Poligoni Articolabili

Figure ortic<

ffi&ffiffi§.ffituffi

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tigure qrtricolnbil: e figure

I

Cor

cor

rigide

1ÉÉramwrerymffis wfuw #mwmffiffiffi ffiffiffi mÉrwffflaswm yEmffidm w mm$ffimmmffi mfum m#mfuffimmm WmHmrum

La lecnologia moderna utilizzo le proprietà realizzare strutture rigide e articolabili.

deipoligoniper

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di W Costruzione zions.iipellsen*-

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con s6q rrelte

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ese«izi

TfsÉlfr;il,]E ff&

Cominciamo subito a lavordre senza numeri. Faremo delle costruzioni.

Staccate dal cartone inserito nel libro le striscioline (fig. 1).

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L.

Fr6un* t

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Procuratevi dei ferma-campioni. Due strisce si possono collegare con un fermacampione, come è indicato in figura 2.

Fig*"sre ff

paCon queste sbarrette si possono costruire dei poligoni, come vedrete nelle gine successive.

f,ss-r qr$rslshdl e.fie-yls:l§!4q

ۤ q{sdrp t-p s Se si collegano

rombo

tr

cmryiÉ*i*

i"q.rus.le

T

Bserrizi -EAFAEÉS §&

quattro sbarrette uguali, si può avere un quadrato (fig. 3) o un

(fig.a).

,

F*g*r*

*

fi6ur* 4

Ma è inutile costruire due figure perché ci accorgiamo subito che il quadrato, che abbiamo fra le mani, non è rigido: basta una piccola pressione su un lato perché da quadrato si passi a rombo (vedi vignetta e fig. E).

Il quadrato

è una

figura articolabile.

Figa:re §

Ì6 :

l j I

i :

t

rey§sd

-olleghia ,ìg. 6).

rPi,or§

I

c*p!f ot*

Figure orticolqbili e figure rigide

1

Colleghiamo ora solamente tre sbarrette in modo da avere un triangolo

--_u§*ig*qo

(rig.6).

Fi6ur*

Figura 4

Ci accorgiamo che non si può cambiare la sua forma (vedi vignetta): qolo è una figura rigida; non possiamo articolarla.

il

trian-

E ora osserviamo meglio queste figure, cominciando dal triangolo che, come

Figura 5

llh,-

;i è visto, non ci cambia fra le mani.

*

cmprt*§*

li-s.ss-qII§9-lsbùs-I-g:re*g,d.-

ffiil rlpngplo-

I

i'gure orllc

-=#HH**

luq

>1

111

Ci si chiede: prendendo tre sbarrette di lunghezza diversa, è sempre possibile costruire un triangolo? Viene da risponderer«certo, perché le sbarrette sono tre».

Ma guardate quello che succede al ragazzino che ha preso a caso tre sbarrette.

Ù

\.rn L

fi§g*rm F

l

a.

ì. ,r.

4 tl c

Il triangolo «non si chiuden: una sbarretta è troppo lunga rispetto alle altre due (fig. 7).

. ... -

r"

!-lL

- -_-r --

E non viene nemmeno un triangolo nel caso della costruzione che cerca di fare

ilragazzino in figura B: ora, le due sbarrette più corte si congiungono proprio su quella più lunga; insomma il triangolo «si schiaccia»l

--

.: I !G ! L'

-

ì-.:tiÉ. l,

F§6ar** & - --

IL{

--c

Questi due casi nimpossibili» fanno capire che: si può costruire un triangolo solo se la somma dei due lati più corti supera lato più lungo.

l

il

ilt

opir§§*

I

c*piàe!*

Figure orticolobili e figure rigide

@

I

t't$'

3) Si può costruire un triangolo con lati lunghi:

1.8,9,1,5 perché 9 + 15 > 18 (il segno > vuol dire maggiore) *? Non si può costruire un iriangolo con lati lunghi: '18,1-0,

+

perché 10 + 4 <

18 (il segno

<

wol dire minore)

i*) Non si può costruire un triangolo con lati lunghi:

L8,10,8

perché

10+B=18

Per disegnare con esattezza un triangolo di lati lunghi... ci si vale del compasso e, naturalmente, anche della riga, come è spiegato nell'esercizio 17 a pagina 99.

ru*srfi

/

@ ll quqdroto e il rombo

€sercizi

--**--n'rrm_

100

La costruzione con sbarrette ci ha fatto capire che il quadrato non è una figura rigida come il triangolo: basta una piccola pressione su un lato perché dal quadrato si passi al rombo (fig. 9).

i tanti rombi che si ottengono ttihzzando quattro sbarrette uguali, si ha, per un istante, il quadrato (fig. 10).

Fra

Flguna §

Figurc Fig*ru

ffi

l0

Dunque:

il quadrato

è

un rombo particolare.

9

Figure orticolobili e figure rigide

4#prf

*ie

Figure o

I

Osserviamo meglio.

il

tÀ( l!

Il rombo (fig. 11) è un quadrilatero

AI

che ha i Iati uguati.

D

Ia

F*ge"rr* I

II quadrato (fig. 12) è un quadrilatero che ha i lati uguali goli uguali (sono retti).

e

I

gli an-

Fig*rm t #

ffi ll rettqn s e!e- e ilpsrs llelpsr sm m s

€sercizi *-rc;rx*am

3&#

&c

con quattro

strisce, uguali a due a due, si costruisce un rettangolo (fig. 13).

Esercitando una pressione su un lato si passa al parallelogramma (fig.14).

reftongolo

porollelogrsmm0

Figura t # Osserviamo meglio.

II parallelogramma

E to

= ,Jsservir

è

un quadrilatero che ha i Iati opposti uguali.

FÀg**re

§

-É

EL,

Ci si hat

tire dall

,Pirorè

I

ccpir*l*

Figure orlitolobili e figure rigide

II rettangolo

è un quadrilatero che ha

I

i lati opposti uguali e gli

angoli uguali (sono retti).

Dunque: il rettangolo (fig. 15) è un parallelogramma particolare.

Figur* ! I

Figur* § 5

Figure I }

& Comesi

****-*ffi:s*

rolo o rettong

Osserviamo le diagonali del quadrato e del rettangolo (fig. 16).

relàungolo

*ig*r* 1S

Figura 14

Le diagonali si tagliano a metà e sono uguali.

Ci si basa su questa proprietà, cornune per costruire quadrato e rettangolo a par-

tire dalle diagonali.

t'l

- À

-c

^.r

,rc

Si procede così:

si collegano nel punto di mezzo due sbarrette uguali (fig. 17).

ol

F!txatr:'= t F

Si fa passare un

filo elastico nei quattro fori estremi (fig. 1B).

Fi**na=

Si ottiene così un rettangolo

il cui perimetro

è

il filo

'Èff

elastico.

Ora, se si diuaricano le diagonali, si osserva che il rettangolo cambia di forma; quando le diagonali sono fra loro perpendicolari si ottiene il quadrato (fig. 19).

Fiffuen"* ì É

E 12

Dunque: il quadrato è un rettangolo particolare. ._"L-

opif er§

I

Figure qrticolqbili e figure rigide

{ffipÈr*ie

F Come si può possqre ds ro mbo q pqr

I

èserrizi

"*mrr":;glua t I

G

Osserviamo le diagonali (fig. 20).

porollelogrcmmo

rombo Figurc ì F

f*g*r* *S

Le diagonali si tagliano a metà e non sono uguali.

Ci si basa su questa proprietà per costruire rombo e parallelogramma a partire

rlalle diagonali.

Figure i S

Si collegano nel

punto dtmezzo due sbarrette di lunghezza diversa (fig' 21)'

FÈ6ur* ??

Si fa passare

Figura

un filo elastico nei quattro fori estremi (fi.g' 22)'

TB

Figuro 22 Si ottiene così un parallelogramma

il cui perimetro

è

il filo elastico. 't

3

Figure srticolobili e figure rigide

e

*pri*t*

I

il parallelogramma cambia di forma; quando le perpendicolari diagonali sono fra loro si ottiene il rombo (fig. 23).

Se si divaricano le diagonali,

1a.,l::.ri'

rsge p( ".itongo : pel Ot] , i:r'ece

",ttdratt .eege p

'

trbo

e

..:ndos

Ilq Figr,rr* §§

-.- l...rj -..-:u!o:,

Dunque: il rombo è un parallelogramma particolare.

: -- ,. st-':

ffi L'lnsieme dei psrsllelogrummi

èsertizi * - *-*^-3EEE*"at]i ìIE

Per raccogliere tutte le proprietà che abbiamo scoperto, abbiamo fatto questo schema:

porollelogrommo \

rellongolo

rombo

quodroto

-r:lr-.ì

-..1'O:-t,

-::aÈc, -.:a - -l - :- i11r,t

Questo schema, se si legge dal basso verso l'alto, ci aiuta a ricordare.

Si chiede: che cosa è un quadrato? La risposta la otteniamo risalendo a sinistra o a destra.

Se si guarda a sinistra, si legge: il qttadrato è un rettangolot e, infatti, si passa dal rettangolo al quadrato, ba-

sandosi sul fatto che le diagonali sono uguali e si tagliano a metà.

14

opitsI

*

I

rlsvtgqrtirqislilietigyre:lslde

e

*pàÈmrs

I

poi, sempre a sinistra: il rettangolo è un parallelogramma: e, infatti, basta articolare un parallelogramma per ottenere un rettangolo.

Si legge

invece si guarda a destra, si legge: il quadrato è un rombo: e, infatti, articolando un rombo si può avere il quadrato.

Se

poi, sempre a destra: il rornbo è un parallelogramma: si passa, infatti, dal paralleloglamma al rombo :asandosi sul fatto che le diagonali si tagliano a metà.

Si legge

Figur* §3

II quadrato

è dunque un parallelogramma.

Quadrati, rettangoli, rombi fanno parte dell'insieme dei parallelogrammi.

Ecco, sotto, una lappresentazione grafica che illustra bene Ia situazione.

§ ^1, ^§'7

^§' a\) ^§'

di un diagramma di Venn ()ohn Venn era un matematico inglese .leil'Ottocento che ha spesso utllizzato questo tipo di rapplesentazione)'

Si tratta

Ii grafico ci dice che il quadrato è sia un rettangolo sia un rombo (è - come si lice - «l'intersezione, di questi due insiemi), e che rettangoli e rombi sono dei :arallelogrammi.

l5

copitote

Figure orticolobili e figure rigide

ffi ltrqpezi

FgureoÉkr

I

_**#§ffiH,rs

I0 lr [lpoligono oquadranl

Nella figura 24 sono disegnati dei poligoni con 4 lati, cioè tanti quadrilateri.

mn5.6o qoello che

dtagono.

Pell

Figunc 24

Ci si accorge subito che questi quadrilateri hanno tutti la stessa proprietà.: hanno due lati paralleli. Si chiamano trapezi; i lati paralleli sono le basi del trapezio.

Nell'ultimo disegno, anche gli altri due lati sono paralleli: si ha un parallelogramma.

(

Un parallelogramma è dunque un trapezio particolare.

Ecco come possiamo uingrandire»

'f;Ilioordir ,:'ùùlrgol

il diagramma visto prima.

Arurpoli

brme- ar

imeccia Emo rar

In figura 25 sono disegnati dei quadrilateri che non sono dei trapezi: non hanno infatti due lati paralleli.

Ia*q

Figuro 25

r6

I

opir*!e

I *E?

*mpà****

Fisure orlicolobili e figure rigide

E

I

ffi lpoligoni

lati si chiama triangolo e quello di 4lati si chiama quadrilatero ,, quadrangolo. Se si collegaqo fra loro 5, 6 o più strisce si ottiene un poligono :on 5, 6 o più lati (fig. 26); il poligono che ha 5 lati si chiama pentagono, ;uello che ne ha 6 esagono, quello che ne ha 7 ettagono, quello che ne ha B ott&gono. ottogono escgono pentogono

-l poligono di 3

U Feg*r*

t4

Figurc 26 Ricord,iamoci sempre che un poligono, se ha più di 3 lati, è articolabile. triangolo è il solo poligono rigido.

It

un poligono costmito con un certo numero di sbarrette si possono dare varie :ùrme, articolandolo. Il poligono può presentare delle «rientranze» e può essere -:rtrecciato.

Ecco vari casi in cui si trasforma un poligono di 5 lati ff527).

\

poligono concauo

la retta di un lato taglia il poligono

poligono intrecciato

Figure *S

dne

lati si tagliano

Figura 27 17

Ir

ligt'regrlilqlqbiliqtig!,rq{gidq"

. " .-

"* "

rapiro!o

I

(Bserrizi

--*-**È'ÀF[€mE I I6

un poligono

I

è

regolare se ha tutti i rati e tutti gli angoli uguali.

Sono regolari:

il triangolo equilatero e il quadrato (fig.

2B).

Fig*.rrc §§

Non sono regolari:

il rombo perché ha i lati uguali ma gli angoli disuguali, ha gli angoli uguali ma i lati disuguali (fig. 29).

e

il rettangolo perché

Figura

§*

Ogni poligono regolare si può dividere in tanti triangoli isosceli uguali (fig. B0).

figure §S

Il poligono

regolare è... bello: dà I'impressione di proprio perché è regolare.

I8

opiier*

Égure orticolobili e Iigure rigide

{{§piso!*

I

1

lrsseryate intorno a voi: anche in semplici pavimenti di casa, potete trovare dei

:.-,ligoni regolari. Ecco dei pavimenti antichi.

--**$s*lt;a*

Fig**r*

*#

:-cmmento del povimento dello bosilico di Montecossino :'osinonel. distrirtto doi bombordomenti del 1944. L'Abbo: : fu fondoto nel 529 do Son Benedetto do Norcio.

Porticolore

di mosoico

- o motivo

Villo Adriono (130 d.C.), o Romo.

quodroto

-

di

Figur* §È

Figur* *#

Povimento del vestibolo dello coso del Founo o Pompei

(60 o.C.).

I9

Figure orticolabili e figure rigide

e

*6r*$mnm

I

Un'intera città, Palmanova in provincia di Udine, ha la forma di poligono regolare; fu costruita nel 1593 con l'idea di farne «la città perfetta». Ancora oggi la trovate così.

La

fri

Io Veduto oereo dello

cittò di

Polmonovo

che evidenzio lo for-

mo oolioonole dello

ciilò'friuÉno.

lc unq

l-o

Unn

Un tr

lÈ{elle

qui

t

lo Ic il

Palmanova

tr?5000 (r0m*2§0m) L***-Jilg*---.S0'n

cifià di 'Polmonovo to'dol

Fiss

lo piorito stellore o nove punte, ol cui in'è rocchiuso il terno

Dac

ln ouesto oionto dello

trolto dollo «Guido rooido d'ltolio, {ediTourino Òlub Itolionol si veJe bene

poligono regolore.

20

qu:

-o ].c -o -o

opif §§*

I La frase «il triangolo è una figura rigida» vuol dire che: si rompe facilmente non cambia la sua forma E cambia la sua forma

il a §b c

lutc oereo dello

i Ci

Polmonovo

ev'denzio Io

for_

goligonole dello

r f- ,Jlono.

Un quadrato articolabile sitrasforma in un: rombo rettangolo

tr c

parallelogramma

Un rettangolo articolabile sitrasforma in un: trb parallelogramma tr o quadrato

fit

rombo

il b

fl o

:,

Un triangolo può essere contemporaneamente: rettangoloe isoscele ed equilatero acutangolo H

fl s b He

ottusangoloescaleno

costante?

Nella trasformazione da rettangolo a parallelogramma che cosa rimane l'area fl c il perimetro tr gliangoli H f la somma degli angoli ilati le diagonali

il b fi e

o nd

É.

I quadrilateri che hanno le diagonali uguali sono:

tr o

fl c

rombo quadrato

nb Ed

rettangolo parallelogramma

I quadrilateri che hanno le diagonali perpendicolari sono:

tr q tr c

xtc pionto dello

oi Polmonovo ccrlo nGuido : : +olio» (edirt curinq Club c s rrede bene

i.

r^ic

stellore o r,..l"'e. ol cui in-

è'occhiuso

'ic

'egolore.

i,

il

rombo quadrato

il

rettangolo

il d parallelogramma

Fissate le due basi e l'allezza, quantitrapezi puoi costruire?

ils

1

Da quanti

trq 4 I

tr b

nh

2

il c

infiniti

triangoli isosceli uguali è formato un ottagono regolare?

trh B

trc

16

0" Tra Ie seguentifrasi una sola è errata: qual è?

tr s tr b tr c tr d tr e tr f

Un quadrato è un rombo Un quadrato è un parallelogramma Un parallelogramma è un trapezio Un rettangolo è un quadrato Un rombo è un traPezio Un quadrato è un rettangolo

Ll-