Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng & không gian Lê Hồng Đức

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

U Y

Gi¶i

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AN) vÒ d¹ng tham sè: x = t (AN) :  , (t ∈ ℝ) ⇒ A(t; 2t − 3).  y = −3 + 2t Gäi H lµ giao ®iÓm cña AN vµ BD. KÎ ®−êng th¼ng qua H vµ song song víi AB, c¾t AD vµ BC theo thø tù t¹i P vµ Q. §Æt HP = x, suy ra: PD = QC = x; AP = 3x; HQ = 3x; MQ = x ⇒ ∆AHP = ∆HMQ ⇒ AH ⊥ HM. H¬n n÷a, ta còng cã:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

AH = HM ⇒ AM = 2HM = 2d(M, (AN)) 2

2

7 3 10 121 49 90  11   ⇔  t −  +  2t −  = ⇔ t 2 − 11t + + 4t 2 − 14t + = 2  2 2 4 4 4 

 A1 (1; − 1) t = 1 . ⇔ t2 − 5t + 4 = 0 ⇔  ⇒ t = 4  A 2 (4; 5) VËy, tån t¹i hai ®iÓm A1(1; −1) vµ A2( 4; 5) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

lêi gi¶i chi tiÕt: Häc sinh tù vÏ h×nh.

TR ẦN

AH = HM ⇒ AM = 2HM = 2d(M, (AN)) ⇒ Gi¸ trÞ cña t ⇒ To¹ ®é ®iÓm A.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Bµi to¸n thuéc d¹ng "T×m ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng tho¶ m n ®iÒu kiÖn K" nªn ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè theo t ®Ó cã ®−îc biÓu diÔn to¹ ®é cña ®iÓm A theo t.

B−íc 2: X©y dùng c¸c mèi quan hÖ xung quanh gi¶ thiÕt. Cô thÓ: Gäi H lµ h×nh chiÕu v−«ng gãc cña M trªn AN, suy ra H ∈ BD. Dùng ®−êng th¼ng qua H song song víi CD c¾t AD vµ BC theo thø tù t¹i P vµ Q, suy ra:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

VÝ dô 1: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC, N lµ ®iÓm trªn c¹nh CD sao cho CN = 2ND. Gi¶ sö  11 1  M  ;  vµ ®−êng th¼ng (AN): 2x − y − 3 = 0. T×m to¹ ®é ®iÓm A.  2 2

N

Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trong mÆt ph¼ng

2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®−êng trßn (C): x2 + y2 = 8.

ViÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña Elip (E), biÕt r»ng (E) cã ®é dµi trôc lín b»ng 8 vµ (E) c¾t (C) t¹i bèn ®iÓm t¹o thµnh bèn ®Ønh cña h×nh vu«ng.

VÝ dô 2:

Gi¶i

Ơ H

ÁN

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi ®Þnh h−íng:

Sö dông ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®−êng trßn lµ: (C): x2 + y2 − 2ax − 2bx + c = 0, ®iÒu kiÖn a2 + b2 − c > 0 ta cÇn t×m ®−îc a, b, c dùa trªn c¸c gi¶ thiÕt. Cô thÓ: - Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AB) chÝnh lµ trôc ®¼ng ph−¬ng cña hai ®−êng

trßn (C) vµ (C1). Tõ ®ã, suy ra to¹ ®é vecto AB(b; − a).

- V× (AB) vu«ng gãc víi (d) ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh (1).

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

Ó

H

Í-L

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(§Ò thi ®¹i häc M«n To¸n khèi B.a n¨m 2012): Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho c¸c ®−êng trßn (C1): x2 + y2 = 4, (C2): x2 + y2 − 12x + 18 = 0 vµ ®−êng th¼ng (d): x − y − 4 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn cã t©m thuéc (C2), tiÕp xóc víi (d) vµ c¾t (C1) t¹i hai ®iÓm A vµ B sao cho AB vu«ng gãc víi (d).

VÝ dô 3:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ChØ ra ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cho (E), biÕt a = 4, cô thÓ: x 2 y2 (E) : 2 + 2 = 1, 4 > b > 0.

4 b B−íc 2: Sö dông tÝnh chÊt ®èi xøng ®Ó kh¼ng ®Þnh ®Ønh A(t; t) thuéc c¶ (C) vµ (E). Khi ®ã: − Tõ A ∈ (C) suy ra ®−îc to¹ ®é cña A. − Tõ A ∈ (E) suy ra ®−îc gi¸ trÞ cña b.

B−íc 3: KÕt luËn. lêi gi¶i chi tiÕt: Elip (E) víi ®é dµi trôc lín b»ng 8 cã ph−¬ng tr×nh ch×nh t¾c: x 2 y2 (E) : 2 + 2 = 1, 4 > b > 0.

4 b Tõ gi¶ thiÕt (E) c¾t (C) t¹i bèn ®iÓm t¹o thµnh bèn ®Ønh cña h×nh vu«ng ABCD (víi A ∈ P(I)), suy ra A(t; t) víi t > 0 vµ: A ∈ (C) ⇒ t2 + t2 = 8 ⇔ t = 2 ⇒ A(2; 2).

16 22 22 A ∈ (E) ⇒ 2 + 2 = 1 ⇒ b 2 = .

4 b 3 2 2 x y + = 1.

VËy, ta ®−îc (E) : 16 16 / 3

N

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ.

3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

N Ơ H

Đ

ÀN

TO

§Ó (C) tiÕp xóc víi (d) ®iÒu kiÖn lµ: a−b−4 R = d(I, (d)) = = 2 2.

2 VËy, ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh (x − 3)2 + (y − 3)2 = 8.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C¸ch 2: Gi¶i sö ®−êng trßn (C) cã t©m I(a; b) vµ b¸n kÝnh R. (C) c¾t (C1) (cã t©m O) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B nªn: AB ⊥ OI ⇒ OI // (d) ⇒ (OI): x − y = 0.

T©m I thuéc (OI) vµ ®−êng trßn (C2), suy ra: a − b = 0 a = b ⇔ 2 ⇔ a = b = 3.  2 2 a + b − 12a + 18 = 0 a − 6a + 9 = 0

IỄ N D

.Q

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

C¸ch 1: Gi¶i sö ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh: (C): x2 + y2 − 2ax − 2bx + c = 0, ®iÒu kiÖn a2 + b2 − c > 0.

(C) c¾t (C1) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B nªn (AB) cã ph−¬ng tr×nh:

(AB): 2ax + 2bx + c = 4 ⇒ AB(b; − a).

AB v−«ng gãc víi (d) cã vtcp v(1; 1) nªn:

AB.v = 0 ⇔ b − a = 0 ⇔ a = b.

(C) cã t©m I(a; b) thuéc ®−êng trßn (C2), ta ®−îc: a2 + b2 − 12a + 18 = 0 ⇔ a2 − 6a + 9 = 0 ⇔ a = 3 ⇒ b = 3. §Ó (C) tiÕp xóc víi (d) ®iÒu kiÖn lµ: a−b−4 R = d(I, (d)) ⇔ a 2 + b2 − c = ⇔ 18 − c = 2 2 2 ⇔ 18 − c = 8 ⇔ c = 10.

VËy, ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh x2 + y2 − 6x − 6y + 10 = 0.

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

lêi gi¶i chi tiÕt: Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

- T©m I cña (C) thuéc (C2) ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh (2).

- (C) tiÕp xóc víi (d) ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh (3).

Gi¶i hÖ t¹o bëi (1), (2), (3) sÏ nhËn ®−îc gi¸ trÞ cña a, b, c vµ tõ ®ã suy ra ph−¬ng tr×nh cña ®−êng trßn (C) cÇn t×m.

Sö dông ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng trßn, ta cÇn t×m ®−îc t©m I(a; b) vµ b¸n kÝnh R. Cô thÓ: - (C) c¾t (C1) (cã t©m O) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B nªn: AB ⊥ OI ⇒ OI // (d) ⇒ Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (OI).

- T©m I thuéc (OI) vµ ®−êng trßn (C2) ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh víi hai Èn a, b. Suy ra ®−îc to¹ ®é t©m I. - (C) tiÕp xóc víi (d) ta nhËn ®−îc b¸n kÝnh R. Tõ ®ã, suy ra ph−¬ng tr×nh chÝnh cña ®−êng trßn (C) cÇn t×m.

U Y

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

VÝ dô 4: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho h×nh thoi ABCD cã AC = 2BD vµ ®−êng trßn tiÕp xóc víi c¸c c¹nh cña h×nh thoi cã ph−¬ng tr×nh x2 + y2 = 4. ViÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip (E) ®i qua c¸c ®Ønh A, B, C, D cña h×nh thoi. BiÕt A thuéc Ox.

N

Gi¶i

H

Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. C¸c ®−êng th¼ng AC vµ AD lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh x + 3y = 0 vµ x − y + 4 = 0; ®−êng  1  th¼ng BD ®i qua ®iÓm M  − ; 1  . T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cña h×nh ch÷ nhËt  3  ABCD.

-L

Í-

H

Ó

VÝ dô 5:

TO

ÁN

Gi¶i

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Ph¸c th¶o h×nh vÏ vµ gäi I lµ giao ®iÓm cña AC

D

IỄ N

Đ

ÀN

víi BD. Ta thÊy: To¹ ®é ®iÓm A ®−îc x¸c ®Þnh th«ng qua t−¬ng giao cña AC vµ AD. Khai th¸c gi¶ thiÕt vÒ ®iÓm M víi kh¼ng ®Þnh cÇn cã ®−îc to¹ ®é cña D vµ cña I, tõ ®ã ®Þnh h−íng theo c¸c c¸ch:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

10 00

B

TR ẦN

Ta lÇn l−ît: Víi OA = 2OB suy ra a = 2b. §−êng trßn (C): x2 + y2 = 4 (cã t©m O, b¸n kÝnh R = 2) tiÕp xóc víi c¸c c¹nh cña h×nh thoi nªn: 1 1 1 1 1 1 = + ⇔ 2 = + 2 ⇔ b2 = 5 ⇒ a2 = 20.

2 2 2 2 R OA OB 2 (2b) b 2 2 x y + = 1.

VËy, ta ®−îc (E) : 20 5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

x 2 y2 + = 1 (a > b > 0). a 2 b2

H Ư

Víi elÝp (E) :

G

lêi gi¶i chi tiÕt: Häc sinh tù vÏ h×nh.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi ta sÏ cã ngay a = 2b. (1) a 2 b2 Mèi quan hÖ tiÕp theo cña a vµ b cÇn ®−îc x©y dùng dùa vµo gi¶ thiÕt "§−êng trßn (C) tiÕp xóc víi c¸c c¹nh cña h×nh thoi", cô thÓ: RC = d(O, AB) = §é dµi ®−êng cao cña tam gi¸c vu«ng OAB 1 1 1 . ⇔ 2 = + (2) 2 R OA OB 2 Gi¶i hÖ t¹o bëi (1), (2) sÏ nhËn ®−îc gi¸ trÞ cña a, b vµ tõ ®ã suy ra ph−¬ng tr×nh cña elip (E) cÇn t×m.

(E) :

Ơ

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Ph¸c th¶o vÏ h×nh ®Ó nhËn ra r»ng víi elip

5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

Ó

Sö dông tÝnh chÊt trung ®iÓm sÏ nhËn ®−îc to¹ ®é cña C vµ B.

H

lêi gi¶i chi tiÕt: Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

ÀN Đ IỄ N D

B

TO

ÁN

-L

Í-

C¸ch 1: To¹ ®é ®iÓm A ((AC) ∩ (AD) = {A}) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh: x + 3y = 0  x = −3 ⇔ ⇒ A(−3; 1).  A x − y + 4 = 0 y = 1 N Gäi N lµ ®iÓm thuéc AC sao cho MN // AD, ta cã: I K   1  M 4 Qua M  − ; 1  (MN) :   3  ⇔ (MN) : x − y + = 0.

D

3 vtcp AD(1; 1) 

C

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

B

10 00

A

IA = ID ⇒ Gi¸ trÞ cña a, b ⇒ To¹ ®é cña D vµ I.  M ∈ ID

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (BD) biÕt nã ®i qua M. Víi (BD) ta x¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm I ((AC) ∩ (BD) = {I}), ®iÓm D ((BD) ∩ (AD) = {D}) vµ tõ ®ã sö dông tÝnh chÊt trung ®iÓm sÏ nhËn ®−îc to¹ ®é cña C vµ B. C¸ch 3: Sö dông ph−¬ng tr×nh tham sè cña (AC) (tham sè a) vµ (AD) (tham sè b) ®Ó cã ®−îc to¹ ®é biÓu diÔn cho D vµ I. Tõ c¸c ®iÒu kiÖn:

-

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

C¸ch 1: Ta thÊy: - Muèn cã D cÇn cã to¹ ®é trung ®iÓm K cña AD. - KI lµ trung trùc cña AD, suy ra: KI lµ trung trùc cña MN (víi N ∈ AC sao cho MN // AD) ⇒ CÇn cã ®−îc to¹ ®é ®iÓm N ⇒ CÇn cã ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (MN).

Ph−¬ng tr×nh (MN) ®−îc x¸c ®Þnh kh¸ ®¬n gi¶n bëi nã ®i qua M vµ song song víi (AD).

Tõ ®ã, thø tù c¸c b−íc thùc hiÖn víi c¸ch gi¶i nµy sÏ lµ: B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (MN) víi: Qua M (MN) :  . MN / /AD B−íc 2: To¹ ®é c¸c ®iÓm K, I cã ®−îc khi cho (MN) t−¬ng giao víi (AD) vµ (AC).

B−íc 3: Tõ K ta nhËn ®−îc to¹ ®é cña D råi suy ra to¹ ®é c¸c ®iÓm cßn l¹i lµ B vµ C. C¸ch 2: Víi h×nh ch÷ nhËt ABCD th× ∆IAD c©n t¹i I nªn: = IDA ta x¸c ®Þnh ®−îc vtcp cña ®−êng th¼ng (BD).

- Tõ ®iÒu kiÖn IAD

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

B I M

D

C

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

a = 3b ⇔ 2 a 2 + b 2 = 10 a − b ⇔ 3a2 − 10ab + 3b2 = 0 ⇔  . 3a = b V× BD c¾t AC t¹i I nªn chØ cã thÓ nhËn a = 3b, suy ra: 1  (BD) : 3b  x +  + b(y − 1) = 0 ⇔ (BD): 3x + y = 0.

3  To¹ ®é ®iÓm I ((AC) ∩ (BD) = {I}) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh: 3x + y = 0 x = 0 ⇔ ⇒ I(0; 0) ⇒ To¹ ®é C(3 ; −1)  x + 3y = 0 y = 0 To¹ ®é ®iÓm D ((BD) ∩ (AD) = {D}) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh: x − y + 4 = 0 x = −1 ⇔ ⇒ D(−1; 3) ⇒ To¹ ®é B(1; −3).  3x + y = 0 y = 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

10 00

B

TR ẦN

H Ư

 x = −3 x + 3y = 0 ⇔ ⇒ A(−3; 1).  y = 1 x − y + 4 = 0 Ph−¬ng tr×nh cña (BD) ®−îc cho bëi: 1  (BD) : a  x +  + b(y − 1) = 0, (a 2 + b 2 > 0).

3  Ta cã: a−b = IDA ⇔ 1− 3 = IAD 2. 10 2. a 2 + b 2

N

G

Đ

ẠO

Gäi I lµ t©m h×nh ch÷ nhËt ABCD th× (d) ∩ (AC) = {I}, ta cã: x + y = 0 x = 0 ⇔ ⇒ I(0; 0) ⇒ To¹ ®é C(3 ; −1) vµ B(1; −3).  x + 3y = 0 y = 0 C¸ch 2: To¹ ®é ®iÓm A ((AC) ∩ (AD) = {A}) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

U Y

N

H

Ơ

N

x = −1 x + 3y = 0 1    ⇔   1 ⇒ N  −1;  .

4 3  x − y + 3 = 0 y = 3 Ph−¬ng tr×nh ®−êng trung trùc (d) cña MN ®−îc cho bëi:   2 2 Qua  − ;  (d) :   3 3  ⇔ (d): x + y = 0.

vtcp AD(1; − 1)  Gäi K lµ trung ®iÓm AD th× (d) ∩ (MN) = {K}, ta cã:  x = −2 x + y = 0 ⇔ ⇒ K(−2; 2) ⇒ To¹ ®é D(−1; 3).  y = 2 x − y + 4 = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

To¹ ®é ®iÓm N ((AC) ∩ (MN) = {N}) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh:

7

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

C¸ch 3: To¹ ®é ®iÓm A ((AC) ∩ (AD) = {A}) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh:  x = −3 x + 3y = 0 ⇔ ⇒ A(−3; 1).  y = 1 x − y + 4 = 0 ChuyÓn ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng th¼ng (AC) vµ (AD) vÒ d¹ng tham sè:

N Ơ H

Đ

ÀN

TO

ÁN

(d) ®Ó cã ®−îc to¹ ®é ®iÓm I(t; 2t + 3).

Víi ®iÒu kiÖn AB = CD, suy ra: d(I, Ox) = d(I, Oy) ⇒ Gi¸ trÞ tham sè t ⇒ To¹ ®é t©m I. B¸n kÝnh R cña ®−êng trßn ®−îc cho bëi: 2

 AB  R = d (I, Ox) +   .  2  Tõ ®ã, nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng trßn (C) cÇn t×m.

2

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Sö dông ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

A

Ó

H Í-

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

10 00

B

TR ẦN

(1)

VÝ dô 6: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®−êng th¼ng (d): 2x − y + 3 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn cã t©m thuéc (d), c¾t trôc Ox t¹i A vµ B, c¾t trôc Oy t¹i C vµ D sao cho AB = CD = 2.

IỄ N D

.Q

x = b (AD) :  , b ∈ ℝ ⇒ To¹ ®é cña D(b; b + 4). y = b + 4 Ta lÇn l−ît: V× M thuéc ID nªn: 1 −3a +

3 = a − 1 ⇔ −9a + 1 = a − 1 MI = kMD ⇒ 1 b+3 3b + 1 b + 3 b+ 3 ⇔ −9ab − 27a + b + 3 = 3ab + a − 3b − 1 ⇔ 3ab + 7a − b − 1 = 0.

V× IA = ID nªn: IA2 = ID2 ⇔ (−3a + 3)2 + (a − 1)2 = (3a + b)2 + (a − b − 4)2 ⇔ −20a + 10 = 4ab + 2b2 + 16 − 8a ⇔ b2 + 2ab + 6a + 4b + 3 = 0.

(2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (1) vµ (2) ta ®−îc a = 0 vµ b = −1, suy ra: I(0; 0) ⇒ To¹ ®é C(3; −1) v× I lµ trung ®iÓm AC. D(−1; 3) ⇒ To¹ ®é B(1; −3) v× I lµ trung ®iÓm BD.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x = −3a (AC) :  , a ∈ ℝ ⇒ To¹ ®é cña I(−3a; a); y = a

8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chó ý: Còng cã thÓ sö dông tÝnh chÊt hai c¸t tuyÕn b»ng nhau cña ®−êng trßn

®Ó kh¼ng ®Þnh:

N Ơ MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

2

TR ẦN

H Ư

2

 AB  2 2 R = d (I, Ox) +   = 3 + 1 = 10.  2  Tõ ®ã, suy ra: (C1): (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10.

Víi t = −1 suy ra I(−1; 1) vµ b¸n lÝnh R ®−îc cho bëi: 2

B

2

Í-

H

Ó

A

10 00

 AB  R 2 = d 2 (I, Ox) +  = 12 + 12 = 2.   2  Tõ ®ã, suy ra: (C2): (x + 1)2 + (y − 1)2 = 2.

VËy, tån t¹i hai ®−êng trßn (C1) vµ (C2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

C¸ch 2: Tõ ®iÒu kiÖn AB = CD ta ®−îc:

ÀN

TO

ÁN

-L

I(a; a) d(I, Ox) = d(I, Oy) ⇒  . I(a; − a) Ta lÇn l−ît: Víi I(a; a) thuéc (d), suy ra: 2a − a + 3 = 0 ⇔ a = −3 ⇒ I(−3; −3) vµ b¸n kÝnh R ®−îc cho bëi: 2

 AB  R = d (I, Ox) +  = 32 + 12 = 10.   2  2

2

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP ẠO

 t = −3  t = −1. 

Đ

 t = 2t + 3 d(I, Ox) = d(I, Oy) ⇔ t = 2t + 3 ⇔  ⇔  t = −2t − 3 Ta lÇn l−ît: Víi t = −3 suy ra I(−3; −3) vµ b¸n kÝnh R ®−îc cho bëi:

H

lêi gi¶i chi tiÕt: Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè: x = t (d) :  , t ∈ ℝ. y = 3 + 2t T©m I cña ®−êng trßn thuéc (d) nªn I(t; 2t + 3).

Tõ ®iÒu kiÖn AB = CD ta ®−îc:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

I(a; a) AB = CD ⇒ d(I, Ox) = d(I, Oy) ⇒  . I(a; − a) Gi¸ trÞ cña a ®−îc x¸c ®Þnh khi sö dông ®iÒu kiÖn I ∈ (d).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Tõ ®ã, suy ra: (C1): (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10.

Víi I(a; −a) thuéc (d), suy ra: 2a + a + 3 = 0 ⇔ 3a + 3 = 0 ⇔ a = −1 ⇒ I(−1; 1) vµ b¸n kÝnh R ®−îc cho bëi:

N U Y

N

H

2

.Q

Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®−êng th¼ng (∆): x + y + 2 = 0 vµ ®−êng trßn (C): x2 + y2 − 4x − 2y = 0. Gäi I lµ t©m cña ®−êng trßn (C), M lµ ®iÓm thuéc (∆). Qua M kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB ®Õn (C) (A, B lµ c¸c tiÕp ®iÓm). T×m to¹ ®é ®iÓm M, biÕt tø gi¸c MAIB cã diÖn tÝch b»ng 10.

Đ

ẠO

TP

VÝ dô 7:

G

Gi¶i

N

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ.

10 00

B

TR ẦN

H Ư

Bµi to¸n thuéc d¹ng "T×m ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng tho¶ m n ®iÒu kiÖn K" nªn ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 3: X¸c ®Þnh thuéc tÝnh cña ®−êng trßn (C). ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) vÒ d¹ng tham sè theo t ®Ó cã ®−îc biÓu diÔn to¹ ®é cña ®iÓm M theo t.

B−íc 4: Tõ gi¶ thiÕt MAIB cã diÖn tÝch b»ng 10, ta ®−îc: SMAIB = 2S∆MAI = IA.MA ⇒ §é dµi MA ⇒ §é dµi MI ⇒ Gi¸ trÞ cña t.

B−íc 5: KÕt luËn vÒ to¹ ®é cña ®iÓm M.

Ó

A

lêi gi¶i chi tiÕt: Häc sinh tù vÏ h×nh.

(

MI2 = MA2 + IA2 = 2 5

) + ( 5) 2

2

= 25

⇔ (t − 2)2 + (−t − 2 − 1)2 = 25 ⇔ 2t2 + 2t − 12 = 0

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

§−êng trßn (C) cã t©m I(2; 1) vµ b¸n kÝnh R = 5.

ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) vÒ d¹ng tham sè: x = t (∆ ) :  , (t ∈ ℝ) ⇒ M(t; −t − 2).  y = −t − 2 Ta cã: SMAIB = 2S∆MAI = IA.MA ⇔ 10 = 5.MA ⇔ MA = 2 5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

2

 AB  2 2 R = d (I, Ox) +   = 1 + 1 = 2.

2   Tõ ®ã, suy ra: (C2): (x + 1)2 + (y − 1)2 = 2.

VËy, tån t¹i hai ®−êng trßn (C1) vµ (C2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ

U Y

Gi¶i

ÁN

Víi H lµ trung ®iÓm AB th× OH ⊥ AB vµ OH = x.

Khi ®ã:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

1 1 1 2 1 x + (4 − x x (4 − x2 ) ≤ .

S∆OAB = OH.AB = x 4 − x 2 = 2 2 2 2 2 Tøc ∆OAB cã diÖn tÝch lín nhÊt b»ng 1 vµ ®¹t ®−îc khi: 2 x2 = 4 − x2 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = 2 ⇒ 4y2 = 2 ⇔ y = ± .

2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

2

) =1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

H

Í-

-L

AB = (y + y) 2 = 4y 2 = 4 − x 2 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Bµi to¸n thuéc d¹ng "T×m ®iÓm thuéc elÝp tho¶ m n ®iÒu kiÖn K" nªn ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: x 2 y2 B−íc 1: Víi ®iÓm A(x; y), 0 < x < 2 thuéc (E) th× + = 1. (*) 4 1 B−íc 2: Tõ gi¶ thiÕt: − B cã hoµnh ®é d−¬ng vµ tam gi¸c OAB c©n t¹i O nªn B(x; −y). − Víi H lµ trung ®iÓm AB th×: 1 1 S∆OAB = OH.AB = x 4 − x 2 .

2 2 B−íc 3: §Ó tam gi¸c OAB cã diÖn tÝch lín nhÊt bµi to¸n ®−îc chuyÓn vÒ viÖc 1 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè f (x) = x 4 − x 2 , x ∈ (0; 2).

2 C«ng viÖc nµy cã thÓ ®−îc thùc hiÖn b»ng viÖc Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si hoÆc ph−¬ng ph¸p hµm sè. Tõ ®ã, nhËn ®−îc gi¸ trÞ t−¬ng øng cña x vµ thay x vµo (*) ®Ó nhËn ®−îc gi¸ trÞ y.

B−íc 4: KÕt luËn vÒ to¹ ®é cña c¸c ®iÓm A vµ B. lêi gi¶i chi tiÕt: Víi ®iÓm A(x; y), 0 < x < 2 thuéc (E) th× : x 2 y2 + = 1 ⇔ x2 + 4y2 = 4 ⇔ 4y2 = 4 − x2. (*) 4 1 Tõ gi¶ thiÕt: B cã hoµnh ®é d−¬ng vµ tam gi¸c OAB c©n t¹i O nªn B(x; −y) vµ:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

 M1 (2; − 4) t = 2 . ⇔ ⇒ t = 3  M 2 ( −3; 1) VËy, tån t¹i hai ®iÓm M1(2; −4) vµ M2( −3; 1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x 2 y2 + = 1. T×m VÝ dô 8: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho elÝp (E): 4 1 to¹ ®é c¸c ®iÓm A vµ B thuéc (E), cã hoµnh ®é d−¬ng sao cho tam gi¸c OAB c©n t¹i O vµ cã diÖn tÝch lín nhÊt.

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

11

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

x = b (∆ ) :  , (b ∈ ℝ) ⇒ M(b; b − 4) ∈ (∆). y = b − 4 Ta cã: Ba ®iÓm O, M, N th¼ng hµng ®iÒu kiÖn lµ:

4a OM = kON ⇔ a(b − 4) = (2a − 2)b ⇔ 4a = b(2 − a) ⇔ b = .

2−a §Ó OM.ON = 8 ®iÒu kiÖn lµ: OM2.ON2 = 64 ⇔ [b2 + (b − 4)2][a2 + (2a − 2)2] = 64 ⇔ (5a2 − 8a + 4)2 = 4(a − 2)2 ⇔ (5a2 − 8a + 4)2 − 4(a − 2)2 = 0 ⇔ (5a2 − 6a)(5a2 − 8a + 4) = 0  N1 (0; − 2) 5a 2 − 6a = 0 a = 0 ⇔ 2 ⇔ ⇒   6 2 . N a 6 / 5 = ; 5a − 10a + 8 = 0 (vn)   2  5 5  VËy, tån t¹i hai ®iÓm N1 vµ N2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

G

N

TR ẦN

ChuyÓn ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng th¼ng (∆) vµ (d) vÒ d¹ng tham sè: x = a (d) :  , (a ∈ ℝ) ⇒ N(a; 2a − 2) ∈ (d).  y = 2a − 2

IỄ N D

H Ư

lêi gi¶i chi tiÕt: Häc sinh tù vÏ h×nh.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Bµi to¸n thuéc d¹ng "T×m ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng tho¶ m n ®iÒu kiÖn K" nªn ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng th¼ng (d), (∆) vÒ d¹ng tham sè theo a, b ®Ó cã ®−îc biÓu diÔn to¹ ®é cña ®iÓm N theo a vµ M theo b.

B−íc 2: Ta lÇn l−ît sö dông gi¶ thiÕt:

− O, M, N th¼ng hµng ⇔ OM = kON . − OM.ON = 8 ⇒ Gi¸ trÞ cña a.

B−íc 3: KÕt luËn vÒ to¹ ®é cña ®iÓm N.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Gi¶i

H

VÝ dô 9: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai ®−êng th¼ng (∆): x − y − 4 = 0 vµ (d): 2x − y − 2 = 0. T×m to¹ ®é ®iÓm N thuéc ®−êng th¼ng (d) sao cho ®−êng th¼ng (ON) c¾t ®−êng th¼ng (∆) t¹i ®iÓm M tho¶ m·n OM.ON = 8.

N

VËy, ta ®−îc :     2 2 2 2 A  2;  & B  2; −  hoÆc A  2; −  & B  2; .

2  2  2  2     

12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1  Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ∆ABC cã ®Ønh B  ; 1 . 2  §−êng trßn néi tiÕp ∆ABC tiÕp xóc víi c¸c c¹nh BC, CA, AB t−¬ng øng t¹i c¸c ®iÓm D, E, F. Cho D(3; 1) vµ ®−êng th¼ng (EF): y − 3 = 0. T×m to¹ ®é ®Ønh A, biÕt A cã tung ®é d−¬ng.

N

VÝ dô 10:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

Víi (EF): y − 3 = 0 th× gi¶ sö F(t; 3) nªn ®iÒu kiÖn BF = BD lµ: 2  t = −1 25  1 .

BF2 = BD2 ⇔  t −  + 22 = ⇔ t2 − t − 2 = 0 ⇔  4  2 t = 2 Ta lÇn l−ît: Víi t = −1 th× F( −1; 3) nªn : Qua F( −1; 3)   3  ⇔ (BF): 4x + 3y − 5 = 0.

(BF) :   vtcp BF  − 2 ; 2    

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H

Ó

A

 5  V× BD  ; 0  nªn suy ra BD // EF vµ do ®ã ∆ABC c©n t¹i A. 2  Ta cã ®−îc: Qua D Qua D(3; 1) (AD) :  ⇔ (AD) :  ⇔ (AD): x − 3. AD ⊥ BC AD ⊥ EF

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

10 00

B

lêi gi¶i chi tiÕt: Häc sinh tù vÏ h×nh.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Bµi to¸n thuéc d¹ng "T×m ®iÓm tho¶ m n ®iÒu kiÖn phøc hîp K" nªn chuyÓn nã vÒ d¹ng lµ giao ®iÓm cña hai ®èi t−îng h×nh häc vµ ë ®©y ta thÊy A lµ giao ®iÓm cña EF vµ AD nªn thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: Víi nhËn xÐt BD // EF nªn ∆ABC c©n t¹i A, do ®ã: Qua D Qua D (AD) :  . ⇔ (AD) :  AD ⊥ BC AD ⊥ EF B−íc 2: §Ó nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AB) ta ®i t×m to¹ ®é ®iÓm F dùa trªn ®iÒu kiÖn: − F thuéc EF nªn F(t; 3). − Víi BF = BD suy ra: BF2 = BD2 ⇒ Gi¸ trÞ cña t ⇒ To¹ ®é F. Ph−¬ng tr×nh (AB) ®−îc cho bëi: Qua F .

(AB) :   vtcp BF B−íc 3: To¹ ®é cña A lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (AD) vµ (AB).

N

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ.

H

Ơ

Gi¶i

13

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Khi ®ã, to¹ ®é ®iÓm A lµ nghiÖm cña hÖ: x − 3 = 0 x = 3 ⇔ , lo¹i bëi tung ®é ©m.   y = −7 / 3 4x + 3y − 5 = 0

Ơ H

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Bµi to¸n thuéc d¹ng "T×m ®iÓm tho¶ m n ®iÒu kiÖn hçn hîp K" nªn ta cÇn cã ph©n tÝch ®óng, cô thÓ: Víi gi¶ thiÕt vÒ to¹ ®é cña B vµ träng t©m G ta sÏ cã ®−îc to¹ ®é trung ®iÓm D cña AC. Khi ®ã, yªu cÇu cña bµi to¸n ®−îc h−íng vÒ viÖc t×m to¹ ®é ®Ønh A. A thuéc ph©n gi¸c (d): x − y − 1 = 0 nªn cÇn thªm ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB hoÆc AC. Víi gi¶ thiÕt vÒ ph©n gi¸c trong ta lùa chän viÖc lËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AC th«ng qua viÖc x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm E ®èi xøng víi B qua D (E ∈ AC).

Tõ ®ã, bµi to¸n ®−îc thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng th¼ng (d), (∆) vÒ d¹ng tham sè theo a, b ®Ó cã ®−îc biÓu diÔn to¹ ®é cña ®iÓm N theo a vµ M theo b.

B−íc 2: Ta lÇn l−ît sö dông gi¶ thiÕt:

− O, M, N th¼ng hµng ⇔ OM = kON . − OM.ON = 8 ⇒ Gi¸ trÞ cña a.

B−íc 3: KÕt luËn vÒ to¹ ®é cña ®iÓm N.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

N

H Ư

TR ẦN

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

Đ

ẠO

TP

.Q

x = 3 , tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tung ®é   y = 13 / 3

VÝ dô 11: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ∆ABC cã ®Ønh B( −4; 1), träng t©m G(1; 1) vµ ®−êng th¼ng chøa ph©n gi¸c trong cña gãc A cã ph−¬ng tr×nh x − y − 1 = 0. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A vµ C.

IỄ N D

N

Víi t = 2 th× F( 2; 3) nªn : Qua F(2; 3)   3  ⇔ (BF): 4x − 3y + 1 = 0.

(BF) :  vtcp BF  ; 2  2   Khi ®ã, to¹ ®é ®iÓm A lµ nghiÖm cña hÖ:

x − 3 = 0 ⇔  4x − 3y + 1 = 0 d−¬ng.  13  VËy, ta ®−îc A  3;  .  3

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

lêi gi¶i chi tiÕt: Häc sinh tù vÏ h×nh.

14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

10 00

Gi¶i

lêi gi¶i chi tiÕt: Häc sinh tù vÏ h×nh.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ råi x¸c ®Þnh thuéc tÝnh cña ®−êng trßn (C) víi t©m I, b¸n kÝnh R. Ta cã ph©n tÝch dÇn:

∆AMN c©n t¹i A nªn MN ⊥ AI nªn ®−êng th¼ng (∆) cã vtpt IA(0; 2) do ®ã cã d¹ng y = m.

ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn M, N thuéc (C) nªn cã hoµnh ®é tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh: x2 + m2 − 2x + 4m − 5 = 0 ⇔ x2 − 2x + m2 + 4m − 5 = 0.

(1) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt, tõ ®ã nhËn ®−îc hÖ thøc Vi−Ðt cho xM vµ xN. ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn ∆AMN vu«ng t¹i A lµ:

MA ⊥ NA ⇔ MA.NA = 0 ⇒ Gi¸ trÞ cña m ⇒ Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

VÝ dô 12: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®iÓm A(1; 0) vµ ®−êng trßn (C): x2 + y2 − 2x + 4y − 5 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm M vµ N sao cho ∆AMN vu«ng c©n t¹i A.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

vµ víi D lµ trung ®iÓm AC suy ra C(3; −1).

VËy, víi A(4; 3) vµ C(3; −1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

x = 7 / 2  x + 4 = 3(x − 1) 7  ⇔ ⇔ ⇒ D  ; 1 . 2  y = 1  y − 1 = 3(y − 1) Gäi E lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua ph©n gi¸c trong (d): x − y − 1 = 0 cña gãc A th× E thuéc AC vµ to¹ ®é cña E(x; y) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh: 1(x + 4) + 1(y − 1) = 0  x + y = −3 x = 2  ⇔ ⇔ ⇒ E(2; −5).  x − 4 y +1 x y 7 y = − 5 − = − − 1 = 0    2 2 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AC) ®−îc cho bëi: Qua E(2; − 5)   3  ⇔ (AC): 4x − y − 13 = 0.

(AC) :   vtcp ED  2 ; 6     To¹ ®é cña A lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: 4x − y − 13 = 0 x = 4 ⇔ ⇒ A(4; 3)  x − y − 1 = 0 y = 3

N

Víi D(x; y) lµ trung ®iÓm cña AC th× B, G, D th¼ng hµng vµ:

BD = 3GD ⇔ (x + 4; y − 1) = 3(x − 1; y − 1)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

15

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

C (d2)

-L

Í-

H

Ó

A

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ (h×nh bªn).

Ta lÇn l−ît sö dông c¸c gi¶ thiÕt: V× ∆ABC vu«ng t¹i B nªn AC chÝnh lµ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn (T), tõ ®ã suy ra r»ng ®Ó cã ®−îc ph−¬ng tr×nh cña ®−êng trßn (T) ta cÇn biÕt ®−îc to¹ ®é cña hai ®iÓm A vµ C.

TO ÀN Đ

(

O

A (d1)

)

XuÊt ph¸t tõ ®iÓm A ®−êng th¼ng (d1) nªn A a; − a 3 víi a > 0, ta cã:

ÁN

I

B

Qua A (AB) :  ⇒ To¹ ®é cña ®iÓm B = (AB)∩(d2). (AB) ⊥ (d 2 ) Qua A (AC) :  ⇒ To¹ ®é cña ®iÓm C = (AC)∩(d2). (AC) ⊥ (d1 )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

Gi¶i

IỄ N D

B

TR ẦN

H Ư

N

VÝ dô 13: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai ®−êng th¼ng (d1), (d2) cã ph−¬ng tr×nh: (d1 ) : 3x + y = 0, (d 2 ) : 3x − y = 0.

Gäi (T) lµ ®−êng trßn tiÕp xóc víi (d1) t¹i A, c¾t (d2) t¹i hai ®iÓm B, C sao cho ∆ABC vu«ng t¹i B. ViÕt ph−¬ng tr×nh cña (T), biÕt ∆ABC cã diÖn tÝch b»ng 3 vµ ®iÓm A cã hoµnh ®é d−¬ng.

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G

Đ

ẠO

m = 1 ⇔ 2m2 + 4m − 6 = 0 ⇔  .  m = −3 VËy, tån t¹i hai ®−êng th¼ng (∆1): y = 1 vµ (∆2): y = −3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

§−êng trßn (C) cã t©m I(1; −2) vµ b¸n kÝnh R = 10.

Víi gi¶ thiÕt ∆AMN vu«ng c©n t¹i A, suy ra MN ⊥ AI nªn (∆) ≡ (MN): y = m.

Tõ ®ã, hoµnh ®é cña M vµ N lµ nghiÖm ph−¬ng tr×nh: x2 + m2 − 2x + 4m − 5 = 0 ⇔ x2 − 2x + m2 + 4m − 5 = 0.

(1) Ph−¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi: ∆' > 0 ⇔ m2 + 4m − 6 < 0 vµ khi ®ã M(x1; m), N(x2; m) víi x1, x2 tho¶ m·n:  x1 + x 2 = 2 .  2  x1x 2 = m + 4m − 5 Tõ ®iÒu kiÖn MA ⊥ NA ta ®−îc:

MA.NA = 0 ⇔ (x1 − 1)(x2 − 1) + m2 = 0 ⇔ x1x2 − (x1 + x2) + m2 + 1 = 0

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Tõ gi¶ thiÕt ∆ABC cã diÖn tÝch b»ng

3 , ta ®−îc: 2

Ơ

N

3 1 = AB.CB ⇒ To¹ ®é cña ®iÓm A, tiÕp tíi ®iÓm C. 2 2 Cuèi cïng lµ viÖc lËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (T) víi:

H N U Y

N

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

Í-

H

lêi gi¶i chi chi tiÕt: V× ∆ABC vu«ng t¹i B nªn AC chÝnh lµ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn (T), ®Ó t×m to¹ ®é cña hai ®iÓm A vµ C ta lùa chän mét trong hai c¸ch sau:

(

)

-L

C¸ch 1: §iÓm A ®−êng th¼ng (d1) nªn A a; − a 3 víi a > 0, ta cã:

ÁN TO ÀN

D

IỄ N

Đ

( (

)

Qua A a; − a 3 Qua A  (AB) :  ⇔ (AB) : 

(AB) ⊥ (d 2 )  vtpt n 2 1; 3    a a 3   ⇔ (AB) : x + 3y + 2a = 0 ⇒ (AB) ∩ (d 2 ) = B  − ; − .

2     2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

G

)(

H Ư

(

Đ

ẠO

TP

®Ó nhËn ®−îc to¹ ®é t−êng minh cña ®iÓm A. Tõ ®ã, còng víi ph−¬ng ph¸p trªn ®Ó cã ®−îc to¹ ®é ®iÓm C (c¸ch gi¶i nµy sÏ tr¸nh ®−îc viÖc ph¶i t×m to¹ ®é ®iÓm B). Cô thÓ: 1

S∆ABC = AB.AC.sin BAC 2 1 OA. tan AOB sin AOB

= OA.sin AOB 2 3 1 ⇔ = OA 2 .sin 2 ( d1 , d 2 ) .tan ( d1 , d 2 ) ⇒ To¹ ®é cña ®iÓm A. 2 2 Ta cã: Qua A (AC) :  ⇒ To¹ ®é cña ®iÓm C = (AC)∩(d2). (AC) ⊥ (d1 ) Cuèi cïng lµ viÖc lËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (T) víi: T©m I lµ trung ®iÓm cña AC  (T) :  .

1 B¸n kÝnh IA = 2 AC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Chó ý: Chóng ta còng cã thÓ sö dông gi¶ thiÕt vÒ diÖn tÝch cña ∆ABC tr−íc

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

T©m I lµ trung ®iÓm cña AC  (T) :  .

1 B¸n kÝnh IA = 2 AC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

17

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

( (

Qua A a; − a 3 Qua A  (AC) :  ⇔ (AC) : 

(AC) ⊥ (d1 )  vtpt n1 1; − 3 

)

)

{(

)}

Ơ

)(

)

Ó

Í-

π π π 3 3 1 OA 2 .sin . tan .sin = OA 2 2 3 3 3 8 4 ⇔ OA 2 = .

3

ÁN

-L

=

(

)

(*)

IỄ N

Đ

ÀN

TO

V× A thuéc ®−êng th¼ng (d1) nªn A x 0 ; − x 0 3 víi x0 > 0, do ®ã (*) cã d¹ng:

(

x 02 + − x 0 3

)

2

=

4 4 1  1  ⇒ A ; − 1 . ⇔ 4x 20 = ⇒ x0 = 3 3 3  3 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

(

3 1 OA.tan AOB sin BAC

= OA.sin AOB 2 2

H

⇔

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

2 2 2 2  a  a 3    a  a 3     =  − − a  +  − + a 3    − + 2a  +  − + 2a 3   2 2 2  2             1  1   2  ; − 1 , C  − ; − 2. ⇔a= ⇒ A 3 3  3    C¸ch 2: ThÊy ngay (d1) c¾t (d2) t¹i ®iÓm O. Ta cã: C (d2) 3. 3 + 1.(−1) 1 = cos(d , d ) = cos AOB = 1 2 I 2 3 + 1. 3 + 1 B = π ⇒ BAC = π. ⇒ AOB O A (d1) 3 3 Khi ®ã: 1

S∆ABC = AB.AC.sin BAC 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N TP

.Q

U Y

3 1 = AB.CB 2 2 ⇔ 3 = AB2 .CB2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

H

3 , ta ®−îc: 2

Tõ gi¶ thiÕt ∆ABC cã diÖn tÝch b»ng

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

⇔ (AC) : x − 3y − 4a = 0 ⇒ (AC) ∩ (d 2 ) = C −2a; − 2a 3 .

18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AC) ®−îc cho bëi:

  1  ; − 1 Qua A  Qua A  3  (AC) :  ⇔ (AC) : 

⊥ (AC) (d )  1  vtpt n 1; − 3 

Ơ H

B

10 00

A

Ó 2

2

 1   2  2 2 ⇔ − x  + ( −1 − y ) +  − − x  + ( −2 − y ) = 2 3  3   

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

 1  2  ⇔ − x  − − x  + ( −1 − y )( −2 − y ) = 0 3  3   1 4 ⇔ x 2 + y2 + x + 3y + = 0.

3 3 §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (T) cÇn t×m.

C¸ch 3: Ta cã: M(x; y) ∈ (T) ⇔ ∆MAC vu«ng t¹i M ⇔ MA2 + MC2 = AC2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

1   3  ⇔ (T) :  x +  +  y + 2  = 1.

2 3    C¸ch 2: Ta cã:

M(x; y) ∈ (T) ⇔ MA ⊥ MC ⇔ MA . MC = 0  1  2  ⇔ − x; − 1 − y  .  − − x; − 2 − y  = 0 3  3  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

ẠO

2

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

3  1 C¸ch 1: Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC th× I  − ; −  vµ ph−¬ng tr×nh ®−êng 2  2 3 trßn (T) ®−îc cho bëi:  3  1 ;−  T©m I T©m I  − (T) :  ⇔ (T) :  2  2 3 §−êng kÝnh AC B¸n kÝnh IA = 1 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

 3x − y = 0  2  ; − 2. ⇒ C −  3    3x − 3y − 4 = 0 Tíi ®©y, ®Ó nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (T) víi ®−êng kÝnh AC chóng ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1   ⇔ (AC) :  x −  − 3 ( y + 1) = 0 ⇔ (AC) : 3x − 3y − 4 = 0.

3  Khi ®ã, to¹ ®é ®iÓm C lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh:

N

)

U Y

(

19

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 4 x + 3y + = 0.

3 3 §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C) cÇn t×m.

⇔ x 2 + y2 +

Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ∆ABC c©n t¹i A cã ®Ønh A(6; 6), ®−êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ AC cã ph−¬ng tr×nh x + y − 4 = 0. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh B vµ C, biÕt ®iÓm E(1; −3) n»m trªn ®−êng cao ®i qua ®iÓm C cña tam gi¸c ®· cho.

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Qua A ( 6; 6 ) Qua A (AH) :  ⇔ (AH) : 

A (AH) ⊥ (MN)  vtpt n (1; − 1) ⇔ (AH): x − y = 0. (d) M I N To¹ ®é ®iÓm I lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: x − y = 0 E ⇒ I(2; 2) ⇒ H(−2; −2).  x + y − 4 = 0  B H C Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (BC) ®−îc cho bëi: Qua H Qua H ( −2; − 2 ) (BC) :  ⇔ (BC) : 

(AH) ⊥ (BC)  vtcp u (1; − 1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ (h×nh bªn).

Ta lÇn l−ît sö dông c¸c gi¶ thiÕt: A V× ∆ABC c©n ®Ønh A nªn víi H lµ trung ®iÓm BC th× AH sÏ vu«ng gãc víi BC, suy ra: (d) M I N Qua A ⇒ Ph−¬ng tr×nh (AH) (AH) :  (AH) ⊥ (MN) E ⇒ To¹ ®é trung ®iÓm I cña AH ⇒ To¹ ®é ®iÓm H B H C Qua H ⇒ (BC) :  ⇒ Ph−¬ng tr×nh tham sè cña (BC). (BC) //(MN) Tíi ®©y, ®Ó cã ®−îc to¹ ®é cña B, C chóng ta sÏ tiÕp tôc víi c¸c b−íc: B−íc 1: §iÓm B ∈ (BC) (theo ph−¬ng tr×nh tham sè t), tõ ®ã suy ra to¹ ®é C dùa trªn tÝnh chÊt H lµ trung ®iÓm cña BC. B−íc 2: V× ®iÓm E n»m trªn ®−êng cao ®i qua ®iÓm C cña ∆ABC nªn:

AB ⊥ CE ⇔ AB ⊥ CE ⇔ AB.EC = 0 ⇒ Gi¸ trÞ tham sè t ⇒ To¹ ®é cña B vµ C. lêi gi¶i chi tiÕt: Gäi H, I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC vµ AH, ta lÇn l−ît cã: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AH) ®−îc cho bëi:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

U Y

Gi¶i

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

VÝ dô 14:

20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H N U Y .Q

TP

ẠO

Đ

Gi¶i

G

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: C¸c em häc sinh h·y ph¸c

(d)

C’

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

th¶o h×nh vÏ (h×nh bªn) ®Ó thÊy ®−îc r»ng muèn cã ph−¬ng B tr×nh ®−êng th¼ng (BC) c¸ch duy nhÊt lµ t×m ra ®−îc to¹ ®é cña ®iÓm B. §Ó thùc hiÖn ®−îc môc tiªu nµy víi ®Æc thï cña gi¶ thiÕt cho to¹ ®é ®iÓm C, ®−êng ph©n gi¸c trong (d) cña gãc A vµ diÖn tÝch ∆ABC (vu«ng t¹i A): A C Ta lÇn l−ît: Víi gi¶ thiÕt cho ®−êng ph©n gi¸c gãc ¢ nªn ta cÇn t¹o dùng tÝnh ®èi xøng b»ng c¸ch t×m to¹ ®é ®iÓm C’®èi xøng víi C qua (d), cô thÓ víi C’(x; y) th×:

CC ' ⊥ u d CC ' ⊥ (d) CC '.u d = 0 . ⇔ ⇔   I ∈ (d)  I ∈ (d)  trung ®iÓm I cña CC' thuéc (d) V× ∆ABC vu«ng t¹i A nªn A lµ giao ®iÓm cña (d) víi ®−êng trßn ®−êng kÝnh CC’. Tõ ®ã, suy ra: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AC’).

1 S∆ABC = AB.AC ⇒ §é dµi cña AB. (*) 2 T×m ®iÓm B thuéc (AC’) tho¶ m·n (*) vµ kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (d) lµ ph©n gi¸c trong cña gãc ¢.

Cuèi cïng, lËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (BC) ®i qua hai B vµ C. gi¸c trong (d) cña gãc A song song víi ®−êng ph©n gi¸c cña gãc phÇn t− thø hai nªn chóng ta cã thÓ tèi −u lêi gi¶i nh− sau:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Chó ý: Tuy nhiªn, víi tr−êng hîp ®Æc biÖt cña bµi to¸n nµy lµ ®−êng ph©n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

VÝ dô 15: Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, cã ®Ønh C (−4; 1), ph©n gi¸c trong gãc A cã ph−¬ng tr×nh x + y − 5 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng BC, biÕt diÖn tÝch ∆ABC b»ng 24 vµ ®Ønh A cã hoµnh ®é d−¬ng.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

AB ⊥ CE ⇔ AB ⊥ CE ⇔ AB.EC = 0 ⇔ (−8 + t; −8 − t).(−3 − t; 1 + t) = 0 ⇔ (−8 + t)(−3 − t) + (−8 − t).(1 + t) = 0 ⇔ t2 − 2t − 8 = 0 ⇔ t = 2 hoÆc t = −4.

VËy, ta ®−îc B(0 ; −4), C(−4 ; 0) hoÆc B(−6; 2), C(2; −6).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x = −2 + t (BC) :  , t ∈ ℝ. y = −2 − t V× B thuéc (BC) nªn B(−2 + t; −2 − t) vµ v× B, C ®èi xøng qua H nªn ta cã ngay C(−2 − t; −2 + t).

V× ®iÓm E(1; −3) n»m trªn ®−êng cao ®i qua ®iÓm C cña ∆ABC nªn:

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

21

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

N https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

H

ÁN

-L

Í-

⇔ (AC’): x = 4 ⇒ B(4; b).

DiÖn tÝch ∆ABC b»ng 24, suy ra: 1 1 S∆ABC = AB.AC ⇔ 24 = AB.8 ⇔ AB = 6 2 2 b = 7 ⇔ 36 = AB2 = (b − 1)2 ⇔  ⇒ B(4; 7) hoÆc B(4; −5).  b = −5

V× (d) lµ ph©n gi¸c trong cña gãc ¢ nªn hai vect¬ AB, AD cïng h−íng, suy ra B(4; 7).

TO ÀN Đ

Ơ N

U Y

H Ư

N

G

Đ

A

T©m I ( 0; 5 ) (T) :  ⇔ (T): x2 + (y − 5)2 = 32. B¸n kÝnh IC = 32 V× ∆ABC vu«ng t¹i A nªn A lµ giao ®iÓm cña (d) víi ®−êng trßn (T) ®−êng kÝnh CC’, ta cã: x >0 x + y − 5 = 0 x = 4 ⇒ ⇒ A(4; 1).  2 2 y = 1  x + (y − 5) = 32 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AC’) ®−îc cho bëi: Qua A(4; 1) Qua A

(AC ') :  ⇔ (AC ') :   vtcp AC '(0; 8) chon (0; 1) Qua C '

IỄ N D

B

(x + 4) − (y − 1) = 0 C  ⇒ C’(4; 9).  x − 4 y +1  2 + 2 − 5 = 0 Gäi (T) lµ ®−êng trßn ®−êng kÝnh CC’, ta cã:

CC '.u d = 0 ⇔ ⇔  I ∈ (d)

C’

(d)

.Q

lêi gi¶i chi tiÕt: Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Ta lÇn l−ît: Gäi C’(x; y) lµ ®iÓm ®èi xøng víi C qua (d), ta cã:

CC ' ⊥ (d) CC ' ⊥ u d ⇔   I ∈ (d)  trung ®iÓm I cña CC' thuéc (d)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

TP

Ph©n gi¸c trong cña gãc vu«ng ¢ cã ph−¬ng tr×nh x + y − 5 = 0 (song song víi ®−êng ph©n gi¸c gãc phÇn t− thø II) nªn: AC//Ox ⇒ yA = yC ⇒ xA ⇒ A ⇒ B(4; b) vµ ®é dµi AC. DiÖn tÝch ∆ABC b»ng S, suy ra: 1 S∆ABC = AB.AC ⇒ ®é dµi AB ⇒ To¹ ®é B. 2 Cuèi cïng, lËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (BC) ®i qua hai B vµ C.

ẠO

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

22

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

suy ra, ®−êng trßn (C) cã ®−êng kÝnh lµ F2N − Lêi gi¶i sÏ ®¬n gi¶n h¬n.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: §Ó lËp ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ∆ANF2 c¸ch duy nhÊt lµ chóng ta cÇn t×m ®−îc to¹ ®é cña ®iÓm N. Vµ víi bµi to¸n nµy th× c«ng viÖc ®−îc thùc hiÖn tuÇn tù nh− sau: Tõ ph−¬ng tr×nh cña ElÝp (E) suy ra to¹ ®é c¸c tiªu ®iÓm F1 vµ F2.

LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AF1).

X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm M lµ giao cña (AF1) víi (E). Tõ ®ã, suy ra to¹ ®é cña ®iÓm N. LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp ∆ANF2 khi biÕt to¹ ®é ba ®Ønh.

Tuy nhiªn, nÕu c¸c em häc sinh biÕt nhËn xÐt r»ng:

NA.F2 A = 0 ⇒ ∆ANF2 vu«ng t¹i A

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ó

A

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

Qua B Qua B(4; 7)

(BC) :  ⇔ (BC) :   vtcp BC(−8; − 6) chon (4; 3) Qua C x −4 y−7 ⇔ (BC) : = ⇔ (BC): 3x − 4y + 16 = 0.

4 3 VÝ dô 16: Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, cho ®iÓm A(2; 3 ) vµ elip x 2 y2 = 1 . Gäi F1 vµ F2 lµ c¸c tiªu ®iÓm cña (E) (F1 cã hoµnh ®é ©m); M (E): + 3 2 lµ giao ®iÓm cã tung ®é d−¬ng cña ®−êng th¼ng AF1 víi (E); N lµ ®iÓm ®èi xøng cña F2 qua M. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ANF2.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (BC) ®−îc cho bëi: Qua B(4; 7) Qua B

(BC) :  ⇔ (BC) :   vtcp BC(−8; − 6) chon (4; 3) Qua C x −4 y−7 ⇔ (BC) : = ⇔ (BC): 3x − 4y + 16 = 0.

4 3 C¸ch 2: Ta lÇn l−ît: Ph©n gi¸c trong cña gãc vu«ng ¢ cã ph−¬ng tr×nh x + y − 5 = 0 (song song víi ®−êng ph©n gi¸c gãc phÇn t− thø II) nªn: AC//Ox ⇒ yA = yC = 1 ⇒ xA = 4 ⇒ A( 4; 1) ⇒ B(4; b) víi b > 1 vµ AC = 8.

DiÖn tÝch ∆ABC b»ng 24, suy ra: 1 1 S∆ABC = AB.AC ⇔ 24 = AB.8 ⇔ AB = 6 2 2 2 2 ⇔ 36 = AB = (b − 1) ⇒ b = 7 ⇒ B(4; 7).

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (BC) ®−îc cho bëi:

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

23

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

N

H Ư

B

Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ∆ABC biÕt A(3, −7), trùc t©m H(3; −1), t©m ®−êng trßn ngoai tiÕp lµ I(−2; 0). X¸c ®Þnh to¹ ®é ®Ønh C biÕt C cã hoµnh ®é d−¬ng.

A Gi¶i

Ó

A

10 00

VÝ dô 17:

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

§¸nh h gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: C¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o §¸n I h×nh vÏ (h×nh bªn) ®Ó thÊy ®−îc r»ng C (víi hoµnh ®é d−¬ng) H chÝnh lµ giao ®iÓm cña ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp ∆ABC vµ C B ®−êng th¼ng BC. Tõ ®ã, c«ng viÖc cña chóng ta gåm hai phÇn: a. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C), chÝnh lµ ®−êng trßn t©m I b¸n kÝnh IA. b. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (BC), ta thÊy: V× BC vu«ng gãc víi AH (A, H ®· biÕt to¹ ®é) nªn chóng ta cã ®−îc ph−¬ng cña ®−êng th¼ng (BC).

Tõ ®ã, ®Ó cã ®−îc ph−¬ng tr×nh cña (BC) chóng ta cÇn t×m mét ®iÓm mµ (BC) ®i qua. Vµ víi kiÕn thøc quen thuéc trong h×nh häc ph¼ng (líp 9) th× ®iÓm ®ã lµ trung ®iÓm cña BC hoÆc lµ giao cña BC víi AH.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

G

Đ

2

2  4  (C) : ( x − 1) +  y −  = 3.

3  2

IỄ N D

)

TR ẦN

(

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

x − y 3 + 1 = 0  2 y2  2   4  x + =1 ⇒ M 1; ⇒ N 1;   .

2 3 3   3 y > 0  NhËn xÐt r»ng:  1  NA.F2 A =  1; −  1; 3 = 0 ⇒ ∆ANF2 vu«ng t¹i A. 3  VËy, ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ∆ANF2 cã ®−êng kÝnh lµ F2N nªn cã ph−¬ng tr×nh:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Khi ®ã, to¹ ®é ®iÓm M lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

(AF1 ) : x − y 3 + 1 = 0.

Ơ

x 2 y2 + = 1 cã a2 = 3, b2 = 2 vµ c2 = a2 − b2 = 1 nªn: lêi gi¶i chi tiÕt: Víi ElÝp (E) : 3 2 F1(−1; 0); F2(1; 0).

Tõ ®ã, suy ra ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AF1) ®−îc cho bëi: Qua A(2; 3) Qua A (AF1 ) :  ⇔ (AF1 ) : 

Qua F1  vtcp AF1 (−3; − 3) chon ( 3; 1)

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

24

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

C¸ch 2: (B¹n ®äc tù vÏ thªm vµo h×nh): Ta lÇn l−ît: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp ∆ABC, ta cã: T©m I (C) :  . B¸n kÝnh IA LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AH) , ta cã: Qua A (AH) :  . Qua H Gäi A’ lµ giao ®iÓm cña AH víi (C), suy ra to¹ ®é cña A’.

HA’ c¾t BC t¹i ®iÓm N lµ trung ®iÓm cña HA’ nªn N(3; 3).

V× BC qua N vµ vu«ng gãc víi AH, suy ra ph−¬ng tr×nh cña (BC).

Khi ®ã, täa ®é C tháa m·n ph−¬ng tr×nh: ( C )  (BC) ⇒ To¹ ®é cña C. x > 0 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ

G

N

H Ư

( C )  (BC) ⇒ To¹ ®é cña M. x > 0 

TR ẦN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Gäi AA1 lµ ®−êng kÝnh th× BHCA1 lµ h×nh b×nh hµnh nªn HA1 ®i qua M lµ trung ®iÓm BC. Ta cã IM lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c A1AH nªn: 1 IM = AH ⇒ To¹ ®é cña M. 2 V× BC qua M vµ vu«ng gãc víi AH, suy ra ph−¬ng tr×nh cña (BC).

Khi ®ã, täa ®é C tháa m·n ph−¬ng tr×nh:

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Ngoµi ra, víi ph−¬ng (BC) ®· biÕt chóng ta lËp ®−îc ph−¬ng tr×nh cña (BC) theo tham sè (gi¶ sö lµ a). Gi¸ trÞ cña tham sè nhËn ®−îc tõ ®iÒu kiÖn BH vu«ng gãc víi AC. Nh− vËy, ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: (B¹n ®äc tù vÏ thªm vµo h×nh): Ta lÇn l−ît: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp ∆ABC, ta cã: T©m I (C) :  . B¸n kÝnh IA LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AH) , ta cã: Qua A (AH) :  . Qua H

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

C¸ch 3: (B¹n ®äc tù vÏ thªm vµo h×nh): Ta lÇn l−ît: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp ∆ABC, ta cã: T©m I (C) :  . B¸n kÝnh IA

N Ơ H N

U Y

(

)

65 − 2;3 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

( x + 2 )2 + y 2 = 74   x = −2 + 65 . VËy, ®iÓm C ⇔ y − 3 = 0  y = 3 x > 0 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

C¸ch 1: Gäi (C) lµ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC, ta cã: T©m I ( −2; 0 ) 2 (C) :  ⇔ (C) : ( x + 2 ) + y 2 = 74. B¸n kÝnh IA = 74 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AH) ®−îc cho bëi: Qua A(3; − 7) Qua A

(AH) :  ⇔ (AH) :   vtcp AH(0; 6) chon (0; 1) Qua H ⇔ (AH): x − 3 = 0.

Gäi AA1 lµ ®−êng kÝnh th× BHCA1 lµ h×nh b×nh hµnh nªn HA1 ®i qua M lµ trung ®iÓm BC. Ta cã IM lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c A1AH nªn: 1  x = −2 IM = AH ⇔  M ⇒ M(−2; 3).

2  yM = 3 V× BC qua M vµ vu«ng gãc víi AH nªn cã ph−¬ng tr×nh (BC): y − 3 = 0.

Khi ®ã, täa ®é C tháa m·n ph−¬ng tr×nh:

IỄ N D

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

lêi gi¶i chi tiÕt: Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AH) , ta cã: Qua A (AH) :  . Qua H V× BC vu«ng gãc víi AH, suy ra ph−¬ng tr×nh cña (BC) víi tham sè a.

To¹ ®é cña B, C tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh: ( C ) ⇒ Ax2 + Bx + C = 0. (*)  (BC) §Ó tån t¹i hai ®iÓm B, C th× (*) ph¶i cã hai nghiÖm ph©n biÖt, tøc lµ: ∆'(*) ≥ 0 ⇒ To¹ ®é cña B, C theo tham sè a.

TiÕp theo:

BH ⊥AC ⇔ BH.AC = 0 ⇒ To¹ ®é cña C.

26

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

∆' ≥ 0 ⇔ 4 − a2 + 70 > 0 ⇔ a2 < 74 ⇔ a < 74.

) (

Ơ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

Khi ®ã, ta ®−îc B −2 − 74 − a 2 ; a , C −2 + 74 − a 2 ; a vi x C > 0.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

C¸ch 3: Gäi (C) lµ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC, ta cã: I H T©m I ( −2; 0 ) 2 2 C ⇔ (C) : ( x + 2 ) + y = 74.

(C) :  B B¸n kÝnh IA = 74 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AH) ®−îc cho bëi: Qua A(3; − 7) Qua A

(AH) :  ⇔ (AH): x − 3 = 0. ⇔ (AH) :   vtcp AH(0; 6) chon (0; 1) Qua H V× BC vu«ng gãc víi AH nªn cã ph−¬ng tr×nh: (BC): y − a = 0, a ≠ −7 v× (BC) kh«ng ®i qua A. To¹ ®é cña B, C tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh: ( x + 2 )2 + y 2 = 74 ⇒ x2 + 4x + a2 − 70 = 0. (*)  y − a = 0  §Ó tån t¹i hai ®iÓm B, C th× (*) ph¶i cã hai nghiÖm ph©n biÖt, tøc lµ:

(

H

U Y

G N

A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

H Ư

(

65 − 2;3 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

VËy, ®iÓm C

TR ẦN

( x + 2 )2 + y 2 = 74   x = −2 + 65 . ⇔ y − 3 = 0  y = 3 x > 0 

Đ

ẠO

TP

.Q

2 2 x = 3 ( x + 2 ) + y = 74 ⇒ ⇒ A’(3; 7).  y = 7 x − 3 = 0   HA’ c¾t BC t¹i ®iÓm N lµ trung ®iÓm cña HA’ nªn N(3; 3).

V× BC qua N vµ vu«ng gãc víi AH nªn cã ph−¬ng tr×nh (BC): y − 3 = 0.

Khi ®ã, täa ®é C tháa m·n ph−¬ng tr×nh:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gäi A’ lµ giao ®iÓm cña AH víi (C), ta cã:

N

T©m I ( −2; 0 ) 2 ⇔ (C) : ( x + 2 ) + y 2 = 74.

(C) :  B¸n kÝnh IA = 74 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AH) ®−îc cho bëi: Qua A(3; − 7) Qua A

⇔ (AH): x − 3 = 0.

(AH) :  ⇔ (AH) :   vtcp AH(0; 6) chon (0; 1) Qua H

N

C¸ch 2: Gäi (C) lµ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC, ta cã:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

27

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TiÕp theo:

BH ⊥AC ⇔ BH.AC = 0

)(

)

74 − a 2 + 5 + (a + 7)(−1 − a) = 0

a = 3 ⇔ a2 + 4a − 21 = 0 ⇔  ⇒C a = −7 (l)

)

65 − 2;3 .

(

TO

ÁN

-L

a = ± 4 5 − 8 ⇒ H1 −2  b = −1 + 5 Khi ®ã, ta lÇn l−ît:

ÀN Đ IỄ N

(

Víi ®iÓm H1 −2

( ∆1 ) : (

) (

5 − 2; 5 − 1 , H 2 2

)

5 − 2; 5 − 1 ta ®−îc ®−êng th¼ng:

)

5 − 1 x + 2y

)

5 − 2; 5 − 1 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: C¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ ®Ó thÊy ®−îc r»ng muèn cã ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) th× cÇn t×m to¹ ®é ®iÓm H. Vµ nÕu gi¶ sö H(a; b) th× cÇn hai ph−¬ng tr×nh víi c¸c Èn a, b, ta lÇn l−ît cã: Víi ®iÒu kiÖn kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn trôc hoµnh b»ng AH, suy ra: (1) AH2 = d2(H, Ox) ⇔ a2 + (b − 2)2 = b2.

H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn ( ∆ ) (®i qua gèc O) nªn H thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh OA. (2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (1) vµ (2), ta ®−îc to¹ ®é cña H. Tõ ®ã, suy ra ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ( ∆ ). lêi gi¶i chi tiÕt: Gi¶ sö H(a; b), ta cã ngay: AH2 = a2 + (b − 2)2, d(H, Ox) = yH = b (1) AH = d(H, Ox) ⇔ a2 + (b − 2)2 = b2. §−êng trßn (C) ®−êng kÝnh OA cã ph−¬ng tr×nh: (C): x2 + (y − 2)2 = 1.

(2) NhËn xÐt r»ng H thuéc (C) nªn a2 + (b − 1)2 = 1.

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (1) vµ (2), ta ®−îc:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

ẠO

Gi¶i

D

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VÝ dô 18: Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, cho ®iÓm A (0; 2) vµ ( ∆ ) lµ ®−êng th¼ng ®i qua O. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn ( ∆ ). ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ( ∆ ), biÕt kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn trôc hoµnh b»ng AH.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

(

)

65 − 2;3 .

U Y

VËy, ®iÓm C

(

N

74 − a 2 − 5

Ơ

(

H

⇔

5 − 2 = 0.

28

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

)

5 − 2 = 0.

U Y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

H

Í-

-L

ÁN

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

lêi gi¶i chi tiÕt: Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng víi M qua I, suy ra N(11; −1) vµ N thuéc ®−êng th¼ng CD. Ta lÇn l−ît: V× E thuéc ®−êng th¼ng (∆) nªn E(x; 5 − x), khi ®ã:

IE (x − 6; 3 − x) vµ NE (x − 11; 6 − x).

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hi hiÖn Ön: C¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o ra h×nh vÏ ®Ó thÊy r»ng víi yªu cÇu viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB, chóng ta chØ cÇn x¸c ®Þnh ph−¬ng cña nã (tøc ®i t×m vtcp hoÆc vtpt cña AB) bëi AB lu«n ®i qua M (gi¶ thiÕt).

Ta lÇn l−ît ®¸nh gi¸ nh− sau: §Ó cã ®−îc vtcp cña AB, chóng ta cÇn biÕt A M B ®−îc to¹ ®é cña A hoÆc B vµ h−íng nµy kh«ng ®óng bëi kh«ng tËn dông ®−îc gi¶ I (∆) thiÕt ®· cho vÒ I vµ E. §Ó cã ®−îc vtpt cña AB, chóng ta chØ cÇn D C biÕt to¹ ®é ®iÓm E vµ v× E thuéc (∆) nªn E chóng ta chØ cÇn thªm mét ®iÒu kiÖn n÷a.

C«ng viÖc nµy kh¸ ®¬n gi¶n khi tËn dông ®−îc tÝnh ®èi xøng cña t©m I ®Ó t×m ®−îc ®iÓm N ®èi xøng víi M qua I, tõ ®ã:

N ∈ CD ⇒ NE ⊥ IE ⇔ IE.NE = 0 ⇒ to¹ ®é cña E. Nh− vËy, ®Ó thùc hiÖn bµi to¸n trªn chóng ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng víi N qua I, suy ra to¹ ®é cña N vµ nhËn xÐt N thuéc ®−êng th¼ng CD. B−íc 2: Ta lÇn l−ît: V× E thuéc ®−êng th¼ng (∆) nªn cã to¹ ®é tho¶ m·n ph−¬ng

tr×nh ®−êng th¼ng (∆). Tõ ®ã, suy ra to¹ ®é cña IE vµ NE .

V× E lµ trung ®iÓm cña CD nªn:

IE ⊥ NE ⇔ IE.NE = 0 ⇒ to¹ ®é cña E. B−íc 3: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB ®−îc cho bëi: Qua M .

(AB) :   vtpt IE

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

VÝ dô 19: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã ®iÓm I(6; 2) lµ giao ®iÓm cña hai ®−êng chÐo AC vµ BD. §iÓm M(1; 5) thuéc ®−êng th¼ng AB vµ trung ®iÓm E cña c¹nh CD thuéc ®−êng th¼ng (∆): x + y − 5 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB.

N

5 − 1 x − 2y

Ơ

( ∆2 ) : (

)

5 − 2; 5 − 1 ta ®−îc ®−êng th¼ng:

H

(

Víi ®iÓm H 2 2

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

V× E lµ trung ®iÓm cña CD nªn:

IE ⊥ NE ⇔ IE.NE = 0 ⇔ (x − 6)(x − 11) + (3 − x)(6 − x) = 0 ⇔ x2 − 13x + 42 = 0 ⇔ x = 6 hoÆc x = 7.

Ta lÇn l−ît: Víi x = 6 th× ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB ®−îc cho bëi: Qua M(1; 5)

⇔ (AB): y − 5 = 0.

(AB) :   vtpt IE(0; 3) Víi x = 7 th× ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB ®−îc cho bëi: Qua M(1; 5)

⇔ (AB): x − 4y + 19 = 0.

(AB) :   vtpt IE(1; − 4) VËy, bµi to¸n cã hai nghiÖm vÒ ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AB).

N Ơ H

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

hiÖn bµi to¸n nµy theo thø tù: T×m m ®Ó (∆) c¾t (C) (cã t©m I, b¸n kÝnh R) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B, tøc lµ thiÕt lËp ®iÒu kiÖn: d(I, (∆)) < R. T×m m ®Ó diÖn tÝch ∆IAB lín nhÊt.

Trong thùc tÕ, bµi to¸n nµy ®−îc thùc hiÖn theo c¸c b−íc sau: B−íc 1: X¸c ®Þnh t©m I vµ b¸n kÝnh R cña (C).

B−íc 2: NhËn xÐt r»ng: 1 ≤ 1 IA.IB S∆IAB = IA.IB.sin AIB 2 2 tõ ®ã, suy ra, ®¹t ®−îc khi: = 1 ⇔ AIB = 900 ⇔ IA ⊥ IB ⇔ d(I, (∆ )) = R sin AIB 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi c¸c em häc sinh ch−a cã kinh nghiÖm sÏ thùc

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®−êng trßn (C) vµ ®−êng th¼ng (∆) cã ph−¬ng tr×nh: (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0, (∆): x + my − 2m + 3 = 0, víi m lµ tham sè thùc.

Gäi I lµ t©m ®−êng trßn (C). T×m m ®Ó (∆) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B sao cho diÖn tÝch ∆IAB lín nhÊt.

VÝ dô 20:

IỄ N D

.Q

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ Gi¸ trÞ tham sè.

B−íc 3:

KÕt luËn.

30

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chó ý: Trong lËp luËn trªn v× cã ®iÒu kiÖn d(I, (∆)) =

R < R nªn (C) lu«n 2

c¾t (∆). lêi gi¶i chi tiÕt: §−êng trßn (C) cã t©m I(−2; −2) vµ b¸n kÝnh R =

2.

N Ơ H

B

10 00

A

Gi¶i

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi yªu cÇu "T×m ®iÓm M thuéc ®−êng trßn (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2 tho¶ m n ®iÒu kiÖn K", ta lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: LÊy ®iÓm M(x0; y0)∈(C), suy ra: (x0 − a)2 + (y0 − b)2 = R2.

B−íc 2: Dùa vµo ®iÒu kiÖn K cã thªm ®−îc ®iÒu kiÖn cho x0, y0.

C¸ch 2: Sö dông ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng trßn, nh− sau: B−íc 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn vÒ d¹ng tham sè: x = a + R sin t (C):  , t ∈ [0, 2π). y = b + R cos t

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®−êng trßn (C) vµ hai ®−êng th¼ng (∆1), (∆2) cã ph−¬ng tr×nh: 4 (C) : (x − 2) 2 + y 2 = , (∆1): x − y = 0, (∆2): x − 7y = 0 5 X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m K vµ b¸n kÝnh cña ®−êng trßn (C1), biÕt ®−êng trßn (C1) tiÕp xóc víi c¸c ®−êng th¼ng (∆1), (∆2) vµ t©m K thuéc ®−êng trßn (C).

VÝ dô 21:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

ẠO

1 − 4m 2 ⇔ = 1 ⇔ (1 − 4m)2 = 1 + m2 2 2 2 1+ m 1+ m 8 ⇔ 8m2 − 15m = 0 ⇔ m = 0 hoÆc m = 0 hoÆc m = .

15 8 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

VËy, víi m = 0 hoÆc m = 15 ⇔

−2 − 2m − 2m + 3

TP

= 1 ⇔ AIB = 900 ⇔ IA ⊥ IB ⇔ d(I, (∆ )) = R sin AIB 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

NhËn xÐt r»ng: 1 ≤ 1 IA.IB S∆IAB = IA.IB.sin AIB 2 2 1 tõ ®ã, suy ra ( S∆IAB ) Max = IA.IB , ®¹t ®−îc khi: 2

31

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

§iÓm M∈(C) ⇒ M(a + Rsint; b + Rcost).

Sö dông ®iÒu kiÖn K ®Ó x¸c ®Þnh cost, sint. Tõ ®ã t×m ®−îc to¹ ®é cña M dùa trªn ®¼ng thøc sin2t + cos2t = 1.

Vµ trong bµi to¸n nµy chóng ta sÏ sö dông c¸ch 1, cô thÓ: V× K(a; b) thuéc (C) nªn: 4 (a − 2) 2 + b 2 = .

(1) 5 V× (C1) tiÕp xóc víi c¸c ®−êng th¼ng (∆1), (∆2) nªn: (2) d(K, (∆1)) = d(K, (∆2)).

Gi¶i hÖ to¹ bëi (1) vµ (2) chóng ta nhËn ®−îc a, b (tøc to¹ ®é cña K), khi ®ã b¸n kÝnh ®−êng trßn (C1) lµ R1 = d(K, (∆1)). lêi gi¶i chi tiÕt: Gi¶ sö K(a; b), khi ®ã ta lÇn l−ît cã: V× K thuéc (C) nªn: 4 (a − 2) 2 + b 2 = .

(1) 5 V× (C1) tiÕp xóc víi c¸c ®−êng th¼ng (∆1), (∆2) nªn: a − b a − 7b = d(K, (∆1)) = d(K, (∆2)) ⇔ 2 50 5(a − b) = a − 7b . ⇔ 5 a − b = a − 7b ⇔  5(a − b) = −a + 7b Khi ®ã, ta lÇn l−ît: Víi 5(a − b) = a − 7b th× ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh:

8  a= a = 2b a = 2b     8 4 5 ⇔ ⇒ K  ; . ⇔ 2 4 ⇔ 16 5 5 b = 4 5b − 8b + 5 = 0 b = 5  5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

ÁN TO ÀN Đ

IỄ N D

Víi 5(a − b) = −a + 7b th× ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh: a = 2b a = 2b   4⇔ 4  2 2 2 2 (a − 2) + b = 5 (2b − 2) + b = 5

-L

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H

Ó

A

10 00

B

b = −2a b = −2a   4⇔ 4  2 2 2 2 (a − 2) + b = 5 (a − 2) + (−2a) = 5 b = −2a  , v« nghiÖm. ⇔ 2 16 5a − 4a + 5 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

B−íc 2: B−íc 3:

32

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TR ẦN

B

Ó

A

10 00

lêi gi¶i chi tiÕt: Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (∆), suy ra H lµ trung ®iÓm cña BC vµ: 2S 9 ⇒ BC = ∆ABC = 4 2.

AH = d(A, (∆)) = AH 2

H

BC2 97 . = 4 2 Khi ®ã, to¹ ®é cña B, C tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh: x − y − 4 = 0 x − y − 4 = 0    97 ⇔   x = 11/ 2 .

2 2 (x + 1) + (y − 4) = 2 x = 3 / 2  5  11 3  3 VËy, to¹ ®é hai ®iÓm B  ;  vµ C  ; −  hoÆc ng−îc l¹i.

2  2 2 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

AB = AC = AH 2 +

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

BC2 = l.

4 Khi ®ã, to¹ ®é cña B, C tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh: ( ∆ ) .  AB = l

AB = AC = AH 2 +

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

Tõ ®ã, víi gi¶ thiÕt ∆ABC c©n t¹i A, ta ®−îc:

H Ư

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi yªu cÇu cña bµi to¸n, chóng ta sÏ ®i khai th¸c dÇn gi¶ thiÕt: V× A vµ ®−êng th¼ng chøa B, C lµ (∆) ®· cho nªn ta cã ngay d(A, (∆)).

Tõ gi¶ thiÕt vÒ diÖn tÝch ∆ABC, suy ra: 2S∆ABC BC = . d(A, (∆))

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Gi¶i

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

U Y

2 2 8 4 .

VËy, ®−êng trßn (C1) cã t©m K  ;  vµ b¸n kÝnh R 1 = 5 5 5 VÝ dô 22: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ∆ABC c©n t¹i A cã ®Ønh A(−1; 4) vµ c¸c ®Ønh B, C thuéc ®−êng th¼ng (∆): x − y − 4 = 0. X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm B vµ C, biÕt diÖn tÝch ∆ABC b»ng 18.

N

Vµ tõ ®ã, b¸n kÝnh ®−êng trßn (C1) ®−îc cho bëi: a−b 2 2 R1 = . = 5 2

33

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ∆ABC cã M(2; 0) lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB. §−êng trung tuyÕn vµ ®−êng cao qua ®Ønh A lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh 7x − 2y − 3 = 0, 6x − y − 4 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AC.

VÝ dô 23:

Ơ H

Đ

ÀN

TO

Ta lÇn l−ît cã: §iÓm A lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2), nªn to¹ ®é cña A nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: 7x − 2y − 3 = 0 x = 1 ⇔ ⇒ A(1; 2).  6x − y − 4 = 0 y = 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

A

lêi gi¶i chi tiÕt: Gäi ®−êng trung tuyÕn vµ ®−êng cao qua ®Ønh A lµ (d1), (d2).

IỄ N D

Ó

ÁN

-L

Í-

B−íc 5:

H

B−íc 4:

Qua B (BC) :  . BC ⊥ (d 2 ) Gäi N lµ trung ®iÓm cña BC, khi ®ã N lµ giao ®iÓm cña (BC) vµ (d1), nªn to¹ ®é cña N nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (BC) vµ (d1).

Cuèi cïng, ph−¬ng tr×nh dt AC ®−îc cho bëi: Qua A .

(AC) :   vtcp MN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: C¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh ra nh¸p ®Ó tiÖn theo dâi viÖc ®Þnh h−íng sau: Chóng ta ®Òu biÕt r»ng, ®Ó viÕt ®−îc ph−¬ng tr×nh cña mét ®−êng th¼ng chóng ta cÇn biÕt hai ®iÓm ph©n biÖt thuéc ®−êng th¼ng ®ã hoÆc mét ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng vµ ph−¬ng cña nã. Trong bµi to¸n nµy, v× ®· biÕt ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng trung tuyÕn (gäi lµ (d1)) vµ ®−êng cao (gäi lµ (d2)) qua ®Ønh A nªn cã ngay (d1)∩(d2) = {A}, tõ ®ã to¹ ®é cña A nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (d1) vµ (d2), cô thÓ: 7x − 2y − 3 = 0 .  6x − y − 4 = 0 C«ng viÖc tiÕp theo lµ lùa chän viÖc t×m to¹ ®é ®iÓm C hoÆc ph−¬ng cña AC (AC song song víi MN, N lµ trung ®iÓm cña BC vµ thuéc (d1)). Víi nhËn ®Þnh nµy, h¼n chóng ta lùa chän ®i t×m to¹ ®é ®iÓm N. V× {N} = (d1)∩(BC) nªn cÇn t×m ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (BC), ë ®ã: (BC) ⊥ (d2) ⇒ §· biÕt ®−îc ph−¬ng cña (BC) Nh− vËy, chóng ta cÇn t×m ®−îc to¹ ®é ®iÓm B vµ dÔ thÊy A, B ®èi xøng qua M nªn khi biÕt ®−îc to¹ ®é cña A chóng ta sÏ cã to¹ ®é cña B. Tõ ®Þnh h−íng trªn, ®Ó gi¶i bµi to¸n trªn chóng ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: T×m to¹ ®é ®iÓm A (lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2)).

B−íc 2: Suy ra to¹ ®é ®iÓm dùa trªn tÝnh chÊt ®iÓm B ®èi xøng víi A qua M. B−íc 3: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng BC ®−îc cho bëi:

N

Gi¶i

34

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

§iÓm B ®èi xøng víi A qua M nªn B(3; −2). §−êng th¼ng BC ®−îc cho bëi: Qua B Qua B(3; − 2) (BC) :  ⇔ (BC) :   vtpt (1; 6) BC ⊥ (d 2 ) ⇔ (BC): x + 6y + 9 = 0.

Gäi N lµ trung ®iÓm cña BC, khi ®ã N lµ giao ®iÓm cña (BC) vµ (d1), nªn to¹ ®é cña N nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: x = 0 7x − 2y − 3 = 0 3   ⇔  3 ⇒ N  0; −  .

2   x + 6y + 9 = 0  y = − 2 Cuèi cïng, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AC ®−îc cho bëi: Qua A(1; 2) x −1 y − 2   (AC) :  ⇔ (AC) : = 3 4 3  vtcp MN  −2; − 2  chän (4; 3)    ⇔ (AC): 3x − 4y + 5 = 0.

2 VÝ dô 24: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®−êng trßn (C): (x − 1) + 2 y = 1. Gäi I lµ t©m cña (C). X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm M thuéc (C) sao cho = 300.

IMO

(1)

Í-

H

Ó

A

(a − 1)2 + b 2 = 1. = 300 nªn: TiÕp theo, v× IMO

MI.MO 0 cos 30 = .

MI . MO

ÁN

-L

Tuy nhiªn, nÕu biÕt nhËn xÐt r»ng O ∈ (C) nªn IO = IM = 1, tõ ®ã chóng ta sö dông ®iÒu kiÖn: = 1200 ⇒ OM2 = IO2 + IM2 − − 2IO.IM.cos1200 OIM

(a − 1)2 + b 2 = 1.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

⇔ a2 + b2 = 3.

(2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (1) vµ (2) chóng ta nhËn ®−îc to¹ ®é ®iÓm M. lêi gi¶i chi tiÕt: Gi¶ sö M(a; b), khi ®ã ta lÇn l−ît cã: V× M thuéc (C) nªn:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi yªu cÇu cña bµi to¸n, chóng ta sÏ ®i khai th¸c dÇn gi¶ thiÕt: V× M(a; b) thuéc (C) nªn:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

(1)

35

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

NhËn xÐt r»ng O ∈ (C) nªn IO = IM = 1, tõ ®ã: = 1200 ⇒ OM2 = IO2 + IM2 − 2IO.IM.cos1200 OIM

⇔ a2 + b2 = 3.

Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ tÝch ph©n:

Ơ

2

H Ư

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi yªu cÇu lËp ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c elÝp (E),

chóng ta gi¶ sö:

TR ẦN

x2 y2 + = 1 , 0 < b < a. a2 b2 Tõ ®ã, cÇn t×m a, b (hoÆc a2, b2) b»ng c¸ch thiÕt lËp mét hÖ hai ph−¬ng tr×nh víi Èn a, b (hoÆc a2, b2). lêi gi¶i chi tiÕt: 1. Gi¶ sö ElÝp (E) cã ph−¬ng tr×nh: x 2 y2 (E) : 2 + 2 = 1, 0 < b < a. a b Ta lÇn l−ît cã: H×nh ch÷ nhËt cë së cña (E) cã chu vi b»ng 20 nªn: 2(a + b) = 20 ⇔ a + b = 10 ⇔ b = 10 − a.

(1)

TO

-L

VËy, ElÝp (E) cã ph−¬ng tr×nh

D

IỄ N

Đ

ÀN

5 nªn: 3 5 c 5 a 2 − b2 = ⇔ = ⇔ 4a 2 = 9b 2 ⇔ 2a = 3b = 3(10 − a) 2 3 a 9 a ⇔ a = 3 ⇒ b = 2.

T©m sai b»ng

ÁN

Í-

H

Ó

A

10 00

B

(E):

x 2 y2 + = 1.

9 4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

2

H

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3  a=  (a − 1) + b = 1 a − 2a + b = 0 3 − 2a = 0 2  . ⇔ ⇔ ⇔  2  2  2 2 2 2 a + b = 3 3 a + b = 3 a + b = 3  b = ±  2 3 3 3 3 VËy, tån t¹i hai ®iÓm M1  ;  2 2  vµ M 2  2 ; − 2  tho¶ m·n ®iÒu kiÖn     ®Çu bµi.

VÝ dô 25: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, h·y viÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh 5 t¾c cña ElÝp (E), biÕt r»ng (E) cã t©m sai b»ng vµ h×nh ch÷ nhËt cë së cña 3 (E) cã chu vi b»ng 20.

2

N

(2)

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

36

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, x¸c ®Þnh to¹ ®é ®Ønh C cña ∆ABC, biÕt r»ng h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn ®−êng th¼ng AB lµ ®iÓm H(−1; −1), ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A cã ph−¬ng tr×nh x − y + 2 = 0 vµ ®−êng cao kÎ tõ B cã ph−¬ng tr×nh 4x + 3y − 1 = 0.

VÝ dô 26:

H

Cuèi cïng, v× (AC)∩(CH) = {C} nªn to¹ ®é cña C lµ nghiÖm cña hÖ: (AC) ⇒ To¹ ®é cña C.  (HC)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

lêi gi¶i chi tiÕt: B¹n ®äc tù vÏ h×nh.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Qua H ' (AC) :  . (AC) ⊥ (d 2 ) Víi ®−êng th¼ng CH, do ®· cã to¹ ®é cña H nªn chóng ta cÇn t×m ph−¬ng cña nã vµ v×: CH ⊥ AH ⇒ CÇn t×m to¹ ®é cña A. DÔ thÊy (AC)∩(d1) = {A} nªn to¹ ®é cña A lµ nghiÖm cña hÖ: (AC) ⇒ To¹ ®é cña A.  (d1 ) Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng CH ®−îc cho bởi: Qua H .

(CH) :   vtpt HA

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

a. §−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A lµ (d1), cã vtcp u1.

b. §−êng cao kÎ tõ B lµ (d2) cã vtcp u 2 .

Tr−íc tiªn, c¸c em häc sinh h·y ph¸c th¶o h×nh vÏ ra nh¸p ®Ó theo dâi ®Þnh h−íng sau: V× c¸c ®−êng th¼ng AC, BC, HC ®ång quy t¹i C. Suy ra, ®Ó cã ®−îc to¹ ®é ®iÓm C chóng ta cÇn cã ®−îc ph−¬ng tr×nh cña hai trong ba ®−êng th¼ng AC, BC, HC. Vµ dÔ thÊy c¸c ®−êng th¼ng chØ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng viÑc chØ ra ®iÓm mµ nã ®i qua cïng víi ph−¬ng (vtcp hoÆc vtpt). NhËn ®Þnh nµy dÉn tíi viÖc lo¹i bá viÖc x¸c ®Þnh ®−êng th¼ng BC. Víi ®−êng th¼ng AC chóng ta ®· cã s½n ph−¬ng v× AC ⊥ (d2), nh− vËy cÇn t×m mét ®iÓm thuéc AC. §iÒu nµy thùc hiÖn ®−îc dùa vµo tÝnh chÊt ®èi xøng cña ®−êng ph©n gi¸c trong ®Ønh A (lµ (d1)), cô thÓ ®i x¸c ®Þnh ®iÓm H’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua (d1).

Tõ ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AC ®−îc cho bởi:

N

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: KÝ hiÖu:

Ơ

N

Gi¶i

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

37

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

 b2 B ;  16

  c2  b  , C  ; c  , víi b ≠ 4 vµ c ≠ 4.   16 

Đ

ÀN

TO

ÁN

b. Ta lÇn l−ît: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (BC) ®−îc cho bëi: Qua B (BC) :  . Qua C

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

a. Hai ®iÓm ph©n biÖt B, C (B vµ C kh¸c A) di ®éng trªn (P), suy ra:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Í-

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Bµi to¸n nµy lµm theo c¸c b−íc:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

H

Gi¶i

IỄ N D

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

KÝ hiÖu:

a. §−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A lµ (d1), cã vtcp u1 (1;1).

b. §−êng cao kÎ tõ B lµ (d2) cã vtcp u 2 (3; − 4).

Gäi H’(a; b) lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua (d1) th× H’ thuéc AC. Ta cã:

HH ' ⊥ u1  Trung ®iÓm I cña HH' thuéc (d1 ) 1.(a + 1) + 1.(b + 1) = 0  x = −3  ⇔  a −1 b −1 ⇔ ⇒ H’(−3; 1). y = 1  2 − 2 + 2 = 0 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AC ®−îc cho bởi: Qua H '(−3; 1) Qua H '

⇔ (AC): 3x − 4y + 13 = 0.

(AC) :  ⇔ (AC) :   vtpt u 2 (3; − 4) (AC) ⊥ (d 2 ) V× (AC)∩(d1) = {A} nªn to¹ ®é cña A lµ nghiÖm cña hÖ: 3x − 4y + 13 = 0 x = 5 ⇒ A(5; 7). ⇔  y = 7 x − y + 2 = 0 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng CH ®−îc cho bởi: Qua H(−1; − 1) Qua H

(CH) :  ⇔ (CH): 3x + 4y + 7 = 0. ⇔ (CH) :   vtpt HA (6; 8) CH ⊥ HA V× (AC)∩(CH) = {C} nªn to¹ ®é cña C lµ nghiÖm cña hÖ: 3x − 4y + 13 = 0  x = −10 / 3  10 3  ⇔ ⇒ C − ; .   3 4 3x + 4y + 7 = 0 y = 3 / 4 2 VÝ dô 27: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho parabol (P): y = 16x vµ ®iÓm A(1; 4). Hai ®iÓm ph©n biÖt B, C (B vµ C kh¸c A) di ®éng trªn (P) sao cho = 900 . Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng BC lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

BAC

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(1)

38

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

Cho ®iÓm M(2; 1). §−êng th¼ng (d) lu«n ®i qua M c¾t Ox, Oy theo thø tù t¹i A(a; 0), B(0; b) víi a, b > 0. LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) sao cho: a. DiÖn tÝch ∆OAB nhá nhÊt. b. OA + OB nhá nhÊt. c.

10 00

B

VÝ dô 28:

1 1 + nhá nhÊt.

2 OA OB2

Ó

A

Gi¶i

Í-

H

Tõ gi¶ thiÕt, ta ®−îc (d):

x y + = 1. a b

2 1 + = 1. a b a. Ta cã, diÖn tÝch ∆OAB ®−îc cho bëi: 1 ab S = OA.OB = .

2 2 Tõ (1) suy ra

(1)

1=

2 1 2 1 + ≥2 . = a b a b

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

V× M∈(d) nªn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(2)

TR ẦN

⇔ 272 + 4(b + c) + bc = 0.

Tõ (1) vµ (2) suy ra ®−êng th¼ng (BC) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh I(17; −4).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

N

G

Đ

 b2  c 2  AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = 0 ⇔  − 1; b − 4  − 1; c − 4  = 0  16  16  2 2 b  c  ⇔  − 1  − 1 + ( b − 4 )( c − 4 ) = 0  16   16 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

= 900 , suy ra AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = 0 Tõ ®iÒu kiÖn BAC (2) c. Tõ (1) vµ (2) suy ra ®−êng th¼ng (BC) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh I. lêi gi¶i chi tiÕt: Hai ®iÓm ph©n biÖt B, C (B vµ C kh¸c A) di ®éng trªn (P), suy ra:  b2   c2  B  ; b  , C  ; c  , víi b ≠ 4 vµ c ≠ 4.  16   16  Ta lÇn l−ît: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (BC) ®−îc cho bëi: c2 x − Qua B y−c (BC) :  ⇔ (BC) : 2 162 = b c b−c Qua C − 16 16 ⇔ (BC): 16x − (b + c)y + bc = 0.

(1) = 900 , suy ra: Tõ ®iÒu kiÖn BAC

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 ⇔ ab ≥ 2 ⇔ S ≥ 1. ab

39

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

Đ

ÀN

TO

ÁN

Gi¶i C¸ch 1: V× M(xM, yM) ∈ (d), suy ra xM − 2yM + 15 = 0 ⇔ xM = 2yM − 15, khi ®ã: x 2M + y 2M = (2yM − 15)2 + y 2M = 5 y 2M − 60yM + 225 = 5(yM − 6)2 + 45 ≥ 45.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

Cho ®−êng th¼ng (d): x − 2y + 15 = 0.

T×m trªn ®−êng th¼ng ®iÓm M(xM, yM) sao cho x 2M + y 2M nhá nhÊt.

VÝ dô 29:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H

Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d): 2x + y − 5 = 0.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

TP

ẠO

Đ

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d): (1 + 2 )x + (2 + 2 )y − 5 − 3 2 = 0. c. Ta cã: 1 1 1 1 + = 2 + 2.

2 2 OA OB a b NhËn xÐt r»ng: 1 1 2 1 1 1 1 (22 + 12)( 2 + 2 ) ≥ ( + )2 = 1 ⇒ 2 + 2 ≥ . a b a b a b 5 1 1 1 + ) = , ®¹t ®−îc khi: VËy ( 2 2 Min OA OB 5 5 2 1   + =1 a = ⇔  2 . a b  2a = b  b = 5

IỄ N D

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

VËy SMin = 1, ®¹t ®−îc khi: a = 4 2 1 1 = = ⇔  . a b 2 b = 2 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d): x + 2y − 4 = 0. b. Tõ (1), ta ®−îc : 2b a= ⇒ ®iÒu kiÖn b > 1. b −1 Khi ®ã: 2b 2 +b= +b+2 OA + OB = b −1 b −1 2 2 .(b − 1) + 3 = 2 2 + 3. = +b−1+3≥2 b −1 b −1 VËy (OA + OB)Min = 2 2 + 3, ®¹t ®−îc khi: 2 a = 2 + 2 =b−1⇔  . b −1  b = 1 + 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

40

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

VËy, ta ®−îc ( x 2M + y 2M )Min = 45 ®¹t ®−îc khi:

H

N

G

VËy ( x 2M + y 2M )Min = 45 ®¹t ®−îc khi: ( d)

H Ư

yM = − 2xM ⇒ M( − 3, 6).

Cho ®−êng th¼ng (∆) vµ ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh: (∆): 3x − 4y + 12 = 0. (C): x2 + y2 − 2x − 6y + 9 = 0.

LËp ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (C) vu«ng gãc víi (∆).

TR ẦN

VÝ dô 30:

Gi¶i

Í-

H

Ó

A

10 00

B

§−êng trßn (C) cã t©m I(1, 3), b¸n kÝnh R = 1.

Ta cã hai c¸ch gi¶i sau: C¸ch 1: TiÕp tuyÕn (d)⊥(∆) cã ph−¬ng tr×nh: (d) : 4x + 3y + c = 0. §−êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) c 1 = −18 | 4 .1 + 3 .3 + c | ⇔ d(I, (d)) = R ⇔ =1⇔  .

16 + 9 c 2 = −8

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Víi c1 = −18, ta ®−îc tiÕp tuyÕn (d1): 4x + 3y − 18 = 0.

Víi c2 = − 8, ta ®−îc tiÕp tuyÕn (d2): 4x + 3y − 8 = 0.

VËy tån t¹i hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi (C) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

C¸ch 2: Gi¶ sö tiÕp ®iÓm lµ M(x0, y0), khi ®ã ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã d¹ng: (d): x.x0 + y.y0 − (x + x0) − 3(y + y0) + 9 = 0 ⇔ (d): (x0 − 1)x + (y0 − 3)y − x0 − 3y0 + 9 = 0 V× M(x0, y0) ∈ (C) ⇔ x 20 + y 20 − 2x0 − 6y0 + 9 = 0.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

⇔ x 2M + y 2M ≥ 45.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

( 4 + 1)(y 2M + x 2M )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

≤

TP

Bunhiac« pxki

ẠO

xM − 2yM + 15 = 0 ⇔ 15 = 2yM − xM

.Q

VËy ( x 2M + y 2M )Min = 45 ®¹t ®−îc khi: t = 6 ⇒ M( − 3, 6).

C¸ch 3: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxli Ta cã:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

§iÓm M ∈ (d), suy ra M(2t − 15, t).

Khi ®ã: x 2M + y 2M = (2t − 15)2 + t2 = 5t2 − 60t + 225 = 5(t − 6)2 + 45 ≥ 45.

Ơ

N

yM = 6 ⇒ M(−3, 6).

C¸ch 2: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh (d) vÒ d¹ng tham sè: x = 2 t − 15 (d):  , t ∈ R. y = t

(2)

41

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

§−êng th¼ng (d)⊥(∆) khi vµ chØ khi: 3.(x0 − 1) − 4(y0 − 3) = 0 ⇔ 3x0 − 4y0 + 9 = 0.

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (2), (3) ta ®−îc: 9 18  x 0 = 5 & y 0 = 5 .  x = 1 & y = 12 0  0 5 5

N Ơ H

B

10 00

A

Í-

H

Ó

(1) ⇔ y 20 = 8 − 4 x 20 .

Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm

-L

⇔ 8 − 4 x 20 >0 ⇔ 0 < x0 ≤

2 ⇒ x0 = 1 vµ y0 = 2 ⇒ M0(1, 2) ∈ (E).

Đ

ÀN

TO

ÁN

Tõ M0 suy ra c¸c ®iÓm M1(−1, 2), M2(−1, −2) vµ M3(1, −2) còng thuéc (E).

VËy (E) cã 4 ®iÓm M0, M1, M2, M3 cã to¹ ®é nguyªn. b. Ta cã: 2

 x y  (x0 + y0) =  2 . 0 + 8 . 0  ≤ (2 + 8) 2 8  2

⇔ − 10 ≤ x0 + y0 ≤

 x 20 y 20     2 + 8  = 10  

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x 20 y 20 (1) + = 1.

2 8 a. NhËn xÐt r»ng nÕu ®iÓm M(x0, y0)∈(E) ⇒ M1(−x0, y0), M2(−x0, − y0) vµ M3(x0, −y0) còng thuéc (E). Do vËy ta chØ cÇn x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm M0 cã to¹ ®é nguyªn d−¬ng.

XÐt ph−¬ng tr×nh (1) víi Èn y0 : §iÓm M(x0, y0)∈(E) ⇒

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

N

H Ư

TR ẦN

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

ẠO

x2 y2 + = 1.

2 8 T×m c¸c ®iÓm M thuéc ElÝp (E) sao cho: a. Cã to¹ ®é nguyªn thuéc (E). b. Cã tæng hai to¹ ®é ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt.

Cho ElÝp (E):

Đ

VÝ dô 31:

IỄ N D

U Y

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Víi M1(

.Q

9 18 , ), thay vµo (1) ta ®−îc tiÕp tuyÕn (d1): 4x + 3y − 18 = 0.

5 5 1 12 Víi M2( , ), thay vµo (1) ta ®−îc tiÕp tuyÕn (d2): 4x + 3y − 8 = 0.

5 5 VËy tån t¹i hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi (C) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

http://daykemquynhon.ucoz.com

(3)

10 .

42

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

dÊu b»ng x¶y ra khi:

N Ơ H

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x0 / 2  2 10 4 10 = y 0 = 4 x 0  , ) M 4 ( y0 / 8  2  8 5 5 2 ⇒  ⇔ x .  y0 0 =1 10 4 10  +  x 20 y 20  8 2 =1  + M 5 (− 5 , − 5 ) 8 2 VËy, ta ®−îc: (x0 + y0)Max = 10 , ®¹t ®−îc t¹i M4. (x0 + y0)Min = − 10 , ®¹t ®−îc t¹i M5.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

43

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian

N Ơ H N

U Y

1  2 2 7 ⇒ H  − ; ; .

3  3 3 3

-L

Í-

⇔t=

H

Ó

A

10 00

B

cña AB. ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè:  x = −1 + t  (d) : y = 2t , t ∈ ℝ ⇒ H(t − 1; 2t; t + 2). z = 2 + t  Sö dông ®iÒu kiÖn IH vu«ng gãc víi AB, ta ®−îc:

IH ⊥ AB ⇔ IH.AB = 0 ⇔ t − 1 + 4t + t − 1 = 0

ÁN

Sö dông ®iÒu kiÖn ∆IAB vu«ng t¹i I, ta ®−îc:

TO

R = IA = 2IH =

2 6 .

3

8 (S) : x 2 + y 2 + (z − 3)2 = .

3

D

IỄ N

Đ

ÀN

Tõ ®ã, suy ra:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

lêi gi¶i chi tiÕt: Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I trªn (d), suy ra H lµ trung ®iÓm

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Bµi to¸n ®−îc chuyÓn vÒ viÖc t×m b¸n kÝnh R cña mÆt cÇu (S). Ta cã: KÕt hîp víi ®Ó ∆IAB vu«ng t¹i I, suy ra: R = IA = 2IH , víi H lµ h×nh chiÕu v−«ng gãc cña I trªn (d).

Nh− vËy, cÇn cã ®−îc to¹ ®é ®iÓm H. C«ng viÖc nµy ®−îc thùc hiÖn: B−íc 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè theo t ®Ó cã ®−îc biÓu diÔn to¹ ®é cña ®iÓm H theo t.

B−íc 2: Sö dông ®iÒu kiÖn :

IH ⊥ AB ⇔ IH.AB = 0 ⇒ Gi¸ trÞ cña t ⇒ To¹ ®é H.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng x +1 y z − 2 (d) : = = vµ ®iÓm I(0; 0; 3). ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I 1 2 1 vµ c¾t (d) t¹i hai ®iÓm A, B sao cho ∆IAB vu«ng t¹i I. VÝ dô 1:

2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng x +1 y z − 2 (d) : = = , mÆt ph¼ng (P): x + y − 2z + 5 = 0 vµ ®iÓm A(1; −1; 2).

2 1 1 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) c¾t (d) vµ (P) lÇn l−ît t¹i M vµ N sao cho A lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MN.

N

VÝ dô 2:

H

Í-

H

Ó

A

10 00

B

x = −1 + 2t  (d) : y = t , t ∈ ℝ ⇒ M(2t − 1; t; t + 2). z = 2 + t  Sö dông ®iÒu kiÖn A lµ trung ®iÓm MN, ta ®−îc N(−2t + 3 ; −t − 2; −t + 2) vµ: N ∈ (P) ⇒ −2t + 3 − t − 2 − 2(−t + 2) + 5 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ M(3; 2; 4).

Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) ®−îc cho bëi: Qua A(1; − 1; 2) x −1 y +1 z − 2 . (∆) :  ⇔ (∆) : = = 2 3 2 Qua M(3; 2; 4)

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng x −1 y z (d) : = = vµ hai ®iÓm A(2; 1; 0), B(−2; 3; 2). ViÕt ph−¬ng tr×nh 2 1 −2 mÆt cÇu ®i qua A, B vµ t©m thuéc ®−êng th¼ng (d).

TO

ÁN

-L

VÝ dô 3:

ÀN

Gi¶i

ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè theo t ®Ó cã ®−îc to¹ ®é cña t©m I cña mÆt cÇu (S) cÇn t×m theo t, cô thÓ I(1 + 2t; t; −2t).

D

IỄ N

Đ

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Bµi to¸n thuéc d¹ng ®¬n gi¶n khi chØ cÇn thùc hiÖn:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

lêi gi¶i chi tiÕt:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Qua A (∆) :  . Qua M Bµi to¸n ®−îc chuyÓn vÒ d¹ng "T×m ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng tho¶ m n ®iÒu kiÖn K", ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè theo t ®Ó cã ®−îc biÓu diÔn to¹ ®é cña ®iÓm M theo t.

Suy ra to¹ ®é cña N theo t.

B−íc 2: Sö dông ®iÒu kiÖn: N ∈ (P) ⇒ Gi¸ trÞ cña t ⇒ To¹ ®é cña M.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

®Þnh khi biÕt ®−îc to¹ ®é cña M hoÆc N bëi:

N

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: DÔ thÊy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) ®−îc x¸c

Ơ

Gi¶i

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Sö dông ®iÒu kiÖn: R = IA = IB ⇒ Gi¸ trÞ t ⇒ To¹ ®é t©m I vµ b¸n kÝnh R ⇒ Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña mÆt cÇu (S).

N Ơ H

Ó

A

10 00

B

Oy t¹i B, C ta nghÜ ngay tíi viÖc sö dông "Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ch¾n", tõ ®ã: Gi¶ sö B(b; 0; 0) vµ C(0; c; 0) råi suy ra to¹ ®é träng t©m G. LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AM).

V× G thuéc (AM) ta nhËn ®−îc gi¸ trÞ cña b, c. Tõ ®ã, cã ®−îc to¹ ®é cña B, C. LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua A, B, C theo "Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ch¾n".

H

lêi gi¶i chi tiÕt: Tõ gi¶ thiÕt ta gi¶ sö B(b; 0; 0) vµ C(0; c; 0), suy ra ∆ABC cã

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

b c  träng t©m G  ; ; 1  . 3 3  Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AM) ®−îc cho bëi: Qua A x y z −3

.

(AM) :  ⇔ (AM) : = = 1 2 −3 vtcp AM(1; 2; − 3) V× G thuéc (AM) nªn: b = 2 B(2; 0; 0) b c −2 . = = ⇒ ⇒ 3 6 −3 c = 4 C(0; 4; 0)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi mÆt ph¼ng (P) qua A∈ Oz vµ c¾t c¸c trôc Ox,

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

TP

ẠO

Đ

G

H Ư

N

VÝ dô 4: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho A(0; 0; 3), M(1; 2; 0). ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua A vµ c¾t Ox, Oy lÇn l−ît t¹i B, C sao cho ∆ABC cã träng t©m thuéc AM.

IỄ N D

U Y

.Q

ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè: x = 1 + 2t  (d) : y = t , t ∈ ℝ. z = −2t  Ta lÇn l−ît: I thuéc (d) suy ra I(1 + 2t; t; −2t).

A, B thuéc (S) suy ra: IA = IB ⇔ IA2 = IB2 ⇔ (2t − 1)2 + (t − 1)2 + (−2t)2 = (3 + 2t)2 + (t − 3)2 + (−2t − 2)2 ⇔ t = −1 ⇒ I(−1; −1; 2).

R2 = IA2 = 17.

VËy, mÆt cÇu (S) cã ph−¬ng tr×nh (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 17.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

lêi gi¶i chi tiÕt: Gi¶ sö mÆt cÇu (S) cã t©m I vµ b¸n kÝnh R.

4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tõ ®ã, b»ng viÖc sö dông ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ch¾n ta ®−îc: x y z (P) : + + = 1 ⇔ (P): 6x + 3y + 4z − 12 = 0.

2 4 3

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng x −1 y + 1 z = = vµ hai ®iÓm A(1; −1; 2), B(2; −1; 0). X¸c ®Þnh ®iÓm M (d) : 2 −1 1 thuéc (d) sao cho tam gi¸c AMB vu«ng t¹i M.

10 00

B

VÝ dô 6:

Gi¶i

A

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Sö dông ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

(d) ®Ó cã ®−îc to¹ ®é ®iÓm I(1 + 2t; − 1 − t; t).

Víi ®iÒu kiÖn ∆AMB vu«ng t¹i M, suy ra:

AM ⊥ BM ⇔ AM.BM = 0 ⇒ Gi¸ trÞ tham sè t ⇒ To¹ ®é M. lêi gi¶i chi tiÕt: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè: x = 1 + 2t  (d) : y = −1 − t , t ∈ ℝ. z = t 

D

IỄ N

§iÓm M thuéc (d) nªn M(1 + 2t; − 1 − t; t).

Víi gi¶i thiÕt ∆AMB vu«ng t¹i M, suy ra:

AM ⊥ BM ⇔ AM.BM = 0 ⇔ 2t(−1 + 2t) + t2 + t(t − 2) = 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

Gäi R lµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu, suy ra: R2 = IH2 + r2 = 32 + 42 = 25.

VËy, mÆt cÇu (S) cã ph−¬ng tr×nh (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 25.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

= 3.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2 2 + 12 + (−2)2

G

2.2 + 1 − 2.3 + 10

N

IH = d(I, (P)) =

Đ

lêi gi¶i chi tiÕt: Gäi H lµ h×nh chiÕu v−«ng gãc cña I trªn (P), ta cã:

Đ

Ơ

.Q TP

Víi H lµ h×nh chiÕu v−«ng gãc cña I trªn (P), suy ra: IH = d(I, (P)).

Gäi R lµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu, suy ra: R2 = IH2 + r2.

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Bµi to¸n thuéc d¹ng ®¬n gi¶n khi chØ cÇn thùc hiÖn:

N

H

Gi¶i

N

VÝ dô 5: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P): 2x + y − 2z + 10 = 0 vµ ®iÓm I(2; 1; 3). ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m I c¾t (P) theo mét ®−êng trßn cã b¸n kÝnh b»ng 4.

5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

M1 (1; − 1; 0) t = 0 ⇔ 6t − 4t = 0 ⇔  2 ⇒   7 5 3  . t = M ;− ;  2  3 3 3   3 VËy, tån t¹i hai ®iÓm M1 vµ M2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

H N

U Y

TR ẦN

H Ư

N

G

KÕt hîp víi gi¶ thiÕt MA = MB = 3 ta cã ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh: 2x − y − z + 4 = 0 2x − y − z + 4 = 0   2 2 2 (x − 2) + y + (z − 1) = 9 ⇔  x + y − z + 2 = 0  2  2 2 2 2 2 (x − 2) + y + (z − 1) = 9  x + (y + 2) + (z − 3) = 9

Í-

H

Ó

A

10 00

B

 x = 2y − 2  x = 2y − 2   ⇔ z = 3y ⇔ z = 3y   2 2 2 2 (2y − 2 − 2) + y + (3y − 1) = 9 7y − 11y + 4 = 0  y = 1 ⇒ x = 0, z = 3 . ⇔  y = 4 ⇒ x = − 6 , z = 12 7 7 7   6 4 12  VËy, tån t¹i hai ®iÓm M1(0; 1; 3) vµ M 2  − ; ;  tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.  7 7 7

-L

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho mÆt cÇu (S): x2 + y2 + z2 − 4x − 4y − 4z = 0 vµ ®iÓm A(4; 4; 0). ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (OAB), biÕt ®iÓm B thuéc (S) vµ tam gi¸c OAB ®Òu.

ÁN

VÝ dô 8:

TO

Gi¶i

ÀN

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−ín h−íng g thùc hiÖn: NhiÒu em häc sinh sÏ ®Þnh h−íng ®©y thuéc d¹ng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

lêi gi¶i chi tiÕt: Gi¶ sö M(x; y; z) thuéc (P) th× 2x − y − z + 4 = 0.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Bµi to¸n thuéc d¹ng "T×m ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng tho¶ m n ®iÒu kiÖn K" nªn ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: Gi¶ sö M(x; y; z) thuéc (P) th× 2x − y − z + 4 = 0.

B−íc 2: Tõ gi¶ thiÕt t¹o lËp mét hÖ ph−¬ng tr×nh víi ba Èn x, y, z råi gi¶i nã.

B−íc 3: KÕt luËn vÒ to¹ ®é cña ®iÓm M.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i

Ơ

VÝ dô 7:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho hai ®iÓm A(2; 0; 1), B(0; −2; 3) vµ mÆt ph¼ng (P): 2x − y − z + 4 = 0. T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc (P) sao cho MA = MB = 3.

N

2

D

IỄ N

Đ

to¸n "T×m ®iÓm thuéc mÆt cÇu tho¶ m n ®iÒu kiÖn K" bëi nghÜ r»ng muèn cã ph−¬ng

6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

ÁN

NhËn thÊy r»ng c¸c ®iÓm O, A thuéc (S) vµ víi gi¶ thiÕt ∆OAB ®Òu nªn nã cã b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp r ®−îc cho bëi:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

OA 4 2 4 6 . = = 3 3 3 Tõ gi¶ thiÕt: (OAB) ®i qua O nªn cã d¹ng ax + by + cz = 0, a2 + b2 + c2 > 0. (*) (OAB) ®i qua A nªn 4a + 4b = 0 ⇔ b = −a. r=

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

-L

lêi gi¶i chi tiÕt: MÆt cÇu (S) cã t©m I(2; 2; 2) vµ b¸n kÝnh R = 2 3.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

tr×nh mÆt ph¼ng (OAB) cÇn t×m thªm to¹ ®é ®iÓm B dùa theo gi¶ thiÕt ∆OAB ®Òu vµ khi ®ã c¸c b−íc thùc hiÖn sÏ lµ: B−íc 1: Gi¶ sö B(x; y; z).

B−íc 2: Tõ gi¶ thiÕt ta cã hÖ ®iÒu kiÖn: B ∈ (S) B ∈ (S)  ⇔ AB2 = OA 2  OA = AB = OB  2 2 AB = OB  x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 4y − 4z = 0  . ⇔ (x − 4) 2 + (y − 4) 2 + z 2 = 42 + 42 (I)  2 2 2 2 2 2 (x − 4) + (y − 4) + z = x + y + z Gi¶i hÖ (I) ®Ó nhËn ®−îc x, y, z.

B−íc 3: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (OAB).

C¸ch gi¶i trªn kh«ng sai nh−ng ®· bá qua c¸c tÝnh chÊt ®Æc biÖt cña gi¶ thiÕt ®ã lµ c¸c ®iÓm O, A ®Òu thuéc mÆt cÇu (S). Do ®ã, bµi to¸n nµy sÏ ®−îc gi¶i tèi −u nh− sau: B−íc 1: X¸c ®Þnh thuéc tÝnh cña mÆt cÇu (S) víi t©m I(2; 2; 2) vµ b¸n kÝnh R = 2 3.

B−íc 2: NhËn thÊy r»ng c¸c ®iÓm O, A thuéc (S) vµ víi gi¶ thiÕt ∆OAB ®Òu OA nªn nã cã b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp r = .

3 B−íc 3: Tõ gi¶ thiÕt: (OAB) ®i qua O nªn cã d¹ng: (OAB): ax + by + cz = 0, a2 + b2 + c2 > 0. (*) (OAB) ®i qua A nªn: 4a + 4b = 0 ⇔ b = −a.

(1) B−íc 4: Khi ®ã, kho¶ng c¸ch tõ I tíi (OAB) ®−îc cho bëi: 2a + 2b + 2c = R 2 − r 2 ⇔ c = ka.

(2) 2 2 2 a +b +c B−íc 5: Thay (1), (2) vµo (*) ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (OAB).

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

7

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N U Y

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng x − 2 y +1 z (∆ ) : = = vµ mÆt ph¼ng (P): x + y + z − 3 = 0. Gäi I lµ giao 1 −2 −1 ®iÓm cña (∆) vµ (P). T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc (P) sao cho MI vu«ng gãc víi (∆) vµ MI = 4 14.

TR ẦN

H Ư

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Bµi to¸n thuéc d¹ng "T×m ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng tho¶ m n ®iÒu kiÖn K" nªn ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 4: T×m to¹ ®é giao ®iÓm I cña ®−êng th¼ng (∆) víi mÆt ph¼ng (P).

Gi¶ sö M(x; y; z) thuéc (P) th× 2x − y − 2 = 0.

(1) B−íc 5: Ta lÇn l−ît sö dông gi¶ thiÕt:

− IM ⊥ (∆) ⇔ IM.a ∆ = 0.

(2)

− MI = 4 14 ⇔ MI2 = 224.

Gi¶i hÖ t¹o bíi (1), (2), (3) ®Ó nhËn ®−îc x, y, z.

B−íc 6: KÕt luËn vÒ to¹ ®é cña ®iÓm M.

10 00

B

(3)

A

lêi gi¶i chi tiÕt: Gi¶ sö M(x; y; z) thuéc (P) vµ ®−êng th¼ng (∆) cã vtcp a ∆ (1; − 2; − 1).

-L

Í-

H

Ó

To¹ ®é giao ®iÓm I cña ®−êng th¼ng (∆) víi mÆt ph¼ng (P) lµ nghiÖm cña hÖ: x + y + z = 3 x + y + z − 3 = 0    x − 2 y + 1 z ⇔ 2x + y = 3 ⇔ x = y = z = 1 ⇒ I(1; 1; 1). = =  y − 2z = −1 −2 −1  1  M ∈ (P) M ∈ (P) 2x − y − 2 = 0    IM ⊥ ( ∆) ⇔ IM.a ∆ = 0 ⇔ 1.(x − 1) − 2(y − 1) − 1.(z − 1) = 0   IM = 224 2 2 2 (x − 1) + (y − 1) + (z − 1) = 224 IM = 4 14 

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

Ta cã gi¶ thiÕt:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

ẠO

TP

.Q

VÝ dô 9:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Khi ®ã, kho¶ng c¸ch tõ I tíi (OAB) ®−îc cho bëi: 2a + 2b + 2c 2c 2 = R 2 − r2 ⇔ ⇔ 3 c = 2a 2 + c2 = 2 2 2 2 2 3 a +b +c 2a + c 2 2 2 ⇔ 3c = 2a + c ⇔ c = ±a.

Ta lÇn l−ît: Víi c = a th× mÆt ph¼ng (OAB) cã d¹ng: (OAB): ax − ay + az = 0 ⇔ (OAB): x − y + z = 0.

Víi c = −a th× mÆt ph¼ng (OAB) cã d¹ng: (OAB): ax − ay − az = 0 ⇔ (OAB): x − y − z = 0.

VËy, tån t¹i hai mÆt ph¼ng (OAB) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi d¹ng to¸n "T×m ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng tho¶

A

10 00

B

TR ẦN

m n ®iÒu kiÖn K" c¸c b−íc thùc hiÖn sÏ lµ: B−íc 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) vÒ d¹ng tham sè theo t ®Ó cã ®−îc biÓu diÔn to¹ ®é cña ®iÓm M theo t.

B−íc 2: Tõ gi¶ thiÕt ∆MAB cã diÖn tÝch b»ng 3 5 , suy ra: 1  AM; AB = 3 5 ⇒ Gi¸ trÞ cña t ⇒ To¹ ®é M.  2 B−íc 3: KÕt luËn vÒ to¹ ®é cña ®iÓm M.

Ó

lêi gi¶i chi tiÕt: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) vÒ d¹ng tham sè:

-L

Í-

H

x = t − 2  (∆ ) :  y = 3t + 1 , (t ∈ ℝ ) ⇒ M(t − 2; 3t + 1; −2t − 5) ∈ (∆). z = −2t − 5 

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

Tõ gi¶ thiÕt ∆MAB cã diÖn tÝch b»ng 3 5 , suy ra: 1 1  AM; AB = 3 5 ⇔ (− t − 12; t + 6; t) = 3 5   2 2 1 (− t − 12) 2 + ( t + 6) 2 + t 2 = 3 5 ⇔ (t + 12) 2 + ( t + 6) 2 + t 2 = 180 ⇔ 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

G

N H Ư

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng x + 2 y −1 z + 5 (∆ ) : = = vµ hai ®iÓm A( −2; 1; 1), B( −3; −1; 2). T×m to¹ ®é ®iÓm 1 3 −2 M thuéc ®−êng th¼ng ®−êng th¼ng (∆) sao cho ∆MAB cã diÖn tÝch b»ng 3 5.

VÝ dô 10:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

 y = 2x − 2  ⇔ z = 4 − 3x  2 2 2 (x − 1) + (2x − 2 − 1) + (4 − 3x − 1) = 224  y = 2x − 2  x = −3, y = −7, z = 13  . ⇔ z = 4 − 3x ⇔  x = 5, y = 9, z = −11  2  x − 2x − 15 = 0 VËy, tån t¹i hai ®iÓm M1( −3; −7; 13) vµ M2(5; 9; −11) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

N

2x − y − 2 = 0  ⇔  x − 2y − z + 2 = 0  2 2 2 (x − 1) + (y − 1) + (z − 1) = 224

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 M1 (−2; 1; − 5) t = 0 . ⇔ t2 + 12t = 0 ⇔  ⇔  t = −12  M 2 ( −14; − 35; 19) VËy, tån t¹i hai ®iÓm M1, M2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng x +1 y z − 3 (d) : = = vµ ®iÓm A(1; 2; 3). ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) 2 1 −2 ®i qua ®iÓm A, vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (d) vµ c¾t trôc Ox.

U Y

Gi¶i

-L

ÁN

TO ÀN

Gi¶i

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng x −1 y − 3 z = = vµ mÆt ph¼ng (P): 2x − y + 2z = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh (∆ ) : 2 4 1 mÆt cÇu cã t©m thuéc ®−êng th¼ng (∆), b¸n kÝnh b»ng 1 vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P).

VÝ dô 12:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

thùc hiÖn lµ: B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua A vµ vu«ng gãc víi (d).

B−íc 2: T×m to¹ ®é giao ®iÓm B cña (P) víi Ox. B−íc 3: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) ®−îc cho bëi: Qua A . (∆ ) :   vtpt AB lêi gi¶i chi tiÕt: : Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi (d) th×: Qua A(1; 2; 3)

(P) :  ⇔ (P): 2x + y − 2z + 2 = 0.  vtpt a d (2; 1; − 2) Gäi B lµ giao ®iÓm cña (P) víi Ox th× to¹ ®é cña B tho¶ m·n hÖ: 2x + y − 2z + 2 = 0  x = −1   ⇔  y = 0 ⇒ B(−1; 0; 0). y = 0 z = 0 z = 0   Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) ®−îc cho bëi:  x = 1 + 2t Qua A(1; 2; 3) 

⇔ ( ∆) :  y = 2 + 2t , t ∈ ℝ. (∆ ) :   vtpt BA(2; 2; 3) z = 3 + 3t 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Bµi to¸n thuéc d¹ng c¬ b¶n trong sgk víi c¸c b−íc

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

VÝ dô 11:

D

IỄ N

Đ

iÖn: Bµi to¸n ®−îc chuyÓn vÒ viÖc t×m ®iÓm I thuéc (∆) §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hhiÖn

sao cho d(I, (P)) = 1 nªn ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc:

10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

B−íc 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) vÒ d¹ng tham sè theo t ®Ó cã ®−îc biÓu diÔn to¹ ®é cña ®iÓm I theo t.

B−íc 2: Tõ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cña mÆt cÇu (S) víi (P), suy ra: d(I, (P)) = 1 ⇒ Gi¸ trÞ cña t ⇒ To¹ ®é t©m I ⇒ Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S).

Ơ H

A

Gi¶i

Ó

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: V× bµi to¸n cã liªn quan tíi tÝnh vu«ng gãc vµ

-

Tõ ®iÒu kiÖn kho¶ng c¸c tõ ®iÓm O ®Õn mÆt ph¼ng (ABC) b¼ng

1 ta 3

nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh (2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (1), (2) sÏ nhËn ®−îc gi¸ trÞ cña b avf c.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

kho¶ng c¸ch nªn chóng ta lÇn l−ît thùc hiÖn: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC), ë ®©y ta sö dông ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ch¾n.

Ta lÇn l−ît: - MÆt ph¼ng (ABC) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) nªn :

n ABC .n P = 0 .

(1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

VÝ dô 13: Trong kh«ng gian täa ®é Oxyz, cho c¸c ®iÓm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong ®ã b, c d−¬ng vµ mÆt ph¼ng (P): y − z + 1 = 0. X¸c ®Þnh b vµ c, biÕt mÆt ph¼ng (ABC) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) vµ kho¶ng c¸c tõ ®iÓm 1 O ®Õn mÆt ph¼ng (ABC) b»ng .

3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

G

Ta lÇn l−ît: Víi t = −1 th× I(−1; −1; −1) ta ®−îc mÆt cÇu (S1) cã ph−¬ng tr×nh: (S1): (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 1.

Víi t = 2 th× I(5; 11; 2) ta ®−îc mÆt cÇu (S2) cã ph−¬ng tr×nh: (S2): (x − 5)2 + (y − 11)2 + (z − 2)2 = 1.

VËy, tån t¹i hai mÆt cÇu (S1), (S2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

Đ

ẠO

ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) vÒ d¹ng tham sè:  x = 2t + 1  (∆ ) :  y = 4t + 3, (t ∈ ℝ ) ⇒ I(2t + 1; 4t + 3; t) ∈ (∆). z = t  MÆt cÇu tiÕp xóc víi (P) khi vµ chØ khi: d(I, (P)) = R ⇔ 2(2t + 1) − (4t + 3) + 2t  t = −1 . = 1 ⇔ t2 − t − 2 = 0 ⇔  22 + ( −1) 2 + 2 t 2 t = 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

lêi gi¶i chi tiÕt: Gäi I lµ t©m cña mÆt cÇu.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

11

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

lêi gi¶i chi tiÕt: Sö dông ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ch¾n, ta ®−îc :

x y z + + = 1.

1 b c

N Ơ H

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Ox tho¶ m n ®iÒu kiÖn K cho tr−íc", chóng ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: Gi¶ sö M(m; 0; 0).

B−íc 2: ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn K, cô thÓ víi bµi to¸n nµy lµ d(M, (∆)) = OM nªn ta b¾t ®Çu víi:

Chän mét ®iÓm A thuéc (∆) vµ mét vtpt n cña (∆).

Khi ®ã:

 n, AM    d(M, (∆)) = OM ⇔ = m ⇒ Gi¸ trÞ tham sè m

n

Đ

ÀN

⇒ To¹ ®é ®iÓm M. lêi gi¶i chi tiÕt: Tr−íc tiªn, v× ®iÓm M thuéc Ox nªn M (m; 0; 0).

Víi ®−êng th¼ng (∆) th× nã ®i qua ®iÓm A(0; 1; 0) vµ cã vtpt n ( 2; 1; 2 ) .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi yªu cÇu ®−îc tæng qu¸t lµ "T×m ®iÓm thuéc

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

10 00

B

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

Trong kh«ng gian täa ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng x y −1 z = . X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm M trªn trôc hoµnh sao cho kho¶ng (∆) : = 2 1 2 c¸ch tõ ®iÓm M ®ªn ( ∆ ) b»ng OM. VÝ dô 14:

IỄ N D

N .Q

1 1 1 1 1 1 2 = ⇔ 1+ 2 + 2 = 3 ⇔ 2 + 2 = 8 ⇔ 2 = 8 3 b c b b c 1 1 1+ 2 + 2 b c 1 b <0 1 ⇔ b2 = ⇒ b = .

4 2 1 VËy, víi b = c = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta lÇn l−ît: MÆt ph¼ng (ABC) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) nªn : 1 1 − = 0 ⇔ b = c. b c 1 Kho¶ng c¸c tõ ®iÓm O ®Õn mÆt ph¼ng (ABC) b¼ng nªn: 3

U Y

(ABC) :

12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Khi ®ã:

 n, AM  5m 2 + 4m + 8   d(M, (∆)) = OM ⇔ = m ⇔ =m

4 +1+ 4 n

H

= sin(( ∆ ), (P)) − §· cã c«ng thøc. sin MCH

P

C

H

ÁN

-L

VÊn ®Ò cßn l¹i chØ lµ tÝnh:

lêi gi¶i chi tiÕt: Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

C¸ch 1: §−êng th¼ng (∆) cã ph−¬ng tr×nh tham sè: x = 2t + 1  (∆ ) :  y = t , t ∈ ℝ. z = − t − 2 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi bµi to¸n nµy th−ßng cã hai kiÓu ®Þnh h−íng: H−íng 1 (Th−êng víi häc sinh l−êi vÏ h×nh vµ häc thô ®éng theo d¹ng): Khi ®ã, sÏ ®Þnh d¹ng bµi to¸n lµ "T×m ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng tho¶ m n ®iÒu kiÖn K" vµ víi ®Þnh h−íng nµy c¸c em häc sinh cÇn thùc hiÖn theo c¸c b−íc: a.

ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) vÒ d¹ng tham sè. b.

T×m to¹ ®é giao ®iÓm C cña (∆) vµ (P). c.

T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc ®−êng th¼ng (∆) tho¶ m·n MC = 6. d.

TÝnh kho¶ng c¸ch tõ M tíi mÆt ph¼ng (P).

H−íng 2 (Th−êng víi häc sinh kh¸, giái): VÏ h×nh m« pháng (h×nh bªn). (∆ ) M Khi ®ã, víi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn (P), ta cã ngay:

d(M, (M)) = MH = MC.sin MCH.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

 m1 = −1 ⇒ M1 (−1; 0; 0) . ⇔ m2 − m − 2 = 0 ⇔   m 2 = 2 ⇒ M 2 (2; 0; 0) VËy, tån t¹i hai ®iÓm M1, M2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

VÝ dô 15: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng x −1 y z + 2 (∆) : = = vµ mÆt ph¼ng (P): x − 2y + z = 0. Gäi C lµ giao ®iÓm 2 1 −1 cña (∆) víi (P), M lµ ®iÓm thuéc (∆). TÝnh kho¶ng c¸ch tõ M tíi (P), biÕt MC = 6.

Ơ

N

⇔ 5m 2 + 4m + 8 = 3 m

13

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

To¹ ®é giao ®iÓm C cña (∆) vµ (P) lµ nghiÖm cña hÖ: x = −1 x = 2t + 1 x = 2t + 1 y = −1 y = t y = t    ⇔ ⇔ ⇒ C(−1; −1; −1).    z = − t − 2 = − − z t 2    z = −1 x − 2y + z = 0 t = −1 2t + 1 − 2t − t − 2 = 0

H

§iÓm M thuéc ®−êng th¼ng (∆) nªn M(2t + 1; t; −t − 2), suy ra:

4 +1+1

=

1 .

6

N

−3 − 2.(−2)

G

Víi ®iÓm M2 th×:

d(M 2 , (P)) =

N U Y .Q

1 .

6

1 .

6 C¸ch 2: Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn (P), ta cã: (∆ ) M = 2.1 + 1.(−2) − 1.1 = 1 . sin((∆), (P)) = sin MCH 4 + 1 + 1. 1 + 4 + 1 6 Khi ®ã: H C = 6. 1 = 1 .

P d(M, (M)) = MH = MC.sin MCH 6 6 VÝ dô 16: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm A(0; 0; −2) vµ x+2 y−2 z+3 . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (∆). ViÕt ®−êng th¼ng (∆) : = = 2 3 2 ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A c¾t (∆) t¹i hai ®iÓm B vµ C sao cho BC = 8.

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

VËy, kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng

Gi¶i

TO

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Bµi to¸n nµy ®−îc chi thµnh hai phÇn, cô thÓ:

ÀN Đ IỄ N

TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn ®−êng th¼ng (∆): Ta sö dông c«ng thøc:

 AM, u 

  d(A, (∆ )) = , víi M∈(∆) vµ u lµ vtcp cña ®−êng th¼ng (∆).

u

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

=

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

4 +1+1

TP

1 − 2.0 − 2

H Ư

 M1 (1; 0; − 2)  M (−3; − 2; 0) .  2

ẠO

d(M1 , (P)) =

D

t = 0  t = −2 ⇒ 

Đ

t + 1 = 1 ⇔ ⇔  t + 1 = −1 Ta lÇn l−ît: Víi ®iÓm M1 th×:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

MC = 6 ⇔ (2t + 2)2 + (t + 1)2 + (−t − 1)2 = 6 ⇔ 6(t + 1)2 = 6

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (T): Ta chØ cÇn t×m ®−îc b¸n kÝnh R cña nã, vµ víi H lµ trung ®iÓm cña BC th×:

2

 BC  R = AB = AH + BH = d (A, (∆ )) +   .  2  Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (T) ®−îc x¸c ®Þnh bëi: T©m A (T) :  .  B¸n kÝnh R 2

G

2

TR ẦN

H Ư

N

2

10 00

B

VÝ dô 17: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho hai mÆt ph¼ng (P): x + y + z − 3 = 0 vµ (Q): x − y + z − 1 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) vu«ng gãc víi (P) vµ (Q) sao cho kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (R) b»ng 2.

Gi¶i

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi hai mÆt ph¼ng (P), (Q) cho tr−íc, suy ra

KÕt luËn vÒ ph−¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (R)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

®−îc c¸c vtpt n P , n Q . Chóng ta lÇn l−ît sö dông c¸c gi¶ thiÕt:

Gäi n R lµ mét vtpt cña mÆt ph¼ng (R), khi ®ã:

n R ⊥ n P

(R) ⊥ (P) ⇒  ⇒ n R =  n P , n Q  = (a; b; c).  (R) ⊥ (Q) n R ⊥ n Q Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh (R) cã d¹ng: (R): ax + by + cz + D = 0.

Tõ gi¶ thiÕt vÒ kho¶ng c¸ch, ta cã: d ( O; ( R ) ) = 2 ⇒ Gi¸ trÞ cña D.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

 BC  R = AB = AH + BH = d (A, (∆ )) +   = 18 + 9 = 27.  2  Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (T) ®−îc x¸c ®Þnh bëi: T©m A(2; 6; 2) (T):  ⇔ (T): (x − 2)2 + (y − 6)2 + (z − 2)2 = 27.  B¸n kÝnh R= 27 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ

b. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu: Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC suy mÆt cÇu (T) cÇn dùng cã b¸n kÝnh R ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

ẠO

TP

 AM, u    d(A, (∆ )) = = 18.

u

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

lêi gi¶i chi tiÕt: Ta lÇn l−ît: a. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn ®−êng th¼ng (∆): §−êng th¼ng (∆) ®i qua ®iÓm ®iÓm M(3; 1; 1) vµ cã vtcp u(−2; 1; 2) nªn:

H

Ơ

N

2

N

2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

15

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

lêi gi¶i chi tiÕt: Ta cã:

MÆt ph¼ng (P) cã vtpt n P (1; 1; 1) .

MÆt ph¼ng (Q) cã vtpt n Q (1; − 1; 1) .

Gäi n R lµ mét vtpt cña mÆt ph¼ng (R), khi ®ã:

n R ⊥ n P

(R) ⊥ (P) ⇒  ⇒ n R =  n P , n Q  = (2; 0; −2) chän (1; 0; −1).  (R) ⊥ (Q) n R ⊥ n Q Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh (R) cã d¹ng: (R): x − z + D = 0.

Tõ gi¶ thiÕt vÒ kho¶ng c¸ch, ta cã: D d ( O; ( R ) ) = 2 ⇔ = 2 ⇔ D = ±2 2.

2

H Ư

TR ẦN

10 00

B

Gi¶i

Khi ®ã:

 n 2 , AM    = 1 ⇒ Gi¸ trÞ tham sè t d(M, (∆2)) = 1 ⇔

n2 ⇒ To¹ ®é ®iÓm M.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi yªu cÇu ®−îc tæng qu¸t lµ "T×m ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng tho¶ m n ®iÒu kiÖn K cho tr−íc", chóng ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆1) (nÕu cÇn) vÒ d¹ng tham sè theo t, tõ ®ã suy ra to¹ ®é cña ®iÓm M theo tham sè t.

B−íc 2: ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn K, cô thÓ víi bµi to¸n nµy lµ d(M, (∆2)) = 1 nªn ta b¾t ®Çu víi:

Chän mét ®iÓm A thuéc (∆2) vµ mét vtpt n 2 cña (∆2).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

Trong kh«ng gian täa ®é Oxy, cho hai ®−êng th¼ng: x = t + 3 x − 2 y −1 z = = . ( ∆1 ) :  y = t , t ∈ ℝ vµ ( ∆ 2 ) : 2 1 2 z = t  X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm M thuéc ∆ 1 sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ∆ 2 b»ng 1.

VÝ dô 18:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G

Đ

VËy, tån t¹i hai mÆt ph¼ng (R1 ) : x − z + 2 2 = 0, (R 2 ) : x − z − 2 2 = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

lêi gi¶i chi tiÕt: §iÓm M thuéc ®−êng th¼ng (∆1) nªn M ( 3 + t; t; t ) .

G

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi c¸c em häc sinh chØ biÕt ®¸nh gi¸ tuÇn tù:

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

MÆt ph¼ng (P) ®i qua A, B. Kho¶ng c¸ch tõ C tíi (P) b»ng kho¶ng c¸ch tõ D tíi (P).

Ch¾c ch¾n sÏ thùc hiÖn bµi to¸n nµy theo c¸c b−íc: B−íc 1: Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) cã d¹ng: (P): Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + C2 > 0.

B−íc 2: V× A, B thuéc (P) nªn: A + 2B + C + D = 0 (1) −2A + B + 3C + D = 0.

(2) B−íc 3: §Ó kho¶ng c¸ch tõ C tíi (P) b»ng kho¶ng c¸ch tõ D tíi (P), ®iÒu kiÖn lµ:

Ó

2A − B + C + D

=

3B + C + D

2

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

(3) .

A +B +C A 2 + B2 + C 2 B−íc 4: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (1), (2), (3) ®Ó t×m c¸ch biÓu diÔn ba trong bèn Èn sè A, B, C, D theo mét Èn cßn l¹i. Tõ ®ã, suy ra ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) cÇn t×m.

C¸ch gi¶i trªn kh«ng sai vµ lu«n lµ ph−¬ng ph¸p ®−îc lùa chän trong tr−êng hîp tæng qu¸t d(C, (P)) = k.d(D, (P)). Tuy nhiªn, v× d(C, (P)) = d(D, (P)) chóng ta sö dông ®¸nh gi¸: §Ó mÆt ph¼ng (P) c¸ch ®Òu hai ®iÓm C, D chØ cã thÓ x¶y ra hai tr−êng hîp: (P) song song víi CD. (P) ®i qua trung ®iÓm cña CD. 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

TP

VÝ dô 19:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho tø diÖn ABCD cã c¸c ®Ønh A(1; 2; 1), B(−2; 1; 3), C(2; −1; 1) vµ D(0; 3; 1). ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, B sao cho kho¶ng c¸ch tõ C tíi (P) b»ng kho¶ng c¸ch tõ D tíi (P).

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

 t = 1 ⇒ M1 (4; 1; 1) ⇔ 2t 2 − 10t + 17 = 3 ⇔ 2t2 − 10t + 8 = 0 ⇔  1 .  t 2 = 4 ⇒ M 2 (7; 4; 4) VËy, tån t¹i hai ®iÓm M1, M2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

H

Ơ

N

Víi ®−êng th¼ng (∆2) th× nã ®i qua ®iÓm A(2; 1; 0) vµ cã vtpt n 2 ( 2; 1; 2 ) .

Khi ®ã:

2 2  n 2 , AM  ( t − 1) + 4 + ( t − 3)   d(M, (∆2)) = 1 ⇔ =1 ⇔ =1

4 +1+ 4 n2

17

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

TO

ÁN

Gi¶i

D

IỄ N

Đ

ÀN

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Víi yªu cÇu cña bµi to¸n, chóng ta sÏ ®i khai th¸c

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho hai ®iÓm A(−3; 0; 1), B(1; −1; 3) vµ mÆt ph¼ng (P) ph−¬ng tr×nh: (P): x − 2y + 2z − 5 = 0.

Trong c¸c ®−êng th¼ng ®i qua A vµ song song víi (P), h·y viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng mµ kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn ®−êng th¼ng ®ã lµ nhá nhÊt.

VÝ dô 20:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

Qua A(1; 2;1)

⇔ (P) :   AB , CD  = (−8; − 14; − 4) n = vtpt    ⇔ (P): 4x + 2y + 7z − 15 = 0.

(P) ®i qua trung ®iÓm I(1; 1; 1) cña CD, suy ra: Qua A

(P) :  CÆp vtcp AB vµ AI Qua A(1; 2;1)

⇔ (P) :   AB , AI  = (2; 0; 3) n vtpt =    ⇔ (P): 2x + 3z − 5 = 0.

VËy, tån t¹i hai mÆt ph¼ng (P) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Qua A Qua A

⇔ (P) :  (P) :    vtpt AB n = C v Æp vtcp AB µ CD    , CD  (P) ®i qua trung ®iÓm I(1; 1; 1) cña CD, suy ra: Qua A Qua A

⇔ (P) :  (P) :    CÆp vtcp AB vµ AI  vtpt n =  AB, AI  lêi gi¶i chi tiÕt: §Ó mÆt ph¼ng (P) c¸ch ®Òu hai ®iÓm C, D chØ cã thÓ x¶y ra hai tr−êng hîp: (P) song song víi CD. (P) ®i qua trung ®iÓm cña CD. Tõ nhËn xÐt trªn, ta lÇn l−ît: (P) song song víi CD, suy ra: Qua A

(P) :  CÆp vtcp AB vµ CD

N

Tõ nhËn xÐt trªn, ta lÇn l−ît: (P) song song víi CD, suy ra:

dÇn gi¶ thiÕt:

18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(d) song song víi (P) nªn n»m trong mÆt ph¼ng (Q) qua A vµ song song víi (P), suy ra: Qua A .

(Q) :  (Q)//(P) Gäi K, H theo thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B trªn (d) vµ (Q), ta cã: BK > BH ⇒ AH lµ ®−êng th¼ng cÇn t×m.

Tõ ®ã, cÇn t×m to¹ ®é ®iÓm H. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®−îc cho bëi: Qua A . (d) :   vtcp AH

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

Í-

H

Ó

A

x = −3 + 26t  ⇔ (d) : y = 11t , t ∈ ℝ. z = 1 − 2t 

-L

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) vµ mÆt cÇu (S) cã ph−¬ng tr×nh: (P): 2x − 2y − z − 4 = 0, (S): x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 11 = 0. Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (P) c¾t mÆt cÇu (S) theo mét ®−êng trßn. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña ®−êng trßn ®ã.

TO

ÁN

VÝ dô 21:

ÀN

Gi¶i mÆt ph¼ng víi mÆt cÇu, vµ ë ®©y:

D

IỄ N

Đ

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: §©y thuéc d¹ng to¸n xÐt vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(d) n»m trong mÆt ph¼ng (Q) qua A vµ song song víi (P), suy ra: Qua A (Q) :  ⇔ (Q): x − 2y + 2z + 1 = 0. (Q)//(P) Gäi K, H theo thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B trªn (d) vµ (Q), ta cã: BK > BH ⇒ AH lµ ®−êng th¼ng cÇn t×m.

Tõ ®ã, suy ra to¹ ®é cña H tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh:  x = −1/ 9  x −1 y +1 z − 3 = =    1 11 7  −2 2 ⇔  y = 11/ 9 ⇒ H  − ; ;  .  1  9 9 9 z = 7 / 9  x − 2y + 2z + 1 = 0  Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®−îc cho bëi: Qua A(−3;0;1)   26 11 2  (d) :   vtcp AH  9 ; 9 ; − 9  chän (26; 11; -2)   

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

lêi gi¶i chi tiÕt: Gäi (d) lµ ®−êng th¼ng cÇn t×m. Ta cã:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

19

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

Đ

ÀN

TO

x = 3  ⇒ y = 0 ⇒ H(3; 0; 2). z = 2  VËy, mÆt ph¼ng (P) c¾t mÆt cÇu (S) theo mét ®−êng trßn (C) cã b¸n kÝnh b»ng 4 vµ t©m H(3; 0; 2).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

10 00

A

ÁN

-L

Í-

H

Ó

r = R 2 − IH 2 = 52 − 32 = 4.

Gäi (d) lµ ®−êng th¼ng qua I vµ vu«ng gãc víi (P) (cã vtpt (2; −2; −1)), ta cã: x = 1 + 2t Qua I(1; 2;3) 

(d) :  ⇔ (d) : y = 2 − 2t , t ∈ ℝ.  vtcp n p (2; − 2; − 1) z = 3 − t  Khi ®ã, to¹ ®é cña H lµ nghiÖm x, y, z cña hÖ ph−¬ng tr×nh: x = 1 + 2t x = 1 + 2t y = 2 − 2t y = 2 − 2t   ⇔  z = 3 − t z = 3 − t 2x − 2y − z − 4 = 0 2(1 + 2t) − 2(2 − 2t) − (3 − t) − 4 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

=3<R 4 + 4 +1 ⇒ (P) ∩ (S) = {(C)} lµ mét ®−êng trßn n»m trong mÆt ph¼ng (P). §−êng trßn (C) cã b¸n kÝnh r vµ t©m H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn (P).

B¸n kÝnh r ®−îc cho bëi:

IỄ N D

N

2.1 − 2.2 − 1.3 − 4

TR ẦN

d(I, (P)) =

G

Ta cã:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Đ

lêi gi¶i chi tiÕt: MÆt cÇu (S) cã t©m I(1; 2; 3) vµ b¸n kÝnh R = 5.

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

B¸n kÝnh r = B¸n kÝnh r= R 2 − IH 2 . .

T©m H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I trªn (P) nªn ®Ó cã ®−îc to¹ ®é cña H chóng ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè (gi¶ sö theo t) cña ®−êng th¼ng (d) qua I vµ vu«ng gãc víi (P), tøc: Qua I . (d) :   vtcp n p B−íc 2: Thay ph−¬ng tr×nh cña (d) vµo (P), ta ®−îc: f(t) = 0 ⇒ Gi¸ trÞ t ⇒ To¹ ®é ®iÓm H. B−íc 3: KÕt luËn.

N

a. §Ó chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (P) (cã vtpt n p ) c¾t mÆt cÇu (S) (cã t©m I b¸n kÝnh R) theo mét ®−êng trßn, chóng ta ®i kh¼ng ®Þnh: d(I, (P)) < R. b. §Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é t©m H vµ b¸n kÝnh r cña ®−êng trßn ®ã, ta lÇn l−ît cã:

20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) vµ hai ®−êng th¼ng (∆1), (∆2) cã ph−¬ng tr×nh: (P): x − 2y + 2z − 1 = 0, x +1 y z + 9 x −1 y − 3 z + 1 (∆1 ) : , (∆ 2 ) : ., = = = = 1 1 6 2 1 −2 x −1 y − 3 z + 1 (∆ 2 ) : . = = 2 1 −2 X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm M thuéc ®−êng th¼ng (∆1) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M tíi ®−êng th¼ng (∆2) vµ kho¶ng c¸ch tõ M tíi mÆt ph¼ng (P) b»ng nhau.

N Ơ H

B

10 00

Khi ®ã, ®iÓm M thuéc (∆1) th× M(t − 1; t; 6t − 9).

§−êng th¼ng (∆2) ®i qua A(1; 3; −1) vµ cã vtcp u 2 (2; 1; − 2) (2; 1; −2).

H

Ó

A

Khi ®ã, ta lÇn l−ît cã: Kho¶ng c¸ch tõ M tíi ®−êng th¼ng (∆2) ®−îc cho bëi:

 MA, u 2    d1 = d(M, (∆ 2 )) = = 29t 2 − 88t + 68. u2

Í-

Kho¶ng c¸ch tõ M tíi mÆt ph¼ng (P) ®−îc cho bëi: t − 1 − 2t + 12t − 18 − 1 11t − 20 d 2 = d(M, (P)) = . = 3 12 + (−2)2 + 22

ÁN

-L

Gi¶i

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

VÝ dô 23: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho c¸c ®iÓm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) vµ mÆt ph¼ng (P): x + y + z − 20 = 0. X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm D thuéc ®−êng th¼ng AB sao cho ®−êng th¼ng CD song song víi mÆt ph¼ng (P).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

th¼ng (d) tho¶ m n ®iÒu kiÖn K", tr−íc tiªn c¸c em häc sinh h·y tham kh¶o ®Þnh h−íng trong c©u III.1 cña ®Ò to¸n khèi B − 2006. Sau ®ã, cÇn nhí ®−îc c¸c c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi mét mÆt ph¼ng vµ c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi mét ®−êng th¼ng. lêi gi¶i chi tiÕt: Ta lÇn l−ît: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆1) vÒ d¹ng tham sè: x = t − 1  ( ∆1 ) :  y = t , t ∈ ℝ. z = 6t − 9 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

−íng thùc hiÖn: §¸nh gi¸ vµ ®Þnh hh−íng hiÖn: Bµi to¸n nµy thuéc d¹ng "T×m ®iÓm thuéc ®−êng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y

.Q

Gi¶i

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VÝ dô 22:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

21

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

Ó

A

⇔ 1.(1 − t) + 1.t + 1.2t = 0 ⇔ 2t + 1 = 0 ⇔ t = −

ÁN

-L

Í-

H

5 1  ⇒ D  ; ; − 1 . 2 2  5 1  VËy, víi ®iÓm D  ; ; − 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. 2 2 

TO

VÝ dô 24: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®−êng th¼ng (∆) vµ mÆt ph¼ng (P) ph−¬ng tr×nh: x+2 y−2 z (∆ ) : = = , (P): x − 2y + 2z − 5 = 0.

1 1 −1 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) n»m trong (P) sao cho (d) c¾t vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (∆).

ÀN Đ IỄ N D

1 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

V× D thuéc ®−êng th¼ng (AB) nªn D(2 − t; 1 + t; 2t).

Khi ®ã, ®Ó ®−êng th¼ng CD song song víi mÆt ph¼ng (P) ®iÒu kiÖn lµ:

CD ⊥ n P ⇔ CD.n P = 0 ⇔ (1 − t; t; 2t).(1; 1; 1) = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

TR ẦN

H Ư

N

G

⇒ To¹ ®é ®iÓm D.

lêi gi¶i chi tiÕt: MÆt ph¼ng (P) cã vtpt n P (1; 1; 1).

Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AB) ®−îc cho bëi: x = 2 − t Qua A(2;1; 0) 

⇔ (d) : y = 1 + t , t ∈ ℝ.

(AB) :   vtcp AB(−1;1; 2) z = 2t 

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

B−íc 4:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B−íc 3:

Qua A .

(AB) :   vtcp AB V× D thuéc ®−êng th¼ng (AB) nªn to¹ ®é cña D tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh tham sè cña (AB).

Khi ®ã, ®Ó ®−êng th¼ng CD song song víi mÆt ph¼ng (P) ®iÒu kiÖn lµ:

CD ⊥ n P ⇔ CD.n P = 0 ⇒ Gi¸ trÞ tham sè t

H

ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè (gi¶ sö lµ t) ®−êng th¼ng (AB), ®−îc cho bëi:

U Y

B−íc 2:

N

D thuéc ®−êng th¼ng AB sao cho ®−êng th¼ng CD song song víi mÆt ph¼ng (P)", do vËy dÔ thÊy nã ®−îc t¸ch thµnh hai phÇn: §iÓm D thuéc ®−êng th¼ng AB. §−êng th¼ng CD song song víi mÆt ph¼ng (P).

Tõ ®ã, dÔ h×nh thµnh c¸c b−íc cÇn thùc hiÖn lµ:

B−íc 1: Víi mÆt ph¼ng (P) cÇn chØ ra ®−îc vtpt n P .

N

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Yªu cÇu cña bµi to¸n lµ "X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm

22

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Gi¶i

Ơ H

TO

ÁN

D

IỄ N

Đ

ÀN

C¸ch 2: Gäi (Q) lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi (∆), ta ®−îc: Qua A(−3;1;1)

⇔ (Q): x + y − z + 3 = 0.

(Q) :   vtpt u ∆ (1; 1; − 1)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Suy ra, ®−êng th¼ng (∆) sÏ c¾t mÆt ph¼ng (P) t¹i ®iÓm A. XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (∆) vµ (P) lµ: x = −3 x + 2y − 3z + 4 = 0    x + 2 y − 2 z ⇔ y = 1 ⇒ A(−3; 1; 1).  1 = 1 = −1 z = 1  Tíi ®©y ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

C¸ch 1: Gäi u lµ vtcp cña ®−êng th¼ng (d), ta ®−îc:

u =  n, u ∆  = (1; −2; −1).

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®−îc cho bëi:  x = −3 + t Qua A(−3;1;1) 

⇔ (d) : y = 1 − 2t , t ∈ ℝ. (d) :   vtcp u (1; − 2; − 1) z = 1 − t 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

§−êng th¼ng (∆) cã vtcp u ∆ (1;1; − 1) .

MÆt ph¼ng (P) cã vtpt n(1; 2; − 3) .

TR ẦN

N

lêi gi¶i chi tiÕt: Ta lÇn l−ît cã:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

(P) t¹i ®iÓm A. Do ®ã, yªu cÇu cña bµi to¸n ®−îc chuyÓn thµnh "ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®i qua A, n»m trong mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (∆)", chóng ta cã c¸c c¸ch gi¶i sau: C¸ch 1: Ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc:

B−íc 1: Gäi u lµ mét vtcp cña ®−êng th¼ng (d), ta cã:

 u ⊥ u ∆  ⇒ u =  u ∆ , n  .  u ⊥ n B−íc 2: Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) ®−îc cho bëi: Qua A . (d):   vtcp u C¸ch 2: Ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ vu«ng gãc víi (∆).

B−íc 2: Khi ®ã, ®−êng th¼ng (d) chÝnh lµ giao tuyÕn cña (P) vµ (R).

N

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh ®Þnh h−íng thùc hiÖn: NhËn xÐt r»ng ®−êng th¼ng (∆) c¾t mÆt ph¼ng

23

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho bèn ®iÓm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3).

1. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D. 2. T×m to¹ ®é t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.

N

Khi ®ã, ®−êng th¼ng (d) lµ giao tuyÕn cña (P) vµ (Q) nªn c¸c ®iÓm thuéc (d) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh:  x = −2 − t  x + 2y − 3z + 4 = 0  ⇒ ⇔ (d) : y = −1 + 2t , t ∈ ℝ.  x + y − z + 3 = 0 z = t 

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Chó ý: Ngoµi hai c¸ch gi¶i trªn, ®Ó lËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm kh«ng ®ång ph¼ng A, B, C, D (ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD) chóng ta cßn cã thÓ tËn dông ®−îc tÝnh chÊt cña tø diÖn ABCD ®Ó nhËn ®−îc lêi gi¶i ®¬n gi¶n h¬n, cô thÓ: Tr−êng hîp 1: NÕu DA = DB = DC th×: B−íc 1: X¸c ®Þnh t©m I b»ng c¸ch: Dùng ®−êng cao DH⊥(ABC).

Dùng mÆt ph¼ng trung trùc (P) cña DA. Khi ®ã {I} = (DH) ∩ (P).

H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

Í-

H

Ó

B−íc 2:

10 00

B

 IA 2 = IB 2  IA = IB  2  2  IA = IC ⇔  IA = IC ⇒ To¹ ®é t©m I.  IA = ID  IA 2 = ID 2   VËy, ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc cho bëi: T©m I (S):  . B¸n kÝnh R = IA

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: Gi¶ sö mÆt cÇu (S) cã t©m I(a; b; c), khi ®ã ta cã ®iÒu kiÖn:

N

U Y

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: 1. §Ó lËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: Gi¶ sö mÆt cÇu (S) cã d¹ng: (S): x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (*) 2 2 2 ®iÒu kiÖn a + b + c − d ≥ 0.

B−íc 2: §iÓm A, B, C, D ∈ (S), ta ®−îc hÖ (I) gåm 4 ph−¬ng tr×nh víi 4 Èn a, b, c, d.

B−íc 3: Gi¶i hÖ (I), nhËn ®−îc a, b, c, d råi thay vµo (*) ®Ó cã (S).

IỄ N D

.Q

Gi¶i

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VÝ dô 25:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

24

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

Qua A Qua A

. ⇔ (ABC) :  (ABC) :   vtpt n AB, AC  = CÆp vtcp AB, AC   

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ÁN

a. B¸n kÝnh r = R 2 − IH 2 . b. T©m H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I trªn (ABC) nªn ®Ó cã ®−îc to¹ ®é cña H chóng ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC), cô thÓ:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Tr−êng hîp 2: NÕu DA⊥(ABC) th×: B−íc 1: X¸c ®Þnh t©m I b»ng c¸ch: Gäi K lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC. Dùng ®−êng th¼ng (d) qua K vµ song song víi DA (hoÆc (d) ⊥ (ABC).

Dùng mÆt ph¼ng trung trùc (P) cña DA. Khi ®ã {I} = (d) ∩ (P).

B−íc 2: VËy, ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc cho bëi: T©m I (S):  . B¸n kÝnh R = IA = ADB = π th× mÆt cÇu ngo¹i tiÕp Tr−êng hîp 3: NÕu ACB 2 AB DABC cã t©m I lµ trung ®iÓm AB vµ b¸n kÝnh R = .

2 Tr−êng hîp 4: NÕu AD vµ BC cã ®o¹n trung trùc chung EF th×: B−íc 1: Ta lÇn l−ît: LËp ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng (EF) theo t.

Khi ®ã, mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD cã t©m I ∈ EF (tháa m·n ph−¬ng tr×nh tham sè cña EF).

Tõ ®iÒu kiÖn IA2 = IC2 = R2 suy ra gi¸ trÞ tham sè t, tõ ®ã nhËn ®−îc täa ®é t©m I. B−íc 2: VËy, ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc cho bëi: T©m I (S):  . B¸n kÝnh R = IA 2. MÆt cÇu (S) ®i qua ba ®iÓm A, B, C nªn sÏ c¾t (ABC) theo giao tuyÕn chÝnh lµ ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp ∆ABC, ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é t©m H vµ b¸n kÝnh r cña ®−êng trßn (C), ta lÇn l−ît cã:

N

B−íc 2: VËy, ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc cho bëi: T©m I (S):  . B¸n kÝnh R = IA

25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

ÀN

TO

VËy, ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc cho bëi:  3 3 3 2 2 2  T©m I  2 ; 2 ; 2  3  3  3  27    (S):  ⇔ x −  +y −  +z −  = .

2  2  2 4   B¸n kÝnh R = IA = 27  4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÁN

-L

Í-

 a + b = −3 3  3 3 3 ⇔  a + c = −3 ⇔ a = b = c = ⇒ I  ; ;  .

2 2 2 2 b + c = −3 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H

Ó

A

(a − 3)2 + (b − 3)2 + c2 = (a − 3)2 + b 2 + (c − 3)2  ⇔ (a − 3)2 + (b − 3)2 + c2 = a 2 + (b − 3)2 + (c − 3)2 (a − 3)2 + (b − 3)2 + c2 = (a − 3)2 + (b − 3)2 + (c − 3)2 

Đ

Ơ

U Y

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

 IA 2 = IB 2  IA = IB  2  2  IA = IC ⇔  IA = IC  IA = ID  IA 2 = ID 2  

IỄ N D

.Q

C¸ch 1: Gi¶ sö mÆt cÇu (S) cã d¹ng: (S): x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, ®iÒu kiÖn a2 + b2 + c2 − d ≥ 0. §iÓm A, B, C, D ∈ (S), ta ®−îc: 6a + 6b + d = −18 3  6a + 6c + d = −18  a = b = c = ⇔ 2 , tho¶ m·n ®iÒu kiÖn.   6b + 6c + d = − 18 d = 0  6a + 6b + 6c + d = −27 VËy, ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã d¹ng: (S): x2 + y2 + z2 − 3x − 3y − 3z = 0.

C¸ch 2: Gi¶ sö mÆt cÇu (S) cã t©m I(a; b; c), khi ®ã ta cã ®iÒu kiÖn:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

lêi gi¶i chi tiÕt: 1. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

H

B−íc 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè (gi¶ sö theo t) cña ®−êng th¼ng (d) qua I vµ vu«ng gãc víi (ABC), tøc: Qua I . (d) :   vtcp n B−íc 3: Thay ph−¬ng tr×nh cña (d) vµo (ABC), ta ®−îc: f(t) = 0 ⇒ Gi¸ trÞ t ⇒ To¹ ®é ®iÓm H. B−íc 4: KÕt luËn.

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

26

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2. MÆt ph¼ng (Q) ®i qua ba ®iÓm A, B, C ®−îc cho bëi: Qua A

(Q) :  CÆp vtcp AB, AC

-L

Í-

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: 1. Víi mong muèn cung cÊp cho c¸c em häc sinh mét l−îng kiÕn thøc tæng qu¸t

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

lµ “T×m ®iÓm M thuéc ®−êng th¼ng (d) tho¶ m n ®iÒu kiÖn K", ta lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè: x = x 0 + at

 (d): y = y 0 + bt , t ∈ ℝ (cã vtcp u(a; b; c) ). y = z + ct 0 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

10 00

A

Ó H

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm A(2; 5; 3) vµ ®−êng th¼ng: x −1 y z − 2 (d) : = = .

2 1 2 1. T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn ®−êng th¼ng (d).

2. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d) sao cho kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (P) lín nhÊt.

VÝ dô 26:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

1 ⇒ H(2; 2; 2).

2 VËy, ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC cã t©m H(2; 2; 2).

⇔ t=

N

U Y

.Q TP

Đ

B»ng c¸ch thay ph−¬ng tr×nh cña (d) vµo (Q), ta ®−îc: 3  3  3   + t+ + t+ + t−6 = 0 2  2  2 

G

ẠO

 3 3 3 x = 3 / 2 + t Qua I  ; ;   (d) :   2 2 2  ⇔ (d) : y = 3 / 2 + t , t ∈ ℝ.

z = 3 / 2 + t  vtcp n(1;1;1)  

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ (Q): x + y + z − 6 = 0. §−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp ∆ABC cã t©m H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn (Q).

Gäi (d) lµ ®−êng th¼ng qua I vµ vu«ng gãc víi (Q), ta cã:

Ơ

N

Qua A(3;3;0)

⇔ (Q) :     vtpt n =  AB, AC  = (6;6;6), chän n(1;1;1)

27

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ơ H

-L

Í-

H

Ó

A

Tõ viÖc x¸c ®Þnh ®−îc to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d), chóng ta thùc hiÖn ®−îc viÖc: T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc (d) sao cho ®é dµi AM ng¾n nhÊt.

T×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi ®iÓm A qua (d), cô thÓ ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc M cña A lªn (d).

B−íc 2: Suy ra to¹ ®é ®iÓm A1 tõ ®iÒu kiÖn M lµ trung ®iÓm cña AA1.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

Tuy nhiªn, yªu cÇu nµy cßn cã thÓ thùc hiÖn b»ng c¸ch:

B−íc 1: X¸c ®Þnh vtcp u cña ®−êng th¼ng (d).

B−íc 2: Gi¶ sö A1(x; y; z), suy ra: Trung ®iÓm M cña AA1 thuéc (d)  AA1 ⊥ (d)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

2. X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A lªn ®−êng th¼ng (d).

Khi ®ã: NÕu sö dông c¸ch 1 th× b−íc 3 cã néi dung:

AM ⊥ (d) ⇔ AM ⊥ u ⇔ AM.u = 0 ⇒ Gi¸ trÞ t ⇒ To¹ ®é H. NÕu sö dông c¸ch 2 th× thùc hiÖn theo c¸c b−íc:

B−íc 1: X¸c ®Þnh vtcp a cña ®−êng th¼ng (d).

B−íc 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) tho¶ m·n: qua A (P):  . (P) ⊥ (d) B−íc 3: H×nh chiÕu vu«ng gãc M cña A lªn ®−êng th¼ng (d) lµ giao ®iÓm cña (d) vµ (P).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

(

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

C¸ch 2: Sö dông ®iÒu kiÖn K kh¼ng ®Þnh M thuéc ®−êng (L), khi ®ã: (d) ∩ (L) = {M}.

Chóng th−êng gÆp: 1. T×m trªn ®−êng th¼ng (d) ®iÓm M(xM; yM; zM) sao cho x 2M + y 2M + z 2M nhá nhÊt (hoÆc ®−îc ph¸t biÓu d−íi d¹ng "T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc M cña O trªn (d)").

Khi ®ã, nÕu sö dông c¸ch 1 th× b−íc 3 cã néi dung: x 2M + y 2M + z 2M = (x0 + at)2 + (y0 + bt)2 + (z0 + ct)2 ∆ = At2 + Bt + C ≥ 4A ∆ b VËy, ta ®−îc x 2M + y 2M + z 2M =− ®¹t ®−îc khi t = − ⇒ M. Min 2A 4A

N

§iÓm M ∈ (d), suy ra M(x0 + at; y0 + bt; z0 + ct) ThiÕt lËp tÝnh chÊt K cho ®iÓm M.

N

B−íc 2: B−íc 3:

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

28

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

T©m A (S):  2 2 B¸n kÝnh R=AE= AM + EM T©m A  2 ⇔ (S):   EF  .

2 B¸n kÝnh R= AM +    2  

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A vµ c¾t (d) t¹i hai ®iÓm E, F sao cho EF = l, cô thÓ ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc M cña A lªn (d). Ta cã M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n EF. B−íc 2: MÆt cÇu (S) cÇn dùng ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A vµ tiÕp xóc víi (d), cô thÓ ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc M cña A lªn (d).

B−íc 2: MÆt cÇu (S) t©m A vµ tiÕp xóc víi (d) ®−îc x¸c ®Þnh bëi: T©m A .

(S):  B¸n kÝnh R=AM Tuy nhiªn, yªu cÇu nµy cßn cã thÓ thùc hiÖn b»ng c¸ch: B−íc 1: Gäi R lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu (S) t©m A vµ tiÕp xóc víi (d) th× ta cã: R = d(A, (d)).

B−íc 2: Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc x¸c ®Þnh bëi: T©m A (S):  . B¸n kÝnh R

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Tuy nhiªn, yªu cÇu nµy cßn cã thÓ thùc hiÖn b»ng c¸ch: B−íc 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ chøa ®−êng th¼ng (d).

B−íc 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (d).

B−íc 3: §−êng th¼ng cÇn t×m chÝnh lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q).

H

  x + xA y + yA z + zA  ; ; ∈ (d) M  2 2  ⇔   2 ⇒ To¹ ®é A1.

AA .u = 0  1 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua A vu«ng gãc víi (d) vµ c¾t (d), cô thÓ ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc M cña A lªn (d).

B−íc 2: Suy ra ®−êng th¼ng (AM) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng.

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tuy nhiªn, yªu cÇu nµy cßn cã thÓ thùc hiÖn b»ng c¸ch: B−íc 1: Gäi M lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (d) (khi ®ã M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n EF) vµ R lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu (S) cÇn dùng th× ta cã: 2

2

D

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 EF  R=AE= AM + EM = d (A, (d)) +   .  2  B−íc 2: Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc x¸c ®Þnh bëi: T©m A (S):  . B¸n kÝnh R 2. Sö dông ®¸nh gi¸ r»ng nÕu gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn mÆt ph¼ng (P), ta cã: d(A, (P)) = AK < AH − tÝnh chÊt ®−êng vu«ng gãc vµ ®−êng xiªn.

Do ®ã, kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (P) lín nhÊt khi vµ chØ khi K ≡ H. Suy ra, mÆt ph¼ng (P) cÇn dùng sÏ ®i qua H, do ®ã: Qua A .

(P) :   vtpt AH KÕt hîp hai c©u 1), c©u 2) chóng ta ®−a ra ®−îc l−îc ®å ®Ó gi¶i bµi to¸n " ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d) sao cho kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (P) lín nhÊt", b»ng c¸ch thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc H cña A trªn (d).

B−íc 2: Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn mÆt ph¼ng (P), ta cã: d(A, (P)) = AK < AH tÝnh chÊt ®−êng vu«ng gãc vµ ®−êng xiªn.

B−íc 3: Do ®ã, kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (P) lín nhÊt khi vµ chØ khi K ≡ H. Suy ra, mÆt ph¼ng (P) cÇn dùng sÏ ®i qua H, do ®ã: Qua A .

(P) :   vtpt AH

lêi gi¶i chi tiÕt: §−êng th¼ng (d) cã vtcp u(1; 2; − 2) .

1. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn ®−êng th¼ng (d), ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè:  x = 1 + 2t  (d): y = t ,t∈ ℝ.  z = 2 + 2t 

V× ®iÓm H ∈ (d) nªn H(1 + 2t; t; 2 + t), suy ra AH (−1 + 2t; t − 5; −1 + t). §Ó H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) ®iÒu kiÖn lµ:

AH ⊥ (d) ⇔ AH ⊥ u ⇔ AH.u = 0 ⇔ 1.(−1 + 2t) + 2(t − 5) − 2(−1 + t) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H(3; 1; 4).

2

30

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: 1. §Ó viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng M, N, P chóng ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau:

C¸ch 1: Gäi n lµ vtpt cña mÆt ph¼ng (P), ta cã:

 n ⊥ MN

 ⇔ n =  MN, MP  .  n ⊥ MP Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®−îc cho bëi: qua M .

(P):   vtpt n C¸ch 2: Gi¶ sö mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh: Ax + By + Cz + D = 0, víi A2 + B2 + C2 > 0. (1) V× M, N, P thuéc mÆt ph¼ng (P) nªn ta cã hÖ ba ph−¬ng tr×nh víi bèn Èn A, B, C, D. BiÓu diÔn ba Èn theo mét Èn cßn l¹i, råi thay vµo (1) chóng ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P).

2. Yªu cÇu cña bµi to¸n ®−îc tæng qu¸t ho¸ "T×m ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng (P) tho¶ m n ®iÒu kiÖn K", ta lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Sö dông ph−¬ng tr×nh ban ®Çu cña mÆt ph¼ng.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ba ®iÓm A(0; 1; 2), B(2; −2; 1), C(−2; 0; 1).

1. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A, B, C. 2. T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. VÝ dô 27:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

C¸ch 2: Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng tho¶ m·n: Qua A Qua A(2; 5; 3)

(P):  ⇔ (P):  ⇔ (P): 2x + y + 2z − 15 = 0.  vtpt u(2; 1; 2) (P) ⊥ (d) V× {H} = (d) ∩ (P) nªn to¹ ®é H lµ nghiÖm hÖ ph−¬ng tr×nh: x = 3 x −1 y z − 2 = =   ⇒ y = 1 ⇒ H(3; 1; 4).

1 2  2 z = 4 2x + y + 2z − 15 = 0  2. Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn mÆt ph¼ng (P), ta cã: d(A, (P)) = AK < AH − tÝnh chÊt ®−êng vu«ng gãc vµ ®−êng xiªn.

Do ®ã, kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (P) lín nhÊt khi vµ chØ khi K ≡ H. Suy ra, mÆt ph¼ng (P) cÇn dùng sÏ ®i qua H, do ®ã: Qua A(2;5;3)

(P) :  ⇔ (P): x − 4y + z − 3 = 0.  vtpt AH(1; − 4;1)

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

31

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

D

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

C¸ch 2: Sö dông ®iÒu kiÖn K kh¼ng ®Þnh M thuéc ®−êng (L), khi ®ã: (P) ∩ (L) = {M}.

Chóng th−êng gÆp: 1. X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc H cña ®iÓm A lªn mÆt ph¼ng (P).

Khi ®ã: NÕu sö dông c¸ch 1 th×: B−íc 1: X¸c ®Þnh vtpt n cña mÆt ph¼ng (P).

B−íc 2: Gi¶ sö H(x; y; z) lµ chiÕu vu«ng gãc H cña A lªn (P), suy ra: H ∈ (P) H ∈ (P) ⇔  ⇒ To¹ ®é cña H.  AH ⊥ (P) AH // n NÕu sö dông c¸ch 2 th×: B−íc 1: X¸c ®Þnh vtpt n cña mÆt ph¼ng (P).

B−íc 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) tho¶ m·n: Qua A Qua A ⇒ Ph−¬ng tr×nh tham sè (d). (d):  ⇔ (d):   vtcp n (d) ⊥ (P) B−íc 3: H×nh chiÕu vu«ng gãc H cña A lªn (P) chÝnh lµ giao ®iÓm cña (d) vµ (P).

Tõ viÖc x¸c ®Þnh ®−îc to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (P), chóng ta thùc hiÖn ®−îc viÖc: T×m to¹ ®é ®iÓm H thuéc (P) sao cho ®é dµi AH ng¾n nhÊt.

T×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi ®iÓm A qua (P), cô thÓ ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc H cña A lªn (P).

B−íc 2: Suy ra to¹ ®é ®iÓm A1 tõ ®iÒu kiÖn H lµ trung ®iÓm cña AA1.

Tuy nhiªn, yªu cÇu nµy cßn cã thÓ thùc hiÖn b»ng c¸ch:

B−íc 1: X¸c ®Þnh vtpt n cña mÆt ph¼ng (P).

B−íc 2: Gi¶ sö A1(x; y; z), suy ra: Trung ®iÓm M cña AA1 thuéc (P)  AA1 ⊥ (P)   x + xA y + yA z + zA  ; ; ∈ (P) H  2 2  ⇔  2 ⇒ To¹ ®é A1.

AA  1 // n = 0 T×m trªn mÆt ph¼ng (P) ®iÓm M(xM; yM; zM) sao cho x 2M + y 2M + z 2M nhá nhÊt bëi nã ®−îc ph¸t biÓu l¹i d−íi d¹ng "T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc M cña O trªn (P)").

Cho hai ®iÓm A, B vµ mÆt ph¼ng (P). T×m trªn (P) ®iÓm M sao cho

MA + MB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt, cô thÓ ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc:

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B−íc 1: Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB, suy ra to¹ ®é cña I. 32

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

B−íc 2: NhËn xÐt r»ng:

MA + MB = 2MI = 2MI .

Ơ H

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

R= AH 2 + EH 2 =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

T©m A .

(S):  B¸n kÝnh R=AH Tuy nhiªn, yªu cÇu nµy cßn cã thÓ thùc hiÖn b»ng c¸ch: B−íc 1: Gäi R lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu (S) t©m A vµ tiÕp xóc víi (P) th× ta cã: R = d(A, (P)).

B−íc 2: Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc x¸c ®Þnh bëi: T©m A (S):  . B¸n kÝnh R ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A vµ c¾t (P) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn (C) cã b¸n kÝnh b»ng r (hoÆc biÕt chu vi ®−êng trßn hoÆc biÕt diÖn tÝch h×nh trßn ®ã), cô thÓ ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc H cña A lªn (P). Ta cã H lµ t©m ®−êng trßn (C).

B−íc 2: MÆt cÇu (S) cÇn dùng ®−îc x¸c ®Þnh bëi: T©m A (S):  .

2 2 B¸n kÝnh R= AH + r Tuy nhiªn, yªu cÇu nµy cßn cã thÓ thùc hiÖn b»ng c¸ch: B−íc 1: Gäi M lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (P) (khi ®ã M lµ t©m ®−êng trßn (C)) vµ R lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu (S) cÇn dùng th× ta cã:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Đ

ẠO

b. MA2 + MB2 + MC2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A vµ tiÕp xóc víi (P), cô thÓ ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc H cña A lªn (P).

B−íc 2: MÆt cÇu (S) t©m A vµ tiÕp xóc víi (P) ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

⇔ M lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I trªn (P).

B−íc 3: X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm M. Më réng víi ba ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng (hoÆc tø diÖn ABCD) chóng ta sö dông träng t©m G cña ∆ABC ((hoÆc träng t©m G cña tø diÖn ABCD)). Cô thÓ "Cho ba ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng vµ mÆt ph¼ng (P). T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn (O) ®Ó:

a. MA + MB + MC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

N

Tõ ®ã:

MA + MB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ⇔ MI nhá nhÊt

d2 (A, (P)) + r 2 .

33

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

D

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

T©m A (S):  . B¸n kÝnh R 2. T×m ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho: a. MA − MB ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. b. MA + MB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Víi yªu cÇu cña bµi to¸n ë ®©y lµ " T×m ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng (P) sao cho MA = MB = MC ", chóng ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: §Ó MA = MB = MC th× M thuéc trôc ®−êng trßn (d) cña ∆ABC (lµ ®−êng th¼ng ®i qua t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC)).

B−íc 2: NhËn xÐt r»ng:

AB.AC = 0 ⇔ ∆ABC vu«ng t¹i A Suy ra, trung ®iÓm I cña BC lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC. B−íc 3: Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) ®−îc cho bëi: Qua I . (d) :  (d) ⊥ ( ABC ) B−íc 4: Tõ ®ã, suy ra to¹ ®é ®iÓm M lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: (d) ⇒ To¹ ®é M.  (P) C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: Gi¶ sö M(x; y; z), khi ®ã b»ng viÖc thiÕt lËp ®iÒu kiÖn M ∈ (P) vµ MA = MB = MC chóng ta sÏ nhËn ®−îc mét hÖ ba ph−¬ng tr×nh víi ba Èn x, y, z.

(I) B−íc 2: Gi¶i hÖ (I), tõ ®ã kÕt luËn to¹ ®é ®iÓm M. lêi gi¶i chi tiÕt: 1. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: MÆt ph¼ng (Q) ®i qua ba ®iÓm A, B, C ®−îc cho bëi: Qua A(0;1;2) Qua A

⇔ (Q) :  (Q) :    CÆp vtcp AB, AC  vtpt n =  AB, AC  = (2;4; − 8) ⇔ (Q): x + 2y − 4z + 6 = 0.

C¸ch 2: Gi¶ sö mÆt ph¼ng (Q) cã ph−¬ng tr×nh: (Q): Ax + By + Cz + D = 0 víi A2 + B2 + C2 > 0.

V× A, B, C thuéc (P), ta ®−îc: B = 2A B + 2C + D = 0   2A − 2B + C + D = 0 ⇔ C = −4A. D = 6A −2A + C + D = 0  

N

B−íc 2: Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

34

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

ÁN TO ÀN Đ

IỄ N D Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

Cho ba ®iÓm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5). a. Chøng minh A, B, C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c. b. TÝnh chu vi, diÖn tÝch cña ∆ABC. c. T×m to¹ ®é ®iÓm D ®Ó ABCD lµ h×nh b×nh hµnh vµ tÝnh c«sin

gãc gi÷a hai vect¬ AC vµ BD . d. TÝnh ®é dµi ®−êng cao hA cña ∆ABC kÎ tõ A. e. TÝnh c¸c gãc cña ∆ABC. f. X¸c ®Þnh to¹ ®é trùc t©m H cña ∆ABC. g. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.

-L

VÝ dô 28:

H

Ó

VËy, víi ®iÓm M(2; 3; −7) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

VËy, víi ®iÓm M(2; 3; −7) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

C¸ch 2: Gi¶ sö M(x; y; z), ®Ó M thuéc mÆt ph¼ng (P): 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho MA = MB = MC ®iÒu kiÖn lµ: 2x + 2y + z − 3 = 0  M ∈ (P)  2 2 2 2 2  2 2 2  MA = MB ⇔  x + ( y − 1) + ( z − 2 ) = ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 1)  2  MA 2 = MC 2 2 2 2 2 2   x + ( y − 1) + ( z − 2 ) = ( x + 2 ) + y + ( z − 1) x = 2 2x + 2y + z = 3   ⇔ 2x − 3y − z = 2 ⇔  y = 3 ⇒ M(2; 3; −7). 2x + y + z = 0 z = −7  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Tõ ®ã ta ®−îc: (Q): Ax + 2Ay − 4Az + 6A ⇔ (Q): x + 2y − 4z + 6 = 0.

2. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: §Ó MA = MB = MC th× M thuéc trôc ®−êng trßn (d) cña ∆ABC (lµ ®−êng th¼ng ®i qua t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC)).

NhËn xÐt r»ng:

AB.AC = 0 ⇔ ∆ABC vu«ng t¹i A ⇒ Trung ®iÓm I(0 ; −1; 1) cña BC lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC. Tõ ®ã, suy ra M thuéc ®−êng th¼ng (d) tho¶ m·n: x = t Qua I(0; − 1;1) Qua I 

⇔ (d) :  y = −1 + 2t , t ∈ ℝ . (d) :  ⇔ (d) :  (d) Q ⊥ vtcp n 1;2; − 4 ( ) ( )    z = 1 − 4t  Tõ ®ã, suy ra to¹ ®é ®iÓm M lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: x = t x = t x = 2  y = −1 + 2t  y = −1 + 2t    ⇔ ⇒ y = 3 .   z = 1 − 4t  z = 1 − 4t  z = −7 2x + 2y + z − 3 = 0 2t + 2(2t − 1) + (1 − 4t) − 3 = 0

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

35

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Gi¶i

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

TO

ÁN

-L

Í-

H

f. Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö H(x; y; z) lµ trùc t©m ∆ABC, ta cã ®iÒu kiÖn:

 AH ⊥ BC AH ⊥ BC   BH ⊥ AC ⇔ BH ⊥ AC

 H ∈ (ABC) Ba vectAB, AC, AH ®ång ph¼ng  

AH.BC = 0 (x − 1; y − 2; z − 3).(0; − 5; 1) = 0   ⇔ BH.AC = 0 ⇔ (x − 3; y − 5; z − 4).(2; − 2; 2) = 0    AB, AC  .AH = 0 (8; − 2; − 10).(x − 1; y − 2; z − 3) = 0   

ÀN Đ IỄ N D

118 .

13

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2S 1 2 42 2 273 hA.BC ⇔ hA = ∆ABC = = .

2 BC 13 26 e. Ta lÇn l−ît cã:

AB.AC cosA = = 0 ⇔ A = 900, AB . AC

BA.BC 51 cosB = = vµ cosC = sinB = 1 − cos2 B = 13 BA . BC

S∆ABC =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

d. Ta cã:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

= 14 + 12 + 26 .

1 1 1 82 + (−2)2 + (−10)2 = 42 .

S∆ABC =  AB, AC  = |(8; −2; −10)| = 2 2 2 c. Gi¶ sö D(x; y; z), ®Ó ABCD lµ h×nh b×nh hµnh ®iÒu kiÖn lµ:

AB = DC ⇔ (2; 3; 1) = (3 − x; −y; 5 − z) 2 = 3 − x x = 1   ⇔ 3 = − y ⇔ y = −3 ⇒ D(1; −3; 4). z = 4 1 = 5 − z  

AB.BD 51 12 cos( AC , BD ) = = = .

17 12. 68 AB . BD

H

Ơ

2 2 + 32 + 12 + 2 2 + (−2)2 + 22 + (−5)2 + 12

N

CV∆ABC = AB + AC + BC =

N

a. Ta cã:

AB (2; 3; 1) vµ AC (2; −2; 2) ⇒ AB vµ AC kh«ng cïng ph−¬ng.

VËy, ba ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng. b. Ta lÇn l−ît cã:

36

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x = 1 −5(y − 2) + z − 3 = 0 5y − z = 7    ⇔ 2(x − 3) − 2(y − 5) + 2(z − 4) = 0 ⇔ x − y + z = 2 ⇔ y = 2 8(x − 1) − 2(y − 2) − 10(z − 3) = 0 4x − y − 5z = −13 z = 3   

N Ơ H

H

Í-L ÁN

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

VÝ dô 29: Trong kh«ng gian Oxyz, cho bèn ®iÓm A(5; 3; −1), B(2; 3; −4), C(1; 2; 0), D(3; 1; −2). a. T×m täa ®é c¸c ®iÓm A1, A2 theo thø tù lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm A qua mÆt ph¼ng (Oxy) vµ trôc Oy. b. Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét h×nh tø diÖn. c. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ABCD.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

Nh− vËy, víi bµi to¸n trªn (tam gi¸c trong kh«ng gian) c¸c em häc sinh cã thÓ «n tËp ®−îc hÇu hÕt kiÕn thøc trong bµi häc "HÖ täa ®é trong kh«ng gian", vµ trong ®ã víi c¸c c©u f), g): ë c¸ch 1, chóng ta nhËn ®−îc ph−¬ng ph¸p chung ®Ó thùc c¸c yªu cÇu cña bµi to¸n. ë c¸ch 2, b»ng viÖc ®¸nh gi¸ ®−îc d¹ng ®Æc biÖt cña ∆ABC chóng ta nhËn ®−îc lêi gi¶i ®¬n gi¶n h¬n rÊt nhiÒu.

Ó

NhËn xÐt:

10 00

B

C¸ch 2: V× ∆ABC vu«ng t¹i A nªn t©m I cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC chÝnh  5 9 lµ trung ®iÓm cña BC, tøc lµ I  3; ;  .  2 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 5 9 VËy, ta ®−îc t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp lµ I  3; ;  .  2 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

N H Ư

TR ẦN

2x + 3y + z = 18 x = 3   ⇔ x − y + z = 5 ⇔ y = 5 / 2 . 4x − y − 5z = −13 z = 9 / 2  

G

Đ

ẠO

(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = (x − 3)2 + (y − 5)2 + (z − 4)2  ⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = (x − 3)2 + y 2 + (z − 5)2 4x − y − 5z = −13 

TP

AI 2 = BI 2 AI 2 = BI 2 AI = BI   2  2 2 2 ⇔ ⇔ AI CI = AI = CI AI = CI  

  I ∈ (ABC)   AB, AC, AH ®ång ph¼ng   AB, AC  .AI = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VËy, ta ®−îc trùc t©m H(1; 2; 3).

C¸ch 2: V× ∆ABC vu«ng t¹i A nªn trùc t©m H ≡ A, tøc lµ H(1; 2; 3). g. Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö I(x; y; z) lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC, ta cã:

37

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Chøng minh r»ng h×nh chãp D.ABC lµ h×nh chãp ®Òu.

T×m täa ®é ch©n ®−êng cao H cña h×nh chãp D.ABC. Chøng minh r»ng tø diÖn ABCD cã c¸c c¹nh ®èi vu«ng gãc víi nhau.

T×m täa ®é ®iÓm I c¸ch ®Òu bèn ®iÓm A, B, C, D.

Ơ H N

TO

ÁN

D

IỄ N

Đ

ÀN

T−¬ng tù, ta còng cã AB = BC = CA = 3 2 .

VËy, h×nh chãp D.ABC lµ h×nh chãp ®Òu. e. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

DA = 2 2 + 22 + 12 = 3   2 2 2 DB = (−1) + 2 + (−2) = 3 ⇒ DA = DB = DC.  2 2 2 DC = (−2) + 1 + 2 = 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

a. Ta lÇn l−ît: H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (Oxy) lµ ®iÓm E(5; 3; 0).

Tõ ®ã, v× E lµ trung ®iÓm cña AA1 nªn A1(5; 3; 1).

H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A trªn trôc Oy lµ ®iÓm F(0; 3; 0). Tõ ®ã, v× F lµ trung ®iÓm cña AA2 nªn A2(−5; 3; 1). b. Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: §Ó chøng minh bèn ®iÓm A, B, C, D kh«ng ®ång ph¼ng ta sÏ ®i chøng

minh ba vect¬ DA (2; 2; 1), DB (−1; 2; −2), DC (−2; 1; 2) kh«ng ®ång ph¼ng.

Gi¶ sö tr¸i l¹i, tøc lµ ba vect¬ DA , DB , DC ®ång ph¼ng, khi ®ã sÏ tån t¹i cÆp sè thøc α, β sao cho: 2 = −α − 2β

 DA = α DB + β DC ⇔ 2 = 2α + β , v« nghiÖm 1 = −2α + 2β 

⇒ Ba vect¬ DA , DB , DC kh«ng ®ång ph¼ng.

VËy, bèn ®iÓm A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét h×nh tø diÖn.

C¸ch 2: Ta cã DA (2; 2; 1), DB (−1; 2; −2), DC (−2; 1; 2), tõ ®ã suy ra:

2 1 1 2 2 2  DA, DB  .DC = .( 2) .1 .2 = 27 ≠ 0 − + +   2 −2 −2 −1 −1 2

⇒ Ba vÐct¬ DA , DB vµ DC kh«ng ®ång ph¼ng.

VËy, bèn ®iÓm A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét h×nh tø diÖn.

9 1 c. ThÓ tÝch V cña tø diÖn ABCD ®−îc cho bëi V =  DA, DB  .DC = .

2 6 d. Ta lÇn l−ît cã:

N

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

d. e. f. g.

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

38

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

H Ư

D

I

B

H

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

f. Víi cÆp c¹nh AD vµ BC, ta cã:

DA (2; 2; 1), BC (−1; −1; 4) ⇒ DA . BC = 0 ⇔ AD ⊥ BC. Chøng minh t−¬ng tù, ta còng cã AB ⊥ CD vµ AC ⊥ BD. VËy, tø diÖn ABCD cã c¸c c¹nh ®èi vu«ng gãc víi nhau. g. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö I(x; y; z) lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD, ta cã: A AI 2 = BI 2 AI = BI  2  2 AI = CI ⇔ AI = CI C AI 2 = DI 2 AI = DI  

x + z = 1 x = 5 / 2   5 7 3 ⇔ 4x + y − z = 15 ⇔ y = 7 / 2 ⇒ I  ; ; −  . 2 2 2  z = −3 / 2  4x + 4y + 2z = 21

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

(x − 5)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z + 4)2  ⇔ (x − 5)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = (x − 1)2 + (y − 2)2 + z 2 (x − 5)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = (x − 3)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

N Ơ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

)

G

(

ẠO

C¸ch 2: Dùa theo kÕt qu¶ c©u d), ta suy ra ch©n ®−êng cao H cña h×nh chãp D.ABC chÝnh lµ träng t©m cña ∆ABC, do ®ã: 1 OH = OA + OB + OC 3  x + x B + xC y A + y B + yC zA + z B + zC   8 8 5  ⇔ H A ; ;  =  ; ; − .

3 3 3   3 3 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

.Q

U Y

N

H

x + z = 1 x = 8 / 3   8 8 5 ⇔ 4x + y − z = 15 ⇔ y = 8 / 3 ⇒ H  ; ; −  . 3 3 3 x − 5y − z = −9 z = −5 / 3   8 8 5 VËy, ta ®−îc H  ; ; −  . 3 3 3

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

C¸ch 1: Gi¶ sö H(x; y; z) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn mÆt ph¼ng (ABC), ta cã ®iÒu kiÖn:

DH.AB = 0 DH ⊥ AB DH ⊥ AB    ⊥ ⇔ DH AC ⇔ DH AC ⊥  DH.AC = 0 

 H ∈ (ABC)     Ba vect¬ AB, AC, AH ®ång ph¼ng   AB, AC  .AH = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

39

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

Cho ®iÓm M1(2; 1; −3) vµ hai mÆt ph¼ng (P1), (P2) cã ph−¬ng tr×nh: (P1): x + y + 2z + 3 = 0, (P2): x + (m − 2)y + (m − 1)z − 3m = 0.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

.Q

ẠO

Đ

G

N

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

®−îc x¸c ®Þnh rÊt nhanh vµ chÝnh x¸c víi c¸c em häc sinh biÕt sö dông m¸y tÝnh Casio fx − 570MS. ë c©u e), c¸ch 1 tr×nh bµy ph−¬ng ph¸p chung cho mäi d¹ng tø diÖn vµ c¸ch 2 ®−îc ®Ò xuÊt dùa trªn d¹ng ®Æc biÖt cña tø diÖn ABCD. Vµ c¸c em häc sinh cÇn nhí thªm r»ng chóng ta cßn cã mét c¸ch chung kh¸c b»ng viÖc thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC).

B−íc 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) qua D vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC).

B−íc 3: Khi ®ã, ®iÓm H chÝnh lµ giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng (d) víi mÆt ph¼ng (ABC).

Hai c¸ch sö dông trong c©u g) víi ý t−¬ng t−îng tù nh− c©u e). Tuy nhiªn, c¸c em häc sinh còng cã thÓ thùc hiÖn nh− sau: B−íc 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD (ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm).

B−íc 2: Tõ kÕt qu¶ ë b−íc 1, chóng ta nhËn ®−îc täa ®é t©m I.

-L ÁN TO

IỄ N

Đ

ÀN

VÝ dô 30:

D

Nh− vËy, víi bµi to¸n trªn (khèi ®a diÖn) c¸c em häc sinh ®· «n tËp ®−îc c¸c kiÕn thøc trong bµi häc "HÖ täa ®é trong kh«ng gian", vµ trong ®ã: ë c©u b), chóng ta nhËn ®−îc hai ph−¬ng ph¸p ®Ó chøng minh bèn ®iÓm kh«ng ®ång ph¼ng (t−¬ng øng víi ba vect¬ kh«ng ®ång ph¼ng) vµ th«ng th−êng chóng ta sö

dông c¸ch 2 trong bµi thi. Vµ ®Æc biÖt gi¸ trÞ  DA, DB  .DC

TP

NhËn xÐt:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

C¸ch 2: Dùa theo kÕt qu¶ c©u d), ta suy t©m I(x; y; z) thuéc DH sao cho ID = IB, tøc lµ ta cã: (x − 3)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z + 4)2 2 2  DI = BI x − 3 y −1 z + 2  ⇔  = = DI // HI x − 8 y − 8 z + 5  3 3 3 2x − 4y + 4z = −15 x = 5 / 2   5 7 3 ⇔ 5x + y = 16 ⇔ y = 7 / 2 ⇒ I  ; ; −  . 2 2 2 x + z = 1 z = −3 / 2  

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

40

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

a. Ta cã ngay:

2 + 1 + 2(−3) − 9

A

10 00

B

TR ẦN

=2 6 .

12 + 12 + 2 2 b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: (Sö dông tÝnh chÊt): MÆt ph¼ng (P) song song víi hai mÆt ph¼ng ®· cho sÏ cã d¹ng: (*) (P): x + y + 2z + D = 0. 3 1 1 LÊy ®iÓm N(1; 0; 4)∈ (P2), suy ra M1N cã trung ®iÓm M  ; ;  . 2 2 2

d((P1), (P2)) = d(M1, (P2)) =

§ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) cÇn t×m.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

§Ó (P) c¸ch ®Òu (P1) vµ (P2) ®iÒu kiÖn lµ (P) ®i qua ®iÓm M, tøc lµ: 3 1 1 + + 2. + D = 0 ⇔ D = −3.

2 2 2 Thay D = −3 vµo (*), ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh (P): x + y + 2z − 3 = 0.

C¸ch 2: (Sö dông ph−¬ng ph¸p quÜ tÝch): Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng cÇn t×m th× ®iÓm M(x; y; z) ∈ (P) khi: x + y + 2z + 3 x + y + 2z − 9 d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇔ = 1+1+ 4 1+1+ 4 ⇔ x + y + 2z + 3 = x + y + 2z − 9 ⇔ x + y + 2z − 3 = 0.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

Đ

1. §Ó hai mÆt ph¼ng (P1), (P2) song song víi nhau ®iÒu kiÖn lµ: 1 m − 2 m − 1 −3m = = ≠ ⇔ m = 3.

1 1 2 3

2. Víi m = 3 mÆt ph¼ng (P2): x + y + 2z − 9 = 0 vµ cã vtpt n(1; 1; 2) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

1. T×m ®Ó (P1) song song víi (P2).

2. Víi m t×m ®−îc ë c©u 1) h·y: a. T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai mÆt ph¼ng (P1) vµ (P2). b. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng song song vµ c¸ch ®Òu hai mÆt ph¼ng (P1) vµ (P2). c. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) song song víi (P1), (P2) vµ d((Q), (P1)) = 2d((Q), (P2)). d. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (P1) t¹i ®iÓm M1 vµ tiÕp xóc víi (P2). e. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (P1) t¹i ®iÓm M1 vµ c¾t (P2) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn lín. f. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (P1) t¹i ®iÓm M1 vµ c¾t (P2) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn (C) cã b¸n kÝnh r = 6 2 .

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

41

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

c. §iÓm M(x; y; z) ∈ (Q) khi: 2 x + y + 2z − 9 1+1+ 4

N Ơ H

d 2 + r 2 24 + 72 = = 4 6 ⇒ IM 2 = 2 6 = d(I, (P2)).

2d 4 6 Ta lÇn l−ît cã: (S) tiÕp xóc víi (P1) t¹i M1 khi: x − 2 = t x = t + 2

  M1I ⊥ (P1) ⇔ M1I = t.n ⇔  y − 1 = t ⇔  y = t + 1 . z + 3 = 2t z = 2t − 3  

Đ

ÀN

TO

ÁN

⇔ R=

(*)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

e. Gäi M2(x; y; z) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M1 trªn (P2), theo d) ta cã ngay M2(4; 3; 1).

Khi ®ã, mÆt cÇu (S) cÇn dùng chÝnh lµ:  T©m M 2 (4; 3; 1) (S):  ⇔ (S): (x − 4)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = 24.  B¸n kÝnh R = M1 M 2 = 2 6 f. Gi¶ sö mÆt cÇu (S) cÇn dùng cã t©m I(x; y; z) vµ b¸n kÝnh R. Gäi M2 lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M1 trªn (P2) th× M2 chÝnh lµ t©m cña ®−êng trßn (C), ta cã: 2 R2 − r2 = M2I2 = M1M 2 − IM1 = (d − R) 2 ⇔ 2dR = d2 + r2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

 T©m I ( 3; 2; − 1) lµ trung ®iÓm M1 M 2  (S):  M1 M 2 = 6  B¸n kÝnh R = 2  2 2 2 ⇔ (S) : ( x − 3) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 6 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1+1+ 4

=

x − 2 = t x = t + 2 t = 2 y −1 = t y = t + 1 x = 4    ⇔  ⇔  ⇔  ⇒ M2(4; 3; 1). z + 3 = 2t z = 2t − 3 y = 3  x + y + 2z − 9 = 0 6t − 12 = 0 z = 1 Khi ®ã, mÆt cÇu (S) cÇn dùng chÝnh lµ mÆt cÇu ®−êng kÝnh M1M2, tøc lµ:

IỄ N D

x + y + 2z + 3

 x + y + 2z − 21 = 0 ⇔ x + y + 2z + 3 = 2 x + y + 2z − 9 ⇔  .  x + y + 2z − 5 = 0 VËy, tån t¹i hai mÆt ph¼ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi lµ: (Q1): x + y + 2z − 21 = 0 vµ (Q2): x + y + 2z − 5 = 0. d. Gäi M2(x; y; z) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M1 trªn (P2), ta cã:

 M1M 2 = t.n  M1M 2 ⊥ (P2 ) ⇔    M 2 ∈ (P2 )  M 2 ∈ (P2 )

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

d(M, (P1)) = 2d(M, (P2)) ⇔

42

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(S) c¾t (P2) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn (C) cã b¸n kÝnh b»ng r khi: r2 + M2I2 = R2 = M1I2 2 2  (t + 2) + (t + 1) + 2(2t − 3) − 9  2 2 2 ⇔ 6 2 +  = t + t + (2t) 2 2 2 1 +1 + 2   2 2 ⇔ 72 + 6(t − 2) = 6t ⇔ 96 − 24t = 0 ⇔ t = 4 ⇒ I(6; 5; 5).

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc cho bëi:  T©m I ( 6; 5; 5 ) (S):   BkÝnh R = M1 I = 4 6 2 2 2 ⇔ (S) : ( x − 6 ) + ( y − 5 ) + ( z − 5 ) = 96 .

2 + 3.(−2) − 10

= 14 < 56 .

12 + 2 2 + 32 Do dã, mÆt ph¼ng (P) c¾t mÆt cÇu (S) theo giao tuyÕn lµ ®−êng trßn (C) lÇn l−ît cã: B¸n kÝnh r ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

Ó

A

d(I, (P)) =

10 00

B

a. XÐt mÆt cÇu (S) cã t©m I(2; 0; −2) vµ b¸n kÝnh R = 56 , ta cã:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

r = R 2 − d(I, (P)) = 56 − 14 = 42 .

To¹ ®é t©m M(x; y; z) cña (C) chÝnh lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I trªn (P), suy ra:

 IH ⊥ (P)  IH // n P  IH = t.n P (1; 2; 3) ⇔  ⇔    H ∈ (P)  H ∈ (P)  H ∈ (P) x − 2 = t x = t + 2 x = 3  y = 2t  y = 2t y = 2    ⇔ ⇔ ⇔  ⇒ M(3; 2; 1).  z + 2 = 3t  z = 3t − 2 z = 1  x + 2y + 3z − 10 = 0  t = 1 14t − 14 = 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Cho mÆt ph¼ng (P) vµ mÆt cÇu (S) cã ph−¬ng tr×nh: 2 2 (P): x + 2y + 3z − 10 = 0, (S) : ( x − 2 ) + y 2 + ( z + 2 ) = 56 . a. Chøng tá r»ng mÆt ph¼ng (P) c¾t mÆt cÇu (S) theo giao tuyÕn lµ ®−êng trßn (C). X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m M vµ tÝnh b¸n kÝnh r cña (C). b. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S). c. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng song song víi (P) vµ c¾t (S) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn lín. d. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng song song víi (P) vµ c¾t (S) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn cã b¸n kÝnh b»ng r. e. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S’) ®èi xøng víi (S) qua (P). f. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (P) vµ (S).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

N

)

.Q

VÝ dô 31:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(

43

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 T©m I '(4; 4; 4) 2 (S’):  ⇔ (S') : ( x − 4 ) + (y − 4) 2 + (z − 4)2 = 56 .  B¸n kÝnh R = 56

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

e. MÆt cÇu (S’) ®èi xøng víi (S) qua (P) sÏ cã b¸n kÝnh R = 56 vµ t©m I’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi I qua (P), suy ra I' ®èi xøng víi I qua M nªn I’(4; 4; 4).

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S’) cÇn dùng ®−îc cho bëi :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

VËy, mÆt ph¼ng (P) c¾t mÆt cÇu (S) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn (C) cã b¸n kÝnh r = 42 vµ t©m M(3; 2; 1). b. Gäi (Q) lµ mÆt ph¼ng cÇn dùng, ta lÇn l−ît sö dông gi¶ thiÕt: (Q) song song víi (P) nªn cã ph−¬ng tr×nh: (Q): x + 2y + 3z + D = 0.

(1) (Q) tiÕp xóc víi (S), suy ra: 2 + 3.(−2) + D  D1 = 32 d(I, (Q)) = R ⇔ . = 56 ⇔ |D − 4| = 28 ⇔  12 + 2 2 + 32  D 2 = −24 Khi ®ã: Víi D1 = 12 thay vµo (1), ta ®−îc (Q1): x + 2y + 3z + 32 = 0.

Víi D2 = −44 thay vµo (1), ta ®−îc (Q2): x + 2y + 3z − 24 = 0.

VËy, tån t¹i hai mÆt ph¼ng (Q1) vµ (Q2) tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. c. Gäi (R) lµ mÆt ph¼ng cÇn dùng, ta lÇn l−ît sö dông gi¶ thiÕt: (R) song song víi (P) nªn cã ph−¬ng tr×nh: (R): x + 2y + 3z + D = 0.

(R) c¾t (S) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn lín, suy ra: I ∈ (R)) ⇔ 2 + 3(−2) + D = 0 ⇔ D = 4.

VËy, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) cÇn dùng cã d¹ng x + 2y + 3z + 4 = 0. d. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gäi (α) lµ mÆt ph¼ng cÇn dùng, ta lÇn l−ît sö dông gi¶ thiÕt: (α) song song víi (P) nªn cã ph−¬ng tr×nh: (α): x + 2y + 3z + D = 0. (α) c¾t (S) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn cã b¸n kÝnh r = 42 , suy ra: 2 + 3.(−2) + D d(I, (α)) = R 2 − r 2 ⇔ ⇔ = 56 − 42 12 + 22 + 32  D1 = −10 (lo¹i) .   D 2 = 18 Khi ®ã, víi D2 = 18 ta ®−îc (Q): x + 2y + 3z + 18 = 0.

C¸ch 2: Gi¶ sö mÆt ph¼ng (α) cÇn dùng c¾t (S) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn cã t©m N, suy ra N lµ ®iÓm ®èi xøng víi M qua I nªn N(1; −2; −5).

Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (α) ®−îc cho bëi: Qua N(1; − 2; − 5)

⇔ (α): x + 2y + 3z + 18 = 0. (α ) :   vtpt n(1; 2; 3)

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

44

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N U Y

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G N

7 5 7   ⇔ (T1 ) :  x −  + (y − 3)2 +  z −  = .

2 2 2   Víi t = −2 ta ®−îc A 2 ( 0; − 4; − 8 ) vµ mÆt cÇu ®−êng kÝnh A2M lµ:

TR ẦN

2

10 00

B

 7 3  T©m T2  2 ; − 1; − 2  lµ trung ®iÓm A 2 M (T2):     B¸n kÝnh R = T M = 63 / 2  2 2

2

Í-

H

Ó

A

3 7  63 2   ⇔ (T2 ) :  x −  + ( y + 1) +  z +  = .

2 2 2   VËy, tån t¹i hai mÆt cÇu (T1) vµ (T2) tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh: x = 1  (P): x + y − 6 = 0, (d) : y = 1 , t ∈ ℝ. z = 4 + t 

a. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng (d) song song víi mÆt ph¼ng (P).

TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d) vµ (P). b. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa (d) vµ song song víi (P). c. ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn (P).

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

VÝ dô 32:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

H Ư

 5 7  T©m T1  2 ; 3; 2  lµ trung ®iÓm A1 M    (T1):  7   B¸n kÝnh R = T1 M = 2

ẠO

Khi ®ã, ta lÇn l−ît víi: Víi t = 2 ta ®−îc A1 ( 4; 4; 4 ) vµ mÆt cÇu ®−êng kÝnh M1H lµ:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

TP

2

.Q

(S) : ( 2 + t − 2 ) + (2t)2 + ( −2 + 3t + 2 ) = 56 ⇔ 14t 2 = 56 ⇔ t = ±2 .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x = 2 + t Qua I(2; 0; − 2) 

, t ∈ℝ . (d) :  ⇔ (d) :  y = 2t  vtcp n(1; 2; 3)  z = −2 + 3t  TiÕp ®iÓm M cña (T) víi mÆt ph¼ng (P) lµ giao ®iÓm cña (d) víi (P), suy ra: (2 + t) + 2.2t + 3(3t − 2) − 10 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ M(3; 2; 1).

TiÕp ®iÓm A cña (T) víi mÆt cÇu (S) lµ giao ®iÓm cña (d) víi (S), suy ra:

N

f. Gäi (T) lµ mÆt cÇu cÇn dùng vµ gi¶ sö (T) tiÕp xóc víi (S), (P) theo thø tù t¹i A vµ M, suy ra: (T) lµ mÆt cÇu ®−êng kÝnh MA. M, H, I thuéc (d) cã ph−¬ng tr×nh cho bëi:

45

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

d. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa (d) vµ t¹o víi (P) mét gãc α

TO ÀN Đ

IỄ N D

V× {H} = (MH) ∩ (P), to¹ ®é H lµ nghiÖm hÖ ph−¬ng tr×nh: x = 3 x = 1 + t y = 3 y = 1 + t   ⇔  ⇒ H(3; 3; 4).  z = 4 z = 4  x + y − 6 = 0 t = 2

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

Ta cã:

MÆt ph¼ng (P) cã vtpt n(1; 1; 0) .

§−êng th¼ng (d) cã vtcp u(0; 0; 1) vµ ®i qua ®iÓm M(1; 1; 4). a. Ta lÇn l−ît: §Ó chøng minh (d) song song víi (P) ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: B»ng c¸ch thay ph−¬ng tr×nh tham sè cña (d) vµo (P), ta thÊy: 1 + 1 − 6 = 0, m©u thuÉn do ®ã (d) song song víi (P).

C¸ch 2: Ta cã n.u = 0 ⇔ n ⊥ u .

(1) NhËn xÐt M ∉ (P).

(2) Tõ (1) vµ (2) suy ra (d) song song víi (P).

Kho¶ng c¸ch giøa (d) vµ (P) ®−îc cho bëi: 1+1− 6 d(d, (P)) = d(M, (P)) = =2 2 .

12 + 12 b. Gäi (Q) lµ mÆt ph¼ng cÇn dùng, khi ®ã: Qua M (1; 1; 4 ) (Q):  ⇔ (Q): x + y − 2 = 0.

 vtpt n(1; 1; 0) c. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn (P), ta cã: x = 1 + t Qua M(1;1;4) 

(MH):  ⇔ (MH): y = 1 + t , t ∈ ℝ .  vtcp n (1;1; 0 ) z = 4 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Gi¶i

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

U Y

e. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt tiÕp xóc víi (P) vµ tiÕp xóc víi (d) t¹i ®iÓm A(1; 1; 1). f. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh R = 2 2 tiÕp xóc víi (P) vµ tiÕp xóc víi (d) t¹i ®iÓm A(1; 1; 1). g. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P) t¹i ®iÓm E(5; 1; 1).

N

3 .

10

cã cos α =

46

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Tõ ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d’) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn (P) ®−îc cho bëi: x = 3 Qua H ( 3; 3; 4 )  (d’):  ⇔ (d') : y = 3 , t ∈ ℝ.

 vtcp u(0; 0; 1) z = 4 + t  C¸ch 2: Gäi H(x; y; z) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn (P), ta cã: x = 3 x + y − 6 = 0 y = 3    H ∈ (P)  H ∈ (P) x − 1 = k ⇔  ⇔  ⇒ H(3; 3; 4).  ⇔   MH // n  MH = kn y − 1 = k z = 4  z − 4 = 0  k = 2 Tõ ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d’) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn (R) ®−îc cho bëi: x = 3 Qua H ( 3; 3; 4 )  (d’):  ⇔ (d') : y = 3 , t ∈ ℝ.

 vtcp u(0; 0; 1) z = 4 + t 

C¸ch 3: Gäi (P’) víi vtpt n ' lµ mÆt ph¼ng chøa (d) vµ vu«ng gãc víi (P), ta cã:

 n ' ⊥ u  ⇒ n ' =  u, n  = (−1; 1; 0) .  n ' ⊥ n Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P’) ®−îc cho bëi: Qua M (1; 1; 4 ) (P’):  ⇔ (P’): x − y = 0.

 vtpt n '(−1; 1; 0) Tõ ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d’) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn (P) gåm c¸c ®iÓm M(x; y; z) tho¶ m·n hÖ: x + y − 6 = 0 ⇔ x = y = 3.  x − y = 0 VËy, ®−êng th¼ng (d’) lu«n cã ph−¬ng tr×nh tham sè lµ: x = 3  (d') :  y = 3 , t ∈ ℝ. z = 4 + t 

d. Gi¶ sö mÆt ph¼ng (R) cã vtpt n R (a; b; c) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi, ta lÇn l−ît:

§Ó (R) chøa (d) ®iÒu kiÖn lµ n R ⊥ u ⇔ n R .u = 0 ⇔ c = 0.

3 (P) t¹o víi (P) mét gãc α cã cos α = ®iÒu kiÖn lµ: 10 a+b a+b 3 3 ⇔ = = 2 2 2 2 2 2 2 10 5 a + b + c . 1 +1 a +b 2 2 2 2 2 ⇔ 5(a + b) = 9(a + b ) ⇔ 2a − 5ab + 2b = 0 a = 2b hoÆc b = 2a.

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

47

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

⇔ (S) : ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 2.

C¸ch 2: MÆt cÇu (S) víi ®−êng kÝnh AA’ gåm c¸c ®iÓm:

N(x; y; z) ∈ (S) ⇔ AN ⊥ A’N ⇔ AN.A ' N = 0 ⇔ (x − 1; y − 1; z − 1).(x − 3; y − 3; z − 1) = 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) + (y − 1)(y − 3) + (z − 1)(z − 1) = 0 ⇔ x2 + y2 + z2 − 4x − 4y − 2z + 7 = 0. §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cÇn t×m.

Đ

ÀN

TO

ÁN

2

2

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

A

-L

Í-

H

Ó

IỄ N D

V× {A’} = (AA’) ∩ (P) nªn to¹ ®é A’ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch thay ph−¬ng tr×nh tham sè cña (AA’) vµo ph−¬ng tr×nh cña (P), ta ®−îc: 1 + t + 1 + t − 6 = 0 ⇔ t = 2⇒ A’(3; 3; 1).

Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®−êng kÝnh AA’ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng mét trong c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã:  T©m I lµ trung ®iÓm AA '  T©m I ( 2; 2; 1)  (S):  ⇔ (S):  AA'  R = 2  B¸n kÝnh R = 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B

TR ẦN

H Ư

N

G

x + y − 6 = 0 (t + 1) + (t + 1) − 6 = 0 x − 1 = t x = t + 1   ⇔  ⇔  ⇒ A’(3; 3; 1). y −1 = t y = t + 1 z − 1 = 0 z = 1 C¸ch 2: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (AA’) ®−îc cho bëi: x = 1 + t Qua A(1; 1; 1) Qua A 

(AA’):  ⇔ (AA’):  ⇔ (AA’): y = 1 + t .  vtcp n(1; 1; 0) (AA') ⊥ (P) z = 1 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Khi ®ã:

Víi a = 2b th× n R (2b; b; 0) chän n R (2; 1; 0) , tõ ®ã: Qua M (1; 1; 4 ) ⇔ (R1): 2x + y − 3 = 0.

(R1 ) : 

 vtpt n R (2; 1; 0)

Víi b = 2a th× n R (a; 2a; 0) chän n R (1; 2; 0) , tõ ®ã: Qua M (1; 1; 4 ) (R2 ) :  ⇔ (R2): x + 2y − 3 = 0.

 vtpt n R (1; 2; 0) VËy, tån t¹i hai mÆt ph¼ng (R1), (R2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. e. Gäi (S) lµ mÆt cÇu cÇn dùng, suy ra (S) chÝnh lµ mÆt cÇu ®−êng kÝnh AA’ víi A’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (P). Ta lÇn l−ît: X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm A’(x; y; z) b»ng viÖc sö dông mét trong c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã: A ' ∈ (P) A ' ∈ (P)

⇔   AA '(x − 1; y − 1; z − 1) // n(1; 1; 0) AA ' ⊥ (P)

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

48

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

D

IỄ N

Đ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

TO

ÁN

V× I ∈ (∆) nªn I(u + 5; u + 1; 1), ta lÇn l−ît cã: V× FI ⊥ (d) nªn:

FI ⊥ u ⇔ FI.u = 0 ⇔ 3 + t = 0 ⇔ t = −3 ⇒ F(1; 1; 1).

V× FI = IE nªn: FI2 = IE2 ⇔ (u + 4)2 + u2 = u2 + u2 ⇔ 8u + 16 = 0 ⇔ u = −2.

Tõ ®ã, mÆt cÇu (T) víi t©m T(3; −1; 1), b¸n kÝnh R = 2 2 cã d¹ng: 2 2 2 (T) : ( x − 3) + ( y + 1) + ( z − 1) = 8.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

C¸ch 3: MÆt cÇu (S) víi ®−êng kÝnh AA’ gåm: N(x; y; z) ∈ (S) ⇔ ∆NAA’ vu«ng t¹i N ⇔ AN2 + A’N2 = AA’2 ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 + (x − 3)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = 8 ⇔ x2 + y2 + z2 − 4x − 4y − 2z + 7 = 0. §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cÇn t×m. f. Gi¶ sö mÆt cÇu (S) cÇn dùng cã t©m I(a; b; c), khi ®ã I thuéc mÆt ph¼ng: Qua A(1; 1; 1) Qua A

⇔ (PA ) :  ⇔ (PA): z − 1 = 0.

(PA ) :   vtpt u(0; 0; 1) (PA ) ⊥ (d) Ta lÇn l−ît cã: I ∈ (PA) ⇒ c − 1 = 0 ⇔ c = 1.

AI = R ⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 = 8 ⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 = 8. (*) a+b−6  b = 10 − a d(I, (P)) = R ⇔ . =2 2 ⇔ a +b−6 =4 ⇔  2 2 1 +1 b = 2 − a Tõ ®ã: Víi b = 10 − a thay vµo (*) ta ®−îc: (a − 1)2 + (9 − a)2 = 8 ⇔ 2a2 − 20a + 76 = 0, v« nghiÖm.

Víi b = 2 − a thay vµo (*) ta ®−îc: a = 3 ⇒ b = −1 ⇒ I1 (3; − 1; 1) . (a − 1)2 + (1 − a)2 = 8 ⇔ (a − 1)2 = 4 ⇔  a = −1⇒ b = 3 ⇒ I2 (−1; 3; 1) Khi ®ã: Víi t©m I1(3; −1; 1) ta ®−îc mÆt cÇu (S1) cã ph−¬ng tr×nh: (S1): (x − 3)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = 8.

Víi t©m I2(−1; 3; 1) ta ®−îc mÆt cÇu (S2) cã ph−¬ng tr×nh: (S2): (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = 8.

VËy, tån t¹i hai mÆt cầu (S1), (S2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. g. Gi¶ sö mÆt cÇu (T) cÇn dùng cã t©m I, b¸n kÝnh R vµ tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng (d) t¹i F. V× F ∈ (d) nªn F(1; 1; 4 + t).

Gäi (∆) lµ ®−êng th¼ng qua E vµ vu«ng gãc víi (P), ta cã: x = 5 + u Qua E(5;1;1) 

(∆):  ⇔ (∆): y = 1 + u , u ∈ ℝ .  vtcp n (1;1; 0 ) z = 1 

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

49

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh:

Ơ

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

H

Ó

A

10 00

B

VËy, ta thÊy (d) c¾t (P) t¹i ®iÓm A(1; 1; 1).

Gäi α lµ gãc t¹o bëi (d) vµ (P), ta cã: 2.1 + 2.3 + 1.1 3 . = sin α = 2 2 2 2 2 2 11 2 + 2 +1 . 1 + 3 +1 b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn (P), ta cã:

-L

Í-

Qua M(2;4;2) Qua M

(MH):  ⇔ (MH):  ⇔ (MH):  MH ⊥ (P)  vtcp n ( 2;2; 1)

ÁN

V× {H} = (MH) ∩ (P) nªn to¹ ®é H lµ nghiÖm hÖ ph−¬ng tr×nh: x = 0  x = 2 + 2t  x = 2 + 2t y = 2  y = 4 + 2t  y = 4 + 2t    ⇔  ⇔   z = 2 + t z = 2 + t z = 1 2x + 2y + z − 5 = 0 2(2 + 2t) + 2(4 + 2t) + (2 + t) − 5 = 0 t = −1

TO ÀN Đ

 x = 2 + 2t   y = 4 + 2t , t ∈ ℝ . z = 2 + t 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

§−êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm M(2; 4; 2) vµ cã vtcp u(1; 3; 1) .

MÆt ph¼ng (P) cã vtpt n (2; 2; 1). a. XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh t¹o bëi (d) vµ (P): x = 1  y = 3x − 2 x − 2 y − 4 z − 2 = =    ⇔ y = 1 .

3 1 ⇔ z = x  1  2x + 2y + z − 5 = 0  2x + 2(3x − 2) + x − 5 = 0 z = 1  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ta cã:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

ẠO

Gi¶i

IỄ N D

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

a. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng (d) c¾t mÆt ph¼ng (P) t¹i ®iÓm A. T×m to¹ ®é A, tÝnh gãc gi÷a (d) vµ (P). b. ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn (P). c. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) ®i qua A, n»m trong mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (d). d. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa (d) vµ t¹o víi (P) mét gãc cã sè ®o nhá nhÊt. e. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh b»ng 3, t©m thuéc ®−êng th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi (P).

N

x−2 y−4 z−2 = = , (P): 2x + 2y + z − 5 = 0.

1 3 1

H

(d) :

N

VÝ dô 33:

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ H(0; 2; 1).

50

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N

U Y

H

Ó

A

Tõ ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn (P) gåm c¸c ®iÓm M(x; y; z) tho¶ m·n hÖ:  x + y − 4z + 2 = 0  x + y − 4z + 2 = 0 ⇔  .

(1)  2x + 2y + z − 5 = 0  x + y + 5z − 7 = 0

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

B»ng viÖc ®Æt x = t, ta biÕn ®æi hÖ (1) vÒ d¹ng: x = t x = t    x + y − 4z + 2 = 0 ⇔  y = 2 − t , t ∈ ℝ .  x + y + 5z − 7 = 0 z = 1   §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng (d1) cÇn dùng. c. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gäi u ∆ lµ mét vtcp cña ®−êng th¼ng (∆), ta cã:

 u ∆ ⊥ u  ⇒ u ∆ =  u, n  = (−1; − 1; 4) .  u ∆ ⊥ n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Tõ ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn (P) ®−îc cho bëi: x = 1 − t Qua A(1;1;1) Qua A (1; 1; 1) 

(d1):  ⇔ (d1):  ⇔ (d1): y = 1 + t , t ∈ ℝ . Qua H(0; 2; 1)  vtcp AH ( −1;1; 0 ) z = 1 

C¸ch 3: Gäi (P’) víi vtpt n ' lµ mÆt ph¼ng chøa (d) vµ vu«ng gãc víi (P), ta cã:

 n ' ⊥ u  ⇒ n ' =  u, n  = (−1; − 1; 4) chän n '(1; 1; − 4) .  n ' ⊥ n Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P’) ®−îc cho bëi: Qua M ( 2; 4; 2 ) (P’):  ⇔ (P’): x + y − 4z + 2 = 0.

 vtpt n '(1; 1; − 4)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

C¸ch 2: Gäi H(x; y; z) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn (P), ta cã: x = 0 2x + 2y + z − 5 = 0 y = 2   H ∈ (P)  H ∈ (P)   x − 2 = 2k

⇒ H(0; 2; 1). ⇔ ⇔ ⇔    MH // n  MH = kn  y − 4 = 2k z = 1  z − 2 = k  k = −1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tõ ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d1) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn (P) ®−îc cho bëi: x = 1 − t Qua A(1;1;1) Qua A (1; 1; 1) 

(d1):  ⇔ (d1):  ⇔ (d1): y = 1 + t , t ∈ ℝ . vtcp AH 1;1; 0 − ( ) Qua H(0; 2; 1)  z = 1 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

51

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

⇔ 25a2 + 130ab + 169b2 = 0 ⇔ (5a + 13b)2 = 0 ⇔ 5a = −13b.

Chän a = 12 ta ®−îc b = −5 vµ c = 2 nªn n Q (13; − 5; 2) .

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) ®−îc cho bëi: Qua A(1; 1; 1)

(Q):  ⇔ (Q): 13x − 5y + 2z − 10 = 0.  vtpt n Q (13; − 5; 2) C¸ch 2: Gäi (Q) lµ mÆt ph¼ng cÇn dùng, nhËn xÐt r»ng: g((Q), (P)) ≤ g((d), (P)) ⇒ Min[g((Q), (P))] = g((d), (P)) = α.

Gäi n Q (a; b; c) lµ mét vtpt cña mÆt ph¼ng (Q), ta lÇn l−ît cã:

 n Q ⊥ u

 ⇒ n Q =  u ∆ , u  = (−13; 5; − 2) .  n Q ⊥ u ∆

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔ 11[ 2a + 2b + (−a − 3b)] = 18(a 2 + b 2 + c 2 )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) ®−îc cho bëi: x = 1 + t Qua A(1;1;1) 

(∆):  ⇔ (∆): y = 2 , t ∈ ℝ .  vtcp u ∆ ( −1; − 1; 4 ) z = 1 − t  C¸ch 2: Gäi (R) lµ mÆt ph¼ng tháa m·n:  qua A(1;1;1)  qua A

(R):  ⇔ (R):  ⇔ (R): x + 3y + z − 5 = 0.  vtpt u(1;3;1) (R) ⊥ (d) Khi ®ã, ®−êng th¼ng (∆) chÝnh lµ giao tuyÕn cña (P) vµ (R) gåm c¸c ®iÓm M(x; y; z) tho¶ m·n hÖ:  x + 3y + z − 5 = 0 2x + y + 2z − 6 = 0 .

(2) ⇔   x − y + z = 0 2x + 2y + z − 5 = 0 B»ng viÖc ®Æt x = t, ta biÕn ®æi hÖ (2) vÒ d¹ng: x = t x = t   ,t∈ ℝ.  t + 3y + z − 5 = 0 ⇔  y = t 2t + 2y + z − 5 = 0  z = 5 − 4t   §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng (∆) cÇn dùng. d. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gäi (Q) lµ mÆt ph¼ng cÇn dùng, nhËn xÐt r»ng: g((Q), (P)) ≤ g((d), (P)) ⇒ Min[g((Q), (P))] = g((d), (P)) = α.

Gäi n Q (a; b; c) lµ mét vtpt cña mÆt ph¼ng (Q), ta lÇn l−ît cã:

n Q ⊥ u ⇔ n Q .u = 0 ⇔ a + 3b + c = 0 ⇔ c = −a − 3b.

2 n Q .n 2a + 2b + c  3  = cos α ⇔ = 1 −

  nQ . n  11  a 2 + b 2 + c2 . 22 + 22 + 12

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

52

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

TR ẦN

 x = 2 + 2t x −1 1 − y 3 − z  (d1 ) :  y = 1 − t , t ∈ ℝ vµ (d 2 ) : = = .

2 1 2  z = 1 − 2t 

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

a. Chøng minh r»ng hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) song song víi nhau. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1) vµ (d2). b. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ (d2). c. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) n»m trong mÆt ph¼ng (P) vµ song song, c¸ch ®Òu (d1), (d2). d. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa (d1) vµ c¸ch (d2) mét kho¶ng b»ng 1. e. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt tiÕp xóc víi (d1) vµ tiÕp xóc víi (d2) t¹i ®iÓm B(3; 0; 1). f. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi (d1), (d2) vµ cã t©m thuéc x y −1 z − 3 ®−êng th¼ng (∆ ) : = = .

1 2 2

TO

Gi¶i

D

IỄ N

Đ

ÀN

a. Ta cã:

§−êng th¼ng (d1) cã vtcp u1 (2; − 1; − 2) vµ ®i qua ®iÓm M1(2; 1; 1).

§−êng th¼ng (d2) cã vtcp u 2 (2; − 1; − 2) vµ ®i qua ®iÓm M2(1; 1; 3).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Cho hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph−¬ng tr×nh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

VÝ dô 34:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

U Y

N

H

Ơ

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) ®−îc cho bëi: A(1; 1; 1) Qua (Q):  ⇔ (Q): 13x − 5y + 2z − 10 = 0.  vtpt n Q (13; − 5; 2) e. Gi¶ sö mÆt cÇu (S) cÇn dùng cã t©m I, v× I ∈ (d) nªn I(t + 2; 3t + 4; t + 2). §Ó (S) tiÕp xóc víi (P) ®iÒu kiÖn lµ: 2(t + 2) + 2(3t + 4) + (t + 2) − 5 d(I, (P)) = R ⇔ =3 22 + 22 + 12 ⇔ t + 1 = 1 ⇔ t1 = 0 hoÆc t2 = −2.

Khi ®ã: Víi t1 = 0 th× I1(2; 4; 2), tõ ®ã ta ®−îc:  T©m I1 ( 2; 4; 2 ) ⇔ (S1): (x − 2)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 9.

(S1):   B¸n kÝnh R=3 Víi t2 = −2 th× I2(0; −2; 0), tõ ®ã ta ®−îc:  T©m I 2 ( 0; − 2; 0 ) (S2):  ⇔ (S2): x2 + (y + 2)2 + z2 = 9.

B¸n kÝnh R=3  VËy, tån t¹i hai mÆt cÇu (S1), (S2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

53

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

§Ó d((d2), (Q)) = 1 ®iÒu kiÖn lµ: d(M2, (Q)) = 1 ⇔

A + B + 3C + D A +B +C 2

2

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Khi ®ã, ta ®−îc ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P): 2x + 2y + z − 7 = 0. 3  c. Gäi M lµ trung ®iÓm M1M2, suy ra M  ; 1; 2  . 2  Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) cÇn dùng ®−îc cho bëi: Qua M ( 3 / 2; 1; 2 ) x − 3 / 2 y −1 z − 2 (d):  = = . ⇔ (d) :

2 −1 −2  vtcp u1 (2; − 1; − 2) d. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: LÊy thªm ®iÓm A(0; 2; 3) thuéc (d1), gi¶ sö mÆt ph¼ng (Q) cã ph−¬ng tr×nh: (Q): Ax + By + Cz + D = 0, víi A2 + B2 + C2 > 0.

Ta lÇn l−ît cã: V× A, M1 thuéc (Q) nªn:  2B + 3C + D = 0  B = 2A − 2C ⇔  .   2A + B + C + D = 0  D = −4A + C

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

C¸ch 1: Gäi n P lµ mét vtpt cña mÆt ph¼ng (P), ta cã:

 n P ⊥ M1 M 2 ⇒ n P =  M1 M 2 , u 2  = (2; 2; 1) .   n P ⊥ u 2 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®−îc cho bëi: Qua M1 (2;1;1)

(P):  ⇔ (P): 2x + 2y + z − 7 = 0.  vtpt n P (2;2;1) C¸ch 2: LÊy thªm ®iÓm A(0; 2; 3) thuéc (d1), gi¶ sö mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh: (P): Ax + By + Cz + D = 0, víi A2 + B2 + C2 > 0.

Tõ ®iÒu kiÖn A, M1, M2 thuéc (P) ta ®−îc:  2B + 3C + D = 0 A = B A = B A = B = 2 Chän A=2     ⇔ C = 1 .  2A + B + C + D = 0 ⇔ C + D = −3A ⇔  2C = A  A + B + 3C + D = 0 3C + D = −2A  2D = −7A  D = −7    

N

NhËn xÐt r»ng c¸c vect¬ u1 , u 2 cïng ph−¬ng vµ ®iÓm M1 kh«ng thuéc (d2) nªn hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) song song víi nhau.

Ta cã:

 M1 M 2 , u 2    d((d1), (d2)) = d(M1, (d2)) = =1.

u2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

= 1 ⇔ 4A2 − 4AC + C2 = 0 ⇔ C = 2A.

54

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

-L

C¸ch 2: V× A ∈ (d1) nªn:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

A(2 + 2t ; 1 − t ; 1 − 2t) ⇒ AB(1 − 2t; t − 1; 2t) .

Tõ ®iÒu kiÖn AB ⊥ (d1 ) ta cã:

1 AB ⊥ u1 ⇔ AB.u1 = 0 ⇔ 2(1 − 2t) − (t − 1) − 2.2t = 0 ⇔ t = 3  1 2 2  8 2 1 ⇒ A  ; ;  vµ AB  ; − ;  nªn AB = 1. 3 3 3 3 3 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

H

Ó

A

x = 8 / 3 y = 2 / 3  8 2 1 ⇒ A  ; ;  vµ AB = 1. ⇔ 3 3 3 z = 1/ 3 t = 1/ 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

e. Gäi A lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B trªn (d1) th× mÆt cÇu (S) cÇn dùng chÝnh lµ mÆt cÇu ®−êng kÝnh AB. Ta lÇn l−ît: X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm A b»ng viÖc sö dông mét trong c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã: Qua B(3;0;1) Qua B

(P’):  ⇔ (P’):  ⇔ (P’): 2x − y − 2z − 4 = 0. (R) ⊥ (d1 )  vtpt u1 ( 2; − 1; − 2 ) V× {A} = (d1) ∩ (P’) nªn to¹ ®é A lµ nghiÖm hÖ ph−¬ng tr×nh:  x = 2 + 2t  x = 2 + 2t y = 1 − t y = 1 − t   ⇔   z = 1 − 2t  z = 1 − 2t 2x − y − 2z − 4 = 0 2(2 + 2t) − (1 − t) − 2(1 − 2t) − 4 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

U Y

N

H

Ơ

N

Khi ®ã chän A = 1 ta ®−îc C = 2, B = −2 vµ D = −2 nªn: (Q): x − 2y + 2z − 2 = 0.

C¸ch 2: Tõ gi¶ thiÕt ta thÊy: (d ) ⊂ (Q) 1 = d((d1), (d2)) = d((Q), (d2)) ⇒  1 . (P) ⊥ (Q)

Gäi n Q lµ mét vtpt cña mÆt ph¼ng (Q), ta cã:

n Q =  u1 , n P  = (3; − 6; 6) chän n Q (1; − 2; 2) .

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) ®−îc cho bëi: Qua M1 (2;1;1)

(Q):  ⇔ (Q): x − 2y + 2z − 2 = 0.  vtpt n Q (1; − 2;2)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

55

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®−êng kÝnh AB ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

N

2

Ơ

2

Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc cho bëi:   1  2 1 2601 2  T©m I  − ; 0; 2   2 (S):  .  2  ⇔ (S) :  x −  + y + ( z − 2 ) = 2 16   R = 51/ 4 

B

10 00

A

Ó

Cho hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph−¬ng tr×nh:

-L

Í-

H

 x = −1 + 2t  x = 3 + 2u   (d1 ) :  y = −1 + 2t , t ∈ ℝ vµ (d2 ) :  y = 2 + u , u ∈ ℝ . z = 1 + t  z = 4 + 2u  

Đ

ÀN

TO

ÁN

a. Chøng minh r»ng (d1) c¾t (d2) t¹i ®iÓm M. T×m to¹ ®é cña M vµ tÝnh gãc gi÷a (d1), (d2). b. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ (d2). c. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa (d1) vµ t¹o víi (d2) mét gãc lín nhÊt. d. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) chøa (d1) vµ t¹o víi (d2) mét gãc α biÕt sin α = 4 / 9 . e. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi (d1) vµ (d2).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

§é dµi b¸n kÝnh R cña mÆt cÇu (S) ®−îc cho bëi:

 M1 I, u1    51 R = d(I, (d1)) = = .

4 u1

TR ẦN

VÝ dô 35:

IỄ N D

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

17   1  2 1  ⇔ (S) :  x −  +  y −  +  z −  = .

6  3  3 4  f. V× (d1) vµ (d2) song song víi nhau nªn t©m I cña mÆt cÇu (S) thuéc mÆt ph¼ng (R) song song, c¸ch ®Òu (d1), (d2) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa (d1), (d2).

Ta lÇn l−ît: Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®−îc cho bëi:  3  Qua M  2 ; 1; 2    ⇔ (R): 2x − 4y + 4z − 7 = 0.

(R):   vtp n (1; − 2; 2) Q  V× {I} = (∆) ∩ (R) nªn to¹ ®é I lµ nghiÖm hÖ ph−¬ng tr×nh:  y = 2x + 1  x y −1 z − 3 =  =   1  ⇔  z = 2x + 3 ⇒ I  − ; 0; 2  2 2 1 2    2x − 4y + 4z − 7 = 0  2x − 4y + 4z − 7 = 0 

H

2

  17 1 2   T©m I  ; ;   6 3 3   R = 1/ 2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 T©m I lµ trung ®iÓm AB  (S):  ⇔ (S): AB  B¸n kÝnh R = 2

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

56

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

f. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh R = 17 tiÕp xóc víi (d1), (d2) t¹i ®iÓm M. g. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi c¶ (d1), (d2) vµ cã t©m thuéc ®−êng th¼ng (∆) cã ph−¬ng tr×nh:

TR ẦN

H Ư

u1 .u 2 8 Gäi α lµ gãc t¹o bëi hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2), ta cã cosα = = .

9 u1 . u 2

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

C¸ch 1: Gäi n P lµ mét vtpt cña mÆt ph¼ng (P), ta cã:

n P =  u1 , u 2  = (3; − 2; − 2) .

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®−îc cho bëi: Qua M1 (−1; − 1;1)

(P):  ⇔ (P): 3x − 2y − 2z + 3 = 0.  vtpt n P (3; − 2; − 2) C¸ch 2: Gi¶ sö mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh: (P): Ax + By + Cz + D = 0, víi A2 + B2 + C2 > 0.

Tõ ®iÒu kiÖn M, M1, M2 thuéc (P) ta ®−îc:  A + B + 2C + D = 0  B + 2C + D = −1 Chän A=1   ⇔ −B + C + D = 1 ⇔ −A − B + C + D = 0 3A + 2B + 4C + D = 0  2B + 4C + D = −3  

2  B = C = 3.   D = 1

D

IỄ N

Đ

ÀN

Khi ®ã, ta ®−îc ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P): 3x − 2y − 2z + 3 = 0. c. Ta cã nhËn xÐt: g((d2), (Q)) ≤ g((d2), (d1))

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

N

G

Đ

 −1 + 2t = 3 + 2u   −1 + 2t = 2 + u ⇒ t = 1 ⇒ (d1) ∩ (d2) = {M(1; 1; 2)}. 1 + t = 4 + 2u 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

§−êng th¼ng (d2) cã vtcp u 2 (2; 1; 2) vµ ®i qua ®iÓm M2(3; 2; 4). a. B»ng c¸ch thay ph−¬ng tr×nh tham sè cña (d2) vµo (d1), ta ®−îc:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

§−êng th¼ng (d1) cã vtcp u1 (2; 2; 1) vµ ®i qua ®iÓm M1(−1; −1; 1).

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta cã:

.Q

Gi¶i

U Y

N

H

Ơ

N

 x = −2 + v  (∆) :  y = 0 , v∈ℝ .  z = 1 − 2v 

57

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

do ®ã Max[g((d2), (Q))] = g((d2), (d1)) ®¹t ®−îc khi (d1) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d2) trªn (Q), tøc lµ:

 n Q ⊥ n P

(Q) ⊥ ((d1), (d2)) = (P) ⇒  ⇒ n Q =  n P , u1  = (2; − 7; 10).  n Q ⊥ u1

N Ơ H

H Ư

TR ẦN

⇔ 44a2 + 20ab − b2 = 0 ⇔ b = −2a hoÆc b = 22a.

Khi ®ã:

Víi b = −2a th× c = 2a nªn n R (a; − 2a; 2a) chän n R (1; − 2; 2) , tõ ®ã ta ®−îc: Qua M1 (−1; − 1;1)

(R1 ) :  ⇔ (R1): x − 2y + 2z − 3 = 0.  vtpt n R (1; − 2;2)

Víi b = 22a th× c = −46a nªn n R (a; 22a; − 46a) chän n R (1; 22; − 46) , tõ ®ã ta ®−îc: Qua M1 (−1; − 1;1)

(R2 ) :  ⇔ (R2): x + 22y − 46z + 69 = 0.  vtpt n R (1;22; − 46) VËy, tån t¹i hai mÆt ph¼ng (R1), (R2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. e. Gäi N ∈ (d2) sao cho MN = MM1, ta lÇn l−ît cã: N(3 + 2u; 2 + u; 4 + 2u), MN 2 = MM12 ⇔ (2u + 2)2 + (u + 1)2 + (2u + 2)2 = 9 ⇔ 9(u + 1)2 = 9

⇔ u + 1 = ±1 ⇔ u1 = 0 hoÆc u2 = −2.

Khi ®ã:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

(1)

⇔ 16(a 2 + b 2 ) + 16(−2a − 2b) 2 = 9 [ 2a + b + 2(−2a − 2b)]

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

V× g((d2), (R)) = α cã sin α = nªn: 9

n Q .u 2 2a + b + 2c 4 ⇔ 16(a2 + b2 + c2) = 9(2a + b + 2c)2 = = 9 n Q . u 2 3 a 2 + b 2 + c2

U Y

.Q

V× (d1) thuéc (R) nªn:

n R ⊥ u1 ⇔ n R .u1 = 0 ⇔ 2a + 2b + c = 0 ⇔ c = −2a − 2b. (1)

TP

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) ®−îc cho bëi: Qua M1 (−1; − 1;1)

(Q) :  ⇔ (Q): 2x − 7y + 10z − 15 = 0.  vtpt n Q (2; − 7;10)

d. Gi¶ sö mÆt ph¼ng (R) cã vtpt n R (a; b; c) , ta lÇn l−ît cã:

58

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 1 5 Víi u1 = 0 th× N1(3; 2; 4) vµ trung ®iÓm cña M1N1 lµ K1 1; ;  , tõ ®ã ta  2 2 ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c (∆1):

N Ơ H

Ó

A

10 00

B

V× t©m I thuéc (∆) nªn I(1 + 3t; 1 − 2t; 2 − 2t), tõ ®ã: IM = R ⇔ IM2 = R2 ⇔ 9t2 + 4t2 + 4t2 = 17 ⇔ t2 = 1 ⇔ t1, 2 = ±1.

Khi ®ã: Víi t1 = 1 th× I1(4; −1; 0), tõ ®ã ta ®−îc: T©m I1 ( 4; − 1;0 ) ⇔ (S1): (x − 4)2 + (y + 1)2 + z2 = 17.

(S1):   B¸n kÝnh R= 17

H

Víi t2 = −1 th× I2(−2; 3; 4), tõ ®ã ta ®−îc: T©m I2 ( −2; 3; 4 ) (S2):  ⇔ (S2): (x + 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = 16.  B¸n kÝnh R= 17

ÁN

-L

Í-

VËy, tån t¹i hai mÆt cÇu (S1), (S2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

g. Ta lÇn l−ît: Víi ®−êng ph©n gi¸c (∆1) ta cã ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ph©n gi¸c (Q1): Qua M (1; 1; 2 ) (Q1):  ⇔ (Q1): 4x + 3y + 3z − 13 = 0.

 vtpt M1 N1 ( 4; 3; 3)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

G

TR ẦN

H Ư

N

f. MÆt cÇu (S) cÇn dùng víi t©m I sÏ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P) t¹i M. Gäi (∆) lµ ®−êng th¼ng qua M vµ vu«ng gãc víi (P), ta cã:  x = 1 + 3t Qua M (1; 1; 2 )  (∆):  ⇔ (∆ ) :  y = 1 − 2t , t ∈ ℝ .

 vtcp n P (3; − 2; − 2)  z = 2 − 2t 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

1 1  Víi u2 = −2 th× N2(−1; 0; 0) vµ trung ®iÓm cña M1N2 lµ K 2  −1; − ;  , tõ 2 2  ®ã ta ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c (∆2): Qua M (1; 1; 2 )  x = 1 + 4t    3 3  (∆2):  ⇔ (∆ 2 ) :  y = 1 + 3t , t ∈ ℝ .  z = 2 + 3t  vtcp MK 2  2; ;  chän vtcp ( 4; 3; 3)  2 2  

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Qua M (1; 1; 2 ) (∆1): 

 vtcp MK1 ( 0; 1/ 2; − 1/ 2 ) chän vtcp ( 0; 1; − 1) x = 1  ⇔ (∆1 ) :  y = 1 + t , t ∈ ℝ . z = 2 − t 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

59

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H

ÁN TO ÀN Đ

a. Chøng minh r»ng hai ®−êng th¼ng (d1), (d2) chÐo nhau. TÝnh kho¶ng c¸ch vµ gãc gi÷a chóng. b. ViÕt ph−¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng (Q1), (Q2) theo thø tù chøa (d1), (d2) vµ song song víi nhau. c. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) song song vµ c¸ch ®Òu (d1), (d2).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x = 1 x = 1 + u   (d1 ) :  y = t ,t ∈ ℝ , (d2 ) :  y = 0 , u ∈ ℝ . z = 1 z = 2  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Í-

Cho hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph−¬ng tr×nh:

-L

VÝ dô 36:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

H

Ó

A

Tõ ®ã, ta cã ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (T2) nh− sau: (T2 ) : (x + 2)2 + y 2 + (z − 1)2 = 2 .

VËy, tån t¹i hai mÆt cÇu (T1), (T2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

IỄ N D

TP

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

Tõ ®ã, ta cã ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (T1) nh− sau: (T1 ) : (x + 11)2 + y 2 + (z − 19)2 = 424 .

Víi ®−êng ph©n gi¸c (∆2) ta cã ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ph©n gi¸c (Q2): Qua M (1; 1; 2 ) (Q2):  ⇔ (Q2): y − z + 1 = 0.

 vtpt M1 N 2 ( 0; 1; − 1) Khi ®ã, ta cã: c. To¹ ®é t©m T2 cña mÆt cÇu (T2) lµ nghiÖm cña hÖ:  x = −2 + v  x = −2 y = 0 y = 0   ⇒ T2(−2; 0; 1). ⇔    z = 1 − 2v z = 1  v = 0  y − z + 1 = 0 d. B¸n kÝnh R2 ®−îc cho bëi:

 M1T2 , u1    R1 = d(T2, (d1)) = = 2.

u1

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Khi ®ã, ta cã: a. To¹ ®é t©m T1 cña mÆt cÇu (T1) lµ nghiÖm cña hÖ:  x = −11  x = −2 + v y = 0 y = 0   ⇒ T1(−11; 0; 19). ⇔    z = 19  z = 1 − 2v  v = 9  4x + 3y + 3z − 13 = 0 b. B¸n kÝnh R1 ®−îc cho bëi:

 M1T1 , u1    = 424 .

R1 = d(T1, (d1)) =

u1

.Q

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

60

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

d. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0; 1; 0) c¾t c¶ (d1), (d2). e. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng c¾t c¶ (d1), (d2) vµ song song víi

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

N

G

a. Ta cã:

§−êng th¼ng (d1) cã vtcp u1 (0; 1; 0) vµ ®i qua ®iÓm M1(1; 0; 1).

§−êng th¼ng (d2) cã vtcp u 2 (1; 0; 0) vµ ®i qua ®iÓm M2(1; 0; 2).

NhËn xÐt r»ng:

 u1 , u 2  .M1M 2 = 1 ⇒ (d1) vµ (d2) chÐo nhau.  

Qua M 2 (1; 0; 2)

(Q2):  ⇔ (Q2): z − 2 = 0.  vtpt n(0; 0; 1)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Kho¶ng c¸ch gi÷a (d1) vµ (d2) ®−îc cho bëi:

 u1 ,u 2  .M1M 2   = 1. d((d1), (d2)) =

 u1 ,u 2    C«sin gãc α gi÷a hai ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) ®−îc cho bëi:

u1 .u 2 π cosα = = 0 ⇔ α = .

2 u1 . u 2

b. Gäi n lµ vect¬ tho¶ m·n:

 n ⊥ u1  ⇒ n =  u1 , u 2  = (0; 0; − 1) chän n(0; 0; 1) .  n ⊥ u 2 Khi ®ã, ta lÇn l−ît cã: Qua M1 (1; 0; 1)

(Q1):  ⇔ (Q1): z − 1 = 0;  vtpt n(0; 0; 1)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

Đ

Gi¶i

ẠO

(d1) t¹i ®iÓm C1(1; 1; 1) vµ tiÕp xóc víi (d2).

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

x −1 y z −1 = = .

1 1 1 j. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh R = 5 / 2 tiÕp xóc víi

thuéc ®−êng th¼ng (∆ 2 ) :

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

f. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm B(2; 1; 2) vµ vu«ng gãc víi c¶ (d1), (d2). g. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2). h. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt tiÕp xóc víi c¶ (d1) vµ (d2). i. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi c¶ (d1), (d2) vµ cã t©m

N

x y +1 z −1 = = .

1 1 −1

N

®−êng th¼ng (∆1 ) :

61

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Khi ®ã, ®−êng th¼ng (a) ®−îc cho bëi: Qua A(0;1;0) x y −1 z

= . ⇔ (a) : = (a):  2 2 −1  vtcp AN ( 2; − 1; 2 ) C¸ch 2: Gi¶ sö (a) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng, khi ®ã (a) lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1) vµ (P2), trong ®ã: Qua A Qua A (P1):  vµ (P2):  . (d1 ) ⊂ (P1 ) (d2 ) ⊂ (P2 ) Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P1) ®−îc cho bëi: Qua A(0;1;0) Qua A(0;1;0)

⇔ (P1 ) : 

(P1 ) :  ⇔ (P1): x − z = 0. CÆp vtcp AM1 vµ u1  vtpt n1 = (−1;0;1) Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P2) ®−îc cho bëi: Qua A(0;1;0) Qua A(0;1;0)

⇔ (P2): 

(P2):  CÆp vtcp AM 2 vµ u 2  vtpt n 2 = [ AM 2 , u 2 ] = (0;2;1) ⇔ (P2): 2y + z − 2 = 0.

VËy, ®−êng th¼ng (a) chøa c¸c ®iÓm M(x; y; z) tho¶ m·n hÖ: x − z = 0 .

(1)  2y + z − 2 = 0 B»ng viÖc ®Æt y = t, ta biÕn ®æi hÖ (1) vÒ d¹ng: y = t  x = 2 − 2t   ,t∈ ℝ. ⇔ y = t x − z = 0 2t + z − 2 = 0  z = 2 − 2t   §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng (a) cÇn dùng.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

3  c. Gäi M lµ trung ®iÓm M1M2 th× M  1; 0;  .

2  Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) ®−îc cho bëi: Qua M (1; 0; 3 / 2 ) (Q):  ⇔ (Q): 2z − 3 = 0.

 vtpt n(0; 0; 1) d. Ta cã thÓ lùa chän mét trong c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö (a) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng vµ (a) c¾t (d1) vµ (d2) theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm M, N. Khi ®ã:

§iÓm M ∈ (d1) suy ra M(1; t; 1) vµ AM(1; t − 1; 1) .

§iÓm N ∈ (d2) suy ra N(1 + u; 0; 2) vµ AN(u + 1; − 1; 2) .

Ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng ta ®−îc: 1 = k(u + 1)  1

t =  AM = kAN ⇔  t − 1 = − k ⇒  2 ⇒ N ( 2;0; 2 ) .  u = 1 1 = 2k 

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

62

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ÁN

TO

⇔ (P2): 2y + z − 2 = 0.

Täa ®é ®iÓm N ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch thay ph−¬ng tr×nh tham sè cña (d2) vµo ph−¬ng tr×nh (P1), ta ®−îc: 1  1  2t + 1 − 2 = 0 ⇔ t = ⇒ M  1; ; 1 .

2  2 

D

IỄ N

Đ

ÀN

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

C¸ch 4: Gi¶ sö (a) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng vµ (a) c¾t (d1) t¹i M. Gäi (P2) lµ tr×nh mÆt ph¼ng qua A vµ chøa (d2), ta cã: Qua A(0;1;0) Qua A(0;1;0)

⇔ (P2): 

(P2):  CÆp vtcp AM 2 vµ u 2  vtpt n 2 = [ AM 2 , u 2 ] = (0;2;1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

C¸ch 3: Gi¶ sö (a) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng vµ (a) c¾t (d2) t¹i N. Gäi (P1) lµ tr×nh mÆt ph¼ng qua A vµ chøa (d1), ta cã: Qua A(0;1;0) Qua A(0;1;0)

⇔ (P1 ) :  (P1 ) :  CÆp vtcp AM1 vµ u1  vtpt n1 = [ AM1 , u1 ] = (−1;0;1) ⇔ (P1): x − z = 0.

Täa ®é ®iÓm N ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch thay ph−¬ng tr×nh tham sè cña (d2) vµo ph−¬ng tr×nh (P1), ta ®−îc: 1 + u − 2 = 0 ⇔ u = 1 ⇒ N ( 2;0; 2 ) .

VËy, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (a) cã d¹ng: Qua A(0;1;0) x y −1 z

= . ⇔ (a) : = (a):  2 2 −1  vtcp AN ( 2; − 1; 2 )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

U Y

N

H

Ơ

N

Chóng ta cã thÓ tèi −u lêi gi¶i trong c¸ch 2 nh− sau:

Gi¶ sö (a) víi vtcp u a lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng, khi ®ã (a) lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1) vµ (P2), trong ®ã: Qua A Qua A (P1):  vµ (P2):  . (d1 ) ⊂ (P1 ) (d2 ) ⊂ (P2 )

MÆt ph¼ng (P1) cã vtpt n1 ®−îc cho bëi:

n1 = [ AM1 , u1 ] = (−1;0;1) .

MÆt ph¼ng (P2) cã vtpt n 2 ®−îc cho bëi:

n = [ AM 2 , u 2 ] = (0;2;1) .

2 vtcp u a cña ®−êng th¼ng (d) ®−îc cho bëi:

u a =  n1 , n 2  = (−2; 1; − 2) chän u(2; − 1; 2) .

Khi ®ã, ®−êng th¼ng (d) ®−îc cho bëi: Qua A(0;1;0) x y −1 z

= . (a):  ⇔ (a) : = 2 2 −1  vtcp u ( 2; − 1; 2 )

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

L−u ý:

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

63

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

C¸ch 2: Gi¶ sö (b) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng, khi ®ã (b) lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (R1) vµ (R2), trong ®ã: (∆ ) //(R1 ) ( ∆ ) //(R 2 ) vµ (R2):  1 .

(R1):  1 (d1 ) ⊂ (R1 ) (d2 ) ⊂ (R2 ) Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R1) ®−îc cho bëi: Qua M1 (1;0;1) Qua M1 (1;0;1)

⇔ (R1): 

(R1):  CÆp vtcp u ∆1 vµ u1  vtpt n R1 = [ u ∆1 , u1 ] = (−1;0;1) ⇔ (R1): x − z = 0.

Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R2) ®−îc cho bëi: Qua M 2 (1;0;2) Qua M 2 (1;0;2)

⇔ (R2): 

(R2):  CÆp vtcp u ∆1 vµ u 2  vtpt n R2 = [ n ∆1 , u1 ] = (0;1;1) ⇔ (R2): y + z − 2 = 0.

VËy, ®−êng th¼ng (∆) chøa c¸c ®iÓm M(x; y; z) tho¶ m·n hÖ: x − z = 0 .

(2)  y + z − 2 = 0 B»ng viÖc ®Æt x = t, ta biÕn ®æi hÖ (2) vÒ d¹ng: x = t x = t   ⇔ y = 2 − t , t ∈ ℝ . t − z = 0 y + z − 2 = 0 z = t   §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng (b) cÇn dùng.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

e. Ta cã thÓ lùa chän mét trong c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö (b) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng vµ (b) c¾t (d1) vµ (d2) theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm E, F. Khi ®ã: §iÓm E ∈ (d1) suy ra E(1; t; 1). §iÓm F ∈ (d2) suy ra F(1 + u; 0; 2).

V× EF song song víi ®−êng th¼ng (∆1) cã vtcp u ∆1 (1; − 1; 1) ta ®−îc:

u −t 1 EF = ku ∆1 ⇔ = = ⇒ t = u = 1 ⇒ E(1; 1; 1).

1 −1 1 Khi ®ã, ®−êng th¼ng (b) ®−îc cho bëi: x = 1 + t Qua E(1;1;1) 

(b):  ⇔ (b) : y = 1 − t , t ∈ ℝ . vtcp u 1; 1; 1 − )  ∆1 ( z = 1 + t 

N

VËy, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (a) cã d¹ng: Qua A(0;1;0) x y −1 z

= . (a):  ⇔ (a) : = 2 2 −1  vtcp AM (1; − 1 / 2; 1) chän (2; -1; 1)

64

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

TO

ÁN

D

IỄ N

Đ

ÀN

g. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö P, Q theo thø tù lµ ch©n ®−êng vu«ng gãc chung trªn (d1) vµ (d2) th×:

P(1; t; 1) vµ Q(1 + u; 0; 2) ⇒ PQ(u; − t; 1) .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Ơ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

VËy, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (b) cã d¹ng: Qua E(1;1;1) x −1 y −1 z −1

(b):  ⇔ (b) : = = .

1 1 −1  vtcp u ∆1 (1; − 1; 1)

f. Gi¶ sö (c) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng vµ (c) cã vtcp u c , ta cã:

 u c ⊥ u1 (c) ⊥ (d1 ) ⇔  ⇒ u c =  u1 , u 2  = (0; 0; − 1) .  (c) ⊥ (d 2 )  u c ⊥ u 2 VËy, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (c) cã d¹ng: x = 2 Qua B(2;1;2) 

(c):  ⇔ (c) : y = 1 , t ∈ ℝ . vtcp u 0;0; − 1 )  c( z = 2 − t 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

⇔ (R2): y + z − 2 = 0.

Täa ®é ®iÓm E ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch thay ph−¬ng tr×nh tham sè cña (d1) vµo ph−¬ng tr×nh (R2), ta ®−îc: t + 1 − 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ E (1;1; 1) .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

G

Đ

ẠO

C¸ch 4: Gi¶ sö (b) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng vµ (b) c¾t (d1) t¹i E. Gäi (R1) lµ mÆt ph¼ng song song víi (∆1) vµ chøa (d2), ta cã: Qua M 2 (1;0;2) Qua M 2 (1;0;2)

⇔ (R2): 

(R2):  CÆp vtcp u ∆1 vµ u 2  vtpt n R2 = [ n ∆1 , u1 ] = (0;1;1)

H

U Y

TP

.Q

VËy, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (b) cã d¹ng: Qua F(2;0;2) x−2 y z−2

(b):  ⇔ (b) : = = .

1 1 −1  vtcp u ∆1 (1; − 1; 1)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

C¸ch 3: Gi¶ sö (b) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng vµ (b) c¾t (d2) t¹i F. Gäi (R1) lµ mÆt ph¼ng song song víi (∆1) vµ chøa (d1), ta cã: Qua M1 (1;0;1) Qua M1 (1;0;1)

⇔ (R1): 

(R1):  CÆp vtcp u ∆1 vµ u1  vtpt n R1 = [ u ∆1 , u1 ] = (−1;0;1) ⇔ (R1): x − z = 0.

Täa ®é ®iÓm F ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch thay ph−¬ng tr×nh tham sè cña (d2) vµo ph−¬ng tr×nh (R1), ta ®−îc: 1 + u − 2 = 0 ⇔ u = 1 ⇒ F ( 2;0; 2 ) .

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

65

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tõ ®iÒu kiÖn:

 PQ ⊥ u1  PQ.u1 = 0 (d) ⊥ (d1 ) ⇔  ⇔  ⇔t=u=0  (d) ⊥ (d 2 )  PQ ⊥ u 2  PQ.u 2 = 0

N Ơ H

ÁN

Đ

ÀN

TO

§ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng (d) cÇn dùng.

C¸ch 3: Gäi (d) lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña (d1), (d2) vµ gi¶ sö (d) c¾t (d2) t¹i

Q, khi ®ã mét vtcp u cña (d) tháa m·n:

u =  u1 , u 2  = (0; 0; − 1) .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

B»ng viÖc ®Æt z = t, ta biÕn ®æi hÖ (*) vÒ d¹ng: z = t x = 1   x − 1 = 0 ⇔ y = 0 , t ∈ ℝ . y = 0 z = t  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ó

A

(*)

H

x − 1 = 0 .  y = 0

10 00

B

⇔ (α2): y = 0.

V× (d) chÝnh lµ giao tuyÕn cña (α1) vµ (α2) nªn ®−êng th¼ng (d) cÇn dùng chøa c¸c ®iÓm M(x; y; z) tho¶ m·n hÖ:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H Ư

⇔ (α1): x − 1 = 0.

Gäi (α2) lµ mÆt ph¼ng chøa (d) vµ (d2), khi ®ã: Qua M 2 (1;0;2) Qua M 2 (1;0;2)

⇔ (α2):  (α2):  CÆp vtcp u vµ u 2  vtpt n 2 =  u, u 2  = (0; − 1; 0)

TR ẦN

IỄ N D

U Y

N

G

Đ

ẠO

Ta lÇn l−ît: Gäi (α1) lµ mÆt ph¼ng chøa (d) vµ (d1), khi ®ã: Qua M1 (1;0;1) Qua M1 (1;0;1)

⇔ (α1):  (α1):    vtpt n u, = CÆp vtcp u vµ u1 1  u1  = (1; 0; 0) 

TP

.Q

C¸ch 2: Gäi (d) lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2), khi ®ã mét vtcp u

cña (d) tháa m·n u =  u1 , u 2  = (0; 0; − 1) .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ P(1; 0; 1) vµ Q(1; 0; 2).

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung (d) ®−îc cho bëi: x = 1 Qua P (1; 0; 1)  (d):  ⇔ (d) : y = 0 , t ∈ ℝ .

 vtcp PQ ( 0; 0; 1) z = 1 + t 

66

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

Gäi (β2) lµ mÆt ph¼ng chøa (d2) vµ vu«ng gãc víi (d1), khi ®ã: qua M 2 (1;0; 2)

(β2):  ⇔ (β2): y = 0.  vtpt u 2 (0; 1; 0)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

C¸ch 5: Tõ kÕt qu¶ c©u a) ((d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi nhau), ta lÇn l−ît cã: Gäi (β1) lµ mÆt ph¼ng chøa (d1) vµ vu«ng gãc víi (d2), khi ®ã: Qua M1 (1;0;1)

(β1):  ⇔ (β1): x − 1 = 0.  vtpt u 2 (1; 0; 0)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Ta lÇn l−ît: Gäi (α2) lµ mÆt ph¼ng chøa (d) vµ (d2), khi ®ã: Qua M 2 (1;0;2) Qua M 2 (1;0;2)

⇔ (α2):  (α2):    vtpt n u, = CÆp vtcp u vµ u 2 2  u 2  = (0; − 1; 0)  ⇔ (α2): y = 0.

Täa ®é ®iÓm P ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch thay ph−¬ng tr×nh tham sè cña (d1) vµo ph−¬ng tr×nh (α2), ta ®−îc: y = 0 ⇒ P(1; 0; 1).

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung (d) ®−îc cho bëi: x = 1 Qua P (1; 0; 1)  (d):  ⇔ (d): (d) : y = 0 , t ∈ ℝ .

 vtcp u ( 0; 0; − 1) z = 1 − t 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ

C¸ch 4: Gäi (d) lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña (d1), (d2) vµ gi¶ sö (d) c¾t (d1) t¹i

P, khi ®ã mét vtcp u cña (d) tháa m·n u =  u1 , u 2  = (0; 0; − 1) .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

⇔ (α1): x − 1 = 0.

Täa ®é ®iÓm Q ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch thay ph−¬ng tr×nh tham sè cña (d2) vµo ph−¬ng tr×nh (α1), ta ®−îc: x = 1 ⇒ Q(1; 0; 2).

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung (d) ®−îc cho bëi: x = 1 Qua Q (1; 0; 2 )  (d):  ⇔ (d):  y = 0 , t ∈ ℝ .

 vtcp u ( 0; 0; − 1)  z = 2 − t

N

Ta lÇn l−ît: Gäi (α1) lµ mÆt ph¼ng chøa (d) vµ (d1), khi ®ã: Qua M1 (1;0;1) Qua M1 (1;0;1)

⇔ (α1):  (α1):    = vtpt n u, CÆp vtcp u vµ u1 1  u1  = (1; 0; 0) 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

67

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B

10 00

A

Ó

H

Í-

-L

ÁN

TO ÀN Đ

Gi¶ sö mÆt cÇu (S) cã t©m I vµ tiÕp xóc víi (d1), (d2) theo thø tù t¹i D1 vµ D2, suy ra: I(1 + v; v; 1 + v), D1(1; t; 1), D2(1 + u; 0; 2)

⇒ D1I(v; v − t; v) vµ D 2 I(u − v; − v; 1 − v) .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

H Ư

TR ẦN

2

⇔ (x − 1; y; z − 1).(x − 1; y; z − 2) = 0 ⇔ (x − 1)(x − 1) + y.y + (z − 1)(z − 2) = 0 ⇔ x2 + y2 + z2 − 2x − 3z + 3 = 0. §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cÇn t×m.

C¸ch 3: MÆt cÇu (S) víi ®−êng kÝnh PQ gåm: M(x; y; z) ∈ (S) ⇔ ∆MPQ vu«ng t¹i M ⇔ PM2 + QM2 = PQ2 ⇔ (x − 1)2 + y2 + (z − 1)2 + (x − 1)2 + y2 + (z − 2)2 = 1 ⇔ x2 + y2 + z2 − 2x − 3z + 3 = 0. §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cÇn t×m. i. ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆2) vÒ d¹ng tham sè: x = 1 + v  (∆ 2 ) : y = v ,v∈ ℝ. z = 1 + v 

IỄ N D

2

3 1  ⇔ (S) : ( x − 1) + y +  z −  = .

2 4  C¸ch 2: MÆt cÇu (S) víi ®−êng kÝnh PQ gåm:

M(x; y; z) ∈ (S) ⇔ PM ⊥ QM ⇔ PM.QM = 0 2

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

V× (d) chÝnh lµ giao tuyÕn cña (β1) vµ (β2) nªn ®−êng th¼ng (d) cÇn dùng chøa c¸c ®iÓm M(x; y; z) tho¶ m·n hÖ: x − 1 = 0 .  y = 0 (**) B»ng viÖc ®Æt z = t, ta biÕn ®æi hÖ (**) vÒ d¹ng: x = 1 z = t   x − 1 = 0 ⇔ y = 0 , t ∈ ℝ . y = 0 z = t   §ã chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng (d) cÇn dùng. h. MÆt cÇu (S) ®−êng kÝnh PQ víi P, Q theo thø tù lµ ch©n ®−êng vu«ng gãc chung trªn (d1) vµ (d2) chÝnh lµ mÆt cÇu cÇn dùng. §Ó viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: MÆt cÇu (S) víi ®−êng kÝnh PQ cã: T©m I (1; 0; 3 / 2 ) T©m I lµ trung ®iÓm PQ   (S):  ⇔ (S):  AB 1  B¸n kÝnh R = 2 R =  2

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

68

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1

2

2

N Ơ H N U Y .Q

ẠO Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

3  1  3 1  (S) :  x −  +  y −  +  z −  = .

2  2  2 2  j. Gi¶ sö mÆt cÇu (S) cã t©m I(a; b; c) vµ tiÕp xóc víi (d2) t¹i C2, suy ra:

C2(1 + u; 0; 2) ⇒ C1I(a − 1; b − 1; c − 1) vµ C 2 I(a − u − 1; b; c − 2) .

Ta lÇn l−ît cã c¸c ®iÒu kiÖn: (S) tiÕp xóc víi (d1) t¹i C1 khi:

C1I ⊥ (d1) ⇔ C1I ⊥ u1 ⇔ C1I.u1 = 0 ⇔ b − 1 = 0 ⇔ b = 1.

(S) tiÕp xóc víi (d2) t¹i C2 khi:

C2I ⊥ (d2) ⇔ C 2 I ⊥ u 2 ⇔ C 2 I.u 2 = 0 ⇔ a − u − 1 = 0 ⇔ u = a −1.

5 tiÕp xóc víi c¶ (d1) vµ (d2) khi: 2 R = C1I = C2I ⇔ R2 = C1I2 = C2I2 5 ⇔ = (a − 1) 2 + (b − 1) 2 + (c − 1) 2 = (a − u − 1)2 + b 2 + (c − 2)2 4 5 ⇔ = (a − 1) 2 + (c − 1) 2 = 1 + (c − 2)2 4 5 2 2  = 1 + (c − 2)  4c − 16c + 15 = 0 (*) ⇔ 4 ⇔  2 (a − 1) = 4 − 2c (a − 1)2 + (c − 1) 2 = 1 + (c − 2) 2 

A

(S) cã b¸n kÝnh R =

Ph−¬ng tr×nh (*) cã c¸c nghiÖm c1 =

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3 1 3

⇒ I  ; ;  và b¸n kÝnh R = D1I = .

2 2 2 2 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã d¹ng:

1 2

TP

⇔ v2 + v2 = (−v)2 + (1 − v)2 ⇔ 1 − 2v = 0 ⇔ t = u = v =

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta lÇn l−ît cã c¸c ®iÒu kiÖn: (S) tiÕp xóc víi (d1) t¹i D1 khi:

D1I ⊥ (d1) ⇔ D1I ⊥ u1 ⇔ D1I.u1 = 0 ⇔ v − t = 0 ⇔ v = t

⇒ D1I(v; 0; v) .

(S) tiÕp xóc víi (d2) t¹i D2 khi:

D2I ⊥ (d2) ⇔ D 2 I ⊥ u 2 ⇔ D 2 I.u 2 = 0 ⇔ u − v = 0 ⇔ u = v

⇒ D 2 I(0; − v; 1 − v) .

(S) tiÕp xóc víi c¶ (d1) vµ (d2) khi: D 1 I = D 2 I ⇔ D 1 I2 = D 2 I2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3 5 vµ c 2 = .

2 2

69

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Khi ®ã:

B

-L

Í-

H

Ó

d.

ÀN

TO

ÁN

e. f.

g.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

c.

10 00

b.

(S): (x − 4)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 27.

Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng (d) c¾t mÆt cÇu (S) t¹i hai ®iÓm A, B. TÝnh ®é dµi AB. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) song song víi (d) vµ c¾t mÆt cÇu (S) t¹i hai ®iÓm E, F sao cho EF cã ®é dµi lín nhÊt.

ViÕt ph−¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng (PA), (PB) tiÕp xóc víi (S) theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm A, B. TÝnh cosin gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (PA), (PB).

ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi (d) vµ: a. TiÕp xóc víi mÆt cÇu (S). b. C¾t mÆt cÇu (S) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn lín cña (S). c. C¾t mÆt cÇu (S) theo thiÕt diÖn lµ mét ®−êng trßn (C) cã diÖn tÝch b»ng 18π.

ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®−êng th¼ng (d) vµ c¾t mÆt cÇu (S) theo thiÕt diÖn lµ mét ®−êng trßn lín cña (S).

ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®−êng th¼ng (d) vµ c¾t mÆt cÇu (S) theo thiÕt diÖn lµ mét ®−êng trßn nhËn AB lµm ®−êng kÝnh.

ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®−êng th¼ng (d) vµ c¾t mÆt cÇu (S) theo thiÕt diÖn lµ mét ®−êng trßn (C) cã b¸n kÝnh b»ng r = 54 / 5 .

A

a.

Đ

x −1 y − 2 z +1 = = , 2 1 2

TR ẦN

(d) :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Cho ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt cÇu (S) cã ph−¬ng tr×nh:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

U Y

N

H

Ơ

N

3 th×: 2

H Ư

VÝ dô 37:

IỄ N D

Víi c1 =

a = 2 a − 1 = 1 (a − 1)2 = 1 ⇔  . ⇔  1 a − 1 = −1 a 2 = 0 Tõ ®ã: 3  - Víi a1 = 2 ta ®−îc t©m I1  2; 1;  nªn cã mÆt cÇu: 2  2 3 5 2 2  (S1 ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) +  z −  = .

2 4  3  - Víi a2 = 0 ta ®−îc t©m I 2  0; 1;  nªn cã mÆt cÇu: 2  2 3 5 2  2 (S2 ) : x + ( y − 1) +  z −  = .

2 4  5 Víi c1 = th× (a − 1)2 = −1, v« nghiÖm.

2 VËy, tån t¹i hai mÆt cÇu (S1), (S2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

70

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Gi¶i

Ơ H

2

2

=6.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

b. §−êng th¼ng (∆) c¾t mÆt cÇu (S) t¹i hai ®iÓm E, F biÕt EF cã ®é dµi lín nhÊt khi (∆) ®i qua t©m I cña mÆt cÇu (S). Do ®ã, ta cã: Qua I ( 4; − 1; 2 ) x − 4 y +1 z − 2 (∆):  ⇔ (∆): = = .

2 1 2  vtcp u ( 2; 1; 2 ) c. Ta lÇn l−ît cã: MÆt ph¼ng (PA) tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) t¹i ®iÓm A lµ: Qua A (1; 2; − 1) (PA):  ⇔ (PA): x − y + z + 2 = 0.

 vtpt IA ( −3; 3; − 3 ) chän (1; -1; 1) MÆt ph¼ng (PB) tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) t¹i ®iÓm B lµ: Qua B ( 5; 4; 3 ) ⇔ (PB): x + 5y − z − 22 = 0.

(PB): 

 vtpt IB (1; 5; − 1) Khi ®ã, ta ®−îc: 1− 5 −1 5 = . cos α = 1 + 1 + 1. 1 + 25 + 1 9

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(3 3 ) − (3 3 )

TR ẦN

AB = 2AH = 2 R 2 − d 2 = 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Khi ®ã, víi lµ trung ®iÓm AB th×:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

MÆt cÇu (S) cã t©m I(4; −1; 2) vµ b¸n kÝnh R = 3 3 . a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: ChuyÓn ph−¬ng tr×nh cña (d) vÒ d¹ng tham sè:  x = 2t + 1  (d): y = t + 2 , t ∈ ℝ .  z = 2t − 1  Thay ph−¬ng tr×nh tham sè cña (d) vµo ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S), ta ®−îc:  t = 0 ⇒ A(1; 2; − 1) (2t − 3)2 + (t + 3)2 + (2t − 3)2 = 27 ⇔ 9t2 − 18t = 0 ⇔  .  t = 2 ⇒ B(5; 4; 3) Khi ®ã: AB2 = (5 − 1)2 + (4 − 2)2 + (3 + 1)2 = 36 ⇔ AB = 6.

C¸ch 2: NhËn xÐt r»ng:

 MI, u    d = d(I, (d)) = = 3 2 < R ⇒ (d) ∩ (S) = {A, B}.

u

N

Ta cã:

§−êng th¼ng (d) cã vtcp u(2; 1; 2) vµ ®i qua ®iÓm M(1; 2; −1).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

71

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ

(1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B

10 00

A

Ó

H

TO

ÁN

-L

Í-

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) ®−îc cho bëi: Qua A(1; 2; − 1) (Q):  ⇔ (Q): x − z − 2 = 0.

 vtpt n(1; 0; − 1) C¸ch 2: Gi¶ sö mÆt ph¼ng (Q) cã ph−¬ng tr×nh: (Q): Ax + By + Cz + D = 0 víi A2 + B2 + C2 > 0.

V× I, A, B thuéc (Q), ta ®−îc:  4A − B + 2C + D = 0 B = 0    A + 2B − C + D = 0 ⇔ C = − A . 5A + 4B + 3C + D = 0  D = −2A  

ÀN Đ IỄ N D

)

TR ẦN

H Ư

( ) (

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Víi D = −11 + 9 3 , ta ®−îc mÆt ph¼ng (P2): 2x + y + 2z − 11 − 9 3 = 0.

VËy, tån t¹i hai mÆt ph¼ng (P1) vµ (P2) tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. b. §Ó (P) c¾t mÆt cÇu (S) theo thiÕt diÖn lµ mét ®−êng trßn lín cña (S) ®iÒu kiÖn lµ: I ∈ (P)) ⇔ 2.4 − 1 + 2.2 + D = 0 ⇔ D = −11.

VËy, ta ®−îc ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P): 2x + y + 2z − 11 = 0. c. Gäi r lµ b¸n kÝnh cña ®−êng trßn (C), ta cã: S(C) = 18π ⇔ π.r2 = 18π ⇔ r = 3 2 . §Ó (P) c¾t mÆt cÇu (S) theo thiÕt diÖn lµ mét ®−êng trßn (C) cã b¸n kÝnh r = 3 2 ®iÒu kiÖn lµ: 2 2 8 −1 + 4 + D d(I, (P)) = R 2 − r 2 ⇔ = 3 3 − 3 2 22 + 12 + 22 ⇔ D + 11 = 9 ⇔ D = −2 hoÆc D = −20.

Khi ®ã: Víi D = −2, ta ®−îc mÆt ph¼ng (P3): 2x + y + 2z − 2 = 0.

Víi D = −20, ta ®−îc mÆt ph¼ng (P4): 2x + y + 2z − 20 = 0.

VËy, tån t¹i hai mÆt ph¼ng (P3) vµ (P4) tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. e. MÆt ph¼ng (Q) chøa ®−êng th¼ng (d) vµ c¾t mÆt cÇu (S) theo thiÕt diÖn lµ mét ®−êng trßn lín cña (S) th× (Q) = (IAB). Tíi ®©y, chóng ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

C¸ch 1: Gäi n lµ vtpt cña mÆt ph¼ng (Q), ta ®−îc:

n =  IA, IB  = (18; 0; −18) chän n (1; 0; −1).

H

d. Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng cÇn dùng, th× v× (P) vu«ng gãc víi (d) nªn cã vtpt lµ u do ®ã cã ph−¬ng tr×nh: (P): 2x + y + 2z + D = 0. a. §Ó (P) tiÕp xóc víi (S) ®iÒu kiÖn lµ: 8 −1 + 4 + D d(I, (P)) = R ⇔ = 3 3 ⇔ D + 11 = 9 3 ⇔ D = −11 ± 9 3 .

22 + 12 + 22 Khi ®ã: Víi D = −11 + 9 3 , ta ®−îc mÆt ph¼ng (P1): 2x + y + 2z − 11 + 9 3 = 0.

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

72

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H N

A 2 + (−2A − 2C) 2 + C2

=

9

Đ

(3 3 )

2

5

⇔ 5(9A + 9C) = 81(5A + 8AC + 5C ) ⇔ 2AC = 0 ⇔ A = 0 hoÆc C = 0.

Khi ®ã: Víi A = 0 th× B = −2C vµ D = 5C, ta ®−îc mÆt ph¼ng: (T1): −2Cy + Cz + 5C = 0 ⇔ (T1): 2y − z − 5 = 0.

Víi C = 0 th× B = −2A vµ D = 3A, ta ®−îc mÆt ph¼ng: (T2): Ax − 2Ay + 3A = 0 ⇔ (T2): x − 2y + 3 = 0.

VËy, tån t¹i hai mÆt ph¼ng (T1) vµ (T2) tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

2

TR ẦN

2

10 00

B

2

A

Cho ®iÓm A(2; 6; 2) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh:

Ó

VÝ dô 38:

Í-

H

(d) :

x − 3 y −1 z −1 = = .

1 2 −2

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

a. T×m trªn ®−êng th¼ng (d) ®iÓm M(xM; yM; zM) sao cho tæng 2 2 x 2M + y M + zM ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. b. T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A lªn ®−êng th¼ng (d). c. T×m täa ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®−êng th¼ng (d). d. ViÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm A vu«ng gãc víi (d) vµ c¾t (d). e. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A vµ tiÕp xóc víi (d). f. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A vµ c¾t ®−êng th¼ng (d) t¹i hai ®iÓm E, F sao cho EF = 6.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

4A − (−2A − 2C) + 2C + (3A + 5C)

=

 54  −    5 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

A 2 + B2 + C 2

2

G

4A − B + 2C + D

N

⇔

2

H Ư

d(I, (T)) = R − r ⇔ 2

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

g. Gi¶ sö mÆt ph¼ng (T) cÇn dùng cã ph−¬ng tr×nh: (T): Ax + By + Cz + D = 0 víi A2 + B2 + C2 > 0.

V× A, B thuéc (T), ta ®−îc:  A + 2B − C + D = 0  A + 2B − C + D = 0  B = −2A − 2C ⇔  . ⇔    4A + 2B + 4C = 0 5A + 4B + 3C + D = 0  D = 3A + 5C §Ó (T) c¾t mÆt cÇu (S) theo thiÕt diÖn lµ mét ®−êng trßn (C) cã b¸n kÝnh 54 r= ®iÒu kiÖn lµ: 5

Ơ

N

Thay B, C, D vµo (1), ta ®−îc: (Q): Ax − Az − 2A = 0 ⇔ (Q): x − z − 2 = 0. f. Gäi H lµ trung ®iÓm AB, suy ra H(3; 3; 1).

Gäi (R) lµ mÆt ph¼ng cÇn dùng th× (R) vu«ng gãc víi IH, do ®ã: Qua H(3; 3; 1)

(R) :  ⇔ (R): x − 4y + z + 8 = 0.  vtpt HI(1; − 4; 1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

73

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Gi¶i

N H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

H

Í-

-L

ÁN

TO ÀN Đ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

1 7 4 5 ⇒ To¹ ®é ®iÓm M  ; ;  .

3  3 3 3 b. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn ®−êng th¼ng (d), ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau:

C¸ch 1: §−êng th¼ng (d) cã vtcp u(−2; 1; 2) .

V× H ∈ (d) nªn H(3 − 2t ; 1 + t; 1 + 2t), suy ra AH(1 − 2t; t − 5; 2t − 1) . §Ó H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) ®iÒu kiÖn lµ:

AH ⊥ (d) ⇔ AH ⊥ u ⇔ AH.u = 0 ⇔ −2(1 − 2t) + (t − 5) + 2(2t − 3) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H(1; 2; 3).

C¸ch 2: §−êng th¼ng (d) cã vtcp u(−2; 1; 2) .

Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng tho¶ m·n: Qua A(2; 6; 2) Qua A

(P):  ⇔ (P):  ⇔ (P): 2x − y − 2z + 6 = 0.  vtpt u(−2; 1; 2) (P) ⊥ (d) V× {H} = (d) ∩ (P) nªn to¹ ®é H lµ nghiÖm hÖ ph−¬ng tr×nh:  x = 3 − 2t  x = 3 − 2t x = 1 y = 1 + t y = 1 + t y = 2    ⇔  ⇒  ⇒ H(1; 2; 3).   z = 1 + 2t  z = 1 + 2t z = 3 9t − 9 = 0  t = 1  2x − y − 2z + 6 = 0 c. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: (Dùa vµo kÕt qu¶ c©u b): V× H lµ trung ®iÓm cña AA1 nªn A1(0; −2; 4).

C¸ch 2: (§éc lËp víi c©u b): §−êng th¼ng (d) cã vtcp u(−2; 1; 2) vµ gi¶ sö ®iÓm A1(x; y; z), suy ra:   x+2 y+6 z+2 ; ; Trung ®iÓm H cña AA1 thuéc (d)  ∈ (d) H  2 2  ⇔   2 

 AA1 ⊥ (d)  AA  1 .u = 0

3t − 1 = 0 ⇔ t =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

Min

IỄ N D

Ơ

a. §iÓm M ∈ (d), suy ra M(3 − 2t ; 1 + t; 1 + 2t).

Khi ®ã: 2 2 x 2M + y M + zM = (3 − 2t)2 + (1 + t)2 + (1 + 2t)2 = 9t2 − 6t + 11 = (3t − 1)2 + 10 ≥ 10.

2 Tõ ®ã, suy ra ( x 2M + y 2M + z M ) = 10 ®¹t ®−îc khi:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ChuyÓn ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) vÒ d¹ng tham sè:  x = 3 − 2t  (d):  y = 1 + t , t ∈ ℝ .  z = 1 + 2t 

74

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

R = d(A, (d)) = 18 .

Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc x¸c ®Þnh bëi: T©m A(2; 6; 2) (S):  ⇔ (S): (x − 2)2 + (y − 6)2 + (z − 2)2 = 18. ¸n kÝnh R= 18 B  f. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

T©m A(2; 6; 2) ⇔ (S): (x − 2)2 + (y − 6)2 + (z − 2)2 = 18.

(S):   B¸n kÝnh R=AH= 18

C¸ch 2: (§éc lËp víi c©u b): §−êng th¼ng (d) cã vtcp u(1; 2; − 2) vµ ®i qua ®iÓm B(3; 1; 1). Gäi R lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu (S) t©m A vµ tiÕp xóc víi (d), ta cã:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

®Þnh bëi:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

Qua A(2; 6; 2) x−2 y−6 z−2

= = . ⇔ (d ') :  1 4 −1  vtcp HA(1; 4; − 1)

C¸ch 2: (§éc lËp víi c©u b): Gäi (d’) cã vtcp u ' lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng.

LÊy ®iÓm B(3; 1; 1) thuéc (d) vµ gäi (P) = (A, (d)) th× (P) cã vtpt n P ®−îc cho bëi:

n P =  AB, u  = (−9; 0; − 9) chän n P (1; 0; 1) .

Khi ®ã, ta nhËn thÊy:

 u ' ⊥ n P (d ') ⊂ (P) ⇔  ⇔ u ' =  n P , u  = (−1; − 4;1) .  (d ') ⊥ (d)  u ' ⊥ u VËy, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d’) ®−îc cho bëi: Qua A(2; 6; 2) x−2 y−6 z−2

(d’):  ⇔ (d ') : = = .

1 −1 −4  vtcp u '(−1; − 4; 1) e. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: (Dùa vµo kÕt qu¶ c©u b): MÆt cÇu (S) t©m A vµ tiÕp xóc víi (d) ®−îc x¸c Qua A ⇔ (d’): (d’):  Qua H

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

d. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: (Dùa vµo kÕt qu¶ c©u b): Gäi (d’) lµ ®−êng th¼ng cÇn dùng th×:

Ơ

x + 2  2 = 3 − 2t  x = 4 − 4t x = 0   y = 2t − 4  y = −2  y + 6 = 1+ t    ⇔ ⇔ 2 ⇒ ⇒ A1(0; −2; 4). z = 4t z + 2  z = 4 = 1 + 2t  t − 1 = 0  t = 1   2  −2(x − 2) + (y − 6) + 2(z − 2) = 0

N

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

75

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

C¸ch 1: (Dùa vµo kÕt qu¶ c©u b): V× H lµ trung ®iÓm cña EF nªn mÆt cÇu (T) cÇn dùng cã b¸n kÝnh R ®−îc x¸c ®Þnh bëi: 2

= 18 + 9 = 27 .

Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (T) ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

Đ

ẠO

T©m A(2; 6; 2) (T):  ⇔ (T): (x − 2)2 + (y − 6)2 + (z − 2)2 = 27.  B¸n kÝnh R= 27

G

Cho hai ®iÓm A(1; 1; −1), B(−1; 3; −1) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh x + y + 2z − 6 = 0. a. T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A lªn mÆt ph¼ng (P). b. T×m täa ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi ®iÓm A qua mÆt ph¼ng (P). c. T×m trªn mÆt ph¼ng (P) ®iÓm M(xM; yM; zM) sao cho tæng x 2M + y 2M + z 2M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

TR ẦN

H Ư

N

VÝ dô 39:

B

d. T×m trªn (P) ®iÓm N sao cho NA + NB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

e. T×m trªn (P) ®iÓm E sao cho EA + EB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. f. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A vµ tiÕp xóc víi (P). g. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt ®i qua A vµ tiÕp xóc víi (P). h. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt ®i qua A vµ c¾t (P) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn lín. i. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A vµ c¾t (P) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn (C) cã b¸n kÝnh r = 3 2 .

Gi¶i

H ∈ (P) H ∈ (P)

⇔   AH(x − 1; y − 1; z + 1) // n(1; 1; 2) AH ⊥ (P)

D

IỄ N

Ơ

Đ

ÀN

TO

ÁN

a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: MÆt ph¼ng (P) cã vtpt n(1; 1; 2) .

Gi¶ sö H(x; y; z) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (P), suy ra:

H

.Q

 EF  d2 (A, (d)) +   = 18 + 9 = 27 .  2 

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

R=AE= AM 2 + EM 2

N

U Y

T©m A(2; 6; 2) ⇔ (T): (x − 2)2 + (y − 6)2 + (z − 2)2 = 27.

(T):  ¸n kÝnh R= 27 B  C¸ch 2: (§éc lËp víi c©u b): V× H lµ trung ®iÓm cña EF nªn mÆt cÇu (T) cÇn dùng cã b¸n kÝnh R ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

N

Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (T) ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

AH + EH =

R = AE =

 EF  AH +    2  2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

76

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

10 00

B

z −1 x +1 y +1  2 + 2 + 2. 2 − 6 = 0 ⇔ ⇔ x −1 = y −1 = z +1  1 1 2

 x + y + 2z = 12  ⇒ A1(3; 3; 3). x − y = 0 x − z = 0 

2 c. NhËn xÐt r»ng x 2M + y 2M + z M = ( x M − 0 ) + ( y M − 0 ) + ( z M − 0 ) = OM2.

Tõ ®ã, suy ra: ( x 2M + y2M + zM2 ) ⇔ OM nhá nhÊt 2

2

A

2

Ó

Min

Í-

H

⇔ M lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn (P).

Gäi (∆) lµ ®−êng th¼ng tho¶ m·n:

ÁN

-L

Qua O (∆):  ⇔ (∆): (∆) ⊥ (P)

Qua O(0; 0; 0)

⇔ (∆):   vtcp n(1; 1; 2)

x = t  y = t , t ∈ ℝ .  z = 2t 

)

Min

d. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB, suy ra I(1; 3; 1).

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

V× {M} = (∆) ∩ (P) nªn b»ng c¸ch ph−¬ng tr×nh tham sè cña (∆) vµo ph−¬ng tr×nh cña (P), ta ®−îc: t + t + 4t − 6 = 0 ⇔ 6t − 6 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ M(1; 1; 2).

VËy, víi ®iÓm M(1; 1; 2) th× x 2M + y 2M + z 2M =6.

(

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

ẠO

TP

.Q

V× {H} = (d) ∩ (P) nªn to¹ ®é H lµ nghiÖm hÖ ph−¬ng tr×nh: x = 2 x = 1 + t y = 2 y = 1 + t   ⇒ H(2; 2; 1). ⇒   z = 1  z = −1 + 2t  t = 1  x + y + 2z − 6 = 0 b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: (Dùa vµo kÕt qu¶ c©u a): V× H lµ trung ®iÓm cña AA1 nªn A1(3; 3; 3).

C¸ch 2: MÆt ph¼ng (P) cã vtpt n(1; 1; 2) vµ gi¶ sö A1(x; y; z), suy ra:   x +1 y +1 z −1 ; ;  Trung ®iÓm H cña AA1 thuéc(P)  ∈ (P) H  2 2  ⇔   2 

 AA1 ⊥ (P)  AA  1 // n

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x + y + 2z = 6  x = 2  x + y + 2z − 6 = 0    ⇔  x − 1 y − 1 z + 1 ⇔ x − y = 0 ⇔  y = 2 ⇒ H(2; 2; 1). 2y − z = 3 z = 1  1 = 1 = 2  

C¸ch 2: MÆt ph¼ng (P) cã vtpt n(1; 1; 2) . Gäi (d) lµ ®−êng th¼ng tho¶ m·n: x = 1 + t Qua A(1; 1; − 1) Qua A 

(d):  ⇔ (d):  ⇔ (d): y = 1 + t , t ∈ ℝ .  vtcp n(1; 1; 2) (d) ⊥ (P)   z = −1 + 2t

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

77

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

NhËn xÐt r»ng:

NA + NB = 2NI = 2NI .

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

H

Í-

-L

ÁN

TO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

V× {N} = (d’) ∩ (P) nªn b»ng c¸ch ph−¬ng tr×nh tham sè cña (d’) vµo ph−¬ng tr×nh cña (P), ta ®−îc: (1 + t) + (3 + t) + 2(1 + 2t) − 6 = 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ N(1; 3; 1).

VËy, víi ®iÓm N(0; 1; 4) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. e. (Dùa vµo kÕt qu¶ c©u b): NhËn xÐt r»ng: tA.tB = −6.(−6) = 36 > 0 ⇔ A, B ë vÒ cïng mét phÝa víi (P).

Ph©n tÝch: Gäi A1 lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua (P) vµ {F} = (A1B) ∩ (P), khi ®ã víi ®iÓm E bÊt kú thuéc (P), ta cã: A E EA + EB = EA1 + EB ≥ A1B = FA + FB. B VËy, ta ®−îc EA + EB nhá nhÊt khi E ≡ F. H F Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (A1B) ®−îc x¸c ®Þnh bëi: A1 3 + t x = Qua A1 (3; 3; 3) 

(A1B):  ⇔ (A1B):  y = 3 .  vtcp A1B( −4; 0; − 4) chän (1; 0; 1) z = 3 + t  Khi ®ã, ®Ó t×m to¹ ®é F ta thay x, y, z tõ ph−¬ng tr×nh tham sè cña (A1B) vµo ph−¬ng tr×nh cña (P) ®−îc: 3 + t + 3 + 2(3 + t) − 6 = 0 ⇔ t = −2 ⇒ F(1; 3; 2).

VËy, ®iÓm E(1; 3; 1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. f. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: (Dùa vµo kÕt qu¶ c©u a): MÆt cÇu (S) t©m A vµ tiÕp xóc víi (P) ®−îc x¸c ®Þnh bëi: T©m A(1; 1; − 1) (S):  ⇔ (S): (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 6. B¸n kÝnh R=AH= 6 C¸ch 2: (§éc lËp víi c©u a): Gäi R lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu (S) t©m A vµ tiÕp xóc víi (P) th× ta cã: R = d(A, (P)) = 6 .

Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®−îc x¸c ®Þnh bëi: T©m A(1; 1; − 1) (S):  ⇔ (S): (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 6. B¸n kÝnh R=AH= 6

ÀN Đ IỄ N D

U Y

⇔ N lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I trªn (P).

X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm N: Gäi (d’) lµ ®−êng th¼ng tho¶ m·n: x = 1 + t Qua I(1; 3; 1) Qua I 

(d’):  ⇔ (d’): y = 3 + t . ⇔ (d’):   vtcp n(1; 1; 2) (d') ⊥ (P)  z = 1 + 2t 

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Tõ ®ã:

NA + NB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ⇔ NI nhá nhÊt

78

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

g. MÆt cÇu (S) cã b¸n kÝnh nhá nhÊt ®i qua A vµ tiÕp xóc víi (P) chÝnh lµ mÆt cÇu ®−êng kÝnh AH, ta cã ngay:

2

H

Ơ

5  5 3 2  ⇔ (S) :  x −  +  y −  + ( z − 2 ) = .

2  2 2 

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

T©m A(1; 1; − 1) (S):  ⇔ (S): (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 24. B¸n kÝnh R= 24

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

h. MÆt cÇu (S) cã b¸n kÝnh nhá nhÊt ®i qua A vµ c¾t (P) theo thiÕt diÖn lµ ®−êng trßn lín chÝnh lµ ®−êng trßn t©m H vµ b¸n kÝnh AH nªn: (S): (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 6. i. MÆt cÇu (T) cÇn dùng cã b¸n kÝnh lµ: R2 = d(A, (P)) + r2 = 6 + 18 = 24 ⇔ R = 24 .

Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (T) ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

N

2

 5 5  T©m I  2 ; 2 ; 2     B¸n kÝnh R= 6 / 2 

N

T©m I lµ trung ®iÓm AH  (S):  ⇔ (S): AH B ¸n kÝnh R=  2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

79

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial