i
i Lógica para Computação — PROVA 4 — 4/7/2006 — #35
i
i
1 Lógica Proposicional: Linguagem e Semântica
25
➟ v(A) = 1. Nesse caso, como temos Γ , A |= B, temos necessariamente que v(B) = 1 e, portanto, v(A → B) = 1. ➟ v(A) = 0. Nesse caso, é imediato que v(A → B) = 1. Portanto, concluímos que Γ |= A → B. (⇐) Vamos assumir agora que Γ |= A → B, ou seja, toda valoração que satisfaz Γ também satisfaz A → B. Para mostrar que Γ , A |= B, considere uma valoração v tal que v(Γ ) = v(A) = 1. Assuma, por contradição, que v(B) = 0. Nesse caso, temos que v(A → B) = 0, o que contradiz Γ |= A → B. Logo, v(B) = 1 e provamos que Γ , A |= B, como desejado. O teorema da dedução nos diz que A → B e conseqüência lógica das hipóteses Γ se, e somente se, ao adicionarmos A às hipóteses, podemos inferir logicamente B. Dessa forma, a noção de implicação lógica e o conectivo implicação estão totalmente relacionados. Além da conseqüência lógica, podemos também considerar a equivalência lógica entre duas fórmulas. Duas fórmulas A e B são logicamente equivalentes, representado por A ≡ B, se as valorações que satisfazem A são exatamente as mesmas valorações que satisfazem B. Em outras palavras, A ≡ B se A |= B e B |= A. Para verificarmos a equivalência lógica de duas fórmulas A e B, construímos uma Tabela da Verdade simultaneamente para A e B e notamos se as colunas para A e para B são idênticas. Por exemplo, considere a seguinte equivalência lógica: p → q ≡ ¬q → ¬p. Construímos a Tabela da Verdade simultânea para p → q e ¬q → ¬p: p q ¬p ¬q p → q ¬q → ¬p
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 0 1
Como as colunas para p → q e ¬q → ¬p são idênticas, podemos concluir que p → q ≡ ¬q → ¬p. A implicação ¬q → ¬p é dita a contrapositiva da implicação p → q. Existem diversas equivalências notáveis entre fórmulas, dentre as quais destacamos as seguintes.
i
i i
i