UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
PROBLEMAS DE ALGEBRA LINEAL (MB-165-C) -ALUMNO: Calle Flores César Leonardo -CÓDIGO: 20124131D -FECHA: 01 – 10 - 13
PROBLEMAS 1.12
De los problemas 1 a 4 encuentre la representación matricial de la gråfica dirigida dada. Ι.
0 0 đ??´=ďż˝ 1 1
1 0 1 0
1 0 0 0
0 0 ďż˝ 0 0
ΙΙ.
0 ⎥0 ⎢ B=⎢1 ⎢0 ⎣1
1 0 1 0 0
1 0 0 1 1
0 1 1 0 0
0 0⎤ ⎼ 0⎼ 0⎼ 0⎌
1
ΙΙΙ.
0 ⎡1 ⎢ 𝐶 = ⎢0 ⎢1 ⎣0
0 0 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0⎤ ⎥ 0⎥ 1⎥ 0⎦
ΙV.
0 ⎡1 ⎢ 0 𝐷=⎢ ⎢1 ⎢0 ⎣1
0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1
1 1 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 0⎤ ⎥ 1⎥ 0⎥ 0⎥ 0⎦
2
De los problemas 5 a 8 dibuje las gráficas que representan las matrices dadas. V.
0 1 E=� 1 1
1 0 1 0
0 0 0 1
1 0 � 1 0
VΙ.
0 ⎡0 ⎢ F=⎢1 ⎢1 ⎣0
1 0 1 0 1
0 1 0 0 1
1 1 0 0 1
0 1⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ 0⎦
3
VΙΙ.
0 ⎡1 ⎢ G=⎢0 ⎢0 ⎣0
0 1 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 1
0 1⎤ ⎥ 0⎥ 1⎥ 0⎦
0 ⎡1 ⎢ 1 H=⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣1
1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 1 0 0 0 1
VΙΙΙ.
0 0⎤ ⎥ 1⎥ 0⎥ 1⎥ 0⎦
4
ΙX. Determine el nĂşmero de 2–, 3– y 4– cadenas que unen los vĂŠrtices en la grĂĄfica del problema 2. De la matriz “Bâ€? obtenida en el problema 2 (CĂĄlculos hechos con Matlab):
0 ⎥0 ⎢ đ??ľ = ⎢1 ⎢0 ⎣1
1 0 1 0 0
1 0 0 1 1
0 1 1 0 0
0 0⎤ ⎼ 0⎼ 0⎼ 0⎌
1 ⎥0 ⎢ đ??ľ 2 = ⎢0 ⎢1 ⎣1
1 0 1 1 2
0 1 2 0 1
2 0 1 1 1
0 0⎤ ⎼ 0⎼ 0⎼ 0⎌
NĂşmero de n– cadenas: suma de los elementos de la matriz đ??ľđ?‘› .
NĂşmero de 2– cadenas: suma de los elementos de la matriz đ??ľ2 . Esto es:
ďƒ˜ 17 2–cadenas. 0 ⎥1 ⎢ đ??ľ 3 = ⎢2 ⎢0 ⎣1
1 1 2 1 2
3 0 1 2 2
1 1 3 1 3
Número de 3–cadenas:
0 0⎤ ⎼ 0⎼ 0⎼ 0⎌
ďƒ˜ 28 3-cadenas. 3 ⎥0 ⎢ đ??ľ 4 = ⎢1 ⎢2 ⎣2
3 1 3 2 3
1 2 5 1 4
4 1 3 3 4
NĂşmero de 4-cadenas:
0 0⎤ ⎼ 0⎼ 0⎼ 0⎌
ďƒ˜ 48 4-cadenas.
5
X. Aplique el mismo procedimiento para la grĂĄfica del problema 3.
0 ⎥1 ⎢ đ??ś = ⎢0 ⎢1 ⎣0
0 0 1 1 1
1 0 0 1 0
Para 2-cadenas:
0 ⎥1 ⎢ đ??ś 2 = ⎢2 ⎢1 ⎣1
1 1 1 2 0
0 2 1 1 0
0 1 1 0 0
0 0⎤ ⎼ 0⎼ ; aplicando el mismo procedimiento que en el problema 3. 1⎼ 0⎌
1 0 1 2 1
Número de 2–cadenas:
0 1⎤ ⎼ 1⎼ 0⎼ 0⎌
ďƒ˜ 21 n–cadenas. Para 3-cadenas:
2 ⎥1 ⎢ đ??ś 3 = ⎢2 ⎢4 ⎣1
1 3 3 3 1
1 1 3 3 2
1 3 2 3 0
Número de 3–cadenas:
1 0⎤ ⎼ 1⎼ 2⎼ 1⎌
ďƒ˜ 45 n–cadenas. Para 4-cadenas:
2 ⎥6 ⎢ đ??ś 4 = ⎢5 ⎢6 ⎣1
3 4 6 8 3
3 4 4 7 1
2 4 6 6 3
Número de 4–cadenas:
1 3⎤ ⎼ 2⎼ 3⎼ 0⎌
ďƒ˜ 93 n-cadenas.
6
XΙ. Pruebe que la ruta mås corta que une 2 vÊrtices no es redundante. Expresando una n-cadena redundante de la siguiente forma:
Pr→Pj→‌Pd→Pk→Pz→...→Pl→Pk→Pf‌→Pt→Pb El segmento de la n–cadena comprendido entre los puntos es un lazo cerrado, si se elimina de la ruta, queda:
Pr→Pj→‌Pd→Pk→Pf‌→Pt→Pb Es decir, a partir de toda ruta redundante se puede obtener una ruta mås corta, de ahà que la ruta mås corta que une 2 vÊrtices no es redundante.
XΙΙ. Si A es la matriz de incidencia de una grĂĄfica dirigida, muestre que đ??´2 + đ??´ representa el nĂşmero total de 1– y 2– cadenas entre los vĂŠrtices.
Sea aij un elemento de la matriz A, y bij el elemento correspondiente en la matriz B=A2, entonces todo elemento de la matriz H=A2+A tendrĂĄ la forma: aij+bij. Se observa que:
đ?‘›
đ?‘›
đ?‘›
đ?‘–=1 đ?‘—=1
đ?‘–=1 đ?‘—=1
đ?‘–=1 đ?‘—=1
ďż˝ đ?‘Žđ?‘–đ?‘— + ďż˝ đ?‘?đ?‘–đ?‘— = ďż˝(đ?‘Žđ?‘–đ?‘— + đ?‘?đ?‘–đ?‘— )
Esto lleva a afirmar que A+A2 representa el número total de 1– y 2– cadenas entre los vÊrtices.
7
XΙΙΙ. Describa la dominación directa o indirecta dada por la siguiente gråfica.
Elevando la matriz a los exponentes 1, 2,3‌ hasta que se obtenga una matriz nula. 0 ⎥0 ⎢ 1 đ??ť = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣0 0 ⎥0 ⎢ 0 đ??ť2 = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣0 0 ⎥0 ⎢ 0 3 đ??ť =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣0
1 0 0 0 0 1
0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0⎤ ⎼ 1⎼ 0⎼ 0⎼ 0⎌ 0 0⎤ ⎼ 0⎼ 0⎼ 0⎼ 0⎌ 0 0⎤ ⎼ 0⎼ 0⎼ 0⎼ 0⎌
Se observa:
Dominancia directa: P1 sobre P2
P3 sobre P1, P5 y P6 P5 sobre P4
P6 sobre P2, P4
Dominancia indirecta: P3 sobre P2 y P4
8