Historia de al-Khwārizmī

Junio 2008, pp. 1-5

Historias de al-Khwārizmī (1ª entrega)

A

hora que SUMA está al cargo de la Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “al-Khwārizmī”, parece razonable que esta sección, que se va a dedicar a contar historias de matemáticos y matemáticas, comience contando historias del matemático cuyo nombre pusimos a nuestra sociedad.

Yo fui el culpable del bautizo, que se decidió en un viaje en coche en diciembre de 1993, hace ya quince años, desde Valencia a Castellón, donde íbamos a celebrar la Asamblea Constituyente, después de descartar encomendarnos a un par de matemáticos valencianos, Tosca y Corachán, ambos sacerdotes y de nombres sonoros. De al-Khwārizmī nos interesaba que de su nombre y de su obra provienen dos palabras de la terminología matemática presentes en la enseñanza primaria y secundaria, algoritmo y álgebra. Pero también que, en la época en que vivió al-Khwārizmī, finales del siglo VIII y primera mitad del IX, Valencia formaba parte del emirato de Córdoba, que, aunque era política y administrativamente independiente del califato de Bagdad, seguía manteniéndose unido a él desde el punto de vista cultural y espiritual. Es decir, que al-Khwārizmī trabajó en el mismo ámbito cultural en que entonces estaba Valencia, a pesar de haber nacido en el otro extremo del imperio árabe, a miles de kilómetros.

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Cercanía y lejanía, proximidad y extrañeza hicieron que alKhwārizmī haya acabado identificando a nuestra sociedad valenciana de profesores de matemáticas, aunque no fuera un matemático valenciano.

El matemático más antiguo del que tengo noticia que nació en Valencia es cAbd ar-Rahmān Ibn Sayyid, cuya vida sitúa Ahmed Djebbar en torno a 1070 (Djebbar, 2005, p. 137), ya, por tanto, un par de siglos posterior a al-Khwārizmī, y en la época en que Valencia era uno de los reinos de taifas en que quedó dividido el califato de Córdoba después de la fitna, caos o guerra civil, que acabó con él. Sánchez Pérez también lo menciona en su Biograf ía de matemáticos árabes que florecieron en España, con el nombre de Abuzeid Abderrahman Benabdala Abensayid el Kelbi, y dice de él que “nació en Valencia, no podemos precisar en qué año, pero sí asegurar que vivía en Játiva en el 456/1063” (Sánchez Pérez, 1921, p. 37).

Djebbar afirma que sus libros no se han encontrado, pero que “conocemos los trabajos de Ibn Sayyid a partir de un resumen

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que hizo de ellos uno de sus alumnos, que no es otro que el filósofo Ibn Bājja” (Djebbar, 2005, p. 69).

No se qué hubiera pasado si nos hubiéramos encomendado a los valencianos Tosca, Corachán o Ibn Sayyid, pero el haber elegido a alguien lejano y extraño a nuestro(s) idioma(s) ha hecho que desde el primer momento hayamos tenido complicaciones con nuestro nombre. Complicaciones para saber cómo se escribe o cómo se pronuncia, o qué son esas rayas encima de una a y una i, que no son fáciles de escribir con el procesador de textos. Hablaré en esta primera entrega de “Historias” de cómo se escribe, cómo se llama, de dónde era y si era árabe y hablaba árabe al-Khwārizmī. En próximas entregas, lo haré de sus libros.

El origen de tanta variación está en que en realidad el nombre de nuestro matemático se escribe con un alfabeto distinto del latino, el alfabeto árabe o alifato, y se escribe así: ‫ا ارز‬ Para escribirlo en el alfabeto latino hay que transliterar el nombre escrito en árabe, para lo que hace falta que se haya establecido un convenio para hacer corresponder a cada letra del alfabeto árabe una letra, o una combinación de letras o signos del alfabeto latino, que se pronuncien de forma similar.

Ahora bien, precisamente como el objetivo de la transliteración es representar la palabra árabe en el alfabeto latino de forma que la pronunciación sea similar, se han establecido sistemas diferentes de transliteración del árabe, al buscarse la similitud de la pronunciación en distintos idiomas.

En los libros de historia podemos encontrarnos con el nombre de nuestro matemático escrito de muchas maneras. Las rayas sobre la a y la i pueden estar presentes o no, o ser substituidas por acentos circunflejos, por razones tipográficas, pero ésa no es la diferencia más importante. Con rayas o acentos circunflejos, podemos encontrarnos con al-Khwārizmī, alJwārizmī, o al-Hwārizmī, y también al-Khowārizmī, alJowārizmī, o al-Howārizmī, o al-Khuwārizmī, al-Juwārizmī, o al-Huwārizmī, pero también con una e en el lugar de la primera i, al-Khwārezmī, al-Khowārezmī, al-Khuwārezmī, etc.

La primera letra del nombre de ‫ ا ارز‬después del artículo “al”, es decir, la tercera letra, , –empezando por la derecha, ya que el árabe se escribe de derecha a izquierda– es una letra que se pronuncia como la jota castellana, de ahí la transliteración al-Jwārizmī. Pero el sonido de la jota castellana no existe ni en inglés, ni en francés o alemán, y además, en esos idiomas, la letra jota se pronuncia de forma muy distinta, por lo que no resulta razonable usarla para representar ese sonido.

En el caso inglés, esa letra árabe se translitera por la combinación de letras kh, de forma convencional, indicando con la k que el sonido se parece al de su hache, pero que es más fuerte. En el caso alemán y francés, se translitera por la letra

Figura 1.

Portadilla árabe de la edición de Rosen del álgebra de alKhwārizmī

Figura 2.

Portada de la edición de Masharrafa y Ahmad del álgebra de al-Khwārizmī

¿Cómo se escribe al-Khwārizmī?

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hache, a la que se le añade un pequeño arco debajo, que yo no he podido escribir aquí, para indicar también que el sonido se parece al de su hache aspirada, sólo que más fuerte.

Así que las variantes al-Khwārizmī, al-Jwārizmī, o alHwārizmī responden a tres sistemas distintos de transliteración del alfabeto árabe al alfabeto latino, que podemos llamar anglosajón, español y franco-alemán1.

Nosotros decidimos optar por la transliteración anglosajona para nuestra sociedad por el predominio del inglés como lengua científica, por un lado, pero también porque el nombre de nuestra sociedad es Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana, y en cualquiera de las variantes del catalán no existe el sonido de la jota castellana y la letra jota se pronuncia de otra manera. Podíamos haber optado por la transliteración al-Hwārizmī, como hicieron Paradís y Malet en su historia del álgebra escrita en catalán, pero ése no fue el caso. De modo que nos quedamos con la transliteración que es de hecho la más extendida2.

En cualquier caso, se translitere como se translitere esta primera letra, la primera letra del nombre de nuestro matemático se pronuncia como la jota castellana, no por escribir alKhwārizmī, se tiene que pronunciar “al-kuarismi”.

Ahora bien, la existencia de esas tres normas de transliteración distintas sólo explican las tres variantes Kh, J o H, para la primera letra del nombre de nuestro matemático, pero no el resto de las variantes en las que lo que es distinto es la presencia o ausencia de algunas vocales y el cambio de unas vocales por otras: las variantes que, en el caso de dejar Kh fija, dan al-Khwārizmī, al-Khawārizmī, al-Khowārizmī, al-Khuwārizmī, y al-Khwārezmī, al-Khawārezmī, al-Khowārezmī, alKhuwārezmī (y las correspondientes variantes con J y con H, en vez de Kh). El origen de estas variantes está, en primer lugar, en una peculiaridad de la escritura de la lengua árabe, y, en segundo lugar, en diferencias de pronunciación del árabe.

tan vocales, pero, cuando uno se encuentra escrito en un texto árabe, por ejemplo, ‫درس‬, que son las tres consonantes que transliteramos drs, tiene que decidir por el contexto si se trata de “darasa”, con tres aes breves, que significa “estudió”, o “durisa”, con otras tres vocales breves, que significa “se estudió”.

Como hay textos cuya lectura no se quiere que esté sometida a esta necesidad de interpretar por el contexto de qué palabra se trata, en particular los textos sagrados del Islam, se usa también una escritura “vocalizada”, en la que, además de las letras del alifato, se utilizan otros signos, que se colocan encima o debajo de las letras del alifato, y que indican las vocales breves y algunos otros rasgos de la pronunciación, como la ausencia de vocal en una sílaba o la duplicación de una consonante al final de una sílaba y el comienzo de la siguiente. A título de ejemplo, en las figuras 1 y 2 reproducimos dos portadas del libro de álgebra de al-Khwārizmī: la portadilla en árabe de la edición bilingüe en árabe e inglés de Rosen de 1831 (figura 1), y la portada de la edición árabe de cAlī Mustafā Masharrafa y Muhammad Mursī Ahmad de 1939 (figura 2).

En la portadilla árabe de la edición de Rosen, la escritura es la corriente; en la otra, hay algunas palabras vocalizadas, en particular, el nombre de al-Khwārizmī. En la figura 3 hemos recortado al-Khwārizmī escrito sin vocalizar, como lo escribió Rosen, y en la figura 4, vocalizado, como lo escribieron Masharrafa y Ahmad.

Figura 3

Figura 4

Por otro lado, hay diferencias de pronunciación del árabe que afectan a las vocales breves, en concreto, hay una vocal que puede pronunciarse como una “u” o como una “o”, según la zona lingüística, y una vocal que puede pronunciarse como una “i” o como una “e”.

Las vocales breves no escritas en la escritura corriente árabe y las diferencias de pronunciación son las responsables pues de las variantes al-Khwārizmī, al-Khawārizmī, al-Khowārizmī, al-Khuwārizmī, al-Khwārezmī, al-Khawārezmī, alKhowārezmī y al-Khuwārezmī, según se escriban o no la “a” breve y la primera “u” breve, y según se tome la pronunciación “u”, e “i”, u “o” y “e”, de las vocales breves cuya pronunciación varía.

La peculiaridad a la que me refiero no es de hecho exclusiva de la lengua árabe, sino que es algo que el árabe comparte con otras lenguas semíticas como el hebreo. En árabe hay dos tipos de vocales: las vocales largas y las vocales breves3. Pues bien, en el árabe escrito sólo se representan las consonantes y las vocales largas, pero no las vocales breves. Así, por ejemplo, en ‫ ا ارز‬no está escrita una de las íes, porque es breve, de manera que, si sólo transliteráramos lo escrito, escribiríamos al-Khwārzmī.

¿Cómo se llama al-Khwārizmī?

Leer un texto escrito en árabe es una tarea distinta de leer un texto escrito en castellano, ya que no basta con conocer qué sonidos resultan de la combinación de las letras, sino que hay que reconocer por el contexto cuáles son las vocales breves que no están escritas. En el caso de al-Khwārizmī, apenas fal-

Las variantes con que puede encontrarse escrito el nombre de nuestro matemático no sólo afectan a lo que en la onomástica árabe se llama su nisba, al-Khwārizmī, que es el nombre que indica procedencia, origen, tribu o similares. También hay variantes respecto a su nombre completo.

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En la gran mayoría de las referencias, aparece como Muhammad ibn Mūsa al-Khwārizmī, con su nombre propio, o ism, Muhammad (Mahoma), su filiación, o nasab, ibn Mūsa (hijo de Moisés), y su nisba, al-Khwārizmī (el de Khwārizm). En algunas ocasiones, se le añade además lo que en árabe se denomina la kunya, que se forma con la palabra Abū, que significa “padre de”, seguida del nombre del hijo varón primogénito; éste es el caso, por ejemplo, de la página web The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk, en la que aparece como Abū Jacfar Muhammad ibn Mūsa al-Khwārizmī, es decir, el padre de Jacfar Mahoma el hijo de Moisés el de Khwārizm.

Pero aquí empiezan las discrepancias, porque en otros lugares su kunya, en vez de Abū Jacfar, es Abū cAbd Allāh.

Aunque la variante que más consecuencias tiene y que ha dado lugar incluso a alguna agria controversia entre historiadores de las matemáticas es la que proviene del historiador alTabarī (838-923), en cuyo libro Historia de los profetas y los reyes, aparece en una ocasión escrito Muhammad ibn Mūsa al-Khwārizmī al-Majūsī al-Qutrubbullī. Roshdi Rashed afirma que ése no es el nombre de al-Khwārizmī, sino que ahí se está hablando de dos personas distintas y que algún copista del manuscrito de al-Tabarī dejó de escribir la letra ‫ و‬que corresponde a nuestra conjunción copulativa “y” entre alKhwārizmī y al-Majūsī (Rashed, 1984, p. 17). Sin embargo, Gerald Toomer en su biograf ía de al-Khwārizmī, publicada en la monumental obra Dictionary of Scientific Biography, toma ése como su nombre completo y saca consecuencias de los nuevos componentes del nombre, al-Majūsī y al-Qutrubbullī, para establecer su biograf ía, en particular para hacerle nacer cerca de Bagdad. Esto nos lleva a la pregunta sobre de dónde era al-Khwārizmī.

¿De dónde era al-Khwārizmī?

También en este asunto hay discrepancias. La mayor parte de los historiadores derivan del nisba al-Khwārizmī que nuestro matemático era oriundo de la región de Khwārizm. En The MacTutor History of Mathematics archive, al que he hecho referencia antes, sin embargo, al-Khwārizmī aparece como nacido en Bagdad4. Siguen en esto lo que Toomer mantiene en su biograf ía incluida en el Dictionary of Scientific Biography, en la que, a partir del nisba al-Qutrubbullī, afirma que nació en Qutrubbull, una pequeña población cercana a Bagdad, y que al-Khwārizmī sólo indicaría la procedencia de sus antecesores.

La idea más extendida, sin embargo, es que al-Khwārizmī habría nacido en algún lugar de Khwārizm, de donde emigraría a Bagdad para trabajar en la Casa de la Sabiduría.

Ruinas de la fortaleza de Ayaz Kala 2 en el antiguo Khwārizm, construida en el siglo IV, actualmente en Uzbekistán.

Foto: Marisa Fernández

Ruinas de la fortaleza de Ayaz Kala 1 en el antiguo Khwārizm, construida en el siglo V-IV a.n.e., actualmente en Uzbekistán.

Foto: Marisa Fernández

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Khwārizm era una región situada al sur del lago Aral, al norte de Persia, que en la época de al-Khwārizmī pertenecía al imperio árabe, al haber sido ya conquistada por los abásidas en el año 712, prácticamente al mismo tiempo en que, al otro extremo del mundo, otros árabes cruzaban el estrecho de Gibraltar para conquistar gran parte de la península ibérica.

Anteriormente había sido un reino independiente en alguna época, o sometido en mayor o menor medida a los imperios persas. Posteriormente, fue el centro de un imperio con una extensión que incluía toda Persia –período de esplendor que duró desde el siglo XI hasta comienzos del XIII, en que fue arrasado por los mongoles de Genghis Khan. No voy a recorrer la historia de la región de origen de al-Khwārizmī, sólo señalaré a título de anécdota la existencia ef ímera de una República Socialista Soviética de Khwārizm en los años veinte del siglo

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pasado, que se incorporó a la URSS, dividiendo su territorio entre varias de las repúblicas socialistas soviéticas caucásicas.

Actualmente, queda con el nombre de Khwārizm una región en Uzbekistán, que es considerablemente más pequeña de lo que fue en el pasado el territorio primigenio. Una región que no se escribe Khwārizm, sino Хорезм, es decir, en el alfabeto cirílico, que es el que se usa en la escritura en Uzbekistán. Por eso, el sello tantas veces usado como ilustración en historias de al-Khwārizmī, que es un sello de la URSS (СССР, en cirílico), lleva en él el nombre de al-Khwārizmī transliterado del alfabeto árabe, no al alfabeto latino, sino al alfabeto cirílico, аль Хорезми, ¡otra forma pues de escribir el nombre de nuestro matemático!

Sello emitido en la antigua URSS, para conmemorar el 1200 aniversario (aproximado) del nacimiento de al-Khwārizmī

Si al-Khwārizmī procedía de Khwārizm, era en Bagdad un emigrante llegado a la metrópoli desde una región sometida por los árabes. Lo que nos lleva a la última cuestión.

¿Era árabe y hablaba árabe al-Khwārizmī?

Si nació en Khwārizm, al-Khwārizmī no era árabe, y probablemente su lengua materna tampoco era el árabe, ya que en Khwārizm existía en la época una lengua propia, que actualmente es una lengua muerta. Si fueron sus padres o sus abuelos quienes nacieron en Khwārizm y él ya era un inmigrante de segunda o tercera generación que vivía y trabajaba en Bagdad, para responder a esa pregunta habría que examinar cuáles eran las formas de integración de culturas y lenguas en el Bagdad de los abásidas.

Ya hemos visto que los historiadores discuten sobre el lugar de procedencia de al-Khwārizmī. También pueden encontrarse discrepancias con respecto a su adscripción étnica o de nacionalidad. Junto al genérico “matemático árabe”, que habitualmente no implica que se esté afirmando que sea de origen árabe, sino su pertenencia a un ámbito político y cultural, puede encontrarse escrito también que es persa o turco. Así, en la versión inglesa de Wikipedia, una fuente que nunca puede tomarse como fiable, está escrito a día de hoy que alKhwārizmī era un “matemático persa islámico”, que “nació

alrededor de 780 en Khwarizm”. En la versión española de Wikipedia, que aún es menos fiable, está escrito a día de hoy que era “persa musulmán” y que nació en la “ciudad persa de Juarism o Jwarizm”, con lo que no sólo hacen persa a alKhwārizmī, sino también a la “ciudad de Juarism”. Una fuente que sí es fiable, el historiador turco Aydin Sayili, argumenta extensamente, al estudiar el lugar del Asia Central en la historia de la ciencia y la cultura, que “hay pruebas de que alKhwārizmī conocía el turco y pertenecía al sector turco de la población de Khwārizm” (Sayili, 1991, p. 29) y otro historiador turco llega a decir que al-Khwārizmī “era turco de nacionalidad y árabe de lengua” (Ayyubi, 1990, p. 213). La historia de Khwārizm, territorio independiente en ocasiones, centro de un imperio en otras, parte del imperio persa en otras, República Socialista Soviética ef ímera, parte de lo que en el diccionario puede encontrarse con el nombre de Turquestán, “Forma tradicional española del nombre de la región del Asia central cuyo territorio se extiende por zonas de los actuales países de Afganistán, China, Kazajistán, Kirguistán, Tayikistán, Turkmenistán y Uzbekistán”, permite que se puedan reivindicar para al-Khwārizmī nacionalidades diversas si se quiere añadir un nombre ilustre al panteón nacional.

Youschkevitch es más comedido. Al explicar que va a utilizar las expresiones “matemáticas árabes” o “matemáticas de los países islámicos”, dice que lo hace “a pesar de que esas expresiones son tan poco satisfactorias una como la otra”, porque “había pocos árabes entre los sabios y los filósofos”; y añade: “Al comienzo, eran sobre todo sirios, iraníes, khorasianos, griegos y judíos. Un gran número de sabios no eran por tanto musulmanes y pertenecían a distintas sectas cristianas o paganas. Luego, los habitantes de los territorios que se encuentran situados hoy en día en Irán y las Repúblicas Soviéticas de Tayikistán, Uzbekistán y Turkmenistán desempeñaron un papel decisivo en la vida científica”. Pero también advierte contra la pretensión de atribuir nacionalidades de forma anacrónica porque como consecuencia de las invasiones sucesivas “se produjeron de manera constante fusiones de nacionalidades y apariciones de nuevas entidades nacionales”, pero además, porque “nuestros conocimientos no nos permiten, en la mayor parte de los casos, más que dar indicaciones sobre el origen y el lugar donde un sabio ha ejercido su actividad, pero no sobre su pertenencia nacional en el sentido étnico del término” (Youschkevitch, 1976, pp. 13-14).

No voy a hacer, por tanto, ninguna afirmación de cuál era la nacionalidad de al-Khwārizmī. Lo que en cualquier caso sí hizo al-Khwārizmī fue escribir en árabe sus libros científicos.

El árabe era en su época la lengua de la ciencia y de la religión en el mundo islámico, como lo fue el latín en el occidente cristiano medieval, o lo es el inglés actualmente en todo el mundo. Pero de sus libros hablaré en la próxima entrega de esta sección.

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NOTAS 1 O, de forma más precisa, “anglosajón”, “de la escuela de arabistas españoles” y “centroeuropeo”, como puede verse en Corriente (2002), en donde se describen estos sistemas y su historia, y se propone un sistema adaptado a las posibilidades de los medios electrónicos de comunicación, que es el anglosajón con ligeras variantes.

3 En la transliteración del alifato al alfabeto, la diferencia entre las vocales largas y las breves está señalada por la raya que se coloca sobre las vocales largas.

4 Ver http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Al-Khwarizmi.html.

2 Si se buscan en Google las variantes en el momento en que estoy escribiendo esta historia, se obtienen los siguientes resultados: alKhwarizmi, 113000; al-Jwarizmi, 7950; al-Hwarizmi, 1120.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Al-Khwārizmī, Muhammad ibn Mūsa (1939). Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala, edited by cAlī Mustafā Masharrafa and Muhammad Mursī Ahmad. al-Qahirah. Reprinted 1968.

Cairo.

Ayyubi, N. A. (1990). Contribution of Khwârazmî to Mathematics and Geography. In Acts of the International Symposium on Ibn Turk, Khwârazmî, Farabî, Beyrûnî, and Ibn Sina (Ankara, 9-12 September 1985), pp. 213-214.

Corriente, F. (2002). Acerca de la transcripción o transliteración del código grafémico árabe al latino, particularmente en su variante castellana. Miscelánea de Estudios Árabes y Hebraicos. Sección Árabe-Islam. 51, 361-368.

Djebbar, A. (2005). L’algèbre arabe. Genèse d’un art.Vuibert-Adapt.

Paris.

Rashed, R. (1984). Entre arithmétique et algèbre. Recherches sur l’histoire des Mathématiques arabes. Les Belles Lettres. Paris.

Rosen, F. (1831). The algebra of Mohammed Ben Musa. Oriental Translation Fund. London.

Sánchez Pérez, J. A. (1921). Biograf ía de matemáticos árabes que florecieron en España. Imprenta de Estanislao Maestre. Madrid.

Sayili, A. (1991). Al-Khwarizmi, Abu’l-Hamid Ibn Turk and the place of Central Asia in the History of Science and Culture. ERDEM, VII, 19, pp. 1-100.

Toomer, G. (1970–1990). Al-Khwārizmī, Abu Jacfar Muhammad ibn Mūsā. In C. C. Gillispie (Ed.) Dictionary of Scientific Biography.

Vol. 7 (pp. 358–365). Charles Scribner’s Sons. New York.

Youschkevitch, A. P. (1976). Les Mathématiques arabes (VIIIe-XVe siècles). Trad. M. Cazenaze y K. Jaouiche. Vrin. Paris.

Malet, A. i Paradís, J. (1984). Els orígens i l’ensenyament de l’Àlgebra simbòlica (1478-1545) Volumen I. Publicacions de la Universitat de Barcelona. Barcelona.

Estatua de al-Khwārizmī en Khiva (Uzbekistán).

Foto: Marisa Fernández

Las fotograf ías que ilustran este artículo se las tenemos que agradecer a nuestra compañera y antigua tesorera de la Societat d’Educació Matemàtica de la C.V. al-Khwārizmī y viajera infatigable, Marisa Fernández, que las hizo en un viaje a Uzbekistán en 2007.

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Noviembre 2008, pp. 105-112

Historias de al-Khwārizmī (2ª entrega): los libros

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omo sucede en general con los autores de la antigüedad el establecimiento de una relación de los escritos de alKhwārizmī es una labor detectivesca. No se conserva, por supuesto, ningún manuscrito que haya salido de su mano, sino sólo, en el mejor de los casos, copias realizadas por otros.

Y estas copias, pueden estar hechas por alguien con conocimientos de la materia del libro o por copistas de profesión, que podían no entender nada de lo que estaban copiando.

Más aún, lo habitual es que la copia que se conserve haya sido a su vez copiada de otra copia.

Hay libros que se conocen únicamente porque algún autor posterior lo cita, ya sea en libros que continúan el trabajo de al-Khwārizmī o lo evocan, o bien en repertorios bibliográficos escritos por historiadores. Y estos libros, a su vez, también se conservan a través de una tradición de copias.

O puede suceder que lo único que se conserve sea una traducción a otra lengua, que, a su vez, se conserva a través de una tradición de copias. También cabe que se hayan conservado libros que no son copias sino adaptaciones comentadas o traducciones que no pretenden ser fieles sino ser adaptaciones a otra lengua. O incluso que dispongamos de un libro en el que se ha incorporado una parte de algún libro del autor anterior, más o menos textualmente, mencionándolo o sin mencionarlo.

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Hay que añadir además que todo esto varía con el tiempo.

Siempre es posible que aparezca en alguna biblioteca o en algún depósito de libros un nuevo manuscrito del que no se tenía noticia.

El trabajo pues de los historiadores que preparan la edición de un libro de un autor de la antigüedad acaba siendo siempre la elaboración de un texto a partir de los materiales de los que se dispone, que se acompaña de la explicación de las fuentes que se han utilizado, las decisiones que se han tomado para elaborarlo, y las variantes que cabe considerar. Y este trabajo, en ocasiones, no está exento de polémica.

Todas estas posibilidades están presentes en el caso de alKhwārizmī. En esta entrega de Historias, voy a dar cuenta de lo que yo conozco del asunto. Hablaré pues de los libros de alKhwārizmī y la elaboración de las ediciones publicadas por los historiadores, pero apenas de su contenido.

Luis Puig Universitat de València Estudi General historias@revistasuma.es

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SUMA 59 Noviembre 2008

Los libros de al-Khwārizmī

en el apartado “El libro de cálculo hindú. La edición de A. Allard” lo que ha llegado hasta nosotros.

Al-Khwārizmī es conocido sobre todo por su libro de álgebra y por el libro en que introduce el sistema de numeración posicional y cifrado de los hindúes y el cálculo aritmético en ese sistema, y es razonable que así sea por la importancia que ambos libros han tenido en la historia de las matemáticas. Sin embargo, se tiene noticia de que escribió un buen número de libros en varias disciplinas. Ésta es una lista de los libros de los que yo tengo noticia. Doy de ellos una transliteración del título árabe, una traducción del título y unas someras indicaciones.

Kitāb al-Mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libro conciso de cálculo de restauración y oposición).

El libro de álgebra. Según el prólogo debió escribirlo entre 813 y 833, ya que se lo dedica al califa al-Ma’mūn, y ésos son los años en que fue califa. Roshdi Rashed dice que “Mukhtasar”, “conciso” no forma parte del título, sino que fue una decisión de Rosen, en su edición de 1831, el usar para el título una frase del prólogo donde al-Khwārizmī dice que va a “componer en el cálculo de al-jabr y al-muqābala un libro conciso” en el que tiene que “encerrar todo lo que es sutil en el cálculo y lo que en él es lo más noble”. Según Rashed, esto son “las normas de una redacción elegante” (Rashed, 2007, p. 9), y no significan que el libro sea un compendio, como da a entender el colocar la palabra “conciso” en el título, y como titula Rosen su traducción inglesa (Mohammed Ben Musa’s Compendium on Calculating by Completion and Reduction). El libro habría que llamarlo, como lo hicieron los matemáticos inmediatamente posteriores a al-Khwārizmī que lo citan, Kitāb al-jabr wa’lmuqābala (Libro de restauración y oposición), y así lo ha hecho él en su edición reciente (Rashed, 2007)1.

Kitāb al-jamc wa’t-tafrīq (Libro de la reunión y de la separación).

Perdido. La opinión de Djebbar (2005) y de Rashed (2007) es que debía contener un cálculo aritmético anterior a la introducción del cálculo hindú.

Kitāb sūrat al-ard (Libro de la configuración de la tierra).

Escrito alrededor de 817, según Djebbar, o terminado en 833, según Ayyubi (1990). Se conserva una copia árabe en la Biblioteca de la Universidad de Estrasburgo, y una traducción latina en la Biblioteca Nacional de Madrid. En esta geograf ía, al-Khwārizmī sigue la teoría de los siete climas, y usa datos de Ptolomeo, pero otros que no están en el Almagesto. Es probable que haya participado en la expedición organizada por alMa’mūn para comprobar los datos del libro de Ptolomeo. En ninguna de las copias hay mapas, y se especula sobre si alKhwārizmī incluiría un mapa del mundo. Hay una reconstrucción hecha por Hubert Dannicht, a partir de las coordenadas que aparecen en el libro de al-Khwārizmī (figura 1), y un mapa del mundo (figura 2) atribuido a los geógrafos del califa al-Ma’mūn aparece en Masālik al-absār de Ibn Fadlallāh al-‘Umarī (ca. 1340)2.

Figura 2 Mapa del mundo atribuido a los geógrafos del califa al-Ma’mūn

Istikhrāj ta’rīkh al-Yahūd (Determinación del calendario judío).

Figura 1 Reconstrucción del mapa del mundo

Kitāb al-hisāb al-cadad al-hindī (Libro del cálculo con los números hindúes).

Escrito también después de 813. El libro en que explica el sistema de numeración hindú y el cálculo aritmético con él. No se conserva ningún manuscrito árabe de este libro. Veremos

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En este libro, escrito alrededor de 824 y descubierto alrededor de 1940, al-Khwārizmī muestra conocer también el mundo hebreo, ya que describe las reglas de cálculo de las longitudes medias del sol y de la Luna a partir del calendario judío.

Youschkevitch (1976, p. 51) llega a decir que no excluye que al-Khwārizmī conociera el hebreo, lo que explicaría también el parecido de la parte de geometría de su libro de álgebra con el Mishnat Ha Middot, el primer libro de geometría que se conoce en hebreo, escrito alrededor del año 1503.

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Zīj as-Sindhind (Tablas hindúes)

Kitāb al-Tārīkh.

Escrito después de 813. El libro más importante de astronomía de al-Khwārizmī. Además escribió otros menos conocidos, perdidos o redescubiertos recientemente, que cito a continuación. De éste hablaré en el apartado siguiente.

Mencionado también por al-Nadīm, se trata de un libro de historia, escrito después de 826.

Macrifa sica al-mashriq fī kull balad (Determinación de la amplitud ortiva en cada ciudad).

No tengo más noticia de este libro y los dos siguientes que la que da Rosenfeld (1993), según la cual se encuentra en unos manuscritos en Estambul (ver también Ahmedov, adDabbagh, & Rosenfeld, 1987).

Macrifa samt min qibal al-irtifāc (Determinación del azimut según la altitud). c

Amal sica ayy mashriq shi’ta min al-burūj fī ayy ard shi’ta bi’lhandasa (Construcción geométrica de la amplitud ortiva de cada signo y para cada latitud).

Amal al-sācāt fī basīt al-rukhāna (Construcción de las horas en el plano del cuadrante solar).

Las tablas astronómicas de al-Khwārizmī Según Djebbar (2005, pp. 20-21), como el nombre de alKhwārizmī no figura en la lista de miembros del equipo de astrónomos encargados por al-Ma’mūn de elaborar unas tablas astronómicas, debió de trabajar en las suyas de forma independiente. Estas tablas se basan sobre una obra hindú ofrecida en 773 al califa al-Mansūr, que fue traducida al árabe por Muhammad al-Fazārī. Al-Khwārizmī, sin embargo, no usó sólo esa obra hindú, sino también tomó de la astronomía persa recogida en las Zīj ash-Shāhī (Tablas del Sha) las ecuaciones de máximos, entre otras cosas, y de la astronomía griega del Almagesto de Ptolomeo, disponible en el mundo árabe desde el siglo VIII, las declinaciones del sol y las ascensiones rectas. Además tomó datos del libro de Brahmagupta (598668) Brāhmasphutasiddhānta (La apertura del universo) para el movimiento de los siete planetas.

c

Según Rashed (2007, p. 6, n. 10) éste libro y el siguiente están en la colección Aya Sofya 4830 de la biblioteca Süleymaniye de Estambul.

Tarā’if min camal Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī: macrifat al-samt bi-al-asturlab (Nuevas adquisiciones de Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī: el conocimiento del azimut mediante el astrolabio).

Kitāb cAmal al-asturlāb (Libro sobre la realización del astrolabio).

No se conserva ninguna copia. Mencionado por al-Nadīm, en su Kitāb al-Fihrist. En este libro, publicado en 938, al-Nadīm pretendió recoger en un índice todos los libros escritos en árabe hasta ese momento.

No se conserva ninguna copia de este libro. Si se conoce, es a través de una versión de esas tablas de al-Khwārizmī, que se habían introducido en al-Andalus en la época de cAbd alRahmān II, que escribió alrededor del año 1000 el astrónomo de al-Andalus, nacido en Madrid, Maslama al-Majrītī.

Maslama no se limitó a traducir el libro de al-Khwārizmī, sino que cambió el meridiano de referencia, que era el que pasa por la localidad de Uyyain en la India, por el “meridiano de agua”, situado al oeste de las Islas Canarias, e introdujo otros cambios para el uso de las tablas con Córdoba como centro religioso (Dorce, 2008). Pero tampoco se conserva ninguna copia árabe de la reelaboración de Maslama, sino sólo una traducción latina, hecha probablemente por Adelardo de Bath en 1126, de la que se conservan varios manuscritos. Suter la editó en 1912, y hay una traducción inglesa con comentarios hecha por Neugebauer de esa edición latina de Suter, suplementada con un manuscrito del Corpus Christi College de Oxford (Neugebauer, 1962).

Kitāb al-rukhāma (Libro sobre el cuadrante solar).

El libro de cálculo hindú. La edición de Allard.

Perdido, salvo que coincida como dice Rashed (2007, p. 376) con el libro cAmal al-sācāt fī basīt al-rukhāna, que está en la biblioteca Süleymaniye de Estambul. Mencionado también por al-Nadīm en su catálogo.

Kitāb al-cAmal bi’l-asturlāb (Libro sobre la utilización del astrolabio).

Identificado por unos fragmentos reproducidos por el astrónomo del siglo IX al-Farghānī.

Si lo que nos ha llegado de las tablas astronómicas de alKhwārizmī, escritas en el siglo IX en Bagdad y para el Oriente árabe, es una traducción latina del siglo XII, de una versión árabe de alrededor del año 1000, adaptada por un astrónomo de al-Andalus para su uso en el otro extremo del mundo árabe, lo que tenemos del Kitāb al-hisāb al-cadad al-hindī, el libro de cálculo con los números hindúes, es también algo alejado del original escrito por al-Khwārizmī.

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Tampoco en este caso se conserva ninguna copia en árabe. Sí se conservan, sin embargo, varios textos en latín que están relacionados con el libro de al-Khwārizmī, aunque André Allard, que ha editado recientemente los cuatro más importantes, mantiene que todos ellos son textos híbridos en los que lo que puede provenir del libro que escribiera alKhwārizmī está combinado con cuestiones que proceden de otras tradiciones aritméticas (Allard, 1992).

deberían estar las cifras hay huecos, que el copista dejaba para escribir las cifras más tarde en tinta roja, cosa que nunca llegó a hacer. Youschkevitch, que publicó también un facsímil de este manuscrito, ya decía que “no se trata de una traducción fiel del árabe, los diversos errores y añadidos hechos al texto lo testimonian. Pero se ignora si se deben al primer traductor o al copista” (Youschkevitch, 1976, p. 15).

Los cuatro libros que ha editado Allard se conocen por las palabras con las que empiezan, lo que se llama el Incipit en la terminología de los estudiosos de manuscritos, y son los siguientes: Dixit Algorizmi…, es decir, Dijo al-Khwārizmī… (al que me referiré como DA).

Liber Ysagogarum Alchorismi…, es decir, Libro de la introducción de al-Khwārizmī… (LY).

Liber Alchorismi…, es decir, Libro de al-Khwārizmī… (LA).

Liber pulueris…, es decir, Libro de polvo… (LP).

El primero de ellos, Dixit Algorizmi… ha sido estudiado y se ha editado en varias ocasiones, la primera por el príncipe Baldassarre Boncompagni en 1857. Sólo se conserva un manuscrito de él, en la Biblioteca de la Universidad de Cambridge, que es del siglo XII, y bastantes historiadores lo han considerado como una traducción directa al latín del libro de al-Khwārizmī. Sin embargo, Allard mediante un examen detallado de ciertas series de expresiones que aparecen en este manuscrito y en los de los otros tres libros latinos, dice que hay dos fuentes distintas que se manifiestan no sólo en los otros tres libros, sino también en éste, y llega a afirmar que en él no sólo está presente la traducción del libro de alKhwārizmī, sino que también hay partes que tienen que proceder de la tradición de Boecio y de la Aritmética de Nicómaco. De todas maneras, DA sigue siendo, según Allard, la mejor fuente del libro de al-Khwārizmī. El traductor podría haber sido Adelardo de Bath o Robert de Chester, según opinión bastante extendida, pero Allard también afirma que no hay ninguna razón de peso para preferir estos traductores a cualquier otro traductor conocido de la época (Allard, 1992, p. VII, n. 31).

Crossley y Henry, que publicaron una traducción inglesa de este manuscrito un par de años antes de la edición de Allard, también afirman que no es una traducción directa del texto árabe de al-Khwārizmī, sino una copia de una traducción latina hecha por un copista que no estaba familiarizado con las cifras hindoárabes y “que no entendía demasiado la aritmética que estaba copiando” (Crossley y Henry, 1990, p. 107). De hecho, en la mayoría de los folios del manuscrito en donde

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Figura 3.

Liber Alchorismi, Biblioteca Nacional de Paris (s. XIII)

Si ésta es la situación del mejor testimonio que tenemos del libro de al-Khwārizmī, el análisis de los otros tres libros por parte de Allard concluye con el descubrimiento de incorporaciones aún más variadas de las presentes en Dixit Algorismi…

En particular, desglosa el Liber Ysagogarum Alchorismi…, del que hay cinco manuscritos de los siglos XII a XVI, en tres subtipos (que representaremos por LY I, LY II y LY III), y ve en él un conjunto de influencias variopintas, que habrían sido recogidas probablemente “alrededor de 1143 en los medios toledanos cercanos a Avendauth” (Allard, 1992, p. XX). Este Avendauth no está muy claro quién pueda ser, pero Allard señala como hipótesis más convincente que se trate del filósofo judío Abraham ibn Daūd, que vivió en Toledo entre 1140 y 1180.

El Liber Alchorismi…, del que hay nueve manuscritos de los siglos XII a XVI, sale mejor parado del análisis de Allard, aunque éste también se entretiene en desmontar la hipótesis de que su autor fuera Juan de Sevilla (Iohannis Hispalensis) a quien se atribuye desde que Boncompagni editara en 1857 uno de los manuscritos que se conservan de él en la Biblioteca Nacional de París, cuyo comienzo es “Incipit prologus in libro alghoarismi de pratica arismetrice qui editus est a magistro Iohanne Yspalensi”, en el que se le menciona (Boncompagni, 1857, p. 25). Allard aduce que eso sólo sucede en ese manuscrito, pero no en los otros ocho manuscritos que también se conservan de este libro, en los que en todo caso se habla de un “maestro Juan”, a secas. Así, por ejemplo, la primera página del

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manuscrito del Liber Alchorismi… que reproducimos aquí (figura 3) y que se encuentra también en la Biblioteca Nacional de París, codificado como Lat. 15461, está escrito en Italia en la primera mitad del siglo XIII, y comienza así: “Incipit prologus in libro alchorismi de pratica arismetice qui editus est a magistro Iahanne”, es decir, “Comienza el prólogo del libro de al-Khwarizmi”, como en el otro manuscrito, pero en él se menciona que ha sido editado por un “Maestro Juan”, sin especificar qué Juan. Allard propone llamar Juan de Toledo a ese “Maestro Juan”, aunque no haya constancia de nadie con ese nombre (Allard, 1992, p. XIX). De paso, señalaré que este manuscrito es del siglo XIII, según Allard, y no del siglo XII, como dice Charbonier (2004), de cuyo folleto para profesores editado por el IREM de Clermont Ferrand hemos tomado la figura. Lo que es del siglo XII es la traducción latina hecha en Toledo, pero no esta copia.

El libro de álgebra. Traducciones y ediciones.

Del libro de álgebra de al-Khwārizmī sí que se conservan manuscritos árabes, pero eso no significa que el establecimiento de un texto lo más cercano al original posible no esté exento de problemas. Hasta hace poco tiempo la edición del álgebra de al-Khwārizmī de que se disponía era la que hizo Frederic Rosen en 1831, acompañada de su traducción al inglés (Rosen, 1831). Esa edición estaba hecha a partir de un único manuscrito (figura 5) que se conserva en la Bodleyan Library de Oxford (Hunt. 212, fol. 1v-54r), que es de 1342, es decir, más de cinco siglos posterior a la fecha de redacción por parte de al-Khwārizmī.

El Liber pulueris, por su parte es más breve, está inspirado en las mismas fuentes que LA, y de él sólo se conservan dos copias del siglo XIV. El análisis de Allard está resumido gráficamente por él en el árbol genealógico de los manuscritos y sus influencias que incluimos aquí (figura 4), y que muestra la distancia entre el libro de al-Khwārizmī y los libros de que disponemos para saber algo de él.

Figura 5.

Portada del álgebra de al-Khwārizmī

Aunque el manuscrito está en muy buen estado y el copista hizo un trabajo cuidadoso, con el texto nítido en tinta negra y los títulos y las figuras en tinta roja, y con la escritura vocalizada a menudo, e incluso indicó el día exacto en que acabó la copia (19 Muharram del 743 de la Hégira, es decir, 24 de junio de 1342), no cupo nunca duda de que el tiempo transcurrido desde el original tenía que haber producido cambios, pérdidas o incorporaciones por su paso por múltiples manos de copistas.

Figura 4

En cualquier caso, la huella de al-Khwārizmī quedó en los incipit de estos libros en la forma latinizada de su nombre, Algorismi o Alchorismi, que pronto dejó de significar “de alKhwārizmī” para adquirir como significado el contenido de esos libros. Así proliferan los libros de Algorismos, como el Algorismus Vulgaris de Juan de Sacrobosco (comienzo del siglo XIII), del que se conocen unos doscientos manuscritos y varias ediciones impresas entre 1488 y 1582. Y a partir de ahí la palabra “algoritmo” va adoptando el significado que hoy en día tiene en la terminología de las matemáticas.

El libro fue editado de nuevo en Egipto en 1939 por cAlī Mustafā Masharrafa y Muhammad Mursī Ahmad en árabe a partir del mismo manuscrito, en una edición ligeramente más cuidadosa que la realizada por Rosen (Masharrafa y Ahmad, 1939), que apenas modificaba la situación.

A falta de manuscritos árabes más antiguos, los historiadores recurrieron al estudio de las traducciones latinas medievales, una de las cuales resultó ser especialmente buena. En efecto, se conservan tres traducciones latinas diferentes del álgebra de al-Khwārizmī. La más antigua es de Robert de Chester (ca.

1145), seguida de cerca por una de Gerardo de Cremona (ca.

1170). La tercera parece ser de Guglielmo de Lunis (ca. 1250), aunque esa atribución no está exenta de controversia, y, lo que la hace particularmente interesante, hay una traducción de

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ella a un italiano medieval (al vernáculo, o “volgare” como dice Raffaella Franci, que la ha publicado recientemente4).

Recientemente las dos primeras han sido editadas por Barnabas Hughes usando todos los manuscritos que se conocen actualmente, tres en el caso de la traducción de Robert de Chester (Hughes, 1989), y quince en el caso de la de Gerardo de Cremona (Hughes, 1986). Pero esas tres traducciones ya se conocían desde hace tiempo. En 1838, Libri publicó una edición de la de Gerardo de Cremona (no muy buena, según Hughes, 1986, p. 211); en 1850, Boncompagni publicó la de Guglielmo de Lunis como si fuera de Gerardo de Cremona, y Karpinski, en 1915, publicó la de Robert de Chester a partir de un único manuscrito.

La traducción de Robert de Chester comienza así: “In nomine dei pii et misericordis incipit Liber Restaurationis et Oppositionis Numeri quem edidit Mahumed filus Mysi Algaurizm”, es decir “En nombre de los píos y misericordiosos comienza el libro de Restauración y Oposición, que compuso Mahoma hijo de Moisés, al-Khwārizmī”. Robert de Chester traduce los términos árabes al-jabr y al-muqābala al latín por “restauración” y “oposición”, y, como hemos visto que dice Roshdi Rashed, no indica en el título del libro que sea “conciso”.

La de Gerardo de Cremona se titula “Liber Maumeti filii Moysi Alchorismi de Algebra et almuchabala”, es decir, “Libro de Mahoma, hijo de Moisés, Alchorismi, de Álgebra y almuchabala”. Gerardo de Cremona optó por no traducir los términos árabes al-jabr y al-muqābala al latín, sino que los transliteró. Podemos hacer la hipótesis de que Gerardo pensó que esos términos tenían un significado técnico en el texto de alKhwārizmī, que hacía poco aconsejable traducirlos por palabras del latín que tenían significados en su uso fuera de las matemáticas, que él no quería que los evocara el lector y por eso se decidió por la transliteración. El hecho es que su decisión tuvo como consecuencia la creación del término con que acabaría conociéndose no sólo una operación del cálculo expuesto por al-Khwārizmī en su libro, sino la disciplina matemática que en cierta manera funda: el Álgebra.

La traducción de Gerardo de Cremona ya es importante por este hecho, pero además, la edición de Barnabas Hughes y el posterior estudio de Jens Høyrup comparándola con el manuscrito árabe de la biblioteca Bodleian de Oxford, ha demostrado que la traducción de Gerardo se puede considerar que está mucho más cerca del texto escrito por alKhwārizmī que el manuscrito de Oxford (Høyrup, 1991). De hecho, el mejor manuscrito de la traducción de Gerardo, que se conserva en la Biblioteca Nacional de París (Lat. 9335 fols.

116v-125v) es del siglo XIII, y se supone que el manuscrito árabe que usó Gerardo para su traducción era del siglo XI. Høyrup ha mostrado que el cuidado y la meticulosidad de las

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traducciones de Gerardo garantiza que ésta es lo mejor que tenemos hasta la fecha para conocer el álgebra de alKhwārizmī. Ésa era la situación hasta hace poco en que empezó a tenerse noticia de la existencia de otros manuscritos árabes del álgebra de al-Khwārizmī5. Sin embargo, la reciente edición hecha por Roshdi Rashed a partir de los cinco manuscritos que ha podido consultar6 (más uno7 de poco valor), no le quita a la traducción latina de Gerardo de Cremona el lugar privilegiado que ya tenía, a pesar de que ahora hay también un par de buenos manuscritos (uno de 1222), y, además, un manuscrito de un comentario escrito por al-Khuzācī, en el mes del Ramadan del 607 de la Hégira (febrero/marzo 1211), que Roshdi Rashed ha encontrado en Estambul (Yeni Cami 803), en el que éste va transcribiendo el texto de al-Khwārizmī, intercalando sus comentarios.

En el árbol de la figura 6 está resumida la genealogía de los manuscritos que se conservan en árabe, más la posición en ella de la traducción de Gerardo de Cremona (Rashed, 2007, p. 90). Los manuscritos que Rashed ha usado son: A: Oxford, Bod., Hunt 214 (de 1342) B: Berlin, Landberg 199 (tardío) O: Medina, cArīf Hikmat, 4-jabr (1222) H: Medina, cArīf Hikmat, 4-jabr (1767, pero correspondiente a una tradición anterior) M: Teherán, Malik 3418 (sólo contiene el capítulo de geometría o medida) S: Smith, New York, Columbia L: Gerardo de Cremona K: Gerardo de Cremona (problemas del apéndice)

Figura 6

Nota final No he pretendido ser exhaustivo en esta entrega de “Historias de al-Khwārizmī”, ni entra dentro de mi competencia, sino sólo mostrar que la historia de los textos no es simple. De lo que me dejo en el tintero, mencionaré sólo que no hay tra-

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ducción castellana alguna del álgebra de al-Khwārizmī. La hay inglesa, la de Rosen de 1831 que he citado y que ha sido recientemente reeditada en facsímil en varias editoriales8 También la hay francesa muy reciente, la de Rashed (2007).

Tengo noticia de que hay una traducción persa, cuya referencia no he podido localizar, y de una traducción rusa, que según Hughes (1989, p. 23) es de Rosenfeld y se publicó en 1964. Ya he mencionado la casi primera traducción en vernáculo hecha en Italia, que ha editado Raffaella Franci (2003) y de la que también habla Hissette (2003).

Señalaré finalmente que queda otra tradición medieval por explorar, que es la hebraica. Tony Lévy afirma que no se conoce ninguna versión hebrea del álgebra de al-Khwārizmī en el primero de sus estudios sobre el álgebra árabe en los textos hebraicos (Lévy, 2003), pero también habla de un manuscrito que él ha encontrado en el que hay una adaptación hebrea de la parte del libro de al-Khwārizmī en que se exponen las seis

ecuaciones canónicas y su procedimiento de solución, y afirma que, aunque no aparece la palabra álgebra, ni se cita a alKhwārizmī, puede ser una traducción directa o una adaptación hecha por Ibn Ezra (1089-1164) o un contemporáneo suyo, y, por tanto, ser contemporánea de las traducciones latinas. Como Ibn Ezra se fue de España en 1140 al norte de Italia y luego a la Provenza en 1148, esta versión hebrea del álgebra de al-Khwārizmī, podría haber sido compuesta en España (Lévy, 2002 y 2003).

Esto es lo que los historiadores nos han puesto disponible para conocer la obra de al-Khwārizmī. Las vicisitudes que he esbozado aquí de la historia de los textos conviene tenerlas presentes a la hora de hacer afirmaciones sobre lo que dijo alKhwārizmī. En una próxima entrega de estas historias, podré entrar a hablar pues de lo que Dixit Algorizmi.

HISTORIAS

NOTAS 1 Ya que sigo aquí a Roshdi Rashed, conviene señalar que el trabajo prolífico de este historiador ha estado trufado de agrias controversias con otros historiadores (Sesiano, Hojendijk, Toomer), en las que se han cruzado por ambos bandos acusaciones de trabajo poco cuidadoso, falta de rigor, apropiación del trabajo del otro, etc. No conozco ninguna recensión de la edición de Rashed que estoy citando en ninguna revista especializada, hasta la fecha.

2 No he podido consultar esta enciclopedia de la época mameluca. La referencia aparece en: http://web.uni-frankfurt.de/fb13/igaiw/geschichte_arabisch/geschichte_arabisch.html, la página del Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften (Instituto para la Historia de las Ciencias Árabo-islámicas), que dirige Fuat Sedgin, en el que se está publicando una monumental Geschichte des Arabischen Schrifttums (Historia de los escritos árabes).

3 Solomon Gandz publicó esta geometría hebrea junto con la parte de geometría del libro de álgebra de al-Khwārizmī, acompañadas ambas por su traducción al inglés, en Gandz (1932), y afirma que esa parte del libro de alKhwārizmī está simplemente copiada de ella, sin embargo pensaba que lo había leído en una traducción al sirio o al persa y no en hebreo (Gandz ,1932, pp. 63-64).

4 Ver Franci (2003). La traducción está en un manuscrito de comienzos del siglo xv. Franci indica que “la primera traducción en vernáculo completa y declarada del Al-jabr actualmente conocida está contenida en el manuscrito Fon. Prin. II. III. 198 de la Biblioteca Nacional de Florencia y es de finales del siglo xiv” (Franci, 2003, p. 29), con lo que el que ella ha editado sería unas décadas posterior, pero tiene el interés de que se sabe exactamente de qué texto latino fue traducido.

5 De hecho Anbouba (1978) ya mencionaba hace treinta años un manuscrito que estaba en Berlín.

6 Rashed (2007, p. 83) dice que conoce la existencia de otros dos, pero que son dif ícilmente accesibles, porque ambos se encuentran en Kabul, Afganistán (o, al menos, se encontraban). Uno, dice, forma parte de una colección privada, y lo tuvo entre sus manos en un viaje que hizo entre la caída de la monarquía y el comienzo de la invasión soviética, pero nunca le enviaron la copia fotostática prometida. El otro debería haber estado en la biblioteca del antiguo Palacio Real, en la que Rashed nunca tuvo autorización para entrar. Rashed concluye diciendo “se comprende que actualmente, después de la nueva invasión, sea imposible trabajar sobre el terreno” Rashed (2007, p. 83).

7 Se trata del manuscrito que luego llama S y que está en New York, Columbia.

Rashed dice que este manuscrito es una copia que el historiador David Eugene Smith hizo de la edición de Rosen. Rashed no parece haber leído a Gandz (1932) que cuenta que Smith compró ese manuscrito en Lahore (India) a un persa que se lo vendió como antiguo, para descubrir posteriormente que había sido timado, al comprobar que era de hecho una copia posterior a 1831 de la edición de Rosen.

8 A título de curiosidad diré que, aparte de tener una fotocopia de la edición original de 1831, que conseguí hace años en la biblioteca de Matemática Educativa del CINVESTAV de México, tengo una edición en facsímil publicada en 2003 por The University Press of the Pacific, Honolulu, Hawaii.

Primera pàgina del álgebra de al-Khwārizmī

Algorismus de Johannes de Sacrobosco (s. XII-XIII)

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C

Historias de al-Khwārizmī (3ª entrega).

Orígenes del álgebra.

abe poca duda hoy en día entre los historiadores de las matemáticas sobre el lugar central que ocupa en la historia del álgebra el libro de al-Khwārizmī Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libro conciso de cálculo de restauración y oposición). No sólo porque el nombre de la disciplina provenga de la decisión de Gerardo de Cremona de no traducir al latín la palabra al-jabr que designa una de las operaciones del cálculo, como ya conté en la segunda entrega de estas historias de al-Khwārizmī, sino también porque en ese libro de al-Khwārizmī está presente lo que podemos llamar el proyecto algebraico de resolución de problemas, y los objetos, los términos técnicos y el método que constituyen una nueva disciplina, así como su aplicación a otras disciplinas preexistentes. En esta entrega de las historias de al-Khwārizmī presentaré dos historias sobre el origen del libro y la originalidad de su contenido.

A todo libro famoso se le atribuye un origen mítico El libro de al-Khwārizmī es un libro escrito por encargo. El mismo al-Khwārizmī narra en sus primeros párrafos, después de las habituales invocaciones a Dios y a su profeta, que lo escribe a petición del califa al-Ma’mūn, y que lo hace “para ayudar a aclarar lo que era impenetrable y a facilitar lo que era dif ícil1” (Rashed, 2007, p. 94), sin atribuirse la invención de todo lo que va a presentar en él.

Djebbar (2005, pp. 41-42) cuenta que fue corriente entre los historiadores y comentaristas árabes medievales el atribuir un papel crucial en el origen del interés por el álgebra a uno de los personajes fundamentales en la historia de la fundación del Islam, cAlī, el yerno y primo del profeta, que a la muerte de éste sin que hubiera establecido ningún procedimiento para su sucesión fue considerado por sus seguidores como el único que legítimamente podía sucederle. El hecho de que cAlī no

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fuera el elegido como primer califa tras la muerte del profeta condujo a que sus seguidores no reconocieran la autoridad de ninguno de los tres primeros califas, y su asesinato, cuando finalmente fue nombrado califa, produjo la escisión chiíta del Islam, que persiste en nuestros días.

Según el origen legendario del álgebra, cAlī, el yerno y primo del profeta, mártir chiíta, habría sido el primer árabe en conocer el álgebra, una ciencia traída de Persia, que él habría aprendido en cinco días. Así se narra en el comentario al libro de al-Khwārizmī escrito por al-Khuzācī en el siglo XIII y conservado en un manuscrito en Estambul (Yeni Cami 803), que cita y traduce Rashed (2007, p. 4): Se cuenta que, bajo el califato de cUmar ibn al Khattāb, unos persas trajeron la ciencia del álgebra y al-muqābala. c Alī ibn Abī Tālib –que Dios esté satisfecho de él– aconsejó a cUmar ibn al Khattāb –que Dios esté satisfecho de él– que les gratificara con una subvención de dinero público, para que la enseñaran. Se le concedió. Se cuenta que entonces cAlī comprendió en cinco días lo que poseían de álgebra y al-muqābala. Después de lo cual, se continuó intercambiando esta ciencia oralmente, sin consignarla en un libro, hasta que el califato recayó sobre al-Ma’mūn, cuando ya desaparecía. Se informó de ello a al-Ma’mūn, que inquirió por expertos en la materia. Se encontró que sólo el Shayk

Abū Bakr Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī era experto en ella. Al-Ma’mūn le pidió entonces que compusiera un libro de álgebra y al-muqābala, para resucitar lo que había desaparecido. Éste consintió en escribir ese libro para fijar en él los principios del álgebra y al-muqābala, y para que sirviera de referencia.

La rapidez de aprendizaje de cAlī la envidiarían los escolares a lo largo de los siglos, pero esta leyenda no sólo proporciona un origen glorioso al álgebra, sino que establece la importancia del paso de la tradición oral, que siempre está en peligro de desvanecerse, a su fijación en un texto escrito. El gesto fundacional de al-Khwārizmī se presenta en esta leyenda como ese gesto de fijación y ordenación “para que sirva de referencia”, no muy distinto de la fijación de la palabra en los textos sagrados.

A todo libro famoso se le discute la prioridad Abandonando el terreno de lo legendario, de la historia sagrada, que convierte a al-Khwārizmī en el amanuense de lo que c Alī sabía, también en el terreno de los hombres vulgares se le ha discutido a al-Khwārizmī la originalidad de su libro de álgebra.

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Sabios que escribían libros para “elucidar los secretos de la ciencia y lo que encierra de obscuro”, de tres posibles maneras: O bien es un hombre que ha llegado a <descubrir> el primero lo que no se había descubierto antes de él y lo ha legado después suyo; o un hombre que ha explicado lo que sus predecesores habían dejado inaccesible, para aclarar su método, allanar el camino y acercar el acceso; o un hombre que ha encontrado un fallo en ciertos libros, y que entonces ha reunido lo que estaba disperso, ha enderezado su porte teniendo una buena opinión de su autor, sin echarle en cara el fallo ni enorgullecerse de lo que él ha hecho.

(Rashed, 2007, p. 94).

De las tareas de esos sabios, al-Khwārizmī parece que no pretenda situarse más que en la segunda, al decir que va a aclarar lo que era impenetrable y a facilitar lo que era dif ícil […] componer un libro conciso en el cálculo de aljabr y al-muqābala (Rashed, 2007, p. 94).

Portada del manuscrito de la biblioteca Bodleyan de Oxford del álgebra de al-Khwārizmī

No me refiero a quienes han atribuido a al-Khwārizmī, al igual que al conjunto de la ciencia árabe medieval, el papel de meros intermediarios entre el pasado glorioso de la matemática griega clásica y la matemática que renace en el occidente cristiano después de años oscuros. El competidor al que me refiero es el libro que Aydin Sayili ha editado y traducido al turco y al inglés con el título Logical Necessities in Mixed Equations, escrito por un cAbd al-Hamīd Ibn Turk en la misma época en que al-Khwārizmī escribió el suyo (Sayili, 1962), y que ya el nieto del autor del libro, que también era matemático, que vivió a finales del siglo IX y principios del siglo X, y a quien se conoce con el nombre de Abū Barza, habría afirmado que el libro de su abuelo era anterior al de alKhwārizmī (Djebbar, 2005, pp. 44-45).

El orgullo familiar del nieto de Ibn Turk estuvo probablemente detrás de su reivindicación de la prioridad del libro de su abuelo sobre el libro de al-Khwārizmī, que ya en ese momento se había convertido efectivamente, la propia protesta de Abū Barza se convierte en una prueba de ello, en el libro de referencia sobre el cálculo de al-jabr y al-muqābala.

Djebbar (2005) afirma que no sólo era el libro de referencia, sino que su prioridad prevaleció ya a partir del siglo x, como lo atestigua la reivindicación que hace de ello Abū Kāmil en la introducción de su libro de álgebra2:

De hecho, al-Khwārizmī no reivindica que lo que presente en su libro no lo haya tratado nadie antes que él. Más bien se limita a colocarse en una estirpe:

Habiendo estudiado mucho los libros de los sabios <relativos> al cálculo y habiendo investigado sus afirmaciones y lo que hay de más precioso en lo que han escrito en sus libros, he constatado que el libro de Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, que se conoce bajo <el título de> La restauración y la comparación, es aquel cuyo fundamento es el más preciso y cuya demostración es la más verdadera; lo que debería incitarnos, a nosotros especialistas en cálculo, a reconocer su ciencia y su preeminencia, porque él ha precedido <a los otros> en la realización del Libro de al-jabr y al-muqābala, que él es su iniciador y que él ha inventado los fundamentos que contiene. (Djebbar, 2005, p. 45)

Los sabios del tiempo pasado y de las naciones de antaño continuaban escribiendo libros que componían en los distintos tipos de ciencias y los diversos aspectos de la sabiduría, para que los que les sucedieran y en previsión de una recompensa, en la medida de su capacidad […] (Rashed, 2007, p. 92).

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Primera página del manuscrito de la biblioteca Bodleyan de Oxford del álgebra de al-Khwārizmī

Abū Kāmil va en su reivindicación mucho más lejos de lo que el propio al-Khwārizmī se atribuía, y probablemente barre para casa (aunque él fuera egipcio, como atestigua que se le conociera como al-Hāsib al-Misrī, el calculista egipcio).

está escrito antes, ni mucho menos que uno copiara del otro o se inspirara en él, pero sí que el texto de Ibn Turk es una prueba contra el que al-Khwārizmī iniciara, como dice Abū Kāmil, la ciencia del álgebra, inventando sus fundamentos.

Sayili, historiador turco como Ibn Turk, estira en la otra dirección, a pesar de que lo único que tiene para reivindicar la prioridad de Ibn Turk sea un texto muy breve, que ensalza:

El texto de cAbd al-Hamīd, sin embargo, puede decirse que corrobora la hipótesis contraria. El álgebra de cAbd alHamīd y al-Khwārizmī no parece estar en absoluto cerca del estado de su génesis. No tiene los rasgos de un álgebra que aún no ha terminado de recorrer un proceso inicial de desarrollo, sino un álgebra con reglas, tradiciones y puntos de vista bien establecidos (Sayili, 1962, p. 125).

El texto que existe de cAbd al-Hamīd Ibn Turk, que tiene unas mil cuatrocientas palabras, es probablemente un capítulo del Álgebra de cAbd al-Hamīd. Posiblemente es sólo una parte de un capítulo, pero en ese caso constituye un apartado bien definido, completo en sí mismo, con principio y fin (Sayili, 1962, p. 99).

Con tan poco material, Sayili concede no poder demostrar cuál de los dos textos, el de Ibn Turk o el de al-Khwārizmī,

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Sayili, al no poder probar la prioridad de Ibn Turk, le quita la prioridad a ambos sobre la fundación del álgebra como disciplina independiente, colocándolos en un estadio desarrollado de la disciplina tras un pasado del que lamentablemente no quedan huellas.

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Al-Khwārizmī no ha pretendido inventar gran cosa, sino partir de un conocimiento preexistente, el que el califa le ha pedido que explique. Jens Høyrup en un artículo que publicó en 1986 comparaba, tanto el libro de álgebra de al-Khwārizmī como el fragmento que se conserva de Ibn Turk, con otro libro de un tal Abū Bakr, que sólo se conoce por una traducción medieval latina del siglo XII hecha por Gerardo de Cremona, que lleva el título de Liber Mensurationum3. Una parte de ese libro contiene una serie de problemas que están resueltos de dos maneras: una que sigue una pauta similar a la de los textos paleobabilónicos y otra que Abū Bakr indica que está hecha “según al-jabr” y que es muy similar a la que aparece en el libro de al-Khwārizmī. Esta segunda técnica correspondería a una tradición, que Høyrup califica de subcientífica, propia de los que Thābit ibn Qurrah llama “gentes de aljabr” o “seguidores de al-jabr”4, que según Høyrup probablemente eran algún tipo de contables.

Høyrup se inclina por que el texto de Ibn Turk sea anterior al de al-Khwārizmī, pero eso no lo hace valorarlo como un iniciador del álgebra ya que, al compararlo con el Liber Mensurationum, Høyrup encuentra el texto de Ibn Turk más primitivo en las demostraciones por parecerse al Liber Mensurationum más que el texto de al-Khwārizmī.

En Ibn Turk encontramos […] un paralelismo más patente con la tradición de geometría ingenua que está reflejada en el Liber Mensurationum que en el caso de al-Khwārizmī (Høyrup, 1986, p. 474).

El trasfondo sobre el que escriben tanto Ibn Turk como alKhwārizmī sería, en opinión de Høyrup, tanto lo que podemos llamar el álgebra babilónica, como esas tradiciones que llama “subcientíficas” y que están representadas en el libro de Abū Bakr. Sobre ese trasfondo, al “aclarar lo que era impenetrable y […] facilitar lo que era dif ícil” construye alKhwārizmī, lo que se reconocerá a partir de él como una nueva disciplina.

Algo de la radical novedad que supone el paso del álgebra babilónica al álgebra de al-Khwārizmī examiné en mi texto La resolución de problemas en la historia de las matemáticas (Puig, 2006), y sobre lo que hay en general de radicalmente nuevo en el texto de al-Khwārizmī he escrito en varias ocasiones (p. e., Puig, 1998, 2008)5. Volveré sobre ello en la próxima entrega de estas historias.

HISTORIAS

Las fotograf ías que ilustran este artículo son de Marisa Fernández que las hizo en un viaje a Uzbekistán en 2007.

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NOTAS 1 Traduzco aquí de la traducción francesa de Roshdi Rashed.

2 Cito la introducción a partir de Djebbar (2005) porque no dispongo del manuscrito árabe que él cita, y en las ediciones publicadas de las versiones medievales latina (Sesiano, 1993) y hebrea con traducción al inglés (Levey, 1966) del libro de Abū Kāmil, la introducción no aparece.

3 Este libro ha sido editado por Busard (1968).

4 El texto de Thābit ibn Qurrah se titula Proposiciones sobre la rectificación de los problemas del álgebra mediante demostraciones geométricas, está escrito unos cincuenta años después de la aparición del de al-Khwārizmī y está editado en Luckey (1941).

5 Estos tres textos están disponibles en http://www.uv.es/puigl/textos.htm en formato pdf.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BUSARD, H. L. L. (1968). L’algèbre au Moyen Âge: Le ‘Liber Mensurationum’ d’Abu Bekr. Journal des Savants, avril-juin, pp.

65-125.

DJEBBAR, A. (2005). L’algèbre arabe. Genèse d’un art. Paris: Vuibert / Adapt.

PUIG, L. (2006). La resolución de problemas en la historia de las matemáticas. En Aymerich, José V. y Macario, Sergio (Eds.) Matemáticas para el siglo XXI (pp. 39-57) Castellón: Publicacions de la Universitat Jaume I.

HØYRUP, J. (1986). Al-Khwârizmî, Ibn Turk, and the Liber Mensurationum: On the Origins of Islamic Algebra, ERDEM 2, 445-484.

PUIG, L. (2008). History of algebraic ideas and research on educational algebra. In M. Niss (Ed.) Proceedings of the Tenth International Congress on Mathematical Education. CD-version.

Roskilde: IMFUFA, Department of Science, Systems and Models, Roskilde University.

LEVEY, M. (Ed.) (1966). The Algebra of Abû Kâmil, in a Commentary

by Mordecai Finzi. Hebrew text and translation, and commentary. Madison, WI: The University of Wisconsin Press

RASHED, R. (Ed.). (2007). Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algèbre. Paris: Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard.

LUCKEY, P. (1941). Thâbit b. Qurra über den geometrischen Richtigkeitsnachweis der Auflösung der quadratischen Gleichungen. Sitzungsberichte des sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-physische Klasse.

Berichte 93, pp. 93-114.

SAYILI, A. (Ed.). (1962). Abdülhamid ibn Türk’ün Katışık denklemlerde Mantıkî Zururetler adlı yazısı ve Zamanın Cebri (Logical necessities in mixed equations by cAbd al-Hamîd Ibn Turk and the algebra of his time). Ankara: Türk Tarih Kurumu Basımevi.

PUIG, L. (1998). Componentes de una historia del álgebra. El texto de al-Khwarizmi restaurado. En F. Hitt (Ed.) Investigaciones en Matemática Educativa II (pp. 109-131). México, DF: Grupo Editorial Iberoamérica.

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SESIANO, J. (1993). La version latine médiévale de l’Algèbre d’Abû Kâmil. In M.FOLKERTS, AND J. P. HOGENDIJK (Eds.) Vestigia Mathematica. Studies in medieval and early modern mathematics in honour of H. L. L. Busard (pp. 315-452). Amsterdam and Atlanta, GA: Editions Rodopi B. V.

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Historias de al-Khwārizmī (4ª entrega). El proyecto algebraico.

P roblema problematum El libro de François Viète (1540-1603) Introducción al arte analítica (In artem analyticem Isagoge)1, que se considera por muchos historiadores como el que comienza el álgebra simbólica, termina enunciando cuál es la ambición del proyecto algebraico: 29. Denique fastuosum problema problematum ars Analytice, triplicem Zetetices, Poristices & Exegetices formam tandem induta, iure sibi adrogat, Quod est, NULLUM NON PROBLEMA SOLVERE.

raleza es el propósito de Descartes expresado en su libro inacabado y publicado sólo póstumamente Reglas para la dirección del espíritu (Regulæ ad directionem ingenii)3, cuyas reglas pueden reescribirse de manera que sean la descripción precisa y metódica de cómo resolver cualquier problema transformándolo en un sistema de ecuaciones4.

El Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libro conciso de cálculo de restauración y oposición), el libro de álgebra de al-Khwārizmī, es el primer libro que conocemos del que se puede decir que se plantea ese proyecto, que lo que pretende es que todos los problemas puedan ser resueltos.

[29. Finalmente, el Arte Analítica, una vez ha sido presentada en su triple forma de Zetética, Porística y Exegética2, se apropia a justo título del fastuoso problema de los problemas, que es: NO DEJAR NINGÚN PROBLEMA SIN RESOLVER] (Viète, 1591, p. 9r).

Último párrafo del libro de Viète In artem analyticem Isagoge

La declaración de Viète es pues explícita: de lo que se trata es de tener una manera de trabajar, un arte, que garantice que todos los problemas pueden ser resueltos. De la misma natu-

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El proyecto algebraico Como dice Viète, esa pretensión de resolver problema problematum, el problema de los problemas, es fastuosa, desmesurada. ¿Cómo se puede estar seguro de que todos los problemas pueden resolverse? ¿Con qué medios puede abordarse ese problema problematum? ¿Cómo lo hace en concreto el álgebra?

Los matemáticos griegos ya tuvieron esa pretensión y forjaron para ello el método de análisis y síntesis. Ahora bien, el método de análisis y síntesis es un método heurístico, es decir, sirve para descubrir, ése es el significado del verbo griego heuriskō del que se deriva la palabra “heurística”. Concebido como un método de resolución, sirve para descubrir la solución de los problemas5, pero como es un método heurístico lo que hace es transformar el problema original en otros problemas, sin que dé garantías de que esos otros problemas puedan ser resueltos6. El proyecto algebraico necesita transformar el método de análisis y síntesis y completarlo, si quiere tener éxito con el problema de los problemas.

bre para su nueva álgebra. Las especies de números no representan números concretos, sino formas distintas que los números pueden adoptar cuando se calcula con ellos, son, en ese sentido, indeterminados. Las incógnitas de los problemas aritméticos, que son números desconocidos, pero determinados, ya que están dados por las relaciones del enunciado del problema, pueden convertirse así en el objeto del cálculo: por el intermedio de considerarlas no como números, sino como especies de números, y por tanto su carácter de dado está tomado como posibilidad de haber sido dado.

Una parte crucial de esa transformación del método de análisis y síntesis es superar la concepción griega de la necesidad de tratar con objetos que estén dados. Klein (1968) explica cuál es el escollo: la síntesis sólo puede realizarse en la concepción griega con magnitudes que han sido dadas7. Cuando el análisis se realiza en problemas que tratan con objetos geométricos, el carácter de “dado” puede tomarse como “posibilidad de haber sido dado” al trazar la figura de análisis que da la construcción por ya realizada y constituye el primer paso del análisis: Esta “posibilidad de haber sido dado” aparece en el análisis geométrico en el hecho de que la construcción que se considera como ya efectuada […] no necesita el uso de magnitudes “dadas” como unívocamente determinadas, sino sólo como que tienen el carácter de haber sido “dadas” (Klein, 1968, p. 164).

Ahora bien, Klein se pregunta cómo puede transferirse esa situación al análisis en el terreno de la aritmética, y responde: Portada del libro de Viète In artem analyticem Isagoge

Claramente de esta manera: que los números “dados” en un problema se consideren sólo en su carácter de haber sido dados, y no como precisamente esos números determinados (Klein, 1968, p. 164).

Es decir, que, cuando los problemas pertenecen al terreno de la aritmética, es necesario para efectuar el análisis que los números se consideren como dados, pero no determinados.

Pero, se pregunta Klein ahora, “¿cómo puede ser que números dados y por tanto determinados desempeñen un papel indeterminado?” (Klein, 1968, p. 165). La manera de Viète de superar este escollo es abandonar el cálculo con números, lo que él llama Logistica8 numerosa, y crear un cálculo con especies de números, lo que él llama Logistica especiosa, que es otro nom-

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Esta ruptura con el escollo de la concepción griega de con qué puede calcularse, le permitirá a Descartes, poco después de Viète, zanjar el asunto estableciendo que en el análisis hay que tratar de la misma manera lo conocido y lo desconocido, y decir que ahí reside el meollo del método:

[…] totum huius loci artificium consistet in eo, quod ignota pro cognitis supponendo possimus facilem & directam quærendi viam nobis proponere, etiam in difficultatibus quantumcumque intricatis9. (Descartes, 1701, pp. 61-62)

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El proyecto algebraico usa pues, para resolver el problema de los problemas, un cálculo con especies de números que permite tratar de la misma manera lo conocido y lo desconocido en el análisis de los problemas, y ese cálculo con especies se establece como un lenguaje, un sistema de signos, específico.

En Viète, el sistema de signos está en el umbral de lo simbólico, casi se puede calcular con él en el terreno de la expresión sin recurrir al terreno del contenido, en Descartes ya es plenamente simbólico10.

El uso de un cálculo con especies ya está presente en las Aritméticas de Diofanto11, y en este libro de Diofanto, las especies de números se representan mediante abreviaturas de sus nombres. El sistema de signos es, por tanto, sincopado, en este sentido, y no permite el cálculo en el nivel de la expresión.

El álgebra de al-Khwārizmī también está basada en un cálculo con especies, que veremos de inmediato.

Pero, aunque este desarrollo de un cálculo con especies sea un elemento crucial del proyecto algebraico, no basta para resolver el problema de los problemas. Para ello es necesario contar al menos con otras dos cosas. Por un lado, el cálculo con especies es un lenguaje, un sistema de signos, distinto del lenguaje natural en el que están expresados los problemas. Así que hace falta que el nuevo método establezca cómo traducir el enunciado de cualquier problema a una expresión en ese nuevo sistema de signos. Por otro lado, las expresiones que resultan de la traducción de los problemas son ecuaciones, de modo que hace falta saber resolver todas las ecuaciones.

Es decir que, una vez establecido el procedimiento de traducción de enunciados de problemas a ecuaciones en el método de análisis, el problema de los problemas queda reducido a tener un procedimiento de solución de todas las ecuaciones.

Pero ese problema sigue siendo fastuoso, casi tan desmesurado como el problema de los problemas, ya que hay un sinnúmero de ecuaciones. Sin embargo, el lenguaje del álgebra tiene una estructura y una sintaxis que permite hacer con sus expresiones algo que no puede hacerse con el lenguaje vernáculo. La infinidad de ecuaciones distintas que pueden aparecer como traducción de los enunciados de problemas se pueden clasificar en conjuntos finitos de ecuaciones representados por formas canónicas. El problema de los problemas se reduce entonces a dos cosas: saber resolver todas las formas canónicas, y tener un cálculo que permita transformar cualquier ecuación en una de las formas canónicas.

Resumiendo todo lo dicho, el proyecto algebraico de resolución del problema de los problemas consiste en: • La elaboración del concepto de especie de número.

• La elaboración de un sistema de signos específico para tratar el cálculo con especies.

• El establecimiento de un procedimiento de traducción del enunciado de un problema a una ecuación.

• La clasificación de las ecuaciones en formas canónicas, y el establecimiento de todas las formas canónicas.

• La elaboración de un cálculo que garantice transformar cualquier ecuación en una forma canónica.

• La resolución de todas las formas canónicas.

El proyecto algebraico de al-Khwārizmī El propio orden con el que organiza al-Khwārizmī su Kitāb almukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libro conciso de cálculo de restauración y oposición) es una indicación de que se está planteando resolver el problema de los problemas. En efecto, el libro podemos dividirlo en las siguientes partes12: 1. Introducción.

2. Las especies de números.

3. Las (seis) formas canónicas, simples y compuestas.

4. Los algoritmos de solución de las formas canónicas.

5. Las demostraciones de los algoritmos de solución de las formas canónicas compuestas.

6. Sobre la multiplicación [de expresiones con especies].

7. Sobre la adición y la substracción [de expresiones con especies y con radicales].

8. Sobre la división [de radicales].

9. Los seis problemas [ejemplos de las seis formas canónicas].

10. Varios problemas.

11. Transacciones mercantiles13.

12. Medida14 [de áreas y volúmenes].

13. Testamentos15.

14. Devolución de dotes.

Al-Khwārizmī comienza efectivamente definiendo las especies de números con las que va a calcular. En la introducción, tras indicar que el libro lo escribe por encargo del califa alMa’mūn, dice que quiere exponer “lo que las gentes necesitan en sus herencias, legados, repartos, arbitrajes, comercios […] medida de tierras, perforación de canales, medición y otras cosas que dependen del cálculo” (Rashed, 2007, p. 94-9516). A continuación presenta las especies de números como las formas que adoptan los números que se necesitan en el cálculo: He encontrado que los números que se necesitan en el cálculo de aljabr y al-muqābala son de tres especies, que son: raíces, tesoros y números simples no relacionados con raíz ni con tesoro. La raíz (jidr) es cualquier cosa que se multiplica por sí misma, como la unidad, o los números, que le son superiores, o las fracciones17, que le son inferiores. El tesoro (māl) es todo lo que resulta de la raíz multiplicada por sí misma. El número simple (cadad mufrad) es todo lo que, entre los números, es expresable y que no se relaciona con raíz ni con tesoro (Rashed, 2007, p. 96-97; Hughes, 1986, p. 23318).

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Traduzco las palabras que usa al-Khwārizmī para designar las tres especies de números, jidr, māl, y cadad mufrad, de forma bastante literal, por ‘raíz’, ‘tesoro’19 y ‘número simple’. Cabe identificar sin más las tres especies de números con los tres términos de la forma canónica de una ecuación de segundo grado, y decir entonces que la raíz es la incógnita, x, que māl es la segunda potencia de la incógnita, el cuadrado, x2, y que “número simple” es el término independiente, pero esta identificación es anacrónica. Aunque traducir así las especies de números hace más legible el texto de al-Khwārizmī para un lector actual, es aras de la legibilidad se sacrifica la posibilidad de comprensión de cuáles eran los conceptos que alKhwārizmī elaboraba y usaba; más aún, traducir así hace poco patente que se trata de especies de números.

Si examinamos las definiciones de al-Khwārizmī y el uso que hace de esos términos en el libro, podemos ver que la raíz no es la incógnita, al-Khwārizmī tiene otro nombre para la incógnita, shay’, cosa, que no aparece hasta el apartado “Sobre la multiplicación”, que en nuestra división del libro en partes es la sexta. La cosa se identificará con la raíz, pero si hay que identificar esos dos términos es porque de entrada no son idénticos: “cosa” designa una cantidad desconocida, “raíz” es una especie de número.

Un número es de la especie jidr, “raíz”, si en algún momento de los cálculos se multiplica por sí mismo: lo que hace que se califique a un número de “raíz” no tiene nada que ver con que sea o no sea una cantidad desconocida de un problema, “raíz” no designa a una incógnita como hace la x en el sistema de signos actual del álgebra. De hecho, cuando al-Khwārizmī está definiendo qué es una raíz, está hablando de números, que son por tanto, cantidades conocidas, dadas, no está hablando de cantidades desconocidas, de incógnitas, y lo que está definiendo es la forma que tiene un cierto tipo de números cuando se usan en cálculos aritméticos.

Correlativamente, un número es de la especie māl, “tesoro”, si en algún momento de los cálculos se ha obtenido como resultado de que un número se ha multiplicado por sí mismo (número que será la raíz de ese tesoro). Finalmente, un número es de la especie cadad mufrad, número simple, si en el curso de los cálculos no se ha multiplicado por sí mismo ni ha sido el resultado de la multiplicación de un número por sí mismo.

Si queremos que la traducción conserve en la medida de lo posible los conceptos de al-Khwārizmī, no podemos por tanto leer las especies de números como potencias de la incógnita.

Además, en el caso de māl, su traducción por ‘cuadrado’ es inconveniente por más motivos. Høyrup (1991) da tres razones de peso para no hacerlo. En primer lugar, ‘cuadrado’ tiene un significado geométrico del que māl carece por completo,

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con lo que traducir māl por ‘cuadrado’ hace incomprensible el esfuerzo de al-Khwārizmī (en la parte del libro en que demuestra los algoritmos) para explicar que māl puede representarse mediante un cuadrado. La segunda potencia de la incógnita y la figura geométrica se nombran en castellano con la misma palabra ‘cuadrado’, pero en el árabe matemático, hay dos palabras distintas para dos conceptos de ámbitos distintos: māl es una especie de número y el cuadrado, figura geométrica, se dice murabc. En segundo lugar, el significado de x2 como cuadrado de la incógnita, propio del álgebra elemental actual, hace que para un lector actual carezca de sentido considerar el cuadrado como incógnita; por lo tanto, una consecuencia de traducir māl por ‘cuadrado’ es que entonces no se entiende por qué al-Khwārizmī, después de encontrar la raíz, calcula también el māl, cuando es éste la incógnita del problema. En tercer lugar, la identificación de māl con x2 conlleva la identificación de la raíz con la raíz de la ecuación, cuando para al-Khwārizmī es la raíz del māl, la raíz del tesoro.

Esta inconveniencia de traducir māl por cuadrado no es de hecho una novedad. Ya Gerardo de Cremona, en el siglo XII, tradujo māl por census, y no por quadratus, y la traducción de Gerardo de Cremona hizo tal fortuna que la palabra census, que en latín significa “patrimonio”, “riqueza”, fue usada en libros de álgebra escritos en latín en la época medieval, y también más adelante cuando en el Renacimiento empezaron a aparecer libros de álgebra en lenguas vernáculas. En éstos, la palabra census, convertida en término técnico, cuyo significado en el lenguaje natural ya carecía de importancia, no se tradujo sino que se castellanizó (censo20), catalanizó (cens) o italianizó (censo)21.

El libro de al-Khwārizmī presenta pues un primer rasgo de lo que he llamado el proyecto algebraico ya que comienza definiendo especies de números con las que va a calcular, así que no va a tener que calcular con números dados, sino que va a poder hacerlo con formas de números, que tienen carácter indeterminado. Pero en esto al-Khwārizmī no es distinto de Diofanto, que también comienza sus Aritméticas de forma parecida, e incluso con una lista más larga de especies de números22. Sin embargo, hay algo que los distingue y que no se encuentra en ningún libro conocido anterior al de alKhwārizmī. Diofanto dice que muchos de los problemas aritméticos se pueden tratar con cálculos aritméticos con las especies y resuelve un gran número de problemas, desarrollando técnicas para ello. Al-Khwārizmī pretende resolverlos todos, y para ello comienza por establecer cuáles son todas las posibilidades de combinación de las especies de números. Ese gesto combinatorio sitúa el proyecto de al-Khwārizmī en el corazón de lo que hemos llamado el proyecto algebraico: la determinación de cuáles son todas las posibilidades es el paso fundamental para poder resolver el problema problematum, el problema de los problemas, resolver todos los problemas.

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Al-Khwārizmī encuentra que todas las posibilidades son seis, tres simples (Rashed, 2007, pp. 96-97 Hughes, 1998, p. 233), y tres compuestas (Rashed, 2007, pp. 100-101 Hughes, 1998, p.

234), a saber: tesoro igual a raíces tesoro igual a número raíces igual a número tesoro y raíces igual a número tesoro y número igual a raíces raíces y número igual a tesoro Esas seis posibilidades son otras tantas formas canónicas, a las que se tratará de que mediante el cálculo de al-jabr y almuqābala se pueda reducir cualquier ecuación que resulte de traducir un problema a este lenguaje algebraico23. AlKhwārizmī prosigue el libro, como hemos indicado al dividirlo en partes, enunciando una regla algorítmica para resolver cada una de las formas canónicas y demostrando los algoritmos. Con ello, todas las ecuaciones que se pueden transformar en las seis formas canónicas se pueden resolver, y éstas son todas las formas canónicas. Precisemos: todas dentro de un dominio acotado previamente, el de las tres especies de números de las que parte al-Khwārizmī. Al-Khwārizmī no resuelve pues el problema de los problemas, pero sí que presenta en un mundo de problemas manejable un modelo de cómo abordarlo. La continuación está implícita: basta con ampliar el conjunto de especies de números y aplicar de nuevo una combinatoria que garantice que se están considerando todas las formas canónicas para ese nuevo conjunto de formas canónicas. c

Eso es exactamente lo que hace Umar al-Khayyām (10481131) unos dos siglos más tarde en su Tratado de álgebra y almuqābala (Rashed y Vahebzadeh, 1999): habla de una lista de especies más larga, que se prolonga “tan lejos como se quiera”, y de la que se sabe que están en proporción continua “la razón del número a las raíces es igual a la razón de las raíces a los tesoros y es igual a la razón de los tesoros a los cubos, y es igual a la razón de los cubos a los tesoro-tesoros, y esto tan lejos como se quiera” (Rashed y Vahebzadeh, 1999 pp. 120123), y luego establece todas las formas canónicas hasta la especie siguiente a las consideradas por al-Khwārizmī, es decir, hasta el cubo.

al-jabr wa’l-muqābala

La lista de todas las posibilidades tiene veinticinco formas canónicas (Rashed y Vahebzadeh, 1999 pp. 124-129): número igual a raíz número igual a tesoro número igual a cubo raíces igual a tesoro tesoros igual a cubo raíces igual a cubo tesoro y raíz igual a número tesoro y número igual a raíz raíz y número igual a tesoro cubo y tesoro igual a raíz cubo y raíz igual a tesoro cubo igual a raíz y tesoro cubo y raíz igual a número cubo y número igual a raíz número y raíz igual a cubo cubo y tesoro igual a número cubo y número igual a tesoro número y tesoro igual a cubo cubo y tesoro y raíz igual a número cubo y tesoro y número igual a raíz cubo y raíz y número igual a tesoro cubo igual a raíz y tesoro y número cubo y tesoro igual a raíz y número cubo y raíz igual a tesoro y número cubo y número igual a raíz y tesoro El proyecto algebraico tropieza con un escollo: cUmar alKhayyām no encuentra algoritmos para todas las formas canónicas. Sin embargo, sí que es capaz de encontrar, cuando el algoritmo no está disponible, un procedimiento de construcción de la solución mediante intersecciones de cónicas.

Admirable solución, pero que no satisface el proyecto algebraico. No es éste el lugar para exponer la continuación de la historia que conduce a la teoría de Galois y el álgebra moderna. Volvamos al libro de al-Khwārizmī.

Hasta esta altura de su libro, al-Khwārizmī no ha resuelto aún ningún problema concreto, pero ya ha puesto las bases del proyecto algebraico. Para resolver problemas concretos le falta poder traducir cualquier enunciado a una expresión del cálculo con especies y transformar las expresiones en una de las formas canónicas. Los capítulos siguientes del libro se dedican a ello, y en ellos aparece un nuevo término técnico, shay’, cosa, que en el occidente medieval cristiano acabará constituyendo otro nombre del álgebra cuando no se quiera usar su nombre bárbaro: el arte de la cosa. Trataremos de ello en la próxima entrega de estas historias.

HISTORIAS

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NOTAS 1

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Viète publicó en 1591 a sus expensas (era un hombre de negocios en buena situación económica y se publicada él mismo sus escritos) este libro, que tiene el tamaño de un manifiesto: 9 folios. Esta edición original latina está disponible en Gallica, http://gallica.bnf.fr/, la biblioteca digital de la Biblioteca Nacional de Francia. Existe una traducción al francés hecha poco después de la muerte de Viète por Vaulézard, con largos comentarios de éste intercalados en la traducción, en un volumen titulado La nouvelle algèbre de M. Viète, que también contiene otro libro de Viète que continúa éste. De esa traducción francesa hay una edición facsímil reciente (Vaulézard, 1986). Hay una traducción inglesa de J. Winfree Smith incluida como apéndice de la edición inglesa del clásico estudio de Jakob Klein Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, que está accesible en una reedición barata de la editorial Dover (Klein, 1968).

Viète pretende en este libro “restaurar el análisis matemático” de los griegos, y así lo subtitula, como una parte de su “restauración del análisis matemático”. Para ello parte del texto de Pappus en el que éste describe el método de análisis y síntesis, y lo transforma a su manera mediante el álgebra, que transforma a su vez en lo que él llama “logística especiosa” o cálculo con especies. La zetética, la porística y la exegética son los tres términos que Viète introduce para caracterizar las tres partes del nuevo análisis. Pappus distingue entre dos tipos distintos de análisis: el problemático (cuando se trata de resolver un problema) y el teorético (cuando se trata de demostrar un teorema). Viète toma la palabra zētētikón (que significa “investigación”) de la descripción del análisis teorético y la palabra poristikón (que significa “obtención”) de la descripción del análisis problemático, para las partes de su nuevo análisis en el que se plantea una ecuación (por la zetética), y se examina la verdad del teorema que expresa la ecuación (por la porística), y añade una tercera parte cuyo nombre, exegética, viene de una palabra griega que significa “mostrar”, y que consiste en resolver la ecuación para obtener los valores concretos. La terminología de Viète es bastante idiosincrásica, lo que hizo que apenas hiciera escuela y que no se haya conservado en absoluto. Estos tres términos introducidos para las tres partes del nuevo análisis son una buena muestra de su uso idiosincrásico de la terminología, ya que el término usado para la parte del nuevo análisis en que se examina un teorema está tomada del análisis problemático, y el término usado para la parte del análisis en que el problema se traduce a una ecuación está tomado del análisis teorético.

3

La edición canónica de las obras de Descartes es la de Charles Adam and Paul Tannery, Œuvres de Descartes, cuyo volumen X contiene el original latino de las Reglas, que no se publicó en vida de Descartes. La primera vez que las Reglas se imprimieron fue en una colección de textos no publicados que se editó en Holanda en 1701, con el título Opuscula posthuma physica et mathematica (Descartes, 1701).

4

En la entrega anterior de estas historias (Puig y Navarro, 2010) ya citaba mi caracterización del método cartesiano en forma de una serie de pasos que describen la conducta del sujeto ideal y, por tanto, pueden considerarse como un modelo de competencia en la resolución (algebraica) de problemas.

En Puig (2003) y Puig y Rojano (2004) expongo con un cierto grado de detalle cómo derivar ese modelo de competencia de lo que dice Descartes en las Regulæ y en la Geometría, reelaborando y modificando lo que ya presentó Pólya en el capítulo “The cartesian pattern” del volumen primero de su libro Mathematical Discovery (Pólya, 1962).

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En su exposición del método de análisis y síntesis, Pappus distingue entre el análisis problemático y el teorético, ya se trate de resolver problemas o demostrar teoremas. Siguiendo en esto a Polya, yo considero que problemas y teoremas son ambos problemas (unos “de encontrar” y los otros “de demostrar”), con lo que el método de análisis y síntesis es un método de resolución de problemas (Puig, 1996; Polya, 1945).

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Sobre esta característica de la heurística, ver Puig (1996, p. 46) y Polya (1965, p. 84).

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Euclides escribió un libro que se suele conocer con su nombre latino Data, pero que se titula en griego Dedomena, el participio pasado pasivo en plural del verbo “dar”, y significa, por tanto, “que han sido dados”. Pappus lo consideraba como uno de los libros que formaban parte del “Tesoro del Análisis”.

Sobre el significado de dedomenon, ver mi texto sobre otro libro, este medieval, que también trata de lo que sido dado: el De Numeris Datis de Jordanus de Nemore (Puig, 1994)

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En la tradición griega hay dos disciplinas distintas que tratan con números: la Aritmética y la Logística. La Aritmética estudia la naturaleza de los números y los clasifica, la Logística estudia los cálculos con números. En los

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Elementos de Euclides sólo hay aritmética, no hay nada de logística, de hecho, todas las proposiciones de los libros aritméticos de los Elementos acaban con la frase “como queríamos demostrar”, es decir están tratadas como teoremas. Por el contrario, el libro de Diofanto que se conoce con el nombre de las Aritméticas, es, desde este punto de vista, un libro de logística, no de aritmética.

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Juan Manuel Navarro Cordón traduce de esta manera: “[…] el artificio entero de esta exposición consistirá en que, suponiendo lo desconocido como conocido, podamos preparar un camino de investigación fácil y directo, incluso en las dificultades más intrincadas que se quiera” (Descartes, 1984, p. 161).

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Ver en el apartado “Una historia de la simbolización” de Puig y Rojano (2004) cómo la creación del actual sistema de signos del álgebra combina elementos del sistema de signos de Viète y del de Chuquet-Bombelli, pero cómo a cada uno de ellos le falta una característica, que el otro posee: en el caso de Viète, las especies se representan mediante abreviaturas de sus nombres, en vez de mediante números, lo que no permite el cálculo en la expresión; en el caso de Chuquet-Bombelli, no hay ningún signo para representar las cantidades, sólo se representa de qué especie es una cantidad, lo que impide representar más de una cantidad con signos distintos.

11

La edición canónica es la de Tannery (1893). Hay una traducción castellana reciente en Nívola (Diofanto de Alejandría, 2007).

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Las cinco primeras partes no aparecen como capítulos en el libro.

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Las traducciones latinas de Gerardo de Cremona (Hughes, 1986) y de Robert de Chester (Hughes, 1989) sólo llegan hasta aquí. La de Robert de Chester titula este capítulo de transacciones mercantiles “Regula de tribus”, es decir, “Regla de tres”; de hecho, los problemas planteados están todos resueltos mediante una regla de tres.

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Moreno (Al-Jwarizmi, 2009) traduce este capítulo como “Capítulo de geometría”. Rosen (1831) y Rashed (2007) traducen ambos por “medida”. En el texto árabe la palabra que aparece es masāhat, que significa medición, área; la palabra árabe que se usa para geometría es handasa. Solomon Gandz traduce masāhat por “área” en el texto en que mantiene que este capítulo del libro de al-Khwārizmī es simplemente una versión del Mishnat ha Middot, la primera geometría escrita en hebreo alrededor del año 150, y lo demuestra traduciendo el texto de al-Khwārizmī como apéndice a su edición y traducción inglesa del texto hebreo del Mishnat ha Middot, y comparando ambos textos (Gandz, 1932). Por supuesto que Roshdi Rashed opina, por el contrario, que el Mishnat ha Middot es un texto mucho más tardío, que depende de fuentes árabes, y que al-Khwārizmī no lo usa (Rashed, 2007, p. 57).

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Este capítulo y el siguiente que tratan de problemas de repartos de herencias y devolución de dotes, siguiendo lo establecido por la ley islámica, ocupan la mitad del libro, y están desglosados en varios capítulos, que no detallo aquí.

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En la edición de Rashed, el texto árabe está en las páginas impares y su traducción francesa en las páginas pares; en las citas, indico ambas páginas.

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Las fracciones, cuando no se especifica más, son fracciones propias, por tanto, menores que la unidad. De hecho, en la matemática árabe se llamaban fracciones “expresables” las fracciones unitarias, que además eran “expresables” en el sentido de que la lengua árabe tiene palabras para expresar esas fracciones; las otras fracciones se llamaban “inexpresables” o “sordas”, calificadas con la misma palabra que también se usaba para calificar los números que nosotros llamamos “irracionales”: asamm.

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Como mi conocimiento de la lengua árabe es limitado, la versión castellana del texto de al-Khwārizmī la he compuesto utilizando el texto árabe de Rashed (2007), que está construido utilizando todos los manuscritos que actualmente se conocen como describo en Puig (2008b), su traducción francesa, y la traducción latina de Gerardo de Cremona editada por Hughes (1986), que se supone que es más cercana al texto original de al-Khwārizmī que cualquiera de los manuscritos árabes que se conservan. No utilizo la traducción castellana de Moreno, aparecida en Nívola en 2009, por dos motivos: porque está hecha a partir del único manuscrito árabe que se había editado y traducido antes del trabajo de Rashed (2007), pero, sobre todo, porque ha adoptado decisiones de traducción contrarias a las que yo arguyo que son necesarias para no ser anacrónicos, y poder entender los conceptos algebraicos de al-Khwārizmī.

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Fuera del significado técnico en el álgebra, māl en árabe significa ‘fortuna’, ‘patrimonio’, ‘cantidad de dinero’, ‘bien’.

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Así aparece en los tres primeros libros en que se trata el álgebra en castellano, escritos por Marc Aurel, Pedro Nunes y Pérez de Moya, y todos ellos publicados en el siglo XVI.

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Robert de Chester, que también tradujo en el siglo XII el libro de alKhwārizmī, tradujo māl por substantia. Un caso más curioso es el de Mordecai Finzi, que tradujo al hebreo en el siglo XIV el álgebra de Abū Kāmil (Levey, 1966). Mordecai Finzi era probablemente un judío español o que trabajaba en España ya que usó una palabra castellana transliterada al hebreo, y no una palabra hebrea para traducir māl: “algo” (‫)אלגו‬. Quienes se han preocupado de distinguir māl de “cuadrado” han usado en inglés “treasure”, “fortune”, “wealth”, “possession”; en francés, “bien” (así lo hace, por ejemplo, Ahmed Djebbar en su libro de 2005 L’algèbre arabe. Genèse d’un art), “possession”; en alemán, “Vermögen”; palabras que todas ellas tienen el significado de “cantidad de dinero”. Rashed, aunque menciona la especificidad del término māl como término del lenguaje del álgebra, lo traduce por “carré”, pero lo distingue de la figura geométrica escribiendo carré, en cursiva, cuando traduce māl, y sin cursiva cuando traduce murabc. Rosen traduce māl por ‘square’, y lo que hace para distinguir māl de murabc es traducir esta última palabra por ‘quadrate’.

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Es interesante señalar, de paso, que Diofanto habla de las especies de números dos veces, lo que Viète hará de forma explícita en su In artem Analyticen Isagoge. En la definición de las especies de números por la que comienza, éstos son números dados, que se clasifican en formas, en especies: “[…] todos los números están compuestos por una determinada cantidad de uni-

dades, admitiendo claramente cualquier agregación hasta el infinito. De manera que, entre ellos, los hay que son cuadrados (tetragōnōn), resultantes de la multiplicación de un número denominado lado (pleurà) del cuadrado por sí mismo […]” (Diofanto, 2007, p. 18). Luego dice que “se sabe que cada uno de aquellos números recibe una designación más breve cuando es un elemento genérico del cálculo aritmético” (Diofanto, 2007, p. 18), e introduce las abreviaturas de los nombres de las especies. Diofanto le cambia el nombre a la especie que primero ha llamado “cuadrado”, cuando se trata de elementos de la teoría aritmética: “Denominaré así dynamis al cuadrado (tetragōnos) y lo denotaré mediante una letra Δ con un superíndice Υ, es decir, ΔΥ [las dos primeras letras griegas de la palabra dynamis]” (Diofanto, 2007, p. 19). La lista de especies de números de Diofanto continúa con el cubo, y las combinaciones de cuadrado y cubo, cuadrado-cuadrado, cuadrado-cubo y cubo-cubo, y se completa con “el número a secas, que no posee ninguna de estas propiedades y consta de una cantidad de unidades indeterminada [que] se llamará simplemente número (arithmòs)” y “aún queda otro signo para denotar una cantidad determinada y constante” [formado por las dos primeras letras de la palabra griega monás, que significa “unidad”] (Diofanto, 2007, p. 19). Diofanto también define las especies inversas de éstas por analogía con cómo se construyen en la lengua griega los nombres de las fracciones unitarias a partir de los nombres de los números: de arithmòs, arithmostón; de dynamis, dynamostón; etc.

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En Puig (1998, 2008a) he explicado cómo las operaciones del cálculo están concebidas para transformar cualquier ecuación a una de las formas canónicas.

Madrasa Ulugbek de Samarkanda (Uzbekistán). Foto: Marisa Fernández

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Este artículo fue solicitado por SUMA en julio de 2010 y aceptado en octubre de 2010 para su publicación

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Historias de al-Khwārizmī (5ª entrega). La cosa

C osa en el lenguaje natural En el apartado 11 “Variables en el lenguaje vernáculo” del capítulo 16 de su Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas, dedicado al análisis fenomenológico del lenguaje del álgebra, Hans Freudenthal cuenta la siguiente historia de su hija: Cuando mi hija estaba en la edad en que los niños juegan el juego de “esto qué quiere decir” y le pregunté qué quiere decir “cosa” contestó que cosa es si quieres decir algo y no sabes cuál es su nombre. (Freudenthal, 1983, p. 474)1

A menudo las matemáticas han elaborado sus conceptos a partir de la riqueza inmensa de la lengua vernácula, fijando el uso de alguno de sus términos en un sentido preciso, determinado, unívoco. El proyecto algebraico necesita poder calcular con lo desconocido. Ya vimos en la entrega anterior de estas historias (Puig, 2010) que la elaboración del concepto de especie de número hace posible referirse a los cálculos con cantidades que se desconocen por el intermedio de las especies, que son “formas de números”. Pero las especies de números, raíz, tesoro o simple número, son sólo esas formas que los números adoptan cuando se calcula con ellos. Cuando se

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trata de resolver un problema, también hace falta poder referirse directamente a números concretos que son desconocidos, no basta con decir si son de la especie raíz, o de la especie tesoro o de la especie simple número. Pero esos números son desconocidos, no sabemos cuál es su nombre, y, como dijo la hija de Freudenthal, “cosa” sirve para nombrar algo cuyo nombre se desconoce.

No sabemos quién ni cuándo usó por primera vez la palabra “cosa” para referirse a un número desconocido y así poder darle nombre. Lo que sí sabemos es que el libro de álgebra de al-Khwārizmī es el más antiguo que se conserva en el que la palabra aparece usada así. En el fragmento que queda del libro, casi contemporáneo, de Ibn Turk2 (Sayili, 1962) la palabra “cosa” no aparece, aunque eso no significa que no pudiera estar también en este libro, ya que la pequeña parte que se ha conservado de él corresponde a las demostraciones de los algoritmos de solución de las formas canónicas compuestas, y al-Khwārizmī tampoco usa el término “cosa” en esa parte de su libro de álgebra.

Luis Puig Universitat de València Estudi General

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Es bastante plausible que el uso de la palabra “cosa” como término técnico para nombrar una cantidad desconocida con la que se quiere calcular, proceda de una tradición distinta de la tradición de la que proceden los términos con los que alKhwārizmī designa las especies de números3. Venga de donde venga, la primera vez que aparece, lo hace en árabe, shay’, y será a partir de esa palabra árabe de la que pasará al latín como res, cuando se traduzca el libro de al-Khwārizmī al latín en el siglo XII. Luego aparecerá como “cosa” a principios del siglo XIV en el primer libro escrito en una lengua romance, el Tractatus algorismi de Jacopo da Firenze, y el término “cosa” hará tanta fortuna, que la “Regla de la cosa” acabará siendo otro nombre del álgebra.

Como la observación de la hija de Freudenthal muestra, no es de extrañar que una palabra como “cosa” se use para designar lo desconocido, y la palabra árabe shay’, según Rashed, es una palabra que pertenece al árabe clásico ya que aparece en el Corán, y se dice de todo cuerpo animado o inanimado, de todo lo que puede ser sujeto de atribución, sin ser, sin embargo, representado necesariamente por individuos […] Designando un desconocido, la palabra necesita siempre una determinación o una explicación. Si por ejemplo se dice: “yo tengo una cosa”, la afirmación no puede entenderse sin un comentario suplementario. (Rashed, 1984, p. 122).

El mismo Rashed nos dice que los gramáticos de la época de al-Khwārizmī decían que la palabra shay’ era “lo más indefinido de los indefinidos” y que en teología, el término remite a una existencia cierta, pero de la que nuestro conocimiento todavía está indeterminado. Por ejemplo, se atribuye al lingüista al-Khalil en el siglo VIII esta expresión a propósito de Dios: “Es una cosa de una cosa, no cosa de no cosa, cosa de no cosa, no cosa de una cosa”, que se conjuga también como una tabla de verdad. Se entiende que al-Khwārizmī haya elegido este término para bautizar la incógnita algebraica4 (Rashed, 2007, p. 15).

La fórmula “es una cosa de una cosa, no cosa de no cosa, cosa de no cosa, no cosa de una cosa”, escrita en árabe

La cosa en el lenguaje del álgebra de al-Khwārizmī La primera vez que aparece la palabra “cosa” con significado técnico en el libro de al-Khwārizmī es en el primero de los capítulos dedicados al cálculo literal, el que se titula “sobre la multiplicación”. En él al-Khwārizmī comienza anunciando lo que va a hacer en ese capítulo y el siguiente: Yo te enseño cómo multiplicar unas por otras las cosas, que son las raíces; si están solas, si están con un número, si están

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disminuidas en un número o si están restadas de un número; y cómo sumarlas unas a otras y cómo restarlas unas de otras (Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Sin embargo, no es en esta parte del libro de al-Khwārizmī donde puede verse por qué hace falta que al-Khwārizmī nos enseñe a “multiplicar unas por otras las cosas”, menos aún por qué aparece ese nuevo término “cosa”, del que al-Khwārizmī lo único que dice al introducirlo es “que son las raíces”. Si “cosa” y “raíz” fueran la misma cosa, hubiera sido innecesario que apareciera la cosa en escena; podría al-Khwārizmī haber explicado en este capítulo “cómo multiplicar unas por otras las raíces” y ahorrarse un término primitivo, un concepto del cálculo de al-jabr y al-muqābala. Si al-Khwārizmī explica el cálculo con la cosa y no el cálculo con la raíz, es porque cosa y raíz no son conceptualmente iguales, aunque al mencionar por primera vez el término, al-Khwārizmī se limite a explicarlo diciendo “que son las raíces”, o incluso, unas líneas más adelante diciendo “el significado de la cosa es la raíz” (Rashed, 2007, p. 124-125; Hughes, 1986, p. 242) El significado de la cosa en el texto de al-Khwārizmī está en su uso (ésa es la definición pragmática de significado de Wittgenstein), más que en esa definición. Al-Khwārizmī no usa nunca “cosa” cuando introduce las especies de números que se usan en los cálculos: ahí usa “raíz”. Las especies de números son raíz, tesoro y simples números. La raíz es raíz del tesoro, y el tesoro proviene de una raíz que se ha multiplicado por sí misma, el tesoro no es una cosa que se ha multiplicado por sí misma. Al-Khwārizmī no usa nunca “cosa” cuando establece las seis formas canónicas, ni cuando expone los algoritmos de solución de las formas canónicas, ni cuando expone las demostraciones de esos algoritmos. En las formas canónicas, al-Khwārizmī siempre usa raíz y tesoro, por ejemplo “tesoro y raíces igual a números”, nunca dice al-Khwārizmī “tesoro y cosas igual a números”.

En esto, sus sucesores inmediatos le son fieles. En el álgebra de Abū Kāmil (ca. 850-930) tampoco aparece la cosa en las formas canónicas, ni en los algoritmos, ni en las demostraciones. Más aún, en la lista de veinticinco formas canónicas de las ecuaciones hasta el tercer grado que cUmar al-Khayyām (1048-1131) estudia unos dos siglos más tarde en su Tratado de álgebra y al-muqābala (Rashed y Vahebzadeh, 1999) tampoco aparece la cosa, sino las especies cubos, tesoros, raíces y simples números5.

Al-Khwārizmī introduce el término cosa en el capítulo dedicado al cálculo literal, pero donde al-Khwārizmī lo usa continuamente y cobra sentido es en los capítulos dedicados a resolver problemas. En efecto, al-Khwārizmī comienza la resolución de cualquier problema llamando a alguna de las cantidades desconocidas “cosa”. Así, por ejemplo, el primer problema que al-Khwārizmī plantea para estudiar las seis formas canónicas es

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Es por ejemplo cuando dices: has dividido diez en dos partes; has multiplicado una de las dos partes por la otra; luego has multiplicado una por sí misma, de manera que la multiplicada por sí misma es igual al cuádruple del producto de una de las dos partes por la otra. (Rashed, 2007, p. 144-145; Hughes, 1986, p. 247)

y la solución, la regla para resolver problemas, comienza llamando “cosa” a una de las dos partes en que se ha dividido diez: tú pones una de las dos partes una cosa y la otra diez menos una cosa; multiplica una cosa por diez menos una cosa, y resulta diez cosas menos un tesoro (Rashed, 2007, p. 144-145; Hughes, 1986, p. 247).

Como esa cosa se multiplica por sí misma, es una raíz y el producto por sí misma es un tesoro. De esta manera, alKhwārizmī traduce el enunciado del problema al lenguaje de su álgebra, que no tiene signos distintos de los del lenguaje vernáculo, pero sí un vocabulario propio y preciso. La palabra del lenguaje vernáculo “cosa”, convertida en nombre de lo desconocido, permite desarrollar un cálculo con lo desconocido, y que la resolución de los problemas se desarrolle por la vía del análisis. En el libro de álgebra de al-Khwārizmī, la palabra “cosa” aparece arrebatada al lenguaje vernáculo para ser apropiada por el lenguaje del álgebra.

enunciado se ha dicho que era una cosa no aparece para nada en la solución del problema, con lo que “cosa” en el transcurso de la solución es el nombre propio de la cantidad desconocida “número de hombres que había al principio”, sin que quepa ambigüedad alguna sobre ello. En el lenguaje del álgebra de al-Khwārizmī “cosa” es un nombre común, cuyo significado tiene que ver con el hecho de que la cantidad que nombra es una cantidad determinada, pero cuyo valor se desconoce. De hecho, la mayor parte de las veces el término algebraico “cosa” aparece sin artículo, “cosa”, o de forma indeterminada, “una cosa”, y muy pocas veces con el artículo determinado, “la cosa”.

En resumen, al-Khwārizmī nunca usa el término “cosa” en las primeras partes del libro en las que trata: 1. Introducción.

2. Las especies de números.

3. Las (seis) formas canónicas, simples y compuestas.

4. Los algoritmos de solución de las formas canónicas.

5. Las demostraciones de los algoritmos de solución de las formas canónicas compuestas.

Al-Khwārizmī introduce el término “cosa” en el primer capítulo dedicado al cálculo literal: 6. Sobre la multiplicación [de expresiones con especies].

En efecto, si pensamos que el corazón de la resolución algebraica de problemas se puede decir que es esa lectura del enunciado del problema, que está en lenguaje vernáculo, para transformarlo en un nuevo texto que está en el lenguaje del álgebra, una de las señales en el texto de al-Khwārizmī de que se está pasando de un lenguaje a otro es que la palabra “cosa” nunca aparece en los enunciados de los problemas, donde aparece es en las soluciones.

Hay una excepción, que en realidad no lo es: el problema 28 (en la numeración de Rashed, 2007). En el enunciado de ese problema sí que aparece la palabra “cosa”. Sin embargo, en la solución del problema, la cantidad que al-Khwārizmī designa con “cosa” no es la que en el enunciado ha sido llamada “cosa”, sino otra cantidad desconocida. De hecho, la cantidad desconocida que en el enunciado se llama “cosa” no es necesaria para resolver el problema, el problema tiene la misma solución, valga esa cantidad lo que valga. El enunciado del problema es Si te dicen: repartes un dirham entre unos hombres y les toca una cosa; les añades un hombre, y repartes entre ellos un dirham, entonces les toca un sexto de dirham de menos que en el primer reparto (Rashed, 2007, p. 190-191; Hughes, 1986, p.

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y al-Khwārizmī llama “cosa” al número de hombres que había al principio, y calcula con esa cosa. La cantidad que en el

Al-Khwārizmī nunca utiliza el término “cosa” en los otros dos capítulos dedicados al cálculo literal: 7. Sobre la adición y la substracción [de expresiones con especies y con radicales].

8. Sobre la división [de radicales].

Al-Khwārizmī usa sistemáticamente el término “cosa” en los capítulos dedicados a enseñar a resolver problemas algebraicos de segundo grado: 9. Los seis problemas [ejemplos de las seis formas canónicas].

10. Varios problemas.

Los cuatro capítulos restantes son especiales y no entraré a describir aquí cómo usa al-Khwārizmī el término “cosa” en ellos. Sólo diré que en el corto capítulo titulado “Transacciones mercantiles” no usa el término “cosa”. Esto se debe a que el capítulo está dedicado a una clase de problemas en los que siempre están implicadas cuatro cantidades que tienen nombre. Al-Khwārizmī comienza el capítulo diciendo “Que sepas que todas las transacciones entre las gentes, de venta, compra […] se realizan […] según cuatro nombres pronunciados por el que pregunta, que son cantidad de evaluación, tasa, precio y cantidad evaluada” (Rashed, 2007, p. 196-

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197; Hughes, 1986, p. 2556). Esas cuatro cantidades forman una proporción, y los problemas son problemas de hallar la cuarta proporcional dados los otros tres términos de la proporción. Al-Khwārizmī no usa el término “cosa” porque no necesita darle nombre a la cantidad desconocida, ya tiene nombre para referirse a ella, y los cálculos para resolver los problemas son los que establece la regla de tres, en los que no se calcula con lo desconocido.

La cosa y la raíz He señalado que “cosa” y “raíz” son términos con significado distinto, que probablemente provienen de tradiciones anteriores a al-Khwārizmī distintas, y que él identifica, pero usa de manera diferenciada. Esa situación no podía dejar de causar dificultades, y la historia lo atestigua. El historiador tunecino Mohamed Souissi así lo afirma en uno de los capítulos de su libro Feuilles d’automne en que, ya jubilado quince años antes, repasa su trabajo. Trata ese capítulo del poema didáctico de Ibn al-Yāsamīn, del que hablaré más adelante, y Souissi cita un comentario a ese poema hecho en el año 1506 por un tal alMāridini que señala una polémica que se había desatado en torno al uso de las dos palabras shay’ (cosa, res) y jidhr7 (raíz). Para ciertos algebristas son dos términos sinónimos. Otros, como Ibn alHā’im, piensan que es necesario reservar la palabra shay’ para el número desconocido, y restringir jidhr al número conocido. Ibn al-Yāsamīn, así como su comentarista, optan por el primer punto de vista y se refieren a una cita de Abū Kāmil Shujāc ibn Aslam, en su obra Al-Mabsūt fī-l-jabr wa-l-muqābala: “La shay’ no es sino la jidhr, y la jidhr no significa más que la shay’; son dos nombres que sirven, uno y otro, para expresar la misma noción”. (Souissi, 2001, p. 120).

Rastraeré indicaciones del uso de cosa y raíz en algunos textos y autores posteriores a al-Khwārizmī en este apartado.

Abū Kāmil (ca. 850-930) En el siglo XVI andaban pues los algebristas discutiendo sobre el uso de cosa y raíz, y quien mantenía que eran términos sinónimos usaba como autoridad las palabras de Abū Kāmil, conocido en su tiempo como el calculista egipcio, que nace cuando muere al-Khwārizmī. Sin embargo, si se recorre el libro de álgebra de Abū Kāmil8, aunque afirme que cosa y raíz son lo mismo, igual que ya lo había hecho al-Khwārizmī, el uso que hace de los dos términos en su libro es prácticamente el mismo que el que hace al-Khwārizmī: no lo usa en los capítulos iniciales, lo introduce cuando comienza el cálculo literal, y lo usa en la resolución de problemas de forma similar a al-Khwārizmī. c Umar al-Khayyām (1048-1131)

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El caso del persa cUmar al-Khayyām es más interesante. La palabra “cosa” sólo aparece una vez en todo su libro de álgebra, muy al comienzo, cuando dice: Es la costumbre, entre los algebristas, nombrar en su arte la incógnita que se quiere determinar “cosa”, su producto por sí misma, tesoro, su producto por su tesoro, cubo, el producto de su tesoro por su semejante, tesoro tesoro, el producto de su cubo por su tesoro, tesoro cubo, el producto de su cubo por su semejante, cubo cubo, y así sucesivamente hasta tan lejos como se quiera. Se sabe a partir del libro de los Elementos de Euclides que esos grados son todos proporcionales, quiero decir que la razón de la unidad a la raíz es igual a la razón de la raíz al tesoro y es igual a la razón del tesoro al cubo. La razón del número a las raíces es por tanto igual a la razón de las raíces a los tesoros, igual a la razón de los tesoros a los cubos, e igual a la razón de los cubos a los tesoro tesoro, y esto hasta tan lejos como se quiera (Rashed and Vahebzadeh, 1999, pp. 120-122).

En esa frase, “cosa” aparece como un término propio del lenguaje del álgebra (“es la costumbre, entre los algebristas”) que se usa para designar la “incógnita que se quiere determinar”.

Al-Khayyām está pues dando a “cosa” el sentido en que hemos visto que al-Khwārizmī usa el término, pero, de inmediato, lo usa para generar las especies de número bastante más allá del tesoro, que es donde se queda al-Khwārizmī, mezclando pues el sentido en que al-Khwārizmī usa raíz.

Podría parecer que la raíz ya no va a ser para al-Khayyām un término necesario porque la ha substituido por la cosa en la lista de especies de número, pero, muy al contrario, cuando explica que “se sabe a partir del libro de los Elementos de Euclides que esos grados son todos proporcionales”, la cosa desaparece y ya sólo habla de la raíz. Mucho más significativo aún es que la término “cosa” no vuelve a aparecer en todo el libro. Esto se debe claramente a que al-Khayyām no resuelve ni un solo problema en todo el libro; a lo que el libro está dedicado es a encontrar algoritmos de solución para las veinticinco formas canónicas, que son todas las posibilidades de combinar las especies números, raíces, tesoros y cubos, y, para las que no consigue encontrar un algoritmo, encontrar su solución geométrica mediante la intersección de cónicas. Las formas canónicas están enunciadas en términos de números, raíces, tesoros y cubos, nunca aparece el término “cosa” al enunciarlas, y nunca se usa el término “cosa” en las soluciones de las ecuaciones.

Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213) El libro fundamental que se conserva del persa al-Tūsī (nacido en el ciudad de Tūs) es su Tratado de las ecuaciones (AlTūsī, 1986). En él al-Tūsī aborda la resolución de las veinticinco formas canónicas de las ecuaciones de tercer grado, como lo había hecho al-Khayyām, pero, a diferencia de éste, lo que hace es desarrollar métodos aproximados para la resolu-

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ción de las formas canónicas para las que no se había encontrado en la época ningún algoritmo de solución.

En su libro, el término “cosa” tampoco aparece cuando presenta las veinticinco formas canónicas, que están enunciadas en términos de números, raíces, tesoros y cubos: De la formación de las ecuaciones entre los números, las raíces, los tesoros y los cubos se engendran veinticinco problemas que son: una raíz igual a un número, un tesoro igual a un número […] (Al-Tūsī, 1986, p. 16).

El término “cosa” tampoco aparece en los algoritmos, ni en las demostraciones de éstos, ni en los cálculos aproximados de las soluciones de las ecuaciones. Como además el libro sólo trata de la resolución de ecuaciones y no de la resolución de problemas de enunciado verbal, no hay lugar a que se use el término “cosa” para nombrar alguna cantidad desconocida y así traducir el enunciado del problema al lenguaje del álgebra.

Sin embargo, el término “cosa” tiene una única aparición en todo el libro cuando al-Tūsī demuestra que la forma canónica tesoro igual a raíces y números se puede resolver transformándola en la forma canónica tesoro y raíces igual a números, para la que ya ha dado previamente un algoritmo de solución.

Veamos qué es lo que hace al-Tūsī exactamente. Se trata de resolver la ecuación “raíces y números igual a tesoros”, que, en el lenguaje del álgebra simbólica actual, podemos escribir x2 = bx + c. Al-Tūsī comienza demostrando que es posible tener efectivamente un tesoro que sea la suma de raíces y números.

La demostración utiliza una figura similar a la que alKhwārizmī usa para demostrar el algoritmo de esta forma canónica, pero al-Tūsī no ha dado ningún algoritmo y no está por tanto demostrando algoritmo alguno sino sólo la posibilidad de existencia de esa forma canónica. Tras hacer esto, continúa diciendo: Para determinar la raíz, sea AE el cuadrado [murabac]9 de AD. Tracemos BG paralela a DE y pongamos DB una cosa, es decir, la raíz de un tesoro desconocido, y AB el número de raíces mencionado en el problema. (al-Tūsī, 1986, p. 31)

Al-Tūsī quiere determinar la raíz, que es lo que hemos representado por x en nuestro lenguaje algebraico en x2 = bx + c, y designa con el nombre de “cosa” no a la raíz que tiene que determinar, sino a otra “raíz de un tesoro desconocido”. En la figura, la raíz que hay que determinar es el lado del cuadrado AE, es decir, AD, la cosa es el segmento DB, de manera que como dice al-Tūsī

Figura 1

es decir que la raíz que hay que determinar es el número de raíces más una cosa. La cosa no se identifica aquí con la raíz que hay que determinar, sino con otra raíz de otro tesoro. Si queremos expresar lo que al-Tūsī hace en nuestro lenguaje algebraico, tendremos que usar para representar la cosa una letra distinta de la x, ya que la x la hemos usado para representar la raíz; pongamos una y. Entonces, lo que acaba de decir al-Tūsī es que x = b + y.

Podríamos pensar que al-Tūsī está haciendo un cambio de variable. En efecto, si substituimos en la forma canónica x por b + y, obtenemos (b + y)2 = b(b + y) + c b2 + 2by + y2 = b2 + by + c by + y2 = c es decir, que obtenemos la forma canónica “tesoro y raíces igual a números”, que es lo que al-Tūsī quiere obtener. Sin embargo, al-Tūsī no desarrolla un cálculo algebraico con las expresiones hasta obtener la ecuación que quiere, sino que busca obtener esa ecuación en las relaciones que tienen las partes de la figura que ha construido. En efecto, al-Tūsī continúa su demostración así: el rectángulo BE proviene pues del producto del número de raíces y una cosa por una cosa, pero el producto de una cosa por una cosa es el tesoro desconocido y el producto del número de raíces por una cosa es cosas en número igual al número de raíces, pero esta suma es igual al rectángulo BE, que es el número mencionado en el problema. Se tiene pues un tesoro y raíces en número igual al número mencionado en el problema iguales al número mencionado en el problema. (al-Tūsī, 1986, p. 31).

AD es, por tanto, el número de raíces y una cosa.

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Lo que ha hecho pues al-Tūsī es mostrar que el rectángulo BE, que representa el número (c), también representa el producto de sus lados, que son BD, que representa la cosa (y) y DE. Pero DE es igual a AD, ya que AE es un cuadrado, y AD representa la suma del número de raíces y una cosa (b + y). De manera que el único cálculo que ha hecho al-Tūsī es el equivalente a (b + y)y = by + y2: “el producto de una cosa por una cosa es el tesoro desconocido y el producto del número de raíces por una cosa es cosas en número igual al número de raíces”.

En esta demostración de cómo una forma canónica puede transformarse en la otra está patente una de las deficiencias que tiene el sistema de signos del álgebra árabe medieval, que no se resolverá hasta Viète: sólo hay un nombre para lo desconocido y los términos raíz y tesoro no son potencias de una incógnita, sino especies de números. En el curso de esta demostración “raíz” y “tesoro” se han referido a dos raíces y dos tesoros distintos, que con nuestro lenguaje del álgebra actual hemos podido diferenciar: la primera raíz con x, la segunda con y; el primer tesoro con x2, el segundo con y2.

En términos de lo que ha hecho al-Tūsī no hay cambio de variable, no ha substituido una cantidad desconocida por otra, lo que ha probado ha sido más bien que si una ecuación tiene la forma “raíces y números igual a tesoros”, se puede transformar en otra que tiene la forma “tesoros y raíces iguales a números”. La primera está representada en la figura 1 por el hecho de que el cuadrado AE (que representa un tesoro) es el resultado de pegar los rectángulos AG (que representa raíces) y BE (que representa un número); la segunda está representada en la misma figura 1 por el hecho de que el rectángulo BE (que representa un número) es también el resultado de pegar un cuadrado de lado BD (que representa un tesoro) y un rectángulo (que representa raíces) de lado BD (que representa una raíz).

(Puig, 2010) hemos llamado el proyecto algebraico de Viète, la resolución del problema de los problemas, y para ello se construye la teoría algebraica, su lenguaje, y se estudian las formas canónicas y sus soluciones. Lo que hace as-Samaw’al en este libro es estudiar lo que podríamos llamar ahora una teoría de polinomios, siguiendo los trabajos de al-Karajī, y facilitándolo gracias a la introducción de una representación de los polinomios en forma de tablas, encabezadas por los nombres de las especies, en las que se escriben sólo lo que llamamos ahora los coeficientes, de manera que en la tabla lo que aparece escrito es la sucesión de los coeficientes.

Figura 2

En la figura 2 (tomada de Ahmed & Rashed, 1972, p. 45 del texto árabe) puede verse un ejemplo de la disposición en una tabla de los coeficientes de los polinomios 20 x 6 + 2 x5 + 58 x 4 + 75 x3 + 125 x 2 + 96 x + 94 +

140 50 99 20 + 2+ 3+ 4 x x x x

y 2 x3 + 5 x + 5 +

10 x

preparados para ejecutar en la tabla un algoritmo para la división de polinomios (por lo que el divisor está desplazado ya tres lugares hacia la izquierda).

As-Samaw’al (ca. 1130- ca. 1175) As-Samaw’al era hijo de un judío nacido en Fez en el Magreb, que emigró a Bagdad y allí se casó con una judía de Basora (Iraq). Según Djebbar (2005) su familia era de gran cultura y él publicó libros de medicina (“El paseo de los compañeros, que es esencialmente un tratado de sexología y de historias eróticas”, Djebbar, 2005, p. 54), de teología (“publicó, después de su conversión al islamismo, varios panfletos contra el judaísmo10 y el cristianismo”, Djebbar, 2005, p. 54). Para lo que aquí nos interesa su libro fundamental de matemáticas es el Kitāb al-bāhir fī l-jabr, el Libro resplandeciente sobre álgebra (Ahmad & Rashed, 1972).

Ese libro de as-Samaw’al se sitúa en una línea de desarrollo del álgebra que es diferente a la que representan los libros de Abū Kāmil, al-Khayyām y al-Tūsī, en los que el objetivo principal del libro es lo que en la entrega anterior de estas historias

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La primera palabra que aparece en todas las casillas de la tabla significa “rango”, “orden”, es decir que indica lo que ahora llamados el grado del monomio. Las palabras que aparecen debajo son los nombres de las especies. Como puede verse, no sólo se consideran lo que para nosotros son monomios de exponentes positivos, sino también monomios de exponentes negativos. Éstos no están expresados, sin embargo, como posiciones negativas en una serie ordenada, sino que están expresadas como fracciones: el nombre de esas especies se forma añadiendo la palabra “parte” a los nombres de las especies. Así, en esta tabla, debajo de la palabra que significa “rango” u “orden”, aparecen las especies “parte de tesoro tesoro”, “parte de cubo”, “parte de tesoro”, “parte de cosa”, “número”, “cosa”, “tesoro”, “cubo”, “tesoro tesoro”, “tesoro cubo” y “cubo cubo”.

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Al comienzo de al-Fakhrī, si confiamos en el resumen de Woepcke (1853, p. 48) al-Karajī coloca sin más la cosa con la raíz, e incluso con el lado, cuando expone en una lista los nombres de las especies; y habla en especial de la cosa, en términos similares a como lo hace al-Khwārizmī en un capítulo titulado “Sobre los seis problemas”: El autor explica que el objetivo del álgebra es la determinación de las incógnitas mediante las premisas conocidas; que se nombra al asunto del problema “cosa”, y se la somete a las operaciones enseñadas en los capítulos precedentes de este tratado, de acuerdo con lo que aparece en el enunciado del problema. (Woepcke, 1853, p. 63).

Figura 3

En la figura 3 (tomada de Ahmed & Rashed, 1972, p. 48 del texto árabe) se puede ver la representación en la tabla de los polinomios 6 x8 + 28 x 7 + 6 x 6 − 80 x5 + 38 x 4 + 92 x3 − 200 x 2 + 20 x

y 25 x5 + 8 x 4 − 20 x 2

Ibn al-Yāsamīn (muerto en 1204) Al comienzo de este apartado ya he indicado que el historiador tunecino Mohamed Souissi dice que Ibn al-Yāsamīn era de los que identificaba “cosa” y “raíz”. Según el historiador argelino Ahmed Djebbar,

también dispuestos ya para ejecutar el algoritmo de la división.

Puede verse que los coeficientes negativos también están representados en la tabla escribiendo antes de los números la palabra que significa “menos” (que es la misma que significa “no”).

En estas tablas, gracias a las cuales as-Samaw’al desarrolla su cálculo con polinomios, la raíz ha desaparecido de la lista de los nombres de las especies y ha sido reemplazada por la cosa.

De esta manera, as-Samaw’al está usando “cosa” en el sentido en que al-Khwārizmī usaba “raíz”, como una especie de número. Sin embargo, eso no quiere decir que as-Samaw’al identifique totalmente la cosa con la raíz, ya que parece querer diferenciar dos usos cuando afirma se dice que la cosa es un lado de cada una de sus potencias, pero no se dice que es raíz más que del tesoro (Ahmed & Rashed, 1972, p. 19)

Al-Karajī (ca. 953- ca. 1029) Menciono a al-Karajī sin entrar en grandes detalles sobre su uso de los términos “cosa” y “raíz”, ya que as-Samaw’al partió de sus trabajos. Se sabe poco de su vida, lo que ha hecho que los historiadores hayan discutido si nació en Bagdad o si era de Karaj, con lo que sería persa, e incluso a que también se haya discutido sobre cuál era exactamente su nombre. En cualquier caso, los libros más importantes que se conservan de él los escribió en Bagdad: el libro al-Fakhrī, que es un libro de álgebra que lleva ese nombre porque está dedicado al visir Fakhr al-Mulk, gobernante de la época en Bagdad, al-Kitāb alBadīc, el Libro maravilloso, otro tratado de álgebra, y el libro al-Kāfī fī l-hisāb, El suficiente sobre cálculo, un libro de cálculo mercantil en el que aparece también el álgebra aplicada11.

c

Abdallah Ibn al-Yāsamīn nació en el Magreb Extremo de madre negra y padre bereber de esa región. […] Algunos biógrafos dejan entender que estudió las ciencias en Sevilla, que era en esa época la verdadera capital política y cultural de la España musulmana. Igualmente en esa ciudad y en Marrakech habría sido donde enseñó y donde habría publicado sus escritos matemáticos” (Djebbar, 2005, p. 132).

Souissi añade que murió degollado en Marrakech porque “su conducta dejaba que desear” (Souissi, 2001, p. 117).

Su nombre completo, según el historiador tunecino Mahdi Abdeljaouad era Abū M. cAbd Allah b. M. b. Hajjāj Al-‘Adrīnī, conocido como Ibn al-Yāsamīn.

El poema sobre álgebra ya mencionado antes es el texto que lo hizo más famoso. En la edición de Adbeljaouad (2005) tiene 54 versos y lleva el título de al-Urjūza fi’l-jabr wa’l-muqābala. El poema corresponde a un estilo de textos de enseñanza en los que se presentaban de forma sucinta las cuestiones fundamentales de alguna disciplina en verso para que el verso hiciera más sencilla su memorización.

Este poema sobre álgebra de Ibn al-Yāsamīn tuvo tanto éxito que se escribieron muchos comentarios sobre él, de los que se conservan veinte “incluyendo los de Ibn Qunfudh (muerto en 1404), Ibn Al-Hā’īm (muerto en 1412), Al-cIrāqi (muerto en 1423), Al-Qalasādī (muerto en 1486), Al-Māradīnī (muerto en 1506) y Al-Ansāri (muerto en 1661)” (Adbeljaouad, 2005, p.

3), es decir, que aún en el siglo XVII se seguían escribiendo comentarios al poema, cuatro siglos después de su composición.

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Cito la parte del poema en que introduce las especies de números y la cosa, y el comienzo de la lista de las formas canónicas, a partir del verso 11: 11. Sobre tres gira el álgebra: los tesoros y los números y luego las raíces 12. El tesoro es cualquier número cuadrado y la raíz uno de sus lados 13. El número absoluto no está relacionado ni con los tesoros ni con las raíces. ¡Compréndelo!

14. Y la cosa y la raíz significan lo mismo, igual que los términos padre y progenitor.

15. Pueden ser iguales a un número aislado o añadidos a otras especies.

16. Hay seis ecuaciones bien ordenadas la mitad compuestas, la mitad simples.

17. La primera, según la terminología actual, consiste en igualar los tesoros y las raíces.

(Abdeljaouad, 2005, p. 5, en inglés, y p. 15, en árabe)

Efectivamente, como dice Souissi, Ibn al-Yāsamīn identifica cosa con raíz: el verso 14, para dejar claro que significan lo mismo, utiliza dos palabras sinónimas del lenguaje natural.

Sin embargo, cuando Ibn al-Yāsamīn enumera las formas canónicas no usa “cosa” sino “raíz”. De hecho la palabra “cosa” sólo aparece una vez más en el resto del poema en una de las reglas algorítmicas en la que dice que hay que “dividir por dos las cosas”, en vez de decir “dividir por dos las raíces” como hace en las otras dos reglas algorítmicas en que hay que dividir por dos las raíces. Sin embargo, aunque sólo sea en una de tres, ya está el término “cosa” también en las reglas algorítmicas.

Figura 4. Versos 11 a 17 del poema de Ibn al-Yāsamīn, en árabe.

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Ibn Badr (s. XIII) Según Djebbar, muy poco se sabe de Muhammad Ibn Badr, del que sólo se conoce el Libro que contiene un resumen del álgebra. “Como según los bioblibliógrafos árabes, hubo, en el siglo X en Córdoba, un matemático llamado cAbd ar-Rahmān Ibn Badr, es posible que nuestro algebrista del siglo XIII sea uno de sus descendientes. En ese caso sería originario de la España musulmana. Pero ningún otro elemento permite confirmar esta hipótesis” (Djebbar, 2005, p. 133).

Ibn Badr habla de las especies número, raíz y tesoro en el comienzo del libro, como ya hemos visto en otras ocasiones, y, en su caso, la cosa hace su aparición como en el libro de alKhwārizmī en el capítulo de la multiplicación, sin que se moleste Ibn Badr siquiera en decir que cosa y raíz sean lo mismo; simplemente titula el capítulo “de la multiplicación de las cosas, los tesoros, los cubos y los números”, y en la lista de lo que ahora va a enseñar a multiplicar las raíces han desaparecido y han sido substituidas por las cosas.

Al-Qalasādī (1412-1486)

Ese libro fue editado y traducido al castellano en 1916 por José A. Sánchez Pérez, con el titulo de Compendio de álgebra de Abenbéder (Sánchez Pérez, 1916), a partir de un manuscrito que se conserva en la biblioteca escurialense. Sánchez Pérez también fue muy cauto a la hora de afirmar si Ibn Badr, a quien él llamó Abendéder, era nacido en la península ibérica.

En efecto, tras decir que Suter y Casiri indican que el autor del manuscrito del Escorial en cuestión era de Sevilla, continúa: Esta afirmación de Suter y Casiri acerca de la patria de Abenbéder, a quien hacen sevillano, fue, sin duda, el principal motivo que nos decidió a emprender el estudio de su compendio de Álgebra. Sinceramente debemos confesar, sin embargo, que no poseemos más datos que las noticias de Suter y Casiri, para suponer que Abenbéder fuera español (Sánchez Pérez, 1916, pp. xvii-xviii).

Al-Qalasādī nació en Baza y, aunque después de pasar algún tiempo en Tlemcen en el Magreb se instaló a trabajar en Granada durante un buen número de años, abandonó el reino nazarí por su inestabilidad política y su debilidad ante los reinos cristianos, para acabar en Béja, en el actual Túnez. AlQalasādī es citado normalmente en las historias del álgebra por su uso de un simbolismo propio de la matemática árabe occidental, de al-Andalus y el Magreb, que durante tiempo se pensó que había desarrollado él, pero que ahora se sabe que ya se usaba siglos antes. Sin embargo, lo que me interesa aquí es el libro que escribe como comentario a un álgebra de Ibn alBannā (1256-1321), en el que la cosa ya toma el lugar de la especie raíz. El libro de Ibn al-Bannā se titula Compendio de las operaciones del cálculo, y se convirtió en el manual de base de la enseñanza de las matemáticas en el Magreb entre los siglos XIV y XVII, según Djebbar (2005, p. 130). En su comentario, al-Qalasādī presenta así las especies de números: Él dice: el álgebra gira en torno a tres especies: el número y las cosas y los tesoros. Las cosas son las raíces. El tesoro es el resultado de multiplicar la raíz por sí misma. (Bentaleb, 1999, p. 249 del árabe, 285 de la traducción francesa).

La cosa pues, en el texto que va a ser el más usado en el Magreb hasta el siglo XVII, ya ha pasado a ser una especie de número y ha substituido a la raíz. Y el comentario de alQalasādī continúa: Él ha comenzado por el número, porque es absoluto y no tiene relación con la raíz o el tesoro, no tiene exponente. Ha hablado luego de la cosa, ya que su exponente es uno. Ha hablado después del tesoro ya que es el producto de la cosa por sí misma y su exponente es dos. La cosa y la raíz son dos términos sinónimos, por eso él ha dicho: las cosas son las raíces. Dicho de otra manera, es lo esencial de lo que compone el tesoro, el cubo y los demás. (Bentaleb, 1999, pp. 249-250 del árabe, 286 de la traducción francesa).

La cosa se ha convertido pues en “lo esencial de los que compone el tesoro, el cubo y los demás”, es decir, en el término central del álgebra.

Figura 5. Primera página del manuscrito del Escorial del álgebra de Ibn Badr

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La regla de la cosa Al desplazar a la raíz, la cosa acaba convirtiéndose en el centro del álgebra, que se identifica como cálculo con la cosa o Regla de la cosa, y se incorpora al nombre de la disciplina, como alternativa al nombre bárbaro de álgebra. Incluso, en las primeras álgebras alemanas, el álgebra se llama simplemente

Die Coss, por un curioso fenómeno de adopción de la palabra italiana, en su ortograf ía del norte de Italia “cossa”, sin traducirla al alemán (“Ding”, es la palabra alemana que traduce “cosa”). El libro de Die Coss de Christoff Rudolff de 1553 es el primer ejemplo. Pero esa es otra historia, de la que hablaré en una próxima entrega.

HISTORIAS

Figura 6. Portada del libro Die Coss de Christoff Rudolff

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NOTAS 1

La referencia es a la página del original de Freudenthal publicado en inglés por Kluwer como primer volumen de la ya clásica colección Mathematics Education Library, dirigida por Alan Bishop. Yo traduje una selección de capítulos de este libro, que publicó en 1994 el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados de México, en la que figuraba este capítulo sobre el lenguaje algebraico, junto a los capítulos “El método” y “Fracciones”. En esa edición, el texto que cito aparece en la página 68 (Freudenthal, 1994, p. 68). Unos años después incluí también el capítulo “Razón y proporcionalidad” en una segunda edición ampliada de la selección de textos. En esa segunda edición, el texto aparece en la página 124 (Freudenthal, 2001, p.

124).

2 Ver en la tercera entrega de estas historias la discusión sobre si el libro de Ibn Turk es anterior o no al de al-Khwārizmī (Puig, 2009).

3 En Puig & Rojano (2004) presenté sucintamente, siguiendo una indicación que aparece en Høyrup (1994), cómo esta hipótesis puede apoyarse en el hecho de que esos términos aparecen en dos partes distintas, y separadas por doscientas páginas, del Liber Abacci de Leonardo de Pisa, sin que Leonardo de Pisa relacione ambas partes de forma alguna.

4 Rashed no duda en atribuirle a al-Khwārizmī la paternidad del término.

Høyrup por el contrario apunta que el término probablemente venga de una tradición anterior, que, hasta ahora, no ha dejado rastro escrito. El historiador egipcio Rashed suele ser muy contundente en sus afirmaciones, en particular cuando se trata de atribuir prioridades a los autores que edita.

5 Ver la lista de las veinticinco formas canónicas en la anterior entrega de estas historias (Puig, 2010). Diré de paso que nada de esto puede observarse en el libro de Moreno dedicado a cUmar al-Khayyām, publicado por Nívola: en él, Moreno escribe la lista de formas canónicas con la cosa en vez de la raíz, cuando no aparece así en el texto árabe.

6

En la traducción latina de Gerardo de Cremona, los nombres de las cantidades son “pretium et appretiatum secundum positionem, et pretium et appretiatum secundum querentem”.

7 Souissi no translitera estas dos palabras árabes así, porque usa la transliteración “centroeuropea”, que es la habitual en los países del ámbito cultural francés, en vez de la transliteración que yo estoy usando. He preferido no ser fiel en la cita y mantener la misma transliteración que estoy usando en estas historias.

8 El álgebra de Abū Kāmil está disponible en tres ediciones: una edición de la traducción hebrea del siglo XV del judío probablemente español Mordecai Finzi, con traducción al inglés del texto hebreo de Martin Levey (Levey, 1966); una edición de la traducción latina del siglo XIV (Sesiano, 1993), y una edición del texto árabe con traducción al alemán (Chalhoub, 2004).

9 Obsérvese que al-Tūsī utiliza aquí la palabra murabac y no la palabra māl, porque se refiere al cuadrado figura geométrica y no al cuadrado algebraico, que como sabemos se denomina māl, “tesoro”, en el lenguaje algebraico de la época.

10 Su libro contra los judíos se titula Ifhām al-Yahūd, Confundir a los judíos, y fue muy popular en la Edad Media a raíz de su traducción al latín en el siglo XIV, por lo que ha sido traducido también al alemán, el italiano, el inglés, el español y el ruso (Ahmed & Rashed, 1972, p. 3).

11 Del al-Fakhrī hay una edición resumida y comentada en francés por Franz Woepcke (Woepcke, 1853). Del Libro maravilloso hay una edición de Adel Anbouba del texto árabe con un comentario y un resumen en francés (Anbouba, 1964). De El suficiente sobre cálculo hay una traducción alemana de Adolf Hochheim (Hochheim, 1878).

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Este artículo fue solicitado por Suma en diciembre de 2010 y aceptado en enero de 2011 para su publicación

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Junio 2011, pp. 101-110

Historias de al-Khwārizmī (6ª entrega). El cálculo con la cosa

C álculo literal, cálculo con especies, cálculo con la cosa

Como ya vimos en una entrega anterior de estas historias que subtitulé “El proyecto algebraico” (Puig, 2010), François Viète, en su libro Introducción al arte analítica (In artem analyticem Isagoge), presenta lo que él llama “Logística especiosa”, un cálculo que no se hace con números, sino con especies, con “formas de números”. También vimos que esto es lo que le permite efectuar el análisis para resolver los problemas. La logística especiosa, en el caso de Viète, y esto le hace ser considerado el iniciador del álgebra simbólica, se acompaña de un cálculo con letras. Así lo dice explícitamente Viète en el recto del folio 5 de la Introducción al arte analítica: Logistice numerosa est quæ per numeros, Speciosa quæ per species seu rerum formas exhibetur, ut pote per Alphabetica elementa.

[La Logística numerosa es la que se presenta mediante números, la Especiosa la que se presenta mediante especies o formas de las cosas, como, por ejemplo, mediante elementos alfabéticos] (Viète, 1591, p. 5r).

El álgebra de al-Khwārizmī no es simbólica en este sentido: ni las especies ni las cantidades desconocidas ni las cantidades conocidas están representadas mediante letras, ni mediante

Historias

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ningún signo distinto de las palabras del lenguaje vernáculo.

No hay pues en el libro de al-Khwārizmī, estrictamente hablando, lo que nosotros llamamos cálculo literal, en el sentido de cálculo con letras. Sin embargo, sí que hay desarrollado un cálculo con la cosa y un cálculo con especies, hay pues una “logística especiosa”. Además, al-Khwārizmī le dedica a ese cálculo una parte específica del libro situada antes de que aborde el procedimiento para resolver los problemas y después de haber expuesto cuáles son los objetos de los que va a tratar el cálculo, es decir, las especies de números, y haber establecido el conjunto completo de formas canónicas, sus algoritmos de solución y las demostraciones de esos algoritmos.

Los capítulos del libro en que al-Khwārizmī desarrolla ese cálculo con la cosa y con especies son (con la numeración que les di en Puig, 2010) los siguientes: 6. Sobre la multiplicación.

7. Sobre la adición y la substracción.

8. Sobre la división.

Luis Puig Universitat de València Estudi General

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En el capítulo “Sobre la multiplicación” al-Khwārizmī calcula con la cosa y en los cálculos aparecen las especies. En los otros dos capítulos calcula con especies y con radicales, sin que aparezca el término “cosa”. Además, al final del capítulo “Sobre la división” vuelve sobre tres de los cálculos expuestos en el capítulo “Sobre la adición y la substracción” para demostrarlos.

Veamos, en primer lugar, cómo explica al-Khwārizmī el cálculo con la cosa.

El cálculo con la cosa Al-Khwārizmī comienza manifestando explícitamente que escribe con intención pedagógica: Yo te enseño cómo multiplicar unas por otras las cosas, que son las raíces; si están solas, si están con un número, si están disminuidas en un número o si están restadas de un número; y cómo sumarlas unas a otras y cómo restarlas unas de otras (Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Los tipos de expresiones que al-Khwārizmī va a enseñar cómo se multiplican los podemos escribir en el lenguaje actual del álgebra así: las cosas solas: las cosas con un número: las cosas disminuidas en un número: las cosas restadas de un número

del cálculo con los números hindúes (Allard, 1992)1. En efecto, lo que hace al-Khwārizmī es explicar que para multiplicar decenas más unidades por decenas más unidades hay que hacer cuatro multiplicaciones. Pero no sólo explica eso, sino que extiende el modelo concreto del cálculo aritmético hindú a la situación en que las unidades no se añaden a las decenas (como en la representación hindú de los números) sino que se substraen: Si se tiene decenas a las que se ha añadido unidades o de las que se ha quitado unidades, es necesario multiplicar cuatro veces: las decenas por las decenas, las decenas por las unidades, las unidades por las decenas y las unidades por las unidades. (Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Vale la pena observar que, como al-Khwārizmī tiene disponibles los nombres “decenas” y “unidades”, puede enunciar la regla en general sin verse obligado a enunciarla mediante un ejemplo numérico concreto. “Decenas” y “unidades” desempeñan, en los cálculos aritméticos en el sistema de numeración posicional decimal, un papel similar al que van a desempeñar las especies de números en los cálculos algebraicos, por eso al-Khwārizmī puede usar ese cálculo como modelo (más concreto) para enseñar el cálculo (más abstracto) algebraico.

Además, al extender el modelo de la situación propia del sistema de numeración (la adición de decenas y unidades) a una situación similar a la anterior, pero nueva (la substracción de unidades a decenas), da paso también a un modelo para la regla de los signos:

ax ax + b ax – b b – ax

Como para al-Khwārizmī los números son positivos, tiene que haber dos tipos de expresiones con la substracción, las cosas disminuidas en un número y las cosas restadas de un número, mientras que sólo hay un tipo de expresión cuando se suman cosas y números. Veremos más adelante que en uno de los ejemplos al-Khwārizmī dice explícitamente que diez más cosa y cosa más diez es lo mismo, y por qué necesita decirlo.

Para enseñar a multiplicar esas expresiones con la cosa alKhwārizmī recuerda qué significa multiplicar: Que sepas que para cualquier número multiplicado por otro número es necesario sumar uno de los números tantas veces como las unidades que contiene el otro (Rashed, 2007, p.

122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Al-Khwārizmī no continúa, como podría esperarse, dando ahora una regla para multiplicar las expresiones con números y cosas, sino que presenta una situación puramente aritmética que utiliza como un modelo más concreto a partir del cual dar sentido a los cálculos (algebraicos) con la cosa. La situación en cuestión es la multiplicación de números cuando están representados en el sistema de numeración posicional decimal, es decir, lo que al-Khwārizmī explicará en su Libro

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Entonces, si las unidades que están con las decenas son ambas añadidas, la cuarta multiplicación es aditiva, y si son ambas substraídas, la cuarta multiplicación es también aditiva. Pero si unas están añadidas y otras substraídas, la cuarta multiplicación es substractiva (Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Vale la pena detenerse un momento en el detalle de los términos que acompañan este modelo aritmético de la regla de los signos: al-Khwārizmī no multiplica los signos más y menos a la manera de la moderna formulación de la regla de los signos (+ × + = +; + × − = −; − × − = +). Al-Khwārizmī no dice siquiera en lenguaje vernáculo: “más por más, más; más por menos, menos; menos por menos, más”. Al-Khwārizmī no habla de esos signos sueltos, sino de las cantidades que se suman o se restan.

Pero además, al-Khwārizmī no habla de cantidades positivas o cantidades negativas, esto último es simplemente impensable, sino de cantidades que se suman y cantidades que se restan a otras: en este caso “unidades añadidas” y “unidades substraídas” a unas decenas. El calificativo “añadido” o “substraído”, “aditivo” o substractivo” no tiene sentido para una cantidad aislada, sólo tiene sentido para una cantidad que está inmersa en un cálculo. La regla de multiplicación es pues una

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regla operatoria sobre lo que la cantidad está realizando o ha realizado en una operación aritmética: ser añadida o ser substraída en el curso de la realización de un cálculo es lo que le da a las cantidades, sólo a efectos de ese cálculo, el carácter aditivo o substractivo. Ese carácter aditivo o substractivo no es pues una propiedad absoluta de una cantidad, sino una propiedad de la cantidad relativa a un cálculo concreto en el que aparece: como se está multiplicando una cantidad, a la que se le ha añadido otra, por otra cantidad, a la que se le ha substraído otra, el cuarto producto es una cantidad “substractiva”, es decir, una cantidad que se va a substraer de otra.

Por otro lado, la regla sólo está enunciada para “la cuarta multiplicación”, que es la multiplicación en la que los factores provienen ambos de las cantidades que están añadidas o substraídas a otras. Sólo en este caso tiene al-Khwārizmī que enunciar una regla. En los otros casos, interviene una cantidad que ni está añadida ni está substraída, sino que es la cantidad a la que se le añade o se le quita algo. Cuando dos de esas cantidades se multiplican, el producto no es aditivo ni substractivo, es de nuevo una cantidad a la que se le añade o se le quita algo. Cuando una de estas cantidades se multiplica por una cantidad añadida o substraída, el producto resultante tiene el carácter aditivo o substractivo de la cantidad por la que se multiplica, sin que la cantidad que ni es añadida ni substraída pueda influir en ese carácter.

Al-Khwārizmī ejemplifica a continuación las reglas que ha formulado en general en el modelo aritmético concreto con tres ejemplos numéricos, elegidos para tener uno de cada una de las posibilidades de producto de “unidades añadidas” y “unidades substraídas”. El primero, y más simple, es: Por ejemplo: diez y uno por diez y dos; el diez por el diez es cien; el uno por el diez, diez aditivo; el dos por el diez, veinte aditivo; el uno por el dos, dos aditivo. Y todo esto es treinta y dos. (Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

En este ejemplo está patente ese carácter asimétrico de la adición que hemos indicado: en “diez y uno”, diez es la cantidad a la que se le suma otra cantidad; uno es la cantidad añadida. El modelo de adición que subyace es el de una cantidad inicial al que se le añade una cantidad que cambia la cantidad inicial, no es el modelo de adición que la presenta como el cardinal de la unión de dos conjuntos disjuntos y en el que los dos sumandos desempeñan el mismo papel en la adición.

Ambos dieces, el de “diez y uno” y el de “diez y dos”, son cantidades que ni son añadidas ni substraídas: su producto, por tanto, no es aditivo ni substractivo. Al-Khwārizmī escribe “el diez por el diez es cien”, y no “el diez por el diez es cien aditivo”. En las otras tres multiplicaciones, el producto sí que está calificado, en este caso, siempre como “aditivo”. Veamos los otros dos ejemplos:

Si se tiene diez menos uno por diez menos uno, el diez por el diez es cien; y el uno substraído por el diez es diez substractivo, y el uno también substraído por el diez es diez substractivo. Esto es ochenta. Y el uno substraído por el uno substraído, uno aditivo. Esto es pues ochenta y uno.

Si se tiene diez y dos por diez menos uno, el diez por el diez es cien; el uno substraído por el diez es diez substractivo; el dos añadido por el diez es veinte aditivo. Esto es ciento diez.

El dos añadido por el uno substraído es dos substractivo.

Todo esto es pues ciento ocho (Rashed, 2007, pp. 122-125; Hughes, 1986, pp. 241-242).

Los tres ejemplos son pues (10 + 1) (10 + 2) (10 – 1) (10 – 1) (10 + 2) (10 – 1) Los dieces son siempre cantidades que ni son añadidas ni substraídas. En los cálculos al-Khwārizmī siempre escribe “diez” sin calificativo alguno. En el primer ejemplo, en que las otras cantidades están ambas añadidas, al-Khwārizmī no se preocupa de escribir el calificativo “añadido” con el uno o el dos, pero en los otros dos ejemplos, siempre lo escribe: “el uno substraído”, “el dos añadido”.

Los productos siempre van acompañados de su calificativo, “aditivo” o “substractivo”, de manera que el cálculo se completa luego realizando sobre el primer producto, es decir, el resultado de la multiplicación de las dos cantidades iniciales (que es al que se van a añadir o del que se van a substraer el resto de los productos) las adiciones o substracciones correspondientes al carácter de los otros tres productos. AlKhwārizmī, además, se detiene en subrayar el efecto de la cuarta multiplicación, que es en la que ambos factores están calificados como “añadido” o “substraído”.

Una vez expuestos los ejemplos de los cálculos aritméticos que son el modelo concreto para enseñar las reglas de cálculo con la cosa, al-Khwārizmī dice explícitamente que ésa ha sido su intención al explicar todo lo anterior: Te he mostrado esto para indicarte cómo multiplicar las cosas unas por otras, si están añadidas a un número, o restadas de un número, o disminuidas por un número (Rashed, 2007, pp. 124-125; Hughes, 1986, p. 242).

Dicho esto, al-Khwārizmī desgrana ejemplos de cálculos con expresiones con la cosa del estilo que ha anunciado, en los que, al poner en funcionamiento para esas expresiones algebraicas los cálculos que ha mostrado en el modelo concreto aritmético, va más allá de la imitación con las expresiones algebraicas de los cálculos aritméticos. En particular, lo aditivo y lo substractivo dejan de ser calificativos estrictamente ligados a lo que se añade o se substrae a una cantidad que ni es aditiva ni substractiva, para calificar también a las cantidades que en las expresiones aritméticas aparecían como canti-

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dades iniciales. Pero además, lo substractivo, aunque sigue apareciendo como substraído de una cantidad, parece independizarse en el curso de los cálculos. Veamos cómo son los ejemplos.

Los ejemplos son estos diez: 1. (10 – x) · 10 3. (10 + x) · (10 + x) 5. (1– 1/6) · (1– 1/6) 7. (10 – x) · x 9. (10 + x/2) · (1/2 – 5x)

2. (10 + x) · 10 4. (10 – x) · (10 – x) 6. (10 – x) · (10 + x) 8. (10 + x) · (x – 10) 10. (10 + x) · (x – 10)

El quinto ejemplo no es en realidad un cálculo de expresiones con la cosa, sino que el lugar de la cosa está ocupado por una fracción. En el ejemplo noveno también hay fracciones, o, para ser más preciso, mitades, y curiosamente, el número de cosas es la mitad de diez. Estos dos ejemplos no responden al mismo esquema sistemático de desarrollo de posibilidades que los otros, y sólo parece tener sentido que al-Khwārizmī los incluya por la dificultad que conllevaba el cálculo con fracciones en su época.

En el ejemplo décimo, cuyo enunciado es el mismo que el del octavo, lo que hace al-Khwārizmī es decir que “diez y cosa” es lo mismo que “cosa y diez” y desarrollar entonces el cálculo (x + 10) · (x – 10).

Veamos en detalle cómo desarrolla al-Khwārizmī los ejemplos. Empecemos por los cuatro primeros.

1. (10 – x) · 10 Si se te dice: diez menos cosa, y el sentido de la cosa es la raíz, por diez, entonces multiplica diez por diez, resulta cien, y menos cosa por diez, resulta diez raíces substractivas.

Decimos: cien menos diez cosas (Rashed, 2007, pp. 124-125; Hughes, 1986, p. 242).

cosa por menos cosa, tesoro aditivo. Resulta pues cien y tesoro menos veinte cosas (Rashed, 2007, pp. 124-125; Hughes, 1986, p. 242).

En estos cuatro ejemplos, al-Khwārizmī hace las dos o las cuatro multiplicaciones por separado, y luego combina los productos teniendo en cuenta si cada uno de ellos es aditivo o substractivo. Hasta aquí no hace más que calcar sobre las expresiones con la cosa lo que ha hecho con el modelo aritmético más concreto, substituyendo simplemente el uno o el dos, que estaban añadidos o substraídos a diez en los ejemplos aritméticos, por la cosa.

Sin embargo, hay algo que es nuevo: en los ejemplos aritméticos en que aparece “diez menos uno”, al-Khwārizmī llamaba en los cálculos “el uno substraído” a ese uno que en la expresión aritmética está después de la palabra “menos”, aquí alKhwārizmī ante la expresión equivalente “diez menos cosa” no dice en los cálculos “la cosa substraída”, sino “menos cosa” ya desde el primer ejemplo.

“Lo substraído” de una cantidad, el uno substraído de diez en el ejemplo aritmético expresado en la frase “diez menos uno”, se independiza para ser no una cosa substraída sino “menos cosa”.

Por supuesto que esto está lejos de indicar la constitución de la idea de número negativo: sólo cuando nombra lo que se va a multiplicar dice al-Khwārizmī “menos cosa”, en cuanto se trata del resultado de la multiplicación, de nuevo está presente que cualquier cosa que lleve delante la palabra “menos” representa una cantidad que ha de substraerse de otra. El resultado de la multiplicación de “menos cosa” por diez no es “menos diez cosas”, sino “diez cosas substractivas. La palabra “menos”, la expresión “menos cosa” sólo se ha independizado de la cantidad de la que se substrae mientras se está calculando con ella.

Eso no quita para que la reiteración a lo largo del texto de alKhwārizmī de la expresión “menos cosa” le dé carta de naturaleza como parte del lenguaje algebraico que al-Khwārizmī usa en su libro, y probablemente contribuyó a establecer. Si usamos la clásica caracterización de Nesselman (1842) de los tipos de lenguaje algebraico, el texto de al-Khwārizmī es “retórico” porque los cálculos algebraicos están expresados totalmente y en detalle usando palabras del lenguaje vernáculo. Ahora bien, decir que entonces el álgebra está escrita en lenguaje vernáculo es contar sólo la mitad de la historia: alKhwārizmī sólo usa el lenguaje vernáculo, por supuesto, pero, por un lado, fija significados técnicos de las palabras, y, por otro, y más importante para lo que quiero señalar aquí, esquematiza y estereotipa el texto. Salta a la vista cuando se lee el libro de álgebra de al-Khwārizmī, o simplemente los fragmentos que estoy citando aquí, que al-Khwārizmī construye frases repitiendo expresiones verbales que, por la reiteración, se

2. (10 + x) · 10 Si se dice: diez y cosa por diez, tú multiplicas diez por diez, resulta cien, y cosa por diez, resulta diez cosas aditivas. Se tiene pues cien y diez cosas (Rashed, 2007, pp. 124-125; Hughes, 1986, p. 242).

3. (10 + x) · (10 + x) Si se dice: diez y cosa por sí misma, tú dices: diez por diez, cien, y diez por cosa, diez cosas, y diez por cosa, diez cosas también, y cosa por cosa, tesoro aditivo. Resulta entonces cien dirhams y veinte cosas y tesoro aditivo (Rashed, 2007, pp. 124-125; Hughes, 1986, p. 242).

4. (10 – x) · (10 – x) Si se dice: diez menos cosa por diez menos cosa, tú dices: diez por diez, cien, y menos cosa por diez, diez cosas substractivas, y menos cosa por diez, diez cosas substractivas, y menos

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convierten en fórmulas estereotipadas. El historiador libanés Adel Anbouba dice que una frase como “illā shay’ fī illā shay’ māl zā’id (menos cosa por menos cosa, tesoro aditivo)”, que acabamos de encontrar en el cuarto ejemplo, “va contra la gramática” (Anbouba, 1978, p. 72). Al-Khwārizmī rompe la gramática de la lengua vernácula como parte de su elaboración del sistema de signos del álgebra, que no se hace con más materia de la expresión que la de la propia lengua vernácula2.

La nueva gramática produce textos esquemáticos y estereotipados: “menos cosa” es más compacto y manejable en un texto esquemático y estereotipado que “la cosa substraída”, y, una vez se ha permitido violar la gramática, se puede independizar de la expresión completa que le daba sentido (“diez menos cosa”), para designar algo con lo que se hacen cálculos algebraicos3.

que se pone la palabra “cosa” en dual. Esto explica la forma en que al-Khwārizmī da aquí el resultado: en árabe se ve como más simple la expresión “dos tercios y un sexto de un sexto” que “veinticinco partes de treinta y seis partes”.

Veamos el quinto ejemplo, en el que no aparece la cosa, pero que al-Khwārizmī enlaza con los anteriores al empezar diciendo “De la misma manera”, lo que nos podría hacer pensar que el sentido de incluir este ejemplo no está en usarlo como modelo aritmético y por tanto más concreto de la multiplicación de expresiones con la cosa, sino, por el contrario, como aplicación ahora de esos cálculos de vuelta a la aritmética, para unos cálculos que son dif íciles.

Si se dice: diez menos cosa por diez y cosa, tú dices: diez por diez, cien, y menos cosa por diez, diez cosas substractivas; cosa por diez, diez cosas aditivas, y menos cosa por cosa, tesoro substractivo. Y esto es cien dirhams menos un tesoro (Rashed, 2007, pp. 126-127; Hughes, 1986, p. 242).

Lo que interesa señalar, y va en el sentido que había adelantado antes de exponer este ejemplo, es que aquí al-Khwārizmī aplica al cálculo de expresiones con fracciones la regla que ha enunciado para expresiones con la cosa, e incluso usa el mismo lenguaje esquematizado y estereotipado que viola la gramática: “menos un sexto por menos un sexto”, etc.

Veamos ahora los ejemplos sexto, séptimo y octavo 6. (10 – x) · (10 + x)

7. (10 – x) · x Si se dice: diez menos cosa por cosa, tú dices: diez por cosa, diez cosas, y menos cosa por cosa, tesoro substractivo.

Resulta pues diez cosas menos un tesoro (Rashed, 2007, pp.

126-127; Hughes, 1986, pp. 242-243).

5. (1– 1/6) · (1– 1/6) De la misma manera si te dicen: un dirham menos un sexto por un dirham menos un sexto. Se tiene cinco sextos por sí mismo, es decir, veinticinco partes de treinta y seis partes de dirham, que es dos tercios y un sexto de un sexto.

La regla para ello es: multiplicas un dirham por un dirham, se tiene un dirham. Y menos un sexto por un dirham vale un sexto substractivo, y menos un sexto por un dirham vale un sexto substractivo. Queda dos tercios de un dirham. Y menos un sexto por menos un sexto vale un sexto de un sexto aditivo. Es pues dos tercios y un sexto de un sexto (Rashed, 2007, pp. 126-127; Hughes, 1986, p. 242).

No entraré aquí en las peculiaridades de la denominación de las fracciones en la época árabe medieval, que son responsables de algunos de los detalles de estos cálculos. Sólo mencionaré que la lengua árabe tiene nombre sólo para las fracciones unitarias, y que éstas se llaman “fracciones expresables”, mientras que las demás se llaman “inexpresables” o “sordas” (exactamente la misma palabra se usa también para las magnitudes inconmensurables). Las fracciones sordas se describen con expresiones como la que aparece en este texto: “veinticinco partes de treinta y seis partes” para 25/36, reiterando la palabra “parte” para indicar claramente que la unidad (en este caso, el dirham) se ha dividido en treinta y seis partes y que se han tomado veinticinco de esas treinta y seis. También tiene nombre para fracciones con un dos en el numerador, como dos tercios, pero eso se debe a que la lengua árabe no sólo tiene singular y plural, sino también dual, por lo que para decir dos cosas, por ejemplo, no se usa el número dos, sino

8. (10 + x) · (x – 10) Si se dice: diez y cosa por cosa menos diez, tú dices: cosa por diez, diez cosas aditivas; cosa por cosa, tesoro aditivo; menos diez por diez, cien dirhams substractivos; menos diez por cosa, diez cosas substractivas. Decimos entonces: un tesoro menos cien dirhams. Después de haberlas opuesto, se eliminan diez cosas aditivas con diez cosas substractivas. Quedará entonces un tesoro menos cien dirhams (Rashed, 2007, pp.

126-129; Hughes, 1986, p. 243).

El ejemplo séptimo no incluye nada nuevo, su diferencia con los ejemplos primero y segundo es simplemente que la expresión simple es una cosa en vez de ser un diez, por lo que una de las dos multiplicaciones da origen a un tesoro, en este caso substractivo. Esa multiplicación de la cosa por la cosa ya había aparecido en los ejemplos tercero y cuarto, y es una multiplicación de especies de números: cosa por cosa es tesoro ya que al-Khwārizmī ha advertido que “el sentido de la cosa es la raíz4”.

En los ejemplos sexto y octavo, las diez cosas aditivas se compensan con las diez cosas substractivas, quedando una expresión en la que sólo hay dos especies: simples números o dirhams y tesoros. En el ejemplo sexto al-Khwārizmī se limita a enunciar el resultado: “Y esto es cien dirhams menos un tesoro”. El ejemplo octavo es más interesante porque alKhwārizmī explica cómo han desaparecido las cosas al final de los cálculos, y, en la explicación, utiliza la palabra “qābālat”,

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que tiene la misma raíz que al-muqābala, la palabra que aparece en el título del libro de al-Khwārizmī acompañando a aljabr, y que es el nombre de una de las operaciones fundamentales que definen el cálculo. Esa raíz tiene el significado de oponer una cosa a otra, y se usa para compensar los términos de una expresión algebraica que sean de la misma especie. En el caso de este cálculo, hay dos de las cuatro multiplicaciones que han producido términos de la misma especie: diez cosas aditivas y diez cosas substractivas. El calculista algebraico las opone, las pone una frente a otra y las compensa, en este caso la oposición, al-muqābala, tiene como consecuencia que las cosas se eliminan y en la expresión final no hay cosas, sólo dirhams y tesoros.

ro”. Pero eso no completa el cálculo, sino que el resultado se da con la expresión algebraica en su forma esquemática y estereotipada: “un tesoro menos cien dirhams”.

El ejemplo noveno, ya lo anunciaba cuando comenzamos a examinar estos ejemplos, es peculiar por la presencia de mitades:

Al-Khwārizmī sólo trata con tres especies: tesoros, raíces y simples números. En el capítulo “Sobre la multiplicación”, que hemos examinado, desarrolla un cálculo con expresiones en las que está la cosa y enseña a calcular con las cosas “si están solas, si están con un número, si están disminuidas en un número o si están restadas de un número”. Con ello trata todas las multiplicaciones entre expresiones con especies que pueden aparecer en su cálculo; cualquier otra multiplicación exigiría ampliar la serie de las especies, incluyendo el cubo, el tesoro tesoro, el tesoro cubo, etc., como hicieron tras él sobre todo al-Karajī, as-Samaw’al y los que les siguieron. En los otros dos capítulos al-Khwārizmī aborda las tres operaciones aritméticas que faltan: adición, substracción y división. Sin embargo, en estos capítulos al-Khwārizmī no sigue calculando con la cosa; de hecho, la palabra “cosa” ni siquiera aparece una sola vez en ellos. Las expresiones con las que alKhwārizmī calcula en estos dos capítulos son algunas expresiones con especies y, sobre todo, expresiones en las que aparecen radicales.

9. (10 + x/2) · (1/2 – 5x) Si se dice: diez dirhams y media cosa por medio dirham menos cinco cosas, tú dices: medio dirham por diez, cinco dirhams aditivos; y medio dirham por media cosa, un cuarto de cosa aditivo, y menos cinco por diez dirhams, cincuenta raíces substractivas. Resulta la suma de todo entonces cinco dirhams menos cuarenta y nueve raíces y tres cuartos de raíz.

Multiplicas luego cinco raíces substractivas por media raíz aditiva. Resulta dos tesoros y medio substractivos. Es entonces cinco dirhams menos dos tesoros y medio y menos cuarenta y nueve raíces y tres cuartos de raíz. (Rashed, 2007, pp.

128-129; Hughes, 1986, p. 243).

Este ejemplo nos hace ver de nuevo que la presencia de fracciones era una dificultad notable para los cálculos, pero no nos vamos a entretener más que en constatarlo.

El último ejemplo muestra, en primer lugar, que es necesario decir explícitamente que “diez y cosa” es lo mismo que “cosa y diez”.

10. (10 + x) · (x – 10) Si se dice: diez y cosa por cosa menos diez. Es como si se hubiera dicho: cosa y diez por cosa menos diez. Tú dices: cosa por cosa, tesoro aditivo; diez por cosa, diez cosas aditivas; menos diez por cosa, diez cosas substractivas. Se anula lo aditivo con lo substractivo y queda el tesoro. Y menos diez por diez, cien substraído del tesoro. Resulta pues un tesoro menos cien dirhams. (Rashed, 2007, pp. 128-129; Hughes, 1986, p. 243).

Aquí, la oposición de los dos términos que son de la misma especie se enuncia sin tanta precisión como en el ejemplo octavo, y como después de las tres primeras multiplicaciones sólo queda el tesoro, la cuarta multiplicación, que da un resultado substractivo, se enuncia como “cien substraído del teso-

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Después de este último ejemplo, al-Khwārizmī termina el capítulo “Sobre la multiplicación” recapitulando: Y para todo lo que se obtiene por la multiplicación de aditivo y substractivo, como menos cosa por cosas añadidas, el último producto es substractivo siempre. (Rashed, 2007, pp.

128-129; Hughes, 1986, p. 243).

El cálculo con especies

No examinaré los dos capítulos completos como he hecho en el caso del capítulo “Sobre la multiplicación”, sino que me limitaré a examinar unos cálculos que presenta en el capítulo “Sobre la adición y la substracción” que son peculiares. En el conjunto de estos dos capítulos, el estilo de presentación es bastante diferente del que hemos visto que al-Khwārizmī utiliza en el capítulo “Sobre la multiplicación”: no hay aquí modelo concreto alguno a partir del cual se le dé sentido a los cálculos algebraicos. Los cálculos que vamos a examinar tienen la peculiaridad, además, de que al-Khwārizmī los demuestra mediante figuras en dos casos, y dice que no es posible demostrarlo mediante figuras en otro, pero que en ese caso se puede hacer una demostración “con palabras”. Esta “demostración con palabras” puede verse como el germen de la demostración puramente algebraica.

Los dos primeros cálculos no son cálculos con especies sino con radicales, en concreto la adición y la substracción de dos binomios con radicales cuadráticos que son irracionales:

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(

) (

200 − 10 + 20 − 200

)

y

(20 −

) (

200 −

200 − 10

)

Veamos cómo enuncia al-Khwārizmī los cálculos: Que sepas que la raíz de doscientos menos diez, sumada a veinte menos la raíz de doscientos, es igual a diez.

La raíz de doscientos menos diez restada de veinte menos la raíz de doscientos es treinta menos dos raíces de doscientos, y dos raíces de doscientos es la raíz de ochocientos (Rashed, 2007, pp. 130-131; Hughes, 1986, p. 243).

Los otros cálculos son la adición y la substracción de dos expresiones algebraicas que ambas contienen las tres especies:

“Sobre la adición y la substracción” con cuestiones cómo “duplicar la raíz de cualquier tesoro, conocido o sordo”, triplicarla, etc., cuestiones que no vamos a examinar, y sólo al final del capítulo “Sobre la división” aparecen las demostraciones.

La primera de ellas, que pretende demostrar que efectivamente

(

) (

)

200 − 10 + 20 − 200 = 10

es una demostración hecha mediante una figura, que se construye para representar las expresiones y ver en ella que los cálculos dan lo que se ha dicho que dan. En la figura 1 indicamos cómo están representadas las expresiones en la figura que alKhwārizmī construye. La figura 2 es la que aparece en la edición de Masharrafa y Ahmad del texto de al-Khwārizmī (Masharrafa y Ahmad, 1939 p. 33).

La demostración comienza como sigue:

(100 + x2 – 20x) + (50 + 10x – 2x2) y (100 + x2 – 20x) – (50 + 10x – 2x2)

En cuanto a la causa de la raíz de doscientos menos diez añadida a veinte menos la raíz de doscientos, ésta es la figura: la recta AB es la raíz de doscientos: de A al punto B es el diez, y lo que queda de la raíz de doscientos es el resto de la recta AB, es decir la recta CB (Rashed, 2007, pp. 136-137; Hughes, 1986, p. 245).

Veamos cómo enuncia al-Khwārizmī los cálculos: Cien y tesoro menos veinte raíces, a lo que se añade cincuenta y diez raíces menos dos tesoros, resulta ciento cincuenta menos un tesoro y menos diez raíces (Rashed, 2007, pp. 130131; Hughes, 1986, p. 243).

Cien y tesoro menos veinte raíces, de lo que se substrae cincuenta y diez raíces menos dos tesoros, resulta cincuenta dirhams y tres tesoros menos treinta raíces (Rashed, 2007, pp.

130-1315).

Al-Khwārizmī comienza pues construyendo un segmento AB para representar la raíz de doscientos (que es irracional, “sorda”, en la terminología de al-Khwārizmī) en el que señala un segmento igual a diez para tener así representado tanto la raíz de doscientos como el binomio inicial, raíz de doscientos menos diez.

Tras esos enunciados en los que nada se explica, alKhwārizmī promete demostraciones:

Construye luego una recta del punto B al punto D, la recta veinte, que es el doble de la recta AC, que es diez (Rashed, 2007, pp. 136-137; Hughes, 1986, p. 245).

Te muestro su causa verdadera de una forma que te conduce a lo que se busca, si Dios quiere (Rashed, 2007, pp. 130-131; Hughes, 1986, p. 243).

Las demostraciones no están, sin embargo, a continuación de estos enunciados, sino que al-Khwārizmī continúa el capítulo

Lo que le va a añadir al binomio inicial, no lo representa a continuación del segmento ya construido, como parecería natural para representar la adición como yuxtaposición de segmentos, sino que en otra recta (dispuesta perpendicularmente a la anterior, pero el hecho de que aparezca perpendi-

Figura 1

Figura 2

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cular en la figura no desempeña papel alguno) va a representar el otro binomio, comenzando para ello por la cantidad a la que se le substrae algo, en este caso, por el veinte. El segmento BD se construye de manera que sea el doble del segmento AC, ya que éste representa diez, y ahora se trata de representar veinte. De la misma manera, llevará a ese nuevo segmento otro igual a la raíz de doscientos, para representar así veinte menos la raíz de doscientos, es decir, el binomio que se suma al inicial: Del punto B al punto E una igual a la recta AB, es también la raíz de doscientos. El resto del veinte es del punto E al punto D (Rashed, 2007, pp. 136-137; Hughes, 1986, p. 245).

Con los dos binomios representados, ya está en condiciones de representar su adición:

operaciones de cortar, trasladar y pegar, en este caso los segmentos). En ningún caso se duda que lo que se vea pueda ser engañoso, continuamente está diciendo al-Khwārizmī “es evidente que” (Cremona traduce “ergo manifestum est nobis”, “por tanto es evidente para nosotros”).

Por tanto, al-Khwārizmī no busca la garantía de verdad en un conjunto establecido de proposiciones que se aceptan como verdaderas y de procedimientos de derivación de nuevas proposiciones verdaderas a partir de las ya establecidas. Es decir, no son demostraciones que se sustenten en el edificio euclídeo de definiciones, nociones comunes, postulados y proposiciones derivadas a partir de ellos. Son demostraciones hechas con figuras geométricas, pero no demostraciones geométricas (en el sentido euclídeo).

La segunda de las demostraciones es del mismo estilo. En la figura 3 indicamos cómo están representadas las expresiones en la figura que al-Khwārizmī construye. La figura 4 es la que aparece en la edición de Masharrafa y Ahmad del texto de alKhwārizmī (Masharrafa y Ahmad, 1939 p. 34).

Ya que queremos añadir lo que queda de la raíz de doscientos una vez quitado el diez, que es la recta CB, a la recta ED, que es veinte menos la raíz de doscientos, cortamos de la recta BE una recta igual a la recta CB, sea la recta GE (Rashed, 2007, pp. 136-139; Hughes, 1986, p. 245).

Es decir, al-Khwārizmī traslada ahora el segmento que representa raíz de doscientos menos veinte en la primera recta a la segunda recta, colocándolo a continuación del segmento que representa veinte menos la raíz de doscientos, de manera que esté a la vez separando una parte del segmento que representa a la raíz de doscientos. Entonces puede identificar los segmentos correspondientes en las dos rectas que ha construido.

Ahora bien, es evidente que la recta AB, que es la raíz de doscientos, es igual a la recta BE; que la recta AC, que es el diez, es igual a la recta BG, y que el resto de la recta AB que es CB, es igual al resto de la recta GE (Rashed, 2007, pp. 138-139; Hughes, 1986, p. 245).

Con lo que puede proceder a ver que, representada así la adición de los dos binomios en la segunda recta, el resultado es el que había enunciado.

Añadimos a la recta ED la recta GE; será evidente que se ha substraído de la recta BD, que es veinte, una recta igual a la recta AC, que es diez, es decir, la recta BG, y que nos queda la recta GD, que es diez (Rashed, 2007, pp. 138-139; Hughes, 1986, p. 245).

En cuanto a la causa de la raíz de doscientos menos diez substraída de veinte menos raíz de doscientos, he aquí la figura: la recta AB es la raíz de doscientos; de A al punto C, es el diez conocido. Construyamos del punto B al punto D una recta y pongámosla veinte. Pongamos del punto B al punto E una recta igual a la recta raíz de doscientos, que es igual a la recta AB. Es evidente que la recta CB es lo que queda de la raíz de doscientos, una vez quitado el diez, y que la recta ED es lo que queda de veinte una vez quitada la raíz de doscientos. (Rashed, 2007, pp. 138-139; Hughes, 1986, p.

246).

La representación comienza de la misma manera que en el caso anterior, ya que los binomios son los mismos, pero ahora se trata de substraer uno de otro en vez de sumarlos, por lo que la construcción del segundo segmento ha de ser distinta.

El diez que está substraído del binomio que se substrae, lo coloca en la figura añadido al segmento que representa el binomio del que se tiene que substraer, en la derecha del segmento que lo representa (ver la figura 3).

Queremos substraer la recta CB de la recta ED. Construyamos una recta desde el punto B al punto G, que se igual a la recta AC, que es diez. La recta GD entera será pues igual a la recta GB, y la recta BD. Ahora bien, es evidente que todo esto es treinta. (Rashed, 2007, pp. 138-141; Hughes, 1986, p. 246).

Y concluye: Lo que había que demostrar. He aquí la figura (Rashed, 2007, pp. 138-139; Hughes, 1986, p. 245).

La demostración es del mismo estilo que la que al-Khwārizmī hace de los algoritmos de resolución de las formas canónicas compuestas. Una demostración cuya garantía de verdad reside en que se ve lo que se quiere demostrar en una figura en la que se representan los objetos algebraicos (en este caso mediante segmentos) y las operaciones con ellos (mediante

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El resto de la demostración transcurre de forma similar a la anterior: Es evidente que la recta BE es la raíz de doscientos, y que la recta GB y BC es igualmente la raíz de doscientos. Ya que la recta EH se ha hecho igual a la recta CB, será evidente que lo que se ha substraído de la recta GB, que es treinta, es dos raí-

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Figura 3

Figura 4

ces de doscientos. Pero dos raíces de doscientos es la raíz de ochocientos (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p.

246).

Khwārizmī recurre al artificio de que éstos estén representados por toda la superficie de la figura, lo que puede hacer ya que los simples números están relacionados con las otras dos especies por substracción o adición en las ecuaciones. Esto no puede hacerse si no se trata de representar una ecuación, sino una expresión algebraica como las que tiene que representar ahora, por eso dice al-Khwārizmī que “no le conviene una figura” porque tiene las tres especies y “no hay con ellas lo que les sea igual”.

Y concluye: Lo que había que demostrar. He aquí la figura (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 246).

La tercera demostración que vamos a examinar es diferente, y no tiene parangón con ninguna de las demostraciones que alKhwārizmī hace en su libro. No es una demostración con figuras geométricas del estilo “ingenuo”, con la garantía de verdad en lo que se ve, sin dudar de ello, que acabamos de ver en práctica en las dos demostraciones anteriores. Lo que alKhwārizmī quiere demostrar no es ahora un cálculo con radicales, sino una adición de dos expresiones con especies, cuyo resultado ha enunciado en el capítulo “Sobre la adición y la substracción” unas páginas antes6: (100 + x2 – 20x) + (50 + 10x – 2x2) = 150 – x2 – 10x El mismo al-Khwārizmī explica por qué no va a hacer una demostración con figuras: En cuanto a cien y un tesoro menos veinte raíces, a las que se añaden cincuenta y diez raíces menos dos tesoros, no le conviene ninguna figura porque está compuesta por tres especies diferentes, tesoros, raíces y números, y no hay con ellas lo que les sea igual, para que pueda ser representado en una figura (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, pp. 246247).

En las demostraciones mediante figuras de los algoritmos de solución de las formas canónicas compuestas que hace alKhwārizmī, la manera que tiene de representar las tres especies depende efectivamente de que lo que ha de representar es una ecuación. En efecto, al-Khwārizmī representa los tesoros mediante cuadrados y las raíces mediante rectángulos en los que un lado representa la raíz (del tesoro) y el otro el número de raíces, con lo que las raíces es también una superficie.

Para representar la tercera especie, los simples números, al-

Al-Khwārizmī concluye esta explicación con una frase enigmática: Pudimos hacer una figura de ello, pero no sensible (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Nada más nos dice al-Khwārizmī de esa “figura no sensible”, porque ante esta dificultad abandona el recurso a las figuras sensibles en las que cortar, trasladar y pegar para ver lo que se quiere demostrar (y tampoco recurre a esa enigmática “figura no sensible”), para hacer lo que podemos llamar el primer precursor del que tenemos noticia de una demostración puramente algebraica: una demostración que se hace simplemente en el terreno de la expresión en el sistema de signos del álgebra sin recurso a las figuras. Al-Khwārizmī la llama demostración mediante palabras (al-lafz), o por la expresión (Cremona traduce “verbis”, “por las palabras”): En cuanto a su necesidad es evidente en palabras7 [por la expresión] (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Ésta es la demostración “por la expresión” o “en palabras”: Sabes en efecto que tienes cien y un tesoro menos veinte raíces. Ya que le has añadido cincuenta y diez raíces, resulta ciento cincuenta y un tesoro menos diez raíces porque estas diez raíces han restaurado las veinte raíces substraídas a diez raíces (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Al-Khwārizmī trata las expresiones por partes, considerando que las dos que se van a añadir constan de una parte que es la cantidad digamos principal o inicial, y otra que es la cantidad que se le ha quitado, y por tanto le falta a la cantidad inicial, y

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ha de restaurarse en el curso de los cálculos, si se quiere llegar a una forma canónica. Ése es el sentido que tiene al-jabr, la operación fundamental del cálculo: la restauración de lo que falta. Lo primero que hace aquí al-Khwārizmī es restaurar las veinte raíces substraídas a la primera cantidad (cien y tesoro) con las diez raíces de la segunda cantidad, con lo que consigue restaurar parte de lo que le falta a la primera. Ahora puede tratar el caso de los dos tesoros que le faltan a la segunda cantidad: Queda pues ciento cincuenta y un tesoro menos diez raíces; había un tesoro con el cien; así, cuando has substraído de cien y un tesoro los dos tesoros substraídos de cincuenta, un

tesoro se anula con un tesoro y te queda un tesoro. Resulta pues ciento cincuenta menos un tesoro menos diez raíces (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Y concluye Lo que había que demostrar (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

inaugurando así una nueva forma de demostrar, cuya historia vale la pena indagar8. Sin embargo, no puedo dejar de pensar que me hubiera gustado ver esa “figura no sensible” que alKhwārizmī dice haber hecho, pero que se guardó para sí.

HISTORIAS

NOTAS 1

Se supone que el libro de cálculo hindú lo escribió al-Khwārizmī después del libro de álgebra, porque al comienzo de él cita el libro de álgebra.

Aunque esa hipótesis es plausible, cabe que no fuera así ya que no se conserva ningún testimonio del libro de cálculo hindú que no esté mezclado con textos procedentes de otras fuentes (ver la entrega de estas historias de al-Khwārizmī subtitulada “Los Libros”, Puig, 2008). Además, que alKhwārizmī aún no hubiera escrito su libro de cálculo hindú no excluye que no conociera ya la representación de los números hindú que luego contribuiría decisivamente a difundir en todo el mundo.

2 El historiador tunecino Mahdi Abdeljaouad hace, en su introducción a un texto del siglo XIV de Ibn al Hā’im, un comentario del mismo orden: “se ve funcionar una lengua matemática, totalmente retórica, pero que responde a las reglas lingüísticas específicas de la lengua algebraica” (Adbeljaouad, 2003, p. 11). Es ese responder a reglas específicas lo que permite hablar del sistema algebraico de signos del texto de al-Khwārizmī, aunque todo él sea “retórico”, es decir, no use más materia de la expresión que la materia de la expresión de la lengua vernácula.

3 En la traducción latina de Cremona, las cosas no son exactamente iguales.

“Diez menos cosa por diez menos cosa” es “Decem re diminuta in decem

re diminuta”, en donde “diminuta” viene del verbo “diminuere”, substraer, y, por tanto, está mas cerca de “cosa substraída” que de “menos cosa”. En consecuencia, cuando Cremona traduce la frase contra la gramática árabe “illā shay’ fī illā shay’ māl zā’id (menos cosa por menos cosa, tesoro aditivo)”, escribe “res diminuta in rem diminutam fit census additus”, literalmente “cosa substraída por cosa substraída hace censo añadido”, en la que no aparece “menos cosa”, quizá gracias a la sintaxis latina.

4 Sobre las complejas relaciones entre “cosa” y “raíz”, ver la anterior entrega de estas historias, que subtitulé precisamente “La cosa” (Puig, 2011).

5 Este cálculo no aparece en la traducción latina de Cremona.

6 De la substracción de estas dos expresiones, que también aparece enunciada en el capítulo “Sobre la adición y la substracción”, pero no en la traducción latina de Cremona, no da al-Khwārizmī ninguna demostración, ni la menciona al presentar esta demostración.

7 Cremona traduce: “Eorum vero necessitas verbis manifesta est”, “Cuya necesidad es evidente por las palabras [por la expresión].

8 Véase un punto de vista para hacerlo en Puig (2009) y Puig (in press), y los resultados de algunas indagaciones en el trabajo de Infante (2010), que se han presentado parcialmente en Infante y Puig (2011).

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Este artículo fue solicitado por Suma en febrero de 2011 y aceptado en mayo de 2011 para su publicación

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