Curvas Paramétricas Y Polares

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARCIAL 1 TALLER Nro. 1 TEMA: CURVAS PARAMÉTRICAS Y POLARES NRC: 3246 Nombres: 1.Chango Oscar 2. Parreño Peter 3.Velasco Juan 4. Zuñiga Luis Fecha de entrega: sábado 19 de junio 2021

ÁLGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

Contenido 1.

Introducción ........................................................................................................................ 2

2.

Objetivos ............................................................................................................................. 2

3.

Desarrollo ............................................................................................................................ 2

4.

TALLER.............................................................................................................................. 5

5.

Conclusiones y recomendaciones...................................................................................... 19

6.

Bibliografía........................................................................................................................ 20

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1. Introducción Durante el primer parcial se va a trabajar con variedad temas con derivadas en las diferentes ecuaciones o representación de ecuaciones con graficas en la aplicación de apoyo GeoGebra en las que se debe emplear diferentes técnicas y conceptos para la resolución de problemas propuestos por la ingeniera a cargo de la asignatura.

2. Objetivos Resolver problemas utilizando el conocimiento de las curvas paramétricas y polares para de esta manera poder graficar respuestas coherentes.

Graficar cualquier tipo de ecuación utilizando el programa de ayuda GeoGebra a partir de un problema propuesto para de esta manera identificar y reconocer el tipo de curva que nos da como resultado.

3. Desarrollo CURVAS PARAMÉTRICAS Y POLARES Curvas paramétricas. – Las ecuaciones paramétricas permiten representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.

Imaginemos un objeto que se mueve en un plano y, a medida que transcurre el tiempo, describe un camino como el representado por la curva

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y = F(x), sabemos que las coordenadas x e y de la posición de la partícula dependen del instante de tiempo t. Por lo tanto existirán funciones f y g de la variable o parámetro t, tales que x = f(t) e y = g(t). Este par de ecuaciones, que muchas veces es una forma conveniente para describir una curva, se llama ecuaciones paramétricas de la curva en el plano: x = f(t) y = g(t) 2-1 Cada valor de t determina un punto (x, y) en el plano. Cuando t varía (en un intervalo de números reales), el punto (x, y) = (f(t), g(t)) se mueve generando una curva en el plano. x = f(t) y = g(t) EJEMPLO : Las ecuaciones paramétricas

con (t) real, definen una curva plana.

Describir y graficar la curva para los siguientes casos: a) si t ∈ (−∞, +∞); b) si t ∈ [0, 4].

En este ejemplo tenemos f(t) = t 2 − 2t, g(t) = t + 1. a) A cada valor del parámetro t ∈ R, le corresponde un punto sobre la curva.

Por ejemplo, para t = 0 se tiene x = f(0) = 0 e y = g(0) = 1, o sea que el punto de la curva correspondiente a t = 0 es (0, 1).

Podemos así evaluar x e y para varios valores del parámetro, por ejemplo, asignar a t los valores −2, −1, 1, 2, 3, 4, y luego situar los puntos (x, y) = (f(t), g(t)) en el plano. Si unimos estos puntos para producir una curva continua obtenemos 2(a), en la que las flechas indican el sentido en el que se van generando los puntos de la curva a medida que t aumenta su valor (indique el valor

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de t que corresponde a cada punto marcado en la curva). (Universidad Nacional de la Plata, 2014)

El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geometricamenre describen un rectangulo si hacemos que este punto represente un vector ma magnitud r que parte desde el origen y que tiene un angulo de giro ϴ, tendriamos otra forma de definir un punto. (Villena, 2016)

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4. TALLER A continuación, presentaremos unos ejemplos acerca de curvas polares:

Lemniscatas 1. 𝒓𝟐 = 𝟒𝐜𝐨𝐬⁡(𝟐𝜽)

2. 𝒓𝟐 = 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽

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3. 𝒓𝟐 = −𝒔𝒆𝒏𝜽⁡

4. 𝒓𝟐 = −𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

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5. 𝑪𝒂𝒓𝒅𝒊𝒐𝒊𝒅𝒆⁡𝒓 = −𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽

𝑑𝑖𝑜𝑖𝑑𝑒⁡𝑟 = −1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃⁡

6. 𝑪𝒂𝒓𝒅𝒊𝒐𝒊𝒅𝒆⁡𝒓 = −𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽

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Rosas 1.

2.

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Limacones con lazo interior

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Cardioides

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Limacones con concavidades

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Limacones Ovalados

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Una rosa dentro de una rosa Grafique la ecuación r = 1 - 2sen3ϴ {

𝑥 = 1 − 2⁡𝑠𝑒𝑛(3𝜃)cos⁡(𝜗) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝑦 = 1 − 𝑠𝑒𝑛(3𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)

La Negroide de Freeth Grafique la ecuación: 𝒓 = 𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏

𝜽 𝟐

𝜽 𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝒄𝒐𝒔(𝜽) 𝟐 { ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅 𝜽 𝒚 = 𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 𝟐

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Rosas Grafique las rosas 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝑚𝜃 para m = 1/3,2,3 y 7 𝜽

a) 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 (𝟑) 𝜃 𝑥 = cos ( ) cos⁡(𝜃) 3 { ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝜃 𝑦 = cos ( ) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 3

b) 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬⁡(𝟐𝜽) {

𝑥 = cos(2𝜃) cos⁡(𝜃) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝑦 = cos(2𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

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c) 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬⁡(𝟑𝜽) {

𝑥 = cos(3𝜃) cos⁡(𝜃) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝑦 = cos(3𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

d) 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬(𝟕𝜽) {

𝑥 = cos(7𝜃) cos⁡(𝜃) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝑦 = cos(7𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

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Espirales 1. 𝒓 = ⁡𝜽

2. 𝒓 = ⁡ −𝜽

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Espiral Logarítmica 3. 𝒓 = 𝒆

𝜽 ⁡ 𝟏𝟎

Espiral Hiperbólica 𝟖

4. 𝒓 = 𝜽

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Hipérbola Equilátera 5. 𝒓 = ±𝟏𝟎/√𝜽⁡⁡

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Grafique la ecuación 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 (7 𝜃) 𝑝𝑎𝑟𝑎⁡0 ≤ 𝜃 ≤ 14𝜋 8 𝑥 = sen ( 𝜃) cos⁡(𝜃) 7 { ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝜃 ≤ 14𝜋 8 𝑦 = sen ( 𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 7

Grafique la ecuación:

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𝑟 = 𝑠𝑒𝑛2 (2.3𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 4 (2.3𝜃)⁡𝑝𝑎𝑟𝑎⁡0 ≤ 𝜃 ≤ 10𝜋⁡ {

𝑥 = sen2 (2.3𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 4 (2.3𝜃) cos⁡(𝜃) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝜃 ≤ 10𝜋 𝑦 = sen2(2.3𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 4 (2.3𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

5. Conclusiones y recomendaciones Como conclusión podemos llegar a definir que el conocer los temas de curvas paramétricas y polares nos puede dar solución a diferentes problemas que se nos pueda presentar en la vida diaria como ya sea el expresar en forma correcta las expresiones para su posterior graficación debido a que si no podemos expresar la formula correcta en el sistema de grafica que utilicemos obviamente la gráfica no va hacer correcta y simplemente nos daría un error de sistema porque si tenemos claro de cómo debe ser representada o de como el sistema de grafica puede entender el ejercicio podemos realizar cualquier tipo de grafica o expresión que se nos presente en la vida diaria o en algún tipo de ejercicio propuesto por un docente un superior en la asignatura.

Por lo que es recomendable saber reconocer el tipo de expresión que tenemos para trabajar o graficar y por ende el procedimiento o el paso que debemos seguir para poder realizar el grafico o expresar en la forma correcta para que el sistema nos dé una gráfica coherente o respectiva a la función presentada, también es recomendable saber los diferentes procedimientos para la resolución de ecuaciones paramétricas y polares en distintos tipos de ecuaciones o problemas presentados.

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6. Bibliografía Universidad Nacional de la Plata. (2014). ANALISIS MATEMATICO II. Obtenido de http://www.mate.unlp.edu.ar/practicas/54_2_31082015133134.pdf Villena, M. (2016). Coordenadas Polares . Obtenido de Coordenadas Polares : https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/5241/4/Precalculo%20de%20V illena%20-%2004%20-%20Coordenadas%20Polares.pdf

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