Page 1

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. MỤC TIÊU: * Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Ơ

N

* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

U Y

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP

.Q TP

Định lí bổ sung:

Đ

dương của hệ số cao nhất

N

G

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước

TR ẦN

bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

H Ư

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử

f(1) f(-1) và đều là số nguyên. a-1 a+1

B

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

10 00

Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

Ó

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

A

1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4

Í-

H

3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

-L

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

ÁN

3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) = (x – 2)(3x – 2)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:

ÀN

Ví dụ 2: x3 – x2 - 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử

Đ

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ±1; ±2; ±4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm

D

IỄ N

của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2 Cách 1: x3 – x2 – 4 = ( x3 − 2 x 2 ) + ( x 2 − 2 x ) + ( 2 x − 4 ) = x 2 ( x − 2 ) + x( x − 2) + 2( x − 2) = ( x − 2 ) ( x 2 + x + 2 ) 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cách 2: x3 − x 2 − 4 = x 3 − 8 − x 2 + 4 = ( x 3 − 8) − ( x 2 − 4 ) = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) − ( x − 2)( x + 2) = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) − ( x + 2)  = ( x − 2)( x 2 + x + 2)

N

Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5

H

Ơ

Nhận xét: ±1, ±5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên

Đ

= x 2 (3x − 1) − 2 x(3 x − 1) + 5(3x − 1) = (3x − 1)( x 2 − 2 x + 5)

N

G

Vì x 2 − 2 x + 5 = ( x 2 − 2 x + 1) + 4 = ( x − 1) 2 + 4 > 0 với mọi x nên không phân tích được thành

H Ư

nhân tử nữa

TR ẦN

Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử

B

bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1

10 00

x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2

Ó

A

Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2

Í-

H

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:

-L

x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)

ÁN

Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 3x 3 − x 2 − 6 x 2 + 2 x + 15 x − 5 = ( 3x3 − x 2 ) − ( 6 x 2 − 2 x ) + (15 x − 5)

không phân tích được nữa

ÀN

Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

.Q

1 là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên 3

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta nhận thấy x =

N

f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ

Đ

= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)

D

IỄ N

= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)

= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương: Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)

Ơ

N

= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)

.Q

ẠO

= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)

Đ

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

N

G

Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )

H Ư

= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)

TR ẦN

= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)

B

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)

10 00

= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

A

= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)

H

Ó

Ghi nhớ:

Í-

Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;

-L

x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là x2 + x + 1

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2

ÁN

III. ĐẶT BIẾN PHỤ: Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2

U Y

= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4

ÀN

= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4

D

IỄ N

Đ

Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)

= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 Giả sử x ≠ 0 ta viết 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com 6 1 1 1 2 2 + 2 ) = x [(x + 2 ) + 6(x )+7] x x x x

x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 –

1 2 ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x

Ơ

U Y .Q

Đ

G

= ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 2( xy + yz +zx)  ( x 2 + y 2 + z 2 ) + ( xy + yz +zx) 2

ẠO

Ví dụ 3: A = ( x 2 + y 2 + z 2 )( x + y + z ) 2 + ( xy + yz +zx) 2

H Ư

N

Đặt x 2 + y 2 + z 2 = a, xy + yz + zx = b ta có

A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx)2

TR ẦN

Ví dụ 4: B = 2( x 4 + y 4 + z 4 ) − ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 − 2( x 2 + y 2 + z 2 )( x + y + z ) 2 + ( x + y + z ) 4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:

10 00

B

B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;

Ó

A

B = - 4( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) + 4 (xy + yz + zx)2

Í-

H

= −4 x 2 y 2 − 4 y 2 z 2 − 4 z 2 x 2 + 4 x 2 y 2 + 4 y 2 z 2 + 4 z 2 x 2 + 8 x 2 yz + 8 xy 2 z + 8 xyz 2 = 8 xyz ( x + y + z )

-L

Ví dụ 5: (a + b + c)3 − 4(a 3 + b3 + c 3 ) − 12abc

ÁN

Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2

TO

a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 +

m2 - n 2 ). Ta có: 4

m3 + 3mn 2 3 2 2 2 − 4c3 − 3c(m 2 - n 2 ) = 3( - c +mc – mn + cn ) 4

IỄ N

Đ

C = (m + c)3 – 4.

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x -

N

1 1 = y thì x2 + 2 = y2 + 2, do đó x x

H

Đặt x -

D

= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét: các số ± 1, ± 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

Ơ H

Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8

TR ẦN

Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

B

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:

10 00

2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)

Í-

H

Ó

A

 a − 4 = −3 b − 2a = −7 a = 1  ⇒ b = −5 = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c ⇒  c − 2b = 6  c = −4  −2c = 8

-L

Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

Đ

a + c = −6 ac = −8  2c = −8 c = −4  ⇒ ⇒  a = −2 a + 3c = −14  ac = 8 bd = 3

ÁN

Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)

ÀN

Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

ẠO

Xét bd = 3 với b, d ∈ Z, b ∈ {±1, ±3} với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a + c = −6  ac + b + d = 12 đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:  ad + bc = −14 bd = 3

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

IỄ N

Đ

Ví dụ 3:

D

12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3

5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

2

N

ac = 12 bc + ad = −10 a = 4   c = 3 ⇒ 3c − a = 5 ⇒ bd = −12 b = −6  d = 2 3d − b = 12 2

6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 2

15) x8 + 3x4 + 4 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10

B

8) 4x - 32x + 1

TR ẦN

14) x + x + 1

17) x4 - 8x + 63

10 00

2

2

CHUYấN ĐỀ 2 - SƠ LƯỢC VỀ CHỈNH HỢP,

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

9) 3(x + x + 1) - (x + x + 1)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

8

H Ư

N

13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1

5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4

2

U Y

G

12) x3 + 3xy + y3 - 1

4) 2x3 - x2 + 5x + 3

4

.Q

Đ

3) x3 - 6x2 - x + 30

4

TP

ẠO

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) x3 - 7x + 6 10) 64x4 + y4 2) x3 - 9x2 + 6x + 16 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

BÀI TẬP:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

⇒ 12x + 5x - 12y + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)

6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP A. MỤC TIÊU: * Bước đầu HS hiểu về chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp

Ơ

N

* Vận dụng kiến thức vào một ssó bài toán cụ thể và thực tế

U Y

B. KIẾN THỨC:

.Q

ẠO

X ( 1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu

Đ

G H Ư

n

n

= n(n - 1)(n - 2)…[n - (k - 1)]

TR ẦN

k

k

N

2. Tính số chỉnh chập k của n phần tử

A

A

10 00

B

II. Hoán vị:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

1. định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp

1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp

Ó

A

X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử ấy

H

Số tất cả các hoán vị của n phần tử được kí hiệu Pn

Í-

2. Tính số hoán vị của n phần tử

-L

Pn =

n n

= n(n - 1)(n - 2) …2 .1 = n!

ÁN

( n! : n giai thừa)

A

III. Tổ hợp:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

I. Chỉnh hợp:

1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử

Đ

ÀN

trong n phần tử của tập hợp X ( 0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy

D

IỄ N

Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu

C

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

* Tạo hứng thú và nâng cao kỹ năng giải toán cho HS

k n

2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử

C

k n

=

A

n n

: k! =

n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)] k! 7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

C. Ví dụ: 1. Ví dụ 1:

Ơ

N

Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5

U Y

số trên

.Q

ẠO

Giải: 3 5

= 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số

N

A

H Ư

chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử:

G

Đ

a) số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên là

b) số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên là hoán vị cua 5

A

5 5

TR ẦN

phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử):

= 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số

3 5

=

5.(5 - 1).(5 - 2) 5.4.3 60 = = = 10 nhóm 3! 3.(3 - 1)(3 - 2) 6

A

C

10 00

B

c) cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử:

H

Ó

2. Ví dụ 2:

-L

Í-

Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng 5 chữ số này:

ÁN

a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại? Tính

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

c)Có bao nhiêu cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên

tổng các số lập được

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên

b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

ÀN

c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó hai chữ số kề nhau phải khác

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

a) có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ

IỄ N

Đ

nhau

D

d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, trong đó có hai chữ

số lẻ, hai chữ số chẵn Giải 8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

a) số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi 4 trong các chữ số trên là chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử:

A

4 5

= 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số

N

Trong mỗi hang (Nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số có mặt: 120 : 5 = 24 lần

Ơ

Tổng các chữ số ở mỗi hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 24 = 15 . 24 = 360

U Y

.Q

bốn chữ số trước là hoán vị của của 4 chữ số còn lại và có P4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cách

ẠO

Tất cả có 24 . 2 = 48 cách chọn

G

Đ

c) Các số phải lập có dạng abcde , trong đó : a có 5 cách chọn, b có 4 cách chọn (khác a),

H Ư

N

c có 4 cách chọn (khác b), d có 4 cách chọn (khác c), e có 4 cách chọn (khác d) Tất cả có: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 số

TR ẦN

d) Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn, có 1 cách chọn

chọn 2 trong 3 chữ số lẻ, có 3 cách chọn. Các chữ số có thể hoán vị, do đó có:

10 00

B

1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số

 ≠ 1800 . Trên Ax lấy 6 điểm khác A, trên Ay lấy 5 điểm khác A. trong 12 Bài 3: Cho xAy

Ó

A

điểm nói trên (kể cả điểm A), hai điểm nào củng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng.

H

Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy

-L

Í-

Giải

ÁN

Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại: + Loại 1: các tam giác có một đỉnh là A, đỉnh thứ 2 thuộc A

ÀN

Ax (có 6 cách chọn), đỉnh thứ 3 thuộc Ay (có 5 cách

B1 A1

Đ

chọn), gồm có: 6 . 5 = 30 tam giác

IỄ N

+ Loại 2: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 5 điểm B1,

B2

A2

B3

A3

B4

A4

y

B5

A5 A 6

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

chọn

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) chữ số tận cùng có 2 cách chọn (là 2 hoặc 4)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Tổng các số được lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960

x

D

B2, B3, B4, B5 (có 5 cách chọn), hai đỉnh kia là 2 trong 6

điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có

C

2 6

=

6.5 30 = = 15 cách chọn) 2! 2

Gồm 5 . 15 = 75 tam giác 9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

+ Loại 3: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh kia là 2

C

2 5

= 6.

5.4 20 = 6. = 60 tam giác 2! 2

Tất cả có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác =

12.11.10 1320 1320 = = = 220 3! 3.2 6

Ơ

3

12

H

C

C

3

=

7.6.5 210 210 = = = 35 3! 3.2 6

=

6.5.4 120 120 = = = 20 3! 3.2 6

.Q

ẠO

6

Đ

Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác

G

D. BÀI TẬP:

H Ư

N

Bài 1: cho 5 số: 0, 1, 2, 3, 4. từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

TR ẦN

a) Có 5 chữ số gồm cả 5 chữ số ấy? b) Có 4 chữ số, có các chữ số khác nhau? c) có 3 chữ số, các chữ số khác nhau?

10 00

B

d) có 3 chữ số, các chữ số có thể giống nhau? Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng số đó chia

Ó

A

hết cho 9

H

Bài 3: Trên trang vở có 6 đường kẻ thẳng đứng và 5 đường kẻ nằm ngang đôi một cắt

TO

ÁN

-L

Í-

nhau. Hỏi trên trang vở đó có bao nhiêu hình chữ nhật

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Số bộ ba điểm thẳng hang trong 6 điểm thuộc tia Ay là:

7

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

U Y

C

TP

Số bộ ba điểm thẳng hang trong 7 điểm thuộc tia Ax là:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Cách 2: số các tam giác chọn 3 trong 12 điểm ấy là

N

trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm có: 6.

10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 3 - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC A. MỤC TIÊU:

Ơ

N

HS nắm được công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: (a + b)n

U Y

thức, vận dụng vào các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

TP

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)] k!

TR ẦN

1. Cách 1: Dùng công thức C kn =

N

II. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn:

Chẳng hạn hệ số của hạng tử a4b3 trong khai triển của (a + b)7 là

10 00

n! 7! 7.6.5.4.3.2.1 = = 35 với quy ước 0! = 1 ⇒ C 74 = n!(n - k) ! 4!.3! 4.3.2.1.3.2.1

H

Ó

Chú ý: a) C kn =

B

7.6.5.4 7.6.5.4 = = 35 4! 4.3.2.1

A

C 74 =

7.6.5. = 35 3!

-L

Í-

b) Ta có: C kn = C nk - 1 nên C 74 = C 37 =

Đỉnh

ÁN

2. Cách 2: Dùng tam giác Patxcan 1 1

Dòng 1(n = 1)

1

ÀN

Dòng 2(n = 1) 1

IỄ N

Đ

Dòng 3(n = 3) 1

Dòng 4(n = 4)

D

ẠO

n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)] 1.2.3...k

Đ

C kn =

(a + b)n = an + C1n an - 1 b + C2n an - 2 b2 + …+ Cnn −1 ab n - 1 + bn

G

Trong đó:

.Q

I. Nhị thức Niutơn:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

B. KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:

1

Dòng 5(n = 5) Dòng 6(n = 6)

1

2 3

4 5

6

1 3 6

10 15

1 1 4 10

20

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Vận dụng kiến thức vào các bài tập về xác định hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị

1 5

15

1 6

1 11

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2 dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …

Ơ

N

Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Đ

b) Muốn có hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số

N

H Ư

1.4 3 4.3 2 2 4.3.2 4.3.2. 5 ab+ ab + ab3 + b 1 2 2.3 2.3.4

TR ẦN

Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 +

G

mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1

Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa

B

là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau n(n - 1) n - 2 2 n(n - 1) 2 n a b + …+ ab 1.2 1.2

10 00

(a + b)n = an + nan -1b +

+ nan - 1bn - 1 + bn

A

III. Ví dụ:

-2

H

Ó

1. Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử

-L

Í-

a) A = (x + y)5 - x5 - y5

ÁN

Cách 1: khai triển (x + y)5 rồi rút gọn A A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3)

ÀN

= 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3. Cách 3:

U Y

Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6

N

H

Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

IỄ N

Đ

Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5)

D

x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có:

x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm được nhân tử còn lại 12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 y7 = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6

Ơ

N

= 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )]

.Q

Đ

a) (4x - 3)4

N

G

Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có:

TR ẦN

Tổng các hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = 1

H Ư

(4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4. 4x. 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81

Tổng các hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4

B

b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4

A

Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = 1

10 00

Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4

H

Ó

* Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa

-L

C. BÀI TẬP:

Í-

thức đó tại x = 1

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức có được sau khi khai triển

TP

= 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2

ÁN

Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) (a + b)3 - a3 - b3

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

= 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ]

b) (x + y)4 + x4 + y4

ÀN

Bài 2: Tìm tổng các hệ số có được sau khi khai triển đa thức b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011

D

IỄ N

Đ

a) (5x - 2)5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

= 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ]

U Y

N

H

= 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)}

13

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN A. MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức

Ơ

N

* HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết,

N

H

sốnguyên tố, số chính phương…

.Q ẠO

I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết

Đ

1. Kiến thức:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:

N

G

* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân

H Ư

tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi

TR ẦN

một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó * Chú ý:

B

+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k

10 00

+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho

A

m

H

Ó

+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì: +) (a + 1)n là BS(a )+ 1

+) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b

+)(a - 1)2n là B(a) + 1

+ (a + b)n = B(a) + bn

+) (a - 1)2n + 1 là B(a) - 1

TO

2. Bài tập:

ÁN

-L

Í-

+) an - bn chia hết cho a - b (a ≠ - b)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

toán cụ thể

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

* Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài

IỄ N

Đ

2. Các bài toán

D

Bài 1: chứng minh rằng a) 251 - 1 chia hết cho 7

b) 270 + 370 chia hết cho 13

c) 1719 + 1917 chi hết cho 18

d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho

37 14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

e) 24n -1 chia hết cho 15 với n∈ N Giải a) 251 - 1 = (23)17 - 1 ⋮ 23 - 1 = 7

Ơ

N

b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 ⋮ 4 + 9 = 13

Đ

e) 2 4n - 1 = (24) n - 1 ⋮ 24 - 1 = 15

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2

N

G

Bài 2: chứng minh rằng

H Ư

a) n5 - n chia hết cho 30 với n ∈ N ;

TR ẦN

b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n∈ Z c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n∈ N ;

10 00

B

Giải:

a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì

A

(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)

Ó

n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)

H

Mặt khác

-L

Í-

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)

ÁN

Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**)

ÀN

Từ (*) và (**) suy ra đpcm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

d) 3663 - 1 ⋮ 36 - 1 = 35 ⋮ 7

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

hay 1719 + 1917 ⋮ 18

U Y

1719 + 1 ⋮ 17 + 1 = 18 và 1917 - 1 ⋮ 19 - 1 = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1)

N

H

c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1)

IỄ N

Đ

b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)

D

Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k ∈ Z) thì

A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) ⇒ A chia hết cho 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2) 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384 c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 ⋮ 27 (1)

Ơ

n

n

U Y .Q TP

3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì

ẠO

a) a3 - a chia hết cho 3

Đ

b) a7 - a chia hết cho 7

N

G

Giải

TR ẦN

là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3

H Ư

a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)

B

Nếu a = 7k (k ∈ Z) thì a chia hết cho 7

10 00

Nếu a = 7k + 1 (k ∈ Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7

A

Nếu a = 7k + 2 (k ∈ Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7

H

Ó

Nếu a = 7k + 3 (k ∈ Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7

Í-

Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7

-L

Vậy: a7 - a chia hết cho 7 Giải

ÁN

Bài 4: Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

n

ÀN

Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

vì 9 ⋮ 9 và 1...1  - n ⋮ 3 do 1...1  - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3

H

n

N

n

N

+ 10 n - 9n - 1 = [( 9...9  + 1) - 9n - 1] = 9...9  - 9n = 9( 1...1  - n) ⋮ 27 (2)

Đ

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101

D

IỄ N

Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513)

= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 +

512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1) 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003) Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B

Ơ

N

Bài tập về nhà

U Y

a) a5 – a chia hết cho 5

b) cho 25,

c) cho 125

10 00

Giải

TR ẦN

a)cho 9,

B

Tìm số dư khi chia 2100

H Ư

Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia

A

a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1

H

Ó

Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7

Í-

Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7

-L

b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + 1

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9 Bài 1:

.Q

Đ

e) 20092010 không chia hết cho 2010

TP

d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6

ẠO

c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24

ÁN

Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1 c)Sử dụng công thức Niutơn:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn

Đ

ÀN

2100 = (5 - 1)50 = (550 - 5. 549 + … +

50.49 2 . 5 - 50 . 5 ) + 1 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Chứng minh rằng:

D

IỄ N

Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo:

50.49 2 . 5 - 50.5 2

cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1 Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1 17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2: Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu?

Ơ

N

Giải

U Y

Gọi S = a13 + a 23 + a 33 + ...+ a n 3 = a13 + a 23 + a 33 + ...+ a n 3 + a - a

.Q

ẠO

cần tìm số dư khi chia a cho 6

Đ

1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3

N

G

Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân

H Ư

giải

TR ẦN

Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000 Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ

10 00

B

Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876

A

Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó

H

Ó

chia hết cho 8

Í-

trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8

-L

Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376

ÁN

Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376

TO

Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7 a) 2222 + 5555

b)31993

c) 19921993 + 19941995

d) 32

1930

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

= (a1 3 - a1) + (a2 3 - a2) + …+ (an 3 - an) + a

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an.

D

Giải

a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS 7 +1)22 + (BS 7 – 1)55 = BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên 2222 + 5555 chia 7 dư 0 b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1 18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó: 31993 = 3 6k + 1 = 3.(33)2k = 3(BS 7 – 1)2k = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3 c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó:

Ơ

N

19921993 + 19941995 = (BS 7 – 3)1993 + (BS 7 – 1)1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1

ẠO

Tìm số d ư khi:

Đ

a) 21994 cho 7

N

G

b) 31998 + 51998 cho 13

H Ư

c) A = 13 + 23 + 33 + ...+ 993 chia cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 99

TR ẦN

Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Bài tập về nhà

Bài 1: Tìm n ∈ Z để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu

10 00

B

thức B = n2 - n Giải

A

Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n + 3)(n2 - n) + 2

H

Ó

Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) do đó 2 chia hết cho n, ta có: 1

-1

2

-2

0

-2

1

-3

0

2

2

6

-L

Í-

n

ÁN

n-1

TO

n(n - 1)

loại

loại

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

= 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4

.Q

1930

d) 32

U Y

19921993 + 19941995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Theo câu b ta có 31993 = BS 7 + 3 nên

IỄ N

Đ

Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức

D

B = n2 - n thì n ∈ {−1; 2} Bài 2: a) Tìm n ∈ N để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1 19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b) Giải bài toán trên nếu n ∈ Z Giải Ta có: n5 + 1 ⋮ n3 + 1 ⇔ n2(n3 + 1) - (n2 - 1) ⋮ n3 + 1 ⇔ (n + 1)(n - 1) ⋮ n3 + 1 2

2

Ơ

N

⇔ (n + 1)(n - 1) ⋮ (n + 1)(n - n + 1) ⇔ n - 1 ⋮ n - n + 1 (Vì n + 1 ≠ 0)

N

H

a) Nếu n = 1 thì 0 ⋮ 1

.Q

2

ẠO

⇒ 1 ⋮ n - n + 1. Có hai trường hợp xẩy ra:

a) n2 + 2n - 4 ⋮ 11

G

N H Ư

Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho:

TR ẦN

+ n2 - n + 1 = -1 ⇔ n2 - n + 2 = 0 (Vô nghiệm)

Đ

n = 0

+ n2 - n + 1 = 1 ⇔ n(n - 1) = 0 ⇔  (Tm đề bài) n = 1

b) 2n3 + n2 + 7n + 1 ⋮ 2n - 1

d) n3 - n2 + 2n + 7 ⋮ n2 + 1

B

c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 ⋮ n4 - 1

10 00

Giải

a) Tách n2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11)

H

Ó

A

n2 + 2n - 4 ⋮ 11 ⇔ (n2 - 2n - 15) + 11 ⋮ 11 ⇔ (n - 3)(n + 5) + 11 ⋮ 11

-L

Í-

 n − 3⋮11  n = B(11) + 3 ⇔ (n - 3)(n + 5) ⋮ 11 ⇔  ⇔  n + 5 ⋮11  n = B(11) - 5

ÁN

b) 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5

TO

 2n  2n Để 2n3 + n2 + 7n + 1 ⋮ 2n - 1 thì 5 ⋮ 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) ⇔   2n   2n

Đ

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

b) n - 1 ⋮ n2 - n + 1 ⇒ n(n - 1) ⋮ n2 - n + 1 ⇔ (n2 - n + 1 ) - 1 ⋮ n2 - n + 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy giá trụ của n tìm được là n = 1

− 1=-5

n = - 2 n = 0 − 1 = -1 ⇔ n = 1 − 1=1  − 1=5 n = 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Nếu n > 1 thì n - 1 < n(n - 1) + 1 < n2 - n + 1 nên không thể xẩy ra n - 1 ⋮ n2 - n + 1

D

IỄ N

Vậy: n ∈ { − 2; 0; 1; 3 } thì 2n3 + n2 + 7n + 1 ⋮ 2n - 1 c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 ⋮ n4 - 1 Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1) = n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) 20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

B = n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1) A chia hết cho b nên n ≠ ± 1 ⇒ A chia hết cho B ⇔ n - 1 ⋮ n + 1 ⇔ (n + 1) - 2 ⋮ n + 1  n = -3 n = - 2 + 1=-1 ⇔ n = 0 + 1=1  ɵ + 1=2  n = 1 (khong Tm)

H

Ơ

N

+ 1=-2

U Y .Q TP

d) Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là n - 1, dư n + 8

Đ

Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; ± 2; ± 8

N

TR ẦN

Bài tập về nhà:

H Ư

Vậy: n3 - n2 + 2n + 7 ⋮ n2 + 1 khi n = 0, n = 8

G

Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8 (T/m)

Tìm số nguyên n để:

B

a) n3 – 2 chia hết cho n – 2

10 00

b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1 c)5n – 2n chia hết cho 63

Ó

A

Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết

Í-

H

Bài 1: Tìm n ∈ N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7

-L

Giải

ÁN

Nếu n = 3k ( k ∈ N) thì 2n – 1 = 23k – 1 = 8k - 1 chia hết cho 7

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Để n3 - n2 + 2n + 7 ⋮ n2 + 1 thì n + 8 ⋮ n2 + 1 ⇒ (n + 8)(n - 8) ⋮ n2 + 1 ⇔ 65 ⋮ n2 + 1

Nếu n = 3k + 1 ( k ∈ N) thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy: n ∈ { − 3; − 2; 0 } thì n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 ⋮ n4 - 1

ÀN

Nếu n = 3k + 2 ( k ∈ N) thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

n n ⇔ 2⋮ n+1 ⇔  n  n

Đ

V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3

D

IỄ N

Bài 2: Tìm n ∈ N để:

a) 3n – 1 chia hết cho 8 b) A = 32n

+3

+ 24n + 1 chia hết cho 25

c) 5n – 2n chia hết cho 9 21

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giải a) Khi n = 2k (k ∈ N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8 Khi n = 2k + 1 (k ∈ N) thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2

Ơ

+ 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n = 25. 32n + 2.32n + 2.24n

H

+3

U Y

= BS 25 + 2(9n + 16n)

.Q

ẠO

suy ra 2((9n + 16n) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia

Đ

hết cho 25

N

G

c) Nếu n = 3k (k ∈ N) thì 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho 9

H Ư

Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k

TR ẦN

= BS 9 + 3(BS 9 – 1)k = BS 9 + BS 9 + 3

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nếu n = 2k (k ∈ N) thì 9n có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16n có chữ số tận cùng bằng 6

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nếu n = 2k +1(k ∈ N) thì 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

b) A = 32n

N

Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k ∈ N)

22

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. Số chính phương:

Ơ

N

A. Một số kiến thức:

U Y

Ví dụ:

.Q Đ

+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia

N

G

hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24,… n

n

TR ẦN

n

H Ư

n + Số 11...1  = a thì 99...9  = 9a ⇒ 9a + 1 = 99...9  + 1 = 10

B. Một số bài toán: 1. Bài 1:

10 00

B

Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 Giải

Ó

A

Gọi A = n2 (n ∈ N)

H

a) xét n = 3k (k ∈ N) ⇒ A = 9k2 nên chia hết cho 3

-L

Í-

n = 3k ± 1 (k ∈ N) ⇒ A = 9k2 ± 6k + 1, chia cho 3 dư 1

ÁN

Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

+ Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8

TP

A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2

TO

b) n = 2k (k ∈ N) thì A = 4k2 chia hết cho 4 n = 2k +1 (k ∈ N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4 = 22; 9 = 32

Đ

Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác

D

IỄ N

Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4 + Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1)

2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương a) M = 19922 + 19932 + 19942 23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002

Ơ

N

e) R = 13 + 23 + ... + 1003

N

H

Giải

.Q

ẠO

và hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương

Đ

c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 dư 2 nên không là số chính phương

N

G

d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002

H Ư

Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4

TR ẦN

dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính phương

10 00

Gọi Ak = 1 + 2 +... + k =

B

e) R = 13 + 23 + ... + 1003

k(k + 1) k(k - 1) , Ak – 1 = 1 + 2 +... + k = 2 2

Ó

A

Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 khi đó:

ÁN

.....................

-L

23 = A22 – A12

Í-

H

13 = A12

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4,

n3 = An2 = An - 12

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

đó M không là số chính phương

ÀN

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có: 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

a) các số 19932, 19942 chia cho 3 dư 1, còn 19922 chia hết cho 3 ⇒ M chia cho 3 dư 2 do

2

IỄ N

Đ

n(n + 1)  100(100 + 1)  2 13 + 23 + ... +n3 = An2 =  = = ( 50.101) là số chính phương   2  2   

D

3. Bài 3:

CMR: Với mọi n Ỵ N thì các số sau là số chính phương. a) A = (10n +10n-1 +...+.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1 24

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com 10n +1 − 1

n+1 A = ( 11.....1 .(10n +1 + 5) + 1 + 5) + 1 =  )(10 10 − 1 n 2

N

a-1 a 2 + 4a - 5 + 9 a 2 + 4a + 4  a + 2  thì A = (a + 5) + 1 = = =  9 9 9  3 

H

n-1

n

n

2 B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 = 33....3 4

N

G

c) C = 11.....1  .+ 44.....4   + 1

Đ

n-1

H Ư

n

n Đặt a = 11.....1  Thì C = 11.....1  11.....1  + 4. 11.....1  + 1 = a. 10 + a + 4 a + 1 n

n

n

TR ẦN

n

= a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 n

n

10 00

n

B

n Đặt 99....9  = a ⇒ 10 = a + 1

d) D = 99....9  8 00.....0  1 .

n+2 D = 99....9 + 8. 10n + 1 + 1 = a . 100 . 10n + 80. 10n + 1  . 10

A

n

H

Ó

2 = 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = ( 99....9  ) n+1

-L

Í-

n+2 e) E = 11.....1 + 2. 11.....1  22.....2  5 = 11.....1  22.....2  00 + 25 = 11.....1  .10  00 + 25 n

n+1

n

n+1

n

n

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

n

2n

n

TP

n Đặt 11.....1  = a thì 10 = 9a + 1 nên

ÁN

2 = [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = ( 33.....3  5) n

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

n

.Q

n

n

U Y

n n B = 111.....1    555.....5    + 1 = 111.....1    . 10 + 555.....5    + 1 = 111.....1    . 10 + 5 111.....1    + 1

ÀN

f) F = 44.....4  = 4. 11.....1  là số chính phương thì 11.....1  là số chính phương 100

100

100

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

Ơ

b) B = 111.....1    555.....5    6 ( cĩ n số 1 và n-1 số 5)

N

Đặt a = 10

n+1

D

IỄ N

Đ

Số 11.....1  là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1 100

Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 chia 4 dư 1 11.....1  có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 3 100

25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

vậy 11.....1  không là số chính phương nên F = 44.....4  không là số chính phương 100

100

Bài 4: m

Ơ

m+1

N U Y

Nên:

.Q

102 m − 1 10m+1 − 1 10 m − 1 ;B= ; C = 6. 9 9 9

2

2

G

Đ

10m ) + 16.10 m + 64  10m + 8  ( 102 m − 1 + 10.10m − 1 + 6.10m − 6 + 72 = = =  9 9  3 

H Ư

N

b) CMR: Với mọi x,y Ỵ Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương. A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4

TR ẦN

= (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2

10 00

B

= (x2 + 5xy + 5y2)2

Bài 5: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương b) n5 – n + 2

Ó

A

a) n2 – n + 2

H

Giải

-L

Í-

a) Với n = 1 thì n2 – n + 2 = 2 không là số chính phương

ÁN

Với n = 2 thì n2 – n + 2 = 4 là số chính phương

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

102 m − 1 10m+1 − 1 10 m − 1 102 m − 1 + 10m +1 − 1 + 6(10m − 1) + 72 A+B+C+8 = + + 6. +8= 9 9 9 9

Với n > 2 thì n2 – n + 2 không là số chính phương Vì

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có: A

H

CMR: A + B + C + 8 là số chính phương .

ÀN

(n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2

Đ

b) Ta có n5 – n chia hết cho 5 Vì

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2m

N

a) Cho các số A = 11........11  ; B = 11.......11   ; C = 66.....66   

D

IỄ N

n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1)

Với n = 5k thì n chia hết cho 5 Với n = 5k ± 1 thì n2 – 1 chia hết cho 5 Với n = 5k ± 2 thì n2 + 1 chia hết cho 5 26

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Nên n5 – n + 2 chia cho 5 thì dư 2 nên n5 – n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên n5 – n + 2 không là số chính phương Vậy : Không có giá trị nào của n thoã mãn bài toán

Ơ

N

Bài 6 :

N

H

a)Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương

.Q H Ư

A = (10k ± 3)2 =100k2 ± 60k + 9 = 10.(10k2 ± 6) + 9

N

b)A là số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 nên

G

Đ

Với a = 4k + 3 thì a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2

TR ẦN

Số chục của A là 10k2 ± 6 là số chẵn (đpcm) Bài 7:

B

Một số chính phương có chữ số hàng chục là chữ số lẻ. Tìm chữ số hàng đơn vị

10 00

Giải

A

Gọi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm là chữ số tận

H

Ó

cùng của b2

Í-

Theo đề bài , chữ số hàng chục của n2 là chữ số lẻ nên chữ số hàng chục của b2 phải lẻ

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Với a = 4k + 1 thì a = 4k2 + 4k + 1 – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2

TP

Mọi số lẻ đều có dạng a = 4k + 1 hoặc a = 4k + 3

-L

Xét các giá trị của b từ 0 đến 9 thì chỉ có b2 = 16, b2 = 36 có chữ số hàng chục là chữ số lẻ,

ÁN

chúng đều tận cùng bằng 6 Vậy : n2 có chữ số hàng đơn vị là 6

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải

ÀN

Bài tập về nhà:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

IỄ N

Đ

Bài 1: Các số sau đây, số nào là số chính phương

D

a) A = 22.....2  4

c) C = 99....9  00....0  25

b) B = 11115556

50

n

d) D = 44.....4 9    88....8 n

n-1

e) M = 11.....1    – 22....2  2n

n

f) N = 12 + 22 + ...... + 562

n

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số chính phương 27

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

a) n3 – n + 2 b) n4 – n + 2 Bài 3: Chứng minh rằng

Ơ

N

a)Tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương

N

H

b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Bài 4: Một số chính phương có chữ số hàng chục bằng 5. Tìm chữ số hàng đơn vị

28

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 6 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức:

A

1. Định lí Ta-lét: M

N

∆ABC

Ơ H

* §Þnh lÝ Ta-lÐt:

N

 AM AN =  ⇔ MN // BC  AB AC

C

Đ

1. Bài 1:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

B. Bài tập áp dụng:

G

Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B

N

song song với AD cắt AC ở G

H Ư

B

a) chứng minh: EG // CD

A

TR ẦN

b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. EG

OE OA = (1) OB OC

C

D

A

a) Vì AE // BC ⇒

10 00

Gọi O là giao điểm của AC và BD

G

E

B

Giải

O

H

Ó

OB OG = (2) OD OA

Í-

BG // AC ⇒

OE OG ⇒ EG // CD = OD OC

ÁN

-L

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:

TO

b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên AB OA OD CD AB CD = = = ⇒ = ⇒ AB2 = CD. EG EG OG OB AB EG AB

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

.Q

AM AN MN = = AB AC BC

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

* HƯ qu¶: MN // BC ⇒

U Y

N

B

Đ

Bài 2:

D

IỄ N

Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF. Chứng minh rằng:

D

A H K

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

F

29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial C B www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

a) AH = AK b) AH2 = BH. CK Giải

Ơ

N

Đặt AB = c, AC = b.

H

AH AC b AK AB c AH KC AH KC = = và = = suy ra = ⇒ = (Vì AH = AK) HB BD c KC CF b HB AK HB AH 2

10 00

B

⇒ AH = BH . KC

3. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC

A

theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:

H

-L

Í-

1 1 1 = + AE AK AG

b)

Ó

a) AE2 = EK. EG

ÁN

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi

ÀN

Giải

A b

B K

E

Đ

a) Vì ABCD là hình bình hành và K ∈ BC nên

a

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N H Ư

TR ẦN

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK b) Từ

G

AK b AK c b.c = ⇒ = ⇒ AK = (2) AC b + c b b+c b+c

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

AK AB c AK c AK c = = ⇒ = ⇒ = KC CF b KC b KC + AK b + c

AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên Hay

N

AH b AH b b.c = ⇒ = ⇒ AH = (1) AB b + c c b+c b+c

U Y

Hay

.Q

AH AC b AH b AH b = = ⇒ = ⇒ = HB BD c HB c HB + AH b + c

TP

nên

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

BD // AC (cùng vuông góc với AB)

D

IỄ N

AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

D

C

G

EK EB AE EK AE = = ⇒ = ⇒ AE 2 = EK.EG AE ED EG AE EG

b) Ta có:

AE DE AE BE = ; = nên AK DB AG BD 30

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 AE AE BE DE BD 1   1 = + (đpcm) + = + = = 1 ⇒ AE  +  =1 ⇒ AE AK AG AK AG BD DB BD  AK AG 

BK a = ⇒ BK. DG = ab không đổi (Vì a = AB; b = AD b DG

U Y

là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)

.Q Q M

N

TR ẦN

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG

F

O

D

H Ư

Giải

P

H

N

G

b) EG vuông góc với FH

E

G

1 1 BM 1 BE BM 1 Ta có CM = CF = BC ⇒ = ⇒ = = 2 3 BC 3 BA BC 3

B

C

NF CF 2 2 = = ⇒ NF = BD (2) BD CB 3 3

Í-

mà AC = BD (3)

H

Ó

A

Tương tự, ta có: NF // BD ⇒

10 00

EM BM 2 2 = = ⇒ EM = AC (1) AC BE 3 3

⇒ EM // AC ⇒

-L

Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)

ÁN

Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH =

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

a) EG = FH

B

A

ẠO

cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:

TP

Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các

1 AC (b) 3

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4. Bài 4:

ÀN

 = 900 (4) Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC ⊥ BD ⇒ EM ⊥ MG ⇒ EMG

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:

N

BK AB BK a KC CG KC CG = ⇒ = (1); = ⇒ = (2) KC CG KC CG AD DG b DG

Ơ

c) Ta có:

Đ

 = 900 (5) Tương tự, ta có: FNH

D

IỄ N

 = FNH  = 900 (c) Từ (4) và (5) suy ra EMG

Từ (a), (b), (c) suy ra ∆ EMG = ∆ FNH (c.g.c) ⇒ EG = FH

b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì  = 900 ⇒ QPF  + QFP  = 900 mà QPF  = OPE  (đối đỉnh), OEP  = QFP  ( ∆ EMG = ∆ FNH) PQF 31

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 = PQF  = 900 ⇒ EO ⊥ OP ⇒ EG ⊥ FH Suy ra EOP

5. Bài 5:

Ơ

M và AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ

U Y

a) MP // AB

.Q D

C

các tứ giác AFCD, DCBK la các hình bình hành nên

TR ẦN

AF = DC, FB = AK (3)

CP CM ⇒ MP // AB = PB AM

B

Kết hợp (1), (2) và (3) ta có

10 00

(Định lí Ta-lét đảo) (4)

Ó

A

b) Gọi I là giao điểm của BD và CF, ta có:

A

K

F

P

B

CP CM DC DC = = = PB AM AK FB

Í-

H

DC DI CP DI ⇒ IP // DC // AB (5) = (Do FB // DC) ⇒ = FB IB PB IB

-L

I

M

ÁN

Từ (4) và (5) suy ra : qua P có hai đường thẳng IP, PM cùng song song với AB // DC nên

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

CM DC = (2) AM AK

G

AK // CD ⇒

N

CP AF = (1) PB FB

H Ư

a) EP // AC ⇒

ẠO

TP

Giải

theo tiên đề Ơclít thì ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP đi qua giao điểm của CF và DB

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy

hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy

ÀN

6. Bài 6:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại

IỄ N

Đ

Cho ∆ ABC có BC < BA. Qua C kẻ đường thẳng vuông goác với tia phân giác BE của

D

 ; đường thẳng này cắt BE tại F và cắt trung tuyến BD tại G. Chứng minh rằng đoạn ABC

thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần bằng nhau

32

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com B

Giải Gọi K là giao điểm của CF và AB; M là giao điểm của

M

K G

DF và BC A

D

C

N

H

∆ KBC cân tại B ⇒ BK = BC và FC = FK

E

Ơ

∆ KBC có BF vừa là phân giác vừa là đường cao nên

N

F

.Q TR ẦN

CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD = = −1 = − 1 (Vì AD = DC) ⇒ = = −1 = −1 DE DE DE DE DE DE DE DE

AE AB CE AE - DE AE AB = −1 = −2= − 2 (vì = : Do DF // AB) DE DE DE DF DE DF

BG CE ⇒ EG // BC = GD DE

H

Ó

Từ (1) và (2) suy ra

10 00

B

CE AK + BK 2(AK + BK) 1 CE 2(AK + BK) 2BK = −2= − 2 (Do DF = AK) ⇒ = −2= (2) DE DE AK 2 DE AK AK

A

Suy ra

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ H Ư

N

G

BG BK BG BK 2BK = ( do DF // BK) ⇒ = = (1) GD DF GD DF AK

Mổt khác

ẠO

1 AK (DF là đường trung bình của ∆ AKC), ta có 2

DF =

Hay

TP

Suy ra M là trung điểm của BC

ÁN

Bài tập về nhà

OG OE  FO  = =  ⇒ OG = OE MC MB  FM 

-L

Í-

Gọi giao điểm của EG và DF là O ta có

Bài 1:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

DM // AB

ÀN

Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC

Đ

cắt AB ở E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD tại F

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Mặt khác D là trung điểm AC nên DF là đường trung bình của ∆ AKC ⇒ DF // AK hay

IỄ N

a) Chứng minh FE // BD

D

b) Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD tại G và H. Chứng minh: CG. DH = BG. CH

Bài 2: 33

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = CM; các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự tại E, F. Chứng minh:

Ơ

N

a) AE2 = EB. FE 2

Đ G H Ư

N

A. Kiến thức: BD AB = CD AC

B

D

C A

A

10 00

B

∆ ABC ,AD là phân giác góc A ⇒

TR ẦN

2. Tính chất đường phân giác:

A

D'

B

C

Í-

H

Ó

BD' AB AD’là phân giác góc ngoài tại A: = CD' AC

ÁN

1. Bài 1:

-L

B. Bài tập vận dụng

Cho ∆ ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD A

ÀN

a) Tính độ dài BD, CD

IỄ N

Đ

b) Tia phân giác BI của góc B cắt AD ở I; tính tỉ số:

AI ID

c

b

Giải

D

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

CHUYÊN ĐỀ 7 – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

AN  b) EB =   . EF  DF 

I

 nên BD = AB = c a) AD là phân giác của BAC CD

AC

b

B

D

C a

34

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn BD c BD c ac = ⇒ = ⇒ BD = CD + BD b + c a b+c b+c ac ab = b+c b+c

N

Do đó CD = a -

BD

b+c

a

H

ID

Ơ

 nên AI = AB = c : ac = b + c b) BI là phân giác của ABC

.Q TP

a) Chứng minh AD < AB

Đ

> 4 DM

ẠO

b) Gọi AM là phân giác của ∆ ADC. Chứng minh rằng BC

2

2

TR ẦN

2

H Ư

0 =C + A > A + C = 180 - B = 600 a)Ta có ADB

N

G

Giải

A

 > B ⇒ AD < AB ⇒ ADB

D

M

B

10 00

Trong ∆ ADC, AM là phân giác ta có

C

B

b) Gọi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d

H

CD.AD CD. d ab abd = ; CD = ( Vận dụng bài 1) ⇒ DM = AD + AC b + d b+c (b + c)(b + d)

-L

Í-

⇒ DM =

Ó

A

DM AD DM AD DM AD ⇒ = = ⇒ = CM AC CM + DM AD + AC CD AD + AC

ÁN

Để c/m BC > 4 DM ta c/m a >

4abd hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) (b + c)(b + d)

Thật vậy : do c > d ⇒ (b + d)(b + c) > (b + d)2 ≥ 4bd . Bất đẳng thức (1) được c/m

ÀN

Bài 3:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

< 600 phân giác AD Cho ∆ ABC, có B

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

2. Bài 2:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Đ

Cho ∆ ABC, trung tuyến AM, các tia phân giác của các góc AMB , AMC cắt AB, AC theo

D

IỄ N

thứ tự ở D và E

a) Chứng minh DE // BC

A

b) Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE D

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

I

E

35

www.facebook.com/daykemquynhonofficial B C M www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

c) Tìm tập hợp các giao diểm I của AM và DE nếu ∆ ABC có BC cố định, AM = m không đổi d) ∆ ABC có điều kiện gì thì DE là đường trung bình của nó

Ơ

N

Giải

 nên EA = MC (2) ME là phân giác của AMC

hợp các điểm I là đường tròn tâm M, bán kính MI =

a.m (Trừ giao điểm của nó với BC a + 2m

10 00

B

d) DE là đường trung bình của ∆ ABC ⇔ DA = DB ⇔ MA = MB ⇔ ∆ ABC vuông ở A 4. Bài 4:

Ó

A

Cho ∆ ABC ( AB < AC) các phân giác BD, CE

H

a) Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AB ở

Í-

K, chứng minh E nằm giữa B và K

-L

A

ÁN

b) Chứng minh: CD > DE > BE K

a) BD là phân giác nên AD AB AC AE AD AE = < = ⇒ < (1) DC BC BC EB DC EB

M

Đ IỄ N D

Mặt khác KD // BC nên Từ (1) và (2) suy ra

D

E

TO

Giải

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Đ

G

N

1 a.m DE = không đổi ⇒ I luôn cách M một đoạn không đổi nên tập 2 a + 2m

TR ẦN

c) Ta có: MI =

DE AD AI x = = . Đặt DE = x ⇒ = BC AB AM a

x 2 ⇒ x = 2a.m m a + 2m

m-

H Ư

b) DE // BC ⇒

ẠO

DA EA ⇒ DE // BC = DB EC

Từ (1), (2) và giả thiết MB = MC ta suy ra

.Q

MA

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

EC

B

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

MA

U Y

DB

H

 nên DA = MB (1) a) MD là phân giác của AMB

C

AD AK = (2) DC KB

AK AE AK + KB AE + EB < ⇒ < KB EB KB EB 36

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

AB AB < ⇒ KB > EB ⇒ E nằm giữa K và B KB EB

U Y

Suy ra CD > ED ⇒ CD > ED > BE

b.

1 1 1 1 1 1 + + > + + . AD BE CF BC CA AB

.Q

Đ G N

A

TR ẦN

 nên ta có: DB = AB (1) a)AD là đường phân giác của BAC DC AC

10 00

B

Tương tự: với các phân giác BE, CF ta có:

F E

EC BC = (2) ; EA BA

B

D

A

FA CA = (3) FB CB

H

Ó

DB EC FA AB BC CA . . = . . =1 DC EA FB AC BA CB

Í-

Tửứ (1); (2); (3) suy ra:

-L

b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da.

ÁN

Qua C kẻ đường thẳng song song với AD , cắt tia BA ở H.

TO

Theo ĐL Talét ta có:

Đ

IỄ N

C

BA.CH c.CH c AD BA .CH = = ⇒ AD = = BH BA + AH b + c CH BH

Do CH < AC + AH = 2b nên: d a <

D

H

H Ư

Giải

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DB EC FA . . = 1. DC EA FB

ẠO

a.

TP

Cho ∆ ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

5. Bài 5:

Chứng minh tương tự ta có :

1 b+c 11 1 1 11 1 2bc ⇒ > =  + ⇔ >  +  d a 2bc 2  b c  da 2  b c  b+c

1 1 1 1 > + Và db 2  a c 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

 + ECB  = EDB  + DEC  ⇒ DEC  > ECB  ⇒ DEC  > DCE  (Vì DCE  = ECB ) Ta lại có CBD

Ơ

 > EDB  ⇒ KBD  > EDB  ⇒ EBD  > EDB  ⇒ EB < DE mà E nằm giữa K và B nên KDB

N

 = KDB  (Góc so le trong) ⇒ KBD  = KDB  b) Gọi M là giao điểm của DE và CB. Ta có CBD

1 11 1 > + Nên: dc 2  a b 

1 1 1 1  1 1   1 1   1 1   ⇔ 1 + 1 + 1 > 1 .2  1 + 1 + 1  + + >    + + + + +  d a db dc 2  a b c  d a d b d c 2  b c   a c   a b   37

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 1 1 1 + + > + + ( đpcm ) d a db dc a b c

Bài tập về nhà

Ơ

N

Cho ∆ ABC có BC = a, AC = b, AB = c (b > c), các phân giác BD, CE

U Y

b) Vẽ hình bình hành BEKD. Chứng minh: CE > EK

.Q

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

c) Chứng minh CE > BD

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

a) Tính độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE

38

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 8 – CHỮ SỐ TẬN CÙNG A. Kiến thức:

Ơ

N

1. Một số tính chất:

U Y

+ Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 5; 6khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kỳ nào thì chữ số tận

.Q

ẠO

thay đổi

G

Đ

+ Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n ∈ N) thì chữ số tận

H Ư

N

cùng là 1

+ Các số có chữ số tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n ∈ N) thì chữ số tận

TR ẦN

cùng là 6

b) Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 1 (n ∈ N) thì chữ số

10 00

B

tận cùng không thay đổi c) Tính chất 3:

A

+ Các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n ∈ N) thì chữ số tận

H

Ó

cùng là 7; Các số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n ∈ N) thì chữ

-L

Í-

số tận cùng là 3

ÁN

+ Các số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n ∈ N) thì chữ số tận

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

+ Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng không

cùng là 8; Các số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n ∈ N) thì chữ

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

cùng không thay đổi

số tận cùng là 2

ÀN

+ Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n ∈ N) thì

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

a) Tính chất 1:

IỄ N

Đ

chữ số tận cùng là không đổi

D

2. Một số phương pháp: + Tìm chữ số tận cùng của x = am thì ta xét chữ số tận cùng của a:

- Nếu chữ số tận cùng của a là các chữ số: 0; 1; 5; 6 thì chữ số tận cùng của x là 0; 1; 5; 6 - Nếu chữ số tận cùng của a là các chữ số: 3; 7; 9 thì : 39

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

* Vì am = a4n + r = a4n . ar Nếu r là 0; 1; 2; 3 thì chữ số tận cùng của x là chữ số tận cùng của ar Nếu r là 2; 4; 8 thì chữ số tận cùng của x là chữ số tận cùng của 6.ar

Ơ

N

B. Một số ví dụ:

U Y

Tìm chữ số tận cùng của

.Q Đ

Giải

G

a) 2436 = 2434 + 2 = 2434. 2432

H Ư

N

2432 có chữ số tận cùng là 9 nên chữ số tận cùng của 2436 là 9

TR ẦN

Ta có 2010 = 4.502 + 2 nên 1672010 = 1674. 502 + 2 = 1674.502.1672 1674.502 có chữ số tận cùng là 6; 1672 có chữ số tận cùng là 9 nên chữ số tận cùng của

B

1672010 là chữ số tận cùng của tích 6.9 là 4

10 00

b) Ta có:

9

A

+) 99 - 1 = (9 – 1)(98 + 97 + .......+ 9 + 1) = 4k (k ∈ N) ⇒ 99 = 4k + 1 ⇒ ( 79 ) = 74k + 1

H

Ó

= 74k.7 nên có chữ số tận cùng là 7

Í-

1414 = (12 + 2)14 = 1214 + 12.1413.2 + ....+ 12.12.213 + 214 chia hết cho 4, vì các hạng tử

-L

trước 214 đều có nhân tử 12 nên chia hết cho 4; hạng tử 214 = 47 chia hết cho 4 hay

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

7

ẠO

9 14 6 b) ( 79 ) ; (1414 ) ; ( 45 )   

14

ÁN

1414 = 4k ⇒ (1414 ) = 144k có chữ số tận cùng là 6

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a) 2436 ; 1672010

7

ÀN

+) 56 có chữ số tận cùng là 5 nên ( 56 ) = 5.(2k + 1) ⇒ 5.(2k + 1) – 1 = 4 q (k, q ∈ N)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Bài 1:

7

IỄ N

Đ

6 4q + 1 ⇒ 5.(2k + 1) = 4q + 1 ⇒ ( 45 )  = 4 = 44q . 4 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng  

D

tích 6. 4 là 4

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của A = 21 + 35 + 49 + 513 +...... + 20048009 40

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giải a) Luỹ thừa của mọi số hạng của A chia 4 thì dư 1(Các số hạng của A có dạng n4(n – 2) + 1

Ơ

nhau (Tính chất 2) nên chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tổng các số hạng

N

(n ∈ {2; 3; ...; 2004} ) nên mọi số hạng của A và luỹ thừa của nó có chữ số tận cùng giống

U Y

bằng 0,Tổng các chữ số tận cùng của A là

.Q

Đ

7

G

a) Hai chữ số tận cùng của 3999; ( 77 )

ẠO

Bài 3: Tìm

H Ư

N

b) Ba chữ số tận cùng của 3100 c) Bốn chữ số tận cùng của 51994

TR ẦN

Giải

a) 3999 = 3.3998 =3. 9499 = 3.(10 – 1)499 = 3.(10499 – 499.10498 + ...+499.10 – 1)

10 00

B

= 3.[BS(100) + 4989] = ...67

7

A

77 = (8 – 1)7 = BS(8) – 1 = 4k + 3 ⇒ ( 77 ) = 74k + 3 = 73. 74k = 343.(...01)4k = ...43

H

Ó

b) 3100 = 950 = (10 – 1)50 = 1050 – 50. 1049 + ...+

49 . 5000 – 500 + 1 = BS(1000) + 1 = ...001 2

-L

Í-

= 1050 – 50. 1049 + ...+

50.49 . 102 – 50.10 + 1 2

ÁN

Chú ý:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Vây A có chữ số tận cùng là 9

+ Nếu n là số lẻ không chi hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n100 là 001

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(2 + 3 + ...+ 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 9009 có chữ số tận cùng là 9

ÀN

+ Nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì n100 chia cho 125 dư 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Từ 2 đến 2004 có 2003 số hạng trong đó có 2000 : 10 = 200 số hạng có chữ số tận cùng

Đ

HD C/m: n = 5k + 1; n = 5k + 2

D

IỄ N

+ Nếu n là số lẻ không chia hết cho 5 thì n101 và n có ba chữ số tận cùng như nhau c) Cách 1: 54 = 625 Ta thấy số (...0625)n = ...0625 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(0625)k = 25.(...0625) = ...5625 41

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994 cho 10000 = 24. 54 Ta thấy 54k – 1 chia hết cho 54 – 1 = (52 – 1)(52 + 1) chia hết cho 16 Ta có: 51994 = 56. (51988 – 1) + 56

Ơ

N

Do 56 chia hết cho 54, còn 51988 – 1 chia hết cho 16 nên 56(51988 – 1) chia hết cho 10000

U Y

Vậy bốn chữ số tận cùng của 51994 là 5625

.Q TP

Ta có: 51992 – 1 chia hết cho 16; nhưng 52 không chia hết cho 54

Đ

– n chia hết cho 4

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Như vậy trong bài toán này ta cần viết 51994 dưới dạng 5n(51994 – n – 1) + 5n ; n ≥ 4 và 1994

N

G

C. Vận dụng vào các bài toán khác

H Ư

Bài 1:

TR ẦN

Chứng minh rằng: Tổng sau không là số chính phương a) A = 19k + 5k + 1995k + 1996k ( k ∈ N, k chẵn)

B

b) B = 20042004k + 2001

10 00

Giải

H

Ó

19k có chữ số tận cùng là 1

A

a) Ta có:

Í-

5k có chữ số tận cùng là 5

-L

1995k có chữ số tận cùng là 5

ÁN

1996k có chữ số tận cùng là 6 Nên A có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng các chữ số tận cùng của tổng

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Chú ý: Nếu viết 51994 = 52. (51992 – 1) + 52

ÀN

1 + 5 + 5 + 6 = 17, có chữ số tận cùng là 7 nên không thể là số chính phương

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ta có 56 = 15625

Đ

b) Ta có :k chẵn nên k = 2n (n ∈ N)

D

IỄ N

20042004k = (20044)501k = (20044)1002n = (...6)1002n là luỹ thừa bậc chẵn của số có chữ số

tận cùng là 6 nên có chữ số tận cùng là 6 nên B = 20042004k + 2001 có chữ số tận cùng là 7,

do đó B không là số chính phương Bài 2: 42

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tìm số dư khi chia các biểu thức sau cho 5 a) A = 21 + 35 + 49 +...+ 20038005 b) B = 23 + 37 +411 +...+ 20058007

Ơ

N

Giải

U Y

(2 + 3 +... + 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 = 9005

.Q

ẠO

(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + ...+ 9) + 8 + 7 + 4 + 5 = 9024

Đ

B có chữ số tận cùng là 4 nên B chia 5 dư 4

N

G

Bài tập về nhà 5

H Ư

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của: 3102 ; ( 73 ) ; 320 + 230 + 715 - 816 9

TR ẦN

Bài 2: Tìm hai, ba chữ số tận cùng của: 3555 ; ( 27 )

B

Bài 3: Tìm số dư khi chia các số sau cho 2; cho 5:

10 00

a) 38; 1415 + 1514

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

b) 20092010 – 20082009

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

b)Tương tự, chữ số tận cùng của B là chữ số tận cùng của tổng

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Chữ số tận cùng của A là 5 nên chia A cho 5 dư 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

a) Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tổng

43

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 9 – ĐỒNG DƯ A. Định nghĩa:

Ơ

N

Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư trong phép chia cho một số tự nhiên m ≠ 0 thì ta

.Q ẠO

1. Tính chất phản xạ: a ≡ a (mod m)

Đ

2. Tính chất đỗi xứng: a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m)

N

G

3. Tính chất bắc cầu: a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m)

H Ư

a ≡ b (mod m) ⇒ a ± c ≡ b ± d (mod m) c ≡ d (mod m)

TR ẦN

4. Cộng , trừ từng vế:  Hệ quả:

B

a) a ≡ b (mod m) ⇒ a + c ≡ b + c (mod m)

10 00

b) a + b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c - b (mod m)

A

c) a ≡ b (mod m) ⇒ a + km ≡ b (mod m)

Í-

H

Ó

a ≡ b (mod m) ⇒ ac ≡ bd (mod m) c ≡ d (mod m)

5. Nhân từng vế : 

-L

Hệ quả:

ÁN

a) a ≡ b (mod m) ⇒ ac ≡ bc (mod m) (c ∈ Z)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

B. Tính chất của đồng dư thức:

b) a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

+ Chú ý: a ≡ b (mod m) ⇔ a – b ⋮ m

ÀN

6. Có thể nhân (chia) hai vế và môđun của một đồng dư thức với một số nguyên dương

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

Ví dụ:7 ≡ 10 (mod 3) , 12 ≡ 22 (mod 10)

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

nói a đồng dư với b theo môđun m, và có đồng dư thức: a ≡ b (mod m)

Đ

a ≡ b (mod m) ⇔ ac ≡ bc (mod mc)

D

IỄ N

Chẳng hạn: 11 ≡ 3 (mod 4) ⇔ 22 ≡ 6 (mod 8) ac ≡ bc (mod m) ⇒ a ≡ b (mod m) (c, m) = 1

7. 

44

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

16 ≡ 2 (mod 7) ⇒ 8 ≡ 1 (mod 7) (2, 7) = 1

Chẳng hạn :  C. Các ví dụ:

Ơ

N

1. Ví dụ 1:

H

Tìm số dư khi chia 9294 cho 15

.Q

Đ

2. Ví dụ 2:

N

G

Chứng minh: trong các số có dạng 2n – 4(n ∈ N), có vô số số chia hết cho 5

H Ư

Thật vậy:

TR ẦN

Từ 24 ≡ 1 (mod 5) ⇒ 24k ≡ 1 (mod 5) (1) Lại có 22 ≡ 4 (mod 5) (2)

B

Nhân (1) với (2), vế theo vế ta có: 24k + 2 ≡ 4 (mod 5) ⇒ 24k + 2 - 4 ≡ 0 (mod 5)

10 00

Hay 24k + 2 - 4 chia hết cho 5 với mọi k = 0, 1, 2, ... hay ta được vô số số dạng 2n – 4

A

(n ∈ N) chia hết cho 5

Ó

Chú ý: khi giải các bài toán về đồng dư, ta thường quan tâm đến a ≡ ± 1 (mod m)

Í-

H

a ≡ 1 (mod m) ⇒ an ≡ 1 (mod m)

-L

a ≡ -1 (mod m) ⇒ an ≡ (-1)n (mod m)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Từ (1) và (2) suy ra 9294 ≡ 4 (mod 15) tức là 9294 chia 15 thì dư 4

TP

Lại có 24 ≡ 1 (mod 15) ⇒ (24)23. 22 ≡ 4 (mod 15) hay 294 ≡ 4 (mod 15) (2)

ÁN

3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng a) 2015 – 1 chia hết cho 11

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta thấy 92 ≡ 2 (mod 15) ⇒ 9294 ≡ 294 (mod 15) (1)

b) 230 + 330 chi hết cho 13

ÀN

c) 555222 + 222555 chia hết cho 7

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Giải

Đ

Giải

D

IỄ N

a) 25 ≡ - 1 (mod 11) (1); 10 ≡ - 1 (mod 11) ⇒ 105 ≡ - 1 (mod 11) (2) Từ (1) và (2) suy ra 25. 105 ≡ 1 (mod 11) ⇒ 205 ≡ 1 (mod 11) ⇒ 205 – 1 ≡ 0 (mod 11)

b) 26 ≡ - 1 (mod 13) ⇒ 230 ≡ - 1 (mod 13) (3) 33 ≡ 1 (mod 13) ⇒ 330 ≡ 1 (mod 13) (4) 45

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Từ (3) và (4) suy ra 230 + 330 ≡ - 1 + 1 (mod 13) ⇒ 230 + 330 ≡ 0 (mod 13) Vậy: 230 + 330 chi hết cho 13 c) 555 ≡ 2 (mod 7) ⇒ 555222 ≡ 2222 (mod 7) (5)

Ơ

N

23 ≡ 1 (mod 7) ⇒ (23)74 ≡ 1 (mod 7) ⇒ 555222 ≡ 1 (mod 7) (6)

.Q

+ 7 chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n

ẠO

Thật vậy:Ta có: 25 ≡ - 1 (mod 11) ⇒ 210 ≡ 1 (mod 11)

Đ

Xét số dư khi chia 24n + 1 cho 10. Ta có: 24 ≡ 1 (mod 5) ⇒ 24n ≡ 1 (mod 5) Nên 22

4n + 1

≡ 2 (mod 10) ⇒ 2

4n + 1

= 10 k + 2

G

≡ 2 (mod 10) ⇒ 2

N

4n

+ 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7

4n + 1

H Ư

⇒ 2.2

TR ẦN

= BS 11 + 11 chia hết cho 11 Bài tập về nhà:

10 00

B

Bài 1: CMR: a) 228 – 1 chia hết cho 29

A

b)Trong các số có dạng2n – 3 có vô số số chia hết cho 13

-L

Í-

H

Ó

Bài 2: Tìm số dư khi chia A = 2011 + 2212 + 19962009 cho 7.

ÁN

CHUYÊN ĐỀ 10 – TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

4n + 1

TP

4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng số 22

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta suy ra 555222 + 222555 ≡ 1 - 1 (mod 7) hay 555222 + 222555 chia hết cho 7

ÀN

A. Dạng 1: Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Lại có (-2)3 ≡ - 1 (mod 7) ⇒ [(-2)3]185 ≡ - 1 (mod 7) ⇒ 222555 ≡ - 1 (mod 7)

N

H

222 ≡ - 2 (mod 7) ⇒ 222555 ≡ (-2)555 (mod 7)

Đ

1. Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng)

D

IỄ N

a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783): Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của f(x) tại x = a Ta có: f(x) = (x – a). Q(x) + r

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = a, ta có 46

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a ⇔ f(a) = 0 b) f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1

Ơ

N

c) f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ

.Q ẠO

A chia hết cho B, không chia hết cho C

Đ

2. Đa thức chia có bậc hai trở lên

N

G

Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng của các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư

H Ư

Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b thì

TR ẦN

f(x) = g(x). Q(x) + ax + b

Ví dụ 1: Tìm dư của phép chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1

B

Cách 1: Ta biết rằng x2n – 1 chia hết cho x2 – 1 nên ta tách:

10 00

x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1

A

= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dư 3x + 1

H

Ó

Cách 2:

Í-

Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có:

-L

x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với mọi x

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Kết quả:

ÁN

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = 1, ta có 4 = a + b (1) với x = - 1 ta có - 2 = - a + b (2)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

B = x + 1, C = x – 3 không

ÀN

Từ (1) và (2) suy ra a = 3, b =1 nên ta được dư là 3x + 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Ví dụ : Không làm phép chia, hãy xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho

N

H

thì chia hết cho x + 1

Đ

Ghi nhớ:

D

IỄ N

an – bn chia hết cho a – b (a ≠ -b) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a ≠ -b)

Ví dụ 2: Tìm dư của các phép chia a) x41 chia cho x2 + 1 47

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1 c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1

Ơ

a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – 1 dư x nên chia cho

ẠO

chia cho x2 + 1 dư – 2x + 7

Đ

B. Sơ đồ HORNƠ a

HÖ sè thø 1®a thøc bÞ chia

+

TR ẦN

H Ư

Để tìm kết quả của phép chia f(x) cho x – a (a là hằng số), ta sử dụng sơ đồ hornơ

N

G

1. Sơ đồ

HÖ sè thø 2 cña ®a thøc bÞ chia

Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3,

10 00

B

đa thức chia là x – a ta được thương là

HÖ sè cña ®a thøc chia

a1

H

Ó

A

a0

a3

b 0 = a0 b 1= ab 0 + a1 b 2 = ab 1 + a2 r = ab 2 + a3

-L

Í-

a

a2

Ví dụ:

ÁN

b0x2 + b1x + b2, dư r thì ta có

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

= x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dư 4x

.Q

U Y

b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x

ÀN

Đa thức bị chia: x3 -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x – 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

x2 + 1 dư x

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Giải

D

IỄ N

Đ

Ta có sơ đồ 2

1

-5

8

1

2. 1 + (- 5) = -3

2.(- 3) + 8 = 2

-4 r = 2. 2 +(- 4) = 0

Vậy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 là phép chia hết 2. Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị của đa thức tại x = a 48

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giá trị của f(x) tại x = a là số dư của phép chia f(x) cho x – a 1. Ví dụ 1: Tính giá trị của A = x3 + 3x2 – 4 tại x = 2010

.Q

= 8132721296

Vậy: A(2010) = 8132721296

ẠO

C. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác

Đ

I. Phương pháp:

N

G

1. Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là đa thức chia

H Ư

2. Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia

TR ẦN

3. Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) ⋮ g(x) ⇔ f(x) ± g(x) ⋮ g(x) 4. cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia

10 00

B

II. Ví dụ 1.Ví dụ 1:

A

Chứng minh rằng: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1

H

Ó

Ta có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1)

Í-

Ta lại có: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1)

-L

chia hết cho x2n + xn + 1 2. Ví dụ 2:

ÁN

Vậy: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

= 4046130

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

2010.4046130 – 4

ÀN

Chứng minh rằng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n ∈ N

D

IỄ N

Đ

Ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2010.2013 + 0

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2010.1+3 = 2013

-4

N

1

0

U Y

a = 2010

3

TP

1

Ơ

N

Ta có sơ đồ:

x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1

= x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1)

Vì x3m – 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1 nên chia hết cho x2 + x + 1

Vậy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n ∈ N 3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng 49

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1 Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + ... + x11 – x + 1 – 1 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ....+ x(x10 – 1) chia hết cho x10 – 1

Ơ

N

Mà x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +...+ x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 +...+ x + 1

N

H

Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 +...+ x + 1

.Q

ẠO

Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0 ⇒ x = 0 là nghiệm của f(x) ⇒ f(x) chứa thừa số x

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1

Đ

f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x

N

G

– 1, mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung, do đó f(x) chia hết cho x(x – 1)

H Ư

hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia hết cho g(x) = x2 – x

TR ẦN

5. Ví dụ 5: Chứng minh rằng

a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1

B

b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia hết cho D = (x – 1)2

10 00

c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia hết cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1)

A

Giải

H

Ó

a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x)

Í-

Ta có: x2 – x + 1 chia hết cho B = x2 – x + 1

-L

x9 + 1 chia hết cho x3 + 1 nên chia hết cho B = x2 – x + 1

ÁN

x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + 1 (cùng có nghiệm là x = - 1) nên chia hết cho B = x2 – x + 1

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4. Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia hết cho g(x) = x2 – x

ÀN

Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1

D

IỄ N

Đ

b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8(x – 1)(x8 + x7 + ...+ 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + ...+ 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)

(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – 1 vì có tổng hệ số bằng 0 suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2 50

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm là x = 0, x = - 1, x = -

1 2

Ta có:

N

C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 ⇒ x = 0 là nghiệm của C(x)

H

G

Đ

không có nghiệm nguyên

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x)

H Ư

N

Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên, do đó f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)

TR ẦN

Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên 1 – a là số lẻ, mà 1 – a là hiệu của 2 số lẻ

10 00

Vậy f(x) không có nghiệm nguyên Bài tập về nhà:

H

Ó

A

Bài 1: Tìm số dư khi a) x43 chia cho x2 + 1

B

không thể là số lẻ, mâu thuẩn

-L

Í-

b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1

ÁN

Bài 2: Tính giá trị của đa thức x4 + 3x3 – 8 tại x = 2009 Bài 3: Chứng minh rằng a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1

ÀN

b) x10 – 10x + 9 chia hết cho x2 – 2x + 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

TP

6. Ví dụ 6:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Mọi nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia ⇒ đpcm

U Y

1 1 1 1 1 ) = (- + 1)2n – (- )2n – 2.(- ) – 1 = 0 ⇒ x = là nghiệm của C(x) 2 2 2 2 2

.Q

C(-

Ơ

C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 ⇒ x = - 1 là nghiệm của C(x)

IỄ N

Đ

c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia hết cho x2 + 2x + 1

D

d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia hết cho x2 + 1

e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2

51

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ BIỂU THỨC HỮU TỈ A. Nhắc lại kiến thức:

Ơ

N

Các bước rút gọn biểu thức hửu tỉ

.Q N

G

b) tìm x để A = 0

TR ẦN

Giải

H Ư

c) Tìm giá trị của A khi 2 x − 1 = 7

a)Đkxđ :

10 00

B

x4 – 10x2 + 9 ≠ 0 ⇔ [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) ≠ 0 ⇔ x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) ≠ 0

H

Ó

A

x ≠ 1  x ≠ −1  x ≠ ±1  2 2 ⇔ (x – 1)(x – 9) ≠ 0 ⇔ (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) ≠ 0 ⇔  ⇔  x ≠ ±3 x ≠ 3  x ≠ −3

-L

Í-

Tử : x4 – 5x2 + 4 = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1)

ÁN

= (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO Đ

a) Rút gọn A

Với x ≠ ± 1; x ≠ ± 3 thì (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3)

Đ

ÀN

A=

IỄ N

b) A = 0 ⇔

D

x4 − 5x 2 + 4 x 4 − 10 x 2 + 9

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

B. Bài tập:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

b) Phân tích tử thành nhân , chia tử và mẫu cho nhân tử chung

Bài 1: Cho biểu thức A =

H

a) Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0

(x - 2)(x + 2) = 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ x = ± 2 (x - 3)(x + 3) 2 x − 1 = 7

2 x = 8

x = 4

c) 2 x − 1 = 7 ⇔  ⇔ ⇔  2 x − 1 = −7  2 x = −6  x = −3

* Với x = 4 thì A =

(x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12 = = (x - 3)(x + 3) (4 - 3)(4 + 3) 7 52

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

* Với x = - 3 thì A không xác định 2. Bài 2:

N

2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45 3 x3 − 19 x 2 + 33 x − 9

Cho biểu thức B =

H

Ơ

a) Rút gọn B

.Q

TP

a) Phân tích mẫu: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9)

H Ư

N

b) Phân tích tử, ta có:

2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15)

10 00

2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45 (x - 3) 2 (2x + 5) 2x + 5 = = 3 x3 − 19 x 2 + 33 x − 9 (x - 3) 2 (3x - 1) 3x - 1

A

Thì B =

1 3

B

Với x ≠ 3 và x ≠

TR ẦN

= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5)

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

1    x > 3   3 x − 1 > 0 1   x > − 5  x>   2 x + 5 > 0  2x + 5  2 3 c) B > 0 ⇔ > 0 ⇔   ⇔ ⇔ 3x - 1 3 x − 1 < 0 x < − 5  x < 1     2   3  2 x + 5 < 0   x < − 5 2  

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

1 3

G

Đkxđ: (x – 3)2(3x – 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 và x ≠

ẠO

= (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

b) Tìm x để B > 0

Đ

3. Bài 3

D

IỄ N

1 2 5 − x  1 − 2x Cho biểu thức C =  + − : 2 2   1− x

x + 1 1− x  x −1

a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên 53

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giải a) Đkxđ: x ≠ ± 1 1 2 5 − x  1 − 2 x 1 + x + 2(1 − x) − 5  ( x − 1)( x + 1) −2 C =  : 2 + − = = . 2 

2x −1

−2 có giá trị nguyên 2x −1

Đ

Đối chiếu Đkxđ thì chỉ có x = 0 thoả mãn

H Ư

x3 + x2 − 2 x x x + 2 − x2 + 4

a) Rút gọn biểu thức D

Giải

10 00

c) Tìm giá trị của D khi x = 6

B

b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên

TR ẦN

Cho biểu thức D =

N

G

4. Bài 4

H

Ó

A

a) Nếu x + 2 > 0 thì x + 2 = x + 2 nên

-L

Í-

x3 + x2 − 2 x x3 + x 2 − 2 x x( x − 1)( x + 2) x2 − x D= = = = 2 x x + 2 − x2 + 4 x( x + 2) − x 2 + 4 x( x + 2) − ( x − 2)( x + 2)

ÁN

Nếu x + 2 < 0 thì x + 2 = - (x + 2) nên

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

.Q

U Y

2 x − 1 = 1 x = 1  2 x − 1 = −1 x = 0  ⇔ 2x – 1 là Ư(2) ⇔ ⇔ 2 x − 1 = 2  x = 1,5    2 x − 1 = −2  x = −1

x3 + x2 − 2 x x3 + x 2 − 2 x x( x − 1)( x + 2) −x = = = 2 2 x x+2 −x +4 − x( x + 2) − x + 4 − x( x + 2) − ( x − 2)( x + 2) 2

TO

D=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 − 2x

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) B có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì

N

(1 − x)(1 + x)

Ơ

H

x + 1 1− x  x −1

N

 1− x

IỄ N

Đ

Nếu x + 2 = 0 ⇔ x = -2 thì biểu thức D không xác định

D

b) Để D có giá trị nguyên thì

x2 − x −x hoặc có giá trị nguyên 2 2

x 2 - x ⋮ 2  x(x - 1) ⋮ 2 x2 − x +) có giá trị nguyên ⇔  ⇔ 2 x > - 2 x > - 2 54

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Vì x(x – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi x > - 2 x ⋮ 2  x = 2k −x có giá trị nguyên ⇔  ⇔ ⇔ x = 2k (k ∈ Z; k < - 1) 2 x < - 2 x < - 2

N

x2 − x 6(6 − 1) = 15 = 2 2

H

c) Khia x = 6 ⇒ x > - 2 nên D =

Ơ

x+2

.Q

U Y  x+3

x  2− x    : 1 −  x + 5x + 6   x −1  2

TP

2 − x 3− x Cho biểu thức A =  − +

ẠO

a) Rút gọn A

G

Đ

b) Tìm x để A = 0; A > 0 3 y3 − 7 y 2 + 5 y − 1 2 y3 − y 2 − 4 y + 3

a) Rút gọn B

B

2D có giá trị nguyên 2y + 3

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

c) Tìm số nguyên y để B ≥ 1

10 00

b) Tìm số nguyên y để

TR ẦN

Cho biểu thức B =

H Ư

N

Bài 2:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 1:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Bài tập về nhà

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

+)

55

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 12 – CÁC BÀI TOÁN VỀ BIỂU THỨC (TIẾP) * Dạng 2: Các biểu thức có tính quy luật

Ơ .Q

2n + 1 1 1 = 2− Nên 2 n (n + 1) n (n + 1)2 2

Đ

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n(n + 1) − 2 + 2 − 2 + 2 − ...... − 2 + 2 − = − = 2 2 2 1 2 2 3 3 (n + 1) 2 n n (n + 1) 1 (n + 1) 



1 k 2 − 1 (k + 1)(k − 1) Ta có 1 − 2 = 2 = Nên k k k2

N

B

1.3 2.4 3.5 (n − 1)(n + 1) 1.3.2.4...(n − 1)(n + 1) 1.2.3...(n − 1) 3.4.5...(n + 1) 1 n + 1 n + 1 . . ... = = . = . = 2 2 32 4 2 n2 22.32.4 2...n 2 2.3.4...(n − 1)n 2.3.4....n n 2 2n

150 150 150 150 1 1 1 1 1 1 1 + + + ...... + = 150. .  − + − + ...... + −  5.8 8.11 11.14 47.50 3  5 8 8 11 47 50 

Ó

A

c) C =

10 00

B=

TR ẦN

H Ư

1 1 1 1 b) B = 1 − 2  . 1 − 2  . 1 − 2  ........ 1 − 2  n 2 3 4

1 1  9  = 50. = 45 10  5 50 

=

ÁN

1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1  + + + ...... + = .  − + − + ...... + −  1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n − 1)n(n + 1) 2  1.2 2.3 2.3 3.4 (n − 1)n n(n + 1) 

1 1 1  (n − 1)(n + 2) − =  2 1.2 n(n + 1)  4n(n + 1)

TO

d) D =

-L

Í-

H

= 50.  −

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

[ n(n + 1)]

=

TP

2

G

A=

2n + 1

ẠO

Ta có

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Phương pháp: Xuất phát từ hạng tử cuối để tìm ra quy luật

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

3 5 2n + 1 + + ...... + 2 2 2 (1.2) (2.3) [ n(n + 1)]

U Y

a) A =

N

Bài 1: Rút gọn các biểu thức

IỄ N

Đ

Bài 2:

D

a) Cho A =

2 1 1 1 1 1 A m −1 m − 2 + + ... + + ; B = + + + ...... + . Tính 1 2 m − 2 n −1 2 3 4 n B

Ta có

56

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 n n n n   1 1  1 1 A =  + + ... + + + 1 + ... + 1 = n  + + ... + +  − 1  − (n − 1)  1 2 n − 2 n −1 1 2 n − 2 n −1 

 

n −1

U Y

 1 1 1   1 1 1  1 + 3 + ...... + 2n - 1 + 2n - 3  +  2n - 1 + 2n - 3 + ...... + 3 + 1      1  1 1 1  1 A 1 = .2.  1 + + ...... + + .2.B ⇒ = = 2n  3 2n - 1 2n - 3  2n B n

G

Đ

1 2n

TR ẦN

H Ư

N

=

Bài tập về nhà

B

Rút gọn các biểu thức sau:

10 00

1 1 1 a) + +......+ 1.2 2.3 (n - 1)n

12 32 52 n2 b) 2 . 2 . 2 ...... 2 −1 4 −1 6 −1 (n + 1)2 − 1

1 1 1 + +......+ 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n +2)

H

Ó

A

c)

Í-

* Dạng 3: Rút gọn; tính giá trị biểu thức thoả mãn điều kiện của biến

-L

1 = 3 . Tính giá trị của các biểu thức sau : x

ÁN

Bài 1: Cho x +

1 ; x2

TO

a) A = x 2 +

b) B = x3 +

1 ; x3

c) C = x 4 +

1 ; x4

d) D = x 5 +

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

 1  1 1  1  1  1  1 + 2n - 1  +  3 + 2n - 3  + ... +  2n - 3 + 3  +  2n - 1 + 1          

1 2n

ẠO

A=

.Q

Giải

1 . x5

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tính A : B

Đ

Lời giải

2

1  1 a) A = x + 2 = x +  − 2 = 9 − 2 = 7 ;  x x

IỄ N D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 1 + ...... + 3 2n - 1

Ơ

B=1+

H

1 1 1 1 + + ...... + + ; 1.(2n - 1) 3.(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1

N

b) A =

N

A 1 1 1 1  1 1  1 = n  + + ... + =n + +  + 1 = n  + ... +  = nB ⇒ B n − 2 n −1  n − 2 n −1  1 2 2

2

3

 1  1 1 b) B = x + 3 = x +  − 3x +  = 27 − 9 = 18 ;   x x x 3

57

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com 2

1  1 c) C = x + 4 = x 2 + 2  − 2 = 49 − 2 = 47 ;  x x  4

2

2

2

N

G

Từ (2) suy ra 2

2

2

Bài 3

Ó

A

Ta có :

H

a ab 2c a ab 2c + + = + + ab + a + 2 abc + ab + a ac + 2c + 2 ab + a + 2 2 + ab + a ac + 2c + abc

Í-

A=

a b 2c + + ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2

10 00

a) Cho abc = 2; rút gọn biểu thức A =

B

Thay (3) vào (4) ta có D = 4 – 2.0 = 4

TR ẦN

H Ư

b  ab ac bc  b  ab ac bc  a c a c   +   +   + 2 .  + +  = 4 ⇒   +   +   = 4 − 2 .  + +  (4) x z x z y  xy xz yz  y  xy xz yz 

-L

a ab 2c a ab 2 ab + a + 2 + + = + + = =1 ab + a + 2 2 + ab + a c(a + 2 + ab) ab + a + 2 2 + ab + a a + 2 + ab ab + a + 2

ÁN

=

b) Cho a + b + c = 0; rút gọn biểu thức B =

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ

Từ (1) suy ra bcx + acy + abz = 0 (3)

a2 b2 c2 + + a 2 - b 2 - c2 b 2 - c 2 - a 2 c 2 - b 2 - a 2

ÀN

Từ a + b + c = 0 ⇒ a = -(b + c) ⇒ a2 = b2 + c2 + 2bc ⇒ a2 - b2 - c2 = 2bc

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

2

TP

2

2

b a c Tính giá trị biểu thức D =   +   +   x z y

U Y

x y z a b c + + = 2 (1); + + = 2 (2). a b c x y z

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 2: Cho

N

H

Ơ

N

 1  1 1 1 d) A.B = x 2 + 2 x3 + 3  = x 5 + + x + 5 = D + 3 ⇒ D = 7.18 – 3 = 123.  x  x  x x

D

IỄ N

Đ

Tương tự ta có: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoán vị vòng quanh), nên B=

a2 b2 c2 a 3 + b3 + c3 + + = (1) 2bc 2ac 2ab 2abc

a + b + c = 0 ⇒ -a = (b + c) ⇒ -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) ⇔ -a3 = b3 + c3 – 3abc 3

3

3

⇔ a + b + c = 3abc (2)

58

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Thay (2) vào (1) ta có B =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com a 3 + b3 + c3 3abc 3 = = (Vì abc ≠ 0) 2abc 2abc 2

c) Cho a, b, c từng đôi một khác nhau thoả mãn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2

Ơ

N

a2 b2 c2 Rút gọn biểu thức C = 2 + 2 + a + 2bc b + 2ac c 2 + 2ab

2

.Q

N

G

Đ

a 2 (b - c) b 2 (a - c) c 2 (b - c) (a - b)(a - c)(b - c) + = =1 = (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c)

1 1 1 1 1 1 + + = 2 (1); 2 + 2 + 2 = 2 (2). a b c a b c

TR ẦN

1. Bài 1: Cho

H Ư

* Dạng 4: Chứng minh đẳng thức thoả mãn điều kiện của biến

1 1  1 + +   = 4 ⇒ 2. bc ac   ab

1 1 1 1  1 1 + +   = 4− 2 + 2 + 2  bc ac  b c   ab a

A

1 1 1 a+b+c + + =1⇔ = 1 ⇔ a + b + c = abc ab bc ac abc

H

Ó

1 1 1 + 2 + 2 + 2. 2 a b c

10 00

Từ (1) suy ra

B

Chứng minh rằng: a + b + c = abc

Í-

2. Bài 2: Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện 1 + 1 + 1 =

-L

a

b

c

1 . a+b+c

ÁN

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau.

TO

1 1 1 Từ đó suy ra rằng : 2009 + 2009 + 2009 =

a

b

c

1

a

2009

+b

2009

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + = + (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (a - b)(b - c) (a - c)(b - c) (a - b)(a - c)

ẠO

C =

+ c 2009

.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tương tự: b2 + 2 ac = (b – a)(b – c) ; c2 + 2ab = (c – a)(c – b)

1 1 1 1 1 a+b a+b ⇔ 1+ 1 +1− + + = =0 ⇔ + =0 a b c a+b+c a b c a+b+c ab c(a + b + c)

D

IỄ N

Đ

Ta có :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

2

⇒ a + 2bc = a + 2bc – (ab + ac + bc) = a – ab + bc – ac = (a – b)(a – c)

U Y

2

H

Từ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ⇒ ab + ac + bc = 0

a + b = 0 a = −b   c(a + b + c) + ab ⇔ (a + b). = 0 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔  b + c = 0 ⇔  b = −c   abc(a + b + c) c + a = 0  c = −a   59

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1

b 2009

c2009

=

1

a 2009 + b 2009 + c2009

N

.

chứng minh rằng : trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau

ẠO

Từ (1) ⇒ a 2c + ab 2 + bc 2 = b2 c + ac2 + a 2 b ⇒ a 2 (b - c) - a(c2 − b 2 ) + bc(c - b) = 0 2

G

Đ

⇒ (c – b)(a – ac = ab + bc) = 0 ⇒ (c – b)(a – b)( a – c) = 0 ⇒ đpcm

1 1 1 + + =a+b+c a b c

TR ẦN

Chứng minh rằng:

H Ư

N

4. Bài 4: Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc); abc ≠ 0 và a ≠ b

Từ GT ⇒ a2b – b2c - a3bc + ab2c2 = ab2 – a2c – ab3c + a2bc2 2

2

2

2

2

B

⇔ (a b – ab ) + (a c – b c) = abc (a – b) + abc(a - b)(a + b)

A

ab + ac + bc 1 1 1 =a+b+c ⇔ + + =a+b+c abc a b c

H

Ó

10 00

⇔ (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c)

a b c 2 2 2 + + = 0 ; Chứng minh rằng: ax + by + cz = 0 x y z

-L

Í-

5. Bài 5: Cho a + b + c = x + y + z =

ÁN

Từ x + y + z = 0 ⇒ x2 = (y + z)2 ; y2 = (x + z)2 ; z2 = (y + x)2 2

2

2

2

2

2

TO

⇒ ax + by + cz = a(y + z) + b(x + z) + c (y + x) = …

= (b + c)x2 + (a + c)y2 + (a + b)z2 + 2(ayz + bxz + cxy) (1)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1

1 1 = 2009 2009 2009 + (−c) + c a

a b c b c a + + = + + (1) b c a a b c

3. Bài 3: Cho

http://daykemquynhon.ucoz.com

+

a

1 1 1 + = (−c)2009 c 2009 a 2009

Đ

Từ a + b + c = 0 ⇒ - a = b + c; - b = a + c; - c = a + b (2)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a 2009

+

+c

2009

a 2009

+

.Q

1

+b

=

2009

1

TP

a

2009

c2009

=

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 2009

1

Ơ

b 2009

+

H

1

N

a 2009

+

U Y

1

Từ đó suy ra :

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

D

IỄ N

Từ

a b c + + = 0 ⇒ ayz + bxz + cxy = 0 (3). Thay (2), (3) vào (1); ta có: x y z

ax2 + by2 + cz2 = -( ax2 + by2 + cz2 ) ⇒ ax2 + by2 + cz2 = 0 6. Bài 6: Cho

a b c a b c + + = 0 ; chứng minh: + + =0 2 2 b-c c-a a-b (b - c) (c - a) (a - b) 2 60

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


a b 2 − ab + ac - c2 1 = (1) (Nhân hai vế với ) 2 (b - c) (a - b)(c - a)(b - c) b-c

b c 2 − bc + ba - a 2 c a 2 − ac + cb - b 2 = (2) ; = (3) Tương tự, ta có: (c - a) 2 (a - b)(c - a)(b - c) (a - b) 2 (a - b)(c - a)(b - c)

U Y

1 1 1 + + =9 y z x

TR ẦN

H Ư

(1) ⇔ ( x + y + z ) 

1 y+z 1 1 x+z x +y + +  = 3+ + +  (2) y z y z  x  x

Ta có: ( x + y + z ) 

2c2 (3) ab

x + z 2a 2 x + y 2b 2 = (4) ; = (5) y bc z ac

-L

Tương tự, ta có:

H

Ó

ab

=

A

c [ 2c - (a + b + c)]

Í-

=

10 00

B

y+z b-c c-a c b 2 − bc + ac - a 2 c c(a - b)(c - a - b) c(c - a - b) = + . = . = =  x b  a-b ab a-b ab(a - b) ab  a

Ta lại có:

ÁN

Thay (3), (4) và (5) vào (2) ta có:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a 1 b 1 = ; = y c-a z b-c

Đ

c 1 a-b b-c c-a = y; =z ⇒ =x; = c a b a-b x

b  a - b

N

Đặt

a

a b  +  = 9 (1) b-c c-a 

G

 c

+

ẠO

a-b b - c c - a  c Cho a + b + c = 0; chứng minh:  + + 

TP

.Q

7. Bài 7:

TO

1 2c 2 2a 2 2b 2 2 1 1 + + =3 + + + =3+ (a3 + b3 + c3 ) (6) ab bc ac abc y z x

( x + y + z) 

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm

Đ

Từ a + b + c = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc (7) ?

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ơ

a b c b 2 − ab + ac - c 2 a b c + + =0 ⇒ + = = b-c c-a a-b b-c a-c b-a (a - b)(c - a)

H

Từ

N

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 2 1 1 + + =3 + . 3abc = 3 + 6 = 9 abc y z x

D

IỄ N

Thay (7) vào (6) ta có: ( x + y + z ) 

Bài tập về nhà: 1) cho

yz xz xy 1 1 1 + + = 0 ; tính giá trị biểu thức A = 2 + 2 + 2 x y z x y z 61

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

HD: A =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

xyz xyz xyz 3 3 3 + 3 + 3 ; vận dụng a + b + c = 0 ⇒ a + b + c = 3abc 3 x y z

Ơ H Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ G N H Ư TR ẦN B 10 00 A Ó H Í-L ÁN TO ÀN

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U Y

a b c = = . Chứng minh xy + yz + xz = 0 x y z

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1;

y+ z x+ z x+ y + + +3= 0 x y z

N

3) Cho x + y + z = 0; chứng minh rằng:

N

a b  c  2) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc ; Tính giá trị biểu thức A =  + 1  + 1  + 1 b  c  a 

62

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 13 – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG A. Kiến thức:

Ơ

N

* Tam giác đồng dạng:

AB AC = A' = ;A A'B' A'C'

G

Đ

c. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)

A'H' = k (Tỉ số đồng dạng); SA'B'C' AH SABC

B. Bài tập áp dụng

10 00

B

Bài 1:

=2C , AB = 8 cm, BC = 10 cm. Cho ∆ ABC có B

Ó

A

a)Tính AC

Í-

A

-L

cạnh là bao nhiêu?

H

b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi

B

TO

Cách 1:

ÁN

Giải

E

Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC

Đ

∆ ACD

∆ ABC (g.g) ⇒

AC AD = AB AC

C

IỄ N

⇒ AC 2 = AB. AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC)

D

2 =K

TR ẦN

AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì:

H Ư

N

= A' ; B = B' A’B’C’ ⇔ A

∆ ABC

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A’B’C’ ⇔

ẠO

∆ ABC

TP

b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

AB AC BC = = A'B' A'C' B'C'

.Q

A’B’C’ ⇔

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

∆ ABC

H

a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c)

D

= 8(10 + 8) = 144 ⇒ AC = 12 cm

Cách 2:  ⇒ ∆ ABE Vẽ tia phân giác BE của ABC

∆ ACB

63

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

AB AE BE AE + BE AC = = = = ⇒ AC2 = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144 AC AB CB AB + CB AB + CB

⇒ AC = 12 cm

N

b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1)

H

Ơ

Vì b > anên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2

.Q ẠO

- Với a = 1 thì c = 8 (loại)

A

Đ

- Với a = 2 thì c = 6 (loại)

G

- với a = 4 thì c = 6 ; b = 5

H Ư

N

Vậy a = 4; b = 5; c = 6

D

TR ẦN

Bài 2:

Cho ∆ ABC cân tại A, đường phân giác BD; tính BD

C

10 00

Giải

-L

Í-

Bài 3:

Ó

Bài toán trở về bài 1

A

CD BC 1 = ⇒ CD = 4 cm và BC = 5 cm = AD AC 4

H

Ta có

B

B

biết BC = 5 cm; AC = 20 cm

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

+ Nếu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4

ÁN

Cho ∆ ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC sao cho CE =

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ a = 1; b = 2; c = 3(loại)

OB2 . Chứng minh rằng BD

ÀN

a) ∆ DBO ∆ OCE

Đ

b) ∆ DOE

∆ DBO ∆ OCE A

IỄ N

c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED

D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac ⇔ 2a + 1 = ac ⇔ a(c – 2) = 1

d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB Giải

E I D

1 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 2 H64

3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial B O C www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a) Từ CE =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

OB2 CE OB  =C  (gt) ⇒ ∆ DBO ∆ OCE ⇒ = và B BD OB BD

3= E 2 (1) b) Từ câu a suy ra O

Ơ

N

3 + DOE  + EOC  = 1800 (2) Vì B, O ,C thẳng hàng nên O

U Y .Q

H Ư

N

1 = D 2 ⇒ DO là phân giác của các góc BDE c) Từ câu b suy ra D

Củng từ câu b suy ra E 1 = E 2 EO là phân giác của các góc CED

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

∆ DBO ∆ OCE

G

nên ∆ DOE

ẠO

DO OE  =B =C = (Do OC = OB) và DOE DB OB

Đ

DO OE = (Do ∆ DBO ∆ OCE) DB OC

TP

∆ DOE và ∆ DBO có

TR ẦN

c) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi ⇒ OI không đổi khi D di động trên AB

10 00

B

Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008) Cho ∆ ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho

Ó

A

=B DME

Í-

H

a) Chứng minh tích BD. CE không đổi

-L

 b)Chứng minh DM là tia phân giác của BDE

Giải

ÁN

c) Tính chu vi của ∆ AED nếu

∆ ABC

là tam giác đều

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 =B =C Từ (1), (2), (3) suy ra DOE

ÀN

 = DME  + CME =B + BDM  , mà DME =B (gt) a) Ta có DMC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

+ EOC  = 1800 (3) trong tam giác EOC thì E 2 + C

Đ

 = BDM  , kết hợp với B =C ( ∆ ABC cân tại A) nên CME

D

IỄ N

suy ra ∆ BDM ⇒

∆ CME (g.g)

BD BM = ⇒ BD. CE = BM. CM = a 2 không đổi CM CE

b) ∆ BDM

∆ CME ⇒

DM BD DM BD = ⇒ = ME CM ME BM 65

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon A http://daykemquynhon.blogspot.com

 = BMD  hay ∆ DBM (c.g.c) ⇒ MDE

(do BM = CM) ⇒ ∆ DME  DM là tia phân giác của BDE

E I

 c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của DEC

Ơ H

củng là tam giác đều CH =

N

G

⇒ AH = 1,5a ⇒ PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a

MC a = 2 2

H Ư

Bài 5:

F

TR ẦN

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F

K

A

B

a) chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC E

10 00

b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K.

A

Chứng minh rằng K là trung điểm của FE

H

Ó

Giải

B

D

M

DF CD CD CD = .AM = .AM (2) ⇒ DF = AM CM CM BM

C

ÁN

DF // AM ⇒

-L

Í-

DE BD BD a) DE // AM ⇒ = .AM (1) ⇒ DE = AM BM BM

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

∆ CME

Đ

là tam giác đều nên suy ra

TO

Từ (1) và (2) suy ra

Đ IỄ N

BD CD CD  BC  BD .AM + .AM =  + .AM = 2AM không đổi  .AM = BM BM BM  BM  BM

b) AK // BC suy ra ∆ FKA

∆ AMC (g.g) ⇒

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

C

.Q

M

TP

AH = AK)

DE + DF =

D

B

Chu vi ∆ AED là PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

⇒ DK =DI ⇒ ∆ EIM = ∆ EHM ⇒ EI = EH

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

K

∆ DKM = ∆ DIM

∆ ABC

N

D

kẻ MH ⊥ CE ,MI ⊥ DE, MK ⊥ DB thì MH = MI = MK ⇒

FK KA = (3) AM CM

EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = (2) ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM

(Vì CM = BM) 66

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

FK EK ⇒ FK = EK hay K là trung điểm của FE = AM AM

Từ (1) và (2) suy ra

Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004)

N

= 600 , một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của các Cho hình thoi ABCD cạnh a có A

H

Ơ

tia BA, DA tại M, N

.Q

Giải

B

C 1

K

TR ẦN

MB AD = ⇒ MB.DN = BA.AD = a.a = a 2 BA DN

H Ư

Từ (1) và (2) suy ra

A

N

D

B

 = BDN  = 1200 b) ∆ MBD và ∆ BDN có MBD

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

CM AD = (2) CN DN

Đ

CD// AM ⇒

1

G

MB CM = (1) BA CN

N

a) BC // AN ⇒

TP

M

A

∆ BDN

Ó

⇒ ∆ MBD

10 00

MB MB CM AD BD = 600 nên AB = BC = CD = DA) = = = = (Do ABCD là hình thoi có A BD BA CN DN DN

H

1 = B 1 . ∆ MBD và ∆ BKD có BDM  = BDK  và M 1 = B 1 nên BKD  = MBD  = 1200 Suy ra M

-L

Í-

Bài 7:

ÁN

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M,

TO

N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh rằng

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo của góc BKD

F

2

Đ

a) IM. IN = ID

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi

D

IỄ N

b)

KM DM = KN DN

D

C I G

c) AB. AE + AD. AF = AC2

M K

Giải A

B

E

N

67

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a) Từ AD // CM ⇒

N H

Ơ

IM ID = hay ID2 = IM. IN ID IN

U Y

DM CM DM CM DM CM = ⇒ = ⇒ = (3) MN MB MN + DM MB + CM DN CB

b) Ta có

∆ AFC ⇒

Đ G

AE AC = ⇒ AB.AE = AC.AG ⇒ AB. AE = AG(AG + CG) (5) AG AB

AF CG CG = = (vì CB = AD) AC CB AD

B

⇒ AF . AD = AC. CG ⇒ AF . AD = (AG + CG) .CG (6)

10 00

Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG 2

2

2

2

A

⇔ AB. AE + AF. AD = AG +2.AG.CG + CG = (AG + CG) = AC

H

Ó

Vậy: AB. AE + AD. AF = AC2

-L

Bài 1

Í-

Bài tập về nhà

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

∆ CGB

∆ AEC ⇒

N

c) Ta có ∆ AGB

KM DM = KN DN

H Ư

Từ (3) và (4) suy ra

ẠO

IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM KM IM CM CM = = = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = = = (4) IM IK IM IK IM IK KN IK KN ID AD CB

TR ẦN

.Q

Từ ID = IK và ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN

ÁN

Cho Hình bình hành ABCD, một đường thẳng cắt AB, AD, AC lần lượt tại E, F, G

TO

AB AD AC + = AE AF AG

ÀN

Chứng minh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Từ (1) và (2) suy ra

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

IM CI = (1) ID AI

CI ID = (2) AI IN

Từ CD // AN ⇒

http://daykemquynhon.ucoz.com

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Đ

HD: Kẻ DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC)

D

IỄ N

Bài 2: Qua đỉnh C của hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD ở E, G, F chứng minh:

a) DE2 =

FE . BE2 EG 68

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b) CE2 = FE. GE (Gợi ý: Xét các tam giác DFE và BCE, DEC và BEG) Bài 3

Ơ

N

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt nhau

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

b) BH = AC

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U Y

BH CM AD . . =1 HC MA BD

a)

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

tại một điểm. Chứng minh rằng

69

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 14 – PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO A.Mục tiêu: * Củng cố, ôn tập kiến thức và kỹ năng giải các Pt bậc cao bằng cách phân tích thành nhân

Ơ

N

tử

.Q

ẠO

đa thức bậc cao, vế phải bằng 0, vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân

G

Đ

tử để đưa Pt về dạng pt tích để giải

N

* Cách 2: Đặt ẩn phụ

H Ư

II. Các ví dụ:

TR ẦN

1.Ví dụ 1: Giải Pt

a) (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 3

3

3

2

10 00

B

⇔ ... ⇔ 2x + 10x = 12 ⇔ x + 5x – 6 = 0 ⇔ (x – 1) + (5x – 5) ⇔ (x – 1)(x + x + 6) = 0

Ó

A

x = 1 2 x - 1 = 0 1  23   2 ⇔  2 ⇔  ⇔ x = 1 (Vì  x +  + = 0 vô nghiệm) 1  23 2 4 x+  + =0  x + x + 6 = 0   2 4

Í-

H

b) x4 + x2 + 6x – 8 = 0 (1)

-L

Vế phải của Pt là một đa thức có tổng các hệ số bằng 0, nên có một nghiệm x = 1 nên có

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

* Cách 1: Để giải các Pt bậc cao, ta biến đổi, rút gọn để dưa Pt về dạng Pt có vế trái là một

ÁN

nhân tử là x – 1, ta có

(1) ⇔ (x4 – x3) + (x3 – x2) + (2x2 – 2x) + (8x – 8) = 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

I. Phương pháp:

3

2

3

2

2

ÀN

⇔ ... ⇔ (x – 1)(x + x + 2x + 8) ⇔ (x – 1)[(x + 2x ) – (x + 2x) + (4x – 8) ] = 0 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

B. Kiến thức và bài tập:

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

* Khắc sâu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử và kỹ năng giải Pt

2

Đ

⇔ (x – 1)[x (x + 2) – x(x + 2) + 4(x + 2) = 0 ⇔ (x – 1)(x + 2)(x – x + 4) = 0 ....

D

IỄ N

c) (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8 3

2

3

2

3

⇔ x – 3x + 3x – 1 + 8x + 36x + 54x + 27 – 27x – 8 = 0 3

2

3

2

⇔ - 18x + 33x + 57 x + 18 = 0 ⇔ 6x - 11x - 19x - 6 = 0 (2)

Ta thấy Pt có một nghiệm x = 3, nên vế trái có nhân tử x – 3: 70

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

(2) ⇔ (6x3 – 18x2) + (7x2 – 21x) + (2x – 6) = 0 2

2

⇔ 6x (x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0 ⇔ (x – 3)(6x + 7x + 2) = 0 2

⇔ (x – 3)[(6x + 3x) + (4x + 2)] = 0 ⇔ (x – 3)[3x(2x + 1) + 2(2x + 1)] = 0

Ơ

N

⇔ (x – 3)(2x + 1)(3x + 2) .....

2

2

2

2

2

U Y

⇔ (x + 5x - 1) – 25 = 0 ⇔ (x + 5x - 1 + 5)( (x + 5x - 1 – 5) = 0 2

.Q

2

2

2

ẠO

e) (x2 + x + 1)2 = 3(x4 + x2 + 1) ⇔ (x2 + x + 1)2 - 3(x4 + x2 + 1) = 0 2

2

2

Đ

⇔ (x + x + 1) – 3(x + x + 1)( x - x + 1) = 0 2

2

2

2

N

2

G

⇔ ( x + x + 1)[ x + x + 1 – 3(x - x + 1)] = 0 ⇔ ( x + x + 1)( -2x + 4x - 2) = 0 2

2

H Ư

⇔ (x + x + 1)(x – 2x + 1) = 0 ⇔ ( x + x + 1)(x – 1) = 0...

4

3

2

4

3

2

TR ẦN

f) x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2 ⇔ (x5 – 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 4

3

2

⇔ (x – 2) (x + x + x + x + 1) = 0

10 00

+) x – 2 = 0 ⇔ x = 2

B

⇔ (x – 1) (x + x + x + x + 1) – (x + x + x + x + 1) = 0

A

+) x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 ⇔ (x4 + x3) + (x + 1) + x2 = 0 ⇔ (x + 1)(x3 + 1) + x2 = 0 1 1 3 + ) + ] + x2 = 0 2 4 4 2 2   1 3  1 3  2  x + 2 2 + x+  +      ⇔ (x + 1)  2 4  + x = 0 Vô nghiệm vì (x + 1)  2 4  ≥ 0 nhưng  2

2

Ó

2

2

2

ÁN

-L

Í-

H

⇔ (x + 1) (x – x + 1) + x = 0 ⇔ (x + 1) [(x – 2.x.

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

⇔ (x + 1)(x + 4)(x – 1)(x + 6) = 0 ....

không xẩy ra dấu bằng

ÀN

Bài 2:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ (x + 5x + 4) (x + 5x – 6) = 0 ⇔ [(x + x) +(4x + 4)][(x – x) + (6x – 6)] = 0

Đ

a) (x2 + x - 2)( x2 + x – 3) = 12 ⇔ (x2 + x – 2)[( x2 + x – 2) – 1] – 12 = 0 2

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

N

2

H

d) (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) = 24 ⇔ [(x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) + 1] – 25 = 0

2

D

IỄ N

⇔ (x + x – 2) – (x + x – 2) – 12 = 0

Đặt x2 + x – 2 = y Thì

(x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = 0 ⇔ y2 – y – 12 = 0 ⇔ (y – 4)(y + 3) = 0 * y – 4 = 0 ⇔ x2 + x – 2 – 4 = 0 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔ (x2 + 3x) – (2x + 6) = 0 71

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇔ (x + 3)(x – 2) = 0....

* y + 3 = 0 ⇔ x2 + x – 2 + 3 = 0 ⇔ x2 + x + 1 = 0 (vô nghiệm) b) (x – 4)( x – 5)( x – 6)( x – 7) = 1680 ⇔ (x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680

Ơ

N

Đặt x2 – 11x + 29 = y , ta có:

G

Đặt x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = y ≥ 0, ta có

H Ư

N

(3) ⇔ y2 – 15(y + 1) – 1 = 0 ⇔ y2 – 15y – 16 = 0 ⇔ (y + 1)(y – 15) = 0

TR ẦN

Với y + 1 = 0 ⇔ y = -1 (loại)

Với y – 15 = 0 ⇔ y = 15 ⇒ (x – 3)2 = 16 ⇔ x – 3 = ± 4

B

+x–3=4 ⇔ x=7

10 00

+x–3=-4 ⇔x=-1

d) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0 (4)

Ó

A

Đặt x2 + 1 = y thì

Í-

H

(4) ⇔ y2 + 3xy + 2x2 = 0 ⇔ (y2 + xy) + (2xy + 2x2) = 0 ⇔ (y + x)(y + 2x) = 0

-L

+) x + y = 0 ⇔ x2 + x + 1 = 0 : Vô nghiệm Bài 3:

ÁN

+) y + 2x = 0 ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ (x + 1)2 = 0 ⇔ x = - 1

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ

c) (x2 – 6x + 9)2 – 15(x2 – 6x + 10) = 1 (3)

ÀN

a) (2x + 1)(x + 1)2(2x + 3) = 18 ⇔ (2x + 1)(2x + 2)2(2x + 3) = 72. (1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

11 121 159 + )+ =0 2 4 4

TP

* y = - 41 ⇔ x2 – 11x + 29 = - 41 ⇔ x2 – 11x + 70 = 0 ⇔ (x2 – 2x.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ (x – 1)(x + 12) = 0.....

.Q

U Y

y = 41 ⇔ x2 – 11x + 29 = 41 ⇔ x2 – 11x – 12 = 0 (x2 – x) + (12x – 12) = 0

N

H

(x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680 ⇔ (y + 1)(y – 1) = 1680 ⇔ y2 = 1681 ⇔ y = ± 41

Đ

Đặt 2x + 2 = y, ta có

D

IỄ N

(1) ⇔ (y – 1)y2(y + 1) = 72 ⇔ y2(y2 – 1) = 72 4

2

⇔ y – y – 72 = 0

Đặt y2 = z ≥ 0 Thì y4 – y2 – 72 = 0 ⇔ z2 – z – 72 = 0 ⇔ (z + 8)( z – 9) = 0 * z + 8 = 0 ⇔ z = - 8 (loại) 72

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

* z – 9 = 0 ⇔ z = 9 ⇔ y2 = 9 ⇔ y = ± 3 ⇒ x = ... b) (x + 1)4 + (x – 3)4 = 82 (2) Đặt y = x – 1 ⇒ x + 1 = y + 2; x – 3 = y – 2, ta có 2

4

3

2

2

4

N

4

H

⇔ y +8y + 24y + 32y + 16 + y - 8y + 24y - 32y + 16 = 82 2

U Y

⇔ 2y + 48y + 32 – 82 = 0 ⇔ y + 24y – 25 = 0

.Q

ẠO

+) z + 25 = 0 ⇔ z = - 25 (loại)

G

Đ

Chú ý: Khi giải Pt bậc 4 dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thường đặt ẩn phụ y = x +

H Ư

N

c) (4 – x)5 + (x – 2)5 = 32 ⇔ (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32

a+b 2

TR ẦN

Đặt y = x – 3 ⇒ x – 2 = y + 1; x – 4 = y – 1; ta có:

(x – 2)5 – (x – 4)5 = 32 ⇔ (y + 1)5 - (y – 1)5 = 32 5

4

3

2

5

4

3

2

⇔ y + 5y + 10y + 10y + 5y + 1 – (y - 5y + 10y - 10y + 5y - 1) – 32 = 0 2

4

2

B

4

10 00

⇔ 10y + 20y – 30 = 0 ⇔ y + 2y – 3 = 0

Đặt y2 = z ≥ 0 ⇒ y4 + 2y2 – 3 = 0 ⇔ z2 + 2z – 3 = 0 ⇔ (z – 1)(z + 3) = 0 ........

Ó

A

d) (x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4

Í-

H

Đặt x – 7 = a; x – 8 = b ; 15 – 2x = c thì - c = 2x – 15 ⇒ a + b = - c , Nên

-L

(x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4 ⇔ a4 + b4 = c4 ⇔ a4 + b4 - c4 = 0 ⇔ a4 + b4 – (a + b)4 = 0

ÁN

2  3 3  7 2 2 ⇔ 4ab(a + ab + b ) = 0 ⇔ 4ab  a + b  + b  = 0 ⇔ 4ab = 0 2 4  16  

2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

+) z – 1 = 0 ⇒ z = 1 ⇒ y = ± 1 ⇒ x = 0; x = 2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đặt y2 = z ≥ 0 ⇒ y4 + 24y2 – 25 = 0 ⇔ z2 + 24 z – 25 = 0 ⇔ (z – 1)(z + 25) = 0

2

Đ

ÀN

3 7 2 b ≥ 0 nhưng không xẩy ra dấu bằng) ⇔ ab = 0 ⇔ x = 7; x = 8 (Vì  a + b  + 4  16 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

Ơ

4

N

(2) ⇔ (y + 2)4 + (y – 2)4 = 82

D

IỄ N

1 1 e) 6x4 + 7x3 – 36x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ 6  x 2 + 2  + 7  x -  − 36 = 0 x x

(Vì x = 0 không là nghiệm). Đặt x -

1 1 = y ⇒ x 2 + 2 = y2 + 2 , thì x x

73

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1   1  2 2 6  x 2 + 2  + 7  x -  − 36 = 0 ⇔ 6(y + 2) + 7y – 36 = 0 ⇔ 6y + 7y – 24 = 0 x   x  2

⇔ (6y – 9y) + (16y – 24) = 0 ⇔ (3y + 8 )(2y – 3) = 0

H

Ơ

N

x = - 3 x + 3 = 0  3x - 1 = 0 ⇔  x = 1  3 

ẠO

Bài 4: Chứng minh rằng: các Pt sau vô nghiệm

Đ

a) x4 – 3x2 + 6x + 13 = 0 ⇔ ( x4 – 4x2 + 4) +(x2 + 6x + 9) = 0 ⇔ (x2 – 2)2 + (x + 3)2 = 0

G

Vế trái (x2 – 2)2 + (x + 3)2 ≥ 0 nhưng không đồng thời xẩy ra x2 = 2 và x = -3

H Ư

N

b) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 ⇔ (x – 1)( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 7

TR ẦN

⇔x –1=0 ⇔ x=1

x = 1 không là nghiệm của Pt x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0

B

Bài tập về nhà:

10 00

Bài 1: Giải các Pt a)(x2 + 1)2 = 4(2x – 1)

Ó

A

HD: Chuyển vế, triển khai (x2 + 1)2, phân tích thành nhân tử: (x – 1)2(x2 + 2x + 5) = 0

Í-

H

b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (Nhân 2 nhân tử với nhau, áp dụng PP đặt ẩn phụ)

-L

c) (12x + 7)2(3x + 2)(2x + 1) = 3 (Nhân 2 vế với 24, đặt 12x + 7 = y)

ÁN

d) (x2 – 9)2 = 12x + 1 (Thêm, bớt 36x2)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

U Y

x = 2 x - 2 = 0  1  2x + 1 = 0 ⇔  x= 2 

e) (x – 1)4 + (x – 2)4 = 1 ( Đặt y = x – 1,5; Đs: x = 1; x = 2)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3 1 3 +) 2y – 3 = 0 ⇔ y = ⇔ x - = ⇔ ... ⇔ (2x + 1)(x – 2) = 0 ⇔ 2 x 2

ÀN

f) (x – 1)5 + (x + 3)5 = 242(x + 1) (Đặt x + 1 = y; Đs:0; -1; -2 )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

8 1 8 +) 3y + 8 = 0 ⇔ y = - ⇔ x - = - ⇔ ... ⇔ (x + 3)(3x – 1) = 0 ⇔ 3 x 3

Đ

g) (x + 1)3 + (x - 2)3 = (2x – 1)3

D

IỄ N

Đặt x + 1 = a; x – 2 = b; 1 - 2x = c thì a + b + c = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

h) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0

i) x5 + 2x4 + 3x3 + 3x2 + 2x + 1 = 0

(Chia 2 vế cho x2; Đặt y = x +

1 ) x

(Vế trái là đa thức có tổng các hệ số bậc chẵn

bằng tổng các hệ số bậc lẻ...) 74

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2: Chứng minh các pt sau vô nghiệm a) 2x4 – 10x2 + 17 = 0 (Phân tích vế trái thành tổng của hai bình phương)

Ơ

N

b) x4 – 2x3 + 4x2 – 3x + 2 = 0

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

(Phân tích vế trái thành tích của 2 đa thức có giá trị không âm....)

75

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 1 5 – SỬ DỤNG CÔNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP QUAN HỆ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG

N

Ngày soạn:23 – 3 - 2010

Ơ

A. Một số kiến thức:

Đ

Hai tam giác bằng nhau thì có cùng diện tích

N

G

B. Một số bài toán:

H Ư

1. Bài 1:

TR ẦN

Cho ∆ ABC có AC = 6cm; AB = 4 cm; các đường cao AH; BK; CI. Biết AH = Tính BC

A

2SABC 2S ; CI = ABC AC AB

K I

A

Ta có: BK =

10 00

B

Giải

CI + BK 2

Í-

H

Ó

1   1 ⇒ BK + CI = 2. SABC  +   AC AB 

B

H

C

ÁN

-L

1 1  1   1  1 ⇔ 2AH = 2. . BC. AH .  + +  ⇔ BC.   =2 2  AC AB   AC AB 

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Hai tam giác có chung một cạnh, có cùng độ dài đường cao thì có cùng diện tích

TO

1   1 1 1 ⇒ BC = 2 :  +  = 2 :  +  = 4,8 cm  AC AB  6 4

Đ

Bài 2:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

TP

2. Một số tính chất:

U Y

1 a.h (a – độ dài một cạnh, h – độ dài đường cao tương ứng) 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

S=

H

1. Công thức tính diện tích tam giác:

IỄ N

Cho ∆ ABC có độ dài các cạnh là a, b, c; độ dài các đường cao tương ứng là ha, hb, hc. Biết

D

rằng a + ha = b + hb = c + hc . Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác đều Giải

Gọi SABC = S 76

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ta xét a + ha = b + hb ⇒ a – b = ha – hb =

a-b 2S   ⇒ (a – b) 1  = 0 ⇒ ∆ ABC cân ở C hoặc vuông ở C (1) ab ab  

N

⇒ a – b = 2S.

2S 2S a-b 1 1 = 2S.  -  = 2S. b a ab b a

H

Ơ

Tương tự ta có: ∆ ABC cân ở A hoặc vuông ở A (2); ∆ ABC cân ở B hoặc vuông ở B (3)

U Y TP

.Q

Bài 3:

OA OB OC + + =2 AA' BB' CC'

G

b)

N

OA' OB' OC' + + =1 AA' BB' CC'

a)

Đ

theo thứ tự tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:

OA OB OC + + = 6 . Tìm vị trí của O để tổng M có giá trị nhỏ nhất OA' OB' OC'

d) N =

OA OB OC . . = 8 . Tìm vị trí của O để tích N có giá OA' OB' OC'

TR ẦN

H Ư

c) M =

10 00

B

trị nhỏ nhất

A

Giải

A

Gọi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB . Ta có:

B'

C'

Ó

O

Í-

H

S3 S +S OA S2 = = = 2 3 (1) OA' SOA'C SOA'B S1 B

ÁN

-L

+ SOA'B S1 S S OA' SOA'C = = = OA'B = OA'C (2) AA' SAA'C SAA'B SAA'C + SAA'B S

TO

Từ (1) và (2) suy ra

IỄ N

Đ

Tương tự ta có

C

S +S OA = 2 3 AA' S

S +S S S +S S OB OC OB' OC' = 1 3; = 1 2 ; = 2 ; = 3 OC' S3 BB' S CC' S OB' S2

a)

OA' OB' OC' S1 S2 S3 S + + = + + = =1 AA' BB' CC' S S S S

b)

OA OB OC S2 + S3 S1 + S3 S1 + S2 2S + + = + + = =2 AA' BB' CC' S S S S

D

A'

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Cho điểm O nằm trong tam giác ABC, các tia AO, BO, Co cắt các cạnh của tam giác ABC

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

đỉnh) ⇔ ∆ ABC là tam giác đều

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∆ ABC cân hoặc vuông ở ba đỉnh (Không xẩy ra vuông tại ba

77

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

OA OB OC S2 + S3 S1 + S3 S1 + S2  S1 S2   S3 S2   S1 S3  + + = + + =  + + + + +  OA' OB' OC' S1 S2 S3  S2 S1   S2 S3   S3 S1  S  S

S 

2

4S1S2 .4S2S3 .4S1S3

( S1.S2 .S3 )

2

N Ơ N U Y

≥ 64 ⇒ N ≥ 8

.Q

2

TP

2

( S + S ) ( S1 + S3 ) ( S1 + S2 ) N = 2 3 2 ( S1.S2 .S3 ) 2

ẠO

S2 + S3 S1 + S3 S1 + S2 ( S2 + S3 )( S1 + S3 )( S1 + S2 ) . . = S1 S2 S3 S1.S2 .S3

Đ

Đẳng thức xẩy ra khi S1 = S2 = S3 ⇔ O là trọng tâm của tam giác ABC

N

G

Bài 4:

H Ư

Cho tam giác đều ABC, các đường caoAD, BE, CF; gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của M trong tam giác ABC thì: a) A’D + B’E + C’F không đổi

10 00

b) AA’ + BB’ + CC’ không đổi

B

TR ẦN

(nằm bên trong tam giác ABC) trên AD, BE, CF. Chứng minh rằng: Khi M thay đổi vị trí

Giải

Ó

A

Gọi h = AH là chiều cao của tam giác ABC thì h không đổi

A

-L

MQ + MR + MP

Í-

H

Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh AB; BC; CA là MP; MQ; MR thì A’D + B’E + C’F =

ÁN

Vì M nằm trong tam giác ABC nên SBMC + SCMA + SBMA = SABC

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

d) N =

E

F

ÀN

⇔ BC.(MQ + MR + MP) = BC . AH P

Đ

⇒ MQ + MR + MP = AH ⇒ A’D + B’E + C’F = AH = h

IỄ N

Vậy: A’D + B’E + C’F = AH = h không đổi

D

H

Đẳng thức xẩy ra khi S1 = S2 = S3 ⇔ O là trọng tâm của tam giác ABC

b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F)

C' B' A'

M B

R

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

S  S

S

Aùp dụng Bđt Cô si ta có  1 + 2  +  3 + 2  +  1 + 3  ≥ 2 + 2 + 2 = 6  S2 S1   S2 S3   S3 S1 

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

c) M =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Q

D

C

= (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h không đổi Bài 5: 78

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cho tam giác ABC có BC bằng trung bình cộng của AC và AB; Gọi I là giao điểm của các phân giác, G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh: IG // BC Giải

Ơ

N

Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC lần lượt là AH, IK, GD

C

M

G

1 AH (a) 3

H Ư

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

1 1 1 SABC ⇔ BC . GD = BC. AH ⇒ GD = AH (b) 3 3 3

TR ẦN

SBGC =

B

Từ (a) và (b) suy ra IK = GD hay khoảng cách từ I, G đến BC bằng nhau nên IG // BC

10 00

Bài tập về nhà:

A

 = 600 , Mlà điểm bất kỳ nằm trên đường 1) Cho C là điểm thuộc tia phân giác của xOy

H

Ó

 , gọi MA, MB thứ tự là khoảng cách vuông góc với OC tại C và thuộc miền trong của xOy

-L

Í-

từ M đến Ox, Oy. Tính độ dài OC theo MA, MB

ÁN

2) Cho M là điểm nằm trong tam giác đều ABC. A’, B’, C’ là hình chiếu của M trên các

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D

N

Thay (2) vào (1) ta có: BC. AH = IK. 3BC ⇒ IK =

K

Đ

B H

cạnh BC, AC, AB. Các đường thẳng vuông góc với BC tại C, vuông góc với CA tại A , vuông góc với AB tại B cắt nhau ở D, E, F. Chứng minh rằng:

ÀN

a) Tam giác DEF là tam giác đều

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q TP ẠO

AB + CA ⇒ AB + CA = 2 BC (2) 2

G

I

SABC = SAIB + SBIC + SCIA ⇔ BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vì I nằm trong tam giác ABC nên:

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

A

I đến ba cạnh AB, BC, CA bằng nhau và bằng IK

Mà BC =

H

Vì I là giap điểm của ba đường phân giác nên khoảng cách từ

D

IỄ N

Đ

b) AB’ + BC’ + CA’ không phụ thuộc vị trí của M trong tam giác ABC

79

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 16 – BẤT ĐẲNG THỨC Phần I : các kiến thức cần lưu ý

N

A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0 A ≤ B ⇔ A − B ≤ 0

+ A > B > 0 ⇒ An > Bn

+ A>B và B >C ⇔ A > C

+A>B

⇒ A > B với n lẻ

+ A>B ⇒ A + C >B + C

+ A > B

⇒ A > B với n chẵn

+ A>B và C > D ⇒ A +C > B + D

+ m > n > 0 và A > 1 ⇒ A m > A n

B

+ A 2 ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

10 00

+ An ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

A

+ A ≥ 0 với ∀A (dấu = xảy ra khi A = 0 )

Ó H

ÁN

-L

Í-

( dấu = xảy ra khi A.B > 0) ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

1 1 > A B

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3 - một số hằng bất đẳng thức

+ A− B ≤ A − B

.Q

Đ

+A < B và A.B > 0

TR ẦN

+ 0 < A < B và 0 < C < D ⇒ 0 < A.C < B.D

H Ư

N

+ m > n > 0 và 0 <A < 1 ⇒ A m < A n

+ A>B và C < 0 ⇒ A.C < B.C

+ A+ B ≥ A + B

n

ẠO

n

G

+ A>B và C > 0 ⇒ A.C > B.C

+ -A <A= A

n

TP

n

∀n

Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

ÀN

1) Phương pháp 1: dùng định nghĩa

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+ A>B ⇔ B < A

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2-tính chất

U Y

N

H

Ơ

1-Đinhnghĩa: 

Đ

Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A – B > 0

D

IỄ N

Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 ≥ 0 với ∀ M Ví dụ 1 ∀ x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz 80

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giải:

N

1 ( x − y )2 + ( x −z )2 + ( y − z ) 2  ≥ 0 đúng với mọi x;y;z ∈ R 2

Ơ N

H

Vì (x-y)2 ≥ 0 với∀x ; y .Dấu bằng xảy ra khi x = y

U Y ẠO

Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx . Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

TP

.Q

(y- z)2 ≥ 0 với∀ z; y . Dấu bằng xảy ra khi z = y

Đ

b)Ta xét hiệu:

G

x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2 ≥ 0

H Ư

N

đúng với mọi x;y;z∈ R

Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z ∈ R

TR ẦN

Dấu bằng xảy ra khi x + y = z

B

Ví dụ 2: chứng minh rằng : 2

a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥  3 3  

10 00

a2 + b2  a + b  a) ≥  ; b) 2  2 

2

c) Hãy tổng quát bài toán

Ó

A

giải

H

a) Ta xét hiệu

(

Í-

2

)

ÁN

-L

2 a2 + b2 a 2 + 2ab + b 2 1 1 a2 + b2  a + b  2 − − = 2a 2 + 2b 2 − a 2 − b 2 − 2ab = (a − b ) ≥ 0  = 4 4 4 4 2  2 

a2 + b2  a + b  Vậy ≥  2  2 

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(x- z)2 ≥ 0 với∀x ; z . Dấu bằng xảy ra khi x = z

(

)

2

Dấu bằng xảy ra khi a = b 2

[

]

D

IỄ N

Đ

ÀN

1 a2 + b2 + c2  a + b + c  2 2 2 b)Ta xét hiệu: −  = (a − b ) + (b − c ) + (c − a ) ≥ 0 9 3 3  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

=

1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) 2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx =

2

Vậy

a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥  Dấu bằng xảy ra khi a = b =c 3 3  

c)Tổng quát:

a12 + a 22 + .... + a n2  a1 + a 2 + .... + a n  ≥  n n  

2

81

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

* Tóm lại các bước để chứng minh A ≥ B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H = (C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2

Ơ

N

Bước 3: Kết luận A ≥ B

U Y

Lưu ý:

.Q

Đ

b2 ≥ ab 4

c) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e )

G

b) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b

N

a) a 2 +

H Ư

Giải:

b2 2 ≥ ab ⇔ 4a 2 + b 2 ≥ 4ab ⇔ 4a 2 − 4a + b 2 ≥ 0 ⇔ (2a − b ) ≥ 0 (Bđt này luôn đúng) 4

TR ẦN

a) a 2 +

ẠO

Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng

b2 Vậy a + ≥ ab 4

(dấu bằng xảy ra khi 2a = b)

10 00

B

2

b) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b ⇔ 2(a 2 + b 2 + 1 ) > 2(ab + a + b)

Ó

A

⇔ a 2 − 2ab + b 2 + a 2 − 2a + 1 + b 2 − 2b + 1 ≥ 0 ⇔ (a − b) 2 + (a − 1) 2 + (b − 1) 2 ≥ 0 (luôn đúng)

H

Vậy a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1

(

-L

Í-

c) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e ) ⇔ 4( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ) ≥ 4a(b + c + d + e )

) (

) (

) (

)

ÁN

⇔ a 2 − 4ab + 4b 2 + a 2 − 4ac + 4c 2 + a 2 − 4ad + 4d 2 + a 2 − 4ac + 4c 2 ≥ 0 2

2

2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

đẳng thức đã được chứng minh là đúng.

2

⇔ (a − 2b ) + (a − 2c ) + (a − 2d ) + (a − 2c ) ≥ 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất

ÀN

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a10 + b10 )(a 2 + b 2 ) ≥ (a 8 + b 8 )(a 4 + b 4 )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

2) phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương

Đ

Giải: 10

D

IỄ N

(a

)( (a

) ( )( ) ⇔ a +a b +a b +b ≥ a +a b +a b +b ) + a b (b − a ) ≥ 0 ⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) ≥ 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)

+ b10 a 2 + b 2 ≥ a 8 + b 8 a 4 + b 4

⇔ a 8b 2

2

− b2

2

8

2

12

10

2

2 10

12

12

8

4

4

2

8

12

≥ 0

x. y.z = 1  1 1 1 Ví dụ 4: cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:  + + < x + y + z  x y z 82

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Chứng minh rằng : có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1 1 x

1 y

1 z

1

1

1

x

y

z

1 y

Ơ

1 x

N

= (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz( + + ) = x + y + z - ( + + ) > 0 1 z

U Y

TP

.Q

Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 → x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z =1 bắt buộc phải

Đ

3) Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc

G

A) một số bất đẳng thức hay dùng

H Ư

N

1) Các bất đẳng thức phụ:

b) x 2 + y 2 ≥ xy dấu( = ) khi x = y = 0

c) (x + y )2 ≥ 4 xy

d) + ≥ 2

a b

b a

)(

Với ai > 0

)

2

+ a22 + .... + an2 . x12 + x22 + .... + n2 ≥ (a1 x1 + a2 x2 + .... + an xn )

H

Ó

2 2

A

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

10 00

B

a1 + a 2 + a3 + .... + a n n ≥ a1 a 2 a3 ....a n n

2)Bất đẳng thức Cô sy:

(a

TR ẦN

a) x 2 + y 2 ≥ 2 xy

-L

Í-

4) Bất đẳng thức Trê-bư - sép: a≤b≤c ⇒ A ≤ B ≤ C

aA + bB + cC a + b + c A + B + C ≥ . 3 3 3

a≤b≤c ⇒ A ≥ B ≥ C

aA + bB + cC a + b + c A + B + C ≤ . 3 3 3

TO

ÁN

Nếu 

Nếu 

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

dương.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

(vì + + < x+y+z theo gt) → 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là

a=b=c A = B = C

D

IỄ N

Đ

Dấu bằng xảy ra khi  B) các ví dụ

ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b) (b+c)(c+a) ≥ 8abc 83

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: (x + y )2 ≥ 4 xy Tacó

(a + b )2 ≥ 4ab ; (b + c )2 ≥ 4bc 2

2

;

2

(c + a )2 ≥ 4ac 2

N

⇒ (a + b ) (b + c ) (c + a ) ≥ 64a 2 b 2 c 2 = (8abc ) ⇒ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =

1 3

ví dụ 3: Cho a,b,c,d > 0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

A

1 1 1 (dùng x + ≥ ) ab x 2

H

Ó

Do abcd =1 nên cd =

10 00

Ta có a 2 + b 2 ≥ 2ab ; c 2 + d 2 ≥ 2cd

B

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + a (b + c ) + b(c + d ) + d (c + a ) ≥ 10

1 )≥4 ab

(1)

-L

Í-

Ta có a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2(ab + cd ) = 2(ab +

=  ab + 

ÁN

Mặt khác: a(b + c ) + b(c + d ) + d (c + a ) = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad) 1   1   1  2 2 2 2  +  ac +  +  bc +  ≥ 2 + 2 + 2 ⇒ a + b + c + d + a (b + c ) + b(c + d ) + d (c + a ) ≥ 10 ab   ac   bc 

ÀN

ví dụ 4: Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y

Đ

G

N

a3 b3 c3 1 + + ≥ b+c a+c a+b 2

TR ẦN

Vậy

a b c a2 + b2 + c2  a b c  1 3 1 + b2. + c2. ≥ . + + = . = a+b b+c a+c 3 b+c a+c a+b 3 2 2

H Ư

a2.

ẠO

áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có

.Q

 a2 ≥ b2 ≥ c2 b c ⇒  a ≥ ≥  b + c a + c a + b

TP

Do a,b,c đối xứng , giả sử a ≥ b ≥ c

1 a3 b3 c3 + + ≥ b+c a+c a+b 2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ví dụ 2: Cho a > b > c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 chứng minh rằng

H

Ơ

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

IỄ N

Đ

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

D

Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có (12 + 12 + 12 )(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (1.a + 1.b + 1.c )2

(

)

⇒ 3 a 2 + b 2 + c 2 ≥ a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ac ) ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c 4) Phương pháp 4: dùng tính chất của tỷ số 84

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

A. Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a+c < b b+c

Ơ

b

< 1 thì

a c a a+c c < ⇒ < < b d b b+d d

H U Y

.Q

a b c d + + + <2 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b

ẠO

N H Ư

TR ẦN

Tương tự ta có :

(2)

a a a+d < < a+b+c+d a+b+c a+b+c+d

Từ (1) và (2) ta có

b b b+a < < a+b+c+d b+c+d a+b+c+d

(5);

10 00

c c b+c < < a+b+c+d c+d +a a+b+c+d

(1)

Đ

a a > a+b+c a+b+c+d

B

Mặt khác :

a a a+d <1⇒ < a+b+c a+b+c a+b+c+d

G

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

(3)

(4)

d d d +c < < a+b+c+d d +a+b a+b+c+d

(6)

A

cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có

H

Ó

a b c d + + + < 2 (đpcm) a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b a b

c và b,d > 0 d

ÁN

-L

ví dụ 2 : Cho: < Chứng minh rằng Từ

a ab + cd c < < b b2 + d 2 d

a c ab cd < ⇒ 2 < 2 b d b d

ab ab + cd cd c a ab + cd c ⇒ < 2 < 2 < 2 = < 2 2 d b b +d2 d b b +d d

(đpcm)

Đ

ÀN

Giải:

Í-

1<

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng : 1 <

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

B. Các ví dụ:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2) Nếu b,d >0 thì từ

a

b – Nếu

N

a a a+c > 1 thì > b b b+c

N

a – Nếu

D

IỄ N

ví dụ 3 : Cho a;b;c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a + b = c+d =1000 tìm giá trị lớn nhất của

a b + c d

giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử :

a b ≤ c d

a a+b b a ≤ ≤ ; ≤ 1 vì a + b = c + d c c+d d c 85

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn b a b ≤ 998 ⇒ + ≤ 999 d c d

H Ư

1 1 1 1 ; 2 < ;..... < 2 2 1.2. 3 2.3

TR ẦN

HD:

Ví dụ 6: Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng :

B

a+b b+c c+d d +a + + + <3 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b

10 00

2<

Giải :

(1)

b + +c b+c b+c+a < < a+b+c+d b+c+d a+b+c+d

(2)

d +a d +a d +a+c < < a+b+c+d d +a+b a+b+c+d

(3)

A

a+b a+b a+b+d < < a+b+c+d a+b+c a+b+c+d

-L

Í-

H

Ó

Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có:

TO

ÁN

N

ẠO Đ

G

1 1 1 1 + 2 + 2 + ........ + 2 với n ≥ 2 không là số tự nhiên 2 2 3 4 n

N

Ví dụ 5: CMR: A = 1 +

Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :

Đ

a+b b+c c+d d +a + + + <3 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b

(đpcm)

IỄ N

2<

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

với k = 1,2,3,…,n-1

1 1 1 1 1 n 1 + + ... + > + ... + = = n +1 n + 2 2n 2 n 2n 2n 2

Do đó:

H N

1 1 1 1 3 < + + .... + < 2 n +1 n + 2 n+n 4

U Y

1 1 1 > = n + k n + n 2n

Ta có

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ví dụ 4 : Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng :

Ơ

a b 1 + = 999 + khi a = d = 1; c = b = 999 c d 999

.Q

Vậy: giá trị lớn nhất của

a b 1 999 + = + Đạt giá trị lớn nhất khi d = 1; c = 999 c d c d

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

b, Nếu: b = 998 thì a =1 ⇒

TP

a, Nếu: b ≤ 998 thì

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

D

5. Phương pháp 5:Dùng bất đẳng thức trong tam giác Lưu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a; b; c > 0

Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ1: 86

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cho a; b; clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng a, a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b, abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

H

Đ

b > a-c  ⇒ b 2 > b 2 − (c − a) 2 > 0

H Ư

N

G

c > a-b  ⇒ c 2 > c 2 − (a − b) 2 > 0

2

2

TR ẦN

2 2 2 Nhân vế các bất đẳng thức ta được: a 2b 2 c 2 >  a 2 − ( b − c )  b 2 − ( c − a )  c 2 − ( a − b )  2

⇒ a 2b 2 c 2 > ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) ⇒ abc > ( a + b − c ) . ( b + c − a ) . ( c + a − b )

10 00

B

Ví dụ2: (đổi biến số)

Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

y+z−x z+x− y x+ y−z ; b= ;c= 2 2 2

H

Ó

A

Đặt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta có a =

y+z−x z+ x− y x+ y−z 3 ≥ ⇔ + + 2 2x 2y 2z

-L

Í-

ta có (1) ⇔

y z x z x y + −1+ + −1+ + −1 ≥ 3 x x y y z z

y x z x z y + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6 là Bđt đúng? x y x z y z

ÁN

⇔(

a b c 3 + + ≥ (1) b+c c+a a+b 2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

b) Ta có a > b-c  ⇒ a 2 > a 2 − (b − c) 2 > 0

ÀN

Ví dụ 3: (đổi biến số)

IỄ N

Đ

Cho a, b, c > 0 và a + b + c <1. Chứng minh rằng :

D

Giải:

1 1 1 + 2 + 2 ≥ 9 (1) a + 2bc b + 2ac c + 2ab

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

a 2 < a (b + c) 0 < a < b + c  a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có 0 < b < a + c ⇒ b 2 < b(a + c) 0 < c < a + b c 2 < c(a + b)  

Ơ

N

Giải

2

Đặt x = a 2 + 2bc ; y = b 2 + 2ac ; z = c 2 + 2ab

Ta có x + y + z = (a + b + c )2 < 1 1 x

1 y

1 z

(1) ⇔ + + ≥ 9 Với x + y + z < 1 và x ,y,z > 0 87

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

(x + y + z ). 1 + 1 + 1  ≥ 9

1 1 1 1 ⇒ + + ≥ 3. . 3 x y z xyz

x

z

y

Ơ

N

6) phương pháp làm trội :

ẠO

Giải :

Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có

N

G

Đ

1 1 ( 2k + 1) − (2k − 1) 1  1 1  = . =  − ( 2n − 1) . ( 2n + 1) 2 (2k − 1).(2k + 1) 2  2k − 1 2k + 1 

H Ư

a) Ta có :

(đpcm)

B

1 1 1 1 1 1 + + ... + < 1+ + + ..... + 1.2 1.2.3 1.2.3.....n 1.2 1.2.3 ( n − 1) .n

10 00

b) Ta có : 1 +

TR ẦN

1 1 1 1  2  1 + + ... + = . 1 − < 1.3 3.5 (2n − 1).(2n + 1) 2  2n + 1  2

Ó

A

1 1 1 1 1 1 < 1 + 1 −  +  −  + .... +  −  < 2 − < 2 (đpcm) n  2  2 3  n −1 n 

H

Bài tập về nhà:

-L

Í-

1) Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 +3 ≥ 2 (x + y + z)

ÁN

HD: Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng : 1 < a a+a 2a a a < = và > ) b+c a+b+c a+b+c b+c a+b+c

Đ

ÀN

(HD:

a b c + + <2 b+c c+a a+b

D

IỄ N

3) 1 <

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

1 1 1 + + ... + <2 1.2 1.2.3 1.2.3.....n

TP

b) 1 +

U Y

1 1 1 1 + + ... + < 1.3 3.5 (2n − 1).(2n + 1) 2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a)

H

Chứng minh BĐT sau :

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x + y + z ≥ 3. 3 xyz và

1 1 1 1 1 + + ... + + ... + + <2 n+1 n+2 2n + 1 3n 3n + 1

áp dụng phương pháp làm trội 4) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

bc ac ab + + ≥ a+b+c a b c 88

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

HD:

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

bc ac ac ab bc ab b a + + + = c  +  ≥ 2c; ?; ? a b b c a c  a b

N

CHUYÊN ĐỀ 17 – VẼ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐỂ TẠO THÀNH

.Q

TP

Trong các bài tập vận dụng định lí Talét. Nhiều khi ta cần vẽ thêm đường phlà một đường

N

G

B. Các ví dụ:

H Ư

1) Ví dụ 1:

TR ẦN

Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC, lấy tương ứng các điểm P, Q, R sao cho ba đường thẳng AP, BQ, CR cắt nhau tại một điểm.

A

E

F

B

AR BP CQ . . = 1 (Định lí Cê – va) RB PC QA

10 00

Chứng minh: Giải

Q

R O

Ó

A

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt các đường thẳng

H

CR, BQ tại E, F. Gọi O là giao điểm của AP, BQ, CR

∆ BOP

∆ FOA ⇒

AR AE = (a) RB BC

Í-

∆ BRC ⇒

B

ÁN

-L

∆ ARE

ÀN

Đ

∆ AOE ⇒

PC PO = (2) = AE AO BP PC BP FA = ⇒ = (b) FA AE PC AE

∆ AQF

CQ BC = (c) AQ FA

IỄ N

C

BP OP = (1) FA OA

Từ (1) và (2) suy ra: ∆ CQB ⇒

P

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

dùng, vì nhờ đó mà tạo thành được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ

∆ POC

D

ẠO

thẳng song song với một đường thẳng cho trước,. Đây là một cách vẽ đường phụ ïhay

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

A.Phương pháp:

Nhân (a), (b), (c) vế theo vế ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

CÁC CẶP ĐOẠN THẲNG TỶ LỆ

AR BP CQ AE FA BC . . = . . =1 RB PC QA BC AE FA 89

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

* Đảo lại: Nếu

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

AR BP CQ . . = 1 thì bai đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy RB PC QA

2) Ví dụ 2:

N

Một đường thăng bất kỳ cắt các cạnh( phần kéo dài của các cạnh) của tam giác ABC tại P,

∆ CQP ⇒

QA AE = (b) QC CP

Đ

∆ AQE

G

RB BP = (a) RA AE

N

∆ RBP ⇒

TR ẦN

Nhân vế theo vế các đẳng thức (a) và (b) ta có RB QA BP AE . = . (1) RA QC AE CP

B

PC RB PC QA BP AE PC . . = . . =1 ta có: BP RA BP QC AE CP BP

10 00

Nhân hai vế đẳng thức (1) với

A

RB.QA.PC = 1 thì ba điểm P, Q, R thẳng hàng RA.CQ.BP

H

Ó

Đảo lại: Nếu

H Ư

∆ RAE

ẠO

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt PR tại E. Ta có

Í-

3) Ví dụ 3:

-L

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua

ÁN

I song song với AC cắt AB ở K; đường thẳng qua I song song với AB cắt AC, AM theo thứ tự ở D, E. Chứng minh DE = BK

ÀN

Giải

A

Đ

Qua M kẻ MN // IE (N ∈ AC).Ta có:

E

IỄ N

DE AE DE MN = ⇒ = (1) MN AN AE AN

D

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

Giải:

MN // IE, mà MB = MC ⇒ AN = CN (2)

N K

B

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

RB.QA.PC = 1 (Định lí Mê-nê-la-uýt) RA.CQ.BP

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Chứng minh rằng:

H

Ơ

Q, R.

D

I

M

C 90

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

N H

Ơ

DE AB = (a) AE AC

BK AB = (6) KI AC

B

P

C

K

I

H Ư

4) Ví dụ 4:

F

TR ẦN

Đường thẳng qua trung điểm của cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Chứng

M E

B

minh: IA . KC = ID. KB

A

10 00

Giải

Ó

Ta có AM = BM; DN = CN

D

A

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD

Í-

H

Vẽ AE, BF lần lượt song song với CD

-L

∆ AME = ∆ BMF (g.c.g) ⇒ AE = BF

TO

ÁN

Theo định lí Talét ta có:

ÀN

Đ

Từ (1) và (2) suy ra

IỄ N

B

IA AE BF = = (1) ID DN CN

N

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ

DE BK = ⇒ DE = BK AE AE

N

Từ (a) và (b) suy ra

BK BK AB = = (b) KI AE AC

G

Từ (6) và (7) suy ra

TP

.Q

Vì KI // AC, IE // AC nên tứ giác AKIE là hình bình hành nên KI = AE (7)

Củng theo định lí Talét ta có:

D

Q

N

Tương tự ta có: Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

E

MN CN MN AB = ⇒ = (4) AB AC CN AC

Từ (4) và (5) suy ra

http://daykemquynhon.ucoz.com

A

U Y

Ta lại có

DE MN = (3) AE CN

C

KB BF = (2) KC CN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Từ (1) và (2) suy ra

www.facebook.com/daykem.quynhon R http://daykemquynhon.blogspot.com

IA KB ⇒ IA . KC = ID. KB = ID KC

5) Ví dụ 5:  , các điểm A, B theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho Cho xOy

91

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 = (k là hằng số). Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định + OA OB k

Giải  cắt AB ở C. vẽ CD // OA Vẽ tia phân giác Oz của xOy

y

N

B D

TP

x

N

G

Đ

1 1 1 = (2) + OA OB k

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

CD CD 1 1 1 + =1⇒ + = (1) OA OB OA OB CD

Theo giả thiết thì

A

H Ư

Từ (1) và (2) suy ra CD = k , không đổi

TR ẦN

Vậy AB luôn đi qua một điểm cố định là C sao cho CD = k và CD // Ox , D ∈ OB 6) Ví dụ 6:

B

Cho điểm M di động trên đáy nhỏ AB của hình thang ABCD, Gọi O là giao điểm của hai

10 00

cạnh bên DA, CB. Gọi G là giao điểm của OA và CM, H

I

là giao điểm của OB và DM. Chứng minh rằng: Khi M di

A

OG OH + không đổi GD HC

Ó

A

Í-

Giải

K

G

H

động trên AB thì tổng

P O

M

-L

F

H B

ÁN

Qua O kẻ đường thẳng song với AB cắt CM, DM theo thứ

TO

tự ở I và K. Theo định lí Talét ta có: OG OI OH OK OG OH OI OK IK ⇒ = ; = + = + = GD CD HC CD GD HC CD CD CD

D

Q

C

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

O

.Q

CD BD CD OB - CD = ⇒ = OA OB OA OB

Theo định lí Talét ta có

U Y

⇒ ∆ COD cân tại D ⇒ DO = DC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

C

H

Ơ

z

 = DCO  = AOC  (D ∈ OB) ⇒ DOC

OG OH IK + = (1) GD HC CD

Đ D

IỄ N

Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt IK, CD theo thứ tự ở P và Q, ta có: IK MP FO = = không đổi vì FO là khoảng cách từ O đến AB, MQ là đường cao của hình CD MQ MQ

thang nên không đổi (2) 92

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

OG OH FO + = không đổi GD HC MQ

Từ (1) và (2) suy ra 7) Ví dụ 7:

N

Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD. Trên AB lấy điểm M, trên AC lấy điểm N

H

Ơ

sao cho BM = CN, gọi giao điểm của CM và BN là O, Từ O vẽ đường thẳng song song với

H Ư

 = AFE  ⇒ ∆ AFE cân tại A ⇒ AE =AF (a) Suy ra AEF

K B

TR ẦN

Aùp dụng định lí Talét vào ∆ ACD , với I là giao điểm

O

P

N

G

 = OFC  (đồng vị); AFE  = OFC  (đối đỉnh) Mà DAF

B

CF CI CF CA = ⇒ = (1) của EF với BC ta có CA CD CI CD

10 00

 nên CA = BA (2) AD là phân giác của BAC BD

CF BA = (3) CI BD

H

Ó

A

Từ (1) và (2) suy ra

N

Đ

 = AEF  (góc đồng vị) EI // AD ⇒ BAD

F

Í-

Kẻ đường cao AG của ∆ AFE . BP // AG (P ∈ AD); CQ // AG (Q ∈ OI)

-L

 = CQI  = 900 thì BPD

D

I Q

C

ÁN

Gọi trung điểm của BC là K, ta có ∆ BPK = ∆ CQK (g.c.g) ⇒ CQ = BP

TO

⇒ ∆ BPD = ∆ CQI (g.c.g) ⇒ CI = BD (4)

Đ

Thay (4) vào (3) ta có

CF BA ⇒ CF = BA (b) = BD BD

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

M

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

 = DAF  AD là phân giác nên BAD

CD

G

TP

A

.Q

E

Giải.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA

U Y

N

AD cắt AC, AB tại E và F.

D

IỄ N

Từ (a) và (b) suy ra BE = CA

Bài tập về nhà

93

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1) Cho tam giác ABC. Điểm D chia trong BC theo tỉ số 1 : 2, điểm O chia trong AD theo tỉ KA không đổi KC

số 3 : 2. gọi K là giao điểm của BO và AC. Chứng minh rằng

N

2) Cho tam giác ABC (AB > AC). Lấy các điểm D, E tuỳ ý thứ tự thuộc các cạnh AB, AC

H .Q TP

N

G

Đ

QUY

H Ư

A. Kiến thức

TR ẦN

1) Bổ đề hình thang:

“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các

B

đường chéo và đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung

10 00

điểm của hai đáy”

A

Chứng minh:

H

Ó

Gọi giao điểm của AB, CD là H, của AC, BD là G, trung điểm của AD, BC là E và F

Í-

Nối EG, FG, ta có: ∆ ADG

∆ CBG (g.g) , nên :

-L

AD AG 2AE AG AE AG = ⇒ = ⇒ = (1) CB CG 2CF CG CF CG

ÁN

H

 = FCG  (SL trong ) (2) Ta lại có : EAG

∆ CFG (c.g.c)

ÀN

Từ (1) và (2) suy ra : ∆ AEG

Đ

 = CGF  ⇒ E , G , H thẳng hàng (3) Do đó: AGE

IỄ N

Tương tự, ta có: ∆ AEH

D

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

CHUYÊN ĐỀ 18 – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(HD: Vẽ DG // EC (G ∈ BC).

A

 = BHF  ∆ BFH ⇒ AHE

/

E

/

O

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

KE không đổi khi D, E thay đổi trên AB, AC KD

U Y

Tỉ số

Ơ

sao cho BD = CE. Gọi giao điểm của DE, BC là K, chứng minh rằng :

D

G

⇒ H , E , F thẳng hàng (4) A

m

Tõừ (3) và (4) suy ra : H , E , G , F thẳng hàng

B

B //

C

F

//

C

2) Chùm đường thẳng đồng quy: A' n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B'

C'

94

www.facebook.com/daykemquynhonofficial c b a www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Nếu các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy ở O chúng cắt m tại A, B, C và cắt n tại A’,

Ơ

N

B’, C’ thì

.Q

TP

+ Nếu ba đường thẳng trong đó có hai đường thẳng cắt nhau, định ra trên hai đường thẳng

Đ

+ Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi ba đường thẳng đồng quy tạo thành các cặp đoạn thẳng

H Ư

N

B. Aùp dụng:

G

tương ứng tỉ lệ thì chúng song song với nhau

TR ẦN

1) Bài 1:

Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm CD, N là trung điểm CB. Biết AM, AN cắt BD

B

thành ba đoạn bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình A

10 00

bình hành Giải

D F

Ó

A

Gọi E, F là giao điểm của AM, AN với BD; G, H là giao

M

E

Í-

H

điểm của MN với AD, BD

B N

-L

MN // BC (MN là đường trung bình của ∆ BCD)

C

ÁN

⇒ Tứ giác HBFM là hình thang có hai cạnh bên đòng quy

tại A, N là trung điểm của đáy BF nên theo bổ đề hình

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

song song các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy

G

H

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

* Đảo lại:

ÀN

thang thì N là trung điểm của đáy MH

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

AB BC AC AB A'B' AB A'B' = = hoặc = ; = A'B' B'C' A'C' BC B'C' AC A'C'

Đ

⇒ MN = NH (1)

D

IỄ N

Tương tự : trong hình thang CDEN thì M là trung điểm của GN ⇒ GM = MN (2)

Từ (1) và (2) suy ra GM = MN = NH

 = CMN  ⇒ BH // CM hay AB // CD (a) Ta có ∆ BNH = ∆ CNM (c.g.c) ⇒ BHN  = CNM  ⇒ GD // CN hay AD // CB (b) Tương tự: ∆ GDM = ∆ NCM (c.g.c) ⇒ DGM 95

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Từ (a) và (b) suy ra tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành 2) Bài 2: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q

Ơ

N

sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: HM ⊥ PQ

H

Giải

N

A

B

M

I

Đ

cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN

Q K

N

G

⇒ MK là đường trung bình của ∆ BCN ⇒ MK // CN ⇒ MK // AB (1)

H Ư

H là trực tâm của ∆ ABC nên CH ⊥ A B (2)

TR ẦN

Từ (1) và (2) suy ra MK ⊥ CH ⇒ MK là đường cao của ∆ CHK (3) Từ AH ⊥ BC ⇒ MC ⊥ HK ⇒ MI là đường cao của ∆ CHK (4)

B

Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của ∆ CHK ⇒ MH ⊥ CN ⇒ MH ⊥ PQ

10 00

3) bài 3:

A

Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC. Gọi E là một điểm

H

Ó

bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC.

Í-

 Chứng minh rằng: NM là tia phân giác của KNE

-L

Giải

C

ÁN

Gọi H là giao điểm của KN và DC, giao điểm của AC và MN là I thì IM = IN Ta có: MN // CD (MN là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD)

ÀN

⇒ Tứ giác EMNH là hình thang có hai cạnh bên EM và HN đồng quy tại K và I là trung

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai

ẠO

TP

ta chứng minh MH ⊥ CN ⇒ HM ⊥ PQ

H

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Từ C kẻ CN // PQ (N ∈ AB),

http://daykemquynhon.ucoz.com

P

U Y

N

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gọi giao điểm của AH và BC là I

D

IỄ N

Đ

điểm của MN nên C là trung điểm của EH

96

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon A B http://daykemquynhon.blogspot.com K

Trong ∆ ENH thì NC vừa là đường cao, vừa là đường

N

//

I

//

M

trung tuyến nên ∆ ENH cân tại N ⇒ NC là tia phân giác  mà NC ⊥ MN (Do NM ⊥ BC – MN // AB) ⇒ của ENH

H

D

C

Ơ

N

NM là tia phân giác góc ngoài tại N của ∆ ENH

E

U Y

Bài 4:

.Q

 điểm của AE và BF. Tính AMC

ẠO

A

H M

E

C

F

AB BE 2 1 = = = ⇒ CG = 2AB = 12 cm CG EC 4 2

⇒ FG = 9 cm ⇒

BH 6 = ⇒ BH = 2 cm ⇒ BH = BE 3 9

B

Ta lại có

D

TR ẦN

BH AB BH 6 = ⇔ = CF FG 3 FG

10 00

Ta có:

H Ư

N

Gọi giao điểm của CM và AB là H, của AM và DF là G

G

Đ

Giải

B

A

 = BCH  mà BAE  + BEA  = 900 ∆ BAE = ∆ BCH (c.g.c) ⇒ BAE

H

Ó

 = MEC  ; MCE  = BCH  ⇒ MEC  + MCE  = 900 ⇒ AMC  = 900 Mặt khác BEA

-L

Í-

Bài 5:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3 cm. Gọi M là giao

G

ÁN

Cho tứ giác ABCD. Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ các đường thẳng song song với

TO

BD, cắt các cạnh còn lại của tứ giác tại F, G a) Có thể kết luận gì về các đường thẳng EH, AC, FG

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Trên cạnh BC = 6 cm của hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho BE = 2 cm. Trên tia đối

Đ

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, cho biết OB = OD. Chứng minh rằng ba đường

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

 Vậy NM là tia phân giác của KNE

IỄ N

thẳng EG, FH, AC đồng quy

D

Giải a) Nếu EH // AC thì EH // AC // FG Nếu EH và AC không song song thì EH, AC, FG đồng quy 97

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com B E

b) Gọi giao điểm của EH, HG với AC

A

Trong hình thang DFEB có hai cạnh bên DF, BE đồng quy

H M

O

F

tại A và OB = OD nên theo bổ đề hình thang thì M là trung

N

.Q

U Y

ME MF = nên ba đường thẳng EG, FH, AC đồng GN HN

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

quy tại O

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

C

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có

G

D

H

Tương tự: N là trung điểm của GH

Ơ

N

điểm của EF

98

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 19 – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT

N

BIỂU THỨC

Ơ

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

TP

.Q

một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của

ẠO

2) Phương pháp

G

Đ

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:

H Ư

N

+ Chứng minh A ≥ k với k là hằng số b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần: + Chứng minh A ≤ k với k là hằng số

TR ẦN

+ Chỉ ra dấ “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến

10 00

B

+ Chỉ ra dấ “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến Kí hiệu : min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A

Ó

A

B.Các bài tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

H

I) Dạng 1: Tam thức bậc hai

-L

Í-

Ví dụ 1 :

ÁN

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 – 8x + 1

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên

b) Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 – 4x + 1 Giải

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại

Đ

ÀN

a) A = 2(x2 – 4x + 4) – 7 = 2(x – 2)2 – 7 ≥ - 7

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

1) Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị

D

IỄ N

min A = - 7 ⇔ x = 2 b) B = - 5(x2 +

max B =

4 2 4 9 9 2 9 x) + 1 = - 5(x2 + 2.x. + ) + = - 5(x + )2 ≤ 5 5 25 5 5 5 5

9 2 ⇔ x= − 5 5 99

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b) Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm min P nếu a > 0 b) Tìm max P nếu a < 0

b 2 b ) ≥ 0 do đó P ≥ k ⇒ min P = k ⇔ x = 2a 2a

b) Nếu a < 0 thì a(x +

b 2 b ) ≤ 0 do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇔ x = 2a 2a

a) A = (3x – 1)2 – 4 3x - 1 + 5

N

TR ẦN

1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

H Ư

II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối

G

Đ

ẠO

a) Nếu a > 0 thì a(x +

10 00

B

đặt 3x - 1 = y thì A = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 ≥ 1 x = 1 3x - 1 = 2 3x - 1 = 2 ⇔  ⇔ 1 x = 3x 1 = 2  3 

H

Í-

b) B = x - 2 + x - 3

Ó

A

min A = 1 ⇔ y = 2 ⇔

-L

B= x-2 + x-3 =B= x-2 + 3-x ≥ x-2 +3-x =1

ÁN

⇒ min B = 1 ⇔ (x – 2)(3 – x) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

b2 b 2 Đặt c = k. Do (x + ) ≥ 0 nên: 4a 2a

2) Ví dụ 2: Tìm GTNN của C = x 2 - x + 1 + x 2 - x - 2

ÀN

Ta có C = x 2 - x + 1 + x 2 - x - 2 = x 2 - x + 1 + 2 + x - x 2 ≥ x 2 - x + 1 + 2 + x - x 2 = 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

b b 2 b2 x) + c = a(x + ) + (c ) a 2a 4a

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có: P = a(x2 +

Ơ

N

Giải

D

IỄ N

Đ

min C = 3 ⇔ (x2 – x + 1)(2 + x – x2) ≥ 0 ⇔ 2 + x – x2 ≥ 0 ⇔ x2 – x – 2 ≤ 0 ⇔ (x + 1)(x – 2) ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ x ≤ 2

3) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 100

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| ≥ |x-1+4-x| = 3 (1) Và

x − 2 + x − 3 = x − 2 + 3 − x ≥ x − 2 + 3 − x = 1 (2)

Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| ≥ 1 + 3 = 4

Ơ

N

Ta có từ (1) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4

U Y

Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 ≤ x ≤ 3

.Q TP

1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Đ

Đặt x2 – 7x + 6 thì A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 ≥ - 36

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12)

N

G

Min A = - 36 ⇔ y = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 6) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 6

H Ư

b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + 2

TR ẦN

x - y = 0 ⇔x=y=1 x - 1 = 0

= (x – y)2 + (x – 1)2 + 2 ≥ 2 ⇔ 

B

c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y

10 00

Ta có C + 3 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1)

Ó

A

= (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1). Đặt x – 1 = a; y – 1 = b thì b b2 3b 2 b 3b 2 ≥ 0 + )+ = (a + )2 + 2 4 4 2 4

Í-

H

C + 3 = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a.

-L

Min (C + 3) = 0 hay min C = - 3 ⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 1

ÁN

2) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

III.Dạng 3: Đa thức bậc cao

ÀN

Đặt x + 7 = y ⇒ C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1 + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

(2) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3

Đ

= 2y4 + 12y2 + 2 ≥ 2 ⇒ min A = 2 ⇔ y = 0 ⇔ x = - 7

D

IỄ N

b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9 = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 ≥ 0 ⇒ min D = 0 ⇔ x = 3

IV. Dạng phân thức: 1. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai 101

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Biểu thức dạng này đạt GTNN khi mẫu đạt GTLN −2 2 -2 = = 2 2 6x - 5 - 9x 9x - 6x + 5 (3x - 1)2 + 4 1 1 −2 −2 1 ⇒ A ≥ ≤ ⇒ ≥ 2 2 (3x - 1) + 4 4 (3x - 1) + 4 4 2

.Q

N

G

1 1 3x 2 - 8x + 6 3(x 2 - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 2 = = 3− + . Đặt y = Thì 2 2 2 x - 2x + 1 (x - 1) x - 1 (x - 1) x-1

H Ư

A=

TR ẦN

A = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2 ≥ 2 ⇒ min A = 2 ⇔ y = 1 ⇔

1 =1 ⇔ x=2 x-1

+) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm

B

3x 2 - 8x + 6 2(x 2 - 2x + 1) + (x 2 - 4x + 4) (x - 2) 2 = = 2 + ≥2 x 2 - 2x + 1 (x - 1)2 (x - 1)2

10 00

A=

A

⇒ min A = 2 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

-L

1 x x 1 ⇒ x = − 10 thì = . Đặt y = 2 x + 20x + 100 (x + 10) x + 10 y 2

ÁN

Ta có B =

x x + 20x + 100 2

Í-

H

Ó

b) Ví dụ 2: Tìm GTLN của B =

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

+) Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu

2

TO

1 1 1 1 1 1 1 ≤ B = ( − 10 ).y2 = - 10y2 + y = - 10(y2 – 2.y. y + )+ = - 10  y -  + 20 400 40 40 40 y 10   1 1 1 ⇔ y⇔ x = 10 =0 ⇔ y= 40 10 10

IỄ N

Đ

Max B =

c) Ví dụ 3: Tìm GTNN của C =

D

TP

3x 2 - 8x + 6 a) Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 2 x - 2x + 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

1 1 ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = 2 3

U Y

min A = -

H

Ơ

Vì (3x – 1)2 ≥ 0 ⇒ (3x – 1)2 + 4 ≥ 4 ⇒

N

Ví dụ : Tìm GTNN của A =

x 2 + y2 x 2 + 2xy + y 2

1  (x + y) 2 + (x - y) 2  x 2 + y2 1 1 (x - y)2 1 1 2 = = + . ≥ ⇒ min A = ⇔ x=y Ta có: C = 2 2 2 2 x + 2xy + y (x + y) 2 2 (x + y) 2 2 102

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3. Các phân thức có dạng khác a)Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) của A =

Đ

a) Cách 1: Biểu thị ẩn này qua ẩn kia, rồi đưa về một tam thức bậc hai

H Ư

N

G

Từ x + y = 1 ⇒ x = 1 – y

Vậy min A =

2

1 1 1 1 1 1 + ) + = 2  y -  + ≥ 2 4 2 2 2 2 

TR ẦN

nên A = (1 – y)2 + y2 = 2(y2 – y) + 1 = 2(y2 – 2.y. 1 1 ⇔ x= y= 2 2

10 00

B

b) Cách 2: Sử dụng đk đã cho, làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A Từ x + y = 1 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1(1). Mặt khác (x – y)2 ≥ 0 ⇒ x2 – 2xy + y2 ≥ 0 (2)

Ó

A

Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:

1 1 1 ⇒ min A = ⇔ x=y= 2 2 2

Í-

H

2(x2 + y2) ≥ 1 ⇒ x2 + y2 ≥

-L

2)Ví dụ 2: Cho x + y + z = 3

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1)

TP

1) Ví dụ 1: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy

TO

ÁN

a) Tìm GTNN của A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN của B = xy + yz + xz

Đ

ÀN

Từ Cho x + y + z = 3 ⇒ Cho (x + y + z)2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1)

D

IỄ N

Ta có x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx =

=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

C. Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ơ H

1 3 - 4x (4x 2 + 4) − (4x 2 + 4x + 1) (2x + 1)2 = = 4 − ≤ 4 ⇒ max A = 4 ⇔ x = − 2 2 2 x +1 x +1 x +1 2

Ta lại có: A =

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

3 - 4x (4x 2 − 4x + 4) − (x 2 + 1) (x - 2)2 = = 2 − 1 ≥ −1 ⇒ min A = - 1 ⇔ x = 2 x2 +1 x2 +1 x +1

U Y

Ta có: A =

3 - 4x x2 + 1

1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) 2

1 ( x − y )2 + ( x −z )2 + ( y − z ) 2  ≥ 0 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx (2) 2 

Đẳng thức xẩy ra khi x = y = z 103

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

a) Từ (1) và (2) suy ra 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) ≤ x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) 2

2

2

⇒ x + y + z ≥ 3 ⇒ min A = 3 ⇔ x = y = z = 1

Ơ

N

b) Từ (1) và (2) suy ra

U Y

⇒ xy+ yz + zx ≤ 3 ⇒ max B = 3 ⇔ x = y = z = 1

.Q

N

H Ư

1 8 1 8 ⇒ S ≤ . = 3 27 27 729

8 1 khi x = y = z = 729 3

10 00

B

Vậy S có giá trị lớn nhất là

⇒ 2 ≥ 3 3 ( x + y ).( y + z ).( z + x )

TR ẦN

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =

G

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có

( x + y ) .( y + z ) .( z + x ) ≥ 3 3 ( x + y ) .( y + z ) .( x + z )

1 27

Đ

ẠO

Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có: x+ y + z ≥ 3 3 xyz ⇒ 3 xyz ≤ ⇒ xyz ≤

4) Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

x4 + y4 + z 4

Ó

A

Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) 2

2

2

Í-

H

Ta có ( xy + yz + zx ) ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ 1 ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 ) (1)

( x 2 + y 2 + z 2 )2 ≤ (12 + 12 + 12 )( x 4 + y 4 + z 4 ) ⇒ ( x 2 + y 2 + z 2 )2 ≤ 3( x 4 + y 4 + z 4 )

ÁN

Ta có

-L

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x 2 , y 2 , z 2 ) và (1,1,1)

TO

Từ (1) và (2) ⇒ 1 ≤ 3( x 4 + y 4 + z 4 ) ⇒ x 4 + y 4 + z 4 ≤

1 3

1 3 khi x= y = z = ± 3 3

IỄ N

Đ

Vậy x 4 + y 4 + z 4 có giá trị nhỏ nhất là

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 3

TP

Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x + y + z = 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3) Ví dụ 3:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) ≥ xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx)

D

D. Một số chú ý: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta có thể đổi biến Ví dụ : Khi tìm GTNN của A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – 2 = y thì A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2 ≥ 2… 104

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2) Khi tìm cực trị của một biểu thức, ta có thể thay đk của biểu thức này đạt cực trị bởi đk tương đương là biểu thức khác đạt cực trị: +)

1 lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất (với B > 0) B

N

+) -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất ;

H Đ

G

1 ⇔ x = ±1 2

B

⇒ min A =

2x 2 1 2x 2 ≤ ⇒ 1 + ≤ 1 + 1 = 2 ⇒ max 1 = 2 ⇔ x2 = 1 4 4 x +1 x +1 A

TR ẦN

Vì x4 + 1 > 0 ⇒

H Ư

N

b) Ta có (x2 – 1)2 ≥ 0 ⇔ x4 - 2x2 + 1 ≥ 0 ⇒ x4 + 1 ≥ 2x2. (Dấu bằng xẩy ra khi x2 = 1)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

2 1 1 ( x + 1) 2x 2 = 4 = 1+ 4 ≥ 1 ⇒ min = 1 ⇔ x = 0 ⇒ max A = 1 ⇔ x = 0 A x +1 x +1 A

10 00

3) Nhiều khi ta tìm cực trị của biểu thức trong các khoảng của biến, sau đó so sámh các cực trị đó để để tìm GTNN, GTLN trong toàn bộ tập xác định của biến

A

y 5 - (x + y)

H

Ó

Ví dụ: Tìm GTLN của B =

-L

Í-

a) xét x + y ≤ 4

- Nếu 1 ≤ y ≤ 3 thì A ≤ 3

ÁN

- Nếu x = 0 thì A = 0

TO

- Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 4 b) xét x + y ≥ 6 thì A ≤ 0

Đ

So sánh các giá trị trên của A, ta thấy max A = 4 ⇔ x = 0; y = 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 lớn nhất, ta có A

ẠO

a) Ta có A > 0 nên A nhỏ nhất khi

2

U Y

+ 1)

.Q

2

TP

(x

N

x4 + 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ví dụ: Tìm cực trị của A =

Ơ

+) C lớn nhất ⇔ C2 lớn nhất

IỄ N

4) Sử dụng các hằng bất đẳng thức

D

Ví dụ: Tìm GTLN của A = 2x + 3y biết x2 + y2 = 52 Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) cho các số 2, x , 3, y ta có: (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 ⇒ 2x + 3y ≤ 26 105

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com 2

x y 3x  3x  2 2 2 2 Max A = 26 ⇔ = ⇒ y = ⇒ x + y = x +   = 52 ⇔ 13x = 52.4 ⇔ x = ± 4 2 3 2  2 

Vậy: Ma x A = 26 ⇔ x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6

Ơ

N

5) Hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau

H

Hai số có tích không đổi thì tổng của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau

.Q

6)Trong khi tìm cực trị chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một giá trị của biến để xẩy ra đẳng thức

Ó

A

chứ không cần chỉ ra mọi giá trị để xẩy ra đẳng thức

Í-

H

Ví dụ: Tìm GTNN của A = 11m − 5n

-L

Ta thấy 11m tận cùng bằng 1, 5n tận cùng bằng 5

ÁN

Nếu 11m > 5n thì A tận cùng bằng 6, nếu 11m < 5n thì A tận cùng bằng 4

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

B

36 + 13 nhỏ nhất là min A = 25 ⇔ x = 6 x

10 00

⇒ A= x+

36 36 36 36 ⇔ x=6 có tích x. = 36 không đổi nên x + nhỏ nhất ⇔ x = x x x x

TR ẦN

Vì các số x và

N

(x + 4)(x + 9) x 2 + 13x + 36 36 = =x+ + 13 Ta có: B = x x x

Đ

(x + 4)(x + 9) x

H Ư

b) Ví dụ 2: Tìm GTNN của B =

ẠO

Khi đó A = 11. 11 = 121 ⇒ Max A = 121 ⇔ x = 5 hoặc x = - 2

TP

nhất khi và chỉ khi x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 ⇔ x2 – 3x – 10 = 0 ⇔ x = 5 hoặc x = - 2

TO

khi m = 2; n = 3 thÌ A = 121 − 124 = 4 ⇒ min A = 4, chẳng hạn khi m = 2, n = 3

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 không đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

a)Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)

106

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CHUYÊN ĐỀ 20 – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN  - PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp đưa về dạng tổng

Ơ

N

 Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu

N

H

thức chứa ẩn viết được dưới dạng tổng các bình phương.

.Q

ẠO

Các ví dụ minh hoạ:

G

Đ

- Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: 5 x 2 − 4 xy + y 2 = 169 (1) 2

H Ư

2

N

( 2 x − y )2 + x 2 = 144 + 25 (1) ⇔ 4 x − 4 xy + y + x = 144 + 25 = 169 + 0 ⇔  2 2 ( 2 x − y ) + x = 169 + 0 2

Từ (I) ta có:

(II)

B

 ( 2 x − y ) 2 = 132 x = 0  ⇒   x 2 = 0  y = ±13   ( 2 x − y ) 2 = 0  x = ±13 ⇒  2 2  y = ±26 x = 13  

Ó

A

10 00

 ( 2 x − y ) 2 = 122  x = ±5  x = ±5  ⇒ ;   x 2 = 52  y = ∓2  y = ∓22   ( 2 x − y ) 2 = 52  x = ±12  x = ±12 ⇒ ;  2 2 ∓ 19 y =   y = ∓29 x = 12  

TR ẦN

Tương tự từ (II) ta có:

( 5; −2 ) ; ( 5; −22 ) ; ( −5; 2 ) ; ( −5; 22 ) ; (12; −19 ) ; (12; −29 )

  ( −12;19 ) ; ( −12; 29 ) ; ( 0;13) ; ( 0; −13) ; (13; 26 ) ; ( −13; −26 ) 

-L

Í-

H

Vậy ( x, y ) ∈ 

ÁN

Ví dụ 2: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: x 2 + y 2 − x − y = 8 (2) 2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

nhau).

2

TO

(2) ⇔ 4 x 2 − 4 x + 4 y 2 − 4 y = 32 ⇔ 4 x 2 − 4 x + 1 + 4 y 2 − 4 y + 1 = 34 ⇔ ( 2 x − 1) + ( 2 y − 1) = 52 + 32  ( 2 x − 1)2 = 32  x = 2; x = −1   ⇒ 2  ( 2 y − 1) = 52  y = 3; y = −2   ⇒  ( 2 x − 1)2 = 52  x = 3; x = −2   ⇒ 2  ( 2 y − 1) = 32  y = 2; y = −1 

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

chứa ẩn; vế còn lại là tổng bình phương của các số nguyên (số số hạng của hai vế bằng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

- Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng của các bình phương các biểu thức

Vậy ( x; y ) ∈ {( 2;3) ; ( 2; −2 ) ; ( −1;3) ; ( −1; −2 ) ; ( 3; 2 ) ; ( 3; −1) ; ( −2; 2 ) ; ( −2; −1)} Ví dụ 3: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: x3 − y 3 = 91 (1) 107

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

(1) ⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 ) = 91.1 = 13.7 (Vì ( x 2 + xy + y 2 ) > 0 )

2

Vậy: ( x; y ) ∈ {( 0;0 ) ; ( −1;0 ) }

TR ẦN

 - PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp cực hạn

H Ư

N

G

Đ

ẠO

 2 x + 2 y + 1 = 1  x = 0 ⇒  2 x − 2 y + 1 = 1  y = 0 ⇒   2 x + 2 y + 1 = −1  x = −1  ⇒  2 x − 2 y + 1 = −1  y = 0

 Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình đối xứng

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

x 2 + x − y 2 = 0 ⇒ 4 x 2 + 4 x − 4 y 2 = 0 ⇒ ( 2 x + 1) − ( 2 y ) = 1 ⇒ ( 2 x + 2 y + 1)( 2 x − xy + 1) = 1

10 00

B

- Vì phương trình đối xứng nên x; y; z có vai trò bình đẳng như nhau. Do đó; ta giả thiết x ≤ y ≤ z ; tìm điều kiện của các nghiệm; loại trừ dần các ẩn để có phương trình đơn giản.

A

Giải phương trình; dùng phép hoán vị để suy ra nghiệm.

H

Ó

 Ta thường giả thiết 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ ....

-L

Í-

Các ví dụ minh hoạ:

ÁN

Ví dụ 1: Tìm x; y; z ∈ Z + thoả mãn: x + y + z = x. y.z (1)  Nhận xét – Tìm hướng giải:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

U Y

Ví dụ 4: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: x 2 + x − y 2 = 0 (2)

Ta thấy đây là phương trình đối xứng.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z . Khi đó:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

  x − y = 1  x = 6  x = −5  2 ⇒ ; 2 + + = x xy y 91 = 5 y ( )    y = −6  ( x − y ) . ( x 2 + xy + y 2 ) = 91.1 ⇒     x − y = 91 ⇒ VN  2 2  ( x + xy + y ) = 1

(1) ⇒ x. y.z = x + y + z ≤ 3z ⇒ x. y ≤ 3 (Vì x; y; z ∈ Z + ) ⇒ x. y ∈ {1; 2;3}

* Nếu: x. y = 1 ⇒ x = y = 1 ⇒ 2 + z = z (vô lí) * Nếu: x. y = 2 ⇒ x = 1; y = 2; z = 3 * Nếu: x. y = 3 ⇒ x = 1; y = 3 ⇒ z = 2 < y (vô lí) 108

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy: x; y; z là hoán vị của (1; 2;3) 1 1 1 + + = 2 (2) x y z

Ví dụ 2: Tìm x; y; z ∈ Z + thoả mãn:

Ơ

N

 Nhận xét – Tìm hướng giải:

1 y

1 z

3 x

3 2

1 z

.Q TP

1 y

2 y

ẠO

Với: x = 1 ⇒ 1 = + ≤ ⇒ y ≤ 2 ⇒ y ∈ {1; 2}

Đ

1 z

N

G

.Nếu: y = 1 ⇒ = 0 (vô lí)

H Ư

.Nếu: y = 2 ⇒ z = 2

TR ẦN

Vậy: x; y; z là hoán vị của (1; 2; 2 )

 - PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết x2 + x x2 + x + 1

nhận giá trị nguyên

A

Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z để: A =

10 00

B

Các ví dụ minh hoạ:

H

Ó

x2 + x x2 + x +1 −1 1 = = 1+ 2 . Khi đó: 2 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1

Í-

Ta có: A =

1 nhận giá trị nguyên. x + x +1 2

ÁN

-L

Để A nhận giá trị nguyên thì

⇒ 1⋮ ( x 2 + x + 1) ⇒ ( x 2 + x + 1) ∈ U (1) = {−1;1}

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(2) ⇒ 2 = + + ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x = 1

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 x

U Y

Giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z . Khi đó:

x = 0  x = −1

Đ

ÀN

Vì : ( x 2 + x + 1) > 0; ∀x ∈ ℤ ⇒ x 2 + x + 1 = 1 ⇒ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Đây là phương trình đối xứng.

IỄ N

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì: x = 0 hoặc x = −1

D

Ví dụ 2: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + x. y (2) ⇒ 2 y 2 . ( x − 1) − x. ( x − 1) − y. ( x − 1) + 1 = 0 (*) Với: x = 1; (*) ⇒ 1 = 0 ⇒ x = 1 không phải là ngiệm của phương trình. Nên: 109

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1 = 0 (**) . x −1

Phương trình có nghiệm nguyên ⇔

x = 0 1 ∈ ℤ ⇔ ( x − 1) ∈ U (1) = {1; −1} ⇒  x −1 x = 1

N

2 y2 − x − y +

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2

H

Ơ

Ví dụ 3: Tìm x; y ∈ Z + thoả mãn: 3x + 1 = ( y + 1) (3)

⇒ y; ( y + 2 ) là

hai

số

lẻ

liên

TP G

Đ

ẠO

 y = 3m (*) ( m + n = x ) ⇒ 3m + 2 = 3n ⇒ m < n  n  y + 2 = 3 (**)

H Ư

N

 Với: m = 0; ⇒ n = 1 ⇒ y = 1; x = 1.

 y ⋮3 ⇒ ( y; ( y + 2 ) ) ≠ 1 ( vô lí) ( y + 2 )⋮ 3

TR ẦN

 Với: m ≥ 1; ⇒ n > 1 Từ (*) ; (**) ⇒ 

x = 1 y =1

10 00

B

Phương trình có nghiệm nguyên: 

tiếp

 - PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

A

 Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình mà hai vế là

H

Ó

những đa thức có tính biến thiên khác nhau.

Í-

- Áp dụng các bất đẳng thức thường gặp:

-L

*Bất đẳng thức Cô – si:

TO

ÁN

Cho n số không âm: a1; a2 ; a3 ;......; an . Khi đó: a1 + a2 + a3 + ...... + an n ≥ a1.a2 .a3 .......an . Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = ...... = an n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

lẻ

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

số

⇒ ( y; y + 2 ) = 1 ⇒ y; y + 2 là các luỹ thừa của 3, nên:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

.Q

2

(3) ⇒ 3x = ( y − 1) − 1 = y ( y + 2 ) . 3x

U Y

N

Ta có:

D

IỄ N

Đ

* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho 2n số thực: a1; a2 ; a3 ;......; an và b1; b2 ; b3 ;......; bn . Khi đó:

( a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 + .... + an .bn )

2

≤ ( a1. + a2 . + a3 + .... + an )( b1 + b2 . + b3 + .... + bn ) .

Dấu “=” xảy ra ⇔ ai = kbi ( i = 1; n ) . 110

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

*Bất đẳng thứcgiá trị tuyết đối:  a + b ⇔ a.b ≥ 0 a +b =  a − b ⇔ a.b < 0

Ơ Đ

Vậy nghiệm của phương trình là: x = y = z = 1 2

H Ư

N

G

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( x + y + 1) = 3 ( x 2 + y 2 + 1) (2)

≤ (12 + 12 + 12 )( x 2 + y 2 + 1) = 3 ( x 2 + y 2 + 1) x 1

Dấu “=” xảy ra ⇔ =

y 1 = ⇒ x = y =1 1 1

B

2

10 00

( x + y + 1)

TR ẦN

Theo Bunhiacôpxki,ta có:

(Toán Tuổi thơ 2)

A

Vậy nghiệm của phương trình là: x = y = 1

H

Ó

Ví dụ 3: Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn:

-L

Í-

x − 3 + x − 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 = 2004 (3)

ÁN

 Nhận xét – Tìm hướng giải:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

⇒ 3 x. y.z ≤ 1 ⇔ x. y.z ≤ 1 ⇒ x = y = z = 1

Ta nhận thấy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 và a = −a

ÀN

Ta có:(3) ⇒ 3 − x + 10 − x + x + 101 + x + 990 + x + 1000 = 2004 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

.Q

x. y y.z z.x x. y y.z z.x . . + + ≥ 3. 3 = 3. 3 x. y.z . z x y z x y

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Áp dụng BĐT Cô – si. Ta có: 3 =

H

x. y y.z z.x + + = 3 (1) z x y

TP

Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z + thoả:

N

Các ví dụ minh hoạ:

D

IỄ N

Đ

 3− x ≥ 3− x   10 − x ≥ 10 − x Mà a ≥ a ⇒  x + 101 ≥ x + 101 ⇒ 2004 ≥ x + 101 + 2003 ⇒ x + 101 ≤ 1   x + 990 ≥ x + 990  x + 1000 ≥ x + 1000 

111

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Do đó: −1 ≤ ( x + 101) ≤ 1 ⇒ ( x + 101) ∈ {−1;0;1} ⇒ x ∈ {−102; −101; −100} . Với x = −101 ⇒ 2004 = 2003 (vô lí). Vậy nghiệm của phương trình là: x ∈ {−102; −100}

N

1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn: x 2 + y 2 + z 2 ≤ xy + 3 y + 2 z − 3

H

Ơ

Vì x,y,z là các số nguyên nên

y

y

∀x, y ∈ R

 x =1 Các số x,y,z phải tìm là  y = 2  z =1 

TR ẦN

H Ư

N

y  x − 2 = 0  x =1  2 2 y 2 y   y  ⇒  x −  + 3  − 1 + ( z − 1) = 0 ⇔  − 1 = 0 ⇔  y = 2 2  2  2  z =1   z −1 = 0  

2

B

PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp lựa chọn

10 00

Phương pháp: Phương pháp này được sử dụng với các phương trình mà ta có thể nhẩm (phát hiện dể dàng) được một vài giá trị nghiệm

Ó

A

- Trên cơ sở các giá trị nghiệm đã biết. Áp dụng các tính chất như chia hết; số dư; số

Í-

H

chính phương; chữ số tận cùng ….. ta chứng tỏ rằng với các giá trị khác phương trình vô

-L

nghiệm

ÁN

Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z + thoả mãn: x 6 + 3x 3 + 1 = y 4

ÀN

 Nhận xét – Tìm hướng giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

TP

2

(*) Mà  x −  + 3  − 1 + ( z − 1) ≥ 0 2  2 

ẠO

2

Đ

2

y 2  y  ⇔  x −  + 3  − 1  + ( z − 1) ≤ 0 2  2 

)

.Q

(

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

G

2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U Y

 2  y2   3y2 ⇔ x + y + z − xy − 3 y − 2 z + 3 ≤ 0 ⇔  x − xy +  +  − 3 y + 3 + z2 − 2z + 1 ≤ 0 4   4   2

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

x 2 + y 2 + z 2 ≤ xy + 3 y + 2 z − 3

Đ

Ta thấy với x = 0; y = ±1 thì phương trình được nghiệm đúng. Ta cần chứng minh

D

IỄ N

phương trình vô nghiệm với x ≠ 0 + Với x = 0; y = ±1 thì phương trình được nghiệm đúng + Với x > 0 . Khi đó: 2

2

x 6 + 2 x3 + 1 < x 6 + 3 x 3 + 1 < x 6 + 4 x 3 + 4 ⇒ ( x 3 + 1) < y 4 < ( x 3 + 2 ) (*)

112

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Vì ( x3 + 1) ; ( x3 + 2 ) là hai số nguyên liên tiếp nên không có giá trị nào của y thoả (*) Vậy x = 0; y = ±1 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 2: Tìm x; y ∈ Z + thoả: x 2 + x − 1 = 32 y +1

N

(2)

H

Ơ

(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ )

ẠO

Từ (*) và (**) suy ra phương trình vô nghiệm.

Đ

Ví dụ 3: Tìm x; y ∈ Z + thoả mãn: x 2 − 6 xy + 13 y 2 = 100 (3) 2

2

) = n (n ∈ ℕ)

TR ẦN

Do đó: y ∈ {−5; −4; −3;0;3; 4;5} ⇒ x ∈ {3;9;11;13}

N

( 25 − y

H Ư

2

G

 y ≤5

(3) ⇒ ( x − 3) = 4 ( 25 − y 2 ) ⇒ 

Phương trình có nghiệm nguyên: ( x; y ) ∈ {( −5;3) ; ( −4;9 ) ; ( −3;11) ; ( 0;13) ; ( 3;11) ; ( 4;9 ) ; ( 5;3)}

10 00

B

PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lùi vô hạn (xuống thang)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Mặt khác: 32 y +1 là luỹ thừa bậc lẻ của 3 nên có tận cùng là 3 hoặc 7. (**)

hệ số có ước chung khác 1

A

Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với những phương trình có (n – 1) ẩn mà

H

Ó

- Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm “hạ” (giảm bớt) hằng số

-L

Í-

tự do, để có được phương trình đơn giản hơn.

ÁN

- Sử dụng linh hoạt các phương pháp để giải phương trình đó.

TO

Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x3 − 3 y 3 − 9 z 3 = 0 (1)

D

IỄ N

Đ

 Nhận xét – Tìm hướng giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

(*)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

cùng là: 1, 5 hoặc 9.

U Y

N

Gọi b là chữ số tận cùng của x ( Với b ∈ {0;1; 2;...;9} . Khi đó: ( x 2 + x − 1) có chữ số tận

Ta thấy x3 − 3 y 3 − 9 z 3 = 0 ⇒ ( x3 − 3 y 3 − 9 z 3 )⋮ 3 mà ( −3 y 3 − 9 z 3 )⋮ 3 nên x3 ⋮ 3

Ta có: (1) ⇒ ( x3 − 3 y 3 − 9 z 3 )⋮ 3 ⇒ x3 ⋮ 3 ⇒ x ⋮ 3 ⇒ x = 3x1 Khi đó: (1) ⇒ ( 27 x13 − 3 y 3 − 9 z 3 )⋮ 3 ⇒ ( 9 x13 − y 3 − 3 z 3 )⋮ 3 ⇒ y 3 ⋮ 3 ⇒ y ⋮ 3 ⇒ y = 3 y1 . 113

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ ( 9 x13 − 27 y13 − 3 z 3 )⋮ 3 ⇒ z 3 ⋮ 3 ⇒ z ⋮ 3 ⇒ y = 3 z1 .

* Tiếp tục sự biểu diễn trên và nếu gọi x0 ; y0 ; z0 là nghiệm của (1) và thì 3 ∈ U ( x ; y ; z ) và 0

0

0

N

0 ≤ x0 ; y0 ; z0 ≤ 9 . Thực hiện thử chọn ta được: x0 = y0 = z0 = 0

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

Vậy nghiệm của phương trình là: x0 = y0 = z0 = 0

114

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

CÁC BÀI TẬP KHÁC 1/Dùng định nghĩa

Ơ

N

a2 2 2 + b +c > ab+bc+ac 3

H U Y

N

Giải

.Q

a2 2 2 + b +c > ab+bc+ac Điều phải chứng minh 3

x 4 + y 4 + z 2 + 1 ≥ 2 x.( xy 2 − x + z + 1)

10 00

a)

B

2) Chứng minh rằng

b) với mọi số thực a , b, c ta có : a 2 + 5b 2 − 4ab + 2a − 6b + 3 > 0

Ó

A

a 2 + 2b 2 − 2ab + 2a − 4b + 2 ≥ 0

H

Giải :

-L

a) Xét hiệu :

Í-

c)

2

ÁN

H = x 4 + y 4 + z 2 + 1 − 2 x 2 y 2 + 2 x 2 − 2 xz − 2 x = (x 2 − y 2 ) + (x − z )2 + (x − 1)2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

a >0 )

H Ư

Vậy :

a 3 − 36abc >0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên 12a

N

a 2

=( -b- c)2 +

G

Đ

a2 a2 a a 3 − 36abc 2 2 2 + b +c - ab– ac+ 2bc) + − 3bc =( -b- c) + 4 12 2 12a

TR ẦN

= (

TP

a2 a2 a2 2 2 2 2 + b +c - ab- bc – ac = + + b +c - ab- bc – ac 3 4 12

H ≥ 0 ta có điều phải chứng minh

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có hiệu:

D

IỄ N

Đ

ÀN

b) Vế trái có thể viết

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1) Cho abc = 1 và a 3 > 36 . . Chứng minh rằng

H = (a − 2b + 1)2 + (b − 1)2 + 1 ⇒ H > 0 ta có điều phải chứng minh

c) vế trái có thể viết H = (a − b + 1)2 + (b − 1)2 ⇒ H ≥ 0 ta có điều phải chứng minh

115

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ii / Dùng biến đổi tương đương

(x

2

)

2

+ y2 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng : ≥8 (x − y )2

+ y2

2

) = (x − y )

4

Ơ

2

+ 4.( x − y ) + 4

.Q TP

2

2 (x − y )4 − 4(x − y )2 + 4 ≥ 0 ⇔ ( x − y ) − 2 ≥ 0

ẠO

(x − y )4 + 4(x − y )2 + 4 ≥ 8.(x − y )2

G

N

1 1 2 + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1 + xy

H Ư

2) Cho xy ≥ 1 .Chứng minh rằng :

Đ

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

TR ẦN

Giải :

 1 1 1 2 1   1 1  +  ≥ 0 ⇔  + ≥ − − 2 2   2 2 2 1+ x 1+ y 1 + xy  1 + x 1 + y   1 + y 1 + xy 

B

(

)

(

)

x ( y − x) y( x − y) + ≥0 2 1 + x .(1 + xy ) 1 + y 2 .(1 + xy )

(

)

(

)

( y − x )2 (xy − 1) ≥ 0 (1 + x 2 )(. 1 + y 2 ).(1 + xy )

H

Ó

xy − x 2 xy − y 2 + ≥0 ⇔ 1 + x 2 .(1 + xy ) 1 + y 2 .(1 + xy )

10 00

A

Ta có

Í-

BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh

ÁN

-L

Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với

Đ

ÀN

Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥

1 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(x

H

(vì xy = 1)

2

N

2

x 2 + y 2 = ( x − y ) + 2 xy = ( x − y ) + 2

U Y

Ta có

N

Giải :

D

IỄ N

Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)

(1.a + 1.b + 1.c )2 ≤ (1 + 1 + 1).(a 2 + b 2 + c 2 )

Ta có ⇔

(a + b + c )2 ≤ 3.(a 2 + b 2 + c 2 ) 116

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

a2 + b2 + c2 ≥

1 3

(vì a+b+c =1 ) (đpcm)

2) Cho a,b,c là các số dương (1)

Ơ

c

b

H

a

N

1 1 1 Chứng minh rằng (a + b + c ). + +  ≥ 9

c a

x y + ≥2 y x

a b

b a a c

c b a c

Với x,y > 0

G N

(đpcm)

c

b

H Ư

a

Đ

Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng 1 1 1 Vậy (a + b + c ). + +  ≥ 9

c b

TR ẦN

Iv / dùng phương pháp bắc cầu 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng : 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2b + b 2c + c 2 a

10 00

B

Giải :

Do a <1 ⇒ a 2 <1 và b <1 Nên (1 − a 2 )(. 1 − b 2 ) > 0 ⇒ 1 + a 2b − a 2 − b > 0 (1)

A

Ó

Hay 1 + a 2b > a 2 + b

b > b 3 ⇒ 1 + a 2 > a3 + b3

Í-

H

Mặt khác 0 <a,b <1 ⇒ a 2 > a 3 ;

-L

Vậy a 3 + b 3 < 1 + a 2 b

ÁN

Tương tự ta có :

b3 + c3 < 1 + b 2c a3 + c3 < 1 + c 2a

(đpcm)

ÀN

⇒ 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2b + b 2c + c 2 a

Đ

2) So sánh 31 11 và 17 14

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

c a

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

áp dụng BĐT phụ

b c

TP

b a

ẠO

a c

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a b

.Q

(1) ⇔ 1 + + + + 1 + + + + 1 ≥ 9 ⇔ 3 +  +  +  +  +  +  ≥ 9

U Y

N

Giải :

D

IỄ N

Giải :

11

Ta thấy 3111 < 3211 = ( 25 ) = 255 < 256 14

Mặt khác 256 = 24.14 = ( 24 ) = 1614 < 1714 Vởy 31 11 < 17 14

(đpcm) 117

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

V/ dùng tính chất tỉ số ví dụ 4: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ, chứng minh rằng:

Ơ

N

(a + c) 2 + (b + d ) 2 ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

⇒ (a + c) 2 + (b + d ) 2 ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

mà (a + c )2 + (b + d )2 = a 2 + b 2 + 2(ac + bd ) + c 2 + d 2 ≤ (a 2 + b 2 ) + 2 a 2 + b 2 . c 2 + d 2 + c 2 + d 2

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

a2 + b2 . c2 + d 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ta có ac + bd ≤

H

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

118

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

§Ò 1

Ơ H

D

IỄ N

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

Bµi 3:(3®) Cho tam gi¸c ABC . LÊy c¸c ®iÓm D,E theo thø tù thuéc tia ®èi cña c¸c tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD .Qua O vÏ ®−êng th¼ng song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, ®−êng th¼mg nµy c¾t AC ë K. Chøng minh r»ng AB = CK. Bµi 4 (1®). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + 5 §¸p ¸n Bµi 1 : (3®) a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Râ rµng kÕt qu¶ trªn chia hÕt cho 17. b) (1,5®) ¸p dông h»ng ®¼ng thøc: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ. Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hÕt cho 44. Bµi 2 : (3®) a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2). 3 2 3 x – 4x – 18 x + 9 = x – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + 9 =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

yz xz xy 1 1 1 + + = 0( x, y, z ≠ 0) . TÝnh 2 + 2 + 2 x y z x y z

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) Cho

x2 + x − 6 x 3 − 4 x 2 − 18 x + 9

U Y

a) Rót gän biÓu thøc:

N

Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2:

(x+3)(x-2) ( x − 2) x2 + x − 6 => 3 = = 2 Víi ®iÒu kiÖn x ≠ -1 ; x2 -7x + 3 2 2 x − 4 x − 18 x + 9 (x+3)(x -7x +3) x -7x +3

≠0

b) (1,5®) V×

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 1 1 1 1 1 + + = 0 ⇒ = − +  x y z z x y 3

1 1  1 1 1 1 1 1 1 1  ⇒ 3 = −  +  ⇒ 3 = −  3 + 3. 2 . + 3 . 2 + 3  z z x y x y y  x y x

gi¸c

BCE

=>

Ơ H N

ẠO Đ G N

D

E

A

10 00

=B +E ⇒B  = 1C  mµ AC // BM C 1 1 1 1 2 ⇒B  = 1 CBM  (ta vÏ) => C1 = CBM 1 2 . nªn BO lµ tia ph©n gi¸c cña CBM

H

Ó

M

-L

Í-

Hoµn toµn t−¬ng tù ta cã CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCM . Trong tam gi¸c BCM, OB, CO, MO ®ång quy t¹i O => MO lµ ph©n tia ph©n gi¸c cña gãc CMB

TO

ÁN

 , BMC  lµ hai gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh BMCA => MO // víi tia ph©n gi¸c Mµ : BAC cña gãc A theo gt tia ph©n gi¸c cña gãc A cßn song song víi OK => K,O,M th¼ng hµng.

IỄ N

Đ

ÀN

 = 1 BMC  (cmt );   Ta l¹i cã : M A=M 1

D

C

2

=A  ⇒M 1 2

  1 (hai gãc ®ång vÞ) A2 = K

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

tam

B

B

cña

K

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 v× gãc C lµ gãc ngoµi => B1 = E 1

A

H Ư

Bµi 3 : (3®) Chøng minh : VÏ h×nh b×nh hµnh ABMC ta cã AB = CM . §Ó chøng minh AB = KC ta cÇn chøng minh KC = CM. ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c CBE c©n t¹i C

TP

.Q

1 1 1 xyz xyz xyz yz zx xy + 3 + 3 )= 3 ⇔ 3 + 3 + 3 = 3 ⇔ 2 + 2 + 2 = 3 3 x y z x y z x y z

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Do ®ã : xyz(

N

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 3 + 3 = −3 . .  +  ⇒ 3 + 3 + 3 = 3. 3 x y z x y x y x y z xyz

U Y

=M  ⇒ ∆CKM c©n t¹i C => CK = CM. KÕt hîp AB = CM => AB = CK (®pcm) => K 1 1

Bµi 4: (1®) Ta cã M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + 4. V× (2x + 1)2 ≥ 0 =>(2x + 1)2 + 4 ≥ 4  M ≥ 4 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi x = Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 2

2

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

------------------------------------------------®Ò 2 C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè: a1a 2 .. . a 8 tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a vµ b sau: b) a 4 a 5a 6 a 7 a 8 = ( a 7 a 8 )

3

Ơ H N

10 00

B

§¸p ¸n C©u 1 . Ta cã a1a2a3 = (a7a8) (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2). Tõ (1) vµ (2) => 22 ≤ a7 a8 ≤ 31

A

2

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

=> ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8  ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600.  ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6 do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn cã 3 kh¶ n¨ng: a) . a7a8 = 24 => a1a2a3 . . . a8 lµ sè 57613824. b) . a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => sè ®ã lµ 62515625 c) . a7a8 = 26 => kh«ng tho¶ m·n c©u 2 . §Æt m = 3k + r víi 0 ≤ r ≤ 2 n = 3t + s víi 0 ≤ s ≤ 2  xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + 1. = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thÊy: ( x 3k – 1) ⋮ ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 ) ⋮ ( x2 + x + 1) vËy: ( xm + xn + 1) ⋮ ( x2 + x + 1) <=> ( xr + xs + 1) ⋮ ( x2 + x + 1) víi 0 ≤ r ; s ≤ 2 <=> r = 2 vµ s =1 => m = 3k + 2 vµ n = 3t + 1 r = 1 vµ s = 2 m = 3k + 1 vµ n = 3t + 2

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

C©u 4 . Cho h×nh thang ABCD (®¸y lín CD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; c¸c ®−êng kÎ tõ A vµ B lÇn l−ît song song víi BC vµ AD c¾t c¸c ®−êng chÐo BD vµ AC t−¬ng øng ë F vµ E. Chøng minh: EF // AB b). AB2 = EF.CD. c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c OAB; OCD; OAD Vµ OBC Chøng minh: S1 . S2 = S3 . S4 . C©u 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45.

IỄ N D

U Y

.Q

 1  1 1   + + ... + 2005.2006.2007   1.2.3 2.3.4 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( xm + xn + 1 ) chia hÕt cho x2 + x + 1. khi vµ chØ khi ( mn – 2) ⋮ 3. ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x7 + x2 + 1. C©u 3 . Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

N

a) a1a 2a 3 = ( a 7 a 8 )

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Ơ

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

C©u 4 .a) Do

AE// BC =>

OE OA = OB OC O F OB = OA OD

A E

10 00

B

BF// AD

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

1 1 1 1  1  3 − + − +⋯− x 2006.2007   1.2 2.3 2.3 3.4 = 2 (1.2.3 + 2.3.4 −1.2.3 + ⋯ + 2006.2007.2008 − 2005.2006.2007 ) 1 1003.1004.669  1  ⇔ 3 −  x = 2.2006.2007.2008 ⇔ x = 5.100.651  1.2 2006.2007 

B H

O K F

Ó

OE OF = OB OA

A1B1

=> EF // AB

ABCA1 vµ ABB1D lµ h×nh b×nh hµnh => A1C = DB1 = AB

Í-

b).

nªn

D

H

OA OB = OC OD

A

MÆT kh¸c AB// CD ta l¹i cã

EF AB = => AB 2 = EF.CD. AB DC 1 1 1 1 c) Ta cã: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = OK.OD. 2 2 2 2 1 1 AH .OD AH .OB S3 2 S AH S1 S3 => 1 = 2 ; => S1.S2 = S3.S4 = = = AH .CK => = 1 1 S S4 CK S S 2 4 2 CK .OD CK .OB 2 2

TO

ÁN

-L

V× EF // AB // CD nªn

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

2 2  2  3 + + ⋯+  x = 2[(1.2(3 − 0) + 2.3(4 −1) + ⋯ + 2006.2007(2008− 2005))] 2005.2006.2007 1`.2.3 2.3.4

C

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nh©n 2 vÕ víi 6 ta ®−îc:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

1 1  1  + .+ … +   x = (1.2 + 2.3 + ⋯ + 2006.2007 ) 2005.2006.2007   1.2.3 2.3.4

N

H

mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2) ⋮ 3 §iÒu ph¶i chøng minh. ¸p dông: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12 ⋮ 3.  ( x7 + x2 + 1) ⋮ ( x2 + x + 1)  ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1 C©u 3 . Gi¶i PT:

N

<=>

C©u 5. A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4 = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 ≥ 4 Gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y=1 x- y- 6 = 0 x=7 --------------------------------------------Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

4

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

®Ò 3

Ơ

G

Đ

x·−1 x − 10 x − 19 + + = 3 (1) 2006 1997 1988

1 b

1 c

10 00

1 a

P= (a+ b+ c) ( + + ).

B

TR ẦN

H Ư

N

C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, M ∈ ®−¬ng chÐo AC. Gäi E,F theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña M trªn AD, CD. Chøng minh r»ng: a.BM ⊥ EF b. C¸c ®−êng th¼ng BM, EF, CE ®ång quy. C©u 5: Cho a,b, c, lµ c¸c sè d−¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

§¸p ¸n

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C©u 1: a. ( 1,25 ®iÓm) Ta cã: A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1 = (22-1)(22+1) ......... (2256+1) = (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1) ................ = [(2256)2 –1] + 1 = 2512 b, . ( 1 ®iÓm) Ta cã: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*) V× x2=y2 + z2 ⇒ (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2 C©u 2: . ( 1,25 ®iÓm) a. Tõ (1) ⇒ bcx +acy + abz =0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C©u 3: T×m x , biÕt :

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ab bc ca + 2 + 2 2 2 2 2 a +b −c b +c −a c + a2 − b2 2

ẠO

b. Biết a + b + c = 0 TÝnh : B =

.Q

U Y

N

H

a b c + + = 2 (2) x y z

x2 y 2 z 2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= 2 + 2 + 2 a b c

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x y z + + = 0 (1) vµ C©u 2: a. Cho a b c

N

C©u 1: a. Rót gän biÓu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1 b. NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2

Tõ (2) ⇒

 ab ac bc   abz + acy + bcx  x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2    = 4 + + + 2 + + = 0 ⇒ + 2 + 2 = 4 − 2 2 2 2 2   a b c a b c xyz  xy xz yz   

b. . ( 1,25 ®iÓm) Tõ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ a2 + b2 –c2 = - 2ab T−¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

⇒B=

ab bc ca 3 + + =− − 2ab − 2bc − 2ca 2

C©u 3: . ( 1,25 ®iÓm) x·−2007 x − 2007 x − 2007 + + =0 2006 1997 1988

N Ơ

H K

Đ

ẠO

TP

H

D

F

C

N

a a b b c c a b a c  b c + + +1+ + + +1 = 3 +  +  +  +  +  +  b c a c a b b a  c a c b x y + ≥ 2 víi mäi x, y d−¬ng. ⇒ P / 3+2+2+2 =9 y x

10 00

B

VËy P min = 9 khi a=b=c. --------------------------------------®Ò 4

H

Ó

A

Bµi 1 (3®): 1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 1

Í-

x+2 x+4 x+6 x+8 + = + 98 96 94 92

ÁN

Bµi 2 (2®):

-L

2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

TO

T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc P =

2 x 2 + 3x + 3 cã gi¸ trÞ nguyªn 2x −1

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC ) 1) KÎ ®−êng cao BM; CN cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a) ∆ABM ®ång d¹ng ∆ACN b) gãc AMN b»ng gãc ABC 2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F lµ trung ®iÓm cña AK. Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC. Bµi 4 (1®): T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 6

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

M

H Ư

MÆt kh¸c

E

TR ẦN

P=1+

B

G

⇒ Gãc MFE =KMB ⇒ BH ⊥ EF b. ( 1,25 ®iÓm) ∆ ADF = ∆BAE (cgc) ⇒AF ⊥ BE T−¬ng tù: CE ⊥ BF ⇒ BM; AF; CE lµ c¸c ®−êng cao cña ∆BEF ⇒ ®pcm C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Ta cã:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ x= 2007 A C©u 4: a. ( 1,25 ®iÓm) Gäi K lµ giao ®iÓm CB víi EM; H lµ giao ®iÓm cña EF vµ BM ⇒ ∆ EMB =∆BKM ( gcg)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(1) ⇔

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 A=

x 2 − 2 x + 2007 , ( x kh¸c 0) 2007 x 2

N

B

Bµi 2 (2®):

2 x 2 + 3 x + 3 (2 x 2 − x) + (4 x − 2) + 5 5 = = x+2+ 2x − 1 2x − 1 2x − 1

10 00

P=

H Ư

TR ẦN

Do ®ã : x + 100 = 0 ⇔ x = -100 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = -100

(0,25®)

(0,5®)

x nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn

A

5 ph¶i nguyªn hay 2x - 1 lµ −íc nguyªn cña 5 (0,5®) 2x − 1

H

Ó

®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th×

* 2x - 1 = 1 => x = 1 * 2x - 1 = -1 => x = 0 * 2x - 1 = 5 => x = 3 * 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5®) VËy x = {1;0;3;−2} th× P cã gi¸ trÞ nguyªn. Khi ®ã c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña P lµ: x = 1 => P = 8 x = 0 => P = -3 x = 3 => P = 6 x = -2 => P = -1 (0,5®)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

=>

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

(0,25®)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

.Q TP

ẠO

(0,5®)

G

x+2 x+4 x+6 x+8 + = + 98 96 94 92 x+2 x+4 x+6 x+8 +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) ⇔( 98 96 94 92 1 1 1 1 + )=0 ⇔ ( x + 100 )( 98 96 94 92 1 1 1 1 ≠ 0 V×: + 98 96 94 92

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

Bµi 1 (3®): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ 1 ) (1®) 2)

N

§¸p ¸n

Bµi 3 (4®): 1) a) chøng minh ∆ ABM ®ång d¹ng ∆ CAN (1®) Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

7

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

b) Tõ c©u a suy ra:

AB AM ⇒ ∆ AMN ®ång d¹ng ∆ ABC = AC AN

( x − 2007) 2 2006 2006 + ≥ 2007 2007 2007 x 2 2006 A min = khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®) 2007

TR ẦN

=

10 00

B

-----------------------------------®Ò 5

x2 6 1   10 − x 2   + + : x − 2 + 3   x+2  x − 4 x 6 − 3x x + 2  

A

C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A = 

  

-L

Í-

H

Ó

a, T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh . b, Rót gän biÓu thøc A . c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > O

ÁN

C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gi¶i ph¬ng tr×nh sau :

x 2 − 4x + 1 x 2 − 5x + 1 +2=− x +1 2x + 1

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

C©u 3 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau lÇn lît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S. 1, Chøng minh ∆ AQR vµ ∆ APS lµ c¸c tam gi¸c c©n. 2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt. 3, Chøng minh P lµ trùc t©m ∆ SQR. 4, MN lµ trung trùc cña AC. 5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng. C©u 4 ( 1 ®iÓm):

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

2007 x 2 − 2 x.2007 + 2007 2 x 2 − 2 x.2007 + 2007 2 2006 x 2 = + 2007 x 2 2007 x 2 2007 x 2

H Ư

A=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

(1,25®) 2) KÎ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H (0,25®) ∠ BAH = ∠ CHA ( so le trong, AB // CH) mµ ∠ CAH = ∠ BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®) Suy ra: ∠ CHA = ∠ CAH nªn ∆ CAH c©n t¹i C do ®ã : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5®) BK = CA VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm KH Do F lµ trung ®iÓm cña AK nªn EF lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c KHA. Do ®ã EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm) (0,5®) Bµi 4 (1®):

N

⇒ ∠ AMN = ∠ ABC ( hai gãc t−¬ng øng)

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

8

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 2 x 2 + 3x + 3 2x + 1

C©u 5 ( 1 ®iÓm) a, Chøng minh r»ng

3

x 3 + y 3 + z 3 = (x + y ) − 3 xy.(x + y ) + z 3

yz xz xy + + x2 y2 z 2

N N

H

§¸p ¸n

.Q

x # 2 , x # -2 , x # 0 2

Đ N

x 2 − 4x + 1 x 2 − 5x + 1 x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2 +1+ +1 = 0 ⇔ + =0 x +1 2x + 1 x +1 2x + 1

10 00

B

PT ⇔

§KX§ :

1 >0 ⇔ 2−x >0⇔ x < 2 2−x 1 x ≠ −1; x ≠ − 2

H Ư

c, §Ó A > 0 th×

G

−6 x+2 1 . = (x − 2)(x + 2) 6 2 − x

=

C©u 2 .

ẠO

x − 2( x + 2) + x − 2 6 : (x − 2)(x + 2) x + 2

TR ẦN

=

TP

x 2 1  6 + + :  x − 4 2− x x + 2 x+ 2

b , A = 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1   1 2 ⇔ (x 2 − 3 x + 2 ) +  = 0 ⇔ (x − 3 x + 2 )(3 x + 2 ) = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 2 )(3 x + 2 ) = 0 x + 1 2 x + 1  

A

⇔ x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3

H

Ó

C¶ 3 gi¸ trÞ trªn ®Òu tháa m·n §KX§ . 

3

-L

Í-

2 VËy PT ®· cho cã tËp nghiÖm S = 1;2;− 

TO

ÁN

C©u 3: 1, ∆ ADQ = ∆ ABR v× chóng lµ hai tam gi¸c vu«ng (®Ó ý gãc cã c¹nh vu«ng gãc) vµ DA=BD ( c¹nh h×nh vu«ng). Suy ra AQ=AR, nªn ∆ AQR lµ tam gi¸c vu«ng c©n. Chøng minh tîng tù ta cã: ∆ ARP= ∆ ADS do ®ã AP = AS vµ ∆ APS lµ tam gi¸c c©n t¹i A. 2, AM vµ AN lµ ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c vu«ng c©n AQR vµ APS nªn AN ⊥ SP vµ AM ⊥ RQ. ∠PAN = ∠PAM = 450 nªn gãc MÆt kh¸c : MAN vu«ng. VËy tø gi¸c AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt.

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

a,

U Y

C©u 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TÝnh A =

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 1 1 + + = 0. x y z

b, Cho

. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn

Ơ

Cho biÓu thøc A =

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

3, Theo gi¶ thiÕt: QA ⊥ RS, RC ⊥ SQ nªn QA vµ RC lµ hai ®êng cao cña ∆ SQR. VËy P lµ trùc t©m cña ∆ SQR. 1 2

4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM = QR.

N

1 QR. 2

Ơ

Trong tam gi¸c vu«ng RCQ th× CM lµ trung tuyÕn nªn CM =

H

⇒ MA = MC, nghÜa lµ M c¸ch ®Òu A vµ C.

3

H

Ó

a 3 + b 3 + c 3 = (a + b ) − 3ab (a + b ) + c 3 = −c 3 − 3ab(− c ) + c 3 = 3abc

1 1 1 1 1 1 3 + + = 0. ⇒ 3 + 3 + 3 = . xyz x y z x y z

-L

Theo gi¶ thiÕt

Í-

(v× a + b + c = 0 nªn a + b = −c )

ÁN

 1 yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 3 + 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz 3 + 3 + 3  = xyz × =3 2 xyz x y z x y z y z  x

=====================

Đ

ÀN

TO

khi ®ã A =

®Ò 6

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

Hay 2x+1 lµ íc cña 2 . VËy : 2x+1 = 2 ⇒ x=1/2 ( lo¹i ) 2x+1 = 1 ⇒ x = 0 2x+1 = -1 ⇒ x = -1 2x +1 = -2 ⇒ x = -3/2 ( lo¹i ) KL : Víi x = 0 , x= -1 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 5. a, , Chøng minh x 3 + y 3 + z 3 = (x + y )3 − 3 xy.(x + y ) + z 3 BiÕn ®æi vÕ ph¶i ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh. b, Ta cã a + b + c = 0 th×

IỄ N D

2 nguyªn 2x + 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

v× x ∈ Z nªn ®Ó A nguyªn th×

Đ

2 2x + 1

G

A = (x + 1) +

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

Chøng minh t¬ng tù cho tam gi¸c vu«ng c©n ASP vµ tam gi¸c vu«ng SCP, ta cã NA= NC, nghÜa lµ N c¸ch ®Òu A vµ C. Hay MN lµ trungtrùc cña AC 5, V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn B vµ D còng c¸ch ®Òu A vµ C. Nãi c¸ch kh¸c, bèn ®iÓm M, N, B, D cïng c¸ch ®Òu A vµ C nªn chóng ph¶i n»m trªn ®êng trung trùc cña AC, nghÜa lµ chóng th¼ng hµng. C©u 4 . Ta cã §KX§ x ≠ -1/2

Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc : 

x2 −1 1   − 2 4 2  x − x + 1 x + 1

M = 

 4 1− x4  x + 1+ x2 

  

a) Rót gän b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M . Bµi 2 : (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

10

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

A=

4 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 83 x −3

Ơ

N

Bµi 3 : 2 ®iÓm Gi¶i ph−¬ng tr×nh : a) x2 - 2005x - 2006 = 0 b) x − 2 + x − 3 + 2 x − 8 = 9

( x 2 − 1)( x 2 + 1) − x 4 + x 2 − 1 4 x 4 −1− x 4 + x 2 −1 x 2 − 2 2 = 2 ( x +1-x ) = ( x 4 − x 2 + 1)( x 2 + 1) x 2 +1 x +1 3 3 . M bÐ nhÊt khi 2 lín nhÊt ⇔ x2+1 bÐ nhÊt ⇔ x2 x +1 x +1 2

10 00

b) BiÕn ®æi : M = 1 -

= 0 ⇔ x = 0 ⇒ M bÐ nhÊt = -2

Ó

A

Bµi 2 : BiÕn ®æi A = 4x2+9x+ 29 +

4 4 ∈ Z ⇔ x-3 lµ −íc cña 4 ⇔ A ∈Z ⇔ x−3 x −3

H

⇔ x-3 = ± 1 ; ± 2 ; ± 4 ⇔ x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

Bµi 3 : a) Ph©n tÝch vÕ tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = 0 ⇔ (x-2006)(x+1) = 0 ⇒ x1 = -1 ; x2 = 2006 c) XÐt pt víi 4 kho¶ng sau : x< 2 ; 2 ≤ x < 3 ; 3 ≤ x < 4 ; x ≥ 4 Råi suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ : x = 1 ; x = 5,5 Bµi 4 : a) ∆ ABE = ∆ ADF (c.g.c) ⇒ AE = AF ∆ AEF vu«ng c©n t¹i t¹i A nªn AI ⊥ EF . ∆ IEG = ∆ IEK (g.c.g) ⇒ IG = IK . Tø gi¸c EGFK cã 2 ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®−êng vµ vu«ng gãc nªn h×nh EGFK lµ h×nh thoi . b) Ta cã : KAF = ACF = 450 , gãc F chung

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

=

B

a) M

TR ẦN

Bµi 1 :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

H Ư

§¸p ¸n

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Bµi 4 : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh BC . Qua E kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AE . Ax c¾t CD t¹i F . Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K . §−êng th¼ng qua E song song víi AB c¾t AI ë G . Chøng minh : a) AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi . b) ∆ AEF ~ ∆ CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay ®æi trªn BC chøng minh : EK = BE + DK vµ chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi . Bµi 5 : (1®) Chøng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hÕt cho 24

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

11

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 AF KF = ⇒ AF 2 = KF .CF CF AF

.Q

( Víi x ≠ 0 ; x ≠ ± 6 )

Đ

1) Rót gän biÓu thøc A 9+4 5

N

G

1

H Ư

2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A víi x=

TR ẦN

C©u 2: ( 1 ®iÓm ) a) Chøng minh ®¼ng thøc: x2+y2+1 ≥ x.y + x + y b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: x−2 x − x2 − x − 2

B

3

( víi mäi x ;y)

10 00

A=

ẠO

6x + 1 6 x − 1  x 2 − 36 + . 2 2 2  x − 6 x x + 6 x  12 x + 12

A= 

TP

C©u 1: ( 2 ®iÓm ) Cho biÓu thøc:

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C©u 3: ( 4 ®iÓm ) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . TRªn ®−êng chÐo BD lÊy ®iÓm P , gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña C qua P . a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi? b) Gäi E, F lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn AD , AB . Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng. c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. d) Gi¶ sö CP ⊥ DB vµ CP = 2,4 cm,;

PD 9 = PB 16

D

IỄ N

Đ

ÀN

TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. C©u 4 ( 2 ®iÓm ) Cho hai bÊt ph−¬ng tr×nh: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < 0 (2) T×m m ®Ó hai bÊt ph−¬ng tr×nh trªn cã cïng mét tËp nghiÖm.

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

®Ò 7

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

d) Tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi ⇒ KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Kh«ng ®æi) . Bµi 5 : BiÕn ®æi : B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120 Suy ra B ⋮ 24 ================================

N

∆ AKI ~ ∆ CAF (g.g) ⇒

§¸p ¸n C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

12

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

1) ( 1 ®iÓm ) §K: x ≠ 0; x ≠ ± 6 ) 6 x − 1  ( x + 6)( x − 6)

6 x 2 + 36 x + x + 6 + 6 x 2 − 36 x − x + 6 1 . = x 12( x 2 + 1)

Ơ

1 1

= 9+4 5

H

1 x

2) A= =

N

12( x 2 + 1) 1 1 . = 2 x 12( x + 1) x

N

=

==

.Q

C©u2: ( 2 ®iÓm ) 1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1 ≥ x. y+x+y ⇔ x2+y2+1 - x. y-x-y ≥ 0 ⇔ 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y≥ 0 ⇔ ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) ≥ 0 ⇔ (x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2≥ 0 BÊt ®¼ng thøc lu«n lu«n ®óng. 2) (2 ®iÓm ) (1) ⇔ 3mx-x>1+2m ⇔ (3m-1)x > 1+2m. (*) + XÐt 3m-1 =0 → m=1/3.

+ XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3.

B

1 + 2m 3m − 1

10 00

(*) ⇔ x>

+ XÐt 3m-1 < 0 ⇔ 3m <1 → m < 1/3

A

1 + 2m . 3m − 1

Ó

(*) ⇔ x <

Í-

H

mµ ( 2 ) ⇔ 2x > m ⇔ x > m/2. Hai bÊt ph−¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm.

TO

ÁN

-L

1  1  1 m>   m > m > 3 ⇔ ⇔ ⇔ 3 3 1 + 2m = m 3m 2 − 5m − 2 = 0 ( m − 2)( m + 1) = 0   3m − 1 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

⇔ m-2 =0 ⇔ m=2. VËy : m=2. C©u 3: (4 ®iÓm ) a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. → AM //PO → tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. b) ( 1 ®iÓm ) Do AM// BD → gãc OBA= gãc MAE ( ®ång vÞ ) XÐt tam gi¸c c©n OAB → gãc OBA= gãc OAB

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2 ⇔ x ∈φ . 3

TR ẦN

(*) ⇔ 0x> 1+

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

9+4 5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 6x + 1

A=  + . 2  x( x − 6) x( x + 6)  12( x + 1)

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

13

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Gäi I lµ giao ®iÓm cña MA vµ EF → ∆ AEI c©n ë I → gãc IAE = gãc IEA → gãc FEA = gãc OAB → EF //AC .(1) MÆt kh¸c IP lµ ®−êng trung b×nh cña ∆ MAC → IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra : E,F, P th¼ng hµng.

N

H

Ó

A

======================== ®Ò 8

Cho biÓu thøc: y =

x ; ( x>0) ( x + 2004) 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

Bµi1( 2.5 ®iÓm) a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0 b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm).

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

TR ẦN

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP ẠO Đ

G N H Ư

1 1 3 (x + )2 + 2 4 1 3 1 1 VËy Amax ⇔ [ ( x+ ) 2 + ] min ⇔ x+ = 0 → x = 2 4 2 2 4 Amax lµ khi x = -1/2 3

Ta cã A =

1 x−2 = 2 = ( x + x + 1)( x − 2) x + x + 1

H

PD 9 BD PB = ⇒ = = k → PD= 9k; PB = 16k. PB 16 9 16

Do ®ã CP2=PB. PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2. PD = 9k =1,8 PB = 16 k = 3,2 DB=5 Tõ ®ã ta chøng minh ®−îc BC2= BP. BD=16 Do ®ã : BC = 4 cm CD = 3 cm C©u4 ( 1 ®iÓm )

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

d) NÕu

MF AD = kh«ng ®æi. FA AB

Ơ

c) (1 ®iÓm ) Do ∆ MAF ∼ ∆ DBA ( g-g) →

T×m x ®Ó biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm) a, T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh: : ( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330. B, Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x − 6 ≤ 3

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

14

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Bµi 4: ( 3 ,5 ®iÓm) Cho gãc xoy vµ ®iÓm I n»m trong gãc ®ã. KÎ IC vu«ng gãc víi ox ; ID vu«ng gãc víi oy . BiÕt IC = ID = a. §−êng th¼ng kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b. A, Chøng minh r»ng tÝch AC . DB kh«ng ®æi khi ®−êng th¼ng qua I thay ®æi.

Ơ

8a 2 . TÝnh CA ; DB theo a. 3

H .Q

Bµi 1: 3 ®iÓm a, TÝnh: Ta cã: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2) = ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = 0 theo gi¶ thiÕt) 3 2 2 3 VËy:a +a c –abc + b c + b = 0 ( ®pCM) b, 1,5 ®iÓm Ta cã: bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)] = b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c)

10 00

§Æt t =

Bµi to¸n ®−a vÒ t×m x ®Ó t bÐ nhÊt

Ó

A

( x + 2004) 2 x 2 + 2.2004 x + 2004 2 = 2004 x 2004 x

H

Ta cã t =

x 2004 +2+ 2004 x

-L

Í-

=

Đ

ÀN

TO

ÁN

Ta thÊy:

IỄ N D

1 2004 y

B

Bµi 2: 2 §iÓm

=

x 2 + 2004 2 +2 2004 x

(1)

Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè d−¬ng ta cã:

x2 + 20042 ≥ 2. 2004 .x ⇒

x 2 + 2004 2 ≥2 2004 x

(2)

DÊu “ =” x¶y ra khi x= 2004 Tõ (1) vµ (2) suy ra: t ≥ 4 ⇒ VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = 4 khi x =2004. VËy ymax=

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

§¸p ¸n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C, BiÕt SAOB =

CA OC 2 = DB OB 2

N

B, Chøng minh r»ng

1 1 = Khi x= 2004 2004t 8016

Bµi 3:

2 §iÓm a, Nh©n c¶ 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh víi 2.3.4 ta ®−îc: (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8 VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn liªn tiÕp kh¸c 0 nªn c¸c thõa sè ph¶I cïng dÊu ( + )hoÆc dÊu ( - ). Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 . 10 . 9 . 8 Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) . (-10) . (-9) .(-8) (2) Tõ ph−¬ng tr×nh (1) ⇒ 12x -1 = 11 ⇔ x = 1 ( tho¶ m·n) suy ra x ∉ Z.

.Q

VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: S = { x ∈ R/ 3 < x < 9}. Bµi 4 : 3 §iÓm Ta cã A chung ; AIC = ABI ( cÆp gãc ®ång vÞ) ∆ IAC ~ ∆ BAO (gg).

Đ G N

TR ẦN

H Ư

(2)

AC ID OA OA . = . IC BD OB OB

10 00

b, Nh©n (1) víi (2) ta cã:

B

Hay AC. BD = IC . ID = a2 Suy ra: AC.BD = a2 kh«ng ®æi.

AC OA 2 = BD OB 2

Ó

A

mµ IC = ID ( theo gi¶ thiÕt) suy ra:

H

C, Theo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vu«ng ta cã;

Í-

1 OA.OB mµ SAOB = 2

-L

SAOB =

8a 2 3

TO

ÁN

Suy ra: OA.OB =

ÀN Đ

8a 2 ( gi¶ thiÕt) 3

OA . OB =

Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) =

IỄ N D

(1)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

AC IC AC AO = = ⇒ AO BO IC BO T−¬ng tù: ∆ BID ~ ∆ BAO (gg) OA OB OA ID ⇒ Suy ra: = = ID BD OB BD AC ID Tõ (1) vµ(2) Suy ra: = IC BD

Suy ra:

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

VËy x=1 tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh. x−6 < 3 ⇔ -3 < x – 6 < 3 ⇔ 3< x < 9 b, Ta cã

16a 2 3

16a 2 3

⇒ a2 + a( CA + DB ) + CA . DB =

Mµ CA . DB = a2 ( theo c©u a) ⇒ a(CA +DB) =

16a 2 - 2a2 3

16a 2 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

−7 12

N

12x -1 = - 8 ⇔ x=

Ơ

Tõ ph−¬ng tr×nh (2) ⇒

(1)

16a 2 CA.DB = a 2 − 2a 2 2 10a = . VËy:  ⇒ CA + DB + 3 10a 2 a 3 CA + DB =  3  a Gi¶i hÖ pt vµ DB = 3a ⇒ CA = 3

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

16

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

HoÆc CA = 3a vµ DB =

a 3

====================

H

2x + 1 x2 + 2

Đ

M=

ẠO

Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc:

TR ẦN

H Ư

N

G

Bµi 4 (3 ®iÓm). Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi E; F lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC. M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF. 1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF. 2.Chøng minh ∆ MAD c©n. 3.TÝnh diÖn tÝch ∆ MDC theo a. Bµi 5(1 ®iÓm).

B

Cho c¸c sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = 3 . 4

10 00

a 2 + b2 + c 2 ≥

3 . 2

Chøng minh r»ng :

x 2 ( 1 + x ) − y 2 (1 − y ) − x 2 y 2 ( x + y )

( x + y )(1 + x )(1 − y )

ÁN

P=

-L

1.

Í-

H

Ó

A

§¸p ¸n Bµi 1. (2 ®iÓm - mçi c©u 1 ®iÓm) MTC : ( x + y )( x + 1)(1 − y )

TO

P = x − y + xy .Víi x ≠ −1; x ≠ − y; y ≠ 1

th× gi¸ trÞ biÓu thøc ®−îc x¸c ®Þnh.

⇔ x − y + xy = 3 ⇔ x − y + xy − 1 = 2

⇔ ( x − 1)( y + 1) = 2

C¸c −íc nguyªn cña 2 lµ : ±1; ±2. Suy ra:

D

IỄ N

Đ

ÀN

2. §Ó P =3

( x + y )(1 + x )(1 − y )( x − y + xy ) ( x + y )(1 + x )(1 − y )

=

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 = x − 5 x + 6 x − 7 x + 12 x − 9 x + 20 x − 11x + 30 8

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1.Rót gän P. 2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) ∈ Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3. Bµi 2(2 ®iÓm). Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

Ơ

x2 y2 x2 y2 − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x ) ( x + 1)(1 − y )

U Y

Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho biÓu thøc : P =

N

®Ò 9

 x − 1 = −1 x = 0 ⇔   y + 1 = −2  y = −3 x −1 = 1 x = 2 ⇔  y + 1 = 2 y = 1

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

17

(lo¹i).

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 x −1 = 2 x = 3 ⇔  y + 1 = 1 y = 0  x − 1 = −2  x = −1 ⇔ (lo¹i)   y + 1 = −1  y = −2

N Ơ

N

H Ư

x 2 − 9 x + 20 = ( x − 4 )( x − 5 )

G

x 2 − 7 x + 12 = ( x − 3 )( x − 4 ) x 2 − 11x + 30 = ( x − 5 )( x − 6 )

1

1

+

TR ẦN

Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi : 1

+

1

+

( x − 2 )( x − 3 ) ( x − 3 )( x − 4 ) ( x − 4 )( x − 5 ) ( x − 5 )( x − 6 )

=

1 8

B

1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − = x −3 x −2 x − 4 x −3 x −5 x −4 x −6 x −5 8 4 1 1 1 1 = ⇔ − = ⇔ x −6 x −2 8 ( x − 6 )( x − 2 ) 8

A

10 00

H

Ó

⇔ x 2 − 8 x − 20 = 0 ⇔ ( x − 10 )( x + 2 ) = 0

-L

Í-

 x = 10 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ph−¬ng tr×nh. ⇔  x = −2

TO

ÁN

Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 10; x = -2. Bµi 3.(2®iÓm)

ÀN Đ IỄ N

(

2 2 2x + 1 + x2 + 2 − x2 − 2 x + 2 − x − 2x + 1 = x2 + 2 x2 + 2

(x M=

2

)

+ 2 − ( x − 1)

x2 + 2

2

= 1−

( x − 1)

)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 )( x − 3 )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP ẠO

Ta cã :

M=

D

H

x ≠ 2 x ≠ 3  x ≠ 4 x ≠ 5   x ≠ 6

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3. Bµi 2.(2 ®iÓm) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh:

2

x2 + 2

2

( x − 1) nhá nhÊt. M lín nhÊt khi 2 x +2

2

2

V× ( x − 1) ≥ 0∀x vµ ( x + 2 )〉 0∀x 2

( x − 1) nhá nhÊt khi x − 1 2 = 0. nªn 2 ( ) x +2

DÊu “=” x¶y ra khi x-1 = 0 ⇔ x = 1 . VËy Mmax = 1 khi x = 1. Bµi 4. . (3iÓm) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8  a. △ BEC =△CFD(c.g.c) ⇒ C1 = D 1 +D  = 900 ⇒ F  +C  = 900 ⇒△CMF vu«ng t¹i M △CDF vu«ng t¹i C ⇒ F 1 1 1 1

Hay CE ⊥ DF. b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE. Ta cã :

Ơ

N N U Y .Q

Đ G

Trong △ DCF theo Pitago ta cã :

TR ẦN

1 5 1  DF 2 = CD 2 + CF 2 = CD 2 +  BC 2  = CD 2 + CD 2 = .CD 2 . 4 4 2 

e b

B

2

Ó

A

1 1 1 Ta cã:  a 2 −  ≥ 0 ⇔ a 2 − a + ≥ 0 ⇔ a 2 + ≥ a 2

H

-L

Í-

T−¬ng tù ta còng cã:

4

4

b2 +

1 ≥b 4

1 4

; c2 + ≥ c

ÁN

Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®−îc: 3 3 3 ≥ a + b + c . V× a + b + c = nªn: a 2 + b2 + c 2 ≥ 2 4 4 1 DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = . 2

Đ

ÀN

TO

a2 + b2 + c2 +

m 1

10 00

Bµi 5 (1®iÓm)

d 1

1 1 CD 2 1 = . CD 2 = CD 2 = a 2 5 5 5 CD 2 4 4

Do ®ã : S△ MCD

a

H Ư

k

N

CD 2 1 . CD 2 . FD 2 4

VËy : S△CMD =

f

1

c

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 4

Mµ : S△ FCD = CF .CD = CD 2 .

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 2

ẠO

S CD   CD  Do ®ã : △CMD =   ⇒ S△CMD =   .S△ FCD S△ FCD  FD   FD 

IỄ N D

2

TP

2

H

⇒ AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MDK vu«ng t¹i M 1 ⇒ AM = KD = AD ⇒△ AMD c©n t¹i A 2 CD CM c. △CMD ∼△ FCD( g.g ) ⇒ = FD FC

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

△ AEK =△ BEC ( g .c.g ) ⇒ BC = AK

========================= ®Ò 10

C©u 1. (1,5®) Rót gän biÓu thøc : A =

1 1 1 1 + + +……….+ 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5)

C©u 2. (1,5®) T×m c¸c sè a, b, c sao cho : §a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4) Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

19

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 7 cã gi¸ trÞ nguyªn. x − x +1 2

H

Ơ

C©u 4. Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc) C©u 5 . Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c , träng t©m G, trùc t©m H, t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ O. Th× H,G,O th¼ng hµng.

N

C©u 3 . (2®) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc

.Q

1 1 1 1 1 1 1 ( - + - +…….+ ) 3 2 5 5 8 3n + 2 3n + 5 1 1 1 n +1 = ( )= 3 2 3n + 5 6n + 10

G

H Ư

§−a c¸c ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch. §¸p sè x = {−2,1,3} .

}

Í-

H

Ó

A

10 00

B

C©u 4. Tõ gi¶ thiÕt ⇒ a < b + c ⇒ a2 < ab + ac T−ng tù b2 < ab + bc c2 < ca + cb Céng hai vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®−îc (®pcm) C©u 5. trong tam gi¸c ABC H lµ trùc t©m, G lµ Träng t©m, O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c.

GM 1   = , HAG = OMG AG 2 OM 1 ChØ ra = (B»ng c¸ch vÏ BK nhËn O lµ trung ®iÓm chøng minh CK = AH) AH 2

TO

-

ÁN

-L

- ChØ ra ®−îc

⇒ △ AHG ∼△MOG (c.g.c) ⇒ H,G,O th¼ng hµng. ======================

ÀN Đ IỄ N D

N

7 ∈ Z ⇔ x2 –x +1 = U(7)= { +− 1,−+ 7 x − x +1 2

TR ẦN

C©u 3.

Đ

C©u 2. Chia ®a thøc x4 + ax + b cho x2 – 4 ®−îc ®a thøc d− suy ra a = 0 ; b = - 16.

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

A=

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

C©u 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

§¸p ¸n

®Ò 11

3x 3 − 14 x 2 + 3 x + 36 C©u 1:Cho biÓu thøc: A= 3 3 x − 19 x 2 + 33x − 9 a, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh. b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0. c, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

20

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

C©u 2: ( x + 16)( x + 9) víi x>0. x

N H Ư

( x − 3) 2 (3 x + 4) (0,5®) ( x − 3) 2 (3 x − 1)

TR ẦN

Ta cã A=

G

C©u1 (3®) a.(1®)

VËy biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x≠3,x≠1/3(0,5®)

3x + 4 do ®ã A=0 <=> 3x +4=0 (0,5®) 3x − 1

B

b. Ta cã A=

Ó

3x + 4 5 = 1+ 3x − 1 3x − 1

H

Ta cã A=

A

10 00

<=> x=-4/3 tho· m·n ®k(0,25®) VËy víi x=-4/3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0 (0,25®) c. (1®)

-L

Í-

§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th×

5 ph¶i nguyªn<=> 3x-1 lµ −íc cña 5<=> 3x-1≠±1,±5 3x − 1

ÀN

TO

ÁN

=>x=-4/3;0;2/3;2 VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cña xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (1®) C©u: 2: (3®) a.(1,5®) Ta cã

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

§¸p ¸n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

.b, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x+1+: 2x-1+2x =3 C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm thuéc c¸c c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x. .a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸c ®iÓm K,L,M,N sao cho tø gi¸c MNKL cã diÖn tÝch mhá nhÊt. .b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c MNKL lµ h×nh ch÷ nhËt. C©u 4: T×m d− cña phÐp chia ®a thøc x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1

N

.a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A=

D

IỄ N

Đ

x 2 + 25 x + 144 144 =x+ +25 (0,5®) x x 144 144 C¸c sè d−¬ng x vµ Cã tÝch kh«ng ®æi nªn tæng nhá nhÊt khi vµ chØ khi x = x x

A=

 x=12 (0,5®) VËy Min A =49 <=> x=12(0,5®) b.(1,5®) Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

21

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

D

G

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

D N B1 K1 A Gäi S1,,S2, S3, S4 lÇn l−ît lµ diÖn tÝch tam gi¸c AKN,CLM,DMN vµ BKL. KÎ BB1⊥AD; KK1⊥AD ta cã KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD(0,5®) T−¬ng tù S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S (0,25®) T−¬ng tù S3+S4= x(1-x)S  S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25®)  SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-1/2)2+1/2S≥1/2S(0,25®) VËy SMNKL ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1/2S khi x=1/2 khi ®ã M,N,K,L lÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh CD,DA,AB,BC (0,25®) b.(1,5®) • tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh b×nh hµnh (1®) • tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh ch÷ nhËt khi BD⊥AC (0,5®) C©u 4: (1®) Gäi Q(x) lµ th−¬ng cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 ta cã x99+x55+x11+x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*) trong ®ã ax+b lµ d− cña phÐp chia trªn Víi x=1 th×(*)=> 11=a+b Víi x=-1 th×(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7 VËy d− cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 lµ 4x+7 ==========================

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

K

Đ

M

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

D

TP

L

.Q

C

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

TH1: nÕu x<-1 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi :-x-1-2x+1+2x=3=>x=-3<1(lµ nghiÖm )(0,5®) TH2: NÕu -1≤x<1/2 th× ta cã x+1-2x+1+2x=3=> x=1>1/2(lo¹i )(0,25®) TH3: NÕu x≥1/2ta cã x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5<1/2 (lo¹i)(0,25®) VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho x=-3 (0,5®) C©u 3: (3®)

N

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

®Ò 12 Bµi 1: (3®) Cho ph©n thøc : M =

x 5 − 2 x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 + 3x + 6 x 2 + 2x − 8

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

22

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Đ

1 1 1 1 1 1 ≥ + + + + a +b−c b+c−a c + a −b a b c

G

Chøng minh r»ng:

B

AP BN CM . . =1 PB NC MA

A

10 00

c) Chøng minh

TR ẦN

H Ư

N

Bµi 4: (3®) Cho tam gi¸c ABC, ba ®−êng ph©n gi¸c AN, BM, CP c¾t nhau t¹i O. Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lÖ víi 4,7,5 a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm

§¸p ¸n (0,5®) 0,2® 1,0® 0,2®

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Bµi 1: a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 vµ x ≠ - 4 TX§ = {x / x ∈ Q; x ≠ 2; x ≠ −4} b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1) = 0 khi x=2; x= ± 1. x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0 x2+ 2x- 8 ≠ 0 VËy ®Ó M = 0 th× x = ± 1.

D

IỄ N

Đ

ÀN

§Ó M= 0 Th×

c) M =

( x − 2)( x 2 + 3)( x 2 + 1) ( x 2 + 3)( x 2 − 1) = ( x − 2)( x + 4) x+4

0,5® 0,3®

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

b) Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

1 1 1 + + 1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx

TP

M=

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

a) T×m tËp x¸c ®Þnh cña M b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0 c) Rót gän M Bµi 2: (2®) a) T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai trong ba sè Êy ta ®−îc 242. b) T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B. A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n Bµi 3: (2®) a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc

N

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

0,3®

Bµi 2: a) Gäi x-1, x, x+1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp Ta cã: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242 (0,2®) Rót gän ®−îc x2 = 81 0,5® Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

23

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

N

G

Đ

1 z z = = 1 + x + xy z (1 + x + xy) z + xz + 1

z xz 1 + + =1 z + xz + 1 xz + 1 + z 1 + z + xz

TR ẦN

M=

H Ư

1 xz xz = = 1 + y + yz (1 + y + yz ) xz xz + 1 + z

1 1 4 víi x,y > 0 + ≥ x y x+ y

0,3® 0,2® 0,2®

0,2®

H

Ó

A

1 1 4 2 + ≥ = a + b − c b + c − a 2b b 1 1 2 + ≥ b+c−a c+ a −b c 1 1 2 + ≥ c+ a −b a+b−c a

0,3®

10 00

B

b) a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0

0,2®

-L

Í-

0,2®

ÁN

0,2® 0,2®

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc råi chia cho 3 ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b = c Bµi 4: a) A

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

VËy n = -1; n = 2 Bµi 3: a) V× xyz = 1 nªn x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0

0,3® 0,2®

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

N

0,2® 0,1® 0,3® 0,2®

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Do x lµ sè tù nhiªn nªn x = 9 Ba sè tù nhiªn ph¶i t×m lµ 8,9,10 b) (n3+2n2- 3n + 2):(n2-n) ®−îc th−¬ng n + 3 d− 2 Muèn chia hÕt ta ph¶i cã 2 ⋮ n(n-1) → 2 ⋮ n Ta cã: n 1 -1 2 -2 n-1 0 -2 1 -6 n(n-1) 0 2 2 -3 lo¹i lo¹i

B

C N

AN lµ ph©n gi¸c cña Aˆ Nªn Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

NB AB = NC AC

0,3®

24

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 AB BC AC AB 4 = = ⇒ = ⇒ Nªn 4 7 5 AC 5 NB 4 BC 9 5.BC = ⇒ = ⇒ NC = = 10(cm) NC 5 NC 5 9 MC BC b) BM lµ ph©n gi¸c cña Bˆ nªn = MA BA

Theo gi¶ thiÕt ta cã

0,2®

H

Ơ

0,3®

N

0,5®

AB BC AC BC 7 = = ⇒ = 4 7 5 BA 4 MC 7 MC − MA 3 3.11 Nªn = ⇒ = ⇒ ac = = 11(cm) MA 4 MA + MC 11 3

0,5®

N

BN MC AP AB BC AC . . = . . =1 BC MA PB AC AB BC

H Ư

Do ®ã

0,5®

TR ẦN

======================== ®Ò 13

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

C©u 1: ( 2,5 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a/. x2 – x – 6 (1 ®iÓm) b/. x3 – x2 – 14x + 24 (1,5 ®iÓm) C©u 2: ( 1 ®iÓm) T×m GTNN cña : x2 + x + 1 C©u 3: ( 1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) ⋮ 120 víi m, n ∈ Z. C©u 4: ( 1,5 ®iÓm) Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi : x=

1+ a 1 + a + a2

; y=

1+ b 1 + b + b2

D

IỄ N

Đ

ÀN

C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x − 1 + x + 2 + x − 3 = 14

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ

BN AB MC BC AP AC = ; = ; = BC AC MA BA PB AB

G

Nªn

TP

c) V× AN,BM,CP lµ 3 ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC

0,5®

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

0,2®

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Theo gi¶ thiÕt ta cã:

C©u 6: ( 2,5 ®iÓm) Trªn c¹nh AB ë phÝa trong h×nh vu«ng ABCD dùng tam gi¸c AFB c©n , ®Ønh F cã gãc ®¸y lµ 150 . Chøng minh tam gi¸c CFD lµ tam gi¸c ®Òu.

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

25

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 §¸p ¸n C©u 1: a/. Ta cã: x – x – 6 = x – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3) ( NÕu gi¶i b»ng c¸ch kh¸c cho ®iÓm t−¬ng ®−¬ng ) b/. Ta cã: x = 2 lµ nghiÖm cña f(x) = x3 – x2 – 14x + 24 Do ®ã f(x) ⋮ x – 2, ta cã: f(x) : (x – 2) = x2 + x – 12 VËy x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)( x2 + x – 12) Ta l¹i cã: x = 3 lµ nghiÖm cña x2 + x – 12 Nªn x2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4) Nh− vËy: x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) . C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + x + 1 (1 ®’) 1 3 3 1 1 Ta cã : x2 + x + 1 = ( x + )2 + ≥ VËy f(x) ®¹t GTNN khi ( x + ) 2 = 0 Tøc x = 2 4 4 2 2 C©u 3: Ta cã : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1) = n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp trong ®ã cã Ýt nhÊt hai sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5). VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120.

N

2

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

H

Í-

-L ÀN

TO

ÁN

2

IỄ N

Đ

2

F F

F 2

H

A

D

I

15

0

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 1 + a + a2 1 1 1 1 a2 = = 1+ = 1+ = 1+ > 1+ = 1+ a 1 1 1 1 y x 1+ a 1+ a + + 2 2 a a a b2 b 1 1 1 1 V× a> b > 0 nªn 2 < 2 vµ < . VËy x < y. a b a b C©u 5: 1/. XÐt kho¶ng x < -2 ,ta cã: -3x + 2 = 14 ⇔ x = - 4. 2/. -2 ≤ x < 1, ta cã : -x + 16 = 14 ⇔ x = 2. (lo¹i) 3/. 1 ≤ x < 3, ta cã : x + 4 = 14 ⇔ x = 10 (lo¹i). 16 4/. x ≥ 3 , ta cã: 3x – 2 = 14 ⇔ x = VËy ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm lµ x = 3 16 4 vµ x = . 3 C©u 6: ( 2,5 ®’) D C

C©u 4: (1,5 ®’). Ta cã x,y > 0 vµ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

2

150

2

B

Dùng tam gi¸c c©n BIC nh− tam gi¸c AFB cã gãc ®¸y 150 . Suy ra : B2 = 600 (1) . Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

26

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Ta cã △ AFB =△ BIC (theo c¸ch vÏ) nªn: FB = IB (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra : △ FIB ®Òu . §−êng th¼ng CI c¾t FB t¹i H . Ta cã: I2 = 300 ( gãc ngoµi cña △CIB ).

Ơ H

D

Í-

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Bµi 1 (2 ®iÓm) Chia f(x) cho g(x) Ta cã : x4-3x2+3x2+ax+b: x2-3x+4. = x2+1 d− (a-3)x + b+4 (1 ®iÓm) f(x): g(x) khi vµ chØ khi sè d− b»ng kh«ng. Tõ ®©y suy ra (1 ®iÓm ). a-3=0 => a=3 b+4=0 => b=-4 Bµi 2 (2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö. (x+y+2)3 –x3-y3-z3 =A Ta cã : (x+y+z)3 –x3-y3-z3 = [(x+y+z)3-x3]-(y3+23). ¸p dông h»ng ®¼ng thøc 6 vµ 7. A= ( x+y+z-x) [(x+x+z)2 + (x+y+z)x + x2) – (x+z)(y2-y2+z2) = (y+z)[x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+xy+xz+x2+x2-y2+yz-z2].

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

27

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

§¸p ¸n

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

®Ò 14 C©u 1 (2 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x2+4-3x. C©u 2 (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö. (x+y+z)3 –x3-y3-z3. C©u 3 (2 ®iÓm ) : a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2 +x+1 b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3) C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a2+b2+c2=ab+bc+ac th× a=b=c C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho PAC = PBC. Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC. PK vu«ng gãc víi CA. Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB. Chøng minh : DK=DM.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

lµ ®−êng trung trùc cña △CFB . VËy △CFB c©n t¹i C . Suy ra : CF = CB (3) MÆt kh¸c : △ DFC c©n t¹i F . Do ®ã: FD = FC (4). Tõ (3) vµ (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC). VËy △ DFC ®Òu. Gi¶I b»ng ph−¬ng ph¸p kh¸c ®óng cho ®iÓm t−¬ng ®−¬ng. ==============================

N

 = 900 ( v× B  = 600 ) Tam gi¸c ®Òu FIB nªn IH lµ trung trùc cña FB hay CH Suy ra: H 2

(1 ®iÓm)

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

= (y+z) (3x2+3xy+3xz+3yz). = 3(y+z) [x(x+y)+z((x+y)] = 3(x+y) (y+z) ) (x+z) Bµi 3 : (2 ®iÓm ). a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2+x+1

N

3 3 ≥ 4 4 3 1 Gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi (x+ )2=0 4 2

(1 ®iÓm).

1 2

Ơ H .Q

E A

F D

Tø gi¸c DEPF lµ h×nh b×nh hµnh v× DE//BP, DF//AP Do ®ã : ED=FM ; EK =EP=DF Tõ c¸c tam gi¸c vu«ng APK; BPM ta suy ra. KEP =2KAP ; MEP = 2MBP DEPF lµ h×nh b×nh hµnh nªn DEP= DFP Theo gi¶ thiÕt KAD = MBP nªn KEP = MFP VËy DEK = DPM suy ra ∆ DEK= ∆ MFO (c.g.c) Do ®ã : DK=OM

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

28

B

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

P

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

(1 ®iÓm).

U Y

1 2

H

Í-

1 2 1 FM = BP =FP 2

Ta cã : KE= AP = EP

IỄ N D

Tøc x = -

b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A= h(h+1) (h+2) (h+3) (1 ®iÓm). Ta cã : A= h(h+1) (h+2) (h+3) = h(h+3) (h+2) (h+1) = (h2+3h) (h2+3h+2) §Æt : 3h+h2 =x A= x(x+2) = x2+2x = x 2+2x+1-1 = (x+1)2-1 ≥ -1 Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ -1. Bµi 4 (2 ®iÓm ) Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt : a2+b2+c2 = ab+ac+bc. Ta cã : a2+b2+c2 – ab-ac-bc = 0 Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0 (1 ®iÓm). 2 2 2 (a-b) + (b-c) + (a-c) = 0 §iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi. a-b = b-c = a-c = 0 Tøc lµ : a=b=c (1 ®iÓm). Bµi 5 (2 ®iÓm) C Gäi E lµ trung ®iÓm cña AP F lµ trung ®iÓm cña BP K M

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta cã : x2+x+1 = (x+ )2 +

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

========================== ®Ò 15

H

Ơ

N

C©u 1: (2®) T×m hai sè biÕt a. HiÖu c¸c b×nh ph−¬ng cña 2 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp b»ng 36 b. HiÖu c¸c b×nh ph−¬ng cña 2 sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp b»ng 40 C©u 2: (1,5®) Sè nµo lín h¬n: 2

.Q

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

§¸p ¸n C©u 1: a. Gäi 2 sè ch½n liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (x ch½n). Ta cã: (x+2)2 -x2 =36 => x = 8. VËy 2 sè cÇn t×m lµ 8 vµ 10. b. Gäi 2 sè lÎ liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (xlÎ) Ta cã (x+2)2 –x2 = 40 => x = 9 VËy 2 sè cÇn t×m lµ 9 vµ 11. C©u 2: Theo tÝnh chÊt cña ph©n thøc ta cã: 2

Đ

ÀN

TO

2006 − 2005 2006 − 2005 20062 − 20052  2006 − 2005  . <   = 2006 + 2005 2006 + 2005 (2006 + 2005) 2  2006 + 2005 

=

2006 2 − 2005 2 2006 2 − 2005 2 < 2006 2 + 2.2006.2005 + 2005 2 2006 2 + 2005 2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

C©u 4: (1®) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh ax –b> bx+a C©u 5: (2,5®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®−êng th¼ng AK song song víi BC. Qua B vÏ ®−êng th¼ng BI song song víi AD. BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh r»ng: a. EF song song víi AB b. AB2 = CD.EF C©u 6: (1,5®) Cho h×nh thang ABCD (AD//BC) cã hai ®−êng chÐo, c¾t nhau ë O . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam gi¸c BOC lµ 169 cm2 vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOD lµ 196 cm2.

IỄ N D

TP

x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 +6 = 0 + + + + + 1000 999 998 997 996 995

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

C©u 3: (1,5 ®) Gi¶i ph−¬ng tr×nh

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

20062 − 20055  2006 − 2005  hay   20062 + 20052  2006 + 2005 

C©u 3: Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi: x +1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 +1+ +1+ + +1+ +1+ +1 = 0 1000 999 998 997 996 995 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 ⇔ + + + + + =0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 1 1 1 ⇔ ( x + 1001)( + + + + + )=0 1000 999 998 997 996 995

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

29

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 ⇔ x=-1001.

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x=-1001. a+b a−b a+b * NÕu a<b th× x< a −b

H

Ơ

N

C©u 4: * NÕu a> b th× x>

N

H Ư

OK DE = AB EB KD + AB DE + EB DK + KC BD DC DB = ⇒ = ⇒ = ⇒ (1) AB EB AB EB AB EB DB DI DB AB = ⇒ = (2) Do EF// DI ⇒ EB EF EB EF DC AB Tõ (1) vµ (2) ⇒ = ⇒ AB 2 = DC.EF AB EF

I

C

Ó

A

10 00

B

b. ∆AEB Vµ ∆KED ®ång d¹ng, suy ra

K

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

B C C©u 6: Theo ®Ò bµi ta ph¶i tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm2 O SAOD = 196 cm2 Ta nhËn thÊy SABD = SACD (v× cã chung ®¸y AD A vµ ®−êng cao t−¬ng øng b»ng nhau) Suy ra SABO = SCOD Tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta rót ra r»ng: tû sè diÖn tÝch hai tam gi¸c cã chung ®−êng cao b»ng tû sè hai ®¸y t−¬ng øng. Do ®ã:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

F

TR ẦN

VËy AF// AB

IỄ N D

E

B

D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

A

G

AE AB a. ∆AEB vµ ∆KEB ®ång d¹ng (g.g) ⇒ = EK KD AF AB ∆AFB Vµ ∆CFI ®ång d¹ng (g.g) ⇒ = FC CI A£ AF ⇒ EF // KC Mµ KD = CI = CD – AB ⇒ = EK FC D

ẠO

C©u 5:

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

* NÕu a=b th× 0x> 2b + NghiÖm ®óngvíi mäi x nÕu b<0 + V« nghiÖm nÕu b ≥ 0

S ABO AO S AOD = = => SABO.SCOD = SBOC.SAOD S BOC OC S COD

Mµ SABO = SCOD nªn: S2ABO = SAOD . SBOD = 169.196 = 132 .142 => SABO = 13.14 = 182 (cm2) ================ Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

30

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

B

C©u 1

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

A nguyªn ⇔ 2x+ 1 lµ −íc cña 4 ¦(4) = {±1; ±2; ±4} Gi¶i ra x = -1; x= 0 th× A nguyªn. C©u 2: x2 - 3|x| - 4 = 0 ⇔ 3|x| = x2 - 4 ⇔ 3x = ± (x2 - 4) ⇔ x2 - 3x - 4 = 0 hoÆc x2 + 3x - 4 = 0 Gi¶i 2 ph−¬ng t×nh nµy ®−îc S = {-4; 4} C©u 3: (S¸ch ph¸t triÓn to¸n 8) C©u 4: M = 18 khi a = b = … C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc... Ta cã: A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x- 1/4)2 + 1/4 ⇒ A … ¼ VËy Amin = 1/4 khi x = 1/4 ; y = 1/4. =========================

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

§¸p ¸n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

®Ò 16 C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn. 2x3 + x2 + 2x + 5 A= 2x + 1 C©u 2(2®): Gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 - 3|x| - 4 = 0 C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t−¬ng øng c¸c ®iÓm P, Q, R. Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång qui lµ: PB QC RA . . =1 PC QA RB C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2 C©u 5(2®): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 3x2 + y2

®Ò 17 Bµi 1. Cho biÓu thøc: A= (

x + 1 x − 1 x 2 − 4 x − 1 x + 2006 − + ). x −1 x +1 x2 − 1 x

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

31

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh. b) Rót gän biÓu thøc A. c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2:

Ơ

N

2−x 1− x x −1 = − 2004 2005 2006

a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

H Ư

Bµi 1:  x ≠ ±1 x ≠ 0

( x + 1) 2 − ( x + 1) 2 + x 2 − 4 x − 1 x + 2006 x + 2006 ⋅ = 2 x −1 x x  x = ±1  x = ±2006

B

b) A = (

TR ẦN

a) §iÒu kiÖn: 

10 00

c) Ta cã: A nguyªn ⇔ (x + 2006) ⋮ x ⇔ 2006⋮ x ⇔ 

Ó

A

Do x = ± 1 kh«ng tho· m·n ®k. VËy A nguyªn khi x = ± 2006 Bµi 2. 2−x 1− x x −1 = − 2004 2005 2006 2− x 1− x x 2 − x 2004 1 − x 2005 x 2006 +1 = +1− +1 ⇔ + = + − + 2004 2005 2006 2004 2004 2005 2005 2006 2006 2006 − x 2006 − x 2006 − x ⇔ (2006 − x)( 1 − 1 − 1 = 0 = + 2004 2005 2006 2004 2005 2006

Í-

-L

TO

ÁN

H

a) Ta cã:

D

IỄ N

Đ

ÀN

⇔ (2006 - x) = 0 ⇒ x = 2006 b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc, råi tõ ®ã a = 2 b = 1

ta t×m ®−îc: 

D

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

§¸p ¸n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

b) T×m a, b ®Ó: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1 Bµi 3. Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M kÎ c¸c ®−êng th¼ng song song víi hai ®−êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®−êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn l−ît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J. a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF. b) Trong tr−êng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF. Bµi 4. Cho a ≥ 4; ab ≥ 12. Chøng minh r»ng C = a + b ≥ 7

C

Bµi 3.

E

FI FP DO a) Ta cã: = = (1) IE PM OB

I

J

F

Q P

A

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

32

M

B

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 EJ EQ CO (2) = = FJ QM OA

DO CO = (3) OB OA

N

hay FI.FJ = EI.EJ (4)

H

NÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× tõ (4) ta cã:

3 4

1 4

U Y .Q

3ab 1 3 ⋅ 12 1 + a≥2 + ⋅4 = 7 4 4 4 4

(§PCM)

N

Bµi 4. Ta cã: C = a + b = ( a + b) + a ≥ 2

Đ

ẠO

EF kh«ng liªn quan g× ®Õn vÞ trÝ cña M. VËy M tuú ý trªn AB 3

G

Do ®ã: FI = EJ = IJ =

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H Ư

============================ ®Ò 18 1 m n = + x ( x − 1) x − 1 x

M=

10 00

b. Rót gän biÓu thøc:

B

a. T×m sè m, n ®Ó:

TR ẦN

C©u 1:

1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 a − 5a + 6 a − 7 a + 12 a − 9a + 20 a − 11a + 30 2

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C©u 2: a. T×m sè nguyªn d−¬ng n ®Ó n5 +1 chia hÕt cho n3 +1. b. Gi¶i bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn. C©u 3: Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®−êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ ®−êng trung trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG = 2HE vµ AG = 2HF. C©u 4: Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n: a = 1969 + 1971 ; b = 2 1970

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

suy ra: EF = FI + IE = 3FI. T−¬ng tù tõ (2) vµ (3) ta cã EF = 3EJ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

IJ IJ IJ IJ )( FH + ) = ( EH − )( EH + ) ⇒ FH = EH 2 2 2 2 DO CO 1 FI 1 b) NÕu AB = 2CD th× = = nªn theo (1) ta cã = OB OA 2 IE 2 ( FH −

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

FI EJ = IE FJ

Ơ

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra

§¸p ¸n C©u 1: (3®) a. m =1 (0.75®); n = -1 (0.75®) b.(1.5®) ViÕt mçi ph©n thøc thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc (¸p dông c©u a) Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

33

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

(0.25®)

1 1 4 − = a − 6 a − 2 (a − 2).(a − 6)

.Q

(0.5®)

C©u 2: (2.5®) a. (1.5®) BiÕn ®æi: n5 + 1 ⋮ n3 + 1 ⇔ n2(n3 + 1) – (n2 –1) ⋮ n3 + 1 (0.5®) 2 (0.25®) ⇔ (n + 1) (n – 1) ⋮ (n + 1)(n - n + 1) 2 (0.25®) ⇔ n – 1 ⋮ n – n + 1 (v× n + 1 ≠ 0 ) NÕu n = 1 th× ta ®−îc 0 chia hÕt cho 1 (0.25®) 2 NÕu n > 1 th× n – 1 < n(n – 1) + 1 = n – n +1 Do ®ã kh«ng thÓ x¶y ra quan hÖ n – 1 chia hÕt cho n2 – n +1 trªn tËp hîp sè nguyªn d−¬ng VËy gi¸ trÞ duy nhÊt cña n t×m ®−îc lµ 1 (0.25®) 2 b. n – 1 ⋮ n – n +1 ⇔ n(n – 1) ⋮ n2 – n + 1 ⇔ n2 – n ⋮ n 2 – n + 1 ( n2 – n + 1) – 1 ⋮ n2 – n + 1 ⇔ ⋮ n2 – n + 1 1 (0.5®) ⇔ Cã hai tr−êng hîp: n2 – n + 1 = 1 ⇔ n(n – 1) = 0 ⇔ n = 0 hoÆc n = 1 C¸c gi¸ trÞ nµy ®Òu tho¶ m·n ®Ò bµi (0.25®) 2 2 n – n + 1 = - 1 ⇔ n – n + 2 = 0 v« nghiÖm VËy n = 0, n = 1 lµ hai sè ph¶i t×m (0.25®) C©u 3: (3®) (H×nh *) LÊy I ®èi xøng víi C qua H, kÎ AI vµ BI, ta cã HE lµ ®−êng trung b×nh cña ∆ACI nªn HE//AI vµ HE = 1/2IA (1) (0.25®) T−¬ng tù trong ∆CBI : HF//IB vµ HF = 1/2IB (2) (0.25®) Tõ BG⊥AC vµ HE⊥AC ⇒ BG//IA (3) (0.25®) T−¬ng tù AK⊥BC vµ HF⊥BC ⇒ AG//IB (4) (0.25®) Tõ (3) vµ (4) ⇒ BIAG lµ h×nh b×nh hµnh (0.25®) Do ®ã BG = IA vµ AG = IB (0.5®) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 34

D

IỄ N

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

§æi dÊu ®óng vµ tÝnh ®−îc : M=

N

(0.25®)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a2

(0.25®)

Ơ

a2

(0.25®)

H

a2

1 1 1 = − − 5a + 6 a − 3 a − 2 1 1 1 = − − 7 a + 12 a − 4 a − 3 1 1 1 = − − 9a + 20 a − 5 a − 4 1 1 1 = − − 11a + 30 a − 6 a − 5

N

a

2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

KÕt hîp víi kÕt qu¶ (1) vµ (2) ⇒ BG = 2HE vµ AG = 2HF

A

⇔ 1969 + 1971 < 2 1970

C

(0.25®) (0.25®)

Đ

ẠO

VËy: 1969 + 1971 < 2 1970

Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc x2 6 1   10 − x 2   + + : x − 2 + 3   x+2  x − 4 x 6 − 3x x + 2  

  

N

TR ẦN

H Ư

®Ò 19

G

===============================

A = 

H

x4 + x3 + x + 1 x 4 − x 3 + 2x 2 − x + 1

Í-

a. Cho P =

Ó

A

10 00

B

a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A? b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2 c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A < 0 d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn bµi 2 (2,5®)

TO

ÁN

-L

Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x b. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 = x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30 8 2

ÀN

Bµi 3 (1®)

D

IỄ N

Đ

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =

27 − 12 x x2 + 9

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2.1970 + 2 1969.1971 < 4.1970

U Y

⇔ ( 1969 + 1971) 2 < (2 1970 ) 2

F (0.25®) H×nh * (0.25®)

TP

B K

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G

Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*) ta cã:

Ơ

2 1969.1971 < 2.1970 (*)

E (0.25®) H

N

D

I

H

(1.5®) 19702 – 1 < 19702 ⇔ 1969.1971 < 19702

N

C©u 4: Ta cã:

(0.5®)

Bµi 4 (3®) Cho ∆ABC vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn l−ît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB vµ AC a. CMR: E, A, H th¼ng hµng b. CMR: BEFC lµ h×nh thang, cã thÓ t×m vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë thµnh mét h×nh thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®−îc kh«ng.

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

35

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

c. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt? Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1 CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) ≥ 8

N

§¸p ¸n

H .Q

0,25®

⇒ x = 1,5 (tho· m·n ®iÒu kiÖn cña x) 0,5®

Đ

1 < 0 ⇒ 2 − x < 0 ⇒ x > 2 (Tho· m·n ®k cña x) 2−x

0,5®

N

G

c. §Ó A < 0 th×

B

x4 + x3 + x + 1 x 4 − x 3 + 2x 2 − x + 1

10 00

a. P =

TR ẦN

H Ư

d. §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× (2 - x) ph¶i lµ −íc cña 2. Mµ ¦ (2) = {− 1;−2;1;2} suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4. Nh−ng x = 0 kh«ng tho· m·n §K cña x 0,25® VËy x = 1; x =3.; x=4 0,25® Bµi 2 (2,5®)

(x ( x + 1) (x 2

2

2

) = (x + 1) − x + 1)) x + 1` 2

− x +1

H

(x + 1)

2

Í-

VËy P =

Ó

A

Tö: x4 + x3 + x + 1 = (x+1)2(x2- x + 1) 0,25® MÉu: x4 - x3 + 2x2 -x +1 = (x2 + 1)(x2 -x + 1) 0,25® Nªn mÉu sè (x2 + 1)(x2 -x + 1) kh¸c 0. Do ®ã kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn cña x 2

v× tö = (x + 1)2 ≥ 0∀x vµ mÉu x2 + 1 >0 víi

ÁN

-L

mäi x 0,25® Nªn P ≥ 0∀x

Đ

ÀN

TO

b. Gi¶i PT:

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 = x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 3 8 2

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) x2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6) Trong ®ã

0,25®

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

b. §Ó A = 2

TP

−1 1 = 0,25® x−2 2−x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

0,5®

ẠO

Rót gän: A =

IỄ N D

−6 x+2 × (x − 2)(x + 2) 6

a. TX§ = {∀x : x ≠ ±2; x ≠ 0}

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

A=

Ơ

Bµi 1 (2,5®) sau khi biÕn ®æi ta ®−îc;

1 1 1 1 = = − ... x + 5 x + 6 (x + 2 )( x + 3) ( x + 2 ) ( x + 3) 2

TX§ = {∀x; x ≠ −2;−3;−4;−5;−6} ph−¬ng tr×nh trë thµnh:

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

36

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − = x+2 x+3 x+3 x+4 x+4 x+5 x+5 x+6 8 1 1 1 = − = x+2 x+6 8 = 8( x + 6 − x − 2) = ( x + 2)( x + 6)

Ơ

N

⇔ 32 = x 2 + 8 x + 12

H

⇒ x 2 + 8 x − 20 = 0 ⇒ x = 2; x = −10

(

) (

)

2

A =

2 4 x 2 + 36 − 4 x 2 + 12 x + 9 2 x + 3) ( 27 − 12 x = = 4− 2 ≤ 4. x2 + 9 x2 + 9 x +9 3 2 ( 2 x + 3) = 0 ⇒ x = − 2

)

H Ư

) (

TR ẦN

(

N

G

A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 ⇔ ( x − 6 ) = 0 hay x = A

®¹t

GTLN

4

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Bµi 4 (3®) a.(0,75®) do E ®«ie xøng víi H qua AB nªn AB lµ ®−êng trung trùc cña ®oanh th¼ng EH vËy gãc EAH = gãcIAH (1) gãc FAD = gãcDAH (2) céng (1) vµ (2) ta cã : gãc EAH + gãc FAD = gãcDAH + gãcIAH = 900 theo gi¶ thuyÕt hay gãcEAI + gßcAD + BAC = 900 + 900 = 1800. Do ®ã 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng b. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A nªn gãcABC + ACB = 900 (hai gãc nhän tam gi¸c vu«ng) Mµ gãcEBA = gãcABH (tÝnh chÊt ®èi xøng) gãcCA = gãcHCA (tÝnh chÊt ®èi xøng) suy ra gãc EBA + gãc FCA = 900 haygãc EBA + gãc FCA + gãc ABC + gãc ACB = 1800 suy ra gãc EBC + gãc FBC = 1800 (hai gãc trong cïng phÝa bï nhau) do ®ã BE song song CF. Vậy tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang 0,75® ⌢ ⌢ Muèn BEFC lµ h×nh thang vu«ng th× ph¶i cã gãc AHC = 900 ( E = F = 900 ) vËy H ph¶i lµ ch©n ®−êng cao thuéc c¹nh huyÒn cña tam gi¸c ABC Muèn BEFC lµ h×nh b×nh hµnh th× BE = CF suy ra BM = HC. VËy H ph¶i lµ trung ®iÓm cña BC………….. 0,25®

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

2 2 x2 − 6 27 − 12 x x − 12 x + 36 − x + 9 = = 2 − 1 ≥ −1 A= 2 x +9 x2 + 9 x +9

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

27 − 12 x x2 + 9

ẠO

A=

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VËy PT ®· cho cã nghiÖm x =2; x = -10 Bµi 3 (1®) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

37

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Muèn BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt th× BEFC ph¶i cã mét gãc vu«ng suy ra

⌢ ⌢ ( B = C = 450 ) ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× tam gi¸c ABC kh«ng phaØ lµ tam gi¸c vu«ng

Ơ H

.Q

th× ta cã SEHF = SABC. Do ®ã khi H lµ trung ®iÓm cña BC th× SEHF lµ lín nhÊt. Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1 Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 Do a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng nªn ta cã; 2

H Ư

N

(a – 1)2 ≥ 0∀a > 0 ⇒ a 2 + 1 ≥ 2a ⇒ a 2 + 2a + 1 ⇒ ( a 2 + 1) ≥ 4a (1) …………0,25®

®Ò 20

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

T−¬ng tù (b + 1)2 ≥ 4b (2)………………0,25® (c + 1)2 ≥ 4c (3) …………0,25® Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã: (b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 ≥ 64abc (v× abc = 1) ((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 ≥ 64 (b + 1)(a – 1)(c + 1) ≥ 8…..0,25® =======================================

TO

ÁN

-L

Í-

H

C©u I :(3®) a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: B = x3 +6x2 +11x +6 . A = x3 +8x2 + 19x +12 . b) Rót gän ph©n thøc : A x 3 + 8 x 2 + 19 x + 12 = 3 . B x + 6 x 2 + 11x + 6

D

IỄ N

Đ

ÀN

C©u II : (3®) . 1 ) Cho ph−¬ng tr×nh Èn x.

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

víi H gÇn C h¬n ta còng cã:Stø gi¸c ABMQ < Stam gi¸c ABC khi H di chuyÓn trªn BC ta lu«n cã SEHF ≤ S ABC . T¹i vÞ trÝ h lµ trung ®iÓm cña BC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

vËy Stam gi¸c EHF = Stø gi¸c ¶IPQ. Ta cã tam gi¸c HBI = tam gi¸c HMB (g.c.g) suy ra S ∆HBIS = S ∆HMB ⇒ S∆EHF = S▱ ABMQ < S∆ABC

N

c©n…..0,25® c.lÊy H bÊt kú thuéc BC gÇn B h¬n ta cã: S ∆EHF = 2 S▱ AIDH dùng h×nh ch÷ nhËt HPQD b»ng AIHD

x+a x−2 + = 2. x+2 x−a

a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi a = 4. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho ph−¬ng tr×nh nhËn x = -1 lµm nghiÖm. 2 ) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh sau : 2x2 + 10x +19 > 0.

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

38

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

§iÒu kiÖn: x ≠ -2 vµ x ≠ a. (1) ⇔ x2 – a2+ x2 – 4 = 2x2 + 2(2- a)x – 4a ⇔ – a2 - 4 + 4a = 2(2- a)x = 2(a - 2)x (*) ⇔ - (a - 2)2 a) víi a =4 thay vµo (*) ta cã : 4 =4x ⇒ x=1 (1®) b) . Thay x= -1 vµo (*) ta ®−îc. (a – 2 )2 + (a - 2)= 0 ⇔ (a - 2) (a – 2 + 2) = 0 a=2 (1®) ⇒ a=0 2) . Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : 2x2 + 10x + 19 > 0 (1) BiÕn dæi vÕ tr¸i ta ®−îc. 2x2 + 10x + 19 = 2x2 + 8x +8 + 2x +4 +7 =2(x2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7 = 2(x + 2)2 +2(x + 2) + 7 = (x + 3)2 + (x + 2)2 + 6 lu«n lín h¬n 0 víi mäi x Nªn bÊt ph−¬ng tr×nh (1) NghiÖm ®óng víi ∀ x . (1®) Bµi III . AP // DQ XÐt tam gi¸c IDQ cã .

AP =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q ẠO (1)

Đ

( x + a ) ( x − 2) + =2 ( x + 2) ( x − a )

N

Bµi II :1) . Ph−¬ng tr×nh

(1®)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A ( x + 1)( x + 3)( x + 4) x + 4 = = B ( x + 1)( x + 2)( x + 3) x + 2

G

2)

(1®) (1®)

TP

Bµi I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

C©u III (3®): Trong h×nh thoi ABCD ng−êi ta lÊy c¸c ®iÓm P vµ Q theo thø tù trªn AB vµ CD sao cho AP = 1/ 3 AB vµ CQ = 1/ 3 CD. Gäi I lµ giao ®iÓm cña PQ vµ AD , K lµ giao ®iÓm cña DP vµ BI , O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. a) Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhËn xÐt vÒ tam gi¸c BID vµ vÞ trÝ cña K trªn IB. b) Cho Bvµ D cè ®Þnh t×m quü tÝch cña A vµ I. C©u IV : (1®) .T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh sau : yx2 +yx +y =1. §¸p ¸n

N

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

1 DQ 2

Theo ®Þnh lý Ta LÐt trong tam gi¸c ta cã : (0,75® ) Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

39

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

A

I. §Ò bµi:

®Ò 21

Ó

1 1 1 + 2 + 2 2 2 2 2 b + c -a c + a - b a + b 2 - c2 Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0.

Cho A =

2

-L

Í-

H

Bµi 1:(2 ®iÓm)

2)

x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007 + + + =4 1006 1004 1002 1000

Đ

ÀN

TO

ÁN

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4 1) (x+1) + (x+3)4 = 16

IỄ N

a=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

y x2 + y x + y = 1 . (1) NÕu ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x ,y > 0. (1) y(x2 + x +1) = 1 y= 1 ⇒ ⇒ y = 1 ,x= 0 2 x + x +1 =1 (1®) VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn lµ (x,y) = (0 ,1). ===================================

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

IA AP 1 = = ⇒ 2 AP = DQ mµ AB = CD ⇒ §PCM. ID AQ 2

(0,5®) Bµi IV:

Bµi 3:(2 ®iÓm)

D

1 1 AB vµ CQ = CD. 2 3

Đ

ThËt vËy : Do AP // DQ suy ra

.Q

§¶o: Víi A vµ I ch¹y trªn c¸c ®−êng ®ã vµ AD = AI .Th× AP =

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

Tam gi¸c BID lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B v× AO ⊥ DB vµ AO lµ ®−êng trung b×nh cña ∆ BID §iÓm K lµ trung ®iÓm cña IB. (Do DK lµ ®−êng trung tuyÕn cña ∆ BID ) . (0,75®) b). Víi B vµ D cè ®Þnh nªn ®o¹n DB cè ®Þnh.Suy ra trung ®iÓm O cè ®Þnh. MÆt kh¸c AC BD , BI DB vµ vai trß cña A vµ C lµ nh− nhau . Nªn quü tÝch cña A lµ ®−êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm O.Quü tÝch cña ®iÓm I lµ ®−êng th¼ng ®i qua B vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm B. (1®)

N

IA AP 1 = = ⇒ 2 IA = ID ⇒ AD = AI ID AQ 2

Chøng minh r»ng sè: 1 1 1 1 , n ∈ Z+ kh«ng ph¶i lµ mét sè nguyªn. + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n.(n+1)

Bµi 4:(3 ®iÓm) Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA. a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao? Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

40

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

b) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng? c) Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c ABCD vµ MNPQ.

N Ơ

U Y

0.5 ®iÓm

• y2 = 1 cã 2 nghiÖm y1 = 1 ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3. • y2 = -7 kh«ng cã nghiÖm.

0.5 ®iÓm

A

x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007 + + + =4 1006 1004 1002 1000 x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007 ⇔ −1+ −1+ −1+ −1 = 0 1006 1004 1002 1000 x − 2007 x − 2007 x − 2007 x − 2007 ⇔ + + + =0 1006 1004 1002 1000

-L

Í-

H

Ó

2)

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

0.5 ®iÓm

0.5 ®iÓm

0.5 ®iÓm

1 1 1 1  V×  + + +  ≠ 0 ⇒ x = 2007 1006 1004 1002 1000

0.5 ®iÓm

ÀN

TO

ÁN

1 1 1   1 ⇔ ( x − 2007)  + + +  = 0 ⇔ ( x − 2007) = 0  1006 1004 1002 1000  

Đ IỄ N

0.5 ®iÓm

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0.25 ®iÓm

ẠO

TP

0.5 ®iÓm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

0.5 ®iÓm

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1) §Æt y = x + 2 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh: (y – 1)4 + (y +1)4 = 16 ⇔ 2y4 + 12y2 + 2 = 16 ⇔ y4 + 6y2 -7 = 0 §Æt z = y2 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh: z2 + 6z – 7 = 0 cã hai nghiÖm lµ z1 = 1 vµ z2 = -7.

Bµi 3:(1,5 ®iÓm)

D

0.25 ®iÓm

.Q

Bµi 1:(2 ®iÓm) Ta cã: a + b + c = 0 ⇔ b + c = - a. B×nh ph−¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 = a2 ⇔ b2 + 2bc + c2 = a2 ⇔ b2 + c2 - a2 = -2bc T−¬ng tù, ta cã: c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab 1 1 1 -(a+b+c) = =0 (v× a + b + c = 0) ⇒ A= 2bc 2ca 2ab 2abc VËy A= 0.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

§¸p ¸n

Ta cã:  

1 1  

1 1  

1

1 

1  

a =  1 −  +  −  +  −  + ... +  −  2 2 3 3 4 n n+1 = 1−

1 n = < 1; n+1 n+1

0.5 ®iÓm

MÆt kh¸c a > 0. Do ®ã a kh«ng nguyªn Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5®iÓm

41

0.5 ®iÓm

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Bµi 4:(3,5 ®iÓm) VÏ h×nh, viÕt gi¶ thiÕt - kÕt luËn ®óng

0.5 ®iÓm b n

m

N

c

U Y .Q 2

2

4

H Ư

SABCD =2 SMNPQ

1 ®iÓm 1 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm

TR ẦN

N

2

SABCD = a ; SMNPQ = a ;

c)

G

Đ

a) Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh b) MNPQ lµ h×nh vu«ng khi vµ chØ khi AC = BD, AC ⊥ BD

========================= ®Ò 22

H

Ó

A

10 00

B

Bµi 1 (3 ®iÓm) a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24 Bµi 2 ( 3 ®iÓm)

-L

Í-

a. T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph−¬ng tr×nh:

TO

ÁN

b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B =

x2 víi x # 0 1 + x4

x2 − 5x + 6 x 3 − 3x 2 + 3x − 2

ÀN

Bµi 3 ( 1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: P =

x2 + x + 1 x2 + x + 2 7 + = x2 + x + 2 x2 + x + 3 6

D

IỄ N

Đ

Bµi 4 ( 3 ®iÓm ) Cho Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A. §iÓm M trªn c¹nh BC. Tõ M kÎ ME vu«ng gãc víi AB, kÎ MF vu«ng gãc víi AC ( E ∈ AB ; F ∈ AC ) a. Chøng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 vµ chu vi tø gi¸c MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M. b. T©m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt. c. Chøng tá ®−êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

d

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

p

q

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

a

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

42

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

§¸p ¸n Bµi 1: a. A = x – 14x + 71x - 154 x + 120 KÕt qu¶ ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4) 2

(1 ®iÓm )

U Y

x + x +1 x + x + 2 7 + = x2 + x + 2 x2 + x + 3 6

.Q ( 1, 5 ®iÓm )

Đ

Bµi 3 Rót gän biÓu thøc:

(

)

N

G

(x − 2)(. x − 3) => P = . x − 3 x2 − 5x + 6 = 3 2 x − 3x + 3x − 2 (x − 2) x 2 − x + 1 x2 − x + 1

H Ư

P=

TP

x2 víi x # 0 gi¶i vµ t×m ®−îc B max = 1/2 th× x = ± 1 1 + x4

ẠO

B=

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

Bµi 4: Gi¶i a. chøng minh ®−îc F C . BA + CA. BE = AB2 (0,5 ®iÓm ) + Chøng minh ®−îc chu vi tø gi¸c MEAF = 2 AB ( kh«ng phô vµo vÞ trÝ cña M ) ( 0,5 ®iÓm ) b. Chøng tá ®−îc M lµ trung ®iÓm BC Th× diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt (1 ®iÓm ) c. Chøng tá ®−îc ®−êng th¼ng MH ⊥ EF lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh ( 1 ®iÓm )

( 1®iÓm )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

T×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x1 = 0; x2= -1 (1.5 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bµi 2: a.

2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2) Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A ⋮ 24

Ơ

N

( 2®iÓm )

H

3

N

4

D

Đề 23 Câu 1: (4đ) a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

43

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

b, Cho x ∈ Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 ⋮ x4 + x2 + 1 Câu 2: (2đ)

N

3

Ơ

1 1 1 + + = x y z 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức P = 2 + 2 + 2 x y z

Cho x,y,z ≠ 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và

N U Y

TR ẦN

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

10 00

B

1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM

A

3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:

GB HD = . BC AH + HC

TO

Đề 23

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Bài 6: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.

ÀN Đ IỄ N

a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1 ⇒ A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1) =x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) ⋮ x4 + x2 + 1 ⇒ A chia hết cho x4 + x2 + 1

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

44

.1đ 1đ

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G H Ư

Bài 5: (6đ)

Câu1(4đ)

D

x y z + + y+z z+x x+ y

N

P=

ẠO

TP

Câu 4: (3đ) a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 ⋮ 9 với mọi n ∈ N* b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

x + 43 x + 46 x + 49 x + 52 + = + 57 54 51 48

b,

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

Câu 3: (3đ) Tìm x biết a, 3 x + 2 < 5x -4

1đ 1đ

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 y

1 z

( 3 )2 = p + 2

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2( + + 2 xy xz x y z

1 ) yz

0.75đ

z+ y+x vậyP+2=3 xyz

0,75đ 0.5đ

giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4 làm đúng được x> 3 b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung

1đ 0.5đ 1đ

Đ

a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 ⇒ B chia hết cho 3 ⇒ A =3B chia hết cho 9

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Câu 4: 3đ

10 00

b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z =

0,5đ 0,5đ

a+b+c 2

−a+b+c a−b+c a+b−c ;y= ; z= 2 2 2 −a+b+c a−b+c a+b−c P= + + = 2a 2b 2c 1 b c a c a b ( −1 + + − 1 + + − 1 + + ) = 2 a a b b c c 1 b a c a b c 3 ( −3 + ( + ) + ( + ) + ( + )) ≥ 2 a b a c c b 2 3 Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c ⇔ x=y=z 2

A

⇒ x=

0.5đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

0.5đ

+ Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung. 0,25 đ CD CA 0,25 đ (Hai tam =

D

IỄ N

Đ

Câu 5: (2đ)

CE

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y 0.5đ Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇒ S = {− 100}

.Q

1 1 1 1 + − − )=0 57 54 51 48

ẠO

(x+100)(

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Câu 3: (3đ)

N

H

suy ra P = 1

N

1 x

Có ( + + )2 =

Ơ

Cau 2 :(2đ

CB

giác vuông CDE và CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

45

0,25 đ

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Suy ra: ∠ BEC= ∠ADC = 135 0 (vì tam giác AHD vuông cân tại H 0,5 đ theo giả thiết). Nên ∠AEB = 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. 0,25 đ 0,5 đ Suy ra: BE = AB 2 = m 2

Ơ H .Q

ẠO

Đ

G AB ED AH HD = = = AC DC HC HC

TR ẦN

vì ∆ABC ~ ∆DEC nên

N

GB AB , = GC AC

H Ư

Suyra:

(DE//AH)

GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC

Do đó:

1đ 1đ

1đ Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1) Vì p là số nguyên tố nên: 0,5đ Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn) 2 Hoặc: a +a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1 Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố) 0,5đ chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác. Đề 24

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Câu 6

TO

Câu 1: (4điểm)

x 2 x − 3y + y−2 x−6 1 1 1 3 b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c ≠ 0. Chứng minh : 3 + 3 + 3 = a b c abc Câu 2: (3điểm)

D

IỄ N

Đ

ÀN

a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A=

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

BEC (c.g.c)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Đồng

0,5đ suy ra: ∠BHM = ∠BEC = 135 0 ⇒ ∠AHM = 45 0 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

C) 2đ

N

0,5đ

N

BM 1 BE 1 AD (do ∆BEC ~ ∆ADC ) = ⋅ = ⋅ BC 2 BC 2 AC mà AD = AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH = ⋅ = ⋅ = = (do ABH nên BC 2 AC 2 AC AB 2 BE

Ta có:

dạng CBA) BHM đồng dạng Do đó

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) 2đ

a. Tìm x,y,x biết :

x 2 y2 z2 x 2 + y2 + z2 + + = 2 3 4 5

b.Giải phương trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9 Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

46

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Câu 3: (3điểm)

a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a∈ Z b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi x∈ Z+

N

Câu 4: (2điểm)

H

Ơ

Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức :

N

H Ư

đạt giá trị nhỏ nhất

TR ẦN

Câu 6(2điểm)

Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì

10 00

B

(1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ. ……………..Hết…………………….

Ó

A

Đề 24

H

Bài Bài1 a) 2đ

Nội dung

-L

Í-

3y-x=6 ⇒ x=3y-6 Thay vào ta có A=4

TO

ÁN

1,5đ

ÀN

Vì: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c ≠ 0. ⇒ ab + ac + bc = 0 ⇒

Đ IỄ N

đ i ểm 0,5đ

ab + ac + bc =0 abc

1 1 1 + + =0 a b c

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( AB + BC + CA) 2 AA'2 + B ' B 2 + C ' C 2

G

c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu thức :

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

AIB(M ∈ AC;N ∈ AB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM

ẠO

Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC;

b) 2đ

D

.Q

AH ' BH CH + + AA' BB' CC '

TP

a)tính tổng :

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H

U Y

N

Câu 5: (6 điểm)

1 1 1 Đặt : = x; = y; = z a b c Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

47

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì: 1đ

x3+y3+z3=3xyz ⇒ đpcm .

:

x 2 y2 z2 x 2 + y2 + z2 x 2 x 2 y2 y2 z 2 z 2 + + = ⇔ − + − + − =0 2 3 4 5 2 5 3 5 4 5

Ơ

N

.Q

U Y

3x 2 2 y 2 z 2 + + =0⇔x=y=z 0,5đ 10 15 20

ẠO

Đ

⇔ (64x 2 − 16x + 1)(64x 2 − 16x ) = 72

G

b) 1,5đ

2x(8x-1)2(4x-1)=9 ⇔ (64x 2 − 16x + 1)(8x 2 − 2x ) = 9

H Ư

Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k 2 = 72,25 ⇔ k ± 8,5

TR ẦN

−1 1 ;x = 4 2

0,25đ

10 00

B

Với k=8,5 Ta có x=

0,5đ

Với k=-8,5 phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2 5

4

2

2

2

0,25đ

-L

, có: a -a=a(a -1)=a(a -1)(a +1)=a(a-1)(a+1)(a -4+5)

ÁN

Bài 3 a) 1.5đ

Í-

H

Ó

A

0,25đ

= a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)

0, 75đ

TO

vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên 0,25đ

IỄ N

Đ

ÀN

tiếp nên ⋮30 (2)

D

0,25đ

N

đặt :64x2-16x+0,5=k

b) 1.5đ

5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.phươngtrình:

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Bài 2: a) 1,5đ

0,25đ

cho 30 Từ (1); (2) suy rađpcm

0,25đ

b,Từ bài toán trên ta có: x5-x ⋮5 ⇒ x5-x+2 chia 5 dư 2

0,75đ

⇒ x5-x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

48

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Vậy:

0,5đ

x5-x+2 không thế là số chính phương với mọi x ∈ Z +

0,25đ

Ơ H

.Q TP

1 x

0,5đ

câu 5 a)

G

Đ

ẠO

tacó x+ ≥ 2∀x >0 Nên A ≥ 8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

0,5đ

C’ M I

A’

C

B

B

TR ẦN

x

B’

H

N

H Ư

N

A

10 00

D

D

IỄ N

Đ

ÀN

b.

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

1 ( BA'+ A' C ). AH S + S AHC AH (1) Ta có : = 2 = AHB 1 A' A S ABC AH .BC 2 BH S AHB + S BHC Tương Tự: = (2) BB ' S ABC S + S AHC CH == CHB (3) CC S ABC +S +S ) 2( S AH ' BH CH Từ (1); (2); (3) ta có: + + = AHB BHC CHA = 2 AA' BB' CC ' S ABC

c)

b) áp d ụng tính chất đường phân giác vào các tam giácABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = suy ra IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC AB. AC . . = . . = . = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI AC. AB ⇒ BI . AN .CM = BN .IC. AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

49

0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

1   a 2 c   c2 b   b2 a   =  abc + + + + + + +  abc   c a 2   b c 2   a b 2  

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

a 2 c2 a b2 b c 1 + + 2 + + 2 + 2 + c b b a c a abc

= abc +

N

Câu4 b  c  a   c b 2 1  a2     đặt A=  a +  b +  c +  =  ab + + + 2  c + 2đ  b ac a bc ac ba bc       

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

nào có tận cùng là 2hoặc 7)

0,75 đ 0,75 đ 0,5 đ

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H

0,5đ 0,5đ

TR ẦN Đ

ÀN

B

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

 2 1  1  1  x − 1 Cho biểu thức: A =  + 1 + + 1 3    2  : 3 2   x  ( x + 1)  x  x + 2x + 1  x a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Bài 3 (4 điểm): a) Giải phương trình: 1 6y 2 = 2 + 3 y − 10 y + 3 9 y − 1 1 − 3 y

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y

TP

ẠO

Đ

G

0,25 đ

H Ư

N

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

10 00

Bài 1: (5 điểm)

N

Ơ

0,25 đ

Đề 25

IỄ N D

0,5 đ

.Q

-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD - ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2 ⇒ AB + AD ≤ (BC+CD) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA) 2 ≥4 ⇔ AA'2 + BB'2 + CC'2 (Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB=BC Tức tam giác ABCđều Câu6 có 1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b) 2đ Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c) 1+c2=(b+c)(a+c) 2 ⇒ (1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 ) = [(a + b )(a + c )(b + c )] đpcm

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

2

b) Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (6 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK. Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 50

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3

Ơ

c)

1 x −1

1đ 0,5đ

H Ư

A= 1+

N

Kết hợp với điều kiện xác định ta có:A<1 khi:x<1 và x≠0;-1

0,5đ

10 00

B

TR ẦN

Vì x nguyên nên x-1 nguyên để A là số nguyên thì x-1là ước của 1đ 1 Hoặc x-1=1 suy ra x=2 Hoặc x-1=-1 suy ra x=0 (loai) 0,5đ Vởy x=2 là giá trị cần tìm

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Bài 2: Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vì a2+b2+c2=1 Nếu abc >0 ta có:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1 A=(a+b+c+1)2+abc ≥ 0 (1) Nếu: abc<0 ta có: A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc Biến đổi được :A=( 1+a)(1+b)(1+c) +(-abc) Vì ì a2+b2+c2=1nên -1 ≤ a; b; c ≤ 1 nên (1+a)(1+b)(1+c) ≥ 0 Và -abc ≥ 0 nên A ≥ 0 (2) Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) ≥ 0

0,5đ 0;5đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ

Đ

−2 1 Bài 3: Biến đổi phương trình về: = (3 y − 1)( y − 3) (3 y − 1)(3 y + 1) a)

0,5đ 0,5đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,5đ

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 ( x + 1) .x ( x + 1) 2 x 3 A= ( x − 1)( x + 1) 2 x 2 x A= x −1 −1 >0 khi x-1<0 suy ra x<1 Tacó:1-A= x −1

H

ĐKXĐX ∉ {0;1;-1}

N

 x −1 : 3  x 

U Y

2

x2 +1 ( x + 1) 2 x 2

.Q

2

+

TP

2x

ẠO

A= 

Đ

b)

NỘI DUNG

G

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

BÀI Bài 1 a)

N

Đề 25

0,25đ

IỄ N

1 −1 } 3 3

D

Đkxđ: y∉ {3; ; b)

⇔ 3y+1=-2y+6 ⇔ y=1(thoả mãn) vậyphương trình có nghiệm duy nhất y=1

Từ giả thiết chỉ ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c 2 2 ⇔ (x -2x+5 ) ⋮ (x +bx+c) mà b; c là các số nguyên nên b=-2; c=5 Khi đó P(1) =12-2.1+5 =4

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

51

0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ĐỀ THI SỐ 26

ÀN Đ

Ơ H

0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,25đ 0, 25đ

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,5đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

Chứng minh tứ giác DEKM là hinhchữ M nhật Suy ra tam giác CKM vuông cân tại M ⇒ H là trung điểm củaCM AI//DM (cùng vuông góc với DE) HI//DM (T/c đường trung bình) nên A; ;I;H thẳng hàng (1) Các tam giác CIH; CHK vuông cân tại Cvà H nên KH= CI =DI Mà DI//KH nên tứ giác DIKH là hình bình hành Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật Do đó EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK vậy: G ∈ IH (2) Tử (1); (2) ta có A;I;G;H thẳng hàng Bài 5: Với x≠ 0 ta có 3x4>0; 3x2>0 ta có (x2)3 <y3<(x+1)3 nên phương trình vô nghiệm Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1 Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1)

IỄ N

0,5đ

ẠO

b)

H

TP

K

⇒ ∠DBK = 90 0

Câu 1: (4,0 điểm)

D

.Q

G

⇔ ∠EBD = ∠CBK

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

Bài 4: Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số 0,5đ 1/2 E Từ đó chứng B A minh:CK=ED (1) 0,5đ EB=BC (2) 0 ∠BED = ∠BCK =135 (3) C từ: (1);(2);(3)suy ra: D I ∆BED = ∆BCK (cg.c) 1đ

N

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2;

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức :

A = (

2+ x 4x2 2− x x2 − 3x ):( ) − 2 − 2− x x − 4 2+ x 2x2 − x3

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

52

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.

N

Câu 3: (5,0 điểm)

H

Ơ

a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

ẠO

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F

Đ

lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình

N

G

chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

TR ẦN

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

H Ư

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

10 00

B

HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bài 1 a

2

2

A

Nội dung đáp án

Í-

H

Ó

3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1).

-L

b

ÁN

a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1).

2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0

ĐKXĐ : 2 − x ≠ 0  2 x ≠ 0 x − 4 ≠ 0   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠ 0  x 2 − 3x ≠ 0 x ≠ 3    2 x 2 − x 3 ≠ 0

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 2: a

Điểm

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Câu 4: (6,0 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

x y z a b c x2 y 2 z 2 + + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 . a b c a b c x y z

.Q

Cho

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b)

N

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

A=(

2+ x 4x2 2− x x 2 − 3x (2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x) − 2 − = = ):( 2 ) . x( x − 3) 2 − x x − 4 2 + x 2 x − x3 (2 − x)(2 + x )

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

53

1,0

1,0

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

0,5

4 x( x + 2) x(2 − x) 4 x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

0,25

4x 2 . x−3

0,25

N

Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =

Ơ

=

4 x2 + 8x x(2 − x) = . (2 − x)(2 + x) x − 3

b

N .Q

Đ G

TR ẦN

Bài 3 a

121 2

Ó

A

10 00

B

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 2 2 2 ⇔ (9x – 18x + 9) + (y – 6y + 9) + 2(z + 2z + 1) = 0 2 2 2 ⇔ 9(x - 1) + (y - 3) + 2 (z + 1) = 0 (*) Do : ( x − 1)2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1)2 ≥ 0 Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

TO

ÁN

-L

Í-

H

b

Ta có :

Đ

Từ :

a b c ayz+bxz+cxy + + =0⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z + + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1 a b c a b c 2 2 2 x y z xy xz yz ⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1 a b c ab ac bc 2 2 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ 2 + 2 + 2 +2 =1 a b c abc x2 y2 z 2 ⇔ 2 + 2 + 2 = 1( dfcm) a b c

Bài 4

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5 0,25 0,25 5,0 2,5 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Với x = 11 thì A =

H Ư

N

x − 7 = 4 x−7 = 4 ⇔   x − 7 = −4  x = 11(TMDKXD) ⇔  x = 3( KTMDKXD )

ẠO

c

0,25 0,25 0,25 1,0 Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

U Y

0,25

TP

Vậy với x > 3 thì A > 0.

IỄ N D

4x >0 x−3

⇔ x−3> 0 ⇔ x > 3(TMDKXD )

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔

H

1,0

2

0,5 0,25 6,0

54

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

N

H

C

0,25

H

Ơ

B F

TP Đ

G

CH CK = ⇒ CH .CD = CK .CB CB CD

B

b,

TR ẦN

 = KDC  Ta có:  ABC =  ADC ⇒ HBC Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK ( g − g ) ⇒

N

H Ư

b

ẠO

a

10 00

AF AK = ⇒ AD. AK = AF . AC AD AC Chứng minh : ∆CFD ∼ ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC CF AH Mà : CD = AB ⇒ = ⇒ AB. AH = CF . AC AB AC

A

Ó

H

Í-

-L

ÁN

TO

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

ĐỀ SỐ 27

ÀN

0,5 1,75 0,25

Chứng minh : ∆AFD ∼ ∆AKC ( g − g ) ⇒

2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0

0,25 0,25 0,25 0,5 0,25

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

K

D

Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO ( g − c − g ) => BE = DF Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

E A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

O

D

IỄ N

Đ

Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4 + 4 ( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 5 ) − 24 b. Giải phương trình: x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0 a b c a2 b2 c2 + + = 1 . Chứng minh rằng: + + =0 c. Cho b+c c+a a+b b+c c+a a+b

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

55

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

2 1   10 − x 2   x A = 2 + + : x − 2 +    x+2  x −4 2−x x+2  a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết |x| = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

TR ẦN

H Ư

b. Cho a, b d-¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011

1 1 1 + + ≥9 a b c

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Đáp án a. x + 4 = x + 4x + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 4

4

2

Điểm

10 00

B

Câu

(2 điểm)

1 2 3 ) + > 0 ∀x 2 4  (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 x − 5 = 0 x = 5   ⇔ x + 6 = 0 x = − 6 a b c + + =1 c. Nhân cả 2 vế của: b+c c+a a+b với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm

(2 điểm)

Đ

ÀN

TO

ÁN

Câu 1 (6 điểm)

-L

Í-

H

Ó

A

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b. x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0 <=> ( x2 − x + 1) ( x − 5 )( x + 6 ) = 0 (*)

Vì x2 - x + 1 = (x -

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

56

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đ

Câu 4.

IỄ N D

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD. a. Chứng minh: DE = CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

N

H

Ơ

N

Câu2. Cho biểu thức:

(2 điểm)

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

N

D

C

Ó

A

a. Chứng minh: AE = FM = DF ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm b. DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC ⇒ đpcm

H

Câu 3 (6 điểm)

M

10 00

B

F

(1 điểm)

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ⇒ ME + MF = a không đổi ⇒ S AEMF = ME.MF lớn nhất ⇔ ME = MF (AEMF là hình vuông) ⇒ M là trung điểm của BD. b c 1  a = 1+ a + a  a c 1 a. Từ: a + b + c = 1 ⇒  = 1 + + b b b a b 1 = + + 1 c c c 

(2 điểm) (2 điểm)

Câu 4: (2 điểm)

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

57

(1 điểm)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

N

G

B

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm)

U Y .Q TP E

A

HV + GT + KL

IỄ N D

−1 ∈ Z ... ⇒ x ∈ {1;3} x−2

ẠO

d. A ∈ Z ⇔

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ơ H

4 4 hoặc A = 3 5 c. A < 0 ⇔ x > 2 ⇒A=

http://daykemquynhon.ucoz.com

(1.5 điểm)

N

Câu 2 (6 điểm)

2 1   10 − x 2   x + + − + : x 2 Biểu thức: A =  2    x+2  x −4 2−x x+2  −1 a. Rút gọn được kq: A = x−2 1 1 −1 b. x = ⇒ x = hoặc x = 2 2 2

(1 điểm)

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

1 1 1 a b a c b c + + = 3 + +  +  +  +  +  a b c b a c a c b ≥3+2+2+2=9 1 Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 3 b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0  a = 1 hoÆc b = 1 Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

N Ơ H

a 3 − 4a 2 − a + 4 a 3 − 7 a 2 + 14a − 8

ẠO

H Ư

a) Rót gän P

TR ẦN

b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn

C©u 2 : (2 ®iÓm)

B

a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c

10 00

lËp ph−¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.

b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :

Ó

A

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .

Í-

H

C©u 3 : (2 ®iÓm)

-L

a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh :

1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 2

ÁN

b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :

TO

A=

a b c + + ≥3 b+c−a a+c −b a+b−c

D

IỄ N

Đ

ÀN

C©u 4 : (3 ®iÓm)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

P=

G

Cho

N

C©u 1 : (2 ®iÓm)

Đ

§Ò thi SỐ 28

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

U Y

(1 điđm)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600

quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l−ît t¹i D vµ E . Chøng minh : a) BD.CE=

BC 2 4

b) DM,EM lÇn l−ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

58

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.

C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng vµ sè

N

®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .

H

Ơ

®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái

U Y

a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)

0,5

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

G N

0,25 0,25

a−2+3 3 = 1+ ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ −íc cña 3, a−2 a−2

TR ẦN

b) (0,5®) P=

a +1 a−2

0,5

H Ư

Rót gän P=

Đ

Nªu §KX§ : a ≠ 1; a ≠ 2; a ≠ 4

ẠO

=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)

mµ ¦(3)= {− 1;1;−3;3}

0,25

B

Tõ ®ã t×m ®−îc a ∈ {− 1;3;5}

0,25

10 00

C©u 2 : (2®)

a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .

0,25

Ó

A

Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [(a 2 + 2ab + b 2 ) − 3ab]=

H

=(a+b) [(a + b) 2 − 3ab ]

Í-

0,5

-L

V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;

ÁN

Do vËy (a+b) [(a + b) 2 − 3ab ] chia hÕt cho 9 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36

0,5 0,25

ÀN

Ta thÊy (x2+5x)2 ≥ 0 nªn P=(x2+5x)2-36 ≥ -36

0,25

D

IỄ N

Đ

Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0

Tõ ®ã ta t×m ®−îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

=(a-1)(a+1)(a-4)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

C©u 1 : (2 ®)

0,25

C©u 3 : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25

59

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

§KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7

0,25

Ph−¬ng tr×nh trë thµnh :

Ơ

N

1 1 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18

U Y

ẠO

(x+13)(x-2)=0

0,25

Đ

Tõ ®ã t×m ®−îc x=-13; x=2;

N

G

b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

y+z x+z x+ y ;b = ;c = ; 2 2 2 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z  Thay vµo ta ®−îc A= + + = ( + ) + ( + ) + ( + )  2x 2y 2z 2 x y z x z y  1 Tõ ®ã suy ra A ≥ (2 + 2 + 2) hay A ≥ 3 2

TR ẦN

H Ư

Tõ ®ã suy ra a=

0,25 0,25

10 00

B

C©u 4 : (3 ®)

0,5

a) (1®)

Ó

A

Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ 1 = 120 0 − Mˆ 1

H

V× Mˆ 2 =600 nªn ta cã

: Mˆ 3 = 120 0 − Mˆ 1

Í-

Suy ra Dˆ 1 = Mˆ 3

-L

x E

Chøng minh ∆BMD ∾ ∆CEM (1)

D

ÁN

TO

Suy ra

BD CM = , tõ ®ã BD.CE=BM.CM BM CE

ÀN IỄ N

Đ

BC , nªn ta cã 2

b) (1®) Tõ (1) suy ra

y

A

BD.CE=

1

B

0,5

2 1

2 3

M

BC 2 4

C

0,5

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

V× BM=CM=

D

0,25

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 1 1 − = x + 4 x + 7 18

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18

BD MD = mµ BM=CM nªn ta cã CM EM

BD MD = BM EM

Chøng minh ∆BMD ∾ ∆MED

0,5

Tõ ®ã suy ra Dˆ 1 = Dˆ 2 , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

60

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Chøng minh t−¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED

0,5

c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC 0,5

TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn.

0,5

N

Chøng minh DH = DI, EI = EK

Ơ

C©u 5 : (1®)

ẠO

z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4

H Ư

N

(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2

G

Đ

z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)

0,25

xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8

TR ẦN

z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®−îc :

0,25

10 00

B

(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4

Tõ ®ã ta t×m ®−îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :

A

(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; 0,25

Í-

H

Ó

(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)

ÁN

-L

ÑEÀ THI SOÁ 29 Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû

TO

A = ( a + 1)( a + 3)( a + 5 )( a + 7 ) + 15

( x − a )( x − 10 ) + 1

D

IỄ N

Đ

ÀN

Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,25

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2)

http://daykemquynhon.ucoz.com

N U Y

(x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng )

H

Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z

phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x 4 − 3 x3 + ax + b chia heát cho ña thöùc B( x) = x 2 − 3 x + 4

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

61

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng

Ơ

+ 8a + 22 a 2 + 8a + 120

2

+ 8a + 11 − 1

)

(

)

2 2

) + 8a + 10 )

H Ư

2

N

2

+ 8a + 10

Giaû söû: ( x − a )( x − 10 ) + 1 = ( x − m )( x − n ) ;(m, n ∈ Z )

B

⇔ x 2 − ( a + 10 ) x + 10a + 1 = x 2 − ( m + n ) x + mn

{

m + n = a +10 m.n =10 a +1

A

Khöû a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + 1

0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ

Ta coù: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 =3 Ñeå A( x)⋮ B( x) thì { ba+−34==00 ⇔ { ba=− 4

0,5 ñ 0,5 ñ

Ó

suy ra a = 12 hoaëc a =8

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ

Í-

H

⇔ mn − 10m − 10n + 100 = 1 ⇔ m(n − 10) − 10n + 10) = 1

TO

ÁN

-L

vì m,n nguyeân ta coù: { mn −−1010==11 v { nm−−1010=−=−11

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bieåu ñieåm Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

G

2

)

Đ

)(

TR ẦN

( = (a = (a = (a

3 1ñ

.Q

= a 2 + 8a + 7 a 2 + 8a + 15 + 15

) + 8a + 12 )( a = ( a + 2 )( a + 6 ) ( a 2 2ñ

ẠO

A = ( a + 1)( a + 3)( a + 5 )( a + 7 ) + 15

10 00

1 2ñ

Ñaùp aùn

TP

Caâu

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

1 1 1 1 + 2 + 4 + ... + <1 2 2 3 4 1002

U Y

P=

N

Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

62

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

4 3ñ

ÁN

-L

0,5 ñ

TO

0,5 ñ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ó

Í-

H

0,5 ñ

ÀN Đ Bài 1: (4 điểm)

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ

0,5 ñ

A

P=

0,5 ñ

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

H Ư

TR ẦN

10 00

1 1 1 1 + 2 + 4 + ... + 2 2 3 4 1002 1 1 1 1 = + + + ... + 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 < + + + ... + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 = 1 − + − + ... + − 2 2 3 99 100 1 99 = 1− = <1 100 100

B

Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng

5 2ñ

0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ

N

G

 AHB 900  AHD = = = 450 2 2  AHC 900 Do  AHE = = = 450 2 2   ⇒ AHD = AHE  (2) Hay HA laø phaân giaùc DHE

IỄ N D

U Y

.Q

Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng  maø  ; Hy phaân giaùc cuûa goùc AHC Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB  laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc  vaø AHC AHB  = 900 maët khaùc ADH  = AEH  = 900 Hay DHE Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

N

0,25 ñ

ĐỀ THI SỐ 30

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

Bài 2: (2 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

63

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Giải phương trình: x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 . 17 19 21 23

Bài 6: (4 điểm)

A

10 00

B

Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA,  = BFD,  BDF  = CDE,  CED  = AEF . AB sao cho: AFE  = BAC . a) Chứng minh rằng: BDF b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.

H

Ó

Một lời giải:

3 (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x 3  −  y3 + z3   

ÁN

a)

-L

Í-

Bài 1:

= ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x 2  − ( y + z ) ( y 2 − yz + z 2 )  

TO

2

= 3 ( x + y )( y + z )( z + x ) . b)

D

IỄ N

Đ

ÀN

= ( y + z ) ( 3x 2 + 3xy + 3yz + 3zx ) = 3 ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y ) 

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

N

G

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đ

Bài 5: (4 điểm)

TP

2010x + 2680 . x2 + 1

ẠO

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

Ơ

19 . 49

H

=

N

− ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

2

Bài 4: (3 điểm)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( 2009 − x )

2

U Y

Tìm x biết: 2 2 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

N

Bài 3: (3 điểm)

x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x 4 − x ) + ( 2010x 2 + 2010x + 2010 ) = x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + 2010 ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 2010 ) .

Bài 2:

x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

64

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 −1+ −2+ −3+ −4=0 17 19 21 23

x − 258 x − 258 x − 258 x − 258 + + + =0 17 19 21 23 1  1 1 1 ⇔ ( x − 258 )  + + +  = 0  17 19 21 23  ⇔ x = 258 Bài 3: 2 2 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

N Ơ H

TO

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

⇔ 49a 2 + 49a + 49 = 57a 2 + 57a + 19 ⇔ 8a 2 + 8a − 30 = 0 3  a =  2 2 ⇔ ( 2a + 1) − 4 2 = 0 ⇔ ( 2a − 3)( 2a + 5 ) = 0 ⇔  (thoả ĐK) 5 a = −  2 4023 4015 hoặc x = (thoả ĐK) Suy ra x = 2 2 4023 4015 Vậy x = và x = là giá trị cần tìm. 2 2 Bài 4: 2010x + 2680 A= x2 + 1 −335x 2 − 335 + 335x 2 + 2010x + 3015 335(x + 3) 2 = = −335 + ≥ −335 x2 + 1 x2 + 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. C

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 5:  =A  = Fɵ = 90o ) a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân . giác của BAC D b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF F Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất ⇔ D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. A E Bài 6:  = BFD  = ω, BDF  = CDE  = α, CED  = AEF  = β. a) Đặt AFE Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 65

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP

.Q

19 . 49

N

ĐKXĐ: x ≠ 2009; x ≠ 2010 . Đặt a = x – 2010 (a ≠ 0), ta có hệ thức: 2 ( a + 1) − ( a + 1) a + a 2 = 19 ⇔ a 2 + a + 1 = 19 2 ( a + 1) + ( a + 1) a + a 2 49 3a 2 + 3a + 1 49

=

ẠO

− ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

2

Đ

2

G

( 2009 − x )

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

10 00

ĐỀ SỐ 31

-L

Í-

H

Ó

A

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x − 17 x − 21 x + 1 =4 + + b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0

1 1 1 + + = 0. x y z yz xz xy + 2 + 2 Tính giá trị của biểu thức: A = 2 x + 2 yz y + 2xz z + 2 xy

ÀN

TO

ÁN

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

5BF 5BF 5BF  BD BA 5     BF = BC = 8 BD = 8 BD = 8 BD = 8     7CE 7CE 7CE  CD CA 7    ⇒ = = ⇒ CD = ⇒ CD = ⇒ CD = 8 8 8  CE CB 8     AE AB 5 7AE = 5AF 7(7 − CE) = 5(5 − BF) 7CE − 5BF = 24  AF = AC = 7        ⇒ CD − BD = 3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) ⇒ BD = 2,5

C

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D

.Q

B

TP

s

s

s

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

 + β + ω = 1800 (*) Ta có BAC Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. A  + OED  + ODF  = 90o (1) ⇒ OFD E F ω β o    Ta có OFD + ω + OED + β + ODF + α = 270 (2) β o ω O (1) & (2) ⇒ α + β + ω = 180 (**)  = α = BDF . (*) & (**) ⇒ BAC b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:  =ω  = β, C B α α ⇒ ∆AEF ∆DBF ∆DEC ∆ABC

N

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

D

IỄ N

Đ

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

66

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H

Ơ

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB + BC + CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' 2 + BB' 2 + CC' 2

N

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 HA' HB' HC' + + a) Tính tổng AA' BB' CC'

( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm )

H

Tính đúng A = 1

A

10 00

yz xz xy + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y)

Ó

Do đó: A =

∈ N, 0 ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ 0

ÁN

-L

Í-

• Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d

Đ

ÀN

TO

2 Ta có: abcd = k

(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2

(0,25điểm)

v…i k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (0,25…i…m)

abcd = k 2 abcd + 1353 = m 2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( 0,25điểm )

B

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

.Q

TP

Đ

G

TR ẦN

H Ư

N

• Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 1 1 = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) + + =0⇒ xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

IỄ N D

( 1 đi ể m ) ( 1 điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )

ẠO

• Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 x x x x x ⇔ 2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0 ⇔ (2 – 8)(2 – 4) = 0 x 3 x 2 x 3 x 2 ⇔ (2 – 2 )(2 –2 ) = 0 ⇔ 2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0 x 3 x 2 ⇔ 2 = 2 hoặc 2 = 2 ⇔ x = 3; x = 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ĐÁP ÁN

(0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 ho…c m–k = 33 m = 67 m = 37 ho…c ⇔ Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 67

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

k= 4 đúng

N

TP

C

D

(0,25điểm)

H Ư

N

G

Đ

HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC + + = + + =1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

(0,5…i…m ) (0,5…i…m )

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . . = . . = . =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2 ⇒ AB + AD ≤ (BC+CD) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 ( AB + BC + CA ) 2 ≥ 4 (0,25điểm) ⇔ AA'2 + BB'2 + CC'2 Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều Kết luận đúng (0,25điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A’

B

U Y

M I

SHAB HC' SHAC HB' = = ; S ABC CC' SABC BB'

x

B’

.Q

H

N

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C’

H

Ơ

N

A

ẠO

Tương tự:

(0,25điểm) = 3136

abcd

Kết (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 .HA'.BC S HBC 2 HA' = = a) ; AA' S ABC 1 .AA'.BC 2 (0,25điểm)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

k = 56 luận

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

68

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó

ĐỀ SỐ 32 Bài 1 (4 điểm)

Ơ H

ẠO

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

Chứng minh rằng a = b = c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 4 − 2a3 + 3a 2 − 4a + 5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. b, Chứng minh rằng

1 1 2 + = . AB CD MN

TO

ÁN

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.

Đáp án

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : A=

3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q

2

2 2 2 Cho ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc) .

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2

N

2 3

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = −1 .

N

 1 − x3  1 − x2   − x : Cho biểu thức A =   1 − x − x 2 + x 3 với x khác -1 và 1.  1− x  a, Rút gọn biểu thức A.

0,5đ

2

1− x − x + x (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x 2 ) − x (1 + x)

0,5đ

(1 − x)(1 + x + x 2 − x) (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − 2 x + x 2 ) 1 = (1 + x 2 ) : (1 − x)

=

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,5đ

69

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

0,5đ

= (1 + x 2 )(1 − x) b, (1 điểm) 5 thì A = 3

0,25đ

5 2  5   1 + (− 3 )  − 1 − (− 3 )    

2

N

H

Ơ

2

2

2

2

2

2

U Y

G

N

Biến đổi để có (a − b) + (b − c) + (a − c) = 0 (*) Vì (a − b) 2 ≥ 0 ; (b − c) 2 ≥ 0 ; (a − c) 2 ≥ 0 ; với mọi a, b, c nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b) 2 = 0 ; (b − c) 2 = 0 và (a − c) 2 = 0 ; Từ đó suy ra a = b = c 2

TR ẦN

H Ư

2

10 00

B

Bài 3 (3 điểm)

Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11.

Í-

H

Ó

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số (x khác -15)

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

x (x là số nguyên khác -11) x + 11

A

Phân số cần tìm là

0,5đ

Đ

a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc Biến đổi để có (a 2 + b 2 − 2ac) + (b 2 + c 2 − 2bc) + (a 2 + c 2 − 2ac) = 0 2

0,25đ 0,5đ 0,25đ

-L

Theo bài ra ta có phương trình

x x + 15 = x + 11 x − 7

ÁN

Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)

TO

Từ đó tìm được phân số −

5 6

x−7 x + 15

0,5đ 0,5đ

1đ 0,5đ

ÀN

Bài 4 (2 điểm)

D

IỄ N

Đ

Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) − 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3 = (a 2 + 2)(a 2 − 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3 Vì a 2 + 2 > 0 ∀a và (a − 1) 2 ≥ 0∀a nên (a 2 + 2)(a − 1) 2 ≥ 0∀a do đó

0,5đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

ẠO

Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 2

.Q

TP

c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 − x) < 0 (1) Vì 1 + x 2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1 KL

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

0,5đ

N

0,25đ

25 5 )(1 + ) 9 3 34 8 272 2 = . = = 10 9 3 27 27

= (1 +

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2 3

Tại x = − 1 = −

0,5đ 0,5đ

(a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3 ≥ 3∀a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1 KL Bài 5 (3 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

70

0,25đ 0,25đ

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

B

.Q 0,5đ

B

10 00

B

A

A

H

O

N

-L

Í-

M

ÁN

D

a, (1,5 điểm)

C

0,5đ

OM OD ON OC = , = AB BD AB AC OD OC Lập luận để có = DB AC OM ON = ⇒ ⇒ OM = ON AB AB

TO

Lập luận để có

ÀN

0,5đ

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

G N H Ư

TR ẦN

0,5đ

0,5đ

Ó

Bài 6 (5 điểm)

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Đ

4 3 8 3 cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD = cm 3 2 4 3 Tính được NI = AM = cm 3 8 3 1 4 3 DC = BC = cm , MN = DC = cm 3 3 2 8 3 Tính được AI = cm 3

Tính được AD =

0,5đ

Đ IỄ N D

C

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

I

D

a,(1 điểm) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân b,(2điểm)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

A

U Y

N

H

Ơ

N

N

M

b, (1,5 điểm) OM DM OM AM = (1), xét ∆ADC để có = (2) AB AD DC AD 1 1 AM + DM AD Từ (1) và (2) ⇒ OM.( + )= = =1 AB CD AD AD

Xét ∆ABD để có

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

71

0,5đ

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

0,5đ

1 1 + ) =1 AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON). ( + )=2 ⇒ + = AB CD AB CD MN

Chứng minh tương tự ON. (

0,5đ 0,5đ

Chứng minh được S AOD = S BOC

0,5đ 0,5đ

H Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

T×m sè tù nhiªn n ®Ó: A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.

H Ư

C©u 1: (5®iÓm) a,

N

G

Đ

§Ò thi häc sinh giái líp 8

n 4 + 3n 3 + 2n 2 + 6n − 2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n2 + 2

TR ẦN

b, B =

D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph−¬ng. Chøng minh r»ng :

(n ≥ 2)

B

c, C©u 2: (5®iÓm)

a b c + + = 1 biÕt abc=1 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

b,

Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2

A

10 00

a,

Ó

a2 b2 c2 c b a + + ≥ + + b2 c2 a2 b a c

Í-

Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82

-L

C©u 3: (5®iÓm)

H

c, a,

Đ

ÀN

TO

ÁN

b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 2 c, x -y +2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d−¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®−êng chÐo.Qua 0 kÎ ®−êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. b. Chøng minh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

.Q

TP

ẠO

ĐỀ SỐ 33

IỄ N D

2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị 0,5đ DT)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD )

Ơ

S AOB OB S BOC OB S S ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD = , = S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC

N

b, (2 điểm)

1 1 2 + = AB CD EF

c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®−êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.

C©u Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Néi dung bµi gi¶i 72

§iÓm

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

(1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 ⇔ n=2 khi ®ã A=5

0,5 0,5

Ơ

0,5 0,5 0,5

N

0,5

0,5 0.5 0.5 0.5 0.5

Í-

-L

ÁN

c, (2®iÓm)

¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 ≥ 2xy DÊu b»ng khi x=y

TO

a2 b2 a b a + 2 ≥ 2. . = 2. ; 2 b c c b c c2 b2 c b b + ≥ 2. . = 2. a c a a2 c2

Đ

a2 c2 a c c + 2 ≥ 2. . = 2. ; 2 b a b b a

0,5 0,5 0,5

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.Q

TP

ẠO

Đ

0,5

H

Ó

A

10 00

B

b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= 2(ab+ac+bc) ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× C©u 2 a+b+c=0 ⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) (5®iÓm) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0 ⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) 4 4 Tõ (1)vµ(2) ⇒ a +b +c4=2(ab+ac+bc)2

IỄ N D

0,5

G

TR ẦN

H Ư

N

a b c ac abc c + + = + + 2 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1 ac abc c abc + ac + 1 + + = =1 = 1 + ac + c c + 1 + ac ac + c + 1 abc + ac + 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,5 0,5

U Y

2

H

2 n +2 B cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ 2 ⋮ n2+2 n2+2 lµ −íc tù nhiªn cña 2 C©u 1 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n (5®iÓm) HoÆc n2+2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn. c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [(n 2 − 4) + 5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ 5 n(n-1)(n+1 ⋮ 5 VËy D chia 5 d− 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph−¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph−¬ng a, (1®iÓm)

B=n2+3n-

b, (2®iÓm)

N

a,

0,5

Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: a 2 b2 c2 a c b a 2 b2 c2 a c b 2( 2 + 2 + 2 ) ≥ 2( + + ) ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + b c a c b a b c a c b a

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

73

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 0 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 + + =0 ⇔ 86 84 82 1 1   1 ⇔ (x-300)  + +  = 0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S = {300}  86 84 82 

a, (2®iÓm)

1,0

H

Ơ

0,5

N

0,5

0,5 0,5

2

2

G

Đ

Víi k=- 8,5 Ta cã ph−¬ng tr×nh: 64x -16x+9=0 ⇔ (8x-1) +8=0 v« nghiÖm. 1 − 1  2 4 

H Ư

N

VËy S =  ,

B

TR ẦN

c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 ⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d−¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1 Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)

A

B

0,5 K I N

O

F

M

D

ÁN

-L

Í-

H

Ó

E

0,5

0,5

10 00

a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒ S DAB=S CBA (cïng ®¸y vµ cïng ®−êng cao) A ⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC

0,5

EO AO = MÆt kh¸c AB//DC C©u 4 DC AC (5®iÓm) ⇒ AB = AO ⇒ AB = AO ⇒ AB = AO ⇒ EO = AB DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 2 1 1 2 = ⇒ = ⇒ + = ⇒ 2 DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N ∈ DF) +KÎ

TO

b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒

0,5 1,0 0,5 1,0

D

IỄ N

Đ

C

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.Q

TP

−1 4

ẠO

1 2

x= ; x =

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

0,5 0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 C©u 3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25 (5®iÓm) ⇔ k=… 8,5 Víi k=8,5 tacã ph−¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; ⇒

®−êng th¼ng KN lµ ®−êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN.

1,0

ĐỀ SỐ 34 Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

74

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A =

3 − 3x x x+4 − 2 + 3 x +1 x − x +1 x +1

a) Rót gän biÓu thøc A

N

b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A lu«n d−¬ng víi mäi x ≠ - 1

H

Ơ

C©u 2(4.0 ®iÓm): Gi¶i ph−¬ng tr×nh:



.Q

TP

ẠO

C©u 3(3.0 ®iÓm) : Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1. 2 ( xy − 2 ) x y + 3 − 2 2 =0 y −1 x −1 x y + 3

Chøng minh r»ng:

G

Đ

3

H Ư

N

C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x ∈ Q th× gi¸ trÞ cña ®a thøc : lµ b×nh ph−¬ng cña mét sè h÷u tØ.

TR ẦN

M = ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8) + 16

Ó

A

10 00

B

C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®−êng cao AH (H ∈ BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §−êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 4. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m = AB . 5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD = . BC AH + HC

-L

Í-

H

6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

----------------------------------------------HÕt-------------------------------------------------

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

1 1 1 1 2 b) 8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 ) x x x x

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

U Y

N

a) x 2 − 3x + 2 + x − 1 = 0

H−íng dÉn chÊm to¸n 8 C©u

Néi dung

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

§iÓm 75

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

1

a

(

1®iÓm

)

x x 2 − x + 1 − ( x + 1)( 3 − 3 x ) + x + 4 3 − 3x x x+4 = − 2 + 3 x +1 x − x +1 x +1 ( x + 1) x 2 − x + 1

(

( (

)

) )

2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) x + x + 1 x2 + x + 1 = = = ( x + 1) x 2 − x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1 x 2 − x + 1

1®iÓm

Ơ

)

U Y .Q

2

2

4

2

4

1®iÓm

Đ

ẠO

1 3 1 3 V×  x +  + > 0;  x −  + > 0, ∀x ≠ −1 ⇒ A > 0, ∀x ≠ −1

N

G

2

H Ư

* Víi x≥ 1 (*) ⇒ x - 1 ≥ 0 ⇒ x − 1 = x − 1 ta cã ph−¬ng tr×nh 2

1®iÓm

TR ẦN

x2 -3x + 2 + x-1 = 0 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 ( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn *)

* Víi x< 1 (**) ⇒ x - 1 ≤ 0 ⇒ x − 1 = 1 − x ta cã ph−¬ng tr×nh

10 00

B

a

x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0

A

+ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **) 1®iÓm

H

Ó

+ x - 3 = 0 ⇔ x = 3 ( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn **)

Í-

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ : x = 1

-L

0.5®iÓm

ÁN

* §iÒu kiÖn x ≠ 0 (1) 1 

2

1

1

1

2

* pt ⇔ 8  x +  + 4  x 2 + 2   x 2 + 2  −  x +   = ( x + 4 ) x x x x

D

IỄ N

Đ

ÀN

b

3

 

 

2

 

2 1  2  2 1   2 1   2 1   ⇔ 8  x + 2 + 2  + 4  x + 2   x + 2  −  x +   = ( x + 4 ) x x   x   x     

1®iÓm

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

1®iÓm

TP

b

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

1 3  x+  + x 2 + x + 1  2 4 Víi mäi x ≠ - 1 th× A = 2 = 2 x − x +1  1 3 x−  + 2 4 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

(

N

- Rót gän: A =

2

⇔ 16 = ( x + 4 ) ⇔ x ( x + 8 ) = 0 ⇔ x = 0 hoÆc x = -8

So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (1) , suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = - 8

0.5®iÓm

Ta cã y 3 − 1 = ( y − 1) ( y 2 + y + 1) = − x ( y 2 + y + 1) v× xy ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0 1®iÓm

⇒ y-1≠ 0 vµ x-1 ≠ 0 Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

76

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 −1 x = 2 y −1 y + y + 1 3

N

G

§Æt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2

1®iÓm 1®iÓm 1®iÓm

10 00

B

TR ẦN

5

H Ư

M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm)

1®iÓm

Ó

A

a

+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung. CD CA = (Hai tam gi¸c vu«ng CDE CE CB vµ CAB ®ång d¹ng)

Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). = Suy ra: BEC ADC = 1350 (v× tam

1®iÓm

-L

Í-

H

gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt). Nªn  AEB = 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: BE = AB 2 = m 2

1.5®iÓm

BM 1 BE 1 AD = ⋅ = ⋅ (do ∆BEC ∼ ∆ADC ) BC 2 BC 2 AC mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nªn = ⋅ = ⋅ = = (do ∆ABH ∼ ∆CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE  = BEC  = 1350 ⇒  Do ®ã ∆BHM ∼ ∆BEC (c.g.c), suy ra: BHM AHM = 450

ÁN

Ta cã:

TO

b

1.5®iÓm

D

IỄ N

Đ

1®iÓm

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.Q

ẠO

TP

4

Đ

Ta cã: M = ( x 2 + 10 x + 16 )( x 2 + 10 x + 24 ) + 16

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

2  x2 + x + 1 + y 2 + y + 1    ( x + y ) − 2 xy + ( x + y ) + 2    = − 2 = − 2  x 2 y 2 + ( x + y ) − 2 xy + xy ( x + y ) + xy + ( x + y ) + 1   ( x + x + 1)( y 2 + y + 1)      2 ( xy − 2 ) 4 − 2 xy x y =− 2 2 ⇒ 3 + 3 − 2 2 =0 x y +3 y −1 x −1 x y + 3

Ơ

1®iÓm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

−1 −1 x y + 3 = 2 + 2 y −1 x −1 y + y + 1 x + x + 1 3

H

y −1 = x3 − 1 x 2 + x + 1

N

x3 − 1 = ( x − 1) ( x 2 − x + 1) = − y ( x 2 − x + 1) ⇒

N

c

Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC. GB AB AB ED AH HD Suy ra: = , mµ = ( ∆ABC ∼ ∆DEC ) = ( ED // AH ) = GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do ®ã: = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC

1®iÓm

ĐỀ SỐ 35 Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

77

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 

x2 6 1   10 − x 2    + + : x − 2 +   3 x + 2   x − 4 x 6 − 3x x + 2  

Bài 1: Cho bi…u th…c: M = 

N Ơ H

B

TR ẦN

b. Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 c. Chøng minh: H c¸ch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF. d. Trªn c¸c ®o¹n HB,HC lÊy c¸c ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN. Chøng minh ®−êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

10 00

H−íng dÉn chÊm m«n to¸n 8 §iÓm

Ó

a

Néi dung

 x2 6 1   x2 6 1  + + = − +  3    x − 4 x 6 − 3 x x + 2   x( x − 2)( x + 2) 3( x − 2) x + 2  x − 2( x + 2) + ( x − 2) = ( x + 2)( x − 2) −6 = ( x + 2)( x − 2)

0,5

 10 − x 2  ( x + 2)( x − 2) + (10 − x 2 )  x − 2 + = x + 2  x+2  6 = x+2 −6 x+2 1 = ⇒ M= . 2− x ( x − 2)( x + 2) 6

0,5 0,5 0,5

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

1

A

Bµi

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

HD HE HF + + AD BE CF

H Ư

a. TÝnh tæng:

G

Đ

b. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1). Bài 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®−êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 2

ẠO

a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a. Rút g…n M b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt. Bài 2: a. Tìm giá tr… nh… nh…t c…a bi…u th…c sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b. Cho các s… x,y,z th…a mãn ……ng th…i: x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 v… x 3 + y 3 + z 3 = 1. Tính t…ng: S = x 2009 + y 2010 + z 2011 Bµi 3:

b

+ NÕu x 〉 2 th× M 〈 0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN. + VËy x 〈 2, khi ®ã M cã c¶ Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d−¬ng, nªn M

0,5 0,5

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

78

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

N

Ơ

0,5 0,5

Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§: { x ≠ −4; −5; −6; −7} )

A

a

Ó

4

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

0,5

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

1 1 1 1 + + = 18 ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 1 1 1 1 1 1 1 − )+( − )+( − )= ⇒( x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 1 1 1 ⇒ ⇒ (x + 4)(x +7) = 54 − = x+4 x+7 18 ⇒ (x + 13)(x – 2) = 0 ⇒ x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa m+n §KX§) VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: S = {−13; 2}

b

+ Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2 + Ta chøng minh (x + 1) vµ (x 2 + 1) nguyªn tè cïng nhau ! V× nÕu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ)  x2 + x⋮ d  x + 1⋮ d   x + 1⋮ d ⇒  2 ⇒  x 2 + 1⋮ d ⇒  ⇒ 2 ⋮ d mµ d lÎ nªn d = 1.  x − 1⋮ d  x + 1⋮ d  x + 1⋮ d 

0,5 0,5 0,5 0,5

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

Ta có: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) k…t h…p các …i…u ki…n …ã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 ⇒ M…t trong các th…a s… c…a tích (x + y)(y + z)(z + x) ph…i b…ng 0 Gi… s… (x + y) = 0, k…t h…p v…i …/k : x + y + z = 1 ⇒ z = 1, l¹i k…t h…p v…i …/k : x 2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ x = y = 0. Vậy trong 3 s… x,y,z ph…i có 2 s… b…ng 0 v… 1 s… b…ng 1, S = x 2009 + y 2010 + z 2011 = 1 Nên t…ng S luôn có giá tr… b…ng 1.

0,5 0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0,5

.Q

A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 Do (x-y)2 ≥ 0 ; (y - 2)2 ≥ 0 Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 ≥ 2010 D…u ''='' x¶y ra ⇔ x – y = 0 v… y – 2 = 0 ⇔ x = y = 2. V…y GTNN c…a A l… 2010 t¹i x = y =2

G

b

IỄ N D

a

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3

0,5 0,5 0,5

H

b

0,5 0,5 0,5

N

a

0,5 0,5

U Y

2

muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) ph¶i lµ GTNN, Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d−¬ng ⇒ 2 – x = 1 ⇒ x = 1. VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1. A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) = (b − c )2 − a 2  (b + c) 2 − a 2  = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác) T−¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0 V…y A< 0

0,25

0,25

+ Nªn muèn (x + 1)(x 2 + 1) lµ sè chÝnh ph−¬ng Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

79

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Th× (x+1) vµ (x 2 + 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph−¬ng

0,25

N

5

0,25

Ơ

2 2 k = 1 k = −1  x + 1 = k §Æt:  hoÆc  ⇒ (k + x)(k – x) = 1 ⇒  2  x + 1 = t x = 0 x = 0 + Víi x = 0 th× (2y + 1) 2 = 1 ⇒ y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa m+n pt) VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: (x;y) = {(0;0), (0; −1)}

.Q

H

ẠO

TP

M

B

Đ

K

I

N

0,5

N

G

D

O

B

HD S ( HBC ) = AD S ( ABC ) HE S ( HCA) HF S ( HAB) T−¬ng tù cã: ; = = BE S ( ABC ) CF S ( ABC ) HD HE HF S ( HBC ) + S ( HCA) + S ( HAB) Nªn + + = AD BE CF S ( ABC ) HD HE HF =1 ⇒ + + AD BE CF Tr−íc hªt chøng minh ∆ BDH ~ ∆ BEC ⇒ BH.BE = BD.BC Vµ ∆ CDH ~ ∆ CFB ⇒ CH.CF = CD.CB. ⇒ BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (®pcm) Tr−íc hÕt chøng minh: ∆ AEF ~ ∆ ABC ⇒  AEF =  ABC

Tr−íc hÕt chøng minh:

0,5 0,5 0,5

TO

-L

ÁN

b

ÀN

c

D

IỄ N

Đ

 = CBA  Vµ ∆ CDE ~ ∆ CAB ⇒ CED  mµ EB ⊥ AC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña gãc DEF. ⇒  AEF = CED T−¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc EDF vµ DFE. VËy H lµ giao ®iÓm c¸c ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c DEF nªn H c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF (®pcm)

d

0,5

Í-

H

Ó

A

10 00

a

TR ẦN

H Ư

C

Gäi O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®−êng trung trùc cña hai ®o¹n MN vµ  = OCN  .(1) HC, ta cã ∆ OMH = ∆ ONC (c.c.c) ⇒ OHM  = OCH  .(2) MÆt kh¸c ta còng cã ∆ OCH c©n t¹i O nªn: OHC

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

80

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

E

F

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

A

0,5 0,5 0,25 0,25

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8  = OHB  ⇒ HO lµ ph©n gi¸c cña gãc BHC Tõ (1) vµ (2) ta cã: OHC VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ ph©n gi¸c cña gãc BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh. Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh lµ O.

O,25 0,25

Ơ

N

ĐỀ SỐ 36

táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra

1 số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả. 3

Bài

**************-The end-************** Phần

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Cuối cùng trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả? Bài 5: (4,5đ) Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng: a, AB.AE + AD.AF = AC2 ∆ ABC. b, ∆ FCE Bài 6: (2,5đ) Dựng hình thoi biết  = 300 và tổng hai đường chéo bằng 5cm. (Chỉ cần phân tích, nêu cách dựng và dựng hình).

Nội dung

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

Bài 4: (3,5đ) a/ Tìm đa thức dư trong phép chia 1 + x + x19 + x20 + x2010 cho 1 – x2 b/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP

ẠO Đ G

N

TR ẦN

2

H Ư

1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 x + 12 x + 35 9 4 4 c, ( x − 2 ) + ( x − 3) = 1

b,

.Q

n + 13 tối giản. n−2

Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, 4a 2b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) b, x5 + x + 1 c, ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) + 1 Bài 3: (3đ) Giải phương trình: a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

c, Tìm số tự nhiên n để phân số

H

Bài 1: (3,5đ) a, Với giá trị nào của n thì ( n + 5 )( n + 6 )⋮ 6n với n ∈ Ν . b, CMR với n ∈ Ν thì: n5 − n⋮ 30 .

Điểm

D

Ta có: (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = n(n – 1) + 30 + 12n ⋮ 6n 1

a

b

n ( n − 1)⋮ 3 n = 3 ∨ n = 3k + 1 ⇔ n ( n + 1) + 30⋮ 6n ⇔  ⇔ 30⋮ 3 n 30 ⇔ n = 1; 3; 6; 10; 15; 30 CMR: với n ∈ Ν thì: n5 − n⋮ 30

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

81

1

1,5

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Ta có 30 = 2.3.5 n5 − n = n ( n 4 − 1) = ( n − 1) n ( n + 1) ( n 2 + 1)

n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích

Ơ H

2

H Ư

a

= ( 2ab − a 2 − b 2 + c 2 )( 2ab + a 2 + b 2 − c 2 )

1

TR ẦN

2 2 =  c 2 − ( a − b )  ( a + b ) − c 2     = ( a + b + c )( a + b − c )( c + a − b )( c − a + b )

B

b

10 00

2

x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 x + 1 = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)

1

Ó

A

( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) + 1 = ( x + 1)( x + 4 )( x + 2 )( x + 3) + 1 = ( x 2 + 5 x + 4 )( x 2 + 5 x + 6 ) + 1

1

H

c

= ( x + 5 x + 5 ) − 1 ( x + 5 x + 5 ) + 1 + 1 2

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

2

2

x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 ⇔ x 4 + x − 30 ( x 2 − x + 1) = 0 ⇔ x ( x 3 + 1) − 30 ( x 2 − x + 1) = 0 ⇔ x ( x + 1) ( x 2 − x + 1) − 30 ( x 2 − x + 1) = 0

Đ 3

2

= ( x 2 + 5x + 5 ) − 1 + 1 = ( x 2 + 5 x + 5)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

= ( 2ab ) − ( a 2 + b 2 − c 2 )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

TP ẠO

2

Đ

4a 2b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 )

1

G

c

IỄ N D

15 n + 13 tối giản ⇔ (15; n − 2 ) = 1 = 1+ n−2 n−2  n ≠ 3k + 2 ⇔ n – 2 ⋮ 3 và n – 2 ⋮ 5 ⇔   n ≠ 3k + 5

N

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

ta chứng minh n5 − n = n ( n 2 − 1)( n 2 + 1)⋮ 5 Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k ± 1 hoặc n = 5k ± 2 1, Nếu n = 5k thì n5 − n⋮ 5 2, Nếu n = 5k ± 1 thì n 2 − 1⋮ 5 ⇒ n5 − n⋮ 5 3, Nếu n = 5k ± 2 thì n 2 + 1⋮ 5 ⇒ n5 − n⋮ 5

N

( n − 1) n ( n + 1)⋮ 6

a

⇔ ( x 2 − x + 1)( x 2 + x − 30 ) = 0

1

2   1 3  ⇔ x 2 + x − 30 = 0  vìx 2 − x + 1 =  x −  + > 0    2 4    ⇔ x 2 + 6 x − 5 x − 30 = 0  x = −6 ⇔ ( x + 6 )( x − 5 ) = 0 ⇔  x = 5

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

82

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Vậy S = {−6;5} 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 x + 12 x + 35 9 1 1 1 1 ⇔ 2 + 2 + 2 = x + 3 x + x + 3 x + 5 x + 3 x + 15 x + 7 x + 5 x + 35 9 1 1 1 1 ⇔ + + = ( x + 1)( x + 3) ( x + 3)( x + 5) ( x + 5)( x + 7 ) 9

H

Ơ

N

2

Đ

2

H Ư

N

x + 4 = 6 x = 2 (TM ĐKXĐ) ⇔ ⇔  x + 4 = −6  x = −10

G

⇔ x 2 + 8 x + 16 = 36 ⇔ ( x + 4 ) = 62

TR ẦN

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = -10

B

ĐỀ SỐ 37

10 00

Bµi 1 (4 ®iÓm)

Ó

A

 1 − x3  1 − x2   Cho biÓu thøc A =  1 − x − x  : 1 − x − x 2 + x 3 víi x kh¸c -1 vµ 1.  

H

a, Rót gän biÓu thøc A. 2 3

-L

Í-

b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x = −1 . c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0.

ÁN

Bµi 2 (3 ®iÓm)

TO

Cho

(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 4.(a2 + b2 + c2 − ab− ac− bc).

D

IỄ N

Đ

ÀN

Chøng minh r»ng a = b = c . Bµi 3 (3 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph−¬ng tr×nh. Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®−îc ph©n sè nghÞch ®¶o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã. Bµi 4 (2 ®iÓm)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔ ( x + 1)( x + 7 ) = 27 ⇔ x 2 + 8 x − 20 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

1  1 1   1 1   1 1  1 − − −  + +  =  2  x + 1 x + 3   x + 3 x + 5   x + 5 x + 7   9 1 1 1  1 6 1 ⇔  − = = ⇔ 2  x +1 x + 7  9 2 ( x + 1)( x + 7 ) 9

b

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

ĐKXĐ: x ≠ −1; −3; −5; −7 Phương trình trên có thể viết:

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = Bµi 5 (3 ®iÓm) Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

83

a 4 − 2a 3 + 3a 2 − 4a + 5 .

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

1− x − x + x (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x 2 ) − x (1 + x)

(1 − x)(1 + x + x 2 − x) (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − 2 x + x 2 ) 1 = (1 + x 2 ) : (1 − x)

B

TR ẦN

=

KL b, (1 ®iÓm)

25 5 )(1 + ) 9 3 34 8 272 2 = . = = 10 9 3 27 27

Ó

0,25®

-L

ÁN

0,5®

ÀN

TO

KL c, (1®iÓm) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A<0 khi vµ chØ khi (1 + x 2 )(1 − x) < 0 (1) V× 1 + x 2 > 0 víi mäi x nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1 KL Bµi 2 (3 ®iÓm) BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®−îc

Đ IỄ N D

0,5®

0,25®

Í-

= (1 +

A

5 5 5 th× A = 1 + (− ) 2  − 1 − (− ) 3   3  3 

H

2 3

T¹i x = − 1 = −

0,5®

0,5®

10 00

= (1 + x 2 )(1 − x)

0,5®

N

2

H Ư

3

G

Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× :

a 2 + b 2 − 2ab + b 2 + c 2 − 2bc + c 2 + a 2 + 2ac = 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab − 4ac − 4bc BiÕn ®æi ®Ó cã (a 2 + b 2 − 2ac) + (b 2 + c 2 − 2bc) + (a 2 + c 2 − 2ac) = 0

BiÕn ®æi ®Ó cã (a − b) + (b − c) + (a − c) = 0 (*) V× (a − b) 2 ≥ 0 ; (b − c) 2 ≥ 0 ; (a − c) 2 ≥ 0 ; víi mäi a, b, c nªn (*) x¶y ra khi vµ chØ khi (a − b) 2 = 0 ; (b − c) 2 = 0 vµ (a − c) 2 = 0 ; 2

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

2

84

0,25® 0,5® 0,25®

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ

Bµi 1( 4 ®iÓm ) a, ( 2 ®iÓm )

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

h−íng dÉn chÊm thi häc sinh giái

A=

Ơ

U Y

.Q

c, BiÕt SAOB= 20082 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 20092 (®¬n vÞ diÖn tÝch). TÝnh

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

1 1 2 + = . AB CD MN

b, Chøng minh r»ng SABCD.

H

Bµi 6 (5 ®iÓm) H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §−êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N. a, Chøng minh r»ng OM = ON.

N

Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 600, ph©n gi¸c BD. Gäi M,N,I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD. a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh. b, Cho AB = 4cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c AMNI.

0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5®

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Tõ ®ã suy ra a = b = c Bµi 3 (3 ®iÓm)

0,5®

x (x lµ sè nguyªn kh¸c -11) x + 11 x−7 x + 15

0,5®

Ơ

Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®−îc ph©n sè

H U Y

0,5®

.Q

5 6

TP

Tõ ®ã t×m ®−îc ph©n sè −

Đ

ẠO

KL Bµi 4 (2 ®iÓm)

1® 0,5®

G

0,5®

N

BiÕn ®æi ®Ó cã A= a 2 (a 2 + 2) − 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3 = (a 2 + 2)(a 2 − 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3 V× a 2 + 2 > 0 ∀a vµ (a − 1) 2 ≥ 0∀a nªn (a 2 + 2)(a − 1) 2 ≥ 0∀a do ®ã

H Ư

0,5® 0,5®

TR ẦN

(a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3 ≥ 3∀a

B

DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1 KL Bµi 5 (3 ®iÓm)

0,25® 0,25®

A

10 00

B

N

-L

Í-

H

Ó

M

A

ÀN

TO

ÁN

I D a,(1 ®iÓm) Chøng minh ®−îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang Chøng minh ®−îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang c©n b,(2®iÓm)

4 3 8 3 cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD = cm 3 2 4 3 TÝnh ®−îc NI = AM = cm 3 8 3 1 4 3 DC = BC = cm , MN = DC = cm 3 2 3

0,5® 0,5® 0,5®

D

IỄ N

Đ

TÝnh ®−îc AD =

C

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x x + 15 = x + 11 x − 7

Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ t×m ®−îc x= -5 (tho¶ m·n)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Theo bµi ra ta cã ph−¬ng tr×nh

N

(x kh¸c -15)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ph©n sè cÇn t×m lµ

0,5®

N

Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x+11.

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

85

0,5® 0,5®

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

0,5®

8 3 cm 3

TÝnh ®−îc AI = Bµi 6 (5 ®iÓm)

O

N

.Q TP ẠO

0,5® 0,5® 0,5®

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

G

b, (1,5 ®iÓm)

OM DM OM AM = (1), xÐt ∆ADC ®Ó cã = (2) AB AD DC AD 1 1 AM + DM AD Tõ (1) vµ (2) ⇒ OM.( + )= = =1 AB CD AD AD 1 1 Chøng minh t−¬ng tù ON. ( + ) =1 AB CD 1 1 1 1 2 tõ ®ã cã (OM + ON). ( + )=2 ⇒ + = AB CD AB CD MN

0,5®

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

XÐt ∆ABD ®Ó cã

b, (2 ®iÓm)

0,5® 0,5® 0,5®

Chøng minh ®−îc S AOD = S BOC

0,5® 0,5®

H

Ó

A

S S AOB OB S BOC OB S = , = ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD S AOD S DOC S AOD OD S DOC OD

Í-

⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD )

2

ÁN

-L

Thay sè ®Ó cã 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Do ®ã SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (®¬n vÞ DT)

0,5®

TO

ĐỀ SỐ 38

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

LËp luËn ®Ó cã

C

D

IỄ N

Đ

Bµi 1. ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 6 6 a) Víi mäi a ∈ Z , nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× a − b chia hÕt cho 9 b) Với mọi n ∈ N thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Bµi 2. ( 2,0 ®iÓm)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

OM OD ON OC , = = AB BD AB AC OD OC LËp luËn ®Ó cã = DB AC OM ON = ⇒ ⇒ OM = ON AB AB

U Y

D

a, (1,5 ®iÓm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

M

N

B

A

a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 2

b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx v… x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

86

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn:

1 1 1 + + ≥ a+b+c a b c

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

Bµi 1. a) (1,0 ®iÓm) Vì a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn a cã d¹ng 3k+1 hoÆc 3k+2 (k ∈ Z ) NÕu a = 3k+1 th× a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 d− 1. NÕu a = 3k+2 th× a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 d− 1. VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a2 chia 3 d− 1.(1) T−¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b2 chia 3 d− 1.(2) Tõ (1) vµ (2) ta cã a2-b2 ⋮ 3 (3) (0,5 ®) Ta cã a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+(b2)2+3a2b2] = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] Theo c/m trªn a2-b2⋮ 3 => (a2-b2)2 ⋮ 3 mµ 3a2b2 ⋮ 3 víi mäi a ∈ Z nªn (a2-b2)2+ 3a2b2 ⋮ 3 (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] ⋮ 3.3 hay a6-b6 ⋮ 9 (0,5 ®) b) (1,0 ®iÓm) Ta cần chứng minh: n5 – n ⋮ 10 * Chứng minh : n5 - n ⋮ 2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) ⋮ 2 (0,25 ®) (vì với n ∈ N ta có n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp) * Chứng minh: n5 – n ⋮ 5 n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) ⋮ 5 ( Vì với n ∈ N ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 ) ⋮ 5 với mọi n ∈ N ) (0,5 ®) Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n ⋮ 2.5 tức là n5 – n ⋮ 10 Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau. (0,25 ®) Bµi 2. a) 1,0 ®iÓm x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5) x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6) x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7) §KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ĐÁP ÁN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q

NC NB = +1 AN AB

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.

b)

Ơ

N

AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:

H

Bµi 5. ( 3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña

N

th× ta có bất đẳng thức a + b + c ≥ 3abc Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2

1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 2

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

87

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 1 1 1 1 ⇔ + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18

=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7) => (x+13)(x-2) = 0

N

1 1 1 − = ( x + 4) ( x + 7) 18

(0,25 ®)

H Ư

TR ẦN

Theo bµi ra ta cã x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z2009 = 32010 ⇔ z2009 = 32009 ⇔ z = 3 V…y x = y = z = 3 Bµi 3. Chứng minh rằng:

10 00

B

N…u a, b, c l… các s… d……ng tho… mãn:

(0,25 ®) (0,25 ®)

1 1 1 + + ≥ a+b+c a b c

th× ta có b…t ……ng th…c a + b + c ≥ 3abc 1 1 1 bc + ca + ab + + ≥ a+b+c ⇔ ≥ a+b+c a b c abc ⇔ ab + bc + ca ≥ (a + b + c)abc

A

Ta cã

2

2

2

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

2

H

Ó

(*)(v× a,b,c > 0 nªn abc>0) Mµ a + b ≥ 2ab; c + b ≥ 2cb ; a + c ≥ 2ac nªn céng theo vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc nµy ta ®−îc 2(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) ⇔ a 2 + b2 + c 2 ≥ ab + bc + ca) (1) L¹i cã (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) (**) Tõ (*) vµ(**) ta cã (a + b + c) 2 ≥ 3abc (a + b + c) ⇔ a + b + c ≥ 3abc (V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0) Bµi 4. ( 1,0 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 §Æt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = 1 2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(1) (0,25 ®)

N

G

⇔ x = y = z ⇔ x2009 = y2009 = z2009

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q TP ẠO

(0,25 ®)

Đ

x − y = 0  ⇔ y − z = 0 z − x = 0 

(0,25 ®)

U Y

=> x = -13 hoÆc x = 2 ( Tháa m·n §KX§) VËy PT ®· cho cã hai nghiÖm lµ x1=-13; x2=2 b) 1,0 ®iÓm Ta cã x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx ⇔ 2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0 ⇔ (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

Ơ

(0,5 ®)

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho hai sè 3x vµ y ta cã:

(3x + y)2 ≤ (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 ≥ DÊu b»ng xÈy ra <=>

1 1 Hay 4a2 + 25b2 ≥ . 10 10

3 1 = <=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=> 6a = - 45b (2) x y

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

88

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Tõ (1) vµ (2) => b = −

1 ; 50

a=

3 20

Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM

N

lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:

H N

G

Mµ MNA = NAC => CNM = BAN

N

MÆt kh¸c CNM = BNE (®®) =>BNE = BAN

B

E

H Ư

A

=> ∆ BNE ∞ ∆ BAN

TR ẦN

b) Trªn tia ®èi tia MN lÊy ®iÓm F sao cho FM = MN. trung ®iÓm cña mçi ®−êng)

B

Tø gi¸c ANCF lµ h×nh ch÷ nhËt (v× cã 2 ®−êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i

10 00

=> CE // AF => AFB = ENB (®ång vÞ) => ∆ BAN ∞ ∆ BFA =>

Ó

A

FA BF NC FN + NB NC AB + NB NC NB => = + 1 (§pcm) = => = => = AN BA AN AB AN AB AN AB CN AC AN = = AN EA EN

CN AC CN AB AE + EB EB EB = => = = = 1+ = 1+ ( 4) AN EA AN AE AE AE BN

ÀN

CN NB = 1+ (§pcm) AN AB

Đ IỄ N

(1)

AN BA BE NB (2) va (3) . Tõ (1) vµ (2) => BN = AE = = NE BN BN AB

TO

∞ ∆ BAN =>

ÁN

∆ BNE

-L

Í-

H

C¸ch kh¸c: b) Ta cã: ∆ ACN ∞ ∆ EAN =>

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.Q

Đ

BAN + NAC = 1v

ẠO

CNM + MNA = 1v

M

Tõ (3) vµ (4) =>

D

TP

C F

1 AC ) 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

NC NB = +1 AN AB

a) ∆ ANC vu«ng t¹i N (v× MN =AM =

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b)

Ơ

a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.

§Ề SỐ 39

Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 1. x 2 + 7 x + 6 2. x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

89

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

1.

x 2 − 3x + 2 + x − 1 = 0

2.

1 1  1  1 2    8  x +  + 4  x2 + 2  − 4  x2 + 2   x +  = ( x + 4) x x  x  x   

2

2

b

c

Ơ

a

1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè dư¬ng ,ta cã:

N

Bµi 3: (2®iÓm) (a+b+c)( 1 + 1 + 1 ) ≥ 9

2

2,0

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

§iÓm

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

1.1 (0,75 ®iÓm)

B

TR ẦN

C© Néi dung u

10 00

Bµi 1 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

AH + HC

H Ư

BC

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8) + 2008 cho ®a thøc x 2 + 10 x + 21 . Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H ∈ BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m = AB . 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: GB = HD .

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

90

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

0.5

x 2 + 7 x + 6 = x 2 + x + 6 x + 6 = x ( x + 1) + 6 ( x + 1)

= ( x + 1)( x + 6 ) x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 2

2

2

2

2

0,25

2

= x + x + 1 + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) − x + 2007 ( x + x + 1) 2

2

2

2

0,25

2

U Y 2

+ NÕu x ≥ 1: (1) ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x ≥ 1). x < 1: + NÕu (1)

0,5

Đ

⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x 2 − x − 3 ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0

G

⇔ x = 1; x = 3 (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1,

0,5

2

2

2

1 1  1  1 2    8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 ) (2) x x  x  x    §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x ≠ 0 2 2 1 1  1 1  (2) ⇔ 8  x +  + 4  x 2 + 2   x 2 + 2  −  x +   = ( x + 4 )2 x x   x   x    

TR ẦN

2.2

H Ư

N

nªn bÞ lo¹i) VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x = 1 .

10 00

B

0,25

2

1 1  2 2   ⇔ 8  x +  − 8  x 2 + 2  = ( x + 4 ) ⇔ ( x + 4 ) = 16 x x    ⇔ x = 0 hay x = −8 vµ x ≠ 0 . VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x = −8

0,5

H

Ó

A

0,25

3

2.0

Í-

Ta cã:

a a b 1 1 b c b c a a b a c c b =3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) b a c a b c x y Mµ: + ≥ 2 (B§T C«-Si) y x Do ®ã A ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9. VËy A ≥ 9

-L

3.1

1 a

b c

c a

c b

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

A= (a + b + c)( + + ) = 1 + + + + 1 + + + + 1

3.2

0,5

0,5

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

x 2 − 3x + 2 + x − 1 = 0 (1)

.Q

2.1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

0,25 2,0

2.

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

= ( x + x + 1)( x − x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 2008 )

N

4

Ơ

1.2

0,5

(1,25 ®iÓm)

Ta cã: P ( x) = ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8 ) + 2008 = ( x 2 + 10 x + 16 )( x 2 + 10 x + 24 ) + 2008

§Æt t = x 2 + 10 x + 21 (t ≠ −3; t ≠ −7) , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt l¹i:

0,5

P( x) = ( t − 5)( t + 3) + 2008 = t 2 − 2t + 1993

Do ®ã khi chia t 2 − 2t + 1993 cho t ta cã sè d lµ 1993 Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

91

0,5

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

4

4,0 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung. (Hai

N

CD CA = CE CB

tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB

H

1,0

G

Ta cã:

N

H Ư

TR ẦN

(do ra:

0,5

Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.

10 00

GB AB , mµ = GC AC AB ED AH HD = ( ∆ABC ∼ ∆DEC ) = ( ED // AH ) = AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do ®ã: = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC

ra:

-L

Í-

H

Ó

A

Suy

ÁN

®Ò SỐ 40

TO

®Ò bµi: Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:

2x − 3 2x − 8 3  21 + 2 x − 8 x 2  + − +1 P=  : 2 2 2 4 x 12 x 5 13 x 2 x 20 2 x 1 4 x 4 x 3 − + − − − + −  

ÀN Đ

0,5

B

4.3

IỄ N D

0,5

0,5

0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ

BM 1 BE 1 AD (do ∆BEC ∼ ∆ADC ) = ⋅ = ⋅ BC 2 BC 2 AC mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH nªn = ⋅ = ⋅ = = BC 2 AC 2 AC AB 2 BE ∆ABH ∼ ∆CBA ) ∆BHM ∼ ∆BEC Do ®ã (c.g.c), suy 0 0  = BEC  = 135 ⇒  BHM AHM = 45

4.2

0,5 Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). = Suy ra: BEC ADC = 1350 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).  = 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy Nªn AEB ra: BE = AB 2 = m 2

U Y

N

®ång d¹ng)

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

4.1

a) Rót gän P 1 2 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0. Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh:

b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

=

92

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

a)

15 x 1   1 − 1 = 12  +  x + 3x − 4  x + 4 3x − 3 

b)

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19

ÀN

TO

ÁN

Đ IỄ N

x≠

a) Rót gän P = b)

x

+) x =

=

1 2

−3 1 5 7 ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ 4 2 2 2 4 2 x − 3 2 x − 5 ⇔ x=

0,5® 0,5®

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Bµi 1: Ph©n tÝch: 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) §iÒu kiÖn:

D

иp ¸n vµ biÓu ®iÓm

Í-

H

Ó

A

1 1 2 + ≥ 1+ x2 1+ y2 1 + xy

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

c) x − 2 + 3 = 5 Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P. a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. 9 PD = d) Gi¶ sö CP ⊥ BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt PB 16 ABCD. Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:

N

2

1 −1 hoÆc x = 2 2

1 1 ⇒…P = 2 2

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

93

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

N Ơ H 0,25

10 00

A

 1 15 x 1  − 1 = 12  +  x + 4 3 ( x − 1)  §K: x ≠ −4; x ≠ 1 ( x + 4 )( x − 1)  

Í-

H

Ó

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

⇔ 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4) … ⇔ 3x.(x + 4) = 0 ⇔ 3x = 0 hoÆc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TM§K) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K) S = { 0}

b)

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19

⇔ ⇔

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q N

G

Đ

ẠO

TP 0,5®

15 x 1   1 − = + 1 1 2   a) 2 x + 3x − 4  x + 4 3x − 3 

IỄ N D

0,25®

B

Víi x > 5 th× P > 0. Bµi 2:

H Ư

2 >0 ⇒ x–5>0 ⇔ x>5 x−5

§Ó P > 0 th×

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

−1 2 ⇒ …P = 2 3 2 2x − 3 c) P = = 1+ 2x − 5 x−5 Ta cã: 1 ∈ Z 2 ∈Z VËy P ∈ Z khi x−5 ⇒ x – 5 ∈ ¦(2) Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2 ⇒ x = 3 (TM§K) x – 5 = -1 ⇒ x = 4 (KTM§K) x – 5 = 1 ⇒ x = 6 (TM§K) x – 5 = 2 ⇒ x = 7 (TM§K) KL: x ∈ {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 2 2x − 3 d) P = = 1+ 2x − 5 x−5 Ta cã: 1 > 0 +) x =

 148 − x   169 − x   186 − x   199 − x  − 1 + − 2 + − 3 − 4 = 0      +  25   23   21   19  1 1 1  1 + + + = 0  25 23 21 19 

(123 – x) 

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

94

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

1 1 1  1 + + + > 0  25 23 21 19 

Do 

Nªn 123 – x = 0 => x = 123 S = {123}

Ơ

x−2 +3 > 0

H U Y

x−2 +3 = x−2 +3 x−2 +3= 5

Đ G

H Ư

x−2 = 2 ⇔ +) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} Bµi 3(2 ®) Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ:

ẠO

x−2 = 5 – 3

N

TR ẦN

B

x 3x = (km / h) 1 10 3 3

10 00

(3h20’ = 3

0,25®

1 (h) ) 3

0,25®

A

VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:

Ó

3x + 5 ( km / h ) 10

Í-

H

0,25®

-L

Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh:

ÁN

 3x  + 5   .3 = x  10 

TO

0,5® 0,5® 0,25®

D

IỄ N

Đ

ÀN

⇔ x =150 VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 3.150 = 45 ( km / h ) VËn tèc dù ®Þnh lµ: 10 D Bµi 4(7®) VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng M F I

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

=>

.Q

nªn

x − 2 ≥ 0∀x

N

Ta cã:

N

x−2 +3 =5

c)

http://daykemquynhon.ucoz.com

E Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

A 95

C

P

0,5® O

B

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

10 00

B

do ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 do ®ã BC = 4 (cm) CD = 3 (cm)

CP PB = PD CP

0,5d

H

Ó

A

0,5®

Í-

0,5®

1 1 2 + ≥ b) 1+ x2 1+ y2 1 + xy

(1)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 2010 2011 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

NÕu CP ⊥ BD

th× ∆ CBD ∼ ∆ DCP ( g − g ) ⇒

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

H Ư

PD PB PD 9 = = k ⇒ PD = 9k , PB = 16k th× = 9 16 PB 16

TR ẦN

d) NÕu

AB

N

FA

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.  PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.  AM//PO 1® ⇒ tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ) Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA. Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1® MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1® MF AD c) ∆MAF ∼ ∆DBA ( g − g ) nªn kh«ng ®æi. (1®) =

N

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

96

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Ơ

N

 1 1   1 1  ⇔ − + −   ≥0 2 2 1 + 1 + 1 + 1 + x xy y xy     x ( y − x) y ( x − y) ⇔ + ≥0 2 2 (1 + x ) (1 + xy ) (1 + y ) (1 + xy ) 2

H

TR ẦN

H Ư

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A ⋮ B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng 2(x − y) x y − 3 + 2 2 =0 y −1 x −1 x y + 3

B

3

A

10 00

Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x +1 + x + 2 + x + 3 = x + 4 + x + 5 + x + 6

Ó

2008 2007 2006 2005 2004 2003

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. H−íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm

Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) (0,25đ) b) (0,75đ) Xét

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ G N

ĐỀ SỐ 41

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q 1®

TP

V× x ≥ 1; y ≥ 1 => xy ≥ 1 => xy − 1 ≥ 0 => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( y − x ) ( xy − 1) ≥ 0 2 ⇔ ( ) 2 2 + + + 1 x 1 y 1 xy ( )( ) ( )

x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10x 2 − 7x − 5 7 = = 5x + 4 + B 2x − 3 2x − 3

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

97

(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

7 ∈ Z ⇒ 7 ⋮ ( 2x – 3) 2x − 3 Mà Ư(7) = {−1;1; −7;7} ⇒ x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A ⋮ B

Với x ∈ Z thì A ⋮ B khi

(0,25đ) (0,25đ)

4 4 x y − 3 = x 3− x − y3 + y y − 1 x − 1 (y − 1)(x − 1) 4 4 ( x − y ) − (x − y)

c) (1,5đ) Biến đổi

N Ơ H

( do x + y = 1 ⇒ y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) xy(y 2 + y + 1)(x 2 + x + 1) ( x − y )( x + y ) ( x 2 + y2 ) − (x − y) = (0,25đ) xy(x 2 y 2 + y 2 x + y 2 + yx 2 + xy + y + x 2 + x + 1)

.Q

= ( x − y )[ x(x 2− 1)2 + y(y − 1) ]

(0,25đ)

N

Suy ra điều cần chứng minh

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

(0,25đ)

G

xy(x y + 3)

H Ư

−2(x − y) x 2 y2 + 3

=

(0,25đ)

xy(x y + 3)

= ( x − y )[ x(−2 y)2 + y(− x)] = ( x − y2) (2−2xy) xy(x y + 3)

TP

2

(0,25đ)

TR ẦN

Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = 0 ⇔ (y + 6)(y - 2) = 0 ⇔ y = - 6; y = 2 * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x * x2 + x = 2 ⇔ x2 + x - 2 = 0 ⇔ x2 + 2x - x - 2 = 0 ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 1) = 0 ⇔ x = - 2; x = 1 Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1 b) (1,75đ) x +1 + x + 2 + x + 3 = x + 4 + x + 5 + x + 6

Ó

A

10 00

B

(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)

x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003

(0,25đ)

x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003

ÁN

-L

Í-

H

2008 2007 2006 2005 2004 2003 x +1 x+2 x +3 x+4 x +5 x +6 ⇔( +1) + ( +1) + ( +1) = ( +1) + ( +1) + ( +1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003

TO

ÀN

( x + 2009)(

IỄ N

Đ

Do đó :

1 1 1 1 1 1 + + − − − ) = 0 (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003

1 1 1 1 1 1 + + − − − <0 2008 2007 2006 2005 2004 2003

1 1 ; 1 < 1 ; < 2008 2005 2007 2004

(0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = E 2 I

2009 Bài 3: (2 điểm) B a) (1đ) Chứng minh ∆ EDF vuông cân Ta có ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ ∆ EDF cân tại D Mặt khác: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ Eˆ 1 = Fˆ2 A Gv: Nguyễn Văn Tú 98

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 1 < 2006 2003

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

− x + y 2 − y) xy  x 2 y 2 + (x + y) 2 + 2 

( x − y ) (x

=

D

+ y 2 − 1) xy  x 2 y 2 + xy(x + y) + x 2 + y 2 + xy + 2 

( x − y ) (x

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

=

U Y

N

=

3

1

1

C

2

F

O D

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Mà Eˆ 1 + Eˆ 2 + Fˆ1 = 900 ⇒ Fˆ2 + Eˆ 2 + Fˆ1 = 900

900. Vậy ∆ EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông ⇒ CO là trung trực BD EDF =

1 2

H

Ơ

B

Tương tự BI = EF ⇒ DI = BI

N

1 2

N

Mà ∆ EDF vuông cân ⇒ DI = EF

.Q

D

TP E

G

N

H Ư

a 2 a a ≥ ) + 4 2 2 2

2

TR ẦN

= 2(x –

2

Ta có DE nhỏ nhất ⇔ DE2 nhỏ nhất ⇔ x =

B

a ⇔ D, E là trung điểm AB, AC 2

10 00

⇔ BD = AE =

a 2

(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)

b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

A

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 AB AB AB 1 AB 2 AB AB2 2 = – (AD – 2 ≤ .AD + )+ = – (AD – ) + 2 2 4 8 2 4 8 2 2 2 AB AB 3 Vậy SBDEC = SABC – SADE ≥ – = AB2 không đổi 2 8 8

(0,25đ)

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ)

TO

(0,25đ)

3 8

IỄ N

Đ

ÀN

Do đó min SBDEC = AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC

D

C

Đ

ẠO

Bài 4: (2 điểm) A a) (1đ) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ∆ ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2

(0,25đ)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Hay O, C, I thẳng hàng

U Y

⇒ I thuộc dường trung trực của DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ĐỀ SỐ 42

Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

99

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 4 x 2 − 16 A = x x2 + 2 5x + 5 2x 2 + 2x

Ơ N

H

x+2 1 2 − = x − 2 x x ( x − 2)

Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

.Q

Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy.

B

TR ẦN

H Ư

N

Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ?

A

10 00

BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n §¸p ¸n

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm) Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm) A=

BiÓu ®iÓm

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

U Y

b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bµi 3: Cho ph©n thøc:

x (4 x 2 − 16 x[(2 x) 2 − 4 2 x(2 x − 4)(2 x + 4) x.2( x − 2).2( x + 2) = = = = 4( x − 2) = 4 x − 8 x( x + 2) x ( x + 2) x 2 + 2x x 2 + 2x

Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) ≠ 0 ⇔ 2x ≠ 0 vµ x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 vµ x ≠ -1 b) Rót gän: Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(1 ®iÓm)

100

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

N

H

Ơ

N

(0,25 ®iÓm)

0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1® 1® 1®

TP

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

AB 2 + AC 2 = 15 2 + 20 2 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn = = hay = = HB HA BA HB HA 15 20.05 ⇒ AH = = 12 (cm) 25 15.15 BH = = 9 (cm) 25

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

ta cã : BC =

HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)

Đ

BC 25 − BH = − 9 = 3,5(cm) 2 2 1 1 SAHM = AH . HM = . 12. 3,5 = 21 (cm2) 2 2

D

IỄ N

c) HM = BM – BH =

- VÏ ®óng h×nh:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.Q

b) ⇔ x2 – 9 < x2 + 4x + 7 ⇔ x2 – x2 – 4x < 7 + 9 ⇔ - 4x < 16 ⇔ x> - 4 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4 Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy §iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1 VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy) - Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) - Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13 ⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70 ⇔ x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ 10 ngµy. Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (s¶n phÈm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc) b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = {− 1}

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

5x + 5 5( x + 1) 5 (0,5 ®iÓm) = = 2 2 x + 2 x 2 x( x + 1) 2 x 5 5 (0,25 ®iÓm) = 1 ⇔ 5 = 2x ⇔ x = 2x 2 5 5 V× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x = 2 2 Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x ≠ 0; x ≠ 2 x(x + 2) - (x - 2) 2 - Gi¶i: ⇔ x2 + 2x – x +2 = 2; = x( x − 2) x ( x − 2)

A 1®

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

101

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

B

M

C

-L

Í-

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Đ

ÀN

TO

ÁN

• Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 x x x x x ⇔ 2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0 ⇔ (2 – 8)(2 – 4) = 0 x 3 x 2 x 3 x 2 ⇔ (2 – 2 )(2 –2 ) = 0 ⇔ 2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0 x 3 x 2 ⇔ 2 = 2 hoặc 2 = 2 ⇔ x = 3; x = 2

• Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 1 1 = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz + + =0⇒ xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

( 1 đ i ểm ) ( 1 đi ể m ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H

Ó

A

10 00

B

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực HA' HB' HC' + + tâm. a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB + BC + CA) 2 ≥ 4. c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ TR ẦN

H Ư

N

G

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

IỄ N D

.Q

1 1 1 + + = 0. x y z yz xz xy + 2 + 2 Tính giá trị của biểu thức: A = 2 x + 2 yz y + 2xz z + 2 xy

U Y

N

H

Ơ

N

ĐỀ SỐ 43

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x − 17 x − 21 x + 1 + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0

H

( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 102 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Do đó: A =

yz xz xy + + ( x − y)( x − z ) ( y − x )( y − z ) (z − x )(z − y)

( 0,25điểm

( 0,5 điểm )

• Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ 0

(0,25điểm)

H

Ó

A

10 00

B

(0,25điểm)

Í-

H

• Bài 4 (4 điểm):

-L

Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 .HA '.BC S HBC 2 HA ' = = a) S ; 1 AA' ABC .AA'.BC 2 (0,25điểm)

ÁN

A

Đ

ÀN

TO

C’

Tương tự:

SHAB HC' SHAC HB' = = ; S ABC CC' SABC BB'

H

N

M I

B

x

B’

A’

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

N

G

(0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37 ho ặ c ⇔ k = 56 k= 4 Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

TP

ẠO

abcd = k 2 abcd + 1353 = m 2

Đ

IỄ N D

U Y .Q

2 Ta có: abcd = k với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 (0,25điểm)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

Tính đúng A = 1

N

)

C D

(0,25điểm) HA' HB' HC' S HBC SHAB SHAC + + = + + =1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 103

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI

TO

b, B =

n 4 + 3n 3 + 2n 2 + 6n − 2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n2 + 2

D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph−¬ng. Chøng minh r»ng :

Đ

ÀN

c, C©u 2: (5®iÓm)

IỄ N D

(n ≥ 2)

a,

a b c + + = 1 biÕt abc=1 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

b,

Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2

c,

a2 b2 c2 c b a + + ≥ + + b2 c2 a2 b a c

C©u 3: (5®iÓm) a,

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

T×m sè tù nhiªn n ®Ó: A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

ÁN

-L

C©u 1: (5®iÓm) a,

§Ò SỐ 44

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

(0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . . = . . = . =1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) ⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2 ⇒ AB + AD ≤ (BC+CD) (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 ( AB + BC + CA) 2 ≥4 ⇔ AA'2 + BB'2 + CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều)

Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

104

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d−¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®−êng chÐo.Qua 0 kÎ ®−êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.

N

1 1 2 + = AB CD EF

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

2

0,5 0,5

TO

ÁN

-L

a b c ac abc c + + = + + 2 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1 ac abc c abc + ac + 1 = + + = =1 1 + ac + c c + 1 + ac ac + c + 1 abc + ac + 1

Đ

ÀN

b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= 2(ab+ac+bc) ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× C©u 2 a+b+c=0 ⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) (5®iÓm) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0 ⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) 4 4 Tõ (1)vµ(2) ⇒ a +b +c4=2(ab+ac+bc)2 Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

105

0,5 0,5 0.5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

G

2 n +2 B cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ 2 ⋮ n2+2 n2+2 lµ −íc tù nhiªn cña 2 C©u 1 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n (5®iÓm) HoÆc n2+2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn. c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [(n 2 − 4 ) + 5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ 5 n(n-1)(n+1 ⋮ 5 VËy D chia 5 d− 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph−¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph−¬ng a, (1®iÓm) B=n2+3n-

b, (2®iÓm)

§iÓm Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 ⇔ n=2 khi ®ã A=5

a,

IỄ N D

.Q

Néi dung bµi gi¶i

TP

C©u

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®−êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.

Ơ

b. Chøng minh:

0.5 0.5 0.5

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

0,5

H 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

2

2

-L

Í-

Víi k=- 8,5 Ta cã ph−¬ng tr×nh: 64x -16x+9=0 ⇔ (8x-1) +8=0 v« nghiÖm. 1 − 1  2 4 

ÁN

VËy S =  ,

0,5 0,5

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 ⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d−¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1 Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

Ó

−1 4

H

1 2

0,5

A

10 00

B

b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 2 ⇔ (64x -16x+1)(8x -2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 C©u 3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25 (5®iÓm) ⇔ k=… 8,5 Víi k=8,5 tacã ph−¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; ⇒

1,0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP ẠO

x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 0 ⇔ 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 1 1   1 ⇔ (x-300)  + +  = 0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S = {300}  86 84 82 

a, (2®iÓm)

x= ; x =

N

a2 c2 a c c + 2 ≥ 2. . = 2. ; 2 b a b b a

Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: a 2 b2 c2 a c b 2( 2 + 2 + 2 ) ≥ 2( + + ) b c a c b a 2 2 2 a b c a c b ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + b c a c b a

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a2 b2 a b a + 2 ≥ 2. . = 2. ; 2 b c c b c c2 b2 c b b + ≥ 2. . = 2. a c a a2 c2

0,5 0,5 0,5

Ơ

¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 ≥ 2xy DÊu b»ng khi

c, (2®iÓm) x=y

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

106

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

B

0,5

O M

0,5

C 1,0

D EO AO = MÆt kh¸c AB//DC C©u 4 DC AC (5®iÓm) ⇒ AB = AO ⇒ AB = AO ⇒ AB = AO ⇒ EO = AB DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 2 1 1 2 = ⇒ = ⇒ + = ⇒ 2 DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N ∈ DF) +KÎ

.Q

U Y

1,0 1,0

H Ư

N

G

®−êng th¼ng KN lµ ®−êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN.

TR ẦN

ĐỀ THI SỐ 45

b) 4x4 + 4x3 – x2 - x.

10 00

a) x2 – xz – 9y2 + 3yz.

B

Bµi 1: (1.5®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

Ó

A

Bµi 2: (2.5®) Cho biÓu thøc.

Í-

H

3 6x x 2 + 3x 1 + 2 ): ( ) - 3 2 3 2 x − 3 x − 3x + 9 x − 27 x + 3 x + 9 x + 27 x + 9

-L

P=(

ÁN

a) Rót gän P.

b) Víi x > 0 th× P kh«ng nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo?

TO

c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.

ÀN

Bµi 3: (1.5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh.

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒

N

0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

F

N

K I

0,5

Ơ

a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒ S DAB=S CBAA (cïng ®¸y vµ cïng ®−êng cao) ⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB E Hay SAOD = SBOC

H

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

D

IỄ N

Đ

a) x3 – 3x2 + 4 = 0  

b) 1 +

1  1  1   1  31 = .1 + 1 + ...1 + 1.3   2.4  3.5   x( x + 2)  16

Bµi 4: (1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh.

Cho 3 sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng nhá h¬n 2. Chøng minh r»ng 3 sè a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ ®ång thêi lín h¬n 1. Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

107

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Bµi 5: (3.5®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AC, tõ C vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O.

N

Chøng minh r»ng:

Ơ

a) OA.OB = OC.OH

U Y

c) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi.

= (x - 3y)(x + 3y - z)

0.25®

TR ẦN

C©u b: (0.75®)

Đ

0.25®

G

= (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y)

N

0.25®

H Ư

= (x2 - 9y2) – (xz - 3yz)

= x(4x3 + 4x2 – x – 1)

0.25®

= x[4 x 2 (x + 1) − (x + 1)]

B

0.25®

10 00

= x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1)

Bµi 2: (2.5®)

Ó

 x( x + 3) 3   1 6x + 2 − :  2  ( x + 9)( x + 3) x + 9   x − 3 ( x − 3)( x + 9) 

H

-L

Í-

2

x+3 x 2 + 9 − 6x = 2 : x + 9 ( x − 3) x 2 + 9

ÁN

( x + 3 ( x − 3)(x .

TO ÀN

=

Đ

0.25®

A

C©u a: 1®

P= 

=

.Q

ẠO

C©u a: (0.57®)

x2 + 9

2

0.25® 0.25®

) + 9)

0.25®

( x − 3) 2

x+3 x −3

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Bµi 1: (1.5®)

IỄ N D

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

BiÓu ®iÓm vµ ®¸p ¸n to¸n 8

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

b) OHA cã sè ®o kh«ng ®æi.

0.25®

C©u b: (0.75®)

P=

x+3 ⇔ x−3

Px - 3P = x + 3

0.25®

(P – 1)x = 3(P + 1)

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

108

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 3(P + 1) P −1

x=

3(P + 1) P +1 >0⇒ >0 P −1 P −1

.Q

C©u c: 0.75® §KX§: x ≠ ±3

G

P nhËn gi¸ trÞ nguyªn ⇔ x - 30 ∈ ¦ (6) = {± 1;±2;±3;±6}

H Ư

N

Tõ ®ã t×m ®îc x ∈ {4;2;5;1;6;0;9;−3} KÕt hîp víi §/C x ≠ ±3 ; x ∈ z ta ®îc.

TR ẦN

x ∈ {4;2;5;1;6;0;9} VËy x ∈ {4;2;5;1;6;0;9} th× P nguyªn.

10 00

C©u a: (0.75®)

A

- §a ®îc vÒ d¹ng tÝch: (x + 1)(x - 2)2 = 0

Í-

H

Ó

 x =1 ⇒ x = 2

-L

ÁN

TO

ÀN

0.25®

§K: x ∈ N*n

C©u b: (0.75®)

Đ

0.25®

0.50®

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 1; x = 2

- §a vÒ d¹ng

0.25®

B

Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1.5®)

ẠO

0.25®

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x +3 x −3+6 6 = = 1+ x −3 x−3 x −3

Đ

P=

IỄ N D

0.25®

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VËy kh«ng nhËn gi¸ trÞ tõ -1 ®Õn 1.

2 2 3 2 4 2 ( x + 1) 2 31 . . ... = 1.3 2.4 3.5 x( x + 2) 16 ⇔

2( x + 1) 31 = x+2 16

Tõ ®ã ⇒ t×m ®îc x = 30

0.25® 0.25®

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

 P + 1 > 0  P − 1 > 0  P > 1 ⇒ ⇒  P + 1 < 0  P < 1   P − 1 < 0

U Y

Ta cã: x > 0 ⇔ x =

(t/m x ∈ N*)

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 30

0.25®

Bµi 4: (1®) Gi¶ sö a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > 1 ⇒ abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1 (1)

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0.25®

109

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

v× 0 < a < 2 nªn 2 – a > 0. Do a + (2 – a) = 2 kh«ng ®æi, suy ra a(2 – a) lín nhÊt. ⇔ a=2–a ⇔ a=1

N

T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt ⇔ b = 1 (2)

.Q 0.25®

Bµi 5: (3.5®)

ẠO

®ång thêi lín h¬n 1

Đ

C

N

G

K

H Ư

H

TR ẦN

M O

10 00

B

C©u a: (1®)

Chøng minh: ∆ B0H

0.5®

0B 0H = ⇔ 0A.0B = 0C.0H 0C 0 A

A

0.25®

Í-

(suy ra tõ ∆ B0H

∆ C0A)

-L

0B 0H = 0C 0 A

H

C©u b: (1.25®)

ÁN

0 A 0H = 0C 0 B

TO

∆ C0A (g.g)

Ó

B

A

∆ 0BC (c.g.c)

0.25®

ÀN

- Chøng minh ∆ 0HA

0.25®

D

IỄ N

Đ

⇒ OHA = OBC (kh«ng ®æi)

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Do ®ã 3 sè a(2 – b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(1) vµ (2) m©u thuÈn nhau.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0.25®

U Y

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c =1

N

VËy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c) ≤ 1.1.1 = 1

H

Ơ

c(2 – c) lín nhÊt ⇔ c = 1

C©u c: (1.25®)

VÏ MK ⊥ BC - ∆ BKM

∆ BHC (g.g) ⇒

BM BK = BC BH

⇒ BM.BH = BC.BK ∆ CKM

∆ CAB (g.g)

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(1)

0.5® 0.25®

110

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 ⇒

CM CK = ⇒ CM.CA = BC.CK CB CA

(2)

0.25®

- Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc: - BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK

H

Ơ

N

= BC . (BK + CK) = BC2 (kh«ng ®æi) 0.25®

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

TP

a) 3x2 – 7x + 2;

.Q

ẠO

Câu 2: (5,0 điểm)

Đ

Cho biểu thức :

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

e) Tìm giá trị của x để A > 0?

TR ẦN

d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?

H Ư

N

G

2 + x 4x2 2− x x2 − 3x ):( ) − 2 − A = ( 2 − x x − 4 2 + x 2x2 − x3

f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.

10 00

B

Câu 3: (5,0 điểm)

c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

H

x y z a b c x2 y 2 z 2 + + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 . a b c a b c x y z

Í-

d) Cho

Ó

A

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

-L

Câu 4: (6,0 điểm)

ÁN

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

IỄ N

Đ

ÀN

chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

ĐỀ THI SỐ 46

Câu 1: (4,0 điểm)

d) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? e) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

D

f) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án

Điểm

Bài 1 Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

111

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1).

N

H

Ơ

a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1).

U Y

Bài 2: a

.Q TP ẠO

4 x2 + 8x x(2 − x) = . (2 − x)(2 + x) x − 3

0,5

4 x( x + 2) x(2 − x) 4 x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

0,25

4x 2 . x−3

10 00

Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =

-L

Í-

H

Ó

Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔

4x >0 x−3

⇔ x−3> 0 ⇔ x > 3(TMDKXD )

TO

x − 7 = 4 x−7 = 4 ⇔   x − 7 = −4  x = 11(TMDKXD) ⇔  x = 3( KTMDKXD )

ÀN Đ Bài 3 a

2

Vậy với x > 3 thì A > 0.

ÁN

c

0,25

1,0

A

b

IỄ N D

1,0

B

=

1,0

Đ

H Ư

2 + x 4x2 2− x x 2 − 3x (2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x) − 2 − = ):( 2 3) = . 2 − x x − 4 2 + x 2x − x (2 − x)(2 + x ) x( x − 3)

TR ẦN

A=(

N

2 − x ≠ 0  2 x ≠ 0 x − 4 ≠ 0   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠ 0  x 2 − 3x ≠ 0 x ≠ 3   2 3  2 x − x ≠ 0

G

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ĐKXĐ :

Với x = 11 thì A =

121 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 2 2 2 ⇔ (9x – 18x + 9) + (y – 6y + 9) + 2(z + 2z + 1) = 0 2 2 2 ⇔ 9(x - 1) + (y - 3) + 2 (z + 1) = 0 (*)

Gv: Nguyễn Văn Tú

0,25

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

b

2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a

N

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

112

5,0 2,5 1,0 0,5

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Do : ( x − 1)2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1)2 ≥ 0 Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

b a b c ayz+bxz+cxy + + =0⇔ =0 x y z xyz

Ơ

H 0,25

6,0

H Ư TR ẦN

C F

Ó

E

D

Í-

a

ÁN

-L

Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO ( g − c − g ) => BE = DF Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.

IỄ N

Đ

ÀN

 = KDC  Ta có:  ABC =  ADC ⇒ HBC Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK ( g − g )

CH CK = ⇒ CH .CD = CK .CB CB CD

b, AF AK = ⇒ AD. AK = AF . AC AD AC Chứng minh : ∆CFD ∼ ∆AHC ( g − g ) ⇒

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

K

2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5

1,75 0,25

Chứng minh : ∆AFD ∼ ∆AKC ( g − g )

Gv: Nguyễn Văn Tú

0,25

O

H

A

A

10 00

B

B

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

Đ

0,5

N

H

b

D

0,5

G

Bài 4

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có :

0,25

TP

⇔ ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z + + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1 a b c a b c 2 2 2 x y z xy xz yz ⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1 a b c ab ac bc 2 2 2 x y z cxy + bxz + ayz ⇔ 2 + 2 + 2 +2 =1 a b c abc x2 y2 z 2 ⇔ 2 + 2 + 2 = 1(dfcm) a b c

0,5

ẠO

Từ :

N

0,5 0,25 0,25 2,5

0,25 0,25 113

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 ⇒

CF AH = CD AC

0,25

Mà : CD = AB ⇒

CF AH = ⇒ AB. AH = CF . AC AB AC

0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

H

Ơ

N

0,25

TR ẦN

H Ư

N

1 1 1 + + = 0. x y z yz xz xy + 2 + 2 Tính giá trị của biểu thức: A = 2 x + 2 yz y + 2xz z + 2 xy

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm

A

10 00

B

1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Ó

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực

H

HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB + BC + CA) 2 ≥ 4. c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2

Í-

a) Tính tổng

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

tâm.

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

ẠO

TP

a) x2 – 4x + 4 = 25 x − 17 x − 21 x + 1 + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ĐỀ THI SỐ 47

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 x x x x x ⇔ 2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0 ⇔ (2 – 8)(2 – 4) = 0 x 3 x 2 x 3 x 2 ⇔ (2 – 2 )(2 –2 ) = 0 ⇔ 2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0 Gv: Nguyễn Văn Tú

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

114

( 1 đ i ểm ) ( 1 đi ể m ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm )

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com x

2

• Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 1 1 = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz + + =0⇒ xyz x y z x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)

( 0,25điểm )

U Y

N

H

Ơ

( 0,25điểm )

yz xz xy + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y)

.Q

( 0,25điểm )

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Do đó: A =

( 0,5 điểm )

ẠO

Tính đúng A = 1

Đ

• Bài 3(1,5 điểm):

(0,25điểm)

H Ư

N

G

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ 0

abcd = k 2 abcd + 1353 = m 2

TR ẦN

2 Ta có: abcd = k với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 (0,25điểm)

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

(0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 hoặc m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 hoặc m = 37 ⇔ k = 56 k= 4 Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

( 0,25điểm )

D

IỄ N

Đ

ÀN

• Bài 4 (4 điểm):

(0,25điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

N

x

⇔ 2 = 2 hoặc 2 = 2 ⇔ x = 3; x = 2

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 .HA '.BC S HBC 2 HA ' = = a) ; S ABC 1 AA' .AA'.BC 2 (0,25điểm)

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

115

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Tương tự:

SHAB HC' SHAC HB' = = ; S ABC CC' SABC BB'

IỄ N

Đ

C’ H

N

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x

B’ M

I B

D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

(0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC + + = + + =1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . . = . . = . =1 (0,5…i…m ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5…i…m ) ⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2 ⇒ AB + AD ≤ (BC+CD) (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA) 2 ≥4 ⇔ AA'2 + BB'2 + CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC A ⇔ ∆ ABC đều)

A’

C D

*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó. Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

116

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

ĐỀ THI SỐ 48 Bµi 1: (6 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a, 2(x + 5) - x2 - 5x = 0 1 2x − 3 +2= x −1 1− x

N U Y

N

x −1 x + 1 < − ( m − 2) x víi m lµ h»ng sè. m m

.Q

Bµi 3: (3 ®iÓm) Hai c¹nh cña mét h×nh b×nh hµnh cã ®é dµi lµ 6cm vµ 8cm. Mét trong c¸c ®−êng cao cã ®é dµi lµ 5cm. TÝnh ®é dµi ®−êng cao thø hai. Bµi 4: (3 ®iÓm) Mét vßi n−íc ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã n−íc. Cïng lóc ®ã mét vßi n−íc kh¸c

A

10 00

B

TR ẦN

vµo th× bao l©u bÓ ®Çy? Bµi 5: (4 ®iÓm)  = 2B  . Gäi BC = a, AC = b, AB = c. Chøng minh hÖ thøc a2 = Cho tam gi¸c ABC cã A b2 + bc. ĐÁP ÁN Bµi S¬ l−îc lêi gi¶i §iÓm Bµi 1 a, §−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch. 1 (6 Gi¶i ®−îc x = -5 hoÆc x = 2 1 ®iÓm) b, §KX§: x ≠ 1. 0,5 1 3 − 2x +2= ⇔ 1 + 2( x − 1) = 3 − 2 x ⇔ 4 x = 4 ⇔ x = 1 x −1 x −1

Ó

H

Víi x ≠ 1 ta cã

-L

Í-

Ta thÊy x = 1 kh«ng tháa m·n §KX§. VËy ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

c, NhËn xÐt |x - 4| =

Bµi 2 (4

 x − 4 víi x ≥ 4 vµ |x - 9| =   4 − x víi x < 4

 x − 9 víi x ≥ 9  9 − x víi x < 9

- Víi x < 4 ta cã |x - 4| = 4 - x; |x - 9| = 9 - x nªn ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 4 - x + 9 - x = 5 <=> -2x = -8 <=> x = 4 (kh«ng tháa m·n) - Víi 4 ≤ x < 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = 9 - x nªn ph−¬ng tr×nh cã d¹ng x - 4 + 9 - x = 5 <=> 5 = 5 (lu«n ®óng) - Víi x ≥ 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = x - 9 nªn ph−¬ng tr×nh cã d¹ng x - 4 + x - 9 = 5 <=> 2x = 18 <=> x =9 (tháa m·n) VËy tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ S = {x | 4 ≤ x ≤ 9} x+

2 x −1 x + 1 < − (m − 2) x ⇔ (m − 1) x < m m m

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

117

(1)

1 0,5

0,5 0,5

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

N

1 dung tÝch bÓ. Hái nÕu bÓ kh«ng cã n−íc mµ chØ më vßi ch¶y 8

H Ư

n−íc trong bÓ ®¹t tíi

4 l−îng n−íc ch¶y vµo. Sau 5 giê 5

G

ch¶y tõ bÓ ra. Mçi giê l−îng n−íc ch¶y ra b»ng

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh x +

H

Ơ

c, |x - 4| + |x - 9| = 5 Bµi 2: (4 ®iÓm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

b,

0,5 0,5

1

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

- NÕu m < 1 vµ m ≠ 0 th× m - 1 < 0. Khi ®ã (1) ⇔ x >

0,5

2 m(m − 1)

- NÕu m = 1 th× m - 1 = 0. Khi ®ã (1) ⇔ 0x < 2 (lu«n ®óng víi mäi x). KÕt luËn:

0,5

N H Ư

6cm K C

H

TR ẦN

D

10 00

B

Gi¶ sö ABCD lµ h×nh b×nh hµnh cã AB = 8cm, AD = 6cm vµ cã mét ®−êng cao dµi 5cm . V× 5 < 6 vµ 5 < 8 nªn cã thÓ x¶y ra hai tr−êng hîp: AH = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = 20 (cm) 3

Ó H

Í-

15 (cm) 4

A

AK = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH =

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Bµi 4 (3 ®iÓm)

Bµi 5 (4 ®iÓm)

1 0,5

20 15 cm hoÆc cm 3 4

ÁN

-L

VËy ®−êng cao thø hai cã ®é dµi lµ

1

Gäi thêi gian vßi n−íc ch¶y ®Çy bÓ lµ x(giê). §K: x > 0

0,5

1 Khi ®ã 1 giê vßi ®ã ch¶y ®−îc bÓ x

4 bÓ. 5x 1 4 1 Theo ®Ò bµi ta cã ph−¬ng tr×nh  −  .5 = 8  x 5x 

1 giê vßi kh¸c ch¶y ra l−îng n−íc b»ng

Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m ®−îc x = 8 (TM§K x>0) VËy thêi gian ®Ó vßi ch¶y ®Çy bÓ lµ 8 giê. - VÏ h×nh ®óng

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

118

0,5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP ẠO

B

8cm

Đ

A

0,5 0,25

G

Bµi 3 (3 ®iÓm)

H

0,25

  2 - Víi m > 1 th× tËp nghiÖm lµ S =  x | x <  m( m − 1)  

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

- Víi m = 0 th× biÓu thøc v« nghÜa.

- Víi m = 1 th× S = R - VÏ h×nh:

0,5

U Y

 2  m( m − 1) 

N

- Víi m < 1 vµ m ≠ 0 th× tËp nghiÖm lµ S =  x | x >

0,5

N

0,5

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

- NÕu m > 1 th× m - 1 > 0. Khi ®ã (1) ⇔ x <

2 m(m − 1)

Ơ

®iÓm)

0,5 1 0,5 0,5 0,25

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AE = c, suy ra CE = b + c. 0,5   Khi ®ã ABE = E (do tam gi¸c ABE c©n t¹i A)  = ABE +E  (gãc ngoµi tam gi¸c) nªn 0,5 BAC  = 2E . A 1  = 2B  . VËy E  = ABC . Theo gi¶ thiÕt A 0,25 Chøng minh ®−îc ∆ BCE ∆ ACB (g.g)

A

Ơ

c

N

HÖ thøc a2 = b2 + bc <=> a2 = b (b + c) 0,25

E

H

c

.Q

N

G Baøi 1: ( 3 ñieåm ) Rút gọn biểu thức A=

TR ẦN

H Ư

ĐỀ THI SỐ 49

x− y 3x + y y − x − 2 i 2 xy + y x − xy x + y

10 00

B

Baøi 2: ( 3 ñieåm ) Giải phương trình

3x x 3x + + =0 x − 2 5 − x ( x − 2 )( x − 5)

H

x3 − 3 x 2 − 11x + 8 x−5

Í-

A=

Ó

A

Baøi 3: ( 3 ñieåm ) Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số nguyên

-L

Baøi 4: ( 3 ñieåm )

ÁN

Số học sinh tiên tiến của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng

3 số 4

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

học sinh tiên tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiên tiến của khối 8. Tính số học sinh tiên tiến của mỗi khối? Baøi 5: ( 4 ñieåm ) Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED. a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? b/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật? c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi? Baøi 6: ( 4 ñieåm ) Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), AC ⊥ BD, BD=15(m).

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

hay a2 = b (b + c)

C

0,25

ẠO

BC CE = ⇒ BC 2 = AC.CE AC BC

Đ

suy ra

TP

a

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

B

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

119

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh Từ đó tính độ dài DE. BD = DE.DH. b/ Tính diện tích hình thang ABCD.

N

2

Ơ

ÑAÙP AÙN VAØ THANG ÑIEÅM CHAÁM Ñaùp aùn

H

1

G

H Ư

2

3x 3x x + + =0 x − 2 5 − x ( x − 2 )( x − 5)

B

2 (3 đ)

0,5

10 00

* Tập xác định:

1

TR ẦN

( x + y) = ( x + y) x 2 − xy + 3 xy + y 2 = = xy ( x + y ) xy ( x + y ) xy

x ≠ 2; x ≠ 5

1

A

x x 3x 3x 3x 3x + + =0⇔ − + =0 x − 2 5 − x ( x − 2 )( x − 5 ) x − 2 x − 5 ( x − 2 )( x − 5)

H

Ó

⇔ 3 x ( x − 5 ) − x ( x − 2 ) + 3 x = 0 ⇔ 3 x 2 − 15 x − x 2 + 2 x + 3 x = 0

-L

Í-

 x = 0 ∈ TXÑ ⇔ 2 x 2 − 10 x = 0 ⇔ 2 x ( x − 5) = 0 ⇔   x − 5 = 0 ⇔ x = 5 ∉ TXÑ

1

Đ

ÀN

TO

3 (3 ñ)

0,5

ÁN

Vaäy S = {0}

3 x3 − 3 x 2 − 11x + 8 = x2 + 2 x − 1 + x −5 x−5 3 A∈ Ζ ⇔ ∈ Ζ ⇔ x − 5 = ±1; ± 3 x −5 *x − 5 = ±1 ⇔ x ∈ {6; 4} A=

*x − 5 = ±3 ⇔ x ∈ {8; 2}

1

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( x − y ) x + ( 3x + y ) y x− y 3x + y + = y ( x + y) x ( x + y) xy ( x + y )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y TP ẠO

1

Đ

x− y x− y 3x + y y − x 3x + y x − y − 2 i = + i 2 xy + y x − xy x + y y ( x + y ) x ( x − y ) x + y

N

A=

IỄ N D

x − xy x + y

* Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ ± y

=

Ñieåm

.Q

xy + y

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Baøi 1 (3 đ) A = x − y − 3x + y i y − x 2 2

1 0,5 0,5

x ∈ {2; 4; 6;8}

4 (3 ñ) Goïi soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 7 laø x (hoïc sinh) (x > 0) Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

120

0,25

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 8 laø 270 - x (hoïc sinh)

0,25

Ta coù phöông trình:

Ơ

H

1

N

1

3 60 3 3 .x = 270 − x ) ⇔ .x = ( 270 − x ) ( 4 100 4 5 3 810 − 3 x ⇔ .x = ⇔ 15 x = 3240 − 12 x ⇔ 27 x = 3240 4 5 ⇔ x = 120 ( Nhaän)

 1 DF   2  ⇒ MN / / PQ; MN = PQ . Vaäy MNPQlaø hình 1 PQ / / DF; PQ = DF   2

10 00

B

MN / / DF; MN =

1 0,5

Í-

H

Ó

A

bình haønh. b/ Giaû söû MNPQ laø hình chöû nhaät thì MP = NQ Maø

-L

AC  2  ⇒ AC = AB  AB  NQ = AD = 2 

MP = AF =

Đ

ÀN

TO

ÁN

1

Vaäy tam giaùc ABC caân taïi A thì MNPQ laø hình chöû nhaät. ** Hoaëc:

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO Đ G N H Ư TR ẦN

a/

IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

5 (4 ñ)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

0,25 0,25

U Y

Vaäy soá hoïc sinh cuûa khoái 7 laø 120 hoïc sinh, vaø khoái 8 laø 270 – 120 = 150 hoïc sinh.

MN ⊥ MQ   MN / / BC  ⇒ AE ⊥ BC; ñoàng thôøi EB = EC MQ / / AE  Neân tam giaùc ABC caân taïi A.

c/ Giaû söû MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ MN = MQ ⇔

BC AE 1 = ⇔ AE = BC 4 2 2

0,5

1 Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A thì MNPQ laø hình thoi. Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 121 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

** Hoaëc:

MP ⊥ NQ ⇔ AC ⊥ AB Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A

ẠO

⇒ DH = 9 ( m )

TR ẦN

b/

1 ( AB + DC ) BH 2 1 1 = ⋅ DE ⋅ BH = ⋅ 25 ⋅12 = 150 ( m ) 2 2

1

1

10 00

B

S ABCD =

1

H Ư

N

G

 = DBE  = 1v  BHD   ⇒ ∆BDH # ∆EDB  BDE chung  BD DH BD 2 ⇒ = ⇔ DE = = 25 ( m ) DE BD DH

Đ

Xeùt tam giaùc BDH vaø tam giaùc EDB

Ó

A

0,5

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

0,5

Skype : live:daykemquynhonbusiness https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DH 2 = BD 2 − BH 2 = 152 − 122 = 92

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

a/ Keû BH ⊥ DC

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

6 (4 ñ

Gv: Nguyễn Văn Tú Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

122

Trường THCS Thanh Mỹ www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

BỒI DƯỠNG TOÁN 8 NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN & TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN 8  

"[ COMBO ] BỒI DƯỠNG TOÁN 8 NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN (VŨ HỮU BÌNH-NXBGD) & TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN 8 (NGUYỄN VĂN TÚ-THCS THANH MỸ)" LINK BOX...

BỒI DƯỠNG TOÁN 8 NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN & TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN 8  

"[ COMBO ] BỒI DƯỠNG TOÁN 8 NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN (VŨ HỮU BÌNH-NXBGD) & TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN 8 (NGUYỄN VĂN TÚ-THCS THANH MỸ)" LINK BOX...

Advertisement