BỘ 20 ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I MÔN TOÁN 9 NĂM 2021-2022 (GIÁO VIÊN CHUYÊN) CÓ LỜI GIẢI

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

BỘ 20 ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I MÔN TOÁN 9 NĂM 2021-2022 (GIÁO VIÊN CHUYÊN) CÓ LỜI GIẢI WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 01 Bài 1: (2,0 điểm).

CI

Cho A  5  3 và B  5  3 . a) Hãy tính: A2 ; B 2 ; A.B A B  là một số nguyên.

B A

FI

b) Chứng tỏ rằng: Bài 2: (2,0 điểm).

OF

 a 2 a 4a  2 a  4   2 2 a  Cho biểu thức A   với a  0, a  4.   :   2 a  a 2    a4    2 a 2 a a  a) Rút gọn biểu thức A.

N

b) Tìm a để A  a  2.

NH Ơ

Bài 3: (2,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = -2x + 6 . a) Vẽ đồ thị đường thẳng (d) lên mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Viết phường trình đường thẳng ( D ) song song với đường thẳng (d) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

Bài 4: (1,5 điểm).

Một cột đèn có kích thước như sau: BE  1m ; GE  15m ;    1 . Hãy tính: ABC  30 ; CBD

QU

Y

a) Độ dài chiều cao phần thân cột đèn AC . b) Đường kính bóng đèn DC và độ dài chiều cao cột đèn DG .

(Lấy giá trị gần đúng với 2 chữ số thập phân).

M

Bài 5: (2,5 điểm).

Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường tròn tâm (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB; AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E ( BC không phải là đường kính của đường tròn tâm O. Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K.   ACB . a) Chứng minh rằng: ADE

---------- HẾT ----------

DẠ Y

KÈ

b) Chứng minh K là trung điểm của DE, c) Khi K là trung điểm của AH. Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH.

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1: (2,0 điểm). Điểm 2,0

AL

Nội dung Cho A  5  3 và B  5  3 . a) Hãy tính A2 ; B 2 ; A.B

 

1,25

 B  5 3 B 5  3  14  6 A.B   5  3 5  3  5  9  4 .

2

2

0,5

CI

2

5  3  14  6 5.

0,5

5.

FI

A  5  3  A2 

A B  là một số nguyên.

B A A B A2  B 2 28     7 .

B A A.B 4 A B Vậy  là một số nguyên.

B A

N

OF

b) Chứng tỏ rằng:

Bài 2: (2,0 điểm).

NH Ơ

Nội dung







4a  8 a



 2  a  2  a 





:



QU



2 a



Y

 a 2 a 4a  2 a  4   2 2 a  Cho biểu thức A   với   :     2 a   2  a 2 a  a  a  4 a  2     a  0, a  4. a) Rút gọn biểu thức A.  a 2 a 4a  2 a  4   2 2 a  A       :   a4 a 2  2 a   2 a 2 a a   a  2 2  a 2  a  4a  2 a  4   : 2 a  2  a    2 a 2 a a 2 a    

a 2 a





0,5 0,25

Điểm 2,0 1,25

0,5

0,25

M

0,25

KÈ

0,25

b) Tìm a để A  a  2.

0,75

4a 4  4  a  4a  a  .

5 2 a

DẠ Y

A a 2 a 2

0,75



4 a 4a . a .

2 a 2 a 4a .

Vậy A  2 a 

0,25

4 Vậy a  .

5 Bài 3: (2,0 điểm).

0,5 0,25

Nội dung Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = -2x + 6 . a) Vẽ đồ thị đường thẳng (d): y = -2x + 6 lên mặt phẳng tọa độ Oxy Page 2

Điểm 2,0 1,0

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 (d): y = -2x + 6

0,25

  d   Oy : x  0  y  6; B  0;6 

0,25

AL

  d   Ox : y  0  x  3; A  3;0 

0,5

OF

FI

CI

Đồ thị đường thẳng d đi qua hai điểm A(3; 0), B (0; 6)

NH Ơ

N

b) Viết phường trình đường thẳng ( D ) song song với đường thẳng (d) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. + Phương trình đường thẳng ( D ) song song với (d) có dạng : y = -2x + b(b ¹ 6) + ( D ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, nên : 3 = -2.0 + b Û b = 3 + Vậy phương trình đường thẳng ( D ) là : y = -2x + 3 Bài 4: (1,5 điểm).

Nội dung

KÈ

M

QU

Y

  1 .

ABC  30 ; CBD Một cột đèn có kích thước như sau: BE  1m ; GE  15m ;  Hãy tính: (Lấy giá trị gần đúng với 2 chữ số thập phân) a) Độ dài chiều cao phần thân cột đèn AC .

Trong tam giác ABC vuông tại A có: ABC  30 AB  GE  15m ;  AC Nên tan  ABC  AB  AC  AB.tan  ABC  5 3  8, 66m .

b) Đường kính bóng đèn DC và độ dài chiều cao cột đèn DG .

Trong ABD vuông tại A có:    30  1  31 ABD   ABC  CBD

DẠ Y

Nên DC  AD  AC  15  tan 31  tan 30   0,35m. Đường kính bóng đèn DC  0,35m .

DG  AG  AC  DC  8, 66  1  0,35  10, 01m .

Vậy DG  10, 01m .

1,0 0,5 0,25 0,25 Điểm 1,5 0,5

0,25 0,25

1,0 0,25 0,25 0,25 0,25

Bài 5: (2,5 điểm).

Nội dung Page 3

Điểm

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

A

A E

E K

D B C

C

H

O

O

H.1

FI

H

H.2

OF

B

NH Ơ

  BDE   1800 Mặt khác: ADE   ACB  Nên : ADE

N

Học sinh vẽ được hình H.1 cho 0.25 điểm; vẽ được hình H.2 cho 0,5 điểm   ACB  a) Chứng minh rằng: ADE Tứ giác BCED nội tiếp trong đường tròn tâm O   BDE   1800 Nên : BCA

b) Chứng minh K là trung điểm của DE   900  ABC  (1) + ABH vuông tại H  DAK

  900  ABC  (2) + ABC vuông tại A  ACB   ACB  Từ (1) và (2) ta có: DAK

KÈ

M

QU

Y

  ACB  , nên DAK   ADE  + Theo C/m trên ADE Do đó ADK cân tại K, suy ra AK  DK (*) + Chứng minh tương tự AEK cân tại K, suy ra AK  EK (**) Từ (*) và (**) suy ra DK  EK Nên K là trung điểm của DE c) Khi K là trung điểm của AH. Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH Khi K là trung điểm của AH thì AK  KH Theo chứng minh câu b thì DK  AK  KH , do đó ADH vuông tại D. Gọi I, J lần lượt là tâm của đường tròn đường kính BH và CH. Ta có: IB  IH , JC  JH .   IHK   900 hay ID  DE Mặt khác: KID  KIH ( c.c.c )  IDK

DẠ Y

Nên DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH. + Chứng minh tương tự ta có JE  DE suy ra DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CH Vậy DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và CH

---------- HẾT ----------

Page 4

0,5

CI

K

D

2,5

AL

Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường tròn tâm (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB; AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E ( BC không phải là đường kính của đường tròn tâm O. Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K. Hình vẽ

0,5

0,5 0.75

0,25 0,25 0,25 0,75

0.25 0.25 0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 02

B  ( 2  2) (2  2) 2

b) Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định C  x  1 

1 . x2

Bài 2: (2,0 điểm).

15 x  11 3 x  2 3   ( x  0, x  1) x  2 x  3 1 x x 3

OF

Cho biểu thức: A 

FI

A  8  32  72

CI

Bài 1: (2,0 điểm). a) Hãy thực hiện các phép biến đổi và rút gọn:

b) Tìm số nguyên x để A là một số nguyên.

NH Ơ

Bài 3: (2,0 điểm).

N

a) Rút gọn biểu thức A .

Cho hàm số y  2 x có đồ thị  d1  và hàm số y  2 x  4 có đồ thị

 d2  .

a) Vẽ  d1  và  d 2  trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .

b) Tìm tọa độ giao điểm A của  d1  và  d 2  bằng phép toán.

Bài 4: (4,0 điểm).

Cho đường tròn  O; R  đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn  O  ( C khác A và B ), kẻ

QU

Y

CH vuông góc với AB tại H . a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại C và CH 2  AC.BCsin A cos A . b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn  O  cắt tia BC ở D . Gọi I là trung điểm của AD . Chứng

minh: Đường thẳng IC là tiếp tuyến của đường tròn  O  . c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn  O  cắt tia IC tại K . Chứng minh IA.BK  R 2 .

DẠ Y

KÈ

M

d) Xác định vị trí C trên đường tròn  O  để diện tích tứ giác ABKI nhỏ nhất.

Page 1

---------- HẾT ----------

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài 1: (2,0 điểm).

AL

Nội dung 1,25

a) Hãy thực hiện các phép biến đổi và rút gọn:

CI

B  ( 2  2) (2  2) 2

A  8  32  72

A  8  32  72 A  8  32  72  2 2  4 2  6 2  0

 2  2  2  2  2  2   4  2  2

FI

2

22

b) Tìm x , để biểu thức sau xác định: C  x  1 

OF

 B

B

1 . x2

x 1  0 x  1  x  2  0 x  2

Để biểu thức xác định thì 

NH Ơ

N

x  1 Vậy  . x  2 Bài 2: (2,0 điểm).

Cho biểu thức: A 

x 3 3



Y



x 1



QU

 



15 x  11

x 1





3 x  5 x  2 x 3





x 1

KÈ 



x  3  11 x 3

 3 

DẠ Y Page 2

0,25

0,25

0,25 0,5

11 x 3

Với x  ; x  0; x  1: A là một số nguyên khi và chỉ khi lớn hơn hoặc bằng 3  x  3  11  x  8  x  64 Vậy x  64

1,0

0,25

M

x 1

x 3

23 x 3  x 1 x 3



3 x  2 x 3 b) Tìm số nguyên x để A là một số nguyên 3 x  2 3  x 3

0,25

2,0

15 x  11  2  3 x

A

0,5

15 x  11 3 x  2 3    x  0, x  1 x  2 x  3 1 x x 3

15 x  11 3 x  2 3    x  2 x  3 1 x x 3



0,75

Điểm

   x  3  3 x  2 x  1   x  3 x  1



0,5

Nội dung

a) Rút gọn biểu thức A

A

0,75 0,75 0,5

0,25

x  3 là ước của 11 , ước đó phải

0,25 0,25 0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Bài 3: (2,0 điểm).

Nội dung

Điểm

 d2  .

2,0 đ

AL

Cho hàm số y  2 x có đồ thị  d1  và hàm số y  2 x  4 có đồ thị a) Vẽ  d1  và  d 2  trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .

0 0

1 2

1 -2

0,5

 d1  và  d 2 

0,5

NH Ơ

N

OF

Đồ thị của đường thẳng

0 4

x y

FI

x y

 d1  và  d 2  :

CI

Bảng giá trị tương ứng giữa x và y của hai đường thẳng

1,0

1,0 đ

Y

b) Tìm tọa độ giao điểm A của  d1  và  d 2  bằng phép toán.

+ Hoành độ giao điểm của  d1  và  d 2  là nghiệm của phương trình:

QU

2 x  2 x  4  4 x  4  x  1 + Khi x  1 thì y 1  2. 1  2 .

0,25

Bài 4: (2,0 điểm).

M

+ Vậy tọa độ giao điểm A của  d1  và  d 2  là: 1; 2 

KÈ

Nội dung Cho đường tròn  O; R  đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn  O  ( C khác A

DẠ Y

và B ), kẻ CH vuông góc với AB tại H . a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại C và CH 2  AC.BCsin A cos A . +) Hình vẽ đúng (chỉ giải câu a)

Page 3

Điểm 4,0 1,5 0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

K

D

AL

C

B

OF

H O

FI

A

CI

I

NH Ơ

N

+) Điểm C thuộc đường tròn đường kính AB, ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính, suy ra ABC vuông tại C. +) Trong tam giac vuông ABC tại C , CH là đường cao, ta có: AC.BC AC2 .BC2 .

CH   CH 2  AB AB2 Mặt khác AC  AB.cos A và BC  AB.sin A AC.BC.AB.sin A.AB.cos A  AC.BC.sin A.cos A (đpcm). +) Nên CH 2  AB2 b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn  O  cắt tia BC ở D . Gọi I là trung điểm của AD .

Chứng minh: Đường thẳng IC là tiếp tuyến của đường tròn  O  . +) Ta có OI là đường trung bình của tam giác DAB , suy ra OI // DB , mà AC  BD  OI  AC .   OAI  +) Do đó A và C đối xứng nhau qua OI , suy ra OCI

Y

QU

1,0

0,25 2

M

KÈ

0,25

0,25

  IOC   COK   1 AOC   1 COB   1 AOB   900 , suy ra IOK vuông +) Xét IOK có: IOK 2 2 2 tại O. +) IOK vuông tại O có OC là đường cao, nên: CI.CK  OC2 .

Mà IA  IC;CK  BK (tính chất hai đường tiếp tuyến cắt nhau) và OC  R. Do đó IA.BK  OC 2  R 2 (đpcm). d) Xác định vị trí C trên đường tròn  O  để diện tích tứ giác ABKI nhỏ nhất.



1   KBA   900  S AB.(AI  BK) . +) Tứ giác ABIK là hình thang vuông IAB ABKI  2 +) Mà IA  IC;CK  BK (tính chất hai đường tiếp tuyến cắt nhau) và AB  2 R (không đổi) 1 +) Nên S ABKI  AB.( AI  BK )  R.( IC  CK )  R.IK 2 +) I và K là hai điểm thuộc hai tiếp tuyến song song của đường tròn (O) nên S ABKI nhỏ nhất

DẠ Y

0,25

0,25

c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn  O  cắt tia IC tại K . Chứng minh IA.BK  R .

khi và chỉ khi KI vuông góc với AI và BK hay C là điểm chính giữa của cung AB. HẾT Page 4

0,25

0,25

  900 (vì AD là tiếp tuyến ) nên OCI   900 +) Biết OAI Suy ra IC  OC hay IC là tiếp tuyến của đường tròn  O  .



0,5

1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25

0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 03 Bài 1: (2,0 điểm)

b) Tìm x, biết



x  2  2.

x 3



x 2





2 x 1 x 3  x 3 x 2

OF



2 x 9

FI

Bài 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức P 

a) Với giá trị nào x thì biểu thức P xác định? b) Rút gọn biểu thức P. Bài 3: (2,0 điểm)

 d1 

N

Cho hàm số y   m  1 x  2



3  2  12.

CI

a) Thực hiện các phép biến đổi để rút gọn biểu thức sau A  3

AL

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

NH Ơ

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên . b) Với m  2, tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng  d1  và  d 2  : y  2 x  3. c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng  d1  có giá trị lớn nhất.

Bài 4: (1,5 điểm)

Cho ABC có AB  12 cm, AC  16 cm, BC  20 cm.

QU

Y

a) Chứng tỏ ABC vuông tại A. b) Tính đường cao AH của ABC . c) Chứng minh rằng AB.cos B  AC.cos C  20 cm.

Bài 5: (2,5 điểm)

Cho đường tròn  O  đường kính AB  2 R. Gọi M là một điểm nằm trên đường tròn  O  ( M không

M

trùng với A và B ). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AD tại H . Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn tâm M ( C , D là hai tiếp điểm).

KÈ

a) Chứng minh AC  BD  AB. b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn  O  .

DẠ Y

c) Gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng KH //AC.

Page 1

---------- HẾT ----------

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm).



Điểm

AL

Nội dung a) Thực hiện các phép biến đối để rút gọn biểu thức sau A  3 3  2  12 .



1,0

A 9 2 32 3

CI

0,5

Vậy A  9  3 .

0,5

x2 2.

b) Tìm , biết

1,0

OF

FI

x2 2 x24  x  2.

Kết luận: Vậy x  2 .

Cho biểu thức P 



Nội dung 2 x 9 2 x 1 x 3   x 3 x 2 x 3 x 2





P

x 3



x 2



2

 

x 1

  x  3 x  3 x  2 

x 2 

2 x  9  2x  3 x  2  x  9 x 3



x 2



x x 2

 x  2  x  3 x 3

 x  1  x  2 x 2

Bài 3: (2,0 điểm)



Y

   



x 3

QU







x 1  x  0, x  4.x  9  . x 3

M



2 x 9

NH Ơ

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức P xác định ĐKXĐ: x  0, x  4.x  9 b) Rút gọn biểu thức P.

N

Bài 2: (2,0 điểm).

Nội dung

DẠ Y

KÈ

Cho hàm số y  (m -1) x  2 (d1 ) a Xác định m để hàm số đồng biến trên .

Hàm số y  (m  1) x  2 đồng biến trên   m  1  0  m  1 Vậy m  1 thì hàm số đồng biến trên . b Với m  2, tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1 ) và (d 2 ) : y  2 x - 3

c

Page 2

0,5 0,25 0,25 Điểm 2,0 0,75 0,75 1,25 0,25

0,25 0,25

0,5

Điểm 2,0 đ 0,5 đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ

Hoành độ giao điểm của (d1 ) và (d2 ) là nghiệm của phương trình: x  2  2x  3  x  5 Thay x  5 vào phương trình (d 2 ) : y  2.5  3  7

0,25 đ

Vậy (d1 ) cắt (d2 ) tại điểm M (5; 7) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xác định m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d1 ) có giá trị lớn nhất.

0,25đ

0,25đ 0,75đ

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Đường thẳng (d1 ) cắt trục tung tại điểm A  0; 2  và cắt trục hoành tại điểm

Bài 4: (1,5 điểm).

AL

OF

FI

Nội dung Cho tam giác ABC có AB  12 cm, AC  16 cm, BC  20 cm. a) Chứng tỏ rằng ABC vuông tại A. Ta có: BC 2  202  122  162  AB 2  AC 2 hay A ABC vuông tại A. 16cm

C

20cm

NH Ơ

H

QU

Y

b) Tính đường cao AH của ABC .

AB. AC 12 16 Ta có AH .BC  AB. AC  AH   BC 20  AH  9, 6 cm c) Chứng minh rằng AH .cos B  AC.cos C  20 cm.

BH Ta có cos B   AB.cos B  BH 1 AB HC cos C   AC.cos C  HC (2) AC Từ 1 và  2  , ta có

AB.cos B  AC.cos C  BH  HC  BC  20 cm.

Bài 5: (2,5 điểm).

Điểm 1,5 0,50

0,50

N

12cm

B

0,25đ

CI

 2  B ;0  với m  1.  1 m  Với m  1 : Tam giác AOB vuông tại O , kẻ OH là đường cao của AOB 1 1 1 1 (m  1) 2 4      OH 2   4  OH  2 Nên: 2 2 2 OH OA OB 4 4 (m  1) 2  1 Vậy m  1 thì khoảng cách từ O đến đường thẳng (d1 ) có giá trị lớn nhất.

0,25đ

0,50 0,25 0,25 0,50 0,25

0,25

Điểm

M không trùng với A và B ). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn tâm M ( C , D là hai tiếp điểm). a) Chứng minh AC  BD  AB .

2,5

DẠ Y

KÈ

M

Nội dung Cho đường tròn  O  đường kính AB  2 R . Gọi M là một điểm trên đường tròn  O  (

Page 3

0,75

AL

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

OF

FI

CI

0,25

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn  O  .

N

Ta có AC và AH là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm M xuất phát tử điểm A , nên AC  AH và BD , BH là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm M xuất phát từ điểm B nên BD  BH Nên: AC  BD  AH  BH  AB (đpcm)

NH Ơ

Ta có AC và AH là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm M xuất phát tử điểm A nên   CAH  1 và tam giác OAM cân tại O  OA  OM  , suy ra OAM   OMA   2 CAM

0,25 0,25 1,25 0,25

  OMA   AC // OM Từ 1 và  2  , ta có: CAM Mà AC  CM ( vì AC là tiếp tuyến ) Suy ra CM  OM * Chứng minh tương tự ta có: DM  OM

**

Từ * và ** , ta có C , M , D thẳng hàng

0,5 0,25 0,25

c) Gọi K là giao điểm của AD và BC . Chứng minh rằng: KH // AC .

AC  CD  KB BD Có:    AC // BD  BD  CD  KC CA

0,5

QU

Y

Do đó CD  OM hay CD là tiếp tuyến của đường tròn  O  .

DẠ Y

KÈ

M

Mà: BD  BH , AC  AH KB HB Suy ra: . Vậy: KH // AC .  KC HA

Page 4

0,25

0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 04

a) Thực hiện các phép biến đổi để rút gọn các biểu thức sau:

 x  1

2



2  2  8.

 2.

Bài 2: (2,0 điểm).





x 2 x 1 x2  x   1 (với x  0 ) x  x 1 x a) Rút gọn biểu thức P . b) Cho x  100 , tính giá trị của P . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .

Bài 3: (2,0 điểm).

NH Ơ

N

Cho biểu thức: P 

OF

b) Tìm x biết:



FI

ii) B  2

i) A  25.3  16.3  100.3

CI

Bài 1: (2,0 điểm).

a) Vẽ đồ thị  d  của hàm số y  2 x  3.

b) Xác định các hệ số a và b của hàm số y  ax  b  d   , biết rằng đồ thị  d   song song với

 d  và đi qua điểm

M  2;1 .

Y

Bài 4: (1,5 điểm).

Một chiếc diều ABCD có dạnh hình bên, có AB  BC , AD  DC. Biết AB  12cm,  ADC  40o ,  ABC  90o. Hãy tính:

QU

a) Chiều dài cạnh AD. b) Diện tích chiếc diều ABCD . (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân) Bài 5: (2,5 điểm).

M

Cho đường tròn  O  , đường kính AB ,điểm M thuộc đường tròn ( M khác A và B ). Vẽ điểm N .

O  .

KÈ

đối xứng với A qua M , BN cắt đường tròn  O  tại điểm thứ hai C . Gọi E là giao điểm của AC và BM a) Chứng minh rằng NE  AB . b) Gọi F là điểm đối xứng của E qua M . Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn

DẠ Y

c) Chứng minh rằng FNB là tam giác vuông.

---------- HẾT ----------

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1: (2,0 điểm).



0,25



22  8

0,5

FI

ii) B  2

CI

A 3.

Điểm 1,0 0,5 0,25

AL

Nội dung a) Thực hiện các phép biến đổi để rút gọn các biểu thức sau: i) A  25.3  16.3  100.3  5 3  4 3  10 3

 22 2 2 2 B  2.

 x  1

2

 x  1

2

 2.

OF

b) Tìm x biết:

 2  x 1  2

NH Ơ

N

 x 1  2  .  x  1  2  x 1   x  3 Vậy x  1 và x  3 .

Bài 2: (2,0 điểm).



Nội dung



x 2 x 1 x2  x   1 (với x  0 ) x  x 1 x a) Rút gọn biểu thức P Do x  0 , nên:



x 2 x 1 x2  x x2  x  2 x 11  1  x  x 1 x  x 1 x

x2  2x x  2x  x x  x 1

M





QU

P

Y

Cho biểu thức: P 

P  x x b) Cho x  100 , tính giá trị của P Khi x  100 thì P  x  x  100  10 P  90 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2 1 1 1 P  x  x  x  2. . x   2 4 4

0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 2,0 0,75 0,25

0,25

KÈ

0,25 0,5 0,25 0,25 0,75

 

DẠ Y

0,25

2

1 1 1  P x    2 4 4  1 1 1 1 P   khi x  . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi x  4 4 4 4 Bài 3: (2,0 điểm).

Page 2

0,25 0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Nội dung

Điểm 1,0

Cho x  0  y  3, ta có A  0;3

0,25

AL

a) Vẽ đồ thị  d  của hàm số y  2 x  3.

3  3  Cho y  0  x   , ta có B   ;0  2  2  Đồ thị  d  của hàm số y  2 x  3 đi qua hai điểm A và B

0,5

NH Ơ

N

OF

FI

CI

0,25

b) Xác định các hệ số a và b của hàm số y  ax  b  d   , biết rằng đồ thị  d   song song với  d  và đi qua điểm M  2;1 .

a  a Ta có: d //d    b  b

QU

Y

a  2    d   : y  2 x  b  b  3 b  3   d  đi qua M  2;1 khi 1  2.2  b  b  3  tháa Vậy các hệ số cần tìm là: a  2; b  3.

Bài 4: (1,5 điểm).

0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm

KÈ

M

Nội dung Một chiếc diều ABCD có dạnh hình bên, có AB  BC , AD  DC. Biết AB  12cm,  ADC  40o ,  ABC  90o. Hãy tính:

1,0

DẠ Y

1,5

a) Chiều dài cạnh AD. + ABC vuông cân tại B , có AB  12cm nên AC  12 2cm. + Gọi H là giao điểm của AC và BD. BA  BC    BD là đường trung trực của AC. DA  DC  Page 3

1,0 0,25 0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Nên H là trung điểm của AC và AC  BH . + ADC cân tại D có  ADC  40o , DH là đường cao.

0,25

AL

Nên DH là đường phân giác và ADH vuông tại H .

1 .12 2 AH AH 2  + sin ADH   AD    24,81cm.

AD sin 20o sin  ADH b) Diện tích chiếc diều ABCD .

1 1 Ta có: S ABCD  S ADC  S ABC  AC.DH  AB.BC 2 2 1 .12 2 1 1 2 2 S ABCD  .12 2.  12   269,82cm 2 . o 2 tan 20 2

0,25

CI

0,5

FI

0,25

OF

Bài 5: (2,5 điểm).

0,25

Nội dung Điểm Cho đường tròn  O  , đường kính AB ,điểm M thuộc đường tròn ( M khác A và B ).

2,5

E là giao điểm của AC và BM . a) Chứng minh rằng NE  AB .

Vẽ hình đúng để giải câu a.

1,0

0,25

M

QU

Y

NH Ơ

N

Vẽ điểm N đối xứng với A qua M , BN cắt đường tròn  O  tại điểm thứ hai C . Gọi

KÈ

ABM nội tiếp đường tròn  O  có cạnh AB là đường kính nên ABM vuông tại M .

ABM  90  BM  AN Do đó: 

DẠ Y

ABC nội tiếp đường tròn  O  có cạnh AB là đường kính nên ABC vuông tại C .

ACB  90  BN  AC Do đó: 

ANB có BM  AN và BN  AC nên E là trực tâm hay NE  AB . b) Gọi F là điểm đối xứng của E qua M . Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn  O  .

Tứ giác AFNE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đươgng nên là hình bình hành  FA//NE Do NE  AB nên FA  AB hay FA là tiếp tuyến của đường tròn  O  Page 4

0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 c) Chứng minh rằng FNB là tam giác vuông. ANB có đường cao BM là đường trung tuyến nên ANB cân tại B .   BAN  (1) Suy ra: BNA

1,0 0,25

0,25 0,25

DẠ Y

KÈ

M

QU

Y

NH Ơ

N

OF

FI

HẾT

0,25

CI

  90  FNB   90 hay FNB là tam giác vuông tại N .

Mặt khác FAB

AL

ANF có đường cao FM là đường trung tuyến nên ANF cân tại F .   FAN  (2) Suy ra: FNA   BNA   BAN   FAN   FNB   FAB  Từ (1) và (2) ta có : FNA

Page 5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 05 Bài 1: (1,0 điểm).

a) 12  2 48 

7 75 .

5

b)

3  2 

2

CI

Thực hiện phép tính.

 64 2 .

FI

Bài 2: (2,0 điểm).

Bài 3: (3,0 điểm).

y   m  2  x  3 có đồ thị  D  .

d ,

hàm số

y  3 x có đồ thị

NH Ơ

Cho hàm số y  x  2 có đồ thị

N

OF

 x  9x 1 1 1  1   . ( Với x  0, x  1 ) Cho biểu thức A   : x 1 x  2  x  1  x x 2 a) Rút gọn biểu thức A. 1 b) Tìm số tự nhiên x để là số tự nhiên.

A

 d '

và hàm số

a) Vẽ đồ thị  d  và đồ thị  d '  trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị  d  và đồ thị  d '  bằng phép tính. c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng  D  có giá trị lớn nhất.

Y

Bài 4: (4,0 điểm).

QU

Cho đường tròn tâm O , bán kính R , kẻ đường kính AB và dây cung AM có độ dài bằng R . Tia OM cắt tiếp tuyến Ax ( A là tiếp điểm) của đường tròn  O  tại P . Tiếp tuyến PN của  O  ( N là tiếp

điểm, N khác A ) cắt AB tại Q .

M

a) Chứng minh OP là đường trung trực của AN . b) Chứng minh AM song song với ON và tính AP theo R .

KÈ

c) Chứng minh tam giác APN đều và tính diện tích tam giác APQ theo R .

DẠ Y

d) AM cắt PQ tại H . Chứng minh rằng AP và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn.

Page 1

---------- HẾT ----------

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1: (1,0 điểm).

2

 64 2 

CI

0,25 0,25

2

2

FI

3  2 

3  2   6  4 2 3  2    2  2 

0,5

2

OF

b) Thực hiện phép tính

Điểm

AL

Nội dung 7 75 a) Thực hiện phép tính 12  2 48  5 7 7 12  2 48  75  3  4  2 3 16  3  25 5 5  2 3 8 3  7 3  3 .

 3 2  2 2  5.

Bài 2: (2,0 điểm).

N

Nội dung

0,5 0,25 0,25

Điểm 2,0

a) Rút gọn biểu thức A.

1,0

NH Ơ

 x  9x 1 1 1  1   . ( Với x  0, x  1 ) Cho biểu thức A    : x  1 x  x  2 x  1 x  2      x  9x 1 1 1  1 x  3 x 1 x  2  x 1  1  A     :  :   x 1 x 1 x  2  x  1  x 1 . x  2  x x 2  







  x x 2   .  x  1   x 1 . x  2     x  1 ( Với x  0, x  1 ) 1 b) Tìm số tự nhiên x để là số tự nhiên.

A 1 Để là số tự nhiên khi và chỉ khi x  1  1 A  x  2 (tmđk x  0, x  1 ) 1 Vậy khi x  2 thì là số tự nhiên.

A Bài 3: (3,0 điểm).

Nội dung Cho hàm số y  x  2 có đồ thị  d  , hàm số y  3 x có đồ thị  d '  và hàm số



Y



KÈ

M

QU



DẠ Y

y   m  2  x  3 có đồ thị  D  .

a) Vẽ đồ thị  d  và đồ thị  d '  trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Page 2

0,5

0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Điểm 3,0 1,0

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Giá trị y tương ứng của hàm số y  x  2 và y  3 x theo giá trị của biến x là: x 0 1 y  x2 -2 -1 0 3 y  3x

AL

0,5

N

OF

FI

CI

Đồ thị  d  và đồ thị  d '  trên cùng một mặt phẳng tọa độ

0,5

1,0

Hoành độ giao điểm

0,25

NH Ơ

b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị  d  và đồ thị  d '  bằng phép tính.

A của  d  và  d ' là nghiệm của phương trình: 3 x  x  2  2 x  2  x  1 A  1; y A    d   y A  1  2  y A  3 Vậy tọa độ giao điểm A tọa độ giao điểm của đồ thị  d  và đồ thị  d '  là: A  1; 3 c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng  D  có giá trị lớn

0,25 1,0

Y

nhất.  Trường hợp m  2 :

0,5

QU

3   ;0  và cắt trục tung tại điểm B  0;3 .  m2 

DẠ Y

KÈ

M

Đường thẳng  D  cắt trục hoành tại A  

Page 3

0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên đường thẳng  D  .

Suy ra: OH là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  D  .

OH

2



1 OA

2



1 OB

2



1

 3     m2 

Vì m  2   m  2   1  1 

2



1 3

2



 m  2

2

1

 OH 

9

2

 m  2

2

0,25

1

9

FI

 m  2

1

9

9

2

2

CI

1

AL

Trong tam giác vuông OAB ,ta có:

Suy ra OH  9  OH  3  Trường hợp m  2 : Ta có hàm số y  3. Đồ thị hàm số y  3 là một đường thẳng song song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 3.

Nên khoảng cách từ O đến đường thẳng y  3 là 3.

OF

2

Vậy m  2 là giá trị cần tìm.

Bài 4: (4,0 điểm).

NH Ơ

N

Nội dung Cho đường tròn tâm O , bán kính R , kẻ đường kính AB và dây cung AM có độ dài bằng R . Tia OM cắt tiếp tuyến Ax ( A là tiếp điểm) của đường tròn  O  tại P .

Tiếp tuyến PN của  O  ( N là tiếp điểm, N khác A ) cắt AB tại Q .

0,25 Điểm 4,0 1,0

M

QU

Y

a) Chứng minh OP là đường trung trực của AN .

0,25

KÈ

PA, PN là hai tiếp tuyến của đường tròn  O  xuất phát từ P , nên PA  PN .

DẠ Y

Mà OA  ON  R Vậy OP là đường trung trực của AN . b) Chứng minh AM song song với ON và tính AP theo R .

Tam giác OAM đều( AM  OA  OM  R )   AOM   AMO  600  Mà NOM AOM (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau).





Suy ra AMO  NOM  60 Vậy AM / / ON   900 Ta có: AP  OA ( AP là tiếp tuyến)  OAP Tam giác PAO vuông tại A , nên: AP  OA.tan  AOP  R.tan 600  R 3 .

Page 4

0

0,25

0,25 0,25 0,25 1,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 c) Chứng minh tam giác APN đều và tính diện tích tam giác APQ theo R   ).

Có PAN AOM ( cùng phụ với OAN   600 Do đó: PAN

1,25 0,5

AL

Mà PA  PN .

Suy ra tam giác APN đều.

APQ  600 Nên 

0,25

Tam giác APQ vuông tại A , nên: AQ  AP.tan  APQ  R 3. 3  3R

FI

1 1 3R 2 3 (đvdt) S APQ  .PA. AQ  .R 3.3R  2 2 2 d) Chứng minh rằng AP và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn  M , MH 

CI

0,25

NH Ơ

Vậy AP và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn  M , MH 

N

OF

Ta có ON  PN (vì PN là tiếp tuyến), AM / / ON Suy ra MH  PN Nên MH là khoảng cách từ M đến PN APN đều có AH là đường cao nên AH cũng là đường phân giác của APN Mà PO là phân giác của  APN (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra đường tròn  M , MH  là đường tròn nội tiếp APN .

DẠ Y

KÈ

M

QU

Y

HẾT

Page 5

0,25 0,5 0,25

0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 06

2



1 12.

2

2. Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa. b) D 

2 . x 2

OF

a) C   x  2.

FI

1  3 

b) B 

a) A  64  180. 0, 2.

CI

Bài 1: (2,0 điểm).

1. Không sử dụng máy tính cầm tay. Thực hiện phép tính.

Bài 2: (2,0 điểm).

 x  10 3   1 1    :  2 x   x 2 x 2  x4

Cho biểu thức: P  

N

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa. Rút gọn biểu thức P.

NH Ơ

b) Tìm các giá trị của x để P  2 . c) Tìm giá trị lớn nhất của P. Bài 3: (2,0 điểm).

Cho hàm số y   m  2  x  m  3. Khi m  1, ta có y   x  4. a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy

KÈ

M

QU

Y

khi m  1. b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

Bài 4: (2,0 điểm).   60, HB  a . Trên cạnh AC lấy điểm K Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, B (K không trùng A và C), gọi D là hình chiếu của A trên BK. a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a.

1 . b) Chứng minh rằng S BHD  S BKC .cos 2 ABD 4 Bài 5: (2,0 điểm).

Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên đường tròn  O  lấy điểm B ( B khác A và C ).

Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD  3 AB. Đường thẳng vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của  O  tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của DC với đường tròn  O  , gọi H là giao điểm của BC

DẠ Y

và AF . Chứng minh rằng: a) HB.HC  HA.HF . b) Tam giác BED cân.

---------- HẾT ----------

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1: (2,0 điểm).

0,25 0,5

FI



OF

0,25

N

0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 0,5

NH Ơ



0,25

CI

A  82  36  8  6 Vậy A  2 .

2 1 12. b) B  1  3  2 1 B  1 3  2 3 2 B  3  1  3  1.

2. Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa. a) C   x  2 Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi  x  2  0 .  x2 2 b) D  x 2  x  0 Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi   x  2  0 x  0  . x  4

Điểm 1,0 0,5

AL

Nội dung 1. Không sử dụng máy tính cầm tay. Thực hiện phép tính. a) A  64  180. 0,2.

Bài 2: (2,0 điểm).

0,25 0,25

Điểm

Y

Nội dung

 x  10 3   1 1    :  2 x   x 2 x 2  x4

1,0

QU

Cho biểu thức: P  

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa. Rút gọn biểu thức P.

x  0 . x  4

M

Điều kiện: 

KÈ

 x  10 3   1 1  P   :  2 x   x 2 x 2  x4

0,5 0,25

x  10  3



x 2





x 2 x 2

:

 

x 2 x 2 x 2



4 x 4  x4   .  x  4    4  P  1 x

x 2



0,25

DẠ Y

0,25

b) Tìm các giá trị của x để P  2 .

Với x  0; x  4 , ta có: P  2  1  x  2   x  9 (Thỏa mãn điều kiện x  0; x  4 ) c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

x 3

Với x  0; x  4 , ta có: P  1  x  1 (do x  0 ) Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 1 khi P  1  x  0 .(Thỏa mãn điều kiện x  0; x  4 ) Page 2

0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Bài 3: (2,0 điểm). Điểm 2,0

AL

Nội dung Cho hàm số y   m  2  x  m  3. Khi m  1, ta có y   x  4.

1,0

0,25 0,25

CI

a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy khi m  1.

Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi m  2  0  m  2.

Khi m  1, ta có y   x  4. x 0 4 y 0 4

FI

0,25

0,25

NH Ơ

N

OF

Đồ thị

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 thì y  3  0

1,0 0,25

 0   m  2  .3  m  3

0,25 0,25

Y

 4m  3  0 3 Vậy với m  thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

4

QU

Bài 4: (2,0 điểm).

Điểm 2,0 1,0

KÈ

M

Nội dung   60, HB  a . Trên cạnh AC lấy Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, B điểm K (K không trùng A và C), gọi D là hình chiếu của A trên BK. a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a.

0,25

DẠ Y

0,25

Ta có: AB 

BH a   2a  cos ABH cos 60

0,25

AB2 4a 2 AB  BH.BC  BC    4a BH a   2a.tan 60  2a 3 AC  AB.tan ABC 2

0,25 0,25

Page 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 1 .

SBKC .cos 2 ABD 4

0,25

OF

FI

Kẻ DN  BC, KM  BC (M, N  BC) 1 BH.DN S BHD 2 a DN 1 DN Ta có   . = . 1 S BKC 1 BC.KM 4a KM 4 KM 2   DN  KM  DN  BD (2) sin KBC BD BK KM BK 2  BA  cos 2 ABD   BA = BD.BK = BD (3) BAK vuông tại A  cos ABD= BK BK 2 BK 2 BK S 1 1 S  (đpcm) .SBKC .cos 2 ABD Từ (1), (2), (3) ta có: BHD  cos 2 ABD BHD  S BKC 4 4

AL

1,0

CI

b) Chứng minh rằng SBHD 

Bài 5: (2,0 điểm).

Nội dung Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên đường tròn  O  lấy điểm B ( B khác A

N

và C ). Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD  3 AB. Đường thẳng vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của  O  tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của DC với đường

0,25 0,25 0,25

Điểm

2,0

NH Ơ

tròn  O  , gọi H là giao điểm của BC và AF . Chứng minh rằng:

1,0

0,25

KÈ

M

QU

Y

a) Chứng minh HB.HC  HA.HF .

ABC , ACF nội tiếp đường tròn  O  có cạnh AC là đường kính nên ABC vuông tại B ;

ACF vuông tại F .  ABC   AFC  90   AHB  FHC

0,25

DẠ Y

0,25

HB HA   HB.HC  HA.HF (đpcm).

HF HC b) Tam giác BED cân.

Gọi M là trung điểm của BD. Ta có  AFD  90  AF  DC  ABH  CFH 

 ABC  90  BC  AD Suy ra H là trực tâm ADC  DH  AC

Page 4

0,25 1,0 0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Mà AE  AC (vì AE là tiếp tuyến) Do đó: DH / / AE .

AH / / DE (cùng vuông góc với CD ) Suy ra AEDH là hình bình hành.

Nên AH  DE. (1)   EDM  (vì AH / / DE ) (2) Do đó: HAB

AL

0,25

0,25

BD (3) 2 Từ (1), (2), (3) suy ra ABH  DME  c.g .c 

CI

Có: AB  DM 

OF

FI

  DME ABH  90  EM  BD Tam giác BED có EM vừa là đường cao , vừa là đường trung tuyến nên tam giác BED cân tại E .

DẠ Y

KÈ

M

QU

Y

NH Ơ

N

HẾT

Page 5

0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

a)

x  2  0.

b)

 x  4

2

 2x  1 .

CI

OF

Bài 2: (2,0 điểm).

FI

Bài 1: (2,0 điểm).

1. Không sử dụng máy tính cầm tay. Thực hiện phép tính.

1 2  a) A  100  36  25 . b) B  .

2 3 2 3 2. Tìm các giá trị của x, biết:

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 07

 a 1   1 2    Cho biểu thức C    :   ,  a  0; a  1 . a  1 a  1 a  a a  1     a) Rút gọn biểu thức C.

NH Ơ

N

b) Tính giá trị của C khi a  3  2 2. c) Tìm các giá trị của a sao cho C  0.

Bài 3: (2,0 điểm).

Cho hai đường thẳng d1 : y  (m  2) x  m  4 và d2 : y  (n 1) x  3. a) Tìm điều kiện của m để hàm số có đồ thị d1 luôn luôn nghịch biến và điều kiện của n để hàm số có đồ thị d2 luôn luôn đồng biến.

b) Tìm các giá trị của m và n để hai đường thẳng d1 và d2 cùng đi qua điểm A(1;0).

Y

Bài 4: (1,0 điểm).

Để lợp một mái nhà bằng tôn, thợ sắt hàn khung sắt hình tam giác ABC (xem hình vẽ), biết một kích thước của khung sắt là BC  5 m , chiều dài khung sắt là AH  2 m và ACB  30. TÌm độ dài của AB độ dốc mái tôn phía sau là 

QU

A

2m

30°

H

5m

C

của khung sắt phía trước. (Kết quả cuối cùng làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

M

B

KÈ

Bài 5: (3,0 điểm).

Cho đường tròn tâm O đường kính BC, lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn (O) (A khác B và C).

Kẻ OE vuông góc với AB tại E và OF vuông góc với AC tại F, tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt CA tại D. Tia OE cắt BD tại M. Gọi I là giao điểm của BF và AO, gọi K là giao điểm của IC và OF.

DẠ Y

a) Chứng minh tứ giác OEAF là hình chữ nhật và DB2  DA.DC . b) Chứng minh MA là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Chứng minh K là trung điểm của OF.

Page 1

---------- HẾT ----------

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1: (2,0 điểm). Điểm 1,0 0,5

AL

Nội dung 1. Không sử dụng máy tính cầm tay. Thực hiện phép tính. a) A  100  36  25

0,25 0,25



0,5

2 3

2 3



2 3 2 3



 



2 2 3





2 3 2 3

FI

B

2 3

2





2 3 4 2 3   2  3 3.

43 43 2. Tìm các giá trị của x, biết: a) x 2 0  x 2 x 4 Vậy x  4.

OF

1

b) B 

CI

A  102  62  52 A  10  6  5  9

2

NH Ơ

 x  4

b)

N

B

 2x  1

 x  4  2x  1 nÕu x  4  x  4  2x  1     x  4  2x  1 nÕu x  4  x  5 nÕu x  4   x  1. Vậy x  1.  x  1 nÕu x  4

Y

Bài 2: (2,0 điểm).



a





a 1

a 1

:



a 1

:

DẠ Y



a



a 1

KÈ

a 1

C

M

 a 1   1 2    Cho biểu thức C    :   ,  a  0; a  1 .  a 1 a  a   a 1 a 1  a) Rút gọn biểu thức C.     a 1 1 2     C  :   a 1   a 1 a a 1 a 1 a 1     





a 1





a 1

1 a 1

a 1 , với  a  0; a  1 . a b) Tính giá trị của C khi a  3  2 2.

C

Page 2



0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25

Điểm

QU

Nội dung

0,25



2,0 1,0 0,25

0,25 0,25 0,25 0,5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Khi a  3  2 2 thì C 

0,25

2

2 1 c) Tìm các giá trị của a sao cho C  0. a 1  0  a  1  0 (vì Với a  0, a  1 ta có: C  0  a  0  a  1. Vậy khi 0  a  1 thì C  0.

AL

  2.

0,25 0,5

CI



2 1 2

3 2 2

   2  1

2 1 2



a  0)

0,25

FI

C

3  2 2 1

Bài 3: (2,0 điểm).

OF

Nội dung

Cho hai đường thẳng d1 : y  (m  2) x  m  4 và d2 : y  (n 1) x  3.

a) Tìm điều kiện của m để hàm số có đồ thị d1 luôn luôn nghịch biến và điều kiện của

n để hàm số có đồ thị d2 luôn luôn đồng biến.

NH Ơ

N

Hàm số có đồ thị d1 nghịch biến khi và chỉ khi m  2  0  m  2.

Hàm số có đồ thị d2 đồng biến khi và chỉ khi n  1  0  n  1. b) Tìm các giá trị của m và n để hai đường thẳng d1 và d2 cùng đi qua điểm A(1;0).

Y

Đường thẳng d1 đi qua điểm A(1;0) khi và chỉ khi 0  (m  2).1  m  4  2m  2  0  m  1. Đường thẳng d2 đi qua điểm A(1;0) khi và chỉ khi 0  (n 1).1  3  n  2  0  n  2.

Vậy với m  1 và n  2 thì hai đường thẳng d1 và d2 cùng đi qua điểm A(1;0).

Điểm 2,0 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,75 0,25

QU

Bài 4: (1,0 điểm).

0,25

Nội dung Điểm Để lợp một mái nhà bằng tôn, thợ sắt hàn khung sắt hình tam giác ABC (xem hình vẽ), biết một kích thước của khung sắt là BC  5 m , chiều dài khung sắt là AH  2 m và độ dốc mái 1,0 ACB  30. TÌm độ dài của AB của khung sắt phía trước. (Kết quả cuối tôn phía sau là  A

KÈ

M

cùng làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

DẠ Y

B

ACB  Ta có: tan 

2m 30° H

5m

C

AH AH  CH   2 3 m.

CH tan  ACB

0,25

Do đó: BH  BC  CH  5  2 3m.

0,25

Tam giác ABH vuông tại H nên: AB 2  AH 2  BH 2  AB  AH 2  BH 2

0,25

Page 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9



 AB  22  5  2 3



2

 2,52m.

0,25

AL

Bài 5: (3,0 điểm). Điểm 3,0

CI

Nội dung Cho đường tròn tâm O đường kính BC, lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn (O) (A khác B và C). Kẻ OE vuông góc với AB tại E và OF vuông góc với AC tại F, tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt CA tại D. Tia OE cắt BD tại M. Gọi I là giao điểm của BF và AO, gọi K là giao điểm của IC và OF. a) Chứng minh tứ giác OEAF là hình chữ nhật và DB 2  DA.DC .

Học sinh vẽ đủ hình để chứng minh câu a cho 0,25 điểm.

0,25

N

OF

FI

1,0

NH Ơ

ABC vuông tại A (do nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC), theo giả thiết tứ giác   AEO   AFO   90 .

OEAF có: EAF

 tứ giác OEAF là hình chữ nhật.

QU

Y

  90 .

Ta có: DB  BC (vì DB là tiếp tuyến của (O))  CBD DBC vuông tại B có đường cao BA, suy ra DB2  DA.DC (đpcm) b) Chứng minh MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có: OM  AB  OM là đường trung trực của AB  A và B đối xứng qua OM  OA  OB   MBO   90  MAO

DẠ Y

KÈ

M

 MA  OA Vậy: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm) c) Chứng minh K là trung điểm của OF. Do OF  AC tại F  F là trung điểm của AC. ABC có hai đường trung tuyến AO và BF cắt nhau tại I. Nên CI là đường trung tuyến thứ ba của ABC . Do đó CI đi qua trung điểm E của cạnh AB. (1) Mà: C, I, K thẳng hàng (2) Từ (1) và (2) suy ra: 4 điểm C, I, E, K thẳng hàng.

FK CK OK CK Do đó: và   AE CE BE CE FK OK Suy ra:  AE BE Mà: AE  BE Vậy FK  OK hay K là trung điểm của OK (đpcm)

Page 4

HẾT

0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25

0,25

0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 08 1. Không sử dụng máy tính cầm tay. Thực hiện phép tính.

1 1  .

2 3 2 3

2. Tìm các giá trị x, biết:

x 1  0 .

b)

( x  4) 2  2 x  1 .

OF

a)

FI

b) B 

a) A  9  49  25 .

CI

Bài 1: (2,0 điểm).



1 1   1 1    :  x   x 1 x 1  x 1

Bài 2: (2,0 điểm). Cho biểu thức: P  

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức P được xác định.

N

b) Rút gọn biểu thức P.

NH Ơ

c) Tính giá trị của P khi x  4.

Bài 3: (2,0 điểm).

Cho hàm số y  (m  3) x  m (1)

a) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 2) . b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cắt đồ thị hàm số y  (2m  1) x  1 (2).

Bài 4: (1,0 điểm).

Y

Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ AH  BD  H  BD  biết HD  3, 6cm và HB  6, 4cm.

QU

a) Tính AH .

b) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD .

Bài 5: (3,0 điểm).

M

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, E là một điểm trên đường tròn (O) (E không trùng với A; E không trung với B). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của dây AE, dây BE. Tiếp tuyến của đường tròn

KÈ

(O) tại B cắt ON kéo dài tại D.

a) Chứng minh OD vuông góc với BE. b) Chứng minh tam giác BDE là tam giác cân. c) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.

DẠ Y

d) Chứng minh tứ giác MONE là hình chữ nhật.

---------- HẾT ----------

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM NỘI DUNG

ĐIỂM

1.1.b

B

1.2.a







 

2



4 4 1

0,5

ĐKXĐ: x  0 x  1  0  x  1  x  1 (TMĐK) Vậy x  1 .

1 ( x  4) 2  2 x  1 , ĐKXĐ: x   2  x  4  2x 1  x  5  x  5( KTM )  x  4  2x 1      x  4  (2 x  1) 3 x  3  x  1(TM ) Vậy x  1 .

Biểu thức P có nghĩa khi :  x  0 x  0    x 1  0 x  1  x  0   x  0    x 0 x  1    x 1  0  x  1  1 1 2  0  0  x 1  x 1 Vậy với x  0; x  1 thì giá trị của biểu thức P xác định.

Với x  0; x  1 ta có:

0,5

0,5

a

NH Ơ

N

`1.2.b

1 1 2 3 2 3 4    2 3 2 3 2 3 2 3 22  3

0,5

AL

A  9  49  25  32  7 2  52  3  7  5  1 .

CI

1.1.a

FI

1

Ý

OF

BÀI

0,5



1 2 1 ( x  1).( x  1) x 1 :  .  2 ( x  1). x ( x  1).( x  1) ( x  1). x 2 x

x 1 2 x Thay x  4 vào P ta được: x 1 4 1 2 1 3 P    2.2 4 2 x 2 4 3 Vậy P  khi x  4 4

Đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 2) nên thay vào ta có: 1 2  (m  3).(1)  m  2m  1  m  2

DẠ Y

3

b

1,0

0,5

KÈ

a

M

Vậy P 

c

QU

b

Y

1   1 1  x  ( x  1) x  1  ( x  1)  1 P   : :  x   x 1 x  1  ( x  1). x ( x  1).( x  1)  x 1

2

y  (m  3) x  m (1) y  (2m  1) x  1 (2) Đồ thị hàm số (1) cắt đồ thị hàm số (2)

Page 2

 m  3  2m  1

1,0

 m  4

1,0

a

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD , ta có: AH 2  HB.HD  AH 2  6, 4.3, 6  23, 04  AH  4,8 (cm) Ta có: AD 2  HD.BD  AD 2  3, 6.10  36  AD  6  cm 

AB 2  HB.BD  AB 2  6, 4.10  64  AB  8  cm 

FI

b

0,5

CI

4

AL

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

b

Y

5

Chứng minh: OD  BE Xét BOE có OE  OB  R suy ra BOE cân tại O mà N là trung điểm của BE suy ra ON vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao suy ra ON  BE .

Mà O, N , D thẳng hàng nên OD  BE (đpcm).

Chứng minh: BDE cân Xét DNE và DNB NE  NB (vì N là trung điểm)   DNB  DNE

QU

a

NH Ơ

N

OF

Vậy S ABCD  AB. AD  48  cm 2 

0,5

0,25

0,75

0,75

DE  DB(cmt ) DO là cạnh chung   DBO  (hai góc tương ứng) Suy ra DEO  DBO (c.c.c) suy ra DEO Hay DE là tia tiếp tuyến của (O) tại E. Chứng minh: MONE là hình chữ nhật.   90O (1) Ta có: OE  OA  OB  AEB  E hay MEN   90O (2) Theo câu a ON  BE hay ONE

0,75

DẠ Y

KÈ

c

M

ND là cạnh chung Suy ra DNE  DNB (c.g .c) suy ra DE  DB hay BDE cân (đpcm) Chứng minh: DE là tia tiếp tuyến của (O) tại E. Xét DEO và DBO OE  OB  R

d

  90O (3) OM  BE mà AE  BE suy ra OM  AE hay OME Từ (1), (2), (3) suy ra MONE là hình chữ nhật. * Lưu ý: Mọi cách giải đúng nằm trong chương trình đều cho điểm tối đa.

HẾT Page 3

0,5

DẠ Y

KÈ

M

QU

Y

NH Ơ

N

OF

FI

CI

AL

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

Page 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 09

a) A 

x  2.

1

b) B 

x2

.

b) D 

1 2

1  3  .

3

Bài 2: (2,0 điểm).

2

OF

49  16  9 .

FI

2. Không sử dụng máy tính cầm tay. Thực hiện phép tính. a) C 

CI

Bài 1: (2,0 điểm).

1. Tìm các giá trị của x, để các biểu thức sau có nghĩa:

1   1 1   1   :  , (với a  0; a  1 ) a   a 1 a 1  a 1

Cho biểu thức E  

N

a) Rút gọn biểu thức E.

QU

Y

NH Ơ

b) Tính giá trị của biểu thức E khi a  3  2 2 . c) Có tồn tại giá trị nào của a, mà a  , a  0, a  1 để E nhận giá trị nguyên không? Vì sao?

Bài 3: (2,0 điểm).

Cho hàm số y  mx  3 có đồ thị là đường thẳng (d ) cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 3 . a) Tìm giá trị m . b) Với giá trị m vừa tìm được, hãy xét sự đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số. c) Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d ) với trục tung. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB .

Bài 4: (1,0 điểm).

Cho tam giác ABC vuông ở A, AB  30cm, AC  40cm , đường cao AH, đường trung tuyến AM. a) Tính AH, BH. . b) Tính HM, tan HAM

M

Bài 5: (3,0 điểm).

Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB . Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn  O  , tiếp tuyến tại M và tại B của nửa đường tròn  O  cắt nhau ở D . Qua O kẻ đường thẳng song song với MB

KÈ

, cắt tiếp tuyến tại M ở C và cắt tiếp tuyến tại B ở N . a) Chứng minh rằng tam giác CDN là tam giác cân. b) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn  O  .

DẠ Y

c) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn  O  để diện tích tam giác CDN đạt giá trị nhỏ nhất.

---------- HẾT ----------

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1: (2,0 điểm). Điểm 1,0

AL

Nội dung 1. Tìm các giá trị của x, để các biểu thức sau có nghĩa:

0,5

1

0,5

B có nghĩa khi và chỉ khi x  2  0  x  2.

Vậy với x  2 thì biểu thức B có nghĩa.

2. Không sử dụng máy tính cầm tay. Thực hiện phép tính.

49  16  9 .

C 7  4  = 7–4+3=6

b) D 

2

1 2 3



2

3



N

2

2

1 3 .

NH Ơ

a) C 

1  . 4  2 3    2 3 2 3 2 2  3   2 2  3   1

2

1 3

Y

D

FI

.

x2

OF

b) B 

CI

a) A  x  2 .

A có nghĩa khi và chỉ khi x  0 Vậy với x  0 thì biểu thức A có nghĩa.

Bài 2: (2,0 điểm).





1



a 1

a

:

  .

DẠ Y









E

1



a 1

a 1 a 1 

KÈ

 a  a 1  :  a 1 a     



M

QU

Nội dung 1   1 1   1 Cho biểu thức E     :  , (với a  0; a  1 ) a   a 1 a 1  a 1 a) Rút gọn biểu thức E. 1   1 1   1 E    :  , (với a  0; a  1 ) a   a 1 a 1  a 1

a





a 1

2

 a  1 a 1



0,5 0,5 1,0 0,5

0,25 0,25 0,5 0,25

0,25

Điểm 2,0 1,0

0,25



a 1 

 a  1

0,25

a 1

0,25

2

a 1 (với a  0; a  1 ) 2 a

0,25

b) Tính giá trị của biểu thức E khi a  3  2 2 .

Page 2

0,5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

2



22



2 1





2 1 2 2





2 1





2

2

1



2 1

0,25

2

2

0,25

2

CI



2 3 2 2





2 1

AL

3  2 2 1

Khi a  3  2 2 thì E 



a 1

OF

Với a   ta có: E nhận giá trị nguyên  2E nhận giá trị nguyên 

FI

c) Có tồn tại giá trị nào của a, mà a  , a  0, a  1 để E nhận giá trị nguyên không?

Vì sao? a 1 a 1 1 Với a  0; a  1 . Ta có: E   2E   1 2 a a a

 a  1 ( vì

a  0 )  a  1 (không thỏa mãn điều kiện a  1 ).

Nên không tồn tại giá trị a nào mà a  , a  0, a  1 để 2E nhận giá trị nguyên.

Vậy không tồn tại giá trị a nào mà a  , a  0, a  1 để 2E nhận giá trị nguyên.

0,5

0,25

0,25

N

Bài 3: (2,0 điểm).

NH Ơ

Nội dung Cho hàm số y  mx  3 có đồ thị là đường thẳng (d ) cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 3 . a) Tìm giá trị m .

Đường thẳng (d ) cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 3 khi 0  3m  3  m  1 .

Y

Vậy khi m  1 thì đường thẳng (d ) cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ bằng 3 . b) Với giá trị m vừa tìm được, hãy xét sự đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số.

QU

Do m  1  0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên  . c) Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d ) với trục tung. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB .

B  0; yB   (d )  yB  m.0  3  yB  3 Tọa độ điểm B(0;3)  OB  3 Tọa độ điểm A(3; 0)  OA  3

Điểm 2,0 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 1,0

M

0,25

DẠ Y

KÈ

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên đường thẳng AB thì OH là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB .

Tam giác OAB vuông tại O có OH là đường cao, ta có 1 1 1 1 1 2 9 3 2       OH 2   OH  .

2 2 2 OH OA OB 9 9 9 2 2 3 2 Vậy OH  .

2

0,5

0,25

Bài 4: (1,0 điểm).

Nội dung Cho tam giác ABC vuông ở A, AB  30cm , AC  40cm , đường cao AH, đường trung tuyến AM. Page 3

Điểm 1,0

CI

AL

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

a) Tính AH, BH. Tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, nên:

0,5

FI

BC  AB2  AC2  302  402  50  cm  .

AB.AC 30.40   AH  24  cm  BC 50 AB2 302 AB2  BH.BC  BH    18  cm  .

BC 50 . b) Tính HM, tan HAM

OF

BC.AH  AB.AC  AH 

 tan HAM

NH Ơ

 HM  AM 2  AH 2  252  242  7  cm 

N

Tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, nên: 1 AM  BC  25  cm  2 HM 7 .  AH 24

0,25 0,5

0,25 0,25

Nội dung Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB . Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn  O  ,

Điểm

tiếp tuyến tại M và tại B của nửa đường tròn  O  cắt nhau ở D . Qua O kẻ đường thẳng

3,0

Y

Bài 5: (3,0 điểm).

0,25

1,0

Học sinh vẽ đủ hình để chứng minh câu a cho 0,25 điểm.

M

QU

song song với MB , cắt tiếp tuyến tại M ở C và cắt tiếp tuyến tại B ở N . a) Chứng minh rằng tam giác CDN là tam giác cân.

DẠ Y

KÈ

0,25

DM DB  DC DN Mà DM  DB ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra DC  DN Vậy tam giác CDN là tam giác cân tại D . b) Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn  O  .

Ta có: BM / / CN 

Page 4

0,25 0,25 0,25 1,5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

Suy ra OAC  OBN   OBN  Do đó OAC   900 .

Ta có: BD  OB ( vì BD là tiếp tuyến)  OBN   900  AC  OA Nên OAC Vậy AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn  O  .

CI FI

NH Ơ

OF

N

Mà OM không đổi nên diện tích tam giác CDN đạt giá trị nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất.

Ta có: CD  AB  CD nhỏ nhất khi CD  AB  M là điểm chính giữa cung AB .

Y QU M KÈ DẠ Y

0,25

0,25

nhỏ nhất.

Ta có: OCD  OND (c.c.c); OM  CD (vì CD là tiếp tuyến).

Nên S CDN  2 S OCD  CD.OM .

Page 5

0,25

0,25

c) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn  O  để diện tích tam giác CDN đạt giá trị

HẾT

0,25

AL

   NDO   CDN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có: CDO 2 CDN cân tại D có DO là đường phân giác nên DO là đường trung trực của CN Do đó: OC  ON  (dđ) AOC  BON Mà OA  OB, 

0,25 0,5 0,25

0,25

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

L

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

FI CI A

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 10

x 2 2 x x 2x và B  với x  0, x  9 .   x x 3 x 3 x 9 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  16 .

Câu 1: (2,5 điểm). Cho hai biểu thức A 

x . x 3 c) Tìm các giá trị nguyên của x để P  0 với P  A.B .

Câu 2. (3,0 điểm). Cho hàm số y   m  1 x  m  3 1 (với m là tham số, m  1 ).

OF

b) Chứng minh B 

a) Khi m  0 , hãy vẽ đồ thị hàm số 1 trên mặt phẳng tọa độ Oxy .

ƠN

b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

c) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số 1 với hai trục tọa độ Ox, Oy .

NH

Tìm m sao cho OAB cân.

Câu 3. (4,0 điểm).

1) Ở Hà Nội có một tam giác vuông đặc sắc với đỉnh A (phía Đông) là vị trí Văn Miếu, đỉnh B (phía Bắc) là   72 . Con đường thẳng từ Văn Nhà Quốc Hội, đỉnh C (phía Tây) là Nhà Hát Lớn, trong đó A  90 và B

QU Y

Miếu đến Nhà Hát Lớn qua các phố Nguyễn Thái Học, Tràng Thi, Hàng Khay, Tràng Tiền dài khoảng 2,3 km. Hỏi độ dài đoạn thẳng từ Văn Miếu đến Nhà Quốc hội là bao nhiêu ki – lô – mét?

(Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

B

72°

2,3

A

C

M

2) Cho đường tròn  O; R  và dây AB khác đường kính. Kẻ OI vuông góc với AB tại I , tiếp tuyến

KÈ

của  O  tại A cắt đường thẳng OI tại M . a) Chứng minh: OI .OM  R 2 . b) Chứng minh: MB là tiếp tuyến của  O  và bốn điểm A, B, M , O cùng thuộc một đường tròn. c) Kẻ đường kính AD của  O  , tiếp tuyến của  O  tại D cắt đường thẳng AB tại N . Chứng minh:

DẠ

Y

MD  DN .

Câu 4. (0,5 điểm). Cho các số thực x, y thỏa mãn x 3  y 3  6 xy  11 .

7 Chứng minh rằng:   x  y  2 .

3 ---------- HẾT ---------Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

x . x 3 c) Tìm các giá trị nguyên của x để P  0 với P  A.B .

Hướng dẫn a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  16 .

Ta có x  16 ( thỏa mãn điều kiện), thay vào A ta được b) Chứng minh B 

b) Chứng minh B  Xét B 

OF

1 x 2 16  2 4  2 2 1     . Vậy A  khi x  16 .

2 4 4 2 x 16 x . x 3

2 x 2 x x 2x    x 3 x 3 x 9





x 3  x



 x  x  3 2x  6 x  x  3 x  2x x 3 x B     x  3 x  3  x  3 x  3  x  3 x  3  x 3



x  3  2x

x 3

NH





ƠN

A

FI CI A

L

HƯỚNG DẪN GIẢI x 2 2 x x 2x Câu 1: (2,5 điểm). Cho hai biểu thức A  và B  với x  0, x  9 .   x x 3 x 3 x 9 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  16 .

x x 3



(đpcm).

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P  0 với P  A.B

Mà

x 2 x .  x x 3

x 2 0 x 3

QU Y

Xét P  A.B 

x  3  0 với x  0, x  9 nên để P  0 thì

x 20 x  2 x  4

Kết hợp x  0, x  9 thì x thuộc 0  x  4 . Mặt khác x   , nên x  1, 2,3 Kết luận x  1, 2,3 thì P  0 với P  A.B .

Câu 2. (3,0 điểm). Cho hàm số y   m  1 x  m  3 1 (với m là tham số, m  1 ).

M

a) Khi m  0 , hãy vẽ đồ thị hàm số 1 trên mặt phẳng tọa độ Oxy .

KÈ

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. c) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số 1 với hai trục tọa độ Ox, Oy . Tìm m sao cho OAB cân.

Hướng dẫn a) Khi m  0 , hãy vẽ đồ thị hàm số 1 trên mặt phẳng tọa độ Oxy .

Y

Khi m  0 thay vào hàm số ta được y   x  3 .

DẠ

Cho x  0 thì y  3 ta được điểm  0; 3 thuộc đồ thị hàm số Cho y  0 thì x  3 ta được điểm  3;0  thuộc đồ thị hàm số Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm  0; 3 và  3;0  ta được đồ thị hàm số y   x  3 .

Page 2

OF

FI CI A

L

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

ƠN

x  0 Vì hàm số 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 suy ra  , thay vào hàm số ta được y 1 1  m  3  m  4 (thỏa mãn).

Vậy m  4 thì đồ thị hàm số 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

NH

c) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số 1 với hai trục tọa độ Ox, Oy . Tìm m sao cho OAB cân.

Xét hàm số y   m  1 x  m  3 1 (với m là tham số, m  1 )

Vì A là giao điểm của đồ thị hàm số 1 và trục Ox nên y A  0

3 m m 1

QU Y

Khi đó có: 0   m  1 x A  m  3  x A 

3 m  3 m  Ta có: A  ;0  nên OA  m 1  m 1  Vì B là giao điểm của đồ thị hàm số 1 và trục Oy nên xB  0

M

Khi đó có: yB   m  1 .0  m  3  yB  m  3

DẠ

Y

KÈ

Ta có: B  0; m  3 nên OB  m  3

Để OAB cân tại O thì OA  OB Page 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

 1  m  2  m  3 .   1  0 vì m  3  0  m  1  1   m  0  m 1  Theo điều kiện là m  1 nên các giá trị m thỏa mãn là: m  2;0 .

L

3 m m3 3 m  m3    m3 m 1 m 1 m 1

FI CI A

Suy ra:

OF

  450  a  tan BAx   m  1  tan 450  m  1  1   m  2 Cách 2: Để OAB cân tại O thì BAx m  0  (Theo điều kiện).

Vậy m  2;0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3. (4,0 điểm).

1) Ở Hà Nội có một tam giác vuông đặc sắc với đỉnh A (phía Đông) là vị trí Văn Miếu, đỉnh B (phía Bắc) là   72 . Con đường thẳng từ Văn Nhà Quốc Hội, đỉnh C (phía Tây) là Nhà Hát Lớn, trong đó A  90 và B

ƠN

Miếu đến Nhà Hát Lớn qua các phố Nguyễn Thái Học, Tràng Thi, Hàng Khay, Tràng Tiền dài khoảng 2,3 km. Hỏi độ dài đoạn thẳng từ Văn Miếu đến Nhà Quốc hội là bao nhiêu ki – lô – mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

B

NH

72°

2,3

A

C

QU Y

Hướng dẫn Xét tam giác vuông ABC tại có: AB  AC.cot 72  0, 7  km  Vậy khoảng cách từ Văn Miếu đến tòa nhà Quốc hội là 0, 7 km 2) Cho đường tròn  O; R  và dây AB khác đường kính. Kẻ OI vuông góc với AB tại I , tiếp tuyến của  O  tại A cắt đường thẳng OI tại M .

M

a) Chứng minh: OI .OM  R 2 . b) Chứng minh: MB là tiếp tuyến của  O  và bốn điểm A, B, M , O cùng thuộc một đường tròn.

KÈ

c) Kẻ đường kính AD của  O  , tiếp tuyến của  O  tại D cắt đường thẳng AB tại N . Chứng minh: MD  DN .

DẠ

Y

Hướng dẫn

Page 4

ƠN

OF

FI CI A

L

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

a) Chứng minh: OI .OM  R 2 .

Ta có tiếp tuyến với  O  tại A , suy ra MA  OA (tính chất tiếp tuyến).

NH

Xét AOM vuông tại A , có AI  OM (gt).

AO 2  OI .OM  OI .OM  R 2 (đpcm). b) Chứng minh: MB là tiếp tuyến của  O  và bốn điểm A, B, M , O cùng thuộc một đường tròn.

QU Y

Xét AOB cân tại O ( OA  OB  R ), có OI là đường cao đồng thời là phân giác. Suy ra  .

AOM  BOM Ta có AOM  BOM (c.g.c)  (cmt), OM chung.

Vì OA  OB  R ,  AOM  BOM   MBO   900 (góc tương ứng), vì MAO   900 (cmt).

Suy ra MAO Suy ra MB  OB mà OB là bán kính của  O  .

Vậy MB là tiếp tuyến của  O  .

KÈ

M

Xét AOM vuông tại A , suy ra A, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM .

Tương tự: B, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM .

Vậy bốn điểm A, B, M , O cùng thuộc một đường tròn. c) Kẻ đường kính AD của  O  , tiếp tuyến của  O  tại D cắt đường thẳng AB tại N . Chứng minh: MD  DN .

DẠ

Y

 ).   (cùng phụ với MAI Ta có AMO ∽ DAN (g.g) vì MAO ADN  900 và  AMO  DAN AM AO AM DO AM DA     Suy ra , mà AO  DO . Suy ra .

DA DN DA DN DO DN   ODN   900 và AM  DA .

Xét AMD và DON . Có MAD DO DN  (hai góc tương ứng).

Suy ra AMD ∽ DON , nên  AMD  DON Page 5

OF

FI CI A

 Mặt khác  AMD   ADM  900 , nên DON ADM  900 .    900 , suy ra DH  OH .

Xét DOH có DON ADM  900 , suy ra DHO Vậy MD  DN (đpcm).

Câu 4. (0,5 điểm). Cho các số thực x, y thỏa mãn x 3  y 3  6 xy  11 .

7 Chứng minh rằng:   x  y  2 .

3 Hướng dẫn Trước hết, ta dễ dàng chứng minh đc đẳng thức sau: 1 2 2 2 a 3  b3  c3  3abc   a  b  c   a  b    b  c    c  a     2 Áp dụng đẳng thức trên với ba số x, y, 2 ta có: 1 2 2 2 x3  y 3  23  6 xy   x  y  2   x  y    x  2    y  2   1   2

L

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

Theo đề bài ta có: x 3  y 3  6 xy  11 suy ra x3  y 3  23  6 xy  3  0 2

2

Suy ra: x  y  2

2

 *

ƠN

Mà  x  y    x  2    y  2   0 . Suy ra x  y  2  0

Ta lại có:  x  y    x  2    y  2    x  2    y  2  Mà x  y  2 suy ra

2

 x  y

2

2

2

2

NH

2

 4  x  y   8  18

7 3

**

QU Y

Từ 1 và  2  suy ra: x  y  

DẠ

Y

KÈ

M

Từ * và ** suy ra ĐPCM.

 2

Page 6

---HẾT---

2

 x  y  2

2

 4 x  y  8

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

FI CI A

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 11

L

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

Bài 1. (2 điểm) Câu 1. Thực hiện các phép tính:

2 2 33  . c) 3 12  (1  3) 2  1 .

10  3 10  3 11 1 Câu 2. Giải phương trình: 4 x  8  9 x  18  3 x  2  1 .

3 2 x 1 2x  3 x  9 x Bài 2 (2,0 điểm). Cho hai biểu thức: A  và B  với x  0 , x  9 .  x 9 x 3 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  36 .

2) Rút gọn biểu thức B .

A 3) Cho P  . Tìm giá trị nhỏ nhất của P .

B Bài 3 (2,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất y   m  2  x  m  1 có đồ thị là đường thẳng  d  (với m là tham số).

32  2 18  4 50 .

b)

NH

ƠN

OF

a)

1) Tìm m để  d  đi qua điểm A 1;  1 . Vẽ  d  với m vừa tìm được.

2) Với giá trị nào của m thì  d  và đường thẳng  d   : y  1  3 x song song với nhau ?

3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d  bằng 1 .

DẠ

Y

KÈ

M

QU Y

Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định ngoài (O) , kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) ( A, B là tiếp điểm).

1. Chứng minh rắng bốn điểm M , A, O, B thuộc một đường tròn.

2. Kẻ đường kính BD của (O) . Chứng minh OM vuông góc AB và MO song song với AD .

3. Trên cung nhỏ AB lấy điềm E và từ E kẻ tiếp tuyến với (O) cắt D MA, MB lần lượt tại I và K . Chứng minh chu vi tam giác MIK và độ lớn góc IOK không phụ thuộc vào vị tri điểm E . h 4. Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt MA, MB lần lượt tại H và G . Tìm vị trí điểm E để tổng IH  KG có độ dài nhỏ nhất.

Bài 5 (0,5 điểm ) Để đo chiều cao h của ngọn tháp một cách gián tiếp, bạn Nam đã C A 24m B dùng thước ngắm tại các vị trí A , B để nhìn lên ngọn tháp. Biết AB  24m , góc nhìn lên ngọn tháp tại các vị trí A , B lần lượt là   63 ,   48 . Em hãy giúp bạn Nam tính chiều cao h của ngọn tháp( làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

---------- HẾT ---------Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

L

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

a)

32  2 18  4 50

Câu 2. Giải phương trình:

b)

4x  8 

2 2  10  3 10  3

FI CI A

Bài 1. (2 điểm) Câu 1. Thực hiện các phép tính:

c) 3 12  (1  3) 2 

1 9 x  18  3 x  2  1 3 Hướng dẫn

Câu 1.

33 1 11

32  2 18  4 50  42.2  2 32.2  4 52.2  4 2  6 2  20 2  18 2.

b)

2 2 2( 10  3)  2( 10  3) 2 10  6  2 10  6 4 10     4 10.  10  9 1 10  3 10  3 ( 10  3)( 10  3)

OF

a)

M

QU Y

Câu 2. ĐKXĐ: x  2.

1 4x  8  9 x  18  3 x  2  1 3 1  4( x  2)  9( x  2)  3 x  2  1 3 1  2 x  2  .3 x  2  3 x  2  1 3  2 x  2 1 1  x2  2 1  x2 4 9  x  (Thỏa mãn) 4 9  Vậy phương trình có nghiệm S    . 4

ƠN

33 33  1  6 3  3  1  3  1  6 3.  1  3 22.3  1  3  11 11

NH

c) 3 12  (1  3) 2 

KÈ

2 x 1 2x  3 x  9 x và B  với x  0 , x  9 .  x 9 x 3 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  36 .

2) Rút gọn biểu thức B .

A 3) Cho P  . Tìm giá trị nhỏ nhất của P B Hướng dẫn 1) x  36 (thỏa mãn điều kiện)

DẠ

Y

Bài 2 (2,0 điểm). Cho hai biểu thức: A 

Page 2

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

2 x 1 2 36  1 11 ta được: A   .

3 x 3 36  3 11 Vậy với x  36 giá trị của A là .

3 2x  3 x  9 x x0,x 9.

2) B   x 9 x 3

B



x 3





2x  3 x  9 x 3



 

x



x 3

x 3

2x  3 x  9  x  3 x

 x  3  x  3 B  x  3 x  3



x 3





x6 x 9 x 3



x 3

2

x 3 với x  0 , x  9 . x 3

Vậy B 

3) Xét P 

2 x 1 A với A  ; B B x 3

x 3



x 3 x 3

A 2 x 1 x  3 2 x 1 x  3 2 x 1 .  :  .  B x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 7

Suy ra P 

x 3

M

P  2





NH

x 3 . x 3



x 3

QU Y

B

x 3



  2x  3 x  9   x  3 x   x  3 x  3  x  3 x  3

2x  3 x  9  x



x  x 3

FI CI A

x 3



OF

B



2x  3 x  9

ƠN

B

L

Thay x  36 vào biểu thức A 

Với x  0  x  3  3 

KÈ

1 .

3

7 7 7 7   2  2 3 x 3 3 x 3

P

1 tại x  0 .

3 Bài 3 (2,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất y   m  2  x  m  1 có đồ thị là đường thẳng  d  (với m là tham số).

Y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

DẠ

1) Tìm m để  d  đi qua điểm A 1;  1 . Vẽ  d  với m vừa tìm được.

2) Với giá trị nào của m thì  d  và đường thẳng  d   : y  1  3 x song song với nhau ?

3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d  bằng 1 .

Page 3

1) Tìm m để  d  đi qua điểm A 1;  1 . Vẽ  d  với m vừa tìm được. +) Vì  d  đi qua điểm A 1;  1 nên ta có:

 m  2  .1  m  1  1  m  2  m  1  1  2m  0  m  0 (tmđk) +) Với m  0 thì  d  : y  2 x  1 .

OF

+) Vẽ đồ thị đường thẳng  d  : y  2 x  1

FI CI A

Hướng dẫn +) Để hàm số y   m  2  x  m  1 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi m  2  0  m  2 .

L

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

Bảng giá trị:

x

1 1 3 1 Vậy đường thẳng  d  : y  2 x  1 đi qua điểm A 1;  1 và B  1;3

QU Y

NH

ƠN

y

2) Với giá trị nào của m thì  d  và đường thẳng  d   : y  1  3 x song song với nhau ? +) Đường thẳng  d  : y   m  2  x  m  1 song song với đường thẳng  d   : y  1  3 x khi và chỉ khi

KÈ

M

m  2  3 m  1  m  1 (tmđk)    m 1  1 m0 Vậy m  1 thì đường thẳng  d  song song với đường thẳng  d   .

3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d  bằng 1 . +) Gọi M  xM ; yM  là giao điểm của đường thẳng  d  với trục Ox , suy ra yM  0 . m 1  m 1  . Hay M   ; 0 . m2  m2  là giao điểm của đường thẳng  d  với trục Oy , suy ra xN  0 .

Y

Từ  d  : y   m  2  x  m  1 , suy ra xM  

DẠ

+) Gọi N  xN ; yN 

Từ  d  : y   m  2  x  m  1 , suy ra y N  m  1 . Hay N  0; m  1 .

Page 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 +) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên  d  . Khi đó OH là khoảng cách từ O đến  d  . Theo giả thiết

FI CI A

 m  2  1 1 2 2  m  1  m  1 2 m  2  1  1 2  m  1 2 2   m  2   1   m  1

L

ta có OH  1 . +) OMN vuông tại O có OH  MN , khi đó ta có: 1 1 1   2 2 OH OM ON 2 1 1 1  2   2 2 1 m 1 m 1  m2

ƠN

OF

2

 m 2  4m  4  1  m 2  2m  1

M

QU Y

NH

 6m  4 2  m  (tmđk) 3 2 Vậy m  thì khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d  bằng 1 .

3 Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định ngoài (O) , kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) ( A, B là tiếp điểm).

1. Chứng minh rắng bốn điểm M , A, O, B thuộc một đường tròn.

2. Kẻ đường kính BD của (O) . Chứng minh OM vuông góc AB và MO song song với AD .

3. Trên cung nhỏ AB lấy điềm E và từ E kẻ tiếp tuyến với (O) cắt MA, MB lần lượt tại I và K . Chứng minh chu vi tam giác MIK và độ lớn góc IOK không phụ thuộc vào vị tri điểm E .

4. Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt MA, MB lần lượt tại H và G . Tìm vị trí điểm E để tổng IH  KG có độ dài nhỏ nhất.

Hướng dẫn

KÈ

1. Xét tam giác MAO vuông tại A ( MA là tiếp tuyến của  O  ) có M , A, O thuộc đường tròn

Y

đường kính MO .

Xét tam giác MBO vuông tại A ( MB là tiếp tuyến của  O  ) có M , B, O thuộc đường tròn

DẠ

đường kính MO .

Suy ra M , A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO .

2. Xét tam giác OAB cân tại O có OM là đường phân giác (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) Page 5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

L

 OM đồng thời là đường cao  OM  AB .

Tam giác BAD nội tiếp đường tròn  O  có BD là đường kính nên là tam giác vuông tại A .

FI CI A

Suy ra AD  AB mà MO  AB (cmt) đo dó AD // MO .

3. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA  IE , KE  KB .

Ta có CVMIK  MI  MK  IK  MI  MK  IE  EK  MA  MB không đổi.

 , EOK   KOB  do đó IOK 1 AOI  IOE Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau  AOB không đổi.

2 4. Tam giác HMG có MO đồng thời là đường phân giác, đường cao nên là tam giác cân nên   MGO  , OH  OG (không đổi).

MHO

OF

  MOA   MOG   MOB  nên  .

MOH AOH  BOG Ta có  AIO   AOI  90 (1). Mặt khác

   EOK   KOB   BOG   180 HOA AOI  IOE 

ƠN

180    BOG  AOI  90 (2).  KOB AOI   90 hay KOG 2 .

AIO  KOG Từ (1) (2)  

NH

Xét tam giác IOH  OKG (g.g)  IH .KG  OH .OG (không đổi)

D

h

C

A

24m

Ta có IH  KG  2 IH .KG  2 OH .OG (không đổi).

Dấu bằng xảy ra khi IH  KG  MI  MK  IK // HG  IK  OM hay E là giao điểm của MO và  O  .

QU Y

Bài 5 (0,5 điểm ) Để đo chiều cao h của ngọn tháp một cách gián tiếp, bạn Nam đã dùng thước ngắm tại các vị trí A , B để nhìn lên ngọn tháp. Biết AB  24m , góc nhìn lên ngọn tháp tại các vị trí A , B lần lượt là   63 ,   48 . Em hãy giúp bạn Nam tính chiều cao h của ngọn tháp( làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn

D

h

Y

KÈ

M

Hình vẽ minh họa

DẠ

C A B   h.cot 63 .

Xét tam giác vuông ACD có: AC  CD.cot CAD   h.cot 48 .

Xét tam giác vuông BCD có: BC  CD.cot CBD Mà C , A, B thẳng hàng nên ta có: AB  BC  AC Page 6

B

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

 24  h.cot 48  h.cot 63 24  61, 4  m  . cot 48  cot 63

FI CI A

Vậy chiều cao của ngọn tháp là 61, 4 mét.

L

 24  h.  cot 63  cot 48   h 

DẠ

Y

KÈ

M

QU Y

NH

ƠN

OF

---HẾT---

Page 7

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

(2,5 điểm) Cho các biểu thức:

A

3 x x 1 và B   x 1 3 x



9 x 5



x 1

x 3





x với x  0; x  9 . x 1

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  4 .

2) Rút gọn biểu thức B .

3) Tìm x để biểu thức P  A.B có giá trị là số nguyên.

Bài 2. (1,0 điểm) Giải phương trình:

4x  5  2

OF

Bài 1.

FI CI A

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 12

ƠN

Bài 3. (2,5 điểm) Cho hàm số y  mx  3 có đồ thị là  d1  và hàm số y   1) Với m  1 .

L

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

1 x  3 có đồ thị là  d 2   m  0  . m

a) Vẽ các đồ thị  d1  và  d 2  trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

NH

b) Tìm tọa độ giao điểm của  d1  cắt  d 2  .

2) Gọi A là giao điểm của  d1  và  d 2  ; B và C lần lượt là giao điểm của  d1  và  d 2  với trục hoành. Tìm m để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó.

QU Y

Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn  O; R  và điểm A cố định thuộc đường tròn. Kẻ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn  O  tại A . Trên tia Ax lấy điểm M cố định ( M không trùng A ). Đường thẳng d thay đổi đi qua M và không đi qua tâm O , cắt  O  tại hai điểm B và C ( B nằm giữa C và M ;  ABC  900 ).

Gọi I là trung điểm của BC .

1) Chứng minh bốn điểm A, O, I , M cùng thuộc một đường tròn.

M

2) Vẽ đường kính AD của đường tròn  O  . Gọi H là trực tâm của ABC . Chứng minh rằng H đối

KÈ

xứng với D qua I . Tính HA biết tâm O cách đường thẳng d là 2 cm .

3) Chứng minh rằng H và A cùng thuộc một đường tròn cố định khi đường thẳng d thay đổi.

---------- HẾT ----------

DẠ

Y

Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình: x  4 x  3  2 3  2 x  11

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9





x 1

x 3





x với x  0; x  9 . x 1

FI CI A

9 x 5

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  4 .

2) Rút gọn biểu thức B .

3) Tìm x để biểu thức P  A.B có giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  4 .





x 1  3 x









x 1

x 1 x 3



x 3



9 x 5



x 1

x 3







x x 1

x x 1

 x  1  9 x  5  x  x  3  x  3 x  1  x  3 x  1  x  3 x  1   x  1 x  1   9 x  5   x  x  3   x  3 x  1   x  1   9 x  5    x  3 x    x  3 x  1 

x 1



x 1 9 x  5  x  3 x







x 1

2 x  6 x  4

 2  x  3 x  2    x  3 x  1 x 3



x 1

DẠ

Y



x 3

KÈ



M

QU Y





9 x 5

NH

B

Page 2

OF

1 Vậy với x  4 thì A  .

3 2) Rút gọn biểu thức B . +) Với x  0; x  9 ta có:

3 4 3 2 1   4 1 2 1 3

ƠN

+) Với x  4 (tmđk), ta thay x  4 vào biểu thức A ta có: A 

L

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1.(2,5 điểm) Cho các biểu thức: 3 x x 1 và B  A  x 1 3 x

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

 x  2  x  3 x  1 2  x  2    x  3 2  x  2  Vậy B  .  x  3 x 1

L



FI CI A

2

3) Tìm x để biểu thức P  A.B có giá trị là số nguyên. +) Với x  0; x  9 ta có:

P  A.B 







x  2 3 x 2 x  4 2    x 1 x 1 x 3



 x  1  1 , với mọi x  0; x  9 2   2 , với mọi x  0; x  9 x 1 2  2  4 , với mọi x  0; x  9 x 1 Hay P  4 , với mọi x  0; x  9 1

x 1



2





x 1

x 1

2 2  2 x 1 x 1

2  0 , với mọi x  0; x  9 x 1

QU Y

Và ta cũng có



x 1  2

ƠN

x  0 , với mọi x  0; x  9



NH

Ta có

2

OF



2  2 , với mọi x  0; x  9 , hay P  2 , với mọi x  0; x  9 x 1 +) Từ 1 và  2  ta suy ra 2  P  4 , với mọi x  0; x  9 .  2

 2

KÈ

M

+) Mà P nhận giá trị nguyên nên ta suy ra P  3 hoặc P  4 .

2 2 3  1  x  1  2  x  1  x  1 (tmđk) +) Với P  3 ta có: 2  x 1 x 1 2 2 4  2  x  1  1  x  0  x  0 (tmđk) +) Với P  4 ta có: 2  x 1 x 1 Vậy x  0 hoặc x  1 thì biểu thức P  A.B có giá trị là số nguyên.

4x  5  2 Hướng dẫn

Y

Bài 2. (1,0 điểm) Giải phương trình:

DẠ

5 Điều kiện 4 x  5  0  x   .

4 Ta có

4 x  5  2  4 x  5  4  4 x  1  x   Page 3

1 ( thỏa mãn điều kiện) 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

1) Với m  1 . a) Vẽ các đồ thị  d1  và  d 2  trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm của  d1  cắt  d 2  .

1 x  3 có đồ thị là  d 2   m  0  . m

FI CI A

Bài 3. (2,5 điểm) Cho hàm số y  mx  3 có đồ thị là  d1  và hàm số y  

L

 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S    .  4

2) Gọi A là giao điểm của  d1  và  d 2  ; B và C lần lượt là giao điểm của  d1  và  d 2  với trục

OF

hoành. Tìm m để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó.

Hướng dẫn 1) Với m  1 , ta có  d1  : y  x  3 ,  d 2  : y   x  3 .

QU Y

NH

ƠN

a) Vẽ các đồ thị  d1  và  d 2  trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của  d1  cắt  d 2  .

Cách 1. Dựa vào đồ thị ta tìm được giao điểm của  d1  và  d 2  là M  0;3 .

Cách 2. Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d1  và  d 2  : x  3   x  3  2 x  0  x  0 .

Thay x  0 vào phương trình  d1  : y  x  3  0  3  3 . Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là M  0;3 .

M

2) Gọi A là giao điểm của  d1  và  d 2  ; B và C lần lượt là giao điểm của  d1  và  d 2  với trục

Y

KÈ

hoành. Tìm m để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó.

1 1  + Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d1  và  d 2  : mx  3   x  3   m   x  0 m m   x  0 (với m  0 ).

Thay x  0 vào phương trình  d1  : y  mx  3  0  3  3 . Tọa độ giao điểm A  0;3 .

3  3  . Suy ra giao điểm B  ;0  . m m  với Ox : Cho y  0  y  3m . Vậy ta được C  3m ;0  .

DẠ

+ Giao điểm  d1  với Ox : Cho y  0  x   + Giao điểm  d 2 

Page 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ƠN

OF

FI CI A

L

 1 Với điều kiện m  0 , đường thẳng  d1  và  d 2  có tích hệ số góc là m.     1 nên d1 vuông với  m d 2 tại giao điểm A  0;3 của hai đường.

3  3m . m

NH

+ Trên hệ trục Oxy điểm B, C nằm về hai phía của gốc tọa độ O , BC  BO  OC 

QU Y

1 1 Diện tích S ABC  . AB.AC  .OA.BC .

2 2 Do OA  3  const nên diện tích ABC nhỏ nhất khi BC đạt giá trị nhỏ nhất.

3 Áp dụng Cosi dành cho hai số  , 3m ta có: m

3 3 3  3m  2  . 3m  2 9  6 . Dấu "  " xảy ra khi   3m hay m  1 . m m m 1 1 1 Vậy S ABC  . AB. AC  .OA.BC  .3.6  9 (đvdt) khi m  1 .

2 2 2 Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn  O; R  và điểm A cố định thuộc đường tròn. Kẻ tia Ax là tiếp tuyến của 

M

đường tròn  O  tại A . Trên tia Ax lấy điểm M cố định ( M không trùng A ). Đường thẳng d thay đổi

KÈ

đi qua M và không đi qua tâm O , cắt  O  tại hai điểm B và C ( B nằm giữa C và M ;  ABC  900 ).

Gọi I là trung điểm của BC .

1) Chứng minh bốn điểm A, O, I , M cùng thuộc một đường tròn.

2) Vẽ đường kính AD của đường tròn  O  . Gọi H là trực tâm của ABC . Chứng minh rằng H đối

DẠ

Y

xứng với D qua I . Tính HA biết tâm O cách đường thẳng d là 2 cm .

3) Chứng minh rằng H và A cùng thuộc một đường tròn cố định khi đường thẳng d thay đổi.

Hướng dẫn

Page 5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

K A F I M

B

C

OF

O

FI CI A

L

H

D

  900 1) Xét đường tròn  O  có AM là tiếp tuyến của đường tròn tại A nên OA  MA hay OAM

ƠN

Xét đường tròn  O  dây cung BC mà I là trung điểm của dây BC nên OI  BC

NH

  900 hay OIM Xét MAO vuông tại A nên điểm A thuộc đường tròn đường kính MO Xét MIO vuông tại I nên điểm I thuộc đường tròn đường kính MO Vậy bốn điểm A, O, I , M cùng thuộc một đường tròn.

2) Xét đường tròn  O  có AD là đường kính và B   O  nên  ABD  900 hay AB  BD

QU Y

Mà AB  HC (do H là trực tâm ABC ) nên suy ra BD / / HC Xét đường tròn  O  có AD là đường kính và C   O  nên  ACD  900 hay AC  CD

DẠ

Y

KÈ

M

Mà AC  HB (do H là trực tâm ABC ) nên suy ra CD / / HB Xét tứ giác HBDC có BD / / HC và CD / / HB nên tứ giác HBDC là hình bình hành mà có I là trung điểm của BC nên suy ra I là trung điểm của HD hay H đối xứng với D qua I .

Xét HAD có I là trung điểm của HD và O là trung điểm của AD nên IO là đường trung bình của 1 HAD . Suy ra : IO  HA 2 Ta có khoảng cách từ O đến d là đoạn OI nên suy ra OI  2 cm . Vậy HA  2.IO  4 cm 3) Vẽ hình bình hành OAFM mà O, A, M cố định nên F cố định và FA  MO (không đổi) Vì OAFM là hình bình hành nên FM / / AO và FM  AO 1 Gọi K là trung điểm đoạn AH . Khi đó có IK là đường trung bình của HAD nên IK  AD  AO 2 và IK / / AD  IK / / AO Từ đó suy ra IK / / FM ; IK  FM nên tứ giác IKFM là hình bình hành suy ra FK / / MI mà AH  MI nên AH  FK . Từ đó suy ra FHA cân tại F nên FA  FH Ta có: FA  FH và F cố định; FA không đổi nên H và A cùng thuộc đường tròn tâm cố định F với bán kính không đổi FA . Vậy H và A cùng thuộc một đường tròn cố định khi đường thẳng d thay đổi.

Page 6

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

FI CI A

L

Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình: x  4 x  3  2 3  2 x  11 Hướng dẫn 3 Điều kiện 3  x  .

2 Ta có x  4 x  3  2 3  2 x  11

 x  3  4 x  3  4  3  2x  2 3  2x 1  0

  3  2 x  1  0 Do  x  3  2   0 ;  3  2 x  1 2

2

x3 2 

2

2

 0 nên

 x  3  2  0 2  x  1.

3  2x 1  0   2  2 x  1  0  Vậy phương trình có tập nghiệm S  1 .

 



2

x3 2 

ƠN



OF



DẠ

Y

KÈ

M

QU Y

NH

---HẾT---

Page 7

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 13 1) Tính giá trị của các biểu thức sau:





18  50  8 : 2 .

2) Giải phương trình:

b) N 

1  32

4 x  12  x  3  2 .





2

3 1 .

FI

a) M 

CI

Bài I (2,0 điểm)

Bài II (2,0 điểm)

x 1 2 6 x với x  0; x  4 .   x 2 x 2 x4 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  .

4 x 2) Chứng minh B  . x 2 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A.B

OF

x 2 và B  2x 1

NH Ơ

N

Cho hai biểu thức: A 

Bài III. (2,5 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:  d  : y  2 x  3 và  d ' : y   m 2  2  x  m  1.

1) Vẽ đường thẳng  d  trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng  d  song song với đường thẳng  d ' .

Y

3) Tìm tất cả giá trị nguyên của m để hai đường thẳng

QU

là số nguyên.

 d  và  d ' cắt nhau tại điểm có hoành độ

Bài IV (3,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của (O) tại A , lấy điểm M . Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại C .

M

1) Chứng minh tam giác ABC vuông và MA2  MC.MB .

KÈ

2) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại I , đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại D .

Chứng minh bốn điểm M , C , I , A cùng thuộc một đường tròn.

  MDB .

3) Chứng minh MD là tiếp tuyến của (O) và MCD Bài V (0,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 .

DẠ Y

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  ab  c  bc  a  ca  b ---------- HẾT ----------

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

Bài I (2,0 điểm) 1) Tính giá trị của các biểu thức sau:





18  50  8 : 2 .

b) N 

1  32

4 x  12  x  3  2 .

2) Giải phương trình:

Hướng dẫn 1) Tính giá trị của các biểu thức sau:









18  50  8 : 2



2.32  2.52  2.22 : 2





6 2: 2  6.

Vậy M  6.





32



32

  3

2

 22

32





2

N

32



3 1

NH Ơ





1  32

3 1

 3  1 ( Vì

2

OF

 3 2 5 2 2 2 : 2

b) Ta có N 



3 1 .

FI

a) Ta có M 



CI

a) M 

AL

HƯỚNG DẪN GIẢI

3  1  0 nên

3 1  3 1 )

32  3 1 1   3  2  3 1  3 .

Vậy N  3.

2) Giải phương trình: 4 x  12  x  3  2 . +) Điều kiện: x  3  0  x  3.

QU

Y



M

+) PT  4  x  3  x  3  2

 2 x 3  x 3  2

DẠ Y

KÈ

 x 3  2  x 3  4  x  7.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  7.

Bài II (2,0 điểm) x 1 2 6 x x 2 Cho hai biểu thức: A  và B  với x  0; x  4 .   2x 1 x 2 x 2 x4 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  .

4 x 2) Chứng minh B  . x 2 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A.B Page 2

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Hướng dẫn

 

6 x x 2



x 2

CI FI 

x2 x  x 22 x 46 x



x2 x x 2

x



x 2



x 2



x 2

x 2





x 2



x 2



N



OF

  2  x  2  x  2   x  2  x  2  

x 2



NH Ơ



 x  2  x 1



x . x 2 x với x  0; x  4 x 2

Y



 

Vậy B  3) P  A.B

x 2 x .

2x 1 x  2



x 2x 1

M



QU



AL

1) Điều kiện xác định: x  0; x  4 1 Thay x  (thỏa mãn điều kiện xác định ) vào A ta có: 4 1 1 5 2 2 5 A= 4 2 2 .

1 1 3 3 2.  1 1 4 2 2 5 1 Vậy A = khi x  .

3 4 x 1 2 6 x 2) B    x 2 x 2 x4

0 0  0 2.0  1 1 - Với x  0; x  4 ta có: 1 2x 1 1  2 x P x x

- Với x  0 ta có P 

KÈ

(1)

DẠ Y

Do x  0; x  4 nên P  0 và 2 x  0;

1  0 . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x

1 1 1 2 x  2 2 x. 2 2 P x x

P

1

2 2



2 4 Page 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Dấu “=” xảy ra  2 x 

1 x

1) Vẽ đường thẳng  d  trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

OF

FI

CI

AL

 2x  1 1  x  (thỏa mãn điều kiện) 2 2 1 (2)  Pmax  x 4 2 2 1 Từ (1) và (2)  Pmax  x .

4 2 Bài III. (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:  d  : y  2 x  3 và  d ' : y   m 2  2  x  m  1.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng  d  song song với đường thẳng  d ' .

3) Tìm tất cả giá trị nguyên của m để hai đường thẳng

 d  và  d ' cắt nhau tại điểm có hoành độ

là số nguyên.

M

QU

Y

NH Ơ

N

Hướng dẫn 1) Đường thẳng  d  : y  2 x  3 đi qua điểm A(0; 3) và điểm B(1; 1).

KÈ

2) Để đường thẳng  d  song song với đường thẳng  d ' , thì:

DẠ Y

m  2 m 2  2  2     m  2  m  2.  m  1  3 m  2  Vậy với m  2 thì đường thẳng  d  song song với đường thẳng  d ' .

3) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của  d  và  d ' : 2 x  3   m2  2  x  m  1

  m2  4  x  m  2  0

  m2  4  x    m  2  Page 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Để hai đường thẳng  d  và  d ' cắt nhau thì m 2  4  0  m  2 .   m  2 1  2 m 4 2m Để x nhận giá trị nguyên thì 1  2  m  hay  2  m   Ư 1  1; 1

AL

Với m  2 , ta có: x 

Vậy với m  1;3 thì hai đường thẳng

CI

Với 2  m  1  m  1 (TM ) Với 2  m  1  m  3 (TM )

 d  và  d ' cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên.

FI

Bài IV (3,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của (O) tại A , lấy điểm M . Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại C .

Hướng dẫn

N

M

OF

1) Chứng minh tam giác ABC vuông và MA2  MC.MB .

2) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại I , đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại D .

Chứng minh bốn điểm M , C , I , A cùng thuộc một đường tròn.   MDB .

3) Chứng minh MD là tiếp tuyến của (O) và MCD

D

NH Ơ

C

I

A

B

QU

Y

O

DẠ Y

KÈ

M

a) Xét tam giác ABC có: CO là đường trung tuyến (vì O là trung điểm của AB ) AB CO  R  2  Tam giác ABC vuông tại C (tính chất)  AC vuông góc với BC Xét tam giác AMB có AC là đường cao Có: MA2  MC.MB (hệ thức lượng) b) tam giác MCA vuông tại C  M , C , A cùng thuộc đường tròn, đường kính AM (1) Tam giác MIA vuông tại I  M , I , A cùng thuộc đường tròn đường kính AM (2) Từ (1) và (2) suy ra: M , C , I , A cùng thuộc đường tròn đường kính AM c) Chứng minh OAI  OCI (c.g.c)  (hai góc tương ứng)  AOI  DOI Chứng minh OAM  ODM (c.g.c)   ODM  (hai góc tương ứng)  OAM Page 5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

  90o nên ODM   90o Mà OAM  MD  OD tại D thuộc  O   MD là tiếp tuyến của  O 

FI

CI

AL

* Chứng minh MCD đồng dạng với MDB Thật vậy: Ta có MA2  MC.MB (chứng minh trên) Mà MA  MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) MD MB  MD 2  MC.MB   MC MD Xét tam giác MCD và tam giác MDB có Góc CMB (góc chung) MD MB  MC MD

OF

  tam giác MCD đồng dạng với tam giác MDB (c.g.c)  MCD MDB .

Bài V (0,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 .

N

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  ab  c  bc  a  ca  b Hướng dẫn Tìm Min: Do a, b, c  0  ab  0; bc  0; ca  0  P  a  b  c

NH Ơ

Do a  b  c  1 nên 0  a  1  0  a  1  a ( a  1)  0  a  a .

Tương tự  b  b; c  c. Do đó P  a  b  c  a  b  c  1 .

Vậy MinP  1 . Dấu "  " xảy ra khi (a, b, c)  (1;0;0) và các bộ hoán vị của nó.

Tìm Max: Ta có P  ab  c  bc  a  ca  b Xét

ab  c  ab  (a  b  c)c  ab  ac  bc  c 2  (a  c)(b  c)

DẠ Y

KÈ

M

QU

xy 

Y

x y a  b  2c a  b  2c .  (a  c)(b  c)   ab  c  2 2 2 2a  b  c a  2b  c Tượng tự: bc  a  ; ca  b  .

2 2 4(a  b  c) Suy ra P  ab  c  bc  a  ca  b   2(a  b  c)  2.

2 1 Vậy MaxP  2. Dấu "  " xảy ra khi a  b  c  .

3 ---HẾT---

Áp dụng bất đẳng thức

Page 6

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

CI

OF

FI

Bài 1. (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A  2 48  4 27  75  2 3 .

1 b) Giải phương trình 9 x  27  x  3  4 x  12  6 .

2 Bài 2. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: x 2 x 2 x 4 4 và B  với x  0 ; x  1 .

A   x 1 x 1 x 1 x 1 a) Tính giá trị của biểu thức A biết x  25

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 14

x x 1 2B c) Tìm giá trị của x để Q  nhận giá trị nguyên.

A Bài 3. (2,0 điểm) Cho đường thẳng  d  : y  2 x  3 và đường thẳng  d ' : y   m  1 x  5

NH Ơ

(m là tham số, m  1 ) a) Vẽ đường thẳng  d  trên hệ trục tạo độ Oxy .

N

b) Chứng minh rằng B 

b) Tìm m để đường thẳng  d  song song với đường thẳng  d ' . c) Tìm m để hai đường thẳng  d  và  d ' cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục tung.

Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn  O; R  đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax , lấy điểm P trên Ax

Y

 AP  R  .

QU

Từ P kẻ tiếp tuyến PM của  O; R  ( M là tiếp điểm).

DẠ Y

KÈ

M

a) Chứng minh: bốn điểm A, P, M , O cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: BM / / OP . c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N . Chứng minh: tứ giác OBNP là hình bình hành. d) Giả sử AN cắt OP tại K ; PM cắt ON tại I ; PN cắt OM tại J . Chứng minh I , J , K thẳng hàng.

Bài 5. (0,5 điểm) Một vệ tinh nhân tạo địa tĩnh chuyển động theo một quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất một khoảng 35786 km, tâm quỹ đạo của vệ tinh trùng với tâm O của Trái Đất. Vệ tinh phát tín hiệu vô tuyến theo một đường thẳng đến một vị trí trên bề mặt trái đất. Hỏi vị trí xa nhất trên bề mặt Trái Đất có thể nhận tín hiệu từ vệ tinh này ở cách vệ tinh một khoảng là bao nhiêu km (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị). Biết rằng Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính khoảng 6400 km.

---------- HẾT ----------

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 HƯỚNG DẪN GIẢI

CI

AL

Bài 1. (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A  2 48  4 27  75  2 3 .

1 b) Giải phương trình 9 x  27  x  3  4 x  12  6 .

2 Hướng dẫn a) Ta có A  2 48  4 27  75  2 3 .

A  2 3.16  4 3.9  3.25  2 3

FI

A  2.4 3  4.3 3  5. 3  2 3 .

9 x  27  x  3 

b) Giải phương trình Điều kiện x  3 .

Ta có

9 x  27  x  3 

1 4 x  12  6 .

2

1 4 x  12  6 2

1 4  x  3  6 2  3 x 3  x 3  x 3  6

NH Ơ

N

 9  x  3  x  3 

OF

A  27 3 .

 x 3  2  x 3  4  x  7.

Vậy phuong trình có tập nghiệm S  7

QU

Y

Bài 2. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: x 2 x 2 x 4 4 và B  với x  0 ; x  1 .

A   x 1 x 1 x 1 x 1 a) Tính giá trị của biểu thức A biết x  25

x x 1 2B c) Tìm giá trị của x để Q  nhận giá trị nguyên.

A Hướng dẫn x 2 a) Ta có: A  với x  0 ; x  1 x 1 Tại x  25 (thỏa mãn đkxđ) thì giá trị biểu thức A là: A

KÈ

M

b) Chứng minh rằng B 

25  2 5  2 7   25  1 5  1 4

x 2 x 4 4 với x  0 ; x  1   x 1 x 1 x 1

DẠ Y

b) Ta có: B  B

B

x



 

   x  1 x  1

x 1  2 x  4  4

x x 2 x 44 x 4





x 1



x 1



x 1

Page 2

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

c) Ta có: Q 



x 1

x



 

x 1





x 1



x 1



x 1



x x 1

2 2B 2 x x 2 2 x x 1 2 x  :  .   A x 1 x 1 x 1 x  2 x 2

Theo ĐKXĐ là x  0 ; x  1 nên





x 2 4 x 2

2 x  0 hay Q  0 x 2

AL



x x

 2

4 x 2

CI

B

4 4  0 nên 2   2 hay Q  2 x 2 x 2 Vậy 0  Q  2 nên để Q  Z thì Q  0;1

FI

Và

OF

Khi Q  0  x  0 (thỏa mãn) 4  1  x  2  4  x  2  x  4 (thỏa mãn) Khi Q  1  x 2 Kết luận: x  0; 4 .

NH Ơ

(m là tham số, m  1 ) a) Vẽ đường thẳng  d  trên hệ trục tạo độ Oxy .

N

Bài 3. (2,0 điểm) Cho đường thẳng  d  : y  2 x  3 và đường thẳng  d ' : y   m  1 x  5

b) Tìm m để đường thẳng  d  song song với đường thẳng  d ' . c) Tìm m để hai đường thẳng  d  và  d ' cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục tung.

Hướng dẫn

a)  d  : y  2 x  3

Y

Với x  0 thì y  3 3 Với y  0 thì x  2

m  1  2  m 1  5  3

QU

 3  Đường thẳng  d  là đường thẳng đi qua hai điểm  0;3 và  ;0   2  b) Để đường thẳng  d  song song với đường thẳng  d ' thì

M

Vậy với m  1 thì  d  / /  d '

KÈ

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d  và  d ' :

2 x  3   m  1 x  5   m  1 x  2 x  3  5   m  1 x  2

DẠ Y

Với m  1  0  m  1 thì 0  2 (loại) 2 Với m  1  0  m  1 thì x  m 1 Để đường thẳng  d  cắt đường thẳng  d ' cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục tung thì 2  0  m 1  0  m  1 m 1 Vậy với m  1 thì đường thẳng  d  cắt đường thẳng  d ' cắt nhau tại điểm A nằm bên trái trục

tung

Page 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn  O; R  đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax , lấy điểm P trên Ax

 AP  R  .

AL

Từ P kẻ tiếp tuyến PM của  O; R  ( M là tiếp điểm).

FI

CI

a) Chứng minh: bốn điểm A, P, M , O cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: BM / / OP . c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N . Chứng minh: tứ giác OBNP là hình bình hành. d) Giả sử AN cắt OP tại K ; PM cắt ON tại I ; PN cắt OM tại J . Chứng minh I , J , K thẳng hàng.

Hướng dẫn N

P

I M K

B

NH Ơ

O

N

A

OF

J

  PMO   90 a) Vì PM và PA là các tiếp tuyến của đường tròn  O; R  nên PAO

QU

Y

Do đó: + Tam giác PAO vuông tại A nên nội tiếp đường tròn đường kính PO .

(1) + Tam giác PMO vuông tại M nên nội tiếp đường tròn đường kính PO . (2) Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, P, M , O cùng thuộc một đường tròn đường kính PO . b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, xét hai tiếp tuyến A và M cắt nhau ở P ta có OP là 1 1  phân giác của góc AOM suy ra:  (3) AOP  MOP AOM  180  BOM 2 2   1 180  BOM  (4) Ta thấy OMB cân tại O (do OM  OB  R ) nên OBM 2   Từ (3) và (4) suy ra AOP  OBM  OP / / BM (hai góc đồng vị bằng nhau).

 

 

M

c) Xét PAO và NOB có:   MOB    90  PAO

KÈ

OA  OB   R 

DẠ Y

  (theo câu b) AOP  OBM Do đó, PAO = NOB (g.c.g)  OP  BM Xét tứ giác OBNP có: OP  BM (cmt), OP / / BM (phần b) nên là hình bình hành. d) Dễ chứng minh APNO là hình chữ nhật suy ra K là trung điểm của mỗi đường PO và AN .  Ta có ON / / PA (cùng vuông góc với AB ) nên POI APO (so le trong) (5) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có PO là phân giác của góc APM suy ra   hay   (6) APO  MPO APO  IPO

  IPO   POI cân tại I .

Từ (5) và (6) suy ra POI Xét POI cân tại I có IK là đường trung tuyến nên cũng là đường cao  IK  PO (7).

Page 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

Hướng dẫn

NH Ơ

N

A

OF

FI

CI

AL

Mặt khác, xét tam giác PJO có hai đường cao PM và ON cắt nhau tại I suy ra I là trực tâm của tam giác  JI  PO (8) Từ (7) và (8) suy ra I , J , K thẳng hàng.

Bài 5. (0,5 điểm) Một vệ tinh nhân tạo địa tĩnh chuyển động theo một quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất một khoảng 35786 km, tâm quỹ đạo của vệ tinh trùng với tâm O của Trái Đất. Vệ tinh phát tín hiệu vô tuyến theo một đường thẳng đến một vị trí trên bề mặt trái đất. Hỏi vị trí xa nhất trên bề mặt Trái Đất có thể nhận tín hiệu từ vệ tinh này ở cách vệ tinh một khoảng là bao nhiêu km (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị). Biết rằng Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính khoảng 6400 km.

C

O

QU

Y

B

M

Từ hình vẽ, ta thấy điểm xa nhất mà vệ tinh (ở điểm A ) có thể truyền tín hiệu đến trên bề mặt Trái Đất là điểm B sao cho AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) .

Từ dữ kiện bài toán, ta có AO  AC  OC  35786  6400  42186 (km).

---------- HẾT ----------

DẠ Y

KÈ

Áp dụng định lý Pytago, ta có AB  OA2  OB 2  421862  64002  41697, 7 (km).

Vậy vị trí xa nhất mà vệ tinh truyền tín hiệu đến được trên bề mặt Trái Đất là  41697, 7 (km).

Page 5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 15 Bài 1 (3,0 điểm):

CI

2 x 2 x x  25 x x và B  với x  0; x  9; x  25 .   25  x x 3 x 5 x 5

Cho hai biểu thức: A 

2 x x 5

3) Với x  0 , đặt P 

B . Tìm giá trị nhỏ nhất của P A

Bài 2 (2,0 điểm):

N

1. Cho hàm số y  2 x  3 có đồ thị là đường thẳng  d1 

OF

2) Chứng minh: B 

FI

1) Tính giá trị biểu thức A với x  16

NH Ơ

a) Vẽ đồ thị đường thẳng  d1  trên mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tính khoảng các từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d1  ( Đơn vị trên các trục tọa độ là xentimet ) 2. Cho đường thẳng  d 2  : y   m 2  m  x  2m  1. m  0; m  1 . Tìm m để  d 2  song song với đường thẳng y  2 x  3 Bài 3 (1,0 điểm) :

QU

Y

Một người thợ dùng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao của cây dừa. biết khoảng cách từ gốc cây đến vị trí chân người thợ đứng là 5,1 m, chiều cao tính từ mặt đất đến chỗ đặt mắt người thợ ngắm là 1, 7 m. Hỏi với các số đo trên, người thợ đo được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến mét).

Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn  O  đường kính AB bằng 2R . Vẽ tiếp tuyến Ax với  O  . Trên tia Ax lấy điểm

M

E khác điểm A . Vẽ tiếp tuyến EP với  O  ( P là tiếp điểm, P khác A )

KÈ

1) Chứng minh bốn điểm A, E , P, O cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi K là trung điểm của BP . Tia OK cắt tia EP tại điểm F . Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn  O  3) Gọi H là giao điểm của AP với OE . Chứng minh: AB 2  4OH .OE 4) Gọi I là hình chiếu của P trên AB . Tìm vị trí của E trên tia Ax để OPI có chu vi lớn nhất.

DẠ Y

Bài 5 (0,5 điểm): Giải phương trình : 4 x 2  13 x  7  2 x  1  0 ---------- HẾT ----------

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 (3,0 điểm):

2 x 2 x x  25 x x và B  với x  0; x  9; x  25 .   25  x x 3 x 5 x 5 1) Tính giá trị biểu thức A với x  16

AL

Cho hai biểu thức: A 

2 x x 5 B 3) Với x  0 , đặt P  . Tìm giá trị nhỏ nhất của P A Hướng dẫn 1) Giá trị x  16 thỏa mãn điều kiện x  0; x  9 của biểu thức A . Thay x  16 vào A ta được:

FI

CI

2) Chứng minh: B 

2 16 8  8 43 16  3 Vậy khi x  16 thì A  8 . b) Với x  0; x  25 . Ta có:

 

2 x







x 5





 

x  25 x x 5



x  5  x  25 x 



x 5



x 5





  x  x  5 x 5

x



x 5

x 5





x 5



Y

x 5

x 5

2 x  10 x  x  25 x  x  5 x







2 x  10 x x 5

2 x



x 5



x 5



x 5

x 5



2 x . x 5



x 5





QU









M



2 x

x 5

KÈ



N

2 x x  25 x x   x  25 x 5 x 5





2 x x  25 x x   25  x x 5 x 5

NH Ơ

B

OF

A

2 x Với x  0; x  25 . x 5 3) Với; x  0; x  9; x  25 .

DẠ Y

Vậy B 

B 2 x 2 x 2 x x 3 x 3 8  :  .   1 A x 5 x 3 x 5 2 x x 5 x 5 8 8 8 8 3   1 Với x  0  x  0  x  5  5  .  1 P 5 5 x 5 5 x 5 Ta có: P 

Dấu "=" xảy ra khi x  0  x  0 không thỏa mãn điều kiện x  0 Vậy không có giá trị nào của x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Page 2

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Bài 2 (2,0 điểm): 1. Cho hàm số y  2 x  3 có đồ thị là đường thẳng  d1 

AL

a) Vẽ đồ thị đường thẳng  d1  trên mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tính khoảng các từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d1  ( Đơn vị trên các trục tọa độ là xentimet ) 2. Cho đường thẳng  d 2  : y   m 2  m  x  2m  1. m  0; m  1 . Tìm m để  d 2  song song với

CI

đường thẳng y  2 x  3 Hướng dẫn 1. a) Xét hàm số : y  2 x  3

FI

y

3 0

y

2 0

-3



-4

-3

3 2 1

-2 -1 O -1

3 2 1 A2 H

x 3

4

-2 -3 B -4

Y

NH Ơ

N

3   A  0;3 , B  ;0  thuộc đồ đường thẳng  d1  2  b) Kẻ OH  AB Xét OAB vuông tại O có : 1 1 1 ( Hệ thức về cạnh và đường cao   2 2 OH OA OB 2 trong tam giác vuông ) 3 Mà OA  3cm cm , OB  cm 2 1 1 1 3 5 1 1 4 5   2 .      OH  2 2 2 OH 3 3 5 OH 9 9 9   2



d

4

OF

x

QU

2.Để  d 2  :  d 2  : y  m 2  m x  2m  1  m  0; m  1 song song với đường thẳng y  2 x  3 thì

DẠ Y

KÈ

M

  m  1 m 2  m  2 a  a '     m  2  m  1 (TMĐK).   b  b ' 2m  1  3 m  2  Vậy với m  1 thì  d 2  song song với đường thẳng y  2 x  3 .

Bài 3 (1,0 điểm) : Một người thợ dùng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao của cây dừa. biết khoảng cách từ gốc cây đến vị trí chân người thợ đứng là 5,1 m, chiều cao tính từ mặt đất đến chỗ đặt mắt người thợ ngắm là 1, 7 m. Hỏi với các số đo trên, người thợ đo được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến mét).

Hướng dẫn Page 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

CI

AL

B

FI

C

E

A

5,1 m

D

OF

1,7 m

N

Sơ đồ người thợ đo cây được biểu diễn trên hình vẽ.

Gọi E là hình chiếu của C lên AB   EAD   Ta có: CEA ADC  90 suy ra tứ giác AECD là hình chữ nhật.

Suy ra EA  CD  1, 7 m , EC  AD  5,1m .

Xét tam giác vuông ADC vuông tại D .

NH Ơ

Áp dụng định lý pitago: AC  CD 2  AD 2  5,12  1, 7 2  1, 7 10 .

Mặt khác người thợ dùng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao của cây dừa suy ra  ACB =90 .

Xét tam giác vuông ACB đường cao CE Ta có: AE. AB  AC 2 (hệ thức tam giác vuông)





2

QU

Y

1, 7 10 AC 2  AB    17 m .

AE 1, 7 Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn  O  đường kính AB bằng 2R . Vẽ tiếp tuyến Ax với  O  . Trên tia Ax lấy điểm

E khác điểm A . Vẽ tiếp tuyến EP với  O  ( P là tiếp điểm, P khác A ) 1) Chứng minh bốn điểm A, E , P, O cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi K là trung điểm của BP . Tia OK cắt tia EP tại điểm F . Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn  O 

KÈ

M

3) Gọi H là giao điểm của AP với OE . Chứng minh: AB 2  4OH .OE 4) Gọi I là hình chiếu của P trên AB . Tìm vị trí của E trên tia Ax để OPI có chu vi lớn nhất.

DẠ Y

Hướng dẫn

Page 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

AL

x

E

A

B

I

OF

O

FI

F

K

H

CI

P

  900 1) Ta có: AE là tiếp tuyến của đường tròn tại  O  tại A nên AE  AO hay EAO

N

  900 Ta có : EP là tiếp tuyến của đường tròn tại  O  tại P nên EP  PO hay EPO

NH Ơ

Xét EAO vuông tại A nên điểm A thuộc đường tròn đường kính EO Xét EPO vuông tại P nên điểm P thuộc đường tròn đường kính EO Vậy bốn điểm A, E , P, O cùng thuộc một đường tròn.

2) Xét OPB cân tại O (do OP  OB  R ) mà có OK là đường trung tuyến nên OK đồng thời là   BOF  đường phân giác. Suy ra: POF

  BOF  ; OF chung nên suy ra POF  BOF  c.g .c  Xét POF và BOF có: OP  OB ; POF   FBO   900 nên BF là tiếp tuyến của đường tròn  O  Suy ra: FPO

3) Xét đường tròn  O  có hai tiếp tuyến EA và EP giao nhau tại E suy ra OE là tia phân giác của



QU

Y

 AOP mà OPA cân tại O (do OP  OA  R ) nên OE đồng thời là đường cao hay OE  AP tại H .

Xét EAO vuông tại A có đường cao AH nên OA2  OH .OE mà AB  2OA  AB 2  4OA2 Vậy AB 2  4OH .OE 4) Chu vi OPI là OP  OI  IP  R  OI  IP



Ta có:  OI  IP   2 OI 2  IP 2  2OP 2  2 R 2  OI  IP  R 2 2



M

Từ đó suy ra: OP  OI  IP  R  R 2  R 1  2



KÈ

Đẳng thức xảy ra khi OI  IP  OIP vuông cân tại I .   450  POA   1350  HOA   450   Khi đó POI AEO  450 Khi đó EAO vuông cân tại A suy ra AE  AO  R .





Vậy OPI có chu vi lớn nhất là R 1  2 khi điểm E thuộc tiếp tuyến Ax sao cho AE  R

DẠ Y

Bài 5 (0,5 điểm): Giải phương trình : 4 x 2  13 x  7  2 x  1  0 Hướng dẫn 2 Ta có: 4 x  13 x  7  2 x  1  0 điều kiện x  1 .  4 x 2  12 x  9  ( x  1  2 x  1  1)  0

  2 x  3  2







2

x 1 1  0





 2x  2  x 1 2x  4  x 1  0

Trường hợp 1: Page 5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

CI FI

 x  3 l       x  5  tm  .

4    x  2

OF

 x  1   4  2 x    x  2

2

AL

2 x  2  x  1 điều kiện x  1 .  4x2  9x  3  0  9  33 (l ) x  8  .    x  9  33 (tm)  8 Trường hợp 2 4  2 x  x  1 điều kiện x  1 .

DẠ Y

KÈ

M

QU

Y

NH Ơ

N

 5 9  33  Vậy tập nghiệm của phương trình S   ; .

8   4 ---------- HẾT ----------

Page 6

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 16

b) Giải phương trình sau:

9  x  1  27 2

Bài 2 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức:

FI

6 x 3 x 2  x 3 và B   với x  0 ; x  4 .  : 3 x x  2  x  2  x4 a) Tính giá trị của biểu thức A biết x  16 1 b) Chứng minh rằng B  x 3 c) Tìm giá trị của x để biểu thức P  A  B nhận giá trị nguyên.

CI

Bài 1 (1,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 3 8. 2  24 : 6  4 3 8

OF

A

QU

Y

NH Ơ

N

Bài 3 (2,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): y  x  3. a) Xác định tọa độ các giao điểm A và B của đường thẳng (d) với hai trục Ox, Oy. Vẽ (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy; b) Tính chu vi của tam giác OAB; c) Tìm m để đường thẳng (d’): y  (m 2  8) x  2m  m 2 song song với đường thẳng (d).

2. Một tàu ngầm ở trên mặt biển (điểm A) lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc 20 . Nếu tàu chuyển động theo phương AC lặn xuống đến vị trí C được 300m thì nó ở độ sâu theo phương thẳng đứng BC là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), (Xem hình vẽ mô tả).

Bài 4 (3,5 điểm) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn  O  , vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn  O  ( M , N là các tiếp điểm). Gọi H là giao của MN với OA . a. Chứng minh OA  MN và OM 2  OH .OA . b. Từ M kẻ đường kính MB của đường tròn  O  . Đường thẳng AB cắt đường tròn  O  tại C ( C khác B ). Chứng minh AC. AB  AH . AO .

EA MA .  EH MH d. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng MN tại D . Chứng minh DB  MB .

1 1 1 Bài 5 (0,5 điểm) Cho ba số a, b, c  2 và    1 . Chứng minh rằng  a  2  b  2  c  2   1 . a b c

DẠ Y

KÈ

M

c. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng OA với đường tròn  O  . Chứng minh

---------- HẾT ----------

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

AL

Bài 1 (1,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 3 8. 2  24 : 6  4 3 8 9  x  1  27 2

b) Giải phương trình sau:

Hướng dẫn a) 3 8. 2  24 : 6  4 8

CI

3

b)

9  x  1  27  3 2

 x  1

2

 27 

 x  1

2

FI

 3.2 2. 2  2 6 : 6  4.2  12  2  8  6 9

OF

 x 1  9  x  10   x 1  9    x  1  9  x  8 Vậy x  10; 8 .

Bài 2 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức:

6 x 3 x 2  x 3 và B   với x  0 ; x  4 .   : x  4 3 x x  2 x  2   a) Tính giá trị của biểu thức A biết x  16 1 b) Chứng minh rằng B  x 3 c) Tìm giá trị của x để biểu thức P  A  B nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn 3 x a) Ta có: A  với x  0 ; x  4 3 x Tại x  16 (thỏa mãn đkxđ) thì giá trị biểu thức A là:

Y

NH Ơ

N

A



x 2



KÈ

B

 x  2 :  x  2 x  2

6 x 2

M

B

DẠ Y

B

QU

3 16 3.4 12   3  16 3  4 7 6 x 2  x 3 b) Ta có: B   với x  0 ; x  4  : x  2  x  2  x4 A

x 2

x 2



.

x 3 x 2

x 2 x 3

1 x 3

a) Ta có: P  A  B 

3 x 1 3 x 1 3    3 x x 3 x 3

Theo ĐKXĐ là x  0 ; x  4 nên Và





x 3 8 x 3

3 x 1  0 hay P  0 x 2

8 8  0 nên 3   3 hay P  3 x 3 x 3 Page 2

 3

8 x 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Vậy 0  P  3 nên để P  Z thì P  1; 2 8  2  x  3  4  x  1  x  1 (thỏa mãn) x 3 8  1  x  3  8  x  5  x  25 (thỏa mãn) Khi P  2  x 3 Kết luận: x  1; 25

CI

AL

Khi P  1 

NH Ơ

N

OF

FI

Bài 3 (2,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): y  x  3. a) Xác định tọa độ các giao điểm A và B của đường thẳng (d) với hai trục Ox, Oy. Vẽ (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy; b) Tính chu vi của tam giác OAB; c) Tìm m để đường thẳng (d’): y  (m 2  8) x  2m  m 2 song song với đường thẳng (d).

2. Một tàu ngầm ở trên mặt biển (điểm A) lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc 20 . Nếu tàu chuyển động theo phương AC lặn xuống đến vị trí C được 300m thì nó ở độ sâu theo phương thẳng đứng BC là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), (Xem hình vẽ mô tả).

Hướng dẫn 1. a) Ta có bảng: x 0 3 y -3 0  A  3;0    B  0; 3 b) Ta có: OA  3  3  dvdd 

OB  3  3  dvdd 

Y

AB  OA2  OB 2  32  32  3 2  dvdd 

QU

 COAB  OA  OB  AB  3  3  3 2  6  3 2  dvdd  Vậy COAB  6  3 2 dvdd.

KÈ

M

m  3 2 2 m  3 m  8  1 m  9   2   m  3  m  3 c) Để (d) // (d’)   2  m  3 m  1  0 2m  m  3 m  2m  3  0 m  1  Vậy m  3.

2. Độ sâu theo phương thẳng đứng BC của chiếc tàu ngầm là: BC  AC.sin  20   300.sin  20   102, 6  m  .

Bài 4 (3,5 điểm) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn  O  , vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn  O  ( M , N

DẠ Y

là các tiếp điểm). Gọi H là giao của MN với OA . a. Chứng minh OA  MN và OM 2  OH .OA . b. Từ M kẻ đường kính MB của đường tròn  O  . Đường thẳng AB cắt đường tròn  O  tại C ( C khác B ). Chứng minh AC. AB  AH . AO . c. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng OA với đường tròn  O  . Chứng minh

Page 3

EA MA .  EH MH

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

AL

d. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng MN tại D . Chứng minh DB  MB .

Hướng dẫn a. Chứng minh OA  MN và OM 2  OH .OA .

Ta có hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn  O 

CI

cắt nhau tại A , suy ra tia OA và tia AO là phân giác  và MAN  , AM  AN (tính chất hai tiếp tuyến MON

FI

cắt nhau) Xét OMN cân tại O ( OM  ON  R ), OA là phân  (cmt), suy ra OA đồng thời là đường cao. giác MON Vậy OA  MN .

Ta có AM là tiếp tuyến của đường tròn  O  , suy ra

N

OF

AM  OM tại M , nên  AMO  900 .

Xét OMA vuông tại M , có MH  OA (cmt).

Vậy OM 2  OH .OA (hệ thức lượng).

Và AM 2  AH . AO (hệ thức lượng) (1). b. Từ M kẻ đường kính MB của đường tròn  O  . Đường thẳng AB cắt đường tròn  O  tại C ( C

NH Ơ

khác B ). Chứng minh AC. AB  AH . AO .

Xét MBC có M , B, C   O  và MB là đường kính. Suy ra MBC vuông tại C (đ.lí).

Suy ra MC  CB hay MC  AB .

Xét AMB vuông tại M và MC  AB .

Suy ra AM 2  AC. AB (hệ thức lượng) (2).

Từ (1) và (2), vậy AC. AB  AH . AO (đpcm).

c. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng OA với đường tròn  O  . Chứng minh

QU

Y

  OEM  (t/c) (3).

Xét OME cân tại O ( OM  OE  R ), suy ra OME   OEM   900 (4).

Xét MHE vuông tại H , suy ra HME

EA MA .  EH MH

KÈ

M

  900 (5).

Và  AMO  900 (cmt), hay  AMO   AME  OME  .

AME , nên ME là phân giác của HMA Từ (3), (4), (5) suy ra HME  . Vậy EA  MA (t/c đường phân giác trong của tam Xét HMA có ME là phân giác của HMA EH MH giác). d. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng MN tại D . Chứng minh DB  MB .

Gọi OD giao AB tại K .

Xét OHD và OKA có:  chung, OHD   OKA   900 . Suy ra OHD ∽ OKA (g.g).

KOH OH OD (t/c), suy ra OH .OA  OK .OD (6).  OK OA Mặt khác OH .OA  MO 2 (cmt) và MO  OB  R .

Suy ra OH .OA  OB 2 (7).

OB OD Từ (6) và (7) suy ra OB 2  OK .OD  .  OK OB  chung, OB  OD .

Xét OKB và OBD có DOB OK OB

DẠ Y

Suy ra

Page 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

FI

CI

AL

  OKB   900 , hay DB  BO .

Suy ra OKB ∽ OBD (c.g.c), nên OBD Vậy DB  MB (đpcm).

1 1 1 Bài 5 (0,5 điểm) Cho ba số a, b, c  2 và    1 . Chứng minh rằng  a  2  b  2  c  2   1 . a b c Hướng dẫn 1 b2 c2 1 1 1 1 1 Từ giả thiết ta có:         hay   a 2b 2c a 2 b 2 c 1 c2 a2 1 a2 b2 Tương tự ta có:  và    b 2c 2a c 2a 2b Vì a, b, c  2 nên a  2  0, b  2  0, c  2  0 .

1 b2 c2 b2 c2   2 .  a 2b 2c 2b 2c

 b  2  c  2  (1)

OF

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

bc

 a  2  c  2  (2); 1   a  2  b  2  (3).

1  b ac c ab Nhân (1), (2) ,(3) vế theo vế ta được:  a  2  b  2  c  2  hay a  2 b  2 c  2  1 (đpcm).

1      abc abc Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  3 .

Nhận xét: Ta có thể tổng quát bài toán cho nhiều số hạng.

1 1 1 * Cho a1 , a2 ,..., an  n  1 và   ...   1 . a1 a2 an

NH Ơ

N

Chứng minh tương tự ta được:

Chứng minh rằng:  a1   n  1  .  a2   n  1  ...  an   n  1   1 .  n  ak   n  1        k  2  ak .  n  1  Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho n  1 số ta có: n  1 1 1    a1 k  2  n  1 ak

Y

Từ giả thiết ta có:

n

k 2

 n  1

n 1

n

. ak

n

 n 1

 a   n  1 k 2

k 2

k

n

a k 2

k

1 n 1  a2   n  1  .  a3   n  1  ...  an   n  1   a1 a2 a3 ....an

M

Nghĩa là

QU

n  a   n  1  1    k    n  1 .n 1 a1 k  2  ak .  n  1 

 ak   n  1

KÈ

Chứng minh tương tự có:

1 n 1  a1   n  1  .  a3   n  1  ...  an   n  1   a2 a1a3 ....an

….

DẠ Y

1 n 1  a1   n  1  .  a2   n  1  ...  an 1   n  1   an a1a2 ....an 1 Nhân các bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm.

Page 5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

NH Ơ

N

OF

FI

CI

AL

Cách thầy Phạm Văn Tuyên

DẠ Y

KÈ

M

QU

Y

---HẾT---

Page 6

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 17

a)

27  48 





3 1

2

b)

1 1 3 4 3 32

2) Giải các phương trình sau:

x2  2x  1  5

b)

1 x  5  4 x  20  3  0 2

FI

a)

CI

Bài 1 (2,0 điểm).

1) Rút gọn các biểu thức sau:

NH Ơ

N

OF

Bài 2 (2,0 điểm). Cho hai biểu thức: x2 x 4 x 2 x x4 và B  với x  0; x  4 A   x 2 x 2 x 2 x4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 . x 2) Chứng minh: B  . x 2 3) Đặt P  A : B . So sánh P và 2 .

Bài 3 (2,0 điểm) . Cho hàm số bậc nhất y   m  1 x  4 có đồ thị là đường thẳng  d 

1.Tìm m để đường thẳng  d  đi qua điểm C  2;8  . Vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị m vừa tìm được 2.Tìm m để đường thẳng  d  song song với đồ thị hàm số y  3  2 x 3.Tìm m để đường thẳng  d  tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 4 ( đơn vị

Y

diện tích )

QU

Bài 4 (3,5 điểm).

1. Một bể bơi hình chữ nhật có chiều dài đường chéo là 25m. Góc tạo bởi đường chéo và chiều rộng là 680 . Hãy tính chiều dài và chiều rộng của bể bơi. (Làm tròn đến số thập phân thứ nhất).

2. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn  O  , kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới  O  , ( B, C là tiếp điểm).

M

Gọi H là giao điểm của AO và BC .

a. Chứng minh 4 điểm A; B; O; C cùng thuộc đường tròn

KÈ

b. Kẻ đường kính CD của  O  ; DA cắt  O  tại E  E  D  . Chứng minh OA  BC và AE. AD  AH . AO .

c. Gọi M là trung điểm của AC , BC cắt ME tại N ; DE cắt BC tại I . Chứng minh ME là tiếp tuyến của  O  và OI  AN

DẠ Y

Bài 5 (0,5 điểm ) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z  xyz .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

1 1 x

2



1 1 y

2



1 1 z2

---------- HẾT ----------

Page 1

.

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1 (2,0 điểm).

27  48 





3 1

2

b)

1 1 3 4 3 32

2) Giải các phương trình sau:

x2  2x  1  5

b)

1 x  5  4 x  20  3  0 2

FI

a)





3 1

2

 3 3  4 3  3  1  1

1 1 32 3 4   3 4   3 2 3 4  2 3 3 4 32

N

2) a)



x2  2x  1  5

 x  1

2

NH Ơ

b)

27  48 

OF

Hướng dẫn 1) a)

5

 x 1  5  x 1  5 x  6    x  1  5  x  4 Kết luân: x  4;6

ĐK: x  5

QU

Y

1 x  5  4 x  20  3  0 2 1  x 5 2 x 5 3  0 2 3  x 5  3 2

b)

M

 x 5  2  x  5  4  x  9 (thỏa mãn)

KÈ

Kết luận: x  9 .

Bài 2 (2,0 điểm). Cho hai biểu thức:

x2 x 4 x 2 x x4 và B  với x  0; x  4   x 2 x 2 x 2 x4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 .

DẠ Y

A

2) Chứng minh: B 

x . x 2

3) Đặt P  A : B . So sánh P và 2 .

Hướng dẫn Page 2

CI

a)

AL

1) Rút gọn các biểu thức sau:

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

x2 x 4 với x  0; x  4 x 2

Thay x  9 (thỏa mãn đkxđ) vào biểu thức A ta có: A 

 x  2   x  4 x  2  x  2 





x 2



x 2

x2 x x 2



3) Ta có: P  A : B 

x 2



 



x



x 2

x 2





x 2





x x 2

OF

x4 x 4 x2 x  x4

N

B

2

x2 x 4 x x2 x 4 x 2 x2 x 4 :  .  x 2 x 2 x 2 x x

NH Ơ

B

 

x 2  x

FI

 B

x 2 x x4 với x  0; x  4   x 2 x 2 x4

CI

2) Ta có: B 

9  2 9  4 9  2.3  4  7 3 2 9 2

AL

1) Ta có: A 

x2 x 4 x2 x 42 x x4 x 4 2   Xét P  2  x x x Theo ĐKXĐ: x  0; x  4



x 2



2

0;

x 2



2

x

x  0 với mọi x  0; x  4

Y

Nhận xét:



QU

Suy ra: P  2  0  P  2 với mọi x  0; x  4 Vậy P  2 Bài 3 (2,0 điểm) . Cho hàm số bậc nhất y   m  1 x  4 có đồ thị là đường thẳng  d  1.Tìm m để đường thẳng  d  đi qua điểm C  2;8  . Vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị m vừa tìm được

M

2.Tìm m để đường thẳng  d  song song với đồ thị hàm số y  3  2 x

KÈ

3.Tìm m để đường thẳng  d  tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 4 ( đơn vị diện tích )

Hướng dẫn

DẠ Y

Điều kiện : m  1 1.Thay điểm C  2;8  vào hàm số y   m  1 x  4 ta được :

8   m  1 .2  4  8  2m  2  4  m  3

Với m  3 hàm số có dạng y  2 x  4 Page 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

y 5

(d): y=2x+4

AL

4 3

1 -3 -2

-1

1

2

3

-1 -2

x

OF

-3

4

FI

-4

CI

2

-4

N

2. Để đường thẳng  d  song song với đồ thị hàm số y  3  2 x thì

NH Ơ

a  a ' m  1  2   m  1 (TMĐK)  b  b ' 4  3

3. Xét giao điểm của đường thẳng  d  với trục tung và trục hoành

 d  với trục hoành suy ra

B  xB ; yB  là giao điểm của

 d  với trục tung suy ra

Diện tích tam giác OAB là

S

QU

Y

A  x A ; y A  là giao điểm của

S

OAB

xB  0  yB  4 . Tọa độ B  0; 4  .

1  OA.OB 2

4 1 4  S OAB  .4.

2 m 1 m 1

KÈ

Mặt khác :

4  4  . Tọa độ A  ;0  . m 1  m 1 

M

Mà OB  4 , OA 

OAB

y A  0  xA 

 4 (đơn vị diện tích ) . Suy ra :

DẠ Y

 4  m 1  2  m  1  2  m  1 4 4 2. 4 2   ( Thỏa mãn ) m 1 m 1 m  1  2 m  3  4  2  m  1

Vậy với m  1, m  3 đường thẳng  d  tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích).

Page 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

Bài 4 (3,5 điểm).

AL

1. Một bể bơi hình chữ nhật có chiều dài đường chéo là 25m. Góc tạo bởi đường chéo và chiều rộng là 680 . Hãy tính chiều dài và chiều rộng của bể bơi. (Làm tròn đến số thập phân thứ nhất).

CI

2. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn  O  , kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới  O  , ( B, C là tiếp điểm).

Gọi H là giao điểm của AO và BC . a. Chứng minh 4 điểm A; B; O; C cùng thuộc đường tròn

FI

b. Kẻ đường kính CD của  O  ; DA cắt  O  tại E  E  D  . Chứng minh OA  BC và AE. AD  AH . AO .

OF

c. Gọi M là trung điểm của AC , BC cắt ME tại N ; DE cắt BC tại I . Chứng minh ME là tiếp tuyến của  O  và OI  AN Hướng dẫn

N

1) Một bể bơi hình chữ nhật có chiều dài đường chéo là 25m. Góc tạo bởi đường chéo và chiều rộng là 680 . Hãy tính chiều dài và chiều rộng của bể bơi. (Làm tròn đến số thập phân thứ nhất).

NH Ơ

Theo bài ra ta có: AC  25 Xét trong tam giác vuông ABC ta có:

sin  680  

AB  AB  25.sin  680   23, 2  m  25

cos  680  

BC  BC  25.cos  680   9, 4  m  25

Y

2)

QU

a) Chứng minh 4 điểm A; B; O; C cùng thuộc đường tròn

  OCA   900 Ta có hai tiếp tuyến AB và AC tới  O  nên OBA theo tính chất tiếp tuyến. Vậy 4 điểm A; B; O; C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

M

b) Chứng minh OA  BC và AE. AD  AH . AO .

KÈ

Ta có: OB  OC  R và AB  AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên OA là trung trực đoạn BC Vậy OA  BC

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ADC vuông tại C ta có: AE. AD  AC 2

DẠ Y

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC vuông tại H ta có: AH . AO  AC 2 Vậy AE. AD  AH . AO c) Chứng minh ME là tiếp tuyến của  O  và OI  AN Ta có: OE  OD  OC 

1 DC nên DEC vuông tại E 2 Page 5

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Xét AEC với M là trung điểm đoạn AC nên ME  MC  MA Xét OMC và OEM Ta có: OE  OC  R ; OM chung; ME  MC

AL

  OCM   900 Vậy OMC  OEM (cạnh cạnh cạnh) Vậy OEM Mà OE là bán kính nên ME là tiếp tuyến của  O 

FI

OF

  900  NEO   OEC   CEA   OEC   OEA   NEC  Lại có:   NEO 0  CEA  90

CI

  HIA   900 OAE   ECN  Ta có:   OAE 0    ECN  HIA  90

NE EC   và OEA AEC  900 . Khi đó NEO  CEA  c  g  c  OE EA

Vậy NEC  OEA  g .g  nên

  ECA  . Xét MEC cân tại M nên ECA   MEC  Lúc này: ENO

N

  MEC  (đồng vị) nên ON / / EC . Mà EC  IA nên ON  IA Vậy: ENO

NH Ơ

Xét NOA có I là trực tâm nên OI  AN

Bài 5 (0,5 điểm ) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z  xyz .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

1

1 x

2



1

1 y

2



1

1 z2

Y

Hướng dẫn

QU

Theo giả thiết ta có: x  y  z  xyz mà x, y, z là các số thực dương . Chia 2 vế cho xyz ta được: 1 1 1 1 1 1    1 . Đặt: a  ; b  ; c  ta có: ab  bc  ca  1* . xy yz zx x y z

1 1

1



1 a2

a

a 1 2

1



1 b2

b

b 1 2



1

1

1 c2

c c 1 2

(**)

DẠ Y

P



KÈ

P

M

1 1 1 Từ cách đặt ta có: x  ; y  ; z  . Thay vào biểu thức P ta có: a b c

Mặt khác: a 2  1  a 2  ab  bc  ca  a (a  b)  c(a  b)  (a  b)(a  c) ( theo * ) Tương tụ ta có: b 2  1  (b  a )(b  c) và c 2  1  (c  a )(c  b) Thay vào ** ta được:

Page 6

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

P

a b c   (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)

a a b b c c   ab ac ba bc ca cb 1 a a b b c c          *** 2 ab ac ba bc ca cb 1 3  .3  P  2 2

Vậy GTLN của P 

CI FI

1 x yz 3 3

3 khi x  y  z  3 .

2

DẠ Y

KÈ

M

QU

Y

NH Ơ

N

---HẾT---

OF

Dấu bằng xảy ra khi a  b  c 

AL

P

Page 7

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 18 Bài 1 (2,0 điểm).

5 2 5  5

3  5 

2

CI

a) Rút gọn biểu thức:

FI

b) Một cột cờ vuông góc với mặt đất. Tại thời điểm cột có bóng dài 15 m thì tia nắng của mặt trời tạo với mặt đất một góc là 35 . Tính chiều cao của cột cờ (làm tròn đến kết quả đến chữ số thập phân

Bài 2 (2,0 điểm). Cho hai biểu thức: x3 x 1 5 x  2 và B  với x  0 ; x  4 .  x4 x 2 x 2 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 .

N

A

NH Ơ

b) Rút gọn biểu thức B . c) Tìm giá trị của x để C 

OF

thứ nhất).

A đạt giá trị nhỏ nhất.

B

Bài 3 (2,0 điểm) .Cho hàm số bậc nhất y   m  1 x  4 có đồ thị là đường thẳng  d  ( m là tham số và m  1 ).

1) Với giá trị nào của m thì đường thẳng  d  song song với đường thẳng (d'): y  2 x  3 . Hãy vẽ độ thị của hàm số với giá trị m vừa tìm được

Y

2) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d  bằng 2 .

QU

Bài 4 (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn  O ; R  , đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Bx với  O  . Điểm M di động trên tia Bx  M  B  . AM cắt nửa đường tròn  O  tại điểm N  N  A  . Kẻ OE vuông góc với AN tại E . a) Chứng minh các điểm E , O, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM .

M

b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn  O  tại N cắt tia OE tại K và cắt MB tại D . Chứng minh KA là

KÈ

tiếp tuyến của nửa đường tròn  O  . c) Chứng minh KA. DB không đổi khi điểm M di động trên tia Bx . d) Gọi H là giao điểm của AB và DK , kẻ OF vuông góc với AB

DẠ Y

Chứng minh:

 F  DK  .

BD DF   1.

DF HF

Bài 5 (0,5 điểm ) Cho Q  x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2 với x, y, z  0 và x  y  z  3 Chứng minh rằng Q  3

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

5 2 5  5

3  5 

2

CI

a) Rút gọn biểu thức:

AL

Bài 1 (2,0 điểm).

b) Một cột cờ vuông góc với mặt đất. Tại thời điểm cột có bóng dài 15 m thì tia nắng của mặt trời tạo với mặt đất một góc là 35 . Tính chiều cao của cột cờ (làm tròn đến kết quả đến chữ số thập phân

FI

thứ nhất).

OF

Lời giải a) Ta có:

3  5 

2

N

5 2 5  5

NH Ơ

 5  2 3 5  5  23 5

5 b)

B

QU

Y

Gọi chiều cao của cột cờ là AB , bóng của cột cờ là AC  15m ; góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là  ACB  35o .

Vì cột cờ vuông góc với mặt đất nên ta có ABC vuông tại A .

M

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A ta có:

KÈ

AB  AC.tan C  15.tan 35o  10,5(m) Vậy cột cờ cao khoảng 15 (m) Bài 2 (2,0 điểm). Cho hai biểu thức: x3 x 1 5 x  2 và B  với x  0 ; x  4 .  x4 x 2 x 2 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 .

DẠ Y

A

b) Rút gọn biểu thức B . c) Tìm giá trị của x để C 

A đạt giá trị nhỏ nhất.

B Page 2

A

35 15m

C

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 Lời giải x3 với x  0; x  4 x 2

Thay x  9 (thỏa mãn đkxđ) vào biểu thức A có: A 

93 12   12 9  2 3 2

B

c) C 

FI





x 2 5 x 2

x 2



x 2



OF



x 1

x2 x  x 25 x 2





x 2



x 2

x2 x x 2



x 2



 



x



x 2

x 2





x 2





x x 2

N

B



với x  0; x  4

NH Ơ

B

x 1 5 x  2  x4 x 2

CI

Vậy giá trị của biểu thức A là 12 khi x  9 b) Ta có: B 

AL

a) Ta có: A 

A x3 x x3 x 2 x3  :  .  B x 2 x 2 x 2 x x

Ta có: C 

x3 3  x 2 x x

x

3  x  3 (thỏa mãn) x

Y

Đẳng thức xảy ra khi

3 2 3 x

x.

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2 3 khi x  3

QU

Bài 3 (2,0 điểm) .Cho hàm số bậc nhất y   m  1 x  4 có đồ thị là đường thẳng  d  ( m là tham số và m  1 ).

1) Với giá trị nào của m thì đường thẳng  d  song song với đường thẳng (d'): y  2 x  3 . Hãy vẽ độ thị của hàm số với giá trị m vừa tìm được

M

2) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d  bằng 2 .

Lời giải

KÈ

1) Với giá trị nào của m thì đường thẳng  d  song song với đường thẳng y  2 x  3 *) Đường thẳng  d  : y   m  1 x  4 song song với đường thẳng (d'): y  2 x  3 khi và chỉ khi

DẠ Y

m  1  2 m3   4  3

Vậy m  3 thì đường thẳng  d  song song với đường thẳng y  2 x  3 *) Với m  3 phương trình đường thẳng (d) là: y  2 x  4 - cho x  0  y  4  M  0; 4   Oy - cho y  0  x  2  N  2;0   Ox Page 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 đồ thị của hàm số là đường thẳng (d) đi qua 2 điểm M và N y (d): y=2x+4

AL

5 4 3

CI

2 1 -3 -2

-1

1

2

3

x

4

-1

FI

-4

-2

OF

-3 -4

2) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 2 .

N

+) Gọi A  x A ; y A  là giao điểm của đường thẳng  d  với trục Ox , suy ra y A  0 .

NH Ơ

Thay vào phương trình đường thẳng  d  : y   m  1 x  4 ta được 0   m  1  4  x A  4  4  A ; 0   OA  m 1  m 1 

4 . Hay m 1

+) Gọi B  xB ; yB  là giao điểm của đường thẳng  d  với trục Oy , suy ra xB  0 .

B  0; 4   OB  4  4 .

Y

Thay vào phương trình đường thẳng  d  : y   m  1 x  4 ta được y   m  1 .0  4  4  yB  4 . Hay

QU

từ O kẻ OH  d tại H  OH chính là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d):  OH  2

5 4 A

M

3 2 H B -4

-3 -2

1 -1

1 -1

2

3

4

x

-2 -3

DẠ Y

KÈ

y

-4

AOB vuông tại O có OH là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Page 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 1 1 1 1 1 1 1  m  1 1  m  1  1    2   2     2 2 2 2 OH OA OB 2 4 16 16 16  4  4  m 1    2

  m  1  1  4   m  1  3 2

2



CI

m  1  3 m  3  1 ( thỏa mãn điều kiện m  1 )   m  1   3 m  1  3  

AL

2



Vậy với m  1  3; 3  1 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 2 .

FI

Bài 4 (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn  O ; R  , đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường

OF

tròn, kẻ tiếp tuyến Bx với  O  . Điểm M di động trên tia Bx  M  B  . AM cắt nửa đường tròn  O  tại điểm N  N  A  . Kẻ OE vuông góc với AN tại E .

a) Chứng minh các điểm E , O, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM .

b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn  O  tại N cắt tia OE tại K và cắt MB tại D . Chứng minh KA là

N

tiếp tuyến của nửa đường tròn  O  .

NH Ơ

c) Chứng minh KA. DB không đổi khi điểm M di động trên tia Bx . d) Gọi H là giao điểm của AB và DK , kẻ OF vuông góc với AB Chứng minh:

BD DF   1.

DF HF

 F  DK  .

Lời giải a) Chứng minh các điểm E , O, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM .

KÈ

M

QU

Y

Hình vẽ

OBM  90 9 Do Bx là tiếp tuyến với  O  ), gọi O1 là trung Theo giả thiết  OEM  90  OE  AN  , 

DẠ Y

điểm của OM . Ta có O1O  O1M  OE  OB . Vậy O, E , M , B cùng nằm trên đường tròn đường kính

OM .

b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn  O  tại N cắt tia OE tại K và cắt MB tại D . Chứng minh KA là

tiếp tuyến của nửa đường tròn  O  .

Page 5

FI

CI

AL

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

Xét OAN :OA  ON   R  nên OAN cân tại O, OE  AN ( theo giả thiết). Vậy OE là đường trung

OF

KAO  90 . Vậy KA là tiếp tuyến với  O  tại A . trực của AN , K  OE suy ra ON  OA . Vậy 

Y

NH Ơ

N

c) Chứng minh KA. DB không đổi khi điểm M di động trên tia Bx .

QU

Theo tính chất hai tiếp tuyến với đường tròn cắt nhau tại một điểm ta có: KA  KN , DN  DB .

Chứng minh KA. DB không đổi khi điểm M di động trên tia Bx đưa về bài toán chứng minh KN .DN không đổi khi điểm M di động trên tia Bx .

KOD  90 , ON  KD ( KD là tiếp tuyến với  O  .

Ta có O1  O2 , O3  O4  tc  suy ra 

M

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông KOD có KN .KD  ON 2  R 2  const . d) Gọi H là giao điểm của AB và DK , kẻ OF vuông góc với AB BD DF   1.

DF HF

DẠ Y

KÈ

Chứng minh:

Page 6

 F  DK  .

OF

FI

CI

AL

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

Xét NOH và BDH , ta có:  H chung

 DBH   ONH  90 .

DB.HF  DF 2 DB DF 1 ta đưa về chứng minh  1 DF .HF DF HF

QU

Ta cần chứng minh

Y

NH Ơ

N

Suy ra NOH  BDH DB ON   1 .

DH OH Ta có OF  AH tại O , DB  AH tại B . Vậy OF / / DB .

ON DB Vì ON  OB  R    3 OH OH OB DF Ta có   2  (định lí Talet trong tam giác HFO có OF / / DB ).

OH HF DB DF  DB. HF  HD. DF * .

Từ 1 ,  2  ,  3 suy ra  OH HF

Theo * DB.HF  DH .DF , vậy

DB.HF  DF 2 DH  DF HF    1.

DF .HF HF HF

M

Bài 5 (0,5 điểm ) Cho Q  x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2 với x, y, z  0 và x  y  z  3

Ta có:

KÈ

Chứng minh rằng Q  3

x 2  xy  y 2 

Lời giải

1 3 1 x y 2 2 2  x  y   x  y   x  y  4 4 4 2

DẠ Y

Chứng minh tương tự ta có: y 2  yz  z 2 

1 3 1 yz 2 2 2  y  z   y  z   y  z  4 4 4 2

z 2  zx  x 2 

1 3 1 zx 2 2 2  z  x   z  x   z  x  4 4 4 2 Page 7

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 2 x  y  z  3 Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  1 2

AL

Cộng vế theo vế ta có: Q 

DẠ Y

KÈ

M

QU

Y

NH Ơ

N

OF

FI

CI

---------- HẾT ----------

Page 8

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I

AL

MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 19 Bài 1 (2,0 điểm).



b) 1  3

a) 5 12  3 27  2 108  192

2

 42 3 3 3

1 9 x  27  4  x  3 .

3

FI

4 x  12 

2) Giải phương trình



Bài 2 (2,0 điểm). x7 và Q  3 x

x 1 2 x 7 x 3   9 x x 3 x 3

OF

Với x  0; x  9 cho các biểu thức: P 

a) Tính giá trị của biểu thức P khi x  4.

N

3 x . x 3

NH Ơ

b) Chứng minh Q 

CI

1) Thực hiện phép tính

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  P.Q.

Bài 3 (2,0 điểm) .

1) Cho hàm số bậc nhất y  (m  3) x  3m  1 có đồ thị (d ) ( m là tham số, m  3 ) a) Vẽ (d ) khi m  0 b) Tìm m để đường thẳng (d ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 .

Y

c) Xác định m để đường thẳng  d  trùng với đường thẳng y  2 x  4 .

QU

2) Hãy tính chiều cao của thao Eifel mà không cần leo lên tận đỉnh tháo khi biết góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đắt là 62 và bóng của tháp trên mặt đất là 172 m ( làm tròn kết quả sau chữ số thập phân thứ nhất).

Bài 4 (3,5 điểm).

Cho nửa đường tròn tâm  O  , đường kính AB  AB  2 R  . Trên nửa đường mặt phẳng bờ AB

KÈ

M

chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax , By của nửa đườn tròn. Lấy điểm C bất kì thuộc nửa đường tròn ( C khác A và B ), qua điểm C kẻ tiếp tuyến của nửa đường tròn cắt Ax , By thứ tự tại M và N . a) Chứng minh 4 điểm A; M ; C ; O cùng thuộc một đường tròn b) Nối điểm O với điểm M , điểm O với điểm N . Chứng minh AM .BN  R 2 . c) Đoạn ON cắt đường tròn  O  tại I . Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CNB .

DẠ Y

d) Cho AB  6cm . Xác định vị trí của hai điểm M , N để hình thang AMNB có chu vi bằng 18cm .

Bài 5 (0,5 điểm ) Cho a  1; b  9; c  16 thỏa mãn a.b.c  1152 .

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P  bc a  1  ca b  9  ab c  16 ---------- HẾT ----------

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1 (2,0 điểm).



b) 1  3

a) 5 12  3 27  2 108  192

2

 42 3 3 3

1 9 x  27  4  x  3 .

3 Hướng dẫn

CI

4 x  12 

2) Giải phương trình



1) Thực hiện phép tính

FI

a) 5 12  3 27  2 108  192

 5 4.3  3 9.3  2 36.3  64.3

OF

 10 3  9 3  12 3  8 3  3 10  9  12  8 

  3.



2

 42 3 3 3

N



b) 1  3

1  3 

2

NH Ơ

 1 2 3  3  1 2 3  3  3 3

 42 3

3 3

 4  3  1 3  4 3





3 1

4 x  12 

 4  x  3 

1 9 x  27  4  x  3 . (ĐKXĐ: x  3 ).

3

QU

2) Giải phương trình

Y

 4  3  3 1

5

1 9  x  3  4  x  3 3

 x 3  2

M

 2 x 3  x 3  x 3  4  2 x 3  4

DẠ Y

KÈ

 x 3  4  x  7 (TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm x  7 Bài 2 (2,0 điểm).

Với x  0; x  9 cho các biểu thức: P 

x7 và Q  3 x

a) Tính giá trị của biểu thức P khi x  4. b) Chứng minh Q 

AL

1) Thực hiện phép tính

3 x . x 3 Page 2

x 1 2 x 7 x 3   9 x x 3 x 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  P.Q. Hướng dẫn

11 khi x  4.

6

CI

Vậy P 

4  7 11  .

3 4 6





x 3





 

x 3  7 x 3 x 3









3x  9 x x 3

3 x



x 3



x 3



x 3

x 3





x 3

x 3









3 x . x 3

3 x . (ĐPCM) x 3

Vậy với x  0; x  9 thì Q 

x7 3 x x7 .  3 x x 3 x 3

M

c) A  P.Q 

N

x  4 x  3  2x  6 x  7 x  3



x7 x  9  18 16 16   x 3  x 3 6 x 3 x 3 x 3 x 3

KÈ

Ta có: A 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm: 16 2 x 3

DẠ Y

x 3



x 3



16 8 x 3

 A  86  2

Dấu bằng xảy ra khi: x 3

OF



x 3 2 x

NH Ơ





x 1

Y





x 1 2 x 7 x 3   9 x x 3 x 3

QU



FI

b) Với x  0; x  9 . Ta có:

Q

AL

a) Với x  4 (Thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào P ta được: P 

16 x 3 Page 3

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9





2

x  3  16

 x  3  4 (Vì

x  3  0 với mọi x  0; x  9 )

AL



 x 1

CI

Vậy min A  2 khi x  1.

FI

Bài 3 (2,0 điểm) .

1) Cho hàm số bậc nhất y  (m  3) x  3m  1 có đồ thị (d ) ( m là tham số, m  3 ) a) Vẽ (d ) khi m  0 b) Tìm m để đường thẳng (d ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 .

OF

c) Xác định m để đường thẳng  d  trùng với đường thẳng y  2 x  4 .

(d ) ( m là tham số, m  3 )

a) Vẽ (d ) khi m  0 Với m  0 , (d ) : y  3x  1 Cho x  0  y  1  M (0; 1)  Oy

NH Ơ

Cho hàm số bậc nhất y  (m  3) x  3m  1 có đồ thị

N

2) Hãy tính chiều cao của thao Eifel mà không cần leo lên tận đỉnh tháo khi biết góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đắt là 62 và bóng của tháp trên mặt đất là 172 m ( làm tròn kết quả sau chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn y 5

3 2 1 -4

-3 -2

-1

QU

Y

1 1  y  0  x   N  ;0   Ox 3 3 

Kẻ đường thẳng đi qua M , N ta được đường thẳng (d )

M

b) Đường thẳng (d ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5

KÈ

 5  (m  3).0  3m  1  5  3m  1 m2

Vậy m  2 thì đường thẳng (d ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5

DẠ Y

c) Đường thẳng (d ) trùng với đường thẳng y  2 x  4 .

 m3 2   m  1 3m  1  4

Vậy m  1 thì Đường thẳng (d ) trùng với đường thẳng y  2 x  4

Page 4

y=3x-1

4

1 -1 -2 -3 -4

2

3

4

x

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 2) Giả sử chiều cao của tháp Eiffel là BH , bóng của tháp trên mặt đất là   62o . Vì tháp vuông AH , góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là BAH

B

AL

góc với mặt đất nên BH  AH . Áp dụng hệ thức lượng trong ABH vuông tại H ta có: BH   BH  AH .tan BAH AH  BH  AH .tan 62o  172.tan 62o  323,5m

CI

 tan BAH

A

 AB  2 R  . Trên nửa đường mặt phẳng bờ

OF

Bài 4 (3,5 điểm).

Cho nửa đường tròn tâm  O  , đường kính AB

FI

Vậy tháp Eiffel cao xấp xỉ 323,5 m

62 172m

H

AB

NH Ơ

N

chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax , By của nửa đườn tròn. Lấy điểm C bất kì thuộc nửa đường tròn ( C khác A và B ), qua điểm C kẻ tiếp tuyến của nửa đường tròn cắt Ax , By thứ tự tại M và N . a) Chứng minh 4 điểm A; M ; C ; O cùng thuộc một đường tròn b) Nối điểm O với điểm M , điểm O với điểm N . Chứng minh AM .BN  R 2 . c) Đoạn ON cắt đường tròn  O  tại I . Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CNB . d) Cho AB  6cm . Xác định vị trí của hai điểm M , N để hình thang AMNB có chu vi bằng 18cm .

Hướng dẫn

  90  Ax  OA  xAO

Y

a) Ta có: Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn  O 

MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn  O 

QU

  90  MCO Gọi K là trung điểm OM . ΔOAM ;ΔOCM là các tam giác

x

y

M C

vuông có cạnh huyền OM  KO  KA  KM  KC  A, M , C , O thuộc đường tròn

I

N

M

đường kính OM .

b) Ta có MC , MA là hai tiếp tuyến cắt nhau của  O 

KÈ

 MO là phân giác  AOC và MC  MA NC , NB là hai tiếp tuyến cắt nhau của  O   và NC  NB  NO là phân giác COB

DẠ Y

1   MOC   CON 1 Xét ΔMON có: MON AOC  COB  90 2 2  ΔMON vuông tại O

Lại có: MN là tiếp tuyến của  O   OC  MN Áp dụng hệ thức lượng có: OC 2  CN .CM

 R 2  AM .BN  dpcm  Page 5

A

O

B

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

  OBN   90; NC  NB c) Xét ΔCON và ΔBON có: OC  OB  R; OCN   BNO   ON là phân giác CNB  1  ΔCON  ΔBON  c.g .c   CNO

AL

CN  NB   OCB   90  ON là trung trực của CB  CON  OC  OB 

CI

  ONC   90 Mà CON   CNO  ; CON   NCB   OCB



FI

  2OCI   180 Ta có: ΔOCI cân tại O  COI   ICN   CNO   ICN   OCB  Mà: OIC



  2 ICN   OCB   180  COI



OF

  2 ICN   2CNO   180  COI   2 ICN   2 90  COI   180  COI



  COI  , mà COI   NCB   cmt   2 ICN

 2

N

  2 ICN  hay CI là tia phân giác NCB   NCB

NH Ơ

Từ 1 và  2   I là tâm đường tròn nội tiếp ΔCNB

Bài 5 (0,5 điểm ) Cho a  1; b  9; c  16 thỏa mãn a.b.c  1152 .

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P  bc a  1  ca b  9  ab c  16 Hướng dẫn

P  bc a  1  ca b  9  ab c  16

P a 1 b9 c  16    1152 a b c Áp dụng BĐT cauchy ta có: 1 a 1 a  a  1  1. a  1    2 2  9b9 b b P 1 1 1  3 b9    b9      P  912  2 2 6  1152 2 6 8 16  c  16 c c 4 c  16    c  16   2 2 8

M

QU

Y



DẠ Y

KÈ

a  2  Vậy GTLN của P là 912 tại b  18 . c  32 

---------- HẾT ----------

Page 6

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

AL

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ I MÔN: TOÁN 9 – ĐỀ SỐ: 20 3 2 x với x  0. x

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 

FI

1) Cho biểu thức A 

CI

Câu 1: (2,0 điểm)

25 .

4

2) Rút gọn biểu thức: A 



5 3



2



OF

b) Tìm giá trị của x để A  0.

4 .

5 3

Câu 2: (2,0 điểm)



N



2 x  1  1  1.

NH Ơ

1) Tìm x biết: 2

2) Cho số thực x  0, chứng minh rằng: Câu 3: (2,0 điểm) 3 1) Vẽ đồ thị của hàm số y   x  3 .

2

x 3 2   x 2 x 3



x 1 x 2



x 3



 1.

Y

2) Cho đường thẳng y  x  1 (d ) và đường thẳng y   m  2  x  m  1 (d ') với m là tham số,

QU

m  2 . Tìm m để đường thẳng (d ) cắt đường thẳng (d ') tại một điểm có tung độ bằng 2020 .

Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AH , BE , CK cắt nhau tại M .

1) Chứng minh bốn điểm A, E , M , K cùng thuộc một đường tròn, gọi tâm của đường tròn này là O .

M

2) Gọi F là trung điểm của BC . Chứng minh: AKAB  AE. AC và EF là tiếp tuyến của đường tròn  AM   O;  2  

KÈ

3) Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S ABC và S HEK : Biết rằng S ABC  4 S HEK , 3 chứng minh: cos 2 A  cos 2 B  cos 2C  .

4

DẠ Y

Câu 5: (0,5 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x  1, y  1, z  1 và x 2  2 y 2  3 z 2  30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  y  z .

---------- HẾT ----------

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (2,0 điểm)

AL

3 2 x với x  0. x 25 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  .

4 b) Tìm giá trị của x để A  0.

2 4 2) Rút gọn biểu thức: A  5 3  .

5 3 Hướng dẫn 25 1.a) Thay x   tmdk  vào biểu thức A ta được: 4 25 5 3 2 3  2.

4  2  3  5  2  4 A 5 5 5 5 25 2 2 2 4 4 25 Vậy A  khi x  .

5 4 3 2 x 1.b) Để A  0  0 x

OF

FI



NH Ơ

N



CI

1) Cho biểu thức A 

Vì x  0  x  0

9 thì A  0.

4

2) A 



5 3



2



4  5 3

5 3 

QU

Vậy x 

3 9  x  (t / m).

2 4

Y

Do đó, 3  2 x  0  2 x  3  x 

4





5 3

5 3





5 3



  5 3

4



5 3



4

  5  3  5  3  2 5 Câu 2: (2,0 điểm)





2 x  1  1  1.

M

1) Tìm x biết: 2

KÈ

2) Cho số thực x  0, chứng minh rằng:

x 3 2   x 2 x 3

Hướng dẫn

1 1) ĐKXĐ: x  .

2



DẠ Y 2



2 x  1  1  1

 2x 1 

 2x 1 

1 2

1 4 Page 2



x 1 x 2



x 3



 1.

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9 3 4 3 x (TM ) 8

AL

 2x 





x 2



x  2  x 1



x 3



   



x 2



x 3

OF

x  6 x  9  2 x  4  x 1



x5 x 6

 x  2  x  2  x 2

 x  3  1  VP . (ĐPCM) x  3 x 3

N



2

NH Ơ





x 3 2

FI

 VT 

CI

 3  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S    . 8 2) Với x  0, ta có:

Câu 3: (2,0 điểm)

3 1) Vẽ đồ thị của hàm số y   x  3 .

2 2) Cho đường thẳng y  x  1 (d ) và đường thẳng y   m  2  x  m  1 (d ') với m là tham số,

QU

Y

m  2 . Tìm m để đường thẳng (d ) cắt đường thẳng (d ') tại một điểm có tung độ bằng 2020 .

Hướng dẫn 3 2) Đồ thị của hàm số y   x  3 là đường thẳng cắt trục tung tại A (0;3) , cắt trục hoành tại 2 B (2; 0) .

2) Điểm có tung độ bằng 2020 thì hoành độ là 2020  x  1  x  2021 . Điểm  2021; 2020  thuộc (d ') nên 2020   m  2  2021  m  1  2022 m  2020  2.2021  1

DẠ Y

KÈ

M

2021 .

2022 Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AH , BE , CK cắt nhau tại M .

1) Chứng minh bốn điểm A, E , M , K cùng thuộc một đường tròn, gọi tâm của đường tròn này là O .

2) Gọi F là trung điểm của BC . Chứng minh: AKAB  AE. AC và EF là tiếp tuyến của đường tròn  AM   O;  2   3) Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S ABC và S HEK : Biết rằng S ABC  4 S HEK , m

chứng minh: cos 2 A  cos 2 B  cos 2C 

3 .

4

Hướng dẫn

Page 3

FI

CI

AL

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

Suy ra : A, E , M cùng thuộc đường tròn đường kính AM 1

  900 (do CK  AB ) nên AKM vuông tại K MKA Suy ra: A, K , M cùng thuộc đường tròn đường kính AM  2 

OF

1) Chứng minh bốn điểm A, E , M , K cùng thuộc một đường tròn, gọi tâm của đường tròn này là O .   900 do BE  AC nên AEM vuông tại E Ta có: MEA

NH Ơ

N

Từ (1) và (2) suy ra: A, K , M , E cùng thuộc đường tròn đường kính AM , gọi O là tâm đường tròn nên O là trung điểm của AM  AM  2) Gọi F là trung điểm của BC . Chứng minh: AK . AB  AE. AC và EF là tiếp tuyến của  O.  2    chung nên AEB đồng dạng AKC (g.g) Xét AEB vuông tại E và AKC vuông tại K có : BAE AE AB nên AE. AC  AK . AB (đpcm)  AK AC

  OEA   3 Xét AOE cân tại O (do OA  OE ) Suy ra OAE

BC   FCE   4 ) Suy ra FEC 2      900 Từ  3 và  4  ta có: OAE  FCE  OEA  FEC

QU

Y

Xét FEC cân tại F (do FE  FC 





  1800  OAE   FCE   1800  900  900   FCE   900 Mà: OEF Do AHC vuông tại H nên OAE Nên FE  EO . Khi đó FE là tiếp tuyến tại E của  O  .

DẠ Y

KÈ

M

3) Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S ABC và S HEK : Biết rằng S ABC  4 S HEK , 3 chứng minh: cos 2 A  cos 2 B  cos 2C  .

4 S  S KBH  S HCE 3 3  Ta có: S EAK  S KBH  S HCE  S ABC  EAK 4 S ABC 4  chung và AE  AB nên Xét AEK và ABC có: KEA AK AC S AE AK AEK  ABC  AEK  .  cos A.cos A  cos 2 A S ABC AB AC Chứng minh tương tự ta có: S BH BK HBK  ABC  HBK  .  cos B.cos B  cos 2 B S ABC AB AC

Page 4

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HKI – TOÁN 9

S AEK EC HC  .  cos C.cos C  cos 2 C S ABC BC AC S  S KBH  S HCE 3   cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C Công vế theo vế ta có: EAK S ABC 4

AL

HEC  ABC 

N

m  9  x 2  kx  m  0 k  m  1 n  8    Hay 2 y 2  ky  n  0  k  n  2   . k  10 3 z 2  kz  l  0 3k  l  27    l  3

OF

Ta cần đánh giá:  x 2  m    2 y 2  n    3 z 2  l   k  x  y  z  .

FI

CI

Câu 5: (0,5 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x  1, y  1, z  1 và x 2  2 y 2  3 z 2  30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x  y  z .

Hướng dẫn 2 Phân tích: Từ giả thiết suy ra 30  x  2  3  1  x  5. Tương tự 1  x  13  4; 1  z  3.

Dự đoán rằng min P đạt được khi x  y  1, z  3.

DẠ Y

KÈ

M

QU

Y

NH Ơ

Ta có:  x  1 x  9   0  x 2  10 x  9  0   2 2 2 2  y  1 2 y  8   0  2 y  10 y  8  0  10  x  y  z   x  2 y  3 z  20  50  P  5.  3 z 2  10 z  3  0   z  3 3 y  1  0 Vậy min P  5 , Đẳng thức xảy ra khi x  y  1, z  3.

Page 5