Colección Grandes Matematicos: Gottfried Leibniz

Colección Grandes Matemáticos

SEPTIEMBRE 2021

NÚMERO I

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ EL CÁLCULO INFINITESIMAL

AUTOR: FREDY D. CRUZ ORTEZ BIOGRAFÍA DE LEIBNIZ

CALCULO INFINITESIMAL

Su vida y aportes al mundo de la Matemáticas y otras ciencias

Su definición y aplicación en la matemática

LEIBNIZ VS NEWTON El momento álgido de esta rivalidad matemática sobre el calculo

Grandes MatemĂĄticos

"La experiencia del mundo no consiste en el nĂşmero de cosas que se han visto, sino en el nĂşmero de cosas sobre las que se ha reflexionado con fruto" Gottfried Leibniz

ÍNDICE 04

Biografía

05

Definición del Cálculo Infinitesimal

06

Aportes de Leibniz al Cálculo Infinitesimal

09

Características y términos del Cálculo Infinitesimal de Leibniz

11

Leibniz vs Newton

Biografía En 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.

En 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco años en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. De esta época datan su invención de una máquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, así como la elaboración de las bases del cálculo infinitesimal.

Gottfried Wilhelm Leibniz; nació en Leipzig, actual Alemania, el 1 de julio de 1646 fue un filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.

En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra.

En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien más adelante sería consejero, además de historiador de la casa ducal. A la muerte de Sofía Carlota (1705), la esposa del duque, con quien Leibniz tuvo amistad, su papel como consejero de príncipes empezó a declinar.

En 1711 John Keill, al escribir en la revista de la Royal Society y, con la supuesta bendición de Newton, acusó a Leibniz de haber plagiado el cálculo de Newton, dando inicio de esta manera a la disputa sobre la paternidad del cálculo.

Dedicó sus últimos años a su tarea de historiador y a la redacción de sus obras filosóficas más importantes, que se publicaron póstumamente.

Leibniz murió en Hannover el 14 de noviembre de 1716.

Definición del Cálculo Infinitesimal Definición El cálculo infinitesimal o simplemente cálculo constituye una rama muy importante de las matemáticas. En la misma manera que la geometría estudia el espacio y el álgebra estudia las estructuras abstractas, el cálculo es el estudio del cambio y la continuidad (más concretamente, de los cambios continuos, en oposición a los discretos). El cálculo infinitesimal se divide en dos áreas: cálculo diferencial y cálculo integral.

El cálculo diferencial estudia cómo computar la función que describe el cambio de otra función de variables continuas (operación de orden superior llamada «derivada»), mientras que el cálculo integral estudia la operación inversa (antiderivadas e integrales) y las series infinitas. En su formulación contemporánea, ambos campos se fundamentan en el concepto de límite para poder calcular cambios infinitesimalmente pequeños; y se relacionan por medio del teorema fundamental del cálculo.

Desde su aparición en el siglo XVII, el cálculo infinitesimal se ha vuelto imprescindible para la ciencia y la ingeniería y constituye gran parte de la educación universitaria moderna.

Se usa para resolver muchos problemas para los cuales las matemáticas de la antigüedad fueron insuficientes, como por ejemplo encontrar la tangente a un punto en una curva, hacer mediciones exactas de longitudes, áreas y volúmenes curvos; determinar si una suma de infinitos sumandos converge o diverge, y encontrar situaciones de equilibrio y optimización en funciones de números reales son ejemplos de las puertas que el cálculo vino a abrir para las matemáticas.

Tanto la mecánica clásica como la mecánica relativista utilizan el lenguaje del cálculo. Esto a su vez permite entender el movimiento de cuerpos celestes y hacer viajes espaciales o satélites artificiales.

Aportes de Leibniz al Cálculo Infinitesimal Antes de Leibniz se crearon varias técnicas para resolver los problemas de tangente, encontrar extremos y calcular cuadratura, pero en las obras de sus antecesores no había ningún estudio limitado por funciones algebraicas completas.

En estos trabajos, los conceptos básicos de análisis no se distinguieron claramente de ninguna manera, y sus interrelaciones no se establecieron, no hubo un simbolismo desarrollado y uniforme.

Leibniz fue un genio adelantado para su época, planteo mucho antes que Isaac Newton el calculo integral para encontrar el área bajo la curva y además fue uno de los últimos genios universales ya que se formo en muchos campos

Leibniz reunió técnicas privadas y dispares en un solo sistema de conceptos de análisis que se relacionaban entre si, expresados en notación, permitiendo realizar acciones con infinitamente pequeñas de acuerdo con las reglas de un cierto algoritmo.

La invención del cálculo infinitesimal es atribuida a Leibniz y Newton. De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental. Ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x).

Aportes de Leibniz al Cálculo Infinitesimal Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo «integral» , que representa una S alargada, derivado del latín summa, y la letra «d» para referirse a los «diferenciales», del latín differentia.

∫

Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable.

Actualmente se emplea la notación del cálculo creada por Leibniz, no la de Newton.

El documento de Leibniz establece los conceptos básicos del cálculo diferencial, las reglas de diferenciación de las expresiones.

Utilizando en ella la interpretación geométrica de la relación dy/dx, explica brevemente los signos de aumento y disminución, máximo y mínimo, convexidad y concavidad (por lo tanto, condiciones suficientes extremo y para el caso más simple), así como puntos de inflexión.

En 1684 Leibniz publicó el primer trabajo importante del mundo sobre Cálculo diferencial: "El nuevo método de máximos y mínimos".

En el camino, las "diferenciales de diferenciales" (múltiplos de diferenciales), denotadas por "ddv", se introducen sin ninguna explicación. Leibniz escribió: "Lo que una persona versada en este cálculo puede resolver en tres líneas, otros hombres eruditos se vieron obligados a buscar siguiendo complejos desvíos".

El método de máximos y mínimos fue un gran impulso que tomo Leibniz en el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal sobre Isaac Newton

Leibniz utilizo la interpretación geométrica para explicar lo de máximos y mínimos, convexidad y concavidad

Aportes de Leibniz al Cálculo Infinitesimal En 1686 por primera vez, introdujo el símbolo , para la integración, e indicó que esta operación es inversa a la diferenciación.

∫

En 1692 se introduce el concepto general sobre de una familia de curvas de un parámetro, se deriva su ecuación. La teoría de las envolturas de la familia de curvas fue desarrollada por Leibniz simultáneamente con X. Huygens en 1692 - 1694.

Para el añp de 1695 Leibniz introdujo la función exponencial en la forma más general. Más tarde en 1697 Johan Bernoulli estudió el cálculo de la función exponencial.

A inicios del siglo XVIII en 1702 junto con Johann Bernoulli, Leibniz descubrió el método de descomposición en fracciones parciales. Esto resolvió muchos problemas de integración de fracciones racionales.

En 1693 Leibniz abordó el problema de la solvencia de sistemas lineales; sus resultados introdujeron el concepto de determinante. Pero este descubrimiento no despertó interés entonces, y el álgebra lineal surgió solo medio siglo después.

1686 Leibniz introduce el símbolo para la integración

Johann Bernoulli se convirtió en amigo y en defensor de Leibniz en la polémica que mantenía con Isaac Newton, por deslindar quién había sido el primero en enunciar los principios del cálculo infinitesimal.

Características y términos del Cálculo Infinitesimal de Leibniz En el enfoque de Leibniz para el análisis matemático había algunas características tales como: Leibniz concibió el análisis más alto no de forma cinemática, sino que algebraicamente, a diferencia de Newton.

incluso durante su vida, y la razón para el análisis que satisface los requisitos científicos modernos solo podría darse en siglo XIX.

En sus primeros artículos, parecía entender infinitesimales como objetos reales comparables entre sí solo si son del mismo orden. Tal vez esperaba establecer su conexión con su concepto de mónadas. Al final de su vida, habló bastante a favor de variables potencialmente infinitas, aunque no explicó lo que quería decir con eso.

En términos filosóficos generales, consideraba el infinitesimal como el soporte de la continuidad en la naturaleza.

Los intentos de Leibniz de realizar un análisis riguroso del análisis no tuvieron éxito, dudó entre varias interpretaciones de infinitamente pequeñas, a veces intentó recurrir a ideas no especificadas de límite y continuidad.

Las opiniones de Leibniz sobre la naturaleza de lo infinitamente pequeño y sobre la razón de las operaciones en ellas causaron criticas

Monumento a Leibniz la Universidad de Leipzig

en

Características y términos del Cálculo Infinitesimal de Leibniz Leibniz introdujo los siguientes términos: "diferencial", "cálculo diferencial", "ecuación diferencial", "función", "variable", "constante", "coordenadas", "abscisa", "curvas algebraicas y trascendentales", "algoritmo"(en un sentido cercano al moderno).

Aunque el concepto matemático de una función estaba implícito en trigonometría y en las tablas logarítmicas que existían en su época, Leibniz fue el primero en usarlo explícitamente para referirse a cualquiera de varios conceptos geométricos derivados de una curva, como la abscisa, ordenada, tangente, cuerda y normal.

Leibniz formuló el concepto de diferencial como una diferencia infinitamente pequeña entre dos valores infinitamente cercanos de una variable e integral como la suma de un número infinito de diferenciales y dio las reglas más simples para la diferenciación e integración ya en sus notas manuscritas de París relativas a octubre y noviembre de 1675; aquí en Leibniz por primera vez hay signos modernos del diferencial y la integral.

Leibniz dio la definición y el signo del diferencial en 1684, en la primera memoria sobre cálculo diferencial, "Un nuevo método de máximos y mínimos".

En el mismo trabajo, las reglas para diferenciar la suma, diferencia, producto, parcial, cualquier grado constante, función de la función (invariancia del primer diferencial), así como las reglas para encontrar y distinguir (usando el segundo diferencial) máximos y mínimos y encontrar puntos de inflexión.

Apuntes de Leibniz a principio del siglo XVIII en donde utiliza términos y simbolos relevantes del Cálculo.

Leibniz vs Newton Cuando Newton y Leibniz publicaron sus resultados, hubo gran revuelo y controversia sobre qué matemático merecía el crédito por la invención de esta disciplina. Newton llegó primero a sus resultados, pero Leibniz publicó primero y los supo explicar de mejor manera.

solicitud de retracción de Leibniz, respaldando de esta forma las acusaciones de Keill.

En 1711 John Keill, al escribir en la revista de la Royal Society y, con la supuesta bendición de Newton, acusó a Leibniz de haber plagiado el cálculo de Newton, dando inicio de esta manera a la disputa sobre la paternidad del cálculo.

Comenzó una investigación formal por parte de la Royal Society (en la cual Newton fue participante reconocido) en respuesta a la s0licitud Tumba de Leibniz en Hannover en el 300.º aniversario de su muerte

Estatuas de Isaac Newton y Leibniz en el Museo de Historia Natural de la Universidad de Oxford

Al momento de fallecer Leibniz, su reputación estaba en declive; gran parte de Europa llegó a dudar de que hubiera descubierto el cálculo independientemente de Newton, y por ende se despreció la totalidad de su trabajo en matemáticas y física.

Pero luego Leibniz fue reconocido póstumamente como el creador del Cálculo infinitesimal que hoy conocemos en declive de Newton

Leibniz actualmente es reconocido como el creador del calculo infinitesimal, aunque este reconocimiento fue postumo a él. Se le considera como uno de los grandes genios del siglo XVII Referencias Bibliográficas Conociendo a Gottfried Leibniz — Stephen Wolfram Writings.

(2020). Consultado el 20 de septiembre de 2020 en https://writings.stephenwolfram.com/2013/05/dropping-in-ongottfried-leibniz/ El Cálculo Infinitesimal. (2020). Consultado el 20 de septiembre de 2020, en https://edumatth.weebly.com/el-caacutelculoinfinitesimal.html Gottfried Leibniz. (2020). Consultado el 20 de septiembre de 2020 en https://www.quien.net/gottfried-leibniz.php Gottfried Leibniz. (2020). Consultado el 20 de septiembre de 2020 en https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz Matijasevic, E. (2020). Leibniz y Newton: la inercia de la soberbia.

Consultado el 20 de septiembre de 2020 en http://www.scielo.org.co/pdf/amc/v35n4/v35n4a01.pdf