Phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG T.H.P.T ĐỨC HỢP

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY RỘNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ PHÁT HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11.

Lĩnh vực: Toán học Họ và tên: LÊ THỊ HINH Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THPT Đức Hợp

Năm học: 2015- 2016

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ................................ 1 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................1

N

2. Cơ sở thực tiễn .........................................................................................2

H

.Q

6. Phương pháp nghiên cứu ..........................................................................3

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

8. Đóng góp của đề tài ..................................................................................3 4

G

Đ

9. Hướng phát triển tiếp theo của đề tài……………………………

H Ư

N

10. Cấu trúc của đề tài ..................................................................................4 PHẦN II. NỘI DUNG ................................................................................5

TR ẦN

1. Kiến thức lý thuyết cơ bản ........................................................................5 2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng .....................6

B

2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có và các bài

10 00

toán áp dụng

6

A

2.2 Tìm các công thức lượng giác phù hợp giải các phương trình

H

Ó

lượng giác chứa cung nx ( n ∈ N* ) và các bài toán áp dụng

Í-

3. Tổ chức thực nghiệm và đối chứng

-L

PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

12 21

25

ÁN

1. Kết luận ................................................................................................ 25

TO

2. Kiến nghị................................................................................................25 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................26

D

IỄ N

Đ

PHỤ LỤC ................................................................................................ 27

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

7. Giả thuyết khoa học của đề tài ................................................................ 3

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

5. Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu .......................................................2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

4. Mục đích nghiên cứu ................................................................................2

Ơ

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...............................................................................2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN I. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Lý do chọn đề tài

N

Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu của giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay

Ơ

đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận

N

H

năng lực của người học, để thực hiện được điều đó người giáo viên phải tích cực đổi

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

tra, đánh giá năng lực vận dụng kiến thức giải quyết vấn đề để có thể tác động kịp thời

N

G

cao chất lượng của các hoạt động dạy học và giáo dục.

Đ

nhằm thúc đẩy học sinh sự ham học hỏi, khám phá và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo nâng

H Ư

Chương trình toán THPT hiện nay, cụ thể là chương trình lượng giác Lớp 11

TR ẦN

các phương trình lượng giác đòi hỏi năng lực sáng tạo của học sinh xuất hiện không nhiều trong sách giáo khoa, sách bài tập . Trong nhiều tài liệu tham khảo cũng có đề cập đến các bài tập nâng cao về giải phương trình lượng giác nhưng tôi thấy chỉ có

10 00

B

các bài toán vận dụng công thức lượng giác sẵn có trong SGK hoặc các kỹ năng thêm bớt, kỹ năng phân tích nhân tử, những bài tập dạng này chỉ cần kỹ năng thuần túy

Ó

A

hướng học sinh vào tư duy đường mòn mà không đòi hỏi tính sáng tạo, tạo hứng thú

H

nghiên cứu cho học sinh. Hơn nữa trong xu hướng dạy học hiện nay là đổi mới

-L

Í-

phương pháp dạy học nhằm mục đích phát huy năng lực cho học sinh, tạo cho người

ÁN

học hứng thú trong học tập, nghiên cứu khoa học và áp dụng vào thực tiễn cuộc sống chứ không chỉ thuần túy là học để thi.

Dựa trên các tài liệu tham khảo do bản thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy

D

IỄ N

Đ

ÀN

và kinh nghiệm tôi đã chọn tìm hiểu và nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng năng lực suy

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

và phẩm chất, từ đó dần thay đổi cách kiểm tra đánh giá từ kiểm tra trí nhớ sang kiểm

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

học, cách tiếp cận và vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, phải hình thành năng lực

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

mới phương pháp dạy học từ PPDH theo lối “Truyền thụ một chiều” sang dạy cách

rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11”. Tôi tập hợp các bài toán đòi hỏi

năng lực sáng tạo suy rộng công thức lượng giác sẵn có và tìm công thức lượng giác phù hợp để giải lớp các phương trình từ đó cho học sinh tự rút ra các bài học kinh nghiệm và các nhóm tự biên soạn các bài tập vận dụng tượng tự và nộp sản phẩm, 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

thông qua các tiết học tự chọn trong phân phối chương trình và các buổi hội thảo chuyên đề nâng cao do ban chuyên môn nhà trường tổ chức. Đồng thời tạo cho các em có cách nhìn tổng quát và sâu sắc hơn về vấn đề vừa được học. Bồi dưỡng năng lực tư

N

duy sáng tạo, qui lạ về quen, năng lực biến đổi lượng giác, năng lực nghiên cứu và

H

Ơ

tổng hợp được vấn đề cần nghiên cứu. Tôi hi vọng đề tài này được các em học sinh

ẠO

Nội dung liên quan đến “Giải phương trình lượng giác” thường được quan

Đ

tâm trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường ĐH trước đây và kỳ thi THPT Quốc

N

G

gia hiện nay và trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Mặt khác đây là một phần kiến thức

TR ẦN

lượng giác, ít khi nghiên cứu tìm tòi sáng tạo.

H Ư

khó, học sinh học phần kiến thức này thường là học theo hình thức ghi nhớ công thức 3. Nhiệm vụ nghiên cứu

10 00

các phương trình lượng giác .

B

- Tìm ra được 15 công thức lượng giác suy rộng từ đó vận dụng vào giải nhanh - Từ các bài tập thực hiện chỉ ra được các bài toán tổng quát, các lớp bài toán

Ó

A

vận dụng nhằm hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu.

H

- Kết thúc mỗi dạng bài tập các nhóm đưa ra một hệ thống các bài tập tự luyện

-L

Í-

và mở rộng các dạng bài tập đó.

ÁN

4. Mục đích nghiên cứu

TO

- Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực chuyên môn phục

Đ

ÀN

vụ cho công tác dạy học.

- Bồi dưỡng cho học năng lực tư duy sáng tao, tư duy phân tích, tổng hợp từ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

2. Cơ sở thực tiễn

IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

thiện tốt đề tài này.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

tích cực hợp tác và các đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ để giúp tôi bổ sung và hoàn

một dạng toán, từ đó phát triển năng lực tư duy lôgic, khái quát hoá vấn đề.

- Bồi dưỡng cho học sinh phát triển năng lực của các hoạt động trí tuệ, rèn luyện đức tính cần cù, cẩn thận, góp phần hình thành những phẩm chất đạo đức, năng lực làm việc cần thiết của một người công dân sau này.

5. Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

5.1. Phạm vi nghiên cứu Học sinh đang học lớp 11, 12; học sinh dự thi học sinh giỏi Tỉnh, học sinh ôn thi THPT Quốc gia.

N

5.2. Giới hạn nội dung nghiên cứu: Hoạt động dạy học sinh hoạt chuyên đề bồi dưỡng

H

Ơ

năng lực suy rộng công thức lượng giác để giải nhanh một số dạng phương trình

.Q

ẠO

Giải phương trình lượng giác.

6. Phương pháp nghiên cứu

G

Đ

- Nghiên cứu lý thuyết về công thức lượng giác, phương pháp giải phương trình

H Ư

N

lượng giác trong chương trình SGK Đại số và giải tích 11.

- Nghiên cứu về phương pháp dạy học đặc biệt là phương pháp dạy học theo

TR ẦN

định hướng phát huy năng lực học sinh môn toán.

- Nghiên cứu về thực tế giảng dạy môn toán hiện nay ở trường THPT Đức Hợp,

B

khảo sát học sinh, qua sách báo và tài liệu tham khảo môn toán, học hỏi và tiếp thu

10 00

các ý kiến đóng góp của đồng nghiệp qua các tiết dự giờ.

A

7. Giả thuyết khoa học của đề tài

H

Ó

Trên cơ sơ lý luận của phương pháp dạy học môn toán và thực tiễn dạy học về

Í-

phương trình lượng giác nếu biết khai thác, vận dụng thành thạo công thức lượng giác

-L

sẵn có, biết phân tích đề bài, học sinh sẽ phát huy được năng lực suy rộng, phát hiện

ÁN

công thức lượng giác phù hợp để áp dụng vào giải một số dạng phương trình lượng

TO

giác khó, đòi hỏi tính sáng tạo. Từ đó học sinh rút ra cho bản thân các bài học kinh

ÀN

nghiệm, hệ thống hóa dạng toán, tích cực, chủ động, sáng tạo hơn trong việc học tập

D

IỄ N

Đ

và nghiên cứu.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

năng lực tư duy sáng tạo trong học tập bộ môn toán cho học sinh THPT đối với phần

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

5.3. Vấn đề nghiên cứu của đề tài: Sử dụng phương pháp dạy học nào để nâng cao

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

lượng giác.

8. Đóng góp của đề tài - Bồi dưỡng được cho học sinh năng lực suy rộng các công thức lượng giác sẵn có, tìm tòi sáng tạo các công thức lượng giác phù hợp giải nhanh một số dạng phương

3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

trình lượng giác hay và khó phục vụ cho học sinh tham gia các kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi các cấp hằng năm.

- Cung cấp cho học sinh cơ sở lý thuyết phương trình lượng giác và các kỹ năng

N

trình bày lời giải bài toán giải phương trình lượng giác.

H

Ơ

- Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và không thấy e ngại khi gặp

.Q

nâng cao chất lượng dạy học .

9. Hướng phát triển tiếp theo của đề tài

G

Đ

Vì thời gian có hạn vì vậy ở đề tài này Tôi mới chỉ dừng lại ở nội dung học

H Ư

N

sinh sử dụng các công thức lượng giác vào giải các dạng phương trình lượng giác, hướng tiếp theo của đề tài Tôi sẽ hướng dẫn học sinh vận dụng các công thức này vào

10 00

10. Cấu trúc của đề tài

B

của các hàm số lượng giác.

TR ẦN

các lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

A

Phần I: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

H

Ó

Phần II: Nội dung

Í-

1. Kiến thức lý thuyết cơ bản.

-L

2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng công thức,

TO

ÁN

sản phẩm của các nhóm học sinh tự ra các bài tập tương tự .

3. Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Phần III: Kết luận và khuyến nghị.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

- Giúp cho giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm về đổi mới phương pháp và

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

bài toán khó.

4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN II. NỘI DUNG 1. Kiến thức lý thuyết cơ bản Các phương trình lượng giác cơ bản:

Ơ

N

(1)

N

H

Nếu a > 1 thì phương trình (1) vô nghiệm  x = α + k 2π

sin x = −1 ⇔ x = −

Phương trình: cosx =a

(2)

.Q

G

+ k 2π

π 2

N

2

H Ư

π

+ k 2π (k ∈ Z)

TR ẦN

sin x = 1 ⇔ x =

Đ

sin x = 0 ⇔ x = kπ

B

Nếu a > 1 thì phương trình (2) vô nghiệm

10 00

 x = α + k 2π

Nếu a ≤ 1 đặt cos α = a thì phương trình (1) có nghiệm   x = −α + k 2π (k ∈ Z)

A

u ( x) = v( x) + k 2π

Í-

-L

Phương trình:

H

Ó

Phương trình: cos u(x)=cosv(x) ⇔  u ( x) = −v( x) + k 2π , (k ∈ Z)

TO

ÁN

cos x = 0 ⇔ x =

+ kπ 2 cos x = 1 ⇔ x = k 2π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z)

ÀN Đ IỄ N

π

Điều kiện xác định: x ≠

π 2

(3)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Phương trình:

Phương trình: tanx =a

D

ẠO

Phương trình: sin u(x)=sinv(x) ⇔  u ( x) = π − v( x) + k 2π , (k ∈ Z)

TP

u ( x) = v ( x) + k 2π

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Nếu a ≤ 1 đặt sin α = a thì phương trình (1) có nghiệm   x = π − α + k 2π (k ∈ Z)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Phương trình: sin x =a

+ kπ (k ∈ Z)

Với mọi giá trị thực của a và tan α =a thì phương trình (3) có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z)

5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình: tanu(x)=tanv(x) ⇔ u ( x) = v( x) + kπ , (k ∈ Z) với

π 2

2

+ kπ

+ kπ , k ∈ Z ta có phương trình:

Phương trình: cotx =a

.Q

−π + kπ (k ∈ Z) 4

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U Y

+ kπ

4

tan x = −1 ⇔ x =

(4)

Đ

Điều kiện xác định: x ≠ π + kπ (k ∈ Z)

G

Với mọi giá trị thực của a và cot α =a thì phương trình (4) có nghiệm

H Ư

N

x = α + kπ (k ∈ Z)

Phương trình: cotu(x)=cotv(x) ⇔ u ( x) = v( x) + kπ , (k ∈ Z) với u ( x) ≠ kπ , v( x) ≠ kπ

π

cot x = 1 ⇔ x =

π

2

−π + kπ (k ∈ Z) 4

H

Ó

A

cot x = −1 ⇔ x =

+ kπ

10 00

4

+ kπ

B

cot x = 0 ⇔ x =

TR ẦN

Với x ≠ π + kπ (k ∈ Z) ta có phương trình:

-L

Í-

2. Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng.

ÁN

2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có và các bài toán áp dụng

Hướng dẫn các nhóm học sinh chỉ ra được các công thức lượng giác suy rộng từ

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

π

ẠO

tan x = 1 ⇔ x =

H

tan x = 0 ⇔ x = kπ

dạng phương trình lượng giác. Từ đó rút ra các bài học kinh nghiệm bằng cách tổng

quát hóa các dạng phương trình lượng chứa cung nx ( n ∈ N* ).

D

IỄ N

Đ

ÀN

các công thức lượng giác sẵn, phát hiện phương pháp giải nhanh và chính xác một số

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Với x ≠

π

N

2

+ kπ , v( x) ≠

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

π

Ơ

u ( x) ≠

Công thức gốc 1: sin 3a=3sina- 4sin3a 6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Công thức suy rộng: Hoặc:

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com sin 3a = 3 − 4sin 2 a (1.1) hoặc sin a ( 4sin 2 a − 3) = sin 3a (1.2) sin a

sin 3a = 1 + 2 cos 2a (1.3) sin a

Hoặc

4sin a 3 1 = − (1.4) 1 + 2 cos 2a sin 3a sin a

Ơ

N

Vận dụng:

H

VD1: Giải phương trình sau: 6 cos3x=1+8sin2x.cos3x

.Q TR ẦN

VD2: Giải phương trình ( 3 − 4sin 2 x ) . ( 3 − 4sin 2 3x ) = 1 (2) Lời giải:

10 00

B

Vì x= kπ (k ∈ Z) không là nghiệm của phương trình (2) nên áp dụng công thức (1.2) ta có:

A

(2) ⇔ sin x. ( 3 − 4sin 2 x ) . ( 3 − 4sin 2 3 x ) = sin x

H

Ó

⇔ sin 3 x. ( 3 − 4sin 2 3 x ) = sin x

(k ∈ Z)

TO

ÁN

-L

Í-

π  x=k  9 x = x + k .2π 4 ⇔ sin 9 x = sin x ⇔  ⇔ 9 x = π − x + k .2π x = π + k π  10 5

ÀN

Bài học kinh nghiệm:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

H Ư

N

2π  ( 2k ≠ 5m, k , m ∈ Z ) x = k 5 6 x = x + k 2π ⇔ ⇔ 6 x = π − x + k 2π  x = π + k 2π ( 2k ≠ 7 m − 1, k , m ∈ Z )  7 7

Đ

sin 3 x = 1 ⇔ sin 6 x = sin x sin x

G

(1) ⇔ 2 cos 3 x ( 3 − 4sin 2 x ) = 1 ⇔ 2 cos 3 x.

TP

ta có:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vì x= kπ (k ∈ Z) không là nghiệm của phương trình (1) nên áp dụng công thức (1.1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Lời giải: 6 cos3x=1+8sin2x.cos3x (1)

D

IỄ N

Đ

Phương trình: ( 3 − 4sin 2 x ) . ( 3 − 4sin 2 3x ) .... ( 3 − 4sin 2 3n x ) = 1 ⇔ sin(3n+1 x) = sin x Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1) ( 3 − 4sin 2 x ) . ( 3 − 4sin 2 3x ) . ( 3 − 4sin 2 9 x ) = 1 2) 2cos 9x. ( 3 − 4sin 2 x ) . ( 3 − 4sin 2 3x ) = 1

( ⇔ sin 27 x = sin x )

( ⇔ 2 cos 9 x.sin 9 x = sin x ⇔ sin18 x = sin x ) 7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3)

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

4sin x 12sin 3 x 36sin 9 x 27 + + = −1 1 + 2 cos 2 x 1 + 2 cos 6 x 1 + 2 cos18 x sin 27 x

(

⇔ sin x = 1 áp dụng

công thức 1.4)

.Q

π

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

2

cos 3 x π  = 1 ⇔ sin 6 x = cos x ⇔ sin 6 x = sin  − x  cos x 2   2π π π    x = 14 + k 7 6 x = 2 − x + k 2π ⇔ ⇔  x = π + k 2π (k ∈ Z) 6 x = π + x + k 2π  2 10 5 

TR ẦN

H Ư

N

G

⇔ 2sin 3 x.

Đ

(3) ⇔ 2sin 3 x ( 4 cos 2 x − 3) = 1

B

Ví dụ 4: Giải phương trình ( 4 cos 2 x − 3) . ( 4 cos 2 3x − 3) = 1

10 00

Lời giải: ( 4 cos 2 x − 3) . ( 4 cos 2 3x − 3) = 1 (4) π

Vì x= + kπ (k ∈ Z) không là nghiệm của phương trình (4) nên áp dụng CT (2.2) ta có:

Ó

A

2

H

(4) ⇔ cos x. ( 4 cos 2 x − 3) . ( 4 cos 2 3 x − 3) = cos x

-L

Í-

⇔ cos 3 x. ( 4 cos 2 3 x − 3) = cos x

ÁN

π  x=k  9 x = x + k 2π 4 ⇔ cos 9 x = cos x ⇔  ⇔ 9 x = − x + k 2π 9 x = k π (k ∈ Z)  5

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ví dụ 5: Giải phương trình 2sin 9 x. ( 4 cos 2 x − 3) . ( 4 cos 2 3x − 3) = 1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Vì x= + kπ (k ∈ Z ) không là nghiệm của phương trình (3) nên áp dụng CT (2.1) ta có:

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Lời giải: 1+ 6 sin3x = 8 cos2x.sin3x (3)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 1+ 6 sin3x = 8 cos2x.sin3x

Ơ

cos 3 x = 4 cos 2 x − 3 (2.1) hoặc cos x. ( 4 cos 2 x − 3) = cos 3 x (2.2) cos x

H

Công thức suy rộng:

N

Công thức gốc 2: cos 3x= 4cos3x- 3cosx

Lời giải: 2sin 9 x. ( 4 cos 2 x − 3) . ( 4 cos 2 3x − 3) = 1 (5) π

Vì x= + kπ (k ∈ Z) không là nghiệm của phương trình (5) nên áp dụng CT (3.2)ta có: 2

8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(5) ⇔ 2sin 9 x.cos x ( 4 cos 2 x − 3) . ( 4 cos 2 3 x − 3) = cos x

N

π

sin18 x = cos x ⇔ sin18 x = sin( − x) 2 2π π π    x = 38 + k 19 18 x = 2 − x + k 2π ⇔ ⇔  x = π + k 2π 18 x = π + x + k 2π  2 34 17 

U Y

Bài học kinh nghiệm:

.Q

TP

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng

ẠO

Giải các phương trình sau: 1) ( 4 cos 2 x − 3) . ( 4 cos 2 3x − 3) . ( 4 cos 2 9 x − 3) = 1

Công thức suy rộng : 1 − tan 2 x =

Đ G

2 tan x 1 tan 2 x (3.1) hoặc = 2 tan 2 x 1 − tan x 2 tan x

(3.2)

10 00

π π π    x ≠ + kπ , x ≠ + k , (k ∈ Z)  2 4 2  

H Ư

2 tan x 1 − tan 2 x

( ⇔ cos 27 x = cos x )

TR ẦN

Công thức gốc 3: tan 2 x =

N

cos 3 x . ( 4 cos 2 3 x − 3) . ( 4 cos 2 9 x − 3) = 1 cos x

B

2)

( ⇔ cos 27 x = cos x )

Ó

A

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: (1 − tan 2 x ) . (1 − tan 2 2 x ) . (1 − tan 2 4 x ) = 8

Í-

H

Lời giải: ĐK : cos x ≠ 0, cos2 x ≠ 0, cos4x ≠ 0 , áp dụng CT (3.1) ta có:

TO

ÁN

-L

1 1 1 1 . . = 2 2 2 1 − tan x 1 − tan 2 x 1 − tan 4 x 8 tan 2 x tan 4 x tan 8 x 1 ⇔ . . = 2 tan x 2 tan 2 x 2 tan 4 x 8

(6) ⇔

π 7

(k ∈ Z)

Ví dụ 7: Giải phương trình sau: cot x. (1 − tan 2 x ) . (1 − tan 2 2 x ) . (1 − tan 2 4 x ) = 8 (7) Lời giải: ĐK: sin 8 x ≠ 0 , áp dụng CT (3.2) ta có:

D

IỄ N

Đ

ÀN

⇔ tan 8 x = tan x ⇔ 8 x = x + kπ ⇔ x = k

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Phương trình: ( 4 cos 2 x − 3) . ( 4 cos 2 3x − 3) .... ( 4 cos 2 3n x − 3) = 1 ⇔ cos(3n +1 x) = cos x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

(k ∈ Z)

9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2 2 2 . .

1 − tan 2 x 1 − tan 2 2 x 1 − tan 2 4 x tan 2 x tan 4 x tan 8 x ⇔ cot x = . . tan x tan 2 x tan 4 x tan 8 x ⇔ cot x = ⇔ tan 8 x = 1 tan x

32

+k

π

Ơ

(k ∈ Z) thỏa mãn điều kiện .

8

TP

2 x ) . (1 − tan 2 22 x ) ....(1 − tan 2 2n x) =

2n +1 tan x tan 2 n +1 x

Đ

2

ẠO

2

(1 − tan x ) . (1 − tan

H Ư

N

G

Phương trình : cot x. (1 − tan 2 x ) . (1 − tan 2 2 x ) . (1 − tan 2 22 x ) ....(1 − tan 2 2n x) = 2n+1 ⇔ tan 2n +1 x = 1

TR ẦN

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải phương trình sau:

B

1. (1 − tan 2 x ) . (1 − tan 2 2 x ) . (1 − tan 2 4 x ) = 8.cot 8 x

10 00

2. cot x. (1 − tan 2 x ) . (1 − tan 2 2 x ) . (1 − tan 2 22 x ) .(1 − tan 2 8 x) = 16

( tan x = 1) ( tan16 x = 1)

A

Ví dụ 8: Bài tập kết hợp các công thức suy rộng từ các công thức gốc 1,2,3

H

Ó

Giải phương trình sau: 1) (cot x − cot 3x).(4 cos 2 x − 3) = 2 (8.1)

2 cos x 2 cos x cos 3 x 4 cos 2 x − 3) = 2 ⇔ . = 2 ⇔ cot 3 x = 1 ( sin 3 x sin 3 x cos x

TO

ÁN

(8.1) ⇔

-L

Í-

Lời giải: ĐK: sin3x ≠ 0

ÀN Đ IỄ N

π 4

+ kπ ⇔ x =

π 12

+k

π 3

(k ∈ Z) (t/m)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

π

(k ∈ Z)

8

Bài học kinh nghiệm: Với ĐK : sin 2n +1 x ≠ 0 ta có:

⇔ 3x =

D

x=

π

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có

32

+k

H

4

π

N

+ kπ ⇔ x =

U Y

π

.Q

⇔ 8x =

N

( 7 ) ⇔ cot x =

1 1  2 2)  −  . ( 4 cos 2 x − 3) = 2 (8.2) sin x sin 3x 



Lời giải: ĐK: sin3x ≠ 0

10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2 cos 2 x . ( 4 cos 2 2 x − 3) = 2 sin 3 x 2 cos 2 x cos 6 x π  . ⇔ = 2 ⇔ cos 6 x = sin 3 x = cos  − 3 x  sin 3 x cos 2 x 2 

(8.2) ⇔

Ơ

N

2π π π    x = 18 + k 9 6 x = 2 − 3 x + k 2π ⇔ ⇔  x = −π + k 2π 6 x = − π + 3 x + k 2π   2 6 3

Đ

G N

1 (1 − tan 2 x ) 2

H Ư

( ⇔ sin

sin(a − b) sin(a − b) , tan a − tan b = sin a.sin b cos a.cos b tan a − tan b 1 + tan a.tan b

10 00

tan(a − b) =

2 x + sin 2 x − 1 = 0 )

TR ẦN

Công thức gốc 4: cot a − cot b =

2

B

2. (tan 2 x − tan x) =

( ⇔ tan 3x = 1)

1 cot a − cot b 1 tan a − tan b (4.1) , (4.2), = = sin a.sin b sin(a − b) cos a.cos b sin(a − b)

Ó

A

Công thức suy rộng:

-L

Í-

H

tan a.tan b =

ÁN

Ví dụ 9: Giải phương trình sau:

tan a − tan b − 1 (4.3) tan(a − b)

1 1 1 + + = 0 (9) sin x.sin 2 x sin 2 x.sin 3 x sin 3 x.sin 4 x

ÀN

TO

Lời giải: ĐK: sin 3x ≠ 0, sin 4 x ≠ 0 , Áp dụng CT (4.1) ta có:

Đ IỄ N

cot x − cot 2 x cot 2 x − cot 3 x cot 3 x − cot 4 x + + =0 sin x sin x sin x

⇔ cot x = cot 4 x ⇔ x = k

π 3

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

1. (tan 3x − tan x ).(3 − 4sin 2 x) = 2

(9) ⇔

D

ẠO

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Bài học kinh nghiệm: Giải những phương trình sử dụng đồng thời nhiều công thức sẽ khó giải hơn vì vậy học sinh phải lựa chọn vận dụng công thức phù hợp cho từng bước giải phương trình.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

(k ∈ Z)

(k ∈ Z)

1 1 1 + + ... + = 0 (n ∈ N, n ≥ 3) sin(n − 1) x.sin nx Baì học kinh nghiệm: sin x.sin 2 x sin 2 x.sin 3x ⇔ cotx=cot(nx)

11

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 10: Giải phương trình sau: tan x. tan 2 x + tan 2 x.tan 3x + tan 3x. tan 4 x + 3 = 0 (10) Lời giải: ĐK: cos 3x ≠ 0, cos4 x ≠ 0, cosx ≠ 0, cos2x ≠ 0 , áp dụng CT (4.3) ta có: tan 2 x − tan x tan 3 x − tan 2 x tan 4 x − tan 3 x −1+ −1+ −1 + 3 = 0 tan(2 x − x) tan(3 x − 2 x) tan(4 x − 3 x) tan 2 x − tan x + tan 3 x − tan 2 x + tan 4 x − tan 3 x ⇔ =0 tan x tan 4 x − tan x ⇔ = 0 ⇔ tan 4 x = tan x ⇔ 4 x = x + kπ tan x

N Ơ H

Đ

ẠO

Baì học kinh nghiệm: tan x.tan 2 x + tan 2 x.tan 3 x + ... + tan( n − 1) x.tan nx + ( n − 1) = 0 (n ∈ N, n ≥ 3)

G

⇔ tan nx=tanx

1 1 1 1 + + + =0 sin 3 x.sin 6 x sin 6 x.sin 9 x sin 9 x.sin12 x sin12 x.sin15 x

TR ẦN

1.

H Ư

N

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

( ⇔ tan 5 x = tan x )

B

2. tan x. tan 2 x + tan 2 x.tan 3x + tan 3x. tan 4 x + tan 4 x.tan 5 x + 4 = 0

( ⇔ cot 3x = cot15 x )

10 00

2.2 Tìm các công thức lượng giác phù hợp giải các phương trình lượng giác chứa cung nx ( n ∈ N* ) và các bài toán áp dụng

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Hướng dẫn học sinh phân tích đề bài phát hiện công thức lượng giác phù hợp với mỗi phương trình lượng giác từ đó giải nhanh, chính xác các phương trình lượng giác chứa cung nx ( n ∈ N* ). Sau mỗi dạng các em tự rút ra cho mình bài học kinh nghiệm bằng cách tổng quát hóa cho mỗi dạng phương trình lượng giác chứa cung nx ( n ∈ N* ).

TO

Ví dụ 11: Giải phương trình sau:

1 1 1 + + = 0 (11) sin 2 x sin 4 x sin 8 x

D

IỄ N

Đ

ÀN

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

(k ∈ Z)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

.Q

π

TP

⇔ x=k

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(10) ⇔

1 1 ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? sin 2a sin 2a

Ta có :

1 1 sin a sin(2a − a ) sin 2a cos a − cos 2a sin a =cota-cot2a = = = = sin 2a sin 2a sin a.sin 2a sin a.sin 2a sin a sin 2a

Học sinh chốt được công thức :

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 = cot a − cot 2a (sin2a ≠ 0) (5) sin 2a 12

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vận dụng công thức (5) với sin 8 x ≠ 0 ta có : (11) ⇔ cot x − cot 2 x + cot 2 x − cot 4 x + cot 4 x − cot 8 x = 0 ⇔ cot x − cot 8 x = 0

(k ∈ Z)

( t/m)

N N

H

Bài học kinh nghiệm: Với sin 2n x ≠ 0 ta có:

1 1 1 + + =0 sin 4 x sin 8 x sin16 x

2.

1 1 1 1 + + + =0 sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin16 x

ẠO

1.

G

H Ư

N

(⇔ cot x = cot16 x)

tan x tan 2 x tan 4 x + + = 0 (12) cos 2 x cos 4 x cos8 x

TR ẦN

Ví dụ 12: Giải phương trình sau:

Đ

(⇔ cot 2 x = cot16 x)

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ?

B

tan a tan a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? cos 2a cos 2a

10 00

(

-L

Í-

H

Ó

A

tan a sin a sin(2a − a ) = = cos 2a cos a.cos 2a cos a.cos 2a sin 2a.cos a − cos 2a sin a = cos a.cos 2a = tan2a-tan a

ÁN

Học sinh chốt được công thức :

tan a = tan2a-tan a ( coa ≠ 0, cos2a ≠ 0) (6) cos 2a

Đ

ÀN

TO

Vận dụng công thức (6) , với cos8 x ≠ 0, cos4x ≠ 0, cos2x ≠ 0 ta có : (12) ⇔ tan 2 x − tan x + tan 4 x − tan 2 x + tan 8 x − tan 4 x = 0

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

IỄ N D

U Y .Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 1 1 + + ... + = 0 ⇔ cot x = cot(2n x) (n ∈ N, n ≥ 2) n sin 2 x sin 4 x sin 2 x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

7

Ơ

π

⇔ cot 8 x = cot x ⇔ 8 x = x + kπ ⇔ x = k

⇔ tan 8 x = tan x ⇔ 8 x = x + kπ ⇔ x = k

Bài học kinh nghiệm:

π 7

(k ∈ Z) ( t/m )

Với cos 2 x ≠ 0, ....cos2n x ≠ 0

tan x tan 2 x tan 2n −1 x + + ... + = 0 ⇔ tan 2n x = tan x ( n ∈ N, n ≥ 2) n cos 2 x cos 4 x cos 2 x 13

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

N

cos x cos 3 x cos 9 x + + = 0 (13) sin 3 x sin 9 x sin 27 x

U Y

Ví dụ 13: Giải phương trình sau:

( ⇔ tan 32 x = tan 2 x )

.Q

cos a cos a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? sin 3a sin 3a

N

G

Ta có:

B

TR ẦN

H Ư

1 1 sin 2a sin(3a − a ) cos a sin a.cos a = = 2 =2 sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a 1 (sin 3a.cos a − cos 3a.sin a ) 1 =2 = (cot a − cot 3a ) (sina ≠ 0, sin 3a ≠ 0) sin a.sin 3a 2 cos a 1 = (cot a − cot 3a ) sin 3a 2

10 00

Học sinh chốt được công thức :

π 27

ta có:

H

Ó

A

Vận dụng công thức (7) , với sin 27 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

( sin 3a ≠ 0) (7)

Í-

1 (cot x − cot 3 x + cot 3 x − cot 9 x + cot 9 x − cot 27 x) = 0 2

-L

(13) ⇔

TO

ÁN

⇔ cot 27 x = cot x ⇔ 27 x = x + kπ ⇔ x = k

26

(k ∈ Z) (t/m)

với sin 3n+1 x ≠ 0

ÀN

Bài học kinh nghiệm:

π

D

IỄ N

Đ

cos x cos 3 x cos 3n x + + ... + = 0 ⇔ cot x = cot 3n +1 x sin 3 x sin 9 x sin 3n +1 x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

(

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ?

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

tan 2 x tan 4 x tan 8 x tan16 x + + + =0 cos 4 x cos8 x cos16 x cos 32 x

N

2.

( ⇔ tan 8 x = tan x )

Ơ

tan x tan 2 x tan 4 x tan 4 x + + + =0 cos 2 x cos 4 x cos 8 x cos 8 x

H

1.

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 1.

cos 3 x cos 9 x cos 27 x + + =0 sin 9 x sin 27 x sin 54 x

( ⇔ cot 3x = cot 54 x )

14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn cos x cos 3 x cos 9 x cos 27 x + + + =0 sin 3 x sin 9 x sin 27 x sin 54 x

cos 2 x cos 6 x cos18 x + + = 0 (14) sin 3 x sin 9 x sin 27 x

H

N

π

ta có:

TR ẦN

27

1 1 1 1 1 1 1 ( − + − + − )=0 2 sin x sin 3 x sin 3 x sin 9 x sin 9 x sin 27 x  27 x = x + k 2π 1 1 ⇔ = ⇔ sin 27 x = sin x ⇔  sin x sin 27 x  27 x = π − x + k 2π

10 00

B

(14) ⇔

H

Ó

A

π   x = k 13 ⇔ (k ∈ Z) (t/m) x = π + k π  28 14

với sin 3n+1 x ≠ 0

-L

Í-

Bài học kinh nghiệm:

TO

ÁN

cos 2 x cos 6 x cos 3n.2 x 1 1 + + ... + =0⇔ − = 0 ⇔ sin 3n +1 x = sin 3 x (n ∈ N* ) n +1 sin 3 x sin 9 x sin 3 x sin 3 x sin 3n +1 x

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: cos 2 x cos 6 x cos18 x cos 54 x + + + =0 sin 3x sin 9 x sin 27 x sin 81x

( ⇔ sin 81x = sin 3x )

2.

cos 6 x cos18 x cos 54 x cos162 x + + + =0 sin 9 x sin 27 x sin 81x sin 243 x

( ⇔ sin 243x = sin 9 x )

Đ

ÀN 1.

Ví dụ 15: Giải phương trình sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( sin 3a ≠ 0) (8)

H Ư

Vận dụng công thức (8), với sin 27 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

IỄ N D

.Q Đ

cos 2a 1 1 1 = ( − ) sin 3a 2 sin a sin 3a

G

Học sinh chốt được công thức :

TP

1 (sin 3a − sin a ) cos 2a sin a.cos 2a 2 1 1 1 ) = = = ( − sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a 2 sin a sin 3a

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ta có:

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

cos 2a cos 2a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? sin 3a sin 3a

U Y

(

Ơ

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ?

N

Ví dụ 14: Giải phương trình sau:

( ⇔ cot x = cot 54 x )

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2.

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

sin x sin 3x sin 9 x + + = 0 (15) cos 3 x cos 9 x cos 27 x 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ?

N

sin a sin a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? cos 3a cos 3a

Ơ H

Bài học kinh nghiệm:

π

26

TR ẦN

⇔ tan 27 x = tan x ⇔ 27 x = x + kπ ⇔ x = k

( k ∈ Z) (t / m)

với cos 3n x ≠ 0 ta có phương trình: (n ∈ N* )

10 00

B

sin x sin 3 x sin 3n −1 x + + .... + = 0 ⇔ tan 3n x = tan x cos 3 x cos 9 x cos 3n x

A

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: sin x sin 3 x sin 9 x sin 27 x + + + =0 cos 3 x cos 9 x cos 27 x cos81x

2.

sin 3 x sin 9 x sin 27 x + + =0 cos 9 x cos 27 x cos81x

3.

sin 3 x 1 1 + tan3x- =0 cos 9 x 2 2

Í-

( ⇔ tan 81x=tan 3x)

-L

ÁN

TO

ÀN Đ IỄ N

( ⇔ tan 81x=tan x)

H

Ó

1.

( ⇔ tan 9x -1=0) cos 5 x cos10 x cos 20 x + + = 3 (16) cos x cos 2 x cos 4 x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q G

N

1 (tan 3 x − tan x + tan 9 x − tan 3 x + tan 27 x − tan 9 x) = 0 2

H Ư

(15) ⇔

Ví dụ 16: Giải phương trình sau:

D

( cosa ≠ 0, cos3a ≠ 0) (9)

Đ

Vận dụng công thức (9), với cos 27 x ≠ 0 ta có :

TP

sin a 1 = (tan 3a − tan a ) cos 3a 2

ẠO

Học sinh chốt được công thức :

N

sin a 1 2 sin a.cos a 1 sin 2a = . = cos 3a 2 cos a.cos 3a 2 cos a.cos 3a 1 sin(3a − a ) 1 = = (tan 3a − tan a ) 2 cos a.cos 3a 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (

cos 5a cos 5a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? cos a cos a

Ta có: 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

cos 5a = cos 5a + cos 3a − (cos 3a + cos a ) + cos a =2cos4a.cosa-2cos2a.cosa+cosa =cosa.(2cos4a-2cos2a+1)

N

H

( cosa ≠ 0) (10)

1 2cos4a-2cos2a+1 = cos a cos 5a

( cosa ≠ 0, cos5a ≠ 0) ( 11)

Đ G

N

với cosx ≠ 0, cos 2x ≠ 0,.....cos 2n x ≠ 0 ta có phương trình:

TR ẦN

Bài học kinh nghiệm:

(k ∈ Z) ( t/m)

H Ư

π  x=k  π 16 = 2 + 2 x x k  7 ⇔ cos16x=cos2x ⇔  ⇔ 16 x = −2 x + k 2π x = k π  9

ẠO

(16) ⇔ 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + 1 + 2 cos 8 x − 2 cos 4 x + 1 + 2 cos16 x − 2 cos8 x + 1 = 3

B

cos 5 x cos10 x cos 5.2n x + + ... + = n + 1 ⇔ cos 4.2n x=cos2x (n ∈ N ) n cos x cos 2 x cos 2 x

cos 5 x cos10 x cos 20 x cos 40 x + + + =4 cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x

A

( ⇔ cos 32 x = cos 2 x )

Ó

1.

10 00

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

H

cos10 x cos 20 x cos 40 x cos 80 x + + + =4 cos 2 x cos 4 x cos8 x cos16 x

-L

cos 5 x + 2 cos 2 x = 0 cos x

ÁN

( 2 cos 4 x + 1 = 0 )

TO

3.

( ⇔ cos 64 x = cos 4 x )

Í-

2.

cos 5 x − 2 cos 4 x = 0 cos x

5. 2 cos 4 x − 2 cos 2 x +

( 2 cos 2 x − 1 = 0 )

1 1 = cos 5 x cos x

( vận dụng công thức (11) với: cos x ≠ 0, cos 5 x ≠ 0 ta có:

D

IỄ N

Đ

ÀN

4.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Vận dụng công thức (10), với cos x ≠ 0, cos 2 x ≠ 0, cos 4 x ≠ 0 ta có :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Hoặc công thức suy rộng:

Ơ

cos 5a = 2cos4a-2cos2a+1 cos a

U Y

Học sinh chốt được công thức :

N

cos 5a = 2cos4a-2cos2a+1 cos a

.Q

⇔

17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 = 1+ cos 5 x cos x 1 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + 1 ⇔ 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + 1 + = 1+ cos 5 x cos 5 x  1  ⇔ ( 2 cos 4 x − 2 cos 2 x ) .  − 1 = 0 )  cos 5 x 

Ơ

N

(5) ⇔ 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + 1 +

10 00

B

TR ẦN

sin 5a = sin 5a + sin 3a − (sin 3a + sin a ) + sin a =2sin4a.cosa-2sin2a.cosa+sina sin a =cosa.(2cos4a-2cos2a+ ) cos a sin 5a ⇔ = 2cos4a-2cos2a+tan a cos a

sin 5a = 2cos4a-2cos2a+tana cos a

( cosa ≠ 0) (12)

Ó

A

Học sinh chốt được công thức :

Í-

H

Vận dụng công thức (12) với cos x ≠ 0, cos 2 x ≠ 0, cos 4 x ≠ 0 ta có :

-L

(17) ⇔ 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + tan x + 2 cos 8 x − 2 cos 4 x + tan 2 x + 2 cos16 x − 2 cos 8 x + tan 4 x

ÁN

= tan x + tan 2 x + tan 4 x

Đ

ÀN

TO

π  x=k  16 x = 2 x + k 2π 7 ⇔ cos16x=cos2x ⇔  ⇔ 16 x = −2 x + k 2π x = k π  9

Bài học kinh nghiệm:

(k ∈ Z) ( t/m)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G H Ư

N

Ta có:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

sin 5a sin 5a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? cos a cos a

Đ

(

TP

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ?

IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

sin 5 x sin10 x sin 20 x + + = tan x + tan 2 x + tan 4 x (17) cos x cos 2 x cos 4 x

U Y

N

H

Ví dụ 17: Giải phương trình sau:

với cosx ≠ 0, cos 2x ≠ 0,.....cos 2n x ≠ 0 ta có phương trình:

sin 5 x sin10 x sin 5.2 n x + + ... + = tan x + tan 2 x + .... + tan 2 n x ⇔ cos 4.2n x=cos2x (n ∈ N) cos x cos 2 x cos 2n x

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: 18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1.

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

sin 5 x sin10 x sin 20 x sin 40 x + + + = tan x + tan 2 x + tan 4 x + tan 8 x cos x cos 2 x cos 4 x cos8 x

( ⇔ cos 32 x = cos 2 x )

H

Ơ

N

cos10 x cos 20 x cos 40 x cos80 x + + + = tan 2 x + tan 4 x + tan 8 x + tan16 x cos 2 x cos 4 x cos 8 x cos16 x

ẠO

sin 5 x = 2 cos 4 x + 2 cos 2 x + 1, sin x ( áp dụng các công thức cos 5 x = 2 cos 4 x − 2 cos 2 x + 1 cos x

G

Đ

ta được cos 2 x = 1 )

H Ư

N

sin 2 x sin 2 3 x sin 2 9 x + + = 0 (18) cos 3 x cos 9 x cos 27 x

TR ẦN

Ví dụ 18: Giải phương trình sau:

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ?

B

sin 2 a sin 2 a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? cos 3a cos 3a

10 00

(

A

Ta có:

ÁN

-L

Í-

H

Ó

sin 2 a 1 4 cos a.sin 2 a 1 2sin 2a.sin a = = cos 3a 4 cos a.cos 3a 4 cos a.cos 3a 1 cos 3a − cos a 1 1 1 ) =− = ( − 4 cos a.cos 3a 4 cos 3a cos a

TO

Học sinh chốt được công thức :

sin 2 a 1 1 1 = ( − ) cos 3a 4 cos 3a cos a

D

IỄ N

Đ

ÀN

Vận dụng công thức (13) với cos 9 x ≠ 0 ta có :

( cos 3a ≠ 0) (13)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q

sin 5 x cos 5 x − =4 sin x cos x

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3.

N

( ⇔ cos 64 x = cos 4 x )

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2.

19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 1 1 1 1 ( ) =0 − + − + − 4 cos 3 x cos x cos 9 x cos 3 x cos 27 x cos 9 x  27 x = x + k 2π 1 1 ⇔ = ⇔ cos 27 x = cos x ⇔  cos 27 x cos x  27 x = − x + k 2π

H

sin 2 x sin 2 3 x 1 1 + + − =0 cos 3 x cos 9 x 4 cos x 4

( ⇔ cos81x = cos 3x )

( ⇔ cos 9 x = 1)

4sin x 12sin 3x 36sin 9x 27 + + = −1 (19) 1 + 2cos 2x 1 + 2cos6x 1 + 2cos18x sin 27 x

H

Ó

A

Ví dụ 19: Giải phương trình sau:

-L

4sin a 4sin a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào?

1 + 2 cos 2a 1 + 2 cos 2a

ÁN

(

Í-

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ?

Đ

ÀN

TO

Ta có:

4sin 3 a 3 1 = − sin a.sin 3a sin 3a sin a 4sin a 3 1 4sin a 3 1 ⇔ = − ⇔ = − sin 3a sin 3a sin a 1 + 2 cos 2a sin 3a sin a sin a

4sin 3 a = 3sin a − sin 3a ⇔

Học sinh chốt được công thức :

4sin a 3 1 = − 1 + 2 cos 2a sin 3a sin a

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

3.

( ⇔ cos 243x = cos x )

B

sin 2 3 x sin 2 9 x sin 2 27 x + + =0 cos 9 x cos 27 x cos 81x

2.

TR ẦN

H Ư

sin 2 x sin 2 3 x sin 2 9 x sin 2 27 x sin 2 81x + + + + =0 cos 3 x cos 9 x cos 27 x cos 81x cos 243 x

10 00

1.

N

G

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

(n ∈ N)

ẠO

sin 2 x sin 2 3 x sin 2 3n x + + ... + = 0 ⇔ cos 3n +1 x = cos x n +1 cos 3 x cos 9 x cos 3 x

IỄ N D

với cos 3n +1 x ≠ 0 ta có phương trình:

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài học kinh nghiệm:

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

(k ∈ Z)

TP

π   x = k 13 ⇔ x = k π  14

N

(19) ⇔

( sin3a ≠ 0) (14)

Vận dụng công thức (14) , với sin 27 x ≠ 0 ta có : 20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3 1 9 3 27 9 27 + = − + − − −1 sin 3x sin x sin 9 x sin 3x sin 27 x sin 9 x sin 27 x 2

+k2π

( k ∈Z)

Bài học kinh nghiệm:

(t / m)

với ta có phương trình: với sin 3n x ≠ 0 ta có:

H N U Y

ẠO

Đ G N

sin 2 x.cos 2x sin2 3x.cos6x sin2 9x.cos18x + + = 0 (20) cos2 3x cos2 9x cos2 27 x

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ?

B

sin 2 a.cos 2a sin 2 a.cos 2a ) , vì vậy các em tìm xem được biến đổi thành biểu thức nào? cos2 3a cos2 3a

10 00

(

A

Ta có:

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

sin 2 a.cos 2a 1 2sin 2a.sin 2a.cos 2a = cos2 3a 8 cos2 3a.cos2 a 1 sin(3a − a).sin(3a + a) = 8 cos2 3a.cos2 a 1 (sin 3a cos a − cos3a sin a).(sin 3a cos a + cos3a sin a) = 8 cos2 3a.cos2 a 1 (sin 2 3a cos2 a − cos2 3a sin 2 a). = 8 cos2 3a.cos2 a 1 = (tan 2 3a − tan 2 a) 8

Học sinh chốt được công thức :

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ví dụ 20: Giải phương trình sau:

IỄ N D

2cos 2 x − 3 4cos 4x − 6 8cos18x −12 8 + + = 1− cos3x cos9x cos 27 x cos 27 x (⇔ cos x = 1)

( ⇔ sin x = 1)

H Ư

2.

4sin x 12sin 3x 36sin 9x 108sin 27 x 81 + + + = −1 1 + 2cos 2 x 1 + 2cos6x 1 + 2cos18x 1 + 2cos54x sin81x

TR ẦN

1.

TP

.Q

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4sin x 12sin 3x 4.3n−1 sin 3n−1 x 3n + + ... + = −1 1 + 2cos 2x 1 + 2cos6x 1 + 2cos(2.3n−1 x) sin 3n x ⇔ sin x = 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

π

N

⇔ sin x=1 ⇔ x=

Ơ

(19) ⇔

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

8sin 2 a.cos 2a = tan 2 3a − tan 2 a ( cos 3a ≠ 0 ) (15) 2 cos 3a

Vận dụng công thức (15), với sin 27 x ≠ 0 ta có :

21

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(20) ⇔ tan 2 3x − tan 2 x + tan2 9x − tan 2 3x + tan2 27 x − tan 2 9x = 0 ⇔ tan 2 27 x = tan 2 x

π   x = k 26  tan 27 x = tan x ⇔  ⇔  tan 27 x = tan(−x)  x = k π  28

N Ơ H

.Q N

3.1: Hình thức tổ chức thực nghiệm: Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh

H Ư

nghiệm trong giảng dạy với việc nắm vững kiến thức của học sinh, trước hết tôi theo

TR ẦN

dõi đánh giá hoạt động của cá nhân học sinh và các nhóm học sinh trong tiến trình dạy học căn cứ vào mục tiêu của buổi học. Kết hợp với cách đánh giá này, tôi cho

B

học sinh làm bài kiểm tra 60 phút. Chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm đối

10 00

tượng là học sinh lớp 11 trường THPT Đức Hợp. Nhìn chung, trình độ học sinh các lớp khảo sát thử nghiệm là tương đương nhau về tư duy, về khả năng tiếp thu kiến

Ó

A

thức, đội tuyển học sinh giỏi trường chủ yếu ở lớp 11A1.

H

- Lớp đối chứng là: 11A1 năm học 2015- 2016, sĩ số 45

Í-

- Lớp thực nghiệm là: 11A2, 11A3 năm học 2015- 2016, sĩ số 44, 38

-L

Giáo viên dạy các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đều do một giáo viên dạy.

ÁN

Hình thức, nội dung giảng dạy :

TO

Lớp đối chứng 11A1: Giáo viên dạy theo nội dung và tiến trình dạy các bài tập

ÀN

như SGK, sách bài tập, sách tham khảo và tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia với

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO G

Đ

3. Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

với ta có phương trình: với cos3n x ≠ 0 ta có:

sin 2 x.cos 2x sin 2 3x.cos6x sin 2 3n−1 x.cos 2.3n−1 x + + ... + =0 cos2 3x cos2 9x cos2 3n x ⇔ tan2 3n x = tan 2 x

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài học kinh nghiệm:

( k ∈ Z)

D

IỄ N

Đ

phương pháp dạy học truyền thống ( gợi mở vấn đáp).

- Lớp thực nghiệm 11A2, 11A3: Giáo viên dạy theo nội dung và tiến trình dạy các

bài tập như sáng kiến kinh nghiệm theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy năng lực học sinh ( Dạy học theo nhóm, dạy học dự án, kết hợp với PP gợi mở vấn đáp).

22

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát mức độ đáp ứng nội dung của học sinh với các tình huống bài tập mà giáo viên đưa ra, sự hứng thú và hoạt động của học sinh trong và sau tiết học, kiểm tra năng lực học sinh thông qua sản phẩm vận dụng sáng tạo của các nhóm. Tiến hành lấy

N

phiếu thăm dò ý kiến học sinh, thực hiện kiểm tra 45 phút ở cả ba lớp, giáo viên chấm

H

Ơ

bài để thu thập thông tin, từ đó rút ra những bài học kinh nghiệm và tiếp tục điều

U Y

Đề kiểm tra (Phụ lục 1): Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham

.Q

TP

biên soạn.

ẠO

Thăm dò ý kiến học sinh( Phụ lục 2) : Lấy ý kiến góp ý từ kênh thông tin học sinh

Đ

về phương pháp tổ chức các hoạt động dạy học, tính mới, tính hấp dẫn của đề tài.

N

G

Thời gian tiến hành thực nghiệm trong tuần 7, và 8 của học kỳ I năm học 2015-

H Ư

2016.

TR ẦN

3.2 Xử lý kết quả thực nghiệm bằng thống kê toán học :

10 00

B

Để đánh giá và so sánh chất lượng kiến thức của học sinh trong các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng Tôi vận dụng kiến thức nội môn chương thống kê ( Đại số lớp 10 ): Bảng 1: Phân bố tần số kết quả bài kiểm tra.

Ó

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0

0

0

3

11

7

35

11

10

5

7,1

-L 45

0

0

1

3

3

10

15

11

2

0

0

5,4

Bảng 2: Bảng phân số tần số, tần suất ghép lớp LỚP THỰC NGHIỆM

CÁC LỚP ĐIỂM KIỂM TRA

LỚP ĐỐI CHỨNG

TẦN SỐ

TẦN SUẤT

TẦN SỐ

TẦN SUẤT

[ 0; 4 )

0

0%

4

9%

[ 4;6 )

14

17%

13

28%

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

A 1

0

Í-

82

ÁN

Thực nghiệm Đối chứng

Điểm số

Điểm TB

H

Số HS

Lớp

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

khảo, đề thi Đại học, đề thi HSG các Tỉnh trong những năm vừa qua và giáo viên tự

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

chỉnh.

23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

42

51%

26

58%

[8;9 )

11

14%

2

5%

[9;10]

15

18%

0

0%

Ơ

N

[ 6;8)

.Q ẠO

60%

Đ

50%

G

40%

N

Lớp TN Lớp ĐC

H Ư

30%

TR ẦN

20% 10% 0% 2

3

4

5

(Chú thích : Lớp 1: [ 0; 4 ) ,

10 00

B

1

Lớp 2: [ 4;6 ) , Lớp 3: [ 6;8) , Lớp 4: [8;9 ) , Lớp 5: [9;10] )

Ó

A

Bảng 3: Các tham số phân tích

Í-

Lớp

H

Tham số

X (Số TBC)

S 2 (Phương sai)

7,1 5,4

17,3 16,9

ÁN

-L

Lớp TN (82) Lớp ĐC (45)

s 2 ( Độ lệch chuẩn)

4,2 4,1

Đ

ÀN

TO

3.3 Đánh giá, phân tích kết quả - Điểm trung bình cộng của lớp thực nghiệm (7,1) cao hơn lớp đối chứng (5,4).

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

70%

IỄ N D

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

và lớp đối chứng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Từ bảng trên ta vẽ được đường gấp khúc tần suất ghép lớp của lớp thực nghiệm

- Đường gấp khúc tần suất ghép lớp của lớp thực nghiệm với lớp điểm nhỏ hơn

7 nằm bên dưới của lớp đối chứng điều này chứng tỏ lớp các điểm mức trung bình của lớp thực nghiệm ít hơn lớp đối chứng. Đường gấp khúc tần suất ghép lớp của lớp thực nghiệm với lớp điểm lớn hơn hoặc bằng 7 nhỏ hơn 8 nằm bên dưới của lớp đối chứng điều này chứng tỏ lớp các điểm mức khá của lớp thực nghiệm ít hơn lớp đối 24

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

chứng . Đường tần suất ghép lớp của lớp thực nghiệm với lớp điểm lớn hơn hoặc bằng 8 nằm bên trên của lớp đối chứng điều này chứng tỏ lớp các điểm mức giỏi của lớp thực nghiệm nhiều hơn lớp đối. Lớp điểm [9;10] của lớp đối chứng là không

Ơ

N

có.Điều này chứng tỏ lớp thực nghiệm giải quyết các bài toán mức vận dụng cao là

H

sáng tạo hơn, sự phân tích đề bài tìm công thức vận dụng giải các phương trình lượng

.Q

ẠO

những học sinh được học chuyên đề này có hiệu quả hơn !

Đ

Kết luận:

G

Sự khác nhau giữa X TN > X ĐC là có ý nghĩa với xác suất sai lầm ở lớp thực

H Ư

N

nghiệm thực sự tốt hơn lớp đối chứng .

TR ẦN

2 Phương sai STN2 > S DC điều này chứng tỏ độ phân tán điểm của lớp thực nghiệm

ít hơn của lớp đối chứng.

Kết quả khảo sát thăm dò ý kiến học sinh về tính hấp dẫn, tính mới của đề tài,

10 00

B

phương pháp tổ chức các hoạt động học tập của giáo viên, năng lực đạt được của học sinh. Qua kết quả thăm dò cho thấy:

Ó

A

+ Tất cả học sinh đều hào hứng với việc học tập thể hiện ở sự tập trung suy nghĩ

H

tìm tòi sáng tạo trong giờ học, tích cực luyện tập, tích cực tự học, tự nghiên cứu, hoàn

-L

Í-

thành các yêu cầu GV đưa ra. + Đa số học sinh hiểu bài phát hiện được công thức và vận dụng nhanh công

ÁN

thức giải đúng kết quả các bài tập được thể hiện bảng kết quả thực nghiệm ở trên.

TO

+ 100% học sinh đều thích học chuyên đề này và mong muốn thường xuyên

+100% học sinh đều cho rằng phương pháp tổ chức các hoạt động học tập của

giáo viên đã phát huy được tính sáng tạo của học sinh.

D

IỄ N

Đ

ÀN

được học tập bằng các PP dạy học mới như đề tài đã áp dụng .

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

học tập của học sinh ở lớp thực nghiệm khá hơn lớp đối chứng. Như vậy có thể nói

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Qua kết quả phân tích bằng cả định tính và định lượng, tôi thấy rằng kết quả

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

giác đòi hỏi có tư duy sáng tạo là tốt hơn lớp đối chứng.

25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. Kết luận

N

Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp

Ơ

giải nhanh một số phương trình lượng giác là một chuyên đề toán mà học sinh thường

U Y

và học sinh ôn thi ĐH; CĐ; ôn thi học sinh giỏi.

ẠO

Qua quá trình giảng dạy; tôi nhận thấy: Sau khi đưa ra cách giải quyết mới như

Đ

trên học sinh không còn lúng túng nữa và đã làm được phần lớn các bài tập đòi hỏi

N

G

tính sáng tạo như lớp các bài tập vận dụng trong đề tài. Với kết quả thực nghiệm ở hai

H Ư

lớp dạy là 11A1; 11A2, 11A3 đã chứng tỏ đề tài giúp học sinh phần nào say mê, hứng

TR ẦN

thú và sáng tạo trong học tập, nghiên cứu. Điều đó làm cho các em tiếp thu bài tốt và khích lệ tinh thần học tập của các em.

B

Thông qua kinh nghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh nghiệm

10 00

quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn công việc giảng dạy của mình.

Trên đây là kinh nghiệm của tôi trong dạy học chủ đề: “ Bồi dưỡng năng lực

Ó

A

suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng

H

phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 ”. Tôi rất mong nhận được sự đóng

-L

Í-

góp ý kiến của các đồng nghiệp; và các đồng chí trong hội đồng khoa học của Sở Giáo

TO

ÁN

dục. Tôi xin chân thành cảm ơn.

Đ

ÀN

2. Kiến nghị Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao, cần

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

đối tượng học sinh: Giỏi; Khá;

IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Sáng kiến kinh nghiệm này cũng là một tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy cho

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

gặp trong các kỳ thi. Đây là một chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11; 12

lưu ý một số điểm sau: a) Đối với giáo viên: - Cần tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực

học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm, hướng điều chỉnh cho các tiết 26

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với các Thày Cô hơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và say mê nghiên cứu môn toán hơn .

- Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì áp

N

dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh. Trước khi

H

Ơ

dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng về

.Q

ẠO

lực học sinh, viết và áp dụng SKKN. c) Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:

G

Đ

Với các sáng kiến kinh nghiệm hay, tôi và nhiều đồng nghiệp mong muốn Sở

H Ư

N

GD và ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác tham khảo và áp dụng hiệu quả các SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp loại.

TR ẦN

Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và các

10 00

B

em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này.

A

Đức Hợp, tháng 3 năm 2016

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Người viết

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Lê Thị Hinh

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy năng

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) Đối với nhà trường: Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

những kiến thức cơ bản liên quan.

27

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Các bài giảng về phương trình lượng giác (Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên)) .

[2]. Đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố.

N

[3]. SGK Đại số 11 (CT chuẩn, CT nâng cao), NXB GD, 2006.

H

Ơ

[4]. Tuyển tập các đề thi Olympic.

[5]. Tài liệu tập huấn :

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ G N H Ư TR ẦN B 10 00 A Ó H Í-L ÁN TO ÀN

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Môn Toán –Cấp trung học phổ thông.

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH -

U Y

N

DẠY HỌC VÀ KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP THEO ĐỊNH

28

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phụ lục 1 ĐỀ KIỂM TRA

N

Thời gian làm bài: 45 phút ( Không kể thời gian giao đề)

H

Ơ

Câu 1 ( 7,0 điểm)

N

Câu 2 (3,0 điểm)

H Ư

Tìm công thức vận dụng và giải phương trình sau:

Hết

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

2 cos 2 x − 1 4 cos 6 x − 1 8 cos18 x − 1 8 + + = 1− sin 3 x sin 9 x sin 27 x sin 27 x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 2

G

c) sin 9 x ( 4 cos 2 x − 3)( 4 cos 2 3x − 3) =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q TP

tan x 1 − tan 2 2 x ) = 2 ( tan 2 x

ẠO

b)

sin x sin 3x

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a) ( 3 − 4 sin 2 3 x ) . ( 3 − 4 sin 2 9 x ) =

N

Giải các phương trình sau:

29

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phụ lục 2 Trường THPT Đức Hợp

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

N

Tổ Toán - Tin

H

Ơ

PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN HỌC SINH

U Y

theo định hướng phát huy năng lực học sinh, đề nghị các em học sinh với tinh thần

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Các mức độ đánh giá Khó hiểu

Rất khó hiểu

Rất thích

Thích

Không thích lắm

Không thích

Phát huy tốt

Không phát huy lắm

Phù hợp

Chưa phù hợp lắm

TR ẦN

H Ư

Dễ hiểu

Phát huy rất tôt

10 00

3. Em thấy phương pháp tổ chức dạy học này của Cô giáo có phát huy được tính sáng tạo của em không ?

4. Các dạng bài tập vận dụng có phù hợp với khả năng tiếp thu của em không?

5. Em đã đọc được nội dung chuyên đề này ở đâu chưa?

Rất dễ hiểu

B

1. Em học chủ đề này có dễ hiểu không?

2. Em có thích học chủ đề này không?

N

G

Nội dung đánh giá

Đ

cách đánh dấu x vào ô trống mà các em lựa chọn.

Rất phù hợp

Không phát huy

Chưa phù hợp

A

Ó

H

Í-

TO

ÁN

-L

6. Về nhà em có tự mình ra được các bài tập tương tự và vận dụng công thức giải được BT đó không?

7. Em có thích được học nâng cao các chuyên đề tương tự như thế này không?

Đ IỄ N D

ẠO

giác cho học sinh lớp 11”, đề nghị các em cung cấp những thông tin dưới đây bằng

8. Em có hay đọc tài liệu tham khảo không ?

Chưa gặp bao Có một phần nhỏ giờ

Có

Giống hoàn toàn

Có làm đầy đủ

Có nhưng chưa đầy đủ

Làm được rất it

Không làm được

Rất thích

Thích

Không thích lắm

Không thích

Thường xuyên

Thi thoảng

Không đọc

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

trung thực, xây dựng cho ý kiến về chủ đề “ Bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Để không ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy, phong trào đổi mới PP dạy học

Những kiến nghị của em đối với Cô giáo và nhà trưởng.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Xin cám ơn sự hợp tác của các em học sinh đã tham gia.

30

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT ĐỨC HỢP

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

CHỦ TỊCH -HIỆU TRƯỞNG (Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q T.M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

Tổng điểm: …………………Xếp loại: ………………………

31

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial