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CESF-Fucapi Prof. Walter Lucas

Eixo dos Senos

1

π/2 = 90º 2π/3 = 120º

3 2 2 2 1 2

3π/4 = 135º 5π/6 = 120º

π/3 = 60º

+

π/4 = 45º π/6 = 30º

-1 π 3 2 − 2 2

1 2

0

1 2

1 2 2 − 2 3 − 2

2 2

7π/6 = 210º 5π/4 = 225º 4π/3 = 240º

3 2

11π/6 = 330º 7π/4 = 315º 5π/3 = 300º

-

3π/2 = 270º

-1

Relações Fundamentais:

Relações Derivadas: sen(2 x) = 2.senx. cos x

Fórmulas Usuais

sen x tgx = , ∀ cos x ≠ 0 cos x cos x cot gx = , ∀ sen x ≠ 0 sen x sen 2 x + cos 2 x = 1 1 sec x = , ∀ cos x ≠ 0 cos x 1 cos sec = , ∀ sen x ≠ 0 sen x cos sec2 x = 1 + cot g 2 x

cos(2 x) = cos 2 x − sen 2 x 2.tgx tg (2 x) = 1 − tg 2 x sen(3 x) = 3.senx − 4 sen 3 x

cos sec2 x = 1 + cot g 2 x sen( x + y ) = senx. cos y + cos xseny sen( x − y ) = senx. cos y − cos xseny cos( x + y ) = cos x. cos y − senx.seny cos( x − y ) = cos x. cos y + senx.seny

Soma e Diferença de Arcos

sec2 x = 1 + tg 2 x

cos(3 x) = 4. cos 3 x − 3 cos x sen(3 x) tg (3 x) = cos(3x) tgx + tgy 1 − tgx.tgy tgx − tgy tg ( x − y ) = 1 + tgx.tgy

tg ( x + y ) =

Fórmulas do Arco Duplo

Fórmulas do Arco Triplo

180º

0º 1 2π Eixo dos Cossenos


1 − cos x 2

x cos   = 2

1 + cos x 2 1 − cos x 1 + cos x

x 2 .tg   2 sen x = x 1 + tg 2   2 x 1 − tg 2  2 cos x = x 1 + tg 2  2 x 2 .tg   2 tgx = x 1 − tg 2   2

x− y x+ y sen x + sen y = 2 cos   sen    2   2 

Fórmulas do Arco Metade

x tg   = 2

x+ y x− y sen x − sen y = 2 cos   sen    2   2 

     

x− y x+ y cos x − cos y = −2 sen   sen    2   2  x− y x+ y cos x + cos y = 2 cos   cos    2   2 

Arcos Notáveis (1º Quadrante) 30º

45º

60º

Seno

1 2

Cosseno

3 2 3 3

2 2 2 2

3 2 1 2

1

3

Tangente

Arcos Notáveis no Ciclo

0

π

tgx + tgy =

sen ( x + y ) cos x. cos y

tgx − tgy =

sen ( x − y ) cos x. cos y

cos x + cos y cos x. cos y (cos x − cos y ) sec x + sec y = − cos x. cos y sen x + sen y cos sec x + cos sec y = sen x. sen y (sen x − sen y ) cos sec x − cos sec y = − sen x. sen y sen ( x + y ) cot gx + cot gy = sen x. sen y sen ( x − y ) cot gx − cot gy = − sen x. sen y sec x + sec y =

π

3π 2

0 -1 0 ∅ -1 ∅

-1 0 0 0 ∅ -1

0 1 0 ∅ 1 ∅

2

Seno 0 1 Cosseno 1 0 Tangente 0 ∅ Cotangente 0 ∅ Secante 1 ∅ Cossecante 1 ∅ Obs.: ∅ significa que não existe o valor.

Fórmulas de Prostaférese

x sen   = 2


Funções Trigonométricas:

1 - Função Seno Informações Gerais f ( x) = sen x

Sinal da Função nos Quadrantes

Df = R Im f = [−1, 1 ] Função Ímpar pois, f ( x) = − f (− x) Função é Periódica de período p = 2π O Gráfico chama-se Senóide:

Gráfico da função f(x)= sen x

2 - Função Cosseno Informações Gerais f ( x ) = cos x Df = R Im f = [−1, 1 ] Função Par pois, f ( x) = f (− x) Função é Periódica de período p = 2π O Gráfico chama-se Senóide.

Gráfico da função f(x)= cos x

Sinal da Função nos Quadrantes


3 - Função Tangente Informações Gerais

Sinal da Função nos Quadrantes

f ( x) = tgx

π   Df =  x ∈ R / x ≠ + kπ , k ∈ Z  2   Im f = R Função ímpar pois, f ( x) = − f (− x) Função Periódica de período p = π ⇒ tgx = tg ( x + kπ ) O Gráfico chama-se tangentóide: Gráfico da f(x)= tg x

4 - Função Cossecante

Informações Gerais f ( x ) = cos sec x

Df = {x ∈ R / x ≠ kπ , k ∈ Z } Im f = { y ∈ R / y ≤ −1 ou y ≥ 1} Função Periódica de período p = π Abaixo o Gráfico da f(x)= cossec x

Sinal da Função nos Quadrantes


5 - Função Secante Informações Gerais

Sinal da Função nos Quadrantes

f ( x) = sec x

π   Df =  x ∈ R / x ≠ k , k ∈ Z  2   Im f = { y ∈ R / y ≤ −1 ou y ≥ 1} Função Periódica de período p = π Abaixo o Gráfico da f(x)= sec x

6 - Função Cotangente

Informações Gerais f ( x ) = cot gx

Df = {x ∈ R / x ≠ kπ , k ∈ Z } Im f = R Função Periódica de período p = π Abaixo o Gráfico da f(x)= cotg x

Sinal da Função nos Quadrantes


* Uma função f : X ⊂ R → R é periódica ⇔ ∃ p ∈ R / f ( x + p ) = f ( x) ∀x ∈ X . Teorema de Funções Periódicas:

→ Se uma função é do tipo y = a + b.sen( mx + q) ou y = a + b. cos( mx + q ) onde a, b, m e q ∈ R e b, m ≠ 0 então seu período é dado por p =

2π m

→ Se uma função é do tipo y = a + b.tg (mx + q ) onde a, b, m e q ∈ R e b, m ≠ 0 então período é dado por p =

seu

π

m

Critérios Gerais para Resolução de Equações Trigonométricas: → Se sen x = sen y ⇒ x = y + 2kπ ou x = (π − y ) + 2kπ → Se cos x = cos y ⇒ x = y + 2kπ ou x = ( 2π − y ) + 2kπ ou x = ± y + 2kπ

→ Se tgx = tgy ⇒ x = y + kπ com y ≠

π

+ kπ 2 Obs.: No Caso de Inequações deve-se estudar nos quadrantes. Gráfico das Funções Trigonométricas Inversas: 1) Função Arco-Seno Se y = sen x ⇒ x = arcsen y e tal função é chamada a inversa da função seno. Informações gerais sobre x = arc seny Df = [ − 1,1 ]  π π Im f =  − ,   2 2  π π F : [ − 1,1 ] →  − ,   2 2

2) Função Arco-Cosseno Se y = cos x ⇒ x = arccos y e tal função é a inversa da função cosseno. Informações gerais sobre x = arc cosy Df = [−1,1]

Im f = [0,π ]

F : [−1,1] → [0,π ]


3) Função Arco-Tangente Se y = tgx ⇒ x = arc tg y e tal função é chamada a inversa da função cosseno. Informações gerais sobre x = arc cosy Df = R  π π Im f = − ,   2 2  π π F : R → − ,   2 2

A

Triângulos Quaisquer: b

Lei dos Senos

c C

a b c = = = 2R sen A sen B sen C

0

D

R

a B

A

Lei dos Cossenos

b

c

a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c. cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c. cos B 2

m

n

c = a + b − 2.a.b. cos C B 2

2

C

H

Teoremas da Área

a

A área de um triângulo qualquer é igual à metade do produto de dois de seus lados pelo seno do ângulo compreendido entre esses lados.

1 A = .b.c. sen A 2 1 A = .a.b. sen C 2 1 A = .a.c. sen B 2

A b

c

B

a

C


trigonometria