CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ÀN

TO

ÁN

-L

II- NỘI DUNG ÔN TẬP CƠ BẢN 1. Kỹ năng vẽ hình.

Hình chóp. + Vẽ mặt đáy (chú ý đường nét đứt). + Xác định chân đường cao dựa vào giả thiết. + Nối đỉnh hình chóp với các đỉnh của mặt đáy. (chú ý đường nét đứt).

Vẽ hình lăng trụ: + Vẽ một mặt đáy từ đầu bài (chú ý đường nét đứt). + Từ đỉnh của đáy, vẽ các đoạn thẳng song song và bằng nhau (nếu lăng trụ đứng thì vẽ các đoạn thẳng phải vuông góc với mặt đáy) + Nối các đỉnh của mặt đáy còn lại từ các đoạn thẳng vừa vẽ.

Lưu ý khi vẽ hình: + Phần đường thẳng bị các mặt phẳng che khuất vẽ bằng nét đứt. + Các đường thẳng song song, trung điểm của một đoạn thẳng phải vẽ đúng.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

TP

I-LỜI NÓI ĐẦU Bài toán tính thể tích khối đa diện là một bài toán cơ bản trong chương trình hình học lớp 12, theo cấu trúc có trong đề thi THPT QG và chiếm 01 điểm. Đây là phần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập, đây cũng là phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Đứng trước một bài toán hình học không gian, yêu cầu đối với người học về “kiến thức nền” là kỹ năng vẽ hình, kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, cách xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ…..

Ngoài ra học sinh cần nắm được hai phương pháp giải cơ bản để giải bài toán về tính thể tích khối đa diện là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính gián tiếp. Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tích đáy từ đó suy ra thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức là ta chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích.

Chính vì lượng “kiến thức nền” tương đối nhiều và trừu tượng nên với hầu hết học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài tập, các em thường ngại và lúng túng khi bắt đầu giải quyết. Chuyên đề này nhằm ôn tập cho các em học sinh các kiến thức cơ bản của hình học không gian và các dạng toán cơ bản về bài toán tính thể tích khối đa diện

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

H

Ơ

Tác giả: Đào Huy Khánh TTCM tổ Toán – Tin - TD Giáo viên trường THPT Nguyễn Duy Thì Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi THPT QG Số tiết dự kiến:10T trên lớp + 10T tự học

N

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

H

+ Các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau, các góc vuông không nhất thiết phải vẽ đúng. + Các hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều vẽ theo dạng hình bình hành. + Hình thang nên vẽ nghiêng về một bên. + Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng phải vẽ đúng (vẽ theo hướng vuông góc với biên hình bình hành tượng trưng mặt phẳng).

Một số mẫu hình: * Các loại đáy:

N

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

A

B

A

Y

B

B

ABC là tam giac

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

* Hình chóp với mặt bên vuông góc với đáy (VD: SAB vuông góc với đáy) + Cách xử lý: Từ S kẻ SH vuông góc với AB Chú ý: Thường thì người ta sẽ cho tam giác SAB khá đặc biệt VD: SAB là tam giác đều => H là trung điểm AB Hoặc cho chúng ta tỷ lệ của điểm H để giúp chúng ta xác định một cách chính xác điểm H. + Mặt phẳng vuông góc với đáy : Nếu đáy là tam giác thì khép góc ở A lại, và mặt phẳng vuông góc ở phía đằng sau.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

* Cạnh bên vuông góc với đáy (VD: SA vuông góc với đáy)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ABCD là hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật

C

C

ABCD là hình thang vuông tại A và D

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

D

C

TP

D

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

A

VD: +Nếu đáy là tứ giác thì mở góc ở A như bình thường và mặt phẳng vuông góc nằm phía bên tay trái: Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

* Hình chóp có cách cạnh bên bằng nhau: +Tính chất ( không cần chứng mình) : Khi có các cạnh bên bằng nhau, hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống đáy chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.

- Tam giác thường, tam giác cân: giao 3 đường trung trực - Tam giác vuông: Trung điểm cạnh huyền - Tam giác đều: Giao 3 trung tuyến - Hình chữ nhật, hình vuông: giao 2 đường chéo Chú ý: Luôn cố gắng mở càng rộng góc BAD ra càng tốt (gấp 3 bình thường), càng để nhỏ, góc sẽ càng xấu.

VD: SA=SB=SC=SD. ABCD là hình vuông

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

* Một số kiểu hình khác như lăng trụ đứng , hình hộp chữ nhật đứng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

N

H

Ơ

N

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

B

B

c'

b'

H aM

-L

Ý

-H

Ó

A

b c sin B = , cosB = , a a f. b c tan B = , cot B = c b

b

c

ÁN

g. b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =

b b = , sin B cos C

Đ

ÀN

TO

b = c. tanB = c.cot C 2.2. Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA * Định lý hàm số Sin:

a b c = = = 2R sin A sin B sin C

2.3. Các công thức tính diện tích. a. Công thức tính diện tích tam giác: 1 a.b.c 1 = p.r = S = a.ha = a.b sin C = 2 4R 2 a+b+c với p = 2 Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

e. BC = 2AM

10 00

1 1 1 = + d.

2 2 AH AB AC 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

b. BA2 = BH .BC ; CA2 = CH .CB c. AB. AC = BC. AH

IỄ N D

TR ẦN

H Ư

2. Các hệ thức trong tam giác 2.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ∆ABC vuông ở A ta có : a. Định lý Pitago : BC 2 = AB 2 + AC 2 A

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

H

Ơ

N

Vẽ hình yêu cầu mở rộng góc BAD còn áp dụng cho những bài toán có chân đường cao rơi vào bên trong mặt phẳng đáy.

VD. Cho SABCD, ABCD là hình vuông. O là giao của AC và BD, I là trung điểm của OA. SI vuông với đáy

p.( p − a )( p − b)( p − c )

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC 2 b. Công thức về đường trung tuyến ma =

b2 + c2 a 2 − 2 4

c. Các tam giác đặc biệt * Tam giác vuông :

H

Ơ

N

A

1 2

B

A

TR ẦN

* Tam giác đều cạnh a

C

H

+ Đường cao của tam giác đều : h = AM = AB.

3 4

G

C B

M

A

A

+ Diện tích : S ∆ABC = a 2 .

B

a 3 ) 2

10 00

( đường cao h =

3 2

B

-H

Ó

d. Tứ giác * Hình vuông cạnh a

Ý

+ Diện tích hình vuông S = a 2 (cạnh nhân cạnh) + Đường chéo hình vuông AC = BD = a 2

ÁN

-L

O

TO

+ OA = OB = OC = OD =

a 2 2

D

C

D

IỄ N

Đ

ÀN

* Hình chữ nhật + Diện tích hình vuông : S ABCD = AB. AD ( Diện tích bằng dài nhân rộng) A

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

1 S ∆ABC = .BC. AH 2

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

, AH = BH . tan B

G

+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến + Tính đường cao và diện tích :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

* Tam giác cân:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q A

C

a

B

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

+ Diện tích tam giác vuông: S ∆ABC = . AB. AC

N

b c

B

+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD

1 (chéo dài x chéo ngắn) 2 D 1 * Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2

* Diên tích hình thoi : S =

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

O C

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

H

3. Các tính chất hình học không gian quan trọng.

1. Nếu A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt thì A, B, C thẳng hàng.

R 2. Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao Q tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó song song hoặc P đồng quy.

3. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) qua d nếu cắt mp(P) thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với d.

4. Hai đường thẳng chéo nhau có duy nhất cặp mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó và song song với nhau.

N

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

.Q

P

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a

(P)

⇒ d ⊥ BC .

TR ẦN

d ⊥ AC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Đ ẠO

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

d ⊥ AB

với cạnh còn lại. 

d

b

N

5. Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng trên mp(P).

6. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(P) thì d vuông góc với mp(P).

Hệ quả : Một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì vuông góc

G

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Q

d

B

7. Định lý ba đường vuông góc : Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a. Khi đó P đường thằng d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu của a trên (P).

8. Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì mọi mặt phẳng chứa d đều vuông góc với mp(P).

9. Nếu mp(P) vuông góc với (Q) và A nằm trên (P). Khi đó đường thẳng qua A vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với mp(Q).

10. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng đó.

-H

Ó

A

10 00

d'

P a A

ÁN

-L

Ý

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

d

TO

Q

D

IỄ N

Đ

ÀN

III- PHƯƠNG PHÁP GIẢI A. Phương pháp tính trực tiếp Ở phương pháp này ta thường áp dụng các công thức trực tiếp tính thể tích các khối đa diện cơ bản. Cụ thể ta có :

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h với B là diện tích đáy và h là độ dài đường cao lăng trụ. Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

h B

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 6

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước

Ơ

a

Y

N

H

a

TP

với 

 h : chieàu cao

H

a

H

10 00

B

P

O

-H

Ó

A

a

H

-L

Ý

P

ÁN

O

IỄ N

Đ

ÀN

TO

P

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB Ngoài ra a, b chéo nhau nên có mp(P) chứa a, mp(Q) chứa b và (P)//(Q).

Do đó d(a;b)=d(a,(Q))=d(b,(P))=d((P);(Q))

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Q

a

H

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

O

O

TR ẦN

1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). d(a;(P)) = OH 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Việc áp dụng phương pháp này thường dẫn đến bài toán tính khoảng cách hoặc góc.

1. Bài toán tính khoảng cách Một số khoảng cách từ một số đối tượng trong không gian.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

B

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

h

B : dieän tích ñaùy

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

N

a

b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: 1 V= Bh 3

A

b B

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 7

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC a P

b

Ơ

Y

N

H

Khi tính khoảng cách giữa các dối tượng ta thường quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hay đường thẳng. Do đó để thuận tiện ta sẽ sử dụng kết quả của hai bài toán sau:

N

Q

d ( B, ( P ) )

G N

=

AA ' CA . Suy ra đpcm. = BB ' CB

C

(P)

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

d ( A, ( P) )

B'

A'

B

1 1 1 1 = + + 2 2 2 OH OA OB OC 2

10 00

2.

TR ẦN

Bài toán 2: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là trực O tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1. OH ⊥ mp(ABC) C

A

H B

Ó

A

Chứng minh: Đây là bài toán cơ bản nên học sinh có thể tự chứng minh được.

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Nhận xét: Với Bài toán 1, ta có thể thay thế việc tính khoảng cách từ một điểm nào đó đến một đường thẳng hay mặt phẳng bằng một điểm khác dễ tính hơn.

Với Bài toán 2 ta có thể tính nhanh khoảng cách từ một điểm nào đó tới một mặt phẳng thông qua ba tia vuông góc với nhau đôi một có gốc từ điểm đó.

Chẳng hạn ta xét các ví dụ: Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA= a . Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác SCD. Tính khoảng cách từ M tới mp(SBD); từ G tới mp(ABCD) và mp(SAC).

Giải: Ta có

D

IỄ N

Đ

ÀN

S

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

Chứng minh. Gọi A’, B’ là hình chiếu vuông góc của A và B lên (P).

Khi đó d ( A, ( P) ) = AA '; d ( B, ( P) ) = BB ' . Từ đó suy ra

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

AC .

BC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

d ( B, ( P ) )

=

TP

d ( A, ( P) )

B

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A,B, C thẳng hàng, trong đó C ∈ ( P) . Chứng minh rằng

1 1 d ( C , ( SBD) ) = d ( A, ( SBD) ) . Mà 2 2 a 3 dễ thấy d ( A, ( SBD ) ) = .

3

G

A

D

d ( M , ( SBD ) ) =

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

N B

M

C

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 8

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Do đó d ( M , ( SBD) ) =

a 3 .

6 1 3

a 1 .

3 3 2 2 1 1a 2 a 2 Tương_tự d ( G , ( SAC ) ) = d ( N , ( SAC ) ) = . d ( D, ( SAC ) ) = = .

3 3 2 3 2 6 a Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a và chiều cao . Gọi E là điểm 5

Y

N

H

Ơ

N

Gọi N là trung điểm CD suy ra GN = SN ⇒ d ( G, ( ABCD ) ) = d ( S , ( ABCD ) ) =

O

B

D

10 00

2. Bài toán tính góc.

Các khái niệm về góc giữa các đối tượng trong không gian i. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.

a'

Ó

A

a

-H

α b'

Ý

b

-L

ii. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.

TO

ÁN

a

Đ

ÀN

α

iii. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

a'

P

a P

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H P

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C

M

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G B

A

a 2 . d ( MN , AC ) = d ( H , ( SAC ) ) = HO = 4

IỄ N D

I

N

TR ẦN

• Gọi P là trung điểm AB và H là giao của MP với BD. Suy ra (MNP)//(SAC) nên

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

a 1 1 1 1 5 2 2 9 = + + = 2 + 2 + 2 = 2 ⇒h= .

2 2 2 2 h SO OA OD a a a a 3 2a Do đó d(M,(SAD))= .

3

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

đối xứng với D qua trung điểm SA. M, N lần lượt là trung điểm AE và BC. Tính S khoảng cách từ M tới mp(SAD) và khoảng E cáchd giữa MN và AC. Giải.

Dễ thấy d(M,(SAD))=2d(O,(SAD)), với O là tâm của ABCD. Đặt d(O,(SAD))=h thì

b

a

Q P

b

Q

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 9

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(P)

TR ẦN

3. Thể tích khối chóp

a. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy.

10 00

B

Đây là khối chóp cơ bản và thường dễ dàng nhất khi tính thể tích. Ở khối chóp này cạnh bên chính là đường cao. Các giả thiết của bài toán sẽ đủ để chúng ta có thể tính được độ dài đường cao.

-H

Ó

A

Ví dụ 1. (THPT QG 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳn (ABCD) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.

TO

ÁN

-L

Ý

Lời giải *Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ hình vuông đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng đứng − Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu của nó lên (ABCD) - Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC. * Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a SA ⊥ ( ABCD) ⇒ AC là hình chiếu của SC lên S

ÀN Đ IỄ N

= 45o , mp (ABCD) ⇒ ( SC,( ABCD)) = ( SC, AC) = SCA + Suy ra SA = AC = 2 a + SABCD = a 2 1 3

+ VS . ABCD = SA.S ABCD =

1 2a.a 2 = 3

2a 3 3

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

H A

* Kẻ đường thẳng d qua B và song song với AC Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên d

M

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

H

Chú ý: Khi xác định góc giữa các đối tượng thì học sinh thường lúng túng trong việc xác định góc giữa hai mặt phẳng. Để xác định góc gữa hai mặt phẳng ta có thể làm theo hai cách: A Cách 1: Trên (P) hoặc (Q) có sẵn (hoặc dễ dàng tìm được) một điểm mà có thể xác định được hình chiếu trên mặt phẳng còn lại.

B1: Xác định giao tuyến d của (P) và (P) (Q) (thông thường là đã có sẵn) B α B2: Chọn một điểm A trên (Q) và xác định hình chiếu H của A lên (P). d H B3:Từ H kẻ HB vuông góc với d ( B ∈ d ) thì góc giữa hai mặt phẳng là (Q)

ABH .

Cách 2: Từ một điểm nào đó trên giao tuyến của hai mặt phẳng ta kẻ hai đường thẳng cùng vuông a góc với giao tuyến và nằm trên hai mặt phẳng.

Góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai mặt M b phẳng.

N

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

D

d B

C daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 10

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC H là hình chiếu vuông góc của A lên SM  SA ⊥ BM ⇒ AH ⊥ BM ⇒ AH ⊥ ( SBM )  MA ⊥ BM

Ta có 

Do đó: d(AC, SB)=d(A,(SBM))=AH

Ơ

N

1 1 1 5 = 2+ = 2 2 2 AH SA AM 2a

H

Tam giác SAM vuông tại A, có đường cao AH nên

Y

N

10.a .

5

. Vậy d(AC, SB) = AH =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

TR ẦN

( ABC )

* ∆ ABC vuông tại B có AB = a, ACB = 600 AB a a 3 = = 0 tan 60 3 3 1 1 a 3 a2. 3 = ⇒ S∆ABC = BA.BC = .a.

2 2 3 6

* ∆ SAB vuông tại A có AB= a, B = 450 ⇒ SA = AB.tan 45o = a 1 1 a2. 3 a3. 3 * VS . ABC = .S ABC .SA = . .a = 3 3 6 18

S

A

C

-H

Ó

A

10 00

B

⇒ BC =

-L

Ý

B

Đ

ÀN

TO

ÁN

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD); (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với AC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và SA’B’C’D’, biết SC hợp với mặt phẳng ABCD một góc 450.

S

IỄ N D

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên (ABC) Lời giải: = 45o * Ta có :AB = a , AB = hc SB ⇒ ( SB, ( ABC )) = ( SB, AB) = SBA

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ACB = 600 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải

Lời giải - SC hợp với (ABCD) một góc 450 nên a3 2 .

3 1 - Do SC ⊥ (AB’C’D’) nên VS . AB 'C ' D ' = SC '.S AB ' C ' D ' 3 Do tính đối xứng nên S AB 'C ' D ' = 2 S AB 'C ' .

1 3

SA=AC= a 2 ⇒ VS . ABCD = a 2.a 2 =

C'

B'

J

D' A

45°

B

I C

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 11

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC  AB ' ⊥ SB ⇒ AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ B ' C '  AB ' ⊥ BC

Mà 

Ta có

N H

AC 2a 2 a 3 = a ⇒ B 'C ' = a2 − = .

3 3 2

N

Y

1 1 a2 2 a2 2 1 a2 2 a3 2 . Vậy VS . AB 'C ' D ' = . 2a 2 − a 2 . .

AB '.B ' C ' = = = 2 2 3 6 3 3 9 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a,

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C 60

A

M

TR ẦN

= 60o ⇒ (( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA

(Hình vẽ sai) Lời giải đúng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N H Ư

Giải Sai lầm của học sinh: − Gọi M là trung điểm BC − Ta có AM ⊥ BC , SM ⊥ BC

G

S

Đ ẠO

TP

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC

http://daykemquynhon.ucoz.com

B

10 00

B

* Ta có : AB = a 3 , (SBC) ∩ (ABC) = BC AB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vuông tại B)

= 60o SB ⊥ BC ( vì AB = hc SB ) ⇒ (( SBC),( ABC)) = ( SB, AB) = SBA S

A Ó

1 1 a2. 3 BA.BC = .a 3.a = 2 2 2

* ∆ SAB vuông tại A có AB= a, B = 600 ⇒ SA = AB.tan 60o = 3a

-H

⇒ S∆ABC =

-L

Ý ÀN

TO

ÁN

60

Đ

( ABC )

* ∆ ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a

A

IỄ N D

U

Nên S AB 'C ' =

B

C

1 3

1 a2. 3 a3 . 3 .3a = 3 2 2

*: VS . ABC = .S ABC .SA = .

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a, AD = 2a; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích hình chóp.

Lời giải: Ta có AC ⊥ CD nên CD ⊥ (SAC) suy ra = 600 ⇒ SA = AC 3 = a 6 .

SCA

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

AC ' =

2a 4 2a 2 AB 2 . AS 2 a 6 = = ⇒ AB ' = ; 2 2 2 AB + AS 3a 3 3

Ơ

AB '2 =

S

A

D 60°

B

C

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 12

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC 1 3

1 3

1 2

Vậy VS . ACBD = SA.S ABCD = a 6. 3a.a =

a3 6 .

2

Ơ H N

a3 2 6

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

B

Đs: d =

12 34

10 00

Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc

BAC = 120o , biết SA ⊥ (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích

A

Đs: V =

a3 9

-H

Ó

khối chóp SABC.

ÁN

-L

Ý

b. Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.

Khối chóp loại này có đường cao chính là đường cao của mặt bên vuông góc với đáy.

TO

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, Tính thể tích khối chóp SABCD.

IỄ N

Đ

ÀN

S

Lời giải: Gọi H là trung điểm của AB. △SAB đều ⇒ SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Ta có tam giác SAB đều nên SA =

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

a 3 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm.

1) Tính thể tích ABCD. Đs: V = 8 cm3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

a3 3 27

H Ư

Đs: V =

G

Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp.

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

.Q

h3 3 3

TP

Đs: V =

chóp SABC .

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Đs: V =

Y

Tính thể tích hình chóp .

N

Bài tập tự giải Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o.

D

A B

H a

C

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 13

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC a3 3 6

Ơ 60

o

D

H Ư

N

G

C

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a.

Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp SABC. Lời giải: S + Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), vì mp(SAC) ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ mp(ABC).

Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC ⇒ = 45o SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC, theo giả thiết SIH = SJH Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI = HJ nên BH là H đường phân giác của △ABC ừ đó suy ra H là trung A 45 C điểm của AC.

1 a3 ⇒ VSABC= S ABC .SH = 3 12

TO

ÁN

a + HI = HJ = SH = 2

I

J

B

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP Đ ẠO

B

H

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

a

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

A

Ta có AH ⊥ HD ⇒ AH = AD.tan60o = a 3

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

H

Lời giải: Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD) , mà (ABC) ⊥ (BCD) ⇒ AH ⊥ (BCD) .

a 3 & HD = AD.cot60o = 3 2a 3 △BCD ⇒ BC = 2HD = suy ra 3 1 1 1 a3 3 V = SBCD .AH = . BC.HD.AH = 3 3 2 9

N

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều , BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 3

suy ra V = SABCD .SH =

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài tập tự giải.

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).

1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC. 2) Tính thể tích khối chóp SABC.

Đs: V =

a3 3 24

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC. Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 14

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Đs: V =

a3 12

= 30o ; SBC là tam giác đều cạnh Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC = 90o ;ABC

N

a2 2 24

Y

4h3 3 9

a. Khối tứ diện đều:

TR ẦN

+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau

A

+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều

10 00

B

+ O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO ⊥ (BCD) D

B O

A

M

S

C

Ó

b. Khối chóp tứ giác đều

-H

+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau + Đa giác đáy là hình vuông tâm O

-L

Ý

A

+ SO ⊥ (ABCD)

ÁN

D

B

O C

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .

S Lời giải: Dựng SO ⊥ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = 2a OB = OC Vậy O là tâm của tam giác đều ABC. C Ta có tam giác ABC đều nên A

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

c. Thể tích khối chóp đều.

Khối chóp đều là khối chóp có các cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác đều; đường cao của khối chóp chính là đường nối đỉnh với tâm của đáy.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. Đs:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Đs: V =

hình chóp SABC.

N

H

Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC) ⊥ (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích

Ơ

Đs: V =

a và (SAB) ⊥ (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.

AO =

2 2a 3 a 3 AH = = 3 3 2 3

11a2 △SAO ⇒ SO = SA − OA = 3 2

2

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

a

O

H B

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 15

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC 1 a3 11 a 11 .Vậy V = SABC .SO = 3 12 3

TR ẦN

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang với đáy lớn CD = 2a, AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và SA hợp với (ABCD) một góc 600.

Ó

A

10 00

B

Lời giải Do SA=SB=SC=SD nên ABCD là một đa giác nội tiếp đường tròn. Suy ra ABCD là hình thang cân.

Gọi O là trung điểm CD, ta có các tam giác OAB, OBC, OAD là những tam giác đều cạnh a. Do đó O là tâm của hình thang ABCD và SO ⊥ ( ABCD ) . a 2 3 3a 2 3 = .

4 4 = 600 ⇒ SO = OA.tan 600 = 3 3.

Theo giả thiết suy ra SAO

-H

S

-L

Ý

Suy ra S ABCD = 3S ∆OAB = 3.

1 3

1 3

3a 2 3 3a 3 = .

4 4

2a O

C a

D 60°

a

A

B

TO

ÁN

Vậy VS . ABCD = SO.S ABCD = .a 3

ÀN

Bài tập tự giải Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o Đs: V =

Đ IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a3 2 6

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

Đ ẠO

B

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy V =

. Tính thể tích hình chóp.

D

C

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

H

Ơ

N

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a.

1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.

2) Tính thể tích khối chóp SABCD. S Lời giải: Dựng SO ⊥ (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD ⇒ ABCD là hình thoi có D đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông .

Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên O a 2 A a △ ASC vuông tại S ⇒ OS = 2 1 1 2 a 2 a3 2 V = S .

SO = a = ⇒ ABCD 3 3 2 6

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇒ SO =

3a3 16

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o.

1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .

Đs: SH =

2) Tính thể tích hình chóp SABC.

Đs: V =

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

a3 6

a 3

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 16

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một Đs: V =

góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC.

a3 3 24

Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .

H

Ơ

N

h3 3 3

Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh

h3 3 8

C'

A

B

D'

-H

Ó

A

-L

Ý

3. Mọi tứ diện đều có thể bổ sung thành một hình hộp và thể tích của hình hộp đó bằng 3 lần thể tích lăng trụ.

ÁN

TO ÀN Đ

A'

D

4. Nếu hai hình chóp (lăng trụ) có chung đáy thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số đường cao. Nếu hai hình chóp (lăng trụ) có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số diện tích hai đáy.

D

IỄ N

B'

C

1 VABCD= VAC'BD'.A'CB'D 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

2. Mọi tứ diện đều có thể bổ sung thành một lăng trụ tam giác và thể tích của lăng trụ đó bằng 3 lần thể tích của tứ diện

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

1 thể tích lăng trụ.

3

TR ẦN

trụ đều có thể tích bằng

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

G

Đ ẠO

TP

B. Phương pháp gián tiếp tính thể tích khối đa diện.

Phương pháp gián tiếp nghĩa là chúng ta tính thể tích khối đa diện thông qua • Phép phân chia khối đa diện thành những khối cơ bản • Bổ sung khối đa diện thành khối đa diện cơ bản • So sánh về thể tích khối đa diện với khối đa diện đã biết.

Các kết quả sau đây được sử dụng nhiều: 1. Cho lăng trụ tam giác. Mọi tứ diện có bốn đỉnh lấy ra từ các đỉnh của lăng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

Đs: V =

bằng 60o. Tính thể tích hình chóp.

N

Đs: V =

Tính thể tích hình chóp.

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 17

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

S TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

5. Cho hình chóp tam giác SABC. A’, B’, C’ lần lượt nằm trên SA, SB, SC. Thế thì ta có

C'

VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' . = . .

VS . ABC SA SB SC

Ơ

N

A' B'

N

H

C

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

B

TR ẦN

B

M I

+ ∆ABC cân có : AC = a 2 ⇒ AB = a B

Ó

A

1 2 a3 1 1 2 = a Vậy: VSABC = . a .a = 2 3 2 6

-H

⇒ S ABC

C

G

A

10 00

Ta có: VS . ABC

1 = S ABC .SA và SA = a 3

N

Ý

Gọi I là trung điểm BC, do G là trọng tâm, ta có :

SG 2 = SI 3

-L

SM SN SG 2 = = = SB SC SI 3 4 2a 3 SM SN 4 = = . Vậy: VSAMN = VSABC = .

SB SC 9 9 27

ÁN

( α )// BC ⇒ MN// BC ⇒

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

S

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

vuông cân ở B, AC = a 2 , SA vuông góc với đáy ABC , SA = a , Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng ( α ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN Lời giải:

G

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Các tính chất trên có thể dễ dàng chứng minh được. Điều quan trọng là cần nắm được để đưa ra định hướng giải quyết cho mỗi bài toán.

VSAMN VSABC Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a 2 . Gọi E là trung điểm SC, (P) là mặt phẳng qua AE song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại I, K. Tính thể tích khối chóp S.AIMK. S Lời giải: Gọi O là tâm của ABCD, G là giao điểm của AE với SO, suy ra G là trọng tâm tam giác SAC và SBD. Do (P) song song với BD nên

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

⇒

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

A

KI / / BD ⇒

SI SK SG 2 = = = .

SB SD SO 3

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

E

K

D

G

I

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 18 O A

C

www.facebook.com/daykemquynhonofficial B www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC 1 a 6 2 a3 6 a2 a 6 .a = . = ⇒ VS . ABCD = .

2 2 3 2 6 SA SI SE 1 1 = . . = ⇒ VS . AIE = VS . ABC .

SA SB SC 3 3 SA SK SE 1 1 = . . = ⇒ VS . AKE = VS . ADC SA SD SC 3 3

Ơ H

1 1 a3 6 .

(VS . ABC + VS . ADC ) = VS . ABCD = 3 3 18

N

Mà dễ thấy VS . ABC = VS . ADC ⇒ VS . AIEK = VS . AIE + VS . AKE =

Y

VS . AIE VS . ABC V Tương tự S . AKE VS . ADC

Mặt khác

N

Ta có SO = SA2 − OA2 = 2a 2 −

 a 2 + c 2 − b 2  a 2 + b 2 − c 2  c 2 + b 2 − a 2      2 2 2    

Ó

-H

(

)(

)( c

2

+ b2 − a2 .

)

TO

ÁN

-L

Ý

Ví dụ 4.(ĐHA11)

Lời giải:

S

D

IỄ N

Đ

ÀN

( SAB ) ⊥ ( ABC ) Có  ⇒ SA ⊥ ( ABC ) do đó góc giữa ( SAC ) ⊥ ( ABC ) = 600.

(ABC) và (SBC) là SBA

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A'

A

10 00

B

 2 a2 + c2 − b2 x = 2 2 2 2 x + y = a  2  2  2 a + b2 − c 2 2 2 y + z = b ⇔ ⇒ VAC ' BD '. A ' CB ' D =  y = 2  z 2 + x2 = c2    2 c 2 + b2 − a 2 z = 2  1 Vậy suy ra VABCD = 2 a 2 + c 2 − b 2 a 2 + b2 − c 2 12

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Ví dụ 3. Cho tứ diện gần đều ABCD có AB=CD=a; AC=BD=b; AD=BC=c. Tính thể tích tứ diện.

Lời giải: B C' M Gọi M, N lầ lượt là trung điểm AB và CD. Do tứ diện ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau nên bốn mặt của tứ diện là những tam giác A D' bằng nhau. Suy ra MC = MD ⇒ MN ⊥ CD. Tương tự ta cũng có MN ⊥ AB. Vậy MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Bổ sung tứ diện thành hình hộp AC’BD’.A’CB’D (hình vẽ). Ta có C B' AC’BD’.A’CB’D là hình hộp chữ nhật. Đặt N D’A = x, D’B = y, D’D = z ta có

Suy ra SA = AB. tan 600 = 2a 3 .

Vậy 1 1 4a 3 3 3 4a 3 3 VSABC = 2a 3. 4a 2 = ⇒ VSBCNM = . = a 3 3.

3 2 3 4 3

. Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

A

C

N M

60°

P

B daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 19

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

Lời giải:

H

G

A

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Vậy tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm SA. Ta có

C

B

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

VS .MBC SM 1 1 1 1 1 a 3 14 = = ⇒ VS .MBC = VS . ABC = . .SH . a 2 = 2 2 3 2 12 VS . ABC SA 2

TR ẦN

.

10 00

B

Ví dụ 6.(ĐHA10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH= a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa DM và SC theo a.

Ó

A

Lời giải: Ta có

-H

SCDNM = S ABCD − S AMN − S BCM = a 2 −

S 2

a a 5a − = 8 4 8

2

K

Ý

Vậy

2

1 1 5a 2 5a 3 3 .

VS .CDNM = SH .SCDNM = a 3. = 3 3 8 24

-L

B

TO

ÁN

Gọi K là hình chiếu của H lên SC. Ta có DM ⊥ CN

(Do DM .CN = DA + AM CD + DN = 0 )

(

)(

)

C a I

H

M A

a 3

N

D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

D a

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

M

2

7a 9a + =a 2 8 8

SC = SH 2 + HC 2 =

H N U

ra 2

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Suy

Y

a 2 a 14 = .

8 4

TP

Ta có SH = SA2 − AH 2 = a 2 −

S

Ơ

AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. CMR M là trung điểm SA và 4

Đ ẠO

AH=

N

Ví dụ 5.(ĐHD10) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA =a. HÌnh chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là điểm H thuộc AC và

D

IỄ N

Đ

ÀN

nên DM ⊥ ( SCN ) ⇒ DM ⊥ HK hay HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC. Gọi I là trung điển CD thì BI ⊥ CH và ta có HC = 2 d ( DM , SC ) = HK =

SH .HC 2

SH + HC

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

=

CI .CB 2a 2a 5 = = 5 BI 5

2a 3 .

19

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 20

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

A

U G

10 00

B

Ví dụ 8: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (α ) qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

A

S

-H

Ó

Lời giải: Kẻ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Ý

N

-L

VSAND SN 1 1 1 = = ⇒ VSANB = VSADB = VSABCD VSADB SD 2 2 4

ÁN

+

IỄ N

Đ

ÀN

TO

VSBMN SM SN 1 1 1 1 1 = . = . = ⇒ VSBMN = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD 2 2 4 4 8 3 Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD .

8 C 5 Suy ra VABMN.ABCD = VSABCD 8 VSABMN 3 Do đó : = V ABMN . ABCD 5

M D

A O

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Suy ra thể tích của

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 1 9 3a 2 9 3a 2 CA.CB = = .

2 2 52 104

H Ư

N

AC 2 9a 2 3a 3 3a . = ⇔ AC = ⇒ BC = 4 16 2 13 2 13

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

S ∆ABC =

.Q

C

TR ẦN

BC 2 + CM 2 = BM 2 ⇔ 3 AC 2 +

TP

G

Theo định lý pitago trong tam giác BCM thì

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

60°

B

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a 3

.

B ' BG = 600 ⇒ B ' G = BB '.sin 600 = 2 a Ta cũng có BG = . Gọi M là trung điểm AC 2 3a thì BM = .

4 = 600 nên BC = AC 3.

Mặt khác do BAC

Y

N

H

Ơ

Ví dụ 7.(ĐHB09) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và A' B' = 600. Hình chiếu vuông góc của B’ lên BAC (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

Lời giải: C' Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có BG ⊥ ( ABC ) và

N

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

B

Bài tập tự luyện.

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 21

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ

a3 2 36

Ơ

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'. Đs: V = 1 m3 3 Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m , ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN . Đs: V = 4m3 Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M Đs: V =

10 00

và P. Tính thể tích khối chóp SAMNP.

a2 h 9

-H

tích 2 phần này.

Ó

A

Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể Đs: k =

1 2

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

SM = x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích SA 5 −1 bằng nhau. Đs: x = 2

sao cho

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a3 3 40

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Đ ẠO

Đs: V =

SAHK.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đs: V = 1 m3 Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

Đs: V =

Y

a 2a AB = ;AC' = . Tính thể tích tứ diên AB'C'D .

2 3

N

Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'. Đs: V = 2 m3 Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho

N

1 4

H

Đs: k =

số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD.

4. Thể tích khối lăng trụ

a. Thể tích khối lăng trụ đứng Lăng trụ này có đường cao chính là cạnh bên của nó. Do vậy việc tính thể tích của lăng trụ đứng ta cần phải tính được cạnh bên và diện tích đáy.

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải: Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 22

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC A

Ta có

△ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng ⇒ AA ' ⊥ AB △AA'B ⇒ AA'2 = A'B2 − AB2 = 8a2 ⇒ AA' = 2a 2 Vậy V = B.h = SABC .AA' = a3 2

N Ơ H N

C

A'

N

G

K a 2

C'

B'

B

10 00

-H

Ó

A

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải: Gọi I là trung điểm BC .Ta có C' A' △ ABC đều nên

Ý

AB 3 = 2 3 & AI ⊥ BC ⇒ A 'I ⊥ BC(dl3 ⊥) 2

B'

-L

AI =

TO

ÁN

2S 1 SA'BC = BC.A 'I ⇒ A 'I = A'BC = 4 2 BC AA ' ⊥ (ABC) ⇒ AA ' ⊥ AI .

A

C

2

△A 'AI ⇒ AA ' = A 'I − AI = 2 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3

ÀN Đ IỄ N

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3a

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

M

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Y U .Q

và

TR ẦN

1 1a 2 a2 2 .

AM .MK = a= 2 2 2 4 3a 3 2 4 3a Suy ra h = . . 2 = 8 a 2 2

S ∆AMK =

A

B

H Ư

1 1 a3 2 . h.S ∆AMK = KB.S ∆ABM = 3 3 12 Lại có AM ⊥ ( BCC ' B ' ) ⇒ AM ⊥ MK nên

Mà VB.AMK =

C'

B'

TP

a3 2 2

- Gọi K là trung điểm BB’ thì B’C//MK nên d(AM,B’C) = d(C,mp(AMK))=d(B,(AMK))=h.

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

A'

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1 2

C

3a

Ví dụ 2:(ĐHD08) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B và AB = a. Biết AA’ = a 2 , M là trung điểm BC. Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách giữa AM và B’C. Lời giải: - VABC.A’B’C’ = BB’.S∆ABC = a 2. a 2 =

a 2

B

I B

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp . Lời giải: Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a C' a2 3 và SABCD = 2SABD = 2 Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D'

A'

B'

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn C D 23

www.facebook.com/daykemquynhonofficial B A 60 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC a 3 =a 3 2 △DD'B ⇒ DD' = BD'2 − BD2 = a 2 a3 6 Vậy V = SABCD.DD' = 2

H

Ơ

N

Theo đề bài BD' = AC = 2

TR ẦN

Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC là R = OA và R = OG =

GA2 = a.

2GG '

A

10 00

B

Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích với AC = a , ACB lăng trụ.

Ó

Lời giải:

-H

△ABC ⇒ AB = AC.tan60o = a 3 .

Ý

Ta có: AB ⊥ AC;AB ⊥ AA' ⇒ AB ⊥ (AA'C'C) nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).

Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o

ÁN

-L

A'

TO

△AC'B ⇒ AC' =

AB = 3a t an30o

C'

B'

V =B.h = SABC.AA'

Đ

ÀN

△AA 'C' ⇒ AA ' = AC'2 − A 'C'2 = 2a 2 a2 3 △ABC là nửa tam giác đều nên SABC = 2 3 Vậy V = a 6

30o

A

a o 60

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C'

B'

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

- Gọi G’ là trọng tâm ABC thì GG’//AA’.

Trong mp(AMA’) gọi O là giao của đường trung trực AG với GG’.

IỄ N D

A'

G

Đ ẠO

3a G

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

a 3 3a

AMA ' = 600. Do đó AA ' = AM . tan 600 = 3= 2 2 2 3 3a a 3 3a 3 VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ∆ABC = . = 2 4 8

C

M

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

Ví dụ 5:(ĐHB10). Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có AB = a, biết góc gữa hai mp(A’BC) và (ABC) là 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A A’BC. Tính thể tích lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC. Lời giải: G' - Gọi M là trung điểm BC thì BC ⊥ ( AMA ') , suy ra B

C

B

Bài tập luyện tập Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 24

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

B'

H

D 60

A

C

I O

a

a 3

B

Đ

ÀN

TO

Lời giải Gọi H là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BD thì A’O ⊥ (ABCD) và

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C'

A'

IỄ N D

D'

10 00

B

TR ẦN

Ví dụ 1(ĐHB11): Cho lăng trụ tứ giác ABCD. A'B'C'D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc gữa (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích lăng trụ và khoảng cách từ B’ đến mp(A’BD).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

b. Thể tích khối lăng trụ xiên Đây là lăng trụ chưa biết đường cao. Đối với lăng trụ này thông thường chúng ta phải xác định được hình chiếu của một đỉnh nào đón lên mặt đáy còn lại hoặc tính được khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

H

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD ' = a 6 . Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ. Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ . Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a .

Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 24a3

N

a3 3 ; S = 3a2 4

Ơ

ĐS: V =

a 3

A ' HO = 600 . Suy ra A ' O = HO.tan 600 = .

2 a 3 2 3a 3 Vậy VABCD. A ' B 'C ' D ' = A ' O.S ABCD = . .a 3 = 2 2

Dễ thấy khoảng cách từ B’ tới mp(A’BD) bằng khoảng cách từ A đến mp(A’BD).

Gọi I là hình chiếu của A lên BD. Ta có  AI ⊥ BD ⇒ AI ⊥ ( A ' BD ) ⇒ d ( A, ( A ' BD ) ) = AI .   AI ⊥ A ' O Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC 1 1 1 4 a 3 . = + = 2 ⇒ AI = 2 2 2 AI AB AD 3a 2 a 3 Vậy d ( B ', ( A ' BD ) ) = .

2

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì

H N Y

U .Q

B

TP

60°

C'

A'

H

B'

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 , AD

10 00

B

TR ẦN

= 7 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600.

Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A’ lên (ABCD) ; M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AD. ⇒ A' M ⊥ AB , A' N ⊥ AD (đl 3 ⊥ ) D'

= 60o A'MH = 45o ,A'NH ⇒

C'

Đặt A’H = x . Khi đó 2x A’N = x : sin 600 = , AN = 3

Ó

A

A'

-H

B'

3 − 4x 2 = HM 3 Mà HM = x.cot 450 = x suy ra x =

D

-L

Ý

AA' 2 − A' N 2 = 2

TO

ÁN

3 − 4x 3 ⇒x= .

3 7

A

Đ

ÀN

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 3. 7.

H M

B

3 =3 7

Bài tập tự giải.

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả cách cạnh đều bằng a và hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ.

D

IỄ N

C

N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

8

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Vậy V = SABC.AH =

a 3

G

4

C

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

SABC = =

A

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3a

AA 'H = 60o ⇒ AH = AA 'sin 600 = 2 2 3a 3 3 a 3

Ơ

N

Lại có

Đs: V =

a3 3 8

Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336 Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 26

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và

2a 3 .Tính thể tích lăng trụ.

3

Ơ

.Q

Ôn tập các kiến thức, công thức cơ bản Rèn kỹ năng tình khoảng cách, và góc.

Tiết 3+4 Tính thể tích khối lăng trụ Tiết 5+6 Rèn phương pháp tính thể tích hình chóp Tiết 7-10 Rèn kỹ năng tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp Chuyên đề đã được tác giả áp dụng cho học sinh các lớp 12A2+12A4. Trong đó lớp 12A2 gồm Khá (60%) + Trung bình (40%); 12A4 Khá (49%) + Trung bình (51%).

Kết quả: Nhìn chung các em học sinh đã không còn cảm giác “sợ hãi” khi gặp bài toán hình không gian. Đối với những em học sinh trung bình thì đã tự tin hơn. Các em có thể giải quyết được 80% bài tập về hình học không gian thuần túy trong các đề thi thử ĐH- CĐ.

V. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục [2] Văn Như Cương, Bài tập Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục [3] Lê Bích Ngọc(CB), Học và ôn tập toán Hình học 11, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Đậu Thế Cấp(CB), Tuyển chọn 400 bài tập toán 12, NXB ĐHQG TP HCM [5] Bộ đề thi ĐH-CĐ từ 2002-2011, BGD&ĐT [6] Tạp chí TH&TT [7] http://math.vn/ [8] http://www.vnmath.com/

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

Tiết 1+2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

IV. KẾT LUẬN Trên đây là nội dung chuyên đề “Phương pháp tính thể tích đa diện”. Chuyên đề dùng cho học sinh lớp 12 (Sau khi đã học xong kiến thức cơ bản chương 1) hoặc học sinh ôn thi đại học. Chuyên đề chủ yếu tập chung vào giải quyết bài toán tính thể tích khối đa diện. Chuyên đề ngoài mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính thể tích khối đa diện mà còn có thể củng cố, rèn luyện thêm các kỹ năng xác định góc và khoảng cách của các đối tượng trong không gian. Từ đó phát triển khả năng quan sát và tư duy trừu tượng giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán hình không gian.

Khi nắm được các kỹ năng này học sinh sẽ tự mình tìm tòi và giải quyết được các bài toán hay và khó hơn trong hình học không gian.

Thời gian dự kiến của chuyên đề là 10 tiết trên lớp và 20 tiết tự học ở nhà. Cụ thể phân phối trên lớp như sau:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3a 3 3 8

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đs: V =

2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'.

U

Y

Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60o .

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.

N

a3 3 4

H

Đs: V =

N

điểm A' cách đều A,B,C biết AA' =

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 27

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

a3 3 2

Ó

A

10 00

B

Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc 30o . a3 3 Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS: AB' = a 3 ; V = 2 Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và

ACB = 60o biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ và ĐS: V = a 3 6 , S =

-H

diện tích tam giác ABC'.

3a 2 3 2

-L

Ý

Bài 9: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 . ĐS: V =

ÁN

Tính thể tích lăng trụ

32a 3 9

TO

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o .

ÀN Đ IỄ N

Đs: V =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

TR ẦN

ĐS: V =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

http://daykemquynhon.ucoz.com

a3 2 16

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.

Tính thể tích của khối hộp chữ nhật.

D

ĐS: V =

N

G

Đ ẠO

Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

H

PHỤ LỤC: BÀI TẬP LÀM THÊM Ở NHÀ I. Thể tích khối lăng trụ Bài 1: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 64 cm3 Bài 2: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 . Tính thể tích khối Đs: V = 8 m3 lập phương Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Đs: V = 0,4 m3 Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là Đs: V = 6 5; 10; 13 . Tính thể tích khối hộp này .

N

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

a3 2 8

Bài 11: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm của ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .

2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o .

3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o. Đs:1) V =

2a 3 6 a3 3 4a 3 3 ;2) V = ;3) V = 9 4 9

Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 28

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o .

2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o .

a3 3 8

Đs: V =

10 00

B

Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.

h3 2 4

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o .

2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o.

3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ. Đs: 1) V = a 3 3 ; 2) V =

a3 3 ; V = a3 3 4

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Bài 20: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o .

2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 .

3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đs: V =

lăng trụ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

Bài 15: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ. Đs: V = 3a3 Bài 16: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = a 3 2 Bài 17: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và BAC = 120o biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

2a 3 2 3

.Q

Đs: V =

hộp chữ nhật.

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Y

N

H

Bài 13: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ . Đs: V = a3 và S = 6a2 Bài 14: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . Tính thể tích

N

a3 3 a3 2 2)V = 16 8

Ơ

Đs: 1)V =

Đs: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V =

16a 3 3

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .

2) Tam giác BDC' là tam giác đều.

3) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450 Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .

H N Y

Đs: 1) S =

a2 3 3a 3 3 2) V = 2 8

10 00

B

Bài 25: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.

1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.

2)

Tính thể tích lăng trụ.

Đs: 1) 30o 2) V =

a3 3 8

Ý

27a 3 4 2

-L

Đs: V =

-H

Ó

A

Bài 26: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên (AA'C'C) và (BB'C'C) hợp với nhau một góc 90o

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

Bài 27: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi, các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o .

1) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.

2) Tính thể tích của hộp. Đs: 1) SACC'A' = a 2 2;SBDD'B' = a 2 . 2) V =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

TR ẦN

Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'.

2)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

Đ ẠO

TP

Bài 23: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây: 1) AB = a 2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o 3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300 Đs: 1) V = 8a 3 2 ; 2) V = 5a 3 11 ; V = 16a 3 Bài 24: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh bên CC' = a hợp với đáy ABC một góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .

1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

3a 3 3 3a 3 2 3a 3 ;V= ; 2) V = 4 8 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đs: 1) V =

U

3) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

a 2

.Q

2) Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng

N

a3 6 ; 2) V = a 3 ; V = a 3 2 2

Ơ

Đs: 1)

V=

a3 2 2

Bài 28: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a.

1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.

2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp. Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 30

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Đs: 1) 60o 2) V =

3a 3 &S = a 2 15 4

H

Ơ

a3 3 48

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

G

Bài 32: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA ⊥ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Đs: V =

H Ư

Tính thể thích khối chóp SABCD.

a3 6 2

TR ẦN

Bài 33 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 4o.Tính thể tích khối chóp SABCD.

Đs: V =

3R3 4

10 00

B

Bài 34 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. Đs: V =

A

2) Tính thể tích khối chóp SABCD .

4h3 9

-H

Ó

Bài 35: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc o

a3 3 Đs: V = 4

-L

Ý

30 .Tính thể tích hình chóp SABCD.

ÁN

Bài 36: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB ⊥ (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o Đs: V =

TO

.Tính thể tích hình chóp SABCD.

8a3 3 9

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

a3 2 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đs: V =

Tính thể tích khối chóp SABCD.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

Bài 30: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA ⊥ (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a ính thể tích khối chóp. Đs: V = 20a3 Bài 31: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và SA ⊥ (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.

N

Đs: V =

N

II. Thể tích khối chóp Bài 29: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA ⊥ (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích Đs: V =

hình chóp SABCD.

a3 5 12

Bài 38: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD .

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Đs: V =

a3 3 2

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 31

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC Bài 39 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ASB = 60o .

N

2) Tính thể tích hình chóp.

a2 3 3 3 a 2 Đs: V = 6 Đs: S =

N

2h3 3

Y

Đs: V =

bằng 60o. Tính thể tích hình chóp.

H

Bài 40 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên

Ơ

1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.

.Q

8a3 3 3

G

a3 3 12

H Ư

V=

9a3 2 .

2

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Bài 43: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng Đs: AB = 3a

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

III. Bài tập tổng hợp Bài 44: Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng a,góc cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ .Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy theo ϕ và tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ .

Bài 45: Cho hình choùp S ABCD, SA ⊥ (ABCD), SA = a, SC ⊥ BD; ñaùy ABCD laø a hình thang vuoâng coù BC = 2a, AD = vaø ñöôøng cao AB = a. M laø ñieåm treân caïnh 2 SA, ñaët AM = x ( 0 ≤ x ≤ a) . Tính ñoä daøi ñöôøng cao DE cuûa tam giaùc BMD. Ñònh x ñeå DE ñaït giaù trò nhoû nhaát.

Bài 46: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành, AB = a , a 3 . Lấy M, N lần lượt là trung điểm các cạnh A’D’, A’B’. Biết 2 AC ' ⊥ mp ( BDMN ) , tính thể tích khối đa diện A’NM.ABD.

TO

ÁN

AA ' =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đs: V =

Tính thề tích hình chóp.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Bài 42: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đs: V =

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Bài 42: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp .

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 47 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a , BC = a 3 , AA ' = 3a . Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt các cạnh CC’ và BB’ tại M và N. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của AM cắt A’C và AN cắt A’B. Chứng minh rằng A’B vuông góc với AN. Tính thể tích khối đa diện ABCHK. Bài 48: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 32

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯƠNG THPT NGUYỄN DUY THÌ - BÌNH XUYÊN - VĨNH PHÚC

N

H

Ơ

a 3 . Lấy M, N lần lượt là trung điểm các cạnh A’D’, A’B’. Biết 2 AC ' ⊥ mp ( BDMN ) , tính thể tích khối đa diện A’NM.ABD.

AA ' =

N

Bài 49: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) và tam giác ABC vuông tại B, AB = a ; o BC = b . Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khối cầu ngoại tiếp hình chop S.ABC. Bài 50: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành, AB = a ,

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

Bài 51: Tính thể tích của khối hộp ABCD. A' B' C ' D ' theo a . Biết rằng AA' B' D' là khối tứ diện đều cạnh a .

Bài 52: Trong không gian cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a , AC = 2a , = 120o . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Hãy chứng minh AA1 = 2a 5 và BAC 1 MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A1BM).

Bài 53: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có AB = BC = 2a , góc ABC bằng 120o. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Bài 54: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có chiều cao bằng h. Góc giữa hai 0 0 đường chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng α (0 < α < 90 ) . Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

Bài 55: Cho hình chop S.ABC,SA=x,BC=y,Các cạnh còn lại đều bằng 1.Với giá trị nào của x,y thì thể tích khối chóp là lớn nhất.

Đào Huy Khánh

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn 33

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial