Estudo dos coeficientes da função do 2º grau

ESTUDO DOS COEFICIENTES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

COEFICIENTE "a" O coeficiente "a" desempenha no gráfico a propriedade de concavidade da parábola.

Significa que se o "a" for positivo (a>0), a parábola terá concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo:

Se este fosse negativo (a<0), a parábola teria concavidade para baixo (boca triste).

Veja o exemplo

Este é o coeficiente mais conhecido e mais barbada de todos, e o único que não pode ser zero na função, pois senão ela deixa de ser do segundo grau e passa a ser do primeiro.

O coeficiente "b" é o mais difícil, portanto vamos deixar ele para o final. Vamos agora ver o "c".

COEFICIENTE "c" A função do coeficiente "c" é nos indicar onde a parábola "corta" o eixo Y. Se ele for positivo ela irá "cortar" o eixo Y acima da origem; se for negativo irá "cortar" abaixo da origem e; se for ZERO, irá cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0). Veja o exemplo:

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Veja você que os coeficiente não dependem um do outro. Podemos ter "a" positivo com "b" negativo; "a" positivo com "b" positivo, ou seja, qualquer combinação de sinais.

COEFICIENTE "b" Agora sim, o coeficiente "b". Não que ele seja muito difícil de se interpretar, mas é melhor você aprendê-lo após ter visto todos os outros. Então, vamos lá.

A análise do coeficiente "b" nos diz a inclinação que a parábola toma após passar o eixo Y. Viu como é um pouco complicado? Mas vamos falar em miúdos. Primeiro olhe a figura abaixo:

Neste exemplo, o "b" é negativo (b<0), pois seguindo a parábola para direita a partir do ponto de corte do eixo Y, iremos descer; então é negativo. Veja outros exemplos:

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Neste exemplo o "b" é maior que zero, pois acompanhando a curva iremos subir após o ponto de corte.

Neste exemplo, "b" é igual a zero, pois logo após o ponto de corte, iremos reto. Este exemplo é muito particular, porque você pode achar que é positivo, pois irá subir. Porém, a regra diz que tem que ser no ponto mais próximo do corte, ou seja, milimetricamente, então neste exemplo vai reto. b=0.

1) Esboce o gráfico da função

:

- Desenvolvimento: Vamos primeiro calcular as raízes usando Bhaskara. Os coeficientes são: a=1, b=-1 e c=-2. Colocando na fórmula de Bhaskara, temos:

As duas raízes são 2 e –1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico, fica:

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As duas raízes são 2 e –1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico, fica:

Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o “c”. Ele vale – 2, então o gráfico da parábola com certeza corta o eixo Y no ponto –2. Vamos marcá-lo:

Pelo coeficiente “a” sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo “b” sabemos que logo após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o seguinte:

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Vamos rever a fórmula de Bhaskara dada na lição anterior:

Esta fórmula está correta!

O que iremos mudar é a parte de dentro da raiz (radicando), que é chamada de "DISCRIMINANTE" e representada pela letra grega Δ (delta).

Portanto, a fórmula "super correta" de Bhaskara é, na verdade:

Onde "a", "b" e "c" são os coeficientes dos termos de nossa função quadrática.

Neste capítulo vamos estudar o papel desempenhado por esse "delta" no gráfico de nossa função.

Na fórmula de Bhaskara, o Δ está dentro de uma raiz (é um "radicando") e logo após um sinal ± (mais ou menos).

Este fato de primeiro somar e depois diminuir é o que diferencia uma raiz da outra, pois "mais" Δ é diferente de "menos" Δ.

E se este delta for igual à zero (Δ=0), não teremos diferença entre as raízes. Como uma função quadrática sempre tem que ter duas raízes, dizemos que a função com Δ=0 tem as duas raízes idênticas. Se Δ≠0, então a função tem duas raízes distintas: Δ = 0 raízes reais e idênticas (iguais); Δ ≠ 0 raízes distintas (diferentes).

Agora, quando Δ≠0 (raízes distintas), teremos duas situações: quando Δ for positivo (Δ>0)e quando Δ for negativo (Δ<0).

Como o Δ é um radicando (está dentro de uma raiz quadrada), se for negativo (Δ<0), as raízes serão números complexos não reais, pois raiz de número negativo não é real. E quando Δ for positivo (Δ>0), então as raízes serão números REAIS. Veja o quadro de referência rápida abaixo: Δ = 0 raízes reais e idênticas (iguais); Δ ≠ 0 raízes distintas (diferentes); 5

Δ > 0 raízes REAIS; Δ < 0 raízes complexas NÃO REAIS. Como sabemos, raiz de uma função é o ponto em que o gráfico da função "corta" o eixo X, então podemos agora analisar o comportamento do gráfico para cada um dos tipos de discriminante.

Δ > 0 Duas Raízes REAIS Com o discriminante positivo as raízes são REAIS, então existem dois pontos em que o gráfico "corta" o eixo X. O gráfico pode ser destes dois tipos:

ou Note que, nos dois exemplos, há dois pontos de "corte". Δ = 0 Duas Raízes Reais e IDÊNTICAS Com o Δ=0 teremos duas raízes idênticas.

No gráfico, a parábola irá apenas "tocar" no eixo X, não atravessando para o outro lado.

Veja os desenhos abaixo:

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ou Δ < 0 Duas Raízes distintas e NÃO REAIS Quando tivermos Δ < 0, as raízes não serão reais, serão COMPLEXAS, portanto não irão tocar ou cortar o eixo X, e o gráfico poderá ser:

ou Primeiro devemos ter em mente: o que é "FATOR"?

Se você não se lembra lá do primeiro grau, fator é cada parte de uma multiplicação!!

Veja a imagem abaixo:

Então, o que devemos fazer em uma "fatoração de uma função quadrática" é achar quais os fatores desta função, ou seja, achar alguma "conta de multiplicação" que resulte na função desejada.

Veja o exemplo abaixo: A função e

fatorada fica

, então seus fatores são

.

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Para verificar se está correto, vamos efetuar a multiplicação:

Veja que, ao efetuarmos a multiplicação, voltamos à função inicial.

Agora, como devemos fazer para achar estes fatores?

A regra prática diz o seguinte: sendo "r1" e "r2" as raízes da função que queremos fatorar, simplesmente colocamos na fórmula:

Onde "a" é o coeficiente de x2 na lei da função, e "r1" e "r2" são as raízes da função.

Vejamos uns exemplos: Aplicando Bhaskara achamos as raízes 5 e -2, e o valor de "a" é 2 (a=2). Então, fatorando esta função, temos: f(x)= 2x2 - 6x - 20 Atenção para os sinais! Como a fórmula é , então o MENOS da fórmula com o MENOS da raiz fica MAIS. f(x) = 3x2 + 24x + 36

raízes são -6 e -2, e a=3. Portanto, a fatoração desta função fica:

raízes são 2 e -2, e a=1 2

f(x) = x - 4 Fatoração: raízes: 0 e -12, a=1 2

f(x) = x + 12x Fatoração: raízes: e , a=4 2

f(x) = 4x - 12x + 9 Fatoração:

ou

Como já vimos anteriormente, uma função quadrática sempre terá duas raízes, portanto sempre terá dois fatores (mais o "a", que pode ser 1, mas nunca 0).

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Fatorando uma função, podemos ver com mais clareza o porquê das raízes serem os "zeros" das funções.

Veja nesta função fatorada: f(x)=(x-2)(x+2). Os "zeros" (ou raízes da função) são 2 e -2, pois se colocarmos 2 no lugar de "x" no primeiro fator, este fator será 2-2, que é zero, e qualquer coisa "vezes" zero resulta em zero.

A função toda é zerada, e acontece a mesma coisa se colocarmos -2 no segundo fator.

Qual a função que possui possui as raízes -4 e -2 e passa pelo ponto (2, 48)?

Usando a fatoração temos: Agora devemos encontrar o valor de "a", para isso utilizaremos o ponto dado no enunciado.

Se esta função passa pelo ponto (2, 48), então se substituirmos x=2 e y=48, teremos uma igualdade (lembrando que y é a mesma coisa que f(x)).

Portanto, a função pedida é: Em alguns exercícios é pedido que se ache o valor da SOMA ou PRODUTO das raízes de uma função do segundo grau.

Uma maneira seria aplicar Bhaskara, achar as duas e somá-las ou multiplicá-las, mas existe um método mais rápido. Veja só!

Vamos usar uma função genérica do segundo grau, que tenha raízes "r1" e "r2".

Usando seus fatores, ficamos com:

Efetuando as multiplicações, temos:

Nos termos que possuem "x" podemos colocá-lo em evidência:

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Agora, terminando de efetuar as multiplicações, ficamos com:

Verifique agora os coeficientes desta função:

O coeficiente "b" nada mais é do que a SOMA DAS raízes (r1+r2), multiplicado por "a". Então, para a soma de raízes (S), podemos utilizar a fórmula:

Olhando para o coeficiente "c", vemos também que ele é o produto das raízes (r1.r2) multiplicado por "a". Portanto, também para o produto, usamos uma fórmula:

Exemplos:

2

f(x) = x - x - 2

Soma=-(-1)/1 = 1 "b"!

Obs.: Não rateie no sinal de

Produto = -2/1 = -2 Soma = -(-4)/2 = 2 f(x) = 2x2 - 4x - 16 Produto = -16/2 = -8 Soma = -(8)/2 = -4 2

f(x) = 2x + 8x Produto = 0/2 = 0 Soma = -(-24)/4 = 6 2

f(x) = 4x - 24x + 36 Produto = 36/4 = 9 Soma = -(0)/1 = 0 f(x) = x2 - 25 Produto = (-25)/1 Vamos nos situar nos estudos. O que é vértice de uma parábola?

- É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.

Como assim?

Veja os exemplos abaixo: 10

O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "equidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. Trocando em miúdos, a coordenada "x" do vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a soma das duas dividido por dois. Vamos chamá-lo de Xv ("x" do vértice):

Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv. Se você não conseguir se lembrar na hora, faça a dedução como está aí em cima. É bem fácil!

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Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Este valor podemos conseguir substituindo o "x" da função pelo "Xv", pois com isso estaremos calculando qual o valor de Y para o Xv, que é justamente o Yv ou f(Xv). A equação geral de uma função do segundo grau é f(x)=ax2+bx+c. Então vamos substituir todos "x" pelo valor de Xv da fórmula acima:

Veja que na última igualdade temos como denominador -(b2-4ac) e isso é justamente igual à - , portanto a fórmula final para o cálculo de Yv, também chamado de f(Xv) é:

IMAGEM Agora que já vimos como calcular o Yv, podemos calcular a imagem de qualquer função do segundo grau.

Imagem, como vocês se lembram, é o conjunto de todos os valores do eixo Y em que a função existe.

O QUÊ ?????

Hehehe, já explico.

Imaginem agora uma prensa "esmagando" toda função em cima do eixo Y, como na animação abaixo: A imagem da função será o conjunto de todos valores de Y que conseguirmos esmagar a função. No exemplo acima, o conjunto imagem é de 1 para cima, ou seja, é o intervalo [1, +∞).

Para calcular a imagem de qualquer função, temos que analisar somente duas coisas: a concavidade da parábola (sinal do coeficiente "a") e o valor do Yv. Se o "a" for positivo (a>0) a concavidade é para cima, então a imagem é do Yv até "mais" infinito [Yv,+∞); 12

se o "a" for negativo (a<0) a concavidade é para baixo, então a imagem é de "menos" infinito até o Yv ∞,Yv]. Veja os exemplos abaixo:

a>0 e f(x) = x2 - 15x +56

portanto, o conjunto imagem desta função é o intervalo [-1/4,+∞) a<0e

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f(x) = -2x + 12x - 16

portanto, o conjunto imagem desta função é o intervalo (-∞, +4]

Fazer uma análise de sinais em uma função quadrática pode ser muito útil para resolver inequações e também para determinar o domínio de algumas funções mais elaboradas (com divisão, com raiz quadrada...).

Vamos ver o que é a tal de "análise de sinal". Dê uma olhada na imagem abaixo:

Veja você que esta parábola (vendo da esquerda para direita) vem lá de cima (infinito) e vai descendo até o vértice, quando troca de sentido e passa a subir até o infinito novamente. Fazer a "análise de sinais" é verificar qual o sinal de Y em cada ponto do eixo X. Olhe novamente a figura. Até o ponto x=-3 a parábola está acima do eixo X, portanto ela é positiva. De -3 até 1 ela está abaixo do eixo X, portanto é negativa. Se houver um exercício, pedindo qual o intervalo em que esta parábola é negativa, a resposta será: S = (-3, 1) Note que foi utilizado parênteses, isso indica que o ponto -3 não está no intervalo, pois nele a função vale zero (está em cima do eixo). Idem para o ponto 1.

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