1) + 3( y - 3) = 0 hay 4x + 3y - 5 = 0.

thẳng IH cắt nhau taị điểm H nên tọa độ điểm H là Do đường thẳng d và đường th nghiệm hệ phương trình:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Câu 8: Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng ến của c (C) ? d: 2x + (m - 2)y – m - 7 = 0. Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến A. m = 3 B. m = 15 C. m = 13 D. m = 3 hoặc m = 13.

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: + đường tròn (C) có tâm I( 3 ;-1) và bán kính .

chỉ khi: + d là tiếp tuyến củaa (C) khi va ch = √5 ⇔ |1 - 2m| = √5.

d(I, d) = R ⇔ → m2 - 16m + 39 = 0 ⇔

Câu 9: Cho đường tròn ( C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √29. Lập phương trình ộc đường thẳng tiếp tuyến của đường tròn ttại điểm M biết điểm M thuộc và tọa độ M nguyên?

d:

A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0 C. 3x + 5y - 8 = 0 D. Đáp án khác Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

thẳng d nên tọa độ M(-2 + t; 3t). + Do điểm M thuộc đường th

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R ⇔ IM2 = R2 ⇔ ( t- 1)2 + ( 3t - 2)2 = 29 ⇔ t2 - 2t + 1 + 9t2 - 12t + 4 = 29 ⇔ 10t2 – 14t – 24 = 0 ⇔ t = - 1 hoặc t =

( loại) .

+ Với t = - 1 thì tọa độ M( - 3; - 3) .

ến củ của đường tròn tại điểm M ( -3; -3): ⇒ Phương trình tiếp tuyến (∆) :

ến n : 2( x + 3) + 5( y + 3) = 0 hay 2x + 5y + 21 = 0 . ⇒ Phương trình tiếp tuyến Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn A. Phương pháp giải + Vị trí tương đối của hai đường tròn : Cho hai đường tròn (C1): tâm I1; bán kính R1 và đường tròn (C2): Tâm I2 bán kính R2 .

- Nếu I1I2 > R1 + R2 thì hai đường tròn không có điểm chung .

- Nếu I1I2 = R1 + R2 thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài - Nếu I1I2 = |R1 - R2 | thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

- Nếu R1 - R2 < I1I2 < R1 + R2 thì hai đường tròn cắt nhau ( với R1 > R2) .

thẳng và đường tròn : + Vị trí tương đối của đường th Cho đường thẳng d và đường tròn ( C): tâm I; bán kính R:

thẳng tiếp xúc với đường tròn.

- Nếu d( I; d) = R thì đường th thẳng và đường tròn không có điểm m chung.

- Nếu d( I; d) > R thì đường th

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

thẳng và đường tròn cắt nhau tại hai đđiểm ểm phân biệt. bi - Nếu d(I; d) < R thì đường th B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tìm giao điểm 2 đường tròn ( C1) : x2 + y2 - 4 = 0 và (C2) : x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 A. (√2; √2) và (√2; - √2) B. (0 ; 2) và (0 ; - 2) C. (2 ; 0) và (0 ;2) D. Đáp án khác Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm của 2đường tròn đã cho thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy giao điểm A(0; 2) và B( 2; 0).

Chọn C.

ương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x2 + y2= 4 và đường Ví dụ 2 : Xác định vị trí tươ tròn (C2) : (x + 10)2 + (y - 16)2 = 1. p xúc trong.

A. Cắt nhau. B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp Hướng dẫn giải + Đường tròn C1 có tâm và bán kính: I1 ( 0; 0) và R1 = 2 + Đường tròn ( C2) có tâm và bán kính: I2( - 10; 16) và R2 = 1.

Khoảng cách giữaa hai tâm I1I2 =

= 2√89 > R1 + R2 .

Vậy ( C1) và ( C2) không có đđiểm chung.

Chọn B.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

m 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 - 2 = 0 và (C2) : x2 + y2 - 2x = Ví dụ 3: Tìm giao điểm 0 A. (2 ; 0) và (0 ; 2) . B. (√2; 1) và (1; -√2) .

C. (1; - 1) và (1; 1) D. ( - 1 ; 0) và (0 ; - 1) .

Hướng dẫn giải

ng trình: Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương

Vậy hai giao điểm là A( 1; 1) và B( 1; - 1) .

Chọn C. Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : y = x và đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x = 0 .

A. ( 0; 0) B. (0; 0) và (1;1) . C. (2; 0) D. (1;1) Hướng dẫn giải

thẳng ∆ và đường tròn ( C) là nghiệm ệ hệ phương Giao điểm nếu có của đường th trình:

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là A( 0; 0) và B (1; 1).

Chọn B

ểm củ của đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường Ví dụ 5 : Tọa độ giao điểm thẳng ∆:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

A. (1 ; 2) và ( 2 ;1) B. (1 ;2) và ( ;

).

C. ( 2 ;5) D. (1 ; 0) và (0 ;1) Hướng dẫn giải

vào (C) ta có:

Thế

( 1 + t)2 + ( 2 + 2t)2 - 2( 1 + t) - 2( 2 + 2t) + 1 = 0 ⇔ 1 + 2t + t2 + 4 + 8t + 4t2 - 2 - 2t - 4 – 4t + 1 = 0 ⇔ 5t2 + 4t = 0

⇔ Chọn B Ví dụ 6 : Xác định vị trí tươ ương đối giữa 2 đường tròn ( C1) : x2 + y2 = 4 và đường tròn ( C2) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 25.

p xúc trong.

A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp Hướng dẫn giải Đường tròn ( C1) có tâm I1( 0; 0) và bán kính R1 = 2 Đường tròn ( C2) có tâm I2(3; 4) và bán kính R2 = 5 Khoảng cách hai tâm I1I2 =

= 5.

Ta có: R2 - R1 = 3 < I1I2 = 5 < R2 + R1 = 7 nên 2 đường tròn trên cắt nhau.

Chọn B.

ng d : x + y - 2 = 0 Ví dụ 7 : Đường tròn x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = 0 cắt đường thẳng theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

A. 10 B. 8 C. 6 D. 3√2.

Hướng dẫn giải + Đường tròn ( C) có tâm I( 1; 1) và bán kính R= 5. + Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là: d(I,d) =

=0

⇒ điểm I thuộc đườngthẳng ẳng d nên đường thẳng ( d) cắt đường tròn ( C) tại hai điểm M và N trong đóó MN là đường kính của đường tròn. ⇒ MN = 2R = 10 Vậy đường thẳng d cắt đường tròn( C) theo một dây cung có độ dài là 10.

Chọn A. Ví dụ 8: Cho đương tròn C1) có tâm I1(1; 0); bán kính R1 = 1 và đường tròn (C2) ủa hai đường tròn có tâm I2( - 5; 8), bán kính R2 = 11. Xác định vị trí tương đối của (C1) và ( C2)?

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong C. Cắt nhau D. Không cắt nhau Lời giải + Khoảng cách hai tâm là: I1I2 =

= 10

⇒ I1I2 = R2 - R1 = 10 ⇒ Hai đương thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Chọn B. Ví dụ 9: Cho đương tròn C1) có tâm I1(2; - 3); bán kính R1 = 3 và đường tròn (C2) có tâm I2(4; 7), bán kính R2 = 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và ( C2)?

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong C. Cắt nhau D. Không cắt nhau Lời giải + Khoảng cách hai tâm là: I1I2 =

= √104

⇒ I1I2 > R2 + R1 = 9 ⇒ Hai đường tròn đã cho không cắt nhau.

Chọn D.

ẳng d: 2x - y + m = Ví dụ 10. Cho đường tròn ( C): x2 + y2 – 2x + 4y = 0. Đường thẳng ng d ccắt đường tròn ?

0. Tìm m để đường thẳng A. – 7 < m < 1 B. - 9 ≤ m ≤ 1 C. - 9 < m < 1 D. - 9 < m ≤ 1 Lời giải + Đường tròn ( C) có tâm I ( 1; - 2) và bán kính R =

= √5

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d: d(I; d) = + Để đường thẳng cắt đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau hoặc cắt nhau nên: d(I; d) ≤ R ⇔

≤ √5

⇔ |4 + m| ≤ 5 ⇔-5≤4+m≤5⇔-9≤m≤1

ắt đường tròn khi - 9 ≤ m ≤ 1 Vậy để đường thẳng d cắt Chọn B.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C. Bài tập vận dụng Câu 1: Tìm giao điểm 2 đường tròn (C1): x2 + y2 - 4 = 0 và (C2): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 A. (√2; √2) và (√2; - √2) . B. (0 ; 2) và (0 ; - 2) C. (2 ; 0) và ( 0 ; 2) D. (2 ; 0) và ( - 2 ;0) Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Giao điểm của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình :

Vậy giao điểm A( 0; 2) và B( 2; 0) Câu 2: Tìm toạ độ giao điểm hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 5 và (C2): x2 + y2 - 4x - 8y + 15 = 0 A. (1 ; 2) và (√2; √3) . B. (1; 2) và ( - 2 ; 1) C. (1 ; 2) và (√3; √2) . D. (1;2).

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương ng trình:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Vậy toạ độ giao điểm là ( 1; 2) .

ng thẳng thẳ nào trong Câu 3: Đường tròn ( C) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 25 không cắt đường các đường thẳng sau đây? đ ểm (2 ;6) và điểm ( - 1 ; 2) A. Đường thẳng đi qua điểm B. Đường thẳng có phương trình y - 4 = 0.

đ ểm ( 3 ; - 2) và điểm ( 19; 33) .

C. Đường thẳng đi qua điểm D. Đường thẳng có phương trình x - 8 = 0.

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đường tròn có tâm và bán kính là I( 2; 1) và bán kính R= 5.

đến từng đường thẳng và so sánh vớii R. Nếu N d > R thì Xét khoảng cách d từ tâm I đế thẳng đường tròn không cắt đường th điểm (2 ; 6) và điểm ( - 1 ;2) nhận u→ ( 3 ; 4) làm VTCP * Đường thẳng (a) đii qua điể nên nhận n→ ( 4 ; - 3) làm VTPT ⇒ Phương trình ( a) : 4( x - 2) – 3( y - 6) = 0 hay 4x - 3y + 10 = 0 ⇒ d( I ; a) =

=3<R

⇒ Đường tròn ( C) cắt đường th thẳng này .

ng cách d(I, ∆2) = 3 < R ⇒ (C) cắt ∆1 * ∆2: y - 4 = 0 ⇒ khoảng ể (3 ; - 2) và điểm ( 19 ; 30) nhận n VTCP u→ * Đường thẳng ( b) đii qua đđiểm (16 ; 32) nên nhận vTPT là n→ ( 2 ; - 1)

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ Phương trình ( b) : 2( x - 3) – 1(y + 2) = 0 hay 2x - y - 8 = 0 ⇒ d( I ;b) =

= √5 < R

⇒ Đường tròn ( C) có căt đường thẳng (b).

ng cách d(I, ∆4) = 6 < R ⇒ (C) không cắt ∆4. *∆4: x - 8 = 0 ⇒ khoảng Câu 4: Tìm tọa độ giao điểm ccủa đường thẳng ∆ : x - 2y + 3 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 4y = 0 A. (3; 3) và ( - 1; 1).

(2 ; - 1).

B. ( - 1; 1) và ( - 3; 3).

C. (3; 3) và (1; 2) .

D. (2 ; 1) và

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Tọa độ giao điểm là nghiệm ccủa hệ phương trình sau

Vậy tọa độ giao điểm là (3; 3) và ( - 1 ; 1).

Câu 5: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 - 4x = 0 và (C2) : x2 + y2 + 8y = 0.

p xúc ngoài.

A. Tiếp xúc trong. B. Không cắt nhau. C. Cắt nhau. D. Tiếp Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x = 0 có tâm I1( 2; 0) và bán kính R1 = 2.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Đường tròn (C2) : x2 + y2 + 8y = 0 có tâm I2( 0; - 4) , bán kính R2 = 4.

Khoảng cách hai tâm : I1I2 =

= 2√5

Ta có R2 - R1 < I1I2 = 2√5 < R2 + R1 nên hai đường tròn cắt nhau.

điểm của đường thẳng ∆: x + y - 7 = 0 và đường tròn Câu 6: Tìm tọa độ giao điể 2 2 (C): x + y - 25 = 0 .

A. (3 ;4) và ( - 4 ; 3). B. (4 ; 3) C. (3 ; 4) D. (3; 4) và (4; 3).

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời:

thẳng và đường tròn là nghiệm của hệệ phương trình: Giao điểm nếu có của đường th

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là ( 4; 3) và ( 3; 4)

ng (d) : x - y - 3 = 0 Câu 7: Đường tròn x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 cắt đường thẳng theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 5 B. 2√23 C. 10 D. 5√2 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: + Đường tròn ( C) có tâm I( 2; - 3) và bán kính R = 5. + Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

d(I, d) =

= √2 < R

⇒ đường thẳng ( d) cắt đường tròn ( C) tại hai điểm M và N.

ủa I lên MN. Khi đó; H là trung điểm của ủa MN ( quan hệ h + Gọi H là hình chiếu của ới dây) . đường kính vuông góc với + Ta có IH = d(I, d) = √2 Áp dụng định lí Pytago vào tam giác MIH ta có MI2 = IH2 + HM2 ⇒ 52 = 2 + HM2 ⇒ HM2 = 23 nên HM= √23 Do H là trung điểm củaa MN nên MN = 2HM = 2√23

ng thẳng thẳ nào trong Câu 8: Đường tròn (C) : (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25 không cắt đường các đường thẳng sau đây?

A. Đường thẳng đi qua điểm đ ểm (2 ; 6) và điểm (45 ; 50) .

B. Đường thẳng có phương trình y - 4 = 0 .

đ ểm (3 ; - 2) và điểm (19 ; 33) C. Đường thẳng đi qua điểm D. Đường thẳng có phương trình x - 8 = 0.

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Đường tròn có tâm và bán kính là: I(2; 1) và R = 5.

Xét khoảng cách d từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh với R:

ểm (2 ;6) và điểm (45 ; 50) : ∆1: 44x - 43y + 170 = 0 * Đường thẳng đi qua điểm ⇒ khoảng cách d(I; ∆1) =

< R nên (C) cắt ∆1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ng cách d(I; ∆2) = 3 < R nên (C) cắt ∆2 * ∆2 : y - 4 = 0 ⇒ khoảng * Đường thẳng đi qua điểm (3 ; - 2) và điểm (19 ; 33): ∆3 : 35x - 16y - 137 = 0 ⇒ khoảng cách d(I; ∆1) =

< R ⇒ (C) cắt ∆3

ng cách d(I; ∆4) = 6 > R nên (C) không cắt ∆4 * ∆4 : x - 8 = 0 ⇒ khoảng ương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 = 4 và Câu 9: Xác định vị trí tươ (C2) : (x + 10)2 + (y - 16)2 = 1. p xúc trong.

A. Cắt nhau. B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Đường tròn (C1) có tâm và bán kính: I1 = (0; 0) , và R1 = 2; (C2) có tâm I2 ( - 10; = 2√89 > R1 + 16) và bán kính R2 = 1; khoảng cách giữa hai tâm I1I2 = R2 .

Vậy 2 đường tròn đã cho không có điểm chung.

Câu 10: Đường tròn nào dưới đây đi qua điểm A( 4; - 2) A. x2 + y2 - 2x + 6y = 0. B. x2 + y2 - 4x + 7y - 8 = 0.

C. x2 + y2 - 6x – 2y + 9 = 0. D. x2 + y2 + 2x - 20 = 0.

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Thế tọa độ của điểm A vào ph phương trình đường tròn x2 + y2 - 2x + 6y = 0. ta có: 42 + ( - 2)2 - 2.4 + 6.( - 2) = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ điểm A thuộc đường tròn.

Câu 11: Cho đương tròn C1) có tâm I1(3; 4); bán kính R1 = 5 và đường tròn (C2) ủa hai đường tròn có tâm I2(7; 1), bán kính R2 = 10. Xác định vị trí tương đối của (C1) và ( C2)?

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong C. Cắt nhau D. Không cắt nhau Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: + Khoảng cách hai tâm là: I1I2 =

=5

⇒ I1I2 = R2 - R1 = 5 ⇒ Hai đường thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước A. Phương pháp giải + Để lập được phương trình đường tròn ( C) cần xác định được hai yếu y tố: tâm I(x0; y0) và bán kính R. ⇒ Phương trình đường tròn ( C): ( x - x0)2 + (y - y0)2 = R2. + Nếu điểm A thuộc đường tròn thì IA = R. + Nếu đường tròn đii qua hai điểm A và B thì IA = IB và I nằm trên đường trung trực của AB.

với đường tròn d thì d(I; d) = R. + Nếu đường tròn tiếpp xúc vớ B. Ví dụ minh họa

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ví dụ 1: Đường tròn ( C) tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0; - 2) và đi qua điểm B( 4; -2) có phương trình là A. (x - 2)2 + (y + 2)2 = 4 B. (x + 2)2 + (y - 2)2 = 4 C. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 D. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4 Hướng dẫn giải + Phương trình đường thẳng ẳng AB: ⇒ Phương trình ( AB) : 0( x - 0) + 1( y + 2) = 0 hay y + 2 = 0

ng AB vuông góc vvới trục tung (1) ⇒ đường thẳng + Lại có: đường tròn ( C) tiếp xúc trục tung tại điểm A( 0; -2) và đi qua điểm B( 4; -2) (2) Từ ( 1) và( 2) suy ra AB là đường kính của đường tròn ( C) . ⇒ Tâm I của đường tròn là trung điểm AB và có tọa độ:

⇒ I( 2; -2) Bán kính đường tròn là R = IA =

=2

Vậy (C): (x - 2)2 + (y + 2)2 = 4 .

Chọn A. Ví dụ 2: Đường tròn ( C) đđi qua hai điểm A( 1; 3); B( 3; 1) và có tâm nằm trên phương trình là đường thẳng d: 2x - y + 7 = 0 có ph A. (x - 7)2 + (y - 7)2 = 102

B. (x + 7)2 + (y + 7)2 = 164

C. (x - 3)2 + (y - 5)2 = 25 D. (x + 3)2 + (y + 5)2 = 25 Hướng dẫn giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Gọi I ( a; b) là tâm của đường tròn ( C).

Do hai điểm A và B cùng thuộc đường tròn nên IA = IB ⇔ IA2 = IB2 ⇔ ( a - 1)2 + ( b - 3)2 = ( a - 3)2 + (b - 1)2 ⇔ a2 - 2a + 1 + b2 - 6b + 9 = a2 - 6a + 9 + b2 - 2b + 1 ⇔ a = b ( 1) Mà điểm I (a; b) thuộc đường th thẳng d: 2x - y + 7 = 0 nên 2a - b + 7 = 0 (2) Từ (1) và ( 2) ta có hệ phương trình:

⇒ I( - 7; -7) ⇒ Bán kính đường tròn là R = IA =

= √164

Vậy (C): (x + 7)2 + (y + 7)2 = 164 Chọn B

p xúc ngoài với đường Ví dụ 3: Phương trình đường tròn ( C) có tâm I( 6;2) và tiếp tròn (C'): x2 + y2 - 4x + 2y + 1 = 0 là A. x2 + y2 - 12x - 4y - 9 = 0 B. x2 + y2 - 6x - 12y + 31 = 0 C. x2 + y2 + 12x + 4y + 31 = 0 D. x2 + y2 - 12x - 4y + 31 = 0 Hướng dẫn: Đường tròn (C'): x2 + y2 - 4x + 2y + 1 = 0 có tâm I’( 2; -1) bán kính R’ = 2. Độ dài đoạn II’ =

=5

Đường tròn (C) tâm I( 6; 2) tiếp xúc ngoài với (C’) khi và chỉ khi: II’ = R + R’ ⇒ R = II’- R’ = 5 - 2 = 3 . Đường tròn ( C) có tâm I( 6;2) và bán kính R = 3.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ Phương trình đường tròn : ( x - 6)2 + (y - 2)2 = 9 hay x2 + y2 - 12x - 4y + 31 = 0 .

Chọn D. Ví dụ 4: Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 4 và đường thẳng ương trình của đường thẳng d’ song song với ới đường thẳng d d: 3x - 4y + 5 = 0. Phương và chắn trên (C) mộtt dây cung có độ dài lớn nhất là A. 4x + 3y + 13 = 0. B. 3x - 4y + 25 = 0.

C. 3x - 4y + 15 = 0. D. 4x + 3y + 20 = 0 Hướng dẫn giải + Đường tròn ( C) có tâm I( - 1 ; 3) và R = 2. + Do đường thẳng d’// d nên d’ có dạng : 3x - 4y + c = 0 ( c≠5) .

ắn trên ( C) một dây cung có độ dài lớn nhất ất khi và chỉ khi + Để đường thẳng d’chắn đường thẳng d’ đi qua tâm I ( -1 ; 3) của đường tròn ⇒ 3.( - 1) – 4.3 + c = 0 ⇔ - 15 + c = 0 nên c = 15

ng thẳ thẳng d’ : 3x - 4y + 15 = 0.

Vậy phương trình đường Chọn C. Ví dụ 5 : Đường tròn ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2 cắt đường thẳng x + y - a - b = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ?

A. 2R B. R√2 C.

D. R

Hướng dẫn giải Ta có: đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R.

thẳng x + y - a - b = 0 nên độ dài của dây cung bằng b Vì tâm I(a; b) thuộc đường th ng 2R. độ dài đường kính bằng

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn A. Ví dụ 6. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A( 2; -3); B( 1; -2) và có tâm I thuộc trục hoành có phương trình là: A. ( x + 2)2 + y2 = 10 B. ( x - 4)2 + y2 = 13 C. (x + 4)2 + y2 = 16 D. (x + 2)2 + y2 = 12 Lời giải Gọi tâm đường tròn ( C) là I( a; 0) thuộc trục hoành .

Do đường tròn đi qua hai điểm A và B nên IA = IB ⇔ IA2 = IB2 ⇔ ( a - 2)2 + ( 0 + 3)2 = (a - 1)2 + (0 + 2)2 ⇔ a2 - 4a + 4 + 9 = a2 - 2a + 1 + 4 ⇔ - 2a = - 8 ⇔ a = 4. ⇒ Tâm I( 4;0) và bán kính R = IA =

= √13

Vậy đường tròn cần tìm là: ( x - 4)2 + y2 = 13 Chọn B. Ví dụ 7. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 1); B(3; 5) và có tâm I thuộc trục tung có phương trình là: A. x2 + y2 - 8y + 6 = 0 B. x2 + (y - 4)2 = 10 C. x2 + (y + 4)2 = 6 D. x2 + y2 + 4y + 6 = 0 Lời giải Gọi tâm đường tròn ( C) là I( 0; a) thuộc trục tung.

Do đường tròn đii qua hai điểm A và B nên IA = IB ⇔ IA2 = IB2 ⇔ (1 - 0)2 + (1 - a)2 = (3 - 0)2 + (5 - a)2

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔ 1 + 1 - 2a + a2 = 9 + 25 - 10a + a2 ⇔8a = 32 ⇔a = 4 ⇒ Tâm đường tròn là I( 0; 4) và bán kính R = IA = √10.

Vậy đường tròn cần tìm là: x2 + (y - 4)2 = 10 Chọn B. Ví dụ 8. Đường tròn ( C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 3y - 5 = 0, bán kính R thẳng ∆ : x - y - 1 = 0. Phương trình của đường tròn = 2√2 và tiếp xúc với đường th (C) là: A. (x + 1)2 + (y - 2)2 = 8 hoặặc (x - 5)2 + y2 = 8.

B. (x + 1)2 + (y - 2)2 = 8 hoặặc (x + 5)2 + y2 = 8.

C. (x - 1)2 + (y + 2)2 = 8 hoặặc (x - 5)2 + y2 = 8.

D. (x - 1)2 + (y + 2)2 = 8 hoặặc (x + 5)2 + y2 = 8.

Lời giải

ẳng d nên tọa độ điểm I( 5 - 3a; a).

Do điểm I thuộc đường thẳng ới đường thẳng ∆ nên d(I; ∆) = R Do đường tròn tiếp xúc với = 2√2 ⇔ |4 - 4a| = 4

⇔ ⇔

⇒ Có hai đường tròn thỏa mãn là: ( x - 5)2 + y2 = 8 và ( x + 1)2 + (y - 2)2 = 8 Chọn A.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ví dụ 9. Đường tròn ( C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 2y - 2 = 0, bán kính R thẳng ∆ : 3x - 4y - 11 = 0. Biết tâm I có hoành độ = 5 và tiếp xúc với đường th dương. Phương trình của đường tròn (C) là: A. (x + 8)2 + (y - 3)2 = 25.

B. ( x - 2)2 + (y + 2)2 = 25 hoặc ( x + 8)2 + (y - 3)2 = 25.

C. (x + 2)2 + (y - 2)2 = 25 hoặc (x - 8)2 + (y + 3)2 = 25.

D. (x - 8)2 + (y + 3)2 = 25.

Lời giải

ẳng d nên tọa độ điểm I( 2 - 2a; a) vớii a < 1 ( vì tâm I có Do tâm I thuộc đường thẳng hoành độ dương ) .

Do đường tròn ( C) tiếpp xúc vvới đường thẳng ∆ nên d( I; ∆) = R = 5 ⇔ |-5 - 10a| = 25

⇔ ⇔

Với a = -3 thì tâm I (8; - 3). Khi đó phương trình đường tròn là: (x - 8)2 + (y + 3)2 = 25.

Chọn D.

v đường Ví dụ 10. Đường tròn ( C) đđi qua hai điểm A( -1; 1); B(3; 3) và tiếp xúc với c (C) có thẳng ∆: 3x - 4y + 8 = 0. Viết phương trình đường tròn( C), biết tâm của hoành độ nhỏ hơn 5.

A. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 25

B. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 5

C. (x + 5)2 + (y + 2)2 = 5 D. (x - 5)2 + (y - 2)2 = 25.

Lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Phương trình đường thẳng ẳng AB: ⇒ Phương trình AB: 1( x + 1) – 2( y - 1) = 0 hay x - 2y + 3 = 0.

ng tròn nên IA = IB trong đó I là tâm đường tròn + Do A và B thuộc đường ực d ccủa AB . ⇒ I thuộc đường trung trực ng trung tr trực d của AB: + Phương trình đường

⇒ (d) : 4( x - 1) + 2( y - 2) = 0 hay (d): 2x + y - 4 = 0.

ẳng d nên I( a; 4 - 2a) với a < 5 Do tâm I thuộc đường thẳng với đường thẳng ∆ nên R = IA = d(I; ∆) + Mà đường tròn tiếpp xúc vớ ⇔

= |11a - 8|

⇔5

⇔ 25( a2 + 2a + 1 + 9 - 12a + 4a2) = 121a2 - 176a + 64 ⇔ 25( 5a2 - 10a + 10) – 121a2 + 176a - 64 = 0 ⇔125a2 - 250a + 250 - 121a2 + 176a - 64 = 0 ⇔4a2 - 74a + 186 = 0

⇔ Với a = 3 thì tâm I (3; -2) và bán kính R = IA = 5 Vậy phương trình đường tròn là: ( x - 3)2 + ( y + 2)2 = 25 Chọn A.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C. Bài tập vận dụng Câu 1: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x - 6y + 5 = 0 . Đường thẳng ẳng d đi qua A(3; 2) và cắt (C) theo mộtt dây cung dài nhất có phương trình là A. x + y - 5 = 0 B. x - 5y + 7 = 0. C. x + 5y - 13 = 0. D. x - 2y + 5 = 0.

Hiển thị lời giải

ẳng d đi qua A(0; Câu 2: Cho đường tròn ( C) : x2 + y2 + 4x - 6y + 5 = 0. Đường thẳng ngắn nhất có phương trình là 2) và cắt (C) theo mộtt dây cung ng A. 2x - y + 2 = 0 B. x + y - 1 = 0 C. x - y - 1 = 0 D. x - y + 1 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời:

+ Đường tròn (C) tâm I ( -2; 3) và bán kính R =

= √8

√5 < R =√

IA =

⇒ Điểm A nằm trong đường tròn ( C) .

ắt đường tròn tại hai điểm M và N. + Giả sử đường thẳng d cắt ng kính và dây trong Gọi H là trung điểm củaa MN thì IH vuông MN( quan hệ đường đường tròn).

Dây cung MN ngắn nhất ⇔ IH lớn nhất ⇔ H trùng A. Đường thẳng d ≡ MN:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Vậy d có phương trình : 2( x - 0) – 1( y - 2) = 0 hay 2x - y + 2 = 0

ng thẳng th d đi qua Câu 3: Cho đường tròn ( C) : x2 + y2 + 6x - 2y + 5 = 0 và đường điểm ể M; N sao cho A là trung điểm của ủa MN. Phương A( -4; 2), cắt ( C) tạii hai đđiểm trình của đường thẳng d là A. x - y + 6 = 0. B. 7x - 3y + 34 = 0. C. 7x - 3y + 30 = 0. D. 7x - y + 35 = 0.

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn ( C) có tâm I( - 3; 1), R = √5 .

Do đó, IA = √2 < R ⇒ A ở trong (C).

ủa MN ⇒ IA ⊥ MN ⇒ IA→= (-1; 1) là vectơ pháp tuyến + Do A là trung điểm của của d, nên d có phương trình: - 1( x + 4) + 1( y - 2) = 0 hay –x + y - 6 = 0 Câu 4: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A( - 2;1); B( 3; 5) và điểm M thỏa mãn = 900 A. x2 + y2 - x - 6y - 1 = 0 B. x2 + y2 + x + 6y - 1 = 0 C. x2 + y2 + 5x - 4y + 11 = 0 D. x2 + y2 - 5x + 4y - 11 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Do đường tròn ( C) cần tìm đi qua hai điểm A; B và M thỏa mãn M nằm trên đường tròn đường kính AB.

= 900 nên

ương trình đường tròn đường kính AB .

Bài toán trở thành viết phươ

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ểm I: Gọi I là tâm đường tròn thì I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm

⇒ I( và bán kính R = . (x -

; 3) AB =

)2 + (y - 3)2 =

=

√41 nên đường tròn ( C) có phương trình

⇔ x2 + y2 - x - 6y - 1 = 0

Câu 5: Đường tròn ( C) đi qua hai điểm A( - 1; 2); B( - 2; 3) và có tâm I thuộc Phương trình của đường tròn (C) là: đường thẳng ∆: 3x - y + 10 = 0 . Ph A. (x + 3)2 + (y - 1)2 = 5 B. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 10 C. ( x - 4)2 + ( y - 1)2 = 16

D. ( x + 1)2 + (y - 13)2 = 25

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời:

ẳng ∆ nên tọa độ I( a; 3a + 10) Do tâm I thuộc đường thẳng Do hai điểm A và B thuộc đường tròn nên IA = IB ⇔ IA2 = IB2 ⇔ (a + 1)2 + ( 3a + 8)2 = (a + 2)2 + (3a + 7)2 ⇔ a2 + 2a + 1 + 9a2 + 48a + 64 = a2 + 4a + 4 + 9a2 + 42a + 49 ⇔ 50a + 65 = 46a + 53 ⇔ 4a = - 12 ⇔ a = - 3 ⇒ Tọa độ tâm I ( - 3; 1) Bán kính đường tròn là IA =

= √5

⇒ đường tròn cần tìm là: (x + 3)2 + (y - 1)2 = 5

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ng d: x + 3y + 8 = 0, đi qua điểm Câu 6: Đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng ới đường thẳng ∆ : 3x - 4y + 10 = 0. Phương Phươ trình của A( - 2 ;1) và tiếp xúc với đường tròn (C) là: A. (x - 2)2 + (y + 2)2 = 25

B. (x + 5)2 + (y + 1)2 = 16.

C. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9 D. (x - 1)2 + (y + 3)2 = 25.

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: + Dễ thấy điểm A thuộc ∆. Mà đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng (a) qua A vuông góc với ∆. + Đường thẳng(a):

ẳng (a) : 4( x + 2) + 3(y - 1) = 0 hay 4x + 3y + 5 = 0 ⇒ Phương trình đường thẳng + Đường thẳng (a) và d cắt nhau ttại I nên tọa độ điểm là nghiệm hệệ phương trình:

⇒ I( 1; - 3) Bán kính đường tròn là R = IA =

=5

Vậy phương trình đường tròn là: ( x - 1)2 + (y + 3)2 = 25 Câu 7: Đường tròn ( C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 5y - 12 = 0 và tiếp xúc với hai trục tọa độ có phương trình là: A. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 .

B. (x - 3)2 + (y + 3)2 = 9.

C. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 hoặc ( x - 3)2 + (y + 3)2 = 9 .

D. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 hoặặc (x + 3)2 + (y - 3)2 = 9.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời:

ẳng d nên tọa độ I(12 - 5a ;a).

Do tâm I thuộc đường thẳng ng trình là x = 0 và y = 0.

Hai trục tọa độ có phương Do đường tròn ( C) tiếpp xúc vvới hai trục tọa độ nên :R = d(I ; Ox) = d(I ; Oy) ⇔ R = |a| = |12 - 5a| ⇔

ng tròn là I( 2 ;2) và bán kính R = 2 + Với a = 2 thì tâm đường ⇒ Phương trình đường tròn : ( x - 2)2 + (y - 2)2 = 4

ng tròn là I ( - 3 ; 3) và bán kính R = 3 + Với a = 3 thì tâm đường ⇒ Phương trình đường tròn là ( x + 3)2 + (y - 3)2 = 9 Vậy phương trình các đường tròn là : (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 hoặc ( x + 3)2 + (y 3)2 = 9 Câu 8: Đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng ∆ : x = 5 và tiếp ế xúc với hai đường thẳng d1: 3x - y + 3 = 0; d2: x - 3y + 9 = 0 có phương trình là: A. (x - 5)2 + (y + 2)2 = 40 hoặc (x - 5)2 + (y - 8)2 = 10 B. (x - 5)2 + (y + 2)2 = 40 C. (x - 5)2 + (y - 8)2 = 10 D. (x - 5)2 + (y - 2)2 = 40 hoặc (x - 5)2 + (y + 8)2 = 10 Hiển thị lời giải Đáp án: A

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Trả lời: Ta có điểm I thuộc đường ng thẳ thẳng ∆ nên I(5; a).

trục tọa độ nên : R = d(I; d1) = d( I;d2) Do đường tròn ( C) tiếpp xúc hai tr ⇔ |18 - a| = |14 - 3a|

⇔ ⇔

+ Với a = - 2 thì tâm I ( 5; - 2) và bán kính R = d(I; d1) = 2√10 ⇒ Phương trình đường tròn là : (x - 5)2 + (y + 2)2 = 40 + Với a = 8 thì tâm I(5; 8) và bán kính R = √10 ⇒ Phương trình đường tròn là : ( x - 5)2 + (y - 8)2 = 10 Vậy phương trình các đường tròn: (x - 5)2 + (y - 8)2 = 10 hoặc (x - 5)2 + (y + 2)2 = 40

th ∆: x - y Câu 9: Đường tròn (C) đi qua điểm A(1; - 2) và tiếp xúc với đường thẳng + 1 = 0 tại M( 1; 2). Phương trình của đường tròn ( C) là: A. (x - 6)2 + y2 = 29 B. (x - 5)2 + y2 = 20 C. (x - 4)2 + y2 = 13 D. (x – 3)2 + y2 = 8 Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: + Do đường tròn ( C) tiếp xúc vvới đường thẳng ∆ tại điểm M nên tâm I của đường ẳng (a) qua M vuông góc vvới ∆. tròn nằm trên đường thẳng

ẳng (a): Phương trình đường thẳng ⇒ Phương trình (a): 1( x - 1) + 1( y - 2) = 0 hay x + y - 3 = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ẳng (a) nên I(x; 3 - x) + Tâm I thuộc đường thẳng Vì hai điểm M và A thuộc đường tròn nên R = IA = IM ⇔ IA2 = IM2 ⇔ ( x - 1)2 + (3 - x + 2)2 = (x - 1)2 + (3 - x - 2)2 ⇔ (5 - x)2 = (1 - x)2 ⇔ 25 - 10x + x2 = 1 - 2x + x2 ⇔8x = 24 ⇔ x = 3 ⇒ Tâm đường tròn là I (3;0) và bán kính R = IA =

= 2√2

⇒ Phương trình đường tròn là : ( x - 3)2 + y2 = 8

v đường Câu 10: Đường tròn ( C) đi qua hai điểm A(1;2); B( 3; 4) và tiếp xúc với thẳng ương trình đường tròn ( C), biết tâm của ủa (C) có tọa t độ là ∆: 3x + y - 3 = 0. Viết phươ những số nguyên.

A. x2 + y2 - 2x + 4y - 1 = 0

B. x2 + y2 - 6x – 4y + 5 = 0

C. x2 + y2 - 8x - 2y - 10 = 0 D. x2 + y2 - 8x - 2y + 7 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: + Phương trình đường thẳng ẳng AB: ⇒ Phương trình AB: 1( x - 1) – 1( y - 2) = 0 hay x - y + 1 = 0.

ng tròn nên IA = IB trong đó I là tâm đường tròn + Do A và B thuộc đường ực d ccủa AB . ⇒ I thuộc đường trung trực ng trung tr trực d của AB: + Phương trình đường

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ (d): 2( x - 2) + 2( y - 3) = 0 hay x + y - 5 = 0 Điểm I thuộc d nên I(a; 5 - a) với a nguyên + Do đường tròn tiếpp xúc với đường thẳng ∆ nên R = IA = d( I;∆) ⇔ ⇔ 10[ (a - 1)2 + (3 - a)2 ] = (2a + 2)2 ⇔ 10( 2a2 - 8a + 10) = 4a2 + 8a + 4 ⇔ 20a2 – 80a + 100 = 4a2 + 8a + 4 ⇔16a2 - 88a + 96 = 0 ⇔ Với a = 4 thì tâm đường tròn là I(4; 1) và bán kính R = IA = √10 Vậy phương trình đường tròn là: (x - 4)2 + (y - 1)2 = 10 hay x2 + y2 - 8x - 2y + 7 = 0 Câu 11: Cho đường tròn ( C) : x2 + y2 - 2x + 6y + 6 = 0 và đường thẳng ng thẳ thẳng d’ song song với đường thẳng d và chắn trên ( C) d: 4x - 3y + 5 = 0. Đường ằng 2√3 có phương trình là một dây cung có độ dại bằng A. 4x - 3y + 8 = 0. B. 4x - 3y - 8 = 0 hoặc 4x - 3y – 18 = 0 C. 4x - 3y - 8 = 0. D. Tất cả sai Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Đường tròn ( C) có tâm I(1; -3) và bán kính R = 2 .

ng d’ // d: 4x - 3y + 5 = 0 nên đường thẳng d’ có dạng ạng 4x - 3y + m + Do đường thẳng = 0 ( m ≠ 5) .

Giả sử đường thẳng d’cắt đường tròn tại M và N. Vẽ IH ⊥ MN ⇒ HM = √3 ⇒ IH2 = R2 - HM2 = 4 - 3 = 1 . ⇒ IH = 1. d(I, d') = IH ⇔ Vậy:

= 1 ⇔ |m + 13| = 5 ⇔ .

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng A. Phương pháp giải Cho đường tròn (C1): tâm I1( x1; y1); bán kính R1. Đường tròn (C2): tâm I2(x2; y2); bán kính R2. + Để hai đường tròn này đốối xứng với nhau qua điểm M thìì M là trung điểm của I1I2 và R1 = R2.

m M. Để viết được * Nếu cho trước đường tròn ( C1) có tâm I1 bán kính R và điểm ứng vvới đường tròn (C1) qua M ta cần làm như sau: phương tròn ( C2 ) đối xứng xứng với I1 qua M ( khi đó M là trung điểm I1I2).

- Bước 1: Tìm điểm I2 đối xứ - Bước 2: Đường tròn ( C2) tâm I2 và bán kính là R.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ Phương trình đường tròn (C2).

viế được đường * Cho đường tròn (C1) tâm I1 bán kính R và đường thẳng d. Để viết tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua d ta cần: - Bước 1: Xác định điểm I2 đối xứng điểm I1 qua d.

- Bước 2: Lập phương trình đường tròn ( C2) tâm I2 và bán kính R B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hai đường tròn ( C1): tâm I1(1; -2) bán kính R1 = 2 và đường tròn (C2): Tâm I2( 3; 2) bán kính R2 = 2. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và ( C2)?

A. M(2; 0) B. M(4; 0) C. M( 2; 4) D. M (-2; -4) Lời giải

đ M biến Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm đường tròn này thành đường tròn kia. ủa I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là: Khi đó, M là trung điểm của

⇒ M( 2 ; 0) Vậy qua điểm M (2; 0) biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Chọn A.

ng trình đường tròn (C2) đối xứngvới ới đường tròn Ví dụ 2: Viết phương 2 2 (C1): x + y - 2x = 0. Qua đđiểm A( 2; -1) ?

A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 1 B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 1 C. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1 D. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 1 Lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1 (1; 0) và bán kính R1 = 1.

xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của + Do đường tròn (C2) đối xứ ới nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 1. hai đường tròn đối xứng với ng tròn ( C2) thì tọa độ điểm I2: + Gọi I2 là tâm của đường ⇒ I2( 3; -2) ⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1 Chọn C.

m M. Qua phép đối Ví dụ 3: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 8x - 4y - 5 = 0 và điểm xứng tâm M biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2) có bán kính R2 . Tính R2?

A. 1 B. 3 C. 5

D. 10

Lời giải Đường tròn ( C1) có tâm I1( 4; 2) và bán kính R1 =

=5

ến đường tròn ( C1) thành đường tròn (C2) Qua đối xứng tâm M biến ới nhau qua điểm ⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với M ⇒ bán kính R2 = R1 = 5.

Chọn C. Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0 và đường tròn ( C2): x2 + y2 - 2x + 6y - 2 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C1) thành ( C2)?

A. ( 1; - 2) B. ( 2; 3) C. Không tồn tại D. Tất cả sai Lời giải + Đường tròn ( C1) có tâm I1 (-1; 2) và bán kính R1 = √6.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Đường tròn (C2) có tâm I2(1; -3) và bán kính R2 = √12 ⇒ R1 ≠ R2 .

ứng tâm bi biến đường tròn này thành đường tròn kia. ⇒ Không có phép đối xứng Chọn C.

ng thẳng thẳ d: x - 2y Ví dụ 5: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 2x - 6y - 4 = 0 và đường 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua d?

A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 14

B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 14

C. (x - 1)2 + (y + 4)2 = 14

D. (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14

Lời giải + Đường tròn (C1) có tâm I1( - 1; 3) và bán kính R1 = √14 + Giả sử đường tròn ( C2) có tâm I2 và bán kính R2.

ẳng d nên: + Do hai đường tròn ( C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng R2 = R1 = √14 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d. + Ta tìm điểm I2.

- Đường thẳng I1I2: ⇒ Phương trình I1I2: 2(x + 1) + 1(y - 3) = 0 hay 2x + y - 1 = 0.

- Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H( 1; - 1).

ủa I1I2 nên tọa độ điểm I2: Khi đó; H là trung điểm của ⇒ I2( 3; -5) ⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x - 3)2 + (y + 5)2 = 14 Chọn D.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ví dụ 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0 và đường thẳng d: 5x + 4y = 0. Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua đường thẳng d?

A. x2 + y2 + 10x - 10y - 10 = 0 B. x2 + y2 + 20x - 10y - 10 = 0 C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0 Lời giải + Đường tròn (C1): tâm I1( -4; 5).

Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó. ⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 8x - 10y - 10 = 0.

Chọn A. Ví dụ 7: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 và điểm A(5; 10). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A? A. x2 + y2 - 10x + 20y - 15 = 0 B. x2 + y2 + 10x - 20y - 15 = 0 C. x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0 D. Tất cả sai Lời giải + Đường tròn ( C1) có tâm I1(5;10) ⇒ Điểm I1 ≡ A. ⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó. ⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 - 10x - 20y - 15 = 0.

Chọn C

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ng thẳng d: 3x - 4y Ví dụ 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x - 6y - 2 = 0 và đường 9 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn ( C1); (C2)?

A. 5 B. 6 C. 3

D. 10

Lời giải + Đường tròn ( C1) có tâm I1(2;3). + Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d: d(I1; d) =

=3

xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung + Do hai đường tròn đối xứ trực của I1I2. Gọi H là giao đđiểm của I1I2 với đường thẳng d ⇒ d(I1;d) = I1H = I2H = 3 ⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6 Chọn B C. Bài tập vận dụng Câu 1: Cho hai đường tròn ( C1): tâm I1(3; 8) bán kính R1 = 6 và đường tròn (C2): Tâm I2( -7; 4) bán kính R2 = 6. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C1) và ( C2)?

A. M(2; 0) B. M(4; 0) C. M( -2; 6) D. M (-2; -4) Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời:

đ M biến Do hai đường tròn đã cho có R1 = R2 nên tồn tại điểm M để qua điểm đường tròn này thành đường tròn kia.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ủa I1I2. Suy ra tọa độ điểm M là: Khi đó, M là trung điểm của

⇒ M( - 2; 6) Vậy qua điểm M (-2; 6) biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 2: Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứngvới đường tròn (C1): x2 + y2 + 4y = 0 Qua điểm A(0; 4) ?

A. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 4 B. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 C. x2 + (y - 10)2 = 4 D. (x + 3)2 + y2 = 4 Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: + Đường tròn ( C1) có tâm I1 (0; -2) và bán kính R1 = 2.

xứng với đường tròn (C1) qua điểm A nên hai tâm của + Do đường tròn (C2) đối xứ ới nhau qua điểm A đồng thời R1 = R2 = 2. hai đường tròn đối xứng với ng tròn ( C2) thì tọa độ điểm I2: + Gọi I2 là tâm của đường ⇒ I2( 0; 10) ⇒ Phương trình đường tròn ( C2): x2 + (y - 10)2 = 4

m M. Qua phép đối Câu 3: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 - 2x + 8y - 8 = 0 và điểm ng tròn ( C1) thành đường tròn ( C2) có bán kính R2. Tính xứng tâm M biến đường R2?

A. 1 B. 3 C. 5

D. 10

Hiển thị lời giải Đáp án: C

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Trả lời: Đường tròn ( C1) có tâm I1(1; -4) và bán kính R1 =

=5

ến đường tròn ( C1) thành đường tròn (C2) Qua đối xứng tâm M biến ới nhau qua điểm ⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với M ⇒ bán kính R2 = R1 = 5.

Câu 4: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 8y - 2 = 0 và đường tròn (C2): x2 + y2 + 2x - 4y - 1 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C1) thành ( C2)?

A. ( 1;-2) B. ( 2; 3) C. Không tồn tại D. Tất cả sai Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: + Đường tròn ( C1) có tâm I1 (0; -4) và bán kính R1 = √18 + Đường tròn (C2) có tâm I2(-1; 2) và bán kính R2 = √6 ⇒ R1 ≠ R2 .

ứng tâm bi biến đường tròn này thành đường tròn kia. ⇒ Không có phép đối xứng ẳng d: 2x - y - 3 Câu 5: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0 và đường thẳng = 0. Viết phương trình đường tròn ( C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua d?

A. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 9 B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 9 C. (x -

)2 + (y +

)2 = 9

D. ( x -

)2 + (y +

)2 = 9

Hiển thị lời giải Đáp án: D

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Trả lời: + Đường tròn (C1) có tâm I1(-2; 2) và bán kính R1 = 3 + Giả sử đường tròn ( C2) có tâm I2 và bán kính R2. + Do hai đường tròn ( C1) và (C2) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên: R2 = R1 = 3 và hai tâm I1, I2 đối xứng nhau qua đường thẳng d. + Ta tìm điểm I2.

- Đường thẳng I1I2: ⇒ Phương trình I1I2: 1( x + 2) + 2(y - 2) = 0 hay x + 2y - 2 = 0 - Gọi giao điểm của d và I1I2 là H ⇒ H( ;

).

ủa I1I2 nên tọa độ điểm I2: Khi đó; H là trung điểm của

⇒ I2 (

;-

)

⇒ Phương trình đường tròn ( C2): (x -

)2 + (y +

)2 = 9

ng d: x + y + 2 = 0.

Câu 6: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0 và đường thẳng Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn ( C1) qua đường thẳng d?

A. x2 + y2 + 4y - 4 = 0 B. x2 + y2 + 2x - 2y - 6 = 0 C. x2 + y2 + 4x - 4 = 0 D. x2 + y2 + 20x + 10y - 15 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Đường tròn (C1): tâm I1 (- 2; 0) Ta thấy điểm I1 thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C1) thành chính nó. ⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 4x - 4 = 0.

Câu 7: Cho đường tròn ( C1): x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0 và điểm A(-6; 4). Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C1) qua điểm A? A. x2 + y2 + 14x + 8y - 1 = 0 B. x2 + y2 - 12x + 8y - 1 = 0 C. x2 + y2 + 12x - 8y - 1 = 0 D. Tất cả sai Hiển thị lời giải Đáp án: Trả lời: + Đường tròn ( C1) có tâm I1(-6; 4) ⇒ Điểm I1 ≡ A. ⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I1 thành chính nó nên biến đường tròn C1 thành chính nó. ⇒ (C2) ≡ (C1): x2 + y2 + 12x – 8y - 1 = 0.

Câu 8: Cho đường tròn (C1): x2 + y2 – 6x + 2y - 1 = 0 và đường thẳng d: 3x + 4y + 10 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C1) thành đường tròn ( C2). Tính I1I2 trong đó I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường tròn ( C1); (C2)?

A. 5 B. 6 C. 3

D. 10

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Đường tròn ( C1) có tâm I1(3; -1). + Khoảng cách từ I1 đến đường thẳng d:

=3

d(I1; d) =

xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung + Do hai đường tròn đối xứ trực của I1I2. Gọi H là giao đđiểm của I1I2 với đường thẳng d ⇒ d(I1;d) = I1H = I2H = 3 ⇒ I1I2 = I1H + HI2 = 3 + 3 = 6 Các dạng bài tập khác về đường tròn trong mặt phẳng B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường tròn ( C): x2 + y2 – 4x - 6y + 5 = 0. Hỏii có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên thuộc đường tròn?

A. 2 B. 5

C. 4

D.7

Lời giải Xét phương trình ( C) với ẩn y; x là tham số y2 - 6y + (x2 - 4x + 5) = 0 Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: ∆' ≥ 0 ⇔ 9 - x2 + 4x - 5 ≥ 0 ⇔ x2 - 4x - 4 ≤ 0 ⇔ 2 - √8 ≤ x ≤ 2 + √8 ⇒ Các điểm M(x;y) thuộc ộc (C) có hoành độ nguyên là 0; 1; 2; 3; 4 ta có: X

0

1

2

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Y

1 hoặc 5

y không nguyên

y không nguyên

ộc (C) có ttọa độ nguyên là: Vậy tồn tại bốn điểm thuộc (0; 1); (0; 5); (4; 1) và (4; 5) Chọn C.

ểm M thu thuộc (C): x2 + y2 – 4x - 6y + 11 = 0 sao cho MA lớn Ví dụ 2: Tìm tọa độ điểm nhất, biết A(3; 2).

A. M( - 2; 8) B. M(9; 2)

C. M(1; 4) D. M(3; 8)

Lời giải + Đường tròn (C) có tâm I(2; 3).

phương trình đường tròn ta được : + Thay tọa độ điểm A vào ph 32 + 22 - 4.3 - 6.2 + 11 = 0 ( đđúng) ⇒ Điểm A thuộc đường tròn ( C). ⇒ Để MA đạt lớn nhất thì MA là đường kính ⇒ M đối xứng vớii A qua I hay I là trung điểm của MA. Tọa độ điểm M là:

⇒ M(1; 4)

Chọn C. Ví dụ 3: Cho đường tròn ( C): (x - 2)2 + (y - 3)2 = 5. Tìm trên ( C) điểm M sao cho MB = 4 biết rằng B(1; 5)?

A. M(1; - 1) B. M(

;

) C. M(

;

) D. Đáp án khác

Lời giải Gọi tọa độ điểm M(x0; y0).

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Vì điểm M nằm trên đường tròn ( C) nên (x0 – 2)2 + (y0 - 3)2 = 5 Hay x02 - 4x0 + y02 - 6y0 + 8 = 0 (1) + Theo giả thiết BM = 4 nên BM2 = 16 ⇔ (x0 - 1)2 + (y0 - 5)2 = 16 Hay x02 - 2x0 + y02 - 10y0 + 10 = 0 (2) + Lấy (2) trừ (1) vế trừ vếế ta được : 2x0 – 4y0 + 2 = 0 ⇔ x0 - 2y0 + 1 = 0 ⇔ x0 = 2y0 – 1 thay vào (1) ta được : ( 2y0 - 1)2 – 2(2y0 – 1) + y02 - 10y0 + 10 = 0 ⇔ 5 y02 - 18y0 + 13 = 0

⇔ Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(1; 1) và M(

;

).

Chọn D. Ví dụ 4: Cho đường tròn (C): (x - 3)2 + ( y - 2)2 = 5. Tìm điểm m E thuộc thuộ đường tròn sao cho tam giác OEF vuông tại O, biết rằng điểm F (4; - 2)?

A. E1(2; 4) và E2( ;

) . B. E1(1; - 4) và E2( ;

C. E1(3; - 6) và E2( -

;

) . D. E1(2; 4) và E2( ;

). ).

Lời giải

+ Do tam giác OEF vuông tại O nên OE vuông OF.

+ Đường thẳng OE:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ Phương trình OE: 2(x - 0) – 1(y - 0) = 0 hay 2x - y = 0.

ng thẳng ccắt nhau tại E nên tọa độ E là nghiệm hệ + Đường tròn và đường

Vậy có hai điểm thỏa mãn là E1(2; 4) và E2( ;

).

Chọn A.

ngoại tiếp tam giác ABC biếtt B( 2; m) và C( n; 1).

Ví dụ 5: Cho đường tròn tâm O ngo ết rằng ng tròn?

Tìm tọa độ điểm B? Biết là góc nội tiếp chắn nửa đường A. B(2; 1) B. B( 2; 2) C. B(2; -1) D. B(2; -3) Lời giải + Do góc

là góc nội tiếp ch chắn nửa đường tròn nên góc

= 900.

⇒ Tam giác BAC vuông tại A và BC là đường kính .

m của BC. ⇒ O (0; 0) là trung điểm

⇒ Vậy tọa độ điểm B(2; -1) và đđiểm C(-2; 1) Chọn C.

ẳng ∆: ∆ x+y-2= Ví dụ 6 : Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 4x + 4y - 2 = 0; đường thẳng m A sao cho ttừ A kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn ( 0. Tìm trên d điểm C) ?

A. ( 1, 1) B. ( 2; 0) C. ( 3; -1) D. (1;1) hoặc ( 5; -3) Lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Đường tròn ( C) tâm I( 2; -2) và bán kính R = 3. + Ta có nhận xét:

ếp tuyến tuy nào đến - Nếu điểm A nằm trong hình tròn( C) thì qua A không kẻ được tiếp đường tròn. úng một mộ tiếp tuyến - Nếu điểm A nằm trên đường tròn ( C) thì qua A kẻ được đúng đến đường tròn .

- Nếu điểm A nằm bên ngoài hình tròn ( C) thì qua A kẻ đượcc hai tiếp tiế tuyến nào với đường tròn.

m A kkẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn (C) thì ⇒ Theo đề bài; từ điểm điểm A nằm trên đường tròn. ⇒ A là giao điểm của đường tròn ( C) và đường thẳng d. Nên tọa độ A là nghiệm hệ: (*) Giải phương trình ( *) : (*) ⇔ 4 - 4y + y2 + y2 – 8 + 4y + 4y - 2 = 0 ⇔ 2y2 + 4y - 6 = 0 ⇔ Vậy có hai điểm A thỏa mãn đề bài là (1;1) và ( 5; -3) Chọn D. Ví dụ 7 . Trong mặt phẳng ẳng Oxy, cho đường tròn( C): x2 + y2 - 2x + 4y + 4 = 0 có tâm I và điểm M( - 1; - 3) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đii qua M và cắt (C) diện tích lớn ớn nhất. nh tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có di A. x - y - 2 = 0 và x - 7y - 20 = 0 B. x + 2y - 7 = 0 và x - 3y - 20 = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C. 2x + y - 3 = 0 và x - 7y - 20 = 0 D. x - 4y = 0 và x + 2y - 20 = 0 Lời giải + Đường tròn ( C): tâm I( 1; -2); bán kính R = 1 + Đường thẳng ∆: ⇒ Phương trình ∆:: a( x + 1) + b( y + 3) = 0 ( *) + Do A; B thuộc đường tròn ( C) nên IA = IB = R = 1 Diện tích tam giác IAB là: SIAB =

IA.IB.sin(

= 900 ⇒ IH =

)=

.1.1.sin(

)≤

⇒ SIAB lớn nhấtt khi:

với H là hình chiếu I lên ∆

Suy ra d(I; ∆) = IH = ⇔ 2( 2a + b)2 = a2 + b2

⇔

⇔ 7a2 + 8ab + b2 = 0

⇔ + Nếu a = thẳng:

b; chọnn b = - 7; a = 1 thay vào ( *) ta được phương trình đường

∆ : 1( x + 1) – 7 ( y + 3) = 0 hay x - 7y - 20 = 0 + Nếu a = - b; chọnn a = 1; b = -1 thay vào ( *) ta được : ∆: 1( x + 1) - 1.(y + 3) = 0 hay x - y - 2 = 0

ng thỏa mãn là: x - y - 2 = 0 và x - 7y - 20 = 0.

Vậy có hai đường thẳng

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn A Ví dụ 8. Trong mặtt phẳ phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2 ẳng đi qua giao (C): x + y – 4x - 6y = 0 và (C’): x2 + y2 + 4x = 0. Một đường thẳng điểm của (C) và (C') lần lượt cắt lại (C) và (C') tại M và N. Viết phương trình trị lớn nhất. đường thẳng khi MN đạt giá tr A. 2x - y = 0 và x + 4y + 12 = 0 B. 3x - 4y = 0 và 3x - 4y + 12 = 0 C. x + y - 10 = 0 và 3x - y + 12 = 0 D. Tất cả sai Lời giải

+ Đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = √13 Đường tròn (C') có tâm J( - 2; 0) và bán kính R’ = 2. ⇒ IJ = 5 nên |R - r| < IJ < R + r

ểm A, B ⇒ (C) cắt (C') tại hai điểm th qua A + Xét ∆ bất kì qua A cắt (C) và (C') tại M và N. Gọi ∆' là đường thẳng ần lượt là là hình vuông góc với AB, cắtt (C), (C') llần lượt tại C và D. Gọi K, H lần ọi P, Q llần lượt là là hình chiếu của I, J lên ∆ . chiếu của I, J lên ∆' . Gọi Khi đó ta có MN = 2PQ ≤ 2IJ = 2KH = CD ⇒ MNmax = CD.

m của hhệ + Tọa độ A, B là nghiệm

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

thẳng thỏa mãn: Từ đó suy ra có hai đường thẳ

- ( ∆1) : ⇒ Phương trình : 3( x - 0) – 4( y - 0) = 0 hay 3x - 4y = 0

- ( ∆2) : ⇒ Phương trình : 3(x +

) - 4( y -

) = 0 hay 3x - 4y + 12 = 0

ng thỏa mãn là: 3x - 4y = 0 và 3x - 4y + 12 = 0.

Vậy có hai đường thẳng Chọn B. C. Bài tập vận dụng Câu 1: Cho phương trình đường cong : x2 + y2 + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0 (*) . Tìm mệnh đề sai?

A. ( Cm) là phương trình của đường tròn với mọi m.

ng x + y - 1 = 0 B. Tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi là đường thẳng C. Khi m thay đổi họ các đường tròn ( Cm) có đúng một điểm cố định.

D. Họ các đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm M(1 ; 2) với mọi m.

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: + Ta có a2 + b2 - c =

-m-1=

>0

Suy ra (*) là phương trình đường tròn với mọi m

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Đường tròn có tâm I :

suy ra xI + yI - 1 = 0

Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng ∆: x + y - 1 = 0

định mà họ (Cm) luôn đi qua. + Gọi M(x0 ; y0) là điểm cốố đị Khi đó ta có: x02 + y02 + (m + 2)x0 - (m + 4)y0 + m + 1 = 0, ∀m ⇔ (x0 - y0 - 1)m + x02 + y02 + 2x0 - 4y0 + 1 = 0, ∀m ⇔ Vậy có hai điểm cố định mà họ ( Cm) luôn đi qua với mọi m là A( - 1 ; 0) và M(1 ; 2) Câu 2: Cho hai điểm m A(8; 0) và B(0; 6). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB? A. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 B. ( x - 2)2 + (y + 2)2 = 1 C. ( x - 1)2 + (y + 1)2 = 1 D. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời:

Ta có: OA = 8; OB = 6 và AB = Mặt khác Suy ra r =

= 10.

OA.OB = pr (vì cùng bằng diện tích tam giác ABC) =2

tiếp tam giác OAB Gọi I là tâm đường tròn nội ti ⇒ đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên |a| = |b| = r = 2

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

phần tư thứ nhất nên a > 0; b > 0 Mà đường tròn có tâm thuộc góc ph ⇒a=b=r=2 Vậy tâm đường tròn nộii tiếp tam giác OAB là I( 2; 2) bán kính đường tròn nội tiếp là r = 2.

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là ( x - 2)2 + (y – 2)2 = 4

ng tọ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: √3x + y = 0 và Câu 3: Trong mặt phẳng d2: √3x - y = 0 . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình củaa (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng

và điểm A có hoành độ dương.

A. (x -

)2 + (y +

)2 = 4 B. (x +

)2 + (y +

C. (x +

)2 + (y -

)2 = 1 D. (x -

)2 + (y -

)2 = 1 )2 = 1

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

+ Vì A ∈ d1 ⇒ A(a; -√3a), 3a), a > 0; B,C ∈ d2 ⇒ B(b; √3b), C(c; √3c)

3(a + b)), AC→ Suy ra AB→ (b - a; √3(a (c - a; √3(c + a)) + Tam giác ABC vuông tại B do đó AC là đường kính của đường tròn C.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Do đó AC ⊥ d1 ⇒ AC→ .u1→= 0 ⇔ -1.(c - a) + √3.√3(a + c) = 0 ⇔ 2a + c = 0 (1) AB ⊥ d2 ⇒ AB→ .u2→= 0 ⇔ 1.(b - a) + 3(a + b) = 0 ⇔ 2b + a = 0 (2) Mặt khác SABC = ⇔ 2a|c- b| = 1 (3)

d(A;

d2).BC

⇒

Từ (1), (2) suy ra 2( c - b) = - 3a thế vào (3) ta được a|-3a| = 1 ⇔ a = Do đó b = -

,c=-

Suy ra (C) nhận I(-

⇒ A( ;-

; -1), C(-

; -2)

) là trung điểm AC làm tâm và bán kính là R =

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (C): (x +

)2 + (y +

=1

)2 = 1

ng Oxy cho tam giác ABC, hai ccạnh nh AB; AC theo thứ th tự có Câu 4: Trong mặt phẳng ể M( - 1; 1). phương trình x + y - 2 = 0 và x + 3y - 4 = 0. Cạnh BC có trung điểm Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A. ( - 5; - 7) B. ( 4; - 3)

C. ( - 7; 3) D. ( 1; 3)

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ

⇒ A(1; 1) ủa AC. Khi đó MP// AB ( vì MP là đường trung bình của + Gọi P là trung điểm của tam giác) . ạng : x + y + c = 0 ( c ≠ - 2) ⇒ Đường thẳng MP có dạng Mà M( - 1; 1) thuộc MP nên : - 1 + 1 + c = 0 ⇔ c = 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Phương trình MP: x + y = 0.

ại P ta tìm được P( - 2; 2) . + MP và AC cắt nhau tại ủa AC nên tọa độ điểm C( - 5; 3) . + Mà P là trung điểm của m BC nên tọa độ điểm B: + Điểm M là trung điểm ⇒ B( 3; - 1) + Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A; B và C. Gọi phương trình đường tròn là: x2 + y2 – 2ax - 2by + c = 0 ( a2 + b2 - c > 0) Do A; B và C thuộc đường tròn nên :

Vậy phương trình đường tròn cần tìm có tâm là I( - 5; - 7)

ạo bởi b ba đường Câu 5: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo thẳng 4x - 3y - 65 = 0; 7x - 24y + 55 = 0; 3x + 4y - 5 = 0.

A. (x - 10)2 + y2 = 25 B. (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 C. (x - 10)2 + (y - 2)2 = 25

D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là: AB : 4x - 3y - 65 = 0 ; BC : 7x - 24y + 55 = 0 ; CA : 3x + 4y - 5 = 0 + Suy ra A(11 ; - 7) ; B(23 ; 9) ; C( - 1 ; 2)

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

( - 12 ; 9) Ta có : AB→ ( 12 ; 16) ; AC→ ⇒ AB→ .AC→= 12. ( - 12) + 16.9 = 0 ⇒ AB và AC vuông góc với nhau nên tam giác ABC vuông ở A.

Ta có AB = 20 ; BC = 25 ; CA = 15 ⇒S=

. AB. AC = 150. = 30 là nửa chu vi củaa tam giác ABC.

+ Lại có : S = p.r với p = ⇒r=

= 5.

+ Tâm đường tròn nội tiếp ếp tam giác ABC là I( x ;y) suy ra khoảng cách từ t tâm I ng r = 5 nên ta có: đến đường thẳng đã cho đều bằng 5= Giải hệ này ta tìm đượcc I(10 ; 0) Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x - 10)2 + y2 = 25.

ng vớ với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 1) vàà đường thẳng Câu 6: Trong mặt phẳng điể A, B phân ∆: x - y + 1 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ở 2 điểm biệtt sao cho tam giác MAB vuông ttại M và có diện tích bằng 2.

A. (x + 2)2 + (y - 2)2 = 2 B. (x - 1)2 + (y - 2)2 = 2 C. (x - 1)2 + (y + 3)2 = 16

D. (x - 5)2 + (y - 2)2 = 4

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: + Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình : (x - a)2 + (y - b)2 = R2 + Tam giác MAB vuông tại M nên AB là đường kính và AB = 2R.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

suy ra ∆ qua I do đó : a - b + 1 = 0 (1) Hạ MH ⊥ AB có MH = d(M, ∆) = + Diệnn tích tam giác MAB là: SMAB =

MH.AB ⇔ 2 =

.2R.√2 ⇔ R = √2

Vì đường tròn qua M nên ( 2 - a)2 + (1 - b)2 = 2 (2)

Ta có hệ

Vậy (C) có phương trình: (x - 1)2 + (y - 2)2 = 2 Giải hệ đượcc a = 1; b = 2. Vậ Câu 7: Cho đường thẳng ∆: x - y + 1 = 0 và đường tròn ( C): x2 + y2 – 4x + 2y - 4 thẳng ∆' vuông góc với ∆ và cắt đường tròn tại hai = 0 Viết phương trình đường th khoảng cách của chúng là lớn nhất. điểm phân biệtt sao cho khoả A. x + y - 2 = 0 B. x + y - 1 = 0 C. x + y = 0 D. x + y + 2 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: + Đường tròn ( C): tâm I ( 2; - 1) bán kính R = 3.

kho cách + Vì vuông góc với và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệtt sao cho khoảng của chúng là lớn nhất nên vuông góc với và đi qua tâm I của đường tròn (C). + Đường thẳng ∆': ⇒ Phương trình ∆’: 1( x - 2) + 1( y + 1) = 0 hay x + y - 1 = 0

ng thẳ thẳng cần tìm là ∆’: x + y - 1 = 0 .

Vậy phương trình đường

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Câu 8: Cho đường tròn ( C): x2 + y2 – 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I và đường thẳng ∆ . ệt A, B. Tìm m để Biết rằng đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt nhất? diện tích tam giác IAB là lớn nh A. m = - 2 B. m = 1 C. m = - 4 D. m = 2 Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm I (1; -2), bán kính R = 3. ∆ cắt (C) tạii hai điểm đ ể phân biệt khi và chỉ khi < 3 ⇔ 5m2 + 5m + 17 = 0

d(I; ∆) < R ⇔ (đúng với mọi m)

Vậy với mọi m đường thẳng ẳng ∆ luôn cắt đường tròn tại hai điểm m phân biệt bi A; B.

+ Ta có IA = IB = R = 3 nên diện tích tam giác IAB là: SIAB =

IA.IB.sin

Suy maxSIAB = sin

=1⇔

=

sin

≤

khi và chỉ khi: = 900

ủa I lên khi đó + Gọi H là hình chiếu của

= 450 ⇒ IH = IA.cos450 =

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔ 2( 1 - 2m)2 = 9( 2 + m2 )

Ta có d(I; ∆) = IH ⇔ ⇔ 2 - 8m + 8m2 = 18 + 9m2 ⇔ m2 + 8m + 16 = 0 ⇔ m = - 4

Vậy với m = - 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

ng Oxy, vi viết phương trình đường thẳng ng qua điểm đ O và cắt Câu 9: Trong mặt phẳng 2 2 m A, B sao cho O là đường tròn ( C): x + y – 2x + 6y - 15 = 0 (C) tại hai điểm trung điểm của AB. A. x + 3y = 0 B. x - 3y = 0 C. x - 2y = 0 D. 2x - y = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm I( 1; -3) và bán kính R = 5. + Xét vị trí của điểm O và đường tròn( C): = √10 < R

OI =

⇒ Điểm O nằm trong đường tròn . + Đường thẳng đi qua O và cắt (C) tại A, B với O là trung điểm AB suy ra ∆ ⊥ OI . + Đường thẳng AB: ⇒ phương trình củaa AB: 1( x - 0) – 3( y - 0) = 0 hay x - 3y = 0.

m M(2;2) . Có bao nhiêu đường Câu 10: Cho đường tròn ( C): x2 + y2 = 4 và điểm thẳng qua M và cắtt (C) tai hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2.

A. 0 B. 1 C. 2

D. Vô số

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: + Đường tròn (C) có tâm O(0 ; 0) và bán kính R = 2. Đường thẳng cần tìm có dạng ∆ : ⇒ Phương trình ∆ : a(x - 2) + b( y - 2) = 0 + Gọi H là hình chiếu của O lên AB khi đó H là trung điểm AB nên AH = ⇒ OH =

= √3

+ Ta có OH = d(O; ∆) ⇔ √3 = ⇔ 3( a2 + b2) = 4a2 + 8ab + 4b2 ⇔ a2 + 8ab + b2 = 0 ⇔ a = ( - 4 ± √15)b

ẳng th thỏa mãn là : Từ đó ta có hai đường thẳng √15 = 0 và ∆2 : (-4 - √15)x + y + 6 + 2√15 √15 = 0 ∆1 : (-4 + √15)x + y + 6 - 2√ Chủ đề: Phương trình đường elip Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip A. Phương pháp giải Cho elip (E):

= 1 ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh : A1(- a;0), A2(a; 0), B1( 0; - b), B2(0; b) + Trục lớn : : A1A2 = 2a , trục nhỏ : B1B2 = 2b

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

=1

+Hai tiêu điểm F1(-c; 0); F2(c; 0) vvới c2 = a2 - b2 + Tâm sai e =

<1

ng thẳ thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: + Phương trình các đường x = ± a; y = ±b.

B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho elip có phương ương trình: lần lượt là.

A. 9; 4 B. 6; 4 C. 3; 2

l trục nhỏ = 1 Khi đó độ dài trục lớn,

D. 4; 6

Lời giải

Ta có: - Trục lớn: A1 A1 = 2a = 2.3 = 6 - Trục nhỏ: B1 B2 = 2b = 2.2 = 4 Chọn B

ương trình: Ví dụ 2: Cho elip có phương là.

A. F1 (-√7; 0), F2 (√7; 0) C. F1 (-9; 0), F2 (9; 0)

đ ểm của elip . Khi đó tọa độ tiêu đi

B. F1 (-16; 0), F2 (16; 0) D. F1 (-4; 0), F2 (4; 0)

Lời giải

Ta có:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

- Tiêu điểm là: F1 (-√7;0), F2 (√7;0) Chọn A

ương trình: Ví dụ 3: Cho elip có phương lớn của elip là.

A.A1(-1; 0),A1(1; 0)

đỉ trên trục = 1. Khi đó tọa độ hai đỉnh

B. A1 (0; -1), A1 (0; 1)

C.A1(2; 0),A1 (-1; 0) D. A1 (-2; 0), A1 (2; 0) Lời giải Ta có: a2 = 4 ⇔ a = 2 - Hai đỉnh trên trục lớn là: A1 (-2; 0) , A2 (2; 0) Chọn D

ương trình: Ví dụ 4: Cho elip có phương nhỏ của elip là.

đỉ trên trục = 1 . Khi đó tọa độ hai đỉnh

A. B1(-2; 0), B2(2; 0)

B. B1( 0; 3) và B2(0; 2).

C. B1(-3; 0), B2(-2; 0)

D. B1( 0; -2) và B2(0; 2).

Lời giải Ta có: b2 = 4 ⇔ b = 2 - Hai đỉnh trên trục nhỏ là: B1( 0; -2) và B2(0; 2).

Chọn D

= 1 . Tính tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn l của Elip.

Ví dụ 5: Cho Elip A.

B.

C.

D.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Hướng dẫn Gọi phương trình chính tắc củ của Elip có dạng

= 1 ( a > b > 0 ).

= 1 có a2 = 5, b2 = 4 ⇒ c2 = a2-b2 = 1 ⇒ c = 1

Elip

Độ dài trục lớn: 2a = 2√5 ; tiêu cự 2c = 2.

Tỉ số Chọn B.

Ví dụ 6: Đường Elip A. 2

B. 4

C. 9

= 1 có tiêu cự bằng D.1

Hướng dẫn giải Ta có a2 = 5; b2 = 4 suy ra c =

=1.

Tiêu cự bằng: 2c = 2.

Chọn A. Ví dụ 7: Cho Elip 9x2 + 36y2 – 144 = 0. Câu nào sau đây sai?

A. Trục lớn bằng 8.

B. Tiêu cự bằng 4√3

C. Tâm sai bằng

D. Trục nhỏ bằng 4

Hướng dẫn giải Ta có : 9x2 + 36y2 – 144 = 0 ⇔

=1⇒

⇒ x = 2√3 , e =

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ Trục lớn 2a = 8, trụcc nhỏ 2b = 4.

Tiêu cự 2c = 4√3 và tâm sai e =

.

Chọn C.

ương trình : 9x2 + 25y2 = 225. Lúc đó hình chữ nhật cơ sở Ví dụ 8: Cho Elip có phương có diện tích bằng A. 15; B. 40 C. 60 D. 30 Hướng dẫn giải

Ta có 9x2 + 25y2 = 225 ⇔

=1⇒

⇒

Độ dài trục lớn ( chiều dài hình chữ nhật cơ sở ): 2a = 10 .

ộng hình chữ nhật cơ sở) 2b = 6 . Độ dài trục nhỏ ( chiều rộng Diện tích hình chữ nhật cơ sở là: (2a). (2b) = 10.6 = 60 Chọn C.

Ví dụ 9 : Tâm sai của elip A. 0,4; B. 0, 2 C.

= 1 bằng

D. 4

Hướng dẫn giải

Từ dạng của elip

= 1 ta có

.

Từ công thức b2 = a2 - c2 ⇒ c = 1 .

Tâm sai của elip e = c/a ⇒ e =

=

.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn C. Ví dụ 10: Cho elip ( E): A. 5

B. 6

C. 9

= 1 với a> 0. Tìm a để elip (E) có tâm sai e= 3/5

D. 4

Lời giải

= 1 có b2= 16 nên b= 4.

+ Elip ( E):

⇒ c2= a2- b2 = a2 - 16 ⇒ c= + Tâm sai của elip ( E) là: e = + Theo đầu bài tâm sai e = 3/5 nên : = 3a ⇔ 25( a2 – 16) = 9a2

⇔ 5.

⇔ 25a2 – 400 = 16a2 ⇔ 16a2 = 400 ⇔ a2 = 25 mà a> 0 nên a= 5.

Chọn A. Ví dụ 11 : Cho elip ( E): cơ sở là 20 A. 5

B. 6

C. 8

= 1. Tìm b để elip (E) có chiều dài hình chữ nhật

D. 10

Lời giải + Elip ( E):

= 1 có chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 2a.

nhật cơ sở là 20 thì: 2a= 20 ⇒Để chiều dài hình chữ nhậ

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔a= 10.

Chọn D. Ví dụ 12 : Cho elip ( E): A. 3 B. 4 C. 5

= 1. Tìm a > 0 để tiêu cự của elip là 2√3?

D. 2

Lời giải

= 1 có b2= 1

+ Elip ( E): ⇒ c2= a2- b2 = a2- 1

của elip ( E) là: 2c= 2 và tiêu cự củ

⇒c=

+ Để tiêu cự của elip là 2√3 thì: 2

.

= 2√3

= √3 ⇔ a2- 1= 3

⇔

⇔ a2= 4 mà a> 0 nên a= 2 Chọn D. Ví dụ 13: Cho elip ( E): 20.

A. 5

B. 4

C. 3

= 1. Tìm a > 0 để diện tích hình chữ nhật cơ sở là

D. 10

Lời giải Elip ( E) có b2= 1 nên b= 1.

Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là : 2a.

Chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là: 2b= 2.

ật cơ sở là: ⇒ Diện tích hình chữ nhật

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

(2a) . ( 2b) = 2a. 2= 4a Để diện tích hình chữ nhật ật cơ sở là 18 thì: 4a= 20 ⇔ a= 5.

Vậy a= 5.

Chọn A. C. Bài tập vận dụng Câu 1: Đường Elip

= 1 có 1 tiêu điểm là

A. (0 ; 3) B. (0 ; √6) C. (-√3 ; 0) D. (3 ; 0) Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Ta có: a2 = 9; b2 = 6 nên c2 = a2 - b2 = 3 ⇒ c= √3 suy ra tiêu điểm F1(- √3;0) và F2(√3;0).

Câu 2: Đường Elip

= 1 có tiêu cự bằng

A. 18. B. 6 C. 9 D. 3 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Ta có: a2 = 16; b2 = 7 nên c2 = a2 – b2 = 9 ⇒c=3 suy ra tiêu cự là 2c = 6.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Câu 3: Cho Elip 4x2 + 9y2 - 36 = 0 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Trục nhỏ bằng 4 B. F1(-√5; 0); F2(-√5; 0) C. e =

l bằng 9 D. Trục lớn

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Ta đưa elip về dạng ng chính tắ tắc

= 1 ta có

Từ dạng của elip

=1 .

⇒ Độ dài trục lớnn = 2a= 6 và độ dài trục bé 2b = 4.

Từ công thức b2 = a2 - c2 ⇒ c = √5 ⇒ F1(-√5 ; 0),F2(-√5 ; 0) .

Tâm sai của elip e =

⇒e=

⇒ D sai.

Câu 4: Elip

= 1 có một tiêu điểm là

A. (0; √3). B. (-2 ; 0) C. (3 ; 0) D. (0 ; 3) Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

Từ dạng của elip

= 1 ta có

.

Từ công thức ⇒ c = 2 ⇒ F1(-2 ; 0), F2(0 ; 2) .

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

= 1 có tiêu cự bằng

Câu 5:Elip A. 2 B. 1 C. 4

D. 9

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Từ dạng của elip

= 1 ta có

.

⇒ c2 = a2 - b2 = 1 nên c = 1 ⇒ Tiêu cự là 2c = 2; Câu 6: Cho elip ( E): A. 2 B. 4 C. 8

= 1 có độ dài trục lớn là:

D. 16

Hiển thị lời giải Đáp án:C Trả lời: Elip ( E):

= 1 có a2 = 16 và b2= 1

⇒ a= 4 và b= 1 ⇒ Độ dài trục bé là: 2a= 8 Câu 7:Cho elip ( E): A. 1 B. 2 C. 4

= 1 có độ dài trục bé là:

D. 8

Hiển thị lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Đáp án: C Trả lời: Elip ( E):

= 1 có a2 = 16 và b2= 4

⇒ a= 4 và b= 2 ⇒ Độ dài trục bé là: 2b= 4 Câu 8:Elip

= 1 có diện tích hình chữ nhật cơ sở là:

A. 16 B. 32 C. 9 D. 6 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời:

= 1 ta có: a2 = 16; b2 = 4 .

Từ dạng của elip ⇒ a= 4 và b= 2

⇒ Chiều dài hình chữ nhật ật cơ sở là : 2a= 8 Chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là: 2b = 4

ật cơ sở là: 8.4 = 32. ⇒ Diện tích hình chữ nhật Câu 9:Cho elip ( E): nhật cơ sở là 32.

A. 1 B. 2 C. 3

ện tích hình chữ = 1 với b> 0. Tìm b để elip (E) có diện

D. 4

Hiển thị lời giải Đáp án: A

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Trả lời: Elip ( E):

= 1 có a2= 64 nên a= 8.

ật cơ sở là: 2a = 16. ⇒ Chiều dài hình chữ nhật Chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là: 2b.

ật cơ sở là: 16.2b = 32b. ⇒ Diện tích hình chữ nhật ật cơ sở là 32 thì: 32b = 32 ⇔ b = 1. Để diện tích hình chữ nhật Câu 10: : Elip

= 1 có tâm sai bằng

A. 3 B. 1/2 C. 3/4 D. 1/8 Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Từ dạng của elip

= 1 ta có :

a2 = 4; b2 = 7 nên c2 = 16- 7 = 9 ⇒ a = 4; c = 3.

Tâm sai của elip

.

ương trình : 4x2+ 9y2 = 36 . Lúc đó hình chữ nhật nh cơ sở có Câu 11:Cho Elip có phương diện tích bằng A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 Hiển thị lời giải Đáp án: D

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Trả lời: Ta có 44x2+ 9y2 = 36 ⇔

=1

⇒ a2 = 9; b2 = 4 nên a = 3; b = 2 Độ dài trục lớn ( chiều dài hình chữ nhật cơ sở ) : 2.a = 6

ộng hình chữ nhật cơ sở): 2b = 4 . Độ dài trục nhỏ ( chiều rộng Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 6.4 = 24 Câu 12: Cho elip ( E): A. 1 B. 2 C. 3

= 1 với b > 0. Tìm b để elip (E) có tâm sai e =

D. 4

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: + Elip ( E): ⇒ c2= a2- b2 = 25- b2 ⇒c= + Tâm sai của elip ( E) là: e = + Theo đầu bài tâm sai e = ⇔

= nên :

=

= 3 ⇔ 25 - b2 = 9

⇔b2 = 16 mà b > 0 nên b = 4.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

.

Câu 13:Cho elip ( E): cơ sở là 8 A. 1 B. 2 C. 3

ộng hình chữ nhật = 1. Tìm b để elip (E) có chiều rộng

D. 4

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: + Elip ( E):

= 1 có chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 2b

nhật cơ sở là 8 thì: 2b = 8 ⇒Để chiều rộng hình chữ nhậ ⇔ b = 4.

Câu 14:Cho elip ( E): A. 3 B. 4 C. 6

= 1. Tìm a > 0 để tiêu cự của elip là 4√3?

D. 8

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: + Elip ( E):

= 1 có b2 = 4

⇔ c2 = a2 - b2 = a2 - 4 ⇔ c = √(a2 -4) và tiêu cự củ của elip ( E) là: 2c = 2√(a2 -4). + Để tiêu cự của elip là 4√3 thì: 2√(a2 -4) = 4√3 ⇔ √(a2 -4) = 2√3 ⇔ a2 - 4 = 12 ⇔ a2 = 16 mà a > 0 nên a = 4

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Viết phương trình chính tắc của Elip A. Phương pháp giải

ên quan ta tìm được phương - Từ các thành phần đã biết, áp ddụng các công thức liên trình chính tắc của elip: =1 - Các hệ thức: + 0 < b < a; 0 < c < a + c2 = a2 - b 2 + F1F2 = 2c ( tiêu cự) + A1A2 = 2a (độ dài trụcc lớn) .

nhỏ). + B1B2 = 2b( độ dài trụcc nhỏ + M thuộc ( E) ⇔ MF1 MF2= 2a.

B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng vvới hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E) có độ dài trục lớn bằng 6. Phương trình nào sau đây ây là phương phươ trình của bằng 12 và độ dài trụcc bé bằ elip (E)?

A.

=1

C.

B.

D.

Lời giải Phương trình chính tắc của ủa elip có ddạng

= 1 (a,b > 0).

ằng 12 nên 2a= 12 ⇒ a= 6 Ta có độ dài trục lớn bằng

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Vậy phương trình củaa Elip là:

= 1.

Chọn C

ẳng vớ với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn Ví dụ 2: Trong mặt phẳng bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương phươ trình của bằng 10 và độ dài tiêu cự bằ elip (E)?

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

Lời giải Ta có: + Độ dài trục lớn bằng ng 10 nên 2a = 10 ⇒ a = 5 + Độ dài tiêu cự là 6 nên 2c = 6 ⇒ c = 3 ⇒ b2 = a2 – c2 = 52- 32 = 16 Vậy phương trình củaa Elip là:

= 1.

Chọn A

ẳng vớ với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ Ví dụ 3: Trong mặt phẳng bằng 10. Phương trình nào sau đây ây là phương phươ trình của bằng 8 và độ dài tiêu cự bằ elip (E) A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

Lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ta có: + Độ dài trục nhỏ là 8 nên 2b= 8 ⇔ b= 4. + Độ dài tiêu cự bằng 10 nên 2c= 10 ⇔ c= 5 Suy ra : a2 = b2 + c2 = 42+ 52 = 41 Vậy phương trình củaa Elip là:

=1

Chọn D

ôi trục bé và có tiêu Ví dụ 4: Tìm phương trình chính ttắc của Elip có trục lớn gấp đôi cự bằng 4√3.

A.

=1

C.

=1

B. D.

=1

=1

Lời giải

của Elip Gọi phương trình chính tắc củ

Ta có

= 1 (a,b > 0). .

⇒

⇒

⇒ Phương trình elip ( E) :

=1

Chọn D Ví dụ 5: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu ằng 1/3 . cự với độ dài trục lớn bằng A.

=1

B.

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C.

=1

=1

D.

Lời giải

của Elip có dạng Gọi phương trình chính tắc củ

= 1 (a,b > 0).

Tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3 nên

⇒ a = 3c.

Lại có trục lớn bằng 6 nên 2a= 6 ⇔ a= 3 Mà a = 3c nên c = 1 ⇒ b2 = a2 - c2 = 8 ⇒ Phương trình chính tắc elip ( E) :

=1

Chọn B Ví dụ 6: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M( 4; 3) A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

Lời giải

của Elip có dạng Gọi phương trình chính tắc củ

= 1 (a,b > 0).

ật cơ sở có tọa độ: ( a;b) ; ( a; - b); ( -a; -b) và (-a; b).

Các đỉnh của hình chữ nhật

của hình chữ nhật cơ sở nên chọn Ta có M(4; 3) là một đỉnh củ ⇒ Phương trình elip ( E) :

.

= 1.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn A Ví dụ 7: Phương trình của Elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục ụ nhỏ bằng 6 là: A. 9x2 + 16y2 = 144 C. 9x2 + 16y2 = 1

B.

=1

D.

=1

Lời giải Gọi phương trình chính tắc củ của Elip có dạng

= 1 (a,b > 0).

Ta có độ dài trục lớn là 8 và độ dài trục nhỏ bằng 6 nên:

⇒

= 1 hay 9x2 + 16y2 = 144

⇒ Phương trình elip ( E) : Chọn A

ng 26, tâm sai e = Ví dụ 8: Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng là A.

=1

C.

=1

B. D.

=1

=1

Lời giải + Ta có độ dài trục lớn là 26 nên 2a = 26 ⇔ a = 13 + Tâm sai của elip (E): e = ⇔ c = 12

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ b2 = a2 – c2 = 132- 122 = 25

ủa elip là: (E): Phương trình chính tắc của

= 1.

Chọn B

ới trục tr bé bằng Ví dụ 9: Elip có một tiêu điểm F( -2; 0) và tích độ dài trục lớn với 12√5. Phương trình chính tắắc của elip là: A.

=1

B.

C.

=1

D.

=1 =1

Lời giải Elip ( E) có một tiêu điểm F(-2; 0) nên c = 2.

lớn với trục bé bằng 12√5 nên : Elip ( E) có tích độ dài trục lớ √5 ⇒a = 2a. 2b = 12√5 hay ab = 3√5 Lại có: a2 - b2 = c2 nên

- b2 = 4

⇔ 45- b4 = 4b2 ⇔ Với b2 = 5 thì b = √5 ⇒ a =

= 3.

của Elip là ⇒ Phương trình chính tắc củ

= 1.

Chọn A

ỏ bằng bằ 12 và tỉ số Ví dụ 10: Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ lớn bằng 4/5. của tiêu cự với độ dài trục lớ

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

Lời giải Gọi phương trình chính tắc củ của Elip là:

= 1 (a,b > 0).

Độ dài trục nhỏ của Elip là 12 suy ra 2b = 12 ⇒ b = 6. ( 1) Tiêu cự của Elip là 2c; độ dài trục lớn là 2a theo giả thiết ta có:

(2)

nên c = Mặt khác a2 - b2 = c2 ( 3)

Thay (1); ( 2) vào ( 3) ta được: a2 - 62 = ⇔ a2 - 36=

⇔

= 36

⇔ a2 = 100 Vậy phương trình cần tìm là ( E) :

= 1.

Chọn D C. Bài tập vận dụng

ằng 2 và trục lớn Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tiêu cự bằng bằng 10?

A.

=1

B.

C.

=1

D.

=1

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Hiển thị lời giải Đáp án:A Trả lời: Từ đề ta có:

⇒

Từ công thức b2 = a2 - c2 ⇒ b =

ủa elip: Phương trình chính tắc của

=1

ằng Câu 2: Tìm phương trình chính ttắc của elip nếu nó có tâm sai bằng trục lớn bằng 6?

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

và độ dài

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là Do (E) có tâm sai bằng

⇔

⇔

= 1 (a,b > 0).

và độ dài trục lớn bằng 6 nên ta có:

⇒ ( E ):

=1

tr bé và có Câu 3: Tìm phương trình chính ttắc của elip nếu nó trục lớn gấp đôi trục tiêu cự bằng 4√3

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là

= 1 (a,b > 0).

Do (E) có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3 nên :

⇔

⇔

⇔

⇒ ( E ):

=1

ật cơ sở bằng 32 Câu 4:: Elip (E) có tiêu điểm F( 2√3;0) và diện tích hình chữ nhật có phương trình chính tắc là: A.

=1

B.

C.

=1

D.

=1

=1

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là

= 1 (a,b > 0).

Elip ( E) có tiêu điểm: F(2√3;0) nên c=2√3 => c2= 12.

Hình chữ nhật cơ sở có diện tích: S= ( 2a).(2b)= 4ab= 32 ⇔ ab= 8

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔a2.b2 = 64 ⇔ a2 ( a2 – c2)= 64 ⇔ a2 ( a2 – 12) = 64 ⇔ a4—12a2- 64= 0 ⇔ a2= 16 ⇒ b2 = 4 Vậy phương tình elip là:

=1

Câu 5:Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.

A.

=1

C.

=1

B.

=1

D.

=1

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời:

ớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị nên: Elip ( E) có độ dài trục lớn 2a - 2b = 4 hay a - b = 2 ⇔ a = b + 2 ( 1) Elip ( E) có độ dài trục nhỏỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị nên 2b - 2c = 4 ⇔ b - c = 2 ⇔ c = b - 2. ( 2) Lại có: a2= b2 + c2 ( 3) Thay (1), ( 2) vào ( 3) ta được = b2 +

⇔ b2 + 4b+4= b2 + b2 – 4b+ 4

⇔ b2 - 8b=0 ⇔

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Với b = 8 thì a = b + 2 = 10

của Elip là: => Phương trình chính tắc củ

=1

ụ nhỏ và tiêu Câu 6:Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục ương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64. cự bằng √2, tổng bình phương A.

=1

B.

C.

=1

D.

=1 =1

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Elip ( E) có tỉ số độ dài trụục nhỏ và tiêu cự bằng √2 nên : = √2 ⇒ c =

⇒ c2 =

(1) .

+ Mặt khác, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64 nên: ( 2a)2 + ( 2c)2 = 64 ⇔ 4a2 + 4c2 = 64 ⇔ a2 + c2 = 16 (2) Lại có: a2= b2 + c2 ( 3).

Giải hệ phương trình ( 1) ; ( 2) và (3) ta được :

c=

ủa Elip là: Phương trình chính tắc của

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ới độ dài trục lớn Câu 7:Elip có tổng độ dài hai trục bằng 18 và tỉ số của tiêu cự với . Phương trình chính tắc của elip là

bằng A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là

= 1 (a,b > 0).

ủa Elip là 18 nên : + Tổng độ dài hai trục của 2a + 2b = 18 ⇔ a + b = 9 ⇔ b = 9 - a (1)

vớ độ dài trục Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số của tiêu cự với lớn bằng

nên :

=

=

=> c =

(2)

Mà a2 - b2 = c2 ( 3)

Thay (1); ( 2) vào ( 3) ta được : a2 – (9 - a)2 = ⇔

⇔ a2 – 81 + 18a – a2 =

-18a + 81 = 0 ⇔

+ Với a = 45 thì b = 9- 45 = - 36 < 0 loại. + Với a = 5 thì b= 9 - 5 = 4 Vậy phương trình cần tìm là:

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ới độ dài trục lớn Câu 8: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với . Phương trình chính tắc của elip là:

bằng A.

=1

B.

C.

=1

D.

=1 =1

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là

= 1 (a,b > 0).

ủa Elip là 2a + 2b = 10 ⇔ a + b = 5 ⇔ b = 5 - a ( 1) + Tổng độ dài hai trục của + Tiêu cự của Elip là 2c; độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số: =

nên c =

( 2)

Mà a2 – b2 = c2 ( 3) Thay (1);( 2) vào (3) ta được : a2 - ( 5 - a )2 =

⇔

⇔ a2 – 25 + 10a – a2=

- 10a+ 25 = 0 ⇔

+ Với a = 15 thì b = 5- 15 = - 10 < 0 loại. + Với a = 3 thì b = 5 - 3 = 2 Vậy phương trình cần tìm là:

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Lập phương trình Elip đii qua 2 đđiểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện A. Phương pháp giải

ng trình elip (E) đi qua hai điểm A và B : + Bài toán 1: Lập phương - Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) :

= 1 (a > b > 0).

m A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm đ này vào - Bước 2: Do hai điểm 2 2 phương trình ( E) ta được hai phương trình ẩn a ; b .

Giải hệ phương trình ta được a2; b2...

của elip. ⇒ Phương trình chính tắc củ ng trình chính tắc của elip ( E) đi qua điểm ểm M và thỏa mãn + Bài toán 2: Lập phương điều kiện T ( về tiêu cự ; độ dài trục lớn- trục nhỏ; tâm sai....)

- Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) :

= 1 (a > b > 0).

ộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phươn phươ g trình - Bước 2: Do điểm M thuộc ( E) ta được một phương trình ẩn a2; b2

thiết lập một phương trình ẩn a ; b và c.

- Bước 3: Từ điều kiệnn T thiế Mà a2 – b2 = c2. Kết hợpp ba phương trình trên để tìm a; b; c.

của elip ( E) . ⇒ Phương trình chính tắc củ B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Elip đi qua các điểểm M ( 0; 3) và N( 3; là: A.

=1

B.

) có phương ng trình chính tắc

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C.

=1

D.

=1

Lời giải Gọi phương trình chính tắc củ của Elip là

= 1 (a > b > 0).

m M( 0; 3) suy ra: Elip đi qua điểm ⇔

=1

= 1 ⇔ b2 = 9 ( 1)

Elip đi qua điểm N N( 3;

) suy ra:

Thay( 1) vào ( 2) ta được:

= 1 ( 2)

=1

= 1 ⇔ a2= 25

⇔

Vậy phương trình cần tìm là:

=1

Chọn B Ví dụ 2: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A( 0; 5).

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D. Đáp án khác

Lời giải

của Elip có dạng Gọi phương trình chính tắc củ

= 1 (a > b > 0).

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ta có tiêu cự bằng 6 nên: 2c = 6 ⇒ c = 3 và a2 - b2 = c2 = 9 ( 1) Do điểm A(0; 5) thuộcc ( E) nên: ⇔ b2 = 25 mà b> 0 nên b= 5.

=1⇔

Thay vào (1) ta được : a2 – 25 = 9 ⇔ a2 = 34

của elip ( E) : ⇒ Phương trình chính tắc củ

=1

Chọn D

ôi trục bé và đi qua Ví dụ 3: Tìm phương trình chính ttắc của Elip có trục lớn gấp đôi điểm A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

Lời giải Gọi phương trình chính tắc củ của Elip có dạng

= 1 (a > b > 0).

trục bé nên : 2a = 2.( 2b) Theo đề ra: Trục lớn gấp đôi tr ⇔ a = 2b ⇔ a2 = 4b2 Điểm ( 2; -2) thuộc Elip :

Ta được hệ:

=1⇔

=1

⇒

⇒ Phương trình elip ( E) :

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn D Ví dụ 4: Phương trình chính tắc của Elip có một tiêu điểm F1(-√3; 0 ) và đi qua M(1;

) là

A.

=1

B.

C.

=1

D.

=1 =1

Lời giải Do elip có một tiêu điểm là F1(- √3; 0) nên c = √3

ủa elip có ddạng : Phương trình chính tắc của = √3 ⇒ a2 - b2 = 3(1)

= 1 (a > b > 0) ⇒ c =

(E) : M(1;

)∈ (E) ⇒

= 1 ⇔ 4b2 + 3a2 = 4a2 b2 (2)

Giải hệ (1) và (2)

⇔

⇔

Vậy phương trình elip là:

⇔

=1

Chọn C Ví dụ 5: Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1(- 2;0); F2(2; 0) và đi qua điểm M( 2; 3) là A.

=1

B.

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C.

=1

D. Tất cảả sai

Lời giải + Gọi phương trình chính tắắc của elip cần tìm:

= 1 (a > b > 0).

+ Ta có elip có hai tiêu điểm F1(- 2;0); F2(2; 0) nên c = 2 ⇒ a2- b2=c2 = 4 ⇒ a2= b2 + 4 ( 1)

m M( 2; 3) nên : + Do elip đi qua điểm = 1 ( 2)

hương trình : + Từ (1) và (2) ta có hệ phươ

+ Giải phương trình ( *) ⇔ 4b2 + 9( b2+ 4) = b2 ( b2 + 4) ⇔ 4b2 + 9b2+ 36 = b4 + 4b2 ⇔ b4 – 9b2 -36 = 0 ⇔ b2 = 12 ⇒ a2 = b2 + 4 = 16

của elip ( E) : ⇒ Phương trình chính tắc củ

=1

Chọn A Ví dụ 6: Lập phương trình chính tắc của elip có tâm O; hai trục đối đố xứng là hai trục toạ độ và qua hai điểm A.

=1

B.

, =1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C.

=1

D.

=1

Lời giải Gọi phương trình chính tắc elip ccần tìm là

Do elip đi qua

,

= 1 (a > b > 0).

nên ta có hệ :

⇔ Vậy elip cần tìm là

=1

Chọn C Ví dụ 7: Tìm phương trình chính ttắc của elip nếu nó có chiều rộng ộng hình chữ nhật cơ sở là 8 và đii qua A(5; 0) ?

A.

=1

B.

C.

=1

D.

=1 =1

Lời giải Gọi phương trình chính tắc củ của elip

= 1 (a > b > 0).

Do chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 nên 2b = 8 ⇔ b = 4

m A( 5;0) nên: Do elip đi qua điểm

=1

⇔ a2 = 25

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

ủa elip : Phương trình chính tắc của

=1

Chọn B

m A(6; 0) và tỉ số Ví dụ 8: Tìm phương trình chính ttắc của elip nếu nó đi qua điểm lớn bằng của tiêu cự với độ dài trục lớ A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

.

Lời giải Gọi phương trình chính tắc củ của Elip là:

m A( 6;0) suy ra: Elip đi qua điểm

= 1 (a > b > 0). =1

=1 ⇔ a2 = 36 mà a > 0 nên a = 6.

⇔

Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng =

=

⇒c=

=

suy ra :

=3

⇒ b2 = a2 – c2 = 62 – 32= 27 Vậy phương trình cần tìm là ( E) :

=1

Chọn A C. Bài tập vận dụng

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

m A(2; 1) và có tiêu Câu 1: Tìm phương trình chính ttắc của elip nếu nó đi qua điểm cự bằng 2√3 ?

A.

=1

B.

C.

=1

D.

=1

=1

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là

= 1 (a > b > 0).

Do elip có tiêu cự là 2√3 nên 2c= 2√3 ⇔ c= √3.

m A(2; 1) và có tiêu cự bằng nên ta có Do ( E) đi qua điểm

⇔

⇔

⇒

⇔ =1

Vậy phương trình (E):

m A( 6;0) và có tâm Câu 2: Tìm phương trình chính ttắc của elip nếu nó đi qua điểm sai bằng 1/2

A.

C.

=1

=1

B.

D.

=1

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là

= 1 (a > b > 0).

m A(6; 0) và có tâm sai bằng 1/2 nên ta có: Do ( E) đi qua điểm

⇔

⇔

⇒(E):

⇔

=1

Câu 3: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua M(√15 ; 1)

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Giả sử elip có phương trình tổng quát là

= 1 (a > b > 0).

Do ( E) có tiêu cự bằng 8 và đi qua M(√15 ; -1) nên:

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔

⇔

⇔

⇔

⇒

⇒

⇒ Phương trình chính tắc củ của elip(E):

=1

Câu 4: Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có chiều dài hình chữ nhật cơ sở bằng 4√5 và đi qua điểm M( 0; -1)?

A.

=1

B.

C.

=1

D.

=1 =1

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Gọi phương trình chính tắc củ của Elip là:

= 1 (a > b > 0).

nhật cơ sở bằng 4√5 suy ra: Elip có chiều dài hình chữ nh 2a= 4 √5 nên a= 2√5 và a2= 20 Elip đi qua điểm M(0; -1) suy ra: ⇒

= 1 ( 2)

= 1 ⇒ b2 = 1

Vậy phương trình cần tìm là:

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Câu 5: Elip qua điểm M(2; tắc của elip là: A.

=1

B.

C.

=1

D.

) và có một tiêu điểm F( 2; 0) . Phương trình chính

=1 =1

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời:

của Elip là: Gọi phương trình chính tắc củ

= 1 (a > b > 0).

Elip có một tiêu điểm là F( 2; 0) suy ra c= 2 và c2= 4 ⇔ a2- b2 = 4 (1).

Elip đi qua điểm M(2;

) suy ra

= 1 ( 2).

Từ (1) suy ra a2= b2 + 4 thay vào (2) ta được : =1 ⇔ 36b2 + 25( b2 +4) = 9b2 ( b2 + 4) ⇔ 36b2 + 25b2 + 100 = 9b4 + 36b2 ⇔ 9b4 – 25b2 – 100 = 0 ⇔ b2 = 5 nên a2 = b2 + 4 = 9 Vậy phương trình cần tìm là ( E):

=1

m N(2; Câu 6: Tìm phương trình chính ttắc của elip nếu nó đi qua điểm của tiêu cự với độ dài

) và tỉ số

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Gọi phương trình chính tắc củ của Elip là: Elip đi qua điểm N( 2;

) suy ra:

Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng

=

=

⇒ c2 =

= 1 (a > b > 0). = 1 ( 1) suy ra:

⇒c= .

Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2 ta được : b2 = a2 -

=

hay 9b2 = 5a2 (2)

Thay ( 2) vào ( 1) ta được : =1⇔

=1

⇔a2= 9 ⇔ b2 = 5 Vậy phương trình cần tìm là ( E):

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(2; √3) và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

.

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời:

của Elip là: Gọi phương trình chính tắc củ

= 1 (a > b > 0).

Elip đi qua điểm A( 2; √3) suy ra:

=1 ( 1)

ới tiêu cự bằng Tỉ số của độ dài trục lớn với =

=

suy ra:

và c2 =

⇒c=

Kết hợp với điều kiện b2 = a2 - c2 ta được : b2 = a2 -

=

nên a2= 4b2 ( 2) .

Thay ( 2) vào (1) ta được :

= 1 ⇔ b2 = 4

⇒ a2 = 4b2 = 16 Vậy phương trình cần tìm là:

=1

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

điể A( 7;0) và Câu 8: . Lập phương trình chính ttắc của elip, biết elip đi qua hai điểm B(0; 3).

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời:

của Elip là : Gọi phương trình chính tắc củ Elip đi qua điểm A( 7; 0) suy ra: ⇔

=1

= 1 ⇔ a2= 49.

m B(0; 3) suy ra: Elip đi qua điểm ⇔

= 1 (a > b > 0).

=1

= 1 ⇔ b2 = 9

Vậy phương trình cần tìm là :

=1

Câu 9: Elip đi qua các điểm A( 0; 1) và N( 1; A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

) có phương trình chính tắc là:

Hiển thị lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Đáp án: C Trả lời: Gọi phương trình chính tắc củ của Elip là :

m A( 0; 1) suy ra: Elip đi qua điểm ⇔

=1

=1 ⇔ b2 = 1 ( 1)

Elip đi qua điểm N( 1;

) suy ra: :

Thay( 1) vào ( 2) ta được: ⇔

= 1 (a > b > 0).

=

= 1 ( 2) =1

⇔ a2 = 4

Vậy phương trình cần tìm là ( E) :

=1

Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip A. Phương pháp giải + Phương trình elip có dạng:

= 1 và đường thẳng ∆:: y = mx + n

+ Ta xét phương trình:

= 1 (*) . Ta có 3 trường hợp:

TH1: (*) có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).

p xúc elip).

TH2: (*) có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp TH3: (*) vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung).

B. Ví dụ minh họa

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ví dụ 1: Cho elíp (E): = 1 và đường thẳng d: 3x + 4y - 12 = 0. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là: A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

Lời giải Ta có d: 3x + 4y - 12 = 0 nên y = 3 ta được:

, thay vào phương trình (E):

=1

⇔ 2x2 - 8x = 0

⇔ Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(0; 3); B (4;0).

Chọn C.

2y + 2 = 0 . Số giao Ví dụ 2: Cho elip (E): = 1 và đường thẳng d: x - √2y điểm của đường thẳng d và elip ( E) là: A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

Lời giải Tọa độ giao điểm củaa elp (E) và d ( nếu có) là nghiệm của hệ:

+ Giải (*) ta được: (√2 y - 2)2 + 2y2 = 8 ⇔ 2y2 - 4√2 y + 4 + 2y2 = 8

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔ 4y2 - 4√2 y - 8 = 0 phương trình trên có hai nghiệm ⇒ cho ta 2 giá trị x tương ứng. ⇒ Số giao điểm của (E) và d là 2.

Chọn C. Ví dụ 3 : Cho Elip N. Khi đó: A. MN =

B. MN =

= 1 : . Đường thẳng (d): x = - 4 cắtt (E) tại tạ hai điểm M,

C. MN =

D. MN =

Hướng dẫn: Elip (E) có a2 = 25; b2 = 9 ⇒ c2 = 25 - 9 = 16 nên c = 4

thẳng đi qua tiêu điểm F1( - 4; 0) của ( E) .

Dể thấy (d): x = - 4 là đường th Do đó MN = 2MF1 = Chọn C. Ví dụ 4: Đường thẳng ng y = kx ccắt Elip

điể = 1 (a > b > 0) tạii hai điểm

ục Oy. B. đối xứng nhau qua trục Ox. A. đối xứng nhau qua trục ốc toạ độ O. D. Các khẳng định trên đều u sai.

C. đối xứng nhau qua gốc Hướng dẫn Vì (E) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O và hàm số y = kx là hàm số lẻ nên đồ thị ứng là O(0; 0) của nó cũng có tâm đối xứng

ắt elip ttại hai điểm đối xứng vớii nhau qua gốc gố tọa độ O. ⇒ đường thẳng y = kx cắt Chọn C.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Ví dụ 5: Cho elip 3x2 + 4y2 – 48 = 0 và đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0. Giao điểm của d và Elip là : A. (0; - 4); (-2; -3) B. (4; 0); (3; 2) C. (0; 4); (-2; 3) D. (-4; 0); (2; 3) Hướng dẫn giải Xét hệ phương trình: (*) Giải (*): 3( 4y2 – 16y + 16) + 4y2 - 48 = 0 ⇔ 12y2 – 48y + 48 + 4y2 - 48 = 0 ⇔16y2 – 48y = 0 ⇔ Vậy giao điểm củaa elip ( E) là ( - 4; 0) và ( 2; 3).

Chọn D.

ủa đường thẳng ( d): x - y - 3 = 0 và elip ( E): Ví dụ 6: Tìm giao điểm của 1.

A. (

;

) B. (

;

)

C. ( 10; 7) D. ∅

Hướng dẫn giải Xét hệ phương trình:

(*) Giải ( *) ⇔ (y + 3)2 + 4y2 = 4 ⇔ y2 + 9y + 9 + 4y2 – 4 = 0

ương trình này vô nghiệm ⇔ 5y2 + 9y + 5 = 0 phương

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

=

ng d không cắ cắt elip (E).

Vậy đường thẳng Chọn D.

ủa đường thẳng d: x + 2y - 5 = 0 và elip ( E): Ví dụ 7: Tìm giao điểm của 1.

A. M(

;

) B. M( -

;-

) C. M(

;

) D. M(

;

=

)

Lời giải Xét hệ phương trình:

(*) Giải phương trình ( *) ⇔ 4(5 - 2y)2 + 9y2 = 36 ⇔ 100 - 80y + 16y2 + 9y2 = 36 ⇔ 25y2 – 80y + 64 = 0 ⇔y=

⇒x=

Vậy đường thẳng d cắtt elip ( E) ttại một điểm là M(

;

)

Chọn A. C. Bài tập vận dụng Câu 1: Tìm giao điểm ( nếu ếu có ) của đường thẳng d: x - 2y = 0 và ( E): 1.

A. (2; 1) B. ( - 2; -1) và ( -2; 1) C. ( 2; 1) và ( -2; -1) D. ( 2; -3) và ( 2; 1) Hiển thị lời giải Đáp án: C

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

=

Trả lời: Xét hệ phương trình:

(*) Giải phương trình ( *) ⇔ 4y2 + 4y2 = 8 ⇔ 8y2 = 8 ⇔ y2 = 1 ⇔

ắt elip ( E) ttại hai điểm A( 2; 1) và B( -2; -1).

Vậy đường thẳng (d) cắt Câu 2: Cho elip( E): 16x2 + 25y2 = 100. Tìm các giá trị của b để đường thẳng m chung vvới elip? (d): y = x + b có điểm ≤b≤

A. -

B. 2 < b < 3 C. -

≤b≤

D.

≤b≤

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Đường thẳng ng (d): y = x + b có điểm chung với elip khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :

Thay ( 2) vào ( 1) ta được : 16x2 + 25( x + b)2 = 100 ⇔ 16x2 + 25x2 + 50bx + 25b2 – 100 = 0 ⇔ 41x2 + 50bx + 25b2 - 100 = 0 ( *) Phương trình ( *) có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔ (25b)2 – 41( 25b2 - 100) ≥0 ⇔ - 400b2 + 4100 ≥0 ≤b≤

⇔-

Câu 3: Cho elip ( E): 4x2 + 9y2 = 36 và M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt elip tại hai điểm A; B sao cho MA = MB? A. x + 3y - 4 = 0 B. x - y = 0 C. 4x + 9y - 13 = 0 D. 2x - y - 1 = 0 Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: + Phương trình đường thẳng ẳng d: qua M(1; 1) ; hhệ số góc k là: (d): y = k( x - 1) + 1 ⇔ y = kx - k + 1 + Tọa độ giao điểm củaa (d) và ( E) là nghiệm hệ phương trình :

Thay ( 2) vào (1): 4x2 + 9(kx - k + 1)2 = 36 ⇔ ( 4 + 9k2) x2 – 18k( k - 1)x + 9k2 - 18k - 27 = 0 ( *)

ểm thì phương trình (*) có hai nghiệm m phân biệt bi ⇔ ∆' ≥ 0. Để (d) cắt ( E) tại hai điểm ⇔ [ 9k(k - 1)]2 – (4 + 9k2) (9k2 – 18k - 27) > 0 ⇔ 9k2 (k - 1)2 – (4 + 9k2) ( k2 - 2k - 3) > 0 ⇔ 32k2 + 8k + 12 > 0 luôn đđúng với mọi k.

Vậy phương trình ( *) luôn có hai nghiệm phân biệt và xA + xB = thức Viet)

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

( hệ

Theo giả thiết MA = MB ⇔ xA + xB = 2xM = 2 nên k =

⇔ + Thay k =

vào (2) ta được: (d): 4x + 9y - 13 = 0

Câu 4: Cho elip 2x2 + 3y2 – 18 = 0 và đường thẳng d: 3x + y - 9 = 0. Giao điểm của d và Elip là : A. (-2; 9) và ( C. (0; 2) và (

; ;

) B. (4;- 9) và ( ) D. (3; 0) và (

; ;

) ).

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Xét hệ phương trình:

Giải (*): 2x2 + 3( 81 - 54x + 9x2) – 18 = 0 ⇔ 2x2 + 243 - 162x + 27x2 - 18 = 0 ⇔ 29x2 - 162x + 225 = 0

⇔ Vậy giao điểm củaa elip ( E) là (3; 0) và (

;

).

m củ của đường thẳng ( d): x - 3y - 3 = 0 và elip ( E): Câu 5: Tìm số giao điểm = 1 có hoành độ nguyên?

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời: Xét hệ phương trình:

Giải ( *) ⇔ 2(3y + 3)2 + 9y2 = 18 ⇔ 18y2 + 36y + 18 + 9y2 – 18 = 0 ⇔ 27y2 + 36y = 0 ⇔ Vậy đường thẳng d cắtt elip (E) ttại hai điểm và hai điểm đó có hoành độ nguyên .

ủa đường thẳng d: x + y - 10 = 0 và elip ( E): Câu 6: Tìm giao điểm của A. ∅ B. M( -

;-

)

C. M(

;

) D. M(

;

)

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Xét hệ phương trình:

Giải phương trình ( *) ⇔ ( 10 - y)2 + 9y2 = 9 ⇔ 100 – 20y + y2 + 9y2 = 9

ương trình vô nghiệm . ⇔ 10y2 - 20y + 91 = 0 phươ

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

= 1.

ng d không cắ cắt elip ( E).

Vậy đường thẳng Câu 7: Đường thẳng d: x - 2y - 2 = 0 cắt elip ( E): hoành độ x1; x2. Tính x1 + x2 A. 0 B.

ạ hai điểm có = 1 tại

C. 2 D.

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Xét hệ phương trình:

Giải phương trình ( *) ⇔ (2y + 2)2 + 2y2 = 4 ⇔ 4y2 + 8y + 4 + 2y2 = 4 ⇔ 6y2 + 8y = 0

⇔ Vậy đường thẳng (d) cắt ắt elip ( E) ttại hai điểm A( 2; 0) và B( ⇒ x1 + x2 = 2 +

;-

).

=

Câu 8: Cho elip( E): 4x2 + 25y2 = 100. Tìm các giá trị của b để đường thẳng m chung vvới elip? (d): y = 2x + b có điểm

√6 ≤ b ≤ √6 A. -2√26 ≤ b ≤ 2√26 B. -√ C. -

≤b≤

D.

≤b≤

Hiển thị lời giải

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Đáp án: A Trả lời: Đường thẳng ng (d): y = 2x + b có điểm chung với elip khi và chỉ khi hệ h phương trình sau có nghiệm :

Thay ( 2) vào ( 1) ta được : 4x2 + 25( 2x + b)2 = 100 ⇔ 4x2 + 100x2 + 100bx + 25b2 – 100 = 0 ⇔ 104x2 + 100bx + 25b2 - 100 = 0 ( *) Phương trình ( *) có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0 ⇔ (50b)2 – 104( 25b2 - 100) ≥ 0 ⇔ - 100b2 + 10400 ≥ 0 ⇔ - 2√26 ≤ b ≤ 2√26 Các dạng bài tập khác về đường Elip B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Biếtt Elip (E) có các tiêu điểm F1( - √7; 0), F2(√7; 0) và đi qua M(- √7; ứng vvới M qua gốc toạ độ. Khi đó ) . Gọi N là điểm đối xứng A.

= 1 B. OM = 3

C. ON = 3 D. NF1 + MF1 = 8.

Hướng dẫn giải: Ta có N đối xứng vớii M qua ggốc tọa độ nên N(√7; -

).

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Suy ra: NF1 =

; MF1 =

Từ đó: NF1 + MF1 = 8.

Chọn D.

ương trình 16x2 + 25y2 = 100.Tính tổng ng khoảng kho cách từ Ví dụ 2: Cho elíp có phương điểm thuộc elíp có hoành độ x = 2 đến hai tiêu điểm.

A. √3 B. 2√2 C. 5 D. 4√3 Hướng dẫn giải: Ta có: 16x2 + 25y2 = 100 ⇔

ột điể điểm bất kì thuộc Elip đến 2 tiêu điểm bằng ằng 2a = 5.

Tổng khoảng cách từ một Chọn C. Ví dụ 3: Cho Elip (E): = 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu điểm M có hoành ng cách ttừ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng độ bằng 1 thì các khoảng A. 4 ± √2 B. 3 và 5. C. 3,5 và 4,5 . D. 4 ± Hướng dẫn giải Ta có a2 = 16; b2 = 12 nên c2 = a2 - b2 = 4 ⇒ a = 4; c = 2 và hai tiêu điểm F1 ( - 2;0); F2 (2;0). Điểm M thuộc (E) và xM = 1 ⇒ yM = ± Tâm sai của elip e =

⇒e=

.

⇒ MF1 = a + exM = 4,5; MF2 = a - exM = 3,5

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Chọn C. Ví dụ 4: Cho elip (E): = 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu M có hoành độ bằng - 13 thì khỏang cách từ M đế đến hai tiêu điểm bằng A. 10 và 6 B. 8 và 18 C. 13 ± √5 D. 13 ± √10 Hướng dẫn giải Từ dạng của elip

= 1 ta có

Suy ra: c2 = a2 – b2 = 25 nên c = 5.

Tâm sai của elip e =

⇒e=

.

⇒ MF1 = a + exM = 8; MF2 = a - exM = 18 Chọn B. Ví dụ 5: Cho elip (E): = 1 , với tiêu điểm F1; F2. Lấy hai điểm A; B thuộc elip (E) sao cho AF1 + BF1 = 8. Khi đó, AF2 + BF2 = ?

A. 6 B. 8 C. 12 D. 10 Lời giải + Elip ( E):

= 1 có a2 = 25 nên a = 5

+ Do A ∈( E) nên AF1 + AF2 = 2a = 10. + Do B ∈( E) nên BF1 + BF2 = 2a = 10 ⇒ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 20 ⇔ (AF1 + BF1 ) + (AF2 + BF2 ) = 20

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔ 8 + (AF2 + BF2 ) = 20 ⇔ AF2 + BF2 = 12 Chọn C.

d đường Ví dụ 6: Cho elip (E): = 1. Qua một tiêu điểm củaa (E) dựng thẳng song song với trụcc Oy và cắt (E) tại hai điểm M và N. Tính độ dài MN. A.

B.

C. 25 D.

Lời giải + Xét elip (E):

= 1 có:

a2 = 100; b2 = 36 nên c2 = a2 – b2 = 64 + Khi đó, Elip có tiêu điểm F1 ( - 8; 0) ⇒ đường thẳng d// Oy và đi qua F1 là x = - 8. + Giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình :

m củ của d và (E) là M( - 8; Vậy tọa độ hai giao điểm

) và N( - 8; -

)

⇒ MN = Chọn B. Ví dụ 7: Cho ( E): m A(2; 2) và song = 1. Một đường thẳng đi qua điểm song với trục hoành cắtt (E) tạ tại hai điểm phân biệt M và N. Tính độ dài MN. A. 3√5 B. 15√2 C. 2√15 D. 5√3

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Lời giải + Phương trình đường thẳng ẳng d: ⇒ (d) có phương trình là y = 2 + Ta có d cắt (E) tại M và N nên tọa độ M và N là nghiệm hệ phương trình:

⇒ Tọa độ hai điểm M( √15; 2);N( - √15; 2)

ng MN = 22√15 .

Vậy độ dài đoạn thẳng Chọn C. = 1. Hỏi có bao nhiêu điểm thuộc ộc elip có tọa t độ

Ví dụ 8: Cho elip: nguyên?

A. 1 B. 4 C. 3

D. 8

Lời giải Nếu điểm M(x; y) thuộcc elip thì các điểm A( x; - y) ; B( - x; y) ; C( - x; - y) cũng thuộc elip. Do đó; ta xét điểm M có ttọa độ nguyên dương. = 1 ⇔ x2 = 8 - 4y2

Từ

Phương trình trên có nghiệm nnếu: 8 - 4y2 ≥ 0 Kết hợp x; y > 0 nên 0 < y ≤ √2 ⇒ y = 1 và x = 2.

tọa độ nguyên là: (2;1); (-2; 1); (2; -1) và ( -2; -1) ⇒ Các điểm thuộcc elip có tọ Chọn B.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

= 1. Có bao nhiêu điểm M thuộcc elip sao cho M nhìn Ví dụ 9: Cho elip: hai tiêu điểm dưới mộtt góc 600?

A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

Lời giải + Ta có; a2 = 9; b2 = 5 nên c2 = a2 – b2 = 4 ⇒ a = 3 và c = 2. + Elip có hai tiêu điểm là F1( - 2; 0) và F2 ( 2; 0)

m M ta có: MF1 = a + + Với mọi điểm

=3+

; MF2 = a -

=3-

MF1 + MF2 = 2a = 6 + Xét tam giác MF1F2; áp dụng định lí cosin ta có: F1F22 = MF12 + MF22 – 2. MF1. MF2. cosM = [ ( MF1 + MF2)2 - MF1 = a +

=3+

] – 2.MF1.MF2.cos600.

⇔ 42 = 62 – 3.MF1. MF2 ⇔ 16 = 36 - 3. (3 + ⇔ 20 = 3. ( 9 ⇔x=±

) .( 3 -

)

) ⇔ x2 =

⇒y=±

Vậy có bốn điểm thỏa mãn là:

Chọn D.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

C. Bài tập vận dụng Câu 1: Cho elip (E): ủa elip lần l lượt = 1. Hai điểm A; B là hai đỉnh của nằm trên hai trụcc Ox; Oy. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng: A. 34 B. √34 C. 5 D. 4 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Ta có: a2 = 25 và b2 = 9 ⇒ a = 5; b = 3. ⇒ Tọa độ hai đỉnh A và B là ( 5;0) và (0; 3). ⇒ OA = 5 và OB = 3.

Tam giác OAB vuông tại O có AB =

= √34

Vậy AB = √34.

ục llớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ Câu 2: Một elip (E) có trục dài trục lớn bằng: A. e =

B. e =

C. e =

D. e =

Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời: Xét phương trình chính tắc củ của elip ( E):

=1

Độ dài trục lớn là 2a.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Độ dài trục nhỏ là 2b.

Do độ dài trục lớn dài gấp ba llần độ dài trục nhỏ nên: 2a = 3.(2b) ⇔ a = 3b ⇔ a2 = 9b2 ⇔ a2 = 9(a2 – c2) ⇔ 8a2 = 9c2 ⇔ Vậy e =

. = 1. Khoảng cách giữa hai đỉnh nh A( a;0) và B(0; b)

Câu 3: Một elip (E): gấp

lần tiêu cự củaa nó. Tỉ ssố e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: ằng:

A. e =

B. e =

C. e =

D. e =

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Ta có khoảng cách giữaa hai đđiểm A và B là: AB = Tiêu cự của elip đã cho là 2c.

điểm AB gấp Do khoảng cách giữa hai điể AB =

F1 F2 ⇔

=

lần tiêu cự của nó nên:

.2c = 3c

⇔ a2 + b2 = 9c2 ⇔ a2 + (a2 - c2) = 9c2 ⇔ 2a2 = 10c2 ⇔ a2 = 5c2

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇔ Vậy e =

.

Câu 4: Cho điểm m M(2; 3) nnằm trên đường elip (E) có phương trình chính tắc: = 1. Trong các điểm sau đây điểm nào không nằm trên (E): A. M1(-2; 3) B. M2(2; -3) C. M3(-2; -3) D. M4(3; 2) Hiển thị lời giải Đáp án: D Trả lời:

ng qua Ox có ttọa độ là (2; -3) Điểm M đối xứng ng qua Oy có ttọa độ là (-2; 3). Điểm M đối xứng ốc tọ tọa độ O có tọa độ là (-2; -3). Điểm M đối xứng qua gốc Elip nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng; nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nên các điểm M1; M2; M3 đều thuộc elip (E).

= 1 có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số ố e của củ tiêu cự với Câu 5: Elip (E): ằng: độ dài trục lớn của (E) bằng: A. e = 1 B. e = √2

C. e =

D. e =

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời:

ớ c= Elip (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b; tiêu cự là 2c với bằng tiêu cự nên: 2b = 2c ⇔ b = c Elip (E) có độ dài trụcc bé bằ

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Suy ra: b2 = c2 ⇔ a2 - c2 = c2 ⇔ a2 = 2c2 ⇔ Vậy tâm sai e = Câu 6: Elip (E): = 1 có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng vớii hai tiêu điểm tạo b thành một hình vuông. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn củaa (E) bằng: A. e = 1. B. e = √2

C. e =

D. e =

Hiển thị lời giải Đáp án: C Trả lời:

ớ c= Elip (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b; tiêu cự là 2c với Eip (E) có hai tiêu điểm là F1 ( - c; 0) và F2 (c; 0).

Hai đỉnh trên trục nhỏ là: B1(0; - b) và B2 (0; b).

Do hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông nên tứ giác B2F2B1F1 là hình vuông. ⇒ tam giác F2B1F1 vuông cân tại B1 ⇒ OB1 = (F1 F2)/2 ⇒ b = c Suy ra: b2 = c2 ⇔ a2 - c2 = c2 ⇔ a2 = 2c2 ⇔

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

Vậy tâm sai e = = 1 và M là một điểm tùy ý trên (E). Khi đó:

Câu 7: Cho elip (E): ):

A. 3 ≤ OM ≤ 4 B. 4 ≤ OM ≤ 5 C. OM ≥ 5 D. OM ≤ 3 Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: Ta có: a2 = 16 nên a = 4 và b2 = 9 nên b = 3.

Mà OB ≤ OM ≤ OA ⇒ 3 ≤ OM ≤ 4 Câu 8: Cho elip ( E): = 1. Tìm điểm M trên ( E) sao cho MF1 = 2MF2 trong đó F1; F2 là hai tiêu điểm của elip?

A. M(5; 0) và M( 0; -3) B. ( C. (

;

) và (

;-

; )

) và (

;-

)

D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Elip đã cho có: a2 = 25; b2 = 9 ⇒ c2 = a2 – b2 = 16.

Suy ra: a = 5 và c = 4. + Ta có: MF1 = a +

=5+

; MF2 = a -

=5-

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

+ Để MF1 = 2MF2 ⇔ 5 + ⇔5+

= 10 - 2.

⇔x=

⇒y=±

⇔ 3.

= 2(5 -

)

=5

Vậy có hai điểm M thòa mãn: (

;

) và (

;-

)

= 1. Có bao nhiêu điểm M thuộcc elip sao cho M nhìn hai Câu 9: Cho elip: tiêu điểm dưới một góc 900?

A. 0 B. 2 C. 3

D. 4

Hiển thị lời giải Đáp án: A Trả lời: + Ta có; a2 = 9; b2 = 5 nên c2 = a2 – b2 = 4 ⇒ a = 3 và c = 2. + Elip có hai tiêu điểm là F1(-2; 0) và F2 ( 2; 0) + Do điểm M nhìn hai tiêu điểm một góc 900 nên M thuộc đường tròn đường kính F1 F2 . ⇒ M là giao điểm củaa elip (E) và đường tròn đường kính F1F2. + Lập phương trình đường tròn đường kính F1F2: ( C) : ⇒ Phương trình (C): x2 + y2 = 4 + Đường tròn và elip cắt nhau ttại M nên tọa độ M là nghiệm hệ

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com

⇒ Hệ phương trình trên vô nghiệm nên đường tròn và elip không cắt nhau Vậy không có điểm M nào thỏa mãn.

Phát hành PDF bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đăng ký Word doc qua Zalo 0905779594 Email thanhtuqn88@gmail.com