CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG PHẠM MAI TRANG ĐHSPHN 2

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ

U Y .Q

Phương trình bậc hai………………………………………………………………...........……….2 Giải và biện luận phương trình bậc hai……………………………….............................………...2 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ……………………………………............................………...8

H Ư

N

G

Đ

I) 1.

2.

TO

ÁN

Ứng dụng phương trình bậc hai để giải các phương trình khác……………………..........……..30 Sử dụng phương trình bậc hai giải và biện luận phương trình bậc ba……............................…..30 Sử dụng phương trình bậc hai giải và biện luận phương trình bậc bốn……................................37 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quy về phương trình bậc hai………...............................42 Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc hai…………………............................…49

ÀN

III) 1.

2.

3.

4.

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

II) Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của hệ thức Vi-ét...........……..............……………………………...10 1.

Hệ thức Vi-ét thuận và ứng dụng..................................................................................................10 1.1.

Tính giá trị của biểu thức nghiệm..................................................................................................10 1.2.

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.......................................................................................................................................................13 1.3.

Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho...........................15 1.4.

Xác định dấu các nhiệm của phương trình bậc hai........................................................................20 1.5.

Tìm gia trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm..........................................................22 2.

Hệ thức Vi-ét đảo và ứng dụng.....................................................................................................25 2.1.

Lập phương trình bậc hai...............................................................................................................25 2.2.

Tìm hai số biết tổng và tích...........................................................................................................28

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

B.Nội dung bài học………………………………………………………………………….................…2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

A.Mục tiêu dạy học…………………………………………………………………….................……...2

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

MỤC LỤC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

IỄ N

C. Hình thức, kế hoạch dạy học..............................................................................................................51

D

D. Kiểm tra, đánh giá……………………………………………………………................…………..52

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 1 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

10 00

Nhắc lại kiến thức cũ.

Khái niệm phương trình bậc 2: có dạng tổng quát là : ax 2 + bx + c = 0 ( ≠ 0) Khái niệm Delta: ∆= b − 4ac ( hoặc nếu b = 2b′ , ta có thể tính △' = (b′) 2 − ac ) Hệ số a,b,c.

H

Ó

A

a. b. c.

-L

Í-

1. Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (1) 1.1. Phương pháp chung.

ÁN

Trường hợp 1: a = 0.

Nếu b = 0.

Đ

a.

ÀN

Phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0 ⇔ bx = −c. ( 2 )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

NỘI DUNG BÀI HỌC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

A. MỤC TIÊU DẠY HỌC • Căn cứ: Chuẩn KT-KN Yêu cầu của nhà trường Khả năng, mong muốn của HS… • Mục tiêu dạy học:

Về kiến thức: HS hiểu, biết cách giải và biện luận phương trình bậc 2.

HS hiểu, nhận dạng được, biết giải các phương trình quy về phương trình bậc 2: phương trình có ẩn ở mẫu số, phương trình trùng phương, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối……..

HS hiểu, biết vận dụng định lý Vi-ét thuận và đảo vào giải bài tập.

Về kĩ năng: HS giải và biện luận thành thạo phương trình bậc 2.

HS giải được các phương trình quy về phương trình bậc 2: phương trình có ẩn ở mẫu số, phương trình chứa ăn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích…….

HS vận dụng thành thạo hệ thức Vi-ét thuận và đảo để giải bài tập.

D

IỄ N

Phương trình 2) tương đương 0 = −c ⇔ c = 0 .

Nếu c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R.

Nếu c ≠ 0, phương trình vô nghiệm.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 2 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

−c Phương trình có nghiệm duy nhất . b

Trương hợp 2: a ≠ 0.

a.

Nếu ∆< 0 (hoặc ∆′ < 0).

N

H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

Kết luận:

10 00

B

Với a = b = c, phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Với a = b = 0 và c ≠ 0, phương trình vô nghiệm.

-

−c . b

Ó

Với a ≠ 0 và

A

Với a = 0 và b ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x =

-

Í-

H

*∆< 0, 1ℎươ34 56ì3ℎ 7ô 34ℎ8ệ9.

ÁN

-L

*∆= 0 (hoặc ∆′ = 0 ), phương trình có nghiệm kép x 0 = −

b b' (hoặc x 0 = − ).

2a a

TO

*∆> 0 (hoặc ∆′ > 0), phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 2 =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

−b ± △ − b' ± △' (hoặc x1,2 = ).

2a a

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 =

-

ẠO

H Ư

N

G

Nếu ∆> 0 (hoặc ∆′ > 0).

b b' (hoặc x 0 = − ).

2a a

Đ

Phương trình (1) có nghiệm kép x 0 = x1 = x 2 = − c.

N

TP

Nếu ∆= 0 (hoặc ∆′ = 0 ).

b.

U Y .Q

Phương trình (1) vô nghiệm.

−b ± △ − b' ± △' (hoặc x1,2 = ).

2a a

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta tính biệt thức ∆= b − 4ac ( hoặc nếu b = 2b' , ta có thể tính ∆' = b′) − ac)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Phương trình ( 2 ) ⇔ x =

Ơ

Nếu b ≠ 0.

b.

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

D

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m là tham số): mx 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0 .

(1)

Giải.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H .Q

Nếu △' > 0 ⇔ m < 4 . ?ℎươ34 56ì3ℎ 1)có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =

TP

m−2± 4−m m

ẠO G N m−2± 4−m m

B

0 ≠ m < 4. ?ℎươ34 56ì3ℎ Dó ℎ 8 34ℎ8ệ9 1ℎâ3 E8ệ5: x1,2 =

-

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

m > 4. ?ℎươ34 56ì3ℎ 7ô 34ℎ8ệ9.

-

1 2

TR ẦN

m = 4. Phương trình có nghiệm kép x 0 =

-

3 4

H Ư

m = 0. Phương trình có nghiệm duy nhất: x =

-

Đ

Kết luận.

10 00

1.2.Bài tập vận dụng.

A

Bài 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m.

mx 2 − 2 ( m + 3) x + m + 1 = 0

b)

( 4m + 1) x 2 − 4mx + m − 3 = 0

c)

2mx 2 − 2 m 2 − 1 x + m = 0

d)

x 2 . = m −1 x +1

-L

)

Giải.

TO

ÁN

(

Í-

H

Ó

a)

Trường hợp 1. m = 0. Phương trình có dạng: −6x + 1 = 0 ⇔ x =

Đ

a.

Trường hợp 2. m ≠ 0, ta đi tính biệt thức ∆' = 5m + 9.

IỄ N D

U Y

N

1 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nếu △' = 0 ⇔ m = 4 . Phương trình 1)có nghiệm kép x 0 =

N

Nếu △' < 0 ⇔ 4 − m < 0 ⇔ m > 4 . ?ℎươ34 56ì3ℎ 1)vô nghiệm.

Nếu △' < 0 ⇔ 5m + 9 < 0 ⇔ m <

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trường hợp 2. m ≠ 0, ta đi tính biệt thức ∆' = 4 − m.

3 4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Trường hợp 1. m = 0. Phương trình có dạng: 4x − 3 = 0 ⇔ x =

1 6

−9 . Phương trình 1)vô nghiệm.

5

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 4 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

b), c), d) làm tương tự theo phương pháp chung. e) Ta cần xét mẫu khác 0 sau đó làm tương tự.

TR ẦN

Bài 2. Tìm m để phương trình mx + 2 m − 1)x − 2 = 0 có nghiệm duy nhất.

B

Giải.

10 00

Xét hai trường hợp của m.

Trường hợp 1. m = 0. Phương trình có dạng : − 2x − 2 = 0 〈=〉 x = −1.

Ó

A

Trường hợp 2. m ≠ 0. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Í-

H

〈=〉∆' = 0 〈=〉 m − 1) + 2m = 0 〈=〉m + 1 = 0 vô nghiệm).

-L

Vậy với m = 0 phương trình có nghiệm duy nhất.

TO

ÁN

Bài 3. Cho phương trình bậc hai : x − 2 m − 1)x + m − 4m + 7 = 0

a) b)

Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

IỄ N

Đ

Giải.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y TP ẠO

m + 3 ± 5m + 9 m

G

0 ≠ m < 4. ?ℎươ34 56ì3ℎ Dó ℎ 8 34ℎ8ệ9 1ℎâ3 E8ệ5: x1,2 =

-

Đ

m > 4. ?ℎươ34 56ì3ℎ 7ô 34ℎ8ệ9.

-

−2 3

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

m = 4. Phương trình có nghiệm kép : x 0 =

-

1 6

.Q

m = 0. Phương trình có nghiệm duy nhất: x =

N

Kết luận.

-

N

−9 m + 3 ± 5m + 9 . Phương trình 1)có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = 5 m

H

Nếu △' > 0 ⇔ m <

−9 −2 . Phương trình 1)có nghiệm kép x 0 = 5 3

Ơ

Nếu △' = 0 ⇔ m =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

D

a)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆' > 0

〈=〉 m − 1) − m − 4m + 7) > 0 〈=〉 2m − 6 > 0 〈=〉 m > 3.

Vậy với m > 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 5 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆' = 0 〈=〉 2m − 6 = 0 〈=〉 m = 3.

= 2.

N

H

Ơ

N

Bài 4. Với giá trị nào của m thì phương trình m − 3)x − 2 3m − 4)x + 7m − 6 = 0có hai nghiệm bằng nhau.

m≠3

U Y .Q

ẠO

m = −2 1 T .T 1〈=〉 X m= m = −2 hoặc m = 2 2

Đ

〈=〉 U

TP

Phương trình đã cho có hai nghiệm bằng nhau khi và chỉ khi m≠3 m≠3 m − 3 ≠ 0〈=〉 T 〈=〉 S R R

' 3m − 4) − m − 3) 7m − 6) = 0 2m + 3m − 2 = 0 ∆=0

Vậy với m = −2 hoặc m = thì phương trình đã cho có hai nghiệm bằng nhau.

TR ẦN

H Ư

Bài 5. Cho phương trình : Z − 29 − 1)Z + 9 − 29 = 0

N

G

P

Tìm các giá trị của m để :

B

a, Phương trinh có nghiệm.

10 00

b, Phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

A

Giải.

Ó

a, Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

-L

Í-

H

∆≥ 0 〈=〉 29 − 1) − 4 9 − 29) ≥ 0 〈=〉 49 + 1 ≥ 0 〈=〉 9 ≥

ÁN

b, Phương trình có nghiệm kép kh và chỉ khi

∆= 0 〈=〉 29 − 1) − 4 9 − 29) = 0 〈=〉 49 + 1 = 0 〈=〉 9 =

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

NOP)

ÀN

Và nghiệm kép là Z = − ] = . ^ \

N

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Khi đó nghiệm kép là : x =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

b)

−1 .

4 −1 .

4

D

IỄ N

Đ

Bài 6. Cho phương trình 2Z − 29 − 7)Z − 29 + 6 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu, đồng thời nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

Giải.

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 6 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

O _`a

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

< 0 〈=〉 − 29 + 6 < 0 〈=〉 9 > 3 1). Khi đó có tổng hai nghiệm là

O\

Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương khi và chỉ khi

]

=

_Ob

.

Ơ

N

29 − 7 7 < 0 〈=〉 29 − 7 < 0 〈=〉 9 < 2) 2 2

Kết hợp (1) và (2) ta được 3 < 9 < .

H N

Vậy có hai điểm cố định cần tìm là A(1 ; 1) và B(-1 ; -1).

H Ư

N

G

Đ

Xem (1) là phương trình ẩn m. Cần tìm x, y để (1) được nghiệm đúng với mọi 9 ≠ 0, điều này chỉ xảy Z = ±1 T Z − 1 = 0 〈=〉 R ra khi R . c=Z Z−c =0

TR ẦN

Bài 8. Cho hai phương trình : Z − Z + 9 = 0 1)7à Z − 3Z + 9 = 0 2).

10 00

B

Với giá trị nào của m thì phương trình (2) có một nghiệm khác 0 lớn gấp hai lần một nghiệm của phương trình (1).

Giải.

Ó

A

Giả sử Zh ≠ 0 ià 34ℎ8ệ9 Dủ 1)5ℎỏ 9ã3 đề Eà8, mℎ8 đó 34ℎ8ệ9 5ươ34 ứ34 Dủ 2)nẽ ià 2Zh .

H

Thay vào hai phương trình ta có:

-L

Í-

Zh − Zh + 9 = 0 3)7à 4Zh − 6Zh + 9 = 0 4).

ÁN

Trừ từng vế của (4) và (3) được: 3Zh − 5Zh = 0 〈=〉Zh = 0 ipạ8), Zh = N.

Thay Zh = N 7àp 3)5 đượD 9 = q

ÀN

Đ

s

Phương trình (5) có hai nghiệm ZP =

IỄ N

.

, hai phương trình đã cho có dạng Z − Z −

OPh s

OPh

q

Rõ ràng ZN = 2Z . Vậy 9 = −

Ph s

Ph s

= 0 5), Z − 3Z −

, Z = N. Phương trình (6) có hai nghiệm ZN = N

O

q

là giá trị cần tìm.

Bài 9. Cho parabol P) : y = x − 3x + 2 và đường thẳng d : y = −x + m.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Ph s

= 0 6)

, Z^ = N

Ph

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Hàm số c = 9Z + Z − 9 Dó 5ℎể 78ế5 fướ8 fạ34 Z − 1)9 + Z − c = 0 1).

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

Giải.

Đảo lại: Nếu 9 =

D

U Y

Bài 7. Tìm các điểm cố định mà parabol (P) : c = 9Z + Z + 9 luôn đi qua khi m thay đổi (m≠ 0)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

OP N

.

Page 7

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

a, Hãy biện luận số giao điểm của d và (P).

N

b, Trong trường hợp đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B, hãy tìm giá trị của m để A và B ở về hai phía của trục Oy.

H

Ơ

Giải.

N

G

Đ

Nếu ∆' > 0〈=〉m > 1 5ℎì 1)có hai nghiệm phân biệt nên d cắt P)tại hai điểm phân biệt A, B

H Ư

b, Vì hoành độ giao điểm A, B của d và (P) là nghiệm của phương trình (1) nên A và B ở về hai phía của Oy khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

2.1. Phương pháp chung

B 10 00

2. Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ

TR ẦN

Muốn vậy thì 2 − m < 0 〈=〉 m > 2.

H

Ó

A

Với a,b,c là các số nguyên, xét phương trình ax + bx + c = 0

-L

Í-

Ta đi xét các bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỉ. Khi đó ta sử dụng kết quả của hai định lý sau:

ÁN

Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm hữu tỷ là biệt số ∆ là một số chính phương

Định lý 2: Nếu xh = } với p, q) = 1 là nghiệm hữu tỷ của phương trình thì q là ước của a và p là ước

ÀN

của c.

|

IỄ N

Đ

Ví dụ: Tìm các số nguyên a để phương trình Z − 3 + 2 )Z + 40 − = 0 có nghiệm nguyên.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Nếu ∆' = 0 〈=〉 m = 1 thì 1)có một nghiệm kép nên d chỉ cắt P)tại một điểm.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nếu ∆' < 0 〈=〉 m < 1 5ℎì 1ℎươ34 56ì3ℎ 1) vô nghiệm nên d không cắt P).

TP

Vậy số giao điểm của d và (P) bằng số nghiệm của (1). Ta có ∆' = m − 1.

.Q

(1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

x − 3x + 2 = −x + m 〈=〉x − 2x + 2 − m = 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a, Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của phương trình :

D

Giải.

Phương trình có nghiệm nguyên khi ∆= 4 + 16 − 151 là số chính phương

〈=〉 4 + 16 − 151 = m 7ớ8 m ∈ 〈=〉 2 + 4) − m = 167 7ớ8 m ∈ .

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 8 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

〈=〉 2 + 4 + m) 2 + 4 − m) = 167 7ớ8 m ∈ .

Vì 167 là số nguyên tố nên:

G

. Do các nghiệm là hữu tỷ nên a − 4b phải

O ±√ O^

N

Giải: Nghiệm của phương trình đã cho là: xP, =

TR ẦN

H Ư

là số chính phương suy ra a − 4b = k , k ∈ Z. Xét hai khả năng xảy ra đói với a

Giả sử a là số lẻ suy ra k là số lẻ

B

Giả sử a chẵn suy ra k chẵn

10 00

Vậy a, k cùng tính chẵn, lẻ

Suy ra −a ± √a − 4b là một số chẵn, tức xP, là những số nguyên.

Ó

A

Bài 2. CMR nếu phương trình Z + Z + E = 0

-L

Í-

H

7ớ8 , E ià DáD nố 34 cê3, Dó DáD 34ℎ8ệ9 ℎữ 5ỷ, 5ℎì DáD 34ℎ8ệ9 đó ià 3ℎữ34 nố 34 cê3.

Giải.

ÁN

Nghiệm của phương trình đã cho là: ZP, =

O]±√] O^\

.

TO

Do các nghiệm là hữu tỷ nên − 4E 1ℎả8 ià nố Dℎí3ℎ 1ℎươ34 〈=〉 − 4E = m , m ∈ .

(1)

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

Bài 1. Chứng minh rằng nếu phương trình ax + bx + c = 0, với a,b là các số nguyên, có các nghiệm hữu tỷ, thì các nghiệm đó là các số nguyên

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

2.2. Bài tập ứng dụng

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy tồn tại hai giá trị a=40 và a=−44 để phương trình có nghiệm nguyên.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

N

2a + 4 + k = 1 T 〈=〉 4a + 8 = 168 〈=〉a = 40 T= x = 0 .T S x = 83 2a + 4 − k = 167 T

2a + 4 + k = −1 〈=〉T x = −1 S 4a + 8 = −168 〈=〉 a = −44T= .T 2a + 4 − k = −167 x = −84

D

IỄ N

Xét hai khả năng xảy ra đối với a Giả sử a là số lẻ, khi đó từ (1) suy ra k lẻ.

Giả sử a là số chẵn, khi đó từ (1) suy ra k chẵn.

Vậy a, k cùng tính chẵn, lẻ. Suy ra − ± √ − 4E là một số chẵn, tức ZP, là những số nguyên.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 9

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

II: HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT

Ơ

N

1.Hệ thức Vi-ét thuận và ứng dụng

Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng S và tích P

(

2

)

x12 + x2 2 = x12 + 2 x1 x2 + x2 2 − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2

b)

2 x13 + x23 = ( x1 + x2 ) x12 − x1 x2 + x2 2 = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2    1 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2

Ó

A

c)

)

10 00

(

B

a)

Í-

H

Bài tập: Biến đổi biểu thức để xuất hiện: x1 + x2 và x1 x2 x12 − x2 2

b)

x13 − x2 3

c)

1 1 + x1 − 1 x2 − 1

ÁN

TO

x1 − x2

Đ

d)

-L

a)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

1.1.1: Biến đổi biểu thức để xuất hiện: x1 + x2 và x1 x2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

N

G

Đối với bài toán này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng S và tích P để áp dụng hệ thức vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP ẠO

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức nghiệm

Đ

1.1.

U Y

−b   S = x1 + x2 = a Theo định lý vi-ét thuận ta có:   P=xx = c 1 2  a

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1 ; x2

D

IỄ N

Hướng dẫn: a)

x12 − x2 2 = ( x1 + x2 )( x1 − x2 )

b)

2 x13 − x23 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2   

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 10 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

c)

1 1 x − 1 + x2 − 1 x1 + x2 − 2 + = 1 = x1 − 1 x2 − 1 ( x1 − 1)( x2 − 1) x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1

d)

x1 − x2 =

2

=

( x1 + x2 )

2

− 4 x1 x2

Ơ

N

( x1 − x2 )

1 1 + x1 x2

c)

x1 x2 + x2 x1

d)

( x1 + x2 )

U Y

b)

.Q

x12 + x2 2

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

a)

H Ư

N

G

2

TR ẦN

Lời giải:

x + x = 8 Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình trên ta có:  1 2 (1)  x1 x2 = 15

B

2

(2)

10 00

a) Ta có: x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2

Ó

(3)

H

1 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2

Í-

b)Ta có:

A

Thay (1) vào (2) ta được: x12 + x2 2 = 82 − 2 × 15 = 64 − 30 = 34

-L

1 1 8 + = x1 x2 15 2

TO

ÁN

Thay (1) vào (3) ta được:

x1 x2 x12 + x2 2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 c)Ta có: + = = x2 x1 x1 x2 x1 x2

(4)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ví dụ: Cho phương trình: x 2 − 8 x + 15 = 0 không giải phương trình hãy tính

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

1.1.2:Không giải phương trình, tính giá trị cảu biểu thức nghiệm

D

IỄ N

Đ

x1 x2 82 − 2 × 15 34 Thay (1) vào (4) ta được: + = = 15 15 x2 x1 2

2

d)Thay (1) vào biểu thức ( x1 + x2 ) ta được: ( x1 + x2 ) = 82 = 64 Bài tập:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 11 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x1 x + 2 x2 + 1 x1 + 1

c.

x14 + x2 4

Ơ

b.

H

1 − x1 1 − x2 + x1 x2

.Q

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2 5 x1 x23 + 5 x13 x2

Đ

Q=

G

Hướng dẫn:

H Ư

N

Bài 1:

B

TR ẦN

3   x1 + x2 = 2 Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình trên ta có:   xx =1  1 2 2 1 − x1 1 − x2 x1 + x2 − 2 x1 x2 + = =1 x1 x2 x1 x2

10 00

a. Ta có:

2

(

)

2

ÁN

Bài 2:

2 17 2 − 2 x12 x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  − 2 x12 x2 2 =   16

Í-

x14 + x2 4 = x12 + x2 2

-L

c.

H

Ó

A

x1 x x 2 + x2 2 + x1 + x2 ( x1 + x2 ) + x1 + x2 − 2 x1 x2 11 + 2 = 1 = = b. Ta có: x2 + 1 x1 + 1 x1 + x2 + x1 x2 + 1 12 ( x1 + 1)( x2 + 1)

TO

 x + x = 4 3 Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình trên ta có:  1 2  x1 x2 = 8

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 2: Cho phương trình: x 2 − 4 3 + 8 = 0 không giải phương trình hãy tính

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

a.

N

Bài 1: Cho phương trình: 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 không giải phương trình hãy tính

D

IỄ N

Đ

Ta có:

2 2 2   6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2 6 x1 + x2 + 10 x1 x2 6 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  + 10 x1 x2 17 = = = Q= .

2 80 5 x1 x23 + 5 x13 x2 5 x1 x2 x12 + x2 2 5 x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2   

(

)

(

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)

Page 12 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1.2.Dạng 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

N

Cách làm

H

Ơ

B1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2

Lời giải: Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:

TR ẦN

H Ư

sao cho chúng phụ thuộc vào m

A

10 00

B

 m ≠1 m ≠1  m − 1 ≠ 0  m ≠1  ⇔ ⇔ 2 ⇔ ⇔ 4 ′ − − 1 − 4 ≥ 0 m m m ( )( )  ∆ ≥0 5m − 4 ≥ 0  m ≥ 5

H

Ó

Theo hệ thức Vi-et ta có:

ÁN

-L

Í-

2m 2    x1 + x2 = m − 1  x1 + x2 = 2 + m − 1 (1) ⇔  − m 4  xx =  x x = 1 − 3 (2) 1 2   1 2 m −1 m −1

ÀN Đ

IỄ N

Từ (2) ta có:

2 2 = x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 = ( 3) m −1 x1 + x2 − 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

Ví dụ: Cho phương trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Lập hệ liên hệ giữa x1 ; x2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Đ

nghiệm x1 và x2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q ẠO

B3: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các

Từ (1) ta có:

D

TP

B2: Áp dụng hệ thực Vi-et viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a ≠ 0 ⇔ ∆ ≥ 0

3 3 = 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 = ( 4) m −1 1 − x1 x2

Đồng nhất (3) và (4) ta có:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 13 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2 3 = ⇔ 2 (1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0 x1 + x2 − 2 1 − x1 x2

Ơ

N

Bài tập:

H

Bài 1: Cho phương trình: x 2 − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 có hai nghiệm x1 và x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ

Đ

phụ thuộc vào m

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Bài 3: Cho phương trình: ( m − 1) x 2 − 2mx + m + 1 = 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 ; x2 không

N

G

Hướng dẫn:

TR ẦN

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:

H Ư

Bài 1:

10 00

B

a =1≠ 0  ⇔ (luôn đúng) 2 2 2 ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0

⇒ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m

H

Ó

A

Theo hệ thức Vi-et ta có:

ÁN

-L

Í-

m = x1 + x1 − 2 (1)  x1 + x2 = m + 2  ⇔  x1 x2 + 1 ( 2)  x1 x2 = 2m − 1  m= 2  Thay (1) vào (2) ta có:

x1 x2 + 1 ⇔ 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0 2

Đ

ÀN

x1 + x2 − 2 =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

phụ thuộc vào m

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 2: Cho phương trình: 2 x 2 + ( 2m − 1) x + m + 1 = 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 ; x2 không

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập với m

IỄ N

Bài 2:

D

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì: a=2≠0 2≠0 2≠0    ⇔ ⇔ ⇔ (luôn đúng)   2 2 2 4m − 12m + 9 ≥ 0  ∆ = ( 2m − 1) − 8 ( m − 1) ≥ 0 ( 2m − 3) ≥ 0

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 14 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m Theo hệ thức Vi-et ta có:

.Q TP

= 2 x1 x2 + 1 ⇔ 2 ( x1 + x2 ) + 4 x1 x2 + 1 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Đ

Bài 3:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

ẠO

1 − 2 ( x1 + x2 )

H Ư

N

Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:

Theo hệ thức vi-ét ta có:

-L

Í-

Thay (1) vào (2) ta được:

H

Ó

A

10 00

x +x  2m  m = 1 2 (1) x + x =  1 2  x1 + x2 − 2  m −1 ⇔   x x = m +1  m = x1 x2 + 1 ( 2 ) 1 2 m −1 x1 x2 − 1  

B

TR ẦN

m −1 ≠ 0  m ≠ 1 ⇔ ⇔ ⇔ m ≠1 2 ∆′ = m − ( m − 1)( m + 1) ≥ 0  1 ≥ 0

ÁN

x1 + x2 x x +1 = 1 2 ⇔ x1 + x2 − x1 x2 − 1 = 0 x1 + x2 − 2 x1 x2 − 1

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thay (1) vào (2) ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

N

1 − 2m   1 − 2 ( x1 + x2 )  x1 + x2 = 2 (1) m = ⇔ 2   x x = m −1  m = 2 x x + 1( 2 ) 1 2   1 2 2

Đ

ÀN

1.3.Dạng 3: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho

IỄ N

Cách làm:

D

B1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 : a ≠ 0 ⇔ ∆ ≥ 0

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 15 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

B2: Từ biểu thức đã cho, áp dụng hệ thức vi-ét để giải phương trình chứa tham số B3: Đối chiếu với điều kiện xác định tham số cần tìm

H

U Y .Q

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

H Ư

N

Theo hệ thức vi-ét ta có:

B

TR ẦN

 6 ( m − 1)  x1 + x2 =  m (I)   x x = 9 ( m − 3)  1 2 m

6 ( m − 1)

9 ( m − 3)

m

⇔ 2 ( m − 1) = 3 ( m − 3) ⇔ m = 7 (thỏa mãn(1))

Ó

A

m

=

10 00

Theo giả thiết: x1 + x2 = x1 x2 Thay (I) vào ta được:

Đ

G

m≠0  m≠0  m≠0 ⇔ ⇔ ⇔ (1) 2 ′ ∆ = + 1 ≥ 0 ≥ − 1 m m ′   ∆ = 3 m − 1 − 9 m m − 3 ≥ 0 ( ) ( )     

TP

Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:

Í-

H

Vậy với m = 7 thì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn thệ thức: x1 + x2 = x1 x2

ÁN

-L

Ví dụ 2: Cho phương trình: mx 2 − 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 − 2 x2 = 0

ÀN

Lời giải:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Lời giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Tìm giá trị tham số của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + x2 = x1 x2

Ơ

N

Ví dụ 1: Cho phương trình: mx 2 − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0

Đ

Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:

D

IỄ N

m≠0 m≠0 m≠0    ⇔ ⇔ ⇔ 16 2 −15m + 16 ≥ 0 ∆′ = ( m − 4 ) − m ( m + 7 ) ≥ 0 m ≤ 15

Theo hệ thức vi-ét ta có:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 16 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

 2 ( m − 4 ) 2m − 8 = (1)  x1 + x2 = m m  m+7  x1 x2 = ( 2)  m

U Y .Q

2m − 8 2m − 8 2m − 8 ⇔ 3x2 = ⇔ x2 = m m 3m 4m − 16 ⇒ x1 = 3m

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

2 x2 + x2 =

4m − 16 2m − 8 m + 7 ⋅ = m 3m 3m 2

TR ẦN

H Ư

N

G

Thay x1 và x2 vào (2) ta được:

 m = 1( tm ) ⇔ 8m − 73m + 65 = 0 ⇔   m = 65 ( ktm )  8

Ó

A

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài

10 00

2

B

(do m ≠ 0 )

⇔ 8 ( m − 4) = 9 ( m + 7 )

H

Bài tập:

-L

Í-

Bài 1: Cho phương trình: x 2 − ( 2m + 1) x + m2 + 2 = 0

ÁN

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

TO

Bài 2: Cho phương trình: x 2 − 3x + m = 0 (1)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thay (3) vào (1) ta được:

x12 + 1 + x2 2 + 1 = 3 3

Đ

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Từ giả thiết: x1 − 2 x2 = 0 ⇔ x1 = 2 x2 ( 3)

D

IỄ N

Bài 3:Cho phương trình: x 2 − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 = 0

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 và x2 với mọi m b)Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 17 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(x

1

2

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

)(

)

− 2mx1 + 2m − 1 x2 2 − 2mx2 + 2m − 1 < 0

Hướng dẫn:

Ơ

N

Bài 1:

H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ H Ư

N

G

 x1 + x2 = 2m + 1 (I )  2  x1 x2 = m + 2

TR ẦN

Theo giả thiết ta có: 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 Thay (I) vào biểu thức ta được:

(

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

Theo hệ thức vi-ét ta có:

)

B

3 m 2 + 2 − 5 ( 2m + 1) + 7 = 0 2

10 00

⇔ 3m + 6 − 10m − 5 + 7 = 0

 m = 2 ( tm ) ⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔   m = 4 ( ktm )  3

H

Ó

A

2

-L

Í-

Vậy với m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài

ÁN

Bài 2:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP

.Q

  1≠ 0 7  a =1≠ 0  ⇔ ⇔ 7 ⇔ m ≥ (1) 4 m≥ ∆ = 4m − 7 ≥ 0  4 

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:

IỄ N

Đ

ÀN

 1≠ 0  a =1≠ 0 9  ⇔ ⇔ 9 ⇔m< 4 ∆ = 9 − 4m > 0 m < 4

D

Theo hệ thức vi-ét ta có:

 x1 + x2 = 3 (I)   x1 x2 = m

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 18 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Từ giả thiết ta có:

)(

)

+ 1 x12 + 1 = 27 ⇔ x12 + x2 2 + 2 x12 + x2 2 + x12 x2 2 + 1 = 25

Ơ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

⇔ 18m = −54 ⇔ m = −3

H Ư

N

G

Vậy m = −3 thỏa mãn đề bài

2

a)Ta có: ∆ = m 2 − 4m + 6 = ( m − 2 ) + 2 > 0, ∀m

TR ẦN

Bài 3:

B

Suy ra luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m

10 00

b)Theo phần a phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 nên:

H

Ó

A

 x12 − 2 ( m − 1) x1 + 2m − 5 = 0  x12 − 2mx1 + 2m − 1 = 4 − 2 x1 ⇔  2  2  x2 − 2 ( m − 1) x2 + 2m − 5 = 0  x2 − 2mx2 + 2m − 1 = 4 − 2 x1

ÁN

-L

Í-

 x1 + x2 = 2m − 2 Theo hệ thức vi-et ta có:   x1 x2 = 2m − 5

TO

Theo giả thiết ta có:

(x

2

⇔ ( 4 − 2 x1 )( 4 − 2 x2 ) < 0 ⇔ 16 − 8 ( x1 + x2 ) + 4 x1 x2 < 0

)(

2

)

− 2mx1 + 2m − 1 x2 − 2mx2 + 2m − 1 < 0 ⇔ 16 − 8 ( 2m − 2 ) + 4 ( 2m − 5 ) < 0

IỄ N

Đ

1

D

U Y .Q

2

ẠO

⇔ m 2 − 2m + 10 = ( m + 8 )

TP

⇔ m 2 − 2m + 10 = m + 8

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ 9 − 2m + 2 9 − 2m + 1 + m 2 = 25

Vậ y v ớ i m <

⇔m>

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

2

Ta có: x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 9 − 2m

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2 1

H

(x

⇔ x12 + x2 2 + 2 + 2

N

x1 + 1 + x2 + 1 = 3 3

3 2

3 thỏa mãn đề bài.

2

1.4.Dạng 4: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc 2

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 19 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cho phương trình: Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng âm, cùng dương

H G N H Ư

∆ = ( 3m + 1) 2 − 4.2. m 2 − m − 6 ≥ 0  ∆ = ( m − 7 )2 ≥ 0∀m ∆ ≥ 0  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m < 3 Bài  m2 − m − 6 P m 3 m 2 0 = − + < ( )( ) P < 0   P= <0 2 

)

H

Ó

A

(

-L

Í-

tập:

ÁN

Bài 1: Cho phương trình: x 2 − 2 ( m + 2 ) x + 6m + 1 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

Có 2 nghiệm trái dấu Có một nghiệm dương phân biệt

Đ

a. b.

TO

Bài 2: Cho phương trình: mx 2 − 2(m − 2) + m − 3 = 0. Tìm m để phương trình

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Lời giải:

B

TR ẦN

Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình:2Z − 39 + 1)Z + 9 − 9 − 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP ẠO

•

∆ ≥ 0  Phương trình (1) có 2 nghiệm âm ⇔  S < 0 P > 0 

Đ

•

∆ ≥ 0  Phương trình (1) có 2 nghiệm dương ⇔  S > 0 P > 0 

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

•

Ơ

∆ ≥ 0 Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu ⇔  P < 0 ∆ ≥ 0 Phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu ⇔  P > 0

•

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Cho phương trình bậc 2: Z + EZ + D = 0 ≠ 0) . (1)

D

IỄ N

Bài 3: Cho phương trình: x 2 − ( 2m − 3) x + m2 − 3m = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: 1 < x1 < x2 < 6 Hướng dẫn:

Bài 1:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 20 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Đặt x = t + 2 ( t > 0 ) . Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 2mt + 2m − 3 = 0 (*) Phương trình đã cho có hai

Ơ

N

nghiệm lớn hơn 2 khi phương trình (*) có nghiệm cùng dương:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

Bài 3:

ÁN

-L

Để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì: 2

(

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP Đ G N

H

Ó

A

10 00

B

a=m≠0   2  ∆′ = ( m − 2 ) − m ( m − 3) > 0   m<0 2 ( m − 2) ⇔ ⇔ S= >0 3 < m < 4  m  2 ( m − 2)  S= >0  m

TR ẦN

b.Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt:

H Ư

a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu:  m≠0 m ≠ 0  ⇔ ⇔ m −3 ⇔ ( m − 3) m < 0 ⇔ 0 < m < 3 . P < 0  m < 0

ẠO

Bài 2:

)

∆ = ( 2 m − 3 ) − 4 m 2 − 3m ≥ 0 ⇔ 9 > 0 (luôn đúng)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

 m 2 − ( 2m − 3 ) ≥ 0 ∆ ' ≥ 0 3 3   ⇔ S >0 ⇔  ⇔ m > . Vậy với m > thì phương trình đã cho có 2 nghiệm lớn hơn 2m > 0 2 2 P >0  2m − 3 > 0   2

ÀN

Suy ra với mọi m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

D

IỄ N

Đ

2m − 3 − 3  = m−3  x1 = 2   x = 2m − 3 + 3 = m  2 2

Không mất tính tổng quát ta giả sử x1 < x2

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 21 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 < x1 < x2  x >1 m > 4 ⇔ 1 ⇔ ⇔m>6 Theo giả thiết:  m > 6  x1 < x2 < 6  x2 > 6

.Q

Đ

Tìm m để: A = x12 + x2 2 − 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Ví dụ1: Cho phương trình: x 2 + ( 2m − 1) x − m = 0 . Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình

N

G

Lời giải:

2

Ta có: A = x12 + x2 2 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2

10 00

B

Thay (I) vào biểu thức A ta được:

TR ẦN

H Ư

 x1 + x2 = 1 − 2m Theo hệ thức vi-ét ta có:  (I)  x1 x1 = − m

2

2

A

A = (1 − 2m ) + 8m = 4m 2 − 12m + 1 = ( 2m − 3) − 8 ≥ −8

3 2

Í-

H

Ó

Vậy min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0 hay m =

ÁN

-L

Ví dụ 2: Cho phương trình: x 2 − mx + m − 1 = 0 , gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau: B =

2 x1 x2 + 3 x + x2 2 + 2 ( x1 x2 + 1) 2 1

ÀN

Lời giải:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

C = m − B ⇒ min C = m ⇔ B = 0 ( B ≥ 0 )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

C = A + m ⇒ min C = m ⇔ A = 0 ( A ≥ 0 )

http://daykemquynhon.ucoz.com

H N

Áp dụng tính chất sau về bắt đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được

Ơ

N

Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

1.5.

D

IỄ N

Đ

 x1 + x2 = m Theo hệ thức vi-ét ta có:   x1 x2 = m − 1 Theo giả thiết ta có: B =

2 x1 x2 + 3 2 x1 x2 + 3 = 2 x1 + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) 2 + 2 2

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 22 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Thay hệ thức vi-et vào B ta được:

)

2

N U Y .Q TP

Mặt khác ta lại có:

)

2

TR ẦN

)

−1 ⇔ m = −2 2

B

Vậy min B =

H Ư

2 ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒ B ≥ −1 ( m + 2 ) ≥ 0 Vì  2 ⇒ 2 2 m2 + 2  m + 2 > 0

(

)

N

(

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

Đ

)

G

(

ẠO

1 2 1 1 2 1 2 m + 2m + 1 − m 2 m + 4m + 4 − m 2 + 2 ( m + 2) 1 2 2 2 2 = = − B= m2 + 2 m2 + 2 2 m2 + 2 2

10 00

Bài tập:

Ó

A

Bài 1: Cho phương trình: x 2 + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 2

Í-

H

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : A = ( x1 − x2 ) có giá trị nhỏ nhất

-L

Bài 2: Cho phương trình: x 2 − 2 ( m − 4 ) x + m2 − 8 = 0

TO

ÁN

Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:

A = x1 + x2 − 3 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất

b.

B = x12 + x2 2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất

ÀN

a.

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy max B = 1 ⇔ m = 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vì

H

2 ( m − 1) ≥ 0 ( m − 1) ⇒ 2 ≥ 0 ⇒ B ≤1  2 m +2  m + 2 ≥ 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

m +2

(

N

2

2 2 2 m − 1) ( 2 m + 1 m + 2 − m − 2m + 1 = 2 = = 1− 2 m +2 m2 + 2 m +2

Ơ

B=

2 ( m − 1) + 3

IỄ N

Hướng dẫn:

D

Bài 1:

Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 23 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

a =1≠ 0  1≠ 0  ⇔ ⇔ 2 2 16m + 33 > 0, ∀m  ∆ = ( 4m + 1) − 8 ( m − 4 ) ≥ 0

Ơ

N

Vậy với mọi m phương trình có hai nghiệm x1 ; x2

.Q G

Đ

Vậy min A = 33 ⇔ m = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

2

Thay (I) vào A ta được: A = ( 4m + 1) − 4 ( 2m − 8 ) = 16m 2 + 33 ≥ 33

H Ư

N

Bài 2:

2

∆′ = ( m − 4 ) − m 2 + 8 = −8m + 24 ≥ 0 ⇔ m ≤ 3

10 00

B

 x1 + x2 = 2m − 8 Theo hệ thức vi-ét ta có:  (I) 2  x1 x2 = m − 8

TR ẦN

Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì:

Thay (I) vào biểu thức A ta được:

Ó

A

a.

2

1  47 47  A = 2m − 8 − 3 m − 8 = −3m + 2m + 16 = −3  m −  + ≤ 3 3 3 

)

H

2

47 1 ⇔m= 3 3

ÁN

Vậy max A =

-L

Í-

(

2

2

Ta có: B = ( x1 + x2 ) + x1 x2

TO

b.

Thay (I) vào B ta được:

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

2

Lại có: A = ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

H

 x1 + x2 = −4m − 1 Theo hệ thức vi-ét ta có:  (I)  x1 x2 = 2m − 8

2

D

IỄ N

16  24 24  B = ( 2m − 8 ) + m − 8 = 5m − 32m + 56 = 5  m −  + ≥ 5 5 5  2

Vậy min B =

2

2

24 16 ⇔m= 5 5

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 24 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Hệ thức Vi-ét đảo và ứng dụng

Ơ

N

 x1 + x2 = S Nếu x1 ; x2 thỏa mãn:  thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 − Sx + P = 0  x1 x2 = P

N

H

2.1. Dạng 1: Lập phương trình bậc hai

Lời giải:

TR ẦN

 x1 + x2 = 8 − 3 = 5 Ta có :   x1 x2 = 8 × ( −3) = −24

a)

 x1 + x1 = 3a + a = 4a Ta có:  x1 x2 = 3a 2 

Ó

A

b)

10 00

B

Vậy phương trình cần tìm là: x 2 − 5x − 24 = 0

Í-

H

Vậy phương trình cần tìm là: x 2 − 4ax + 3a 2 = 0

ÁN

-L

2.1.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước Ví dụ: Cho phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Lập phương trình bậc hai có ẩn

TO

là c thỏa mãn: y1 = x2 +

Đ

1 1 ; y2 = x1 + x1 x2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x1 = 3a ; x2 = a

G

b)

N

x1 = 8 ; x2 = −3

H Ư

a)

Đ

Ví dụ: Lập phương trình bậc 2 biết hai nghiệm của chúng là x1 ; x2 thỏa mãn

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

TP

.Q

 x1 + x2 = S Nếu x1 và x2 thỏa mãn:  thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai x 2 − Sx + P = 0 = x x P  1 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

2.1.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2.

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

D

IỄ N

Lời giải: Phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 có a + b + c = 1 − 3 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = 2

1 1 3 Khi đó ta có: y1 = 2 + = 3 ; y2 = 1 + = 1 2 2

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 25 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

9 9 y2 − x + = 0 2 2

Ơ

3 9   y1 + y2 = 3 + 2 = 2 ⇔ . Vậy phương trình cần tìm là: 9  y1 y2 =  2

U Y

Bài 1: Cho phương trình : x 2 − 5x + 6 = 0 có hai nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình ẩn y thỏa mãn:

.Q

ẠO

các nghiệm y1 = 2 x1 − 1; y2 = 2 x2 − 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Bài 2: Cho phương trình tham số: x 2 − 2 x − m2 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có

H Ư

N

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 x1 − x2 = 2 Bài 3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:  3 3  x1 − x2 = 26 Hướng dẫn: Bài 1: Giải phương trình: x 2 − 5x + 6 = 0 có hai nghiệm:

TR ẦN

Khi đó:

y1 = x14 = 34 = 81 y2 = x2 4 = 24 = 16

10 00

B

 y + y = 81 + 16 = 97 ⇒ 1 2 y1 y2 = 1296 

Vậy phương trình cần tìm là: y 2 − 97 y + 1296 = 0

A

Bài 2:

Í-L

x +x =2 ⇒ 1 2 2  x1 x2 = − m

H

Ó

Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình: x 2 − 2 x − m2 = 0

ÁN

 y1 + y2 = 2 x1 − 1 + 2 x2 − 1 = 2 ( x1 + x2 ) − 2 = 2 Ta có:  2  y1 y2 = ( 2 x1 − 1)( 2 x2 − 1) = −2 ( x1 + x2 ) + 4 x1 x2 + 1 = −4m − 3

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

y1 = x14 ; y2 = x2 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

2.1.3. Bài tập

Vậy phương trình cần tìm là: y 2 − 2 y − 4m 2 − 3 = 0

Đ

ÀN

Bài 3: Giải hệ phương trình:

D

IỄ N

 x1 − x2 = 2 (1)  3 3  x1 − x2 = 26 ( 2 )

Từ (1) ⇒ x1 = 2 + x2 thế vào (2)

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 26 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3

⇒ ( 2 + x2 ) − x2 3 = 26 ⇔ 6 x2 2 + 12 x2 + 8 = 26

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

2.2. Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x − Sx + P = 0 ( điều kiện S 2 − 4 P ≥ 0 ) 2

10 00

B

TR ẦN

Ví dụ 1:Tìm hai số a, b biết: = + E = −3 ; E = 4

Lời giải:

Vì a + b = −3 ; ab = 4 nên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 + 3x − 4 = 0

H Í-

-L

nếu a = −4 thì b = 1

Ó

A

Giải phương trình trên ta được: x1 = 1 ; x2 = −4 Vậy nếu a = 1thì b = −4

ÁN

Ví dụ 2: Tìm hai số a, b biết: a − b = 5 và ab = 36 Lời giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y TP ẠO Đ

G

 x + x = −1 − 3 = −4 ⇒ 1 2 . Vậy phương trình cần tìm là: x 2 + 4 x + 3 = 0 x1 x2 = 3 

.Q

x + x = 1+ 3 = 4 ⇒ 1 2 . Vậy phương trình cần tìm là: x 2 − 4 x + 3 = 0 x1 x2 = 3  Với x2 = −3 ⇒ x1 = −1

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

N

 x =1 ⇔ x2 2 + 2 x2 − 3 = 0 ⇔  1  x2 = −3 Với x2 = 1 ⇒ x1 = 3

ÀN

Cần đi tìm tổng a + b

IỄ N

Đ

Đặt c = −b ta có + D = 5 7à D = −36

D

⇒ a và c là nghiệm của phương trình : x 2 − 5 x − 36 = 0

Giải phương trình trên ta được nghiệm: x1 = −4 ; x2 = 9 Do đó nếu a = −4 thì c = 9 nênb = −9

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 27 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

nếu a = 9 thì c = −4 nênb = 4 Bài tập:

N

a 2 + b 2 = 61; ab = 30

3)

a − b = 5; ab = 36

Ơ

2)

H

a + b = 9; a 2 + b 2 = 41

Đ G

H Ư TR ẦN

B

Ta cần tìm a+b

10 00

2)

N

⇒ a,b là nghiệm của phương trình: x 2 − 9 x + 20 = 0

Vậy a = 4 thì b = 5 ; a = 5 thì b = 4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

Ta có: a + b = 9 ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a 2 + 2ab + b 2 = 81 ⇔ ab = 20

 x1 = 4 Giải phương trình: x 2 − 9 x + 20 = 0 ⇔   x2 = 5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ta cần tìm a ⋅ b

ẠO

1)

TP

Hướng dẫn:

H

Ó

A

a + c = 5 Đặt c = −b ta có   ac = 36

-L

Í-

 x1 = −4 ⇒ a,c là nghiệm của phương trình: x 2 − 5 x − 36 = 0 ⇔   x2 = 9

ÁN

Vậy a = −4 thì c = 9 nên b = −9

TO

a = 9 thì c = −4 nên b = 4 Ta cần tìm a + b

Đ

3)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U Y

N

1)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tìm hai số a, b biết:

2

D

IỄ N

( a + b ) = a 2 + b2 + 2ab 2 Từ ⇔ ( a + b ) = 61 + 2 ⋅ 30  a + b = 11 2 ⇔ ( a + b ) = 121 ⇔   a + b = −11

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 28 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Nếu a + b = −11

Ơ

N

 x1 = −5 ⇒ a,b là nghiệm của phương trình: x 2 + 11x + 30 = 0 ⇔   x2 = −6

U Y

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Vậy a = 5 thì b = 6 ; a = 6 thì b = 5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

 x1 = 5 ⇒ a,b là nghiệm của phương trình: x 2 − 11x + 30 = 0 ⇔   x2 = 6

H Ư

N

1: Sử dụng phương trình bậc 2 để giải và biện luận nghiệm pt bậc 3

G

Đ

III: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

( 2x − 3) ( 2x 2 + 3x + 3) = 0

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

1.1.Ví dụ Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 4x 3 − 3x − 9 = 0 3 ta thấy pt có một nghiệm x = nên ta biến đổi pt trở thành : 2 2x-3=0  3 ⇔x= ⇔ 2 2  2x + 3x + 3 = 0 3 Vậy pt có một nghiệm là x = 2 3 2 b) 3x − 8x − 2x+4=0 2 Ta nhẩm nghiệm x0 = 3

TO

ÁN

2   x= 3x − 2 = 0   3 ⇔ Ta biến đổi pt thành: ( 3x − 2 ) ( x − 2x − 2 ) = 0 ⇔  2  x −2x − 2 = 0   x = 1 ± 3 2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt x = , x = 1 − 3, x = 1 + 3 3 c) x 3 − 7x 2 + 12x − 6 = 0 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nếu a + b = 11

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Vậy a = −5 thì b = −6 ; a = −6 thì b = −5

⇔ x 3 − x 2 − 6x 2 + 6x+6x − 6 = 0 ⇔ x 2 ( x − 1) − 6 ( x − 1) + 6 ( x − 1) = 0

 x =1  x −1 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 6x + 6 ) = 0 ⇔  2 ⇔  x − 6x + 6 = 0 x = 3 ± 3

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 29 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy pt đã cho có 3 nghiệm là: x = 1 ; x = 3 ± 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

)

Vậy phương trình có duy nhất nghiệm

(

N

)

2 +1 x + 2 = 0

x= 2

⇔x= 2

B

Lưu ý : Phương trình bậc 3:

x= 2

H Ư

)

   2 +1 x + 2 = 0 ⇔ 2  x + 

TR ẦN

(

G

Biến đổi phương trình về dạng

Ó

A

10 00

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) • TH1: a ≠ 0 phương trình trở thành phương trình bậc 2 • TH2: a = 0 Đối với bài toán ta nhẩm được nghiệm x0

)

TO

ÁN

-L

Í-

H

x = x0  Thì ta đi phân tích (1) thành ( x − x0 ) ax 2 + Bx + C = 0 ⇔  2  g ( x ) = ax + Bx + C = 0 Khi đó ta kết luận  ∆g > 0 ♦ Pt (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔   g ( x0 ) ≠ 0

(

 ∆ g = 0 & g ( x0 ) = 0 Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt   ∆ g > 0 & g ( x0 ) = 0

Đ

♦

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

c = 2 b

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Do đó phương trình có nghiệm x = −

x − 2  x2 − 

Ơ

N U Y

= −2 2 = bd 3

TP

3

ẠO

)

Đ

(

ac 3 = 1. − 2

Nhận xét rằng

.Q

3 2 e) x + x − x 2 − 2 2 = 0

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ x = −1 Vậy pt đã cho có nghiệm x = −1

H

x = −1  x +1 = 0  Pt đã cho tương đương với ( x + 1) ( 2x 2 + 2x + 5 ) = 0 ⇔  2 ⇔ 2 2  2x + 2x + 5 = 0 ( x + 1) + x = −4

N

d) 2x 3 + 4x 2 + 7x + 5 = 0 Ta nhẩm nghiệm được x = −1 nên

∆g < 0  Pt (1) có đúng 1 nghiệm ⇔   ∆ g = 0 & g ( x0 ) = 0

Ta có thể dự đoán nghiệm dựa vào kết quả sau

D

IỄ N

♦

Nếu a+b+c+d=0 thì (1) có nghiệm x=1

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 30 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

c b

Ơ

10 00

y = 2mx 3 − (1 − 2m ) x 2 + ( 3 − 8m ) x + 4m − 2

B

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

Giải

Ó

A

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 2mx 3 − (1 − 2m ) x 2 + ( 3 − 8m ) x + 4m − 2 = 0 ( 2 )

-L

Í-

H

x =1  ⇔ ( x − 1)  2mx 2 − (1 − 4m ) x − 4m + 2  = 0 ⇔  2  f ( x ) = 2mx − (1 − 4m ) x − 4m + 2 = 0

TO

ÁN

Yêu cầu bài toán ⇔ ( 2 ) có 2nghiệm phân biệt TH1: f(x) có 1 nghiệm khác 1. Khi đó xảy ra với 2 khả năng

D

IỄ N

Đ

  m≠0  3± 6 Khả năng 1:  ∆ = 0 ⇔ m = 12 1 − 4 m  ≠1  4m

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G N H Ư

TR ẦN

 x=2 x−2=0  ⇔ 2 ⇔  x = 1  x + ( m + 1) x − m + 2 = 0  x = −m + 2 Vậy pt đã cho có 3 nghiệm là : x = 2 ; x = 1 ; x = −m + 2

Đ

ta nhẩm được x = 2 là nghiệm của pt nên ta biến đổi pt thành : ⇔ ( x − 2 )  x 2 + ( m + 1) x − m + 2  = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

x3 + ( m − 1) x 2 − 3mx + 2m − 4 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

Ví dụ 2: Giải pt sau với m là tham số

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nếu ac3 = bd3 ( a, d ≠ 0 ) thì (1) có nghiệm x = −

thì p, q theo thứ tự là ước của a và d

H

Nếu a, b ,c, d nguyên và (1)có nghiệm hữu tỷ

p q

N

x=

N

x=-1

U Y

Nếu a-b+c-d=0 thì (1)có nghiệm

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 31 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Khả năng 2:

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 m=0 ⇔m=0   f (1) ≠ 0

10 00

B

Bài 2: Giải các pt sau

x3 + ( m − 1) x 2 − 3mx + 2m − 4 = 0

b)

x3 + ( m + 1) x 2 + 2 ( m − 2 ) x − 3m + 2 = 0

c)

x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 2 ( m 2 + 4m + 1) x − 4m ( m + 1) = 0

Í-

H

Ó

A

a)

-L

Bài 3:Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt

TO

ÁN

a) x3 − ( 2m + 1) x 2 + ( 3m − 2 ) x − m + 2 = 0

x3 − 3x 2 + ( 3m − 1) x + 3m + 3 = 0

b)

Đ

c) tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt : x 3 − 2mx 2 + ( m 2 + 5m ) x − 2m 2 − m − 8 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x 3 − 3x 2 3 + 7x − 3 = 0

d)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

Chú ý : Với pt có chứa tham số cũng có thể áp dụng những cách nhẩm nghiệm của pt bậc 3 không chứa tham số và khi nhẩm được nghiệm ta cũng có thể tách thành pt bậc nhất và pt bậc 2 như lưu ý bên trên 1.1 Bài tập Bài 1: giải các phương trình sau: a) x 3 + 7x 2 + 2x − 10 = 0 2x 3 − 15x 2 + 2x + 35 = 0 b) c) −3x 3 + 5x 2 − 8 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y TP

.Q

1 3± 6 Vậy các giá trị của m cần tìm là: m = − ; m=0; m = 2 12

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

N

 m≠0 1  2 TH2: f(x) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1. ⇔  ∆ = 48m − 24m + 1 > 0 ⇔ m = − 2  f (1) = 2m + 1 = 0 

D

IỄ N

Giải

Bài 1: a) Nhẩm được nghiệm

x0 = 1

(vì 1 + 7 + 2 + ( −10 ) = 0 )

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 32 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x =1  pt ⇔ ( x − 1) ( x 2 + 8x + 10 ) = 0 ⇔   x = −4 ± 6

Ơ H

x0 = 7

U Y

 x=7 pt ⇔ ( x − 7 ) ( 2x − x − 5 ) = 0 ⇔   x = 1 ± 41  4

(

) (

)

 x− 3 =0  x= 3 ⇔ x − 3 x 2 − 2x 3 + 1 = 0 ⇔  ⇔ 2  x − 2x 3 + 1 = 0  x = 3 ± 2

)

B

)(

10 00

(

Vậy pt có 3 nghiệm phân biệt x = 3 ; x = 3 − 2 : x = 3 + 2

Ó

A

Bài 2:

H

x3 + ( m − 1) x 2 − 3mx + 2m − 4 = 0

Í-

a)

ÁN

-L

Ta nhẩm được x = 2 là nghiệm của pt nên ta biến đổi pt đã cho thành: x−2=0 x=2   ⇔ 2 ⇔ ( x − 2 )  x 2 + ( m + 1) x − m + 2  = 0 ⇔  2  x + ( m + 1) x − m + 2 = 0  x + ( m + 1) x − m + 2 = 0 ( 2 ) 2

ÀN

giải (2) ∆ = ( m + 1) − 4 ( − m + 2 ) = m 2 + 6m − 7

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

x 3 − x 2 3 − 2x 2 3 + 6x + x − 3 = 0 ⇔ x 2 x − 3 − 2x 3 x − 3 + x − 3 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TR ẦN

H Ư

N

G

x = −1  pt ⇔ ( x + 1) ( −3x 2 + 8x + 8 ) = 0 ⇔  2  −3x + 8x + 8 = 0 Vậy pt có 1 nghiệm x = −1 d) Biến đổi phương trình trở thành

(

TP

Đ

c) Nhẩm nghiệm được x = −1

ẠO

1 + 41 1 − 41 ; x= 4 4

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x = 7 ; x =

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

b) Nhẩm được nghiệm

N

Vậy phương trìnhcó 3 nghiệm phân biệt x = 1 , x = −4 + 6 , x = −4 − 6

D

IỄ N

Đ

TH1: ∆ < 0 ⇔ −7 < m < 1 pt (2) vô nghiệm − ( m + 1)  m = −7 TH2: ∆ = 0 ⇔  pt (2) có 1 nghiệm kép x = 2  m =1

− ( m + 1) ± m 2 + 6m − 7  m < −7 TH3: ∆ > 0 ⇔  pt(2) có 2 nghiệm phân biệt x = 2  m >1

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 33 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x = 2 khi −7 < m < 1

N Ơ

10 00

B

− ( m + 2 ) ± m 2 − 8m + 12 m < 2 TH3: ∆ > 0 ⇔  pt (2) có2 nghiệm x = 2 m > 6

Ó

A

Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x = 1 khi 2 < m < 6

-L

Í-

H

m = 2 có2 nghiệm x = 1 ; x = −4 khi  m = 6

ÁN

có 3 nghiệm x = 1 ; x =

2

m < 2 khi  m > 6

ÀN

Bài 3:

− ( m + 2 ) ± m 2 − 8m + 12

Đ

a) Vì tổng của các hệ số bằng 0 nên pt có nghiệm x = 1 nên

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

TR ẦN

TH1: ∆ < 0 ⇔ 2 < m < 6 pt (2) vô nghiệm m = 2 TH2: ∆ = 0 ⇔  pt (2) có 1 nghiệm x = −4 m = 6

N

2

giải (2) ta có: ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 3m − 2 ) = m 2 − 8m + 12

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

x =1  ⇔ 2 ( m + 2 ) x + 3m − 2 = 0  x + ( m + 2 ) x + 3m − 2 = 0 ( 2 )

Đ



x −1 = 0

G



( x − 1)  x 2 + ( m + 2 ) x + 3m − 2  = 0 ⇔  x 2 +

ẠO

Ta nhẩm được x = 1 là nghiệm của pt nên ta biến đổi pt thành

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2

 m < −7 khi   m >1

x3 + ( m + 1) x 2 + 2 ( m − 2 ) x − 3m + 2 = 0

b)

http://daykemquynhon.ucoz.com

− ( m + 1) ± m 2 + 6m − 7

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

có 3 nghiệm x = 2 ; x =

H

2

 m =1 khi   m = −7

N

− ( m + 1)

U Y

có 2 nghiệm x = 2 ; x =

D

IỄ N

x =1  pt ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2mx + m − 2 ) = 0 ⇔  2  x − 2 mx + m − 2 = 0

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 34 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Pt có 3 nghiệm phân biệt ⇔ f ( x ) = x 2 − 2mx + m − 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Ơ

N

∆ ' = m 2 − m + 2 > 0 ⇔ ⇔ m ≠ −1  f (1) = − m − 1 ≠ 0

U Y

b) x3 − 3x 2 + ( 3m − 1) x + 3m + 3 = 0 ⇔ x 3 − 3x 2 + 3mx − x + 3m + 3 = 0

Í-

c) x 3 − 2mx 2 + ( m 2 + 5m ) x − 2m 2 − m − 8 = 0 ⇔ ( x 3 − 8 ) − ( 2mx 2 − 5mx + 2m ) + ( mx 2 − 2m 2 ) = 0

-L

⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2x + 4 ) − m ( 2x 2 − 5x + 2 ) + m 2 ( x − 2 ) = 0

ÁN

⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2x + 4 ) − m ( x − 2 )( 2x − 1) + m 2 ( x − 2 ) = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2x + 4 − 2mx + m + m 2 ) = 0

TO

x−2=0 x=2   ⇔ 2 ⇔ 2 2 2  x − 2 ( m − 1) x + m + m + 4 = 0  x − 2 ( m − 1) x + m + m + 4 = 0 ( 2 )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

H

Ó

A

8  ≠ − m  3 Vậy giá trị m cần tìm là:   m<1  3

B

TR ẦN

8  8 m≠−   ( −1) 2 − 4 ( −1) + 3m + 3 ≠ 0   m≠− 3 ⇔ ⇔ 3 ⇔ ' ∆ >0   m<1 1 − 3m > 0  3

H Ư

N

Để pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

G

Đ

ẠO

TP

x +1 = 0  ⇔ ( x − 3)( x − 1)( x + 1) + 3m ( x + 1) = 0 ⇔ ( x + 1) ( x 2 − 4x + 3m + 3) = 0 ⇔  2  x − 4x + 3m + 3 = 0 x = −1  ⇔ 2  x − 4x + 3m + 3 = 0 (1)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ ( x 3 − 3x 2 − x + 3) + ( 3mx + 3m ) = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) − ( x − 3) + 3m ( x + 1) = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Vậy m ≠ −1 là giá trị cần tìm

Đ

Để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì:

D

IỄ N

 ∆' > 0 TH1:pt (2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x = 2 ⇔  2  4 − 2 ( m − 1) 2 + m + m + 4 = 0  −3m − 3 > 0 ⇔ 2 (vô nghiệm)  m − 3m + 12 = 0

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 35 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

TH2: pt (2) có 1 nghiệm kép khác 2 (vô nghiệm)

Ơ

N

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn đề bài

U Y

2.1. Phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0 (1)

.Q

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

B3: Khi đó Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ ( 2 ) có nghiệm t1 ≤ 0 = t2

b.

phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ( 2 ) có nghiệm t1 < 0 < t2

c.

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ ( 2 ) có nghiệm 0 = t1 < t2

d.

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ ( 2 ) có nghiệm 0 < t1 < t2

TR ẦN

H Ư

N

G

a.

Ví dụ : cho pt

B

2

x 4 − ( 3m + 5 ) x 2 + ( m + 1) = 0

giải pt khi m=0 tìm giá trị của m để pt có 4 nghiệm

a)

Khi m=0 thì x 4 − ( 3m + 5 ) x 2 + ( m + 1) = 0 ⇔ x 4 − 5 x 2 + 1 = 0 (1)

A

10 00

a) b) Giải

H

Ó

2

-L

Í-

Đặt x 2 = t ( t ≥ 0 ) ; (1) ⇔ t 2 − 5t + 1 = 0 ( 2 )

ÁN

∆ = 21 ⇒ ( 2 ) có hai nghiệm là : t = V ới t =

5 ± 21 2

5 + 21 5 = 21 10 + 2 21 ⇒ x2 = ⇔ x=± 2 2 2

TO

♦

V ới t =

5 − 21 5 − 21 10 − 2 21 ⇒ x2 = ⇔ x=± 2 2 2 10 + 2 21 10 − 2 21 ; x=± 2 2

IỄ N

Đ

♦

Vậy m=o pt đã cho có 4 nghiệm : x = ±

D

TP ẠO

B2: khi đó pt được biến đổi về dạng at 2 + bt + c = 0 (2)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

B1: Đặt t = x 2 với điều kiện t ≥ 0

b)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

2. Sử dụng phương trình bậc 2 để giải và biện luận pt bậc 4:

2

x 4 − ( 3m + 5 ) x 2 + ( m + 1) = 0 (1) 2

Đặt x 2 = t (1) ⇔ t 2 − ( 3m + 5 ) t + ( m + 1) = 0 ( 2 )

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 36 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

B

( 2 ) ⇔ at 2 + bt + c − 2a=0

B3: Khi đó

(3)

Ó

Khi đó, phương trình (2) có dạng

A

10 00

1 B2: Đặt t = x + , điều kiện t ≥ 2 suy ra x

TR ẦN

H Ư

B1: Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình chia cả hai về cho x 2 ≠ 0 ta được 1   1  (2) a  x2 + 2  + b  x +  + c = 0 x   x 

pt (1) có nghiệm ta sử dụng phương pháp gián tiếp tức là “tìm điều kiện để (3) vô nghiệm hoặc

H

a.

-L

Í-

cả 2 nghiệm thuộc ( −2, 2 )

⇒ tham số

ÁN

pt (1) có nghiệm duy nhất ⇒ ( 3) có nghiệm t=2 hoặc t = −2

b. thử lại

t1 = −2 & t2 = 2 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ( 3) có nghiệm  t1 < −2 < t2 < 2  −2 < t1 < 2 < t2

Đ

ÀN

c.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

(1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2.2 Phương trình quy hồi ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

ẠO

TP

.Q

U Y

N

H

Ơ

 7 m > − 5    m < −3  5 7 ⇔  m > − ⇔ − < m ≠ −1 3 5   m ≠1   

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( m + 3)( 5m + 7 ) > 0 ∆ > 0   (1) có 4 nghiệm ( 2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔  S > 0 ⇔  3m + 5 > 0 P > 0  2  ( m + 1) > 0 

t1 < t2 = −2 Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ ( 3) có nghiệm   2 = t1 < t2

e.

 2 < t1 < t2 Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ ( 3) có nghiệm  t1 < t2 < −2 t1 < −2 < 2 < t2

D

IỄ N

d.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 37 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H

Ơ

N

Ví dụ: Gỉai pt 2x 4 − 5x 3 + 6x 2 − 5x + 2 = 0 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của pt nên chia vế của pt cho x 2 ta được 1   1  2  x2 + 2  − 5 x +  + 6 = 0 x   x 

Lưu ý : Với phương trình phản hồi quy trên không hề có diều kiện cho t tức là với mỗi nghiệm t0 của

Ó

A

(3) ta luôn có 2 x1, x2 nghiệm phân biệt cho (1)

2

Í-

H

Phương pháp được rộng mở tự nhiên cho dạng phương trình ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 có các hệ số

d1 e d =   , e ≠ 0 khi đó ta sử dụng ẩn phụ t = x + bx a b

ÁN

-L

thoải mãn

Ví Dụ: Giải pt a) x 4 − x 3 − 4x 2 + x + 1 = 0

Đ

ÀN

Ta thấy x=0 không là nghiệm của pt nên ta chia cả 2 vế của pt đã cho cho x 2 ≠ 0

D

IỄ N

Ta được pt: x 2 − x − 4 +

Đặt t = x −

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(3)

10 00

B

1 1 B2: Đặt t = x − , suy ra x 2 + 2 = t 2 + 2 Khi đó, pt (2) có dạng at 2 + bt + c + 2a = 0 x x

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

B1: Nhận xét thấy x=0 không là nghiệm của pt chia cả hai về cho x 2 ≠ 0 ta được 1   1  (2) a  x2 + 2  + b  x −  + c = 0 x   x 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP ẠO Đ

H Ư

N

G

2.3: Phương trình phản hồi quy ax 4 + bx 3 + cx 2 − bx + a = 0 (1)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

1 1  1 Đặt t = x + , ( t ≥ 2 ) ⇒ x 2 + 2 =  x +  − 2 = t 2 − 2 x x x  t = 2 2 2 Ta có: 2 ( t − 2 ) − 5t + 6 = 0 ⇔ 2t − 5t + 2 = 0 ⇔  1 t =  2 1 t = 2 ⇔ x + = 2 ⇔ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 là nghiệm của pt x

1 1 1   1  + 2 = 0 ⇔  x2 + 2  −  x −  − 4 = 0 ( 2) x x x   x 

1 1 ⇔ t 2 + 2 = x2 + 2 x x

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 38 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

 x = 1+ 2 1 = 2 ⇔ x 2 − 2x − 1 = 0 ⇔  1 x  x2 = 1 − 2

Với t1 = 2 ⇒ x −

 −1 + 5 x3 =  1 2 Với t2 = −1 ⇒ x − = −1 ⇔ x 2 + x − 1 = 0 ⇔  x  −1 − 5  x4 =  2

H

A

x =1 5 = 6 ⇔ x 2 − 6x + 5 = 0 ⇔  x x = 5

Với t = 6 ta được x +

x = 2 9 5 9  2 Với t = ⇒ x + = ⇔ 2x − 9x + 10 = 0 ⇔  5 2 x 2  x = 2

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = 5; x3 = 2; x4 =

5 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

2.4 Bài tập Bài 1: giải các phương trình sau: a) 2x 4 + 3x 2 − 16x 2 + 3x + 2 = 0 b) x 4 − 13x 2 + 36 = 0 2x 4 + 5x 3 + x 2 + 5x + 2 = 0 c)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

1 25 Đặt t = x + , điều kiện t ≥ 2 5 ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 10 x x t = 6 2 Khi đó pt trên có dạng 2t − 21t + 54 = 0 ⇔  9 t =  2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

G

2x 4 − 21x 3 + 74x 2 − 105x + 50 = 0 b) Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của pt. Chia cả 2 vế của pt cho x 2 ≠ 0 ,ta được pt tương 25  5   đương 2  x 2 + 2  − 21 x +  + 74 = 0 x  x  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP ẠO

−1 ± 5 2

Đ

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm x = 1 ± 2 ; x =

Ơ

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 t1 = 2 pt (2) trở thành : t 2 + 2 − t − 4 = 0 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔   t 2 = −1

Bài 2: cho pt x 4 + mx 3 + 2m 2 + mx + 1 = 0

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 39 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 2 Tìm m để pt có nghiệm

a)

Giải pt với m = −

Ơ

N

b)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

 y = −4 pt trở thành: 2 y + 3 y − 20 = 0 ⇔  y=5 2 

H Ư

N

2

TR ẦN

1 = −4 ⇔ x 2 + 4x + 1 = 0 ⇔ x = −2 ± 3 x x = 2 5 1 5 2 • y = ⇒ x + = ⇔ 2x − 5x + 2 = 0 ⇔  x = 1 x 2 2 2  Vậy pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt y =4⇒ x+

A

10 00

B

•

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q

ẠO

1 1 thì y 2 − 2 = x 2 + 2 x x

Đ

Đặt y = x +

3 2 1   1  + 2 = 0 ⇔ 2  x 2 + 2  + 3  x +  − 16 = 0 x x x   x 

TP

pt ⇔ 2x 2 + 3x − 16 +

Í-

H

Ó

t = 9 b: Đặt t = x 2 ( t ≥ 0 ) pt ⇒ t 2 − 13t + 36 = 0 ⇔  t = 4

TO

ÁN

-L

• t = 9 ⇒ x 2 = 9 ⇔ x = ±3 • t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇔ x = ±2 Vậy pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt c: Nhận xét x = 0 không là nghiệm của pt.Khi đó ta chia cả 2 vế của pt cho x 2 ≠ 0 5 2 1   1  pt ⇔ 2x 2 + 5x + 1 + + 2 = 0 ⇔ 2  x 2 + 2  + 5  x +  + 1 = 0 x x x   x 

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài1 : a)Ta có x=0 không là nghiệm của pt .Khi đó chia cả hai vế cho x 2 ≠ 0 thì

N

H

Giải

1 1 ⇒ t 2 − 2 = x2 + 2 ; ( t ≥ 2 ) x x  t = −3  2 Pt trở thành 2t + 5t − 3 = 0 ⇔  1 (loại) = t  2 Vậy pt đã cho vô nghiệm

D

IỄ N

Đặt t = x +

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 40 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

x 2 ≠ 0 , ta được

H

Bài 2: Nhận xét rằng x = 0 không là nghiệm của pt. Chia cả 2 về của pt cho 1 1 1  1   x 2 + mx + 2m + m. + 2 = 0 ⇔  x 2 + 2  + m  x +  + 2m = 0 x x x  x  

Ơ

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

H Ư

x =1

TR ẦN

1 Vậy với m = − pt có 1 nghiệm 2

N

t = 2 ⇔ x =1

pt có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ≥ 2

b.

Xét bài toán ngược “tìm điều kiện để pt đã cho vô nghiệm” Pt đã cho vô nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm hoặc

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

 m 2 − 8m − 8 < 0  ∆<0  2  0 ∆ ≥  m − 8m − 8 ≥ 0     af ( −2 ) > 0 1 2>0 ⇔   ⇔ − < m < 4+2 2 (2) có nghiệm thuộc ( −2, 2 ) ⇔   2   4m + 2 > 0   af ( 2 ) > 0     S   −2 < − m < 2   −2 < < 2 2     2 1 Vậy, với m ≤ − hoặc m ≥ 4 + 2 2 pt đã cho có nghiệm 2 3. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quy về phương trình bậc 2

ÀN

3.1. Nhắc lại kiến thức

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

a.

ẠO

 t=2 1 1 2 Với m = − ( 2 ) ⇔ t − t − 3 = 0 ⇔  t = − 3 2 2 2 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

(2)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

Khi đó pt có dạng : f ( t ) = t 2 + mt + 2m − 2 = 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 1 Đặt t = x + , ( t ≥ 2 ) ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 2 x x

D

IỄ N

Đ

 f ( x ) , ƒ ( x ) ≥ 0 +) f ( x) =  − f ( x ) , ƒ ( x ) < 0 +) f ( x) =

f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = ± g ( x)

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 41 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 g ( x) ≥ 0 +) f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = ± g ( x)

Ơ

N

3.2. Phương pháp giải

U Y Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

 A ≥ 0  A ≥ 0     B = 0 B = 0  A = A+ B ⇔ ⇔  A < 0  B > 0     B = −2 A   B = −2 A

N

G

3.2.1.2. Ví dụ minh họa

H Ư

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau:

TR ẦN

x 2 − 2mx − 2m = x 2 + 2x (1)

Lời giải:

10 00

B

 x 2 − 2mx − 2m = x 2 + 2x  2(m + 1) x − 2m = 0(2) (1) ⇔  2 ⇔ 2 2  x − (m − 1) x − m = 0(3)  x − 2mx − 2m = − x − 2x

Ó

A

+) Giải và biện luận phương trình (2):

ÁN

-L

Í-

H

(2) ⇔ 0 = 1 ( vô lí) −m • Với m ≠ −1 thì (2) ⇔ x = m +1 +) Giải và biện luận phương trình (3): Với m = −1 thì

•

Ta có: ∆ = (m − 1) 2 + 4m = (m + 1)2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3.2.1.1. Chú ý

Với ∆ = 0 ⇔ m = −1 thì (3) ⇔ x = −1  x = −1 • Với ∆ > 0 ⇔ m ≠ −1 thì (3) ⇔  x=m Vậy với m = −1 thì phương trình (1) có nghiệm

D

IỄ N

Đ

ÀN

•

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

3.2.1. Phương pháp biến đổi tương đương

với m ≠ −1 thì phương trình có 3 nghiệm x = −1 ; x = m ; x =

−m m +1

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có đúng có 2 nghiệm phân biệt:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 42 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x 2 − 2x+m = x 2 − 3x + m + 1(1)

N

Lời giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)Dó 34ℎ8ệ9 Z = 1 T ⇔  f (1) ≥ 0 ⇔ m − 1 ≥ 0 ( vô nghiệm) ∗)Dó 2 34ℎ8ệ9 1ℎâ3 E8ệ5 ZP < 1 ≤ Z a.g (1) < 0 m − 1 < 0

H Ư

TH1: R

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

TP

ẠO

Để (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt thì

10 00

B

TR ẦN

   f (1) ≥ 0  m ≥1 )Dó 34ℎ8ệ9 Z = 1  T ⇔ ∆ > 0 ⇔ 17 − 16m = 0 ( vô nghiệm) TH2:R ∗)Dó 34ℎ8ệ9 mé1 ZP = Z < 1   −b  5   <1 <1  4  2a

-L

Í-

H

Ó

A

 f (1) < 0  m <1  ∆>0   17 − 16m < 0 )7ô 34ℎ8ệ9 T⇔ TH3: R (vô nghiệm) ⇔  m >1 ∗)Dó 2 34ℎ8ệ9 1ℎâ3 E8ệ5 < 1 a.g (1) > 0   5   S <1 <1   2 4

ÁN

Vậy không tồn tại m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

3.2.1.2. Bài tập áp dụng

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

  x 2 − 2x + m ≥ 0   x 2 − 2x + m ≥ 0   f ( x) = x 2 − 2x + m ≥ 0 (I )       x =1 x =1  1− x = 0      ⇔ ⇔ ⇔   2  1 x 0 x <1 − > − + < x 2x m 0    2   g ( x) = 2 x 2 − 5x + 2m + 1 = 0(*)   x 2 -5x + 2m + 1 = 0  1 − x = −2( x − 2x + m)

H

Ơ

(1) ⇔ x 2 − 2x+m = x 2 − 2x + m − x + 1

ÀN

Bài 1: Tìm m để phương trình ( x − 1) 2 = x − m có 4 nghiệm phân biệt

IỄ N

Đ

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + x 2 − 2x + m = 0

D

Bài 3: Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt: x 2 − 3x+m = x 2 − 2x + m − 1

HƯỚNG DẪN

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 43 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 1: (x − 1) 2 = x − m (1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ G N

TR ẦN

  △(1) > 0  3 1)Dó 2 34ℎ8ệ9 9 ≤ ZP < Z ⇔  f (m) ≥ 0 ⇔ m < (3) 2  S  >m  2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

1)Dó 2 34ℎ8ệ9 9 ≤ ZP < Z T 2)Dó 2 34ℎ8ệ9ZN < Z^ < 9

H Ư

⇔R

10 00

B

  △(2) > 0  1 2)Dó 2 34ℎ8ệ9ZN < Z^ < 9 ⇔ g(m) ≥ 0 ⇔ < m ≠ 1 (4) 2  S  <m  2

-L

Í-

H

Ó

A

3 1  m <  2 < m < 1  2 ⇔ Kết hợp (3) và (4) được:  1 1 < m < 3  < m ≠1  2  2 3 1 < m < 1 hoặc 1 < m < .

2 2

TO

ÁN

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi 3.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (I) và (II) có 2 nghiệm phân biệt

Đ

3.2.2.1. Ví dụ minh họa

D

IỄ N

Ví dụ: Giải phương trình:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

N

x≥m   x≥m (I )   2 2 (x 1) − = x − m ( ) 3x 1 0(1) f x = x − + m + =   ⇔ ⇔   x<m x<m   ( II ) 2 2  (x − 1) = m − x  g( x) = x − x − m + 1 = 0(2)

x +1 3 + = 2(1) x +1 3

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ −1

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 44 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

U Y .Q

Giải phương trình với m=3 Tìm m để phương trình có nghiệm.

10 00

B

a) Giải phương trình với m=2 b) Giải và biện luận phương trình theo m.

HƯỚNG DẪN

TR ẦN

Bài 3:Cho phương trình: x + 1 + m x − 1 = (m + 1) x 2 − 1

H Ư

a) b)

N

G

Đ

Bài 2: Cho phương trình: x − x 2 − 1 + 2 x + x 2 − 1 − m = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Bài 1: Giải và biện luận phương trình: ( x + 2m) x − m = x 2 + m2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

3.2.2.2. Bài tập áp dụng

Bài 1: ( x + 2m) x − m = x 2 + m2

H

Ó

A

⇔ ( x + 2m) x − m = ( x − m)2 + 2mx

-L

Í-

⇔ ( x − m)2 − ( x + 2m) x − m + 2mx=0(2)

ÁN

Đặt t = x − m ,(t ≥ 0)

(2) ⇔ t 2 − (x + 2m)t + 2mx = 0(3)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy S = {−4; 2}

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

(t/m)

Ơ

 x +1 = 3  x=2 3 1 = 1 ⇔ x +1 = 3 ⇔  Khi đó: (1) ⇔ t + = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1 ⇔ ⇔ x +1 t  x + 1 = −3  x = −4

N

3 = t (t > 0) x +1

Đặt

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ta có: △t = (x + 2m) 2 − 8mx = ( x − 2m) 2 . Do đó:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 45 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N U Y .Q TP

Vậ y

H Ư

N

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Với m < 0 ,(I) vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm Với m = 0 ,(I) có nghiệm x ≥ 0 ⇔ (1) có nghiệm x ≥ 0 m m • Với m > 0 ,(I) có nghiệm x = m, x = , x = 3m ⇔ (1) có nghiệm x = m, x = , x = 3m .

2 2 Bài 2: • •

Nhận xét rằng: ( x − x 2 − 1)( x + x 2 − 1) = 1

10 00

B

1 Đặt: x − x 2 − 1 = t ⇒ x + x 2 − 1 = (t > 0) t

TR ẦN

Điều kiện: x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1

2 − m = 0 ⇔ t 2 − mt + 2 = 0(1) t

Ó

A

Khi đó phương trình biến đổi thành: t +

H

t =1 Với m = 3 , phương trình (1) có dạng: t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔  t = 2   x − x2 − 1 = 1    x + x2 −1 = 1  Với t = 1 , ta được: x − x 2 − 1 = 1 ⇔  ⇔ x = ±1   x − x 2 − 1 = −1    x − x 2 − 1 = −1 

TO

ÁN

-L

Í-

a)

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x≥0   m    x≥0  x =  2     m = 0  x−m = x  t=x x − m = ±x  (I ) ⇔   (3) ⇔  ⇔ ⇔  x m 2 m − = t 2 m = 2 0 ≥ m      m≥0     x − m = ±2m    x = 3m    x = −m 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 46 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x2 − 1 = 2

Ơ

5 4

TP

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Để phương trình có nghiệm thì (1) phải có nghiệm dương:   m 2 − 8 ≥ 0  △≥ 0 1)Dó 1 34ℎ8ệ9 fươ34T t1 < 0 < t2 (l )   ⇔ ⇔ ⇔ af(0) > 0 ⇔  2 > 0 ⇔ m > 2 2(*) 1)Dó 2 34ℎ8ệ9 fươ34  0 < t1 ≤ t2  S  m   >0 >0  2  2

H Ư

N

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

b)

x 2 − 1 = t0 1 t0

TR ẦN

Với điều kiện (*), giả sử (1) có nghiệm t0 > 0 ta được:

H

Ó

A

10 00

B

1 1 Cosi  ( ) 1 x = t + 0  2 t0 ≥ ⇔ 2  1 1 Cosi x − 1 = −t0 = − ( + ) −1 x t 0  2 t0 ≤  1 x2 − 1 = − t0 x2 − 1 =

Í-

 x−    x +  2 x − x − 1 = t0 ⇔    x −   x − 

-L

Tức là phương trình (1) có nghiệm.

TO

ÁN

Vậy với m ≥ 2 2 phương trình có nghiệm.

Bài 3:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

1 2

U Y

x2 − 1 = −

5 4

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

⇔ x=±

x 2 − 1 = −2

Vậy với m = 3 phương trình có 4 nghiệm x = ±1, x = ±

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 2

N

x2 − 1 =

.Q

 x−     x + 2 Với t = 2 , ta được: x − x − 1 = 2 ⇔   x −   x −  

Đ

Điều kiện: x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1

D

IỄ N

Ta xét các trường hợp:

• •

•

Với x = 1 phương trình có dạng: 2 = 0 ( mâu thuẫn) Với x = −1 phương trình có dạng 2 m = 0 ⇔ m = 0 x +1 x +1 x +1 x +1 (1) ↔ + m = (m + 1) Với x > 1 phương trình có dạng: + m = (m + 1) x −1 x −1 x −1 x −1

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 47 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x +1 = t (t > 0) x −1

H TP

.Q

U Y

N

x +1 = m(2) x −1

N

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x +1 5 = 2 ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) 3 x −1 5 Vậy với m = 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = .

3 Với m = 2 ta được: (1) ⇔

a)

Giải và biện luận phương trình: m < 0 • V ới  thì (2) vô nghiệm ⇔ phương trình vô nghiệm m =1 m2 + 1 x +1 • Với 0 ≤ m ≠ 1 thì (2) ⇔ = m2 ⇔ x = 2 x −1 m −1 m < 0 Vậy: với  phương trình vô nghiệm. m =1

10 00

B

TR ẦN

H Ư

b)

m2 + 1 m2 − 1

Í-

H

Ó

A

Với 0 ≤ m ≠ 1 phương trình có nghiệm x =

-L

4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

ÁN

4.1. Phương pháp giải

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x +1 = 1(vn)   t =1 x 1 − ⇔ ⇔ ⇔  x +1 t = m  =m   x −1

Ơ

N

Khi đó: (1) ⇔ t 2 − (m + 1)t + m = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đặt:

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Đ

ÀN

Bước 2: Biến đổi phương trình về phương trình bậc 2

IỄ N

Bước 3: Giải nghiệm của phương trình mới

D

Bước 4: Chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định

4.2. Ví dụ minh họa Ví dụ: Giải và biện luận phương trình:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 48 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3x + k x − k (1) = x−3 x+3 2 mx − m 2 + m − 2 b) = 1(2) x2 − 1 Lời giải:

H

Ơ

N

a)

.Q

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP H Ư

TR ẦN

 −k − 6 ≠ 3  k ≠ −9 V ới  ⇔ thì phương trình có 2 nghiệm − k − 6 ≠ −3  k ≠ −3

N

G

Đ

 x=0 ⇔  x = −k − 6

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

⇔ x( x + k + 6) = 0

Vậy với k = −3 và k = −9 thì phương trình có 1 nghiệm x = 0

B

Với k ≠ −3 và k ≠ −9 thì phương trình có 2 nghiệm x = 0 và x = − k − 6 .

10 00

b) Điều kiện: x ≠ ±1 Phương trình (2) ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − m + 1 = 0(*)

H

Ó

A

Ta có: ∆' = m − 1

TO

ÁN

-L

Í-

• Với m < 1 thì (*) vô nghiệm nên phương trình (2) vô nghiệm • Với m ≥ 1 thì (*) có 2 nghiệm x = m ± m − 1 m =1 Phương trình (*) nhận x = 1 là nghiệm: f (1) = m 2 − 3m + 2 ⇔  m = 2 Nếu m = 1 thì phương trình (*) có nghiệm kép x = 1 (không thỏa mãn)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ x 2 + (k + 6) x = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

a) Điều kiện: x ≠ ±3 Phương trình (1) ⇔ (3x+k)(x+3)=(x-k)(x-3)

Đ

Nếu m = 2 thì phương trình (*) có 2 nghiệm x = 1 và x = 3

D

IỄ N

Ta có: f (−1) = m 2 + m + 2 ≠ 0 do đó x1 , x 2 ≠ −1 Vậy khi m ≤ 1 thì phương trình vô nghiệm Khi m = 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 49 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Khi m > 1, m ≠ 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = m ± m − 1 4.3. Bài tập áp dụng

Ơ MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Điều kiện: x ≠ −a, x ≠ −b, x ≠ 0

TR ẦN

Phương trình tương đương: x( x + b) + x( x + a) = ( x + a)( x + b) ⇔ x 2 = ab Dựa vào điều kiện ta có kết quả sau:

10 00

B

Nếu ab = 0 hoặc ab < 0 . S = ∅

{

A

Nếu ab > 0, a = b . S = {a}

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

TP ẠO Đ G H Ư

N

Bài 1:

}

H

Ó

Nếu ab > 0, a ≠ b . S = − ab ; ab .

ÁN

-L

Í-

b) Điều kiện: ax − b ≠ 0, bx − a ≠ 0, (a 2 + b 2 ) x − ab ≠ 0 Áp dụng tỉ lệ thức, phương trình trương đương

2abx − (a 2 + b 2 ) a 2 + b2 2abx = = 2 2 2 2 2 abx − (a + b ) x + ab (a + b ) x − ab abx 2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

x +1 x vô nghiệm = x − a +1 x + a + 2 x2 − x + 2 − xa + a − 1 = 0 có nghiệm b) x −1 HƯỚNG DẪN:

a)

a)

H

a b a 2 + b2 + = b) xa − b xb − a (a 2 + b 2 ) x − ab

1 1 1 a) + = x+a x+b x Bài 2: Tìm tham số a để phương trình:

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình theo 2 tham số:

Đ

ÀN

Nếu a = b = 0 phương trình vô nghiệm S = ∅

D

IỄ N

 a = 0, b ≠ 0 Nếu  thì S = ℝ {0}  a ≠ 0, b ≠ 0 Nếu ab ≠ 0 thì phương trình ⇔

a 2 + b2 2 2ab = ⇔ x= 2 2 2 a + b2 (a + b ) x − ab x

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 50 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Xét a = ±b thì phương trình vô nghiệm S = ∅

N

 2ab  Xét a ≠ ± b thì S =  2 2 a + b 

H

Ơ

Bài 2:

ẠO

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 a=0 ⇔ 2a + a = 0 ⇔   a = −1 2 

G N

10 00

B

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

a+2 = a − 1 ⇔ −(a + 2) = 2(a + 1)(a − 1) 2(a + 1)

H Ư

Xét −

a+2 2(a + 1)

TR ẦN

Nếu a ≠ −1 thì (*) có một nghiệm x = −

Đ

Nếu a = −1 thì (*) vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

a+2 = −a − 2 2(a + 1)

ÁN

-L

Í-

H

 a = −1 (a + 2)(2a + 1) = 0 ⇔  a = − 1 2 

Ó

A

Xét ⇔ −(a + 2) = −2(a + 2)(a + 1) ⇔ −

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

⇔ x 2 + (a + 3) x + a + 2 = x 2 − (a − 1) x 2(a + 1) x = −(a + 2)(*)

TO

1   Vậy phương trình vô nghiệm khi a ∈  −2; −1; − ; 0  2  

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Với điều kiện: x ≠ a − 1 và x ≠ − a − 2 , ta có: x +1 x ⇔ ( x + 1)( x + a + 2) = x( x − a + 1) = x − a +1 x + a + 2

http://daykemquynhon.ucoz.com

a)

D

IỄ N

Đ

C. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 1. Hình thức dạy học - Tổ chức các hoạt động nhóm: chia lớp thành các nhóm làm bài tập.

2. Kế hoạch dạy học Nội dung

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Tiết

Page 51 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

I: Phương trình bậc 2 Hệ thức Vi-ét thuận và ứng dụng

Giải và biện luận phương trình bậc 2 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ Tính giá trị của biểu thức nghiệm Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm Lập phương trình bậc 2 Tìm hai số biết tổng và tích Sử dụng phương trình bậc 2 để giải và biện luận phương trình bậc 3 Sử dụng phương trình bậc 2 để giải và biện luận phương trình bậc 4 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quy về phương trình bậc 2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

1 1 1 1 1

B

(Thời gian : 45 phút)

Bài 1:(3 đ)

A

10 00

Cho hai phương trình: Z + Z + = 0 1) 7à Z + Z + 1 = 0 2) Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung Với giá trị nào của a thì hai phương trình tương đương.

H

Ó

a. b.

-L

Í-

Bài 2:(3 đ)

ÁN

Cho phươngtrình: x 2 − 2 ( m + 1) x + 4m = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x1 thỏa mãn: ( x1 + m )( x2 + m ) = 3m 2 + 12

b)

Tìm m để phương trình có nghiệm dương

TO

a)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

BÀI KIỂM TRA

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ G N H Ư

KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ Kiểm tra

TR ẦN

D.

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Kiểm tra và chữa bài kiểm tra

1 1 1 1 1 2 2 1 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Hệ thức Vi-ét đảo và ứng dụng III: Ứng dụng phương trình bậc 2 để giải phương trình bậc cao

U Y

N

H

Ơ

II: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

Đ

Bài3:(2 đ)

D

Cho hàm số

y = x 4 + 2mx 2 + m + 3 ( Cm ) . Xác định m để đồ thị ( Cm ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt

có hoành độ thỏa mãn x1 < x2 < x3 < 1 < 2 < x4

Bài 4:(2 đ)

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 52 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tìm m để phương trình: m( x − 1) 2 + 4 x − 1 + 3m = 0(1) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn:

Ơ

N

−3 < x1 < −1 < x2 < 1 < x3 < 2 < x4 (*)

N

G

Với Zh = 1, 5ℎ c 7àp 3), 5 đượD = −2.

Đ

Với = 1, fễ 5ℎấc Dả ℎ 8 1ℎươ34 56ì3ℎ đề 7ô 34ℎ8ệ9, fp 7ậc = 1 ipạ8.

TR ẦN

H Ư

Khi đó hai phương trình có dạng : Z + Z − 2 = 07à Z − 2Z + 1 = 0. Và dễ thấy chúng chỉ có một nghiệm chung là x=1.

Hai phương trình tương đương nếu xảy ra một trong hai khả năng sau : Mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2) và ngược lại.

Hai phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm.

10 00

B

b.

• •

Theo a) khả năng thứ nhất không thể xảy ra.

A

Vậy, chỉ có thể là hai phương trình đều vô nghiệm

Í-

H

Ó

∆ P) < 0 1 〈=〉 R 〈=〉 R1 − 4 < 0〈=〉 < < 2.T ∆ ) < 0 −4 <0 4

Bài 2: a)

TO

^

ÁN

P

-L

Vậy, với < < 2, hai phương trình đã cho tương đương.

Để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 :

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

= 1T Lấy 3) − 4), 5 đượD: 1 − ) Zh − 1) = 0 〈=〉 Zh = 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

U Y

a.

Giả sử hai phương trình có nghiệm chung Zh , khi đó: Zh + Zh + = 0 3) 7à Zh + Zh + 1 = 0 4)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 1:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Lời giải

D

IỄ N

Đ

1≠ 0  ⇔ 2 2 2 ∆′ = ( m + 1) − 4m = m − 2m + 1 = ( m − 1) ≥ 0

Theo định lí vi-ét ta có:

 x + x = 2 ( m + 1) ⇔ 1 2 x1 x2 = 4m 

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 53 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Theo giải thiết:

( x1 + m )( x2 + m ) = 3m2 + 12

H

Ơ

N

⇔ m ( x1 + x2 ) + x1 x2 + m 2 = 3m2 + 12

.Q G N

Để phương trìnhcó nghiệm dương:

H Ư

b)

Đ

Vậy với m = 2 thỏa mãn đề bài

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

⇔m=2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

⇔ 6m = 12

TR ẦN

( m − 1) 2 ≥ 0 ( luôn đúng )  ⇔ S = 2 ( m + 1) > 0  P = 4m > 0 

B

⇔m>0

10 00

Vậy 9 > 0 thỏa mãn đề bài.

Ó

A

Bài 3:

(1)

Í-

H

Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 + 2mx 2 + m + 3 = 0

-L

Đặt t = x 2 , điều kiện t ≥ 0 . Phương trình trở thành t 3 + 2mt + m + 3 = 0

(2)

ÁN

Gỉa sử nếu pt (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 0 < t1 < t2 thì pt (1) sẽ có các nghiệm là

x1 = − t2 < x2 = − t1 < x3 = t1 < x4 = t2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2m ( m + 1) + 4m + m2 = 3m 2 + 12

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Thay định lý Vi-ét ta có:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài toán trở thành tìm m để pt (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: t1 < 1 < 4 < t2

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 54 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N U Y .Q

N

G

Đ

t1 + t2 = −2m Áp dụng định lí Vi-et cho pt (2) ta có  (5)  t1t2 = m + 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

 ( t − 1)( t2 − 1) < 0  t t − ( t1 + t2 ) + 1 < 0  t1 < 1 < t2 Ta có : t1 < 1 < 4 < t2 ⇔  (4) ⇔ 1 ⇔ 12 ( t1 − 4 )( t2 − 4 ) < 0 t1t2 − 4 ( t1 + t2 ) + 16 < 0 t1 < 4 < t2

B

19 là giá trị cần tìm 9

10 00

Kết hợp với (3) ta có −3 < m < −

TR ẦN

H Ư

4  m<−  + 3 + 2 + 1 < 0 m m  19  3 ⇔ ⇔m<− Thay (5) vào (4) ta có  9 m + 3 + 8m + 16 < 0 m < − 19  9

Ó

H

Đặt: x − 1 = t , điều kiện t ≥ 0

A

Bài 4:

-L

Í-

Khi đó: phương trình (1) trở thành: mt 2 + 4t + 3m = 0(2)

ÁN

Giả sử: 0 < t1 < t2 . Khi đó:

TO

 x = t1 + 1  x = 1− t  x1 − 1 = t1 1  ⇔   x − = t 1 = + 1 x t 2 2  2   x = t2 − 1

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 1 + 13 m > 2  ∆ ' = m 2 − m − 3 > 0     1 − 13 1 − 13  S = −2 m > 0  m < −3 < m < ⇔ ⇔  ⇔ 2 2 (3)  P = m+3> 0   m<0  t1 < 1 < 4 < t2  t1 < 1 < 4 < t2   m > −3 t < 1 < 4 < t 2 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

D

Khi đó: (*) trở thành: −3 < 1 − t2 < −1 < 1 − t1 < 1 < t1 + 1 < 2 < t2 + 1 ⇔ 0 < t1 < 1 < 2 < t2 < 4 (**)

Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn (*) thì phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn (**)

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 55 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 f (0). f (1) < 0  3m(4m + 4) < 0 −16 ⇔ ⇔ ⇔ −1 < m < 19  f (2). f (4) < 0 (7 m + 8)(19 m + 16) < 0

Ơ

N

−16 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

19

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

------------- HẾT--------------

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

H Ư

N

G

•

Đ

• • •

Đánh giá: Căn cứ vào mục tiêu dạy học và nội dung dạy học đã phát triển.

Kế hoạch của nhà trường Mức độ KT-KN đã đạt được ở HS; Mức độ cải thiện ở NL của HS; Mức độ hứng thú của HS trong quá trình học tập...

Căn cứ vào bài kiểm tra.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

V ậ y v ới − 1 < m <

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN 2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 56 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ: N

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

B.

HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC ...................................................................2

G

N

H Ư

1. Hình thức dạy học .......................................................................................................2

C.

TR ẦN

2. Kế hoạch dạy học ........................................................................................................3 NỘI DUNG BÀI HỌC ............................................................................................3

I. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước ....................................3

10 00

B

1. Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương.......................................................................3 2. Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương. .............................................4

A

3. Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) .......................6

Ó

4. Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc. ............................................. 7

Í-

H

5. Bài tập áp dụng........................................................................................................ 7

-L

II. Chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng. ......... 12

ÁN

III. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. ................................................................... 18 IV. Góc giữa hai đường thẳng ...................................................................................... 19

TO

V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. ......................................................23 VII. Hoạt động trải nghiệm sáng tạo ........................................................................... 38

D.

KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ ...................................................................................... 46

D

IỄ N

Đ

ÀN

VI. Luyện tập: .............................................................................................................. 27

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỤC TIÊU DẠY HỌC............................................................................................2

Đ

A.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

MỤC LỤC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

TRONG MẶT PHẲNG

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 1 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

MỤC TIÊU DẠY HỌC Căn cứ: Chuẩn KT-KN Yêu cầu của nhà trường Khả năng, mong muốn của HS… Mục tiêu dạy học: Về kiến thức: Học sinh hiểu, nhớ được cách xác định véctơ pháp tuyến, véctơ chỉ phương của đường thẳng.

- Học sinh hiểu, biết cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt, phương trình có hệ số góc k và các dạng phương trình chính tắc, phương trình đoạn chắn.

- Học sinh hiểu được điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau.

- Học sinh hiểu, nhớ được công thức tính góc giữa hai đường thẳng và các công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Về kĩ năng: - Học sinh biết xác định véctơ pháp tuyến, véctơ chỉ phương của đường thẳng.

- Học sinh viết được thành thạo phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước hoặc đường thẳng đi quahai điểm phân biệt cho trước.

- Học sinh tính được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của véctơ chỉ phương của một đường thẳng và ngược lại.

- Học sinh biết chuyển đổi phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng.

- Học sinh biết xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng - Học sinh sử dụng thành thạo công thức tính góc giữa hai đường thẳng và các công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và biết áp dụng vào các bài tập liên quan.

Về thái độ: - Rèn luyện tính cẩn thận, tính chính xác, tư duy logic,........

- Học sinh có thái độ ứng dụng các kiến thức đã học vào bài tập và vào thực tế.

D

IỄ N

Đ

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

B. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 1. Hình thức dạy học - Tổ chức các hoạt động nhóm: chia lớp thành các nhóm làm bài tập, tự học theo hướng dẫn của giáo viên,.....

- Sử dụng các phương pháp dạy học: Phương pháp gợi mở vấn đáp, phương pháp thuyết trình, phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề,....

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

A. • •

-

N

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Page 2 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1

Ơ

1

N

Tiết 2

2 3

Đ

V: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

VI: Luyện tập.

2

H Ư

N

G

VII: Hoạt động trải nghiệm sáng tạo.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

C. NỘI DUNG BÀI HỌC I. Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 1. Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương.

1.1. Vectơ pháp tuyến (VTPT): Vectơ n ≠ 0 có giá vuông góc với đường thẳng ∆ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

+ Nếu n là VTPT của đường thẳng d thì k n cũng là VTPT của đường thẳng d + Một đường thẳng có vô số VTPT và tất cả các VTPT ấy đều cùng phương.

1.2. Vectơ chỉ phương (VTCP): Vectơ u ≠ 0 có giá song song với đường thẳng ∆ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

+ Nếu u là VTCP của đường thẳng ∆ thì ku cũng là VTCP của đường thẳng d. + Một đường thẳng có vô số VTCP và tất cả các VTCP ấy đều cùng phương.

1.3. Mối quan hệ giữa VTPT và VTCP của đường thẳng d.

+ VTCP của đường thẳng vuông góc với VTPT của đường thẳng ấy ⇒ n ⊥ u ⇔ n.u = 0

+ Nếu gọi tọa độ của VTPT của đường thẳng d là n = ( a; b ) thì VTCP là u = ( −b; a ) hoặc

u = ( b; − a )

+ Nếu gọi tọa độ của VTCP của đường thẳng d là u = ( a; b ) thì VTPT là n = ( −b; a ) hoặc

n = ( b; − a )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

ẠO

IV: Góc giữa hai đường thẳng.

1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

III: Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

U Y

N

2. Kế hoạch dạy học Nội dung I: Viết phương Véctơ pháp tuyến và véctơ chỉ phương trình đường thẳng Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương. thỏa mãn điều Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) kiện cho trước.

Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc.

Bài tập áp dụng II: Chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng.

H

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

+ Đường thẳng có VTPT thì sẽ có VTCP. 1.4: Ví dụ: a.

Phương trình đường thẳng d có VTPT n = (1; 2 ) thì n = ( 2; 4 ) , n = ( 3; 6 ) , n = ( 5;10 )

cũng là VTPT của d.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b.

Phương trình đường thẳng d có VTCP u = ( −3;1) thì u = ( −6; 2 ) , u = ( −9;3 ) ,

u = (12; −4 ) cũng là VTCP của d.

N

G

Ngược lại, đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y 0 ) và có VTPT n = ( a, b ) ≠ 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 )

H Ư

⇒ Phương trình tổng quát có dạng: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = 0

TR ẦN

Chú ý: + Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 . Có các

B

trường hợp sau xảy ra, phụ thuộc vào hệ số a, b, c: • Nếu a = 0 thì d có dạng: by + c = 0 . Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox. Nếu b = 0 thì d có dạng: ax + c = 0 . Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy.

•

Nếu c = 0 thì d có dạng: ax + by = 0 . Đường

Ó

thẳng đi qua gốc tọa độ.

A

10 00

•

Í-

H

+ Nếu đường thẳng (d) đi qua hai điểm M ( a; 0 ) và

x y + = 1( a, b ≠ 0 ) được gọi a b là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn nhận:

n = ( b; a )

TO

ÁN

-L

N ( 0; b ) ⇒ (d) có dạng:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d:

a. d đi qua điểm M (1; 2 ) nhân n = (1;1) là VTPT.

b. d đi qua M = ( 2; −1) nhận n = ( 3; 0 ) là VTPT.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

làm VTPT.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

a 2 + b 2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận n = ( a; b )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

2. Dạng 1: Đường thẳng đi qua một điểm và biết phương.

2.1. Đường thẳng đi qua một điểm và biết VTPT. - Một phương trình bậc nhất hai ẩn đối với x và y có dạng: ax + by + c = 0 (1), với

U Y

N

H

Ơ

N

Tìm VTCP và VTPT.

+ Đường thẳng d có VTPT n = ( 2;3 ) ⇒ VTCP u = ( −3; 2 )

+ Đường thẳng d có VTPT n = ( −6; 4 ) ⇒ VTCP u = ( 2; 3 )

+ Đường thẳng d có VTCP u = ( 0;1) ⇒ VTPT n ( −1; 0 ) hoặc n = (1; 0 )

+ Đường thẳng d có VTCP u = ( 5; 7 ) ⇒ VTPT n = ( −7; 5 )

http://daykemquynhon.ucoz.com

c.

c. d đi qua 2 điểm M ( 2; 0 ) và N ( 0;5 ) .

Lời giải

a. Vì d đi qua điểm M (1; 2 ) nhận n = (1;1) là VTPT

⇒ Pt đường thẳng d: 1( x − 1) + 1( y − 2 ) = 0 ⇔ x + y − 3 = 0

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 4 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b. Vì d đi qua M = ( 2; −1) nhận n = ( 3; 0 ) là VTPT

⇒ Pt đường thẳng d: 3 ( x − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 = 0 c. Vì d đi qua 2 điểm M ( 2; 0 ) và N ( 0;5 )

x y + =1 2 5 2.2. Đường thẳng đi qua một điểm và biết VTCP.

H

Ơ

N

⇒ Pt đường thẳng d:

-L

Í-

H

Ó

A

x = 2 + t a. Vì d đi qua M ( 2; −1) có vtcp u = (1; 0 ) nên PT tham số d:   y = −1 Không có PT chính tắc.

b. Vì d đi qua A ( 5;3) có VTCP u = ( −2; 4 ) nên:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

 x = 5 − 2t + PT tham số d:   y = 3 + 4t x −5 y −3 = + PT chính tắc d: 4 −2 2.3. Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc hoặc song song với đường thẳng cho trước

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Lời giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

 x = x0 + at ⇒ Pt tham số có dạng:   y = y0 + bt Chú ý: Bằng cách khử tham số t từ 2 phương trình của hệ phương trình (2) trên ta đượcphương trình: x − x0 y − y0 = ( a, b ≠ 0) a b Phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng.

Ví dụ: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d:

a. d đi qua M ( 2; −1) có VTCP u = (1; 0 )

b. d đi qua A ( 5;3) có VTCP u = ( −2; 4 )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

 x = x0 + at - Một hệ phương trình 2 ẩn đối với x và y có dạng:  (2) ( a 2 + b 2 ≠ 0 và t là tham y = y + bt 0 

số) được gọi là phương trình tham số của một đường thẳng nhận: u = ( a; b ) là VTCP.

Ngược lại, đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) và có VTCP n = ( a; b ) ≠ 0

- Pt đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y 0 ) và song song ∆ : ax + by + c = 0

⇒ Pt đường thẳng d: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = 0 - Pt đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y 0 ) và vuông góc ∆ : ax + by + c = 0

⇒ Pt đường thẳng d: −b ( x − x0 ) + a ( y − y0 ) = 0 Chú ý: + Hai đường thẳng song song thì chúng cùng VTPT hoặc cùng VTCP.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 5 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

+ Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của đường thẳng này đóng vai trò là VTCP của đường thẳng kia và ngược lại.

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng d: d đi qua M = (1; 4 ) và song song với đường thẳng ∆ : x − 2 y + 12 = 0

b)

−3 d đi qua M =  1;  và vuông góc với đường thẳng ∆ : − x − 3 y + 12 = 0  4 

c)

d là đường trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A ( −1; 7 ) và B ( 2; −4 )

Lời giải

U Y

Đường thẳng ∆ nhận n = (1; −2 ) là VTPT.

Do d ∆ nên d nhận n = (1; −2 ) là VTPT mà d đi qua M (1; 4 )

10 00

B

AB = ( 3; −11) là VTCP của đường thẳng AB

H

Ó

A

1 3 Do d là đường trung trực của đoạn AB nên: d đi qua I  ;  và vuông góc với AB 2 2 1 3 Vậy phương trình d: 3  x −  − 11  y −  = 0 ⇔ 3 x − 11 y + 15 = 0 2 2    

-L

Í-

3. Dạng 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) + Cách tìm phương trình tham số:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

 x = x1 + ( x2 − x1 ) t Tìm VTCP: u = AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1 ) ⇒ PT tham số AB:   y = y1 + ( y2 − y1 ) t + Cách tìm phương trình tổng quát:

Tìm VTPT: n = ( y1 − y2 ; x2 − x1 ) ⇒ PTtổng quát AB: ( y1 − y2 )( x − x1 ) + ( x2 − x1 )( y − y1 ) = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

c)

x A + xB 1   xI = 2 = 2 1 3 ⇔I ;  Gọi I là trung điểm của AB ta có:  2 2  y = y A + yB = 3 I  2 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

H Ư

N

G

Đ

⇒ Phương trình d: 1( x − 1) − 2 ( y − 4 ) = 0 ⇔ x − 2 y + 7 = 0

b) Đường thẳng ∆ nhận n = ( −1; −3 ) là VTPT.

−3 Do d ⊥ ∆ nên d nhận n1 = ( 3; −1) là VTPT mà d đi qua M  1;   4  3 15 ⇒ Phương trình d: 3 ( x − 1) − 1  y +  = 0 ⇔ 3 x − y − = 0 4 4 

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

a)

- Ví dụ : Viết PTTQ, PTTS của đường thẳng đi qua A ( 2;1) và B ( −1; 2 ) Lời giải:

Đường thẳng AB đi qua A ( 2;1) có VTCP là: u = AB = ( −1 − 2; 2 − 1) = ( −3;1)

 x = 2 − 3t ⇒ Pt tham số có dạng:   y = 1+ t

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 6 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Đường thẳng AB đi qua A ( 2;1) và nhận VTPT n = (1;3 )

⇒ PT tổng quát AB là: 1( x − 2 ) + 3 ( y − 1) = 0 ⇔ x + 3 y − 5 = 0 4. Dạng 3: Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc.

- Phương trình bậc nhất 2 ẩn: y = kx + b được gọi là phương trình hệ số góc.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d.

d đi qua điểm M ( 5; −1) và có hệ số góc k=2.

TR ẦN

a.

G

H Ư

Pt đường thẳng: y = k ( x − x0 ) + y0 ⇔ kx − y + y0 − kx0 = 0

N

Đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k.

2 d đi qua M  3;  tạo với Ox góc 30 .  3 Lời giải:

10 00

B

b.

a. Pt đường thẳng d là: y = 2 ( x − 5 ) − 1 ⇔ 2 x − y − 11 = 0

Ó

A

2 b. d đi qua M  3;  tạo với Ox góc 30 ⇒ k = ± tan 300  3

ÁN

-L

Í-

H

1 2 1 2   2   (d ) : y = 3 ( x − 3) + 3  (d ) : y = 3 x − 3 + 3 ( d ) : y = k ( x − 3 ) + 3 ⇔ ⇔ ⇔ 1 1 2 1 2  

 k = ± tan 30 = ± (d ) : y = − (d ) : y = − x+ 3+ ( x − 3) +    3 3 3 3 3   5. Bài tập áp dụng

TO

Bài 1: Cho ∆ABC có A (1; 2 ) , B ( 3;1) , C ( 5; 4 ) . Viết phương trình tổng quát:

a. b. c.

ÀN Đ IỄ N D

Đ

- Cách viết phương trình:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Trong đó k = tan α ( là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox với đường thẳng)

Đường cao hạ từ đỉnh A. Đường trung trực của đoạn AB. Đường thẳng qua A và song song với đường trung tuyến CM.

Bài 2: Cho ∆ABC có A (1;1) . Các đường cao xuất phát từ B và C của tam giác lần lượt có phương trình là: −2 x + y − 8 = 0 và 2 x + 3 y − 6 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 3: Cho ∆ABC có A (1; 4 ) , B ( 3; −1) , C ( 6; 2 ) a. b.

Lập phương trình các cạnh của tam giác.

Lập phương trình đường trung tuyến AM.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 7 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 4: Cho ∆ABC có B ( 2; −1) . Đường cao và phân giác trong kẻ từ A và C có phương trình lần lượt là: 3 x − 4 y + 27 = 0 và x + 2 y − 5 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 5 : Cho ∆ABC có M ( 2;1) , N ( 5; 3 ) , P ( 3; −4 ) lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC,

Ơ

N

BC của tam giác. Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 6: Cho ∆ABC cân tại A, cạnh BC, AB có phương trình lần lượt là: x − 3 y − 1 = 0 và

H

x − y − 5 = 0 , đường thẳng AC đi qua M ( −4;1) thuộc AC. Viết phương trình AC.

N

⇒ PT d: −3 ( x − 1) + 2 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 3 x − 2 y + 1 = 0

H Ư

x A + xB   xM = 2 = 2  3 ⇔ M  2;  Gọi M là trung điểm của AB ta có:   2  y = y A + yB = 3  M 2 2

TR ẦN

b.

B

AB = ( 2; −1) là VTCP của đường thẳng AB.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

3 Do d là đường trung trực của đoạn AB nên: d đi qua M  2;  và vuông góc với AB.  2 3 Vậy phương trình d: 2 ( x − 2 ) − 1  y −  = 0 ⇔ 4 x − 2 y − 5 = 0 2 

5 c.

Ta có CM =  3;   2 Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với CM.

−5 ⇒ d nhận CM =  −3;  là VTCP. 2   −5 ⇒ PT d: ( x − 1) + 3 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 5x − 6 y + 7 = 0 .

2 Bài 2: Gọi H và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C. ⇒ PT BH : −2 x + y − 8 = 0 và PT CK: 2 x + 3 y − 6 = 0

+ Đường thẳng BH có VTCP u = (1; 2 )

Giả thiết BH ⊥ AC nên đường thẳng AC nhận u = (1; 2 ) là

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

Gọi d là đường cao hạ từ A nên d vuông góc với BC và đi qua A.

⇒ d nhận BC = ( 2;3 ) là VTPT.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Ta có BC = ( 2;3 )

ẠO

a.

.Q

Hướng dẫn: Bài 1:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

lượt là: x + 2 y − 5 = 0 và 4 x + 13 y − 10 = 0 . Lập phương trình cạnh BC.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Bài 7: Cho ∆ABC có C ( 4;3 ) . Đường phân giác và trung tuyến kẻ từ A có phương trình lần

VTPT. Lại có A (1;1) ∈ AC

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 8 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ PT AC: 1 ( x − 1) + 2 ( y − 1) = 0 ⇔ x + 2 y − 3 = 0

+ Đường thẳng CK có VTCP u1 = ( −3; 2 )

Do CK ⊥ AB nên đường thẳng AB nhận u1 = ( −3; 2 ) là VTPT.

N

Lại có A (1;1) ∈ AB ⇒ PT AB: −3 ( x − 1) + 2 ( y − 1) = 0 ⇔ −3 x + 2 y + 1 = 0

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G N

TR ẦN

a. + Đường thẳng AB có VTCP: u = AB = ( 2; −5 ) ⇒ n = ( 5; 2 ) là VTPT.

Lại có AB đi qua điểm A (1; 4 )

10 00

B

⇒ PTTQ AB: 5 ( x − 1) + 2 ( y − 4 ) = 0 ⇔ 5 x + 2 y − 13 = 0

+ Đường thẳng BC có VTCP: u = BC = ( 3;3 ) ⇒ n = ( −3;3) là VTPT.

A

Lại có BC đi qua điểm B ( 3; −1)

Í-

H

Ó

⇒ PTTQ BC: −3 ( x − 3 ) + 3 ( y + 1) = 0 ⇔ x − y − 4 = 0

+ Đường thẳng AC có vtcp: u = AC = ( 5; −2 ) ⇒ n = ( 2;5 ) là VTPT.

-L

Lại có AC đi qua điểm A (1; 4 )

ÁN

⇒ PTTQ AC: 2 ( x − 1) + 5 ( y − 4 ) = 0 ⇔ 2 x + 5 y − 22 = 0

TO

xB + xC 9   xM = 2 = 2 9 1 ⇔M ;  b.+ Ta có M là trung điểm của BC ta có:  2 2  y = yB + yC = 1 M  2 2

7 −7 Đường thẳng AM nhận AM =  ;  là VTCP ⇒ n = (1;1) là VTPT. 2 2 

ÀN Đ IỄ N D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Bài 3:

H Ư

Vì I là trực tâm của tam giác ABC .  −13 5  ;  là VTPT của BC ⇒ AI ⊥ BC ⇒ AI =   4 2 ⇒ PT BC: −13x + 10 y + 39 = 0 .

ẠO

 −2 x + y − 8 = 0  x = −17 ⇔ ⇒ B ( −17; −26 )  −3x + 2 y + 1 = 0  y = −26

TP

−9  x= 

 −2 x + y − 8 = 0   −9 7  −13 5  4 ⇔ ⇒ I  ;  ⇒ AI =  ;    4 2  4 2 2x + 3 y − 6 = 0  y=7  2 BH ∩ AB = B ⇒ Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình sau:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

+ Gọi BH ∩ CK = I ⇒ Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình sau:

⇒ PT AM: 1( x − 1) + 1( y − 4 ) = 0 ⇔ x + y − 5 = 0 Bài 4: Gọi H và D là chân đường cao và chân đường phân giác kẻ từ A và C.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 9 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ AH có phương trình: 3 x − 4 y + 27 = 0 và CD có phương trình: x + 2 y − 5 = 0

+ Đường thẳng AH có VTCP u1 = ( 4; 3 )

N

Do AH ⊥ BC nên đường thẳng BC nhận

u1 = ( 4;3 ) là VTPT.

Ơ

Lại có B ( 2; −1) ∈ BC ⇒ Phương trình BC:

U Y Đ

⇒ Phương trình ∆ : −2 x + y + 5 = 0

H Ư

N

G

∆ ∩ CD = I ⇒ Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình sau:  x + 2y −5 = 0 x = 3 ⇔ ⇒ I ( 3;1)   −2 x + y + 5 = 0 y =1

10 00

B

TR ẦN

 xE = 2 xI − xB = 4 ⇒ E ( 4;3) Gọi E là điểm đối xứng với B qua I ⇒   y E = 2 y I − yB = 3 Theo cách dựng ∆BCE cân tại C ⇒ CI là đường phân giác trong của ∆BCE ⇒ E ∈ AC

⇒ CE = ( 5; 0 ) là VTCP của đường thẳng AC ⇒ n = ( 0;1) là VTPT của AC. ⇒ PT AC: y − 3 = 0

A

+ Ta có AC ∩ AH = A ⇒ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình sau:

Bài 5:

-L

Í-

H

Ó

y −3 = 0   x = −5 ⇔ ⇒ A ( −5;3)  3x − 4 y + 27 = 0  y = 3

AB = ( 7; −4 ) là VTCP của AB ⇒ PT AB: 4 x + 7 y − 1 = 0

ÁN

Theo giả thiết M ( 2;1) , N ( 5; 3 ) , P ( 3; −4 ) lần

TO

lượt là trung điểm của cạnh AB, AC, BC. ⇒ MN BC , NP AB và MP AC

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ta có:

+ MN = ( 3; 2 ) . Vì MN BC ⇒ MN = ( 3; 2 ) là

VTCP của BC ⇒ n1 = ( −2;3) là VTPT của BC

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua B ( 2; −1) và vuông góc với CD.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

TP

.Q

4 x + 3 y − 5 = 0  x = −1 ⇔ ⇒ C ( −1;3)   x + 2y −5 = 0  y=3 Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên CD.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

+ Ta có BC ∩ CD = C ⇒ Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

4 ( x − 2 ) + 3 ( y + 1) = 0 ⇔ 4 x + 3 y − 5 = 0

Lại có P ( 3; −4 ) ∈ BC

⇒ PT BC: 2 x − 3 y − 18 = 0

+ NP = ( −2; −7 ) . Vì NP AB ⇒ NP = ( −2; −7 ) là VTCP của AB ⇒ n2 = ( 7; −2 ) là VTPT của AB.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 10 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Lại có M ( 2;1) ∈ AB

⇒ PT AB: 7 x − 2 y − 12 = 0

+ MP = (1; −5 ) . Vì MP AC ⇒ MP = (1; −5 ) là VTCP của AC ⇒ n3 = ( 5;1) là VTPT của AC.

Ơ

N

Lại có N ( 5;3) ∈ AC

H

⇒ PT AC: 5 x + y − 28 = 0

U Y

⇒ Phương trình ∆ : x − 3 y + 7 = 0

G N

H Ư TR ẦN

 x − 3 y + 7 = 0  x = 11 ⇔ ⇒ N (11;6 )   x − y −5 = 0 y=6 Theo cách dựng ⇒ ∆AMN cân tại A.

Đ

+ Gọi ∆ ∩ AB = N ⇒ Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình sau:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Vì M ( −4;1) ∈ ∆ nên −4 − 3 + c = 0 ⇔ c = 7

10 00

B

xM + xN 7  =  xI = 7 7 2 2 ⇔ I ;  Ta có I là trung điểm của BC ta có:  2 2  y = yM + y N = 7  I 2 2

Vì ∆AMN cân tại A ⇒ AI ⊥ MN ⇒ MN = (15;5 ) là VTPT của đường thẳng AI.

A

⇒ Phương trình AI: 3 x + y − 14 = 0

H

Ó

Gọi AI ∩ AB = A ⇒ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình sau:

TO

ÁN

-L

Í-

19  x=  −35 5   3 x + y − 14 = 0  4 ⇒ A  19 ; −1  ⇒ ;  là VTCP của AC ⇔ AM =      4 4   4 4  x− y −5 = 0  y = −1  4 ⇒ Phương trình AC: x + 7 y − 3 = 0

Đ

ÀN

Bài 7: Gọi D và M lần lượt là chân đường phân giác và trung tuyến kẻ từ A. ⇒ Phương trình AD: x + 2 y − 5 = 0 và phương trình AM: 4 x + 13 y − 10 = 0

IỄ N D

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

BC ⇒ Phương trình ∆ có dạng: x − 3 y + c = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M ( −4;1) và song song với

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Bài 6:

Ta có AD ∩ AM = A ⇒ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình sau:

x + 2 y − 5 = 0 = 0  x = 9 ⇔ ⇒ A ( 9; −2 )   4 x + 13 y − 10 = 0  y = −2 Gọi ∆ là đường thẳng đi qua C ( 4;3 ) và vuông góc với AD

⇒ Phương trình ∆ : −2 x + y + 5 = 0 ∆ ∩ AD ≡ I ⇒ Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình sau:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 11 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 −2 x + y + 5 = 0 x = 3 ⇔ ⇒ I ( 3;1)   x + 2y −5 = 0 y =1

H

Ơ

N

 xE = 2 xI − xC = 2 ⇒ E ( 2; −1) Gọi E là điểm đối xứng với C qua I ⇒   yE = 2 yI − yC = −1 Theo cách dựng I là trung điểm của CE và M là trung điểm của CB ⇒ IM AB

⇒ AE = ( −7;1) là VTCP của MI ⇒ Phương trình IM: x + 7 y − 10 = 0

Cách 2: TừPT chính tắc của đt (d):

A

x − x0 y − y 0 = ( a ≠ 0, b ≠ 0 ) a b

H

Ó

Ta suy ra đường thẳng d đi qua điểm ( x0 ; y0 ) và có VTCP là u = ( a; b )

ÁN

-L

Í-

 x = x0 + at Suy ra PT tham số của đt d là:   y = y0 + bt b) Ví dụ :

TO

Chuyển PT chính tắc sau về dạng PT tham số (d):

x −1 y + 3 = 2 −3

D

IỄ N

Đ

ÀN

Giải:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

 x − x0 = at  x = x0 + at ⇔ Từ đó ta có :  (PT tham số)  y − y0 = bt  y = y0 + bt

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

II. Chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng.

1.

Lý thuyết: 1.1.

Chuyển đổi giữa phương trình chính tắc và phương trình tham số: 1.1.1. Chuyển phương trình chính tắc về phương trình tham số: a) Cách làm: x − x0 y − y 0 =

Cách 1: Ta có PT chính tắc: ( a ≠ 0, b ≠ 0 ) a b x − x0 y − y0 = =t Ta đặt : a b

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

ẠO

TP

.Q

U Y

 x + 7 y − 10 = 0  x = −4 ⇔ ⇒ M ( −4; 2 )  4 x + 13 y − 10 = 0  y = 2

⇒ CM = ( −8; −1) là VTCP của BC ⇒ PT BC: x − 8 y + 20 = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

IM ∩ AM = M ⇒ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình sau:

 x −1  2 = t  x = 1 + 2t x −1 y + 3 = = t suy ra  ⇔ + Cách 1:Ta đặt: (PT tham số) 2 −3  y = −3 − 3t y+3 =t  −3

+Cách 2: TừPT chính tắc ta suy ra đường thẳng d đi qua điểm (1; −3) và có VTCP là ( 2; −3)

 x = 1 + 2t ⇒ PT tham số là :   y = −3 − 3t

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 12 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1.1.2. Chuyển PT tham số vềPT chính tắc: a) Cách làm:

 at = x − x0 Rút t từ hệ ta có  bt = y − y0

Ơ

N

Cách 1: Ta có PT tham số:

(điều kiện a ≠ 0 và b ≠ 0)

Cách 2: TừPT tham số của đường thẳng (d)

ta suy ra đường

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

thẳng d đi qua điểm ( x0 ; y0 ) và có VTCP u = ( a; b )

x − x 0 y − y0 = (a ≠ 0 và b ≠ 0) a b Chú ý : Đường thẳng có thể không có PT dạng chính tắc. b) Ví dụ:  x = 2 − 3t Ví dụ1 : Đưa pt tham số sau vềPT chính tắc (d) :   y = 1 + 2t

TR ẦN

H Ư

N

G

Nên PT chính tắc của đường thẳng d là

Giải:

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

 x−2 t = −3 3t = 2 − x x − 2 y −1 ⇒ = ⇔ + Cách 1: Từ hệ ta rút t:  2 −3  2t = y − 1 t = y −1  2 + Cách 2: TừPT tham số ta suy ra đt d đi qua điểm (2;1) và có VTCP (-3;2) x − 2 y −1 = Nên d có PT chính tắc là : 2 −3  x=2 Ví dụ2 : Đưa PT tham số sau về pt chính tắc:   y = 1+ t

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Giải: Do a = 0 nên không có dạng pt chính tắc.

1.2.

Chuyển đổi giữa phương trình tham số và phương trình tổng quát: 1.2.1. Chuyển phương trình tham số về phương trình tổng quát: a) Cách làm:

Cách 1: •

Đưa PT tham số

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

x − x 0 y − y0 = (a ≠ 0 và b ≠ 0) (PT chính tắc) a b

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒

U Y

N

H

vềPT chính tắc:

x − x0 y − y 0 = ( a ≠ 0, b ≠ 0) a b

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 13 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyển về quy đồng ta có:

•

x − x0 y − y0 − = 0 ⇔ ( x − x0 ) b − ( y − y0 ) a = 0 a b

•

TừPTtham số

ta suy ra đt d đi qua điểm ( x0 ; y0 ) và có

•

Nên PT tổng quát của đường thẳng d đi qua ( x0 ; y0 ) có VTPT n = ( −b; a ) là :

H Ư

 x = x0 + Khi a = 0 ta có PT tham số:  ta suy ra PT tổng quát : x − x0 = 0  y = y0 + bt

B

TR ẦN

 x = x0 + at +Khi b = 0 ta có PT tham số:  ta suy ra ra PT tổng quát : y − y0 = 0  y = y0 b) Ví dụ:

10 00

 x = −1 − 2t Đưa PT tham số sau về dạng PT tổng quát :   y = 3 − 3t

A

Giải:

H

Ó

+ Cách 1:Chuyển vềPT dạng chính tắc ta được :

x +1 y − 3 = −2 −3

-L

Í-

Chuyển vế quy đồng ta có: -3 ( x + 1) + 2 ( y − 3) = 0

TO

ÁN

+Cách 2: TừPT tham số ta suy ra đường thẳng d đi qua điểm ( −1;3) và có VTCP là

u = ( −2; −3) suy ra VTPTcủa d là n = ( 3; − 2 )

Đường thẳng d đi qua điểm ( −1;3) và có VTPT n = ( 3; −2 ) nên pt tổng quát của đường thẳng

D

IỄ N

Đ

ÀN

d là: 3 ( x + 1) − 2 ( y − 3) = 0 ⇔ 3x − 2 y + 9 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

Đ

Chú ý: Khi PT của đường thẳng không có dạng chính tắc tức là a = 0 hoặc b = 0 thì ta chuyển pt tham số vềPT tổng quát như sau:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

−b ( x − x0 ) + a ( y − y 0 ) = 0 ⇔ −bx + ay + bx0 − ay0 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

TừVTCP ta suy ra được VTPT n = ( −b; a )

.Q

•

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VTCP u = ( a; b )

Ơ

Ta được PT tổng quát.

Cách 2:

H

•

N

⇔ bx − ay − (bx0 − ay0 ) = 0

1.2.2. Chuyển phương trình tổng quát về phương trình tham số: a) Cách làm:

Cách 1: Dựa vào PT tổng quát ax + by + c = 0 lấy một điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đường

thẳng (d) .

TừPT tổng quát ta suy ra VTPT n = ( a; b ) suy ra VTCP u = ( −b; a )

Đuờng thẳng d đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) và có VTCP u = ( −b; a ) nên:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 14 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 x = x0 − bt PT tham số của đường thẳng (d):   y = y0 + at Với a ≠ 0 và b ≠ 0

-

Cho x = t sau đó thay và PT ta có at + by + c = 0 ⇔ by = −c − at ⇔ y =

A

10 00

B

 x=t  Cho x = t ta được PT tham số:  −c  y = b b) Ví dụ: Ví dụ 1: Đưa PT sau về dạng PT tham số: (d) x + y − 5 = 0

Ó

Giải:

ÁN

-L

Í-

H

+ Cách 1: Có VTPT của (d): n = (1;1) và ta lấy M ( 0;5 ) thuộc đường thẳng ⇒ VTCP của (d)

u = (1; −1)

⇒ PT tham số của đường thẳng đi qua điểm M ( 0;5) và có VTCP u = ( −1;1) là :

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

 x = 0 + 1t  x=t ⇔   y = 5 − 1t y = 5−t + Cách 2: Đặt x = t thay vào pt tổng quát ta có: t + y − 5 = 0 ⇒ y = 5 − t

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Với b ≠ 0 và a = 0 PT tổng quát: by + c = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N H Ư TR ẦN

 y=t  Cho y = t ta được PT tham số:  −c  x = a

G

Với b = 0 và a ≠ 0 PT tổng quát: ax + c = 0

•

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y Đ

ẠO

 y=t  Tacó PT tham số:  −c − bt  x = a

−a − bt a

.Q

Hoặc cho y = t sau đó thay vào PT ta có ax + bt + c = 0 ⇔ x =

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x=t  Ta có PT tham số  − at − c  y = b

-

− at − c b

N

•

Ơ

Cách 2: PT tổng quát: ax + by + c = 0

H

 x=t ⇒ PT tham số :  y = 5−t Chú ý: Khi biết một dạng nào đó của PT đường thẳng d ta có thể tìm tất cả các dạngPT còn lại của đường thẳng d.

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC biết A(-1 ; 2) ; B(2 ; -4) C(1 ; 0).

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 15 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Bài 2: Viết PT tổng quát của các PT sau.

H

Ó

A

 x = 1 − 2t  x = −3  x = −2 − 3t a)  b)  c)   y = 3+t  y = 6 − 2t  y=4 Bài 3: Viết PTtham số, PT chính tắc (nếu có), PT tổng quát trong các trường hợp sau:

Í-

a) Đi qua điểm A (1;1) và song song với trục hoành.

-L

b) Đi qua điểm B(2 ; −1) và song song với trục tung.

ÁN

c) Đi qua điểm C ( 2;1) và vuông góc với đt 5 x − 7 y + 2 = 0

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Giải: Bài 1: a) Ta có PT tổng quát: 7 x − 4 y + 12 = 0 . Đặt x = t thay vào PT ta có 7t − 4 y + 12 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N c) y − 6 = 0

10 00

B

TR ẦN

H Ư

 x = −9 + 4t ⇒ PT tham số   y =t x+9 x+9 ⇒ Pt chính tắc: y= Từ hệ trên ⇒ t=y= 4 4 2.

Bài tập Bài 1: Viết PT chính tắc và PT tham số của các PT sau: b) x − 1 = 0 a) 7 x − 4 y + 12 = 0

G

Đặt y = t thay vào ta có x − 4t + 9 = 0 ⇔ x = − 9 + 4t

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

⇒ PT : −1( x + 1) + 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − 4 y + 9 = 0 (PT tổng quát)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì đường cao AH qua A và có nhận BC là VTPT

ẠO

a)

H

x = 1− t ⇒ PT tham số của BC là :   y = 4t y y Rút t ta có t = − x + 1 = ⇒ PT chính tắc − x + 1 = 4 4 ⇒ PT tổng quát: −4 x − y + 4 = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a) Viết PT tham số của đường thẳng BC. TừPT tham số viết tất cả các dạng PT còn lại của các đường thẳng trên b) Viết PT tổng quát của đường cao AH . TừPT tổng quát viết PT tham số , PT chính tắc của đường cao AH Giải:

a) Vì BC đi qua 2 điểm B và C nên nhận BC = ( −1; 4 ) làm VTCP

N

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 x=t 12 + 7t 4 y − 12  ⇒y= ta có PT tham số :  12 + 7t từPT tham số rút t ta được t = x = 4 7  y = 4 4 y − 12 Ta có PT chính tắc: x= 7 b) Ta có PT tổng quát: x − 1 = 0 Đặt y = t . Vì x − 1 = 0 ⇒ x = 1

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 16 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x =1 Ta có PT tham số :  y = t Không có dạng PT chính tắc. c) Ta có PT tổng quát: y − 6 = 0 .

Ơ

N

Đặt x = t . Vì y − 6 = 0 ⇒ y = 6

H Ư

PT tổng quát: x + 2 y − 7 = 0

 x = −3 PT tham số:   y = 6 − 2t Ta có PT tổng quát: x + 3 = 0

10 00

B

 x = −2 − 3t PT tham số :   y=4 Ta có PT tổng quát: y − 4 = 0

c)

TR ẦN

b)

Bài 3:

A

x = 1+ t Đường thẳng cần tìm có VTCP i (1;0) và đi qua A nên có PT tham số :   y =1 ⇒ PTTQ: y − 1 = 0

Í-

H

Ó

a)

-L

Đường thẳng không có PT chính tắc.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

 x=2 Đường thẳng cần tìm có VTCP j ( 0;1) và đi qua B nên có PT tham số là :   y = −1 + t ⇒ PTTQ: x − 2 = 0 Đường thẳng không có PT chính tắc.

c) Do đường thẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng có VTPT là n ( 5; −7 ) nên

n ( 5; −7 ) là VTCP của đường thẳng cần tìm . b)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

x −1 − y + 3 = 0 ⇔ x −1+ 2 y − 6 = 0 ⇔ x + 2 y − 7 = 0 −2

N

Chuyển vế quy đồng ta có :

x −1 = y −3 −2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Đưa PT tham số vềPT chính tắc ta có PT chính tắc:

ẠO

TP

 x = 1 − 2t PT tham số:   y = 3+t

a)

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 2:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

x=t Ta có PT tham số :  y = 6 Không có dạng PT chính tắc.

 x = 2 + 5t ⇒ PT tham số :   y = 1 − 7t x − 2 y −1 = ⇒ PT chính tắc là : 5 −7

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 17 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ PT tổng quát là : 7 x + 5 y − 19 = 0

Ơ H N

A1 B1 ( A2 .B2 ≠ 0) ≠ A2 B2

TP

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

H Ư

N

G

Đ

 − Bx + Ay + C ' = 0 Nếu ∆1 : Ax + By + C = 0 thì ∆ 2 ⊥ ∆1 có dạng:   Bx − Ay + C ' = 0 A B C TH2: ∆1 ∆ 2 ⇔ 1 = 1 ≠ 1 ( A2 .B2 .C2 ≠ 0) A2 B2 C 2

TR ẦN

 A1 x + B1 y + C1 = 0 Khi đó hệ phương trình  vô nghiệm.  A2 x + B2 y + C2 = 0

Nếu ∆1 : Ax + By + C = 0 thì ∆ 2 ∆1 có dạng: Ax + Bx + C ' = 0 (C ≠ C ')

B

A1 B1 C1 ( A2 .B2 .C2 ≠ 0) = = A2 B2 C 2

10 00

TH3: ∆1 ≡ ∆ 2 ⇔

-L

Í-

H

Ó

A

 A1 x + B1 y + C1 = 0 Khi đó hệ phương trình  vô số nghiệm.  A2 x + B2 y + C2 = 0 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: a) và d1 : 4 x − 10 y + 1 = 0 d2 : x + y + 2 = 0 b)

ÁN

d1 : 8 x + 10 y − 12 = 0

TO

c)

d1 :12 x − 6 y + 10 = 0

và

d2 : 2 x − y + 5 = 0

và

 x = −6 + 5t (t ∈ ℝ) d2 :   y = 6 − 4t

D

IỄ N

Đ

ÀN

Giải:

a)

b) c) Ta có

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

 A1 x + B1 y + C1 = 0 Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:   A2 x + B2 y + C2 = 0

Đặc biệt: Khi ∆1 ⊥ ∆ 2 , hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 có VTPT tương ứng là n1 = ( A1 ; B1 ) và

n2 = ( A2 ; B2 ) thì n1 ⊥ n2 .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

TH1: ∆1 cắt ∆ 2 tại một điểm A ⇔

∆ 2 : A2 x + B2 y + C2 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

;

∆1 : A1 x + B1 y + C1 = 0

N

III. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

1. Lý thuyết Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 có phương trình:

4 −10 ≠ . Vậy d1 cắt d 2 .

1 1 12 −6 10 = ≠ . Vậy d1 d 2 .

Ta có 2 −1 5 Phương trình tổng quát của d 2 là: 4 x + 5 y − 6 = 0 Ta có

4 5 −6 = = . Vậy d1 ≡ d 2 .

8 10 −12

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 18 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm ( nếu có ) của chúng: a) và d1 : 2 x − 5 y + 3 = 0 d2 : 5x + 2 y − 3 = 0 d1 : x − 3 y + 4 = 0

và

d 2 : 0, 5 x − 1,5 y + 4 = 0

c)

1  x = + t (t ∈ ℝ ) d1 :  2  y = −1 − 5t

và

d 2 : 5 x + y − 1,5 = 0

U Y

2 −5 3 ≠ ≠ ⇒ d1 cắt d 2 5 2 −3

Ta có n1 = (2; −5) và n2 = (5; 2) lần lượt là các VTPT của d1 và d 2 .

Có n1.n2 = 0 ⇒ n1 ⊥ n2 . Vậy d1 ⊥ d 2 .

9 21 ; ).

29 29

TR ẦN

Vậy d1 ⊥ d 2 tại điểm (

1 −3 4 = ≠ . Vậy d1 d 2 , hai đường thẳng không có điểm chung.

0, 5 −1, 5 4

Ta có

c)

Phương trình (d1 ) có dạng tổng quát là: 10 x + 2 y − 3 = 0

A

10 2 −3 . Vậy d1 ≡ d 2 , hai đường thẳng có vô số điểm chung. = = 5 1 −1, 5

H

Ó

Ta có

10 00

B

b)

TO

ÁN

-L

Í-

IV. Góc giữa hai đường thẳng 1. Lý thuyết: Góc giữa hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 có phương trình ∆1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 và ∆ 2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 có

VTPT n1 và n2 được tính bởi công thức:

n1.n2

a1a2 + b1b2 cos(∆1 , ∆ 2 ) = cos(n1 , n2 ) = = n1 n2 a12 + b12 . a2 2 + b2 2

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

9  x=  2 − 5 + 3 = 0 x y   29 ⇔ Giao điểm của d1 và d 2 là nghiệm của hệ phương trình  5 x + 2 y − 3 = 0  y = 21  29

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

TP

.Q

Ta thấy:

Đ

a)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

b)

D

IỄ N

2. Ví dụ: Ví dụ : Tìm góc giữa hai đường thẳng a. (d1): x + 2y + 1 = 0 và (d2): x + 4y + 3 = 0. b.

 x = 2t  x = 1 − 2u , (t, u ∈ R). (d1):  và (d2):  y = 2 − u  y = 1 + 3t

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 19

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

c.

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 x = 2t (t ∈ R) và (d2): x + y – 7 = 0. (d1):  y = 4 + t

Giải:

(d1): x + 2y + 1 = 0 ⇒ VTPT của (d1) là n1 = (1, 2)

(d2): x + 4y + 3 = 0 ⇒ VTPT của (d2) là n2 = (1, 4)

Ơ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

3+ 4

2

=

N

2

=

1 10 = 10 10

B

1− 2

⇒ cos( d1 , d 2 ) =

TR ẦN

H Ư

2

G

7 7 65 = 65 65 3 + 2 . 1+ 2

 x = 2t ⇒ VTCP của (d1) là u1 = (2,1) ⇒ VTPT của (d1) là n1 = (1, −2) c. (d1):  y = 4 + t

(d2): x + y – 7 = 0 ⇒ VTPT của (d2) là n2 = (1,1) ⇒ cos( d1 , d 2 ) =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

ẠO

 x = 1 − 2u ⇒ VTCP của (d2) là u2 = (−2, −1) ⇒ VTPT của (d2) là n2 = (1, −2) (d2):  y = 2 − u

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

=

2

.Q

2

A

10 00

1 + 22 . 1 + 1 3. Bài tập áp dụng: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm B(-3;-4) biết ∆ tạo với đường thẳng

H

Ó

d : x − 3 y + 10 = 0 một góc 450 .

Í-

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A(2;-1) biết ∆ tạo với đường thẳng

ÁN

-L

 x = −5 + 2t (t ∈ ℝ) một góc 450 . d : y = t

TO

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm C(4;1) biết ∆ tạo với trục tung một góc 300 .

Bài 4: (Khối D-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần −1 lượt có phương trình là x + 3 y = 0 ; x − y + 4 = 0 . Đường thẳng BD đi qua điểm M ( ;1) . Tìm tọa 3 độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Giải: Bài 1:

Ta có d : x − 3 y + 10 = 0 ⇒ VTPT của đường thẳng d là nd = (1; −3)

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b.

H

9 9 85 = 85 85 1+ 2 . 1+ 4

 x = 2t (d1):  ⇒ VTCP của (d1) là u1 = (2,3) ⇒ VTPT của (d1) là n1 = (3, −2)  y = 1 + 3t

⇒ cos( d1 , d 2 ) =

N

1 + 2.4

N

a.

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 20

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Gọi VTPT của đường thẳng ∆ là n∆ = (a; b) ( a 2 + b 2 > 0)

Đường thẳng ∆ đi qua B(-3;-4) và có VTPT n∆ = (a; b)

N

⇒ PTTQ của ∆ : ax + by + 3a + 4b = 0

U Y

a +b . 1 +3

2 2

H

= cos 450 =

2

.Q TP

⇔ 4( a − 3b) 2 = 20a 2 + 20b 2

Đ

TR ẦN

H Ư

N

G

1  a= b  ⇔ 2   a = −2b 1 Với a = b , chọn b = 2 ⇒ a = 1 ⇒ PTTQ của ∆ : x + 2 y + 11 = 0 .

2 Với a = −2b , chọn b = −1 ⇒ a = 2 ⇒ PTTQ của ∆ : 2 x − y + 2 = 0 .

ẠO

⇔ 4 a 2 + 6ab − 4b 2 = 0

Bài 2:

A

10 00

B

 x = −5 + 2t (t ∈ ℝ) ⇒ VTCP của đường thẳng d là ud = (2;1) ⇒ VTPT nd = (1; −2) Ta có d :  y = t

Gọi VTPT của đường thẳng ∆ là n∆ = (a; b) ( a 2 + b 2 > 0)

Đường thẳng ∆ đi qua A(2;-1) và có VTPT n∆ = (a; b)

H

Ó

⇒ PTTQ của ∆ : ax + by − 2a + b = 0

Í-

Ta có: 2

-L

a.1 − 2.b

cos(∆, d )=

2

2

= cos 450 =

2 2

ÁN

a +b . 1 +2

2

⇔ 2 a − 2b = 10(a 2 + b 2 )

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ 2 a − 3b = 20(a 2 + b 2 )

⇔ 4( a − 2b) 2 = 10a 2 + 10b 2

ÀN

⇔ 3a 2 + 8ab − 3b 2 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

N

a.1 − 3.b

cos(∆, d )=

Ơ

Ta có:

D

IỄ N

Đ

1  a= b  ⇔ 3   a = −3b

1 Với a = b , chọn b = 3 ⇒ a = 1 ⇒ PTTQ của ∆ : x + 3 y + 1 = 0 .

3 Với a = −3b , chọn b = −1 ⇒ a = 3 ⇒ PTTQ của ∆ : 3 x − y − 7 = 0 .

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 21

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3:

Ơ

N

Có VTPT của trục tung là n = (1;0)

Gọi VTPT của đường thẳng ∆ là n∆ = (a; b) ( a 2 + b 2 > 0)

Đường thẳng ∆ đi qua C(4;1) và có VTPT n∆ = (a; b)

= cos 30 0 =

⇔ 4a 2 = 3a 2 + 3b 2

G

Đ

⇔ a 2 = 3b 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

⇔ 2 a = 3(a 2 + b 2 )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

a 2 + b 2 . 12

3 2

.Q

a.1 − 0.b

H Ư

N

a = b 3 ⇔  a = −b 3

TR ẦN

Với a = b 3 , chọn b = 1 ⇒ a = 3 ⇒ PTTQ của ∆ : 3 x + y − 4 3 − 1 = 0 .

10 00

Bài 4: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt:

B

Với a = −b 3 , chọn b = −1 ⇒ a = 3 ⇒ PTTQ của ∆ : 3 x − y − 4 3 + 1 = 0 .

Í-

H

Ó

A

x + 3y = 0  x = −3 ⇔ ⇔ A(−3;1)  x − y + 4 = 0  y = 1 −1 Đường thẳng BD đi qua M ( ;1) và có VTPT 3

2 2 n = ( a ; b ) ( a + b > 0)

TO

ÁN

-L

1 ⇒ PTTQ của BD: ax + by + a − b = 0 3 (Vì ABCD là hình chữa nhật) Ta có ADB = DAC

⇒ cos ADB = cos DAC

a−b = 1 − 3 = 1 và cos ADB = cos DAC 10. 2 5 a 2 + b2 . 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

cos(∆, Oy )=

U Y

Ta có:

IỄ N

Đ

Mà

D

⇒

a −b a 2 + b2 . 2

=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

⇒ PTTQ của ∆ : ax + by − 4a − b = 0

1 5

⇔ 3a 2 − 10ab + 3b 2 = 0

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 22

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 a = 3b ⇔ a = 1 b 3 

Ơ

N

+Với a = 3b , chọn b = 1 ⇒ a = 3 ⇒ BD : 3 x + y = 0

H

10 00

A2 + B 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ∆1 : Ax + By + C1 = 0 và ∆ 2 : Ax + By + C2 = 0

A2 + B 2

Ó

A

C1 − C2

H

là: d ( ∆1 , ∆ 2 ) =

b.

ÁN

-L

Í-

2. Ví dụ: Ví dụ 1: Xác định khoảng cách từ M đến (d), biết: a.

M(1; 1) và (d): x – y – 2 = 0.

 x = 2t M(1; 5) và (d):  (t ∈ R). y = 4 + t

ÀN

IỄ N

Đ

a.

b.

d (M , d ) =

1 −1 − 2 12 + (−1)2

=

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ax o + By0 + C

B

d ( M , ∆) =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 là:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

TR ẦN

Khoảng cách giữa hai điểm A,B là: AB = ( xB − xA )2 + ( yB − y A )2

Giải:

D

H Ư

V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

1. Lý thuyết:

N

G

Đ

ẠO

1 8 +Với a = b , chọn b = 3 ⇒ a = 1 ⇒ BD : 3x + y − = 0 ⇒ BD AC (Loại).

3 3 Vậy A(−3;1) ; B (1; −3) ; C (3; −1) ; D (−1;3) .

TP

3 x + y = 0 x = 0 ⇔ ⇔ I (0;0) Gọi AC ∩ BD = {I } .Tọa độ I là nghiệm hpt:  x + 3y = 0 y = 0 ⇒ C (3; −1); B(1; −3)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3 x + y = 0  x = −1 ⇔ ⇔ D( −1;3) Tọa độ D là nghiệm hpt:  x − y + 4 = 0  y = 3

2 = 2.

2

Phương trình đường thẳng (d) có dạng tổng quát là: x − 2 y + 8 = 0

d (M , d ) =

1 − 2.5 + 8 2

1 + (−2)

2

=

1 5 = .

5 5

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 23

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 2: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 :12 x − 6 y + 10 = 0 và d 2 : 2 x − y + 5 = 0 Giải:

12 −6 10 = ≠ . Vậy d1 d 2 .

2 −1 5 10 −5 2 5 6 ⇒ d (d1 , d 2 ) = = .

2 2 3 2 + (−1)

N Ơ H MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

A'x + B ' y + C '

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(1) A2 + B 2 A '2 + B '2 Khử dấu giá trị tuyệt đối của phương trình (1) ta được hai phương trình của hai đường phân giác vuông góc với nhau của góc tạo bởi (d) và (d’).

Ví dụ: Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng: a. (d1): 4x -3y + 2 = 0 và (d2): y - 3 = 0.

1   x = + 2t b. (d1):  , (t ∈ R) và (d2): x + y – 7 = 0.

2  y = −2 − t

=

Giải:

4 x + 2 y − 13 = 0 ⇔ 1 4 x − 8 y + 17 = 0

A

y −3

H

42 + 32

=

Ó

4x − 3 y + 2

a.

-L

Í-

4 x + 2 y − 13 = 0 Vậy phương trình của đường phân giác của góc tạo bởi (d1), (d2) là  4 x − 8 y + 17 = 0

ÁN

1   x = + 2t ⇒ PTTQ của (d1): 2 x + 4 y + 7 = 0 Ta có: (d1):  2  y = −2 − t

b.

ÀN

2x + 4 y + 7

x − 2y −3

1 + 22

8 y + 13 = 0 ⇔ 4 x + 1 = 0

Đ

22 + 4 2

=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Phương trình đường phân giác của (d) và (d’) có dạng:

Ax + By + C

.Q

TP

3. Chú ý: Cho hai đường thẳng cắt nhau (d ) : Ax + By + C = 0 và (d ') : A ' x + B ' y + C ' = 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có

D

IỄ N

8 y + 13 = 0 Vậy phương trình của đường phân giác của góc tạo bởi (d1), (d2) là  4 x + 1 = 0 4. Bài tập áp dụng: Bài 1: Lập phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ đối xứng với đường thẳng d: x − 2 y − 5 = 0 qua M (2;1) . a.

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 24

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b.

∆ song song và cách đều hai đường thẳng d1 : 5 x − 2 y + 7 = 0 và d 2 : 5 x − 2 y − 9 = 0 .

c.

∆ đối xứng với ∆ ' : 2 x − y − 3 = 0 qua d : x − 3 y + 6 = 0 .

H

Ơ

d. ∆ qua E(2;3) và cách đều hai điểm A(1;0) ; B(7;8).

Bài 2: (Khối A-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng (d1 ) : x + y + 3 = 0 ; (d 2 ) : x − y − 4 = 0 và

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

=

2−2+m

1 + 22

⇔ m = −5

U Y

Í-

H

Ó

A

m = 5 ⇔  m = −5( L) ⇒ ∆ : x − 2y + 5 = 0 b.

-L

Vậy PTTQ của đường thẳng ∆ : x − 2 y + 5 = 0 .

Gọi PTTQ của ∆ là 5 x − 2 y + m = 0 (m ≠ 7,-9)

ÁN

Vì ∆ cách đều d1 và d 2 ⇒ d ( ∆, d1 ) = d ( ∆, d 2 )

ÀN

⇔

m−7

52 + 22

=

m+9

52 + 2 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1+ 2

2

B

2− 2−5

10 00

⇔

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ta có: d ( M , d ) = d ( M , ∆ )

TR ẦN

Gọi PTTQ của ∆ là: x − 2 y + m = 0 (m ≠ -5)

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

Bài 3: (ĐHCT-95) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;-3), B(3,-2). Trọng tâm G của tam 3 giác ABC nằm trên đường thẳng d : 3 x − y − 8 = 0 . Biết diện tích tam giác ABC là , tìm tọa độ 2 điểm C. Giải: Bài 1: a.

Ta có M ∉d, ∆ đối xứng với d qua M (2;1) ⇒ ∆ d

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

đường thẳng (d1 ) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng ( d 2 ) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

( d 3 ) : x − 2 y = 0 .Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng ( d 3 ) sao cho khoảng cách từ M đến

D

IỄ N

Đ

⇔ m−7 = m+9

 −7 = 9(Vô lý) ⇔  m = −1 ⇒ ∆ : 5x − 2 y −1 = 0

Vậy PTTQ của đường thẳng ∆ : 5 x − 2 y − 1 = 0 . c.

Gọi PTTQ của ∆ là 2 x − y + m = 0

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Vì ∆ đối xứng với ∆ ' qua d nên ta có: d (d , ∆ ) = d (d , ∆ ')

6+3

N

22 + 1

Ơ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư TR ẦN

−4 b 3 −1 b 2

B

 a = ⇔ a = 

N

Vì ∆ cách đều hai điểm A, B nên ta có: d ( A, ∆ ) = d ( B, ∆ )

10 00

−4 b , chọn b = −3 ⇒ a = 4 ⇒ ∆ : 4 x − 3 y − 3 = 0 3 −1 +Với a = b , chọn b = −2 ⇒ a = 1 ⇒ ∆ : x − 2 y + 4 = 0 2 4 x − 3 y − 3 = 0 Vậy PTTQ của đường thẳng ∆ là  x − 2y + 4 = 0

-L

Í-

H

Ó

A

+Với a =

ÁN

Bài 2: Vì M ∈ ( d 3 ) ⇒ M (2m; m) Ta có:

d ( M , d1 ) = 2d ( M , d 2 )

ÀN Đ IỄ N

2m + m + 3

12 + 12 m = −11 ⇔ m = 1

=2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q TP G

⇒ PTTQ của ∆ : ax + by − 2a − 3b = 0

⇔

D

Đường thẳng ∆ đi qua E(2;3) và có VTPT n = ( a ; b ) ( a 2 + b 2 > 0)

Đ

d.

ẠO

2 x − y − 3 = 0 Vậy PTTQ của đường thẳng ∆ là  2 x − y + 15 = 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

∆ : 2 x − y − 3 = 0 ⇒  ∆ : 2 x − y + 15 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

22 + 1  m = −3 ⇔  m = 15

=

H

6−m

N

⇔

2m − m − 4 12 + 12

 M (−22; −11) ⇔  M (2;1) Vậy M ( −22; −11) hoặc M (2;1) .

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 26

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài 3:

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

AB qua A(2;-3) và có VTCP AB = (1;1) ⇒ VTPT n = (1; − 1)

⇒ PTTQ của AB: x − y − 5 = 0

Ơ

N

1 3 d (C , AB). AB = (1) 2 2

H N U Y

t = 1 C (−2; −10) 1 9 − 6t 3 ⇒ . . 2= ⇒ 2 2 2 t = 2 C (1; −1) Vậy C (−2; −10) hoặc C (1; −1) .

TR ẦN

H Ư

N

G

Thay vào (1) ta được:

10 00

B

VI. Luyện tập: Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;2), B(-1;6), C(-5;3) a.

Viết PTTQ, PTTS, PTCT (nếu có) của các canh của tam giác ABC. b.

Gọi AA1 , BB1 , CC1 lần lượt là đường cao của tam giác ABC.

A

Viết PTTQ, PTTS, PTCT (nếu có)của các đường cao AA1 , BB1 , CC1

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Bài 2: Cho 2 đường thẳng (d1): x + 2y + 1 = 0, (d2): x + 3y + 3 = 0. a.

Tính khoảng cách từ gốc tọađộ tới giao điểm 2 đường thẳng. b.

Xác định góc giữa 2 đường thẳng. c.

Viết phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường thẳng.

Bài 3: Cho ∆ ABC có trọng tâm G(-2; -1), (AB): 4x + y + 15 = 0, (AC): 2x + 5y + 3 = 0. a.

Tìm tọađộ trung điểm M của BC. b.

Tìm tọađộđiểm B và viết phương trình đường thẳng BC. c.

Tính diện tích ∆ ABC. Bài 4:(ĐHVH HN95) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông có đỉnh (-4 ; 5) và một đường chéo có pt: 7x-y+8=0 . Viết phương trình chính tắc các cạnh của hình vuông . Từ đó tìm pt tổng quát của chúng.

Bài 5: (D-2004)

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

9 − 6t

Đ

⇒ d (C , AB) =

TP

.Q

 x A + xB + xC = 3xG  xC = 3t − 5 ⇔ ⇒ C (3t − 5;9t − 19) Mà G là trọng tâm tam giác ABC ⇒   y A + yB + yC = 3 yG  yC = 9t − 19

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

+ AB = 2 +Vì G ∈ d ⇒ G (t ;3t − 8)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ta có: S ABC =

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 27

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

d biết rằng PA=PB. Bài 10: (B-2003) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M(1;-1) là trung điểm của 2 BC, điểm G  ; 0  là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 3  Bài 11: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A( 1 ; 3)và hai đường trung tuyến có phương trình là : x-2y+1=0 và y-1=0.

Bài 12: (D-2009): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC có M(2 ; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x-2y-3=0 và 6x-y-4=0. Viết phương trình đường thẳng AC. Bài 13:(A-2014): Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN=3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1 ; 2) và N( 2 ; -1).

Bài 14:(D-2014): Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm D( 1; -1). Đường thẳng AB có phương trình 3x+2y-9=0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có pt x+2y-7=0. Viết pt đường thẳng BC. Bài 15: (A-2013):

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

.Gọi đường thẳng d là đt qua P và cắt d1 , d 2 lần lượt ở A và B . Viết phương trình đường thẳng của

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

G

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho P(3 ; 0) và 2 đường thẳng ( d1 ) : 2x − y − 2 = 0 ; ( d 2 ) : x + y + 3 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

Đ

Bài 9:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;0), B(4;0), C(0;m) ( m ≠ 0 ). Tìm G theo m biết G là trọng tâm tam giác ABC, tam giác GAB vuông tại G. Bài 6:(D-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0 ; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ . Viết pt đường thẳng ∆ biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. Bài 7: (B-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C( -4 ; 1), phân giác trong của góc A có phương trình x+y-5=0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.

Bài 8: (B-2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;1), B(4;-3). Tìm tọa độ điểm C nằm trên đường thẳng x − 2 y − 1 = 0 biết khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là 6.

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 28

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H

–Cạnh AB qua A(2;2) có VTCP AB = ( − 3; 4) ⇒ VTPT n = (4; 3)

U Y MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

PTTQ: 3 x − 4 y + 27 = 0

ẠO

–Cạnh BC qua B(-1;6) có VTCP BC = ( − 4; − 3) ⇒ VTPT n = (3; −4)

Đ

TR ẦN

TP

.Q

 x = 2 − 3t (t ∈ ℝ) PTTS:   y = 2 + 4t x−2 y−2 = PTCT: −3 4

H Ư

N

 x = −1 − 4t (t ∈ ℝ) PTTS:   y = 6 − 3t x +1 y − 6 = PTCT: −4 −3

–Cạnh AC qua A(2;2) có VTCP AC = ( − 7;1) ⇒ VTPT n = (1; 7)

10 00 A Ó

Í-

–Cạnh AA1 qua A(2;2) có VTPT BC = ( − 4; − 3) ⇒ VTCP u = (3; −4)

-L

b)

H

 x = 2 − 7t (t ∈ ℝ) PTTS:  y = 2+t x−2 y−2 = PTCT: −7 1

B

PTTQ: x + 7 y − 16 = 0

PTTQ: −4 x − 3 y + 14 = 0

TO

ÁN

 x = 2 + 3t (t ∈ ℝ) PTTS:   y = 2 − 4t x−2 y−2 = PTCT: 3 −4

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

PTTQ: 4 x + 3 y − 14 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

a)

Ơ

N

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x + y + 5 = 0 và A(−4;8). Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N(5;−4).

Hướng dẫn: Bài 1:

Đ

–Cạnh BB1 qua B(-1;6) có VTPT AC = ( − 7;1) ⇒ VTCP u = (1; 7)

D

IỄ N

PTTQ: −7 x + y − 13 = 0

 x = −1 + t (t ∈ ℝ) PTTS:   y = 6 + 7t

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x +1 y − 6 = 1 7

–Cạnh CC1 qua C(-5;3) có VTPT AB = ( − 3; 4) ⇒ VTCP u = (4; 3) PTCT:

N Ơ

2

2

7 7 2 = 10 50

=

G N

1+ 2 . 1+ 3 Phương trình đường phân giác tạo bởi (d1) và (d2) có dạng:

TR ẦN

c.

1 + 2.3

H Ư

⇒ cos( d1 , d 2 ) =

Đ

b.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(d1): x + 2y + 1 = 0 ⇒ VTPT của (d1) là n1 = (1, 2)

(d2): x + 3y + 3 = 0 ⇒ VTPT của (d2) là n2 = (1,3)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3 3 10 = 10 10

d (O; d 2 ) =

( 2 − 1) x + (2 2 − 3) y + 2 − 3 = 0 ⇔ 12 + 22 12 + 32 ( 2 + 1) x + (2 2 + 3) y + 2 + 3 = 0 Vậy phương trình của đường phân giác của góc tạo bởi (d1), (d2) là:

=

x + 3y + 3

10 00

B

x + 2y +1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

1 5 = ; 5 5

TP

d (O; d1 ) =

ẠO

a.

H

 x = −5 + 4t (t ∈ ℝ) PTTS:   y = 3 + 3t x +1 y − 6 = PTCT: 1 7 Bài 2:

-L

Í-

H

Ó

A

( 2 − 1) x + (2 2 − 3) y + 2 − 3 = 0  ( 2 + 1) x + (2 2 + 3) y + 2 + 3 = 0 Bài 3: a) Gọi M ( x; y ) là tọa độ trung điểm của cạnh BC Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

ÁN

4 x + y + 15 = 0 ⇒ A(−4;1)  2 x + 5 y + 3 = 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

PTTQ: −3 x + 4 y − 27 = 0

ÀN

Ta có: G là trọng tâm của △ ABC

D

IỄ N

Đ

 AG ( 2; −2 ) Mà:   AM ( x + 4; y − 1)

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 30

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H

Ơ

N

2   2 = 3 . ( x + 4 )  x = −1 ⇒ ⇔ ⇒ M (−1; −2) .  y = −2 −2 = 2 . ( y − 1)  3 b) Ta có: B ∈ AB : 4 x + y + 15 = 0 ⇒ B (t ; −15 − 4t )

U Y

Thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng AC ⇒ t = −3 ⇒ B (−3; −3); C (1; −1) .

.Q

TR ẦN

Bài 4: Gọi A(-4 ; 5) thì đường chéo BD có pt : 7x-y+8=0.

Giả sử B=(t ; 7t+8) thuộc BD

Đường chéo AC đi qua A(-4 ; 5) và vuông góc với BD cho nên ta có VTCP u ( 7; −1)

10 00

B

 x = −4 + 7t x + 4 y −5 ⇔ = ⇔ x + 7 y − 31 = 0 . ⇒ PT AC:  7 −1  y = 5−t  1 9 ⇔ I − ;   2 2

Ó

A

Gọi I là giao điểmcủa AC và BD thì tọa độ của I là nghiệm của hệ:

-L

Í-

H

Mà I là trung điểm của AC ⇒ nên suy ra C ( 3; 4 )

Từ B(t ; 7t+8) suy ra BA ( t + 4; 7t + 3 ) ; BC ( t − 3; 7t + 4 ) .

ÁN

t =0 Ta có BA=BC và BA ⊥ BC ⇔ ( t + 4 )( t − 3) + ( 7t + 3)( 7t + 4 ) = 0 ⇔ 50t 2 + 50t = 0 ⇔  t = −1

t = 0 ⇒ B ( 0;8) .Tọa độ D đối xứng với B qua I ⇒ D ( −1;1)

Đ

ÀN

.Tọa độ D đối xứng với B qua I ⇒ D ( 0;8 )

Từ đó AB đi qua A(-4 ; 5) có VTCP AB ( 4; 3 )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ N

G

1 1 9 .BC .d ( A; BC ) = .2 5. =9 2 2 5

H Ư

⇒ S ABC =

ẠO

9 5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

c) Ta có: BC (4; 2) ⇒ BC = 2 5 và d ( A, BC ) =

TP

⇒ ( BC ) : x − 2 y − 3 = 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Phương trình đường thẳng BC đi qua B (−3; −3) và nhận BC (4; 2) làm vctp.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Do M là trung điểm của BC ⇒ C (−2 − t ; 4t + 11)

D

IỄ N

 x = −4 + 4t x + 4 y −5 ⇔ = ⇔ 4x − 3 y + 31 = 0 ⇒ (AB) :  3 4  y = 5 + 3t

AD đi qua A có VTCP A D ( 3; −4 )

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 31

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

 x = −4 + 3t x + 4 y − 5 ⇔ −4x − 3 y −1 = 0 ⇔ = ⇒ ( AD) :  3 −4  y = 5 − 4t

BC đi qua B(0 ; 8) có VTCP BC ( 3; −4 )

Ơ H MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

N

3 ( x + 4) ⇔ 3x + 4 y + 32 = 0 4

B

Pt của AB và AD là : y − 5 =

TR ẦN

H Ư

3   1 k −−  k=  4  7  = ±1 ⇔ 7k + 1 = ±1 ⇔  7k + 1 = 7 − k ⇔   1 7−k 7k + 1 = −7 + k k = − 4 1− k  7 3

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ta lập pt đường thẳng đi qua A và hợp với AC góc 450 , ta được pt của AB và AD Gọi k là hệ số góc của AB (hoặc AD) ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP

.Q

 x = −1 + 4t x + 1 y −1 ⇔ = ⇔ 3x − 4 y + 7 = 0 ⇒ (DC):  4 3  y = 1 + 3t Cách 2: Ta có A(-4 ;5 ); C(3 ; 4) ; AC: x+7y-31=0

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

3 y − 5 = − ( x + 4) ⇔ 4x+3 y + 1 = 0 4 Ta có BC song song AD và CD song song AB do đó pt của BC và CD theo thứ tự là: 3 y − 4 = − ( x − 3) ⇔ 4x + 3 y − 24 = 0 4 3 y − 4 = ( x − 3) ⇔ 3x − 4 y + 32 = 0 4 Rõ ràng B(0 ; 8) và D(-1 ; 1) Pt đt AB: 3x-4y+32=0 Pt đt BC: 4x+3y-24= 0 Pt đt CD: 3x-4y+7= 0 Pt đt DA: 4x+3y+1= 0 Bài 5:

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x = 3t x y −8 ⇔ = ⇔ −4x − 3 y + 24 = 0 ⇒ (BC) :  3 −4  y = 8 − 4t

DC đi qua D(-1 ; 1) có VTCP DC ( 4;3 )

D

IỄ N

−1 + 4 + 0  =1  xG = m 3 ⇒ G (1; ) Ta có:  3 y = 0 + 0 + m = m G  3 3

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 32

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

−m −m ) ; GB = (3; ) GA = (−2; 3 3

GA.GB = 0 ⇒ m = ±3 6

H

x+2

-L

1+ 5 2

ÁN

Bài 7: Gọi C là (d) Nếu d vuông góc với Ox thì (d):

x = xc , do dó x=-4 (loại)

ÀN

Nếu d không vuông góc với Ox thì (d): y-1=k(x+4) ⇔ kx − y + 4k + 1 = 0

Đ

Ta lại có : cos ( AD;d ) = cos450

D

IỄ N

⇔

1.k − 1.1 2

2 k +1

⇒ AC :

=

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x + 2 ; (AH) : y =

Í-

1+ 5 2

Ó

1

Vậy (AH): y = −

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

A

1+ 5 1+ 5 ⇔k =± 2 2

H

⇔ k2 =

10 00

B

TR ẦN

 2 1+ 5 2k 2 2 k = 4 2 k .0 − 2 k + 1 2k 4k 2 ⇔ =2 ⇔ 2 = Ta có d ( A; ∆ ) = d ( H ; Ox ) ⇔ ⇔ = 4 1 k +1  2 1− 5 k 2 +1 k 2 +1 k = 2 

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

Bài 6: +Nếu ∆ trùng Ox hoặc Oy thì H trùng với O và A trùng với O (vô lí) +Nếu ∆ không trùng với Ox Gọi k là hệ số góc của đt ∆ : ( ∆ ) y=kx −1 x+m Do AH vuông góc với ∆ nên (AH) : y = k −1 −1 1 x + m ⇔ 2 = .0 + m ⇔ m = 2 ⇒ ( AH ) : y = − x + 2 Mà A(0; 2) thuộc AH: (AH): y = k k k 2k  x= 2  y = kx   2k 2k 2   k +1  ; ⇒ H ⇔ Tọa độ của H là nghiệm của hệ :   1  2  2 2  k +1 k +1  y = 2k  y = − k x + 2 k 2 +1 

Ơ

N

Vậy G (1; 6 ) hoặc G (1; − 6 ) .

2 2 2 ⇔ k − 1 = k 2 + 1 ⇔ k − 2k + 1 = k + 1 ⇔ k = 0 ⇒ ( d ) : y = 1 2

( −4 − 4 )

2

2

+ (1 − 1) = 8

1 Mặt khác: S ABC = . AB. AC = 24 ⇔ AC. AB = 48 ⇒ AB=6 2

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 33

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2

2

Ơ H N U Y

10 00

Phương trình đường thẳng (d) đi qua P(3; 0) và có hệ số góc k: y = k ( x − 3) = kx-3k

Ó

A

 y = kx − 3k 2 − 3k ⇔ xA = ;k ≠ 2 Tọa độ của giao điểm A của (d) và ( d1 ) là nghiệm của hệ pt:  2−k 2x − y − 2 = 0

ÁN

-L

Í-

H

 y = kx − 3k 3k − 3 ⇔ xA' = ; k ≠ −1 Tọa độ của A’của (d) và ( d 2 ) là nghiệm của hệ pt :  k +1 x + y + 3 = 0 x + xA ' 2 − 3k 3k − 3 + =6 = xP ⇔ Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi: A 2 2−k k +1 ⇔ ( 2 − 3k )( k + 1) + ( 2 − k )( 3k − 3) = 6 ( 2 − k )( k + 1) ⇔ k = 8 Do đó pt của đt d phải tìm là: y=8(x-3) ⇔ 8x − y − 24 = 0

Đ

ÀN

Bài 10: Gọi tọa độ điểm A( x A ; y A )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

TR ẦN

H Ư

N

c = 3 ⇒ C (7;3) ⇒ c = −27 ⇒ C ( −16 ; −27 )  11 11 11 −16 −27 ; ).

Vậy C (7;3) hoặc C ( 11 11 Bài 9:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

=6

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

42 + 32

Đ

4(2c + 1) + 3c − 7

G

Ta có: d (C , AB) =

ẠO

⇒ PTTQ AB: 4 x + 3 y − 7 = 0

.Q

TP

Đường thẳng AB qua A(1;1) có VTCP AB = (3; − 4) ⇒ VTPT n = (4; 3)

N

 y = −5  B (4; −5) ⇒ Suy ra 42 + y 2 − 8.4 − 2 y = 19 ⇔   y=y  B ( 4;7 ) Xét B(4 ; -5) .Ta thấy B nằm cùng phía với AD nên trường hợp này loại Do đó B(4;7). Khi đó (BC) : 3x-4y+16=0 .

Bài 8: Gọi điểm C(2c+1;c)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gọi B(x ; y), ta có : AB2 = 36 ⇔ ( x − 4 ) + ( y − 1) = 36 ⇔ x 2 + y 2 − 8x − 2 y = 19

Ta lại có AB vuông góc với AC nên AB. AC = 0 ⇔ −8 ( x − 4 ) = 0 ⇔ x = 4

D

IỄ N

 xA = 0 ⇒ A(0; 2) Có: AG = 2GM ⇒   yA = 2 1

Đường thẳng BC qua M(1;-1) có GM = ( ; −1) ⇒ VTPT n = (1; − 3) 3

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 34

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ PT của BC: x − 3 y − 4 = 0 ⇒ B (3b + 4; b) ⇒ C (−2 − 3b; −b − 2)

AC = ( − 2 − 3b; −b − 4) ; AB = (3b + 4; b − 2)

N Ơ H

10 00

B

xB + xC   xM = 2 x + x = 2 M (1;0 ) là trung điểm của BC. Do đó  ⇔ B C  yB + xC = 0  y = yB + yC  M 2

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

 xB − 2 y B = 0  y −1 = 0  y = −1; xB = −3  ⇔ B ⇒ Tọa độ của các điểm B và C là nghiệm của hệ pt :  C  yC = −3; xC = 5  xB + xC = 2  yB + yC = 0 Ta có B(-1 ; -1);C( 5 ; 1) y − 3 −1 − 3 y − y A yB − y A ⇔ = = 1 ⇔ y − 3 = x −1 ⇔ x − y + 2 = 0 Pt đường thẳng AB: = x − 1 −3 − 1 x − x A xB − x A

ÀN

⇒ PT AB: x − y + 2 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

3  3  xM − 1 = 2 (1 − 1) = 0 ⇒ M (1;0 ) Gọi M là trung điểm của BC . Ta có AM = AG ⇔  2  y − 3 = 3 (1 − 3) = −3  M 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

Đ

x − 2 y +1 = 0 ⇒ G (1;1) Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm hệ pt:  1 0 − = y 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

ẠO

TP

.Q

 B(4;0); C (−2; −2) Vậ y   B(−2; −2); C (4;0) Bài 11: Tọa độ của điểm A không đúng nghiệm của phương trình các trung tuyến đã cho.

Do đó cáctrung tuyến đã cho là các trung tuyến BN và CP xuất phát từ B và C. Giả sử: BN: x-2y+1=0; CP: y-1=0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b = 0 ⇒ B(4;0); C (−2; −2) AC . AB = 0 ⇒  b = −2 ⇒ B(−2; −2); C (4;0)

y +1 1+1 1 = = ⇔ 4 ( y + 1) = x + 3 ⇔ x − 4 y − 1 = 0 x+3 5+3 4 ⇒ PTBC : x − 4 y − 1 = 0

D

IỄ N

Đ

Pt đường thẳng BC:

Tương tự ta có pt đường thẳng AC : x+2y-7=0 Vậy pt 3 đường thẳng chứa 3 cạnh của tam giác ABC là: AB: x − y + 2 = 0

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 35

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

BC: x − 4 y − 1 = 0 AC: x+2y-7=0 Bài 12:

5a 2 = 10 ⇒ a=4.

8 Gọi I( x ; y) là trung điểm của CD.

-L

Í-

H

Ó

Do đó

ÁN

BD = 2 , nên ta có hệ pt : Ta có IM=AD=4 và IN= 4

+Với x=1 ; y=-2 ta có I(1 ; -2) và IM = ( 0; 4 ) .

 x = 1; y = −2 ( x − 1) 2 + ( y − 2 )2 = 16 ⇔  2 2  x = 17 ; y = −6  ( x − 2 ) + ( y + 1) = 2 5 5 

D

IỄ N

Đ

ÀN

Đường thẳng CD đi qua I và có VTPT là IM ⇒ PT CD: y + 2 = 0

17 6 17 6 12 16 +Với x = ; y = − ta có I  ; −  và IM =  − ;  .

5 5 5  5  5 5 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a 3 AC 3a 2 5a 2 nên MN 2 = AM 2 + AN 2 − 2AM . AN .cos MAN = và AN = = 2 4 4 8

A

Ta có AM =

10 00

B

Ta có MN= 10 . Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD, a > 0.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Bài 13:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

TP

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

 x =3 ⇒ B ( 3; −2 ) ⇒ B  y B = −2 Ta lại có đường thẳng BC vuông góc với đường thẳng 6x-y-4=0 ⇒ PT BC: x+6y+c=0 Mà BC đi qua B(3 ; -2) ⇒ PTBC là x+6y+9=0  x=0 7x − 2 y − 3 = 0   −3  ⇔ Tọa độ trung điểm N của BC thỏa mãn hệ :  3 ⇒ N  0;   2   x + 6y + 9 = 0  y = − 2

⇒ AC = 2 MN ⇒ AC = ( −4;3 ) ⇒ PT AC: 3x-4y+5=0.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

x A + xB   xM = 2 Vì M là trung điểm của AB nên B và A đối xứng với nhau qua M, suy ra:   y = y A + yB  M 2

H

Ơ

N

7x − 2 y − 3 = 0  x =1 ⇒ A(1; 2) ⇔ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt:   6x − y − 4 = 0 y = 2

Đường thẳng CD đi qua I và có VTPT là IM ⇒ PT CD: 3x − 4 y −15 = 0 .

Bài 14:

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 36

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

G

N

TR ẦN

H Ư

Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD ⇒ I là trung điểm AC t − 4 −2t + 3 ; ). ⇒ I( 2 2 Vì tam giác BDN vuông tại N nên IN = IB ⇒ IN = IA Do đó ta có phương trình: 2

2

2

2

10 00

B

t−4  −2t + 3   t−4  −2t + 3   5 −  +  −4 −  =  −4 −  + 8 −  2   2   2   2   ⇔ t = 1 ⇒ C (1; −7)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

TP

x + 2 y − 7 = 0 ⇒ E (5 ; 1).   y −1 = 0

Đt BC đi qua E và nhận DE =(4 ; 2) làm vectơ chỉ phương ⇒ BC : x-2y-3=0.

Bài 15: Do C ∈ d nên C (t ; −2t − 5) .

H

Ó

A

Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB .

Mà CB = AD và CM AD

-L

Í-

⇒ Tứ giác ACMD là hình bình hành ⇒ AC DM

ÁN

Có BN ⊥ DM ⇒ BN ⊥ AC và CB = CN ⇒ B là điểm đối xứng với N qua AC. PT đường thẳng AC: 3 x + y + 4 = 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

= EAB + BAD = = ACB + DAC ADE ⇒ EAD ⇒ ∆ ADE cân tại E. E là giao điểm của ∆ với đường trung trực của đoạn AD nên tọa độ E thỏa mãn hệ pt :

H

Ơ

3x + 2 y − 9 = 0  x =1 ⇔ ⇒ A (1;3) Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ pt :   x + 2y − 7 = 0 y = 3 Gọi ∆ là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và E là giao điểm của ∆ với đt BC ( do AD không vuông góc với ∆ nên E luôn tồn tại và ta có thể giả sử EB < EC). và BAD

= ACB = DAC Ta có EAB

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Do đường thẳng BN đi qua N và vuông góc với AC nên ta có PT: x − 3 y − 17 = 0

ÀN

⇒ B (3a + 17; a )

D

IỄ N

Đ

Do trung điểm của BN thuộc AC nên:  3a + 17 + 5  a − 4 3 +4=0 + 2 2   ⇔ a = −7 Vậy B (−4; −7)

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 37

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

H

Í-

-L

ÁN

TO

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

VII. Hoạt động trải nghiệm sáng tạo Chủ đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.

1. Đối tượng tham gia và hình thức tổ chức: - Đối tượng tham gia: 32 học sinh lớp 10B. - Hình thức tổ chức: tổ chức hoạt động nhóm để thi giải toán.

- Địa điểm: trong lớp học.

2. Chuẩn bị: - Giáo viên: + Chia lớp thành 4 nhóm (mỗi nhóm 8 học sinh) + Các dạng bài tập ở các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao về chủ đề đườngthẳng trong mặt phẳng.

- Học sinh: Tất cả các kiến thức đã học về chủ đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.

3. Tổ chức: 3.1. Vòng 1: Vòng gửi xe Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm và yêu cầu các nhóm ngồi lại với nhau.

Trong chủ đề phương trình đường thẳng mỗi nhóm sẽ có 2 bài tập + Bài 1 ở mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp + Bài 2 chia làm 4 mảng ở mức độ vận dụng cao cho 4 nhóm: Bài tập liên quan đến trực tâm và đường cao của tam giác.

Bài tập liên quan đến đường trung tuyến và trọng tâm tam giác.

Bài tập liên quan đến đường phân giác trong.

Bài tập liên quan đến đường phân giác ngoài.

Trong mỗi mảng sẽ có 2 bài tập. Giáo viên sẽ ghi 4 mảng đó vào 4 mảnh giấy khác nhau và lần lượt đại diện các nhóm sẽ lên bốc thăm nhóm nào bốc vào mảng nào sẽ hoàn thành bài tập và tất cả các kiến thức trong mảng đó để chuẩn bị cho phần sau - phần chuyên gia.

Mỗi nhóm giải xong giải đúng sẽ được 4 điểm 1 bài.Nếu các nhóm đều giải đúng thì nhóm nào xong nhanh nhất sẽ được cộng 2 điểm, nhóm về thứ 2 sẽ được cộng 1 điểm.

3.2. Vòng 2: Chuyên gia Các nhóm sẽ đứng trước lớp và giảng giải về 2 bài toán của mình cho các bạn khác hiểu và trả lời tất cả các kiến thức có liên quan. Nhóm nào không giải đáp được thắc mắc của các bạn sẽ bị trừ nhiều nhất 0.5 điểm/1lần không giải đáp được.

Giáo viên sẽ căn cứ vào 2 vòng để tìm ra nhóm thắng cuộc 4. Câu hỏi cho từng mảng: 4.1. Mảng 1: Bài tập liên quan đến đường cao và trực tâm của tam giác:

D

Bài 1: Cho tam giác ABC đỉnh A ( 2;1) , B ( 3;5) , C ( −1; 2 )

a) b) c)

Viết tất cả các dạng phương trình các cạnh của tam giác.

Viết phương trình các đường cao của tam giác.

Viết phương trình các đường trung bình của tam giác.

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 38

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: a)

+ Cạnh AB đi qua điểm A ( 2;1) và điểm B ( 3;5) nên có vectơ chỉ phương là AB (1; 4 )

H

Ơ

N

 x=t+2 x − 2 y −1 = ⇒ Phương trình tham số cạnh AB là:  ⇔ (pt chính tắc) 1 4  y = 4t + 1

10 00

⇔ c = − 11 ⇒ pt AH: 4x + 3 y − 11 = 0

B

b) +Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Ta có AH ⊥ BC nên AH có dạng là: 4x + 3 y + c = 0 mà AH đi qua A nên ta có 4.2 + 3.1 + c = 0 + Gọi BK là đường cao hạ từ đỉnh B xuống AC.

Ó

A

Ta có AC ⊥ BK nên BK có vectơ pháp tuyến là AC ( −3;1)

H

⇒ PT BK: −3 ( x − 3) + y − 5 = 0 ⇔ −3x + y + 4 = 0

-L

Í-

+ Gọi CP là đường cao hạ từ đỉnh C xuống AB.

Ta có CP ⊥ AB nên CP có vectơ pháp tuyến là AB (1; 4 )

ÁN

⇒ PT CP: x + 1 + 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ x + 4 y − 7 = 0

TO

c) Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC suy ra MI, MN, IN lần lượt là đường trung 7 5 bình của tam giác ⇒ M  ;3  , I  1;  2   2 Ta có: MN BC nên pt MN có dạng −3x + 4 y + c = 0 .

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

⇔ −3 ( x + 1) + 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ −3x + 4 y − 11 = 0 (pt tổng quát)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

N

 x = −4t − 1 x +1 y − 2 ⇔ = ⇒ Phương trình tham số của cạnh BC là:  (pt chính tắc) −4 −3  y = −3t + 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

G

Đ

ẠO

TP

 x = −3t + 2 x − 2 y −1 ⇔ = ⇒ Phương trình tham số cạnh AC là:  (pt chính tắc) −3 1  y = t +1 ⇔ x − 2 = −3 y + 3 ⇔ x + 3 y − 5 = 0 (pt tổng quát)

+ Cạnh BC đi qua điểm B ( 3;5) , C ( −1; 2 ) nên có vectơ chỉ phương là BC ( −4; −3 )

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

+ Cạnh AC đi qua điểm A ( 2;1) , C ( −1; 2 ) nên có vectơ chỉ phương là AC ( −3;1)

U Y

N

⇔ 4x − y − 7 = 0 (pt tổng quát)

−9 5 9 5 ⇒ Pt MN: −3x + 4 y − = 0 Đường thẳng MN đi qua M  ;3  ⇒ −3. + 4.3 + c = 0 ⇔ c = 2 2 2 2 

Ta có: MI AC nên MI có vectơ chỉ phương là AC ( −3;1) ⇒ vectơ pháp tuyến: n (1;3)

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 39

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

23 7 =0 PT MI: x − 1 + 3  y −  = 0 ⇔ x + 3 y − 2 2 

7 1 = 0 ⇔ −4x + y + = 0 2 2 Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình đường thẳng các cạnh của tam

U Y

ẠO

Theo tính chất đường cao HK ⊥ AC cho nên AC qua K ( 0; 2 ) có vectơ pháp tuyến KH (1; −2 )

Đ

⇒ ( AC ) : x − 2 ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 y + 4 = 0

N

G

B nằm trên đường thẳng BH qua H (1;0 ) và có vectơ chỉ phương KH (1; −2 ) ⇒ PT tham số đường

TR ẦN

H Ư

x = t +1 thẳng BK:   y = −2t

⇒ B ( t + 1; −2t )

M ( 3;1) là trung điểm AB cho nên A ( 5 − t ; 2 + 2t )

)

(

) (

)

Ó

A

(

10 00

B

Mặt khác: A ∈ AC cho nên 5 − t − 2 ( 2 + 2t ) + 4 = 0 ⇒ t = 1 . Do đó A ( 4; 4 ) ; B ( 2; −2 )

Vì C ∈ AC ⇒ C 2t ' ; 2 + t ' ⇒ BC = ( 2t ' − 2; 4 + t ' ) , HA = ( 3; 4 ) .

Theo tính chất đường cao kẻ từ A ⇒ HA.BC = 0 ⇔ 3 2' − 2 + 4 4 + t ' = 0 ⇒ t ' = −1 .

H

Vậy C ( −2;1)

-L

Í-

AB đi qua A ( 4; 4 ) có vectơ chỉ phương BA = ( 2; 6 ) = (1;3 ) nên phương trình đường thẳng AB là:

ÁN

x−4 y−4 = ⇔ 3x − y − 8 = 0 1 3

BC đi qua B ( 2; −2 ) có vectơ pháp tuyến HA = ( 3; 4 ) nên phương trình đường thẳng BC là:

ÀN

3 ( x − 2 ) + 4 ( y + 2 ) = 0 ⇔ 3x + 4 y + 2 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

là M ( 3;1)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

giác ABC biết trực tâm H (1;0 ) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K ( 0; 2 ) , trung điểm của cạnh AB

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

PT NI: −4 ( x − 1) + y −

N

Ta có: NI AB nên NI có vectơ chỉ phương là AB (1; 4 ) ⇒ vectơ pháp tuyến n ( −4;1)

IỄ N

Đ

4.2. Mảng 2: Bài tập liên quan đến đường trung tuyến và trọng tâm tam giác.

Bài1:

D

a) Viết tất cả các dạng phương trình đường thẳng d đi qua C ( −2;3) và có hệ số góc k = −3 b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua C ( −2;3) và tạo với trục hoành 1 góc 45o

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 40

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

H Ư

N

trục Ox là 45o hoặc 1350

+ Góc giữa đường thẳng d và chiều dương trục hoành là 45o ⇒ Hệ số góc k = tan 450 =1 ⇒ PT

TR ẦN

đường thẳng d: y = 1. ( x + 2 ) + 3 ⇔ x − y + 5 = 0

+ Góc giữa đường thẳng d và chiều dương trục hoành là 1350 ⇒ Hệ số góc k = tan1350 = −1 ⇒ PT

B

đường thẳng d: y = −1( x + 2 ) + 3 ⇔ x + y + 1 = 0

10 00

c)

Ó

A

+ ( d1 ) có vecteo chỉ phương là u1 ( 2; 3 ) , ( d 2 ) có vectơ chỉ phương là u 2 ( −3; −6 ) .Ta thấy u1 và

u 2 không cùng phương nên ( d1 ) và ( d 2 ) cắt nhau.

Í-

H

 2t = −1 − 3u  t =1 ⇔ + Tọa độ giao điểm của ( d1 ) và ( d 2 ) ứng với nghiệm t và u của hệ pt:  3t = −3 − 6u u = −1

điểm ( 2;3)

ÁN

-L

Thay t vào phương trình của ( d1 ) ( hoặc thay u vào phương trình của ( d 2 ) ) ta có được tọa độ giao

+ ( d1 ) có vectơ pháp tuyến là n1 ( −3; 2 ) ( d 2 ) có vectơ pháp tuyến là n2 ( 6; −3 ) = ( 2; −1)

(

)

−3.2 + 2.( −1) 2

2

2

( −3) + 2 . 2 + ( −1)

2

=

8 8 65 = = 0,99 65 13. 5

IỄ N

Đ

ÀN

Ta có cos ( d1 , d 2 ) = cos n1 , n2 =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đường thẳng d tạo với trục hoành 1 góc 45o ⇒ Góc giữa đường thẳng d và chiều dương của

G

b)

Đ

ẠO

 x = −2 − t x + 2 y −3 = Vậy d có phương trình tham số:  và phương trình chính tắc: −1 3  y = 3 + 3t

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

hay 3x + y + 3 = 0

Do đó u ( −1;3 ) là một vectơ chỉ phương của d.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y

d đi qua C ( −2;3) và có hệ số góc k = −3 nên d có pt tổng quát: y = −3 ( x + 2 ) + 3

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a)

N

 x = 2t  x = −1 − 3u c) Cho 2 đường thẳng ( d1 ) :  ; ( d2 )   y = 3t  y = −3 − 6u + Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng. + Xác định giao điểm I của 2 đường thẳng. + Tính cosin góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng.

Giải

D

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, với A ( 2; −1) ; B (1; −2 ) , trọng tâm G của tam giác

nằm trên đường thẳng (d): x + y − 2 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 Giải:

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 41

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

Vậy C1 (18; −12 ) ; C2 ( −9;15)

B

4.3. Mảng 3: Bài tập liên quan đến đường phân giác trong.

10 00

Bài 1. Cho tam giác ABC có đỉnh A ( 2; 2 ) , đường cao hạ từ đỉnh B là d1 : x + y − 2 = 0 và đường cao hạ từ đỉnh C là d 2 : 9x − 3 y + 4 = 0

H

Ó

A

Tìm tọa độ B, C. Viết phương trình tất cả các cạnh của tam giác.

Viết pt đường cao còn lại.

Xác định cosin ba góc của tam giác.

Í-

a) b) c)

-L

Giải

ÁN

a) AB ⊥ d2 nên AB có vectơ chỉ phương là u1 ( 9; −3 ) = ( 3; −1) suy ra vectơ pháp tuyến là

n1 (1;3)

AB đi qua A ( 2; 2 ) và có vectơ pháp tuyến n1 (1;3) nên pt của cạnh AB là: ( x − 2 ) + 3 ( y − 2 ) = 0

ÀN

⇔ x + 3y − 8 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N H Ư

TR ẦN

  a+b = 6   a = 18    a − b = 30 b = −12   Kết hợp (1)và (2) ta được:   a + b = 6 ⇔   a = −9    a − b = −24   b = 15

G

Đ

ẠO

 a − b − 3 = 27  a − b = 30 ⇔ ⇔ (2) a − b − 3 = −27 a − b = −24

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

a −b −3 a −b −3 1 1 AB.d ( C; AB ) = 2 = =13,5 ⇔ a − b − 3 = 27 2 2 2 2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Từ giả thiết: S∆ABC =

a −b−3 x − 2 y +1 = ⇔ x − y − 3 = 0 ⇒ d ( C; AB ) = 1 1 2

N

Ta có AB = ( −1; −1) ⇒ ( AB) :

a +3 b −3 + − 2 = 0 ⇔ a + b = 6 (1) 3 3

U Y

Do G nằm trên (d): x + y − 2 = 0 ⇒

N

a+3   xG = 3 Ta gọi C ( a; b ) , theo tính chất của trọng tâm tam giác ⇒  y = b −3  G 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ N

Đ

AC ⊥ d1 nên AC có vectơ chỉ phương là u2 (1;1) suy ra vectơ pháp tuyến là n2 (1; −1) nên pt cạnh

D

AC là x − y = 0

 x+ y−2 = 0  x = −1 ⇔ ⇒ B ( −1;3) Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ pt:  x + 3y − 8 = 0  y=3

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 42

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

2

1 + 1 11 + 1

+ Cosin góc ABC= cosin ( AB, BC ) =

=

1.11 + 3.3

5 61

=

Đ G

7 305

B

1 + 32 112 + 32 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(−4;1) , trọng tâm G(1;1) và đường

10 00

thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình: x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C. Giải:

A

Giả sử: BG ∩ AC= { D} ⇒ DA = DC

H

Ó

Gọi D ( x; y ) . Vì G là trọng tâm nên ta có: BD = 3GD (1)

Í-

Ta có : BD ( x + 4; y − 1); GD ( x − 1; y − 1)

ÁN

-L

7   x + 4 = 3 ( x − 1) x = 7  ⇒ (1) ⇔  ⇔ 2 ⇒ D  ;1 2   y − 1 = 3 ( y − 1)  y = 1

TO

Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác trong AK của góc A, cắt AK tại H và AC tại E. Vì AK là phân giác trong góc A nên HB = HE , mà BE ⊥ AK ⇒ phương trình BE có dạng: x + y + m = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

N

1.11 − 1.1

2

1 5

TR ẦN

+ Cosin góc ACB=cosin ( AC , BC ) =

1 + 32 1 + ( −1)

=

H Ư

1.1 + 3. ( −1)

+ Cosin góc BAC= cosin ( AB, AC ) =

ẠO

c)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

TP

Phương trình đường cao hạ từ A là 3 ( x − 2 ) − 11( y − 2 ) = 0 ⇔ 3x −11y + 16 = 0

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đường cao hạ từ A vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến là ( 3; −11)

U Y

⇔ 11x + 3 y + 2 = 0

Suy ra pt BC là : 11( x + 1) + 3 ( y − 3) = 0 b)

N

−2  x=  0 x − y =   3  −2 − 2  ⇔ Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt:  ⇒C ;   3 3  9x − 3 y + 4 = 0  y = −2  3 −2 −2 BC đi qua 2 điểm B ( −1;3) và C  ;  nên BC có vectơ pháp tuyến là (11;3)  3 3 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đ

Do B ∈ BE ⇒ m = 3 ⇒ ( BE ) : x + y + 3 = 0

D

IỄ N

Tọa độ giao điểm H của BE và AK là nghiệm của hệ :

 x − y −1 = 0  x = −1 ⇔ ⇒ H (−1; −2)  x + y + 3 = 0 y = − 2  

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 43

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

 xE + xB = 2 xH  x =2 ⇔ E ⇒ E (2; −5) Mà HB = HE nên có:   y E + yB = 2 yH  yE = −5 2 3 DE ≡ AC . Ta có: ED  ; 6  nên DE có vecto chỉ phương là u = ED = (1; 4) ,do đó có vecto pháp 3 2 

U Y

N

10 00

B

Cho 2 điểm A ( 2; 2 ) , B ( 5;1) và đường thẳng (d): x − 2 y + 8 = 0

Í-

H

Ó

A

+ Xác định C thuộc (d) sao cho tam giác ABC cân tại C + Xác định điểm D thuộc d sao cho tam giác ABD vuông A Giải a)

+ ( d1 ) có vectơ chỉ phương u1 ( 3; 2 ) . ( d 2 ) có vectơ chỉ phương là u2 ( 6; 4 ) = 2. ( 3; 2 ) . Ta thấy ( d1 )

-L

và ( d 2 ) cùng phương nên suy ra ( d1 ) và ( d 2 ) song song

TO

ÁN

+ Lấy M (1;1) ∈ ( d1 )

d ( d1 , d 2 ) = d ( M , d2 ) =

−4.1 + 6.1 − 3 2

=

1 2 13

( −4 ) + 62 C thuộc (d) nên gọi C ( 2 y − 8; y ) . Tam giác ACB cân tại C ⇒ AC = BC

Đ

b)

2

2

2

2

2

2

2

D

IỄ N

⇔ ( 2 y − 8 − 2 ) + ( y − 2 ) = ( 2 y − 8 − 5 ) + ( y − 1) ⇔ ( 2 y − 10 ) + ( y − 2 ) = ( 2 y − 13) + ( y − 1)

⇔ 10 y = −66 ⇔ y =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

+ Tính khoảng cách giữa ( d1 ) và ( d 2 )

TR ẦN

Cho hai đường thẳng ( d1 ) : 2x − 3 y + 1 = 0 và ( d 2 ) : −4x + 6 y − 3 = 0

+ Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng b)

H Ư

4.4.Mảng 4: Bài tập liên quan đến phân giác ngoài.

Bài 1:

G

Đ

Vậy A ( 4;3) , C ( 3; −1) .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP ẠO

 xC + x A = 2 xD  x =3 Mà DA = DC nên  ⇔ c ⇒ C (3; −1)  yC + y A = 2 yD  yc = −1

a)

.Q

 x − y −1 = 0 x = 4 ⇔ ⇒ A ( 4; 3) Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ:  4 x − y − 13 = 0  y = 3

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy phương trình AC là: 4 ( x − 2 ) − ( y + 5) = 0 ⇔ 4 x − y − 13 = 0.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

tuyến n ( − 4;1) .

2

−33 5

−106 −33  Suy ra C  ;  5   5

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 44

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

+D thuộc đường thẳng (d) nên D ( 2 y − 8; y )

Tam giám ABD vuông tại A: ta có AD ( 2 y − 10; y − 2 ) , AB ( 3; −1)

ẠO

Ta có: AC ⊥ d nên vectơ pháp tuyến của AC là: ( 3; −1) suy ra phương trình đường tẳng AC là :

H Ư

N

 x + 3 y + 12 = 0 2  Tọa độ điểm B là nghiệm hệ pt :  ⇒ B  −14;  3   x − 6 y + 18 = 0

G

Đ

3 ( x + 3) + ( −1)( y − 1) = 0 ⇔ 3x − y + 10 = 0

TR ẦN

 2 1  Phương trình AB đi qua A ( −3;1) và B  −14;  nên AB có vectơ chỉ phương là AB  −11; −  ⇒ 3 3  

10 00

1 ( x + 3) − 11( y − 1) = 0 ⇔ x − 11y + 12 = 0 3

A

Pt cạnh BA là:

B

1  vectơ pháp tuyến là:  ; −11 3 

H

Ó

Từ A kẻ AI vuông góc với ( d ' ) cắt BC tại K . Theo tính chất của đường phân giác ngoài của góc B

Í-

ta có: ∆ABK cân tại B ⇒ BI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

-L

Ta có BI ⊥ AK ⇒ vectơ pháp tuyến của AK là ( 6;1) ⇒ pt đường thẳng AK đi qua A ( −3;1) là :

ÁN

6 ( x + 3) + ( y − 1) = 0 ⇔ 6 x + y + 17 = 0

TO

−120  x=  6 + + 17 = 0 x y   37  −120 91  ⇔ Tọa độ điểm I là nghiệm hệ pt :  ⇒ I ;   37 37   x-6y + 18 = 0  y = 91  37

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

từ B và phân giác ngoài góc B lần lượt là ( d ) : x + 3 y + 12 = 0 ( d ' ) : x-6y + 18 = 0

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài2: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A ( −3;1) phương trình đường cao kẻ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

N

28 Tam giác ADB vuông tại A ⇒ AB. AD = 0 ⇔ 3 ( 2 y − 10 ) − 1( y − 2 ) = 0 ⇔ y = 5 16 28 Vậy D  ;   5 5 

D

IỄ N

−3 + xK   xI = 2  −129 145  Mà I là trung điểm của AK nên  ⇒K ;   37 37   y = 1 + yK  I 2

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 45

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

389 361 2654 2 −129 145   Đường thẳng BC đi qua điểm K  ;  B  −14;  nên có pt là : 37 x + 111 y + 111 = 0 3  37 37  

Ơ

N

KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ Ma trận đề kiểm tra:

TN:2

TL:1(Câu 2) TN:1(Câu 4) TL:1(Câu 1) TN:3 TL:1

TN:1 TL:1 TN:1 TL:1

TN:1 TL:1

Đề kiểm tra (Thời gian: 45 phút)

IỄ N

Đ

ÀN

I. Trắc nghiệm Câu 1: Cho đường thẳng d có phương trình: 2 x − y + 5 = 0 . Tìm một vtpt của d

A. n = ( 2;1) B. n = ( 2; −1) C. n = (1; 2 ) D. n = (1; −2 )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TN:1(Câu 8)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ

G

TN:2

TN:1(Câu 6)

TN:2 TL:1

TN:2 TL:1

-L

Kiểm tra:

ÁN

H Ư

N

Ó

TN:2

Í-

H

Tổng

TL:1(Câu 3)

TN:1(Câu 3)

TN:1(Câu 7)

A

5

Tổng Vận dụng cao

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q 4

ẠO

TP 3

TN:1(Câu5)

TR ẦN

2

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước Chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Mức độ nhận thức Thông hiểu Vận dụng TN:1(Câu 2)

Nhận biết TN:1(Câu1)

B

1

Nội dung kiến thức

10 00

STT

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

D.

D

Câu 2: Cho ∆ABC có A ( 2; −1) , B ( 4;5) ,C ( −3; 2 ) . Viết phương trình đường cao AH của ∆ABC A.

3x + 7 y + 1 = 0

B. −3 x + 7 y + 13 = 0

C. 7 x + 3 y + 13 = 0

D. 7 x + 3 y − 11 = 0

Câu 3: Phương trình nào là phương trình tham số của đường thẳng: x − y + 2 = 0

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 46

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 x =t x = 2 x = 3+ t  x=3 B.  C.  D.   y = 2 + t y =t y = 3+ t y = 3−t Câu 4: Cho 2 điểm P (2;5) và Q(5;1) . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ

A.

H

C. Cả A và B đều đúng D. Đáp án khác

Ơ

N

Q đến thẳng đường đó bằng 3.

A. x − 2 = 0 B. 7 x + 24 y − 134 = 0

A. Song song

H Ư

N

Câu 7: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng: d : x − 2 y + 1 = 0 và d1 : −3 x + 6 y + 10 = 0 B. Vuông góc nhau

C. Trùng nhau

D. Cắt nhau

10 00

B

TR ẦN

 x = 2 + 2t Câu 8: Tìm m để hai đường thẳng sau trùng nhau: ∆1 : 2 x − 3 y + m = 0 và ∆ 2 :   y = 1 + mt m = −3 B. m = 1 C: m ∈ ∅ D. m = 3 A. II. Tự luận

H

Ó

A

 x = 1 + 3t2  x = −2t1 Câu 1: Cho 2 đường thẳng (d1 ) :  và (d 2 ) :  , t1 , t2 ∈ ℝ  y = −3t1  y = 3 + 6t2 1. Xác định tọa độ điểm A là giao điểm của (d1) và (d2).

2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (∆ ) : 2 x − y + 3 = 0

-L

Í-

Câu 2: Trong (Oxy) cho A(2;5) và đường thẳng d :

x −1 y − 2 . Viết phương trình tổng quát của = 2 −3

TO

ÁN

đường thẳng d' qua A và tạo với d một góc bằng 450 .

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Goi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD. Giả sử H( −5;−5), K(9;−3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng: x − y + 10 = 0 . Tìm tọa độ điểm A.

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D. Cả A và B đúng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C. Đáp khác

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

Đ

B. A(1; −1)

G

A. A(4;5)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

Câu 5: Phương trình nào là phương trình theo đoạn chắn x −1 y x y x y = A. B. + = 1 C. x − y + 2 = 0 D. + = 0 2 −3 2 7 3 4 Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD.Gọi M là trung điểm của cạnh 11 1 BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2 ND . Giả sử M ( ; ) và đường thẳng AN có phương 2 2 trình 2 x − y − 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm A.

D

IỄ N

Đáp án I. Trắc nghiệm Câu Đáp án

1 B

2 D

3 A

4 C

5 B

6 D

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

7 A

8 C

Page 47

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

II. Tự luận Câu 1: a) Ta có: A ∈ ( d1 ) ⇒ A( −2t1 ; −3t1 )

H

Ơ

N

 x = 1 + 3t2 Do (d 2 ) :  ⇒ (d 2 ) : 2 x − y + 1 = 0  y = 3 + 6t2

13 a + b

2

1 2 ⇔ 2 ( 2 a + 3b ) = 13 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 5b 2 + 24ab − 5a 2 = 0 2

G

2

=

N

2 a + 3b

H Ư

cos450 =

Đ

ẠO

Đường thẳng d' qua A(2;5) có n ' = ( a; b ) ⇒ d ' : a ( x − 2 ) + b ( y − 5 ) = 0 (1)

Đường thẳng d có PTTQ là d : 2 x + 3 y + 4 = 0 ⇒ n = (2;3) . Theo giả thiết thì :

b = −5a ⇒ (d ') : ( x − 2 ) − 5 ( y − 5 ) = 0 ⇔ x − 5 y + 23 = 0 Ta có : ∆ 'b = 169a ⇒  b = a ⇔ a = 5b ⇔ (d ') : 5 ( x − 2 ) + ( y − 5 ) = 0 ⇔ 5 x + y − 15 = 0  5 Vậy có 2 đường thẳng d' thỏa mãn yêu cầu bài toán là (d ') : x − 5 y + 23 = 0 và (d ') : 5 x + y − 15 = 0

TR ẦN

2

10 00

B

Câu 3:

Gọi M là trung điểm AC. Ta có: MH = MK =

AC , nên M thuộc đường trung trực của HK. 2

Ó

A

PT đường trung trực của HK: 7 x + y − 10 = 0

Í-

H

 x − y + 10 = 0 Tọa độ M thỏa mãn hệ:  ⇒ M (0;10) 7 x + y − 10 = 0

ÁN

-L

= HCA = HAB = HAD ⇒ ∆AHK cân tại H Ta có: HKA ⇒ HA = HK Mà MA = MK , nên A đối xứng với K qua MH.

Ta có: MH = (5;15)

ÀN

PT đường thẳng MH: 3 x − y + 10 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Câu 2:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 .

5

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

22 + 12

=

.Q

2.(−2) − (−3) + 3

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) Ta có: d ( A; ∆ ) =

U Y

N

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng (d2) ta có: 2.( −2t1 ) − ( −3t1 ) + 1 = 0 ⇔ t1 = 1 ⇒ A ( −2; −3) .

D

IỄ N

Đ

Trung điểm AK thuộc MH và AK ⊥ MH nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ:

  x +9   y −3 3  −  + 10 = 0 ⇒ A(−15;5)   2   2  ( x − 9) + 3( y + 3) = 0 

Vậy A(−15;5) .

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 48

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

IỄ N

D

Chuyên đề: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

A

Ó

H B

10 00 TR ẦN G

N

H Ư

ẠO

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

-L

TP

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ÁN

TO

U Y

.Q

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Ơ

H

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Page 49

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial