BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (PHÂN LOẠI THEO CHỦ ĐỀ, CÁC VÍ DỤ MINH HỌA)

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

vectorstock.com/30110321

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (PHÂN LOẠI THEO CHỦ ĐỀ, CÁC VÍ DỤ MINH HỌA CÓ LỜI GIẢI, CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ ĐỂ HỌC SINH LUYỆN TẬP) WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Chuyên đề: Một số bài toán về cực trị của hàm số

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

LỜI NÓI ĐẦU Trong những năm gần đây, bài thi THPT môn Toán đã chuyển từ tự luận chuyển sang trắc nghiệm. Với việc thay đổi hình thức thi đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản. Bên cạnh đó, khi đứng trước một bài toán, người học cũng cần có những cách giải nhanh nhất có thể. Đó là điều băn khoăn không chỉ của người học mà còn cả người dạy. Nó đòi hỏi người dạy luôn trau dồi, tìm tòi và khai thác các cách giải nhanh nhất nhằm định hướng cho học sinh cách làm tối ưu nhất có thể. Với mong muốn ấy, tôi không ngừng học hỏi, tìm tòi các phương án giải khác nhau để có thể tìm được cách giải tốt nhất khi đứng trước một bài toán. Cực trị của hàm số là bài toán thường gặp trong các kì thi THPT. Chuyên đề được viết với mong muốn có thể cung cấp cho các em một số bài toán cực trị thường gặp.

Tôi hi vọng chuyên đề này sẽ đem đến cho các em nhiều điều bổ ích, trang bị cho các em kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi THPT được tốt hơn, hiệu quả hơn.

Chuyên đề được viết theo cấu trúc: + Phân loại theo chủ đề + Các ví dụ minh họa có lời giải + Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều không thể tránh khỏi. Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn.

Trân trọng!

Trang 1

PHỤ LỤC LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................................................... 1 PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT ........................................................................................................ 3 PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ........................................................ 5 DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) THEO QUY TẮC ................................. 5 DẠNG 2: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ ............. 10 DẠNG 3: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) DỰA VÀO BẢNG XÉT DẤU CỦA HÀM SỐ f ′ ( x ) .............................................................................................................. 15 DẠNG 4: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ f ′ ( x ) 18 DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM

x = x0

........................................................................................................................... 24

DẠNG 6: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA..................................................... 28 DẠNG 7: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG .................................... 36 DẠNG 8: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f ( x) ,

y = f ( x ) ....................................................................................................................... 45 DẠNG 9: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP ............................................................................. 55 PHẦN III. KẾT LUẬN........................................................................................................................... 62

Trang 2

PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là −∞ ; b là +∞ ) và điểm x0 ∈ (a; b) .

•

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) < f ( x0 ) với mọi x ∈ ( x0 − h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại x0 .

•

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) > f ( x0 ) với mọi x ∈ ( x0 − h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại x0 .

* Chú ý •

Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm

cực tiểu) của hàm số; f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ ( fCT ) , còn điểm M ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của

đồ thị hàm số.

•

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị * Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 thì f ′( x0 ) = 0 .

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị * Định lí 2: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trên K = ( x0 − h; x0 + h) và có đạo hàm trên

K hoặc trên K \{x0 } , với h > 0 . +) Nếu f ' ( x ) > 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f '( x) < 0 trên ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một

điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) . +) Nếu f ′ ( x ) < 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f ′( x) > 0 trên ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một

điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) .

Trang 3

Minh họa bằng bảng biến thiến

x

x0

x0 − h

f ′( x )

x

x0 + h

−

+

f ′( x )

x0 − h

x0 + h

x0

−

+

fCÑ f ( x)

f ( x)

fCT * Chú ý Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) của hàm số y = f ( x) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số y = f ( x) trên tập xác định của nó.

Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x0 .

4. Định lí 3: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng K = ( x0 − h; x0 + h) với

h > 0 . Khi đó: Nếu f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.

Nếu f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Quy tắc 1 Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f ′ ( x ) . Tìm các điểm tại đó f ′ ( x ) bằng 0 hoặc f ′ ( x ) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. b) Quy tắc 2 Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f ′ ( x ) . Giải phương trình f ′ ( x ) = 0 và ký hiệu xi ( i = 1, 2, 3,...) là các nghiệm của nó.

Bước 3. Tính f ′′ ( x ) và f ′′ ( xi ) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f ′′ ( xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi .

Trang 4

PHẦN II: MỘT T SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM ÀM SỐ S DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊỊ CỦ ỦA HÀM SỐ y = f ( x ) THEO QUY TẮC Phương pháp Sử dụng các quy tắc tìm cực trị của c hàm số 4

2

Ví dụ 1. Hàm số y = x − 2 x + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 3 .

A. 2 .

D. 0 .

C. 1 .

Lời giải x = 0 y′ = 4 x 3 − 4 x = 4 x x 2 − 1 y′ = 0 ⇔   x = ±1 Bảng biến thiên:

(

)

x y'

1 0 + 0 0

∞

1 0

+∞ +

y

Từ bảng biếnn thiên suy ra hàm ssố đã cho có 3 điểm cực trị.

4 2 Nhận xét: Hàm số y = x − 2 x + 1 là hàm trùng phương có a.b < 0 nên có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 2. Tìm điểm cực đại x0 ccủa hàm số y = x 3 − 3 x + 1 .

A. x 0 = 2 .

B. x 0 = 1 .

C. x 0 = −1 .

D. x 0 = 3 .

Lời giải  x =1 y ′ = 3x 2 − 3 , y ′ = 3x 2 − 3 = 0 ⇔  .  x = −1 Bảng biến thiên

Suy ra, hàm số đạt cực ực đại đạ tại x 0 = −1 .

1− 2x có bao nhiêu ccực trị? −x + 2 A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .

Lời giải Tập xác định: D = ℝ \ {2} .

Ví dụ 3. Hàm số y =

Ta có: y ′ =

−3

( − x + 2)

2

< 0 , ∀x ∈ ( −∞; 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

Suy ra hàm số đãã cho không có cực c trị.

Trang 5

D. 1 .

3 2 Ví dụ 4. Hàm số y = x − 3 x − 9 x + 4 đạt cực trị tại x1 và x2 thì tích các giá trịị cực c trị bằng

A. −302 .

B. −207 .

Lời giải  x = −1 Ta có y ' = 3x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇔  x = 3

C. 25 .

D. −82 .

Suy ra y ( −1) = 9; y (3) = −23 ⇒ y ( − 1). y(3) = − 207 Ví dụ 5. Hàm số nào sau đây ây không có cực c trị?

A. y = x 3 − 1 .

B. y = x 3 + 3 x 2 + 1 .

C. y = x3 − x .

D. y = x 4 + 3 x 2 + 2 .

Lời giải +Hàm số y = x 3 − 1 có ttập xác định D = ℝ , Có: y ' = 3x 2 ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ .

Do đó hàm số y = x 3 − 1 không có cực trị. Vậy đáp án A đúng. + Hàm số y = x 3 + 3 x 2 + 1 có tập xác định D = ℝ . x = 0 Có: y ' = 3x 2 + 6 x ; y ' = 0 ⇔ 3x 2 + 6 x = 0 ⇔  .  x = −2

Quan sát dấu của y ' ta thấy th hàm số y = x 3 + 3 x 2 + 1 có hai cực trị. ị Vậy ậy đáp án B sai.

3 + Hàm số y = x − x có tập t xác định D = ℝ .  3 x = 3 Có: y ' = 3x 2 − 1 ; y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 1 = 0 ⇔  .  3 x = − 3 

Quan sát dấu của y ' ta thấy th hàm số y = x 3 − x có hai cực trị. Vậy đáp án C sai. + Hàm số y = x 4 + 3 x 2 + 2 có tập xác định D = ℝ .

Có: y ' = 4 x 3 + 6 x = 2 x ( 2 x 2 + 3) ; y ' = 0 ⇔ 2 x = 0 ⇔ x = 0.

Quan sát dấu của y ' ta thấy th hàm số y = x 4 + 3 x 2 + 2 có một cực trị. ị. Vậy Vậ đáp án D sai.

Ví dụ 6. Đồ thị hàm số y = x3 − 3 x + 1 có điểm cực tiểu là

A. x = 1 .

B. x = −1 .

C. ( −1;3) .

Lời giải

2

Ta có: y′ = 3x − 3 , y ′ = 0 ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên

Trang 6

D. (1; −1) .

Vậy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1; −1) .

Bài tập trắc nghiệm Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Tìm tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = −2x 3 + 3x 2 + 18 A. 38 B. 37 C. 40 D. 39 4 2 Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x − 2x + 2 A. ( −1;1) B. ( 2; 0 ) C. (1;1) D. ( 0; 2 ) Cho hàm số y =

x3 2 − 2 x 2 + 3 x + . Toạ độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là 3 3

 2 A.  3;  .

B. ( −1; 2 ) .

C. (1; 2 ) .  3 Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?

A. y = x 4 + 2 x 2 B. y = x 4 − 2 x 2 − 1 C. y = 2 x 4 + 4 x 2 − 4 D. y = − x 4 − 2 x 2 − 1 −3 x + 1 Hàm số y = có bao nhiêu điểm cực trị?

2x − 3 A. 2.

B. 0.

C. 1.

Hàm số nào sau đây không có cực trị?

A. y = x3 B. y = x 3 + 3 x 2 − x C. y = x 4

D. 3 D. y = x 4 + 1

Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x 16 − x 2 A x = −2 2

Câu 8.

D. (1; −2 ) .

B. x = 2 2

(

C. −2 2; −8

)

Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x 2 x 2 + 2 A. xCT = 1 B. xCD = −1 C. xCT = 0

(

D. 2 2;8

)

D. xCD = 2

Câu 9. Đồ thị hàm số y = x − 3 x − 9 x + 1 có hai cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?

A. Q ( −1; 10 ) B. M ( 0; −1) C. N ( 1; −10 ) D. P ( 1; 0 ) 3

2

Câu 10. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − 2 . Gọi a, b lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đó. Giá trị của 2a 2 + b bằng A. − 2 .

B. 4.

C. 2.

D. −8 .

Câu 11. Biết đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x 2 + ax + b có cực trị tại A (1;3) . Khi đó giá trị của 4a − b bằng?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Câu 12. Đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 ax + b có điểm cực tiểu A ( 2; − 2 ) . Tính a + b.

A. a + b = 4.

B. a + b = 2.

C. a + b = − 4.

Trang 7

D. a + b = − 2.

Câu 13. Đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7) , B (2; −8) . Tính y ( −1) .

A. y ( −1) = 7 .

B. y ( −1) = 11 .

C. y ( −1) = −11

D. y ( −1) = −35 .

Câu 14. Đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị là A (1; 2) , B (−1; 6) . Giá trị của P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 bằng bao nhiêu?

A. P = 18 B. P = 26

C. P = 15

D. P = 23

Câu 15. Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

B. Hàm số đãã cho không có giá trị cực đại.

C. Hàm số đã cho có đúng úng một điểm cực trị.

D. Hàm số đãã cho không có giá trị cực tiểu Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đđây ây là khẳng định đúng?

A. Hàm số có đúng một cự ực trị B. Hàm số có giá trị cựcc tiểu bằng 1 C. Hàm số có giá trị lớnn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1 D. Hàm số đạt cực đại tạii x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 Câu 17. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình dưới đây

Khẳng định nào dướii đây là đúng?

A. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 0 .

C. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng − 1 .

B. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 2 .

D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( 2; −5) .

Câu 18. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Trang 8

x y′

–∞

−1 0 2

+

0 –

+∞

1 0 3

+

–

y −∞ A. Có một điểm.

B. Có hai điểm.

−1 −1

C. Có ba điểm.

−∞ D. Có bốn điểm.

Câu 19. Cho hàm số có bảng biến thiên dưới đây. Phát biểu nào sau đây là đúng ?

x y' y

−∞

+

0 0 5

1 0

−

+∞ +

+∞ -2

−∞

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 và đạt cực đại tại x = 5 B. Giá trị cực đại của hàm số là -3 C. Giá trị cực tiểu của hàm số là -2.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = −3 và đạt cực tiểu tại x = 0 Câu 20. (THPTQG- Mã đề 101 năm 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x = 2 .

B. x = 1 .

C. x = −1 .

D. x = −3 .

Câu 21. (THPTQG- Mã đề 120 năm 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x = 3 .

B. x = 2 .

C. x = −2 .

D. x = 1 .

Câu 22. (THPTQG- Mã đề 101 năm 2017) Cho hàm số y = f ( x ) bảng biến thiên như sau.

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số có ba điểm cực trị.

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.

D. Hàm số có hai điểm cực tiểu

Trang 9

DẠNG 2: TÌM CỰC TRỊỊ CỦ ỦA HÀM SỐ y = f ( x ) KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp Sử dụng định nghĩa của cực trị để đ nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị th hàm số Ví dụ 1.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng?

A. Hàm số f ( x ) có điểm cực tiểu là x = 2 .

B. Hàm số f ( x ) có giá trị cực đại là − 1 .

C. Hàm số f ( x ) có điểm cực đại là x = 4 .

D. Hàm số f ( x ) có giá trị cực tiểu là 0 .

Lời giải Dựa vào đồ thị của hàm àm số ta suy ra được hàm số f ( x ) có giá trị cực tiểu là 0 .

Ví dụ 2.

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số bằng

A. − 1 .

B. − 2 .

C. 1 .

D. 0 .

Lời giải Dựa vào đồ thị của hàm àm số ta có hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại bằng − 1 .

Ví dụ 3.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng ( a ; b ) ?

A. 4 .

C. 7 .

B. 2 .

Lời giải Từ đồ thị hàm số suy ra hhàm số có 3 điểm cực tiểu trên khoảng ( a ; b ) .

Trang 10

D. 3 .

Bài tập trắc nghiệm Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 4] có đồ thị như hình vẽ.

Câu 2:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 .

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.

Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f ( x ) .

A. y = −2.

Câu 3:

Câu 4:

B. x = 0.

C. M ( 0; −2 ) .

D. N ( 2; 2 ) .

2

Cho hàm số y = f ( x) =| x − 2 x − 4 | có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x) có bao nhiêu cực trị?

A. 3 .

B. 4 C. 1 D. 2 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình bên dưới y

x O

Đồ thị của hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .

Trang 11

D. 1 .

Câu 5:

Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − x + 3 có đồ thị như hình vẽ.

3

Hỏi đồ thị hàm số y = x − 3 x 2 − x + 3 có bao nhiêu điểm cực trị.

Câu 6:

A. 9 .

B. 5 .

C. 7 .

3 2 Cho hàm số y = − x + x + 4 x − 4 có đồ thị như hình vẽ.

D. 3 .

3

Hỏi đồ thị hàm số y = − x + x 2 + 4 x − 4 có bao nhiêu điểm cực trị.

Câu 7:

A. 9 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 5 .

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? y

O

A. 5 .

Câu 8:

B. 3 .

x

C. 2 .

D. 4 .

Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a , b, c ∈ ℝ ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số điểm cực trị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c là Câu 9:

A. 5 .

B. 6 .

C. 7 .

Biết rằng hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Trang 12

D. 3.

Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x − 1) − 2 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 1.

C. 4.

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ sau

D. 5.

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ , có đồ thị như hình vẽ

D. 7 .

Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x − 1) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 12:

A. 3 .

B. 4 .

Cho hàm số f ( x) có đồ đ thị như hình vẽ

Số điểm cực tiểu của hàm số f

C. 5 .

D. 7 .

( x ) là

A. 10 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 2 .

3 2 Câu 13: (THPTQG – Mã 101 năm 2018) Cho hàm số y = ax + bx + cx + d ( a , b, c ∈ ℝ ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Trang 13

A. 2 .

B. 0 .

C. 3 .

D. 1 .

4 2 Câu 14: (THPTQG – Mã 105 năm 2018) Cho hàm số y = ax + bx + c ( a , b, c ∈ ℝ ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2 .

B. 1 .

C. 0 .

D. 3 .

4 2 Câu 15: (THPTQG – Mã 106 năm 2018) Cho hàm số y = ax + bx + c ( a , b, c ∈ ℝ ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 16: (THPTQG – Mã 108 năm 2018) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a , b, c ∈ ℝ ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

Trang 14

D. 0 .

DẠNG 3: TÌM CỰC TRỊỊ CỦ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) DỰA VÀO BẢNG ẢNG XÉT DẤU D CỦA HÀM SỐ f ′ ( x ) Phương pháp Bước 1: Tìm các giá trị tr của x là nghiệm của phương trình f ′ ( x ) = 0 hoặc f ′ ( x ) không xác định.

Bước 2: Lập bảng biếnn thiên và kết k luận.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm àm như hình vẽ.

0 x − −1 −∞ + 0 − f'(x)

2 0

+

−

4 0

+∞ +

Hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 .

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .

Lời giải Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và đạo hàm đổi dấu 4 lần nên hàm số có 4 điểm cực trị.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu f ′ ( x ) như sau:

x f '(x)

-∞

2

1 0

+

3 +

Kết luận nào sau đây đúng A. Hàm số có 4 điểm cực trị.

C. Hàm số có 2 điểm cực trị.

4 0

+∞ +

B. Hàm số có 2 điểm cực đại.

D. Hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Lời giải Dựa vào bảng xét dấu, ta có: f ′ ( x ) đổi dấu 3 lần khi qua các điểm 1,3, 4.

f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm 1, 4 và đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm 3 . Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x ) có đđạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu f ′ ( x ) như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = f ( x ) đạạt cực trị tại x = −2 .

B. Hàm số y = f ( x ) đạạt cực đại tại x = 1 .

C. Hàm số y = f ( x ) đạạt cực tiểu tại x = −1 . D. Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.

Trang 15

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đạo hàm f '( x) = x( x − 1) 2 ( x − 2)3 . Số điểm

cực trị của hàm số y = f ( x ) là: A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 3 .

Lời giải x = 0  2 3 Ta có f '( x) = x( x − 1) ( x − 2) = 0 ⇔  x = 1 .  x = 2 Trong đó x = 1 là nghiệm bội chẵn nên f ′( x ) không đổi dấu khi đi qua x = 1 .

Khi đó f ′( x ) đổi dấu 2 lần khi đi qua x = 0 và x = 2 .

Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f '( x) = x 2 ( x + 1)2 (2 x − 1) . Khi đó số điểm cực trị của hàm số đã cho là bao nhiêu?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải  x = 0  Ta có f '( x) = 0 ⇔  x = −1 .  1 x =  2 1 1 Tuy nhiên f '( x ) chỉ đổi dấu khi x đi qua x = . Vậy hàm sô có 1 điểm cực trị là x = .

2 2

Bài tập trắc nghiệm 3

Câu 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1)( x + 2 ) , ∀x ∈ℝ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 .

B. 2 .

C. 5 .

D. 1 .

2 Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( 2 x + 3) . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

4 5 3 Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 3) . Số điểm cực trị của hàm

số f ( x ) là: A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ với bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Câu 5. Cho hàm số f ( x ) có f ′( x) = x 2017 .( x − 1)2018 .( x + 1), ∀x ∈ ℝ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Trang 16

Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có f '( x) = ( x − 1) 2017 ( x 2 − 1)(2 x + 3)3 . Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1 B. 4.

C. 3 D. 2 2018 2 Câu 7. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) biết f ′ ( x ) = x x − 1 ( x + 2 ) .

(

)

B. 3 .

C. 4 .

D. 1 .

2 3 Câu 8. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có f ' ( x ) = x ( x − 26 ) ( x − 10 ) . Tìm số điểm A. 2 .

cực trị của hàm số f ( x ) .

A. 4 B. 1

C. 2

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có đạo hàm f ' ( x ) = x

D. 3 2

( x − 1) ( x 2 − 4 ) . Số

điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là: A. 4

B. 1

C. 2

D. 3 2

3

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) x 2 . Số điểm cực trị của hàm số là: A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 y = f ( x) Câu 11. Cho hàm số xác định trên ℝ và có đạo hàm 3

2

f ' ( x ) = −2017 ( x − 1)( x + 2 ) ( x − 3) . Tìm số điểm cực trị của f ( x ) A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 2 x −4 Câu 12. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) = , ∀x ≠ 0 . Số điểm cực trị của hàm số 3x 2 đã cho là A. 2 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 1.

2

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có f ' ( x ) = ( 2 x − 1) x 2 (1 − x ) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số đã cho có đúng một cực trị.

B. Hàm số đã cho không có cực trị.

C. Hàm số đã cho có hai cực trị.

D. Hàm số đã cho có ba cực trị.

Câu 14. (THPTQG –Mã 101 năm 2019) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′( x) = x( x + 2)2 , ∀x ∈ ℝ.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là?

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 15. (THPTQG –Mã 120 năm 2019) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′( x) = x( x + 1)2 , ∀x ∈ ℝ.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là?

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

Trang 17

DẠNG 4: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

f ′( x) Phương pháp Bước 1: Xác định giao điểm của đồ thị hàm số f ′ ( x ) với trục Ox. Bước 2: Lập bảng biến thiên và xác định dấu của f ′ ( x ) .

+ f ′ ( x ) > 0 khi đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm phía trên trục Ox . + f ′ ( x ) < 0 khi đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm phía dưới trục Ox. Bước 3: Kết luận về cực trị của hàm số y = f ( x ) .

Ví dụ 1.

Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực đại.

B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị.

C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.

D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một điểm cực trị.

Lời giải Ta có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. Do vậy hàm số

y = f ( x ) có ba điểm cực trị.

Ví dụ 2.

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 là A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .

Lời giải

y ′ = ( f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 )′ = f ′ ( x − 2017 ) − 2018 .

Trang 18

D. 1 .

y ′ = 0 ⇔ f ′ ( x − 2017 ) = 2018 .

Đồ thị hàm số f ′ ( x − 2017 ) là tịnh tiến của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) sang phải 2017 đơn vị, nên phương trình f ′ ( x − 2017 ) = 2018 có nghiệm duy nhất (nghiệm nghiệm đơn) nên hàm số y = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 có 1 điểm cực trị.

Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm y = f ′ ( x ) như hình bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = f ( x ) − x 2 − x đạt cực đại tại x = 0 .

B. Hàm số y = f ( x ) − x 2 − x đạt cực tiểu tại x = 0 .

C. Hàm số y = f ( x ) − x 2 − x không đạt cực trị tại x = 0 .

D. Hàm số y = f ( x ) − x 2 − x không có cực trị.

Lời giải

Ta có: y ′ = f ′ ( x ) − ( 2 x + 1) ⇒ y ′ = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 2 x + 1 .

Từ đồ thị ta thấy x = 0 là nghiệm đơn của phương trình y′ = 0 .

Ta có bảng biến thiên ên trên ( −∞; 2 ) :

: Từ bảng biến thiên ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

Trang 19

Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm y = f '( x ) . Đồ thị của hàm số y = f '( x )

như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị.

B. Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng (−∞; 2) C. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng (0;1) D. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (−∞; −1) Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng

trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( −∞;1) B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 1 .

C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một điểm cực tiểu D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị.

Câu 3. Đồ thị sau đây là của hàm số y = f ' ( x ) . Khi đó hàm số y = f (x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

Trang 20

D. 3.

Câu 4. Hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y = f ' ( x) trên K như

hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x + 1) trên K ?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 5. Hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y = f '( x) trên K như

hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) trên K . y

1

x

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 6. Hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x) trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số trên

khoảng

A. 0.

Câu 7.

K

. Hỏi hàm số f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Cho hàm số f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên K , hàm số y = f ( x − 2018 ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Trang 21

A. 1.

Câu 8.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ . Hàm

số y = g ( x ) = f ( x ) + 4 x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

Câu 9.

B. 2.

C. 3.

D. 4

Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ . Hàm

số y = g ( x ) = f ( x ) − 3 x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số y = g ( x) = f ( x) +

2017 − 2018 x có bao nhiêu cực trị?

2017 y 5

2 1

x x1

A. 1.

B. 2.

x2 x3

C. 3.

Trang 22

D. 4.

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ , có đồ thị của hàm số y = f '( x )

như hình vẽ sau. Đặt g ( x ) = f ( x ) + x . Tìm số cực trị của hàm số g ( x ) ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4. ′ f ( x ) f ( x ) ℝ Câu 12. Cho hàm số xác định trên và có đồ thị như hình vẽ. Đặt

g ( x) = f ( x) − x. Hàm số g ( x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

A. x = 1.

B. x = 2.

C. x = 0.

D. x = −1.

Câu 13. Cho Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình h bên. Đặt 2

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Hàm số g ( x) đạt cực đại tại

A. x = 1 .

B. x = −3 .

C. x = 3 .

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số

D. x = 0 .

y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Đặt

g ( x ) = 2 f ( x ) + x 2 . Hàm số g ( x ) đạt cực tiểu

A. x = 1 .

B. x = −3 .

C. x = 3 .

Trang 23

D. x = 0 .

DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI

ĐIỂM

x = x0

Phương pháp

Bước 1: Sử dụng định lí 1 để tìm các giá trị của m.

Bước 2: Với mỗi m tìm được, ta sử dụng định lí 2 để kiểm tra.

Trường hợp định lí 2 không sử dụng được, ta lập bảng xét dấu của đạo hàm để xác định.

Nhận xét: Đối với hàm đa thức bậc ba, ta có thể sử dụng quy tắc 2.

Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x3 − 2mx 2 + mx − 3 đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .

Lời giải

Tập xác định: D = ℝ .

Ta có y ' = 3 x 2 − 4mx + m và y '' = 6 x − 4m . Điều kiện cần: Hàm số y = x3 − 2mx 2 + mx − 3 đạt cực tiểu tại điểm x = 1 ⇒ y ′( 1 ) = 0 ⇔ 3 − 3m = 0 ⇔ m = 1 . Điều kiện đủ:

Với m = 1 ta có y′′( x) = 6 x − 4 . y′′(1) = 6 − 4 = 2 > 0 nên hàm số y = x3 − 2mx 2 + mx − 3 đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y =

tại x = 3 .

A. m = 1.

B. m = −1.

1 3 x − mx 2 + ( m 2 − 4 ) x + 3 đạt cực tiểu 3

C. m = 5 .

D. m = −7 .

Lời giải Tập xác định D = ℝ .

Ta có y′ = x 2 − 2mx + m 2 − 4 và y′′ = 2 x − 2m . m = 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 thì y ′ ( 3) = 0 ⇔ m 2 − 6m + 5 = 0 ⇔  m = 5 Với m = 5 ⇒ y ′′ ( 3) = −4 < 0 ⇒ m = 5 thỏa mãn.

Với m = 1 ⇒ y ′′ ( 3) = 4 > 0 ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 4 + mx 2 đạt cực tiểu tại x=0.

Lời giải

Tập xác định: D = R .

Ta có: y = x 4 + mx 2 ⇒ y′ = 4 x3 + 2mx = 2 x(2 x 2 + m) .

Trang 24

x = 0 y′ = 0 ⇔ 2 x(2 x + m) = 0 ⇔  2 x = − m .  2 2

• Nếu m ≥ 0 , ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .

Suy ra m ≥ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Nế u m < 0 .

x = 0 y′ = 0 ⇔   x = ± −m  2 Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

Suy ra m < 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 khi m ≥ 0 .

Ví dụ 4. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = x3 − mx 2 + (2m − 3) x − 3 đạt cực đại tại

x = 1?

A. m ≤ 3 .

B. m = 3 .

C. m < 3 .

D. m > 3 .

Lời giải

Tập xác định: D = R .

Ta có y′ = 3 x 2 − 2mx + (2m − 3) và y′′ = 6 x − 2m Hàm số bậc 3 có cực trị thì y ' = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ (m − 3) 2 > 0 ⇔ m ≠ 3  y′(1) = 0  ∀m ∈ ℝ ⇔ ⇔ m > 3 (t/m) Khi đó để hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì   y′′(1) < 0 6 − 2 m < 0 Cách khác Ta có y = x 3 − mx 2 + (2m − 3) x − 3 ⇒ y′ = 3 x 2 − 2mx + (2m − 3) = ( x − 1)(3x − 2m + 3)

Trang 25

+) TH1: Nếu

2m − 3 > 1 ⇔ m > 3 khi đó ta có bảng xét dấu y′ như sau: 3

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 . Vậy m > 3 thỏa mãn đề bài 2m − 3 +) TH2: Nếu = 1 ⇔ m = 3 ta có y′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3( x − 1)2 ≥ 0∀x ∈ ℝ 3 Suy ra hàm số không có cực trị nên m = 3 không thỏa mãn đề bài 2m − 3 +) TH3: Nếu < 1 ⇔ m < 3 khi đó ta có bảng xét dấu y′ như sau 3

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 . Vậy m < 3 không thỏa mãn đề bài Kết hợp các trường hợp trên ta có m > 3 thì thỏa mãn đề bài Ví dụ 5. (THPTQG – năm 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 3) x 5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0 ?

A. 4 .

B. 7 .

C. 6 .

D. Vô số.

Lời giải

Tập xác định: D = R .

Ta có y = x8 + ( m − 3) x 5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1 ⇒ y′ = 8 x 7 + 5 ( m − 3) x 4 − 4 ( m 2 − 9 ) x 3 .

(

)

y′ = 0 ⇔ x 3 8 x 4 + 5 ( m − 3) x − 4 ( m 2 − 9 ) = 0 x = 0 ⇔ .

4 2  g ( x ) = 8 x + 5 ( m − 3) x − 4 ( m − 9 ) = 0

Xét hàm số g ( x ) = 8 x 4 + 5 ( m − 3) x − 4 ( m 2 − 9 ) có g ′ ( x ) = 32 x3 + 5 ( m − 3) .

Ta thấy g ′ ( x ) = 0 có một nghiệm nên g ( x ) = 0 có tối đa hai nghiệm. +) TH1: Nếu g ( x ) = 0 có nghiệm x = 0 ⇒ m = 3 hoặc m = −3 .

Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g ( x ) . Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của

y ′ và y ′ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m = 3 thỏa ycbt. x = 0 Với m = −3 thì g ( x ) = 8 x − 30 x = 0 ⇔  .  x = 3 15  4 Bảng biến thiên 4

Trang 26

Dựa vào BBT x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m = −3 không thỏa ycbt. +) TH2: g ( 0 ) ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ g ( 0 ) > 0 ⇔ m2 − 9 < 0 ⇔ −3 < m < 3 .

Do m∈ ℤ nên m ∈ {−2; −1;0;1; 2} .

Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Hàm số y = x3 − 3x 2 + mx đạt cực tiểu tại x = 2 khi: A. m = 0 B. m ≠ 0 C. m > 0 2 x + mx + 1 Câu 2. Tìm m để hàm số y = đạt cực đại tại x = 2 x+m A. m = −1 B. m = 3 C. m = 1 3 2 Câu 3. Hàm số y = x − mx + 3 ( m + 1) x − 1 đạt cực tiểu tại x = 1 với m bằng: A. m = −1

D. m < 0

D. m = −3

B. m > −3

C. m = 0 D. m = −6 1 Câu 4. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − mx 2 + ( m 2 − 4) x + 3 đạt cực đại tại 3 x = 3.

A. m = 1 B. m = −1 C. m = 5 D. m = −7 1 3 Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = x − mx 2 + ( m 2 − m + 1) x + 1 3 đạt cực đại tại điểm x = 1.

A. m = 2 B. m = 3 C. m = − 1 D. m = 0 3 2 2 Câu 6. Tìm m để hàm số y = mx − ( m + 1) x + 2 x − 3 đạt cực tiểu tại x = 1 .

3 3 B. m = − C. m = 0 D. m = −1 2 2 Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 − 2mx 2 + m 2 x + 2 đạt cực tiểu tại

A. m =

x = l.

A. m = 1

B. m = 3

C. m = 1 ∨ m = 3 D. m = −1 1 3 Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x − mx 2 + ( m 2 − 4 ) x + 3 đạt cực đại tại 3 x = 3.

A. m = −1 B. m = −7 C. m = 5 D. m = 1 Câu 9. (THPTQG – Mã 101- năm 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 2 ) x 5 − m 2 − 4 x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0 ?

(

)

A. 3 B. 5 C. 4 D. Vô số Câu 10. (THPTQG – Mã 102 - năm 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + (m − 1) x5 − (m2 −1) x4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 3 B. 2 C. Vô số D. 1 Trang 27

Câu 11. (THPTQG – Mã 103- năm 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 4 ) x5 − ( m 2 − 16 ) x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0 .

A. 8 B. Vô số C. 7 D. 9 Câu 12. (THPTQG – Mã 104- năm 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 3) x 5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0 ?

A. 4 B. 7 C. 6 D. Vô số Câu 13. (THPTQG – Mã 106- năm 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x12 + (m − 5) x 7 + (m 2 − 25) x 6 + 1 đạt cực đại tại x = 0 ?

A. 8 B. 9 C. Vô số D. 10

DẠNG 6: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA Phương pháp: Sử dụng các điều kiện sau

Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) , (1) Ta có y′ = 3ax 2 + 2bx + c ; ∆′ = b 2 − 3ac Điều kiện để hàm số có điểm cực trị , các điểm cực trị cùng dấu, trái dấu: 2 Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 3ax + 2bx + c = 0 có hai

nghiệm phân biệt ⇔ b 2 − 3ac > 0 .

2 Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình y ' = 3ax + 2bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 .

Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình

∆ = b 2 − 3ac > 0  y ' = 3ax 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm cùng dấu ⇔  . c >0  x1 x2 = 3a  Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu dương khi và chỉ khi phương trình

 ∆ = b 2 − 3ac > 0  c  2 y ' = 3ax + 2bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt ⇔  x1 x2 = >0 .

3a  2b   x1 + x2 = − 3a > 0 2 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm khi và chỉ khi phương trình y ' = 3ax + 2bx + c = 0  ∆ = b 2 − 3ac > 0  c  . có hai nghiệm âm phân biệt ⇔  x1 x2 = >0 3a  2b   x1 + x2 = − 3a < 0 α < x1 < x2  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thỏa mãn x1 < α < x2   x1 < x2 < α Trang 28

 x1 + x2 − 2α > 0  x1 − α > 0 ⇔ 2  x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α > 0  x2 − α > 0

Hai cực trị thỏa mãn α < x1 < x2 ⇔ 

 x1 − α < 0 ⇔ x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 < 0 x 0 − α >  2

Hai cực trị thỏa mãn x1 < α < x2 ⇔ 

 x1 − α < 0  x1 + x2 − 2α < 0 ⇔ 2  x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α > 0  x2 − α < 0

Hai cực trị thỏa mãn x1 < x2 < α ⇔ 

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

Trong trường hợp ∆′ > 0 , gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y 2 ) là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) , trong đó x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình y′ = 0 .

Ta có f ( x ) = ( mx + n ). f ' ( x ) + r ( x ) , với r ( x ) là nhị thức bậc nhất.  y1 = f ( x1 ) = r ( x1 ) ⇒ .  y2 = f ( x2 ) = r ( x2 )

Suy ra tọa độ A, B thỏa mãn phương trình y = r ( x ) .

Do đó phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị A, B là y = r ( x ) .

Công thức tính nhanh: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, (nếu có) của đồ 2∆ ' 9ad − bc x+ thị hàm số ( 1 ) là : y = r ( x ) = − 9a 9a Cách dùng MTCT

x b  - Nhập biểu thức ax3 + bx 2 + cx + d − 3ax 2 + 2bx + c  +   3 9a 

(

)

- Cho x = i ta được kết quả Ai + B . Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y = Ax + B .

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y =

1 3 x + x 2 + mx + 2017 có cực trị.

3

A. m ∈ ( −∞;1] .

B. m ∈ ( −∞;1) .

C. m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 0;1) .

D. m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 0;1] .

Lời giải

Ta có y′ = x 2 + 2 x + m .

Hàm bậc ba có cực trị khi và chỉ khi y′ có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆′ = 1 − m > 0 ⇔ m < 1 .

Ví dụ 2. Tìm các số thực m để hàm số y = ( m − 2 ) x 3 + 3x 2 + mx − 5 có cực trị. m ≠ 2 A.  .  −3 < m < 1

B. −3 < m < 1.

Trang 29

 m < −3 C.  . 1 < m

D. −2 < m < 1.

Lời giải 3

2

y = f ( x ) = ( m − 2 ) x + 3x + mx − 5 TXĐ: D = ℝ . y′ = 3 ( m − 2 ) x 2 + 6 x + m .

1 TH1: Xét m= 2 , y ′ = 6 x + 2 , y ′ = 0 ⇔ x = − .

3 Phương trình y′ = 0 có nghiệm đơn ⇒ y = f ( x ) có một cực trị, nên m= 2 nhận.

TH2: m≠ 2 thì y ′ = f / ( x ) là hàm số bậc hai.

y = f ( x ) = ( m − 2 ) x3 + 3x 2 + mx − 5 có cực trị ⇔ y′ = 0 có

2

nghiêm phân biệt.

m − 2 ≠ 0 m ≠ 2 m ≠ 2 ⇔ ⇔ . ⇔ 2 ∆′ = 9 − 3m ( m − 2 ) > 0  −1 < m < 3  − 3m + 6 m + 9 > 0 Vậy −1 < m < 3 .

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx − 1 không có cực trị.

A. m > 3 .

B. m ≥ 3 .

C. m < 3 .

D. m ≤ 3 .

Lời giải 3 2 y = f ( x ) = x + 3x + mx − 1

TXĐ: D = ℝ . y′ = 3 x 2 + 6 x + m , ∆′ = 9 − 3m .

Hàm số y = f ( x ) không có cực trị ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ m ≥ 3 .

Vậy m ≥ 3 thỏa yêu cầu bài.

Ví dụ 4. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx3 − 2mx2 + ( m − 2 ) x + 1 không có cực trị.

A. m∈ [ −6;0 ) .

B. m∈[ 0; +∞) .

C. m∈ [ −6;0] .

D. m∈ ( −∞; −6 ) ∪ ( 0; +∞ ) .

Lời giải

Tập xác định: D = R .

TH1: Với m = 0 Ta có y = −2 x + 1 ⇒ y ′ = −2 < 0, ∀ x ∈ ℝ ⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ nên không có cực trị.

Vậy m = 0 thỏa mãn.

TH2: Với m ≠ 0 : Ta có y′ = 3mx 2 − 4mx + ( m − 2 ) ; y′ = 0 ⇔ 3mx 2 − 4mx + ( m − 2 ) = 0 (*) .

3 2 Hàm số y = mx − 2mx + ( m − 2) x + 1 không có cực trị khi và chỉ khi phương trình 2

y ′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆′(*) = ( −2m ) − ( 3m )( m − 2 ) ≤ 0 ⇔ m 2 + 6 m ≤ 0 ⇔ − 6 ≤ m ≤ 0 . Vậy m∈ [ −6;0 ) .

Kết hợp 2 trường hợp ta có m∈ [ −6;0] .

Trang 30

Ví dụ 5. Biết m0 là giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx − 1 có hai điểm cực trị

x1 , x2 sao cho x12 + x22 − x1 x2 = 13 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. m0 ∈ ( −7; −1) .

B. m0 ∈ ( −15; −7 ) .

C. m0 ∈ ( −1; −7 ) .

D. m0 ∈ ( 7;10 ) .

Lời giải

Tập xác định: D = R .

Ta có y′ = 3 x 2 − 6 x + m .

Hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi ∆′ > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3 .

Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2, x1 x2 =

m .

3

2

Suy ra: x12 + x22 − x1 x2 = 13 ⇔ ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 = 13 ⇔ 4 − 3.

m = 13 ⇔ m = −9 (nhận).

3

Ví dụ 6. Đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 − 2 x + m đi qua điểm M ( −3; 7 ) khi m bằng bao nhiêu?

A. m = 1 .

B. m = −1.

C. m = 3 .

D. m = 0 .

Lời giải

Tập xác định: D = ℝ . y′ = 3 x 2 − 2 .

1  4  x. y′ +  − x + m  3 3   Suy ra đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình là 4 y = − x + m Đường thẳng này đi qua điểm M ( − 3; 7 ) khi và chỉ khi 3 4 7 = − . ( −3 ) + m ⇔ m = 3 .

3 Ví dụ 7. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m 2 − 2 có đồ thị ( C ) và điểm C (1; 4 ) . Tính tổng các giá y = x3 − 2 x + m =

trị nguyên dương của m để ( C ) có hai điểm cực trị A , B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4.

A. 6 .

B. 5 .

C. 3 .

D. 4

Lời giải

Tập xác định: D = R . x = 0 Ta có y ' = 3 x 2 − 6mx = 0 ⇔   x = 2m Đồ thị ( C ) có hai điểm cực trị ⇔ 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 .

Khi đó A ( 0; 4m 2 − 2 ) , B ( 2m; −4m3 + 4m 2 − 2 ) ⇒ AB = 4m 2 + 16m6 = 2 m 4m 4 + 1 Trang 31

Phương trình đường thẳng AB là:

d ( C , AB ) =

2m 2 + 4 − 4m 2 + 2 4m 4 + 1

=

y − ( 4m 2 − 2 ) x−0 = ⇔ 2m 2 x + y − 4m 2 + 2 = 0 .

2m − 0 −4m3

2 m2 − 3 4m 4 + 1

.

Diện tích tam giác ABC là 2

2 m −3 1 1 S = . AB.d ( C , AB ) = 4 ⇔ .2 m . 4m 4 + 1. =4.

2 2 4m 4 + 1 2  m = ±1 ⇔ m ( m 2 − 3) = 2 ⇔ m6 − 6m 4 + 9m 2 − 4 = 0 ⇔ ( m 2 − 1) ( m 2 − 4 ) = 0 ⇔  .  m = ±2 Cách khác

Ta có AC (1; 6 − 4m 2 ) , AB ( 2m; −4m3 )

1 Khi đó S ABC = 4 ⇔ . 1. ( −4m3 ) − 2m ( 6 − 4m 2 ) = 4 ⇔ 2m3 − 6m = 4 ⇔ m3 − 3m = 2 2 Ví dụ 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M ( 2 m 3 ; m ) tạo với hai điểm cực

đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2 x3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + 6m ( m + 1) x + 1 một tam giác có

diện tích nhỏ nhất.

A. m = 2 .

B. m = 0 .

C. m = −1.

D. m = 1.

Lời giải

Tập xác định: D = R . y′ = 6 x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) . x = m y ′ = 0 ⇔ 6 ( x − m )( x − m − 1) = 0 ⇔  x = m +1

⇒ y = 2m 3 + 3m 2 + 1 ⇒ y = 2m 3 + 3m 2

.

Đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị: A ( m; 2 m 3 + 3m 2 + 1) và B ( m + 1; 2 m 3 + 3m 2 ) .

Ta có MA ( m − 2 m 3 ; 2 m 3 + 3m 2 − m + 1) , MB ( m + 1 − 2 m 3 ; 2 m 3 + 3m 2 − m ) 1 m − 2m 3 )( 2m 3 + 3m 2 − m ) − ( 2 m 3 + 3m 2 − m + 1)( m + 1 − 2m 3 ) ( 2 1 1 = ( 3m 2 + 1) ≥ .

2 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của S MAB là , đạt khi m = 0 .

2 S MAB =

Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hàm số y = x3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + (12m + 5 ) x + 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số không có cực trị: −1 −1 1 A. m < 6 B. m > 6 C. m ≥ D. ≤m≤ 6 6 6 1 Câu 2. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + ( 2m − 1) x − 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai?

3 Trang 32

A. ∀m ≠ 1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu; B. ∀m < 1 thì hàm số có hai điểm cực trị; C. ∀m > 1 thì hàm số có cực trị; D. Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

Câu 3. Hàm số y = x3 − mx + 1 có 2 cực trị khi: A. m > 0 B. m < 0 C. m = 0 D. m ≠ 0 1 2 3 2 Câu 4. Cho hàm số y = ( m − 1) x + ( m + 1) x + 3 x + 5 .Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị 3 m ≠ 1 m ≠ 0 m ≠ −1  m ≠ ±1 A.  B.  C.  D . −1 < m < 2  −2 < m < 1 −2 < m < 0 −2 < m < 2 1 Câu 5. Cho hàm số y = ( m 2 − 1) x 3 + ( m + 1) x 2 + 3 x + 5 .Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị 3 m ≠ 1 m ≠ 0 m ≠ −1 m ≠ ±1 A.  B.  D C.  −1 < m < 2  −2 < m < 1 −2 < m < 0  −2 < m < 2 Câu 6.

Điều kiện của tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx − 1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 6 là

A. m = 3 .

B. m = −1.

C. m = 1.

D. m = −3 .

1 Câu 7. Cho hàm số y = mx 3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 2018 với m là tham số. Tổng bình 3 phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 + 2 x2 = 1 bằng 40 22 25 8 A. .

B. .

C. .

D. .

9 9 4 3 Câu 8. Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 27 x + 3m − 2 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 ≤ 5 . Biết

S = ( a; b ] . Tính T = 2b − a .

A. T = 51 + 6

B. T = 61 + 3

C. T = 61 − 3

D. T = 51 − 6

1 3 x − ax 2 − 3ax + 4 với a là tham số. Biết a 0 là giá trị của tham số a để 3 đã cho đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa mãn

Câu 9. Cho hàm số y =

hàm

số

x12 + 2ax2 + 9a a2 + = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a2 x2 2 + 2ax1 + 9a A. a0 ∈ ( −10; −7 )

B. a0 ∈ ( 7;10 )

C. a0 ∈ ( −7; −3)

D. a0 ∈ (1;7 )

Câu 10. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = ( 2 m − 1) x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 .

A. m =

3 2

B. m =

3 4

C. m = −

1 2

D. m =

1 4

Câu 11. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2 x 3 + 3 ( m − 3) x 2 + 11 − 3m có hai điểm cực trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C ( 0; −1) thẳng hàng .

A. m = 4.

B. m = 1.

C. m = −3.

Trang 33

D. m = 2.

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 6mx có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng : y = x+2.  m = −3  m = −2 m = 0 m = 0 A.  B.  C.  D.  . . . . m = 2 m = 3 m = 2  m = −3 Câu 13. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = 2 x 3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6m (1 − 2m ) x có

điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trên đường thẳng có phương trình: y = −4 x ( d ) .  1  1  C. m ∈ 0; ; 1 .

D. m ∈   .  2  2 3 2 Câu 14. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x + mx + 7 x + 3 có đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu vuông góc với đường thẳng có phương trình : y = 3x .

A. m ∈ {1} .

B. m ∈ {0;1} .

m = 0 47 B.  C. m = 2.

D. m = ± . .

2 m = 1 Câu 15. Cho hàm số y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + m . Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B đồng thời A, B cùng với gốc tọa độ O không thẳng hàng. Khi đó chu vi ∆OAB nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?

A. 10 − 2 .

B. 10 + 2 .

C. 20 − 10 .

D. 3 + 2 .

Câu 16. Tính theo m khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu ( nếu có) của đồ thị hàm 1 số: y = x 3 − mx 2 − x + m + 1 .

3 2 4 A. B. m 2 + 1)( 4 m 4 + 5m 2 + 9 ) .

2 m 2 + 1)( 4 m 4 + 8m 2 + 13 ). ( ( 3 9 2 2 4 2 C. D. ( 4m 2 + 4 )( 4m 4 + 8m 2 + 10 ) . m + 1)( 4 m + 8m + 13 ) . ( 3 Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = − x3 + 3mx + 1 có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( với O là gốc tọa độ ).

A. m = ±

A. m =

3 .

2

45 .

2

1 2

B. m = − .

C. m = 1.

D. m =

1 .

2

Câu 18. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = − x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O.  m = −1  6  m = ± A. m = 1.

B. .

C. D. m = ±1.

2 . m = 6    m = ±1 2 Câu 19. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình: y = x − 1 ( d ) .

m = 0 9 A. m = 0.

B.  .

C. m = 2.

D. m = − . m = − 9 2  2 Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = − x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O .

Trang 34

1 2

A. m = ± .

B. m =

1 .

2

C. m = −1.

D. m = ±1.

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 12mx − 3m + 4 

9





(C ) có hai điểm cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C  −1; −  lập 2

thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.

A. m =

1 .

2

1 2

C. m = 2.

B. m = −2.

D. m = − .

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị

hàm số: y = x 3 − 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I (1;1) bán kính bằng 1 tại 2 điểm A, B mà diện tích tam giác IAB lớn nhất .

A. m = 1 ±

2 .

2

B. m = 1 ±

3 .

2

C. m = 1 ±

5 .

2

D. m = 1 ±

6 .

2

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 .

A. m = 2 hoặc m = 0 .

B. m = 2.

C. m = −2.

D. m = ±2.

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4m3 có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d ) : y = x .

2 2 .

D. m = ± .

2 2 Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + m A. m =

2 .

2

B. m = −

2 .

2

C. m = 0 hoặc m =

có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.

A. m = −3 − 2 2 hoặc m = −1.

B. m = −3 + 2 2 hoặc m = −1.

C. m = −3 + 2 2 hoặc m = −3 − 2 2 .

D. m = −3 + 2 2.

Câu 26. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = mx3 − 3mx 2 + 3m − 3 có

hai điểm cực trị A, B sao cho 2 AB 2 − (OA2 + OB 2 ) = 20 ( Trong đó O là gốc tọa độ).

A. m = −1.

B. m = 1.

C. m = −1 hoặc m = −

17 17 . D. m = 1 hoặc m = − .

11 11

Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − 3 x + m có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.

A. −2 < m < 2.

B. m ∈ {−2; 2} .

C. m < −2 hoặc m > 2.

D. m ∈ ℝ.

Trang 35

DẠNG 7: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG Phương pháp: Sử dụng một số điều kiện sau 4 2 Cho hàm số: y = ax + bx + c ( a ≠ 0) có đồ thị là ( C ) .

Ta có y′ = 4ax3 + 2bx

Đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị khi y ′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ ab < 0 .

  b ∆ b ∆ Khi đó ba điểm cực trị là: A ( 0; c ) , B  − − ; −  , C  − ; −  với ∆ = b 2 − 4ac 2a 4a  2a 4a    Độ dài các đoạn thẳng: AB = AC =

b4 b b − , BC = 2 − và tam giác ABC luôn là tam 2 16a 2a 2a

1 y B − y A . xC − xB 2 Các điều kiện về cực trị của hàm số

giác cân tại A và S ∆ABC =

 a = 0, b ≠ 0 Hàm số có đúng một cực trị ⇔  b . − ≤0  2a  a = 0  b < 0 Hàm số có đúng một cực đại ⇔  . a < 0   b ≤ 0  a = 0  b > 0 Hàm số có đúng một cực tiểu ⇔  .  a > 0   b ≥ 0 a > 0 Hàm số có một cực đại, hai cực tiểu ⇔  . b < 0 a < 0 . b > 0

Hàm số có một cực tiểu, hai cực đại ⇔ 

Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện Công thức thỏa ab < 0

STT Dữ kiện 1 Tam giác ABC vuông cân tại A Tam giác ABC đều 2

8a + b 3 = 0 24a + b3 = 0 α 8a =− 3 2 b

3

=α Tam giác ABC có góc BAC

tan

4

Tam giác ABC có diện tích S ∆ABC = S 0 , diện tích max (S 0 )

S= −

5

Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành

b 2 − 8ac = 0

Trang 36

b5 32a 3

r0 =

b2  b3 a 1 + 1 −  a 

  

6

Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r∆ABC = r0

7

Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m 0

a.m02 + 2b = 0

8

Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n 0

16a 2 n02 − b 4 + 8ab = 0

9

Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox

10

Tam giác ABC có 3 góc nhọn

11

Tam giác ABC có trọng tâm là gốc O

12

Tam giác ABC có trực tâm là gốc O

b 2 − 4ac = 0 b(8a + b3 ) > 0 b 2 − 6ac = 0 b 3 + 8a − 4 ac = 0

Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp 13

R=

R∆ABC = R0

b 3 − 8a 8ab

14

Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi

15

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp

b3 − 8a − 4abc = 0

16

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp

b3 − 8a − 8abc = 0

17

Tam giác ABC có cạnh BC = k .AB = k .AC

b 2 − 2ac = 0

b 3 .k 2 − 8a (k 2 − 4) = 0

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 4 − 8 x 2 + 10 . Tính diện tích của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

A. S = 16 .

B. S = 64

C. S = 32

D. S = 8

Lời giải

Tập xác định: D = R .

x = 0 3 Ta có y′ = 4x −16x ; y ′ = 0 ⇔  .  x = ±2 Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị . Không mất tính tổng quát, giả sử ba điểm cực trị là: A ( 0;10 ) , B ( 2; −6 ) , C ( −2; −6 ) .

Do A ∈ Oy và B , C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC cân tại A . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC , khi đó H ( 0; −6 ) ; AH = 16; BC = 4 .

Diện tích tam giác ABC là: S∆ABC =

1 1 AH .BC = .16.4 = 32 .

2 2

Cách khác 5

Sử dụng công thức tính nhanh diện tích ta có: S∆ABC

Trang 37

 b  = a  −  = 32 .

2 a  

Hoặc tính nhanh S ABC =

1 1 −6 − 10 . −2 − 2 = 16.4 = 32 2 2

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 2 x 4 − ( m + 1) x 2 + 4 có ba điểm

cực trị.

A.

m ≥ −1 .

B. m < −1

C. m > −1

D. m ≤ −1

Lời giải

Tập xác định: D = R .

Ta có y′ = 8 x 3 − 2 ( m + 1) x . x = 0 y′ = 0 ⇔  ( m + 1) 1 . x = ()  4

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔

( m + 1) > 0 ⇔ m > −1.

4

Cách khác: ( Dùng cho trắc nghiệm)

Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi ab < 0 ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1 .

Ví dụ 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2018;2019] để hàm

số y = mx4 + ( m + 1) x2 + 1 có đúng một điểm cực đại?

A. 0.

B. 2018.

C. 1.

D. 2019.

Lời giải

Tập xác định: D = R .

TH1: Nếu m = 0 thì hàm số trở thành y = x 2 + 1. Hàm số có 1 điểm cực tiểu ⇒ m = 0 không thỏa mãn.

4 2 TH2: Nếu m ≠ 0 . Hàm số y = mx + ( m + 1) x + 1 là hàm số bậc 4 trùng phương có đúng

một điểm cực đại ⇔ Hàm số chỉ có 1 cực trị và điểm đó là điểm cực đại a < 0 m < 0 m < 0   ⇔   ab > 0 ⇔   m + 1 < 0 ⇔  ⇔ m ≤ −1 .  m ≤ −1  b = 0  m + 1 = 0   Kết hợp điều kiện m∈ ℤ và m ∈[ −2018;2019] , m ≠ 0 ⇒ m ∈{−2018; −2017;....; −2; −1} .

Vậy có 2018 giá trị m thỏa mãn.

Ví dụ 4. Có

bao

(

nhiêu

giá

trị

nguyên

của

tham

số

m ∈  −3;3

để

)

y = mx 4 + m 2 − 4 x 2 + 8 có đúng một điểm cực trị.

A. 5.

B. 3.

C. 6.

Lời giải Trang 38

D. 4.

hàm

số

Tập xác định: D = R .

TH 1: Với m = 0 . Ta có y = −4 x 2 + 8 . Hàm số có một điểm cực trị. Do đó m = 0 thỏa mãn.

TH2: Với m ≠ 0 .

(

)

(

)

(

y = mx 4 + m 2 − 4 x 2 + 8 ⇒ y ' = 4mx 3 + 2 m 2 − 4 x = 2 x 2mx 2 + m 2 − 4

)

x = 0 Với m ≠ 0 , y ' = 0 ⇔  2 4 − m 2 x = ( *)  2m Hàm số có đúng một điểm cực trị ⇔ phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 ⇔

4 − m2 ≤0⇔ 2m

−2 ≤ m < 0 .  m ≥ 2

Kết hợp điều kiện m ∈  −3;3 và m ∈ ℤ , suy ra m ∈ {−2; −1; 0; 2;3} .

Vậy có 5 giá trị của tham số m thỏa yêu cầu.

Cách khác: sử dụng công thức tính nhanh

m ≥ 2 Hàm số có một điểm cực trị khi m ( m 2 − 4 ) ≥ 0 ⇔  .  −2 ≤ m ≤ 0 Kết hợp điều kiện m ∈  −3;3 và m ∈ ℤ , suy ra m ∈ {−2; −1; 0; 2;3} .

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm y = x 4 + 2mx 2 − 1 có ba điểm cực trị

tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 là: A. m = 2 .

B. m = ± 2

D. m = − 1

C. m = − 2 Lời giải

Tập xác định: D = R .

Ta có y ' = 4 x3 + 4mx = 4 x ( x 2 + m ) x = 0 y'= 0 ⇔  2  x = −m

(1)

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ − m > 0 ⇔ m < 0

x = 0 Khi đó: y ' = 0 ⇔   x = ± −m Tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A ( 0; −1) ; B

(

− m ; − m 2 − 1 ; C − −m ; −m 2 − 1 ⇒ CB = 2 −m ; 0 ⇒ BC = 2 −m

) (

)

Gọi H là trung điểm BC ⇒ H ( 0; −m 2 − 1) ⇒ AH = m 2 Trang 39

(

)

Theo bài ra: S ABC = 4 2 ⇔

1 AH .BC = 4 2 ⇔ m 2 .2 − m = 8 2 ⇔ m 5 = −25 ⇔ m = −2 .

2

Cách khác: Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện

tích S

2m.1 < 0 ab < 0  ⇔ ⇔  3 2 5 32.13. 4 2 32a S + b = 0 

(

)

2

5

+ ( 2m ) = 0

⇔ m = −2 .

Hoặc sử dụng công thức tính nhanh S ABC = 4 2 ⇔ m 2 .2 − m = 8 2 ⇔ m 5 = − 32 ⇔ m = − 2

Ví dụ 6. Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 2 có đồ thị ( C ) . Để đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị A ,

B , C sao cho bốn điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi ( O là gốc tọa độ) thì giá trị tham số m là A. m = − 2 .

B. m = ±

2 .

2

C. m = ± 2 .

D. m =

2 .

2

Lời giải

Tập xác định: D = R . x = 0 Ta có y′ = 4 x 3 − 4m 2 x ; y′ = 0 ⇔  .

2 x = m Điều kiện để hàm số có ba cực trị là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 . x = 0 Khi đó: y′ = 0 ⇔  .  x = ±m

Tọa độ các điểm cực trị là A ( 0; m 2 ) , B ( m; − m 4 + m 2 ) , C ( m; −m 4 + m 2 ) .

Ta có OA ⊥ BC , nên bốn điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi điều kiện cần và đủ là OA và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn 0 = 0  xA + xO = xB + xC ⇔ ⇔ 2 4 2 4 2  y A + yO = yB + yC m + 0 = ( −m + m ) + ( −m + m )

⇔ 2m4 − m2 = 0 ⇔ m 2 =

2 2 1 ⇔m=± . Vậ y m = ± .

2 2 2

Ví dụ 7. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y = x 4 − 2(1− m 2 ) x 2 + m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất?

1 1 1 A. m = .

B. m = 0 .

C. m = ± .

D. m = .

3 2 2 Lời giải

Tập xác định: D = R . x = 0 Ta có: y ′ = 4 x3 − 4(1− m 2 ) x ; y ′ = 0 ⇔  2 .  x = 1− m 2  Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình y ′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 1 − m 2 > 0 ⇔ −1 < m < 1 .

Trang 40

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là

(

) (

A(0; m + 1), B − 1− m 2 ; −m 4 + 2m 2 + m , C

)

1− m 2 ; −m 4 + 2m 2 + m .

Tam giác ABC cân tại A , gọi H là trung điểm của BC . Khi đó

H (0; −m 4 + 2m 2 + m) .

Ta có: BC = 2 1− m 2 ; AH = m 4 − 2m 2 + 1 ; S ABC =

2 1 BC. AH = 1− m 2 (1− m 2 ) .

2

Diện tích tam giác ABC lớn nhất ⇔ 1− m2 lớn nhất ⇔ m = 0 .

Cách khác Ta có 2 1 S ABC = m 4 − 2m 2 +1 .2 1− m 2 = (m 2 −1) 1− m 2 = 1− m 2 2

(

5

)

Do đó, diện tích tam giác ABC lớn nhất ⇔ 1− m2 lớn nhất ⇔ m = 0 .

Ví dụ 8. Tính tổng S tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

y = x4 − 2mx 2 + 1 có ba điểm cực trị, đồng thời đường tròn đi qua ba điểm đó có bán kính bằng 1 .

A. S =

−1 + 5 .

2

B. S =

1+ 5 .

2

C. S = 0 .

D. S = 1 .

Lời giải

Tập xác định: D = R .

Ta có x = 0

y′ = 4 x3 − 4mx = 4x ( x 2 − m) , y′ = 0 ⇔ 

2 x = m

.

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0 . Khi đó, tọa độ các điểm cực trị

lần lượt là: A ( 0;1) , B ( − m ;1 − m 2 ) , C ( m ;1 − m 2 ) .

Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy nên AB = AC .

Trang 41

AB 2 m + m 4 m3 + 1 AC AB = = = Trong tam giác ABC ta có . = AH m2 m sin B sin B Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 1 nên

m3 + 1 =2 m

m = 1 ⇔ m − 2m + 1 = 0 ⇔ ( m −1) ( m + m −1) = 0 ⇔  .  m = −1 ± 5  2 2

3

Kết hợp điều kiện m > 0 được m = 1 và m =

Vậy tổng S =

−1 + 5 .

2

1+ 5 .

2

Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hàm số y = x 4 + ax 2 + b . biết rằng đồ thị hàm số nhận điểm A ( −1; 4 ) là điểm cực

tiểu. Tổng 2a + b bằng: A. − 1 .

B. 1.

C. 2.

D. 0.

4 2 Câu 2. Cho hàm số y = ( m + 1) x − ( m − 1) x + 1 . Số các giá trị nguyên của m để hàm số có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu là: A. 1 .

B. 0 .

C. 3 .

D. 2 .

Câu 3. Hàm số y = mx 4 + ( m + 3) x 2 + 2m − 1 chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi A. m > 3 B. m ≤ 0 C. −3 < m < 0 D. m ≤ −3 4 2 Câu 4. Hàm số y = mx + ( m + 3) x + 2m − 1 chỉ đạt cực tiểu mà không có cực đại khi

m > 0 C.   m ≤ −3 4 2 Câu 5. Giá trị của m để hàm số y = mx + 2 x −1 có ba điểm cực trị là: A. m < 0 B. m ≠ 0 C. m > 0 A. m ≤ −3

B. m ≥ 0

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =

có cực đại.

A. m ≤ 0

B. m = −1

D. −3 ≤ m < 0

D. m ≤ 0

1 4 3 x − mx 2 + có cực tiểu mà không 2 2

C. m ≥ 1

D. m ≥ 0

Câu 7. Cho hàm số y = mx 4 + ( m 2 − 9 ) x 2 + 10 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

 m < −3 A.  B. 0 < m < 3 Câu 8. Có tất cả bao nhiêu

m < 0 1 < m < 3 

m < 3 C.   −1 < m < 0 giá trị nguyên của m trên miền

 m < −1 D.  0 < m < 2 [−10;10] để hàm số

y = x4 − 2(2m +1) x2 + 7 có ba điểm cực trị?.

A. 20 .

B. 10 .

C. Vô số.

D. 11 .

4 2 Câu 9. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x + 2 ( m − m − 6 ) x 2 + m − 1 có 3 điểm cực trị.

A. 6 .

B. 5 .

C. 4 .

Trang 42

D. 3 .

Câu 10. Tìm các giá trị của m để hàm số y = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 − 3 + m có đúng một điểm cực trị.

A. m ≥ 1 .

B. m ≤ 1 .

C. m > 1 .

D. m < 1 .

4 Câu 11. Xác định các hệ số a, b, c của đồ thị của hàm số y = ax + bx 2 + c biết

A (1; 4 ) , B ( 0;3) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số?

1 B. a = − ; b = 3; c = −3 .

4 D. a = −1; b = 2; c = 3 .

A. a = 1; b = 0; c = 3 .

C. a = 1; b = 3; c = −3

4 2 Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx + (m −1) x +1− 2m chỉ có một cực trị.

A. m ≥ 1.

B. m ≤ 0.

C. 0 ≤ m ≤ 1.

D. m ≤ 0 hoặc m ≥ 1.

4 2 Câu 13. Tập hợp các số thực m thỏa mãn hàm số y = mx − x + 1 có đúng một điểm cực trị là A. ( −∞; 0 ) .

B. ( −∞; 0 ] .

C. ( 0; +∞ ) .

D. [ 0; +∞ ) .

Câu 14. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = mx 4 + 2 x 2 − 10 có ba điểm cực trị.

A. m = 0.

B. m ≠ 0.

C. m > 0.

D. m < 0.

4 2 Câu 15. Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số y = ( m −1) x + ( 6 − m) x + m có đúng 1 cực trị?

A. 5 .

B. 1.

C. 6 .

D. 0 .

4 2 Câu 16. Hàm số y = x − mx + 1 có ba cực trị khi và chỉ khi A. m < 0 .

B. m ≤ 0 .

C. m ≥ 0 .

D. m > 0 .

4 2 2 Câu 17. Cho hàm số y = x − 2( m + 2) x + 3( m + 1) . Đồ thị của hàm số trên có ba cực trị tạo thành tam giác đều. Tìm mệnh đề đúng.

A. m ∈ ( 0;1) .

B. m ∈ ( −2; −1) .

C. m ∈ (1; 2 ) .

D. m ∈ ( −1;0 ) Câu 18. Hàm số y = x 4 + mx 2 − m − 5 ( m là tham số) có 3 điểm cực trị khi các giá trị của m là A. 4 < m < 5.

B. m < 0.

C. m > 8 .

D. m = 1.

2 4 2 Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = ( m − 1) x + mx + m − 2 chỉ có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

A. −1,5 < m ≤ 0 .

B. m ≤ −1 .

C. −1 ≤ m ≤ 0 .

D. −1 < m < 0,5 .

3 7 Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 4 − 2mx 2 + có cực tiểu mà 2 3 không có cực đại.

A. m ≥ 0 .

B. m ≤ 0 .

C. m ≥ 1 .

D. m = − 1 .

(

)

Câu 21. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = mx4 + m2 − 9 x2 + 10 có 3 cực trị A. m ∈ ( 0; 3 ) .

B. m ∈ ( 3; +∞ ) .

C. m ∈ ( −∞; −3 ) ∪ ( 0; 3) .

D. m ∈ ( −3; 0 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

Câu 22. Có

bao

nhiêu

(

giá

trị

nguyên

của

tham

số

m ∈  −3;3

để

hàm

số

)

y = mx 4 + m 2 − 4 x 2 + 8 có đúng một điểm cực trị.

A. 5.

B. 3.

C. 6.

D. 4.

4 2 Câu 23. Cho hàm số y = f ( x) = x − 2(m − 1) x + 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.

A. m = −1 .

B. m = 0 .

C. m = 1 .

D. m = 2 .

Trang 43

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x 4 − 2 mx 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 .

A. 0 < m < 3 4

B. m < 1 .

C. 0 < m < 1

D. m > 0

Câu 25. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 − 2m 2 + m 4 có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C và ABDC là hình thoi, trong đó D ( 0; −3) , A thuộc trục tung. Khi đó m thuộc khoảng nào?

1 9   1 9 A. m ∈  ; 2  .

B. m ∈  −1;  .

C. m ∈ ( 2;3 ) . D. m ∈  ;  .

2 5   2 5 Câu 26. Biết rằng đồ thị hàm số: y = x 4 − 2mx 2 + 2 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. Tính giá trị của biểu thức P = m 2 + 2 m + 1 .

A. P = 1 B. P = 5 C. P = 0 D. P = 2.

Câu 27. Cho hàm số f ( x ) = mx 4 − ( m + 1) x 2 + ( m + 1) . Tập hợp tất cả các giá trị thực của

tham số m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm trên các trục tọa độ là 1  1 1    1 A.  −1;  .

B. [ −1; 0] ∪   .

C. 0;  ∪ {−1} .

D. 0; −1;  .

3  3 3  3  Câu 28. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx 2 + 1 có ba điểm cực trị A ( 0; 1) , B , C thỏa mãn

BC = 4?

A. m = 2 .

B. m = 4 .

C. m = ±4 .

D. m = ± 2 .

Câu 29. Cho hàm số y = ( m + 1) x 4 − ( m − 1) x 2 + 1 . Số các giá trị nguyên của m để hàm số có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu là: B. 0 .

C. 3 .

D. 2 .

A. 1 .

4 2 Câu 30. Cho hàm số y = x − 2mx + 1 − m. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm.

A. m = 0 .

B. m = 2 C. m = 1 .

D. Không tồn tại m Câu 31. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 4 + 2 có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

1   1 A. S = − ; 0; .

2  2

 1 1  B. S = − ; .  2 2

C. S = {−1;1}

 1 1  D. S = − ;   3 3

Câu 32. Tìm số thực để đồ thị hàm số y = x 4 − 2kx 2 + k có ba điểm cực trị tạo thành một tam  1 giác nhận điểm G  0;  làm trọng tâm?  3 1 1 1 1 A. k = 1; k = B. k = −1; k = C. k = ; k = 1 D. k = −1; k = 3 2 2 3 Câu 33. Cho hàm số y = x 4 − 2 mx 2 + m. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số trên có 3 điểm cực trị A, B, C ( A ∈ Oy ) sao cho bốn điểm O, B, A, C là bốn đỉnh của một hình thoi: A. 1

B. 0

C. 2 Trang 44

D.

1 2

Câu 34. Hàm số y = x 4 − 2 mx 2 + m có ba điểm cực trị và đường tròn đi quaa ba điểm cực trị này có bán kính bằng 1 thìì giá trị của m là −1 ± 5 −1 + 5 −1 + 5 −1 − 5 A. m = 1; m = . B. m = −1; m = C. m = 1; m = .D. m = 1; m = 2 2 2 2

DẠNG 8: CỰC TRỊ CỦA HÀM ÀM SỐ S CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT T ĐỐI ĐỐ y = f ( x ) ,

y= f ( x) Phương pháp:

Đối với các hàm số đaa th thức có tập xác định là D = R , ta sử dụng các nhận xét sau: Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số

y = f ( x ) và số lần đổi dấu của hàm số f ( x ) .

( ) bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm

Số điểm cực trị của hàm số y = f x

số y = f ( x ) cộng với 1.

Chú ý

y = ax3 + bx 2 + cx + d Hàm số có 5 điểm cực trị khi phương

♦ Đối với hàm số

.

trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt. ♦ Số cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x + a ) , y = f ( x ) + a bằng số cực trị của đồ thị

hàm số y = f ( x ) .

Ví dụ 1. Hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 3 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6 .

B. 5 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải 4

2

Xét y = x − 2 x − 3 Tập xác định: D = R .

 x = 0 ⇒ y = −3

3 Ta có y ′ = 0 ⇔ 4 x − 4 x = 0 ⇔   x = ±1 ⇒ y = −4

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số ( C ′ ) : y = f ( x ) nhận được gồm 2 phần:

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành của ( C ) : y = f ( x ) Trang 45

Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của ( C ) qua Ox và bỏ đi phần đồ thị phía dưới trục hoành của ( C ) .

Do đó dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta thấy hàm số y = f ( x ) có 5 điểm cực trị.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 3 − 3 x . Tìm số điểm cực trị của hàm số.

B. 5 .

A. 4 .

D. 6 .

C. 2 .

Lời giải

Đặt f ( x ) = x3 − 3x , tập xác định D = ℝ .

x =1 Ta có: f ′ ( x ) = 3x2 − 3 , f ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔  .  x = −1 x = 0  Xét f ( x ) = 0 ⇔ x 3 − 3 x = 0 ⇔  x = − 3 . x = 3 

Bảng biến thiên x f '(x)

+

f (x)

f (x)

3

∞

1

0

0 2

1 0

3 +

+∞ +∞

0

0

0 2

∞ +∞

2

2

0

0

+∞

0

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số y = f ( x ) có 5 điểm cực trị.

Ví dụ 3. Cho hàm số y = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 + 2m − 3 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị.  3 A. m ∈  1;  .  2

 3 B. m ∈  1;  .  2

Lời giải Đặt f ( x ) = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 + 2m − 3 .

Tập xác định: D = R .

f ′ ( x ) = 4 x 3 − 4 ( m − 1) x .

Trang 46

C. m > 1 .

D. m ≤

3 .

2

x = 0 f ′( x ) = 0 ⇔  2 . x = m −1

Vì hàm số f ( x ) có tập xác định D = R v a = 1 > 0 nên hàm số y = f ( x ) có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f ( x) phải có 3 cực trị thỏa mãn yCÑ

m > 1 m > 1  3  m − 1 > 0 ⇔ ⇔ ≤0⇔ 3 ⇔ m ∈  1;  .  2 2 m − 3 ≤ 0  f ( 0 ) ≤ 0 m ≤ 2 

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức có f ( −2) < 0 và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như

hình vẽ bên dưới.

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) = f ( x ) .

A. 4 .

B. 5 .

C. 2 .

Lời giải

Vì y = f ( x ) là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ .

Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và f ( −2) < 0 , ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số g ( x ) = f ( x ) có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau :

Trang 47

D. 3 .

∞

x f '(x)

+

2

4

0 6

0

+∞ + +∞

f (x) 2

∞ Hàm số y = f ( x − 3 ) có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 3 .

A. 4 .

D. 5 .

C. 6 .

Lời giải

Xét hàm số y = g ( x ) = f ( x − 3 ) .

Tập xác định D = ℝ .

x −3 f ′( x − 3 ) .

Ta có g ′ ( x ) =  f ( x − 3 ) ′ = ( x − 3 )′ . f ′ ( x − 3 ) = x −3 Có g ′ ( x ) không xác định tại x = 3 .  x − 3 = −2 x = 7 ⇔ . g′( x) = 0 ⇔ f ′( x − 3 ) = 0 ⇔   x = −1  x − 3 = 4

Bảng biến thiên:

x

∞

g'(x)

1 0

+∞

3

0

+

+∞

7 +

+∞

CĐ

g(x) CT

CT

Dựa vào BBT ta thấy hàm số y = f ( x − 3 ) có 3 điểm cực trị.

Nhận xét: Số cực trị của hàm số y = f ( x − 3 ) bằng số cực trị của hàm số y = f ( x ) .

Do hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị và phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm nên hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị . Do đó, hàm số y = f ( x − 3 ) có ba điểm cực trị.

Ví dụ 6. Cho hàm số y = f ( x ) = x3 − ( 2m − 1) x 2 + ( 2 − m ) x + 2 . Tập tất cả các giá trị của m để a  đồ thị hàm số y = f ( x ) có 5 điểm cực trị là  ; c  với a , b , c là các số nguyên và b  a là phân số tối giản. Tính T = a + b + c . b A. T = 11 .

B. T = 12 .

C. T = 9 .

D. T = 10 .

Lời giải Trang 48

Xét hàm số y = f x = x3 − 2m − 1 x2 + 2 − m x + 2 . Tập xác định D = ℝ . ( ) ( ) ( ) Ta có f ′ ( x ) = 3x2 − 2 ( 2m − 1) x + ( 2 − m ) . Đồ thị hàm số y = f ( x ) có 5 điểm cực trị

⇔ y = f ( x ) = x3 − ( 2m − 1) x2 + ( 2 − m ) x + 2 có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung

⇔ f ′( x) = 0

có

2

nghiệm

dương

phân

biệt

  m < −1 ( 2m − 1)2 − 3 ( 2 − m ) > 0 2    ∆′ > 0 4m − m − 5 > 0 m > 5 5    ⇔  ⇔  S > 0 ⇔  2m − 1 > 0 ⇔ 1 4 ⇔ <m<2.

4 P > 0 2 − m > 0  <m<2 1 2    <m<2 2

a  5  ⇒  ; c  =  ; 2  ⇒ a = 5, b = 4, c = 2 . Vậy a + b + c = 11 . b  4  Ví dụ 7. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Xét hàm số y = g ( x ) = f ( x − 4 ) + 2018 2019 . Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) .

A. 9 .

B. 5 .

C. 8 .

Lời giải

Xét hàm số y = g ( x ) = f ( x − 4 ) + 20182019 .

Tập xác định: D = R .

x−4 f ′( x − 4 ) .

Ta có g ′ ( x ) =  f ( x − 4 ) ′ = ( x − 4 )′ . f ′ ( x − 4 ) = x−4 Ta có: g′ ( x ) không xác định tại điểm x = 4 .

 x−4   x−4 Có g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x − 4 ) = 0 ⇔   x−4  x−4 

= −2

x = 9  x = −1 = −1 . ⇔ x = 7 =3  x =1 =5

Bảng biến thiên:

Trang 49

D. 6 .

Do đó hàm số y = g ( x ) có 5 cực trị.

Ví dụ 8. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: x

1

3

0 2020

0

∞

f '(x)

+

+∞ + +∞

f (x) 2020

∞

Đồ thị hàm số y = f ( x − 2020) + 2021 có bao nhiêu cực trị?

A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .

Lời giải

Xét hàm số y = g ( x ) = f ( x − 2020) + 2021 , tập xác định D = ℝ .

Có g ′ ( x ) =  f ( x − 2020 ) + 2021′ = f ′ ( x − 2020 ) .

 x − 2020 = −1  x = 2019 Có g ′ ( x ) = 0 ⇔  ⇔ .  x − 2020 = 3  x = 2023 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị y = g ( x ) = f ( x − 2020 ) + 2021 có 3 cực trị.

Ví dụ 9. Tìm số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = 3x 4 − 4 x3 − 12 x2 + m có

5 điểm cực trị.

A. 26 .

B. 29 .

C. 32 .

Lời giải

Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y = f ( x ) = 3x4 − 4 x3 − 12x 2 + m .

Tập xác định : D = ℝ .

Ta có f ′ ( x ) = 12 x3 − 12 x 2 − 24 x .

Trang 50

D. 27 .

x = 0 f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −1 .  x = 2

Bảng biến thiên: 1

∞

x

0

f '(x)

+

+∞

0

2

0 m

0

+∞ + +∞

f (x) m 5 m 32

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị ( C ) : y = f ( x ) = 3x4 − 4 x3 − 12x 2 + m luôn có

3 cực trị.

Do đó đồ thị

( H ) : y = 3x4 − 4 x3 − 12 x2 + m

có 5 điểm cực trị khi phương trình

y = f ( x ) có 2 nghiệm phân biệt (không tính các điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) ) m ≤ 0 m ≤ 0 ⇔ ⇔ .  m − 32 < 0 ≤ m − 5 5 ≤ m < 32 Mà m ∈ ℕ* ⇒ m ∈{5;6;...;31} Vậy có 31 − 5 + 1 = 27 giá trị m thỏa yêu cầu bài.

Ví dụ 10. Gọi S là tập giá trị nguyên m ∈ [ 0;100] để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4m3 − 12m − 8 có 5 cực trị. Tính tổng các phần tử của S .

B. 5047 .

A. 4947 .

D. 5049 .

C. 5050 .

Lời giải

Hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4 m 3 − 12 m − 8 có tập xác định: D = R .

Hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4 m 3 − 12 m − 8 có 5 cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m3 − 12m − 8 có 2 điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox .

Xét hàm số: y = f ( x ) = x3 − 3mx2 + 4m3 − 12m − 8 .

x = 0 Có: y ' = 3 x 2 − 6mx = 0 ⇔  .  x = 2m Suy

ra

hai

điểm

c ực

trị

c ủa

đồ

A ( 0; 4 m 3 − 12 m − 8 ) , B ( 2 m; − 12 m − 8 ) .

Hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox

Trang 51

thị

hàm

số

y = f ( x)

là:

2  ⇔ ( 4 m 3 − 12 m − 8 ) ( −12 m − 8 ) < 0 ⇔ m ∈ ( −∞; −1) ∪  −1; −  ∪ ( 2; +∞ ) .

3  Mà: m ∈ [ 0;100] ⇒ m ∈ {3; 4; 5; 6;...;100} .

Vậy tổng các giá trị của m là:

( 3 + 100) 98 = 5047 2

.

Cách khác Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi phương trình x3 − 3mx 2 + 4m3 − 12m − 8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: x3 − 3mx 2 + 4m3 − 12m − 8 = 0 (1) ⇔ ( x − 2 m − 2 )  x 2 + ( 2 − m ) x − 2 m 2 + 2 m + 4  = 0

 x = 2m + 2 . ⇔ 2 2  x + ( 2 − m ) x − 2m + 2m + 4 = 0 ( 2 )

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình ( 2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2m + 2  2 m < − 3 9m 2 − 12m − 12 > 0  . ⇔ ⇔  2 2 m>2  ( 2m + 2 ) + ( 2 − m )( 2m + 2 ) − 2m + 2m + 4 ≠ 0  m ≠ −1 Mà m ∈ [ 0;100] và m∈ ℤ nên m ∈ [ 0;100] ⇒ m ∈ {3; 4; 5; 6;...;100} .

Vậy tổng các giá trị của m là:

( 3 + 100) 98 = 5047 2

.

Bài tập trắc nghiệm Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x ) = x3 − 3 x + 2 . Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) .

A. 4 .

Câu 2.

Cho y = f ( x ) =

A. 1 .

Câu 3.

D. 3 .

1 3 5 2 x − x + 6 x + 1 . Tìm số điểm cực trị của hàm số f ( x ) .

3 2 B. 2 .

C. 3 .

D. 5 .

B. 9 .

C. 5 .

D. 7 .

Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 1 . Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là

A. 7 .

Câu 5.

C. 2 .

Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 = f ( x ) . Xác định số cực trị của hàm số y = f ( x ) .

A. 3 .

Câu 4.

B. 5 .

B. 3 .

C. 5 .

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m 3 y = x − ( 2m + 1) x 2 + 3m x − 5 có 3 điểm cực trị.

Trang 52

D. 9 . để hàm số

Câu 6.

1  1  C.  0;  ∪ (1; + ∞ ) . D.  −∞ ;  .

4  4  Có bao nhiêu số nguyên m ∈ ( −20; 20 ) để hàm số y = ( x 2 + 2 ) x 2 − m có đúng 5 điểm

Câu 7.

cực trị.

A. 1.

B. 16.

C. 2.

D. 17.

4 2 Có bao nhiêu số nguyên m ∈ ( −20; 20 ) để hàm số y = x − ( m + 1 ) x + m có 7 điểm

Câu 8.

cực trị.

A. 21.

B. 20.

C. 19.

D. 18.

4 3 Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 3 x − 4 x − 12 x 2 + 2m có

Câu 9.

7 điểm cực trị bằng A. 2 .

B. 6 .

C. 4 .

D. 3 .

4 2 Cho hàm số y = x − 2 ( m − 1) x + 2m − 3 với m là tham số thực. Số giá trị nguyên

A. (1; + ∞ ) .

B. ( −∞ ;0] .

không âm của m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là: A. 1 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 6 .

4 2 Câu 10. Cho hàm số y = x − 8 x + m . Với những giá tri nào của tham số m hàm số có 5 điểm cực trị.

A. m > 0 .

B. m ≥ 0 .

C. m ≥ 0 .

Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng

D. m ≤ 0 . ( −10;10 ) để hàm số

y = f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 6mx 2 + 12mx có đúng 3 điểm cực trị.

A. 5 .

B. 6 .

C. 8 .

D. 11 .

1 Câu 12. Cho hàm số y = ( m + 3) x 3 + mx 2 + ( m + 4 ) x + 3m − 2 với m là tham số thực. Gọi 3 m0 là giá trị nguyên nhỏ nhất của m để hàm số đã cho có 1 điểm cực trị, khi đó A. m0 ∈ ( −9; −5 ) .

B. m0 ∈ ( −5; −1) .

C. m0 ∈ (1; 6 ) .

D. m0 ∈ ( 6;10 ) .

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ sau.

Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [−2019; 2019] sao cho hàm số y = f ( x) + m có ba điểm cực trị?

A. 2017 .

B. 2019 .

C. 4036 .

D. 4038 .

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình dưới. Gọi S là tập hợp

các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = 2 f ( x ) − m có 5 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của S .

Trang 53

A. 14 .

B. 10 .

C. 21 .

D. 15 .

Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y = f ′ ( x ) liên tục trên ℝ và có đđồ thị như hình

dưới. Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [ −2019; 2019] để hàm số y = f ( x + 1 − m ) có nhiềuđiểm cực trị nhất?

A. 2024 .

B. 2025 .

C. 2107 .

D. 2016 .

Câu 16. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Số giá trị

nguyên thuộc đoạn [ −10;10] của m để hàm số g ( x ) = f ( x) + m có đúng 3 điểm cực trị là:

A. 10 .

B. 9 .

C. 8 .

D. 7 .

3 2 Câu 17. Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a ≠ 0, a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ đ thị như hình

bên. Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x ) + m có đúng ba điểm cực trị là

A. S = {−1;3} .

B. S = [1;3] .

C. S = ( −∞ ; − 1] ∪ [3; + ∞ ) .

D. S = ( −∞ ; − 3] ∪ [1; + ∞ )

Câu 18. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f ( x ) . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên

dương của tham số m để hàm số y = f ( x − 1) + m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

Trang 54

y 2 x

O −3 −6

A. 12 .

B. 15 .

C. 18 .

D. 9 .

Câu 19. Cho y = f ( x) là hàm bậc 3 có đồ thị như hình vẽ ở bên. Tìm tập hợp các giá trị thực

của tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có 7 điểm cực trị.

A. 0 < m < 2 .

B. −4 < m < 0 .

C. m < 0 .

4

5

D. −2 < m < 0 .

3

Câu 20. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − m ) ( x + 3) . Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m trong đoạn [ −5;5] để số điểm cực trị của hàm số f ( x ) bằng 3 ?

A. 5 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

3 2 Câu 21. Cho hàm số y = f ( x) = x − (2m − 1) x + (2 − m) x + 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x ) có 5 điểm cực trị.

A.

5 <m≤2 4

B. −2 < m <

5 4

5 C. − < m < 2 4

D.

5 <m<2 4

DẠNG 9: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP Phương pháp Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp để lập bảng biến thiên của hàm số cần xét.

1. y = f ( u ( x ) ) ⇒ y ′ = u′ ( x ) . f ′ ( u ( x ) ) 2. y = f n ( x ) ⇒ y′ = n. f ′ ( x ) . f n−1 ( x )

(

)

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x 2 − 1 ( x − 4 ) với mọi x ∈ ℝ. Hàm số g ( x ) = f ( 3 − x ) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

Lời giải Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f ( x )

Trang 55

D. 3.

g x = f 3− x

g′ x = − f ′ 3 − x

( )⇒ ( ) ( ).

Ta có ( ) Từ bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta có g ′ ( x ) ≥ 0 ⇔ f ′ (3 − x ) ≤ 0

3 − x ≤ −1 x ≥ 4 ⇔ ⇔ . 1 ≤ 3 − x ≤ 4  −1 ≤ x ≤ 2

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x )

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g ( x ) có một điểm cực đại.

Ví dụ 2. Cho hàm số

y = f ( x ) có đạo hàm

 x y = f  1 −  + 4 x có mấy điểm cực trị?  2 A. 0.

B. 1.

∈ . Hàm số f ′ ( x ) = x 2 − 2 x, ∀x ∈ℝ

C. 2.

D. 3.

Lời giải  x Xét hàm số g ( x ) = f  1 −  + 4 x .  2 2 1  x  x2 9 1  x  x  g ′ ( x ) = − f ′  1 −  + 4 = = − 1 −  − 2 1 −   + 4 = − + = 0 ⇔ x = ±6 .

2  2  8 2 2  2  2  

Bảng xét dấu g′ ( x )

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị.

Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có đúng hai điểm cực trị x = −1, x = 1, có đồ thị như hình vẽ sau:

Trang 56

Hỏi hàm số y = f ( x 2 − 2 x + 1) + 2019 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải

Do hàm số y = f ( x ) có đúng hai điểm cực trị x = −1, x = 1 nên phương trình

f ′ ( x ) = 0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt x = −1, x = 1 .

Ta có y′ = ( 2 x − 2 ) f ′ ( x 2 − 2 x + 1) . 2x − 2 = 0 x = 1  2 y ′ = 0 ⇔  x − 2 x + 1 = −1 ⇔  x = 0 .  x2 − 2 x + 1 = 1  x = 2 

Ta có

 x > 1  x > 1  2 x − 2 > 0  2    x − 2x + 1 > 1 2  x > 2  2 x > 2  f '( x − 2 x + 1) > 0    y' > 0 ⇔  ⇔   x − 2 x + 1 < −1 ⇔    x < 0 ⇔    2 x − 2 < 0 0 < x < 1   x < 1  x < 1 2   f '( x − 2 x + 1) < 0   2   −1 < x − 2 x + 1 < 1  0 < x < 2 Do đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số y = f ( x 2 − 2 x + 1) + 2019 có 3 cực trị.

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) trên ℝ . Đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ Trang 57

Đồ thị hàm số y = ( f ( x ) )2 có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

D. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Lời giải

Từ đồ thị ta có: f ( x ) = 0 có nghiệm đơn là x = 0; x = 3 và nghiệm kép x = 1 .

Và f '( x ) = 0 có 3 nghiệm đơn x = x1 ∈ (0;1) ; x = x2 ∈ (1;3) và x = 1 .

Ta có: y = ( f ( x ) )2 ⇒ y ' = 2 f '( x ). f ( x ) có các nghiệm đơn là x = 0; x = 3; x1; x2 và nghiệm bội 3 là x = 1 .

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy đồ thị hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.

Số điểm cực tiểu của hàm số g ( x ) = 2 f ( x + 2 ) + ( x + 1)( x + 3) là A. 2 .

B. 1 .

C. 3 .

Lời giải

Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x + 2 ) + 2 x + 4 .

g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x + 2) = − ( x + 2) . Đặt t = x + 2 ta được f ′ ( t ) = −t . (1) Trang 58

D. 4 .

(1)

là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f ′ ( t ) và đường thẳng d : y = −t

(hình vẽ)

Dựa vào đồ thị của f ′ ( t ) và đường thẳng y = −t ta có t = −1  x = −3 t = 0  x = −2 hay  . ta có f ′ ( t ) = −t ⇔  t = 1  x = −1   t = 2 x = 0

Bảng biến thiên của hàm số g ( x ) .

Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.

Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ. Biết hàm số y = f ' ( x ) có bảng xét dấu sau

Số điểm cực tiểu của hàm số y = g ( x ) = f ( 6 − x 2 ) là Câu 2.

A. 5.

B. 7.

C. 3.

D. 4.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ. Biết hàm số y = f ' ( x ) có bảng xét dấu sau

(

)

Số điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) = f x + x 2 + 1 là A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Trang 59

(

)

Hàm số y = g ( x) = f x 2 − 2 x − 4 có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 1 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 4 .

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

 x2 + 1  Đặt g ( x ) = f   . Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) .  x  A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 8.

Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ. x

∞

f'(x)

1

3

0

+∞ ∞

2

1 1

∞

∞

 x2 + 2 x  Đặt g ( x ) = f   . Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) .  x +1  A. 4.

B. 10.

C. 6.

D. 8.

Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu f ' ( x ) như sau x −∞ +∞ −1 1 4 f '( x) − 0 + 0 + 0 − Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ −10;10] để g ( x ) = f ( x 2 − 2 x − m ) có 5 điểm cực trị?

A. 10.

B. 15.

C. 20.

D. 21.

Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số y = 3 f (− x 4 + 4 x 2 − 6) + 2 x6 − 3x 4 − 12 x 2 có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Trang 60

Số cực trị của hàm số g ( x) = f 2 (2x2 + x) là A. 3.

B. 4.

C. 5.

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

D. 6.

Số điểm cực tiểu của hhàm số g ( x ) = f 3 ( x 3 + 3x ) là Câu 10.

A. 5.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ thỏa f ( 2 ) = f ( − 2 ) = 0 vàà đồ đ thị hàm số y = f ′ ( x ) có dạng như hình vẽ bên dưới. y −2

1

−1

Số điểm cực trị của hàm số y = ( f ( 2 x − 1) )

2 3 2

O

2018

x

là

Câu 11.

A. 3 .

B. 4 .

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

Câu 12.

Hỏi hàm số y =  f ( 2 − x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 7 .

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu f ′ ( x ) như sau

C. 2 .

D. 5 .

2

Biết rằng hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức có đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. Hỏi hàm số y = f 2 ( x 2 − 2 x ) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 4 .

B. 2 .

C. 5 .

D. 3 .

Câu 13. Cho hàm y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn f (1). f (2) < 0 và bảng xét dấu của f '( x)

Trang 61

Hỏi hàm số g ( x ) = f 2 ( x − 2019) có bao nhiêu cực trị?

A. 4.

B. 6.

C. 5.

D. 7.

Câu 14. Cho y = f ( x ) là hàm số xác định và có đạo hàm trên ℝ . Biết bảng xác dấu của y = f ′ ( 3 − 2 x ) như sau:

Câu 15.

Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực đại A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Cho y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên ℝ . Biết bảng xét dấu của y = f ′

( x ) như 3

sau

Câu 16.

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

2 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có f ' ( x ) = ( x + 1) ( 2 x − 3 x − 9 ) . Hỏi hàm số

g ( x ) = f ( x ) + x 3 − 3x 2 − 9 x + 6 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

(THPTQG – Mã 118 năm 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ. x 0 −∞ −1 1 +∞ +∞ +∞ f '( x) 2

Câu 17.

−3

−1

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x 2 + 2 x ) .

A. 3.

B. 5.

C. 7.

D. 9.

PHẦN III. KẾT LUẬN Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em. Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi

bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp.

Trang 62

Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy tốt phải trải qua quá trình tự rèn luyện, phấn

đấu không ngừng mới có được. Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy giúp cho mình càng có kinh nghiệm vững vàng hơn.

Do thời gian có hạn tôi viết chỉ tập chung vào một vấn đề rất nhỏ trong chương trình toán lớp 12 đồng thời đưa ra một số bài tập để học sinh tự vận dụng. Chuyên đề đã được triển khai trong quá trình dạy học trên lớp 12A1 trường THPT Tam Dương. Sau khi thực hiện chuyên

đề, tôi thấy các em rất hào hứng và tự tin trước các bài toán về cực trị của hàm số.

Trong quá trình viết chuyên đề, tôi không tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định.

Với mục đích khắc sâu kiến thức cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường, tôi rất mong được sự chỉ báo, sự góp ý của đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM DẠNG 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B 12

D 13

C 14

B 15

B 16

A 17

A 18

C 19

C 20

C 21

D 22

B

D

B

A

D

D DẠNG 2

B

C

C

A

C

1

2

3

4

5

6

7

8

C 9

C 10

A 11

C 12

C 13

B 14

A 15

C 16

Trang 63

B

A

C

C

A

A

A

A

DẠNG 3 1

2

3

4

5

6

7

A 8

C 9

C 10

A 11

C 13

D 14

B 15

C

D

A

B

A

D

B

DẠNG 4

1 A

2 D

1

2

3

4

5

6

7

A 8

C 9

C 10

B 11

B 12

B 13

A 14

A

C

D

B DẠNG 5

D

A

A

7 A DẠNG 6

8 C

9 C

10 B

11 A

3 D

4 C

5 A

6 A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

D

D

A

A

A

D

A

C

C

10

11

12

13

14

15

16

17

18

B

A

C

A

A

B

C

D

D

19 A

20 A

21 D

22 B

23 D DẠNG 7

24 D

25 C

26 D

27 A

12 C

13 B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B 13

A 14

D 15

B 16

A 17

A 18

A 19

D 20

C 21

B 22

D 23

D 24

B 25 D

D 26 B

C 27 B

D 28 B

D 29 B

B 30 C

C 31 B

B 32 C

C 33 D

A 34 C

D

C

DẠNG 8 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

D 12

D 13

D 14

A 15

B 16

D 17

D 18

D 19

A 20

D 21

C

B

C

C

B

B

C DẠNG 9

A

D

A

D

Trang 64

1

2

3

4

5

6

7

8

9

D 10

D 11

B 12

C 13

D 14

A 15

D 16

C 17

B

A

C

D

C

C

D

D

B

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ Chủ đề Cực trị của hàm số

NB 4

TH 3

VD 2

VDC 1

ĐỀ BÀI Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây là sai A. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 .

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 .

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1.

D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. y

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K. Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên dưới.

Hỏi trên khoảng K hàm số y = f ( x ) có mấy điểm cực trị?

A. 2 B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

(

x1

y = f'(x)

O x2

x x3

x4

2

)

Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có f ' ( x ) = x x2 − 1 ( x − 1) . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 4.

B. 2.

C. 3.

Câu 4: Hàm số y = f ( x) với đồ thị như hình vẽ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 3 B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

x3 − 2 x 2 + mx − 3 đạt cực trị tại x = 2 3 B. m = 4 C. m = -4

D. 1.

Câu 5: Tìm m để hàm số y =

A. m = 2

4

2

D. m < 4

Câu 6: Tìm số các số tự nhiên m để hàm số y = − x + (2m − 6) x + 3 có đúng một điểm cực trị A.1 B.2 C.3 D.4 Bài 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và hàm

số f’(x) có đồ thị như hình vẽ. đặt g ( x ) = f ( x) −

x2 2

Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm nào.

A. x = 0 B. x = 1 C. x = a D. x = 2 Trang 65

Câu 8: Tìm số các số nguyên m để hàm số y = 3 x 4 − 4 x3 − 12 x 2 + m − 1 có 7 điểm cực trị A.5

B.26

C.31

D.4 3

2

Câu 9: Gọi S là tập các số tự nhiên m để hàm số y = mx − 7 x + mx + 1 có cực trị. Tính số phần tử c ủ a S A.4 B.5 C.9 D.Vô số 3

Câu 10: Số điểm cực trị của hàm số y = x − 3 x 2 bằng A. 4 B. 1 C. 2 Đáp án 1C 2D 3B 4C 5D 6D

D. 3 7B

8D

9B

KẾT QUẢ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ Điểm Số lượng

6 3

7 3

8 21

Trang 66

9 12

10 4

10D