Autor: Daniel Antonio RodrĂguez C.I:20.671.033
Ecuaciones
Diferenciales
Definición : Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que involucre una función desconocida y alguna de sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en : Ordinarias : cuando la función desconocida o incógnita depende de una variable. Parciales : cuando la función desconocida o incógnita depende de mas de una variable. Otra clasificación: Por el orden: el orden de una ecuación diferencial , es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Por el grado: el grado de una ecuación diferencial es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.
CONDICIONES INICIALES A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En algún intervalo I que contenga a x o, el problema Resolver: dny = F(x, y, y’,..., y(n-1)) dxn Sujeta a: y(x0) = y0, y’(x0) = y1, ... , Y(n-1)(x0) = y n-1, En donde y0, y1 ,..., y n-1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y’(x0) = y1,...,y(n-1) (x0) = y(n-1) se llaman condiciones iniciales.
MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma dy = g(x)h(x) dx es separable, o de variables separables.
FUNCIÓN HOMOGÉNEA Cuando una función f tiene la propiedad F(tx,ty) = ta f(x,y) Para un numero real a, se dice que es una función homogénea de grado a; por ejemplo, f(x,y) = x3 + y3 es homogénea de grado 3, porque F(tx,ty) = (tx)3 + (ty)3 = t3(x3 + y3)= t3f(x,y). mientras que f(x,y = x3 + y3 + 1 no es homogénea. Una ecuación diferencial de primer orden, M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado.
DIFERENCIAL EXACTA Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.
Ecuaciones diferenciales lineales
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la siguiente forma: a) dy + yP( x) = Q( x) dx ó (forma canónica) dx b) dy + xP( y) = Q( y) También se puede escribir a1(x) + a0(x) y = g(x) Para resolver este tipo de ecuaciones debemos buscar un factor que al multiplicarlo por la ecuación diferencial lineal, se pueda transformar esta en una ecuación diferencial exacta, dicho factor le llamamos factor de integración y es de la forma v(x)= e ∫P(x)dx. Como al multiplicar por v(x) tenemos: e∫P(x)dx Resolver la ecuación exacta resultante. La podemos escribir en la forma [ Y ] = Q(x) Una familia uníparamétrica de soluciones de esta ecuación es: Y = ∫ Q(x) dx + C Es decir: Y= [∫ Q(x) dx] + C ....... (d)
ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación diferencial dy + P(x)y = f(x)yn dx en que n es cualquier numero real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y 1-n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuación lineal.
MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS Para resolver a2y′′ + ay′ + ay = g(x), primero se halla la función complementaria yh = C1y1 + C2y2, y después se calcula el wronkiano W(y1(x),y2(x)). Se divide entre a2 para llevar la ecuación a su forma reducida y′′ + Py′ + Qy = f(x) para hallar f(x). Se determina u1 y u2 integrando, respectivamente u1 = W1/W y u2 = W2/W, donde se define W1 y W2 de acuerdo con (7). Una solución particular es Yp = u1y1 +u2y2, la solución general de al ecuación es, por consiguiente, y = yh + yp.
Método de Anuladores El método de operadores diferenciales emplea el concepto de operador anulador, y por consiguiente antes de pasar a resolver E.D.L.N.H.C.C estudiaremos el concepto de operador anulador, es decir, estudiaremos tres casos de operadores anuladores, a saber: Caso A. x Si f ( x ) = K , x, x , x ,..........; ; con K-constante o bien, si f(x) es combinación de algunas D de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a f(x) es: Caso B. Si f ( x ) = K , xe , x e , x e ,.........., x e , o bien es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a f(x) es: ( D −α ) Caso C. f ( x ) = K , xe sen β x, x e sen β x, x e sen β x,.........., x e sen β x Si , o bien f ( x ) = K , xe cos β x, x e cos β x, x e cos β x,.........., x e cos β x ; o bien si f(x) es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es: D − 2α D + ( α + β ) 2
n −1
3
n
αx
2 αx
3 αx
n −1 α x
n
αx
αx
2 αx
2 αx
3 αx
n −1 α x
3 αx
n −1 α x
2
2
2
n
Ejemplos de diferentes mĂŠtodos de ecuaciones diferenciales