Solucionarío Guía de Examen de Admisión Matemáticas 2020 UNAN MANAGUA

S



Duarte Urbina José Adán



Herrera Castrillo Cliffor Jerry



Pavón Tórrez Juan Diego



Urrutia Mendoza Elías Ramón

Docentes de Matemática del MINED Nicaragua Herrera Castrillo Cliffor Jerry

S

Aritmética 1. Al simplificar [(9 − 4) + (−10 + 3)] × (6)(−5) ÷ [(12 − 8)(6 − 9)(95 − 90)] el resultado es: a) 1

b) -1

c) 2

d) -2

e) 3

d) 343

e) 315

Solución

2. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a: a)

313

b) 333

c) 312

Solución 311 + 311 + 311 311 (3)

312

S

3. La soluciĂłn de [5 − 4 ( a)

1

1 2 2 1 −1 2

( ) −1

)] es:

b) -2

c) 2

d) -1

e) -4

SoluciĂłn 1 2 (2) − 1 [5 − 4 ( )] 1 2−1 1 3 −1 −4 3 4 = [5 − 4 ( )] = [5 − 4 ( )] = [5 − 4 ( )] = [5 − 6] = −1 1 1 2 − 1 − 2 2 4. En la sustracciĂłn đ?‘Ž − đ?‘? = đ?‘?, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 32 ÂżCuĂĄl es el valor del minuendo? a)

16

b) 32

c) -16

d) 15

e) 20

SoluciĂłn Minuendo=đ?‘€ sustraendo=đ?‘† Diferencia=đ??ˇ đ?‘€ + đ?‘† + đ??ˇ = 32 y sabemos que đ?‘€ − đ?‘† = đ??ˇ despejamos la anterior y queda đ?‘€ = đ??ˇ+đ?‘† reemplazamos en la ecuaciĂłn original đ?‘€ + đ?‘€ = 32 2đ?‘€ = 32 đ?‘€ = 16

S

5.

De una finca de 6 300 hectáreas se venden primero los tarde los

a)

1 000 ha

2 9

5

5 6

de los

2 3

y más

9

de los 7 de los 5 . ¿Cuánto queda?

b) 1 115 ha

c) 1 110 ha

d) 1 120 ha

e) 995 ha

Solución 

Primera Venta 5 2 (6 300) ( ) ( ) = 3 500 6 3

Queda: 6 300 − 3 500 = 2 800 

Segunda venta 2 5 9 (6 300 ) ( ) ( ) ( ) = 1 800 9 7 5

Queda: 2 800 − 1800 = 1 000 6. Un dispositivo electrónico costó C$ 1 250 se vende por los

2 5

del costo.

¿Cuánto se pierde? a)

500

b) 550

c) 650

Solución 2 1 250 ( ) = 500 5 Se pierde 1 250 − 500 = 750

S

d) 750

e) 850

7. Un corredor hace 100 m en 10 segundos y otro hace 200 m en 22 s. En una carrera de 5 km, ÂżquĂŠ tiempo de ventaja sacarĂĄ el ganador al vencido? a) 75 đ?‘

b) 50 đ?‘

c) 58 đ?‘

d) 25 đ?‘

e) 58đ?‘

SoluciĂłn

Convertir de km a m (5)(1000) = 5 000 đ?‘š Corredor 1

Corredor 2

100 đ?‘š = 10 đ?‘

200 đ?‘š = 22 đ?‘

(50)100 đ?‘š = (50)10 đ?‘

(25)200 đ?‘š = (25)22 đ?‘

5 000 đ?‘š = 500 đ?‘

5 000 đ?‘š = 550 đ?‘

Ventaja 550 đ?‘ − 500 đ?‘ 50 s

8. Una familia de 6 miembros tiene vĂ­veres para 24 dĂ­as; pero como recibieron de visita un tĂ­o y su esposa; los vĂ­veres se terminaron 5 dĂ­as antes. Calcule cuanto tiempo durĂł la vista de los de los esposos: a)

4

b) 18

c) 12

d) 15

e) 20

SoluciĂłn Se plantea lo siguiente Personas

DĂ­as

donde se puede entender que el nĂşmero total de

6

24

vĂ­veres con el que cuentan las 6 personas es 144, es

8

19

decir: 6+6+6+â‹Ż+6=144.

S

Personas

DĂ­as

VĂ­veres

6

n

8n

8

19 - n

6(19 – n)

Total

144

8đ?‘› + 6(19 − đ?‘›) = 144 ; 8đ?‘› + 114 − 6đ?‘› = 144

;

đ?‘›=

30 2

;

đ?‘› = 15

9. El precio de costo de una computadora es $ 150 ÂżQuĂŠ precio se fijĂł para su venta al pĂşblico?, sabiendo que si al venderla se hacen dos descuentos consecutivos de 15% y 20% todavĂ­a se estarĂĄ ganado el 44% del 20% del precio de costo: a) 270

b) 260

c) 240

d) 250

SoluciĂłn đ??ˇđ?‘˘ = đ??ˇ1 + đ??ˇ2 − đ??ˇđ?‘˘ = 15 + 20 −

đ??ˇ1 đ??ˇ2 100

(15)(20) = 32% 100

Se estarĂĄ ganado el 44% del 20% del precio de costo es 8,8% 150(8,8%) = 13,2 đ??śđ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ + đ??şđ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘Ž + đ??ˇđ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ = đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘œ đ??šđ?‘–đ?‘—đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ 150 + 13,2 + 32%đ?‘ƒđ?‘“ = đ?‘ƒđ?‘“ 163,2 = đ?‘ƒđ?‘“ − 0,32đ?‘ƒđ?‘“ 163,2 = 0,68 đ?‘ƒđ?‘“ 163,2 = đ?‘ƒđ?‘“ 0,68 S

240 = đ?‘ƒđ?‘“

e) 200

10. Un comerciante compra un artĂ­culo a una fĂĄbrica y le hace un descuento del 25% del precio de lista. ÂżQuĂŠ tanto por ciento del precio de lista debe fijar para su venta de tal manera que haciendo un descuento del 20%, gane el 25% de precio de venta? a) 135%

b) 115%

c) 120%

d) 125%

e) 150%

SoluciĂłn Precio en el mercado: 100% - 25% = 75% Precio fijado: Costo + Descuento + Ganancia = 75% + 20% + 25% = 120% 11. Los 3 7

13 5

litros de vino sirven para llenar los

5 8

de una botella. Cuando falten

litros para llenar la misma botella ÂżQuĂŠ fracciĂłn de la botella estarĂĄ

llena? De cĂłmo respuesta la suma de las cifras del numerador a) 9

b) 12

c) 8

d) 14

e) 6

SoluciĂłn Capacidad de la botella

5 13 đ?‘Ľ= 8 5

13 5

5 8

13 8 104 đ?‘Ľ = ( )( ) = 5 5 25

đ?‘Ľ

1

Litros de Vino

La botella se llena con đ?‘Ľ =

104 25

104 3 653 − = 25 7 175 Lo que tienen la botella de vino S

Se puede utilizar nuevamente una regla de 3 Litros de Vino 13 5 653 175

Capacidad de la

13 5 653 đ?‘Ľ = ( )( ) 5 8 175

botella 5 8

13 653 đ?‘Ľ= 5 280

đ?‘Ľ

653 5 653 đ?‘Ľ=( )( ) = 280 13 728

Como el problema pide la respuesta como la suma de las cifras del numerador 6 + 5 + 3 = 14 12. Un Reservorio puede ser llenado por grifos A y B. El grifo A llena el reservorio en 10 horas, mientras que el B lo hace en 9 horas mĂĄs que empleando los dos grifos A y B. En cuĂĄnto tiempo se llena el reservorio utilizado sĂłlo por el grifo B. a) 6h

b) 9h

c) 12h

d) 15 h

SoluciĂłn Sea đ?‘Ľ el tiempo en que tardan los dos grifos en llenar el reservorio.

1 1 1 + = đ??´ đ??ľ đ?‘Ľ Donde 1 1 = đ??´ 10 Entonces

S

;

1 1 = đ??ľ đ?‘Ľ+9

e) 10 h

1 1 1 + = 10 𝑏 𝑥 𝐵 + 10 1 = 10 𝐵 𝑥 𝑥(𝐵 + 10) = 10𝐵 𝑥=

10 𝐵 𝐵 + 10

Como 𝐵 = 𝑥 + 9, se puede decir que 𝑥 = 𝐵 − 9 𝐵−9 10 𝐵 = 1 𝐵 + 10 𝐵 2 + 𝐵 − 90 = 10𝐵 𝐵 2 + 𝐵 − 10𝐵 − 90 = 0 𝐵 2 − 9𝐵 − 90 = 0 (𝐵 − 15)(𝐵 + 6) = 0 𝐵 = 15 ;

S

𝐵 = −6

2

13. Una pelota pierde las 5 partes de su altura en cada rebote que da. Si se le deja caer desde un metro de altura ÂżQuĂŠ altura alcanzarĂĄ despuĂŠs del primer rebote? a) 51,20 cm

b) 21,60 cm

c) 36,00 cm

d) 12,96 cm

e) 6,40 cm

SoluciĂłn Lo que me queda despuĂŠs de cada rebote

1−

2 5−2 3 = = 5 5 5

đ?‘…đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’ 1đ?‘&#x;đ?‘œ Ă— đ?‘…đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’ 2đ?‘‘đ?‘œ Ă— đ?‘…đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’ 3đ?‘&#x;đ?‘œ Ă— đ??´đ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ 3 3 3 Ă— Ă— Ă— 100đ?‘?đ?‘š = 21,60 đ?‘?đ?‘š 5 5 5 14. Al calcular las operaciones ( a)

3√3 2

b)

18Ă—25

) 2

1â „ 2

23 Ă—31 Ă—5

5√2

c)

3

el resultado es:

√5 2

d)

SoluciĂłn 1â „ 2

18 Ă— 25 ( 3 ) 2 Ă— 31 Ă— 52

2 Ă— 32 Ă— 52 =√ 3 2 Ă— 31 Ă— 52

=√

S

3 3 √3 √ = = 22 4 2

√3 2

e)

4√3 5

3−2 ×0,3×10

2

15. Al efectuar las operaciones (2−3 ×0,2×20) el resultado es: a) 4/9

b) 15

c) 3

d) 2

e) 7

Solución 2

3−2 × 0,3 × 10 ( −3 ) 2 × 0,2 × 20

2 3 23 × 10 × 10 8×3 2 =( ) =( ) 2 9×4 32 × 10 × 20

2 2 4 =( ) = 3 9 16. Al efectuar [ a) 9

1 2 3 1 2 1 3 23 ×( ) ×( ) 2 3

63 ×( )

2

] el resultado es:

b) 9√2

c) √17

3

d) 8√3

3

3

Solución 1⁄ 3

1/3

1 2 6 × (3) [ 2 3] 1 1 23 × (2) × (3) 3

=

=[

6 1 [ ] 2 1×1 4 3

1 2 1 23 × (2) × 3

1⁄ 3

3

3

= 3√

= 3√12

S

63

1 1 12

]

e) 3√12 3

3

3

17. Al simplificar la expresión √512 + 2√18 − 2 √32 el resultado es: a) 3

b) 5

c) 2

d) 8

e) 15

Solución

3

√512 + 2√18 −

3 √32 2

3 3 = √512 + 2√2 × 32 − √2 × 42 2

3 3 = √512 + 2 × 3√2 − × 4√2 2

3

= √512 + 6√2 −

12 √2 2

3

= √512 + 6√2 − 6√2 3

√512 = 8

3

8

64

18. Al efectuar √27 + √36 el resultado es: a) 5

b) 2

c) 4

d) 6

Solución 8 64 2 8 2 4 6 √ +√ = + = + = =2 27 36 3 6 3 3 3

3

S

e) 3

19. Roberto Hernández acabo el bachillerato a los 15 años se graduó de abogado 6 años después; se casó 5 años después; se embarcó para Nicaragua 7 años después y 12 años después obtuvo una cátedra. Si Roberto tuviera 12 años más abría nacido en 1909.En que año obtuvo su cátedra? a) 1 966

b) 1 970

c) 1 963

d) 1960

e) 1 974

Solución Se efectúa el siguiente procedimiento Distribución

Años

Bachillerato

15

Abogado

6

Se caso

5

Se embarcó a Nicaragua

7

Obtuvo catedra

12

Total

45

Si Roberto tuviera 12 años más habría nacido en 1909, entonces el total se convierte a 57 años transcurridos.

1 909 + 57 = 1966 Roberto obtuvo su cátedra en el año 1966.

S

20. un estanque cuya capacidad es de 300 litros está vacío y cerrado su desagüe, ¿en cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo tres llaves que vierten, la primera 36 litros en 3 minutos, la segunda 48 litros en 6 minutos y la tercera 15 litros en 3 minutos? a) 14 min

b) 15 min

c) 8 min

d) 12 min

e) 13 min

Solución Se efectúa el siguiente procedimiento:

Llaves

1

2

3

Capacidad

36

litros

Capacidad por minuto

por

3

por

6

por

3

minuto 48

litros

minuto 15

litros

minuto

Capacidad total de las tres llaves por minuto

36/3= 12 litros por minuto

48/6= 8 litros por minuto

25 litros por minuto

15/3= 5 litros por minuto

Como es estanque tiene una capacidad de 300 litros y se desea saber en cuanto tiempo se llena con las tres llaves abiertas. Sabemos que las tres lleves llenas 25 litros por minuto, entonces el tiempo que tardan las tres llaves en llenar el estanque es: 300/25 = 12

S

21. El seĂąor Ulises vende 63% de sus gallinas y se queda con 74 gallinas. ÂżcuĂĄntas gallinas tenia? a) 224 Gallinas b) 210 gallinas c) 185 gallinas d) 200 gallinas e) 198 gallinas SoluciĂłn Como se vende el 63% de las gallinas queda el 37% de ellas.

Sea đ?‘Ľ el total de gallinas, aplicando una regla de tres simple tenemos:

đ?‘Ľ=

Gallinas

Porcentaje

đ?‘Ľ Gallinas

100%

74 Gallinas

37%

74 đ??şđ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘ Ă— 1000% = 200 đ??şđ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘ 37%

Por tanto, el total de gallinas que tenĂ­a Ulises era 200

S

22. La edad de Carlos es un 32% menos que la de Emmanuel. Si Carlos tiene 34 aĂąos, ÂżQuĂŠ edad tiene Emmanuel? a) 49 aĂąos

b) 52 aĂąos

c) 54 aĂąos

d) 58 aĂąos

e) 50 aĂąos

SoluciĂłn Dado que la edad de Carlos es 32% menos que la de Emmanuel, deducimos que Carlos tiene el 68% de la edad de Emmanuel. Aplicando una regla de tres simple, siendo đ?‘Ľ la edad de Emmanuel. tenemos: Edad

Porcentaje

đ?‘Ľ Edad Emmanuel

100%

34 Edad de Carlos

68%

đ?‘Ľ=

100% Ă— 34 68% đ?‘Ľ = 50 11

1

1

23. Al simplificar la siguiente expresiĂłn (180 − 45) Ă— (90 Ă— 14) el resultado es: a) 1/5

b) 2/3

c) 3/2

d) 1/4

SoluciĂłn

(

11 1 1 7 45 45 − ) Ă— (90 Ă— ) = Ă— = 180 45 14 180 7 180 =

S

1 4

e) 2/7

24. De los 150 estudiantes de un colegio 27 son niĂąas. Hallar el porcentaje de varones a) 80%

b) 85%

c) 88%

d) 78%

e) 82%

SoluciĂłn Los 150 estudiantes equivalen al 100%, dado que 27 estuantes son niĂąas, entonces aplicando una regla de tres simple, siendo đ?‘Ľ el porcentaje equivalente a las niĂąas 150 Estudiantes 27 NiĂąas

đ?‘Ľ=

100% x

27 (100%) = 18% 150

es decir que el 18% de los estudiantes son niĂąas. Por tanto, el porcentaje de los varones es: 100% − 18% = 82% 25. Si 5 obreros hacen una obra en 40 dĂ­as ÂżCuĂĄnto tardaran 8 obreros en hacer la misma obra? a) 24 dĂ­as

b) 26 dĂ­as

c) 25 dĂ­as

d) 30 dĂ­as

SoluciĂłn Aplicando una regla de tres inversa đ?‘Ľ= 5 obreros ---------------- 40 dĂ­as 8 obreros --------------- x dĂ­as S

5 Ă— 40 8

đ?‘Ľ = 25

e) NA

26. Se desea repartir 35 libros entre varias personas de manera que no tengan la misma cantidad. La máxima cantidad de personas a las que se le pueden repartir los libros es: a) 6

b) 7

c) 8

d) 18

e) 10

Solución Los 35 libros se reparten entre siete (7) personas sin que estas tengan la misma cantidad de textos.

Se van realizando combinaciones de libros comenzando con uno para la primera persona, dos para la segunda y así sucesivamente.

Se llega a la conclusión que con la combinación siguiente se logra repartir los 35 libros entre siete (7) personas sin que se repitan las cantidades entre estos. 

Primera persona = 2 libros



Segunda persona = 3 libros



Tercera persona = 4 libros



Cuarta persona = 5 libros



Quinta persona = 6 libros



Sexta persona = 7 libros



Séptima persona = 8 libros

Total de personas = 7 Total de libros = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 Total de libros = 35 S

27. Determine el número que continua en la sucesión mostrada: 5,13,25,41,61,… a) 77

b) 85

c) 92

d) 96

e) 109

Solución En la sucesión 5,13,25,41,61,… se piden encontrar el siguiente número que le corresponde, procedemos de la siguiente manera: Diferencia de 4 Diferencia 8 5

13

Diferencia de 4 Diferencia 12 13

25

Diferencia de 4

Diferencia 16 25

Diferencia de 4

Diferencia 20

41

41

61

Diferencia 24 61

85

Como se puede notar en la tabla hay una diferencia que aumenta en 4 en cada termino, pero las diferencias de las diferencias es constante en 4. Por tanto, el término que le corresponde a la sucesión es 85.

28. Indica el número que sigue en la siguiente sucesión 75, 132, 363, 726, … a) 1180

b) 1254

c) 1353

d) 1452

e) 1551

Solución Notemos que cada término de la sucesión es la suma del anterior más el mismo número con sus cifras invertidas, entonces 726 + 627 = 1353 S

29. Una rueda A de 81 dientes engrana con otra rueda B de 45 dientes . Si la rueda A gira a razĂłn de 10 RPM ÂżcuĂĄntas vueltas darĂĄ la rueda B en 8 minutos ? a) 125

b) 185

c) 165

d) 132

e) 144

SoluciĂłn Aplicamos una regla de tres calculando primeramente cuantas đ?‘…đ?‘ƒđ?‘€ darĂĄ la rueda "đ??ľ": 81------------10v 45------------v b= 18 vueltas x min en 8min = 18(4)=144 vueltas

S

30. En una biblioteca municipal existen un total de 72 libros de matemĂĄtica y literatura, los que estĂĄn en relaciĂłn de 5 a 3 respectivamente. El nĂşmero de libros de literatura que deben agregarse para que la relaciĂłn sea 9 a 10 es a) 21

b) 22

c) 23

d) 24

e) 25

SoluciĂłn Sean đ?‘€: la cantidad de libros de matemĂĄtica y đ??ż: los libros de literatura đ?‘€ 5 = đ??ż 3 3đ?‘€ = 5đ??ż Sabiendo que đ?‘€ + đ??ż = 72 Obteniendo, đ?‘€ = 45, đ??ż = 27 Si se agregan đ?‘Ľ libros de literatura, la nueva relaciĂłn serĂĄ: đ?‘€ 9 = đ??ż + đ?‘Ľ 10 45 9 = 27 + đ?‘Ľ 10 243 + 9đ?‘Ľ = 450 9đ?‘Ľ = 450 − 243 9đ?‘Ľ = 207 đ?‘Ľ= S

207 = 23 9

31. El carro de Willy requiere 6 galones de gasolina para recorrer 240 kilĂłmetros ÂżCuĂĄntos galones necesita el automĂłvil para recorrer 480 kilĂłmetros? a) 12

b) 10

c) 8

d) 6

e) 4

SoluciĂłn Aplicando regla de tres simple 6 galones --------------- 240 km X

---------------- 480 km

đ?‘Ľ=

(6 đ?‘”đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘ )(480 đ?‘˜đ?‘š) = 12 240 đ?‘˜đ?‘š

32. Si por cada 2 esferas rojas hay 9 de color amarillo. Si en total hay 132 esferas ÂżCuĂĄntas de cada color hay? a) 24 A, 108 R

b) 18 A, 81 R c) 108 A, 24 R

d) 90 A, 10 R

e) 54 A, 12 R

SoluciĂłn Llamamos đ??´: a las esferas de color amarillo y đ?‘…: a las esferas de color rojo đ?‘… 2 = ⇒ 9đ?‘… = 2đ??´ đ??´ 9 đ?‘…=

2đ??´ 2đ??´ ⇒ + đ??´ = 132 9 9

⇒

đ?‘Ś đ?‘ đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘’ đ?‘… + đ??´ = 132

2đ??´ + 9đ??´ = 132 9 đ??´ = 108

Entonces đ?‘… = 132 − 108 = 24 S

⇒

11 9 đ??´ = 132 â&#x;š đ??´ = 132 ( ) 9 11

33. Si “Mâ€? es a “Nâ€? como 3 es a 8. Si el triple de “Mâ€? mĂĄs el doble de “Nâ€? es 75. Hallar N a) 18

b) 15

c) 14

d) 24

e) 20

SoluciĂłn SegĂşn los datos del ejercicio, tenemos lo siguiente đ?‘€ 3 = đ?‘ 8

đ?‘Ś

3đ?‘€ + 2đ?‘ = 75

8đ?‘€ = 3đ?‘ ⇒ đ?‘€ =

3đ?‘ 8

3đ?‘ 9 3đ?‘€ + 2đ?‘ = 75 ⇒ 3 ( ) + 2đ?‘ = 75 â&#x;š đ?‘ + 2đ?‘ = 75 8 8 9đ?‘ + 16đ?‘ 25 8 = 75 ⇒ đ?‘ = 75 ⇒ đ?‘ = 75 ( ) ⇒ đ?‘ = 24 8 8 25 34. En una reuniĂłn el nĂşmero de mujeres asistentes es el nĂşmero de mujeres que no bailan como 11 es a 3. Si todos los varones estĂĄn bailando y son 25 mĂĄs que las mujeres que no bailan ÂżCuĂĄntas personas hay en dicha reuniĂłn? a) 95

b) 90

c) 85

d) 75

e) 30

SoluciĂłn

S

Mujeres

Hombres

Total

Bailan

8k

8k

16k

No Bailan

3k

0k

3k

Total

11k

8k

19k

AdemĂĄs, segĂşn los datos del ejercicio los varones que bailan son 25 mĂĄs que las mujeres que no bailan: 8đ?‘˜ = 25 + 3đ?‘˜ 8đ?‘˜ − 3đ?‘˜ = 25 5đ?‘˜ = 25 đ?‘˜=

25 5

đ?‘˜=5 En dicha reuniĂłn hay en total: đ??ťđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ + đ?‘€đ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ = 19đ?‘˜ = 19(5) = 95 35. A una fiesta concurren 400 personas asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Si luego de 3 horas por cada dos hombres hay una mujer ÂżCuĂĄntas parejas se retiraron? a) 80

b) 60

c) 70

d) 90

e) NA

SoluciĂłn Sean đ?‘€: cantidad de mujeres y đ??ť: cantidad de hombres que asistieron a la fiesta. đ?‘€ + đ??ť = 400 đ??ť 3 3đ?‘€ = â&#x;š 2đ??ť = 3đ?‘€ â&#x;š đ??ť = đ?‘€ 2 2 đ?‘€+

3đ?‘€ 5đ?‘€ = 400 â&#x;š = 400 2 2

2 â&#x;š đ?‘€ = 400 ( ) â&#x;š đ?‘€ = 160 5

đ??ť = 400 − 160 = 240

S

Es la cantidad de mujeres y varones que asistieron a la fiesta.

Si al cabo de tres horas, se forma la relaciĂłn: đ??ťâˆ’đ?‘Ľ 2 = đ?‘€âˆ’đ?‘Ľ 1 Siendo đ?‘Ľ la cantidad de varones y/o mujeres (parejas) que se retiraron.

240 − đ?‘Ľ 2 = 160 − đ?‘Ľ 1 240 − đ?‘Ľ = 320 − 2đ?‘Ľ −đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ = 320 − 240 đ?‘Ľ = 80 36. Hallar un nĂşmero de 3 cifras que sea igual a 5 veces el producto de sus cifras. Dar como respuesta el producto de sus cifras a) 45

b) 35

c) 25

SoluciĂłn Sea đ?‘Žđ?‘?đ?‘? el nĂşmero buscado đ?‘Žđ?‘?đ?‘? = 5đ?‘Žđ?‘?đ?‘?

O bien, đ?‘Ž đ?‘? đ?‘?

5 ________ 5đ?‘Žđ?‘?đ?‘?

S

d) 30

e) 40

Por el criterio de divisibilidad del 5, notamos que đ?‘? = 0 đ?‘œ 5. Pero đ?‘? ≠0 puesto que el producto de las cifras del nĂşmero seria 0. đ?‘Ž đ?‘?

25 _______ đ?‘Žđ?‘?5 đ?‘Žđ?‘?5 = 25đ?‘Žđ?‘?

Descomponemos en su forma polinĂłmica el nĂşmero de tres cifras: 100đ?‘Ž + 10đ?‘? + 5 = 25đ?‘Žđ?‘? (á 5) 20đ?‘Ž + 2đ?‘? + 1 = 5đ?‘Žđ?‘?

2đ?‘? − 5đ?‘Žđ?‘? = −1 − 20đ?‘Ž đ?‘?(2 − 5đ?‘Ž) = −1 − 20đ?‘Ž đ?‘?=

−1 − 20đ?‘Ž 2 − 5đ?‘Ž

Para que đ?‘Ž y đ?‘? sean dĂ­gitos, los Ăşnicos valores son 1 y 7 respectivamente.

Por lo tanto, el nĂşmero serĂĄ: đ?‘Žđ?‘?5 = 175 Y el producto de sus cifras serĂĄ:1 Ă— 7 Ă— 5 = 35

S

37. La razĂłn de dos nĂşmeros es

17 13

y su diferencia es 44 ÂżCuĂĄl es el mayor de

estos nĂşmeros? a) 143

b) 145

c) 177

d) 187

e) 178

SoluciĂłn Sean đ?‘Ľ el nĂşmero mayor e đ?‘Ś el nĂşmero menor. đ?‘Ľ 17 13 = â&#x;š 17đ?‘Ś = 13đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ś = đ?‘Ľ đ?‘Ś 13 17 đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 44 đ?‘Ľâˆ’

13 đ?‘Ľ = 44 17

17đ?‘Ľ − 13đ?‘Ľ 4 17 = 44 â&#x;š đ?‘Ľ = 44 â&#x;š đ?‘Ľ = 44 ( ) â&#x;š đ?‘Ľ = 187 17 17 4 38. ÂżEn cuĂĄnto debe venderse un televisor que costĂł đ??ś$ 1450 si se quiere ganar el 32% del precio del costo? a) 1464

b) 5163

c) 1284

SoluciĂłn Sea đ?‘Ľ el precio de venta del televisor. đ?‘Ľ = 1450 + (32%)(1450) đ?‘Ľ = 1450 + 464 đ?‘Ľ = 1914

S

d) 1914

e) 2014

39. Efectuar:

a) 1

15 3+

2 1 2+ 1 1+ 2

÷1 2

1−

1 3

2 3

−(1− )

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Solución 1 1−3

2 ÷ = ÷ = ÷3 2 1 2 2 1 1 2 1 3+ − (1 − ) 3 + 1 1 2−3 3+ 2 6 2 3 2+ 2+ 3 2+3 1 1+2 2 15

15 2 3+ 8 3

÷

1

15

2 3

15

12 15 12 15 4 4 4 = ÷ = ÷ = ÷ =1 6 15 1 1 1 3 3+8 3 4

3

40. El valor de (2 + 0,4 − 4) × 5 es: a) 3/4

b) 7,5

c) -3/4

Solución 1 2 3 ( + − )×5 2 5 4 10 + 8 − 15 =( )×5 20 3 =( )×5 20

S

=

15 20

=

3 4

d) 0,2

e) NA

Ă lgebra 1

1

1. El resultado de (đ?‘Ľ + 4) (đ?‘Ľ − 4) es: A.

1

đ?‘Ľ 2 − 16

1

1

B. đ?‘Ľ 2 + 16

1

C. đ?‘Ľ 2 + 8

D. đ?‘Ľ 2 − 8

SoluciĂłn 1 1 1 2 1 2 (đ?‘Ľ + ) (đ?‘Ľ − ) = (đ?‘Ľ) − ( ) = đ?‘Ľ 2 − 4 4 4 16 2. La descomposiciĂłn en factores de la expresiĂłn 2đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ľ + 3 es: A. (2đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ − 2)

B. (2đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ + 2)

C. (2đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ − 1)

D. (2đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 1) SoluciĂłn 2đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ľ + 3

2

-3

-2

1

-1

-3

(2đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ − 1)

-5 3. Al factorizar la expresiĂłn −12 đ?‘Ľ 3 + 36 đ?‘Ľ 2 − 27 đ?‘Ľ, uno de los factores es: A. -2

B. (2 đ?‘Ľ − 3)2

C. 5đ?‘Ľ2

SoluciĂłn −3đ?‘Ľ(4đ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľ + 9) = −3đ?‘Ľ(2đ?‘Ľ − 3)2 S

D. (2 đ?‘Ľ + 3)2

4. Si đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1; đ?‘Ľđ?‘Ś = 1 A. -1

ÂżCuĂĄl serĂĄ el valor de x3 + y3?

B. -2

C. -3

D. -4

SoluciĂłn Elevando al cubo la expresiĂłn (đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el ejercicio, se obtiene (đ?‘Ľ + đ?‘Ś)3 = đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś + 3đ?‘Ľđ?‘Ś 2 + đ?‘Ś 3 = 1 đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś + 3đ?‘Ľđ?‘Ś 2 + đ?‘Ś 3 = 1 Factorizando tĂŠrminos medios đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľđ?‘Ś(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) + đ?‘Ś 3 = 1 Reemplazando đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1 y đ?‘Ľđ?‘Ś = 1 đ?‘Ľ 3 + 3(1)(1) + đ?‘Ś 3 = 1 đ?‘Ś3 + 3 + đ?‘Ś3 = 1

→

đ?‘Ś 3 + đ?‘Ś 3 = −2

5. ÂżCuĂĄl es el valor de k para que al dividir đ?‘Ľ 3 + (4 + đ?‘˜)đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘˜đ?‘Ľ + 8 por (đ?‘Ľ + 1) el residuo sea 1 A. -1

B. -3

C. -8

D. -2

SoluciĂłn Teorema del resto đ?‘Ľ + 1 = 0 ; đ?‘Ľ = −1 (−1)3 + (4 + đ?‘˜)(−1)2 − 4đ?‘˜(−1) + 8 = 1 â&#x;š −1 + 4 + đ?‘˜ + 4đ?‘˜ + 8 = 1 11 + 5đ?‘˜ = 1 â&#x;š 5đ?‘˜ = 1 − 11 â&#x;š 5đ?‘˜ = −10 đ?‘˜ = −10â „5 = −2 S

6. La simplificaciĂłn de A.

đ?‘Ž

đ?‘Ž2 −4đ?‘?2 đ?‘Žđ?‘?+2đ?‘? 2

3đ?‘Ž2 −5đ?‘Žđ?‘?−2đ?‘? 2 3đ?‘Ž2 +đ?‘Žđ?‘?

đ?‘?

B.

đ?‘?(3đ?‘Ž+đ?‘?)

á

C.

đ?‘Ž

es: đ?‘Ž

D.1

đ?‘?

SoluciĂłn Aplicando inverso multiplicativo đ?‘Ž2 − 4đ?‘? 2 3đ?‘Ž2 + đ?‘Žđ?‘? Ă— đ?‘Žđ?‘? + 2đ?‘? 2 3đ?‘Ž2 − 5đ?‘Žđ?‘? − 2đ?‘? 2 Factorizando (đ?‘Ž − 2đ?‘?)(đ?‘Ž + 2đ?‘?) đ?‘Ž(3đ?‘Ž + đ?‘?) Ă— (đ?‘Ž − 2đ?‘?)(3đ?‘Ž + đ?‘?) đ?‘?(đ?‘Ž + 2đ?‘?) = 1

đ?‘Ž đ?‘?

12đ?‘Ľ 2 −4đ?‘Ľ

7. El resultado de la operaciĂłn đ?‘Ľâˆ’1 + (4đ?‘Ľ 2 −11đ?‘Ľâˆ’3 á A.

4đ?‘Ľ 2 +1 (4đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľâˆ’1)

B.

4đ?‘Ľ 2 −1 (4đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľâˆ’1)

C.

4đ?‘Ľ 2 +1 (4đ?‘Ľâˆ’1)(đ?‘Ľâˆ’1)

3đ?‘Ľ 2 +8đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘Ľ 2 −9

D.

) es:

4đ?‘Ľ 2 +1 (4đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+1)

SoluciĂłn Al efectuar las factorizaciones necesarias: Factor ComĂşn 12đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ = 4đ?‘Ľ(3đ?‘Ľ − 1) Trinomio de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?

4đ?‘Ľ 2 − 11đ?‘Ľ − 3 = 3đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ − 3 = Diferencia de cuadrados S

(4đ?‘Ľ − 12)(4đ?‘Ľ + 1) â&#x;š (đ?‘Ľ − 3)(4đ?‘Ľ + 1) 4 (3đ?‘Ľ + 9)(3đ?‘Ľ − 1) â&#x;š (đ?‘Ľ + 3)(3đ?‘Ľ − 1) 3

ЁЭСе 2 тИТ 9 = (ЁЭСе тИТ 3)(ЁЭСе + 3) Aplicar inverso multiplicativo y resolver: 1 12ЁЭСе 2 тИТ 4ЁЭСе ЁЭСе2 тИТ 9 +( 2 ├Ч 2 ) ЁЭСетИТ1 4ЁЭСе тИТ 11ЁЭСе тИТ 3 3ЁЭСе + 8ЁЭСе тИТ 3 (ЁЭСе тИТ 3)(ЁЭСе + 3) 1 4ЁЭСе(3ЁЭСе тИТ 1) +( ├Ч ) (ЁЭСе тИТ 3)(4ЁЭСе + 1) (ЁЭСе + 3)(3ЁЭСе тИТ 1) ЁЭСетИТ1 1 4ЁЭСе 4ЁЭСе + 1 + 4ЁЭСе 2 тИТ 4ЁЭСе + = (ЁЭСе тИТ 1)(4ЁЭСе + 1) ЁЭСе тИТ 1 4ЁЭСе + 1 = ЁЭСе

4ЁЭСе 2 + 1 (ЁЭСе тИТ 1)(4ЁЭСе + 1)

ЁЭСж 2

8. Al Desarrollar (ЁЭСж тИТ ЁЭСе ) se obtiene A.

ЁЭСе 4 +2ЁЭСе 2 ЁЭСж 2 +ЁЭСж4 ЁЭСе2ЁЭСж2

B.

ЁЭСе 4 тИТ2ЁЭСе 2 ЁЭСж 2 тИТЁЭСж 4 ЁЭСе2ЁЭСж2

C.

ЁЭСе 4 тИТ2ЁЭСе 2 ЁЭСж2 +ЁЭСж 4 ЁЭСе2ЁЭСж2

Soluci├│n ЁЭСе ЁЭСж 2 ( тИТ ) ЁЭСж ЁЭСе ЁЭСе2 тИТ ЁЭСж2 =( ) ЁЭСеЁЭСж

2

(ЁЭСе 2 тИТ ЁЭСж 2 )2 = (ЁЭСеЁЭСж)2 =

S

ЁЭСе 4 тИТ 2ЁЭСе 2 ЁЭСж 2 + ЁЭСж 4 ЁЭСе2ЁЭСж2

D.

ЁЭСе 4 +2ЁЭСе 2 ЁЭСж 2 тИТЁЭСж4 ЁЭСе2ЁЭСж2

9. El valor de đ?‘˜ que proporciona sola una soluciĂłn real de la ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 + đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘˜ = −2 − 3đ?‘Ľ es: A.

5

B.

1

C. 0

D.  1

SoluciĂłn Para encontrar la soluciĂłn real se utiliza la ecuaciĂłn del discrimĂ­nate la cual establece: đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? = 0 Para encontrar đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? hay que llevar la ecuaciĂłn a la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0 Para ello se realizan los despejes necesarios: đ?‘Ľ 2 + đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘˜ = −2 − 3đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 + đ?‘˜đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ + đ?‘˜ + 2 = 0 đ?‘Ľ 2 + (đ?‘˜ + 3)đ?‘Ľ + (đ?‘˜ + 2) = 0 Entonces: đ?‘Ž = 1 ,

đ?‘? =đ?‘˜+3,

Aplicando la ecuaciĂłn:

đ?‘? =đ?‘˜+2 đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? = 0

(đ?‘˜ + 3)2 − 4(1)(đ?‘˜ + 2) = 0 đ?‘˜ 2 + 6đ?‘˜ + 9 − 4đ?‘˜ − 8 = 0 đ?‘˜ 2 + 2đ?‘˜ + 1 = 0

â&#x;š đ??šđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§đ?‘Žđ?‘&#x;

(đ?‘˜ + 1)(đ?‘˜ + 1) = 0 đ?‘˜+1=0; đ?‘˜+1=0 đ?‘˜ = −1 ; đ?‘˜ = −1

S

10. Si a = -1, b = 3, c = 5, entonces A. – 1/9

đ?‘Ž+đ?‘?−|đ?‘Žâˆ’đ?‘?| |đ?‘Ž|+|đ?‘?|+|đ?‘?|

B. 1

C. 1/9

D.

– 2/9

SoluciĂłn −1 + 3 − |−1 − 3| −1 + 3 − |−4| 2 − 4 2 = = =− |−1| + |3| + |5| 1+3+5 9 9 11. El valor numĂŠrico de la expresiĂłn A. - 1/27

đ?‘Ž2 (đ?‘Ž+đ?‘?) (đ?‘Žâˆ’đ?‘?)3

B. 1/27

para đ?‘Ž = 1 y đ?‘? = −2

C. -1/3

D. 15/17

SoluciĂłn (1)2 (1 + (−2)) 1(1 − 2) 1(−1) = = 3 3 (1 − (−2)) (1 + 2) (3)3 =−

1 27

12. El resultado de (đ?‘Ľ2 − đ?‘Ś2) (đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2) es A. đ?‘Ľ4 + đ?‘Ś4

B. đ?‘Ľ4 − đ?‘Ś4

C. 2đ?‘Ľ2 − 2đ?‘Ś2

D. 2đ?‘Ľ2 + 2đ?‘Ś2

SoluciĂłn (đ?‘Ľ2 − đ?‘Ś2) (đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2) = đ?‘Ľ4 − đ?‘Ś4 13. El resultado de (đ?‘Ľ 4 − đ?‘Ś 4 )(đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ś 4 ) es: A. đ?‘Ľ16 − đ?‘Ś 16

B. đ?‘Ľ 8 − đ?‘Ś 8

C. 2đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ś 2

SoluciĂłn (đ?‘Ľ 4 − đ?‘Ś 4 )(đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ś 4 ) = đ?‘Ľ 8 − đ?‘Ś 8

S

D. 2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ś 2

14. La descomposición en factores de la expresión 3�2 – 2� – 8 es: A. (3� + 4) (� + 2)

B. (3đ?‘Ľ + 4) (đ?‘Ľ − 2)

C. (3đ?‘Ľ – 4) (đ?‘Ľ − 2)

D. (3� – 4) (� + 2)

SoluciĂłn (3đ?‘Ľ − 6)(3đ?‘Ľ + 4) = (đ?‘Ľ − 2)(3đ?‘Ľ + 4) 3 15. La descomposiciĂłn en factores de la expresiĂłn đ?‘Ľ3– 64đ?‘Ś3 es: A. (x – 4y)

B. (4xy + x2 + 16y2)

C. (x + 4y) (4xy + x2 + 16y2)

D. (x – 4y) (4xy + x2 +16y2)

Solución �3– 64�3 = ( � – 4� ) (� 2 + 4�� + 16� 2 ) 16. La descomposición en factores de la expresión �3+ 64�3 es: A. (x – 4y)

B. (4xy + x2 + 16y2)

C. (x + 4y) (4xy + x2 + 16y2)

D. (x + 4y) (4xy - x2 +16y2)

SoluciĂłn đ?‘Ľ3+ 64đ?‘Ś3 = ( đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś ) (đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľđ?‘Ś + 16đ?‘Ś 2 ) 1

12đ?‘Ľ 2 −4đ?‘Ľ

17. El resultado de la operaciĂłn đ?‘Ľâˆ’1 + (4đ?‘Ľ 2 −11đ?‘Ľâˆ’3 á A.

4đ?‘Ľ 2 +1 (4đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľâˆ’1)

B.

4đ?‘Ľ 2 −1 (4đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľâˆ’1)

C.

SoluciĂłn Al efectuar las factorizaciones necesarias: Factor ComĂşn S

3đ?‘Ľ 2 +8đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘Ľ 2 −9

4đ?‘Ľ 2 +1 (4đ?‘Ľâˆ’1)(đ?‘Ľâˆ’1)

) es: D.

4đ?‘Ľ 2 +1 (4đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+1)

12đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ = 4đ?‘Ľ(3đ?‘Ľ − 1) Trinomio de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?

4đ?‘Ľ 2 − 11đ?‘Ľ − 3 = 3đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ − 3 =

(4đ?‘Ľ − 12)(4đ?‘Ľ + 1) â&#x;š (đ?‘Ľ − 3)(4đ?‘Ľ + 1) 4 (3đ?‘Ľ + 9)(3đ?‘Ľ − 1) â&#x;š (đ?‘Ľ + 3)(3đ?‘Ľ − 1) 3

Diferencia de cuadrados đ?‘Ľ 2 − 9 = (đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ + 3) Aplicar inverso multiplicativo y resolver: 1 12đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 − 9 +( 2 Ă— 2 ) đ?‘Ľâˆ’1 4đ?‘Ľ − 11đ?‘Ľ − 3 3đ?‘Ľ + 8đ?‘Ľ − 3 (đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ + 3) 1 4đ?‘Ľ(3đ?‘Ľ − 1) +( Ă— ) (đ?‘Ľ − 3)(4đ?‘Ľ + 1) (đ?‘Ľ + 3)(3đ?‘Ľ − 1) đ?‘Ľâˆ’1 1 4đ?‘Ľ 4đ?‘Ľ + 1 + 4đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ 4đ?‘Ľ 2 + 1 + = = (đ?‘Ľ − 1)(4đ?‘Ľ + 1) (đ?‘Ľ − 1)(4đ?‘Ľ + 1) đ?‘Ľ − 1 4đ?‘Ľ + 1 18. Al racionalizar el denominador de la fracciĂłn A.

√2đ?‘Ľ+5−3 4

B. −√3 − 2

C.

√2đ?‘Ľ+5−3 2

SoluciĂłn 1

.

√3 + 2

√3 − 2 √3 + 2 =

√3 + 2 3−4

=

√3 + 2 −1

= −√3 − 2 S

D.

1 √3−2

se obtiene

√2đ?‘Ľ+5−3 2

19. El valor de đ?‘˜ que proporciona sola una soluciĂłn real de la ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 + đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘˜ = −2 − 3đ?‘Ľ es: A.

5

B.

1

C. 0

D.  1

SoluciĂłn Para encontrar la soluciĂłn real se utiliza la ecuaciĂłn del discrimĂ­nate la cual establece: đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? = 0 Para encontrar đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? hay que llevar la ecuaciĂłn a la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0 Para ello se realizan los despejes necesarios: đ?‘Ľ 2 + đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘˜ = −2 − 3đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 + đ?‘˜đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ + đ?‘˜ + 2 = 0 đ?‘Ľ 2 + (đ?‘˜ + 3)đ?‘Ľ + (đ?‘˜ + 2) = 0 Entonces: đ?‘Ž = 1 ,

đ?‘? =đ?‘˜+3,

đ?‘? =đ?‘˜+2

Aplicando la ecuaciĂłn: đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? = 0 (đ?‘˜ + 3)2 − 4(1)(đ?‘˜ + 2) = 0 đ?‘˜ 2 + 6đ?‘˜ + 9 − 4đ?‘˜ − 8 = 0 đ?‘˜ 2 + 2đ?‘˜ + 1 = 0

â&#x;š đ??šđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§đ?‘Žđ?‘&#x;

(đ?‘˜ + 1)(đ?‘˜ + 1) = 0 đ?‘˜+1=0; đ?‘˜+1=0 đ?‘˜ = −1 ; đ?‘˜ = −1

S

đ?‘Ľ+1

20. Al resolver la ecuaciĂłn đ?‘Ľâˆ’1 +

2đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľ+1

= 4 se obtiene que la diferencia entre la

mayor y la menor de las raĂ­ces es: A.

5

B. 5

C. 1

SoluciĂłn đ?‘Ľ + 1 2đ?‘Ľ − 1 + =4 đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľ+1 (đ?‘Ľ + 1)2 + (đ?‘Ľ − 1)(2đ?‘Ľ − 1) =4 đ?‘Ľ2 − 1 đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ + 1 + 2đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ + 1 = 4(đ?‘Ľ 2 − 1) 3đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 2 = 4đ?‘Ľ 2 − 4 4đ?‘Ľ 2 − 4 = 3đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 2 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ − 6 = 0 (đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 2) = 0 đ?‘Ľ+3=0 ; đ?‘Ľ = −3

đ?‘Ľâˆ’2=0 ;

đ?‘Ľ=2

La diferencia entre las soluciones seria: 2 − (−3 ) = 2+3 =5

S

D.  1

21. Las soluciones en el conjunto de los nĂşmeros enteros del sistema de ecuaciones { A. (2,1)

đ?‘Ľ3 − đ?‘Ś3 = 7 son: đ?‘Ľ+đ?‘Ś =3 B. (-2,-1)

C. (1,2)

SoluciĂłn Despejando x en la ecuaciĂłn 2 đ?‘Ľ+đ?‘Ś =3

â&#x;š đ?‘Ľ = −đ?‘Ś + 3

Sustituir el valor de x en la ecuaciĂłn 1 đ?‘Ľ3 − đ?‘Ś3 = 7 (3 − đ?‘Ś)3 − đ?‘Ś 3 = 7 27 − 27đ?‘Ś + 9đ?‘Ś 2 − đ?‘Ś 3 − đ?‘Ś 3 = 7 27 − 27đ?‘Ś + 9đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ś 3 − 7 = 0 20 − 27đ?‘Ś + 9đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ś 3 = 0 −2đ?‘Ś 3 + 9đ?‘Ś 2 − 27đ?‘Ś + 20 = 0 −2đ?‘Ś 3 + 2đ?‘Ś 2 + 7đ?‘Ś 2 − 7đ?‘Ś − 20đ?‘Ś + 20 = 0 −2đ?‘Ś 2 (đ?‘Ś − 1) + 7đ?‘Ś(đ?‘Ś − 1) − 20(đ?‘Ś − 1) = 0 (đ?‘Ś − 1) = 0

; −2đ?‘Ś 2 + 7đ?‘Ś − 20 = 0

đ?‘Ś=1 ; đ?‘Śâˆ‰â„? đ?‘Ľ = −đ?‘Ś + 3

â&#x;š đ?‘Ľ = −1 + 3 = 2 (2,1)

S

D.

(-1,-2)

22. Al resolver la ecuaci├│n 3ЁЭСе 3 тИТ 1 + (ЁЭСе + 1)3 = 2ЁЭСе 3 + 8 la ├║nica soluci├│n en los n├║meros reales es: A. -3

B. 3

C. 4

D.

Soluci├│n 3ЁЭСе 3 тИТ 1 + (ЁЭСе + 1)3 = 2ЁЭСе 3 + 8 3ЁЭСе 3 тИТ 1 + ЁЭСе 3 + 3ЁЭСе 2 + 3ЁЭСе + 1 тИТ 2ЁЭСе 3 тИТ 8 = 0 2ЁЭСе 3 + 3ЁЭСе 2 + 3ЁЭСе тИТ 8 = 0 2ЁЭСе 3 тИТ 2ЁЭСе 2 + 5ЁЭСе 2 тИТ 5ЁЭСе + 8ЁЭСе тИТ 8 = 0 2ЁЭСе 2 (ЁЭСе тИТ 1) + 5ЁЭСе(ЁЭСе тИТ 1) + 8(ЁЭСе тИТ 1) = 0 (ЁЭСе тИТ 1)(2ЁЭСе 2 + 5ЁЭСе + 8) = 0 ЁЭСетИТ1=0

, 2ЁЭСе 2 + 5ЁЭСе + 8 = 0

ЁЭСе = 1 ; ЁЭСе = тИТ5 ┬▒ ЁЭСе=1

S

тИЪтИТ39 4

; ЁЭСетИЙтДЭ

1

23. Si ЁЭСГ(ЁЭСе) = ЁЭСе 3 + 2ЁЭСе 2 тИТ 3ЁЭСе тИТ 5 y ЁЭСГ(ЁЭСР) = 5, al calcular el valor de c obtenemos: A. -3

B. 3

C. 2

D.

1

Soluci├│n Tomando que c= x ЁЭСе 3 + 2ЁЭСе 2 тИТ 3ЁЭСе тИТ 5 = 5 ЁЭСе 3 + 2ЁЭСе 2 тИТ 3ЁЭСе тИТ 5 тИТ 5 = 0 ЁЭСе 3 + 2ЁЭСе 2 тИТ 3ЁЭСе тИТ 10 = 0 ЁЭСе 3 тИТ 2ЁЭСе 2 + 4ЁЭСе 2 тИТ 8ЁЭСе + 5ЁЭСе тИТ 10 = 0 ЁЭСе 2 (ЁЭСе тИТ 2) + 4ЁЭСе(ЁЭСе тИТ 2) + 5(ЁЭСе тИТ 2) = 0 (ЁЭСе тИТ 2)(ЁЭСе 2 + 4ЁЭСе + 5) = 0 ЁЭСетИТ2 =0 ;

ЁЭСе 2 + 4ЁЭСе + 5 = 0

ЁЭСе=2 ;

ЁЭСетИЙтДЭ

24. El conjunto soluci├│n de la desigualdad ЁЭСе 2 тИТ 3ЁЭСе + 2 тЙд 0 es A. 1 тЙд ЁЭСе < 2

B. [тИТ2,0)

C. [1, +тИЮ)

Soluci├│n ЁЭСе 2 тИТ 3ЁЭСе + 2 тЙд 0 (ЁЭСе тИТ 2)(ЁЭСе тИТ 1) тЙд 0 ЁЭСетИТ2 тЙд0 ;

ЁЭСетИТ1 тЙд0

ЁЭСетЙд2 ; ЁЭСетЙд1 S

D.

[1,2]

2

25. El conjunto soluciรณn de la desigualdad |๐ ฅ + 3| โ ค 2 es: 8

4

A. โ 3 โ ค ๐ ฅ โ ค 3

B.

8 3

4

โ ค๐ ฅโ ค3

8

4

8

C. โ 3 โ ค ๐ ฅ โ ค โ 3

Soluciรณn โ 2 โ ค ๐ ฅ +

2โ

2 โ ค2 3

2 2 2 โ ค๐ ฅ+ โ ค2โ 3 3 3 8 4 โ โ ค๐ ฅโ ค 3 3

26.

El conjunto soluciรณn de la desigualdad 1 โ ค

A. [1; 5]

B. [โ 1; 5]

B. [โ 1; 0]

7โ ๐ ฅ 2

โ ค 3 es;

B. [1; 2]

Soluciรณn 1 โ ค

C-s: [1; 5]

S

7โ ๐ ฅ 2

;

4

D. โ 9 โ ค ๐ ฅ โ ค 3

7โ ๐ ฅ โ ค3 2

7โ ๐ ฅ โ ค 2

;

7โ ๐ ฅ โ ค6

โ ๐ ฅ โ ค 2 โ 7

;

โ ๐ ฅ โ ค 6 โ 7

โ ๐ ฅ โ ค โ 5

;

โ ๐ ฅ โ ค โ 1

๐ ฅโ ฅ5

;

๐ ฅ โ ฅ1

27. El conjunto soluciĂłn de la desigualdad |5 â&#x20AC;&#x201C; 2x| < 7 estĂĄ dado por el intervalo A. (â&#x20AC;&#x201C;1; 0)

B. (1, 6)

C. (-1, 6)

D. (â&#x20AC;&#x201C;1; 2)

SoluciĂłn â&#x2C6;&#x2019;7 < 5 â&#x20AC;&#x201C; 2đ?&#x2018;Ľ < 7 â&#x2C6;&#x2019;7 â&#x2C6;&#x2019; 5 < â&#x20AC;&#x201C; 2đ?&#x2018;Ľ < 7 â&#x2C6;&#x2019; 5 â&#x2C6;&#x2019;12 < â&#x20AC;&#x201C; 2đ?&#x2018;Ľ < 2 â&#x2C6;&#x2019;

12 2 <â&#x20AC;&#x201C;đ?&#x2018;Ľ < 2 2

â&#x2C6;&#x2019;6 < â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ < 1 â&#x2C6;&#x2019;1 > đ?&#x2018;Ľ > 6 C.s: (-1, 6) 28.

A. â&#x20AC;&#x201C; 3

Si |2x â&#x20AC;&#x201C; 1| â&#x2030;Ľ 3, el valor de x que no pertenece al conjunto soluciĂłn es: B. 3

C. 1

D. â&#x20AC;&#x201C; 1

SoluciĂłn

S

2đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; 1 â&#x2030;Ľ 3

;

2đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; 1 â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;3

2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 3 + 1

;

2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;3 + 1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2030;Ľ2

;

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;1

29. Un grupo de estudiantes que participaron en un concurso de matemáticas se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que los apretones de mano fueron 66 ¿Cuántos estudiantes asistieron al concurso?

A. 24

B. 21

C. 14

D. 12

Solución Con dos personas (A y B), se produce un apretón de manos (A con B).

Con tres personas (A, B y C), se producen tres apretones de manos (A con B y C, B con C).

Con cuatro personas (A, B, C y D), hay seis apretones de manos (A con B, C y D, B con C y D, C con D).

En general, con n +1 personas, el número de apretones de manos es la suma de los primeros n números naturales consecutivos: 1 +2 +3 + … + n Dicha expresión es la de la suma de los términos de una progresión aritmética de diferencia 1,y viene dada por: n (1 +n) / 2 Así que, tenemos que resolver la ecuación: n (1 +n) / 2 = 66 que es una ecuación de segundo grado que podemos expresar como: n 2 + n – 132 = 0 Resolviendo dicha ecuación obtenemos como solución válida n=11 , y de dicho resultado se deduce que había 12 personas en la reunión.

S

30. El nĂşmero de dos dĂ­gitos que cumple las condiciones siguientes: la suma de la cifra de las decenas y la de las unidades es 9, el nĂşmero excede en 9 unidades al nĂşmero que se forma intercambiando los dĂ­gitos es: A. 52

B. 56

C. 54

D. 59

SoluciĂłn

đ?&#x2018;&#x2C6;+đ??ˇ =9 { 10đ?&#x2018;&#x2C6; + đ??ˇ = 10đ??ˇ + đ?&#x2018;&#x2C6; + 9

â&#x;š

đ??ˇ+đ?&#x2018;&#x2C6; =9 { â&#x2C6;&#x2019;9đ??ˇ + 9đ?&#x2018;&#x2C6; = 9

Despejar D en la EcuaciĂłn 1 đ??ˇ = 9â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2C6; Sustituir ese valor en la ecuaciĂłn 2 â&#x2C6;&#x2019;9đ??ˇ + 9đ?&#x2018;&#x2C6; = 9 â&#x2C6;&#x2019;9(9 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;) + 9đ?&#x2018;&#x2C6; = 9 â&#x2C6;&#x2019;81 + 9đ?&#x2018;&#x2C6; + 9đ?&#x2018;&#x2C6; = 9 18đ?&#x2018;&#x2C6; = 9 + 81 đ?&#x2018;&#x2C6;=

90 18

đ?&#x2018;&#x2C6;=5 Encontrar D đ??ˇ = 9â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2C6; đ??ˇ = 9â&#x2C6;&#x2019;5 đ??ˇ=4 El nĂşmero inicial es 45, intercambiando la posiciĂłn es 54 y al comprobar se tiene que 45+9= 54

S

31. El valor de ЁЭСе que resuelve la ecuaci├│n

тИЪ4ЁЭСе +4ЁЭСе +4ЁЭСе +4ЁЭСе 3

тИЪ256ЁЭСе +256ЁЭСе +256ЁЭСе +256ЁЭСе

= 4096 es igual

a: A. -7

B. -4

C. 0

Soluci├│n

тИЪ4 ЁЭСе + 4 ЁЭСе + 4 ЁЭСе + 4 ЁЭСе 3

тИЪ256ЁЭСе + 256ЁЭСе + 256ЁЭСе + 256ЁЭСе тИЪ4ЁЭСе (4) 3

тИЪ256ЁЭСе (4) тИЪ4ЁЭСе+1 8ЁЭСе+2 2 3

2ЁЭСе+1 8ЁЭСе+2 2 3

2

= 4096

= 212

= 212

8ЁЭСе+2 ЁЭСе+1тИТ( ) 3

2

тИТ5ЁЭСе+1 3

= 212

= 212

тИТ5ЁЭСе + 1 = 12 3 тИТ5ЁЭСе + 1 = 36 тИТ5ЁЭСе = 36 тИТ 1 тИТ5ЁЭСе = 35 ЁЭСе=тИТ

35 5

ЁЭСе = тИТ7

S

= 4096

D. 4

32. Si đ?&#x2018;&#x17D; = 1 y đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;2, entonces el valor numĂŠrico de la expresiĂłn (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?)2018 (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2017 es: A. â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019; 1

B. 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2

C. 1 + â&#x2C6;&#x161;2

D. â&#x2C6;&#x2019;(1 + â&#x2C6;&#x161;2)

SoluciĂłn (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?)2018 (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2017 (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2)

2018

(1 + â&#x2C6;&#x161;2)2017

(1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2)(1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2)

2017

(1 + â&#x2C6;&#x161;2)

2017

(1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2) [(1 â&#x2C6;&#x2019; 2)2017 ] (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2) [(â&#x2C6;&#x2019;1)2017 ] (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2) (â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2C6;&#x161;2 = â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019; 1 33. Si la diferencia entre el triple de đ?&#x2018;Ľ aumenta en 30 y la mitad de la suma de đ?&#x2018;Ľ y 20 es igual a 180, entonces el valor de đ?&#x2018;Ľ es: A. 28

B. 64

C. 52

D. 44

SoluciĂłn (3đ?&#x2018;Ľ + 30) â&#x2C6;&#x2019; (

3đ?&#x2018;Ľ + 30 â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľ 20 â&#x2C6;&#x2019; = 180 2 2

3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľ + 20 = 180 2

đ?&#x2018;Ľ + 20 ) = 180 2

â&#x;š â&#x;š

3đ?&#x2018;Ľ + 30 â&#x2C6;&#x2019;

6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = 180 â&#x2C6;&#x2019; 20 2

5 2 đ?&#x2018;Ľ = 160 â&#x;š đ?&#x2018;Ľ = 160 ( ) 2 5 S

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 10 = 180 2

â&#x;š đ?&#x2018;Ľ = 64

34. Una caja mediana de madera pesa 2 libras mĂĄs que la de tamaĂąo pequeĂąo.

La de tamaĂąo grande pesa 5 libras mĂĄs que la pequeĂąa. Si las tres cajas pesan 31 libras, entonces el peso en libras de la caja pequeĂąa es: A. 13

B. 11

C. 10

D. 8

SoluciĂłn Caja mediana= M

Caja PequeĂąa= P

Caja Grande= G

Una caja mediana de madera pesa 2 libras mĂĄs que la de tamaĂąo pequeĂąo. đ?&#x2018;&#x20AC; =đ?&#x2018;&#x192;+2 La de tamaĂąo grande pesa 5 libras mĂĄs que la pequeĂąa. đ??ş =đ?&#x2018;&#x192;+5 Entre las tres cajas pesan 31 libras. đ??ş + đ?&#x2018;&#x192; + đ?&#x2018;&#x20AC; = 31 Tenemos un sistema de ecuaciones de 3 Ă&#x2014; 3 đ?&#x2018;&#x20AC; = đ?&#x2018;&#x192; + 2 (đ?&#x2018;&#x2013;) đ??ş = đ?&#x2018;&#x192; + 5 (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;) đ??ş + đ?&#x2018;&#x192; + đ?&#x2018;&#x20AC; = 31 (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;) Sustituyendo (i) y (ii) en (iii) (đ?&#x2018;? + 5) + (đ?&#x2018;? + 2) + đ?&#x2018;? = 31 3đ?&#x2018;&#x192; + 7 = 31 3đ?&#x2018;&#x192; = 24 đ?&#x2018;&#x192;=8 S

35. Al resolver el sistema { A. 50

2đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľ = 5 , se obtiene que đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 2 es igual a: đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ś = 9

B. 48

C. 36

SoluciĂłn Ordenado el sistema y resolviendo đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ś = 5 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ś = 9 2đ?&#x2018;Ľ = 14 đ?&#x2018;Ľ=

14 2

đ?&#x2018;Ľ=7 Encontrar a y đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ś = 5 7 + 2đ?&#x2018;Ś = 5 2đ?&#x2018;Ś = 5 â&#x2C6;&#x2019; 7 đ?&#x2018;Ś=â&#x2C6;&#x2019;

2 2

đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;1 Entonces đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś2 (7)2 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1)2 = 49 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 48 S

D. 81

36. Si (ЁЭСе + ЁЭСж)2 = 2(ЁЭСе 2 + ЁЭСж 2 ) entonces el valor de ЁЭР╕ =

3ЁЭСе 3 тИТЁЭСж3 ЁЭСе2ЁЭСж

+

igual a: A.

3

B. 2

C. 5

Soluci├│n Dada la condici├│n (ЁЭСе + ЁЭСж)2 = 2(ЁЭСе 2 + ЁЭСж 2 ) ЁЭСе 2 + 2ЁЭСеЁЭСж + ЁЭСж 2 = 2ЁЭСе 2 + 2ЁЭСж 2 0 = 2ЁЭСе 2 тИТ ЁЭСе 2 тИТ 2ЁЭСеЁЭСж + 2ЁЭСж 2 тИТ ЁЭСж 2 0 = ЁЭСе 2 тИТ 2ЁЭСеЁЭСж + ЁЭСж 2 0 = (ЁЭСе тИТ ЁЭСж)2 тИЪ0 = тИЪ(ЁЭСе тИТ ЁЭСж)2 0=ЁЭСе тИТЁЭСж ЁЭСж=ЁЭСе Se realiza cambio de variable 3ЁЭСе 3 тИТ ЁЭСж 3 3ЁЭСе + 2ЁЭСж 6ЁЭСж + + ЁЭСе2ЁЭСж 5ЁЭСе 2ЁЭСе + ЁЭСж 3ЁЭСе 3 тИТ ЁЭСе 3 3ЁЭСе + 2ЁЭСе 6ЁЭСе + + 2 ЁЭСе ЁЭСе 5ЁЭСе 2ЁЭСе + ЁЭСе 2ЁЭСе 3 5ЁЭСе 6ЁЭСе + + ЁЭСе3 5ЁЭСе 3ЁЭСе 2+1+2 5

S

D. 6

3ЁЭСе+2ЁЭСж 5ЁЭСе

6ЁЭСж

+ 2ЁЭСе+ЁЭСж, es

37. Si đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = 2 y (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?)2 = 4, entonces el valor de đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 es: A.

2

B. 1,5

C. 0

SoluciĂłn (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?)2 = 4 đ?&#x2018;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 = 4 đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 4 2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 4 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 4 â&#x2C6;&#x2019; 2 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? =

2 2

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 1 Entonces đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 = 1â&#x2C6;&#x2019;1 =0

S

D. 0,5

63

38. El valor numĂŠrico de (1 + â&#x2C6;&#x161;2) (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2) A.

-1

B. -2

64

64

+ (1 + â&#x2C6;&#x161;2) (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2)

C. 2â&#x2C6;&#x161;2

63

es:

D. 2 + 2â&#x2C6;&#x161;2

SoluciĂłn 63

(1 + â&#x2C6;&#x161;2) (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2) 63

64

64

+ (1 + â&#x2C6;&#x161;2) (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2)

63

63

63

63

[(1 + â&#x2C6;&#x161;2) (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2) (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2)] + [(1 + â&#x2C6;&#x161;2)(1 + â&#x2C6;&#x161;2) (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2) ] [(1 â&#x2C6;&#x2019; 2)63 (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2)] + [(1 + â&#x2C6;&#x161;2)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2)63 ] [(â&#x2C6;&#x2019;1)63 (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2)] + [(1 + â&#x2C6;&#x161;2)(â&#x2C6;&#x2019;1)63 ] (â&#x2C6;&#x2019;1)(1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2) + (1 + â&#x2C6;&#x161;2)(â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019;2 39. Un alambre de 38 m se le dio dos cortes, uno despuĂŠs de otro de manera que la longitud de cada trozo resultante (a partir del segundo trozo) sea igual al inmediato anterior aumentado en su mitad CuĂĄntos centĂ­metros mide la diferencia entre el trozo de mayor longitud y el de menor longitud A.

400

B. 600

C. 800

D. 1000

SoluciĂłn Cuando se realizan los dos cortes se divide en tres trozos el alambre por lo cual: 1er trozo: đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ

2do trozo: đ?&#x2018;Ľ + 2 = 3er trozo: S

3đ?&#x2018;Ľ 2

1

2đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ľ 2 3đ?&#x2018;Ľ

=

+ (2) ( 2 ) =

3đ?&#x2018;Ľ 2 3đ?&#x2018;Ľ 2

+

3đ?&#x2018;Ľ 4

=

6đ?&#x2018;Ľ+3đ?&#x2018;Ľ 4

=

9đ?&#x2018;Ľ 4

La suma de los tres es 38 m, pero la respuesta es en cm, por lo que se hace la conversiĂłn y es 3 800 cm đ?&#x2018;Ľ+

3đ?&#x2018;Ľ 9đ?&#x2018;Ľ + = 3800 2 4

4đ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľ + 9đ?&#x2018;Ľ = 3800 4 19đ?&#x2018;Ľ = 3800(4) 19đ?&#x2018;Ľ = 15200 đ?&#x2018;Ľ=

15200 = 800 â&#x;¸ đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x153; 19

3đ?&#x2018;Ľ 3(800) = = 1200 â&#x;¸ đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x153; 2 2 9đ?&#x2018;Ľ 9(800) = = 1800 â&#x;¸ đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x153; 4 4 La diferencia entre el trozo de mayor longitud y el de menor longitud 1800 â&#x2C6;&#x2019; 800 = 1000 40. El resultado de efectuar y reducir 2(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?)(đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2 , es A.

đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;? 2

B. đ?&#x2018;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2

C. đ?&#x2018;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;? 2 D. đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2

SoluciĂłn 2(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?)(đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2 2(đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 ) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2 2đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 ) 2đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;? 2

S

Funciones Reales y TrigonometrĂ­a 1. Dada la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ + 4, su dominio y su rango son respectivamente los conjuntos: a. [â&#x2C6;&#x2019;2, +â&#x2C6;&#x17E;) y [0, +â&#x2C6;&#x17E;) b. [â&#x2C6;&#x2019;2, +â&#x2C6;&#x17E;) y â&#x201E;? c. â&#x201E;? y â&#x201E;? d. [0, +â&#x2C6;&#x17E;) y [â&#x2C6;&#x2019;2, +â&#x2C6;&#x17E;) SoluciĂłn Una funciĂłn lineal es una funciĂłn cuyo dominio son todos los nĂşmeros reales, cuyo codominio o rango son tambiĂŠn todos los nĂşmeros reales, y cuya expresiĂłn analĂ­tica es un polinomio de primer grado. DefiniciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;: â&#x201E;? â&#x2020;&#x2019; â&#x201E;? / đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? donde a y b son nĂşmeros reales, es una funciĂłn lineal.

2. La evaluaciĂłn de -1 en la funciĂłn real dada por đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ 2 + 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 es: a. 6 b. -6 c. 4 d. -10 SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ 2 + 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;1) = 2(â&#x2C6;&#x2019;1)2 + 5(â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;1) = 2 â&#x2C6;&#x2019; 5 â&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;1) = 2 â&#x2C6;&#x2019; 8 đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;1) = â&#x2C6;&#x2019;6 S

3. El rango de la funciĂłn dada por â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 + 6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 es: a. [â&#x2C6;&#x2019;3, +â&#x2C6;&#x17E;) b. â&#x201E;? c. [â&#x2C6;&#x2019;11, +â&#x2C6;&#x17E;) d. (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;11] SoluciĂłn Encontrar el vĂŠrtice h, k â&#x201E;&#x17D;=â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;?

2đ?&#x2018;&#x17D;

â&#x201E;&#x17D;=â&#x2C6;&#x2019;

; đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x201E;&#x17D;) 6 = â&#x2C6;&#x2019;3 2

đ?&#x2018;&#x2DC; = (â&#x2C6;&#x2019;3)2 + 6(â&#x2C6;&#x2019;3) â&#x2C6;&#x2019; 2 = 9 â&#x2C6;&#x2019; 18 â&#x2C6;&#x2019; 2 = 9 â&#x2C6;&#x2019; 20 = â&#x2C6;&#x2019;11 Es una parĂĄbola cĂłncava hacia arriba, entonces đ??ˇđ?&#x2018;&#x201C; = â&#x201E;?

; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x201C; = [â&#x2C6;&#x2019;11, +â&#x2C6;&#x17E;)

4. Se desea elaborar una caja sin tapa partiendo de una pieza rectangular de cartĂłn, cuyas dimensiones son 20 Ă&#x2014; 30 centĂ­metros, cortando en las esquinas cuadrados idĂŠnticos de ĂĄrea đ?&#x2018;Ľ2, y doblando los lados hacia arriba.

El volumen đ?&#x2018;&#x2030;, de la caja en funciĂłn de đ?&#x2018;Ľ es: a) 4đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019; 100đ?&#x2018;Ľ2 + 600đ?&#x2018;Ľ

b) â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019; 20đ?&#x2018;Ľ2 + 600đ?&#x2018;Ľ

c) â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľ3 + 20đ?&#x2018;Ľ2 + 600đ?&#x2018;Ľ

d) â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľ3 + 100đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 600đ?&#x2018;Ľ

SoluciĂłn El cuadrado que va a haber en las esquinas va a tener un largo đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś por lo tanto, su ĂĄrea đ?&#x2018;Ľ 2 entonces: 20 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ Es la medida de uno de los lados y la medida del otro lado 30 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ S

đ?&#x2018;&#x2030; = đ??´đ?&#x2018;? â&#x201E;&#x17D; đ??´đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D; đ??´đ?&#x2018;? = (20 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ )(30 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ) đ??´đ?&#x2018;? = 600 â&#x2C6;&#x2019; 100 đ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ľ 2 đ??´đ?&#x2018;? = 4đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 100 đ?&#x2018;Ľ + 600 đ?&#x2018;&#x2030; = (4đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 100 đ?&#x2018;Ľ + 600)đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2030; = 4đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; 100 đ?&#x2018;Ľ 2 + 600đ?&#x2018;Ľ 5. La tasa de crecimiento đ?&#x2018;Ś, de un niĂąo, en libras por mes, se relaciona con su peso actual đ?&#x2018;Ľ en libras, mediante la fĂłrmula đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ (21 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) donde đ?&#x2018;? es una constante positiva y 0 < đ?&#x2018;Ľ < 21 ÂżA quĂŠ peso se tiene la tasa mĂĄxima de crecimiento? a. 21 libras b. -21 libras c. 10,5 libras d. 10 libras SoluciĂłn đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ(21 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ś = 21đ?&#x2018;Ľ(21 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ś = 441đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 21đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;21(đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 21đ?&#x2018;Ľ) Completando el trinomio cuadrado perfecto đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;21 (đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 21đ?&#x2018;Ľ +

S

441 441 â&#x2C6;&#x2019; ) 4 4

21 2 441 đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;21 [(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; ) â&#x2C6;&#x2019; ] 2 4 21 2 (â&#x2C6;&#x2019;21)441 đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;21 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; ) + 2 4 Por lo tanto, el peso serĂĄ

21 2

o bien 10,5 libras.

6. Hace 5 aĂąos se comprĂł una casa en $ 16 000, este aĂąo fue valorada en $ 19 000. Suponiendo que el valor de la casa estĂĄ relacionado linealmente con el tiempo. La fĂłrmula que indica el valor de la casa en cualquier tiempo đ?&#x2018;Ą (en aĂąos) despuĂŠs de la fecha de compra es: a) (đ?&#x2018;Ą) = 600đ?&#x2018;Ą + 16 000

b) (đ?&#x2018;Ą) = 60đ?&#x2018;Ą â&#x20AC;&#x201C; 1 900

c) (đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019;60đ?&#x2018;Ą â&#x20AC;&#x201C; 1 900

d) (đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019;600đ?&#x2018;Ą + 19 000

SoluciĂłn đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2022;)

đ?&#x2019;&#x2022;

(đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;)

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2022;)

đ?&#x2019;&#x2022;

(5, 1900)

Prioridad a la casa đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x161;(0) + đ?&#x2018;?

16000 = đ?&#x2018;?

â&#x;š đ?&#x2018;? = 16000

Encontrar la pendiente â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;â&#x20AC;?

Forma 1

Forma 2

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2022;) = đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022; + đ?&#x2019;&#x192;

đ?&#x2018;&#x161;=

đ?&#x;?đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x2019;&#x17D;(đ?&#x;&#x201C;) + đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x201C;đ?&#x2019;&#x17D; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2014; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

S

đ?&#x2018;&#x161;=

đ?&#x2018;Ś2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś1 đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1

19 000 â&#x2C6;&#x2019; 16 000 5â&#x2C6;&#x2019;0

Forma 1 đ?&#x2019;&#x17D;=

Forma 2

đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x161;=

đ?&#x2019;&#x17D; = đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

3000 5

đ?&#x2018;&#x161; = 600

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą) = 600đ?&#x2018;Ą + 16 000 7. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, con velocidad inicial de 144 đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; . Su distancia (đ?&#x2018;Ą) en metros sobre el piso a los đ?&#x2018;Ą segundos de ser lanzado estĂĄ dada por đ?&#x2018;&#x2020;(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019;16đ?&#x2018;Ą 2 + 144đ?&#x2018;Ą + 100La altura mĂĄxima sobre el piso y la altura del edificio son respectivamente: a) 42,4 đ?&#x2018;&#x161; y 10,0 đ?&#x2018;&#x161;

b) 10,0 đ?&#x2018;&#x161; y 42,4 đ?&#x2018;&#x161;

c) 424,0 đ?&#x2018;&#x161; y 100,0 đ?&#x2018;&#x161;

d) 100,0 đ?&#x2018;&#x161; y 424,0 đ?&#x2018;&#x161;

SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x2020;(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019;16đ?&#x2018;Ą 2 + 144đ?&#x2018;Ą + 100 đ?&#x2018;Ą=0 đ?&#x2018;&#x2020;(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019;16(0)2 + 144(0) + 100 đ?&#x2018;&#x2020;(đ?&#x2018;Ą) = 100 Encontrar los vĂŠrtices đ?&#x2018;Ł(â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC;) đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;&#x2019;16 ;

đ?&#x2018;? = 144; â&#x201E;&#x17D;=â&#x2C6;&#x2019;

S

đ?&#x2018;?

2đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;? = 100

â&#x201E;&#x17D;=â&#x2C6;&#x2019;

144 144 = = 4,5 2(â&#x2C6;&#x2019;16) 32 đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018; (â&#x201E;&#x17D;)

đ?&#x2018;&#x2DC; = â&#x2C6;&#x2019;16(4,5)2 + 144(4,5) + 100 đ?&#x2018;&#x2DC; = â&#x2C6;&#x2019;16(20,25) + 648 + 100 đ?&#x2018;&#x2DC; = â&#x2C6;&#x2019;324 + 648 + 100 đ?&#x2018;&#x2DC; = 424 8. El pago diario de una cuadrilla de trabajadores es directamente proporcional al nĂşmero de trabajadores. Si una cuadrilla de 12 trabajadores gana đ??ś$ 5,400 diario. El pago diario en funciĂłn del nĂşmero de trabajadores đ?&#x2018;Ľ estĂĄ dado por la expresiĂłn: 1

a) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 450đ?&#x2018;Ľ

b) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 450 đ?&#x2018;Ľ 1

c) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;450đ?&#x2018;Ľ

d) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; 450 đ?&#x2018;Ľ

SoluciĂłn đ?&#x2018;Ľ: NĂşmero de trabajadores đ?&#x2018;&#x201C;: Pago diario de la cuadrilla, en cĂłrdobas đ?&#x2018;&#x2DC;: Constante de proporcionalidad đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(12) = 5400 5400 = 12đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; =

5400 = 450 12

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 450đ?&#x2018;Ľ

S

9. Una fĂĄbrica de lĂĄmparas tiene costos fijos de $ 3 000 y el costo de la mano de obra y de materiales es de $ 15 por lĂĄmpara, encuentre la funciĂłn de costo total del nĂşmero de lĂĄmparas producidas. Si cada lĂĄmpara se vende a $ 25, la funciĂłn de utilidad estĂĄ dada por: a) U(đ?&#x2018;Ľ) = 10đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; 3 000 b) U(đ?&#x2018;Ľ) = 10đ?&#x2018;Ľ + 3 000 c) U(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;10đ?&#x2018;Ľ + 3 000 d) U(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;10đ?&#x2018;Ľ â&#x20AC;&#x201C; 3 000 SoluciĂłn Costos: C (đ?&#x2018;Ľ) = 3 000 + 15 đ?&#x2018;Ľ Ingreso: I (đ?&#x2018;Ľ) = 25 đ?&#x2018;Ľ Utilidad: U (đ?&#x2018;Ľ) = I (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; C (đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;Ľ) = 25đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (300 + 15đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;Ľ) = 25đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 15đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 300 đ?&#x2018;&#x2C6; (đ?&#x2018;Ľ) = 10đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3,000

S

10. Un incendio en un campo abierto seco, se propaga en forma circular. Si el radio de este cĂ­rculo aumenta a una velocidad de 6 đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;. Exprese el ĂĄrea total incendiada đ??´ (en đ?&#x2018;&#x161;2) como una funciĂłn del tiempo đ?&#x2018;Ą (en minutos). a) A(đ?&#x2018;Ą) = 36đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ą2 b) A(đ?&#x2018;Ą) = 6đ?&#x153;&#x2039;2đ?&#x2018;Ą2 c) A(đ?&#x2018;Ą) = 6đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ą2 d) A(đ?&#x2018;Ą) = 36đ?&#x153;&#x2039;2đ?&#x2018;Ą2 SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x;(đ?&#x2018;Ą) = 6đ?&#x2018;Ą đ??´(đ?&#x2018;&#x;) = đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;(đ?&#x2018;Ą)2 đ??´(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x153;&#x2039;(6đ?&#x2018;Ą)2 đ??´(đ?&#x2018;Ą) = 36đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ą 2

S

11. Dos barcos parten de un puerto a la misma hora, uno viaja al oeste con una velocidad de 17 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;/â&#x201E;&#x17D;, y el otro hacia el sur a 12 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;/â&#x201E;&#x17D;. Si đ?&#x2018;Ą es el tiempo en horas que ha transcurrido desde sus partidas, exprese la distancia đ?&#x2018;&#x2018; entre los barcos como una funciĂłn del tiempo a) d(đ?&#x2018;Ą) = 433đ?&#x2018;Ą2

b) d(đ?&#x2018;Ą) = 20,81đ?&#x2018;Ą2

c) d(đ?&#x2018;Ą) = 20,81đ?&#x2018;Ą

d) d(đ?&#x2018;Ą) = 433đ?&#x2018;Ą

SoluciĂłn Sea: đ?&#x2018;Ľ: DirecciĂłn Oeste đ?&#x2018;Ś: DirecciĂłn Sur La PosiciĂłn de cada uno es: đ?&#x2018;Ľ = 17 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; â &#x201E;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ś = 12 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; â &#x201E;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ą En el instante đ?&#x2018;Ą, sus posiciones forman un triĂĄngulo rectĂĄngulo con el punto de partida, la hipotenusa resulta: đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x161;(17 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; â &#x201E;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ą)2 + (12 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; â &#x201E;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ą)2 đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x161;289 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; 2 â &#x201E;â&#x201E;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ą 2 + 144 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; 2 â &#x201E;â&#x201E;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ą 2 đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x161;433 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; 2 â &#x201E;â&#x201E;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ą 2 đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;Ą) = 20,808 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; â &#x201E;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;Ą) = 20,81 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; â &#x201E;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ą S

12. Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano. Su forma debe ser la de un cilindro recto circular de 10 đ?&#x2018;&#x161; de altura con una semiesfera unida en cada extremo. Su radio đ?&#x2018;&#x; debe determinarse, exprese el volumen đ?&#x2018;&#x2030; del tanque (medido en pies cĂşbicos) en funciĂłn de đ?&#x2018;&#x;.

2

4

a) đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;&#x;) = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 (5 â&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;&#x;)

b) đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;&#x;) = 3 đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 3 â&#x2C6;&#x2019; 10đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2

2

c) đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;&#x;) = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 (3 đ?&#x2018;&#x; + 5)

d) đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;&#x;) =

34 3

đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 3

SoluciĂłn đ?&#x2018;Łđ??śđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; = â&#x201E;&#x17D;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 = 10 đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 đ?&#x2018;Łđ??¸đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; =

4 3 đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 3

4 đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;&#x;) = 10 đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 + đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 3 3 Aplicando Factor ComĂşn 2 đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;&#x;) = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 (5 + đ?&#x2018;&#x;) 3 13. La expresiĂłn 43 = 643 escrita en su forma logarĂ­tmica es: a. 4 = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;3 643 b. 3 = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;4 643 c. 643 = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;4 3 d. 643 = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;3 4 SoluciĂłn log 4 643 = 3

S

14. La expresiĂłn log đ?&#x2018;&#x17D;

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;§ 2 đ?&#x2018;Ś4

reescrita como una combinaciĂłn de logaritmos en

una de las variables đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;§ tiene la forma: a. log đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;§ 2 á log đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś 4 b.

1 2

log đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4log đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś + 2log đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;§

c. log đ?&#x2018;&#x17D; (â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;§ 2 ) â&#x2C6;&#x2019; log đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś 4 d. (â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś) á 4đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś SoluciĂłn log đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;§ 2 â&#x2C6;&#x2019; log đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś 4 log đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ 1â &#x201E;2 đ?&#x2018;§ 2 â&#x2C6;&#x2019; log đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś 4 log đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ 1â &#x201E;2 + log đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;§ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś 4 1 đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś 2 1 đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś + 2đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;§ 2 15. La cantidad de radio puro đ?&#x2018;&#x17E; que queda despuĂŠs de đ?&#x2018;Ą aĂąos, cuando inicialmente se tenĂ­a đ?&#x2018;&#x17E;0 miligramos es đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x17E; = đ?&#x2018;&#x17E;0 . 2â&#x2C6;&#x2019;1600 El tiempo đ?&#x2018;Ą expresado en tĂŠrminos de log2 es: a. đ?&#x2018;Ą = 1600log2 đ?&#x2018;&#x17E;0 â&#x2C6;&#x2019; 1600log2 đ?&#x2018;&#x17E; b. đ?&#x2018;Ą = 1600log2 đ?&#x2018;&#x17E;0 + 1600log2 đ?&#x2018;&#x17E; c. đ?&#x2018;Ą = 1600log2 đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; 1600log2 đ?&#x2018;&#x17E;0 d. đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;1600log2 đ?&#x2018;&#x17E; + 1600log2 đ?&#x2018;&#x17E;0

S

SoluciĂłn đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x17E; = đ?&#x2018;&#x17E;0 . 2â&#x2C6;&#x2019;1600 đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x17E; = 2â&#x2C6;&#x2019;1600 đ?&#x2018;&#x17E;0 đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x17E; log 2 ( ) = log 2 (2â&#x2C6;&#x2019;1600 ) đ?&#x2018;&#x17E;0

đ?&#x2018;&#x17E; đ?&#x2018;Ą log 2 ( ) = â&#x2C6;&#x2019; log 2 2 đ?&#x2018;&#x17E;0 1600 đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ą = 1600 log 2 ( ) đ?&#x2018;&#x17E;0 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ą = 1600 log 2 đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; 1600log 2 đ?&#x2018;&#x17E;0 đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;1600 log 2 đ?&#x2018;&#x17E; + 1600log 2 đ?&#x2018;&#x17E;0 16. El nĂşmero đ?&#x2018; de bacterias en un cierto cultivo en un tiempo đ?&#x2018;Ą, estĂĄ dado por đ?&#x2018; = 104 â&#x2C6;&#x2122; 3đ?&#x2018;Ą. El tiempo đ?&#x2018;Ą en funciĂłn de đ?&#x2018; utilizando logaritmos de base 3 es: a. đ?&#x2018;Ą = log3 đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 4log3 10 b. đ?&#x2018;Ą = 4log3 đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; log3 10 c. đ?&#x2018;Ą = 4log3 đ?&#x2018; + log3 10 d. đ?&#x2018;Ą = 4log3 (đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 10) SoluciĂłn đ?&#x2018; = 104 â&#x2C6;&#x2122; 3đ?&#x2018;Ą log 3 (

S

đ?&#x2018; = 3đ?&#x2018;Ą ) 104

log 3

đ?&#x2018; = log 3 3đ?&#x2018;Ą 104

log 3

đ?&#x2018; = đ?&#x2018;Ą log 3 3 104

log 3

đ?&#x2018; =đ?&#x2018;Ą 104

đ?&#x2018;Ą = log 3 đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; log 3 104 đ?&#x2018;Ą = log 3 đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 4log 3 10 17. Se da una circunferencia de radio 10 đ?&#x2018;&#x161;. El coseno del ĂĄngulo que forman las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de 15 đ?&#x2018;&#x161; de longitud es: a.

â&#x2C6;&#x161;2 3

SoluciĂłn

S

5

b. 8

2

c. 3

1

d. 8

18. La altura de un ĂĄrbol que estĂĄ situado sobre un terreno llano, sabiendo que desde un punto del suelo se observa su copa bajo un ĂĄngulo de elevaciĂłn de 45° y, desde un punto 15 metros mĂĄs cerca del ĂĄrbol, a un ĂĄngulo de 60° es: a. 30,5 đ?&#x2018;&#x161;

b. 45 đ?&#x2018;&#x161;

c. 31,7 đ?&#x2018;&#x161;

d. 35,49 đ?&#x2018;&#x161;

SoluciĂłn 15 đ??ż 15 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 45 = â&#x2020;&#x2019;đ??ż= đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 15 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 45 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 15

15

đ??ż = 40,98 120

45

15 đ?&#x2018;&#x161;

â&#x201E;&#x17D;

60

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 60 =

â&#x201E;&#x17D; â&#x201E;&#x17D; = đ??ż 40,98

â&#x201E;&#x17D; = (đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 60)(40,98) = 35,49

đ?&#x2018;Ľ

19. Si đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ + 1 y đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 son las leyes de asignaciĂłn de dos funciones reales entonces el valor de đ?&#x2018;&#x201D;[đ?&#x2018;&#x201C;(2)] es: a. 2

b. 9

c. 4

SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x201D;[đ?&#x2018;&#x201C;(2)] = (đ?&#x2018;Ľ + 1)2 = (2 + 1)2 = 32 =9

S

d. 5

20. Sea la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C; dada por la regla đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ + 2. Si los enunciados I.

Es cĂłncava hacia abajo

II.

Interseca al eje x en un solo punto

III.

Interseca al eje y exactamente en el punto (0,2)

Hacen referencia a algunas caracterĂ­sticas de la grĂĄfica de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;, entonces son ciertos a. II y III

b. I y II

c. III

d. I

SoluciĂłn Al ser una funciĂłn cuadrĂĄtica con đ?&#x2018;&#x17D; > 0 es cĂłncava hacia arriba Para encontrar los interceptos en x, se hace y=0 đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ + 2 = 0 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2)(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) = 0 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2= 0 ;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1=0

đ?&#x2018;Ľ=2 ; đ?&#x2018;Ľ=1 Los interceptos son los puntos (2,0) y (1,0), entonces pasa por dos intersectos Para encontrar intercepto en y, se hace x=0 đ?&#x2018;Ś = (0)2 â&#x2C6;&#x2019; 3(0) + 2 đ?&#x2018;Ś=2 Se forma el intercepto (0,2)

S

21. Al simplificar (𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 𝑥 )2 − (𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 )2, se obtiene la expresión a. 2 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 b. 2 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 c. 0 d. 1 Solución (𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 𝑥 )2 − (𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 )2 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 + 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 − (𝑆𝑒𝑛2 𝑥 − 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥) 1 + 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − (1 − 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥) 1 + 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 1 + 2𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛 (2𝑥) + 𝑆𝑒𝑛(2𝑥) = 2𝑆𝑒𝑛 (2𝑥) 22. El valor de 𝑥 que satisface la ecuación 2 log10 (2𝑥 + 3) = 2 es: a. 3,5

b. 4,5

c. 4

d. 5

Solución 2 log10 (2𝑥 + 3) = 2 Determinar un rango definido 2𝑥 + 3 = 0

⟹

Dividir ambos extremos de la ecuación entre 2 log10 (2𝑥 + 3) = 1 2𝑥 + 3 = 101 2𝑥 = 10 − 3 𝑥=

7 2

𝑥 = 3,5 S

3

𝑥 = −2

3

23. Si đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x192; = 5 y đ?&#x153;&#x192; â&#x2C6;&#x2C6; al IV cuadrante, entonces el valor de đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x192; es: a. 4/3

b. -4/3

c. 4/5

d. -4/5

SoluciĂłn đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x192; =

3 đ??ś. đ?&#x2018;&#x17D; â&#x;š 5 đ??ťđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?

đ??ś. đ?&#x2018;&#x153; = â&#x2C6;&#x161;52 â&#x2C6;&#x2019; 32 = â&#x2C6;&#x161;25 â&#x2C6;&#x2019; 9 = â&#x2C6;&#x161;16 = 4 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x192; =

đ??ś. đ?&#x2018;&#x153; 4 = đ??ś. đ?&#x2018;&#x17D; 3

24. En la figura, si đ??ľđ??ś = 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; y đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x192; = 0,5 ÂżCuĂĄl es la longitud de đ??´đ??ś redondea a la centĂŠsima mĂĄs cercana a. 1,25 cm b. 1,41 cm c. 1,50 cm d. 1,73 cm SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x192; =

đ??ś. đ?&#x2018;&#x153; 1 đ??ľđ??ś = = đ??ťđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;? 2 đ??ľđ??´ 2

đ??´đ??ś = â&#x2C6;&#x161;(đ??ľđ??´) â&#x2C6;&#x2019; (đ??ľđ??ś) = â&#x2C6;&#x161;22 â&#x2C6;&#x2019; 12 = â&#x2C6;&#x161;4 â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x161;3 = 1,73

S

2

25. Una torre estå situada en una colina. La colina forma un ångulo de 14,2° respecto a la horizontal. En un punto P colocado a 62,5 metros colina abajo y medido desde el centro de la base de la torre, se forma un ångulo de elevación con la cúspide de la torre de 43,6° entonces la altura de la torre mide: a. 99,25 m. b. 86,31 m. c. 59,52 m. d. 42,37 m.

SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ??´ đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ??ľ đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;? = = đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 29,4° đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 104,2° đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 46,4° = = â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;?

62,5 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 29,4° đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 46,4° = â&#x201E;&#x17D; 62,5 đ?&#x2018;&#x161; â&#x201E;&#x17D;=

(đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 29,4°)(62,5 đ?&#x2018;&#x161;) đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 46,4° â&#x201E;&#x17D; = 42,3676 â&#x2030;&#x2C6; 42,37 đ?&#x2018;&#x161;

S

26. Un seĂąor acepta un empleo como vendedor de cierto producto. Su sueldo serĂĄ C$ 10 por cada unidad vendida, mĂĄs una comisiĂłn diaria de C $ 30. ÂżCuĂĄl de las expresiones siguientes representa el sueldo de 5 dĂ­as de trabajo?

A. y = 50 x + 150 B. y = 5 (x + 30) C. y = 10 x + 150 D. y = 5 x + 150 SoluciĂłn Sea x las unidades vendidas 10đ?&#x2018;Ľ + 30 = 5(10đ?&#x2018;Ľ + 30) = 50đ?&#x2018;Ľ + 150 27. Si đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 y đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ + 4 son las leyes de asignaciĂłn de dos funciones el valor de 3đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;1) + 5đ?&#x2018;&#x201D;(2) es: a. 24

b. 36

c. -6

SoluciĂłn 3((â&#x2C6;&#x2019;1)2 â&#x2C6;&#x2019; 3) + 5(2 + 4) 3(â&#x2C6;&#x2019;2) + 5(6) = â&#x2C6;&#x2019;6 + 30 = 24

S

d. 30

3

28. La expresiĂłn 12 â&#x2C6;&#x2019; ( 8 đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ) (2 đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ) es equivalente a: a. đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;Ľ b. 12 đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018;Ľ c. 12 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;Ľ d. 24 â&#x2C6;&#x2019; 12 đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ SoluciĂłn 3 12 â&#x2C6;&#x2019; ( 8 đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ) ( đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ) 2 12 â&#x2C6;&#x2019; 12 đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018;Ľ 12(1 + đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018;Ľ) 12 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;Ľ 29. Considere la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ľ + 5, con x en los nĂşmeros reales. El menor valor que alcanza la funciĂłn es: a. -1

b. 3

c. 5

SoluciĂłn Encontrar valores mĂ­nimos de la funciĂłn 2đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ľ + 5 đ?&#x2018;Ś=

=

=

S

4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 4đ?&#x2018;&#x17D;

4(2)(5) â&#x2C6;&#x2019; (4)2 4(2)

40 â&#x2C6;&#x2019; 16 24 = =3 8 8

d. 0

30. La expresión ln(𝑎 + 𝑏)2 − ln(𝑎 + 𝑏) es equivalente a: a. 2 b. 𝑎 + 𝑏 c. ln 𝑎 + ln 𝑏 d. ln(𝑎 + 𝑏) Solución ln(𝑎 + 𝑏)2 − ln(𝑎 + 𝑏) ln(𝑎 + 𝑏)2 2 ln(𝑎 + 𝑏) = =2 ln(𝑎 + 𝑏) ln(𝑎 + 𝑏) 31. Al reducir 𝑆𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) + 𝑆𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵) se obtiene: a. 2 𝑆𝑒𝑛 𝐴 b. −2 𝐶𝑜𝑠 𝐵 c. 2 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵 d. NA Solución 𝑆𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) + 𝑆𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵) 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 + 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵 + 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 − 𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵 2 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 32. La expresión 𝑇𝑎𝑛 𝜃 + 𝐶𝑜𝑡 𝜃 es equivalente a: a.

𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝐶𝑠𝑐𝜃

b.

𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝐶𝑠𝑐 𝜃

c.

𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃

d. 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃

Solución 𝑇𝑎𝑛 𝜃 + 𝐶𝑜𝑡 𝜃 𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 + 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 1 1 1 + = = = = 𝑆𝑒𝑐𝜃 𝐶𝑠𝑐𝜃 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑆𝑒𝑛 𝜃 S

33. Si đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ = 0,2, entonces đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Ľ es igual a: a.

0,4

b.

0,92

c. 0,092

d. 0,44

SoluciĂłn đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Ľ = 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;Ľ 1 â&#x2C6;&#x2019; 2(0,2)2 = 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,08 = 0,92 34. Si đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;? ÂżPara cuales nĂşmeros reales 2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ es un nĂşmero negativo a. Para todos los nĂşmeros reales b. Para ningĂşn nĂşmero real c. Ă&#x161;nicamente si đ?&#x2018;Ľ < 0 d. Ă&#x161;nicamente si đ?&#x2018;Ľ < 1 SoluciĂłn Si se prueban las condiciones Para todos los nĂşmeros Reales đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x161;2 ; đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;3 ; 0 ; 1 2â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;2 = 0,37

; 2â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;3) = 8 ; 2â&#x2C6;&#x2019;0 = 1

; 21 = 2

35. La grĂĄfica de la funciĂłn dada por đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ , 0 < đ?&#x2018;&#x17D; < 1 es a. Creciente

b. Decreciente

c. Ni creciente ni decreciente

d. Constante

SoluciĂłn Por definiciĂłn cuando , 0 < đ?&#x2018;&#x17D; < 1 la funciĂłn exponencial es decreciente cuando đ?&#x2018;&#x17D; > 0 es una funciĂłn creciente

S

36. La gráfica de la figura de la derecha representa la gráfica de una función de la forma: a. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , 0 < 𝑎 < 1 b. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , 1 < 𝑎 c. 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , 0 < 𝑎 < 1 d. 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , 1 < 𝑎 Solución Por definición En primer lugar, comenzar con las propiedades de la gráfica de la función exponencial de base de una base, f (x) = ax , a > 0 y no es igual a 1.

El dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales. El rango de f es el intervalo (0, + infinito).

La gráfica de f tiene una asíntota horizontal dada por y = 0. Función f tiene interceptar ay en (0, 1). f es una función creciente si a es mayor que 1

37. La gráfica de la figura de la derecha representa la gráfica de una función de la forma: a. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , 0 < 𝑎 < 1 b. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , 1 < 𝑎 c. 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , 0 < 𝑎 < 1 d. 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , 1 < 𝑎

S

SoluciĂłn Por definiciĂłn La funciĂłn logarĂ­tmica "bĂĄsica" es la funciĂłn, y = log a x , donde a > a y b â&#x2030; 1.

La grĂĄfica de la funciĂłn logarĂ­tmica y = log a x es la que se muestra en la imagen 1

3

38. El vĂŠrtice de la grĂĄfica dad por đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 4 đ?&#x2018;Ľ 2 + 2 đ?&#x2018;Ľ +

13 4

es el punto de

coordenadas: a. (-3,1)

b. (3,-1)

c. (1,-3)

d. (-1,3)

SoluciĂłn 3 3 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

6 đ?&#x2018;Ľ=â&#x201E;&#x17D;= = = â&#x2C6;&#x2019; 2 = â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;3 1 2đ?&#x2018;&#x17D; 2 (1) 2 4 2 đ?&#x2018;Ś=đ?&#x2018;&#x2DC;=

1 3 13 9 9 13 9 â&#x2C6;&#x2019; 18 + 13 4 (â&#x2C6;&#x2019;3)2 + (â&#x2C6;&#x2019;3) + = â&#x2C6;&#x2019; + = = =1 4 2 4 4 2 4 4 4

39. La grĂĄfica de la funciĂłn dada por đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ + 3 corta al eje y en el punto de coordenadas a.

(0,3)

b. (3,0)

c. (2,3)

SoluciĂłn Para la intercepciĂłn en y hacemos x= 0 đ?&#x2018;Ś = 2(0) + 3 đ?&#x2018;Ś=3 El punto (0,3)

S

d. (0,-3)

1

3

40. El rango de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 4 đ?&#x2018;Ľ 2 + 2 đ?&#x2018;Ľ +

13 4

es el conjunto

a. (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 1) b. (1, â&#x2C6;&#x17E;) c. â&#x201E;? d. [â&#x2C6;&#x2019;1, 3] SoluciĂłn 3 3 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

6 2 đ?&#x2018;Ľ=â&#x201E;&#x17D;= = = â&#x2C6;&#x2019; 2 = â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;3 1 2đ?&#x2018;&#x17D; 2 (1) 2 4 2 đ?&#x2018;Ś=đ?&#x2018;&#x2DC;= Rango (1, â&#x2C6;&#x17E;)

S

1 3 13 9 9 13 9 â&#x2C6;&#x2019; 18 + 13 4 (â&#x2C6;&#x2019;3)2 + (â&#x2C6;&#x2019;3) + = â&#x2C6;&#x2019; + = = =1 4 2 4 4 2 4 4 4

GeometrĂ­a AnalĂ­tica 1. Dados los puntos đ??´(â&#x2C6;&#x2019;5) y đ??ś(10), encuentra las coordenadas del punto đ??ľ talque đ??´đ??ľ + đ??ľđ??ś = đ??´đ??ś y đ??´đ??ľ: đ??ľđ??ś = 2: 13 a) 12

b) 3

c) -12

d)-3

SoluciĂłn A (-5) y C (10) hallar B

đ??´đ??ľ + đ??ľđ??ś = đ??´đ??ś đ??´đ??ľ â&#x2C6;ś đ??ľđ??ś = 2 â&#x2C6;ś 13

-5

-3

10

A

B

C đ?&#x2018;&#x192;=

đ?&#x2018;&#x; = 2/13

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;+đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;&#x2019;5, đ?&#x2018;? = 10 , đ?&#x2018;&#x161; = 2 , đ?&#x2018;&#x203A; = 13 đ?&#x2018;&#x192;=

(â&#x2C6;&#x2019;5)(13) + (10)(2) 2 + 13 đ?&#x2018;&#x192; = â&#x2C6;&#x2019;3

2. Uno de los extremos de un segmento đ??´(â&#x2C6;&#x2019;10) y un punto que divide a este segmento en la razĂłn 5:2 es đ??ľ(5). Halle la coordenada del otro extremo a)

-11

b) 11

c) -11,5

SoluciĂłn A(-10) B(5) r=5:2 A

B

-10

5

a= -10 m= 5 S

C

b= ? n=2

đ?&#x2018;&#x192;=

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;+đ?&#x2018;&#x203A;

d) 10

5=

(â&#x2C6;&#x2019;10)(2) + 5đ?&#x2018;?

7

35= -20 +5 b 35 + 20 = 5 b 55 = 5 b 55 = b 5 b = 11 3. El triĂĄngulo de vĂŠrtices đ??´(â&#x2C6;&#x2019;2,8), đ??ľ(â&#x2C6;&#x2019;6,1) y đ??ś(0,4) es: a) IsĂłsceles

b) EquilĂĄtero

c) RectĂĄngulo

d) RectĂĄngulo isĂłsceles

SoluciĂłn A (-2,8) B(-6,1) C(0,4) dAB = â&#x2C6;&#x161;(â&#x2C6;&#x2019;6 + 2)² + (1 â&#x2C6;&#x2019; 8)² = â&#x2C6;&#x161;16 + 49 dAB = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C;

dBC = â&#x2C6;&#x161;(0 + 6)² + (4 â&#x2C6;&#x2019; 1)² = â&#x2C6;&#x161;36 + 9 dBC = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C; hip2 = Cat2 + Cat2 dAC = â&#x2C6;&#x161;(0 + 2)² + (4 â&#x2C6;&#x2019; 8)² = â&#x2C6;&#x161;4 + 16 dAC = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

S

(â&#x2C6;&#x161;65)2 = (â&#x2C6;&#x161;45)2 + (â&#x2C6;&#x161;20)2 65 = 65

=

45 + 20 65

4. Dados los puntos đ??´(â&#x2C6;&#x2019;2,0), đ??ľ(6,0) y đ??ś(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) Determina las coordenadas positivas de đ??ś, de manera que el triĂĄngulo ABC sea equilĂĄtero a) (2, 4â&#x2C6;&#x161;3)

b) (â&#x2C6;&#x2019;2, 4â&#x2C6;&#x161;3)

c) (2, â&#x2C6;&#x2019; 4â&#x2C6;&#x161;3)

d) (â&#x2C6;&#x2019;2, â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2C6;&#x161;3)

SoluciĂłn A(-2,0), B(6,0), C(X,Y)

Cord. Post. Î&#x201D;ABC EquilĂĄt.

dAC = â&#x2C6;&#x161;(x + 2)2 + (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 0)² 6

dAC = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ľ + 4 + đ?&#x2018;ŚÂ˛ dBC = â&#x2C6;&#x161;(x + 6)2 + (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 0)² dBC = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 + 12đ?&#x2018;Ľ + 36 + đ?&#x2018;ŚÂ˛

(x,4)

dAC = dBC x2 + 4x + 4 + y2 = x2 - 12x + 36 + y2

-2

4x + 4 = -12x + 36 4x + 12 = 36 â&#x20AC;&#x201C; 4 16x = 32 x = 32/16 x=2

đ?&#x2018;&#x2018;đ??´đ??ľ = â&#x2C6;&#x161;(6 + 2)2 đ?&#x2018;&#x2018;đ??´đ??ľ = â&#x2C6;&#x161;64 = 8

đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľđ??ś = đ?&#x2018;&#x2018;đ??´đ??ľ â&#x2C6;&#x161;64 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľ + 36 + đ?&#x2018;ŚÂ˛ 64 = x² - 12x + 36 + y² 64 = 4 â&#x20AC;&#x201C; 24 + 36 + y² 64 = 16 +y² S

â&#x2C6;&#x161;48 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;ŚÂ˛

y = 4â&#x2C6;&#x161;3

(2, 4â&#x2C6;&#x161;3)

5. Los vĂŠrtices de un paralelogramo (2,4); (6,2); (8,6) y (4,8). La longitud de una de sus diagonales, aproximada a dos decimales, es: a) 6,00

b) 6,30

c) 6,50

d) 6,32

SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x2018;đ??´đ??ś = â&#x2C6;&#x161;(8 â&#x2C6;&#x2019; 2)2 + (6 â&#x2C6;&#x2019; 4)² = â&#x2C6;&#x161;36 + 4 = â&#x2C6;&#x161;40 â&#x2030;&#x2C6; 6.32 6. Hallar los puntos de la abscisa 3 que diste 10 unidades del punto A (-3,6) a) (3, -2) (3,14)

b) (3, -2) (14,3)

c) (-2, 3) (14,3)

SoluciĂłn A(-3,6) B(3,y) dAB = â&#x2C6;&#x161;(3 + 3)2 + (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 6)² dAB = â&#x2C6;&#x161;36 + đ?&#x2018;Ś 2 + 12đ?&#x2018;Ś + 36 10 = â&#x2C6;&#x161;36 + đ?&#x2018;Ś 2 + 12đ?&#x2018;Ś + 36 100 = 72+y² -12y y² - 12y + 72 â&#x20AC;&#x201C; 100 = 0 y² - 12y â&#x20AC;&#x201C; 28 = 0 y = -2 y =14 P1 (3,-2) y P2(3,14)

S

d) NA

7. Sabiendo que el punto P (9, 2) divide al segmento que determinan los puntos A (6, 8) B (x, y) en la razĂłn r=3:7, hallar las coordenadas de B a) (16, -12)

b) (-12 , 16)

c) (-16, 12)

d) (12, -16)

SoluciĂłn X=

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ1 +đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ2

9=

7(6)+3(đ?&#x2018;Ľ)

9=

42+3đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x161;+đ?&#x2018;&#x203A; 3+7 10

2=

y=

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ś1 +đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ś2

2=

7(8)+3(đ?&#x2018;Ś)

đ?&#x2018;&#x161;+đ?&#x2018;&#x203A; 3+7

56+3đ?&#x2018;Ś 10

90 = 42 + 3x

20 = 56 + 3y

90 â&#x20AC;&#x201C; 42 = 3x

-36 = 3y

x=16

y = -12 (16, -12)

8. Encontrar las coordenadas de un punto P(x,y) que divida al segmento cuyos extremos son A (5, 3) B (-3, -3) en la razĂłn 1:3 a) (1; 6)

b) (3; 1,5)

c) (-1, 6)

d) (1, -6)

SoluciĂłn

X=

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ1 +đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;&#x161;+đ?&#x2018;&#x203A;

x = 3 (5) + 1 (-3)

y=

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ś1 +đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ś2 đ?&#x2018;&#x161;+đ?&#x2018;&#x203A;

y = 3(3) + (1)(-3)

1+3 x=3

S

4 y = 3/2 â&#x2030;&#x2C6; 1.5

(3, 1.5) Inciso â&#x20AC;&#x153;bâ&#x20AC;?

9. Encuentre los extremos del segmento cuyo Punto medio es (2, -1), si la abscisa de uno de ellos es 6 y la ordenada del otro -6 a) (6,1) ; (-2,-1)

b) (6,3) ; (-2,-1)

c) (6,-3) ; (-2,-1)

d) (6,4) ; (-2,-6)

SoluciĂłn Pm (2, -1)

x = x1 + x2 2

A (6, y1)

B (x2, -6)

y = y1 + y2 2

2 = 6 +X2 2 4 = 6 + X2

-1 = -6 + y2 2 -2 = -6 + y2

-2 = X2

4 = y2

A (6,4)

B (-2, -6)

Inciso â&#x20AC;&#x153;dâ&#x20AC;?

10. Determine el ĂĄrea redondeada al entero mĂĄs cercano del triĂĄngulo rectĂĄngulo isĂłsceles A (12, y) B (8,2) C (-2,6) a) 58

b) 59

c) 57

d) -58

e) -57

SoluciĂłn dAB = dBC

dAB = dBC

dBC = â&#x2C6;&#x161;(â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; 8)2 + (6 â&#x2C6;&#x2019; 2)²

â&#x2C6;&#x161;116 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ś + 20

dBC = â&#x2C6;&#x161;100 + 16

116 = y2 â&#x20AC;&#x201C; 4y + 20

dBC = â&#x2C6;&#x161;116

y2 â&#x20AC;&#x201C; 4y â&#x20AC;&#x201C; 96 = 0

dAB = â&#x2C6;&#x161;(8 â&#x2C6;&#x2019; 12)2 + (2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś)2

y = -8

g = 12

dAB = â&#x2C6;&#x161;16 + 4 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś 2

P1 (12, -8)

P2 (12, 12)

dAB = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ś + 20

đ??´=

đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D; 2

A = (â&#x2C6;&#x161;116)² 2

S

=

(đ??ľđ??ś)(đ??´đ??ľ) 2

A = 116 2

A = 58

11. Hallar la ecuación de la recta cuyo ångulo de inclinación θ = 45º

y que

pasa por el punto de intercepciĂłn de las rectas 2x + y â&#x20AC;&#x201C; 8 = 0 y 3x - 2y + 9=0 a) x + y + 10 = 0

b) x â&#x20AC;&#x201C; y â&#x20AC;&#x201C; 9 = 0

c) x â&#x20AC;&#x201C; y â&#x20AC;&#x201C; 5 = 0

d) x + y - 10 = 0

SoluciĂłn 1. Resolviendo el sistema 2x + y â&#x20AC;&#x201C; 8 = 0

(2)

3. Usando la Ec. Punto Pendiente 2x + y = 8

y â&#x20AC;&#x201C; y1 = m (X â&#x20AC;&#x201C; X1)

3x â&#x20AC;&#x201C; 2y + 9 = 0

2(1) + y = 8

y â&#x20AC;&#x201C; 6 = 1 (x-1)

4x + 2y = 16

y=8â&#x20AC;&#x201C;2

y â&#x20AC;&#x201C; 6 = x -1

3x â&#x20AC;&#x201C; 2y = -9

y=6

x â&#x20AC;&#x201C; y +5 = 0

7x

(1, 6)

Inciso â&#x20AC;&#x153;Câ&#x20AC;?

=7 x = 1 Sustituyendo

2. Hora, como m = tan 45Âş entonces m = 1 12. Una recta pasa por el punto (7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(-2, 2) y D(3, -4). Su ecuaciĂłn es a) x + y - 82 = 0

b) 6x + 5y â&#x20AC;&#x201C; 82 = 0 c) x + 6y â&#x20AC;&#x201C; 82 = 0

d) 6x â&#x20AC;&#x201C; 5y + 82 = 0

SoluciĂłn Hallar la pendiente (-2, 2) (3, -4) đ?&#x2018;&#x161;=

đ?&#x2018;Ś2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś1 đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1

â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; 2 3+2 6 đ?&#x2018;&#x161;=â&#x2C6;&#x2019; 5 đ?&#x2018;&#x161;=

Usando la Ec. Punto pendiente y â&#x20AC;&#x201C; y1 = m (X â&#x20AC;&#x201C; X1) y â&#x20AC;&#x201C; 8 = -6/5 (x - 7) 5y â&#x20AC;&#x201C; 40 = -6x + 42 Transponiendo tĂŠrminos se tiene 6x +5y -82 = 0 Inciso â&#x20AC;&#x153;bâ&#x20AC;?

S

13. Hallar la ecuaciĂłn de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A(4, 5) B(1, 4) a) -5x + y - 12 = 0

b) x - 5y â&#x20AC;&#x201C; 12 = 0 c) -5x + y + 12 = 0

d) x â&#x20AC;&#x201C; 5y + 12 = 0

SoluciĂłn Pm= Si son perpendiculares m1 =

1

đ?&#x2018;&#x161;2

Pm = (x, y) 1â&#x2C6;&#x2019;4

Pm (

2 â&#x2C6;&#x2019;3

Pm (

2

>

4+5 2

)

9

m1 =

4â&#x2C6;&#x2019;5 1+4

m2 = â&#x2C6;&#x2019;

> ) 2

=

â&#x2C6;&#x2019;1 5

1

1= 5

â&#x2C6;&#x2019;5

m2 = 5

y â&#x20AC;&#x201C; y1 = m (x â&#x20AC;&#x201C; x1) 9

3

y - 2 = 5 (đ?&#x2018;Ľ + 2) 9

y - 2 = 5x +

15 2

(2)

2y -9 = 10x + 15 -10x + 2y -24 = 0 /2 -5x + y -12 = 0

Inciso â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;?

14. Una recta L1 pasa por los puntos (2, 2) y (4, 6) y la otra recta pasa por el punto (7,3) y el punto A cuya ordenada es 2. Hallar la abscisa del punto A sabiendo que L1 es perpendicular a L2 a)

-11

b) 1

c) -1

SoluciĂłn L2 pasa por (7, 3) y (x, 2) Calcular m1 = đ?&#x2018;Ś2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś1

m2 =

đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ1

1

2â&#x2C6;&#x2019;3

4

đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;7

- = S

6+2 4â&#x2C6;&#x2019;2

m1 =

8 2

m1 = 4

L1 â&#x201D;´ L2

d) 11

1

â&#x2C6;&#x2019;1

4

đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;7

- =

xâ&#x20AC;&#x201C;7=4 x=4+7 x = 11

R= Inciso â&#x20AC;&#x153;dâ&#x20AC;?

15. La ecuaciĂłn de la circunferencia con centro en (-3, 5) y pasa por (1, 5) es: a. đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľ + 10đ?&#x2018;Ś = 18 b. đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľ + 10đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;18 c. đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 + 6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 10đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;18 d. đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 = â&#x2C6;&#x2019;18 SoluciĂłn r= â&#x2C6;&#x161;(đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 )2 + (đ?&#x2018;Ś2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś1 )2 2

r= â&#x2C6;&#x161;(1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;3)) + (5 â&#x2C6;&#x2019; 5)2 r= â&#x2C6;&#x161;16 r= 4 (x -h)2 + (y - k)2 = r2 (x -3)2 + (y - 5)2 = 16 X² - 6x + 9 + y² - 10y + 25 = 16 x² + y² + 6x â&#x20AC;&#x201C; 10y = -18

S

Inciso â&#x20AC;&#x153;Câ&#x20AC;?

16. Calcule la longitud redondeada al entero más cercano de la cuerda de la circunferencia x² + y² = 8 determinada por la recta secante y = -x + 1 a)

6

b) 5

c) 4

Solución x² + y² = 8

Sust. y = -x + 1

x² + (1 - x)² = 8 x² + 1 – 2x + x² = 8 2x² - 2x - 7 = 0 X1 = 1 - √15 2

Sust. en y = -x+1

X2 = 1 + √15 2

y1 = − (1−√15 )+1 2

y2 = − (1−√15 )+1 2

y1 = −1 + 2

√15 2

y2 = −1 + 2

√15 + 2

y1 = −1 + 2

√15 2

y2 = −1 + 2

√15 2

P1

+1

(1− 2√15 ) 1− 2√15)

1+ √15 d = √( −

1+ √15

2

2

d = √30 ≈ 5.4 ≈ 5

2

(1− 2√15 ) 1− 2√15) 1+ √15

) + (

2

d = √(√15) + (√15)

S

P2

1

2

2

Inciso “b”

−

1+ √15 2

2

)

d) 5

17. Determine la ecuaciĂłn de la recta tangente a la circunferencia x² + y² 6x -6y + 10 = 0 en el punto (1, 1) a) x â&#x20AC;&#x201C; y = 2

b) â&#x20AC;&#x201C;x + y = 2

c) x + y = 2

d) x + y = -2

SoluciĂłn x² - 6x + 9 + y2 â&#x20AC;&#x201C; 6y + 9 = 10 + 18 (x -3)2 + (y -3)² = 28 c (3, 3) y el punto (1, 1) es â&#x201D;´ a la recta

m = 1â&#x2C6;&#x2019;3 = 1â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2C6;&#x2019;2

m=1

â&#x2C6;&#x2019;2

m2 = -1 y â&#x20AC;&#x201C; y1 = m (x -x1) y â&#x20AC;&#x201C; 1 = -1 (x-1) x+y=2

Inciso â&#x20AC;&#x153;Câ&#x20AC;?

18. De los siguientes puntos el Ăşnico que se encuentra sobre la circunferencia đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 10đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;1 es a. (â&#x2C6;&#x161;2 , â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x161;3

1

b. ( 2 , â&#x2C6;&#x2019; 2) c. (1,1) d. (â&#x2C6;&#x2019;4,5) SoluciĂłn Sustituye el valor de x e y de c/ punto hasta encontrar la identidad. x² + y2 â&#x20AC;&#x201C; 2x â&#x20AC;&#x201C; 10y = -1

x = â&#x2C6;&#x161;2

(â&#x2C6;&#x161;2)² + (1)² - 2(â&#x2C6;&#x161;2) -10(1) = -1 2 + 1 â&#x20AC;&#x201C; 2â&#x2C6;&#x161;2 -10 = -1 -7 â&#x20AC;&#x201C; 2 â&#x2C6;&#x161;2 = -1

S

No cumple

y = -1

Para x =

√3 2

1

y = -2

2

−1 2 1 √3 √3 ( ) + ( ) − 2 ( ) − 10 (− ) = −1 2 2 2 2

3 1 + − √3 + 52 = −1 4 4 6 - √3 = −1

Para x = 1

No cumple

y=1

(1)² + (1)² - 2(1) -10(1) = -1 1 + 1 + 2 – 10 = -1 -6 = -1

No cumple

Para x = -4 y = 5 (-4)² + (5)² - 2(-4) -10(5) = -1 16 +25 +8 – 50 = -1 -1 = -1

S

Sol. Inciso “d”

19. La ecuaciĂłn de una circunferencia x² + y2 â&#x20AC;&#x201C; 10x + 4y + 4 = 0. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto (-4.5, -2.5). la ecuaciĂłn de la cuerda es: a. đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś + 2 = 0 b. đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0 c. 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś + 2 = 0 d. đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś + 2 = 0 SoluciĂłn Calcular el centro (x²+ 10x + 25) + (y² + 4y +4) = -4 (x2 + 5)²+ (y²+2)² = 25 C (-5, -2)

El centro y el pm forman una recta que coincide con el radio de la

circunferencia y este es perpendicular a la cuerda.

Pendiente del radio: â&#x2C6;&#x2019;2.5+2

m1 = â&#x2C6;&#x2019;4.5+5 m1 =

â&#x2C6;&#x2019;0.5 0.5

= â&#x2C6;&#x2019;1 1

la pendiente de la cuerda seria m2 = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 = 1 m2 = 1 y (-4.5, -2.5) y + 2.5 = 1 (x + 4.5) y + 2.5 = x + 4.5 xâ&#x20AC;&#x201C;y+2=0

S

Inciso â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;?

20. La ecuaciĂłn de la circunferencia con centro en el punto de intercepciĂłn de las rectas 3x + 3y = 15 y 2x - 2y = -2 y radio r=7 es: a. đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ś = 49 b. đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 + 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ś = 49 c. đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;36 d. đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ś = 36 SoluciĂłn Cada ecuaciĂłn puede simplificar 3x + 3y = 15 (/3) 2x â&#x20AC;&#x201C; 2y = -2 (/2) x+y=5

xâ&#x20AC;&#x201C;y=1

Resolver el sistema x+y=5

(x - h)² + (y + k)² = r²

xâ&#x20AC;&#x201C;y=1

(x - 3)² + (y - 2)²² = 7²

2x = 6²

x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4 = 49

x=3

x² + y² - 6x - 4y = 36

y=2 p(3, 2)

Inciso â&#x20AC;&#x153;dâ&#x20AC;?

h=3 k=2 21. Una parĂĄbola cuyo foco es F (0, -6) y la ecuaciĂłn de la directriz es y = 5 tiene por ecuaciĂłn: a) đ?&#x2018;Ľ 2 = 22đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 11

b) đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x2019;22đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 11

Solución La paråbola es de la forma x² = -4py x² = -4(-6) y x² = 24y S

c) đ?&#x2018;Ľ 2 = 24đ?&#x2018;Ś

d) đ?&#x2018;Ś 2 = â&#x2C6;&#x2019;22đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 11

22. La ecuaciĂłn de la parĂĄbola con vĂŠrtice en el origen y foco (a,0) donde a es la soluciĂłn positiva de la ecuaciĂłn 2t² + t â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 es: a) đ?&#x2018;Ś 2 = 6đ?&#x2018;Ľ

b) đ?&#x2018;Ľ 2 = 6đ?&#x2018;Ś

c) đ?&#x2018;Ś 2 = â&#x2C6;&#x2019;6đ?&#x2018;Ľ

d) đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x2019;6đ?&#x2018;Ś

SoluciĂłn Primero calculamos las raĂ­ces 2đ?&#x2018;Ą 2 + đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 6 = 0 2t

-3 = -3t

t

+2 = 4t

(t + 2) (2t â&#x20AC;&#x201C; 3) = 0 t+2=0 t = -2

2tâ&#x20AC;&#x201C; 3 = 0 3

t = 3/2 Tomamos este valor para f (2 , 0)

La paråbola es de forma y² = 4px 3

p=2 3

y² = 4 (2) x y2= 6x

S

Inciso â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;?

23. El foco y la directriz de la parĂĄbola 2đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ĽÂ˛ = 0 son respectivamente a) (0,2) đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;1/2

b) (1/2,0) đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś = 1/2

c) (1/2,1/2) đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;1/2

d) (0,1/ 2) đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;1/2

SoluciĂłn La parĂĄbola que tiene por ecuaciĂłn 2đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;ĽÂ˛ = 0 es una parĂĄbola cuyo eje focal esta sobre el eje y. Vista de otra forma la ecuaciĂłn anterior es đ?&#x2018;ĽÂ˛ = 2đ?&#x2018;Ś 2

Donde 4đ?&#x2018;? = 2 â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x2018;?=4

â&#x2020;&#x2019;

1

đ?&#x2018;?=2

la directriz es la recta

Por lo tanto, las coordenadas del foco son

đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;1/2

1 (0, ) 2 24. Los puntos de intercepción de la paråbola y² = 16x con la recta x + y = 12 son: a) (-24,12) (-6,-6)

b) (-36,24) (-4,-8)

SoluciĂłn Despajar x= -12 -y y² = 16(-12 -y) y² = -192 + 16y y² - 16y â&#x20AC;&#x201C; 192 = 0 y1 = -8 y2 = 24 x1 = -12 â&#x20AC;&#x201C;(-8)

x2 = -12 -24

x1 = -4

x2 = -36

(- 4, -8) S

(-36, 24)

Inciso â&#x20AC;&#x153;bâ&#x20AC;?

c) (24,12) (-6,6)

d) (24,12) (6,6)

25. La ecuaciĂłn de la parĂĄbola cuyo eje de simetrĂ­a es el eje Y, vĂŠrtice en el origen y que pasa por el punto de intersecciĂłn de las rectas 4x + 3y = -14 y la ecuaciĂłn -3x +2y = 2 es: a) đ?&#x2018;Ľ 2 = 2đ?&#x2018;Ś

b) 2đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś

c) đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ś

d) đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś

SoluciĂłn 4x + 3y = -14 (3) -3x + 2y = 2 (4)

x² = 4Py

21x + 9y = -42

(-5)² = 4p (2) 25

-12x + 8y = 8

2

= 4đ?&#x2018;?

17y = 34

x² =

25

4x + 3y = -14

2

đ?&#x2018;Ś

2x² = 24y

4x + 3(2) = -14 4x = -14 -6 4x = -20 x = -5 P (-5,2) 26. Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8, entonces la ecuaciĂłn de la elipse con eje focal en el eje đ?&#x2018;&#x152; es đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

a) 48 â&#x2C6;&#x2019; 64 = 1

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

b) 48 + 64 = 1

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

c) 64 + 48 = 1

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

d) 64 â&#x2C6;&#x2019; 48 = 1

SoluciĂłn Sabemos que la longitud del eje mayor de una elipse estĂĄ dada por 2đ?&#x2018;&#x17D; y la distancia focal por 2đ?&#x2018;?, con los datos del problema obtenemos 2đ?&#x2018;&#x17D; = 16 S

đ?&#x2018;&#x17D;= đ?&#x2018;&#x17D;=8

16 2 đ?&#x2018;&#x17D;2 = 64

â&#x2020;&#x2019;

2đ?&#x2018;? = 8 đ?&#x2018;?= đ?&#x2018;?=4

8 2

â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x2018;? 2 = 16

Dado que đ?&#x2018;&#x17D;2 = đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;? 2 entonces đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;? 2 = 64 â&#x2C6;&#x2019; 16 đ?&#x2018;? 2 = 48 La ecuaciĂłn resulta đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 + =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2

â&#x;š

đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 + =1 64 48

27. Determine la ecuaciĂłn de la elipse que pasa por P (

â&#x2C6;&#x161;7 , 3) 2

el eje x, y a = 2b a. 4đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 16đ?&#x2018;Ś 2 = 151 b. â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľ 2 + 16đ?&#x2018;Ś 2 = 151 c. 4đ?&#x2018;Ľ 2 + 16đ?&#x2018;Ś 2 = 51 d. 4đ?&#x2018;Ľ 2 + 16đ?&#x2018;Ś 2 = 151 SoluciĂłn đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;&#x17D;2

đ?&#x2018;Ś2

+ đ?&#x2018;?2 = 1

b² =

2

â&#x2C6;&#x161;7 ) 2 4đ?&#x2018;?2

(

7 4

4đ?&#x2018;?²

+

(3)2 đ?&#x2018;?2

=1

16 151

a² = 4 ( 16 )

9

+ đ?&#x2018;?² = 1 (đ?&#x2018;?²)²

7 + 9 = đ?&#x2018;?2 16 S

151

a² =

151 4

đ?&#x2018;ĽÂ˛ đ?&#x2018;ŚÂ˛ + =1 151 151 4 16 4x² + 16y² = 151 Inciso â&#x20AC;&#x153;dâ&#x20AC;?

su eje mayor es

28. Calcule la longitud del segmento determinado por la recta secante 4x -3y = -12 a la elipse 16x²+9y² = 144 a)

5

b) 6

c) -5

d) -4

SoluciĂłn Sea 16x²+9y² = 144 (E1) y 4x -3y = -12 (E2) Despejar 4x = 3y â&#x20AC;&#x201C; 12 en funciĂłn de â&#x20AC;&#x153;yâ&#x20AC;? y elevado al cuadrado: 16x² = (3y - 12)²

Sust. En la E1 y simplificando.

(3y - 12)² + 9y² = 144 18y² - 72y = 0 18y(y-4)=0 Igualando a cero y buscando los valores. y1=0

y2=4

Sust. en E2

4x1 = 3(0) â&#x20AC;&#x201C; 12

4x2 = 3(4) - 12

4x1 = -12

4x2 = 0

d = â&#x2C6;&#x161;32 + 4²

x1 = -3

x2 = 0²

d = â&#x2C6;&#x161;25

P1 (-3,0)

P2 (0, 4)

d=5

Inciso â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;?

29. Si la excentricidad es 4/5 y la distancia focal es 16, la ecuaciĂłn de la elipse con eje focal en el eje đ?&#x2018;&#x2039; es đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

a) 100 + 36 = 1

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

đ?&#x2018;Ľ2

b) 36 + 100 = 1

SoluciĂłn Como la distancia focal es 16, entonces 2đ?&#x2018;? = 16 đ?&#x2018;?= đ?&#x2018;?=8 S

đ?&#x2018;Ś2

c) 100 â&#x2C6;&#x2019; 36 = 1

â&#x2020;&#x2019;

16 2 đ?&#x2018;? 2 = 64

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

d) 16 + 36 = 1

pero al sustituir los valores de e y c en đ?&#x2018;&#x2019;=

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;

4 8 = 5 đ?&#x2018;&#x17D; 4đ?&#x2018;&#x17D; = 40 đ?&#x2018;&#x17D;= đ?&#x2018;? = 10

40 4

â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x2018;? 2 = 100

Finalmente, la ecuaciĂłn de la elipse es đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 + =1 100 36 30. La excentricidad de la elipse 2đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ś 2 = 8 es a) â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x161;2 2

b)

â&#x2C6;&#x161;2 2

c)

SoluciĂłn Llevar la ecuaciĂłn a su forma canĂłnica 2đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ś 2 = 8 (á 8) 2đ?&#x2018;Ľ 2 4đ?&#x2018;Ś 2 8 + = 8 8 8 đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 + =1 4 2 đ?&#x2018;&#x17D;2 = 4

;

đ?&#x2018;?2 = 2

đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;?2 = 4 â&#x2C6;&#x2019; 2 đ?&#x2018;?2 = 2 S

â&#x2C6;&#x161;2 3

d)

â&#x2C6;&#x161;2 2

đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;2 Por lo tanto, la excentricidad es đ?&#x2018;&#x2019;=

đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x161;2 = đ?&#x2018;?

2

31. La ecuaciĂłn de la elipse que pasa por (3, 2â&#x2C6;&#x161;3), con vĂŠrtice correspondiente al eje menor (0,4) es a)

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

+ 36 = 1 16

c)

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

+ 16 = 1 36

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

b) 72 + 16 = 1 d) 72 + 36 = 1

SoluciĂłn Como uno del vĂŠrtice correspondiente al eje menor es (0; 4), entonces a = 4 y estamos tratando con una elipse vertical. AsĂ­ el punto (3, 2â&#x2C6;&#x161;3), debe cumplir la relaciĂłn đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 + =1 đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17D;2 Es decir 2

(3)2 (2â&#x2C6;&#x161;3) + =1 (4)2 đ?&#x2018;?2 9 12 + =1 đ?&#x2018;? 2 16 9 3 + =1 đ?&#x2018;?2 4 3đ?&#x2018;? 2 + 36 = 4đ?&#x2018;? 2 3đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;? 2 = â&#x2C6;&#x2019;36 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? 2 = â&#x2C6;&#x2019;36 (â&#x2C6;&#x2019;1) S

đ?&#x2018;? 2 = 36 Por lo tanto, la ecuaciĂłn es đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 + =1 36 16 32. La ecuaciĂłn de la elipse cuyos focos son F1 (0,2) y F2 (0, -2) y P(x,y) es un punto cualquiera de la elipse con PF1 + PF2 =10 a) c)

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

b) 25 â&#x2C6;&#x2019; 21 = 1

+ 21 = 1 25 đ?&#x2018;Ś2

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

d) 21 â&#x2C6;&#x2019; 25 = 1

+ 25 = 1 21

SoluciĂłn PF1 + PF2 = 2a PF1 + PF2 = 10 đ?&#x2018;&#x17D;=5 C= Âą 2 C² = 4 C² = a² - b² (0, 2) (x, y)

(0, -2) (x, y) đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 = â&#x2C6;&#x161;52 â&#x2C6;&#x2019; 22 = â&#x2C6;&#x161;25 â&#x2C6;&#x2019; 4 = â&#x2C6;&#x161;21 đ?&#x2018;? 2 = 21

La ecuaciĂłn de la elipse resulta đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 + =1 đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 + =1 21 25

S

33. Las coordenadas de los vĂŠrtices de una hipĂŠrbola con V (0, Âą11) y sus focos f(0, Âą12). Entonces su ecuaciĂłn es a) c)

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

đ?&#x2018;Ś2

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

b) 144 + 23 = 1

â&#x2C6;&#x2019; 23 = 1 121

đ?&#x2018;Ś2

đ?&#x2018;Ľ2

d) 121 â&#x2C6;&#x2019; 23 = 1

â&#x2C6;&#x2019; 144 = 1 23

SoluciĂłn C = 12

a = 11

c² = a² + b²

(12)² = 11² + b² 144 + 121 = b² 23 = b² 23 = b² đ?&#x2018;ŚÂ˛

đ?&#x2018;Ľ2

â&#x2C6;&#x2019; 23 = 1 121

Inciso â&#x20AC;&#x153;dâ&#x20AC;?

34. Los focos de la hipĂŠrbola x² - 36y² = 36 son: a) (0, Âąâ&#x2C6;&#x161;37)

b) (Âąâ&#x2C6;&#x161;37, 0)

c) (0 , Âą37)

SoluciĂłn x2 y2 â&#x2C6;&#x2019; =1 36 1 a² = 36

b² = 1

c² = 36 + 1 c² = 37 c = Âą â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2022; f (Âą â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2022;, 0)

S

Inciso â&#x20AC;&#x153;bâ&#x20AC;?

d) (Âą37 , 0)

35. La ecuaciĂłn de la hipĂŠrbola de centro en el origen, longitud del eje transverso 12 y pasa por el punto (8,14) es: a)

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

â&#x2C6;&#x2019; 36 = 1 252

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

đ?&#x2018;Ś2

b) 36 â&#x2C6;&#x2019; 252 = 1

đ?&#x2018;Ľ2

c) 252 â&#x2C6;&#x2019; 36 = 1

d)

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

+ 36 = 1 252

SoluciĂłn El eje transverso tiene la ecuaciĂłn 2đ?&#x2018;&#x17D; 2đ?&#x2018;&#x17D; = 12 đ?&#x2018;&#x17D;=

12 =6 2

La grĂĄfica pasa por el punto (8;14) y la ecuaciĂłn de una hipĂŠrbola estĂĄ dada por: đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;?2

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś2 = 1 (8)2 (14)2 â&#x2C6;&#x2019; 2 =1 (6)2 đ?&#x2018;?

(4)2 (14)2 â&#x2C6;&#x2019; 2 =1 (3)2 đ?&#x2018;?

16 196 â&#x2C6;&#x2019; 2 =1 9 đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;

196 16 = 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 9

â&#x2C6;&#x2019;

196 7 = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 9 196 7 = đ?&#x2018;?2 9

7đ?&#x2018;? 2 = 1764 đ?&#x2018;? 2 = 252 La ecuaciĂłn buscada es

S

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ś2

â&#x2C6;&#x2019; 252 = 1 36

36. Las asíntotas de hipÊrbola 4y² - 9x² = 36, son: 2

2

a) đ?&#x2018;Ś = Âą 3 đ?&#x2018;Ľ

3

b) đ?&#x2018;Ľ = Âą 3 đ?&#x2018;Ś

3

c) đ?&#x2018;Ś = Âą 2 đ?&#x2018;Ľ

d) đ?&#x2018;Ľ = Âą 2 đ?&#x2018;Ś

SoluciĂłn đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2014;

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019;

y = Âą

=đ?&#x;?

a² = 9

b² = 4

a=3

b=2

đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x192;

đ?&#x2019;&#x2122;

y=Âą

đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?

Inciso â&#x20AC;&#x153;câ&#x20AC;?

đ?&#x2019;&#x2122;

3

37. La ecuaciĂłn de la hipĂŠrbola con focos en el eje x y asĂ­ntotas y = Âą 7 x es: a) 49đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x2019;441

b) 49đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;Ľ 2 = 441

c) 49đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;Ś 2 = â&#x2C6;&#x2019;441

d) 49đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;Ś 2 = 441

SoluciĂłn foco en x. đ?&#x2018;&#x17D;

De: y = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ se tiene: a=7

b=3

x2 49

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ś2 9

=1

Multiplicar por 441

đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 â&#x2C6;&#x2019; = 1 (441) 49 9 9đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 49đ?&#x2018;Ś 2 = 441 (â&#x2C6;&#x2019;1) 49đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x2019;441

S

38. La ecuaciĂłn de la hipĂŠrbola cuyos focos son F1 (0, 13) y f2 (0, 13) y P (x, y) es un punto cualquiera con lP1F1 â&#x20AC;&#x201C; P2P2l = 24 es: a) 25đ?&#x2018;Ś 2 + 144đ?&#x2018;Ľ 2 = 3600

b) 25đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 144đ?&#x2018;Ľ 2 = 3600

c) 144đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 25đ?&#x2018;Ľ 2 = 3600

d) 144đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; 144đ?&#x2018;Ľ 2 = 3600

Solución X² = 4Py

2a = 24

a = 24/2 a = 12 b = ? c = 13

đ?&#x2018;Ś2

đ?&#x2018;Ľ2

â&#x2C6;&#x2019; 25 = 1 144

b²= c² - a² b²= 13² - 12²

25y²-144x²= 3600

Incluso â&#x20AC;&#x153;bâ&#x20AC;?

b²= 169 â&#x20AC;&#x201C; 144 b²= 25 b=Âą5 39. Determine la ecuaciĂłn de la hipĂŠrbola que pasa por los puntos (3, -2) y (7,6), ademĂĄs sus focos se ubican en el eje x a) 16đ?&#x2018;Ľ 2 + 20đ?&#x2018;Ś 2 = 64

b) 16đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 20đ?&#x2018;Ś 2 = 64

c) â&#x2C6;&#x2019;16đ?&#x2018;Ľ 2 + 20đ?&#x2018;Ś 2 = 64

d) 16đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 20đ?&#x2018;Ś 2 = 46

SoluciĂłn đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 â&#x2C6;&#x2019; =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2 Con el punto A (3)2 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 â&#x2C6;&#x2019; =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?2 9 4 â&#x2C6;&#x2019; 2=1 2 đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?

S

9 4 = 1+ 2 2 𝑎 𝑏 9 𝑏2 + 4 = 𝑎2 𝑏2 𝑎2 (𝑏 2 + 4) = 9𝑏 2 𝑎2 =

9𝑏 2 𝑏2 + 4

Con el punto B (7)2 (6)2 − 2 =1 𝑎2 𝑏 49 36 − =1 𝑎2 𝑏 2 49 36 = 1 + 𝑎2 𝑏2 49 𝑏 2 + 36 = 𝑎2 𝑏2 𝑎2 =

49𝑏 2 𝑏 2 + 36

Igualando 𝑎2 = 𝑎2 9𝑏 2 49𝑏 2 = 𝑏 2 + 4 𝑏 2 + 36 9𝑏 2 (𝑏 2 + 36) = 49𝑏 2 (𝑏 2 + 4) 9𝑏 4 + 324𝑏 2 = 49𝑏 4 + 196𝑏 2 9𝑏 4 − 49𝑏 4 + 324𝑏 2 − 196𝑏 2 = 0 −40𝑏 4 + 128𝑏 2 = 0 (÷ 8) −5𝑏 4 + 16𝑏 2 = 0 −𝑏 2 (5𝑏 2 − 16) = 0 −𝑏 2 = 0 ; 𝑏 2 = Encontrar valor de a 𝑎2 =

S

49𝑏 2 𝑏 2 + 36

16 5

16 49 ( ) 5 đ?&#x2018;&#x17D; = = 16 ( ) + 36 5 2

736 5 =4 196 5

Entonces đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ś2 â&#x2C6;&#x2019; =1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;Ś2 đ?&#x2018;Ľ2 1 â&#x2C6;&#x2019; =1 16 4 5

â&#x;š

đ?&#x2018;Ľ 2 5đ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; =1 4 16

(64)

16đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 20đ?&#x2018;Ś 2 = 64

40. Calcule los puntos de intersecciĂłn de la recta 2x - 9y +12 = 0 con las asĂ­ntotas de la hipĂŠrbola 4x² - 9y² = 36 a) (1,5 ; 1) đ?&#x2018;Ś (3 ; 2)

b) (â&#x2C6;&#x2019;1,5 ; 1) đ?&#x2018;Ś (â&#x2C6;&#x2019;3; 2)

c) (â&#x2C6;&#x2019;1,5 ; 1) đ?&#x2018;Ś (3 ; 2)

d) (â&#x2C6;&#x2019;1,5 ; â&#x2C6;&#x2019;1) đ?&#x2018;Ś (3 ; â&#x2C6;&#x2019;2)

SoluciĂłn 1. Transformar la EcuaciĂłn de la HipĂŠrbola y encontrar los valores de a y b.

4đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;Ś 2 = 36 đ?&#x2018;Ľ2 9

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ś2 4

Dividiendo por 36 a=Âą3

=1

b=Âą2 por tanto las asĂ­ntotas serĂ­an:

2

đ?&#x2018;Ś = Âą đ?&#x2018;Ľ , al resolver el sistema de esta ecuaciĂłn con 2x - 9y +12 = 0 por 3

sustituciĂłn y evaluando cada signo se tiene: 2

Para đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľ

y 2x - 9y +12 = 0 el punto (-1.5, -1)

2

y 2x - 9y +12 = 0 el punto (3, -2)

3

Para đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 3

S

GeometrĂ­a Euclidiana 1. Si đ??´đ??¸ â&#x2C6;Ľ đ??ľđ??ˇ, đ??´đ??¸ = 5, đ??ľđ??ˇ = 3, đ??ˇđ??ś = 4, ÂżCuĂĄnto mide el segmento DE, redondeado a la centĂŠsima mĂĄs cercana?

A. 2,33 B. 2,67 C. 3,33 D. 3,67 SoluciĂłn Si llamamos đ?&#x2018;Ľ al segmento DE, entonces CE es đ?&#x2018;Ľ + 4.

Aplicando el teorema de Tales. đ??´đ??¸ đ??¸đ??ś = đ??ľđ??ˇ đ??śđ??ˇ 5 đ?&#x2018;Ľ+4 = 3 4 5 (4) â&#x2C6;&#x2019; 4 = đ?&#x2018;Ľ 3 đ?&#x2018;Ľ = 2,67 Ě&#x201A; , đ??śđ??ˇ Ě&#x201A; đ?&#x2018;Ś đ??¸đ??š Ě&#x201A; es de 2. Si el radio AO mide 6, CO=4, EO=2 y la medida de los arcos đ??´đ??ľ 60° cada uno, entonces la diferencia entre el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada y la no sombreada es de: A.

2

B.

1

3 3

đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x153;&#x2039;

C. 0 D. 1đ?&#x153;&#x2039;

S

Solución Sector AOB con r=6 𝜋𝑟 2 𝑛𝑜 𝜋 × (6)2 × 60𝑜 𝐴= = = 6𝜋 360𝑜 360𝑜 Sector COD con r=4 𝐴=

𝜋𝑟 2 𝑛𝑜 𝜋 × (4)2 × 60𝑜 8 = = 𝜋 360𝑜 360𝑜 3

Sector EOF con r=2 𝐴=

𝜋𝑟 2 𝑛𝑜 𝜋 × (2)2 × 60𝑜 2 = = 𝜋 360𝑜 360𝑜 3

Á𝑟𝑒𝑎 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴𝑂𝐵 + 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐶𝑂𝐷 + 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐸𝑂𝐹 8 2 28 = 6𝜋 + 𝜋 + 𝜋 = 𝜋 3 3 3 Área del semicírculo con r=6 𝜋𝑟 2 𝜋 × (6)2 𝐴= = = 18𝜋 2 2 Á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 − Á𝑟𝑒𝑎 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 18𝜋 −

28 26 𝜋= 𝜋 3 3

𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 =

28 26 𝜋− 𝜋 3 3 =

S

2 𝜋 3

Ě&#x201A; es 40°, entonces la medida del arco đ??śđ??ˇ Ě&#x201A; y el 3. En la figura la medida del arco đ??´đ??ľ â&#x2C6;˘đ??ˇđ??´đ??ś son respectivamente: A. 100° y 50° B. 120° y 60° C. 70° y 35° D. 140° y 70° SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;˘đ?&#x2018;&#x192; =

15° =

Ě&#x201A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ??´đ??ľ Ě&#x201A; đ?&#x2018;&#x161;đ??śđ??ˇ 2 Ě&#x201A; â&#x2C6;&#x2019; 40° đ?&#x2018;&#x161;đ??śđ??ˇ 2

Ě&#x201A; â&#x2C6;&#x2019; 40° 30° = đ?&#x2018;&#x161;đ??śđ??ˇ Ě&#x201A; 30° + 40° = đ?&#x2018;&#x161;đ??śđ??ˇ Ě&#x201A; = 70° đ?&#x2018;&#x161;đ??śđ??ˇ đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;˘đ??ˇđ??´đ??ś =

Ě&#x201A; đ?&#x2018;&#x161;đ??śđ??ˇ 2

đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;˘đ??ˇđ??´đ??ś =

70° 2

đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;˘đ??ˇđ??´đ??ś = 35°

S

4. Los diĂĄmetros de dos cilindros circulares rectos concĂŠntricos son 18 y 12 cm respectivamente y la generatriz comĂşn es de 20 cm, entonces el volumen del espacio que queda entre ambos cilindros es: A. 720đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 B. 850đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 C. 900đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 D. 1200đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 SoluciĂłn: r=6 cm R=9 cm đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2026; 2 â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x153;&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2026; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x; 2 )â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x153;&#x2039;((9 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;)2 â&#x2C6;&#x2019; (6 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;)2 )(20 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;) đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x153;&#x2039;(45đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2 )(20 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;) đ?&#x2018;&#x2030; = 900đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2 5. En el grĂĄfico Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??´đ??ś â&#x2C6;Ľ Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018; â&#x2C6;Ľ Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x201E; , đ??´đ?&#x2018;&#x20AC; = 2, đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;&#x192;đ??ľ = 2, đ??´đ??ś = 14 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x201E; = 4. Si las unidades estĂĄn en centĂ­metros, el valor de â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? es de: A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 3 cm

S

SoluciĂłn Si sumamos los elementos que hay desde A hasta B tendrĂ­amos 4+x.

Aplicando el teorema de Tales đ?&#x2018;&#x192;đ??ľ đ??´đ??ľ = đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x201E; đ??´đ??ś 2 4+đ?&#x2018;Ľ = 4 14 2 Ă&#x2014; 14 = 4 + đ?&#x2018;Ľ 4 7â&#x2C6;&#x2019;4=đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ=3 6. Si en el triĂĄngulo rectĂĄngulo (ver figura) AB=6 y BH=3, entonces el valor de BC es de: A. 7,5 B. 9 C. 10 D. 12 SoluciĂłn Aplicando el teorema del triĂĄngulo rectĂĄngulo (cateto). đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; 62 = đ?&#x2018;&#x17D;(3) 36 =đ?&#x2018;&#x17D; 3 đ?&#x2018;&#x17D; = 12 đ??ľđ??ś = 12 S

7. En la figura ABCD es un cuadrado, los triĂĄngulos ABM y BCP son equilĂĄteros.

Si el ĂĄrea del cuadrado es de 1 u2. ÂżCuĂĄl es la distancia de M a P? A. 1 B. â&#x2C6;&#x161;2 C.

3 2

D. 2 SoluciĂłn Determinamos el lado de un cuadrado, que por ende serĂĄn los lados de los triĂĄngulos equilĂĄteros. đ??´ = đ?&#x2018;&#x2122;2 1đ?&#x2018;˘2 = đ?&#x2018;&#x2122; 2 Extrayendo la raĂ­z cuadrada a ambos lados. đ?&#x2018;&#x2122; =1đ?&#x2018;˘ Si observamos el triĂĄngulo BMP el ĂĄngulo en B es de 90° y asĂ­ podemos aplicar â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?2 = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x192;2 = đ??ľđ?&#x2018;&#x20AC;2 + đ??ľđ?&#x2018;&#x192;2 đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x192; = â&#x2C6;&#x161;12 + 12 đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x192; = â&#x2C6;&#x161;2

S

8. En la figura, el ĂĄrea del cuadrado ABCD es 4 u2 y E, F, G y H son puntos medios de cada lado. Si los vĂŠrtices A, B, C y D son centros de cada arco formado, ÂżCuĂĄl es la medida de la diferencia del ĂĄrea sombreada y la no sombreada?

3

A. 4 â&#x2C6;&#x2019; 4 đ?&#x153;&#x2039; B.

3 4

đ?&#x153;&#x2039;

C. 4 D.

3 2

đ?&#x153;&#x2039;

SoluciĂłn Si cortamos y movemos podremos observar que el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada es igual al ĂĄrea del cuadrado. đ??´đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2020; = 4 đ?&#x2018;˘2

đ??´ = đ?&#x2018;&#x2122;2 4đ?&#x2018;˘2 = đ?&#x2018;&#x2122; 2 Extrayendo la raĂ­z cuadrada a ambos lados. đ?&#x2018;&#x2122; =2đ?&#x2018;˘ Podremos decir que el lado equivale al diĂĄmetro, por lo tanto, el radio es uno (r=1) Determinemos el ĂĄrea de la regiĂłn no sombreada.

3 3 3 3 đ??´đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2020; = (ĂĄđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;?Ă­đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;) = (đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 ) = (đ?&#x153;&#x2039; Ă&#x2014; 12 ) = đ?&#x153;&#x2039; 4 4 4 4 3 đ??ˇđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; ĂĄđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D; = 4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2039; 4 S

9. El cilindro de la figura esta hecho de dos cĂ­rculos y un rectĂĄngulo de papel enrollado. Si el ĂĄrea de cada uno de los cĂ­rculos y del rectĂĄngulo es de 16đ?&#x153;&#x2039;. ÂżCuĂĄl es el volumen del cilindro?

A. 64đ?&#x153;&#x2039; B. 32đ?&#x153;&#x2039; C. 16đ?&#x153;&#x2039; D. 8đ?&#x153;&#x2039; SoluciĂłn Si el ĂĄrea del cĂ­rculo es: đ??´ = đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 16đ?&#x153;&#x2039; = đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153; 16đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;&#x161; =đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x;=4 Si el ĂĄrea del rectĂĄngulo es: đ??´ = đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D; = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;â&#x201E;&#x17D; 16đ?&#x153;&#x2039; = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x; 2đ?&#x153;&#x2039; 8 = đ?&#x2018;&#x;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; 8 =â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x; 8 â&#x201E;&#x17D;= 4 â&#x201E;&#x17D;=2 Calculando el volumen del cilindro đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x153;&#x2039;(42 )2 = 32đ?&#x153;&#x2039;

S

10. De acuerdo con las medidas de la figura y sabiendo que â&#x2C6;˘đ??´đ??¸đ??ˇ â&#x2030;&#x2026; â&#x2C6;˘đ??ľđ??¸đ??ś, se asegura que la medida en cm del segmento EB es: A. 2â&#x2C6;&#x161;11 B.

25â&#x2C6;&#x161;11

C.

â&#x2C6;&#x161;11 2

D.

18â&#x2C6;&#x161;7

18

25

SoluciĂłn Aplicando el teorema de Tales đ??´đ??ˇ đ??ľđ??ś = đ??´đ??¸ đ??¸đ??ľ 6 6â&#x2C6;&#x161;11 5

=

10 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ??¸đ??ľ đ??¸đ??ľ

6â&#x2C6;&#x161;11 Ă&#x2014; 10 đ??¸đ??ľ = 5 6 đ??¸đ??ľ = 2â&#x2C6;&#x161;11 11. Si en el triĂĄngulo rectĂĄngulo (ver figura) BC=20 y BH=4, entonces el valor de AB es de: A. 5 B. 4â&#x2C6;&#x161;5 C. 8 D. 16 SoluciĂłn Aplicando el teorema del triĂĄngulo rectĂĄngulo (cateto).

S

đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;20 Ă&#x2014; 4 đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;5 Ă&#x2014; 4 Ă&#x2014; 4 đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;5 Ă&#x2014; 42 đ?&#x2018;? = 4â&#x2C6;&#x161;5 đ??´đ??ľ = 4â&#x2C6;&#x161;5 12. En la figura se muestra que AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto B. Si la medida del ĂĄngulo BAO es de 30°, entonces la medida del arco BD es de: A. 30° B. 60° C. 75° D. 90° SoluciĂłn Si AB es tangente entonces la medida del ĂĄngulo que forma en B al centro O es de 90° y asĂ­ podremos tener un triĂĄngulo que sabemos que la sumatoria de los ĂĄngulos interiores es de 180°. Ě&#x201A; = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; ĂĄđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ??ľđ??ˇ Ě&#x201A; = 60° đ?&#x2018;&#x161;đ??ľđ??ˇ

S

13. Se tiene tres cĂ­rculos concĂŠntricos de radios 1, 2 y 3 cm respectivamente (ver figura). La diferencia entre las ĂĄreas de la parte obscura y la cuadriculada, es de: A. đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2 B. 2đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2 C. 3đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2 D. 4đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2 SoluciĂłn Aplicando la fĂłrmula de corona circular podemos determinar el ĂĄrea entre dos cĂ­rculos. Ă rea obscura R=3 cm y r=2 cm đ??´ = đ?&#x153;&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2026; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x; 2 ) = đ?&#x153;&#x2039;((3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;)2 â&#x2C6;&#x2019; (2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;)2 ) = 5đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2 Ă rea cuadriculada r=1 cm đ??´ = đ?&#x153;&#x2039;(1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;)2 = đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2 đ??ˇđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; ĂĄđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; ĂĄđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D; = 5đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2039; = 4đ?&#x153;&#x2039; 14. La figura consta de nueve cubos idĂŠnticos pegados. Usando la misma como base, la cantidad de cubitos que faltan para construir un cubo sĂłlido debe ser: A. 18 B. 27 C. 55 D. 64 SoluciĂłn Si lo fijamos en la base se ve 4 cubitos, para construir un cubo sĂłlido debemos considerar el volumen de un hexaedro.

S

đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; = 4 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2030; = 43 = 64 đ??śđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2030; â&#x2C6;&#x2019; 9 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ??śđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 64 â&#x2C6;&#x2019; 9 = 55 15. Se tiene cuatro rectas en el plano: m, n, p y q. Si m es paralela a n, que, a su vez, lo es de p, mientras que q es perpendicular a n, ÂżCuĂĄl de las siguientes respuestas es verdadera?

A. q tambiĂŠn debe ser perpendicular a m y p.

B. p y q son paralelas.

C. Podemos encontrar una recta s que sea paralela a n y no perpendicular a q.

D. Ninguna de las respuestas anteriores.

SoluciĂłn Como đ?&#x2018;&#x161; â&#x192;Ą â&#x2C6;Ľđ?&#x2018;&#x203A; â&#x192;Ąđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x203A; â&#x192;Ąâ&#x2C6;Ľđ?&#x2018;? â&#x192;Ą đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x161; â&#x192;Ą â&#x2C6;Ľđ?&#x2018;? â&#x192;Ą Una perpendicular a đ?&#x2018;&#x203A; â&#x192;Ą debe ser perpendicular a đ?&#x2018;&#x161; â&#x192;Ą đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;? â&#x192;Ą pues son paralelas entre sĂ­.

Por tanto đ?&#x2018;&#x17E; â&#x192;Ą es perpendicular a đ?&#x2018;&#x161; â&#x192;Ą đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;? â&#x192;Ą

S

16. Dos ĂĄngulos adyacentes forman un ĂĄngulo de 135°. Si uno es 15° mayor que tres veces el otro, las medidas de estos ĂĄngulos son: A. 35°,100° B. 30°,105° C. 75°,60° D. 80°,55° SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;Ś đ?&#x203A;˝ ĂĄđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; Formando un sistema de ecuaciones lineales {

đ?&#x203A;ź + đ?&#x203A;˝ = 135° đ??¸đ?&#x2018;?. 1 đ?&#x203A;ź = 3đ?&#x203A;˝ + 15° đ??¸đ?&#x2018;?. 2

Sustituyendo la ecuaciĂłn dos en la ecuaciĂłn uno. đ?&#x203A;ź + đ?&#x203A;˝ = 135° 3đ?&#x203A;˝ + 15° + đ?&#x203A;˝ = 135° 4đ?&#x203A;˝ = 135° â&#x2C6;&#x2019; 15° đ?&#x203A;˝=

120° 4

đ?&#x203A;˝ = 30° Sustituyendo en la ecuaciĂłn dos. đ?&#x203A;ź = 3đ?&#x203A;˝ + 15° đ?&#x203A;ź = 3(30°) + 15° đ?&#x203A;ź = 90° + 15° đ?&#x203A;ź = 105°

S

17. Dos ĂĄngulos son complementarios. Tres veces la medida de uno de ellos es 30°mĂĄs que el doble de la del otro. Las medidas de los ĂĄngulos de dichos ĂĄngulos son: A. 45°, 45° B. 60°, 30° C. 73°, 17° D. 42°, 48° SoluciĂłn De acuerdo al problema podemos deducir que: Ă đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x203A;ź + đ?&#x203A;˝ = 90° đ??¸đ?&#x2018;?. 1 đ?&#x2018;Ś 3đ?&#x203A;ź = 30° + 2đ?&#x203A;˝ đ??¸đ?&#x2018;?. 2 Si despejo la ecuaciĂłn uno y la sustituyo en la ecuaciĂłn dos. đ?&#x203A;ź + đ?&#x203A;˝ = 90° đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x203A;ź = 90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;˝ 3đ?&#x203A;ź = 30° + 2đ?&#x203A;˝ 3(90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;˝) = 30° + 2đ?&#x203A;˝ 270° â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x203A;˝ = 30° + 2đ?&#x203A;˝ 270° â&#x2C6;&#x2019; 30° = 2đ?&#x203A;˝ + 3đ?&#x203A;˝ 240° = 5đ?&#x203A;˝ đ?&#x203A;˝=

240° 5

đ?&#x203A;˝ = 48° Sustituyendo el valor en la ecuaciĂłn despejada para encontrar el otro ĂĄngulo. đ?&#x203A;ź = 90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;˝ đ?&#x203A;ź = 90° â&#x2C6;&#x2019; 48 = 42° S

18. El ĂĄrea del triĂĄngulo de la figura dada es: A. â&#x2C6;&#x161;12 B.

5â&#x2C6;&#x161;39

C.

â&#x2C6;&#x161;12 2

2

D. 1 SoluciĂłn Determinando el valor de c podemos usar el teorema de PitĂĄgoras. đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;82 â&#x2C6;&#x2019; 52 đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;39 Aplicando la fĂłrmula del ĂĄrea de un triĂĄngulo rectĂĄngulo tendremos: đ??´=

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 5â&#x2C6;&#x161;39 = 2 2

19. Los lados de un triĂĄngulo rectĂĄngulo son proporcionales a los nĂşmeros 3, 4 y 5 y tiene un ĂĄrea de 24 m2. Las medidas de sus lados son: A. 13, 12, 10 B. 10, 6, 8 C. 8, 6, 12 D. 6, 10, 14 SoluciĂłn Si a y b son los catetos con c la hipotenusa, entonces podemos determinar la proporcionalidad de cada uno de ellos. đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? = = = đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D; = 3đ?&#x2018;&#x2DC;, đ?&#x2018;? = 4đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;? = 5đ?&#x2018;&#x2DC; 3 4 5 Determinando el ĂĄrea del triĂĄngulo rectĂĄngulo S

𝐴=

24 =

𝑎𝑏 2

3𝑘 × 4𝑘 2

24 × 2 = 12𝑘 2 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 48 𝑘=√ 12 𝑘 = √4 𝑘=2 Sustituyendo el valor de k en 𝑎 = 3𝑘 = 3(2) = 6, 𝑏 = 4𝑘 = 4(2) = 8 𝑦 𝑐 = 5𝑘 = 5(2) = 10 ̅​̅​̅​̅ , 𝐴𝐷 = 𝐷𝐵, 𝐴𝐸 = 𝐸𝐶. Hallar en centímetros BC. 20. Para el ∆𝐴𝐵𝐶, ̅​̅​̅​̅ 𝐷𝐸 ∥ 𝐵𝐶 A. 30 cm B. 25 cm C. 34 cm D. 28 cm Solución ̅​̅​̅​̅ entonces 𝐵𝐶 ̅​̅​̅​̅ = 2𝐷𝐸 ̅​̅​̅​̅ Si ̅​̅​̅​̅ 𝐷𝐸 ∥ 𝐵𝐶 ̅​̅​̅​̅ = 2𝐷𝐸 ̅​̅​̅​̅ 𝐵𝐶 3𝑥 + 6 = 2(2𝑥 − 1) 3𝑥 + 6 = 4𝑥 − 2 6 + 2 = 4𝑥 − 3𝑥 𝑥=8 𝐵𝐶 = 3𝑥 + 6 = 3(8) + 6 = 24 + 6 = 30 S

Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; â&#x2C6;Ľ Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; 21. En la figura, Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??šđ??ş â&#x2C6;Ľ Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??¸đ??ť đ?&#x2018;Śđ??¸đ??ş đ??ˇđ??ť . Los valores de â&#x20AC;&#x153;x e yâ&#x20AC;? son: A. đ?&#x2018;Ľ = 10, đ?&#x2018;Ś = 30 B. đ?&#x2018;Ľ = 20, đ?&#x2018;Ś = 12 C. đ?&#x2018;Ľ = 10, đ?&#x2018;Ś = 20 D. đ?&#x2018;Ľ = 20, đ?&#x2018;Ś = 10 SoluciĂłn: Aplicando el teorema de Tales y la semejanza de triĂĄngulos podemos obtener las siguientes proporciones. đ?&#x2018;Ś 15 = 30 45 đ?&#x2018;Ś=

15 Ă&#x2014; 30 45

đ?&#x2018;Ś = 10 15 đ?&#x2018;Ľ = 45 40 + đ?&#x2018;Ľ 1 đ?&#x2018;Ľ = 3 40 + đ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľ = 40 + đ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = 40 2đ?&#x2018;Ľ = 40 đ?&#x2018;Ľ=

40 2

đ?&#x2018;Ľ = 20 Este ejercicio no tiene inciso de respuesta.

S

22. En la figura, â&#x192;Ąđ??´đ??ľ â&#x2C6;Ľ â&#x192;Ąđ??ˇđ??ś â&#x2C6;Ľ â&#x192;Ąđ??¸đ??š . El valor de x es: A. x=3,5 B. x=1,5 C. x=3 D. x=4,5 SoluciĂłn Aplicando el teorema de Tales đ??´đ??ś đ??śđ??¸ = đ??ľđ??ˇ đ??ˇđ??š 4 7 = 2đ?&#x2018;Ľ + 1 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 5 4(5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 5) = 7(2đ?&#x2018;Ľ + 1) 20đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 20 = 14đ?&#x2018;Ľ + 7 20đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 14đ?&#x2018;Ľ = 7 + 20 6đ?&#x2018;Ľ = 27 đ?&#x2018;Ľ=

27 6

đ?&#x2018;Ľ = 4,5

23. El ĂĄrea del polĂ­gono de la derecha es: A. 70 cm2

S

B.

92 cm2

C.

90 cm2

D.

45 cm2

SoluciĂłn Si desglosamos la figura podemos obtener las siguientes figuras. đ??´đ?&#x2018;Ą = 2đ??´đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;ĄĂĄđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; + đ??´đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;ĄĂĄđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153; đ??´đ?&#x2018;Ą = 2 Ă&#x2014; 15đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; Ă&#x2014; 2,5đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; Ă&#x2014; 7,5đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; đ??´đ?&#x2018;Ą = 75đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2 + 15đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2 đ??´đ?&#x2018;Ą = 90đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;2

24. En un rectĂĄngulo ABCD, AB=20 y BC=15. La distancia del vĂŠrtice A a la diagonal Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??ľđ??ˇ es: A. 12 B. 15 C. 17 D. 21 SoluciĂłn Si aplicamos el teorema de PitĂĄgoras podemos buscar la hipotenusa â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;? 2 Sustituyendo en la fĂłrmula de la altura. â&#x201E;&#x17D;=

â&#x201E;&#x17D;=

S

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;? 2 15 Ă&#x2014; 20 â&#x2C6;&#x161;152 + 202

=

300 = 12 25

25. Javier tiene un terreno rectangular cuyo perĂ­metro es de 64 m y la diferencia entre las medidas del ancho y el largo es de 6 m. Las dimensiones del terreno son: A. 19 m, 13 m B. 25 m, 7 m C. 20 m, 12 m D. 14 m, 36 m SoluciĂłn Si el perĂ­metro es de 64 m podemos emplear la fĂłrmula đ?&#x2018;&#x192; = 2(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x153; + đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x153;) 64 = 2(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6 + đ?&#x2018;Ľ) 64 = 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6 2 32 + 6 = 2đ?&#x2018;Ľ 38 =đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľ = 19 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6 = 19 â&#x2C6;&#x2019; 6 = 13 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x153; 26. Sea ABCD un rectĂĄngulo con ĂĄrea igual a 36 u2. Los puntos E, F, G son los puntos medios de los lados donde se localizan. El ĂĄrea del â&#x2C6;&#x2020;đ??¸đ??šđ??ş es: A. 7 đ?&#x2018;˘2 B. 8 đ?&#x2018;˘2 C. 9 đ?&#x2018;˘2 D. 10 đ?&#x2018;˘2

S

SoluciĂłn Si trasponemos ĂĄrea sombreada podremos observar que el ĂĄrea a calcular

es

Âź

del

ĂĄrea

del

rectĂĄngulo, asĂ­ que 1

đ??´đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2020; = 4 (36đ?&#x2018;˘2 ) = 9đ?&#x2018;˘2 27. Una cabra se amarra en la esquina de una bodega mediante una cuerda de 12 metros de longitud (ver figura). El exterior de la bodega posee abundante pasto y la cabra permanece por un tiempo suficiente, de modo que le permita comer todo el pasto que estĂĄ a su alcance. El ĂĄrea de la superficie de pasto que se comiĂł es: A. 118 đ?&#x153;&#x2039; B. 142 đ?&#x153;&#x2039; C. 100 đ?&#x153;&#x2039; D. 100 đ?&#x153;&#x2039; SoluciĂłn La cabra se moverĂĄ formando ž parte de un cĂ­rculo de radio 12 m y despuĂŠs formando Âź parte de un cĂ­rculo con radio de 6 m y 2 m, como se muestra en la figura.

Por lo tanto el ĂĄrea de la superficie de pasto que se comiĂł es: đ??´=

3 1 1 Ă&#x2014; đ?&#x153;&#x2039; Ă&#x2014; (12 đ?&#x2018;&#x161;)2 + Ă&#x2014; đ?&#x153;&#x2039; Ă&#x2014; (6 đ?&#x2018;&#x161;)2 + Ă&#x2014; đ?&#x153;&#x2039; Ă&#x2014; (2 đ?&#x2018;&#x161;)2 4 4 4 đ??´ = 108đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x161;2 + 9đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x161;2 + 1đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x161;2 = 118đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x161;2

S

28. Un jardĂ­n de forma circular necesita ser dividido en dos zonas: una para el cĂŠsped y otra para plantar flores. La zona de las flores debe ser un tercio del jardĂ­n, y para protegerla, se necesita cerrar esta ĂĄrea con una malla que tiene un costo de $ 2,5 por metro. Si el radio del cĂ­rculo mide 20 m, el costo de cerrar el terreno destinado a las flores en dĂłlares es: A. 114,21 B. 204,72 C. 321,81 D. 189,31 SoluciĂłn Podemos calcular el perĂ­metro de todo el jardĂ­n y dividirlo entre 3 luego sumamos los dos radios lo cual nos darĂĄ el perĂ­metro de las flores đ?&#x2018;&#x192;đ??šđ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; =

1 1 40 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;đ??˝đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018;Ă­đ?&#x2018;&#x203A; + 2đ?&#x2018;&#x; = Ă&#x2014; 2đ?&#x153;&#x2039; Ă&#x2014; 20 đ?&#x2018;&#x161; + 2 Ă&#x2014; 20 đ?&#x2018;&#x161; = ( đ?&#x153;&#x2039; + 40) đ?&#x2018;&#x161; 3 3 3

Costo de cerrar el terreno destinado para las flores es: đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153; = $2,5 Ă&#x2014; (

40 đ?&#x153;&#x2039; + 40) = $ 204,719 â&#x2030;&#x2C6; $ 204,72 3

29. El lado mayor del rectĂĄngulo de la figura mide 20 m. La curva trazada en su interior estĂĄ formada por cinco semicircunferencias. La longitud de la curva es; A. 12 đ?&#x153;&#x2039; B. 10 đ?&#x153;&#x2039; C. 7 đ?&#x153;&#x2039; D. 21 đ?&#x153;&#x2039; SoluciĂłn Calculemos el diametro de las semicircunferencias S

5đ?&#x2018;&#x2018; = 20 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x2018;=

20 đ?&#x2018;&#x161; 5

đ?&#x2018;&#x2018; =4đ?&#x2018;&#x161; Si juntamos las 5 semicircunferencias podemos ver que son 2,5 circunferencias. đ?&#x2018;&#x192;đ??śđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D; = 2,5 Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D; = 2,5 Ă&#x2014; đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D; = 2,5 Ă&#x2014; đ?&#x153;&#x2039;(4 đ?&#x2018;&#x161;) đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D; = 10 đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x161; Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; es un diametro de la 30. Sea el triangulo rectangulo isosceles ABC. Si đ??´đ??ś circunferencia y su longitud es â&#x2C6;&#x161;60, entonces el ĂĄrea del triĂĄngulo ABC es: A. 11 đ?&#x2018;˘2 B. 17 đ?&#x2018;˘2 C. 15 đ?&#x2018;˘2 D. 31 đ?&#x2018;˘2 SoluciĂłn Si aplicamos el teorema de Pitagoras đ?&#x2018;&#x2018;2 = đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ 2 = 2đ?&#x2018;Ľ 2 2

(â&#x2C6;&#x161;60) = 2đ?&#x2018;Ľ 2 60 = đ?&#x2018;Ľ2 2 đ?&#x2018;Ľ 2 = 30

Si determinamos el ĂĄrea del triĂĄngulo rectĂĄngulo serĂ­a: đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ Ă&#x2014; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ 2 30 đ??´= = = = = 15 đ?&#x2018;˘2 2 2 2 2 S

Ě&#x201A; = 130°, đ?&#x2018;&#x161;đ??ˇđ??ľ Ě&#x201A; = 65°. Los valores de đ?&#x2018; , đ?&#x203A;ź, đ?&#x203A;˝ đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;Ąđ?&#x2018;&#x192; Ě&#x201A; = 115°, đ?&#x2018;&#x161;đ??´đ??ś 31. En la figura, đ?&#x2018;&#x161;đ??´đ??ľ son: A. đ?&#x2018; = 50°, đ?&#x203A;ź = 65°, đ?&#x203A;˝ = 90°, đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;Ąđ?&#x2018;&#x192; = 40° B. đ?&#x2018; = 65°, đ?&#x203A;ź = 60°, đ?&#x203A;˝ = 70°, đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;Ąđ?&#x2018;&#x192; = 45° C. đ?&#x2018; = 50°, đ?&#x203A;ź = 90°, đ?&#x203A;˝ = 65°, đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;Ąđ?&#x2018;&#x192; = 40° D. đ?&#x2018; = 45°, đ?&#x203A;ź = 65°, đ?&#x203A;˝ = 35°, đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;Ąđ?&#x2018;&#x192; = 100° SoluciĂłn Si ubicamos las medidas de los arcos en la grĂĄfica tendrĂ­amos.

Sabemos que una circunferencia tiene 360°, asĂ­ podemos determinar el arco s. Ě&#x201A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ??ˇđ??ľ Ě&#x201A; Ě&#x201A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ??´đ??ś đ?&#x2018; = 360° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ??´đ??ľ đ?&#x2018; = 360° â&#x2C6;&#x2019; 130° â&#x2C6;&#x2019; 115° â&#x2C6;&#x2019; 65° đ?&#x2018; = 50° Determinamos la medida de â&#x2C6;Ąđ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;Ąđ?&#x2018;&#x192; =

đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;Ąđ?&#x2018;&#x192; =

Ě&#x201A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ??śđ??ˇ Ě&#x201A; đ?&#x2018;&#x161;đ??´đ??ľ 2

130° â&#x2C6;&#x2019; 50° 80° = 2 2

đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;Ąđ?&#x2018;&#x192; = 40° đ?&#x203A;ź=

Ě&#x201A; đ?&#x2018;&#x161;đ??´đ??ľ 130° = 2 2 đ?&#x203A;ź = 65°

đ?&#x203A;˝=

Ě&#x201A; + đ?&#x2018;&#x161;đ??śđ??ˇ Ě&#x201A; đ?&#x2018;&#x161;đ??´đ??ľ 130° + 50° 180° = = 2 2 2 đ?&#x203A;˝ = 90°

S

32. El polĂ­gono de la figura tiene sus lados congruentes de longitud 8, sus lados consecutivos son perpendiculares y los ocho vĂŠrtices estĂĄn sobre la circunferencia. El ĂĄrea de la regiĂłn sombreada es aproximadamente: A. 202,75 đ?&#x2018;˘2 B. 180 đ?&#x2018;˘2 C. 182,65 đ?&#x2018;˘2 D. 292,33 đ?&#x2018;˘2 SoluciĂłn Si sacamos la diagonal que serĂĄ el diĂĄmetro de la circunferencia, la cual la determinamos por el teorema de PitĂĄgoras. đ??´đ??ś = đ?&#x2018;&#x2018;, đ??´đ??ľ = 24, đ??´đ??ś = 8 đ??ľđ??ś 2 = đ??´đ??ľ 2 + đ??´đ??ś 2 đ?&#x2018;&#x2018; 2 = 242 + 82 đ?&#x2018;&#x2018; 2 = 640 Determinando el ĂĄrea del cĂ­rculo. đ??´=

đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x153;&#x2039;(640) = = 160đ?&#x153;&#x2039; 4 4

Determinando el ĂĄrea de los cuadrados. đ??´ = đ?&#x2018;&#x2122; 2 Ă&#x2014; 5 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ??´ = 82 Ă&#x2014; 5 = 320 Ă rea de la regiĂłn sombreada=ĂĄrea del circulo â&#x20AC;&#x201C;ĂĄrea de los cuadrados. đ??´đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2020; = 160đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;&#x2019; 320 = 182,65 đ?&#x2018;˘2

S

33. La arista de un cubo cuya ĂĄrea total es 300 cm2 es: A. 5â&#x2C6;&#x161;2 B. 2â&#x2C6;&#x161;2 C. 5â&#x2C6;&#x161;3 D. â&#x2C6;&#x161;3 SoluciĂłn El ĂĄrea total de un cubo es đ??´đ?&#x2018;&#x2021; = 6đ?&#x2018;&#x17D;3 sustituyendo nos queda: 300 = 6đ?&#x2018;&#x17D;2 300 = đ?&#x2018;&#x17D;2 6 50 = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 = â&#x2C6;&#x161;50 đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;&#x161;52 Ă&#x2014; 2 đ?&#x2018;&#x17D; = 5â&#x2C6;&#x161;2 34. El ĂĄrea total de un prisma cuya base es un triĂĄngulo equilĂĄtero para el cual su lado mide 8 cm y la arista lateral es 12 cm es: A. 22â&#x2C6;&#x161;3 B. 288 + 32â&#x2C6;&#x161;3 C. 8 + 32â&#x2C6;&#x161;3 D. 200 + 32â&#x2C6;&#x161;3 SoluciĂłn El ĂĄrea de la base serĂ­a el ĂĄrea de un triĂĄngulo equilĂĄtero. đ?&#x2018;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x161;3 82 â&#x2C6;&#x161;3 64â&#x2C6;&#x161;3 đ??´đ??ľ = = = = 16â&#x2C6;&#x161;3 4 4 4

S

El ĂĄrea lateral lo forma tres rectĂĄngulos es: đ??´đ??ż = 3 Ă&#x2014; đ?&#x2018;? Ă&#x2014; â&#x201E;&#x17D; = 3 Ă&#x2014; 8 Ă&#x2014; 12 = 288 Ă rea total đ??´đ?&#x2018;&#x2021; = đ??´đ??ľ + đ??´đ??ż = 16â&#x2C6;&#x161;3 + 288 35. El ĂĄrea lateral y total de una pirĂĄmide regular de base un triĂĄngulo equilĂĄtero sabiendo que el lado de la base mide 10 m y la altura de la pirĂĄmide 20 m, es aproximadamente: A. 446,3 m2 B. 326,3 m2 C. 343,3 m2 D. 346,3 m2 SoluciĂłn Haciendo la pirĂĄmide regular de base un triĂĄngulo equilĂĄtero tendremos la siguiente figura.

Podremos determinar el valor de â&#x20AC;&#x153;bâ&#x20AC;? que nos ayudara a encontrar la apotema â&#x20AC;&#x153;apâ&#x20AC;? del lado de un triĂĄngulo lateral que nos ayudara para el ĂĄrea lateral. tan30° =

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? = 5đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;30° = 2,8867 â&#x2030;&#x2C6; 2,9 đ?&#x2018;&#x161; 5

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?2 = đ?&#x2018;? 2 + â&#x201E;&#x17D;2 = 2,92 + 202 = 408,41 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;408,41 = 20,2091 â&#x2030;&#x2C6; 20 đ?&#x2018;&#x161; đ??´đ??ż =

đ?&#x2018;&#x2122; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?

10 đ?&#x2018;&#x161; Ă&#x2014; 20 đ?&#x2018;&#x161; Ă&#x2014;3= Ă&#x2014; 3 = 300 đ?&#x2018;&#x161;2 2 2

đ??´đ??ľ =

đ?&#x2018;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x161;3 (10 đ?&#x2018;&#x161;)2 â&#x2C6;&#x161;3 = = 25â&#x2C6;&#x161;3đ?&#x2018;&#x161;2 = 43,3012đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2030;&#x2C6; 43.3 đ?&#x2018;&#x161;2 4 4

đ??´đ?&#x2018;&#x2021; = đ??´đ??ż + đ??´đ??ľ = 300 đ?&#x2018;&#x161;2 + 43,3 đ?&#x2018;&#x161;2 = 343,3 đ?&#x2018;&#x161;2 S

36. El ĂĄrea total de un cilindro es 366 m2 y su altura es el triple del radio de su base. El volumen del cilindro es aproximadamente: A. 522,82 cm3 B. 522,28 cm3 C. 523,82 cm3 D. 523,76 cm3 SoluciĂłn El ĂĄrea total đ??´đ?&#x2018;&#x2021; = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;(â&#x201E;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x;) = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;(3đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;&#x;) = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;(4đ?&#x2018;&#x;) = 8đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 366 = 8đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 366 = đ?&#x2018;&#x;2 8đ?&#x153;&#x2039; 366 đ?&#x2018;&#x;=â&#x2C6;&#x161; 8đ?&#x153;&#x2039; El volumen es: 3

366 đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 (3đ?&#x2018;&#x;) = 3đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 3 = 3đ?&#x153;&#x2039; (â&#x2C6;&#x161; ) = 523,76đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 8đ?&#x153;&#x2039; 37. En un cono recto cuya altura mide 6 unidades, la mediatriz de una de sus generatrices intercepta a la altura tal que el segmento de mediatriz determinado mide 2 unidades. El ĂĄrea lateral del cono es: A. 4đ?&#x153;&#x2039; B. 18đ?&#x153;&#x2039; C. 2đ?&#x153;&#x2039; D. 24đ?&#x153;&#x2039; SoluciĂłn S

Por teorema de semejanza podemos determinar que: 6 đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x201D; = 2 = đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;) â &#x201E;2 Tomando 6 đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;&#x201D; = 2 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 6 Ă&#x2014; 2 = đ?&#x2018;&#x; Ă&#x2014; 2 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201D; = 12 Ă&#x2014; 2 = 24 â &#x201E;2 Ahora podemos determinar el ĂĄrea lateral del cono đ??´đ??ż = đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x153;&#x2039;(24) = 24đ?&#x153;&#x2039; 38. El volumen de la porciĂłn cĂłnica de un helado si la altura es de 7 cm y el radio de la base 4 cm es: A. 117,28 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 B. 12,8 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 C. 211,28 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 D. 29,2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 SoluciĂłn AquĂ­ aplicamos el volumen de un cono. đ?&#x2018;&#x2030;=

S

đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 â&#x201E;&#x17D; đ?&#x153;&#x2039;(4 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;)2 (7 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;) = = 117,2861 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 â&#x2030;&#x2C6; 117,28 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;3 3 3

39. Una piscina tiene 80 pies de largo y 30 pies de ancho. El fondo de la piscina es ligeramente inclinado de manera uniforme. En un extremo tiene 3 pies de profundidad y el otro extremo tiene 9 pies de profundidad. ÂżCuĂĄntos galones de agua son necesarios para llenarla? (1 pie cĂşbico equivale a 6,25 galones) A. 2304 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; B. 2400 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; C. 5600 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; D. 7200 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; SoluciĂłn Podemos sacar el volumen de un prisma rectangular de altura 3 pies y otro de altura 6 pies pero lo vamos a dividir entre dos ya que solo es la mitad del prisma, como si lo tuviĂŠramos completo. đ?&#x2018;&#x2030; = đ??´đ??ľ â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2030; =đ?&#x2018;&#x2122;Ă&#x2014;đ?&#x2018;&#x17D;Ă&#x2014;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2030; = 80 Ă&#x2014; 30 Ă&#x2014; 3 +

80 Ă&#x2014; 30 Ă&#x2014; 6 2

đ?&#x2018;&#x2030; = 7200 + 7200 = 14400 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; 3 Ahora para convertir los pies cĂşbicos a galones haremos una conversiĂłn por medio de regla de tres directa.

Pies cĂşbicos Galones 1

6,25

14400

x đ?&#x2018;Ľ=

14400 Ă&#x2014; 6,25 = 90000 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; 1

Para que nos pueda dar la respuesta deberĂ­a estar de esta forma 6.25 galones equivale a un pie cĂşbico. Este ejercicio fue tomado del Examen de la UNI, Tipo S

A, AĂąo 2011, ejercicio #19; que precisamente esta mal formulado, en la parte de la conversiĂłn. Para que nos dĂŠ serĂ­a asĂ­: Pies cĂşbicos Galones

đ?&#x2018;Ľ=

6,25

1

14400

x

14400 Ă&#x2014; 1 = 2304 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; 6,25

40. La Luna es el Ăşnico satĂŠlite natural de la Tierra y su radio es de 1734,4 km.

Asumiendo de que este es un cuerpo esfĂŠrico, el valor de la superficie lunar y el volumen respectivo es aproximadamente: A. 37 801 532,71 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;2 ; 21 854 116 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;3 B. 21 854 116 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;2 ; 37 801 532,71 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;3 C. 7 812 632,71 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;2 ; 724 326 116 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;3 D. 41 801 112,71 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;2 ; 924 126 227 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;3 SoluciĂłn Aplicando las fĂłrmulas de ĂĄrea y volumen de una esfera en la luna con radio 1734,4 km y tomando el valor de pi como 3,1416.

4 đ??´ = 4đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 3 3 đ??´ = 4(3,1416)(1734,4 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;)2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2030; =

4 đ?&#x153;&#x2039;(1734,4)3 3

đ??´ = 37 801 532,719104 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2030; = 21 854 326 116,004658 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;3 Tomando la respuesta con decimales truncado tendrĂ­amos đ??´ = 37 801 532,71 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2030; = 21 854 326 116,00 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;3

S