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GENERACIÓN DE MALLAS NO ESTRUCTURADAS PARA LA IMPLEMENTACION DE MODELOS NUMÉRICOS

AUTOR: DARIO FERNANDO LONDOÑO PINILLA

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

PROFESOR EDGAR CARMONA SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN

UNIVERSIDAD DEL QUINDIO FACULTAD DE EDUCACIÓN PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS ARMENIA QUINDIO


TABLA DE CONTENIDO

PAG

RESUMEN

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INTRODUCCIÓN

4

OBJETIVOS

5

PROBLEMA

6

JUSTIFICACIÓN

7

MARCO TEORICO

8 - 14

DISEÑO DE INVESTIGACIÓN

15- 17

CRONOGRAMA

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RESULTADOS ESPERADOS

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REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS

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RESUMEN

En este documento se desea estudiar una herramienta numérica para la generación automática de mallas, ya sean estructuradas o no estructuradas, para el cálculo de las mallas no estructuradas se implementa el método de los elementos finitos, para el cálculo de las mallas estructuradas mediante el método de las diferencias finitas. Las mallas generadas son usadas en el desarrollo de modelos numéricos bidimensionales (2D) o tridimensionales (3D) en el modelamiento de superficies utilizando software de ayuda como las plataformas CAD, para la simulación de fenómenos físicos. En particular, se detallan las tres operaciones elementales que se realizan de forma reiterativa en el proceso de mallado: 1. Medición de ángulos en la superficie. 2. Medición de distancias en la superficie. 3. La generación de un nodo a una distancia previamente prescrita. Para la interpolación de estas mallas, se desea aplicar un algoritmo con base en el refinamiento triangular no estructurado de Delaunay, el cual se explica más detalladamente en el documento, complementado por un conjunto de utilidades para chequear y mejorar la calidad de la malla.

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INTRODUCCIÓN Uno de los aspectos más laboriosos y costosos de la resolución numérica de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales es la discretización del dominio, por lo tanto se han desarrollado una amplia gama de métodos de generación de mallas para problemas bidimensionales y tridimensionales (Sarrate & Huerta, 2002). La generación de mallas en superficie con geometría arbitraria es de un modo general un problema complejo, A pesar de ser necesario definir tres coordenadas (x,y,z) para cada punto de la malla, sólo dos son independientes, siendo la tercera determinada por la definición de la superficie, es decir la variable elevación que se representa con la letra Z nos representara la configuración del terreno por lo tanto depende de él y no puede ser modificada (Khamayesh & Kuprat, 1999). En general, se utilizan dos coordenadas paramétricas para definir una superficie. Así, se vuelve atractivo utilizar las coordenadas paramétricas como variables dependientes del proceso de generación de la malla (Khamayesh & Kuprat, 1999). Sin embargo, puede ser difícil definir un dominio computacional de forma arbitraria a partir de las coordenadas paramétricas utilizadas en la definición de la superficie. Durante la última década se han desarrollado diferentes algoritmos para la generación de mallas no estructuradas, detalles de estos se pueden encontrar en diferentes publicaciones como por ejemplo en el articulo denominado "Generación automática de mallas no estructuradas", de la revista Internacional de métodos numéricos, para calculo y diseño de ingeniería escrito por J. Sarrate y A. Huerta en el año 2002 en España. Uno de los más populares es el algoritmo de Delaunay que será explicado mas adelante, en el cual se parte de una triangulación inicial y esta puede ser refinada hasta que la calidad de los elementos que se forman es suficientemente alta. Numerosos autores han demostrado que una buena discretización del domino es un paso esencial para lograr una mejor aproximación al fenómeno físico. Se encontró que la calidad de la solución de los métodos computacionales usados, tiene una fuerte relación de dependencia de la resolución (el número de elementos que representan el área de interés) de la malla. La resolución resultante de la discretización del dominio no puede ser separada de la respuesta computacional del modelo, de allí que existe la necesidad de crear mallas que representen adecuadamente el dominio y que también puedan contar con una calidad de elementos que favorezca la solución computacional. El método de elementos finitos ha evolucionado rápidamente en las últimas dos décadas para permitir el control de la calidad de los elementos de la malla en el proceso de refinamiento. Las metodologías de refinamiento de mallas no estructuradas están bien documentadas en la literatura, para ello puede revisarse. Legrand (2000) mostró que es posible refinar la malla en función de la propagación de las variables de interés en la aplicación de modelos de gran escala. (Wang, 2007), presentó los resultados de un algoritmo que usa la generación de frentes de avance circular para originar mallas de buena calidad. 4


OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

-

Reconocer las mallas no estructuradas como el mejor método para la implementación de modelos numéricos

OBJETIVOS ESPECIFICOS

-

Hacer un análisis de los conceptos básicos de una malla estructurada y no estructurada.

-

Elaborar una estrategia que nos indique el procedimiento para la generación de mallas estructuradas.

-

Diseñar un plan que nos indique cual de los dos métodos es mejor para la implementación de modelos numéricos.

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PROBLEMA

La importancia del proceso para la generación de una malla válida en un dominio de una geometría compleja, no es una tarea trivial, y puede llegar a ser un trabajo costoso en términos del tiempo requerido para su ejecución. De otro lado, resulta crucial crear una malla bien adaptada a las condiciones físicas del problema bajo consideración, dado que la calidad de la aproximación de la solución calculada está fuertemente relacionada con la precisión con la que la malla reproduce el prototipo (George, 1998). Bajo estas premisas, en la actualidad se han desarrollado gran cantidad de algoritmos de generación de modelos para su uso en programas. Por ejemplo en aplicaciones de interés industrial, la geometría de la superficie puede ser muy complicada y generalmente se definen mediante el uso de paquetes de CAD, en la actualidad la mayoría de generadores de mallas sobre superficies generan desratizaciones formadas solamente por triángulos (Sarrate & Huerta, 2002). Sin embargo, como dice (George, 1991) "dichos algoritmos están condicionados a los requerimientos de las herramientas numéricas de análisis. Por tal motivo, muchos de los programas actuales de elemento finito cuentan con sus propios algoritmos de pre-proceso y pos-proceso de información, que garanticen la compatibilidad entre las condiciones geométricas y analíticas del modelo". Existen otros programas, de uso frecuente en el análisis de estructuras terrestres, que carecen de estas herramientas, y que poseen características particulares que los hacen incompatibles con los algoritmos existentes de generación, por lo cual se hace necesario implementar un nuevo algoritmo, que esté acorde con las condiciones propias del problema y con los requerimientos necesarios para su análisis numérico. Bajo estos parámetros debemos elegir con cuál de los dos tipos de mallas trabajar si con una malla estructurada o una malla no estructurada.

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JUSTIFICACIÓN

El modelado numérico se está transformando en una herramienta imprescindible en varias áreas de la ingeniería; sin embargo, el empleo de las mismas sigue siendo bastante técnico y requiere de usuarios con cierto grado de especialización, en particular en aquellas situaciones que no pueden reducirse a problemas uni- o bidimensionales. El principal obstáculo en estos casos suele ser la etapa de discretización de la geometría, que se ha transformado en un verdadera molestia para aquellos que precisan realizar modelados numéricos en problemas tridimensionales de interés tecnológico (Vénere, 1996) (Vénere, 1996). Según Vénere, estos hechos han sido sin duda los impulsores de los recientes desarrollos en las áreas de generación automática de mallas no estructuradas por un lado y mallas estructuradas por el otro. Gracias a las primeras se han ampliado notablemente las posibilidades de generación en geometrías complejas y se disminuyó en igual medida el esfuerzo para obtener una primera malla. Las técnicas adaptivas, en cambio, permiten automatizar la detección de zonas de la malla en las que la discretización es inadecuada y la corrigen. El proceso comienza con la descripción geométrica del modelo, la cual normalmente se realiza utilizando un sistema de CAD (Diseño Asistido por Computador). Luego se define la discretización y se genera la malla de elementos finitos. Si se utiliza algún método de generación automática de mallas no estructuradas, esta etapa suele estar dividida en dos partes: la generación de la superficie por un lado y del volumen por el otro, luego se definen las propiedades y condiciones de contorno y posteriormente se realiza el cálculo. Finalmente se analizan los resultados y se verifica que la solución haya convergido. En caso contrario será necesario redefinir la discretización, preferentemente en forma adaptiva. Como se viene tratando, la importancia de los moldeamientos de superficies o de algo físico, es una herramienta muy útil para algunos trabajos de ingeniería, la generación de un algoritmo para esto es la utilización de mallas estructuradas y no estructuradas, con este algoritmo se han modelado por ejemplo las corrientes oceánicas del mar Caribe (F. García, C. Palacio & U. García), entre otras. Estas mallas se basan en la triangulación de Delaunay que se utiliza para encontrar la geometría de la superficie a modelar, con algunas investigaciones anteriores se ha encontrado que las mejores mallas para utilizar este algoritmo son las mallas no estructuradas, que se pueden calcular por el método de los elementos finitos. Es por esta razón que debemos estudiar tanto las mallas estructuradas como las no estructuradas y encontrar cuál de estos dos algoritmos es el más práctico tanto en tiempo como en dinero para el estudio de el modelamiento de cualquier superficie u objeto.

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MARCO TEORICO

NOCIONES GENERALES DE MALLAS

Una malla consiste en la subdivisión de un continuo, en un número finito de segmentos, triángulos, cuadriláteros, tetraedros, pentaedros o hexaedros, dependiendo de la dimensión del continuo (unidimensional, bidimensional o tridimensional). Los elementos K, que constituyen la malla, deben cumplir ciertas propiedades, que se mencionan a continuación1. Dentro de las propiedades geométricas, una fundamental es la de una malla conforme, que define que las partes ensambladas comparten los nodos y los elementos con la interfaces adyacentes (White & Saigal, 2002) El concepto de malla está asociado a los componentes geométricos, y se refiere principalmente a la definición de los nodos y las funciones de interpolaciones en los elementos. Otras propiedades importantes que deben tener los elementos que constituyen una malla, están relacionados con aspectos como la variación progresiva de tamaños y densidades entre los elementos adyacentes, al igual que la regularidad de los mismos. Al generar una malla de elementos finitos, ya sea de superficie o de volumen, es preciso especificar el tamaño de los elementos en cada punto del espacio. La metodología más aceptada para ello es definir una función diámetro del elemento h(x, y, z) en un número finito de puntos y extenderla a todo el dominio mediante interpolación. Para realizar esta interpolación utilizamos un método sugerido la triangulación de Delaunay, donde la idea principal es en primer lugar generar la malla del conjunto de puntos en que se especificó la función h(x, y, z). Una malla generada numéricamente es pensada como el conjunto organizado de puntos formado por las intersecciones de las líneas de un sistema de coordenadas. Existen numerosos algoritmos para la construcción de mallas para geometrías bidimensionales y tridimensionales. La elección de alguno de estos algoritmos en particular depende de las características geométricas del dominio a considerar (George, 1991). Existen dos grupos principales en los que se pueden clasificar las mallas, de acuerdo a la conectividad o forma de conexión entre los vértices de los elementos que la constituyen los dos tipos los trataremos a continuación: 8


Mallas estructuradas: Una malla estructurada se define como aquella donde cada elemento de control tiene el mismo número de elementos vecinos, es decir son aquellas cuya conectividad es del tipo de diferencias finitas, es decir, si existe un nodo base de coordenadas (i, j, k), el nodo vecino de la izquierda tendrá coordenadas (i-1, j, k) y el de la derecha (i+1, j, k). Esta representación tiene ventajas en cuanto al ahorro de información que se requiere para la generación de modelos con elementos en forma de cuadriláteros o hexaedros. (George 1991) Mallas no estructuradas: Son aquellas con cualquier otro tipo de conectividad distinta a la anterior, es decir los elementos vecinos son variados. Esta condición es la más general, en cuanto a conectividad se refiere. A continuación, se listan las diferentes metodologías para la generación de mallas presentadas por George (1991) en su libro “Automatic Mesh Generator”. Todas las metodologías descritas se refieren al caso de mallas no estructuradas, y aunque la forma en que se clasifican no es única, proporcionan una idea acerca de la tendencia que enmarca el proceso de generación de mallas. - Generación manual, en la cual el usuario define toda la información útil para el proceso de generación, como por ejemplo la definición de los elementos por sus vértices. - Generación Semiautomática, en la cual se usa un modelo de malla simple como base de una construcción más compleja, la cual se hace manual. - Generación de una malla del dominio real por mapeo, con una función de transformación adecuada, a partir de una malla de geometría simple. - Generación por la solución explícita de ecuaciones en derivadas parciales formuladas sobre la malla de referencia. - Aplicación de la técnica de superposición y deformación de un modelo simple, de manera que se cubra el dominio real aproximadamente. - Generación del modelo final por partición estructurada del modelo en bloques de geometría simple. - Generación del modelo desde las fronteras de su dominio por el método de avance por planos. - Generación del modelo de un dominio a partir de los puntos de su frontera por aproximación del tipo Delaunay-Voronoï. - Generación de la malla desde una serie de puntos localizados en el dominio o descritos por sus contornos. Esta aplicación es un caso particular del numeral 8. 9


- Generación de modelos por combinación de mallas creadas por los métodos previos, en las que se realizan transformaciones geométricas o topológicas. A pesar de que actualmente se trabaje en gran parte con el uso de mallas no estructuradas, existen todavía algunas aplicaciones Computacionales en las que la utilización de mallas estructuradas son las recomendadas está recomendada (Shaw, 1999). Los métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) transforman la EDP (lineal o no lineal) en un sistema finito de ecuaciones acopladas, correspondientemente lineales o no lineales. Estos métodos numéricos son clasificados según sea el dominio físico de definición; el método de elemento finito (FEM) fue diseñado para dominios planos, mientras que el método de volumen finito (FVM, también conocido como el método de control de volumen) existe para dominios tridimensionales, y por último el método de elementos de frontera (BEM) que es útil para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales planteadas sobre la frontera de de definición de un dominio físico (Velázquez, 2009). Según Velázquez Para poder transformar la EDP en un sistema de ecuaciones es necesario discretizar el dominio físico, es decir, es necesario descomponer la región como una unión de regiones elementales que en general llamamos celdas; normalmente las celdas son triangulares o cuadrangulares (en caso de un dominio bidimensional), o tetraédricas o hexaédricas (para tres dimensiones). A la salida de este proceso de discretización esa lo que llamamos Malla. Una malla que sea la discretización de un dominio debe ser de definida de forma simple, si la malla es una triangulación y se cuenta con las coordenadas de los tres vértices de cada celda, entonces la malla puede ser bien representada. Así, resulta satisfactorio contar con la lista de vértices de la triangulación que define la geometría de la malla, y contar también con una estructura que indique como se relacionan los vértices en la triangulación que define la topología de la malla. Como los elementos tienen forma simple, es posible aproximar el comportamiento de una EDP en cada nodo por medio de la relación de adyacencia que guardan, desde este enfoque el problema podría verse como la elección adecuada de vértices y aristas de definición de la malla; este proceso se le llama generación de una malla triangular. Los triángulos serán llamados elementos y los vértices serán nodos en el método de elemento finito. (Velázquez, 2009). Velázquez en su libro comenta que la solución de las mallas estructuradas comúnmente se implementan mediante el método de las diferencias finitas, mientras que el método de los elementos finitos se usa generalmente para las mallas no estructuradas. En las estructuradas, que ofrecen ciertas ventajas sobre las no estructuradas, cada vértice de la malla excepto en las fronteras, tiene un vecino isomorfo. Su implementación es simple y muy conveniente para la solución de diferencias finitas, requieren menos memoria de computo y ofrecen la posibilidad de controlar directamente la forma y el tamaño de cada elemento. La gran desventaja de 10


este tipo de mallas, es su poca flexibilidad para ajustarse a dominios con geometrías complicadas, lo que las hacen poco atractivas para efectuar simulaciones en lugares donde abunden islas, estrechos y en general líneas costeras irregulares. Cuando las mallas estructuradas se basan en coordenadas geográficas y son implementadas para modelos en las cercanías del polo norte aparecen serios problemas de estabilidad. A partir de estas dos complicaciones expresadas por las mallas estructuradas, aparecen las ventajas del método de elementos finitos y las mallas no estructuradas, usadas en el mismo. Los elementos finitos tienen una inherente habilidad para tratar con mallas no estructuradas, estas permiten fácilmente refinamientos locales para dar resoluciones altas en regiones de interés, sin perder precisión.

Figura (1): Malla Estructurada y no Estructurada sobre una misma región (Velázquez, 2009)

TRIANGULACIÓN DE DELAUNAY. La idea de la Triangulación de Delaunay consiste en: dada una nube de puntos en el plano, hallar una triangulación en la que los puntos más próximos entre sí estén conectados por una arista, o dicho de otra forma, en la que los triángulos resultantes sean lo más regulares posibles. Caracterización de la Triangulación de Delaunay. Sea P = {p1, p2,...,pn} un conjunto de puntos en el plano, una Triangulación de Delaunay de P cumplirá las siguientes propiedades:

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• Tres puntos pi, pj y pk pertenecientes a P son vértices de la misma cara de la Triangulación de Delaunay de P, si y solamente si, el círculo que pasa por los puntos pi, pj y pk no contiene puntos de P en su interior. Podemos observarlo en el siguiente gráfico:

• Dos puntos pi y pj pertenecientes a P forman un lado de la Triangulación de Delaunay de P, si y solamente si, existe un círculo que contiene a pi y pj en su circunferencia y no contiene en su interior ningún punto de P. De igual manera podemos observarlo en el gráfico siguiente:

Con estas dos propiedades podemos caracterizar la Triangulación de Delaunay de la siguiente manera: Sea P un conjunto de puntos en el plano y T una triangulación de P. T es una Triangulación de Delaunay de P, si y solamente si, la circunferencia circunscrita de cualquier triángulo de T no contiene puntos de P. Veamos gráficamente lo que denominaremos como arista ilegal:

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Se puede observar, que en la figura de la izquierda, la circunferencia circunscrita al triángulo sombreado contiene a otro punto en su interior, la arista que pertenece a los dos triángulos (línea más gruesa) es una arista ilegal. Realizando un intercambio de aristas o flip se consigue una triangulación válida, tal y como se observa en el dibujo de la derecha. Hemos convertido una arista ilegal en legal. Se puede generalizar y afirmar que una triangulación T de un conjunto P de puntos en el plano es una Triangulación de Delaunay, si y solamente si, todas las aristas son legales. (Anonimo)

DESCRIPCIÓN GENERAL DE UNA MALLA

Como ya se ha mencionado, la simulación numérica de un problema físico, requiere de la subdivisión del dominio del problema. Esta subdivisión o malla debe contener toda la información útil necesaria para los diferentes pasos del proceso numérico (geometría, definición de cargas, cálculo del problema, solución del sistema, visualización de resultados, etc.). Esta información se puede clasificar de la siguiente forma: − Información geométrica. − Información respecto a la interpolación en el elemento finito. − Información física. En general una malla es entonces, una serie de tablas de valores que contienen una lista de los elementos geométricos, en la cual se almacena información como naturaleza del elemento, historia del mismo (si está constituido por sus caras, sus 13


aristas o sus vértices), listado de sus vértices, su conectividad y topología, la numeración y listado de sus nodos (definiendo nodo como un punto que representa una o varias incógnitas), la coordenada de sus vértices, los atributos físicos del elemento, etc. Todo lo anterior corresponde a los tres tipos de información mencionados. (George, 1991). Los requerimientos mínimos para la concepción de un paquete de generación como tal se resumen en: - La definición de la estructura de datos. - Varios módulos de creación de mallas. - Módulos para modificación y visualización de mallas. - Herramientas técnicas para la manipulación sencilla de datos específicos asociados con la malla y para la manipulación de los valores almacenados.

PROCEDIMIENTOS PARA MEJORAR LA CALIDAD DE LA MALLA Una falencia común a todos los métodos de generación de mallas es el producir algunos elementos muy distorsionados, llegando incluso a volumen o área nula o negativa. Si bien estos pueden ser muy pocos, aceptarlos en la malla va a deteriorar el condicionamiento del sistema de ecuaciones resultante. Es preciso por ello realizar una especie de pos-procesamiento a las mallas obtenidas con los métodos mencionados en el punto anterior. En el primer caso, los nodos libres (en general todos los interiores) son desplazados de forma de optimizar una cierta función calidad de los tetraedros que concurren al mismo. En este proceso se debe introducir la restricción de que al mover el nodo no se produce ninguna superposición de volumen, o mejor aún, mover el nodo sólo si la nueva configuración está en una mejor situación que la anterior. En esta forma, la nueva malla que se obtiene siempre será mejor que la original. En el segundo caso se analizan una serie de cambios de estructura y, si son convenientes (la calidad de los nuevos elementos es mejor que la de los originales), se los realiza. El equivalente en 2D a este proceso sería el cambio de diagonales entre triángulos vecinos. Ambos métodos en combinación producen excelentes resultados, por lo que ya forman parte casi obligatoria en nuestro proceso de generación de mallas. Para finalizar la capacidad de los modelos de elementos finitos de trabajar con una malla irregular, sitúan a este método como una de las mejores opciones para el modelado de zonas con geometrías irregulares.

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DISEÑO DE INVESTIGACIÓN

METODOLOGÍA GENERAL DE GENERACIÓN DE MALLAS

Figura (2): Etapas en el proceso de modelado Numérico (Velázquez 2009).

La construcción de una malla puede realizarse en tres pasos básicos (George, 1991): 1. Análisis del problema: El primer paso que debe darse en el proceso de generación de mallas, es introducir en alguna forma la descripción de la geometría del dominio y del problema físico a resolver; este análisis se procesa descomponiendo un problema complejo en una serie de sub-problemas más simples. Afortunadamente es cada vez más frecuente el empleo de sistemas de CAD entre los diseñadores de componentes, por lo que es 15


muy probable que el usuario de métodos numéricos reciba buena parte de este trabajo ya hecho. Existen dos formas bien diferenciadas de trabajar con objetos tridimensionales en un sistema de CAD: a través del modelado de sólidos o del modelado de superficies. En el primer caso se trabaja con una biblioteca de sólidos simples (esfera, cono, caja, cilindro, etc.) y pueden realizarse todo tipo de operaciones booleanas con los mismos. Si bien la gran mayoría de los componentes mecánicos pueden construirse de esta forma, existen casos en que esta metodología no puede aplicarse (vehículos aerodinámicos por ejemplo). Las principales ventajas de la misma son la simplicidad con que se define la geometría y la facilidad para automatizar la interfaz con el sistema de generación de mallas. Por otro lado, el modelado con superficies permite una completa generalidad en la geometría a construir, pero exige una precisa descripción de cada pedazo (patch) de la superficie.

Figura (3): Descripción correcta de la geometría. Independientemente de la forma en que se haya generado la geometría, la información que un sistema de CAD puede entregar como dato para el generador de mallas de superficie es por un lado el conjunto de patches (pedazos), cada uno de los cuales es descrito como una grilla de M x N o directamente como una triangulación, y por el otro las curvas de intersección de estos patches (pedazos). En nuestro caso, el generador de mallas requiere que la frontera entre los patches (pedazos) no presente discontinuidades (ver ampliación en la Figura 3), es decir, que no deben quedar vértices sobre lados de elementos. 2. Definición formal del proceso de generación de la malla: Se forma la malla en un proceso el cual permite definir la solución del problema completo. Al generar una 16


malla de elementos finitos, ya sea de superficie o de volumen, es preciso especificar el tamaño de los elementos en cada punto del espacio. La metodología más aceptada para ello es definir una función diámetro del elemento h(x, y, z) en un número finito de puntos y extenderla a todo el dominio mediante interpolación. Para realizar esta interpolación utilizamos el método de triangulación de Delaunay. La idea es en primer lugar generar la malla Delaunay del conjunto de puntos en que se especificó la función h(x, y, z), la que deberá incluir estrictamente el dominio de interés Una vez disponible esta malla base, para calcular el valor de la función h en un punto arbitrario se busca cuál es el tetraedro que contiene el punto en cuestión y se interpola linealmente dentro del mismo. Este procedimiento resulta especialmente adecuado para hacer re-mallados adaptivos. 3. Construcción real de la malla: En una primera fase se realiza la creación de los datos relevantes, y a continuación se procede a la generación real de la malla. En este proceso se obtiene entonces la definición de los elementos a partir de sus vértices como una parte de la creación de la malla, por lo cual en general, resulta necesario realizar procesos de numeración tanto de elementos como de nodos de acuerdo con el método de generación a utilizar. Existen en la actualidad varios métodos para la generación automática de mallas tridimensionales no estructuradas. Ajustándonos a lo que puede verse en la literatura, los que se presentan como más exitosos son los basados en triangulaciones de Delaunay. Pero realizar una descripción precisa de los mismos sería demasiado extenso. En general estas técnicas requieren como única información de entrada la especificación del tamaño de elemento deseado en todo punto del espacio y una triangulación de la superficie de la pieza (esta debe estar formada por triángulos de buena calidad y que se ajusten al tamaño de elemento especificado). A partir de esta, se genera la discretización del volumen sin intervención del usuario. El método Delaunay es posiblemente el más utilizado para generar mallas tridimensionales. Una vez generada esta triangulación es preciso recuperar la frontera del dominio, ya que la triangulación original de la superficie no necesariamente existirá como caras de los tetraedros generados. Este es el punto más delicado de este método, ya que generalmente produce algunos elementos de muy mala calidad sobre la frontera. Este algoritmo tiene un costo computacional relativamente bajo, pudiendo generar mallas de centenares de miles de elementos en pocos minutos. Una falencia común a todos los métodos de generación de mallas tridimensionales es el producir algunos elementos muy distorsionados, llegando incluso a volumen nulo o negativo. Si bien estos pueden ser muy pocos, aceptarlos en la malla va a deteriorar el condicionamiento del sistema de ecuaciones resultante. Es preciso por ello realizar una especie procedimiento para mejorar la calidad de la malla obtenida con los métodos mencionados anteriormente.

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CRONOGRAMA

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RESULTADOS ESPERADOS

La Generación Numérica de Mallas Adaptivas puede ser una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales sobre regiones irregulares y para generar mallas sobre superficies, sin embargo, su utilización no es simple, por ello, el sistema que presentamos solo es una versión experimental que muestra su viabilidad y usarlo de manera adecuada es necesario desarrollar un conjunto de módulos que faciliten su aplicación a problemas más complicados. En el futuro esperamos desarrollar una versión que pueda ser usada en forma interactiva por usuarios de diferentes áreas de aplicación.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Anonimo. (s.f.). mabellanas. Recuperado el Mayo de 2013, de http://www.dma.fi.upm.es/mabellanas/voronoi/delone/delone.html George, P. (1991). Automatic Mesh Generation. Aplication to Finite Element Methods. Paris: Jhon Wiley & Sons and Masson. George, P. (1998). Delaunay Triangulation and Meshing. Aplication to Finite Elements. Paris: Hermes. Khamayesh, A., & Kuprat, A. (1999). Surface Grid Generation Sistems. En Grid Generation (págs. 9.19.29). Joe Thompson . Legrand, S. (2000). Generacion de Mallas no Estructuradas Para la Implemntacion de Modelos Numéricos. En Mdelamiento Oceanico (págs. 17-28). Sarrate, J., & Huerta, A. (2002). Generación automática de mallas no estructuradas y formadas exclusivamente por cuardiláteros sobre superficies curvas en R3. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño de Ingeniería , Vol 18,1. 79-93. Velázquez, L. C. (2009). Un Sistema Experimental Para Generar Mallas no Estructuradas en Regiones Planas. Vénere, M. J. (1996). Elementos para la Generación de Mallas Tridimensionales. Revista Internacional de Metodos Numéricos 12,1 , 3-16. Wang, H. (2007). Convergence of a Numerical Method for solving discontinuos Fokker-Planch Equations. SIAM Journal on Numerical Analysis 45 , 1425-1452. White, D., & Saigal, S. (2002). Impoved imprint and merge for conformal meshing. Proceedings 11th , 285-296.

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Seminario de investigación Dario Fernando Londoño Pinilla