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Módulo Nº 1:

Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas MATEMÁTICA Guía didáctica

Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas MATEMÁTICA Guía didáctica NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA División de Educación General Ministerio de Educación República de Chile 2013

Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas MATEMÁTICA Guía Didáctica / 5o básico

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA

2013

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO PRESENTACIÓN Las actividades presentadas permiten alcanzar objetivos de aprendizaje de la primera unidad del Programa de Estudio de 5° básico. Se abordan técnicas para el cálculo mental de multiplicaciones y el cálculo de operaciones que combinan las cuatro operaciones aritméticas. En este mismo contexto se aborda el estudio de problemas que para su solución requieren calcular operaciones que combinan adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones. Los objetivos de aprendizaje del currículum que se abordan en la unidad son los siguientes: • Aplicar estrategias de cálculo mental para la multiplicación: anexar ceros cuando se multiplica por un múltiplo de 10, doblar y dividir por 2 en forma repetida, usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva (OA2). • Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones, aplicando las reglas relativas a paréntesis y la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción cuando corresponda (OA5). • Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren las cuatro operaciones y combinaciones de ellas, que incluyan situaciones con dinero, usando la calculadora y el computador en ámbitos numéricos superiores al 10000 (OA6). Los conocimientos previos que niños y niñas deben tener tienen relación por una parte, con el uso de estrategias de cálculo mental para multiplicar, estudiadas en cursos anteriores y que se basan en el uso de las combinaciones multiplicativas básicas y su extensión a números de dos y tres cifras. Por otra parte, con la resolución de problemas aditivos y multiplicativos que incluyen el uso de diagramas, se garantiza el desarrollo de habilidades tales como resolver problemas, modelar, representar y argumentar. Para alcanzar estos objetivos las tareas matemáticas que principalmente desarrollan las y los estudiantes son: • Calcular el producto entre dos números cuando uno de los factores es múltiplo de 10, 100 o 1000. 2 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

MÓDULO Nº 1: OPERACIONES COMBINADAS: ESTRATEGIAS DE CÁLCULO Y PROBLEMAS

• Calcular multiplicaciones usando mitades y dobles. • Calcular multiplicaciones usando la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva de la multiplicación. • Calcular el resultado de expresiones que combinan las cuatro operaciones aritméticas, con y sin uso de paréntesis. • Resolver problemas que combinan las cuatro operaciones aritméticas. • Identificar la expresión matemática que permite resolver un problema que combina las cuatro operaciones aritméticas. • Estimar el resultado de problemas que combinan las cuatro operaciones aritméticas. Para variar el nivel de complejidad de las actividades que se abordan en la unidad, y que se relacionan con el cálculo mental de multiplicaciones, se han intencionado los números involucrados en el cálculo y el tipo de propiedades que se usan para realizarlos. También, en el cálculo de expresiones combinadas se han intencionado los números, la cantidad de operaciones y combinaciones de ellas y el uso de paréntesis. Por otra parte, en el estudio de los problemas se abordan contextos rutinarios y no rutinarios, y se considera para su graduación: la cantidad de operaciones que involucra su resolución, el uso de diagramas como apoyo pictórico para identificar la operación que los resuelve y el tipo de cálculos que deben realizar para resolverlos. Finalmente, es importante mencionar que en la unidad se trabajan las cuatro habilidades matemáticas propuestas en el currículum. La resolución de problemas no solo se aborda al trabajar el objetivo de aprendizaje que la menciona, sino también con el estudio de las técnicas para el cálculo de multiplicaciones y expresiones combinadas. Representar se aborda en los diagramas para resolver problemas. La modelización viene de la mano de la resolución de problemas. Argumentar y comunicar se trabaja durante toda la unidad, y para hacerlo explícito se han incorporado secciones en que niños y niñas deben escribir estrategias y conclusiones relacionadas con el desarrollo de cálculos aritméticos y la resolución de problemas. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

Programación Módulo 1 Matemática 5º Básico CLASES

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

INDICADORES DE EVALUACIÓN

• Aplicar estrategias de cálculo mental para la multiplicación: • anexar ceros cuando se multiplica por un múltiplo de 10, • doblar y dividir por 2 en forma repetida usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva (OA2).

• Determinan productos cuando uno de los factores es múltiplo de 10, 100 o 1 000. • Calculan multiplicaciones, aplicando mitades y dobles. Por ejemplo: 34 • 5 = 17 • 10.

• Calculan multiplicaciones, aplicando repetidamente dobles y mitades. Por ejemplo: 12 • 25 = 6 • 50 = 3 • 100. • Doblan multiplicaciones dadas para realizar multiplicaciones. Por ejemplo: para calcular 12 • 3, piensan en 6 • 3 y la doblan.

• Usan las propiedades conmutativa y asociativa para multiplicar números. Por ejemplo: 25 • (3 • 4) = 25 • (4 • 3) = (25 • 4) • 3 = 100 • 3 = 300 • Aplican la propiedad distributiva en multiplicaciones, descomponiendo en múltiplos de 10. Por ejemplo: 102 • 4 = (100 + 2) • 4 = 100 • 4 + 2 • 4

• Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones con expresiones numéricas, aplicando las reglas relativas a paréntesis y la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción cuando corresponda (OA5).

• Realizan operaciones combinadas de sumas y restas. • Realizan operaciones combinadas de sumas y restas que involucran paréntesis. • Calculan expresiones desconocidas en igualdades en que intervienen sumas y restas.

• Resuelven sumas y/o restas de multiplicaciones y/o divisiones.

4 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

EJEMPLOS DE PREGUNTAS

REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR

REFERENCIA A OTROS RECURSOS

• El precio de una camisa en una tienda mayorista es $ 3625. ¿Cuánto valen 100 camisas del mismo precio?

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recurso interactivo para trabajar la multiplicación: http://milagrotic.blogspot. com/2013/02/tablas-de-multiplicaraprendo-con.html • Multiplicar por potencias de 10: http://www.rena.edu.ve/ SegundaEtapa/matematica/ multiplicacionpor10.html http://sauce.pntic.mec.es/ebac0003/ descartes/decimal2/mx10a.htm

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recurso interactivo para trabajar la multiplicación: http://coleccion.educ.ar/coleccion/ CD23/contenidos/juegos/index.html

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recursos propiedad distributiva: http://www.genmagic.net/mates4/ distributiva_c.swf http://www.ceipjuanherreraalcausa.es/ Recursosdidacticos/QUINTO/datos/03_ Mates/datos/05_rdi/ud02/3/03.htm • Recursos para el trabajo de la multiplicación: http://joaquincarrion.blogspot. com/p/operaciones.html

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recurso de operaciones combinadas: http://www.ceipjuanherreraalcausa. es/Recursosdidacticos/QUINTO/ datos/03_Mates/datos/05_rdi/ ud02/2/02.htm

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recurso de operaciones combinadas: http://adigital.pntic.mec.es/~aramo/ calculo/coc01_10.htm

A. B. C. D.

3625 36250 362500 3625000

• Calcular el producto 24 • 5 es equivalente a calcular: A. B. C. D.

12 • 5 24 • 10 48 • 10 12 • 10

• Calcular 5 • (100 + 67) es equivalente a calcular: a) b) c) d)

5 • 100 + 67 5 • 67 + 100 5 • 100 • 67 5 • 100 + 5 • 67

• El resultado de 1220 – 500 + 380 es: A. B. C. D.

340 720 1100 1600

• El resultado de la expresión 30 • 4 + 80 : 10 es A. B. C. D.

20 128 200 252

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CLASES

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

INDICADORES DE EVALUACIÓN

• Aplican reglas de paréntesis en la operatoria con expresiones numéricas.

• Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren las cuatro operaciones y combinaciones: • que incluyan situaciones con dinero, • usando la calculadora y el computador en ámbitos numéricos superiores al 10000 (OA6).

• Estiman la solución de un problema dado y lo resuelven. • Identifican qué operación es necesaria para resolver un problema dado y lo resuelven. • Explican la estrategia utilizada para resolver un problema.

• Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren las cuatro operaciones y combinaciones de ellas: • que incluyan situaciones con dinero, • usando la calculadora y el computador en ámbitos numéricos superiores al 10000 (OA6).

• Seleccionan y usan una estrategia para estimar la solución de un problema dado. • Demuestran que la solución aproximada a un problema no rutinario dado, no requiere de una respuesta exacta. • Determinan respuestas aproximadas.

• Evalúan la solución de un problema en el enunciado. • Identifican qué operación es necesaria para resolver un problema dado y lo resuelven. • Explican la estrategia utilizada para resolver un problema.

• Evaluación del Módulo.

• Todos los indicadores tratados en el Módulo.

• Reforzamiento.

• Todos los indicadores tratados en el Módulo.

6 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

EJEMPLOS DE PREGUNTAS • El resultado de 80 • (10 + 90) – 800 es: A. B. C. D.

0 90 720 7200

• Un kilo de azúcar cuesta $750. Rosa compró 3 kilos de azúcar y pagó con $5000. La expresión matemática que permite saber cuánto recibió de vuelto es: A. B. C. D.

REFERENCIA A OTROS RECURSOS

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recurso de operaciones combinadas: http://www.genmagic.net/mates4/ jerarquia_opera_c.swf

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Unidades Didácticas Digitales de Matemática – Enlaces MINEDUC: (Ver unidad de 3° básico) http://www.enlaces.cl/index. php?t=81&i=2&cc=1913&tm=2

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recursos para el trabajo de la estimación del resultado de operaciones: http://www.aaamatematicas.com/ est.htm#topic10

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recurso para el trabajo de expresiones matemáticas y problemas con más de una operación: http://quintofs.wordpress. com/2011/02/10/operacionescombinadas-y-problemasmatematicos/

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Banco de preguntas prueba SIMCE: http://www.agenciaeducacion.cl/ simce/banco-de-preguntas-simce/

5000 – 3 • 750 5000 + 3 • 750 3 • 5000 – 750 3 • 5000 + 750

• Luis comprará 3 cuadernos que cuestan $589 y un estuche que cuesta $998. Una estimación de lo que deberá pagar Luis por su compra es: A. B. C. D.

REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR

$600 $1000 $1600 $2800

• Un paquete de detergente de 3 kilogramos cuesta $9168. El precio de 1 kilogramo del mismo detergente cuesta $3022. Si una persona desea comprar 3 kilos de detergente, ¿cuál es la mejor opción? A. Comprar 3 paquetes de 1 kilogramo. B. Comprar el paquete de 3 kilogramos. C. Se paga lo mismo en ambas ofertas. D. No se puede saber con la información dada.

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 1

Objetivo de la clase: • Calcular mentalmente multiplicaciones en que uno de los factores es múltiplo de 10, 100 o 1000, usando dobles y mitades.

INICIO / 15 minutos • La Actividad 1 da el precio de cuatro tipos de lápices. Se pide calcular el costo de cuatro compras; en todas, el número de lápices a comprar es una potencia de 10. Dé un tiempo para que desarrollen la actividad en forma individual y luego compartan las respuestas con un compañero o compañera. Es probable que al calcular el costo de la compra utilicen una técnica de cálculo escrito, basada en la tabla de 10, que ya manejan desde cursos anteriores. Por ejemplo, para calcular el costo de 10 lápices de pasta multipliquen 83 • 10, o para calcular el costo de 100 lápices de mina calculen primero 75 • 10 y luego el resultado lo vuelvan a multiplicar por 10. Comparta con todo el curso estos procedimientos y a partir de ellos concluya que al multiplicar un número cualquiera por 10, 100 o 1000 se desplaza el patrón numérico en una posición, dos posiciones o tres posiciones respectivamente. De esta forma se tiene, por ejemplo:

3 4

4 5

5 0

El dígito de la unidad pasa a la posición de la decena. El de la decena pasa a la posición de la centena. Y el de la centena a la unidad de mil. Esto ocurre porque como 10 es la base del sistema de numeración, al multiplicar por este número se desplaza el patrón numérico.

• Se sugiere plantear otros cálculos similares a los anteriores para reforzar esta técnica, por ejemplo: 534 • 10, 541 • 100, 92 • 1000, 425 • 100, etc. Estos cálculos los puede plantear en un contexto de juego donde prime la rapidez como consigna, de manera que se vean obligados a usar estrategias mentales para hallar las respuestas. Es importante que a la hora de revisar las respuestas pida que expliquen y argumenten sus respuestas. Se espera que sean sus estudiantes quienes establezcan que los cálculos se pueden desarrollar en forma mental, ya que uno de los factores es 10 o una potencia de 10.

DESARROLLO / 55 minutos • En la Actividad 2 parte a) se muestra un procedimiento usado por el dueño de una librería que compró 30 bolígrafos. Dé un tiempo para que analicen el procedimiento y escriban en parejas una explicación al procedimiento mostrado. Una vez que la mayoría haya respondido, genere un momento de reflexión que permita establecer la forma en que se calculó el producto 358 • 30. 8 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Es importante destacar cómo calculó:

358 30

Descompone el 30 convenientemente como 3 • 10 usando la propiedad asociativa de la multiplicación.

358 (3 10)

Nuevamente usa la propiedad asociativa y calcula primero 358 • 3. Luego ese resultado lo multiplica por 10 usando la técnica estudiada en la actividad anterior “basta agregar un cero al resultado”.

1074 10 = 10740

• Pida que desarrollen la parte b), una serie de cálculos de multiplicaciones donde se espera que utilicen las técnicas descritas y estudiadas hasta el momento en la clase. Al revisar sus respuestas es importante que expliquen y justifiquen sus procedimientos haciendo alusión a los conocimientos matemáticos abordados hasta el momento. La parte c) presenta tres problemas de multiplicación en que uno de los factores de las multiplicaciones que resuelven los problemas es 10 o un múltiplo de 10. De esta forma, se espera que resuelvan los problemas realizando un cálculo mental. • La Actividad 3 propone una nueva técnica de cálculo mental de multiplicaciones basada en el uso de dobles y mitades. La parte a) presenta un esquema que deben completar de la siguiente forma:

5 =

Mitad

220

Doble

10 =

220

Al completar el esquema se espera que establezcan que los resultados son iguales, y concluyan que al dividir por la mitad un factor y doblar el otro, el resultado se mantiene, por tanto, se puede transformar una multiplicación en otra más sencilla de calcular.

Al descomponer un factor de manera conveniente o representar un producto de otra forma usando dobles y mitades, es importante que los estudiantes comprendan que son expresiones equivalentes entre sí y que solo se han representado de manera distinta usando las propiedades de los números o de la multiplicación. Así, pueden desarrollar paulatinamente la habilidad de representar.

CIERRE / 15 minutos • Destaque el funcionamiento de las tres técnicas vistas en la clase (puede leer con ellos nuevamente la sección “Lee con atención”. Para retomar el funcionamiento de las técnicas plantee ejemplos que permitan explicarlas de forma concreta.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Calcular: 642 • 100; 642 • 200; 642 • 50 • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 2

Objetivo de la clase: • Calcular mentalmente multiplicaciones usando dobles y mitades.

INICIO / 15 minutos • Revisen la tarea. Observe que en los cálculos propuestos en la tarea uno de los factores es 642. Aproveche este aspecto para relacionar las tres técnicas abordadas en la clase anterior señalando que en el primer producto, como el otro factor es 100, basta desplazar el patrón numérico para encontrar el resultado, agregando dos ceros al 642. En el segundo, el otro factor es 200, que se puede descomponer convenientemente como 2 • 100, de esta forma el producto obtenido anteriormente bastará multiplicarlo por 2 para obtener este nuevo resultado. Finalmente, como en el tercer producto uno de los factores es 50, se puede multiplicar por 2 obteniendo 100, y para mantener la igualdad, se debe calcular 642 : 2 y entonces el producto se transforma en 321 • 100. Motive al curso a explicar sus respuestas justificando los procedimientos que utilizan para desarrollar los cálculos. Contraste las distintas respuestas que pueden haber surgido, de manera que a partir de las comparaciones quienes presenten los corrijan.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 parte a) propone nuevamente un esquema que deben completar desarrollando algunos cálculos de la siguiente forma:

32 Mitad

25 =

800

Doble

16 Mitad

50 =

800

Doble

100 =

800

El procedimiento que se propone esta vez en el esquema pretende que los estudiantes construyan una técnica basada en el cálculo reiterado de dobles y mitades para calcular un producto. En el ejemplo: se divide dos veces por 2 el primer factor y paralelamente se multiplica dos veces por 2 el segundo factor. De esta forma el producto se transforma en uno más sencillo de calcular.

• Este tipo de procedimiento, al igual que el de la clase anterior, se basa en el producto de un número por una potencia de 10. De esta forma, cuando uno de los factores es 25 o 250, y el otro es posible de dividir por 4, se puede aplicar reiteradamente el cálculo de dobles y mitades para transformarlo en uno más sencillo de calcular. Invite al curso a completar el esquema y responder las preguntas. Una vez que la mayoría haya respondido, genere con el curso un momento de reflexión que les permita comprender el funcionamiento de la técnica y justificarla usando los conocimientos matemáticos abordados hasta el momento. 10 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• En la parte b) aparecen varios cálculos que se espera que desarrollen usando esta técnica. Pida que los resuelvan de manera individual, y observe quiénes aún no comprenden el uso de dobles y mitades para calcular mentalmente multiplicaciones. En dichos casos, apóyelos a través de esquemas como el de la parte inicial de la actividad. • La Actividad 2 propone un nuevo procedimiento para el cálculo de multiplicaciones en forma mental, pero esta vez consiste en buscar el doble de un producto conocido:

= 28

Paso 1

= 56

Paso 2

• Por ejemplo, para calcular 14 • 4, se descompone 14 en 7 • 2 y se puede calcular el doble de 7 • 4 (que corresponde a una combinación multiplicativa básica estudiada en cursos anteriores. Invite al curso a analizar el procedimiento y explicarlo con sus propias palabras. Una vez que la mayoría haya escrito una explicación, revise sus respuestas y sistematice que para calcular una multiplicación es posible basarse en otra ya conocida usando dobles; por ejemplo, para calcular 18 • 6 se descompone 18 como 2 • 9 y luego se calcula el doble de 9 • 6 y así se tiene que 18 • 6 = 2 • (9 • 6) = 2 • 54 = 108 Observe que en el uso de este procedimiento, se descompone el primer factor como 2 • n, en este caso, 2 • 9; de esta forma se calcula el doble de un producto conocido. Por lo anterior, al dar otros ejemplos es importante resguardar que dicho factor sea un número par. • La parte b) propone tres productos en que los estudiantes deben seleccionar aquel que permite calcularlo a través de esta técnica basada en los dobles. Pida que respondan individualmente y luego revisen en conjunto. • La Actividad 3 repasa las técnicas vistas en la clase. Las partes a) y b) contienen una serie de cálculos que niños y niñas deben resolver usando las técnicas estudiadas. La parte c) propone dos problemas de multiplicación cuyos datos permiten usar las técnicas propuestas en la clase. Al momento de revisar las respuestas, pida que expliquen y argumenten los procedimientos que utilizan para realizar los cálculos. Para ello, es importante que al analizar por primera vez las técnicas propuestas hayan explicado con sus propias palabras los procedimientos, registrando dichas explicaciones. Resguarde también que comprendan las distintas formas de representar un producto, estableciendo que al ir modificando los factores con dobles y mitades, la igualdad se mantiene.

CIERRE / 15 minutos Destaque con el curso el funcionamiento de las técnicas vistas en la clase: • Para calcular algunos productos, es posible convertirlos en otros equivalentes que sean más fáciles de calcular, dividiendo por dos el primer factor y multiplicando por dos el segundo factor. • Otros productos se pueden calcular basándose en uno ya conocido, por ejemplo, para calcular 22 • 7, descomponiendo 22 como 11•2 resuelven 11 • 7, y luego calculan el doble de este producto.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Calcular: 64 • 25; 18 • 7 • En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 3

Objetivo de la clase: • Calcular multiplicaciones usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.

INICIO / 15 minutos • Revisen la tarea. Invite a uno o más estudiantes a mostrar y explicar la respuestas que encontraron para los cálculos dados. Con ellos, se espera que en el primer caso hayan usado una estrategia basada en el cálculo reiterado de dobles y mitades de la siguiente forma: 64 • 25 = 32 • 50 = 16 • 100 = 1600; y en el segundo caso, una estrategia basada en el cálculo del doble de un producto conocido: 18 • 7 = 2 • (9 • 7 ) = 2 • 63 = 126 Observe si usaron las estrategias estudiadas en la clase anterior para calcular los productos. En caso que hayan usado otras estrategias de cálculo, contraste estos procedimientos con los estudiados en la clase, de manera que establezcan la efectividad de estas últimas y las justifiquen al compararlas con otras menos eficaces.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 repasa los productos que dan como resultado 10, 100 o 1000, ya que serán la base para la construcción de nuevas estrategias para el cálculo de multiplicaciones que esta vez se basan en el uso de propiedades de esta operación. Se pide que marquen los recuadros que dan como resultado 10, 100 o 1000. En varios casos aparecen productos similares, pero con distinto orden de sus factores, por ejemplo: 5 • 20 y 20 • 5. Observe si son capaces de identificar ambos productos como descomposición multiplicativa del 100. • Una vez que la mayoría haya respondido, revise sus respuestas destacando las formas que usaron para encontrar los productos solicitados. Destaque, además, que en los recuadros aparecieron varios productos que presentaban los mismos factores pero en distinto orden, señale que en la multiplicación, al igual que en la suma, existe la propiedad conmutativa que permite establecer que no importan el orden de los factores, si éstos corresponden a los mismos números, el resultado de los productos es el mismo, por ejemplo: 5 • 20 = 20 • 5 = 100. • La Actividad 2, muestra dos procedimientos usados por dos estudiantes para el cálculo del producto de tres factores 20 • 7 • 5. Los procedimientos mostrados son los siguientes: Marta

Nicolás

20 (7 5) = (20 7) 5

20 (7 5) = (20 5) 7

140 2 140 5 700

700

100 700

12 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Es importante señalar que en esta parte del Módulo es la primera vez que aparece el uso de paréntesis; si bien no es el foco principal de la clase pues se estudiará más adelante, se sugiere destacar que, en general, estos signos nos indican por dónde comenzar a calcular. Invite a analizar los procedimientos y responder las preguntas. Una vez que la mayoría haya respondido, genere un ambiente de reflexión en torno al contraste de ambos procedimientos. • Destaque con su curso que Marta realiza los cálculos en el mismo orden en que aparecen, necesitando usar un procedimiento escrito para encontrar el resultado de 140 • 5, mientras que Nicolás invierte el orden de los dos últimos factores y calcula primero 20 • 5, obteniendo 100, y luego mentalmente encuentra la respuesta. Analice en conjunto el procedimiento de Nicolás, que resulta más eficaz, apoyándose en la sección “Lee con atención”. Pida que realicen los cálculos que aparecen en la parte a). • La Actividad 3 propone una situación de contexto con el propósito de introducir el cálculo de multiplicaciones usando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la adición. Invite a leer la situación y responder las preguntas. Luego revisen en conjunto las respuestas. • Destaque que para calcular la cantidad de dinero que reunió Samuel se puede proceder de dos formas distintas. Una de ellas es calcular la cantidad de dinero en monedas de $100 que juntó en los cuatro días y, paralelamente, la cantidad de dinero que juntó en monedas de $10, para luego sumar ambos resultados. La otra es calcular 4 veces la suma del dinero en monedas de $100 y $10 que reunió diariamente. En ambos casos se obtiene el mismo resultado, ya que se ha realizado el conteo de dinero de formas diferentes. • Destaque que ambos procedimientos provienen de una propiedad de la multiplicación denominada “distributiva”, que se relaciona con la adición y que permite establecer la igualdad: 4 • (400 + 20) = 4 • 400 + 4 • 20 Sistematice con el curso las propiedades de la multiplicación vistas en la clase y que han permitido construir nuevas técnicas de cálculo para esta operación. Se sugiere usar ejemplos como los siguientes: - Conmutativa: 43 • 10 = 10 • 43 - Asociativa: 43 • (5 • 2) = (43 • 5 ) • 2 - Distributiva: 3 • 5 + 3 • 10 = 3 • (5 + 10)

CIERRE / 15 minutos Destaque el funcionamiento de las técnicas vistas en la clase: • Para calcular el producto de tres factores es posible usar las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación para ir cambiando el orden de los factores y así calcular los productos de forma conveniente, por ejemplo: 32 • (3 • 10) = (32 • 10) • 3 = 320 • 3 = 960 • La propiedad distributiva permite calcular el producto de una suma distribuyendo el factor de la siguiente forma: 3 • (100 + 50) = 3 • 100 + 3 • 50 = 300 + 150 = 450. De esta forma, se puede descomponer como suma un factor para calcular el producto más fácilmente, por ejemplo: 4 • 65 = 4 • (50 + 15) = 4 • 50 + 4 • 15 = 200 + 60 = 260.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Calcular: 35 • (7 • 2); 5 • (100 + 32) • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 4

Objetivo de la clase: • Calcular el resultado de expresiones que combinan sumas y restas.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Invite a uno o más estudiantes a mostrar cómo calcularon los productos de la tarea. Solicite que expliquen los procedimientos que usaron, justificando sus estrategias a partir de las propiedades estudiadas la clase anterior. • En el primer producto es importante observar si son capaces de darse cuenta que al conmutar 7 • 2, el primer producto que deben calcular es 35 • 2 = 70. Luego, pueden usar una estrategia basada en la extensión de las combinaciones multiplicativas básicas, 7 • 7 para calcular 70 • 7 = 490. En el segundo producto, es importante observar si calculan el producto de manera correcta, ya que podrían presentar errores como los siguientes: - Error 1: solo calculan el producto de 5 por el primer sumando, obteniendo 5 • 100 + 32 = 500 + 32 = 532 - Error 2: calculan el producto de los tres números sin considerar la suma, obteniendo 5 • 100 • 32 = 500 • 32 = 16000 Al momento de revisar la tarea pregunte si están de acuerdo con la respuesta que presenta quien muestra su resultado en la pizarra, sin señalar si es correcto o incorrecto. De esta forma, podrá contrastar las respuestas y estrategias de los estudiantes para que sean ellos mismos quienes determinen los posibles errores que pueden haber presentado.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 busca que construyan una estrategia que les permita calcular el resultado de expresiones que combinan adiciones y sustracciones. Se proponen tres expresiones matemáticas de este tipo y se pide que encuentren el resultado, por ejemplo: 1200 + 300 – 800= • Es conveniente que para calcular el resultado de la expresión vayan desarrollando los cálculos en forma lineal, de tal forma que se suma primero 1200 + 300 = 1500, y luego a dicho resultado se le resta 800, 1500-800= 700. Finalmente, 1200 + 300 – 800 = 700 • Luego, se propone que calculen dos expresiones usando dos estrategias diferentes, por ejemplo: 3400 – 1200 + 600, se puede calcular a partir de las siguientes estrategias: Forma 1

Forma 2

Forma 1

3400 – 1200 = 2200 2200 + 600 = 2800

3400 + 600 = 4000 4000 – 1200 = 2800 Calcular primero las adiciones y luego la sustracción

1200 + 600 = 1800

Resolver de izquierda a derecha

3400 – 1800 = 1600 Esta forma no es correcta

14 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Al momento de revisar las respuestas, releve las distintas estrategias que surgieron en el curso, contrastando las respuestas y corrigiendo errores como el de la forma 3. Este error se destaca justamente para que se tome conciencia de que en el conjunto de los números naturales, el número 1200 corresponde al sustraendo de una sustracción y no a un sumando de una adición. Por tal razón, es importante que usted sistematice que para calcular el resultado de expresiones que tienen adiciones y sustracciones es conveniente resolver de izquierda a derecha las operaciones que aparecen en la expresión matemática. Otra forma es calcular primero las sumas y luego restar el número que corresponde al sustraendo. • En la Actividad 2 parte a) se proponen dos procedimientos usados por Matías y Belén para calcular el resultado de una expresión que combina adiciones y sustracciones, y que además presenta un paréntesis. Los cálculos presentan distintos resultados, ya que solo Belén respetó el uso del paréntesis. El propósito de la actividad es introducir el uso de estos signos en el cálculo de expresiones aritméticas combinadas, por tanto es importante que los estudiantes analicen y discutan los procedimientos propuestos. Invite a desarrollar la actividad en parejas, dé un tiempo para que discutan y luego revise en conjunto con el curso. • Al revisar es probable que algunos estudiantes señalen que Matías llegó a la respuesta correcta, ya que fue quien realizó el cálculo en el orden en que aparecían las operaciones de izquierda a derecha (sin considerar el paréntesis). En dichos casos invítelos a recordar lo señalado en clases anteriores, destacando que en una expresión matemática, el paréntesis destaca una operación de otras, indicando que dicha operación se debe calcular primero en la expresión. Sistematice que cuando aparecen paréntesis en una expresión matemática que contiene adiciones y sustracciones, es necesario resolver primero las operaciones que están dentro del paréntesis. Por ejemplo, para calcular el resultado de 4600 – (2600 + 1400), se calcula primero la operación 2600 + 1400 = 4000, y luego 4600 – 4000 = 600. • En la parte b) aparecen una serie de expresiones matemáticas del mismo tipo. Pida que las resuelvan en forma individual, para que observe quiénes aún no comprenden cómo calcular este tipo de expresiones. • La Actividad 3 propone completar expresiones matemáticas basándose en los conocimientos matemáticos abordados en las actividades anteriores. Por ejemplo: Para calcular el resultado se espera que utilicen la relación inversa entre la adición

3900 –

= 2500 y sustracción, buscando un número que sumado a 2500 dé como resultado 3900. Es importante que las y los estudiantes expliquen con sus propias palabras los procedimientos que utilizan. Motive que en sus explicaciones hagan alusión a las propiedades de las operaciones aritméticas estudiadas hasta el momento y a las propiedades de los números que se retomaron en este Módulo.

CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso que: • Para calcular el resultado de expresiones que tienen adiciones y sustracciones es conveniente ir realizando las operaciones que aparecen en la expresión en un orden de izquierda a derecha. • Cuando en una expresión matemática que contiene adiciones y sustracciones aparecen paréntesis, es necesario resolver primero las operaciones que están dentro del paréntesis.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Calcular: 2000 - (1200 + 300) + 500 • En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 5

Objetivo de la clase: • Calcular el resultado de expresiones que combinan las cuatro operaciones aritméticas.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Invite a uno o más estudiantes a mostrar la forma en que calcularon el resultado de la expresión matemática. Solicite que expliquen los procedimientos que usaron para calcular, justificando sus estrategias a partir de las propiedades estudiadas la clase anterior. • Es probable que algunos estudiantes aún tengan dificultades para comprender la forma de calcular el resultado de expresiones que presentan paréntesis, y en este caso lo hagan de la siguiente forma: 2000 – 1200 = 800 • 800 + 300 = 1100 • 1100 + 500 = 1600 • Por lo anterior, es importante que expliquen los pasos que realizan al desarrollar la expresión propuesta en la tarea, contrastando las distintas respuestas que surgieron en el curso, de manera que se den cuenta de sus errores. En caso que observe que aún algunos estudiantes resolvieron la tarea cometiendo el error descrito, proponga otros ejemplos similares, de manera que tengan la oportunidad de corregir los procedimientos que usan para desarrollar este tipo de expresiones matemáticas. También pueden verificar con la calculadora.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 presenta un problema que requiere combinar operaciones matemáticas para resolverlo. El problema es el siguiente: • En el quiosco de un colegio hay 3 pack de yogures “Frutitas” que contienen 12 yogures cada uno y 5 pack de yogures “Sabroso” que contiene 20 yogures cada uno. ¿Cuántos yogures hay en el quiosco? • Deben seguir unos pasos que les permitirán llegar a la respuesta. Invite a responder las instrucciones que hay en cada paso en parejas y luego revise las respuestas con todo el curso. • Es importante destacar que para facilitar la modelización del problema presentado, se ha incluido en el paso 2 un diagrama que se espera niños y niñas completen de la siguiente manera: ¿Cantidad Total de Yogurt? 12

12 Frutitas

20 Sabroso

El diagrama permite modelar a través de barras los datos y la pregunta del problema, pero además, a partir de él, se puede establecer relaciones entre la información que contiene el enunciado.

• Oriente a sus estudiantes para que, a partir del diagrama que completaron, establezcan la expresión matemática (paso 3) que permite resolver el problema. Como en cursos anteriores han estudiado problemas de multiplicación, 16 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

puede plantear preguntas como: ¿Qué operación matemática permite saber cuántos yogures “Frutitas” compraron en el quiosco? ¿Qué operación matemática permite saber cuántos yogures “Sabroso” compraron en el quiosco? ¿Cómo calculamos el total? De esta forma se espera que establezcan que para calcular el total de yogures es necesario calcular el resultado de la siguiente expresión: 3 • 12 + 5 • 20 • Para encontrar el resultado de la expresión matemática se espera que los estudiantes también se apoyen en el diagrama. A partir del diagrama se puede establecer que el total de yogures corresponde a la suma de los yogures “Frutitas” y “Sabroso”; antes de sumar es necesario saber cuántos yogures hay de cada uno de ellos, por lo que primero se deben resolver las multiplicaciones y después calcular la adición. • Sistematice con el curso que cuando en una expresión matemática aparecen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, se deben calcular primero las multiplicaciones y divisiones, para luego calcular las sumas y restas. • La Actividad 2, propone cuatro expresiones matemáticas combinadas. Invite a los estudiantes a desarrollarlas y explicar cómo realizaron los cálculos y el orden en que los fueron haciendo (se muestra un ejemplo de cómo realizar dicha explicación). Revise las respuestas en conjunto con el curso, resguardando que lean sus explicaciones y las justifiquen usando sus propias palabras. • La Actividad 3 muestra el procedimiento usado por dos estudiantes para calcular el resultado de una expresión matemática combinada. Invite a analizar estos procedimientos y responder las preguntas. Carlos

Pedro

550 : 5 – 6 5

110 – 6

110 – 30

104

Es probable que algunos de los estudiantes del curso hayan cometido errores como el de Carlos. Por lo anterior, es importante motivarlos para que analicen estos procedimientos y expliquen el error con sus propias palabras.

520

• La parte b) propone dos cálculos resueltos que deben revisar, escribiendo sus observaciones en un recuadro. Revisar el procedimiento realizado por otro es una tarea de mayor complejidad que el solo hecho de calcular el valor de una expresión matemática. Este tipo de tarea es una oportunidad para ir desarrollando la habilidad de argumentar de los estudiantes. Motívelos a que expliquen sus evaluaciones a los procedimientos dados con sus propias palabras.

CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso a través de un ejemplo que: • Para calcular el resultado de expresiones que tienen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, se deben calcular primero las multiplicaciones y divisiones, para luego calcular las adiciones y sustracciones

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Calcular: 34 : 2 + 8 • 5 • En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 6

Objetivo de la clase: • Calcular el resultado de expresiones que combinan las cuatro operaciones aritméticas empleando paréntesis.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Pida a uno o más estudiantes que muestren cómo calcularon el resultado de la expresión matemática. Solicite que expliquen los procedimientos que usaron para calcular, argumentando sus estrategias a partir de las propiedades estudiadas la clase anterior. • Es probable que algunos estudiantes aún tengan dificultades para comprender la forma de calcular el resultado de expresiones que presentan las cuatro operaciones, y lo hagan de la siguiente forma: 34 : 2 + 8 • 5= 17 + 8 • 5 = 25 • 5 = 125 • Por lo anterior, es importante que expliquen los pasos que realizan al desarrollar la expresión propuesta en la tarea, contrastando las distintas respuestas que surgieron en el curso, de manera que se den cuenta de sus errores. En caso que observe que hay varios estudiantes que resolvieron la tarea cometiendo el error descrito anteriormente, proponga otros ejemplos como el anterior, de manera que tengan la oportunidad de corregir los procedimientos que emplearon.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 presenta un problema que requiere combinar operaciones matemáticas para resolverlo. Claudia y su hermano juntaron dinero durante 3 meses para comprar el regalo de cumpleaños para su mamá. Claudia ahorró $1200 mensualmente y su hermano $1500 cada mes. Al momento de comprar el regalo el papá les aportó $2000. ¿Con cuánto dinero cuentan Claudia y su hermano para comprar el regalo de cumpleaños de su mamá? • Posteriormente, se pide que desarrollen una serie de pasos que les permitirán llegar a la respuesta. Pida que respondan las instrucciones de cada paso en parejas y revise las respuestas en conjunto con el curso. • Es importante destacar que para facilitar la modelización del problema presentado, se ha incluido en el paso 2 un diagrama que se espera que completen de la siguiente manera: ¿Total de dinero con que cuentan para el regalo? $1200 + $1500 $1200 + $1500 $1200 + $1500

$2000

Dinero reunido por Claudia y su hermano

Dinero que regaló el papá

18 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Oriente a los estudiantes para que, a partir del diagrama que completaron, establezcan la expresión matemática (paso 3) que permite resolver el problema. Para ello pregunte: ¿Qué operación matemática permite saber cuánto dinero juntaron mensualmente entre los dos? ¿Qué operación matemática permite saber cuánto dinero reunieron durante los 3 meses? ¿Cómo calculamos el total? De esta forma se espera que establezcan que para calcular el total reunido por Claudia y su hermano deben calcular: 3 • (1200 + 1500) + 2000. • Para encontrar el resultado de la expresión matemática, se espera que recuerden el rol del paréntesis al calcular una expresión matemática combinada, basándose principalmente en los conocimientos estudiados cuando abordaron la propiedad distributiva de la multiplicación, y también se apoyen en el diagrama. Se espera que establezcan que para saber lo que reunieron durante los tres meses se debe calcular 3 veces la suma 1200 + 1500, y a ese resultado agregar el dinero que les regaló el papá. • Sistematice con el curso que cuando en una expresión matemática aparecen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones y además paréntesis, se debe calcular primero la operación del paréntesis y luego multiplicaciones y divisiones, para finalmente calcular sumas y restas. • La Actividad 2 propone cuatro expresiones matemáticas combinadas. Invite a desarrollarlas y explicar cómo realizaron los cálculos, señalando el orden en que los fueron haciendo. Para explicar sus respuestas pueden basarse en la forma en que lo hicieron la clase anterior. Una vez que la mayoría haya resuelto los cálculos, revise en conjunto las respuestas, resguardando que lean sus explicaciones y las justifiquen usando los conocimientos matemáticos abordados hasta el momento. • La Actividad 3 tiene dos partes, que proponen una serie de ejercicios con el propósito de repasar las técnicas de cálculo vistas hasta el momento en el Módulo. La parte a) presenta el cálculo de productos que niños y niñas deben resolver usando más de una forma. Para ello se espera que utilicen las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación. La parte b) propone varios ejercicios que combinan las cuatro operaciones y que, en algunos casos, presentan paréntesis. Invite a desarrollar esta parte en forma individual, de manera que pueda evaluar quiénes aún tienen dificultades para desarrollar este tipo de expresiones. La Actividad 3 permite realizar una evaluación formativa del proceso de estudio realizado hasta ahora en el Módulo. A partir de la observación del desempeño de niños y niñas podrá determinar las dificultades que se presentan y así podrá apoyarlos más concretamente. Para el resto de las clases en que se aborda la resolución de problemas combinados, es importante que los estudiantes tengan herramientas sólidas para calcular expresiones matemáticas combinadas que incluyen el uso de paréntesis.

CIERRE / 15 minutos Destaque con el curso a través de un ejemplo que: • Para calcular el resultado de expresiones que tienen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, se deben calcular primero las multiplicaciones y divisiones, para luego, calcular las adiciones y sustracciones. Si en la expresión aparecen paréntesis, se debe calcular primero la operación escrita en ellos, para luego seguir el orden de las operaciones antes señalado.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Calcular: 8 • (5 + 20) – 100 : 10 • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 7

Objetivo de la clase: • Resolver problemas que involucran las cuatro operaciones estimando el resultado e identificando la expresión matemática que permite resolverlos.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Pida a algunos estudiantes que muestren cómo calcularon el resultado de la expresión matemática. Motive que expliquen los procedimientos que usaron para calcular, argumentando sus estrategias a partir de las propiedades estudiadas la clase anterior. • Posibles errores al desarrollar la expresión son los siguientes: - Error 1: no aplicar correctamente la propiedad distributiva y calcular: 40 + 20 – 100 : 10 = 60 – 10 = 50 - Error 2: calcular primero la resta y luego la división 200 – 100 : 10 = 100 : 10 = 10 • Es importante que expliquen los pasos que realizan al desarrollar la expresión propuesta en la tarea, contrastando las distintas respuestas que surgieron en el curso, de manera que se den cuenta de sus errores. Si observa que hay varios estudiantes que resolvieron la tarea cometiendo alguno de los errores anteriores, proponga otros ejemplos similares, de manera que tengan la oportunidad de corregir los procedimientos que usan para desarrollar este tipo de expresiones matemáticas.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 parte a) presenta un problema que requiere combinar operaciones matemáticas para resolverlo: El kilo de arroz en precio oferta cuesta $647 y el litro de aceite $895. Marta compró 3 kilos de arroz y 1 litro de aceite en precio oferta. ¿Cuánto dinero pagó por la compra? • Para resolver el problema se incluyen pasos que niños y niñas deben seguir. Trabajan en parejas y luego revisan las respuestas en conjunto. En el paso 2 hay un diagrama que se espera que completen de la siguiente manera: ¿Cantidad total de la compra? $647

$647

$895

• A partir del diagrama, oriente para que establezcan la expresión matemática (paso 3) que permite resolver el problema. Para ello puede plantear preguntas: ¿Qué operación matemática permite saber el costo de los 3 kilos de arroz? ¿Qué operación matemática permite saber cuánto dinero cuesta la compra total? Se espera que establezcan que para calcular el total de la compra se debe desarrollar la expresión 3 • 647 + 895 • Una vez que hayan resuelto el problema, se espera que analicen una forma de estimar el resultado. La parte b) propone una segunda situación en que Marta estima el total de la compra calculando: 3 • 700 + 900 = 2100 + 900 = 3000 20 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Invite al curso a reflexionar sobre el procedimiento usado por Marta y luego sistematice que: - Para estimar el resultado de una expresión aritmética se pueden redondear los valores a un múltiplo de 10, 100 o 1000 cercano, y luego calcular mentalmente usando estrategias como las vistas en clases anteriores. - La estimación de la respuesta de un problema permite evaluar con anticipación si el resultado que se obtiene es correcto. • La Actividad 2 propone tres problemas combinados y se pide a los estudiantes completar el diagrama y escribir la expresión matemática que permite resolverlos. Invite a niños y niñas a resolver esta parte de la actividad y luego revise sus respuestas en conjunto con todo el curso. Los diagramas y expresiones que deben completar son los siguientes: Problema 1: 6 • 3500 + 5000 ¿Total del dinero ahorrado? $3500

$3500

$5000

Problema 2: (24 + 16) : 10 24 Kilos ¿?

¿?

16 Kilos ¿?

¿?

Problema 3: 3 • 23 – 5 23 botellas

23 botellas

5 botellas

23 botellas

¿botellas para reciclar?

• La Actividad 3 presenta tres problemas como los estudiados en la clase, pero esta vez deben resolverlos dibujando un diagrama y estimando el resultado del problema antes de calcular. Pida que resuelvan los dos primeros y deje como tarea el tercer problema. La estimación es una habilidad que permite a los estudiantes anticipar o evaluar sus respuestas cuando resuelven problemas simples o combinados.

CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso que: • Para resolver problemas en que se combinan adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, se puede dibujar un diagrama que permita relacionar los datos con la pregunta. • Para estimar la respuesta de un problema se pueden redondear los valores de los datos del problema y usar un cálculo mental que dé una respuesta aproximada.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Calcular: Resolver el problema c) de la Actividad 3. • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 8

Objetivo de la clase: • Estimar la respuesta de un problema combinado.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Invite a uno o más estudiantes a mostrar la estrategia utilizada para resolver el problema. Pida que expliquen cómo desarrollaron cada parte, justificando sus respuestas a partir de los conocimientos matemáticos estudiados hasta ahora en la unidad. • Es importante que expliquen los pasos que realizan al desarrollar el problema, contrastando las distintas respuestas que surgieron en el curso, de manera que se den cuenta de sus errores. El uso de diagramas en la resolución de problemas es una herramienta que permite identificar la expresión matemática que lo resuelve. De esta forma, si para algunos estudiantes no es necesario dibujar un diagrama pues ya identificaron la operación, permita que solo resuelvan el problema a partir de la expresión que ya establecieron.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 entrega a los estudiantes información de contexto en que da el valor de tres productos que están con precio oferta en un supermercado:

Leche chocolatada $1597

Arroz $1249

Huevos $1189

Al plantear problemas donde se requiere que niños y niñas estimen, es necesario que los datos correspondan a números que den origen a cálculos con reservas.

• En la parte a) se plantea que Susana quiere comprar dos de estos productos con $3000, y para ello estima el resultado de la compra de la siguiente forma: 3000 – (1600 + 1200) = 3000 – 2800 = 200 • Dé un tiempo para que analicen cómo Susana estimó el resultado y escriban sus respuestas en el recuadro correspondiente. Una vez que la mayoría haya respondido, recoja las distintas respuestas que pueden haber surgido y sistematice que para estimar la solución de un problema es necesario aproximar los datos a valores que sean 22 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

posibles de calcular mentalmente. Una forma es redondeando a múltiplos de 10, 100, 1000, etc. y luego aplicar estrategias de cálculo mental como las que ya conocen. • La parte b) propone otras situaciones de compra con los mismos productos, pero esta vez son sus estudiantes quienes deben estimen el resultado de las compras y responder las preguntas que se plantean. Revise sus respuestas contrastando los distintos procedimientos que pueden haber surgido. • La Actividad 2 entrega el precio de cuatro artículos de librería. La parte a) pide que simulen hacer cuatro compras y las escriban en el cuaderno. Invite al curso a observar el precio de los productos y a escribirlos en sus compras. • Una vez que la mayoría haya escrito sus compras, lea con el curso las instrucciones de las partes b), c) y d), que proponen: b) Estimar el resultado de las compras 1 y 2. Se espera que redondeen el precio de los productos a un número que resulte sencillo de calcular mentalmente, privilegiando múltiplos de 10, 100 o 1000. Por ejemplo, si la compra es una corchetera y 10 clips, pueden calcular: 1900 + 1100 = 3000 c) Intercambiar con su compañero o compañera las compras 3 y 4, y estimar el valor de la compra. Pida que revisen las respuestas en pareja y evalúen la pertinencia de la estimación realizada. d) Aquí se incluye una compra que combina multiplicación, sustracción y adición. De esta forma, deberán volver a enfrentarse a la tarea de estimar el resultado de un problema combinado. Observe si son capaces de redondear los precios de los productos. Resguarde que las estimaciones que hacen sean pertinentes a las preguntas planteadas. Es probable que en aquellas situaciones en que se pregunta por el vuelto o si alcanza o no el dinero que una persona lleva para hacer la compra, algunos estudiantes solo estimen la suma del costo de la compra, y no lleguen a establecer una estimación para la sustracción involucrada en este tipo de situaciones.

CIERRE / 15 minutos Destaque con el curso que: • Estimar el resultado de un problema permite anticipar la respuesta a un problema o evaluar si la solución encontrada es pertinente. También, cuando se requiere realizar los cálculos rápidamente, por ejemplo, en el contexto de compra de productos, no es necesario saber con exactitud la respuesta del cálculo requerido y en dichos casos resulta eficaz hacer una estimación del resultado. • Para estimar la respuesta de un problema se pueden redondear los valores de los datos del problema y usar un cálculo mental que dé una respuesta aproximada.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Considerando los precios de los productos de la Actividad 2, estimar cuánto se paga al comprar 2 agendas con pluma y una corchetera. • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 9

Objetivo de la clase: • Resolver problemas combinados y evaluar la solución en el contexto del problema.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Invite a uno o más estudiantes a mostrar la estrategia utilizada para realizar la estimación. Pida que expliquen cómo redondearon los precios de los productos y cómo calcularon el costo de la compra. • Es importante que expliquen las elecciones que hicieron al redondear los precios de los productos, por ejemplo: el precio de la corchetera es $1879, que pueden redondear a 1800 o 1900. Sin embargo en este caso, es más pertinente redondear a 1900, ya que es un múltiplo de 100 más cercano al valor real del producto, y por tanto la respuesta que se obtiene es más cercana al valor real de la compra. Para determinar la pertinencia de las estimaciones realizadas por los estudiantes para encontrar la solución de los problemas, puede usar una calculadora y obtener el valor real de la compra. Luego puede comparar dicho valor con la estimación realizada.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 propone dos problemas combinados, pero esta vez aparecen dadas soluciones erróneas a los problemas. Se busca que analicen el resultado, estimen, lo resuelvan para explicar si la solución es correcta o no y cuál es el error que se cometió. • Problema 1: Ricardo, el dueño de un quiosco de diarios, ha guardado sus revistas en cajas. Las revistas deportivas las guardó en 3 cajas con 42 revistas en cada una y las de espectáculo en 4 cajas con 58 revistas en cada una. ¿Cuántas revistas ha guardado Ricardo? • Respuesta: Ricardo tiene 107 revistas. • Luego, se pide a los estudiantes que, sin calcular, estimen la solución de problema y, a partir de ella, señalen si la solución dada es correcta o no y expliquen en qué consiste el error. • En el ejemplo, una estimación de la respuesta sería: 3 • 40 + 4 • 60 = 120 + 240 = 360. Sin embargo, la solución presentada es 107, cantidad que está muy por debajo de la estimación. Así, se espera que establezcan que la solución no es pertinente al problema dado. Posteriormente se sugiere que resuelvan el problema para comprobar la respuesta que dieron. • Invite a desarrollar la actividad y revise sus respuestas en conjunto. Solicite que expliquen sus procedimientos y justifiquen la valoración que realizaron de la respuesta dada. Sistematice que estimar la respuesta de un problema permite evaluar, sin resolver todo el problema, si una solución es pertinente y adecuada como respuesta a la situación. Para estimar se pueden redondear los datos del problema y calcular mentalmente el resultado. 24 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• La Actividad 2 propone cuatro problemas combinados y se pide resolverlos identificando la expresión matemática correspondiente. Se sugiere que trabajen individualmente, de manera que al circular por la sala usted pueda observar quiénes aún tienen dificultades para resolver problemas combinados. Para apoyarlos se sugiere el uso de diagramas como los construidos en las clases anteriores. • Las expresiones matemáticas para cada problema son: Problema 1, Expresión: 6 • 217 – 1230 Problema 2, Expresión: 32 + 450; (32 + 450) • 10 Problema 3, Expresión: (4600 + 3000) - 6990 Problema 4, Expresión: (4300 – 1100) : 4 Observe si son capaces de identificar las Expresiones matemáticas que permiten resolver los problemas combinados. En caso de que presenten dificultades, apóyelos dibujando un diagrama que relacione los datos con la pregunta del problema.

CIERRE / 15 minutos Destaque con el curso que: • Estimar la solución de un problema permite evaluar, sin resolver todo el problema, si dicha solución es pertinente y adecuada como respuesta a la situación. Para estimar se pueden redondear los datos del problema y calcular mentalmente el resultado. • Muchas situaciones de la vida cotidiana se resuelven combinando más de una operación. Para encontrar la respuesta es necesario realizar el cálculo de expresiones combinadas considerando la prioridad de las operaciones de la expresión: primero se resuelven los cálculos entre paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones, y finalmente adiciones y sustracciones.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Inventar un problema que incluya una multiplicación y una adición en la expresión matemática que lo resuelve. • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 10

Objetivo de la clase: • Realizar la prueba de la unidad.

INICIO / 15 minutos • En esta clase se llevará a cabo la prueba de la unidad. Invite a sus estudiantes a desarrollar la prueba explicando que a través de ella se evaluará lo que han aprendido. Anime a niños y niñas a trabajar con confianza en sí mismos y a realizar su mejor esfuerzo para responder cada una de las preguntas. • Resguarde que todos se encuentren con sus materiales (lápiz de mina, goma) y sentados en forma individual antes de entregar la prueba. Genere un clima sereno y tranquilo que permita a las y los estudiantes responder en forma ordenada las preguntas de la prueba.

DESARROLLO / 55 minutos • Distribuya la prueba, pida que no comiencen hasta que todos la hayan recibido. • Pida que escriban su nombre y la fecha. • Explique brevemente que deben anotar (y no borrar) todos los cálculos y trazas que hagan para resolver cada pregunta (esta información es relevante para un análisis posterior de cada respuesta). • A quienes terminan primero, propóngales que realicen las actividades del Cuaderno de trabajo. Son actividades de tipo lúdico que los desafían a razonar matemáticamente para resolverlas. La evaluación consta de 15 preguntas de selección múltiple, cada una con cuatro alternativas de respuesta. Considere las siguientes observaciones al momento de desarrollar la prueba. • Es importante que mientras se realiza la prueba, haya silencio y se eviten interrupciones que distraigan la atención de niños y niñas. • • Durante la realización de la prueba, atienda las consultas y ayúdelos a resolver el obstáculo que tienen, sin darles la respuesta ni indicaciones específicas. • • Esté atento a posibles dificultades que presenten, observando permanentemente el trabajo que están realizando, para tomar las medidas a tiempo y evitar tensiones. • El registro que usted haga de las consultas que realizadas le permitirá entablar el diálogo en la próxima clase. • Anote también las estrategias no habituales que puede observar en sus estudiantes al responder alguna de las preguntas de la prueba. Los indicadores de evaluación que corresponden a los ítems de la prueba son: • Resuelven un problema de multiplicación en que uno de los factores es 10. • Determinan un producto equivalente a otro dado, basándose en el cálculo de dobles y mitades de sus factores. 26 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Calculan el resultado de una expresión que combina adición, multiplicación y división. • Determinan cómo calcular el producto de un número por un múltiplo de 10, anexando tantos ceros como tenga el múltiplo de 10. • Resuelven problemas que involucran operaciones aritméticas combinadas. • Calculan el resultado de una expresión que combina operaciones aritméticas y el uso de paréntesis. • Identifican la expresión matemática que permite resolver un problema que combina operaciones. • Calculan el producto de tres factores usando la propiedad conmutativa y asociativa. • Identifican una expresión equivalente a otra dada usando la propiedad distributiva. • Calculan el resultado de una expresión que combina adición y sustracción. • Identifican el problema que se puede resolver a partir de información dada en un diagrama. • Estiman el resultado de un problema que combina adición y multiplicación. • Evalúan la conveniencia de realizar una transacción comercial estimando el resultado de operaciones aritméticas. • Resuelven problemas que combinan operaciones aritméticas. • Calculan el resultado del producto de un número de cuatro cifras por 100.

CIERRE / 15 minutos • Una vez transcurrido el tiempo previsto para la prueba, recoja las que aún no le han sido entregadas y establezca un diálogo con el curso respecto del proceso vivido. Invite a que expresen sus impresiones en relación con el grado de dificultad de las distintas preguntas. • Escuche a sus estudiantes. Tome nota de los errores que han cometido, de los objetivos a que apuntan, su frecuencia, etc. Conduzca el diálogo de manera que se expresen correctamente, con argumentos y sin descalificaciones. Acoja las consultas con respecto a las actividades propuestas. No les dé la respuesta, y ayúdelos a encontrarlas por sí mismos.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Proponer una expresión matemática que involucre cálculos de más de dos operaciones distintas. • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 11

Objetivos de la clase: • Revisar la prueba de la unidad.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Pida que en duplas de trabajo se intercambien la expresión matemática que escribieron, de manera que el compañero o compañera la responda. Luego pida a algunas parejas que cuenten si coincidieron en la solución encontrada. Utilice la tarea para retomar con los estudiantes la reflexión sobre la prioridad de las operaciones al momento de resolver expresiones matemáticas combinadas. Observe si niños y niñas son capaces de aplicar dicha prioridad; en caso que vea errores en las respuestas, apoye a los estudiantes al momento de resolver los ítems de la prueba que tienen relación con este contenido.

DESARROLLO / 55 minutos • Para este momento de la clase se han seleccionado algunas preguntas que pueden haber presentado mayores dificultades para los estudiantes. Estas preguntas se han incluido en el Cuaderno de trabajo de los estudiantes, sin las alternativas de respuesta. Invítelos a desarrollar cada pregunta en parejas. • Es probable que el análisis que usted haga de las respuestas que sus estudiantes entregaron en la prueba marque diferencias con esta anticipación. Conforme a la realidad de su curso, elija situaciones problemáticas iguales o similares a las preguntas con mayores dificultades, que le permitan emplear la evaluación como una herramienta de aprendizaje. • Dé un tiempo razonable para que analicen las preguntas y las respondan en conjunto con su compañero o compañera. Es importante resguardar que expliquen los procedimientos que utilizan y argumenten sus respuestas; así podrán profundizar los conocimientos adquiridos durante la unidad y corregir sus errores. • Ítem 3: Se pide calcular el resultado de la expresión 30 • 4 + 80 : 10. Un posible error al calcular esta expresión, es que niños y niñas desarrollen los cálculos en forma lineal partiendo de izquierda a derecha, de la siguiente forma: 30 • 4 + 80 : 10 = 120 + 80 : 10 = 200 : 10 = 20. En dichos casos retome con ellos la prioridad de las operaciones al momento de resolver operaciones combinadas. • Ítem 5: Se pide resolver el siguiente problema: Carlos compró 3 cuadernos a $752 cada uno y 2 lápices a $175 cada uno. ¿Cuánto pagó Carlos por la compra? Una dificultad que pueden haber presentado los estudiantes es al momento de identificar la operación que resuelve el problema. Para apoyar este proceso de modelización puede dibujar un diagrama que permita relacionar los datos con la pregunta. • Ítem 6: Se pide calcular el resultado de 80 • (10 + 90) – 800. La aplicación de la propiedad distributiva puede causar errores al momento de desarrollar la expresión. Un posible error es que solo calculen el producto del factor con el primer sumando, obteniendo: 800 + 90 – 800 = 890 – 800 = 90. Retome con el curso el uso de esta propiedad y proponga otros ejercicios similares a quienes vea que tienen más dificultades. 28 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Ítem 7: El problema es Un kilo de arroz cuesta $730. Rosa compró 3 kilos de arroz y pagó con $5000. • Se pide identificar la expresión matemática que permite resolver el problema, es decir, ¿cuánto recibió de vuelto Rosa? Las alternativas de respuesta son: A. 5000 – 3 • 730 B. 5000 + 3 • 730 C. 3 • 5000 – 730 D. 3 • 5000 + 730 • Ítem 11: Se pide identificar el problema que se modela con el siguiente diagrama: $2000 Jugo $250

Jugo $250

Galletas $435

¿Vuelto?

• Las alternativas del problema son las siguientes: A. La cantidad de dinero que se debe pagar por la compra de 4 jugos que cuestan $250 y un paquete de galletas que cuesta $435. B. La cantidad de dinero que se debe pagar por la compra de un paquete de galletas que cuesta $435. C. La cantidad de dinero que se debe pagar por la compra de 4 jugos que cuestan $250. D. El vuelto que recibiría al comprar 4 jugos que cuestan $250 cada uno y un paquete de galletas que cuesta $435, pagando con un billete de $2000. • El resto de las preguntas que aparecen en el Cuaderno de trabajo corresponden a problemas combinados que deben resolver. Para hacerlo, se sugiere que dibujen un diagrama que permita relacionar los datos con la pregunta del problema. De esta forma, podrá apoyar a quienes aún tienen dificultades para resolver este tipo de problemas. Resguarde que argumenten sus respuestas en conjunto con su compañera o compañero. La comunicación y argumentación del pensamiento matemático es una habilidad que deben ir desarrollando paulatinamente a los largo de su escolaridad.

CIERRE / 15 minutos • Genere un momento de reflexión que permita a niños y niñas evaluar su propio desempeño durante el transcurso de la unidad. Invítelos a reflexionar sobre aquellos contenidos que les presentaron mayor dificultad y sobre la forma en que superaron sus posibles errores.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Compartir con su familia los contenidos aprendidos en la unidad. • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO

ORIENTACIONES PARA EL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN El Módulo se centra en el eje Números, específicamente en el estudio de estrategias de cálculo mental de multiplicaciones, del cálculo de expresiones que combinan las cuatro operaciones e incluyen paréntesis, y la resolución de problemas combinados. Para abordar el cálculo mental de multiplicaciones se abordaron estrategias basadas en el producto de un número cualquiera por una potencia de 10 o múltiplo de ellas, el cálculo de dobles y mitades, y el uso de las propiedades de la multiplicación, en particular, la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Posteriormente, se introdujo el trabajo con expresiones combinadas, incluyendo el uso de paréntesis, abordando el estudio de la prioridad de las operaciones cuando se requiere calcular el resultado de ellas. Este estudio se realizó apoyado de la resolución de problemas que incluían el uso de diagramas de barra. Finalmente, el Módulo abordó la resolución de problemas que combinan las cuatro operaciones aritméticas, y para ello se reforzó el uso de diagramas que apoya la identificación de la expresión matemática que los resuelve. En conjunto con la tarea de resolver problemas, se trabajó la tarea de estimar el resultado de un problema, con el propósito de anticipar la respuesta, evaluar una respuesta dada o encontrar un resultado pertinente a la situación cuando no se requiere un cálculo exacto de la respuesta. La evaluación del Módulo incorpora ítems que permiten evaluar los aprendizajes relacionados con las distintas tareas matemáticas estudiadas, considerando también las habilidades matemáticas que se han seguido reforzando. Para tener información que le permita saber qué aspectos de los contenidos abordados en la unidad no están alcanzando sus estudiantes, se propone un análisis de las respuestas de la prueba; de esta forma, podrá tomar decisiones remediales que contribuyan a consolidar los aprendizajes que aún están débiles. Es importante mencionar que los conocimientos abordados en la unidad son relevantes para continuar el estudio de este eje en las unidades 30 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

MÓDULO Nº 1: OPERACIONES COMBINADAS: ESTRATEGIAS DE CÁLCULO Y PROBLEMAS

posteriores del currículo, ya que este tipo de problemas y técnicas volverán a ser abordadas cuando se estudien los números decimales y las operaciones sobre este conjunto. Finalmente, se recomienda no solo hacer el análisis de la evaluación considerando porcentajes de respuestas correctas o incorrectas, sino que también considerar en las respuestas incorrectas aquellos distractores que fueron elegidos por la mayor cantidad de estudiantes. El análisis de los distractores escogidos le permite identificar los errores que están presentando y, por ende, tener una aproximación al conocimiento matemático que no han comprendido en forma efectiva. A continuación se presenta una selección de tres ítems, y se modela una forma de hacer este análisis.

Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO

Ítem Ítem 3 El resultado de la expresión 30 • 4 + 80 : 10 es

Indicador de evaluación Calculan el resultado de una expresión que combina adición, multiplicación y división.

A. 20

Información del curso % L % NL

Orientaciones remediales Calcular expresiones matemáticas de este tipo requiere que niños y niñas comprendan la prioridad en las operaciones cuando se resuelven expresiones matemáticas combinadas. Es probable que entre el distractor más frecuente, que fue marcado en forma errónea, esté la alternativa A, ya que corresponde a efectuar el cálculo de manera lineal, de izquierda a derecha, sin considerar la prioridad en las operaciones al calcular expresiones combinadas.

B. 128 C. 200 D. 252

Se sugiere retomar con el curso las reglas asociadas al cálculo de este tipo de expresiones y proponer otros ejercicios similares para repasar este contenido. Ítem 7 Un kilo de arroz cuesta $730. Rosa compró 3 kilos de arroz y pagó con $5 000. La expresión matemática que permite saber cuánto recibió de vuelto es: A. 5000 – 3 • 730 B. 5000 + 3 • 730 C. 3 • 5000 – 730 D. 3 • 5000 + 730

Identifican la expresión matemática que permite resolver un problema que combina operaciones.

En este ítem algunos estudiantes pueden señalar erróneamente que la alternativa correcta es B o C. Si marcan B puede deberse a que asocian rápidamente la adición y multiplicación por la relación que existe entre ambas operaciones, sin analizar el enunciado del problema. Si marcan C puede deberse a que al leer que son 3 kilos de arroz, determinan que se debe multiplicar por 3 uno de los valores sin analizar desde el enunciado cuál es dicho valor. Se sugiere el uso de diagramas de barra, como los abordados en el Módulo, para que sus estudiantes comprendan cómo identificar la expresión matemática que resuelve este tipo de problema.

32 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

MÓDULO Nº 1: OPERACIONES COMBINADAS: ESTRATEGIAS DE CÁLCULO Y PROBLEMAS

Ítem Ítem 12 Luis comprará 3 cuadernos que cuestan $589 cada uno y un estuche que cuesta $998. Una estimación de lo que deberá pagar Luis por su compra es: A. $600 B. $1000 C. $1600 D. $2800

Indicador de evaluación Estiman el resultado de un problema que combina adición y multiplicación.

Información del curso % L % NL

Orientaciones remediales Estimar el resultado de un problema combinado se abordó en el Módulo, sin embargo, es probable que aún tengan dificultades para entender el sentido de esta habilidad. En dichos casos, es probable que hayan marcado erróneamente la alternativa C, que corresponde solo a redondear el precio de los productos y luego sumar, sin considerar que además deben multiplicar por 3 la estimación del valor del cuaderno. Se sugiere proponer otras situaciones en que deban estimar el resultado de operaciones combinadas, planteando actividades como las propuestas en la clase 8. Destaque que la estimación es una herramienta que permite responder situaciones donde no es necesario un cálculo exacto, y no se trata de un procedimiento mecánico alejado del contexto y sentido de un problema.

(*) La columna información del curso debe ser llenada por cada docente, incorporando el porcentaje de estudiantes que respondió el ítem en forma correcta (%L) y el porcentaje que lo hizo en forma incorrecta (%NL).

Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PAUTA DE CORRECCIÓN / EVALUACIÓN MÓDULO 1

Ítem

Eje Temático

Indicador de Evaluación

Respuesta

Resuelven un problema de multiplicación en que uno de los factores es 10.

Determinan un producto equivalente a otro dado, basándose en el cálculo de dobles y mitades de sus factores.

Calculan el resultado de una expresión que combina adición, multiplicación y división.

Determinan cómo calcular el producto de un número por un múltiplo de 10, anexando tantos ceros como tenga el múltiplo de 10.

Resuelven problemas que involucran operaciones aritméticas combinadas.

Calculan el resultado de una expresión que combina operaciones aritméticas y el uso de paréntesis.

Identifican la expresión matemática que permite resolver un problema que combina operaciones.

Números y Operaciones Calculan el producto de tres factores usando las propiedades conmutativa y asociativa.

Identifican una expresión equivalente a otra dada usando la propiedad distributiva.

Calculan el resultado de una expresión que combina adición y sustracción.

Identifican el problema que se puede resolver a partir de información dada en un diagrama.

Estiman el resultado de un problema que combina adición y multiplicación.

Evalúan la conveniencia de realizar una transacción comercial estimando el resultado de operaciones aritméticas.

Resuelven problemas que combinan operaciones aritméticas.

Calculan el producto de un número de cuatro cifras por 100.

34 / Módulo Nº 1: Operaciones combinadas: estrategias de cálculo y problemas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

Módulo Nº 2:

Perímetro y áreas de figuras geométricas MATEMÁTICA Guía didáctica

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas MATEMÁTICA Guía didáctica NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA División de Educación General Ministerio de Educación República de Chile 2013

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas MATEMÁTICA Guía Didáctica / 5o básico

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA

2013

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO PRESENTACIÓN En el siguiente módulo se presenta una serie de actividades que permiten alcanzar objetivos de aprendizaje de la segunda Unidad del Programa de Estudio de 5° básico. Se estudia la noción de área y perímetro de figuras planas, utilizando distintas estrategias que se apoyan en el uso de cuadrículas, en el cálculo de área y perímetro de figuras conocidas por niños y niñas, o en la aplicación de transformaciones isométricas. En este mismo contexto se aborda el estudio de problemas que para su solución requieren calcular el área y perímetro de rectángulos, triángulos o paralelogramos: Los objetivos de aprendizaje del currículum que se abordan en el módulo son los siguientes: :_i[ Wh o Yedijhk_h Z_\[h[dj[i h[Yj|d]kbei" ZWZei [b f[h c[jhe e [b |h[W e ambos, y sacar conclusiones (OA21). 9WbYkbWh |h[Wi Z[ jh_|d]kbei" Z[ fWhWb[be]hWcei o Z[ jhWf[Y_ei" o [ij_cWh áreas de figuras irregulares aplicando las estrategias: Yedj[e Z[ YkWZh YkbWi" YecfWhWY_ d Yed [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe" Yecfb[jWdZe \_]khWi feh jhWibWY_ d E7(( $ Los conocimientos previos que niños y niñas deben tener para abordar el módulo son, por una parte, las características y propiedades de triángulos, rectángulos y paralelogramos. Por otra parte, es necesario que niños y niñas manejen el cálculo de área y perímetro de rectángulos, y transformaciones isométricas en el plano. Es importante señalar que estos últimos contenidos si bien no son el foco de estudio de este módulo, en las clases en que se abordan se hace un repaso de los conceptos más importantes relacionados con ellos. Para alcanzar estos objetivos de aprendizaje las tareas matemáticas que principalmente desarrollan Las y los estudiantes son: :_Xk`Wd Zei e c|i h[Yj|d]kbei gk[ j[d]Wd _]kWb |h[W e f[h c[jhe$ :_Xk`Wd h[Yj|d]kbei Z[ |h[W YedeY_ZW$ <ehcWd \_]khWi [d [b fbWde W fWhj_h Z[ jhWibWY_ed[i e h[\b[n_ed[i Z[ ejhWi figuras. JhWdi\ehcWd \_]khWi [d [b fbWde [d ejhWi Z[ _]kWb |h[W W fWhj_h Z[ jhWibWY_ed[i o reflexiones. 2 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

MÓDULO Nº 2: PERÍMETRO Y ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

9edijhko[d [ijhWj[]_Wi fWhW YWbYkbWh |h[Wi Z[ jh_|d]kbei h[Yj|d]kbei" acutángulos y obtusángulos. 9WbYkbWd [b |h[W Z[ jh_|d]kbei h[Yj|d]kbei" WYkj|d]kbei o eXjki|d]kbei$ H[ik[bl[d fheXb[cWi gk[ _dlebkYhWd [b Y|bYkbe Z[ |h[Wi Z[ h[Yj|d]kbei$ ;ij_cWd |h[Wi Z[ \_]khWi$ ;lWb Wd iebkY_ed[i Z[ fheXb[cWi gk[ h[gk_[h[ [b Y|bYkbe Z[ |h[Wi Z[ \_]khWi$ Para variar el nivel de complejidad de las actividades que se abordan en el módulo, se ha considerado inicialmente el apoyo de cuadrículas para presentar las figuras, y luego se prescinde de este apoyo. Además, las medidas de longitud de los lados de las figuras se presentan inicialmente usando números enteros, para incorporar paulatinamente números decimales. En la resolución de problemas se proponen situaciones en que deben calcular directamente el área o perímetro de figuras, y también, situaciones en que deben utilizar otros conocimientos matemáticos para encontrar la solución. <_dWbc[dj[" [i _cfehjWdj[ c[dY_edWh gk[ [d bW kd_ZWZ i[ jhWXW`Wd bWi YkWjhe habilidades matemáticas propuestas en el currículum. La resolución de problemas se aborda tanto en el estudio del perímetro de figuras geométricas como en [b [ijkZ_e Z[b |h[W$ H[fh[i[djWh i[ WXehZW jhWil[hiWbc[dj[ [d jeZW bW kd_ZWZ" ya que en todas las clases los estudiantes visualizan representaciones de figuras geométricas para establecer relaciones entre las propiedades de ellas y responder a las preguntas planteadas. La modelización viene de la mano de la resolución de problemas, en particular, en el planteamiento de situaciones de la vida cotidiana en las que para resolverlas se debe considerar el área o perímetro de figuras planas. Argumentar y comunicar se trabajan durante toda la unidad, y para hacerlo explícito se han incorporado secciones en que niños y niñas deben escribir estrategias y conclusiones relacionadas con el estudio de los conocimientos matemáticos que aborda el módulo.

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

Programación Módulo 2 Matemática 5º Básico CLASE

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

INDICADORES DE EVALUACIÓN

:_i[ Wh o Yedijhk_h Z_\[h[dj[i h[Yj|d]kbei" ZWZei :_Xk`Wd Zei e c|i h[Yj|d]kbei Z[ _]kWb f[h c[jhe$ el perímetro o el área o ambos, y sacar conclusiones (OA21).

:_i[ Wh o Yedijhk_h Z_\[h[dj[i h[Yj|d]kbei" ZWZei :_Xk`Wd Zei e c|i h[Yj|d]kbei Z[ _]kWb |h[W$ el perímetro o el área o ambos, y sacar conclusiones (OA21).

:_i[ Wh o Yedijhk_h Z_\[h[dj[i h[Yj|d]kbei" ZWZei :_Xk`Wd h[Yj|d]kbei YkoW |h[W i[ YedeY[$ Feh [`[cfbe" el perímetro o el área o ambos, y sacar conclusiodibujan dos rectángulos que tengan área 36 cm2 nes (OA21). 9ecfhk[XWd gk[" [djh[ bei h[Yj|d]kbei Z[ _]kWb f[h metro, el cuadrado es el que tiene mayor área.

4 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

EJEMPLOS DE PREGUNTAS

REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR

REFERENCIA A OTROS RECURSOS

¿Qué par de rectángulos tiene el mismo perímetro?

H[l_i[ bWi WYj_l_ZWZ[i gk[ Yehh[ifedden a los contenidos abordados en la clase.

Interactivo cálculo de perímetros: http://recursostic.educacion.es/ gauss/web/materiales_didacticos/ primaria/actividades/geometria/ poligonos/perimetro/actividad.html

H[l_i[ bWi WYj_l_ZWZ[i gk[ Yehh[ifedden a los contenidos abordados en la clase.

Interactivo para el estudio del área de figuras: http://www.e-vocacion.es/files/ html/265837/recursos/la/U13/ pages/recursos/143164_P186/es_ carcasa.html

H[l_i[ bWi WYj_l_ZWZ[i gk[ Yehh[ifedden a los contenidos abordados en la clase.

Interactivo con actividades de cálculo de perímetros y áreas: http://www.desarrollomultimedia. cl/digitales_html/oda_html/ tipoEjercitacion/16/

1 cm

2 cm

A 3 cm

B 2 cm

3 cm

D 3 cm

3 cm

A) A y B

2 cm

B) B o : 9 9 o : : 7 o :

El área del siguiente rectángulo es 8 cm2 «9k|b Z[ bei i_]k_[dj[i h[Yj|d]kbei j_[ne la misma área que el anterior? 2 cm

1 cm

A 3 cm

3 cm

3 cm 2 cm

C 4 cm a) A

b) B

Y 9

5 cm

Z :

El perímetro del siguiente rectángulo es 8 cm. «9k|b Z[ bWi i_]k_[dj[i \_]khWi j_[d[ [b mismo perímetro, pero un área mayor que la figura anterior? 1 cm

2 cm

A 3 cm

W 7

2 cm

3 cm

D 3 cm

3 cm

X 8

Y 9

Z :

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

CLASE

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

INDICADORES DE EVALUACIÓN

9WbYkbWh |h[Wi Z[ jh_|d]kbei" Z[ fWhWb[be]hWcei o <ehcWd \_]khWi [d [b fbWde" jhWibWZWdZe \_]khWi$ Feh de trapecios, y estimar áreas de figuras irregulares ejemplo: trasladan dos triángulos para unirlos a un aplicando las estrategias: rectángulo y forman un trapecio. <ehcWd \_]khWi Z[b fbWde W fWhj_h Z[ h[\b[n_ed[i$ Feh Yedj[e Z[ YkWZh YkbWi" ejemplo: reflejan un triángulo equilátero respecto de YecfWhWY_ d Yed [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe" uno de sus lados para formar un rombo. Yecfb[jWh \_]khWi feh jhWibWY_ d E7(( $

9WbYkbWh |h[Wi Z[ jh_|d]kbei" Z[ fWhWb[be]hWcei o JhWdi\ehcWd \_]khWi Z[b fbWde [d ejhWi Z[ _]kWb |h[W" de trapecios, y estimar áreas de figuras irregulares aplicando transformaciones isométricas. Por ejemplo: aplicando las estrategias: aplican traslaciones para transformar paralelogramos Yedj[e Z[ YkWZh YkbWi" en rectángulos de igual área. YecfWhWY_ d Yed [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe" Yecfb[jWh \_]khWi feh jhWibWY_ d E7(( $

9WbYkbWh |h[Wi Z[ jh_|d]kbei" Z[ fWhWb[be]hWcei o Elaboran estrategias para calcular áreas de triángulos de trapecios, y estimar áreas de figuras irregulares rectángulos a partir del área de un rectángulo. aplicando las estrategias: Elaboran estrategias para calcular áreas de triángulos Yedj[e Z[ YkWZh YkbWi acutángulos, usando áreas de triángulos rectángulos. YecfWhWY_ d Yed [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe" 9WbYkbWd |h[Wi Z[ jh_|d]kbei WYkj|d]kbei" Wfb_YWdZe Yecfb[jWh \_]khWi feh jhWibWY_ d E7(( $ estrategias elaboradas.

6 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

EJEMPLOS DE PREGUNTAS

REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR

«9k|b Z[ bei cel_c_[djei [d [b fbWde H[l_i[ bWi WYj_l_ZWZ[i gk[ Yehh[ifedpermite formar un cuadrado con los den a los contenidos abordados en la triángulos A y B? clase. W H[\b[`Wh [b jh_|d]kbe 7" X JhWibWZWh [b jh_|d]kcon respecto a la recta. lo A, 3 espacio hacia la derecha y 2 hacia arriba.

REFERENCIA A OTROS RECURSOS Isometrías: http://www.icarito.cl/ enciclopedia/articulo/segundociclo-basico/matematica/ geometria/2009/12/102-8677-9isometria.shtml Juegos básicos de simetrías: http://www.genmagic.net/mates2/ simetria_ca.swf

Y JhWibWZWh [b jh_|d]kbe 8" Z H[\b[`Wh [b jh_|d]k3 espacios hacia la izlo B, con respecto a quierda y 2 hacia abajo. la recta.

¿En cuál de las siguientes representaciones, al trasladar el triángulo A tres unidades hacia la izquierda, la figura se transforma en un rectángulo que tiene la misma área que el paralelogramo inicial? a)

H[l_i[ bWi WYj_l_ZWZ[i gk[ Yehh[ifedden a los contenidos abordados en la clase.

b) A

9|bYkbe Z[ |h[Wi0 http://www.icarito.cl/ enciclopedia/articulo/segundociclo-basico/matematica/ geometria/2010/08/102-8671-9calculando-areas.shtml

d) A

9WZW YkWZhWZe Z[ bW YkWZh YkbW j_[d[ H[l_i[ bWi WYj_l_ZWZ[i gk[ Yehh[ifedun área de 1 u2. den a los contenidos abordados en la El área del triángulo dibujado sobre la clase. cuadrícula es:

Interactivo para el cálculo de área: http://www.wikisaber.es/ 9edj[d_Zei%BEX`[Yji%Wh[W%bWkdY^$ html

A. 3 u2 B. 6 u2 9$ / k 2 :$ '. k2

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

CLASE

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

INDICADORES DE EVALUACIÓN

9WbYkbWh |h[Wi Z[ jh_|d]kbei" Z[ fWhWb[be]hWcei o Elaboran estrategias para calcular áreas de triángulos de trapecios, y estimar áreas de figuras irregulares obtusángulos a partir de paralelogramos. aplicando las estrategias: Yedj[e Z[ YkWZh YkbWi" YecfWhWY_ d Yed [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe" Yecfb[jWh \_]khWi feh jhWibWY_ d E7(( $

10 11

9WbYkbWh |h[Wi Z[ jh_|d]kbei" Z[ fWhWb[be]hWcei o Explican la estrategia usada en la resolución de un de trapecios, y estimar áreas de figuras irregulares problema relativo a cálculos de áreas de rectángulos aplicando las estrategias: Evalúan la solución de problemas relativos a áreas en función del contexto del problema Yedj[e Z[ YkWZh YkbWi Estiman áreas pedidas en un problema y cotejan esta YecfWhWY_ d Yed [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe" estimación con la solución obtenida del problema Yecfb[jWh \_]khWi feh jhWibWY_ d E7(( $

9WbYkbWh |h[Wi Z[ jh_|d]kbei" Z[ fWhWb[be]hWcei o Explican la estrategia usada en la resolución de un de trapecios, y estimar áreas de figuras irregulares problema relativo a cálculos de áreas de rectángulos. aplicando las estrategias: Evalúan la solución de problemas relativos a áreas en Yedj[e Z[ YkWZh YkbWi" función del contexto del problema. YecfWhWY_ d Yed [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe" Estiman áreas pedidas en un problema y cotejan esta Yecfb[jWh \_]khWi feh jhWibWY_ d E7(( $ estimación con la solución obtenida del problema.

H[Wb_pWh bW [lWbkWY_ d Z[ bei Yedj[d_Zei Z[b c dulo.

H[Wb_pWd bW fhk[XW Z[ bei _dZ_YWZeh[i jhWjWZei [d [b módulo.

H[\ehpWh bei _dZ_YWZeh[i jhWjWZei [d [b c Zkbe$

H[Wb_pWd h[\k[hpe Z[ jeZei bei _dZ_YWZeh[i jhWjWZei [d el módulo.

8 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

EJEMPLOS DE PREGUNTAS

REFERENCIA AL TEXTO ESCOLAR

Â&#x161; 9WZW YkWZhWZe Z[ bW YkWZhÂ&#x2021;YkbW j_[d[ un ĂĄrea de 1 u2. Â&#x161; El ĂĄrea de triĂĄngulo dibujado sobre la cuadrĂcula es:

A. B. 9$ :$

REFERENCIA A OTROS RECURSOS Â&#x161; Ă rea y perĂmetro de polĂgonos: http://fgds.pbworks.com/w/ page/50162115/Ă rea%20y%20 f[h 9) 7:c[jhe (&Z[ (& feb 9) 7:]edei

2 u2 3 u2 * k2 , k2

Â&#x161; Eugenio quiere embaldosar una mesa de cocina con baldosas que miden 15 cm de largo por 10 cm de ancho. La mesa mide 90 cm de largo por 70 cm Z[ WdY^e" ÂŤ9k|djWi XWbZeiWi d[Y[i_jWrĂĄ Eugenio para embaldosar la mesa? A. 6300 baldosas. B. 185 baldosas. 9$ '+& XWbZeiWi$ :$ *( XWbZeiWi$

Â&#x161; H[l_i[ bWi WYj_l_ZWZ[i gk[ Yehh[ifedden a los contenidos abordados en la clase.

Â&#x161; H[iebkY_Â&#x152;d Z[ fheXb[cWi Yed |h[Wi http://www.icarito.cl/ enciclopedia/articulo/segundociclo-basico/matematica/ geometria/2012/05/102-94849-quinto-basico-resolucion-deproblemas-relativos-a-calculo-deareas.shtml

Â&#x161; Un 5Â° bĂĄsico quiere pintar una pared del colegio. Estiman que el ancho es 5 metros y el alto 3 metros. Si un tarro de pintura rinde 16 metros cuadrados, estima la cantidad de tarros que ocuparĂĄn al pintar la pared dos veces. A. MĂĄs de 3 tarros. B. Menos de 3 tarros. 9$ C[dei Z[ ( jWhhei$ :$ C[dei Z[ ' jWhhe$

Â&#x161; H[l_i[ bWi WYj_l_ZWZ[i gk[ Yehh[ifedden a los contenidos abordados en la clase.

Â&#x161; Interactivo para el estudio del ĂĄrea de figuras: http://genmagic.org/mates1/ap1c. html

Â&#x161; H[l_i[ bWi WYj_l_ZWZ[i gk[ Yehh[ifedden a los contenidos abordados en la clase.

Â&#x161; 8WdYe Z[ fh[]kdjWi fhk[XW I?C9;0 http://www.agenciaeducacion.cl/ simce/banco-de-preguntas-simce/

Â&#x161; H[l_i[ bWi WYj_l_ZWZ[i gk[ Yehh[ifedden a los contenidos abordados en la clase.

MĂłdulo NÂş 2: PerĂmetro y ĂĄreas de figuras geomĂŠtricas / MatemĂĄtica / 5Â° bĂĄsico / GuĂa DidĂĄctica /

PLAN DE CLASE Nº 1

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 :_Xk`Wh Zei e c|i h[Yj|d]kbei Z[ _]kWb f[h c[jhe

INICIO / 15 minutos La clase comienza con la Actividad 1, que requiere calcular el perímetro de un rectángulo. El propósito de esta actividad y la siguiente es activar los conocimientos previos que tienen sobre el perímetro de un rectángulo, objetivo abordado en cursos anteriores. El problema señala que se requiere instalar un cerco alrededor de una piscina de forma rectangular, y se pide calcular la cantidad de metros de malla que se debe comprar para construirlo. Invite a desarrollar la actividad en parejas y revise en conjunto. Se espera que utilicen distintas estrategias para encontrar el perímetro de un rectángulo; es probable que por el contexto en que se plantea la situación, aunque no recuerden cómo calcular el perímetro de un rectángulo, sumen las medidas de los lados sin considerar que hay dos pares de lados de igual longitud y que por tanto podrían calcular el doble de la suma de ambas longitudes. Por lo anterior, en la actividad se les pide a discutir sobre distintas estrategias para calcular el perímetro de la piscina. Una vez que la mayoría haya desarrollado la actividad, genere un momento de discusión para analizar las estrategias que encontraron. :[ijWgk[ gk[ [b f[h c[jhe Z[ kdW \_]khW Yehh[ifedZ[ W bW ikcW Z[ bW bed]_jkZ Z[ iki bWZei$ ;d fWhj_YkbWh" [b f[h metro de un rectángulo se calcula de la siguiente forma: a unidades Perímetro = a + a + b + b b unidades

b unidades

:[ijWgk[ gk[ Yece [b h[Yj|d]kbe j_[d[ Zei fWh[i Z[ bWZei fWralelos y de igual medida, el perímetro también corresponde a: F[h c[jhe 3 (W ! (X 3 ( W ! X

a unidades En la última parte de la Actividad 1 se pide que escriban otra fórmula que permita expresar el perímetro de un rectángulo. Es probable que utilicen un lenguaje verbal para hacerlo. Destaque que la forma de calcular el perímetro de una figura se puede generalizar usando letras que permiten representar las medidas de los lados del rectángulo. Aproveche esta instancia para conectar los contenidos de este módulo con los conocimientos algebraicos que poseen.

DESARROLLO / 55 minutos Invite a desarrollar la Actividad 2, calcular el perímetro de diferentes figuras. En la parte A se pide calcular el perímetro de rectángulos que se presentan sobre una cuadrícula e identificar aquellos que tienen igual perímetro. Esta tarea se plantea con el propósito de que tengan herramientas para más adelante producir rectángulos de _]kWb f[h c[jhe" fh_dY_fWb eX`[j_le Z[ bW YbWi[$ :[ijWgk[ gk[ Zei \_]khWi fk[Z[d j[d[h [b c_ice f[h c[jhe" f[he 10 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

de d[Y[iWh_Wc[dj[ j[d[h bW c_icW \ehcW$ 9ece [ijW _Z[W fk[Z[ i[h Z_\ Y_b Z[ Yecfh[dZ[h _d_Y_Wbc[dj[" i[ ik]_[h[ usar los mismos ejemplos de esta actividad para mostrar este aspecto. ;d bW fWhj[ 9 i[ fhefed[d jh[i \_]khWi" Yed iki h[if[Yj_lWi c[Z_ZWi" o i[ ieb_Y_jW gk[ YWbYkb[d ik f[h c[jhe$ 9WX[ i[ WbWh gk[ [ijW l[p bWi \_]khWi de i[ fh[i[djWd ieXh[ kdW YkWZh YkbW$ BW fWhj[ : j_[d[ kd ]hWZe Z[ Z_\_YkbjWZ mayor, ya que se trata de un problema matemático que señala que el perímetro de un cuadrado es 40 cm y se pide calcular la longitud del lado. Para resolver este problema, se espera que usen estrategias basadas en representar el cuadrado y establecer que como los cuatro lados tienen la misma longitud, basta dividir por 4 el perímetro conocido. BW 7Yj_l_ZWZ ) fhefed[ kdW i_jkWY_ d Z[ Yedj[nje" ZedZ[ i[ fbWdj[W gk[ 9Whbei o CWh_WdW Z_Xk`Whed kd h[Yj|d]kbe cuyo perímetro es 14 cm; sin embargo, las figuras que se muestran en la actividad no son congruentes. Esto es: 5 cm 6 cm 2 cm

1 cm

?dl_j[ W Z[iWhhebbWh bW WYj_l_ZWZ [d fWh[`Wi$ : kd j_[cfe fWhW gk[ Z_iYkjWd bWi fh[]kdjWi gk[ WfWh[Y[d [d [bbW o luego genere un ambiente de reflexión en torno a la tarea planteada. Es importante que destaque que dos figuras pueden tener igual perímetro, pero no necesariamente ser congruentes. BW 7Yj_l_ZWZ * fhefed[ Z_Xk`Wh Zei e jh[i h[Yj|d]kbei gk[ j[d]Wd _]kWb f[h c[jhe$ 9ece [b fhef i_je Z[ bW WYj_l_ZWZ es relacionar rectángulos a través del perímetro, y no está focalizada en la construcción de figuras geométricas, se han incluido cuadrículas con cuadrados de 1 cm de longitud, para apoyar la construcción de los rectángulos. Al revisar las producciones de sus estudiantes en la Actividad 4 pida que expliquen y argumenten por qué los rectángulos que dibujaron cumplen las condiciones pedidas.

CIERRE / 15 minutos :[ijWgk[ Yed ik Ykhie gk[0 El perímetro de una figura geométrica corresponde a la suma de la longitud de sus lados. El perímetro de un rectángulo se puede calcular a partir del doble de la suma de los lados con distinta longitud, oW gk[ [ijW \_]khW j_[d[ iki bWZei efk[ijei Z[ _]kWb c[Z_ZW$ :[ bW c_icW \ehcW" [b f[h c[jhe Z[ kd YkWZhWZe i[ puede calcular multiplicando por 4 la longitud del lado. :ei h[Yj|d]kbei gk[ j_[d[d [b c_ice f[h c[jhe de d[Y[iWh_Wc[dj[ ied Yed]hk[dj[i$ :WZW kdW bed]_jkZ i[ fk[Z[d dibujar varios rectángulos que tienen como perímetro dicha longitud. Se sugiere que para mostrar esta última idea utilice un trozo de cuerda o alambre y muestre que hay varias posibilidades de formar rectángulos a partir de dicha longitud. Puede apoyarse en un geoplano.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Dibujar dos rectángulos cuyo perímetro sea 10 centímetros. En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 2

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 :_Xk`Wh Zei e c|i h[Yj|d]kbei Z[ _]kWb |h[W$

INICIO / 15 minutos H[l_i[ bW jWh[W$ ?dl_j[ W kde e c|i [ijkZ_Wdj[i W Z_Xk`Wh [d bW f_pWhhW bei h[Yj|d]kbei gk[ fheZk`[hed ZWZe ik f[h metro. Entre las respuestas que pueden surgir están: un rectángulo cuyos lados consecutivos midan 4 cm y 1 cm o 2 cm y 3 cm. Sin embargo, también dado este perímetro se pueden considerar otras medidas no enteras, por ejemplo, un rectángulo cuyos lados consecutivos midan: 1,5 cm y 3,5 cm. Es probable que sus estudiantes no den ejemplos como este último, por ello se sugiere que al momento de revisar usted proponga un rectángulo como el del ejemplo y los invite a reflexionar sobre la posibilidad de tener medidas expresadas con números decimales. El foco de la tarea no es la construcción de rectángulos, por lo que para dibujar los rectángulos pedidos se pueden apoyar en su cuaderno cuadriculado y el uso de instrumentos geométricos como regla. Es importante motivarlos a argumentar por qué los rectángulos dibujados cumplen con la condición pedida, contrastando las distintas respuestas que pueden haber surgido en el curso.

DESARROLLO / 55 minutos Invite a los estudiantes a desarrollar la Actividad 1, que propone una situación de contexto para retomar el estudio del área de rectángulos abordada en cursos anteriores. La situación plantea que Berta quiere hacer un mosaico usando cuadrados de distintos colores; para ello utilizará cuadrados cuyos lados miden 1 cm de longitud. Invite a desarrollar la actividad en parejas y luego revise en conjunto. La primera pregunta solicita contar la cantidad de cuadrados que cubren el mosaico (este se presenta sobre una cuadrícula). A partir de esta respuesta, se espera que indiquen cuál es el área del rectángulo sobre el cual se construirá el mosaico. Es importante recordar con el curso que el área corresponde a la medida de la superficie de una figura; en este caso cada cuadrado a partir del cual se construirá el mosaico mide 1 cm2 de área, por tanto, se considera como 1 unidad de área. La última pregunta tiene el propósito de determinar la forma en que se puede calcular el área de un rectángulo; se pide calcular el producto entre la medida del largo y ancho del rectángulo y luego establecer las relaciones entre el número obtenido y el área que encontraron a partir del conteo de los cuadrados de 1 cm2. Es importante que expliquen con sus propias palabras esta relación, por lo que se espera que escriban sus conclusiones y luego las YecfWhjWd Yed [b Ykhie$ 9eckd_YWh [b f[diWc_[dje cWj[c|j_Ye [i kdW ^WX_b_ZWZ gk[ i[ fk[Z[ _h Z[iWhhebbWdZe paulatinamente en los estudiantes. Sistematice con su curso que para calcular el área de un rectángulo basta multiplicar la longitud de dos de sus lados consecutivos. Es importante plantear que si bien la longitud de los lados de una figura se mide en centímetros, metros, milímetros, kilómetros, etc., el área se expresa en centímetros cuadrados, metros cuadrados, etc., ya que esta medida de superficie considera dos dimensiones; en el caso del rectángulo, largo y ancho. 12 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

La Actividad 2 propone tres ejercicios donde se espera que calculen el área de rectángulos a partir de los contenidos recordados en la actividad anterior. En la parte A se presentan seis rectángulos dibujados sobre una cuadrícula y se pide calcular su área. Para resolver esta parte pueden apoyarse en la cuadrícula, pues conocen el área de un cuadrado de esta, por tanto, el procedimiento que pueden usar es el conteo de cuadrados de área 1 cm2. Otro procedimiento que podrían utilizar, pero quizás con menos probabilidad por las condiciones en que se presentan los rectángulos, es medir la longitud de los lados apoyados en la cuadrícula y calcular el área a través del producto entre dichas longitudes. En la parte B se espera que mencionen los pares de rectángulos que tienen igual área; así adquirirán herramientas fWhW fheZkY_h c|i WZ[bWdj[ fWh[i Z[ h[Yj|d]kbei Yed [ijW YWhWYj[h ij_YW$ :[ijWgk[ Yed ik Ykhie gk[ Zei h[Yj|d]kbei que tienen la misma área no necesariamente son congruentes; puede apoyarse en los rectángulos que aparecen en la parte A. BW fWhj[ 9 fhefed[ YkWjhe h[Yj|d]kbei o i[ f_Z[ YWbYkbWh ik |h[W1 [ijW l[p de WfWh[Y[d Z_Xk`WZei ieXh[ kdW cuadrícula, por tanto se espera que el procedimiento que utilicen sea calcular el producto entre las longitudes de dos de sus lados consecutivos. La Actividad 3 propone una situación de contexto en que dos niños dibujaron un rectángulo de área igual a 16 cm2. Invite a desarrollar la actividad en parejas y luego revisen. Es importante mencionar que una de las figuras propuestas en la actividad es un cuadrado de lado 4 cm, aspecto que podría provocar controversia en sus estudiantes, ya que si se considera una clasificación excluyente de los paralelogramos, el cuadrado no corresponde a un rectángulo. Sin embargo, es importante aclarar que un rectángulo es un paralelogramo que tiene cuatro ángulos rectos, por tanto, el cuadrado es un caso particular de rectángulos que además tiene sus cuatro lados de igual longitud. Invite al curso a reflexionar sobre esta idea y aproveche la instancia para revisar las características y propiedades de los paralelogramos. La Actividad 4 pide producir rectángulos con igual área, y se presentan cuadrículas para que se apoyen al realizar sus producciones. Motive que dibujen los rectángulos pedidos y luego revise sus respuestas en conjunto, contrastando las distintas producciones que pueden haber surgido. Al revisar las producciones de los estudiantes en la Actividad 4 solicite que expliquen y argumenten por qué los rectángulos dibujados por ellos cumplen las condiciones pedidas.

CIERRE / 15 minutos :[ijWgk[ Yed ik Ykhie gk[0 El área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud de dos de sus lados consecutivos. :ei h[Yj|d]kbei gk[ j_[d[d bW c_icW |h[W de d[Y[iWh_Wc[dj[ ied Yed]hk[dj[i$ :[b c_ice ceZe" ZWZW kdW medida de área se pueden producir varios rectángulos que tengan dicha medida.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos En una hoja cuadriculada, por ejemplo, una hoja de su cuaderno de matemática, considerar que un cuadrado es 1 u2 de área. Luego dibujar dos rectángulos cuya área mida 20 u2 . En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 3

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 :_Xk`Wh h[Yj|d]kbei ZWZW ik |h[W" o YecfheXWh que entre rectángulos de igual perímetro el cuadrado es el que tiene mayor área.

INICIO / 15 minutos H[l_i[ bW jWh[W$ ?dl_j[ W kde e c|i [ijkZ_Wdj[i W Z_Xk`Wh [d bW f_pWhhW bei h[Yj|d]kbei gk[ fheZk`[hed$ ;djh[ bWi respuestas que pueden salir del curso están: un rectángulo cuyos lados consecutivos midan 4u y 5u o 2u y 10u. Es probable que algunos estudiantes den respuestas erradas a la tarea y produzcan rectángulos donde el perímetro sea 20u, por ejemplo, dibujen rectángulos cuyos lados midan 4u y 6u. Esto último porque la noción de área de una figura puede ser más difícil de comprender que la de perímetro, ya que el área es una medida de superficie (dos dimensiones) que se obtiene a partir del producto de longitudes (una dimensión). Al momento de revisar la tarea motive que expliquen sus respuestas argumentando por qué sus producciones cumplen con la condición pedida. Contraste las distintas respuestas que pueden haber surgido, de manera que sean ellos quienes se den cuenta de posibles errores.

DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 A pide que dibujen sobre una cuadrícula, rectángulos que tengan un área establecida dada en una unidad no convencional de área (u2). La parte B tiene un grado de dificultad mayor, pues pide dibujar un rectángulo que tenga la misma área que otro dibujado sobre una cuadrícula, es decir, para responder esta tarea deben primero calcular el área del rectángulo dado. Pida que desarrollen individualmente la actividad, de tal manera que pueda observar a quienes aún tienen Z_\_YkbjWZ[i fWhW Z[iWhhebbWh WYj_l_ZWZ[i gk[ _dlebkYhWd [b |h[W Z[ h[Yj|d]kbei$ : kd j_[cfe fWhW gk[ jeZei trabajen y luego revise sus respuestas en conjunto. Es importante mencionar que el segundo rectángulo que deben formar debe tener una área igual a 9u2, por tanto, una posible respuesta de sus estudiantes es dibujar un cuadrado cuyo lado mida 3u o también, dibujar un rectángulo como el siguiente: Observe que en este caso la longitud de los lados del rectángulo es 2u y 4,5u. Si bien no se han trabajado ejemplos donde los rectángulos tengan lados con medidas expresadas con números decimales, el hecho de que sus estudiantes tengan el apoyo de cuadrículas para encontrar su respuesta, permite que aparezca este tipo de respuestas. :[b c_ice ceZe" Wb Z_Xk`Wh bei h[Yj|d]kbei Yed |h[W + k2 y 7 u2 pueden aparecer respuestas en que los lados de los rectángulos sean 2u y 2,5u, y 2u y 3,5u respectivamente. 14 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

La Actividad 2 A pide que dibujen sobre una cuadrícula todos los rectángulos posibles que midan 16 cm de perímetro (la longitud del lado de los cuadrados de la cuadrícula es 1 cm). Luego se plantean preguntas que tienen el propósito de que las y los estudiantes concluyan que entre todos los rectángulos cuyo perímetro es 16 cm, el cuadrado es el rectángulo que tiene la mayor área. Invite a desarrollar esta actividad en parejas y luego revise en conjunto sus respuestas. Entre las producciones que pueden surgir del curso, en el primer ejercicio, al dibujar rectángulos de perímetro 16 cm están: un rectángulo cuyos lados consecutivos midan 2 cm y 6 cm, 1 cm y 7 cm, 3 cm y 5 cm, o 4 cm y 4 cm. Es probable que este último al ser un cuadrado no aparezca entre las respuestas de los estudiantes, por ello, se ha incluido una última pregunta que hace alusión a esta figura. La parte B pide que calculen el área de todos los rectángulos que dibujaron, por tanto es importante que antes de desarrollar esta parte, se haya revisado con los estudiantes los posibles rectángulos que se pueden dibujar, de manera que todos tengan la oportunidad Z[ YWbYkbWh [b |h[W Z[ Wb c[dei jh[i h[Yj|d]kbei Z_\[h[dj[i$ BW fWhj[ 9 f_Z[ gk[ i[ Wb[d Yk|b Z[ bei h[Yj|d]kbei Z_Xk`WZei Wdj[h_ehc[dj[ j_[d[ cWoeh |h[W$ <_dWbc[dj[" [d bW fWhj[ : i[ b[i f_Z[ gk[ Z_Xk`[d kd YkWZhWZe o kd rectángulo de perímetro 16 cm y comparen el área de ambos. Así, si entre las producciones no salió el cuadrado, en esta parte tendrán la oportunidad de considerarlo para obtener conclusiones. :[ijWgk[ gk[ [b |h[W Z[ Wb]kdei Z[ bei h[Yj|d]kbei Z_Xk`WZei [i0 '( Yc2, 7 cm2, 15 cm2, etc. Sin embargo, el cuadrado de lado 4 cm, tiene 16 cm2 de área y corresponde al rectángulo que tiene el área mayor entre todos los que tienen un perímetro igual a 16 cm. La Actividad 3 busca que apliquen los conocimientos matemáticos estudiados hasta esta clase, proponiendo tres problemas que involucran las nociones de perímetro y área de rectángulos. El problema A requiere que consideren la conclusión establecida en la actividad 2. El problema B solicita calcular el perímetro y área de un rectángulo. ;b fheXb[cW 9 h[gk_[h[ gk[ YWbYkb[d f[h c[jhe o |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe" f[he WZ[c|i b[i ieb_Y_jW fheZkY_h kd rectángulo con igual perímetro y mayor área, de tal forma que para responder deben considerar la conclusión establecida en la actividad anterior. Al elaborar una conclusión en la Actividad 2, es importante que los estudiantes utilicen sus propias palabras. Invítelos a escribir estas conclusiones y a comunicarlas al curso. De esta forma, la actividad contribuirá a desarrollar la habilidad de argumentar y comunicar.

CIERRE / 15 minutos :[ijWgk[ Yed ik Ykhie gk[0 El área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud de dos de sus lados consecutivos. :WZW kdW c[Z_ZW Z[ |h[W i[ fk[Z[ Z_Xk`Wh c|i Z[ kd h[Yj|d]kbe gk[ j[d]W Z_Y^W |h[W$ Entre los rectángulos que tienen igual perímetro, el cuadrado es el rectángulo que tiene mayor área.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Resolver el problema: El dormitorio de Alberto mide 2 metros de ancho por 3,5 metros de largo. Él quiere instalar una alfombra en su dormitorio cuyo metro cuadrado cuesta $7500. ¿Cuánto dinero necesita Alberto para alfombrar su dormitorio? En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 4

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 <ehcWh \_]khWi [d [b fbWde W fWhj_h Z[ traslaciones o reflexiones.

INICIO / 15 minutos H[l_i[ bW jWh[W$ ?dl_j[ W kde e c|i [ijkZ_Wdj[i W h[iebl[h [b fheXb[cW fbWdj[WZe [d bW jWh[W$ 9edjhWij[ bWi Z_ij_djWi respuestas que pueden haber surgido en el curso, de manera que sean los mismos niños quienes se den cuenta de posibles errores. Es importante señalar que en este caso el problema tiene un grado de dificultad mayor que otros propuestos hasta el momento. Para resolverlo, además de calcular el área de un rectángulo, deben calcular el producto entre la superficie del dormitorio y el precio de alfombra por cada metro cuadrado. Por otra parte, una de las medidas dadas está expresada en decimales, lo que también aumenta su nivel de dificultad respecto de los problemas estudiados hasta el momento. En relación a este último aspecto es importante señalar que para calcular el área del rectángulo que representa el dormitorio, los estudiantes pueden pensar el producto 2 Ð 3,5 como 2 veces 3,5, es decir, como 3,5 + 3,5 = 7; resguardando “no olvidar” que la unidad de medida del resultado en este caso es m2. Otra forma de resolverlo es dibujando sobre una cuadrícula un rectángulo con dimensiones señaladas en el problema y estableciendo la relación de que 1 segmento o lado de la cuadrícula representaría 1 metro. Resolver problemas que requieren el cálculo de área o perímetro de figuras puede traer dificultades a los estudiantes cuando deben además usar otros conocimientos matemáticos previos como la multiplicación. Dibujar un diagrama que represente la o las figuras involucradas puede ser de gran utilidad para establecer los cálculos que deben realizar para responder la pregunta del problema.

DESARROLLO / 55 minutos Invite a desarrollar la Actividad 1, en que se presenta una cuadrícula que incluye los ejes vertical y horizontal, sobre bW YkWb i[ ^Wd Z_Xk`WZe Zei h[Yj|d]kbei 7 o 8" o kd jh_|d]kbe h[Yj|d]kbe 9$ Bk[]e" Z[X[d jhWibWZWh [b h[Yj|d]kbe 8 fWhW \ehcWh Yed 7 kd YkWZhWZe" o Z_Xk`Wh bW h[\b[n_ d Z[b jh_|d]kbe 9 ieXh[ kdW h[YjW ZWZW$ I[ ik]_[h[ gk[ jhWXW`[d en parejas, y luego se genere un momento de reflexión grupal que les permita recordar contenidos relacionados con transformaciones isométricas. La primera pregunta pide señalar cuántos cuadrados hacia arriba y hacia la izquierda deben trasladar el rectángulo B para formar un cuadrado; se espera que respondan que se debe mover 3 lugares hacia arriba y 3 a la izquierda. Luego se espera que establezcan que al trasladar el rectángulo en la cuadrícula este no cambia en forma ni tamaño. Puede aprovechar estas respuestas para señalar que las traslaciones de figuras en el plano son transformaciones gk[ Yedi[hlWd bW \ehcW o jWcW e Z[ kdW \_]khW$ JWcX_ d fk[Z[ WfeoWhi[ [d bei [`[i gk[ i[ ^Wd _dYehfehWZe W bW cuadrícula para explicar los movimientos que se realizaron.

16 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

La última pregunta de esta actividad les solicita dibujar la reflexión del triángulo rectángulo en relación a una recta dada que coincide con la hipotenusa del triángulo; se espera que dibujen: EXi[hl[ gk[ [b jh_|d]kbe 9½ Yehh[ifedZ[ Wb i_c jh_Ye Z[b jh_|d]kbe 9 h[if[Yje Z[ bW recta dada. Estos triángulos son tales que si se considera cualquier punto del triángulo 9" [b fkdje Yehh[ifedZ_[dj[ [d [b jh_|d]kbe 9½" [ijWh| W bW c_icW Z_ijWdY_W Z[ bW h[YjW gk[ [b fkdje [d 9$ 9ece i[ _bkijhW [d bW \_]khW$

9½ 9

Es probable que se presenten algunos errores al dibujar el triángulo simétrico, por ejemplo: 9½ 9

9½ 9

Es decir, errores en que los estudiantes trasladan el triángulo o lo giran. Para verificar que una reflexión es correcta puede pedir que observen la imagen que, al doblarla a partir del eje de reflexión, corresponde efectivamente a una simetría.misma distancia de la recta que el punto [d 9$ 9ece i[ _bkijhW [d bW \_]khW$

La Actividad 2 busca que los estudiantes retomen sus conocimientos matemáticos relacionados con traslaciones y reflexiones de figuras planas. La parte A presenta seis pares de figuras y se pide que señalen cuáles de ellas corresponden a una reflexión o a una traslación. La segunda parte presenta cuatro cuadrículas sobre las cuales se ha dibujado una figura geométrica. Se pide a los estudiantes dibujar una traslación o una reflexión de dicha figura. La Actividad 3 nuevamente propone figuras dibujadas sobre cuadrículas, pero esta vez, se espera que niños y niñas apliquen una traslación o una reflexión a una de las figuras presentadas para formar un rectángulo, y señalar en qué casos fue posible hacerlo solo considerando una jhWibWY_ d e h[\b[n_ d$ 9WX[ Z[ijWYWh gk[ ^Wo iebe jh[i cuadrículas que presentan figuras que se pueden trasladar o reflejar para obtener un rectángulo, pues hay dos donde aparece un triángulo rectángulo no isósceles, y se requeriría de una rotación para formar un rectángulo. El trapecio, en cambio, si bien no se puede obtener directamente el rectángulo aplicando solo una traslación o una reflexión, se podría aplicar más de una transformación isométrica para obtenerlo, esto es, reflejar uno de los triángulos que se forman en los extremos del trapecio, y luego trasladarlo para unirlo con el otro triángulo. La actividad solicita, además, que escriban una explicación del procedimiento utilizado. Por ejemplo, en la primera cuadrícula se requiere hacer una traslación del triángulo, por tanto se espera que escriban: “se realiza una traslación del triángulo 2 lugares hacia arriba y 4 lugares a la izquierda”. Es importante que los estudiantes expliquen el procedimiento que utilizan para formar los rectángulos haciendo alusión a las transformaciones isométricas utilizadas. Solicite que escriban estas explicaciones de tal forma que reflexionen de manera efectiva en el procedimiento utilizado.

CIERRE / 15 minutos :[ijWgk[ Yed ik Ykhie gk[0 Las traslaciones o reflexiones son transformaciones en el plano que no varían ni la forma ni el tamaño de las figuras geométricas. A partir de la aplicación de traslaciones o reflexiones se pueden mover figuras en el plano de tal manera de formar otras figuras a partir de ellas.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Leer en el libro de texto las páginas relacionadas con traslaciones, rotaciones y reflexiones de figuras. En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 5

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 JhWdi\ehcWh \_]khWi [d [b fbWde [d ejhWi Z[ _]kWb área, aplicando reflexiones o traslaciones.

INICIO / 15 minutos H[l_i[ bW jWh[W$ Inicie la clase haciendo preguntas a sus estudiantes respecto de la lectura que realizaron, por ejemfbe0 «9 ce i[ fk[Z[ Z[iYh_X_h bW jhWibWY_ d Z[ kdW \_]khW [d [b fbWde5 «9WcX_W bW \ehcW o jWcW e Z[ kdW \_]khW al trasladarla? Puede solicitar que le muestren ejemplos usando el libro de texto al momento de responder las fh[]kdjWi gk[ kij[Z fk[ZW fbWdj[Wh$ H[fWi[ Yed [b Ykhie bWi hejWY_ed[i Z[ \_]khWi [d [b fbWde" fk[i [d [ijW YbWi[ se utilizarán para desarrollar algunas de las actividades. Motive a sus estudiantes a explicar con sus propias palabras aspectos relevantes de la lectura que hicieron. Plantee contra preguntas que les permitan reflexionar acerca de las principales características de las transformaciones isométricas.

DESARROLLO / 55 minutos Invite a desarrollar la Actividad 1A, que propone una situación de contexto, donde Luisa tiene un trozo de papel con forma de paralelogramo y a partir de él quiere formar un rectángulo. Pida que lean la situación en parejas y que luego piensen en una estrategia que permita cortar el papel y hacer movimientos para formar el rectángulo. : kd j_[cfe fWhW gk[ f_[di[d [d bWi [ijhWj[]_Wi o bk[]e h[Ye`W iki h[ifk[ijWi [d Yed`kdje Yed [b Ykhie$ I_ X_[d pueden surgir algunas estrategias erróneas, recoja las respuestas sin hacer una evaluación explícita de ellas, pues en la parte B se trabajará una forma de hacer la transformación solicitada. La parte B presenta un paralelogramo como el inicial, pero esta vez dibujado sobre una cuadrícula. A partir de él, se pide que tracen líneas y movimientos en el plano que permitan hacer una transformación para formar el rectángulo; en este caso se espera que tracen una línea perpendicular a la base y trasladen el triángulo rectángulo que se forma de la siguiente manera:

Es importante que expliquen cómo formaron el rectángulo, señalando que se realizó una traslación del triángulo rectángulo que se forma al trazar la perpendicular entre el lado superior y el extremo de la base del paralelogramo. Posteriormente, se pide que calculen el área del rectángulo formado; para hacerlo se pueden apoyar en la cuadrícula, ya sea para contar la cantidad de cuadrados de 1 u2 de área que lo componen o estableciendo la longitud Z[ Zei bWZei Yedi[Ykj_lei o YWbYkbWdZe [b fheZkYje$ :[b c_ice ceZe i[ [if[hW gk[ YWbYkb[d [b f[h c[jhe kiWdZe procedimientos estudiados en clases anteriores. <_dWbc[dj[" [d bW WYj_l_ZWZ i[ fbWdj[Wd fh[]kdjWi h[bWY_edWZWi Yed bW lWh_WY_ d Z[b |h[W e f[h c[jhe Z[ fWhWb[begramo inicial, respecto del rectángulo obtenido una vez realizada la transformación. 18 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

:[ijWgk[ gk[ Wb Wfb_YWh bW jhWibWY_ d Z[b jh_|d]kbe \ehcWZe" [b |h[W Z[b h[Yj|d]kbe de lWh W h[if[Yje Z[b paralelogramo inicial, pero varía el perímetro. La Actividad 2 presenta cuatro cuadrículas donde se han dibujado figuras geométricas y se pide que apliquen una transformación de tal manera de obtener un rectángulo con igual área. Además, se solicita que expliquen las jhWdi\ehcWY_ed[i gk[ h[Wb_pWhed$ :[ [ijW \ehcW i[ [if[hW gk[ i[ Wb[d gk[0 - Figura 1: No es necesario hacer una transformación isométrica pues el cuadrado es un caso particular de rectángulo, sin embargo, se puede trazar una línea perpendicular desde el punto medio de un lado al opuesto y trasladar uno de los rectángulos que se forman. - Figura 2: Se puede reflejar el triángulo inferior en torno a la hipotenusa y luego trasladar hasta completar el rectángulo. - Figura 3: Se puede trasladar uno de los triángulos rectángulos, por ejemplo el de la derecha, tres unidades hacia arriba y cuatro hacia la izquierda y luego reflejar en torno al cateto de mayor longitud (el de 4 unidades) y formar el rectángulo. - Figura 4: Se puede trazar una línea perpendicular a la base del paralelogramo para formar un triángulo rectángulo que, posteriormente, se traslada hasta formar el rectángulo (esta figura es similar a la presentada en la Actividad 1). La Actividad 3 nuevamente propone figuras dibujadas sobre cuadriculas, y se solicita a los estudiantes formar otras figura que tengan la misma área que la figura inicial. Los movimientos que deben hacer son similares a los realizados anteriormente, por tanto, se espera que los estudiantes desarrollen esta actividad de forma individual, y que establezcan que: - Figura 1: se puede trazar una línea perpendicular a la base a partir de uno de los vértices de la base superior, luego reflejar el triángulo que se forma en torno al cateto de menor longitud y trasladar; entre otros movimientos. En este caso se forma un rectángulo. - Figura 2: se puede trazar una línea perpendicular desde el vértice del ángulo recto hasta el lado opuesto, se formar dos triángulo rectángulos. - Figura 3: se puede trazar una de las diagonales del rectángulo y se forman dos triángulos rectángulos. - Figura 4: se puede trasladar uno de los rectángulos, por ejemplo 5 lugares a la derecha o 5 lugares a la izquierda. Es importante que los estudiantes expliquen el procedimiento que utilizan para formar los rectángulos haciendo alusión a las transformaciones isométricas utilizadas. Pida que escriban estas explicaciones de manera que reflexionen sobre el procedimiento utilizado.

CIERRE / 15 minutos :[ijWgk[ Yed ik Ykhie gk[0 Las traslaciones, reflexiones o rotaciones de figuras en el plano son transformaciones que no hacen variar ni la forma ni el tamaño de las figuras geométricas. A partir de la aplicación de transformaciones en el plano se pueden mover figuras de tal manera de formar otras a partir de ellas. Al formar un rectángulo aplicando traslaciones, reflexiones o rotaciones en el plano, la figura que se obtiene tiene la misma área que la figura inicial, no así el perímetro, que puede variar.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Dibujar dos rectángulos en una cuadrícula y formar a partir de ellos un rectángulo cuya área sea la suma de las áreas de los rectángulos iniciales. En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 6

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 ;bWXehWh [ijhWj[]_Wi fWhW YWbYkbWh |h[Wi Z[ triángulos rectángulos y acutángulos.

INICIO / 15 minutos H[l_i[ bW jWh[W$ ?dl_j[ W bei [ijkZ_Wdj[i W ceijhWh iki fheZkYY_ed[i o [nfb_YWh W fWhj_h Z[ [bbWi Y ce h[Wb_pWhed bWi traslaciones. Utilice también esta instancia para destacar que al trazar una línea sobre una figura, si esta se divide [d Zei \_]khWi Yed]hk[dj[i" [b |h[W Z[ YWZW \_]khW h[ikbjWdj[ [i bW c_jWZ Z[b |h[W Z[ bW \_]khW _d_Y_Wb$ :[b c_ice modo, al unir dos figuras congruentes el área de la figura resultante es el doble del área de cada figura inicial. Motive a las y los estudiantes mostrar sus producciones y argumentar al resto del curso por qué creen que cumplen con las condiciones establecidas en la tarea. Es importante que al desarrollar los argumentos resguarde que utilicen nociones y conceptos matemáticos estudiados hasta el momento en este módulo.

DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 propone a los estudiantes una situación que les permitirá construir una estrategia para calcular el área de un triángulo rectángulo a partir del área de un rectángulo. Invite a desarrollar esta actividad en parejas y luego revise en conjunto. Se presenta una cuadrícula sobre la cual se ha dibujado un rectángulo, y se pide calcular el área del rectángulo. Para ello se espera que utilicen algunos de los procedimientos estudiados hasta el momento. Posteriormente, se les pide trazar una de las diagonales del rectángulo de manera que se formen dos triángulos rectángulos, y se les solicita calcular el área de uno de ellos (son congruentes). Esto último pueden hacerlo contando los cuadrados de área 1 cm2 que forman el triángulo, y van completando cuadrados a partir de los triángulos pequeños que se formaron. Este procedimiento es poco eficaz, sin embargo, es probable que algunos niños o niñas lo utilicen pues aún no se construye una estrategia para calcular el área de este tipo de triángulos. Otra forma en que los estudiantes pueden responder esta pregunta es dividiendo por 2 el área del rectángulo que ya conocen. Si bien esta última estrategia es más elaborada que la que describimos inicialmente, es probable que algunos estudiantes la utilicen, ya que en el momento de inicio se reflexionó acerca de esta idea. <_dWbc[dj[" i[ [if[hW gk[ Yec[dj[d bW \ehcW [d gk[ YWbYkbWhed [b |h[W Z[ YWZW jh_|d]kbe \ehcWZe$ H[Ye`W bWi estrategias y discuta con su curso una forma eficiente de calcular el área. Sistematice con ellos que: para calcular el área de un triángulo rectángulo se pueden basar en el área de un rectángulo, ya que siempre a partir de este tipo de triángulos se puede formar un rectángulo, donde el lado de mayor longitud corresponderá a la diagonal del rectángulo formado. Luego, como se forman dos triángulos congruentes, y por tanto tienen la misma área, el área Z[b jh_|d]kbe i[h| bW c_jWZ Z[b |h[W Z[b h[Yj|d]kbe$ 9edYbkoW Yed [b Ykhie gk[ [b |h[W Z[ kd jh_|d]kbe h[Yj|d]kbe es igual al producto entre las longitudes de los lados que forman el ángulo recto. La Actividad 2 presenta tres triángulos rectángulos sobre una cuadrícula y se pide calcular el área de dichos triángulos. Para ello se espera que formen un rectángulo y a partir de este calculen el área del triángulo. Es _cfehjWdj[ c[dY_edWh gk[ [b jh_|d]kbe 9 [ij| fh[i[djWZe [d kdW fei_Y_ d ZedZ[ de [i jh_l_Wb Yecfb[jWh [b rectángulo, es por ello que más abajo, en la misma actividad, se muestra un procedimiento para hacerlo: 20 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

b a

Se traza una línea paralela a la base del triángulo, luego se trazan perpendiculares a la base que pasen por sus vértices.

La Actividad 3 propone una tarea distinta, ya que se espera que construyan una estrategia que les permita calcular el área de un triángulo acutángulo, basándose en el área de un triángulo rectángulo. Nuevamente se presenta una cuadrícula sobre la cual se ha dibujado un triángulo acutángulo, y apoyados en ella se espera que niños y niñas tracen una línea perpendicular a la base del triángulo formando así dos triángulos rectángulos, para posteriormente calcular el área de cada uno de ellos. En términos generales se espera que los estudiantes reflexionen que el |h[W Z[b jh_|d]kbe Z[ bW _pgk_[hZW [i W ^ 0 (" c_[djhWi gk[ [b |h[W Z[b jh_|d]kbe Z[ bW Z[h[Y^W [i X ^ 0 ($ Bk[]e" Yece bW XWi[ Z[b jh_|d]kbe WYkj|d]kbe [i W ! X" XWijW YWbYkbWh W ! X ^ 0 ( fWhW [dYedjhWh [b área.

h a

Esta última idea es abstracta para estudiantes de 5° básico, por tanto se recomienda usar el triángulo propuesto sobre la cuadrícula para explicar la forma de construir esta estrategia con un ejemplo en concreto. La Actividad 3 propone dos ejercicios en que se debe calcular el área de triángulos rectángulos y acutángulos. En el primero de ellos los triángulos aparecen dados sobre una cuadrícula de tal forma de facilitar el cálculo que deben realizar los estudiantes. En el segundo, aparecen presentados sin el apoyo de la cuadrícula de modo que apliquen directamente las estrategias construidas en esta clase. Para construir las estrategias que les permitan a niños y niñas calcular el área de triángulos rectángulos y posteriormente de triángulos acutángulos, se espera que utilicen los conocimientos y habilidades adquiridas hasta el momento en el módulo. Cabe destacar que el uso de cuadrículas y representaciones permitirá comprender de mejor formar como a partir de áreas conocidas pueden obtener el área de otras figuras como es el caso de triángulos rectángulos y acutángulos.

CIERRE / 15 minutos :[ijWgk[ Yed ik Ykhie gk[0 Para calcular el área de un triángulo rectángulo se calcula el producto de la longitud de los lados que forman el ángulo recto. Para calcular el área de un triángulo acutángulo se calcula el producto entre la longitud de la base y la línea perpendicular trazada desde el vértice opuesto a la base y la base.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Averiguar las principales características de un triángulo obtusángulo. En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 7

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 ;bWXehWh [ijhWj[]_Wi fWhW YWbYkbWh |h[Wi de triángulos obtusángulos a partir de paralelogramos.

INICIO / 15 minutos H[l_i[ bW jWh[W$ ?dl_j[ W kde e c|i [ijkZ_Wdj[i W [nfb_YWh Wb Ykhie bWi YWhWYj[h ij_YWi Z[ bei jh_|d]kbei eXjki|d]kbei que encontraron en la revisión que hicieron. Haga preguntas que permitan profundizar en las principales caracj[h ij_YWi Z[ [ijei jh_|d]kbei" jWb[i Yece0 «9 ce ied bWi c[Z_ZWi Z[ iki bWZei5 «9 ce ied bWi c[Z_ZWi Z[ iki ángulos? Sistematice que los triángulos obtusángulos son aquellos en que uno de sus ángulos mide más de 90°. Se sugiere caracterizar este tipo de triángulos contrastando sus características con los triángulos acutángulos y rectángulos estudiados en la clase anterior, porque en general, cuando se estudian los triángulos aparecen como ejemplos triángulos acutángulos o rectángulos y en pocas ocasiones, se muestran ejemplos de triángulos obtusángulos. Por tanto es importante destacar las características de estos. Es importante que las y los estudiantes señalen con sus propias palabras las características de los triángulos obtusángulos. Pueden apoyarse dibujando algunos triángulos en la pizarra y a partir de ellos pedir que expliquen las características de este tipo de triángulos.

DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 tiene el propósito de que construyan una estrategia que les permita calcular el área de un paralelogramo, y para ello se utilizarán traslaciones en el plano, con apoyo de conocimientos trabajados en clases anteriores. Se presenta un paralelogramo sobre una cuadrícula y se pide desarrollar una serie de pasos que les permitirán formar un rectángulo con igual área al paralelogramo inicial. Invite a desarrollar esta actividad en parejas y luego revise en conjunto con todo el curso. La primera parte solicita que tracen un segmento entre dos puntos señalados en la figura, de tal manera de formar un triángulo rectángulo, pues dicho segmento corresponde a la altura del paralelogramo. Luego, se espera que trasladen el triángulo que se forma al trazar una altura del paralelogramo y formen un rectángulo, como se observa en la figura. Posteriormente, deben calcular el área del rectángulo formado y a partir de esa información y deducir el área del paralelogramo. Así, el rectángulo que se forma es el siguiente:

22 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

Es importante que los estudiantes describan la estrategia que establecieron para determinar el área del paralelogramo. Se espera que señalen que como realizaron una traslación del triángulo formado por el segmento dibujado, [b |h[W Z[b h[Yj|d]kbe [i _]kWb Wb |h[W Z[b fWhWb[be]hWce$ :[ijWgk[ gk[ [b |h[W Z[ kd fWhWb[be]hWce [i _]kWb Wb fheducto entre la medida de la base por la medida de la altura. La altura es el segmento que une dos lados paralelos, dicho segmento es perpendicular a los lados. La Actividad 2 presenta cuatro paralelogramos a partir de los cuales deben calcular su área. En este caso, a diferencia de clases anteriores, se espera que sus estudiantes apliquen directamente la fórmula establecida en la primera actividad, dado que los paralelogramos no se presentan sobre una cuadrícula, por lo que un procedimiento como completar un rectángulo es poco eficaz. La Actividad 3 tiene el propósito de construir con niños y niñas una estrategia que les permita calcular el área de un triángulo obtusángulo. Para ello, se presenta un triángulo obtusángulo sobre una cuadrícula y nuevamente se pide a niños y niñas que sigan una serie de pasos para formar un paralelogramo. Invite a desarrollar esta actividad en parejas y luego revisen en conjunto. ?d_Y_Wbc[dj[ bei [ijkZ_Wdj[i Z[X[d jhWpWh Zei i[]c[djei" kde fWhWb[be Wb bWZe 79 Z[b jh_|d]kbe o ejhe fWhWb[be Wb bWZe 78" Z[ cWd[hW gk[ i[ \ehc[ kd fWhWb[be]hWce$ 9WX[ Z[ijWYWh gk[ [b bWZe Z[ cWoeh bed]_jkZ Z[b jh_|d]kbe corresponderá a la diagonal del paralelogramo que formarán. Es importante destacar que el paralelogramo que formaron está compuesto por el triángulo inicial y otro congruente a este. Luego se pide calcular el área del paralelogramo y se espera que los estudiantes tracen la altura y calculen el área multiplicando la medida de la WbjkhW feh bW c[Z_ZW Z[ bW XWi[$ <_dWbc[dj[" i[ [if[hW gk[ [ijWXb[pYWd kdW [ijhWj[]_W gk[ b[i f[hc_jW [dYedjhWh el área del triángulo inicial a partir del área del paralelogramo. Para poder elaborar la estrategia se espera que recuerden los conocimientos abordados en clases anteriores y los apliquen a la actividad realizada: como conocen el área del paralelogramo y saben que está formado por dos triángulos obtusángulos congruentes, se espera que señalen que el área del triángulo es igual a la mitad del área del paralelogramo. Sistematice con el curso que como la base y altura del triángulo obtusángulo coincide con la base y altura del paralelogramo, el área del triangulo (al igual que los triángulos estudiados en la clase anterior) es igual a la mitad del producto entre las longitudes de la base y altura del triángulo. Invite a desarrollar la Actividad 4 en que se proponen cuatro triángulos obtusángulos a los cuales deben calcular el área. (Pida que desarrollen solo la parte A) Para construir una estrategia que les permita calcular el área de triángulos obtusángulos, motívelos a utilizar los conocimientos y habilidades adquiridas hasta el momento en el estudiantes argumenten sus respuestas haciendo alusión a los conocimientos matemáticos estudiados hasta el momento.

CIERRE / 15 minutos :[ijWgk[ Yed ik Ykhie gk[0 Para calcular el área de un paralelogramo se calcula el producto de la medida de la base por la medida de la altura. Para calcular el área de un triángulo obtusángulo se calcula el producto entre la medida de la base por la medida de la altura. La altura, en este caso, es la línea perpendicular trazada desde el vértice opuesto a la prolongación de la base.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Desarrollar la parte B de la Actividad 4. En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 8

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 H[iebl[h fheXb[cWi h[bWY_edWZei Yed [b Y|bYkbe de áreas, evaluar soluciones y estimar áreas de figuras.

INICIO / 15 minutos H[l_i[ bW jWh[W$ ?dl_j[ W kde e c|i [ijkZ_Wdj[i W ceijhWh Y ce Z[j[hc_dWhed [b |h[W Z[ bei jh_|d]kbei eXjki|d]kbei$ 9edjhWij[ bWi Z_ij_djWi h[ifk[ijWi gk[ fk[Z[d ^WX[h ikh]_Ze [d [b Ykhie o cej_l[ W [nfb_YWh bei fheY[Z_c_[djei que usaron para calcular las áreas. 9WX[ c[dY_edWh gk[ i_ X_[d [d bei jh_|d]kbei Z_Xk`WZei WfWh[Y[ [d \ehcW [nfb Y_jW bWi bed]_jkZ[i Z[ bW XWi[ o WbjkhW de los triángulos, una dificultad que pueden haber presentado es determinar cuál es el segmento correspondiente a la altura de estos triángulos. En este contexto se sugiere dibujar un triángulo obtusángulo en la pizarra y generar un ambiente de reflexión en torno a este aspecto para que sean los mismos estudiantes quienes concluyan que una altura en los triángulos obtusángulos queda determinada fuera de la región triangular. Motive a explicar los procedimientos que usaron para encontrar el área de los triángulos obtusángulos. Se sugiere repasar la forma de calcular el área de otras figuras estudiadas hasta el momento en el módulo, pues en esta clase aplicarán dichos conocimientos en la resolución de problemas.

DESARROLLO / 55 minutos Invite a desarrollar la Actividad 1, que propone un problema relacionado con el cálculo de área de rectángulos que deben resolver usando una estrategia de resolución de problemas basada en cuatro pasos: entender, planificar, hacer y comprobar. Se sugiere que trabajen en parejas. ;b fheXb[cW i[ WbW gk[ 9Wheb_dW kd_ jh[i cWhYei h[YjWd]kbWh[i Z[ \ejei$ 7Z[c|i" i[ ZWd bWi Z_c[di_ed[i Z[ cada marco, estableciendo relaciones entre una medida y otra: las dimensiones del primero son 20 centímetros de ancho por 30 centímetros de largo. El segundo tiene el mismo largo que el primero, pero aumenta su ancho en 10 centímetros. El tercero mantiene el mismo largo, pero aumenta el ancho 10 centímetros en relación al segundo. Es importante mencionar que esta forma de presentar los datos hará que los estudiantes se apoyen en la figura que representa la forma en que se unieron los marcos, aspecto que será relevante para orientarlos a usar diagramas que apoyen su razonamiento en otros problemas similares. :[ [ijW \ehcW" i[ [if[hW gk[ Yecfb[j[d [b Z_W]hWcW Yed bWi c[Z_ZWi ZWZWi Wdj[h_ehc[dj[" o bk[]e i_]Wd bei fWiei establecidos para resolver el problema en la misma actividad. Las características de cada uno de estos pasos son las siguientes: Paso 1 Entender: Se espera que en esta etapa de la resolución lean detalladamente el enunciado del problema e identifiquen la pregunta y los datos. Se sugiere que escriban los datos y la pregunta. Paso 2 Planificar: Es una etapa en que piensan en la forma en que podrían encontrar la solución, lo que incluye j[d[h kd fbWd Yed bWi ef[hWY_ed[i gk[ feZh Wd h[Wb_pWh fWhW bb[]Wh W bW h[ifk[ijW$ 9WX[ Z[ijWYWh gk[ [i [d [ijW 24 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

etapa donde se sugiere que los estudiantes dibujen un diagrama para representar la situación y así apoyar su razonamiento al momento de pensar en una estrategia para resolver el problema. Paso 3 Hacer: En esta etapa de la resolución de problemas se espera que apliquen la estrategia pensada en el paso anterior y encuentren la solución. Paso 4 Comprobar: Es la última etapa de la estrategia de resolución de problemas sugerida en la actividad y en ella se espera que respondan la pregunta y evalúen su respuesta en relación al contexto y datos del problema. La Actividad 2 plantea tres problemas que para resolverlos se requiere poner en juego conocimientos matemáticos relacionados con el área de rectángulos. Invite a desarrollar esta actividad en forma individual; de esta forma podrá observar quiénes tienen mayores dificultades para aplicar los aprendizajes estudiados en el módulo y así podrá apoyarlos. Una forma de apoyo es el uso de diagramas o dibujos para representar la situación descrita en cada enunciado. La Actividad 3 tiene el propósito de construir con niños y niñas una estrategia que les permita estimar el área de una figura en el contexto de un problema. Además, con esta actividad se espera que evalúen respuestas dadas feh ejhei$ Fhefed[ kd fheXb[cW o bk[]e ck[ijhW bW \ehcW [d gk[ be h[iebl_[hed CWh_e o 9WhbW" i_[dZe iebe 9WhbW gk_[d be h[ik[bl[ Yehh[YjWc[dj[$ 9WX[ Z[ijWYWh gk[ [d bW WYj_l_ZWZ i[ ck[ijhW gk[ WcXei [ijkZ_Wdj[i ^_Y_[hed un diagrama al resolver el problema, pero Mario no lo hace en forma correcta, lo que trae ciertas consecuencias al momento de responder la pregunta. Es probable que este error lo presenten también algunos alumnos o alumnas de su curso, por tanto es importante revisar con ellos esta parte de la actividad y reflexionar al respecto. Motive a reflexionar sobre la estrategia de resolución de problemas estudiada en la clase y como puede ayudar a evitar errores. Resguarde que al momento de participar y presentar las respuestas que encontraron, expliquen y argumenten sus respuestas.

CIERRE / 15 minutos :[ijWgk[ Yed ik Ykhie gk[0 En muchas situaciones de la vida cotidiana se requiere calcular áreas o perímetros. Es importante que al resolver un problema se considere un proceso de comprensión del problema, de búsqueda de estrategias de solución, siguiendo los pasos: entender, planificar, hacer, comprobar.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Inventar un problema que su solución requiera del cálculo del área o perímetro de un rectángulo. En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 9

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 H[iebl[h fheXb[cWi h[bWY_edWZei Yed [b Y|bYkbe de áreas.

INICIO / 15 minutos H[l_i[ bW jWh[W$ I[ ik]_[h[ ^WY[h kdW WYj_l_ZWZ [d fWh[`Wi Z[ cWd[hW gk[ d_ ei o d_ Wi i[ _dj[hYWcX_[d bei fheXb[cWi gk[ ^Wd _dl[djWZe$ :[ [ijW \ehcW" i[h| [b c_ice YecfW [he e YecfW [hW gk_[d [lWbkWh| i_ [b fheXb[cW está bien planteado. Al momento de revisar los problemas propuestos por los estudiantes, motívelos a que le expliquen cómo pensaron la situación y qué resguardos tomaron para establecer los datos y pregunta en el enunciado. Luego pregunte si el compañero o compañera pudo resolverlo correctamente para que sean los mismos niños o niñas quienes evalúen la respuesta de sus pares.

DESARROLLO / 55 minutos Invite a desarrollar la Actividad 1, que propone tres problemas relacionados con el cálculo de área de figuras que niños y niñas deben resolver usando la estrategia de resolución de problemas estudiada la clase anterior y que se basa en cuatro pasos: entender, planificar, hacer y comprobar. Se sugiere que esta actividad sea desarrollada individualmente como preparación para la prueba de la siguiente clase y luego se revisen las respuestas en conjunto con todo el curso. El problema 1 presenta una situación en que además de calcular el área de dos rectángulos (correspondiente a superficies de dormitorios) para encontrar su solución, se requiere que los estudiantes calculen el producto entre estas medidas y el precio del m2 de alfombra. Lo anterior hace que este problema tenga un grado de dificultad mayor que otros estudiados hasta el momento en el módulo. Por otra parte, una de las medidas que aparece en el enunciado del problema está expresada en números decimales, por tanto para calcular el área de uno de los rectángulos (superficie de un dormitorio), se debe multiplicar 4 Ð 2,5. Niños y niñas pueden basarse en una suma iterada, sin perder de vista que la unidad de medida resultante es 10 m2. El problema 2 plantea una situación en que se requiere forrar un cubo de madera con tela, explicitándose la medida de la arista y señalando además que la cara inferior del cubo no será forrada. Este problema, a diferencia de otros estudiados en el módulo requiere que recuerden las características de un cubo para dibujar un diagrama que les permita representar la situación. Un posible error es que calculen el área de una de las caras y entreguen dicho lWbeh Yece h[ifk[ijW" i_d Yedi_Z[hWh gk[ Z[X[d ckbj_fb_YWhbe feh +$ JWcX_ d" [i fei_Xb[ gk[ Wb]kdei ckbj_fb_gk[d dicho valor por 6 sin considerar que la base del cubo no se forrará. El problema 3 propone una situación en que María quiere pintar una pared de su jardín, y para ello cuenta con un tarro de pintura que rinde 15 metros cuadrado. El enunciado del problema presenta además las dimensiones de la pared y se pregunta si le alcanza el tarro de pintura para pintarla. Se espera que calculen el área de la pared y luego YecfWh[d [ij[ h[ikbjWZe Yed [b h[dZ_c_[dje i[ WbWZe [d [b jWhhe Z[ f_djkhW$ 9WX[ Z[ijWYWh gk[ dk[lWc[dj[ [d 26 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

este problema uno de los datos está expresado con números decimales, esto es 2,2 metros. Sin embargo, la otra medida es 5, por tanto el cálculo es entre un número natural y uno decimal, cuyo producto es un número entero. La Actividad 2 presenta una tarea distinta a la anterior, ya que se da una figura compuesta y se pide a los estudiantes _dl[djWh kd fheXb[cW Z[ Y|bYkbe Z[ |h[W h[bWY_edWZe Yed Z_Y^W \_]khW$ 9WX[ Z[ijWYWh gk[ bW \_]khW Yecfk[ijW [i un rectángulo y un triángulo rectángulo que están yuxtapuestos, por tanto, al resolver el problema que planteen los estudiantes deberán realizar el cálculo de área de estas dos figuras. Explique la actividad y pida que inventen un problema relacionado con el dibujo. Una vez que la mayoría haya Yh[WZe [b fheXb[cW" _dj[hYWcX_[ [djh[ fWh[`Wi bei [dkdY_WZei Z[ bei fheXb[cWi o f_ZW gk[ bei h[ik[blWd$ :[ [ijW manera serán los mismos compañeros o compañeras quienes revisen las producciones de otros niños o niñas. Argumentar y comunicar el pensamiento matemático es una habilidad matemática que niños y niñas deben ir desarrollando paulatinamente a lo largo de enseñanza básica. La última actividad de este momento propone que sean los mismos estudiantes quienes formulen un problema relacionado con el cálculo de áreas. Aproveche esta instancia para que niños y niñas comuniquen al curso sus producciones, y también es una buena oportunidad para repasar aspectos claves de la comunicación de ideas, redacción y ortografía.

CIERRE / 15 minutos :[ijWgk[ Yed ik Ykhie gk[0 En muchas situaciones de la vida cotidiana se requiere calcular áreas o perímetros de formas. Es importante que al resolver un problema se considere un proceso de comprensión del problema, de búsqueda de estrategias de solución, siguiendo los pasos: de entender, planificar, hacer, comprobar.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Inventar un problema que requiera el cálculo del área de un triángulo acutángulo para resolverse. En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 10

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 H[Wb_pWh bW fhk[XW Z[b C Zkbe$

INICIO / 15 minutos En esta clase se llevará a cabo la prueba del módulo. Invite a los estudiantes a desarrollar la prueba explicando que, a través de ella, se evaluará lo que han aprendido. Anime a niños y niñas a trabajar con confianza en sí mismos y a realizar su mejor esfuerzo para responder cada una de las preguntas. H[i]kWhZ[ gk[ jeZei i[ [dYk[djh[d Yed iki cWj[h_Wb[i b|f_p Z[ c_dW" ]ecW o i[djWZei [d \ehcW _dZ_l_ZkWb Wdj[i de entregar la prueba. Genere un clima sereno y tranquilo que permita a los estudiantes responder en forma ordenada las preguntas de la prueba.

DESARROLLO / 55 minutos :_ijh_XkoW bW fhk[XW" f_ZW W bei [ijkZ_Wdj[i gk[ de Yec_[dY[d ^WijW gk[ jeZei bW ^WoWd h[Y_X_Ze$ En seguida, pida que escriban su nombre y la fecha. Explique brevemente que deben anotar (y no borrar) todos los cálculos y trazas que hagan para resolver cada pregunta (esta información es relevante para un análisis posterior de cada respuesta). :khWdj[ bW h[Wb_pWY_ d Z[ bW fhk[XW" Wj_[dZW bWi YedikbjWi gk[ bei [ijkZ_Wdj[i b[ ^WY[d o Wo Z[bei W h[iebl[h [b obstáculo que tienen, sin darles la respuesta ni indicaciones específicas. H[]_ijh[ bWi YedikbjWi Z[ bei o bWi [ijkZ_Wdj[i" ieXh[ jeZe bWi c|i h[Ykhh[dj[i$ FWhW gk_[d[i j[hc_dWd fh_c[he" fhef d]Wb[i gk[ h[Wb_Y[d bWi WYj_l_ZWZ[i b Z_YWi Z[b 9kWZ[hde$ Anote también las estrategias no habituales que puede observar en los estudiantes al responder alguna de las preguntas de la prueba. 9ed h[if[Yje W bWi 7Yj_l_ZWZ[i feij[h_eh[i W bW fhk[XW" ied WYj_l_ZWZ[i b Z_YWi" gk[ Z[iW\ Wd W bei [ijkZ_Wdj[i W elaborar un razonamiento matemático para poder resolverlas. La evaluación que los estudiantes responderán consta de 15 preguntas de selección múltiple, cada una con cuatro Wbj[hdWj_lWi Z[ h[ifk[ijW$ 9edi_Z[h[ bWi i_]k_[dj[i eXi[hlWY_ed[i Wb cec[dje Z[ Z[iWhhebbWh bW fhk[XW$ Es importante que mientras se realiza la prueba, haya silencio y se eviten interrupciones que distraigan la atención de los niños y niñas. Esté atento a posibles dificultades que los estudiantes presenten observando permanentemente el trabajo que están realizando, para tomar las medidas a tiempo, evitando tensiones. El registro que usted haga de las consultas que hacen los estudiantes le permitirá entablar una conversación en donde se aclaren y profundicen ideas y conceptos que aún no se han consolidado. 28 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

Los indicadores de evaluación que corresponden a los ítems de la prueba son: 9WbYkbWd [b f[h c[jhe Z[ kd h[Yj|d]kbe$ :[j[hc_dWd fWh[`Wi Z[ h[Yj|d]kbei gk[ j_[d[d _]kWb f[h c[jhe$ 9WbYkbWd [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe fh[i[djWZe ieXh[ kdW YkWZh YkbW$ :[j[hc_dWd fWh[`Wi Z[ h[Yj|d]kbei gk[ j_[d[d bW c_icW |h[W$ :[j[hc_dWd [b h[Yj|d]kbe gk[ j_[d[ bW c_icW |h[W gk[ ejhe ZWZe$ Identifican la reflexión o traslación de una figura en el plano que permite formar un cuadrado con otra figura dada. Identifican la traslación de una figura en el plano que permite formar un rectángulo con igual área. :[j[hc_dWd [djh[ kd h[Yj|d]kbe o kd YkWZhWZe Z[ _]kWb f[h c[jhe YkWb j_[d[ cWoeh |h[W$ Estiman el área de un rectángulo dado en un contexto problemático. 9WbYkbWd [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe$ 9WbYkbWd [b |h[W Z[ kd jh_|d]kbe WYkj|d]kbe fh[i[djWZe ieXh[ kdW YkWZh YkbW$ H[ik[bl[d fheXb[cWi gk[ _dlebkYhWd [b Y|bYkbe Z[ |h[W Z[ h[Yj|d]kbei$ 9WbYkbWd [b |h[W Z[ kd jh_|d]kbe eXjki|d]kbe fh[i[djWZe ieXh[ kdW YkWZh YkbW$ 9WbYkbWd [b |h[W Z[ kd jh_|d]kbe h[Yj|d]kbe$ H[ik[bl[d fheXb[cWi gk[ _dlebkYhWd [b Y|bYkbe Z[ |h[W Z[ h[Yj|d]kbei$ Acoja las consultas de los estudiantes con respecto a las actividades propuestas. No les dé la respuesta, sino que ayúdelos a encontrarlas por sí mismos.

CIERRE / 15 minutos Una vez transcurrido el tiempo previsto para la prueba, recoja las que aún no le han sido entregadas y establezca un diálogo con los estudiantes respecto del proceso vivido. Invite a que expresen sus impresiones en relación con el grado de dificultad de las distintas preguntas. ;iYkY^[ W iki [ijkZ_Wdj[i$ Jec[ dejW Z[ bei [hheh[i gk[ f[hY_XW" W gk eX`[j_lei WfkdjWd" ik \h[Yk[dY_W" [jY$ 9edduzca el diálogo de manera que se expresen con confianza, con argumentos y sin descalificaciones.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Hacer un resumen con las fórmulas de cálculo de áreas de paralelogramos y triángulos estudiadas en el módulo. En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 11

EX`[j_le Z[ bW YbWi[0 H[l_iWh bW fhk[XW Z[b C Zkbe$

INICIO / 15 minutos H[l_i[ bW jWh[W$ BW h[l_i_ d Z[ bWi \ hckbWi Z[ Y|bYkbe Z[ |h[Wi o [b h[fWie Z[ bei eX`[j_lei jhWjWZei [d [b c Zkbe b[i i[h| Z[ kj_b_ZWZ fWhW h[ifedZ[h bWi fh[]kdjWi fhefk[ijWi fWhW [ijW YbWi[$ H[l_i[ bWi Z_\_YkbjWZ[i" fh[]kdjWi" [itrategias observados durante la prueba e incorpore otras recordando las principales ideas matemáticas estudiadas en este módulo. Utilice la tarea para retomar el repaso de nociones de área y perímetro de figuras. Observe si son capaces definir con sus propias palabras estos conceptos y si recuerdan cómo calcular área o perímetro de algunas figuras conocidas. En caso que detecte errores en las respuestas, apoye a los estudiantes al momento de resolver los ítems de la prueba que tienen relación con este contenido.

DESARROLLO / 55 minutos Para este momento de la clase se han seleccionado algunas preguntas de la prueba que pueden haber presentado cWoeh[i Z_\_YkbjWZ[i$ ;ijWi fh[]kdjWi i[ ^Wd _dYbk_Ze [d [b 9kWZ[hde Z[ jhWXW`e Z[ bei [ijkZ_Wdj[i fh[iY_dZ_[dZe de las alternativas de respuesta. Invítelos a desarrollar cada pregunta en parejas. Es probable que el análisis que usted haga de las respuestas que sus alumnos entregaron en la prueba marque diferencias con la revisión que se hace a continuación. Conforme a la realidad de su curso, elija situaciones problemáticas iguales o similares a las preguntas con mayores dificultades, que le permitan emplear la evaluación como una herramienta de aprendizaje. : kd j_[cfe hWpedWXb[ fWhW gk[ WdWb_Y[d bWi fh[]kdjWi" o bWi h[ifedZWd [d Yed`kdje Yed ik YecfW [he e Yecpañera. Es importante resguardar que expliquen los procedimientos que utilizan y argumenten sus respuestas, ya que así podrán profundizar los conocimientos adquiridos durante el módulo y corregir sus errores. Pregunta 2: Se muestran cuatro rectángulos con sus respectivas medidas y se pide que determinen el par de rectángulos que tienen el mismo perímetro. Un posible error es marcar una alternativa guiándose por la forma de las figuras, por ejemplo, marcar la alternativa B. ya que los rectángulos tienen una forma parecida, pues en ambos uno de sus lados mide 1 cm. Pregunta 5: Se presenta un rectángulo al que se debe calcular el área y luego se pide que identifiquen entre otros YkWjhe h[Yj|d]kbei Wgk[b gk[ j_[d[ bW c_icW |h[W Z[b fh_c[h h[Yj|d]kbe$ 9WX[ Z[ijWYWh gk[ i_ bei [ijkZ_Wdj[i no manejan la forma de calcular el área de un rectángulo o no comprenden este concepto, nuevamente podrían seleccionar la respuesta basándose en la forma de los rectángulos, y en dicho caso la alternativa correcta no tiene una forma similar al rectángulo dado inicialmente, por tanto, les podría causar dificultades elegirla. 30 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

Pregunta 3, ítem 9: presenta el siguiente problema: Los estudiantes de un curso quieren pintar una pared de la sala de clases. Ellos estiman que el largo de la pared es 5 metros y el alto 3 metros. Un tarro de pintura rinde 16 metros cuadrados. Estima la cantidad de tarros que ocuparán al pintar la pared dos veces. 9WX[ Z[ijWYWh gk[ [ij[ fheXb[cW no requiere que los estudiantes realicen el cálculo exacto, sino que, les pide realizar una estimación a partir del área de un rectángulo. Observe si niños y niñas tienen herramientas para realizar la estimación, y si resuelven el problema usando una estrategia como la estudiada en el módulo. Pregunta 7: En esta pregunta se evalúa el uso de transformaciones isométricas para formar figuras con un área conocida. La transformación que señala el enunciado de la pregunta es que deben utilizar una traslación, por tanto es probable que algunos estudiantes tengan dificultades con el uso de este movimiento en el plano y su conexión con el estudio de áreas. Pregunta 12: Se presenta el siguiente problema: Una inmobiliaria vende un terreno rectangular que mide 12 metros de largo por 20 metros de ancho. Un metro cuadrado del terreno tiene un valor de 3 UF (Unidades de Fomento). ¿Cuántas UF debe pagar la persona que quiera comprar el terreno? Para resolver el problema además de calcular el área de un rectángulo deben calcular el producto entre la medida de la superficie y el costo de 1 m2 de terreno. Este aspecto hace que el problema tenga un grado de dificultad mayor que otros ítems. Observe si los estudiantes son capaces de resolverlo correctamente, en caso que tengan dificultades apóyelos usando una representación de la situación y recordando la estrategia de resolución de problemas estudiada en el Módulo. Pregunta 13: Se presenta un triángulo obtusángulo sobre una cuadrícula y se pide calcular el área de dicho triángulo. La mayor dificultad que los estudiantes podrían presentar es al momento de identificar la altura del triángulo, ya que las medidas de la altura y base no están dadas. Sin embargo, cabe destacar que como el triángulo está dibujado sobre una cuadrícula, algunos niños o niñas podrían usar procedimientos menos eficaces como: contar cuadrados de área 1 u2, o completar el triángulo hasta formar un paralelogramo. Oriéntelos para que calculen el área usando la fórmula construida en este módulo. Resguarde que niños y niñas argumenten sus respuestas en conjunto con su compañera o compañero. La comunicación y argumentación del pensamiento matemático es una habilidad que deben ir desarrollando paulatinamente a lo largo de su escolaridad.

CIERRE / 15 minutos Genere un momento de reflexión que permita a niños y niñas evaluar su propio desempeño durante el transcurso del módulo. Invítelos a reflexionar sobre aquellos contenidos que les presentaron mayor dificultad y sobre la forma en que superaron sus errores.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Compartir con la familia los resultados de la prueba y los conocimientos aprendidos en el Módulo. En la siguiente clase revise la tarea con los estudiantes.

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO

ORIENTACIONES PARA EL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE EVALUACIÓN El módulo abordó el estudio del eje Geometría, en particular, el estudio del área y perímetro de figuras planas. En las primeras clases del módulo se retomaron las nociones de área y perímetro de figuras planas, con el propósito de que las y los estudiantes pudieran desarrollar la tarea de producir rectángulos de igual área o perímetro. Este tipo de tarea, además de contribuir a una comprensión más profunda de estas nociones, permite que niños y niñas desarrollen habilidades matemáticas como representar, argumentar y comunicar. Posteriormente, se plantean tareas en que deben producir rectángulos conocida su área, incluyendo la elaboración de algunas conjeturas que relacionan el área y perímetro de un rectángulo. En una segunda etapa, se presentan tareas relacionadas con el cálculo de áreas de triángulos, trapecios y paralelogramos. Para ello se usan distintos apoyos, como cuadrículas, fórmulas de área conocidas como la del rectángulo y transformaciones isométricas. El módulo abordó la resolución de problemas que requieren del cálculo de áreas de figuras para encontrar su solución. En conjunto con la tarea de resolver problemas, se trabajó la tarea de estimar el área de figuras, con el propósito de anticipar la respuesta, evaluar una respuesta dada o encontrar un resultado pertinente a una situación problemática cuando no se requiere conocer el área exacta de una superficie. La evaluación del módulo incorpora ítems que permiten evaluar los aprendizajes relacionados con las tareas matemáticas estudiadas, considerando también distintas habilidades matemáticas. Para tener información que le permita saber qué aspectos de los contenidos abordados en el módulo no están alcanzando sus estudiantes, se propone un Wd|b_i_i Z[ bWi fei_Xb[i h[ifk[ijWi [d bW fhk[XW$ :[ [ijW \ehcW" feZh| jecWh acciones remediales con el propósito de consolidar los aprendizajes de su curso. Es importante mencionar que los conocimientos abordados en el módulo son relevantes para continuar el estudio de este eje en cursos superiores, incluso, 32 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

MÓDULO Nº 2: PERÍMETRO Y ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

es importante una comprensión profunda de ellos para resolver situaciones de la vida cotidiana a la que niños y niñas se verán enfrentados. <_dWbc[dj[" i[ h[Yec_[dZW de iebe ^WY[h [b Wd|b_i_i Z[ bW [lWbkWY_ d Yedi_Z[hWdZe porcentajes de respuestas correctas o incorrectas, sino también considerar en las respuestas incorrectas aquellos distractores que fueron elegidos por la mayor cantidad de estudiantes. El análisis de los distractores que han escogido permite identificar los errores que están presentando y tener una aproximación al conocimiento matemático que no han comprendido en forma efectiva. A continuación se presenta una selección de tres ítems y se modela una forma de hacer este análisis.

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO Información Indicador de evaluación del curso % L % NL

Ítem

Ítem 5: Observa el rectángulo. 6 cm A

:[j[hc_dWd [b h[Yj|d]kbe que tiene la misma área que otro dado.

La noción de área, en particular el área de un rectángulo, es un conocimiento matemático que puede traer dificultades a los estudiantes. Si bien el uso de fórmulas mecaniza el proceso y de cierto modo lo facilita, comprender el significado del área de una figura no es trivial. Es posible que algunos niños o niñas no comprendan la forma de calcular el área de un rectángulo y respondan intuitivamente basándose en la forma de las figuras. Así, en ítems como este, la alternativa A puede ser un distractor para los estudiantes, por tener kdW \ehcW i_c_bWh W bW ZWZW$ :[ cWd[hW YedjhWh_W" bW Wbj[hdWj_lW Yehh[YjW 9 " fk[Z[ gk[ no sea seleccionada, pues la forma de este rectángulo es distinta al dado inicialmente. Se recomienda consultar a los estudiantes por sus elecciones solicitando que expliquen su h[ifk[ijW$ :[ [ijW \ehcW feZh| j[d[h _d\ehmación sobre las dificultades que presenta para ellos el cálculo de áreas de rectángulos.

Identifican la traslación de una figura en el plano que permite formar un rectángulo con igual área.

Este ítem tiene un grado de complejidad mayor que otros incluidos en la prueba, pues requiere no solo conocer y comprender el área de un rectángulo, sino que también aplicar sus conocimientos relacionados con la traslación de figuras. Es posible que marquen erróneamente la alternativa A como respuesta, pues el triángulo A efectivamente completa el trapecio y forma un rectángulo con el área solicitada. Sin embargo, se requiere más que una traslación para formar dicho rectángulo.

3 cm

El rectángulo que tiene la misma área que el rectángulo anterior, es: 4 cm a) 5 cm

8 cm 1 cm

b) 9 cm c)

Orientaciones remediales

2 cm 7 cm

2 cm

Ítem 7: ¿En cuál de las siguientes representaciones, al trasladar el triángulo A en tres unidades hacia la izquierda, la figura se transforma en un rectángulo que tiene la misma área que la figura inicial? a)

b) A

34 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

MÓDULO Nº 2: PERÍMETRO Y ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Ítem

Información Indicador de evaluación del curso % L % NL

Ítem 12: Una inmobiliaria vende un te- H[ik[bl[d fheXb[cWi gk[ rreno rectangular que mide 12 metros de involucran el cálculo de largo por 20 metros de ancho. Un metro área de rectángulos. cuadrado del terreno tiene un valor de 3 K< Kd_ZWZ[i Z[ <ec[dje $ «9k|djWi K< debe pagar la persona que quiera comprar el terreno? 7$ )( K< 8$ ,* K<

Orientaciones remediales

En este problema, además de calcular el área de un rectángulo, deben calcular el producto entre el valor de un metro cuadrado de terreno y la superficie total en venta. Es posible que algunos niños o niñas marquen como alternativa de respuesta la letra B, ya que calculan el área como la suma de las longitudes dadas, dificultad que se puede deber a que el cálculo está en el contexto de una situación problemática.

9$ '/( K< :$ -(& K<

(*) La columna información del curso debe ser llenada por el docente incorporando el porcentaje de estudiantes que respondió el ítem en forma correcta (%L) y el porcentaje que lo hizo en forma incorrecta (%NL).

Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PAUTA DE CORRECCIÓN / EVALUACIÓN MÓDULO 2

Ítem

Eje Temático

Indicador de Evaluación

Respuesta

9WbYkbWd [b f[h c[jhe Z[ kd h[Yj|d]kbe$

:[j[hc_dWd fWh[`Wi Z[ h[Yj|d]kbei gk[ j_[d[d _]kWb f[h c[jhe$

9WbYkbWd [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe fh[i[djWZe ieXh[ kdW YkWZh cula.

:[j[hc_dWd fWh[`Wi Z[ h[Yj|d]kbei gk[ j_[d[d bW c_icW |h[W$

5 6 7 8 9 10

Medición

:[j[hc_dWd [b h[Yj|d]kbe gk[ j_[d[ bW c_icW |h[W gk[ ejhe dado. Identifican la reflexión o traslación de una figura en el plano que permite formar un cuadrado con otra figura dada. Identifican la traslación de una figura en el plano que permite formar un rectángulo con igual área. :[j[hc_dWd [djh[ kd h[Yj|d]kbe o kd YkWZhWZe Z[ _]kWb f[h c[tro cuál tiene mayor área. Estiman el área de un rectángulo dado en un contexto problemático. 9WbYkbWd [b |h[W Z[ kd h[Yj|d]kbe$

9 A B B 9 B

9WbYkbWd [b |h[W Z[ kd jh_|d]kbe h[Yj|d]kbe$

H[ik[bl[d fheXb[cWi gk[ _dlebkYhWd [b Y|bYkbe Z[ |h[W Z[ h[Ytángulos.

11 12 13

36 / Módulo Nº 2: Perímetro y áreas de figuras geométricas / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

Módulo Nº 3: Números decimales MATEMÁTICA Guía didáctica

Módulo Nº 3: Números decimales MATEMÁTICA Guía didáctica NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA División de Educación General Ministerio de Educación República de Chile 2013

Módulo Nº 3: Números decimales MATEMÁTICA Guía Didáctica

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA

2013

MÓDULO Nº 3: NÚMEROS DECIMALES PRESENTACIÓN En el marco del mejoramiento continuo de las escuelas el Nivel de Educación Básica pone a disposición del sistema escolar una serie de módulos didácticos para apoyar la implementación curricular en diversos cursos y asignaturas de la educación básica. Los módulos didácticos constituyen un recurso pedagógico orientado a apoyar la labor de la escuela en las prácticas de planificación y evaluación escolar, modelando la implementación efectiva de las Bases Curriculares, fomentando un clima escolar favorable para el aprendizaje y monitoreando permanentemente el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Los módulos didácticos presentan la siguiente estructura: Guía didáctica: consiste en un recurso para el docente que contiene orientaciones didácticas y propuestas de planes de clases en las que se describen actividades a realizar con las y los estudiantes para los momentos de inicio, desarrollo y cierre de clases. Además, aporta sugerencias para monitorear el aprendizaje, organizar el trabajo colectivo e individual, y recomienda tareas. Cuaderno de trabajo para el estudiante: desarrollan algunas de las actividades señaladas en los planes de clases de los docentes, y dan cuenta de una forma de presentar los desafíos y tareas pertinentes para avanzar hacia el logro de los objetivos de aprendizaje propuestos para el módulo. Evaluación: consiste en instrumentos de evaluación con sus respectivas pautas de corrección y orientaciones que evalúan los objetivos de aprendizaje desarrollados en el módulo. Cabe señalar que los módulos propuestos constituyen un modelo de implementación y no dan cuenta por sí mismos de la totalidad de los objetivos de aprendizaje propuestos para cada curso. Los materiales presentan una cobertura curricular parcial, que los(as) docentes deberán complementar con sus propias planificaciones y propuestas didácticas. De este modo a través de los recursos pedagógicos mencionados, el Nivel de Educación Básica espera contribuir a la labor de equipos de liderazgo pedagógico, docentes y estudiantes de establecimientos de educación básica en el proceso de implementación curricular en vistas al mejoramiento de la calidad de la educación.

Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

MÓDULO Nº 3: NÚMEROS DECIMALES DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO Este Módulo aborda objetivos de aprendizaje correspondiente a la Unidad 3 del Programa de estudio de Quinto Básico. En este Módulo se trabajan los números decimales, su estructura y relación con las fracciones decimales, las operaciones de adición y sustracción con estos números y la resolución de problemas aditivos. La construcción conceptual de números decimales se realiza a partir de las fracciones decimales, empleando como recurso la cuadrícula del Sistema de Numeración Decimal, para cuya extensión del sistema se agregan paulatinamente las posiciones décimos, centésimos y milésimos que permitirán expresar cantidades menores que la unidad. Para introducir la adición y sustracción de números decimales se usan inicialmente técnicas basadas en la descomposición de los números a partir del valor posicional de sus dígitos, luego se incorpora el uso de la cuadrícula y finalmente se aborda el algoritmo convencional. Se evalúan posibles errores y se trabaja la estimación de sumas y restas con números decimales. La resolución de problemas se trabaja con el apoyo de diagramas de barra, que permitirán a niños y niñas establecer las relaciones entre datos e incógnita y con ello, determinar la operación que los resuelve. Los objetivos de aprendizaje del currículum que se abordan en el Módulo, son los siguientes: • Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10 (OA10). • Comparar y ordenar decimales hasta la milésima (OA11). • Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima (OA12). • Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando adiciones y sustracciones de fracciones propias o decimales hasta la milésima (OA13). Los conocimientos previos que niños y niñas deben tener para abordar la unidad, tienen relación con el trabajo con fracciones, esto es: estudio de Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO

las fracciones a partir del modelo parte-todo y del modelo como medida; comparación y orden de fracciones, suma y resta de fracciones. La mayoría de estos contenidos han sido abordados a partir de 3° básico. Sin embargo, se espera que hayan sido estudiados con profundidad en esta misma unidad del programa. Sugerimos que cada docente incorpore de manera articulada el presente Módulo, a la planificación que haya realizado en esta parte del programa de estudio. Para alcanzar estos objetivos las tareas matemáticas que principalmente desarrollan los estudiantes son: • Escribir números decimales a partir de representaciones pictóricas o fracciones decimales dadas. • Relacionar números decimales y fracciones decimales. • Describir el valor posicional de los dígitos en un número decimal. • Comparar, ordenar e intercalar números decimales usando diversas estrategias. • Establecer equivalencias entre la representación de cantidades usando números decimales, cuando se agregan ceros en las cifras decimales, por ejemplo: 2,3 y 2,30. • Sumar y restar números decimales, y evaluar errores asociados a los cálculos. • Resolver problemas de adición y sustracción con números decimales, y evaluar las soluciones obtenidas. • Estimar el resultado de una adición o una sustracción con números decimales. Para variar el nivel de complejidad de las actividades que se abordan en el Módulo, se ha considerado el tipo de números involucrados en los problemas, los que pueden ser decimales, fracciones decimales o fracciones comunes; la cantidad de cifras decimales que presentan los números que pueden ser hasta los décimos, hasta los centésimos, hasta los milésimos. Asimismo, en las actividades se van usando registros pictóricos y simbólicos, para apoyar el desarrollo de cálculos o resolución de problemas. 6 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

MÓDULO Nº 3: NÚMEROS DECIMALES

Por otra parte, en la resolución de problemas aditivos se han incorporado problemas simples y problemas que requieren realizar más de una operación para resolverlos. En el cálculo de adiciones y sustracciones se han graduado las técnicas desde las que se basan en una descomposición de los números hasta llegar al algoritmo convencional. La relación entre los números involucrados en los cálculos varía, presentando inicialmente sumas y restas sin reserva, y luego con reserva. Finalmente, es importante mencionar que en la unidad se trabajan las cuatro habilidades propuestas en el currículum para el aprendizaje de la matemática. La resolución de problemas no solo se aborda con el estudio de la adición y sustracción, sino también con el estudio de la comparación y orden de números decimales. Representar se aborda al establecer relaciones entre decimales y fracciones decimales, al usar registros pictóricos y otras instancias. La modelización viene de la mano de la resolución de problemas, incorporando el uso de diagramas como paso previo a establecer la frase numérica que permite llegar a solucionar un problema. Argumentar y comunicar se trabaja durante toda la unidad, y para hacerlo explícito, se han incorporado secciones en que niños y niñas deben escribir estrategias y conclusiones relacionadas con los contenidos abordados en algunas de las clases.

Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

Programación Módulo 3 Matemática 5º Básico CLASE

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE BCEB

INDICADORES DE EVALUACIÓN

• Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10 (OA10).

• Escriben el decimal que corresponde a una representación pictórica de una parte de una superficie en cuadrículas, de ángulos en círculos, de una parte de una superficie en círculos y de una parte de la recta numérica. • Describen el valor de cada cifra en un decimal dado.

• Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10 (OA10).

• Representan de manera pictórica decimales asociados a fracciones de denominador 2, 4, 5 y 10. Por ejemplo, representan los decimales asociados a las fracciones 1/2, 1/4 y 2/5 de manera pictórica. • Escriben en forma de decimal números dados en forma fraccionaria con denominadores 2, 4, 5 y 10.

• Comparar y ordenar decimales hasta la milésima (OA11).

• Ordenan decimales hasta la cifra de las décimas en la recta numérica. • Ordenan números decimales, aplicando la estrategia del valor posicional.

• Comparar y ordenar decimales hasta la milésima (OA11).

• Explican por qué son iguales los decimales cuyas cifras de las décimas son iguales y distintas de cero, y cuyas cifras de las centésimas y milésimas son cero. Por ejemplo, por qué son iguales 0,4; 0,40; 0,400 • Ordenan números decimales, aplicando la estrategia del valor posicional.

8 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

EJEMPLOS DE PREGUNTAS

REFERENCIAS AL TEXTO ESCOLAR

REFERENCIA A OTROS RECURSOS

• Considera que el rectángulo corresponde a 1 unidad.

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Interactivo que aborda la extensión del sistema de numeración decimal a las posiciones decimales: http://www.juntadeandalucia.es/ averroes/carambolo/WEB%20 JCLIC2/Agrega/Matematicas/ Fraccion_y_numero_decimalCONTENIDOS/contenido/mt10_ oa04_es/index.html

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Interactivo que aborda la extensión del sistema de numeración decimal a las posiciones decimales: http://odas.educarchile.cl/objetos_ digitales/odas_matematicas/11_ interpretando_cifras_decimales/ LearningObject/index.html

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Página web que contiene pequeños test interactivos sobre el valor posicional en números decimales: http://www.aplicaciones.info/ decimales/decima01.htm

• Un número mayor que 0,53 y menor que 0,54 es: A. 0,5 B. 0,513 C. 0,531 D. 0,530

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Página web con recursos interactivos para el estudio de los números decimales: http://joaquincarrion.blogspot. com/p/numeros-decimales.html

• Un número decimal que representa la misma cantidad que 2,3 es: A. 0,23 B. 2,30 C. 2,03 D. 23,0

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Página web con recursos interactivos para el estudio de los números decimales: http://joaquincarrion.blogspot. com/p/numeros-decimales.html

• El decimal que corresponde a la parte pintada en la figura es: A. 8,2 B. 2,8 C. 0,8 D. 0,2

• El valor del dígito subrayado en el número decimal 54, 017 es: A. 1 100 1 B. 10 C. 1 D. 10 • El número decimal que corresponde 5 a la fracción 4 es: A. B. C. D.

5,4 4,5 1,25 0,25

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CLASE

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE BCEB

INDICADORES DE EVALUACIÓN

• Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima (OA12).

• Explican por qué se debe mantener la posición de las cifras decimales en sumas y restas de decimales.

• Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima (OA12). • Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando adiciones y sustracciones de fracciones propias o decimales hasta la milésima (OA13).

• Resuelven problemas que involucran adiciones y sustracciones de fracciones hasta el centésimo. • Resuelven problemas que involucran adiciones y sustracciones de decimales hasta el centésimo.

• Corrigen errores en la ubicación de decimales en sumas y restas de ellos. Por ejemplo, ubican de manera correcta las cifras de las décimas y centésimas en sumas y restas de decimales. • Evalúan las soluciones de los problemas en función del contexto.

• Usan estrategias de estimación para predecir sumas y restas de decimales. • Distinguen entre problemas rutinarios y no rutinarios que involucran fracciones o decimales y dan ejemplos de cada uno de ellos.

• Prueba del Módulo.

• Todos los indicadores del Módulo.

• Reforzamiento.

• Todos los indicadores del Módulo.

10 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

EJEMPLOS DE PREGUNTAS

REFERENCIAS AL TEXTO ESCOLAR

REFERENCIA A OTROS RECURSOS

• El resultado de 3,4 + 1,53 es: A. 4,57 B. 1,87 C. 4,93 D. 1,97

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Interactivos de suma y resta: http://www.aplicaciones.info/ decimales/decima04.htm

• Luis mide 1,45 metros. Él mide 0,3 metros menos que su hermana Sofía. ¿Cuánto mide Sofía?

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Resolución de problemas con números decimales: http://www.wikisaber.es/Contenidos/ LObjects/summ_decimals/index.html

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Página web con preguntas sobre errores en la suma de números decimales: http://www.aplicaciones.info/ decimales/decima03.htm

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Animación sobre redondeo de números decimales: http://ntic.educacion.es/w3// eos/MaterialesEducativos/ mem2008/visualizador_decimales/ aproximaciondecimales.html

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Ejercicios con números decimales: http://www.gobiernodecanarias. org/educacion/3/WebC/eltanque/ pizarradigital/NumDec5/ actividades_p.html

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Autoevaluación números decimales: http://www.primaria.librosvivos. net/5EP_Mate_cas_ud6_ Autoevaluacion_1.html

A. 1,15 m B. 1,42 m C. 1,48 m D. 1,75 m • Carlos suma 2,3 + 0,12 y obtiene 2,15. • ¿Cuál es el error de Carlos? A. No considerar la reserva de 3+12. B. Sumar sin considerar la posición de dígitos. C. No poner bien la coma en el resultado. D. No poner un cero al final del resultado. • Una buena estimación para el resultado de la resta 19,98 – 10,001 es: A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

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PLAN DE CLASE Nº 1 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Escribir decimales presentados en forma pictórica en una cuadrícula del Sistema de Numeración Decimal.

INICIO / 15 minutos • La Actividad 1 busca activar los conocimientos previos relacionados con el estudio de fracciones decimales, en particular, de los décimos. Pida que la desarrollen en forma individual, ya que así podrá observar quiénes aún tienen dificultades para comprender este tipo de fracciones y apoyarlos antes de estudiar los contenidos propuestos para el resto de la unidad. 1 • En la parte a) deben producir la fracción 10 sobre una barra dibujada en el cuaderno de matemática. Se espera que midan, con su regla, la longitud de la barra (10 centímetros) y la dividan en 10 partes de igual tamaño. Luego se pide que corten un trozo de papel (o cartulina) del mismo tamaño de la parte pintada y dibujen en su cuaderno, usando este trozo, una barra igual a la inicial. Plantee preguntas que permitan a los estudiantes retomar 1 la definición de 10 como: ¿Cuántas veces iteraron el trozo de papel para formar la barra? ¿Qué parte de la barra que dibujaron corresponde al trozo de papel? 1 • Destaque con sus estudiantes que la fracción 10 representa una cantidad de medida que al iterarla 10 veces permite formar una unidad. • En la parte b) deben formar otras fracciones sobre barras, usando una pieza similar a la que debieron haber 7 formado en la parte a). Así, para formar 10 deben iterar 7 veces el trozo P, y para formar 12 deben iterarlo 12 10 veces. En esta última fracción que formaron, es importante destacar que como el numerador es mayor que 10, se forma 1 barra completa y dos partes de una segunda barra. Se espera que concluyan que las fracciones del tipo a corresponde a a veces 1 . 10 10 El uso de distintas representaciones para trabajar con fracciones (concretas, pictóricas y simbólicas) permite desarrollar habilidades como representar. Además, es una buena herramienta para comprender de forma efectiva la noción de fracción.

DESARROLLO / 55 minutos • Invite a desarrollar la Actividad 2, que propone una situación en que deben recordar la estructura del sistema de numeración decimal estudiado en cursos anteriores. Para ello se plantea que Claudio representa el número 23 a partir de palos de helados que agrupa de 10, dejando 3 sueltos. Se espera que concluyan que 1 decena de objetos está formada por 10 unidades de dicho objeto, 1 centena por 10 decenas, una unidad de 1000 por 10 centenas. Se pide que escriban una conclusión respecto a las relaciones de las posiciones en el sistema de numeración decimal. Pida que escriban esta conclusión en sus cuadernos de trabajo, usando sus propias palabras. • Una vez que la mayoría de las parejas haya escrito sus conclusiones, comparta con todo el curso sus respuestas y genere en conjunto una conclusión común. 12 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Destaque que: Las posiciones del sistema de numeración decimal se relacionan de 10 en 10. Si consideramos 1 unidad, para formar la siguiente posición, 10 decenas, se agrupan 10 unidades. Luego, para formar la siguiente posición se agrupan 10 decenas. En forma inversa, 1 decena se puede descomponer en 10 unidades, 1 centena en 10 decenas, etc. • La segunda parte tiene el propósito de introducir los décimos como una nueva posición en el sistema de numeración. Para ello, se les pide representar en la cuadrícula una barra y un trozo equivalente a 1 . A continuación de las 10 unidades se ha dejado una posición en blanco, y se espera que en ella introduzcan esta nueva posición. Dé un tiempo para que, en parejas, establezcan conclusiones sobre cómo representar la barra y el trozo de barra en la cuadrícula. Oriente señalando que la posición que se agregue debe seguir cumpliendo con la relación que existe entre las posiciones del sistema de numeración; como con 10 unidades se forma 1 decena, con 10 de esta posición se debe formar 1 unidad. Por el trabajo previo realizado con fracciones decimales, se espera que sean los mismos estudiantes quienes concluyan que el valor de esta nueva posición es 1 . 10 • Lea con ellos la información que aparece al final de la actividad, que le puede servir como guía para sistematizar los contenidos abordados hasta el momento. • La Actividad 3 tiene 4 partes. En la primera deben completar información para sistematizar los contenidos abordados en la actividad anterior. En la segunda parte se espera que escriban sobre una cuadrícula cantidades representadas usando barras. Sin embargo, esta vez las cuadrículas vienen vacías, por tanto también deberán completar el valor de posición en ellas. La tercera parte propone otras figuras, esta vez con mallas divididas en 100 partes, lo que les permitirá representar centésimos. En la última parte las fracciones que deben representar están dadas en forma simbólica, de tal manera que al representar, por ejemplo, 7 + 2 + 4 deberán fijarse 10 1000 en el denominador de la fracción. 32 • Es probable que algunos estudiantes tengan dificultades para representar 10 ya que el numerador es mayor que el 2 denominador. En este caso es conveniente que descompongan la fracción de la forma: 32 = 30 + 2 = 3 + 10 . Entonces, 10 10 10 podrán ver claramente la forma de ubicarla en la cuadrícula. Motive a sus estudiantes a argumentar las conclusiones que elaboren al ir desarrollando la actividad. Es importante que usen los conocimientos previos y conecten nociones y conceptos matemáticos para elaborar sus argumentos.

CIERRE / 15 minutos Destaque con sus estudiantes que: • En el Sistema de Numeración Decimal, las posiciones se relacionan de 10 en 10, por ejemplo 10 unidades forman 1 decena. Este sistema se puede extender agregando posiciones a la derecha que nos permitan expresar cantidades menores que la unidad. Para ello, la primera posición que se agrega son los décimos, que cumplen con la regularidad de que 10 décimos forman 1 unidad. Luego se agregan los centésimos, milésimos, etc., todos manteniendo la relación de 10 en 10.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • ¿Cuántos centésimos forman 1 unidad? Explica tu respuesta. • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 2 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Representar el decimal que corresponde a una figura dada y viceversa, y explicar el valor de posición de los dígitos en un número decimal.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. En la clase anterior las relaciones que se abordaron entre una posición de un dígito y otra siempre se hicieron considerando posiciones consecutivas. Con la tarea, se espera que establezcan también otras relaciones. Para ello se pueden apoyar en una malla con 100 cuadrados, como las vistas en la clase anterior. Si el cuadrado corresponde a 1 unidad, y cada cuadrado pequeño a 1 se puede establecer directamente que 100 centésimos 100 corresponde a 1 unidad. Aproveche la instancia de revisión de la tarea para recordar los contenidos abordados en la clase anterior. Además, puede pedir que establezcan otras relaciones entre las posiciones del sistema de numeración, por ejemplo: ¿Cuántos milésimos forman 1 unidad? ¿Cuántos décimos forman una decena? Etc.

DESARROLLO / 55 minutos • Desarrollan la Actividad 1, que tiene el propósito de introducir la notación decimal a partir de la cuadrícula que han venido usando desde la clase anterior. Comprender el rol de la coma es fundamental, ya que puede evitar errores que se generan al comparar o sumar números decimales. • Para ello se propone una situación en que Camila escribe la representación de una fracción en una cuadrícula (esta vez usando figuras circulares), y luego señala que corresponde a 1,4. Invite a los estudiantes a leer la situación y responder las preguntas que aparecen a continuación. • Es importante orientar a los estudiantes para que concluyan que la representación que hizo Camila corresponde a 1 unidad y 4 décimos. Si se representa en cifras dicha cantidad, podría escribirse como 14 estableciendo una confusión pues para ello se necesitarían 14 unidades y la figura solo muestra 1 completa. • Destaque con los estudiantes que: la coma es un signo que permite escribir números decimales. Con este signo se identifica dónde está la posición de las unidades, ya que siempre se coloca a la derecha de esta posición. De esta forma se evitan confusiones en la escritura, ya que se establece claramente la diferencia entre cantidades como 13 y 1,3, donde la primera corresponde a 13 unidades y la segunda a 1 unidad y 3 décimos. • A continuación en esta misma actividad se proponen tres situaciones en que deben escribir la cantidad pintada en figuras como fracciones y como números decimales. Para ello se ha incluido además una cuadrícula en blanco que permitirá apoyar a quienes aún tienen dificultades para comprender la relación de representación entre estos tipos de números. • La Actividad 2 parte sistematizando los contenidos abordados hasta el momento en la clase, invite a leer esta información y reflexione con su curso acerca de las formas de representar una cantidad menor que 1 unidad. Estas representaciones son: como fracción o como número decimal. La cuadrícula que se incluye es un buen dispositivo para explicar estas relaciones. 14 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• La parte a) es similar a la anterior, y deben escribir como fracción y como decimal la parte pintada de una figura, pero esta vez no tendrán el apoyo de la cuadrícula. • La parte b) propone una tarea distinta, que es ubicar números decimales en una recta numérica. En el primer caso el segmento de la recta que se muestra es de 0 a 1, por tanto deben ubicar décimos. En el segundo caso es de 0 a 1 , por tanto los puntos que se representan con las marcas corresponden a centésimos. Y en el último el 10 1 segmento va de 0 a 100 , por tanto deberán identificar milésimos. • La Actividad 3 propone cuatro tipos de tareas. En la primera se dan fracciones decimales y se espera que las escriban como números decimales. En la segunda parte aparecen varios números decimales que tienen marcado uno de sus dígitos y se pide determinar el valor de dichos dígitos según la posición en que se encuentran, así por ejemplo: 4 653,5242 corresponde a 1000 • En la parte c) se propone descomponer números decimales, según el valor posicional de los dígitos, por ejemplo: 6 3 0,63 se descompone como 10 + 100 • La parte d) propone dos problemas en que se ponen en juego los contenidos abordados en la clase. El primero corresponde a un problema en que deben identificar el número decimal que corresponde a una fracción decimal dada. En el segundo, se espera que comparen dos cantidades, una expresada usando fracciones decimales y la otra usando números decimales. Si bien la comparación y orden es un tema que se abordará en clases posteriores, se espera que escriban ambas cantidades como fracción y luego comparen. Resguarde que expliquen las relaciones entre las distintas formas de representación de fracciones decimales y números decimales que se han visto en la clase. De esta forma podrán comprender el significado y estructura de los números decimales, fundamental para estudiar más adelante las operaciones entre estos números.

CIERRE / 15 minutos Destaque que: • Los números decimales, al igual que las fracciones, permiten expresar cantidades menores que la unidad. • Para representar cantidades a través de los números decimales, se utiliza una coma que separa la parte entera de un número de la parte decimal. De esta forma se evitan errores de escritura.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Indicar el valor del dígito 5 en cada uno de los siguientes números: 3,45 – 54,6 – 0,5 – 13,765 • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 3 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Escribir como números decimales fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea de la clase anterior. Retome con sus estudiantes el valor posicional de los dígitos en un número decimal. Es importante destacar que si bien el dígito en los distintos números es el mismo, como se encuentra en posiciones distintas, su valor varía dependiendo de dichas posiciones. Por ejemplo, en el número 3,45 el 5 tiene un valor de 5 centésimos, mientras que en el número 54,6 el 5 corresponde a 5 decenas, es decir, a 50. Pida que justifiquen sus respuestas al revisar la tarea. Puede apoyarse en el uso de una cuadrícula para orientar a quienes respondieron de forma incorrecta la tarea. Contrastar los procedimientos de las y los estudiantes es una estrategia eficaz para que se den cuenta de sus errores.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 plantea una situación en que Jorge y Beatriz, usando fracciones y decimales, representaron la parte pintada en una figura. Las respuestas que dieron son las siguientes: Respuesta de Jorge Respuesta de Beatriz 5 = 0,5 10

1 = 0,5 2

• Invite a observar estas respuestas y a contestar las preguntas que aparecen a continuación. Es importante generar una discusión en el curso, ya que algunos señalarán que la respuesta de Beatriz es incorrecta, pues el entero está dividido en 10 partes de igual tamaño. Pregunte: ¿Las partes pintadas cubren la mitad del entero? ¿Entonces 1 2 y 5 representan la misma cantidad? 10 • Pida que lean la información que aparece después de la actividad y destaque que las fracciones permiten representar la misma cantidad de varias formas distintas “usando fracciones equivalentes”; es así como 1 es equivalente a 2 2 4 de una misma unidad. Por esa razón las fracciones decimales no siempre aparecen escritas con denominadores 10, 100, 1000, etc., sino que pueden aparecer otros números en el denominador. Pida que realicen la parte a) en parejas, que busca que reconozcan los denominadores de fracciones que permiten obtener números decimales. 1 1 • Se espera que concluyan que 2 y 5 se pueden escribir como fracción decimal, es decir, 1 como 5 y 1 como 2 10 5 2 , porque ambos pares de fracciones son equivalentes. 10 • Es importante destacar que si bien se observa solo el denominador de la fracción para determinar si corresponde a una potencia de 10 (10, 100, 1000, etc.), para obtener una fracción equivalente con denominador 10, se debe multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción por un mismo número. Ejemplo, 1 • 2 = 2 . 5 2 10 • Para marcar las fracciones decimales que aparecen en las tarjetas, se espera que usen el procedimiento que se basa en el análisis de los denominadores de la fracción. Así, si el denominador es 2 o 5 pueden decir directamente que es decimal, ya que bastará multiplicar por 5 o 2 respectivamente para obtener la fracción equivalente con denominador 10. 16 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• En la parte b) se realiza un trabajo similar, pero esta vez deben determinar las fracciones que se pueden escribir con denominador 100. En este caso, los denominadores de las fracciones deben ser 4 o 2, 5 y 10 que, como ya se sabe, se pueden representar con denominador 10, por tanto, también se podrá representar con denominador 100, ya que solo basta amplificar por 10 el numerador y denominador de la fracción ya escrita de la forma a . 10 • En la Actividad 2 se pide que representen como número decimal la parte pintada de figuras, pero a diferencia de clases anteriores, las figuras están divididas en 2, 4, 5 o 10 partes iguales. Se espera que reconozcan primero la fracción común correspondiente, la representen como fracción decimal y luego como número decimal. 3 4

75 100

• En la parte b) la tarea cambia y se pide representar pictóricamente números decimales dados, como 0,75. Un procedimiento que se espera que utilicen es escribir el decimal como fracción decimal y luego, como fracción irreductible. De esta forma, el proceso de reflexión de niños y niñas en esta parte es inverso al que muestra la figura anterior. La parte c) propone 4 fracciones presentadas en forma simbólica, que deben escribir como número decimal. Pida justificar y explicar las representaciones que realizan para los decimales de la parte b). De esta forma deberán explicitar las relaciones entre fracciones comunes y números decimales.

CIERRE / 15 minutos Destaque que: • Las fracciones decimales no siempre aparecen escritas con denominador 10, 100, 1000 etc., ya que pueden estar presentadas con fracciones equivalentes a ellas que tienen denominadores 2, 4, 5. • Por lo anterior, las fracciones con denominador 2, 4, 5, también se pueden representar como un número decimal. Por ejemplo, las fracciones comunes como 1 = 0,5; 1 = 0,25; 3 = 0,75. 4 2 4

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos

6 3 • Escribir la fracción 5 y 2 como número decimal. • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 4 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Comparar y ordenar números decimales hasta la centésima.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea de la clase anterior. Invite a uno o más estudiantes a la pizarra a compartir sus respuestas. Es probable que algunos niños o niñas hayan tenido dificultades para escribir 3 como número decimal. En dichos 2 casos, descomponer la fracción 15 permite determinar con mayor facilidad el decimal que corresponde. 10 Al momento de revisar la tarea recoja todos los procedimientos que pueden haber surgido, contraste dichos procedimientos destacando aquellos que son más eficientes para escribir una fracción como un número decimal.

DESARROLLO / 55 minutos • Invite a desarrollar la Actividad 1, que plantea una situación en el contexto de una carrera de atletismo en que se muestra el recorrido que han realizado tres corredores en un instante de la competencia. Las distancias recorridas se entregan a través de fracciones decimales, con el propósito de que los estudiantes las ordenen en una recta numérica. • Dé un tiempo para que ubiquen las fracciones en la recta numérica y luego revise en conjunto sus respuestas. Destaque que: la recta numérica es un recurso que nos permite visualizar en forma ordenada números enteros, fracciones y, más adelante, números decimales. Al ubicar las fracciones decimales en la recta podemos saber directamente cuál es mayor o menor entre ellas. • La parte b) tiene el propósito de que representen las fracciones decimales, correspondientes al recorrido de los tres corredores, como números decimales. Se sugiere que la desarrollen en forma individual, de esta forma podrá observar quiénes aún tienen dificultades para representar fracciones decimales como números decimales. Si observa que hay niños o niñas con dificultades para desarrollar la tarea, se sugiere el uso de la cuadrícula del sistema de numeración decimal para establecer las relaciones entre estos dos tipos de números. • Una vez que la mayoría haya completado la tabla, invite a representar estos números decimales en la recta numérica y escribir una estrategia que les permita comparar los decimales prescindiendo de la recta. Es importante destacar que al escribir la estrategia sus estudiantes estarán desarrollando la habilidad de argumentar y comunicar su pensamiento matemático. • Concluya con los estudiantes que: para comparar y ordenar décimos se deben observar los dígitos que se encuentran en esta posición, y establecer que mientras mayor es el dígito, el número es mayor y expresa una mayor cantidad. • La Actividad 2 propone dos ejercicios en que deben ordenar números decimales (hasta los décimos) utilizando una recta numérica. Se espera que ubiquen estos números en la recta y, a partir de esta representación de los números, los escriban ordenados de menor a mayor. • En la parte a) los decimales que deben ordenar están entre 0 y 2, y la recta contiene marcas con una escala de 0,2. Este último aspecto podría traer dificultades a los estudiantes, por ejemplo, podrían presentar errores al ubicar algunos de estos números, como ubicar el 0,9 de la siguiente forma: 0

18 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

0,9

• Este error se debe principalmente a que cuentan las marcas de la recta de 1 en 1, y asumen que la escala es 0,1 (de esta forma cuentan 9 marcas para ubicar el 0,9). Frente a este tipo de errores pregunte: ¿9 décimos es más que 1 unidad? Si no es menor a una unidad, ¿puede estar ubicado más allá del 1 en la recta? • En la parte b) la tarea es similar, pero esta vez los números dados están entre 5 y 7, y en la recta no aparecen marcados los extremos. Observe si son capaces de establecer que para ubicar los decimales pueden considerar solo un intervalo de la recta. Es probable que muchos estudiantes comiencen ubicando el 0, en dicho caso la escala deberá ser al menos 0,5. Oriéntelos para que consideren solo el intervalo entre 5 y 7 al ubicar los números en la recta. • La última parte de la actividad incluye una sección “Lee con atención” que busca que escriban los números que ordenaron anteriormente usando la recta en una cuadrícula del sistema de numeración decimal. Invite a responder las preguntas y establezca con ellos que: para ordenar números decimales hasta los décimos, es importante observar primero la posición de las unidades y luego la posición de los décimos, comparando los dígitos en cada posición. • Si bien con la última parte de la Actividad 2 hay un acercamiento a establecer una forma de comparar y ordenar números decimales a partir de la noción valor posicional, la Actividad 3 tiene el propósito de que construyan una estrategia basada en el valor posicional para comparar números decimales. Motive a los estudiantes a leer la parte a) en parejas, y responder las indicaciones que aparecen en ella. • La primera parte muestra dos respuestas, de Lucía y Alejandro, para comparar los números 0,37 y 0,19. La respuesta de Alejandro no es correcta, ya que él mira solo la posición de los centésimos para comparar los decimales, mientras que Lucía lo hace correctamente y comienza comparando los décimos. El error que se grafica en la actividad es habitual entre los estudiantes, pues suman, restan y multiplican partiendo por el dígito en la posición de menor valor y, por ende, les resulta natural partir comparando también por esta posición. Invítelos a representar en forma pictórica ambos decimales y a comparar las partes pintadas. Una vez que la mayoría haya sacado sus conclusiones acerca de la forma de comparar decimales, genere un momento de reflexión. • Destaque con ellos que: para comparar números decimales, al igual que como en los números enteros, se debe partir comparando los dígitos de la posición de mayor valor, es decir, se debe comenzar comparando por las cifras que están a la izquierda. • Para terminar la clase, pida que ordenen el primer grupo de decimales de la parte b), y revise sus respuestas en el momento de cierre. Al representar pictóricamente los números decimales que se comparan en la primera parte de la actividad 3, los estudiantes podrán determinar visualmente cuál de ellos es mayor, y establecer que para comparar números decimales se debe comenzar por la posición de mayor valor. Usar distintos tipos de registro en el aprendizaje de la matemática (en este caso pictórico y simbólico) permite que niños y niñas vayan desarrollando habilidades como representar.

CIERRE / 15 minutos Destaque con los estudiantes que: • La recta numérica es un recurso que permite representar números decimales y fracciones en forma ordenada, es decir, a partir de esta representación se puede establecer directamente cuándo un número decimal o una fracción es mayor o menor que otra. • Para comparar números decimales se debe comenzar comparando las cifras de izquierda a derecha, es decir, de la posición que tiene un mayor valor. Revise la parte b) como ejemplo.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Ordenar el segundo grupo de decimales de la parte b) de la Actividad 3. • En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 5 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Explicar la igualdad entre decimales cuyas cifras de las décimas son iguales y distintas de cero, y cuyas cifras de las centésimas y milésimas son cero.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea de la clase anterior. En esta clase se retomará el estudio de un algoritmo que permita comparar y ordenar números decimales a partir de la noción de valor posicional. Por lo anterior, es importante que al revisar la tarea se aborden los contenidos vistos en la clase anterior. Destaque que para ordenar los números decimales como los del ejercicio de tarea (hasta los décimos) debemos comparar primero el dígito de la posición de las unidades; si son iguales, comparar los dígitos en la posición de los décimos.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 tiene cuatro partes; con el propósito de construir en conjunto con los estudiantes una estrategia basada en la noción de valor posicional para comparar números decimales, se sugiere que sea trabajada en parejas. En la parte a) se espera que recuerden la estrategia que usaban para comparar números enteros (en particular de tres cifras); para ello se presentan dos números sobre la cuadrícula del sistema de numeración decimal y se entrega la descripción de cómo compararlos. Luego se hacen dos preguntas que permitirán que reflexionen por qué se comienza comparando por la posición de mayor valor. Es importante destacar la estrategia para comparar números enteros, haciendo énfasis en que no es posible partir por cualquier cifra comparando los dígitos que conforman los números, sino que siempre se debe hacer por la de mayor valor. En la parte b) se entregan dos números decimales (con cifras hasta los centésimos) y una cuadrícula del sistema de numeración decimal vacía. Se espera que niños y niñas escriban ambos números sobre la cuadrícula y a partir de ella comparen estas dos cantidades. • Destaque que: para comparar dos números decimales debemos comparar los dígitos que corresponden a la misma posición, partiendo siempre por la posición de mayor valor. Si en dicha posición los dígitos son iguales seguimos comparando la posición inmediatamente menor, y así sucesivamente. • En la parte c) aparecen dos grupos con números decimales que se espera que comparen usando la estrategia sistematizada en la actividad anterior. Si observa que aún hay estudiantes con dificultades para comparar y ordenar números decimales, disponga de cuadrículas que les permitan ordenar los números según el valor posicional de los dígitos antes de compararlos. Es probable que tengan dificultades al comparar: 0,56 y 0,506, ya que como ambos tienen igual parte entera (un 0 en las unidades) los estudiantes tienden a comparar la “parte decimal” como si fuera un número separado del anterior y en dicho caso 506 > 56. Contrastar las respuestas y procedimientos puede ser una buena forma para que ellos mismos corrijan sus errores. • En la parte d) cambia la tarea y se pide intercalar un decimal entro otros dos dados, por ejemplo: entre 3,4 y 3,5. Para desarrollar este tipo de tarea, una forma eficaz de encontrar uno o más números que estén entre ellos, es ubicando dichos números sobre la cuadrícula del sistema de numeración; de esta forma se puede ver fácilmente que al agregar cifras decimales (en este caso llegando hasta los centésimos) se pueden definir varios decimales entre ellos dos. 20 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Destaque con los estudiantes que: en los números decimales el concepto de antecesor o sucesor no tiene sentido. Por ejemplo, si dijéramos que 3,5 es sucesor de 3,4 ¿el número 3,41 podría ser también el sucesor de 3,4?, ¿y el 3,401?, ¿y el 3,4001?... Es así que la noción de sucesor no tiene sentido en este conjunto, pues tendríamos infinitos sucesores para cada decimal. • La Actividad 2 tiene el propósito de estudiar equivalencias en la representación de números decimales, es decir, que los estudiantes establezcan que 2,3 = 2,30. Para ello, se presenta el razonamiento de un niño que señala que 1,40 > 1,4, pues 40 >4. Es probable que este error haya sido observado en alguno de sus estudiantes al desarrollar la parte c) de la actividad anterior. En dicho caso esta es una buena oportunidad para retomar el análisis de la situación. • Desarrollan esta Actividad en parejas y discuten sobre el razonamiento de Claudio; luego representan ambos números en mallas de cuadrados de 10 x 10. Una vez que la mayoría haya desarrollado esta parte, invítelos a reflexionar en conjunto acerca de que al representar la parte que corresponde a cada número decimal en la malla, es fácil darse cuenta que corresponden a la misma cantidad (40 centésimos es equivalente a 4 décimos) y por tanto hay dos formas de representar. Pregunte: ¿En qué se diferencian estas dos formas de representación? ¿Será lo mismo que 1,400? ¿Para qué servirá distinguirlas? • Invite a sus estudiantes a leer la información que aparece a continuación, en la que se abordan estas equivalencias y se establece la utilidad de distinguir 3,5 y 3,50 en la medición de cantidades. • La parte b) propone una situación para que puedan medir con diferentes precisiones una cinta que aparece en el Cuaderno de trabajo. Para realizar esta parte necesitarán contar con una regla graduada en centímetros y milímetros. Se espera que registren sus respuestas de la siguiente forma: Al medir solo hasta los centímetros, se deben fijar en las líneas de mayor longitud (pues esa es la precisión que están usando) y escribir 6 cm. Al medir hasta los décimos de centímetro, deben fijarse en las líneas de mayor y menor longitud, y escribir 6,0 cm, pues la precisión que están usando es hasta el décimo. • La Actividad 3 propone 4 ejercicios relacionados con comparar y ordenar números decimales, intercalar un número decimal entre dos dados y establecer equivalencias entre las formas de representar una cantidad usando números decimales. Invite a desarrollar la actividad hasta la parte c), y revise en conjunto sus respuestas. Al revisar las respuestas contraste los distintos procedimientos que pueden haber surgido para ordenar e intercalar números decimales. El uso de la cuadrícula del sistema de numeración decimal puede ser un dispositivo eficaz para guiar a aquellos estudiantes que muestren dificultades.

CIERRE / 15 minutos Destaque con los estudiantes que: • Para comparar números decimales se debe comenzar comparando las cifras de izquierda a derecha, es decir, de la posición que tiene un mayor valor. • Al agregar 0 en las cifras decimales de un número decimal dado, las cantidades representadas son equivalentes en cuanto a la medida que representan, por ejemplo, 4,10 es equivalente con 4,100. Sin embargo, en el contexto de la medición están expresando que dicha medición se realizó con distinta precisión: la primera hasta el centésimo de unidad y la segunda hasta el milésimo de unidad.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Resolver la parte d) de la Actividad 3. • En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 6 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Calcular sumas y restas con números decimales explicando por qué se debe mantener la posición de las cifras decimales.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea de la clase anterior. En el problema de la parte d) se pone en juego la equivalencia entre la escritura de números decimales. Destaque con ellos que si bien 10,7 cm y 10,70 cm están expresando la misma cantidad (porque en ambos casos se refiere a cuánto creció la planta hasta el día 20 del experimento), en el primer caso la precisión con que se midió el crecimiento es hasta el décimo de centímetro, en el segundo caso es hasta el centésimo de centímetro. Aproveche la revisión de la tarea dada en la clase anterior para generar un momento de reflexión con los estudiantes en torno a que a veces es importante considerar una mayor precisión a la hora de medir, por ejemplo, cuando se está desarrollando un experimento. Sin embargo, si se quiere medir la estatura de una persona, tener una precisión hasta el centésimo de centímetro no sería eficaz, ya que es una unidad tan pequeña que para el ojo humano es poco probable de utilizar.

DESARROLLO / 55 minutos • Desarrollan la Actividad 1, que presenta dos procedimientos (de Carolina y Matías), quienes resuelven el cálculo 23,7 + 12,13. La respuesta de Carolina presenta un error, ya que suma por separado las cifras enteras de las cifras decimales, sin considerar el valor posicional de cada una, lo que hace que el resultado obtenido sea incorrecto. Este error es frecuente cuando los estudiantes comienzan a sumar números decimales; por ejemplo, suman 23 + 12 = 35 y por separado 13 + 7 = 20, lo que genera que hayan agregado a los 3 centésimos del segundo sumando 7 décimos. Dé un tiempo para que analicen y discutan los procedimientos en parejas y luego genere un momento de discusión para que comenten sus respuestas. En este momento de la clase no es necesario que sistematicen la forma correcta de sumar decimales, ya que se espera que con el resto de las actividades de la clase la construyan. • A continuación se presenta la misma suma, pero con los números decimales descompuestos en fracciones decimales; con ello se pretende que calculen sumando por separado los múltiplos de 10, los dígitos, las fracciones con denominador 10 y las fracciones con denominador 100: 23, 7 + 12,13 = (20 + 10) + (3 + 2) + ( 7 + 1 ) + 3 = 30 + 5 + 8 + 3 10 10 10 100 100 • El resultado que se obtiene al sumar los números de esta forma permite establecer directamente que el resultado es 35,83, ya que basta con componer a partir de la noción de valor posicional el decimal que corresponde al resultado. Es importante destacar que: al descomponer los números decimales según el valor posicional de sus dígitos, se puede establecer que para sumarlos se consideran decenas con decenas, unidades con unidades, décimos con décimos y centésimos con centésimos. La parte b) propone la descomposición de los mismos números, pero esta vez usando notación decimal. De esta forma se espera que sumen los números decimales de la siguiente forma: 23,7 + 12,13 = (20 + 10) + (3 + 2) + (0,7 + 0,1) + 0,03 = 30 + 5 + 0,8 + 0,03 22 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Nuevamente, para obtener el resultado de la suma basta con componer el número decimal que resulta. Destaque que para sumar ambos decimales es necesario sumar los dígitos correspondientes a cada posición del sistema de numeración. • La parte c) propone sumar ambos números, pero esta vez apoyados con la cuadrícula del sistema de numeración decimal. Como en la actividad no se señala la forma de sumar con la cuadrícula, oriente para que deduzcan que como se suman los dígitos de la misma posición (según lo realizado en a) y b), al utilizar la cuadrícula deben sumar los dígitos por posición en forma vertical. • Invite a buscar una forma para calcular 3,45 – 2,1. Pueden seguir los mismos pasos realizados en la suma, esto es: primero sumar descomponiendo en fracciones decimales, luego en notación decimal y finalmente, usando la cuadrícula. • La Actividad 2 propone varios ejercicios de suma y resta que se espera resuelvan usando procedimientos basados en una descomposición de los números según el valor posicional de sus dígitos, ya sea usando fracciones decimales o notación decimal. Se sugiere que esta actividad la desarrollen en parejas, guiándose por los ejemplos. • La Actividad 3 tiene el propósito de sistematizar el algoritmo para sumar y restar números decimales. Invite a leer en parejas la información y luego genere un ambiente de reflexión en torno a los ejemplos. Destaque que: para sumar o restar decimales se requiere hacerlo en forma ordenada considerando el valor de posición de los dígitos que conforman los números. Un dispositivo que permite esto es la cuadrícula. Sin embargo, basta con escribir en forma ordenada y alineando ambos números según las posiciones del sistema de numeración para efectuar la suma o la resta. Una forma de alinear los números es a través de la coma, que en cualquier número decimal indica que a la izquierda de ella está la posición de las unidades. Al momento de sistematizar el algoritmo de la adición y sustracción de números decimales, se sugiere recordar la forma en que sumaban números enteros. Los números decimales son una extensión del sistema de numeración decimal que permite representar los números naturales, por lo que activar sus conocimientos previos puede resultar un apoyo para la comprensión.

CIERRE / 15 minutos Destaque con los estudiantes que: • Los números decimales se pueden descomponer como suma de otros usando fracciones decimales o notación decimal. Este proceso permite efectuar la suma o resta entre dos números decimales. • Para sumar o restar decimales se deben escribir en forma ordenada los números que corresponden al cálculo a realizar, alineando los números según las posiciones del sistema de numeración. Una forma de alinearlos es a través de la coma, que en cualquier número decimal indica que a la izquierda de ella está la posición de las unidades.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Resolver la parte b) de la Actividad 3. • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 7 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Resolver problemas aditivos con fracciones decimales y números decimales.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea de la clase anterior. Aparecen cuatro cálculos, dos de suma y dos de resta. Observe si fueron capaces de calcular correctamente estas operaciones. Cabe destacar que todas eran cálculos sin reserva, ya que se espera que en esta clase se aborde dicho tipo de relación entre los números. Invite a algunos estudiantes del curso a desarrollar los cálculos en la pizarra y genere un momento de discusión que les permita contrastar los procedimientos que pudieron surgir. U

Es probable que algunos estudiantes hayan tenido dificultades para efectuar la suma 3,2 + 3,45 ya que son números que tienen distinta cantidad de cifras, y este aspecto genera una dificultad al momento de realizar el cálculo. Un error frecuente es que, al ordenar los números según el valor posicional de sus dígitos, no consideren dichas posiciones. Una forma de apoyar a quienes presentan esta dificultad es usando la cuadrícula del sistema de numeración decimal como se muestra en la figura.

Comunicar y explicar los procedimientos usados para desarrollar los cálculos permitirá que niños y niñas puedan desarrollar habilidades como argumentar. Por lo anterior, motívelos a explicar los procedimientos haciendo referencia a los conocimientos matemáticos estudiados hasta el momento sobre los números decimales.

DESARROLLO / 55 minutos • En esta clase comienza el estudio de la resolución de problemas aditivos con números decimales. La primera parte de la clase resolverán problemas que involucran fracciones decimales, para luego continuar con problemas que involucran números decimales. • La Actividad 1, propone una situación de contexto en una chocolatería. Se muestran varios pesos de ofertas que hay en la tienda y que Luisa desea llevar. Sus estudiantes utilizarán estas cantidades para simular las compras que podría realizar Luisa. • En la parte a) se plantea que Luisa no quiere llevar más de 1 kilogramo de chocolate y se pide que señalen las ofertas que podría comprar Luisa sin pasarse. Entre las alternativas están: bombones de chocolate blanco y de chocolate suizo, bombones de chocolate suizo y de chocolate amargo, entre otras. Es importante señalar que para responder esta pregunta los estudiantes, además de sumar los pares de fracciones que representan los pesos de las ofertas, deben calcular la diferencia entre 1 y la suma obtenida, por ejemplo, deben calcular: 1-( 3 + 1 ). Varias 10 2 de estas sumas requerirán que igualen los denominadores de las fracciones o que utilicen parte de los contenidos 1 vistos en la unidad; ya en clases anteriores estudiaron que 2 = 5 décimos. Por otra parte, para efectuar la resta pueden usar un algoritmo o sobrecontar los décimos que faltan para completar 1 unidad a partir del sustraendo, 8 esto es, para calcular 1- 8 pueden sobrecontar 2 más a partir de 10 ya que con ello completan 1 unidad. 10 24 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• En las partes b) y c) aparecen dos problemas más que se espera que resuelvan usando estrategias como las mencionadas. Es importante destacar que en c) aparece un cálculo realizado por Luisa y los estudiantes deben establecer qué ofertas compró. Para ello se requiere que recuerden la equivalencia entre fracciones decimales, en particular, las relaciones que se pueden establecer entre fracciones comunes y decimales (por ejemplo, 1 = 25 ). 100 4 • Motive para que escriban la estrategia que usaron para sumar y restar fracciones decimales. Oriente que utilicen los contenidos sobre fracciones decimales abordados en clases anteriores al escribir la estrategia. • La Actividad 2 propone problemas que involucran números decimales. Cabe destacar que con ella se introduce el uso de diagramas, ya que los problemas no serán directos, es decir, al leer el enunciado no se establece directamente la operación que lo resuelve. Por ejemplo, en el problema a) se plantea que María juntó la harina de dos paquetes y obtuvo 6,32 kilogramos (la acción de juntar se asocia a la adición), se entrega el peso de un paquete, 4,35 kilogramos, y se pregunta por el peso del otro. El diagrama que permite representarlo es: 6,32 k 4,35 k

Observe que el diagrama permite establecer directamente que la operación que resuelve el problema es la sustracción.

• La Actividad 3 propone otros problemas, pero esta vez de comparación por diferencia. En la misma actividad se modela la forma de construir un diagrama, ya que se espera que usen este dispositivo para resolverlos. • En la última parte aparecen cuatro cálculos que combinan números decimales y fracciones comunes. Para desarrollar dichos cálculos se espera que representen todos los números, ya sea usando fracciones o usando números decimales. Por ejemplo, para calcular 1,25 - 1 , pueden escribir un ¼ como número decimal, ya que en 4 clases anteriores estudiaron la relación ¼ = 0,25. De esta forma, bastará que descompongan el minuendo para restar directamente. Usar diferentes representaciones de los números racionales (fracciones y decimales) y establecer las relaciones entre ellas, permite facilitar el desarrollo de cálculos o problemas que involucran ambos tipos de números. Decidir cuál representación usar para hacer eficaz el cálculo es una habilidad que niños y niñas deberán ir desarrollando paulatinamente.

CIERRE / 15 minutos Destaque con los estudiantes que: • Para resolver problemas con números decimales o fracciones decimales, en ocasiones es conveniente dibujar un diagrama que relacione los datos con la pregunta del problema. Para ello se pueden dibujar barras que representen las cantidades, lo que permite establecer directamente qué operación se debe realizar para responder la pregunta del problema. • Hay sumas o restas que combinan números decimales con fracciones decimales. Para calcularlas es conveniente escribir todo como número decimal o como fracción. Por lo anterior es importante comprender y saber las relaciones entre fracciones comunes y decimales, por ejemplo saber que: 1 = 0,5; 1 = 0,25; 3 = 0,75. Repase 2 4 4 estas relaciones con su curso.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Calcular: 3 + (2,75 – 3 ) + ( 1 -0,5) 4 2 • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 8 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Corregir errores en el cálculo de sumas y restas de decimales y fracciones decimales, y evaluar soluciones en la resolución de problemas.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea de la clase anterior. El cálculo necesario combina las operaciones de adición y sustracción y contiene varios números; se espera que en la clase anterior hayan adquirido una estrategia que les permita realizar el cálculo de manera directa, transformando todo a números decimales. El cálculo que deberían realizar es: 3 + (2,75 – 0,75) + (0,5 – 0,5) = 3 + 2 + 0 = 5. Genere un momento de reflexión al revisar la tarea que les permita discutir sobre la conveniencia de representar todos los números involucrados en el cálculo como números decimales. Contraste dicho procedimiento con el que deberían desarrollar si escriben todo como fracción, cuestión que en este caso resultaría algo más complejo de resolver.

DESARROLLO / 55 minutos • En esta clase se comienza con el análisis de errores en el cálculo de restas con fracciones. Si bien no es el foco principal en el estudio del Módulo, como se abordaron las relaciones entre la representación de fracciones comunes como números decimales, es una buena oportunidad para abordarlo. Sin embargo, el trabajo principal de la clase estará enfocado en los números decimales. • La Actividad 1 presenta dos errores comunes en el cálculo de una resta entre un número entero y una fracción común, el primero, que muestra la trasformación a decimal del minuendo para efectuar la resta, evidencia un error que tiene relación con restar 0,5 – 0,2 = 0,3 y no 2 – 0,5 = 1,5. El segundo error en 2 – 1 , muestra también 2 una dificultad frecuente en la resta que involucra fracciones, esto es, restar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores linealmente. Si bien el minuendo es un número entero, es habitual que se modifique esta dificultad y resten a 2 el numerador de la fracción 1 . 2 • Invite a analizar en parejas los procedimientos que se presentan en la actividad. Motive que respondan las preguntas elaborando sus propias explicaciones. • En la misma actividad se incluye información respecto de la importancia de considerar aspectos relacionados con la suma y resta de números decimales para efectuar cálculos de manera correcta. En el procedimiento de cálculo de estas operaciones estos aspectos son los que pueden generar errores si no se consideran. Lea esta información con el curso, ya que les permitirá tener herramientas para explicar los errores que se presentan en el resto de la actividad. • Las partes b), c) y d) muestran errores en el cálculo de sumas y restas con números decimales y fracciones; se espera que los analicen y expliquen. Por ejemplo, en la parte a) aparecen dos errores habituales en el cálculo de sumas con números decimales. Es posible que sus estudiantes entreguen como explicación: • Procedimiento 1: Al sumar los dos decimales no se ordenan correctamente según el valor posicional de sus dígitos y se suman unidades con décimos, y decenas con unidades. 26 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Es probable que frente a este error las respuestas solo señalen que “no se ordenaron correctamente”. Oriente para que establezcan qué posiciones son las que se suman de manera errónea y señalen por qué creen que se produce este error que, habitualmente, se genera porque los números que están sumando tienen distinta cantidad de cifras; al no completar con ceros representándolos como cantidades equivalentes antes de ordenarlos, se observan errores en el cálculo. • Procedimiento 2: Al sumar dos números decimales se efectúa la suma por separado de la parte entera (hasta la unidad) de la parte decimal (cifras decimales), sin relacionar estas posiciones. • Es probable que solo señalen que sumaron en forma incorrecta las cifras decimales. Pida que expliquen por qué creen que se produce este error. Es importante destacar que al usar esta versión del algoritmo (sumar partes enteras y decimales por separado), se calculan las sumas de los dígitos sin considerar el valor posicional; en este ejemplo, se sumó 45 + 4, siendo 4,4 décimos. • La Actividad 2 propone un problema en que la operación que lo resuelve no se desprende directamente del enunciado, esto es, la acción que se modela en él es la de juntar, pero se resuelve con una resta. Invite a leer el problema en parejas y responder las preguntas que aparecen a continuación. • Es importante destacar que la solución que da Marcos al problema es 34,65 litros, que correspondería al agua que hay en el segundo recipiente. Sin embargo, el problema señala que de ambos recipientes se obtuvo 23,45 litros; haga preguntas para guiar la reflexión: ¿Puede haber más litros en el segundo recipiente que en la suma de los dos? ¿En qué creen que se equivocó Marcos al resolver el problema? Una herramienta eficaz que permite representar el enunciado del problema y de esta forma identificar la pertinencia de la solución es el uso de diagramas. • A continuación se proponen tres problemas con sus respectivas solucionen, y se espera que niños y niñas analicen y señalen la pertinencia de las soluciones en el contexto del problema. Motive a sus estudiantes a explicar los errores en el uso de los algoritmos y la pertinencia de las soluciones a los problemas planteados, con sus propias palabras. Resguarde que la mayoría comprenda los errores que se producen en los algoritmos y señalen posibles causas de dichos errores.

CIERRE / 15 minutos Destaque con los estudiantes que: • Al sumar o restar números decimales es importante considerar que se deben ordenar según el valor de posición de sus dígitos, además de ser cuidadosos con las reservas al efectuar los cálculos, ya que con ello se evitarán errores como los observados en la clase. • Al resolver un problema con números decimales o fracciones decimales, es importante analizar la solución obtenida en el contexto del problema. Muchas veces se llega a una respuesta que según la información entregada en el enunciado no tiene sentido, por ejemplo: una persona mide 5 metros. Cuando se analiza la respuesta obtenida en el contexto del problema, se evitan errores en las respuestas que se entregan.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Explica el error en el siguiente cálculo:

34,62 + 22,51 56,113 • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 9 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Estimar sumas y restas con números decimales e identificar problemas rutinarios y no rutinarios.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea de la clase anterior. Invite a varios estudiantes a compartir sus respuestas con el curso. Al momento de revisar motive que expliquen y argumenten por qué consideran que el error de cálculo es el que señalan. • Destaque que el error en la tarea es distinto a los observados en la clase anterior, pero no por ello menos relevante. En este caso se trata de un error al efectuar el canje de una adición con reservas. Al sumar 6 décimos con 5 décimos el resultado se escribe en la posición de los décimos de la suma y no se realiza el canje. Con ello se produce un aumento de cifras en la suma que no tiene sentido en este caso. Si bien los errores producidos al no efectuar correctamente el canje de sumas y restas con números decimales son menos habituales en este nivel de enseñanza, pues fueron abordados con énfasis en el cálculo de sumas y restas con números enteros, la revisión de la tarea es una buena oportunidad para abordar este tipo de errores con quienes aún tienen dificultades para comprender este algoritmo.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 propone una situación de contexto en que Claudia efectúa la estimación en la suma de dos números decimales. Invite a leer la situación, analizar la respuesta de Claudia y luego responder las preguntas. • Una vez que la mayoría haya respondido las preguntas, revise sus respuestas y genere un momento de reflexión en torno a la importancia de saber estimar sumas y restas con números decimales, pues en ocasiones basta tener una respuesta cercana a la real. Para guiar la reflexión lea con su curso la información que aparece más adelante en la actividad. • Destaque que: en ocasiones basta con tener la estimación de una suma o resta con números decimales, pues se necesita una respuesta rápida que no requiere mucha precisión, por ejemplo, si se juntan dos recipientes con agua en uno de mayor capacidad, basta estimar la suma para saber si la capacidad del más grande contiene el agua de los dos recipientes de menor tamaño. Para estimar números decimales se debe redondear la cantidad al entero o decimal más cercano considerando que el número obtenido sea fácil de calcular mentalmente y, a la vez, buscando la mayor precisión posible. • Invite a realizar las partes a) y b) en que se solicita que redondeen números decimales y luego estimen medidas expresadas con números decimales. Observe las respuestas, pues es probable que al estimar, por ejemplo, 23,094 algunos lo redondeen a 24 pues aparece un 9 en las cifras decimales. En dichos casos oriente para que reflexionen que en la posición de los décimos (anterior a los 9 centésimos) aparece un 0 que nos indica que el entero más cercano es 23. • La Actividad 2 propone tres problemas que deben responder “sin efectuar cálculos”, es decir, estimando la suma o resta de números decimales que permite encontrar una solución. Motive a desarrollar los problemas realizando 28 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

estimaciones, y resguarde que no sumen o resten los datos antes de responder. La parte c) presenta 4 recipientes que tienen marcada en la parte exterior la cantidad de agua que hay en cada uno. Se espera que señalen al menos dos posibilidades de vaciar el contenido de los recipientes en un bidón que puede contener hasta 10 litros de agua. Entre las respuestas que se pueden generar están: A y B (aproximadamente 8 litros); B y D (aproximadamente 10 litros); A y D (aproximadamente 8 litros); A, B y C (aproximadamente 9 litros); A, C y D (aproximadamente 9 litros). Al momento de revisar este problema contraste todas las respuestas que pudieron surgir en el curso y motive a los estudiantes a buscar en conjunto todas las combinaciones posibles. • La Actividad 3 propone dos problemas con distinto nivel de dificultad. El primero es un problema rutinario en que se desprende directamente del enunciado la operación que lo resuelve, la acción de “juntar” asociada a la adición de números decimales. El segundo problema, que está dado en un contexto similar, no es directo, y requiere hacer más de un cálculo para resolverlo. • Pida que lean estos problemas en parejas y luego genere un momento de reflexión en torno al análisis de los problemas planteados. Destaque con ellos que: en el estudio de problemas con números decimales nos encontramos con problemas sencillos que se pueden resolver directamente del enunciado, los que se denominan rutinarios. Pero también, nos encontramos con problemas que tienen un mayor grado de dificultad, que requiere buscar estrategias (como el uso de diagramas) para identificar la operación que los resuelve, los que se denominan no rutinarios. • En la parte b) aparecen 3 tarjetas con distancias entre ciudades. Invite a usar esta información para generar dos problemas, uno rutinario y otro no rutinario, este último con un grado mayor de dificultad. Una vez que la mayoría haya resuelto los problemas, invítelos a compartirlos con otros compañeros o compañeras, y a resolverlos en conjunto. Formular problemas permitirá que niños y niñas vayan adquiriendo habilidades relacionadas con la resolución de problemas. Si bien puede que los problemas que formulen no cumplan a cabalidad con la condición de “no rutinarios”, el propósito de la actividad es que al menos adquieran herramientas para identificar grados de dificultad entre problemas aditivos.

CIERRE / 15 minutos Destaque con los estudiantes que: • Para estimar números decimales se debe redondear la cantidad al entero o decimal más cercano, considerando que el número obtenido sea fácil de calcular mentalmente y considerando la mayor precisión posible. Por ejemplo, si los décimos son mayores que 5 se aproxima el decimal al entero más cercano; si es menor, se considera la parte entera del número decimal dado. • Entre los problemas con números decimales hay problemas sencillos que se pueden resolver directamente del enunciado, los que se denominan como rutinarios. Y problemas que tienen un mayor grado de dificultad, que requiere buscar estrategias (como el uso de diagramas) para identificar la operación que los resuelve, los que se denominan como no rutinarios.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Sin calcular, estima el resultado de la resta: 43,02 – 2,94. Explica el procedimiento usado en la estimación. • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 10 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Realizar la prueba de la unidad.

INICIO / 15 minutos • En esta clase se llevará a cabo la prueba de la unidad. Invite a sus estudiantes a desarrollar la prueba explicando que a través de ella se evaluará lo que han aprendido en esta unidad. Anime a niños y niñas a trabajar con confianza en sí mismos y a realizar su mejor esfuerzo para responder cada una de las preguntas. • Resguarde que todos se encuentren con sus materiales (lápiz de mina, goma) y sentados en forma individual antes de entregar la prueba. Genere un clima sereno y tranquilo que permita a los estudiantes responder en forma ordenada las preguntas de la prueba.

DESARROLLO / 55 minutos • Distribuya la prueba, pida a los estudiantes que no comiencen hasta que todos la hayan recibido. • Pida que escriban su nombre y la fecha. • Explique brevemente que deben anotar (y no borrar) todos los cálculos y trazas que hagan para resolver cada pregunta (esta información es relevante para un análisis posterior de cada respuesta). • Durante la realización de la prueba, atienda las consultas que los estudiantes le hacen y ayúdelos a resolver el obstáculo que tienen, sin darles la respuesta ni indicaciones específicas. • Registre las consultas que le hagan, sobre todo las más recurrentes. • A quienes terminan primero, proponga que realicen las actividades del Cuaderno. • Anote también las estrategias no habituales que puede observar en los estudiantes al responder alguna de las preguntas de la prueba. Con respecto a las Actividades posteriores a la prueba, son actividades de tipo lúdico que desafían a los estudiantes a elaborar un razonamiento matemático que les permita resolverlas. Por ejemplo, en la primera actividad aparece una tabla con las combinaciones básicas de sumas entre décimos. En la segunda actividad aparecen cuadrados mágicos con números decimales, y para completarlos pueden guiarse de la tabla que aparece en la actividad anterior. Esta evaluación consta de 15 preguntas de selección múltiple, cada una con cuatro alternativas de respuesta. Considere las siguientes observaciones al momento de desarrollar la prueba. • Es importante que mientras se realiza la prueba, haya silencio y se eviten interrupciones que distraigan la atención de los niños y niñas. • Preste atención a posibles dificultades que presenten los estudiantes observando siempre el trabajo que están realizando, para tomar las medidas a tiempo y evitar tensiones. 30 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• El registro que usted haga de las consultas que han hecho los estudiantes le permitirá entablar el diálogo en la próxima clase. Los indicadores de evaluación que corresponden a los ítems de la prueba son: • Escriben en la cuadrícula del Sistema de Numeración Decimal el número decimal que corresponde a una representación pictórica. • Determinan el número decimal que corresponde a una suma compuesta por un número entero y dos fracciones decimales con denominadores 10 y 100, respectivamente. • Identifican el número decimal que corresponde a una representación pictórica. • Identifican el valor de posición de un dígito en un número decimal. • Resuelven problemas en que se pone en juego la relación entre la representación de una cantidad mediante fracciones decimales y números decimales. • Identifican el número decimal que corresponde a una representación pictórica de una fracción común. • Determinan los números decimales que corresponden a dos puntos marcados en una recta numérica. • Ordenan números decimales hasta la centésima, de menor a mayor. • Identifican la expresión que NO corresponde a un decimal dado, poniendo en juego la equivalencia entre representaciones decimales de los números. • Calculan la suma entre dos números decimales que tienen distinta cantidad de cifras decimales. • Resuelven un problema aditivo con números decimales en que la operación no se desprende directamente del enunciado. • Calculan la resta entre un número decimal y una fracción decimal. • Determinan la estimación más cercana a la suma de dos números decimales, en el contexto de una situación. • Identifican el error en el cálculo de la suma entre dos números decimales. • Resuelven un problema aditivo combinado con números decimales. Acoja las consultas de los estudiantes con respecto a las actividades propuestas. No les dé la respuesta, sino que ayúdelos a encontrarlas por sí mismos.

CIERRE / 15 minutos • Una vez transcurrido el tiempo previsto para la prueba, recoja las que aún no le han sido entregadas y establezca un diálogo con los estudiantes respecto del proceso vivido. Invite a que expresen sus impresiones en relación con el grado de dificultad de las distintas preguntas. • Escuche a sus estudiantes. Tome nota de los errores que perciba, a qué objetivos apuntan, su frecuencia, etc. Conduzca el diálogo de manera que se expresen correctamente, con argumentos y sin descalificaciones.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Sin calcular, estima el resultado de la resta: 100,092 - 19,94. Explica el procedimiento usado en la estimación. • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 11 Tiempo: 90 minutos

Objetivos de aprendizaje: • Revisar la prueba de la unidad.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Invite a uno o más estudiantes a explicar la forma en que estimaron la resta propuesta en la tarea de la clase anterior. Observe si aún hay niños o niñas que estiman el 100,092 como 101, solo por el hecho de que hay un 9 entre las cifras decimales. En dichos casos, el uso de la cuadrícula del sistema de numeración decimal puede ser una herramienta eficaz para corregir los errores. Destaque con los estudiantes que efectuar el cálculo anterior de manera directa puede requerir tiempo, pues se deben realizar canjes ya que la resta es con reserva. Sin embargo, al hacer la estimación, basta con calcular 100 – 20 = 80

DESARROLLO / 55 minutos • Para este momento de la clase se han seleccionado algunas preguntas de la prueba que pueden haber presentado mayores dificultades para los estudiantes. Estas preguntas se han incluido en el Cuaderno de Trabajo prescindiendo de las alternativas de respuesta. Pida que desarrollen cada pregunta en parejas. Podría suceder que el análisis que usted haga de las respuestas de sus alumnos no coincida con los ejercicios que se consideran a continuación. Sin embargo, conforme a la realidad de su curso, elija situaciones problemáticas iguales o similares a las preguntas con mayores dificultades, que le permitan emplear la evaluación como una herramienta de aprendizaje. • Dé un tiempo razonable para que analicen las preguntas y las respondan en parejas. Es importante resguardar que expliquen los procedimientos que utilizan y argumenten sus respuestas, de esta forma podrán profundizar los conocimientos adquiridos durante el Módulo y corregir sus errores. • Pregunta 1: Solicita que escriban la expresión 4+ 2 + 3 como número decimal. Es probable que algunos 100 10 niños o niñas aún tengan dificultades para componer este tipo de expresiones, ya que tienen debilidades para comprender el valor posicional en este tipo de números. El uso de la cuadrícula puede ser una buena herramienta para reforzar estos conocimientos. 16 • Pregunta 2: Propone una situación de contexto en que deben expresar la fracción 10 como número decimal. Se pueden presentar dificultades, ya que el numerador es mayor que 10, por tanto un posible error es que escriban 0,16. Usar una descomposición de la fracción decimal como suma de otras dos fracciones puede resultar una forma eficaz de corregir errores, esto es: 16 = 10 + 6 = 1 + 0,6 = 1,6. 10 10 10 • Pregunta 3: Solicita que niños y niñas escriban una representación gráfica de ¾ como número decimal. Esta pregunta pudo traer dificultades a quienes aún no han interiorizado las relaciones entre fracciones comunes y números decimales. Aproveche esta instancia para repasar relaciones como: 1 = 0,5; 1 = 0,25. 2 4 32 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Pregunta 4: Propone una recta numérica en que se han marcado dos puntos A y B y pide a los estudiantes expresar dichos puntos en números decimales. Es probable que los errores surjan porque la recta está graduada con una escala de 0,2. A quienes observe que tienen mayores dificultades puede pedir que completen la recta con otras marcas. • Pregunta 5: Aparece el siguiente problema: En un recipiente que contiene agua, se agregaron otros 12,56 litros, llegando a completar 15,6 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua había inicialmente en el recipiente? Dibujar un diagrama del problema puede ser una buena estrategia para corregir errores en su resolución, las que tienen que ver con la dificultad de identificar la operación que lo resuelve. El diagrama en este caso es: 15,6 l ?l

12,56 l

1 • Pregunta 6: Se solicita calcular 5,25- 4 . Observe que este cálculo es sencillo si se considera la relación entre números decimales y fracciones comunes. Sin embargo, es probable que haya niños o niñas que aún tengan dificultades para establecer dichas relaciones. Contraste los distintos procedimientos de cálculo que pueden haber surgido en el curso para que sean los mismos estudiantes quienes se den cuenta de sus errores. • Pregunta 7: Se presenta un error de cálculo en la suma 34,4 + 34,56. El error se debe a que se suma la parte entera separada de las cifras decimales, sin considerar las relaciones que existen entre estas posiciones. Repase con los estudiantes estas relaciones, por ejemplo, que 10 décimos es 1 unidad. Resguarde que argumenten sus respuestas en conjunto con su compañera o compañero. La comunicación y argumentación del pensamiento matemático es una habilidad que deben ir desarrollando paulatinamente a lo largo de su escolaridad.

CIERRE / 15 minutos • Genere un momento de reflexión que permita a niños y niñas evaluar su propio desempeño durante el trabajo en el Módulo. Invítelos a reflexionar sobre aquellos contenidos que les presentaron mayor dificultad y sobre la forma en que superaron sus posibles errores.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Mencionar al menos dos contextos en que los números decimales se usan en la vida cotidiana. • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PAUTA DE CORRECCIÓN / PRUEBA

Ítem 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Eje Temático

Indicador de Evaluación

Escriben en la cuadrícula del Sistema de Numeración Decimal el número decimal que corresponde a una representación pictórica. Determinan el número decimal que corresponde a una suma compuesta por un número entero y dos fracciones decimales con denominadores 10 y 100, respectivamente. Identifican el número decimal que corresponde a una representación pictórica. Identifican el valor de posición de un dígito en un número decimal. Resuelven problemas en que se pone en juego la relación entre la representación de una cantidad mediante fracciones decimales y números decimales. Identifican el número decimal que corresponde a una representación pictórica de una fracción común. Determinan los números decimales que corresponden a dos puntos marcados en una recta numérica. Números y Operaciones Ordenan números decimales hasta la centésima, de menor a mayor. Identifican la expresión que NO corresponde a un decimal dado, poniendo en juego la equivalencia entre representaciones decimales de los números. Calculan la suma entre dos números decimales que tienen distinta cantidad de cifras decimales. Resuelven un problema aditivo con números decimales en que la operación no se desprende directamente del enunciado. Calculan la resta entre un número decimal y una fracción decimal. Determinan la estimación más cercana a la suma de dos números decimales, en el contexto de una situación. Identifican el error en el cálculo de una suma entre dos números decimales. Resuelven un problema aditivo combinado con números decimales.

34 Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

Respuesta B

B B D C D B B C B A C B B D

MÓDULO Nº 3: NÚMEROS DECIMALES ORIENTACIONES PARA EL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA PRUEBA El Módulo 3 aborda, principalmente, el estudio de los números decimales. Se consideraron objetivos relacionados con la estructura del sistema de numeración incorporando décimos, centésimos y milésimos, las relaciones entre estas posiciones y la noción de valor posicional. Este estudio inicial abordó distintos tipos de representaciones, pictóricas y simbólicas, de manera de asegurar que las y los estudiantes logren comprender las características de estos números y su relación con las fracciones decimales. Posteriormente, se abordó la relación de orden entre los números decimales, el uso de la recta numérica como dispositivo que permite representar y ordenar estos números, y sus relaciones con las fracciones decimales. Finalmente, se abordó la adición y sustracción de números decimales, incorporando la resolución de problemas aditivos, junto a la realización de actividades para evaluar errores de cálculo, soluciones de problemas y estimación de cantidades. La Prueba del Módulo incorpora ítems que permiten evaluar los aprendizajes relacionados con determinar la estructura y características de los números decimales, ordenar y comparar este tipo de números. Del mismo modo, se incorporan ítems relacionados con tareas como sumar y restar números decimales, resolver problemas aditivos y estimar o corregir errores en el cálculo de adiciones y sustracciones con estos números. El análisis de las respuestas de los estudiantes en la prueba, le permitirá tener información sobre qué aspectos de los contenidos abordados en el Módulo no han sido logrados. De esta forma, podrá tomar acciones remediales que permitan consolidar los aprendizajes de niños y niñas. Es importante mencionar que los conocimientos abordados en la unidad son relevantes para estudiar otras operaciones con estos números, como la multiplicación y la división, cuyos algoritmos se basan en una comprensión sólida de las características del sistema de numeración, en particular, de la noción de valor posicional. Por otra parte, las relaciones entre la representación de una cantidad usando fracciones decimales o números decimales, son aprendizajes fundamentales para el estudio de porcentajes o representación de datos cuando las variables son continuas. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO

Finalmente, se recomienda no solo hacer el análisis de la evaluación considerando porcentajes de respuestas correctas o incorrectas, sino que también considerar en las respuestas incorrectas aquellos distractores que fueron elegidos por un mayor número de estudiantes. El análisis de los distractores escogidos le permitirá identificar los errores que están presentando y, por ende, tener una aproximación al conocimiento matemático que no han comprendido en forma efectiva. A continuación se presenta una selección de cuatro ítems, y se modela una forma de hacer este análisis.

36 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

Ítem

Indicador de evaluación de la prueba

Información del curso % L % NL

Orientaciones remediales

Ítem 2: El decimal que corresponde a Determinan el número decimal que corresponde a la siguiente expresión es: una expresión compuesta por la suma entre unidades, 4+ 2 + 3 10 100 décimos y centésimos, presentada en notación fracA. 0,423 cionaria. B. 4,23 C. 42,3 D. 423,0

Para responder este ítem de evaluación se requiere comprender las relaciones entre las fracciones decimales y los números decimales. Es probable que la mayoría establezca con facilidad que los dígitos involucrados al escribir el decimal son 4, 2 y 3. Sin embargo, el error puede estar en establecer en qué posición deben escribir dichos dígitos, seleccionando la alternativa A. Una forma de corregir el error, es volver a retomar el significado de décimos, centésimos y milésimos usando una cuadrícula.

16 Ítem 5: Mario compró en la feria 10 kilogramos de espinaca. La pesa del puesto donde compró la espinaca es digital, es decir, el peso lo entrega con números decimales. ¿Cuánto marcó la pesa? A. 0,016 kilogramos. B. 0,16 kilogramos. C. 1,6 kilogramos. D. 16,10 kilogramos.

Resuelven problemas en que se pone en juego la relación entre la representación de una cantidad en fracciones decimales y números decimales.

La fracción involucrada en el ítem tiene un numerador igual a 16, por tanto, necesitan establecer que 16 décimos es mayor que 1. Este aspecto puede generar dificultades y llevarlos a seleccionar la alternativa B como respuesta. Para abordar este tipo de problemas, pueden ubicar 16 décimos en la cuadrícula; de esta forma observarán que el decimal está compuesto por 1 unidad y 6 décimos. Otra forma es a partir de la representación de dicha cantidad usando figuras rectangulares, donde 1 unidad correspondería a una barra compuesta por 10 décimos (ver clase 1).

Ítem 11: En un recipiente con agua, se agregaron otros 12,56 litros, llegando a completar 15,6 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua había inicialmente en el recipiente? A. 3,04 litros. B. 3,4 litros. C. 14,12 litros. D. 28,16 litros.

Resuelven un problema aditivo con números decimales en que la operación no se desprende directamente del enunciado.

Generalmente, este tipo de problema presenta dificultades a los estudiantes, ya que la acción que se modela en el enunciado del problema está referida a “agregar”, sin embargo, la operación que lo resuelve es una sustracción. Es probable que varios hayan marcado la alternativa D, incluso sin efectuar la suma, pues estimaron la respuesta. Una forma de identificar la operación que resuelve este tipo de problemas es con un diagrama de barras como los vistos en el Módulo.

Ítem 14: Al calcular la suma 34,4 + Identifican el error en el 34,56 una persona obtiene como resul- cálculo de la suma entre tado 68,60. ¿Cuál es el error al efectuar dos números decimales. la suma? A. No considerar la reserva de 0,4 + 0,6. B. No sumar los números considerando el valor de posición de los dígitos. C. Escribir dos ceros al final del resultado. D. No poner bien la coma en el resultado de la suma.

Es probable que algunos estudiantes durante el desarrollo del Módulo hayan presentado errores similares, y por tanto se enfrenten a dudas al momento de seleccionar la alternativa. El error que se muestra en el ítem es común en estudiantes de 5º básico, que tienen una concepción de los números decimales como dos números separados por una coma. De esta forma les resulta natural sumar por separado la parte entera de la parte decimal, sin considerar el valor de posición de los dígitos de la parte decimal y entera.

(*) La columna información del curso debe ser llenada por cada docente, incorporando el porcentaje de estudiantes que contestaron el ítem en forma correcta (%L) y el porcentaje que lo hizo en forma incorrecta (%NL). Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades MATEMÁTICA Guía didáctica

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades MATEMÁTICA Guía didáctica NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA División de Educación General Ministerio de Educación República de Chile 2013

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades MATEMÁTICA Guía Didáctica / 5o básico

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA

2013

MÓDULO Nº 4: DATOS Y PROBABILIDADES PRESENTACIÓN

En este Módulo se presenta una serie de actividades que permiten alcanzar objetivos de aprendizaje de la cuarta unidad del Programa de Estudio de 5° básico. Se estudia la representación de datos a través de tablas de frecuencia, gráficos de barra y gráficos de línea. En este mismo contexto se aborda el estudio del promedio de un conjunto de datos, a partir de diversos contextos. Finalmente, la unidad propone el estudio de la probabilidad de experimentos aleatorios donde, sin calcularlas, niños y niñas construirán conceptos asociados con este conocimiento matemático. Los objetivos de aprendizaje del currículum que se abordan en la unidad son los siguientes: • Leer, interpretar y completar tablas, gráficos de barra simple y gráficos de línea, y comunicar sus conclusiones (OA26). • Calcular el promedio de datos e interpretarlo en su contexto (OA23). • Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento de acuerdo a un experimento aleatorio, empleando los términos seguro – posible – poco posible – imposible (OA24). • Comparar probabilidades de distintos eventos sin calcularlas (OA25). Los conocimientos previos que niños y niñas deben tener para abordar el Módulo tienen relación, por una parte, con la representación de datos usando tablas de frecuencia simples y gráficos de barra simple. Ambos contenidos se retoman en la primera clase y son la base para el estudio que se propone en la primera parte del Módulo. Por otra parte, se espera que los estudiantes hayan experimentado en cursos anteriores juegos aleatorios a partir del lanzamiento de dados o monedas, ya que a partir de ellos se estudiará la posibilidad de ocurrencia de un suceso relacionado con dichos juegos. Sin embargo, en ambos casos no es necesario realizar un repaso exhaustivo de estos contenidos matemáticos antes de comenzar a implementar el Módulo, ya que se han incluido actividades que les permitirán retomar estos contenidos. Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO

Para alcanzar estos objetivos las tareas matemáticas que principalmente desarrollan los estudiantes son: • Leer e interpretar información presentada en tablas de frecuencia simples y de doble entrada. • Completar tablas de frecuencia simples y de doble entrada. • Leer e interpretar información presentada en gráficos de barra simple y gráficos de barra dobles. • Leer e interpretar información presentada en gráficos de línea. • Comparar información presentada en gráficos de línea. • Calcular el promedio de un conjunto de datos. • Interpretar el significado del promedio de un conjunto de datos. • Determinar la posibilidad de ocurrencia de un suceso relacionado con un experimento aleatorio. • Comparar la probabilidad, sin calcularla, de sucesos relacionados con experimentos aleatorios. Para variar el nivel de complejidad de las actividades que se abordan en el Módulo, y que se relacionan con la representación de información proveniente de estudios estadísticos, se ha considerado el tipo de tablas de frecuencia, el tipo de gráficos y el tipo de análisis de la información, esto es, leer, interpretar o inferir. También se considera el tipo de números, que pueden ser enteros o decimales. Es importante mencionar que los contextos utilizados para estudiar el análisis y representación de información son variados, y entre ellos se han considerado temas de género, salud, o de actualidad. Por otra parte, en el estudio de la probabilidad de ocurrencia de un suceso asociado a un experimento aleatorio, el nivel de complejidad se hace variar a partir del tipo de experimento, que puede ser, lanzar una moneda al aire, lanzar 4 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

MÓDULO Nº 4: DATOS Y PROBABILIDADES

un dado, hacer girar una ruleta o seleccionar una pelota de una caja opaca. Este tipo de experimentos permitirá tener espacios muestrales de distintos tamaños y, por ende, la descripción de la probabilidad de ocurrencia de un evento permitirá usar distintos procedimientos. Finalmente, es importante mencionar que en el Módulo se trabajan las cuatro habilidades matemáticas propuestas en el currículum. La resolución de problemas no solo se aborda con el estudio tablas de frecuencias y gráficos, sino también con el estudio del promedio de un conjunto de datos. Representar se aborda con énfasis en el uso de tablas y gráficos, pero además también se estudia al describir la posibilidad de ocurrencia de un suceso relacionado con un experimento aleatorio. La modelización viene de la mano de la resolución de problemas, en particular, de los problemas relacionados con el estudio del promedio. Argumentar y comunicar se trabajan durante todo el Módulo; para hacerlo explícito se han incorporado secciones en que niños y niñas deben escribir estrategias y conclusiones relacionadas con los contenidos abordados en algunas de las clases.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

Programación Módulo 4 Matemática 5º Básico CLASE

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

INDICADORES DE EVALUACIÓN DEL PROGRAMA

• Leer, interpretar y completar tablas, gráficos de barra simple y gráficos de línea, y comunicar sus conclusiones (OA26).

• Leen en tablas de doble entrada datos obtenidos de estudios estadísticos realizados. • Leen e interpretan información dada en tablas. • Responden preguntas a partir de la información extraída de gráficos de barra simple.

• Leer, interpretar y completar tablas, gráficos de barra simple y gráficos de línea, y comunicar sus conclusiones (OA26).

• Completan información dada en tablas. • Leen e interpretan información dada en gráficos de línea y responden preguntas relativas a la información que entrega.

6 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

REFERENCIA A TEXTOS ESCOLARES

EJEMPLOS DE PREGUNTAS • A un grupo de 100 estudiantes de un colegio se les preguntó por el deporte que preferirían realizar en talleres extraprogramáticos. Las respuestas aparecen en la siguiente tabla: Deporte Fútbol

Hombres 34

Mujeres 12

Voleibol

Atletismo

Ciclismo

REFERENCIA A OTROS RECURSOS

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recursos interactivos para crear gráficos: http://www.chartgo.com/index_ es.jsp http://www.juegoseducativosvindel. com/graficos.php

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recursos interactivos para crear gráficos: http://www.chartgo.com/index_ es.jsp http://www.juegoseducativosvindel. com/graficos.php http://www.genmagic.org/mates2/ grafica_temperatura.html

• ¿En qué deporte se produce la mayor diferencia entre las preferencias de hombres y mujeres? A. Fútbol. B. Voleibol. C. Atletismo. D. Ciclismo. • El gráfico muestra las personas que visitaron un museo en Talca durante la primera semana de septiembre. 80 60 40 20 0

• ¿Cómo varía la cantidad de visitantes a medida que transcurre la semana? A. Aumenta. B. Se mantiene constante. C. Disminuye. D. No se puede determinar a partir del gráfico.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

CLASE

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

INDICADORES DE EVALUACIÓN DEL PROGRAMA

• Leer, interpretar y completar tablas, gráficos de barra simple y gráficos de línea, y comunicar sus conclusiones (OA26).

• Comparan información extraída de gráficos de línea. • Resuelven problemas que impliquen interpretar información presentada en gráficos.

• Calcular el promedio de datos e interpretarlo en su contexto (OA23)

• Explican la información que entrega el promedio de un conjunto de datos. • Determinan el promedio de un conjunto de datos.

8 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

REFERENCIA A TEXTOS ESCOLARES

EJEMPLOS DE PREGUNTAS • El siguiente gráfico muestra el número de visitantes que tuvo una exposición de arte contemporáneo durante una semana. Hombres 35 30 25 20 15 10 5 0

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recursos interactivos para crear gráficos: http://www.chartgo.com/index_ es.jsp http://www.juegoseducativosvindel. com/graficos.php http://www.genmagic.org/mates2/ grafica_temperatura.html

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recurso interactivo para el estudio de estadística descriptiva: http://www.librosvivos.net/smtc/ homeTC.asp?TemaClave=1051

Mujeres

REFERENCIA A OTROS RECURSOS

• ¿Cómo varía la diferencia entre el número de hombres y mujeres que visitó la exposición esa semana? A. La diferencia es constante durante toda la semana. B. La diferencia disminuye durante el jueves y el fin de semana. C. La diferencia aumenta el fin de semana. D. No se puede determinar a partir del gráfico. • A 10 estudiantes de 5° básico se les preguntó la cantidad de horas que dedicaban diariamente a estudiar. Los resultados se muestran en la tabla: Cantidad de horas

Número estudiantes

• ¿Cuál es el promedio de horas que dedica este grupo de estudiantes a estudiar diariamente? A. 1 hora. B. 2 horas. C. 3 horas. D. 4 horas.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

CLASE

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

INDICADORES DE EVALUACIÓN DEL PROGRAMA

• Calcular el promedio de datos e interpretarlo en su contexto (OA23).

• Comparan resultados de conjuntos de datos, utilizando el promedio de un conjunto de datos. • Obtienen conclusiones a partir de la información que entrega el promedio de un conjunto de datos en un contexto determinado.

• Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento de acuerdo a un experimento aleatorio, empleando los términos seguro – posible – poco posible – imposible (OA24).

• Describen eventos posibles en el resultado de un juego de azar; por ejemplo: al lanzar un dado, indican los resultados posibles incluidos en el evento “que salga un número par”. • Se refieren a la posibilidad de ocurrencia de un evento, mediante expresiones simples como seguro, posible, poco posible o imposible.

• Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento de acuerdo a un experimento aleatorio, empleando los términos seguro – posible – poco posible – imposible (OA24).

• Se refieren a la posibilidad de ocurrencia de un evento, mediante expresiones simples como seguro, posible, poco posible o imposible. • Dan ejemplos de eventos cuya posibilidad de ocurrencia es segura, posible, poco posible o imposible.

10 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

EJEMPLOS DE PREGUNTAS

REFERENCIA A TEXTOS ESCOLARES

REFERENCIA A OTROS RECURSOS

• En Colombia la altura promedio de un hombre adulto es 172,2 cm, mientras que en Chile es 178,2 cm. • A partir de la información se puede asegurar que: A. Un hombre colombiano puede llegar a medir a lo más 172,2 cm. B. Todos los hombres adultos chilenos son más altos que los hombres adultos colombianos. C. Un hombre adulto chileno medirá a lo menos 178,2 cm. D. La estatura promedio de un hombre adulto colombiano es menor que la estatura promedio de un hombre adulto chileno.

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recurso interactivo para el estudio de la media aritmética: http://agrega.educa.jccm.es/ visualizador-1/Visualizar/Visualizar. do?idioma=es&identificador=es_2 009063013_7230260&secuencia= false#

• Lucas va a hacer girar la siguiente ruleta:

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Recurso interactivo para el estudio de probabilidades: http://www.librosvivos.net/smtc/ homeTC.asp?TemaClave=1170

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Interactivo para el estudio de probabilidades a través de dados, cartas o pelotas de colores: http://www.uco.es/~ma1marea/ alumnos/primaria/indice.html

3 5

2 3

Un resultado poco posible es: A. que salga un número menor que 3. B. que salga un número menor que 5. C. que salga 3. D. que salga un número mayor que 5. • Las siguientes pelotas están en una caja opaca. Si se sacan dos pelotas a la vez, ¿cuál de los siguientes resultado es imposible? A. Sacar una blanca y una negra. B. Sacar dos blancas. C. Sacar dos negras. D. Sacar dos pelotas del mismo color.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

CLASE

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

INDICADORES DE EVALUACIÓN DEL PROGRAMA

• Comparar probabilidades de distintos eventos sin calcularlas (OA25).

• Dan ejemplos de eventos cuya probabilidad de ocurrencia es mayor que la de otros eventos, sin calcularla. • Juegan a lanzar dados o monedas y, frente a eventos relacionados con estos lanzamientos, dicen, sin calcular, cuál es más probable que ocurra.

• Comparar probabilidades de distintos eventos sin calcularlas (OA25).

• Juegan a lanzar dados o monedas y, frente a eventos relacionados con estos lanzamientos, dicen, sin calcular, cuál es más probable que ocurra. • Hacen apuestas entre alumnos y dicen, sin calcular, quién tiene más probabilidad de ganar.

• Prueba del Módulo.

• Todos los indicadores abordados en el Módulo.

• Reforzamiento.

• Todos los indicadores abordados en el Módulo.

12 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

EJEMPLOS DE PREGUNTAS • Tatiana y Mario están jugando a lanzar un dado. Antes de hacer el lanzamiento, ellos apuestan por un posible resultado. Tatiana hizo la siguiente apuesta:

REFERENCIA A TEXTOS ESCOLARES

REFERENCIA A OTROS RECURSOS

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Interactivo que simula el lanzamiento de un dado: http://ntic.educacion.es/w3//eos/ MaterialesEducativos/mem2010/ labazar/index.html

• Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

• Interactivo que simula el lanzamiento de una o dos monedas: http://ntic.educacion.es/w3//eos/ MaterialesEducativos/mem2010/ labazar/index.html

“Sale número par” ¿Cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad de salir que la apuesta de Tatiana? A. Sale número impar. B. Sale el 6. C. Sale un número menor que 6. D. Sale un número mayor que 6. • Para ganar un juego se deben sacar dos pelotas negras de una caja opaca que contiene pelotas blancas y negras. ¿Con cuál de las siguientes cajas hay mayor probabilidad de ganar? A. Caja A : B. Caja B : C. Caja C : D. Caja D : • Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.. • Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 1

Objetivo de la clase: • Leer e interpretar información presentada en tablas de frecuencia y gráficos de barra.

INICIO / 15 minutos • La clase comienza con la Actividad 1, que presenta una situación de contexto. Una estudiante de 5° básico hizo una encuesta a sus compañeros, y entre las preguntas, recogió información sobre el número de hermanos que tiene cada uno. Los datos se presentan en un recuadro sin ordenar. Invite a los estudiantes a analizar la información y responder las preguntas que aparecen a continuación. • Es importante mencionar que las preguntas tienen el propósito de que busquen estrategias basadas en el conteo para establecer, por ejemplo, si hay más alumnos que tienen 1 hermano que alumnos con 2 hermanos. Del mismo modo, se espera que los estudiantes identifiquen que para determinar el número de estudiantes encuestados, deberán contar las observaciones registradas en el recuadro. Incentive que comuniquen las estrategias que usaron para responder estas preguntas y, si es posible, registre algunas de estas estrategias en la pizarra de manera que al desarrollar el resto de la actividad puedan compararlas. • Una vez realizado un análisis de las respuestas, pida que desarrollen la segunda parte de la actividad, completar una tabla de frecuencia con los datos del recuadro inicial. Dé un tiempo para que busquen estrategias que les permitan completar la tabla. Es probable que algunos tengan dificultades para hacerlo; en dichos casos oriéntelos con preguntas como: ¿Cuántos niños de los entrevistados son hijos únicos? ¿Cómo podemos saberlo a partir del recuadro? ¿En qué parte de la tabla crees que va la respuesta? • Destaque que aunque la información del recuadro contiene todos los datos recogidos por la estudiante de 5° básico en la encuesta, leer e interpretar dicha información para responder las preguntas puede ser un tanto engorroso, ya que en cada caso se deben contar las observaciones para responder. Sin embargo, en la tabla de frecuencia los datos aparecen resumidos y ordenados y, a partir de ella, se puede extraer nueva información. Invite al curso a leer el párrafo a continuación y comente con ellos las características de una tabla de frecuencia. El estudio de tablas de frecuencias permite a las y los estudiantes ir desarrollando paulatinamente la habilidad de representar. En la primera actividad se han abordado dos formas de representación, una de ellas es exponer los datos en forma explícita y la otra, ordenados a partir de una tabla de frecuencia.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 2 propone analizar una tabla de frecuencias que contiene información sobre el número de personas donantes de órganos en Chile, por mes, durante el año 2012. Invite a analizar la tabla y responder las preguntas. Las primeras dos preguntas requieren un lectura simple de la tabla, ya que se trata de identificar el mes en que se produjo la mayor cantidad de donantes y luego el mes en que se produjo la menor cantidad. Es probable que los estudiantes no tengan dificultades al responder estas preguntas, ya que este tipo de tareas fueron abordadas en años anteriores. La tercera pregunta tiene un grado de dificultad mayor, ya que deberán establecer la cantidad de meses en que los donantes fueron más de 10 (la respuesta es 8). Frente a esta pregunta algunos podrían señalar 14 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

que son 9 meses, ya que en diciembre los donantes fueron 10. Es importante orientarlos para que comprendan que al señalar “más de 10” se excluye esta cantidad (para considerarla la instrucción debió ser “10 o más de 10”). • La segunda parte de la actividad presenta un gráfico de barras construido a partir de la información de la tabla. Invite al curso a analizar el gráfico y responder las preguntas. Es importante destacar que los gráficos de barra, al igual que las tablas de frecuencia, son dispositivos que permiten representar información proveniente de diversos estudios estadísticos, en la actividad permiten representar información relacionada con el número de donantes de órganos, por mes, que hubo el año 2012 en Chile. Están compuestos por dos ejes, uno horizontal y otro vertical; en el primero generalmente se ubican las categorías del aspecto que se está estudiando (en este caso meses del año) y en el segundo la frecuencia absoluta (en este caso cantidad de donantes). El tamaño de las barras será igual a la frecuencia absoluta de la categoría correspondiente. • La Actividad 3, propone nuevamente información sobre una encuesta que se aplicó a estudiantes de 5° básico, respecto a sus preferencias sobre el instrumento musical que quieren aprender a tocar. Para registrar la información se usó el nombre de los estudiantes, de manera que se pueda identificar el sexo de quien respondió. El propósito de esta actividad es introducir el estudio de tablas de frecuencia de doble entrada, que se construyen distinguiendo más de una variable. Invite a leer las instrucciones, responder las preguntas y completar la tabla. • Es importante destacar que al completar la tabla se han distinguido dos aspectos: el instrumento que desean aprender a tocar y el sexo de quien respondió. Esta distinción permite hacer comparaciones entre las preferencias de niñas y niños, y así analizar de forma más efectiva la información. Concluya con ellos que a este tipo de tablas se les denomina “tablas de frecuencia de doble entrada”, y los aspectos que se han considerado se denominan “variables”. En la tabla construida se ha considerado la variable tipo de “instrumento musical” y la variable “sexo”. En la Actividad 1, solo se consideró una variable “número de hermanos de los estudiantes de 5° básico”. Destaque que la columna total en la tabla corresponde a la suma de los valores en las columnas niño y niña. • Pida que lean la información que aparece en el párrafo final y compartan los aspectos más relevantes de dicha información. La información inicial en la Actividad 3 es detallada y permitirá responder preguntas relacionadas con un caso específico, por ejemplo, ¿qué instrumento musical desea aprender a tocar Esteban? Sin embargo, si se quiere responder una pregunta más general, como ¿qué instrumento desean aprender a tocar más niñas?, utilizar la información detallada puede resultar engorroso. En dichos casos el uso de tablas de frecuencia es efectivo. Motive al curso a explicar y argumentar sus respuestas al revisar las preguntas relacionadas con la actividad, para contrastar el uso de tablas de frecuencia con la otra forma de representación vista en la actividad.

CIERRE / 15 minutos Destaque con el curso que: • Las tablas de frecuencia permiten resumir, organizar y comunicar información relacionada con una o más variables provenientes de un estudio estadístico. Un estudio estadístico permite recoger información sobre un grupo de individuos que se desea estudiar. • En las tablas de frecuencia el número de observaciones que hay para cada valor de la variable se denomina frecuencia absoluta. • Los gráficos de barra son otra forma de representar información.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Recortar de un diario o revista una tabla de frecuencia con información sobre un tema de actualidad. • En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 2

Objetivo de la clase: • Leer e interpretar información presentada en tablas de frecuencia y gráficos de barra, y completar tablas. Leer e interpretar información presentada en gráficos de línea.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea de la clase anterior. Seleccione algunas tablas de las que trajeron los estudiantes y compártalas con el curso. Pida que formulen una pregunta interesante de responder a partir de una de las tablas seleccionadas, que lean las preguntas y que el curso las responda. Genere un ambiente de reflexión en torno a las preguntas y respuestas mediadas por la tabla de frecuencia. Es importante destacar que a partir de una tabla de frecuencia que comunica información organizada y resumida, se puede analizar e interpretar información de diversos aspectos. Es por ello, que al formular preguntas sobre una tabla de frecuencias, pueden surgir respuestas diversas, y asimismo, se puede generar una discusión en torno a dichas respuestas.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 busca retomar los contenidos abordados en la clase anterior. Propone dos situaciones en que se presenta una tabla de frecuencia de doble entrada y un gráfico de barras. La parte a) incluye una tabla que completaron en la clase anterior, pero esta vez deberán comparar dicha información con el gráfico de barras correspondiente. Es probable que algunos estudiantes tengan dificultades para responder la segunda pregunta, cómo deducir a partir del gráfico de barras la columna total de la tabla. Se espera que analicen los valores de la tabla y concluyan que el total corresponde a la suma de las longitudes de las barras sobre este valor de la variable en el gráfico. Puede orientarlos haciendo preguntas como: ¿Cuántos estudiantes en total quieren aprender a tocar guitarra? Si se observan las barras en el gráfico, ¿cuántas niñas quieren aprender a tocar guitarra? ¿Cuántos niños? ¿Qué relación hay entre estos números y la cantidad que refleja la columna total? • La tercera pregunta tiene el propósito de generar una reflexión acerca de las ventajas y desventajas del gráfico de barra sobre la tabla; se espera que concluyan que hay preguntas en que conviene observar el gráfico, por ejemplo, ¿hay más niños o niñas que quieren aprender a tocar batería? Ya que basta con mirar las barras y determinar cuál tiene mayor longitud. Sin embargo, si se pregunta por la cantidad de niñas que quiere aprender a tocar batería, puede ser más efectivo leer la tabla que el gráfico. Para generar este momento de reflexión, plantee preguntas como las anteriores. • En la parte b) deberán completar una tabla a partir de la información representada en un gráfico de barras. Invite a desarrollar esta actividad en parejas y revisen las respuestas en conjunto. Es probable que algunos tengan dificultades para completar los datos relacionados con la preferencia de vóleibol como deporte, pues solo aparece la barra en la variable mujeres. Es importante que se den cuenta que en ese caso hay 0 hombres que escogieron dicha preferencia. Revise las respuestas solicitando que expliquen y argumenten sus procedimientos. • En la Actividad 2 se introduce el estudio de un nuevo tipo de gráficos “de línea”. Para ello se presenta información relacionada con los índices de radiación ultravioleta en la ciudad de Arica en los primeros días de agosto de 2013. 16 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

Invite a leer la información que aparece en el recuadro, que les permitirá entender las características de este fenómeno, y luego a analizar la tabla de frecuencia y realizar la actividad en parejas. • Se pide completar un gráfico de línea ubicando puntos sobre una cuadrícula. La dificultad que puede presentar tiene relación con la ubicación de puntos en la cuadrícula, contenido que fue abordado en cursos anteriores. Mientras desarrollan la actividad observe quiénes tienen dificultades. En dichos casos puede orientarlos con preguntas: ¿Cuál fue el índice de radiación UV-B el día 02 de agosto según la tabla? Al mirar el gráfico, ¿qué columna de la cuadrícula corresponde al 02 de agosto? Si el índice fue 5, ¿a qué altura se debe ubicar el punto? Una vez que la mayoría haya completado el gráfico, revise sus respuestas e invite a leer el párrafo que aparece a continuación que les permitirá sistematizar los contenidos matemáticos abordados con la actividad. • La segunda parte es similar a la anterior, pero esta vez los datos corresponden a los índices de radiación UV-B de Concepción durante los primeros 8 días de agosto. Invite a completar el gráfico y proponga que, con otro color, representen sobre la misma cuadrícula los datos de la ciudad de Arica. A partir de este nuevo gráfico de línea doble, proponga preguntas que permitan a niños y niñas ir adquiriendo habilidades para leer este tipo de gráficos: ¿En algún momento hay el mismo índice de radiación UB-V en concepción y en Arica? ¿Cómo se mantiene la diferencia de índices de radiación UV-B durante estos días? ¿Por qué crees que ocurre esto? • La Actividad 3 propone dos gráficos de línea que deben analizar para responder preguntas relacionadas con ellos. Pida que analicen solo el primer gráfico, ya que la parte b) quedará de tarea. Destaque que los gráficos de línea son otra forma de organizar y comunicar información proveniente de un estudio. De esta forma, se han visto tres tipos de representaciones, que se pueden ser utilizadas para presentar información proveniente de un mismo estudio. Destaque las relaciones que hay entre los gráficos de barra, de línea y tablas de frecuencia, haciendo énfasis en la traducción de un tipo de representación a otra. Así, niños y niñas podrán ir desarrollando habilidades.

CIERRE / 15 minutos Sistematice con el curso que: • Los gráficos de línea son otra forma de representar información proveniente de un estudio; generalmente se usan para representar información que varía a través del tiempo. • En el eje horizontal se ubican los valores de la variable tiempo (días, meses, años, etc.), y en el eje vertical se ubica la frecuencia absoluta. • Cada punto representa el valor de una variable en estudio, y las líneas permiten observar más claramente las variaciones de dicha variable.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Desarrollar la parte b) de la Actividad 3. • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 3

Objetivo de la clase: • Comparar información proveniente de gráficos de línea y resolver problemas relacionados con este tipo de gráficos.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. El gráfico presenta información relacionada con la esperanza de vida al nacer en América Latina, y se espera que interpreten la información y luego la comparen con la esperanza de vida al nacer en Chile, gráfico parte a). Pida a una pareja de estudiantes que respondan las preguntas en la pizarra y contraste estas respuestas con las del resto del curso. Es importante destacar que al observar la línea del gráfico se puede establecer que la esperanza de vida va aumentando a medida que pasan los años, ya que dicha línea se va alejando del eje horizontal del gráfico y por tanto van creciendo los valores. Sistematice que cuando se tiene este tipo de líneas se puede señalar que la tendencia es de crecimiento, y si se va acercando al eje horizontal la tendencia es decreciente. • En la segunda pregunta recoja los procedimientos que usaron para responder, ya que esta tarea es un primer acercamiento al tipo de trabajo que realizarán en esta clase. Resguarde que expliquen y argumenten sus respuestas y sus procedimientos al interpretar la información del gráfico. Es importante generar un ambiente de discusión en que se contrasten las respuestas, para que sean los mismos estudiantes quienes se den cuenta de sus errores.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 propone un gráfico de líneas en que se presenta información sobre la cantidad de personas que realizó trámites en una Notaría durante la primera semana de marzo y la primera semana de abril. Invite a observar el gráfico y responder las preguntas. Se sugiere que la actividad sea desarrollada en parejas. • Las primeras preguntas requieren hacer una lectura simple del gráfico considerando ambos meses, por ejemplo, determinar el día en que se produce una mayor atención de personas en marzo y en abril. Sin embargo, la tercera pregunta requiere interpretar la información y comparar las líneas correspondientes a ambos meses. Se espera que establezcan que en marzo hay una mayor atención de público, ya que en la mayoría de los días la línea correspondiente a este mes estuvo por sobre la línea correspondiente a abril. Es probable que para responder la pregunta algunos estudiantes traten de sumar la cantidad de personas atendidas en cada mes; en dichos casos incentívelos a responder la pregunta observando las líneas del gráfico. Destaque que a pesar de que el día jueves hubo mayor cantidad de público atendido en la primera semana de abril que en la de marzo, el resto de los días es mayor la atención en marzo, por tanto no se puede concluir que en abril haya asistido más público a hacer trámites en la Notaría. La última pregunta pretende que busquen argumentos para complementar la información del gráfico, en este caso se espera que señalen que en marzo las personas vuelven de vacaciones y comienza la rutina de trabajo y estudio habitual en nuestro país, por tanto pueden aumentar los trámites legales. • En la segunda parte deben completar una tabla de frecuencia de doble entrada a partir de la información del gráfico de línea. Como este tipo de tarea se ha venido realizando en clases anteriores, pero a partir de gráficos de barra, se espera que no tengan dificultades al desarrollar esta parte. Se sugiere observar los procedimientos 18 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

y respuestas que van dando, de manera que se pueda apoyar a quienes aún tienen dificultades para completar tablas de frecuencia. • La Actividad 2 tiene el propósito de sistematizar el trabajo realizado hasta el momento con gráficos de línea. Se proponen tres gráficos de línea a partir de los cuales niños y niñas deberán desarrollar distintos tipos de tareas, entre ellas: leer información, interpretar información, inferir y buscar explicaciones para la información de los gráficos, y reflexionar sobre los contextos que se abordan en estos gráficos. Es importante mencionar que se han escogido contextos atingentes a problemáticas actuales de nuestra sociedad, de tal forma que en conjunto con el trabajo matemático que van desarrollando se pueda discutir sobre estos contextos. A continuación se señalan algunas observaciones para considerar en la gestión de las tareas involucradas en cada gráfico: Gráfico parte a): Se plantea en el contexto de la violencia contra la mujer, por tanto se sugiere abordar el significado de un femicidio antes de comenzar a desarrollar la actividad. En la segunda pregunta es importante que sean los mismos estudiantes quienes determinen que la tendencia en el número de femicidios que se produjeron en Chile a partir de 2007 hasta 2012 va disminuyendo. En la tercera pregunta se sugiere generar un momento de reflexión en torno a la importancia de generar conciencia entre los chilenos sobre la prevención de la violencia al interior de la familia, y cómo en nuestra sociedad se han ido generando programas y campañas para evitar esta violencia. Gráfico parte b): Muestra la emisión de CO2 en toneladas métricas per cápita en el mundo. La segunda aborda la evolución de las emisiones de CO2 a medida que pasan los años. Es probable que algunos estudiantes tengan dificultad al describir esta evolución, pues en el último año del estudio se muestra una disminución con respecto al año anterior. Se sugiere discutir con el curso este aspecto, concluyendo que a pesar de dicha disminución, la tendencia es que estas emisiones van aumentando, y para determinar una disminución es necesario observar qué pasa en los años siguientes. Gráfico parte c): Corresponde a un gráfico de línea doble, donde se muestra información sobre la prevalencia de la obesidad en chile en adultos según edad y sexo. La cuarta pregunta solicita describir la tendencia de variación de la variable en estudio. Se espera que los estudiantes señalen que en los primeros tramos de edad la proporción de hombres y mujeres con obesidad es similar, mientras que en el tercer tramo de edad se observa un claro aumento en la proporción de mujeres con obesidad respecto de la proporción de hombres. • Finalmente, se pide que completen una tabla de doble entrada a partir de un gráfico, actividad que realizarán como tarea. El estudio de la representación de información a partir de tablas y gráficos permite abordar temas relacionados con otros subsectores o con problemas atingentes de nuestra sociedad. Solicitar que expliquen y comuniquen sus respuestas contribuye a desarrollar habilidades matemáticas y a construir opiniones sobre temas sociales.

CIERRE / 15 minutos Sistematice con el curso que: • Los gráficos de línea son otra forma de representar información proveniente de un estudio; generalmente se usan para representar información que varía a través del tiempo. Es posible representar más de una variable en un mismo gráfico, de manera que al analizarlo se pueda comparar la información relacionada con estas variables.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Desarrollar la parte final de la Actividad 2, parte c). • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 4

Objetivo de la clase: • Determinar el promedio de un conjunto de datos y explicar la información que proporciona.

INICIO / 15 minutos • Revisen la tarea de la clase anterior, completar una tabla de frecuencia de doble entrada a partir de los datos de un gráfico de línea. Este tipo de tarea fue abordada al inicio de la clase anterior, por tanto se sugiere considerar esta revisión para evaluar si lograron alcanzar los objetivos propuestos. Invite a algunos estudiantes a completar partes de la tabla y explicar los procedimientos usados. Contraste las diferentes respuestas para verificar si todos lograron completar la tabla correctamente. Resguarde que expliquen y argumenten sus respuestas y procedimientos al completar la tabla. Es importante generar un ambiente de discusión en que se contrasten las respuestas, para que sean los mismos niños y niñas quienes se den cuenta de sus errores.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 plantea una situación a partir de la cual se espera que construyan el significado del promedio de un conjunto de datos. Para ello se presenta una imagen en que aparecen cuatro niños que señalan la cantidad de libros de poesía que tienen disponibles en su casa para un taller literario. Las cantidades son: 9, 11, 5 y 7 libros respectivamente. Luego se pide que determinen un número que pueda representar la cantidad de libros que tiene el conjunto de estos niños y niñas. Se sugiere que esta parte de la actividad sea trabajada en parejas. • Es probable que producto de la discusión surjan respuestas como: el 11, ya que es la mayor cantidad de libros que pueden tener, el 5 por ser la menor cantidad, el 7 o 9 porque están más cerca de todos los datos, entre otras. Recoja las respuestas y solicite que expliquen sus decisiones, recalcando que el número escogido debe representar todas las cantidades de libros. Luego invite a las duplas de trabajo a leer la información que aparece a continuación y desarrollar los pasos que se indican. • El primer paso, corresponde a sumar la cantidad de libros que tiene cada niño para determinar el total. El segundo paso corresponde dividir este total por 4. Así, se espera que los estudiantes identifiquen este número como un buen representante, ya que es la cantidad de libros que tendría cada niño o niña si se repartieran en partes iguales, considerando el aporte de libros que hace cada uno. Destaque que este número representa a todos los datos y se denomina promedio. Para sistematizar esta actividad, invítelos a leer la información que aparece en el párrafo a continuación. • La Actividad 2 propone dos problemas en que aparece un conjunto de datos y se solicita a los estudiantes calcular el promedio de dichos datos. El problema a) presenta la cantidad de mascotas que tiene un grupo de niños y niñas en su casa. El promedio de los datos es 2. Observe que, en este caso, el promedio da en forma exacta, por tanto los estudiantes pueden calcularlo utilizando las herramientas matemáticas que poseen. • El problema b) presenta la cantidad de hijos que tiene un grupo de 20 trabajadores de una empresa. La suma de los datos es 40, por tanto para calcular el promedio se requiere calcular la división 40 : 20. Para efectuar el cálculo 20 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

basta con que usen la extensión de la combinación multiplicativa 4 : 2. El promedio es 2. • Es importante que al momento de revisar las respuestas expliciten la forma en que calcularon el promedio de los datos, y expliquen qué significa este número, señalando, por ejemplo, en el problema a) que un número que permite representar la cantidad de mascotas de los amigos de Cristóbal es 2, por tanto, las respuestas de sus amigos están alrededor de ese número, y es poco probable que más de uno de ellos tenga más de 5 mascotas. • La Actividad 3 propone tres situaciones con información de contexto en que se usa el promedio de un conjunto de datos para comunicarla. Luego, a partir de algunas preguntas se espera que los estudiantes interpreten la información que expresa este promedio. • La primera situación está en el contexto de una fábrica, y se indica la cantidad de horas efectivas que trabajan 20 operarios durante una semana de enero. El promedio de horas que señala la información es 40,2. A partir de este número se espera que señalen cuál es el significado en el contexto de la situación e interpreten este significado respondiendo si se puede señalar que la producción de los operarios es menor a la esperada. • Es importante mencionar que en las tres situaciones, a diferencia de las actividades anteriores, los promedios están expresados usando números decimales. Así, en la primera situación se espera que señalen que los operarios tienen en promedio más de 40 horas de producción efectiva, pero menos de 41. Como lo esperado es 8 diarias, la diferencia es aproximadamente de 7 horas semanales. Sin embargo, se debe considerar el tiempo que se otorga en la fábrica para almorzar. Para que consideren esta última información, puede hacer preguntas: De las 48 horas que se espera que trabajen semanalmente, ¿cuánto puede corresponder a lo que se otorga para almuerzo? Si se les diera 40 minutos diarios, ¿a cuántas horas corresponde semanalmente? • La segunda situación se presenta en un contexto más cercano, las calificaciones de Josefa en dos asignaturas, Matemática y Lenguaje. En la primera pregunta se espera que los estudiantes calculen la diferencia entre los dos promedios. En la segunda se espera que señalen si se puede establecer con el promedio en cuál de las dos asignaturas obtuvo mejores notas. Destaque que a partir de los promedios se puede establecer que las notas de Matemática fueron mejores que las de Lenguaje, ya que las primeras están alrededor de 6,4 y las segundas de 5,2. Sin embargo, es posible que alguna de las notas de lenguaje haya sido alta, por ejemplo un 7, pero el resto no. Del mismo modo, es posible que alguna de las notas de matemática haya sido baja, por ejemplo, cercana a 4, pero el resto sobre 6. • La tercera situación presenta información en el contexto de las estaturas de los integrantes de un grupo de básquetbol. Oriente a los estudiantes para que analicen la información como en las situaciones anteriores. Es importante discutir con el curso que si bien el promedio es un número que representa un conjunto de datos, no se puede asegurar que todos los datos están muy cercanos a él. Es posible que uno o más datos, excepcionalmente, se alejen del promedio.

CIERRE / 15 minutos Sistematice con el curso que: • El promedio de un conjunto de datos es un número que permite representar a todos los datos de dicho conjunto. Se puede señalar que la mayoría de los datos está cercano al promedio, o dicho de otra forma, “alrededor de él”. • Para calcular el promedio de un conjunto de datos se deben sumar dichos datos y dividir este resultado por el número de datos.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Usando una calculadora encontrar el promedio de las siguientes notas: 4,5 - 5,1 - 6 - 3,2 – 5 - 4,2 – 4 • En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 5

Objetivo de la clase: • Comparar información proveniente de dos conjuntos de datos utilizando el promedio, y obtener conclusiones a partir del promedio.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Invite a uno o más estudiantes a escribir la respuesta en la pizarra, y comunicando el procedimiento que utilizaron para calcular el promedio. Es importante señalar que como en este caso el resultado que se obtiene es un número decimal, se espera que hayan realizado sus cálculos apoyados de una calculadora. El promedio de las notas es aproximadamente 4,6, si se aproxima el decimal de la centésima a la décima. Es probable que algunos estudiantes hayan respondido que el promedio es 4,5 ya que truncaron el decimal a la décima; en dichos casos señale que, en general, al calcular el promedio de un conjunto de notas se acostumbra aproximar el decimal, es decir, si la centésima es mayor que o igual que 5, se agrega 1 a la décima. Invite al curso a reflexionar sobre este número, preguntando: Si consideramos el intervalo 3,6 y 5,6, es decir, si restamos 1 y agregamos 1 al promedio respectivamente, ¿cuántas de las notas quedan en este intervalo? ¿Qué notas se escapan de él? ¿Cuál de las notas está más lejana del promedio? De esta manera facilitará que reflexionen sobre la información que entrega el promedio y su utilidad para representar el conjunto de notas dado en la tarea.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 presenta datos usados en la clase anterior: los resultados de una encuesta aplicada a un grupo de 20 trabajadores de una empresa para recoger información sobre el número de hijos que cada uno tiene. Se pide a los estudiantes recordar la forma en que calcularon el promedio de hijos que tienen estos trabajadores, y completar una tabla de frecuencia con estos datos. El propósito de esta primera parte es que retomen la forma de calcular el promedio cuando los datos aparecen en forma explícita (estudiado en la clase anterior), para luego construir una estrategia que permita calcular el promedio cuando los datos aparecen representados en una tabla de frecuencia. Invite a desarrollar la actividad en parejas y revisen las respuestas en conjunto. • La primera pregunta busca que establezcan cómo obtener la suma total de los datos cuando están presentados en una tabla. Se espera que a partir de la discusión con su compañero o compañera determinen que es necesario multiplicar la frecuencia absoluta por el valor de la variable en cada fila. Para orientar esta reflexión puede hacer preguntas como: ¿Cuántos trabajadores tienen 2 hijos? ¿Qué resultado se obtiene si sumamos 6 veces el 2? ¿Qué relación tiene este número con la frecuencia absoluta frente a 2 hijos en la tabla y el número de hijos “2”? • Es probable que algunos estudiantes sumen las frecuencias absolutas y señalen que dicho número es la suma total que necesitan para calcular el promedio; frente a esta respuesta, que es 20, puede hacerlos observar los datos iniciales nuevamente y reflexionar acerca de si es posible que sea 20 la suma de los datos. La segunda pregunta, busca que establezcan la forma de encontrar la cantidad de observaciones (trabajadores entrevistados en el ejemplo) a partir de la tabla. Si bien este aspecto ya fue estudiado en clases anteriores, se espera que las duplas de trabajo reflexionen y señalen que es necesario sumar las frecuencias absolutas para obtenerlo. 22 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• A continuación se espera que, basándose en las respuestas anteriores, construyan una estrategia para calcular el promedio. Motive a niños y niñas a compartir las estrategias que encontraron, contrastando las distintas respuestas que pueden haber surgido en el curso. De esta forma serán los mismos estudiantes quienes se den cuenta de sus errores. Invítelos a leer el párrafo siguiente que contiene información que le permitirá sistematizar los contenidos abordados en la clase hasta el momento. • La Actividad 2 presenta tres tablas de frecuencia con información en distintos contextos. A partir de ellas se espera que los estudiantes calculen el promedio de los datos representados y expliquen el procedimiento que usaron para calcularlo. • La primera tabla presenta las temperaturas registradas durante una semana en Curicó. Para calcular el promedio bastará con que sumen las temperaturas y dividan este resultado por 7. La respuesta esperada es: 16° C. • La segunda tabla presenta los resultados de una encuesta aplicada a un grupo de personas para saber su opinión acerca del servicio de café otorgado por una agencia de eventos. Las opiniones se recogen a través de una nota entre 1 y 5, cuyos significados son: 1 muy malo, 2 malo, 3 regular, 4 bueno, 5 muy bueno. De esta forma, al obtener el promedio que es 4, se espera que los estudiantes interpreten este número como que “el promedio de las respuestas es que el servicio de café estuvo bueno”. Para calcular el promedio deben multiplicar la frecuencia absoluta por la opción de nota en la encuesta, y luego sumar dichos resultados. La suma obtenida entre estos productos se divide por la suma de las frecuencias absolutas. • La tercera tabla, presenta los resultados de una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes para saber la cantidad de horas diarias que dedican al estudio. Para calcular este promedio es necesario que lo hagan con calculadora. El resultado es 1,55. Se sugiere interpretar este resultado con el curso en el contexto de la información entregada, señalando, por ejemplo, que en promedio los estudiantes estudian alrededor de 1 hora y 55 minutos. Destaque que si se observa la tabla, es claro que la mayoría contestó que estudia 1 o 2 horas, por tanto el promedio es un buen número para representar los datos de esta situación. • La Actividad 3 propone dos problemas en que niños y niñas deben comparar dos conjuntos de datos a partir del promedio de cada uno de ellos. El primer problema se presenta en el contexto de las notas obtenidas por dos estudiantes. El segundo problema se presenta en el contexto de las temperaturas de dos ciudades. Es importante mencionar que en el primer problema se encuentran explícitos los datos de ambos conjuntos, por tanto los estudiantes tendrán más herramientas para hacer los análisis. Sin embargo, en el segundo problema solo se entregan los promedios, por tanto requerirán usar todos los conocimientos matemáticos abordados hasta ahora en relación con el promedio. La argumentación y comunicación de los procedimientos y respuestas de los estudiantes les permitirán ir fortaleciendo habilidades matemáticas como resolver problemas y representar. Incentívelos a justificar todas sus respuestas.

CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso que: • El promedio de un conjunto de datos es un número que permite representar a todos los datos de dicho conjunto. • Para calcular el promedio de una tabla de frecuencia existen varias estrategias que dependen del tipo de información y, por ende, del tipo de tabla en que se presentan los datos.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • En un segundo evento, se aplicó la misma encuesta que se señaló en la tabla 2 de la Actividad 2, y se obtuvo como promedio de las opiniones un 3,2, ¿Qué significa este número en el contexto de las opiniones de los asistentes? Explica tu respuesta. • En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 6

Objetivo de la clase: • Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento mediante expresiones como: posible, poco posible, seguro, imposible.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Enfatice la interpretación del promedio de los datos en el contexto del problema. En este caso, como el promedio es igual a 3,2, significa que las opiniones fueron más bajas que las recogidas en los datos de la encuesta aplicada anteriormente, y en promedio los asistentes opinaron que el servicio fue regular. Al momento de revisar la tarea pida a que argumenten sus respuestas, explicando la interpretación que dan de este número en el contexto del problema.

DESARROLLO / 55 minutos • Comienza el estudio de probabilidades, en particular, la descripción de la probabilidad de ocurrencia de un evento o suceso sin calcularla formalmente. Las actividades que se presentarán en esta y en las clases siguientes son de carácter lúdico, y a partir de ellas se espera construir los primeros conceptos relacionados con el estudio de las probabilidades. • La Actividad 1 tiene dos partes, la primera presenta una situación de contexto en que Martín y Lucas están jugando con dados y a partir del juego surgen dos preguntas que se espera que niños y niñas respondan. La segunda propone un juego de lanzamiento de una moneda, a partir del cual los estudiantes deberán completar una tabla de frecuencia. Invite a desarrollar la primera parte en parejas y luego revise sus respuestas en conjunto. • Al responder las preguntas sobre el juego de Martín y Lucas, se espera que reflexionen acerca de los posibles resultados que se pueden obtener al lanzar un dado regular, y con ello, sobre la posibilidad que tiene un jugador de anticipar la respuesta. Es posible que algunos señalen que sí se puede saber la respuesta; en dichos casos pregunte: ¿Qué número crees que va a salir? Pregunte lo mismo a otros estudiantes para que sean ellos mismos quienes se den cuenta de que hay más de una posibilidad. • El juego que se presenta en la segunda parte corresponde al lanzamiento de una moneda; deben tener disponible una moneda de cualquier valor. Con el juego se espera que cada niño o niña lance la moneda 4 veces, tratando de anticipar el resultado que le saldrá (predicción que anotan en una tabla) y luego comparando esta respuesta con el resultado real. El propósito de esta parte de la actividad es que vivencien que existen experimentos que nos son posibles de anticipar su respuesta, y sólo en algunos casos las predicciones concuerdan con el resultado real. Para reflexionar en torno a esta última idea, contraste la cantidad de aciertos de diferentes duplas de trabajo, de manera que verifiquen que depende del “azar” acertar o no al resultado real. Destaque que, a diferencia del dado, al lanzar una moneda al aire se pueden obtener dos resultados: cara o sello. • Invite a leer el párrafo que viene a continuación, para introducir el significado de un experimento aleatorio y un experimento determinístico. El primero corresponde a experimentos en que no se puede saber de antemano el resultado que se obtendrá al realizar el experimento. El segundo, corresponde a experimentos en que si se puede predecir el resultado. 24 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• La Actividad 2, propone una serie de experimentos aleatorios y determinísticos que se espera que los estudiantes clasifiquen en una tabla. El propósito de la actividad es profundizar a través de ejemplos en los conceptos de experimentos aleatorios y determinísticos. Las respuestas que se espera que completen en la tabla, son las siguientes: Experimentos Deterministas

Experimentos Aleatorios

Se anticipa con seguridad el resultado.

No se puede anticipar el resultado

A–B–D–E-F

C-G

• La Actividad 3 propone nuevamente una situación relacionada con el juego de dados en el que participan Martín y Lucas, pero esta vez anticipan los resultados que saldrán al lanzar el dado utilizando adjetivos como seguro o imposible. Invite a reflexionar en parejas sobre esta parte y luego recoja las conclusiones a las que llegaron. • Antes de sistematizar las respuestas, pida que respondan las preguntas. En la parte a) se pide que escriban los posibles resultados que se pueden obtener al lanzar un dado; la parte b) pide que escriban los posibles resultados que se pueden obtener al lanzar una moneda al aire y c), los posibles resultados al sacar una pelota al azar de una caja que tiene 3 pelotas rojas y 2 blancas. Una vez que hayan respondido, retome la pregunta inicial. Concluyan que obtener un número menor que 6 al lanzar un dado es casi seguro, ya que los posibles resultados que se pueden obtener son: 1, 2, 3, 4 y 5, mientras que obtener un número mayor que 6 es imposible. • Lea en conjunto con el curso la información que aparece en el párrafo siguiente y sistematice con ellos el significado de suceso elemental. • La Actividad 4 propone una serie de sucesos que deben categorizar como: seguro, posible, poco posible e imposible; trabajan de forma individual, para que usted observe quiénes están comprendiendo y quienes aún tienen dificultades para hacerlo. • La parte b) será la tarea para la casa. Al seleccionar las alternativas de ocurrencia de un evento en la Actividad 4, pida que describan sus respuestas basándose en el contexto. Es importante que compartan sus respuestas y que expliquen con sus propias palabras las decisiones que tomaron para responder.

CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso que: • Un experimento aleatorio es aquel en que no se puede anticipar el resultado exacto que se obtendrá al realizarlo. Los distintos resultados que se pueden obtener al realizar este tipo de experimentos se denominan sucesos elementales.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Desarrollar la parte b) de la Actividad 4. • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 7

Objetivo de la clase: • Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento mediante expresiones como: posible, poco posible, seguro, imposible, y dar ejemplos de sucesos para tales categorías.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea. Se pregunta por la ocurrencia de tres sucesos. El primero corresponde a sacar 3 pelotas negras, para lo que se espera niños y niñas contesten que es un suceso imposible ya que en la caja hay solo dos. El segundo corresponde a sacar 3 pelotas verdes y se espera que señalen que es posible. Algunos estudiantes podrían responder que el suceso es seguro, ya que efectivamente hay 3 pelotas verdes en la caja. Frente a estas respuestas puede hacer preguntas como: ¿Y se puede sacar 2 verdes y una negra? ¿Podemos decir que siempre se sacará 3 verdes? ¿Hay más posibilidades? El tercer suceso involucra pelotas de otros colores, señalando si es posible que entre ellas vaya una pelota blanca, a lo que se espera que respondan que es imposible. Luego se pregunta si es posible que entre ellas vaya una negra, a lo que se espera que respondan que sí, explicando que en el interior de la caja hay dos negras que podrían salir. Al momento de revisar la tarea pida que argumenten sus respuestas, explicando a partir de las pelotas verdes y negras que hay en la caja sus respuestas frente a las posibilidades de ocurrencia de los sucesos.

DESARROLLO / 55 minutos • Invite a desarrollar la Actividad 1 de forma individual. Se trata de un juego disponible en una feria artesanal, dos cajas con pelotas en su interior, a partir de las cuales el jugador debe seleccionar una pelota; pero antes de hacerlo, debe predecir el color que le saldrá y si acierta gana premio. Las cajas son las siguientes:

Caja A

Caja B

• Luego aparece un listado de posibilidades que deben categorizar como: seguro, posible o imposible. Dé un tiempo para que todo el curso realice la actividad y luego revise sus respuestas en conjunto. Reflexione con sus estudiantes que en el caso de la caja A, sacar una pelota fucsia o negra es igualmente posible, ya que hay la misma cantidad de pelotas de cada color, sin embargo, sacar una pelota negra de la caja B es menos posible que sacar una fucsia, ya que hay más fucsias que negras. De esta forma, la posibilidad de ocurrencia de un suceso depende de los resultados posibles relacionados con él; en este caso hay 2 posibilidades, una, que salga fucsia y otra, que no salga fucsia. • Luego se presenta la caja C, con 6 pelotas negras y 1 fucsia, y se pide a los estudiantes describir un suceso posible de ocurrir y uno poco posible. Se espera que reflexionen que como hay más pelotas negras que fucsias (solo 26 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

hay 1 fucsia) es posible sacar 1 pelota negra de la caja, mientras que es poco posible sacar 1 fucsia. Es probable que algunos estudiantes señalen que sacar 1 pelota fucsia de esta última caja es imposible. Oriéntelos para que establezcan que como hay al menos 1, existe la probabilidad de sacarla y por tanto no se puede señalar que el evento es imposible. • La Actividad 2 propone el juego de la ruleta en parejas, que requerirá que niños y niñas construyan dos ruletas usando papel o cartulina blanca; también se requiere un clip. El juego consiste en girar 50 veces cada ruleta y anotar los resultados en una tabla. La ruleta A presenta aproximadamente un 20% de la circunferencia pintada de negro y el resto es blanco, mientras que la ruleta B presenta un poco más del 50% de la ruleta pintada de negro y el resto es blanco. • Al girar tantas veces la ruleta, los resultados que obtendrán los estudiantes se acercarán a la probabilidad real de que salga negro o blanco al hacer girar cada una de ellas. De esta forma, se espera que reflexionen y concluyan que a mayor fracción de la ruleta pintada de un color determinado, mayor es la probabilidad que salga dicho color. Del mismo modo, a menor fracción de color en la ruleta, menor posibilidad de que salga dicho color al hacerla girar. • La Actividad 3, continua presentando ruletas, pero esta vez deberán pintar sectores de ellas para ejemplificar sucesos: seguro, posible, poco posible e imposible. Para ello, inicialmente se muestra una ruleta pintada por Bernardo, que la elaboró para ejemplificar el suceso “que salga blanco” como “poco posible”. A partir de esta información se espera que los estudiantes evalúen el trabajo de Bernardo y luego den ejemplos de otros sucesos a partir de ella. • La segunda parte presenta cuatro ruletas sin pintar, pero sobre las cuales se han marcado 4 sectores. A partir de ellas se solicita mostrar un ejemplo de suceso: seguro, posible, poco posible e imposible. Invite a los estudiantes a desarrollar esta parte de la actividad en forma individual, y luego revise con todo el curso sus respuestas. Se sugiere que las duplas de trabajo inicial se intercambien las ruletas que pintaron y revisen sus respuestas de esta forma. La tarea de producir ruletas facilita ejemplificar que un suceso tiene un grado mayor de dificultad que solo describir la posibilidad de ocurrencia de él. Es por ello que se sugiere que mientras las y los estudiantes trabajan, observe las respuestas o procedimientos que van dando, de manera que pueda apoyar a quienes están presentando dificultades.

CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso que: • Un suceso puede tener distintas posibilidades de ocurrencia, las que dependen de la cantidad de resultados relacionados con él. Así, un suceso puede ser seguro, posible, poco posible o imposible de ocurrir.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • En una caja hay 3 pelotas negras y 2 rojas. Sacar una pelota al azar y describir la posibilidad de ocurrencia de que “salga roja”. • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 8

Objetivo de la clase: • A partir de juegos de lanzamientos de dados y monedas señalar qué suceso es más probable de ocurrir entre dos o más.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea de la clase anterior. Invite a uno o más estudiantes a compartir sus respuestas con el curso. Pida que expliquen con sus propias palabras la descripción de ocurrencia del suceso que establecieron. De esta forma se espera que señalen que como hay 2 pelotas rojas en el interior de la caja y 3 negras, “es posible sacar una roja”. Oriéntelos para que reflexionen respecto a qué habría ocurrido si en la caja estuvieran las mismas 2 pelotas rojas, pero acompañadas de 8 negras. Aproveche la situación presentada en la tarea para pedir que señalen ejemplos de sucesos poco posibles, seguros e imposibles.

DESARROLLO / 55 minutos • La Actividad 1 propone el juego de lanzar un dado en parejas; necesitan un dado regular. • Se presenta una tabla y en cada fila de la primera columna aparecen las seis caras de un dado. Lanzando por turnos 100 veces un dado, los estudiantes deberán completar esta tabla marcando un punto frente a la fila correspondiente cada vez que les salga la cara representada en dicha fila. De esta forma, si sale 16 veces la cara del uno, deben marcar 16 puntos (se sugiere mostrar a los estudiantes una forma resumida de marcar similar a la que se usa en las votaciones). Dé un tiempo para que desarrollen la actividad y respondan las preguntas que aparecen después de la tabla; revise en conjunto. • La primera pregunta consulta la posibilidad que salga 6 o 1 al lanzar un dado. Para responder la pregunta se espera que se apoyen en la tabla y saquen sus conclusiones a partir de los resultados de ella. Como lanzaron 100 veces el dado, todo el curso debe haber tenido al menos un punto registrado frente a estas caras. La segunda pregunta tiene un grado mayor de dificultad, ya que se pregunta por la posibilidad que salga un número par o impar. Para responder esta pregunta, se espera que los estudiantes señalen que: como 2, 4 y 6 son pares, hay tres posibilidades de que al lanzar un dado salga un número par. Del mismo modo, como 1, 3 y 5 son impares también hay 3 posibilidades de que salga un número impar. Así, se espera que concluyan que existe la misma posibilidad de que salga un número par o impar. La última pregunta pide que escojan una cara del dado, antes de lanzar, para ganar un premio. Es probable que la mayoría elija la cara que a ellos les salió más veces cuando hicieron el juego. Contraste las distintas respuestas para que sean ellos mismos quienes se den cuenta de que al desarrollar el juego varias veces las respuestas pueden variar, pues existe la misma posibilidad de que salga cualquiera de las caras del dado. • En la Actividad 2 deberán comparar sucesos relacionados con el lanzamiento de un dado, señalando cuál es más posible de que ocurra. La parte a) presenta dos sucesos, y deberán señalar cuál de los dos tiene mayor posibilidad de ocurrir. En la parte b) deberán completar la tabla con un ejemplo de suceso más posible de ocurrir que otro dado. Invite a realizar la actividad y revise sus respuestas en conjunto. • Destaque que para comparar la ocurrencia de un suceso se pueden comparar los posibles resultados de dichos 28 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

sucesos, y ver cuál de ellos tiene mayor posibilidad de salir. Por ejemplo: “que salga un número menor que 2” versus “que salga un número mayor que 2”. En el primer caso el posible resultado es solo 1, mientras que en el segundo es 3, 4 y 5. Así, se puede establecer que el segundo suceso tiene mayor posibilidad de ocurrir que el primero. Del mismo modo, en el juego de lanzar el dado nos podemos encontrar con sucesos que tienen la misma posibilidad de ocurrir, por ejemplo “que salga 1” versus “que salga 2”. • En la Actividad 3 se presenta un nuevo juego que consiste en sacar al azar una pelota de una bolsa, sin ver el interior de la bolsa. En cada bolsa hay pelotas blancas y negras; se gana si sale el color negro. • En la primera parte aparecen dos bolsas, una con 4 blancas y dos negras, y la otra con 2 blancas y 4 negras, y se pregunta cuál de las dos bolsas conviene escoger para jugar. Se espera que señalen que conviene jugar con la bolsa 2, ya que tiene el doble de negras que blancas. Si observa que algunos estudiantes respondieron que conviene la bolsa 1, oriéntelos preguntando: ¿Hay más pelotas negras o blancas en la bolsa 1? Si ganas con una negra, ¿cuantas posibilidades de ganar hay entre las 6 pelotas? • Se presentan dos pares de bolsas más y se pide que comparen la posibilidad de que salga una pelota negra en cada par de bolsas. Es importante que expliquen sus elecciones según las bolsas de la Actividad 3, haciendo alusión a los contenidos estudiados hasta el momento.

CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso que: • Para comparar la posibilidad de ocurrencia de dos sucesos relacionados con el mismo experimento aleatorio, es necesario analizar los posibles resultados de cada suceso y compararlos en función del que tiene más posibilidades de salir.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • En una caja hay 3 pelotas negras y 2 rojas. En otra caja hay 4 negras y 1 roja. Si se saca una pelota al azar de una caja, ¿en cuál de las dos hay más posibilidad que salga roja? • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PLAN DE CLASE Nº 9

Objetivo de la clase: • Describir la posibilidad de ocurrencia de un suceso en un juego aleatorio y compararla con otros sucesos relacionados con el mismo experimento.

INICIO / 15 minutos • Describir la posibilidad de ocurrencia de un suceso en un juego aleatorio y compararla con otros sucesos relacionados con el mismo experimento. • Revise la tarea de la clase anterior. Invite a uno o más estudiantes a compartir la respuesta de la tarea con el curso. Contraste las distintas respuestas que pueden haber surgido, de manera que sean los mismos niños o niñas quienes se den cuenta de sus errores. Destaque que como en la primera caja hay 3 pelotas negras y 2 rojas, y en la segunda caja hay 4 negras y una roja, hay más posibilidades que salga roja en la primera caja que en la segunda, porque en la primera hay 2 posibilidades entre 5, mientras que en la segunda caja hay solo 1 entre 5. • Es importante recalcar con que esta comparación tan directa se puede hacer porque en las cajas hay la misma cantidad de pelotas, pero si en la primera hubiese habido 10 negras, la respuesta no sería tan sencilla. Al momento de revisar la tarea es importante que niños y niñas argumenten sus decisiones en función de los datos de las situaciones planteadas. Motive al curso a comunicar su pensamiento matemático a los demás usando conceptos y propiedades estudiadas hasta el momento.

DESARROLLO / 55 minutos • En esta clase se cierra el estudio de probabilidades a partir de una serie de juegos en que los estudiantes apostarán con su compañero o compañera por un resultado, usando los conocimientos adquiridos hasta el momento. • La Actividad 1 se denomina “Juego de lanzar dos monedas”, en que deben lanzar al aire dos monedas, pero antes de ello, apostar en función de un suceso que se señala por cada jugada en una tabla. Quien acierta recibe 1 punto en el juego. Entre los sucesos que aparecen en la tabla están: salen dos caras, salen dos sellos, sale una cara y un sello. Dé un tiempo para que desarrollen la actividad y luego revise en conjunto los resultados del juego y las estrategias que fueron construyendo para predecir si el suceso ocurriría o no. • Es importante destacar que se espera que al ir avanzando en el desarrollo del juego, niños y niñas intuyan que “sale una cara y un sello” tiene mayor posibilidad de salir que los otros sucesos. Para orientar este análisis puede establecer en conjunto con los estudiantes que los posibles resultados son: CC – CS – SC - SS • Así, claramente “sale una cara y un sello” tiene 2 de 4 posibilidades de salir, mientras que los otros sucesos tienen 1 de 4. • La Actividad 2 propone un juego denominado “escoger una tarjeta”. Deben contar con 6 tarjetas como las que aparecen en el Cuaderno de trabajo y una bolsa o caja opaca. Las tarjetas pueden ser cortadas en cartulina y los números escritos por los mismos estudiantes. El juego consiste en que saquen una tarjeta de la bolsa o caja, pero antes predigan si el suceso que aparece en la tabla ocurrirá o no. 30 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

• Es importante mencionar que los posibles resultados del experimento son: 5–3–8–4–2–8 • Por tanto, hay mayor posibilidad que salga 8 que los otros números, ya que hay dos tarjetas con dicho número en la bolsa. • La Actividad 3, juego del “Súper 8”, consiste en hacer girar dos ruletas y si la suma de los números es 8, gana premio. • En la parte a) aparecen dos tríos de ruletas y se pide a los estudiantes escoger dos de cada trío, de manera que al hacerlas girar tengan más posibilidades de ganar. Por ejemplo, el primer trío está compuesto por las siguientes ruletas.

• Como las combinaciones aditivas que dan 8 son: 3 y 5; 7 y 1; 4 y 4, 6 y 2, para escoger las ruletas se deben tener en cuenta estos pares de números. Si observamos la primera y segunda ruleta, la posible oportunidad de ganar es solo con 4 y 4. Es probable que algunos niños o niñas elijan inmediatamente la ruleta 1, pues en ella aparecen dos ocho. Si embargo, para que estos números sirvieran debería aparecer en alguna otra un cero. La combinación, primera y tercera ruleta, tiene dos posibilidades de ganar: 5 y 3, 4 y 4. Y la combinación segunda y tercera ruleta tiene cinco posibilidades de ganar: 2 y 6, 2 y 6, 2 y 6, 2 y 6, 4 y 4 (observe que la combinación 2 y 6 aparece cuatro veces ya que por cada 2 de la primera ruleta se forman dos pares por los dos 6 de la segunda). • En la parte b) se presentan cuatro pares de ruleta y esta vez se espera que los estudiantes completen con números algunos espacios en blanco de las ruletas de manera de tener mayor posibilidad de ganar el juego. Este tipo de actividades permite reflexionar sobre más de una respuesta adecuada para encontrar una estrategia ganadora del juego. Es por ello que se recomienda generar procesos de discusión que les permitan contrastar estas respuestas. Incentive a los estudiantes a argumentar sus respuestas.

CIERRE / 15 minutos Destaque con su curso que: • Un suceso puede tener distintas posibilidades de ocurrencia, que dependen de la cantidad de resultados relacionados con él. Así, un suceso puede ser seguro, posible, poco posible o imposible de ocurrir. • Para comparar la posibilidad de ocurrencia de dos sucesos relacionados con el mismo experimento aleatorio, es necesario analizar los posibles resultados de cada suceso y compararlos en función del que tiene más posibilidades de salir.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Escribir todos los resultados posibles al lanzar tres monedas al aire. • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 10

Objetivo de la clase: • Realizar la prueba.

INICIO / 15 minutos • En esta clase se llevará a cabo la prueba de la unidad. Invite a desarrollarla y explique que, a través de ella, se evaluará lo que han aprendido. Anime a niños y niñas a trabajar con confianza en sí mismos y a realizar su mejor esfuerzo para responder cada una de las preguntas. • Resguarde que todos se encuentren con sus materiales (lápiz de mina, goma) y sentados en forma individual antes de entregar la prueba. Genere un clima sereno y tranquilo que permita a los estudiantes responder en forma ordenada las preguntas de la prueba.

DESARROLLO / 55 minutos • Distribuya la prueba y pida que no comiencen hasta que todos la hayan recibido. • En seguida, pida que escriban su nombre y la fecha. • Explique brevemente que deben anotar (y no borrar) todos los cálculos y trazas que hagan para resolver cada pregunta (esta información es relevante para un análisis posterior de cada respuesta). • Durante la realización de la prueba, atienda las consultas y ayúdelos a resolver el obstáculo que tienen, sin darles la respuesta ni indicaciones específicas. • Registre las consultas, sobre todo las más recurrentes. • Para quienes terminan primero, proponga que realicen las actividades del Cuaderno. • Anote también las estrategias no habituales que puede observar en sus estudiantes al responder alguna de las preguntas de la prueba. Las Actividades del Cuaderno de trabajo son de tipo lúdico y desafían los estudiantes a elaborar un razonamiento matemático que les permita resolverlas. Esta evaluación consta de 15 preguntas de selección múltiple, cada una con cuatro alternativas de respuesta. Considere las siguientes observaciones al momento de desarrollar la prueba. • Es importante que mientras se realiza la prueba, haya silencio y se eviten interrupciones que distraigan la atención de los niños y niñas. • Esté atento a posibles dificultades que los estudiantes presenten observando permanentemente el trabajo que están realizando, para tomar las medidas a tiempo, evitando tensiones. • El registro que usted haga de las consultas que han hecho los estudiantes le permitirá entablar el diálogo en la próxima clase.

32 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

Los indicadores de evaluación que corresponden a los ítems de la prueba son: • Leen información de tablas simples y determinan el total de datos con los que se construyó la tabla. • Interpretan información presentada en un gráfico de barra simple. • Leen e interpretan información presentada en tablas de doble entrada. • Leen e interpretan información presentada en gráficos de línea simple. • Leen e interpretan información presentada en un gráfico de línea doble. • Calculan el promedio de un grupo de datos. • Comparan información, usando el promedio de los datos. • Calculan el promedio de un conjunto de datos presentados en una tabla de frecuencia. • Identifican un experimento aleatorio. • Determinan un suceso seguro en el lanzamiento de un dado regular. • Identifican un ejemplo de un suceso poco posible a través de juegos de ruletas. • Identifican un suceso que es más probable que otro dado, en el contexto del lanzamiento de un dado. • Determinan entre dos conjuntos de objetos la probabilidad más alta de ocurrencia de un suceso. • Determinan un suceso con mayor probabilidad, en un contexto de juego. • Determinan comparativamente la probabilidad más alta frente a un suceso. Acoja las consultas de los estudiantes con respecto a las actividades propuestas. No les dé la respuesta, sino que ayúdelos a encontrarla por sí mismos.

CIERRE / 15 minutos • Una vez transcurrido el tiempo previsto para la prueba, recoja las que aún no le han sido entregadas y establezca un diálogo respecto del proceso vivido. Invite a que expresen sus impresiones en relación con el grado de dificultad de las distintas preguntas. • Escuche a sus estudiantes. Tome nota de los errores que perciba, a qué objetivos apuntan, su frecuencia, etc. Conduzca el diálogo de manera que niños y niñas se expresen correctamente, con argumentos y sin descalificaciones.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Buscar un recorte de un gráfico de línea o de barras en diarios o revistas, y plantear una pregunta que se responda analizando el gráfico. • En la siguiente clase revisen la tarea.

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PLAN DE CLASE Nº 11

Objetivo de la clase: • Revisar la prueba de la unidad.

INICIO / 15 minutos • Revise la tarea de la clase anterior. Pida que, en parejas, se intercambien el gráfico y se planteen la pregunta, de manera que el compañero o compañera la responda. Luego pida que cuenten si coincidieron al interpretar la información. Utilice la tarea para retomar la reflexión sobre la importancia de desarrollar habilidades que les permitan leer e interpretar información presentada en gráficos y tablas. Este tipo de representaciones aparece con frecuencia en noticiarios, revistas, cuentas, etc. Por tanto es muy necesario saber leer la información que expresan.

DESARROLLO / 55 minutos • Para este momento de la clase se han seleccionado algunas preguntas de la prueba que pueden haber presentado mayores dificultades. Estas preguntas aparecen en el Cuaderno de trabajo, sin las alternativas de respuesta. Invítelos a desarrollar cada pregunta en parejas. Es probable que el análisis que usted haga de las respuestas que sus alumnos entregaron en la prueba marque diferencias con esta anticipación. Conforme a la realidad de su curso, elija situaciones problemáticas iguales o similares a las preguntas con mayores dificultades, que le permitan emplear la evaluación como una herramienta de aprendizaje.

• Es probable que el análisis que usted haga de las respuestas que sus alumnos entregaron en la prueba marque diferencias con esta anticipación. Conforme a la realidad de su curso, elija situaciones problemáticas iguales o similares a las preguntas con mayores dificultades, que le permitan emplear la evaluación como una herramienta de aprendizaje. • Dé un tiempo razonable para que analicen las preguntas y respondan en conjunto con su compañero o compañera. Es importante resguardar que expliquen los procedimientos que utilizan y argumenten sus respuestas, de esta forma podrán profundizar los conocimientos adquiridos durante la unidad y corregir sus errores. Pregunta 3 • Se presenta una tabla de doble entrada con información relacionada con las preferencias de tipos de película. La pregunta que se plantea es en qué tipo de película se observa la mayor diferencia entre las preferencias de hombres y mujeres. Es probable que algunos estudiantes tengan dificultades al calcular las diferencias, ya que al hacerlo primero deben determinar el número mayor y luego restar la otra frecuencia a dicho número. Incentive a sus estudiantes a explicitar los procedimientos que usaron para aclarar posibles dudas. 34 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

Pregunta 5 • Aparece un gráfico de línea con las temperaturas mínimas y máximas registradas en Rancagua durante una semana del mes de julio. Luego se pregunta por el día en que se produce la mayor diferencia entre las temperaturas mínima y máxima. Es probable que quienes presenten dificultades para trabajar con este tipo de gráficos tiendan a restar los valores. Sin embargo, en este caso no aparecen en forma explícita, por tanto están obligados a observar las líneas y puntos del gráfico y estimar las diferencias. Pregunta 6 • Aparecen los pesos de cinco jugadores de fútbol y se pide calcular el promedio de dichos pesos. Invite a uno o más estudiantes a explicar cómo calculan el promedio. Aproveche la pregunta para solicitar que expliquen el significado de este número en el contexto de la situación. Pregunta 8 • Aparece una tabla de frecuencia que muestra la cantidad de horas que duerme un grupo de trabajadores. A partir de la tabla se espera que niños y niñas calculen el promedio de los datos. Contraste los distintos procedimientos que pueden haber surgido, de esta manera serán los mismos niños y niñas quienes se den cuenta de sus errores. Pregunta 12 • Se presenta un suceso relacionado con el lanzamiento de un dado, y se pide marcar el suceso que tiene mayor posibilidad de salir. Al revisar esta pregunta, puede pedir que escriban los posibles resultados asociados a cada alternativa de respuesta, y a partir de dicha información, que señalen cuál tiene mayor posibilidad de ocurrir. Pregunta 15 • Aparecen cuatro bolsas con 6 pelotas en cada una, de colores blanco y negro. Se pide a los estudiantes señalar con cuál de las bolsas hay mayor posibilidad de ganar, considerando que se gana premio si al sacar dos pelotas al azar, estas salen de distinto color. Resguarde que argumenten sus respuestas en conjunto con su compañera o compañero. La comunicación y argumentación del pensamiento matemático es una habilidad que se debe ir desarrollando paulatinamente a lo largo de la escolaridad.

TAREA PARA LA CASA / 5 minutos • Compartir con su familia los contenidos aprendidos en la unidad, comunicando a sus padres aquellos en que tuvieron mayores dificultades, y aquellos que se les hicieron más fáciles. • En la siguiente clase revisen la tarea.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO ORIENTACIONES PARA EL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA PRUEBA La unidad abordó principalmente el estudio del eje Datos y Probabilidades, en particular, el estudio de la representación de información a partir de tablas y gráficos, y una introducción a la noción de probabilidad. Para abordar la representación de información proveniente de estudios estadísticos se usaron: tablas de frecuencia, simples y de doble entrada; gráficos de barra, simples y dobles; y gráficos de línea, simples y dobles. Se trabajaron tareas matemáticas que requieren de la lectura e interpretación de la información, así como inferir otro tipo de información, completar tablas y gráficos, y establecer relaciones entre ellos. Este estudio inicial abordó distintos tipos de representaciones, pictóricas y simbólicas, con números enteros o decimales y usando diversos contextos. Posteriormente, se estudió el significado del promedio de un conjunto de datos y su forma de calcularlo. A partir de él, se compararon dos conjuntos de datos, en el contexto de la resolución de problemas. Finalmente, en el Módulo se inició el estudio de la noción de probabilidad. Para ello, en las primeras clases de este tema se abordó lo que es un experimento aleatorio y un suceso elemental. Luego, a partir de distintos tipos de juegos y experimentos aleatorios: con dados, monedas, ruletas, etc., las y los estudiantes describieron la probabilidad de ocurrencia de un suceso en función de los posibles resultados de él. Del mismo modo compararon sucesos en términos de la posibilidad de ocurrencia de cada uno. La evaluación de la unidad incorpora ítems que permiten evaluar los aprendizajes relacionados con las distintas tareas matemáticas estudiadas, considerando también las distintas habilidades matemáticas. El análisis de las respuestas de la prueba, permitirá a cada docente tener información sobre qué aspectos de los contenidos abordados en el Módulo no están alcanzando los estudiantes. De esta forma, se podrán implementar acciones remediales que permitan consolidar los aprendizajes de niños y niñas. Es importante mencionar que los conocimientos abordados en la unidad son relevantes para continuar el estudio de este eje en cursos superiores, como 36 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

MÓDULO Nº 4: DATOS Y PROBABILIDADES

es el estudio de medidas de tendencia central y otros tipos de gráficos, o el estudio más formal de las probabilidades. Finalmente, se recomienda no solo hacer el análisis de la evaluación considerando porcentajes de respuestas correctas o incorrectas, sino que también considerar en las respuestas incorrectas aquellos distractores que fueron elegidos por la mayor cantidad de niños o niñas. El análisis de los distractores que los estudiantes escogen permite identificar los errores que están presentando y, por ende, tener una aproximación al conocimiento matemático que no han comprendido en forma efectiva. A continuación se presenta una selección de tres ítems, y se modela una forma de hacer este análisis.

Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

MATEMÁTICA / 5° BÁSICO

Indicador de evaluación de la prueba

Ítem

Ítem 8 A un grupo de trabajadores se les consultó sobre la cantidad de horas diarias que dormían. Las respuestas se presentan en la siguiente tabla: Cantidad de horas

Cantidad de trabajadores

Información del curso % L % NL

Calculan el promedio de un conjunto de datos presentados en una tabla de frecuencia.

Calcular el promedio de un conjunto de datos presentado en una tabla de frecuencia requiere que las y los estudiantes comprendan que dicho promedio corresponde a la suma de los datos dividido por el número de datos, pero además, que sepan cómo leer una tabla de frecuencia. Es probable que entre los errores que hayan presentado los estudiantes del curso esté calcular directamente la suma de las frecuencias absolutas y luego, que dicha suma la hayan dividido por cualquier número de la tabla (es probable que haya sido 8, porque es la última observación de la primera columna). Se sugiere proponer ejercicios adicionales a quienes aún tienen dificultades para calcular el promedio a partir de este tipo de tablas.

Identifican un suceso que es más probable que otro dado, en el contexto del lanzamiento de un dado.

En este ítem, algunos niños o niñas pueden señalar erróneamente que “que salga un número mayor que 4” tiene más posibilidades de ocurrir. Esta respuesta se puede deber a la palabra mayor que da la idea de infinitas posibilidades, sin considerar que las caras del dado son solo 6. También, puede deberse a que consideran el 4 al contar los posibles resultados de este evento. Esta última explicación también responde a la alternativa C). Se recomienda volver a listar, con los estudiantes, los posibles resultados relacionados con un suceso de un experimento aleatorio.

El promedio de horas que duermen diariamente los trabajadores consultados es: A. 5 horas. B. 6 horas. C. 7 horas. D. 8 horas. Ítem 12 Jairo está jugando a lanzar un dado. Él apuesta por el resultado “que salga par”. Un resultado que tiene mayor probabilidad de ocurrir que la apuesta de Jairo es: A. que salga impar. B. que salga un número mayor que 4. C. que salga un número menor que 4. D. que salga un número menor que 5.

Orientaciones remediales

38 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

MÓDULO Nº 4: DATOS Y PROBABILIDADES

Ítem

Indicador de evaluación de la prueba

Determinan comparativaÍtem 15 En un juego se gana premio si al sacar mente la probabilidad más dos bolas que están dentro de una alta frente al suceso. bolsa opaca, salen de distinto color. Observa las pelotas que están al interior de las bolsas 1, 2, 3 y 4: Bolsa 1

Bolsa 2

Bolsa 3

Bolsa 4

¿Con cuál de las bolsas hay más posibilidades de ganar? A. Bolsa 1. B. Bolsa 2. C. Bolsa 3. D. Bolsa 4.

Información del curso % L % NL

Orientaciones remediales

Para responder la pregunta en este ítem, los estudiantes deben haber comprendido todos los contenidos abordados en la unidad para el estudio inicial de probabilidades, ya que requiere relacionar conceptos. Un error que pueden presentar es seleccionar la bolsa 4, por la forma en que se presentan las primeras pelotas (intercalando colores). En menor porcentaje pueden haber marcado las bolsas 1 o 2; dichos casos podrían reflejar que no han comprendido cómo describir la posibilidad de ocurrencia de un evento. Se recomienda en ambos casos orientar a los estudiantes a que cuenten las pelotas y luego describan los posibles resultados del evento en cada bolsa, antes de compararlas.

(*) La columna información del curso debe ser llenada por cada docente incorporando el porcentaje de estudiantes que contestó el ítem en forma correcta (%L) y el porcentaje que lo hizo en forma incorrecta (%NL). Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica /

PAUTA DE CORRECCIÓN / EVALUACIÓN MÓDULO 4

Ítem

Eje Temático

Indicador de Evaluación Leen información de tablas simples y determinan el total de datos con los que se construyó la tabla. Interpretan información presentada en un gráfico de barra simple. Leen e interpretan información presentada en tablas de doble entrada. Leen e interpretan información presentada en gráficos de línea simple. Leen e interpretan información presentada en un gráfico de línea doble.

1 2 3 4 5

Respuesta D A C D A

Calculan el promedio de un grupo de datos.

Comparan información, usando el promedio de los datos.

Calculan el promedio de un conjunto de datos presentados en una tabla de frecuencia.

Identifican un experimento aleatorio.

8 9 10 11 12 13 14 15

Datos y Azar

Determinan un suceso seguro en el lanzamiento de un dado regular. Identifican un suceso que es mas probable que otro dado, en el contexto del lanzamiento de un dado. Calculan la resta entre un número decimal y una fracción decimal. Determinan entre dos conjuntos de objetos la probabilidad más alta de ocurrencia de un suceso. Determinan un suceso con mayor probabilidad, en un contexto de juego. Determinan comparativamente la probabilidad más alta frente al suceso.

40 / Módulo Nº 4: Datos y probabilidades / Matemática / 5° básico / Guía Didáctica

D C D A B C