Entre las muchas preguntas que se plantean al iniciar el proceso de revisión de un libro de texto, la más importante es: ¿Cómo podemos mejorar la experiencia de aprendizaje del estudiante? Encontramos respuestas a esta pregunta de diversas maneras, pero con mayor frecuencia al hablar con estudiantes y profesores, así como al evaluar la información escrita que recibimos de nuestros clientes. Nuestra meta final es incrementar el enfoque en el estudiante.
• Nueva sección Inténtelo, cuyas indicaciones se incluyen al final de cada Ejemplo/Problema par. • La sección Concéntrese enfatiza en torno al tipo específico de problema que debe dominar para tener éxito en los ejercicios de tarea o en un examen. • Los ejercicios de Aplicación de conceptos profundizarán su comprensión de los temas de la sección. • Nueva sección En las noticias, la cual le ayudará a observar la utilidad de las matemáticas en nuestro mundo cotidiano. Se basa en la información obtenida de fuentes de medios de comunicación conocidos, como periódicos, revistas e Internet. • Ejercicios de Proyectos o actividades en equipo se incluyen al final de cada serie de ejercicios.
estas cuestiones, pueden ser de naturaleza histórica o de interés general. • Nueva sección Cómo se usa. Estos recuadros se relacionan con el tema en estudio. Presentan escenarios del mundo real que demuestran la utilidad de los conceptos seleccionados en el libro. • Los recuadros de Tecnología contienen instrucciones para utilizar una calculadora graficadora. • El enfoque del libro en la solución de problemas hace hincapié en la importancia de una estrategia bien definida. Las estrategias del modelo se presentan como guías para que a medida que intente resolver el problema, al mismo tiempo le acompañen en cada ejemplo numerado.
• Los recuadros Punto de interés, que mantienen relación con el tema objeto de discusión de Confiamos en que las características nuevas y mejoradas de la octava edición le ayudarán a comprometerse más exitosamente con el contenido. Al reducir la brecha entre lo concreto y lo abstracto, entre el mundo real y el teórico, podrá ver con mayor claridad que el dominio de las habilidades y temas presentados está a su alcance y que bien vale la pena el esfuerzo.
Álgebra Intermedia
Lo nuevo en esta edición
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8a. Ed. 16/10/12 09:51 a.m.
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8a. Ed.
Álgebra Intermedia Richard N. Aufmann Palomar College
Joanne S. Lockwood Nashua Community College Traducción Lorena Peralta Rosales Sergio Antonio Durán Reyes Traductores profesionales Revisión técnica Ignacio García Juárez Vinicio Pérez Fonseca Academia de Matemáticas ECEE Universidad Panamericana
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Richard N. Aufmann; Joanne S. Lockwood Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Gerente de Procesos para Latinoamérica: Claudia Islas Licona Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial de Contenidos en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editores: Javier Reyes Martínez Timoteo Eliosa García Imagen de portada: Kevin Twomey Composición tipográfica: Ediciones OVA
© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Intermediate Algebra, Eight Edition. Richard N. Aufmann; Joanne S. Lockwood Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning © 2013 ISBN: 978-111-57949-4 Datos para catalogación bibliográfica: Aufmann, Richard N.; Joanne S. Lockwood Álgebra Intermedia, 8a. Ed. ISBN: 978-607-481-909-0 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com
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Contenido
Prefacio
xiii
Capítulo A Aspire al éxito
A-1
Este importante capítulo describe las habilidades de estudio que aplican los estudiantes que han tenido éxito en este curso. El capítulo A cubre una amplia variedad de temas que se centran en lo que usted necesita hacer para tener éxito en esta clase. Incluye una guía completa para usar el libro y aprovechar sus características, cuyo propósito es lograr que usted sea un estudiante exitoso.
Capítulo 1 Los números reales
1
EXAMEN DE PREPARACIÓN
1.1
1
Introducción a los números reales
Desigualdad y valor absoluto
2
2
Notación de intervalos y operaciones con conjuntos
1.2
Operaciones con números enteros
13
Operaciones con números enteros
13
5
El orden o jerarquía de las operaciones 18
1.3
Operaciones con números racionales
22
Operaciones con números racionales
22
Orden de las operaciones y fracciones complejas Notación decimal
1.4
28
Expresiones algebraicas
33
Propiedades de los números reales Evaluar expresiones algebraicas
33 35
Simplificar expresiones algebraicas
1.5
26
37
Expresiones verbales y expresiones algebraicas
43
Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica 43 Problemas de aplicación CAPÍTULO 1 Resumen
45
49
CAPÍTULO 1 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 1 Examen
51
53 CONTENIDO
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IV
CONTENIDO
Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado 2.1
EXAMEN DE PREPARACIÓN
55
Ecuaciones con una variable
56
55
Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones 56 Resolver ecuaciones que contienen paréntesis 58 Problemas de aplicación
2.2
60
Mezcla de valores y problemas de movimiento
Problemas de mezcla de valores
64
Problemas de movimiento uniforme
2.3
66
Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje
Problemas de inversión
75
75
Problemas de mezclas porcentuales
2.4
64
Desigualdades con una variable
77
84
Resolver desigualdades con una variable 84 Resolver desigualdades compuestas Problemas de aplicación
2.5
87
89
Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto
Ecuaciones con valor absoluto
95
Desigualdades con valor absoluto Problemas de aplicación CAPÍTULO 2 Resumen
96
98
103
CAPÍTULO 2 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 2 Examen
95
105
106
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS
107
Capítulo 3 Funciones lineales y desigualdades con dos variables EXAMEN DE PREPARACIÓN
3.1
109
El sistema de coordenadas rectangulares
Fórmulas de distancia y punto medio Introducción a las funciones
Evaluar una función
120
Graficar una función
126
Prueba de la recta vertical
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110
110
Graficar una ecuación con dos variables
3.2
109
112
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v
CONTENIDO
3.3
Expresiones algebraicas
136
Graficar una función lineal
136
Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C 138 Problemas de aplicación
3.4
Pendiente de una recta
143 148
Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos
148
Graficar una recta dados un punto y la pendiente 151 Tasa de cambio promedio
3.5
154
Determinación de ecuaciones de rectas
161
Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente 161 Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos 163 Problemas de aplicación
3.6
164
Rectas paralelas y perpendiculares
168
Determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares
3.7
Desigualdades con dos variables
168
176
Graficar el conjunto solución de una desigualdad con dos variables 176 CAPÍTULO 3 Resumen
179
CAPÍTULO 3 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 3 Examen
182
184
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS
186
Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades EXAMEN DE PREPARACIÓN
4.1
187
187
Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico y por el método de sustitución 188
Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico
188
Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución 191
4.2
Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta 196
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables por el método de suma y resta 196 Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables por el método de suma y resta 198
4.3
Solución de sistemas de ecuaciones utilizando determinantes y matrices 204
Evaluar los determinantes
204
Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices
4.4
Problemas de aplicación
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210
221
Problemas de velocidad del viento y velocidad de la corriente Problemas de aplicación
207
221
223
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VI
CONTENIDO
4.5
Solución de sistemas de desigualdades lineales
229
Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales 229 CAPÍTULO 4 Resumen
233
CAPÍTULO 4 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 4 Examen
237
238
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS
239
Capítulo 5 Polinomios y exponentes 5.1
241
EXAMEN DE PREPARACIÓN
241
Expresiones con exponentes
242
Multiplicar monomios
242
Dividir monomios y simplificar expresiones con exponentes negativos 244 Notación científica
248
Problemas de aplicación
5.2
249
Introducción a los polinomios
255
Evaluar funciones polinomiales Sumar y restar polinomios
5.3
255
259
Multiplicación de polinomios
265
Multiplicar un polinomio por un monomio Multiplicar dos polinomios
265
266
Multiplicar polinomios que tienen productos especiales 268 Problemas de aplicación
5.4
División de polinomios
269
275
Dividir un polinomio entre un monomio Dividir polinomios División sintética
275
276 278
Evaluar un polinomio utilizando la división sintética 280
5.5
Introducción a la factorización
285
Factorizar un polinomio para obtener un monomio 285 Factorizar por agrupamiento de términos 286
5.6
Factorización de trinomios
290
Factorizar trinomios de la forma x2 1 bx 1 c 290 Factorizar trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c 292
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CONTENIDO
5.7
Factorización especial
299
Factorizar la diferencia de dos cuadrados perfectos y de trinomios cuadrados perfectos 299 Factorizar la suma o la diferencia de dos cubos 301 Factorizar trinomios que están en forma cuadrática Factorizar completamente
5.8
302
Solución de ecuaciones por factorización
Resolver ecuaciones por factorización Problemas de aplicación CAPÍTULO 5 Resumen
307
307
310
315
CAPÍTULO 5 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 5 Examen
317
319
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS
320
Capítulo 6 Expresiones racionales
323
EXAMEN DE PREPARACIÓN
6.1
302
323
Introducción a las funciones racionales
324
Encontrar el dominio de una función racional 324 Simplificar expresiones racionales
6.2
325
Operaciones con expresiones racionales
331
Multiplicar y dividir expresiones racionales 331 Sumar y restar expresiones racionales
6.3
Fracciones complejas
342
Simplificar fracciones complejas
6.4
342
Ecuaciones racionales o fraccionarias
Resolver ecuaciones fraccionarias Problemas de trabajo
346
346
348
Problemas de movimiento uniforme
6.5
333
Razones y proporciones
350
358
Proporciones 358 Problemas de proporciones
6.6
Ecuaciones literales
359
368
Resolver ecuaciones literales CAPÍTULO 6 Resumen
368
372
CAPÍTULO 6 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 6 Examen
374
375
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS
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VIII
CONTENIDO
Capítulo 7 Exponentes racionales y radicales EXAMEN DE PREPARACIÓN
7.1
379
379
Exponentes racionales y expresiones radicales
380
Simplificar expresiones con exponentes racionales 380 Escribir expresiones con exponentes como expresiones radicales y viceversa 381 Simplificar expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas 383
7.2
Operaciones con expresiones radicales
Simplificar expresiones radicales
388
Sumar y restar expresiones radicales Multiplicar expresiones radicales Dividir expresiones radicales
7.3
Funciones radicales
388
389
391
392
401
Encontrar el dominio de una función radical 401 Graficar una función radical
7.4
402
Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales
407
Resolver ecuaciones con una o más expresiones radicales 407 Problemas de aplicación
7.5
Números complejos
410
414
Simplificar números complejos
414
Sumar y restar números complejos Multiplicar números complejos Dividir números complejos CAPÍTULO 7 Resumen
416
418
424
CAPÍTULO 7 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 7 Examen
416
427
428
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS
429
Capítulo 8 Ecuaciones cuadráticas y desigualdades EXAMEN DE PREPARACIÓN
8.1
431
431
Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces 432
Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización 432 Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces 434
8.2
Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general o cuadrática 439
Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado 439 Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general o cuadrática 442
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CONTENIDO
8.3
Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas
Ecuaciones de forma cuadrática Ecuaciones radicales
453
Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas
Problemas de aplicación
8.5
450
452
Ecuaciones fraccionarias
8.4
458
458
Propiedades de las funciones cuadráticas
Gráfica de una función cuadrática
464
464
Encontrar las intersecciones con el eje x de una parábola
8.6
Aplicaciones de las funciones cuadráticas
Problemas de máximos y mínimos Desigualdades no lineales
478
484
489
CAPÍTULO 8 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 8 Examen
478
484
Resolver desigualdades no lineales CAPÍTULO 8 Resumen
491
493
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS
494
Capítulo 9 Funciones y relaciones
497
EXAMEN DE PREPARACIÓN
9.1
Traslaciones de gráficas
497
498
Graficar mediante traslaciones
9.2
Álgebra de funciones
468
478
Aplicaciones de los máximos y mínimos
8.7
450
498
504
Efectuar operaciones aritméticas con funciones 504 Encontrar la composición de dos funciones
9.3
Funciones uno-a-uno e inversas
512
Determinar si una función es uno-a-uno Encontrar la inversa de una función CAPÍTULO 9 Resumen
512
514
522
CAPÍTULO 9 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 9 Examen
523
524
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS
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CONTENIDO
Capítulo 10 Funciones exponencial y logarítmica EXAMEN DE PREPARACIÓN
10.1
10.2
Funciones exponenciales
529
529
530
Evaluar funciones exponenciales
530
Graficar funciones exponenciales
532
Introducción a los logaritmos
539
Escribir ecuaciones exponenciales y logarítmicas equivalentes 539 Propiedades de los logaritmos
10.3
542
Gráficas de funciones logarítmicas
Graficar funciones logarítmicas
10.4
552
552
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Resolver ecuaciones exponenciales
558
Resolver ecuaciones logarítmicas
10.5
558
561
Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas
Problemas de aplicación CAPÍTULO 10 Resumen
566 575
CAPÍTULO 10 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 10 Examen
576
578
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS
579
Capítulo 11 Sucesiones y series
581
EXAMEN DE PREPARACIÓN
11.1
581
Introducción a las sucesiones y las series
Escribir los términos de una sucesión Evaluar una serie
11.2
582
582
583
Sucesiones y series aritméticas
588
Encontrar el n-ésimo término de una sucesión aritmética Evaluar una serie aritmética Problemas de aplicación
11.3
566
588
590
591
Sucesiones y series geométricas
596
Encontrar el n-ésimo término de una sucesión geométrica 596 Series geométricas finitas
598
Series geométricas infinitas Problemas de aplicación
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CONTENIDO
11.4
Desarrollo binomial
607
Desarrollar (a 1 b)n 607 CAPÍTULO 11 Resumen
613
CAPÍTULO 11 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 11 Examen
615
617
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS
617
Capítulo 12 Secciones cónicas
619
EXAMEN DE PREPARACIÓN
12.1
La parábola
619
620
Graficar parábolas 620
12.2
El círculo
626
Encontrar la ecuación de un círculo y luego graficarla 626 Escribir la ecuación de un círculo en forma ordinaria y luego graficarla 628
12.3
La elipse y la hipérbola
633
Graficar una elipse con centro en el origen 633 Graficar una hipérbola con centro en el origen 634
12.4
Solución de sistemas de ecuaciones no lineales
639
Resolver sistemas de ecuaciones no lineales 639
12.5
Desigualdades cuadráticas y sistemas de desigualdades
645
Graficar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática con dos variables 645 Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades no lineal 646 CAPÍTULO 12 Resumen
651
CAPÍTULO 12 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 12 Examen
EXAMEN FINAL
653
655
657
APÉNDICE
Tabla de propiedades
661
Guía para el uso del teclado del modelo TI-83 Plus y TI-84 Plus 663 SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO
S1
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS GLOSARIO ÍNDICE
G1
I1
ÍNDICE DE APLICACIONES
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Prefacio
E Entre llas muchas h preguntas que hhacemos cuando d iiniciamos i i ell proceso dde revisar i un lib libro dde texto, la más importante es: ¿cómo podemos mejorar la experiencia de aprendizaje del estudiante? Encontramos respuestas a esta pregunta en varias formas, pero más comúnmente hablando con los estudiantes y los profesores y evaluando la retroalimentación que recibimos de nuestros clientes. Empezamos a desarrollar la octava edición de Álgebra Intermedia teniendo en mente la retroalimentación que recibimos, nuestra meta final era incrementar nuestro enfoque en el estudiante. En esta edición, lo mismo que en las previas, se han mantenido las características conocidas como “Tome nota” y “Punto de interés”. También hemos conservado los Ejemplos y los Problemas, con soluciones desarrolladas de los problemas proporcionadas en la parte final del libro. Algo nuevo en esta edición es la sección “Concéntrese en el éxito” que aparece al inicio de cada capítulo. Esta sección ofrece sugerencias prácticas para mejorar los hábitos de estudio y el desempeño en los exámenes. Algo también nuevo en la octava edición son los recuadros “Cómo se usa”. Estos recuadros presentan escenarios del mundo real que demuestran la utilidad de conceptos seleccionados del libro. Los nuevos ejemplos de “Concéntrese” ofrecen instrucciones detalladas sobre la forma de resolver diversos problemas. “En las noticias” son nuevos ejercicios de aplicación, los cuales se basan en datos y hechos de interés periodístico y en acontecimientos actuales. Los recuadros definición/concepto clave se han mejorado en esta edición; ahora incluyen ejemplos para mostrar la forma en la cual el caso general se traduce en casos específicos. Confiamos en que las características nuevas y mejoradas de la octava edición ayudarán al lector a comprometerse más exitosamente con el contenido. Al reducir la brecha entre lo concreto y lo abstracto, entre el mundo real y el teórico, los estudiantes deben ver con mayor claridad que el dominio de las habilidades y temas presentados está a su alcance y que bien vale la pena el esfuerzo.
Actualizaciones para esta edición
•
¡NUEVO! Las entradas de capítulo han sido revisadas y ahora incluyen viñetas de
• • •
¡NUEVO! Se incluyen llamadas de “Intente” al final de cada par Ejemplo/Problema. ¡NUEVO! En cada capítulo se presentan cuadros de “Cómo se usa”. ¡NUEVO! Los ejemplos “Concéntrese” proporcionan instrucciones detalladas para resolver
•
¡NUEVO! Se han agregado ejercicios de “Revisión de conceptos” al principio de cada serie
•
¡NUEVO! Las aplicaciones “En las noticias” aparecen en muchas de las series de ejercicios
•
¡NUEVO! Al final de cada capítulo se incluyen ejercicios de “Proyectos o actividades en
• • •
equipo”. Los recuadros de Definición/Concepto clave se han mejorado con ejemplos. Las series de ejercicios revisados incluyen nuevas aplicaciones. Los resúmenes de capítulo mejorados ahora incluyen una columna separada que contiene un objetivo y un número de página para una referencia rápida.
“Exámenes de preparación” y “Concéntrese en el éxito”.
problemas. de ejercicios. al final de la sección.
Cambios en la organización Hemos hecho los siguientes cambios, con base en la retroalimentación que obtuvimos, a fin de mejorar la efectividad del libro e incrementar la experiencia de aprendizaje del estudiante. PREFACIO
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XIV
PREFACIO
• •
El capítulo 1 ha sido reorganizado. La sección 1.2 de la edición previa, Operaciones con números racionales, ahora está dividido en dos secciones. La sección 1.2 se enfoca en operaciones con números enteros y la sección 1.3 en operaciones con números racionales. Introducción a los números reales. Operaciones con números enteros. Operaciones con números racionales. Expresiones algebraicas. Expresiones verbales y algebraicas. El objetivo 1.1.2, Notación de intervalos y operaciones con conjuntos se ha reorganizado para crear un mejor vínculo entre la notación de intervalos y la notación de conjuntos. Se incorporaron ejemplos nuevos.
•
El capítulo 2 fue reestructurado. La sección 2.2 de la edición anterior, Problemas de monedas, timbres y números enteros, ha sido eliminada, y las secciones 2.3 a 2.6 fueron reenumeradas. 2.1 Ecuaciones con una variable. 2.2 Mezcla de valores y problemas de movimiento. 2.3 Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje. 2.4 Desigualdades con una variable. 2.5 Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. En la sección 2.4, el material sobre desigualdades compuestas ha sido reestructurado. Se han agregado un ejemplo nuevo y nuevos ejercicios que cubren las aplicaciones de las desigualdades.
•
• •
•
En el capítulo 3, dos objetivos de la edición anterior, objetivo 3.1.1, Puntos en un sistema de coordenadas rectangulares, y objetivo 3.1.2, Cómo calcular la longitud y el punto medio de un segmento de recta, se han combinado para formar un nuevo objetivo 3.1.1, Fórmulas de distancia y punto medio. El objetivo 3.1.2 ahora cubre la graficación de una ecuación con dos variables. El objetivo 3.1.3 de la edición anterior, Trazado de un diagrama de dispersión, ha sido eliminado. El objetivo 3.1.4, Tasa de cambio promedio se ha incorporado a la sección 3.4 como una aplicación del concepto de pendiente. El material sobre la intersección con el eje y en la sección 3.3 de la edición anterior se ha incorporado en la sección 3.4, Pendiente de una recta. Este cambio mantiene en una sección toda la discusión de la ecuación y 5 mx 1 b. Se incorporaron ejercicios nuevos. En la sección 3.4, el método de gráfico para resolver ecuaciones utilizando la pendiente y la ordenada al origen se ha cambiado de manera que primero se instruya al estudiante para desplazarse hacia arriba o hacia abajo de la intersección con el eje y y después desplazarse a la derecha o la izquierda para trazar un segundo punto. Como lo sugirieron los revisores, la sección 5.5, antes titulada Factorización de polinomios, se ha separado en dos secciones. La sección 5.5, ahora llamada Introducción a la factorización, aborda la factorización de un monomio de un polinomio y la factorización por agrupamiento de términos. La sección 5.6 recién escrita, Factorización de trinomios, enseña al estudiante cómo factorizar trinomios de la forma x2 1 bx 1 c y ax2 1 bc 1 c. Las series de ejercicios han sido modificadas conforme a eso.
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xv
PREFACIO
•
El capítulo 8 ha sido reestructurado. Las desigualdades no lineales ahora aparecen en la última sección. 8.1 Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces. 8.2 Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general o cuadrática. 8.3 Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas. 8.4 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas. 8.5 Propiedades de las funciones cuadráticas. 8.6 Aplicaciones de las funciones cuadráticas. 8.7 Desigualdades no lineales. La sección 8.1 ha sido ampliamente revisada. Los objetivos 8.1.1 (Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización) y 8.1.2 (Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces) de la edición anterior se han combinado, y se agregan nuevos ejemplos y los ejercicios han sido revisados. En la sección 8.7 Desigualdades no lineales, las respuestas de los ejemplos y los problemas ahora se proporcionan utilizando tanto la notación de intervalos como la de conjuntos.
Este libro está organizado en torno a una jerarquía de OBJETIVOS cuidadosamente construida. Este enfoque “basado en objetivos” proporciona un entorno de aprendizaje integrado que permite que tanto el estudiante como el profesor encuentren fácilmente recursos como herramientas de evaluación (tanto en el libro como en línea), videos, tutoriales y ejercicios adicionales.
¡NUEVO! CONCÉNTRESE EN EL ÉXITO aparece al principio de cada entrada de capítulo. Estas sugerencias están diseñadas para ayudarle a aprovechar al máximo el libro y su tiempo a medida que avanza a lo largo del curso y se prepara para los exámenes.
Concéntrese en el éxito Digital Vision
Cada entrada de capítulo compendia los OBJETIVOS de aprendizaje que aparecen en cada sección. La lista de objetivos sirve como un recurso para guiarle en su estudio y repasar los temas.
¿Asistir a clases es una prioridad para usted? Recuerde que para tener éxito, debe asistir a clases. Necesita hacerlo para escuchar las explicaciones e instrucciones de su profesor, así como formular preguntas cuando algo no esté claro. La mayoría de los estudiantes que falta a una clase se atrasa y luego les resulta muy difícil ponerse al día. (Consulte Tiempo para asistir a clases, en la página A-5.)
OBJETIVOS 3.1
3.2
3.3
Resuelva cada EXAMEN DE PREPARACIÓN para determinar cuáles temas necesita estudiar más cuidadosamente con el fin de prepararse para aprender el nuevo material.
3
CAPÍTULO
Funciones lineales y desigualdades con dos variables
3.4
3.5
3.6 3.7
1 Fórmulas de distancia y punto
medio 2 Graficar una ecuación con dos variables 1 Evaluar una función 2 Graficar una función 3 Prueba de la recta vertical 1 Graficar una función lineal 2 Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C 3 Problemas de aplicación 1 Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos 2 Graficar una recta dados un punto y la pendiente 3 Tasa de cambio promedio 1 Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente 2 Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos 3 Problemas de aplicación 1 Determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares 1 Graficar el conjunto solución de una desigualdad con dos variables
EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?
Resuelva el Examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. 1. Simplifique: 241x 2 32 2. Simplifique: "1262 2 1 1282 2 3. Simplifique:
3 2 1252 226
4. Evalúe 22x 1 5 para x 5 23. 5. Evalúe
2r para r 5 5. r21
6. Evalúe 2p3 2 3p 1 4 para p 5 21. 7. Evalúe
x1 1 x2 para x1 5 7 y x2 5 25. 2
8. Dada la ecuación 3x 2 4y 5 12, calcule el valor de x cuando y 5 0.
Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 3 EXAMEN DE PREPARACIÓN
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1. 24x 1 12 7. 1 [1.4.2]
00_Preliminares_AUFMANN.indd xv
[1.4.3]
2. 10
[1.2.2]
3. 22
[1.2.2]
4. 11
[1.4.2]
5. 2.5
24/09/12 01:39 p.m.
[1.4.2]
6. 5 [1.4.2]
8. 4 [2.1.1]
12/10/12 01:00 p.m.
XVI
PREFACIO
3.5 OBJETIVO
1
Determinación de ecuaciones de rectas Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente Cuando la pendiente de una recta y un punto sobre la recta son conocidos, la ecuación de la recta puede determinarse. Si el punto particular es la intersección en y, utilice la forma pendienteordenada al origen, y 5 mx 1 b para determinar la ecuación.
Concéntrese en determinar la ecuación de una recta dadas la intersección en y 04_Cap-03_AUFMANN.indd 161
24/09/12 01:52 p.m p.m.
y la pendiente Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(0, 3) y tiene pendiente
1 . 2
El punto conocido es la intersección en y, P(0, 3). y 5 mx 1 b 1 y5 x13 2
Utilice la forma pendiente-ordenada al origen. Sustituya m con 12, la pendiente dada, y sustituya b con 3, la coordenada en y de la intersección en y. La ecuación de la recta es y 5 12x 1 3.
En cada sección, la DECLARACIÓN DEL OBJETIVO introduce cada nuevo tema de discusión. ¡NUEVO! Los nuevos recuadros CONCÉNTRESE le alertan sobre el tipo específico de problema que debe dominar con el fin de tener éxito con los ejercicios en la tarea o en un examen. Cada uno de esos problemas va acompañado de explicaciones detalladas de la solución.
Un método para determinar la ecuación de una recta cuando la pendiente y cualquier punto de la recta son conocidos consiste en utilizar la fórmula punto-pendiente. Esta fórmula se deriva de la fórmula para la pendiente de una recta. Sea P1(x1, y1) el punto dado en la recta y sea P(x, y) cualquier otro punto en la recta. y 2 y1 Utilice la fórmula de la pendiente de una recta. 5m x2x 1
Multiplique cada lado de la ecuación por (x − x1). Luego simplifique.
y 2 y1 1x 2 x12 5 m 1x 2 x12 x 2 x1 y 2 y1 5 m 1x 2 x12
FORMA PUNTO-PENDIENTE
Sea m la pendiente de una recta y sea P1(x1, y1) un punto en la recta. La ecuación de la recta puede determinarse por medio de la forma punto-pendiente: y 2 y1 5 m 1x 2 x12
¡NUEVO! Muchos de los recuadros de DEFINICIÓN/ CONCEPTO CLAVE ahora contienen ejemplos para ilustrar la forma en la cual cada definición o concepto clave se aplican en la práctica.
2
EJEMPLO 1 Solución
Determine la ecuación de la recta que contiene el punto (−2, 4) y tiene pendiente 2. y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 4 5 23x 2 1222 4
• Utilice la forma punto-pendiente. • Sustituya la pendiente, 2, y las coordenadas del punto dado, 122, 42 , en la forma punto-pendiente. • Resuelva para y.
y 2 4 5 21x 1 22 y 2 4 5 2x 1 4 y 5 2x 1 8 04_Cap-03_AUFMANN.indd 162
Problema 1 Solución
24/09/12 01:54 p.m.
La ecuación de la recta es y 5 2x 1 8 Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(4, −3) y tiene pendiente −3. Revise la página S9.
† Intente resolver el ejercicio 7 de la página 165.
Los pares EJEMPLO/PROBLEMA están diseñados para involucrarle activamente en el proceso de aprendizaje. Los problemas se basan en los ejemplos. Se presentan en pares de manera que se pueda referir fácilmente a los pasos en el ejemplo a medida que trabaja en el problema que lo acompaña. ¡NUEVO! Los recordatorios en INTENTE RESOLVER EL EJERCICIO se proporcionan al final de cada par Ejemplo/Problema. Éstos lo guían a un ejercicio similar al final de la sección. Al seguir los recordatorios, puede aplicar de inmediato las técnicas presentadas en la sección Ejemplos resueltos a los ejercicios de sus tareas escolares.
SECCIÓN 3.5 2 Problema 1 y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 1232 5 231x 2 42 y 1 3 5 23x 1 12 y 5 23x 1 9
2 • Utilice la fórmula punto-pendiente. • m 5 23 y 1x1, y12 5 14, 232 . • Resuelva para y.
La ecuación de la recta es y 5 23x 1 9. Problema 2 1x1, y12 5 12, 02 y 1x2, y22 5 15, 32 . 320 3 y2 2 y1 5 5 51 m5 x2 2 x1 522 3 y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 0 5 11x 2 22 y5x22
Las SOLUCIONES DESARROLLADAS completas de los problemas se encuentran en un apéndice al final del libro. Compare su solución con la proporcionada en el apéndice para obtener una retroalimentación y un refuerzo inmediatos del (los) concepto(s) en estudio.
• Calcule la pendiente. • Forma punto-pendiente. • Sustituya la pendiente y las coordenadas de P1 • Resuelva para y.
La ecuación de la recta es y 5 x 2 2.
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xvii
PREFACIO
Álgebra intermedia contiene una AMPLIA VARIEDAD DE EJERCICIOS que promueven el desarrollo y la retención de habilidades, el desarrollo de conceptos, el pensamiento crítico y la solución de problemas.
¡NUEVO! Los ejercicios de REVISIÓN DE CONCEPTOS promueven la comprensión conceptual. Resolver esos ejercicios profundizará su comprensión de los temas en esta sección.
SECCIÓN 3.5
3.5
165
Determinación de ecuaciones de rectas
Ejercicios
REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cuántas rectas con una pendiente dada que pasen por un punto determinado pueden trazarse en el plano? 2. Dados dos puntos en el plano, ¿cuántas rectas que pasen por los dos puntos pueden trazarse? 3. ¿La forma punto-pendiente se puede utilizar para determinar la ecuación de una recta con pendiente cero? 4. ¿La forma punto-pendiente se puede utilizar para determinar la ecuación de cualquier recta? Explique su respuesta.
¡NUEVO! Los ejercicios de aplicación EN LAS NOTICIAS le ayudarán a visualizar la utilidad de las matemáticas en nuestro mundo cotidiano. Se basan en información recabada de fuentes de noticias conocidas, como periódicos, revistas e Internet.
1 Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente (Revise las páginas 161163.)
PREPÁRESE 5. En la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 65 e intersección en y P(0, 2), m ess ? y b es ? . La ecuación es y 5 ? . 6. Para determinar la ecuación de la recta que contiene el punto P(−4, 5) y tiene pen-diente 2, utilice la forma punto-pendiente. y 2 y1 5 m 1x 2 x12
y 2 5 5 21x 2 1242 2 y 2 5 5 21x 1
?
? • Sustituya ? por x1.
2
por y1,
?
por m, y
?
• Utilice la propiedad distributiva en el lado derecho de la ecuación.
y5
?
• Sume 5 a cada lado de la ecuación.
Determine la ecuación de la recta que tiene el punto y la pendiente dados. † 7. P10, 52 , m 5 2 10. P15, 12 , m 5
8. P10, 32 , m 5 1
2 3
11. P13, 02 , m 5 2
13. P121, 72 , m 5 23 16. P10, 02 , m 5
3 4
19. P13, 52 , m 5 2
2 3
5 3
12. 2. P122, 02 , m 5
3
Libras 1(p)2
14. P122, 42 , m 5 24
5. P10, 02 , m 5 15.
17. P12, 232 , m 5 3
8. P14, 252 , m 5 2 18.
20. P15, 12 , m 5 2
5 22. P12, 02 , m 5 6
Tarifas del servicio de mensajería urgente en aumento
El Servicio Postal de Estados Unidos está listo para incrementar las tarifas de envío de los paquetes de Correo Express. Las nuevas tarifas, aquellas mostradas aquí para los 1 de la zona 3, entrarán paquetes 9. P12, 32 , m 5 en vigor2 a principios de enero.
• Simplifique dentro de los paréntesis.
y255
En las noticias
Costo (c)
0 , p2 , 0.5 $15.90 0.5 # p , 1 $20.70
4 5
21. P10, 232 , m 5 21
1#p,2
23. P13, 242 , la pendiente no está definida
$21.85
24. P122, 2 52 ,# la pendiente p , 3 no está $23.20 definida
25. P122, 232 , m 5 0
26. P123, 222 , m 5 0
p, 3 ,# m5 22 4 27. P14, 252
28. P123, 52 , m 5 3
29. P125, 212 , la pendiente no está definida
Fuentes: www.stamps.com, 30. P10, 42 , la pendiente no está www.usps.com definida
$24.70
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Los ejercicios PREPÁRESE aparecen en la mayoría de las series de ejercicios al final de la sección y proporcionan una guía práctica y ponen a prueba su comprensión de los conceptos básicos en una lección. Actúan como escalones para los ejercicios restantes para el objetivo.
24/09/12 03:59 p.m.
PREPÁRESE 29. Dada f1x2 5 5x 2 7, determine f (3) al completar lo siguiente. f1x2 5 5x 2 7 2 5 51
?
f1
f132 5
?
2 27
?
• Sustituya x por 3. • Simplifique.
30. Dada f1x2 5 x2 2 3x 1 1, determine f (−2) al completar lo siguiente. f1x2 5 x2 2 3x 1 1 ?
f1
2 51
f1222 5
?
2 2 2 31
?
2 11
• Sustituya x por 22.
?
• Simplifique.
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¡NUEVO! Los iconos de INTENTE RESOLVER EL EJERCICIO † se utilizan para vincular los ejercicios con los ejemplos de la sección.
1
2
1
2
1 2
† 55. Evalúe s 1t2 5 216t2 1 48t cuando t 5 3. 57. Evalúe P1x2 5 3x3 2 4x2 1 6x 2 7 cuando x 5 2. 59. Evalúe R1p2 5
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24/09
3p cuando p 5 23. 2p 2 3
1
2
1 2
1
2
56. Evalúe T 1s2 5 s2 2 4s 1 1 cuando s 5 4. 3
58. Evalúe R1s2 5 s3 2 2s2 2 5s 1 2 cuando s 5 23. x11 60. Evalúe f 1x2 5 3x 2 1 cuando x 5 3.
24/09/12 04:06 p.m.
12/10/12 01:00 p.m.
XVIII
PREFACIO
Los ejercicios PIENSE EN ELLO promueven la comprensión conceptual. Resolverlos profundizará su comprensión del concepto en estudio.
APLICACIÓN DE CONCEPTOS 69.
71.
Resolver los ejercicios de aplicación que contienen DATOS REALES le preparará para utilizar información del mundo real y responder preguntas y resolver problemas.
Si el sistema de ecuaciones siguiente es inconsistente, ¿cómo se relacionan los valores de C y D? 3x 2 4y 5 C 3x 2 4y 5 D
2x 1 3y 5 6 2x 1 ky 5 9 72.
Suponga que el sistema de ecuaciones siguiente es un sistema de ecuaciones independiente. ¿Cuál es la relación a a entre 1 y 2 ? b b 1
Los ejercicios APLICACIÓN DE CONCEPTOS pueden implicar la exploración y el análisis adicionales de los temas, o pueden integrar conceptos introducidos antes en el libro. Se incluyen ejercicios Opcionales de calculadora graficadora, denotados por .
70.
¿Para qué valores de k será independiente el sistema de ecuaciones siguiente?
Suponga que el sistema de ecuaciones siguiente es un sistema de ecuaciones dependiente o inconsistente. ¿Cuál a a es la relación entre 1 y 2 ? b b 1
2
2
a1x 1 b1y 5 c1 a2x 1 b2y 5 c2
a1x 1 b1y 5 c1 a2x 1 b2y 5 c2
Utilice una calculadora graficadora para resolver cada uno de los sistemas de ecuaciones siguientes. Redondee las respuestas a la centésima más cercana. 1 73. y 5 2 x 1 2 2 y 5 2x 2 1
75. y 5 !2x 2 1 y 5 2!3x 1 1
74. y 5 1.2x 1 2 y 5 21.3x 2 3
76. y 5 px 2 y 5 2x 1
Economía de combustible Para los ejercicios 29 y 30 utilice la información del recorte de prensa de la derecha.
En las noticias
29. El propietario de un automóvil híbrido condujo 394 millas y gastó $34.74 en gasolina en una semana. ¿Cuántas millas recorrió el propietario en ciudad y cuántas en carretera?
¿Los híbridos son más agradables para sus bolsillos?
30. La gasolina para conducir un automóvil híbrido una semana le cuesta al propietario $26.50. El habría gastado $51.50 en gasolina si condujera el mismo número de millas en un automó05_Cap-04_1a parte_AUFMANN.indd vil tradicional.195 ¿Cuántas millas condujo el propietario en ciudad y en carretera?
Un automóvil híbrido puede 24/09/12 04:09 p.m. compensar su alto precio de lista con un ahorro en gasolina. En seguida se proporciona el costo por milla, a los precios actuales de la gasolina, de una compañía tradicional de automóviles híbridos.
31. Ciencias de la salud Un farmacéutico tiene dos suplementos vitamínicos en polvo. El primero contiene 25% de vitamina Bl y 15% de vitamina B2. El segundo contiene 15% de vitamina Bl y 20% de vitamina B2. ¿Cuántos miligramos de cada uno de los dos suplementos debe utilizar el farmacéutico para preparar una mezcla que contenga 117.5 mg de vitamina B1 y 120 mg de vitamina B2? 32. Química Un químico tiene dos aleaciones, una de las cuales contiene 10% de oro y 15% de plomo, y la otra 30% de oro y 40% de plomo. ¿Cuántos gramos de cada una de las dos aleaciones deben utilizarse para preparar una aleación que contenga 60 gramos de oro y 88 de plomo?
Costo de gasolina por milla
33. Negocios Una empresa fabricante de computadoras realizó tres envíos el lunes. La factura del primer pedido fue por $114,000, por 4 computadoras del modelo II, 6 del modelo VI y 10 del modelo IX. La factura del segundo pedido fue por $72,000, por 8 computadoras del modelo II, 3 del modelo VI y 5 del modelo IX. La factura del tercer pedido fue por $81,000, por 2 computadoras del modelo II, 9 del modelo VI y 5 del modelo IX. ¿Cuánto cobra el fabricante por una computadora del modelo VI? 34 At
Al resolver los EJERCICIOS mejorará sus habilidades de comunicación, al tiempo que incrementa su comprensión de los conceptos matemáticos.
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U
3.6
i
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d
i i
li
2 3 p 2
Tipo de automóvil
Ciudad ($/mi)
Híbrido
0.09
0.08
Tradicional 0.18
Carretera ($/mi)
0.13
Fuente: www.fueieconomy.gov
l
Ejercicios
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24/09/12 04:13 p.m.
REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.
Dadas las pendientes de dos rectas, explique cómo determinar si las dos rectas son paralelas.
2.
Dadas las pendientes de dos rectas, ¿cómo se puede determinar si las dos rectas son perpendiculares?
3. Complete la expresión siguiente. Las rectas paralelas tienen la misma
?
.
4. ¿Cuál es el recíproco negativo de 2 34? 3
¡NUEVO! Los PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO aparecen al final de cada serie de ejercicios. Su profesor los puede asignar de forma individual, o les puede solicitar que los resuelvan en equipo.
PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Un conjunto de puntos en un plano es un conjunto convexo si cada segmento de recta que conecta un par de puntos en el conjunto está contenido completamente dentro del conjunto. 35. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son convexos? (i)
(ii)
(iii)
(iv)
36. Grafique el sistema de desigualdades siguiente. ¿El conjunto solución es un conjunto convexo? x 1 y # 10 2x 1 y # 15 x $ 0, y $ 0
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12/10/12 01:00 p.m.
xix
PREFACIO
Álgebra Intermedia aborda una amplia variedad de estilos de estudio al ofrecer DIVERSAS HERRAMIENTAS DE REPASO. Al final de cada capítulo encontrará un RESUMEN que compendia los TÉRMINOS CLAVE y las REGLAS Y PROCEDIMIENTOS ESENCIALES presentados en el capítulo. Cada entrada incluye una referencia a nivel del objetivo y a la página para mostrarle en qué parte del capítulo fue introducido el concepto. También se incluye un ejemplo que demuestra el concepto.
En los EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO, el orden en el cual aparecen diferentes tipos de problemas es distinto de aquel en el cual se presentaron los temas en el capítulo. Las SOLUCIONES de estos ejercicios incluyen referencias a los objetivos de la sección en los cuales se basan los ejercicios. Esto le ayudará a identificar rápidamente dónde ir para repasar un concepto si requiere más práctica.
CAPÍTULO 4 Resumen Términos clave Un sistema de ecuaciones es dos o más ecuaciones consideradas en forma conjunta. Una solución de un sistema de ecuaciones con dos variables es un par ordenado que es una solución de cada ecuación del sistema.
Objetivo y página de referencia
Ejemplos
[4.1.1, p. 188]
La solución del sistema x1y52 x2y54 es el par ordenado (3, 21). (3, 21) es el único par ordenado que es una solución de ambas ecuaciones.
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24/09/12 04:21 p.m.
CAPÍTULO 4 Ejercicios de repaso 1. Resuelva por sustitución: 2x 2 6y 5 15 x 5 3y 1 8
2. Resuelva por sustitución: 3x 1 12y 5 18 x 1 4y 5 6
3. Resuelva por suma y resta: 3x 1 2y 5 2 x1y53
4. Resuelva por suma y resta: 5x 2 15y 5 30 x 2 3y 5 6
5. Resuelva por suma y resta: 3x 1 y 5 13 2y 1 3z 5 5 x 1 2z 5 11
6. Resuelva por suma y resta: 3x 2 4y 2 2z 5 17 4x 2 3y 1 5z 5 5 5x 2 5y 1 3z 5 14
7. Evalúe el determinante: `
1 5 22 4† 8. Evalúe el determinante: † 22 1 4 3 28
6 1 ` 2 5
10. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 3x 2 4y 5 10 2x 1 5y 5 15
9. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 2x 2 y 5 7 3x 1 2y 5 7 11. Resuelva utilizando la regla de Cramer:
13. Resuelva por suma y resta:
x1y1z50 x 1 2y 1 3z 5 5 2x 1 y 1 2z 5 3
12. Resuelva utilizando la regla de Cramer: x 1 3y 1 z 5 6 2x 1 y 2 z 5 12 x 1 2y 2 z 5 13
x 2 2y 1 z 5 7 3x 2 z 5 21 3y 1 z 5 1
14. Resuelva utilizando la regla de Cramer:
3x 2 2y 5 2 22x 1 3y 5 1
3 22 5 16. Evalúe el determinante: † 4 6 3† 1 2 1
15. Resuelva por el método de eliminación gausiana: 2x 2 2y 2 6z 5 1 4x 1 2y 1 3z 5 1 2x 2 3y 2 3z 5 3 17. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 4x 2 3y 5 17 3x 2 2y 5 12
18. Resuelva por el método de eliminación gausiana: 3x 1 2y 2 z 5 21 x 1 2y 1 3z 5 21 3x 1 4y 1 6z 5 0
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 1 3 2. Las soluciones son los pares ordenados ax, 2 x 1 b. [4.1.2] 4 2 1 x 2 2b. [4.2.1] 3
1. El sistema de ecuaciones no tiene solución. [4.1.2] 3. La solución es 124, 72 . [4.2.1]
4. Las soluciones son los pares ordenados ax,
5. La solución es 15, 22, 32 . [4.2.2]
6. La solución es 13, 21, 222 . [4.2.2]
9. La solución es 13, 212 . [4.3.2]
10. La solución es a
12. La solución es 12, 3, 252 . [4.3.2]
7. 28 [4.3.1]
13. La solución es 11, 21, 42 . [4.2.2]
1 1 15. La solución es a , 21, b. [4.3.3] 2 3 18. La solución es 12, 23, 12 . [4.3.3]
8 7 14. La solución es a , b. [4.3.2] 5 5
17. La solución es 12, 232 . [4.3.2]
16. 12 [4.3.1] y
19.
8. 0 [4.3.1]
11. La solución es 121, 23, 42 . [4.3.2]
110 25 , b. [4.3.2] 23 23
[4.1.1]
y
20.
[4.1.1]
4
–4
0
x
–4
–4
La solución es 10, 32 . y
21.
[4.5.1]
y
22.
[4.5.1]
4
–4
0
0
4
x
–4
Las soluciones son los pares ordenados x, 2x 2 4 .
23. La tasa de velocidad del crucero en aguas en calma es 16 mph. La tasa de velocidad de la corriente es 4 mph. [4.4.1]
4
x
–4
0
x
–4
24. La tasa de velocidad del avión con viento en calma es 175 mph. La tasa de velocidad del viento es 25 mph. 25. El número de niños que asisten el viernes fue 100. [4.4.2] 26. Hay $10,400 invertidos al 8%, $5200 invertidos al 6%, y $9400 invertidos al 4%. [4.2.2]
Í
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PREFACIO
Cada EXAMEN DE PREPARACIÓN está diseñado para simular un examen típico de los conceptos estudiados en el capítulo. Las RESPUESTAS incluyen referencias a los objetivos del sector. También se proporciona una referencia a un Ejemplo, Problema o Concéntrese, que refiere al estudiante a un ejemplo resuelto en el libro, similar a la pregunta del examen.
CAPÍTULO 4 Examen 1. Resuelva por sustitución: 3x 1 2y 5 4 x 5 2y 2 1
2. Resuelva por sustitución: 5x 1 2y 5 223 2x 1 y 5 210
3. Resuelva por sustitución: y 5 3x 2 7 y 5 22x 1 3
4. Resuelva por el método de eliminación gausiana: 3x 1 4y 5 22 2x 1 5y 5 1
5. Resuelva por el método de suma: 4x 2 6y 5 5 6x 2 9y 5 4
6. Resuelva por suma y resta: 3x 2 y 5 2x 1 y 2 1 5x 1 2y 5 y 1 6
7. Resuelva por el método de suma: 2x 1 4y 2 z 5 3 x 1 2y 1 z 5 5 4x 1 8y 2 2z 5 7
8. Resuelva por el método de eliminación gausiana: x2y2z55 2x 1 z 5 2 3y 2 2z 5 1 1 22 1 10. Evalúe el determinante: † 3
3 21 9. Evalúe alúe el determinante: ` ` EXAMEN DEL 4 2 CAPÍTULO 4
3 1†
2. La solución es 123, 242 . [4.1.2, Concéntrese, página 191]
3 7 1. La solución es a , b. [4.1.2, Ejemplo 3A] 4 8
3. La solución es 12, 212 . [4.1.2, Ejemplo 3A] 4. La solución es 122, 12 . [4.3.3, Ejemplo 7] 5. El sistema de ecuaciones no tiene solución. [4.2.1, Problem 1B] 6. La solución es 11, 12 . [4.2.1, Ejemplos 1 y 2] 05_Cap-04_2a parte_AUFMANN.indd 238 24/09/12 7. El sistema de ecuaciones no tiene solución. [4.2.2, Concéntrese, inciso B, página 200] 8. La solución es 1 2, 21, 222 .04:32 p.m. [4.3.3, Ejemplo 8]
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Los EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS, que aparecen al final de cada capítulo (comenzando en el capítulo 2), le ayudan a retener las habilidades que desarrolló previamente. Las RESPUESTAS incluyen referencias a los objetivos de la sección en los cuales se basan los ejercicios.
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Ejercicios de repaso acumulativos 3 7 5 1 3 1. Resuelva: x 2 1 x 5 x 2 2 8 4 12 6
2. Encuentre la ecuación de la recta que contiene los puntos P1(2, 21) y P2(3, 4).
3. Simplifique: 33x 2 215 2 2x2 2 4x4 1 6
4. Evalúe a 1 bc 4 2 cuando a 5 4, b 5 8, y c 5 22.
5. Resuelva: 2x 2 3 , 9 o 5x 2 1 , 4
6. Resuelva: 0 x 2 2 0 2 4 , 2
7. Resuelva: 0 2x 2 3 0 . 5
8. Dada f1x2 5 3x3 2 2x2 1 1, evalúe f1232 . 10. Dada F1x2 5 x2 2 3, encuentre F122 .
9. Determine el rango de f1x2 5 3x2 2 2x si el dominio es 522, 21, 0, 1, 26.
12. Grafique: 5x 0 x # 26 d 5x 0 x . 236.
11. Dada f1x2 5 3x 2 4, escriba en su forma más simple f12 1 h2 2 f122 .
14. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto P(21, 2) y es perpendicular a la gráfica de 2x 2 3y 5 7.
13. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto 2 P(22, 3) y pendiente 23.
EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 11 . [2.1.1] 2. La solución es y 5 5x 2 11. [3.5.2] 3. 3x 2 24 [1.4.3] 28 5. El conjunto solución es 5x 0 x , 66. [2.4.2] 6. El conjunto solución es 5x 0 24 , x , 86. [2.5.2] 8. 298 [3.2.1] 7. El conjunto solución es 5x 0 x . 46 h 5x 0 x , 216. [2.5.2] 9. El rango es 50, 1, 5, 8, 166. [3.2.1] 10. 1 [3.2.1] 11. 3h [3.2.1] 12.
4. 24 [1.4.2]
1. La solución es 2
[1.1.2]
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
5 2 13. La ecuación es y 5 2 x 1 . [3.5.1] 3 3
3 1 14. La ecuación es y 5 2 x 1 . [3.6.1] 2 2
1 16. Las coordenadas del punto medio son a2 , 4b. [3.1.1] 2
y
17.
[3.4.2]
15. La distancia es 2"10. [3.1.1]
0
[3.7.1]
4
4
x
–4
–4
19. La solución es 125, 2112 . [4.1.2]
y
18.
4
–4
0
4
x
–4
20. La solución es 11, 0, 212 . [4.2.2]
21. 3 [4.3.1]
y
22. –4
0
[4.1.1] 4
x
–4
La solución es (2, 0).
Después del último capítulo se incluye un EXAMEN FINAL, el cual está diseñado para simular un examen amplio que cubre todos los conceptos presentados en el libro. Las RESPUESTAS a las preguntas del Examen final se proporcionan en el apéndice al final del libro e incluyen referencias a los objetivos de la sección en los cuales se basan las preguntas.
Examen final 1. Simplifique: 12 2 833 2 1222 4 2 4 5 2 3
2. Evalúe
3. Simplifique: 5 2 233x 2 712 2 x2 2 5x4
3 4. Resuelva: x 2 2 5 4 4
5. Resuelva:
2 2 4x x26 5x 2 2 2 5 3 12 6
6. Resuelva: 8 2 0 5 2 3x 0 5 1
7. Resuelva: 0 2x 1 5 0 , 3
8. Resuelva: 2 2 3x , 6 y 2x 1 1 . 4
EXAMEN FINAL
2 3. 33 2p 10xq [1.4.3] 4.1 La es4 8. [2.1.1] 3 2 a12 2a35 2 solución 3a22 2 2a4 1 3a 10. Simplifique:
1. recta 231 q [1.2.2] 9. Encuentre la ecuación de la que contiene2.el21 ppun-[1.4.2] 2 6. Las soluciones son 4 y 2 . 3 8. Las soluciones son 11. 14. 17. 21. 25.
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a2 2 b2 donde a 5 3 y b 5 24. a2b
6 3 2 i [7.5.4] 5 5
{
[2.5.1]
3 x0x . . 2
}
7. Las soluciones son 5x 0 24 , x , 216. 2 1 9. La ecuación es y 5 2 x 2 . 3 3
[2.4.2]
12. La ecuación es 2x2 2 3x 2 2 5 0.
[8.1.1]
5. La solución es
2 . 3
[2.1.2]
[2.5.2]
[3.6.1]
10. 6a3 2 5a2 1 10a
13. 12 2 xy2 14 1 2xy 1 x2y22
[5.3.1]
[5.7.2]
x 1x 2 12 5 1x 2 y2 11 1 x2 11 2 x2 [5.7.4] 15. x 2 2x 2 3 2 [5.4.2] 16. [6.2.1] 2x 2 3 2x 2 5 10x 7 a 2 a1 x13 2 [6.3.1] 19. La solución es 2 . [6.4.1] 20. d 5 n [6.2.2] 18. 1x 1 22 1x 2 32 x11 4 n21 2 !2y x y4 1 [5.1.2] 22. [7.1.1] 23. 22x2y !2y [7.2.2] 24. [7.2.4] 3 8 5 2 162x 64x y 2y 3 1 !17 3 2 !17 y . [8.2.2] 26. Las soluciones son 27 y 28. [8.3.1] Las soluciones son 4 4 3 2
[6.6.1]
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PREFACIO
Otras características clave NOTAS AL MARGEN En ellas puede encontrar las siguientes características. Los recuadros TOME NOTA le alertan sobre conceptos que requieren atención especial.
Tome nota El orden de los elementos en un conjunto no importa. Por ejemplo, en el ejemplo (3) de la derecha podría haberse escrito el dominio como {4, −5, −1, −7}. Sin embargo,
Punto de interés
The Granger Collection
Los recuadros PUNTO DE INTERÉS, que se relacionan con el tema en estudio, pueden ser de naturaleza histórica o de interés general.
2 2 2
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) es considerado uno de
2 ¡NUEVO! Los recuadros CÓMO SE USA se relacionan con el tema en estudio. Estos recuadros presentan escenarios del mundo real que demuestran la utilidad de los conceptos seleccionados del libro.
Cómo se usa
2
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2
Los grandes sistemas de desigualdades lineales que contienen más de 100 desigualdades se han utilizado para resolver problemas de aplicación en áreas tan diversas como el suministro de cuidados médicos y la edificación de un silo de misiles nucleares.
2
2
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Existen varias maneras de usar una calculadora para evaluar una función. Las pantallas a la derecha, que ilustran la evaluación de R(−2) dada anteriormente, muestran una manera. Consulte otros métodos de evaluación de una función en la Guía de la calculadora del apéndice.
24
Aun cuando el libro no depende del uso de calculadoras, se incluyen recuadros de TECNOLOGÍA que se enfocan en instrucciones para el uso de calculadoras graficadoras en temas seleccionados.
Plot1 Plot2 Plot3 = X^3+3X2 –5X–6
\Y1 \Y2 \Y3 \Y4 \Y5 \Y6 \Y7
= = Y1(-2) = = = =
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2
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ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS. El enfoque en la solución de problemas que se utiliza a lo largo del libro hace hincapié en la importancia de una estrategia bien definida. Los modelos de estrategias se presentan como guías para que las siga cuando trata de resolver el problema paralelo que acompaña a cada ejemplo numerado. 05_Cap-04_2a parte_AUFMANN.indd 230
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00_Preliminares_AUFMANN.indd xxi
ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE MEZCLA DE VALORES
Por cada ingrediente de la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad del ingrediente empleado, el costo unitario del ingrediente y el valor de la cantidad utilizada. Para la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad, el costo unitario de la mezcla y el valor de la cantidad. Los resultados pueden registrarse en una tabla.
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24/09/12 04:55 p.m.
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PREFACIO
Recursos en inglés para el profesor SUPLEMENTOS IMPRESOS Edición anotada del instructor (ISBN: 978-1-111-82696-3)
La Edición anotada del instructor ofrece las soluciones de todos los problemas del libro, así como un Apéndice que denota aquellos problemas que se pueden encontrar en Enhanced WebAssign. Manual de soluciones del instructor (ISBN: 978-1-133-11236-5) Autora: Patricia M. Parker, Germanna Community College
El Manual de soluciones del instructor proporciona las soluciones de todos los problemas del libro. Documento de recursos del instructor con apéndice (ISBN: 978-1-133-11254-8) Autora: Documento de recursos del instructor por Maria H. Andersen, Muskegon Community College, con Apéndices por Richard N. Aufmann, Palomar College, y Joanne Lockwood, Nashua Community College
Cada sección del libro se analiza en las Guías de enseñanza diseñadas en forma única, contienen sugerencias, ejemplos, actividades, hojas de trabajo, evaluaciones y soluciones para todas las hojas de trabajo y actividades. SUPLEMENTOS ELECTRÓNICOS Videos específicos del libro Autor: Dana Mosely
Estos videos de enseñanza específicos del libro proporcionan al estudiante un refuerzo visual de conceptos y explicaciones. Contienen un lenguaje accesible, junto con ejemplos detallados y problemas muestra. Un formato flexible ofrece versatilidad. Es posible tener acceso rápidamente a los temas y las conferencias se pueden adaptar para cursos intensivos, en línea, o híbridos. Se proporcionan subtítulos para quienes tienen problemas auditivos. Estos videos están disponibles a través de Enhanced WebAssignment y CourseMate. Power Lecture con Diploma® (ISBN: 978-1-133-11235-8)
Este CD-ROM proporciona herramientas de medios dinámicas para la enseñanza. Puede crear, aplicar y adaptar exámenes en minutos (tanto impresos como en línea) con Diploma’s Computerized Testing que presenta ecuaciones de algoritmos. El manual de soluciones en línea Solution Builder´s desarrolla fácilmente series de soluciones para las tareas escolares o los exámenes. Las Hojas de práctica, las diapositivas de conferencias First-Day-of-Class Powerpoint®, el arte y las figuras del libro y un banco de exámenes en formato electrónico también se incluyen en este CD-ROM. Syllabus Creator (Incluido en PowerLecture) Autores: Richard N. Aufmann, Palomar College, y Joanne S. Lockwood, Nashua Community College
¡NUEVO! Escriba, edite y actualice fácilmente su programa
de estudios con el Aufmann/Lockwook Syllabus Creator. Este software le permite crear en varios pasos sencillos su programa de estudios. Primero seleccione los objetivos requeridos del curso; después agregue la información de su contacto, la del curso, las expectativas del estudiante, la política de calificaciones, las fechas y la ubicación de su curso y su curso en línea. ¡Ahora ya tiene su programa de estudios!
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Solution Builder
Esta base de datos en línea del instructor ofrece soluciones totalmente desarrolladas de todos los ejercicios del libro, lo que le permite crear impresiones adaptadas y seguras (en formato PDF) igualadas exactamente con los problemas que asigna en el aula. Para más información, visite www.cengage.com/solutionbuilder. Enhanced WebAssign® (ISBN: 978-0-538-73810-1)
Enhanced Web Assign, exclusivo de Cengage Learning, combina el contenido matemático excepcional que conoce y le agrada con WebAssign, la solución más poderosa de tareas escolares en línea. Enhanced Web Assign atrae al estudiante con una retroalimentación inmediata y un excelente contenido tutorial. Los ebooks interactivos ayudan al estudiante a desarrollar una comprensión conceptual más profunda de su tema. Las actividades en línea se pueden crear seleccionando entre miles de problemas específicos del libro. Las actividades se pueden complementar con problemas de cualquier libro de Cengage Learning. Enhanced WebAssign: Start Smart Guide para el estudiante (ISBN: 978-0-495-38479-3) Autor: Brooks/Cole
Enhanced WebAssign: Start Smart Guide para el estudiante ayuda al estudiante a organizarse y apresurarse con Enhanced WebAssign de manera que puedan estudiar de manera más inteligente y mejorar su desempeño en el aula. Tarjeta de acceso impresa para CourseMate con ebook (ISBN: 978-1-4282.7616-1) Tarjeta de acceso instantáneo para CourseMate con ebook (ISBN: 978-1-4282-7615-4)
Complemente su libro y el contenido de su curso con materiales de estudio y práctica. Developmental Mathematics CourseMate de Cengage Learning da vida a los conceptos del curso con herramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparación para los exámenes que apoyan al libro impreso. Vea cómo aumenta la comprensión del estudiante a medida que su grupo trabaja con el libro impreso y su sitio web específico. ¡Developmental Mathematics CourseMate va más allá del libro para proporcionar lo que usted necesita!
Recursos en inglés para el estudiante SUPLEMENTOS IMPRESOS Manual de soluciones para el estudiante (ISBN: 987-1-133-11237-2) Autora: Patricia M. Parker, Germanna Community College
Vea más allá de las respuestas ¡y mejore sus calificaciones! Este manual proporciona soluciones desarrolladas paso a paso de los problemas de número impar en el libro. El Manual de soluciones para el estudiante le proporciona la información que necesita para comprender verdaderamente la forma en la cual se resuelven los problemas.
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PREFACIO
Cuaderno de trabajo para el estudiante (ISBN: 978-1-133-11239-6) Obtenga una ventaja. El cuaderno de trabajo para el estudiante contiene evaluaciones, actividades y hojas de trabajo para las discusiones en el aula, las actividades durante la clase y el trabajo en equipo. Hojas de trabajo ASPIRA al éxito para el estudiante (ISBN: 978-1-133-11238-9) Autora: Christine S. Verity
Estas hojas proporcionan problemas adicionales de práctica para ayudarle a asimilar el material. SUPLEMENTOS ELECTRÓNICOS Videos específicos del libro
Estos videos de enseñanza le proporcionan un refuerzo visual de los conceptos y las explicaciones. Poseen un lenguaje accesible, junto con ejemplos detallados y problemas. Un formato flexible ofrece versatilidad. Se puede tener acceso fácilmente a los temas, y las conferencias se pueden ajustar para cursos intensivos, en línea, o híbridos. Incluyen subtítulos para quienes tienen problemas auditivos. Estos videos están disponibles a través de Enhanced WebAssign y CourseMate. Enhanced WebAssign (ISBN: 978-0-538-73810-1)
Enhanced WebAssign (asignado por el instructor) proporciona una retroalimentación instantánea sobre las asignaciones de tareas escolares. Este sistema de tareas en línea es fácil de usar e incluye vínculos útiles con las secciones del libro, los ejemplos en video y los tutoriales específicos de problemas.
Videos del examen del capítulo (Disponible a través de Enhanced WebAssign)
Los videos del examen del capítulo, disponibles a través de Enhanced WebAssign, proporcionan soluciones paso a paso que siguen los métodos de solución de problemas utilizados en el libro para cada pregunta del examen de final de capítulo. Algunos videos de soluciones ofrecen preguntas interactivas que proporcionan retroalimentación inmediata sobre las respuestas del estudiante. Enhanced WebAssign: Start Smart Guide para el estudiante (ISBN: 978-0-495-38479-3) Autor: Brooks/Cole
Si su profesor ha decidido incluir Enhanced WebAssign con su libro, este manual le ayudará a prepararse y apresurarse con el sistema Enhanced WebAssign, de manera que pueda estudiar en forma más inteligente y mejorar su desempeño en el aula. Tarjeta de acceso impresa para CourseMate con ebook (ISBN: 978-1-4282-76116-1) Tarjeta de acceso instantáneo para CourseMate con ebook (ISBN: 978-1-4282-7615-4)
Mientras más estudie, mayor será su éxito. Puede aprovechar al máximo su tiempo de estudio teniendo acceso a todo lo que necesita para tener éxito en un lugar, en línea con CourseMate. Puede utilizar CourseMate para leer el libro, tomar notas, revisar flashcards, ver videos y responder a series de preguntas de práctica.
Agradecimientos Los autores desean agradecer a las personas que han revisado la séptima edición y que proporcionaron numerosas sugerencias valiosas. Dimos Arsenidis, California State University–Long Beach Peter Arvanites, Rockland Community College Yugal Behl, Central New Mexico Community College Oiyin Pauline Chow, Central Pennsylvania Community College Mark Harbison, Sacramento Community College Brooke Quinlan, Hillsborough Community College Jean Shutters, Central Pennsylvania Community College Lynn Vazquez, Ocean County College Thomas Edward Wells, Delta College Judith Wood, Central Florida Community College Cathleen M. Zucco-Teveloff, Rowan University Nuestro agradecimiento especial para Jean Birmingham por revisar el manuscrito y corregir las páginas, a Patricia M. Parker por elaborar los manuales de soluciones y a Lauri Semarne por su trabajo para asegurarse de la exactitud del libro. También nos gustaría agradecer a las muchas personas en Cengage Learning que trabajaron para llevar el manuscrito de la octava edición desde el desarrollo hasta la producción.
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Digital Vision
Aspire al éxito
A
CAPÍTULO
Concéntrese en el éxito Este importante capítulo describe las habilidades de estudio que aplican los estudiantes que han tenido éxito en este curso. El capítulo A cubre una amplia variedad de temas que se centran en lo que usted necesita hacer para tener éxito en esta clase. Incluye una guía completa para usar el libro y aprovechar sus características, cuyo propósito es lograr que usted sea un estudiante exitoso.
OBJETIVOS A.1
A.2
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Prepárese Motívese Desarrollar una actitud hacia las matemáticas de “puedo hacerlo” Estrategias para el éxito Administración del tiempo Hábitos de los estudiantes exitosos Tener una visión general Comprender la organización Utilizar el método interactivo Utilizar una estrategia para resolver problemas escritos Aprobar el examen
EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este curso?
1. Lea este capítulo. Responda todas las preguntas. Anote las respuestas en una hoja de papel. 2. Escriba el nombre de su profesor. 3. Anote el número de aula. 4. Escriba los días y los horarios en que el grupo se reúne. 5. Lleve su libro, una libreta y un bolígrafo o lápiz a todas las clases. 6. Sea un participante activo, no un observador pasivo.
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A-2
ASPIRE AL ÉXITO
A.1
Cómo tener éxito en este curso PREPÁRESE Estamos comprometidos con su éxito en el aprendizaje de las matemáticas y hemos desarrollado diversas herramientas y recursos para apoyarle en su camino.
¿LE GUSTARÍA ALCANZAR LA EXCELENCIA EN ESTE CURSO? Siga leyendo para aprender acerca de las habilidades que necesitará y la mejor forma de usar este libro para obtener los resultados que busca. Lo hemos escrito con un estilo interactivo. Verá más sobre este tema más adelante pero, en pocas palabras, esto significa que se supone que interactúe con el texto. ¡No se limite a leerlo! Trabaje con él. ¿Está listo? ¡Comencemos!
¿POR QUÉ USTED ESTÁ TOMANDO ESTE CURSO? ¿Interactuó con el texto o sólo leyó la pregunta anterior? Consiga una hoja de papel y un bolígrafo o lápiz, y responda la pregunta. De verdad, tendrá más éxito en matemáticas y en otros cursos si participa activamente. Ahora interactúe. Escriba una razón por la que está tomando este curso.
Desde luego, no tenemos idea de lo que acaba de escribir, pero la experiencia nos ha mostrado que muchos de ustedes escribieron algo a lo largo de las líneas de “Tengo que tomarlo para graduarme”, “Es un requisito previo para otro curso que quiero tomar” o “Es un requisito para mi asignatura principal”. Esas razones están muy bien. Todos los profesores han tenido que tomar cursos que no se relacionaban directamente con su asignatura principal.
¿POR QUÉ QUIERE TENER ÉXITO EN ESTE CURSO? Piense por qué quiere tener éxito en este curso. Elabore una lista de las razones aquí (no mentalmente… en esta página):
Una de las razones que puede haber incluido en la lista es que las habilidades matemáticas son importantes para tener éxito en la carrera que eligió. Desde luego, esa es una razón importante. A continuación se mencionan otras razones. • Las matemáticas son una habilidad que se aplica en las carreras, lo cual es sin duda un beneficio para los requisitos laborales en constante cambio de nuestro mundo. Tener fundamentos sólidos de matemáticas puede facilitarle hacer un cambio de carrera. • Las matemáticas pueden ayudarle a aprender habilidades de pensamiento crítico, un atributo que todos los empleadores buscan. • Las matemáticas pueden ayudarle a ver las relaciones entre las ideas y a identificar patrones.
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ASPIRE AL ÉXITO
A-3
MOTÍVESE
Tome nota La motivación por sí sola no conduce al éxito. Por ejemplo, suponga que una persona que no puede nadar está remando en medio de un lago y se lanza por la borda. Esa persona tiene mucha motivación para nadar, pero lo más probable es que se ahogue si no recibe ayuda. Usted necesitará motivación y aprendizaje para tener éxito.
En este libro encontrará muchos problemas reales relacionados con los deportes, el dinero, los automóviles, la música y más. Esperamos que estos temas le ayuden a comprender cómo se usan las matemáticas en la vida cotidiana. Para aprender todas las habilidades necesarias y comprender cómo puede aplicarlas a su vida fuera de este curso, motívese a aprender. Una de las razones por las que se planteó la pregunta de por qué está tomando este curso es proporcionarle la motivación para que tenga éxito. Cuando hay una razón para hacer algo, esa tarea es más fácil de lograr. Entendemos que tal vez no desea tomar este curso, pero es un paso necesario para alcanzar su meta profesional. Deje que dicha meta sea su motivación para el éxito.
COMPROMÉTASE CON EL ÉXITO Con la práctica mejorará sus habilidades en matemáticas. ¿Escéptico? Recuerde cuando aprendió por primera vez a conducir un automóvil, andar en patineta, bailar, pintar, surfear o cualquier otra habilidad que ahora tiene. Quizá se sintió cohibido o preocupado porque podría fallar. Pero con el tiempo y la práctica aprendió la habilidad. Anote una situación en la que logró su objetivo al dedicar tiempo a practicar y perfeccionar sus habilidades (como aprender a tocar el piano o jugar basquetbol):
No conseguimos ser “buenos” en algo al hacerlo una vez por semana. La práctica es la columna vertebral de cualquier esfuerzo exitoso, ¡incluidas las matemáticas!
DESARROLLE UNA ACTITUD HACIA LAS MATEMÁTICAS DE “PUEDO HACERLO” ¡Usted puede hacer matemáticas! Cuando aprendió por primera vez las habilidades que anotó arriba, quizá no las utilizaba bien. Con la práctica mejoró. Con la práctica mejorará en matemáticas. Permanezca centrado, motivado y comprometido con el éxito. No podemos hacer suficiente hincapié en la importancia que tiene superar el síndrome de “No puedo hacer matemáticas”. Si escucha entrevistas de deportistas muy exitosos después de un desempeño particularmente malo, notará que se concentran en los aspectos positivos de lo que hicieron, no en los negativos. Los psicólogos del deporte animan a los atletas a que sean siempre positivos —tengan una actitud de “puedo hacerlo”. Desarrolle esta actitud hacia las matemáticas y tendrá éxito. Cambie su discurso acerca de las matemáticas. No diga “No puedo hacer matemáticas”, “Odio las matemáticas” o “Las matemáticas son muy difíciles”. Estos comentarios sólo le dan una excusa para el fracaso. Y usted no quiere fracasar, ni nosotros queremos que esto ocurra. Anótelo ahora: ¡Puedo estudiar matemáticas!
ESTRATEGIAS PARA EL ÉXITO PREPÁRESE PARA TENER ÉXITO Hay una serie de cosas que puede ser motivo de preocupación a medida que comienza un nuevo curso. Elabore ahora una lista de algunas de ellas.
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A-4
ASPIRE AL ÉXITO
En seguida se presentan algunas de las inquietudes expresadas por nuestros estudiantes. • Instrucción ¿Podré pagar la escuela? • Empleo Debo trabajar. ¿Mi empleador me asignará un horario que me permita acudir a la escuela? • Ansiedad ¿Tendré éxito? • Cuidado de niños ¿Qué haré con mis hijos cuando esté en clases o cuando necesite estudiar? • Tiempo ¿Podré encontrar el tiempo para asistir a clases y estudiar? • Metas de la carrera ¿Cuánto tiempo tardaré en terminar la escuela y obtener mi título? Todas estas inquietudes son importantes y válidas. Sean cuales fueren sus inquietudes, reconózcalas. Elija una ruta de estudios que le permita tener en cuenta sus inquietudes. Asegúrese de que no le impide tener éxito.
SELECCIONE UN CURSO Muchas escuelas ofrecen exámenes de matemáticas, los cuales evalúan sus habilidades matemáticas actuales. No evalúan lo inteligente que es usted, así que no se preocupe por su calificación en el examen. Si no está seguro de dónde debe iniciar en el plan de estudios de matemáticas, estos exámenes pueden mostrarle dónde comenzar. Es mejor partir de un nivel que sea adecuado para usted en vez tomar un curso más avanzado y luego dejarlo porque no puede mantener el nivel. Abandonar un curso es una pérdida de tiempo y dinero. Si tiene dificultades con las matemáticas, evite cursos breves que reduzcan las clases a unas cuantas semanas. Si ha tenido problemas con las matemáticas en el pasado, estos cursos no le darán el tiempo suficiente para procesar los conceptos matemáticos. Asimismo, evite las clases de una vez por semana. La demora entre las clases hace que sea difícil relacionar los conceptos. Algunas metas profesionales requieren varios cursos de matemáticas. Si esto se aplica a su especialidad, trate de tomar un curso de matemáticas cada semestre hasta que complete los requisitos. Piénselo de esta manera. Si, por ejemplo, toma Francés I y luego espera dos semestres antes de tomar Francés II, puede olvidar una gran cantidad de material. Con las matemáticas sucede lo mismo. Debe mantener frescos los conceptos en su mente.
ADMINISTRACIÓN DEL TIEMPO Uno de los requisitos más importantes para realizar cualquier tarea es reconocer la cantidad de tiempo que le tomará terminar el trabajo de manera satisfactoria. Antes de que una empresa comience la construcción de un rascacielos, dedica meses a estudiar cuánto tiempo tardará cada una de las fases de construcción. Esto se hace de modo que los recursos puedan asignarse en el momento apropiado. Por ejemplo, no tendría sentido programar que los electricistas instalen el cableado si no se han concluido las paredes.
ADMINISTRE SU TIEMPO Sabemos lo ocupado que usted está fuera de la escuela. ¿Tiene un empleo de tiempo completo o de tiempo parcial? ¿Tiene hijos? ¿Visita con frecuencia a su familia? ¿Practica algún deporte o participa en la orquesta o la compañía de teatro de la escuela? Puede ser estresante equilibrar todas las actividades y responsabilidades importantes en su vida cotidiana. La creación de un plan de administración del tiempo le ayudará a programar su tiempo de tal manera que logre hacer todo lo que necesita. Empecemos.
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Primero necesita un calendario. Puede utilizar un planificador diario, un calendario de un smartphone o un calendario en línea, como aquellos ofrecidos por Google, MSN o Yahoo. Es mejor tener un calendario en el que anote sus actividades diarias y pueda obtener también una vista semanal o mensual. Comience a llenar su calendario ahora, incluso si esto implica detenerse justo aquí y buscar un calendario. Algunas de las cosas que usted podría incluir son:
Tome nota Sea realista respecto al tiempo que puede dedicar. Un indicador es que trabajar 10 horas por semana equivale a tomar un curso de tres unidades aproximadamente. Si su universidad considera que 15 unidades es un volumen de trabajo completo y usted le está dedicando 10 horas por semana, debe considerar tomar 12 unidades. Entre más tiempo dedique, menos unidades debe tomar.
• Las horas en que se reúne cada grupo • El tiempo para ir y regresar del trabajo o la escuela • El tiempo libre, un aspecto importante de un estilo de vida saludable • El tiempo para estudiar. Asigne por lo menos una hora de estudio por cada hora de clase. Esto es lo mínimo
• Tiempo para comer • Su horario de trabajo • Tiempo para actividades extracurriculares como deportes, lecciones de música o trabajo voluntario • Tiempo para la familia y los amigos • Tiempo para dormir • Tiempo para hacer ejercicio
De verdad esperamos que haga esto. De no ser así, por favor reconsidérelo. Una de las mejores rutas hacia el éxito es comprender cuánto tiempo se requiere para tener éxito. Cuando termine su calendario, si no cuenta con suficiente tiempo para estar saludable física y emocionalmente, replantee algunas de sus actividades escolares o laborales. No queremos que pierda su empleo porque tiene que estudiar matemáticas. Por otro lado, no queremos que fracase en matemáticas debido a su trabajo. Si las matemáticas le resultan particularmente difíciles, considere tomar menos unidades del curso durante los semestres que cursa matemáticas. Esto se aplica también a cualquier otra materia que se le dificulte. No existe una regla que indique que debe terminar la universidad en cuatro años. Es un mito… descártelo ahora. Ahora amplíe su calendario para que cubra todo el semestre. Muchas de las entradas se repetirán, como el tiempo que un grupo se reúne. En su calendario ampliado, incluya sucesos significativos que puedan interrumpir su rutina normal. Éstos podrían incluir vacaciones, salidas con la familia, cumpleaños, aniversarios o eventos especiales como un partido de futbol. Además de estos sucesos, asegúrese de incluir las fechas de las pruebas, la fecha del examen final, y las fechas de entrega de los proyectos o documentos. Estos son todos los sucesos importantes del semestre. Tenerlos en su calendario le recordará que debe asignarles tiempo.
TIEMPO PARA ASISTIR A CLASES Para tener éxito, asista a clases. Tome en cuenta su compromiso de asistir a clases con la seriedad que se compromete en su empleo o asiste a una cita con una amistad que aprecia. Es difícil exagerar la importancia de asistir a clases. Si usted pierde el trabajo, no recibe su sueldo. Si falta a clases, no recibe el beneficio completo de su inversión en la enseñanza. Está perdiendo dinero. Si por alguna situación inevitable no puede asistir a clases, averigüe en cuanto le sea posible lo que se trató en clase. Podría: • Pedirle a un amigo sus notas y la tarea. • Ponerse en contacto con su profesor y solicitarle la tarea. Faltar a una clase no es excusa para no estar preparado para la clase siguiente. • Determine si hay recursos en línea que pueda usar como apoyo para los temas y conceptos que se trataron en la clase a la que faltó. Asistir a clases es importante. Una vez que esté ahí, participe en la clase. Involúcrese y sea activo. Cuando su profesor formule una pregunta, trate de responderla, al menos mentalmente. Si usted tiene una pregunta, plantéela. Su profesor espera que le hagan preguntas y quiere que usted comprenda el concepto que se está tratando.
TIEMPO PARA TAREAS Además de asistir a clases, usted debe hacer la tarea. La tarea es la mejor manera de reforzar las ideas presentadas en clase. Debe asignar por lo menos de una a dos horas para hacer la tarea y estudiar por cada hora que tome de clase. Hemos tenido muchos estudiantes que nos dicen que una o dos horas parece mucho tiempo. Tal vez sea cierto, pero si usted quiere alcanzar
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sus metas, debe estar dispuesto a dedicar el tiempo necesario para tener éxito en este curso de matemáticas. Debe programar el tiempo de estudio como si se tratara de horas de clase. Para ello, anote cuándo y dónde estudia mejor. Por ejemplo, ¿estudia mejor en casa, en la biblioteca, en el centro de matemáticas, bajo un árbol o en otro lugar? Algunos psicólogos que investigan las estrategias exitosas de estudio sugieren que el simple hecho de variar el lugar donde se estudia puede aumentar la eficacia de una sesión de estudio. Mientras considera dónde prefiere estudiar, piense también en la hora del día durante la cual su periodo de estudio será más productivo. Anote sus reflexiones.
Lea lo que ha escrito y asegúrese de que puede estar sistemáticamente en su entorno de estudio favorito en el momento que haya seleccionado. El estudio y la tarea son sumamente importantes. Del mismo modo que usted no debe faltar a clases, no pierda su tiempo de estudio. Antes de dejar este tema importante, le daremos algunas sugerencias. Si es posible, dedique una hora de estudio justo después de clases. El material estará fresco en su mente y el repaso inmediato, junto con su tarea, le ayudarán a reforzar los conceptos que está estudiando. Si no puede estudiar justo después de clases, asegúrese de que asigna un tiempo en el día de la clase para repasar las notas y comenzar a hacer la tarea. Entre más espere, más difícil será recordar algunos de los puntos importantes cubiertos durante la clase. El estudio de las matemáticas en fragmentos pequeños —una hora al día (quizá no sea suficiente para la mayoría de nosotros), todos los días, es mejor que siete horas en una sesión. Si usted va a estudiar por un periodo prolongado, divida su sesión al estudiar un tema durante un lapso y luego pasar a otro tema. Trate de alternar entre materias parecidas o relacionadas. Por ejemplo, estudie matemáticas durante un lapso, luego estudie ciencias y después regrese a matemáticas. O estudie historia durante un lapso, luego ciencias políticas y después regrese a historia. Reúnase con algunos de sus compañeros de clase y trate de formar un grupo de estudio. El grupo podría reunirse dos o tres veces por semana. Durante esas reuniones podrían formularse preguntas entre sí, prepararse para un examen, tratar de explicar un concepto a otro compañero del grupo o recibir ayuda sobre un tema que se le dificulte. Después de leer estas sugerencias, tal vez quiera replantear dónde y cuándo estudia mejor. Si éste es el caso, hágalo ahora. Recuerde, no obstante, que lo importante es su estilo personal. Elija lo que le funciona a usted, y apéguese a ello.
HÁBITOS DE LOS ESTUDIANTES EXITOSOS Los estudiantes exitosos tienen varios hábitos. Piense en cuáles podrían ser éstos y anótelos.
Lo que ha escrito es muy importante. Los hábitos que ha enumerado probablemente son las cosas que usted sabe que debe hacer para tener éxito. A continuación se presenta una lista de algunas de las respuestas de los estudiantes exitosos que hemos conocido. • Establecer prioridades. Usted encontrará muchas distracciones durante el semestre. No permita que le impidan alcanzar su meta. • Asumir la responsabilidad. Su profesor, este libro, los profesores, los centros de matemáticas y otros recursos están ahí para ayudarle a tener éxito. Sin embargo, en última instancia, debe elegir aprender; debe elegir el éxito.
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• Convivir con estudiantes exitosos. El éxito genera éxito. Al trabajar y estudiar con estudiantes exitosos, usted está en un ambiente que le ayudará a tener éxito. Busque personas que estén comprometidas con sus metas. • Estudiar con regularidad. Hemos hablado antes de esto, pero es muy importante como para repetirlo. • Autoevaluación. Una vez cada pocos días, seleccione ejercicios de tareas anteriores y utilícelos para probar su comprensión. Trate de realizar estos ejercicios sin apoyarse en los ejemplos del texto. Estas autoevaluaciones le ayudarán a adquirir la confianza de que puede resolver este tipo de problemas en un examen en clase. • Probar diferentes estrategias. Si usted lee el texto y sigue teniendo dificultades para entender un concepto, considere ir un paso más allá. Póngase en contacto con el profesor o busque un profesor particular. Numerosas universidades tienen algunos servicios gratuitos de tutoría. Acuda al centro de matemáticas o de aprendizaje. Consulte otro libro de texto. Sea activo y consiga la ayuda que necesita. • Elaborar flash cards. Esta es una de las estrategias que algunos estudiantes de matemáticas ni siquiera piensan en probar. Las flash cards son una parte muy importante del aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo, su profesor puede utilizar palabras como lineal, cuadrática, exponente, base, racional y muchas otras. Si usted no conoce el significado de estas palabras, no sabrá de qué habla. • Perseverar. Su educación no es una carrera. La meta principal es terminar. Tomar demasiadas clases y luego abandonar algunas no le lleva al final más rápido. Tome sólo las clases que puede manejar.
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Cómo utilizar este libro para tener éxito en este curso TENER UNA VISIÓN GENERAL Uno de los principales recursos a los que usted tendrá acceso a lo largo de todo el curso es este libro, el cual fue escrito teniéndolo a usted y su éxito en mente. La siguiente es una guía de las características del libro que le ayudarán a tener éxito. En realidad queremos proporcionarle una verdadera visión general. Tómese unos minutos para leer la tabla de contenido. Puede experimentar un poco de ansiedad por todos los conceptos nuevos que aprenderá. Trate de pensar en esto como en una oportunidad apasionante para aprender matemáticas. Ahora revise todo el libro. Cambie rápidamente las páginas. No invierta más de unos segundos en cada página. Analice los títulos, observe las fotografías y los diagramas. Tener esta “visión general” le ayudará a darse una idea de hacia dónde va este curso. Para alcanzar su meta, es importante que esté enterado de los pasos que tendrá que dar en el camino. A medida que revise el libro encontrará temas de su interés. ¿Cuál es su preferencia? ¿Las carreras? ¿La navegación a vela? ¿La televisión? ¿Los parques de diversiones? Encuentre el Índice de aplicaciones en la última parte del libro y escoja tres temas que le interesen. Escriba los temas aquí.
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COMPRENDER LA ORGANIZACIÓN Observe de nuevo la tabla de contenido. Hay 12 capítulos en el libro. Verá que todos se dividen en secciones y que cada sección contiene varios objetivos de aprendizaje, cada uno de los cuales está etiquetado con un número del 1 al 5. Conocer cómo está organizado este libro le ayudará a localizar temas y conceptos importantes mientras estudia.
Flash Card Regla para multiplicar expresiones exponenciales
Antes de empezar con un objetivo nuevo, tómese unos minutos para leer la descripción del mismo. Luego examine el material del objetivo. En particular, observe las palabras o frases en negritas —éstas son conceptos importantes que necesitará conocer a medida que avance en el curso. Estas palabras son buenos candidatos para las flash cards. De ser posible, incluya un ejemplo del concepto en dicha tarjeta, como se muestra a la izquierda. También verá conceptos y reglas importantes incluidas en recuadros. En seguida se proporciona un ejemplo sobre exponentes. Estas reglas también son buenos candidatos para las flash cards.
Si m y n son enteros, entonces x m # x n 5 x m 1n.
REGLA PARA MULTIPLICAR EXPRESIONES EXPONENCIALES
Ejemplos
Si m y n son enteros, entonces xm # xn 5 xm1n.
5
x # x 3 5 x 5 13 5 x 8 a # a 4 5 a 1 14 5 a 5 z 2 # z 4 # z 5 5 z 2 1415 5 z 11
1v 4r 32 1v 2r2 5 v 4 12r 311 5 v 6r 4
EJEMPLOS
1. x5 # x3 5 x5 1 3 5 x8 2. a # a4 5 a114 5 a5 3. z2 # z4 # z5 5 z21415 5 z11 4. 1v4r32 1v2r2 5 v412r311 5 v6r4
• Recuerde que a 5 a1.
• Sume los exponentes de las bases iguales.
Pase al objetivo 5.1.1 del capítulo 5. Anote las palabras en negritas y cualesquiera conceptos o reglas que se muestren en recuadros.
UTILIZAR EL MÉTODO INTERACTIVO Como mencionamos antes, el libro se basa en un método interactivo. Queremos que usted participe de manera activa en el aprendizaje de las matemáticas, y le hemos dado muchas sugerencias para ponerlas en práctica con este libro.
Concéntrese Observe las páginas 259-260. ¿Ve la sección Concéntrese? Esta sección introduce un concepto (en este caso, la suma de polinomios) e incluye una solución paso a paso del tipo de ejercicios que encontrará en las tareas.
Concéntrese en la suma de polinomios utilizando un formato horizontal o vertical. A. Sume 13x2 1 2x 2 72 1 17x3 2 3 1 4x22 . Utilice un formato horizontal. Use las propiedades conmutativa y asociativa de la suma para reacomodar y agrupar los términos semejantes. Simplifique los términos semejantes.
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13x2 1 2x 2 72 1 17x3 2 3 1 4x22 5 7x3 1 13x2 1 4x22 1 2x 1 127 2 32
5 7x3 1 7x2 1 2x 2 10
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B. Sume 14x2 2 3x 1 22 1 12x3 1 4x 2 72 . Utilice un formato vertical. 4x2 2 3x 1 2 1 4x 2 7
Escriba cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en columnas.
2x
Sume los términos en cada columna.
2x3 1 4x2 1 x 2 5
3
Tome papel y un lápiz y trabaje mientras lee la sección Concéntrese. Cuando haya terminado, consiga una hoja de papel limpia. Escriba el problema y trate de completar la solución sin mirar sus notas o el libro. Cuando haya terminado, revise su respuesta. Si es correcta, está listo para seguir avanzando. Revise el texto y encuentre tres casos de la sección Concéntrese. Escriba los conceptos mencionados en cada caso.
Ejemplo/Problema par Usted necesita practicar para tener éxito en las matemáticas. Cuando se muestre un ejemplo, resuélvalo al lado de nuestra solución. Utilice los ejercicios de la sección Ejemplo/Problema par para practicar cuanto sea necesario. Eche un vistazo a la página 260. El ejemplo 5 y el problema 5 se reproducen aquí.
EJEMPLO 5 Solución
Sume 12x3 1 5x2 2 7x 1 12 1 12x3 2 5x2 1 3x 2 62 utilizando un formato vertical. 2x3 1 5x2 2 7x 1 1 2x3 2 5x2 1 3x 2 6 x3 1 0x2 2 4x 2 5
• Escriba cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en columnas. • Sume los términos en cada columna.
12x3 1 5x2 2 7x 1 12 1 12x3 2 5x2 1 3x 2 62 5 x3 2 4x 2 5
Problema 5 Solución
Sume 1x3 2 x 1 22 1 1x2 1 x 2 62 utilizando un formato horizontal. Vea la página S16.
† Intente resolver el ejercicio 49 de la página 264. Verá que cada ejemplo está totalmente resuelto. Estudie el ejemplo al resolver con cuidado cada paso. Luego trate de resolver el problema. Utilice la solución del ejemplo como modelo para resolver el problema. Si se atora en algún momento, las soluciones a los problemas se presentan al final del libro. Hay un número de página inmediatamente después del problema que muestra dónde se puede encontrar el ejercicio completamente resuelto. Utilice la solución para obtener una pista para el paso en el que está atorado. Luego vuelva a intentarlo. Cuando haya llegado a la solución, revise su trabajo contra la solución que aparece al final del libro. Pase a la página S16 para ver la solución del problema 5. Recuerde que a veces hay más de una manera de resolver un problema. Pero su respuesta siempre debe coincidir con la que se proporciona al final del libro. Si tiene alguna pregunta acerca de si su método funcionará, consulte con su profesor. Ahora observe la línea que dice, “Intente resolver el ejercicio 49 de la página 264”. Debe realizar el Ejercicio de prueba del conjunto de ejercicios para probar su comprensión de los conceptos que se han estudiado. Cuando haya terminado el ejercicio, compruebe su respuesta con aquella proporcionada en la sección Respuestas. Si su respuesta es incorrecta, intente de nuevo. Si sigue teniendo dificultades, busque ayuda de un amigo, un profesor particular o su profesor.
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UTILIZAR UNA ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS ESCRITOS Aprender a resolver problemas escritos es una de las razones por las cuales está estudiando matemáticas. Aquí es donde usted combina todas las habilidades de razonamiento que ha aprendido para resolver problemas prácticos. Trate de no sentirse intimidado por los problemas escritos. Básicamente, lo que necesita es una estrategia que le ayudará a proponer la ecuación necesaria para resolver el problema. Cuando se enfrente a un problema escrito, intente lo siguiente: • Lea el problema. Esto puede parecer obvio, pero queremos decir que lo lea con atención. No lo lea solamente, léalo despacio y con detenimiento. • Anote la información que le proporcionan y lo que le piden. Ahora que ha leído el problema, regrese y anote los datos que le proporcionan. Luego escriba los datos que debe hallar. No sólo piense en esto —¡anótelo! Sea lo más específico que pueda. Por ejemplo, si le piden calcular una distancia, no sólo escriba “Necesito calcular la distancia”. Sea más específico y escriba “Necesito calcular la distancia entre la Tierra y la Luna”. • Piense en un método para determinar lo que pide el problema. Por ejemplo, ¿existe una fórmula que relaciona las cantidades conocidas con las desconocidas? Desde luego este es el paso más difícil. Más adelante debe escribir una ecuación a resolver. • Resuelva la ecuación. Sea lo más cuidadoso que pueda cuando resuelva la ecuación. No tiene sentido llegar a este punto y luego por descuido cometer un error. La mayoría de los problemas le pide encontrar una unidad como pies, dólares o millas por hora. Cuando escriba su respuesta, incluya la unidad. Una respuesta como 20 no tiene mucho sentido. ¿Se trata de 20 pies, 20 dólares, 20 millas por hora o algo? • Compruebe su solución. Ahora que tiene la respuesta, regrese al problema y pregúntese si tiene sentido. Es un paso importante. Por ejemplo, si según su respuesta el costo de un automóvil es $2.51, algo está mal. En este libro, la solución de cada problema escrito se divide en dos pasos, Estrategia y Solución. La estrategia consiste en los primeros tres pasos estudiados antes. La solución son los últimos dos pasos. He aquí un ejemplo de las páginas 567-568 del libro. Dado que usted no ha estudiado los conceptos que involucra el problema, tal vez no pueda resolverlo. Pero observe los detalles proporcionados en la Estrategia. Cuando resuelva el Problema después de un Ejemplo, asegúrese de incluir su propia Estrategia.
EJEMPLO 1
Estrategia
El molibdeno-99 es un isótopo radiactivo utilizado en la medicina. Una muestra original de 20 microgramos de molibdeno-99 decae a 18 microgramos en 10 h. Calcule la vida media del molibdeno-99. Redondee a la hora más cercana. A0 , la cantidad original, es 20 microgramos. A, la cantidad final, es 18 microgramos. El tiempo es 10 h. Para calcular la vida media, resuelva la t 1 k ecuación del decaimiento exponencial A 5 A0 a b para la vida media, k. 2 t
Solución
1 k A ⫽ A0 a b 2
• Utilice la ecuación exponencial.
10
1 k 18 ⫽ 20a b 2
• A0 5 20, A 5 18, t 5 10
10
1 k 18 ⫽a b 20 2
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• Resuelva para k.
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18 1 k log 5 loga b 20 2 log
18 10 1 5 log 20 k 2 1 10 log 2 k5 18 log 20 k < 65.8
La vida media del molibdeno-99 es aproximadamente 66 h. Problema 1
Solución
El número de palabras por minuto que un estudiante puede teclear aumentará con la práctica y puede aproximarse mediante la ecuación N 5 100[1 2 (0.9) t], donde N es el número de palabras tecleadas por minuto después de t días de práctica. ¿En cuántos días el estudiante podrá teclear 60 palabras por minuto? Redondee al número entero de días más cercano. Vea la página S33.
† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 571.
Cuando haya terminado de estudiar una sección, resuelva los ejercicios que su profesor haya seleccionado. Las matemáticas no son un deporte de espectadores. Debe practicar diariamente. Haga la tarea y no se atrase.
APROBAR EL EXAMEN Este libro tiene una serie de características que le ayudarán a prepararse para un examen, las cuales le ayudarán aún más si usted hace algo muy simple: cuando esté haciendo su tarea, regrese a cada tarea anterior que le hayan dejado para el capítulo en curso y repase dos ejercicios. Así es, sólo dos ejercicios. Le sorprenderá cuánto mejor preparado estará para un examen al hacer esto. Estos son algunos apoyos adicionales que le ayudarán a aprobar el examen.
Resumen del capítulo Una vez que complete el capítulo, lea el resumen del mismo, el cual está dividido en dos secciones: Palabras clave y Reglas y procedimientos esenciales. Vaya a la página 103 para ver el Resumen del capítulo 2. El resumen muestra todos los temas importantes cubiertos en el capítulo. ¿Ve la referencia que va después de cada tema? Esta referencia le muestra el objetivo y la página del libro donde puede encontrar más información sobre el concepto. Anote el término clave y una Regla o procedimiento esencial. Explique el significado de la referencia 2.1.1 de la página 56.
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Ejercicios de repaso del capítulo Vaya a la página 105 para ver los Ejercicios de repaso del capítulo 2. Cuando usted realiza estos ejercicios, se está dando la oportunidad de probar su comprensión del capítulo. La respuesta de cada ejercicio de repaso se proporciona al final del libro, junto con el objetivo con el cual se relaciona la pregunta. Cuando haya terminado con los Ejercicios de repaso del capítulo, compruebe sus respuestas. Si ha tenido problemas con alguna de las respuestas, puede repasar los objetivos y resolver de nuevo algunos de los ejercicios de dichos objetivos para obtener ayuda adicional. Vaya a la sección de respuestas en la parte final del libro. Encuentre las respuestas para los Ejercicios de repaso del capítulo 2. Anote la respuesta al ejercicio 17. ¿Cuál es el significado de la referencia 2.4.2?
Examen del capítulo En cada capítulo puede encontrar un Examen del capítulo después de los Ejercicios de repaso, el cual puede utilizar para prepararse para su examen. La respuesta de cada pregunta del examen se proporciona al final del libro, junto con una referencia al objetivo y a las secciones Concéntrese, Ejemplo o Problema con que se relaciona la pregunta. Piense en estos exámenes como una “serie de prácticas” para sus exámenes en clase. Realice el examen en un lugar tranquilo, y trate de resolverlo en la misma cantidad de tiempo que se le asignará en el examen real. Los apoyos que mencionamos anteriormente le ayudarán a prepararse para un examen. Debe comenzar su repaso por lo menos dos días antes del examen, si son tres días, mejor. Estos apoyos le ayudarán a prepararse para el mismo. Estas son algunas sugerencias para cuando presente el examen real. • Trate de relajarse. Sabemos que la presentación de un examen es una situación que pone muy nerviosos o ansiosos a algunos estudiantes. Estos sentimientos son normales. Trate de permanecer calmado y concentrado en lo que sabe. Si se ha preparado como le hemos sugerido, las respuestas comenzarán a llegarle. • Hojee el examen. Tenga una visión general. • Lea detenidamente las instrucciones. Asegúrese de dar una respuesta completa a cada pregunta. • Resuelva primero los problemas más fáciles para usted. Esto le ayudará a adquirir confianza y a reducir la sensación de nerviosismo que pueda tener.
EN SUS MARCAS, LISTOS, ¡ÉXITO! Se requiere trabajar arduamente y comprometerse con el éxito, pero sabemos que usted puede lograrlo. Obtener buenos resultados en matemáticas es sólo uno de los pasos que le llevarán al éxito. Buena suerte. Le deseamos lo mejor.
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CAPÍTULO
Digital Vision
Los números reales
Concéntrese en el éxito ¿Ha leído Aspire al éxito? Describe las habilidades de estudio empleadas por los estudiantes que han tenido éxito en sus cursos de matemáticas. Este prefacio le proporciona consejos sobre cómo permanecer motivado, administrar su tiempo y prepararse para los exámenes. También incluye una guía completa para el libro y cómo usar sus características para tener éxito en este curso. Aspire al éxito comienza en la página A-1.
OBJETIVOS 1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1 Desigualdad y valor absoluto 2 Notación de intervalos y
operaciones con conjuntos 1 Operaciones con números enteros 2 El orden o jerarquía de las operaciones 1 Operaciones con números racionales 2 Orden de las operaciones y fracciones complejas 3 Notación decimal 1 Propiedades de los números reales 2 Evaluar expresiones algebraicas 3 Simplificar expresiones algebraicas 1 Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica 2 Problemas de aplicación
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EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?
Resuelva el examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. Para los ejercicios 1 a 8, sume, reste, multiplique o divida. 1.
7 5 1 12 30
2.
8 7 2 15 20
3.
5# 4 6 15
4.
4 2 4 15 5
5. 8 1 29.34 1 7.065
6. 92 2 18.37
7. 2.19 13.42
8. 32.436 4 0.6
9. ¿Cuáles de los números siguientes son mayores que 28? (i) 26 (ii) 210 (iii) 0 (iv) 8 10. Una cada fracción con su equivalente decimal. 1 a. A. 0.75 2 7 b. B. 0.89 10 3 c. C. 0.5 4 89 d. D. 0.7 100
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CAPÍTULO 1
1.1 OBJETIVO
Los números reales
Introducción a los números reales Desigualdad y valor absoluto Parece ser una característica humana colocar elementos parecidos en el mismo grupo. Por ejemplo, un astrónomo coloca las estrellas en constelaciones y un geólogo divide la historia de la Tierra en eras.
Punto de interés La Osa Mayor, conocida por los griegos como Ursa Major, la osa más grande, es una constelación que puede verse en latitudes del norte. Las estrellas de la Osa Mayor son Alkaid, Mizar, Alioth, Megrez, Phecda, Merak y Dubhe. La estrella en la curva de la manija, Mizar, es en realidad dos estrellas, Mizar y Alcor. Una línea imaginaria desde Merak atraviesa Dubhe y llega hasta Polaris, la estrella del norte.
Asimismo, los matemáticos colocan objetos con propiedades similares en conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan al colocar entre llaves los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de las primeras cinco letras del alfabeto es 5a, b, c, d, e6. El símbolo para indicar que “es un elemento de” es [; el símbolo para “no es un elemento de” es o. Por ejemplo, a [ 5 a, b, c, d, e 6
d [ 5 a, b, c, d, e 6
k o 5 a, b, c, d, e 6
Los números que usamos para contar cosas, como el número de personas en una ciudad o el número de especies diferentes de flores, se llaman números naturales. Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, c6 Cada número natural diferente de 1 es ya sea un número primo o un número compuesto. Un número primo es un número natural diferente de 1, es divisible en partes iguales entre sí mismo y 1. Los primeros seis números primos son 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Un número compuesto es un número natural, diferente de 1, que no es un número primo. Los números 4, 6, 8, 9, 10 y 12 son los primeros seis números compuestos. Aunque existe cierto debate en torno a la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales, los matemáticos de mayor renombre lo consideran dentro.
Punto de interés El concepto del cero se desarrolló paulatinamente a lo largo de varios siglos. Ha sido denotado de diversas maneras por un espacio en blanco, un punto y finalmente como 0. Los números negativos, aun cuando es evidente en los manuscritos chinos que datan del 200 a.C., se integraron completamente a las matemáticas hasta finales del siglo XIV.
Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, c6 Los números naturales por sí mismos no proporcionan todos los números que se utilizan en las aplicaciones. Por ejemplo, un meteorólogo necesita números menores y mayores que cero. Números enteros 5 5c, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, c6 Los números enteros c, 25, 24, 23, 22, 21 son enteros negativos. Los números enteros 1, 2, 3, 4, 5, c son enteros positivos. Observe que los números naturales y los enteros positivos son el mismo conjunto de números. El entero cero no es ni un número positivo ni un número negativo. Aun hay otros números que son necesarios para resolver la diversidad de problemas de aplicación que existen. Por ejemplo, quizás un arquitecto paisajista debe comprar tubería de riego con un diámetro de 58 pulg. Los números que pueden escribirse en la forma de una fracción pq, donde p y q son enteros y q ? 0, se llaman números racionales. p Números racionales 5 e , donde p y q son enteros y q 2 0 f q Ejemplos de números racionales son 23, 2 92 y 51 . Observe que 51 5 5, por tanto, todos los enteros son números racionales. El número p4 no es un número racional debido a que p no es un entero. Los números que pueden escribirse como decimales finitos o últimos o como decimales periódicos son números racionales. Para los decimales periódicos, colocamos una barra sobre los dígitos que se repiten. Decimales finitos o últimos 0.5 Decimales periódicos
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26.20137
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0.3 5 0.33 c 1.267 5 1.26767 c 24.10782 5 24.10782782 c
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SECCIÓN 1.1
Introducción a los números reales
3
Algunos números no pueden escribirse como decimales finitos o periódicos. Estos números incluyen 0.01001000100001c, !7 < 2.6457513 y p < 3.1415927. Estos números tienen representaciones decimales que no son finitas ni periódicas. Se les llama números irracionales. Los números racionales y los números irracionales tomados en conjunto son los números reales. Números reales 5 5números racionales y números irracionales6
La relación entre los distintos conjuntos de números se muestra en la figura siguiente. Números naturales (Enteros positivos) Cero
Números racionales
Enteros
Números irracionales
Enteros negativos
Concéntrese
Números reales
en la identificación de los conjuntos a los cuales pertenece un número Determine cuáles de los números siguientes son a. números enteros
b. números racionales
c. números irracionales
d. números reales
e. números primos
f. números compuestos
21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63,
19 20 , 2 !7
a. Enteros: 21, 0, 5, 63 19 2 20 c. Números irracionales: !48, 2.2020020002 c, !7 19 20 d. Números reales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63, , 2 !7 e. Números primos: 5 b. Números racionales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, 63,
f. Números compuestos: 63 La gráfica de un número real se traza al colocar un punto grueso en una recta numérica directamente encima del número. Las gráficas de algunos números reales se muestran abajo. –5 –4 –3 –2 –1 –2.34 –
0 1 2
1
2 5 3
3
4
π
17
5
Considere estos enunciados: El chef de un restaurante preparó un platillo y lo sirvió al cliente. Un árbol de maple estaba plantado y éste creció 2 pies en un año. En el primer enunciado, “lo” significa el platillo; en el segundo enunciado, “éste” significa el árbol. En el lenguaje, las palabras lo y éste pueden representar muchos objetos diferentes. Del mismo modo, en las matemáticas una letra del alfabeto se puede usar para representar algunos números. Una letra utilizada de esta manera se llama variable. Es conveniente utilizar una variable para que represente, o simbolice, cualquiera de los elementos de un conjunto. Por ejemplo, el enunciado “x es un elemento del conjunto 50, 2, 4, 66” significa que x puede representarse por 0, 2, 4 o 6. Al conjunto 50, 2, 4, 66 se le llama dominio de la variable. En la siguiente definición se utilizan variables.
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CAPÍTULO 1
Los números reales
DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD
Si a y b son dos números reales y a está a la izquierda de b en la recta numérica, entonces a es menor que b. Esto se escribe a , b. Si a y b son dos números reales y a está a la derecha de b en la recta numérica, entonces a es mayor que b. Esto se escribe a . b. EJEMPLOS
1. 22 , 8
2. 21 . 25
3.
0.2
2 3
4.
p , !17
Los símbolos de desigualdad # (es menor o igual que) y $ (es mayor o igual que) también son importantes. Observe los ejemplos siguientes. 4 # 5 es una expresión verdadera porque 4 , 5. 5 # 5 es una expresión verdadera porque 5 5 5.
EJEMPLO 1 Solución
Sea y [ 525, 23, 21, 16. ¿Para cuáles valores de y la desigualdad y $ 21 es una expresión verdadera? Sustituya y con cada elemento del conjunto y determine si la expresión es verdadera. y $ 21 25 $ 21 23 $ 21 21 $ 21 1 $ 21
Una expresión falsa Una expresión falsa Una expresión verdadera Una expresión verdadera
La desigualdad es verdadera para 21 y 1. Problema 1 Solución
Sea z [ 522, 21, 0, 1, 26. ¿Para cuáles valores de z la desigualdad z # 0 es una expresión verdadera? Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 10. Los números 5 y 25 están a la misma distancia del cero en la recta numérica, pero en lados opuestos del cero. Los números 5 y 25 se llaman inversos aditivos u opuestos.
5 –5 –4 –3 –2 –1 0
5 1
2
3
4
5
El inverso aditivo (u opuesto) de 5 es 25. El inverso aditivo de 25 es 5. El símbolo para el inverso aditivo es 2. 2142 significa el inverso aditivo del positivo 4. 21242 significa el inverso aditivo del negativo 4.
EJEMPLO 2 Solución
Sea a [ 5212, 0, 46. Determine 2a, el inverso aditivo de a, para cada elemento del conjunto. 2a 2 12122 5 12 2 102 5 0 2 142 5 24
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2142 5 24 21242 5 4
• Escriba la expresión para el inverso aditivo de a. • Sustituya a con cada elemento del conjunto y determine el valor de la expresión.
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SECCIÓN 1.1
Problema 2 Solución
5
Introducción a los números reales
Sea v [ 528, 0, 96. Determine 2v, el inverso aditivo de v, para cada elemento del conjunto. Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 10. 5
5
– 5 – 4 – 3 – 2 –1 0
1
2
3
4
5
El valor absoluto de un número es una medida de su distancia desde el cero en una recta numérica. El símbolo para el valor absoluto es 0 0. Observe en la figura de la izquierda que la distancia desde 0 a 5 es 5. Por tanto, 0 5 0 5 5. La figura muestra que la distancia desde 0 a 25 es también 5. Así 0 25 0 5 5.
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número positivo o 0 es el número. El valor absoluto de un número negativo es el inverso aditivo de ese número. Esto puede escribirse como sigue. Si a es un número real, entonces 0a0 5 e
a, a $ 0 2a, a , 0
EJEMPLOS
1. 0 7 0 5 7. Dado que 7 $ 0, el valor absoluto de 7 es el número 7 mismo. 2. 0 28 0 5 8. Como 28 , 0, el valor absoluto de 28 es el inverso aditivo de 28. El inverso aditivo de 28 es 8. 3. 0 0 0 5 0. El valor absoluto de 0 es 0. Una manera de pensar en esto es que la distancia de 0 a 0 en la recta numérica es 0.
EJEMPLO 3 Solución Problema 3 Solución
Evalúe: 2 0 212 0
A partir de la definición del valor absoluto, 0 212 0 5 12. Por consiguiente, 2 0 212 0 5 212. Evalúe: 0 223 0
Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 33 de la página 10.
OBJETIVO
Notación de intervalos y operaciones con conjuntos El método de lista para escribir un conjunto encierra entre llaves una lista de los elementos del conjunto. Este método se utilizó al principio de esta sección para definir conjuntos de números. Si se emplea el método de lista, el conjunto de los números naturales pares menores que 10 se escribe 52, 4, 6, 86. Este es un ejemplo de un conjunto finito; todos los elementos pueden enumerarse. El conjunto de los números naturales, 50, 1, 2, 3, 4, c6, es un conjunto infinito, es imposible enumerar todos los elementos del conjunto. El conjunto vacío, o conjunto nulo, es el conjunto que no contiene elementos. El símbolo [ o 5 6 se utiliza para representar el conjunto vacío.
EJEMPLO 4 Solución
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Utilice el método de lista para escribir el conjunto de los números naturales menores que 10. 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96
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6
CAPÍTULO 1
Los números reales
Problema 4 Solución
Utilice el método de lista para escribir el conjunto de enteros negativos impares mayores que 28. Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 43 de la página 11. Un segundo método de representación de un conjunto es la notación de conjuntos. Esta notación se puede utilizar para describir casi cualquier conjunto, pero es particularmente útil cuando se escriben conjuntos infinitos. En la notación de conjuntos, el conjunto de enteros mayores que 23 se escribe 5x 0 x , 23, x [ enteros6
y se lee “el conjunto de todos los números x tales que x es mayor que 23 y x es un elemento de los enteros”. Este es un conjunto infinito. Es imposible enumerar todos los elementos del conjunto, pero podemos describirlo si utilizamos la notación de conjuntos. El conjunto de los números reales menores que 5 se escribe 5x 0 x , 5, x [ números reales6
y se lee “el conjunto de todas las x tales que x es menor que 5 y x es un elemento de los números reales”. Debido a que la mayor parte de nuestro trabajo es con números reales, por lo general omitimos “x [ números reales” de la notación de conjuntos. Por tanto, escribiríamos 5x 0 x , 5, x [ números reales6 como 5x 0 x , 56, donde asumimos que x es un número real.
EJEMPLO 5 Solución Problema 5 Solución
Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los números reales mayores que 22.
5 x 0 x . 22 6
Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los números enteros menores o iguales que 7. Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 51 de la página 11. La gráfica de un conjunto de números reales escritos en notación de conjuntos puede mostrarse en una recta numérica. La gráfica de 5x 0 x . 226 se muestra abajo. El paréntesis en la gráfica indica que 22 no es parte del conjunto. –5 –4 –3 –2 –1 0
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La gráfica de 5x 0 x $ 226 se muestra abajo. El corchete en la gráfica indica que 22 es parte del conjunto. –5 –4 –3 –2 –1 0
EJEMPLO 6 Solución
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5
Grafique: 5x 0 x # 36: El conjunto son los números reales menores o iguales que 3.
–5 –4 –3 –2 –1 0
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• Dibuje un corchete a la derecha en el 3, y trace una línea sobre la recta numérica a la izquierda del 3.
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SECCIÓN 1.1
Problema 6 Solución
7
Introducción a los números reales
Grafique: 5x 0 x . 236 Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 63 de la página 11. También es posible localizar los números reales entre dos números dados.
Concéntrese
en graficar un conjunto de números reales Grafique: 5 x 0 0 # x , 4 6
La notación 0 # x , 4 indica el conjunto de los números reales entre 0 y 4, incluido el 0 pero sin incluir el 4. Un corchete se coloca en el 0 para denotar que el 0 está incluido en la gráfica; un paréntesis se coloca en el 4 para indicar que el 4 no es parte de la gráfica. –5 –4 –3 –2 –1 0
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5
Dados dos números reales, un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre los números dados. Los dos números son los puntos extremos del intervalo. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 representa el intervalo de todos los números reales entre 21 y 3. Los puntos extremos de este intervalo son 21 y 3. Un intervalo cerrado incluye ambos puntos extremos, un intervalo abierto no contiene puntos extremos y un intervalo medio abierto contiene un punto extremo pero no el otro. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 es un intervalo abierto. Los intervalos pueden representarse en notación de conjuntos o en notación de intervalos. En esta última, los corchetes o paréntesis que se utilizan para graficar el conjunto se escriben con los puntos extremos del intervalo. El conjunto 5x 0 0 # x , 46 mostrado arriba se escribe [0, 4) en la notación de intervalos; 0 y 4 son los puntos extremos. Estos son otros ejemplos. Notación de conjuntos 5 x 0 23 # x # 2 6
Notación de intervalos 3 23, 2 4 , un intervalo cerrado
5 x 0 23 , x , 2 6
123, 22 , un intervalo abierto
5 x 0 23 # x , 2 6
3 23, 22 , un intervalo medio abierto
5 x 0 23 , x # 2 6
123, 2 4 , un intervalo medio abierto
Gráfica –5 –4 –3 –2 – 1 0
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–5 –4 –3 –2 – 1 0
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Para indicar un intervalo que se extiende hacia el infinito en una o ambas direcciones utilizando la notación de intervalos, se utiliza el símbolo de infinito ` o el símbolo de infinito negativo 2`. El símbolo de infinito no es un número; es sencillamente una notación utilizada para indicar que el intervalo es ilimitado. En la notación de intervalos, un paréntesis siempre se utiliza a la derecha de un símbolo de infinito o a la izquierda de un símbolo de infinito negativo, como se aprecia en los ejemplos siguientes. Notación de conjuntos 5x 0 x . 16
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Notación de intervalos 11, ` 2
5x 0 x $ 16
3 1, ` 2
5x 0 x , 16
12`, 12
5x 0 x # 16
12`, 1 4
5 x 0 2` , x , ` 6
12`, ` 2
Gráfica –5 –4 –3 –2 – 1 0
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CAPÍTULO 1
Los números reales
EJEMPLO 7
Utilice la notación dada o grafique para proporcionar la notación o gráfica que está marcada con un signo de interrogación.
Notación de conjuntos
A. 5 x 0 0 # x # 1 6 B. ? C. ?
Notación de intervalos ? 3 23, 42 ?
Gráfica ? ? –5 –4 –3 –2 –1 0
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5
Solución Notación de conjuntos
A. 5 x 0 0 # x # 1 6
B. 5 x 0 23 # x , 4 6 C. 5 x 0 x , 0 6 Problema 7
3 0, 1 4
Gráfica
3 23, 42
12`, 02
Utilice la notación o la gráfica dadas para proporcionar la notación o gráfica marcada con un signo de interrogación.
Notación de conjuntos
A. 5 x 0 22 , x , 0 6 B. ? C. ? Solución
Notación de intervalos
Notación de intervalos ? 121, 2 4 ?
Gráfica ? ? –5 –4 –3 –2 –1 0
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5
Revise la página S1.
† Intente resolver los ejercicios 73, 77 y 93 de las páginas 11 y 12. Del mismo modo que las operaciones como la suma y la multiplicación se realizan con números reales, las operaciones se realizan con conjuntos. Dos operaciones realizadas con conjuntos son la unión y la intersección. UNIÓN DE DOS CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos, que se escribe A h B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen ya sea a A o a B. En la notación de conjuntos, esto se escribe A h B 5 5x 0 x [ A o x [ B6 EJEMPLOS
Punto de interés Los símbolos [, h y x se utilizaron por primera vez en Arithmetices Principia, Nova Expósita (El principio de las matemáticas, un método de exposición nuevo), de Giuseppe Peano, publicado en 1889. El propósito de este libro era deducir los principios de las matemáticas a partir de la lógica pura.
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1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A h B 5 52, 3, 4, 5, 6, 7, 86. Observe que los elementos 4, 5 y 6, a los cuales pertenecen ambos conjuntos, se listan sólo una vez. 2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C h D 5 523, 22, 21, 0, 1, 2, 36. 3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X h Y 5 50, 2, 4, 6, 86.
INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS
La intersección de dos conjuntos, que se escribe A x B, es el conjunto de todos los elementos que son comunes tanto a A como a B. En notación de conjuntos, esto se escribe A x B 5 5x 0 x [ A y x [ B6
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SECCIÓN 1.1
9
Introducción a los números reales
EJEMPLOS
1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A x B 5 54, 5, 66. 2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C x D 5 [. No hay elementos comunes para C y D. 3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X x Y 5 54, 86. Las operaciones de conjuntos también se pueden realizar con intervalos.
EJEMPLO 8 Solución
Grafique. A. 5 x 0 x # 21 6
h
5 x 0 x . 3 6 B. 12`, 32
x
3 21, ` 2
A. El conjunto 5x 0 x # 216 h 5x 0 x . 36 es el conjunto de los números reales menores o iguales que 21 o mayores o iguales que 3. Este conjunto puede escribirse x 0 x # 21 o x . 3 6 . –5 –4 –3 –2 –1 0
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4
5
• La gráfica de 5x 0 x " 21 o x + 36 contiene todos los puntos sobre las gráficas de x " 21 y x + 3.
B. El conjunto (2`, 3) x [21, `) es el conjunto de los números reales menores que 3 y mayores o iguales que 21. La gráfica de (2`, 3) se muestra en turquesa y la gráfica de [21, `) se muestra en azul. –5 –4 –3 –2 –1 0
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2
3
4
5
Los números reales que son elementos de (2`, 3) y [21, `) corresponden a los puntos de la sección de superposición; por tanto, (2`, 3) x [21, `) 5 [21, 3). Observe que 3 no es un elemento de (2`, 3). Por consiguiente, 3 no es un elemento de la intersección de los conjuntos. –5 –4 –3 –2 –1 0
Problema 8
2
3
4
5
Grafique A. 12`, 21 4 B. 5 x 0 x # 3 6
Solución
1
h x
3 2, 42
5 x 0 23 , x , 56
Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 103 de la página 12.
1.1
Ejercicios
REVISIÓN DE CONCEPTOS Determine cuáles de los números son a. números naturales, b. enteros positivos, c. enteros negativos. Elabore una lista de todos los números que correspondan. 1. 214, 9, 0, 53, 7.8, 2626 2. 31, 245, 22, 9.7, 8600,
1 2
Determine cuáles de los números son a. números enteros, b. números racionales, c. números irracionales, d. números reales. Elabore una lista de todos los números que correspondan. 15 !5 3. 2 , 0, 23, p, 2.33, 4.232232223 c, , !7 2 4
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CAPÍTULO 1
Los números reales
5.
27 3 , 21.010010001 c, , 6.12 p 91 ¿Qué es un decimal finito o último? Proporcione un ejemplo.
6.
¿Qué es un decimal periódico? Proporcione un ejemplo.
7.
¿Qué es el inverso aditivo de un número?
8.
¿Cuál es el valor absoluto de un número?
9.
Explique la diferencia entre la unión de dos conjuntos y la intersección de dos conjuntos.
4. 217, 0.3412,
Explique la diferencia entre 5x 0 x , 56 y 5x 0 x # 56.
10.
Desigualdad y valor absoluto (Revise las páginas 2-5.) PREPÁRESE 11. Un número como 0.63633633363333c, cuya notación decimal no termina ni se ? . repite, es un ejemplo de un número 12. El inverso aditivo de un número negativo es un número 13. y [ 51, 3, 5, 7, 96 se lee “y
?
?
el conjunto 51, 3, 5, 7, 96”.
.
14. Escriba la frase “el opuesto del valor absoluto de n” en símbolos. Encuentre el inverso aditivo de cada uno de los números siguientes. 3 4
15. 27
16. 23
17.
20. 2p
21. 2!33
22. 21.23
18. !17 † 23. 291
19. 0 24. 2
2 3
† 25. Sea x [ 523, 0, 76. ¿Para cuáles valores de x la expresión x , 5 es verdadera?
26. Sea z [ 524, 21, 46. ¿Para cuáles valores de z la expresión z . 22 es verdadera?
29. Sea w [ 522, 21, 0, 16. ¿Para cuáles valores de w la expresión w # 21 es verdadera?
30. Sea p [ 5210, 25, 0, 56. ¿Para cuáles valores de p la expresión p $ 0 es verdadera?
27. Sea y [ 526, 24, 76. ¿Para cuáles valores de y es verdadera la expresión y . 24?
31. Sea b [ 529, 0, 96. Evalúe 2b para cada elemento del conjunto.
† 33. Sea c [ 524, 0, 46. Evalúe 0 c 0 para cada elemento del conjunto.
35. Sea m [ 526, 22, 0, 1, 46. Evalúe 2 0 m 0 para cada elemento del conjunto.
28. Sea x [ 526, 23, 36. ¿Para cuáles valores de x la expresión x , 23 es verdadera?
32. Sea a [ 523, 22, 06. Evalúe 2a para cada elemento del conjunto. 34. Sea q [ 523, 0, 76. Evalúe 0 q 0 para cada elemento del conjunto. 36. Sea x [ 525, 23, 0, 2, 56. Evalúe 2 0 x 0 para cada elemento del conjunto.
¿Existen números reales x para los cuales 2x . 0? Si es así, descríbalos.
37.
¿Existen números reales y para los cuales 2 0 y 0 . 0? Si es así, descríbalos.
38.
Notación de intervalos y operaciones con conjuntos (Revise las páginas 5-9.) PREPÁRESE 39. Dos maneras de escribir el conjunto de los números naturales menores que 5 son 50, 1, 2, 3, 46 y 5n 0 n , 5, n [ números naturales6. La primera utiliza el método ? y la segunda la notación ? .
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SECCIÓN 1.1
11
Introducción a los números reales
? . El símbolo para la intersección es ? . 40. El símbolo para la “unión” es ? 41. El símbolo ` se llama símbolo . 42. Reemplace cada signo de interrogación con “incluye” o “no incluye” para hacer ? verdadera la expresión siguiente. El conjunto [24, 7) el número 24 y ? el número 7.
Utilice el método de lista para escribir el conjunto. † 43. los enteros entre 23 y 5
44. los enteros entre 24 y 0
45. los números naturales pares menores que 14
46. los números naturales impares menores que 14
47. los enteros positivos múltiplos de 3 que son menores o iguales que 30
48. los enteros negativos múltiplos de 4 que son mayores o iguales que 220
49. los enteros negativos múltiplos de 5 que son mayores o iguales que 235
50. los enteros positivos múltiplos de 6 que son menores o iguales que 36
Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto. † 51. los enteros mayores que 4
52. los enteros menores que 22
53. los números enteros mayores o iguales que 22
54. los números reales menores o iguales que 2
55. los números reales entre 0 y 1
56. los números reales entre 22 y 5
57. los números reales entre 1 y 4, inclusive
58. los números reales entre 0 y 2, inclusive
Grafique.
59. 5 x 0 21 , x , 5 6
60. 5 x 0 1 , x , 3 6
61. x 0 0 # x # 3 6
62. 5 x 0 21 # x # 1 6
† 63. 5 x 0 x , 2 6
64. 5 x 0 x , 21 6
65. 5 x 0 x $ 1 6
66. 5 x 0 x # 22 6
Escriba cada intervalo en notación de conjuntos. 67. 10, 82
72. 14, 5 4
68. 122, 42
† 73. 12`, 4 4
69. 3 25, 7 4
70. 3 3, 4 4
71. 3 23, 62
74. 12`, 222
75. 15, ` 2
76. 3 22, ` 2
Escriba cada conjunto de números reales en notación de intervalos. 78. 5 x 0 0 , x , 3 6
79. 5 x 0 21 # x # 5 6
80. 5 x 0 0 # x # 3 6
81. 5 x 0 x , 1 6
82. 5 x 0 x # 6 6
83. 5 x 0 22 # x , 6 6
84. 5 x 0 x $ 3 6
85. 5 x 0 x [ números reales 6
86. 5 x 0 x . 21 6
† 77. 5 x 0 22 , x , 4 6
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12
CAPÍTULO 1
Los números reales
Grafique.
87. 122, 52
88. 10, 32
89. 3 21, 2 4
90. 3 23, 2 4
91. 12`, 3 4
92. 12`, 212
† 93. 3 3, ` 2
94. 3 22, ` 2
Encuentre A < B y A > B.
95. A 5 5 1, 4, 9 6 , B 5 5 2, 4, 6 6
96. A 5 5 21, 0, 1 6 , B 5 5 0, 1, 2 6
97. A 5 5 2, 3, 5, 8 6 , B 5 5 9, 10 6
98. A 5 5 1, 3, 5, 7 6 , B 5 5 2, 4, 6, 8 6
99. A 5 5 24, 22, 0, 2, 4 6 , B 5 5 0, 4, 8 6
100. A 5 5 23, 22, 21 6 , B 5 5 22, 21, 0, 1 6 102. A 5 5 2, 4 6 , B 5 5 0, 1, 2, 3, 4, 5 6
101. A 5 5 1, 2, 3, 4, 5 6 , B 5 5 3, 4, 5 6
Grafique
† 103. 5 x 0 x . 1 6
h
5 x 0 x , 21 6
104. 5 x 0 x # 2 6
h
5x 0 x . 46
105. 5 x 0 x # 2 6
x
5x 0 x $ 06
5x 0 x # 46
107. 5 x 0 x . 1 6
x
5 x 0 x $ 22 6
108. 5 x 0 x , 4 6
x
5x 0 x # 06
111. 12`, 2 4
3 4, ` 2
106. 5 x 0 x . 21 6
x
109. 5 x 0 x . 2 6
h
5x 0 x . 16
112. 123, 4 4
3 21, 52
115. 12, ` 2
117.
h
h
110. 5 x 0 x , 22 6 113. 3 21, 2 4
122, 4 4
116. 12`, 2 4
x
h
h
5 x 0 x , 24 6
3 0, 4 4
114. 3 25, 42
h
x
122, ` 2
14, ` 2
¿Cuál conjunto es un conjunto vacío? (i) 5 x 0 x [ enteros 6 x 5 x 0 x [ números racionales 6 (ii) 5 24, 22, 0, 2, 4 6 h 5 23, 21, 1, 3 6 (iii) 3 5, ` 2 x 10, 52
118.
¿Cuál conjunto no es equivalente al intervalo [21, 6)? (i) 5 x 0 21 # x , 6 6 (ii) 5 x 0 x $ 21 6 h 5 x 0 x , 6 6 (iii) 5 x 0 x , 6 6 x 5 x 0 x $ 21 6
APLICACIÓN DE CONCEPTOS
Sean R 5 5x 0 x [ números reales6, A 5 5x 021 # x # 16, B 5 5x 0 0 # x # 16, C 5 5x 021 # x # 06, y [ 5 conjunto vacío. Indique si cada una de las expresiones siguientes es equivalente a R, A, B, C o [. 119. A h B 120. A h A 121. B x B 122. A h C
123. A x R
124. C x R
128. R x [
125. B h R
126. A h R
127. R h R
129. El conjunto B > C no puede expresarse utilizando R, A, B, C o [. ¿Qué número real se representa por B > C? 130.
Un estudiante escribió 23 . x . 5 como la desigualdad que representa los números reales menores que 23 o mayores que 5. Explique por qué esta notación es incorrecta.
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SECCIÓN 1.2
Grafique el conjunto solución.
13
Operaciones con números enteros
131. 0 x 0 , 2
132. 0 x 0 , 5
133. 0 x 0 . 3
134. 0 x 0 . 4
135. Dado que a, b, c y d son números reales positivos, ¿cuál de las respuestas siguientes asegu2b rará que ac 2 d # 0? (i) a $ b y c . d
(ii) a # b y c . d
(iii) a $ b y c , d
(iv) a # b y c , d
PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Un conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos bajo consideración. Por ejemplo, si nuestra atención estuviera centrada en el conjunto de los números enteros, entonces el conjunto universal sería el conjunto de los números enteros. Si nos interesáramos por todos los números naturales menores que 10, entonces el conjunto universal sería U 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96. El complemento de un conjunto E, designado por Ec, es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto universal, pero no pertenecen a E. 136. Sea U 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96 y sea E 5 52, 4, 6, 86. Encuentre Ec.
137. Sea U 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96 y sea E 5 5números primos menores que 106. Encuentre Ec.
138. Sea U 5 5x 0 x [ números naturales6 y E 5 5x 0 x [ números naturales impares6. Encuentre Ec.
139. Sea U 5 5x 0 X [ números reales6 y E 5 5x 0 x [ números racionales6. Encuentre Ec.
140. Si E es un conjunto dentro del conjunto universal U, encuentre a. E < Ec y b. E > Ec.
1.2 OBJETIVO Punto de interés Las reglas para efectuar operaciones con números positivos y negativos han existido desde hace mucho tiempo. Aunque hay registros anteriores de estas reglas (del siglo tercero), uno de los más meticulosos aparece en The Correct Astronomical System of Brahma, escrito por el matemático indio Brahmagupta alrededor del año 600 d.C.
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Operaciones con números enteros Operaciones con números enteros Para tener éxito en álgebra es necesario entender las operaciones con números reales. A continuación daremos un repaso a las operaciones básicas con números reales.
SUMA DE NÚMEROS REALES
Números que tienen el mismo signo Para sumar dos números que tienen el mismo signo, sume los valores absolutos de los números. Luego coloque el signo de los sumandos.
Números que tienen diferentes signos Para sumar dos números con diferente signo, encuentre el valor absoluto de cada número. Reste el menor de estos valores absolutos del mayor. Luego coloque el signo del número con el valor absoluto mayor.
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14
CAPÍTULO 1
Concéntrese
Los números reales
en la suma de números reales Sume. A. 265 1 12482
B. 17 1 12532
C. 245 1 81
A. Los signos son iguales. Sume los valores absolutos de los números. 0 265 0 1 0 248 0 5 65 1 48 5 113
Luego coloque el signo de los sumandos. 265 1 12482 5 2113
B. Los números tienen signos distintos. Encuentre el valor absoluto de cada número. 0 17 0 5 17
0 253 0 5 53
Reste el menor de estos números del mayor. 53 2 17 5 36
Coloque el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 253] . 0 17 0 , coloque el signo de 253. 17 1 12532 5 236
C. Los números tienen diferente signo. Encuentre el valor absoluto de cada número. 0 245 0 5 45
0 81 0 5 81
Reste el menor de estos dos números del mayor. 81 2 45 5 36
Coloque el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 81 0 . 0 245 0 , coloque el signo de 81. 245 1 81 5 36
RESTA DE NÚMEROS REALES
Para restar dos números reales, sume al primer número el opuesto del segundo.
Concéntrese
en la resta de números reales Reste. A. 48 2 12222
A. 48 2 12222
Sume el opuesto de 222.
c
5 48 1 22 5 70 Sume el opuesto de 37.
B. 217 2 37
B. 217 2 37 C. 225 2 12142
c
5 217 1 12372 5 254
Sume el opuesto de 214.
c
C. 225 2 12142 5 225 1 14 5 211
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SECCIÓN 1.2
15
Operaciones con números enteros
A menudo es necesario escribir una expresión matemática a partir de una verbal. Estas son algunas palabras y frases que se utilizan para indicar la suma y la resta. Palabras o frases para la suma
8 1 1232 5 5
más que
23 más que 8
la suma de
la suma de 25 y 29
25 1 1292 5 214
aumentado por
27 aumentado por 10
27 1 10 5 3
el total de
el total de 223 y 14
223 1 14 5 29
más
215 más 219
215 1 12192 5 234
Palabras o frases para la resta
12 2 20 5 12 1 12202 5 28
menos
12 menos 20
menos que
5 menos que 29
29 2 5 5 29 1 1252 5 214
menos
8 menos 29
8 2 1292 5 8 1 9 5 17
la diferencia entre
la diferencia entre 3 y 28
disminuido por
27 disminuido por 5
EJEMPLO 1
3 2 1282 5 3 1 8 5 11 27 2 5 5 27 1 1252 5 212
Resuelva. A. ¿Cuánto es 27 más que 25? B. Encuentre la diferencia entre 211 y 28.
Solución
Problema 1
A. 25 1 27 5 22 B. 211 2 1282 5 211 1 8 5 23 Resuelva. A. ¿Cuál es la suma de 221 y 32? B. ¿Cuánto es 212 menos que 7?
Solución
Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 41 de la página 20.
MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES
Números que tienen el mismo signo El producto o cociente de dos números con el mismo signo es positivo.
Números que tienen signos distintos El producto o cociente de dos números con diferente signo es negativo.
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CAPÍTULO 1
Los números reales
EJEMPLOS
Tome nota Observe en el ejemplo (4) de la derecha que utilizamos una barra de fracciones para denotar la división. La fracción 275 25 se lee 275 dividido por 25. “La barra de fracciones se lee “dividido por” o “dividido entre”.
1. 212 12152 5 180 3. 12652 4 1252 5 13
2. 221 1142 5 2294 275 4. 5 23 25
En seguida se presentan algunas palabras y frases que indican la multiplicación y la división. Palabras o frases para la multiplicación
5 1262 5 230
veces
5 veces 26
el producto de
el producto de 25 y 29
25 1292 5 45
el doble
el doble de 25
2 1252 5 210
Palabras o frases para la división el cociente de
el cociente de 15 y 23
15 4 1232 5 25
dividido entre
228 dividido entre 27
12282 4 1272 5 4
EJEMPLO 2
Resuelva. A. Calcule el cociente de 260 y 12. B. ¿Cuál es el producto de 215 y 25?
Solución
Problema 2
A. 12602 4 12 5 25 B. 215 1252 5 75 Resuelva.
A. Calcule 214 veces 25. B. ¿Cuánto es 236 dividido entre 9? Solución
Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 35 de la página 20. La relación entre la multiplicación y la división conduce a las propiedades siguientes.
Tome nota Recuerde que por cada problema de división, existe un problema de multiplicación relacionado. Por ejemplo, para el problema de división 123 5 4, el problema de multiplicación relacionado es 4 · 3 5 12.
PROPIEDADES DEL CERO Y DEL UNO EN LA DIVISIÓN
1. Cualquier número dividido entre 1 es el número mismo. a 5a 1 2. El cero dividido entre cualquier número diferente de cero es cero. 0 5 0, a 2 0 a 3. La división entre cero no está definida. 4. Cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es 1.
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SECCIÓN 1.2
17
Operaciones con números enteros
EJEMPLOS
12 5 12 1 0 2. 50 7
1.
3.
4 0
4.
12 51 12
25 5 25 1 0 50 215
no está definido.
0 0
1 51 1
no está definido.
227 51 227
4 Para comprender que la división entre cero no está permitida, suponga que 0 5 n, donde n es cierto número. Dado que cada problema de división tiene un problema de multiplicación 4 relacionado, 0 5 n significa n # 0 5 4. Pero n # 0 5 4 es imposible porque cualquier número multiplicado por 0 es 0. Por tanto, la división entre 0 no está definida. 0 Asimismo, suponga que 0 5 n. La multiplicación relacionada es 0 5 n # 0. La dificultad aquí es que cualquier número n haría verdadera a la ecuación, de manera que no hay una respuesta única. Debido a ello, 00 no está definida.
Exponente Base
b # b # b # b # b 5 b5 c
c
2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 5 26 c
c
La multiplicación repetida del mismo factor puede escribirse utilizando un exponente. Exponente Base
El exponente indica cuántas veces el factor, llamado la base, ocurre en la multiplicación. La multiplicación 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 está en forma factorizada. La expresión 26 está en forma exponencial. 21 se lee “la primera potencia de dos” o solo “dos”. 22 se lee “la segunda potencia de dos” o “dos al cuadrado”.
Por lo general el exponente 1 no se escribe.
23 se lee “la tercera potencia de dos” o “dos al cubo”. 24 se lee “la cuarta potencia de dos” o “2 a la cuarta”. 25 se lee “la quinta potencia de dos” o “2 a la quinta”. b5 se lee “la quinta potencia de b” o “b a la quinta”.
ENÉSIMA POTENCIA DE a
Si a es un número real y n es un entero positivo, entonces la enésima potencia de a es el producto de n factores de a.
H
an 5 a # a # a # c # a a como un factor n veces
EJEMPLOS
1. 53 5 5 # 5 # 5 5 125 2. 1232 4 5 1232 1232 1232 1232 5 81 3. 234 5 2 13 # 3 # 3 # 32 5 281
Note la diferencia entre los ejemplos (2) y (3) anteriores. (23)4 significa que utilizamos 23 como un factor 4 veces. Sin embargo, 234 5 2(34). En este caso, 234 significa que usamos 3 como un factor 4 veces y luego encontramos el opuesto del resultado. Estos son algunos ejemplos más.
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CAPÍTULO 1
Los números reales
1262 3 5 1262 1262 1262 5 2216
26 5 2 16 # 6 # 62 5 2216 3
Utilice 6 como un factor 3 veces. Luego encuentre el opuesto.
1252 4 5 1252 1252 1252 1252 5 625
254 5 2 15 # 5 # 5 # 52 5 2625
EJEMPLO 3
Problema 3
Utilice 25 como un factor 4 veces. Utilice 5 como un factor 4 veces. Luego encuentre el opuesto.
Evalúe. A. B. C.
Solución
Utilice 26 como un factor 3 veces.
1272 3
244 1222 4 # 1232 3
A. 1272 3 5 1272 1272 1272 5 2343 B. 244 5 2 14 # 4 # 4 # 42 5 2256 C. 1222 4 # 1232 3 5 1222 1222 1222 1222 1232 1232 1232 5 2432
Evalúe. A. 253 B. 1222 7
C. 34 # 1222 2 Solución
Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 53 de la página 20.
OBJETIVO
El orden o jerarquía de las operaciones Cuando una expresión contiene varias operaciones, se utiliza el orden o jerarquía de las operaciones para simplificar la expresión.
EL ORDEN O JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
Paso 1 Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Estos símbolos incluyen los paréntesis, los corchetes, el símbolo de valor absoluto, y la barra de fracciones. Paso 2 Simplifique las expresiones con exponentes. Paso 3 Realice las multiplicaciones y las divisiones como se presentan de izquierda a derecha. Paso 4 Realice las sumas y las restas como se presentan de izquierda a derecha. EJEMPLOS
1. 3 14 2 92 5 3 1252 5 215 4 # 2. 3 2 5 3 # 16 5 48 3. 12 4 6 # 3 5 2 # 3 56 # 4. 5 2 2 4 5 5 2 8 5 23
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• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. [Paso 1] • Multiplique. [Paso 3] • Simplifique las expresiones con exponentes. [Paso 2] • Multiplique. [Paso 3] • Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. [Paso 3] • Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. [Paso 3] • Realice de izquierda a derecha las sumas y las restas. [Paso 4]
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SECCIÓN 1.2
EJEMPLO 4 Solución
Operaciones con números enteros
Simplifique: 9 4 16 2 32 2 3 18 2 102 3
9 4 16 2 32 2 3 18 2 102 3 5 9 4 3 2 3 1222 3 5 9 4 3 2 3 # 282 5 3 2 12242 5 27
Problema 4 Solución
19
• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. • Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. • Realice de izquierda a derecha las sumas y las restas.
Simplifique: 24 2 18 4 6 13 2 62 3 Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 63 de la página 21.
EJEMPLO 5 Solución
Simplifique:
14 2 26 9 2 15 2 18a b 4 32 4 6
14 2 26 9 2 15 2 18a b 4 32 4 6 212 26 2 18a b 4 32 4 6 5 23 2 18 1212 4 32
5
5 23 2 18 1212 4 9 5 23 2 1218 2 4 9 5 23 2 1222 5 21
Problema 5 Solución
• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación de esta expresión son las barras de fracciones y los paréntesis. Simplifique el numerador en cada fracción. • Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice las multiplicaciones y las divisiones como se presentan de izquierda a derecha. • Realice las sumas y las restas como se presentan de izquierda a derecha.
Simplifique: 4 2 2 3 125 2 92 4 23 4 2 Revise la página S1.
† Intente resolver el ejercicio 69 de la página 21.
1.2
Ejercicios
REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. 2.
Explique cómo sumar a. dos enteros con el mismo signo y b. dos enteros con diferente signo. Explique cómo reescribir 8 2 12122 como la suma del opuesto.
3. Cuando se suman dos números, ¿la suma siempre es mayor que cualquiera de los dos números que se están sumando? Si no es así, proporcione un ejemplo. 4. Si el producto de dos números es positivo, ¿qué se puede decir acerca de los números? 5. Si el cociente de dos números es negativo, ¿qué se puede decir acerca de los números? 6. ¿Es posible restar dos números negativos y obtener un número positivo? En tal caso, dé un ejemplo. 7. Si el producto de dos números es cero, ¿qué se puede decir acerca de los números?
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20
CAPÍTULO 1
Los números reales
8. Escriba en forma exponencial la séptima potencia de 3. 9. Escriba en forma exponencial la sexta potencia de 25. 10. Reemplace el signo de interrogación entre las dos expresiones con 5, , o . para hacer verdadera la expresión. 822#5
?
18 2 22 # 5
Operaciones con números enteros (Revise las páginas 13-18.) PREPÁRESE 11. Simplifique: 28 2 (23): Escriba la resta como la suma del opuesto.
28 2 123 5 28 1 5
Sume.
12. Escriba la expresión de división 63 4 (29) como la fracción ? .
? ?.
.
El cociente es
Sin hacer el cálculo, determine si 278 es un número negativo.
13. 14.
?
?
¿Cuál de las opciones siguientes es un número positivo?
24 , 1242 5, 246, 1242 6 5
Realice la operación indicada. 15. 2 2 1272
16. 192 4 1232 2
21. 28 1292
22. 216 1322
18. 210 12272
17. 14 1 12262
19. 29 1 1222
24. 210 4 12302
20. 24 2 1222
23. 220 122
26. 2140 4 12282
25. 216 1 33
27. 13 1 12292
28. 228 1322
29. 221 2 6
32. 34 1 1262
31. 230 1232
30. 216 2 35 33. Realice la suma de 24 y 28.
34. ¿Cuál es el producto de 25 y 12?
† 35. ¿Cuánto es 48 dividido por 212?
36. ¿Qué número es 5 menos que 2?
37. ¿Cuál es la diferencia entre 223 y 41?
38. ¿Cuál es el cociente de 265 y 25?
39. Encuentre 17 disminuido por 21.
40. Encuentre 227 aumentado por 9.
† 41. Encuentre 16 más que 242.
42. Encuentre la diferencia entre 24 y 14.
43. Encuentre 21 menos que 233.
44. ¿Cuál es el total de 221 y 215?
Evalúe. 45. 53
49. 1252 3 † 53. 222 # 32
46. 34
50. 1282 2 54. 232 # 53
47. 223
48. 243
51. 22 # 34
52. 42 # 33
55. 1222 3 1232 2
56. 1242 3 1222 3
Resuelva los ejercicios 57 y 58 sin usar una calculadora. 57. Determine si la suma, diferencia o producto es positivo o negativo. a. la suma 567 + (2812) b. la diferencia 2259 2 (2327) c. el producto de cuatro números positivos y tres números negativos d. el producto de tres números positivos y cuatro números negativos
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SECCIÓN 1.2
Operaciones con números enteros
58. Determine si cada cociente es positivo, negativo, cero o no está definido. 693 0 b. 2416 4 52 c. 2 a. 291 299
21
d. 287 4 0
El orden o jerarquía de las operaciones (Revise las páginas 18-19.) PREPÁRESE
59. Simplifique: 52 2 110 4 22 3 4 5 52 2 110 4 22 3 4 5 5 52 2 1 ? 5 5 25 2 ? 5
60.
23 4 5
? 2 ?
?
• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación.
45
• Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice la multiplicación y la división. • Realice la suma y la resta.
¿Por qué necesitamos el orden de las operaciones?
Simplifique. 61. 27 2 12 4 3 2 52
62. 23 # 23 2 5 11 2 7 2
64. 5 2 3 18 4 42 2
65. 42 2 15 2 22 2 # 3
67. 5 3 12 2 42 # 3 2 2 4
68. 2 3 116 4 82 2 1222 4 1 4
70. 25 4 5a
16 1 8 b25 222 1 8
† 63. 15 2 32 15 2 72 4 6 66. 16 2
71. 6 3 3 2 124 1 22 4 2 4
5 2 24 32 1 2
† 69. 16 2 4a
822 b42 326
72. 12 2 4 3 2 2 123 1 52 2 8 4
73. 2 18 2 112 2 12 4 3 4 4 1 18 # 3 4 6
74. 23 15 2 92 3 4 4 # 1222
77. 5 1 3 3 52 1 4 12 2 52 3 4 2
78. 23 15 2 82 3 1 119 2 72 4 11 2 32
79. 28 4 17 2 92 2 # 11 2 32 4 4 14
80.
75. 6 2 4 # 3 2 18 4 1232 2
81.
76. 29 2 2 3 4 2 13 2 82 2 4 4 7 2 4
3 # 2 2 24 15 2 19 # 3 12 2 72 2 4 222 3#221 10 2 4 # 3
82.
¿Cuál expresión es equivalente a 32 + 32 ÷ 4 2 23? (i) 64 4 4 2 8 (ii) 32 1 32 4 1242 (iii) 32 1 8 2 8
83.
¿Cuál expresión es equivalente a 8 2 2 (5 2 3) ? (ii) 64 2 4 182 (iii) 60 122 3 (iv) 64 2 83 (i) 62 122 3 2
2
9 2 42 3 15 2 72 2 5 2 16 2 72 222#7
(iv) 32 1 32 4 8
3
APLICACIÓN DE CONCEPTOS 84. ¿Cuál es el dígito de las decenas de 1122? 85. ¿Cuál es el dígito de las unidades de 718? 86. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 533? 87. ¿Cuáles son los últimos tres dígitos de 5234?
88. ¿1232 4 5 213 2? De no ser así, ¿cuál expresión es mayor? 4
c
89. ¿Cuál es el orden de las operaciones para ab ? (Nota: incluso las calculadoras que normalmente siguen el orden de las operaciones, tal vez no lo hagan para esta expresión.)
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CAPÍTULO 1
Los números reales
PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Los divisores propios de un número son los divisores que son menores que el número. Por ejemplo, los divisores propios de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6. A partir de esta idea podemos definir números defectivos, números perfectos y números abundantes. Un número defectivo (deficiente o retrasado) es aquel para el cual la suma de sus divisores propios es menor que el número. Por ejemplo, 8 es un número defectivo. Los divisores propios de 8 son 1, 2 y 4. La suma de estos números es 1 + 2 + 4 5 7, que es menor que 8. Un número perfecto es igual a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 6 es un número perfecto. Los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3. La suma de estos números es 1 + 2 + 3 5 6. Un número abundante es aquel para el cual la suma de sus divisores propios es mayor que el número. Por ejemplo, 12 es un número abundante. La suma de sus divisores es 16, que es mayor que 12. 90. Determine si 20 es defectivo, perfecto o abundante. 91. Determine si 28 es defectivo, perfecto o abundante. 92. ¿El cuadrado de un número primo es defectivo, perfecto o abundante?
1.3 OBJETIVO
Operaciones con números racionales Operaciones con números racionales Nuestro trabajo con fracciones a menudo requiere que utilicemos el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o más enteros. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el número menor que es un múltiplo de todos los números. Por ejemplo, 36 es el mcm de 12 y 18 porque es el número más pequeño que es divisible exactamente tanto entre 12 como entre 18.
Concéntrese
en obtener el mcm de dos números Encuentre el mcm de 12 y 14. Determine la factorización con números primos de cada número. El factor común se muestra en turquesa. 12 5 2 # 2 # 3 14 5 2 # 7
H
Factores de 14 mcm 5 2 # 2 # 3 # 7 5 84 Factores de 12 mcm 5 22 # 3 # 7 5 84 El mcm de 12 y de 14 es 84.
• El mcm es el producto de los factores primos de ambos números. Utilice el factor común a la mayor potencia.
El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que divide en partes iguales a todos los números. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6, el número más grande que divide exactamente a 12 y 18. El MCD puede obtenerse al escribir primero cada número como un producto de factores primos. El MCD contiene los factores primos comunes a ambos números.
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SECCIÓN 1.3
Concéntrese
23
Operaciones con números racionales
en obtener el MCD de dos números Obtenga el MCD de 36 y 90.
Cómo se usa Los sitios web seguros, aquellos que tienen URL que comienzan con https, utilizan números primos muy grandes para cifrar los números de tarjeta de crédito para el comercio electrónico.
Determine la factorización en primos de cada número. Los factores comunes se muestran en turquesa. 36 5 2 # 2 # 3 # 3 90 5 2 # 3 # 3 # 5 El MCD es el producto de los factores primos comunes a ambos números. MCD 5 2 # 3 # 3 5 18 El MCD de 36 y 90 es 18.
El concepto de MCD se utiliza cuando se simplifica un número racional. Recuerde que un número racional es aquel que puede escribirse en la forma pq, donde p y q son enteros y q 2 0. Ejemplos de números racionales son 259 y 12 . Debido a que cualquier entero c puede escribirse 5 c 3 como c 5 1 (por ejemplo, 3 5 1), todos los enteros son números racionales. También observe 5 que si c es un entero diferente de cero, entonces cc 5 1 (por ejemplo, 5 5 1). Una buena comprensión sobre las operaciones con números racionales es un requisito para tener éxito en este curso.
Tome nota
15 15 Las fracciones 215 28 , 228 y 228 representan el mismo número. En este libro, cuando una respuesta es una fracción negativa, escribiremos el signo negativo frente a la fracción.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El producto de dos fracciones es el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores. ac a#c 5 b d bd EJEMPLOS
1.
2#5 2#5 10 5 # 5 3 7 3 7 21
2.
3 5 3 # 1252 215 15 5 52 a2 b 5 4 7 4#7 28 28
Un número racional está en su forma más simple cuando el numerador y el denominador no contienen un factor mayor que 1.
Concéntrese
en la simplificación de una fracción Simplifique:
30 45
Factorice el MCD del numerador y el denominador. El MCD de 30 y 45 es 15. Escríbalo como un producto de fracciones. Observe que
15 5 1. 15
30 2 # 15 5 # 45 3 15 2 15 5 # 3 15 2 5 #1 3 5
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24
CAPÍTULO 1
Los números reales
Usted puede simplificar por pasos una fracción al dividir entre un factor común el numerador y el denominador hasta que la fracción esté en su forma más simple. 10
2
30 10 2 5 5 45 15 3 15
3
EJEMPLO 1 Solución
Problema 1 Solución
• Divida entre 3 el numerador y el denominador. Luego divida entre 5 el numerador y el denominador resultantes.
28 5 Multiplique: a2 b a2 b 8 45 28 5 # 28 5 a2 b a2 b 5 # 8 45 8 45 7 5 18 14 10 Multiplique: a2 b 21 25
• Los signos son iguales. El producto es positivo. • Escriba la respuesta en su forma más simple.
Revise la página S2.
† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 30.
EJEMPLO 2 Solución Problema 2 Solución
3 4 Evalúe: a2 b 4 3 4 3 3 3 3 3#3#3#3 81 a2 b 5 a2 b a2 b a2 b a2 b 5 # # # 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 256 2 3 Evalúe: a2 b 5 Revise la página S2.
† Intente resolver el ejercicio 31 de la página 31. 1
El inverso multiplicativo de un número distinto de cero a es a. A este número también se le 1 llama recíproco de a. Por ejemplo, el recíproco de 2 es 2 y el recíproco de 234 es 243. La división de números reales se define en función de la multiplicación por el recíproco.
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir fracciones, multiplique el recíproco del divisor. c a d ad a 4 5 # 5 b d b c bc
EJEMPLO 3
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Divida:
3 9 4 a2 b 8 16
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SECCIÓN 1.3
Solución
3 9 3 9 4 a2 b 5 2a 4 b • Los signos son diferentes. El cociente es 8 16 8 16 negativo. 3 # 16 5 2a b • Multiplique por el recíproco del divisor. 8 9 52
Problema 3 Solución
25
Operaciones con números racionales
2 3
• Escriba la respuesta en su forma más simple.
25 5 Divida: a2 b 4 a2 b 6 12 Revise la página S2.
† Intente resolver el ejercicio 13 de la página 30.
SUMA O RESTA DE FRACCIONES
La suma o diferencia de dos fracciones con el mismo denominador es la suma o diferencia de los numeradores sobre el común denominador. EJEMPLOS
3 1 311 4 1 1 5 5 5 8 8 8 8 2 3 2 23 1 2 21 1 2. 2 1 5 5 52 5 5 5 5 5 6 426 22 2 4 2 5 5 52 3. 7 7 7 7 7 1 5 1 2 1252 6 3 4. 2 a2 b 5 5 5 8 8 8 8 4 1.
Para sumar o restar números racionales escritos como fracciones, primero vuelva a escribir las fracciones como fracciones equivalentes con un común denominador. Un común denominador es el producto de los denominadores de las fracciones. El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
Concéntrese
en la suma de fracciones con diferentes denominadores Sume:
5 7 1 a2 b 6 8
El mcm de 6 y 8 es 24. Por tanto, el común denominador es 24. 7 5 4 27 # 3 5 1 a2 b 5 # 1 a b 6 8 6 4 8 3 Escriba cada fracción en función del común denominador, 24.
Sume los numeradores y coloque la suma sobre el común denominador.
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5
221 20 1a b 24 24
5
20 1 12212 24
5
21 1 52 24 24
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26
CAPÍTULO 1
Los números reales
EJEMPLO 4 Solución
Problema 4 Solución
5 7 Reste: 2 2 9 6 7 5 27 # 2 5 3 2 2 5 2 # 9 6 9 2 6 3 214 15 5 2 18 18 214 2 15 5 18 229 29 5 52 18 18 Reste:
• El mínimo común denominador es 18. Escriba cada fracción en función del mínimo común denominador. • Reste los numeradores y coloque la diferencia sobre el común denominador.
5 3 2 a2 b 12 8
Revise la página S2.
† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 30.
OBJETIVO
Orden de las operaciones y fracciones complejas El orden de las operaciones se puede utilizar para simplificar expresiones racionales.
EJEMPLO 5 Solución
1 7 20 5 Simplifique: 2 2 c2 1 a2 b d 4 5 7 4 1 7 20 5 1 7 280 235 • Sume las frac2 2 c2 1 a2 b d 5 2 2 c 1 d ciones entre 4 5 7 4 4 5 28 28 1 7 2115 52 2 c d 4 5 28
Problema 5 Solución
1 23 5 2 2 a2 b 4 4 22 5 4 11 5 2 5 3 2 5 Simplifique: 2a b 1 16 4 8
corchetes. El mcm es 28.
• Multiplique las fracciones. • Reste las fracciones. • Escriba en su forma más simple.
Revise la página S2.
† Intente resolver el ejercicio 53 de la página 31.
EJEMPLO 6
Solución
3 2 1 2 7 Simplifique: a2 b 4 a 2 b 1 4 2 3 16 3 1 2 7 a2 b 4 a 2 b 1 4 2 3 16 7 3 2 1 5 a2 b 4 a2 b 1 4 6 16 5
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1 7 9 4 a2 b 1 16 6 16
• Realice las operaciones dentro de los paréntesis. 1 1 3 4 1 2 5 2 52 2 3 6 6 6 • Simplifique las expresiones con exponentes.
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SECCIÓN 1.3
Problema 6 Solución
27
Operaciones con números racionales
52
7 27 1 8 16
• Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones.
52
47 16
• Realice de derecha a izquierda las sumas y las restas.
4 5 2 7 3 Simplifique: a 2 b 1 4 3 6 8 4 Revise la página S2.
† Intente resolver el ejercicio 55 de la página 31. Una fracción compleja es una fracción en la cual el numerador o el denominador contienen una fracción. Estos son algunos ejemplos de fracciones complejas. 1 3 2 6 4 Barra de fracciones principal S 2 1 1 5 4
3 4 1 2 2 2 3
1 5 3 4
La barra de fracciones principal separa al numerador del denominador en una fracción compleja. El orden de las operaciones se puede utilizar para simplificar una fracción compleja. La barra de fracciones principal es un símbolo de agrupación y puede leerse como “dividido entre”. Por ejemplo, la primera fracción compleja encima puede pensarse como 1 2 6 2 1 5
3 4 1 3 2 1 5a 2 b4a 1 b 1 6 4 5 4 4
Al considerar a la fracción compleja de esta manera, tenemos un método para simplificarla. Simplifique el numerador; simplifique el denominador; divida los dos resultados.
Concéntrese
en la simplificación de una fracción compleja 3 1 2 6 4 Simplifique: 2 1 1 5 4 Simplifique el numerador y el denominador de la fracción compleja.
Reescriba como división la fracción compleja. Multiplique el recíproco del divisor. Simplifique.
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3 7 1 2 2 6 4 12 5 2 1 13 1 5 4 20 7 5 a2 b 12 7 5 a2 b 12 35 52 39
13 20 # 20 13
4
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28
CAPÍTULO 1
Los números reales
Una fracción compleja puede ocurrir dentro de una expresión, como muestra el ejemplo 7.
EJEMPLO 7
Solución
Problema 7
Solución
3 1 1 1 4 3 Simplifique: 2 2 5 1 2 8 6 3 1 13 1 4 3 1 12 1 2 5 2 2 5 1 2 11 2 8 6 24
• Simplifique el numerador y el denominador de la fracción compleja.
5
1 13 11 2 4 2 12 24
• Reescriba como división la fracción compleja.
5
1 13 # 24 2 2 12 11
• Multiplique por el recíproco.
5
1 26 2 2 11
• Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones.
5
11 52 41 2 52 22 22 22
• Realice de izquierda a derecha las sumas y las restas.
3 2 2 3 4 2 2 Simplifique: 1a b 3 1 3 2 10 5 Revise la página S2.
† Intente resolver el ejercicio 67 de la página 32.
OBJETIVO
Tome nota La pantalla de la calculadora siguiente muestra los resultados de 8 4 55. Observe que el último dígito se ha redondeado. 8/55
.1454545455
Notación decimal Como se mencionó en la sección 1.1, los decimales finito o último y periódico pueden representarse por medio de números racionales. Podemos encontrar la representación decimal de un número racional escrito como una fracción al dividir el numerador entre el denominador. 3 8 Escriba como un decimal. Escriba como un decimal. 8 55 Divida 3 entre 8. Divida 8 entre 55. 0.375 8q3.000 22 4 60 256 40 240 0
d Este es un decimal finito.
d El residuo es cero.
3 5 0.375 8
EJEMPLO 8
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0.14545 d Este es un decimal periódico. Note que las diferencias mostradas 55q8.00000 en turquesa y azul se repiten. 25 5 Cuando una diferencia se repite, 2 50 se han encontrado los dígitos periódicos. 22 20 300 2275 250 2220 300 2275 25 8 5 0.145 d Sobre los dígitos periódicos 55 se coloca una barra.
27 Obtenga la representación decimal de 220 . Coloque una barra sobre los dígitos periódicos.
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SECCIÓN 1.3
Solución
Problema 8 Solución
29
Operaciones con números racionales
0.122727 220q27.000000 222 0 5 00 24 40 600 2440 1600 21540 600 2440 1600 21540 60 27 5 0.1227 220
La diferencia 60 comienza a repetirse. Podríamos habernos detenido en vez de proseguir.
Obtenga la representación decimal de 57. Coloque una barra sobre los dígitos periódicos. Revise la página S2.
† Intente resolver el ejercicio 81 de la página 32. Las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir los números reales se utilizan para realizar operaciones con decimales.
Concéntrese
en las operaciones con decimales A. Para sumar dos decimales con el mismo signo, sume los valores absolutos de los decimales. Luego coloque el signo de los sumandos.
Sume: 215.23 1 1218.12 215.23 1 1218.12 5 233.33
B. Para restar dos decimales, escriba la resta como suma del opuesto, y luego sume.
Reste: 218.42 2 129.3542
C. El producto de dos factores con diferente signo es negativo.
Multiplique: 120.232 10.042
D. El cociente de dos números con el mismo signo es positivo.
Divida: 122.8352 4 121.352
218.42 2 129.3542 5 218.42 1 9.354 5 29.066 120.232 10.042 5 20.0092 122.8352 4 121.352 5 2.1
Este es un ejemplo que utiliza el orden o jerarquía de las operaciones con decimales.
EJEMPLO 9 Solución
Simplifique: 5.4 2 2.7 326 2 121.72 4 2 5.4 2 2.7 3 26 2 121.72 4 2 5 5.4 2 2.7 3 24.3 4 2 5 5.4 2 2.7 118.492 5 5.4 2 49.923 5 244.523
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• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. • Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. • Realice de izquierda a derecha las sumas y las restas.
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30
CAPÍTULO 1
Los números reales
Problema 9 Solución
Simplifique: 6.4 4 120.82 1 1.2 10.32 2 0.22 Revise la página S2.
† Intente resolver el ejercicio 105 de la página 32.
1.3
Ejercicios
REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.
¿Qué es el mcm de dos números? ¿Cómo se utiliza el mcm cuando se suman fracciones?
2.
¿Qué es el MCD de dos números? ¿Cómo se utiliza el MCD cuando se simplifican fracciones?
3. ¿Los tres enteros son números racionales? 4. Proporcione dos ejemplos de números racionales que no sean enteros. 5. ¿Existe un entero positivo menor? ¿Existe un número racional positivo menor? 6. ¿Todos los números racionales tienen un recíproco? Si no es así, dé un ejemplo.
Operaciones con números racionales (Revise las páginas 22-26.) PREPÁRESE 5
1
2
7. El mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones 8 , 2 28 y 7 es ? . Escriba cada fracción utilizando como denominador el MCM: ? 1 ? 2 ? 5 5 ,2 52 5 . 8 56 28 56 7 56 8 8 ? . Para determinar el cociente 23 4 1227 2, encuentre 8. El recíproco de 2 27 es 2 # 2 8 ? . el producto 1 ? 2. El cociente 4 12 2 es 3
3
27
Realice la operación indicada. 9.
2 4 a2 b 5 5
† 13. 2
15 14 4 a2 b 8 3
3 4 17. a2 b 2 21. 2 † 25.
9 35 2 16 2
8 8 a2 b 3 7
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35 3 2 a2 b 3 5
10. 2
5 23 1 2 2
11. 2
14. 2
13 19 2 3 6
15.
18. 2
14 30 a b 3 13
9 3 19. a2 b 2
22. 2
15 15 2 7 2
5 3 26. a2 b 3
8 17 1 a2 b 19 2
† 23. 2 27.
11 9 1 a2 b 6 2
9 3 1 a2 b 2 5
12. 2 16.
3 4 a2 b 14 3
37 39 1 a2 b 5 9
20. 2
14 11 a2 b 3 14
1 33 24. 2 4 3 16 28. 2
39 19 1 4 5
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SECCIÓN 1.3
29.
31 33 4 a2 b 2 20
30.
19 12 2 a2 b 4 11
33.
6 7 4 a2 b 7 5
34.
29 38 4 a2 b 14 3
3
† 31. a2
5
35.
Operaciones con números racionales
1 2 b 10
32. 2
31
14 25 2 2 19
2 3 36. a2 b 5
27 5 a2 b 11 2 2
38. ¿Qué número es 3 más que 2 11 15 ?
37. Realice la suma de 2 4 y 6. 11
13
8 40. ¿Cuál es el producto de 2 15 16 y 3 ?
39. ¿Cuál es la diferencia entre 2 12 y 18? 2
41. ¿Qué número es 3 menor que 2 45?
42. Encuentre 9 disminuido por 6.
43. ¿Cuál es el cociente de 58 y 2 75?
44. Encuentre 2 83 aumentado por 2 32 11 .
8
5 45. Encuentre 13 12 más que 2 8 .
5
46. Determine la diferencia entre 2 79 y 256.
47.
Dados dos enteros cualesquiera, ¿es posible encontrar un entero entre los enteros dados? Explique su respuesta.
48.
Dados dos números racionales cualesquiera, ¿es posible encontrar un número racional entre los números racionales dados? Explique su respuesta.
1 Orden de las operaciones y fracciones complejas (Revise las páginas 26-28.) PREPÁRESE 49. Una fracción compleja es una fracción que tiene una o más dor y/o en su denominador. 50. La fracción compleja ?
4
?
Simplifique. 5 10 3 51. 2 4 # a2 b 4 8 11 54.
3 5 5 2 a2 b 4 3 4
57.
1 2 5 5 2a 4 b1 2 3 9 6
60.
2 3 5 3 2 c 1 d 4 3 8 6 5
2 3 63. 4 5
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..
3 1 2
?
en su numera-
puede escribirse como la expresión de división
52.
1 4 8 4 a2 b 4 2 5 9
† 55. 2 58.
5 #8 5 3 2 4 16 9 6 4
3 5 5 4 c 2 d 12 4 8 12
5 2 5 2 † 53. a 2 b 2 3 6 12 3 5 9 5 56. 2 a 2 b 1 8 18 4 8 59.
1 5 7 1 2 a2 1 b 6 4 12 24
1 3 3 1 2 61. a2 b 4 a2 2 b 2 2 2 4 3
11 3 4 1 5 2 7 62. a 2 b 4 a 2 b 2 a 2 b 8 12 4 5 2 8 3
5 6 64. 2 3
2 5 2 3 6 65. 3 1 2 4 2
2
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Entre las muchas preguntas que se plantean al iniciar el proceso de revisión de un libro de texto, la más importante es: ¿Cómo podemos mejorar la experiencia de aprendizaje del estudiante? Encontramos respuestas a esta pregunta de diversas maneras, pero con mayor frecuencia al hablar con estudiantes y profesores, así como al evaluar la información escrita que recibimos de nuestros clientes. Nuestra meta final es incrementar el enfoque en el estudiante.
• Nueva sección Inténtelo, cuyas indicaciones se incluyen al final de cada Ejemplo/Problema par. • La sección Concéntrese enfatiza en torno al tipo específico de problema que debe dominar para tener éxito en los ejercicios de tarea o en un examen. • Los ejercicios de Aplicación de conceptos profundizarán su comprensión de los temas de la sección. • Nueva sección En las noticias, la cual le ayudará a observar la utilidad de las matemáticas en nuestro mundo cotidiano. Se basa en la información obtenida de fuentes de medios de comunicación conocidos, como periódicos, revistas e Internet. • Ejercicios de Proyectos o actividades en equipo se incluyen al final de cada serie de ejercicios.
estas cuestiones, pueden ser de naturaleza histórica o de interés general. • Nueva sección Cómo se usa. Estos recuadros se relacionan con el tema en estudio. Presentan escenarios del mundo real que demuestran la utilidad de los conceptos seleccionados en el libro. • Los recuadros de Tecnología contienen instrucciones para utilizar una calculadora graficadora. • El enfoque del libro en la solución de problemas hace hincapié en la importancia de una estrategia bien definida. Las estrategias del modelo se presentan como guías para que a medida que intente resolver el problema, al mismo tiempo le acompañen en cada ejemplo numerado.
• Los recuadros Punto de interés, que mantienen relación con el tema objeto de discusión de Confiamos en que las características nuevas y mejoradas de la octava edición le ayudarán a comprometerse más exitosamente con el contenido. Al reducir la brecha entre lo concreto y lo abstracto, entre el mundo real y el teórico, podrá ver con mayor claridad que el dominio de las habilidades y temas presentados está a su alcance y que bien vale la pena el esfuerzo.
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8a. Ed. 16/10/12 09:51 a.m.
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