CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẠM MAI TRANG ĐHSPHN 2

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.........................................................................

Khoảng cách từ đường thẳng đến đường thẳng............................................................

IV.

Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng...............................................................

V.

Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng...................................................................

Í-

H

Ó

A

III.

ÁN

-L

C. Hình thức, kế hoạch dạy học....................................................................................................

TO

D. Kiểm tra, đánh giá...................................................................................................................

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

II.

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian.............................................

10 00

I.

TR ẦN

B. Nội dung dạy học...................................................................................................................

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

A.Mục tiêu dạy học....................................................................................................................

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

.Q TP ẠO G

Đ

MỤC LỤC

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

KHOẢNG CÁCH

Ơ

N

CHUYÊN ĐỀ:

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 1 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

A. MỤC TIÊU DẠY HỌC. Chuẩn KT – KN.

-

Yêu cầu của nhà trường

-

Khả năng, mong muốn của HS…

H

Ơ

N

-

Mục tiêu dạy học:

.Q

Đ

gian, từ đường thẳng đến mặt phẳng trong không gian và từ mặt phẳng đến mặt

G

phẳng.

Học sinh tính được khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng, từ

H Ư

-

N

Về kĩ năng:

TR ẦN

đường thẳng đến đường thẳng, từ đường thẳng đến mặt phẳng và từ mật phẳng đến mặt phẳng -

Học sinh biết sử dụng thành thạo các công thức tính khoảng cách để áp dụng làm bài

10 00

B

tập.

A

B. NỘI DUNG BÀI HỌC.

H

Ó

I.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian.

Nhắc lại kiến thức cũ.

Í-

1.

-L

Kiến thức hình học phẳng về tính khoảng cách.

D

IỄ N

Đ

-

2.

2 S ABC .

BC

Tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH thì

ÀN

-

Tam giác ABC có đường cao AH thì AH =

ÁN

-

1 1 1 . = + 2 2 AH AB AC 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

điểm đến mặt phẳng trong không gian, từ đường thẳng đến đường thẳng trong không

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Học sinh hiểu, biết tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian, từ

TP

-

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Về kiến thức:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

•

Căn cứ:

U Y

•

Công thức Pi-ta-go trong tam giác ABC vuông tại A: BC 2 = AB 2 + AC 2 . Định nghĩa

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 2 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

-

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng bằng khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu

H

Xét bài toán: Cho điểm M và đường thẳng d, (M không thuộc d). Tính khoảng cách từ M

U Y

Tính MH. Ví dụ minh họa.

G

4.

Đ

ẠO

Và độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ M đến d. Kí hiệu:d(a,d) = MH.

N

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến Giải

TR ẦN

H Ư

đường thẳng BC. Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC,

Lại có: BC ⊥ AD (Cách dựng)

A

⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ AH ⊥ BC.

10 00

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA.

B

H là chân đường vuông góc hạ từ A đến SD.

H

Ó

Lại có: AH ⊥ SD (Cách dựng)

-L

Chú ý:

Í-

⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH .

TO

ÁN

1. MN ⫽ ∆ ⇒ d (M, ∆ ) = d(N, ∆ ) .

2. MN ∩ ∆ = I ⇒

d (M, ∆ ) d (N, ∆ ) . = MI NI

5.

Bài tập củng cố.

D

IỄ N

Đ

Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN ⇒ d (M, ∆ ) = d(N, ∆ ) .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Hạ MH ⊥ d tại H, ta gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Phương pháp:

TP

-

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

đến d.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

-

Phương pháp chung.

Ơ

3.

N

vuông góc của nó lên đường thẳng.

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 1: Cho hình chóp S ABC, có đáy là tam giác vuông cân tại B và AC a = 2 . SA có độ dài bằng a và vuông góc với

N

đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC.

Ơ

Giải

U Y

BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ SB ⊥ BC

N

G

Vậy d (S, BC) = SB = a 3.

H Ư

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh góc vuông bằng a.

TR ẦN

Cạnh bên SA = a 2 và vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách từ A đến SC. Giải:

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Vì ∆ABC vuông cân tại B có cạnh góc vuông

10 00

B

bằng a.

Suy ra: AC = a 2 = SA ⇒ ∆SAC vuông cân tại A.

Ó

H

1 1 SC = a.

2 2

Í-

Khi đó: AK =

A

Suy ra: AK vừa là đường cao vừa là trung tuyến thuộc cạnh huyền.

-L

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a, tất cả các mặt bên đều tạo với

ÁN

đáy góc 30° . Gọi I là trung điểm của đoạn BC. Tính khoảng cách từ I đến SA. Giải:

Vì S.ABC là hình chóp đều, O là tâm của đáy.

ÀN

Ta dễ thấy O cũng sẽ là trọng tâm của tam giác ABC.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

⇒ SB = SA2 + AB 2 = a 2 + 2a 2 = a 3 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

BC =a 2 2

ẠO

Có : AB =

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Khi đó khoảng cách từ S tới BC chính là đoạn thẳng SB.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA . Từ giả thiết ta có,

Đ

Mà I lại là trung điểm của đoạn BC thì khi đó A, O, I thẳng

D

IỄ N

hàng.

Suy ra SO⊥(ABC) = SO⊥BC. AO ∩ BC = I = AI⊥BC Từ (1) và (2) suy ra BC⊥(SOI) = BC⊥SI

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 4 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ˆ = 30 là góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy suy ra SIO Từ (2) và (3) suy ra SIO

a 3 .

2

N

Đồng thời SO là đường cao của hình chóp thì SO ⊥ AI, AI =

H H Ư

N

Bài 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, tất cả các cạnh bên đều bằng

TR ẦN

2a 3 .

3

a) Tính độ dài đương cao SH.

b) Gọi I là trung điểm của BC, tính khoảng cách từ I đến SA.

10 00

B

Hướng dẫn.

a) SH ⊥ (ABC) ⇒ H là tâm của tam giác

A

đều ABC.

H

Ó

Tam giác vuông SHA. Khi đó ta dễ tính được

Í-

SH dựa vào định lý Pi-ta-go trong tam giác

-L

vuông.

ÁN

b) Vẽ IK ⊥ SA .

Xét ∆SAI có: IK .SA = SH . AI = 2 S AIS .

Đ

ÀN

Suy ra tính được IK.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

HD : Có SO, AI, tính được SA. Dễ tính được h.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

SO. AI .

SA

ẠO

Xét tam giác SAI có: SA.h = SO.AI = 2.S AIS ⇒ h =

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gọi h là khoảng cách từ I đến SA.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

1 1 a 3 1 a . = .

AI .tan 30 = .

3 3 2 3 6

U Y

SO = OI .tan 30 =

Ơ

Xét tam giác vuông SOI có:

IỄ N

II. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

D

1. Phương pháp giải

Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( P ) , ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Dựng OH với H là hình chiếu của O lên ( P ) , ta làm như sau:

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 5 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

• Lấy đường thẳng a nằm trong ( P ) • Dựng mặt phẳng (Q) qua O vuông góc với mặt phẳng ( P )

Ơ

U Y TR ẦN

mặt phẳng:

S A1 A2 ... An

10 00

2.5. Sử dụng tính chất trục đường tròn:

3VS . A1 A2 ... An

B

Cho hình chóp S . A1 A2 ... An . Ta có khoảng cách d ( S ; ( A1 A2 ... An )) =

• Nếu O là tâm đường trọn ngoại tiếp △ ABC và M là một điểm cách đều 3 điểm A, B, C thì

H

MO = d ( M , ( ABC ))

Ó

A

đường thẳng MO là trục đường tròn ngoại tiếp △ ABC . Khi đó MO ⊥△ ABC và

-L

Í-

• Nếu MA = MB = MC và NA = NB = NC trong đó A, B, C là 3 điểm không thẳng hàng thì

ÁN

đường thẳng MN là trục đường tròn qua 3 điểm A, B, C . Khi đó MN ⊥ ( ABC ) tại tâm O của đường tròn qua 3 điểm A, B, C .

ÀN

3. Ví dụ minh họa

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2.4. Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến

N

G

Đ

d (M; (P)) MI = d ( N ;;(( P )) NI

H Ư

2.3. MN ∩ ( P ) = I ⇒

ẠO

 M ; N ∈ (Q) ⇒ d ( M ;( P)) = d ( N ;( P)) 2.2.   (Q) / /(P)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

2.1. MN / /( P ) ⇒ d (M;(P)) (M; (P)) = d(N;(P))

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2. Chú ý:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Bước 2: OH là khoảng cách từ O đến ( P ) . Tính độ dài đoạn OH là khoảng cách từ O đến ( P )

N

• Trong (Q) , hạ OH ⊥ b tại H .

D

IỄ N

Đ

3.1. Ví dụ 1: (A-2013) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A ,

ABC = 30 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông

góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC và khoảng cách từ điểm C đên mặt phẳng ( SAB)

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 6 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: Gọi H là trung điểm của cạnh BC ⇒ SH ⊥ BC

Ơ

AB 2 a 13 SI = SB − = 4 4

10 00

B

3.2. Ví dụ 2: ( Trích đề A-2014)

TR ẦN

3VS . ABC 6VS . ABC a 39 = = .

S△ SAB SI . AB 13

H Ư

N

G

2

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD =

3a , hình chiếu 2

Ó

A

vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của cạnh AB . Tính khoảng cách từ A

-L

Í-

Giải:

H

đến mặt phẳng ( SBD ) .

TO

ÁN

Kẻ HK ⊥ BD; EH ⊥ SK .

 BD ⊥ HK ⇒ BD ⊥ ( SHK ) ⇒ BD ⊥ HE Ta có:   BD ⊥ SH

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Gọi I là trung điểm của AB ⇒ SI ⊥ AB

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

Mà SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SA = SB = a

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

△ ABC vuông tại A và H là trung điểm của cạnh BC nên HA = HB

⇒ d (C, (SAB)) =

H .Q

U Y

a3 1 SH . AB. AC = 6 16

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ VS . ABC =

a 3 a a 3 ; AC = BC .sin 30 = ; AB = BC.cos 30 = 2 2 2

N

Ta có: BC = a ⇒ SH =

N

Mà ( SBC ) ⊥ ( ABC ) theo giao tuyến BC nên SH ⊥ ( ABC )

D

IỄ N

Đ

Mà EH ⊥ SK ⇒ HE ⊥ ( SBD )

=a 2 Ta có HK = HB,sin KBH 4

⇒ HE =

HS .H HS 2 + HK 2

=

a 3

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 7 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Do đó d ( A, (SBD) = 2 d(H, (SBD)) = 2 HE =

N

2a .

3

Ơ H

4. Bài tập áp dụng.

U Y

N

Bài 1: ( Trích đề D-2013)

Bài 2: ( Trích đề D-2012)

G

Đ

Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C 'D' có đáy là hình vuông. Tam giác A 'AC vuông cân

H Ư

N

A ' C = a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ') theo a .

Bài 3:

TR ẦN

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = 2a , AB = 4a , SD = 5a . Cạnh bên

SA vuông góc với đáy.

B

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .

10 00

1 b) Gọi M là trung điểm cạnh BC . N nằm trên cạnh SB sao cho SN = SB . Tính khoảng cách từ 3

H

Ó

A

N đến mặt phẳng ( SMD )

-L

Bài 1:

Í-

Hướng dẫn:

ÁN

Do AD / / BC nên d ( D , ( SBC )) = d ( A, (SBC)) Kẻ AH ⊥ SM

Đ

ÀN

 AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM ) Ta có   SA ⊥ BC

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

đến mặt phẳng ( SBC ) .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

= 120 , M là trung điểm của cạnh BC và SMA = 45 . Tính theo a khoảng cách từ điểm D BAD

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy,

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy d ( A, (SBD) =

2a 3

D

IỄ N

⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH

Mà AH =

AM 2 a 6 = 2 4

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 8 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a 6 4

N

Vậy d ( A, ( SBC )) =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

Bài 2:

U Y .Q

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

a 6 6

10 00

B

Bài 3: a)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vậy d (A, (BCD')) =

H Ư

N

a 6 6

TR ẦN

⇒ AH =

1 1 1 6 = + = 2 2 2 2 AH AB A' A a

G

Xét △ A ' AB có:

ẠO

Do đó AH = d (A, (BCD'))

Trong mặt phẳng (SAB), kẻ AI ⊥ SB

H

Ó

A

 SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB) Ta có:   AB ⊥ BC

-L

⇒ AI = d ( A, ( SBC ))

Í-

⇒ BC ⊥ AI mà AI ⊥ SB ⇒ AI ⊥ ( SBC )

ÁN

2 2 Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác vuông SAD có: SA = SD − AD = a 21

Đ

ÀN

Trong tam giác SAB có:

IỄ N

⇒ d ( A, ( SBC )) =

D

TP

AH ⊥ ( BCD ')

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 AH ⊥ A ' B ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) hay Ta có:   AH ⊥ BC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của △ A ' AB

a 21 1 1 1 1 1 37 ⇒ AI = = 2+ = + = 2 2 2 2 2 AI SA AB 21a 16a 336a 37

a 21 .

37

b) Gọi J là giao điểm của AB và DM .

1 1 Ta có: d ( N , ( SMD )) = .d (B, (SMD)) = .d ( A, ( SMD )) 3 6

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 9 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Kẻ AH ⊥ DM , AK ⊥ SH

N

 DM ⊥ AH ⇒ DM ⊥ ( SAH ) ⇒ DM ⊥ SH Ta có:   DM ⊥ SA

H

Ơ

Mà AK ⊥ SH ⇒ AK ⊥ ( SDM )

- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song chính là khoảng cách từ 1 điểm đến một

10 00

B

đường thẳng.

2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

Ó

Đường thẳng ∆ vừa cắt vừa vuông góc với cả hai

H

•

A

2.1. Định nghĩa:

Í-

đường thẳng chéo nhau a và b gọi là đường vuông Giả sử ∆ cắt a và b lần lượt tại M và N. Đoạn

ÁN

•

-L

góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

TO

thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau a và b. Độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai

đường thẳng chéo nhau a và b.

D

IỄ N

Đ

•

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư TR ẦN

III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

4a 21 3 421

N

Vậy d ( N , ( SMD)) =

ẠO

8a 21 1 1 1 1 17 421 ⇒ AK = = 2+ = + = 2 2 2 2 2 AK SA AH 21a 64a 1344a 421

G

Xét △SAH có:

TP

.Q

U Y

8a 2 8a 2S 1 1 = S ABCD = 4a 2 mà S ADM = . AH .DM ⇔ AH = ADM = DM 2 2 17 16a 2 + a 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có S ADM =

N

⇒ AK = d (A, (SDM))

2.2.Cách tìm đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau: •

Dựng mặt phẳng (α) chứa b thoả mãn (α) song song với a,

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 10 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

•

Tìm hình chiếu vuông góc a′ của a trên (α),

•

Tìm giao điểm N của a′ và b, dựng đường

Đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung của a và b.

U Y

Trong trường hợp đặc biệt a và b chéo nhau và vuông góc với nhau, khi đó thường tồn tại một

G

Đ

mặt phẳng (α) chứa avà vuông góc với b. Để tính khoảng cách

N

giữa a và b ta dựng đoạn vuông góc chung như sau: Tìm giao điểm H của b và (α),

•

Trong (α ) vẽ HK vuông góc với a tại H. khi đó HK là

TR ẦN

H Ư

•

đoạn vuông góc chung.

B

Ví dụ 1:

10 00

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a.

Ó

A

Cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ

H

ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B’C.

-L

Í-

Giải:

Gọi E là trung điểm của BB’

ÁN

Khi đó mp(AME)//B’C nên d(AM,B’C) = d(B’C,(AME)) Nhận thấy d(B,(AME)) = d(C,(AME))

ÀN

Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TH1: Nếu a ⊥ b :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

2.3. Phương pháp:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

chung MN (vì theo hình vẽ MNHI là hình chữ nhật).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Nhận xét: Nếu lấy điểm I tuỳ ý trên a thì khoảng cách từ I đến (α) bằng độ dài đoạn vuông góc

Ơ

N

thẳng ∆ qua N và vuông góc với (α) cắt a tại M.

D

IỄ N

Đ

Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên

1 1 1 1 a 7 = + + ⇒h= 2 2 2 2 h BE BA BM 7

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng B’C và AM bằng khoảng

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 11 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

h=

a 7 7

N

cách từ B tới mặt phẳng (AME):

H

Ơ

Ví dụ 2:

U Y

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH

.Q Đ

Giải:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

và SC theo a.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng DM

N

G

Ta có: ∆CDN = ∆DAM (c.g.c)

TR ẦN

H Ư

CN ⊥ DM ⇒ DM ⊥ ( SCN ) ⇒ DM ⊥ SC   SH ⊥ DM Kẻ KH ⊥ SC ⇒ HK ⊥ MD ⇒ HK = d ( DM , SC )

B

1 1 1 = + 2 2 HK SH HC 2

10 00

Nên :

A

 SH = a 3 V ới  2 CN .CH = CD

Ó

CD 4 a4 4a 2 = = CN 2 5a 2 5 4

CH 2 =

1 1 5 19 2a 3 = 2+ 2 = ⇒ HK = 2 2 HK 3a 4a 12a 19

ÁN

-L

Í-

H

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.

ÀN

3. Nếu a, b không vuông góc với nhau

IỄ N

Đ

Cách dựng đường vuông góc chung: có 2 cách

D

Cách 1: -

Dựng mặt phẳng (α ) chứa b và song song với a

-

Dựng hình chiếu H của điểm A ∈ a trên (α )

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 12 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Trong (α ) dựng đường thẳng a′ qua H song song với a, cắt b tại K, từ K dựng đường thẳng

-

song song với AH cắt a tại P. Đoạn KP chính là đoạn vuông góc chung của a,b

H

Ơ

AA′ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính d ( AM , B′C )

.Q

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ

TR ẦN

H Ư

N

G

 EM B′C ⇒ B′C ( AME ) nên +  EM ⊂ AME ( )  d ( AM , B ′C ) = d ( B′C , ( AME ) ) = d ( C , ( AME ) ) Ta thấy: d ( C , ( AME ) ) = d ( B, ( AME ) ) = h

TP

 BE = EB′ Trong ∆BB′C ta có:  ⇒ EM B′C ( đường trung  BM = MC bình trong tam giác)

10 00

B

Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên suy ra đường cao

Ó H

a 7 7

Í-

Vậy d ( AM , B′C ) =

A

1 1 1 1 a 7 = + + ⇒h= 2 2 2 2 h BE BA BM 7

-L

Cách 2:

ÁN

- Dựng mặt phẳng (α ) ⊥ a tại O, (α ) ∩ b = I - Dựng hình chiếu vuông góc b′ của b trên (α )

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

+ Gọi E là trung điểm của BB′

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Lời giải:

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Ví dụ: Cho lăng trụ đứng ABCA′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên

ÀN

- Trong (α ) dựng OH ⊥ b′ tại H

Đ

- Qua H dựng đường thẳng vuông góc với (α ) ,

D

IỄ N

cắt b tại B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của a, b

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 13 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ: Cho chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và ( ABCD ) bằng 30 . Tính d ( BD , SC )

Ơ

N

Lời giải:

H H Ư

+ Ta có: SC ∩ ( ABCD ) ≡ C , A là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) nên AC là hình

10 00

AC a 2 = 2 2

A

OC =

AD 2 + DC 2 = a 2

B

Trong tam giác vuông ACD có: AC =

TR ẦN

chiếu vuông góc của SC xuống (ABCD) ⇒ ( SC , ( ABCD ) ) = SCA = 30

H

Ó

Xét ∆COI vuông tại I ta có: OI = OC ⋅ sin 300 =

-L

Í-

Bài tập:

a 2 a 2 ⇒ d ( BD ,SC ) = 4 4

ÁN

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD, ABEF không cùng thuộc 1 măt phẳng và AB = a , AD=AF=

a 2 , AC vuông góc với BF. Tính d ( AC , BF )

Đ

ÀN

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa A′C và MN.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

⇒ d ( BD, SC ) = OI

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

ẠO

+ Kẻ OI ⊥ SC ⇒ OI là đường vuông góc chung của BD và SC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

+ BD ∩ ( SAC ) ≡ O

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 BD ⊥ SA  + Ta có :  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC )  SA ∩ AC ≡ A 

D

IỄ N

Bài 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM. SH vuông góc (ABCD) và SH = a 3 .

Tính khoảng cách giữa DM và SC Bài 4: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM song

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 14 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

N

Lời giải:

H

Ơ

Bài 1:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

TR ẦN

 AC ⊥ BF  +  AC ⊥ HK ⇒ AC ⊥ ( BHK ) ⇒ AC ⊥ BH  BF ∩ HK ≡ K 

a 3

Ó

A

+ ∆ABC vuôngtại B ⇒ AB 2 = AH . AC ⇒ AH =

a 3 = d ( AC , BF ) 3

Í-

H

+ ∆AHK vuông tại H ⇒ HK = AK 2 − AH 2 =

-L

Bài 2:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G N

AB.AF a 6 = BF 3

H Ư

+ ∆ABF vuông tại A ⇒ AK =

Đ

Từ (1) và (2) suy ra HK là đường vuông góc chung của AC và BF

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y ẠO

TP

.Q

 AK ⊥ BF  +  AC ⊥ BF ⇒ BF ⊥ ( AKC ) ⇒ BF ⊥ KH (2)  AK ∩ AC ≡ A 

ÁN

 BC MN ⇒ MN ( A′BC ) ⇒ d ( MN , A′C ) = d ( MN , ( A′BC ) ) = d ( M , ( A′BC ) ) Ta có:   BC ⊂ ( A′BC )

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Kẻ AK ⊥ BF , từ K kẻ KH ⊥ AC (1)

D

IỄ N

Đ

ÀN

 AI ⊥ A′B ( A′B ∩ AB′ ≡ I )  +  BC ⊥ ( ABB′A′ ) ⇒ BC ⊥ AI ⇒ AI ⊥ ( A′BC )  ′  A B ∩ BC ≡ B Kẻ MH AI ( H ∈ A′B ) ⇒ MH ⊥ ( A′BC ) ⇒ d ( M , ( A′BC ) ) = MH

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 15 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

AI a 2 a 2 = ⇒ d ( MN , A′C ) = 2 4 4

N

MH =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

U Y

TR ẦN

CH .DM 2a ⇒ CH = 2 5

1 1 1 2a 3 = + ⇒ HK = = d ( DM , SC ) 2 2 2 HK CH SH 19

A

10 00

∆SHC vuông tại H ta có:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO G H Ư

N

a2 2

B

Mặt khác S ∆CDM =

Đ

Kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ DM ⇒ d ( HK , DM ) = HK Ta có S ∆CMD = S ∆ABCD − S ∆ADM − S ∆CMB =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

 CN ⊥ DM   SH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ ( SCN ) ⇒ DM ⊥ SC CN ∩ SH ≡ H 

H

Ó

Bài 4:

-L

Í-

Do (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ ( ABC )

TO

ÁN

 SA ⊥ BC   AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB  SA ∩ AB ≡ A 

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có ∆CDN = ∆DAM ( c.g .c ) ⇒ CN ⊥ DM

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

Bài 3:

D

IỄ N

Đ

là góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) ⇒ SBA = 60 ⇒ SA = AB tan 60 = 2a 3 ⇒ SBA

Mặt phẳng qua SM BC cắt AC tại N ⇒ MN BC và N là trung điểm của BC

⇒ MN =

BC =a 2

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 16 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Kẻ đường thẳng △ đi qua N và song song với AB, gọi (α ) là mặt phẳng chứa SN và △

N

⇒ AB (α ) ⇒ d ( AB , SN ) = d ( A, (α ) )

H

Ơ

Kẻ AD ⊥△≡ D ⇒ ( SAD ) ⊥ (α )

H Ư

TH1: Đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng là bằng 0

TR ẦN

TH2: Đường thẳng và mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng các

B

từ

10 00

một điểm nào đó thuộc a đến mặt phẳng (P) Kí hiệu: d(a,(P))

Lưu ý: d(a,(P)) = d((P),a) = d(A,(P)) =d(B,(P))

H

Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (P) song song với a không phụ thộc

-L

•

Í-

A ∈ a, B ∈ a

Ó

A

ÁN

vào vị trí của điểm A khi A thay đổi trên a

Phương pháp + Nếu đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì khoảng cách từ đường thẳng đến mặt

D

IỄ N

Đ

ÀN

phẳng là 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

1. Lý thuyết:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

IV. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

1 1 1 2a 3 = 2+ ⇒ AH = = d ( AB, SN ) 2 2 AH SA AD 13

ẠO

Ta có AD = MN = a ⇒

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Kẻ AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (α ) ⇒ d ( A, (α ) ) = AH

+ Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song thì ta lấy bất kì một điểm A thuộc a và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng (P) → quay trở về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng

Chú ý là khi lấy điểm A bất kì ta nên chọn các điểm mà dễ dàng tìm được hình chiếu của nó trến mặt phẳng (P)

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 17 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tổng quát:

- Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với (P)

N

- Tìm điểm chung A của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) thành

( Q ) chứa a và song song song với (Q))

H

Ơ

'

Giải:

H Ư

N

Vì chóp S.ABCD là hình chóp đều ⇒ ABCD là hình vuông

G

Đ

khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD)

Lấy I là trung điểm của AB. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại K ⇒ IK ⊥ DC

TR ẦN

và Klà trung điểm DC

Mặt khác ta có ∆ SC D cân tại S ⇒ SK ⊥ (SCD)

B

Ta có IK ⊥ CD và SK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SIK)

10 00

Ta kẻ IH ⊥ SK do IH ∈ (SIK) nên CD ⊥ IH

⇒ IH ⊥ (SCD)

Ó

A

⇒ d(AB,(SCD))=d(I,(SCD))=IH

Í-

H

∆ SKD vuông tại K ⇒ SK =

-L

HK HK = = IK a

1 15

a 15

ÀN

TO

⇒ HK=

a 15 2

ÁN

Ta có cosSIK=

IỄ N

Đ

⇒ IK= d(AB,(SCD)) =

D

ẠO

2.1. Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a tính

a2 a − 15

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

2. Ví dụ:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

- Trong (Q) kẻ AH ⊥ (Q). Khi đó MH ⊥ (P) và d(a,(P)) = d(A,(P)) = AH

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

- Tìm giao tuyến của (P) và (Q)

2

3. Bài tập 3.1. Bài tập 1: Hình hộp chữ nhật ABCD A1 B1C1 D1 AB=a, BC=b, CC1 = c a) Tính d( AA1 ,( BDB1 D1 ))

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 18 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: ABCD A1 B1C1 D1 là hình hộp chữ nhật

N

⇒ AA1 ⊥ ( ABCD) ⇒ AA1 ⊥ BD

H

Ơ

Trong (ABD) kẻ AI ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( AA1 I )

a2 + b2

⇒ d( AA1 ,( BDB1 D1 )) =

ab

H Ư

ab

a2 + b2

B

⇒ AI=

AI AB = DA BD

TR ẦN

Ta có △ ABI đồng dạng với △ DBA ⇒

N

G

Tính AI

10 00

3.2. Bài 2:Cho hình chóp SABCD. ABCD là hình vuông cạnh a SA=2a và SA vuông góc với đáy M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh

Ó

A

MN song song với (SBD) và tính d(MN,(SBD))

H

Giải

Í-

Ta có M, N là trung điểm của AB và AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD ⇒

-L

MN song song với BD ⇒ MN song song với (SBD)

ÁN

Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD Lấy I là trung điểm BD ⇒ AI ⊥ BDTa suy ra

ÀN

BD ⊥ (SAI)

Đ

Trong (SAI) kẻ AK ⊥ SI ⇒ BD ⊥ AK

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

⇒ AI = d( AA1 ,( BDB1 D1 ) )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q ẠO

TP

⇒ AI ⊥ ( BDB1 D1 )

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ BD ⊥ ( AIKA1 ) suy ra ta có AI ⊥ KI

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Ta kẻ A1 K ⊥ D1B1 ⇒ A1 K AI và KI AA1

D

IỄ N

Vì AK ⊥ SI và BD ⊥ AK ⇒ AK ⊥ (SBD)

⇒ AK= d(A, (SBD)) Ta có AI ⊥ BD và AI cắt MN Tại H Từ H kẻ HP ⊥ SI ⇒ HP= d(MN,(SBD))

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 19 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tính HP

a 2

N N U Y .Q

3a 2 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

1. Kiến thức

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

V. Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng

TR ẦN

H Ư

N

G

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α ),( β ) được ký hiệu d ((α ),( β ))

10 00

B

2. Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng trong không gian

+Hai mặt phẳng trùng nhau ta suy ra d ((α ),( β )) = 0

Ó H

Í-

Suy ra d ((α ),( β )) =0

A

+Hai mặt phẳng cắt nhau

TO

ÁN

-L

+Hai mặt phẳng vuông góc cũng có d ((α ),( β )) =0

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ d(MN,(SBD)) =

H

3a 3a HP IH ⇒ HP= Mà AK= = AK AI 2 2 2

TP

⇒

Ơ

Mặt khác △ HPI đồng dạng với △ AKI

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ta có AI =

D

IỄ N

+Hai mặt phẳng song song

Mặt phẳng (P) / /(P') , M thuộc (P) và H là hình chiếu của

M trên (P’)

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 20 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy d ((α ),( β )) =MH

U Y

Tính khoảng cách giữa (AHB) với (SBC)

H

Ó

A

Bài 2: Cho chóp tam giác ABC.A’B’C’ các đáy là các tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A trên A’B’C’ trùng với trung điểm M của B’C’

-L

Í-

Góc giữa AA’ với mặt phẳng đáy A’B’C’ bằng 60 độ. Tín khoảng cách 2 đáy của chóp .

A

C

ÁN

Giải:

Theo giả thiết ta suy ra AM ⊥ ( A ' B ' C ') Suy ra tam giác AMA’ vuông tại M

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G N

10 00

B

TR ẦN

Vậy d((AHB),(SBC))=0

H Ư

(1),(2) ⇒ AH ⊥ (SBC)   ⇒ (AHB) ⊥ (SBC) AH ∈ (AHB) 

ẠO

BC ⊥ AI  BC ⊥ (SAI)  ⇒  ⇒ BC ⊥ AH (2) BC ⊥ SA  AH ⊂ (SAI) 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

AH ⊥ SI (1)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải:

ÀN

B

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Bài 1 : Cho chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy , SA ⊥ ( ABC ), kẻ AI ⊥ BC,AH ⊥ SI .

Ơ

N

3. Bài tập:

D

IỄ N

Đ

Hình chiếu của AA’ trên A’B’C’ chính là A’M.Vậy góc AA’M bằng 60 độ

Có AM=A’M.tan60= a

3 3 . 3 = a 2 2 C'

A' M

Phạm Mai Trang

Page 21 B'

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3 a 2

Đ

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian

TR ẦN

Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

H Ư

Khoảng cách từ đường thẳng đến đường thẳng

N

G

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

3 3 3

10 00 KIỂM TRA (Thời gian:45p )

Í-

H

Ó

A

D.KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ.

3

B

Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng

3

ÁN

-L

Bài 1:Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật , AB=a, AD= a 2 .SA ⊥ đáy, M là trung điểm AD.Tính khoảng cách (SMB) và (SAC).

TO

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là H nằm trên AB sao cho AH=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Tiết

ẠO

Nội dung

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

Kế hoạch dạy học:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

C. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

N

Kết luận d((ABC),(A’B’C’))=d(A,(A’B’C’))=AM=

Đ

Câu 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a; mặt phẳng

D

IỄ N

(SBC) cuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB= 2a 3 và ∠SBC = 300 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Lời giải:

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 22 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Câu 1: S

N Ơ H N

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G N 7a 2 a 7 ⇒ CH = 9 3

A

a 21 3

Ó

SH = CH tan 60 =

10 00

B

CH 2 = AH 2 + AC 2 − 2 AH . AC .cos 60 =

H Ư

TR ẦN

là góc giữa SC và (ABC) ⇒ SCH = 60 Ta có SCH

-L

Í-

H

Qua A kẻ đường thẳng ∆ song songvới BC, gọi (α ) là mặt phẳng chứa SA và ∆

ÁN

3 ⇒ BC (α ) ⇒ d ( SA, BC ) = d ( B, (α ) ) = d ( H , (α ) ) = HK 2

ÀN Đ IỄ N

⇒ d ( H , (α ) ) =

⇒ d ( SA, BC ) =

a 7 2 6

a 3 1 1 1 a 7 ⇒ = + 2 ⇒ HK = 2 2 HK SH HI 3 2 6

⇒ d ( B , (α ) ) =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q

C

ẠO

TP

B

Câu 2:

Xét ∆ACH ta có:

D

M

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng cần tìm bằng 0.

Ta có HI = AH .sin 60 =

D

A

Và BM ⊥ SA, BM ⊥ AC ⇒ ( SBM ) ⊥ ( SAC )

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

AB a = = 2 AM a 2 suy ra △ ABM ∼△ BCA 2 BC a 2 = = 2 BA a ∠ABM = ∠ACB, ⇒ BM ⊥ AC

3a 7 4 6

3a 7 4 6

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 23 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Câu 3: Hạ SH ⊥ BC (H ∈ BC) ;

Ơ

N

(SBC) ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ (ABC);SH = SB.sinSBC = a 3

H

=

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

SH + HD

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

3a 7 14 6a 7 7

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Vậy d ( B, ( SAC ) ) = 4.HK =

N

SH .HD

H Ư

HK =

HC 3a = .

AC 5

TR ẦN

⇒ HD = BA.

ẠO

Ta có AC = BA2 + BC 2 = 5a; HC = BC − BH = a

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP

.Q

BH = SB.cosSBC=3a ⇒ BC=4HC ⇒ d (B,(SAC)) = 4d(H,(SAC)) .

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Hạ HD ⊥ AC (D ∈ AC), HK ⊥ SD(K ∈ SD) ⇒ HK ⊥ (SAC) ⇒ HK = d(H,(SAC)).

Phạm Mai Trang Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 24 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

IỄ N

D

Phạm Mai Trang

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

A

Ó

H B

10 00 TR ẦN G

N

H Ư

ẠO

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

-L

TP

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ÁN

TO

U Y

.Q

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Ơ

H

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Page 25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

H Ư

N

I.Công thức hạ bậc đơn…..……………......…………………………………………………............2

TR ẦN

1.Công thức sử dụng………………………......……………………………………………...............2 2.Ví dụ minh họa…..……........……………………………………………………………………..3

10 00

B

3.Bài tập vận dụng…........…………………………………………………………………………..4 II. Công thức hạ bậc toàn cục…………………….............…………………………………………..6

Ó

A

1.Công thức…………..........………………………………………………………………………..6

Í-

H

2.Phương pháp………….........……………………………………………………………………..7

ÁN

-L

3.Ví dụ……………………………………..........…………………………………………….........7 4.Bài tập……………………………………………………………..........………………...………9

ÀN

5.Một vài ví dụ trong đề thi đại học…………….......………………………...………………......12

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

B.Nội dung bàihọc……………………………………………………………………………...........2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

ẠO

A.Mục tiêu dạyhọc……………………………………………………………………………......…2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

MỤC LỤC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

N

CHUYÊN ĐỀ:

IỄ N

Đ

III. Ứng dụng công thức hạ bậc vào giải phương trình lượng giác...........………………………….14

D

C.Bài tập củng cố……………….………............………………………………………………….18

1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

tan 2 x =

H

Ó

sin 2 x 1 − cos 2 x = cos 2 x 1 + cos 2 x

Í-

cos 2 x 1 + cos 2 x cot x = = sin 2 x 1 − cos 2 x sin 3 x = s inx.sin 2 x 1 = s inx. .(1 − cos 2 x ) 2 1 1 = s inx − s inx.cos 2 x 2 2 1 1 1 = sinx − sin 3 x + s inx 2 4 4 3 1 = s inx − sin 3 x .

4 4 3 cos x = cos x.cos 2 x 2

-L

•

TO

ÁN

•

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

•

1 (1 + cos 2 x ) 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇔ cos 2 x = 1 − sin 2 x ⇔ cos 2 x =

A

•

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

10 00

B

TR ẦN

B. NỘI DUNG BÀI HỌC I. Hạ bậc đơn 1. Công thức sử dụng 1 • sin 2 x = (1 − cos 2 x ) 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

A. MỤC TIÊU DẠY HỌC • Căn cứ: - Chuẩn KT-KN - Yêu cầu của nhà trường - Khả năng, mong muốn của HS… • Mục tiêu dạy học: Về kiến thức: - HS hiểu, nhận dạng được các công thức hạ bậc: công thức hạ bậc đơn, công thức hạ bậc đối xứng, công thức hạ bậc toàn cục.

- HS hiểu, biết vận dụng các công thức hạ bậc vào giải bài tập.

Về kĩ năng: - HS chứng minh được các công thức hạ bậc.

- HS giải được các phương trình lượng giác bằng công thức hạ bậc: phương trình đưa về phương trình bậc hai theo hàm lượng giác, phương trình toàn phương, phương trình đối xứng, phương trình đẳng cấp bậc hai.

- HS vận dụng thành thạo các công thức hạ bậc vào giải bài tập.

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

•

2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H

Ó

⇔ 2cos 2 x.cosx.cos3x = 0

ÁN

-L

Í-

H

π kπ π kπ    cos 2 x = 0 2x = + x= +   cos 2 x = 0  4 2 2 2 ⇔  cos x = 0 ⇔  ⇔ ⇔ ,k ∈ℤ k π π cos 3 x = 0 π  x = +  3 x = + kπ  cos 3 x = 0   6 3 2

TO

 π kπ π kπ  Vậy phương trìnhcó 2 họ nghiệm là S =  + , + | k ∈ ℤ 4 2 6 3  17π 2.2. Giải phương trình sau: sin 2 2 x − cos 2 8 x = sin(10 x + ) 2 Giải: Phương trình biến đổi về dạng: π 1 − cos 4 x 1 + cos16 x − = sin(10 x + + 8π ) 2 2 2 ⇔ 2cos10 x + cos16 x + cos 4 x = 0 ⇔ 2cos10 x + 2cos10 x.cos 6 x = 0

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ G N H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

⇔ 2 cos 2 3 x + 2 cos 3 x.cosx = 0 ⇔ (cos 3 x + cos x) cos 3 x = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

cos3 x 3cos x + cos 3 x = . sin 3 x 3sin x − sin 3x 1 • sin x.cosx = sin 2 x .

2 2. Ví dụ minh họa 2.1. Giải phương trình sau: sin 2 x = cos 2 x + cos 2 3 x Giải: Phương trình biến đổi về dạng: 1 − cos 2 x 1 + cos 4 x = + cos 2 3 x 2 2 ⇔ 2 cos 2 3 x + (cos 4 x + cos 2 x) = 0 cot 3 x =

•

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

sin 3 x 3sin x − sin 3x = . cos3 x 3cos x + cos 3x

TP

tan 3 x =

•

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 = cos x (1 + cos 2 x ) 2 1 1 = cos x + cos 2 x cosx 2 2 1 1 1 = cos x + cos 3 x + cosx 2 4 4 3 1 = cos x + cos 3 x .

4 4

3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇔ (cos 6 x + 1) cos10 x = 0

N H

Ơ U Y .Q

-L

⇔ 4 cos 3 t − 4 cos 2 t − 3cos t + 3 = 0

ÁN

⇔ (cost − 1)(4 cos 2 t − 3) = 0

TO

 cos t = 1  x = 3kπ cos t = 1  cos t = 1   ⇔ ⇔ ⇔ 1 ⇔  π 3kπ , k ∈ ℤ 2  4 cos − 3 = 0 2(1 + cos 2 ) − 3 = 0 t t = cos 2 t x=± +   2 4 2  

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

tan( − x). tan( + x) 4 4 π π 7 Bài 4:Giải phương trình sau: sin 4 x + cos 4 x = cot( x + ).cot( − x ) 8 3 6 Hướng dẫn Bài 1: 1 1 2x  Ta có: cos 2 x = (1 + cos 2 x) = 1 + cos(3. )  2 2 3  2x Đặt t = , phương trình biến đổi về dạng: 3 1 (1 + cos 3t ) = cos 2t 2 ⇔ 1 + cos3 t + 3cos t = 2(cos 2 t − 1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

= cos 4 4 x

π

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

π

Đ

sin 4 2 x + cos 4 2 x

G

Bài 3:Giải phương trình sau:

N

 π kπ π kπ  Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là S =  + , + | k ∈ ℤ  6 3 20 10  3. Bài tập áp dụng 4x Bài 1: Giải phương trình sau: cos 2 x = cos 3 3 Bài 2:Giải phương trình sau: cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3 x + cos 2 4 x = 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

π kπ  x= +  6 x = π + k 2π  cos 6 x = −1 6 3 ⇔ ⇔ ,k ∈ℤ ⇔ π 10 x = + kπ  cos10 x = 0  x = π + kπ 2   20 10

D

IỄ N

Đ

π 3kπ π 3kπ   Vậy phương trình có 3 họ nghiệm S = 3kπ ; − + ; + | k ∈ ℤ 4 2 4 2   Bài 2: Phương trình biến đổi về dạng: 1 + cos 2 x + 1 + cos 4 x + 1 + cos 6 x + 2 cos 2 4 x = 3 ⇔ cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x + 2 cos 2 4 x = 0 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇔ 2 cos 4 x.cos 2 x + cos 4 x + 2 cos 2 4 x = 0 ⇔ cos 4 x(2 cos 2 x + 1 + 2 cos 4 x) = 0 ⇔ cos 4 x(4 cos 2 2 x + 2 cos 2 x − 1) = 0

N Ơ H

2

D

Í-

-L

ÁN

TO

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

 1 − cos 4 x   1 + cos 4 x  4 ⇔  +  = cos 4 x 2 2     kπ ⇔ cos 2 4 x = 1 ⇔ sin 4 x = 0 ⇔ x = 2 Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Bài 4: π π π π 2π Điều kiện: sin( x + ).sin( − x ) = 2 sin( x + ).cos( x + ) = cos(2 x + )≠0 3 6 3 3 3 π π π π Ta có: cot( x + ).cot( − x ) = cot( x + ).tan( + x ) = 1 3 6 3 3 Khi đó phương trình trở thành: 7 sin 4 x + cos 4 x = 8

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

H Ư

TR ẦN

H

Ó

A

10 00

B

π π π  2sin( 4 − x).sin( 4 − x) = sin( 2 − 2 x) = cos 2 x ≠ 0 π kπ Điều kiện:  (k ∈ ℤ) ⇔x= + 4 2  2sin( π + x).sin( π + x) = sin( π + 2 x) = cos 2 x ≠ 0  4 4 2 π π π π Ta có: tan( − x ).tan( + x ) = tan( − x ).cot( − x ) = 1 4 4 4 4 Khi đó phương trình trở thành: sin 4 2 x + cos 4 2 x = cos 4 4 x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

−1 − 5 −1 − 5 ta được: x = ± β + kπ , k ∈ ℤ với cos 2 β = 4 4 Vậy phương trình có 5 họ nghiệm.

Bài 3: V ới t 2 =

Đ

−1 + 5 −1 + 5 ta được: x = ±α + kπ , k ∈ ℤ với cos 2α = 4 4

G

Với t1 =

−1 ± 5 4

ẠO

4t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔ t1,2 =

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

cos 4 x = 0(1)  ⇔ 2  4 cos 2 x + 2 cos 2 x − 1 = 0(2) π π Giải (1) ta được: x = + k , k ∈ ℤ 8 4 Giải (2): đặt t = cos 2 x , điều kiện: t ≤ 1 , ta được:

5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2

H Ư

N

G

1 2 = 1 − . ( 2 sin x cos x ) 2

TR ẦN

1 = 1 − sin 2 2 x 2

• sin 4 x − cos 4 x

10 00

B

= ( sin 2 x − cos 2 x )( sin 2 x + cos 2 x )

= −cos2 x

A

• sin 6 x + cos 6 x 3

H

Í-

ÁN

3 = 1 − sin 2 2 x 4

-L

= 1 − 3sin 2 x cos 2 x

Ó

= ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x )

• sin 6 x − cos 6 x

ÀN

= (sin 2 x )3 − (cos 2 x )3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

= (sin 2 x + cos 2 x) 2 − 2sin 2 x cos 2 x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

• sin 4 x + cos 4 x

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

U Y

N

H

Ơ

N

7  1 − cos 2 x   1 + cos 2 x  ⇔  +  = 2 2 8     7 ⇔ 2(1 + cos 2 2 x ) = 2 1 ⇔ cos 4 x = 2 π kπ (k ∈ ℤ) ⇔ x=± + 12 2 II.Công thức hạ bậc toàn cục: 1.Công thức:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Đ

= (sin 2 x − cos 2 x )(cos 4 x + sin 2 x cos 2 x + sin 4 x)

D

IỄ N

1  1  = −cos2 x 1 − sin 2 2 x + sin 2 2 x  4  2 

 1  = −cos2 x  1 − sin 2 2 x   4 

6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

…..

Ơ

Biến đổi phương trình có dạng sin n x ± cos n x ( n chẵn )theo các hằng đẳng thức hoặc áp dụng nhị

N

2. Phương pháp:

U Y

đơn giản cos2 x, sin 2 x,...

G

Phương trình biến đổi về dạng:

H Ư

N

3 1 1 − sin 2 2 x = 1 − sin 2 2 x + 4 16

TR ẦN

⇔ 4sin 2 2 x = 1

B

 1 − cos4 x  ⇔ 4  =1 2  

π 1 = cos 2 3

A

⇔ cos4 x =

10 00

⇔ 2 − 2cos 4 x = 1

ÁN

-L

Í-

H

Ó

π   4 x = 3 + k 2π π ⇔ ⇔ x = ± (k ∈ Z ) 12  4 x = −π + k 2π  3 Vậy nghiệm PT là: x = ±

12

+ k 2π (k ∈ Z )

2(sin 6 x + cos6 x) − sin x cos x =0 2 − 2sin x

Đ

ÀN

VD2: Giải phương trình:

π

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

1 16

ẠO

VD1:Giải phương trình: sin 6 x + cos 6 x = cos 2 2 x +

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3.Ví dụ:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

thức Newton để biến đổi mà các biểu thức trong nhị thức là sin 2 x, cos 2 x rồi đưa về công thức hạ bậc

IỄ N

Giải:

D

Đk: sin x ≠

1 2

Phương trình biến đổi về dạng:

7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 3  1 2 1 − sin 2 2 x  − sin 2 x = 0  4  2

N

⇔ 3sin 2 2 x + sin 2 x − 4 = 0

H 4

+ kπ ( k ∈ Z )

H Ư

N

VD3:Giải phương trình: sin 4 x + cos 4 x − sin x cos x = 1 Giải:

TR ẦN

Phương trình biến đổi về dạng:

B

1 1 1 − sin 2 2 x − sin 2 x = 1 2 2

10 00

⇔ sin 2 2 x + sin 2 x = 0

-L

Í-

H

Ó

A

  2 x = kπ  sin 2 x = 0 −π ⇔ 2 x = + k 2π (k ∈ Z ) ⇔  2 sin 2 x = −1  3π 2 x = + k 2π  2

TO

ÁN

kπ  x = 2  −π ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z )  4   x = 3π + kπ  4

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

π

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Vậy nghiệm của pt là: x =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP

5π + k 2π ( k ∈ Z ) là nghiệm pt 4

ẠO

Kết hợp điều kiện ⇒ x =

.Q

+ kπ ( k ∈ Z )

Đ

4

G

π

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ sin 2 x = 1 ⇔ x =

Ơ

sin 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = −4 3 

D

Vậy nghiệm của pt là: x =

−π kπ 3π ;x = + kπ ; x = + kπ (k ∈ Z ) 2 4 4

VD 4:Giải phương trình: sin 6 2 x + cos 6 2 x =

1 (1) 4 8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: 3 Theo quy nạp từ công thức sin 6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 2 x 4

N Ơ H U Y .Q

Í-

-L

1 8

H

Ó

A

17 32

ÁN

sin 4 2 x + cos 4 2 x

c)

π

π

= cos 4 4 x

TO

tan( − x ) tan( + x) 4 4

Đ

d) 3sin 4 x + cos 4 x =

3 4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giải các phương trình sau:

b) sin 8 2 x + cos8 2 x =

TP

10 00

4.Bài tập:

a) sin 8 x + cos8 x =

ẠO

−π kπ kπ 3π kπ ;x = ;x = (k ∈ Z ) + + 2 8 2 8 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

8

+

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

π

B

Vậy nghiệm của pt là: x =

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

π kπ  x = 8 + 2  −π kπ (k ∈ Z ) ⇔ x = +  8 2   x = 3π + kπ 8 2 

N

π  4 = + k 2π x  2  sin 4 x = 1 −π ⇔ 4 x = + k 2π (k ∈ Z ) ⇔  2 sin 4 x = −1   4 x = 3π + k 2π 2 

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 3 Ta suy ra VT (1) = 1 − sin 2 4 x = ⇔ sin 2 4 x = 1 4 4

D

IỄ N

Hướng dẫn:

a) sin 8 x + cos8 x =

17 32

⇔ (sin 2 x ) 4 + (cos 2 x ) 4 =

17 32 9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

4

⇔ ( sin 2 x + cos 2 x ) − 4sin 6 x cos 2 x − 6 cos 4 x sin 4 x − 4sin 2 x cos 6 x =

N

17 32

Ơ

⇔ 1 − 4sin 2 x cos 2 x (sin 4 x + cos 4 x ) − 6 cos 4 x sin 4 x =

17 32

Í-

H

Ó

A

10 00

B

π π    x = 8 + kπ  2 x = 4 + k 2π    x = 3π + kπ  2 x = π − π + k 2π   4 (k ∈ Z ) ⇔ ( k ∈ Z )) ⇔  8  x = −π + kπ  2 x = −π + k 2π  4 8    π 5π x = + kπ  2 x = π + + k 2π 4  8  π

-L

KL: Nghiệm của pt là: x =

−π 3π 5π + kπ ; x = + kπ ; x = + kπ ( k ∈ Z ) 8 8 8

ÁN

8

+ kπ ; x =

b) sin 8 2 x + cos8 2 x =

1 8

2 1 sin 4 4 x − sin 2 4 x + 1 = 16 8

IỄ N

Đ

⇔

ÀN

Tương tự câu a, ta có

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

π 1 = sin 4 2 −1 −π = sin 4 2

TR ẦN

 sin 2 x = 1 2 Nhận thấy nghiệm sin 2 x = thỏa mãn, từ đó  2  sin 2 x =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

ẠO

TP

1  2 sin 2 x = 2 ⇔ sin 2 2 x = 15  2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

U Y

2 15 sin 4 2 x − sin 2 2 x + =0 16 32

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔

H

1 6 17 ⇔ 1 − sin 2 2 x (1 − sin 2 2 x ) − sin 4 2 x = 2 16 32

D

⇔

2 7 sin 4 4 x − sin 2 4 x + = 0 16 8

⇔ sin 2 4 x = 1 hoặc sin 2 4 x = 7 Nhận thấy nghiệm sin 2 2 x = 1 thỏa mãn ,từ đó: 10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N

10 00

 π  π   tan  4 − x  ≠ 0; tan  4 + x  ≠ 0      ĐK:  cos  π − x  ≠ 0; cos  π + x  ≠ 0      4  4 

Ó

A

Ta có:

ÁN

-L

Í-

H

π  π  sin  − x  sin  + x  π  π  4  4  =1 tan  − x  tan  + x  = π π 4 4         cos  − x  cos  + x  4  4  π  π  π  π  Do sin  − x  = cos  + x  ;sin  + x  = cos  − x  4  4  4  4 

Đ

ÀN

π  π  (Vì  − x  ;  + x  là 2 gócphụ nhau) 4  4 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

tan( − x ) tan( + x) 4 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

π

= cos 4 4 x

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

π

−π kπ kπ 3π kπ ;x = ;x = (k ∈ Z ) + + 2 8 2 8 2

TR ẦN

c)

8

+

B

sin 4 2 x + cos 4 2 x

π

H Ư

KL: Nghiệm của pt là: x =

Đ

ẠO

TP

.Q

U Y

π kπ  x = 8 + 2  −π kπ ⇔ x = + (k ∈ Z )  8 2   x = 3π + kπ  8 2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

π  4 x = + k 2π  2 π   sin 4 x = 1 = sin( 2 + k 2π ) −π + k 2π (k ∈ Z ) (k ∈ Z) ⇔ 4 x =   2 sin 4 x = −1 = sin( −π + k 2π )   2  4 x = 3π + k 2π 2 

D

IỄ N

Từ đó PT: ⇔ sin 4 2 x + cos 4 2 x = cos 4 4 x 1 ⇔ 1 − sin 2 4 x = (1 − sin 2 4 x ) 2 2

11

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 ⇔ 1 − sin 2 4 x = 1 − 2sin 2 4 x + sin 4 4 x 2

Ơ

N

3 ⇔ sin 4 4 x − sin 2 4 x = 0 2

.Q

−1 2

Í-

1 =0 4

-L

⇔ cos 2 2 x − cos 2 x +

H

Ó

⇔ 1 − 2 cos 2 x + cos 2 2 x − sin 2 2 x =

π 1 = cos 2 3

ÁN

⇔ cos2 x =

D

IỄ N

Đ

ÀN

π π    2 x = 3 + k 2π  x = 6 + kπ ⇔ ( k ∈ Z) ⇔  (k ∈ Z)  2 x = −π + k 2π  x = −π + kπ   6 3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP Đ

B

1 − 2cos2 x + cos 2 2 x 1 2 −1 − sin 2 x = 2 2 4

A

⇔

1 − cos2 x 2 1 3 ) + 1 − sin 2 2 x = 2 2 4

10 00

⇔ 2(

3 4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

⇔ 2sin 4 x + ( sin 4 x + cos 4 x ) =

H Ư

N

3 4

TR ẦN

d) 3sin 4 x + cos 4 x =

kπ (k ∈ Z) 4

G

KL: Nghiệm của pt là: x =

kπ (k ∈ Z) 4

ẠO

sin 4 x = 0 ⇔ 4 x = kπ ( k ∈ Z ) ⇔ x =

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

Nhận thấy nghiệm sin 4 x = 0 thỏa mãn ,từ đó:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

sin 2 4 x = 0 ⇔ 2 sin 4 x = 3  2

KL: Nghiệm của pt là: x = ±

π 6

+ kπ ( k ∈ Z )

5. Một vài ví dụ đề thi đại học

12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

π  π 3  VD1: (D-2005):Giải phương trình: cos 4 x + sin 4 x + cos  x −  sin  3 x −  − = 0 4  4 2 

Ơ

N

1 π π  π π 3  ⇔ 1 − sin 2 2 x +  cos x cos + sin x sin   sin 3 x cos − cos3 x sin  − = 0 2 4 4  4 4 2 

π 4

4

+ kπ ( k ∈ Z )

+ kπ ( k ∈ Z )

sin 4 x + cos 4 x 1 1 = cot 2 x − 5sin 2 x 2 8sin 2 x

A

VD2: (B-2002) Giải phương trình:

Ó

kπ 2

Í-

H

ĐK: sin 2 x ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ kπ ⇔ x ≠

ÁN

-L

1 1 − sin 2 2 x 1 cos2 x 2 ⇔ = − 5sin 2 x 2sin 2 x 8sin 2 x

TO

1 1 − sin 2 2 x cos2 x 1 2 ⇔ = − 5 2 8

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

KL: Nghiệm của pt là: x =

π

B

2

+ k 2π ( k ∈ Z ) suyra x =

10 00

π

TR ẦN

H Ư

N

sin 2 x = 1 PT (*) có nghiệm là  , nghiệm sin 2 x = 1 thỏa mãn, từ đó: sin 2 x = −2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

⇔ sin 2 2 x + sin 2 x − 2 = 0 (*)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N Đ

ẠO

⇔ − sin 2 2 x + sin 2 x − (1 − 2 sin 2 2 x ) − 1 = 0

2x =

U Y

TP

⇔ − sin 2 2 x + sin 2 x − cos4 x − 1 = 0

.Q

−1 2 1 1 sin 2 x + ( cos x sin 3 x − sin x cos 3 x ) + ( sin x sin 3 x − cosx cos 3 x )  − = 0 2 2 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔

H

1 1 3 ⇔ 1 − sin 2 2 x + (cos x + sin x ) ( sin 3 x − cos3 x ) − = 0 2 2 2

D

IỄ N

Đ

1 5 5 ⇔ 1 − (1 − cos 2 2 x ) = cos2 x − 2 2 8 ⇔ cos 2 2 x − 5cos 2 x +

9 =0 4

13

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H

+ kπ ( k ∈ Z )

Đ

VD3: (D-2002): Tìm m để phương trình: 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) + cos4 x + 2 sin 2 x − m = 0 [ 0, 2π ] có ít

⇔ −3sin 2 2 x + 2sin 2 x + 3 − m = 0 (*)

H Ư

TR ẦN

1 PT (1) ⇔ 2(1 − sin 2 2 x ) + 1 − 2sin 2 2 x + 2 sin 2 x − m = 0 2

N

G

nhất một nghiệm thuộc [ 0; 2π ]

Đặt t = sin 2 x , x ∈ [ 0, 2π ] , t ∈ [ 0,1] khi đó PT (*) là: −3t 2 + 2t + 3 − m = 0 ⇔ −3t 2 + 2t = m − 3

1 3

A

f ' (t ) = −6t + 2 = 0 ⇔ t =

10 00

B

Đặt f (t ) = −3t 2 + 2t

-L

1 10 ⇔2≤m≤ 3 3

ÁN

−1 ≤ m − 3 ≤

Í-

H

Ó

1 1 Ta tính f (0) = 0, f ( ) = , f (1) = −1 . Để PT (*) có ít nhất 1 nghiệm t ∈ [ 0,1] thì 3 3

TO

KL: để PT (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc [ 0, 2π ] thì 2 ≤ m ≤

10 3

Vậy phương có 2 họ nghiệm.

III. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Bài1:Giải phương trình: sin 3 x.cos 3 x + cos3 x.sin 3 x = 0 Giải: Ta có thể sử dụng công thức hạ bậc biến đổi vế trái bằng hai cách: Cách 1: Ta có: VT = sin 2 x.s inx.cos 3 x + cos 2 x.cosx .sin 3 x = (1 − cos 2 x).s inx.cos 3 x + (1 − sin 2 x).cosx .sin 3 x

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

6

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

π

ẠO

KL: Nghiệm của pt là: x = ±

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

+ kπ ( k ∈ Z )

.Q

6

TP

π

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x=±

π π 1 = cos thỏa mãn, từ đó: 2 x = ± + k 2π ( k ∈ Z ) 2 3 3

U Y

Nghiệm cos2 x =

Ơ

N

1  cos2 x = 2 ⇔ cos2 x = 9  2

14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

TO

ÁN

D

Ơ H N U Y .Q TP

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

= sin 2 x.cos 6 x + sin 6 x.cos 2 x − cos 2 2 x.sin 2 x.cos 6 x − sin 6 x.cos 2 x .sin 2 2 x = sin 8 x − cos 2 x.sin 2 x.(cos 2 x .cos 6 x + sin 6 x .sin 2 x) 1 = sin 8 x − sin 4 x.cos 4 x 2 1 3 = sin 8 x − sin 8 x = sin 8 x .

4 4 Cách 2: Ta có: 1 1 VT= (3sin 2 x − sin 6 x) cos 6 x + (3cos 2 x − cos 6 x) sin 6 x 4 4 3 = (sin 2 x .cos 6 x + cos 2 x.sin 6 x) 4 3 = sin 8 x 4 Phương trình được biến đổi về dạng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ó

A

10 00

B

3 8 Ta có thể sử dụng công thức hạ bậc biến đổi vế trái bằng hai cách: Cách 1: Ta có: VT= sin 2 2 x.sin 2 x.cos 6 x + sin 6 x .cos 2 x .cos 2 x = (1 − cos 2 2 x) sin 2 x .cos 6 x + sin 6 x .cos 2 x .(1 − sin 2 2 x) s in 3 2 x.cos 6 x + sin 6 x .cos 3 2 x =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Bài 2:Giải phương trình:

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

= s inx.cos 3 x + cosx .sin 3 x − (cosx .cos 3 x + s inx.sin 3 x) s inx.cosx 1 = sin 4 x − cos 2 x.sin 2 x 2 1 = sin 4 x − sin 4 x 4 3 = sin 4 x .

4 Cách2: Ta có: 1 1 VT = (3sinx − sin 3 x) cos 3 x + (3cosx + cos 3 x ) sin 3 x 4 4 3 = (sinx .cos 3 x + cos x.sin 3 x ) 4 3 = sin 4 x .

4 Phương trình được biến đổi về dạng: 3 kπ sin 4 x = 0 ⇔ sin 4 x = 0 ⇔ 4 x = kπ ⇔ x = ,k ∈ℤ 4 4 kπ Vậy phương trình có họ nghiệm x = ,k ∈ℤ.

4

N

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A

Ó

H

Í-

-L

ÁN

TO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

3

2  2 2 π a) (1) ⇔ cos 2 x = =  ⇔ x = ± + kπ (k ∈ ℤ) .  ⇔ cos 2 x = 4  2  2 8 π Vậy nghiệm của phương trình là x = ± + kπ (k ∈ ℤ) 8  4 x = −2 x + k 2π kπ b) (2) ⇔ cos3 2 x = cos3 4 x ⇔ cos 4 x = cos 2 x ⇔  (k ∈ ℤ) ⇔x= 3  4 x = 2 x + k 2π kπ Vậy nghiệm của phương trình là x = (k ∈ ℤ ) 3 Bài 4: Giải phương trình: 1 cos3 x.cos 3 x + sin 3 x.sin 3 x = cos3 4 x + (1) 4 Giải: − sin 3 x + 3sin x cos 3 x + 3cos x Ta có: cos3 x.cos 3 x + sin 3 x.sin 3 x = .cos 3 x + .sin 3 x 4 4 1 3 = (cos 2 3 x + sin 2 3 x) + (cos 3 x .cosx − sin 3 x .s inx) 4 4 1 3 = + cos 4 x 4 4 3

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

π kπ  x= +  1 3 48 4 ,k ∈ℤ sin 8 x ⇔ sin 8 x = ⇔  5 k π π 4 2 x = +  48 4 π kπ   x = 48 + 4 Vậy phương trình có hai họ nghiệm  ,k ∈ℤ .  x = 5π + kπ  48 4 Bài 3: Giải phương trình: 2 a) cos3 x.cos 3 x + sin 3 x.sin 3 x = (1) 4 b) cos3 x.cos 3 x + sin 3 x.sin 3 x = cos3 4 x (2) Giải: − sin 3 x + 3sin x cos 3 x + 3cos x Ta có: cos3 x.cos 3 x + sin 3 x.sin 3 x = .cos 3 x + .sin 3 x 4 4 1 3 = (cos 2 3 x − sin 2 3 x) + (cos 3 x .cosx + sin 3 x .s inx) 4 4 1 3 = cos 6 x + cos(3 x − x) 4 4 1 3 = (4 cos 3 2 x − 3cos 2 x) + cos 2 x 4 4 = cos3 2x

N

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 3 1 + cos 4 x = cos3 4 x + ⇔ 4 cos3 4 x − 3cos 4 x = 0 4 4 4 π kπ ⇔ cos12 x = 0 ⇔ x = (k ∈ ℤ ) + 24 12 π kπ Vậy nghiệm của phương trình là x = (k ∈ ℤ ) + 24 12 Bài 5:Giải phương trình: 4 cos3 x.sin 3 x + 4sin 3 x.cos 3 x + 3 3 cos 4 x = 3 (1) Giải: Ta có: 4 cos3 x.sin 3 x + 4sin 3 x.cos 3 x + 3 3 cos 4 x

N Ơ H

1 3 1 sin 4 x + cos 4 x = 2 2 2 π π −π kπ    4 x + 3 = 6 + k 2π  x = 24 + 2 π π 1 (k ∈ ℤ) ⇔ cos .sin 4 x + sin .cos 4 x = ⇔ ⇔ 3 3 2  4 x + π = 5π + k 2π  x = π + kπ   8 2 3 6  π π ⇔ sin(4 x + ) = sin 3 6 −π kπ   x = 24 + 2 Vậy nghiệm của phương trình là  (k ∈ ℤ)  x = π + kπ  8 2 Bài 6: (DB1 – Khối A – 2006) 2+3 2 Giải phương trình: cos 3 x.cos3 x − sin 3 x.sin 3 x = (1) 8 Giải: − sin 3 x + 3sin x cos 3 x + 3cos x Ta có: cos3 x.cos 3 x + sin 3 x.sin 3 x = .cos 3 x + .sin 3 x 4 4 1 3 = (cos 2 3 x + sin 2 3 x) + (cos 3 x .cosx − sin 3 x .s inx) 4 4 1 3 = + cos 4 x 4 4 1 3 2+3 2 3 3 2 (1) ⇔ + cos 4 x = ⇔ cos 4 x = 4 4 8 4 8 2 π kπ ⇔ cos 4 x = ⇔ x=± + (k ∈ ℤ ) 2 16 2

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

(1) ⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 1 ⇔

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

= 3sin 4 x + 3 3 cos 4 x

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

= 3(sin 3 x .cosx + s inx.cos 3 x) + 3 3 cos 4x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

= (cos 3 x + 3cosx) sin 3 x + ( − sin 3 x + 3sin x ) cos 3 x + 3 3 cos 4 x

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(1) ⇔

17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy nghiệm của phương trình là x = ±

π 16

+

kπ (k ∈ ℤ ) 2

Bài 7: ( CĐ khối A ,B,D năm 2011)

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

H

Í-

-L

ÁN

TO

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Hướngdẫn : • Có góc 4x và x nên ta sẽ tìm cách đưa chúng về góc 2x để nhóm lại cos(4 x) = 2 cos 2 x − 1 1 − cos 2 x • Sử dụng công thức hạ bậc sin x = 2 Lời giải : 1 − cos 2 x Có sin x = , cos(4 x) = 2 cos 2 x − 1 2 Khi đó phương trình thành : 1 − cos 2 x 2 cos 2 2 x − 1 + 12. −1 = 0 2 ⇔ cos 2 2 x − 3cos 2 x + 2 = 0 Đặt t = cos 2 x( −1 ≤ t ≤ 1) Khi đó ta được : t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t=1 ( t/m) hoặc t=2 (loại) Với t=1 thaylại ta được cos 2 x = 1 ⇔ x = k π ( k ∈ Z ) Vậyptcónghiệmlà x = kπ ( k ∈ Z ) .

Bài 8:Giải phương trình 17 sin 8 x + cos8 x = cos 2 2 x 16 8 8 4 Ta hạ bậc: sin x + cos x = (sin + cos 4 x ) 2 − 2 sin 4 x cos 4 x 1 1 1 = (1 − sin 2 2 x ) 2 − sin 4 2 x = 1 − sin 2 2 x + sin 4 2 x 2 8 8 1 ⇔ sin 2 2 x = −1 ( loại ) hoặc sin 2 2 x = (t/m) 2 π π ⇔ x = + k ( k ∈Z ) 8 4 π π Vậy phương trình có nghiệm x = + k ( k ∈ Z ) 8 4 Bài 9:Giải phương trình:

N

Giải phương trình: cos(4 x ) + 12 sin 2 x − 1 = 0

D

IỄ N

Đ

4 sin 2 x + 3 sin 2 x + 2 cos 2 x = 4 Áp dụng công thức hạ bậc khi đó phương trình thành : 2(1 − cos 2 x ) + 3 sin 2 x + (1 + cos 2 x ) = 4 ⇔ cos 2 x − 3 sin 2 x = −1 π π 2π ⇔ cos(2 x + ) = − cos = cos 3 3 3 18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

6

+ kπ , ( k ∈ Z )

Vậy phương trình có nghiệm là x = −

π 2

+ kπ hoặc x =

π 6

+ kπ , ( k ∈ Z )

H

3+ 2 2

N

sin 2 x + 3 sin x cos x + 2 cos 2 x =

Ơ

Bài10 :Giải phương trình sau:

U Y ẠO Đ G

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

⇔ cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 π π x ⇔ cos(2 x − ) = cos tan x + cos x − cos 2 2 x = sin x (1 + tanxtan ) 3 4 2 π 7π ⇔ x= + kπ ∨ x = + kπ ( k ∈ Z ) 24 24 π 7π Vậy phương trình có nghiệm là x = + kπ ∨ x = + kπ ( k ∈ Z ) 24 24 C. Bài tập củng cố: Bài1: (A- 2002 ) (2 − sin 2 2 x) sin 3x Giải phương trình: tan 4 x + 1 = cos 4 x HD: Điều kiện cosx ≠ 0 1 sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 2 x 2 π k 2π 5π k 2π or x = + ĐS: x = + 18 3 18 3 Bài 2: (B-2002 ) sin 4 x + cos 4 x 1 1 = cot 2 x − Giải phương trình: 5sin 2 x 2 8sin 2 x 1 HD: sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 2 x 2

TP

.Q

1 − cos 2 x 1 + cos 2 x 3+ 2 + 3 sin 2 x + 2( )= 2 2 2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Áp dụng công thức hạ bậc ta được :

ĐS: x = ±

π

D

IỄ N

Đ

ÀN

+ kπ 6 Bài3: (D- 2002) Tìm m để phương trình: 2(sin 4 x + cos 4 x ) + cos 4 x + 2sin 2 x − m = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [ 0; 2π ]

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

π

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

+ kπ hoặc x =

N

π

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

⇔ x=−

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 π  π Đặt : t = sin 2 x, x ∈ 0;  , ⇒ t ∈ [ 0;1] phương trìnhđã cho có nghiệm x ∈ 0;   2  2 ⇔ 3t 2 − 2t = m + 3 có nghiệm. t ∈ [ 0;1]

19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

−10 ≤ m ≤ −2.

3 Bài 4:(B-2002) Giải phương trình: sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x 1 − cos6x 1 − cos8 x HD: Sử dụng công thức hạ bậc: sin 2 3x = , sin 2 4 x = , 2 2 1 − cos10x sin 2 5 x = , 2 kπ kπ or x = . ĐS: x = 9 2

N Ơ H

10 00

B

I: Công thức hạ bậc đơn

Ví dụ và bài tập

2

Giới thiệu công thức.

A

II: Công thức hạ bậc toàn cục

Ó

1 1

Í-

H

Ví dụ và bài tập

Bài tập .

2

Bài tập ôn tập tổng hợp.

3

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

III: Ứng dụng công thức hạ bậc giải phương trình lượng giác.

Tiết 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nội dung Nhắclại kiến thức, giới thiệu công thức hạ bậc.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2. Kếhoạchdạyhọc

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

H Ư

N

G

Đ

ẠO

D. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 1. Hình thức dạy học - Tổ chức các hoạt động nhóm: chia lớp thành 4 nhóm làm bài tập.

- Mỗi buổi cho các nhóm làm bài thảo luận hoặc làm bài tập trong nhóm, có thể tổ chức trò chơi liên quan đến tiết học.

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ĐS:

20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial