193 Bài tập trắc nghiệm - Chuyên đề khảo sát hàm số - Trần Sĩ Tùng - Có lời giải chi tiết

Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y  f ( x) có tập xác định D.  Hàm số f đồng biến trên D  y  0,  x  D và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.  Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.  Nếu y '  ax 2  bx  c (a  0) thì: + y '  0, x  R  a  0   0

+ y '  0, x  R  a  0   0





 Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c (a  0) : + Nếu  < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a. + Nếu  = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x  

b ) 2a

+ Nếu  > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1 , x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a.  So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c với số 0:   0  + x1  x2  0  P  0  S  0

  0  + 0  x1  x2  P  0  S  0

 g( x )  m, x  (a; b)  max g( x )  m ; ( a; b )

+ x1  0  x2  P  0

g( x )  m, x  (a; b)  min g( x )  m ( a; b )

B. Một số dạng câu hỏi thƣờng gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định).  Hàm số f đồng biến trên D  y  0,  x  D và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 1

Khảo sát hàm số  Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.  Nếu y '  ax 2  bx  c (a  0) thì: + y '  0, x  R  a  0   0 

+ y '  0, x  R  a  0   0 

2. Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x )  ax3  bx 2  cx  d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) .

Ta có: y  f ( x )  3ax 2  2bx  c . a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b )  y  0, x  (a ; b ) và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) .

Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f ( x )  0  h(m)  g( x )

(*)

thì f đồng biến trên (a ; b )  h(m)  max g( x ) (a ; b )

 Nếu bất phương trình f ( x )  0  h(m)  g( x )

(**)

thì f đồng biến trên (a ; b )  h(m )  min g( x ) (a ; b )

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ( x )  0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t  x  a .

Khi đó ta có: y  g(t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c . a  0   0 a  0   – Hàm số f đồng biến trên khoảng (; a)  g(t)  0, t  0     0 S  0  P  0 a  0   0 a  0   – Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; )  g(t)  0, t  0     0 S  0  P  0

b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b )  y  0, x  (a ; b ) và y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) .

Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f ( x )  0  h(m)  g( x )

(*)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 2

Khảo sát hàm số thì f nghịch biến trên (a ; b )  h(m)  max g( x ) (a ; b )

 Nếu bất phương trình f ( x )  0  h(m)  g( x )

(**)

thì f nghịch biến trên (a ; b )  h(m )  min g( x ) (a ; b )

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ( x )  0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t  x  a .

Khi đó ta có: y  g(t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c . a  0   0 a  0   – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (; a)  g(t)  0, t  0     0 S  0  P  0 a  0   0 a  0   – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a; )  g(t)  0, t  0     0 S  0  P  0

3. Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x )  ax3  bx 2  cx  d đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trƣớc.   f đơn điệu trên khoảng ( x1; x2 )  y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  a  0 (1)   0

 Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2

(2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

4. Tìm điều kiện để hàm số y 

ax 2  bx  c (2), (a, d  0) dx  e

a) Đồng biến trên (; ) . b) Đồng biến trên ( ; ) . c) Đồng biến trên ( ;  ) .  e  adx 2  2aex  be  dc f ( x)   , y'  2 2 d   dx  e   dx  e 

Tập xác định: D  R \ 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 3

Khảo sát hàm số Trƣờng hợp 1 Nếu: f ( x )  0  g( x )  h(m) (i)

Trƣờng hợp 2 Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: t  x   .

Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành: g(t )  0 , với: g(t )  adt 2  2a(d  e)t  ad 2  2ae  be  dc

a) (2) đồng biến trên khoảng (; ) e    d    g( x )  h(m), x   e    d h(m)  min g( x ) ( ; ] 

e    d    g(t )  0, t  0 (ii) a  0   0 a  0 (ii)       0 S  0  P  0

b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; ) e    d   g( x )  h(m), x   e    d h(m)  min g( x ) [ ; ) 

a) (2) đồng biến trên khoảng (; )

b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )  e    d   g(t )  0, t  0 (iii) a  0   0 a  0 (iii)       0 S  0  P  0

c) (2) đồng biến trên khoảng ( ;  )  e    d   ;    g( x )  h(m), x  ( ;  ) e    ;   d h(m)  min g( x ) [ ;  ] 

5. Tìm điều kiện để hàm số y 

ax 2  bx  c (2), (a, d  0) dx  e

a) Nghịch biến trên (; ) . b) Nghịch biến trên ( ; ) . c) Nghịch biến trên ( ;  ) .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 4

Khảo sát hàm số  e  adx 2  2aex  be  dc f ( x) y '   ,  2 2 d   dx  e   dx  e 

Tập xác định: D  R \ 

Trƣờng hợp 1 Nếu f ( x )  0  g( x )  h(m) (i)

Trƣờng hợp 2 Nếu bpt: f ( x)  0 không đưa được về dạng (i) thì ta đặt: t  x   .

Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành: g(t )  0 , với: g(t )  adt 2  2a(d  e)t  ad 2  2ae  be  dc

a) (2) nghịch biến trên khoảng (; ) e    d    g( x )  h(m), x   e    d h(m)  min g( x ) ( ; ] 

b) (2) nghịch biến trên khoảng ( ; ) e    d   g( x )  h(m), x   e    d h(m)  min g( x ) [ ; ) 

a) (2) đồng biến trên khoảng (; ) e    d    g(t )  0, t  0 (ii) a  0   0 a  0 (ii)       0 S  0  P  0

b) (2) đồng biến trên khoảng ( ; )  e    d   g(t )  0, t  0 (iii) a  0   0 a  0 (iii)       0 S  0  P  0

c) (2) đồng biến trong khoảng ( ;  )  e    d   ;    g( x )  h(m), x  ( ;  ) e    ;   d h(m)  min g( x ) [ ;  ] 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 5

Khảo sát hàm số

Câu 1.

1 3

Cho hàm số y  (m  1) x 3  mx 2  (3m  2) x (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m  2 .

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.

 Tập xác định: D = R. y  (m  1) x 2  2mx  3m  2 .

(1) đồng biến trên R  y  0, x  m  2

Câu 2.

Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  4

(1)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 6

Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  0 .

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (;0) .

 Tập xác định: D = R. y  3x 2  6 x  m . y có   3(m  3) . + Nếu m  3 thì   0  y  0, x  hàm số đồng biến trên R  m  3 thoả YCBT. + Nếu m  3 thì   0  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (; x1 ),( x2 ; ) .   0 m  3   Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (;0)  0  x1  x2  P  0  m  0 (VN) S  0 2  0

Vậy: m  3 .

Câu 3.

Cho hàm số y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 có đồ thị (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )

 Tập xác định: D = R. y '  6 x 2  6(2m  1) x  6m(m  1) có   (2m  1)2  4(m2  m)  1  0 x  m . Hàm số đồng biến trên các khoảng (; m), (m  1; ) y'  0   x  m 1

Do đó: hàm số đồng biến trên (2; )  m  1  2  m  1

Câu 4.

Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K  (0; ) .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 7

Khảo sát hàm số

 Hàm đồng biến trên (0; )  y  3x 2  2(1  2m) x  (2  m)  0 với x  (0; )  f (x) 

Ta có: f ( x ) 

6(2 x 2  x  1) 2

(4 x  1)

3x 2  2 x  2  m với x  (0; ) 4x  1

 0  2 x 2  x  1  0  x  1; x 

1 2 1

5

Lập BBT của hàm f ( x ) trên (0; ) , từ đó ta đi đến kết luận: f    m   m .

4 2 Câu hỏi tương tự: 1 3

ĐS: m 

1 3

ĐS: m  0

1 3

ĐS: m 

a) y  (m  1) x 3  (2m  1) x 2  3(2m  1)x  1 (m  1) , K  (; 1) .

b) y  (m  1) x 3  (2m  1) x 2  3(2m  1)x  1 (m  1) , K  (1; ) .

c) y  (m  1) x 3  (2m  1) x 2  3(2m  1)x  1 (m  1) , K  (1;1) .

Câu 5.

4 11

1 2

1 3

Cho hàm số y  (m2  1) x 3  (m  1) x 2  2 x  1 (1) (m  1) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K  (;2) .

 Tập xác định: D = R; y  (m2  1)x 2  2(m  1)x  2 . Đặt t  x – 2 ta được: y  g(t )  (m2  1)t 2  (4m2  2m  6)t  4m2  4m  10 Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (;2)  g(t)  0, t  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 8

Khảo sát hàm số

 2   TH1: a  0  m 2 1  0

  0

Vậy: Với

Câu 6.

3m  2m  1  0 

m 2  1  0 a  0  2   0 3m  2m  1  0 TH2:   4m 2  4m  10  0  S  0  P  0  2m  3  0  m  1

1  m  1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (;2) .

3

1 3

Cho hàm số y  (m2  1) x 3  (m  1) x 2  2 x  1 (1) (m  1) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K  (2; ) .

 Tập xác định: D = R; y  (m2  1)x 2  2(m  1)x  2 . Đặt t  x – 2 ta được: y  g(t )  (m2  1)t 2  (4m2  2m  6)t  4m2  4m  10 Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; )  g(t)  0, t  0

  2  TH1: a  0  m 2 1  0 0 

3m  2m  1  0 

m 2  1  0 a  0  2   0 3m  2m  1  0 TH2:   4m 2  4m  10  0  S  0  P  0  2m  3  0  m  1

Vậy: Với 1  m  1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; )

Câu 7.

Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  m (1), (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.

2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 9

Khảo sát hàm số

 Ta có y '  3x 2  6 x  m có   9  3m . + Nếu m ≥ 3 thì y  0, x  R  hàm số đồng biến trên R  m ≥ 3 không thoả mãn. + Nếu m < 3 thì y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) . Hàm số nghịch biến trên đoạn m  x1; x2  với độ dài l  x1  x2 . Ta có: x1  x2  2; x1x2  .

3

YCBT  l  1  x1  x2  1  ( x1  x2 )2  4 x1x2  1  m 

Câu 8.

9 .

4

Cho hàm số y  2 x3  3mx 2  1 (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2  x1  1 .

 y '  6 x 2  6mx , y '  0  x  0  x  m . + Nếu m = 0  y  0, x 

 hàm số nghịch biến trên

 m = 0 không thoả YCBT.

+ Nếu m  0 , y  0, x  (0; m) khi m  0 hoặc y  0, x  (m;0) khi m  0 .

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2  x1  1 ( x ; x )  (0; m)

  1 2 và x2  x1  1   m  0  1  m  1 . 0  m  1 ( x1; x2 )  (m;0)

Câu 9.

Cho hàm số y  x 4  2mx 2  3m  1 (1), (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 10

Khảo sát hàm số

 Ta có y '  4 x 3  4mx  4 x( x 2  m) + m  0 , y  0, x  (0; )  m  0 thoả mãn. + m  0 , y  0 có 3 nghiệm phân biệt:  m , 0, Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) 

m.

m 1  0  m 1.

Vậy m   ;1 .

Câu hỏi tương tự: a) Với y  x 4  2(m  1) x 2  m  2 ; y đồng biến trên khoảng (1;3) .

Câu 10. Cho hàm số y 

mx  4 xm

ĐS: m  2 .

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) .

 Tập xác định: D = R \ {–m}.

y 

m2  4 ( x  m)2

.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y  0  2  m  2

(1)

Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1) thì ta phải có m  1  m  1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: 2  m  1 .

Câu 11. Cho hàm số y 

2 x 2  3x  m (2). x 1

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (; 1) .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 11

Khảo sát hàm số

 Tập xác định: D  R \ {1} . y ' 

2x2  4x  3  m 2

( x  1)



f ( x) ( x  1)2

.

Ta có: f ( x )  0  m  2 x 2  4 x  3 . Đặt g( x )  2 x 2  4 x  3  g '( x)  4 x  4 Hàm số (2) đồng biến trên (; 1)  y '  0, x  (; 1)  m  min g( x ) ( ; 1]

Dựa vào BBT của hàm số g( x), x  (; 1] ta suy ra m  9 .

Vậy m  9 thì hàm số (2) đồng biến trên (; 1)

Câu 12. Cho hàm số y 

2 x 2  3x  m (2). x 1

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2; ) .

 Tập xác định: D  R \ {1} . y ' 

2x2  4x  3  m 2

( x  1)



f ( x) ( x  1)2

.

Ta có: f ( x )  0  m  2 x 2  4 x  3 . Đặt g( x )  2 x 2  4 x  3  g '( x)  4 x  4 Hàm số (2) đồng biến trên (2; )  y '  0, x  (2; )  m  min g( x ) [2;  )

Dựa vào BBT của hàm số g( x), x  (; 1] ta suy ra m  3 .

Vậy m  3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2; ) .

Câu 13. Cho hàm số y 

2 x 2  3x  m (2). x 1

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) .

 Tập xác định: D  R \ {1} . y ' 

2x2  4x  3  m 2

( x  1)



f ( x) ( x  1)2

.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 12

Khảo sát hàm số Ta có: f ( x )  0  m  2 x 2  4 x  3 . Đặt g( x )  2 x 2  4 x  3  g '( x)  4 x  4 Hàm số (2) đồng biến trên (1;2)  y '  0, x  (1;2)  m  min g( x ) [1;2]

Dựa vào BBT của hàm số g( x), x  (; 1] ta suy ra m  1 .

Vậy m  1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) .

Câu 14. Cho hàm số y 

x 2  2mx  3m2 (2).

2m  x

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (;1) .

 Tập xác định: D  R \ {2m} . y ' 

 x 2  4mx  m2 2

( x  2 m)



f (x) ( x  2m)2

. Đặt t  x  1 .

Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành: g(t)  t 2  2(1  2m)t  m2  4m  1  0 Hàm số (2) nghịch biến trên (;1)  y '  0, x  (;1)  2m  1

 g(t )  0, t  0 (i)

m  0  '  0  m  0   '  0 m  0    (i)     4m  2  0  S  0 m  2  3 2   P  0   m  4 m  1  0  

Vậy: Với m  2  3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (;1) .

Câu 15. Cho hàm số y 

x 2  2mx  3m2 (2).

2m  x

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; ) .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 13

Khảo sát hàm số

 Tập xác định: D  R \ {2m} . y ' 

 x 2  4mx  m2 2

( x  2 m)



f (x) ( x  2m)2

. Đặt t  x  1 .

Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành: g(t)  t 2  2(1  2m)t  m2  4m  1  0 Hàm số (2) nghịch biến trên (1; )  y '  0, x  (1; )  2m  1

 g(t )  0, t  0 (ii)

m  0  '  0  m  0   '  0  m  2 3   (ii)     4m  2  0  S  0   m 2  4m  1  0   P  0 

Vậy: Với m  2  3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; )

KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y  f ( x )  ax3  bx 2  cx  d A. Kiến thức cơ bản  Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình y  0 có 2 nghiệm phân biệt.  Hoành độ x1, x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y  0 .  Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm.

– Phân tích y  f ( x ).q( x )  h( x ) .

– Suy ra y1  h( x1), y2  h( x2 ) .

Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y  h( x ) .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 14

Khảo sát hàm số

 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d1 : y  k1x  b1, d2 : y  k2 x  b2 thì tan a 

k1  k2 1  k1k2

B. Một số dạng câu hỏi thƣờng gặp Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

1. Tìm điều kiện để đƣờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đƣờng thẳng d : y  px  q .

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

1 p

– Giải điều kiện: k  p (hoặc k   ).

2. Tìm điều kiện để đƣờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đƣờng thẳng d : y  px  q một góc a .

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

– Giải điều kiện:

kp  tan a . (Đặc biệt nếu d  Ox, thì giải điều kiện: k  tan a ) 1  kp

3. Tìm điều kiện để đƣờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trƣớc (với I là điểm cho trƣớc).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

– Tìm giao điểm A, B của  với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện SIAB  S .

4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có diện tích S

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 15

Khảo sát hàm số cho trƣớc (với I là điểm cho trƣớc).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

– Giải điều kiện SIAB  S .

5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đƣờng thẳng d cho trƣớc.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

– Gọi I là trung điểm của AB.  – Giải điều kiện:   d . I  d

5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đƣờng thẳng d cho trƣớc.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Giải điều kiện: d ( A, d )  d (B, d ) .

6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị).

– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB. 7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trƣớc.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 16

Khảo sát hàm số – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.

8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1  (; ) hoặc K2  ( ; ) . y '  f ( x )  3ax 2  2bx  c .

Đặt t  x  a . Khi đó: y '  g(t)  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c Hàm số có cực trị thuộc K1  (; ) Hàm số có cực trị trên khoảng (; )  f ( x)  0 có nghiệm trên (; ) .  g(t )  0 có nghiệm t < 0

Hàm số có cực trị thuộc K2  ( ; ) Hàm số có cực trị trên khoảng ( ; )  f ( x)  0 có nghiệm trên ( ; ) .  g(t )  0 có nghiệm t > 0

P  0   '  0    S  0   P  0

P  0   '  0    S  0   P  0

9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả: a) x1    x2

b) x1  x2  

c)   x1  x2

y '  f ( x )  3ax 2  2bx  c .

Đặt t  x  a . Khi đó: y '  g(t)  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 17

Khảo sát hàm số a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1    x2  g(t )  0 có hai nghiệm t1, t2 thoả t1  0  t2  P  0

b) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1  x2    '  0   g(t )  0 có hai nghiệm t1, t2 thoả t1  t2  0  S  0  P  0 c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả   x1  x2

 '  0   g(t )  0 có hai nghiệm t1, t2 thoả 0  t1  t2  S  0  P  0

Câu 16. Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3(1  m2 ) x  m3  m2

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .

2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).  y  3x 2  6mx  3(1  m2 ) .

PT y  0 có   1  0, m  Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị ( x1; y1), ( x2 ; y2 ) .

Chia y cho y ta được:

Khi đó:

1 m y   x   y  2 x  m 2  m 3 3

y1  2 x1  m2  m ; y2  2 x2  m 2  m

PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y  2 x  m2  m .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 18

Khảo sát hàm số

Câu 17. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  m  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.

2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

 PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: x3  3x 2  mx  m  2  0

 x  1 (1)   2  g( x )  x  2 x  m  2  0

(2)

(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox  PT (1) có 3 nghiệm phân biệt    (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1    3  m  0

 g(1)  m  3  0

 m3

Câu 18. Cho hàm số y   x 3  (2m  1) x 2  (m2  3m  2) x  4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.

 y  3x 2  2(2m  1) x  (m2  3m  2) .

(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung  PT y  0 có 2 nghiệm trái dấu  3(m2  3m  2)  0  1  m  2 .

1 Câu 19. Cho hàm số y  x 3  mx 2  (2m  1) x  3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.

2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 19

Khảo sát hàm số

 TXĐ: D = R ; y  x 2  2mx  2m  1 . Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung  y  0 có 2 nghiệm phân 2   biệt cùng dấu    m  2m  1  0

2 m  1  0

m  1   1. m  2

Câu 20. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y  x  1 .

 Ta có: y '  3x 2  6 x  m .

Hàm số có CĐ, CT  y '  3x 2  6 x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2   '  9  3m  0  m  3 (*)

Gọi hai điểm cực trị là A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  1

1

 2m





m

 2 x  2   Thực hiện phép chia y cho y ta được: y   x   y '  3 3 3  3    2m   2m  m m  y1  y( x1 )    2  x1  2  ; y2  y( x2 )    2  x2  2  3 3  3   3 

 2m  m  Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y    2 x  2  3  3 

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y  x  1  xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y  x  1 

2m 9  2  1  m  (không thỏa (*)) 3 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 20

Khảo sát hàm số TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y  x  1 y1  y2 x1  x2  2m   m  1    2   x1  x2   2  2     x1  x2   2 2 2 3  3    2m   m   2  .2  2  2    0  m  0 3  3    yI  x I  1 

Vậy các giá trị cần tìm của m là: m  0 .

Câu 21. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

 Ta có: y  3x 2  6mx ; y  0   x  0 . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m  0.  x  2m

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  AB  (2m; 4m3 ) Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) 3  2  A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x   AB  d  2m3 4m  0  m   I d



2m  m

2

Câu 22. Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3m  1 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x  8y  74  0 .

 y  3x 2  6mx ; y  0  x  0  x  2m .

Hàm số có CĐ, CT  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt  m  0 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 21

Khảo sát hàm số Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3m  1), B(2m;4m3  3m  1)  AB(2m;4m3 ) Trung điểm I của AB có toạ độ: I (m;2m3  3m  1) Đường thẳng d: x  8y  74  0 có một VTCP u  (8; 1) .  A và B đối xứng với nhau qua d   I  d

 AB  d

3   m  8(2m  3m  1)  74  0  m  2

  AB.u  0

Câu hỏi tương tự: 1 2

5 2

a) y  x 3  3x 2  m2 x  m, d : y  x  .

Câu 23. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx

ĐS: m  0 .

(1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x  2y  5  0 .

 Ta có y  x3  3x 2  mx  y '  3x 2  6 x  m Hàm số có cực đại, cực tiểu  y  0 có hai nghiệm phân biệt    9  3m  0  m  3 1

1

2



1

Ta có: y   x   y   m  2  x  m 3 3 3 3  2 3



1 3

 đường thẳng  đi qua các điểm cực trị có phương trình y   m  2  x  m 

2 3

nên  có hệ số góc k1  m  2 .

1 2

d: x  2y  5  0  y  x 

5 1  d có hệ số góc k2  2 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 22

Khảo sát hàm số Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d   12



 k1k2  1   m  2   1  m  0 23  Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I  d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.

Vậy: m = 0

Câu 24. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  9 x  m  2 (1) có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với 1 2

nhau qua đường thẳng d: y  x .

 y '  3x 2  6(m  1) x  9 Hàm số có CĐ, CT   '  9(m  1)2  3.9  0  m  (; 1  3)  (1  3; ) 1 3

Ta có y   x 

m 1  2  y  2(m  2m  2) x  4m  1 3 

Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm của AB.  y1  2(m 2  2m  2) x1  4m  1 ; y2  2(m2  2m  2) x2  4m  1

 x  x  2(m  1)

và:  1 2  x1.x2  3

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y  2(m2  2m  2) x  4m  1 1  A, B đối xứng qua (d): y  x   AB  d  m  1 .

2

I  d

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 23

Khảo sát hàm số

Câu 25. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  9 x  m , với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 .

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1  x2  2 .

 Ta có y '  3x 2  6(m  1) x  9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2  PT y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  PT x 2  2(m  1) x  3  0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 .

 m  1  3   '  (m  1)2  3  0    m  1  3

(1)

+ Theo định lý Viet ta có x1  x2  2(m  1); x1x2  3. Khi đó: 2

2

x1  x2  2   x1  x2   4 x1x2  4  4  m  1  12  4  (m  1)2  4  3  m  1 (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là 3  m  1  3 và 1  3  m  1.

Câu 26. Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 , với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 .

1 3

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  .  Ta có: y '  3x 2  2(1  2m) x  (2  m)

Hàm số có CĐ, CT  y'  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 )

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 24

Khảo sát hàm số  5   '  (1  2m)2  3(2  m)  4m2  m  5  0   m  4   m  1

Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2 . Khi đó ta có: x1  x2   x1  x2 

(*)

2(1  2m) 2m ; x1x2  3 3

2 2 1 1   x1  x2    x1  x2   4 x1x2  3 9

 4(1  2m)2  4(2  m)  1  16m2  12m  5  0  m 

Kết hợp (*), ta suy ra m 

3  29 3  29 m 8 8

3  29  m  1 8

1 Câu 27. Cho hàm số y  x 3  mx 2  mx  1 , với m là tham số thực.

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 .

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  8 .  Ta có: y '  x 2  2mx  m .

Hàm số có CĐ, CT  y'  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 )

   m2  m  0   m  0 (*). Khi đó: x1  x2  2m, x1x2  m . m  1  1  65 m  2 x1  x2  8  ( x1  x2 )2  64  m2  m  16  0   (thoả (*)) 1  65   m  2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 25

Khảo sát hàm số 1 1 Câu 28. Cho hàm số y  x 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  , với m là tham số thực.

3 3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  2 .

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  2 x2  1 .  Ta có: y  x 2  2(m  1) x  3(m  2)

Hàm số có cực đại và cực tiểu  y  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

   0  m2  5m  7  0 (luôn đúng với m)  x  x  2(m  1)

Khi đó ta có:  1 2  x1x2  3(m  2)  8m2  16m  9  0  m 

 x  3  2m   2

  x2 1  2 x2   3(m  2)

4  34 .

4

Câu 29. Cho hàm số y  4 x 3  mx 2  3x .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  4 x2 .

 y  12 x 2  2mx  3 . Ta có:   m2  36  0, m  hàm số luôn có 2 cực trị x1, x2 . 

m 6

Khi đó:  x1  4 x2 ; x1  x2   ; x1x2   

1 4

m

9 2

Câu hỏi tương tự: a) y  x 3  3x 2  mx  1 ;

x1  2x2  3

ĐS: m  105 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 26

Khảo sát hàm số 1 Câu 30. Cho hàm số y  x 3  ax 2  3ax  4 (1) (a là tham số).

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 1.

2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại x1 , x 2 phân biệt và thoả mãn điều kiện: x12  2ax2  9a a2



a2 x22  2ax1  9a

2

(2)

 y  x 2  2ax  3a . Hàm số có CĐ, CT  y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  a  3    4a2  12a  0   a  0

(*). Khi đó x1  x2  2a , x1x2  3a .

Ta có: x12  2ax2  9a  2a  x1  x2   12a  4a2  12a  0 Tương tự: x22  2ax1  9a  4a2  12a  0

Do đó: (2) 

4a2  12a a2



a2 4a2  12a

2 

4a2  12a a2

 1  3a  a  4   0  a  4

Câu 31. Cho hàm số y  2 x 3  9mx 2  12m2 x  1 (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.

2) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x 2CÑ  xCT .

 Ta có: y  6 x 2  18mx  12m2  6( x 2  3mx  2m2 ) Hàm số có CĐ và CT  y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2   = m 2 > 0  m  0 Khi đó: x1 

1  3m  m  , x2  1  3m  m  .

2 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 27

Khảo sát hàm số Dựa vào bảng xét dấu y, suy ra xCÑ  x1, xCT  x2

Do đó: x

2

2

CÑ

 xCT

 3m  m  3m  m   m  2 .   2 2  

Câu 32. Cho hàm số y  (m  2) x 3  3x 2  mx  5 , m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.

 Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương  PT y '  3(m  2) x 2  6 x  m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt a  (m  2)  0  '  9  3m(m  2)  0  '   m 2  2m  3  0 3  m  1  m     P   m  0  m  0  3  m   2 0 3(m  2)  m  2  0 m  2  3  S  m  2  0

1 1 Câu 33. Cho hàm số y  x 3  mx 2  (m2  3) x 3 2

(1), m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị x1, x2 với x1  0, x2  0 và x12  x22 

5 .

2

 y  x 2  mx  m2  3 ; y  0  x 2  mx  m2  3  0

(2)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 28

Khảo sát hàm số   0 P  0  3m2 14  YCBT  S  0   14  m  2 .  2 m   5 2 2   x1  x2  2 

Câu 34. Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 (m là tham số) (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

 y  3x 2  2(1  2m)x  2  m  g( x ) YCBT  phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2  1 .   4m 2  m  5  0 5 7   g(1)  5m  7  0   m  .  4 5  S  2m  1  1  2 3

Câu 35. Cho hàm số y 

m 3 x  (m  2) x 2  (m  1) x  2 3

(Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1  x2  1 .  Ta có: y  mx 2  2(m  2) x  m  1 ; y  0  mx 2  2(m  2) x  m  1  0 (1) Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1  x2  1 khi m > 0 và (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Đặt t  x  1  x  t  1 , thay vào (1) ta được: m(t  1)2  2(m  2)(t  1)  m  1  0  mt 2  4(m  1)t  4m  5  0

(1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1  (2) có 2 nghiệm âm phân biệt

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 29

Khảo sát hàm số m  0   0 5 4   m .

P  0 4 3  S  0

Câu 36. Cho hàm số y  x3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2

(Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (2; 0) .

 Ta có: y  3x 2  2(1  2m)x  2  m ; y  0  3x 2  2(1  2m) x  2  m  0

(*)

Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (2; 0)  (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 và có ít nhất 1 2  x1  x2  0 nghiệm thuộc (2; 0)   2  x1  0  x2  x1  2  x2  0

(1) (2) (3)

Ta có:  4m 2  m  5  0   '  4m 2  m  5  0   2  2m  1  0 x  x 2  1 2  0 3 10  (1)       m  1 4(2m  1) 2  m 2 7  0  x  2  x  2   0 4  3 3 1 2    x1x2  0 2  m  0  3 4m 2  m  5  0  '  4m 2  m  5  0   m  2  f  0  2  m  0  2m  1 (2)    m2  2  x1  2    x2  2   0  3  x1  2  x2  2   0  2  m 4  2m  1   40  3  3 4m 2  m  5  0  '  4m 2  m  5  0   3m  5  0 5  f  2   10  6m  0  2m  1 (3)       m  1 0 3  x1  x2  0  3  x1x2  0 2  m  3  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 30

Khảo sát hàm số  5



Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m    ; 1  2;    3 

Câu 37. Cho hàm số y  x 3  3x 2  2

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y  3x  2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.

 Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).

Xét biểu thức g( x, y)  3x  y  2 ta có: g( x A , y A )  3x A  y A  2  4  0; g( xB , yB )  3xB  yB  2  6  0

 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y  3x  2 .

Do đó MA + MB nhỏ nhất  3 điểm A, M, B thẳng hàng  M là giao điểm của d và AB. Phương trình đường thẳng AB: y  2 x  2  4 2 4 2  Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:  y  3 x  2   x  ; y   M  ;  y   2 x  2 5 5   5 5

Câu 38. Cho hàm số

y  x 3  3mx 2  3(m2  1) x  m3  m (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa

độ O.

 Ta có y  3x 2  6mx  3(m2  1) . Hàm số (1) có cực trị  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt  x 2  2mx  m2  1  0 có 2 nhiệm phân biệt    1  0,m

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 31

Khảo sát hàm số Khi đó: điểm cực đại A(m  1;2  2m) và điểm cực tiểu B(m  1; 2  2m)  Ta có OA  2OB  m2  6m  1  0   m  3  2 2 .  m  3  2 2

Câu 39. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y  4 x  3 .  Ta có: y '  3x 2  6 x  m . Hàm số có CĐ, CT  y'  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2   '  9  3m  0  m  3 (*)

Gọi hai điểm cực trị là A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  1

1

 2m





m

 2 x  2   Thực hiện phép chia y cho y ta được: y   x   y '  3 3 3  3    2m    2m   m m  y1  y  x1      2  x1   2   ; y2  y  x2      2  x2   2   3 3  3    3    2m   m  Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y     2 x  2   3  3  

  2m   2   4   3   // d: y  4 x  3     m  3 (thỏa mãn (*))   m  2 3  3

Câu hỏi tương tự: 1 3

a) y  x 3  mx 2  (5m  4) x  2 , d : 8x  3y  9  0

ĐS: m  0; m  5 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 32

Khảo sát hàm số

Câu 40. Cho hàm số y  x 3  mx 2  7 x  3 có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 5.

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y  3x  7 .  Ta có: y '  3x 2  2mx  7 . Hàm số có CĐ, CT  y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 .   '  m2  21  0  m  21 (*)

Gọi hai điểm cực trị là A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  1

1

2



7m 

Thực hiện phép chia y cho y ta được: y   x   y ' (21  m 2 ) x   3   9 9 9  3    2 7m  2 7m  2  y1  y( x1 )  (21  m 2 ) x1   3   ; y2  y( x2 )  (21  m ) x2   3   9 9  9 9   

2 7m  Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y  (21  m2 ) x  3  9 9  m  21 3 10    d: y  4 x  3   2  m .

2 2  9 (21  m ).3  1

Câu 41. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x  4y  5  0 một góc a  450 .  Ta có: y '  3x 2  6 x  m . Hàm số có CĐ, CT  y'  0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 33

Khảo sát hàm số   '  9  3m  0  m  3 (*)

Gọi hai điểm cực trị là A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  1

1

 2m





m

 2 x  2   Thực hiện phép chia y cho y ta được: y   x   y '  3 3 3  3    2m    2m   m m  y1  y  x1      2  x1   2   ; y2  y  x2      2  x2   2   3 3  3    3    2m   m  Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y     2 x  2   3  3    2m  1  2  . Đường thẳng d: x  4y  5  0 có hệ số góc bằng  .

4  3 

Đặt k   

  1  3 39 1 1 k  5  m   10 k  4  1  4 k 4    Ta có: tan 45  1 1 5 1  m   1  k   1  k k 1 k 4 4 3  2   4 k

1 2

Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m   .

Câu hỏi tương tự: a) y  x3  3(m  1) x 2  (2m2  3m  2) x  m(m  1) , d : y 

Câu 42. Cho hàm số y  x3  3x 2  2

1 3  15 x  5 , a  450 . ĐS: m  4 2

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

2) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn (S) có phương trình ( x  m)2  ( y  m  1)2  5 .

 Phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị 2 x  y  2  0 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 34

Khảo sát hàm số (S) có tâm I (m, m  1) và bán kính R= 5 .

 tiếp xúc với (S) 

2m  m  1  2 5

Câu 43. Cho hàm số y  x 3  3mx  2

 5  3m  1  5  m  2; m 

4 .

3

(Cm ) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 .

2) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của Cm  cắt đường tròn tâm I(1;1) , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích IAB đạt giá trị lớn nhất .

 Ta có y '  3x 2  3m . Hàm số có CĐ, CT  PT y '  0 có hai nghiệm phân biệt  m  0 1 3

Vì y  x.y  2mx  2 nên đường thẳng  đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương trình là: y  2mx  2 2m  1

Ta có d  I ,   

4m 2  1

 R  1 (vì m > 0)   luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R

= 1 tại 2 điểm A, B phân biệt.

Với m 

1 1 1 1 :  không đi qua I, ta có: S ABI  IA.IB.sin AIB  R2  2 2 2 2

Nên SIAB đạt GTLN bằng 

2m  1 2

4m  1



1 2

m

R 1 1  khi sin AIB  1 hay AIB vuông cân tại I  IH  2 2 2

2 3 (H là trung điểm của AB) 2

Câu 44. Cho hàm số y  x 3  6mx 2  9 x  2m (1), với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 35

Khảo sát hàm số 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến 4

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng

5

.

 Ta có: y  3x 2  12mx  9 . Hàm số có 2 điểm cực trị  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt   '  4m 2  3  0  m  x 3

Khi đó ta có: y   

3 2

m

hoặc

 3 2

(*)

2m  2  .y  (6  8m ) x  4m 3 

 đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có PT là:  : y  (6  8m2 ) x  4m

d (O, ) 

4m (6  8m2 )2  1



 m  1  64m 4  101m2  37  0    m  1 .  m   37 (loaïi) 5  8

4

Câu 45. Cho hàm số y  x3  3x 2  (m  6) x  m  2 (1), với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm A(1; 4) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng

12 265

.

 Ta có: y  3x 2  6 x  m  6 . Hàm số có 2 điểm cực trị  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt    32  3(m  6)  0  m  9 (*) 1 3

2 3

 

4 3

Ta có: y  ( x  1).y   m  6  x  m  4 2 3

 

4 3

 PT đường thẳng qua 2 điểm cực trị : y   m  6  x  m  4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 36

Khảo sát hàm số

 d ( A, ) 

6m  18 4m2  72m  333



12 265

m  1 1053 (thoả (*)) m  249 



Câu 46. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 (1), với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.  1 11   đến 2 4 

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm I  ; đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất.

 Ta có: y  3x 2  6 x  m . Hàm số có 2 điểm cực trị  PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt    0  m  3 . x 3

1 3

 2m  m  2 x  1 3  3 

Ta có: y     y  

 2m  m  2 x  1.

3  3 

 PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là:  : y    1  2

 

 3  4

Dễ dàng tìm được điểm cố định của  là A   ;2  . AI  1;  .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên .  2m  3  2 .  0  m  1.  3  4

Ta có d (I , )  IH  IA . Dấu "=" xảy ra  IA    1  

Vậy max(d (I , )) 

5 khi m  1 .

4

Câu 47. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  3m(m  2) x  m3  3m2

(Cm ) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 37

Khảo sát hàm số 2) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là không đổi.

 Ta có: y  3x 2  6(m  1) x  6m(m  2) ; y  0   x  2  m .  x  m

Đồ thị (Cm) có điểm cực đại A(2  m;4) và điểm cực tiểu B(m;0)  AB  2 5 .

Câu 48. Cho hàm số y  2 x 2  3(m  1) x 2  6mx  m3 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB  2 .

 Ta có: y  6( x  1)( x  m) . Hàm số có CĐ, CT  y  0 có 2 nghiệm phân biệt  m  1 .

Khi đó các điểm cực trị là A(1; m3  3m  1), B(m;3m2 ) .

AB  2  (m  1)2  (3m2  m3  3m  1)  2  m  0; m  2 (thoả điều kiện).

Câu 49. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m2  1) x  m3  4m  1

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .

2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại O.

 Ta có: y  3x 2  6mx  3(m2  1) ; y  0   x  m  1  y  m  3 x  m 1  y  m 1

 A(m  1; m  3) , B(m  1; m  1)  OA  (m  1; m  3) , OB  (m  1; m  1) . OAB vuông tại O  OA.OB  0  2m2  2m  4  0  m  1 . m  2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 38

Khảo sát hàm số

Câu 50. Cho hàm số y  2 x 2  3(m  1) x 2  6mx  m3

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .

2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với C(4;0) .

 Ta có: y  6( x  1)( x  m) . Hàm số có CĐ, CT  y  0 có 2 nghiệm phân biệt  m  1 .

Khi đó các điểm cực trị là A(1; m3  3m  1), B(m;3m2 ) .

ABC vuông tại C  AC.BC  0  (m  1)  m2 (m2  m  1)  3m2  5m  4   0  m  1

Câu 51. Cho hàm số y  x 3  3x 2  m

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  4 .

2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB  1200 .

 Ta có: y  3x 2  6 x ; y  0   x  2  y  m  4 x  0  y  m

Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(2 ; m + 4) OA  (0; m ), OB  (2; m  4) . Để AOB  1200 thì cos AOB  



m(m  4) m2  4  (m  4)2 

1 2

4  m  0 1    m2  4  (m  4)2   2m(m  4)   2 2 3m  24m  44  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 39

Khảo sát hàm số 4  m  0 12  2 3   12  2 3  m  3 m  3

Câu 52. Cho hàm số y  x 3  3x 2  m2  m  1 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 ).

 Ta có y '  3x 2  6 x ; y '  0  3x 2  6 x  0  x  0; x  2  Hàm số luôn có CĐ, CT. Các điểm CĐ, CT của đồ thị là: A(0; m2  m  1) , B(2; m2  m  3) , AB  22  (4)2  2 5

Phương trình đường thẳng AB:

x  0 y  m2  m  1   2 x  y  m2  m  1  0 2 4

1 1 m2  m  1 m  3 S ABC  d (C , AB).AB  . .2 5  m 2  m  1  7   .

2 2  m  2 5

Câu hỏi tương tự: a) y  x 3  3mx  2, C(1;1), S  18 .

ĐS: m  2 .

Câu 53. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  12mx  3m  4 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 0.

2) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm  9 C  1;   lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.

2 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 40

Khảo sát hàm số  Ta có y '  3x 2  3(m  1) x  12m . Hàm số có hai cực trị  y  0 có hai nghiệm phân biệt

   (m  1)2  0  m  1 (*). Khi đó hai cực trị là A(2;9m), B(2m; 4m3  12m2  3m  4) .

2  2m  1  0 ABC nhận O làm trọng tâm   3 2 

1  m   (thoả (*)).

9 4m  12m  6m  4   0 2  2 

Câu 54. Cho hàm số y  f ( x )  2 x 3  3(m  3) x 2  11  3m ( Cm ).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

2) Tìm m để (Cm ) có hai điểm cực trị M1, M2 sao cho các điểm M1, M2 và B(0; –1) thẳng hàng. x  0  y  6 x 2  6(m  3) . y  0   . Hàm số có 2 cực trị  m  3 (*). x  3  m 1 3

Chia f ( x ) cho f ( x ) ta được: f ( x )  f ( x )  x 

m3 2   (m  3) x  11  3m 6 

 phương trình đường thẳng M1M2 là: y  (m  3)2 x  11  3m M1, M2 , B thẳng hàng  B  M1M2  m  4 (thoả (*)).

1 Câu 55. Cho hàm số y  x 3  mx 2  (m2  1) x  1 (Cm ) .

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  2 .

2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCÑ  yCT  2 .

 Ta có: y  x 2  2mx  m2  1 . y  0   x  m  1 . x  m 1

1  m  0 yCÑ  yCT  2  2m3  2m  2  2   . m  1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 41

Khảo sát hàm số

1 4 Câu 56. Cho hàm số y  x 3  (m  1) x 2  (m  1)3 3 3

(1) (m là tham số thực).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía ngoài) của đường tròn có phương trình (C): x 2  y2  4 x  3  0 .

 y  x 2  2(m  1) x . y  0   x  0

 x  2(m  1)

. Hàm số có cực trị  m  1

4 3

 

(1)

 

Gọi hai điểm cực trị của đồ thị là: A  0; (m  1)3  , B(2(m  1);0) .

(C) có tâm I(2; 0), bán kính R = 1. IA  4 

16 (m  1)6 , IB  4m 2 .

9

1 2

A, B nằm về hai phía của (C)  (IA2  R2 )(IB2  R2 )  0  4m2  1  0    m  1 2

Kết hợp (1), (2), ta suy ra:   m 

1 (2) 2

1 .

2

Câu 57. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m2  1) x  m3 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  2 .

2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định.

 y  3x 2  6mx  3(m2  1) ; y  0   x  m  1 x  m 1

 Điểm cực đại M(m  1;2  3m) chạy trên đường thẳng cố định:  x  1  t  y  2  3t

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 42

Khảo sát hàm số Điểm cực tiểu N (m  1; 2  m) chạy trên đường thẳng cố định:  x  1  t  y  2  3t 

1 Câu 58. Cho hàm số y  x 3  mx 2  x  m  1 (Cm ) .

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất.

 Ta có: y  x 2  2mx  1 ; y  0 có   m2  1  0, m  hàm số luôn có hai điểm cực trị x1 , x2 . Giả sử các điểm cực trị của (Cm) là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) .

1 3

2 3

2 3

Ta có: y  ( x  m).y  (m2  1) x  m  1 2 3

2 3

 y1   (m2  1) x1  m  1 ;

2 2 y2   (m2  1) x2  m  1 3 3  

4 9

 

 

4 9

Do đó: AB2  ( x2  x1)2  ( y2  y1)2  (4m2  4) 1  (m2  1)2   4 1  

 AB 

2 13 2 13 . Dấu "=" xảy ra  m  0 . Vậy min AB  khi m  0 .

3 3

Câu 59. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 (1) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.

2) Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.

 y  3x 2  6 x  m . Hàm số có 2 cực trị  y  0 có 2 nghiệm phân biệt  m  3 .

1 3

 2m  m  Đường thẳng  đi qua 2 điểm cực trị của đồ  2 x  2  3  3 

Ta có: y  ( x  1).y   

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 43

Khảo sát hàm số  2m  m  2 x  2  .

3  3 

thị có phương trình: y   

 m6   6m ;0  , B  0;  (m  0).

3    2(m  3) 

 cắt Ox, Oy tại A 

Tam giác OAB cân  OA = OB 

9 3 m6 6m   m  6; m   ; m   .

2(m  3) 3 2 2

3 2

Đối chiếu điều kiện ta có m   .

Câu 60. Cho hàm số : y =

1 3 x  mx 2  (m2  m  1) x  1 (1).

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (;1) .

 Tập xác định D = R. y  x 2  2mx  m2  m  1 . Đặt t  x  1  x  t  1 ta được : y '  g(t)  t 2  2 1  m  t  m2  3m  2 Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (;1)  f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng (;1) . P  0   '  0  g(t )  0 có nghiệm t  0     S  0   P  0

 m 2  3m  2  0   1 m  2   m  1  0  2 m  2  0  m 2  3m  2  0 

Vậy: Với 1  m  2 thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (;1)

Câu 61. Cho hàm số : y =

1 3 x  mx 2  (m2  m  1) x  1 (1).

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 44

Khảo sát hàm số 2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (1; ) .

 Tập xác định D = R. y  x 2  2mx  m2  m  1 . Đặt t  x  1  x  t  1 ta được : y '  g(t)  t 2  2 1  m  t  m2  3m  2 Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1; )  f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng (1; ) . P  0   '  0  g(t )  0 có nghiệm t  0     S  0   P  0

 m 2  3m  2  0   1 m   m  1  0  2 m  2  0  m 2  3m  2  0 

Vậy: Với m  1 thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (1; )

Câu 62. Cho hàm số : y =

1 3 x  mx 2  (m2  m  1) x  1 (1).

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả mãn x1  1  x2 .

 Tập xác định D = R. y  x 2  2mx  m2  m  1 . Đặt t  x  1  x  t  1 ta được: y '  g(t)  t 2  2(1  m)t  m2  3m  2 (1) có hai cực trị x1, x2 thoả x1  1  x2  g(t )  0 có hai nghiệm t1, t2 thoả t1  0  t2  P  0  m2  3m  2  0  1  m  2

Vậy: Với 1  m  2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thoả mãn x1  1  x2 .

Câu 63. Cho hàm số : y =

1 3 x  mx 2  (m2  m  1) x  1 (1).

3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 45

Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả mãn x1  x2  1 .

 Tập xác định D = R. y  x 2  2mx  m2  m  1 . Đặt t  x  1  x  t  1 ta được : y '  g(t)  t 2  2 1  m  t  m2  3m  2 (1) có hai cực trị x1, x2 thoả x1  x2  1  g(t )  0 có hai nghiệm t1, t2 thoả t1  t2  0 m  1  0  '  0    S  0  m2  3m  2  0  m  . Vậy: Không có giá trị nào của m nào thoả YCBT.  P  0 2m  2  0 

Câu 64. Cho hàm số : y =

1 3 x  mx 2  (m2  m  1) x  1 (1).

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả mãn 1  x1  x2 .

 Tập xác định D = R. y  x 2  2mx  m2  m  1 . Đặt t  x  1  x  t  1 ta được : y '  g(t)  t 2  2 1  m  t  m2  3m  2 (1) có hai cực trị x1, x2 thoả 1  x1  x2  g(t )  0 có hai nghiệm t1, t2 thoả 0  t1  t2 m  1  0  '  0    S  0  m2  3m  2  0  m  2  P  0 2m  2  0 

Vậy: Với m  2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thoả mãn 1  x1  x2 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 46

Khảo sát hàm số

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 47

Khảo sát hàm số

Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phƣơng: y  f ( x )  ax 4  bx 2  c

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 48

Khảo sát hàm số

A. Kiến thức cơ bản  Hàm số luôn nhận x  0 làm 1 điểm cực trị.  Hàm số có 1 cực trị  phương trình y  0 có 1 nghiệm.  Hàm số có 3 cực trị  phương trình y  0 có 3 nghiệm phân biệt.  Khi đồ thị có 3 điểm cực trị A(0; c), B( x1; y1),C( x2 ; y2 ) thì ABC cân tại A.

B. Một số dạng câu hỏi thƣờng gặp 1. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân hoặc tam giác đều.

– Tìm điều kiện để phương trình y  0 có 3 nghiệm phân biệt.

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra ABC cân tại A. – Giải điều kiện:

ABC vuông tại A  AB.AC  0 ABC đều  AB  BC

2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S cho trƣớc.

– Tìm điều kiện để phương trình y  0 có 3 nghiệm phân biệt.

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra ABC cân tại A. – Kẻ đường cao AH. 1 2

– Giải điều kiện: S  SABC  AH .BC .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 49

Khảo sát hàm số

Câu 65. Cho hàm số y  x 4  2(m2  m  1) x 2  m  1 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

2) Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.

 y  4 x 3  4(m2  m  1)x ;

x  0 . y  0   2  x   m  m  1  

1 2

2

Khoảng cách giữa các điểm cực tiểu: d = 2 m 2  m  1  2  m   

 min d  3  m =

Câu 66. Cho hàm số y 

3 4

1 .

2

1 4 3 x  mx 2  2 2

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  3 .

2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. x  0  y  2 x3  2mx  2 x( x 2  m) . y  0   2

x  m

Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại  PT y  0 có 1 nghiệm  m  0

Câu 67. Cho hàm số y   x 4  2mx 2  4

(Cm ) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m  2 .

2) Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của (Cm ) đều nằm trên các trục toạ độ.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 50

Khảo sát hàm số x  0 .

2 x  m

 Ta có: y  4 x 3  4mx ; y  0  

+ Nếu m  0 thì đồ thị có 1 điểm cực trị duy nhất (0; 4)  Oy . + Nếu m  0 thì (Cm ) có 3 điểm cực trị A(0; 4), B( m; m2  4),C( m; m2  4) . m  0  m 2.

2 m  4  0

Để A, B, C nằm trên các trục toạ độ thì B, C  Ox   Vậy: m  0 hoặc m  2 .

Câu 68. Cho hàm số y  x 4  (3m  1) x 2  3 (với m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 .

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng

2 lần độ dài cạnh bên.

3

 Ta có: y '  4 x3  2(3m  1) x ; y '  0  x  0, x 2  

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  m  

1 3

3m  1 .

2

(*). Ba điểm cực trị là:

 3m  1 (3m  1)2   3m  1 (3m  1)2  ;  3 ; C   ;  3 A(0; 3) ; B  2 4 2 4    

 ABC cân tại A ; BC 

 3m  1 (3m  1)4   3m  1  2 5 AB  9.4   4     m   , thoả (*).  3 16  2   2  3

Câu 69. Cho hàm số y  f ( x )  x 4  2(m  2) x 2  m2  5m  5 (Cm ) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 51

Khảo sát hàm số 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. x  0 2 x  2  m

 Ta có f ( x )  4 x 3  4(m  2) x  0  

Hàm số có CĐ, CT  PT f ( x )  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  2

(*)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A  0; m2  5m  5 , B  2  m ;1  m  , C   2  m ;1  m 

 AB   2  m ; m2  4m  4  , AC    2  m ; m2  4m  4  Do ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi ABC vuông tại A

 AB.AC  0  (m  2)3  1  m  1

(thoả (*))

Câu 70. Cho hàm số y  x 4  2(m  2)x 2  m2  5m  5

Cm 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. x  0 2 x  2  m

 Ta có f ( x )  4 x 3  4(m  2) x  0  

Hàm số có CĐ, CT  PT f ( x )  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  2

(*)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A  0; m2  5m  5 , B  2  m ;1  m  , C   2  m ;1  m 

 AB   2  m ; m2  4m  4  , AC    2  m ; m2  4m  4  Do ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi A  600  cos A 

1 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 52

Khảo sát hàm số



AB. AC AB . AC



1  m 23 3 .

2

(Chú ý: Có thể dùng tính chất: ABC đều  AB = BC = CA).

Câu hỏi tương tự: a) y  x 4  2mx 2  2m  m4 .

ĐS: m  3 3

b) y  x 4  4(m  1) x 2  2m  1 .

ĐS: m  1 

3

3 2

c) y  x 4  4(m  1) x 2  2m  1

Câu 71.

Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m4 có đồ thị (Cm) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích S  4 . x  0 2  g( x )  x  m  0

 Ta có y '  4 x 3  4mx  0  

Hàm số có 3 cực trị  y'  0 có 3 nghiệm phân biệt  g  m  0  m  0

(*)

Với điều kiện (*), phương trình y  0 có 3 nghiệm x1   m ; x2  0; x3  m . Hàm số đạt cực trị tại x1; x2 ; x3 . Gọi A(0;2m  m 4 ); B  m ; m 4  m2  2m  ; C   m ; m 4  m2  2m  là 3 điểm cực trị của (Cm) .

Ta có: AB2  AC2  m4  m; BC2  4m  ABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BC  M (0; m 4  m2  2m)  AM  m2  m2 Vì  ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 53

Khảo sát hàm số 5

S ABC

1 1  AM .BC  .m2 . 4m  4  m 2  4  m5  16  m  5 16 . Vậy m  5 16 .

2 2

Câu hỏi tương tự: a) y  x 4  2m2 x 2  1 , S = 32.

1 4

ĐS: m  2

b) y  x 4  2mx 2  m , S  32 2 .

ĐS: m  2

c) y  x 4  2m2 x 2  m4  m , S = 32.

ĐS: m  2

d) y  x 4  2mx 2  2m2  4, S  1 .

ĐS: m  1

Câu 72. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m2  m có đồ thị (Cm) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –2.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 120 0 . x  0

 Ta có y  4 x 3  4mx ; y  0  4 x( x 2  m)  0  

 x    m

(m < 0)

Khi đó các điểm cực trị là: A(0; m2  m), B  m ; m  , C   m ; m  AB  ( m ; m2 ) ; AC  ( m ; m2 ) . ABC cân tại A nên góc 120 chính là A .

1 AB.AC 1  m . m  m 4 1 A  120  cos A       4 2 2 2 m m AB . AC



 m  0 (loaïi) 1 1 1    2m  2m 4  m  m 4  3m 4  m  0   m .

Vậy .

3 m   3 2 3 m4  m  3

m  m4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 54

Khảo sát hàm số

Câu 73. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 có đồ thị (Cm) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . x  0 2 x  m

 Ta có y  4 x 3  4mx  4 x( x 2  m)  0  

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị  PT y  0 có ba nghiệm phân biệt và y  đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó  m  0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: A(0; m  1), B   m ; m 2  m  1 , C  m ; m 2  m  1

S

ABC

R



1 yB  y A . xC  xB  m2 m ; AB  AC  m 4  m , BC  2 m 2

m  1 AB.AC.BC (m 4  m)2 m 1  1  m3  2 m  1  0   m  5  1 4S ABC 4m 2 m  2

Câu hỏi tương tự: a) y  x 4  2mx 2  1

ĐS: m  1, m 

Câu 74. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2

1  5 2

(Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 .

2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn 3 9 5 5

ngoại tiếp đi qua điểm D  ;  .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 55

Khảo sát hàm số x  0 . Hàm số có 3 điểm cực trị  m  0 .

2 x  m

 Ta có: y  4 x 3  4mx; y  0  

Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là: A(0;2), B( m; m2  2),C( m; m2  2) .

Gọi I ( x; y) là tâm của đường tròn (P) ngoại tiếp ABC.  IA 2  ID 2 3 x  y  1  0 x  0  2   2 Ta có:  IB  IC  2 x m  2 x m   y  1 . Vậy m  1 .  IB 2  IA 2 ( x  m )2  ( y  m 2  2)2  x 2  ( y  2)2 m  1  

Câu 75. Cho hàm số y  x 4  2(1  m2 ) x 2  m  1

(Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  0 .

2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. x  0 2 2 . Hàm số có 3 cực trị  1  m  1 . x  1 m

 y  4 x3  4(1  m2 ) x ; y  0  

Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là:



 

A(0;1  m) , B  1  m2 ; 1  m2 , C

1  m2 ; 1  m2



1 2

Ta có: SABC  d ( A, BC ).BC  (1  m2 )2  1 . Dấu "=" xảy ra  m  0 .

Vậy max SABC  1  m  0 .

Câu 76. Cho hàm số y 

1 4 x  (3m  1) x 2  2(m  1) (Cm).

4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  0 .

2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 56

Khảo sát hàm số O. x  0 1 . Hàm số có 3 cực trị  m   2 3  x  2(3m  1)

 y  x 3  2(3m  1) x ; y  0  

(*)

Khi đó toạ độ 3 điểm cực trị là: A(0;2m  2), B( 6m  2; 9m2  4m  1), C ( 6m  2; 9m 2  4m  1)

2 1 ABC có trọng tâm O  18m2  6m  4  0  m   ; m  3 3

1 Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra m  .

3

KSHS 03: SỰ TƢƠNG GIAO

Dạng 1: Sự tƣơng giao của đồ thị hàm số bậc 3: y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) A. Kiến thức cơ bản  Cho hai đồ thị (C1): y  f ( x) và (C2): y  g( x ) . Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f ( x )  g( x ) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.  Số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số bậc ba: y  f ( x )  ax3  bx 2  cx  d với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 (1) B. Một số dạng câu hỏi thƣờng gặp 1. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 1 điểm chung duy nhất.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 57

Khảo sát hàm số  f khoâng coù cöïc trò    f coù 2 cöïc trò    yCÑ .yCT  0

 Phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất

2. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 2 điểm chung phân biệt.  f coù 2 cöïc trò

 (C) tiếp xúc với Ox    yCÑ .yCT  0

 Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm

3. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 3 điểm chung phân biệt.  f coù 2 cöïc trò

   yCÑ .yCT  0

 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

4. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dƣơng.  f coù 2 cöïc trò  y .y  0   CÑ CT  xCÑ  0, xCT  0 a. f (0)  0 (hay ad  0)

 Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 58

Khảo sát hàm số

5. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.  f coù 2 cöïc trò  y .y  0   CÑ CT  Phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt.  xCÑ  0, xCT  0 a. f (0)  0 (hay ad  0)

6. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng. a, b, c lập thành một cấp số cộng  a  c  2b

– Giả sử (1) có 3 nghiệm x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng.

– Viết (1) dưới dạng: ax 3  bx 2  cx  d  0  a( x  x1)( x  x2 )( x  x3 )  0  a  x 3  ( x1  x2  x3 ) x 2  ( x1x2  x2 x3  x3 x1 ) x  x1x2 x3   0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 59

Khảo sát hàm số

– x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng  x1  x3  2 x2  x2  

– Thế x2  

b là 1 nghiệm của (1).

3a

b vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.

3a

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.

7. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân. a, b, c lập thành một cấp số nhân  ac  b2

– Giả sử (1) có 3 nghiệm x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân.

– Viết (1) dưới dạng: ax 3  bx 2  cx  d  0  a( x  x1)( x  x2 )( x  x3 )  0  a  x 3  ( x1  x2  x3 ) x 2  ( x1x2  x2 x3  x3 x1 ) x  x1x2 x3   0 – x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân  x1x3  x22  x23  

– Thế x2  3 

d là 1 nghiệm của (1). a

d vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm. a

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 60

Khảo sát hàm số

Câu 77. Cho hàm số y  x 3  mx  2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3.

2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

2 x

 PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x 3  mx  2  0  m   x 2  ( x  0) 2 x

Xét hàm số: f ( x )   x 2   f '( x )  2 x 

2 x2



2 x 3  2 x2

Ta có bảng biến thiên: x   0 1  + f (x) + 0 –  –3 f (x)   

Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất  m  3 .

Câu 78. Cho hàm số y  f ( x )  x 3  mx 2  2m (Cm) ( m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3.

2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 61

Khảo sát hàm số

 Ta có: y  3x 2  2mx  x(3x  2m) + Khi m = 0 thì y  3x 2  0  (1) đồng biến trên R  thoả yêu cầu bài toán. + Khi m  0 thì (1) có 2 cực trị x1  0 , x2 

2m . Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi 3

m  0   2m 2  4m3   2 f ( x1). f  x2   0  2m  2m    0  4m  1  0  3 6 3 6 27  27     m  2  2  3 6 3 6 ;  thì đồ thị (Cm) cắt Ox tại duy nhất một điểm.

2 2  

Kết luận: khi m    Câu hỏi tương tự:

a) y  x 3  3(m  1)x 2  3(m2  1)x  1

ĐS: m  R .

Câu 79. Cho hàm số y  2 x 3  3(m  1) x 2  6mx  2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

 y  6 x 2  6(m  1)x  6m ; y '  9(m  1)2  36m  9(m  1)2 . + Nếu m  1 thì y  0, x  hàm số đồng biến trên R  đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất  m  1 thoả mãn YCBT. + Nếu m  1 thì hàm số có các điểm cực trị x1 , x2 ( x1 , x2 là các nghiệm của PT y  0 )

 x1  x2  m  1; x1x2  m . x 3

Lấy y chia cho y ta được: y   

m 1 2  y  (m  1) x  2  m(m  1) .

6 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 62

Khảo sát hàm số

 PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y  (m  1)2 x  2  m(m  1) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất  yCÑ .yCT  0

  (m  1)2 x1  2  m(m  1) . (m  1)2 x2  2  m(m  1)   0  (m  1)2 (m2  2m  2)  0  m2  2m  2  0 (vì m  1)  1  3  m  1  3 .

Kết luận: 1  3  m  1  3 .

Câu 80. Cho hàm số y  x 3  3m2 x  2m có đồ thị (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

 Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị  y  0 có 2 nghiệm phân biệt  3x 2  3m2  0 có 2 nghiệm phân biệt  m  0 Khi đó y '  0  x  m .

(Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt  yCĐ = 0 hoặc yCT = 0 Ta có:

+ y(m)  0  2m3  2m  0  m  0 (loại) + y(m)  0  2m3  2m  0  m  0  m  1

Vậy: m  1

Câu 81. Cho hàm số y  x 3  3x 2  1 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng (): y  (2m  1) x  4m  1 cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 63

Khảo sát hàm số

 Phương trình hoành độ giao của (C) và (): x3  3x 2  (2m  1)x  4m  2  0 x  2

 ( x  2)( x 2  x  2m  1)  0   2  f ( x )  x  x  2m  1  0 (1) 2  x1  x2  x1  2  x2

() cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt  (1) phải có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:     0  8m  5  0  5   b   1 m     8.    2a  2    2  2   1 m     0 8m  5  0  2   f (2)  0  2m  1  0  

Vậy: m  

5 1 ; m .

8 2

Câu 82. Cho hàm số y  x 3  6 x 2  9 x  6 có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Định m để đường thẳng (d ) : y  mx  2m  4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

 PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3  6 x 2  9 x  6  mx  2m  4 x  2

 ( x  2)( x 2  4 x  1  m)  0   2  g( x )  x  4 x  1  m  0 (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt  PT g( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2  m  3

Câu 83. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m2  1) x  (m2  1) ( m là tham số)

(1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  0.

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 64

Khảo sát hàm số (1) coù 2 cöïc trò  y .y  0  Đồ thị (1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương   CÑ CT  xCÑ  0, xCT  0  a.y(0)  0

+ y  3x 2  6mx  3(m 2  1)

(*)

 x  m  1  xCÑ  x  m  1  xCT

+ y   9(m 2  m 2  1)  9  0, m + y  0  

m  1  0 m  1  0 Suy ra: (*)   2  3  m  1 2 2 2 (m  1)(m  3)(m  2m  1)  0 2   (m  1)  0

1 2 Câu 84. Cho hàm số y  x 3  mx 2  x  m  có đồ thị (Cm ) .

3 3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1.

2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15.

 YCBT 

1 3 2 x  mx 2  x  m   0 (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa x12  x22  x32  15 .

3 3 x  1

Ta có: (*)  ( x  1)( x 2  (1  3m) x  2  3m)  0   2  g( x )  x  (1  3m) x  2  3m  0 YCBT  g( x )  0 có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 1 và thỏa x12  x22  14  m  1 Câu hỏi tương tự: a) Với y  x3  3mx 2  3x  3m  2

Câu 85. Cho hàm số y  x 3  3x 2  9 x  m , trong đó m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m  0 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 65

Khảo sát hàm số 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng  Phương trình x 3  3x 2  9 x  m  0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng  Phương trình x 3  3x 2  9 x  m có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng  Đường thẳng y  m đi qua điểm uốn của đồ thị (C)  m  11  m  11.

Câu 86. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  9 x  7 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m  0 .

2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

 Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: x 3  3mx 2  9 x  7  0

(1)

Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x1; x2 ; x3 ta có: x1  x2  x3  3m Để x1; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2  m là nghiệm của phương trình (1) m  1  1  15 1  15  2m3  9m  7  0   m  . Thử lại ta có m  là giá trị cần tìm.  2 2  1  15 m  2 

Câu hỏi tương tự: a) y  x 3  3mx 2  2m(m  4) x  9m2  m .

ĐS: m  1 .

Câu 87. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  mx có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 66

Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m  1 .

2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y  x  2 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.

 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: x 3  3mx 2  mx  x  2  g( x )  x 3  3mx 2  (m  1)x  2  0

Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ; x3 lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có: g( x )  ( x  x1)( x  x2 )( x  x3 )  x1  x2  x3  3m  Suy ra:  x1x2  x2 x3  x1x3  m  1 x x x  2  1 2 3

Vì x1x3  x22  x23  2  x2  3 2 nên ta có: m  1  4  3 2.3m  m  

Đk đủ: Với m  

Vậy: m  

5 3

3 2 1

5 3

3 2 1

5 3

3 2 1

, thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.

.

Câu hỏi tương tự: a) y  x3  (3m  1) x 2  (5m  4) x  8 , d  Ox .

Câu 88. Cho hàm số

ĐS: m  2 .

y  x 3  3x 2  2 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y  m( x  2)  2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2; –2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị (C)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 67

Khảo sát hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x3  3x 2  2  m( x  2)  2 x  2

 .

2  g( x )  x  x  2  m  0 (1) 9  (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt A(2; –2), B, D    9  4m  0    m  0 4 g(2)  m  0

(*)

Với điều kiện (*), gọi x1, x2 là các nghiệm của (1) thì x1  x2  1, x1x2  2  m .

9 4

Ta có: k  y( x1 ).y( x2 )  (3x12  6 x1 )(3x22  6 x2 ) = 9(m  1)2  9  9 với   m  0 .

Dấu "=" xảy ra  m  1 . Vậy giá trị m cần tìm là m  1 . Khi đó kmin  9 .

Câu 89. Cho hàm số y  2 x 3  6 x 2  1

(C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d : y  mx  1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC.  x  0 ( y  1)

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d: 2 x 3  6 x 2  1  mx  1   2 2 x  6 x  m  0 (1) d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C  (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  0  9      0  m  ; m  0 . Khi đó B( x1; mx1  1), C( x2 ; mx2  1) . m  0



2

 x1  x2  3  m  x1x2  2

Vì B là trung điểm của AC nên x2  2 x1 (2). Mặt khác: 

(3)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 68

Khảo sát hàm số Từ (2) và (3) suy ra m  4 .

Câu 90. Cho hàm số y  x 3  6 x 2  9 x

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

2) Tìm m để đường thẳng d : y  mx cắt (C) tại 3 điểm O(0; 0), A, B phân biệt. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, trung điểm I của đoạn AB luôn nằm trên một đường thẳng song song với trục tung.  x  0 ( y  0)

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x 3  6 x 2  9 x  mx   2  x  6 x  9  m  0 (1) d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O(0; 0), A, B  (2) có 2 nghiệm phân biệt x A , xB khác 0     0

9  m  0

 0  m  9 (*) . Vì I là trung điểm của AB nên x I 

x A  xB 3 2

 I  : x  3 ( // Oy).

Câu 91. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  (m  1) x  m  1 (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 .

2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y  2 x  m  1 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.

 PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d: x3  3mx 2  (m  1) x  m  1  2 x  m  1 (1) x  1

 2  x  (1  3m) x  2m  2  0 (2) YCBT  (1) có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1  (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 69

Khảo sát hàm số Xét PT (2) ta có:   9m2  2m  9  0, m  (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 .

Do đó: (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1  1  x1  x2  0  x1  1  x2  1 (*) Đặt t  x  1 . Khi đó (2)  t 2  3(1  m)t  5m  0 (3)   0  (*)  (3) có 2 nghiệm dương phân biệt  S  3(m  1)  0 (vô nghiệm)  P  5m  0

Kết luận: không có giá trị m thoả YCBT.

Câu 92. Cho hàm số y  x 3  3x  2 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho x A  2 và BC  2 2 .

 Với x A  2  y A  4 . PT đường thẳng d đia qua A(2; 4) có dạng: y  k( x  2)  4 . x  2

PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x 3  3x  2  k ( x  2)  4   2  g( x )  x  2 x  k  1  0    d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt    0  k  0 . Khi đó toạ độ của B( x1; y1 ),C ( x2 ; y2 ) g(2)  0

k  9

 2 thoả hệ phương trình:  x  2 x  k  1  0 (1)  y  kx  2k  4

(2)

Ta có: (1)  x1  x2  2 k ; (2)  y1  y2  k ( x1  x2 )  2k k BC = 2 2 

4k  4k 3  2 2  4k 3  4k  8  0  k  1 . Vậy d : y  x  2 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 70

Khảo sát hàm số Câu 93. Cho hàm số y  4 x 3  6mx 2  1 (C) (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m  1 .

2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y   x  1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A(0; 1), B, C phân biệt sao cho B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. x  0

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d: 4 x 3  6mx 2  1   x  1   2  4 x  6mx  1  0 (1) d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C  (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0  2 m   3  (*). Khi đó giả sử B( x1;  x1  1), C( x2 ;  x2  1) . m  2  3

x  y

x  x  1

2 B, C đối xứng nhau qua đường thẳng y  x   1 2   1  x1  x2  1 y  x x   x 2 1 1  1  2



3 2 m  1  m  (không thoả (*)). Vậy không có giá trị m thoả YCBT. 2 3

Câu 94. Cho hàm số y  x 3  2mx 2  (m  3) x  4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.

2) Cho đường thẳng (d): y  x  4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .

 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: x3  2mx 2  (m  3) x  4  x  4  x  0 ( y  4)  2  g( x )  x  2mx  m  2  0 (1)

(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C  (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 71

Khảo sát hàm số 2  / m  1  m  2    m  m  2  0   m  2  g(0)  m  2  0

Khi đó: xB  xC  2m; xB .xC  m  2 .

(*)

Mặt khác: d (K , d ) 

1 3  4 2

 2 . Do đó:

1 SKBC  8 2  BC.d (K , d )  8 2  BC  16  BC 2  256 2  ( x B  xC )2  ( yB  yC )2  256  ( x B  xC )2  (( x B  4)  ( xC  4))2  256  2( x B  xC )2  256  ( x B  xC )2  4 x B xC  128

 4m2  4(m  2)  128  m2  m  34  0  m 

1  137 1  137 (thỏa (*)). Vậy m  .

2 2

Câu hỏi tương tự: a) y  x 3  2mx 2  3(m  1)x  2 , d : y   x  2 , K(3;1), A(0;2), S  2 2 . ĐS: m  0, m  3

Câu 95. Cho hàm số y  x 3  3x 2  4 có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi d k là đường thẳng đi qua điểm A(1;0) với hệ số góc k (k  ) . Tìm k để đường thẳng d k cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 .

 Ta có: dk : y  kx  k  kx  y  k  0 PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: x 3  3 x 2  4  kx  k  ( x  1) ( x  2)2  k   0  x  1 hoặc ( x  2)2  k

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 72

Khảo sát hàm số k  0 d k cắt (C) tại 3 điểm phân biệt   k  9

(*)

Khi đó các giao điểm là A(1;0), B  2  k ;3k  k k  ,C  2  k ;3k  k k  .

BC  2 k 1  k 2 , d (O, BC )  d (O, dk ) 

k 1 k2

1 k SOBC  . .2 k . 1  k 2  1  k k  1  k 3  1  k  1 (thoả (*)) 2 1 k2

Câu hỏi tương tự: a) y  x 3  3x 2  4; A(1;0), SOBC  8 .

ĐS: k  4 .

Câu 96. Cho hàm số y  (2  m) x 3  6mx 2  9(2  m) x  2

(Cm) (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm m để đường thẳng d : y  2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 2) , B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 13 .

 Phương trình hoành độ giao điểm là: (2  m) x3  6mx 2  9(2  m) x  2  2

(1)

x  0  2 (2  m) x  6mx  9(2  m)  0 (2)

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; –2), B, C  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 2 2     9m  9(2  m)  0  m  1

m  2

2  m  0 

6m

 Khi đó:  xB  xC  2  m . Ta có: S   xB xC  9

(*). Giả sử B( xB ; 2),C( xC ; 2) ( xB  xC ) .

OBC 

1 d (O, BC ).BC  13 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 73

Khảo sát hàm số

 BC  13   x B  xC 

2

2  14  6m  m  4 x B xC  13     36  13   13  2m  m  14

(thoả (*)).

Câu 97. Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 có đồ thị là (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng

2.

 Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng  qua E có dạng y  k( x  1) .

PT hoành độ giao điểm của (C) và : ( x  1)( x 2  2 x  2  k )  0

 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  x 2  2 x  2  k  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1  k  3  k  1 1 SOAB  d (O, ).AB  k k  3  k k  3  2   2  k  1  3

Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: y   x  1; y   1  3  ( x  1) .

Câu 98. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  1 (m là tham số)

(1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.

2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.

 PT hoành độ giao điểm của (1) và d: x3  3x 2  mx  1  1  x( x 2  3x  m)  0 9 4

d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C  m  , m  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 74

Khảo sát hàm số Khi đó: xB , xC là các nghiệm của PT: x 2  3x  m  0  xB  xC  3; xB .xC  m Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1  3 x B2  6 x B  m và tại C là k2  3 xC2  6 xC  m Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau  k1.k2  1  4m2  9m  1  0

 m

9  65 9  65  m 8 8

Câu 99. Cho hàm số y  x3  3x  1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y  mx  m  3 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3 -(m  3) x  m  2  0  x  1 ( y  3)

 ( x  1)( x 2  x  m  2)  0   2  g( x )  x  x  m  2  0 9 4

d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P  m   , m  0 Khi đó: x N , x P là các nghiệm của PT: x 2  x  m  2  0  x N  xP  1; x N .xP  m  2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là k1  3 x N2  3 và tại P là k2  3 x P2  3 Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau  k1.k2  1  9m2  18m  1  0

 m

3  2 2 3  2 2  m 3 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 75

Khảo sát hàm số Câu 100. Cho hàm số y  x 3  3x 2  4

(C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.

 PT đường thẳng (d): y  k( x  2) + PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3  3x 2  4  k ( x  2)  x  2  xA

 ( x  2)( x 2  x  2  k )  0  

2  g( x )  x  x  2  k  0

+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N  PT g( x )  0 có 2 nghiệm phân biệt, khác 2 9  k0 4  f (2)  0

0   

(*)

x  x  1

+ Theo định lí Viet ta có:  M N  x M x N  k  2 + Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau  y ( x M ).y ( x N )  1 2  6 x M )(3x N2  6 x N )  1  9k 2  18k  1  0  k   (3x M

3  2 2 3

(thoả (*))

Câu 101. Cho hàm số y  x 3  3x (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y  m( x  1)  2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 76

Khảo sát hàm số x 1  0

 PT hoành độ giao điểm ( x  1)( x 2  x  2  m)  0 (1)   2 x  x  2  m  0

(2)

(1) luôn có 1 nghiệm x  1 ( y  2 )  (d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2). (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1 9 4

 m   ;m  0

(*)

Tiếp tuyến tại N, P vuông góc  y '( xN ). y '( xP )  1  m 

3  2 2 (thoả (*)) 3

1 8 Câu 102. Cho hàm số y  x 3  x 2  3x  .

3 3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).

 Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m.

PT hoành độ giao điểm của (C) và d:

1 3 2 8 x  x  3x   m  x 3  3x 2  9 x  8  3m  0 (1) 3 3

Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho OAB cân tại O thì (1) phải có 2 nghiệm x1, x2   x1 ( x1,– x1 là hoành độ của A, B)  x1, x2 là các nghiệm của phương trình: ( x 2  x12 )( x  x2 )  0  x 3  x2 x 2  x12 x  x12 x2  0 (2)

Đồng nhất (1) và (2) ta được:

 x2  3  x1  3  2  x  3 . Kết luận: d: y   19 . x  9   1  2 3  x 2 x  8  3m m   19  1 2  3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 77

Khảo sát hàm số Câu 103. Cho hàm số y  x 3  5x 2  3x  9

(1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

2) Gọi  là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k . Tìm k để  cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B,C sao cho tam giác OBC có trọng tâm G(2;2) ( O là gốc toạ độ).  PT đường thẳng : y  k ( x  1) . PT hoành độ giao điểm của (C) và :  x  1 x 3  5x 2  3x  9  k ( x  1)   2 ( x  3)  k

 cắt (C) tại ba điểm phân biệt  ( x  3)2  k có hai nghiệm phân biệt khác 1  k  0

k  16

Khi đó toạ độ các giao điểm là: A(1;0) , B  3  k ; k  4  k   , C  3  k ; k  4  k   .  xG  2 3   k  (thoả điều kiện).

8k y   2 4  G 3

Do đó tọa độ trọng tâm OBC : 

Dạng 2: Sự tƣơng giao của đồ thị hàm số trùng phƣơng: y  f ( x )  ax 4  bx 2  c (a  0) A. Kiến thức cơ bản Số giao điểm của (C): y  ax 4  bx 2  c với trục Ox = số nghiệm của ax 4  bx 2  c  0 (1)  t  x 2 , t  0 ax 4  bx 2  c  0 (1)   2  at  bt  c  0 (2)

Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 78

Khảo sát hàm số (2) voâ nghieäm

 (1) vô nghiệm  (2) coù nghieäm keùp aâm  (2) coù 2 nghieäm aâm

  (1) có 1 nghiệm  (2) coù nghieäm keùp baèng 0

(2) coù 1 nghieäm baèng 0, nghieäm coøn laïi aâm

  (1) có 2 nghiệm  (2) coù nghieäm keùp döông

(2) coù 1 nghieäm döông vaø 1 nghieäm aâm

 (1) có 3 nghiệm  (2) coù 1 nghieäm baèng 0, nghieäm coøn laïi döông  (1) có 4 nghiệm  (2) coù 2 nghieäm döông phaân bieät

B. Một số dạng câu hỏi thƣờng gặp 1. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại k điểm phân biệt.

Dựa vào các trường hợp nêu trên.

2. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.  ax 4  bx 2  c  0 (1) có 4 nghiệm phân biệt.  at 2  bt  c  0 (t  x 2 ) (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1, t2 (giả sử t1  t2 ) – Khi đó các nghiệm của (1) là:  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 .

– Vì  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng nên





t2  t1  t1   t1  t2  9t1 .

 b t1  t2   a  c – Giải điều kiện: t1t2  . a  t  9t 2 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 79

Khảo sát hàm số

Câu 104. Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  1 có đồ thị là Cm 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m  8 .

2) Định m để đồ thị Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

 PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x 4  mx 2  m  1  0 (1)  Đặt t  x 2 , t  0 . Khi đó: (1)  t 2  mt  m  1  0 (2)  t  1

t  m  1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 80

Khảo sát hàm số YCBT  (1) có 4 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm dƣơng phân biệt  0  m  1  1

 m  1

m  2

Câu 105. Cho hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  2m  1 có đồ thị là Cm  .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m  0 .

2) Định m để đồ thị Cm  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4  2(m  1) x 2  2m  1  0

(1)

Đặt t  x 2 , t  0 thì (1) trở thành: f (t)  t 2  2(m  1)t  2m  1  0 . Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì f (t)  0 phải có 2 nghiệm dương phân biệt  '  m 2  0  1    S  2  m  1  0  m   2 (*)  P  2m  1  0 m  0 

Với (*), gọi t1  t2 là 2 nghiệm của f (t)  0 , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần lượt là: x1   t2 ; x2   t1 ; x3  t1 ; x4  t2 x1, x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng  x2  x1  x3  x2  x4  x3  t2  9t1

m  4 5m  4m  4  m  1  m  9 m  1  m  5 m  4  m  1    4 (thoả (*)) m    5m  4m  4 9 







4 9

Vậy m   4;   

Câu hỏi tương tự:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 81

Khảo sát hàm số a) Với y   x 4  2(m  2) x 2  2m  3

ĐS: m  3, m  

13 .

9

Câu 106. Cho hàm số y  x 4  (3m  2) x 2  3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm m để đường thẳng y  1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y  1 :  x  1 x 4  (3m  2) x 2  3m  1  x 4  (3m  2) x 2  3m  1  0   2  x  3m  1

(*)

Đường thẳng y  1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và nhỏ hơn 2 0  3m  1  4



3m  1  1

 1  3

   m  1; m  0

Câu 107. Cho hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  2m  1 có đồ thị là (Cm), m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3 .

 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4  2(m  1) x 2  2m  1  0

(1)

Đặt t  x 2 , t  0 thì (1) trở thành: f (t)  t 2  2(m  1)t  2m  1  0 .

(Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3  0  t1  t2  3  f  t  có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 sao cho:   0  t1  3  t2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 82

Khảo sát hàm số   m 2  0    f (0)  2m  1  0 S  2(m  1)  3 

  m 2  0  1 hoaëc  f (3)  4  4m  0  m    m  1 2 S  2(m  1)  0  P  2m  1  0

1 2

Vậy: m    m  1 .

Câu 108. Cho hàm số y  x 4  2m2 x 2  m4  2m (Cm), với m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 ..

2) Chứng minh đồ thị (Cm) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m  0 .

 PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục Ox: x 4  2m2 x 2  m4  2m  0 (1) Đặt t  x 2 (t  0) , (1) trở thành : t 2  2m2t  m 4  2m  0

(2)

Ta có :  '  2m  0 và S  2m2  0 với mọi m  0 . Nên (2) có nghiệm dương

 (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt  đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt.

Câu 109. Cho hàm số y  x 4  2m2 x 2  1 (m là tham số)

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Chứng minh rằng đường thẳng y  x  1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

 Xét PT hoành độ giao điểm: x  0

x 4  2m2 x 2  1  x  1  x  x3  2m2 x  1  0   3 2  g( x )  x  2m x  1  0 (*)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 83

Khảo sát hàm số Ta có: g ( x )  3x 2  2m2  0 (với mọi x và mọi m )  Hàm số g(x) luôn đồng biến với mọi giá trị của m.

Mặt khác g(0) = –1  0. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 0.

Vậy đường thẳng y  x  1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

Câu 110. Cho hàm số y  x 4  (m2  2) x 2  m2  1 (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  2 .

2) Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hoành phần phía trên trục hoành có diện tích bằng

96 .

15  x  1

 PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục Ox: x 4  (m2  2) x 2  m2  1  0  

2  x   m  1

 (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt  m  0 (*).

Khi đó: diện tích hình phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hoành phần phía trên trục hoành 1

là: S   ( x 4  (m2  2) x 2  m2  1)dx  1

20m2  16 96   m  2 (thoả (*)).

15 15

Câu 111. Cho hàm số y  x 4  4 x 2  m (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  2 .

2) Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần dưới trục hoành.

 PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x 4  4 x 2  m  0 (1)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 84

Khảo sát hàm số 2   t 2 x , t  0

t  4t  m  0 (2) 

(Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt  (1) có 4 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm dương   4  m  0  phân biệt  S  4  0  0  m  4 (*).  P  m  0

Giả sử (2) có nghiệm t1, t2 (0  t1  t2 ) . Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: x1   t2 ; x2   t1 ; x3  t1 ; x4  t2 . Do tính đối xứng của (Cm) nên ta có: x3

x4

0

x3

4 2  ( x  4 x  m)dx 

4 2  ( x  4 x  m)dx 

x45 4 x34   mx4  0  3 x44  20 x42  15m  0 5 3

4 2   x4  4 x 4  m  0 4 2  3x4  20 x4  15m  0

Suy ra x 4 là nghiệm của hệ: 

Đối chiếu điều kiện (*) ta suy ra m 

(3) (4)

m  0 20 . m  9 



20 .

9

Câu 112. Cho hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  2m  1 (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 .

2) Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D có hoành độ lần lượt là x1, x2 , x3 , x4 ( x1  x2  x3  x4 ) sao cho tam giác ACK có diện tích S  4 , biết K(3; 2) .

 PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x 4  2(m  1) x 2  2m  1  0 Đặt t  x 2 , t  0 . (1) trở thành: t 2  2(m  1)t  2m  1  0

(1) .

(2)

(Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 85

Khảo sát hàm số   (m  1)2  (2m  1)  0  1   S  2(m  1)  0  m   2  P  2m  1  0 m  0 

Khi đó (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự là:  t1 ;  t2 ; t2 ; t1 , với t1  t2 .

1 2

Ta có: SACK  AC.d (K , AC ) (3), với d (K , AC )  yK  2 .

Khi đó: (3) 

t1  t2  4  t1  t2  2 t1t2  16  2(m  1)  2 2m  1  16  m  4 .

Dạng 3: Sự tƣơng giao của đồ thị hàm số: y  f ( x ) 

Câu 113. Cho hàm số y 

ax  b cx  d

2x  1 có đồ thị là (C). x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y   x  m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d:  x  2 2x  1  x  m   2 x2  f ( x )  x  (4  m) x  1  2m  0 (1)

Do (1) có   m2  12  0 và f (2)  (2)2  (4  m).(2)  1  2m  3  0, m nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Ta có: y A  m  x A ; yB  m  xB nên AB2  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2  2(m 2  12)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 86

Khảo sát hàm số Suy ra AB ngắn nhất  AB2 nhỏ nhất  m  0 . Khi đó: AB  24 .

Câu hỏi tương tự: a) y 

x 2 x 1

Câu 114. Cho hàm số y 

ĐS: m  2

b) y 

x 1 2x

ĐS: m 

1 2

x 3 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I(1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN.

 Phương trình đường thẳng d : y  k( x  1)  1 d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N 

x 3  kx  k  1 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 . x 1 k  0

 f ( x )  kx 2  2kx  k  4  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1    4k  0  k  0   f (1)  4  0

Mặt khác: x M  x N  2  2 xI  I là trung điểm MN với k  0 .

Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y  kx  k  1 với k  0 .

Câu 115. Cho hàm số y 

2x  4 1 x

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho MN  3 10 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 87

Khảo sát hàm số

 Phương trình đường thẳng (d ) : y  k( x  1)  1.

Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( x1; y1), ( x2 ; y2 ) phân biệt 2

2

sao cho  x2  x1    y2  y1   90  2x  4  k ( x  1)  1   x  1  y  k ( x  1)  1 

(a) kx 2  (2k  3) x  k  3  0

(I). Ta có: (I )   

y  k ( x  1)  1

(I) có 2 nghiệm phân biệt  kx 2  (2k  3)x  k  3  0 (b) có 2 nghiệm phân biệt.

3 8

 k  0, k  .

Ta biến đổi (a) trở thành: (1  k 2 )  x2  x1   90  (1  k 2 )  x2  x1   4 x2 x1   90 (c) 2

Theo định lí Viet cho (b) ta có: x1  x2  trình:

2

2k  3 k 3 , x1x2  , thế vào (c) ta có phương k k

8k 3  27k 2  8k  3  0  (k  3)(8k 2  3k  1)  0

 k  3; k 

3  41 3  41 . ; k 16 16

Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.

Câu 116. Cho hàm số y 

2x  2 (C). x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng (d): y  2 x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB  5 .

 PT hoành độ giao điểm:

2x  2  2 x  m  2 x 2  mx  m  2  0 ( x  1) x 1

(1)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 88

Khảo sát hàm số d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B  (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác –1

 m2  8m  16  0 (2)  m  x1  x2   2 Khi đó ta có:  . Gọi A  x1;2 x1  m  , B  x2 ;2 x2  m  . x x  m  2  1 2 2

AB2 = 5  ( x1  x2 )2  4( x1  x2 )2  5  ( x1  x2 )2  4 x1x2  1  m2  8m  20  0

  m  10

 m  2

(thoả (2))

Vậy: m  10; m  2 .

Câu hỏi tương tự: a) y 

2x 1 , d : y  x  m, AB  2 2 . x2

Câu 117. Cho hàm số y 

ĐS: m  1; m  7 .

x 1 (1). xm

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 .

2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y  x  2 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB  2 2 .

 PT hoành độ giao điểm:

 x  m x 1  x2  2 xm  x  (m  1) x  2m  1  0

(*)

d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt khác m  2    0    m  6m  3  0   m  3  2 3  m  3  2 3 x   m  m  1 m  1

(**)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 89

Khảo sát hàm số  x  x  (m  1)

Khi đó gọi x1 , x2 là các nghiệm của (*), ta có  1 2  x1.x2  2m  1

Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là A( x1; x1  2), B( x2 ; x2  2) .

Suy ra AB2  2( x1  x2 )2  2 ( x1  x2 )2  4 x1x2   2(m 2  6m  3) 



Theo giả thiết ta được 2(m2  6m  3)  8  m2  6m  7  0   m  1  m  7

Kết hợp với điều kiện (**) ta được m  7 là giá trị cần tìm.

Câu 118. Cho hàm số y 

2x  1 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng (d): y  kx  2k  1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau.

 PT hoành độ giao điểm:

 x  1 2x  1  kx  2k  1   2 x 1 kx  (3k  1) x  2k  0 (*)

k  0 2    k  6k  1  0

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B  (*) có 2 nghiệm phân biệt   k  0 k  3  2 2  k  3  2 3



(**). Khi đó: A( x1; kx1  2k  1), B( x2 ; kx2  2k  1) .

Ta có: d ( A,Ox )  d (B,Ox )  kx1  2k  1  kx2  2k  1  k ( x1  x2 )  4k  2  0

 k  3 (thoả (**).

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 90

Khảo sát hàm số

Câu 119. Cho hàm số

y

2x . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d : y  mx  m  2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất.

 PT hoành độ giao điểm:

x  1 2x  mx  m  2   2 x 1  g( x )  mx  2mx  m  2  0 (2)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1  m  0 Khi đó: A( x1; mx1  m  2), B( x2 ; mx2  m  2)  AB2  (1  m)2 ( x2  x1 )2 Theo định lí Viet, ta có: x1  x2  2; x1x2 

 m2 1  AB2  8 m    16 m m 

Dấu "=" xảy ra  m  1 . Vậy min AB  4 khi m  1 .

Câu 120. Cho hàm

y

x2 .

2x  2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d : y  x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2  OB2 

37 .

2

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d:

x2  xm 2x  2

x  1 .  2 g( x )  2 x  (2m  3) x  2(m  1)  0 2   Vì g  4m  4m  25  0, m nên d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.

  g(1)  3  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 91

Khảo sát hàm số 2m  3 2  x1x2  (m  1) 

 Gọi A( x1; x1  m), B( x2 ; x2  m) . Theo định lí Viet, ta có:  x1  x2  

Ta có: OA2  OB2 

Câu 121. Cho hàm

y

37 5 1 37  (4m2  2m  17)   m   ; m  2.

2 2 2 2

x .

1 x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d : y  mx  m  1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM 2  AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất, với A(1;1) .

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d:

x  1 x  mx  m  1   2 1 x mx  2mx  m  1  0

(2)

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1  m  0 .

Gọi I là trung điểm của MN  I(1; 1) cố định.

Ta có: AM 2  AN 2  2 AI 2 

MN 2 . Do đó AM 2  AN 2 nhỏ nhất  MN nhỏ nhất 2

MN 2  ( x2  x1 )2 (1  m)2  4m 

4  8 . Dấu "=" xảy ra  m  1 . m

Vậy: min( AM 2  AN 2 )  20 khi m  1 .

Câu 122. Cho hàm số y 

2x 1 (C). x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d: y  x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 92

Khảo sát hàm số vuông tại O.

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x 2  (m  3) x  1  m  0, x  1

(*)

(*) có   m2  2m  5  0, m  R và (*) không có nghiệm x = 1. x  x  3  m

 (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là x A , xB . Theo định lí Viét:  A B  x A .x B  1  m Khi đó: A  x A ; x A  m  , B  xB ; xB  m  OAB vuông tại O thì OA.OB  0  x A x B   x A  m  x B  m   0  2 x A xB  m  x A  xB   m2  0  m  2

Vậy: m = –2.

Câu 123. Cho hàm số y  f ( x ) 

2x  1 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d): y  x  m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)).

 Tâm đối xứng của (C) là I(1; 2). Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):  x 1 2x  1  xm  2 x 1  f ( x )  x  (m  3) x  m  1  0

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N  f ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt x M , x N khác 1   m2  2m  13  0  (đúng với mọi m). Tọa độ các giao điểm là M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) . f (1)  3  0 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 93

Khảo sát hàm số m 1 MN  2 ( x M  x N )2  4 x M x N   2(m 2  2m  13) ; d  d (I , d )  2

SIMN  4 

1 MN .d  4  m  1 . m2  2m  13  8  m  3; m  1 .

2

Câu 124. Cho hàm số y 

x  m có đồ thị là (Cm) (m là tham số). x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1 .

2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : 2 x  2y  1  0 cắt (Cm) tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ). x  m 1   x  x 2  x  2m  2  0 (1), x  2 x2 2

 PT hoành độ giao điểm của d và (Cm):

d cắt (Cm) tại 2 điểm A, B  (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –2  2  m  

1 2









1 2

9 8

(*)



Khi đó các giao điểm là: A  x1;  x1  , B  x2 ;  x2  . AB  2(9  8m ) 

SOAB 



1 1 1 1 7 AB.d (O, d )  2(9  8m).  9  8m  1  m   (thảo (*)).

2 2 8 2 2 4

Câu 125. Cho hàm số y 

2x  1 có đồ thị là (C). x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị m để đường thẳng y  3x  m cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng d : x  2y  2  0 (O là gốc tọa độ).

 PT hoành độ giao điểm:

2x  1  3x  m  3x 2  (1  m) x  m  1  0 (1), ( x  1) x 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 94

Khảo sát hàm số d cắt (C) tại A và B  (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1   m  11 (*)  m  1 

Gọi x1, x2 là các nghiệm của (1). Khi đó A( x1; 3x1  m), B( x2 ; 3x2  m) Gọi I là trung điểm của AB  xI 

x1  x2 1  m m 1  , yI  3 x I  m  2 6 2 2 3

 1 m m 1 ;  3   9

Gọi G là trọng tâm tam giác OAB  OG  OI  G 

Gd 

 m 1 11 1 m 11  2.  (thoả (*)). Vậy m   . 2  0  m   9 3 5 5  

Câu 126. Cho hàm số y 

x 3 (C). x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d : y   x  m  1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AOB nhọn.

 PT hoành độ giao điểm của (C) và d:

x 3  x  m  1 x 2

 x 2  (m  2)x  2m  5  0 ( x  2) (1)   2  (1) có 2 nghiệm phân biệt    0  m2  4m  16  0 x  2

2  2(m  2)  2m  5  0 

 m .

Gọi A( x1;  x1  m  1), B( x2 ;  x2  m  1) là các giao điểm của (C) và d.

Ta có: AOB nhọn  AB2  OA2  OB2  2( x2  x1 )2  ( x1  m  1)2  ( x2  m  1)2

 2 x1x2  (m  1)( x1  x2 )  (m  1)2  0  m  3 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 95

Khảo sát hàm số

Câu 127. Cho hàm số y 

3x  2 x2

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Đường thẳng y  x cắt (C) tại hai điểm A, B. Tìm m để đường thẳng d : y  x  m cắt (C) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình hành.

 Hoành độ các điểm A, B là các nghiệm của PT:

3x  2  x  1 x x2 x  2

 A(1; 1), B(2;2)  AB  3 2  CD  3 2 .

PT hoành độ giao điểm của (C) và d:

3x  2  x  m  x 2  (m  1) x  2m  2  0 x2

(*)

2   d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt    m  10m  9  0   0  m  1 . x  2 m  9



Khi đó các giao điểm là C(c; c  m), D(b; b  m) với a, b là các nghiệm của PT (*)  m  0 (loaïi) CD  3 2  2(c  d )2  3 2  m2  10m  0    m  10

Vậy: m  10 .

Câu 128. Cho hàm số

y

x 3 . x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d : y  2 x  3m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA.OB  4 với O là gốc toạ độ.

 PT hoành độ giao điểm của (C) và (d):

x 3  2 x  3m x2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 96

Khảo sát hàm số

 2 x 2  3(1  m) x  6m  3  0 (1) ( x  2) d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác –2 2     9m  30m  33  0  m

8  6(1  m)  6m  3  0

Khi đó: A( x1;2 x1  3m), B( x2 ;2 x2  3m) . OA.OB  4 

Câu 129. Cho hàm số: y 

12m  15 7  4  m  .

2 12

x2 . x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh x  y  m  0

của (C) và thỏa  A A .  x B  yB  m  0 x  y  m  0

y  x  m

A  Ta có:  A A  A  A, B  (d ) : y  x  m x  y  m  0 y  x B B m  B  B

 A, B là giao điểm của (C) và (d). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): xm

x2  f ( x )  x 2  (m  3) x  (2m  2)  0 ( x  2) x 2

(*).

(*) có   m2  2m  17  0, m  (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Và 1. f (2)  4  0  x A  2  xB hoặc xB  2  x A (đpcm).

Câu 130. Cho hàm số

y

x2 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 97

Khảo sát hàm số 2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 0) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho AM  2 AN .

 PT đường thẳng d: y  k( x  1) . PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x2  k ( x  1)  kx 2  (2k  1) x  2  0 ( x  1) (1) x 1

Đặt t  x  1  x  t  1 . Khi đó (1) trở thành kt 2  t  3  0 (2) d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác nhau  (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1  1  x2  (2) có 2 nghiệm t1, t2 thoả t1  0  t2  3k  0  k  0 (*).

Vì A luôn nằm trong đoạn MN và AM  2 AN nên AM  2 AN  x1  2 x2  3 (3) Áp dụng định lí Viet cho (1) ta có: x1  x2  Từ (3), (4)  x1 

2k  1 k 2 (4), x1x2  (5) . k k

k 2 k 1 2 . Thay vào (5) ta được: k  (thoả (*)). ; x2  k k 3

Câu 131. Cho hàm số y 

2x  m (m là tham số) mx  1

(1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m  1 .

2) Chứng minh rằng với mọi m  0, đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng d : y  2 x  2m tại hai điểm phân biệt A, B thuộc một đường (H) cố định. Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N. Tìm m để SOAB  3SOMN .

 PT hoành độ giao điểm của (C) và (d):  2mx 2  2m2 x  m  0 (2), x  

2x  m  2 x  2m mx  1

1 1  f ( x )  2 x 2  2mx  1  0 (*), x   m m

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 98

Khảo sát hàm số    m 2  2  0  Xét PT (*) có   1  2  m  d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. f    1  0     m m2 

 x A  xB  m  1  1 yA  x   A  A, B nằm trên đường (H): y  1 cố định.

Ta có:  x A .x B   2   1 x y   y A  2 x A  2m  B x B  y  2 x  2m B  B h  d (O, d ) 

2m 5



2 5

m , AB  5. m 2  2 , M (m;0), N (0; 2m)

1 2

1 2

1 2

 SOAB  h.AB  m m2  2 , SOMN  OM.ON  m2 ; SOAB  3SOMN  m   .

KSHS 04: TIẾP TUYẾN

A. Kiến thức cơ bản  Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0  x0 ; f ( x0 ) .

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0  x0 ; f ( x0 ) là: y – y0  f ( x0 ).( x – x0 )

 y0  f ( x0 )

 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y  f ( x) và (C2): y  g( x ) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x )  g( x ) (*)   f '( x )  g '( x )

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.  Nếu (C1 ) : y  px  q và (C2): y  ax 2  bx  c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình ax 2  bx  c  px  q có nghiệm kép.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 99

Khảo sát hàm số B. Một số dạng câu hỏi thƣờng gặp 1. Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y  f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) :  Nếu cho x 0 thì tìm y0  f ( x0 ) .

Nếu cho y0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f ( x )  y0 .  Tính y  f ( x ) . Suy ra y( x0 )  f ( x0 ) .  Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0  f ( x0 ).( x – x0 ) .

2. Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y  f ( x) , biết  có hệ số góc k cho trƣớc.

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tính f ( x0 ) .   có hệ số góc k  f ( x0 )  k

(1)

 Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y0  f ( x0 ) . Từ đó viết phương trình của .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.  Phương trình đường thẳng  có dạng: y  kx  m .   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x )  kx  m (*)   f '( x )  k

 Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của .

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau: +  tạo với trục hoành một góc  thì k  tan a . +  song song với đường thẳng d: y  ax  b thì k  a +  vuông góc với đường thẳng d : y  ax  b (a  0) thì k   +  tạo với đường thẳng d : y  ax  b một góc  thì

1 a

k a  tan  1  ka

3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y  f ( x) , biết  đi qua điểm A( x A ; y A ) .

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Khi đó: y0  f ( x0 ), y( x0 )  f ( x0 ) .  Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y0  f ( x0 ).( x – x0 )

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 100

Khảo sát hàm số   đi qua A( x A ; y A ) nên: y A – y0  f ( x0 ).( x A – x0 )

(2)

 Giải phương trình (2), tìm được x 0 . Từ đó viết phương trình của .

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.  Phương trình đường thẳng  đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – y A  k ( x – x A )   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x)  k(x  x A )  yA   f '( x )  k

(*)

 Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến .

4. Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y  f ( x) , biết  tạo với trục Ox một góc .  Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k  f ( x0 ) .   tạo với trục Ox một góc   f ( x0 )  tan a . Giải phương trình tìm được x 0 .  Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y0  f ( x0 ).( x – x0 ) 5. Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y  f ( x) , biết  tạo với đƣờng thẳng d: y  ax  b một góc .

 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k  f ( x0 ) .   tạo với d một góc  

k a  tan  . Giải phương trình tìm được x 0 .

1  ka

 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y0  f ( x0 ).( x – x0 ) 6. Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y  f ( x) , biết  cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trƣớc.  Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k  f ( x0 ) .  OAB vuông cân   tạo với Ox một góc 450 và O  . (a)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 101

Khảo sát hàm số  SOAB  S  OA.OB  2S .

(b)

 Giải (a) hoặc (b) tìm được x 0 . Từ đó viết phương trình tiếp tuyến .

8. Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị (C1 ) : y  f ( x ), (C2 ) : y  g( x ) . a) Gọi : y  ax  b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). u là hoành độ tiếp điểm của  và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của  và (C2).   tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:  f (u)  au  b  f '(u)  a   g(v)  av  b  g '(v)  a

(1) (2) (3) (4)

 Từ (2) và (4)  f (u)  g(v)  u  h(v)

(5)

 Thế a từ (2) vào (1)  b  k (u)

(6)

 Thế (2), (5), (6) vào (3)  v  a  u  b. Từ đó viết phương trình của . b) Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.

9. Tìm những điểm trên đồ thị (C): y  f ( x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc.  Gọi M ( x0 ; y0 )  (C).  là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f ( x0 ) .  Vì  // d nên

f ( x0 )  kd

hoặc   d nên

f ( x0 )  

1 kd

(1)

(2)

 Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 . Từ đó tìm được M ( x0 ; y0 )  (C).

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 102

Khảo sát hàm số 10. Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, ... tiếp tuyến với đồ thị (C): y  f ( x) .

Giả sử d : ax  by  c  0 . M ( x M ; yM ) d .  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y  k ( x – x M )  yM   tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:  f ( x )  k ( x  x M )  yM   f '( x )  k

(1) (2)

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f ( x )  ( x – x M ). f ( x M )  yM (3)  Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3) 11. Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y  f ( x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Gọi M ( x M ; yM ) .  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y  k ( x – x M )  yM   tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:  f ( x )  k ( x  x M )  yM   f '( x )  k

 Thế k từ (2) vào (1) ta được:

(1) (2) f ( x )  ( x – x M ). f ( x M )  yM

(3)

 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .  Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f ( x1). f ( x2 )  –1 Từ đó tìm được M. Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 103

Khảo sát hàm số (3) coù 2 nghieäm phaân bieät

hoành thì   f ( x1 ). f ( x2 )  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 104

Khảo sát hàm số

Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d

Câu 132. Cho hàm số y  2 x 3  3x 2  1 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8.

 Giả sử M ( x0 ; y0 )  (C )  y0  2 x03  3 x02  1 . Ta có: y  3x 2  6 x .

PTTT  tại M: y  (6 x02  6 x0 )( x  x0 )  2 x03  3x02  1 .

 đi qua P(0;8)  8  4 x03  3 x02  1  x0  1 . Vậy M(1; 4) .

Câu 133. Cho hàm số y  x 3  3x 2  1 có đồ thị (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 105

Khảo sát hàm số 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .

 Giả sử A(a; a3  3a2  1), B(b; b3  3b2  1) thuộc (C), với a  b .

Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên: y (a)  y (b)  3a2  6a  3b2  6b  a2  b2  2(a  b)  0  (a  b)(a  b  2)  0

 a  b  2  0  b  2  a . Vì a  b nên a  2  a  a  1 Ta có: AB  (b  a)2  (b3  3b2  1  a3  3a2  1)2  (b  a)2  (b3  a3  3(b2  a2 ))2  (b  a)2  (b  a)3  3ab(b  a)  3(b  a)(b  a)  (b  a)2  (b  a)2 (b  a)2  3ab  3.2 

2

2

2

 (b  a)2  (b  a)2 (b  a)2  ab  6   (b  a)2  (b  a)2 (2  ab)2 AB 2  (b  a)2 1  (2  ab)2   (2  2a)2 1  (a2  2a  2)2  2   4(a  1)2 1  (a  1)2  3   4(a  1)2 (a  1)4  6(a  1)2  10 

 4(a  1)6  24(a  1)4  40(a  1)2

Mà AB  4 2 nên 4(a  1)6  24(a  1)4  40(a  1)2  32  (a  1)6  6(a  1)4  10(a  1)2  8  0

(*)

Đặt t  (a  1)2 , t  0 . Khi đó (*) trở thành:  a  3  b  1 t3  6t 2  10t  8  0  (t  4)(t 2  2t  2)  0  t  4  (a  1)2  4    a  1  b  3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 106

Khảo sát hàm số Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(1; 3) .

Câu hỏi tương tự: a) Với y  x 3  3x 2  2; AB  4 2 .

ĐS: A(3;2), B(2; 2) .

Câu 134. Cho hàm số y  f ( x )  x 3  6 x 2  9 x  3

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA  2011.OB .

 PTTT của (C) có dạng: y  kx  m . Hoành độ tiếp điểm x 0 là nghiệm của phương trình: f ( x0 )  k  3x02  12 x0  9  k  0

(1)

Để tồn tại 2 tiếp tuyến phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

   9  3k  0  k  3 (2)  Toạ độ các tiếp điểm ( x0 ; y0 ) của 2 tiếp tuyến là nghiệm của hệ: 3 2   y0  x0  6 x0  9 x0  3   2 3 x  12 x  9  k  0  0

 k 6 2k  9 x0   y0  3 3 .  3 x 2  12 x  9  k 0  0

 Phương trình đường thẳng d đi qua các tếp điểm là: y 

k 6 2k  9 x 3 3

Do d cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho: OA  2011.OB nên có thể xảy ra: + Nếu A  O thì B  O . Khi đó d đi qua O  k 

9 .

2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 107

Khảo sát hàm số + Nếu A  O thì OAB vuông tại O. Ta có: tan OAB 

k 6 OB  2011  2011  3 OA

 k  6039 (thoả (2)) hoặc k  6027 (không thoả (2)).

9 2

Vậy: k  ; k  6039 .

Câu 135. Cho hàm số y  x 3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 (1)

(m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.

2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x  y  7  0 góc  , biết cos 

1 26

.

 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến  tiếp tuyến có VTPT n1  (k; 1) Đường thẳng d có VTPT n2  (1;1) .

Ta có cos 

n1.n2 n1 . n2



1 26



k 1 2

2 k 1

 12k 2  26k  12  0  k 

3 2  k 2 3

YCBT thoả mãn  ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:   y    y  

 2 3 3 3 x  2(1  2m) x  2  m  2  /  2    1  0  8m  2m  1  0 2   / 2 2  4m  m  3  0   2  0 3 x 2  2(1  2m) x  2  m  2  3 3

 1 1 m   4 ; m  2 1 1   m   hoặc m  4 2 m   3 ; m  1  4

Câu hỏi tương tự:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 108

Khảo sát hàm số a) Với y  x 3  3mx  2; d : x  y  7  0; cos 

1 26

2 9

ĐS: m   .

.

1 Câu 136. Cho hàm số y  f ( x )  mx 3  (m  1) x 2  (4  3m) x  1 có đồ thị là (Cm).

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

2) Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d): x  2y  3  0 .

 (d) có hệ số góc 

1  tiếp tuyến có hệ số góc k  2 . Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì: 2

f '( x )  2  mx 2  2(m  1) x  (4  3m)  2  mx 2  2(m  1) x  2  3m  0

(1)

YCBT  (1) có đúng một nghiệm âm. + Nếu m  0 thì (1)  2 x  2  x  1 (loại) + Nếu m  0 thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là x  1 hay x=

Do đó để (1) có một nghiệm âm thì

Vậy m  0 hay m 

2  3m m

2  3m 2  0  m  0 hoaëc m  m 3

2 .

3

1 Câu 137. Cho hàm số y  mx 3  (m  1) x 2  (4m  3) x  1 3

(Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m  1 .

2) Tìm các giá trị m sao cho trên (Cm) tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x  2y  3  0 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 109

Khảo sát hàm số 1 2

3 2

 Ta có: y  mx 2  2(m  1) x  4  3m ; d : y   x  .

YCBT  phương trình y  2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

 mx 2  2(m  1) x  2  3m  0 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt m  0  1   0 0  m  2   . 1  m  2 S  0  2  P  0 3

 

1 2

1 2 2 3

Vậy m   0;    ;  .

Câu 138. Cho hàm số y  x 3  mx  m  1

(Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  3 .

2) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm M có hoành độ x  1 cắt đường tròn (C) có phương trình ( x  2)2  (y  3)2  4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

 Ta có: y  3x 2  m  y(1)  3  m ; y(1)  2m  2 . (C) có tâm I(2;3) , R = 2.

PTTT d tại M (1;2m  2) : y  (3  m) x  m  1  (3  m)x  y  m  1  0

d (I , d ) 

4m (3  m)2  1



1  (3  m) (3  m)2  1



2. (3  m)2  1 (3  m)2  1

 2R

Dấu "=" xảy ra  m  2 . Dó đó d (I , d ) đạt lớn nhất  m  2 Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất  d (I , d ) đạt lớn nhất  m  2 Khi đó: PTTT d: y  x  3 .

Câu hỏi tương tự: 1 5

5 2

a) y  x 3  mx  m  1; x M  1;(C ) : ( x  2)2  ( y  3)2  . ĐS: m  1; m  .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 110

Khảo sát hàm số

y  3x  x 3

Câu 139. Cho hàm số

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đường thẳng (d): y   x các điểm M mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

 Gọi M (m; m)  d . PT đường thẳng  qua M có dạng: y  k( x  m)  m .

3   là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm: 3x  x2  k ( x  m)  m (1) (*)

 3  3x  k

Thay (2) vào (1) ta được: 2 x 3  3mx 2  4m  0  m 

2 x3 3x 2  4

(2)

(**)

Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C)  (**) có 2 nghiệm phân biệt Xét hàm số f ( x ) 

f ( x ) 

6 x 4  24 x 2 2

2

(3x  4)

2 x3 3x 2  4

 2 3 2 3  ; 3   3

. Tập xác định D  R \ 

 ; f ( x )  0   x  0

 x  2

 Dựa vào BBT, (**) có 2 nghiệm phân biệt   m  2 . Vậy: M(2;2) hoặc M(2; 2) . m  2

Câu 140. Cho hàm số y  x 3  3x  2 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đường thẳng d : y  4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C).

 Gọi M(m;4) d . PT đường thẳng  qua M có dạng: y  k( x  m)  4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 111

Khảo sát hàm số  3  là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm:  x 2 3x  2  k ( x  m)  4 3x  3  k 

Thay (2) vào (1) ta được: ( x  1) 2 x 2  (3m  2) x  3m  2   0

(1) (2)

(*)

(3)

 x  1

 2 2 x  (3m  2) x  3m  2  0

(4)

YCBT  (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt + TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1  m  1 + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1  m    2  3

2  m2 3

 

Vậy các điểm cần tìm là: (1;4) ;   ;4  ; (2;4) .

Câu 141. Cho hàm số y  x 3  2 x 2  (m  1) x  2m

(Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m  1 .

2) Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (Cm).

 PT đường thẳng  qua M có dạng: y  k ( x  1)  2 .  là tiếp tuyến của (Cm)  hệ PT sau 2   3 có nghiệm:  x 2 2 x  (m  1) x  2m  k ( x  1)  2

 3x  4 x  m  1  k

 f ( x )  2 x 3  5x 2  4 x  3(m  1)  0

(*)

Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt Ta có f ( x )  6 x 2  10 x  4  f ( x )  0  x  1; x 

2 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 112

Khảo sát hàm số  2 109   3m  .  3 27 

 Các điểm cực trị của (Cm) là: A(1;4  3m), B  ;

 4 m  3  A  Ox  Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt   .  B  Ox  m  109  81

Câu 142. Cho hàm số y   x 3  3x 2  2

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

 Gọi M(m;2)  (d ) . PT đường thẳng  đi qua điểm M có dạng :

y  k ( x  m)  2

2  3  là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm  x 2 3x  2  k ( x  m)  2

 3x  6 x  k

(1) (2)

(*).

Thay (2) và (1) ta được: 2 x 3  3(m  1) x 2  6mx  4  0  ( x  2) 2 x 2  (3m  1) x  2   0 x  2

 2  f ( x )  2 x  (3m  1) x  2  0 (3) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)  hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt  5    0  (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2    m  1  m  3 .  f (2)  0 m  2 5



 Vậy từ các điểm M(m; 2)  (d) với m  1  m  3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).  m  2

Câu hỏi tương tự: a) y   x3  3x 2  2, d  Ox .

m  2

ĐS: M (m;0) với 

2  1  m   3 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 113

Khảo sát hàm số

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 114

Khảo sát hàm số

Dạng 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số trùng phƣơng y  ax 4  bx 2  c

Câu 143. Cho hàm số y  f ( x )  x 4  2 x 2 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.

 Ta có: f '( x )  4 x 3  4 x Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A  f '(a)  4a3  4a, kB  f '(b)  4b3  4b Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là: y  f (a)( x  a)  f (a)  y  f (a) x  f (a)  af (a) y  f (b)( x  b)  f (b)  y  f (b) x  f (b)  bf (b)

Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 115

Khảo sát hàm số k A  kB  4a3  4a = 4b3  4b  (a  b)(a2  ab  b2  1)  0

(1)

Vì A và B phân biệt nên a  b , do đó (1)  a2  ab  b2  1  0

(2)

Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi: a2  ab  b2  1  0   a2  ab  b2  1  0  (a  b)   4 2 4 2 3a  2a  3b  2b  f (a)  af (a)  f (b)  bf (b)  

Giải hệ này ta được nghiệm là (a; b)  (1;1) hoặc (a; b)  (1; 1) , hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là (1; 1) và (1; 1) Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là: a2  ab  b2  1  0  a  1; a  b

Câu 144. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m (1) , m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

2) Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ 3



điểm B  ; 1 đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A là lớn nhất . 4   A  (Cm) nên A(1;1  m) . y '  4 x3  4mx  y '(1)  4  4m

Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A: y  (1  m)  y(1).( x  1)  (4  4m)x  y  3(1  m)  0 Khi đó d (B; ) 

1 2

16(1  m)  1

 1 , Dấu „=‟ xảy ra  khi m = 1.

Do đó d (B; ) lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m = 1.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 116

Khảo sát hàm số 2

Câu 145. Cho hàm số y   x  1 .  x  1

2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Cho điểm A(a;0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

 Ta có y  x 4  2 x 2  1 . PT đường thẳng d đi qua A(a;0) và có hệ số góc k : y  k( x  a) 4 2   x  2 x  1  k ( x  a)

d là tiếp tuyến của (C)  hệ phương trình sau có nghiệm:   

k  0 ( A) 2 x 1  0

Ta có: (I )  

2   hoặc 4 x( x  1)2 k

4 x3  4 x  k

  f ( x )  3x  4ax  1  0 (1)

(I )

( B)

+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1 : y  0 . + Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm phân biệt ( x; k ) với x  1 , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt 2   3 3 khác 1    4a  3  0  1  a   hoaëc 1  a 

 f (1)  0

2

2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 117

Khảo sát hàm số

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 118

Khảo sát hàm số

Dạng 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số nhất biến y 

Câu 146. Cho hàm số y 

ax  b cx  d

2x  3 có đồ thị là (C). x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 119

Khảo sát hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d : 3x  4y  2  0 bằng 2.

 Giả sử M ( x0 ; y0 )  (C )  y0 

Ta có: d ( M , d )  2 

2 x0  3 x0  1

3 x 0  4 y0  2 32  42

.

 2  3x0  4 y0  12  0 hoặc 3x0  4 y0  8  0

 2x  3   Với 3x0  4 y0  12  0  3x0  4  0   12  0   x0  1 

 x0  0  M1(0;3)     x  1  M  1 ; 11  0 2 3 3 4  

  7  x0  5  M3  5;   2 x0  3  4   Với 3x0  4 y0  8  0  3x0  4    8  0     4 4 x  1   0  x    M4   ; 1  0 3  3 



7





PTTT tại M3  5;  là y   4

Câu 147. Cho hàm số y 

9

 1 11 

 PTTT tại M1(0;3) là y   x  3 ;

47

PTTT tại M2  ;  là y   x  ; 16 16 3 4 

1 23 ; x 16 16

 4  3



PTTT tại M4   ; 1 là y  9 x  13 . 

2x 1 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2.

 Tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 ))  (C ) có phương trình: y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )  x  ( x0  1)2 y  2 x02  2 x0  1  0 (*)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 120

Khảo sát hàm số

Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng

2 

2  2 x0

x  0  2  0  x0  2 1  ( x0  1)4

Các tiếp tuyến cần tìm : x  y  1  0 và x  y  5  0 Câu 148. Cho hàm số y 

2x (C). x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

 Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a  2 thuộc (C) có phương trình: y

4 2

(a  2)

( x  a) 

2a  4 x  (a  2)2 y  2a2  0 a2

Tâm đối xứng của (C) là I  2;2  . Ta có: d (I , d ) 

8 a2 16  (a  2)4



8 a2 2.4.(a  2)2



8 a2 2 2 a2

2 2

a  0 . d (I , d ) lớn nhất khi (a  2)2  4    a  4

Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y  x và y  x  8 .

Câu hỏi tương tự: a) Với y 

x . x 1

Câu 149. Cho hàm số y 

ĐS: y   x; y   x  4 .

2x  1 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 121

Khảo sát hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2).

 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0  1 ).

PTTT (d) là y 

1 2

( x0  1)

( x  x0 ) 

2 x0  1 x0  1

 x  ( x0  1)2 y  2 x02  2 x0  1  0

Ta có: d ( A, d )  d (B, d )  2  4( x0  1)2  2 x02  2 x0  1  4  2( x0  1)2  2 x02  2 x0  1

 x0  1  x0  0  x0  2 1 4

5 4

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y  x  ; y  x  1; y  x  5

Câu 150. Cho hàm số y 

2x 1 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI.

 Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2). Gọi M(a; b)  (C)  b 

PTTT của (C) tại M: y  

PT đường thẳng MI: y 

1 2

(a  1) 1

(a  1)2

( x  a) 

2a  1 (a  1) a 1

2a  1 a 1

( x  1)  2

Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có: 

1 2

(a  1)

.

1

 a  0 (b  1)  1    a  2 (b  3) (a  1) 2

Vậy có 2 điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 122

Khảo sát hàm số

Câu 151. Cho hàm số y 

(2m  1) x  m 2 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.

2) Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  x .

 TXĐ: D = R \ {1}.  (2m  1) x  m2 x   x  1 Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y  x thì:  2  (m  1)  1  ( x  1)2

(*) (**)

Từ (**) ta có (m  1)2  ( x  1)2   x  m x  2  m 

 Với x = m, thay vào (*) ta được: 0m  0 (thoả với mọi m). Vì x  1 nên m  1.  Với x = 2 – m, thay vào (*) ta được: (2m  1)(2  m)  m2  (2  m)(2  m  1)  4(m  1)2  0  m  1  x = 1 (loại) Vậy với m  1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  x .

Câu 152. Cho hàm số: y 

x2 (C). x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Cho điểm A(0; a) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.

 Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; a) và có hệ số góc k: y  kx  a

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 123

Khảo sát hàm số x 2  kx  a  d là tiếp tuyến của (C)  Hệ PT  x  1 3 có nghiệm k  ( x  1)2 

 PT: (1  a) x 2  2(a  2) x  (a  2)  0 (1) có nghiệm x  1 . Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 a  1

a  1    a  2   3a  6  0

Khi đó ta có: x1  x2 

(*)

3 3 2(a  2) a2 ; y2  1  và y1  1  ; x1x2  x  1 x a 1 a 1 1 2 1

Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1.y2  0 

 1  

x1.x2  2( x1  x2 )  4 3  3  2  0  3a  2  0  a    . 1  0  x1  1   x2  1  x1.x2  ( x1  x2 )  1 3

2



 Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a   3 . a  1

Câu 153. Cho hàm số y =

x2 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận,  là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là khoảng cách từ I đến  . Tìm giá trị lớn nhất của d.

 y 

1 ( x  1)2



. Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(–1; 1). Giả sử M  x0 ; 

x0  2    (C ) x0  1 

Phương trình tiếp tuyến  với đồ thi hàm số tại M là:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 124

Khảo sát hàm số

y

1

 x0  1

2

( x  x0 ) 

x0  2 x0  1

Khoảng cách từ I đến  là d =

Vậy GTLN của d bằng

Câu 154. Cho hàm số y 

2 khi

2

 x   x0  1 y  x0   x0  1 x0  2   0

2 x0  1 1   x0  1

4

2

=

1

 x0  1

2

  x0  1

2

 2

x0  0 hoặc x0  2 .

x  1 .

2x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d : y  x  m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn nhất.

 PT hoành độ giao điểm của d và (C):

 1 x  1 x   xm   2 2x 1  g( x )  2 x 2  2mx  m  1  0 (*)

  m2  2m  2  0, m  g Vì   1  nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 . g    0  2

Theo định lí Viet ta có: x1  x2  m; x1x2 

m  1 . Giả sử: A( x1; y1), B( x2 ; y2 ) .

2

Tiếp tuyến tại A và B có hệ số góc là: k1  

1 2

(2 x1  1)

; k2  

1 (2 x2  1)2

 k1  k2  4(m  1)2  2  2 . Dấu "=" xảy ra  m  1 .

Vậy: k1  k2 đạt GTLN bằng 2 khi m  1 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 125

Khảo sát hàm số

Câu 155. Cho hàm số y 

x2 2x  3

(1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

 Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  y ( x0 ) 

1 (2 x0  3)2

0

OAB cân tại O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng y   x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm). Nghĩa là: y ( x0 ) 

 x0  1  y0  1  1    x0  2  y0  0 (2 x0  3)2

1

+ Với x0  1; y0  1  : y  1  ( x  1)  y   x (loại) + Với x0  2; y0  0  : y  0  ( x  2)  y   x  2 (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  2 .

Câu 156. Cho hàm số y =

2x 1 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.

 Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 )  (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA  4OB .

Do OAB vuông tại O nên tan A 

OB 1 1 1 hoặc  .   Hệ số góc của d bằng OA 4 4 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 126

Khảo sát hàm số  3  x0  1 ( y0  2 ) 1 0    Hệ số góc của d là y ( x0 )   4 ( x0  1)2 ( x0  1)2  x  3 (y  5 ) 0  0 2 1

1

  1 3 1 5  y   4 ( x  1)  2 y   4 x  4  Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là:  .

1 5 1 13  y   ( x  3)  y   x  4 2 4 4  

Câu 157. Cho hàm số y 

2x . x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho AB  OA 2 .

 Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ), x0  2 . PTTT tại M: y 

4 ( x0  2)2

( x  x0 ) 

2 x0

x0  2

Tam giác vuông OAB có AB  OA 2 nên OAB vuông cân tại O. Do đó d vuông góc với một trong hai đường phân giác d1 : y  x; d2 : y   x và không đi qua O. + Nếu d  d1 thì

+ Nếu d  d2 thì

4 ( x0  2)2 4 ( x0  2)2

 1  x0  4  d : y   x  8 .

 1  vô nghiệm.

Vậy PTTT cần tìm là: y   x  8 .

Câu 158. Cho hàm số y 

x 1 .

2x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 127

Khảo sát hàm số 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M  (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : y  2m  1 . 3

 Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) . PTTT tại M: y 

(2 x0  1)2

( x  x 0 )  y0

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung  yB 

Từ đó trọng tâm G của OAB có: yG 

Mặt khác:

2 x02  4 x0  1 (2 x0  1)2



2 x02  4 x0  1

6 x02  (2 x0  1)2 (2 x0  1)2

3(2 x0  1)2



6 x02

(2 x0  1)2

. Vì G  d nên

2 x02  4 x0  1 (2 x0  1)2

2 x02  4 x0  1 3(2 x0  1)2

.

 2m  1

 1  1

1 3

1 3

Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thoả YCBT thì 2m  1    m  .

Vậy GTNN của m là

Câu 159. Cho hàm số y 

1 .

3

2x  3 (C). x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc ABI bằng



 I(2; 2). Gọi M  x0 ; 

4 17

, với I là giao 2 tiệm cận.

2 x0  3    (C ) , x0  2 x0  2 

Phương trình tiếp tuyến  tại M:

y

1 2

( x0  2)

( x  x0 ) 

2 x0  3 x0  2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 128

Khảo sát hàm số 

Giao điểm của  với các tiệm cận: A  2; 

Do cos ABI 

4

nên tan ABI 

17

2 x0  2   , B(2 x0  2;2) . x0  2 

x  0 1 IA  IB2  16.IA2  ( x0  2)4  16   0  4 IB  x0  4

 

3 2

1 4

3 2

 

5 3

1 4

7 2

Kết luận: Tại M  0;  phương trình tiếp tuyến: y   x 

Tại M  4;  phương trình tiếp tuyến: y   x  Câu hỏi tương tự: a) y 

3x  2 5 ;cos BAI  . x 1 26

Câu 160. Cho hàm số y 

ĐS: : y  5x  2 hoặc : y  5x  2 .

2x  3 có đồ thị (C). x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. 

1



1



(m  2)2

 Lấy điểm M  m; 2    C  . Ta có: y (m )   m2 

Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình:

y

1 2

(m  2)



Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: A  2;2  

( x  m)  2 

1 m2

2   m2

Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: B(2m  2;2)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 129

Khảo sát hàm số 

Ta có: AB2  4 (m  2)2  

   8 . Dấu “=” xảy ra  (m  2)  1

2

m  3 m  1 

Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) hoặc M(1;1)

Câu 161. Cho hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi M là điểm bất kì trên (C), I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tiếp tuyến d của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích bằng 2 . 

 Ta có: I(2; 2). Gọi M  x0 ; 



d cắt 2 tiệm cận tại A  2; 

2 x0  3  2x  3 1 ( x  x0 )  0   (C ), x0  2 . PTTT d: y  x0  2  x0  2 ( x0  2)2

2 x0  2   , B(2 x0  2;2) . x0  2 

IAB vuông tại I và S( IAB)  2  ( x0  2)2 

Câu 162. Cho hàm số y 

 x  1  M (1;1) 2 0 ( x0  2)  x0  3  M (3;3) 1

2

2x  3 . x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. 

 Giả sử M  x0 ; 

2 x0  3  1   (C ) x0  2 , y '( x0 )  2 x0  2   x0  2 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 130

Khảo sát hàm số Phương trình tiếp tuyến () với ( C) tại M: y 

1

 x0  2  

2

( x  x0 ) 

Toạ độ giao điểm A, B của () với hai tiệm cận là: A  2; 

Ta thấy

2 x0  3 x0  2

2 x0  2   ; B  2 x0  2;2  x0  2 

x A  x B 2  2 x0  2 y  yB 2 x0  3   x0  x M , A   yM  M là trung điểm của AB. 2 2 2 x0  2

Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2     2 x0  3   1 2   2 S =  IM   ( x0  2)    2     ( x0  2)2     x0  2  ( x0  2)2      2

Dấu “=” xảy ra khi ( x0  2)2 

x  1  0 ( x0  2)  x0  3 1

2

Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3).

Câu hỏi tương tự: a) Với y 

3x  2 . ĐS: M (0;1), M(4;5) . x2

Câu 163. Cho hàm số y 

2mx  3 . xm

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tìm m để tiếp tuyến tại một diểm bất kì của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho IAB có diện tích S  64 .

 (C) có tiệm cận đứng x  m , tiệm cận ngang y  2m . Giao điểm 2 tiệm cận là I (m;2m) .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 131

Khảo sát hàm số 

2m 2  3

2mx  3 

2mx  3

0 0 Gọi M  x0 ; . ( x  x0 )    (C ) . PTTT  của (C) tại M: y  2 x  x  m ( x0  m) 0 m 0  



 cắt TCĐ tại A  m; 

Ta có: IA 

2mx0  2m 2  6   , cắt TCN tại B(2 x0  m;2m) .  x0  m 

4m 2  6 1 58 ; IB  2 x0  m  SIAB  IA.IB  4m2  6  64  m   . x0  m 2 2

Câu 164. Cho hàm số y 

x . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với 2 đường tiệm cận của (C) một tam giác có chu vi P  2  2  2  .

 (C) có tiệm cận đứng x  1 , tiệm cận ngang y  1 . Giao điểm 2 tiệm cận là I(1;1) . 

x



1

x

Gọi M  x0 ; 0   (C ) ( x0  1) . PTTT  của (C) tại M: y   ( x  x0 )  0 .

2 x  1 x0  1 ( x  1) 0   0  x 1

 cắt TCĐ tại A  1; 0  , cắt TCN tại B(2 x0  1;1) .  x0  1  Ta có: PIAB  IA  IB  AB 

2 1  2 x 0  1  2 ( x 0  1)2  ≥ 42 2 x0  1 ( x0  1)2

 x0  0 .  x0  1

Dấu "=" xảy ra  x0  1  1  

+ Với x0  0  PTTT : y   x ;

+ Với x0  2  PTTT : y   x  4 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 132

Khảo sát hàm số

Câu 165. Cho hàm số y 

2x  1 có đồ thị (C). x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 

 Giao điểm của 2 tiệm cận là I(1;2) . Gọi M  x0 ;2  

+ PTTT tại M có dạng: y 

3 2

( x0  1)

( x  x0 )  2 

3    (C). x0  1 

3 x0  1



+ Toạ độ các giao điểm của tiếp tuyến với 2 tiệm cận: A  1;2  

1 2

6   , B (2 x0  1;2) x0  1 

1 6  2 x0  1  2.3  6 (đvdt) 2 x0  1

+ Ta có: SIAB  IA.IB  

+ IAB vuông có diện tích không đổi  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB



x  1 3 6  2 x0  1   0 x0  1  x0  1  3

Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1 1  3;2  3  , M2 1  3;2  3  Khi đó chu vi AIB = 4 3  2 6 .

Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P = a  b  a2  b 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b.

Thật vậy: P = a  b  a2  b2  2 ab  2ab  (2  2) ab  (2  2) S .

Dấu "=" xảy ra  a = b.

Câu hỏi tương tự:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 133

Khảo sát hàm số a) y 

2x 1 . x 1

ĐS: M1(0; 1), M2 (2;3) .

Câu 166. Cho hàm số y 

x 2 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A và B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB là lớn nhất, với I là giao điểm của 2 tiệm cận.

 (C) có TCĐ x  1 , TCN y  1 . Giao điểm 2 tiệm cận là I(1;1) . 

Gọi M  x0 ; 

x0  2  x 2 3 . ( x  x0 )  0   (C ) . PTTT  của (C) tại M: y  x0  1  x0  1 ( x0  1)2 

 cắt hai tiệm cận tại A  1; 

x0  5  6 ; IB  2 x0  1 .  , B(2 x0  1;1) . Ta có: IA  x0  1  x0  1

1 2

 SIAB  IA.IB  6 . Gọi p, r là nửa chu vi và bán kính đường trọn nội tiếp của IAB. Ta có: S  pr  r 

S 6  . Do đó r lớn nhất  p nhỏ nhất. Mặt khác IAB vuông tại I nên: p p

2 p  IA  IB  AB  IA  IB  IA2  IB2  2 IA.IB  2IA.IB  4 3  2 6 .

Dấu "=" xảy ra  IA  IB  ( x0  1)2  3  x0  1  3 . + Với x  1  3  PTTT : y  x  2 1  3  + Với x  1  3  PTTT : y  x  2 1  3 

Câu 167. Cho hàm số y 

2x  1 . x 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 134

Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C), các điểm M, N sao cho các tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành một hình thang.

 Gọi M (m; yM ), N (n; yN ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B. Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại C, D.  2m  4   , B(2m  1;2) .  m 1 

PTTT tại M có dạng: y  y(m).( x  m)  yM  A 1;  2n  4   , D(2n  1;2) .  n 1 

Tương tự: C 1;

Hai đường thẳng AD và BC đều có hệ số góc: k 

3 nên AD // BC. (m  1)(n  1)

Vậy mọi điểm M, N thuộc 2 nhánh của (C) đều thoả mãn YCBT.

Câu 168. Cho hàm số y 

x 3 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Cho điểm Mo ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.

 Mo ( xo ; yo )  (C)  y0  1 

4 4 ( x  x0 ) . PTTT (d) tại M0 : y  y0   x0  1 ( x0  1)2

Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A(2 x0  1;1), B(1;2 y0  1) .



x A  xB y  yB  x0 ; A  y0  M0 là trung điểm AB. 2 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 135

Khảo sát hàm số

Câu 169. Cho hàm số : y 

x2 (C) x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. 

a2





 Giả sử M  a;   (C). a 1 PTTT (d) của (C) tại M: y  y (a).( x  a) 

a2 3 a2  4a  2  y x a 1 (a  1)2 (a  1) 2  a5  , B(2a  1;1) .  a 1 

Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A 1;

   6  6  IB  (2a  2;0)  IB  2 a  1 ; IA   0; IA   a 1  a 1

Diện tích IAB : S  IAB =

1 IA.IB = 6 (đvdt)  ĐPCM. 2

Câu hỏi tương tự: a) y 

2x  4 x 1

Câu 170. Cho hàm số y 

ĐS: S = 12.

2x 1 .

1 x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 136

Khảo sát hàm số  

 I (1; 2), A  a;

1 2a  1 2a  1  ( x  a)   . PT tiếp tuyến d tại A: y  2 1 a 1 a  (1  a)

 2a    1 a 

Giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến d: P  1;

Giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến d: Q(2a  1; 2) Ta có: xP  xQ  2a  2 x A . Vậy A là trung điểm của PQ.

IP =

2a 2 2  ; IQ = 2(a  1) . Suy ra: 1 a 1 a

Câu 171. Cho hàm số y 

SIPQ =

1 IP.IQ = 2 (đvdt) 2

2x 1 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm trên đồ thị (C), điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn: IA2  IB 2  40 . 

 (C) có TCĐ: x  1 ; TCX: y  2  I(–1; 2). Giả sử M  x0 ; 

PTTT với (C) tại M: y 

3 2

( x0  1)

( x  x0 ) 

2 x0  1



2 x0  1    (C), (x0 > 0). x0  1 

2x  4 

 A  1; 0  , B  (2 x0  1;2  . x0  1  x0  1 

 36  4( x0  1)2  40  2 IA  IB  40   ( x  1)  x0  2 (y0 = 1)  M(2; 1).

0 x  0  0 2

2

Câu 172. Cho hàm số y 

x 1 (C). x 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 137

Khảo sát hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

 Gọi M (0; yo ) là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y  kx  yo (d)  x 1 ( y  1) x 2  2( y  1) x  y  1  0 (1)  kx  yo  o o  x 1  o (d) là tiếp tuyến của (C)   2 (*)  2 k k   x  1; 2 ( x  1)   ( x  1)2 

YCBT  hệ (*) có 1 nghiệm  (1) có 1 nghiệm khác 1  yo  1  y  1  1   o x  ; yo  1  k  8    1   2 2  x    '  ( yo  1)  ( yo  1)( yo  1)  0 2   x  0; yo  1  k  2

Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).

Câu 173. Cho hàm số y 

x 3 (C). x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đường thẳng d : y  2 x  1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

 Gọi M(m;2m  1)  d . PT đường thẳng  qua M có dạng: y  k ( x  m)  2m  1 PT hoành độ giao điểm của  và (C): k ( x  m)  2m  1 

 kx 2  (m  1)k  2m  x   mk  (2m  4)  0

x 3 x 1

(*) k  0 2   (m  1)k  2m   4k  mk  (2m  4)  0

 tiếp xuc với (C)  (*) có nghiệm kép  

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 138

Khảo sát hàm số k  0 2 2 2 2  g(k )  (m  1) k  4(m  m  4)k  4m  0



Qua M(m;2m  1)  d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)    32(m2  m  2)  0; g(0)  4m 2  0   g(k )  0 có đúng 1 nghiệm k  0     32(m2  m  2)  0; g(0)  4m2  0  1  m  1  0  16k  4  0  k   4 m  0    m  1 m  2  m  1

 M (0;1)  M (1; 1)  M (2;5)  M (1;3)

KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ

Kiến thức cơ bản: 1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B:

AB =

( x B  x A )2  ( yB  y A )2

2) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng : ax  by  c  0 : d (M , d ) 

ax0  by0  c a2  b2

Đặc biệt: + Nếu : x  a thì d ( M , )  x0  a + Nếu : y  b thì d ( M , )  y0  b + Tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là: x0  y0 .

3) Diện tích tam giác ABC:

S=

2 1 1 AB. AC.sin A  AB2 . AC 2   AB. AC  2 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 139

Khảo sát hàm số x  x  2x

I 4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I  IA  IB  0   A B y  y  2 y I  A B

 5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng    AB   (I là trung điểm AB). I   x  x

A Đặc biệt: + A, B đối xứng nhau qua trục Ox   B  yB   y A

x  x

A + A, B đối xứng nhau qua trục Ox   B  yB   y A

6) Khoảng cách giữa đường thẳng  với đường cong (C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm M   và một điểm N  (C).

7) Điểm M ( x; y) được gọi là có toạ độ nguyên nếu x, y đều là số nguyên.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 140

Khảo sát hàm số

Câu 174. Cho hàm số y   x 3  3x  2 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).

 Gọi A  x0 ; y0  , B là điểm đối xứng với A qua điểm M(1;3)  B  2  x0 ;6  y0  3   y   x0  3 x0  2 A, B  (C )   0 3  6  y0  (2  x0 )  3(2  x0 )  2 3

 6   x03  3 x0  2   2  x0   3  2  x0   2  6 x02  12 x0  6  0  x0  1  y0  0

Vậy 2 điểm cần tìm là: (1;0) và (1;6)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 141

Khảo sát hàm số

Câu 175. Cho hàm số y  

x3 11  x 2  3x  .

3 3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.  x   x1  0  Hai điểm M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 )  (C ) đối xứng nhau qua Oy   2  y1  y2

 x2   x1  0  x 3  x  3 3   x 3   1 hoặc  1 x 11 11 2 3   x2  3  x2  3  1  x1  3x1    2  x2  3x 2  3 3 3  3

 16   16   , N  3;  .

3  3 

Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M  3;

Câu 176. Cho hàm số y   x 3  3x  2 (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: 2 x  y  2  0 .

 Gọi M  x1; y1  ; N  x2 ; y2  thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d  x1  x2 y1  y2  ;  , ta có I  d 2   2

I là trung điểm của AB nên I 

Có:



 



 x13  3 x1  2   x23  3 x2  2 y1  y2 x x   2. 1 2  2 2 2 2

x  x  0 3    x1  x2   3x1x2  x1  x2   3  x1  x2   2  x1  x2    12 2 2  x1  x1x2  x2  1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 142

Khảo sát hàm số Mặt khác: MN  d   x2  x1  .1   y2  y1  .2  0





 7  x2  x1   2  x2  x1  x12  x1x2  x22  0  x12  x1x2  x22 

- Xét x1  x2  0  x1  

7 ;x  2 2

7 2

7 2

 2 9 2 x2  x x  x2  1 1 2 2  1  x1  x2  4  vô nghiệm - Xét  2 7 2  x1  x1x2  x2  x x  5 2   1 2 4  7 1 7  7 1 7 ;2   ;   ;2    2   2  2 2 2 2    

Vậy 2 điểm cần tìm là: 

1 5 Câu 177. Cho hàm số y  x 3  x 2  3x  .

3 3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục Ox. Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại hai điểm cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông.

 PT hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành:  

1 3

1 3 5 x  1 x  x 2  3x   0   3 3  x  5

5 3

 A(5;0), B(1;0) . Gọi M  a; a3  a2  3a    (C), M  A, B  

1 3

5 3

 

1 3

5 3

 AM   a  5; a3  a2  3a   , BM   a  1; a3  a2  3a   1 AM  BM  AM.BM  0  (a  5)(a  1)  (a  5)2 (a  1)4  0 9 1 9

 1  (a  1)3 (a  5)  0  a4  2a3  12a2  14a  4  0 (*)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 143

Khảo sát hàm số Đặt y  a4  2a3  12a2  14a  4  0 , có tập xác định D = R. 7 2043 y  4a3  6a2  12a  14 ; y  0 có 1 nghiệm thực a0    y0   2 16

Dựa vào BBT ta suy ra (*) luôn có 2 nghiệm khác 1 và –5.

Vậy luôn tồn tại 2 điểm thuộc (C) cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông.

Câu 178. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) sao cho đường thẳng PQ song song với trục hoành và khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến đường thẳng PQ bằng 8.

 Điểm cực đại của (C) là A(0;1) . PT đường thẳng PQ có dạng: y  m (m  0) .

Vì d ( A, PQ)  8 nên m  9 . Khi đó hoành độ các điểm P, Q là nghiệm của phương trình: x 4  2 x 2  8  0  x  2 .

Vậy: P(2;9), Q(2;9) hoặc P(2;9), Q(2;9) .

Câu 179. Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  1

(Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2.

2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.

 Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y  4 x 3  2mx .

Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau  y (1).y (1)  1  (4  2m)2  1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 144

Khảo sát hàm số 3 2

5 2

 m ;m .

Câu 180. Cho hàm số

y 

x2 .

2x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2).

 PT đường trung trực đọan AB: y  x .

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT: x2 1 5 1 5  x  x2  x  1  0  x  ;x 2x 1 2 2  1 5 1 5  1 5 1 5  , , ;   2   2 2 2    

Hai điểm cần tìm là: 

Câu 181. Cho hàm số y 

3x  4 (C). x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.

 Gọi M ( x; y)  (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3.

Ta có: x  2  y  3  x  2 

x 3x  4 x x  1   ( x  2)   2  x2  x 2 x 2 x 2 x  4

Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 145

Khảo sát hàm số

Câu 182. Cho hàm số y 

2x  1 x 1

(C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.

 Gọi M ( x0 ; y0 )  (C), ( x0  1 ) thì y0 

2 x0  1 x0  1

 2

1 x0  1

Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì: MA  x0  1 , MB  y0  2 

1 x0  1

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA  MB  2 MA.MB  2 x 0  1 .

 MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0  1 

1 2 x0  1

x  0 1  0 . x0  1  x0  2

Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3).

Câu hỏi tương tự: a) y 

2x 1 x 1

Câu 183. Cho hàm số y 

ĐS: x0  1  3

b) y 

3x  5 x 2

ĐS: M(1;2), M(3;4)

2x 1 (C). x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.

 Giao điểm 2 tiệm cận là I(1;2) .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 146

Khảo sát hàm số 

Gọi M  x0 ;2  

y M  yI 3  3    (C )  kIM  x0  1  x M  xI ( x  1)2 0

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: kM  y ( x0 ) 

3

 x0  1

2

x  0

+ YCBT  kM .kIM   9   0 . Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5)  x0  2

Câu 184. Cho hàm số y 

x2 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : 2 x  y  2  0 bằng k

6 5 .

5  

 Gọi M  m;

m2 6 5  2m2  3m  4  6 m  1   (C ) . Ta có: d ( M , d )  m 1  5

5 2

 m  2; m  ; m  2; m 

5  1  1  M (2;4); M  ;3  ; M (2;0); M  ; 5  .

2 2  2 

Câu hỏi tương tự:. a) y 

 16 15    11  3x  1 12 7 . ĐS: M (1; 2); M  ;  ; M  2;  ; M  ;6  . ; d : 3x  4 y  1  0; k  x 2 5 4   3 4 3 

Câu 185. Cho hàm số y 

2x  1 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : x  4y  8  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 147

Khảo sát hàm số là ngắn nhất.

 Gọi  là tiếp tuyến của (C) song song với d x 4

 PTTT của (C) là 1 : y  

5 x 13 hoặc 2 : y   4 4 4

 3  2

 

5 2

Các tiếp điểm tương ứng: M1 1;  , M2  3;  . Ta tính được d ( M1, )  d (M2 , ) .  3  2

 M1  1;  là điểm cần tìm.  

2x  1    (C ) . Tính f  d (M, d ) . Sử dụng phương pháp hàm số để tìm x 1 

y

2x 1 . x 1

Cách 2: Giả sử M  x; min f .

Câu 186. Cho hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm tọa độ điểm M  (C) sao cho khoảng cách từ điểm I(1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất. 

 Giả sử M  x0 ; 2  

y2

3    (C ) . PTTT  của (C) tại M là: x0  1 

3 3  ( x  x0 )  3( x  x0 )  ( x0  1)2 ( y  2)  3( x0  1)  0 2 x0  1 ( x  1) 0

Khoảng cách từ I(1;2) tới tiếp tuyến  là: d

3(1  x0 )  3( x0  1) 9   x0  1

4



6 x0  1 9  ( x0  1)4

6



9 ( x0  1)2

.

2

 ( x0  1)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 148

Khảo sát hàm số

Theo BĐT Cô–si:

9 2

( x0  1)

 ( x0  1)2  2 9  6  d  6 .

Khoảng cách d lớn nhất bằng

6 khi

9 2

( x0  1)

 ( x0  1)2  ( x0  1)2  3  x0  1  3 .

Vậy có hai điểm cần tìm là: M  1  3;2  3  hoặc M  1  3;2  3 

Câu 187. Cho hàm số

y

2x  4 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).

 MN  (2; 1)  Phương trình MN: x  2y  3  0 .

Phương trình đường thẳng (d)  MN có dạng: y  2 x  m .

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 2x  4  2 x  m  2 x 2  mx  m  4  0 ( x  1) x 1

(1)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B    m2  8m  32  0 (2) Khi đó A( x1;2 x1  m), B( x2 ;2 x2  m) với x1 , x2 là các nghiệm của (1)  x1  x2

Trung điểm của AB là I  

2

  m m ; x1  x2  m   I   ;  (theo định lý Vi-et)   4 2

A, B đối xứng nhau qua MN  I  MN  m  4 Suy ra (1)  2 x 2  4 x  0   x  0  A(0; –4), B(2; 0).  x  2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 149

Khảo sát hàm số

Câu 188. Cho hàm số y 

2x x 1

.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(2; 0).

 Ta có

(C ) : y  2 

2 x 1

 

. Gọi B  b;2 

2 

 2   , C  c;2   với b  1  c . b 1 c 1 

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox. Ta có: AB  AC; BAC  900  CAK  BAH  900  CAK  ACK  BAH  ACK



AH  CK và: BHA  CKA  900   ABH  CAK 

C

HB  AK

2  2  b  2  c  1 b  1 Hay:  .  2 c 3 2  c2 b 1 

B



H

A

K

Vậy B(1;1), C(3;3)

Câu 189. Cho hàm số y 

x 3 . x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất.

 Tập xác định D = R \ {  1} . Tiệm cận đứng x  1 .  

4 a

 

4 b

Giả sử A  1  a;1   , B  1  b;1   (với a  0, b  0 ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 150

Khảo sát hàm số 2

1 1   16  16  64 AB  (a  b)  16     (a  b)2 1   4ab 1   4ab   32   2 2 2 2 ab a b  a b   a b  2

2

a  b a  b  AB nhỏ nhất  AB  4 2   ab44 16   4 4ab  a  4  ab 

Khi đó: A  1  4 4;1  4 64  , B  1  4 4;1  4 64  .

Câu hỏi tương tự: a) y 

4x  9 . x 3

ĐS: A  3  3;4  3  , B  3  3;4  3 

Câu 190. Cho hàm số y 

x  1 . x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên đồ thị (C), các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB bằng 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d : y  x .

 PT đường thẳng AB có dạng: y   x  m . PT hoành độ giao điểm của (C) và AB: x  1   x  m  g( x )  x 2  (m  3) x  2m  1  0 (1) ( x  2) x 2 g  0  g(2)  0

Để có 2 điểm A, B thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2   2   (m  3)  4(2m  1)  0  m .

4  (m  3).2  2m  1  0 x  x  m  3

Ta có:  A B . Mặt khác y A   x A  m; yB   xB  m  x A . x B  2m  1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 151

Khảo sát hàm số  Do đó: AB = 4  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2  16  m2  2m  3  0   m  1 . m  3

 + Với m  3 , thay vào (1) ta được: x 2  6 x  7  0   x  3  2  y   2 x  3  2  y  2

 A(3  2;  2), B(3  2; 2) hoặc A(3  2; 2), B(3  2;  2)  + Với m  1 , thay vào (1) ta được: x 2  2 x  1  0   x  1  2  y  2  2  x  1  2  y  2  2

 A(1  2; 2  2); B(1  2; 2  2) hoặc A(1  2; 2  2); B(1  2; 2  2)

Câu 191. Cho hàm số y 

3 x 2  5 x  14 có đồ thị (C).

6x  1

Tìm tất các các điểm trên (C) có toạ độ nguyên.

1 4

 Ta có: y   2 x  3 

53  .

6x  1 

x  Z  Điểm M ( x; y)  (C ) có toạ độ nguyên   1  53  y   2x  3  Z  4 6x  1  

x  Z x  Z x  Z   53 53  Z   2 x  3   6 x  1  1  6 x  1  53  Z    6x  1   6x  1     2 x  3  53  4 53  53   4  2 x  3    2 x  3  6x  1   4 6x  1   6x  1  

  x  0  y  14 . Vậy có hai điểm thoả YCBT: (0;14), (9; 4) .  x  9  y  4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 152

Khảo sát hàm số

Câu 192. Cho hàm số y 

x 2  3x  6 có đồ thị (C). x 2

1  Tìm những cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng nhau qua điểm I  ;1  . 2  1  2 

 Gọi M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 )  (C ) đối xứng nhau qua điểm I  ;1  . x  x  1  x  1  x1  2  N (1  x1;2  y1) .

Khi đó ta có:  1 2  y1  y2  2  y2  2  y1

 x12  3x1  6  y1   x  2; y1  4 x1  2  Vì M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 )  (C ) nên ta có:   1 .

2  x1  3; y1  6 2  y  x1  x1  4 1   x1  1  Vậy trên (C) có đúng một cặp điểm thoả YCBT: M (2; 4), N (3;6) .

Câu 193. Cho hàm số y 

x2  x  1 có đồ thị (C). x 1

Tìm những cặp điểm trên đồ thị (C) đối xứng nhau qua đường thẳng d :16 x  17 y  33  0 .  

 ĐS: A  5; 

21   13   , B  3;  .

4  4

HẾT

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Trang 153