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Autor: Daniel Antonio RodrĂ­guez C.I:20.671.033


Ecuaciones

Diferenciales

  Definición : Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que  involucre una función desconocida y alguna de sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en :  Ordinarias : cuando la función desconocida o incógnita depende  de una variable.    Parciales : cuando la función desconocida o incógnita depende  de mas de una variable. Otra clasificación:    Por el orden: el orden de una ecuación diferencial , es el de la  derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Por el grado: el grado de una ecuación diferencial es la potencia  de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.


CONDICIONES INICIALES A  menudo  nos  interesa  resolver  una  ecuación  diferencial  sujeta  a  condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x)  o a sus derivadas. En algún intervalo I que contenga a x o, el problema   Resolver:  dny = F(x, y, y’,..., y(n-1))     dxn    Sujeta a: y(x0) = y0,      y’(x0) = y1, ... , Y(n-1)(x0) = y n-1,   En donde y0, y1 ,..., y n-1 son constantes reales especificadas arbitrariamente,  se  llama  problema  de  valor  inicial.  Los  valores  dados  de  la  función  desconocida,  y(x),  y  de  sus  primeras  n-1  derivadas  en  un  solo  punto  x0: y(x0) = y0, y’(x0) = y1,...,y(n-1) (x0) = y(n-1) se llaman condiciones iniciales.       


MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES Se  dice  que  una  ecuación  diferencial  de  primer  orden,  de la forma   dy =  g(x)h(x) dx   es separable, o de variables separables.  


FUNCIÓN HOMOGÉNEA Cuando una función f tiene la propiedad                                  F(tx,ty) = ta f(x,y)   Para  un  numero  real  a,  se  dice  que  es  una  función  homogénea  de  grado  a;  por  ejemplo, f(x,y) = x3 + y3 es homogénea de grado 3, porque   F(tx,ty) = (tx)3 + (ty)3 = t3(x3 + y3)= t3f(x,y).   mientras que  f(x,y  = x3  +  y3  +  1  no es  homogénea.  Una ecuación diferencial de  primer orden, M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0   es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado.


DIFERENCIAL EXACTA Una  ecuación  diferencial  M(x,y)  +  N(x,y)  es  una  diferencial  exacta  en  una  región  R  del  plano  xy  si  corresponde  a  la  diferencia  de  alguna  función  F(x,y).  Una ecuación diferencial de primer orden de la forma   M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0   Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si  la  expresión  del  lado  izquierdo  es  una  diferencial  exacta.


Ecuaciones diferenciales lineales  

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la siguiente forma:   a)   dy + yP( x) = Q( x) dx  ó                                              (forma canónica)   dx b)     dy + xP( y) = Q( y)   También se puede escribir   a1(x)  + a0(x) y = g(x)  Para resolver este tipo de ecuaciones debemos buscar un factor que al multiplicarlo por la  ecuación diferencial lineal, se pueda transformar esta en una ecuación diferencial exacta,  dicho factor le llamamos factor de integración y es de la forma v(x)= e ∫P(x)dx. Como          al multiplicar por v(x) tenemos:   e∫P(x)dx               Resolver la ecuación exacta resultante. La podemos escribir en la forma  [ Y ] =  Q(x) Una familia uníparamétrica de soluciones de esta ecuación es:   Y  = ∫  Q(x) dx + C Es decir:   Y= [∫  Q(x) dx]  + C         ....... (d)   


ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación diferencial  dy  + P(x)y = f(x)yn  dx en  que  n  es  cualquier  numero  real,  es  la  ecuación  de  Bernoulli.  La  sustitución  u  =  y  1-n  reduce  cualquier  ecuación de la forma anterior a una ecuación lineal.


MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS Para resolver a2y′′ + ay′  + ay = g(x), primero se halla la  función complementaria yh  =  C1y1  +  C2y2, y después  se calcula el wronkiano W(y1(x),y2(x)). Se divide entre  a2 para llevar la ecuación a su forma reducida y′′ + Py′  +  Qy  =  f(x)  para  hallar  f(x).  Se  determina  u1  y  u2  integrando, respectivamente u1 = W1/W y u2 = W2/W,  donde  se  define  W1  y  W2  de  acuerdo  con  (7).  Una  solución  particular  es  Yp  =  u1y1  +u2y2,  la  solución  general  de  al  ecuación  es,  por  consiguiente,  y  = yh  +  yp.


Método de Anuladores El método  de operadores diferenciales emplea el concepto de operador anulador,  y  por  consiguiente  antes  de  pasar  a  resolver  E.D.L.N.H.C.C  estudiaremos  el  concepto  de  operador  anulador,  es  decir,  estudiaremos  tres  casos  de  operadores anuladores, a saber: Caso  A. x  Si f ( x ) = K , x, x , x ,..........;         ; con K-constante o bien, si f(x) es combinación de algunas  D de las funciones anteriores, entonces el operador que anula  a f(x)  es:      Caso B.  Si  f ( x ) = K , xe , x e , x e ,.........., x e         , o bien  es combinación de algunas de  las funciones anteriores, entonces el operador que anula  a f(x)  es:     ( D −α )  Caso C. f ( x ) = K , xe sen β x, x e sen β x, x e sen β x,.........., x e sen β x  Si                                     , o bien f ( x ) = K , xe cos β x, x e cos β x, x e cos β x,.........., x e cos β x                                                                       ; o bien si  f(x)    es  combinación  de  algunas  de  las  funciones  anteriores,  entonces  el  operador que anula  a  es:  D − 2α D + ( α + β )        2

n −1

3

n

αx

2 αx

3 αx

n −1 α x

n

αx

αx

2 αx

2 αx

3 αx

n −1 α x

3 αx

n −1 α x

2

2

2

n


Ejemplos de diferentes mĂŠtodos de ecuaciones diferenciales



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