I NFERÊNCIA E STATÍSTICA — Prova 4-H — 20/10/2010 — Maluhy&Co. — página (local 7, global #41)
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Teoria da probabilidade
As três propriedades dadas na Definição 1.2.4 são, geralmente, chamadas de Axiomas de Probabilidade (ou Axiomas de Kolmogorov, em homenagem a A. Kolmogorov, um dos pais da teoria da probabilidade). Qualquer função P que satisfaça os Axiomas de Probabilidade é chamada de função de probabilidade. A definição axiomática não procura dizer qual função específica P escolher; ela meramente requer que P satisfaça os axiomas. Para qualquer espaço amostral, muitas diferentes funções de probabilidade podem ser definidas. O que precisa ser discutido é qual(is) delas reflete o que provavelmente será observado em um experimento em particular. Exemplo 1.2.5 Definindo probabilidades – I Considere o simples experimento de lançar uma moeda equilibrada, de modo que S = {Ca,Co}. Com o termo moeda “equilibrada” nos referimos a uma moeda que apresente a mesma probabilidade de sair cara ou coroa quando for lançada, e então a função de probabilidade razoável permite atribuir probabilidades iguais para cara ou coroa, ou seja, P ({Ca}) = P ({Co}).
(1.2.2)
Observe que (1.2.2) não obedece aos Axiomas de Probabilidade, mas, em vez disso, está fora deles. Utilizamos uma interpretação de simetria da probabilidade (ou apenas a intuição) para supor a exigência de que os resultados cara e coroa sejam igualmente prováveis. Como S = {Ca} ∪ {Co}, temos, a partir do Axioma 2, P ({Ca} ∪ {Co}) = 1. Além disso, {Ca} e {Co} são disjuntos, portanto P ({Ca} ∪ {Co}) = P ({Ca}) + P ({Co}) e P ({Ca}) + P ({Co}) = 1.
(1.2.3)
Resolvendo simultaneamente (1.2.2) e (1.2.3) temos que P ({Ca}) = P ({Co}) = 21 . Uma vez que (1.2.2) é baseado em nosso conhecimento do experimento em particular, e não nos axiomas, quaisquer valores que não sejam negativos para P ({Ca}) e P ({Co}), que satisfaçam (1.2.3), definem uma legítima função de probabilidade. Por exemplo, podemos escolher P ({Ca}) = 19 e P ({Co}) = 98 . Precisamos de métodos gerais para a definição de funções da probabilidade que, sabidamente, sempre irão satisfazer os Axiomas de Kolmogorov. Não queremos ter de verificar os axiomas para cada nova função de probabilidade, como fizemos no Exemplo 1.2.5. A seguir, apresentamos um método comum para definir uma legítima função da probabilidade. Teorema 1.2.6 Seja S = {s 1 , . . . ,s n } um conjunto finito. Seja B qualquer sigma álgebra de subconjuntos de S . Sejam p 1 , . . . ,p n números não negativos que somam 1. Para qualquer A ∈ B , definimos P (A) por X P (A) = pi . {i :s i ∈A}
(A soma sobre um conjunto vazio é definida como 0.) Então P é uma função de probabilidade em B . Isto permanece verdadeiro, se S = {s 1 ,s 2 , . . .} for um conjunto contável. Prova: P Apresentaremos a prova para S finito. Para qualquer A ∈ B , P (A) = {i :si ∈A} p i ≥ 0, porque todo p i ≥ 0. Portanto, o Axioma 1 é verdadeiro. Agora, P (S) =
X {i :s i ∈S}
pi =
n X i =1
p i = 1.
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