Revista Gauss

LA TEORÍA DE NÚMEROS MODERNA CARL FRIEDRICH GAUSS

DISEÑADORA: MINERVA ASCENCIO

Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos mentirosos.

Henry David Thoreau

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INDICE:

Biografía de Carl Friedrich Gauss....................... pág.1 Teoría de números.............................................. pág. 2 Teorema Fundamental de la Aritmetica.............pág. 3 Ley de la Reciprocidad Cuadrática...................... pág. 4 Teorema de los Números Primos....................... pág. 5 Congruencias......................................................... pág. 6 Sumas de Gauss.................................................... pág. 7 Geometría de los números complejos............... pág. 8 Referencias bibliográficas.................................... pág.9

BIOGRAFÍA

Gauss, Carl Friedrich (Braunschweig 1777 - Gotinga 1855), matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo. A los 17 años comenzó a interesarse por las matemáticas e intentó dar una solución al problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados, con una regla y un compás.

Estudió en la Universidad de Gotinga desde 1795 hasta 1798; para su tesis doctoral presentó una prueba de que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución.

Su tratado sobre la teoría de números, Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obra clásica en el campo de las matemáticas. También planeó un nuevo método para calcular las órbitas de los cuerpos celestes.

En 1807 fue nombrado profesor de matemáticas y director del observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su muerte. Gauss fue el primero en desarrollar una geometría no euclídia, pero no publicó estos importantes descubrimientos ya que deseaba evitar todo tipo de publicidad. Junto con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, Gauss realizó una intensa investigación sobre el magnetismo.

APORTES DE GAUSS A LA TEORÍA DE NÚMEROS MODERNA ¿Qué dice la teoría de números?

La teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de dominios enteros (anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemas derivados de su estudio.

Gauss demostró que cada número entero positivo puede expresarse de manera única como el producto de números primos.

El teorema fundamental implica que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas están completamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos.

Cualquier número entero mayor que 1 es un número primo o puede escribirse como un producto único de números primos (ignorando el orden).

LEY DE LA RECIPROCIDAD CUADRÁTICA. Formó la Ley de la Reciprocidad Cuadrática, un resultado profundo que establece condiciones para la existencia de soluciones para ciertas ecuaciones cuadráticas congruentes

p y q son números primos impares

Teorema áureo (ley de reciprocidad cuadrática) Si ninguno de los primos p o q pertenece a la sucesión 4k+1 entonces una de las congruencias tiene solución si y sólo si la otra no tiene solución. Si alguno de los primos pertenece a la sucesión 4k+1 entonces o bien ambas congruencias tienen solución o bien ninguna de las dos tiene solución.

TEOREMA DE LOS NÚMEROS PRIMOS El teorema de los números primos es un enunciado que describe la distribución asintótica de los números primos en el conjunto de los números naturales.

Este teorema da una descripción general de cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de los números naturales Cualquier número no primo (compuesto) puede escribirse de una única manera como producto de números primos.

CONGRUENCIAS Introdujo y desarrolló la teoría de congruencias, que es esencial para el estudio de las propiedades aritméticas de los números y ha sido clave en muchos desarrollos modernos.

Si a y b son enteros y n es un número natural, decimos que a y b son congruentes modulo n si a-b es divisible entre n, y escribimos a b (mod n). Observar que a b (mod n) si y solo si a y b dejan el mismo residuo al ser divididos entre n.

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Cuenta una leyenda que cuando Gauss tenía solamente 7 años de edad y asistía a la escuela primaria, uno de sus maestros, para castigarlo porque no ponía atención a la clase, le pidió que sumara todos los números del 1 al 100. El maestro pensaba que el niño tardaría varias horas en resolver el problema pero, para su sorpresa, a los cinco minutos de haberle puesto el ejercicio, Gauss le entregó la solución. Sorprendido por la rapidez, el maestro pidió a Gauss que le explicara el procedimiento que había seguido.

En lugar de sumar todos los números, uno por uno, Gauss hizo lo siguiente: Acomodó en una fila todos los números del 1 al 100 y debajo de esa fila acomodó, en otra fila, todos los números del 100 al 1. Después sumo las dos filas.

Tenía entonces 100 veces el número 101, así que se dio cuenta que si multiplicaba 100 por 101 obtendría dos veces la suma de todos los números del 1 al 100, por tanto si quería obtener la suma de todos los números del 1 al 100 una sola vez, bastaría con dividir entre 2 el resultado de la multiplicación.

Así: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = o lo que es lo mismo: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5,050

GEOMETRÍA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS La teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de dominios enteros (anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemas Es un teorema que relaciona la derivados de su estudio. divergencia matemática de un campo vectorial con el valor de la integral de superficie del flujo definido por este campo.

Referencias bibliográficas: -https://es.khanacademy.org/science/physics/forces-newtonsgauss -https://www.fisicalab.com/apartado/principiofundamental#concepto - https://www.biografiasyvidas.com/biografia/n/newton.htm -https://www.fisicalab.com/apartado/ley-aportes