Sistemas numericos

Instituto Tecnológico de Querétaro

Sistemas numéricos Ingeniería en Sistemas Computacionales Elaborado por Ma. del Consuelo Frias Maldonado Material de Ma. del Consuelo Frias Maldonado Felipe Estrada Rojas

Matemรกticas Discretas ร rea de las matemรกticas encargadas del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables

Matemáticas Discretas Definir el concepto discreto sin entrar en demasiadas formalidades no es sencillo pero podemos apelar a ciertos ejemplos matemáticos conocidos y contraponerlo al concepto de continuo que es la idea central del curso de Bases de Matemáticas. Lo discreto es lo finito o lo que, si no es finito, presenta el aspecto de los números naturales, objetos bien separados entre sí; lo continuo es lo no finito, lo infinitesimalmente próximo, como los números reales, y de ahí el concepto de límite y las ideas que de dicho concepto se derivan.

La matemática discreta surge como una disciplina que unifica diversas áreas tradicionales de las Matemáticas (combinatoria, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética, grafos, etc)

Matemáticas Discretas Su interés en la informática y las telecomunicaciones: • La información se manipula y almacena en los ordenadores en forma discreta (palabras formadas por ceros y unos) • Se necesita contar objetos (unidades de memorias, unidades de tiempo) • Se precisa estudiar relaciones entre conjuntos finitos (búsquedas en bases de datos) • Es necesario analizar procesos que incluyan un número finito de pasos (algoritmos)...

Matemáticas Discretas Para hacernos una idea algo más clara del contenido de esta disciplina veamos algunas preguntas que podemos plantearnos en informática y que se pueden responder con métodos de matemática discreta: ¿Hay alguna conexión entre dos ordenadores de una red?

Dada una tecnología de cableado, ¿cuál es el diseño de red más económico para cierta empresa? ¿Cómo puede ordenarse una lista de números enteros (o de tareas de una cadena) en forma creciente? ¿Cuántas palabras clave válidas hay para acceder a un sistema? ¿Cómo se puede codificar de forma adecuada y segura un mensaje?

Matemáticas Discretas La matemática discreta proporciona algunas bases matemáticas para otros aspectos de la informática: Estructuras de datos Algorítmica Bases de datos Teoría de autómatas Sistemas operativos Investigación operativa Así como ayuda al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales para un ingeniero: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos

Sistemas Numéricos •

Un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números validos. Representados como: N=(S,R)

•

Donde:

•

N: es el sistema de numeración (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal, etc)

•

S: es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema ejem. Binario {0,1}, Octal {0,1,…7}, Decimal {0,1,2,…9} Hexadecimal {0,1,2…9,A,B,C,D,E,F}

•

R: son las reglas que nos indican que números son válidos en el sistema y cuales no. Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración

Clasificación Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales: En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.

En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

Sistemas no posicionales Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos .

Los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 A. C.

Sistemas Posicionales El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base “b” significa que disponemos de “b” símbolos diferentes para escribir los números, y que “b” unidades forman una unidad de orden superior.

Cuando escribimos números, la posición (o "lugar") de cada número es importante.

Cuando vamos a la izquierda, cada posición vale ¡10 veces más! en sistema decimal

Sistemas NumĂŠricos Sistema Decimal ( base 10)

DĂ­gitos

Binario (base 2)

0,1

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Hexadecimal (base 16) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 A,B,C,D,E,F Octal (base 8)

0,1,2,3,4,5,6,7

Numeración Binaria • El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).

• En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno.

Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

• De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así: • 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir: • 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Numeración Octal • El sistema numérico en base 8 se llama octal, utiliza los dígitos 0 a 7.

• Para convertir un número en base decimal a base octal se divide por 8 sucesivamente hasta llegar a cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.

• Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

Numeración Hexadecimal • El sistema numérico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado como Hex) es un sistema de numeración que emplea 16 símbolos. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa valores posibles, y esto puede representarse, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 , dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente permiten representar la misma línea de entero a un byte.

Numeración Hexadecimal • En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:

• Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.

Sistemas Numéricos • Operaciones básicas –Suma –Resta –Multiplicación –División –Conversiones

Sistemas NumÊricos Suma sin acarreo sistema decimal b10 • Sumemos 34,25 + 245,687= 2 7 9, 8 9 7

Cm Dm Um, c d u + 3 4, 2 1 0 2 4 5, 6 8 7 2

7

9

8 9 7

Sistemas NumÊricos Con acarreo sistema decimal b10 • Sumemos 34,25 + 245,687= 2 7 9, 8 9 7

Cm Dm Um, c d u 1

+

1

2

3 4

9, 2 5 0 5, 6 8 7

2

8

4

9 3 7

Sistemas Numéricos Sistema binario b2 • Cuando el resultado excede de los símbolos utilizados se agrega el exceso (acarreo) a la suma parcial siguiente a la izquierda.

•

Las tablas de sumar son: • Tabla del 0 Tabla del 1 • 0+0=0 1+0=1 • 0 +1=1 1 + 1 = 1 0 ( 0 con acarreo 1)

Sistemas NumĂŠricos Sin acarreo sistema binario b2 Cm Dm Um, c d u + 1 0 0, 1 0 02 0 1 0, 0 1 02 1

1

0

1 1 02

Sistemas NumĂŠricos Con acarreo sistema binario b2 Cm Dm Um, c d u 1

1 1

+ 1 1 0, 1 1 12 1 0 0, 0 1 12 10

1

1

0 1 02

Sistemas NumĂŠricos Sin acarreo sistema octal b8 Cm Dm Um, c d u + 1 7 4, 0 6 08 3 0 3, 5 1 48 4

7

7

5 7 48

Sistemas NumĂŠricos Cuando el resultado excede de los sĂ­mbolos utilizados se agrega el exceso (acarreo) a la suma parcial siguiente a la izquierda.

Con acarreo sistema octal b8 Cm Dm Um, c d u 1

1

+ 1 7 3 0 5

0

1

1

1

4, 5 6 48 3, 5 2 48 0

3 1 08

B16 0 1 2 3 4 5 6 7

Sistemas NumĂŠricos Sin acarreo sistema hexadecimal b16 Cm Dm Um, c d u + 1 9 A, 3 0 C16 3 6 2, 1 8 216 4

F

C

4

8 E16

B16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Sistemas NumĂŠricos Cuando el resultado excede de los sĂ­mbolos utilizados se agrega el exceso (acarreo) a la suma parcial siguiente a la izquierda.

Con acarreo sistema hexadecimal b16 Cm Dm Um, c d u 1

1

+ 1 9 3 C 5

7

1

1

A, 3 0 C16 9, 1 F 816 4

5 0 416

B16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Algoritmo de Booth • El algoritmo de Booth es un procedimiento algorítmico para realizar la multiplicación de dos números con signo, expresados en base binaria en notación complemento a dos.

• El algoritmo fue inventado por Andrew Donald Booth en 1950 mientras que hacía investigación sobre cristalografía en la universidad de Bloomsbury, en Birkbeck, Londres. Booth usaba calculadoras de escritorio que eran más rápidas en el desplazamiento que sumando, y creó el algoritmo para aumentar su velocidad. El algoritmo de Booth es de interés en el estudio de la arquitectura de computadoras.

Ejemplo: Realizar la Multiplicación Siguiente:

x

0

0

1

0



Multiplicando

2

0

1

0

0



Multiplicador

4

Se obtiene el Complemento a Dos del Multiplicando: 0

0

1

0



Multiplicando

1

1

0

1



Complemento a 1

0

0

0

1

1

1

1

0

Se Suma 1 

Complemento a 2

Se construye una matriz con la Siguiente Información: Tres líneas A, S, y P, con tres bloques de Columnas (4, 4 y 1) Indicando numero de bits del número y la ultima el bit de acarreo En A, se coloca el Multiplicando, y se rellena de ceros las siguientes En S, se coloca el complemento a Dos y se rellena con ceros el resto En P, se rellena con ceros la primera parte y en la segunda el multiplicador A

0

0

1

0

0

0

0

0

0

S

1

1

1

0

0

0

0

0

0

P

0

0

0

0

0

1

0

0

0

A

0

0

1

0

0

0

0

0

0

S

1

1

1

0

0

0

0

0

0

P

0

0

0

0

0

1

0

0

0

Como se tienen cuatro dígitos, se tendrán cuatro resultados, se toman los dos últimos dígitos y se realiza la acción de acuerdo a la regla: 0

0

No se realiza acción y Desplaza

0

1

P = P + A y Desplaza

1

0

P = P + S y Desplaza

1

1

No se realiza acción y Desplaza

En este caso los últimos dígitos son 0 y 0 por lo tanto solo se acarrea a la derecha los bits

A

0

0

1

0

0

0

0

0

0

S

1

1

1

0

0

0

0

0

0

P

0

0

0

0

0

1

0

0

0

p1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

A

0

0

1

0

0

0

0

0

0

S

1

1

1

0

0

0

0

0

0

P

0

0

0

0

0

1

0

0

0

p1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

Los dos Ăşltimos dĂ­gitos son 0 y 0 de acuerdo a la regla solo se desplaza

A

0

0

1

0

0

0

0

0

0

S

1

1

1

0

0

0

0

0

0

P

0

0

0

0

0

1

0

0

0

p1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

p2

0

0

0

0

0

0

0

1

0

A

0

0

1

0

0

0

0

0

0

S

1

1

1

0

0

0

0

0

0

P

0

0

0

0

0

1

0

0

0

p1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

p2

0

0

0

0

0

0

0

1

0

Los dos últimos dígitos son 1 y 0 de acuerdo a regla se suma P a S y se desplaza, cuando el último bit es 1 se acarrea un 1, de lo contrario un 0.

A

0

0

1

0

0

0

0

0

0

S

1

1

1

0

0

0

0

0

0

P

0

0

0

0

0

1

0

0

0

p1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

p2

0

0

0

0

0

0

0

1

0

P3+

1

1

1

0

0

0

0

1

0

p3

1

1

1

1

0

0

0

0

1

A

0

0

1

0

0

0

0

0

0

S

1

1

1

0

0

0

0

0

0

P

0

0

0

0

0

1

0

0

0

p1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

p2

0

0

0

0

0

0

0

1

0

P3+

1

1

1

0

0

0

0

1

0

p3 1 1 1 1 0 0 0 0 1 Los dos Ăşltimos dĂ­gitos son 0 y 1 de acuerdo a regla se suma P + A y se desplaza, los bits que quedan fuera (overflow) se descartan.

A

0

0

1

0

0

0

0

0

0

S

1

1

1

0

0

0

0

0

0

P

0

0

0

0

0

1

0

0

0

p1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

p2

0

0

0

0

0

0

0

1

0

P3+

1

1

1

0

0

0

0

1

0

p3

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

P4+ p4

1

A

0

0

1

0

0

0

0

0

0

S

1

1

1

0

0

0

0

0

0

P

0

0

0

0

0

1

0

0

0

p1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

p2

0

0

0

0

0

0

0

1

0

P3+

1

1

1

0

0

0

0

1

0

p3

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

P4+ p4

1

DespuĂŠs de cuatro pasos (numero de bits) del nĂşmero, se obtiene el numero en binario de la segunda parte de la matriz sin tomar el bit de acarreo

Aplicación de los Sistemas Numéricos • El Binario, por ser el sistema base de la computación y el único entendido de manera nativa por una computadora, es el sistema en el que está escrita toda instrucción, dato, etc. Está compuesto por dos únicos dígitos que1 y 0 o como en realidad trabaja la computadora, “apagado” y “encendido” y se es como representa todos los datos con los que trabaja la computadora, desde su más bajo nivel: el hardware. Estos dígitos son llamados bits.

• Para trabajar la computadora agrupa a los bits en grupos de ocho, a los cuales denomina byte y es esta la razón por la que es tan importante el sistema octal, sin embargo una computadora no puede trabajar con el sistema octal como tal, sino que utiliza su conversión en sistema binario, usando tres bits para cada digito octal.

• El sistema octal también se ve reflejado en las direcciones IP de internet para identificar dispositivos en la Red.

• El sistema hexadecimal es empleado al indexar la memoria o al representar un byte debido a que al contener más dígitos es posible usar menos números para representar números más grandes, haciendo posible que un byte, conformado por 8 bits o términos binarios, se represente con solo dos términos hexadecimales, lo que es un ahorro de información. lo representa con términos binarios, empleando conjuntos de cuatro bits, para cada término hexadecimal. Sin embargo al presentar información al usuario es más factible presentar A9 que 10101001