FRAC CIONE S ALG EBRAI CAS R ACION ALES
Lic. Carlos Gamonal
Fracciones Algebraicas Racionales
Efectuar y simplificar 1. F =
x − 1 2x 3x + 4 + + 3 6 12
m.c.m.= 12
F=
2. F =
4( x − 1) + 2(2 x) + 3 x + 4 4 x − 4 x + 3 x + 4 3x + 4 = = 12 12 12
x − y 2x + y y − 4x + + 12 15 30
m.c.m.= 60
5( x − y) + 4(2x + y) + 2( y − 4x) 5x − 5 y + 8x + 4 y + 2 y − 8x 5 x + y = = 60 60 60
F=
3. F =
x + 3y x 2 y − 4xy 2 + 3xy 5x 2 y 2
m.c.m.= 15 x 2 y 2
F=
4. F =
8x + 3 y 5 xy( x + 3 y) + 3( x 2 y − 4 xy 2 ) 5x 2 y + 15xy 2 + 3x 2 y − 12xy 2 8 x 2 y + 3xy 2 = = = 2 2 2 2 2 2 15x y 15x y 15x y 15 xy
3 x + 2 x2 + 2 + + 5 2x 6x 2
m.c.m.= 30x 2
F=
(3)6x2 +15x(x + 2) + 5(x2 + 2) 18x2 +15x2 + 30x + 5x2 +10 38x2 + 30x +10 19 x 2 + 15 x + 5 = = = 30x2 30x2 30x2 15 x 2
5. F =
F=
1 2 7 − − 2x + 2 x − 1 4 − 4x 1 2 7 1 2 7 − − = − + 2( x + 1) x − 1 − 4( x − 1) 2( x + 1) x − 1 4( x − 1)
m.c.m.= 4( x + 1)( x − 1)
F=
6. F =
x −3 2( x − 1) − 2(4)( x + 1) + 7( x + 1) 2 x − 2 − 8 x − 8 + 7 x + 7 = = 4( x + 1)( x − 1) 4( x + 1)( x − 1) 4( x + 1)( x − 1) 1− x x + 2 1 + 2 + 2 2x x 3x
m.c.m.= 6x 2
2
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
Taller de Álgebra Básica
F=
7. F =
− 3x 2 + 9 x + 14 3 x(1 − x) + 6( x + 2) + 2 3 x − 3x 2 + 6 x + 12 + 2 = = 6x2 6x 2 6x2 x − y y − a 2a − x + + xy ya ax
m.c.m.= axy
F=
8. F =
1 a ( x − y ) + x( y − a) + y ( 2a − x) ax − ay + xy − xa + 2ay − xy ay = = = x axy axy axy 2x 2 + x − 3 x 2 + 3x + 2 − 2 x 2 −1 x + 2x + 1
F=
2x2 + x − 3 x 2 + 3x + 2 − ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x + 1)
F=
(2 x + 3)( x − 1) ( x + 2)( x + 1) − ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x + 1)
Por método del aspa simple:
2 x 2 + x − 3 = ( 2 x + 3)( x − 1) x 2 + 3 x + 2 = ( x + 2)( x + 1)
m.c.m.= ( x + 1)( x + 1)( x − 1)
F=
(2 x + 3)( x − 1)( x + 1) − ( x + 2)( x + 1)( x − 1) 2 x + 3 − x − 2 x + 1 = = = 1 ( x + 1)( x + 1)( x − 1) x +1 x +1
1 y 2 − a 2 xy + y 2 + + 2 2 9. F = xy xy 3 x y m.c.m.= x 2 y 3
F=
10. F =
F=
xy 2 + x( y 2 − a 2 ) + y( xy + y 2 ) xy 2 + xy 2 − xa 2 + xy 2 + y 3 2 xy 2 − xa 2 + xy 2 + y 3 = = x2 y3 x2 y3 x2 y3 7x y − 2x 4 xy + 2 y 2 − 12 x 2 − − 3( x + y) x − y 3( y 2 − x 2 ) 7x y − 2 x 4 xy + 2 y 2 − 12 x 2 7x y − 2 x − 4 xy − 2 y 2 + 12 x 2 − − = − − 3( x + y ) x − y − 3( x − y )( y + x) 3( x + y ) x − y 3( x − y )( x + y )
m.c.m.= 3( x − y )( x + y )
E=
7x(x − y) − 3( y − 2x)(x + y) + 4xy + 2y2 −12x2 7x2 − 7xy + 3xy + 6x2 − 3y2 + 4xy + 2y2 −12x2 = 3(x − y)(x + y) 3(x − y)(x + y)
E=
x2 − y2 ( x + y )( x − y ) = = 3 3( x − y )( x + y ) 3( x − y )( x + y ) Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
3
Fracciones Algebraicas Racionales
2 3 4x − 7 + − 2 x −3 x +2 x −x −6
11. F =
2 3 4x − 7 + − x − 3 x + 2 ( x − 3)( x + 2)
F=
m.c.m.= ( x − 3)( x + 2)
1 2( x + 2) + 3( x − 3) − (4 x − 7) 2 x + 4 + 3x − 9 − 4 x + 7 x+2 = = = ( x − 3)(x + 2) ( x − 3)( x + 2) ( x − 3)( x + 2) x −3
F=
m+3 m −1 m−4 + + 2 m − 1 2 m + 2 4m − 4
12. F =
m+3 m −1 m−4 + + (m + 1)(m −1) 2(m + 1) 4(m − 1)
F=
m.c.m.= 4(m + 1)(m −1)
F=
4(m + 3) + 2(m −1)(m −1) + (m +1)(m − 4) 4m +12 + 2m2 − 4m + 2 + m2 − 3m − 4 = = 4(m + 1)(m −1) 4(m + 1)(m −1)
F=
13. F =
3m 2 − 3m + 10 4(m + 1)(m − 1) x +1 x+4 x+5 − 2 + 2 x − x − 20 x − 4 x − 5 x + 5 x + 4 2
x +1 x+4 x+5 F= − + ( x − 5)( x + 4) ( x − 5)( x + 1) ( x + 4)( x + 1)
Por el método del aspa simple:
x 2 − x − 20 = ( x − 5)( x + 4) x 2 − 4 x − 5 = ( x − 5)( x + 1) x 2 + 5 x + 4 = ( x + 4)( x + 1)
m.c.m.= ( x − 5)( x + 4)( x + 1)
F=
( x + 1)( x + 1) − ( x + 4)( x + 4) + ( x + 5)( x − 5) x 2 + 2 x + 1 − ( x 2 + 8 x + 16) + x 2 − 25 = = ( x − 5)( x + 4)( x + 1) ( x − 5)( x + 4)( x + 1)
F=
x − 10 x 2 − 6 x − 40 ( x − 10)( x + 4) = = ( x − 5)( x + 1) ( x − 5)( x + 4)( x + 1) ( x − 5)( x + 4)( x + 1)
14. F =
F=
2a + 1 a2 2a − 2 + 12a + 8 6a + a − 2 16a − 8 2a + 1 a2 2a − + 4(3a + 2) (3a + 2)(2a − 1) 8(2a − 1)
m.c.m.= 8(3a + 2)(2a − 1)
4
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
Taller de Álgebra Básica
F=
2( 2a − 1)(2a + 1) − 8a 2 + 2a (3a + 2) 8a 2 − 2 − 8a 2 + 6a 2 + 4a 6a 2 + 4 a − 2 = = 8(3a + 2)(2a − 1) 8(3a + 2)(2a − 1) 8(3a + 2)(2a − 1)
F=
3a 2 + 2a − 1 4(3a + 2)(2a − 1)
15. F =
y 1 2 + − 2 2 y − y − 2 14 − 5 y − y y + 8y + 7 2
F=
y 1 2 + − ( y − 2)( y + 1) − ( y + 7)( y − 2) ( y + 7)( y + 1)
Por el método del aspa simple
F=
y 1 2 − − ( y − 2)( y + 1) ( y + 7)( y − 2) ( y + 7)( y + 1)
14 − 5 y − y 2 = −( y + 7)( y − 2)
y 2 − y − 2 = ( y − 2)( y + 1)
y 2 + 8 y + 7 = ( y + 7)( y + 1)
m.c.m.= ( y − 2)( y + 1)( y + 7)
F=
( y + 7) y − ( y + 1) − 2( y − 2) y 2 + 7 y − y − 1 − 2 y + 4 y2 + 4y + 3 = = ( y − 2)( y + 1)( y + 7) ( y − 2)( y + 1)( y + 7) ( y − 2)( y + 1)( y + 7)
F=
y+3 y2 + 4y + 3 ( y + 3)( y + 1) = = ( y − 2)( y + 1)( y + 7) ( y − 2)( y + 1)( y + 7) ( y − 2)( y + 7)
16. F =
F=
x3 x+3 x −1 + 2 − 3 x +1 x − x +1 x +1 x3 x+3 x −1 + 2 − 2 ( x + 1)( x − x + 1) x − x + 1 x + 1
m.c.m.= ( x + 1)( x 2 − x + 1)
F=
x 3 + ( x + 3)( x + 1) − ( x − 1)( x 2 − x + 1) x 3 + x 2 + 4 x + 3 − ( x 3 − x 2 + x − x 2 + x − 1) = ( x + 1)( x 2 − x + 1) ( x + 1)( x 2 − x + 1)
F=
x3 + x 2 + 4x + 3 − x3 + 2x2 − 2x + 1 3x 2 + 2 x + 4 = ( x + 1)( x 2 − x + 1) ( x + 1)( x 2 − x + 1)
17. F =
F=
x+ y 1 3x 2 − + x 2 − xy + y 2 x + y x 3 + y 3 x+ y 1 3x 2 − + x 2 − xy + y 2 x + y ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )
m.c.m.= ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
5
Fracciones Algebraicas Racionales
F=
( x + y )( x + y ) − ( x 2 − xy + y 2 ) + 3x 2 x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 + xy − y 2 + 3 x 2 = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )
F=
3x 3 xy + 3 x 2 3 x( y + x) = = 2 2 2 2 2 x − xy + y 2 ( x + y )( x − xy + y ) ( x + y )( x − xy + y )
18. F =
F=
1 1 10 x − − 4 2 x + 5 ( x + 5) x − 25 2
1 1 10 x − − 2 x + 5 ( x + 5)( x + 5) ( x + 5)( x 2 − 5) 2
m.c.m.= ( x + 5)( x + 5)( x 2 + 5)( x 2 − 5)
F=
( x + 5)(x + 5)(x 2 − 5) − ( x 2 + 5)(x 2 − 5) −10x( x + 5)(x + 5) − 80x 2 − 300x −100 = = ( x + 5)(x + 5)(x 2 + 5)(x 2 − 5) ( x + 5)(x + 5)(x 2 + 5)(x 2 − 5)
F=
− 20(4 x 2 + 15 x + 5) ( x + 5)( x + 5)( x 2 + 5)( x 2 − 5)
19. F =
F=
1− x2 x2 6x − − 2 2 9−x 9 + 6x + x 9 − 6x + x 2
1 − x2 x2 6x − − (3 − x)(3 + x) (3 + x)(3 + x) (3 − x)(3 − x)
m.c.m.= (3 + x)(3 + x)(3 − x)(3 − x)
F=
(1 − x 2 )(3 − x )(3 + x) − x 2 (3 − x)(3 − x) − 6 x(3 + x)(3 + x) (3 + x)(3 + x)(3 − x)(3 − x )
F=
(1 − x 2 )(9 − x 2 ) − x 2 (9 − 6x + x 2 ) − 6x(9 + 6x + x2 ) − 55 x 2 − 54 x + 9 = (3 + x)(3 + x)(3 − x)(3 − x) (3 + x)(3 + x)(3 − x )(3 − x)
20. F =
F=
3 x x −3 3x − 1 − − 2 + 2 x + 1 1 − 2x + x x − 1 ( x − 1) 2 ( x + 1) 3 x x−3 3x − 1 − − + x + 1 ( x − 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x − 1)( x − 1)( x + 1)
m.c.m.= ( x − 1)( x − 1)( x + 1)
F=
=
6
3 x x−3 3x − 1 − − + x + 1 ( x − 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x − 1)( x − 1)( x + 1)
3( x − 1)( x − 1) − x( x + 1) − ( x − 3)( x − 1) + 3x − 1 ( x − 1)( x − 1)( x + 1)
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
Taller de Álgebra Básica
=
3( x 2 − 2 x + 1) − x 2 − x − ( x 2 − 4 x + 3) + 3x − 1 ( x − 1)( x − 1)( x + 1)
=
3x 2 − 6 x + 3 − x 2 − x − x 2 + 4 x − 3 + 3x − 1 ( x − 1)( x − 1)( x + 1)
=
( x + 1)( x − 1) x2 −1 1 = = ( x − 1)( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x − 1)( x + 1) x − 1
21. F =
a+x a+ y a+z + + ( x − y )( x − z ) ( y − x)( y − z ) ( z − x)( z − y )
Factorizando el signo
F=
a+x a+ y a+z − + ( x − y )( x − z ) ( x − y )( y − z ) ( x − z )( y − z )
m.c.m.= ( x − y )( x − z )( y − z )
(a + x)( y − z ) − (a + y )( x − z ) + (a + z )( x − y ) ( x − y )( x − z )( y − z ) (a + x)( y − z ) − (a + y )( x − z ) + (a + z )( x − y ) = ( x − y )( x − z )( y − z )
F=
=
ay − az + xy − xz − (ax − az + xy − yz ) + ax − ay + xz − yz 0 = =0 ( x − y )( x − z )( y − z ) ( x − y)(x − z)( y − z) 1 1 x 1 1 2 x2 + − (a + b + x) ÷ 2 + 2 + − 2 2 b ab a b a a b ab
22. F =
2 2 2 (b + a − x)(a + b + x) b + a − x + 2ab F= ÷ ab a 2b 2
a 2b 2 (b + a − x)(a + b + x) F= 2 2 2 ab b + a − x + 2ab
(a + b) 2 − x 2 ) a 2b 2 = ab F = 2 2 ab (a + b) − x x 2 − xy x 2 − y 2 x 2 − 2 xy + y 2 ÷ ÷ 2 2 2 2 2 xy + y x + 2 xy + y x y + xy
23. F =
x(x − y ) ( x + y )( x − y ) ( x − y ) 2 ÷ ÷ F = 2 xy(x + y ) y(x + y) ( x + y ) x(x − y )( x + y )( x + y ) F = y(x + y)( x + y )( x − y )
xy(x + y ) x 2 (x + y ) = 2 ( x − y)2 ( x − y)
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe
7
Fracciones Algebraicas Racionales
x+3 − x x − 1
24. F =
x2 2x ÷ 2 x − − x x +1 x −1
x + 3 − x( x − 1) F= x −1
2 x( x + 1) − x 2 2 x − x( x − 1) ÷ x +1 x −1
− x 2 + 2 x + 3 x( x + 2) x − 1 F = 2 x −1 x + 1 − x + 3x
F=
(3 − x)( x + 1) x( x + 2)( x − 1) = x+2 ( x − 1)( x + 1) x(3 − x) x 3 + 6 x 2 y + 9 xy 2 2 2 3 2 x y + 7 xy + 3 y
25. F =
F=
4x2 − y 2 x 3 + 27 y 3 2 ÷ 2 2 2 8 x − 2 xy − y 16 x + 8 xy + y
x( x 2 + 6 xy + 9 y 2 ) 2 2 y (2 x + 7 xy + 3 y )
( 2 x − y )(2 x + y ) ( x + 3 y )( x 2 − 3 xy + 9 y 2 ) ÷ 2 2 ( 4 x + y )(4 x + y ) 8 x − 2 xy − y
( x + 3 y )( x 2 − 3 xy + 9 y 2 ) x( x + 3 y )( x + 3 y )(2 x − y )(2 x + y ) F = ÷ 2 2 2 2 (4 x + y )(4 x + y ) y (2 x + 7 xy + 3 y )(8 x − 2 xy − y ) x( x + 3 y )( x + 3 y )( 2 x − y )(2 x + y ) ( 4 x + y )( 4 x + y ) F = 2 2 2 2 2 2 y (2 x + 7 xy + 3 y )(8 x − 2 xy − y ) ( x + 3 y )( x − 3 xy + 9 y ) Por agrupación y multiplicación tenemos:
F=
x(2 x 2 + 7 xy + 3 y 2 )( x + 3 y )(2 x − y )(4 x + y )(4 x + y ) y (2 x 2 + 7 xy + 3 y 2 )(8 x 2 − 2 xy − y 2 )( x + 3 y )( x 2 − 3xy + 9 y 2 )
F=
x (4 x + y ) y ( x − 3 xy + 9 y 2 ) 2
(x 2 − 3 x)2 2 9 − x
26. F =
F=
(x 2 − 3 x)2 2 2 3 −x
27 − x 3 x4 − 9x2 ÷ 2 2 2 (x + 3 x) (x + 3 ) − 3 x 33 − x 3 ( x 2 ) 2 − (3 x) 2 ÷ 2 2 2 (x + 3 ) − 3 x (x + 3 x)
Factorizando por el método de identidades, diferencia de cuadrados y diferencia de cubos.
F=
(x 2 − 3 x)2 (3 + x)(3 − x )
[(x F=
]
(3 − x)(9 + 3 x + x 2 ) (x 2 + 3 x)2 4 2 x 2 + 3x + 9 x − 9x
2
− 3x)(x2 + 3x) (x4 − 9x 2 )2 ( x 2 ) 2 − (3x) 2 x( x + 3) x( x − 3) = = = = x 2 ( x − 3) (3 + x)(x 4 − 9 x 2 ) (3 + x)(x 4 − 9x 2 ) x+3 x+3
8
2
Lic. Carlos Gamonal cgamonal@usat.edu.pe