I NFERÊNCIA E STATÍSTICA — Prova 4-H — 20/10/2010 — Maluhy&Co. — página (local 10, global #44)
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Inferência Estatística
O teorema 1.2.8 contém propriedades que são tão básicas que também se parecem com axiomas, embora os tenhamos comprovado formalmente utilizando somente os três Axiomas de Kolmogorov originais. O teorema seguinte, que é similar em conceito ao Teorema 1.2.8, contém declarações que não são tão autoevidentes. Teorema 1.2.9 Se P é uma função de probabilidade e A e B são quaisquer conjuntos em B , então a. P (B ∩ A c ) = P (B ) − P (A ∩ B ); b. P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ); c. Se A ⊂ B , então P (A) ≤ P (B ). Prova: Para estabelecer (a), observe que para quaisquer conjuntos A e B temos B = {B ∩ A} ∪ {B ∩ A c },
e, portanto, P (B ) = P ({B ∩ A} ∪ {B ∩ A c }) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A c ),
(1.2.6)
onde a última igualdade em (1.2.6) segue a partir do fato de que B ∩ A e B ∩ A c são disjuntos. Rearranjar (1.2.6) resulta em (a). Para estabelecer (b), utilizamos a identidade A ∪ B = A ∪ {B ∩ A c }.
(1.2.7)
Um diagrama de Venn mostrará por que (1.2.7) permanece, embora uma prova formal não seja difícil de se obter (veja o Exercício 1.2). Utilizando (1.2.7) e o fato de que A e B ∩ A c são disjuntos (como A e A c são), temos P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ∩ A c ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B )
(1.2.8)
a partir de (a). Se A ⊂ B , então A ∩ B = A . Portanto, utilizando (a), temos 0 ≤ P (B ∩ A c ) = P (B ) − P (A),
estabelecendo (c).
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A fórmula (b) do Teorema 1.2.9 resulta em uma desigualdade útil para a probabilidade de uma interseção. Como P (A ∪ B ) ≤ 1, temos, a partir de (1.2.8), depois de fazer alguns rearranjos, P (A ∩ B ) ≥ P (A) + P (B ) − 1. (1.2.9) Esta desigualdade é um caso especial daquilo que é conhecido como Desigualdade de Bonferroni (Miller, 1981, é uma boa referência). A Desigualdade de Bonferroni permite limitar a probabilidade de um evento simultâneo (a interseção) em termos das probabilidades dos eventos individuais. Exemplo 1.2.10 Desigualdade de Bonferroni A Desigualdade de Bonferroni é particularmente útil quando é difícil (ou mesmo impossível) calcular a probabilidade de interseção, mas é importante ter alguma ideia do tamanho desta probabilidade. Suponha que A e B sejam dois eventos e que cada um tenha a probabilidade de 0,95. Então, a probabilidade que ocorrerá é limitada inferiormente por P (A ∩ B ) ≥ P (A) + P (B ) − 1 = 0,95 + 0,95 − 1 = 0,90.