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Electrostรกtica Campo electrostรกtico y potencial


1. Carga eléctrica Electrostática = estudio de las cargas eléctricas en reposo ++ +-repulsión

atracción

Unidad de carga = el electrón „

e= 1.602177x 10-19 C


1.1 Constituyentes de la materia Partícula

Masa (kg)

Carga (C)

electrón

9.1x 10-31

-1.6x 10-19

protón

1.67x 10-27

+1.6x 10-19

neutrón

1.67x 10-27

0

ELECTRÓN

Z = número electrones = Elemento número protones A = número protones + Isótopo neutrones ¾ Un átomo tiene el mismo número de

electrones que de protones Æ es neutro ; Q = Z ⋅ qp − Z ⋅ qe = 0 ¾Ión positivo : le faltan electrones

Q = + ne ⋅ qe

¾Ión negativo: tiene electrones añadidos Q = − ne ⋅ qe

+ ++ +

-

-


1.2 Conservación de la carga La carga ni se crea ni se destruye Æ se tranfiere „ „ „

Entre átomos Entre moléculas Entre cuerpos

La suma de todas las cargas de un sistema cerrado es constante


1.3 Carga por inducciรณn Bola cargada negativa

Bola neutra

Bola y varilla se repelenร† Igual carga

Varilla de plรกstico

lana

Electroscopio. Al acercar una bolita cargada las lรกminas adquieren carga y se separan.


2. Conductores y aislantes Aislantes : materiales en los que la carga elÊctrica no se puede mover libremente. Madera, plåstico, roca ‌

Conductores: los electrones tienen libertad de movimiento. Metales, ..

Semiconductores: se pueden comportar como conductores o como aislantes.


3.1 Ley de Coulomb. Fenomenología La fuerza entre cargas puntuales está dirigida a lo largo de la línea que las une. La fuerza varía inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia que los separa y es proporcional al producto de las cargas. La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo signo y atractiva si son de signo diferente.

F12 r1 q2

F21

r2

F12 + F21 = 0 r1 - r2 = r12

q1

r12


3.2 Ley de Coulomb. Fórmula Fuerza ejercida por q1 sobre q2

r q1q2 F12 = k 2 rˆ12 r12

kÆconstante de 9 2 2 k = 8 . 99 × 10 Nm C Coulomb ε0Æ Permitividad del vacío ε0 = 8.85×10−12 C2 Nm2 k=

1

4πε0

F12 r1 q2

F21

r2

F12 + F21 = 0 r1 - r2 = r12

q1

r12


3.3 Ley de Coulomb. Sistema de cargas Principio de superposición de fuerzas: La fuerza neta ejercida sobre una carga es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas sobre dicha carga por cada una de las cargas del sistema. Cargas discretas

r r qi q0 r FTotal = ∑ Fi = ∑k 3 ri ri i i

Distribución continua de carga

r r q0 r FTotal = ∫ dF = ∫ k 3 r dq r


4. Campo eléctrico

La fuerza eléctrica supone una acción a distancia. Ejemplo: carga A y carga B

La carga A causa una modificación de las propiedades del espacio en torno a ella. La carga (prueba) B percibe esta modificación y experimenta una fuerza r qq r r

FAB = k

A B

rB − rA

3

(rB − rA )

Consideremos que B puede estar en cualquier punto y tener cualquier valor r

FA = q k

qA

r − rA

r r ( r − rA ) 3

La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el campo

La fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado es ejercida por el campo eléctrico creado por otros r r cuerpos cargados F = qE A

A


4.1 Campo eléctrico cargas puntuales Carga positiva = fuente

Carga negativa = sumidero

+

r qr E(r) = k 3 r r

r qr E(r) = − k 3 r r

¾Radiales ¾Proporcionales a la carga ¾Inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia


4.2 Campo eléctrico. Sistema de cargas Principio de superposición de campos: El campo neto creado por un sistema de cargas es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las cargas del sistema. Cargas discretas

r r qi r ETotal = ∑ Ei = ∑k 3 ri ri i i

Distribución continua de carga

r r r r ETotal = ∫ dE = ∫ k 3 dq r


4.3 Campo creado por un dipolo Z

Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy pequeña ( l = 2a ). Campo total = suma de campos

r+a

-

r q r r −q r r E = k r r 3 (r − a) + k r r 3 (r + a) r −a r +a r r Momento dipolar p = ql Aproximación r>> l

r k  ( pr ⋅ rr) rr r  E = 3 3 − p r  r r 

l

-a

a

r-a

r +

Y

X +

r k r E=− 3 p x

r k r E=− 3 p z

r 2k r E= 3 p y r k r E=− 3 p x

-

+ r k r E=− 3 p z

r 2k r E= 3 p y


4.4 Líneas de campo eléctrico

Campo = deformación del espacio causada por un cuerpo cargado. Se puede representar mediante líneas. El vector campo en un punto es tangente a la línea de campo Æ Dos líneas de campo nunca pueden cruzarse. La densidad de líneas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico. A grandes distancias las líneas son las de una carga puntual.


Líneas de campo en esferas y planos

Esfera con carga negativa

Plano positivo Simetría esférica

Simetría planar


LĂ­neas de campo para dipolos

Carga positiva y carga negativa Dipolo elĂŠctrico Dos cargas positivas


5. Teorema de Gauss. Enunciados 1. La dirección del flujo del campo eléctrico a través de una superficie depende del signo neto de la carga encerrada. 2. Las cargas fuera de la superficie no generan flujo de campo eléctrico neto a través de la superficie. 3. El flujo de campo eléctrico es directamente proporcional a la cantidad neta de carga dentro de la superficie pero independiente del tamaño de ésta ( = Si S1 encierra a S2 por ambas pasa el mismo flujo).


5.1 Cálculo del flujo de un campo Analogía con un campo de velocidades en un fluido. Volumen que atraviesa la superficie A en un tiempo dt r r V = v dt Acosθ = v ⋅ A dt

Flujo ~ Volumen por unidad de tiempo dV r r Φ= =v⋅A dt

A θ Acosθ vdt

Una superficie se caracteriza con un vector perpendicular a la misma y de módulo su área.


5.2 Flujo del vector campo Superficie Gaussiana eléctrico Flujo infinitesimal

ÆE es constante en la superficie dA

r r dΦ = E ⋅ dA Flujo total ÆSe debe sumar (= integrar) a toda la superficie. dA

dA

r r Φ = ∫ E ⋅ dA

Unidades dA

N  Φ =  m2  C 


5.3 Ley de Gauss El flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada en su interior dividida por la permitividad del medio. r r Qenc Φ = ∫ E ⋅ dA =

ε0

La superficie gaussiana no es una superficie real ( es matemática). La ley de Gauss simplifica los cálculos de campo eléctrico en casos de gran simetría.


5.4 Cálculos con ley de Gauss Carga puntualÆ Simetría esférica

r r Qenc Φ = ∫ E ⋅ dA =

ε0

dA

+

r

r r 2 E ⋅ d A = E ( r )( 4 π r ) ∫ r E(r) =

Q

4πε0 r

2


5.4 Cálculos con ley de Gauss Conductor infinito con densidad lineal de carga λ.

E

E

E

Plano infinito con densidad superficial de carga σ.

E

λ A3

E

E

A1 A2

E

r r Φ = E ⋅ A2 = E(2π R l) λl r λ Φ= = ε0 ε0 E(R) = 2πε R rˆ 0 Qenc

+++ +++ +++

E

r r r r Φ = E ⋅ A1 + E ⋅ A3 = E(2A) Qenc σ A Φ= =

ε0

ε0

r σ ˆ E(±x) = ± i 2ε 0


6. Conductores en equilibrio En un conductor existen cargas con libertad de movimiento. Una carga eléctrica es capaz de moverse al aplicar un campo. Si el campo E = 0 se produce una redistribución de cargas en el interior hasta E = 0 la situación de “equilibrio electrostático”.


6.1 Carga y campo en un conductor en equilibrio electrostático

El campo interior es nulo E = 0 Æ Las cargas se sitúan en la superficie. Campo superficial Componente normal En =

σ ε0

Componente tangencial

Et = 0

Si no fuera nula existiría desplazamiento superficial de cargas


6.2 Conductor en un campo eléctrico El campo interior siempre es nulo. Deforma las líneas de campo exterior. Se produce una redistribución de carga en la superficie debido a la fuerza eléctrica.


7. Trabajo de la fuerza eléctrica Para una fuerza conservativa el trabajo realizado para ir de un punto a a un punto b no depende del camino recorrido. Sólo depende del punto inicial a y del final b. Podemos asignar una función a cada punto del espacio -> La energía potencial.

r r W = ∫ F (r ) ⋅ dr = C1

WFC = −(U b − U a ) ¡Unidades de trabajo! J=N·m

La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa

r r ∫ F (r ) ⋅ dr

C2


7.1 Función energía potencial Se puede generalizar el trabajo en 3D r rf

W FC

r r r r = ∫ F ⋅ d r = − ∆ U = U ( ri ) − U ( r f ) r ri

r r r F = −∇U (r )

donde el gradiente se puede expresar en coordenadas r r ∂U 1 ∂U ˆ 1 ∂U ˆ ∇U ( r ) = rˆ + θ+ φ ∂r r ∂θ r senθ ∂φ

Polares

r r ∂U ∂U ˆ ∂U ˆ ∇U ( r ) = ιˆ + j+ k ∂x ∂y ∂z

Cartesianas


8. Potencial eléctrico La fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico. r r F (r) = q E(r)

Por ser conservativa Potencial eléctrico

U V= q

r r r F = −∇U (r ) Energía potencial Carga

Campo eléctrico = gradiente del potencial r r r eléctrico Se puede elegir el E = −∇V (r ) origen de Unidades : el Voltio

potencial

V = [V ] = [J / C ]


8.1 Superficies equipotenciales El potencial es constante en todos sus puntos.

V (x, y, z) = cte

El vector gradiente es ortogonal a S.

U1

r r r r E ⋅ ∆r|| = −∇V ⋅ ∆r|| = Vi − Vi = 0 r El gradiente y || s son ortogonale

El gradiente va de menores a mayores valores de V.

VN V1

V2

V0

r r r r E ⋅ ∆r⊥ = −∇V ⋅ ∆r⊥ = −(V j − Vi ) < 0

V j > Vi

Vectores campo eléctrico


8.1 Superficies equipotenciales ( ejemplos) Superficie equipotencial

Campo elĂŠctrico

Campo producido por un hilo infinito

Campo producido por una carga puntual

Campo producido por un dipolo


Electrostatica