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INTRODUCCIÓN El estudio existente de la psicoacústica entre el estímulo físico y la respuesta psicológica, ilustra la relación entre las propiedades físicas del sonido y la interpretación del cerebro. Donde la mayoría de sonidos en instrumentos musicales, aparte de algunos de percusión, tiene un modelo básico de referencia y agrupa la frecuencia fundamental con sus armónicos en que el nivel de sonoridad está relacionado particularmente con la amplitud y la frecuencia del timbre, por ello el presente trabajo constituye la sistematización de algoritmos para la aplicación en composiciones musicales xenòarmonicas, utilizando la herramienta informática “Ambiente de Sonorización Basado en la Medición

Cuantitativa

Disonancia

Psicoacustica 1

Sethares”

desarrollada por el Ingeniero Electrónico Antonio Quintero Rincón en la Facultad de Ingenierías de la Universidad Autónoma de Manizales en 2004 y puesta en practica por el Licenciado en Música Sergio A. Hernández Montoya en la Facultad de Artes y Humanidades de la Universidad Tecnológica de Pereira en 2006 con su obra XENOPHOBIA (Aproximación Musical a una Condición Humana). Con base en las investigaciones realizadas por los Físicos R. Plomp, y W. J. M. Levelt en 1965 y por el Ingeniero Eléctrico William A. Sethares en el Departamento de Ingeniería de la Universidad de Wisconsin en Madison EE.UU en 1997. El Desarrollo del proyecto tenia como finalidad construir escalas musicales xenoarmónicas2, las cuales no se basan necesariamente en la división de la octava en doce semitonos iguales. Esto se llevo a cabo con la creación de una herramienta de software basada en la plataforma de MatLab®. Se puede decir que el sistema es de libre manejo para el compositor, ya que aplicando la 1 La medición de la disonancia psicoacústica se determinó mediante un estudio estadístico en el que varios individuos eran sometidos a combinaciones de sonidos puros (armónicos), los cuales producían diferentes grados de disonancia. Cada individuo escogía las combinaciones que le resultaban menos desagradables al oído, sin embargo todas las combinaciones de armónicos eran indefectiblemente disonantes. 2 Conformada por intervalos inferiores al semitono, los cuales pueden ir desde los centésimos de tono o cents (equivalente a 1/100 de semitono de igual temperamento), hasta cuartos, sextos, octavos, décimos o cualquier otra subdivisión posible.

teoría y utilizando fundamentos matemáticos de acuerdo a Fourier 3 y partiendo de las teorías de disonancia desarrolladas por autores como Helmholtz, Partch y los mencionados con anterioridad. Haciéndose uso de un software que localiza la disonancia de un timbre capturado, para posteriormente crear cualquier serie de intervalos frecuenciales musicalmente posible en una escala de compleja armonía musical. Debido a la falta de integración de algunas funciones de la herramienta original, se propone la reimplementación y expansión de Funcionalidad del Ambiente de Sonorización. Sobre la plataforma de MatLab®, de las opciones para que el sistema funcione de manera automatizada, brindando al usuario la posibilidad de explorar y llevar acabo el análisis correspondiente de la señal procesada. Con el proyecto se busca también, caracterizar timbres de instrumentos analizando las propiedades espectrales del sonido del mismo. Además, partiendo del intervalo musical de notas que hacen parte del mismo timbre, es posible la generación de curvas de disonancia para facilitar el diseño de escalas xenoarmònicas. Esto se realiza por medio de la selección automática de los mínimos en la curva de disonancia psicoacùstica.

1. REFERENTE CONTEXTUAL 3 Matemático francés nacido en Auxerre, empleó unas series trigonométricas (series de Fourier) mediante las cuales las funciones discontinuas pueden expresarse como la suma de una serie infinita de senos y cósenos.

1.1. Descripción del área problemática Debido a la falta de integración en algunas funciones de la herramienta; Ambiente de Sonorización Basado en la Medición Cuantitativa de la Disonancia Psicoacùstica, se propone la reimplementación y expansión de funcionalidad, sobre la plataforma MatLab®, dando al sistema un funcionamiento de manera automática en su programación y mejorando la interfase en combinación con usuarios compositores, ordenando así algoritmos de detección de parciales y medición de fundamentales. Asimismo busca caracterizar timbres de instrumentos, analizando las propiedades espectrales del sonido y la generación de curvas de disonancia, facilitando así el diseño de escalas xenoarmònicas. Esto se realiza por medio de la selección automática de los mínimos en la curva de disonancia psicoacùstica.

1.2. Antecedentes 1.2.1. Tìtulo del proyecto: XENOPHOBIA Aproximación Musical a una Condición Humana Composición musical con escalas xenoarmónicas construidas según la medición de disonancia psicoacústica de Sethares. Nombre del autor: Sergio Antonio Hernández Montoya Año: 2006 Institución: Universidad Tecnológica De Pereira Facultad de Artes y Humanidades Programa de licenciatura en música En este proyecto se efectúa el estudio y demostración de software computacional “Ambiente de Sonorización Basado en la Medición de Disonancia Psicoacústica de Sethares”, elaborado por el ingeniero electrónico Antonio Quintero Rincón. En la Facultad de Ingeniería Electrónica de la Universidad Autónoma de Manizales, estableciendo la realización de un algoritmo a partir de el software MatLab® que captura, analiza y mide las propiedades físicas del sonido a fin de proveer datos cuantificables respecto a la cantidad de disonancia que éste posea, y así, disminuir su incidencia en la percepción, suministrando la gráfica de una curva de disonancia. Dicha gráfica revela los intervalos de mínima disonancia, los cuales, al ser señalados, forman una escala micro afinada, aplicable única y exclusivamente al timbre del sonido capturado, dado que la curva se obtiene a partir del análisis tímbrico de éste. La escala obtenida recibe el nombre de xenoarmónica, debido a sus extrañas propiedades interválicas, producto de su micro afinación, y cuyas cualidades permiten disminuir, por psicoacústica, la percepción de la disonancia, permitiendo analizar timbres de instrumentos cuyos armónicos no están localizados en frecuencias que son múltiplos enteros de una fundamental

(requerimiento obligatorio para adquirir una curva rica en mínimos de disonancia), haciéndolas fácilmente asimilables por el oyente. El elemento fundamental del proyecto reside en el empleo de las escalas xenoarmónicas

para

componer

una

obra

musical:

“XENOPHOBIA:

Aproximación musical a una condición humana”. Composición que, ubicada en el marco de la música del siglo XX, demandó de la atención de procedimientos relacionados a la música electroacústica y distintas estilos contemporáneas, al llevarse acabo usando un medio computacional para lograr la descripción sonora del sentir humano referente al origen de la xenofobia como fenómeno psicosocial, todo enmarcado en una experiencia acusmática 4”.[1] 1.2.2. Titulo del proyecto: Ambiente de Sonorización Basado en la Medición Cuantitativa de la Disonancia Psicoacustica. Nombre del autor: Antonio Quintero Rincón Año: 2004 Institución: Universidad Autónoma de Manizales Facultad de Ingeniería Electrónica El proyecto se desarrollo teniendo como objetivo principal, implementar un ambiente de sonorización que permita construir escalas musicales a partir de un timbre dado, apoyándose en la minimización de la métrica de disonancia psicoacústica de Sethares. Para la captura de un timbre, se realizo un algoritmo en el lenguaje matemático MatLab® el cual no estaba limitado a la captura timbres de instrumentos previamente digitalizados en su forma de onda. El sonido, que se eligió para mostrar los resultados gráficos en el informe, fue el timbre de una campana con una duración de 2 segundos en formato .wav, este timbre se escogió debido a 4

Música compuesta con medios electroacústicos y fijada en un soporte (cinta, CD, memoria de ordenador, etc.) que se reproduce mediante altavoces.

que los músicos que utilizan las escalas orientales, utilizan muchos instrumentos de percusión como metalófonos y gongs. Luego de capturar el timbre del sonido, puede ver todas las formas de onda que se logran formar con la señal capturada y con la gráfica de disonancia puede hallar los

mínimos para ese timbre,

los cuales dan la

relación

interválica necesaria para que el compositor cree su propia escala, una escala optima donde los intervalos corresponden a los mínimos de la curva de disonancia del instrumento; el compositor tiene la libertad de escoger el software de uso común entre músicos con el cual quiere componer. Aquí es donde el proyecto toma una mayor fuerza que genera un nuevo espacio de composición al no estar regido por la manipulación de escalas occidentales. [2]

1.3. Justificación Lo que se busca con el desarrollo del proyecto es llegar a la capacidad de desarrollar escalas musicales xenoarmónicas, de tal manera que sea posible formar series de intervalos de frecuencias diferentes que logren una escala musical viable, por medio de una diferente variedad de tonos y extrañas armonías distintas a las tradicionales, buscando que el producto final audible sea los más consonante posible, sin olvidar la variabilidad de la escala y la variabilidad propia del sujeto perceptivo. Cabe notar que todo esto depende de la habilidad para medir la disonancia, la cual es un componente crucial en diferentes dispositivos de audio y en métodos certeros de análisis musical. La idea de la disonancia está en función del timbre del sonido como fuente o como intervalos de música que tienen importantes implicaciones para entender la música occidental, música atonal, composiciones experimentales y el diseño de instrumentos electrónicos musicales. Al contrario de la teoría musical, no se busca explicar el cuerpo de la práctica de la existencia musical, sino, como una buena teoría científica, que hace predicciones concretas de tal manera que se pueden verificar. Estas predicciones involucran, cómo la combinación de los sonidos no armónicos, cómo los espectros y las escalas actúan recíprocamente y cómo la disonancia varía como una función de los intervalos y el espectro. [2] Está claro que para la naturaleza humana, el espíritu creador no tiene ataduras ni fronteras. Los grandes generadores siempre han tenido claro que, si bien la regla proporciona fundamento y orden a la creación, superarla y trascenderla proporciona belleza, emoción y mayor impulso de la voluntad creativa. Al respecto, Tomás Marco, en su Historia General de la Música, cita al tratadista René Leibowitz cuando afirma que “la historia de la armonía no es otra que la de la trasgresión constante de sus reglas” [11]. El proyecto es novedoso por que involucra la utilización del concepto de disonancia, ya que al considerarse como un sonido desagradable al oído da la sensación de que todo lo que se haga bajo este parámetro no va a sonar

consonante o va a ser simplemente ruido, razón por la cual se constituye en un aporte y en una herramienta más de composición, teniendo en cuenta la flexibilidad de utilizar las escalas xenoarmónicas sin estar sujeto a las escalas occidentales. [2] La intención del proyecto es llegar a un resultado mas evidente frente al tratado de escalas micro tonales, y poder así dejar una puerta abierta a quien quiera profundizar en el tema implicando diversas ramas del conocimiento para el enriqueciendo he integración de resultados hasta el momento logrados. Esta iniciativa da pie a alianzas futuras donde se vincularían no sólo licenciados sino también ingenieros e incluso psicólogos al comienzo de un visionario proyecto. La teoría sugiere que los intervalos más consonantes para un instrumento dado dependen de la estructura de su timbre. Afirmando que la forma de la escala y el espectro requiere que halla un camino conveniente de medida de disonancia de un sonido o un intervalo dado. La construcción de la disonancia métrica, la cual consiste en un software al cual le entra un sonido en forma digital y devuelve un número proporcional de disonancia/consonancia del sonido. Para pasajes extensos de música con muchas notas, “La métrica de Disonancia” de Sethares puede ser usada en un intervalo especificado y además cumple con las características necesarias para la implementación práctica del proyecto, ya que al ser cuantitativa permite hacer predicciones concretas y la toma automática de decisiones. Nuestras notas musicales Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, con una distancia de tono o semitono, son una elección concreta y bien determinada de todo el espectro posible de sonidos musicales. Nuestra sociedad occidental decidió elegir un “conjunto limitado” para desarrollar su creatividad musical. [10]. En 1939 se fijó la frecuencia de una nota de referencia, a partir de la cual poder deducir todas las otras. La nota y frecuencia escogidas fueron el La 4 a 440 Hz. A esta nota se le llama tono de referencia o tono de cámara, La vibra 440 veces por segundo o 440 Hertz, los demás sonidos se han establecido a partir de esta nota de referencia hacia arriba hasta 4186 Hz (Do 8) y hacia abajo hasta 27.500 (La0)

Hz. Aunque no se ejecutan métricas de tiempo cabe resaltar que nuestra música occidental resulta de una conjunción armónica de los diferentes sonidos seleccionados en ritmos binarios (2 por 4; 4 por 4...), ritmos ternarios (3 por 4; 6 por 8...) o subdivisiones de los mismos. Muy pocas veces se utilizan ritmos más complejos (como los quinquenarios: 5 por 8; septenarios: 7 por 4) o la polirritmia. Sin embargo, otras culturas han elegido otras formas de hacer música, tanto en lo referente a su universo tonal, como al componente rítmico: la interválica, la hindú, la microtonal china, la polirrítmica africana, la música dodecafónica, etc. [2] La esencia al construir una escala es que esta posea suficientes notas y que los intervalos entre ellas sean lo más consonantes posibles. En función de a qué intervalos demos mayor prioridad, surgen muchas maneras de construir escalas, por ejemplo las escalas justa, pitagórica y de igual temperamento. [2] Según William Sethares, la composición musical en su teoría cuantitativa de la disonancia a partir de las curvas experimentales de disonancia/consonancia para

dos

sonidos

senoidales

diferente

frecuencia

obtenidas

experimentalmente en los años sesentas, se establecen los siguientes usos reales: 1. Como dispositivo de procesamiento de señales de audio: Reduce la disonancia para controlar directamente la percepción de un sonido. 2. Adaptación a la melodía de sintetizadores musicales: Ajustar los tonos de las notas. 3. Exploración de sonidos no armónicos: Relacionar los intervalos y el espectro para encontrar la melodía más apropiada de un timbre dado. 4. Exploración de escalas musicales arbitrarias: Cualquier serie de intervalos tiene más timbres con espectro que sonidos consonantes, por lo tanto sirve para encontrar los timbres más apropiados para una melodía dada.

5. Análisis de música tonal e interpretación: Para medir las diferentes interpretaciones de una pieza. 6. Análisis de música no tonal y no occidental: Para investigar la música no occidental. 7. Musicología e Historia: Analizar los cambios de intervalos. 8. Como una entonación monitoreada: Monitorear la entonación de un cantante o instrumentista o como un instrumento de entrenamiento.

1.4. Formulación del problema Describa con precisión la pregunta que intenta resolver al terminar el proyecto y alrededor de la cual gira el trabajo. También puede formularse una hipótesis, la cual debe ser verificada durante el desarrollo del trabajo. Identifique las variables independientes y dependientes que involucra la hipotesis La búsqueda de nuevas tonalidades, nuevos timbres y atreverse a escuchar lo que nadie ha escuchado antes, ha dado pie a la implementación funcional del ambiente de sonorización que caracteriza timbres a partir de su espectro de sonido y genera la curva de disonancia para un instrumento con un fácil diseño de escalas xenoarmónicas sobre la plataforma en MatLab®. Deduciendo de tal manera el timbre, o la calidad del tono de los sonidos que de forma psicoacústica puede decirnos algo sobre la música, donde la consonancia y disonancia dependerá de la calidad tonal del sonido. El mismo tipo de relaciones se encuentran en la música de muchas culturas: la gamelans de Indonesia, la música clásica tailandesa, así como en las tradiciones occidentales.

Las escalas a edificar serán sucesiones interválicas no necesariamente basadas en la escala temperada que se constituye de la división de octava en doce semitonos iguales. Estas nuevas escalas son de independiente manejo para el usuario compositor, puesto que al aprovechar la teoría descrita en el método de Sethares para el cálculo de la disonancia, es posible crear cualquier serie de intervalos y frecuencias partiendo de la configuración tímbrica de la señal hacia una escala con extrañas armonías sean musicalmente posibles. Es de aquí donde se asigna el nombre de escalas xenoarmónicas.

1.5. Objetivos

1.5.1. Objetivo General  Reimplementación y expansión de funcionalidad del ambiente de sonorización basado en la medición cuantitativa de la disonancia psicoacústica de Sethares. 1.5.2. Objetivos Específicos  Caracterizar el timbre de un instrumento a partir del análisis de su espectro de sonido.  Generar curvas de disonancia para el timbre de un instrumento, empleando análisis espectral de Sethares.  Facilitar el diseño de escalas xenoarmónicas, mediante el mejoramiento de la herramienta de software basada en plataforma en MatLab®.

1.6. Alcance y Limitaciones

1.6.1. Alcances La exploración y caracterización de timbres de instrumentos, partiendo del análisis espectral de sonido para lograr un generador de elementos medibles en

parametrización

frecuencia,

puesto

que

permite

relacionar

adecuadamente el elemento sonoro con el elemento con su figura teórica. El generar curvas de disonancia en diversos timbres procesados sobre la herramienta estructurada, para luego llevar a cabo su aplicación musical y partiendo así de la escala automáticamente obtenida de acuerdo a los puntos de mínima disonancia que dará origen a la escala de uso exclusivo para el sonido que la originó. El estudio de disonancia, se logra gracias a la relación interválica de las frecuencias de octava proporcionada por la curva de disonancia, es necesario verificar indiscutibles parámetros para conseguir esta curva, el proceso a llevar acabo es identificar el clipeo, la resolución y el espectro matemático de la señal, luego de ello el programa escoge los mínimos que aparecen en la curva de disonancia, donde el usuario selecciona multiplicarlos a una frecuencia fundamental entre 27.500 a 4186.0 y así lograr las nuevas frecuencias que son convertidas a su valor MIDI y su micro afinación +/- cents generando la principal base a la hora de aplicar en su propósito musical. El músico tendrá la facilidad de fusionar y diseñar la escala xenoarmónica con que quiere trabajar la melodía, mediante el mejoramiento de la herramienta al momento de su composición gracias al software innovado sobre la plataforma MatLab®. La implementación del proyecto es una construcción mas en base a lo que se espera alcanzar en alianza con diversos programas académicos de la institución como otras que deseen hacer y brindar su aporte a fin obtener

beneficios, dando a la iniciativa una fortaleza para abordar más propósitos de acuerdo a los desarrollos según Sethares. 1.6.2. Límites En las diferentes pruebas efectuadas a la hora de programar un sintetizador, no es preciso hacerlo ya que la comunicación MIDI no interpreta la estructura de la micro afinación +/- cents, esto se genera debido a la estandarización actual solo para las notas temperadas. Al capturar sonidos de cuerda, vientos, generalmente la señal no cuenta con mínimos suficientes para construir una la escala xenoarmónica, esto se debe a que sus armónicos son múltiplos de la fundamental. Actualmente en su mayoría las computadora no cuenta con su puerto Jousting para la interfase MIDI, ante esta razón es necesario usar la interfase MIDI Usb (M. Audio) ante esta razón su conexión puede presentar inconvenientes como; latencia en la comunicación, errores de configuración, generando conflicto de acuerdo a la tarjeta de sonido utilizada. La composición con escalas xenoarmónicas en el momento de su escritura, se presentan algunas restricciones de configuración en el proceso de creación musical con diversos programas de software.

1.7. Resultado esperado El mejoramiento funcional de la herramienta diseñada, ayudara eficazmente de forma ágil y familiar al inquieto compositor que busca innovar con nuevas atmósferas tonales al momento de su interpretación. Estableciendo el procesamiento digital de los sonidos, para la generación de esos puntos mínimos de disonancia con los que construirá su nueva escala microtonal. De esta manera el músico tendra una nueva manera de componer, de pensar y de crear, al decidir los valores de frecuencia con los que quiere trabajar sus notas musicales. Los usuarios tendrán un software de fácil uso, ya que la mayoría de las funciones han sido integradas y su programación optimizada para la utilización de las herramientas posibles de MatLab®. Buscando un enfoque de perfección y demanda aplicativa. El conocimiento y relación de forma analítica abre un nuevo espacio de composición al no estar regido por la manipulación de escalas estandarizadas y gracias al software que ayudara a comprender que la escala es producto del timbre y no el timbre es producto de la escala. La posibilidad de comprender los conceptos de entidades Armónico-Melódicas, Ya que al manipular los sistemas armónicos, se involucran jerarquías en cuanto al dominio de la disonancia, comparable a un sistema tonal, sistema dodecafónico, sistema serial, entre otros.

2. MARCO CONCEPTUAL

2.1. La Física Del Sonido La producción, transmisión y percepción acústica del sonido han tenido cientos de estudios útiles en el mundo moderno, como lo ha sido la grabación y reproducción de voz y sonidos, aplicaciones para celulares, computadoras, cines, incluso en el pasado la construcción de los teatros debía contar con la planeación o diseño de Acústica de lo contrario, sin la existencia de los micrófonos, lograr que toda la audiencia escuchara representaba un reto, era entonces cuando con la ayuda de la Acústica, los antiguos diseñadores lograban que la audiencia escuchara claramente el Sonido que se ha cultivado gracias a la acústica, que trata tanto de la propagación de las ondas sonoras en los diferentes tipos de medios continuos como la interacción de estas ondas sonoras con los cuerpos físicos. A través del sentido del oído percibimos el conjunto de notas ligadas entre sí que componen las melodías. También distinguimos el sonido que producen los distintos instrumentos, que, aunque toquen las mismas notas, tienen cada uno de ellos su particular sonido, que nos permite distinguir un violín, de una trompeta o una flauta. No siempre los sonidos son agradables al oído, pues las explosiones, el ruido del tráfico, atropellan el Umbral de Audición siendo este un factor importante en la recepción auditiva, cuando la amplitud de una onda sonora aumenta, llega un momento en que produce molestias en el tímpano, o sea, el umbral del dolor. Catalogándose así como la intensidad mínima de sonido capaz de impresionar el oído humano. Aunque no siempre este umbral sea el mismo para todas las frecuencias que es capaz de percibir el oído. El valor normal se sitúa entre 0 dB audiométrico, equivalentes a 20 micropascales y 25 dB audiométricos, sin embargo, en frecuencias muy bajas aproximada a los 20 Hz hasta los casi 80 Hz. Este Umbral tiende a subir debido a que estas frecuencias poseen un sonido mucho más bajo. Caso contrario sucede en las frecuencias

superiores a los 10.000 Hz; pues debido a la agudeza de estas ondas el umbral de 0 siempre es este. Los 0 dB se expresan en Intensidad como 10 -12 [Watts/m2] y en variación de la presión como 2·10-5 [N/m2]. Esta medida en Frecuencia (F) sirve para indicar el número de repeticiones (oscilaciones que una onda) de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidad de tiempo. Para su cálculo se contabiliza un número de ocurrencias teniendo en cuenta un intervalo temporal para luego estas repeticiones dividirlas por el tiempo transcurrido. El número de ciclos por segundo se llama hertz (Hz), y es la unidad con la cual se mide la frecuencia. Este tiempo empleado en realizar una vuelta completa o un

ciclo

llama

Periodo

(T),

recíproco

frecuencia.

Si variamos el control del periodo se observa cómo varía la frecuencia. Cuanto menor sea el periodo, mayor es la frecuencia y viceversa; son magnitudes inversamente proporcionales. La Forma de Onda más sencilla que un proceso físico origina es una Oscilación Senoidal. Los sonidos producidos por los instrumentos musicales y otros cuerpos sonoros suelen ser la unión de varias ondas senoidales de diferentes frecuencias. Las mayores cualidades del sonido lo son el Tono o altura que depende de su frecuencia y permite ordenarlos de graves a agudos (el número de vibraciones por segundo). Así mismo se relaciona con la longitud de onda que forma el sonido. A su vez el Timbre caracteriza el distinguir diferentes sonidos, como una guitarra, un violín o un piano. Que emiten la misma nota y podemos distinguir claramente cual es cada uno. También podemos apreciar que cada persona tiene distinto timbre de voz.

Características de la Vibración

Características del sonido

Frecuencia Produce Tono Amplitud Produce Intensidad Duración Produce Duración Forma Produce Timbre Tabla 1. Características de la vibración y el sonido Cada una de las características, tanto de la vibración como del sonido, son independientes entre sí, es decir, una vibración puede alterar su frecuencia sin que la demás características varíen. [7]. La forma de onda viene determinada por los Armónicos que son un conjunto de sonidos suplementarios que se originan de un sonido fundamental del movimiento ondulatorio (especialmente en los instrumentos musicales) y que en gran parte determinan y contribuyen a la percepción auditiva de la calidad de sonido o timbre. Se evidencian al encontrar el espectro del sonido. La forma de hallar este espectro se efectúa por medio de la Transformada de Fourier ya que se utiliza para pasar al dominio frecuencial una señal y así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Una forma clara de relacionar este fenómeno es cuando un prisma descompone la luz en sus colores constituyentes, en este caso el espectro de Fourier descompone una señal o sonido en ondas senoidales de distinta frecuencia como se muestra en la figura 1 [2].

Figura 1. Transformada de Fourier

La idea de descomponer un sonido complejo en sus elementos simples senoidales, surge dadas las características del oído humano, el cual funciona como un tipo de ‘analizador de espectro biológico’. Quiere decir esto que, cuando las ondas sonoras chocan contra el tímpano, lo que se escucha es el resultado directo del espectro de éstas. Este efecto de prisma para las ondas se logra realizando un análisis espectral que normalmente es ejecutado con la ayuda de un programa para computador llamado Transformada Discreta de Fourier (DFT) ó Transformada Rápida de Fourier (FFT). Matemáticamente, cualquier señal periódica puede separarse en una suma de ondas seno con frecuencias que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Así, el espectro representa la forma de onda periódica. Cabe anotar que el sonido no es verdaderamente periódico sólo porque tiene un principio y un final, se puede lograr una buena aproximación periódica en un período determinado de tiempo, por lo tanto, el espectro puede representar un sonido musical hasta cierto punto. [8] 2.2. La Música Es un lenguaje universal, pues su comprensión esta al alcance de todas las personas. También es cierto que la educación musical, como desarrollo de las disposiciones musicales del hombre, no recibe, en nuestro medio la atención que debería. La relación que tiene la música a las matemáticas es bastante amplia ya que los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos como se comento anteriormente ya que tienen un carácter periódico. Una cuerda vibrando, el aire en el interior de un instrumento de viento, etc. Aun siendo muy diferentes entre ellos, estos procesos pueden ser descritos con un mismo modelo matemático. La característica más fundamental de esos sonidos es su "altura" o frecuencia. Una cuerda que al ser tocada vibra, dando oscilaciones en las proximidades de su posición de reposo o equilibrio. Cuantas más oscilaciones da en un período de tiempo, más alta será la frecuencia del sonido producido, y más aguda o "alta" será la nota musical resultante. La magnitud de

la frecuencia, que es simplemente el número de oscilaciones o ciclos por segundo. En la música, las frecuencias absolutas no son tan importantes, como sí lo son las relaciones de frecuencia entre diferentes sonidos, las cuales denominamos intervalos o distancias. Una melodía puede ser tocada con instrumentos de sonido grave o agudo, o en diferentes "octavas", sin dejar de ser la misma melodía, siempre y cuando las distancias entre las notas sean preservadas. Se define un etalón, o sea, una nota estándar, de la cual podemos derivar todas las otras notas. La distancia musical que separa alguna nota de la del etalón, la denominaremos escala. El oído humano es un "instrumento" muy sensible, y en ciertas condiciones es capaz de percibir sonidos en el rango de 20 Hz hasta 20,000 Hz, aunque el diapasón 5 musical es significativamente menor hasta unos 4,500 Hz. Los sonidos más agudos, aunque son audibles, se escuchan como ruidos, silbatos o timbres brillantes de los sonidos musicales. Dentro de ese diapasón, el oído puede distinguir los sonidos cuyas frecuencias difieren en un solo Hertz. La siguiente figura muestra un teclado de piano, al cual cada tecla le corresponde un número MIDI, una nota musical y una relación en frecuencia correspondiente (en Hertz): para cada una de las notas.

5 Es utilizado para afinar instrumentos al conseguir un sonido o tono fijo al ser golpeada, consta de una pequeña horqueta de dos puntas.

Figura 2. Teclado de piano con su relación numérica MIDI y frecuencia. En esta figura esquemática se puede ver que las teclas forman grupos de 12 (7 blancas y 5 negras), y estos grupos se repiten. Cada octava cierra un grupo y abre el otro, y por eso la distancia musical entre esas teclas se llama octava (normalmente se llama octava también el mismo grupo de 12 teclas), y su escala es igual a 2:1. Esto es, la frecuencia de la misma nota de siguiente octava es el doble, y la de octava anterior es la mitad. La distancia de dos

octavas le corresponde a la relación de frecuencias de 4:1, tres octavas 8:1 etc. para sumar distancias tenemos que multiplicar las relaciones de frecuencias. La nota "La" (A4) es la nota de etalón su frecuencia es 440 Hz. La diferencia de frecuencia o altura entre dos notas musicales, medida cuantitativamente en grados o notas naturales y cualitativamente en semitonos se le llama Intervalo. Estos espacios forman una serie de sonidos llamados Escalas que van desde la frecuencia más baja a la más alta siguiendo intervalos de frecuencia definidos. La escala estándar occidental es la escala Cromática de temperado igual de 12 notas

y divide la octava en 12 intervalos iguales. La unidad básica

interválica es el semitono temperado y corresponde a una relación de frecuencia de 21/12. La razón entre la frecuencia de una nota y la anterior es siempre constante. Bach fue uno de los primeros defensores de la afinación temperada. En la escala temperada, los intervalos son iguales en todas las tonalidades, con un ligero “error”. El Clave bien temperado de Bach incluye piezas en todas las tonalidades. Con afinación temperada (o desafinadas) por igual. [12] Todos los sonidos de esta escala cromática están separados por medio tono; además de que la escala cromática está formada por todos los sonidos. Cuando se asciende por la escala utilizamos sostenidos; cuando descendemos hacemos uso de bemoles. Para armar la escala cromática construimos la escala mayor y le agregamos sostenidos entre las notas que tengan un tono de distancia.

Figura 3. La escala cromática ascendente y descendente.

En el contexto de una melodía se utiliza la escala cromática para utilizar lo que se conoce como pasajes cromáticos. Las características fundamentales para la construcción de escalas partiendo de la nota inicial Do (C), entonces la cuarta es Fa (F), la quinta es Sol (G) y la octava Do (C) (la cual se encuentra una octava más alta), estas notas corresponden a la escala diatónica (las teclas blancas del piano). Todas estas relaciones entre las notas se denominan intervalos.

Figura 4. Escala Diatónica A partir de un sonido original en este caso la Tónica Do (C) como la nota original, obtenemos diferentes notas armoniosas: Nota Frecuencia Longitud de la cuerda Origina f L l Octava 2f 1/2 L Quinta 3/2 f 2/3 L Cuarta 4/3 f 3/4 L Tabla 2. La construcción de la escala musical A partir del tono de referencia o tono de cámara, La 4 a 440 Hz, se logran deducir todas las demás frecuencias de las notas. Las frecuencias de las notas que parten del Do4 al Do5 son: Do 261

Do# Re Re# 277 294 311

Mi 330

Fa 349

Fa# 370

Sol 392

Sol# La Si b Si 415 440 466 494

Do 523

Tabla 3. Frecuencias de las notas musicales

Los notables intervalos habituales por su simplicidad e importancia entre todas las escalas musicales son la octava, quinta y cuarta. 

La octava: Corresponde a un salto de ocho teclas blancas del piano, otra nota armoniosa. la frecuencia es doble. El sonido se repite, pero más agudo.



La quinta: Corresponde a un salto de cinco teclas blancas a partir de Do en un piano. Su frecuencia es de tres medios del sonido inicial.



La cuarta: Corresponde a un salto de cuatro teclas blancas a partir de Do en un piano. Su frecuencia es cuatro tercios de la nota inicial.

Para encontrar las notas que tengan frecuencia entre f y 2f. La primera que tenemos es la quinta, la frecuencia es 3/2·f. Corresponde a una cuerda de longitud 2/3 la inicial. El siguiente paso es encontrar la quinta de la quinta. La frecuencia será 3/2·3/2·f = 9/4·f. El problema es que esa nota tiene una frecuencia más grande que 2f. Lo que hacemos es encontrar una nota una octava más abajo. Es decir, una nota con frecuencia 9/8·f. Al repetir el proceso se obtiene lo siguiente: f 3/2.f 9/8.f (Después de descender una octava) 3/2.9/8.f = 27/16.f 3/2.27/16.f = 81/32.f (Descendemos de nuevo una octava y obtenemos 81/64.f ) 3/2.81/64.f = 243/128.f Tabla 4. Notas musicales que tengan frecuencia entre f y 2f Nota Base Quinta

Octava

F 9/8·f 81/64·f 3/2·f 27/16·f 243/128· f 2·f

Tabla 5. Ordenando ascendentemente de las notas obtenidas

(9/8):1=9/8 (81/64):(9/8)=9/8 (3/2):(81/64=32/27 (27/16):(3/2)=9/8 (243/128):(27/16)=9/8 2:(243/128)=256/243

1,125 1,125 1,185 1,125 1,125 1,053

Tabla 6. Seis notas obtenidas las dentro de la octava Si a lo anterior se añade la cuarta, cuyo valor, que ya se había hallado, corresponde a 4/3.f, se consigue el siguiente cuadro de las siete notas con sus correspondientes razones entre las frecuencias:

Nota Frecuencia Razón nota anterior Nota Notación Tónica f. Do C Segunda 9/8·f 9/8=1,125 Re D Tercera 81/64·f 9/8=1,125 Mi E Cuarta 4/3·f 256/243=1,053 Fa F Quinta 3/2·f 9/8=1,125 Sol G Sexta 27/16·f 9/8=1,125 La A Séptima 243/128·f 9/8=1,125 Si B Octava 2f 256/243=1,053 Do C Tabla 7. Relación de frecuencias de las notas musicales Las siete notas forman la Escala Diatónica, cuyos sonidos pertenecen a las teclas blancas del piano. La tónica se repetirá en la octava con el doble de altura. Se puede observar que hay dos razones diferentes, el tono 9/8 y el semitono 256/243 (correspondientes a los semitonos existentes entre Mi a Fa y Si a Do). La relación que hay entre las dos razones es que los dos semitonos hacen casi un tono (256/243)2 = 1,109, pero no es exactamente el mismo.

Ejemplo sobre la tónica Intervalo

Relación de frecuencia (Do de la escala temperada)

Octava Justa

2/1

Do (523.2)/C(261.6)

Quinta Mayor

3/2

Sol (392.0)/C(261.6)

Cuarta Justa

4/3

Fa (349.2/C(261.6))

Tercera Mayor

5/4

Mi (329.6) /C(261.6)

Sexta Mayor

5/3

La (440.0) /C(261.6)

Tercera Menor

6/5

Mi (311.1) /C(261.6)

Sexta Menor

8/5

Si (466.2) /C(261.6)

Tabla 8. Relación de frecuencia de los intervalos musicales La escala temperada, que no es en absoluto natural en el sentido de la resonancia física, fué la base acústica de la armonía tonal funcional. No debe extrañar que, si en los comienzos del siglo XX esa armonía sufre ataques tan fuertes que acabarían por disolverla, la escala misma fuera también puesta en cuestión; y desde luego lo fué. Pero habría que distinguir entre el ensayo de escalas nuevas que solventen el problema de una tonalidad que quiere ser trascendida y el de los ataques frontales para quebrar la escala occidental o incluso para trascender el concepto mismo de escala a favor de un continuo sonoro sin fracturas. [1] La impresión agradable que produce en nuestro oído la fusión de dos o más sonidos o acordes simultáneos se le denomina Consonancia. Como tantas cosas en la música, el concepto de consonancia presenta un aspecto subjetivo, al que aluden los términos “impresión” y “agradable”, pero también se apoya en

una base científica: la serie de armónicos que compone cada sonido. Hasta los siglos XII y XIII sólo se consideraban consonantes los intervalos de octava, quinta y cuarta; luego lo serán también las terceras y las sextas. Para un intervalo de varios sonidos simultáneos que es definido por las reglas de la armonía como "desagradable" al oído. Se la suele definir también como Disonancia ó consonancia lejana, al ser sonidos armónicos lejanos. Los intervalos entendidos como disonancias son la cuarta aumentada (tritono), segunda menor (Do sería Re-bemol, ya que Re-b esta a distancia de 1 Semitono de Do), segunda mayor (intervalo que existe entre dos notas consecutivas cuando su distancia es de un tono), séptima menor y séptima mayor. El tritono es un intervalo musical que abarca tres tonos enteros. Se le llama también intervalo de cuarta aumentada o de quinta disminuida.

Figura 5. La cuarta aumentada entre Do y Fa# forma un tritono. La teoría de Sethares expresa que las diferentes culturas han ido ajustando las escalas de sus instrumentos inconscientemente para que las notas de la escala caigan precisamente en esos mínimos de disonancia. Los tonos son Disonantes si la separación de frecuencias es suficientemente pequeña para percibir batidos lentos. y los tonos son Consonantes si la separación de frecuencias coincide con la banda crítica o es superior. 1 Batido = Sonido Pulsante. Ancho de banda crítico: Es la mínima separación entre dos tonos puros simultáneos que no produzcan sensación desagradable. Separación de f expresada como fracciones de banda crítica

Figura 6. Curva normalizada que representa la consonancia de dos tonos puros que suenen simultáneamente Intervalos Tradicionalmente Consonantes 1/1 Unísono 6/5 Tercera Menor 5/4 Tercera Mayor 4/3 Cuarta 3/2 Quinta 5/3 Sexta 2/1 Octava

Tabla 9. Intervalos Basados en Relaciones de Frecuencias

Figura 7. Gráfica de Disonancia para un Instrumento Clásico

El fundamento de Los fenómenos de la consonancia y disonancia han despertado el interés hace mucho tiempo. Galileo Galilei formulo una teoría que afirma que “las consonancias son pares de tonos que llegan al oído con una cierta regularidad; esta regularidad consiste en el hecho de que pulsos entregados por los dos tonos, en el mismo intervalo de tiempo, deben ser conmensurables en número, de manera de no mantener el oído en un tormento perceptual'' El avance del significado de consonancia, según Tyndall, se reseña que cuanto más simple sea la concordancia de frecuencias de dos sonidos, más consonante será el intervalo que crean. Helmholtz manifestó la consonancia y la

disonancia precisándose especialmente en la ausencia o presencia de

batidos o pulsaciones que podrían darse entre sonidos fundamentales o algunos de sus armónicos, donde el cerebro realiza un análisis espectral de la señal sonora, separando un sonido en sus diferentes armónicos parciales. Distinguiendo, Helmholtz afirma que hay disonancia cuando la diferencia de frecuencia entre dos armónicos o tonos puros, es tal que aparecerán entre 30 y 40 batidos o pulsaciones por segundo. Tómese como ejemplo la sensación producida al ejecutar un intervalo de segunda menor en un piano o una guitarra. [6] Békésy y Plomp apuntan el significado de disonancia como algo más extenso: La existencia de batidos o pulsaciones puede crear una sensación desagradable, pero no en todas las ocasiones. Si la frecuencia de un batido es baja, el oído aprecia simplemente un trémolo, no una disonancia. Por el contrario, dos sonidos cuyas frecuencias difieran lo suficiente como para producir pulsaciones audibles, pueden crear al sonar juntos, una sensación de aspereza. Se denomina Banda Crítica al campo de frecuencias dentro del cual se perciben la sonoridad áspera, las pulsaciones y los batidos. [5] El ancho de la banda crítica obedece de la frecuencia central de la misma; para estimar el grado de consonancia y disonancia de un sonido experimentalmente, Plomp y Levelt manejaron la siguiente Ecuación fórmula para deducir la diferencia de frecuencias a la que se obtiene la mayor disonancia. [4]

 L  57  0.447 Donde: f d  2.271  P f Lp = Nivel de presión sonora 40   f = Frecuencia del tono primario. Fórmula 1. Calcula la diferencia de frecuencias a la que se obtiene la mayor disonancia. El algoritmo para calcular el grado de disonancia consiste en: normalizar el espectro del sonido al ancho de banda crítica constante (normalizar la formula anterior para Lp constante). A continuación se convoluciona el espectro normalizado por la función que representa el grado de disonancia que aparece según nos aproximamos a la banda crítica. La función obtenida representará la disonancia aparecida en función de la frecuencia. [4]

Figura 8. Curva que representa la consonancia/disonancia de dos tonos puros que suenan simultáneamente, en función de su separación de frecuencias, expresada como fracciones de banda crítica. La explicación de este fenómeno en términos neurológicos se basa en el hecho de que, cuando dentro de la banda crítica correspondiente a una fibra nerviosa, recae sólo una componente armónica, la señal neuronal tendrá una perfecta periodicidad que facilita al cerebro la búsqueda de correlaciones temporales. Sin embargo, si dentro de la banda crítica recaen diferentes componentes

armónicas, la señal neuronal no tendrá una correlación fácil de desentrañar, lo que provoca el estrés propio de una disonancia. [3] La posterior figura ayuda a vislumbrar cómo varían las interacciones entre dos frecuencias senoidales puras (armónicos puros), una de ellas fija ( f o ) y la otra variable (f). Si se consideran frecuencias f que varíen desde valores muy por debajo de f o hasta muy superiores, el resultado producido al hacer coincidir ambos sonidos, sufre variaciones considerables. Habrá un amplio margen de frecuencias para el que se producirá consonancia, pasando a continuación a un sonido más incómodo con tintes de aspereza. Al hacerse menor la diferencia entre f y f o aparecen batidos, que se hacen mas lentos a medida que ambas frecuencias se aproximan, hasta llegar al unísono o consonancia total. Si f sigue aumentando, la variación irá en orden inverso: batidos, aspereza y de nuevo consonancia. [6]

Figura 9. Evolución de la consonancia producida por dos sonidos senoidales puros en función de su separación. El resultado de la gráfica se consiguió gracias a las experimentaciones hechas con varios de individuos y se concuerda tolerablemente a una ecuación polinómica del siguiente tipo:

C  13.64 x 4  36.28 x 3  32.80 x 2  10.13 x  1 Formula 2. Ecuación Polinómica En la que x representa la fracción de banda crítica y el grado de consonancia. Teóricamente todas aquellas frecuencias que sean percibidas simultáneamente y coincidan dentro de una banda crítica, contribuirán en mayor o menor medida a la sensación disonante. Tal como se observa, la razón del efecto de disonancia entre dos sonidos musicales simultáneos no puede reducirse a las simples reglas de la relación de las frecuencias fundamentales o de la existencia de batidos audibles, sino que tiene relación con el timbre de los sonidos percibidos, los complejos mecanismos de la audición y la actividad cerebral. [5] Averiguaciones vigentes han expresado la misma conclusión: La consonancia o disonancia de dos tonos puros (armónicos) que suenan juntos, depende de la diferencia de frecuencias y no su cociente. La máxima disonancia se produce cuando la diferencia de frecuencias es aproximadamente ¼ de ancho de banda crítica. [3] La impresión de consonancia está profundamente ligada a la conducta de nuestro sistema psicoacústico, deduciendo la Psicoacústica a fin de la rama de la psicofísica que ilustra la relación existente entre el estímulo de carácter físico y la respuesta de carácter psicológico que éste provoca; en general estudia la relación entre las propiedades físicas del sonido y la interpretación que hace de ellas el cerebro. 2.3. El MIDI Las siglas MIDI (Musical Instrument Digital Interface). Se trata de un protocolo de comunicación que surgió en el año 1982, fecha en la que distintos fabricantes de instrumentos musicales electrónicos se pusieron de acuerdo en su implementación. Aunque originalmente se concibió como un medio para poder interconectar distintos sintetizadores, el protocolo MIDI se utiliza

actualmente en una gran variedad de aplicaciones como lo son: grabación musical, cine, TV, ordenadores domésticos, presentaciones multimedia. Dado que este protocolo es bastante eficiente en cuanto a enviar cantidades de datos relativamente grandes a una velocidad respetable, se ha convertido en un elemento de gran utilidad para compositores, educadores, programadores y multitudes que anda explorando crear música con varios instrumentos. Con la ayuda de un ordenador o un secuenciador hardware, permite crear arreglos multipistas, líneas o partes instrumentales, entre otras. Algunas de las ventajas que proporciona es generar sonido a partir de un sintetizador MIDI en vez de hacerlo partiendo de un sampler tiene algunas ventajas. La primera de ellas es que se necesita una gran cantidad de espacio de almacenamiento para guardar el audio muestreado (Ej. archivos .WAV). Se necesitan unos 10 Mb de espacio en disco para almacenar 1 minuto de audio estéreo muestreado en calidad CD (16 bits y 44,1kHz). En comparación, los archivos de datos MIDI tienen un tamaño insignificante. Una secuencia MIDI típica

utiliza

sólo

unos

por

minuto.

Para su funcionamiento el archivo MIDI no contiene datos de audio muestreado, sino más bien una serie de instrucciones que el sintetizador u otro generador de sonido utiliza para reproducir el sonido en tiempo real. Estas instrucciones son mensajes MIDI que indican al instrumento qué sonidos hay que utilizar, qué notas hay que tocar, el volumen de cada una de ellas. Para los ordenadores, el reducido tamaño de estos archivos implica que un ordenador poco potente puede hacerse cargo de complejos arreglos musicales sin ni siquiera inmutarse. En cambio, puede llegar a ser imposible que una de estas máquinas sea capaz ni tan siquiera de reproducir unas pocas pistas de audio

muestreado

calidad

CD.

Otras ventajas: 

Ofrece la posibilidad de editar la música con facilidad.



Permite alterar la velocidad de reproducción y la altura tonal de los sonidos de forma independiente.

Al respecto de este último punto, al cambiar la velocidad de una grabación en cinta, CD, disco duro, cambiará la altura tonal del sonido. El sistema General MIDI suministra unas especificaciones (polifonía, sintes multitímbricos, mapa de sonidos de percusión, etc.) y un conjunto de sonidos comunes que proporcionan a compositores y desarrolladores de aplicaciones multimedia una plataforma común y estandarizada. Con el realismo cada vez mayor que proporcionan sintes y samplers (hardware o virtuales) y conforme aparecen nuevas aplicaciones, esta claro que los instrumentos MIDI van a seguir siendo una parte clave en la generación de música y sonido.

3. ESTRATEGIA METODOLÓGICA El método empleado para la elaboración del proyecto, se fundamenta a partir de los resultados obtenidos en los trabajos anteriormente expuestos. Se propone revisar las diferentes creaciones para poder así realizar los aportes necesarios y complementar las debilidades que presentaron a la hora de ser utilizados. Por esta razón se buscara la manera de mejorar su funcionalidad de esta aplicación, con la visión de brindar la posibilidades a cualquier persona que inicia su exploración en el arte musical y lograr la elaboración de diversas composiciones con escalas xenoarmónicas. Inicialmente se realizara una revisión cuantitativa del expediente fundamental y se buscaran los aspectos críticos a rediseñar. Teniendo en cuenta el requerimiento del ambiente de sonorización por medio de la herramienta MatLab®, se resuelve aplicar el análisis estructurado, debido a que este se basa en la construcción de datos secuenciales, ya que es un software que puede ser utilizado por una gran cantidad de músicos he ingenieros, en sus diferentes aplicaciones para áreas musicales como en el procesamiento digital de señales, entre otras. Por tal razón se parte de una notación adecuada donde se organizan modelos que reflejan el flujo y el contenido de la investigación como es los datos y el control; iniciando desde el sistema funcional y según los distintos comportamientos se establece la particularidad del camino que se parte a construir con los diagramas de flujo. El DFD (Diagrama de Flujo de Datos), es una técnica gráfica que representa el flujo de la información y las transformaciones que se aplican a los datos al moverse desde la entrada a la salida. [13].

A continuaciรณn se muestran los diagramas de flujo de datos para el proyecto.

Figura 10. Modelo General Diagrama de Flujo de Datos

Figura 11. Modelo Secuencial Diagrama de Flujo de Datos

3.1. Presupuesto Durante la elaboración del proyecto desarrollado se hace uso de todos los instrumentos y medios al alcance dentro de la Universidad Autónoma de Manizales, como lo son: Textos de referencia e investigación, Teclado o Sintetizador con puerto MIDI, Computador con interfase MIDI y tarjeta de sonido. En referencia al software licenciado, la universidad como el músico tiene sus propias licencias.

3.2. Cronograma de Actividades Las actividades realizadas y a realizar dentro del área de exploración:

Tabla 10. Cronograma de Actividades 1. Objetivo 1 1.1. Actividad 1 -Análisis y revisión de documentación constituida hasta la fecha. -Reconocimiento bibliográfico. 1.2. Actividad 2 -Comprensión de funcionalidad. -Detección de errores y mejoras.

2. Objetivo 2 2.1. Actividad 1 -Diseño de procesos para la recolección de timbres musicales hacia su respectivo análisis. 2.2. Actividad 2 -Desarrollo y mejoras de rutinas para la digitalización de sonidos externos. -7 Septiembre Primera Exposición 3. Objetivo 3 3.1. Actividad 1 -Revisión y reimplementación de los códigos sobre el programa conocido MatLab®. -Adaptación de los códigos a la nueva propuesta a desarrollar. -13 Octubre Entrega de documento para lector intermedio -19 Octubre Segunda Exposición 3.2. Actividad 2 -Pruebas y Obtención de resultados para la verificación del logro deseado. -Validación y corrección de errores. -Retroalimentación y redacción del documento. -Verificación si ó no mejoro la nueva propuesta -23 Noviembre entrega documento final para evaluación -27 Noviembre entrega de correcciones -2 Diciembre entrega documento final al asesor con correcciones; para otorgar Visto Bueno de exposición final. - 10 Diciembre entrega documento final.

4. DESARROLLO

Figura 12. Diagrama de flujo General del Proyecto

El software se ha mejorado en su forma de uso, ya que es posible capturar sonidos para su análisis, este con el fin de hacer un instrumento multifuncional para usuarios compositores que desean innovar de forma ágil y práctica los fragmentos musicales. El tratamiento de la información en los algoritmos se ha estructurado para obtener un análisis y procesamiento más confiable, alcanzando así sus propios bancos de sonido para el análisis frecuencial de disonancia. La detección automática de los puntos mínimos en la curva de disonancia determinando de manera eficaz la escala de instrumento. La nueva escala será localizada y programada en un dispositivo virtual o físico en el cual reflejara la armonía. El propósito usual del proyecto radica en el empleo de un ambiente de sonorización obtenido a través de un timbre grabado por medio un micrófono conectado al computador, ya sea un instrumento electrónico o físico, el cual se consigue un muestreo de la señal al acceder al archivo que establece el formato estándar de audio digital (.wav), este tendrá un nombre que lo diferencie al igual que un tiempo en segundos. Estos serán analizados en el algoritmo diseñado. Entre las características que presenta el software a la hora de llevar acabo su uso; la señal o timbre no debe presentar distorsión (clip), ya que pierde información debido a los picos de mayor amplitud 1 y -1. El programa corta los picos que sobrepasan esta amplitud dejando así la señal sin estos valores. Además, Una vez solucionado este problema, se verifica que la resolución sea menor de 0,01, este valor surge de la Coma, esta es la más pequeña diferencia interválica que el oído puede apreciar entre dos sonidos. Equivalente a la novena parte de un semitono. Una vez obtenida una buena resolución, la cual es la exactitud con que se puede estimar una frecuencia o un periodo. Este se aprecia por medio de dos métodos, escogiendo el que sea más apropiado.

Un método se realiza con el espectro de potencia, el cual descompone una señal o sonido en ondas senoidales de distinta frecuencia, en este caso halla el armónico que precede a su frecuencia fundamental que es el valor en potencia del primer armónico.

Figura 13. Gráfica del timbre de una campana al aplicar la FFT 2 (Espectro de Potencia). El otro método es la autocorrelación, el cual mide cuanto se parece una señal a sí misma cuando se desfasa un cierto tiempo con respecto a la original. La autocorrelación de una señal periódica cuando el desfasamiento es igual al valor del periodo es muy alta. La autocorrelación devuelve una figura simétrica con la frecuencia mayor en el centro, y de allí en adelante en forma descendente sus segundas, sus terceras, sus cuartas, etc. Se trabaja con la central y cualquier segunda f1, ya que lo que se necesita encontrar el delta de f (Δf) que es el numero de muestras de separación, este se halla restando la distancia que hay entre el pico mayor fo y el segundo pico mayor f1, el periodo f (Tf) de la señal es el resultado de multiplicar (1/Fs)*(Δf), y la resolución relativa Tf es igual a 1/Δf.

Figura 14. Gráfica de autocorrelación de una señal

Figura 15. Gráfica del timbre de una campana al aplicar la Xcorr (Autocorrelación)

Cabe notar que antes de aplicar la transformada rápida de Fourier es importante aplicar una técnica de ventaneo con el fin de reducir la probabilidad de resultados engañosos. El ventaneo se utiliza con el fin de evitar que las discontinuidades introducidas al analizar solo una fracción de la señal o al introducir muestras con valor de cero introduzcan componentes de alta frecuencia en el espectro, que son mas bien un artificio de las discontinuidades introducidas y no de la señal.

a).

b).

c).

Figura 16. Gráficas del timbre de una campana a).Señal Estereo, b). Señal Monofónica, c).Señal Hamming (Técnica de Ventaneo) El espectro de un sonido matemáticamente es usado con la transformada de Fourier, Por ejemplo si una forma de onda contiene N muestras, entonces su espectro a encontrar es una cadena de N números complejos con su respectiva magnitud y fase. La magnitud del espectro es importante para poder determinar el tamaño de las parciales de la onda seno, mientras que la fase permite identificar entre dos sonidos que tienen igual magnitud, cual difiere en su fase.

El muestreo de esta señal permite el análisis empleando el filtro de ventaneo (Hamming), Luego de este se accede a caracterizar el timbre del instrumento a partir del análisis del espectro de su sonido. Logrando el espectro de la señal filtrada. Hay dos propiedades muy significativas de la transformada rápida de Fourier; La primera es invertible ósea, se puede calcular la forma de onda de un espectro o el espectro de una forma de onda. En general la forma de onda y el espectro contiene la misma información. En ejemplo la envolvente de un sonido es más limpia para la forma de onda mientras que las parciales son más limpias para el espectro. La segunda es lineal, es decir, la transformada rápida de Fourier de un sonido completo es igual a la suma de todas sus parciales. FFT (w + v) = FFT (w) + FFT (v) Formula 3. FFT y la suma de sus parciales de un sonido completo donde w y v son dos señales

a).

b).

Figura 17. Espectros gráficos del timbre de una campana, a). Espectro de la señal, b). Ampliación del espectro de la señal alrededor de w=0. Para generar el dibujo de la curva de disonancia, el primer paso a realizar es encapsular la curva para manejar una fórmula matemática basada en ondas senoidales puras. La curva es función de dos ondas puras senoidales cada una con una amplitud específica. Representando la altura de la curva por la letra d, la relación puede expresarse como: d (f1, f2, a1, a2) Donde: f1: Es la frecuencia del seno más bajo. f2: Es la frecuencia del seno más alto. a1 y a2: Son sus correspondientes amplitudes. Cuando hay más de dos ondas senoidales simultáneamente, es posible sumar todas las disonancias que ocurren. Suponiendo que la nota que F tiene tres parciales a f1, f2 y f3, con amplitudes a1, a2 y a3. Entonces la disonancia intrínseca o inherente de F es la suma de todas las disonancias entre todas las parciales, la suma de d (fi, fj, ai, aj) donde i y j toman todos los posibles valores entre 1 y 3.

La disonancia

intrínseca de F se denota DF.

Para encontrar la disonancia cuando el espectro F es tocado en algún intervalo c, todas las parciales pueden sumarse. En ejemplo, suponiendo que F tiene dos parciales f1 y f2, los sonidos completos tienen cuatro ondas seno a: f1, f2, cf1 y cf2, entonces la disonancia del intervalo es la suma de todas las posibles disonancias entre estas cuatro ondas. Primero entre las disonancias intrínsecas de las notas para: DF = d(f1,f2,a1,a2) y DcF = d(cf1,cf2,a1,a2). Luego para las disonancias entre los cf1 y las dos parciales de F, d(f1,cf1,a1,a1) y d(f2, cf1,a2,a1) y finalmente las disonancias entre cf2 y las dos parciales de F, d(f1,cf2,a1,a2) y d(f2,cf2,a2,a2). Sumando todos estos términos da la disonancia de F en el intervalo c, el cual se denota DF(c). La curva de disonancia del espectro F es una fracción de esta función DF(c) sobre todos los intervalos de interés de c.

Figura 18- Gráfica de disonancia de una campana y su relación de octava de un teclado con sus mínimos más representativos. La parametrización matemática para calcular la disonancia de un grupo de parciales se basa sobre el lenguaje de la plataforma MatLab®, en este se efectúa los algoritmos necesarios para el cálculo de la disonancia. La siguiente tabla proporciona una comparación en detalle entre la escala cromática, los mínimos de la curva de disonancia y la escala mayor de entonación justa.

Cromática

Mínimo de la Curva de

Entonación

Nota r = (2)1/12

Disonancia

Justa

1:1

Unísono

16:15

Semitono Justa

9:8

Justa Tono

1:2 (6:5)

6:5

Justa Min. 3

1.25 (5:4)

5:4

Justa May. 3

1.33 (4:3)

4:3

Justa Perfecta 4

1.4 (7:5 = Sept. Tritono)

45:32

Tritono Justa

1.5 (3:2)

3:2

5 Perfecta

Do# Re Mib

Mi Fa Fa# Sol

r r r r

0 1 2 3

4 5 6 7

=1 = 1.059 = 1.122 = 1.189

= 1.260 = 1.335 = 1.414 = 1.498

1.14 (8:7 = Sept. May. 2) 1.17 (7:6 = Sept. Min. 3)

Lab

8 r = 1.587

1.6 (8.5)

8:5

Justa Min. 6

9 r = 1.682

1.67 (5:3)

5:3

Justa May. 6

1.75 (7:4 = Sept. Min. 7)

16:9

Justa Min. 7

Sib

= 1.782

Si Do

= 1.888

1.7 (9:5 = Justa. May. 7)

15:8

Justa May. 7

2.0

2:1

Octava

Tabla 11. Notas de la escala musical temperada comparada con los mínimos de la curva de disonancia para 9 timbres armónicos parciales, y comparada con la escala de entonación justa, y la escala Séptima (Sept.). Al generar la curva de disonancia para una o dos notas con el mismo timbre en función del intervalo musical que las separe facilita el diseño de escalas xenoarmónicas, formadas a partir de la detención de mínimos en la disonancia psicoacustica de Sethares. Para encontrar la escala es relevante que es tarea del músico compositor, pero ante esto se dará una explicación desde un punto de vista matemático. La escala relacionada para un espectro dado es hallada bosquejando la curva de disonancia y localizando a su vez los mínimos. La complicación es elegir el espectro adecuado. Una serie de tonos de escala m, especifica una serie de m-1 intervalos (proporciones) r1, r2,…, rm-1. El acercamiento al problema de selección del espectro, es seleccionar una serie de n parciales f1, f2,…, fn y amplitudes a1, a2,…, an para minimizar la suma de las disonancias encima de todo el m-1 intervalos. Infortunadamente, esto puede llevar a timbres "triviales" de dos maneras; Una disonancia Cero ocurre cuando todas las amplitudes son cero y una disonancia puede siempre ser disminuida escogiendo el r grande, de forma arbitraria. La disonancia entre dos tonos se define como la suma de disonancias entre todos los pares de parciales por el producto de sus amplitudes.

Si cualquier amplitud es cero, entonces ese parcial no contribuye nada a la disonancia: si todas las amplitudes son cero, simplemente no hay disonancia. Se puede hacer un estudio sistemático de la función que expresa la disonancia de dos notas según el espectro usado.

Donde b1 = 3.5, b2 = 5.75. Formula 4. Modelo simplificado que expresa la función de disonancia.

Formula 5. Disonancia de dos notas donde x es la diferencia de frecuencias expresada en anchos de banda critica.

Formula 6. Disonancia de un espectro.

Formula 7. Función de disonancia del espectro F (Disonancia de dos notas con razón de frecuencias α). También se pueden considerar funciones de disonancia de acordes, etc. Propiedades básicas de las curvas de disonancia: 

El unísono es un mínimo de la curva de disonancia.



Cuando el intervalo es muy grande, la disonancia total se acerca a la suma de las disonancias de los dos tonos.

Podemos dibujar las curvas de disonancia usando un programa como lo es MatLab®. Sethares estudia espectros para escalas con 5, 7, 10, 11, 13, 16, 17, 19, entre otras divisiones iguales de la octava. Así, una respuesta al problema de la minimización es que la disonancia puede minimizarse por encima de toda la escala deseada, escogiendo que silencios tocar – una forma de onda con amplitud cero - La manera más simple de evitar este problema es prohibir que las amplitudes ai cambien. Una escala deseada S puede especificarse en términos de una serie de intervalos

s0, s1,…, sm con respecto a una frecuencia fundamental f por

proporciones sucesivas ri = si / si - 1 En ejemplo, para la escala mayor Pitagórica S = 1, 9/8, 81/64,4/3,3/2,27/16,243/128,2/1 ri es a = 9/8 ó b = 256/243 para todos los i. Estos intervalos si en S son llamados escalas de intervalos. Un espectro F es definido por un juego de parciales con frecuencias f1, f2,…, fn. La propiedad de coincidir parciales sugiere que el espectro relativo puede ser construido asegurándose que las proporciones de las parciales sean iguales a la escala de pasos. Por esta razón se citan algunas condiciones a cumplir. La primera condición es el arreglo de las amplitudes de los parciales. La forma más ágil de resolver el problema de minimización, es en base de la segunda propiedad de curvas de disonancia, qué expresa que para los intervalos suficientemente grandes, la disonancia disminuye como los incrementos del intervalo. En ejemplo: un espectro donde todas las parciales se separan ampliamente cada vez más desplazándose hacia fuera y tendiendo al infinito. Los espectros

infinitamente espaciados minimizan la disonancia frente a cualquier deseó de pasos de la escala; otra segunda solución "trivial" al problema del minimización. La forma de onda más simple para evitar la tendencia al infinito, es quitar las frecuencias de todas las parciales, para quedar así en un rango finito. [2] La segunda condición es obligar que todas las frecuencias queden en una región predeterminada. Ordenando las amplitudes y quitando las frecuencias de las parciales son soluciones algo triviales, pero proporcionan buenas soluciones. Mientras los pasos de la escala resultantes tienden a tener una disonancia bastante pequeña, ellos no tienen normalmente a los mínimos de las curvas de disonancia. Razonando una alternativa, ¿cuántos mínimos ocurren a los pasos de la escala? Minimizando esta alternativa, no serían exclusivamente un criterio apropiado, ya que no sólo reacciona a la existencia de mínimos, sino también a su valor real. Pero combinando esto con el original (contraído), los mínimos pueden ocurrir en una escala de pasos donde se obliga a tener una disonancia baja. [2] C = w1 (Suma de disonancia de m-1 intervalos) + w2 (número de mínimos en una escala de pasos) Donde w1 y w2 son los factores de peso. Minimizando este valor, se tiende a poner la escala a sus mínimos locales. Encontramos en la gráfica de disonancia los valores mínimos para el sonido el cual trabajemos en un rango de 1 a 2.5 Hz por su relación intervalica de octava. Se observan en la casilla Frequency Ratio los valores hallados de forma automática por el programa por medio de un método computacional y matemático, para desde aquí formar la escala se procede primero a multiplicar cada valor de la relación interválica encontrada por una frecuencia fundamental definida por el usuario desde 27.500 hasta 4186.0 Hz,

En ejemplo si la frecuencia Fundamental es 440 Hz, entonces los valores de frecuencia para asignar a las notas los observamos en la casilla New Frequency. En segundo lugar hay que decidir a que notas se les va asignar dicha frecuencia, para tal caso hay que remitirse de nuevo a la gráfica de disonancia para determinar la relación de octava, sin olvidar la nota inicial de la frecuencia fundamental. Esta selección automática de las nuevas frecuencias es exportada a los números decimales MIDI correspondientes a las notas estándar, generando así la escala cuyos intervalos correspondan a los mínimos de la curva de disonancia de la señal procesada. Luego de la transformación al numero decimal MIDI a cada nota estándar correspondiente, se allá su proporción microtonal +/- cents. El software exterior Frequency Converter by analogix.com utilizado para la traducción de Frecuencia a MIDI es desarrollado sobre MatLab® con la finalidad de integrar las funciones de esta herramienta. Partiendo de las nuevas frecuencias obtenidas y el análisis al MIDI Toolbox Software Package, Copyright © 2004, University of

Jyvaskyla Finland

explorado y tenido en cuenta para nuevas aplicaciones en la librería de MatLab® en el desarrollo musical se establece una relación entre la función usada hz2midi, esta con la finalidad de comprender la conversión de los valores frecuenciales hallados en los mínimos de la curva de disonancia a su correspondiente relación MIDI +/- cents. A partir de este se realiza la aproximación a la nota MIDI mas cercana haciendo un redondeo donde luego su valor restante es tomado como el numero en +/cents, el cual es la diferencia entre la nota MIDI mas cercana y la nota base, Instantáneamente se lleva acabo la selección y programación de la escala xenoarmonica

sobre

software

criterio

del

compositor

para

consecutivamente aplicarlas en pasajes de la producción musical. En su desarrollo será efectuado en la herramienta de programación y

Análisis Matlab®, la versión puede ser la que se desee; este funciona bajo el sistema operativo Windows, entre otros. Luego del estudio y comportamiento según su certeza, se tendrá en cuenta llevar acabo en su evolución por medio del comando deploytool, este abre la ventana de implementación, que es la interfaz gráfica de usuario (GUI) para MatLab® Compiler. Siendo este una forma apropiada para lograr un ejecutable .exe. Los ejemplos de timbres sonoros que se almacenen y los almacenados hasta el momento son parte del ambiente de sonorización, estos se ilustran en el siguiente pentagrama. Ellos representan el sonido de una campana en sus diferentes formas frecuenciales.

Figura 19. Tonos de timbre en intervalos de octava. A continuación se muestran mejoras realizadas en la interfase grafica usuario como en cada una de las funciones que lo compone, conjuntamente se genera una comparación visual con el programa anteriormente desarrollado.

Figura 20. MĂnimos Grafica de disonancia y frecuencia fundamental Actual.

Figura 21. MĂnimos Grafica de disonancia y frecuencia fundamental Anterior.

El programa Frequency Converter que se era usado por el compositor luego de seleccionados los mínimos en la gráfica de disonancia con su producto luego de escoger la frecuencia fundamental. El músico digitaba cada una de las nuevas frecuencias generadas para hallar la nota MIDI con la que el intérprete quiere empezar a crear su escala musical, En ejemplo:

Figura 22. Software Frequency Converter 445 corresponde a la nota La (LA) más 20 centésimas. Esta se reemplaza por un algoritmo sobre lenguaje MatLab®, el cual realiza esta Conversión de Frecuencia a MIDI sin necesidad de digitar los valores en un programa exterior como éste. El proceso en este caso será más independiente y unificado. En la programación del timbre y la parte microtonal se hará su transcripción y se explicará ya que no es estándar, en terminación, la forma de programar varia de acuerdo al software o el teclado con el que se trabaje. Siguiendo las indicaciones y revisiones durante el desarrollo de este trabajo y en las investigaciones, se detecta si se desea crear una escala microtonal a partir de la curva de disonancia, las frecuencias obtenidas no necesariamente corresponderán a las frecuencias de la escala temperada semitonal, por tal razón la conversión a notas MIDI no es comun, y aunque es posible hacerlo, se vuelve necesario acceder a herramientas con la capacidad de construir esta clase de afinación en frecuencia no temperada en la notación musical establecida. En la parte de la programación del timbre de forma microtonal, hay algunas opciones: Utilizar la programación microtonal del teclado físico que contenga

estas características o manejar un software licenciado, la codificación microtonal no es estándar, ósea, la forma de programarlo varía de acuerdo al software o el teclado con el que trabaje el músico compositor. De esta manera el explorador genera sus propios sonidos luego de haber creado su propia escala.

5. CONCLUSIONES El compendio del trabajo, constituye la demostración del proceso investigativo hasta la fecha del segundo semestre del 2009. Se ha logrado caracterizar el timbre de instrumentos a partir del análisis de su espectro de sonido. La generación automática de curvas de disonancia para el timbre de instrumentos, empleando análisis espectral de Sethares. Su expansión de funcionalidad facilita en la herramienta de software el diseño de escalas xenoarmónicas. El perfeccionamiento en la aplicación MatLab® del “Ambiente de sonorización basado en la medición de disonancia psicoacústica de Sethares” es una gran herramienta para realizar y perfeccionar las variables sonoras usadas en la composición, acudiendo a un indiscutible acercamiento musical al innovar con el uso de cualquier clase de timbre complejo. El progreso del proyecto en el lenguaje de programación Matlab®. Usando funciones como lo son wavrecord, wavread wavplay y wavwrite.

Permiten

capturar, leer, reproducir y escribir la señal seleccionada para su respectivo análisis, xcorr que es usada para hallar la autocorrelación de una señal, el método basado en la realización de un ventaneo Hamming a la señal muestreada, FFT que brinda la posibilidad de encontrar la transformada de Fourier. Como estas son algunas herramientas que contiene el software para el desarrollo abreviado de la programación que dispone. Siendo este un programa de computador matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows y Apple Mac OS X.

Esta nueva aplicación de la herramienta computacional, da un paso a innumerables propuestas en el arte de creación musical. Esto se debe a no encontrarse regido por el empleo de escalas usualmente comunes en occidente.

6. RECOMENDACIONES El proyecto constituirá un expediente para establecer vínculos de contribución entre diferentes facultades de ingenierías y música, a tal fin de unificar esfuerzos en la construcción de ésta y demás herramientas computacionales, consiguiendo también, imponentes ayudas entre las instituciones. La vinculación de investigadores en programas de educación psicoacústica aplicada en la música, en visión de extender el estudio y aplicaciones de la experimentación musical. La virtud de esta labor estará actualmente abierta para todas las personas que deseen abarcasen en la prolongación al trabajo realizado hasta la fecha, el cual cuenta con muchas expectativas al establecer una alianza interdisciplinaria de cooperación y contribución al desarrollo de la música en nuestro departamento.

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AMBIENTE DE SONORIZACIÓN BASADO EN LA MEDICIÓN CUANTITATIVA DE LA DISONANCIA PSICOACÚSTICA