FORMAÇÃO
o electricista
revista técnico-profissional
26
Jorge Castilho Cabrita Engenheiro Electrotécnico (IST)/Professor do Ensino Secundário
lições
LIÇÕES DE ELECTRICIDADE {CAPÍTULO II . corrente contínua 23º. PARTE
Análise de circuitos (Teorema de Norton; Teorema de Millman; Princípio da Sobreposição; Leis de Kirchhoff).
Conclui-se a análise de circuitos com o estudo de mais métodos específicos para cada tipo de utilização. 56.2› TEOREMA DE NORTON1 O teorema de Norton permite-nos substituir um esquema de um circuito por um esquema equivalente constituído por um gerador de corrente em paralelo com a resistência equivalente do circuito.
Determina-se o valor de IN, no circuito equivalente, medindo a corrente que percorre um amperímetro intercalado entre os pontos A e B (equivale a fazer um curto-circuito entre A e B) (figura 211).
corrente e mede-se a resistência entre A e B com um ohmímetro (figura 213). Aplicando o mesmo procedimento no circuito original (figura 214) obtém-se RN = R1 + R2.
I = I1 + I N IN = I – I 1 U I1 1 R1 U1 = R2 . IN U R IN I 1 I 2 IN R1 R1
Vejamos como determinar as características deste circuito equivalente através da resolução de um exemplo prático (figuras 209 e 210).
§ R2 · R1 ¸¸ I N I I N ¨¨1 I R R 1 ¹ 1 R2 ©
Figura 214 . Circuito original: determinação de RN.
Conclui-se que para determinar a corrente equivalente de Norton, se curto-circuita o circuito original. A corrente de curto-circuito é a corrente equivalente. Para determinar a resistência equivalente de Norton, abremse os ramos do circuito original com fontes de corrente. A resistência aos terminais do circuito é a resistência equivalente.
Figura 209 . Circuito original.
Figura 212 . Circuito original: determinação de IN.
56.3› TEOREMA DE MILLMAN3 O teorema de Millman permite determinar a tensão aos terminais de vários ramos em paralelo a partir do quociente entre a soma dos produtos das f.e.m. de cada ramo pela sua condutância e a condutância total (soma das condutâncias equivalentes de cada ramo).
Figura 210 . Circuito equivalente de Norton.
Figura 213 . Circuito equivalente: determinação de RN. 3
Figura 211 . Circuito equivalente: determinação de IN.
Para determinar o valor de RN no circuito equivalente, abre-se o ramo2 da fonte de
Lê-se “mílman”. Jacob Millman nasceu na Rússia em 1911 e
formou-se no M.I.T. (Massachusets Institute of Technology) em 1935. Escreveu oito livros de electrónica entre 1941 e 1987 e foi professor de engenharia electrotécnica na Uni-
1
Lê-se “nóten”. Ver Nota Biográfica “Norton” em o electricista 23.
2
Ramo é um troço de circuito entre dois nós.
versidade de Columbia.
o electricista
LIÇÕES DE ELECTRICIDADE
revista técnico-profissional
33
R 3E1 R 3E 2 2 R 1E 2 2 R 1E 3 R 2 E1 R 2 E 3 I1 R 1R 2 R 3R 1 R 3R 2 R 3 E1 R 3 E 2 R 1E 2 R 1E 3 I2 R 1R 2 R 3 R 1 R 3 R 2 I3
R 2 E1 R 1 E 2 R 1 E 3 R 2 E 3 R 1R 2 R 3 R 1 R 3 R 2
Vamos determinar os valores das correntes, considerando os mesmos valores das resistências e das fontes de tensão usados no exemplo do Princípio da Sobreposição: R1 = 100 Ω ; R2 = 200 Ω ; R3 = 300 Ω ; E1 = 100 V ; E2 = 200 V ; E3 = 300 V.
I1
300 100 300 200 200 100 200 300 50000 0, ( 45) A 110000 100 200 300 100 300 200
I2
300 100 300 200 100 200 100 300 140000 1, (27) A 100 200 300 100 300 200 110000
I3
200 100 100 200 100 300 200 300 90000 0, (81) A 100 200 300 100 300 200 110000
Comparando estes valores com os obtidos usando o Princípio da Sobreposição verifica-se que são praticamente iguais. Chama-se a atenção de que este é um processo para resolver o sistema de equações, mas não é o único. Bibliografia [1] Millman’s Theorem – Harold Hallikainen
exercícios RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NO NÚMERO ANTERIOR EXERCÍCIO 37
R
UR I
UR = IV . RV
IV
U Ri I RV
U 9 9 100010 900090 0,82 A R R 10 5 10 100010 10 6 1100010 Ri V 1 5 RV R 10 10 9 1 0,82 8,18 5 IV 8 , 18 10 A 10 5 10 5 UR = 8,18 . 10 –5 . 105 = 8,18 V 8,18 R 9,98 0,82 erro absoluto = 10 – 9,98 = 0,02 2 0,02 erro relativo r 100 % % 0,2 % 10 10 I
U Ri RV R
EXERCÍCIO 38
E = Ri I + U => 200 = Ri . 100 + 195 => => Ri = (200-195)/100 = 5 / 100 = 0,05 U’ = E – Ri I’ = 200 – 0,05 . 180 = 200 – 9,00 = 191 V EXERCÍCIO 39
U = E – Ri I = 110 – 1 . 10 = 100 V U 100 e 100% 91% E 110 EXERCÍCIO 40
E = 3 . e = 3 . 2 = 6V Ri = 3 . ri = 3 .1 = 3 I=i=1A EXERCÍCIO 41
E = e = 2V r 1 Ri = i = 3 3 I = 3 . i = 3 .1 = 3 A
EXERCÍCIO 42
E = 3 . e = 3 . 2 = 6V R 3 1 Ri i 1,5 2 2 I = 2 . i = 2 .1 = 2 A EXERCÍCIO 43
220 220 12,2 A => P 8 . 12,2 2 = 1190 W 10 8 18 220 220 I 11 A => P 10 . 11 2 = 1210 W 10 10 20 220 220 I 10 A => P 12 . 10 2 = 1200 W 10 12 22 I
EXERCÍCIO 44
Cálculo de VTH (tensão em vazio entre o ponto A e a massa) 15 15 I 0,3 mA R 3 R 1 10 40 VTH = R1 I = 40 . 0,3 = 12 V Cálculo de RTH (curto-circuitar fonte de tensão) R R 40 10 400 R TH R 1 R 3 1 3 8 k R 1 R 3 40 10 50
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Solução no próximo número) EXERCÍCIO 45: Converter o esquema equivalente de Thévenin (figura 250) com os valores ETH = 80 V, RTH = 80 Ω e R3 = 400 Ω usados no ponto 56.1, no esquema equivalente de Norton (figura 256), determinando os valores de IN e RN. Em seguida, usar o esquema equivalente de Norton para determinar o valor de I3 em R3 e comparar com o valor obtido no ponto 56.1 usando o teorema de Thévenin. EXERCÍCIO 46: Determinar os valores de I1, I2 e I3 no circuito representado pelo esquema da figura 267 aplicando as leis de Kirchhoff. Os valores dos componentes são: R1 = 100 Ω ; R2 = 200 Ω ; R3 = 300 Ω ; E1 = 100 V ; E2 = 200 V ; E3 = 300 V. Substitua estes valores nas equações logo no início da resolução. Compare os resultados obtidos com os calculados no ponto 56.5.