CHUYÊN ĐỀ KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM - PHẠM MAI TRANG - ĐHSPHN2

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ư

1. Hình thức dạy học ....................................................................................................... 2

TR ẦN

2. Kế hoạch dạy học ........................................................................................................ 2 C. NỘI DUNG BÀI HỌC .................................................................................................. 3 I. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM ................................................................................... 3

10 00

B

1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức................................................................ 3

A

2. Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AMGM. ............................................................................................................................. 3

H

Ó

3. Bất đẳng thức AM-GM ............................................................................................ 4

Í-

II. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM. .................. 5

-L

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên. ..................................... 5

ÁN

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở tâm. .................................... 11 3. Bài tập áp dụng. ..................................................................................................... 18

D

IỄ N

Đ

ÀN

D. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ ............................................................................................. 23

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

B. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC ........................................................................ 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ

A. MỤC TIÊU DẠY HỌC ................................................................................................. 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP ẠO

MỤC LỤC

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

CHUYÊN ĐỀ: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 1 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H

Ơ

N

A. MỤC TIÊU DẠY HỌC • Căn cứ: +) Chuẩn KT-KN +) Yêu cầu của nhà trường +) Khả năng, mong muốn của HS…

H Í-L

1 5 4 4 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

3. Bất đẳng thức AM-GM II. KỸ THUẬT CHỌN 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán ĐIỂM RƠI TRONG cực trị xảy ra ở biên.

BẤT ĐẲNG THỨC 2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán AM-GM cực trị xảy ra ở tâm.

3. Bài tập áp dụng Kiểm tra và chữa bài kiểm tra

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Tiết 1

Ó

I. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

Nội dung 1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức 2. Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AMGM.

A

2. Kế hoạch dạy học

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

10 00

B

B. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 1. Hình thức dạy học - Tổ chức các hoạt động nhóm: chia lớp thành các nhóm làm bài tập.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

• Mục tiêu dạy học: Về kiến thức: +) Học sinh hiểu các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. +) Học sinh biết các quy tắc khi làm bài toán bất đẳng thức. +) Học sinh hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). +) Học sinh chứng minh được bất đẳng thức AM-GM dạng 2 số không âm. +) Học sinh biết phương pháp quy nạp kiểu Cauchy. +) Học sinh hiểu kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM. Về kỹ năng: +) Học sinh dự đoán được điểm rơi xảy ra ở đâu. +) Học sinh vận dụng được bất đẳng thức AM-GM để giải các bài toán bất đẳng thức và cực trị.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 2 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

C. NỘI DUNG BÀI HỌC I. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức. +) a ≥ b ⇔ a − b ≥ 0

H

Ơ

N

a ≥ b +)  ⇒a≥c b ≥ c

Ó

A

10 00

B

+) Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si.

TO

ÁN

-L

Í-

H

+) Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.

D

IỄ N

Đ

ÀN

+) Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

+) Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

G

2. Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP ẠO

1 1 ≤ a b

Đ

+) a ≥ b > 0 ⇒

.Q

a ≥ b +)  ⇒a+c≥b+d c ≥ d

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

+) a ≥ b ⇔ a + c ≥ b + c

+) Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau.

Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

+) Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại 3. Bất đẳng thức AM-GM 3.1. Định lí

H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

= 2 k a1.….ak .....a2 k

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

 a1 = … = ak  Dấu "=" xảy ra ⇔  ak +1 = … = a2 k ⇔ a1 = ... = ak = ak +1 = ... = a2 k . a ...a = a ...a k +1 2k  1 k a +… + ap p ≥ a1.….a p +)Giả sử (1) đúng với n = p ta có: 1 p Ta đi CM (1) đúng với n = p − 1 a + … + a p −1 p −1 Đặt a p = 1 ≥ a1.….a p −1 p −1

a1 + … + a p −1 + a p

ÀN

p

a1 + … + a p −1 + p −1 a1.….a p −1 p

≥ p a1.….a p −1. p −1 a1.….a p −1

Đ IỄ N

≥

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

a1.….ak . k ak +1.….a2 k

B

k

)

10 00

≥

.Q

ẠO

(

TR ẦN

a1 + … + a2 k 1  a1 + … + ak ak +1 + … + a2 k  =  +  2k 2 k k  1 ≥ k a1.… .ak + k ak +1.….a2 k 2

H Ư

N

Ta đi CM (1) đúng với n = 2k

Đ

a1 + … + ak k ≥ a1.….ak k

G

+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có: Xét:

U Y

N

a1 + a2 ≥ a1a2 ( đúng) 2 Dấu "=" xảy ra ⇔ a1 = a2 . ⇒

Xét

D

a + a − 2 a1a2 ( a1 − a2 )2 a1 + a2 − a1a2 = 1 2 = ≥0 2 2 2

TP

+) Với n = 2 ta có:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Dấu "=" xảy ra ⇔ a1 = … = an .

3.2. Chứng minh Sử dụng phương pháp " quy nạp Cauchy"

N

a1 + … + an n ≥ a1.… .an (1) n

Ơ

Với mọi số thực dương a1 ,…, an ta có bất đẳng thức:

=

p −1

a1.….a p −1

⇒ a1 + … + a p −1 + p −1 a1.… .a p −1 ≥ p. p −1 a1.… .a p −1 ⇔ a1 + … + a p −1 ≥ ( p − 1) p −1 a1.… .a p −1

⇔

a1 + … + a p −1 p −1

≥

p −1

a1.….a p −1

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 4 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇔ a1 = … = a p −1

Ơ

N

Ta có điều phải chứng minh.

4. Một số hệ quả. 1 1 1 4.1. ( a1 + a2 + ... + a n )  + + ... +  ≥ n 2 với ∀ai > 0, i = 1, n an   a1 a2

H

1 1 1 n2 + + ... + ≥ với ∀ai > 0, i = 1, n a1 a2 an a1 + a2 + ... + an 4.3.Cho 2n số dương ( n ∈ Z , n ≥ 2 ) : a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn ta có:

( a1 + b2 )( a2 + b 2 )...( an + bn ) ≥ n a1a2 ...an

+ n b1b2 ...bn

N U Y .Q

n

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

II. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM. 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên.

1.1. Quy tắc biên.

Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên.

1.2. Một số bài toán.

10 00

B

Bài toán 1: Cho số thực a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A = a + +) Sai lầm thường gặp là:

1 a

1 1 ≥ 2 a. = 2 . Vậy GTNN của A là 2. a a

Ó

+) Nguyên nhân sai lầm:

A

A=a+

H

1 ⇔ a = ±1 vô lý vì theo giả thuyết thì a ≥ 2 . a

Í-

GTNN của A là 2 ⇔ a =

ÁN

-L

+) Phân tích: Do a càng tăng thì A càng tăng nên ta dự đoán A đạt GTNN khi a = 2 ⇒ A đạt GTNN tại “Điểm rơi a = 2 ”.

Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

4.2.

ÀN

dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc

1 vì không thỏa quy tắc a

1 để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa a

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

p −1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a1 + … + a p −1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Dấu "=" xảy ra ⇔ a1 = … = a p −1 =

D

IỄ N

Đ

quy tắc dấu “=”. a 1 Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số  ,  sao cho tại “Điểm rơi α a 

a = 2 ” thì

a

α

=

1 , ta có sơ đồ sau: a

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 5 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

a



αa 

H Ư

N

Bài toán 2: Cho số thực a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a +

a 8

1 7.2 9 + = . Dấu 2.2 8 4

Ó

9 4

Vậy GTNN của A là

1 7a + ≥ 2a 8

A

“=” xảy ra ⇔ a = 2 .

1 7a a 1 7a + ≥2 . 2 + = 2 8 8 a 8 a

10 00

Sai lầm thường gặp là: A = +

B

a 2 α = α 2 1 a =2⇒ ⇒ = ⇒α =8 α 4 1 =1  a 2 4

TR ẦN

Sơ đồ điểm rơi:

1 a2

H

9 là đáp số đúng nhưng cách giải 4 1 1 ≥ là sai”. trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ a ≥ 2 ⇒ 2a 2.2

ÁN

-L

Í-

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là

a a 8 8 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 2

1 6a a a 1 6a 3 6.2 9 + ≥ 3.3 . . 2 + ≥ + = 2 8 8 8 a 8 4 8 4 a

Vậy GTNN của A là

Đ

ÀN

TO

Lời giải đúng: A = + +

1.3. Ví dụ áp dụng

9 .

4

Ví dụ 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a + b ≤ 1 . Tìm GTNN của A = ab +

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

a

G



Đ

1 α 1 cặp số sau:  αa,  hoặc  a,  hoặc  a,  .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

α a 

ẠO

a 1 +) Lưu ý:Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số  ,  ta có thể chọn các các

IỄ N D

N

a 2 α = α 2 1 ⇒ = ⇒α = 4 a =2⇒ 1 1 α 2  =  a 2 1 a 3a 1 Khi đó: A = a + = + + và ta có lời giải như sau: a 4 4 a 1 a 1 3a a 1 3a 3.2 5 A=a+ = + + ≥2 . + ≥ 1+ = a 4 a 4 4 a 4 4 2 a 1 Dấu “=” xảy ra ⇔ = hay a = 2 4 a 5 Vậy GTNN của A là .

2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 . ab

Phân tích:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 6 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2

a+b 1  ≤ 4  2 

Ơ

N

1  ab =  1 1 1 Sơ đồ điểm rơi: ab = ⇒  α 4α ⇒ = 4⇒α = 4 4α 16 1 =4  ab 1

N U Y

1 1 1 17 − 15ab ≥ 2 16ab − 15ab ≥ 8 − 15. = ab ab 4 4 1 1 Dấu “=” xảy ra ⇔ ab = ⇔ a = b = 4 2 17 Vậy GTNN của A là .

4

TP ẠO Đ

G

18 . a

H Ư

N

Ví dụ 2: Cho số thực a ≥ 6 . Tìm GTNN của A = a 2 +

.Q

A = 16ab +

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Phân tích: 18 9 9 = a2 + + a a a

TR ẦN

Ta có: A = a 2 +

Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a = 6 .

10 00

B

 a 2 36  = 36 3 Ta có sơ đồ điểm rơi: a = 6 ⇒  α α ⇒ = ⇒ α = 24 α 2 9 = 9 = 3  a 6 2

A

Giải:

Ó

a 2 9 9 23a 2 a 2 9 9 23a 2 9 23.36 + + + ≥ 33 . . + ≥ + = 39 24 a a 24 24 a a 24 2 24 a2 9 Dấu “=” xảy ra ⇔ = ⇔a=6 24 a

-L

Í-

H

Ta có: A =

ÁN

Vậy GTNN của A là 39.

Ví dụ 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + 2b + 3c ≥ 20 . Tìm GTNN của

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

a+b

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1

 Ta có: ab ≤   ≤ ⇒ − ab ≥ − 2 4 4  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

H

Giải:

ÀN

A= a+b+c+

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ta có: ab ≤ 

3 9 4 + + a 2b c

D

IỄ N

Đ

Phân tích: Dự đoán GTNN của A đạt được khi a + 2b + 3c = 20 ,tại điểm rơi a = 2, b = 3, c = 4 .

Sơ đồ điểm rơi: a 2 α = α 2 3 4 a =2⇒ ⇒ = ⇒α = α 2 3 3 = 3  a 2

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 7 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

U Y Đ

≥ 3 + 3 + 2 + 5 = 13

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

 3a 3   b 9   c 4  a b 3c A= + + + + + + + +  4 a   2 2b   4 c  4 2 4 3a 3 b 9 c 4 a + 2b + 3c ≥2 . +2 . +2 . + 4 a 2 2b 4 c 4

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H Ư

N

G

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 2, b = 3, c = 4 Vậy GTNN của A là 13 .

ab ≥ 12 . Chứng minh rằng: bc ≥ 8

TR ẦN

Ví dụ 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa  1 1 1  8 121 + + ≥ +  ab bc ca  abc 12

(a + b + c ) + 2

B

Phân tích:

ab = 12 ,tại điểm rơi a = 3, b = 4, c = 2 . bc = 8

10 00

Dự đoán GTNN của A đạt được khi 

Ó

A

Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Í-

H

2 a b a b 2 1 + + ≥ 33 . . = 18 24 ab 18 24 ab 2

-L

a c 2 a c 2 + + ≥ 33 . . = 1 9 6 ca 9 6 ca

ÁN

b c 2 b c 2 3 + + ≥ 33 . . = 16 8 bc 16 8 bc 4

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

b 3  β = β 3 3 ⇒ = ⇒β =2 b = 3⇒  β 2 9 =3  2b 2 c 4  γ = γ 4 ⇒ =1⇒ γ = 4 c=4⇒ γ 4 = 1  c

ÀN

8 4 a c b a c b 8 + + + ≥ 44 . . . = 9 6 12 abc 9 6 12 abc 3

D

IỄ N

Đ

13a 13b 13a 13b 13 13 13 + ≥2 ≥2 . . .12 = 18 24 18 24 18 24 3 13b 13c 13b 13c 13 13 13 + ≥2 ≥2 . . .8 = 48 24 48 24 48 24 4 1 1 1  8 121 + + ≥ +  ab bc ca  abc 12

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: (a + b + c ) + 2 (đpcm).

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 8 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 5: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng: 10a 2 + 10b 2 + c 2 ≥ 4 .

Phân tích: Với 0 < α < 10 . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

N

c2 c2 ≥ 2 αa 2 . = 2α ac 2 2

Ơ

2

H

c c2 αb + ≥ 2 αb 2 . = 2α bc 2 2

U Y

N

2

.Q

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

TP

10a 2 + 10b 2 + c 2 ≥ 2α (ac + bc ) + (20 − 2α )ab

ẠO

Cân bằng điều kiện giả thuyết có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

G

Đ

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

α = 8 2α = 20 − 2α ⇔ 2α = 400 − 80α + 4α ⇔ 2α − 41α + 200 = 0 ⇒  α = 25 > 10 2  ⇒α =8 2

c2 c2 ≥ 2 8b 2 . = 4bc 2 2

TR ẦN

8b 2 +

B

c2 c2 ≥ 2 8a 2 . = 4ac 2 2

2a 2 + 2b 2 ≥ 2 2a 2 .2b 2 = 4ab

10 00

8a 2 +

H Ư

Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Ó

A

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có: 10a 2 + 10b2 + c 2 ≥ 4 ( ab + bc + ca ) = 4.1 = 4 ( đpcm)

ÁN

-L

Í-

H

 2 c2 8a = 2 1   a=b= 2  c   3 ⇔ Dấu "=" xảy ra ⇔ 8b 2 = .

2  c = 4 2a 2 = 2b 2 3   

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

(10 − α )a 2 + (10 − α )b 2 ≥ 2 (10 − α )a 2 (10 − α )b 2 = (20 − 2α )ab

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

αa 2 +

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ví dụ 6: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện: a 3 + b3 ≤ 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = a + 4b .

Phân tích: Dự đoán A đạt GTLN khi: a 3 + b3 = 1 a = α . Ta có: α 3 + β 3 = 1 (1) b = β

Giả sử A đạt GTLN khi: 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số: a 3 và 2 số α 3 ta có:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 9 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2

a 3 + 2α 3 ≥ 3. 3 a 3 . (α 3 ) = 3α 2 a 2

Tương tự: b3 + 2β 3 ≥ 3 3 b3 . ( β 3 ) = 3β 2b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

U Y

(a

3

)

+ b3 + 2 ≥

1 3

3

[(

Đ G N H Ư

TR ẦN

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

(a + 4b )

) ]

⇒ a + 4b ≤ 3 3 a 3 + b 3 + 2 ≤ 33 3

Ó

A

10 00

B

3  3  3 1 a = a =    9 3 Dấu “=” xảy ra khi  ⇔ 3 b3 = 8 b = 2 3   9 3 3 Vậy GTLN của A là 3 3

ÁN

-L

Í-

H

Ví dụ 7: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3 . Tìm GTNN 2 2 2 của A = 4a + 6b + 3c Phân tích: Với α , β , γ > 0 . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

TO

4a 2 + α ≥ 2 4a 2 .α = 2 4α a 6b 2 + β ≥ 2 6b 2 .β = 2 6β b

ÀN

3c 2 + γ ≥ 2 3c 2 .γ = 2 3γ c

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 1 1 1 1 + ≥ 3.3 a 3 . . = 3 a 9 9 9 9 3 8 8 4 b3 + + ≥ 3 b 9 9 3

a3 +

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP ẠO

Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

α2 1 α 1 3α 2 a a = ⇔ = ⇔ = (2) 2 2 3β b 4b 4 β β 2

3  3 α 1 α =   =  3 Từ (1) và (2) ta có hệ:  β 2 ⇔ 3 α 3 + β 3 = 1  β = 2 3   3

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Để xuất hiện ở vế phải a + 4b ta chọn α , β sao cho:

N

+ b3 ) + 2 (α 3 + β 3 ) ≥ 3α 2 a + 3β 2b

Ơ

3

H

(a

4a 2 + 6b 2 + 3c 2 + α + + β + γ ≥ 2 4α a + 2 6β b + 2 3γ c

D

IỄ N

Đ

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 10 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

U Y

N

H

Ơ

N

a + b + c = 3  a = α a + b + c = 3   2 4 α β γ 4a = α  ⇔ ⇒ + + =3 Dấu “=” xảy ra ⇔  2 β 4 6 3 6 b = β = b   6 3c 2 = γ    γ c = 3  Chọn α , β , γ sao cho 4α = 6 β = 3γ

.Q

N H Ư TR ẦN

8  β=   1 1 2 3 ⇔ α  + + =3 ⇔α = 4⇒  2 3 3 γ = 16  3

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

 α β γ + + =3  4 6 3   α β γ  α 4α 4α + + =3 4α  ⇔ + + =3 ⇔ β = 6 3  4 4 6.6 3.3 6  4α = 6 β = 3γ   4α  γ = 3 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

10 00

8 6 ≥ 2 8b 2 . = 8b 3 3 16 16 3c 2 + ≥ 2 3c 2 . = 8c 3 3

B

4a 2 + 4 ≥ 2 4a 2 .4 = 8a

Ó

A

6b 2 +

H

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

Í-

8 16 + ≥ 8(a + b + c ) = 24 3 3 ⇒ 4a 2 + 6b 2 + 3c 2 ≥ 12 a + b + c = 3   2 a = 1 4a = 4  2  ⇔ b = Dấu “=” xảy ra ⇔ 6b 2 = 8 3 3   4  2 16  3c = c = 3 3 

TO

ÁN

-L

4a 2 + 6b 2 + 3c 2 + 4 +

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có hệ phương trình:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Vậy GTNN của A là 12.

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở tâm.

Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm 2.1. Một số bài toán.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 11 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com 1 a

Bài toán 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a + b ≤ 1 . Tìm GTNN của: A = a + b + +

1 b

+) Sai lầm thường gặp là:

N

1 1 1 1 + ≥ 44 a.b. . = 4 a b a b

Ơ .Q

1 1 = ⇔ a = b = 1 . Khi đó a + b = 2 ≥ 1 trái giả thuyết . a b

ẠO

+) Phân tích:

Đ

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a = b =

1 2

TR ẦN

H Ư

N

G

1 a b = =  1 1 1 = 2⇒α = Sơ đồ điểm rơi: a = b = ⇒ α α 2α ⇒ 2 2α 4 1 = 1 = 2  a b

+)Lời giải đúng:

1 2

Vậy GTNN của A là 5 .

H

Ó

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b =

A

10 00

B

1 1 1 1  A =  4a + 4b + +  − 3a − 3b ≥ 44 4a..4b. . − 3(a + b ) ≥ 8 − 3 = 5 a b a b 

-L

Í-

1 1  a, b > 0 + + 4ab .

Bài toán 2: Cho  . Tìm GTNN của biểu thức P = 2 2 a + b ab a + b ≤ 1

ÁN

+) Sai lầm thường gặp:

TO

Sai lầm 1: Ta có: 1 1 1 4 1 4  1  + + + 4ab ≥ 2 + + 4ab = + + 4ab  2 2 2 a +b 2ab 2ab a + b + 2ab 2ab  ( a + b )  2ab

ÀN D

IỄ N

Đ

P=

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

GTNN của A là 4 ⇔ a = b =

U Y

+) Nguyên nhân sai lầm:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Vậy GTNN của A là 4.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

A= a+b+

2

Mặt khác:

1 1 4ab = 2 2 . Vậy P ≥ 4 + 2 2 nên MinP = 2 2 2 + 4ab ≥ 2 2ab 2ab

(

)

Sai lầm 2:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 12 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1  1  1 4 1 1 1 1 2 4ab + +  4ab + ≥ + ≥4+2+ =6+ + 2 2 a +b ab  4ab  4ab ( a + b ) ab 4ab 4ab 4ab

U Y 1 1 1 = + ab 2ab 2ab

Đ G

là do thói quen để làm xuất hiện

TR ẦN

H Ư

N

 a=b  1 2  a 2 + b 2 + 2ab = ( a + b ) .MinP = 4 + 2 2 ⇔  = 4ab ⇒ VN .

2 ab   a + b = 1

10 00

B

Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra ⇒ Không kết luận được MinP = 4 + 2 2 Sai lầm 2: Với bạn đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi a = b =

1 2

1 đúng, nhưng bước cuối làm sai ví 2 2 2 dụ như (1 − x ) + x ≥ x , dấu bằng xảy ra khi x = 1 ⇒ Min ( x − 1) + x  = 1??.  

-L

Í-

H

Ó

A

nếu đã tách các số hạng và MinP = 7 khi a = b =

ÁN

+) Lời giải đúng:

TO

1 Do P là biểu thức đối xướng với a,b, ta dự đoán MinP đạt tại a = b = , ta có: 2

ÀN

1 1  1  1 4 1 1 + +  4ab + ≥ + 2 4ab + ≥7 + 2 2 2 a +b ab  4ab  4ab ( a + b ) ab a+b 4   2  2

D

IỄ N

Đ

P=

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Sai lầm 1: Với những bạn chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

+) Nguyên nhân sai lầm:

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 MinP = 7 khi a = b = .

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

a 2 + b 2 = 2ab  1 1 1  Dấu “=” xảy ra ⇔  a 2b 2 = ⇔ a = b = . Thay a = b = vào ta được P ≥ 7 2 16 2   a + b = 1

N

2

Ơ

P=

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 13 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

4 59 ≥ a+b a+b 3 3   2  2

59 3

H

Ó

+) Nguyên nhân sai lầm:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP ẠO G N

1 1 1 + ab  a b 

2

Vậy MinS =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

≥9+

+2

H Ư

(a + b)

3

TR ẦN

9

Đ

3

B

=

9 2 1 1  +  2 + 2 2 2 a + b + 3a b + 3ab 3  a b ab  3

10 00

≥

1 1 1 1 1 + 2 + + 2 + 3 2 a + b 3a b 3ab 3a b 3ab 2 3

A

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ÁN

-L

Í-

a 3 + b3 = 3a 2b 59  MinS = a =b (vn) ⇔ 3  a + b =1  +) Lời giải đúng:

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

+) Sai lầm thường gặp: Ta có: S =

N

U Y

1 1 1  a, b > 0 Bài toán 3: Cho  .Tìm GTNN của biểu thức S = 3 3 + 2 + 2 . a + b a b ab a + b ≤ 1

Ơ

N

a 2 + b 2 = 2ab  1 1  Dấu bằng xảy ra ⇔  a 2b 2 = ⇔ a =b= .

16 2   a + b = 1

D

IỄ N

Đ

ÀN

1 Dự đoán dấu “=” xảy ra khi a = b = .

2 3

3

Ta thấy a 3 + b3 + 3a 2b + 3ab 2 = ( a + b ) vì thế muốn xuất hiện ( a + b ) : ta áp dụng bất 1 1 1 + + đẳng thức 3 a + b3 2a 2b 2ab2

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 14 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 9 + 2 + ≥ không đánh giá tiếp được cho nên 3 3 2 a + b 2a b 2ab ( a + b ) − ab ( a + b ) ta phải dùng bất đẳng thức cho 5 số:

Mà:

( a + b)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

N

G

1 1 1 + + a b c

H Ư

A= a+b+c+

Phân tích:

TR ẦN

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại: a=b=c=

1 2

Ó

A

10 00

B

1 a b c = = =  1 1 1 Sơ đồ điểm rơi: a = b = c = ⇒ α α α 2α ⇒ = 2⇒α = 2 2α 4 1 = 1 = 1 = 2  a b c

H

Giải:

-L

Í-

Ta có:

TO

ÁN

1 1 1 1 1 1 9 13  A =  4a + 4b + 4c + + +  − 3a − 3b − 3c ≥ 6 6 4a.4b.4c. . . − 3 ( a + b + c ) ≥ 12 − = 2 2 a b c a b c 

ÀN

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c =

Đ IỄ N

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3 2

Ví dụ 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + b + c ≤ . Tìm GTNN của:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q ẠO

2.2. Ví dụ áp dụng.

Vậy GTNN của A là

D

≥ 20

TP

Vậy MinS = 20

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

4

3

U Y

1 Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2

http://daykemquynhon.ucoz.com

( a + b) +

N

3

Ơ

25

H

1 1 1 1 1 25 + 2 + + 2 + ≥ ≥ 3 3 2 2 a + b 2a b 2ab 2a b 2ab ( a + b ) + ab ( a + b ) 3

N

S=

3

1 2

13 2

3 2

Ví dụ 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + b + c ≤ . Tìm GTNN của: A = a2 + b2 + c2 +

1 1 1 + + a b c

Phân tích:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 15 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a=b=c=

1 2

TP ẠO G N

10 00

Ví dụ 3: Cho 2 số thực dương a, b. Tìm GTNN của A =

a+b ab

+

ab a+b

A

Phân tích:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

27 4

B

Vậy GTNN của A là

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 2

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c =

Đ

9 1 9 9 1 9 9 27 + 9. 3 ≥ + . ≥ + .2 = a + b + c 4 4 4 4 abc 4 4 3

H Ư

≥

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 . . . . . +  + +  8a 8b 8c 8a 8b 8c 4  a b c 

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H

Ó

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại: a = b

TO

Giải:

ÁN

-L

Í-

2a 2  a+b α ab = αa = α 2 1 Sơ đồ điểm rơi: a = b ⇒  ⇒ = ⇒α = 4 α 2  ab = a = 1  a + b 2a 2

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com



.Q

1 1 1 1 1 1  3 3 3 + + + + + + + + 8a 8b 8c 8a 8b 8c  4a 4b 4c

Ta có: A =  a 2 + b 2 + c 2 + ≥ 9 9 a 2 .b 2 .c 2 .

U Y

Giải:

 a+b

ab  3(a + b )

a+b

ab

3.2 ab

3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

1  2 a = b2 = c2 =  1 1 2 4 Sơ đồ điểm rơi: a = b = c = ⇒  ⇒ = ⇒α =8 1 1 1 2 2 4 α  = = = αa αb αc α

5

D

IỄ N

Đ

+ Ta có: A =  + ≥2 . + = 1+ =  2 2 4 ab a + b 4 ab  4 ab a + b  4 ab

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b Vậy GTNN của A là

5 2

Ví dụ 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Tìm GTNN của

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 16 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

A=

a b c b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c

Phân tích:

N

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại: a = b = c

c+a

a+b

.Q

+

Đ

a b c b+c c+a a+b 3 b c c a a b +  + + + + +  . . . . . b + c c + a a + b 4a a b b c c 4b 4c 4a

c+a a+b +  b c 

N H Ư

3 b c c a a b 9 15 ≥ 3 + .6.6 . . . . . = 3 + = 4 a a b b c c 2 2

TR ẦN

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c 15 2

B

Vậy GTNN của A là

10 00

Ví dụ 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a + b ≤ 1 . Tìm GTNN của: A =

Ó

A

Phân tích:

1 1 + 2 2ab a +b 2

1 2

Í-

H

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại: a = b =

TO

ÁN

-L

 1  a 2 + b 2 = 2 1 Sơ đồ điểm rơi: a = b = ⇒  ⇒ 2α = 2 ⇒ α = 1 2  α = 2α  2ab

ÀN

Giải:

D

IỄ N

Đ

Ta có: A =

1 1 + ≥2 2 2ab a +b 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

b+c

c

G

≥ 66

b

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

a

TP

3 b+c

  Ta có: A =  + + + + + +  4b 4c  4  a  b + c c + a a + b 4a

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

b c 1  a  b + c = c + a = a + b = 2 1 2 Sơ đồ điểm rơi: a = b = c ⇒  ⇒ = ⇒α = 4 2 α b + c = c + a = a + b = 2  αa αb αc α

1 1 4 ≥ 2. 2 = ≥4 2 2 a + b + 2ab (a + b )2 a + b 2ab 2

(

2

)

a 2 + b 2 = 2ab 1 ⇔a=b= 2 a + b = 1

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

Vậy GTNN của A là 4

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 17 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a + b ≤ 1 . Tìm GTNN của : A=

1 2

1+ a + b

+

2

1 2ab

1 2

1 2  = 2 2  1 2 2 3 Sơ đồ điểm rơi: a = b = ⇒ 1 + a + b ⇒ = ⇒α =3 2 3 α  1 = 2  2αab α

N

Ơ H

U Y .Q

N

A

 a+b +1+ 4   2 

2   a+b  Do ≤ ab    2  2   a + b   3   2 

1

  

Ó

2

+

H

( a + b)

2

TR ẦN

1 3ab

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

+ 1 + 4ab

+

H Ư

1 1 + 2 1 + a + b + 6ab 3ab 2 2

4

≥

G

1 1 + 2 (1 + a + b ) 6ab 3ab

4 4 + 2 2 2(a + b ) + 1 3(a + b )

≥

4 4 8 + = 2.1 + 1 3.1 3

TO

ÁN

-L

Í-

≥

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( a + b)

1 1 + 6ab 3ab

2

4 2

+

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1+ a + b

2

B

≥ 2.

2

10 00

≥2

1

Đ

Ta có: A =

ẠO

Giải:

=

N

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại: a = b =

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1 + a 2 + b 2 = 6ab 1 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b ⇔a=b= 2 a + b = 1 

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Phân tích:

Vậy GTNN của A là

8 .

3

3. Bài tập áp dụng.

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 18 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài 2: Cho 3 số a, b,c thỏa a, b, c > 0 . Thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 Tìm GTNN của : 1 P =a+b+c+ . abc

Đ

Bài 5: Cho a, b, c, d > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

G

a b c d b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c + + + + + + + b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c a b c d

H Ư

N

S=

TR ẦN

Bài 6 (D-2005): Cho ba số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1 . CMR 1 + x3 + y3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥3 3. xy yz zx

1 1 1 + + = 4 . Tìm GTLN của x y z

1 1 1 . + + 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

Ó

A

P=

10 00

B

Bài 7 ( A-2005): Cho ba số thực dương x, y, z thỏa

-L

Í-

H

Bài 8 (A-2007): Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1 .

ÁN

Tìm GTNN của biểu thức: A =

x2 (y + z) y y + 2z z

+

y 2 (z + x ) z z + 2x x

+

z 2 (x + y ) x x + 2y y

TO

HƯỚNG DẪN:

ÀN

Bài 1:Ta dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khi x = y = z = 1 .

D

IỄ N

Đ

Vì vậy khi áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

b+c c+a a+b + + ≥ a + b + c +3 a b c

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

.Q

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc = 1 . CMR:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a 3 b 2 + c 2 + b 3 c 2 + a 2 + c 3 a 2 + b 2 ≤ 24 .

H

Bài 3: Cho 3 số a, b,c thỏa a, b, c > 0 . Thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 12 .CMR

N

x2 y2 z2 3 + + ≥ .

1+ y 1+ z 1+ x 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 xyz = 1

, chứng minh rằng:

Ơ

 x,y,z > 0

Bài 1: Cho 

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x2 1+ y và ta được: 1+ y α

x2 1+ y 1 2 = ⇔ = ⇔α=4 1+ y α 2 α

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 19 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H

Ơ

N

 x2 1 + y + ≥x  4 1 + y  y 2 1 + z + ≥y Ta có:  + 1 z 4   z2 1 + x 1 + x + 4 ≥ z 

.Q

=4 3

Đ N

G

1 .

3

H Ư

Vậy GTNN của P = 4 3 đạt tại a = b = c =

Áp dụng BĐT AM-GM như sau:

TR ẦN

Bài 3: Dấu bằng đạt tại : a = b = c = 2 khi đó 4a = 2a 2 = b 2 + c 2 .

4a.2a 2 .(b 2 + c 2 ) 4a + 2a 2 + b 2 + c 2 a b +c = ≤ 2 6 2

2

3

10 00

B

3

4b.2b 2 .(c 2 + a 2 ) 4b + 2b 2 + c 2 + a 2 ≤ b c +a = 2 6 2

2

3

A

3

4c.2c 2 .(a 2 + b 2 ) 4c + 2c 2 + a 2 + b 2 c a +b = ≤ 2 6 2

3

Ó

2

Í-

H

3

ÁN

-L

Cộng các vế theo 3 bât đẳng thức trên chú ý a + b + c ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = 6 ta có điều phải chứng minh

TO

Đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi a = b = c = 2 .

ÀN

Bài 4: Do biểu thức đối xứng với a, b,c nên ta dự đoán dấu '' = '' xảy ra khi

Đ

a = b = c =1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

   

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 8 1 8 )+ ≥ 4 4 abc. + 9abc 9abc 9abc  a 2 + b2 + c2 9  3 

ẠO

P = (a + b + c +

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = y = z = 1 .

D

IỄ N

a, b, c > 0

Ta sẽ sử dụng BĐT AM-GM:  bc b + c c + a a + b 2 bc 2 ca 2 ab ca ab  + + ≥ + + = 2  + +  b c  a b c a b c  a

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 20 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 bc ca   ca ab   ab bc  =  + + +  +   +   b   b c   c a   a

a+ b+ c

N

)

TP ẠO

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = c = 1

Đ

Bài 5: Dự đoán a = b = c = d > 0 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

b+c c+a a+b + + ≥ a + b + c +3 a b c

Vậy

G

Ta có sơ đồ điểm rơi:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có:

a b+c+d  8 b+c+d  +  + ∑ .

9a  a , b , c , d 9 9a a ,b , c , d  b + c + d

a b c d b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c + + + + + + + b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c 9a 9b 9c 9d

Ó

A

≥ 8. 8

B

∑

10 00

S=

TR ẦN

H Ư

N

1 a b c d   b + c + d + c + d + a + d + a + b + a + b + c = 3 1 3 ⇒ = ⇔α =9  3 α b + c + d + c + d + a + d + a + b + a + b + c = 3  a b c d α

Í-

H

8 b c d c d a d a b a b c  + . + + + + + + + + + + +  9 a a a b b b c c c d d d 

ÁN

-L

8 8 40 b c d c d a d a b a b c 8 8 ≥ + .1212 . . . . . . . . . . . = + .12 = 3 9 3 a a a b b b c c c d d d 3 9

Vậy Min S =

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

≥ a + b + c + 33 a b c = a + b + c + 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

) (

a+ b+ c +

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

) (

a+ b+ c =

Ơ

(

ab bc c a

H

=2

ca ab +2 b c

N

bc ca +2 a b

≥2

40 . Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = d > 0 3

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 6: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta được :

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 21 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

N H Ư

1 1 1 . . =3 xy yz zx

TR ẦN

1 1 1 + + ≥3 xy yz zx

G

Mặt khác AM – GM cho 3 số dương ta được :

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

B

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ≤ = 4 . . . ≤  + + +  4 2 x + y + z x + x + y + z 4 x.x. y.z 4 x x y z 16  x x y z 

10 00

Bài 7: Ta có: Tương tự:

H

Ó

A

1 1 1 1 1 1 ≤  + + +  x + 2 y + z 16  x y y z 

-L

Í-

1 1 1 1 1 1 ≤  + + +  x + y + 2 z 16  x y z z 

ÁN

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

TO

1 1 1 1  4 4 4 + + ≤  + +  = 1 2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2 z 16  x y z 

ÀN IỄ N

Đ

Dấu “=” xảy ra ⇔

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Đ

ẠO

1 + x3 + y3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 1 1 1 ) + + ≥ 3( + + xy yz zx xy yz zx

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3 zx

N

3 3 z 3 x 3 .1 = zx

yz

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3 yz

Ơ

1 + z 3 + x3 ≥ zx

=

xy

H

3 3 y 3 z 3 .1

3 xy

N

1 + y3 + z3 ≥ yz

=

U Y

3 3 x 3 y 3 .1

.Q

1 + x3 + y3 ≥ xy

P=

D

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cộng 3 vế của bất đẳng thức trên ta được :

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1 1 4 3 = = = ⇔x=y=z= x y z 3 4

Vậy GTLN của P là 1.

Bài 8: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 22 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2y y z z + 2x x

+

2 z z zxy x x + 2y y 2z z x x + 2y y

U Y .Q TP ẠO G N

2  − 2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c  + +   a b c 9 

H Ư

A≥

Đ

Khi đó:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

y y + 2z z

+

z z + 2x x

+

2  b a c   c a b  − 6 + 4 + +  +  + +   9  a c b   a b c 

≥

2 b a c c a b 2  − 6 + 4.3.3 . . + 3.3 . .  = (− 6 + 12 + 3) = 2 9  a c b a b c  9

B

10 00

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1

TR ẦN

≥

Vậy GTNN của A là 2

-L

Í-

H

Ó

A

D. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ

a, b, c > 0

ÁN

Câu 1: Cho 

BÀI KIỂM TRA (Thời gian: 45 phút)

. Chứng minh rằng: 3 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a ≤ 3 3 3 .

TO

a + b + c = 3

ÀN

Câu 2: Cho các số thực dương a, b,c thỏa a + b + c + 2abc ≥ 10 . Tìm GTNN của

D

IỄ N

Đ

A=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2x x

2 y y yzx

x x + 2y y

N

y y + 2z z

+

z 2 .2 xy

1  x x = (− 2a + 4b + c )  a = y y + 2 z z 9   1 Đặt: b = z z + 2 x x ⇒  y y = (a − 2b + 4c ) 9   c = x x + 2 y y 1   z z = 9 (4a + b − 2c ) 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

≥

2 x x xyz

z z + 2x x

+

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

≥

y 2 .2 zx

Ơ

y y + 2z z

+

H

x 2 .2 yz

N

A≥

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

8 9b 2 c 2 a 2 8 9c 2 a 2 b 2 8 9a 2 b 2 c 2 + + + + + + + + 2 4 2 4 2 4 a2 b2 c2

ĐÁP ÁN: Câu 1: Ta dự đoán dấu " = " trong bất đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 .

Vậy ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số a + 2b,3,3 ta có:

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 23 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 3

a + 2b =

1 3

9

3

3.3 ( a + 2b ) ≤

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com 1 3 + 3 + (a + 2b) 6 + a + 2b . = , 3 9 33 9

3

Tương tự ta có: 6 + b + 2c 6 + c + 2a + = 33 3 3 3 3 9 3 9

N U Y

N

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 .

.Q

a=b=c=2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

α = 4  β = 1

Ó

 4 4 4 24. A ≥  + +  + 9 ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) a b c

Í-

H

⇒

A

10 00

B

TR ẦN

 8 9b 2 c 2 a 2 4 + ≤ + 9b + ca  2 + 18 + 4 2 + a 2 4 a   8 9c 2 a 2 b 2 4 Ta có:  2 + 18 + 4 2 + + ≤ + 9b + ca b 2 4 b  2 2 2  8 9a b c 4  2 + 18 + 4 2 + + ≤ + 9b + ca c 2 4 a 

H Ư

N

G

Đ

ẠO

a 1 α = β b  b 1 4 α Sơ đồ điểm rơi: a = b = c = 2 ⇒  = ⇒ = ab = bc = ca = , chọn β 1 α β c c 1  = α β a

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ÁN

-L

4  4  4  ≥  + a  +  + b  +  + c  + ( 2a + bc ) + ( 2b + ac ) + ( 2c + ab ) + 6 ( a + b + c ) a b c      

≥2

4 4 4 .a + 2 .b + 2 .c + 2 2abc + +2 2abc + +2 2abc + 6 ( a + b + c ) a b c

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Câu 2: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

(

)

Đ

ÀN

≥ 12 + 6 a + b + c + 2abc ≥ 72

D

IỄ N

⇒ A≥

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

33 9

+

Ơ

6 + a + 2b

H

P≤

72 =6 6 24

Vây với a = b = c = 2 thì GTNN của A là 6 6

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 24 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

IỄ N

D

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

A

Ó

H B

10 00 TR ẦN G

N

H Ư

ẠO

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

-L

TP

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ÁN

TO

U Y

.Q

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Ơ

H

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Page 25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial