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CAPĂ?TULO I El fractal

Daniel Esquivel

En las profundidades


Edwin Esquivel


CONTENIDO AGRADECIMIENTOS INTRODUCCIÓN

Capítulo I EL FRACTAL

1.1 Historia y antecedentes 1.1.1 Monstruos matemáticos 1.1.2 Julia 1.1.3 Mandelbrot 1.2 Comprendiendo al Fractal 1.2.1 La teoría del caos 1.2.2 ¿Qué es un fractal? 1.2.3 Características 1.2.4 Geometría Euclidiana VS Geometría Fractal

Capítulo II

LA GEOMETRÍA FRACTAL 2.1 El Fractal en el mundo que nos rodea 2.1.1 Naturaleza 2.1.2 Seres vivos 2.2 El Fractal en las ciencias y sus aplicaciones 2.2.1 Medicina 2.2.2 Biología 2.2.3 Telecomunicaciones 2.2.4 Compresión de imágenes 2.2.5 Animación y efectos especiales 2.2.6 Ecología 2.3 El fractal en el arte 2.3.1 Música 2.3.2 Pintura


Capítulo III

COMPOSICIÓN Y RETICULADO EN EL DISEÑO GRÁFICO 3.1 La Composición en el diseño editorial 3.1.1 El soporte 3.1.2 Rectángulo ternario y otros 3.1.3 Número de caracteres por línea 3.1.4 Columnas 3.1.5 Márgenes 3.1.6 La sección Áurea 3.1.7 La composición en el diseño 3.2 La retícula 3.2.1 Conceptos básicos 3.2.1 Retícula de manuscrito 3.2.3 Retícula modular 3.2.4 Retícula jerárquica 3.2.5 Deconstrucción de la retícula

Capítulo IV

INTRODUCCIÓN DEL FRACTAL AL DISEÑO GRÁFICO

4.1 Composición fractal general 4.2 Composición fractal con ángulos 4.3 Reticulado fractal de columnas 4.4 Reticulado fractal jerárquico 4.5 Reticulado fractal modular

CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA MESOGRAFÍA REFERENCIAS DE IMÁGENES


AGRADECIMIENTOS A mi madre, porque me enseñó lo que está bien. Y a mi padre, porque me enseñó lo que está mal.


INTRODUCCIÓN

A

partir de la experiencia personal e indagaciones propias, se ha tenido contacto con los fractales, que, llevados a la imagen, dan tanta información a la vista que el espectador lo único que hace en el momento es asombrarse.

En su sentido más amplio, la palabra composición refiere a la acción y resultado de componer, en tanto, la misma presenta otras referencias más específicas de acuerdo al contexto en el cual se emplee la palabra.* Para el mundo de las artes como la escultura, la fotografía, la pintura, entre otras, una composición será el arte de distribuir los elementos de una obra. Por ejemplo, la composición fotográfica refiere a aquella manera en la cual se ordenarán los objetos vistos dentro del encuadre.

* “Definición de composición”[en línea], disponible en: http://www. definicionabc.com/general/ composicion.php [Recuperado el día 20 de septiembre de 2013].

Los fractales son tan fascinantes, asombrosos y complejos que se han encontrado usos a partir de sus cualidades y características, como la compresión de imágenes, la arquitectura, la música, etc. Sin embargo, han carecido de su uso y explotación en el diseño, tanto en la enseñanza en la licenciatura como en la práctica en la vida profesional del diseñador. Los sistemas educativos actuales en México no contemplan al fractal en la trayectoria académica del estudiante, como un método de composición, ni como un movimiento artístico. Una composición gráfica no es un sistema estándar, único. Los mismos elementos se pueden organizar según diferentes esquemas lógicos, deberán estar dispuestos según una retícula que les aporte equilibrio y estabilidad visual. Dado su sinnúmero de aplicaciones, ¿por qué no utilizar las características de los fractales en el quehacer del Diseñador Gráfico? El estudio del concepto de la geometría fractal, una rama de las matemáticas relativamente nueva, ha generado una evolución increíble en la percepción del mundo y ha dado pauta a un sinnúmero de aplicaciones en prácticamente todas las ramas de la ciencia y el arte, entre las que se encuentran la física, la biología, la geografía, la medicina, la música, la poesía, la arquitectura, la producción de efectos especiales, las telecomunicaciones, etc.


Al conocer a fondo al fractal, se ha notado que su flexibilidad para adaptarse y vincularse virtualmente a cualquier aspecto de la ciencia posibilita su uso en el campo de diseño. Sin embargo, poco se ha hecho para introducir y vincular la geometría fractal al diseño gráfico. A partir de esto, surge la interrogante: ¿Cómo puede el diseñador gráfico explotar las características de los fractales e introducir el uso de la geometría fractal en la disciplina? Las características propias de los fractales matemáticos se pueden abstraer y ser aplicadas al diseño gráfico. El presente documento precisamente pretende comprender a fondo el concepto fractal e integrarlo a la disciplina para su uso y explotación en dos campos muy concretos del diseño: la composición y el reticulado. El presente texto explicará a grandes rasgos, de una manera sencilla y sin tener que utilizar las matemáticas, conceptos y temas clave para la comprensión profunda de la generación de fractales y su funcionamiento. Contiene la información suficiente y clara para que sea digerible y asimilada por cualquier persona, esté o no familiarizada con el tema. Este libro da por sentado que el diseñador está familiarizado con el diseño editorial, comprende y sabe hacer uso de una retícula; sus conocimientos previos harán que el diseñador pueda entender y aplicar el reticulado y la composición fractal al diseño gráfico. Este documento no pretende analizar las interrelaciones del espacio y la retícula ni medir de qué manera afecta ésta en el espectador. Propone alternativas viables a las técnicas de composición comunes como el uso de sección áurea, la generación de columnas, campos reticulares, módulos, medianiles, márgenes, etc.


A lo largo del Capítulo I el lector se irá familiarizando con los términos más usados y comprenderá poco a poco la historia y la esencia propia de los fractales matemáticos. Se conocerán los modelos fractales más comunes, desde los monstruos matemáticos del siglo XIX, como el conjunto de Cantor o el triángulo de Sierpinski, hasta la imagen matemática más impresionante jamás descubierta; el conjunto de Mandelbrot. El Capítulo II explicará cómo el fractal se encuentra inmerso en el mundo que nos rodea, desde las estructuras naturales, como los ríos, las costas, las montañas y las nubes, hasta la asombrosa cualidad fractal del ADN para formar toda la cadena de la vida a partir de instrucciones bastante simples. Describirá cómo la geometría fractal estudia y aplica al fractal en diversas ramas de las ciencias y de las artes, tales como la biología, la medicina, las telecomunicaciones, la ecología, la pintura, la música, etc. Después de comprender a fondo el concepto fractal y la manera en que la geometría fractal está aplicándose en las ciencias y las artes, nos damos cuenta que el fractal puede ser explotado en el diseño. El Capítulo III muestra dos campos muy concretos en los que se puede introducir el uso del concepto fractal: la composición y la retícula en el diseño gráfico. El Capítulo IV aplica la geometría fractal en la disciplina del diseño gráfico con propuestas de composición y reticulado fractal, se abstraen y utilizan las características de los fractales para ser integradas al proceso de diseño. Las propuestas aquí presentadas servirán de base para generar nuevas y diferentes composiciones fractales, variando las condiciones iniciales de cada una de ellas.


EL FRACTAL

1.1 Historia y antecedentes

1.1.1

A

Monstruos matemáticos

finales del siglo XIX, los matemáticos habían puesto por escrito una descripción formal de cómo debía ser una curva*, a grandes rasgos todo aquello que se dibujara sin levantar el lápiz; pero dentro de esa descripción había más cosas, elementos que satisfacían esa definición pero que eran tan raros que ni siquiera se podía pensar en dibujarlos, eran vistos como monstruos o cosas más allá de lo real. Los científicos de aquella época supusieron que esas mismas funciones discontinuas eran muy escasas y que raramente surgirían en sistemas naturales, por lo que las consideraban excepciones a la matemática tradicional y simplemente las dejaban de lado, o si no las ignoraban realizaban aproximaciones a través de redondeos, lo cual aún hoy en día se continúa haciendo con éxito en diferentes sistemas, pero dichos redondeos se vuelven peligrosos en sistemas con una dinámica caótica. **

IMG- Geometría del Diseño

Un grupo de matemáticos comenzó a darse cuenta que en la naturaleza se daba muy seguido el fenómeno de irregularidades y que no eran excepciones como se suponía. * “Sobre la historia del concepto topológico de curva.PDF”[en línea], disponible en: http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/ autores/pag/mat/Historia11.pdf [Recuperado el día 20 de septiembre de 2013]. ** “Curso Geometría Fractal.PDF” [en línea], disponible en: http://fractaltec.org [Recuperado el día 11 de octubre de 2011].


El matemático Alemán George Cantor creó el primero de estos monstruos en 1883. Tomó una línea recta, la dividió en 3 partes iguales, removió la línea de en medio, dejando dos líneas en cada extremo, luego tomó esas dos líneas y eliminó el tercio interior de ellas y a las líneas resultantes les aplicó el mismo proceso, y así sucesivamente, estas acciones repetitivas son llamadas iteraciones. El fractal surge a partir del uso de éstas; la Iteración es una acción repetitiva cíclica e infinita, la cual se irá comprendiendo poco a poco a lo largo de este documento.

Conjunto de Cantor Si acercamos el Conjunto de Cantor, el patrón sigue siendo el mismo, y si tomamos una parte, podemos observar que mantiene la misma apariencia que el todo, es autosimilar.


Otra forma extraña fue presentada por el matemático sueco Helge Von Koch en 1904, quien tomó un triángulo equilátero, el tercio central de cada lado se sustituye por dos líneas más grandes que la original, formando otro triángulo equilátero y así sucesivamente. Cada ciclo añade otro pequeño triángulo. El proceso se repite un número infinito de veces. En aquella época se denominó “curva patológica”, ya que carecía de sentido según la forma de pensar de la gente acerca de las medidas, la geometría euclidiana, las figuras matemáticas, etc.* * “+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el día 11 de octubre de 2011] La curva de Koch es una paradoja, a la vista la curva parece finita, pero matemáticamente resulta infinita, lo que supone que no se puede medir. Ciertamente, esta figura ocupa un lugar concreto en el espacio, sin embargo no ocupa dos dimensiones, y sus características hacen que tampoco sea un objeto unidimensional. Estas figuras se encuentran en una dimensión espacial entre 1 y 2, su dimensión es un número fraccionario. El diseño gráfico necesita poner elementos dentro de determinado espacio, ¿será el fractal alguna manera de realizar dicha tarea?


Alrededor de 1915, Waclaw Sierpinski construyó un conjunto cuyo perímetro es infinito y su área cero. Su construcción es la siguiente: partiendo de un triángulo cualquiera, se dibuja un nuevo triángulo uniendo los centros de sus lados y se elimina de la figura inicial. El resultado será tres triángulos semejantes al inicial de área (cada uno) cuatro veces menor que el área inicial. Se repite la operación con los tres triángulos y, en general, con los triángulos que se vayan formando. El resultado será el Triángulo de Sierpinski.

Triángulo de Sierpinski


1.1.2

Julia

El matemático Gastón Julia (1893-1978) fue uno de los grandes precursores de la matemática fractal. Se interesó por las iteraciones de números complejos. En Paris, en 1917 publicó el artículo “Informe sobre la iteración de las funciones racionales” de 199 páginas en la revista francesa Journal de Mathématiques Pures et Apliques, ello le mereció un galardón por parte de la Academia de ciencias de Francia. Julia intentaba averiguar qué ocurre cuando se toma una simple ecuación y se itera mediante una retroalimentación, eso significa que tomamos un número, lo introducimos en la fórmula y el resultado de ello se pone de vuelta al principio, se realiza la misma operación un número indeterminado de veces. La serie de números que se obtienen se denomina conjunto, el Conjunto de Julia. Sin embargo, dibujar esta figura matemática a mano era una tarea imposible. Se llevaron a cabo intentos para dibujarlo a mano mediante la aritmética, pero se había que retroalimentar millones de veces. El desarrollo de este nuevo tipo de matemáticas tenía que esperar hasta la invención de la computadora.

Conjunto de Julia.

IMG- Conjunto de Julia


1.1.3

Mandelbrot *

Benoît Mandelbrot (1924) se interesó mucho por la posibilidad de que una regla o cierto tipo de orden determinaran el ruido que se proyectaba en las comunicaciones entre computadoras. Trazó la información del ruido y lo que vio fue sorprendente y bastante curioso. Sin tener en cuenta la escala de tiempo, el gráfico resultaba idéntico a cualquier escala, un día, una hora, un segundo, pareciéndose mucho a los patrones del Conjunto de Cantor. Resultó haber encontrado interferencia con autosimilitud. IMG-Geometría Fractal

Sin embargo, una de sus aportaciones más significativas la pudo realizar gracias a la invención de la computadora, ya que Mandelbrot la utilizó para transformar los números del conjunto de Julia en puntos en un gráfico. En marzo de 1980 creó su propia ecuación, una que combinaba todo el Conjunto de Julia en una sola imagen, cuando iteró su ecuación consiguió su propio conjunto de números: el Conjunto de Mandelbrot.

Z=z2+c

IMG-Geometría Fractal Cada resultado de la fórmula fue ubicado y trazado en el plano cartesiano, generando una espectacular imagen, la cual puede ser amplificada infinitamente, sin perder detalle.

Los números de esta ecuación son números complejos, coordenadas que representan un punto en el plano cartesiano. El aspecto más significativo de esta ecuación y de los fractales en general es que existe un tráfico de los números para ambos lados, retroalimentándose constantemente. Este proceso cíclico es llamado Iteración, donde se le da un valor inicial y se la aplica la fórmula, el resultado de ésta es tomado ahora como el valor inicial y se vuelve a aplicar el proceso, infinitamente. Algo que es demasiado remarcable acerca del set de Mandelbrot es que esas formas tan complejas son basadas en un principio increíblemente simple, de hecho, toda persona que sepa multiplicar y sumar * “+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]


puede entender los principios en los que está basado. La razón por la que el descubrimiento de esta imagen tan espectacular es relativamente reciente es que esas operaciones simples se tienen que repetir miles de millones de veces, [de hecho, un término más exacto sería Iterar infinitamente], y eso sólo se pudo lograr con el surgimiento de la computadora.

IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón

Una de las revoluciones resultado de este descubrimiento, es que comenzamos a darnos cuenta que las formas de la naturaleza no son suaves líneas continuas, comenzamos a notar que los objetos de la naturaleza son explicados por la geometría fractal. La geometría fractal es la manera por la cual la naturaleza se rige.

El Set de Mandelbrot es uno de los mayores descubrimientos en la historia de las matemáticas. A partir de instrucciones bastante simples, se pueden crear estructuras infinitamente complejas.

IMG- Proyecto Universo Fractal


Mediante esta imagen, Mandelbrot dejó en duda visiblemente las ideas que se tenían acerca de los límites de las matemáticas, se quitaron el antifaz y la gente comenzó a ver formas que siempre habían estado ahí, pero habían sido invisibles. El conjunto de Mandelbrot es un gran ejemplo de lo que se puede hacer en la geometría fractal, al igual que el círculo era el arquetípico ejemplo de la geometría clásica.

Recorrido a través del conjunto de Mandelbrot Los colores son creados arbitrariamente, pero no sin importancia, ya que el cambio gradual de color se da por cada iteración aplicada.

IMG-Geometría Fractal

IMG-Geometría Fractal

IMG-Geometría Fractal

IMG-Geometría Fractal


IMG-Geometría Fractal Si lo acercas lo vuelves a ver, de modo que hay autosimilitud, si se acerca muchas veces parece el mismo sitio pero en realidad no es así, es solo que esa parte contiene la misma estructura que el punto de donde partimos, de modo que una sola parte es similar al todo.

IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón

IMG-Geometría Fractal

IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón

IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón


1.2 Comprendiendo al Fractal

1.2.1 La teoría del caos*

“Usted cree en un dios que juega a los dados, yo creo en la ley y el orden absolutos” Albert Einstein

L

as tres cosas de mayor importancia en el desarrollo científico del siglo XX son: la Teoría de la Relatividad, la Mecánica Cuántica y la Teoría del Caos, considerada como la tercera gran revolución científica de este siglo.

Aún hoy nos siguen asombrando las formas en que el universo funciona. La naturaleza nos sorprende con manifestaciones espectaculares como el increíble poder de un trueno o la enorme devastación que genera un tornado, los cuales son fenómenos naturales sujetos a unas determinadas leyes físicas. Cosmos y caos, orden y desorden, eso es lo que significan esas dos palabras griegas. El batir de las olas, los patrones de las nubes, los fenómenos climáticos, la evolución de una epidemia, nuestra atmósfera e incluso nuestro sistema solar, son sistemas caóticos.

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza

El término caos se refiere a una interconexión que se manifiesta en acontecimientos aparentemente aleatorios. La conducta caótica es la agregación de muchas conductas ordenadas. El caos es impredecible, pero determinable, o dicho de otro modo, el caos no es aleatorio, tiene un orden subyacente aunque pueda parecer paradójico. * “Universo matemático, orden en el caos” [en línea], disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=G2escEYqOUo [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza


Esta nueva teoría afirma que toda la belleza de la Naturaleza, con su enorme polimorfia, no está sujeta a leyes complejas, sino que proviene de procedimientos muy simples, aunque de tipo no lineal. Ahora sabemos que todo en la naturaleza se comporta de manera no lineal; hasta hace muy poco no teníamos la posibilidad de un método matemático para estudiar este hecho. Nuestra matemática era lineal, estática. La historia de la ciencia se reduce a una lucha eterna por descubrir el funcionamiento de la naturaleza, y las matemáticas son una herramienta imprescindible. Isaac Newton dio un paso de gigante en la búsqueda del orden en el universo, descubriendo la Ley de la Gravitación Universal, una ley matemática que ponía un orden definitivo en el movimiento de todos los cuerpos, no importa dónde estuvieran, en la superficie terrestre, o en los confines del universo. Había descifrado el sistema del mundo, pero para ello había necesitado unas nuevas y potentes herramientas matemáticas, que él mismo tuvo que fabricarse: el cálculo diferencial y el cálculo integral, unas herramientas que de manera irrefrenable, han extendido las fronteras del reino del orden matemático por casi todos los rincones del mundo científico. Teóricamente conocer el futuro, parecía al alcance de la mano, si pudiésemos medir las posiciones y velocidad de todas las partículas del universo podríamos leer su pasado y su futuro, pero por desgracia, no todo era tan simple. La herramienta matemática era potente y casi mágica, pero no solucionaba todos los problemas.

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza


Las medidas precisas y las ecuaciones diferenciales podrán predecir el estado de cualquier sistema conociendo las condiciones del mismo en un momento determinado. Las leyes de Newton nos han permitido calcular las órbitas de todos los planetas, predecir los eclipses, incluso han hecho posible que el hombre haya puesto un pie en la Luna, pero esas mismas ecuaciones son incapaces de predecir el movimiento de las miles de gotas que forman un torrente, ya que esos sistemas son demasiado complejos. La teoría de las probabilidades solucionó en parte el problema. El análisis estadístico, el estudio de promedios, fue la herramienta matemática para resolver el estudio de este tipo de sistemas complejos. No sabemos lo que hará cada una de las gotas del torrente, pero al menos sabremos lo que hará éste globalmente. Sin embargo, ¿quién puede predecir cuándo y dónde se producirá un torbellino en una corriente de agua?, ¿cuándo y dónde se formará una tormenta?

IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón

Aunque no seamos capaces de predecir dónde y cuándo aparecerá la siguiente tormenta, al menos sabemos por qué y cómo se produce, hemos puesto un poco de orden en el caos de la naturaleza. La concienciación científica del Caos comenzó con los experimentos de Edward Lorenz, en la década de los 60, sobre las variaciones climáticas de la Tierra. Así descubrió el llamado “efecto mariposa”, según el cual el aleteo de una mariposa en algún lugar del mundo puede generar un huracán al otro lado de la Tierra. Este extraño fenómeno nos muestra que todo sistema dinámico tiene una gran sensibilidad y dependencia con respecto a las condiciones iniciales, ya que una ligera e imperceptible modificación de las condiciones iniciales hace variar el resultado de forma mayúscula.

IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón

IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón


Esta sensibilidad y dependencia inicial es la responsable de la aparición del caos en cualquier momento. Este descubrimiento se hace eco del refrán popular que dice: “Por un clavo se perdió la herradura. Por una herradura se perdió el caballo, Por un caballo se perdió el jinete. Por un jinete se perdió la batalla. Por una batalla se perdió el Imperio”. Muy pequeños detalles, en la cadena de causas y efectos, pueden provocar resultados inmensamente complejos, aparentemente fortuitos, impredecibles y caóticos. Sin embargo ahora ya sabemos que existe también un Súper-Orden dentro del Caos, y el aparente caos y casualidad en la vida y la historia obedece a causas y leyes de un nivel superior, dinámico y no-lineal.

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza

El Caos y el Azar son la expresión de una ley matemática desconocida hasta ahora, de un Súper-Orden de carácter universal, válido para cualquier ser o sistema en comportamiento dinámico. La universalidad significa que sistemas diferentes se comportan del mismo modo, o dicho de otra manera, es el principio hermético de: “Como es arriba es abajo, como es abajo es arriba”. Los sistemas dinámicos caóticos no respondían sin embargo a ningún modelo geométrico conocido capaz de describirlos. Se necesitaba una nueva geometría capaz de explicarnos por qué la conducta caótica de la naturaleza, sus formas informales y dinámicas, nos parecen hermosas y estéticas; explicarnos la estética natural, con sus leyes y causas, de los esquemas caóticos de las nubes, de las montañas, de los relámpagos, de los ríos, de las ramificaciones arborescentes, que no parecían obedecer a ningún orden establecido, a ningún modelo geométrico “lógico” y no casual.

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza


Pero las matemáticas no se han detenido ante esta nueva frontera, han buscado y encontrado manifestaciones de orden incluso dentro de los fenómenos en apariencia caóticos. El desarrollo de la informática abrió la puerta a una nueva geometría, la geometría fractal, una nueva herramienta matemática que se está adentrando en el territorio del caos. La naturaleza tiene una componente caótica más extensa de lo que sospechamos; algo que las ecuaciones de Newton son incapaces de medir.

1.2.2 ¿Qué es un fractal?

En los años 70, Benoît Mandelbrot desarrolló el concepto de fractal (B. Mandelbrot, 1977), que proviene del vocablo latino fractus (“quebrado”). Y en 1980 creó lo que probablemente sea la más remarcable e impresionante imagen matemática jamás descubierta: El Conjunto de Mandelbrot, cuya exploración marcó la pauta para una rama nueva de la geometría que podría explicar el funcionamiento del universo entero a partir de un concepto poco estudiado hasta este entonces, el concepto “FRACTAL”. En su libro The Fractal Geometry of Nature (La geometría fractal de la naturaleza 1977, 1982, 1983), Mandelbrot decía que muchas de las formas de la naturaleza podrían ser descritas de forma matemática como fractales, revelando así uno de los mayores secretos en cuanto al diseño de la naturaleza, el orden en el caos. Lo suyo fue un desafío audaz frente a siglos de diversas suposiciones acerca de las diferentes formas que adaptaba la naturaleza. Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica es repetida a diferentes escalas. No puede ser descrito mediante la geometría tradicional euclidiana ya que está compuesto de un perímetro infinito en un área finita. Contiene altos grados de simetría, crea una gran complejidad, pero sin embargo se define con algoritmos asombrosamente simples, ya que solo se necesita la información de una parte, para crear el todo. La esencia propia de los fractales está inmersa en el mundo que nos rodea: los copos de nieve, las ramas de un árbol, la reproducción celular, la distribución de las galaxias, el sistema circulatorio de nuestro propio cuerpo, el ADN, la molécula fundamental en la cadena de la

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza

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vida, la propagación de los virus, la formación de las nubes, las costas, las montañas. Explican además el crecimiento demográfico en las ciudades, así como el índice de mortalidad en ellas. Los fractales abren la puerta a numerosas conjeturas sobre la complejidad del mundo. Las pautas de generación de fractales son extremadamente sencillas si se comparan con los resultados obtenidos. Es posible que numerosos comportamientos de la naturaleza que hoy día que se nos antojan extremadamente complicados respondan de igual forma a mecanismos de enorme sencillez. “La geometría fractal es una rama muy joven cuyos progresos deben repercutir muy directamente en una creciente utilidad en el diseño y en el estudio de la realidad” (Pérez, 1998). El estudio del concepto de fractal ha generado una evolución increíble en la percepción del mundo y ha dado pauta a un sinnúmero de aplicaciones en prácticamente todas las ramas de la ciencia y el arte, entre las que se encuentran la física, la biología, la geografía, la medicina, la música, la poesía, la arquitectura, la producción de efectos especiales, las telecomunicaciones, la pintura, etc.

1.2.3 Características

Aunque Mandelbrot no dio una definición precisa, caracterizó a los fractales mediante las tres propiedades siguientes: a) Figuras que se repiten en sí mismas infinitas veces a distintas escalas (conjuntos autosemejantes).

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza Uno de los ejemplos más característicos de la autosimilitud es un árbol, si miramos cada uno de los nodos en que se ramifica un árbol, lo que vemos es que este patrón por el que se ramifica es muy similar en todo el árbol, a medida que avanzamos desde la base hasta la parte superior vemos cómo hay ramas madre que se ramifican en ramas hijas. Mientras subimos nos encontramos con que el patrón de ramificación es similar.

Uno de los rasgos más característicos de un fractal, es lo que los matemáticos denominan autosimilitud. La principal idea es que si lo acercas o lo alejas, el objeto siempre tendrá la misma apariencia o estructura, a cualquier escala de observación. La totalidad del fractal es igual que cualquiera de sus partes, que es igual a otro trozo más pequeño; la similitud del patrón no deja de sucederse. Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud: •Autosimilitud exacta: Este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. Los monstruos matemáticos como el Conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski tie-

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza


nen una estructura con autosimilitud exacta. •Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Un ejemplo es el Conjunto de Mandelbrot. •Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo. b) Figuras con dimensión no entera (dimensión fractal)

IMG-Geometría Fractal

*

La geometría tradicional o euclidiana distingue las siguientes dimensiones: -1, 0, 1, 2, 3. •-1D representa el vacío. •0D representa un punto, ya que no tiene dimensión alguna porque no tiene longitud, anchura o profundidad. •1D es una línea (formada por infinitos puntos) es unidimensional ya que sólo tiene longitud. •2D es un plano, es bidimensional porque tiene longitud y anchura. •3D es representada por un cubo. Un cubo es tridimensional ya que tiene longitud, anchura y profundidad. ¿Pero qué pasa cuando medimos la dimensión de un fractal? Encontramos que su dimensión no es entera, es un número fraccionario. Como ejemplo la dimensión del triángulo de Sierpinsky es de 1.5849. c) Aparecen tras procesos iterativos infinitos La iteración es un punto clave para la formación de fractales. * “Fractales: una nueva geometría”[en línea], disponible en: http://usuarios.multimania.es/sisar/fractales/fractales.php [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]

IMG-Geometría Fractal Entre mayor rugosidad mayor es la dimensión fractal del objeto.


1.2.4 Geometría Euclidiana VS Geometría Fractal*

A lo largo del desarrollo de la humanidad, hemos aprendido y utilizado las matemáticas para construir desde las pirámides hasta rascacielos inmensos, empleamos las matemáticas para estudiar el movimiento regular de los planetas, y hasta para llevar al hombre a la Luna. Sin embargo, las matemáticas clásicas están diseñadas para estudiar el mundo que hemos concebido y creado, las cosas que hemos construido por medio de la geometría tradicional euclidiana. Estructuras hechas por el hombre, donde había líneas rectas, círculos y demás formas geométricas. La idea principal que subyace a la geometría euclidiana es que todo es extremadamente regular, es decir, todo se reduce a líneas rectas, planos y volúmenes. Sin embargo en la vida real no existen rectas ni esferas, el universo tan complejo a nuestro alrededor parece funcionar de una manera extremadamente diferente. La geometría tradicional no puede describir cómo se comportará cada uno de los billones de gotas de un torrente de agua, ni siquiera puede describir cómo se ramificará un árbol o cómo crecerá un maguey. * “Geometría Fractal”[en línea], disponible en: http://www. youtube.com/watch?v=CgVqX0a49HM [Recuperado el día 11 de octubre de 2011]

IMG-Geometría Fractal

IMG-Geometría Fractal

La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras.*

*“Definición de Geometría”[en línea], disponible en: http:// definicion.de/ geometria/#ixzz2fkXAfy68 [Recuperado el día 20 de septiembre de 2013]

IMG-Geometría Fractal


La principal diferencia entre la geometría fractal y la geometría clásica es que esta última presenta contornos diferenciables, mientras que en la geometría fractal aparecen contornos quebrados (no diferenciables), difíciles de medir. Por ejemplo, si se trata de medir el contorno de un país, el resultado dependerá de la resolución del mapa, de manera que una mayor resolución implica mayor longitud. Es por ello por lo que se tratará de medir los fractales usando otro tipo de dimensiones (dimensión fractal), de forma que se pueda comparar la longitud del litoral de un país con el de otro. Los patrones de la naturaleza, los elementos que ya estaban ahí antes de que nosotros llegáramos al planeta, los árboles, las plantas, las nubes, el sistema del tiempo, todo era ajeno a las matemáticas. Sin embargo, Mandelbrot dio inicio a la geometría fractal, donde se debían estudiar los patrones de la naturaleza, donde hay un orden bajo el aparente caos. Se pueden crear fórmulas que describan las nubes, las flores y las plantas, es sólo que son otro tipo de fórmulas, las cuales nos conducen a un tipo diferente de geometría. Si se encuentra en todas partes, ¿cómo es que no se había visto antes? La respuesta parece indicar que la gente ya lo había visto, la gente claramente reconocía esta cualidad repetitiva de la naturaleza. IMG-Geometría Fractal

IMG-Geometría Fractal

IMG- Xeometría, Arte e Naturaleza


MESOGRAFÍA “+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponible en: http://www.youtube.com/

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IMG- Las matemáticas en el cine IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón

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Acerca del autor

El fractal y el diseño gráfico ahora son amigos © Capítulo 1 Edwin Esquivel Formato PDF Primera edición Toluca, México; Diciembre de 2013 Sakro Diseño y Desarrollo

El fractal y el diseño gráfico ahora son amigos. Cap. 1  

Este capítulo busca conocer a fondo a los fascinantes fractales matemáticos.

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