101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) TUYỂN TẬP 101 BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔNG HỢP KIẾN THỨC THCS.

Ơ

N

Bài 1:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

AB 2 3). Chứng minh AC. BD = .

4

H Ư

N

G

4). Chứng minh OC // BM 5). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

TR ẦN

6). Chứng minh MN ⊥ AB.

7). Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.

y x

D

-H

Ó

A

10 00

B

Lời giải bài 1: 1). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà

I

Ý

/ N

ÁN

-L

/

M C

∠AOM và ∠BOM là hai góc kề bù

A

0

B

ÀN

=> ∠COD = 90 .

O

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP Đ ẠO

2). Chứng minh ∠COD = 900.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1). Chứng minh AC + BD = CD.

Đ

3). Theo trên ∠COD = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD (OM là

D

IỄ N

tiếp tuyến). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: OM2 = CM. DM, mà OM = R; CA = CM; DB = DM AB 2 => AC. BD =R => AC. BD = .

4 2

4). Theo trên ∠COD = 900 nên OC⊥OD

.(1)

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ⊥ OD .(2).

N

H

Ơ

N

Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).

5). Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.

Y

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD

G

=> MN // BD mà BD ⊥ AB => MN ⊥ AB.

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

7). ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. -----------------------Hết--------------------------

Ý

Bài 2:

TO

ÁN

-L

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1). Tứ giác CEHD nội tiếp.

2). Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

3). AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4). H và M đối xứng nhau qua BC. 5). Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

CN CM = BN DM

H Ư

nên suy ra

CN AC = , mà CA = CM; DB = DM BN BD

N

6). Theo trên AC // BD =>

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

tròn đường kính CD

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

⇒ IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

=> tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB

Lời giải bài 2: 1). Xét tứ giác CEHD ta có: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) ∠CEH = 900 (vì BE là đường cao) nên E nằm trên đường tròn đường kính CH; ∠CDH = 900 (vì AD là đường cao) nên D nằm trên đường tròn đường kính CH;

E

nên F nằm trên đường tròn đường kính BC => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

B

Đ ẠO

D

O

-

1 ( 2 (

C

N

G

M

∆ADC =>

AE AH = => AE.AC = AH.AD. AD AC

TR ẦN

=> ∆ AEH

H Ư

3) Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 900; ∠A là góc chung

* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 900; ∠C là góc chung BE BC = => AD.BC = BE.AC. AD AC

B

∆ADC =>

10 00

=> ∆ BEC

4) Ta có ∠C1 = ∠A1 (vì cùng phụ với góc ABC)

Ó

A

∠C2 = ∠A1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

-H

=> ∠C1 = ∠ C2 => CB là tia phân giác của góc HCM;

-L

Ý

Lại có CB ⊥ HM => ∆CHM cân tại C

ÁN

=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5). Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn => ∠C1 = ∠E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H -

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

CF là đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 90

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

F

0

U

1 2

TP

P

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

nên E nằm trên đường tròn đường kính BC;

Y

1

.Q

=> BE ⊥ AC => ∠BEC = 900

N

H

Ơ

N

=> E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính CH. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp.

2) Theo giả thiết: BE là đường cao A N

D

IỄ N

Đ

ÀN

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp = > ∠C1 = ∠E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) = > ∠E1 = ∠E2 => EB là tia phân giác của góc FED.

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE. Mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. -----------------------Hết--------------------------

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Bài 3:

1

TR ẦN

∠ CDH = 90 (Vì AD là đường cao)

O

Mà ∠CEH và ∠CDH là hai góc đối của tứ

1 2

10 00

B

giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp.

H 1

D

C

A

B

E

3

-H

Ó

2). Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900.

AD là đường cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900.

TO

ÁN

-L

Ý

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3). Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có ∠BEC = 900 .

Đ

Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0

=> ∠ CEH + ∠ CDH = 1800

A

H Ư

∠ CEH = 900 (Vì BE là đường cao)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

Lời giải bài 3: 1) Xét tứ giác CEHD ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

Đ ẠO

4). Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

5). Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.

U

Y

1 BC. 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3). Chứng minh ED =

N

H

Ơ

N

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. Chứng minh rằng: 1). Tứ giác CEHD nội tiếp.

2). Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

1 BC. 2

D

IỄ N

4) Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => ∠E1 = ∠A1

Theo trên DE =

(1).

1 BC => tam giác DBE cân tại D => ∠E3 = ∠B1 (2) 2

Mà ∠B1 = ∠A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 Mà ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED

Ơ H

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1). Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

2). Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .

3). Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.

4). Chứng minh OAHB là hình thoi.

5). Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.

6). Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

-H

Ó

Lời giải bài 4:

1). Ta có ∠OAM = 900 (MA là tiếp tuyến) nên A nằm trên đường tròn đường kính MO;

Ý

d

-L

A

0

P

K

ÁN

∠OBM = 90 (MB là tiếp tuyến) nên B nằm

TO

trên đường tròn đường kính MO. => A và B cùng nằm trên đường tròn đường kính MO. Vậy tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính MO

D N

O

H

Đ

C B

D

IỄ N

2). Vì K là trung điểm NP nên OK ⊥ NP

M

I

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

Bài 4:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

5). Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có: ED2 = OD2 – OE2 = > ED2 = 52 – 32 = > ED = 4cm -----------------------Hết--------------------------

N

=> DE ⊥ OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.

(quan hệ đường kính và dây cung)

= > ∠OKM = 900.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có ∠OAM = 900; ∠OBM = 900. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

H

Ơ

N

Như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3). Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R

Y

N

=> OM là trung trực của AB => OM ⊥ AB tại I .

H Ư

=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB = R => OAHB là hình

TR ẦN

thoi.

5). Theo trên OAHB là hình thoi => OH ⊥ AB;

Cũng theo trên OM ⊥ AB => O, H, M thẳng hàng (vì qua O chỉ có một đường

TO

Bài 5:

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

thẳng vuông góc với AB).

6). (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R. -----------------------Hết--------------------------

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 1). Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.

2). Chứng minh BM // OP. 3). Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.

4). Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

OA ⊥ MA (tính chất tiếp tuyến); BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

=> OB // AC hay OB // AH.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

4). Ta có OB ⊥ MB (tính chất tiếp tuyến); AC ⊥ MB (gt)

Đ ẠO

TP

.Q

có AI là đường cao. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Theo tính chất tiếp tuyến ta có ∠OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

6

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Lời giải bài 5: 1). Ta có ∠PAO = 900 (PA là tiếp tuyến) nên

X

trên đường tròn đường kính PO => A và M cùng nằm trên đường tròn đường kính PO. Vậy tứ giác APMO nội tiếp đường tròn đường kính PO.

H N

M

U

Y

K

A

.Q

2 1 (

1 (

B

N

G

∠AOM (1) 2

H Ư

∠AOM là góc ở tâm chắn cung AM => ∠ABM =

TR ẦN

OP là tia phân giác ∠AOM (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) => ∠AOP =

∠AOM 2

(2)

B

Mà ∠ABM và ∠AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4)

10 00

3). Xét hai tam giác AOP và OBN ta có:

∠PAO = 900 (vì PA là tiếp tuyến ); ∠NOB = 900 (gt NO⊥AB).

Ó

A

=> ∠PAO = ∠NOB = 900; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3))

-H

=> ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5)

ÁN

-L

Ý

Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành (vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).

4). Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ

ÀN

Ta cũng có PM ⊥ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2). Ta có ∠ABM nội tiếp chắn cung AM;

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

O

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

∠PMO = 900 (PM là tiếp tuyến) nên M nằm

Từ (1) và (2) => ∠ABM = ∠AOP (3).

Ơ

1

I

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A nằm trên đường tròn đường kính PO;

J

N

N

P

Đ

tâm tam giác POJ. (6)

IỄ N

Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 900

D

=> K là trung điểm của PO (t/c đường chéo hình chữ nhật). (6) AONP là hình chữ nhật => ∠APO = ∠ NOP (so le) (7)

Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có PO là tia phân giác ∠APM => ∠APO = ∠MPO (8). https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

7

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Từ (7) và (8) => ∆IPO cân tại I có IK là trung tuyến đồng thời là đường cao => IK ⊥ PO. (9).

Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.

Ơ

N

-----------------------Hết--------------------------

H

Bài 6:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DM CM = .

DE CE

TR ẦN

H Ư

N

3). Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // BD. 4). Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO.

Lời giải bài 6:

1). Ta có: ∠CAO = 900 (AC là tiếp

B

tuyến, CA⊥ AO) nên A nằm trên

D

10 00

đường tròn đường kính CO;

∠CMO = 900 (ED là tiếp tuyến, DE ⊥ C

N 1

E

2 3

A

4

O

B

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

MO) nên M nằm trên đường tròn đường kính CO; => ACMO nội tiếp đường tròn đường kính CO. 2). AC // BD (cùng ⊥ EB)

1

M

⇒ ∆EAC

∆EBD ⇒

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

∆EBD, từ đó suy ra

G

2). Chứng minh ∆EAC

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (E ≠ A). Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn.

Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B theo thứ tự tại C và D. 1). Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn.

Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.

CE AC (1) = DE BD

ÀN

mà AC = CM ; BD = MD (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) CE CM DM CM = (2) ⇒ = DE DM DE CE

D

IỄ N

Đ

⇒

3). AC//BD (cmt) ⇒

Từ (1); (2); (3)

⇒

∆NAC

NC CM = NB DM

∆NBD ⇒

NC AC = NB BD

(3) .

⇒ MN // BD

4). Ta có: ∠ O1= ∠ O2 ; ∠ O3 = ∠ O4 ; mà ∠ O1+ ∠ O2 + ∠ O3 + ∠ O4= 1800 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

8

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) ⇒ ∠ O2 + ∠ O3 = 900; ∠ O4 + ∠ D1= 900 (…) ⇒ ∠ D1= ∠ O2 = ∠ O1 = α.

⇒ AC.DB = R2 (Đpcm)

Ơ

R tan α

H

⇒ AC.DB = R.tanα.

N

OB R = ; Lại có: AC = OA.tanα = R.tanα tan α tan α

N

Vậy: DB =

10 00

B

1). Ta có SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 900

= > P nằm trên đường tròn đường kính AS.

S 1

∠AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường

A

M

tròn) => ∠AMS = 900 = > M nằm trên đường

-H

Ó

1 2

4(

P

3(

A

)1 )2

1

H

O

B

TO

ÁN

-L

Ý

tròn đường kính AS. Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn.

2). Vì M’ đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn nên M’ cũng nằm trên đường tròn => hai cung AM và AM’ có số đo bằng nhau.

3

M' 1

S'

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Lời giải bài 7:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ ẠO

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chân đường vuông góc từ S đến AB. 1). Bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đường tròn.

2). Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cân.

3). Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường tròn.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

.Q

Bài 7:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Y

-----------------------Hết--------------------------

Đ

=> ∠AMM’ = ∠AM’M (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)

D

IỄ N

Cũng vì M’ đối xứng M qua AB nên MM’⊥ AB tại H => MM’// SS’ (cùng vuông góc với AB) => ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (vì so le trong) (2). => Từ (1) và (2) => ∠AS’S = ∠ASS’. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đ/ tròn => ∠ASP =∠AMP (nội tiếp cùng chắn AP) => ∠AS’P = ∠AMP => tam giác PMS’ cân tại P. 3). Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS’ vuông tại M

Ơ

N

=> ∠B1 = ∠S’1 (cùng phụ với góc S). (3)

N

H

Tam giác PMS’ cân tại P => ∠S’1 = ∠M1 (4)

-L

1). Ta có ∠OMP = 900 (vì PM ⊥ AB); ∠ONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến).

ÁN

C

TO

Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 900 => M và N cùng nằm trên đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.

2). Tứ giác OMNP nội tiếp

Đ IỄ N

M

A

O

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ý

Lời giải bài 8:

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh rằng: 1). Tứ giác OMNP nội tiếp.

2). Tứ giác CMPO là hình bình hành.

3). Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 4). Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

Bài 8:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

G

-----------------------Hết--------------------------

=> ∠OPM = ∠ ONM (nội tiếp chắn cung OM)

D

.Q

Đ ẠO

=> PM ⊥ OM tại M => PM là tiếp tuyến của đường tròn tại M.

TP

mà ∠M3 + ∠M2 = ∠AMB = 900 nên suy ra ∠M1 + ∠M2 = ∠PMO = 900

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Từ (3), (4) và (5) => ∠M1 = ∠M3 => ∠M1 + ∠M2 = ∠M3 + ∠M2

Y

Tam giác OBM cân tại O ( vì có OM = OB =R) => ∠B1 = ∠M3 (5).

B

N

Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R

=> ∠ONC = ∠OCN => ∠OPM = ∠OCM.

A'

P

D

B'

Xét tam giác OMC và MOP ta có ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

10

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) => ∠CMO = ∠POM lại có MO là cạnh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1) Theo giả thiết Ta có CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM

(2).

CM CO => CM. CN = CO.CD = CD CN

B

TR ẦN

đường thẳng cố định vuông góc với CD tại D. Vì M chỉ chạy trên đoạn thẳng AB nên P chỉ chạy trên đoạn thẳng A’B’ song song và bằng AB.

10 00

-----------------------Hết-------------------------Bài 9:

A

Cho ∆ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các

BD BM = CB CF

TO

4).

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

điểm D, E, F. Đoạn BF cắt (O) tại I, DI cắt BC tại M. Chứng minh rằng: 1). Tam giác DEF có ba góc nhọn.

2). DF // BC. 3). Tứ giác BDFC nội tiếp.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

4). (HD) Dễ thấy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P chạy trên

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

Đ ẠO

mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

∆NDC

TP

=>

=> ∆OMC

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

lại có ∠C là góc chung

Y

N

∠DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠MOC =∠DNC = 900

H

3). Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB);

Ơ

N

Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.

IỄ N

Đ

Lời giải bài 9: 1). Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AD = AF => tam giác ADF cân tại A

D

=> ∠ADF = ∠AFD < 900 => sđ cung DF < 1800

=> ∠DEF < 900 (vì góc DEF nội tiếp chắn cung DE).

Chứng minh tương tự ta có ∠DFE < 900; ∠EDF < 900.

Như vậy tam giác DEF có ba góc nhọn. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

11

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

2). Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên)

N

AD AF = => DF // BC. AB AC

D

Y

F

4). Xét hai tam giác BDM và CBF, có:

.Q

G

∠ DBM = ∠BCF (hai góc đáy của tam giác cân).

H Ư

N

∠BDM = ∠BFD (nội tiếp đường tròn tâm O cùng chắn cung DI); ∠CBF = ∠BFD (vì so le)

∆CBF =>

BD BM = CB CF

TR ẦN

Suy ra ∆BDM

=> ∠BDM = ∠CBF .

B

-----------------------Hết--------------------------

Ó

A

10 00

Bài 10: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

-H

1). Chứng minh ∆MON

∆APB.

Ý

2). Chứng minh AM. BN = R2.

S MON R khi AM = .

2 S APB

ÁN

-L

3). Tính tỉ số

TO

Lời giải bài 10: 1). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OM là tia phân giác của góc AOP; ON là tia

y x

N

phân giác của góc BOP, mà ∠AOP và ∠BOP

/

Đ IỄ N D

C

Đ ẠO

E

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

M

B

TP

I

U

O

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

=> BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp được một đường tròn.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

lại có ∠ B = ∠C (vì tam giác ABC cân)

N

H

Ơ

3). Ta có: DF // BC => BDFC là hình thang,

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

=>

A

P

là hai góc kề bù => ∠MON = 900.

Hay tam giác MON vuông tại O.

M

/

∠APB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay tam giác APB vuông tại P.

A

O

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B

12

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Theo tính chất tiếp tuyến ta có NB ⊥ OB => ∠OBN = 900; NP ⊥ OP => ∠OPN = 900 =>∠OBN+∠OPN =1800

N

mà ∠OBN và ∠OPN là hai góc đối

Ơ

=> tứ giác OBNP nội tiếp =>∠OBP = ∠PNO

10 00

Vì tỉ số diện tich giữa hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên 2

A

Ó

ta có:

S MON S 5 25 = k2 => MON =   = S APB S APB  4  16

Ý

-H

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh rằng: 1). Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 2). Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .

3). AC // FG. 4). Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MN 5R 5 = : 2R = = k (k là tỉ số đồng dạng).

AB 2 4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

∆MON =>

5R R + 2R = 2 2

B

Theo trên ∆APB

=> MN = MP + NP =

R 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

R R => PN = R2: = 2R 2 2

TR ẦN

=> PM =

H Ư

3). Theo trên OP2 = PM. PM hay PM. PM = R2 mà PM = AM =

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OP2 = PM. PM Mà OP = R; AM = PM; BN = NP (t/chất hai tiếp tuyến cắt nhau) => AM. BN = R2

U

Y

∆ MON.

2). Theo trên ∆MON vuông tại O có OP ⊥ MN (OP là tiếp tuyến).

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

∠OBP = ∠PNO => ∆APB

H

Xét hai tam giác vuông APB và MON có ∠APB = ∠MON = 900;

Lời giải bài 11: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

13

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1). Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có ∠BAC = 900 (vì tam giác ABC vuông tại A); ∠DEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

B

=>

C

=> ∠DEC + ∠DAC = 1800 mà đây là hai góc

G

đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp.

H Ư

N

* ∠BAC = 900 (vì tam giác ABC vuông tại A); ∠DFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay ∠BFC = 900 như vậy F và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900

TR ẦN

nên A và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp.

3). Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => ∠E1 = ∠C1

10 00

B

lại có ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mà đây là hai góc so le trong nên suy ra AC//FG.

-H

Ó

A

4). (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy tại S. -----------------------Hết--------------------------

Ý

Bài 12:

-L

Cho tam giác nhọn ABC có ∠B = 450. Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm

TO

ÁN

O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E. 1). Chứng minh AE = EB. 2). Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH. 3). Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆BDE.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

0

A

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

S

TP

1

hai góc kề bù); ∠BAC = 900 ( vì ∆ABC vuông

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

G

D

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2). Theo trên ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (vì

1

Y

1

F

N

E

∆ CAB .

tại A) hay ∠DAC = 90

H

O

lại có ∠ABC là góc chung => ∆DEB

Ơ

N

∠DEB = ∠BAC = 900;

Lời giải bài 12: 1). ∠AEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠AEB = 900 (vì là hai góc kề bù); Theo giả thiết ∠ABE = 450 => ∆AEB là tam giác vuông cân tại E => EA = EB. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

14

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

H

Ơ

N

2). Gọi K là trung điểm của HE (1) ; I là trung điểm của HB => IK là đường trung bình của tam giác HBE

N F

Đ ẠO /

/

I

_K

O 1

N

G

1

_H

B

E

C

TR ẦN

=> ∠BDH = 900 (kề bù ∠ADC) => tam giác BDH vuông tại D có DI là

10 00

B

trung tuyến (do I là trung điểm của BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE bán kính ID.Ta có ∆ODC cân tại O (vì OD và OC là bán

Ó

=> ∠D1 = ∠C1. (3)

A

kính )

-H

∆IBD cân tại I (vì ID và IB là bán kính ) => ∠D2 = ∠B1 . (4)

-L

Ý

Theo trên ta có CD và AE là hai đường cao của tam giác ABC => H là trực tâm của tam giác ABC => BH cũng là đường cao của tam giác ABC

ÁN

=> BH ⊥ AC tại F => ∆AEB có ∠AFB = 900 .

Theo trên ∆ADC có ∠ADC = 900 => ∠B1 = ∠C1 ( cùng phụ ∠BAC) (5).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

TP

A

H Ư

∠ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Y

Từ (1) và (2) => IK là trung trực của HE .

Vậy trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH. 3). Theo trên I thuộc trung trực của HE => IE = IH. Mà I là trung điểm của BH => IE = IB.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

=> IK // BE mà ∠AEC = 900 nên BE ⊥ HE tại E => IK ⊥ HE tại K (2).

ÀN

Từ (3), (4), (5) =>∠D1 = ∠D2 mà ∠D2 +∠IDH =∠BDC = 900

Đ

=> ∠D1 +∠IDH = 900 = ∠IDO => OD ⊥ ID tại D

D

IỄ N

=> OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.

-----------------------Hết--------------------------

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

15

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

Y

N

H

Ơ

N

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE. 1). Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.

2). Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác vuông cân.

G N H Ư

E M

K

D A

F

B

0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Tứ giác AEDC là hình vuông

10 00

=> ∠CAD = 45 ;

Tam giác ABC vuông ở A => ∠BAC

H

B

A

= 900

O

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Đ ẠO

=> ∠BAH = 450

TR ẦN

Lời giải bài 13: 1). Theo giả thiết ABHK là hình vuông

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

minh 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.

4). Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

C

-H

Ó

=> ∠BAH + ∠BAC + ∠CAD = 450 +

-L

Ý

900 + 450 = 1800 => ba điểm H, A, D thẳng hàng.

ÁN

2). Ta có ∠BFC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên ∆BFC vuông tại

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

3). Cho biết ∠ABC > 450; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng

ÀN

F. (1).

∠FBC = ∠FAC (nội tiếp cùng chắn cung FC) mà theo trên ∠CAD = 450

D

IỄ N

Đ

hay ∠FAC = 450 (2). Từ (1) và (2) suy ra ∆FBC là tam giác vuông cân tại F. 3). Theo trên ∠BFC = 900 => ∠CFM = 900 (vì là hai góc kề bù); ∠CDM = 900 (t/c hình vuông).

-----------------------Hết-------------------------https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

16

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

P

∠MQO = 900 (MQ là tiếp tuyến, MQ ⊥

K M

O

I

10 00

B

QO) nên Q nằm trên đường tròn đường kính MO; ∠MHO = 900 (MH ⊥ HO) nên H nằm trên

H

Q

∆QIH (g.g) ⇒

ÁN

2). ∆OIP

-L

Ý

-H

Ó

A

đường tròn đường kính MO; Suy ra 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn đường kính MO. IO IQ = IP IH

TO

⇒ IH.IO = IQ.IP

ÀN

3). ∆MKQ có: MK = KQ.tanMQK= KQ.tan600 =

PQ PQ . 3 . . 3= 2 2

IỄ N

Đ

∆OKQ có: OK = KQ.tanOQK = KQ.tan300 = KQ.

D

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

TR ẦN

nên P nằm trên đường tròn đường kính MO;

H Ư

1). Ta có: ∠MPO = 900 (MP là tiếp tuyến)

G

Lời giải bài 14:

⇒

S MPQ S OPQ

=

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

Bài 14: Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R). Hạ OH ⊥ (d) (H ∈ d). M là một điểm thay đổi trên (d) (M ≠ H). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với (O; R). Dây cung PQ cắt OH ở I; cắt OM ở K. 1). Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên 1 đường tròn.

2). Chứng minh IH.IO = IQ.IP 3). Giả sử ∠ PMQ= 600. Tính tỉ số diện tích 2 tam giác: ∆MPQ và ∆OPQ.

3 PQ 3 PQ 3 = . = 3 2 3 6

PQ 3 PQ 3 : =3 2 6

-----------------------Hết-------------------------https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

17

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

.Q TP H Ư

N

O D

C A

10 00

B

Ta có: ∠EPD= ∠PCA (so le trong, PB//AC); ∠EAP = ∠PCA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến…)

A

Hai tam giác ∆EPD và ∆EAP có: ∠EPD = ∠EAP; ∠PEA chung

Ó

∆EAP (g.g) ⇒

-H

⇒ ∆EPD

EP ED 2 = ⇒ EP = EA.ED (2) EA EP

ÁN

-L

Ý

Từ (1) và (2) ⇒ EB2 = EP2 ⇒ EB = EP ⇒ AE là trung tuyến ∆PAB. -----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Bài 16: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).

1). Chứng minh AC. AE không đổi.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

G

E

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

EB ED 2 ⇒ EB = EA.ED (1) = EA EB

P

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

⇒

B

TR ẦN

Lời giải bài 15: 1). Xét ∆EAB và ∆EBD, ta có: góc BAE chung góc EAB = góc EBD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến...) => ∆EAB ∆EBD (g.g) ∆EBD (g.g) 2). Theo trên ∆EAB

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

Bài 15: Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B là tiếp điểm). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (C ≠ A). Đoạn PC cắt đường tròn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E. 1). Chứng minh ∆EAB ∆EBD. 2). Chứng minh AE là trung tuyến của ∆PAB.

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

2). Chứng minh ∠ABD = ∠ DFB. 3). Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

18

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Lời giải bài 16: 1). C thuộc nửa đường tròn nên ∠ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

N

=> BC ⊥ AE.

Ơ

∠ABE = 900 (Bx là tiếp tuyến) => ∆ABE vuông tại B có BC là đường cao

Y

N

H

=> AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao), mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi do đó AC. AE không đổi.

U C

0

H Ư

TR ẦN

A

O

B

B

phụ với ∠BAD)

F

N

=> ∠AFB + ∠BAF = 900 (vì tổng ba góc Từ (1) và (2) => ∠ABD = ∠DFB (cùng

D

G

∆ ABF có ∠ABF = 90 ( BF là tiếp tuyến).

10 00

3). Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ∠ABD + ∠ACD = 1800 . ∠ECD + ∠ACD = 1800 (hai góc kề bù) => ∠ECD =∠ABD (cùng bù với ∠ACD).

Ó

A

Theo trên ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB. Mà ∠EFD + ∠DFB = 1800 (Vì là hai

-H

góc kề bù) nên suy ra ∠ECD + ∠EFD = 1800, mặt khác ∠ECD và ∠EFD là hai góc

ÁN

-L

Ý

đối của tứ giác CDFE do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp.

-----------------------Hết--------------------------

TO

Bài 17: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E. 1). Chứng minh tam giác BEC cân.

2). Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 3). Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).

4). Chứng minh BE = BH + DE.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

của một tam giác bằng 1800) (1)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

=> ∠ABD + ∠BAD = 900 (vì tổng ba góc

của một tam giác bằng 1800) (2)

E

TP

nửa đường tròn).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

X

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2). ∆ADB có ∠ADB = 900 (nội tiếp chắn

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

19

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Lời giải bài 17: 1). Xét ∆AHC và ∆ADE có: D

Ơ

E

N

∠H = ∠D = 900; AH = AD = > ∆AHC = ∆ADE (g.c.g) => AE = AC.

C

H Ư

N

G

=> ∠B1 = ∠B2

=> ∆AHB = ∆AIB => AI = AH.

TR ẦN

Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, ∠B1 = ∠B2 3). (HD) AI = AH và BE ⊥ AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.

10 00

B

4). (HD) DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED -----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Bài 18: AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R (B, C là tiếp điểm). Vẽ CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D. 1). Chứng minh CO = CD. 2). Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi.

3). Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của OH. 4). Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2). Theo 1) ∆BEC là tam giác cân

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H

Đ ẠO

=> ∆BEC là tam giác cân.

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

B

.Q

1

TP

cao vừa là đường trung tuyến của ∆BEC

U

I

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Y

A

Vì AB ⊥ CE (gt), do đó AB vừa là đường

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

∠CAH = ∠EAD (đối đỉnh)

Lời giải bài 18: 1). Theo giả thiết AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

20

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) => OA là tia phân giác của ∠BOC

B

=> ∠BOA = ∠COA (1)

H

cung)

=> ∠OMH = 900. Theo trên ta cũng có ∠OBH =900; ∠BHM =900 => Tứ

Ó

A

10 00

B

giác OBHM là hình chữ nhật => I là trung điểm của OH. 4). M là trung điểm của CE; KE và KC là hai tiếp tuyến => O, M, K thẳng hàng.

-H

-----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

Bài 19: Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (M không trùng B, C, H); từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng: 1). APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

2). MP + MQ = AH.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

3). M là trung điểm của CE => OM ⊥ CE ( quan hệ đường kính và dây

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

N

G

Đ ẠO

2). Theo trên ta có CO = CD; mà CO = BO (= R) => CD = BO (4) Lại có OB // CH hay OB // CD (5) Từ (4) và (5) => BOCD là hình bình hành (6).

Từ (6) và (3) => BOCD là hình thoi.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

C

=> CO = CD. (3)

U

Y

K

Từ (1) và (2) => ∆COD cân tại C Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

M

=> ∠BOA = ∠CDO (2)

http://daykemquynhon.ucoz.com

O

D

A

H

CH ⊥ AB (gt) => OB // CH

N

I

E

Ơ

OB ⊥ AB ( AB là tiếp tuyến);

3). OH ⊥ PQ.

Lời giải bài 19: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

21

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1. Ta có MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; A

Ơ

N

như vậy P và Q cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên P và Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp. * Vì AM là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung điểm của AM.

N

1

2

Y

P

H

O

C MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 AB.MP 2

H Ư

Tam giác ABM có MP là đường cao = > SABM =

N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 BC.AH. 2

1 AC.MQ 2

TR ẦN

Tam giác ACM có MQ là đường cao => SACM =

1 1 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 2 2

10 00

B

Ta có SABM + SACM = SABC =>

Ó

A

=> AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH.

-H

3. Tam giác ABC có AH là đường cao nên cũng là đường phân giác

-L

Ý

=> ∠HAP = ∠HAQ => cung HP = cung HQ (tính chất góc nội tiếp )

ÁN

=> ∠HOP = ∠HOQ (t/c góc ở tâm) => OH là tia phân giác góc POQ. Mà tam giác POQ cân tại O (vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đường cao => OH ⊥ PQ

TO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

M

TP

H

Đ ẠO

B

.Q

U

Q

2. Tam giác ABC có AH là đường cao => SABC =

-----------------------Hết--------------------------

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

MQ ⊥ AC (gt) => ∠AQM = 900

D

IỄ N

Bài 20: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. 1). Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp . https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

22

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

H

Ơ

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 2). Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. 3). Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.

4). Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. 5). Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Y N H Ư

2 1

TR ẦN

12 3

O

O E

S

M

E

1 2

2 3

F

A

-H

2). TH1 (Hình a)

B

Ó

H×nh a

1

10 00

S

B

2 1

D

1 2

F

1 2

M

2 1

2 3

1

A

A

D

3

B H×nh b

2). TH2 (Hình b)

-L

Ý

ABCD là tứ giác nội tiếp => ∠D1= ∠C3 ∠ABC = ∠CME (cùng phụ ∠ACB);

ÁN

(nội tiếp cùng chắn cung AB).

Do ∠D1= ∠C3 => cung SM = cung EM

∠ABC = ∠CDS (bù với ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS

TO

=> ∠C2 = ∠C3 (hai góc nội tiếp đường => cung CE = cung CS tròn (O) chắn hai cung bằng nhau) = > cung SM = cung EM => CA là tia phân giác của góc SCB. => ∠SCM = ∠ECM

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C

C

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Đ ẠO

Như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

∠MDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠CDB = 900

TP

.Q

1). Ta có ∠CAB = 900 (vì tam giác ABC vuông tại A);

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Lời giải bài 20:

=> CA là tia phân giác của góc SCB.

3). Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC như vậy BA, EM, CD là ba

đường cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy.

4). Theo trên Ta có cung SM = cung EM => ∠D1= ∠D2 => DM là tia phân giác của góc ADE.(1) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

23

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 5). Ta có ∠MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ∠MEB = 900.

Tứ giác AMEB có ∠MAB = 900; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 => ∠A2 = ∠B2 .

N

H

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => ∠A1= ∠B2 (góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Ơ

N

mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn

Y

1) Ta có: ∠ACB = 900 (nội tiếp chắn nửa

-H

M 1

0

_

Ý

đường tròn)

-L

=> ∠MCI = 90 (vì là hai góc kề bù).

K

1

C

2

∠ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

ÁN

4 3

_

D

0

=> ∠MDI = 90 (vì là hai góc kề bù).

I

0

ÀN

=> ∠MCI + ∠MDI = 180 mà đây là hai góc

1

O

H

B

D

IỄ N

Đ

đối của tứ giác MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp.

A

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ó

A

Lời giải bài 21:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Bài 21: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì (H không trùng O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. 1). Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp .

2). Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. 3). Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Đ ẠO

TP

.Q

Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE -----------------------Hết--------------------------

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

=> ∠A1= ∠A2 => AM là tia phân giác của góc DAE (2)

2) Theo trên Ta có BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nên BC và AD là hai đường cao của tam giác MAB mà BC và AD cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác MAB.

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

24

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Theo giả thiết thì MH ⊥ AB nên MH cũng là đường cao của tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy tại I. 3) ∆OAC cân tại O (vì OA và OC là bán kính) => ∠A1 = ∠C4

Ơ

N

∆KCM cân tại K (vì KC và KM là bán kính) => ∠M1 = ∠C1 .

N

H

Mà ∠A1 + ∠M1 = 900 ( do tam giác AHM vuông tại H)

Y

=> ∠C1 + ∠C4 = 900 => ∠C3 + ∠C2 = 900 (góc ACM = 1800) hay ∠OCK = 900.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Bài 22:

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

Cho tam giác nhọn ABC, Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh rằng: 1). Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật.

2). Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp.

3). Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng.

4). Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

A

-H

Lời giải bài 22: 1). Tứ giác DMFP có:

∠M = ∠F = ∠P = 900

Ý

E

-L

=> DMFP là hình chữ nhật

F H

ÁN

Tương tự DNEQ có: ∠N = ∠E = ∠Q = 900 => DNEQ là hình chữ nhật

1

M

ÀN

2). Ta có: ∠BMD = 900 (MD⊥ AB) nên M

nằm trên đường tròn đường kính BD;

N

P

1

Q

2

1 3 4

1

D

1

C

D

IỄ N

Đ

B

1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đ ẠO

-----------------------Hết--------------------------

TP

mà ∠OHK và ∠OCK là hai góc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Xét tứ giác KCOH, có ∠OHK = 900; ∠OCK = 900 => ∠OHK + ∠OCK = 1800

∠BND = 900 (ND ⊥ BE) nên N nằm trên

đường tròn đường kính BD; = > BMND nội tiếp đường tròn đường kính BD. Tương tự DNHP nội tiếp đường tròn đường kính DH; và DPqc nội tiếp đường tròn đường kính DC; https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

3). Theo c/m trên DNHP nội tiếp => ∠N2 =∠D4 (nội tiếp cùng chắn cung HP);

Ơ

N

∆HDC có ∠HDC = 900 (do AH là đường cao)

N

H

∆ HDP có ∠HPD = 900 (do DP ⊥ HC)

Y

=> ∠C1= ∠D4 (cùng phụ với ∠DHC) =>∠C1=∠N2 (1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

=> ∠N1 = ∠D1 (nội tiếp cùng chắn cung BM). (3)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

4). Theo chứng minh trên DNMB nội tiếp

G

DM // CF ( cùng vuông góc với AB) => ∠C1= ∠D1 (hai góc đồng vị). (4)

H Ư

N

Theo chứng minh trên ∠C1 = ∠N2 (5)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

∆ HCB

TP

Từ (1) và (2) => ∆HNP

Từ (3), (4), (5) => ∠N1 = ∠N2 mà B, N, H thẳng hàng => M, N, P thẳng hàng. (6)

10 00

B

TR ẦN

Chứng minh tương tự ta cũng có N, P, Q thẳng hàng. (7) Từ (6), (7) => Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Bài 23: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh rằng: 1). Tứ giác IECB nội tiếp.

2). AM2 = AE.AC. 3). Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 .

4). Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

chứng minh tương tự ta có ∠B1=∠P1 (2)

Lời giải bài 23:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

26

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1). Theo giả thiết MN ⊥AB tại I => ∠EIB =

M

900; ∠ACB nội tiếp chắn nửa đường tròn nên O1

∠ACB = 900 hay ∠ECB = 900

N Ơ

∆ACM =>

AM AE = => AM2 = AE.AC AC AM

H Ư

do đó ∆AME

N

G

Lại có ∠CAM là góc chung của hai tam giác AME và AMC

TR ẦN

3). ∠AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ); MN ⊥AB tại I => ∆AMB vuông tại

10 00

B

M có MI là đường cao => MI2 = AI.BI ( hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông). Áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIM vuông tại I ta có AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI .

Ó

A

4). Theo trên ∠AMN = ∠ACM

-H

=> AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ECM;

-L

nằm trên BM.

Ý

Nối MB ta có ∠AMB = 900, do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp ∆ECM phải

ÁN

Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM => NO1 ⊥ BM.

TO

Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường tròn ngoại

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

hay ∠AME = ∠ACM.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

TP

điểm của cung MN => ∠AMN = ∠ACM (hai

.Q

2). Theo giả thiết MN ⊥AB => A là trung Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

B

O

N

I

H

A

Y

đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp.

U

=> ∠EIB + ∠ECB = 1800 mà đây là hai góc

http://daykemquynhon.ucoz.com

C

E

ÀN

tiếp ∆ECM có bán kính là O1M. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn

D

IỄ N

Đ

ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn tâm O1 bán kính O1M với đường tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM. -----------------------Hết--------------------------

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

27

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

N

H

Ơ

N

Bài 24: Cho tam giác ABC cân (AB = AC), BC = 6 cm, đường cao AH = 4 cm, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AA’.

1). Tính bán kính của đường tròn (O).

2). Kẻ đường kính CC’, tứ giác CAC’A’ là hình gì? Tại sao?

CH 2 32 9 = = = 2, 5 AH 4 4

10 00

=> A’H =

G N C'

K

O

1 1

B

1

H

2

C

B

=> CH2 = AH.A’H

1 2

A'

-L

Ý

-H

Ó

A

=> AA’ = AH + HA’ = 4 + 2,5 = 6,5 (cm) => R = AA’ : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) 2). Vì AA’ và CC’ là hai đường kính nên cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường => ACA’C’ là hình bình hành.

ÁN

Lại có ∠ACA’ = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên suy ra tứ giác ACA’C’ là hình chữ nhật.

3). Theo giả thiết AH ⊥ BC; AK ⊥ CC’ => K và H cùng nhìn AC dưới một góc bằng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

BC 6 CH = = = 3cm; AH = 4cm 2 2

TR ẦN

qua H. => ∆ACA’ vuông tại C có đường cao

H Ư

của đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH xuất phát từ đỉnh A trùng nhau, tức là AA’đi

A

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1). Vì ∆ABC cân tại A nên đường kính AA’

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP Đ ẠO

Lời giải bài 24:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4). Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác ABC.

U

Y

3). Kẻ AK ⊥ CC’ tứ giác AKHC là hình gì? Tại sao?

ÀN

900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính AC hay tứ giác ACHK nội tiếp (1)

IỄ N

Đ

=> ∠C2 = ∠H1 (góc nội tiếp cung chắn cung AK);

D

∆AOC cân tại O (vì OA = OC = R) => ∠C2 = ∠A2 => ∠A2 = ∠H1 => HK // AC (vì

có hai góc so le trong bằng nhau) => tứ giác ACHK là hình thang (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ACHK là hình thang cân.

4). Diện tích hình tròn (O, R) là S(O) = π R2. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

28

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Diện tích tam giác ABC là SABC =

1 AH.BC. 2

Ta có diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác ABC là S.

N

1 1 AH.BC = π (3,25)2 - . 4.6 2 2

Ơ

S = S(O) - SABC = π R2 -

Y

N

H

-----------------------Hết--------------------------

1). AM là phân giác của ∠BAC

1

B

=> ∠BAM = ∠CAM

10 00

=> cung BM = cung CM => M là trung điểm của cung BC

N A 1 2

Q

Ó

2). Xét ∆MCI và ∆MAC có ∠MCI

-H

1

Ý

-L

cung bằng nhau); ∠M là góc chung

1

B

2 2

ÁN

∆MAC

1

(

I

C

M

MC MI = => MC2 = MI.MA. MA MC

TO

=>

O

K

=∠MAC (hai góc nội tiếp chắn hai => ∆MCI

P

A

=> OM ⊥ BC

(

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

Lời giải bài 25:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

G

2). Chứng minh MC2 = MI.MA. 3). Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh bốn điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đường tròn .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

1). Chứng minh OM ⊥ BC.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn (O) tại M.

3). (HD) ∠MAN = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

IỄ N

Đ

=> ∠P1 = 900 – ∠K1 mà ∠K1 là góc ngoài của tam giác AKB

D

nên ∠K1 = ∠A1 + ∠B1 =

=> ∠P1 = 900 – (

∠A ∠B + (t/c phân giác của một góc) 2 2

∠A ∠B + ).

2 2

(1)

CQ là tia phân giác của góc ACB https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) => ∠C1 =

∠C 1 ∠A ∠B = (1800 - ∠A - ∠B) = 900 – ( + ). (2).

2 2 2 2

Từ (1) và (2) => ∠P1 = ∠C1 hay ∠QPB = ∠QCB mà P và C nằm cùng về một nửa

N

∠A ∠B + ) dựng trên BQ. 2 2

Ơ

mặt phẳng bờ BQ nên cùng nằm trên cung chứa góc 900 – (

10 00

=> ∠BOC = 1200 ( t/c góc ở tâm).

B

=> sđ BmC=120 ( t/c góc nội tiếp)

A

D

* Theo trên sđ BmC=1200 => BC là cạnh của một tam giác đều nội tiếp (O; R)

-H

=> BC = R 3 .

O

Ó

A

H B

C

Ý

2). CD là đường kính => ∠DBC = 900

-L

hay DB ⊥ BC; theo giả thiết AH là đường cao

m

ÁN

=> AH ⊥ BC => BD // AH.

Chứng minh tương tự ta cũng được AD // BH.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1). Theo giả thiết ∠BAC = 600

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Lời giải bài 26:

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ ẠO

TP

Bài 26: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết góc BAC = 600.

1). Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R. 2). Vẽ đường kính CD của (O; R); Gọi H là giao điểm ba đường cao của tam giác ABC Chứng minh BD // AH và AD // BH. 3). Tính AH theo R.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Vậy bốn điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đường tròn.

-----------------------Hết--------------------------

ÀN

3). Theo trên ∠DBC = 900 => ∆DBC vuông tại B có BC = R 3 ; CD = 2R.

Đ

=> BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R 3 )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R.

D

IỄ N

Theo trên BD // AH; AD // BH => Tứ giác BDAH là hình bình hành => AH = BD => AH = R. -----------------------Hết--------------------------

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

30

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

CMBN là hình bình hành.

3). Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN. 4). Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào.

TR ẦN

Lời giải bài 27: 1). Theo giả thiết I là trung điểm của MN

H Ư

N

G

5). Cho AM. AN = 3R2 , AN = R 3 . Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN.

=> OI ⊥ MN tại I (quan hệ đường kính và dây

N K

10 00

B

cung) = > ∠OIH = 900.

D

I

C A

O

B

H M

-L

Ý

-H

Ó

A

OH cố địmh nên khi MN di động thì I cũng di động nhưng luôn nhìn OH cố định dưới một góc 900 do đó I di động trên đường tròn đường kính OH. Vậy khi MN di động, trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn cố định.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

2). Từ A kẻ Ax ⊥ MN, tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác

ÁN

2). Theo giả thiết Ax ⊥ MN; theo trên OI ⊥ MN tại I

TO

=> OI // Ax hay OI // AC mà O là trung điểm của AB => I là trung điểm của BC; Lại có I là trung điểm của MN (gt) => CMBN là hình bình hành (Vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Bài 27: Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB. 1). Chứng minh khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn cố định.

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

Đ

3). CMBN là hình bình hành => MC // BN mà BN ⊥ AN ( vì ∠ANB = 900 do là góc

D

IỄ N

nội tiếp chắn nửa đường tròn) => MC ⊥ AN; theo trên AC ⊥ MN => C là trực tâm của tam giác AMN. 4). Ta có H là trung điểm của OB; I là trung điểm của BC => IH là đường tung bình của ∆OBC => IH // OC, https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

31

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

Theo giả thiết Ax ⊥ MN hay IH ⊥ Ax => OC ⊥ Ax tại C => ∠OCA =

N

900 => C thuộc đường tròn đường kính OA cố định. Vậy khi MN quay quanh H thì C di động trên đường tròn đường kính OA cố định.

H

Ơ

5). Ta có AM. AN = 3R2 , AN = R 3 => AM =AN = R 3

N

=> ∆AMN cân tại A. (1)

-----------------------Hết--------------------------

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

Bài 28: Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C lần lượt cắt AC, AB ở D và E. Chứng minh rằng: 1). BD2 = AD.CD. 2). Tứ giác BCDE nội tiếp .

3). BC song song với DE.

-L

Ý

Lời giải bài 28: 1). Xét hai tam giác

BCD và ABD ta có

A

ÁN

∠CBD = ∠BAD (Vì là góc nội tiếp và góc O

giữa tiếp tuyến với một dây cùng chắn một

ÀN

cung), lại có ∠D chung => ∆BCD

∆ABD B

BD CD => = => BD2 = AD.CD. AD BD

C m

Đ IỄ N D

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

3R 2 3 .

4

H Ư

πR 2 −

N

=> S = S(O) - S∆AMN =

3R 2 3 .

4

Đ ẠO

Từ (1) và (2) => ∆AMN là tam giác đều => S∆AMN =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

∠ABN = ∠AMN (nội tiếp cùng chắn cung AN) => ∠AMN = 600 (2).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

∠ABN = 600.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Y

Xét ∆ABN vuông tại N ta có AB = 2R; AN = R 3 => BN = R =>

2). Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A => ∠ABC = ∠ACB => ∠EBC = ∠DCB mà ∠CBD = ∠BCD (góc giữa tiếp tuyến với

E

D

một dây cùng chắn một cung) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

32

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) => ∠EBD = ∠DCE => B và C nhìn DE dưới cùng một góc do đó B và C cùng nằm trên cung tròn dựng trên DE => Tứ giác BCDE nội tiếp.

Ơ

N

3). Tứ giác BCDE nội tiếp => ∠BCE = ∠BDE (nội tiếp cùng chắn cung BE) mà

H

∠BCE = ∠CBD (theo trên) => ∠CBD = ∠BDE mà đây là hai góc so le trong nên

Y

N

suy ra BC // DE.

10 00

B

Lời giải bài 29:

1). Ta có: ∠AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) = > ∠NME = 900 (hai góc kề bù)

A

N

-H

Ó

nên M nằm trên đường tròn đường kính NE; 0

F

_

= > ∠NCE = 900 (hai góc kề bù)

_

-L

Ý

∠ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

/ M

ÁN

nên C nằm trên đường tròn đường kính NE; = > MNCE nội tiếp đường tròn đường kính NE. 2). (HD) Dễ thấy E là trực tâm của tam giác NAB

C

/ E

A

O

H

B

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

3). Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O).

4). Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

2). Chứng minh NE ⊥ AB.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

N

G

Đ ẠO

TP

Bài 29: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. 1). Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp .

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

-----------------------Hết--------------------------

ÀN

=> NE ⊥ AB.

D

IỄ N

Đ

3).Theo giả thiết A và N đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm của AN; F và E xứng nhau qua M nên M là trung điểm của EF => AENF là hình bình hành

=> FA // NE mà NE ⊥ AB => FA ⊥ AB tại A => FA là tiếp tuyến của (O) tại A. 4). Theo trên tứ giác AENF là hình bình hành => FN // AE hay FN // AC mà AC ⊥ BN => FN ⊥ BN tại N; https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

33

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) ∆ BAN có BM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (do M là trung điểm của

N

H

Ơ

N

AN) nên ∆ BAN cân tại B => BA = BN => BN là bán kính của đường tròn (B; BA) => FN là tiếp tuyến tại N của (B; BA).

-----------------------Hết--------------------------

A

=> ∠KMF = 900 (vì là hai góc kề bù).

I

-H

Ó

∠AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠KEF = 900 (vì là hai góc kề bù).

Ý

F

=> ∠KMF + ∠KEF = 1800.

-L

M

TO

tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.

2). Ta có ∠IAB = 900 (vì AI là tiếp tuyến)

E

H

ÁN

Mà ∠KMF và ∠KEF là hai góc đối của

1

2

K 1

A

O

2 ( (

B

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

đường tròn)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

B

1. Ta có: ∠AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

Lời giải bài 30:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

Bài 30: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1). Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.

2). Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 3). Chứng minh BAF là tam giác cân.

4). Chứng minh rằng: Tứ giác AKFH là hình thoi.

5). Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

=> ∆AIB vuông tại A có AM ⊥ IB ( theo trên).

IỄ N

Đ

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao

D

=> AI2 = IM . IB. 3). Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => ∠IAE = ∠MAE => cung AE = cung ME => ∠ABE =∠MBE (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

34

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Theo trên ta có ∠AEB = 900 => BE ⊥ AF hay BE là đường cao của ∆ABF (2).

H

Ơ

N

Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .

4). BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)

Y

N

Từ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia

A

Từ (7) và (8) => ∠IAK = ∠AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai

-L

Ý

-H

Ó

góc đáy bằng nhau). Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

Bài 31: Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q. 1). Chứng minh tam giác ABC cân.

2). Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp .

3). Chứng minh MI2 = MH.MK.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Tam giác ABI vuông tại A có ∠ABI = 450 => ∠AIB = 450 .(8)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

B

=> ∠ABM = ∠MAI = 450 (t/c góc nội tiếp). (7)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ ẠO

TP

.Q

Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).

Từ (3), (4) và (6) => AKFH là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).

5). (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân.

AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. Thật vậy: M là trung điểm của cung AB

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

phân giác ∠HAK (5)

4). Chứng minh PQ ⊥ MI. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

35

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Lời giải bài 31:

1). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC => ∆ABC cân tại A.

Ơ

N

2). Theo giả thiết MI ⊥ BC => ∠MIB = 900; MK ⊥ AB => ∠MKB = 900.

N

H

=> ∠MIB + ∠MKB = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp

Y

Mà ∠KBI = ∠HCI ( vì tam giác ABC

TR ẦN

=> ∠B1 = ∠I1 (nội tiếp cùng chắn cung KM);

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N H Ư

Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp

G

cân tại A) => ∠KMI = ∠HMI (1).

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

A

H

K

1

M 1

B

1

P

1 2

Q

2

10 00

B

Tứ giác CHMI nội tiếp => ∠H1 = ∠C1 (nội

1

I

C

O

-H

Ó

A

Mà ∠B1 = ∠C1 ( = 1/2 sđ BM) => ∠I1 = ∠H1 (2).

MI MK = => MI2 = MH.MK MH MI

ÁN

=>

∆MIH

-L

Ý

Từ (1) và (2) => ∆MKI

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

Tứ giác CHMI nội tiếp => ∠HMI + ∠HCI = 1800.

tiếp cùng chắn cung IM).

U

TP

.Q

=> ∠KMI + ∠KBI = 1800;

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

4). Theo trên ta có ∠I1 = ∠C1; cũng chứng minh tương tự ta có ∠I2 = ∠B2

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

* (Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp tương tự tứ giác BIMK ) 3). Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp

ÀN

mà ∠C1 + ∠B2 + ∠BMC = 1800

D

IỄ N

Đ

=> ∠I1 + ∠I2 + ∠BMC = 1800 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => ∠Q1 = ∠I1 mà ∠I1 = ∠C1 => ∠Q1 = ∠C1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị bằng nhau).

Theo giả thiết MI ⊥BC nên suy ra IM ⊥ PQ.

-----------------------Hết--------------------------

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

36

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Bài 32:

H

KC AC = KB AB

N

1).

Ơ

H. Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh rằng:

N

Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD ⊥ AB ở

TP

J C

/ K

10 00

B

chắn hai cung bằng nhau) => AK là tia phân giác của góc CAB

I

A

H

O

M _ B

Ó

A

giác)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

=> ∠CAM = ∠BAM (hai góc nội tiếp

KC AC => (t/c tia phân giác của tam = KB AB

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

G N H Ư

Lời giải bài 32: 1). Theo giả thiết M là điểm chính giữa của cung BC => cung MB = cung MC

-H

2). (HD) Theo giả thiết CD ⊥ AB => A

Ý

là điểm chính giữa cung CD

-L

=> ∠CMA = ∠DMA => MA là tia phân

D

ÁN

giác của góc CMD.

ÀN

TO

3). (HD) Theo giả thiết M là điểm chính giữa của cung BC => OM ⊥ BC tại I

=> ∠OHC = 900

D

IỄ N

Đ

=> ∠OIC = 900 ; CD ⊥ AB tại H

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

3). Tứ giác OHCI nội tiếp 4). Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại M.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

2). AM là tia phân giác của ∠CMD.

=> ∠OIC + ∠OHC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác OHCI nội tiếp

4). Kẻ MJ ⊥ AC ta có MJ // BC (vì cùng vuông góc với AC).

Theo trên OM ⊥ BC => OM ⊥ MJ tại J suy ra MJ là tiếp tuyến của đường tròn tại M.

-----------------------Hết-------------------------https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

37

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

A

mà ∠BHC = ∠B’HC’ (đối đỉnh)

Ó

=> ∠BAC + ∠BHC = 1800. Theo trên BHCF

B'

-H

=

Ý

là hình bình hành => ∠BHC = ∠BFC

-L

=> ∠BFC + ∠BAC = 180

C'

0

ÁN

=> Tứ giác ABFC nội tiếp => F thuộc (O). * H và E đối xứng nhau qua BC

O

H

G

=

/

B

ÀN

=> ∆BHC = ∆BEC (c.c.c) => ∠BHC = ∠BEC

A'

/

/

I

C

/

E

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

=> ∠BAC + ∠B’HC’ = 1800

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

10 00

2). (HD) Tứ giác AB’HC’ nội tiếp

B

TR ẦN

H Ư

N

Lời giải bài 33: 1). Theo giả thiết F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC => I là trung điểm BC và HE => BHCF là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

Bài 33: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC. Chứng minh rằng: 1). Tứ giác BHCF là hình bình hành.

2). E, F nằm trên đường tròn (O).

3). Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.

4). Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

F

Đ

=> ∠BEC + ∠BAC = 1800 => ABEC nội tiếp

IỄ N

=> E thuộc (O).

D

3). Ta có H và E đối xứng nhau qua BC => BC ⊥ HE (1) và IH = IE mà I là trung điểm của của HF => EI = 1/2 HE => tam giác HEF vuông tại E hay FE ⊥ HE (2) Từ (1) và (2) => EF // BC => BEFC là hình thang. (3) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

38

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Theo trên E ∈(O) => ∠CBE = ∠CAE ( nội tiếp cùng chắn cung CE) (4).

Theo trên F ∈(O) và ∠FEA =900 => AF là đường kính của (O)

N

=> ∠ACF = 900 => ∠BCF = ∠CAE (vì cùng phụ ∠ACB) (5).

Ơ H N Y

GI OI 1 = mà OI = AH GA HA 2

=>

GI 1 = mà AI là trung tuyến của ∆ABC (do I là trung điểm của BC) GA 2

TR ẦN

H Ư

N

=>

10 00

B

=> G là trọng tâm của ∆ABC. -----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Bài 34: Cho (O,R), BC là một dây cung (BC ≠ 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Chứng minh rằng: 1). Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. 2). Gọi A’ là trung điểm của BC, chứng minh AH = 2OA’.

3). Gọi A1 là trung điểm của EF, chứng minh R.AA1 = AA’. OA’.

4). Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vị trí của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

∆HGA

G

Lại có ∠OGI = ∠ HGA (đối đỉnh) => ∆OGI

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

=> ∠OIG = ∠HAG (vì so le trong);

Đ ẠO

Theo giả thiết I là trung điểm của BC => OI ⊥ BC (Quan hệ đường kính và dây cung)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

TP

Từ (3) và (6) => tứ giác BEFC là hình thang cân.

4). Theo trên AF là đường kính của (O) => O là trung điểm của AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm của HF => OI là đường trung bình của tam giác AHF => OI = 1/ 2 AH.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Từ (4) và (5) => ∠BCF = ∠CBE (6).

Lời giải bài 34: 1). Tứ giác BFEC nội tiếp => ∠AEF = ∠ACB (cùng bù ∠BFE) ∠AEF = ∠ABC (cùng bù ∠CEF) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

39

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) A ∆ ABC. => ∆ AEF

N Ơ

=

/ /

C

AA1 là trung tuyến của ∆AEF.

TR ẦN

∆ABC; R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆AEF; AA’ là trung tuyến của ∆ABC; Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đây cũng là đường tròn

10 00

B

ngoại tiếp ∆AEF Từ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’

AH 2 A'O = AA’ .

2 2

Vậy

(2)

Ó

A

R. AA1 = AA’. A’O

-H

4). Gọi B’, C’lần lượt là trung điểm của AC, AB, ta có OB’⊥AC ; OC’⊥AB (bán kính

-L

Ý

đi qua trung điểm của một dây không qua tâm) => OA’, OB’, OC’ lần lượt là các đường cao của các tam giác OBC, OCA, OAB. 1 2

TO

ÁN

SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB ) 2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3)

Đ IỄ N

dạng AEF và ABC nên

AA1 AA mà 1 là tỉ số giữa 2 trung tuyến của hai tam giác đồng AA ' AA ' AA1 EF = .

AA ' BC

Tương tự ta có: OB’ = R .

2SABC = R (

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

G

R AA ' = (1) trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp R ' AA1

N

∆ ABC =>

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

K

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A'

.Q

D

U

B

Y

/ /

H Ư

∆ AEF

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

O

H

3). Áp dụng tính chất : nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa hia trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng. Ta có:

Theo (2) => OA’ = R .

D

A1

N

F

bình của ∆AHK => AH = 2OA’

http://daykemquynhon.ucoz.com

E

=

H

2). Vẽ đường kính AK => KB // CH (cùng vuông góc AB); KC // BH (cùng vuông góc AC) => BHKC là hình bình hành => A’ là trung điểm của HK => OK là đường trung

FD ED ; OC’ = R .

Thay vào (3) ta được AC AB

EF FD ED .BC + . AC + . AB ) = > 2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

40

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

Ơ

N

* R(EF + FD + DE) = 2SABC mà R không đổi nên (EF + FD + DE) đạt gí trị lớn nhất khi SABC.

Y

N

H

1 AD.BC do BC không đổi nên SABC lớn nhất khi AD lớn nhất, mà AD 2

2). Giả sử ∠B > ∠C. Chứng minh ∠OAH = ∠B - ∠C.

B

3). Cho ∠BAC = 600 và ∠OAH = 200. Tính:

10 00

a). ∠B và ∠C của tam giác ABC.

A

b). Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo

-L

Lời giải bài 35:

Ý

-H

Ó

R.

ÁN

1). AM là phân giác của ∠BAC => ∠BAM = ∠CAM => cung BM = cung CM => M là trung điểm của cung BC => OM ⊥ BC; Theo giả thiết AH ⊥ BC

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

1). AM là phân giác của góc OAH.

H Ư

N

G

Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ đường cao AH và bán kính OA. Chứng minh rằng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bài 35:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

.Q

U

lớn nhất khi A là điểm chính giữa của cung lớn BC. -----------------------Hết--------------------------

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có SABC =

ÀN

=> OM // AH => ∠HAM = ∠OMA ( so le).

IỄ N

Đ

Mà ∠OMA = ∠OAM (vì tam giác OAM cân tại O do có OM = OA = R)

D

=> ∠HAM = OAM

=> AM là tia phân giác của góc OAH.

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

41

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 2). Vẽ dây BD ⊥ OA A D

=> cung AB = cung AD => ∠ABD = ∠ACB.

Ơ

N

Ta có ∠OAH = ∠ DBC (góc có cạnh tương O

H

ứng vuông góc cùng nhọn)

U .Q

C

TP

hay ∠OAH = ∠B - ∠C.

Theo trên ∠B ∠C = ∠OAH => ∠B - ∠C = 200 . ∠B + ∠C = 120 ∠B = 70 =>  ⇔  0 0

b) Svp = SqBOC - SBOC =

π .R 2 .1202

G H Ư

∠C = 50

R π .R 2 R 2 . 3 R 2 .(4π − 3 3) 1 − = − R. 3. = 2 2 3 4 12

TR ẦN

∠B − ∠C = 20

0

N

0

3600

10 00

B

-----------------------Hết--------------------------

A

Bài 36: Cho tam giác đều ABC, O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần

Ó

lượt lấy các điểm D, E sao cho ∠DOE = 600.

TO

ÁN

-L

Ý

-H

1). Chứng minh tích BD. CE không đổi.

2). Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE 3). Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3). a) Theo giả thiết ∠BAC = 60 => ∠B + ∠C = 120 ;

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

0

Đ ẠO

M

0

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B

=> ∠OAH = ∠ABC - ∠ACB

Y

N

=> ∠OAH = ∠ABC - ∠ABD

Đ

Lời giải bài 36:

IỄ N

1). Tam giác ABC đều => ∠ABC = ∠ ACB = 600 (1);

D

∠ DOE = 600 (gt) =>∠DOB + ∠EOC = 1200 (2). ∆DBO có ∠DOB = 600 => ∠BDO + ∠BOD = 1200 (3).

Từ (2) và (3) => ∠BDO = ∠ COE (4) Từ (2) và (4) => ∆BOD

∆CEO

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

42

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) =>

BD BO = => BD.CE = BO.CO CO CE

mà OB = OC = R không đổi => BD.CE = R2 không đổi.

Ơ H

B

O

Y C

H Ư

N

G

=> DO là tia phân giác ∠ BDE.

TR ẦN

3). Theo trên DO là tia phân giác ∠ BDE => O cách đều DB và DE => O là tâm

10 00

B

đường tròn tiếp xúc với DB và DE. Vậy đường tròn tâm O tiếp xúc với AB luôn tiếp xúc với DE -----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Bài 37: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1). Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp.

2). Tính góc CHK. 3). Chứng minh KC. KD = KH.KB 4). Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào?

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H

=> ∠BDO = ∠ODE

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

∆DOE

E

K

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

D

U

(6).

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

(5)

Lại có ∠DBO = ∠DOE = 600 Từ (5) và (6) => ∆DBO

A

.Q

BD OD BD BO = => = BO OE OD OE

N

BD OD = CO OE

TP

mà CO = BO =>

∆CEO =>

Đ ẠO

2). Theo trên ∆BOD

IỄ N

Lời giải bài 37:

D

1). Theo giả thiết ABCD là hình vuông nên ∠BCD = 900;

BH ⊥ DE tại H nên ∠BHD = 900 => như vậy H và C cùng nhìn BD dưới một góc bằng 900 nên H và C cùng nằm trên đường tròn đường kính BD https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

43

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) => BHCD là tứ giác nội tiếp.

2). BHCD là tứ giác nội tiếp => ∠BDC + ∠BHC = 1800. (1)

Đ ẠO

∠CHK = ∠BDC = 450 ; ∠K là góc chung

K

H Ư

N

G

KC KH = KB KD

C

=> KC. KD = KH.KB.

TR ẦN

4). (HD) Ta luôn có ∠BHD = 900 và BD cố định nên khi E chuyển động trên cạnh BC cố định thì H chuyển động trên cung BC (E ≡ B thì H ≡ B; E ≡ C thì H ≡ C).

10 00

B

-----------------------Hết--------------------------

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Bài 38: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F. 1). Chứng minh BC // AE. 2). Chứng minh ABCE là hình bình hành.

3). Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI.

ÀN

So sánh ∠BAC và ∠BGO.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

) 1

D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3). Xét ∆KHC và ∆KDB ta có

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

=> ∠CHK = 450 .

TP

.Q

1 2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H

U

E

mà ∠BDC = 450 (vì ABCD là hình vuông)

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ N

O

Y

Từ (1) và (2) => ∠CHK = ∠BDC

∆KDB =>

H

1

∠KHC + ∠BHC = 1800 (2).

=> ∆KHC

N

B

A

∠BHK là góc bẹt nên

D

IỄ N

Đ

Lời giải bài 38: 1). BC và AE cùng vuông góc với AH => BC // AE 2).Xét hai tam giác ADE và CDB ta có: ∠EAD = ∠BCD (vì so le trong)

AD = CD (gt); ∠ADE = ∠CDB (đối đỉnh)

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

44

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

A

N Y

_ D

_

F

1

C

G

N

G

=> OI ⊥ AB tại K => ∆ BKG vuông tại K.

H

1 ∠BAC (do ∆ ABC cân nên AH là phân giác) 2

TR ẦN

mà ∠BAH =

H Ư

Ta cũng có ∆ BHA vuông tại H => ∠BGK = ∠BAH (cùng phụ với ∠ABH)

=> ∠BAC = 2∠BGO.

10 00

B

-----------------------Hết--------------------------

-H

Ó

A

Bài 39: Cho đường tròn (O) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý

Ý

trên đường tròn (M khác B, C), từ M kẻ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB. Chứng

ÁN

-L

minh rằng: 1). Tứ giác ABOC nội tiếp.

2). ∠BAO = ∠ BCO.

ÀN

3). ∆MIH

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

I _ _

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1

TP

O

.Q

2

K

đường kính và dây cung).

Theo trên AECB là hình bình hành => AB // EC

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3). I là trung điểm của CF => OI ⊥ CF (quan hệ

E

U

1 2

H

Theo trên AE // CB (2).

Từ (1) và (2) => AECB là hình bình hành.

Ơ

=> ∆ADE = ∆CDB => AE = CB (1)

∆MHK.

IỄ N

Đ

4). MI.MK = MH2.

D

Lời giải bài 39:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

45

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) I

B

B

I

H

N

M A

N

H

A

Y

K

.Q

K

TP

Trường hợp M nằm trên cung lớn BC

Đ ẠO

1). AB là tiếp tuyến của (O) = > ∠ABO = 900 = > B nằm trên đường tròn đường kính AO

N

G

AC là tiếp tuyến của (O) = > ∠ACO = 900

TR ẦN

H Ư

= > C nằm trên đường tròn đường kính AO Suy ra 4 điểm A,B,C,O nằm trên đường tròn đường kính AO hay tứ giác ABOC nội tiếp.

2). Tứ giác ABOC nội tiếp => ∠BAO = ∠ BCO (nội tiếp cùng chắn cung BO).

10 00

B

3). Theo giả thiết MH ⊥ BC => ∠MHC = 900; MK ⊥ CA => ∠MKC = 900 => ∠MHC + ∠MKC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiếp

A

=> ∠HCM = ∠HKM (nội tiếp cùng chắn cung HM).

-H

Ó

Chứng minh tương tự ta có tứ giác MHBI nội tiếp => ∠MHI = ∠MBI (nội tiếp cùng

Ý

chắn cung IM).

-L

Mà ∠HCM = ∠MBI ( = 1/2 sđ BM) => ∠HKM = ∠MHI (1).

ÁN

Chứng minh tương tự ta cũng có ∠KHM = ∠HIM (2).

Từ (1) và (2) => ∆ HIM

∆ KHM =>

MI MH = => MI.MK = MH2 MH MK

-----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

Đ

ÀN

4). Theo trên ∆ HIM

∆ KHM.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Trường hợp M nằm trên cung nhỏ BC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

C

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

C

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

O

O

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H

M

Bài 40: Cho ∆ABC vuông ở A. Lấy trên cạnh AC một điểm D. Dựng CE vuông góc BD tại E, CE cắt AB tại F. 1). Chứng minh ∆ABD ∆ECD. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

46

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

N

2). Chứng minh tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp.

3). Chứng minh FD vuông góc BC.

H

Ơ

4). Cho ∠ABC = 600; BC = 2a; AD = a. Tính AC; đường cao AH của ∆ABC và bán

TP

C

E

∆ECD (g.g)

TR ẦN

H Ư

= > Tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp (Quĩ tích cung chứa góc 900)

N

G

2). Ta có ∠CAB = ∠CEB = 900 (gt)

D

K

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

> ∆ABD

Đ ẠO

∠A = ∠E = 90 . ∠ADB = ∠EDC (đối đỉnh) =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

0

2a H

a

60

F

A

B

10 00

B

3). Ta có CA ⊥ FB, BE ⊥ FC (gt), mà CA cắt BE tại D = > D là trực tâm của tam giác CBF = > FD ⊥ BC

A

4). AC = BC.sin ABC = 2a.sin600 ; AC = 2a .

-H

Ó

AB = BC.cos ABC = 2a.cos600 = 2a.

-L

Ý

AH = AB.sin ABC = a.sin600 = a

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Lời giải bài 40: 1). Xét ∆ABD và ∆ECD có:

3 =a 3 2

1 = a; 2

3 ; 2

ÁN

*Ta có: ∠FED = ∠FAD = 900 = > Tứ giác ADEF nội tiếp đường tròn đường kính DF.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Y

N

kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF.

∆FKB vuông tại K, có ∠ABC = 600

ÀN

⇒ ∠BFK = 300 ⇒ AD = FD.sin BFK

Đ

⇒ AD = FD.sin300

⇒ a = FD.0,5 ⇒ FD = a : 0,5 = 2a.

D

IỄ N

Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF bằng a.

-----------------------Hết--------------------------

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

47

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H

Ơ

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Bài 41: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AA1; BB1; CC1.

1). Chứng minh tứ giác HA1BC1 nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn ấy.

N

2). Chứng minh A1A là phân giác của ∠B1A1C1.

J H

B 10 00

∠HA1B1 = ∠HCB1; ∠HBC1 = ∠HCB1;

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B1

C1

∠HA1C1 = ∠HBC1;

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G N H Ư A

TR ẦN

Lời giải bài 41: 1). Tứ giác HA1BC1 nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900).

Tâm I là trung điểm BH. 2). C/m:

Đ ẠO

So sánh diện tích của 2 tam giác: ∆HAC và ∆HJM.

M

1

K C

B

A

⇒ ∠HA1C1 = ∠HA1B1 ⇒ đpcm.

-H

Ó

A1

ÁN

1 1 HM.JK; SHAC = HC.AC1 2 2

MH 1 = ⇒ MC 3

AC1 = 2 (JK// AC1 JK

HC.AC1 HM.JK

⇒ SHAC : S HJM = 8

-----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

Đ

ÀN

⇒ SHAC : S HJM =

HC HM+MC MC = = 1+ = 1+ 3 = 4 ; HM HM HM

TO

mà

-L

Ý

3). IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2 … ⇒ ỊJ là trung trực của A1C1.

4). S HJM =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

.Q

MH 1 = .

MC 3

TP

4). Trên đoạn HC lấy 1 điểm M sao cho

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Y

3). Gọi J là trung điểm của AC. Chứng minh IJ là trung trực của A1C1.

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

48

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

N

TR ẦN

H Ư

Lời giải bài 42: 1). MABP nội tiếp đ/tròn đ/k MP.(quĩ tích cung chứa góc 900…)

OA = OB = R(O) ⇒ O thuộc đường trung trực AB đi qua L là trung điểm AB…

z

P

A

10 00

B

I

K

Ý

-L

O L

H

A

-H

Ó

2). IP // CM ( ⊥ Cz) ⇒ MPIC là hình thang. ⇒ IL = LC không đổi vì A,B,C cố định. ⇒ I cố định.

B

N

x

C

M

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

y

TO

ÁN

3). PA ⊥ KM; PK ⊥ MB ⇒ H là trực tâm ∆ PKM ⇒ KH ⊥ PM 4). AHBK nội tiếp đ/tròn đ/k KH (quĩ tích cung chứa góc…) ⇒ N là tâm đ/tròn ngoại tiếp … ⇒ NE = NA = R(N) ⇒ N thuộc đường trung trực AB ⇒ O, L, N thẳng hàng.

-----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Bài 42: Cho điểm C cố định trên một đường thẳng xy. Dựng nửa đường thẳng Cz vuông góc với xy và lấy trên đó 2 điểm cố định A, B (A ở giữa C và B).

M là một điểm di động trên xy. Đường vuông góc với AM tại A và với BM tại B cắt nhau tại P. 1). Chứng minh tứ giác MABP nội tiếp được và tâm O của đường tròn này nằm trên một đường thẳng cố định đi qua điểm giữa L của AB. 2). Kẻ PI ⊥ Cz. Chứng minh I là một điểm cố định.

3). BM và AP cắt nhau ở H; BP và AM cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KH ⊥ PM. 4). Cho N là trung điểm của KH. Chứng minh các điểm N; L; O thẳng hàng.

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

49

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

A

T

N O

TR ẦN

∠KMN = ∠PAT =

450.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

//

⇒ AP ⊥ BP ⇒ KN // AP ( ⊥ BP)

KM // BP ⇒

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

H Ư

N

∠APB = 900 (góc nội tiếp…)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

= B

B

Mà ∠PAM = ∠PKU = ∠PKM : 2 = 450.

10 00

∠PKN = 450; ∠PNK = 450 ⇒ PK // AN. Vậy ANPK là hình bình hành.

Ó

A

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Bài 44: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. M là một điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC. Nối MB, cắt CD ở N. 1). Chứng minh: tia MD là phân giác của góc AMB. ∆BNA. Chứng minh: BM.BN không đổi.

2). Chứng minh: ∆BOM 3). Chứng minh: tứ giác ONMA nội tiếp. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ONMA, I di động như thế nào?

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Bài 43: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. 1). So sánh hai tam giác: ∆AKN và ∆BKM. 2). Chứng minh: ∆KMN vuông cân.

3). Tứ giác ANKP là hình gì? Vì sao?

Lời giải bài 43: 1). ∆AKN = ∆BKM(c.g.c) x K 2). HS tự c/m. ∆ KMN vuông cân.

P 3). ∆KMN vuông ⇒ KN ⊥ KM M mà KM // BP ⇒ KN ⊥ BP

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Lời giải bài 44: 1). ∠AMD = ∠DMB = 450 (chắn cung ¼ đ/tròn) ⇒ MD là tia phân giác của góc AMB https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

50

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

H N Y

N

O

D

B

E

10 00

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Bài 45: Cho đường tròn (O; R) có 2 đường kính cố định AB ⊥ CD. 1). Chứng minh: ACBD là hình vuông.

2). Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC (E ≠ B; E ≠ C). Trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. Chứng tỏ: ED là tia phân giác của góc AEB và ED // MB. 3). Chứng minh CE là đường trung trực của BM 4). Chứng minh M di chuyển trên đường tròn cố định, xác định tâm và bán kính đường tròn đó theo R.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

G

I

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

F

M

A

TP

C

TR ẦN

3). ONMA nội tiếp đường tròn đường kính AN. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇒ I cách đều A và O cố định ⇒ I thuộc đường trung trực OA Gọi E và F là trung điểm của AO; AC Vì M chạy trên cung nhỏ AC nên tập hợp I là đoạn EF.

.Q

U

BM BO ⇒ BM.BN = BO.BA = 2R2 không đổi. = BA BN

H Ư

∆NAB ⇒

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ ∆OMB

Ơ

2). ∆OMB cân vì OM = OB = R(O) ∆NAB cân có NO vừa là đ/cao vừa là đường trung tuyến.

D

IỄ N

Lời giải bài 45:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

51

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

1). AB ⊥ CD; OA = OB = OC = OD = R(O) ⇒ ACBD là hình vuông.

N Ơ

H

M

N

E //

Y

1 AOD = 450; 2

O

B

D

G

⇒ ED là tia phân giác của góc AEB.

H Ư

cân tại E)

N

∠AED = 450; ∠EMB = 450 (∆EMB vuông

TR ẦN

⇒ ∠AED = ∠EMB (2 góc đồng vị) ⇒ ED // MB.

B

3). ∆ EMB vuông cân tại E và CE ⊥ DE ; ED // BM ⇒ CE ⊥ BM ⇒ CE là đường trung trực BM.

10 00

4). Vì CE là đường trung trực BM nên CM = CB = R 2

Ý

-H

Ó

A

Vậy M chạy trên đường tròn (C ; R’ = R 2 ) -----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Bài 46: Cho ∆ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). Gọi AI là một đường kính cố định và D là điểm di động trên cung nhỏ AC (D ≠ A và D ≠ C). .

1). Tính cạnh của ∆ABC theo R và chứng tỏ AI là tia phân giác của BAC 2). Trên tia DB lấy đoạn DE = DC. Chứng tỏ ∆CDE đều và DI ⊥ CE. 3). Suy ra E di động trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và giới hạn.

4). Tính theo R diện tích ∆ADI lúc D là điểm chính giữa cung nhỏ AC.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

⇒ ∠AED = ∠DEB

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

1 ∠DEB = DOB= 450 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A

.Q

U

=

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2). ∠AED =

C

Lời giải bài 46:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

52

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) A

1). ∆ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O;

D

N Y

⇒ ∆CDE đều. I là điểm giữa cung BC

G

⇒ cung IB = cung IC ⇒ ∠BDI = ∠IDC

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

I

H Ư

N

⇒ DI là tia phân giác của góc BDC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

∠BDC = ∠BAC = 600 (cùng chắn cung BC)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

2). Ta có: DE = DC (gt) ⇒ ∆DEC cân;

C

TP

.Q

B

⇒ ∆CDE đều có DI là tia phân giác nên cũng là đường cao ⇒ DI ⊥ CE.

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

c) ∆CDE đều có DI là đường cao cũng là đường trung trực của CE ⇒ IE = IC mà I và C cố định ⇒ IC không đổi ⇒ E di động trên 1 đ/tròn cố định tâm I, bán kính = IC. Giới hạn: I ∈ cung nhỏ AC. D → C thì E → C ; D → A thì E → B ⇒ E đi động trên cung nhỏ BC của đường tròn (I; R = IC) chứa trong ∆ABC đều.

-----------------------Hết--------------------------

ÁN

-L

Bài 47: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC với B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

=

O

H

E

Ơ

=

Trong đ/tròn (O; R) có: AB = AC ⇒ Tâm O cách đều 2 cạnh AB và AC ⇒ AO hay AI là tia phân giác của góc BAC.

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

R). HS tự c/m: ⇒ AB = AC = BC = R 3

D

IỄ N

Đ

ÀN

ngoài BC ở I. 1). Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp.

2). Chứng minh ∠ BAC = 900 .

3). Tính số đo góc OIO’.

4). Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm.

Lời giải bài 47: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

53

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1). Ta có: ∠OBI = 900 (BC là tiếp tuyến, BC⊥ BO) nên B nằm trên đường tròn đường kính IO;

B

I

Ơ

=> IO ⊥ IO’ => ∠OIO’ = 900.

TR ẦN

4). Theo trên ta có ∆ OIO’ vuông tại I có IA là đường cao (do AI là tiếp tuyến chung nên AI ⊥OO’) => IA2 = AO.AO’ = 9. 4 = 36 => IA = 6

Ó

A

10 00

B

=> BC = 2. IA = 2. 6 = 12 (cm) -----------------------Hết--------------------------

Ý

-H

Bài 48: Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung

-L

ngoài, B∈(O), C∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở

TO

ÁN

M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng: 1). Các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp.

2). Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

3). ME.MO = MF.MO’.

4). OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. 5). BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

phân giác ∠CIA, mà hai góc BIA và CIA là hai góc kề bù

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G

3). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO là tia phân giác ∠BIA; IO’là tia

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

1 BC => ∆ ABC vuông tại A hay ∠BAC =900 2

TP

2). Theo t/chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IB = IA, IA = IC;

.Q

U

Y

O'

H

4 A

N

9 O

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

nằm trên đường tròn đường kính IO; = > OBIA nội tiếp đường tròn đường kính IO. Tương tự AICO’ nội tiếp đường tròn đường kính IO’.

∆ ABC có AI =

C

N

∠IAO = 900 (AI là tiếp tuyến, AI ⊥ AO) nên A

Lời giải bài 48: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

54

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1). Ta có: ∠OBM = 900 (BC là tiếp tuyến, 1

E

∠MAO = 900 (AM là tiếp tuyến, AM ⊥ AO)

M

C

23 4

F

N

kính MO;

TR ẦN

góc kề bù BMA và CMA => MO ⊥ MO’ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác MEAF là hình chữ nhật.

B

3). Theo giả thiết AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn => MA ⊥ OO’

10 00

=> ∆ MAO vuông tại A có AE ⊥ MO ( theo trên ME ⊥ AB)

⇒ MA2 = ME. MO (4)

Ó

A

Tương tự ta có tam giác vuông MAO’ có AF ⊥ MO’⇒ MA2 = MF.MO’ (5)

-H

Từ (4) và (5) ⇒ ME.MO = MF. MO’

-L

Ý

4). Đường tròn đường kính BC có tâm là M vì theo trên MB = MC = MA, đường tròn này đi qua A và có MA là bán kính.

ÁN

Theo trên OO’⊥ MA tại A ⇒ OO’ là tiếp tuyến tại A của đường tròn đường kính BC.

TO

5). (HD) Gọi I là trung điểm của OO’ ta có IM là đường trung bình của hình thang BCO’O.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có MO và MO’ là tia phân giác của hai

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

Chứng minh tương tự ta cũng có MF ⊥ AC (2).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

Lại có ME là tia phân giác => ME ⊥ AB (1).

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

A nên A nằm trên đường tròn đường kính MO; O O' = > OBMA nội tiếp đường tròn đường kính MO. Tương tự AMCO’ nội tiếp đường tròn đường kính MO’.

2). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MA = MB => ∆ MAB cân tại M.

Ơ

B

H

BC⊥ BO) nên B nằm trên đường tròn đường

Đ

=> IM ⊥ BC tại M (*). Ta cũng chứng minh được ∠OMO’ vuông nên M thuộc đường

D

IỄ N

tròn đường kính OO’ => IM là bán kính đường tròn đường kính OO’ (**) Từ (*) và (**) => BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ -----------------------Hết--------------------------

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

55

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

Y

N

CI CE = CB CA

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

C

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

I 2). Chứng minh ABED là hình thoi ⇒ DE // AB mà EI //AB. H A O E O’ ⇒ D, E, I cùng nằm trên đường thẳng đi qua E // AB ⇒ D, E, I thẳng hàng.

3). ∠ EIO’ = ∠ IEO' (vì ∆EO’I cân; D O’I = O’E = R(O’)) ∠ HED = ∠ IEO' (đ/đ); ∆BID vuông; IH là trung tuyến ⇒ ∆HID cân ⇒ ∠ HIE = ∠ HDI Mà ∠ HDI + ∠ HED = 900 ⇒ ∠ HID + ∠ EIO’ = 900 hay ∠ HIO’= 900 = > HI là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC. -----------------------Hết--------------------------

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

CI CE = (đ/lí Ta-lét) CB CA

H Ư

⇒

G

Lời giải bài 49: 1). AB // EI (cùng vuông góc với BC)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

.Q

2). Chứng minh D; E; I thẳng hàng.

3). Chứng minh HI là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC.

Bài 50: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng: 1). Tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

2). BEFC là tứ giác nội tiếp.

3). AE. AB = AF. AC.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

1). Chứng minh

H

Ơ

N

Bài 49: Cho ∆ABC vuông tại A (BC > BA) nội tiếp trong đường tròn đưòng kính AC. Kẻ dây cung BD vuông góc AC. H là giao điểm AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường tròn đường kính EC cắt BC tại I (I ≠ C).

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

56

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N Y F

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

(O2) => ∠ B1 = ∠ H1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => ∠ B1= ∠ F1 => ∠ EBC+ ∠ EFC = ∠ AFE + ∠ EFC mà ∠ AFE + ∠ EFC = 1800 (vì là hai góc kề bù) => ∠ EBC+ ∠ EFC = 1800 mặt khác ∠ EBC và ∠ EFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp.

3). Xét hai tam giác AEF và ACB ta có ∠ A = 900 là góc chung; =>

∆ACB

ÁN

∠ AFE = ∠ ABC ( theo chứng minh trên) => ∆AEF AE AF = => AE. AB = AF. AC. AC AB

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

H Ư

TR ẦN

Theo giả thiết AH ⊥BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1) và

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

C

Đ ẠO

O2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

1(

.Q

Lời giải bài 50: 1). Ta có: ∠ BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửa A đường tròn ) => ∠ AEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1) E I 0 1 ∠ CFH = 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 2 => ∠ AFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) 1 2 )1 0 ∠ EAF = 90 (vì tam giác ABC vuông tại A) O1 B H (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).

2). Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn => ∠ F1= ∠ H1 (nội tiếp chắn cung AE) .

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 4). Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

IỄ N

Đ

ÀN

* Cách 2: Tam giác AHB vuông tại H có HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*)

Tam giác AHC vuông tại H có HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) và (**) => AE. AB = AF. AC

D

4). Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => ∆IEH cân tại I

=> ∠ E1 = ∠ H1 . ∆O1EH cân tại O1 (vì có O1E vàO1H cùng là bán kính) => ∠ E2 = ∠ H2. => ∠ E1 + ∠ E2 = ∠ H1 + ∠ H2 mà ∠ H1 + ∠ H2 = ∠ AHB = 900 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

57

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) => ∠ E1 + ∠ E2 = ∠ O1EF = 900 => O1E ⊥EF .

Chứng minh tương tự ta cũng có O2F ⊥ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa

N

đường tròn.

N

H

Ơ

-----------------------Hết--------------------------

-H

2). Ta có ∠C1 = ∠C2 (1) (vì CI là phân giác của

1

B

2

1

H

C

o

Ý

góc ACH.

I

-L

∠C2 + ∠I1 = 900 (2) ( vì ∠IHC = 900 ).

ÁN

∠I1 = ∠ ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) 0

K

Từ (1), (2) , (3) => ∠C1 + ∠ICO = 90 hay AC ⊥

Đ

ÀN

OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

3). Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ó

A

cùng nằm trên đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

Tương tự ta cũng có ∠ICK = 900 như vậy B và C

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G N

B

Do đó BI ⊥ BK hay∠IBK = 900 .

A

TR ẦN

H Ư

Lời giải bài 51: 1). Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

Bài 51: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK. 1) Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

3) Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.

D

IỄ N

AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 − 122 = 16 ( cm)

CH 2 12 2 CH = AH.OH => OH = = = 9 (cm) AH 16 2

OC = OH 2 + HC 2 = 9 2 + 12 2 = 225 = 15 (cm)

-----------------------Hết-------------------------https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

58

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

D

=> ∠CGD = 900 (vì là hai góc kề bù)

A

1

-H

=> ∠CMD = 90

0

Ó

Theo giả thiết DE ⊥ AB tại M

A

C O'

O 1 2

0

=> ∠CGD + ∠CMD = 180 mà đây là

-L

Ý

M

G

B

3

F

E

ÁN

hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp

1

1

2). ∠BFC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

đường tròn)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

B

1). ∠BGC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

Lời giải bài 52:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

Bài 52: Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng minh rằng: 1). Tứ giác MDGC nội tiếp .

2). Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn 3). Tứ giác ADBE là hình thoi.

4). B, E, F thẳng hàng 5). DF, EG, AB đồng quy.

6). MF = 1/2 DE. 7). MF là tiếp tuyến của (O’).

ÀN

=> ∠BFD = 900; ∠BMD = 900 (vì DE ⊥ AB tại M) như vậy F và M cùng nhìn BD

D

IỄ N

Đ

dưới một góc bằng 900 nên F và M cùng nằm trên đường tròn đường kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn.

3). Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE ⊥ AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đường kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

59

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

N

4). Góc ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AD ⊥ DF; theo trên tứ giác

Ơ

ADBE là hình thoi => BE // AD mà AD ⊥ DF nên suy ra BE ⊥ DF.

N

H

Theo trên ∠BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BF ⊥ DF

Y

mà qua B chỉ có một đường thẳng vuông góc với DF do đo B, E, F thẳng hàng.

H Ư

N

G

điểm của DE) suy ra MF = 1/2 DE (t/c trung tuyến thuộc cạnh huyền).

7). (HD) theo trên MF = 1/2 DE => MD = MF => ∆MDF cân tại M => ∠D1 = ∠F1

TR ẦN

∆O’BF cân tại O’ ( vì O’B và O’F cùng là bán kính ) => ∠F3 = ∠B1 mà ∠B1 = ∠D1 (Cùng phụ với ∠DEB )

B

=> ∠F1 = ∠F3 => ∠F1 + ∠F2 = ∠F3 + ∠F2 .

10 00

Mà ∠F3 + ∠F2 = ∠BFC = 900 => ∠F1 + ∠F2 = 900 = ∠MFO’

A

hay MF ⊥ O’F tại F => MF là tiếp tuyến của (O’).

-H

Ó

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Ý

Bài 53: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA. Vẽ đường tròn tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. 1). Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A. 2). Chứng minh IP // OQ. 3). Chứng minh rằng AP = PQ. 4). Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

6). Theo trên DF ⊥ BE => ∆DEF vuông tại F có FM là trung tuyến (vì M là trung

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

=> E, C, G thẳng hàng. Vậy DF, EG, AB đồng quy.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

tam giác BDE => EC cũng là đường cao => EC⊥ BD; theo trên CG ⊥ BD

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

5). Theo trên DF ⊥ BE; BM ⊥ DE mà DF và BM cắt nhau tại C nên C là trực tâm của

Lời giải bài 53:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

60

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Q 1

N

P

Ơ

1

I

G

3). ∠APO = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => OP ⊥ AQ.

N

=> OP là đường cao của ∆OAQ mà ∆OAQ cân tại O nên OP là đường trung tuyến => 1 AB.QH. Mà AB là đường kính không đổi nên 2

TR ẦN

4). (HD) Kẻ QH ⊥ AB ta có SAQB =

H Ư

AP = PQ.

10 00

B

SAQB lớn nhất khi QH lớn nhất. QH lớn nhất khi Q trùng với trung điểm của cung AB. Để Q trùng với trung điểm của cung AB thì P phải là trung điểm của cung AO. Thật vậy P là trung điểm của cung AO => PI ⊥ AO mà theo trên PI // QO

A

=> QO ⊥ AB tại O => Q là trung điểm của cung AB và khi đó H trung với O;

-L

Ý

-H

Ó

OQ lớn nhất nên QH lớn nhất.

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

Bài 54: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các đường thẳng AO; AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C; D và cắt (O’) lần lượt tại E; F. 1). Chứng minh: C; B; F thẳng hàng.

2). Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp được.

3). Chứng minh: A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE. 4). Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

mà đây là hai góc đồng vị nên suy ra IP // OQ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

=> ∠A1 = ∠P1 => ∠P1 = ∠Q1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

∆IAP cân tại I (vì IA, IP là bán kính)

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

bán kính ) => ∠A1 = ∠Q1

http://daykemquynhon.ucoz.com

B

O H

Y

2). ∆OAQ cân tại O ( vì OA và OQ cùng là

H

1

A

N

1). Ta có OI = OA – IA mà OA và IA lần lượt là các bán kính của đ/ tròn (O) và đường tròn (I) . Vậy đường tròn (O) và đường tròn (I) tiếp xúc nhau tại A.

Lời giải bài 54:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

61

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1). ∠CBA= 900 = ∠FBA (góc nội tiếp E D

chắn nửa đ/tròn)

A O’

Ơ

O

N

⇒ C, B, F thẳng hàng.

2). ∠CDF = 900 = ∠CEF C

F

N

⇒ Tứ giác CDEF nội tiếp (quĩ

Y

B

TR ẦN

d) ODEO’ nội tiếp. Thực vậy: ∠DOA = 2. ∠DCA; ∠EO’A = 2∠EFA mà ∠DCA = ∠EFA (góc nội tiếp chắn cung DE) ⇒ ∠DOA = ∠EO’A;

B

mặt khác: ∠DAO = ∠EAO’ (đ/đ) ⇒ ∠ODO’ = ∠O’EO ⇒ ODEO’ nội tiếp.

Ý

-H

Ó

A

10 00

Nếu DE tiếp xúc với (O) và (O’) thì ODEO’ là hình chữ nhật ⇒ AO = AO’ = AB. Đảo lại: AO = AO’ = AB cũng kết luận được DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) Vậy điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) là: AO = AO’ = AB. -----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Bài 55: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K).

1). Chứng minh EC = MN. 2. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).

3). Tính MN. 4). Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N H Ư

Tương tự EA là tia phân giác của góc DEB. Vậy A là tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE.

G

⇒ ∠ADE = ∠ADB ⇒ DA là tia phân giác của góc BDE.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Xét (O) có: ∠ADB= ∠ECB (cùng chắn cung AB)

Đ ẠO

(cùng chắn cung EF)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

3). CDEF nội tiếp ⇒ ∠ADE = ∠ECB

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

tích …)

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

⇒ ∠CBA + ∠FBA = 1800

Lời giải bài 55: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

62

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

2

1

Ơ

3

N

1). Ta có: ∠ BNC= 900( góc nội tiếp chắn E nửa đường tròn tâm K) N => ∠ ENC = 900 (vì là hai góc kề bù). (1) H ∠ AMC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa M đường tròn tâm I) O => ∠ EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) A I C K B ∠ AEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay ∠ MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật).

1

2

=> ∠ N3 + ∠ N2 = ∠MNK = 900 hay MN ⊥ KN tại N

-L

Ý

-H

Ó

A

=> MN là tiếp tuyến của (K) tại N. Chứng minh tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (I) tại M, Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).

3). Ta có ∠ AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

ÁN

=> ∆AEB vuông tại A có EC ⊥ AB (gt)

TO

=> EC2 = AC. BC = > EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm.

Theo trên EC = MN => MN = 20 cm.

4). Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) = π .OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π . IA2 = π .52 = 25 π ; S(k) = π .KB2 = π . 202 = 400 π .

Ta có diện tích phần hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn là

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

Từ (4) và (5) => ∠ N1 = ∠ N3 mà ∠ N1 + ∠ N2 = ∠CNB = 900

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

B

TR ẦN

H Ư

N

(I) và (K) => ∠ B1 = ∠ C1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN).

Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => ∠ C1= ∠ N3 => ∠ B1 = ∠ N3.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân tại K => ∠ B1 = ∠ N1 (5)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

2). Theo giả thiết EC ⊥ AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

1

N

H

1

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

63

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) S=

1 1 1 (S(o) - S(I) - S(k)) = (625 π - 25 π - 400 π ) = .200 π = 100 π ≈ 314 (cm2) 2 2 2

N

-----------------------Hết--------------------------

10 00

=> ∠BID = 900 (vì là hai góc kề bù);

I 1

DE ⊥ AB tại M => ∠BMD = 900

A

2

0

/

/ O

M

2

B

1

O'

C

Ó

=> ∠BID + ∠BMD = 180 mà đây là hai

A

3

1

-L

Ý

-H

góc đối của tứ giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp.

1

E

ÁN

2). Theo giả thiết M là trung điểm của AB DE ⊥ AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đường kính và dây cung)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

đường tròn)

D

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1). ∠BIC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

Lời giải bài 56:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

Bài 56: Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD. Chứng minh rằng: 1). Tứ giác BMDI nội tiếp .

2). Tứ giác ADBE là hình thoi.

3). BI // AD. 4). Ba điểm I, B, E thẳng hàng.

5). MI là tiếp tuyến của (O’).

Đ

ÀN

=> Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

D

IỄ N

3). ∠ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AD ⊥ DC; theo trên BI ⊥ DC => BI // AD. (1)

4). Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2).

Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đường thẳng song song với AD mà thôi.) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

64

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 5). I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông tại I => IM là trung tuyến (vì M là trung điểm của DE) =>MI = ME => ∆MIE cân tại M => ∠I1 = ∠E1;

N

∆O’IC cân tại O’ (vì O’C và O’I cùng là bán kính) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 .

TO

ÁN

-L

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ý

-H

Lời giải bài 57: 1). (HD) OI = OB – IB => (I) tiếp xúc (O) OK = OC – KC => (K) tiếp xúc (O) A IK = IH + KH => (I) tiếp xúc (K) F 2). Ta có: ∠ BEH = 900 (nội tiếp chắn nửa G 1 2 E đường tròn) 1 2 B => ∠ AEH = 900 (vì là hai góc kề bù). (1).

H K I O 0 ∠ CFH = 90 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠ AFH = 900 (vì là hai góc kề bù). (2) ∠ BAC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn D hay ∠ EAF = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông).

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Bài 57: Cho đường tròn (O) đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 1). Xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).

2). Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?.

3). Chứng minh AE. AB = AF. AC. 4). Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

5). Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Đ ẠO

=> MI là tiếp tuyến của (O’).

-----------------------Hết--------------------------

C

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Y

Mà ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I tại I

N

H

Ơ

=> ∠I3 = ∠C1 mà ∠C1 = ∠E1 (cùng phụ với góc EDC)

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

65

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 3). Theo giả thiết AD ⊥ BC tại H nên ∆AHB vuông tại H có HE ⊥ AB ( ∠ BEH = 900) => AH2 = AE.AB (*)

N

Tam giác AHC vuông tại H có HF ⊥ AC (theo trên ∠ CFH = 900)

G

=> ∠ F1 + ∠ F2 = ∠ KFE = 900 => KF ⊥EF .

H Ư

N

Chứng minh tương tự ta cũng có IE ⊥ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường

TR ẦN

tròn (I) và (K).

5). Theo chứng minh trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật => EF = AH ≤ OA (OA là bán kính đường tròn (O) có độ dài không đổi)

-H

Ó

A

10 00

B

nên EF = OA <=> AH = OA <=> H trùng với O. Vậy khi H trùng với O túc là dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Ý

Bài 58: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D ≠ B). a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh ∠ ADE = ∠ ACO. c) Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

=> ∠ F1 + ∠ F2 = ∠ H1 + ∠ H2 mà ∠ H1 + ∠ H2 = ∠ AHC = 900

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

∆KFH cân tại K (vì có KF và KH cùng là bán kính) => ∠ F2 = ∠ H2.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

∆GFH cân tại G => ∠ F1 = ∠ H1 .

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

=> AH2 = AF.AC (**) Từ (*) và (**) => AE. AB = AF. AC ( = AH2) 4). Theo chứng minh trên tứ giác AFHE là hình chữ nhật, gọi G là giao điểm của hai đường chéo AH và EF ta có GF = GH (tính chất đường chéo hình chữ nhật) =>

Lời giải bài 58: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

66

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TO

ÁN

Bài 59: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D. a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh ∆ ANB đồng dạng với ∆ CMD. c) Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM. Chứng minh IK //AB.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

-L

Ý

-H

Ó

A

IC IH BI = = (6).

MN MA BM Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH. -----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) a) Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: ∠ MAO = ∠ MCO = 900 x N ⇒ AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO. C ∠ ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) M D 0 nên ∠ ADM = 90 (1) I E Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp A B H O tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC nên ∠ AEM = 900 (2).

Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA. b) Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: nên ∠ ADE = ∠ AME = ∠ AMO (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (3) Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra: ∠ AMO = ∠ ACO (góc nội tiếp cùng chắn cung AO) (4). Từ (3) và (4) suy ra ∠ ADE = ∠ ACO c) Tia BC cắt Ax tại N. Ta có ∠ ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠ ACN = 900, suy ra tam giác ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5).

Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

67

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó -H

TO

ÁN

-L

Ý

Bài 60: Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) . Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) . Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lượt tại C và D. 1) Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp được.

2) Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy ra

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

Lời giải bài 59: a) Tứ giác ACNM có: ∠ MNC = 900 (gt), y x 0 ∠ MAC = 90 ( tính chất tiếp tuyến).

D ⇒ ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn N C đường kính MC. Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD. K I b) ∆ ANB và ∆ CMD có: O B ∠ ABN = ∠ CDM (do tứ giác BDNM nội M A tiếp) ∠ BAN = ∠ DCM (do tứ giác ACNM nội ∆ CMD (g.g) tiếp) ⇒ ∆ ANB ∆ CMD ⇒ ∠ CMD = ∠ ANB = 900 (do ∠ ANB là góc nội tiếp chắn c) ∆ ANB nửa đường tròn (O)).

Suy ra ∠ IMK = ∠ INK = 900 ⇒ IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK ⇒ ∠ IKN = ∠ IMN (1).

Tứ giác ACNM nội tiếp ⇒ ∠ IMN = ∠ NAC (góc nội tiếp cùng chắn cung NC) (2).

Lại có: ⇒ ∠ NAC = ∠ ABN (cùng chắn cung nhỏ AN) (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra ⇒ ∠ IKN = ∠ ABN IK // AB (đpcm).

-----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

CN DN = .

CG DG

3) Đặt góc BOD = α . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và α .

Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc R, không phụ thuộc α .

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

68

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N Y U .Q TP

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Bài 61: Cho ∆ PQR có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao QM, RN của tam giác cắt nhau tại H. 1) Chứng minh tứ giác QRMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.

2) Kéo dài PO cắt đường tròn O tại K. Chứng minh tứ giác QHRK là hình bình hành.

3) Cho cạnh QR cố định, P thay đổi trên cung lớn QR sao cho ∆ PQR luôn nhọn. Xác định vị trí điểm P để diện tích ∆ QRH lớn nhất.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO G N H Ư

Ó

A

10 00

B

3) Góc BOD = α = > BD = R.tan α ; AC = R.tan(90o – α ) = R cot α = > BD.AC = R2. Chứng tỏ tích AC.BD chỉ phụ thuộc R, không phụ thuộc α .

-----------------------Hết--------------------------

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

CN BD DN = = CG AC DG

∆ GAC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

⇒

TR ẦN

Lời giải bài 60: 1) Tứ giác BDNO nội tiếp được.

Vì BD ⊥ OB (t/c của tiếp tuyến) => góc OBD = 900 => B nằm trên đường tròn đường kính OD. Tương tự DN ⊥ ON (t/c của tiếp tuyến) => OND = 900 => N nằm trên đường tròn đường kính OD. Do đó B, D cùng nằm trên đường tròn đường kính OD. Vậy tứ giác OBND nội tiếp.

2) BD ⊥ AG; AC ⊥ AG = > BD//AC = > ∆ GBD

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

Lời giải bài 61:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

69

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TO

ÁN

-L

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ý

-H

Ó

Bài 62: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn (B, C là hai tiếp điểm; D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của AO và BC. a) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng AH.AO = AD.AE c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K. Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt tia AB tại P và cắt tia AC tại Q.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

A

10 00

B

TR ẦN

1 Từ K kẻ KI ⊥ QR. Ta có: SQKR = KI.QR 2 Diện tích ∆ QKR lớn nhất khi KI lớn nhất < = > K là điểm chính giữa của cung nhỏ QR. Khi đó P là điểm chính giữa của cung lớn QR. -----------------------Hết--------------------------

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

3). Theo câu 2, tứ giác QHRK là hình bình hành nên: SQHR = SQKR

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1). Tứ giác QRMN có: Q ∠ QNR = ∠ QMR = 900 Tứ giác QRMN nội tiếp đường tròn đường kính K QR. N O H 0 2). Ta có: ∠ PQK = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) P R M suy ra:PQ ⊥ KQ, mà RH ⊥ PQ = > KQ//RH (1) Chứng minh tương tự ta cũng có: QH//KR (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác QHRK là hình bình hành.

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

D

IỄ N

Chứng minh rằng IP + KQ ≥ PQ

Lời giải bài 62: a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên góc ABO = góc ACO = 900. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

70

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Suy ra góc ABO + góc ACO = 1800. Vậy tứ giác ABOC nội tiếp. b) Ta có ∆ ABO vuông tại B có đường cao BH, ta có : AH.AO = AB2 (1)

N Ơ H N Y E

Đ ẠO

1

1

3

H

K

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

G

D

O 2

1

2

1

C

Q

⇔ IP + KQ ≥ PQ .

-H

Ó

2

A

10 00

B

PQ 2 ⇒ IP.KQ = OP.OQ = hay PQ2 = 4.IP.KQ 4 Mặt khác ta có: 4.IP.KQ ≤ (IP + KQ)2 (Vì (IP - KQ) 2 ≥ 0 ) Vậy PQ 2 ≤ (IP + KQ )

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

B I

TR ẦN

IP OQ = OP KQ

Từ đó suy ra

P

N

Từ (1), (2) suy ra: AH.AO = AD.AE ∆ OIP và c) Xét tam giác ∆ KOQ. Ta có góc P = góc Q (Vì ∆ APQ cân tại A) Do đó 2. I1 = 1800 – BOD = ODQ + BOP = 2(O1 + O2) = 2 KOQ hay góc OIP = KOQ ∆ KOQ (g.g) Do đó ∆ OIP

AB AE ⇒ AB2 = AD.AE (2) = AD AB

H Ư

∆ AEB (g.g) ⇒

-L

Ý

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

Bài 63: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D (D ≠ A, D ≠ C). Đường tròn (O) Đường kính DC cắt BC tại E (E ≠ C).

1) Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp.

2) Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Chứng minh ED là tia phân giác của góc AEI.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Lại có ∆ ABD

3) Giả sử tan ABC = 2 . Tìm vị trí của D trên AC để EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DC.

Lời giải bài 63: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

71

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

1

H Ư

E

TR ẦN

1

A

1

D

C

O

10 00

I

-H

Ó

A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO G

B

B

Góc DEI = góc DCI (góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung DI) Tứ giác ABCI nội tiếp đường tròn đường kính BC = > góc B1 = góc DCI (cùng chắn cung AI).

Suy ra góc E1 = góc DEI .

Vậy ED là tia phân giác của góc AEI

ÁN

-L

Ý

3) Để EA là tiếp tuyến của đường tròn, đường kính CD thì góc E1 = góc C1 (1) Mà tứ giác ABED nội tiếp nên góc E1 = góc B1 (2) Từ (1) và (2) = > góc C1 = góc B1 . Ta lại có góc BAD chung nên

TO

AB AD AB2 2 ∆ ACB ⇒ ⇒ ∆ ABD = ⇒ AB = AC.AD ⇒ AD = (*) AC AB AC AC AB 1 Theo bài ra ta có: tan (ABC) = = 2 => = (**) AB AC 2

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1) Ta có góc DEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính DC) => góc DEB = 900 (kề bù với góc DEC) => E nằm trên đường tròn đường kính BD. Mặt khác góc BAD = 900 (gt) => A nằm trên đường tròn đường kính BD. Do đó E, A cùng nằm trên đường tròn đường kính BD hay tứ giác ABED nội tiếp đường tròn đường kính BD. 2) Theo câu 1) tứ giác ABED nội tiếp đường tròn đường kính BD = > góc E1 = góc B1 (cùng chắn cung AD)

D

IỄ N

Từ (*) và (**) ⇒ AD = Vậy AD =

AB 2

AB thì EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD 2

-----------------------Hết-------------------------https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

72

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

A

Ó

-H

Ý

-L

ÁN

TO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

M

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Lời giải bài 64: 1) Chứng minh tứ giác MCOD T D nội tiếp trong một đường tròn d E K MC là tiếp tuyến của (O) F => OC ⊥ MC = góc MCO = 900 O => C nằm trên đường tròn đường kính OM. MD là tiếp tuyến của (O) C => OD ⊥ MD = góc MDO = 900 R => D nằm trên đường tròn đường kính OM. => C, D nằm trên đường tròn đường kính OM => Tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn.

2) Chứng minh KM là phân giác của góc CKD Ta có K là trung điểm của EF => OK ⊥ EF => góc MLO = 900 => K thuộc đường tròn đường kính MO => 5 điểm D; M; C; K; O cùng thuộc đường tròn đường kính MO => góc DKM = góc DOM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD) Góc CKM = góc COM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC) Lại có góc DOM = góc COM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) => góc DKM = góc CKM => KM là phân giác của góc CKD

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

Bài 64: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại 2 điểm E, F. Lấy điểm M bất kì trên tia đối FE, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn.

2) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh KM là phân giác của góc CKD. 3) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với MO cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại R, T. Tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất.

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

73

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 3) Tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất Ta có: S MRT = 2S MOR = OC.MR = R. (MC + CR) ≥ 2R CM.CR

N

Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMR ta có:

H

Ơ

CM.CR = OC2 = R2 không đổi => SMRT ≥ 2R2

N

Dấu = xảy ra ⇔ CM = CR = R 2 .

TP

giác MRT nhỏ nhất.

-L

Ý

-H

d). Chứng minh: PE + QF ≥ PQ .

ÁN

Lời giải bài 65 a) Ta có: ∠ CAO = 900 (CA là tt của (O)) ∠ CBO = 900 (CB là tt của (O)) = > ∠ CAO + ∠ CBO = 1800 = > AOBC là tứ giác nội tiếp b) Ta có: ∆ CAO vuông tại A, AH ⊥ CO suy ra CA2 = CH.CO (2) Xét ∆ CAM và ∆ CAN có: ∠ CAM = ∠ CNA; ∠ C chung ∆ CAN; = > ∆ CAM

N

E

TO

Đ IỄ N D

P A

M C

H

O

F

B

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Bài 65: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm C nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến CA, CB và cát tuyến CMN với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm, M nằm giữa C và N). Gọi H là giao điểm của CO và AB. a). Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp b). Chứng minh CH.CO =CM.CN c). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt CA, CB theo thứ tự tại E và F. Đường vuông góc với CO tại O cắt CA, CB theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh ∠ POE = ∠ OFQ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

-----------------------Hết--------------------------

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R 2 thì diện tích tam

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

Khi đó M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R 2 .

Q

74

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

CM CA = => CM.CN = CA 2 (3) CA CN Từ (2) và (3) suy ra: CH.CO =CM.CN

N

H

Ơ

N

=>

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

H Ư

TR ẦN

10 00

B

d) +) Áp dụng BĐT Cô si: PE + QF ≥ 2 PE.QF

(4)

+) ∆ CPQ cân tại C = > ∠ OPE = ∠ FQO và ∠ POE = ∠ OFQ PE PO  PQ  = => PE.QF = PO.QO =   QO QF  2 

2

A

∆ QOF

=>

(5)

-H

Ó

suy ra ∆ PEO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

.Q

U

1 ∠ AOM 2 1 1 = ∠ AOP + (1800 - ∠ AEM) = ∠ AOP + 900 - ( ∠ ECF + ∠ CFE) 2 2 1 1 = ∠ AOP + 900 - (1800 - ∠ AOB) - (1800 - ∠ MFB) 2 2 1 1 = ∠ AOP + ∠ AOB) - (1800 - 1800 + ∠ MOB) 2 2 = ∠ AOP + ∠ COB - ∠ BOF = ∠ AOP + ∠ COF (**) Từ (*) và (**) suy ra ∠ POE = ∠ OFQ Mà ∠ POE = ∠ POA + ∠ AOE = ∠ AOP +

Ý

Từ (4) và (5) suy ra: PE + QF ≥ PQ

ÁN

-L

-----------------------Hết--------------------------

TO

Bài 66: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Dây BC = R. Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn. Tia AC cắt Bx tại M. Gọi E là trung điểm của AC. 1) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn.

2) Gọi I là giao điểm của BE với OM. Chứng minh: IB.IE = IM.IO.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Y

c) Ta có: ∠ OFQ = ∠ OCF + ∠ COF = ∠ OCP + ∠ COF = ∠ AOP + ∠ COF (*)

Lời giải bài 66:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

75

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

ÁN

-L

Ý

f b

c o2

h

o1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ó

-H

e o

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

a

A

Lời giải bài 67 1) Từ giả thiết suy ra ∠ CFH = 900, ∠ HEB= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong tứ giác AFHE có: ∠ A = ∠ F = ∠ E = 900 = > AFHE là hình chữ nhật.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Bài 67: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh: 1) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

2) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

3) EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1) Ta có E là trung điểm của AC ⇒ OE ⊥ AC hay ∠ OEM = 900.

Ta có Bx ⊥ AB => ∠ ABx = 900 nên tứ B O giác CBME nội tiếp.

I A 2) Vì tứ giác OEMB nội tiếp E ⇒ ∠ OMB = ∠ OEB (cung chắn OB), C M ∠ EOM = ∠ EBM (cùng chắn cung EM) x ∆ MIB (g.g) => ∆ EIO ⇒ IB.IE = M.IO -----------------------Hết--------------------------

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đ

ÀN

2) Vì AEHF là hình chữ nhật ⇒ AEHF nội tiếp ⇒ ∠ AFE = ∠ AHE (góc nội tiếp chắn cung AE) (1)

D

IỄ N

Ta lại có ∠ AHE = ∠ ABH (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (2) Từ (1) và (2) ⇒ ∠ AFE = ∠ ABH mà ∠ CFE + ∠ AFE = 1800 ⇒ ∠ CFE + ∠ ABH = 1800. Vậy tứ giác BEFC nội tiếp.

3) Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn đường kính HB và đường kính HC. Gọi O là giao điểm AH và EF. Vì AFHE là hình chữ nhật.

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

76

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1

C 4

TO

3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

Lời giải bài 68 1) Theo giả thiết ta có: ∠ B1 = ∠ B2 = ∠ B3 = ∠ B4 A Mà ∠ B1 + ∠ B2 + ∠ B3 + ∠ B4 = 1800. => ∠ B2 + ∠ B3 = 900.

Tương tự ∠ C2 + ∠ C3 = 900.

I Xét tứ giác BICK có ∠ B + ∠ C = 1800.

1 H B 2 ⇒ 4 điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O 3 4 đường kính IK. O 2) Nối CK ta có OI = OC = OK (vì ∆ICK vuông tại C) ⇒ ∆ IOC cân tại O ⇒ ∠ OIC = ∠ ICO (1) K Ta lại có ∠ C1 = ∠ C2 (gt).

Gọi H là giao điểm của AI với BC. Ta có AH ⊥ BC. (Vì ∆ ABC cân tại A).

Trong ∆ IHC có ∠ HIC + ∠ ICH = 900 = > ∠ OCI + ∠ ICA = 900 Hay ∠ ACO = 900 hay AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP TR ẦN

H Ư

N

G

Đ ẠO

Bài 68: Cho ∆ ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK. 1) Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O. 2) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).

3) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) = > OF = OH = > ∆ FOH cân tại O => ∠ OFH = ∠ OHF. Vì ∆ CFH vuông tại F ⇒ O2C = O2F = O2H ⇒ ∆ HO2F cân tại O2. ⇒ ∠ O2FH = ∠ O2HF mà ∠ O2HF + ∠ FHA = 900 = > ∠ O2FH + ∠ HFO = 900 Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O2.

Chứng minh tương tự EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O1.

Vậy EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn.

-----------------------Hết--------------------------

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

77

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

Ơ

⇒ (16 - IH) . 3 = 5 . IH ⇒ IH = 6

H N Y

H Ư

thẳng OA cắt (O), (O′) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O′)

B

TR ẦN

lần lượt tại điểm thứ hai E, F. 1). Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. 2). Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.

10 00

3). Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O′) (P ∈ (O), Q ∈ (O′) ).

Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.

-H

Ó

A

Lời giải bài 69 1). Ta có: Góc ABC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ABF = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B, C, F thẳng hàng.. AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy.

2). Do ∠ IEF = ∠ IBF = 900 suy ra BEIF nội tiếp đường tròn.

3). Gọi H là giao điểm của AB và PQ Ta chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng

ÁN

-L

Ý

I

TO

E D

A

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

Bài 69: Cho 2 đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

-----------------------Hết--------------------------

TP

Trong tam giác vuông ICK có: IC2 = IH . IK => IK = IC2 : IH = 180 : 6 = 30; OI = OK= OC = 15 (cm)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Trong tam giác vuông ICH có IC2 = IH2 + HC2 = 62 + 122 = 180

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

IA AC AH − IH AC 20 5 = => = = = IH CH IH CH 12 3

N

3) Ta có BH = CH = 12 (cm).

Trong tam giác vuông ACH có AH2 = AC2 - CH2 = 202 - 122 = 256 ⇒ AH = 16 Trong tam giác ACH, CI là phân giác góc C ta có:

O'

D

IỄ N

Đ

O

B Q P

H

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

F

C

78

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) ⇒

N

= > HP2 = HA.HB

Y

N

H

Ơ

Tương tự, HQ2 = HA.HB. Vậy HP = HQ hay H là trung điểm PQ .-----------------------Hết--------------------------

1 sđ DC. 2 Hai tam giác cân ∆ ABC và ∆ KCD có các góc đáy

-H

Ó

A

K. ∠ DBC = ∠ DCK =

D

ÁN

-L

Ý

bằng nhau => ∠ DAC = ∠ DKC. Hai góc DAC, DKC nằm ở cùng một nửa mp bờ CD, cùng nhìn đoạn CD dưới 1 góc bằng nhau

O B

C

=> Tứ giác ADCK nội tiếp.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

K

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

B

Lời giải bài 70: a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp.

Ta có: KD = KC (t/c tiếp tuyến) => ∆ KCD cân đỉnh

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Bài 70: Cho ∆ ABC cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, (D không trùng với A, B). Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K . a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp. b) Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao? c) Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành.

ÀN

b) Theo câu a), tứ giác ADCK nội tiếp

Đ

1 sđ KC. 2 => ∠ KAC = ∠ KDC = ∠ KCD = ∠ ABC = ∠ ACB => AK // BC => Tứ giác ABCK là hình thang.

D

IỄ N

=> ∠ KAC = ∠ KDC =

c) Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành.

Theo câu b, tứ giác ABCK là hình thang. Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

79

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) ⇔ AB // CK ⇔ ∠ BAC = ∠ ACK.

Gọi E là giao điểm của AC và (O) Tam giác ABC cân (AB = AC) => BD = CE 1 1 sđ EC = sđ BD = ∠ DCB. Nên ∠ BCD = ∠ BAC 2 2 Dựng tia Cy sao cho ∠ BCy = ∠ BAC. Khi đó, D là giao điểm của AB và Cy. Với giả thiết AB > BC nên góc BCA > góc BAC = BCD , suy ra D ∈ AB.

N Ơ H N

Y

sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

10 00

B

TR ẦN

1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .

2) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC. 3) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

-H

Ó

A

Lời giải bài 71: 1). Theo giả thiết MN ⊥ AB tại I ; ∠ ACB = 900 hay ∠ ECB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) = > ∠ EIB + ∠ ECB = 1800. mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp.

2). Theo giả thiêt MN ⊥ AB, suy ra A là điểm chính giữa của cung MN nên ∠ AMN = ∠ ACM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ∠ AME = ∠ ACM, lại có ∠ CAM là góc chung do đó ∆ AME đồng dạng với ∆ ACM

TO

ÁN

-L

Ý

M

O1 E A

I

O

C

B

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

2 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN 3

H Ư

AI =

G

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

Bài 71:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

U

Vậy điểm D xác định như trên là điểm cần tìm.

-----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có: ∠ ACK =

N

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

80

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) =>

AM AE = AC AM

⇒ AM2 = AE.AC.

TO

C

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

E

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Lời giải bài 72: 1) Ta có: ∠ DBO = ∠ DMO = 900 (gt) A => 2 điểm B, M thuộc đường tròn đường kính DO => đpcm 2) Chứng minh tương tự có 4 điểm O, C, E, M cùng thuộc một đường tròn M B => ∠ MEO = ∠ MCO (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MO) O D ∠ MBO = ∠ MDO (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MO) Mà ∠ MBO = ∠ MCO (vì ∆ BOC cân tại O) => ∠ MEO = ∠ MDO => ∆ DOE cân tại O Mà MO ⊥ DE nên MD = ME (đpcm) -----------------------Hết--------------------------

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

10 00

B

TR ẦN

H Ư

Bài 72: Cho ∆ ABC cân tại A. Vẽ đường tròn (O; R) tiếp xúc với AB, AC tại B, C. Đường thẳng qua điểm M trên BC vuông góc với OM cắt tia AB, AC tại D, E. 1) Chứng minh 4 điểm O, B, D, M cùng thuộc một đường tròn.

2) MD = ME.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

3). Theo trên ∠ AMN = ∠ ACM = > AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ ECM. Nối MB ta có ∠ AMB = 900, do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp ∆ ECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM = > NO1 ⊥ BM. Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ECM có bán kính là O1M. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ECM là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn (O1), bán kính O1M với đường tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM. -----------------------Hết--------------------------

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

81

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Ý

-H

K

x

B'

Đ

ÀN

A

C'

IỄ N

OA ⊥ Ax => OA ⊥ B’C’.

Do đó SAB’OC’ =

1 1 . OA. B’C’ = = . R. B’C’ 2 2

Tương tự: SBA’OC’ =

B

H

O C

A' M

1 1 R.A’C’; SCB’OA’ = R.A’B’ 2 2

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

B

10 00

C

Ó

A

O

ÁN

c) Kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O) tại A, ta có: Ta có ∠ BC’C = ∠ BB’C = 900 => tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn => ∠ AC’B’ = ∠ ACB mà ∠ ACB = ∠ BAx => Ax // B’C’ ;

D

B'

M

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

TR ẦN

H Ư

N

Lời giải bài 73: a) Ta có ∠ ACK = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), Nên CK ⊥ AC mà BH ⊥ AC (H trực A tâm) => CK // BH; Tương tự có CH // BK => Tứ giác BHCK là hbh (đpcm) C' H b) OM ⊥ BC => M trung điểm của BC (định lý đường kính và dây cung) B A' => M là trung điểm của HK (vì BHCK là hình bình hành) => đpcm ∆ AHK có OM là đường trung bình => AH = 2.OM

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

Bài 73: Cho ∆ ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK. a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành. b) Vẽ OM ⊥ BC (M ∈ BC). Ch ứng minh H, M, K th ẳng hàng và AH = 2.OM. c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB của ∆ ABC. Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn nhất.

K

82

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) S ∆ABC =

1 1 1 R(A’B’ + B’C’ + C’A’) = AA’ . BC ≤ (AO + OM). BC 2 2 2

=> A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn nhất khi A, O, M thẳng hàng.

N

H

Ơ

N

<=> A là đỉểm chính giữa cung lớn BC. -----------------------Hết--------------------------

C

-L

Ý

(vì 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung); M

ÁN

1 ∠ AEB = ∠ BMD= ( sđ cung BD) (vì 2 góc nội 2

TO

tiếp cùng chắn 1 cung) Do đó ∠ AFB = ∠ BMD => AF // DM mà FA ⊥ AC => DM ⊥ AC

Đ IỄ N

∆ ABD

∆ ECB (g.g) => ∆ AEC (g.g) =>

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

-H

O

A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

10 00

E D

A

Ó

1 2

b) Ta có: ∠ AFB = ∠ AEB = ( sđ cung AB)

c) ∆ ACF

D

F

B

Lời giải bài 74: a) ∠ FAB= 900 (vì AF ⊥ AB) ; ∠ BEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠ BEF= 900. Do đó ∠ FAB + ∠ BEF = 1800 Vậy tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

Bài 74: Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua (O) cắt đường tròn (O) tại D; E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F. a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn. b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với (O), chứng minh DM ⊥ AC. c) Chứng minh: CE . CF + AD . AE = AC2.

AC CF = => CE.CF = AC.BC (1) CE BC

AB AD = => AD.AE = AC.AB AE AC

(2)

(1), (2) => AD.AE + CE.CF = AC(AB + BC) = AC2 (đpcm) -----------------------Hết-------------------------https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

83

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

N

H Ư

TR ẦN

B

F

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

Lời giải bài 75: 1) Chứng minh ∆ ABD cân D Xét ∆ ABD có BC ⊥ DA và CA = CD nên BC vừa là đường cao vừa là trung tuyến của nó.

C Vậy ∆ ABD cân tại B 2) Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm A O B trên một đường thẳng.

Vì ∠ CAE = 900, nên CE là đường kính của (O).

E Ta có CO là đường trung bình của tam giác ABD Suy ra BD // CO hay BD // CE (1) Tương tự CE là đường trung bình của tam giác ADF. Suy ra DF // CE (2). Từ (1) và (2) suy ra D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.

3) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O).

ÁN

Tam giác ADF vuông tại A và theo tính chất của đường trung bình DB = CE = BF ⇒

TO

B là trung điểm của DF. Do đó đường tròn qua ba điểm A, D, F nhận B làm tâm và AB làm bán kính. Hơn nữa, vì OB = AB - OA nên đường tròn đi qua ba điểm A, D, F

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Bài 75: Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AC. 1) Chứng minh tam giác ABD cân.

2) Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E (E ≠ A). Tên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = AE. Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.

3) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O).

D

IỄ N

Đ

tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A. -----------------------Hết--------------------------

Bài 76: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

84

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).

1) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2) MA2 = MD.MB

N

H

3) Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung

E

A

I

H

O

B

2) Xét ∆ MAB vuông tại A có AD ⊥ MB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ thức lượng trong

A

10 00

B

tam giác vuông) 3) Kéo dài BC cắt Ax tại N, ta có ∠ ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) = > ∠ ACN = 900, suy ra ∆ ACN vuông tại C.

(6) với I là giao điểm của CH và MB.

-L

IC IH BI = = MN MA BM

Ý

-H

Ó

Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5).

Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì

TO

ÁN

Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.

-----------------------Hết--------------------------

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

D

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

M

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP C

G

N

Đ ẠO

x

H Ư

Lời giải bài 76: 1) ∠ ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) = > ∠ ADM = 900 (1) Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC = > ∠ AEM = 900 (2).

Từ (1) và (2) suy ra MDEA là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

điểm của CH.

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

85

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G N H Ư

B

A

E I H

O

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP Đ ẠO

C

TR ẦN

Lời giải bài 77: 1) Tứ giác ABEH có: ∠ B = 900 (góc nội tiếp trong nửa đường tròn); ∠ H = 900 (giả thiết) nên tứ giác ABEH nội tiếp được.

Tương tự, tứ giác DCHE có ∠ C = ∠ H = 900, nên nội tiếp được.

D

10 00

B

2) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta có: ∠ EBH = ∠ EAH (cùng chắn cung EH)

-H

Ó

A

Trong (O) ta có: ∠ EAH = ∠ CAD = ∠ CBD (cùng chắn cung CD).

ÁN

-L

Ý

Suy ra: ∠ EBH = ∠ EBC, nên BE là tia phân giác của góc HBC. Tương tự, ta có: ∠ ECH = ∠ BDA = ∠ BCE, nên CE là tia phân giác của góc BCH. Vậy E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH. 3) Ta có I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ECD,

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Bài 77: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính AD, tâm O. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: 1) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được đường tròn.

2) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH. 2) Năm điểm B, C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn.

D

IỄ N

Đ

ÀN

nên ∠ BIC = 2. ∠ EDC (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung EC).

Mà ∠ EDC = ∠ EHC, suy ra ∠ BIC = ∠ BHC. + Trong (O), ∠ BOC = 2. ∠ BDC = ∠ BHC (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC). + Suy ra: H, O, I ở trên cung chứa góc BHC dựng trên đoạn BC, hay 5 điểm B, C, H,

O, I cùng nằm trên một đường tròn.

-----------------------Hết-------------------------https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

86

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Bài 78: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp

Ơ

N

tuyến chung DE của hai đường tròn với D ∈ (O) và E ∈ (O’) sao cho B gần tiếp tuyến

O'

-H

Ý

ME MA = MB ME

ÁN

=>

∆ AME

-L

∆ EMB

A

TO

hay ME2 = MA . MB. Từ đó: MD = ME hay M là trung điểm của DE. 3) Ta có ∠ DAB = ∠ BDM; ∠ EAB = ∠ BEM;

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Q

O

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N B P

Ó

Hay MD2 = MA . MB. Tương tự ta cũng có:

E

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

MD MA => = MB MD

M

10 00

∆AMD

A

nên ∆ DMB

D

B

có: ∠ DMA chung, ∠ DAM = ∠ BDM

H Ư

và dây cung).

Suy ra ∠ DAB = ∠ BDE. 2) Xét hai tam giác DMB và AMD

G

1 1 sđ DB (góc nội tiếp) và ∠ BDE = sđ BD (góc giữa tiếp tuyến 2 2

TR ẦN

1) Ta có ∠ DAB =

Đ ẠO

Lời giải bài 78:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

đó hơn so với A. 1) Chứng minh rằng ∠ DAB = ∠ BDE. 2) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh M là trung điểm của DE. 3) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng minh rằng PQ song song với AB.

Đ

⇒ ∠ PAQ + ∠ PBQ = ∠ DAB + ∠ EAB + ∠ PBQ = ∠ BDM +BEM + ∠ DBE = 1800.

D

IỄ N

⇒ tứ giác APBQ nội tiếp ⇒ ∠ PQB = ∠ PAB .

Kết hợp với ∠ PAB = ∠ BDM suy ra ∠ PQB = ∠ BDM. Hai góc này ở vị trí so le trong nên PQ song song với AB. -----------------------Hết-------------------------https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

87

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

N

H Ư

TR ẦN

∆ BCK (g.g) =>

AI AC = BC BK

=> AI.BK = AC.BC

10 00

B

=> ∆ AIC

y x

K

Ý

P

-L

chắn cung PC).

Suy ra

-H

Ó

A

3) Ta có: ∠ PAC = ∠ PIC (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung PC ) ∠ PBC = ∠ PKC (vì 2 góc nội tiếp cùng

I

0

ÁN

∠ PAC + ∠ PBC = ∠ PIC + ∠ PKC = 90 (vì ∆ ICK vuông tại C)

=> ∠ APB = 900 .

C

B

D

IỄ N

Đ

ÀN

A

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

Lời giải bài 79: 1) Ta có ∠ IPC = 900 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠ CPK = 900.

Xét tứ giác CPKB có: góc P + góc B = 900 + 900 = 1800 => CPKB là tứ giác nội tiếp đường tròn (đpcm) 2) Xét ∆ AIC và ∆ BCK có góc A = góc B = 900; ∠ ACI = ∠ BKC (2 góc có cạnh tương ứng vuông góc)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

Bài 79: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mp bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K . Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. 1) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh rằng AI.BK = AC.BC. 3) Tính ∠ APB.

-----------------------Hết--------------------------

Bài 80: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

88

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) tuyến Ax, By. Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By lần lượt tại P và Q; AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F. a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn.

Y F C

B

O

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

Q

TO

ÁN

-L

Ý

Bài 81: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A. Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H và cắt đường tròn tại K (K ≠ T). Đặt OB = R. Chứng minh rằng : a) OH.OA = R2. b) TB là phân giác của góc ATH. c) Từ B vẽ đường thẳng song song với TC. Gọi D, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng vừa vẽ với TK và TA. Chứng minh rằng ∆ TED cân.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

M

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Đ ẠO

Lời giải bài 80: x a). Ta có ∠ PAC = 900; ∠ PAC + ∠ PMC = 1800; P nên tứ giác APMC nội tiếp b) Do tứ giác APMC nội tiếp nên ∠ MPC + ∠ MAC (1) Dễ thấy tứ giác BCMQ nội tiếp = > ∠ MQC = ∠ MBC (2) E 0 Lại có ∠ MAC + ∠ MBC = 90 (3).

A Từ (1), (2), (3) ta có: ∠ MPC + ∠ MBC = 900 = > ∠ PCQ = 900; c) Ta có ∠ BMQ = ∠ BCQ (Tứ giác BCMQ nội tiếp); ∠ BMQ = ∠ AMC (cùng phụ với BMC) ; ∠ EMC = ∠ EFC (Tứ giác CEMF nội tiếp).

Nên ∠ BCQ = ∠ EFC hay AB // EF -----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

N

b) Chứng minh ∠ PCQ = 900. c) Chứng minh AB // EF.

d) Chứng minh

HB AB = HC AC

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

89

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

N Y

e

c

Đ ẠO

ứng vuông góc).

Từ (1) và (2) suy ra:

(2);

HB AB = HC AC

TR ẦN

BE AB = TC AC

(1);

B

BE // TC nên

HB BD BE = = (vì BD = BE) HC TC TC

10 00

d) BD // TC nên

-H

Ó

A

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Ý

Bài 82: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) tại điểm thứ hai là M. a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC. b) Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD. c) Chứng minh: OK . OS = R2.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

H Ư

đường phân giác nên ∆ TED cân tại T.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

k

= > ∠ATB = ∠ BTH hay TB là tia phân giác của góc ATH. c) Ta có ED // TC mà TC ⊥ TB nên ED ⊥ TB; ∆ TED có TB vừa là đường cao vừa là

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

d

o

TP

∠BCT = ∠ BTH (góc nhọn có cạnh tương

.Q

b

U

h a

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H

t

b) Ta có ∠ATB = ∠ BCT (cùng chắn cung TB);

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

N

Lời giải bài 81: a) Trong tam giác vuông ATO có: R2 = OT2 = OA.OH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Lời giải bài 82:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

90

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) a) Xét ∆ SBC và ∆ SMA có:

∠BSC = ∠ MSA; ∠SCB = ∠ SAM,

H

Ơ

N

(góc nội tiếp cùng chắn MB). ∆ SMA = > ∆ SBC b) Vì AB ⊥ CD

Y

N

nên cung AC = cung AD.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

H Ư

TR ẦN

c) Vẽ đường kính MN, suy ra cung MB = cung AN. Ta có: ∠ OSM = ∠ ASC =

1 (sđ AC – sđ BM); 2

1 1 sđND = (sđ AD – sđ AN); 2 2

10 00

B

∠ OMK = ∠ NMD =

mà cung AC = cung AD và cung MB = cung AN nên suy ra ∠OSM = ∠ OMK

Ó

A

∆ OMK (g.g) =>

OS OM = OM OK

=> OK.OS = OM2 = R2

-H

= > ∆ OSM

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP Đ ẠO

=> ∠ HMB + ∠ HKB = 1800 (1) Lại có: ∠ HMB = ∠ AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). (2) Từ (1) và (2) suy ra ∠ HKB = 900, do đó HK // CD (cùng vuông góc với AB).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

1 (sđ AD + sđ MB) 2 ⇒ tứ giác BMHK nội tiếp đường tròn (vì cùng bằng

-L

Ý

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

Bài 83: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho: ∠ IEM = 900 (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). a). Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn. b). Tính số đo của góc ∠ IME. c). Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và tia EM. Chứng minh CK ⊥ BN.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Suy ra ∠MHB = ∠ MKB

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

91

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H

N https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

A

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

E

D

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

đảo) = > ∠ BKE = ∠ IME = 450 (2); Lại có ∠ BCE = 450 (do ABCD là hình vuông).

Suy ra ∠ BKE = ∠ BCE = > BKCE là tứ giác nội tiếp.

Suy ra: ∠ BKC + ∠ BEC = 1800 mà ∠ BEC = 900; Suy ra ∠ BKC = 900 hay CK ⊥ BN. -----------------------Hết--------------------------

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U C

Đ ẠO

TP

.Q

M

H Ư

MA MB IA = = . Suy ra IM // BN (định lí Thalet MN MC IB

N

Y

K

G

Lời giải bài 83: a) Tứ giác BIEM có: ∠ IBM = ∠ IEM = 900 (gt); suy ra tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM. b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: ∠ IME = ∠ IBE = 450 (do ABCD là hình vuông). c) ∆EBI và ∆ECM có: B ∠ IBE = ∠ MCE = 450; BE = CE, ∠ BEI = ∠ CEM ( do ∠ IEM = ∠ BEM = 900).

I ⇒ ∆ EBI = ∆ ECM (g-c-g) ⇒ MC = IB; suy ra MB = IA Vì CN // BA nên theo định lí Thalet, ta có:

TO

ÁN

-L

Bài 84: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh rằng: a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) AE.AF = AC2. c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

Lời giải bài 84: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

92

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) a) Tứ giác BEFI có: ∠ BIF = 900 (gt); ∠ BEF = ∠ BEA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ơ

N

Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF b) Vì AB ⊥ CD nên cung AC = cung AD,

N Y B O

D

10 00

B

của đường tròn ngoại tiếp ∆ CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ CEF thuộc CB cố định khi E thay đổi

I

trên cung nhỏ BC.

Ó

A

-----------------------Hết--------------------------

-H

Bài 85:

-L

Ý

Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên

ÁN

cung lớn BC sao cho AC>AB và AC > BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm

TO

của các cặp đường thẳng AB với CD; AD và CE. a) Chứng minh rằng DE// BC b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

A

N

G

F

E

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

C

ra AC là t.tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ CEF (1).

Mặt khác ∠ ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra AC ⊥ CB (2).

Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính

TP

c) Theo câu b) ta có ∠ ACF = ∠ AEC, suy

.Q

= > AE.AF = AC2.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

AC AE = AF AC

Đ ẠO

∆ AEC =>

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Suy ra: ∆ ACF

H

suy ra ∠ ACF = ∠ AEC. Xét ∆ ACF và ∆ AEC có: góc A chung và ∠ ACF = ∠ AEC;

c) Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F Chứng minh hệ thức:

1 1 1 = + CE CQ CF

Lời giải bài 85: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

93

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

N

U

TP Đ ẠO

H Ư

N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Cộng (1) và (2):

Suy ra ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ (1);

DE QE = FC QC

(vì DE// BC)

B

DE CE = (vì DE//PQ) PQ CQ

q

1 1 1 DE DE CE + QE CQ + = = = 1 => + = PQ FC CQ CQ PQ FC DE

10 00

Ta có:

1 sđ DC); 2

TR ẦN

∠ CAQ = ∠ CDE (=

.Q

p

c).Tứ giác APQC nội tiếp nên ta có: 1 sđ CQ) 2

e

d

mặt phẳng bờ AC và cùng nhìn đoạn AC dưới một góc bằng nhau) => tứ giác APQC nội tiếp

∠ CPQ = ∠ CAQ (=

c

F

Y

b

A

Mặt khác: ED = EC (t/c tiếp tuyến) từ (1) suy ra PQ = CQ

(2); (3)

(4)

Ó

1 1 1 = + CE CQ CF

-H

Thay (4) vào (3) ta được :

-L

Ý

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

Bài 86: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn và điểm D nằm trên đoạn OA. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với CD cắt cắt tiếp tuyên Ax, By lần lượt tại M và N. 1) Chứng minh các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp được đường tròn.

2) Chứng mình rằng ∠ MDN = 900.

3) Gọi P là giao điểm của AC và DM, Q là giao điểm của BC và DN. Chứng minh rằng PQ song song với AB.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

o

1 b). Ta có: ∠ APC = sđ (AC - DC) = ∠ AQC. 2 Hai góc ∠ APC và ∠ AQC nằm ở cùng một nửa

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1 1 a). Ta có: ∠ CDE = Sđ DC = Sđ BD = ∠ BCD 2 2 a Mà góc CDE và góc BCD ở vị trí so le trong => DE// BC.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

94

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N Y

TO

ÁN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

-L

Ý

-H

Bài 87: Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB. 1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD. 3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ ẠO

TP

.Q

Lời giải bài 86: 1) Ta có vì Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn nên ∠ MAD = 900.

Mặt khác theo giả thiết ∠ MCD = 900 nên suy ra tứ giác ADCM nội tiếp.

Tương tự, tứ giác BDCN cũng nội tiếp.

2) Theo câu trên vì các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp nên: ∠ DMC = ∠ DAC, ∠ DNC = ∠ DBC. Suy ra: ∠ DMC + ∠ DNC = ∠ DAC + ∠ DBC = 900 Từ đó suy ra ∠ MDN = 900.

3) Vì ∠ ACB = ∠ MDN = 900 nên tứ giác CPDQ nội tiếp.

Do đó ∠ CPQ = ∠ CDQ = ∠ CDN Lại do tứ giác CDBN nội tiếp (theo 1) nên ∠ CDN = ∠ CBN. Hơn nữa ta có ∠ CDN = ∠ CAB, suy ra ∠ CPQ = ∠ CAB hay PQ //AB. -----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

Lời giải bài 87:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

95

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

G

giữa cung nhỏ CD 1 2

H Ư

N

nên DCI = sđ DI = sđ CI = ∠MCI

TR ẦN

⇒ CI là phân giác của ∠ MCD. Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD. 3) Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó được tính:

10 00

B

1 S = 2 S OQM = 2. .OD.QM = R( MD + DQ) .

2

Từ đó S nhỏ nhất ⇔ MD + DQ nhỏ nhất. Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam

A

giác vuông OMQ ta có DM.DQ = OD2 = R2 không đổi nên MD + DQ nhỏ nhất bán kính R 2 .

-H

Ó

⇔ DM = DQ = R. Khi đó OM = R 2 hay M là giao điểm của d với đường tròn tâm O

-L

Ý

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

Bài 88: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh rằng: 1) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn. ∆ MBC 2) ∆ ABD 3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

∠ CMD. Mặt khác I là điểm chính

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Q

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

D

⇒ MI là một đường phân giác của

1 2

.Q

MC = MD ⇒ ∆ MCD cân tại M

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1) Vì H là trung điểm của AB nên P OH ⊥ AB hay ∠ OHM = 900.

C A Theo tính chất của tiếp tuyến ta lại có d H 0 B OD ⊥ DM hay ∠ ODM = 90 .

I M O Suy ra các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

2) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

96

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A Ó

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Bài 89: Cho BC là một dây cung (không phải là đường kính) của đường tròn tâm O, bán kính R > 0. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng qui tại H (D, E, F là các chân đường cao). a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. b) Gọi A’ là trung điểm BC, A1 là trung điểm EF, K là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành và R.AA1 = OA/.AA/ c) Xác định vị trí của A để DE + EF + FD đạt giá trị lớn nhất.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

Lời giải bài 88: 1) Ta có: ∠ AMB= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) D 0 = > ∠ AMD = 90 .

Tứ giác ACMD có M I ∠ AMD = ∠ ACD = 900, suy ra ACMD nội tiếp đường tròn đường K kính AD. 2) ∆ ABD và ∆ MBC có: góc B B A C O E chung và ∠ BAD = ∠ BMC (do ACMD là tứ giác nội tiếp). ∆ MBC (g – g).

Suy ra: ∆ ABD 3) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và ∠ EDC = ∠ BDC. Lại có: ∠ BDC = ∠ CAK (cùng phụ với góc B), suy ra: ∠ EDC = ∠ CAK. Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp. Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AKD thì O’ củng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên O’A = O’E, suy ra O’ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AE cố định.

-----------------------Hết--------------------------

Lời giải bài 89:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

97

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

=>

AE AB = 2OA' 2 R

=>

AA1 OA' = AA' R

Từ (1) và (2) suy ra:

AE OA' = AB R

( 2)

= > R. AA1 = OA’. AA’

10 00

B

c). Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AC, AB Ta có: OB’ ⊥ AC, OC’ ⊥ AB = > OA’, OB’, OC’ lần lượt là đường cao của các tam

-H

Ó

A

giác OBC, OCA, OAB. 2SABC = 2(SOBC + SOCA + SOAB ) = OA’.BC + OB’.AC + OC’.AB Hay: 2SABC = OA’.BC + OB’.AC + OC’.AB

-L

Ý

Theo phần b) suy ra: OA' = R.

AA1 AA'

ÁN

ÀN

FD AC

AA1 là tỷ số giữa 2 trung tuyến của 2 tam giác AA'

EF AA1 = BC AA'

đồng dạng AEF và ABC nên Tương tự có: OB' = R.

, mà

; OC ' = R.

(3)

.

ED ; AB '

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

AE AB = KC KB

TR ẦN

=>

H Ư

N

G

trong đó: AA’ là trung tuyến của ∆ ABC, AA1 là trung tuyến ∆ AEF ∆ KBC Do ∠ BAC = ∠ BKC = > ∆ ABE

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(1) ,

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

AE AA1 = AB AA'

Đ ẠO

=>

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) a). Do ∠ BEC = ∠ BFC = 900 suy ra tứ giác BFEC nội tiếp A = > ∠ AEF = ∠ ABC (cùng bù với góc ∠ CEF) K E và ∠ BAC = ∠ FAE B' C' ∆ ABC (đpcm).

Từ đó suy ra ∆ AEF A1 O F H 0 b). Ta có ∠ BCK = 90 ; AH ⊥ BC = > AH // KC Lại có ∠ BAK = 900; CH ⊥ AB = > CH // AK B D A' C ⇒ tứ giác AHCK là hình bình hành Ta có: ∆ AEF ∆ ABC

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

D

IỄ N

Đ

thay vào (3) ta được: 2SABC = R(EF + FD + DE).

Do AD ≤ AA’ ≤ AO + OA’ = > AD ≤ R + OA’, dấu bằng xảy ra khi A là điểm

chính giữa cung lớn BC Mà R không đổi, nên EF +FD + DE lớn nhất <= > SABC lớn nhất <= > AD lớn nhất <= > A là điểm chính giữa của cung lớn BC.

-----------------------Hết-------------------------https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

98

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

D

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

1

Ó

A

1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải bài 90: 1). Do AD, BE là đường cao của ∆ABC (giả thiết) nên : A N ∠ ADB = 900 và ∠ AEB = 900; K Xét tứ giác AEDB có E ∠ ADB = ∠ AEB = 900; I nên bốn điểm A, E, D, B cùng thuộc O đường tròn đường kính AB. H Tâm I của đường tròn này là trung điểm của AB. B C D 2). Xét đường tròn (I) ta có: góc D1 M = góc B1 (cùng chắn cung AE) Xét đường tròn (O) ta có: ∠ M1 = ∠ B1 (cùng chắn cung AN) Suy ra: ∠ D1 = ∠ M1 = > MN//DE (do có hai góc đồng vị bằng nhau).

3). Cách 1: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. *) Xét tứ giác CDHE ta có: ∠ CEH = 900 (do AD ⊥ BC); ∠CDH = 900 (do BE ⊥ AC) suy ra ∠ CEH + ∠CDH = 1800 do đó CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH. Như vậy đường tròn ngoại tiếp ∆CDE chính là đường tròn đường kính CH, có bán 1

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

Bài 90: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao AD, BE (D ∈ BC; E ∈ AC) lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là M và N. 1).Chứng minh rằng: bốn điểm A, E, D, B nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó.

2). Chứng minh rằng: MN // DE. 3). Cho (O) và dây AB cố định. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE luôn không đổi khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB.

kính bằng

1 CH. 2

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

99

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) *) Kẻ đường kính CK, ta có: ∠ KAC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) = > KA ⊥ AC, mà BE ⊥ AC (giả thiết) nên KA // BH (1)

N

H

Ơ

N

chứng minh tương tự cũng có: BK // AH (2) Từ (1) và (2), suy ra AKBH là hình bình hành.

Ý

-L

Đ

ÀN

TO

ÁN

K

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C

1

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

N

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

G

Cách 2: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. = > BH ⊥ AC; CH ⊥ AB (1’) A Kẻ đường kính AK suy ra K cố định và ∠ ABK = ∠ ACK = 900 E (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)). = > KB ⊥ AB; KC ⊥ AC (2’) H O Từ (1’) và (2’) suy ra: BH//KC; CH//KB. Suy ra BHCK là hình hình hành B D = > CH ⊥ BK; Mà BK không đổi (do B, K cố định) nên M CH không đổi. c/m tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH => đpcm…

-----------------------Hết--------------------------

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

TP

Do AB cố định, nên I cố định suy ra OI không đổi.

Vậy khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB thì độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE luôn không đổi.

1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1 .CH (t/c đường trung bình) 2

1

http://daykemquynhon.ucoz.com

điểm của CK vậy nên OI =

Y

Vì I là trung điểm của AB từ đó suy ra I cũng là trung điểm của KH, lại có O là trung

D

IỄ N

Bài 91: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và dây cung AC = R. Gọi K là trung điểm của dây cung CB, qua B kẻ tiếp tuyến Bx với (O) cắt tia OK tại D. a). Chứng minh rằng: DC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

100

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) b). Tia OD cắt (O) tại M. Chứng minh rằng: Tứ giác OBMC là hình thoi . c).

Vẽ CH vuông góc với AB tại H và gọi I là trung điểm của cạnh CH. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BI tại E. Chứng minh rằng ba điểm E, C, D thẳng hàng.

B

Ý

O

-L

c). Kéo dài BC cắt AE tại F. Vì IC // EF (cùng vuông góc với AB)

ÁN

D

ÀN

EF EB = (hệ quả định lí Ta-lét trong IC IB

IỄ N

Đ

∆ BEF)

EA EB Chứng minh tương tự ta có: = IH IB EF EA suy ra = hay IC IH

EF IC = =1 EA IH

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ó

-H

A

Mà OC = OB = R (gt). Vậy tứ giác OBMC là hình thoi.

Ta có:

D

K

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

A

(do K nằm giữa O và M) Lại có K là trung điểm của CB (gt).

Nên tứ giác OBMC là hình bình hành.

M

C

10 00

(do OM = R) suy ra K trung điểm của OM

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

1 1 1 AC = R = OM 2 2 2

B

Nên OK =

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Lời giải bài 91: a). Vì K là trung điểm của BC (gt) Nên OK ⊥ BC (tính chất đường kính và dây cung) hay OD là trung trực của BC Do đó DC = DB Ta có ∆ OBD = ∆ OCD (c-c-c) nên ∠ OCD = ∠ OBD = 900 (DB là tiếp tuyến tại B của đt (O) đường kính AB). mà C thuộc đt (O) (do OC = R theo gt) Vậy DC là tiếp tuyến tại C của đt (O) b). Vì OK là đường trung bình của ∆ ABC (do O, K là trung điểm của BA, BC) D

F C E

A

M K

I H

B

O

(do I là trung điểm của CH ) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

101

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Vậy E là trung điểm của AF. lại có ∠ FCA = 900 (kề bù với ∠ ACB = 900)

Ơ

ÁN

-L

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ý

-H

Ó

A

Lời giải bài 92: 1). Ta có: MP ⊥ AB(gt) => góc MPA = 900 MQ ⊥ AC(gt) => góc MQA = 900 => góc MPA + góc MQA = 1800 => Tứ giác APMQ nội tiếp (đ/l)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ ẠO

Bài 92: Cho tam tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ (M không trùng B; C; H) Từ M kẻ MP; MQ lần lượt vuông góc với các cạnh AB; AC ( P thuộc AB; Q thuộc AC) 1). Chứng minh: Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn 2). Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ. Chứng minh OH ⊥ PQ 3). Chứng minh rằng: MP + MQ = AH

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

U

Y

Hay ∠ ECD = 1800 . Vậy E, C, D thẳng hàng.

-----------------------Hết--------------------------

H

∠ OCE = ∠ OAE = 900 Nên ∠ OCE + ∠ OCD = 1800

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Dễ thấy: ∆ EOC = ∆ EOA (c-c-c) Lại có ∠ OCD = 900 (cmt) suy ra

N

1 AF (có CE là trung tuyến ứng với cạnh huyền AF ) 2

N

Chứng tỏ EC = EA =

ÀN

2/ Ta có: OP = OQ => O thuộc đường

D

IỄ N

Đ

trung trực của PQ (1); ΔABC đều, có AH ⊥ BC => AH đồng thời là đường phân giác của góc A = > ∆ APH = ∆ AQH (cạnh huyền, góc nhọn) => HP = HQ

=> H thuộc đườngtrung trực của PQ (2) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

102

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Từ (1) và (2) => OH là đườngtrung trực của PQ => OH ⊥ PQ.

Ơ

MP. AB MQ. AC + 2 2

N

H

(2)

Ý

-H

Ó

A

Lời giải bài 93: a). ∠ A1 và ∠ B1 cùng nhìn đoạn QE dưới một góc 450

A

B

-L

⇒ tứ giác ABEQ nội tiếp được.

M

1

P

⇒ ∠ FQE = ∠ ABE = 900;

1

ÁN

E

chứng minh tương tự ta có ∠ FBE = 900;

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Bài 93: Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 450. Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đường chéo BD tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo BD tại Q. a). Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đường tròn. b). Chứng minh rằng: SAEF= 2SAQP c). Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết CPD = CM.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

-----------------------Hết--------------------------

.Q

U

Y

(3)

TP

Do ∆ ABC là tam giác đều (gt) => AB = AC = BC Từ (1), (2) và (3) => MP + MQ = AH

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Mặt khác SABC = SMAB + SMAC =

N

(1)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

AH .BC 2

3/ Ta có: SABC =

ÀN

⇒ Q, P, C cùng nằm trên đường tròn đường kính EF. b). Từ câu a suy ra ∆ AQE vuông cân

D

IỄ N

Đ

Q

⇒

AE = 2 AQ

(1)

tương tự ∆ APF cũng vuông cân

D

F

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C

103

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) (2)

từ (1) và (2) ⇒ ∆ AQP

( 2)

2

hay SAEF = 2SAQP

N N

c). Dễ thấy tứ giác CPMD nội tiếp, MC = MD và ∠ APD = ∠ CPD;

U

Y

⇒ ∠ MCD = ∠ MPD = ∠ APD = ∠ CPD = ∠ CMD

.Q TP

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

Bài 94: Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA.Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H. 1). Chứng minh rằng: AE = ID 2). Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ≠ A).

Chứng minh rằng: DF.DA = EH.EB.

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Lời giải bài 94 1). Tam giác ABI cân tại B nên ∠ BAI = ∠ BIA suy ra ∠ EAI = ∠ EIA hay EA=EI (1) Xét tam giác vuông DIE có: ∠ EDI = 450 nên tam giác DIE vuông cân đỉnh I, do đó IE = ID (2) Từ (1) và (2) suy ra AE = ID (đpcm).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ ẠO

mà góc MPD là góc ngoài của ∆ ABM ta có ∠ APB = 450 . vậy ∠ MAB = 600 - 450 = 150 -----------------------Hết--------------------------

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ MD = CD ⇒ ∆ MCD đều ⇒ ∠ MPD = 600

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

S AEF = S AQP

Ơ

nên

∆ AEF (c.g.c),

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

AF = 2 AB

H

⇒

D

2). Do EA = EI và EI ⊥ BD nên đường tròn (E) đi qua I và nhận BD làm tiếp tuyến, từ đó có: ∠ DAI = ∠ DIF. Xét hai tam giác đồng dạng AID và IFD có:

DA ID ⇔ DA.DF = ID2, = DI FD

mặt khác ID = IE nên DA.DF = IE2 (1) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

104

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) Do tam giác ABI cân tại B nên EB ⊥ AI. IE EH IE EH = = EB IE EB IE

Xét hai tam giác vuông đồng dạng IHE và BIE có:

N

⇔ EH.EB = IE2 (2)

Ý

tâm O1 ⇒ ∠ IPC = 900

Mà ∠ IPC + ∠ KPC = 1800

-L

x

⇒ ∠ KPC = 900

K

ÁN

P I

Do đó: ∠ CPK + ∠ CBP = 1800

2 1 O2

ÀN

⇒ Tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn

Đ

đường kính CK có tâm O2 là trung điểm của CK. 1b). Trong (O1) có ∠ A1 = ∠ I2 Trong (O2) có ∠ B1 = ∠ K1

IỄ N D

1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

-H

Ó

A

Lời giải bài 95: 1a). P nằm trên đường tròn đường kính IC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ ẠO

TP

.Q

Bài 95: Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, C ≠ B). Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I (I ≠ A). Đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K; đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. 1. Chứng minh rằng: a/ Tứ giác CPKB nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. b/ Tam giác ABP là tam giác vuông.

2. Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

Từ (1) và (2) suy ra: DF.DA = EH.EB (đpcm) -----------------------Hết--------------------------

O1 1

1

A

Mà ∠ I1 + ∠ K1 = 900 = > ∠ A1 + ∠ B1 = 900

C

1

B

⇒ ∆ APB vuông tại P.

2). Ta có: AI // BK ⇒ ABKI là hình thang vuông. https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

105

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

<=>

Ơ H

Y

AC.BC ≤

AC.BC = AB2 : 4.

AB 2 4

N

Vậy AC.BC lớn nhất khi

AB 2

H Ư

Mà AC + BC = AB không đổi ⇒ AC = BC = AB : 2 ⇔ C là trung điểm AB.

10 00

B

TR ẦN

Vậy SABKI lớn nhất khi C là trung điểm của AB..

-----------------------Hết--------------------------

A

Bài 96: Cho hai đường tròn ω1 , ω2 cắt nhau tại hai điểm A, B. Trên tia đối của tia AB

-H

Ó

lấy điểm M và qua M kẻ các tiếp tuyến MD, MC với đường tròn ω2 (D, C là tiếp điểm,

D nằm trong đường tròn ω1 ). Đường thẳng CA cắt đường tròn ω1 tại điểm thứ hai là P;

-L

Ý

đường thẳng AD cắt đường tròn ω1 tại điểm thứ hai là Q; tiếp tuyến của đường tròn ω2

ÁN

tại A cắt đường tròn ω1 tại điểm thứ hai là K; giao điểm của các đường thẳng CD, BP

TO

là E; giao điểm của các đường thẳng BK, AD là F. 1). Chứng minh bốn điểm B, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

Đ IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

AC.BC ≤

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

<=>

=> AC + BC ≥ 2 AC.BC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

AC + BC 2

2

TP

) ≥0

Đ ẠO

AC.BC ≤

AC − BC

G

(

Ta có:

.Q

Do đó: BK lớn nhất ⇔ AC.BC lớn nhất.

2). Chứng minh

D

.

U

AI AC AC.BC = ⇒ AI.BK = AC.BC ⇒ BK = BC BK AI

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒

N

Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi. Do đó: SABKI lớn nhất khi BK lớn nhất. ∆ BCK (g.g) Vì ∠ C1 = ∠ I1 và ∠ IAC = ∠ CBK = 900. nên ∆ AIC

N

⇒ 2.SABKI = AB(AI + BK).

CP CB CA = = DQ BD DA

3) Chứng minh rằng đường thẳng CD đi qua trung điểm đoạn thẳng PQ.

Lời giải bài 96:

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

106

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) M

Ơ

N

M

H

P

TP

ω1

D

E

C

F

ω2 B

N

Q

G

Q

N

Đ ẠO

K

H Ư

1). Trường hợp: BFED là tứ giác lồi.

TR ẦN

Ta có ∠ FDE = ∠ ADC = ∠ MCA = ∠ PAK = ∠ PBK = ∠ EBF, suy ra BFED là tứ giác nội tiếp.

CP CB = DQ BD

A

2). Chứng minh

10 00

B

Trường hợp: BFDE là tứ giác lồi. Chứng minh được ∠ FBE + ∠ FDE = 1800. suy ra BFDE nội tiếp.

Ó

1 2

(cùng bù với ∠ BDA), suy ra ∆ BDQ

CP CB = DQ BD

∆ CBP, suy ra

-L

Ý

∠ QDB = ∠ PCB

(1)

ÁN

và

-H

Xét hai tam giác: ∆ DBQ và ∆ CBP, có ∠ DQB = ∠ CPB ( = sđAB của ω1 )

Chứng minh

BC CA = DC DA

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

F K

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A I

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ω2

.Q

P

E

N

U

D

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Y

C

I

ω1

N

A

ÀN

Xét hai tam giác MAC và MCB, có ∠ BMC chung và ∠ MCA = ∠ MBC vì MC là

D

IỄ N

Đ

tiếp tuyến của ω2 , suy ra ∆ MAC

∆ MCB suy ra

2

CA MA MC MA MC MA  CA  = = ==>  . =  = CB MC MB MC MB MB  CB 

(2)

2

DA  MA Chứng minh tương tự :   = MB  DB 

(3)

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

107

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

H N Y

U

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Bài 97: Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định, M là điểm thuộc (O) (M khác các điểm A, B). Các tiếp tuyến với (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C; CD là đường kính của (I). Chứng minh rằng: 1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng.

2. Tam giác COD là tam giác cân.

3. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn (O).

-H

Lời giải bài 97: 1). Vì CM là tiếp tuyến của đường

Ý

B

-L

tròn tâm O và M ∈ ( I )

nên ∠ CMD + ∠ CMO = 900.

Do đó D, M, O thẳng hàng (1)

M

TO

ÁN

D

ÀN

E

(2)

∠ DCO = ∠ AOC

(3)

F J C

Từ (1), (2), (3) suy ra

O

I

Đ IỄ N

nên ∠ MOC = ∠ AOC Do AB//CD nên

A K

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

(6), suy ra NP = NQ. -----------------------Hết--------------------------

2). Vì CA, CM là các tiếp tuyến của đường tròn tâm O

D

(6).

DA NI CA NI = kết hợp với = và CP NP DQ NQ

Từ A kẻ AI song song với CD (I ∈ PQ ) Suy ra Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

CA DA = CP DQ

Ơ

N

(5)

3). Gọi N là giao điểm của CD và PQ Từ (5) suy ra

http://daykemquynhon.ucoz.com

( 4)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

CP BC CA = = DQ BD DA

CA DA CA BC = => = CB DB DA DB

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

=>

.Q

Từ (1) và (4) suy ra

2

TP

2

CA DA  Từ (2) và (3) suy ra   =    CB   DB 

108

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) ∠ DOC = ∠ DCO

hay ∆ DOC cân tại D 3). Gọi F là trung điểm của AO, gọi E là giao điểm của DF và BC.

Y (5)

TR ẦN

∆ COB. Từ đó ∠ JDE = ∠ JCE suy ra tứ giác Kết hợp (4) và (5) ta có ∆ DJF CDEJ nội tiếp đường tròn tâm I nên ∠ CED = 900 hay DF ⊥ BC Vậy khi M di động trên đường tròn (O), đường thẳng qua D vuông góc với BC luôn

-H

Ó

A

10 00

B

đi qua điểm F cố định. Đặc biệt khi M là điểm chính giữa của cung AB thì D ≡ M , ta cũng có các kết quả tương tự..

-----------------------Hết--------------------------

TO

ÁN

-L

Ý

Bài 98: Cho ba điểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng và theo thứ tự đó sao cho AB ≠ BC .

Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC dựng các hình vuông ABDE và BCFK. Gọi I là trung điểm EF, đường thẳng đi qua I vuông góc với EF cắt các đường thẳng BD và AB lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 1). Tứ giác AEIN và EMDI là các tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

2). Ba điểm A, I, D thẳng hàng và năm điểm B, N, E, M, F cùng nằm trên một đường tròn.

3). Các đường thẳng AK, EF, CD đồng quy.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DJ CO = JF BO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

=>

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

DJ JO CO CO = = = JF FO AO OB

∆ JFO (g.g), suy ra:

H Ư

Mặt khác ∆ DJO

(4)

G

Từ đó ta được ∠ DJF = ∠ COB

Đ ẠO

trong ∆ KJO có ∠ JOK + ∠ JKO = 900 (2i).

Từ (i) và (2i) suy ra ∠ KJF = ∠ JOK.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

suy ra J ∈ (I).

Lại có JF ⊥ AO (do CA ⊥ AO và JF là đường trung bình của ∆ OAC).

Kéo dài DJ, OA cắt nhau tại K, trong ∆ KJF có ∠ KJF + ∠ JKF = 900 (i),

N

H

Ơ

N

Ta sẽ chứng minh DF ⊥ BC. Gọi J là trung điểm của CO có DJ ⊥ CO (do tam giác DOC cân tại D)

Lời giải bài 98: https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

109

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TO

ÁN

3). Xét hai tam giác vuông ∆ ABK và ∆ DBC, ta thấy các cạnh góc vuông bằng nhau: AB = DB; BK = BC Suy ra hai tam giác bằng nhau và ∠ BAK = ∠ BDC = > AK ⊥ DC Gọi H là giao điểm của AK và DC. Xét ngũ giác ABHDE, ta thấy: ∠ ABD = ∠ AHD = ∠ AED = 900 Vậy ngũ giác này nội tiếp. Suy ra ∠ EHD = ∠ EBD = 450 (1) Chứng minh tương tự ta cũng có ngũ giác BCFHK nội tiếp và ∠ FHC = ∠ FKC = 450 (2) Từ (1) và (2) suy ra ∠ EHD = ∠ FHC = 450, mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh nên E, H, F thẳng hàng. Vậy EF, AK, CD đồng quy.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

B

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

-H

Ý

N

-L

A

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1). Từ giả thiết ta có ∠ EAN = ∠ EIN = 900, suy ra tứ giác AEIN nội tiếp trong đường tròn đường kính EN. Lại có ∠ EIM = ∠ EDM = 900, suy ra tứ giác EIDM nội tiếp trong đường tròn đường kính EM. 2). Nối EB, FB do tính chất đường chéo của hình vuông, suy ra ∠ EBF = 900. Vì I là trung điểm EF nên trong tam giác vuông EBF ta có BI là trung tuyến thuộc cạnh huyền nên: BI = IE. Suy ra I nằm trên đường trung trực đoạn BE, hay I thuộc AD, tức A, I, D thẳng hàng Xét tứ giác nội tiếp AEIN, ta có: ∠ ENI = ∠ EAI = ∠ EAD = 450 (do A,I,D thẳng hàng) Tương tự, trong tứ giác nội tiếp M EIDM, ta có ∠ EMI = ∠ EDI = ∠ EDA = 450 (do A, I, D thẳng hàng).

D E Suy ra ∆ EMN vuông cân tại E. I Lại do ME = MF, NE = NF, H nên suy ra tứ giác EMFN là hình thoi K F và như vậy nó là hình vuông.

Khi đó IE = IF = IM = IN = IB, hay E, M, F, B, N cùng thuộc đường tròn đường kính EF.

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

110

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) -----------------------Hết--------------------------

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Lời giải bài 99: a) Tứ giác AEHF có: M A 0 ∠ AEH = ∠ AFH = 90 (gt).

Suy ra AEHF là tứ giác nội tiếp.

N E F - Tứ giác BCEF có: H ∠ BEC = ∠ BFC = 900 (gt).

O Suy ra BCEF là tứ giác nội tiếp. b) Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra: B C ∠ BEF = ∠ BCF (1) .

Mặt khác ∠ BMN = ∠ BCN = ∠ BCF (góc nội tiếp cùng chắn cung BN) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: ∠ BEF = ∠ BMN ⇒ MN // EF. c) Ta có: ∠ ABM = ∠ CAN (do BCEF nội tiếp) = > cung AM = cung AN ⇒ AM = AN, lại có OM = ON nên suy ra OA là đường trung trực của MN = > OA ⊥ MN, mà MN song song với EF nên suy ra OA ⊥ EF. -----------------------Hết--------------------------

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Ơ

N

Bài 99: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với BE và CF. Chứng minh: MN // EF. c) Chứng minh rằng OA ⊥ EF.

D

Bài 100: Cho ∆ABC cân tại C có CD là đường trung tuyến. Gọi (O1; R1) là đường tròn

đường kính AD và (O2; R2) là đường tròn đi qua A, tiếp xúc với CD tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai (khác A) của (O1; R1) với (O2; R2). https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

111

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết) 1). Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp được.

2). Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm A, E, I thẳng hàng. Tính số đo góc BCE biết CD = 2 AD .

N

ID OO = 1 2 , từ IH R1 + R2

H

N Y

TP

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TR ẦN

H Ư

N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

C

O2

I

H O1

D

B

-H

Ó

A

10 00

B

E

A

-L

Ý

1). Ta có: ∠ DCE = ∠ CAE (cùng chắn cung CE); ∠ CDE = ∠ DAE = ∠ BAE (cùng chắn cung DE)

TO

ÁN

Trong ∆ CDE có: 1800 - ∠ CED = ∠ DCE + ∠ CDE = ∠ CAE + ∠ BAE = ∠ BAC Lại do ∆ ABC cân tại C

(3)

(4)

Đ

nên ∠ BAC = ∠ ABC = ∠ DBC

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

3 ( R1 + R2 ) 2

.Q

O1O2 =

Lời giải bài 100

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

đó suy ra: E là trọng tâm của ∆ ACD khi và chỉ khi

Ơ

3). Gọi H là giao điểm của O1O2 với AE. Chứng minh rằng:

IỄ N

Từ (3) và (4) suy ra: ∠ CED + ∠ DBC = 1800 ⇒ Tứ giác BCED nội tiếp được.

D

2). Kéo dài AE cắt CD tại I’ ⇒ I’C2 = I’A.I’E = I’D2. (dùng tam giác đồng dạng)

⇒ I’ là trung điểm CD. Vậy I ≡ I’, hay A, E, I thẳng hàng.

Ta có: CD = 2AD ⇒ ID = AD ⇒ ∆ ADI vuông cân tại D https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

112

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

N

H

⇒ ∠ CDE = ∠ DAI = 450.

Y

Mà tứ giác BCED nội tiếp nên: ∠ CBE = ∠ CDE = 450; ∠ CEB = ∠ CDB = 900;

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

H Ư

N

3). Theo trên ta có I là trung điểm CD. Xét các ∆ O1DI và ∆ O2CI ta có: 1 2

⇒ SO O I = .SO O CD .

1

2

TR ẦN

1 1 1 SO1 DI + SO1CI = (O1D + O2C ).ID = ( R1 + R2 ).ID = .SO1O2 CD 2 2 2

1

2

Vì H là giao điểm của OO 1 2 với AE; AE ⊥ O1O2; A, E, I nên IH ⊥ O1O2 1 2

2

10 00

1

B

⇒. SO O I = .IH .O1O2

A

Từ các kết quả trên suy ra: IH. O1O2 = (R1 + R2).ID =>

-H

Ó

3 ID 2 3 Khi đó O1O2 = ( R1 + R2 ) <=> 2 = 2 IH 4

<=>

IE.IA 3 = IH 2 4

O1O2 ID = R1 + R2 IH (5)

-L

Ý

Lại có: IE.IA = (IH – EH)(IH + AH) = IH2 – EH2. (do H là trung điểm AE).

IH 2 − EH 2 3 = IH 2 4

=>

ÁN

Nên: (5) ⇔

EH 2 1 = IH 2 4

=>

EH 1 = IH 2

=> IE =

IA .

3

⇒ E là trọng tâm ∆ ACD.

TO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Hơn nữa: ∠ CEB = ∠ CDB = 900 ⇒ ∆ BEC vuông cân tại E ⇒ ∠ BCE = 450.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

TP

Chú ý : Có thể tính góc trực tiếp bằng cách sau Ta có: ∠ DCE = ∠ ABE (tứ giác BCED nội tiếp); ∠ CDE = ∠ BAE (cùng chắn cung DE); CD = 2.AD = AB = > ∆ CED = ∆ BEA = > BE = CE

-----------------------Hết--------------------------

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇒ ∆ BCE vuông cân tại E ⇒ ∠ BCE = 450.

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

113

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

101 bài toán hình học tổng hợp kiến thức THCS (có hướng dẫn giải chi tiết)

Ơ

Bài 101:

Suy ra ∆ MOD = ∆ BOD

⇒ ∠ DME = 900

B

∆ MOE = ∆ COE ⇒ ∠ EMO = 900

TR ẦN

∠ DOM = ∠ DOB ⇒ ∠ MOE = ∠ COE

M A y

E

C

-H

Ó

Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM = DB, EM = EC

D

A

10 00

suy ra D, M, E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O).

x x

O

B

Ý

Ta có DE < AE + AD

-L

⇒ 2DE < AD + AE + BD + CE = 2

ÁN

suy ra DE < 1

Đặt DM = x, EM = y ta có AD2 + AE2 = DE2 ⇔ (1 - x)2 + (1 - y)2 = (x + y)2

(x + y )2 suy ra DE2 + 4.DE – 4 4

≥0

⇔ DE ≥ 2 2 − 2

Đ

ÀN

⇔ 1- (x + y) = xy ≤

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

Vì AO = 2 , OB = OC = 1 và ∠ ABO = ∠ ACO = 900 suy ra OBAC là hình vuông.

Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Lời giải bài 101:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đ ẠO

TP

Chứng minh rằng: 2 2 − 2 ≤ DE < 1

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Y

N

H

Cho đường tròn (O) bán kính R =1 và một điểm A sao cho OA = 2 . Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có số đo bằng 450, có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E.

D

IỄ N

Vậy 2 2 − 2 ≤ DE < 1 -----------------------Hết--------------------------

https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

114

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial