CHUYÊN ĐỀ 7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ - LỚP 12 - CHUYÊN SƯ PHẠM HN

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ 7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) LỚP 12 - CHUYÊN SƯ PHẠM HN WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ tọa độ trong không gian

Mục tiêu

Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian gồm ba trục

Kiến thức + Nắm vững định nghĩa hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian, các khái niệm về tọa độ điểm, tọa độ vectơ.

x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một.

Gọi i, j, k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

+ Nắm vững biểu thức tọa độ các phép toán vectơ và các tính chất.

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) là các mặt phẳng tọa độ.

+ Nắm vững biểu thức tọa độ của tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ và các ứng dụng.

Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz.

+ Nắm vững được phương trình mặt cầu, điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu.

Kĩ năng +

Biết tìm tọa độ của một điểm, một vectơ. Tính được tổng, hiệu các vectơ, tích của vectơ với một số.

+

Tính được tích vô hướng của hai vectơ và các ứng dụng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ;...

+

Xác định được tích có hướng của hai vectơ và vận dụng làm được một số bài toán

+

Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

2. Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz, cho vectơ u . Khi đó

u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk.

Chú ý:

1) 0 = ( 0;0;0 ) .

 a1 = b1

 2) a = b ⇔  a2 = b2 a = b  3 3 a1 = kb1

 3) a cùng phương b b ≠ 0 ⇔ a 2 = kb 2 a = kb  3 3

(

)

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) và k là số thực tùy ý.

Khi đó ta có:

• a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) .

• a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) .

• k .a = ( ka1 ; ka2 ; ka3 )

• a.b = ( a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 ) . Ứng dụng của tích vô hướng:

• a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1.b1 + a 2 .b 2 + a 3 .b3 = 0

Trang 1

•

2 a = a.a = a12 + a 22 + a 32 .

•

2 a = a = a12 + a 22 + a 32 .

Trang 2

•

a1b1 + a 2 b 2 + a 3 b3 a.b cos a; b = = a.b a12 + a 22 + a 32 . b12 + b 22 + b32

•

( )

( )

5. Phương trình mặt cầu

Với a ≠ 0, b ≠ 0.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I ( a; b;c ) bán kính R có phương trình là

3. Tọa độ của một điểm

2

Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M

• Nếu A ( x A ; y A ; y A ) và B ( x B ; yB ; y B ) thì

AB ( x B − x A ; yB − y A ; z C − z A ) .

2

2

• Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

 x + x B yA + yB zA + zB  I A ; ; .

2 2 2   • Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

 x + x B + x C y A + y B + yC z A + z B + z C  G A ; ; .

3 3 3  

2

= R 2.

Ngược lại phương trình

Tính chất

( x B − x A ) + ( yB − yA ) + ( zB − z A )

2

( x − a ) + ( y − b) + ( z − c)

Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý.

Khi đó M( x; y; z) ⇔ OM = xi + y j + zk.

Khi đó AB = AB =

a , b  = a . b .sin a ; b .  

2

x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (1) .

(x; y; z) ta có các khẳng định sau:

Với A2 + B 2 + C 2 − D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I ( − A; − B; −C )

• M ≡ O ⇔ M ( 0; 0; 0 ) .

có bán kính R = A2 + B 2 + C 2 − D .

• M ∈ ( Oxy ) ⇔ z = 0 , tức là M ( x; y;0 ) . .

• M ∈ ( Oyz ) ⇔ x = 0 , tức là M ( 0; y; z ) .

Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) là phương trình mặt cầu là: A2 + B 2 + C 2 − D > 0.

• M ∈ ( Oxz ) ⇔ y = 0 , tức là M ( x;0; z ) .

• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0 , tức là M ( x;0;0 ) .

• M ∈ Oy ⇔ x = z = 0 , tức là M ( 0; y;0 ) .

• M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 , tức là M ( 0;0; z ) .

• Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là  x + x B + x C + x D yA + yB + yC + yD zA + zB + zC + zD  G A ; ;  4 4 4   4. Tích có hướng của hai vectơ Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ b = ( b1 ; b 2 ; b3 ) . Tích có hướng của hai vectơ a và b là một vectơ

vuông góc với cả hai vectơ a và b , kí hiệu là a , b  và được xác định như sau:

a a , b  =  2    b2

a3 a3 ; b3 b3

a1 a1 a 2  ;  b1 b1 b 2 

= ( a 2 b3 − a 3b 2 ;a 3 b1 − a1b3 ; a1b 2 − a 2 b1 ) .

Tính chất

• a cùng phương với b ⇔ a , b  = 0.

• a , b  vuông góc với cả hai vectơ a và b .

•  b, a  = −  a , b  .

Trang 3

Trang 4

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho a ( −2; 2;0 ) , b ( 2; 2;0 ) , c ( 2;2; 2 ) .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Giá trị của a + b + c bằng

Hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz gồm

Điểm O là gốc tọa độ.

Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy,

Oz là i, j, k

• a , b  = a . b .sin ( a ; b )  

Các mặt phẳng tọa độ:

Tọa độ vectơ

Tọa độ điểm

u = ( x; y; z )

⇔ u = xi + y j + zk

M ( x; y; z )

⇔ OM = xi + y j + zk

vectơ là một vectơ

a = ( a1 ;a 2 ;a 3 ) , b = ( b1 ; b 2 ; b3 ) . a1 a1 ; b1 b1

Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là:  2 4 B.  0; ;  .  3 3

C. ( 0; 2; 4 ) .

D. ( −2; −2; −2 ) .

Hướng dẫn giải

KHÔNG GIAN

Tích có hướng của hai

a3 a3 ; b3 b3

D. 2 11.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (1; 2;3) , B ( −1;0;1) .

A. ( 0;1;1) .

( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Ozx )

HỆ TỌA ĐỘ

Tích có hướng

a a , b  =  2    b2

C. 11.

Chọn D.

{ }

B. 2 6.

Hướng dẫn giải

Ta có a + b + c = ( 2;6; 2 ) nên a + b + c = 22 + 62 + 22 = 44 = 2 11.

ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz.

• a, b cùng phương

• ⇔  a , b  = 0

• a , b  ⊥ a , b

A. 6.

1 −1 + 0  xG = 3 = 0  2+0+0 2   2 4 Tọa độ trọng tâm tam giác là:  yG = = ⇒ G  0; ;  .

3 3  3 3  3 +1+ 0 4  = zG = 3 3 

Chọn B. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) là

a2   b2 

2 u = u = x 2 + y2 + z 2

AB ( x B − x A ; y B − y A ; z C − z A )

= ( a 2 b3 − a 3b 2 ;a 3b1 − a1b3 ; a1b 2 − a 2 b1 ) .

A. M (0; 2;3).

B. N (1;0;3) .

C. P (1;0;0 ) .

D. Q ( 0; 2;0 ) .

Chú ý: Hình chiếu của điểm M(x;y;z) lên mặt phẳng (Oyz) là M′ ( 0; y; z ) .

Hướng dẫn giải

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

a = ( a1;a 2 ;a 3 ) , b = ( b1; b 2 ; b3 ) .

a + b = ( a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) .

k.a = ( ka1 ; k a 2 ; k a 3 ) với k là số thực

a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3

Ta có M ( 0; 2;3) là hình chiếu của điểm A (1; 2;3) trên mặt phẳng (Oyz).

Chọn A.

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, góc giữa hai vectơ i và u = − 3;0;1 là

(

A. 30 . o

B. 120 .

C. 60 .

o

o

)

D. 150o.

Hướng dẫn giải

Ta có i = (1;0;0 ) và u = − 3;0;1 , áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ,

(

)

i, u 3 − 3 ta có: i, u = = . =− 1.2 2 i.u

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

( )

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ trong hệ trục Oxyz

Suy ra góc giữa hai vectơ cần tìm là i, u = 150o.

Phương pháp giải

( )

Sử dụng các định nghĩa và khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ của điểm, vectơ; độ dài

Chọn D.

vectơ, ...và các phép toán vectơ ... để tính tổng, hiệu các vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác, ...

Ví dụ mẫu Trang 5

Trang 6

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, cho vectơ a = (1; −2; 4 ) , b = ( x0 ; y0 ; z0 ) ) cùng phương với vectơ a .

Biết vectơ b tạo với tia Oy một góc nhọn và b = 21. Giá trị của tổng x0 + y0 + z0 bằng A. −3.

B. 6.

C. −6.

c = 0 ( loại c = 0 ) ⇒ C ( 0;0; 2 ) .

MC = 1 ⇔ c − 1 = 1 ⇔  c = 2

A′C = − 3;1;1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A′C

(

D. 3.

(

Hướng dẫn giải

Ta có a, b cùng phương nên ta có b = k.a = ( k; −2k; 4k ) ; ( k ≠ 0 )

k = 1 k 2 + 4k 2 + 16k 2 = 21 ⇔   k = −1.

Với k = 1 ta có b = (1; −2; 4 ) , suy ra góc giữa b và Oy thỏa mãn

b.j cos b, Oy = , trong đó b.j = −2 < 0. b. j

Suy ra góc tạo bởi b và Oy là góc tù. Suy ra k = 1 không thỏa mãn.

Với k = −1 ta có b = ( −1; 2; −4 ) , suy ra góc giữa b và Oy thỏa mãn

Chọn B Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là

)

C. ( 2; −3; −1) .

D. ( −1; 2; −3) .

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = (2; −3;3), b = ( 0;2; −1) , c = ( 3; −1;5 ) .

Tọa độ của vectơ u = 2a + 3b − 2c là

b.j cos b, Oy = , trong đó b.j = 2 > 0. b. j

Suy ra góc tạo bởi b và Oy là góc nhọn. Vậy k = −1 thỏa mãn.

Do đó b = ( −1; 2; −4 ) . Suy ra x0 + y0 + z0 = −1 + 2 − 4 = −3.

(

)

Chọn A.

(

)

Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có A′ 3; −1;1 , hai đỉnh

B, C thuộc trục Oz và AA′ = 1 (C không trùng với O). Biết vectơ u = (a; b; 2) (với a, b ∈ ℝ ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A′C . Tính T = a 2 + b2 .

A. T = 5.

B. T = 16 .

)

Vậy a = −2 3; b = 2. Suy ra T = a 2 + b 2 = 16.

Lại có b = 21. suy ra

(

)

Suy ra u = −2 3; 2; 2 cũng là một vectơ chỉ phương của A′C .

A. ( −2; −1; −3) .

B. ( −3; 2; −1) .

A. (10; −2;13) .

B. ( −2; 2; −7 ) .

C. ( −2; −2;7 ) .

D. (−2; 2; 7).

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu u là vectơ chỉ phương của trục Oy thì

A. u cùng hướng với vectơ j = ( 0;1;0 ) .

B. u cùng phương với vectơ j = ( 0;1;0 ) .

C. u cùng hướng với vectơ i = (1;0;0 ) .

D. u cùng phương với vectơ i = (1;0;0 ) .

Câu 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( −2;1;3) . Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox có tọa độ là:

C. T = 4.

D. T = 9.

D. ( 0;1;3) .

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ u = ( 2;3; −1) và v = (5; −4; m).

Tìm m để u ⊥ v.

Hướng dẫn giải Lấy M là trung điểm BC.

 AM ⊥ BC Khi đó ta có  nên BC ⊥ A′M tại M;  AA′ ⊥ BC

A. ( 0;1;0 ) .

B. ( −2;0;0 ) .

C. ( 0;0;3) .

A. m = −2.

B. m = 2.

C. m = 4.

suy ra M là hình chiếu của A′ trên trục Oz

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M ( x; y; z ) .

⇒ M ( 0;0;1) và A′M = 2.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M ' ( x; y; −z ) .

Mặt khác AM = A′M 2 − AA′2 = 3.

Lại có ∆ABC đều nên AM =

D. m = 0.

B. Nếu M' đối xứng với M qua Oy thì M ' ( x; y; −z ) .

3 BC = 3 2

C. Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M ' ( x; y; −z ) .

⇒ BC = 2 ⇒ MC = 1.

D. Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M ' ( 2x; 2y;0 ) .

Gọi C ( 0;0;c ) , c ≠ 0 suy ra MC = c − 1 .

Trang 7

Trang 8

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ biết A (1;0;1) , B ( 2;1; 2 ) , D (1; −1;1) , C ( 4;5; −5) . Tọa độ của điểm A' là:

A. A′ ( 4;6; −5) .

B. A′ ( −3; 4; −1) .

C. A′ ( 3;5; −6 ) .

Chọn D.

D. A′ ( 3;5;6 ) .

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a, b khác 0.

Bài tập nâng cao Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD; có tọa độ ba đỉnh A (1; 2;1) , B ( 2;0; −1) , C ( 6;1;0 ) . Biết hình thang có diện tích bằng 6 2.

Giả sử đỉnh D ( a; b;c ) , tính a + b + c.

A. a + b + c = 6.

B. a + b + c = 5.

C. a + b + c = 8.

D. a + b + c = 7.

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 2;5 ) , B ( 3; 4;1) , C ( 2; 3; −3) . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm thay đổi trên mp(Oxz). Độ dài GM ngắn nhất bằng

A. 2.

B. 3.

C. 4.

1 1  D. I  ; ;0  . 4 4 

( )

Hướng dẫn giải

Ta có: 3a ,3 b  = 3  a ,3 b  = 9  a , b  . (C sai)

Phương pháp giải

• Ba vectơ a; b; c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0

• Bốn điểm Ạ B, C, D tạo thành tứ diện ⇔  AB, AC  .AD ≠ 0.

cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi DE ngắn nhất thì trung điểm của đoạn DE có tọa độ là

1 1  C. I  ; ;0  . 3 3 

B.  2a , b  = 2  a , b  .

D. a , b  = a . b .sin a , b .

Bài toán 2. Ứng dụng của tích có hướng để chứng minh tính đồng phẳng

A (1;0;1) , B ( 0;1; −1) . Hai điểm D, E thay đổi trên các đoạn OA, OB sao

 2 2  B. I  ; ;0  .  3 3 

Kết luận nào sau đây sai?

A.  a ,3b  = 3  a , b  .

C. 3a ,3 b  = 3  a , b  .

Chọn C.

D. 1.

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

 2 2  A. I  ; ;0  .  4 4 

 1 −2 −2 2 2 1  c =  a , b  =  ; ;  = ( 2; −6; −1) . 0 2 2 1 1 0

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a = (1; 2;1) , b = ( 0; 2; −1) , c = (m,1; 0).

Tìm giá trị thực của tham số m để ba vectơ a; b; c đồng phẳng.

Dạng 2: Tích có hướng và ứng dụng A. m = 1.

Bài toán 1. Tìm vectơ tích có hướng Phương pháp giải Để tính tích có hướng của hai vectơ, ta áp dụng công thức:

a a , b =  2    b2

a3 a3 ; b3 b3

a1 a1 ; b1 b1

a2   b2 

= ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .

B. m = 0.

1 C. m = − .

4

1 D. m = .

4

Hướng dẫn giải

Ta có  a , b  = ( −4;1; 2 ) .

Ví dụ: Tính tích có hướng của hai vectơ

a = (1;0;1) , b = ( 2;1; −1)

1 Ba vectơ a; b; c đồng phẳng ⇔  a, b  . c = 0 ⇔ −4m + 1 = 0 ⇔ m = .

4

Hướng dẫn giải

0 1 1 1 1 0 a , b  =  ; ;  = ( −1;3;1)    1 −1 −1 2 2 1 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = ( 2;1; −2 ) và vectơ b = (1;0; 2 ) . Tìm

tọa độ vectơ c là tích có hướng của a và b .

A. c = ( 2;6; −1) .

B. c = ( 4;6; −1) .

C. c = ( 4; −6; −1) .

D. c = ( 2; −6; −1) .

Hướng dẫn giải

Trang 9

Chọn D. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm A ( 0;0;3) , B ( 2; −1;0 ) , C ( 3; 2; 4 ) ,

D (1;3;5) , E ( 4; 2;1) tạo thành một hình chóp có đáy là tứ giác. Đỉnh của hình chóp tương ứng là A. Điểm C.

B. Điểm A.

C. Điểm B.

D. Điểm D.

Hướng dẫn giải

Xét đáp án A, giả sử C là đỉnh của hình chóp, ta có:

AB = ( 2; −1; −3) , AD = (1;3; 2 ) , AE = ( 4; 2; −2 ) , AC = ( 3; 2;1)

Trang 10

  AB, AD  .AE = 4.7 − 2.7 − 2.7 = 0   ⇒    AB, AD    .AC = 3.7 − 2.7 + 1.7 = 14.

R ABC =

Suy ra A, B, D, E đồng phẳng.

Chọn B.

AB.AC.BC 6. 6. 14 3 10 = = .

4SABC 5 35 4.

2

Vậy điểm C là đỉnh của hình chóp.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho A ( 2; 1; −1) , B ( 3;0;1) , C (2; −1;3) và D nằm trên trục Oy. Thể tích

Chọn A.

tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz cho các điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3) , D ( 2; −2;0 ) .

Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D? A. 10.

B. 7.

C. 5.

D. 6.

A. D ( 0; −7;0 ) .

B. D ( 0;8;0 ) .

C. D ( 0; −7;0 ) hoặc D ( 0;8;0 ) .

D. D ( 0;7;0 ) hoặc D ( 0; −8;0 ) .

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Ta có AB = ( −1; 2;0 ) , AD = (1; −2;0 ) , suy ra 3 điểm A, B, D thẳng hàng.

Vì D ∈ Oy nên D ( 0; y;0 ) . Khi đó. Thể tích của tứ diện ABCD là V=

Từ đó chúng ta xác định được vị trí các điểm trong hệ trục độ Oxyz và đếm trực tiếp ta có 5 mặt phẳng

1 1  AB, AC  .AD = 4y − 2  6 6

đi qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D là:

Theo đề ra, ta có

( OCB ) , ( OCA) , ( OCD ) , ( OAB ) , ( ABC ) Chọn C.

 y = −7 1 4y − 2 = 5 ⇔  6  y = 8.

Chọn C.

Bài toán 3. Ứng dụng của tích có hướng để tính diện tích và thể tích

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có tọa độ các đỉnh

Phương pháp giải

a 3 a  A ( 0;0;0 ) , B ( 0; a;0 ) , C  ; ;0  và A′ ( 0;0; 2a ) . Gọi D là trung điểm cạnh BB' và M di động trên  2 2 

• Diện tích hình bình hành: S▱ ABCD =  AB, AD  .

• Tính diện tích tam giác: S△ ABC =  AB, AC  .

• Tính thể tích hình hộp: VABCD.A′B′C′D′ =  AB, AC  .AD .

• Tính thể tích tứ diện: VABCD =

cạnh AA'. Diện tích nhỏ nhất của tam giác MDC' là

A.

a2 3 .

4

B.

a2 5 .

4

C.

a2 6 .

4

D.

a 2 15 .

4

Hướng dẫn giải

1  AB, AC  .AD .  6

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1; 2;0 ) , B ( 2;1; 2 ) , C ( −1;3;1) .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

A. 3 10.

B.

3 10 .

5

C.

10 .

5

D. 10.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB = (1; −1; 2 ) , AC = ( −2;1;1) , BC = ( −3; 2; −1) Suy ra AB = AC = 6; BC = 14.

Suy ra SABC =

a 3 a  Ta có CC′ = AA′ ⇒ C′  ; ;2a  .  2 2   

1   35 AB, AC  = .

2 2

Gọi RABC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có

Trang 11

Trang 12

CC′ = BB′ ⇒ B′ ( 0;a;2a ) .

Dạng 3: Phương trình mặt cầu

Điểm D là trung điểm của BB' nên D ( 0; a; a ) .

Phương pháp giải

 a 3 a  ; − ;a  ,DM = ( 0; −a; t − a ) .

M (0; 0; t ) với 0 < t < 2a. Ta có DC′ =   2 2  

Cách viết phương trình mặt cầu:

•

Mặt cầu tâm I ( a; b;c ) , bán kính R có phương trình

Ta có:

SMDC′ =

2

2

( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) 1 2

2 2

a  DC′, DM  = a 4t − 12at + 15a =   4

Suy ra minS△ MDC′

( 2t − 3a)

2

+ 6a2

4

≥

a2 6 .

4

2

= R 2.

2

•

a2 6 3 khi t = a. = 4 2

Ta có

Bài tập tự luyện dạng 2

Xét phương trình:

(*) ⇔ ( x 2 + 2ax ) + ( y 2 + 2by ) + ( z 2 + 2cz ) = −d 2

2

2

⇔ ( x + a ) + ( y + b ) + ( z + c ) = a 2 + b 2 + c 2 − d.

Bài tập cơ bản

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = ( 2;1; −2 ) và vectơ b = (1;0; 2 ) . Tìm tọa

độ vectơ c là tích có hướng của a và b

A. c = ( 2;6; −1) .

B. c = ( 4;6; −1) .

C. c = ( 4; −6; −1) .

D. c = ( 2; −6; −1) .

Điều kiện để phương trình (*) là phương trình mặt cầu a 2 + b 2 + c 2 > d.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B (1;0; −1) , c ( 0; −1; 2 ) và

Đặc biệt mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 thì (S) có

 taâm I ( −a; − b; −c ) Khi đó (S) có   baùn kính R = a2 + b 2 + c2 − d.

 taâm O ( 0; 0; 0 )   baùn kính R.

D ( 0; m; p ) . Hệ thức liên hệ giữa m và p để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là

B. 2m − 3p = 3.

C. 2m + p = 3.

D. m + 2p = 3.

Câu 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A (1;0;1) , B ( 2;1; 2 ) , giao điểm hai

2.

B.

5.

x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 2 = 0. Xác định tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là

C.

6.

D.

3.

A. I (1; −2;3) .

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A (1;0; 2 ) , B ( −2;1;3) , C ( 3; 2; 4 ) ,

D ( 6;9; −5 ) . Tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD là A. ( 2;3;1) .

B. ( −2;3;1) .

C. ( 2;3; −1) .

D. ( 2; −3;1) .

B ' ( 2; 4; −1) , D ' ( 0; 2;1) . Tìm tọa độ điểm B. B. B ( −1;3;3) .

C. C (1;3; −3) .

D. B (1;3;3) .

D. I ( −1; 2; −3) .

Hướng dẫn giải

Chọn A. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

A. 100π .

Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; 2 ) . Có tất cả bao nhiêu điểm M = CMA = 90° ? trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B, C và AMB = BMC

B. 1.

C. I ( −1; 2;3) .

(S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 6y − 6z − 6 = 0. Tính diện tích mặt cầu (S)

Bài tập nâng cao

A. 0.

B. I (1; −2;1) .

 −2 4 −6  Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là I =  ; ;  = (1; −2;3) .  −2 −2 −2 

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ với A ( −2;1;3) , C ( 2;3;5 ) ,

A. B (1; −3;3) .

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

3 3 đường chéo I  ;0;  . Diện tích hình bình hành là 2 2

A.

2

x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. (*)

Chọn C.

A. m + p = 3.

2

Ví dụ: Phương trình mặt cầu tâm I ( 2; −1;1) , bán kính R = 3 là ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 1) = 9.

C. 2.

B. 120π .

C. 9π .

D. 42π .

Hướng dẫn giải Mặt cầu (S) có tâm I (1; −3;3) , bán kính r = 1 + 9 + 9 + 6 = 5.

Vậy diện tích mặt cầu là 4π r 2 = 4π .52 = 100π .

D. 3.

Trang 13

Trang 14

Lấy điểm E sao cho 2AE − BE = 0 ⇔ E ( 5;5; −1) . Ta có IE = 5.

Chọn A. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; −2;3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại

(

hai điểm A và B sao cho AB = 2 3.

2

2

2

2

2

2

Dễ thấy điểm E là điểm nằm ngoài mặt cầu (S).

2 Khi đó P = 2MA 2 − MB2 = 2 ME − AE − ME − BE

2

2

B. ( x − 1) + ( y + 2) 2 + ( z − 3) = 20.

A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 16.

2

C. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 25.

2

) (

)

2

= ME 2 + 2AE 2 − BE 2 .

P lớn nhất và nhỏ nhất khi và chỉ khi ME lớn nhất và nhỏ nhất. max ME = IE + R = 8; min ME = IE − R = 2.

2

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9.

Chú ý:

Do đó m = max P = 64 + 2AE 2 − BE 2 ; n = min P = 4 + 2AE 2 − BE 2 .

Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆:

Suy ra m − n = 60.

- Xác định điểm M ∈ ∆.

Chọn B.

 AM, u    - Áp dụng công thức: d ( A, ∆ ) = .

u

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I (1; −2;3) , M ( 0;1;5) . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi

Hướng dẫn giải

qua M là 2

2

2

A. ( x + 1) + ( y − 2 ) + (z + 3) 2 = 14.

2

2

2

2

B. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 14.

2

2

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 14.

2

D. ( x − 1) + ( y + 2)2 + ( z − 3) = 14.

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;1; 2 ) , B ( 3; 2; −3) . Mặt cầu (S) có tâm I thuộc Ox và đi qua hai điểm A, B có phương trình

A. x 2 + y 2 + z 2 − 8x + 2 = 0.

B. x 2 + y 2 + z 2 + 8x + 2 = 0.

C. x 2 + y 2 + z 2 − 4x + 2 = 0.

D. x 2 + y 2 + z 2 − 8x − 2 = 0.

Câu Gọi H là trung điểm AB ⇒ IH ⊥ AB tại H ⇒ IH = d( I;( AB)) = d( I;Ox ) Lấy M ( 2;0;0 ) ∈ Ox ⇒ IH = d ( I,Ox )

 IM,i    = = 3. i

A. {1;10} .

2

gian

Oxyz,

xét

mặt

cầu

(S)

phương

có

trình

dạng

2

2

2

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 và hai điểm A ( 4;3;1) , B ( 3;1;3) ; M là điểm thay đổi trên (S). Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = 2MA 2 − MB2 . Giá trị (m − n) bằng

C. 68.

B. {2; −10} .

C. {−1;11} .

D. {1; −11}

mặt phẳng (Oxy), bán kính 11 và đi qua hai điểm A, B. Biết I có tung độ âm, phương trình mặt cầu (S) là

2

Chọn A.

B. 60.

không

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1;0; −1) , B ( −3; −2;1) . Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 16.

A. 64.

Trong

8π là

Bán kính mặt cầu cần tìm là R = IA = IH 2 + HA 2 = 4.

2

3:

x 2 + y 2 + z 2 − 4x + 2y − 2az + 10a = 0. Tập hợp các giá trị thực của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng

A. x 2 + y 2 + z 2 + 6y − 2 = 0.

B. x 2 + y 2 + z 2 + 4y − 7 = 0.

C. x 2 + y 2 + z 2 + 4y + 7 = 0.

D. x 2 + y 2 + z 2 + 6y + 2 = 0.

Bài tập nâng cao Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho A ( −2;0;0 ) ; B ( 0; −2;0 ) ; C ( 0;0; −2 ) . D là điểm khác O sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Giá trị của biểu thức S= a+b+c

D. 48.

A. −4.

Hướng dẫn giải

B. −1.

C. −2.

D. −3.

Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; −1) và bán kính R = 3.

Trang 15

Trang 16

ĐÁP ÁN Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, vectơ liên quan đến hệ trục Oxyz 1-D

2- B

3- B

4- B

5- A

6- C

5-D

6 -C

7- C

8- C

9- B

10- A

Dạng 2. Tích có hướng và ứng dụng 1-D

2- D

3- A

4- A

Dạng 3: Phương trình mặt cầu 1-B

2- A

3 -C

4 -A

5 -B

Trang 17

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Mục tiêu Kiến thức + Nắm được cách xác định mặt phẳng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

B=0

Ax + Cz + D = 0

( α ) / /Oy

hoặc ( α ) ⊃ Oy

C=0

Ax + By + D = 0

( α ) / /Oz

hoặc ( α ) ⊃ Oz

A= B=0

Cz + D = 0

( α ) / / ( Oxy )

+ Nắm được công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.

hoặc

( α ) ≡ ( Oxy )

+ Nhận biết được vị trí tương đối giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa mặt phẳng với mặt cầu.

A=C =0

By + D = 0

( α ) / / ( Oxz ) hoặc

Kĩ năng

( α ) ≡ ( Oxz )

+ Viết được phương trình tổng quát của mặt phẳng.

B=C =0

+ Xác định được vectơ pháp tuyến trong các trường hợp.

Ax + D = 0

( α ) / / ( Oyz )

+ Tính được khoảng cách và góc.

hoặc

( α ) ≡ ( Oyz )

+ Xác định được vị trí tương đối và vận dụng vào giải bài tập.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Nếu (α ) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a;0;0),(0; b;0), (0;0; c) với abc ≠ 0 thì ta có phương trình mặt

1. Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến ρ ρ ρ Vectơ n ≠ 0 là vectơ pháp tuyến của ( α ) nếu giá của n vuông góc với ( α ) .

phẳng theo đoạn chắn (α ) :

x y z + + = 1. a b c

Chú ý: Nếu trong phương trình (α ) không chứa ẩn nào thì (α ) song song hoặc chứa trục tương ứng.

Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ρ ρ Hai vectơ a, b không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của ( α ) nếu các giá của chúng song song

2. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( x A ; y A ; z A ) và mặt phẳng

hoặc nằm trên ( α ) .

(α ) : Ax + By + Cz + D = 0 .

Chú ý:

Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α ) được tính theo công thức:

•

ρ ρ Nếu n là một vectơ pháp tuyến của ( α ) thì kn ( k ≠ 0 ) cũng là vectơ pháp tuyến của ( α ) .

•

ρ ρ ρ ρ ρ Nếu a, b là một cặp vectơ chỉ phương của ( α ) thì n =  a, b  là một vectơ pháp tuyến của ( α ) .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

•

Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2 > 0 .

Nếu (α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì n = ( A; B; C ) là một vectơ pháp tuyến của

d( A, (α )) =

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng

(α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Phương trình mặt phẳng đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) là:

+) (α ) ≡ ( β ) ⇔

A1 B1 C1 D1 . = = = A2 B2 C2 D2

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .

+) (α ) / /( β ) ⇔

A1 B1 C1 D1 . = = ≠ A2 B2 C2 D2

+) (α ) ∩ ( β ) ⇔

A1 B1 B C hoặc 1 ≠ 1 . ≠ A2 B2 B2 C2

Các trường hợp đặc biệt

Các hệ số

Phương trình mặt phẳng ( α )

D = 0.

Ax + By + Cz = 0

( α ) đi qua gốc tọa độ O

A=0

By + Cz + D = 0

( α ) / / Ox

Tính chất mặt phẳng ( α )

A2 + B 2 + C 2

3. Vị trí tương đối

(α ) .

•

Ax A + By A + Cz A + D

+) (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 .

hoặc ( α ) ⊃ Ox

Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng và mặt cầu Trang 1

Trang 2

(α ) : Ax + By + Cz + D = 0 ; ( S ) : ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 . Để xét vị trí của (α ) và ( S ) ta làm như sau:

+) Nếu d ( I , (α ) ) > R thì (α ) không cắt ( S ) . +) Nếu d ( I , ( α ) ) = R thì ( α ) tiếp xúc ( S ) tại H . Khi đó H được gọi là tiếp điểm đồng thời H là hình chiếu vuông góc của I lên ( α ) và ( α ) được gọi là tiếp diện.

+) Nếu d ( I , ( α ) ) < R thì

( α ) cắt ( S ) theo đường tròn có phương trình

( x − a) 2 + ( y − b) 2 + z − c (C ) :   Ax + By + Cz + D = 0.

)

2

= R2

Bán kính của ( C ) là r = R 2 − d 2 [ I , (α )] .

Tâm J của (C) là hình chiếu vuông góc của I trên ( α ) .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng

Bài toán 1. Viết phương trình mặt phẳng biết một điểm thuộc mặt phẳng và tìm được một vectơ pháp tuyến

(α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

Phương pháp giải

Góc giữa (α ) và ( β ) bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ pháp tuyến nα , nβ . Tức là

nα nβ cos ( (α ) , ( β ) ) = cos nα , n β = = nα ⋅ nβ

A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C22

ρ Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) là A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0.

.

ρ Ví dụ: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1; 2;3) và có vectơ pháp tuyến v ( −1; 2;1) là:

Chùm mặt phẳng

•

•

Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α )

−1( x − 1) + 2 ( y − 2 ) + 1( z − 3) = 0

và ( β ) được gọi là một chùm mặt phẳng.

⇔ x − 2 y − z + 6 = 0.

Ví dụ mẫu

Gọi ( d ) là giao tuyến của hai mặt phẳng

x y z + + = 1 là −2 −1 3 ρ ρ C. n = ( −3; −6; −2 ) .

D. n = ( −2; −1;3) .

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

ρ A. n = ( 3;6; −2 ) .

Khi đó nếu ( P ) là mặt phẳng chứa ( d ) thì mặt phẳng ( P ) có dạng

ρ B. n = ( 2; −1;3) .

Hướng dẫn giải

m ⋅ ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n ⋅ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 với m 2 + n 2 ≠ 0

Ta có phương trình

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

x y z −1 1 + + =1 ⇔ x − y + z − 1 = 0 ⇔ 3 x + 6 y − 2 z + 6 = 0. −2 −1 3 2 3 ρ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n = ( 3;6; −2 ) .

Chọn A.

Trang 3

Trang 4

Ví dụ 2: Cho ba điểm A ( 2;1; −1) , B ( −1;0; 4 ) , C ( 0; −2; −1) . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông

( P ) / /(Q) nên phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng x − y + 2 z + D = 0 ( D ≠ −2).

góc với BC là

Khi đó mặt phẳng ( P ) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M (− D; 0; 0) , N (0; D; 0) .

A. x − 2 y − 5 z − 5 = 0.

B. 2 x − y + 5 z − 5 = 0.

Từ giả thiết: MN = 2 2 ⇔ 2 D 2 = 2 2 ⇔ D = 2 (do D ≠ −2).

C. x − 2 y − 5 = 0.

D. x − 2 y − 5 z + 5 = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) : x − y + 2 z + 2 = 0 .

Hướng dẫn giải

υυυρ Mặt phẳng ( P ) đi qua A ( 2;1; −1) và vuông góc với BC nên nhận BC = (1; −2; −5 ) làm vectơ pháp tuyến. Vì vậy ta viết được phương trình mặt phẳng ( P ) là:

Chọn A. Chú ý: Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = 0

thì ( α ) có phương trình là

x − 2 − 2 ( y − 1) − 5 ( z + 1) = 0 ⇔ x − 2 y − 5 z − 5 = 0.

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

Chọn A. Chú ý: Mặt phẳng ( α ) đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng ( d ) , khi đó vectơ chỉ phương ρ u của đường thẳng ( d ) là một vectơ pháp tuyến của ( α ) .

Ví dụ 6: Cho điểm M (1; 2;5). Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao

cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng ( P ) là A. x + y + z − 8 = 0 .

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A (1; −3; 2 ) , B ( 3;5; −2 ) . Phương trình mặt

phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng x + ay + bz + c = 0.

A. −2.

B. −4.

C. −3.

D. 2.

x y z + + =0.

5 2 1

D.

x y z + + =1.

5 2 1

OA ⊥ BC   ⇒ BC ⊥ (OAM ) ⇒ BC ⊥ OM (1) AM ⊥ BC 

Tương tự AB ⊥ OM (2) .

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có M (2;1;0) và AB = (2;8; −4) = 2(1; 4; −2) = 2n .

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M và có một vectơ pháp tuyến là n nên có phương trình: x + 4 y − 2 z − 6 = 0

Suy ra a = 4, b = −2, c = −6 .

Từ (1) và (2) suy ra OM ⊥ ( ABC ) hay OM ⊥ ( P) .

Suy ra OM = (1; 2;5) là vectơ pháp tuyến của ( P ) .

Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) là x − 1 + 2 ( y − 2 ) + 5 ( z − 5) = 0 ⇔ x + 2 y + 5 z − 30 = 0.

Vậy a + b + c = −4 .

Chọn B.

Chọn B.

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(8; −14; −10); AD, AB, AC lần lượt song song với Ox, Oy, Oz.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với mặt phẳng ( Oxy ) và đi qua điểm A(1;1;1) có

phương trình là A. y − 1 = 0 .

C.

Hướng dẫn giải

Ta có OA ⊥ (OBC ) ⇒

Khi đó a + b + c bằng

B. x + 2 y + 5 z − 30 = 0 .

B. x + y + z − 1 = 0 .

C. x − 1 = 0 .

D. z − 1 = 0 .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy ) và đi qua A(1;1;1) nhận k = (0;0;1) làm vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng ( BCD ) đi qua H (7; −16; −15) là trực tâm ∆BCD có phương trình là A. x + 2 y + 5 z − 100 = 0 .

B. x + 2 y + 5 z + 100 = 0 .

x y z C. + + = 0.

7 −16 −15

D.

x y z + + = 1.

7 −16 −15

Hướng dẫn giải

Theo đề ra, ta có ( BCD) đi qua H (7; −16; −15), nhận HA = (1; 2;5) là vectơ pháp tuyến. Phương trình

nên có phương trình là z − 1 = 0 .

Chọn D. Ví dụ 5: Cho mặt phẳng ( Q ) : x − y + 2 z − 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song với mặt

phẳng ( Q ) , đồng thời cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M , N sao cho MN = 2 2 .

mặt phẳng ( BCD ) là ( x − 7) + 2( y + 16) + 5( z + 15) = 0 ⇔ x + 2 y + 5 z + 100 = 0.

A. ( P ) : x − y + 2 z + 2 = 0 .

B. ( P ) : x − y + 2 z = 0 .

Vậy ( BCD ) : x + 2 y + 5 z + 100 = 0 .

C. ( P) : x − y + 2 z ± 2 = 0.

D. ( P ) : x − y + 2 z − 2 = 0 .

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Trang 5

Trang 6

Bài toán 2. Viết phương trình mặt phẳng biết một điểm thuộc mặt phẳng và tìm được một cặp vectơ chỉ phương Phương pháp giải

Mặt phẳng (α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có cặp vectơ chỉ phương a , b . Khi đó một vectơ pháp tuyến

của (α ) là n = [a , b ].

Ví dụ: Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M (0; 2; −2) và nhận vectơ a (2, 0,1), b (−1,1,0) là hai vectơ chỉ

phương.

+) Lấy một điểm M thuộc d thì M ∈ (α ) .

Ví dụ 3: Mặt phẳng (α ) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 7 = 0, (Q ) : 3x + 2 y − 12 z + 5 = 0 có phương trình là

A. 2 x − 3 y − z = 0 .

B. 10 x − 15 y + 5 z + 2 = 0 . C. 10 x + 15 y + 5 z − 2 = 0 . D. 2 x + 3 y + z = 0 .

Hướng dẫn giải

Suy ra ( P ) có vectơ pháp tuyến là:

Ta có ( P ) : x − y + z − 7 = 0 có vectơ pháp tuyến là n1 = (1; −1;1) và

(Q) : 3x + 2 y − 12 z + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là n2 = (3; 2; −12)

n = [a , b ] = (1;1; −2) .

Từ đó ta có ( P ) : x + y − 2 z − 6 = 0 .

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; −1;5), B(0;0;1) . Mặt phẳng ( P ) chứa A, B và song song với trục Oy có

phương trình là A. 4 x − z + 1 = 0 .

Một vectơ pháp tuyến của (α ) là: n = u , nβ  .

B. 4 x + y − z + 1 = 0 .

C. 2 x + z − 5 = 0 .

Do (α ) ⊥ ( P ) và (α ) ⊥ (Q) nên (α ) có vectơ pháp tuyến là

n = [n1; n2 ] = (10;15;5) .

Vậy (α ) có phương trình 10 x + 15 y + 5 z = 0 ⇔ 2 x + 3 y + z = 0 .

Chọn D.

D. x + 4 z − 1 = 0 .

Chú ý: Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau ( β ) , ( γ ) : Chọn vectơ

Hướng dẫn giải

pháp tuyến của ( α ) là:

Do mặt phẳng ( P ) chứa A, B và song song với trục Oy nên vectơ pháp tuyến của ( P ) là

n = [ AB; j ] = (4;0; −1) .

n =  nβ , nγ  .

Phương trình mặt phẳng ( P ) là: 4( x − 0) + 0( y − 0) − 1( z − 1) = 0 ⇔ 4 x − z + 1 = 0

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(0;1; 2), B(2; −2;1) , C (−2;1; 0). Khi đó,

Chọn A.

phương trình mặt phẳng ( ABC ) là ax + y − z + d = 0. Hãy xác định a và d .

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −1) ; B ( 2;1;0 ) và mặt phẳng

A. a = 1, d = 1 .

( P ) : 2 x + y − 3 z + 1 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa A; B và vuông góc với ( P ). Phương trình mặt phẳng

Hướng dẫn giải υυυρ υυυρ Ta có: AB = ( 2; −3; −1) ; AC = ( −2;0; −2 ) .

(Q) là

A. 2 x + 5 y + 3 z − 9 = 0 .

B. 2 x + y − 3z − 7 = 0 .

C. 2 x + y − z − 5 = 0 .

D. x − 2 y − z − 6 = 0 .

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa AB và vuông góc với mặt phẳng ( P ) nên có cặp vectơ chỉ phương

là AB = (1; −1;1) và nP = (2;1; −3) .

Suy ra nQ = [ AB; nP ] = (2;5;3) .

B. a = 6, d = −6 .

C. a = −1, d = −6 .

D. a = −6, d = 6 .

υυυρ υυυρ  −3 −1 −1 2 2 −3   AB; AC  =  ; ;  = ( 6;6; −6 ) .    0 −2 −2 −2 −2 0  ρ 1 υυυρ υυυρ Chọn n =  AB; AC  = (1;1; −1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) .

6 Ta có phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: x + y − 1 − z + 2 = 0 ⇔ x + y − z + 1 = 0.

Vậy a = 1, d = 1.

Chọn A.

Mặt phẳng (Q) đi qua A(1; 2; −1) nên 2( x − 1) + 5( y − 2) + 3( z + 1) = 0

Chú ý: Mặt phẳng ( α ) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Khi đó ta có thể xác định một vectơ

⇔ 2 x + 5 y + 3z − 9 = 0

pháp tuyến của ( α ) là: ρ υυυρ υυυρ n =  AB, AC  .

Chọn A. Chú ý: Mặt phẳng (α ) chứa một đường thẳng ( d ) và vuông góc với một mặt phẳng ( β ) : ρ

+) Xác định vectơ chỉ phương u của (d ) và vectơ pháp tuyến nβ của ( β ) .

Trang 7

Trang 8

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz , biết mặt phẳng ax + by + cz + 5 = 0 qua hai điểm A(3;1; −1), B(2; −1; 4)

và vuông góc với ( P ) : 2 x − y + 3z + 4 = 0 .

Chọn A. Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng

Giá trị của a − b + c bằng A. 9.

x + y − z + 6 = 0 và x + y − z = 0 .

B. 12.

C. 10.

( P ) : x + 3 z + 2 = 0, (Q ) : x + 3z − 4 = 0 .

D. 8.

Mặt phẳng song song và cách đều ( P ) và (Q) có phương trình là:

Hướng dẫn giải

Gọi (α ) : ax + by + cz + 5 = 0. Ta có AB = (−1; −2;5), nP = (2; −1;3) .

Mặt phẳng (α ) nhận n = [ AB, nP ] = (−1;13;5) làm vectơ pháp tuyến nên (α ) có dạng

A. x + 3 z − 1 = 0 .

B. x + 3 z − 2 = 0 .

C. x + 3z − 6 = 0 .

D. x + 3 z + 6 = 0 .

Hướng dẫn giải Điểm M ( x; y; z ) bất kỳ cách đều ( P ) và (Q ) ⇔ d ( M ; ( P )) = d ( M ; (Q ))

− x + 13 y + 5 z + D = 0 .

Mặt phẳng (α ) qua A(3;1; −1) nên −3 + 13.1 + 5.(−1) + D = 0 ⇔ D = −5 .

⇔

⇒ (α ) : − x + 13 y + 5 z − 5 = 0 hay (α ) : x − 13 y − 5 z + 5 = 0 .

 x + 3z + 2 = x + 3z − 4 | x + 3 z + 2 | | x + 3z − 4 | = ⇔ 1+ 9 1+ 9  x + 3z + 2 = − x − 3 z + 4

 2 = −4 ⇔ ⇔ x + 3z − 1 = 0.  x + 3z − 1 = 0

Suy ra a = 1; b = −13; c = −5 .

Vậy a − b + c = 9 .

Vậy M thuộc (α ) : x + 3 z − 1 = 0. Nhận thấy (α ) song song với ( P ) và (Q) .

Chọn A.

Chọn A.

Bài toán 3. Lập phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;1) , B ( 3; 4;0 ) và mặt phẳng

Phương pháp giải

( P ) : ax + by + cz + 46 = 0 . Biết rằng khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng ( P ) lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị

Sử dụng các công thức liên quan đến khoảng cách:

của biểu thức T = a + b + c bằng

Khoảng cách từ điểm M ( x0 , y0 , z0 ) đến mặt phẳng (α ) : ax + by + cz + d = 0 là d( M , (α )) =

ax0 + by0 + cz0 + d a 2 + b2 + c2

A. −3.

B. −6.

C. 3.

D. 6.

Hướng dẫn giải

.

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng ( P ) .

Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: d [(α ), ( β )] = d[ M , ( β )] trong đó điểm M ∈ (α ) .

Theo giả thiết, ta có: AB = 3, AH = 6, BK = 3 .

Do đó A, B ở cùng phía với mặt phẳng ( P ) .

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt

Lại có: AB + BK ≥ AK ≥ AH . Mà AB + BK = AH nên H ≡ K .

phẳng ( β ) : x + y − z + 3 = 0 và cách ( β ) một khoảng bằng

Suy ra A, B, H là ba điểm thẳng hàng và B là trung điểm của AH nên tọa độ H (5;6; −1) .

Vậy mặt phẳng ( P ) đi qua H (5;6; −1) và nhận AB = (2; 2; −1) là vectơ pháp tuyến nên có phương

3.

A. x + y − z + 6 = 0; x + y − z = 0 .

B. x + y − z + 6 = 0 .

C. x − y − z + 6 = 0; x − y − z = 0 .

D. x + y + z + 6 = 0; x + y + z = 0 .

trình là 2( x − 5) + 2( y − 6) − 1( z + 1) = 0 ⇔ 2 x + 2 y − z − 23 = 0 Theo bài ra, ta có ( P ) : −4 x − 4 y + 2 z + 46 = 0 nên a = −4, b = −4, c = 2 .

Hướng dẫn giải

Vậy T = a + b + c = −6 .

Gọi (α ) là mặt phẳng cần tìm. Ta có A(0; 0;3) ∈ ( β ) .

Chọn B.

Do (α ) / /( β ) nên phương trình của mặt phẳng (α ) có dạng:

Bài toán 4. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

x + y − z + m = 0 với m ≠ 3 .

Ta có d((α ),( β )) = 3 ⇔ d( A, (α )) = 3 ⇔

Phương pháp giải

| m −3| 3

Viết phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H .

= 3.

m = 6 (thỏa mãn). ⇔| m − 3 |= 3 ⇔  m = 0

Giả sử mặt cầu ( S ) có tâm I và bán kính R, khi đó ta viết được phương trình mặt phẳng (α ) đi qua H

và có một vectơ pháp tuyến là n = IH .

Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1)2 + y 2 + ( z − 2) 2 = 9 .

Trang 9

Trang 10

Gọi (α ) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(1;3; 2) và I (1;0; 2) là tâm của mặt cầu ( S ). Mặt

phẳng (α ) nhận IA = (0;3;0) làm vectơ pháp tuyến. Mặt khác, mặt phẳng (α ) đi qua điểm A(1;3; 2) nên

1 1 V = hS = .2π R.h 3 3 Trong đó R là bán kính đáy, h là chiều cao.

có phương trình tổng quát là y − 3 = 0 .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + ( z − 1)2 = 4 và điểm A(2; 2; 2). Từ A kẻ ba

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 3) 2 = 12 và mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y − z − 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng song

song với ( P ) và cắt ( S ) theo thiết diện là đường tròn (C ) sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.

tiếp tuyến AB, AC , AD với mặt cầu ( B, C , D là các tiếp điểm). Phương trình mặt phẳng ( BCD ) là

A. 2 x + 2 y + z − 1 = 0 .

B. 2 x + 2 y + z − 3 = 0 .

C. 2 x + 2 y + z + 1 = 0 .

D. 2 x + 2 y + z − 5 = 0 .

Hướng dẫn giải

A. 2 x + 2 y − z + 2 = 0 hoặc 2 x + 2 y − z + 8 = 0 .

Ta có mặt cầu ( S ) có tâm I (0;0;1) và bán kính R = 2 .

B. 2 x + 2 y − z − 1 = 0 hoặc 2 x + 2 y − z + 11 = 0 .

Do AB, AC , AD là ba tiếp tuyến của mặt cầu ( S ) với B, C , D là các tiếp điểm nên

C. 2 x + 2 y − z − 6 = 0 hoặc 2 x + 2 y − z + 3 = 0 .

 AB = AC = AD ⇒ IA là trục của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.   IB = IC = ID = R

D. 2 x + 2 y − z + 2 = 0 hoặc 2 x + 2 y − z + 2 = 0 .

Hướng dẫn giải

⇒ IA ⊥ ( BCD ) .

Ta có (α ) / /( P) nên (α ) : 2 x + 2 y − z + d = 0 (d ≠ −3).

Khi đó mặt phẳng ( BCD ) có một vectơ pháp tuyến n = IA = (2; 2;1) .

Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2;3), bán kính R = 2 3 .

Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒ J ∈ IA và IJ ⊥ BJ .

Gọi ( H ) là khối nón thỏa mãn đề bài với đường sinh IM = R = 2 3.

Ta có ∆IBA vuông tại B và BJ ⊥ IA nên 4 IB 2 4 = ⇒ IJ = IA .

IA 3 9

Đặt J ( x; y; z ). Ta có IJ = ( x; y; z − 1); IA = (2; 2;1) .

IB 2 = IJ .IA ⇒ IJ =

4  8 8 13  Từ IJ = IA suy ra J  ; ;  .

9 9 9 9 

 8 8 13  Mặt phẳng ( BCD) đi qua J  ; ;  và nhận vectơ pháp tuyến n = (2; 2;1) có phương trình: 9 9 9  8  8   13   2  x −  + 2  y −  +  z −  = 0 ⇒ 2x + 2 y + z − 5 = 0 .

9  9  9 

Đặt x = h = d ( I , (α )). Khi đó bán kính đường tròn đáy hình nón là r = 12 − x 2 .

1 Thể tích khối nón là V( H ) = π (12 − x 2 ) x với 0 < x < 2 3 .

3

Chọn D. Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

1 Xét hàm số: f ( x) = π (12 − x 2 ) x với 0 < x < 2 3 .

3

Ta có d ( I , (α )) = 2 ⇔

22 + 22 + (−1)2

và mặt phẳng

( P ) : x − 2 y + 2 z + 11 = 0. Xét điểm M di động trên ( P ) và các điểm A, B, C phân biệt di động trên ( S )

Khi đó f ( x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 2 hay d ( I , (α )) = 2 . | 2.1 + 2 ⋅ (−2) − 3 + d |

( S ) : ( x − 1) 2 + ( y − 1)2 + ( z − 1) 2 = 12

sao cho AM , BM , CM là các tiếp tuyến của ( S ) . Mặt phẳng ( ABC ) luôn đi qua điểm cố định nào dưới

d − 5 = 6  d = 11 . =2⇔ ⇔ d − 5 = − 6  d = −1 

đây?

1 1 1 A.  ; − ; −  . 4 2 2

Chọn B.

B. (0; −1;3) .

3  C.  ;0; 2  . 2 

D. ( 0;3; −1) .

Hướng dẫn giải

Chú ý: Công thức tính thể tích hình nón:

Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1) và bán kính R = 2 3 .

Trang 11

Trang 12

Xét điểm M (a; b; c) ∈ ( P ); A( x; y; z ) ∈ ( S ) nên ta có hệ điều kiện:

A. b + c = 6 .

( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 12  2 2 2  AI + AM = IM  a − 2b + 2c + 11 = 0 

C. bc = b + c .

theo đoạn chắn là:

x y z + + =1 3 b c

Mặt phẳng ( P ) đi qua N (2; 2; 2) suy ra

2 2 2 1 1 1 + + =1⇔ + = .

3 b c b c 6

Chọn D. Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm G (1; 4;3) . Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ

( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) − 12 + ( x − a) + ( y − b) + ( z − c )  2

2

2

2

2

Ox, Oy , Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC là

= 12 −  (a − 1)2 + (b − 1) 2 + (c − 1)2 

A.

⇔ (a − 1) x + (b − 1) y + (c − 1) z − a − b − c − 9 = 0

x y z + + =1.

3 12 9

B.

x y z + + = 1.

4 16 12

Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là:

C. 3x + 12 y + 9 z − 78 = 0 .

(Q) : (a − 1) x + (b − 1) y + (c − 1) z − a − b − c − 9 = 0

Hướng dẫn giải

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).

Giả sử A(a, 0, 0); B (0, b, 0); C (0; 0; c) .

Chọn D.

x A + xB + xC + xD   xG = 4  y + yB + yC + yD  G (1; 4;3) là trọng tâm tứ diện OABC ⇔  yG = A 4  z A + z B + zC + z D   xG = 4 

Bài toán 5. Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp giải Phương trình mặt phẳng (α ) đi qua ba điểm A(a;0;0), B (0; b;0) và C (0;0; c) với abc ≠ 0 là: x y z + + = 1. a b c x y z + + = 1.

1 2 3

Ví dụ mẫu

Ta có phương trình mặt phẳng ( ABC ) là:

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox, Oy , Oz. Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là B.

x y z − + =1.

1 2 3

C.

x y z + + =0.

1 2 3

x y z D. − + + = 1 .

1 2 3

Hướng dẫn giải Ta có A(1;0;0), B(0; 2;0), C (0;0;3) lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng ( ABC ) có dạng

D. 4 x + 16 y + 12 z − 104 = 0 .

0 + a + 0 + 0 = 4.1 a = 4   ⇔ 0 + 0 + b + 0 = 4.4 ⇔ b = 16 .  c = 12  0 + 0 + 0 + c = 4.3

Ví dụ: Phương trình mặt phẳng (α ) đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B (0; 2; 0) và C (0; 0;3) là:

x y z + + =1.

1 2 3

1 1 1 + = . b c 6

Mặt phẳng ( P ) đi qua M (3;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) với b, c ≠ 0 nên phương trình mặt phẳng ( P )

Lấy (1) − (2) ta có:

A.

D.

Hướng dẫn giải

( x − 1) 2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 12 (1)  ⇔ 12 + ( x − a) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = (a − 1) 2 + (b − 1)2 + (c − 1) 2 (2)  a − 2b + 2c + 11 = 0 (3) 

2

B. bc = 3(b + c) .

x y z + + =1.

1 2 3

x y z + + = 1.

4 16 12

Chọn B. Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M (1; 2;3)

và cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức 1 1 1 có giá trị nhỏ nhất. + + OA2 OB 2 OC 2 A. ( P ) : x + 2 y + z − 14 = 0 .

B. ( P ) : x + 2 y + 3z − 14 = 0 .

C. ( P ) : x + 2 y + 3z − 11 = 0 .

D. ( P ) : x + y + 3z − 14 = 0 .

Hướng dẫn giải

Chọn A. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (3;0;0), N (2; 2; 2) . Mặt phẳng ( P )

Gọi H là trực tâm ∆ABC.

thay đổi qua M , N cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại B (0; b; 0), C (0; 0; c) với b, c ≠ 0. Hệ thức nào dưới đây

 BH ⊥ AC Ta có  ⇒ AC ⊥ (OBH ) ⇒ AC ⊥ OH (1) . OB ⊥ AC

là đúng?

Trang 13

Trang 14

Chứng minh tương tự, ta có: BC ⊥ OH

Vậy a = b = 1, c = −1 .

( 2) .

Suy ra a + 3b − 2c = 1 + 3.1 + 2 = 6 .

Từ (1), (2) ta có OH ⊥ ( ABC ) .

Suy ra

Chọn D.

1 1 1 1 + + = .

OA2 OB 2 OC 2 OH 2

Bài tập tự luyện dạng 1

1 1 1 + + đạt giá trị nhỏ nhất thì OH đạt giá trị lớn nhất. Mà OH ≤ OM OA2 OB 2 OC 2 nên OH đạt giá lớn nhất bằng OM hay H ≡ M .

Khi đó OM ⊥ ( ABC ) nên ( P ) có một vectơ pháp tuyến là OM = (1; 2;3) .

Vậy để biểu thức

Chọn B. Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm M ( 4; −4;1) và chắn trên ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng C. 3.

1 ?

2

D. 4.

Gọi A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) với abc ≠ 0 là giao điểm của mặt phẳng ( P ) và các trục toạ độ. Khi x y z + + = 1. a b c

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 3; 2;1) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt các

trục tọa độ Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm

A. 3x + 2 y + z − 14 = 0 .

B. 2 x + y + z − 9 = 0 .

C. 3x + 2 y + z + 14 = 0 .

D. 2 x + y + 3z + 9 = 0 .

A. x − 2 y + 2 z − 1 = 0 . B. x − 2 y − 2 z + 1 = 0 .

C. x − 2 y − 2 z − 1 = 0 .

D. x − 2 y + 2 z + 1 = 0 .

phẳng song song với ( P ) đồng thời đường thẳng AB cắt (Q) tại C sao cho CA = 2CB . Mặt phẳng ( Q ) có phương trình là:

Chọn C. Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A (1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) . Mặt phẳng

x + ay + bz + c = 0 đi qua các điểm A, B đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích

A. x + y + z −

4 = 0 hoặc x + y + z = 0 .

3

B. x + y + z = 0 .

C. x + y + z −

4 = 0.

3

D. x + y + z − 2 = 0 hoặc x + y + z = 0 .

Câu 6: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng

1 . Giá trị của a + 3b − 2c là 6

( P)

song song và cách mặt phẳng

(Q) : x + 2 y + 2 z − 3 = 0 một khoảng bằng 1 đồng thời ( P ) không đi qua O là C. 10.

D. 6.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng đi qua các điểm A, B đồng thời cắt tia Oz tại C ( 0;0; t ) với t > 0 có phương trình là x y z + + =1.

1 1 t Mặt khác: VOABC =

D. x − 2 y − 5 z + 5 = 0 .

Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho A(0;1;1), B (1; 0; 0) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 3 = 0. (Q ) là mặt

Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn.

B. 1.

B. 2 x − y + 5 z − 5 = 0 .

A(−3;0;1), B (0; −1;3). Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng ( P ) là

 4 4 1  a = −8, b = −4, c = 2 − + =1  M ∈ ( P)  a b c ⇔ ⇔  a = 8, b = −4, c = −2  1 1 OC = 2 OB = 4 OA | c |= 1 | b |= 1 | a |  a = 16, b = −8, c = 4    2 4

A. 16.

A. x − 2 y − 5 z − 5 = 0 .

C. x − 2 y − 5 = 0 .

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 và hai điểm

Theo giả thiết ta có:

bằng

D. n = (1; 2; −3) .

tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng song song với mặt phẳng ( P ) là

Hướng dẫn giải

đó ( P ) có phương trình là

C. n = (−1; 2; −3) .

với BC là

1( x − 1) + 2( y − 2) + 3( z − 3) = 0 ⇔ x + 2 y + 3z − 14 = 0 .

B. 2.

tuyến của mặt phẳng ( P ) là ρ

A. n = ( −1;1; −2 ) .

B. n = (1;1; −2) .

Câu 2: Cho ba điểm A(2;1; −1), B(−1;0; 4), C (0; −2; −1). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc

Phương trình mặt phẳng ( P ) là

A. 1.

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình x − y + 2 z − 3 = 0 . Vectơ pháp

A. x + 2 y + 2 z + 1 = 0 .

B. x + 2 y + 2 z = 0 .

C. x + 2 y + 2 z − 6 = 0 .

D. x + 2 y + 2 z + 3 = 0 .

Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho A(2;0;0), B (0; 4;0), C (0;0;6), D(2; 4;6). Gọi ( P ) là mặt phẳng song

song với ( ABC ) , cách đều D và mặt phẳng ( ABC ) . Phương trình của ( P ) là 1 1 1 ⇔ . OA.OB.OC = ⇔ t = 1 .

6 6 6

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng

A. 6 x + 3 y + 2 z − 24 = 0 .

B. 6 x + 3 y + 2 z − 12 = 0 .

C. 6 x + 3 y + 2 z = 0 .

D. 6 x + 3 y + 2 z − 36 = 0 .

x y z + + = 1 ⇔ x + y + z −1 = 0 .

1 1 1 Trang 15

Trang 16

Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 3; 2;3) , B ( 2;1; 2 ) , C ( 4;1;6 ) . Phương trình mặt phẳng

( P′) : A′x + B′y + C ′z + D′ = 0 .

( ABC ) là

Khi đó:

A. 2 x − y − z − 1 = 0 .

B. x + y − z − 2 = 0 .

C. x − y + 2 z − 7 = 0 .

D. x − y − z + 2 = 0 .

• ( P ) cắt ( P′ ) ⇔ A : B : C ≠ A′ : B′ : C ′.

Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua M cắt B. ( P ) : 6 x + 3 y + 2 z + 6 = 0 .

C. ( P) : 6 x + 3 y + 2 z − 18 = 0 .

D. ( P ) : 6 x + 3 y + 2 z − 6 = 0 .

• ( P ) ≡ ( P′ ) ⇔

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; −3; 2 ) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt

các trục toạ độ tại A, B, C mà OA = OB = OC ≠ 0?

A. 3.

B. 1.

C. 4.

mặt phẳng (α ) chứa Oy cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8π.

B. (α ) : 3x + z = 0 .

C. (α ) : x − 3z = 0 .

D. (α ) : 3x + z + 2 = 0 .

Bài tập nâng cao Câu 12: Cho điểm M ′ ( 4; −7; −5) , N ( 3; −9; −10 ) và các đường thẳng d1 , d 2 , d3 cùng đi qua điểm N và

lần lượt song song với Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng ( P′ ) đi qua M ′ cắt d1 , d 2 , d3 lần lượt tại A′, B′, C ′ sao cho M ′ là trực tâm ∆A′B′C ′. Phương trình mặt phẳng ( P′ ) là A. x + 2 y + 5 z − 35 = 0 .

C.

x y z + + = 0.

4 −7 −5

B. x + 2 y + 5 z + 35 = 0 .

D.

⇔ AA′ + BB′ + CC ′ = 0.

Chú ý:

• Nếu A = 0 thì tương ứng A′ = 0 .

D. 2.

Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0. Viết phương trình A. (α ) : 3x − z = 0 .

A B C D . = = ≠ A′ B′ C ′ D′

A B C D = = = .

A′ B′ C ′ D′

• ( P ) ⊥ ( P′ ) ⇔ n( P ) ⊥ n( P′) ⇔ n( P ) n( P′) = 0 .

các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm tam giác ABC. A. ( P) : 6 x + 3 y + 2 z + 18 = 0 .

• ( P ) / / ( P′ ) ⇔

• Nếu B = 0 thì tương ứng B′ = 0 .

• Nếu C = 0 thì tương ứng C′ = 0 .

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (α ) : x + 2 y − z − 1 = 0 và

( β ) : 2 x + 4 y − mz − 2 = 0 .

Tìm m để ( α ) và ( β ) song song với nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có (α ) / /( β ) ⇔ (vô lý vì

x y z + + = 1.

4 −7 −5

1 2 −1 −1 = = ≠ 2 4 − m −2

2 4 −2 = = ).

1 2 −1

Vậy không tồn tại m để hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) song song với nhau.

Ví dụ mẫu

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;1) . Xét ba mặt

cầu tiếp xúc ngoài đôi một với nhau và tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) lần lượt tại A, B, C. Tổng diện tích

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + z − 2 = 0 vuông góc với mặt phẳng nào dưới

của ba mặt cầu trên là:

đây?

A.

33π .

2

B. 36π .

C.

31π .

2

A. 2 x − y − z − 2 = 0 . B. x − y − z − 2 = 0 .

D. 54π .

C. x + y + z − 2 = 0 .

Hướng dẫn giải

Câu 14: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + 2 z − 1 = 0 , các điểm

Mặt phẳng ( P ) có một vectơ pháp tuyến là nP = (2;1;1) .

A(0;1;1), B (1; 0; 0) với A và B nằm trên mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) : ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 2) 2 = 4.

Mặt phẳng (Q ) : x − y − z − 2 = 0 có một vectơ pháp tuyến nQ = (1; −1; −1) .

Mà nP ⋅ nQ = 2 − 1 − 1 = 0 ⇒ nP ⊥ nQ ⇒ ( P) ⊥ (Q) .

CD là một đường kính thay đổi của ( S ) sao cho CD / /( P ) và bốn điểm A, B, C , D tạo thành một tứ diện.

Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng A. 2 2 .

B. 2 3 .

C. 2 5 .

D. 2 x + y + z − 2 = 0 .

Vậy mặt phẳng x − y − z − 2 = 0 là mặt phẳng cần tìm.

D. 2 6 .

Dạng 2. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa mặt cầu và mặt phẳng

Chọn B.

Bài toán 1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình

Phương pháp giải

mx + (m − 1) y + z − 10 = 0 và mặt phẳng (Q) : 2 x + y − 2 z + 3 = 0 .

Cho hai mặt phẳng:

Với giá trị nào của m thì ( P ) và (Q) vuông góc với nhau?

( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 ;

Trang 17

Trang 18

A. m = −2 .

B. m = 2 .

C. m = 1 .

D. m = −1 .

( P ) : 2 x + 2 y + z + 5 = 0. Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 16π là

Hướng dẫn giải

( P ) : mx + (m − 1) y + z − 10 = 0 có vectơ pháp tuyến n1 = (m; m − 1;1) .

(Q ) : 2 x + y − 2 z + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến n2 = (2;1; −2) .

( P ) ⊥ (Q) ⇔ n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ 2m + m − 1 − 2 = 0 ⇔ m = 1 .

B. ( x − 1) 2 + ( y − 2)2 + ( z + 2)2 = 9 .

Chọn C.

D. ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 2) 2 = 16 .

A. ( x − 2)2 + ( y − 2)2 + ( z − 1) 2 = 36 .

C. ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 2) 2 = 25 .

Bài toán 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải

Ta có a = d ( I ;( P )) =

Cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu tâm I ; bán kính R. • (α ) và ( S ) không có điểm chung ⇔ d ( I , (α )) > R .

| 2.1 + 2.2 − 2 + 5 | 22 + 22 + 12

= 3.

Bán kính của đường tròn giao tuyến là: r =

• (α ) tiếp xúc với ( S ) ⇔ d ( I , (α )) = R. Khi đó (α ) là tiếp diện.

S

π

= 16 = 4 .

Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến là một đường tròn nên ta có

• (α ) và ( S ) cắt nhau ⇔ d ( I ;(α )) < R .

R 2 = a 2 + r 2 = 9 + 16 = 25 ⇒ R = 5 .

Khi đó ( O ) có tâm là hình chiếu của I trên ( α ) và bán kính r = R 2 − d 2 ( I ;(α )) .

Vậy phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R = 5 là:

Ví dụ mẫu

( x − 1) 2 + ( y − 2)2 + ( z + 2) 2 = 25 .

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

Chọn C.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 .

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 và

Mặt phẳng nào cắt ( S ) theo một đường tròn có bán kính r = 3?

mặt phẳng (α ) : 4 x + 3 y − 12 z + 10 = 0. Tìm phương trình mặt phẳng ( β ) thỏa mãn đồng thời các điều

A. 4 x − 3 y − z − 4 26 = 0 .

B. 2 x + 2 y − z + 12 = 0 .

C. 3x − 4 y + 5 z − 17 + 20 2 = 0 .

D. x + y + z + 3 = 0 .

kiện: tiếp xúc với ( S ) ; song song với (α ) và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương.

A. 4 x + 3 y − 12 z − 78 = 0 .

B. 4 x + 3 y − 12 z − 26 = 0 .

Hướng dẫn giải

C. 4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0 .

D. 4 x + 3 y − 12 z + 26 = 0 .

Phương trình mặt cầu ( S ) là x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0.

Hướng dẫn giải

Suy ra tâm I ( 3; −2;0 ) và bán kính R = 5 .

Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3), bán kính R = 12 + 22 + 32 + 2 = 4 .

Ta gọi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới các mặt phẳng ở các đáp án là h, khi đó để mặt phẳng cắt 2

mặt cầu ( S ) theo một đường tròn có bán kính r = 3 thì h = R − r = 25 − 9 = 4 . Đáp án A loại vì h =

Vì (α ) / /( β ) nên phương trình (α ) có dạng: 4 x + 3 y − 12 z + d = 0, d ≠ 10 .

Vì ( β ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) nên

2

|18 − 4 26 | ≠ 4.

26

d ( I ,( β )) = R ⇔

| 4.1 + 3.2 − 12.3 + d | 2

2

4 + 3 + (−12)

2

 d = −26 . = 4 ⇔| d − 26 |= 52 ⇔   d = 78

Do ( β ) cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương nên chọn d = 78 .

14 Đáp án B loại vì h = ≠ 4.

3

Vậy phương trình mặt phẳng ( β ) : 4 x + 3 y − 12 z + 78 = 0 .

Chọn đáp án C vì h = 4 .

Chọn C.

Đáp án D loại vì h =

1+ 3 3

Bài tập tự luyện dạng 2

≠ 4.

Bài tập cơ bản

Chọn C.

Câu 1: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng ( Oxz ) ?

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I (1; 2; −2 ) và mặt phẳng

A. ( P ) : x − 3 = 0.

Trang 19

B. (Q ) : y − 2 = 0 .

C. ( R ) : z + 1 = 0 .

D. ( S ) : x + z + 3 = 0 .

Trang 20

Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2mx + ( m2 + 1) y + ( m2 − 1) z − 10 = 0 và điểm Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 1 = 0 và ( β ) : 2 x − y + mz − m + 1 = 0 ,

A ( 2;11; −5 ) . Biết khi m thay đổi thì luôn tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) và đi

với m là tham số thực. Giá trị của m để (α ) ⊥ ( β ) là

qua A. Tổng bán kính hai mặt cầu đó bằng

A. −1 .

B. 0.

C. 1.

D. −4 .

Câu 3: Trong không gian Oxyz , có bao nhiêu số thực m để mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z − 1 = 0 song

song với mặt phẳng (Q) : 2 x + (m + 2) y − 2mz − m = 0?

A. 1.

B. 0.

C. Vô số.

A. 7 2.

B. 15 2.

C. 5 2.

2

D. 12 2.

2

2

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = 9 tiếp xúc với hai mặt

phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z − 4 = 0 và ( Q ) : 2 x − y + 2 z − 4 = 0 lần lượt tại các điểm A, B. Độ dài đoạn AB là

D. 2.

Câu 4: Cho mặt cầu ( S ) có đường kính 10 cm và mặt phẳng ( P ) cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm.

A. 3 2.

B.

C.

3.

2.

D. 2 3.

Dạng 3. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Khẳng định nào sau đây sai?

Phương pháp giải

A. ( P ) và ( S ) có vô số điểm chung.

B. ( P ) tiếp xúc với ( S ) .

Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 là

C. ( P ) cắt ( S ) theo một đường tròn bán kính 3 cm.

d ( M 0 , (α)) =

D. ( P ) cắt ( S ) .

Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2

.

Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 2)2 + ( y + 1)2 + ( z − 1) 2 = 12. Mặt phẳng nào sau

Ví dụ: Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm A (1; −2;3) đến mặt phẳng ( P ) có phương trình

đây cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn?

x + 3 y − 4 z + 9 = 0 là

A. ( P1 ) : x + y − z + 2 = 0 .

C. ( P3 ) : x + y − z + 10 = 0 .

B. ( P2 ) : x + y − z − 5 = 0 .

d ( A, ( P ) ) =

1 + 3. ( −2 ) − 4.3 + 9

D. ( P4 ) : x + y − z − 10 = 0 .

2

2

1 + 3 + ( −4 )

2

=

4 26 .

13

Ví dụ mẫu

Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình ( x − 2)2 + ( y + 1)2 + ( z + 2) 2 = 4 và mặt

phẳng ( P ) có phương trình 4 x − 3 y − m = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng ( P )

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng

và mặt cầu ( S ) có đúng một điểm chung.

(Q ) : x + 2 y + 2z − 3 = 0

A. m = 1 .

B. m = −1 hoặc m = −21 .

C. m = 1 hoặc m = 21 .

D. m = −9 hoặc m = 31 .

A.

4 .

3

B. 3.

C.

8 .

3

Hướng dẫn giải

phẳng ( P ) có phương trình x + my + z − 3m − 1 = 0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt

Vì ( P ) / / ( Q ) nên d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( A, ( Q ) ) với A ∈ ( P ) .

A. m = 1 .

B. m = −1 hoặc m = −2 .

C. m = 1 hoặc m = 2 .

D. m = −1 .

và

bằng

Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình ( x − 2)2 + ( y − 4)2 + ( z − 1)2 = 4 và mặt

phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng 2.

( P ) : x + 2 y + 2 z − 10 = 0

Chọn A ( 0;0;5 ) ∈ ( P ) thì d ( A ( Q ) ) =

0 + 2.0 + 2.5 − 3 2

2

1 +2 +2

2

D.

7 .

3

7 = .

3

Chọn D.

Bài tập nâng cao Câu 8: Biết rằng trong không gian với hệ toạ độ Oxyz có hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) cùng thoả mãn các

Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

điều kiện sau: đi qua hai điểm A (1;1;1) và B ( 0; −2; 2 ) đồng thời cắt các trục toạ độ Ox, Oy tại hai điểm

Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

cách đều O. Giả sử ( P ) có phương trình x + b1 y + c1 z + d1 = 0 và ( Q ) có phương trình Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho A (1; 2;3) , B ( 3; 4; 4 ) . Tìm tất cả các giá trị của

x + b2 y + c2 z + d 2 = 0. Giá trị biểu thức b1b2 + c1c2 bằng A. 7.

B. −9.

C. −7.

tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + mz − 1 = 0 bằng độ dài đoạn

D. 9.

thẳng AB. A. m = 2.

Trang 21

B. m = −2.

C. m = −3.

D. m = ±2.

Trang 22

Câu 2: Trong không gian cho hệ trục tọa độ Oxyz , tất cả các điểm M nằm trên Oz có khoảng cách đến

Hướng dẫn giải υυυρ Ta có AB = ( 2; 2;1) ⇒ AB = 22 + 22 + 12 = 3 (1) .

mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 2 z − 2 = 0 bằng 2 là

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( P ) là d ( A, ( P )) =

| 2.1 + 2 + m ⋅ 3 − 1| 22 + 12 + m 2

Vì AB = d ( A, ( P )) ⇔ 3 =

=

| 3m + 3 | 5 + m2

| 3m + 3 | 5 + m2

(2).

(

A. M (0; 0; −4) .

B. M (0;0;0), M (0; 0; −2) .

C. M (0;0; 2) .

D. M (0;0; 2), M (0;0; −4) .

Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng

)

⇔ 9 5 + m 2 = 9(m + 1) 2 ⇔ m = 2 .

A.

Chọn A.

B.

14 .

14

C.

4 14 .

7

D.

3 14 .

7

Hướng dẫn giải

Ta có AB = (1; −1; 2), AC = (2;0;1) ⇒ [ AB; AC ] = (−1;3; 2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) .

Vậy phương trình mặt phẳng ( ABC ) là

(−1) 2 + 32 + 22

=

3 14 .

14

A.

C. 3 a 2 + b 2 + c 2 .

11 + 3 61 .

9

C.

11 + 2 61 .

9

D.

63 61 − 89 .

169

)

(

)

Chú ý: 0o ≤ (• α ) , ( β ) ≤ 90o.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ( P ) .

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình là x − z − 3 = 0. Tính

Khi đó

góc giữa ( P ) và mặt phẳng ( Oxy ) .

d (O, ( P )) = OH ≤ OA = a 2 + b 2 + c 2 .

Hướng dẫn giải

Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 2 z − 10 = 0 và (Q) : x + 2 y + 2 z − 3 = 0 . Điểm M là giao điểm của mặt phẳng ( P ) với trục Oz . Khoảng cách từ M tới mặt phẳng ( Q ) bằng

8 .

3

B.

υρ υυρ Góc giữa ( α ) , ( β ) bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ pháp tuyến n1 , n2 . υρ υυρ n1.n2 A1 A2 + B1 B2 + C1C2 cos (• α ) , ( β ) = υρ υυρ = . n1 . n2 A12 + B12 + C12 . A22 + B22 + C22

(

D. 4 a 2 + b 2 + c 2 .

Hướng dẫn giải

A.

58 + 36 61 .

127

( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 (β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

đổi đi qua điểm A . Khoảng cách lớn nhất từ điểm O đến mặt phẳng ( P ) bằng B. 2 a 2 + b 2 + c 2 .

D. 12.

Cho hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) có phương trình:

Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A ( a; b; c ) với a, b, c ≠ 0. Xét ( P ) là mặt phẳng thay

a 2 + b2 + c2 .

8 .

3

Phương pháp giải

Chọn A.

A.

C.

Dạng 4. Góc giữa hai mặt phẳng

Độ dài chiều cao DH của tứ diện ABCD là khoảng cách từ D đến ( ABC ) .

| −1.1 + 3.1 + 2.1 − 7 |

B. 2.

với cả hai mặt cầu ( S1 ) , ( S 2 ) . Khoảng cách lớn nhất từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng ( P ) bằng

−1( x − 1) + 3( y − 2) + 2( z − 1) = 0 ⇔ − x + 3 y + 2 z − 7 = 0 .

Suy ra DH = d ( D, ( ABC )) =

2 .

3

3 3 1 Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −3) , B  ; ; −  . Gọi ( S1 ) là mặt 2 2 2 3 cầu tâm A, bán kính bằng 3 và ( S2 ) là mặt cầu tâm B, bán kính bằng . Gọi ( P ) là mặt phẳng tiếp xúc 2

C = (3; 2; 2), D = (1;1;1) . Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng 3 14 .

14

và điểm

Bài tập nâng cao

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A = (1; 2;1) , B = ( 2;1;3) ,

A.

( P) : 2x − 2 y + z + 3 = 0

A (1; −2;3) . Gọi M ( a; b; c ) ∈ ( P ) sao cho AM = 4. Giá trị của a + b + c bằng

B.

7 .

3

C. 3.

D.

4 .

3

Trang 23

υρ Mặt phẳng ( P ) : x − z − 3 = 0 có vectơ pháp tuyến n1 = (1;0; −1) và mặt phẳng ( Oxy ) có vectơ pháp tuyến υυρ n2 = ( 0;0;1) .

Gọi ϕ là góc giữa mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng ( Oxy ) . υρ υυρ n1.n2 1 Ta có cos ϕ = υρ υυρ = ⇒ ϕ = 45o.

2 n1 . n2

Trang 24

υυρ υυρ υυρ ρ Gọi điểm I ( x; y; z ) sao cho 3IA + 5IB − 7 IC = 0.

Ví dụ mẫu Ví dụ: Trong không gian Oxyz , biết hình chiếu của O lên mặt phẳng ( P ) là điểm H ( 2; −1; −2 ) .

3 (1 − x ) + 5 ( −1 − x ) − 7 ( 3 − x ) = 0  x = −23   Khi đó 3 (1 − y ) + 5 ( 2 − y ) − 7 ( −1 − y ) = 0 ⇔  y = 20 ⇒ I ( −23; 20; −11) .   z = −11  3 (1 − z ) + 5 ( 0 − z ) − 7 ( 2 − z ) = 0 υυυρ υυυρ υυυυρ υυυρ υυρ υυυρ υυρ υυυρ υυρ Xét P = 3MA + 5MB − 7 MC = 3 MI + IA + 5 MI + IB − 7 MI + IC .

Số đo góc giữa mặt phẳng ( P ) với mặt phẳng ( Q ) : x − y − 5 = 0 là

A. 30o.

B. 90o.

C. 60o.

D. 45o.

Hướng dẫn giải

(

Gọi α là góc giữa mặt phẳng ( P ) với mặt phẳng ( Q ) . υυυρ ρ Ta có OH = ( 2; −1; −2 ) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) và n = (1; −1;0 ) là vectơ pháp tuyến

υυυρ ρ υυυρ ρ OH .n 1 Ta có cos α = cos OH , n = υυυρ ρ = ⇒ α = 45o.

2 OH . n

(

(

2

22 + ( −1) + 22

= 27.

Chọn D.

( P ) : x + y + z = 0. Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng ( P ) sao cho MA2 − 2MB 2 lớn nhất.

Bài tập cơ bản Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm H ( 2;1; 2 ) . Điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ B. 30o.

C. 60o.

D. 45o.

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình: ax + by + cz − 1 = 0

C. ( 0;3) .

B. M (2; −1;1) .

C. M (6; −18;12) .

D. M (−6;18;12) .

Gọi I thỏa mãn IA − 2 IB = 0.

Khi đó IO + OA − 2( IO + OB ) = 0 ⇔ OI = 2OB − OA ⇔ I (13; −11;19).

2 2 2 2 Ta có MA2 − 2 MB 2 = MA − 2 MB = MI + IA − 2 MI + IB = − MI 2 + IA2 − 2 IB 2 .

( )

với c < 0 đi qua 2 điểm A ( 0;1;0 ) , B (1;0;0 ) và tạo với mặt phẳng ( Oyz ) một góc 60o.

B. ( 8;11) .

A. M (−2;1;1) .

Hướng dẫn giải

O xuống mặt phẳng ( P ) , số đo góc giữa mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng ( Q ) : x + y − 11 = 0 là

( ) (

)

(

)

(

)

MA2 − 2MB 2 lớn nhất khi MI nhỏ nhất. Khi đó I là hình chiếu vuông góc của M lên ( P ) .

D. ( 3;5 ) .

Ta tìm được M (6; −18;12) .

Bài tập nâng cao

• = 120o. Cạnh bên Câu 3: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành AB = 3, AD = 4, BAD SA = 2 3 vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD và BC , α là góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( MNP ) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

Chọn C. Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho các điểm M (m;0;0), N (0; n;0), P (0;0; p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn m2 + n2 + p 2 = 3 . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( MNP ) bằng A.

đây: B. α ∈ ( 0o ;30o ) .

C. α ∈ ( 30o ; 45o ) .

D. α ∈ ( 45o ; 60o ) .

Dạng 5. Một số bài toán cực trị

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1;1;1) , B ( −1; 2;0 ) , C ( 3; −1; 2 ) và M là điểm thuộc mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 2 z + 7 = 0.

B.

C.

3.

1 3

.

D.

1 .

27

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng ( MNP ) là: Suy ra d (O, ( MNP)) =

υυυρ υυυρ υυυυρ Tính giá trị nhỏ nhất của P = 3MA + 5MB − 7 MC .

B. Pmin = 5.

1 .

3

Do M , N , P không trùng với gốc tọa độ nên m ≠ 0, n ≠ 0, p ≠ 0 .

Ví dụ mẫu

A. Pmin = 20.

2. ( −23) − 20 + 2. ( −11) + 7

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( −3;5; −5) , B ( 5; −3;7 ) và mặt phẳng

Bài tập tự luyện dạng 4

A. α ∈ ( 60o ;90o ) .

)

)

Khi đó: Pmin = d ( I , ( α ) ) =

)

Chọn D.

A. ( 5;8) .

) (

Pmin khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng ( α ) .

của mặt phẳng ( Q ) .

A. 90o.

) (

υυυρ υυρ υυρ υυρ υυυρ = MI + 3IA + 5 IB − 7 IC = MI = MI .

C. Pmin = 25.

D. Pmin = 27.

x y z 1 1 1 + + = 1 ⇔ x + y + z −1 = 0 . m n p m n p

1 .

1 1 1 + 2+ 2 2 m n p

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương m2 , n 2 , p 2 và ba số dương

Hướng dẫn giải Trang 25

1 1 1 , ta có: m2 n 2 p 2 Trang 26

m 2 + n 2 + p 2 ≥ 3 3 m2 n 2 p 2 và

Ta có d ( H ;( P)) = HK và d ( H ; MN ) = HE , HK ≤ HE (không đổi).

1 1 1 1 + + ≥ 33 2 2 2 . m2 n 2 p 2 mn p

Vậy d ( H ; ( P)) lớn nhất khi K ≡ E , với E là hình chiếu của H lên MN .

 1 1 1  Suy ra ( m 2 + n 2 + p 2 )  2 + 2 + 2  ≥ 9 n p  m

 −1 −1 7  Suy ra E  ; ;  .  3 3 3  1 1 1  Vậy mặt phẳng ( P ) cần tìm là mặt phẳng nhận HE =  − ; − ;  làm vectơ pháp tuyến và đi qua M  3 3 3 có phương trình là − x − y + z − 3 = 0 .

 1 1 1  ⇔ 3 ⋅  2 + 2 + 2  ≥ 9 ( do m2 + n 2 + p 2 = 3) p  m n ⇔

1 1 1 + + ≥3⇔ m2 n2 p 2

Vậy d (O, ( MNP)) ≤

1 3

1 1 1 + + ≥ 3⇔ m2 n2 p 2

1 1 ≤ 1 1 1 3 + + m2 n 2 p 2

 a = −1  Suy ra b = −1 . c = 1 

. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m 2 = n2 = p 2 = 1 .

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( MNP ) là

1 3

Vậy T = 16 .

Chọn D.

.

Bài tập tự luyện dạng 5 Bài tập cơ bản

Chọn C. Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 3 = 0 và mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 2 z + 5 = 0. Giả sử M ∈ ( P ) và N ∈ ( S ) sao cho MN cùng phương với vectơ

u = (1;0;1) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN .

A. MN = 3 .

B. MN = 1 + 2 2 .

C. MN = 3 2 .

D. MN = 14 .

Ta có: d ( I , ( P)) =

12 + 22 + 22

Tính giá trị biểu thức P = x + y + z.

B. P = 2.

C. P = 6.

D. P = −2.

Câu 2: Cho A ( 4;5;6 ) ; B (1;1; 2 ) , M là một điểm di động trên mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0. Khi đó

I ( −1; 2;1) và bán kính R = 1 .

| −1 − 2.2 + 2.1 − 3 |

C ( 3; −6;1) . Điểm M ( x; y; z ) thuộc mặt phẳng ( Oyz ) sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

A. P = 0.

Hướng dẫn giải

( S ) có tâm

Câu 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC với A ( 2;1;3) , B (1; −1; 2 ) ,

MA − MB nhận giá trị lớn nhất là

= 2> R.

A.

B.

41.

C. 7.

D.

Tập hợp các điểm M nằm trên mặt phẳng ( P ) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

1 .HN cos α

Do đó MN lớn nhất ⇔ HN lớn nhất ⇔ HN = d ( I , ( P)) + R = 3.

 x − 7 y − 4z + 7 = 0 A.  3x − y + z − 5 = 0.

 x − 7 y − 4 z + 14 = 0 B.  3x + y − z + 5 = 0.

 x − 7 y − 4z + 7 = 0 C.  3x + y − z + 5 = 0.

x − 7 y − 4z + 5 = 0 D.  3x + y − z + 5 = 0.

1 1 Có cos α = cos(u , nP ) = nên MN = HN = 3 2 . cos α 2

Bài tập nâng cao

Chọn C.

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 3; −2;4 ) và mặt phẳng

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( P ) : ax + by + cz − 3 = 0 (với a, b, c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm M ( 0; −1; 2 ) , N ( −1;1;3) và không đi qua điểm H (0;0; 2). Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng T = a − 2b + 3c + 12 bằng

A. −16 .

B. 8.

C. 12.

85.

Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + y − z + 5 = 0 và hai điểm A (1;0; 2 ) , B ( 2; −1; 4 ) .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng ( P ) và α là góc giữa MN và NH . υυυυρ

Vì MN cùng phương với u nên góc α có số đo không đổi.

• nên HN = MN .cos α ⇒ MN = ∆MNH vuông tại H có α = HNM

77.

( P ) : ( m 2 + 2m ) x − ( m2 + 4m − 1) y + 2 ( 3m − 1) z + m2 + 1 = 0.

Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A

đến mặt phẳng ( P ) .

A. 5.

B.

29.

C.

33.

D.

21.

D. 16.

Hướng dẫn giải Gọi K là hình chiếu của H lên ( P ), E là hình chiếu của H lên MN .

Trang 27

Trang 28

2

2

Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + ( y − 3) + ( z − 6 ) = 45 và M (1; 4;5 ) . Ba đường

thẳng thay đổi d1 , d 2 , d3 nhưng luôn đôi một vuông góc với nhau tại O và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai lần lượt là A, B, C. Khoảng cách lớn nhất từ M đến mặt phẳng ( ABC ) là A. 3.

B.

C. 4.

5.

D.

6.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1. Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng

1-A

2-A

3-A

4-D

11-A

12-B

13-A

14-A

5-A

6-C

7-A

8-A

9-C

10-A

9-D

10-C

Dạng 2. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và mặt cầu

1-B

2-A

3-B

4-C

5-A

6-C

7-A

8-B

Dạng 3. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

1-B

2-D

3-A

4-C

Dạng 4. Góc giữa hai mặt phẳng

1-D

2-C

3-A

Dạng 5. Một số bài toán cực trị

1-A

2-B

3-C

4-B

5-D

Trang 29

CHUYÊN ĐỀ 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Phương trình đường thẳng

Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. + Trình bày và vận dụng được các công thức tính khoảng cách, góc. + Trình bày được cách viết phương trình tham số của đường thẳng. + Trình bày được các vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng và của

Chú ý: Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆. Vectơ u ≠ 0 gọi là vectơ chỉ phương của + Nếu u là vectơ chỉ phương của ∆

đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆. thì k .u ( k ≠ 0 ) cũng là vectơ chỉ Cho đường thẳng ∆ đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương của ∆.

+ Nếu đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phương là u = ( a; b; c ) .

A, B thì AB là một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng

đường thẳng với mặt cầu. Vận dụng được các công thức để xét vị trí tương đối của hai đường

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng

thẳng; của đường thẳng với mặt phẳng và của đường thẳng với mặt cầu.

 x = x0 + at   y = y0 + bt , t ∈ ℝ (1)  z = z + ct 0 

Kĩ năng +

Biết cách viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng.

+

Biết cách tính khoảng cách, tính góc.

+

Biết cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, vị trí tương đối của đường thẳng với mặt

Cho đường thẳng ∆ có phương trình (1) thì

+ u = ( a; b; c ) là một vectơ chỉ phương của ∆. +

Với

điểm

M ∈∆

thì

M ( x0 + at ; y0 + bt ; z0 + ct ) trong đó t

phẳng và vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu.

là một giá trị cụ thể tương ứng với từng điểm M.

Phương trình chính tắc Nếu a, b, c ≠ 0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ có dạng

x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c

( 2)

2. Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 , có vectơ chỉ phương u và điểm M ∉ ∆ . Khi đó để tính khoảng cách từ

M đến ∆ ta có các cách sau:

 MM 0 , u    Cách 1: Sử dụng công thức: d [ M , d ] = .

u Cách 2:

+ Lập phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua M vuông góc với ∆. + Tìm giao điểm H của ( P ) với ∆. + Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm.

Cách 3:

+ Gọi N ∈ d , suy ra tọa độ N theo tham số t .

Trang 1

Trang 2

+ d1 chéo d 2 ⇔ u1 , u2  .M 1M 2 ≠ 0

+ Tính MN 2 theo t . + Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆ đi qua M 0 có vectơ chỉ phương u và ∆′ đi qua M 0′ có vectơ chỉ

phương u′ . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆′ được tính theo các cách sau:

u , u′ .M 0 M 0′   Cách 1: Sử dụng công thức: d ( ∆, ∆′ ) = .

u , u ′   

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Trong

không

gian

(α ) : Ax + By + Cz + D = 0

Oxyz, có

cho

mặt

phẳng

Phương pháp đại số

vectơ

pháp

tuyến

Xét hệ phương trình

Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN . Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm.

 x = x0 + at

 nα = ( A; B; C ) và đường thẳng d :  y = y0 + bt đi qua  z = z + ct 0 

M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương ud = ( a; b; c ) .

Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa qua ∆ và song song với ∆′ . Khi đó khoảng cách cần tìm

Để xét vị trí tương đối của d và (α ) ta sử dụng phương

là khoảng cách từ một điểm bất kì trên ∆′ đến ( P ) .

pháp sau:

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong

không

gian

Oxyz,

hai

đường

thẳng

x − x0 y − y0 z − z0 đi qua M 1 ( x0 ; y0 ; z0 ) có = = a b c

vectơ chỉ phương u1 = ( a; b; c ) , và d1 :

x − x0′ y − y0′ z − z0′ đi qua M 2 ( x0 ; y0 ; z0 ) có d2 : = = a′ b′ c′

vectơ chỉ phương u2 = ( a′; b′; c′ ) .

thì d ⊥ (α ) .

• Nếu ud .nα ≠ 0 ; ud và nα không cùng phương thì d cắt ( α ) .

Để xét vị trí tương đối của d1 và d 2 , ta sử dụng

+) Nếu phương trình (*) vô nghiệm t thì d // (α ) . +) Nếu phương trình (*) có nghiệm t duy nhất thì d cắt (α ) . +) Nếu phương trình (*) có vô số nghiệm t thì d ⊂ (α ) .

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng d và mặt phẳng (α ) ta giải phương trình (*),

của d để tìm ( x; y; z )

Phương pháp hình học

 a1 a2 a3 u1 || u2  = = ⇔  b1 b2 b3   M 1 ∉ d 2 M ∉ d  1 2

  u1 , u2  ≠ 0 + d1 cắt d 2 ⇔   u1 , u2  .M 1M 2 = 0

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được

sau đó thay giá trị t vào phương trình tham số

phương pháp sau:

 a1 a2 a3 = u / / u2  = + d1 trùng d 2 ⇔  1 ⇔  b1 b2 b3 M ∈ d  1 2 M ∈ d  1 2

 u1 , u2  = 0   + d1 / / d 2 ⇔  hoặc   u1 , M 1M 2  ≠ 0

(1) ( 2) ( 3) ( 4)

A ( x0 + at ) + B ( y0 + bt ) + C ( z0 + ct ) + D = 0 (*)

Phương pháp hình học

u ⊥ nα • Nếu  d thì d ⊂ (α ) .  M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α )

ud ⊥ nα • Nếu  thì d // (α ) .  M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∉ (α )

• Nếu ud và nα cùng phương ⇔ ud = k .nα với k ≠ 0

3. Vị trí tương đối

 x = x0 + at   y = y0 + bt   z = z0 + ct  Ax + By + Cz + D = 0 

Ta có thể dùng phương pháp đại số để xét vị trí tương đối: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.

Chú ý trường hợp vô nghiệm

+ Nếu u1 ; u2 cùng phương thì d1 //d 2 .

+ Nếu u1 ; u2 không cùng phương thì d1 ; d 2 chéo nhau.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu  x = x0 + at  có phương trình lần lượt là: d :  y = y0 + bt , t ∈ ℝ và  z = z + ct 0  2

2

( S ) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) Để xét vị trí tương đối của

2

= R2 . d và (α ) ta sử dụng

phương pháp sau: Phương pháp hình học

Trang 3

Phương pháp đại số

Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I của ( S ) đến d .

thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào

Bước 2:

phương trình ( S ) , khi đó ta được phương trình Trang 4

+ Nếu d ( I , d ) > R thì d không cắt ( S ) .

bậc hai theo t . Biện luận số giao điểm của

+ Nếu d ( I , d ) = R thì d tiếp xúc ( S ) .

(d )

+ Nếu d ( I , d ) < R thì d cắt ( S ) .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

và ( S ) theo số nghiệm của phương trình

Đi qua

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có

vectơ chỉ phương là u ( a; b; c )

bậc hai theo t .

u  →

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và

mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t ,

4. Góc

sau đó thay giá trị của t vào phương trình

Phương trình

tham số của d để tìm ( x; y; z ) .

đường thẳng

Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

Tham số:  x = x0 + at   y = y0 + bt , t ∈ ℝ  z = z + ct 0 

Chính tắc: Nếu a, b, c ≠ 0 thì x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c

Góc giữa hai đường thẳng ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d 2

lần lượt có các vectơ pháp tuyến là u1 , u2 .

Góc giữa d1 và d 2 bằng hoặc bù với góc giữa u1 và

u2 .

u1.u2

Ta có: cos ( d1 , d 2 ) = cos u1 , u2 = . u1 . u2

(

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆

 MM 0 , u    d [M , ∆] =

u

)

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn.

chỉ phương ud và mặt phẳng (α ) có vectơ pháp tuyến

nα .

Giữa hai đường thẳng d và d ′

cos ( d1 , d 2 ) = cos u1 , u2

(

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α ) bằng

(α ) .

(

ud .nα

Ta có: sin ( d , (α ) ) = cos ud , nα = . ud . nα

)

Trang 5

Hai đường thẳng d1 , d 2

u / / u2 u / / u2 ; d1 ≡ d 2 ⇔  1 ; d1 / / d 2 ⇔  1  M 1 ∈ d 2  M 1 ∉ d 2

d1 cắt d 2 ⇔ u1 , u2  ≠ 0; u1 , u2  .M 1M 2 = 0

d1 chéo d 2 ⇔ u1 , u2  .M 1M 2 ≠ 0

Khoảng cách

Vị trí tương đối

)

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α )

sin ( d , (α ) ) = cos ud , nα

góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d ′ của nó trên

(

Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau ∆, ∆′

u , u′ .M 0 M 0′   d ( ∆ , ∆′ ) =

u , u ′   

Góc

Đường thẳng d và mặt phẳng (α )

d ⊂ (α ) ⇔ ud ⊥ nα ; M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α )

d // (α ) ⇔ ud ⊥ nα ; M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∉ (α )

d cắt (α ) ⇔ ud .nα ≠ 0 , ud , nα không cùng phương Đường thẳng d và mặt cầu S ( I , R ) d không cắt ( S ) ⇔ d ( I , d ) > R

)

∆

d tiếp xúc ( S ) ⇔ d ( I , d ) = R d cắt ( S ) ⇔ d ( I , d ) < R

Trang 6

• Đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương a = ( a1; a2 ; a3 ) có phương trình

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng

 x = x0 + a1t  tham số là  y = y0 + a2t ( t ∈ ℝ ) . z = z + a t 0 3 

Bài toán 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình

x −1 3 y 3 − z ? = = 3 2 1

 3  A. a =  3; ;1 .  2 

B. a = ( 9; 2; −3) .

• Đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d //∆ nên

C. a = ( 3; 2;1) .

vectơ chỉ phương của ∆ cũng là vectơ chỉ phương của d .

 2  D. a =  3; ;1 .  3 

• Đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng ( P ) cho trước: Vì d ⊥ ( P )

Hướng dẫn giải Ta có

nên vectơ pháp tuyến của ( P ) cũng là vectơ chỉ phương của d .

x −1 3 y 3 − z x −1 y z − 3 = = ⇔ = = .

3 2 1 9 2 −3

Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) .

Vậy một vectơ chỉ phương của đường thẳng là a = ( 9; 2; −3) .

Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương

Chọn B.

− Tìm toạ độ một điểm A ∈ d bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng của ( P ) , ( Q ) với việc chọn

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α ) có phương trình x + 2 z + 3 = 0 . Một vectơ chỉ phương của ∆ là:

A. a (1;0; 2 ) .

B. b ( 2; −1;0 ) .

• Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B: Một vectơ chỉ phương của d là AB .

C. v (1; 2;3) .

giá trị cho một ẩn.

− Tìm một vectơ chỉ phương của d : a =  nP , nQ  .

D. u ( 2;0; −1) .

Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Hướng dẫn giải Vì ∆ vuông góc với mặt phẳng (α ) nên vectơ chỉ phương của ∆ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(α ) .

• Đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 : Vì d ⊥ d1 , d ⊥ d 2

nên một vectơ chỉ phương của d là: u = ud1 , ud2  .

Ví dụ mẫu

Chọn A.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OA = 2i + 3 j − 5k ; OB = −2 j − 4k . Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .

A. u ( 2;5; −1) .

B. u ( 2;3; −5 ) .

C. u ( −2; −5; −1) .

D. u ( 2;5; −9 ) .

Hướng dẫn giải

Ta có OA = 2i + 3 j − 5k ⇒ A ( 2;3; −5 ) ;

OB = −2 j − 4k ⇒ B ( 0; −2; −4 ) .

Suy ra AB = ( −2; −5;1) .

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M ( 2; −1;3) và có

vectơ chỉ phương u (1; 2; −4 ) là A.

x +1 y + 2 z − 4 = = .

2 3 −1

B.

x −1 y − 2 z + 4 = = .

2 3 −1

C.

x + 2 y −1 z + 3 . = = 1 2 −4

D.

x − 2 y +1 z − 3 . = = 1 2 −4

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M ( 2; −1;3) và có vectơ chỉ phương u (1; 2; −4 ) là

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là u ( 2;5; −1) .

x − 2 y +1 z − 3 . = = 1 2 −4

Chọn A. Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng khi tìm được một vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng

Chọn D. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 2;3) và mặt phẳng

( P)

có phương trình

3x − 4 y + 7 z + 2 = 0 .

Phương pháp giải

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( P ) có phương trình là Trang 7

Trang 8

x = 3 + t  A.  y = −4 + 2t ( t ∈ ℝ ) .  z = 7 + 3t 

 x = 1 + 3t  B.  y = 2 − 4t ( t ∈ ℝ ) .  z = 3 + 7t 

x = 1  A.  y = 4 + t  z = −1 + 2t 

 x = 1 − 3t  C.  y = 2 − 4t ( t ∈ ℝ ) .  z = 3 + 7t 

 x = 1 − 4t  D.  y = 2 + 3t ( t ∈ ℝ ) .  z = 3 + 7t 

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC .

Ta có: BC = ( 0; −2; −4 ) .

x = 1  C.  y = 4 + t  z = −1 − 2t 

Do ∆ song song với BC nên một vectơ chỉ phương của ∆ là u∆ = ( 0;1; 2 ) .

x = 1  Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là  y = 4 + t .  z = −1 + 2t 

 x = 1 + 3t   y = 2 − 4t ( t ∈ ℝ ) .  z = 3 + 7t 

Chọn A. Ví dụ 5. Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x + z − 5 = 0 và x − 2 y − z + 3 = 0 thì ∆ có

Chọn B.

phương trình là

Ví dụ 3. Cho điểm A (1; 2;3) và hai mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z + 1 = 0, ( Q ) : 2 x − y + 2 z − 1 = 0 .

A.

x + 2 y +1 z = = .

1 3 −1

B.

x + 2 y +1 z = = .

1 2 −1

x − 2 y −1 z − 3 . = = 1 1 −1

D.

x − 2 y −1 z − 3 . = = 1 2 −1

Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả ( P ) và ( Q ) là x −1 y − 2 z − 3 A. = = .

1 1 −4

x −1 y − 2 z − 3 B. = = .

1 2 −6

C.

x −1 y − 2 z − 3 C. . = = 1 6 2

x −1 y − 2 z − 3 D. . = = 5 −2 −6

Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến là n1 = (1;0;1) .

Mặt phẳng ( Q ) có vectơ pháp tuyến là n2 = (1; −2; −1) .

Ta có  n1 , n2  = ( 2; 2; −2 ) .

Gọi u là một vectơ chỉ phương của ∆ thì u ⊥ n1 và u ⊥ n2 .

Suy ra u cùng phương với  n1 , n2  . Chọn u = (1;1; −1)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng ( P ) có một vectơ pháp tuyến là n( P ) = ( 2; 2;1) .

Mặt phẳng ( Q ) có một vectơ pháp tuyến là n(Q ) = ( 2; −1; 2 )

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ud .

Do đường thẳng d song song với ( P ) và ( Q ) nên

ud ⊥ n( P )

  ⇒ ud =  n( P ) , n(Q )  = ( 5; −2; −6 ) . u n ⊥  d (Q )

Lấy M ( 2;1;3) thuộc mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .

Đường thẳng ∆ đi qua M ( 2;1;3) có một vectơ chỉ phương u = (1;1; −1) .

Vậy phương trình ∆ là:

Suy ra đường thẳng d đi qua A (1; 2;3) và có vectơ chỉ phương ud = ( 5; −2; −6 ) .

Phương trình chính tắc của d là

x = 1  D.  y = 4 − t  z = −1 + 2t 

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Gọi u∆ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ( ∆ ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : nP = ( 3; −4;7 ) .

∆ ⊥ ( P ) u∆ = nP = ( 3; −4;7 ) ⇒ Vì  nên phương trình tham số của ∆ là  A ∈ ∆  A (1; 2;3) ∈ ( ∆ )

x = 1  B.  y = 4 + t  z = 1 + 2t 

x − 2 y −1 z − 3 = = .

1 1 −1

Chọn C.

x −1 y − 2 z − 3 . = = 5 −2 −6

Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 2;1; −1) , B ( −2;3;1) và C ( 0; −1;3) . Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng

Chọn D. Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 4; −1) , B ( 2; 4;3) , C ( 2; 2; −1) . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

Phương trình đường thẳng d là

A.

Trang 9

( ABC ) .

x +1 y −1 z − 2 . = = 1 1 1

B.

x +1 y z = = .

1 1 1

Trang 10

C.

x y−2 z = = . −2 1 1

D.

x −1 y z = = .

1 1 1

x = t  Vậy d :  y = 13 − 2t .  z = −4 + t 

Hướng dẫn giải

Ta có AB = ( −4; 2; 2 ) ⇒ AB = 16 + 4 + 4 = 2 6 .

AC = ( −2; −2; 4 ) ⇒ AC = 4 + 4 + 16 = 2 6 .

BC = ( 2; −4; 2 ) ⇒ BC = 4 + 16 + 4 = 2 6 .

Chọn A. Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz. Cho điểm E (1;1;1) , mặt cầu

( P ) : x − 3 y + 5 z − 3 = 0 . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua

Vậy tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm G ( 0;1;1) .

Ta có  AB, AC  = (12;12;12 ) = 12 (1;1;1) .

( S ) : x2 + y2 + z 2 = 4

và mặt phẳng

E , nằm trong ( P ) và cắt ( S ) tại hai điểm A, B sao

cho ∆OAB là tam giác đều. Phương trình tham số của ∆ là

Đường thẳng d đi qua G ( 0;1;1) và có vectơ chỉ phương cùng phương với  AB, AC  , do đó chọn

u = (1;1;1) .

 x = 1 + 2t  A.  y = 1 + t . z = 1+ t 

 x = 1 + 4t  B.  y = 1 + 3t . z = 1+ t 

 x = 1 + 2t  C.  y = 1 − t . z = 1− t 

x = 1+ t  D.  y = 1 + t .  z = 1 − 2t 

Hướng dẫn giải

x = t  Phương trình đường thẳng d là  y = 1 + t . z = 1+ t  Với t = −1 , ta có điểm A ( −1;0;0 ) ∈ d .

Vậy đường thẳng d đi qua A ( −1;0;0 ) và có vectơ chỉ phương u = (1;1;1) .

Gọi ∆ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng ( P ) , các điểm H , K lần lượt là hình chiếu vuông

Gọi u = ( a; b; c ) là một vectơ chỉ phương của ∆ với a 2 + b 2 + c 2 > 0 .

Ta có nP = (1; −3;5 ) .

Vì ∆ ⊂ ( P ) nên u ⊥ nP ⇒ u.nP = 0 ⇔ a − 3b + 5c = 0 ⇔ a = 3b − 5c .

góc của M , N trên ∆. Biết rằng khi MH = NK thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d

Mặt cầu ( S ) có tâm O ( 0;0;0 ) và bán kính R = 2 .

cố định, phương trình của đường thẳng d là

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB

Chọn B. Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, cho hai M (1; 2;3) , N ( 3; 4;5 ) và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 3 z − 14 = 0 .

x = t  A.  y = 13 − 2t .  z = −4 + t 

x = t  B.  y = 13 + 2t .  z = −4 + t 

x = t  C.  y = 13 − 2t .  z = −4 − t 

x = 1  D.  y = 13 − 2t .  z = −4 + t 

Ta có ∆OAB là tam giác đều cạnh R nên OH =

(1)

R 3 = 3.

2

Suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ bằng OH = 3 .

u , OE    Khi đó = 3

u

Hướng dẫn giải Gọi I là trung điểm của HK .

Do MH = NK nên ∆HMI = ∆KNI ⇒ IM = IN . Khi đó I thuộc mặt phẳng ( Q ) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN .

1 Ta có ( Q ) đi qua trung điểm của MN là điểm J ( 2;3; 4 ) và nhận n = MN = (1;1;1) làm vectơ pháp 2 tuyến nên có phương trình là ( Q ) : x + y + z − 9 = 0 .

2

2

2

⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 3 ( a2 + b2 + c2 ) 2

⇔ (a + b + c) = 0 ⇔ a + b + c = 0

(2)

Thay (1) vào (2) ta được: 3b − 5c + b + c = 0 ⇔ b = c ⇒ a = −2c .

x + y + z − 9 = 0 Mà I ∈ A ⊂ ( P ) . Suy ra I ∈ d = ( P ) ∩ ( Q ) :   x + 2 y + 3z − 14 = 0

Thay c = −1 thì b = −1 và a = 2 .

Ta được một vectơ chỉ phương của ∆ là u = ( 2; −1; −1)

Tìm được ( 0;13; −4 ) ∈ d và vectơ chỉ phương của d là (1; −2;1) .

Trang 11

Trang 12

 x = 1 + 2t  Vậy phương trình của đường thẳng ∆ là  y = 1 − t . z = 1− t 

C.

x y − 2 z −1 = = .

5 7 2

 x = 4 − 2t  Đường thẳng d có phương trình tham số là  y = −2 + 2t ( t ∈ ℝ ) .  z = −1 + t 

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng bằng phương pháp tham số hóa Phương pháp giải • Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng ∆.

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng ∆. Khi đó H ∈ ∆, M 0 H ⊥ u∆ . Khi

đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0 , H .

Cách 2: Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M 0 và vuông góc với d . ( Q ) là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d . Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q )

• Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 .

Cách 1: Gọi M 1 ∈ d1 ∩ d , M 2 ∈ d 2 ∩ d . Suy ra M 0 , M 1 , M 2 thẳng hàng. Từ đó tìm được M 1 , M 2 và suy ra phương trình đường thẳng d .

Cách 2: Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d1 ; ( Q ) là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d 2 .

Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q ) . Do đó một vectơ chỉ phương của d có thể chọn là u =  nP , nQ  .

( P)

D.

Hướng dẫn giảii

Chọn C.

• Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

x y + 2 z +1 = = . −5 7 2

Lấy điểm M = d ∩ ( P ) ⇒ M ( 4 − 2t ; −2 + 2t ; −1 + t ) ∈ d . Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được: 4 − 2t − 2 + 2t + 1 − t = 0 ⇔ t = 2 .

Suy ra M ( 0; 2;1) .

Do đó d ∩ ( P ) = M ( 0; 2;1) .

Lấy A ( 4; −2; −1) ∈ d . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( P ) .

Đường thẳng AH đi qua A ( 4; −2; −1) và nhận n( P ) = (1;1; −1) làm vectơ chỉ phương nên AH có  x = 4 + t1  phương trình là  y = −2 + t1 ( t1 ∈ ℝ ) .  z = −1 − t  1

Suy ra H ( 4 + t1 ; −2 + t1 ; −1 − t1 ) .

Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng ( P ) được

2  10 8 1  4 + t1 − 2 + t1 + 1 + t1 − 1 = 0 ⇔ t1 = − ⇒ H  ; − ; −  .

3  3 3 3

và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Tìm các giao điểm

A = d1 ∩ ( P ) , B = d 2 ∩ ( P ) . Khi đó d chính là đường thẳng AB .

MH

• Đường thẳng d song song với ∆ và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( P )

 10 14 4  x y − 2 z −1 2 . = = MH =  ; − ; −  = − ( −5;7; 2 ) là vectơ chỉ phương nên có phương trình là 3 3 3 −5 7 2  3

song song với ∆ và chứa d1 , mặt phẳng ( Q ) song song với ∆ và chứa d 2 . Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q ) .

• Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau:

thẳng MN chính là đường vuông góc chung của d1 , d 2 .

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 1 = 0 và đường thẳng x − 4 y + 2 z +1 . Phương trình đường thẳng d ′ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng = = −2 2 1

là

A.

x y + 2 z +1 . = = 5 7 2

B.

x y − 2 z −1 . = = −5 7 2

Trang 13

lên mặt phẳng

( P) ,

MH

đi qua

M ( 0; 2;1)

và nhận

Chọn B.

x −1 y + 1 z x−2 y z+3 = = và đường thẳng d 2 : = = . Phương trình 1 2 −1 1 2 2

đường thẳng ∆ đi qua A (1;0; 2 ) , cắt d1 và vuông góc với d 2 là A.

x −1 y z − 2 . = = 2 −2 1

B.

x −1 y z − 2 . = = 4 −1 −1

C.

x −1 y z − 2 . = = 2 3 −4

D.

x −1 y z − 2 . = = 2 2 1

Ví dụ mẫu

( P)

d

Ví dụ 2. Cho các đường thẳng d1 :

 MN ⊥ d1 Cách làm: Gọi M ∈ d1 , N ∈ d 2 . Từ điều kiện  , ta tìm được M , N . Viết phương trình đường  MN ⊥ d 2

d:

là hình chiếu của

Hướng dẫn giải

Gọi I = d1 ∩ ∆ , I (1 + t , −1 + 2t , −t ) ⇒ AI = ( t ; 2t − 1; −t − 2 ) là một vectơ chỉ phương của ∆.

Do u d2 = (1; 2; 2 ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d 2 và ∆ ⊥ d 2 .

Suy ra AI .u d2 = 0 ⇔ t + 2 ( 2t − 1) + 2 ( −t − 2 ) = 0 ⇔ 3t − 6 = 0 ⇔ t = 2 .

Trang 14

x −1 y z − 2 Vậy AI = ( 2;3; −4 ) . Phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là = = .

2 3 −4

Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng d qua A (1; 2;3) cắt đường thẳng d1 :

Chọn C.

song với mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 2 = 0 .

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 3x + y − 2 z = 0 và hai đường thẳng

d1 :

x −1 y − 2 z + 4 x +1 y − 6 z = = và d 2 : = = . −3 −1 −1 2 1 4

Đường thẳng vuông góc với ( P ) cắt cả hai đường thẳng d1 và d 2 có phương trình là

x + 2 y −1 z A. . = = 3 1 −2 C.

D.

x = 1+ t  C.  y = 2 − t . z = 3 

d song song với mặt phẳng ( P ) nên

AB.n ( P) = 0 ⇔ 1( 2m − 1) + 1. ( m − 2 ) − ( m − 1) = 0 ⇔ m = 1 ⇒ AB = (1; −1;0 ) .

x −1 y − 2 z − 2 . = = 3 1 −2

x = 1+ t  Vậy phương trình đường thẳng  y = 2 − t . z = 3 

 x = −1 − t x +1 y − 6 z  d1 : = = ⇔  y = 6 + 2t , t ∈ ℝ −1 2 1 z = t 

Chọn C.

M ∈ d1 ⇔ M ( −1 − t ;6 + 2t ; t ) .

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 10 = 0 , điểm A (1;3; 2 ) và

 x = 1 − 3t ′ x −1 y − 2 z + 4  = = ⇔  y = 2 − t′ , t′ ∈ ℝ −3 −1 4  z = −4 + 4t ′ 

đường thẳng d :

x + 2 y −1 z −1 . = = 2 1 −1

Tìm phương trình đường thẳng ∆ cắt ( P ) và d lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN .

N ∈ d1 ⇔ N (1 − 3t ′; 2 − t ′; −4 + 4t ′ ) .

MN = ( 2 + t − 3t ′; −4 − 2t − t ′; −4 − t + 4t ′ ) .

A.

x + 6 y +1 z − 3 . = = 7 4 −1

B.

x − 6 y −1 z + 3 . = = 7 4 −1

( P ) : 3x + y − 2 z = 0 có vectơ pháp tuyến n ( 3;1; −2 ) .

C.

x − 6 y −1 z + 3 . = = 7 −4 −1

D.

x − 6 y +1 z − 3 . = = 7 −4 −1

Đường thẳng ( d ) vuông góc với ( P ) cắt cả hai đường thẳng d1 tại M và cắt d 2 tại N suy ra

Hướng dẫn giải

Ta có N = ∆ ∩ d ⇒ N ( −2 + 2t ;1 + t ;1 − t ) .

2 + t − 3t ′ = 3k t = −2

  MN = kn ⇔ −4 − 2t − t ′ = k ⇔ t ′ = 1 −4 − t + 4t ′ = −2k  k = −1  

A là trung điểm của MN ⇒ M ( 4 − 2t ;5 − t ;3 + t ) .

Mà M ∈ ( P ) nên tọa độ M thỏa phương trình ( P ) , ta được:

t = −2 ⇒ M (1; 2; −2 )

Do ( d ) ⊥ ( P ) nên ud = n( P ) .

2 ( 4 − 2t ) − ( 5 − t ) + ( 3 + t ) − 10 = 0 ⇔ t = −2 ⇒ N ( −6; −1;3) , M ( 8;7;1) .

Suy ra MN = (14;8; −2 ) .

 x = 1 + 3s  Phương trình đường thẳng d là  y = 2 + s ; s ∈ ℝ .  z = −2 − 2 s  Chọn s = −1 ⇒ A ( −2;1;0 ) ∈ d ⇒ d :

x = 1+ t  D.  y = 2 + t . z = 3 + t 

Do d ∩ d1 = B ⇒ B ( 2m; m; m + 2 ) ⇒ AB = ( 2m − 1; m − 2; m − 1) .

Hướng dẫn giải

d2 :

x = 1+ t  B.  y = 2 + t . z = 3 

Hướng dẫn giải

x +5 y z −4 B. . = = 3 1 2

x + 2 y − 8 z −1 = = .

3 1 −2

x = 1+ t  A.  y = 2 − t . z = 3 + t 

x y z−2 = = và song 2 1 1

1 Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương u = NM = ( 7; 4; −1) nên có 2 x + 6 y +1 z − 3 phương trình là = = .

7 4 −1

x + 2 y −1 z . = = 3 1 −2

Chọn A.

Chọn A.

Trang 15

Trang 16

Ví dụ 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt phẳng (α ) : 2 x − 2 y + z + 15 = 0 2

2

2

và mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 5 ) = 100 . Đường thẳng ∆ qua A , nằm trên mặt phẳng (α ) cắt ( S ) tại M , N . Để độ dài MN lớn nhất thì phương

trình đường thẳng ∆ là A.

x +3 y −3 z +3 = = .

1 4 6

 x = −3 + 5t  C.  y = 3 .  z = −3 + 8t 

B.

x +3 y −3 z +3 = = .

16 11 −10

 x = 2 + 2t  Ta có phương trình tham số của ∆ là:  y = 4 − t ⇒ C ( 2 + 2t ; 4 − t; 2 − t ) . z = 2 − t 

7 −t 5−t   Gọi M là trung điểm của AC nên M =  2 + t ; ; .

2 2  

Vì M ∈ d nên

 7−t   5−t   −3  −2 t −1 1 − t 1 − t 2  2  = ⇔ = = ⇒ t = 1.

2 −1 −1 4 −2

( 2 + t ) − 3 =  −1

Suy ra C ( 4;3;1) .

x +3 y −3 z +3 D. = = .

1 1 3

Phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với ∆ là: 2 x − y − z + 2 = 0 .

Hướng dẫn giải

Gọi H là giao điểm của ( P ) và ∆ ⇒ H ( 2; 4; 2 ) .

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3;5 ) và bán kính R = 10 .

Mặt phẳng (α ) có vectơ pháp tuyến n = ( 2; −2;1) .

Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua đường phân giác ∆, suy ra H là trung điểm AA′ ⇒ A′ ( 2;5;1) .

Do A′ ∈ BC nên đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là CA′ = ( −2; 2;0 ) = 2 ( −1;1;0 ) .

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên ∆ và mặt phẳng (α ) .

x = 4 − t  Suy ra phương trình của đường thẳng BC là  y = 3 + t . z = 1 

⇒ IK ⊥ (α ) nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (α ) là  x = 2 + 2t   y = 3 − 2t . z = 5 + t 

Vì B = BM ∩ BC ⇒ B ( 2;5;1) = A′ .

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là AB = ( 0; 2; −2 ) = 2 ( 0;1; −1) .

 x = 2 + 2t  y = 3 − 2t  Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình  ⇒ K ( −2;7;3) . z = 5 + t  2 x − 2 y + z + 15 = 0

Chọn C. Ví dụ 8. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

A ( 4; −2; 4 ) , B ( 0;0; −2 ) . Gọi d là đường thẳng song song và cách ∆ một khoảng bằng

Vì ∆ ⊂ (α ) nên IH ≥ IK . Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K .

Khi đó đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A và K . Ta có AK = (1; 4;6 ) .

A. ( 2;1;0 ) .

x +3 y −3 z +3 . Đường thẳng ∆ có phương trình là: = = 1 4 6 Chọn A.

x −3 y −3 z −2 x−2 y−4 z−2 = = , phương trình đường phân giác trong của góc C là ∆ : = = . −1 2 −1 2 −1 −1

C. u ( 0;1; −1) .

 2 14  B.  − ; − ;0  .

3   3

C. ( 3; 2;0 ) .

D. ( 0;0;0 ) .

Hướng dẫn giải

Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, cho ∆ABC có A ( 2;3;3) , phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là

A. u ( 2;1; −1) .

B. u (1; −1;0 ) .

5 , gần đường

thẳng AB nhất. Đường thẳng d cắt mặt phẳng ( Oxy ) tại điểm nào dưới đây?

Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất.

d:

x −1 y − 2 z và hai điểm = = 2 −1 1

 x = 4t  Phương trình tham số của đường thẳng AB có dạng:  y = −2t .  z = −2 + 6t 

Để đường thẳng d thỏa mãn bài toán thì ta có hình vẽ tương ứng

D. u (1; 2;1) .

Hướng dẫn giải

Trang 17

Trang 18

Bài tập tự luyện dạng 1

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và ∆ là MN với M ( 0; −5;1) , N ( 3;1;1) . Để d gần đường thẳng AB nhất thì d phải đi qua điểm D nằm trên đoạn MN mà

DN = d ( d , ∆ ) = 5, MN = 3 5 . Do đó MN = 3DN ⇒ D = ( 2; −1;1) .

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u( d ) = ( 2; −1;1) .  x = 2 + 2t  Suy ra phương trình tham số của d là  y = −1 − t z = 1+ t 

Bài tập cơ bản Câu 1: Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng x −1 y + 2 z ∆: = = 1 −1 2

A. u = (1; −2;0 ) .

B. u = ( −2; 2; −4 ) .

C. u = (1;1; 2 ) .

D. u = ( −1; 2;0 ) .

Câu 2: Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua hai điểm M ( −2;1; 2 ) , N ( 3; −1;0 ) có vectơ chỉ phương

là

x = 0 . Đường thẳng d cắt ( Oxy ) tại điểm có z = 1 + t = 0 ⇒ t = −1 ⇒  y = 0

A. u = (1;0; 2 ) .

B. u = ( 5; −2; −2 ) .

C. u = ( −1;0; 2 ) .

Vậy giao điểm của d và ( Oxy ) là ( 0;0;0 ) .

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Chọn D.

vectơ chỉ phương. Giá trị a + b bằng

Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng

A. −8.

x − 2 y + 2 z −1 x − 1 y −1 z ∆1 : = = ; ∆2 : = = 1 −1 −1 1 2 −1 ∆3 :

x y + 2 z +1 x −5 y −a z −b = = ; ∆4 : = = −1 1 1 1 3 1

trị của biểu thức T = a − 2b bằng B. −3.

C. 2.

x −1 y − 2 z + 1 = = nhận vectơ u là 2 1 2

C. 4.

D. −4.

Câu 4: Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm E ( −1;0;2 ) và có vectơ chỉ phương

a = ( 3;1; −7 ) . Phương trình của đường thẳng d là A.

x −1 y z + 2 = = .

3 1 −7

B.

x +1 y z − 2 = = .

3 1 −7

C.

x −1 y z − 2 = = .

1 1 −3

D.

x +1 y z − 2 = = .

1 1 3

Biết không tồn tại đường thẳng nào trong không gian mà cắt được đồng thời cả bốn đường thẳng trên. Giá

A. −2.

B. 8.

D. u = ( 5;0; 2 ) .

D. 3.

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho E ( −1;0;2 ) và F ( 2;1; −5) . Phương trình đường thẳng EF là

Hướng dẫn giải A.

x −1 y z + 2 . = = 3 1 −7

B.

x +1 y z − 2 . = = 3 1 −7

C.

x −1 y z + 2 = = .

1 1 −3

D.

x +1 y z − 2 = = .

1 1 3

Câu 6: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x −1 y − 2 z + 2 = = . Phương trình nào sau đây là 1 3 −2

phương trình tham số của d ?

Ta có: ∆1 //∆ 3 .

x = 1  A.  y = 2 − t .  z = −2 + 3t 

Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa ∆1 và ∆ 3 ⇒ ( P ) : x + 2 y − z + 3 = 0 .

Gọi I = ∆ 2 ∩ ( P ) ⇒ I ( 0; −1;1) .  −2a + b + 22 3b − 24 −2a + 7b − 8  Gọi J = ∆ 4 ∩ ( P ) ⇒ J  ; ; .

6 6 6    −2a + b + 22 3b − 18 −2a + 7b − 14  ⇒ IJ =  ; ; .

6 6 6  

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì IJ phải cùng phương với u∆1 = (1; −1; −1) .

x = 1+ t  B.  y = 2 + 2t .  z = 1 + 3t 

x = 1+ t  C.  y = 2 − 2t .  z = −2 + 3t 

x = 1  D.  y = 2 + t . z = 1− t 

Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + 9 = 0 và đường thẳng

d:

x −1 y + 3 z − 3 . = = −1 2 1

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A ( 0; −1; 4 ) vuông góc với d và nằm trong ( P ) là  x = 5t  A.  y = −1 + t .  z = 4 + 5t 

−2a + b + 22 3b − 18 −2a + 7b − 14 Suy ra = = ⇔ a − 2b = 2 .

6 −6 −6

 x = 2t  B.  y = t .  z = 4 − 2t 

x = t  C.  y = −1 . z = 4 + t 

 x = −t  D.  y = −1 + 2t . z = 4 + t 

Chọn A.

Trang 19

Trang 20

Câu 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) : x − 3 y + z = 0 và

( β ) : x + y − z + 4 = 0 . Phương trình tham số của đường thẳng x = 2 − t  A.  y = 2 .  z = 2 − 2t 

Câu

9:

Trong

x = 2 + t  B.  y = t .  z = 2 + 2t 

không

gian

Oxyz,

d là

 x = −2 + t  C.  y = t .  z = 2 + 2t 

cho

mặ t

phẳng

x = 2 + t  D.  y = t .  z = −2 + 2t 

(α ) : 3 x + y + z = 0

và

x = 4 + t  C.  y = −5 .  z = −7 − 3t 

đường

thẳng

 x = 1 + 4t  D.  y = 5t .  z = −3 + 7t 

x +1 y − 3 z +1 Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng = = 3 −4 1 ( P ) : 2 x + y − 2 z − 12 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d ′ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng ( P ) .

A. d ′ :

x +1 y + 2 z − 3 = = .

2 1 −2

B. d ′ :

x −1 y − 4 z + 3 = = .

3 −4 1

C. d ′ :

x y−4 z−2 . = = 3 −1 1

D. d ′ :

x −1 y − 4 z − 2 . = = 3 −4 1

Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

C.

x −1 y − 2 z − 3 . = = 1 3 5

x = 1− t x−2 y + 2 z −3  = = , d 2 :  y = 1 + 2t và điểm 2 −1 1  z = −1 + t 

x −1 y − 2 z − 3 . = = 1 −3 −5

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 2;1;0 ) và đường thẳng d :

x −1 y +1 z = = . Phương 2 1 −1

x − 2 y −1 z = = .

1 4 1

B.

x − 2 y −1 z = = .

1 −4 1

C.

x − 2 y −1 z = = .

2 −4 1

D.

x − 2 y −1 z . = = 1 −4 −2

x +1 y −1 z = = một góc lớn nhất. Phương 1 −2 2

A.

x −1 y + 1 z − 2 . = = 5 3 −4

B.

x −1 y + 1 z − 2 . = = 4 3 −5

C.

x +1 y +1 z − 2 . = = 4 5 −3

D.

x −1 y + 1 z − 2 . = = 4 5 3

Câu

15: 2

Trong 2

không

( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3)

2

gian

tọa

độ

Oxyz,

cho

mặ t

cầu

(S )

có

phương

trình

= 20 , mặt phẳng (α ) có phương trình: x − 2 y + 2 z − 1 = 0 và đường thẳng ∆

x y+2 z+4 . Viết phương trình đường thẳng ∆′ nằm trong mặt phẳng (α ) , vuông = = 1 2 −3 góc với đường thẳng ∆, đồng thời ∆′ cắt mặt cầu ( S ) theo dây cung có độ dài lớn nhất.

có phương trình:

 x = 1 + 3t  B. ∆′ :  y = 1 . z = 1+ t 

 x = 2 + 2t  C. ∆′ :  y = −1 + 5t .  z = 3 + 4t 

 x = 1 − 2t  D. ∆′ :  y = 1 − 5t .  z = 1 − 4t 

Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2;1; −2 ) , B ( 5;1;1) và mặt cầu ( S ) có

phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 6 y + 12 z + 9 = 0 . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với ( S ) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là x = 2  B.  y = 1 − 4t .  z = −2 + t 

 x = 2 + 2t  C.  y = 1 − 2t .  z = −2 + t 

Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng d là A.

đồng thời tạo với đường thẳng ∆ :

trình đường thẳng d là

x = 2  A.  y = 1 + t .  z = −2 + 2t 

x −1 y − 2 z − 3 B. . = = 1 3 −1 D.

( P ) : 2x − y − z + 3 = 0 ,

 x = 3t  A. ∆′ :  y = −2 .  z = −4 + t 

A (1; 2;3) . Đường thẳng đi qua điểm A , vuông góc với d1 và cắt d 2 có phương trình là x −1 y − 2 z − 3 A. . = = 1 −3 −1

x = 2 − t  D.  y = 1 + 2t .  z = −t 

Câu 14: Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A (1; −1; 2 ) , song song với mặt phẳng

x − 3 y + 4 z −1 . Phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (α ) , cắt và vuông góc = = −2 1 2 với đường thẳng ∆ là  x = 1 + 4t  B.  y = −5t .  z = −3 − 7t 

x = 1+ t  C.  y = −1 − 2t . z = 2 − t 

Bài tập nâng cao

∆:

 x = 2 + 2t  A.  y = 2 − 5t .  z = −1 − 7t 

 x = −2 − t  B.  y = −1 + 2t .  z = −t 

x = t  A.  y = 3 − 2t . z = 2 − t 

2

2

x = 2 + t  D.  y = 1 + 4t .  z = −2 − t 

x y z +3 = = và mặt cầu ( S ) có phương trình: 2 2 −1

2

( x − 3) + ( y − 2 ) + ( z − 5) = 36 . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A ( 2;1;3) , vuông góc với đường thẳng d và cắt ( S ) tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là

u = (1; a; b ) . Giá trị của a + b bằng

A. 4.

x−2 y−2 z x − 2 y +1 z . = = ; d2 : = = 1 1 −1 1 2 −3 Phương trình đường thẳng ∆ cắt d1 , d 2 lần lượt tại A và B sao cho AB nhỏ nhất là

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

Trang 21

B. −2.

1 C. − .

2

D. 5.

Câu 18: Đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( 3;1;1) , nằm trong mặt phẳng (α ) : x + y − z − 3 = 0 và tạo với x = 1  đường thẳng d :  y = 4 + 3t một góc nhỏ nhất thì phương trình của đường thẳng ∆ là  z = −3 − 2t 

Trang 22

x = 1  A.  y = −t ′ .  z = 2t ′ 

 x = 8 + 5t ′  B.  y = −3 − 4t ′ .  z = 2 + t′ 

 x = 1 + 2t ′  C.  y = 1 − t ′ .  z = 3 − 2t ′ 

 x = 1 + 5t ′  D.  y = 1 − 4t ′ .  z = 3 + 2t ′ 

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ :

( P ) : x + y − 2 z + 6 = 0 . Biết ∆ cắt mặt phẳng ( P )

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A ( 2;1;0 ) , B ( 3;0; 2 ) , C ( 4;3; −4 ) .

x + 3 y −1 z + 2 = = và mặt phẳng 1 1 4

tại A, M thuộc ∆ sao cho AM = 2 3 . Tính khoảng

cách từ M tới mặt phẳng ( P ) .

Phương trình đường phân giác trong của góc A là x = 2  A.  y = 1 + t . z = 0 

x = 2  B.  y = 1 . z = t 

x = 2 + t  C.  y = 1 . z = 0 

A.

x = 2 + t  D.  y = 1 . z = t 

Phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B là  x = −2 + t  B.  y = 3 . z = 1− t 

 x = −2 − t  C.  y = 3 + t . z = 1+ t 

C.

x + 3 y −1 z + 2 có vectơ chỉ phương u = (1;1; 4 ) . = = 1 1 4

Mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 6 = 0 có vectơ chỉ phương n = (1;1; −2 ) .

u.n

1 sin ( ∆, ( P ) ) = cos u , n = = = sin ϕ 3 u.n

 x = −2 + t  D.  y = 3 − t . z = 1+ t 

( )

Suy ra d ( M , ∆ ) = MH = MA.sin ϕ = 2 3.

Dạng 2: Các vấn đề về góc

Bài toán 2: Góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp giải

Phương pháp giải Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho

Cho đường thẳng và

mặt

x−3 y −2 z phẳng đường thẳng ∆ : và mặt phẳng = = 2 1 1

(α ) : Ax + By + Cz + D = 0 .

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ∆ ) và (α ) ta có công thức: sin ϕ =

(α ) : 3 x + 4 y + 5 z + 8 = 0 .

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hai đường

Cho hai đường thẳng:

thẳng

x − x0 y − y0 z − z0 = = ( ∆1 ) : a b c

∆1 :

x−x y−y z−z ( ∆2 ) : ′ 0 = ′ 0 = ′ 0 a b c

Tính góc tạo bởi ∆ và (α ) .

Aa + Bb + Cc A2 + B 2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2

Chú ý: A, B, C và a, b, c không đồng thời bằng

∆ có vectơ chỉ phương u = ( 2;1;1) .

(α ) có vectơ pháp tuyến n = ( 3; 4;5) .

Ta có: cos ϕ =

aa′ + bb′ + cc′ a 2 + b 2 + c 2 . a′2 + b′2 + c′2

)

(

3.2 + 4.1 + 5.1 2

Vectơ chỉ phương của ∆1 là u1 = ( −2;1; 2 ) .

Vectơ chỉ phương của ∆ 2 là u2 = (1;1; −4 ) .

(

( )

=

.

Hướng dẫn giải

u1.u2

cos ( ∆1 , ∆ 2 ) = cos u1 , u2 = u1 . u2

Ta có: sin ∆ , (α ) = cos n, u

(

x −1 y + 2 z − 3 x + 3 y −1 z + 2 ; ∆2 : . = = = = −2 1 2 1 1 −4

Tính góc giữa hai đường thẳng trên.

Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ( ∆1 ) và ( ∆ 2 ) .

Hướng dẫn giải

0.

1 = 2.

3

Chọn B.

Bài toán 1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

x − x0 y − y0 z − z0 = = (∆) : a b c

D. 3.

3.

Đường thẳng ∆ :

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A (1;1; 2 ) , B ( −2;3;1) , C ( 3; −1; 4 ) .  x = −2 − t  A.  y = 3 + t . z = 1− t 

B. 2.

2.

Hướng dẫn giải

3 + 42 + 52 . 22 + 12 + 12

=

3 .

2

=

)

Suy ra ∆ , (α ) = 60° . =

Ví dụ mẫu

)

( −2 ) .1 + 1.1 + 2. ( −4 ) 2 2 ( −2 ) + 12 + 22 . 12 + 12 + ( −4 ) 9 2 . = 2 3.3 2

Vậy góc giữa hai đường thẳng đã cho là 45° .

Ví dụ mẫu

Trang 23

Trang 24

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

(d )

( P ) : x − z.sin α + cos α = 0; ( Q ) : y − z.cos α − sin α = 0; α ∈  0; 

là giao tuyến của hai mặt phẳng

π

C. 60° .

D. 90° .

(d )

là giao tuyến của ( P ) và ( Q ) nên vectơ chỉ phương của ( d ) là:

u( d ) =  n( P ) , n( Q )  = ( sin α ;cos α ;1) .

Vectơ chỉ phương của ( Oz ) là u(Oz ) = ( 0; 0;1) .

0.sin α + 0.cos α + 1.1

=

=

1 ⇒ ( d , Oz ) = 45° .

2

2

4m + 5 41( 5m 2 + 8m + 5)

=

( )

( 4m + 5 ) = 1 . 16m2 + 40m + 25 .

1 .

2 5m2 + 8m + 5 41 5m + 8m + 5 41

( )

( )

Vì 0° ≤ ∆ , d ≤ 90° nên ∆ , d bé nhất khi và chỉ khi cos ∆ , d lớn nhất.

2

Chọn B.

Xét hàm số f ( t ) =

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A (1; −1; 2 ) , song song với mặt phẳng đồng thời tạo với đường thẳng ∆ :

x +1 y −1 z = = một góc lớn nhất. Phương 1 −2 2

x −1 y +1 z − 2 = = . −4 5 3

x +1 y +1 z − 2 C. = = .

4 5 −3

B.

2

16t + 40t + 25 −72t − 90t ⇒ f ′ (t ) = .

2 5t 2 + 8t + 5 ( 5t 2 + 8t + 5)

Bảng biến thiên: x

trình đường thẳng d là

A.

D. T = −4 .

( )

Vậy góc giữa ( d ) và trục ( Oz ) là 45° .

( P ) : 2x − y − z + 3 = 0 ,

C. T = 3 .

Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến là n = ( 2; −1; 2 ) ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là

v = ( 4; −4;3) .

∆ // ( P ) ⇒ u ⊥ n ⇔ 2m − n + 2 = 0 ⇔ n = 2m + 2 .

u.v 4m − 4 n + 3

Mặt khác ta có: cos ∆; d = = 2 2 2 u v m + n + 1. 42 + ( −4 ) + 32

Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến là n( P ) = (1; 0; − sin α ) .

Mặt phẳng ( Q ) có vectơ pháp tuyến là n(Q ) = ( 0;1; − cos α ) .

sin 2 α + cos 2 α + 12 . 0 + 0 + 12

B. T = 4 .

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Suy ra cos ( d , Oz ) =

có một vectơ chỉ phương

u = ( m; n;1) , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính T = m 2 − n 2 .

A. T = −5 .

B. 45° .

x + 2 y −1 z + 2 = = và mặt phẳng 4 −4 3

( P ) : 2 x − y + 2 z + 1 = 0 . Đường thẳng ∆ đi qua E ( −2;1; −2 ) , song song với ( P )

.

2

Góc giữa ( d ) và trục Oz là:

A. 30° .

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

f′

x −1 y +1 z − 2 = = .

4 −5 3

x −1 y +1 z − 2 D. = = .

4 5 3

f

−

−∞

−

5 4

0

0 +

0

Mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − z + 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến là n ( P) = ( 2; −1; −1) .

x +1 y −1 z = = có một vectơ chỉ phương là u ∆ = (1; −2;2 ) .

1 −2 2

Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u d .

Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f ( t ) = f ( 0 ) = 5 .

Do 0° ≤ ( d , ∆ ) ≤ 90° mà theo giả thiết d tạo ∆ góc lớn nhất nên ( d , ∆ ) = 90° ⇒ u d ⊥ u ∆ .

Lại có d // ( P ) nên u d ⊥ n( P ) . Do đó chọn u d = u ∆ , n( P )  = ( 4;5;3) .

Do đó T = m 2 − n 2 = −4 .

Đường thẳng ∆ :

−

5

16 5

Hướng dẫn giải

0

+∞

16 5

( )

Suy ra ∆ , d bé nhất khi m = 0 ⇒ n = 2 .

Chọn D. Bài tập tự luyện dạng 2

x −1 y +1 z − 2 Vậy phương trình đường thẳng d là . = = 4 5 3

Bài tập cơ bản

Chọn D. Trang 25

Trang 26

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

(α ) : − x + 2 y − 3z = 0 . Gọi ϕ A. 0° .

x − 2 y −1 z + 1 = = và mặt phẳng 1 −2 3

là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α ) . Khi đó góc ϕ bằng

B. 45° .

C. 90° .

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :

D. 60° .

B. 45° .

C. 60° .

Câu 3: Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng d1 :

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (1;1; −1) cho trước, nằm trong mặt phẳng

( P ) : 2 x − y − z − 2 = 0 và cách điểm

x −1 y + 2 z − 3 = = và −2 1 2

x + 3 y −1 z + 2 ∆2 : = = . Góc giữa hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 bằng 1 1 −4

A. 30° .

Ví dụ mẫu

D. 135° .

x − 2 y +1 z − 3 x+5 y +3 z −5 và d 2 : tạo = = = = 1 1 m 1 2 2

M ( 0; 2;1) một khoảng lớn nhất.

A.

x −1 y −1 z +1 . = = 1 −3 −1

B.

x −1 y −1 z +1 . = = 1 3 1

C.

x −1 y −1 z +1 = = .

1 3 −1

D.

x −1 y −1 z +1 = = . −1 3 −1

Hướng dẫn giải

với nhau góc 60° , giá trị của tham số m bằng

A. m = −1 .

B. m =

3 .

2

C. m =

1 .

2

D. m = 1 .

Bài tập nâng cao Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( S ) : ( x − 1)

2

2

+ y 2 + ( z + 2 ) = 4 và đường thẳng

x = 2 − t  d :y = t . z = m −1+ t 

Đồng thời đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( P ) nên ta có

ud =  MA, n( P )  = (1;3; −1) .

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B và các mặt phẳng tiếp diện của ( S ) tại A, B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng

A. −1,5.

B. 3.

C. −3.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 6 y + 12 z + 9 = 0 . Xét đường thẳng

Phương pháp giải Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x −1 y − 2 z + 2 . = = 1 2 −2

 M 0 M 1; u    .

u

x = 2  B.  y = 1 − 4t .  z = −2 + t 

 x = 2 + 2t  C.  y = 1 − 2t .  z = −2 + t 

x = 2 + t  D.  y = 1 + 4t .  z = −2 − t 

Mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 6 y + 12 z + 9 = 0 có tâm I ( 0; −3; −6 ) bán kính R = 6 .

Cho đường thẳng ( ∆ ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Hướng dẫn giải

Ta có A (1; 2; −2 ) ∈ d ⇒ AM ( −3; −1;1) , u (1; 2; −2 ) . và có vectơ chỉ phương u = ( a; b; c ) . Khi đó

công thức:

x = 2  A.  y = 1 + t .  z = −2 + 2t 

Hướng dẫn giải

Tính khoảng cách từ M ( −2;1; −1) tới d .

khoảng cách từ điểm M 1 đến ( ∆ ) được tính bởi

d đi qua A và tiếp xúc với ( S ) sao cho khoảng

cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là

Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

đường thẳng d :

Chọn C. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2;1; −2 ) , B ( 5;1;1) và mặt cầu

D. −2,25.

Dạng 3: Khoảng cách

d ( M 1, ∆ ) =

Ta gọi B là hình chiếu của M lên đường thẳng d khi đó MB ≤ MA .

Suy ra MBmax = MA nên đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với MA .

IA = 6 = R ⇒ A ∈ ( S ) , IB = 3 10 > R nên B nằm ngoài ( S ) .

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

 AM ; u  5 2   d (M ;d ) = = .

3 u

Trang 27

Trang 28

Đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với ( S ) nên d nằm trong mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu

( S ) tại

A.

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A (1;1;0 ) , B ( 2;1;1) , C ( 0;1; 2 ) , D (1; −1;1) .

Khoảng cách giữa AB và CD là

Mặt phẳng ( P ) đi qua A và nhận IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x + 2 y + 2 z = 0 .

A.

Gọi H là hình chiếu của B lên ( P ) thì tọa độ của H ( 4; −1; −1) .

1 3

.

B.

C.

3.

 x = 2 + 2t  Suy ra phương trình đường thẳng d là:  y = 1 − 2t .  z = −2 + t 

Hướng dẫn giải

 AB = (1;0;1)

Ta có  ⇒  AB, CD  = ( 2;2; −2 ) . CD = (1; −2; −1)

 AB, CD  . AC   Suy ra d ( AB, CD ) = = 3.

 AB, CD   

Chọn C.

Chọn B.

Ta có: d ( B; d ) ≥ d ( B; ( P ) ) = BH .

Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H . Ta có ud = AH = ( 2; −2;1) .

Bài toán 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách

chéo nhau: ∆1 có vectơ chỉ phương u = ( a; b; c ) và giữa hai đường thẳng

Khi đó khoảng cách giữa ∆1 và ∆ 2 được tính bởi

D.

Ví dụ 2. Cho phương trình mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + z − 3 = 0 , đường thẳng d ′ :

Phương pháp giải

đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ; ∆ 2 có vectơ chỉ phương

u′ = ( a′; b′; c′ ) và đi qua M 0′ ( x0′ ; y0′ ; z0′ ) .

6.

giá trị lớn nhất.

A.

Hướng dẫn giải

Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và song song với d ′ .

Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; −2;0 ) và có một

vectơ chỉ phương u1 = ( 2; −1;1) .

x = t  Phương trình của d1 là:  y = 2 + 2t . z = 1+ t 

u, u ′ .M 0 M 0′   công thức d ( ∆1 , ∆ 2 ) = .

u , u ′   

u , MN  Nếu ∆1 //∆ 2 ( u1 và u2 cùng phương và M 0 ∉ ∆ 2 ) Suy ra d d ; d = d N ; d =  1  . ( 1 2 ) ( 1) u1 thì d ( ∆1 , ∆ 2 ) = d ( M 0 , ∆ 2 )

Ta có MN = ( 0;1; 2 ) , u, MN  = ( −3; −4; 2 ) .

2 2 u1 , MN  ( −3) + ( −4 ) + 22 174   .

Suy ra = =

2 6 u1 22 + ( −1) + 1

x y − 2 z −1 . = = 1 7 −9

B.

x y + 2 z −1 . = = 1 7 9

C.

x y + 2 z −1 . = = 1 −7 9

D.

x y + 2 z −1 . = = 1 −7 −9

Hướng dẫn giải

Trên đường thẳng d1 lấy điểm B (1;0;0 ) .

Gọi ( Q ) là mặt phẳng chứa d và d1 .

Ta có d ( d , d ′ ) = d ( d ′, ( Q ) ) = d ( B, ( Q ) ) .

Do d1 cố định cho nên d ( d , d ′ ) = d ( B, ( Q ) ) ≤ d ( B, d1 ) .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n( Q ) = BH trong đó H là hình chiếu của B lên d1 .  −5 2 1   −2 2 1  Ta tìm được H  ; ;  nên BH =  ; ;  ⇒ n( Q ) = ( −5; 2;1) .

3 3 3    3 3 3

Ta có ud =  n( P ) ; n(Q )  = (1;7; −9 ) .

Vậy phương trình của đường thẳng d là

174 Vậy d ( d1 ; d 2 ) = .

6

x −1 y z = = và điểm 1 2 1

A ( 0; 2;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , nằm trong ( P ) sao cho khoảng cách d và d ′ đạt

 x = 1 + 4t x −1 y + 2 z  d1 : = = và d 2 :  y = −1 − 2t , t ∈ ℝ .

2 −1 1  z = 2 + 2t 

Đường thẳng d 2 đi qua điểm N (1; −1; 2 ) và có một

vectơ chỉ phương u2 = ( 4; −2; 2 ) .

Do u1 cùng phương với u2 và M ∉ d 2 nên d1 //d 2 .

3 .

2

x y − 2 z −1 = = .

1 7 −9

Chọn A.

Ví dụ mẫu

Lưu ý : Vì đường thẳng d đi qua A nên ta có thể loại đáp án bằng cách thay tọa độ điểm A vào các đáp Trang 29

Trang 30

 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0 a.n = 0 ⇔ ( ∆ ) ⊂ (α ) ⇔  M ∈ P ( )  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0  0

( ∆ ) ⊥ (α ) ⇔ a và n cùng phương ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C .

án trong bài

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm P ( a; b; c ) . Khoảng cách từ điểm P đến trục tọa độ Oy bằng A.

a 2 + c2 .

B. b .

D. a 2 + c 2 .

C. b .

Câu 2: Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng d :

x +1 y − 2 z + 3 = = và mặt phẳng −2 2 3

( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 bằng A.

16 .

3

B. 2.

C.

5 .

3

D. 3.

B. 20.

( d1 ) :

x + 7 y −5 z −9 và = = 3 −1 4

C. 25.

D. 15.

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M ( −2; −2;1) , A (1; 2; −3) và đường thẳng

x +1 y − 5 z . Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng ∆ qua M , vuông góc với đường thẳng = = 2 2 −1 d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất.

A. u ( 2; 2; −1) .

B. u ( 3; 4; −4 ) .

C. u ( 2;1;6 ) .

D. u (1;0; 2 ) . d:

Câu 5: Phương trình đường thẳng d đi qua O và vuông góc với ( ∆ ) :

x −1 y + 1 z = = và cách điểm 2 −1 2

M ( 3;1;0 ) một khoảng nhỏ nhất là x y z B. = = .

5 9 −13

x +1 y z − 5 và mặt phẳng = = 1 −3 −1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. d cắt và không vuông góc với ( P ) .

B. d song song với ( P ) .

C. d vuông góc với ( P ) .

D. d nằm trong ( P ) .

Hướng dẫn giải

Bài tập nâng cao

x y z A. = = . −17 14 10

Ví dụ mẫu

( P ) : 3x − 3 y + 2 z − 6 = 0 .

x y + 4 z + 18 bằng = = 3 4 −1

A. 30.

phẳng (α ) .

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 3: Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai đường thẳng

( d2 ) :

Ta có thể biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm của phương trình đường thẳng ( ∆ ) và mặt

Đường thẳng d nhận u = (1; −3; −1) làm một vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng ( P ) nhận n = ( 3; −3; 2 ) làm một vectơ pháp tuyến.

Do u.n ≠ 0 và hai vectơ này không cùng phương nên đường thẳng d cắt và không vuông góc với ( P ) .

Chọn A. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình d:

x − 2 y −1 z −1 = = và mặt phẳng ( P ) : x + my + ( m 2 − 1) z − 7 = 0 với m là tham số thực. Tìm m sao 1 1 −1

cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) . x y z C. = = .

9 5 −13

x y z D. . = = 17 14 −10

A. m = 1 .

Dạng 4: Vị trí tương đối

B. m = −1 .

 m = −1 C.  . m = 2

D. m = 2 .

Hướng dẫn giải

Bài toán 1: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng ( ∆ ) có vectơ chỉ phương là a = ( a1; a2 ; a3 ) và đi qua

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) .

( ∆ ) cắt (α ) ⇔ a.n ≠ 0 ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ 0 .

 a.n = 0  Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0 ⇔ . ( ∆ ) // (α ) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0  M 0 ∉ ( P )

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u = (1;1; −1) và mặt phẳng

n = (1; m; m 2 − 1) .

( P)

có vectơ pháp tuyến là

 m = −1 d // ( P ) ⇔ u ⊥ n ⇔ u.n = 0 ⇔ 1 + m − m2 + 1 = 0 ⇔ m2 − m − 2 = 0 ⇔  m = 2

Thử lại ta thấy với m = −2 thì d ⊂ ( P ) (loại). Vậy m = −1 .

Chọn B. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x −1 y − 2 z − 3 và mặt phẳng = = 2 4 1

(α ) : x − y + 2 z − 5 = 0 , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trang 31

Trang 32

A. d // (α ) .

B. d ⊂ (α ) .

C. d cắt (α ) và không vuông góc với (α ) .

D. d ⊥ (α ) .

Gọi H ( 2t ;1 + t ; −1 + 2t ) ; K ( m; 2 − m;1 + 2m )

⇒ HK = ( m − 2t ;1 − m − t ; 2 + 2m − 2t ) .

Vì ∆ song song với 2 mặt phẳng ( P ) , ( Q ) nên HK = ku nên

Hướng dẫn giải  x = 1 + 2t  Ta có d :  y = 2 + 4t , t ∈ ℝ . z = 3 + t 

m − 2t 1 − m − t 2 + 2m − 2t = = .

1 1 3

 x = 1 + 2t   y = 2 + 4t Xét hệ phương trình:  z = 3 + t  x − y + 2z − 5 = 0 

2 −3 8 11 . Suy ra HK = .

Tính ra được m = ; t = 7 7 7

(1) ( 2) ( 3) (*)

Chọn A. Ví dụ 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( P ) : 2 ( m2 + m + 2 ) x + ( m2 − 1) y + ( m + 2 ) z + m 2 + m + 1 = 0

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được 1 + 2t − ( 2 + 4t ) + 2 ( 3 + t ) − 5 = 0 .

đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến ∆ là?

Phương trình này có vô số nghiệm.

A.

Do đó, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (α ) .

Chọn B.

B. ( 0;0; −2 ) .

C. (1;1;6 ) .

B.

2 3

.

C.

2 .

3

D.

2 .

3

2 x + y + 1 = 0 2 x + y + 1 = 0 y = z  ⇔ 2 x + z + 1 = 0 ⇔ ⇔ x z 2 + + 1 = 0  2 x + y + 1 = 0 4 x − y + 2 z + 1 = 0 

D. (12;9;1) .

Gọi M ( 4t + 12;3t + 9; t + 1) ∈ d .

t 1  x = − 2 − 2  Vậy ( P ) luôn chứa đường thẳng ( ∆ ) cố định:  y = t z = t  

Ta có M ∈ ( P ) ⇒ 3 ( 4t + 12 ) + 5 ( 3t + 9 ) − ( t + 1) − 2 = 0 ⇔ t = −3 .

Suy ra M ( 0;0; −2 ) .

Chọn B.

 1  1   Đường thẳng ∆ đi qua A  − ;0;0  và có vectơ chỉ phương u∆ =  − ;1;1 .  2   2 

OA, u∆  2   Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến ∆ là: d ( O; ∆ ) = . =

3 u∆

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

( P ) : x + 2 y − z − 1 = 0, ( Q ) : 2 x + y − z + 2 = 0 x y −1 z +1 x y − 2 z −1 . = = , ∆2 : = = 2 1 2 1 −1 2

Đường thẳng ∆ song song với hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) và cắt ∆1 , ∆ 2 tương ứng tại H , K . Độ dài đoạn

Chọn C. Bài toán 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

HK bằng 8 11 .

7

.

⇔ m 2 ( 2 x + y + 1) + m ( 2 x + z + 1) + 4 x − y + 2 z + 1 = 0, ∀m ∈ ℝ

Hướng dẫn giải

A.

3

Ta có: 2 ( m2 + m + 2 ) x + ( m2 − 1) y + ( m + 2 ) z + m2 + m + 1 = 0, ∀m ∈ ℝ

( P ) : 3x + 5 y − z − 2 = 0 là

và hai đường thẳng ∆1 :

1

Hướng dẫn giải

x − 12 y − 9 z − 1 Ví dụ 4. Tọa độ giao điểm M của đường thẳng d : = = và mặt phẳng 4 3 1

A. (1;0;1) .

luôn chứa đường thẳng ∆ cố định khi m thay

B.

5.

C. 6.

D.

Phương pháp giải

11 .

7

Hướng dẫn giải

Ta có u =  nP , nQ  = ( −1; −1; −3) .

Trang 33

Trang 34

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x − x0 y − y0 z − z0 = = đi qua M1 ( x0 ; y0 ; z0 ) có a b c

x − x0′ y − y0′ z − z0′ = = đi qua M 2 ( x0′ ; y0′ ; z0′ ) có vectơ chỉ phương vectơ chỉ phương u1 = ( a; b; c ) và d 2 : a′ b′ c′

u2 = ( a′; b′; c′ ) .

Tìm tọa độ giao điểm M của d và d′ .

A. M = ( 0; −1; 4 ) .

Tọa độ giao điểm M của d và d′ ứng với t và t′ là nghiệm của hệ phương trình: 1 + t = 2 − 2t ′ t + 2t ′ = 1 t = −1   ′ 2 3 t 2 t + = − + ⇔ .  3t − t ′ = −4 ⇔  t ′ = 1 3 − t = 1 + 3t ′ t + 3t ′ = 2  

Chọn A. Ví dụ 3. Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 :

A. ∆1 song song với ∆ 2 .

B. ∆1 chéo với ∆ 2 .

C. ∆1 cắt ∆ 2 .

D. ∆1 trùng với ∆ 2 .

2 2 nên vectơ chỉ phương u1 = ( 2; 2;3) của đường thẳng ∆1 không cùng phương với vectơ chỉ ≠ −1 −2

phương u2 = ( −1; −2;1) của ∆ 2 .

Vì

Ví dụ mẫu x −1 y +1 z − 2 x+3 y+9 z +2 và d 2 : = = = = 2 1 2 1 4 8 m

Suy ra ∆1 chéo với ∆ 2 hoặc ∆1 cắt ∆ 2 .

( m ≠ 0)

Lấy M (1; −1;0 ) ∈ ∆1 , N ( 3;3; −2 ) ∈ ∆ 2 . Ta có MN = ( 2; 4; −2 ) .

Khi đó u1 , u2  .MN = 0 .

Suy ra u1 , u2 , MN đồng phẳng.

Tập hợp các giá trị m thỏa mãn d1 //d 2 có số phần tử là:

B. 0.

x −1 y +1 z x−3 y −3 z + 2 = = , ∆2 : = = 2 2 3 1 −1 −2

Hướng dẫn giải

Ví dụ 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

A. 1.

D. M = ( 0; 4; −1) .

Vậy M = ( 0; −1; 4 ) .

  u1 , u2  = 0 +) d1 cắt d 2 ⇔  .  u1 , u2  .M 1M 2 = 0

+) d1 chéo d 2 ⇔ u1 , u2  .M 1M 2 ≠ 0 .

d1 :

C. M = ( 4;0; −1) .

Hướng dẫn giải

Để xét vị trí tương đối của d1 và d 2 , ta sử dụng phương pháp sau:

 a1 a2 a3 = u / / u2  = +) d1 trùng d 2 ⇔  1 ⇔  b1 b2 b3 .  M 1 ∈ d 2 M ∈ d  1 2

 a1 a2 a3  u1 , u2  = 0 = u1 / / u2    = +) d1 //d 2 ⇔  ⇔  b1 b2 b3 . hoặc   M 1 ∉ d 2 M ∉ d  u1 , M 1M 2  ≠ 0 2  1

B. M = ( −1;0; 4 ) .

C. 3.

D. 2.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d1 đi qua A (1; −1; 2 ) và có vectơ chỉ phương là u1 = (1; 2;1) .

Đường thẳng d 2 đi qua B ( −3; −9; −2 ) và có vectơ chỉ phương là u2 = ( 4;8; m 2 ) .

Đường thẳng d1 //d 2 khi và chỉ khi u1 cùng phương với u2 và hai đường thẳng d1 và d 2 không trùng

nhau. −3 − 1 −9 + 1 −2 − 2 Vì nên B nằm trên đường thẳng d1 . = = 1 2 1 Do đó hai đường thẳng này luôn có điểm chung là B nên hai đường thẳng không thể song song.

Chọn B.

Vậy ∆1 cắt ∆ 2 .

Chọn C. Bài toán 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Phương pháp giải

 x = x0 + a1t  Cho đường thẳng d :  y = y0 + a2t   z = z0 + a3t cầu

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

(S ) : ( x − a)

2

+ ( y − b ) + ( z − c) = R

I ( a; b; c ) , bán kính R .

x = 1+ t  x = 2 − 2t ′   d :  y = 2 + 3t và d ′ :  y = −2 + t ′ z = 3 − t  z = 1 + 3t ′  

2

(1) ( 2) ( 3)

2

2

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho và mặt mặt cầu

( S ) : x2 + y2 + ( z + 2)

2

= 25 và đường

 x = −2 + 2t  th ẳ ng có ph ươ ng trình d  y = 2 + 3t có tâm  z = −3 + 2t  Chứng minh d luôn cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu Trang 35

Trang 36

2

là

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;0; −2 ) và bán kính R = 5 .

C. ( x + 2 ) + y 2 + z 2 = 25 .

 IM 0 .a    h = d (I,d ) =

a

Đường thẳng d đi qua M ( −2; 2; −3) và có vectơ

chỉ phương là u = ( 2;3; 2 ) .

Hướng dẫn giải

( S ) đến đường thẳng d

 IM , u    Ta có h = d ( I , d ) = = 3.

u

Bước 2: So sánh d ( I , d ) với bán kính R của Vì h < R nên d cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân mặt cầu:

biệt.

2

D. x 2 + y 2 + ( z + 2 ) = 16 .

Gọi ( S ) là mặt cầu tâm A ( 0;0; −2 ) và có bán kính R .

Đường thẳng ∆ đi qua M ( −2; 2; −3) có vectơ chỉ phương u = ( 2;3; 2 ) .

Gọi H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC .

 MA.u    Ta có AH = d ( A, ∆ ) = .

u

 MA = ( 2; −2;1)

Với  ⇒  MA.u  = ( −7; −2;10 ) ⇒ AH = u = 2;3; 2 ( ) 

• Nếu d ( I , d ) > R thì d không cắt ( S ) .

• Nếu d ( I , d ) = R thì d tiếp xúc ( S ) .

2

( −7 ) + ( −2 ) 2

2

2

+ 102

2 + 3 + 22

= 3.

Bán kính mặt cầu ( S ) là: R = AB = AH 2 + HB 2 = 32 + 42 = 5 .

• Nếu d ( I , d ) < R thì d cắt ( S ) tại hai điểm

2

Vậy phương trình mặt cầu ( S ) là: x 2 + y 2 + ( z + 2 ) = 25 .

phân biệt M , N và MN vuông góc với

Chọn B. đường kính (bán kính) mặt cầu ( S ) .

Phương pháp đại số Thế (1), (2), (3) vào phương trình ( S ) và rút gọn

đưa về phương trình bậc hai theo t (*) .

2

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt cầu

( S ) : x2 + y2 + ( z + 2)

2

= 17 cắt trục Oz tại hai

tròn ( C ) có tâm J ( a; b; c ) .

điểm A, B . Tìm độ dài đoạn AB .

Giá trị 2a + b + c bằng

Hướng dẫn giải

không cắt ( S ) .

Gọi M là giao điểm của ( S ) với trục Oz .

A.

• Nếu phương trình (*) có một nghiệm thì d

Ta có M ∈ Oz nên M ( 0;0; t ) .

Hướng dẫn giải

tiếp xúc ( S ) .

Mà M ∈ ( S ) nên 02 + 02 + ( t + 2 ) = 17

• Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì d

t = −2 − 17 2 ⇔ ( t + 2 ) = 17 ⇔ t + 2 = 17 ⇔  . t = −2 + 17

Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào

(

)

Ví dụ 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 0;0; −2 ) và đường thẳng ∆ có phương trình là x + 2 y −2 z +3 . = = 2 3 2

2

84 .

25

D.

62 .

25

x = 1  Phương trình đường thẳng MI là  x = −1 + 4t .  z = 2 − 3t 

MI = 5; IH = 3 ⇒ MH = MI 2 − HI 2 = 4 .

 M (1;3; −1) Mặt khác  ⇒ MJ =  J (1; −1 + 4t ; 2 − 3t ) MJ .MI = MH 2 ⇒ MJ =

Phương trình mặt cầu tâm A , cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8 là 2

C.

Xét ∆MHI vuông tại H có

Ví dụ mẫu

2

116 .

25

Tâm J ( a; b; c ) nằm trên MI nên J (1; −1 + 4t ; 2 − 3t ) .

)

B 0;0; −2 + 17 ⇒ AB = 2 17 .

A. ( x + 2 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 16 .

B.

Khi đó IM = 5 > R ⇒ M nằm ngoài mặt cầu.

Suy ra tọa độ các giao điểm là A 0;0; −2 − 17 ,

(

134 .

25

Ta có mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −1; 2 ) và bán kính R = 3 .

2

phương trình đường thẳng d .

2

M (1;3; −1) . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường

• Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì d

cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt M , N .

2

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 9 và điểm

2

2

⇔ ( −4 + 4t ) + ( 3 − 2t ) = Trang 37

2

.

16 5

2

B. x 2 + y 2 + ( z + 2 ) = 25 .

2

( −4 + 4t ) + ( 3 − 3t )

256 25 Trang 38

 t = 369 ⇔ 25t − 50t + =0⇔ 25 t =  2

9 25 .

41 25

 14 196  ⇒ BD = 3OB ⇒ BD = 3OB = 3.  − 2   3 9x  Do ABCD là tứ diện đều nên

 11 23   139 −73  Suy ra J 1; ;  hoặc J 1; ; .

25 25    25 25 

AB = BD ⇒ x 2 −

14 14 196  14 196  = 3  − 2  ⇔ x 2 − = 14 − 2 3 3 3x  3 9x 

 2 14 x = 3x 4 − 56 x 2 + 196 = 0 ⇔  3 ⇒ x = 14 .  2  x = 14

9  11 23  +) Với J 1; ;  thì IJ = < IM (nhận).

5  25 25  41  139 −73  +) Với J 1; > IM (loại). ;  thì IJ = 25 25 5  

A ∈ d nên A ( 4 + 3t ; 4 + 2t ; 4 + t ) .

84  11 23  .

Vậy J 1; ;  nên 2a + b + c = 25  25 25 

Suy ra AI = 14 ⇔

Chọn C.

 A ( 4; 4; 4 ) t = 0 ⇔ t +1 = 1 ⇔  ⇒ . t = −2  A ( −2;0; 2 )

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2

2

( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)

2

=

14 và đường thẳng d có phương trình 3

(S )

có phương trình là

x−4 y−4 z−4 . Gọi = = 3 2 2

A ( x0 ; y0 ; z0 ) , x0 > 0 là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu

( S ) có các tiếp điểm

C. 12.

D. 8.

= 14

Suy ra P = 12 .

Chọn C.

1 1 1 1 + + = . Biết mặt phẳng ( PQR ) luôn OP 2 OQ 2 OR 2 8

1 3  tiếp xúc với mặt cầu ( S ) cố định. Đường thẳng ( d ) thay đổi nhưng luôn đi qua M  ; ;0  và cắt 2 2 

Hướng dẫn giải Gọi I là tâm mặt cầu thì I (1; 2;3) .

( S ) tại hai điểm

Gọi O là giao điểm của mặt phẳng ( BCD ) và đoạn AI .

Vì theo giả thiết AB = AC = AD và IB = IC = ID =

2

Do x0 > 0 nên điểm A có tọa độ A ( 4; 4; 4 ) .

Ox, Oy , Oz (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho

Giá trị của biểu thức P = x0 + y0 + z0 là

B. 16.

2

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R lần lượt di động trên ba trục tọa độ

B, C , D sao cho ABCD là tứ diện đều.

A. 6.

2

( 4 + 3t − 1) + ( 4 + 2t − 2) + ( 4 + t − 3)

A, B phân biệt. Diện tích lớn nhất của ∆AOB là

A. 15 .

14 nên AI 3

B.

5.

C. 17 .

D.

7.

Hướng dẫn giải

vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) tại O . Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD .

 14  Đặt AI = x  x > .

3   Ta có AB = AI 2 − IB 2 = x 2 −

14 3

14 14  14  IB = IO.IA ⇒ OI = ⇒ OB = IB 2 − IO 2 = −  3x 3  3x 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng ( PQR ) .

2

2

Dễ thấy

⇒ BD 2 = OB 2 + OD 2 − 2OB.OD.cos120° = 3OB 2

1 1 1 1 1 1 = + + ⇒ = ⇒ OH = 2 2 .

OH 2 OP 2 OQ 2 OR 2 OH 2 8

Khi đó ( PQR ) luôn tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tâm O , bán kính R = 2 2 .

Trang 39

Trang 40

( P ) : ( m 2 + 1) x − ( 2m2 − 2m + 1) y + ( 4m + 2 ) z − m2 + 2m = 0

1 3 + + 0 = 1 < R nên điểm M nằm trong mặt cầu ( S ) .

4 4

Ta có OM =

thay đổi. Đường thẳng d đi qua M (1; −1;1) vuông góc với ∆ và cách O một khoảng lớn nhất có vectơ

chỉ phương u = ( −1; b; c ) . Giá trị của T = b + c bằng

1 Gọi I là trung điểm của AB , do ∆OAB cân tại O nên S∆OAB = OI . AB .

2

A. 12.

Đặt OI = x . Vì OI ≤ OM nên 0 < x ≤ 1 và AB = 2 8 − x 2 .

Ta có S∆OAB =

A. M ( −1; −2;1) .

Vì f ′ ( x ) = 4 x ( 4 − x 2 ) > 0 với mọi x ∈ ( 0;1] nên f ( x ) ≤ f (1) = 7 .

Suy ra diện tích của ∆OAB lớn nhất bằng

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M và nhận vectơ a làm vectơ chỉ

phương và đường thẳng d′ đi qua điểm M ′ và nhận vectơ a′ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d′ là

 a = k a′, k ≠ 0  a = k a′, k ≠ 0  a ≠ k a′, k ≠ 0  a = a′ A.  .

B.  .

C.  .

D.  .  M ∉ d ′  M ∈ d ′  M ∈ d ′  M ∉ d ′ x −1 y − 2 z − 2 = = và điểm A (1; 2;1) . Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I 1 −2 1

B. R = 4 .

C. R = 1 .

điểm A, B sao cho AB = 2 3 là

2

2

A. 1.

2

2

2

2

2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 16 .

D. 2.

nhau theo đường tròn

( S1 ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 và ( S2 ) : x2 + y 2 + z 2 − 8 x + 2 y + 2 z + 1 = 0 cắt ( C ) . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa ( C ) và tiếp xúc với

ba đường thẳng MN , NP, PM ?

A. 1.

B. 3.

C. Vô số.

D. 4.

tâm H (giao của mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P ) ) có thể tích lớn nhất, biết rằng ( P ) : 2 x + by + cz + d = 0 với b, c, d ∈ ℤ .

2

( S1 ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 2 )

2

2

2

C. S = −12 .

D. S = 24 .

Ví dụ mẫu

2

= 16 và ( S2 ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M ( −2; −2;1) , A (1; 2; −3) và đường

cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn tâm là I ( a; b; c ) . Giá trị a + b + c bằng 10 C. .

3

B. S = −18 .

Dạng 5: Một số bài toán cực trị

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu

1 B. − .

4

C. 7.

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M ( 6;0;0 ) , N ( 0;6;0 ) , P ( 0;0;6 ) . Hai mặt

cầu có phương trình

A. S = 18 .

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 4 .

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 .

7 A. .

4

B. 6.

Tính S = b + c + d .

A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 25

2

kính bằng 1?

đường kính AB . Mặt phẳng ( P ) vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn

D. R = 3 .

x +1 y − 2 z − 2 . Phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; −1) cắt d tại các = = 3 −2 2

2

x − 3 y −1 z − 2 . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực = = 1 3 −1

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2;1;3) , B ( 6;5;5) . Gọi ( S ) là mặt cầu

nằm trên d , đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0 .

2

D. Q ( 7;13;5 ) .

cầu ( S ) sao cho có duy nhất một mặt phẳng chứa ∆ và cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán

Bài tập cơ bản

2

C. P ( 3; 4;3) .

của m để phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2my − 2 ( m + 1) z + m2 + 2m + 8 = 0 là phương trình của một mặt

Bài tập tự luyện dạng 4

2

B. N ( 5;7;3) .

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

7 đạt được khi M là trung điểm của AB .

Chọn D.

Câu 3: Cho đường thẳng d :

D. 10.

D (1;1;1) . Kí hiệu d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến d lớn

Xét hàm số f ( x ) = 8 x − x , 0 < x ≤ 1 .

A. R = 2 .

C. 11.

nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

4

Câu 2: Cho đường thẳng d :

B. 9.

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 3;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;6 ) và

1 x.2 8 − x 2 = x 8 − x 2 = 8 x 2 − x 4 .

2 2

luôn chứa một đường thẳng ∆ cố định khi m

thẳng d : D. 1.

x +1 y − 5 z = = . Tìm một vectơ chỉ phương u của đường thẳng ∆ đi qua M , vuông góc với 2 2 −1

đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

A. u = ( 2; 2; −1) .

B. u = (1;7; −1) .

C. u = (1;0; 2 ) .

Bài tập nâng cao Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

D. u = ( 3; 4; −4 ) .

Hướng dẫn giải

Trang 41

Trang 42

Xét ( P ) là mặt phẳng qua M và ( P ) ⊥ ( d ) .

Mặt phẳng ( P ) qua M ( −2; −2;1) và có vectơ pháp tuyến nP = ud = ( 2; 2; −1) nên có phương trình: 2x + 2 y − z + 9 = 0 .

Ta có: f ′ ( x ) = 1 −

100 x 2 − 100 = < 0 với x ∈  34 − 3; 34 + 3 . x2 x

Do đó:

f ( x) = f

min

   34 −3; 34 + 3

(

)

34 + 3 = 5 34 − 9 .

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P ) và ∆.

Dấu “=” xảy ra ⇔ A, M , N , I thẳng hàng và AM = 34 + 3; AN = 34 − 3 .

Khi đó AK ≥ AH = const nên AK đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi K ≡ H .

Đường thẳng AH đi qua A (1; 2; −3) và có vectơ chỉ phương ud = ( 2; 2; −1) nên AH có phương trình

Chọn C.

 x = 1 + 2t  tham số là  y = 2 + 2t .  z = −3 − t 

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 9;6;11) , B ( 5;7; 2 ) và điểm M di động trên mặt cầu 2

2

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)

2

= 36 .

Giá trị nhỏ nhất của AM + 2MB bằng

A. 105 .

Vì H ∈ AH nên H (1 + 2t ; 2 + 2t; −3 − t ) .

B. 2 26 .

C. 2 29 .

D. 102 .

Hướng dẫn giải

Lại H ∈ ( P ) nên 2 (1 + 2t ) + 2 ( 2 + 2t ) − ( −3 − t ) + 9 = 0 ⇔ t = −2 ⇒ H ( −3; −2; −1) .

Vậy u∆ = HM = (1;0; 2 ) .

Chọn C. Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 2 z − 3 = 0 và điểm A ( 5;3; −2 ) . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

2

2

2

Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 36 có tâm I (1; 2;3) và bán kính R = 6 .

M,N .

Ta có IA = 12 = 2 R .

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = AM + 4 AN .

A. Smin = 30 .

B. Smin = 20 .

C. Smin = 5 34 − 9 .

D. Smin = 34 − 3 .

Hướng dẫn giải

Gọi E là giao điểm của IA và mặt cầu ( S ) suy ra E là trung điểm của IA nên E ( 5; 4;7 ) .

Gọi F là trung điểm của IE suy ra F ( 3;3;5) .

IF IM 1 Xét ∆MIF và ∆AIM có = = .

AIM chung và IM IA 2 Suy ra ∆MIF # ∆AIM ( c.g.c ) ⇒

MA AI = = 2 ⇒ MA = 2MF .

MF MI

Do đó AM + 2MB = 2 ( MF + MB ) ≥ 2 BF = 2 29 (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm FB và mặt cầu ( S ) .

2

2

2

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −1;1) , bán kính R = 2 + ( −1) + 1 − ( −3) = 3 .

Ta có: AI =

2

2

( 2 − 5 ) + ( −1 − 3) + (1 + 2 )

2

Chọn C. Bài tập tự luyện dạng 5

= 34 > R nên A nằm ngoài mặt cầu ( S ) .

Bài tập cơ bản

Ta lại có: S = AM + 4 AN .

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2; −2; 4 ) , B ( −3;3; −1) và đường thẳng

Đặt AM = x, x ∈  34 − 3; 34 + 3 .

d:

25 Mà AM . AN = AI − R = 34 − 9 = 25 ⇒ AN = .

AM 2

Do đó: S = f ( x ) = x +

2

x −5 y −2 z . Xét M là điểm thay đổi thuộc d , giá trị nhỏ nhất của 2MA2 + 3MB 2 bằng = = 2 −1 −1

A. 14.

B. 160.

C. 4 10

D. 18.

100 với x ∈  34 − 3; 34 + 3 . x Trang 43

Trang 44

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;0;3) ; B ( −3;1;3) ; C (1;5;1) . Gọi

M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) sao cho biểu thức T = 2 MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất. Giá trị của x0 − y0 bằng 8 A. x0 − y0 = − .

5

8 B. x0 − y0 = .

5

C. x0 − y0 = −2 .

D. x0 − y0 = 2 .

Bài tập nâng cao Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; −3) , B ( −2; −2;1) và mặt phẳng (α ) có phương trình 2 x + 2 y − z + 9 = 0 . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (α ) sao cho M luôn nhìn

đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất.

 x = −2 − t  A.  y = −2 + 2t .  z = 1 + 2t 

 x = −2 + 2t  B.  y = −2 − t .  z = 1 + 2t  2

2

 x = −2 + t  C.  y = −2 .  z = 1 + 2t 

 x = −2 + t  D.  y = −2 − t . z = 1 

2

Câu 4: Cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 3) = 9 và hai điểm A (1;1;3) , B ( 21;9; −13) . Điểm M ( a; b; c ) thuộc mặt cầu ( S ) sao cho 3MA2 + MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó giá trị của biểu thức T = a.b.c bằng

A. 3.

B. 8.

C. 6.

D. −18 .

ĐÁP ÁN Dạng 1. Xác định vectơ chỉ phương và viết phương trình đường thẳng 1-B

2-B

3-B

4-B

5-B

6-C

7-C

8-C

9-B

10-B

11-D

12-D

13-A

14-D

15-D

16-C

17-D

18-B

19-C

20-B

6-B

7-D

8-C

9-B

Dạng 2. Các vấn đề về góc 1-C

2-B

3-A

4-C

Dạng 3. Khoảng cách 1-A

2-A

3-C

4-D

5-D

4-D

5-C

Dạng 4. Vị trí tương đối 1-A

2-D

3-D

Dạng 5. Một số bài toán cực trị 1-B

2-C

3-C

4-B

Trang 45

CHUYÊN ĐỀ 7

Mà MI // SO, MI =

BÀI 4: ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC Oxyz

1 a 14 SO ⇒ SO = .

2 2

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững các kiến thức về hình học không gian Oxyz, các công thức về khoảng cách, góc. + Nắm vững cách xác định khoảng cách, xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; giữa mặt phẳng và mặt phẳng; giữa hai đường thẳng.

Kĩ năng

   2   2 2  2  2  Ta có O ( 0; 0; 0 ) , B  0; ; 0  , D  0; − ; 0  , C  ; 0;0  , N  ; ;0  , 2  2     2   4 4 

    2 14  2 14  A  − ;0; 0  , S  0; 0;  , M  − 4 ; 0; 4  .

2 2        2 2 14   2 14   2 14  Khi đó MN =  ; ;− ;− ;−  , SB =  0;  , SD =  0; − .

2 4 4 2 2 2 2      

+ Biết cách gắn hệ trục tọa độ vào hình học không gian. + Vận dụng được các công thức tính góc và khoảng cách.

1 Vecto pháp tuyến mặt phẳng ( SBD ) : n =  SB; SD  = − 7; 0; 0 .

2

(

CÁC DẠNG BÀI TẬP

2

− 7.

MN .n 2 3 .

Suy ra sin ( MN , ( SBD ) ) = = = 3 6 MN . n 7.

2

Dạng 1: Bài toán hình học Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết

Chọn B.

a 6 MN = . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng 2

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của AB. Cho

( SBD ) bằng

AB = 2a; AD = 4a ; AA′ = 8a . Gọi E, N, M lần lượt là trung điểm của BC, DE,

2 A. 5

3 B. 3

5 C. 5

D.

A′B . Gọi α là góc giữa MN và

3

AD′ . Tính tan α .

Hướng dẫn giải

A. tan α = 2

Gọi I hình chiếu của M lên ( ABCD ) , suy ra I là trung điểm của AO.

B. tan α = 2

3 3a 2 Khi đó CI = AC = .

4 4 Xét ∆CNI có CN =

C. tan α =

a , NCI = 45° .

2

Hướng dẫn giải Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ,

2

NI = CN + CI − 2CN .CI .cos 45° =

chọn a là 1 đơn vị độ dài.

Có A ( −1; 0;0 ) , B (1;0;0 ) ,

a 2 9a 2 a 3a 2 2 a 10 + − 2. . = . .

4 8 2 4 2 4

(

) (

) (

)

(

C (1; 4;0 ) , D ( −1; 4;0 ) , A′ 0;0; 63 , B ′ 2;0; 63 , C ′ 1; 4; 63 , D′ 0; 4; 63

Xét ∆MIN vuông tại I nên MI = MN 2 − NI 2 =

2 2

D. tan α = −2

Áp dụng định lý cosin ta có: 2

)

)

1 63  E (1; 2;0 ) , N ( 0;3; 0 ) , M  ;0;  2  2

3a 2 5a 2 a 14 − = .

2 8 4

Trang 1

Trang 2

 1 63  MN  − ;3; −  , AD′ 1; 4; 63 .

2   2

Vậ y tan α =

1 63

MN . AD′ − 2 + 12 − 2

1

.

Có cos ( MN , AD′ ) = cos MN , AD′ = = = MN . AD 5.4. 5 5

Chọn D.

(

)

(

)

−1 =

2

2 5 .

5

Ví dụ 4: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) ,

1 Có tan α = − 1 = 4; tan α > 0 ⇒ tan α = 2 . cos 2 α 2

SA = AB = 3cm , BC = 5cm và diện tích tam giác SAC bằng 6cm 2 . Một mặt phẳng ( α ) thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần

Chọn A. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất Tm của biểu thức T =

SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AMC ) và ( SBC ) bằng

A.

1  5    3 

3 2

B.

2 3 3

C.

5 5

A. Tm = D.

2 5 5

B. Tm =

41 144

C. Tm =

1 10

D. Tm =

1 34

Hướng dẫn giải Gắn trục tọa độ Ox, Oy, Oz như hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác SAC vuông tại A

Để thuận tiện trong việc tính toán ta

⇒ AC =

chọn a = 1 .

Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ

2 S∆SAC = 4cm .

SA

Vì AC 2 + AB 2 = BC 2 nên tam giác ABC

Oxyz như hình vẽ sao cho gốc O trùng

vuông tại A.

với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.

Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với

Ta có A ( 0; 0;0 ) , B ( 3;0; 0 ) ,

tia AS.

C ( 0; 4; 0 ) , S ( 0;0;3) .

Khi đó A ( 0; 0;0 ) , B (1;0; 0 ) , C (1;1; 0 ) , S ( 0;0; 2 ) , D ( 0;1;0 ) .

Vì G là trọng tâm của tứ diện S.ABC nên ta có:

 1  Vì M là trung điểm SD nên tọa độ M là M  0; ;1 .  2 

 SB = (1;0; −2 )

Ta có  ⇒ n( SBC ) =  SB; BC  = ( 2; 0;1) .  BC = ( 0;1;0 )

xS + x A + xB + xC 3  =  xG = 4 4  yS + y A + yB + yC   3 3 = 1 ⇒ G  ;1;  .  yG = 4  4 4  z S + z A + z B + zC 3  =  zG = 4 4 

  1   −1   AM =  0; 2 ;1  ⇒ n( AMC ) =  AM ; AC  =  −1;1;  .   2    AC = (1;1; 0 ) 

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( α ) . Theo tính chất của tam diện vuông ta có: T =

Góc α là góc giữa hai mặt phẳng ( AMC ) và ( SBC ) .

n( SBC ) .n( AMC )

5 Suy ra cos α = cos n( SBC ) ; n( AMC ) = . =

3 n( SBC ) . n( AMC )

(

8 17

1 1 1 . + + AM 2 AN 2 AP 2

1 1 1 1 . + + = AM 2 AN 2 AP 2 AH 2

Mà AH ≤ AG ⇒ T =

)

1 1 1 1 1 8 + + = ≥ ⇒T ≥ .

AM 2 AN 2 AP 2 AH 2 AG 2 17

Dấu “=” xảy ra khi H ≡ G tức mặt phẳng ( α ) đi qua điểm G và vuông góc với

1 1 Mặt khác, 1 + tan α = ⇒ tan α = −1 . cos 2 α cos 2 α 2

đường thẳng OG. Trang 3

Trang 4

8 .

17

Vậ y giá trị nhỏ nhất của T bằng

Để

Chọn A.

Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a, AA′ = h

( a, h > 0 ) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ah

ah

B.

a 2 + 5h 2

C.

5a 2 + h 2

AB′ và BC′ theo a, h.

ah 2a 2 + h 2

D.

vô

nghiệm

thì

mặt

phẳng

a 2 + h2

B ( 2; 0; 2 ) , C ( −1; −1; 0 ) , D ( 0;3; 4 ) . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấ y các điểm B′, C ′, D′ sao cho AB AC AD + + = 4 và tứ diện AB′C ′D′ có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng ( B′C ′D′ ) là AB′ AC ′ AD′ A. 16 x − 40 y − 44 z + 39 = 0

B. 16 x − 40 y − 44 z − 39 = 0

C. 16 x + 40 y + 44 z − 39 = 0

D. 16 x + 40 y − 44 z + 39 = 0

( ABC )

là trung điểm O của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng AA′ và mặt phẳng

là 60° . Gọi I là trung điểm cạnh B′C ′. Khoảng cách từ I đến đường thẳng A′C bằng

a 21 4

B.

a 42 6

C.

a 21 6

D.

Để ( P ) // ( Q ) thì

m = 2 2 m + 2 −2 m − m = = ≠ ⇒ ⇒ m ∈∅ . −2 −1 1 2 m ≠ 2

Do đó không có giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của

A′ trên mặt phẳng

Mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z − 1 = 0 có một vecto pháp tuyến là

nP = (1; 2; −2 ) .

Mặt phẳng ( Q ) : 2 x + ( m + 2 ) y − 2mz − m = 0 có một vecto pháp tuyến là

nQ = ( 2; m + 2; −2m ) .

ah

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A (1;1;1) ,

A.

 x + 2 y − 2 z − 1 = 0  2 x + ( m + 2 ) y − 2mz − m = 0

trình

( Q ) : 2 x + ( m + 2 ) y − 2mz − m = 0 .

Bài tập cơ bản

( A′B′C ′)

phương

( P ) : x + 2 y − 2 z − 1 = 0 phải song song với mặt phẳng

Bài tập tự luyện dạng 1

A.

hệ

a 42 8

Bài tập cơ bản 2 x + by + 4 z − 3 = 0 vô nghiệm.

Câu 1: Tìm số thực a, b để hệ phương trình  ax + 3 y − 2 z + 1 = 0 A. a = 1; b = −6

B. a = −1; b = −6

3 C. a = − ; b = 9 2

D. a = −1; b = 6

Bài tập nâng cao

Bài tập nâng cao

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1;0; 2 ) , B ( −2; 0;5 ) , C ( 0; −1;7 ) . Trên đường thẳng d vuông

2 2 2 ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 4 Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình  có 4 x − 3 y − m = 0 đúng một nghiệm.

góc với mặt phẳng ( ABC ) tại A lấ y một điểm S. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết khi S di động trên d ( S ≠ A) thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định D. Tính độ dài

đoạn thẳng AD. A. AD = 3 3

B. AD = 6 2

C. AD = 3 6

D. AD = 6 3

D. m = −9 hoặc m = 31 .

Dạng 1: Dạng hình học

Ví dụ mẫu

1-A

Ví dụ: Có bao nhiêu số thực m để hệ phương trình

 x + 2 y − 2 z − 1 = 0 vô nghiệm?  2 x + ( m + 2 ) y − 2mz − m = 0 B. 0

B. m = −1 hoặc m = −21

C. m = 1 hoặc m = 21

ĐÁP ÁN

Dạng 2: Bài toán đại số

A. 1

A. m = 1

C. Vô số.

2-D

3-D

4-C

Dạng 2: Dạng đại số 1-B

D. 2

2-C

Hướng dẫn giải

Trang 5

Trang 6