PRODUCTOS NOTABLES
(a + b)
a
b
(a + b)
b a
b2
ab
(a + b)2
ab
a2
a2+2ab+b2
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a.a +a.b +b.a +b.b = a2+2ab +b2
Cuadrado de un binomio
(a + b ) = a + 2ab + b (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 2
2
2
Cuadrado de un trinomio
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Suma y diferencia de cubos
( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b3 ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b3 Producto de binomios con un término común
(a + b ) ⋅ (a + c ) = a 2 + (b + c )a + bc Suma por diferencia (Diferencia de cuadrados)
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
( a 2 + b + 1)( a 2 − b + 1) = a 4 + b 2 + 1
(a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 ) = a4 + a2b2 + b4
Cubo de un binomio
( a + b) (a − b)
3
3
Identidad de Argand
= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
Identidades de Legendre
= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
( a + b ) 2 + ( a − b ) 2 = 2( a 2 + b 2 ) ( a + b) 2 − (a − b) 2 = 4ab
Cuadrado de un trinomio
( a + b + c)
2
= a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
( a − b − c)
2
= a + b + c − 2ab − 2ac + 2bc 2
2
2
Identidades de Lagrange
(ax + by)2 + (ay − bx) 2 = (a 2 + b2 )( x 2 + y 2 )
Lic. Carlos Gamonal
Taller de Álgebra Básica Simplificación de Expresiones Algebraicas
Simplificar 1. E = ( x + 1)( x − 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1) Solución:
= ( x + 1)( x − 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1) = ( x 2 − 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1) Diferencia de cuadrados
= ( x 4 − 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1)
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
= ( x − 1)( x + 1) 8
8
= x 16 + 1 2. E = ( y − k )( y + k )( y 2 + ky + k 2 )( y 2 − ky + k 2 ) Solución:
Agrupando : = ( y − k )( y 2 + ky + k 2 )( y + k )( y 2 − ky + k 2 ) = ( y3 − k 3 )( y3 + k ) = y −k 6
Suma y diferencia de cubos : (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3
3
(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3
6
Diferencia de cuadrados :
3. E = ( x + 1) 2 ( x − 2) 2 − ( x − 5) 2 ( x + 4) 2 − 36( x 2 − x ) Solución:
= [( x + 1)( x − 2) ] − [( x − 5)( x + 4) ] − 36 ( x 2 − x ) 2
[
2
] [
]
2
2
= x 2 − x − 2 − x 2 − x − 20 − 36 ( x 2 − x ) Re emplazando : x 2 − x = y = [y − 2 ] − [y − 20 ] − 36 y 2
Pr opiedad : (ab) 2 = a 2 b 2 Binomio al cuadrado :
2
[
] [
]
= y 2 − 4 y + 4 − y 2 − 40 y + 400 − 36 y = 36 y − 396 − 36 y = −396
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
4. E = ( x + 2) 2 ( x − 1) 2 − ( x + 1) 2 ( x − 2) 2 Solución:
= [( x + 2)( x − 1)] − [( x + 1)( x − 2)] 2
[ = [x
] [ − 2 + x ] − [x
2
2
] − 2 − x]
= x2 + x − 2 − x2 − x − 2
2
2
2
2
2
Identidad de Legendre : (a + b) 2 − (a − b) 2 = 4ab
= 4 x ( x 2 − 2) 5. E = ( x y + x − y )( x y − x − y )( x 4 y + 1 + x −4 y ) Solución:
= ( x 2 y − x −2 y )( x 4 y + 1 + x −4 y ) = ( x 2 y − x − 2 y )( x 4 y + 1 + x − 4 y )
Diferencia de cuadrados
= x 6y − x −6y
Diferencia de cubos
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
2
Taller de Álgebra Básica Simplificación de Expresiones Algebraicas
[
]
6. E = ( x y + y − y ) 2 + ( x y − y − y ) 2 (x 2y − y − 2 y )( x 8 y + x 4 y y − 4 y + y − 8 y ) Solución:
[
]
= 2( x 2 y + y −2 y ) (x 2y − y −2 y )( x 8 y + x 4 y y −4 y + y −8 y ) = 2( x − y 4y
−4y
)( x + x y 8y
4y
−4 y
+y
−8 y
Identidad de Legendre : (a + b) 2 + (a − b) 2 = 2(a 2 + b 2 ) Diferencia de cuadrados
)
= 2( x12y − y −12 y )
Diferencia de cubos
7. E = ( 4 x + 1)( x + 1)( x + 1)( 4 x − 1)( x 4 + x 2 + 1) Solución: = ( 4 x + 1)( 4 x − 1)( x + 1)( x + 1)( x 4 + x 2 + 1)
= ( x − 1)( x + 1)( x + 1)( x 4 + x 2 + 1) Diferencia de cuadrados
= ( x − 1)( x + 1)( x 4 + x 2 + 1)
Diferencia de cubos
= ( x 2 − 1)( x 4 + x 2 + 1) = x6 −1
[
]
8. E = ( 2 x + 3y) 2 + (2 y − 3x ) 2 ( y 2 − x 2 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 ) Solución: = [ ( 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 ) + ( 4 y 2 − 12 xy + 9 x 2 ) ] ( y 2 − x 2 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 )
[
]
= 13 x 2 + 13 y 2 ( y 2 − x 2 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 ) Diferencia de cuadrados
= 13 ( y 2 + x 2 )( y 2 − x 2 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 )
Diferencia de cubos
= 13 ( y 4 − x 4 )( x 8 + x 4 y 4 + y 8 ) = 13 ( y 12 − x 12 )
9. E = ( x 4 − y 2 )( x 4 + x 2 y + y 2 )( x 4 − x 2 y + y 2 ) Solución: = ( x 2 + y )( x 2 − y )( x 4 + x 2 y + y 2 )( x 4 − x 2 y + y 2 ) = ( x 2 + y )( x 4 − x 2 y + y 2 )( x 2 − y )( x 4 + x 2 y + y 2 )
Diferencia de cuadrados
= ( x + y )( x − y )
Diferencia de cubos
6
3
6
3
= x 12 − y 6
10. E = ( x 2 + xy + y 2 )( x − y )( x + Solución:
y)
= ( x 2 + xy + y 2 )( x − y)
Diferencia de cuadrados
=x +y
Diferencia de cubos
3
3
11. E = ( x 3 − 1)( x + 1)( x 2 − x + 1) Solución:
= ( x 3 − 1)( x + 1)( x 2 − x + 1) = ( x 3 − 1)( x 3 + 1) = ( x 6 − 1)
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
Diferencia de cubos Diferencia de cuadrados
3
Taller de Álgebra Básica Simplificación de Expresiones Algebraicas
[
][
12. E = (8m3 − n 6 )(8m3 + n 6 ) − (2m − n 2 )(2m + n 2 ) 2m(2m + n 2 ) + n 4 4m2 − n 2 (2m − n 2 ) Solución: Diferenciade cuadrados:
[
][
= (8m3 − n 6 )(8m3 + n 6 ) − (2m − n 2 )(2m + n 2 ) 2m(2m + n 2 ) + n 4 4m2 − n 2 (2m − n 2 )
[
][
= (64m6 − n12 ) − (2m − n 2 )(2m + n 2 ) 4m2 + 2mn2 + n 4 4m2 − 2mn2 + n 4 Suma y diferenciade cubos:
[
]
[
= (64m6 − n12 ) − (2m − n 2 ) 4m2 + 2mn2 + n 4 (2m + n 2 ) 4m2 − 2mn2 + n 4
]
]
]
]
= (64m6 − n12 ) − (8m3 − n 6 )(8m3 + n 6 ) = (64m6 − n12 ) − (64m6 − n12 ) =0 13. E = ( x + y + z) 2 + ( x + y − z) 2 + ( x − y + z) 2 + ( − x + y + z) 2 − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) Solución:
Identidad de Legendre : 2
= ( x + y + z ) 2 + ( x + y − z ) + ( x − y + z ) 2 + ( − x + y + z ) 2 − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) 2
= 2(( x + y) 2 + z 2 ) + (z + x − y) 2 + (z − ( x − y)) − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) 2
= 2( ( x + y ) 2 + z ) + 2( z 2 + ( x − y ) 2 ) − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) Binomio al cuadrado : = 2( x 2 + 2 xy + y 2 + z 2 ) + 2(z 2 + x 2 − 2 xy + y 2 ) − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 + 2z 2 + 2z 2 + 2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 − 4( x 2 + y 2 + z 2 ) = 4 x 2 + 4 y 2 + 4z 2 − 4x 2 − 4 y 2 − 4z 2 =0 2
2
2
1 1 1 1 14. E = x + x 2 + 2 − 1 − x − x 2 + 2 + 1 x x x x
2
Solución:
Pr opiedad : (ab) 2 = a 2 b 2 2
1 1 1 1 = x + x 2 − 1 + 2 − x − x 2 + 1 + 2 x x x x Suma y diferencia de cubos : 2
1 1 = x3 + 3 − x3 − 3 x x Binomio al cuadrado :
2
2
1 1 = x 6 + 2 + 6 − x 6 − 2 + 6 x x =4
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4
Taller de Álgebra Básica Simplificación de Expresiones Algebraicas
15. E = ( b + c − a ) (a + c - b) + (a + b + c)(a + b − c) Solución:
Agrupando y aplicando diferencia de cuadrados : = (c + (b − a )) (c − (b − a )) + ((a + b) + c)((a + b) − c) = (c 2 − (b − a ) 2 ) + ((a + b) 2 − c2 ) Identidad de Legendre : = (b + a ) 2 − (b − a )2 = 4ab 16. E =
( x 2 − y 2 ) 7 (x + y) 4 ( y − x ) 5 (-x - y)10 (x - y) 2
Solución:
=
( x + y)7 ( x − y)7 (x + y)4 ( y − x )5 (-x − y)10 (x − y)2
( x + y)11 ( x − y)7 = − ( x + y)5 (x + y)10 (x − y)2
(−a − b)impar = −(a + b)impar (−a − b) par = (a + b) par
= −( x + y ) − 4 ( x − y ) 5 17. E = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)( x 4 − x 2 + 1)( x 8 − x 4 + 1) . . . hasta n factores Solución:
Identidad de Argand :
= ( x 4 + x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1)( x 8 − x 4 + 1) . . . = ( x 8 + x 4 + 1)( x 8 − x 4 + 1)... n
= x2 + x2
n −1
+1
Resolver 18. Si x + y = 8 y Solución:
xy = 16 , hallar x 2 + y 2
Binomio al cuadrado : ( x + y) 2 = 82 ⇒ x 2 + 2xy + y 2 = 64 x 2 + 2(16) + y 2 = 64 x 2 + y 2 = 32 19. Si x −
1 = 2 hallar x 4 + x −4 x
Solución: 2
1 1 2 2 x − = ( 2) ⇒ x − 2 + 2 = 4 x x 1 x2 + 2 = 6 x
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
2
1 2 1 2 4 x + 2 = (6) ⇒ x − 2 + 4 = 36 x x 1 x 4 + 4 = 34 x
5
Taller de Álgebra Básica Simplificación de Expresiones Algebraicas
20. Si a + b = 5 y ab = 2 calcular E = (a 2 + b 2 ) + (a 3 + b 3 ) + (a 4 + b 4 ) Solución:
(a + b) 2 = (5)2 a + 2ab + b = 25 2
2
a + 2(2) + b = 25 2
2
a 2 + b 2 = 21
a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
(a 2 + b 2 ) 2 = 441
a 3 + b3 = (5)(21 − 2)
a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 = 441
a 3 + b3 = 95
a 4 + 2(ab) 2 + b 4 = 441 a 4 + b 4 = 433
E = (21) + (95) + (433) = 549 21. Si x + y + z = 12 Solución:
y
xy + xz + yz = 60 , hallar M = ( x + y) 2 + ( x + z) 2 + ( y + z) 2 Trabajando con el dato :
M = ( x + y) 2 + ( x + z) 2 + ( y + z) 2 M = x 2 + 2 xy + y 2 + x 2 + 2 xz + z 2 + y 2 + 2 yz + z 2
( x + y + z) 2 = (12) 2
M = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz
x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz = 144
M = 2( x 2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz )
x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + xz + yz) = 144 x 2 + y 2 + z 2 + 2(60) = 144 x 2 + y 2 + z 2 = 24 Re emplazando : M = 2(24 + 60) = 168
22. Si p + q + r = 20 y p 2 + q 2 + r 2 = 300 , hallar el valor de E = (p + q)2 + (p + r)2 + (q + r)2 Solución: Trabajando con el dato :
E = ( p + q ) 2 + ( p + r ) 2 + (q + r ) 2
(p + q + r) 2 = (20) 2
E = p 2 + 2pq + q 2 + p 2 + 2pr + r 2 + q 2 + 2qr + r 2
p 2 + q 2 + r 2 + 2pq + 2pr + 2qr = 400 300 + 2(pq + pr + qr ) = 400
E = 2(p 2 + q 2 + r 2 + pq + pr + qr )
pq + pr + qr = 50 Re emplazando : E = 2(300 + 50) = 700
23. Si x + y + z = 0 simplificar E = Solución: 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + 2( xy + yz + zx ) E= xy + yz + zx Trabajando con el dato : (x + y + z) 2 = 0 x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2 yz + 2zx = 0 x 2 + y 2 + z 2 = −2( xy + yz + zx )
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
( x + y) 2 + ( y + z ) 2 + ( z + x ) 2 xy + yz + zx
Reemplazando : 2(−2( xy + yz + zx )) + 2( xy + yz + zx ) xy + yz + zx − 2( xy + yz + zx ) E= = −2 xy + yz + zx
E=
6