Chuyên đề NGUYÊN HÀM (Có đáp án chi tiết) - Nguyễn Tất Thu

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM CHƯƠNG 3. NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chuyên đề 1. Tính nguyên hàm bằng cách áp dụng tính chất

 f '(x)dx  f (x)  C .

1.1. Phương pháp: Giả sử ta cần tìm nguyên hàm I 

 g(x)dx

Sử dụng các phép biến đổi của đạo hàm để đưa g(x)  f '(x) . Khi biến đổi, cần lưu ý đến các công thức đạo hàm:  u ' v '  u  v '  u ' v  v ' u  (uv) ' u ' v  v ' u  u     '   v  v2 1.2. Các ví dụ minh hoạ

Ví dụ 3.1.1. Tìm họ nguyên hàm: I

 x sin 2xdx .

Lời giải.  1 '  1  1  Ta có: x sin 2x  x  cos 2x  x '  cos 2x  cos 2x  2   2  2  1 ' 1  1 ' 1      x cos 2x  (sin 2x) '   x cos 2x  sin 2x  2 4  4  2  1 1 x cos 2x  sin 2x  C .

2 4 Ví dụ 3.1.2. Tìm họ nguyên hàm

Do đó: I  

I

2x

 sin 3x.e

dx .

Lời giải.  1   1  ' 3 Ta có: sin 3x.e2x  sin 3x  e2x  '  e2x  sin 3x  e2x cos 3x   2   2 2   '  1  1 2x '  1 2x   9 3 2x        cos 3x  e    e  . cos 3x  '  e2x sin 3x   sin 3x.e       4  2  2  2   2     1 ' 13 2x 3 2x 2x  Suy ra e sin 3x   sin 3x.e cos 3x  e 4 4  2 

Do đó: I 

 4  1 3 2x  e2x cos 3x  C .  sin 3x.e 13  2 4 

Ví dụ 3.1.3. Tìm họ các nguyên hàm I

Lời giải.

Nguyễn Tất Thu

x

2

ln xdx .

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM '  ' 1 3 x3 1 3 1 3   x3    Ta có: x ln x    ln x  (ln x) ' x '   x ln x  x   3   3 3 9 9   

 

2

1 3 1 x ln x  x3  C .

3 9 Ví dụ 3.1.4. Tìm họ nguyên hàm

Do đó: I 

1

I



 1  x  x  1   e x dx .  x 

Lời giải.

1 1 1 1 1  x x  1  x  x  1  x  x 1  x  x   x   x   e e  x 1   e e x Ta có:  x  1   e 2   x  x    x

 '  ' 1  x  1   x  1  x  x e x   x '.e x   xe x         

Do đó: I  xe

x

1 x

 C.

Ví dụ 3.1.5. Tìm họ nguyên hàm I



 1 1     dx .  2 ln x  ln x

Lời giải. ' 1 ln x  1 x ' ln x  x.(ln x) '  x   Ta có:       ln x  ln2 x ln x ln2 x ln2 x x Do đó: I   C. ln x Ví dụ 3.1.6. Tìm họ các nguyên hàm 1  sin x x I  e dx .

1  cos x

1

Lời giải.  2 sin x  cos x  2 x 2 2  x 1  sin x x 1  1  x Ta có: e  e  tan  1 e 1  cos x 2 2  2  2 x cos 2   ' 1  x  1   x  x x 2 x x x x  (1  tan )e  2e tan  2 tan  e  2 e ' tan  2  2 2  2   2  2  

 

'  x  ex tan   2 

Do đó: I  ex tan

x C. 2

1.3. Bài tập.

Bài 3.1.1. Tìm họ các nguyên hàm sau

Nguyễn Tất Thu

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1) I 

 (2x  1) cos xdx

4) I 

 x ln(x  1)dx

7) I 

1  x cot x dx sin x



2) I  5) I  8) I 



2x

 xe 

dx

x 2

sin x

x2  x  1 x e dx (x  1)2

6) I 

dx

9) I 

3x

3) I 



 cos 2x.e

 x ln

2 ln x  1 2

ln x

2

dx

xdx

xdx 10) I 



Hướng dẫn giải Bài 3.1.1.

1) Ta có: (2x  1) cos x  (2x  1)(sin x) ' (2x  1) ' sin x  2 sin x

 (2x  1) sin x ' 2(cos x) '  (2x  1) sin x  2 cos x '

Do đó: I  (2x  1) sin x  2 cos x  C . 1  1  1 1  1 1  1 2) Ta có: xe2x  x  e2x  ' x '.  e2x   e2x   xe2x  ' e2x '   xe2x  e2x  ' 4 2  2  2 2  4 2 

 

Do đó I 

1 2x 1 2x xe  e  C .

2 4 3x

3) Ta có: cos 2x.e

' 1 ' 3x 1 3    sin 2x e  sin 2x e3x  sin 2x.e3x   2 2 2

 

 ' ' 1 ' 3x 1 3  1 9 3x  3x  3x    sin 2x.e    cos 2x .e  cos 2x. e   cos 2x.e  2   4 2  2  2   

 

Suy ra

1 ' 13 3 cos 2x.e3x   sin 2x.e3x  cos 2x.e3x  4 4 2 

Vậy I 

1 3 sin 2x.e3x  cos 2x.e3x  C .

2 4

 1 2 ' ' 1 1 x2 4) Ta có: x ln(x  1)   x  . ln(x  1)  x2 ln(x  1   2  2 2 x 1 1 2 ' 1  1      x ln(x  1)   x  1  x  1  2  2 

Vậy I 

 1 2 1 1 x ln  x  1   x2  x  ln(x  1)  C .

2 2  2  x

'

'

 x. cot x  x ' cot x  cot x  x cot x  sin x sin2 x Suy ra I  x cot x  ln sin x  C .

5) Ta có:

 1 2 ' 2 1 6) Ta có: x ln x   x  ln x  x2 ln2 x ' x ln x 2  2 



2



   1 2 2 '  1 2 ' ' 1 2 1     x ln x   x  ln x  x ln x    x  2  2 2   2   

Nguyễn Tất Thu

Page 3

'

sin x

dx 3

3 4

(1  x )

.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM ' 1 2 2 1 2 1 2     x ln x  x ln x  x  2 4  2

Vậy I 

1 2 2 1 1 x ln x  x2 ln x  x2  C .

2 2 4

x ' sin x  x. sin x  '  x ' 1  x cot x sin x  x cos x      2 2  sin x  sin x sin x sin x x Do đó I  C. sin x

7) Ta có:

x2  x  1 x xex (x  1)(ex ) ' (x  1) ' ex e  ex   ex  (x  1)2 (x  1)2 (x  1)2

8) Ta có:

'

 

 e

Suy ra I  ex  9) Ta có: Vậy I 

x

 x '  ' ex   e   x    e     x  1   x  1  

ex C. x 1

2 ln x  1 ln2 x

x

2x ln x  x ln2 x



(x 2 ) ' ln x  x 2 (ln x) ' ln2 x

x2  C. ln x 3

10) Ta có:

1 3

(1  x3 )4





Vậy I 

 2 ' x      ln x   

x 3

1 x

3

1  x3  x3 3

3

(1  x3 )2 . (1  x3 )2



3 ' 3 x '. 1  x3  x.  1  x3    3

(1  x3 )2

1  x3  3

x3 3

(1  x3 )2

(1  x3 )2

 '  x  .     3 1  x3 

C.

Chuyên đề 2. Nguyên hàm I 



P(x) dx Q(x)

2.1. Phương pháp giải Sử dụng các phép biến đổi đưa về các nguyên hàm cơ bản sau dx 1 du  ln ax  b  C  ln u  C     ax  b a u dx 1 1 1   C với n  2   n  1 a (ax  b)n1 (ax  b)n

Nguyễn Tất Thu

Page 4

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 



dx 2

2



1 x arctan  C . k k

x k 2.2. Các ví dụ minh hoạ

Ví dụ 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau I



2x2  x  1 dx . x 1

Lời giải.

Ta có: 2x2  x  1  2(x  1)2  3(x  1)  2  2   dx  x2  x  2 ln x  1  C .

Suy ra I   2x  2  3  x  1   Chú ý: Cho f (x) là đa thức bậc n . Khi đó: f (x) 

f (n) (x0 ) n!

(x  x0 )n  ... 

f '(x0 )

Trong đó f (k) (x0 ) là đạo hàm bậc k của hàm số f tại x0

1!

(x  x0 )  f (x0 )

Ví dụ 3.2.2. Tìm họ các nguyên hàm I



x2  3x  1 (x  1)4

dx .

Lời giải.

Ta có: x2  3x  1  (x  1)2  (x  1)  3   1 1 1 1 3  dx   1   C.   Suy ra I    2 2 3 4 x  1 2(x  1) (x  1)3 (x  1) (x  1)   (x  1) Chú ý: Để giải bài trên, ta có thể thực hiện phép đổi biến số bằng cách đặt t  x  1 Suy ra x  t  1  dx  dt 1 (t  1)2  3(t  1)  1 t2  t  3 1 3 I  dt   dt       dt  t 2 t 3 t 4  t4 t4 1 1 1 1 1 1    C    C. t 2t 2 t 3 x  1 2(x  1)2 (x  1)3 Ví dụ 3.2.3. Tìm họ các nguyên hàm sau I



x3  (x  1)3 (2x2  2x  1)3

Lời giải.

Ta có: x3  (x  1)3  2x3  3x2  3x  1  (2x  1)(x2  x  1) Đặt t  2x2  2x  1  dt  (4x  2)dx  2(2x  1)dx 1 t 1 1 1 1 1 1 Suy ra I   dt      dt    C 3 2 3 4 4  t 4t 8t 2 t t  1 1   C. 2 2 4(2x  2x  1) 8(2x  2x  1)2 Ví dụ 3.2.4. Tìm họ các nguyên hàm

Nguyễn Tất Thu

Page 5

dx .

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM I

3x2  x  1



x2  5x  6

dx .

Lời giải.

  3  16x  17  dx   x2  5x  6  Ta phân tích 16x  17  a(x  2)  b(x  3) Cho x  2, x  3 ta tìm được a  31, b  15  31 15   dx  3x  31 ln x  3  15 ln x  2  C .  Suy ra I   3  x  3 x  2  

Ta có: I 

Ví dụ 3.2.5. Tìm họ các nguyên hàm sau I

3x  4



x3  4x

dx .

Lời giải.

Ta phân tích: 3x  4  ax(x  2)  bx(x  2)  c(x  2)(x  2) 4  4c  5 1  a   ,b  ,c  1 Cho x  0, x  2, x  2 ta có được: 2  8b  4 4 10  8a  5 1 1 1 1 5 1    dx   ln x  2  ln x  2  ln x  C .

Suy ra I    4 4  4 x  2 4 x  2 x  Ví dụ 3.2.6. Tìm họ nguyên hàm I



dx 2

(x  1)2

.

Lời giải.

Ta có:

1

1  2 4

 x2  1

 2  1 1 2 1 (1  x)  (1  x)      4  (1  x)2 (1  x)(1  x) (1  x)2  (1  x)2 (1  x)2

 1  1 1 1 1     4  (1  x)2 1  x 1  x (1  x)2  1 1 1 x 1   ln  C. Suy ra I   4  x 1 1 x x  1  Ví dụ 3.2.7. Tìm họ các nguyên hàm sau 2x  3 I  dx . x3  1 

Lời giải.

Ta có: 2x  3  (ax  b)(x  1)  c(x 2  x  1) 1  3c  1 8 1  c  ,b  ,a   Cho x  1, x  0, x  1  3  b  c  3 3 3 5  2a  2b  c

Nguyễn Tất Thu

Page 6

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1 dx 1 x8 1 1 2x  1 5 dx  dx  ln x  1    3  x  1 3  x2  x  1 3 6 x2  x  1 3  x2  x  1 1 1 5  ln x  1  ln x2  x  1  J 3 6 3 dx 1 1 2x  1 2 2x  1  4. . C  C. . arctan . arctan Ta có: J  4  2 2 3 3 3 3 (2x  1)  3

Do đó: I 

Ví dụ 3.2.8. Tìm họ các nguyên hàm sau I



(x  1) cos x  x sin x dx . cos x  x sin x

Lời giải.

cos x  x sin x ' (x  1) cos x  x sin x x cos x 1 1 cos x  x sin x cos x  x sin x cos x  x sin x Suy ra I  x  ln x sin x  cos x  C .

Ta có:

Ví dụ 3.2.9. Tìm họ nguyên hàm I

Lời giải.

Ta có:

1

4

x 4



1 2

2

(x  2)  4x

2





dx 4

x 4

.

1 2

(x  2x  2)(x2  2x  2)

Ta phân tích: 1  (ax  b)(x2  2x  2)  (cx  d)(x2  2x  2)   ac 0    1 1 1 2a  b  2c  d  0 Đồng nhất hệ số ta có:   a   ,b  d  ,c   8 4 8 a  bcd  0      2b  2d  1 1 1 x2 1 x2 Suy ra   8 x2  2x  2 8 x2  2x  2 x4  4 

Suy ra I 

1 x 1 1 x 1 1 1 1 1    .

2 2 2 8 x  2x  2 8 x  2x  2 8 (x  1)  1 8 (x  1)2  1

1 x2  2x  2 1  ln  arctan(x  1)  arctan(x  1)  C .

2 8 x  2x  2 8

Ví dụ 3.2.10. Tìm họ nguyên hàm I



dx x6  1

.

Lời giải.

Ta có: Mà:



1 x6  1 x2 x6  1



x2  1  x2 (x2  1)(x4  x2  1)

dx 

Nguyễn Tất Thu



1 x4  x2  1



x2 x6  1

1 d(x3 ) 1  arctan(x3 )  C .  3 x6  1 3

Page 7

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1 4

2

x  x 1



1 2

2

(x  1)  3x



2



1 2

(x  3x  1)(x2  3x  1)







Ta phân tích: 1  ax  b x2  3x  1  cx  d  x2  3x  1

a  c  0  a 3  b  c 3  d  0 1 1 1 ,b  d  ,c   a Đồng nhất hệ số ta có:  . a  b 3  c  d 3  0 2 2 3 2 3  b  d  1 1

Suy ra

4

2

x  x 1





1

x 3 2

2 3 x  3x  1

1

2x  3





4 3 x2  3x  1

1

x 3 2

2 3 x  3x  1

1

2x  3

4 3 x2  3x  1



Do đó:



dx 4

2

x  x 1

Vậy I 



1 4 3

ln

x2  3x  1 2

x  3x  1



 1  1 1   4  x2  3x  1 x2  3x  1 

1  arctan(2x  3)  arctan(2x  3)  C 2

1 1 x2  3x  1 1   arctan(2x  3)  arctan(2x  3)  C . arctan(x3 )  ln 2  3 4 3 x  3x  1 2 

Ví dụ 3.2.11. Tìm họ nguyên hàm I

Lời giải.

Ta có:



x4  x2  1 x6  1

x2 6

x 1

J



dx 

1 3

2

x 1 x4  x2  1

Vậy I 



x4  1 x6  1



x2 x6  1



x2  1



x4  x2  1 x6  1



dx .

x2

x4  x2  1 x6  1 d(x3 ) 1  1 1  1 x3  1 d(x3 )  ln      C'  6 (x3  1)(x3  1) 6  x3  1 x3  1  x3  1

1

dx 



1

x2 dx  2   1  x    3  x



 1 d  x    x 

2  x  1   3 x  



1 3

arctan

1 x3  1 1 x2  1 ln  arctan  C. 6 3 x 3 x3  1

Ví dụ 3.2.12. Tìm họ nguyên hàm I



x2  1 (x2  3x  1)(3x2  5x  3)

Lời giải.

Nguyễn Tất Thu

Page 8

dx .

x2  1 x 3

 C"

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1

Ta có: I 



x2

   x  1  3 3(x  1 )  5    x x  

Suy ra I 

dx

 1 1   dx  dx  1   x x2 

Đặt t  x 



1

 3 1  1 3t  5    3t  5  t  3  dt  4 ln t  3  C

dt 1   (t  3)(3t  5) 4



1 3x2  5x  3 ln  C. 4 x2  3x  1

2.3. Bài tập Bài 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 1) I 



4) I 

7) I 

2x2  3x  1 dx x2 3x  4

 

10) I 

13) I 

x2  3x  2

5) I 

dx

 x 2    x  1 





16) I 



19) I 



22) I 

2) I 



8) I 

dx x 3  2x

dx x(1  x)(1  x  x2 ) x3  x2  4x  1 x4  x3

x4dx 2

(x  1)

2

dx

x(x3  8)(x4  8x  2)

x2  5x  4

1 2

dx

dx 12) I  4 2 x  2x  1 0





x2  x  1 x3  3x  2

dx

x2dx

6

3

x(x  3x  2)

23) I 







dx

dx

x4  x2  1



x3 x4  2x2  1

dx

(x  1)dx x4  4x3  6x2  4x  2



x4  2x3  x2  2x  1

Page 9

(x  1)5

(1  5x)5

x2  1

Bài 3.2.1.

x

(x  1)3



21) I 

dx



dx

dx

15) I 

18) I 

(x6  4)2

x3  1

(x  2)2

9) I 

2x4



x2  2x  3

6) I 

Hướng dẫn giải.

Nguyễn Tất Thu



dx

(2x3  3x2  1)3

17) I 



3) I 

x2  x

14) I 

20) I 

(x3  2)dx

x3  3x  2





11) J 



x3  1 dx x 1

dx 6

x(x  1)2 dx

24) I 



x2  1 x4  x2  1

dx .

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1) Ta có: I 

2) Ta có: I 



3) Ta có: I 



4) Ta có: I 



1 

 2x  1  x  2  dx  x 

x3  1  2 dx  x 1

 (x

2

2

 x  ln| x  2| C

 x 1

2 )dx x 1

x3 x2   x  2 ln| x  1| C .

3 2



(x  2)2  2(x  2)  3 (x  2)2  

2

dx



3

3

 1  x  2  (x  2)2  dx  x  2 ln| x  2| x  2  C . 

3x  4 dx (x  1)(x  2)

Ta xác định a, b sao cho: 3x  4  a(x  1)  b(x  2)  (a  b)x  a  2b a  10 a  b  3     b  7 a  2b  4

I



10(x  1)  7(x  2) dx  (x  1)(x  2)

 10

7 

  x  2  x  1 dx

 10 ln| x  2| 7 ln| x  1| C .

5) Ta có:

x3  3x  2 x2  5x  4

 x5

18x  22 x2  5x  4

50 4 (x  1)  (x  4) 50 1 4 1 3  x5 3  x5  (x  1)(x  4) 3 x  4 3 x 1 I





   x  5  50 1  4 1  dx  3 x  4 3 x  1 

x2 50 4  5x  ln| x  4|  ln| x  1| C .

2 3 3

6) Ta có: I 



x 11 (x  1)5 

7) Ta có: I 



du  4

 (x  1)



  1 1   d(x  1)    4 5  (x  1) (x  1) 

d(x  1)   (x  1)5 d(x  1)  

x2 (x  1)2

Nguyễn Tất Thu

Page 10

1 3

3  x  1



1 4(x  1)4

C.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Đặt t  x  1  x  t  1  dx  dt I



(t  1)2

dt 

t2



  1  2  1  dt  t  2 ln t  1  C   t t 2  t

 x  1  2ln x  1 

1 C. x 1

8) Đặt t  2x3  3x2  1  dt  6(x2  x)dx I

1 dt 1 1 1 1   C  6 t3 18 t 2 18 (2x3  3x2  1)2

9) Ta có: I 

I

 x  1 3   1  5x 



dx (1  5x)

. Đặt t 

2

x 1 6dx  dt  1  5x (1  5x)2

4 1 t4 1  x  1  3     C. t dt C  6 24 24 1  5x 

10) I 



dx 3

x  2x

Khi đó: I 







1 Đặt t  x2  2  dt  2xdx hay xdx  dt 2 x2  2 x2 xdx





1   dt 1 t  t  2 1  1 1  1 t2 2 dt    dt   dt  ln   C  4  t  2 t  4 t t t  2 4 t t  2  



1 x2 ln C. 4 x2  2

   4x2  2   dx dx   2  11) J    4 2 2 2  x  2x  1 x  1 x  1          1  3 1 3 1  dx 1      2 2   2  x  1 x 1  x  1 x  1  1 1 1  C .  1  3 ln x  1   3 ln x  1  2  x 1 x  1  2x4

12) Ta có: I 



dx 2

2

(x  1)  x

2





dx 2

(x  x  1)(x2  x  1)

1  (ax  b)(x2  x  1)  (cx  d)(x2  x  1)  (a  c)x3  (a  b  c  d)x 2  (a  b  c  d)x  b  d a  c  0  a  b  c  d  0 1 1 1   b  d  ,a  ,c   . a  b  c  d  0 2 2 2  b  d  1

Nguyễn Tất Thu

Page 11

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Suy ra : I 

1 4

 2x  2 2x  2     dx  2  x  x  1 x2  x  1 

        1 2x  1 1 2x  1 1        dx  4  x2  x  1  2 2 x2  x  1    x  1   3  x  1   3      2  4 2  4     1 x2  x  1 2 2x  1 2 2x  1    ln  arctan  arctan  C. 4  x2  x  1 3 3 3 3   13) Ta có:  1  x2  x  1  (x2  x) 1  dx I  dx     2 2 2 2    (x  x)(x  x  1) x  x x  x  1

 ln

x 2 2x  1  arctan C. x 1 3 3

14) Ta có: x3  3x  2  (x  1)2 (x  2) 2 1 Và x2  x  1  (x  1)(x  2)  (x  2)  (x  1)2 3 3 2 1 1 Nên I  ln x  1   ln x  2  C .

3 x 1 3 1 tdt 1 15) Đặt t  x2  xdx  dt . Suy ra I   2 t 2  2t  1 2 I

1 1 ln x2  1   C. 2 2 x 1

16) Ta có : x3  x2  4x  1  (x  1)  3x(x  1)  2x2 (x  1)  x 3 1 3 Nên I    2 ln x  ln x  1  C .

2 x 2x 1 17) Đặt t  x3  x2dx  dt 3

Suy ra I 

  1 dt 1  2x3 1 x3  2    C .    ln  3  (t 2  4)2 48  x6  4 2 x3  2 

18) Ta có : x4  4x3  6x2  4x  2  (x2  2x  1)2  3 Đặt t  x2  2x  1 I

1 dt 1 x2  2x  1  3  ln C. 2  t2  3 4 3 x2  2x  1  3

u  x3 du  3x2dx     19) Đặt  xdx 1 dv  v   2 2 2   (x  1) 2(x  1)   I

x3 2

2(x  1)



3 1 (1  )dx 2 2 x 1

Nguyễn Tất Thu

Page 12

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 

x3 2(x2  1)



3  1 x  1    C .  x  ln 2  2 x  1 

1 t 1 1 t 1 dt   dt 20) Đặt t  x3  I   2 3 t(t  3t  2) 3 t(t  1)(t  2) 3 1 t  1   t(t  1)  (t  1)(t  2)  2t(t  2) 2 2 1 1 2 Suy ra I   ln x3  2  ln x3  ln x3  1  C .

2 6 3 1 dt 1 1 1 1       21) Đặt t  x6  I    dt 6 t(t  1)2 6  t t  1 (t  1)2 

Suy ra I 

1 x6 1 ln  C. 6 x6  1 x6  1

1 22) Đặt t  x4  8x  dt  (x3  2)dx 4

Suy ra I 

1 dt 1 x4  8x ln  C. 4  t(t  2) 8 x4  8x  2 1

23) Ta có : I 



dt



t 2  2t  3

1

24) Ta có : I 

Đặt t  x  Suy ra I 



x2

1 1 (x  )2  2(x  )  3 x x

1 I x

Đặt t  x 

1

x2 



1 x2  x  1 ln  C. 4 x2  3x  1

1 x 1

1

2

x2

dx

dx 

1

1

x2 dx . 2 1  x    3  x



 1 1   dx  dt  1   x x2 



dt t2  3



1 3

arctan

t 3

C

1 3

arctan

x2  1 3x

C.

TỔNG KẾT Bài toán: Tìm nguyên hàm I 



P(x) dx , trong đó P(x) , Q(x) là hai đa thức và deg(Q)  deg(P) .

Q(x)

Trường hợp 1: Q(x)  (ax  b)m a) Với dạng: I 



b) Với dạng: I 



Nguyễn Tất Thu

dx (ax  b)m P(x) (ax  b)m

, ta có: I  

1 (m  1)a(ax  b)m1

dx ta phân tích

Page 13

C

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM P(x)  a n (ax  b)n  ...  a1 (ax  b)  a 0 .

Suy ra: I  



 n  ai   dx    m i i0 (ax  b) 

n

ai



i 0 a.(m  i  1)(ax  2

b)mi1

C.

Trường hợp 2: Q(x)  ax  bx  c . a) Với dạng I 



dx 2

ax  bx  c

ta có các trường hợp sau

Khả năng 1: Nếu   b2  4ac  0 , khi đó ta luôn có sự phân tích : b ax2  bx  c  a(x  )2 .

2a dx 1 dx 1 1 I     C b 2 b 2 b a a a(x  ) (x  ) x 2a 2a 2a Khả năng 2: Nếu   0  ax2  bx  c  a(x  x1 )(x  x2 ) .

Ta có: k 

k (x  x )  (x  x ) 1 2  x2  x1 

x  x2 1  k C ln  dx     x x x x x x  2 1 2 1 1   b Khả năng 3:   0  ax2  bx  c  a (x  )2  m2    2a  

Suy ra: I 

Với m 

k x2  x1

 4a

2

 

1

  x  x



. Để tìm I ta thực hiện phép đặt x 

b) Với dạng I 

b  m tan t .

2a

mx  n

dx ta biến đổi như sau ax2  bx  c m mb . Khi đó mx  n  (2ax  b)  n  2a 2a m 2ax  b mb dx I dx  (n  ) 2a  ax2  bx  c 2a  ax2  bx  c



m mb dx ln ax2  bx  c  (n  ) 2 2a 2a ax  bx  c dx Nguyên hàm  ta vừa nêu cách tìm ở trên. ax2  bx  c P(x) c) I   dx với P(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2 2 ax  bx  c Với dạng này ta thực hiên phép chia đa thức mx  n .

P(x)  g(x)  ax2  bx  c 

Trường hợp 3: Q(x)  (ax2  bx  c)k

Nguyễn Tất Thu

Page 14

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM a) Với dạng: I 



dx (ax2  bx  c)k

Khả năng 1:   0  ax2  bx  c  a(x  x1 )(x  x2 ) 1

(x  x )  (x  x ) k 1 2   (x2  x1 )k

Ta phân tích: 1 

k

1



k

 (1)i Cik (x  x1 )ki (x  x2 )i

(x2  x1 ) i1 Thay vào ta tìm được I .

Khả năng 2:   0  ax2  bx  c  a(x  Suy ra: I 

1 a

k

b 2 ) 2a

dx 1 1  C. k b a (2k  1) (x  b )2k 1 (x  )2k 2a 2a



Khả năng 3:   0  ax2  bx  c  a(t 2  m2 ) Trong đó t  x 

b ,m  2a



Để tính nguyên hàm: b) Với dạng: I 



 4a 2 dt

(t 2  m2 )k mx  n

(ax2  bx  c)k m mb mx  n  (2ax  b)  n  2a 2a

Suy ra: I 

m 2a



c) Với dạng: I 

d(ax2  bx  c) 2

(ax  bx  c) P(x)



k

ta đổi biến t  tan u . dx ta phân tích

 (n 

(ax2  bx  c)k

mb dx ) 2 2a (ax  bx  c)k

dx

Ta biểu diễn: P(x)  a n (ax2  bx  c)n  ...  a1 (ax2  bx  c) x   với deg P  2n

Hoặc P(x)  a n (tx  l)(ax2  bx  c)n  ...  a1 (ax2  bx  c) x   với deg P  2n  1 Trường hợp 4: Q(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2 a) Nếu Q(x) có m nghiệm phân biệt x1 , x2 , .., x m , ta có

Q(x)  (x  x1 )(x  x 2 )...(x  x m ) .

Ta phân tích: P(x) 

m

 a i (x  x1 )...(x  xi1 )(x  xi1 )..(x  xn )

i1

Thay lần lượt x bằng các giá trị x i vào đẳng thức trên ta tìm được P(x i ) ai  , i  1, m . m

 (x  x j ) j1 j i

Nguyễn Tất Thu

Page 15

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Khi đó: I 



 m a  m  i  dx     a i . ln x  xi  C .  i1 x  x i  i1

b) Trong trường hợp tổng quát ta phân tích Q(x)  u k .v t .w h , trong đó u, v, w là các nhị thức bậc nhất hoặc các tam thức bậc hai có biệt thức delta âm. k  a .(u ') t  b .(v ') b2 j  a  P(x)  1j      1i  2i      Biểu diễn: i  j j   Q(x) i1  u i  u v u  j1  h  c .(w ') c     1l  2l  . l  w l  l1  w

Sử dụng phương pháp hệ số bất định để xác định các hệ số a1i , a 2i , b1j , b2 j , c1l , c2l . m  n Lưu ý: Hai đa thức a n xn  ...a1 x  a 0  bm x m  ...  b1 x  b0 x   . a  b , i  1, n i  i

Chuyên đề 3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Nguyên hàm cơ bản 1



 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C







 tan xdx   ln cos x  C

dx 2

sin (ax  b)



1 cot(ax  b)  C a

1



 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C







dx 2

cos (ax  b)



1 tan(ax  b)  C a

 cot xdx  ln sin x  C .

Sử dụng phép đổi biến số để chuyển tích phân hàm lượng giác về tích phân hữu tỉ.

Ví dụ 3.3.1. Tìm họ các nguyên hàm I

 (8 sin

4

x  2 cos 5x sin 3x)dx .

Lời giải.

2

Ta có: 8 sin4 x  2 1  cos 2x  2  4 cos 2x  2 cos2 2x  3  4 cos 2x  cos 4x và

2 cos 5x sin 3x  sin 8x  sin 2x

Suy ra: I  3x  2 sin 2x 

1 1 1 sin 4x  cos 8x  cos 2x  C .

4 8 2

Ví dụ 3.3.2. Tìm họ các nguyên hàm I

 8 cos

3

Lời giải.

Nguyễn Tất Thu



2x  sin5 x dx .

Page 16

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ta có: 8 cos3 2x  2 cos 6x  3 cos 2x 

 sin

5

xdx 

 1  cos

 cos x 

Vậy I 

2

x

2



d(cos x) 

 8 cos

3

2xdx 

 1  2 cos

2

1 sin 6x  3 sin 2x  C ' 3



x  cos4 x d(cos x)

2 1 cos3 x  cos5 x  C " .

3 5

1 2 1 sin 6x  3 sin 2x  cos x  cos3 x  cos5 x  C .

3 3 5

Ví dụ 3.3.3. Tìm họ các nguyên hàm I

 tan

4



x  2 tan3 x dx .

Lời giải.

Ta có:

 tan

4

xdx  

 tan

3

Vậy I 

 tan

xdx  

 tan 2

2

x(tan2 x  1)dx   (tan2 x  1)dx   dx

xd(tan x)   d(tan x)   dx 

 tan x(tan

2

1 tan 3 x  tan x  x  C ' .

3

x  1)dx   tan xdx 1

 tan xd(tan x)   tan xdx  2 tan

2

x  ln cos x  C " .

1 1 tan3 x  tan2 x  tan x  ln cos x  x  C .

3 2

Ví dụ 3.3.4. Tìm họ các nguyên hàm I



sin 2x sin x 2 cos2 x  3 sin x

dx .

Lời giải.

Ta có: I  

2 sin2 x cos x.dx 2 sin2 x  3 sin x  2

Đặt t  sin x  dt  cos xdx Suy ra : I  

2t 2dt

  3t  2  dt   1   (t  2)(2t  1)   2t 2  3t  2

 1 8  1 8  dt  t    1   ln 2t  1  ln t  2  C   5(2t  1) 5(t  2)  10 5   sin x 

Nguyễn Tất Thu

1 8 ln 2 sin x  1  ln sin x  2  C .

10 5

Page 17

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ví dụ 3.3.5. Tìm họ các nguyên hàm: I

sin 4x



4 sin2 x  3 cos2 x

dx .

Lời giải.

Ta có: I 

2 sin 2x cos 2x



4 sin2 x  3 cos2 x

dx

Đặt t  4 sin2 x  3 cos2 x  t 2  2(1  cos 2x)  Suy ra cos 2x 

Do đó: I 



3 1 (1  cos 2x)  1  7 cos 2x  2 2

1 4 1  2t 2  2 sin 2xdx  tdt 7 7





1 4 (1  2t 2 ) tdt 4 4  2 3  2 7 7  (1  2t )dt  t  t C  t 49  49  3 



 4  2 2 2  4 sin x  3 cos x  49  3 

Ví dụ 3.3.6. Tìm họ nguyên hàm: I 





4 sin2 x  3 cos2

3

   C . 

dx cos3 x

.

Lời giải.

Ta có: I 



Suy ra I 



cos xdx 2

1  sin2 x

1   4

dt (1  t 2 )2



. Đặt t  sin x  dt  cos xdx



dt (1  t)2 (1  t)2 2

  1 1  t  1  t  dt   2 2 4 (1  t) (1  t)

 2 1   1     dt  (1  t)2 (1  t)(1  t) (1  t)2 

 1 1 1 1      dt  2 1  t 1  t (1  t)2   (1  t)



1 4



1  1 1 1  t     ln C  4  t 1 t 1 1  t 



1  1 1 1  sin x     ln C. 4  sin x  1 sin x  1 1  sin x 

Nguyễn Tất Thu

Page 18

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ví dụ 3.3.7. Tìm họ nguyên hàm I



sin xdx 3

sin x  2 cos x

.

Lời giải.

Ta có: I 

sin xdx



3

cos3 x tan x  2

Đặt t  tan x  2  dt  Suy ra I 



t2 t

3

dt 



tan xdx



3

cos2 x  tan x  2

dx cos2 x 1

2 

1

1

1

1

  t2  t3  dt   t  t2  C   tan x  2  (tan x  2)2  C .

Ví dụ 3.3.8. Tìm họ các nguyên hàm I

Lời giải. Ta có cos 2x 

1  tan2 x 1  tan2 x



nên I 



tan4 xdx . cos 2x







tan4 x 1  tan2 x dx 1  tan2 x

.



Đặt t  tan x  dt  1  tan2 x dx Suy ra I 

t 4dt

 1  t2



 

t4  1  1 t2  1

 1 1 1 1   dt  dt   t 2  1   2 t  1 2 t  1 

t3 1 t 1 tan3 x 1 tan x  1  t  ln C  tan x  ln C. 3 2 t 1 3 2 tan x  1

Ví dụ 3.3.9. Tìm họ nguyên hàm I



x sin x cos3 x

dx .

Lời giải. u  x du  dx   Đặt  sin xdx d(cos x)   1 1 dx  dv  v  2 .

3 3 cos x cos x cos2 x  

Suy ra : I 

1 x 1 dx 1 1    x 1  tan2 x  tan x  C .

2 cos2 x 2 cos2 x 2 2





Ví dụ 3.3.10. Tìm họ các nguyên hàm sau:

Nguyễn Tất Thu

Page 19

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM I



1  x cos x sin2 x

dx .

Lời giải.

Ta có: I 



Mặt khác:



dx sin2 x



dx  sin x

Do vậy I   cot x 



xd(sin x) sin2 x

d(cos x) 2

cos x  1

  cot x 



x dx  sin x sin x

1 1  cos x x ln  C  ln tan  C .

2 1  cos x 2

x x  ln tan  C . sin x 2

Ví dụ 3.3.11. Tìm họ nguyên hàm: I



cos x  8 sin x  9 dx . cos x  2 sin x  3

Lời giải.

Ta có: cos x  8 sin x  9  2 2 cos x  sin x  3 cos x  2 sin x  3 Nên I 



2d(cos x  2 sin x  3)  3 dx cos x  2 sin x  3

 2 ln cos x  2 sin x  3  3x  C .

Ví dụ 3.3.12. Tìm họ các nguyên hàm I



5 sin x  10 cos x  4 dx .

2 cos x  sin x  1

Lời giải.

Ta phân tích: 5 sin x  10 cos x  4  a(2 cos x  sin x  1)  b(2sinx  cos x)  c  (a  2b) sin x  (2a  b) cos x  a  c a  2b  5   2a  b  10  a  3, b  4, c  1 .  a  c  4

I



  1 3  4 2 sin x  cos x   dx  2 cos x  sin x  1 2 cos x  sin x  1 

 3x  4 ln 2 cos x  sin x  1  J

Nguyễn Tất Thu

Page 20

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Tìm J 



dx ?

2 cos x  sin x  1

Đặt t  tan

2t 1  t2 x 2dt và sin x  , cos x   dx  2 1  t2 1  t2 1  t2

Suy ra : 2 cos x  sin x  1  Do đó: J  2

dt t 2  2t  3

t 2  2t  3 1  t2 

1 t3 1  ln  C  ln 2 t 1 2

1 (t  3)  (t  1) dt 2  (t  1)(t  3) x 3 2  C. x tan  1 2

tan

1 Vậy I  3x  4 ln 2 cos x  sin x  1  ln 2

x 3 2 C. x tan  1 2

tan

TỔNG HỢP Bài toán 1: Tìm nguyên hàm I 

 R(sin x, cos x)dx .

Tổng quát: Để tìm nguyên hàm dạng trên ta thực hiện phép đổi biến số t  tan

sin x 

2t 1  t2

, cos x 

1  t2 1  t2

.

Thay vào ta được một nguyên hàm của hàm số hữu tỉ.

Trong một số trường hợp riêng ta có một số phương pháp giải khác a) I 



a1 sin x  b1 cos x  c1

a 2 sin x  b2 cos x  c2

TH 1: I 



dx

dx a 2 sin x  b2 cos x  c2

Ta thực hiện phép đổi biến t  tan TH 2: I 



a1 sin x  b1 cos x

a 2 sin x  b2 cos x

x .

2

dx

Ta phân tích: a1 sin x  b1 cos x  A(a 2 sin x  b2 cos x)  B(a 2 cos x  b2 sin x)

Nguyễn Tất Thu

Page 21

x 2dt   dx và 2 1  t2

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM a A  b B  a 2 1 Với A, B thỏa:  2 . b A  a B  b 2 1  2

Khi đó: I  Ax  B ln a 2 sin x  b2 cos x  C .

TH 3: I 



a1 sin x  b1 cos x  c1

a 2 sin x  b2 cos x  c2

dx

Ta phân tích: a1 sin x  b1 cos x  c1  A(a 2 sin x  b2 cos x  c2 )  B(a 2 cos x  b2 sin x)  C . Aa  Bb  a 2 1  2   Ab2  Ba 2  b1 . Khi đó:  Ac2  C  c1  dx .

I  Ax  B ln a 2 sin x  b2 cos x  c2  C  a 2 sin x  b2 cos x  c2

b) Một số trường hợp đổi biến  Nếu R( sin x, cos x)  R(sin x, cos x) ta đặt t  cos x  Nếu R(sin x,  cos x)  R(sin x, cos x) ta đặt t  sin x  Nếu R( sin x, cos x)  R(sin x,  cos x)  R(sin x, cos x) ta có thể sử dụng công thức hạ bậc hoặc đặt t  tan x ( hoặc t  cot x ).

Bài toán 2: Tìm họ nguyên hàm I 

 f (tan x)dx (hoặc I   f (cot x)dx ).

Để tìm nguyên hàm dạng này ta có thể đặt t  tan x ( t  cot x ) và chuyển về bài toán tìm nguyên hàm: I 

f (t)dt

 1  t2 .

3.3. Bài tập.

Bài 3.3.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 1

2



x)dx

2) I 

 2 sin

3x)dx

4) I 

 cos

x sin2 xdx

6) I 

 tan

5 sin x  2 sin 2x dx cos 2x  6 cos x  5

8) I 



1) I 

 (3 sin x  sin2 x  tan

3) I 

 (2 sin x. cos 4x  4 sin

5) I 

 2 tan

7) I 



2

Nguyễn Tất Thu

3

Page 22

2

x

4

2xdx

3

xdx

tan x cos3 x

dx .

 1  dx 1  cos 2x 

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 9) I 

cos xdx



(sin x  2 cos x)3

11) I 



13) I 



15) I 

sin 2xdx x 6 sin2  sin2 x 2 dx 3

cos x

sin 2x  3 cos x

 1  3 1  2 sin x

dx

10) I 



12) I 



14) I 



16) I 

tan4 x dx cos 2x dx  cos x.sin(x  ) 6 dx 2

2 sin x  3 sin 2x  2 3



sin3 x  sin x sin3 x

cot x.dx



4 sin2 3x  sin 4x dx tan x  cot 2x

18) I 



19) I 



dx 2 cos x  1

20) I 

 tan x tan(x  4 )dx

21) I 

 (x

22) I 

 (x

20) I 



22) I 



17) I 

23) I 



21) I 



2

 5) sin xdx

cos 3 x  1 3

x 1

dx

sin xdx ( 3 cos x  sin x)2

sin4 2x. cos3 x dx   tan(x  ) tan(x  ) 4 4 

2

 2x  3) cos xdx

3 sin x  4 cos x dx 2 sin x  cos x dx 4

5

3

cos x sin x

.

Hướng dẫn giải Bài 3.3.1.

1) Ta có: I 

1

 (3 sin x  sin2 x  1  tan

2

x  1)dx

 3 cos x  cot x  tan x  x  C .

2) Ta có: I 



1



1

1

 1  cos 2x  2 cos2 x  dx  x  2 sin 2x  2 tan x  C .

3) Ta có: 2 sin x cos 4x  sin 5x  sin 3x và 4 sin3 3x  3 sin 3x  sin 9x Nên I 

4) Ta có: cos4 2x  

1

2

1

 sin 5x  2 sin 3x  sin 9x dx   5 cos 5x  3 cos 3x  9 cos 9x  C 2 1 1 1  cos 4x  1  2 cos 4x  cos2 4x  4 4



1  1  cos 8x  1   3  4 cos 4x  cos 8x 1  2 cos 4x  4  2  8

Nguyễn Tất Thu

Page 23



Chuyên đề: NGUYÊN HÀM I

 1 1 1 (3  4 cos 4x  cos 8x)dx  3x  sin 4x  sin 8x  C .  8 8  8 





5) Ta có: 2 tan2 x sin2 x  2 tan2 x 1  cos2 x  2 tan2 x  2 cos2 x I



   1  cos2 x  2 dx  tan x  2x  dx  1 cos 2xd 2x    2 4   cos2 x 3 1 x  sin 2x  C .

2 4

 tan x 

6) I 

 tan

3

xdx 





A

 tan x. tan

1 2

cos x

1







1

 tan x  cos2 x  1dx 

1 cos2 x

tan xdx   tan xdx

tan xdx

cos2 x

Đặt t  tan x  dt  A

xdx 

tan xdx   tan xdx 

1



2

1 cos2 x

dx

tan xdx 

cos2 x

1 2 1  C1  tan2 x  C1 2

 tdt  2 t

 sin x.dx sin x dx   cos x cos x Đặt a  cos x  da   sin xdx B

 tan xdx  

B  

 sin x.dx cos x

Vậy I  A  B  7) Ta có: I 

 

da   ln a  C2   ln cos x  C2 a

1 tan2 x  ln cos x  C .

2

1 4 cos x  5 sin x.dx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx 2  cos2 x  3 cos x  2

Khi đó I  

4t  5 t 2  3t  2

dt  

3  t  1   t  2

t  1t  2

dt

 3 1   dt  3 ln t  2  ln t  1  C      t  2 t  1   3 ln cos x  2  ln cos x  1  C .

8) Ta có: I 



tan x 3

cos x

dx 



sin x cos4 x

dx

Đặt t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt I



dt t4

Nguyễn Tất Thu



1 3.t 3

C

1 3. cos3 x

C.

Page 24

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 9) Ta có : I  I



dx 2

cos x(tan x  2)

dt



(t  2)3



10) Ta có : cos 2x 

1 2(t  2)2

1  tan2 x

3

. Đặt t  tan x  dt 

C

I

1  tan2 x



1 2(tan x  2)2

dx cos2 x

C.

tan4 x(1  tan2 x)dx 1  tan2 x

Đặt t  tan x  dt  (1  tan2 x)dx I



t4

 1  t2 dt   (t 

 t

2





1 

2

1 

1 )dt (1  t)(1  t)

1  1 1   dt   2 1  t 1  t 

t3 1 1t tan3 x 1 1  tan x  t  ln C  tan x  ln C. 3 2 1 t 3 2 1  tan x sin x cos xdx

. Đặt t  cos x . cos2 x  3 cos x  2 ĐS: I  2 ln cos x  1  4 ln cos x  2  C .

11) I  2

12) I  2

2

cos x

13) Ta có: I 

I







dx



3 tan x  1 cos xdx 2

1  sin x 2



2 3

ln

3 tan x  1  C .

. Đặt t  sin x  dt  cos xdx

2 1 (1  t)  (1  t)   dt 2 4 (1  t)2 (1  t)2 2 1 t

dt





 1 2 1       dt  (1  t)2 (1  t)(1  t) (t  1)2  1  1 1 1 1        dt 4  (1  t)2 1  t 1  t (t  1)2   1 1 t 1 1  1  1 sin x  1 1 C.    ln   C    ln  4  t 1 t  1 t  1  4  sin x  1 sin x  1 sin x  1  1 dx 14) Ta có: I   2 2 2 sin x  3 sin x cos x  cos2 x 

1 4



1 dx .  2 cos2 x(2 tan2 x  3 tan x  1)

Nguyễn Tất Thu

Page 25

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Đặt t  tan x  dx 

1  t2

1 dt 1 (2t  1)  2(t  1)   dt  2 2 2t  3t  1 2 (2t  1)(t  1)

Ta được: I 



dt

1 2

15) Ta có: I 



 1 2  1 t 1 1 tan x  1   dt  ln   C  ln C.  t  1 2t  1  2 2t  1 2 2 tan x  1 (2 sin x  3) cos xdx 1  3 1  2 sin x

Đặt t  1  3 1  2 sin x  sin x  3 (t  1)2 dt 2

 cos xdx 

I 



(t  1)3  1 2

3 [(t  1)2  2] (t  1)2 dt 3 (t 2  2t  3)(t 2  2t  1)dt 2   t 2 t

3 3 (t 3  4t 2  8t  8  )dt  2 t

  3  t 4 4t 3 2     4t  8t  3 ln| t|  C 2 4 3  

với t  1  3 1  2 sin x .

16) Ta có: I 



1

1

 3 1  sin2 x . cot x. sin2 x dx



3

cot 2 x. cot x.

Đặt t  cot x  dt  

Ta được:  I  

3 2

1 sin2 x

dx

dx sin2 x 5

t .tdt   t 3 dt  

8

3 3 t C 8

3 3   cot 2 x. cot 2 x  C .

8

17) Ta có:

4 sin2 3x  sin 4x 2(1  cos 6x)  sin 4x  sin x cos 2x tan x  cot 2x  cos x sin 2x

Nguyễn Tất Thu

Page 26

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM  sin 4x  2 cos 6x  2 sin 2x  sin 6x sin 2x  2 cos 6x.sin 2x  2 sin 2x 

1 1 cos 4x  cos 8x  sin 8x  sin 4x  2 sin 2x 2 2

Do đó: I 

1 1 1 1 sin 4x  sin 8x  cos 8x  cos 4x  cos 2x  C .

8 16 8 4

  tan x  1 tan x  1 18) Ta có: tan(x  ). tan(x  )  .  1 4 4 1  tan x 1  tan x

Suy ra: I  16 sin4 x. cos6 x cos xdx Đặt t  sin x  dt  sin xdx nên ta có: I  16 t 4 (1  t 2 )3 dt  16 t 4 (t 6  3t 4  3t 2  1)dt

 11  t 9 3t7 t5  t  16       C  11 3 7 5    11   sin x sin9 x 3 sin7 x sin5 x   16     C.  11 3 7 5  

19) Đặt t  tan

I  2

dt 1  3t 2

x 2dt  dx  2 1  t2



1 3

ln

1  3t 1  3t

20) Đặt t  tan x  dx 

C

x 2 ln C. x 3 1  3 tan 2

1

1  3 tan

dt

1  t2  1 t(1  t) 1   I  dt     dt  t 2  1 1  t  (1  t)(1  t 2 ) I  x  ln(1  tan x)  C .

 sin(x  )dx 1 dx  2 6 8  cos (x  ) cos(x  ) 6 6  1  sin(x  ) 3 1 1 6  C.   ln   8 16 cos(x  ) 1  sin(x  ) 6 6 dx 22) Ta có I    4.4 tan x  C .

2 4 3 cos x tan x 1 21) Ta có: I   4

Nguyễn Tất Thu

sin xdx 3   8 cos2 (x  ) 6

Page 27

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Chuyên đề 4. Nguyên hàm của hàm mũ và logarit

4.1. Phương pháp 4.1.1. Nguyên hàm của hàm mũ  u  P(x)  I   P(x)eax  bdx . Đặt   ax  b  dx  dv  e dt  dx  I   f (eax  b )dx . Đặt t  eax  b  a t  I

e

f (x)

g(x)dx . Đặt t  f (x)

4.1.2. Nguyên hàm của hàm số logarit u  ln  f (x)    I   P(x) ln  f (x) dx . Đặt  dv  P(x)dx  f (ln(ax  b)) dx . Đặt t  ln ax  b  I  ax  b 4.2. Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 3.4.1. Tìm họ các nguyên hàm sau 1) I 

2x

 xe

dx

2) I 

 (x

2

 1)e2x dx .

Lời giải. du  dx u  x     1) Đặt  1 2x 2x dx dv  e v   e 2 

1 2x 1 1 1 xe   e2x dx   xe2x  e2x  C .

2 2 2 4    2 du  2xdx u  x  1   2) Đặt  dv  e2x dx v   1 e2x dx   2

Suy ra I  

1 Suy ra I   (x2  1)e2x   xe2x dx 2 du  dx  u  x   Đặt  1 2x 2x  dx v   e dv  e 2  1 1 1 1 Suy ra :  xe2x dx   xe2x   e2x dx   xe2x  e2x  C 2 2 2 4 1 1 1 Vậy I   (x2  1)e2x  xe2x  e2x  C .

2 2 4

Ví dụ 3.4.2. Tìm họ các nguyên hàm 1) I 



ex dx

x

x

e  2e

3

2) I 

Lời giải.

1) Ta có: I 



ex .ex dx e2x  3ex  2

Nguyễn Tất Thu

2x

e

Page 28

ex  1dx

3) I 





x 1

x 1  xex

dx .



Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Đặt t  ex  dt  ex dx tdt  Suy ra : I   t 2  3t  2

 2

1 

  t  2  t  1 dt  2 ln t  2  ln t  1  C

 2 ln ex  2  ln ex  1  C .

2) Đặt t  ex  1  ex  t 2  1  ex dx  2tdt Suy ra I  

 (t

2

 1)t.2tdt  2 (t 4  t 2 )dt

5 2  3 2 5 2 3 2 t  t  C   ex  1    ex  1   C .   5 3 5  3 

3) Đặt t  1  xex  dt  ex 1  x dx

Suy ra : I  







x 1

x 1  xex

dx 



 x  1 ex





xex 1  xex

dx 



t  t  1 dt  t  1 t   t  1 t dt

 1 1 t 1 xex   dt  ln  C  ln  C.  t  1 t  t 1  xex

Ví dụ 3.4.3. Tìm họ nguyên hàm sau 1) I  Lời giải.

1) Ta có: I 

e

tan x



4

cos x

2) I 

dx

2 x

e

dx .

1  tan2 x cosdx2 x

Đặt t  tan x  dt  Suy ra I 



etan x

dx

cos2 x

du  2tdt u  1  t 2   (1  t 2 )et dt . Đặt  dv  et dt v  et  

Ta có: I  (1  t 2 )et  2 tet dt  (1  t 2 )et  2tet  2et  C





 1  tan2 x etan x  2 tan xetan x  2etan x  C .

2) Đặt t  x  x  t 2  dx  2tdt 1 1 Suy ra I  2 te2t dt  te2t  e2t  C   x.e2 x  e2 x  C .

2 2 Ví dụ 3.4.4. Tìm họ nguyên hàm 1) I 

 (3x

2

 1) ln(x  1)dx

2) I 

Lời giải.

Nguyễn Tất Thu

Page 29

x

3

ln2 xdx

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM  du  dx u  ln(x  1)  x 1   1) Đặt  dv  (3x2  1)dx  3  v  x  x









Suy ra I  x3  x ln(x  1)    x3  x ln(x  1) 

x3  x dx  x3  x ln(x  1)   x 1





 2   x  x  2  2  dx  x  1 

x3 x2   2x  2 ln x  1  C .

3 2

 du  2 ln xdx u  ln2 x  x   2) Đặt  dv  x3dx  1 4  v  x 4  1 1 Suy ra I  x4 ln2 x   x3 ln xdx 4 2  du  dx u  ln x  x   Đặt  3 dv  x  1  v  x4 4  1 1 1 1 4 Suy ra  x3 ln xdx  x4 ln x   x3dx  x4 ln x  x C 4 4 4 16 1 1 1 4 Vậy I  x4 ln2 x  x4 ln x  x C. 4 8 32 Ví dụ 3.4.5. Tìm họ nguyên hàm 1  ln(x  1) I  dx . x2 Lời giải.  du  1 dx u  1  ln(x  1)   x 1   Đặt  dx dv   1  v   x2 x  1  ln(x  1) dx 1  ln(x  1) x    ln C. Suy ra I   x x(x  1) x x 1

Ví dụ 3.4.6. Tìm họ nguyên hàm 1) I 



Lời giải.

1) Đặt t  ln x  2  dt  Suy ra : I 



t2 t3

Nguyễn Tất Thu

dt 



ln x x(ln x  2)3

dx

2) I 



ln2 x  ln x 3

ln x  x  1

dx x 1 2 1 1 1 1 C   C.    dt    2  t 2 t 3  t t ln x  2 (ln x  2)2

Page 30

dx

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 2) Ta có: I 



ln x ln x  1 . x x2 dx .

3   1  ln x  1   x 

ln x  1 ln x ln x  dt   dx  dx  dt 2 x x x2  1 tdt 1      Suy ra I    dt  (t  1)2 (1  t)3  (1  t)3

Đặt t 



1 1 x x2  C  C. t  1 2(t  1)2 ln x  1  x 2(ln x  x  1)2

4.3. Bài tập.

Bài 3.4.1.Tìm họ các nguyên hàm sau 1) I 

4) I 

7) I 



 

3x  4.5x 7x

ex  4 x

4e  1

2) I 

dx

dx

5) I 

3

ln x 2  ln2 x dx x

 (2x  1) ln(x  2)dx

13) I 

 ln(x 

1) Ta có: I 

2) Ta có: I 

 

 

x2  1)dx

3) I 

ex  2ex  3 ln2 x  1 dx x



6) I 



ln2 (ln x) dx x ln x

11) I 

 (2x  1) ln

14) I 

 sin x. ln(cos x)dx

8) I 

10) I 

dx

2

xdx

e2x x

1 e 2



ln x.dx x(1  3 ln x  2) x

9) I 

 (2x  1)e

12) I 

 (x

15) I 

 x ln x  1 dx .

Hướng dẫn giải  x  x x  5 x   3  1  3  4  5      C    4.    dx  . .     3  7  5  7   7    7   ln ln 7 7 ex dx e2x  3ex  2

Đặt t  ex  dt  ex dx Suy ra: I 



dt t 2  3t  2





dt t2 ex  2  ln  C  ln C. (t  1)(t  2) t 1 ex  1

3) Đặt t  ex  2  ex  t 2  2  ex dx  2tdt I



(t 2  2)2tdt  2 1 t

Nguyễn Tất Thu

 2 1   dt t  t  1  t  1  

Page 31

dx

2

dx

 x  1)ex dx x 1

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM  3  t2 t  2    t  ln| t  1|  C  3 2      (ex  2)3 ex  2  x x  2   e  2  ln| e  2  1|  C .   3 2  

ex  4

4) Đặt t 

4ex  1

Suy ra I  30



 ex  

4t 2  1

1 t2 2t  1 ln  ln  C với t  2 t2 2t  1







30t (4t 2  1)2

 1 4   dt  2   2 2 2 2    (t  4)(4t  1) t  4 4t  1  ex  4 4ex  1

.

dx x

     t3  ln3 x (t 2  1)dt    t  C    ln x  C .  3  3    

6) Đặt t  3 ln x  2  ln x 

Suy ra I 

 ex dx  

t 2dt

5) Đặt t  ln x  dt  Suy ra I 

t2  4

t2  2 dx 2   tdt 3 x 3

t2  2 2 . tdt 2 1 3 3 )dt   (t 2  t  1  1 t 9 t 1

  2  t 3 t 2   C , với t  3 ln x  2 . t ln(t 1)       9  3 2 

ln xdx 3 3 7) Đặt t  ln2 x  2  ln2 x  t 3  2   t 2dt x 2

Suy ra I 

3 3 3 3 t 3dt  t 4  C  . (3 ln x  2)4  C  2 8 8

8) Đặt t  ln(ln x)  dt  Suy ra I 

t

2

dt 

dx x ln x

1 3 1 t  C  ln3 (ln x)  C .

3 3

u  2x  1 du  2dx 9) Đặt  .   dv  ex dx v  ex    I  (2x  1)ex  2 ex dx  (2x  3)ex  C .

Nguyễn Tất Thu

Page 32

dt  dx 

30t (t 2  4)(4t 2  1)

dt

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM  du  dx u  ln(x  1)   x 1  10) Đặt  dv  (2x  1)dx  2 v  x  x  I  (x2  x) ln(x  1)  

x2  x 1 dx  (x 2  x) ln(x  1)  x 2  C . x 1 2

 du  2 ln x dx u  ln2 x 11) Đặt    x dv  (2x  1)dx  2  v  x  x  I  (x2  x) ln2 x  2 (x  1) ln xdx

 dx du1  u1  ln x x   Đặt :  dv   x  1 dx  1  1 v1  x2  x 2  1 1   (x  1) ln xdx  (x2  2x) ln x   (x  2)dx 2 2 

1 2 x2 (x  2x) ln x  x 2 4

 I  (x2  x) ln2 x  (x2  2x) ln x 

x2  2x  C .

2

 2 u  x  x  1 du  (2x  1)dx  12) Đặt  x dv  ex dx v  e

Suy ra I  (x2  x  1)ex   (2x  1)ex dx u1  2x  1 du1  2dx   Đặt  x dv  ex dx v1  e  1

Suy ra  (2x  1)ex dx  (2x  1)ex  2 ex dx  (2x  1)ex  I  (x2  x  1)ex  (2x  1)ex  C  (x2  x  2)ex  C .  dx du   2 u ln(x x 1)       13) Đặt  x2  1 dv  dx   v  x  xdx  I  x ln(x  x2  1)   x2  1  x ln(x  x2  1)  x2  1  C .   sin x u  ln(cos x) du  dx   14) Đặt  ta chọn  cos x  dv  sin xdx v   cos x

Suy ra I   cos x ln(cos x)   sin xdx   cos x ln(cos x)  cos x  C .

Nguyễn Tất Thu

Page 33

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM  2 du   dx x  1 u  ln  2 (x  1) 15) Đặt  x 1     v  1 x2 dv  xdx  2

1 2 x 1 x2 x ln  dx 2 x 1 (x  1)2   1 x 1 2 1  dx  x2 ln   1   2 x 1 x  1 (x  1)2   1 x 1 1  x2 ln  x  2 ln| x  1|  C. 2 x 1 x 1

Suy ra I 

Chuyên đề 5. Nguyên hàm của hàm số vô tỉ

5.1. Phương pháp giải Sử dụng các phép đổi biến số và từng phần để chuyển về tích phân hàm hữu tỉ. dx 2 Lưu ý nguyên hàm cơ bản:   ax  b  C . a ax  b 5.2. Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 3.5.1. Tìm họ nguyên hàm I

x

2

x  1dx .

Lời giải.

Đặt t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt Suy ra I 

 t

2

2







 1 .t.2tdt  2 t 6  2t 4  t 2 dt 

2 7 4 5 2 3 t  t  t C 7 5 3

2 4 2 (x  1)7  (x  1)5  (x  1)3  C .

7 5 3 Ví dụ 3.5.2. Tìm họ nguyên hàm xdx I  .

3 1  2x  1 

3

Đặt t  1  3 2x  1  2x  1  t  1  x  Do đó dx  Nên I 

3 2 t  2t  1 dt 2









3 t 2  2t  1 3 dt    2 t 2



1 3 t  3t 2  3t  2 2

 2   t  2  1  dt  3  t  2t  ln   t  2  2

 t   C 

3 3 3 1  3 2x  1  3 1  3 2x  1  ln 1  3 2x  1  C .

4 2









Ví dụ 3.5.3. Tìm họ nguyên hàm

Nguyễn Tất Thu

Page 34

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM I

74

x

. 1  x4 dx .

Lời giải.

Ta có: I 

x

4 4

. 1  x4 .x3dx .

4 Đặt t  1  x4  x4  t 4  1  x3dx  t 3dt

Suy ra I 



(t 4  1)t.t 3dt 



(t 8  t 4 )dt 

9 1 4 5 t 9 t5 1 4   C   1  x4    1  x4   C .   9 5 9  5 

Ví dụ 3.5.4. Tìm họ nguyên hàm I

Lời giải.

Ta có: I 



xdx x

2

2

x 9



dx x x2  9

.

.

Đặt t  x2  9  x2  t 2  9  xdx  tdt Suy ra I 



tdt (t 2  9)t





x2  9  3

dt 1 t3 1  ln  C  ln (t  3)(t  3) 6 t3 6

Ví dụ 3.5.5. Tìm họ nguyên hàm I





1  ln x

x ln x 1  x ln x  1

x2  9  3



dx .

Lời giải. Đặt t  x ln x  1  x ln x  t 2  1  (1  ln x)dx  2tdt 2tdt tdt  2 Suy ra I   . (t 2  1)(1  t) (t  1)2 (t  1) Ta phân tích 2t  a(t  1)2  b(t  1)  c(t  1)(t  1) 1 3 Cho t  0, t  1, t  1 ta tìm được: a  , b  1, c  .

2 2  1  1 3    Suy ra I     dt  2(t  1) (t  1)2 2(t  1)  1 1 3 ln t  1   ln t  1  C 2 t 1 2 1 1 3  ln x ln x  1  1   ln 2 2 x ln x  1  1



x ln x  1  1  C .

Ví dụ 3.5.6. Tìm họ nguyên hàm I



(x  1)2009 (2x  1)2013

Lời giải.

Nguyễn Tất Thu

Page 35

dx .

 C.

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Ta có I 

 x  1 2009  .   2x  1 

1

dx (2x  1)2 3dx x 1 1 dx  dt    dt  Đặt t  2x  1 3 (2x  1)2 (2x  1)2



1 Suy ra I    3 2  6033

t

2009

2009

2011

1 2 dt    t 2 dt   t 2 3 3.2011

C

 x  1 2011   C.  2x  1 

Ví dụ 3.5.7. Tìm họ nguyên hàm I



dx x2  1

.

Lời giải.   Đặt t  x  x  1  dt  1   2

   dx  2 x  1  x

t x2  1

dx 

dx x2  1



dt t

dt  ln t  C  ln x  x2  1  C . t dx Chú ý: Tương tự vậy ta cũng có:   ln x  x2  1  C . x2  1

Suy ra I 



Ví dụ 3.5.8. Tìm họ nguyên hàm I



dx (x  1) x2  2x  2

.

Lời giải.

2  t2 Đặt t  x  x2  2x  2  t 2  2tx  2x  2  x  2(t  1)

 dx  

Suy ra I 

t 2  2t  2 2(t  1)2



dt , x  1 

t 2  2t , 2(t  1)

x2  2x  2  t 

2  t2 t 2  2t  2  2t  2 2(t  1)

 2 2    dt  ln t  2t  C  ln  x  2x  2  x  2  x 2  2x  2  x  C .   2    t  2t

2(t  1)

2

Chú ý: Ta có thể tìm nguyên hàm trên bằng cách khác như sau dx dx  Ta có: I   1 (x  1) (x  1)2  1 (x  1) x  1 1  (x  1)2 Đến đây nếu đặt t 

1 thì ta đưa về ví dụ 3.5.7. x 1

Ví dụ 3.5.9. Tìm họ nguyên hàm: I

Nguyễn Tất Thu



x2  1dx .

Page 36

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Lời giải.

2 1  1  1  1  1  1  2    t   dx  1  dt và x  1  t      2  t  2  4  t  t 2  1 1 1  1 1  2 1 Suy ra I   t   1   dt   t    dt 2  t  2  4  t t 3  t 2    1  t2 1     2 ln t    C 4  2 2t 2    2    2 2  1  2 2     x  x  1   4 ln  x  x  1    x  1  x   C .       8   

Đặt t  x  x2  1  x 

Ví dụ 3.5.10. Tìm họ nguyên hàm I



x2 2

x 1

dx .

Lời giải. Đặt t  x  x2  1  x 

1  1 1 1  t    dx  1   dt 2 t  2  t 2 

2  2 1  2 1 1  1  Và x  t   2 , x  1  t   4  4 t   t2 1 1  2 1 1  2 1   t  4   2  t2 t 2  dt  k t  1  2  dt  k  1 t 2  1  2 ln Suy ra I  k     3 4   t  4  2 1  1  t 2t 2 t   2 t   2  2 k   2 2 2    x  x  1    x  x  1   4 ln x  x  1   C .      8     1 1 Trong đó k  1 nếu t   0 và k  1 nếu t   0 . t t 2

TỔNG HỢP a) Nguyên hàm I 

 f (x,

n ax 

b)dx

Với dạng này ta đặt t  n ax  b  I  b) Nguyên hàm I 



Nguyễn Tất Thu

là hàm hữu tỉ theo t .

 ax  b   f  x, n  dx cx  d  

Với dạng này ta đặt t  n c) Nguyên hàm I 

 g1 (t)dt , với g1 (t)

ax  b I cx  d

 R(x,

 g2 (t)dt , với g2 (t) là hàm hữu tỉ theo t .

ax2  bx  c)dx .

Page 37

 t   C 

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM t2  c

 Nếu a  0 ta đặt t  ax  ax2  bx  c  x 

b  2 at

và chuyển về nguyên hàm của hàm số hữu tỉ.

b 2 )  Nếu a  0 thì ta viết ax2  bx  c  k 2  a1 (x  2a 1

Trong đó: a1  a  0, k  Đặt x 

 (với điều kiện   0 ) 4a1

b k  sin t và chuyển về nguyên hàm của hàm số lượng giác.

2a1 a1

 Nếu c  0 ta có thể thực hiện phép đổi biến số: tx  c  ax2  bx  c và chuyển về nguyên hàm hàm hữu tỉ.

Chú ý: * Với nguyên hàm có dạng I 

 R(x,

x2  a 2 )dx ta có thể sử dụng phép đổi biến x  a tan t .

5.3. Bài tập Bài 3.5.1. Tìm họ các nguyên hàm sau x 1) I   dx 1  2x  1 4) I 



7) I 



10) I 



13) I 



16) I 



x3 x2  3 x 1 x2  2

dx

8) I 

dx

(x  3)2009 (2x  1)2013

x x  1dx dx x2  4



5) I 

 (x  1)

11) I 

14) I 

17) I 





3

3) I 

2x  1 3

3  2xdx

x 1 dx x2



dx

xdx

2) I 



9) I 

xdx x  3  5x  3



dx

x x x 1 1 x x dx

1  x  x2  1

Hướng dẫn giải Bài 3.5.1.

Nguyễn Tất Thu

6) I 

Page 38



x



x2  4dx

2x  1 2  x 1

dx

xdx 3

12) I 

2x  2



dx

 x  1

15) I 

x

18) I 



2

x2  3x  2

. x2  9dx

x2  2x  4.dx

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM 1) Đặt t  1  2x  1  2x  1  (t  1)2  x 

t 2  2t 2

 dx  (t  1)dt .

1 (t 2  2t)(t  1)dt 1 t 3 3t 2 2  (t  3t  2)dt   tC 2 t 2 6 4

I 

(1  2x  1)3 3(1  2x  1)2   (1  2x  1)  C .

6 4

t3  1 3t 2 2) Đặt t  3 2x  1  x   dx  dt 2 2 3 (t 3  1)t 2 3 3 5 3 2 dt   (t 4  t)dt  t  t C  4 t 4 20 8

I

3

3

3 (2x  1)5 3 (2x  1)2  C. 20 8



3) Đặt t  x2  4  x2  t 2  4  xdx  tdt I



t 2dt 

t3 C 3

(x2  4)3 C .

3

4) Đặt t  x2  3  x2  t 2  3  xdx  tdt I





x2 .xdx x2  3





t2  3 tdt  t



(t 2  3)dt 

t3  3t  C 3

(x2  3)3  3 x2  3  C .

3

3  t3 3 5) Đặt t  3 3  2x  x   dx   t 2dt 2 2

I

3 2

   3  t 3  t.t 2dt   3 (5t 3  t 6 )dt  1   4  2 

3    3 3  5t 4 t7  3  (3  2x)7 5 (3  2x)4        C      C .

4  4 7  4  7 4  

6) Đặt t  2  x  1  x  (t  2)2  1  t 2  4t  5  dx  (2t  4)dt .

Nguyễn Tất Thu

Page 39

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Suy ra: I 



2t2  8t  11 (2t  4)dt  2 t

 (2t

2

 12t  27 

22 )dt t

 3   2t  2   6t 2  27t  22 ln| t|  C với t  2  x  1 .  3  

7) Đặt t  x  x2  2  x  x2  2  t 

Và

(

Suy ra: I 





t2  2 1 t2  2  dx  dt 2t 2 t2

t2  2 t2  2 .  2t 2t

t2  2 1 t2  2  1) .

2t 2 t2 t2  2 2t

1 2

dt 

1 t 2  2t  2 dt 2 t2

  1  2  2  dt  1 t  2 ln| t|  2   C  t t 2  2  t  

    x2  2  2 ln x  x2  2   C .  

x 1 2t 2  1 6t dt x  dx  x2 1  t2 (t 2  1)2

8) Đặt t 

I

Mà:

6t 2

 1  1  dt dt  6   2 2 2 2 2 (t  1)  t  1 (t  1) 

 1

t2  1



1 (t  1)  (t  1) 1  1 1      2 (t  1)(t  1) 2  t  1 t  1 

2 1 (t  1)  (t  1)  4 (t  1)2 (t  1)2 (t 2  1)2

1



Suy ra:



 Vậy: I 

1  1 1 1 1     4  (t  1)2 (t  1)2 t  1 t  1 

dt 2

t 1



1 t 1 ln ; 2 t 1

1  t 1 1 1   .   ln    2 2  4 t 1 t 1 t 1      (t  1) dt

3 t 1 3t   C với t  ln 2 t  1 t2  1

Nguyễn Tất Thu

x 1 . x2

Page 40

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM t3  2 3 9) Đặt t  3 2x  2  x   dx  t 2dt 2 2

Suy ra I 

t3  2 3 2 t dt   3 3  t5 2 2   (t 4  2t)dt    t 2   C t 4 4  5 



3  3  (2x  2)5 3    (2x  2)2   C .  4  5  



10) Đặt I 

 x  3 2009 1   dx  2x  1  (2x  1)2



x3 x3 2 1 dx  t2    tdt  2x  1 2x  1 7 (2x  1)2

Đặt t 

2 2 2011 2 t  Suy ra I    t 2010dt   7 1407 1407

11) Ta có: I  



 x  3 2011   C  2x  1 

x( 5x  3  x  3)dx 1   ( 5x  3  x  3)dx 5x  3  x  3 4

 1  1 (5x  3)3  (x  3)3   C .  6 5 

12) Đặt t  x  x2  3x  2  (t  x)2  x 2  3x  2   dx dt     2t  3  x2  3x  2 t2  2 x    2t  3  t 2  2t  5  x 1     2t  3  

Suy ra I 





dt 2

t  2t  5

1 2 6





2 6

ln

t 1 6 t 1  6

x  1  6  x2  3x  2

ln

x  1  6  x2  3x  2

13) Đặt t  x  1  dt 

Khi đó I 

1

1 2 x 1

C

 C.

dx hay dx  2 x  1dt  2tdt .

 5  t3  t t 2  1 t.2tdt  2 t 4  t 2 dt  2     C  5 3  

Nguyễn Tất Thu







Page 41

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM  x  1 1   2 x  1 x  1     C .  5 3 

14) Ta có I 



dx 

x x x 1



1 x x

x2  x



1 x x

dx 



x2 1 x x

x

dx  

1 x x

2 4 Đặt t  1  x x , t 2  1  x x  x3  t 2  1  x2dx  t t 2  1 dt 3



J1  J2 







3 4   4 2 4 4 4 t  1 dt  t 3  t  C1   1  x x    1  x x   C1   3 9 3 9 3







x



1 x x

dx 





2 d 1 x x 4  1  x x  C2 3 1 x x 3

Vậy, I 

3 4   4 4  1  x x    1  x x   1 x x C.      3 9 3

15) Đặt

x2  9  x  t  x 

I2 





t2  9 t2  9  dx  dt 2t 2t 2

2 2  2   2  t 2  9 t 4  81 1  t  9   t  9  dt    .     t5 dt 2 2    2t 16  2t    4t



1 16 







   162 6561  1  t4 6561  dt     162 ln t   t 3    C  t 16  4 t5  4t 4 

  4  2     x x 9     1  6561   C .     162 ln x  x2  9  4  16  4     4  x  x2  9          16) Đặt t  x  x2  4  dt  1   

dx x2  4



dt I t



   2  dx   x  x  4  dx    x2  4  x2  4   x

dt  ln t  C  ln(x  x 2  4)  C . t

17) Đặt t  x  x2  1  t  x  x2  1  t 2  2xt  x 2  x 2  1 x

Ta có :

1 t2  1 t2  1 t2  1 dt  dx  dt  I   2 t 2 (1  t) 2t 2t 2 t2  1 2

t (t  1)



Nguyễn Tất Thu

2 1 1 1    I  2 ln| t  1|   ln| t| C 2 t 1 t t t

Page 42

dx  J1  J2

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM Hay I  2 ln 1  x  x2  1  x  x2  1  ln x  x2  1  C .

18) Đặt t  x  x2  2x  4  (t  x)2  x 2  2x  4  2x(t  1)  t 2  4  x 

Và

t2  4 t 2  2t  4 dt  dx  2(t  1) 2(t  1)2

x2  2x  4  t  x  t 

2

2

t2  4 t 2  2t  4  2(t  1) 2(t  1)  2 2  (t  1)  3   dt 3 (t  1)

I

1 (t  2t  4) 1 dt    4 4 (t  1)3

1   4

   9  1  t2 9 C t  1  6  dt    t  6 ln| t  1|     3 2 t  1 (t  1)  42 2(t  1)   

Với t  x  x2  2x  4 .

Nguyễn Tất Thu

Page 43

Chủ đề 6. Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi 6.1. Phương pháp b

Để tính tích phân I   f (x)dx ta phân tích f (x)  k1f1 (x)  ...  k m f m (x) a

Trong đó các hàm f i (x) (i  1, 2, 3, ..., n) có trong bảng nguyên hàm.

6.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.6.1. Tính các tích phân sau 2

1) I  

2x2 x  x 3 x  3x  1 x

1

2

1

2) I  

dx

0

xdx 3x  1  2x  1

3) I 

2



x2  1 dx .

2

Lời giải.

1

2



1) Ta có: I   (2x 2  x

2 3



1

3  x2 )dx x

  1 3 4 1 3 2   x  3x  3 ln x   3 x  

2) Ta có: x  (3x  1)  (2x  1) 



2

 1

8 2 23 .  33 2  3 ln 2  3 10

3x  1  2x  1



3x  1  2x  1



1

Nên I   ( 3x  1  2x  1)dx 0

1

2  1 17  9 3 .  (3x  1)3  (2x  1)3   9  3 9  0

3) Ta có: I 

2



2

x  1 dx 

2

1



2

(x  1)dx 

2

1

1



2

2

(1  x )dx   (x2  1)dx

1 2

1

1

 3     3  x  x3 x  x    x    x  4 .  3     2  3  1  3  1

Suy ra I  

Ví dụ 3.6.2. Tính các tích phân sau 1) I 

 3



2

 2



 2 sin x  3 tan x  cos2 x  dx

2) I   2 sin x.sin 5xdx 0

0

Lời giải.  3 0

1) Ta có I  2 cos x  3 ln cos x  2 tan x   1  3 ln 2  2 3 .  2

2) Ta có: I  

0 4



1 2 1 (cos 4x  cos 6x)dx   sin 4x  sin 6x  0 .  4 6  0

2

3) Ta có: 8 sin 2x  4(1  2 cos 4x  cos 4x)  2(3  4 cos 4x  cos 8x)

 4

3) I   8 sin4 2xdx .

0

 4



 4 1 3 .

(3  4 cos 4x  cos 8x)dx  2 3x  sin 4x  sin 8x    8 2

Nên I  2

0

0

Ví dụ 3.6.3. Tính các tích phân 4

1) I  

3

3

x2dx

2) I  

2

x  3x  2

2

2x  3 3

x  3x  2

dx .

Lời giải. x2

3 2x  3 5 1  2 2 2 x  3x  2 2 x  3x  2 x  3x  2 3 2x  3 5 1 1   1     2 2 x  3x  2 2  x  2 x  1 

1) Ta có:

1

2

4

 3 5 x  2   Suy ra I   x  ln x2  3x  2  ln 2 2 x  1   3 3 5 4  1  ln 3  ln .

2 2 3

2) Ta có: x3  3x  2  (x  1)2 (x  2)

2x  3  a(x  1)2  b(x  2)(x  1)  c(x  2)

 2x  3  (a  b)x2  (c  2a  b)x  a  2b  2c a  b  0  1 1 5  2a  b  c  2  a   , b  , c  .  9 9 3 a  2b  2c  3 3   5  1 8 5 1 1 1 5 1  dx   1 ln x  1    ln  .   9  2  x  2 3(x  1) 9 5 6 9 x 2 9 x 1 3     2 (x  1)  2  3



1 Suy ra I   

6.3. Bài tập áp dụng Bài 3.6.1. Tính các tích phân sau 1) I 

1

1

(x x  2x3  1)dx



2) I  

0

0

2

4) I   x  1 dx

7) I 

0  2

 sin 2x.sin 3x -

 2 1 2

10) I  

5) I 

1

dx

3) I  

x 1  x

 3

0  2

2

0

0

 3

8) I   cos4 2xdx

9) I  

cos 2x

2  sin 2x

0

 4

6) I   sin2 (2x  )dx

 (2 sin x  3 cos x  cos2 x )dx  4

x2 dx x 1

dx

6

x4

2 0 x 1

dx

1

11) I  

0

4x  11 x2  5x  6

dx

1

12) I  

0

x3 x2  2x  1

dx

2

13) I  

0

x3  3x  2 2

x  3x  2

x2  2x  3 dx 3 x  x 2

dx

14) I    3

2

16) I   x2  x dx

17) I  

0

 3

19) I  

 6

 2

3

3  cot 2 x cos2 x

 4

15) I  

0

1

18) I  

dx

20) I   x x  a dx, a  0

sin2 x cos2 x

x  x  1

2 0 x 4

1

dx

cos x dx sin x  2 cos x

21) I 

0

2



dx

1  cos 2xdx .

0

Hướng dẫn giải.

Bài 3.6.1.

1

3

1

1) Ta có: I   (x x  2x3  1)dx   (x 2  2x3  1)dx 0

0

1

  5 2 2 1 4  19 .   x  x  x  5  2 10   0 1

x 1  x

0

1 [(x  1) 2

1



1

dx

2) Ta có: I  





1 0

x2 dx  x 1

x  1  x)dx

0

1  x 2 ]dx

0

3) Ta có: I  

(

1

 3 3 2 2 2 4 2 4 2   (x  1)  x   3  3 3   0

1

1

 (x  1  x  1)dx 0

1

1  1 .   x2  x  ln(x  1)  ln 2  2  2   0 2

1  2   1  x 4) Ta có: I   | x  1|dx   (1  x)dx   (x  1)dx   x  x2     x  1  2   2   0 0 0 1 1 2

1

2



2 3 5) Ta có: I  2 cos x  3 sin x  2 tan x 3  .

0 2  2

 2



    2  1  cos(4x   ) dx  1  (1  sin 4x)dx  1  x  1 cos 4x  .     2  2 2 4 4  0 0  0

1 6) Ta có: I   2 1 7) Ta có: I  2

 2

 

 2



2 1 1 4 (cos x  cos 5x)dx  (sin x  sin 5x)  .  2 5 5  2

8) Ta có: cos4 2x 

1 1 (1  2 cos 4x  cos2 4x)  (3  4 cos 4x  cos 8x) 2 4

 4



 4 1 1 1 3 Nên I   (3  4 cos 4x  cos 8x)dx  3x  sin 4x  sin 8x .   4 4  8 16  0 0  3



3 1 d(sin 2x) 1 1 9) Ta có: I     0.

2 2 2 sin 2x  sin 2x  6

6 1 2 4

10) Ta có: I  



x 1 1

0 1 2

 x

dx 

2

x 1 2

1

0

1 2

 (x

2

1

0

1 2

x 1

)dx

 1 1  dx  2(x  1) 2(x  1)  1

1 1 x  1  2 13 1 1    x3  x  ln   ln .

2 x  1  24 2 3  3 0

11) Ta có: 4x  11  (x  2)  3(x  3) 1

 1 Nên: I    0

 x  3



1 3   dx   ln| x  3| 3 ln| x  2| 0 x  2 

 ln 4  2 ln 3  3 ln 2  ln

9 .

2

12) Ta có: x3  x(x  1)2  2(x  1)2  3(x  1)  1 nên: 1

  3 1  dx   I    x  2  2  x 1  (x 1)   0 

1

 2   x  2x  3 ln(x  1)  1    x  1  2  0

 I  2  3 ln 2 .

13) Ta có: x3  3x  2  (x  3)(x2  3x  2)  10x  8 I

2

2    10x  8    x  3  12  2  dx x  3  dx     (x  1)(x  2)  x  2 x  1  0  0  2

 2  x    3x  12 ln| x  2| 2 ln| x  1|  4  12 ln 2  2 ln 3 .  2  0

14) Ta phân tích: x2  2x  3  ax(x  1)  bx(x  1)  c(x  1)(x  1) Cho x  0; x  1; x  1 ta tìm được: a  1; b  3; c  3 I

3

 1

2



3

3

  x  1  x  1  x  dx   ln| x  1| 3 ln| x  1| 3 ln x

 I  8 ln 2  4 ln 3  4 ln



4 .

3

3 2

15) Ta xác định a, b sao cho: cos x  a(sin x  2 cos x)  b(cos x  2 sin x)  a 

I

 2



0

2 1 ,b  5 5



2   ln 2 2 1 cos x  2 sin x 2 1 . (  )dx  ( x  ln|sin x  2 cos x|)  5 5 5 sin x  2 cos x 5 5 0

 2 x  x khi x  [1; 2] x2  x khi x  [0;1] 

16) Ta có: x2  x   1

1

2

2

   3  x2   x3 x2  x Nên I   (x  x)dx   (x  x)dx    1       3  3 2  2    0 1 0 1 2

2

 3

 3



17) I   (3  cot 2 x)(1  tan2 x)dx     4



 4

 (3 tan x  cot x) 3  4



3

2  cos x



  dx  sin2 x  1

10 3  12 .

3

3 2

18) I  1  ln 3  ln 2  3

 19) I     6

1

 sin2 x



 4 3  dx  3 cos2 x  1

20) HD: Xét hai trường hợp 1

* a  1  I   x(a  x)dx  0

3a  2 6

a

1

0

a

* 0  a  1  I   x(a  x)dx   x(x  a)dx  2



 2

0

0

0

2a 3  3a  2 .

6

21) I  2  sin x dx  2  sin xdx  2  sin xdx  2 .

Chủ đề 7. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 7.1. Phương pháp 7.1.1. Phương pháp đổi biến số loại 1 b

Giả sử cần tính I   f  x dx ta thực hiện các bước sau a

Bước 1: Đặt x  u t (với u t  là hàm có đạo hàm liên tục trên ; , f u t  xác định trên ; và u    a, u   b ) và xác định ,  .  









Bước 2 : Thay vào ta có: I   f u t  .u ' t  dt   g t  dt  G t    G   G   .

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 * Hàm số dưới dấu tích phân chứa

a 2  b2 x2 ta thường đặt x 

a sin t b

* Hàm số dưới dấ u tích phân chứa

b2 x2  a 2 ta thường đặt x 

a b sin t

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa a 2  b2 x2 ta thường đặt x  * Hàm số dưới dấu tích phân chứa

a tan t b

x a  bx ta thường đặt x 

a sin2 t b

7.1.2. Phương pháp đổi biến số loại 2 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau. b

Để tính tích phân I   f  x dx , nếu f  x  g u  x .u '  x , ta có thể thực hiện phép đổi biến 

a



như sau Bước 1 : Đặt t  u  x  dt  u '  x dx . Đổi cận x  a  t  u a  , x  b  t  u b Bước 2: Thay vào ta có I 

u(b)

b  g t dt  G t a .

u(a)

7.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.7.1. Tính các tích phân sau 1) I 

0



1

x 1 4  x2

dx

2) I 

3 2



1

x 1 x(2  x)

dx

3) I 

0



1 (x

dx 2

 2x  2)2

Lời giải.

1

1) Ta có: I  

0

(x  1)dx 4  x)2

. Đặt x  2 sin t  dx  2 cos t.dt  6

Đổi cận: x  1  t   ; x  0  t  0 I

0

 

 6

(1  2 sin t)2 cos tdt 4  4 sin2 t   

0



 

 2 

(1  2 sin t)dt   t  2 cos t

 6

 2) Đặt x  2 sin2 t, t  0;   dx  4 sin t cos tdt

0 

 6

 32

 .

6

.

Đổi cận: x  1  sin t 

I

 3



1 2

t

2

(2 sin t  1)4 sin t cos tdt 2

2

2 sin t(2  2 sin t)

 4  3

 2

 4

  3 3 t ; x   sin t  4 2 2 3  3

 2 (2 sin2 t  1)dt  4



3 1 2  6  3 3 .  (2  cos 2t)dt  2 (2t  sin 2t)  2 6 4

3) Ta có: I 

0

dx



.

2 1  (x  1)2  1    Đặt x  1  tan t, t  [0; )  dx  (1  tan2 t)dt 2  Đổi cận: x  1  t  0; x  0  t  .

4

I

 4



0



1  tan2 t 2

(1  tan t)

2

dt 

 4

2

 cos

tdt 

0

 4

1 (1  cos 2t)dt 2 0

 4

1 1 2 (t  sin 2t)  .

2 2 8 0

Ví dụ 3.7.2. Tính các tích phân sau 1

1) I  

0

x 1 x

3

2

2) I  

dx

0

Lời giải.

1

1) Ta có: I  

xdx

.

3 0 1 x 3 2dt Đặt x x  tan t  xdx  (1  tan2 t)dt  xdx  2 3 cos2 t

I

 4



0

 4

2dt 3. cos2 t 1  tan2 t

1 1  sin t  ln 3 1  sin t

 4



0

  



2 ln 3

 4

2 dt 2 d(sin t)    3 cos t 3 1  sin2 t 0 0





2 1 .

 2 

 2) Đặt x  4 sin2 t, t  0;   dx  8 sin t cos tdt

Đổi cận: x  0  t  0, x  2  t 

 4

x dx .

4x

 4

4 sin2 t

Suy ra: I  

2

4 cos t

0

 4(t 

 4

 4

0

0

.8 sin t cos tdt  8 sin2 tdt  4  (1  cos 2t)dt  4

1 sin 2t)    2 .

2 0

Ví dụ 3.7.3. Tính các tích phân sau 8

1) I  

3

3

3) I 

 

4

1 x dx x

2) I 

12



4

5

dx x x4  4

2

xdx

x

4) I  

3

1 1  2 x 1

1 2x  2

dx .

2

Lời giải.

1) Đặt t  1  x  x  t 2  1  dx  2tdt Đổi cận: x  3  t  2; x  8  t  3 3

3

3

 1 1 t  1   )dt  2 t  ln 2  (t  1)(t  1) 2 t  1  t  1 2 2 2   1 1 1 1 3  2 3  ln  2  ln   2  ln .  2 2 2 3  2 t.tdt

I  2

2) Ta có: I 

 2 (1 

2 3



5

x3dx x4 x4  4

Đặt t  x4  4  x4  t 2  4  2x3dx  tdt Đổi cận: x  4 5  t  3; x  4 12  t  4 4

4

4

tdt

1 dt 1 t2 1 5 I     ln  ln .

2 2 2 t 4 8 t2 8 3 3 3 (t  4)t 3

3) Đặt t  3 2x  2  t 3  2x  2  x  1 2

t3  2 3  dx  t 2dt 2 2

Đổi cận : x    t  1 ; x  3  t  2 .Ta có : I

2



1

(t 3  2) 3 2 . t dt  2t 2

2



1

2

         3 t 4  3 t dt   3 t5  3 t 2    24  3   3  3   12 .          4   2  4  5  20 5   20 4  1

 t  1 2 1    dx  (t  1)dt 4) Đặt t  1  2 x  1  x  1    2  2

Đổi cận: x  1  t  1; x  2  t  3 I

3

3

1

1

1 (t 2  2t  5)(t  1) 1 5 dt   (t 2  3t  7  )dt  8 t 8 t

3

  1  t 3 3t 2     7t  5 ln t 8  3 2 

 1

 1  32   5 ln 3 .

8  3 

Ví dụ 3.7.4. Tính các tích phân sau 1) I 

 2

 sin

5

2) I 

xdx

0

 2

sin 2x  sin x

 1 0

1  3 cos x

 2

3) I  

dx

0

Lời giải.  2

1) Ta có: I   (1  cos2 x)2 sin xdx . Đặt t  sin x  dt  cos xdx 0

  t 1 2

Đổi cận : x  0  t  0; x  I

1



(1  t 2 )2 dt 

0

1

 (1  2t

2

 t 4 )dt 

0

 2

2) Ta có: I  

0

(2 cos x  1) sin x.dx 1  1  3 cos x

8 .

15

.

  t2  1    cos x  3 Đặt t  1  3 cos x    2    tdt  sin xdx   3   Đổi cận: x  0  t  2, x   t  1 .

2 I

1



2 2



2

t2  1 2 1 2  2 2t 3  t 3 dt  t dt   1 t 9 t 1  3  1

2 3 (2t 2  2t  3  )dt  9 t 1 1

  2  2t 3    t 2  3t  3 ln t  1  9  3 

2

 1

6) Đặt t  4 sin2 x  cos2 x  dt  

28 2 3  ln .

27 3 2

3 sin 2x 2

2

4 sin x  cos x

dx

sin 2x

1 dx  dt .

3 a sin2 x  b cos2 x

Đổi cận x  0  t  1; x 

2

 1 1  t  2  I   dt  .

2 3 3 1

sin 2x 2

2

4 sin x  cos x

dx .

Ví dụ 3.7.5. Tính các tích phân sau  3

 2

dx   0 cos x. cos   x  3 

1) I  

2) I  

0

sin xdx ( 3 sin x  cos x)3

3) I  

Lời giải.  3

1) Ta có: I  2

0

dx cos x(cos x  3 sin x)

0

dt 1  3t  2

2) Ta có: I  

3  16

 t 3 3

3 2 3 4 3 ln|1  3t|  ln 2 .

3 3 0

   )dx 6 6  8 sin3 (x  ) 6

 2

 2

 cos(x  )dx 1 6   2    16 3 0 sin (x  ) 0 sin (x  ) 6 6 dx

 2

3  cot(x  ) 16 6

3) Đặt t  tan x 

dt 1  t2

1 32

1

 sin2 (x  ) 6 0

0

t 4 (1  t 2 )dt (1  t 2 )(1  t 2 )

1 .

6

1  t2 1  t2

1

3





 1 . t 6 3 1

3

 2

 dx . Khi đó: cos 2x 

1





0

Đổi cận: x  0  t  0; x 

I

cos x(1  3 tan x)

sin(x 

0





0

dx 2

cos2 x

Đổi cận: x  0  t  0; x  3

 2

dx

Đặt t  tan x  dt 

 I  2

 3



0

t 4 dt 1  t2



3

  dt  t 2  1 dt   2  0 1 t



1

  3 1 t t3 1 1   ln   t  ln  2 1  t 3 2    0

3 1 3 1



10 3 .

27

Ví dụ 3.7.6. Tính các tích phân sau e2

1) I   e

ln x dx x(ln x  1)

e

2) I  

1

 6

1  3 ln x. ln x dx x

0

tan4 x dx . cos 2x

ln 5

3) I 

dx



4) I 

x x 3 ln 3 e  2e

Lời giải.

1) Đặt ln x  1  t  3

ln 5

e2x dx



x

e 1

ln 2

.

dx  dt x

3 t 1 3 dt   t  ln t  1  ln .

2 t 2

Ta có: I  

2

2) Đặt t  1  3 ln x  ln x 

1 2 dx 2 (t  1)   tdt 3 x 3 2

2   2 2  t5 t 3  116 Khi đó: I   t 2 (t 2  1)dt      .

9 9  5 3  135 1 1

3) Ta có I 

ln 5



ex dx

ln 3 e

x

 3ex  2

Đặt t  ex  dt  exdx 5

Ta có: I  

3

4) Ta có: I 

dt 3

t  3t  2

 ln

t2 t 1

5

 ln 3

3 .

2

ln 5 x



e .ex dx

ln 2

ex  1

Đặt t  ex  1  ex  t 2  1  exdx  2t.dt Đổi cận: x  ln 2  t  1; x  ln 5  t  2 2

2

2   (t 2  1)tdt 20  t3 .  I  2  2 (t 2  1)dt  2   t   3  t 3   1 1 1

Ví dụ 3.7.7. Tính các tích phân sau 1

1) I  

x2  ex  2x2ex 1  2e

0

3) I  

 4 0

x

e

2) I  

dx

ln x

2 1 x(2  ln x)

4

x sin x  cos x  x cos x dx x sin x  cos x

4) I  

0

4x  1 2x  1  2

Lời giải.

1) Ta có: I

1



x2 (1  2ex )  ex 1  2ex

0

x3  3

1

1

1

2

1

dx  x dx  0

0

ex 1  2ex 1

dx

1 d(1  2ex ) 1 1 1 1 1  2e     ln 1  2ex   ln . x 2 3 2 3 2 3 0 0 1  2e 0 1 2) Đặt u  ln x  du  dx x

dx

dx .

   1  2 du Ta có I   du      2  u 2 2  2  u  0 2  u  0  1

1

u

1

  3 1  2 2    ln 3    ln 2  1  ln    .  ln 2  u    2  3 3  2  u    0   4 1  0 

3) Ta có I  



 x cos x  dx  x 4  J   J 0 x sin x  cos x  4

 4 0

x cos x dx . Đặt t  x sin x  cos x  dt  x cos xdx và x sin x  cos x   1  x  0  t  1, x   t  1   .

4 4  2

Với J  

Do đó J  

1

1    1  2  4  1

t

dt  ln t

1    1  2  4 

1

 1    1    .  ln   4 4   2

Vậy I 

 1   1     ln   4   2

4) Đặt t  2x  1  2  (t  2)dt  dx Đổi cận: x  0  t  3, x  4  t  5 5

Ta có I 



3

(2t 2  8t  5)(t  2) dt  t

5

 (2t

2

 12t  21 

3

10 34 3 )dt   10 ln . t 3 5

7.3. Bài tập vận dụng Bài 3.7.1. Tính các tích phân sau 2

x

1) I  

2 x  2 x

0

1

2

1

2

x dx    1 1  1  x   1  x   3    x x  

4) I   2

7) I  

1

x 1  x 1 3

dx

x3

10) I  

dx 3. x  1  x  3 0

1

3

x dx

13) I  

x  x2  1

0

16) A 

1



dx

2 1 1  x  1  x

5) I 

8) I 

3



0

3



8

11) I 

x2  1

x 1 x

2 5

3 2

0,5

17) I 

4



6) I  

dx

2

xdx x2  5

x 1  x2

dx

2 7 x x 9

12) I 

dx 2x  1  4x  1 3



1



2

18) I 

2 2



1

dx x  x3

1

15) I 

x6  9

x2  3x  2

3

9) I  

x2dx

x2  x 3 x  1dx

6

dx



0

10 4 

dx

x2  1

2

14) I 

x5  2x3

1



3) I  

1 x  x 1

0

1

1

dx

2) I  

dx

x  4 dx x2  4x  5 3

x  x3  2011x x4

dx

0

19) I 

dx



x  1

1 3  4

2

x  2x  2

1

22) I  

20) I 

2  sin x cot x

 2

23) I  

dx

ln 3

dx x x 4e  3  1 0 e

sin 2x  sin x 1  3 cos x

0

6

2e3x  e2x



dx

 2

21) I  

2 0 1  cos x

 3

24) I  

 4

Hướng dẫn giải

sin x cos3 x

dx 4

sin3 x. cos5 x

Bài 3.7.1.





1) Đặt t  2  x  2  x  t 2  4  2 4  x2  t t 2  4 dt  2xdx Đổi cận: x  0  t  2 2, x  2  t  2 1 Do đó: I  2

2) Đặt t 

2 2



2



  1  t3 t  4 dt    4t 2  3 



2 2

 2

84 3 3

 t  1 2 t4  1   dx  2 x  x  1  x   dt  2t  t3

Khi đó: I  2.

2 1



1

 2.

2

t4  1 t 3 t  1

dt  2.

2 1 



1

 2 1    t3  1  t 2  t  1    dt 1   dt  2.  1  3 3       t t 1 t     1  

2 1 

 1 1 1  1 1   1  t  t2  t3  dt  2 t  ln t  t  2t2  1 1

2 1

  2 3  2  ln 





 2 1  

3) Đặt t  x3  dt  3x2dx J

1 1 1 1 t  3  t  3 1 dt 1 dt 1 1   dt  3  t 2  9 3   t  3 t  3 18   t  3 t  3 18  0 0 0 0

1 1 1 t3  l n t  3  ln t  3   ln  0 18 18 t3

4) Đặt t  x 

1

 0

 1 1    dt   t  3 t  3 

 1  1 1 1 ln ln  ln 1  18  2  18 2

 1 1  dt  1   dx .  x x2 

5 Đổi cận: x  1  t  2, x  2  t 

2

I

5 2



2

5) I 

5 2

dt 1   t  1t  3 4

2

3



0

x5  2x3 x2  1

dx 

3



0

5

 1 1  1 t 1 2 1 3 1  1 15   dt  ln   ln  ln   ln  t  1 t  3   4 t3 4  11 5  4 11 2



 xdx

x2 x2  2 x2  1

Đặt: t  x2  1  x2  t 2  1  xdx  tdt

.

dx

Đổi cận: x  0  t  1, x  3  t  2

t2  1t2  1 tdt  2

2

Do đó: I   6) I   10

10

4

Hay I1  8 ln



3

1

10

4

dx   2 x  3x  2 3 3

 x2  3x  2dx  4  3 3 10





x2  3x  2

3

I2 

1

x2  x 3 x  1dx  10

10 4 

I1 



t

1

2

1  26 t  1 dt   t5  t    5 5 4

x2  x 3 x  1dx x2  3x  2

 1 10 1   dx  4 ln x  2  ln x  1   8 ln 2  ln 3   x  2 x  1  3

2 3

x2  x 3 x  1dx  10 x3 x  1dx 

x2  3x  2

3

x2

Đặt: t  3 x  1  3t 2dt  dx Đổi cận: x  3  t  1, x  10  t  2 2

2  4   6  69  3t dt    6t  A   A với A   I2   3t 3  6  4   4 t 3  1   1 1 1 2

 6   dt  3 t  1 

Học sinh tự tính tích phân A Do đó: I  8 ln

2 69  A. 3 4

7) Đặt t  x  1  x  t 2  1  dx  2tdt Đổi biến: x  1  t  0, x  2  t  1 1

Do đó, A  

0

1 3 1 t2  1 t t 2tdt  2 dt  2 1 t t 1 0

0

 2  t  t  2  2  dt  t  1 

1

 3  1 1  11 t t2  2    2t  2 ln t  1   2    2  2 ln 2   4 ln 2 2 3  3 2   3  0

8) Đặt t  1  x  2tdt  dx Đổi cận: x  8  t  3, x  3  t  2 Do đó, I 

3



8

dx x 1 x

2

dx  2

3

2

tdt

1  t2  t 2

 ln t  1  ln t  1   ln 3

 2

3

t 1 t 1

9) Đặt t  4x  1  t 2  4x  1  dx  Đổi cận: x  2  t  3, x  6  t  5

dt t2  1

2

 ln 3

1 tdt 2

2



t  1  t  1  t  1t  1 dt 3

1 1 2  ln  ln 3 2 3

   1  1  dt Do đó: J       t 1 2 2 2x 1 4x 1    t  1  2 3 t  1 3   6

5

dx

5

tdt

5

    1 3 1   ln   ln t  1   2  2 12  t  1  3

10) Đặt t  x  1  t 2  1  x  2tdt  dx Đổi cận: x  0  t  1, x  3  t  2 2

2

2t 3  8t

2

1 dt   2t  6 dt  6 dt  2 t  1 t  3t  2 1 1 1 3 Hay A  3  6 ln 2

Khi đó: A  



t

2

 6t

2

 1  6 ln t  1 12

11) Đặt t  x 2  5  t 2  x 2  5  xdx  tdt Đổi biến: x  2  t  3 , x  2 5  t  5 5

tdt

5

5

1 Khi đó: I      2 2 4 3 t 4 t 3 t 4 3



dt



5

 1 1  1 t2 1 15 dt  ln   ln   t  2 t  2  4 t2 4 7 3

12) Đặt t  1  x2  dt  2xdx. Đổi cận: x  1  t  2, x  3  t  4.

Khi đó J 

4 4 4 1 dt 1 t  t  1 1   dt 2  t t  1 2  t t  1 2 2



2

2

4 1 1 t 1 l n t  1  ln t   ln  2 2 2 t

4

 2

 1 1   dt   t  1 t  1  3 1 1 3 ln  ln   ln 2 4 2  2 2

  x3  x  x2  1  1     A dx   x3  x2  1  x dx      2 2 0  x  x  1   x  x  1  0    1

13)

1





0

x

3

1

2

x  1dx 

0

x5 x dx  B  5

1

4

0

1  B  , với B  5

1

x

3

x2  1dx

0

Đặt t  x2  1  t 2  x 2  1  2tdt  2xdx  tdt  xdx Đổi cận: x  0  t  1, x  1  t  2.

1

Khi đó B   x 0

2

2

x  1xdx 

2

 t 1

2



 1 t.tdt 

 4 2 2 2   1 1  2 2 2             5 3   5 3  15 15

2

 t 1

4

t

2



 5  t3  t dt      5 3   1

2

 2 2 x  t  1 1 1  2 14) Đặt t  1  x2   dt  .dx  2 dt  x .dx  x 2 .dx t 1  x 1 x   1  x2 x 1  x2 

I

1 2

1 2

1 2

2

2

 1 1 1 1  dt dt   dt     2 2  t  1 t  1  t  1t  1   t 1 3 3 3 1



2

I

1 ln t  1  ln t  1  2



1 2

1

1  t  1  2 1  1 2  3    ln  ln  ln   3 2  t  1  3 2  3 2  3 

2

2

1 2 3 1 74 3 ln  ln 2 3 2 3 2 3



1

15) Đặt J 



x  4 dx



2

x  4x  5

2



1 2

1



2

2  x  2 dx 2

x  4x  5

1

1

 2

2

 x  2

2

dx 1

1

1 1  ln x2  4x  5  2K  ln 2  2K 2 2 2

Trong đó K 

1

1



2

x  2

2

2

x  2

Đặt t  x  2 



dt  t

dx 1

    1  dt  1   

   dx   2  x  2  1 

 x  2

t 2

 x  2

dx 1

dx 2

x  2

1

Đổi cận: x  2  t  1, x  1  t  1  2 Khi đó: K 

1 2



1

Do đó: J 

1 2 dt  ln t  ln 1  2 1 t



1 ln 2  2 ln 1  2 2





 1 1  t 2  1 1  1  dt  t    dx     2 2t 2  2t 2 t 

16) Đặt: t  x  1  x2  t  x  1  x 2  x  Đổi cận : x  1  t  2  1, x  1  t  2  1 Khi đó: A 

1    1  dt 2  2 2t 

2 1 



21

1 t

1  2

2 1



2 1

dt 1  t 1 2

2 1



t 2 1

1 2

t  1

dt



2 1 2 1  1 1 1 1 1   dt ln t  1       t 2 t t  1  2 2 2 1 2 1 2 1

1 1   t  1  1  1   A  ln 1  2   ln   ln 1  2  ln    2 2   t  t 2 2 1



17) I 



4







2



2 1



1 2  1 2

xdx



7

x2 x2  9

Đặt : t  x 2  9  x 2  t 2  9.xdx  tdt Đổi cận: x  7  t  4, x  4  t  5 I

5



4

I

5

tdt



t2  9 t



4

5

dt 1   t 3 t 3      6

4

 1 1     t  3  t  3  dt

5  1  1 1  1 t  3 5 1  1 1 1 7   ln  ln   ln    dt  ln 6  t  3 t  3  6 t  3 4 6  4 7  6 4 4 

18) I 

2 2

3



3

x  x  2011x x

1

M

1

3

2 2

x2



x

1

dx 

4



dx . Đặt t  3

1 x2 x

1

1 3

3

2 2

Khi đó M 

3



1 x

N



1

2011 x

Vậy, I  M  N  19) I 

0



dx  

3

dx 

2 2



3 2



7 2



t 3dt  

0

3

2011x

dx  

1

Đổi cận: x  1  3  t   3, x  0  t  1 Khi đó: I 



 3

dt t t2  1

1





 3

1

dx

3

Đặt t  x  1  dt  dx 1

x3

7 2

14077 213 7 .  16 128 2

2011

3

1

x  1 x  1



2

dx

1 3

2 2

1 2  1  t3   1  3t 2dt   dx 2 x x x3

1

x3

1

2 2

2

3

dx 

1

Đổi cận: x  1  t  0, x  2 2  t   2 2

1

tdt t2 t2  1

213 7 128

2011 2x

2

2 2

 1

14077 16

t

Đặt u  t 2  1  du 

2

t 1

dt và t 2  u 2  1

Đổi cận: t   3  u  2, t  1  u  2 2

2

1 Do đó: I     2 2 2 u 1 2

20) I 

ln 3

du

 1 1  1 u 1  du  ln   u  1 u  1  2 u 1 ln 3

2e3x  e2x

dx    x x   e 4e 3 1 0 0

2

 2

1 ln 3 3  2 2 2



2e3x  e2x

dx 4e3x  3e2x  1





Đặt t  4e3x  3e2x  t2  4e3x  3e2x  2tdt  12e3x  6e2x dx





 2e3x  e2x dx 

tdt 3

Đổi cận: x  0  t  1 ; x  ln 3  t  9 9

9

1

1

1 tdt 1 Khi đó I     3 t 1 3  2

21) I  

3

s inxcos x 1  cos2 x

0

dx 

9   1  1  dt  1 t  ln t  1   8  ln 5  t  1  3 3 1

 2

1 cos2 x sin 2x dx  2 1  cos2 x 0

Đặt : t  1  cos2 x  dt  2 sin x cos xdx   sin 2xdx Đổi cận: x  0  t  2, x  Do đó: I 

  t 1 2

1 2 1  t  1 1  dt    2 t 2 2

1

2 1    1 dt  1 ln t  t   ln 2  1   t 2 2  1

22) Đặt : t  cot x  t 2  cot x  2tdt   Đổi cận: x 

1 3

23) I  

0

2

sin x

dx 

1 sin2 x

dx  2tdt

   t  3; x   t  1 6 4

Khi đó : I     2

1

3

3 2tdt  2  dt  2t 2 1 t

sin 2x  sin x 1  3 cos x

1

dx 

 2



0

Đặt : t  1  3 cos x  cos x  Đổi cận: x  0  t  2; x 





3 1

2 cos x  1 s inx 1  3 cos x

dx

t2  1 2 , sinxdx   tdt 3 3

  t 1 2

   t 2  1  2  1 2  1  2 3      2 2t 2  1 2  1 3 34 Khi đó : I   dt   t  t   tdt  2     t 9 9 3 27  3  1 2

1



 3

24) I  

 4 4

1 3

sin x 3

cos x

dx 

Khi đó I 

 4

1 cos2 x

1 4

.

1

2 tan x cos x 3

dx

dx

   t  1, x   t  3 4 3

3





. cos8 x.

Đặt t  tan x  dt  Đổi cận: x 

 3



t

3 4 dt



3

1 4t 4

1



1



   4 4 3  1  4 8 3  1 .  

Chuyên đề 8. Tính tích phân bằng phương pháp từng phần 8.1. Phương pháp Tương tự như nguyên hàm, ta cũng có thể tích tích phân bằng ph ương pháp từng phân.

Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó b

 udv  uv a

b a

b

  vdu a

8.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.8.1. Tính các tích phân sau 1)I 

 2



x sin 2xdx

2)I 

0

2



(x  2)e2x 1dx

0

3)I 

0



(2x 2  x  1) ln(x  2)dx

1

Lời giải. du  dx u  x    dv  sin 2xdx v   1 cos 2x  2

1) Đặt 

1  I   x. cos 2x 2

 2 0

 2



 1  1   cos 2xdx   sin 2x 2  .

0 2 4 4 4 0

du  dx  u  x  2 2) Đặt    1 2x 1 2x 1 dv  e v  e 2  2

1 1 1 5e  e3 .  I  (x  2)e2x 1 20   e2x 1dx  e  e2x 1 20  2 2 4 4 0

  1  du  dx    u ln(x 2)    x2 3) Đặt    2   dv  (2x  x  1)dx v  2 x3  1 x2  x   3 2  

2 1 1 0  I  ( x3  x2  x) ln(x  2)  1 3 2 6 



1 6

0

(4x2  5x  16 



1

0



1

4x3  3x2  6x dx x2

32 1 4 5 0 )dx   ( x3  x2  16x  32 ln(x  2))  1 x2 6 3 2

16 119 . ln 2  3 396

Ví dụ 3.8.2. Tính các tích phân sau  4

3

1) I   x(1  sin 2x)dx.

2) I  

1  ln(x  1) x

1

0

2

 3

dx

3) I  

1  x sin x

0

Lời giải.

cos2 x

1 2

1) Đặt u  x, dv  (1  sin 2x)dx  du  dx, v  x  cos 2x  

 4

  4

1 2

1 2

Ta có: I  x  x  cos 2x   (x  cos 2x)dx  0

0



2

1 4  1 2 1    x2  sin 2x   .

16  2 4 32 4  0

3

2) Ta có: I  

1  ln(x  1) x2

1

dx 

3



1

dx x2

3



1

ln(x  1) x2

u  ln(x  1)  Bây giờ, ta sẽ tính J. Đặt  thì ta có: dx dv   x2

dx  

3

1 2  J   J. x1 3

 du  dx  x 1   1 v   x 

Do đó, áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được 3

3

3

3

1 ln(x  1) ln(x  1)  dx    J x(x  1) x x 1 1 3



Vậy I   3

3) I  

0

1

1

1    1  dx  x x  1 

3 ln(x  1) 2  ln x  ln x  1    ln 2  ln 3.

1 x 3 1

2 2  ln 2  ln 3.

3 3 dx 2

cos x

 3



0

x sin xdx 2

cos x

 tan x

 3 0

 3



0

x sin xdx 2

cos x

 3

 3

0

x sin xdx cos2 x

dx

Đặt u  x  du  dx ; dv   3

I 3

0

x sin xdx cos2 x

sin xdx 2

cos x

, chọn v 

 . cos x

 3

 3

 3

x dx 2 cos xdx   3  2 cos x 0 cos x 3 0 0 sin x  1

 3



=

2 1 sin x  1 3 2 1 2  3 .

3  ln  3  ln 3 2 sin x  1 3 2 2 3 0

3.3. Bài tập vận dụng Bài 3.8.1. Tính các tích phân sau 1) I 

0

 2

2

2) I   sin x. ln(1  sin x)dx

(2x  x  1) ln(x  2)dx



1  4

4) I  

0

0

x dx 1  cos 2x

1

2

7) I   x3ex dx 10) I  

ln 3



1

x ln2 x

dx

3  ln x

1 (x  1)

8) I 

0

e

3

5) I  



2

 3

6) I  

dx



1

11) I  

ln x  1



0

2

9) I  

0

1  x3  .3 1  x3  6x  32  cos x.sin2 x  4 1  sin3 x  12) I  dx .

1

2

dx

0

1  sin3 x

Hướng dẫn giải Bài 3.8.1.   1  du  dx    u ln(x 2)    x2 1) Đặt    2    v  2 x3  1 x2  x dv  (2x  x  1)dx  3 2  

2 1 1 0  I  ( x3  x2  x) ln(x  2)  1 3 2 6 



1 6

0



1

(4x2  5x  16 

0



1

4x3  3x2  6x dx x2

32 )dx x2

 1  4 3 5 2 x  x  16x  32 ln(x  2)  6  3 2 

0

 1

16 119 . ln 2  3 396

 du  cos x dx u  ln(1  sin x)  ặt  2) Đ  .

1  sin x dv  sin xdx  v cos x   

3) I   x3 ln2 xdx 1

x sin x

2 0 cos x

x2  2x exdx 1

e

x 2e x 2

x  2

dx

dx

 2 0

I   cos x. ln(1  sin x)

 2



0

cos2 x dx  1  sin x

 2



 (1  sin x)dx  2  1 .

0

 du  2 ln x dx  2  u  ln x x   3) Đặt  dv  x3dx  1  v  x4 4  I

e 1 4 2 e 1 e4 1 x ln x   x3 ln xdx   J 4 2 4 2 1 1

 du  dx u  ln x  1 x  1   Đặt  4 dv  x3dx  x  1 v1   4 J

e e 1 4 1 e4 e4 1 3e4  1 x ln x   x3dx     4 4 4 16 16 16 1 1

I

4

5e  1 .

32

4) Ta có : I 

 4

1 x dx  2 cos2 x 0

u  x  du  dx Đặt  dx   dv  v  tan x  cos2 x 1  I  x tan x 2

 4 0

 4



0



4  1    ln 2 . tan xdx   ln|cos x| 8 2 8 0

 du  dx u  3  ln x   x   5) Đặt  dx dv   1   v  (x  1)2 x 1  3

3

3

3  ln x dx 3  ln 3 3 x     ln x  1 1  x(x  1) 4 2 x 11 1 3  ln 3 3   ln .

4 2 u  x du  dx   6) Đặt   sin x  dv  v  1 dx 2   cos x cos x I

I

 x 3 |0 cos x

 3



0

dx 2  J cos x 3

 3

Mà : J  

0  3

 3

cos xdx



2

1  sin x



0

d(sin x) (1  sin x)(1  sin x)  3

1 1 1 1 1  sin x  (  )d(sin x)  ln 2 1  sin x 1  sin x 2 1  sin x

 ln(2  3)

0

0

2 I  ln(2  3) .

3

7) Đặt : t  x2  dt  2xdx hay xdx 

1 dt 2

Đổi cận: x  0  t  0, x  1  t  1 1

1 Khi đó: I   t.et dt 2 0



du  dt   dv  et dt v  et  

u  t Đặt 

Do đó: I 

  1 1 1  t 1 1  1 t.et  et  te   et dt   2  2 2 0 0   0





 u  x2  2x 8) Đặt :   x dv  e dx







Khi đó: I  x2  2x ex K

ln 3



du   x  2 dx    v  ex  ln 3 1

ln 3



x 2  2x  2 e dx  ln 3  2 ln 3  e  K 1

ln 3

ln 3

x x x  2x  2 e dx   2x  2 d e   2x  2 e 1 1

ln 3



1

 2x  4  ex

ln 3 1



1

ln 3

  ex 2dx  2x  2 e x  2ex   1

 2 ln 3  4 3  2 e  6 ln 3  12  2e





Do đó, I  ln2 3  2 ln 3  e  6 ln 3  12  2e  ln2 3  8 ln 3  12  e  u  x2ex du  2x.ex  x2ex dx  xex 2  x dx    9) Đặt : dv  dx   1   2  v   x  2  x2  



2



2

2 2 x 2ex Khi đó: I   dx     xex dx  e2  xex  ex  1 2 x2 0 0  x  2 0 0

e

10) I  

1

x 2ex

e

x ln2 x 2

ln x  1

dx  

1



e

x 2

ln x  1

dx  

1

x 2

 ln x  1

dx



e





1



dx  e

x ln2 x  1

e

lnx  1 x dx   .x.dx   dx  I1  I2  2 2 ln x  1 1  ln x  1 1 1  ln x  1

2

ln x  1

e

e

Trong đó: I1  

1

x

e

lnx  1 .x.dx và I2  ln x  1



1

x 2

ln x  1

dx

 2 du  dx  lnx 1   2 u   x ln x  1  Đặt:  ln x  1     x2 dv  xdx  v  2  I1 

e



1

lnx  1 lnx  1 x2 .x.dx  . ln x  1 ln x  1 2 1

11) I  

0

1

1  x  . 1  x 3 3

3

dx 

1



0

e

 I2  1

1 1  I2 . Vậy, I  2 2

1  x3  x3

1  x  . 1  x 3 3

3

dx 

1



0

1

1 3

1 x

3

dx  

0

x3

1  x  . 1  x

 J1  J2

1  x3  2 3   1  x3  ' 3 1  x3   3       1 x2  '      2 2  3 1  x3  3 1  x3 3 1  x3 1  x3  .3 1  x3       x2  1 u    du dx  1 3 3 3 3 3  Tính : J1   dx . Đặt:      1 x .

1 x  1 x   3 3 0 1 x dv  dx   v  x 1



1

1    x x3 1    J1   dx   J2 3  3 3 3 3 3  1  x  2 0 1 x . 1 x 0



Khi đó: J  J1  J2  

12) I  



1 3

2

 J2  J2 

1 3

2

.

6x  32  cos x.sin2 xdx   4 

3

1  sin x

0

1  sin3 xdx

0

 2 u  6x  3 du  6dx   2   Đặt  cos x.sin x dv  v  2 1  sin3 x   3 1  sin3 x 



Khi đó I  6x  32





2 1  sin3 x  42 .

3 0



3 3

3

dx

Chủ đề 9. Một số dạng tích phân đặc biệt Ví dụ 3.9.1. Tính các tích phân sau  2

1) I 

sin4 x



4

4

0 sin x  cos x

dx

2) I 

 4

 ln(1  tan x)dx

3)I 

0

 3

dx

 1  tan x  6

Lời giải.   t  dx  dt .

2   Đổi cận x  0  t  ; x   t  0 .

2 2

1) Đặt x 

 sin4 (  t) 2

0

I  

 4   sin (  t)  cos (  t) 2 2 2 4

 2I 

 2



0

 2

4

sin x 4

4

sin x  cos x

2) Đặt x 

dt 

dx  

0

 2

cos4 t



4 4 0 sin t  cos t

4

cos x 4

4

sin x  cos x

dx 

dt 

 2

 2

cos4 x



4 4 0 sin x  cos x





 dx  2  I  4 .

0

    t  dx  dt . Đổi cận x  0  t  ; x   t  0.

4 4 4

0

 I   ln[1  tan(  t)]dt  4  4

 4

 ln 2. dt  I  2I  0

 4

1  tan t

 4

 ln(1  1  tan t )dt   [ln 2  ln(1  tan t)]dt 0

0

 ln 2 . ln 2 I .

4 8

  x  dx  dt 2     Đổi cận: x   t  ; x   t  .

3 6 6 3

3) Đặt t 

I

 3

dx .

 3

dt



tan t.dt

 3

tan x.dx

 1  cot t  1  tan t  1  tan x 

 6

 2I  I  I 

 6

 3

dx



 6

 3

tan x.dx

 3





 1  tan x   1  tan x   dx  6  I  12 .  6

 6

 6

(   0 ).

Ví dụ 3.9.2.  2

 sin

1) Chứng minh rằng:

n

xdx 

0

2) Cho I 

a



a

 2

 cos

n

xdx

0 a

f (x)dx . Cmr: a) I  2 f (x)dx nếu f là hàm số chẵn 0

b) I  0 nếu f là hàm số lẻ 1

Áp dụng : Tính I 



ln3 (x  x2  1)dx .

1

3) Cmr nếu f là hàm số chẵn thì Áp dụng: Tính I  



4) Cmr

0

2

2x2  1



x 2 2  1

b



f (x)

x b a  1

dx 

b

 f (x)dx .

0

dx .



 xf (sin x)dx   f (sin x)dx . Áp dụng: Tính I  2 0





0

x sin x 4  sin2 x

Lời giải.

1) Đặt x 

    t  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  ; x   t  0 2 2 2

 2



0





 2

 2

0

0

 sin xdx   sin  2  t (dt)   cos t.dt   cos x.dx .

0

 2

a

2) Ta có: I   f (x)dx  0

0



f (x)dx

a

Đặt t  x  dx  dt . Đổi cận: x  a  t  a; x  0  t  0 0





f (t).(dt) 

a

I

a

a

0

0

 f (t)dt   f (x)dx

a

a

0

0

 f (x)dx   f (x)dx

a) Nếu f là hàm chẵn thì f (x)  f (x) . I

a



0

a

a

0

0

f (x)dx   f (x)dx  2 f (x)dx . a

a

0

0

b) Nếu f là hàm lẻ thì f (x)  f (x)  I   f (x)dx   f (x)dx  0 . Áp dụng:Tính I 

1



ln3 (x  x2  1)dx .

1

Xét hàm số f (x)  ln3 (x  x2  1) , ta thấy f xác định trên  và

dx .

1

f (x)  ln3 ( x2  1  x)  ln3

  ln3 (x  x2  1)  f (x)

2

x 1  x  f (x) là hàm số lẻ. Do đó theo công thức trên, ta suy ra : I  0 . b

f (x)

3) Ta có: I  

0

f (x)

dx x x   a 1 a 1 0 b Đặt t  x  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  0; x  b  t  b 0





b

f (x) ax  1

I

b



0

dx 

0



b

dx 

f (t) at  1 b

f (x) ax  1

dx  

0



(dt) 

b



0

a x f (x) ax  1

dx 

b



a t f (t) at  1

dt 

b



0

f (x)  a x f (x) ax  1

0

a x f (x) ax  1

dx 

dx (do f (t)  f (t) ).

b

 f (x)dx .

0

Áp dụng: Vì hàm số f (x)  2x2  1 là hàm số chẵn nên theo công thức trên, ta có: I

2

2

2x3 (2x  1)dx  (  x) 3 2



0

 0

22 .

3

4) Đặt t    x  dt  dx . Đổi cận: x  0  t  ; x    t  0 I





xf (sin x)dx 

0





(  t)f sin(  t) dt 



0 

0

0 



 (  t)f (sin t)dt 0



  f (sin t)dt   tf (sin t)dt   f (sin t)dt  I 0

I



 2I    f (sin t)dt  I  0



Áp dụng: Tính I  

0





 f (sin x)dx .

2 0

x sin x 4  sin2 x

dx . Theo công thức trên, ta có:



sin x d(cos x) 5  cos x    I  dx   ln  2 4  sin2 x 2 5  cos2 x 4 5 5  cos x 0 0   5 1 5  1   5 5 1   ln ln    5 ln 2 .

4 5  5 1 5  1 

 0

Bài tập Bài 3.9.1.

1) Cho f liên tục trên a; b . Chứng minh rằng: b

 a

1

f (x)dx  (b  a)  f a  (b  a)x  dx .

0

2) Cho hàm f liên tục trên a; b thỏa f (a  b  x)  f (x), x  a; b Chứng minh:

b

 a

xf (x)dx 

b

ab f (x)dx .

2  a

Bài 3.9.2. Tính các tích phân sau  2

 2

4 sin xdx

1) I  

2) I  

3

0 s inx  cosx 

4) I   ln(1  3 tan x)dx

6) I   ln 0

3

0 sin x  cos x 

 3

0  2

3 sin x  2 cos x

1 cos x

(1  sin x) 1  cos x

5) I  

3) I   log 2 1  t anx dx

dx

0

ln(9  x)

4

2

ln(x  3)  ln(9  x) 1

7) I  

dx

 4

dx  6

3 x

x e

x2dx

8) I  

2 0 (x  3)

2 0 (x sin x  cos x)

Hướng dẫn giải Bài 3.9.1.

1.Đặt t 

xa  dx  (b  a)dt ba 1

1

0

0

Khi đó: I  (b  a)  f [a  (b  a)t]dt  (b  a)  f [a  (b  a)x]dx .

2. Đặt x  a  b  t b

a

a

b

Suy ra I   xf (x)dx   (a  b  t)f (a  b  t)dt b



b

b

a

a

 (a  b  x)f (x)dx  (a  b) f (x)dx   xf (x)dx a

b

 I  (a  b)  f (x)dx  I  I  a

b

ab f (x)dx .

2  a

Bài 3.9.2.

1) Đặt : t 

   x  x   t  dt  dx 2 2

  Đổi cận: x  0  t  , x   t  0 2

2   4 sin   t  2 

0

Khi đó: A  

0

         t  cos    t sin  2   2   2  

2A 

 2



0

4 s inx  cosx 3

s inx  cosx 

  2 A  tan  x    2 4   0

 2

dx  A  2

0

3

dt  

4 cos t 3

 cost+sint 2

 2

1 2

s inx  cosx

dt 

 2



4cosx

1 dx   0 2 cos2  x    4 

dx  2

3

0 sinx+cosx

dx

.

2) Đặt x 

    t  dx  dt, x  0  t  , x   t  0.

2 2 2  2

Suy ra: I  

3 sin x  2 cos x 3

0 sin x  cos x 

2I  I  I 

 2



dx 

3 sin x  2 cos x 3

0 sin x  cos x 

 2

3 cos t  2 sin t



3

0 cos t  sin t 

 2

dt 

3 cos x  2 sin x

dx  

3

0 cos x  sin x 

 2

 2

3 cos x  2 sin x



3

0 cos x  sin x 

dx 

 2

dx

1



2

0 sin x  cos x 

 2

dx



  1 1 1  1  2 dx   d  x    tan  x    1     2 4  2 4      0 0 2 cos2  x   0 cos2  x       4  4  

   x  x   t  dx  dt 4 4

3) Đặt : t  0

0 0     1  tan t  2       dt    log 2 I   log 2 1  tan   t dt    log 2 1  dt        1  tan t  1  tan t 4      4

I

4

4



0

log2 2  log2 1  tan tdt  2I  t 4 



0

 4

4) Đặt x 

  I .

4 8

 t 3 0







 3



0



Suy ra I   ln 1  3 tan(  t) dt   ln 1  3  3    3

 3



 ln 1  0

4 3 tan t

dt 

 3

 3

0

0

 ln 4dt   ln(1 

3  tan t   dt 1  3 tan t 

3 tan t)dt

  ln 2 . ln 4  I  I  3 3 5) Đặt x  6  t ta có 

2

ln(3  t)

I  

ln(9  t)  ln(3  t)

4

dt 

4



2

ln(3  x) ln(9  x)  ln(3  x)

dx

Suy ra II

4



2

4



ln(3  x) ln(9  x)  ln(3  x)

 dx  2  I  1 .

2

4

dx  

2

ln(9  x) ln(9  x)  ln(3  x)

dx

 2

 2

6) Ta có I   (1  cos x) ln(1  sin x)dx   ln(1  cos x)dx 0

Đặt x 

0

 t  2

 2

 2

 (1  cos x) ln(1  sin x)dx   (1  sin t) ln(1  cos t)dt 0

0

 2



 (1  sin x) ln(1  cos x)dx 0

 2

Suy ra I   sin x ln(1  cos x)dx 0

 du   sin x dx u  ln(1  cos x)    Đặt  1  cos x dv  sin xdx  v   cos x

I   cos x ln(1  cos x) 1

7) Ta có: I  

0

 2 0

 2



0

cos xd(cos x)  2 ln 2  1 .

1  cos x 1

1  1  x 3e x d(x3ex )    x e d    x  3  x3 x3 3 x

0

0

1



e 3e  x2ex dx  2.

4  4 0

1 x cos x )  8) Ta có ( x sin x  cos x (x sin x  cos x)2  6

 6

1 x x cos x x dx   d( ) cos x (x sin x  cos x)2 cos x x sin x  cos x 0 0

Nên I  

 6





0



x 1 d( ) cos x x sin x  cos x  6

 6

x 1 1 x  d( ) cos x x sin x  cos x 0 x sin x  cos x cos x 

0  6

6 x 1 4 3   dx    . cos x(x sin x  cos x) 0  cos2 x 3  3  18 0

Chuyên đề 10. Tính diện tích hình phẳng 10.1. Phương pháp Cho hàm số y  f  x liên tục trên a; b . Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y  f  x ; trục Ox : ( y  0 ) và hai đường thẳng x  a; x  b là: S

b

 f x dx . a

b



f  x  dx 

a

b

 f x dx

công thức này chỉ đúng khi f  x không đổi dấu trên khoảng a; b .

a

Nếu: f  x  0 , x  a ; b thì Nếu f  x  0 , x  a ; b thì

b



f  x dx 

a

b

 a

b

 f x dx a

b

f  x  dx   f  x  dx a

Chú ý: Nếu phương trình f  x  0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , ..., x k trên a; b thì trên mỗi khoảng a; x1  ,  x1 ; x2  ...  x k ; b biểu thức f  x không đổi dấu. b

Khi đó tích phân S   f  x dx được tính như sau: a

S

b

 a

f  x dx 

x1



f  x dx 

a

x2



f (x)dx  ... 

x1

b

 f x dx .

xk

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  f  x và y  g  x và hai đường thẳng x  a, x  b a  b : S 

b

 f x  g xdx . a

10.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.10.1. Tính diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường: 1. Đồ thị hàm số: y   x , trục hoành và đường thẳng y  2  x .





2. Đồ thị hàm số: y  e  1 x và y  ex  1 x .

3. Đồ thị hàm số: y  ex  1, trục hoành, x  ln 3 và x  ln 8 Lời giải 1. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số: y   x và đường thẳng y  2  x là nghiệm của phương trình:  x  2  x  x  x  2

x  2 x  2     x4 2 2  x  5x  4  0 x  x  4x  4

Diện tích hình phẳng H giới hạn: S

2

4





xdx   2  x  x dx



0

2

4

2   2 x2 2 3    x   2x   x3  3  2 3    0  2

4 2 16 4 2  10 .    2    3 3 3  3



2. Phương trình hoành độ giao điểm:

e  1 x  1  ex  x

x  0  x ex  e  0    x e  e





1

 x  0 x  1 





1





Diện tích hình phẳng H giới hạn: S   e  1 x  1  ex xdx   x e  ex dx 0



0



Với x  0;1 , ta luôn có: x e  ex  0 1





  Vậy, S    x e  ex  dx 0



u  x

du  dx    dv  e  ex dx v  ex  ex  

 Đặt 







 S   x ex  ex  S

ln 8



1

1  2  1  x  ex  ex     e  e  1   e  1 3.  ex  e dx         2  2  0    2    0 0







ex  1dx .

ln 3

Đặt t  ex  1  t 2  ex  1  ex  t 2  1  e x dx  2tdt hay dx  3

Khi đó: S  

2

2t 2 t2  1

dt 

3



2





 2  t2  1 dt  2t  ln 2

2t 2

t 1

dt

  t  1  3  3   2  ln   t 1 2  2

Ví dụ 3.10.2.

1. Cho hàm số y  x4  m  1 x2  m có đồ thị Cm  . Xác định m  1 để đồ thị Cm  cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi Cm  và trục Ox có diện tích phần phía trên trục Ox bằng diện tích phần phía dưới trục Ox .





2. Tìm các giá trị tham số m   sao cho: y  x4  m2  2 x2  m2  1 , có đồ thị Cm  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi Cm  với trục hoành 96 phần phía trên Ox có diện tích bằng .

15

Lời giải 1. Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt  x4  m  1 x2  m  0 1 có 4 nghiệm phân biệt  t2  m  1 t  m  0 2 có 2 nghiệm dương phân biệt  2   m  1  4m  0   m  1  0  0m1  m  0 

Với 0  m  1 thì phương trình 2 có 2 nghiệm là t  1, t  m , vì m  1 nên 4 nghiệm phân biệt của 1 theo thứ tự tăng là:  m,  1,1, m Theo bài toán, ta có: SH  SH  1 2 1





0



0





4

2

x  m  1 x  m dx 

0

m



x4  m  1 x2  m dx

1

m

 4   4  2 2  x  m  1 x  m dx     x  m  1 x  m dx    

m



1

1

 5  x3  x  4  2         x m 1 x m dx 0 m 1 mx           3  5 

m

0 0

m m 1  1  0  m  5 5 3

Vậy, m  5 thỏa bài toán.





2. Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt  x4  m2  2 x2  m2  1  0  hay

x2  1x2  m2  1  0 có 4 nghiệm phân biệt, tức m  0 .

Với m  0 thì phương trình  có 4 nghiệm phân biệt 1;  m2  1 Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi Cm  với trục hoành phần phía trên trục hoành là: 1

20m2  16 96 96      m  2 S  2  x 4  m2  2 x 2  m2  1 dx   15 15 15  0





Ví dụ 3.10.3. Cho hàm số y  x3  3x2  2 , có đồ thị C . M là điểm thuộc C có hoành độ x M  1 , Tiếp tuyến tại M cắt đồ thị C tại điểm thứ hai N ( khác M ) , Tiếp tuyến tại N cắt đồ thị C tại điểm thứ hai P ( khác N ). Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị C và đường thẳng MN , S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và đường thẳng NP . Tính tỉ số

S1

S2

.

Lời giải x  1  X Thực hiên phép biến đổi phép tịnh tiến  . Trong hệ trục mới đường y  Y

cong C có phương trình Y  X 3  3X . M là điểm thuộc C có hoành độ x M  m  0 , không mất tính tổng quát có thể coi m  0 Tiếp tuyến tại M có phương trình :







 



y  3m2  3  x  m  m3  3m  3m2  3 x  2m3

Hoành độ giao điểm N của tiếp tuyến tại M và C là nghiệm của phương trình :





2

x3  3x  3m2  3 x  2m3   x  m

x  2m  0  x  2m

vì x  m .

Tiếp tuyến tại N có hoành độ x  2m có phương trình :







 



y  12m2  3  x  2m  8m3  6m  12m2  3 x  16m3

Hoành độ giao điểm P của tiếp tuyến tại N và C là nghiệm của phương trình :





2

x3  3x  12m2  3 x  16m3   x  2m

x  4m  0  x  4m

vì x  2m Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và đường thẳng MN là: S1 

m



2m

3



2



m

3

x  3x  3m  3 x  2m dx 

2

 x  m  x  2m dx

2m

m

  4   x  m  3 2 3 27m4    x  m  3a  x  m  dx    m  x  m       4 4   2m   2m m

Hiện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và đường thẳng NP là S2 

4m



2m





x3  3x  12m2  3 x  16a 3 dx 

a

2

  x  2m  x  4mdx

2a

4m

  4  x  2m  3 2 3    x  2m  6m  x  2m  dx   2m  x  2m   108m4     4   2m   2m 4m

27m4 S 1 Vậy, 1  4  .

S2 108m4 16

10.3. Bài tập vận dụng Bài 3.10.1. Tính diện tích hình phẳng D biết: 1) D được giới hạn bởi: P : y  x2  x  3 và đường thẳng y  2x  1 .

2) D được giới hạn bởi: y  x2  4x  3 và y  x  3 3) D được giới hạn bởi: y  x2 ; y  2  x2 4) D được giới hạn bởi: y  x2 ; x  y 2 .

5) D được giới hạn bởi: y  4 

x2 x2 và y  4 4 2

6) D được giới hạn bởi: y  (e  1)x; y  (1  ex )x 7) D được giới hạn bởi: y  0; y 

x 1  x x2  1

8) D được giới hạn bởi: y  x ; y  x(2  tan2 x) và x 

 .

4

Bài 3.10.2. Cho (P) : y  x2 . Gọi A, B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB  2 . Tìm A, B sao cho diện tích của phần giới hạn bới (P) và cát tuyến AB lớn nhất?

Bài 3.10.3. Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P) : y  x2 và phía trên bởi đường thẳng đi qua A(1; 4) có hệ số góc k . Tìm k để (H) có diện tích nhỏ nhất?

Bài 3.10.4. Tìm m để đồ thị (C) : y  x4  2mx2  m  2 cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi (C) và Ox bằng diện tích hình phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi (C) và Ox .

Hướng dẫn giải Bài 3.10.1.

1) Parabol (P) và đường thẳng d : y  2x  1 cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ x  1; x  2 .

Trên đoạn 1; 2 ta thấy đường thẳng d nằm trên y Parabol (P) nên ta có diện tích cần tính là: S

2



1

2

  2 (2x  1)  (x  x  3) dx   2

   x3 x2   (x  x  2)dx     2x  3 2   1 1 

2

8 1 1 9  2  4    2  (đvdt).

3 3 2 2

2) Ta thấy phương trình : | x2  4x  3| x  3 có hai nghiệm x  0; x  5 Dựa vào đồ thị, ta có:

5

S

 (x  3| x

2

 4x  3|)dx

8

0

1



3

5

1

3

(5x  x2 )dx   (x2  3x  6)dx   (5x  x2 )dx



0

1

3

5

0

1

3

5x2 x3 x3 3x2 5x2 x3 (  ) (   6x)  (  ) 2 3 3 2 2 3

3

13 26 22 109 .     6 3 3 6

O

3) Ta thấy phương trình : x2  2  x2 có hai nghiệm x  1 Dựa vào đồ thị, ta có: 1

SD 

2



1

1

2

2

y

2

0

2x3 2  x dx  3

1

1

2

 2

0

0

2  x2 dx 

 2

0

2 3 -1

Đặt x  2 sin t  dx  2 cos tdt Đổi cận: x  0  t  0; x  1  t 



 4

2  x2 dx  2 cos2 xdx 



0

5

3

( 2  x  x )dx  2 ( 2  x  x )dx

1

1

1

0

 4



0

1

x

 .

4 

4  1 1 (1  cos 2x)dx  (x  sin 2x)   2 4 2 0

 2 3  2 Vậy: SD   1   .

2 3 6

4) Hình phẳng D được giới hạn bởi hai đồ thị y  x2 và y  x . Hai đồ thị này cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ là x  1; x  0 .  SD 

0



( x  x2 )dx 

1

1

 0

1

  x3  1 2 x  x2 dx   x x    .  3 3  3  0



5) Xét PTHĐ giao điểm của hai đồ thị y  4 

x2 x2 và y  : 4 4 2

x2 x2 x2 x4   4   x 2  8  x  2 2 .

4 4 32 4 2

4

Trên 2 2; 2 2  , ta có: 

SD 



x2 x2 nên diện tích cần tính là:  4 4 2

  2 2 2 2  x2 x2  1 2       4 dx 16 x dx x2dx      4 4 2  2 2 0 0 2 2  2 2

2 2

Ta có:

4



0

x3 x dx  3

2 2

2

 0

16 2 3

Đặt x  4 sin t  dx  4 cos tdt . Khi đó: 2 2

 4

 4

0

0

16  x2 dx  16 cos2 tdt  8 (1  cos 2x)dx  2  4



0

Vậy: SD  2 

4 .

3

6) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã ch o là: (e  1)x  (1  ex )x  x  0; x  1 1

1

1

0

0

0

Diện tích cần tính là: SD   | xe  xex |dx  e xdx   xexdx 1

Ta có:

1

 xdx  2 .

0

u  x du  dx Đặt    x x   dv  e dx v  e 1





xex dx  xex

0

 SD 

1

1

  ex dx  e  e  1  1

0

0

e  1 (đvdt).

2

7) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là: x(1  x) 1 x

SD 

2

1



0

 0  x  0; x  1 và

x(1  x) 1 x

2

dx 

1

x(1  x) 1 x

1

2

 0 x  0;1 nên diện tích cần tính là:

x

 (1  x2  1  x2  1)dx 0

 1   ln 2  1 (đvdt).

4 2

8) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho: x  x(2  tan2 x)  x  0   

 4 

 và x(2  tan2 x)  x  x(1  tan2 x)  0 x  0;  nên diện tích cần tính là:

SD 

 4

 x(1  tan

2

x)dx

0



u  x Đặt 

du  dx   dv  (1  tan x)dx v  tan x 

 SD 

 x tan x 4 0

2

 4



0



  1 tan xdx   ln|cos x| 4   ln 2 .

0 4 4 2

Bài 3.10.2.

Gọi A(a; a 2 ), B(b; b2 ) và a  b . Vì AB  2  (a  b)2  (a 2  b2 )2 )  4 Đường thẳng AB có phương trình : y  (a  b)x  ab Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và AB là:

b

b

  x3  (b  a)3 a  b 2  x  abx   S   [(a  b)x  ab  x2 ]dx    2 3  6  a a Ta có: (a  b)2 1  (a  b)2   4  (a  b)2  4  (a  b)3  8   a  b  0 a  1 8 4 .    S   . Đẳng thức xảy ra   b  a  2 b  1 6 3

Vậy A(1;1), B(1;1) là hai điểm cần tìm.

Bài 3.10.3. Đường thẳng  đi qua A , hệ số góc k có phương trình : y  k(x  1)  4  kx  k  4 .

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và  : x2  kx  k  4  x2  kx  k  4  0 (1) Dễ thấy (1) luôn có hai nghiệm x1  x2 .

Khi đó, diện tích (H) là: x

x2

  2 x3  k S   (kx  k  4  x )dx   x2  (4  k)x    2 3   x1 x1 2

k 2 1 (x2  x12 )  (4  k)(x2  x1 )  (x23  x13 ) 2 3 x  x1  x2  x1 2  2  2 (k  4k  16) .  3k(x1  x2 )  6(4  k)  2(x1  x2 )  2x1 x2     6 6 

Ta có: (x2  x1 )2  (x2  x1 )2  4x1x2  k 2  4k  16  (k  2)2  12  12 2 3 .12  4 3 . Đẳng thức xảy ra  k  2 .

6 Vậy k  2 là giá trị cần tìm. S

Bài 3.10.4.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox : x4  2mx2  m  2  0

(1).

2

2

Đặt t  x , t  0 , ta có phương trình : t  2mt  m  2  0 (2).

Yêu cầu bài toán  (2) có hai nghiệm t  0 phân biệt  2  '  m  m  2  0   S  2m  0  m  2.  P  m  2  0 

Gọi t1 , t 2 (0  t1  t 2 ) là hai nghiệm của (2). Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là: x1   t 2 ; x2   t1 ; x3  t1 ; x4  t 2 .

Do tính đối xứng của (C) nên yêu cầu bài toán x3



 (x 0

4

2

 2mx  m  2)dx 

x4

 (x

4

 2mx2  m  2)dx

x3

x5 2mx43  4   (m  2)x4  0  3x44  10mx42  15(m  2)  0 5 3

 4 2  x  2mx4  m  2  0  x4 là nghiệm của hệ:  4  4 2   3x4  10mx4  15(m  2)  0 3(m  2) thay vào hệ ta có được  4mx24  12(m  2)  0  x24  m

9

(m  2)2 m2

 6(m  2)  m  2  0  9(m  2)  5m2  0 (do m  2 )

 5m2  9m  18  0  m  3  x4  5 .  x  1 Với m  3  (1)  x4  6x2  5  0   .  x   5

Vậy m  3 là giá trị cần tìm.

Chủ đề 11. Tính thể tích vật thể

11.1. Phương pháp 2.1.1. Tính thể tích của vật thể Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x  a, x  b (a  b) . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x (a  x  b) cắt C theo một thiết diện có diện tích S(x) . Giả sử S(x) là hàm liên tục trên [a; b] . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp(P) và (Q) được tính theo công thức:

V

b

 S(x)dx . a

2.1.2. Tính thể tích vậy tròn xoay Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y  f (x); y  0; x  a; x  b quanh trục Ox Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt ph ẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ bằng x là một hình tròn có bán kính R  f (x) nên diện tích thiết diện bằng S(x)  R 2  f 2 (x) . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính th eo công thức : V

b

 a

b

S(x)dx    f 2 (x)dx . a

y y  f (x )

O

x

a

a

b

x

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y  f (x), y  g(x), x  a, x  b ; f (x), g(x)  0 x  a; b thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức:

b

V    f 2 (x)  g 2 (x) dx . a

Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  f (x), y  a, y  b, Oy quanh trục Oy .

Từ phương trình y  f (x) ta tìm được x  g(y) . Khi đó thể tích cần tính là: b

V   g 2 (y)dy . a

Chú ý: Trong trường hợp ta không tìm được x theo y thì ta có thể giải bài toán theo cách sau.

Chứng minh hàm số y  f (x) liên tục và đơn điệu trên [c; d] với c  min g(a), g(b) , d  max g(a), g(b) . Khi đó phương trình y  f (x) có duy nhất nghiệm x  g(y) .

Thực hiện phép đổi biến x  g(y), dy  f '(x)dx ta có: d

V    x2 f '(x)dx . c

11.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.11.1. Tính thể tíc h của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường: 1) y  x cos x  sin2 x, y  0, x  0, x  2) y  xex , y  0, x  0, x  1 .

3) (x  a)2  y 2  b2

 .

2

(a  b  0) .

Lời giải.

1) Ta có thể tích khối tròn xoay cần tính là:  2

 2

0  2

0

 2

 2

0

0

V    y 2dx    (x cos x  sin2 x)dx    x cos xdx    sin2 xdx

Ta có:



0

 2



 2  1 1 1 sin2 xdx   (1  cos 2x)dx   x  sin 2x  .  2 2 2 4  0 0

u  x du  dx Đặt    dv  cos xdx v  sin x  2



 x cos xdx  x sin x 0

 2 0

 2

  sin xdx  0

 1 2

  (3  4) Vậy V  (  1)    .

2 4 4 1

2) Thể tích khối tròn xoay cần tính là: V   x2e2xdx 0

du  2x   u  x2    Đặt   dv  e2x dx v  1 e2x   2

1 1 1 2 2x 1 e2 2x V x e   xe dx    xe2x dx 2 2 0 0

0

du  dx  u  x   Đặt  dv  e2x dx v  1 e2x dx   2 1





0

1 1 1 1 e2 e2x xe dx  xe2x   e2x dx   2 2 2 4 0

1

2x

0

V

2

2

 0

e2  1 4

2

e e 1 e 1 .   2 4 4

3) Xét hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  b2  (x  a)2 và Ox . Thể tích khối tròn xoay cần tính bằng thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox, do đó ta có thể tích cần tính là: V

ab



[b2  (x  a)2 ]dx

y

y  b 2  (x  a )2

O

x

ab ab

ab

  x3  4   (b  x  2ax  a )dx   (b2  a 2 )x  ax2   b3 .  3 3   ab ab 2

2

2

Ví dụ 3.11.2.

1) Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 4y  x2 ; y  x . Tính thể tích vật tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox một vòng.

2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y  x ln(1  x2 ), y  0, x  1 quanh Ox.

Lời giải.

1)Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y  x2  x  x  0; x  4 .

4

x2 và y  x : 4

Thể tích khối tròn xoay c ần tính là: V

4



0

x4  x2 dx  16

4

4

 3  x4 x5  128  x (đvtt). (x  )dx        16 3 80 15    0 0 2

2) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y  x ln(1  x2 ) và y  0 : x ln(1  x2 )  0  x  0 .

1

Thể tích cần tính: V   x2 ln(1  x2 )dx .

0

  2x  du  dx   2   2 u  ln(1  x )    1 x  Đặt     2   x3  dv  x dx  v   3   1

1

1

x3 2 x4   x ln(1  x )dx  ln(1  x2 )   dx 3 3 1  x2 0 0 0 2

2

1



ln 2 2 1 )dx   (x2  1  3 3 1  x2 0

1

1

ln 2 2 x3 2 dx   (  x)   3 3 3 3 1  x2 0 0 

ln 2 4 2  12 ln 2  16  6 (đvtt).   .  3 9 3 4 36

Ví dụ 3.11.3. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay D quanh trục Oy , với D là hình giới hạn bởi các đường: 2) (x  2)2  y 2  1

1) y  x, y  2  x, y  0

Lời giải.

1) Ta có D giới hạn bởi các đường x  y 2 ; x  2  y; y  0 . Đường x  y 2 cắt đường x  2  y tại điểm y  1 Nên thể tích cần tính là: V

1



0

 2 4 (2  y)  y  dy   

1

 (4  4y  y

2

 y 4 )dy

1

0 1

O

  y 3 y 5  32  (đvtt).  4y  2y 2      3 5  15  0

x

2) Hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường : x  2  1  y 2 và x  2  1  y 2 Do D đối xứng qua Ox , nên thể tích cần tính là: 1

1

  V  2 (2  1  y 2 )2  (2  1  y 2 )2  dy  16 1  y 2 dy   0 0

Đặt y  sin t  dy  cos t.dt .

Đổi cận: y  0  t  0; y  1  t   2

 2

0

0

 V  16 cos2 t.dt  8

 .

2 

 2 1 (1  cos 2t)dt  8  x  sin 2x  4 .  2  0

11.3. Bài tập vận dụng Bài 3.11.1. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi cho D quay quanh Ox . Biết D được giới hạn bởi các đường: 1) y  x2  2x, y  0

2) y  4  x2 , y  2  x2

3) y  x2  4x  6, y  x2  2x  6

4) y  x2 ; y  x  .

2

5) y  0; y  1  sin4 x  cos4 x; x  0, x 

Bài 3.11.2. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi cho D quay quanh Oy Biết D được giới hạn bởi các đường: 1) y  (x  2)2 , y  4

2) y 2  x, x  y 2

3) y  x  2, y  x .

Hướng dẫn giải Bài 3.11.1.

1) Phương trình ho ành độ giao điểm: x 2  2x  0  x  0, x  2 .

Thể tích vật thể cần tính là: 2



VD    x2  2x 0

2



16 dx  15

2) Phương trình hoành độ giao điểm: 4  x 2  2  x 2  x  1

Do tính đối xứng nên thể tích vật thể cần tính là: 1  2 VD  2   x2  4  x2  2 0 



 

2

  dx 8

3) Phương trình ho ành độ giao điểm x 2  4x  6   x 2  2x  6  x  0, x  1

Thể tích vật thể cần tính: 1  2 VD     x2  2x  6  x2  4x  6 0 



 

2

  dx 

4) Phương trình hoành độ giao điểm là: x 2  x  x  0, x  1 1





Thể tích vật thể cần tính: VD   x  x4 dx  0

3 10

5) Thể tích cần tính là: VD 

 2

 1  sin

4



x  cos4 x dx 

0

 2

1 7 7  cos 4x dx  8 .

4 0

Bài 3.3.6.

1) Thể tích vật thể cần tính là: 4  VD     0 



2

2

  2  y   dy  128 3

y 2



2) Thể tích vật thể cần tính là: 1





VD    y  y 4 dy  0

3 10

3) Thể tích vật thể cần tính là: 2   2 18 VD     y 2  2  y 2  dy  5  1 



